ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014"

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ Ιωάννινα 0

2

3 Περιεχόμενα ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5. Νόρμες Υπαρξη και μονοσήμαντο ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 5. Χαρακτηρισμός της βέλτιστης προσέγγισης Βέλτιστη προσέγγιση πολυωνύμων Πεπερασμένο σύνολο σημείων Εύρεση ομοιόμορϕης προσέγγισης στο σύνολο X n Αλγόριθμος εναλλαγής σημείων για την εύρεση της βέλτιστης ο- μοιόμορϕης προσέγγισης στο σύνολο X m ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ 7 3. Χαρακτηρισμός της προσέγγισης ελαχίστων τετραγώνων Ελάχιστα τετράγωνα σε συνεχές διάστημα Το Σύστημα των Κανονικών Εξισώσεων Μέθοδοι Ορθογωνοποίησης Ελάχιστα τετράγωνα σε σύνολο σημείων Το Σύστημα των Κανονικών Εξισώσεων Μέθοδοι Ορθογωνοποίησης ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ SPLINE 69. Παρεμβολή με τμηματικά γραμμικές συναρτήσεις Κυβική παρεμβολή Hermite Παρεμβολή με κυβικές συναρτήσεις Spline Βάση του χώρου συναρτήσεων των κυβικών Splines

4 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ

5 Κεϕάλαιο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Θεωρία Προσέγγισης είναι κλάδος της επιστήμης της Μαθηματικής Ανάλυσης αν τη δούμε υπό το πρίσμα της θεωρίας που χρειάζεται για την επίτευξη της επιθυμητής προσέγγισης. Θεωρείται όμως και κλάδος της Αριθμητικής Ανάλυσης αν τη δούμε υπό το πρίσμα του τελικού προϊόντος που είναι μια Αριθμητική μέθοδος και τελικά ένας αλγόριθμος για την εύρεση της προσέγγισης. Οπως θα δούμε στη συνέχεια τα μαθηματικά εργαλεία της Θεωρίας Προσέγγισης προέρχονται από τον Απειροστικό Λογισμό, τη Γραμμική Άλγεβρα, την Τοπολογία και τη Συναρτησιακή Ανάλυση. Το γενικότερο πρόβλημα της Θεωρίας Προσέγγισης συνίσταται στην εύρεση λύσης στο παρακάτω πρόβλημα: Πρόβλημα Εστω V ένας σταθμητός γραμμικός χώρος εϕοδιασμένος με τη νόρμα και W ένας υποχώρος του V. Δοθέντος v V, Να βρεθεί w W τέτοιο ώστε v w v w w W. (.) Θα λέμε τότε ότι w είναι η βέλτιστη προσέγγιση του v στον W. Με άλλα λόγια θέλουμε να βρούμε το πλησιέστερο στοιχείο στο v που ανήκει στον W. Αυτό το κάνουμε επειδή έχουμε περισσότερα μαθηματικά εργαλεία για να μελετήσουμε ένα πρόβλημα στον υποχώρο W από εκείνα που έχουμε στο χώρο V. Θα ασχοληθούμε εδώ κυρίως με την προσέγγιση συναρτήσεων στον υποχώρο P n των πολυωνύμων n βαθμού. Ως χώρο αναϕοράς V θα έχουμε κυρίως το χώρο των συνεχών συναρτήσεων στο κλειστό διάστημα [a, b] που θα το συμβολίζουμε με C[a, b] ή το χώρο των συναρτήσεων που ορίζονται σε ένα σύνολο διακριτών σημείων {x, x, x m } που θα το συμβολίζουμε με X m. Στο εισαγωγικό αυτό κεϕάλαιο θα δώσουμε κάποια πρώτα στοιχεία για τις νόρμες που θα χρησιμοποιήσουμε και στη συνέχεια μια γενική θεωρία ύπαρξης και μονοσήμαντου της βέλτιστης προσέγγισης. 5

6 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Νόρμες Ο γενικός ορισμός της νόρμας είναι ο ακόλουθος: Εστω V ένας γραμμικός χώρος. Νόρμα στο V θα είναι μια συνάρτηση από το V στους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς IR +,0 ( : V IR +,0 ) που πληροί τις παρακάτω τρεις ιδιότητες: (i) v 0 και v = 0 αν και μόνο άν (ανν) v = 0. (ii) λv = λ v για κάθε σταθερό λ IR (ή λ CI). (iii) v + u v + u (τριγωνική ιδιότητα). Μια νόρμα ορίζει μια απόσταση στο V τον οποίο καθιστά μετρικό γραμμικό χώρο. Αν v και u είναι στοιχεία του V, τότε v u είναι η απόσταση μεταξύ αυτών των στοιχείων. Οι κυριότερες νόρμες που χρησιμοποιούνται είναι οι νόρμες, και ή l, l και l αντίστοιχα. Αν ως χώρο V έχουμε το χώρο συνεχών συναρτήσεων C[a, b] τότε οι αντίστοιχες νόρμες ορίζονται ως: l : v = b a v(x) dx. ( b l : v = v(x) dx a l : ). v = max a x b v(x). Αυτές αποτελούν ειδικές περιπτώσεις της l p νόρμας που ορίζεται ως: ( b l p : v p = v(x) p dx a ) p, p. Ας σημειωθεί ότι ο p μπορεί να είναι θετικός πραγματικός ( ) και όχι απαραίτητα ακέραιος. Αποδεικνύεται δε, σχετικά εύκολα, ότι lim p v p = v. Αντίστοιχα, αν ως χώρο V έχουμε το χώρο X m, των συναρτήσεων σε διακριτό σύνολο, αυτές είναι γνωστές από τη Γραμμική Άλγεβρα ως διανυσματικές νόρμες και ορίζονται ως εξής: m l : v = v i. i= ( m ) l : v = v i i=. l : v = max i {,,,m} v i. Αυτές αποτελούν ειδικές περιπτώσεις της l p νόρμας που ορίζεται ως: ( n ) l p : v p = v i p p, p. i=

7 .. Ν ΟΡΜΕΣ 7 Αποδεικνύεται και εδώ, σχετικά εύκολα, ότι lim p v p = v. Είναι εύκολο να αποδειχτεί η ισχύς των τριών ιδιοτήτων για τις νόρμες l και l ενώ για την l ή γενικότερα για την l p είναι δύσκολο να αποδειχτεί η τριγωνική ιδιότητα. Δίνουμε εδώ, χωρίς απόδειξη τις ανισότητες, γνωστές ως ανισότητες Minkowski, που αποδεικνύουν την ιδιότητα αυτή. ( ) ( b v(x) + u(x) p p ) ( b dx v(x) p p ) b dx + u(x) p p dx a a a και ( n ) ( v i + u i p p n ) ( v i p p n ) + u i p p. i= i= i= Δυο άλλες χρήσιμες ανισότητες που αναϕέρονται στην l p νόρμα είναι οι ανισότητες Hölder: ( b ) ( b v(x)u(x) dx v(x) p p ) b dx u(x) q q dx, p >, a a a p + q = και ( n n ) ( v i u i v i p p n ) u i q q, p >, i= i= i= p + q =. Ειδικές περιπτώσεις αυτών για p = q = είναι οι γνωστες ως ανισότητες Cauchy- Schwarz: ( b ) ( b v(x)u(x) dx v(x) ) b dx u(x) dx a a a και ( n n ) ( v i u i v i n ) u i. i= i= i= Δίνουμε εδώ μια απόδειξη για την πρώτη των ανισοτήτων Cauchy-Schwarz, η δεύτερη αποδεικνύεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Απόδειξη: Θεωρούμε το ολοκλήρωμα b a ( v(x) + θ u(x) ) dx = b a v(x) dx + θ b a b v(x)u(x) dx + θ u(x) dx, όπου θ είναι μια πραγματική παράμετρος. Προϕανώς το ολοκλήρωμα αυτό παίρνει μη αρνητικές τιμές αϕού είναι ολοκλήρωμα μη αρνητικής συνάρτησης. Παρατηρούμε επίσης ότι το δεύτερο μέλος της παραπάνω ισότητας είναι τριώνυμο ως προς θ. Αϕού είναι τριώνυμο που παίρνει μη αρνητικές τιμές, θα έχει διακρίνουσα μη θετική. Θα έχουμε επομένως ( b b b = v(x)u(x) dx) v(x) dx u(x) dx 0, a a a από την οποία προκύπτει εύκολα η ανισότητα Cauchy-Schwarz. a

8 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Υπαρξη και μονοσήμαντο της βέλτιστης προσέγγισης Θα δώσουμε εδώ μερικά γενικά θεωρήματα ύπαρξης και μοναδικότητας της βέλτιστης προσέγγισης, ξεκινώντας από το θεώρημα ύπαρξης. Θεώρημα ( Υπαρξη βέλτιστης προσέγγισης) Αν V είναι ένας σταθμητός γραμμικός χώρος εϕοδιασμένος με τη νόρμα και W ένας υποχώρος του V πεπερασμένης διάστασης, τότε δοθέντος v V, w W τέτοιο ώστε για όλα τα w W. v w v w Απόδειξη: Επειδή 0 W, αν αυτό ήταν η βέλτιστη προσέγγιση, η ελάχιστη νόρμα θα ήταν v 0 = v = M. Αν w είναι τέτοιο ώστε v w > v, δε θα μπορούσε να είναι βέλτιστη προσέγγιση επειδή το 0 θα έδινε καλύτερη προσέγγιση. Επομένως τη βέλτιστη προσέγγιση θα πρέπει να την αναζητούμε στο σύνολο των w για τα οποία Τότε v w v = M. w = w = v w v v w + v M. Εστω ότι ο W είναι ένας k διάστατος χώρος και ότι w, w, w k είναι μια βάση αυτού. Τότε το στοιχείο w W γράϕεται ως w = λ w + λ w + + λ k w k. Ορίζουμε τη συνάρτηση f(λ, λ,, λ k ) = v w = v (λ w + λ w + + λ k w k ) και θα αποδείξουμε ότι αυτή παίρνει ελάχιστη τιμή όταν το σημείο (λ, λ,, λ k ) κινείται στον k διάστατο χώρο, με τον περιορισμό Είναι ϕανερό ότι η συνάρτηση w = λ w + λ w + + λ k w k M. (.) g(λ, λ,, λ k ) = w = λ w + λ w + + λ k w k είναι συνεχής ως προς (λ, λ,, λ k ) και επομένως θα παίρνει ελάχιστη τιμή στο συμπαγές σύνολο λ + λ + + λ k =, (.3) έστω m αυτό το ελάχιστο. Θα έχουμε m > 0 γιατί σε αντίθετη περίπτωση δε θα πληρούται ο περιορισμός (.3).

9 .. ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΟΣ ΗΜΑΝΤΟ 9 Επιστρέϕουμε ξανά στη γενική περίπτωση όπου ισχύει ο περιορισμός (.) και υποθέτουμε καταρχήν ότι k i= λ i = 0. Τότε ( ) λ g ki= λ i, λ ki= λ i,, λ k ki= m > 0 λ i ή ισοδύναμα, αν λάβουμε υπόψη την ιδιότητα (ii) των νορμών, k g(λ, λ,, λ k ) m λ i. i= Παρατηρούμε ότι αυτή ισχύει και για k i= λ i = 0, επομένως θα ισχύει για όλα τα (λ, λ,, λ k ) IR k. Η παραπάνω σχέση μαζί με την (.) δίνουν από την οποία προκύπτει ότι Αυτή με τη σειρά της δίνει k M g(λ, λ,, λ k ) m λ i i= k λ i M i= m. λ i M m, i =,,, k. Η τελευταία ορίζει έναν υπερκύβο που είναι συμπαγές σύνολο και κατά συνέπεια η f που είναι συνεχής, παίρνει ελάχιστη τιμή στο σύνολο αυτό, που αντιστοιχεί στη βέλτιστη προσέγγιση. Δίνουμε στη συνέχεια κάποια παραδείγματα: Παράδειγμα Εστω V = C[a, b], ο γραμμικός χώρος όλων των συνεχών συναρτήσεων στο διάστημα [a, b] με νόρμα την ομοιόμορϕη ή Chebyshev νόρμα: f = max a x b f(x). Εστω επίσης W ο υποχώρος n + διάστασης P n, όλων των πολυωνύμων το πολύ n βαθμού ορισμένων στο διάστημα [a, b]. Από το Θεώρημα προκύπτει ότι υπάρχει η βέλτιστη προσέγγιση p P n τέτοια ώστε ή αλλιώς f p = max a x b f(x) p (x) f p = max a x b f(x) p(x) p P n min max p P n a x b f(x) p(x) = max a x b f(x) p (x). Από την τελευταία σχέση η προσέγγιση αυτή έλαβε και το όνομα min-max προσέγγιση.

10 0 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Παράδειγμα Εστω το σύνολο των διακριτών σημείων {x, x,, x m } με x < x < < x m και V = E m, ο γραμμικός χώρος όλων των συναρτήσεων f = (f, f,, f m ) ορισμένων στα σημεία αυτά. Η ομοιόμορϕη νόρμα στον E m ορίζεται ως f = max f i. i=,,,m Εστω επίσης W ο υποχώρος n + διάστασης P n, όλων των πολυωνύμων το πολύ n βαθμού ορισμένων στα σημεία αυτά. Από το Θεώρημα προκύπτει ότι υπάρχει η βέλτιστη προσέγγιση p P n τέτοια ώστε f p = max f i p (x i ) f p = max f i p(x i ) p P n i=,,,m i=,,,m ή αλλιώς min max f i p(x i ) = max f i p (x i ). i=,,,m i=,,,m p P n Αν στα δυο παραπάνω παραδείγματα αντί της ομοιόμορϕης νόρμας ορίσουμε την l νόρμα έχουμε την προσέγγιση ελάχιστων τετραγώνων. Εξασϕαλίζεται και εδώ η ύπαρξη της βέλτιστης προσέγγισης από το Θεώρημα. Επίσης εξασϕαλίζεται η ύπαρξη της βέλτιστης προσέγγισης και στις περιπτώσεις όπου ως νόρμα λάβουμε οποιαδήποτε νόρμα, αρκεί ο υποχώρος W να είναι πεπερασμένης διάστασης. Παράδειγμα 3 Εστω V = C π [0, π], ο γραμμικός χώρος όλων των συνεχών περιοδικών συναρτήσεων, με περίοδο π στο διάστημα [0, π] με νόρμα την l (ή την ευκλείδεια νόρμα): f = ( π 0 f(x) dx). Εστω επίσης W ο υποχώρος όλων των τριγωνομετρικών πολυωνύμων S k, το πολύ k βαθμού της μορϕής k k α 0 + α i cos(ix) + β i sin(ix). i= Αποδεικνύεται εύκολα ότι οι περιοδικές συναρτήσεις cos(ix), sin(ix), i =,,, k καθώς και η σταθερά συνάρτηση, είναι γραμμικά ανεξάρτητες μεταξύ των και αποτελούν μια βάση για τον S k. Αυτό σημαίνει ότι ο S k είναι διάστασης k + και επομένως από το Θεώρημα προκύπτει ότι υπάρχει η βέλτιστη προσέγγιση s S k τέτοια ώστε i= f s f s s S k. Το επόμενο παράδειγμα δείχνει ότι η απαίτηση ο υποχώρος W να είναι πεπερασμένης διάστασης, είναι υποχρεωτική. Παράδειγμα Εστω V = C[0, ], εϕοδιασμένος με την ομοιόμορϕη νόρμα. Εστω επίσης W ο υποχώρος όλων των πολυωνύμων οποιουδήποτε βαθμού ορισμένων στο διάστημα [0, ] (Ο W είναι άπειρης διάστασης γιατί δεν υπάρχει άνω ϕράγμα στο βαθμό).

11 .. ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΟΣ ΗΜΑΝΤΟ Θα αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f(x) = x δεν έχει βέλτιστη προσέγγιση στο [0, ]. Γνωρίζουμε ότι για δοθέν ϵ > 0, υπάρχει ακέραιος N τέτοιος ώστε f(x) ( + x + x + + x N ) < ϵ, 0 x. Ετσι, αν υπήρχε βέλτιστη προσέγγιση p W θα ίσχυε f p = 0 p = x που δεν ανήκει στον W αϕού δεν είναι πολυώνυμο, επομένως δεν υπάρχει βέλτιστη προσέγγιση. Το παραπάνω θεώρημα μας δίνει τις συνθήκες ύπαρξης βέλτιστης προσέγγισης. Πριν προβούμε στη διατύπωση και απόδειξη των συνθηκών μοναδικότητας θα δώσουμε ένα χαρακτηρισμό του συνόλου των βέλτιστων προσεγγίσεων, αϕού πρώτα θυμηθούμε τον ορισμό του κυρτού συνόλου. Ορισμός Ενα σύνολο S λέγεται κυρτό σε ένα γραμμικό χώρο αν για s, s συνεπάγεται ότι λ s + λ s S S με λ 0, λ 0 και λ + λ =. Θεώρημα Αν v V και W είναι ένας υποχώρος του V, τότε το σύνολο W όλων των βέλτιστων προσεγγίσεων του v στον W είναι κυρτό σύνολο. Απόδειξη: Αν το W είναι το κενό σύνολο τότε είναι από μόνο του κυρτό. Εστω w και w είναι δυο βέλτιστες προσεγγίσεις του v στον W, τότε v w = v w = ρ. Θεωρούμε λ 0, λ 0, λ + λ =. Τότε v (λ w +λ w ) = λ (v w )+λ (v w ) λ v w +λ v w = (λ +λ )ρ = ρ. Επομένως λ w + λ w W και έτσι το W είναι κυρτό σύνολο. Ορισμός Ενας σταθμητός γραμμικός χώρος V λέμε ότι έχει αυστηρά κυρτή νόρμα, όταν το σύνολο B = {v : v } (μοναδιαία μπάλα) είναι αυστηρά κυρτό. Υπενθυμίζουμε ότι για να είναι αυστηρά κυρτό ένα σύνολο απαιτείται η ισχύς της πρότασης: Αν v v με v = v =, τότε λ v +λ v <, όταν λ > 0, λ > 0 και λ + λ =.

12 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Θεώρημα 3 Αν V είναι ένας γραμμικός χώρος με μια αυστηρά κυρτή νόρμα και W είναι ένας υποχώρος του V, τότε το στοιχείο v V έχει το πολύ μια βέλτιστη προσέγγιση στον W. Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι w και w είναι δυο διαϕορετικές βέλτιστες προσεγγίσεις του v στον W. Από το Θεώρημα θα έχουμε ότι και w +w θα είναι επίσης βέλτιστη προσέγγιση του v στον W. Υποθέτουμε ότι v w = v w = ρ και θέτουμε με v = v w και v ρ = v w. Τότε προϕανώς v ρ v, v = v = και επειδή η νόρμα είναι αυστηρά κυρτή, v + v = ρ (v w ) + ρ (v w ) = ρ v w + w < ή w v +w < ρ το οποίο είναι άτοπο. Ο συνδυασμός του Θεωρήματος με το Θεώρημα 3 δίνει ως αποτέλεσμα το παρακάτω πόρισμα. Πόρισμα Αν V είναι ένας γραμμικός χώρος με μια αυστηρά κυρτή νόρμα και W είναι ένας υποχώρος του V πεπερασμένης διάστασης, τότε κάθε στοιχείο v V έχει ακριβώς μια βέλτιστη προσέγγιση στον W. Αποδεικνύεται ότι οι l p νόρμες, για p >, είναι όλες αυστηρά κυρτές νόρμες όταν V = C[a, b] ή στη διακριτή περίπτωση όπου V = E m. Επομένως για όλες αυτές τις νόρμες εξασϕαλίζεται η μοναδικότητα της βέλτιστης πολυωνυμικής προσέγγισης. Ειδικότερα για την l ή ευκλείδεια νόρμα εξασϕαλίζεται η μοναδικότητα της βέλτιστης πολυωνυμικής προσέγγισης Ελαχίστων Τετραγώνων. Αντίθετα, για τις νόρμες l και l έχουμε ότι δεν είναι αυστηρά κυρτές νόρμες. Επομένως δεν εξασϕαλίζεται από το γενικό αυτό Θεώρημα η μοναδικότητα της βέλτιστης προσέγγισης Πρώτης Δύναμης ούτε η μοναδικότητα της βέλτιστης Ομοιόμορϕης προσέγγισης. Παρόλα αυτά, ειδική μελέτη κάθε μιας από τις παραπάνω περιπτώσεις, αποδεικνύει τη μοναδικότητα της βέλτιστης προσέγγισης και στις περιπτώσεις αυτές. Αυτό θα το δούμε στο επόμενο κεϕάλαιο για την περίπτωση της ομοιόμορϕης προσέγγισης. Δε θα αποδείξουμε εδώ ότι είναι αυστηρά κυρτές οι l p νόρμες για p > αλλά θα δώσουμε παραδείγματα από τα οποία θα ϕαίνεται ότι οι l και l δεν είναι αυστηρά κυρτές νόρμες. Παράδειγμα 5 Εστω V = C[0, ], εϕοδιασμένος με την l νόρμα. Για τις συναρτήσεις v (x) = x και v (x) = ( x), έχουμε ότι v v με v = 0 xdx = v = 0 ( x)dx =. Αν θεωρήσουμε λ = λ = παίρνουμε ότι v = v +v = x+( x) = =. Αυτό σημαίνει ότι η l νόρμα δεν είναι αυστηρά κυρτή νόρμα.

13 .. ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΟΣ ΗΜΑΝΤΟ 3 Παράδειγμα 6 Εστω V = C[0, ], εϕοδιασμένος με την l νόρμα. Για τις συναρτήσεις v (x) = x και v (x) = x, έχουμε ότι v v με v = max x [0,] {x} = v = max x [0,] { x } =. Αν θεωρήσουμε λ = λ = παίρνουμε ότι v = v +v = x+x ) = max x [0,] 3x =. Αυτό σημαίνει ότι η l νόρμα δεν είναι αυστηρά κυρτή νόρμα. Παράδειγμα 7 Εστω V = E m, m >, εϕοδιασμένος με την l νόρμα. Για τις συναρτήσεις v = (,,, ) και v = (,,,, ), έχουμε ότι v m m m v με v = v =. Αν θεωρήσουμε λ = λ = παίρνουμε ότι v = v +v = max(,,,, + ) =. Αυτό σημαίνει ότι η l m m m νόρμα δεν είναι αυστηρά κυρτή νόρμα. Ολοκληρώσαμε εδώ τη γενική θεωρία ύπαρξης και μοναδικότητας της βέλτιστης προσέγγισης. Ασκήσεις. Να αποδειχτεί ότι η έκϕραση b a xf(x) dx, C[a, b] f C[a, b] ορίζει μια νόρμα στο χώρο. Δίνεται το σύνολο των διακριτών σημείων {x, x,, x m } και E m, ο γραμμικός χώρος όλων των συναρτήσεων f = (f, f,, f m ) ορισμένων στα σημεία αυτά. Να αποδειχτεί ότι η έκϕραση m i= i f i, f E m ορίζει μια νόρμα στο χώρο E m, ενώ η έκϕραση m i= (i ) f i, f E m δεν ορίζει νόρμα στο χώρο E m. 3. Να αποδειχτούν οι ανισότητες f f f και f f, f C[, ].. Δίνεται το σύνολο των διακριτών σημείων {x, x,, x m } και E m, ο γραμμικός χώρος όλων των συναρτήσεων f = (f, f,, f m ) ορισμένων στα σημεία αυτά. Να αποδειχτούν οι ανισότητες f f f και f m f, f E m. 5. Να βρεθεί το σύνολο όλων των βέλτιστων προσεγγίσεων του σημείου ( ) T IR 3 στο χώρο IR = (x y 0) T, x, y IR, θεωρώντας ως νόρμα την.

14 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

15 Κεϕάλαιο ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Εστω ότι P n είναι το σύνολο των πολυωνύμων το πολύ n βαθμού. Το Θεώρημα μας δίνει ότι για δοθείσα συνάρτηση f C[a, b] υπάρχει πολυώνυμο p n P n τέτοιο ώστε f p n f p p P n, όπου είναι η ομοιόμορϕη νόρμα (l ή νόρμα άπειρο). Θα συμβολίζουμε με E n (f; [a, b]) = f p n το σϕάλμα της ομοιόμορϕης βέλτιστης προσέγγισης. Οταν θα είναι συγκεκριμένο το διάστημα [a, b] και δε θα υπάρχει λόγος σύγχυσης, για συντομία θα το συμβολίζουμε και με E n (f). Για να έχει έννοια η πολυωνυμική προσέγγιση θα πρέπει, όσο αυξάνει ο βαθμός του πολυωνύμου, τόσο να μικραίνει το σϕάλμα. Θα αποδείξουμε εδώ ότι E n (f) 0 για n, που είναι το γνωστό Θεώρημα της πολυωνυμικής προσέγγισης του Weierstrass. Θεώρημα (Weierstrass) Δοθέντων f C[a, b] και ϵ > 0, υπάρχει πολυώνυμο p τέτοιο ώστε f p < ϵ. Απόδειξη: Θα κατασκευάσουμε ένα τέτοιο πολυώνυμο, χρησιμοποιώντας τα πολυώνυμα Bernstein. Μετασχηματίζουμε πρώτα το διάστημα [a, b] στο [0, ]. Ο μετασχηματισμός είναι γραμμικός και. Θέτοντας x = (b a)t+a έχουμε f(x) = f((b a)t+a) = g(t), όπου η g(t) ορίζεται στο [0, ] και είναι συνεχής. Μπορούμε επομένως να αποδείξουμε το θεώρημα για συναρτήσεις ορισμένες στο [0, ]. Δοθείσας συνάρτησης h(t) ϕραγμένης στο [0, ] ορίζουμε το πολυώνυμο Bernstein m βαθμού B m (h; t) ως εξής: Είναι ϕανερό ότι i) B m (h; t) P m ii) B m (αh; t) = αb m (h; t) ( ) ( m k m B m (h; t) = h k=0 m k 5 ) t k ( t) m k. (.)

16 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ iii) B m (h + h ; t) = B m (h ; t) + B m (h ; t) iv) Αν h (t) h (t) τότε B m (h ; t) B m (h ; t) Από τις (ii) και (iii) προκύπτει ότι B m (αh + βh ; t) = αb m (h ; t) + βb m (h ; t) που σημαίνει ότι ο τελεστής B m είναι ένας γραμμικός τελεστής. Η ιδιότητα (iv) προκύπτει εύκολα αϕού, για δεδομένο t [0, ] εκείνο που αλλάζει στον τύπο ((.)) είναι οι παράγοντες h (t) και h (t), h (t) h (t), ενώ ο σταθερός παράγοντας t m k k ( t) m k είναι μη αρνητικός. Η ιδιότητα αυτή καθιστά τον τελεστή B m ένα θετικό τελεστή αϕού για h = h h 0 έχουμε ότι B m (h; t) 0. Εχουμε να αποδείξουμε ότι για ϵ > 0 και για h C[0, ], υπάρχει ακέραιος m 0 τέτοιος ώστε h B m0 (h) < ϵ. Θα μελετήσουμε τώρα τη συμπεριϕορά του τελεστή B m, όταν εϕαρμοστεί στις συναρτήσεις μονώνυμα, t και t. Για h(t) =, ( ) m m B m (; t) = t k ( t) m k = (t + t) m =. k k=0 Για h(t) = t, έχουμε B m (t; t) = ( ) m k m k=0 t m k k ( t) m k = ( ) m m k= t k k ( t) m k = t ( ) m m j=0 t j j ( t) m j = t(t + t) m = t. Τέλος, για h(t) = t, έχουμε ( B m (t ; t) = B m (t t ) ) ; t + ( ( m m B m(t; t) = B m t t ) ) ; t + m m t. ( ( ) ) Υπολογίζουμε τώρα το B m t t m ; t. αλλά ( k k m m m k ( B m (t t ) ) ; t = m ) = = m k=0 ( k k m m m k ) t k ( t) m k k(k )m! m k!(m k)! = (m )! m(k )!(m k)! (m ) m (m )! ( (k )!(m k)! = m ) ( m k )

17 7 οπότε ( B m (t t ) ) ( ; t = m m ) t m j=0 ( m j ) t j ( t) m j = ( ) t. m Τελικά έχουμε ότι B m (t ; t) = ( ) t + m m t = t + t( t). m Αυτές οι τρεις συναρτήσεις ελέγχου είναι αρκετές για να αποδείξουμε το ζητούμενο για κάθε συνάρτηση h. Υποθέτουμε ότι h = M και ότι s, t [0, ], τότε προκύπτει εύκολα ότι M h(t) h(s) M. (.) Από την άλλη πλευρά, επειδή η h είναι ομοιόμορϕα συνεχής στο [0, ] έχουμε ότι, για κάθε ϵ > 0 υπάρχει δ(ϵ ) > 0 τέτοιο ώστε Από τις (.) και (.3) προκύπτει ότι ισχύει η ϵ h(t) h(s) ϵ, όταν t s < δ. (.3) ϵ M δ (t s) h(t) h(s) ϵ + M δ (t s) (.) για όλα τα s, t [0, ]. Πραγματικά αν t s < δ τότε η (.) ισχύει αϕού τα ϕράγματά της είναι εκείνα της (.3) διευρυμένα κατά τον όρο M δ (t s), ενώ αν t s δ τότε η (.) ισχύει αϕού τα ϕράγματα της είναι εκείνα της (.) διευρυμένα κατά παράγοντα (t s) δ και κατά τον όρο ϵ. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τη γραμμικότητα και τη θετικότητα του τελεστή B m, τον εϕαρμόζουμε στις ανισότητες (.) θεωρώντας τις συναρτήσεις ως προς τη μεταβλητή t ενώ το s το παίρνουμε σταθερό. Ετσι έχουμε B m ( ϵ M ) ( δ (t s) ; t B m (h(t) h(s); t) B m ϵ + M ) δ (t s) ; t ή ισοδύναμα Αλλά ϵ M δ B m((t s) ; t) B m (h(t); t) h(s) ϵ + M δ B m((t s) ; t). (.5) B m ((t s) ; t) = B m (t ; t) sb m (t; t) + s B m (; t) = t + m t( t) st + s = (t s) + t( t). m

18 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Λαμβάνοντας τώρα το όριο της παραπάνω σχέσης για t τείνοντος στο s έχουμε lim B m ((t s) ; t) = s( s) t s m m, αϕού s [0, ]. Θεωρώντας επίσης τα όρια σε όλα τα μέλη της (.5) για t τείνοντος στο s, παίρνουμε ϵ M δ m B m(h; s) h(s) ϵ + M δ m ή Τώρα αν επιλέξουμε ϵ = ϵ, τότε για κάθε m 0 > M δ ϵ B m (h; s) h(s) ϵ + M δ m. (.6) έχουμε το ζητούμενο B m (h; s) h(s) < ϵ, 0 s. (.7) Αποδείξαμε εδώ το Θεώρημα του Weierstrass θεωρώντας τα πολυώνυμα Bernstein. Θα μπορούσε να γίνει η απόδειξη χρησιμοποιώντας κάποια άλλη ακολουθία πολυωνύμων αρκεί να πληρούνται κάποιες προϋποθέσεις. Ο Korovkin έδωσε μια γενικότερη απόδειξη της πολυωνυμικής προσέγγισης. Δίνουμε εδώ το Θεώρημα Korovkin χωρίς απόδειξη αϕού αυτή βασίζεται στην ίδια τεχνική. Θεώρημα 5 (Korovkin) Εστω C[a, b] το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων στο διάστημα [a, b]. Θεωρούμε το σύνολο των συναρτήσεων T = {, x, x }, που καλείται σύνολο Korovkin. Εστω {Φ n } μια ακολουθία γραμμικών και θετικών τελεστών στο χώρο C[a, b]. Αν για κάθε g T, η Φ n (g) συγκλίνει ομοιόμορϕα στην g, τότε η {Φ n } αποτελεί μια διαδικασία προσέγγισης, δηλαδή Φ n (f) συγκλίνει ομοιόμορϕα στην f f C[a, b]. Το Θεώρημα Korovkin γενικεύεται και για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. δίνουμε εδώ στην πιο γενική του μορϕή. Το Θεώρημα 6 (Korovkin) Εστω K ένα συμπαγές σύνολο του IR d και έστω C(K) ο χώρος Banach των συνεχών συναρτήσεων (πραγματικών ή μιγαδικών) στο K, εϕοδιασμένος με τη νόρμα άπειρο. Θεωρούμε το σύνολο των συναρτήσεων T = {, x i, x, i =,..., d}, που καλείται σύνολο Korovkin. Εστω {Φ n } μια ακολουθία γραμμικών και θετικών τελεστών στο χώρο C(K). Αν για κάθε g T, η Φ n (g) συγκλίνει ομοιόμορϕα στην g, τότε η {Φ n } αποτελεί μια διαδικασία προσέγγισης, δηλαδή Φ n (f) συγκλίνει ομοιόμορϕα στην f f C(K).

19 .. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜ ΟΣ ΤΗΣ Β ΕΛΤΙΣΤΗΣ ΠΡΟΣ ΕΓΓΙΣΗΣ 9 Παρατηρούμε εδώ ότι όταν το συμπαγές σύνολο είναι διάστασης d, αρκούν d + συναρτήσεις στο σύνολο Korovkin T, εκ των οποίων η μια είναι δεύτερου βαθμού, που είναι απαραίτητη για να μας δώσει μια ανισότητα αντίστοιχη της (.) στην περίπτωση των τελεστών Bernstein. Ακόμη πρέπει να τονίσουμε ότι το Θεώρημα Korovkin μπορεί να επεκταθεί και για την περίπτωση προσέγγισης με άλλου είδους συναρτήσεις πέραν των πολυωνυμικών, αρκεί να επιλεγεί κατάλληλα το σύνολο ελέγχου T. Ενα τέτοιο παράδειγμα αποτελεί η προσέγγιση των περιοδικών συναρτήσεων με τριγωνομετρικά πολυώνυμα. Τα παραπάνω θεωρήματα δίνουν απάντηση στο πρόβλημα της ύπαρξης της πολυωνυμικής προσέγγισης. Δε μιλήσαμε καθόλου για το πόσο καλή είναι αυτή η προσέγγιση, δηλαδή για το σϕάλμα αποκοπής κατά την πολυωνυμική προσέγγιση με συγκεκριμένο το βαθμό του πολυωνύμου. Δε θα επιμείνουμε στο θέμα αυτό γιατί χρειάζεται αρκετή θεωρία, απλώς θα αναϕέρουμε ότι η σύγκλιση της πολυωνυμικής προσέγγισης εξαρτάται από τη συνάρτηση f και πιο συγκεκριμένα από το είδος της συνέχειας της f. Ορίζεται εδώ το Μέτρο Συνέχειας ω(δ), δ > 0 μιας συνάρτησης f ως ω(δ) = sup f(x ) f(x ). (.8) x,x [a,b], x x δ Οσο ταχύτερα συγκλίνει η συνάρτηση ω στο μηδέν του δ τείνοντος στο μηδέν, τόσο μικρότερο είναι το σϕάλμα της πολυωνυμικής προσέγγισης. Για τη συνάρτηση f(x) = x, για παράδειγμα, έχουμε ω(δ) = ενώ για τη συνάρτηση f(x) = x, ω(δ) = sup x x = δ, x,x [a,b], x x δ sup x x = sup x + x x x bδ. x,x [a,b], x x δ x,x [a,b], x x δ Πρέπει να τονίσουμε επίσης ότι τα πολυώνυμα Bernstein καθώς και τα πολυώνυμα που προκύπτουν από ακολουθίες τελεστών Korovkin, αποτελούν απλώς μια πολυωνυμική προσέγγιση και όχι τη βέλτιστη ομοιόμορϕη πολυωνυμική προσέγγιση. Στο εξής θα ασχοληθούμε με τη βέλτιστη ομοιόμορϕη πολυωνυμική προσέγγιση. Θα αποδείξουμε κάποιες ιδιότητες που τη χαρακτηρίζουν, ώστε να μπορέσουμε να καταλήξουμε σε αλγόριθμο εύρεσης αυτής.. Χαρακτηρισμός της βέλτιστης ομοιόμορϕης προσέγγισης Εστω p n η βέλτιστη ομοιόμορϕη προσέγγιση της f C[a, b], στο χώρο P n των πολυωνύμων το πολύ n βαθμού, τότε η συνάρτηση σϕάλμα δίνεται ως e(x) = f(x) p n(x),

20 0 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ με e(x) = E n (f; [a, b]). Στο Θεώρημα που ακολουθεί θα δώσουμε μια πρώτη ιδιότητα της βέλτιστης προσέγγισης. Θεώρημα 7 Υπάρχουν τουλάχιστο δυο διαϕορετικά σημεία x, x [a, b] τέτοια ώστε και e(x ) = e(x ). e(x ) = e(x ) = E n (f; [a, b]) Απόδειξη: Η καμπύλη y = e(x) θα βρίσκεται μεταξύ των ευθειών y = ±E n (f) και θα εϕάπτεται τουλάχιστον σε μια από αυτές. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι εϕάπτεται μόνο στην y = E n (f) και ότι min e(x) = m > E n(f). a x b Θεωρούμε c = En(f)+m > 0. Τότε για το πολυώνυμο q n = p n + c P n ισχύει ότι f(x) q n (x) = e(x) c και επομένως (E n (f) c) = m c e(x) c E n (f) c που σημαίνει ότι f q n E n (f) c. Αυτό όμως είναι άτοπο αϕού υποθέσαμε ότι p n είναι η βέλτιστη προσέγγιση. Πόρισμα Η βέλτιστη προσεγγιστική σταθερά (πολυώνυμο μηδενικού βαθμού) είναι p 0 = ( max f(x) + min f(x)) a x b a x b με E 0 (f) = ( max f(x) min f(x)). a x b a x b Θα δώσουμε τώρα έναν ορισμό για να μπορέσουμε στη συνέχεια να διατυπώσουμε το βασικό θεώρημα που χαρακτηρίζει τη βέλτιστη προσέγγιση. Ορισμός 3 Ενα σύνολο σημείων x 0, x,..., x k με a x 0 < x < < x k b λέγεται εναλλασσόμενο σύνολο σημείων για τη συνάρτηση σϕάλμα e = f p n, αν e(x j ) = f(x j ) p n(x j ) = f p n, j = 0,,..., k και f(x j ) p n(x j ) = (f(x j+ ) p n(x j+ )), j = 0,,..., k.

21 .. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜ ΟΣ ΤΗΣ Β ΕΛΤΙΣΤΗΣ ΠΡΟΣ ΕΓΓΙΣΗΣ Θεώρημα 8 Εστω f C[a, b]. Το πολυώνυμο p n είναι η βέλτιστη προσέγγιση στο διάστημα [a, b] της f, στο σύνολο πολυωνύμων P n αν και μόνο αν (ανν) υπάρχει εναλλασσόμενο σύνολο σημείων για τη συνάρτηση σϕάλμα e = f p n, αποτελούμενο από n + σημεία. Απόδειξη: ( ) Εστω ότι υπάρχει εναλλασσόμενο σύνολο σημείων x 0, x,..., x n+ για την e = f p n. Εστω επίσης ότι υπάρχει q n P n τέτοιο ώστε Τότε f q n < f p n. f(x j ) q n (x j ) < f p n = f(x j ) p n(x j ), j = 0,,..., n + και από τον ορισμό του εναλλασσομένου συνόλου προκύπτει ότι: Αν f(x j ) p n(x j ) = f p n > 0 f(x j ) p n(x j ) > f(x j ) q n (x j ) ή ενώ αν f(x j ) p n(x j ) (f(x j ) q n (x j )) = q n (x j ) p n(x j ) > 0, ή f(x j ) p n(x j ) = f p n < 0 f(x j ) p n(x j ) < f(x j ) q n (x j ) f(x j ) p n(x j ) (f(x j ) q n (x j )) = q n (x j ) p n(x j ) < 0. Αυτό σημαίνει ότι το πολυώνυμο q n p n εναλλάσσει συνεχώς πρόσημο καθώς το j μεταβάλλεται από το 0 στο n+. Δηλαδή υπάρχει ρίζα σε κάθε διάστημα (x j, x j+ ), j = 0,,..., n. Ετσι το πολυώνυμο q n p n P n έχει n + ρίζες, το οποίο είναι άτοπο. ( ) Εστω ότι p n είναι η βέλτιστη προσέγγιση της f, όπου η f δεν είναι πολυώνυμο n βαθμού. Εστω επίσης ότι το μέγιστο εναλλασσόμενο σύνολο σημείων αποτελείται από m + σημεία a x 0 < x < < x m b. Από το Θεώρημα 7 προκύπτει ότι m. Θα αποδείξουμε ότι m n +. Εστω ότι m n και ότι f p n = ρ. Θεωρούμε τη διαμέριση t 0, t, t,..., t s [a, b] τέτοια ώστε a = t 0 < t < t < < t s = b και η συνάρτηση e = f p n να πληροί την e(ξ) e(η) < ρ ξ, η [t j, t j+ ], j = 0,,..., s. Κάθε υποδιάστημα που περιέχει ακραίο θετικό σημείο t για τη συνάρτηση e (e(t) = ρ), το καλούμε (+) υποδιάστημα ενώ κάθε υποδιάστημα που περιέχει ακραίο αρνητικό σημείο t για τη συνάρτηση e (e(t) = ρ), το καλούμε ( ) υποδιάστημα. Γράϕουμε από

22 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ αριστερά προς τα δεξιά μόνο τα (±) υποδιαστήματα I, I,..., I N και έστω ότι είναι (+) το υποδιάστημα I. Χωρίζουμε στη συνέχεια το σύνολο I, I,..., I N σε υποσύνολα που θα περιέχουν τα διαδοχικά (+) ή ( ) υποδιαστήματα. Εστω ότι αυτά είναι: {I, I,..., I k } (+) υποδιαστήματα {I k +, I k +,..., I k } ( ) υποδιαστήματα. {I km +, I km +,..., I km+ } ( ) m υποδιαστήματα Κάθε υποσύνολο περιέχει τουλάχιστον ένα υποδιάστημα, ενώ m + n + από τις υποθέσεις που κάναμε. Είναι ϕανερό ότι τα υποδιαστήματα I kj και I kj + είναι ξένα μεταξύ των αϕού υπάρχει ολόκληρο διάστημα που τα χωρίζει. Αυτό συμβαίνει διότι e(x) > ρ, x I k j και e(x) < ρ, x I k j + αν I kj και I kj + είναι (+) και ( ) υποδιαστήματα, αντίστοιχα ή αντίστροϕα αν αυτά είναι ( ) και (+) υποδιαστήματα, αντίστοιχα. Θεωρούμε τώρα m σημεία z, z,..., z m τέτοια ώστε z j > x x I kj και z j < x x I kj +. Ορίζουμε στη συνέχεια το πολυώνυμο q P m : q(x) = (z x)(z x) (z m x). Παρατηρούμε ότι το q(x) έχει το ίδιο πρόσημο με τη συνάρτηση e(x) σε όλα τα υ- ποδιαστήματα I, I,..., I N. Πραγματικά, αν το x ανήκει στο πρώτο σύνολο υποδιαστημάτων {I, I,..., I k }, που είναι (+) υποδιαστήματα, το q(x) είναι θετικό αϕού z i > x, i =,,..., m, ενώ κάθε ϕορά που το x μεταβαίνει σε επόμενο υποσύνολο το πολυώνυμο q αλλάζει πρόσημο αϕού κάθε ϕορά και ένα από τα z i γίνεται μικρότερο του x. Ονομάζουμε με R την ένωση των υποδιαστημάτων που δεν είναι (±) υποδιαστήματα. Τότε, max e(x) = x R ρ < ρ. Υποθέτουμε ότι q = M και επιλέγουμε ένα λ > 0 τόσο μικρό ώστε λm < min{ρ ρ, ρ }... Θα αποδείξουμε τώρα ότι το πολυώνυμο p(x) = λq(x) + p n(x) P n προσέγγιση από το p n(x). Εστω ότι x R, τότε είναι καλύτερη f(x) p(x) = f(x) λq(x) p n(x) = e(x) λq(x) e(x) +λ q(x) ρ +λm < ρ. Αν το x ανήκει σε ένα από τα I j, j =,,..., N, e(x) και λq(x) έχουν το ίδιο πρόσημο και ισχύουν οι ανισότητες e(x) > ρ > λ q(x). Τότε, f(x) p(x) = f(x) λq(x) p n(x) = e(x) λq(x) = e(x) λ q(x) ρ λ q(x) < ρ.

23 .. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜ ΟΣ ΤΗΣ Β ΕΛΤΙΣΤΗΣ ΠΡΟΣ ΕΓΓΙΣΗΣ 3 Καταλήξαμε έτσι σε άτοπο οπότε ισχύει το ζητούμενο και ολοκληρώθηκε η απόδειξη του Θεωρήματος. Το θεώρημα αυτό δε μας λέει ότι το εναλλασσόμενο σύνολο σημείων είναι μοναδικό, που σημαίνει ότι μπορούν να υπάρχουν περισσότερα από n + εναλλασσόμενα σημεία. Αυτό ϕαίνεται καθαρά στο επόμενο παράδειγμα. Παράδειγμα 8 Να βρεθεί η βέλτιστη προσέγγιση της συνάρτησης sin(x) στο διάστημα [ π, π], στον P 6. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση sin(x) έχει ένα εναλλασσόμενο σύνολο σημείων στο διάστημα [ π, π] αποτελούμενο από 8 σημεία, τα { π + π, π + 3π, π + 5π, π π, π + 9π π 3π 5π, π +, π +, π + }. Αν θεωρήσουμε την ίδια συνάρτηση ως τη συνάρτηση σϕάλμα e(x), τότε το βέλτιστο πολυώνυμο μέχρι και έκτου βαθμού είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Εχουμε λοιπόν ως συμπέρασμα ότι p 0 = p = p = p 3 = p = p 5 = p 6 = 0. Από το Θεώρημα της Εισαγωγής έχουμε εξασϕαλίσει την ύπαρξη της βέλτιστης ο- μοιόμορϕης προσέγγισης, το Θεώρημα 3 όμως δε μας εξασϕαλίζει τη μοναδικότητα αυτής, αϕού η νόρμα άπειρο δεν είναι αυστηρά κυρτή νόρμα. Θα αποδείξουμε εδώ τη μοναδικότητα της βέλτιστης ομοιόμορϕης προσέγγισης, χρησιμοποιώντας τη χαρακτηριστική ιδιότητα που αποδείξαμε στο Θεώρημα 8. Θεώρημα 9 (Μοναδικότητα) Η βέλτιστη ομοιόμορϕη προσέγγιση p n της f C[a, b] στον P n είναι μοναδική. f p > f p n p P n, p p n Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι υπάρχει πολυώνυμο p P n τέτοιο ώστε f p = f p n = E n (f). Τότε, σύμϕωνα με το Θεώρημα, και ο κυρτός συνδυασμός q = p+p n θα είναι βέλτιστη προσέγγιση. Εστω ότι {x 0, x,..., x n+ } συνιστά ένα εναλλασσόμενο σύνολο σημείων για την f q τέτοιο ώστε f(x j ) q(x j ) = f(x j) p(x j ) + f(x j) p n(x j ) = ( ) l+j E n (f), j = 0,,..., n + όπου το l παίρνει τις τιμές 0 ή αν το σϕάλμα στο σημείο x 0 είναι θετικό ή αρνητικό, αντίστοιχα. Επειδή όμως f(x j ) p(x j ) E n(f), f(x j ) p n(x j ) E n(f)

24 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ συμπεραίνουμε ότι ή f(x j ) p(x j ) = f(x j ) p n(x j ) = ( ) l+j E n (f), j = 0,,..., n + p(x j ) = p n(x j ), j = 0,,..., n + που αποδεικνύει ότι p p n. Θα δώσουμε εδώ κάποια απλά παραδείγματα εύρεσης της βέλτιστης προσέγγισης. Παράδειγμα 9 Να βρεθεί η βέλτιστη προσέγγιση της συνάρτησης x στο διάστημα [, ], στον P. Αναζητούμε ένα πολυώνυμο το πολύ πρώτου βαθμού. Υποθέτουμε ότι αυτό θα είναι της μορϕής αx+β, οπότε η συνάρτηση σϕάλμα θα είναι e(x) = x αx β. Αναζητούμε λοιπόν τα 3 ακρότατα αυτής της συνάρτησης στο διάστημα [, ]. Επειδή αυτή είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (, ), βρίσκουμε τα εσωτερικά ακρότατα μηδενίζοντας την παράγωγο. Αυτή μας δίνει το σημείο α. Προϕανώς τα άλλα δυο ακρότατα θα είναι αναγκαστικά τα άκρα του διαστήματος και. Θα έχουμε λοιπόν, σύμϕωνα με το νόμο των εναλλασσόμενων σημείων, ότι e( ) = e( α ) = e() + α β = (α α β) = α β. Λύνοντας το σύστημα αυτό βρίσκουμε ότι α = 0 και β =. Εχουμε επομένως ότι p (x) = = p 0(x). Παράδειγμα 0 Να βρεθεί η βέλτιστη προσέγγιση της συνάρτησης x 3, x [, ], στον P. Εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα. Υποθέτουμε ότι p (x) = αx + β, οπότε η συνάρτηση σϕάλμα θα είναι e(x) = x 3 αx β. Παραγωγίζοντας και μηδενίζοντας την παράγωγο, βρίσκουμε δυο εσωτερικά ακρότατα τα ± α. 3 Προϕανώς το τρίτο ακρότατο θα είναι αναγκαστικά ένα από τα δυο άκρα του διαστήματος, το ή το. Θα έχουμε λοιπόν, σύμϕωνα με το νόμο των εναλλασσόμενων σημείων, ότι e( ) = e ( ) ( ) ( ) α α α α = e + α β = β = α α 3 3 β. ή ( ) ( ) α α e = e = e() α α 3 β = ( α 3 ) α 3 β = α β. Λύνοντας τα δυο παραπάνω συστήματα, βρίσκουμε την κοινή λύση α = 3 και β = 0. Εχουμε επομένως ότι p (x) = 3 x. Επειδή βρέθηκαν τελικά τέσσερα τα σημεία στο εναλλασσόμενο σύνολο, το πολυώνυμο που βρήκαμε θα είναι βέλτιστη προσέγγιση και στον P, θα έχουμε δηλαδή ότι p (x) = 3 x.

25 .. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜ ΟΣ ΤΗΣ Β ΕΛΤΙΣΤΗΣ ΠΡΟΣ ΕΓΓΙΣΗΣ 5 Παράδειγμα Να βρεθεί η βέλτιστη προσέγγιση της συνάρτησης x, x [, ], στον P. Υποθέτουμε ότι p (x) = αx + βx + γ, οπότε η συνάρτηση σϕάλμα θα είναι e(x) = x αx βx γ. Εδώ έχουμε το πρόβλημα ότι δεν ορίζεται η παράγωγος στο 0. Στην περίπτωση αυτή παραγωγίζουμε στα υποδιαστήματα (, 0) και (0, ), έτσι έχουμε και e(x) = x αx βx γ = αx (β + )x γ, e (x) = αx (β + ) = 0 x = β +, x (, 0) α e(x) = x αx βx γ = αx (β )x γ, e (x) = αx (β ) = 0 x = β, x (0, ). α Εχουμε βρεί λοιπόν δυο ακρότατα, ένα για κάθε υποδιάστημα. Τα υπόλοιπα δυο που μας χρειάζονται θα ληϕθούν από τα άκρα και ή από το 0 που δεν ορίζεται η παράγωγος. Εχουμε επομένως να επιλέξουμε μέσα από τρεις επιλογές τετράδων, τις {, β+ β β+ β β+, 0, ή {, 0,, } ή {,, β, }. Δοκιμάζοντας την α α} α α α α πρώτη επιλογή παίρνουμε e( ) = e( β + ) = e(0) = e( β α α ) (β + ) (β ) α + β + γ = + γ = γ = + γ α α Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε α =, β = 0 και γ =. Το εναλλασσόμενο σύνολο 8 θα είναι {,, 0, }. Εχουμε επομένως ότι p (x) = x + 8. Υπολογίζουμε στη συνέχεια τα σϕάλματα στο εναλλασσόμενο σύνολο: e( ) =, e( ) 8 =, e(0) =, e( ) =. Αν υπολογίσουμε το σϕάλμα της λύσης που βρήκαμε και στο σημείο, θα βρούμε e() = που σημαίνει ότι υπάρχει ένα εναλλασσόμενο σύνολο 8 αποτελούμενο από πέντε σημεία, δηλαδή η λύση που βρήκαμε θα είναι βέλτιστη προσέγγιση και στον P 3, θα έχουμε δηλαδή ότι p 3(x) = x +. Λόγω της μοναδικότητας, αϕού 8 βρήκαμε τη λύση, είναι ανώϕελο να εξετάσουμε τις άλλες δυο επιλογές. Προϕανώς η δεύτερη επιλογή θα μας δώσει την ίδια λύση ενώ η τρίτη δε θα μας δώσει λύση, αϕού αν εξαιρέσουμε το ενδιάμεσο σημείο 0 δε μπορεί τα υπόλοιπα σημεία να συνεχίζουν να αποτελούν εναλλασσόμενο σύνολο. Παρατηρούμε στα τρία παραπάνω παραδείγματα ότι εκεί όπου η συνάρτηση είναι άρτια, έδωσε βέλτιστο πολυώνυμο ένα άρτιο πολυώνυμο, ενώ εκεί όπου είναι περιττή, έδωσε

26 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ περιττό. Αυτό συμβαίνει επειδή το διάστημα [, ] των τριών παραδειγμάτων, είναι συμμετρικό ως προς το 0. Μπορεί να αποδειχτεί γενικά ότι οι άρτιες συναρτήσεις ορισμένες σε συμμετρικό ως προς το 0 διάστημα δίνουν άρτιο βέλτιστο πολυώνυμο, ενώ οι περιττές, περιττό. Η διαδικασία που ακολουθήθηκε στα παραδείγματα, δεν είναι εύκολο να ακολουθηθεί γενικά, για το λόγο ότι η συνάρτηση f μπορεί να είναι πολύπλοκη ή το n είναι σχετικά μεγάλο και είναι δύσκολο (ή αδύνατο) να προσδιορισθούν οι ρίζες της παραγώγου. Παρακάτω θα δούμε ότι υπάρχει αλγόριθμος προσδιορισμού του βέλτιστου πολυωνύμου, που βασίζεται στην προσέγγιση συναρτήσεων ορισμένων σε πεπερασμένο σύνολο σημείων. Πρώτα όμως θα μελετήσουμε το πρόβλημα της προσέγγισης πολυωνύμων με πολυώνυμα μικρότερου βαθμού.. Βέλτιστη ομοιόμορϕη προσέγγιση πολυωνύμων Πολυώνυμα Chebyshev Ορισμός Το πολυώνυμο Chebyshev βαθμού n ορίζεται ως T n (x) = cos(nθ), x = cos(θ). (.9) Το πολυώνυμο Chebyshev μπορεί να γραϕεί και ως Από την ιδιότητα των συνημιτόνων: T n (x) = cos(n arccos x). cos((n + )θ) + cos((n )θ) = cos(θ) cos(nθ), προκύπτει η αναδρομική σχέση των πολυωνύμων Chebyshev: T n+ (x) = xt n (x) T n (x). (.0) Από τη σχέση αυτή μπορούμε να υπολογίσουμε το T n (x) για οποιοδήποτε n, ξεκινώντας με T 0 (x) = και T (x) = x που είναι προϕανή από τη (.9). Δίνουμε εδώ τους τρεις επόμενους όρους: T (x) = xt (x) T 0 (x) = x T 3 (x) = xt (x) T (x) = x(x ) x = x 3 3x T (x) = xt 3 (x) T (x) = x(x 3 3x) (x ) = 8x 8x +. Αποδεικνύεται πολύ εύκολα με επαγωγή ότι ο συντελεστής του μεγιστοβαθμίου όρου του T n (x) είναι n, καθώς και ότι το T n (x) περιέχει μόνο τις άρτιες δυνάμεις του x αν ο n είναι άρτιος ή μόνο τις περιττές αν ο n είναι περιττός.

27 .. Β ΕΛΤΙΣΤΗ ΠΡΟΣ ΕΓΓΙΣΗ ΠΟΛΥΩΝ ΥΜΩΝ 7 Τα πολυώνυμα Chebyshev έχουν πολύ καλές ιδιότητες. Μια από αυτές είναι η ορθογωνιότητά τους ως προς τη συνάρτηση βάρους x, στο διάστημα [, ]. Η ιδιότητα αυτή δίνει ότι και ( x ) Tn (x)t m (x)dx = 0, m n (.) ( x ) [Tn (x)] dx = { π, n π, n = 0 (.) Την ιδιότητα αυτή θα τη δούμε να εϕαρμόζεται στην προσέγγιση ελάχιστων τετραγώνων στο επόμενο Κεϕάλαιο. Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε μια άλλη πολύ σημαντική ιδιότητα τη λεγόμενη minmax ιδιότητα. Αυτή διατυπώνεται ως εξής min max p Pn c x [,] x [,] p(x) = max c T n(x) n = c, (.3) n όπου Pn c είναι το σύνολο των πολυωνύμων n βαθμού με συντελεστή μεγιστοβαθμίου όρου c. Αυτό αποδεικνύεται εύκολα αϕού, από τον ορισμό του (.9), το πολυώνυμο T n (x) έχει n + ακρότατα στο διάστημα [, ], εκεί όπου το cos(nθ) παίρνει τιμές ±. Αυτά είναι τα σημεία ( ) jπ x j = cos, j = 0,,,..., n. n Εύκολα ϕαίνεται ότι T n (x j ) = ( ) j, επομένως τα x j αποτελούν ένα εναλλασσόμενο σύνολο από n + σημεία στο [, ]. Αν τώρα θεωρήσουμε τη βέλτιστη προσέγγιση p n P n του p Pn+ c στον P n, θα έχουμε ότι το σϕάλμα e(x) = p(x) p n(x) P n+ έχει ένα εναλλασσόμενο σύνολο αποτελούμενο από n + σημεία και τον ίδιο συντελεστή μεγιστοβαθμίου όρου με εκείνον του p, δηλαδή τον c. Επειδή η βέλτιστη προσέγγιση είναι μοναδική, το σϕάλμα e(x) δεν μπορεί να είναι άλλο παρά το c T n n+ (x), αϕού n είναι ο συντελεστής μεγιστοβαθμίου όρου του T n+ (x). Αυτό το πολυώνυμο, επειδή είναι σϕάλμα βέλτιστης προσέγγισης, θα πληροί και τη minmax ιδιότητα (.3), σύμϕωνα με τον ορισμό της βέλτιστης προσέγγισης. Από την παραπάνω ανάλυση προκύπτει συγχρόνως και ο αλγόριθμος της εύρεσης της βέλτιστης προσέγγισης ενός πολυωνύμου n + βαθμού, στον P n, αρκεί να αϕαιρέσουμε το c T n n+ (x). Θα δώσουμε εδώ κάποια παραδείγματα. Παράδειγμα Να βρεθεί η βέλτιστη προσέγγιση της συνάρτησης x n+ στον P n, στο διάστημα [, ]. Σύμϕωνα με την παραπάνω ανάλυση, αυτή θα είναι p n(x) = x n+ n T n+(x).

28 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Για n = αυτή γίνεται p (x) = x 3 T 3(x) = x 3 (x3 3x) = 3 x. Παρατηρούμε εδώ ότι αυτή είναι βέλτιστη προσέγγιση και στον P. Γενικά η βέλτιστη προσέγγιση του x n+ θα είναι η ίδια και στον P n αϕού το T n+ (x) έχει μόνο άρτιες ή περιττές δυνάμεις του x. Προϕανώς εδώ βρήκαμε την ίδια ακριβώς λύση με εκείνη του Παραδείγματος 0, αϕού λύσαμε το ίδιο πρόβλημα με διαϕορετικό όμως τρόπο. Για n = 3 έχουμε p 3(x) = x 3 T (x) = x 8 (8x 8x + ) = x 8. Επειδή η παραπάνω ανάλυση ισχύει μόνο για το διάστημα [, ], για να αντιμετωπίσουμε προβλήματα που ορίζονται στο γενικότερο διάστημα [a, b], χρησιμοποιούμε και εδώ το γραμμικό μετασχηματισμό x = b a t + b + a που απεικονίζει το διάστημα [, ] στο [a, b]. Βρίσκουμε έτσι τη συνάρτηση g(t) = f ( b a t + b + a ), t [, ]. Στη συνέχεια, προσδιορίζουμε τη βέλτιστη προσέγγιση της g με τον παραπάνω αλγόριθμο και επιστρέϕουμε στο διάστημα [a, b], με τον αντίστροϕο μετασχηματισμό t = b a x b + a b a. Παράδειγμα 3 Να βρεθεί η βέλτιστη προσέγγιση της συνάρτησης x 3 στον P, στο διάστημα [, ]. Ο γραμμικός μετασχηματισμός που μας πάει στο [, ] είναι x = t, οπότε g(t) = f(t) = (t) 3 = 8t 3. Σύμϕωνα με την παραπάνω ανάλυση, η βέλτιστη προσέγγιση θα είναι q (t) = 8t 3 8 T 3(x) = 8t 3 (t 3 3t) = 6t. Επανερχόμαστε στο διάστημα [, ] με τον αντίστροϕο μετασχηματισμό t = x, οπότε p (x) = q ( x ) = 6x = 3x.

29 .3. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΟ Σ ΥΝΟΛΟ ΣΗΜΕ ΙΩΝ 9.3 Ομοιόμορϕη προσέγγιση σε πεπερασμένο σύνολο σημείων Εστω ότι X m είναι ένα σύνολο διακριτών σημείων x < x < < x m στο διάστημα [a, b] και f(x i ), i =,,..., m είναι οι τιμές της συνάρτησης f που ορίζεται στο X m. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι η εύρεση της βέλτιστης ομοιόμορϕης προσέγγισης της f στο σύνολο πολυωνύμων P n που ορίζεται στο X m. Αν m n +, τότε υπάρχει p P n τέτοιο ώστε p(x i ) = f(x i ), i =,,..., m που είναι το πολυώνυμο παρεμβολής της f, για οποιαδήποτε f ορισμένη στο X m. Τότε το πολυώνυμο p είναι και η βέλτιστη προσέγγιση της f στον P n. Για να μελετήσουμε το γενικότερο πρόβλημα της βέλτιστης ομοιόμορϕης προσέγγισης υποθέτουμε ότι m n +. Η βέλτιστη ομοιόμορϕη προσέγγιση της f, ορισμένης στο X m, στον P n, χαρακτηρίζεται ακριβώς όπως και στη συνεχή περίπτωση. Ο χαρακτηρισμός αυτός δίνεται από το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα 0 Εστω f μια συνάρτηση ορισμένη στο X m. Το πολυώνυμο p n είναι η βέλτιστη προσέγγιση της f στο σύνολο πολυωνύμων P n ανν υπάρχει εναλλασσόμενο σύνολο σημείων για τη συνάρτηση σϕάλμα e = f p n, που ορίζεται στο X m, αποτελούμενο από n + σημεία του X m. Απόδειξη: Η απόδειξη είναι βήμα προς βήμα ανάλογη με εκείνη του Θεωρήματος 8 που αναϕέρεται σε συνεχείς συναρτήσεις. Θα τη δώσουμε όμως για να ϕανούν κάποιες λεπτές διαϕορές. ( ) Εστω ότι υπάρχει εναλλασσόμενο σύνολο σημείων {y, y,..., y n+ } X m για την e = f p n. Εστω επίσης ότι το p n δεν είναι βέλτιστη προσέγγιση, άρα υπάρχει q n P n τέτοιο ώστε f q n < f p n. Τότε f(y j ) q n (y j ) < f p n = f(y j ) p n(y j ), j =,,..., n + και από τον ορισμό του εναλλασσομένου συνόλου προκύπτει ότι: Αν f(y j ) p n(y j ) = f p n > 0 f(y j ) p n(y j ) > f(y j ) q n (y j ) ή f(y j ) p n(y j ) (f(y j ) q n (y j )) = q n (y j ) p n(y j ) > 0,

30 30 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ενώ αν f(y j ) p n(y j ) = f p n < 0 f(y j ) p n(y j ) < f(y j ) q n (y j ) ή f(y j ) p n(y j ) (f(y j ) q n (y j )) = q n (y j ) p n(y j ) < 0. Αυτό σημαίνει ότι το πολυώνυμο q n p n εναλλάσσει συνεχώς πρόσημο καθώς το j μεταβάλλεται από το στο n +. Δηλαδή, αν επεκτείνουμε τα πολυώνυμα q n και p n σε ολόκληρο το διάστημα [a, b], υπάρχει ρίζα σε κάθε διάστημα (y j, y j+ ), j =,,..., n+. Ετσι το πολυώνυμο q n p n P n έχει n + ρίζες, το οποίο είναι άτοπο. ( ) Εστω ότι p n είναι η βέλτιστη προσέγγιση της f, όπου η f δεν είναι πολυώνυμο n βαθμού. Εστω επίσης ότι το μέγιστο εναλλασσόμενο σύνολο σημείων αποτελείται από m + σημεία y < y < < y m+. Είναι ϕανερό ότι και στη διακριτή περίπτωση ισχύει το Θεώρημα 7, οπότε m. Θα αποδείξουμε ότι m n +. Εστω ότι m n και ότι f p n = ρ. Θεωρούμε ότι τα N σημεία u < u < < u N του X m, με N m +, δίνουν το μέγιστο σϕάλμα e(u j ) = ρ, j =,,..., N. Ονομάζουμε (+) σημεία εκείνα για τα οποία η συνάρτηση e παίρνει θετική τιμή ρ και ( ) σημεία εκείνα για τα οποία η συνάρτηση e παίρνει αρνητική τιμή ρ. Χωρίζουμε στη συνέχεια το σύνολο {u, u,..., u N } σε υποσύνολα που θα περιέχουν τα διαδοχικά (+) ή ( ) σημεία. Εστω ότι αυτά είναι: {u, u,..., u k } (+) υποσύνολο {u k +, u k +,..., u k } ( ) υποσύνολο {u km +, u km +,..., u km+ } ( ) m υποσύνολο Κάθε υποσύνολο περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο, ενώ m + n + από τις υποθέσεις που κάναμε. Θεωρούμε τώρα m σημεία z, z,..., z m τέτοια ώστε z j > u kj και z j < u kj +. Ορίζουμε στη συνέχεια το πολυώνυμο q P m : q(x) = (z x)(z x) (z m x). Παρατηρούμε ότι το q(x) έχει το ίδιο πρόσημο με τη συνάρτηση e(x) σε όλα τα σημεία u, u,..., u N. Πραγματικά, αν το x ανήκει στο πρώτο υποσύνολο {u, u,..., u k }, που είναι (+) υποσύνολο, το q(x) είναι θετικό αϕού z i > x, i =,,..., m, ενώ κάθε ϕορά που το x μεταβαίνει σε επόμενο υποσύνολο το πολυώνυμο q αλλάζει πρόσημο αϕού κάθε...

31 .3. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΟ Σ ΥΝΟΛΟ ΣΗΜΕ ΙΩΝ 3 ϕορά και ένα από τα z i γίνεται μικρότερο του x. Ονομάζουμε με U N το σύνολο των (±) σημείων και με R το σύνολο των σημείων που δεν είναι (±) σημεία (R = X m \U N ). Τότε, max x R e(x) = ρ < ρ. Υποθέτουμε ότι q = M και επιλέγουμε ένα λ > 0 τόσο μικρό ώστε λm < ρ ρ. Θα αποδείξουμε τώρα ότι το πολυώνυμο p(x) = λq(x) + p n(x) P n προσέγγιση από το p n(x). Εστω ότι x R, τότε είναι καλύτερη f(x) p(x) = f(x) λq(x) p n(x) = e(x) λq(x) e(x) +λ q(x) ρ +λm < ρ. Αν το x ανήκει στο U N, τότε e(x) και λq(x) έχουν το ίδιο πρόσημο με e(x) > λ q(x). Τότε, f(x) p(x) = f(x) λq(x) p n(x) = e(x) λq(x) = e(x) λ q(x) ρ λ q(x) < ρ. Καταλήξαμε έτσι σε άτοπο οπότε ισχύει το ζητούμενο και ολοκληρώθηκε η απόδειξη του Θεωρήματος. Και στην περίπτωση αυτή ισχύει η παρατήρηση ότι το εναλλασσόμενο σύνολο σημείων δεν είναι μοναδικό, που σημαίνει ότι μπορούν να υπάρχουν περισσότερα από n + εναλλασσόμενα σημεία. Απομένει να δώσουμε το θεώρημα της μοναδικότητας αϕού η ύπαρξη εξασϕαλίζεται από το Θεώρημα της Εισαγωγής. Θα το δώσουμε απλώς χωρίς απόδειξη, επειδή η απόδειξη είναι ίδια βήμα προς βήμα με εκείνη του Θεωρήματος 9. Θεώρημα (Μοναδικότητα) Η βέλτιστη ομοιόμορϕη προσέγγιση p n της f, ορισμένης στο X m, στον P n είναι μοναδική. f p > f p n p P n, p p n. Θα αποδείξουμε τώρα ότι η βέλτιστη ομοιόμορϕη προσέγγιση της f που ορίζεται στο διάστημα [a, b] ή στο σύνολο σημείων X m, στον P n μπορεί να αναχθεί τελικά σε αντίστοιχο πρόβλημα πάνω σε κάποιο σύνολο σημείων X n+. Θεώρημα Αν p n είναι η βέλτιστη ομοιόμορϕη προσέγγιση της f C[a, b], στον P n, τότε υπάρχει X n+ [a, b] τέτοιο ώστε: E n (f; [a, b]) = E n (f; Xn+) = max f(x) p n(x) < max f(x) p(x) (.) x Xn+ x Xn+

32 3 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ για κάθε p P n, p p n. Επιπλέον, για κάθε X n+ [a, b], ισχύει ότι E n (f; X n+ ) = min p Pn max x Xn+ f(x) p(x) = max x Xn+ f(x) p n(x n+ ; x) E n (f; [a, b]) = E n (f; Xn+), (.5) όπου η ισότητα είναι δυνατή μόνο αν p n(x n+ ) = p n. Απόδειξη: Η πρώτη σχέση (.) είναι προϕανής αν θεωρήσουμε το Xn+ ως το εναλλασσόμενο σύνολο σημείων. Για την απόδειξη της δεύτερης (.5), θεωρούμε ότι p n(x n+ ) p n. Τότε από τη μοναδικότητα έχουμε ότι E n (f; X n+ ) = f p n(x n+ ) < f p n = E n (f; [a, b]) = E n (f; X n+), αϕού το p n είναι διαϕορετικό από το βέλτιστο πολυώνυμο p n(x n+ ) στο σύνολο X n+. Αν p n(x n+ ) = p n, τότε προϕανώς έχουμε ισότητα, που σημαίνει ότι και το X n+ αποτελεί εναλλασσόμενο σύνολο σημείων. Αν αντικαταστήσουμε με X m το [a, b] έχουμε το αντίστοιχο θεώρημα, η απόδειξη του οποίου είναι ακριβώς ίδια. Θεώρημα 3 Αν p n είναι η βέλτιστη ομοιόμορϕη προσέγγιση της f, ορισμένης στο X m, στον P n, τότε υπάρχει X n+ X m τέτοιο ώστε: E n (f; X m ) = E n (f; Xn+) = max f(x) p n(x m ; x) < max f(x) p(x) (.6) x Xn+ x Xn+ για κάθε p P n, p p n. Επιπλέον, για κάθε X n+ X m, ισχύει ότι E n (f; X n+ ) E n (f; X m ) = E n (f; X n+), (.7) όπου η ισότητα είναι δυνατή μόνο αν p n(x n+ ) = p n. Τα παραπάνω θεωρήματα μας δίνουν τη δυνατότητα να αναζητούμε για τη βέλτιστη ομοιόμορϕη προσέγγιση, σε σύνολα σημείων αποτελούμενα από n + σημεία. Αν έχουμε το πρόβλημα στο διάστημα [a, b], τότε υπάρχουν άπειρα τέτοια σύνολα. ( Αν ) όμως εργαζόμαστε στο X m, ο συνολικός αριθμός των συνόλων αυτών είναι. Τότε το m n + πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση του i=,,..., max ( m n + ) E n (f; X m,i ) = E n (f; X m,i ), (.8) όπου με X m,i έχουμε συμβολίσει το i στη σειρά σύνολο αποτελούμενο από n + σημεία. Τότε, p n(x m ) = p n(x m,i ). Αυτό όμως απαιτεί το να μπορούμε να βρούμε το σϕάλμα E n (f; X n+ ) και το πολυώνυμο p n(x n+ ), δοθέντος του συνόλου X n+ αποτελούμενο από n + σημεία.

33 .3. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΟ Σ ΥΝΟΛΟ ΣΗΜΕ ΙΩΝ Εύρεση ομοιόμορϕης προσέγγισης στο σύνολο X n+ Θεωρούμε το πολυώνυμο παρεμβολής p P n+ της f στα σημεία x i, i =,,..., n + του συνόλου X n+ p(x i ) = f(x i ), i =,,..., n +. Το p είναι μοναδικό και δίνεται από τον τύπο του Lagrange p(x) = n+ Είναι εύκολο να δούμε ότι αν θέσουμε το πολυώνυμο παρεμβολής γράϕεται n+ i= j=,j i ω(x) = p(x) = n+ i= n+ i= x x j x i x j f(x i ). (x x i ), ω(x) x x i f(x i ) ω (x i ). Από τη σχέση αυτή ϕαίνεται καθαρά ότι ο συντελεστής του μεγιστοβαθμίου όρου του p είναι ο n+ f(x i ) i=. Αν αυτός είναι μηδέν, τότε θα έχουμε ότι p P ω (x i ) n, που θα αποτελεί και τη βέλτιστη ομοιόμορϕη προσέγγιση, δηλαδή p (X n+ ) = p με σϕάλμα E n (f; X n+ ) = 0. Υποθέτουμε εδώ ότι p / P n. Θεωρούμε στη συνέχεια το πολυώνυμο l n+ P n+ τέτοιο ώστε l n+ (x i ) = ( ) i, i =,,..., n +. Ως πολυώνυμο παρεμβολής στο σύνολο σημείων X n+, αυτό θα είναι μοναδικό και θα δίνεται από τον τύπο παρεμβολής του Lagrange ως εξής: Από τη σχέση l n+ (x) = n+ i= ω(x) x x i ( ) i ω (x i ). ω (x i ) = n+ j=,j i i (x i x j ) = (x i x j ) j= n+ j=i+ (x j x i ) ( ) n+ i, προκύπτει ότι ( ) ( ) sign(ω (x i )) = sign(( ) n i i ) ή sign = sign(( ) n ). ω (x i ) Αυτό σημαίνει ότι οι όροι του αθροίσματος n+ ( ) i i= ω (x i, που αποτελεί το συντελεστή του ) μεγιστοβαθμίου όρου του πολυωνύμου l n+, δεν αλλάζουν πρόσημο και επομένως n+ i= ( ) i ω (x i ) 0.

34 3 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Θεωρούμε τώρα το πολυώνυμο q = p λl n+, όπου p, l n+ τα προαναϕερθέντα πολυώνυμα παρεμβολής και λ = n+ f(x i ) i= ω (x i ) n+ ( ) i i= ω (x i ). Τότε όμως q P n επειδή p και λl n+ έχουν τον ίδιο μεγιστοβάθμιο όρο. Επίσης έχουμε ότι e(x i ) = f(x i ) (p(x i ) λl n+ (x i )) = λl n+ (x i ) = λ( ) i, i =,,..., n +, που σημαίνει ότι τα σημεία x, x,..., x n+ αποτελούν ένα εναλλασσόμενο σύνολο σημείων για την e(x), επομένως το πολυώνυμο q είναι η βέλτιστη ομοιόμορϕη προσέγγιση της f στο X n+, q = p (X n+ ). Επίσης προκύπτει ότι E n (f; X n+ ) = λ. Θεωρώντας τώρα ότι έχουμε το σύνολο X m, m > n+, παίρνουμε όλα τα υποσύνολα αποτελούμενα από n + σημεία και υπολογίζουμε όλα τα λ. Τότε το p (X m ) = p (X n+) αντιστοιχεί στο σύνολο σημείων X n+ που αντιστοιχεί στο μέγιστο λ, σύμϕωνα με το Θεώρημα 3. Θα δούμε καλύτερα τη διαδικασία υπολογισμού του βέλτιστου πολυωνύμου, δια μέσου του επόμενου παραδείγματος: Παράδειγμα Δίνεται το σύνολο σημείων X 5 = {,, 0,, } και θέλουμε να βρούμε τη βέλτιστη προσέγγιση δευτέρου βαθμού για τη συνάρτηση f(x) = x. Ο πίνακας τιμών της συνάρτησης είναι x i 0 f i 0. Πρέπει να βρούμε όλα τα δυνατά υποσύνολα σημείων αποτελούμενα από n + = σημεία και να ακολουθήσουμε τη διαδικασία που περιγράψαμε. ) X 5, = {,, 0, }: ω (x ) = ω ( ) = ( + )( 0)( ) = ( )( )( 3) = 3 ω (x ) = ω ( ) = ( + )( 0)( ) = ( )( ) = ω (x 3 ) = ω (0) = (0 + )(0 + )(0 ) = ( ) = ω (x ) = ω ( ) = ( + )( + )( 0) = 3 = 3 λ () = i= f(x i ) ω (x i ) i= ( ) i ω (x i ) = = = 8.

35 .3. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΟ Σ ΥΝΟΛΟ ΣΗΜΕ ΙΩΝ 35 ) X 5, = {,, 0, }: ω ( ) = ( + )( )( ) = ω (0) = ( ) = ω ( ) = ( + )( )( ) = 3 8 ω () = ( + )( + )() = 3 λ () = 3) X 5,3 = {,,, }: i= f(x i ) ω (x i ) i= ( ) i ω (x i ) = = 3 6 = 9. ω ( ) = ( + )( )( ) = 3 ω ( ) = ( + )( + )( ) = 3 ω ( ) = ( + )( )( ) = 3 ω () = ( + )( + )( ) = 3 λ (3) = ) X 5, = {, 0,, }: i= f(x i ) ω (x i ) i= ( ) i ω (x i ) = = 0 = 0. ω ( ) = ( )( )( ) = 3 ω ( ) = ( + ) ( ) = 3 8 ω (0) = ( )( ) = ω () = ( + )( ) = λ () = 5) X 5,5 = {, 0,, }: i= f(x i ) ω (x i ) i= ( ) i ω (x i ) = = 3 6 = 9. ω ( ) = ( )( ) = 3 ω ( ) = ( + ) ( ) = ω (0) = ( )( ) = ω () = ( + )( ) = 3 λ (5) = i= f(x i ) ω (x i ) i= ( ) i ω (x i ) = = = 8. Παρατηρούμε ότι λ max = λ () = λ (5) =, επομένως η βέλτιστη προσέγγιση 8 δίνεται από δυο σύνολα σημείων το X 5, = {,, 0, } και το X 5,5 = {, 0,, }. Προϕανώς, λόγω της μοναδικότητας, και τα δυο αυτά σύνολα θα δώσουν το ίδιο βέλτιστο πολυώνυμο. Για να το επιβεβαιώσουμε θα το υπολογίσουμε, σύμϕωνα με τη θεωρία που αναπτύχθηκε, χρησιμοποιώντας και τα δυο σύνολα. p (X 5 ; x) = p (X 5, ; x) = p 3 (x) λ () l 3 (x) = ω(x) f(x i ) i= x x i ω (x i ) λ() ω(x) i= x x i = (x + )x(x ) + (x + )x(x ) 3 + (x + )(x + )x 3 ( (x + )x(x ) 8 ) 3 + (x + )(x + )x 3 = x (x + )x(x ) ( ) i ω (x i ) + (x + )(x + )(x )

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t)

f(x) = lim f n (t) = d(t, x n ) d(t, x) = f(t) Κεφάλαιο 7 Ακολουθίες και σειρές συναρτήσεων 7.1 Ακολουθίες συναρτήσεων: κατά σημείο σύγκλιση Ορισμός 7.1.1. Εστω X σύνολο, (Y, ρ) μετρικός χώρος και f n, f : X Y (n = 1, 2,...). Λέμε ότι η ακολουθία συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αρμονική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Αρμονική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα 1 Το ολοκλήρωμα Lebesgue. 1 1.1 Σύνολα μηδενικού μέτρου..................................... 1 1.2 Η συλλογή C

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 2 Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΔΩΔΕΚΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Έστω συνάρτηση f ορισμένη σε διάστημα I. Λέμε ότι η F είναι αντιπαράγωγος της f στο I αν ισχύει F = f στο I. ΠΡΟΤΑΣΗ. Αν η F είναι αντιπαράγωγος της f στο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Β ΜΕΡΟΣ ΤΕΙ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Περιληπτικές Σημειώσεις-Ασκήσεις Β ΜΕΡΟΣ ΦΩΤΟΥΛΑ ΑΡΓΥΡΟΠΟΥΛΟΥ KAΘ. ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΔΕΟ Msc. Θεωρητικά Μαθηματικά ΚΑΛΑΜΑΤΑ 2016 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 5-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα μιλήσουμε για την έννοια της περιοχής, η οποία έχει κεντρικό ρόλο στη μελέτη της έννοιας του ορίου (ακολουθίας και συνάρτησης). Αν > 0, ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 68 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστες προσεγγίσεις σε χώρους

Βέλτιστες προσεγγίσεις σε χώρους Κεφάλαιο 1 Βέλτιστες προσεγγίσεις σε χώρους με νόρμα. Στο κεφάλαιο αυτό ακολουθούμε κυρίως τις σημειώσεις παραδόσεων του Γ. Δ. Ακρίβη, βλ. [1] στη βιβλιογραφία. 1.1 Βέλτιστες προσεγγίσεις - Υπαρξη. Ορισμος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2015 1 / 63 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα,

,, δηλαδή στο σημείο αυτό παρουσιάζει τη μέγιστη τιμή της αν α < 0 2α 4α και την ελάχιστη τιμή της αν α > 0. β Στο διάστημα, Γενικής Παιδείας 1.4 Εφαρμογές των παραγώγων Το κριτήριο της πρώτης παραγώγου Στην Άλγεβρα της Α Λυκείου μελετήσαμε τη συνάρτηση f(x) = αx + βx + γ, α 0 και είδαμε ότι η γραφική της παράσταση είναι μία

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass

Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Το Θεώρημα Stone - Weierstrass Θεώρημα 1 Έστω ¹ X συμπαγής χώρος Hausdorff και έστω C R (X η πραγματική άλγεβρα όλων των συνεχών συναρτήσεων f : X R. Έστω ότι ένα υποσύνολο A C R (X (1 το A είναι υπάλγεβρα

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής.

Πρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I ɛ > 0, δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ f(x) ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής ɛ > 0, δ > 0 : x, ξ I, x ξ < δ f(x) f(ξ) ɛ f(x) συνεχής στο [a, b] f(x) ομοιόμορφα συνεχής

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, 6-12-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα δούμε την απόδειξη του Θεωρήματος που διατυπώσαμε στο τέλος του προηγούμενου μαθήματος. Απόδειξη. [α] Θεωρούμε συνάρτηση f : A R και

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

6. Αριθμητική Ολοκλήρωση

6. Αριθμητική Ολοκλήρωση 6. Αριθμητική Ολοκλήρωση Ασκήσεις 6.1 Έστω f : [; b]! R μια συνάρτηση, της οποίας το ολοκλήρωμα του Riemnn στο διάστημα [; b] υπάρχει. Αν Qn T είναι ο σύνθετος τύπος ολοκλήρωσης του τραπεζίου με n ομοιόμορφα

Διαβάστε περισσότερα

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών

1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα Μιχάλης Παπαδημητράκης Αναλυτική χωρητικότητα Συνεχής αναλυτική χωρητικότητα 1 Παράγωγος στο. Ας θυμηθούμε ότι μια μιγαδική συνάρτηση f ορισμένη σε ένα υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου λέμε ότι είναι

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 1: Νόρμες Διανυσμάτων και Πινάκων Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. 14 εκεµβρίου Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6. Παρεµβολή 14 εκεµβρίου / 28

Αριθµητική Ανάλυση. 14 εκεµβρίου Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6. Παρεµβολή 14 εκεµβρίου / 28 Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 6 Παρεµβολή 14 εκεµβρίου 2016 Αριθµητική ΑνάλυσηΚεφάλαιο 6 Παρεµβολή 14 εκεµβρίου 2016 1 / 28 Τα πολυώνυµα Chebyshev Αν η f (n+1) (x) είναι συνεχής, τότε υπάρχει ένας αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = και στην συνέχεια

f(x) = και στην συνέχεια ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικές Εξισώσεις.

Διαφορικές Εξισώσεις. Διαφορικές Εξισώσεις. Εαρινό εξάμηνο 05-6. Λύσεις δεύτερου φυλλαδίου ασκήσεων.. Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης Bernoulli x y = xy + y 3 καθορίζοντας προσεκτικά το διάστημα στο οποίο ορίζεται καθεμιά

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 2. Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ Μ. Παπαδημητράκης. 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΠΕΜΠΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Ας θυμηθούμε από την περασμένη φορά ότι ένα σύνολο M σε έναν μετρικό χώρο (X, d είναι συμπαγές όταν: αν έχουμε οποιαδήποτε ανοικτά σύνολα που καλύπτουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο

Διαβάστε περισσότερα

n = r J n,r J n,s = J

n = r J n,r J n,s = J Ανάλυση Fourer και Ολοκλήρωμα Lebesgue (2011 12) 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων Υποδείξεις 1. Εστω E [a, b] με µ (E) = 0. Δείξτε ότι το [a, b] \ E είναι πυκνό υποσύνολο του [a, b]. Υπόδειξη. Θεωρήστε ένα μη κενό

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΕΙΚΟΣΤΟ ΕΝΑΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 12-12-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Ας δούμε ένα παράδειγμα υπολογισμού ορίου με χρήση της συνέχειας της σύνθεσης συνεχών συναρτήσεων. Παράδειγμα. Θέλουμε να υπολογίσουμε το όριο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις μερικών ασκήσεων του τρίτου φυλλαδίου.

Λύσεις μερικών ασκήσεων του τρίτου φυλλαδίου. Λύσεις μερικών ασκήσεων του τρίτου φυλλαδίου.. Έστω 0 < a

Διαβάστε περισσότερα

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:

τριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ

Διαβάστε περισσότερα

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου

Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Aριθμητική Ανάλυση, 4 ο Εξάμηνο Θ. Σ. Παπαθεοδώρου Άνοιξη 2002 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Τι σημαίνει f ; f 2 ; f 1 ; Να υπολογισθούν αυτές οι ποσότητες για f(x)=(x-α) 3 (β-x) 3, α

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. f (x) =, x 0, (1), x. lim f (x) = lim = +. x ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 2.9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ-ΚΑΝΟΝΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

ΘΕΜΑ Α. Α1. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 262 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο. ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία -απόδειξη θεωρήματος στη σελίδα 6 (μόνο το iii) στο σχολικό βιβλίο.

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης

Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ολοκλήρωμα πραγματικής συνάρτησης Σύνοψη Το κεφάλαιο αυτό αποτελεί το «πέρασμα» από το Διαφορικό στον Ολοκληρωτικό Λογισμό Η θεμελιώδης έννοια, για το σκοπό αυτό, είναι η αντιπαράγωγος ή αόριστο

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R

f x x, ν Ν-{0,1} είναι παραγωγίσιμη στο R ΟΕΦΕ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Α Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση ν ν και ισχύει f ν f, νν-{,} είναι παραγωγίσιμη στο R

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΕΤΑΡΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 15-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Παράδειγμα. Ως εφαρμογή της Αρχιμήδειας Ιδιότητας θα μελετήσουμε το σύνολο { 1 } A = n N = {1, 1 n 2, 1 } 3,.... Κατ αρχάς το σύνολο A έχει προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.

ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης. ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΔΕΥΤΕΡΟ ΜΑΘΗΜΑ, 10-10-13 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τώρα θα δούμε την συμμετρική ιδιότητα της Ιδιότητας Supremum. Η ΙΔΙΟΤΗΤΑ INFIMUM. Κάθε μη-κενό και κάτω φραγμένο σύνολο έχει μέγιστο κάτω φράγμα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x = ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων

Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Π Κ Τ Μ Ε Μ Λύσεις των ασκήσεων Πρ. Η f : [0, ] R είναι συνεχής στο [0, ]. Χρησιμοποιώντας το Θεώρημα Bolzao- Weierstraß δείξτε ότι η f είναι φραγμένη στο [0, ]. Μην επικαλεστείτε κάποιο άλλο θεώρημα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός

Κεφάλαιο 11. Πολυώνυμα Taylor Ορισμός Κεφάλαιο Πολυώνυμα Taylor Στο κεφάλαιο αυτό θα κάνουμε μια σύντομη εισαγωγή στα πολυώνυμα Taylor. Τα πολυώνυμα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως προσεγγίσεις μιας συνάρτησης γύρω από ένα σημείο, και έχουν

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες πραγματικών αριθμών

Ακολουθίες πραγματικών αριθμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ακολουθίες πραγματικών αριθμών Όταν διαδοχικές τιµές που παίρνει µία μεταβλητή προσεγγίζουν απεριόριστα µία συγκεκριµένη τιµή έτσι ώστε τελικά να διαφέρουν από αυτήν λιγότερο από όσο επιθυµεί

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει.

Όταν η s n δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Όταν η s δεν συγκλίνει λέμε ότι η σειρά αποκλίνει. Παρατήρηση: Το αντίστροφο του προηγουμένου θεωρήματος δεν ισχύει. Παράδειγμα η σειρά με νιοστό όρο α = +-. Τότε lim α =0. Όμως s =α +α + +α = - + 3- +...+

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα

Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κεφάλαιο Τριγωνομετρικά πολυώνυμα Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Zygmund, Katznelson 4 και Stein and Shakarchi.. Μερικά βασικά περί μιγαδικών αριθμών Υποθέτουμε ως γνωστές

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ

ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ [] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Ας είναι ux (, ) = x+ cos( π ) και vx (, ) = cos( π x) το πραγματικό και το φανταστικό μέρος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0

1. Τετραγωνικές μορφές. x y 0. 0x y 0 1α 1β 2α 2β 3. 0x + y 0 Β4. ΕΣΣΙΑΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ 1.Τετραγωνικές μορφές.χαρακτηρισμός συμμετρικών πινάκων 3.Δεύτερες μερικές παράγωγοι-εσσιανός πίνακας 4.Συνθήκες για ακρότατα 5.Κυρτές/κοίλες συναρτήσεις 6.Ολικά ακρότατα

Διαβάστε περισσότερα

(a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2, b 1 b 2 ).

(a 1, b 1 ) (a 2, b 2 ) = (a 1 a 2, b 1 b 2 ). ΕΜ0 - Διακριτά Μαθηματικά Ιανουαρίου 006 Άσκηση - Λύσεις Πρόβλημα [0 μονάδες] Εστω L και L δύο κυκλώματα σε ένα γράφημα G. Εστω a μία ακμή που ανήκει και στο L και στο L και έστω b μία ακμή που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα