ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ. Ιωάννινα 2014"

Transcript

1 ΘΕΩΡΙΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΝΟΥΤΣΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΚΩΝ Ιωάννινα 0

2

3 Περιεχόμενα ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5. Νόρμες Υπαρξη και μονοσήμαντο ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ 5. Χαρακτηρισμός της βέλτιστης προσέγγισης Βέλτιστη προσέγγιση πολυωνύμων Πεπερασμένο σύνολο σημείων Εύρεση ομοιόμορϕης προσέγγισης στο σύνολο X n Αλγόριθμος εναλλαγής σημείων για την εύρεση της βέλτιστης ο- μοιόμορϕης προσέγγισης στο σύνολο X m ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ 7 3. Χαρακτηρισμός της προσέγγισης ελαχίστων τετραγώνων Ελάχιστα τετράγωνα σε συνεχές διάστημα Το Σύστημα των Κανονικών Εξισώσεων Μέθοδοι Ορθογωνοποίησης Ελάχιστα τετράγωνα σε σύνολο σημείων Το Σύστημα των Κανονικών Εξισώσεων Μέθοδοι Ορθογωνοποίησης ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ SPLINE 69. Παρεμβολή με τμηματικά γραμμικές συναρτήσεις Κυβική παρεμβολή Hermite Παρεμβολή με κυβικές συναρτήσεις Spline Βάση του χώρου συναρτήσεων των κυβικών Splines

4 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ

5 Κεϕάλαιο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Θεωρία Προσέγγισης είναι κλάδος της επιστήμης της Μαθηματικής Ανάλυσης αν τη δούμε υπό το πρίσμα της θεωρίας που χρειάζεται για την επίτευξη της επιθυμητής προσέγγισης. Θεωρείται όμως και κλάδος της Αριθμητικής Ανάλυσης αν τη δούμε υπό το πρίσμα του τελικού προϊόντος που είναι μια Αριθμητική μέθοδος και τελικά ένας αλγόριθμος για την εύρεση της προσέγγισης. Οπως θα δούμε στη συνέχεια τα μαθηματικά εργαλεία της Θεωρίας Προσέγγισης προέρχονται από τον Απειροστικό Λογισμό, τη Γραμμική Άλγεβρα, την Τοπολογία και τη Συναρτησιακή Ανάλυση. Το γενικότερο πρόβλημα της Θεωρίας Προσέγγισης συνίσταται στην εύρεση λύσης στο παρακάτω πρόβλημα: Πρόβλημα Εστω V ένας σταθμητός γραμμικός χώρος εϕοδιασμένος με τη νόρμα και W ένας υποχώρος του V. Δοθέντος v V, Να βρεθεί w W τέτοιο ώστε v w v w w W. (.) Θα λέμε τότε ότι w είναι η βέλτιστη προσέγγιση του v στον W. Με άλλα λόγια θέλουμε να βρούμε το πλησιέστερο στοιχείο στο v που ανήκει στον W. Αυτό το κάνουμε επειδή έχουμε περισσότερα μαθηματικά εργαλεία για να μελετήσουμε ένα πρόβλημα στον υποχώρο W από εκείνα που έχουμε στο χώρο V. Θα ασχοληθούμε εδώ κυρίως με την προσέγγιση συναρτήσεων στον υποχώρο P n των πολυωνύμων n βαθμού. Ως χώρο αναϕοράς V θα έχουμε κυρίως το χώρο των συνεχών συναρτήσεων στο κλειστό διάστημα [a, b] που θα το συμβολίζουμε με C[a, b] ή το χώρο των συναρτήσεων που ορίζονται σε ένα σύνολο διακριτών σημείων {x, x, x m } που θα το συμβολίζουμε με X m. Στο εισαγωγικό αυτό κεϕάλαιο θα δώσουμε κάποια πρώτα στοιχεία για τις νόρμες που θα χρησιμοποιήσουμε και στη συνέχεια μια γενική θεωρία ύπαρξης και μονοσήμαντου της βέλτιστης προσέγγισης. 5

6 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Νόρμες Ο γενικός ορισμός της νόρμας είναι ο ακόλουθος: Εστω V ένας γραμμικός χώρος. Νόρμα στο V θα είναι μια συνάρτηση από το V στους μη αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς IR +,0 ( : V IR +,0 ) που πληροί τις παρακάτω τρεις ιδιότητες: (i) v 0 και v = 0 αν και μόνο άν (ανν) v = 0. (ii) λv = λ v για κάθε σταθερό λ IR (ή λ CI). (iii) v + u v + u (τριγωνική ιδιότητα). Μια νόρμα ορίζει μια απόσταση στο V τον οποίο καθιστά μετρικό γραμμικό χώρο. Αν v και u είναι στοιχεία του V, τότε v u είναι η απόσταση μεταξύ αυτών των στοιχείων. Οι κυριότερες νόρμες που χρησιμοποιούνται είναι οι νόρμες, και ή l, l και l αντίστοιχα. Αν ως χώρο V έχουμε το χώρο συνεχών συναρτήσεων C[a, b] τότε οι αντίστοιχες νόρμες ορίζονται ως: l : v = b a v(x) dx. ( b l : v = v(x) dx a l : ). v = max a x b v(x). Αυτές αποτελούν ειδικές περιπτώσεις της l p νόρμας που ορίζεται ως: ( b l p : v p = v(x) p dx a ) p, p. Ας σημειωθεί ότι ο p μπορεί να είναι θετικός πραγματικός ( ) και όχι απαραίτητα ακέραιος. Αποδεικνύεται δε, σχετικά εύκολα, ότι lim p v p = v. Αντίστοιχα, αν ως χώρο V έχουμε το χώρο X m, των συναρτήσεων σε διακριτό σύνολο, αυτές είναι γνωστές από τη Γραμμική Άλγεβρα ως διανυσματικές νόρμες και ορίζονται ως εξής: m l : v = v i. i= ( m ) l : v = v i i=. l : v = max i {,,,m} v i. Αυτές αποτελούν ειδικές περιπτώσεις της l p νόρμας που ορίζεται ως: ( n ) l p : v p = v i p p, p. i=

7 .. Ν ΟΡΜΕΣ 7 Αποδεικνύεται και εδώ, σχετικά εύκολα, ότι lim p v p = v. Είναι εύκολο να αποδειχτεί η ισχύς των τριών ιδιοτήτων για τις νόρμες l και l ενώ για την l ή γενικότερα για την l p είναι δύσκολο να αποδειχτεί η τριγωνική ιδιότητα. Δίνουμε εδώ, χωρίς απόδειξη τις ανισότητες, γνωστές ως ανισότητες Minkowski, που αποδεικνύουν την ιδιότητα αυτή. ( ) ( b v(x) + u(x) p p ) ( b dx v(x) p p ) b dx + u(x) p p dx a a a και ( n ) ( v i + u i p p n ) ( v i p p n ) + u i p p. i= i= i= Δυο άλλες χρήσιμες ανισότητες που αναϕέρονται στην l p νόρμα είναι οι ανισότητες Hölder: ( b ) ( b v(x)u(x) dx v(x) p p ) b dx u(x) q q dx, p >, a a a p + q = και ( n n ) ( v i u i v i p p n ) u i q q, p >, i= i= i= p + q =. Ειδικές περιπτώσεις αυτών για p = q = είναι οι γνωστες ως ανισότητες Cauchy- Schwarz: ( b ) ( b v(x)u(x) dx v(x) ) b dx u(x) dx a a a και ( n n ) ( v i u i v i n ) u i. i= i= i= Δίνουμε εδώ μια απόδειξη για την πρώτη των ανισοτήτων Cauchy-Schwarz, η δεύτερη αποδεικνύεται με τον ίδιο ακριβώς τρόπο. Απόδειξη: Θεωρούμε το ολοκλήρωμα b a ( v(x) + θ u(x) ) dx = b a v(x) dx + θ b a b v(x)u(x) dx + θ u(x) dx, όπου θ είναι μια πραγματική παράμετρος. Προϕανώς το ολοκλήρωμα αυτό παίρνει μη αρνητικές τιμές αϕού είναι ολοκλήρωμα μη αρνητικής συνάρτησης. Παρατηρούμε επίσης ότι το δεύτερο μέλος της παραπάνω ισότητας είναι τριώνυμο ως προς θ. Αϕού είναι τριώνυμο που παίρνει μη αρνητικές τιμές, θα έχει διακρίνουσα μη θετική. Θα έχουμε επομένως ( b b b = v(x)u(x) dx) v(x) dx u(x) dx 0, a a a από την οποία προκύπτει εύκολα η ανισότητα Cauchy-Schwarz. a

8 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Υπαρξη και μονοσήμαντο της βέλτιστης προσέγγισης Θα δώσουμε εδώ μερικά γενικά θεωρήματα ύπαρξης και μοναδικότητας της βέλτιστης προσέγγισης, ξεκινώντας από το θεώρημα ύπαρξης. Θεώρημα ( Υπαρξη βέλτιστης προσέγγισης) Αν V είναι ένας σταθμητός γραμμικός χώρος εϕοδιασμένος με τη νόρμα και W ένας υποχώρος του V πεπερασμένης διάστασης, τότε δοθέντος v V, w W τέτοιο ώστε για όλα τα w W. v w v w Απόδειξη: Επειδή 0 W, αν αυτό ήταν η βέλτιστη προσέγγιση, η ελάχιστη νόρμα θα ήταν v 0 = v = M. Αν w είναι τέτοιο ώστε v w > v, δε θα μπορούσε να είναι βέλτιστη προσέγγιση επειδή το 0 θα έδινε καλύτερη προσέγγιση. Επομένως τη βέλτιστη προσέγγιση θα πρέπει να την αναζητούμε στο σύνολο των w για τα οποία Τότε v w v = M. w = w = v w v v w + v M. Εστω ότι ο W είναι ένας k διάστατος χώρος και ότι w, w, w k είναι μια βάση αυτού. Τότε το στοιχείο w W γράϕεται ως w = λ w + λ w + + λ k w k. Ορίζουμε τη συνάρτηση f(λ, λ,, λ k ) = v w = v (λ w + λ w + + λ k w k ) και θα αποδείξουμε ότι αυτή παίρνει ελάχιστη τιμή όταν το σημείο (λ, λ,, λ k ) κινείται στον k διάστατο χώρο, με τον περιορισμό Είναι ϕανερό ότι η συνάρτηση w = λ w + λ w + + λ k w k M. (.) g(λ, λ,, λ k ) = w = λ w + λ w + + λ k w k είναι συνεχής ως προς (λ, λ,, λ k ) και επομένως θα παίρνει ελάχιστη τιμή στο συμπαγές σύνολο λ + λ + + λ k =, (.3) έστω m αυτό το ελάχιστο. Θα έχουμε m > 0 γιατί σε αντίθετη περίπτωση δε θα πληρούται ο περιορισμός (.3).

9 .. ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΟΣ ΗΜΑΝΤΟ 9 Επιστρέϕουμε ξανά στη γενική περίπτωση όπου ισχύει ο περιορισμός (.) και υποθέτουμε καταρχήν ότι k i= λ i = 0. Τότε ( ) λ g ki= λ i, λ ki= λ i,, λ k ki= m > 0 λ i ή ισοδύναμα, αν λάβουμε υπόψη την ιδιότητα (ii) των νορμών, k g(λ, λ,, λ k ) m λ i. i= Παρατηρούμε ότι αυτή ισχύει και για k i= λ i = 0, επομένως θα ισχύει για όλα τα (λ, λ,, λ k ) IR k. Η παραπάνω σχέση μαζί με την (.) δίνουν από την οποία προκύπτει ότι Αυτή με τη σειρά της δίνει k M g(λ, λ,, λ k ) m λ i i= k λ i M i= m. λ i M m, i =,,, k. Η τελευταία ορίζει έναν υπερκύβο που είναι συμπαγές σύνολο και κατά συνέπεια η f που είναι συνεχής, παίρνει ελάχιστη τιμή στο σύνολο αυτό, που αντιστοιχεί στη βέλτιστη προσέγγιση. Δίνουμε στη συνέχεια κάποια παραδείγματα: Παράδειγμα Εστω V = C[a, b], ο γραμμικός χώρος όλων των συνεχών συναρτήσεων στο διάστημα [a, b] με νόρμα την ομοιόμορϕη ή Chebyshev νόρμα: f = max a x b f(x). Εστω επίσης W ο υποχώρος n + διάστασης P n, όλων των πολυωνύμων το πολύ n βαθμού ορισμένων στο διάστημα [a, b]. Από το Θεώρημα προκύπτει ότι υπάρχει η βέλτιστη προσέγγιση p P n τέτοια ώστε ή αλλιώς f p = max a x b f(x) p (x) f p = max a x b f(x) p(x) p P n min max p P n a x b f(x) p(x) = max a x b f(x) p (x). Από την τελευταία σχέση η προσέγγιση αυτή έλαβε και το όνομα min-max προσέγγιση.

10 0 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Παράδειγμα Εστω το σύνολο των διακριτών σημείων {x, x,, x m } με x < x < < x m και V = E m, ο γραμμικός χώρος όλων των συναρτήσεων f = (f, f,, f m ) ορισμένων στα σημεία αυτά. Η ομοιόμορϕη νόρμα στον E m ορίζεται ως f = max f i. i=,,,m Εστω επίσης W ο υποχώρος n + διάστασης P n, όλων των πολυωνύμων το πολύ n βαθμού ορισμένων στα σημεία αυτά. Από το Θεώρημα προκύπτει ότι υπάρχει η βέλτιστη προσέγγιση p P n τέτοια ώστε f p = max f i p (x i ) f p = max f i p(x i ) p P n i=,,,m i=,,,m ή αλλιώς min max f i p(x i ) = max f i p (x i ). i=,,,m i=,,,m p P n Αν στα δυο παραπάνω παραδείγματα αντί της ομοιόμορϕης νόρμας ορίσουμε την l νόρμα έχουμε την προσέγγιση ελάχιστων τετραγώνων. Εξασϕαλίζεται και εδώ η ύπαρξη της βέλτιστης προσέγγισης από το Θεώρημα. Επίσης εξασϕαλίζεται η ύπαρξη της βέλτιστης προσέγγισης και στις περιπτώσεις όπου ως νόρμα λάβουμε οποιαδήποτε νόρμα, αρκεί ο υποχώρος W να είναι πεπερασμένης διάστασης. Παράδειγμα 3 Εστω V = C π [0, π], ο γραμμικός χώρος όλων των συνεχών περιοδικών συναρτήσεων, με περίοδο π στο διάστημα [0, π] με νόρμα την l (ή την ευκλείδεια νόρμα): f = ( π 0 f(x) dx). Εστω επίσης W ο υποχώρος όλων των τριγωνομετρικών πολυωνύμων S k, το πολύ k βαθμού της μορϕής k k α 0 + α i cos(ix) + β i sin(ix). i= Αποδεικνύεται εύκολα ότι οι περιοδικές συναρτήσεις cos(ix), sin(ix), i =,,, k καθώς και η σταθερά συνάρτηση, είναι γραμμικά ανεξάρτητες μεταξύ των και αποτελούν μια βάση για τον S k. Αυτό σημαίνει ότι ο S k είναι διάστασης k + και επομένως από το Θεώρημα προκύπτει ότι υπάρχει η βέλτιστη προσέγγιση s S k τέτοια ώστε i= f s f s s S k. Το επόμενο παράδειγμα δείχνει ότι η απαίτηση ο υποχώρος W να είναι πεπερασμένης διάστασης, είναι υποχρεωτική. Παράδειγμα Εστω V = C[0, ], εϕοδιασμένος με την ομοιόμορϕη νόρμα. Εστω επίσης W ο υποχώρος όλων των πολυωνύμων οποιουδήποτε βαθμού ορισμένων στο διάστημα [0, ] (Ο W είναι άπειρης διάστασης γιατί δεν υπάρχει άνω ϕράγμα στο βαθμό).

11 .. ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΟΣ ΗΜΑΝΤΟ Θα αποδείξουμε ότι η συνάρτηση f(x) = x δεν έχει βέλτιστη προσέγγιση στο [0, ]. Γνωρίζουμε ότι για δοθέν ϵ > 0, υπάρχει ακέραιος N τέτοιος ώστε f(x) ( + x + x + + x N ) < ϵ, 0 x. Ετσι, αν υπήρχε βέλτιστη προσέγγιση p W θα ίσχυε f p = 0 p = x που δεν ανήκει στον W αϕού δεν είναι πολυώνυμο, επομένως δεν υπάρχει βέλτιστη προσέγγιση. Το παραπάνω θεώρημα μας δίνει τις συνθήκες ύπαρξης βέλτιστης προσέγγισης. Πριν προβούμε στη διατύπωση και απόδειξη των συνθηκών μοναδικότητας θα δώσουμε ένα χαρακτηρισμό του συνόλου των βέλτιστων προσεγγίσεων, αϕού πρώτα θυμηθούμε τον ορισμό του κυρτού συνόλου. Ορισμός Ενα σύνολο S λέγεται κυρτό σε ένα γραμμικό χώρο αν για s, s συνεπάγεται ότι λ s + λ s S S με λ 0, λ 0 και λ + λ =. Θεώρημα Αν v V και W είναι ένας υποχώρος του V, τότε το σύνολο W όλων των βέλτιστων προσεγγίσεων του v στον W είναι κυρτό σύνολο. Απόδειξη: Αν το W είναι το κενό σύνολο τότε είναι από μόνο του κυρτό. Εστω w και w είναι δυο βέλτιστες προσεγγίσεις του v στον W, τότε v w = v w = ρ. Θεωρούμε λ 0, λ 0, λ + λ =. Τότε v (λ w +λ w ) = λ (v w )+λ (v w ) λ v w +λ v w = (λ +λ )ρ = ρ. Επομένως λ w + λ w W και έτσι το W είναι κυρτό σύνολο. Ορισμός Ενας σταθμητός γραμμικός χώρος V λέμε ότι έχει αυστηρά κυρτή νόρμα, όταν το σύνολο B = {v : v } (μοναδιαία μπάλα) είναι αυστηρά κυρτό. Υπενθυμίζουμε ότι για να είναι αυστηρά κυρτό ένα σύνολο απαιτείται η ισχύς της πρότασης: Αν v v με v = v =, τότε λ v +λ v <, όταν λ > 0, λ > 0 και λ + λ =.

12 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Θεώρημα 3 Αν V είναι ένας γραμμικός χώρος με μια αυστηρά κυρτή νόρμα και W είναι ένας υποχώρος του V, τότε το στοιχείο v V έχει το πολύ μια βέλτιστη προσέγγιση στον W. Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι w και w είναι δυο διαϕορετικές βέλτιστες προσεγγίσεις του v στον W. Από το Θεώρημα θα έχουμε ότι και w +w θα είναι επίσης βέλτιστη προσέγγιση του v στον W. Υποθέτουμε ότι v w = v w = ρ και θέτουμε με v = v w και v ρ = v w. Τότε προϕανώς v ρ v, v = v = και επειδή η νόρμα είναι αυστηρά κυρτή, v + v = ρ (v w ) + ρ (v w ) = ρ v w + w < ή w v +w < ρ το οποίο είναι άτοπο. Ο συνδυασμός του Θεωρήματος με το Θεώρημα 3 δίνει ως αποτέλεσμα το παρακάτω πόρισμα. Πόρισμα Αν V είναι ένας γραμμικός χώρος με μια αυστηρά κυρτή νόρμα και W είναι ένας υποχώρος του V πεπερασμένης διάστασης, τότε κάθε στοιχείο v V έχει ακριβώς μια βέλτιστη προσέγγιση στον W. Αποδεικνύεται ότι οι l p νόρμες, για p >, είναι όλες αυστηρά κυρτές νόρμες όταν V = C[a, b] ή στη διακριτή περίπτωση όπου V = E m. Επομένως για όλες αυτές τις νόρμες εξασϕαλίζεται η μοναδικότητα της βέλτιστης πολυωνυμικής προσέγγισης. Ειδικότερα για την l ή ευκλείδεια νόρμα εξασϕαλίζεται η μοναδικότητα της βέλτιστης πολυωνυμικής προσέγγισης Ελαχίστων Τετραγώνων. Αντίθετα, για τις νόρμες l και l έχουμε ότι δεν είναι αυστηρά κυρτές νόρμες. Επομένως δεν εξασϕαλίζεται από το γενικό αυτό Θεώρημα η μοναδικότητα της βέλτιστης προσέγγισης Πρώτης Δύναμης ούτε η μοναδικότητα της βέλτιστης Ομοιόμορϕης προσέγγισης. Παρόλα αυτά, ειδική μελέτη κάθε μιας από τις παραπάνω περιπτώσεις, αποδεικνύει τη μοναδικότητα της βέλτιστης προσέγγισης και στις περιπτώσεις αυτές. Αυτό θα το δούμε στο επόμενο κεϕάλαιο για την περίπτωση της ομοιόμορϕης προσέγγισης. Δε θα αποδείξουμε εδώ ότι είναι αυστηρά κυρτές οι l p νόρμες για p > αλλά θα δώσουμε παραδείγματα από τα οποία θα ϕαίνεται ότι οι l και l δεν είναι αυστηρά κυρτές νόρμες. Παράδειγμα 5 Εστω V = C[0, ], εϕοδιασμένος με την l νόρμα. Για τις συναρτήσεις v (x) = x και v (x) = ( x), έχουμε ότι v v με v = 0 xdx = v = 0 ( x)dx =. Αν θεωρήσουμε λ = λ = παίρνουμε ότι v = v +v = x+( x) = =. Αυτό σημαίνει ότι η l νόρμα δεν είναι αυστηρά κυρτή νόρμα.

13 .. ΥΠΑΡΞΗ ΚΑΙ ΜΟΝΟΣ ΗΜΑΝΤΟ 3 Παράδειγμα 6 Εστω V = C[0, ], εϕοδιασμένος με την l νόρμα. Για τις συναρτήσεις v (x) = x και v (x) = x, έχουμε ότι v v με v = max x [0,] {x} = v = max x [0,] { x } =. Αν θεωρήσουμε λ = λ = παίρνουμε ότι v = v +v = x+x ) = max x [0,] 3x =. Αυτό σημαίνει ότι η l νόρμα δεν είναι αυστηρά κυρτή νόρμα. Παράδειγμα 7 Εστω V = E m, m >, εϕοδιασμένος με την l νόρμα. Για τις συναρτήσεις v = (,,, ) και v = (,,,, ), έχουμε ότι v m m m v με v = v =. Αν θεωρήσουμε λ = λ = παίρνουμε ότι v = v +v = max(,,,, + ) =. Αυτό σημαίνει ότι η l m m m νόρμα δεν είναι αυστηρά κυρτή νόρμα. Ολοκληρώσαμε εδώ τη γενική θεωρία ύπαρξης και μοναδικότητας της βέλτιστης προσέγγισης. Ασκήσεις. Να αποδειχτεί ότι η έκϕραση b a xf(x) dx, C[a, b] f C[a, b] ορίζει μια νόρμα στο χώρο. Δίνεται το σύνολο των διακριτών σημείων {x, x,, x m } και E m, ο γραμμικός χώρος όλων των συναρτήσεων f = (f, f,, f m ) ορισμένων στα σημεία αυτά. Να αποδειχτεί ότι η έκϕραση m i= i f i, f E m ορίζει μια νόρμα στο χώρο E m, ενώ η έκϕραση m i= (i ) f i, f E m δεν ορίζει νόρμα στο χώρο E m. 3. Να αποδειχτούν οι ανισότητες f f f και f f, f C[, ].. Δίνεται το σύνολο των διακριτών σημείων {x, x,, x m } και E m, ο γραμμικός χώρος όλων των συναρτήσεων f = (f, f,, f m ) ορισμένων στα σημεία αυτά. Να αποδειχτούν οι ανισότητες f f f και f m f, f E m. 5. Να βρεθεί το σύνολο όλων των βέλτιστων προσεγγίσεων του σημείου ( ) T IR 3 στο χώρο IR = (x y 0) T, x, y IR, θεωρώντας ως νόρμα την.

14 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ

15 Κεϕάλαιο ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Εστω ότι P n είναι το σύνολο των πολυωνύμων το πολύ n βαθμού. Το Θεώρημα μας δίνει ότι για δοθείσα συνάρτηση f C[a, b] υπάρχει πολυώνυμο p n P n τέτοιο ώστε f p n f p p P n, όπου είναι η ομοιόμορϕη νόρμα (l ή νόρμα άπειρο). Θα συμβολίζουμε με E n (f; [a, b]) = f p n το σϕάλμα της ομοιόμορϕης βέλτιστης προσέγγισης. Οταν θα είναι συγκεκριμένο το διάστημα [a, b] και δε θα υπάρχει λόγος σύγχυσης, για συντομία θα το συμβολίζουμε και με E n (f). Για να έχει έννοια η πολυωνυμική προσέγγιση θα πρέπει, όσο αυξάνει ο βαθμός του πολυωνύμου, τόσο να μικραίνει το σϕάλμα. Θα αποδείξουμε εδώ ότι E n (f) 0 για n, που είναι το γνωστό Θεώρημα της πολυωνυμικής προσέγγισης του Weierstrass. Θεώρημα (Weierstrass) Δοθέντων f C[a, b] και ϵ > 0, υπάρχει πολυώνυμο p τέτοιο ώστε f p < ϵ. Απόδειξη: Θα κατασκευάσουμε ένα τέτοιο πολυώνυμο, χρησιμοποιώντας τα πολυώνυμα Bernstein. Μετασχηματίζουμε πρώτα το διάστημα [a, b] στο [0, ]. Ο μετασχηματισμός είναι γραμμικός και. Θέτοντας x = (b a)t+a έχουμε f(x) = f((b a)t+a) = g(t), όπου η g(t) ορίζεται στο [0, ] και είναι συνεχής. Μπορούμε επομένως να αποδείξουμε το θεώρημα για συναρτήσεις ορισμένες στο [0, ]. Δοθείσας συνάρτησης h(t) ϕραγμένης στο [0, ] ορίζουμε το πολυώνυμο Bernstein m βαθμού B m (h; t) ως εξής: Είναι ϕανερό ότι i) B m (h; t) P m ii) B m (αh; t) = αb m (h; t) ( ) ( m k m B m (h; t) = h k=0 m k 5 ) t k ( t) m k. (.)

16 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ iii) B m (h + h ; t) = B m (h ; t) + B m (h ; t) iv) Αν h (t) h (t) τότε B m (h ; t) B m (h ; t) Από τις (ii) και (iii) προκύπτει ότι B m (αh + βh ; t) = αb m (h ; t) + βb m (h ; t) που σημαίνει ότι ο τελεστής B m είναι ένας γραμμικός τελεστής. Η ιδιότητα (iv) προκύπτει εύκολα αϕού, για δεδομένο t [0, ] εκείνο που αλλάζει στον τύπο ((.)) είναι οι παράγοντες h (t) και h (t), h (t) h (t), ενώ ο σταθερός παράγοντας t m k k ( t) m k είναι μη αρνητικός. Η ιδιότητα αυτή καθιστά τον τελεστή B m ένα θετικό τελεστή αϕού για h = h h 0 έχουμε ότι B m (h; t) 0. Εχουμε να αποδείξουμε ότι για ϵ > 0 και για h C[0, ], υπάρχει ακέραιος m 0 τέτοιος ώστε h B m0 (h) < ϵ. Θα μελετήσουμε τώρα τη συμπεριϕορά του τελεστή B m, όταν εϕαρμοστεί στις συναρτήσεις μονώνυμα, t και t. Για h(t) =, ( ) m m B m (; t) = t k ( t) m k = (t + t) m =. k k=0 Για h(t) = t, έχουμε B m (t; t) = ( ) m k m k=0 t m k k ( t) m k = ( ) m m k= t k k ( t) m k = t ( ) m m j=0 t j j ( t) m j = t(t + t) m = t. Τέλος, για h(t) = t, έχουμε ( B m (t ; t) = B m (t t ) ) ; t + ( ( m m B m(t; t) = B m t t ) ) ; t + m m t. ( ( ) ) Υπολογίζουμε τώρα το B m t t m ; t. αλλά ( k k m m m k ( B m (t t ) ) ; t = m ) = = m k=0 ( k k m m m k ) t k ( t) m k k(k )m! m k!(m k)! = (m )! m(k )!(m k)! (m ) m (m )! ( (k )!(m k)! = m ) ( m k )

17 7 οπότε ( B m (t t ) ) ( ; t = m m ) t m j=0 ( m j ) t j ( t) m j = ( ) t. m Τελικά έχουμε ότι B m (t ; t) = ( ) t + m m t = t + t( t). m Αυτές οι τρεις συναρτήσεις ελέγχου είναι αρκετές για να αποδείξουμε το ζητούμενο για κάθε συνάρτηση h. Υποθέτουμε ότι h = M και ότι s, t [0, ], τότε προκύπτει εύκολα ότι M h(t) h(s) M. (.) Από την άλλη πλευρά, επειδή η h είναι ομοιόμορϕα συνεχής στο [0, ] έχουμε ότι, για κάθε ϵ > 0 υπάρχει δ(ϵ ) > 0 τέτοιο ώστε Από τις (.) και (.3) προκύπτει ότι ισχύει η ϵ h(t) h(s) ϵ, όταν t s < δ. (.3) ϵ M δ (t s) h(t) h(s) ϵ + M δ (t s) (.) για όλα τα s, t [0, ]. Πραγματικά αν t s < δ τότε η (.) ισχύει αϕού τα ϕράγματά της είναι εκείνα της (.3) διευρυμένα κατά τον όρο M δ (t s), ενώ αν t s δ τότε η (.) ισχύει αϕού τα ϕράγματα της είναι εκείνα της (.) διευρυμένα κατά παράγοντα (t s) δ και κατά τον όρο ϵ. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας τη γραμμικότητα και τη θετικότητα του τελεστή B m, τον εϕαρμόζουμε στις ανισότητες (.) θεωρώντας τις συναρτήσεις ως προς τη μεταβλητή t ενώ το s το παίρνουμε σταθερό. Ετσι έχουμε B m ( ϵ M ) ( δ (t s) ; t B m (h(t) h(s); t) B m ϵ + M ) δ (t s) ; t ή ισοδύναμα Αλλά ϵ M δ B m((t s) ; t) B m (h(t); t) h(s) ϵ + M δ B m((t s) ; t). (.5) B m ((t s) ; t) = B m (t ; t) sb m (t; t) + s B m (; t) = t + m t( t) st + s = (t s) + t( t). m

18 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Λαμβάνοντας τώρα το όριο της παραπάνω σχέσης για t τείνοντος στο s έχουμε lim B m ((t s) ; t) = s( s) t s m m, αϕού s [0, ]. Θεωρώντας επίσης τα όρια σε όλα τα μέλη της (.5) για t τείνοντος στο s, παίρνουμε ϵ M δ m B m(h; s) h(s) ϵ + M δ m ή Τώρα αν επιλέξουμε ϵ = ϵ, τότε για κάθε m 0 > M δ ϵ B m (h; s) h(s) ϵ + M δ m. (.6) έχουμε το ζητούμενο B m (h; s) h(s) < ϵ, 0 s. (.7) Αποδείξαμε εδώ το Θεώρημα του Weierstrass θεωρώντας τα πολυώνυμα Bernstein. Θα μπορούσε να γίνει η απόδειξη χρησιμοποιώντας κάποια άλλη ακολουθία πολυωνύμων αρκεί να πληρούνται κάποιες προϋποθέσεις. Ο Korovkin έδωσε μια γενικότερη απόδειξη της πολυωνυμικής προσέγγισης. Δίνουμε εδώ το Θεώρημα Korovkin χωρίς απόδειξη αϕού αυτή βασίζεται στην ίδια τεχνική. Θεώρημα 5 (Korovkin) Εστω C[a, b] το σύνολο των συνεχών συναρτήσεων στο διάστημα [a, b]. Θεωρούμε το σύνολο των συναρτήσεων T = {, x, x }, που καλείται σύνολο Korovkin. Εστω {Φ n } μια ακολουθία γραμμικών και θετικών τελεστών στο χώρο C[a, b]. Αν για κάθε g T, η Φ n (g) συγκλίνει ομοιόμορϕα στην g, τότε η {Φ n } αποτελεί μια διαδικασία προσέγγισης, δηλαδή Φ n (f) συγκλίνει ομοιόμορϕα στην f f C[a, b]. Το Θεώρημα Korovkin γενικεύεται και για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών. δίνουμε εδώ στην πιο γενική του μορϕή. Το Θεώρημα 6 (Korovkin) Εστω K ένα συμπαγές σύνολο του IR d και έστω C(K) ο χώρος Banach των συνεχών συναρτήσεων (πραγματικών ή μιγαδικών) στο K, εϕοδιασμένος με τη νόρμα άπειρο. Θεωρούμε το σύνολο των συναρτήσεων T = {, x i, x, i =,..., d}, που καλείται σύνολο Korovkin. Εστω {Φ n } μια ακολουθία γραμμικών και θετικών τελεστών στο χώρο C(K). Αν για κάθε g T, η Φ n (g) συγκλίνει ομοιόμορϕα στην g, τότε η {Φ n } αποτελεί μια διαδικασία προσέγγισης, δηλαδή Φ n (f) συγκλίνει ομοιόμορϕα στην f f C(K).

19 .. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜ ΟΣ ΤΗΣ Β ΕΛΤΙΣΤΗΣ ΠΡΟΣ ΕΓΓΙΣΗΣ 9 Παρατηρούμε εδώ ότι όταν το συμπαγές σύνολο είναι διάστασης d, αρκούν d + συναρτήσεις στο σύνολο Korovkin T, εκ των οποίων η μια είναι δεύτερου βαθμού, που είναι απαραίτητη για να μας δώσει μια ανισότητα αντίστοιχη της (.) στην περίπτωση των τελεστών Bernstein. Ακόμη πρέπει να τονίσουμε ότι το Θεώρημα Korovkin μπορεί να επεκταθεί και για την περίπτωση προσέγγισης με άλλου είδους συναρτήσεις πέραν των πολυωνυμικών, αρκεί να επιλεγεί κατάλληλα το σύνολο ελέγχου T. Ενα τέτοιο παράδειγμα αποτελεί η προσέγγιση των περιοδικών συναρτήσεων με τριγωνομετρικά πολυώνυμα. Τα παραπάνω θεωρήματα δίνουν απάντηση στο πρόβλημα της ύπαρξης της πολυωνυμικής προσέγγισης. Δε μιλήσαμε καθόλου για το πόσο καλή είναι αυτή η προσέγγιση, δηλαδή για το σϕάλμα αποκοπής κατά την πολυωνυμική προσέγγιση με συγκεκριμένο το βαθμό του πολυωνύμου. Δε θα επιμείνουμε στο θέμα αυτό γιατί χρειάζεται αρκετή θεωρία, απλώς θα αναϕέρουμε ότι η σύγκλιση της πολυωνυμικής προσέγγισης εξαρτάται από τη συνάρτηση f και πιο συγκεκριμένα από το είδος της συνέχειας της f. Ορίζεται εδώ το Μέτρο Συνέχειας ω(δ), δ > 0 μιας συνάρτησης f ως ω(δ) = sup f(x ) f(x ). (.8) x,x [a,b], x x δ Οσο ταχύτερα συγκλίνει η συνάρτηση ω στο μηδέν του δ τείνοντος στο μηδέν, τόσο μικρότερο είναι το σϕάλμα της πολυωνυμικής προσέγγισης. Για τη συνάρτηση f(x) = x, για παράδειγμα, έχουμε ω(δ) = ενώ για τη συνάρτηση f(x) = x, ω(δ) = sup x x = δ, x,x [a,b], x x δ sup x x = sup x + x x x bδ. x,x [a,b], x x δ x,x [a,b], x x δ Πρέπει να τονίσουμε επίσης ότι τα πολυώνυμα Bernstein καθώς και τα πολυώνυμα που προκύπτουν από ακολουθίες τελεστών Korovkin, αποτελούν απλώς μια πολυωνυμική προσέγγιση και όχι τη βέλτιστη ομοιόμορϕη πολυωνυμική προσέγγιση. Στο εξής θα ασχοληθούμε με τη βέλτιστη ομοιόμορϕη πολυωνυμική προσέγγιση. Θα αποδείξουμε κάποιες ιδιότητες που τη χαρακτηρίζουν, ώστε να μπορέσουμε να καταλήξουμε σε αλγόριθμο εύρεσης αυτής.. Χαρακτηρισμός της βέλτιστης ομοιόμορϕης προσέγγισης Εστω p n η βέλτιστη ομοιόμορϕη προσέγγιση της f C[a, b], στο χώρο P n των πολυωνύμων το πολύ n βαθμού, τότε η συνάρτηση σϕάλμα δίνεται ως e(x) = f(x) p n(x),

20 0 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ με e(x) = E n (f; [a, b]). Στο Θεώρημα που ακολουθεί θα δώσουμε μια πρώτη ιδιότητα της βέλτιστης προσέγγισης. Θεώρημα 7 Υπάρχουν τουλάχιστο δυο διαϕορετικά σημεία x, x [a, b] τέτοια ώστε και e(x ) = e(x ). e(x ) = e(x ) = E n (f; [a, b]) Απόδειξη: Η καμπύλη y = e(x) θα βρίσκεται μεταξύ των ευθειών y = ±E n (f) και θα εϕάπτεται τουλάχιστον σε μια από αυτές. Χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι εϕάπτεται μόνο στην y = E n (f) και ότι min e(x) = m > E n(f). a x b Θεωρούμε c = En(f)+m > 0. Τότε για το πολυώνυμο q n = p n + c P n ισχύει ότι f(x) q n (x) = e(x) c και επομένως (E n (f) c) = m c e(x) c E n (f) c που σημαίνει ότι f q n E n (f) c. Αυτό όμως είναι άτοπο αϕού υποθέσαμε ότι p n είναι η βέλτιστη προσέγγιση. Πόρισμα Η βέλτιστη προσεγγιστική σταθερά (πολυώνυμο μηδενικού βαθμού) είναι p 0 = ( max f(x) + min f(x)) a x b a x b με E 0 (f) = ( max f(x) min f(x)). a x b a x b Θα δώσουμε τώρα έναν ορισμό για να μπορέσουμε στη συνέχεια να διατυπώσουμε το βασικό θεώρημα που χαρακτηρίζει τη βέλτιστη προσέγγιση. Ορισμός 3 Ενα σύνολο σημείων x 0, x,..., x k με a x 0 < x < < x k b λέγεται εναλλασσόμενο σύνολο σημείων για τη συνάρτηση σϕάλμα e = f p n, αν e(x j ) = f(x j ) p n(x j ) = f p n, j = 0,,..., k και f(x j ) p n(x j ) = (f(x j+ ) p n(x j+ )), j = 0,,..., k.

21 .. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜ ΟΣ ΤΗΣ Β ΕΛΤΙΣΤΗΣ ΠΡΟΣ ΕΓΓΙΣΗΣ Θεώρημα 8 Εστω f C[a, b]. Το πολυώνυμο p n είναι η βέλτιστη προσέγγιση στο διάστημα [a, b] της f, στο σύνολο πολυωνύμων P n αν και μόνο αν (ανν) υπάρχει εναλλασσόμενο σύνολο σημείων για τη συνάρτηση σϕάλμα e = f p n, αποτελούμενο από n + σημεία. Απόδειξη: ( ) Εστω ότι υπάρχει εναλλασσόμενο σύνολο σημείων x 0, x,..., x n+ για την e = f p n. Εστω επίσης ότι υπάρχει q n P n τέτοιο ώστε Τότε f q n < f p n. f(x j ) q n (x j ) < f p n = f(x j ) p n(x j ), j = 0,,..., n + και από τον ορισμό του εναλλασσομένου συνόλου προκύπτει ότι: Αν f(x j ) p n(x j ) = f p n > 0 f(x j ) p n(x j ) > f(x j ) q n (x j ) ή ενώ αν f(x j ) p n(x j ) (f(x j ) q n (x j )) = q n (x j ) p n(x j ) > 0, ή f(x j ) p n(x j ) = f p n < 0 f(x j ) p n(x j ) < f(x j ) q n (x j ) f(x j ) p n(x j ) (f(x j ) q n (x j )) = q n (x j ) p n(x j ) < 0. Αυτό σημαίνει ότι το πολυώνυμο q n p n εναλλάσσει συνεχώς πρόσημο καθώς το j μεταβάλλεται από το 0 στο n+. Δηλαδή υπάρχει ρίζα σε κάθε διάστημα (x j, x j+ ), j = 0,,..., n. Ετσι το πολυώνυμο q n p n P n έχει n + ρίζες, το οποίο είναι άτοπο. ( ) Εστω ότι p n είναι η βέλτιστη προσέγγιση της f, όπου η f δεν είναι πολυώνυμο n βαθμού. Εστω επίσης ότι το μέγιστο εναλλασσόμενο σύνολο σημείων αποτελείται από m + σημεία a x 0 < x < < x m b. Από το Θεώρημα 7 προκύπτει ότι m. Θα αποδείξουμε ότι m n +. Εστω ότι m n και ότι f p n = ρ. Θεωρούμε τη διαμέριση t 0, t, t,..., t s [a, b] τέτοια ώστε a = t 0 < t < t < < t s = b και η συνάρτηση e = f p n να πληροί την e(ξ) e(η) < ρ ξ, η [t j, t j+ ], j = 0,,..., s. Κάθε υποδιάστημα που περιέχει ακραίο θετικό σημείο t για τη συνάρτηση e (e(t) = ρ), το καλούμε (+) υποδιάστημα ενώ κάθε υποδιάστημα που περιέχει ακραίο αρνητικό σημείο t για τη συνάρτηση e (e(t) = ρ), το καλούμε ( ) υποδιάστημα. Γράϕουμε από

22 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ αριστερά προς τα δεξιά μόνο τα (±) υποδιαστήματα I, I,..., I N και έστω ότι είναι (+) το υποδιάστημα I. Χωρίζουμε στη συνέχεια το σύνολο I, I,..., I N σε υποσύνολα που θα περιέχουν τα διαδοχικά (+) ή ( ) υποδιαστήματα. Εστω ότι αυτά είναι: {I, I,..., I k } (+) υποδιαστήματα {I k +, I k +,..., I k } ( ) υποδιαστήματα. {I km +, I km +,..., I km+ } ( ) m υποδιαστήματα Κάθε υποσύνολο περιέχει τουλάχιστον ένα υποδιάστημα, ενώ m + n + από τις υποθέσεις που κάναμε. Είναι ϕανερό ότι τα υποδιαστήματα I kj και I kj + είναι ξένα μεταξύ των αϕού υπάρχει ολόκληρο διάστημα που τα χωρίζει. Αυτό συμβαίνει διότι e(x) > ρ, x I k j και e(x) < ρ, x I k j + αν I kj και I kj + είναι (+) και ( ) υποδιαστήματα, αντίστοιχα ή αντίστροϕα αν αυτά είναι ( ) και (+) υποδιαστήματα, αντίστοιχα. Θεωρούμε τώρα m σημεία z, z,..., z m τέτοια ώστε z j > x x I kj και z j < x x I kj +. Ορίζουμε στη συνέχεια το πολυώνυμο q P m : q(x) = (z x)(z x) (z m x). Παρατηρούμε ότι το q(x) έχει το ίδιο πρόσημο με τη συνάρτηση e(x) σε όλα τα υ- ποδιαστήματα I, I,..., I N. Πραγματικά, αν το x ανήκει στο πρώτο σύνολο υποδιαστημάτων {I, I,..., I k }, που είναι (+) υποδιαστήματα, το q(x) είναι θετικό αϕού z i > x, i =,,..., m, ενώ κάθε ϕορά που το x μεταβαίνει σε επόμενο υποσύνολο το πολυώνυμο q αλλάζει πρόσημο αϕού κάθε ϕορά και ένα από τα z i γίνεται μικρότερο του x. Ονομάζουμε με R την ένωση των υποδιαστημάτων που δεν είναι (±) υποδιαστήματα. Τότε, max e(x) = x R ρ < ρ. Υποθέτουμε ότι q = M και επιλέγουμε ένα λ > 0 τόσο μικρό ώστε λm < min{ρ ρ, ρ }... Θα αποδείξουμε τώρα ότι το πολυώνυμο p(x) = λq(x) + p n(x) P n προσέγγιση από το p n(x). Εστω ότι x R, τότε είναι καλύτερη f(x) p(x) = f(x) λq(x) p n(x) = e(x) λq(x) e(x) +λ q(x) ρ +λm < ρ. Αν το x ανήκει σε ένα από τα I j, j =,,..., N, e(x) και λq(x) έχουν το ίδιο πρόσημο και ισχύουν οι ανισότητες e(x) > ρ > λ q(x). Τότε, f(x) p(x) = f(x) λq(x) p n(x) = e(x) λq(x) = e(x) λ q(x) ρ λ q(x) < ρ.

23 .. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜ ΟΣ ΤΗΣ Β ΕΛΤΙΣΤΗΣ ΠΡΟΣ ΕΓΓΙΣΗΣ 3 Καταλήξαμε έτσι σε άτοπο οπότε ισχύει το ζητούμενο και ολοκληρώθηκε η απόδειξη του Θεωρήματος. Το θεώρημα αυτό δε μας λέει ότι το εναλλασσόμενο σύνολο σημείων είναι μοναδικό, που σημαίνει ότι μπορούν να υπάρχουν περισσότερα από n + εναλλασσόμενα σημεία. Αυτό ϕαίνεται καθαρά στο επόμενο παράδειγμα. Παράδειγμα 8 Να βρεθεί η βέλτιστη προσέγγιση της συνάρτησης sin(x) στο διάστημα [ π, π], στον P 6. Παρατηρούμε ότι η συνάρτηση sin(x) έχει ένα εναλλασσόμενο σύνολο σημείων στο διάστημα [ π, π] αποτελούμενο από 8 σημεία, τα { π + π, π + 3π, π + 5π, π π, π + 9π π 3π 5π, π +, π +, π + }. Αν θεωρήσουμε την ίδια συνάρτηση ως τη συνάρτηση σϕάλμα e(x), τότε το βέλτιστο πολυώνυμο μέχρι και έκτου βαθμού είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Εχουμε λοιπόν ως συμπέρασμα ότι p 0 = p = p = p 3 = p = p 5 = p 6 = 0. Από το Θεώρημα της Εισαγωγής έχουμε εξασϕαλίσει την ύπαρξη της βέλτιστης ο- μοιόμορϕης προσέγγισης, το Θεώρημα 3 όμως δε μας εξασϕαλίζει τη μοναδικότητα αυτής, αϕού η νόρμα άπειρο δεν είναι αυστηρά κυρτή νόρμα. Θα αποδείξουμε εδώ τη μοναδικότητα της βέλτιστης ομοιόμορϕης προσέγγισης, χρησιμοποιώντας τη χαρακτηριστική ιδιότητα που αποδείξαμε στο Θεώρημα 8. Θεώρημα 9 (Μοναδικότητα) Η βέλτιστη ομοιόμορϕη προσέγγιση p n της f C[a, b] στον P n είναι μοναδική. f p > f p n p P n, p p n Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι υπάρχει πολυώνυμο p P n τέτοιο ώστε f p = f p n = E n (f). Τότε, σύμϕωνα με το Θεώρημα, και ο κυρτός συνδυασμός q = p+p n θα είναι βέλτιστη προσέγγιση. Εστω ότι {x 0, x,..., x n+ } συνιστά ένα εναλλασσόμενο σύνολο σημείων για την f q τέτοιο ώστε f(x j ) q(x j ) = f(x j) p(x j ) + f(x j) p n(x j ) = ( ) l+j E n (f), j = 0,,..., n + όπου το l παίρνει τις τιμές 0 ή αν το σϕάλμα στο σημείο x 0 είναι θετικό ή αρνητικό, αντίστοιχα. Επειδή όμως f(x j ) p(x j ) E n(f), f(x j ) p n(x j ) E n(f)

24 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ συμπεραίνουμε ότι ή f(x j ) p(x j ) = f(x j ) p n(x j ) = ( ) l+j E n (f), j = 0,,..., n + p(x j ) = p n(x j ), j = 0,,..., n + που αποδεικνύει ότι p p n. Θα δώσουμε εδώ κάποια απλά παραδείγματα εύρεσης της βέλτιστης προσέγγισης. Παράδειγμα 9 Να βρεθεί η βέλτιστη προσέγγιση της συνάρτησης x στο διάστημα [, ], στον P. Αναζητούμε ένα πολυώνυμο το πολύ πρώτου βαθμού. Υποθέτουμε ότι αυτό θα είναι της μορϕής αx+β, οπότε η συνάρτηση σϕάλμα θα είναι e(x) = x αx β. Αναζητούμε λοιπόν τα 3 ακρότατα αυτής της συνάρτησης στο διάστημα [, ]. Επειδή αυτή είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο (, ), βρίσκουμε τα εσωτερικά ακρότατα μηδενίζοντας την παράγωγο. Αυτή μας δίνει το σημείο α. Προϕανώς τα άλλα δυο ακρότατα θα είναι αναγκαστικά τα άκρα του διαστήματος και. Θα έχουμε λοιπόν, σύμϕωνα με το νόμο των εναλλασσόμενων σημείων, ότι e( ) = e( α ) = e() + α β = (α α β) = α β. Λύνοντας το σύστημα αυτό βρίσκουμε ότι α = 0 και β =. Εχουμε επομένως ότι p (x) = = p 0(x). Παράδειγμα 0 Να βρεθεί η βέλτιστη προσέγγιση της συνάρτησης x 3, x [, ], στον P. Εργαζόμαστε με τον ίδιο τρόπο όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα. Υποθέτουμε ότι p (x) = αx + β, οπότε η συνάρτηση σϕάλμα θα είναι e(x) = x 3 αx β. Παραγωγίζοντας και μηδενίζοντας την παράγωγο, βρίσκουμε δυο εσωτερικά ακρότατα τα ± α. 3 Προϕανώς το τρίτο ακρότατο θα είναι αναγκαστικά ένα από τα δυο άκρα του διαστήματος, το ή το. Θα έχουμε λοιπόν, σύμϕωνα με το νόμο των εναλλασσόμενων σημείων, ότι e( ) = e ( ) ( ) ( ) α α α α = e + α β = β = α α 3 3 β. ή ( ) ( ) α α e = e = e() α α 3 β = ( α 3 ) α 3 β = α β. Λύνοντας τα δυο παραπάνω συστήματα, βρίσκουμε την κοινή λύση α = 3 και β = 0. Εχουμε επομένως ότι p (x) = 3 x. Επειδή βρέθηκαν τελικά τέσσερα τα σημεία στο εναλλασσόμενο σύνολο, το πολυώνυμο που βρήκαμε θα είναι βέλτιστη προσέγγιση και στον P, θα έχουμε δηλαδή ότι p (x) = 3 x.

25 .. ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜ ΟΣ ΤΗΣ Β ΕΛΤΙΣΤΗΣ ΠΡΟΣ ΕΓΓΙΣΗΣ 5 Παράδειγμα Να βρεθεί η βέλτιστη προσέγγιση της συνάρτησης x, x [, ], στον P. Υποθέτουμε ότι p (x) = αx + βx + γ, οπότε η συνάρτηση σϕάλμα θα είναι e(x) = x αx βx γ. Εδώ έχουμε το πρόβλημα ότι δεν ορίζεται η παράγωγος στο 0. Στην περίπτωση αυτή παραγωγίζουμε στα υποδιαστήματα (, 0) και (0, ), έτσι έχουμε και e(x) = x αx βx γ = αx (β + )x γ, e (x) = αx (β + ) = 0 x = β +, x (, 0) α e(x) = x αx βx γ = αx (β )x γ, e (x) = αx (β ) = 0 x = β, x (0, ). α Εχουμε βρεί λοιπόν δυο ακρότατα, ένα για κάθε υποδιάστημα. Τα υπόλοιπα δυο που μας χρειάζονται θα ληϕθούν από τα άκρα και ή από το 0 που δεν ορίζεται η παράγωγος. Εχουμε επομένως να επιλέξουμε μέσα από τρεις επιλογές τετράδων, τις {, β+ β β+ β β+, 0, ή {, 0,, } ή {,, β, }. Δοκιμάζοντας την α α} α α α α πρώτη επιλογή παίρνουμε e( ) = e( β + ) = e(0) = e( β α α ) (β + ) (β ) α + β + γ = + γ = γ = + γ α α Λύνοντας το σύστημα βρίσκουμε α =, β = 0 και γ =. Το εναλλασσόμενο σύνολο 8 θα είναι {,, 0, }. Εχουμε επομένως ότι p (x) = x + 8. Υπολογίζουμε στη συνέχεια τα σϕάλματα στο εναλλασσόμενο σύνολο: e( ) =, e( ) 8 =, e(0) =, e( ) =. Αν υπολογίσουμε το σϕάλμα της λύσης που βρήκαμε και στο σημείο, θα βρούμε e() = που σημαίνει ότι υπάρχει ένα εναλλασσόμενο σύνολο 8 αποτελούμενο από πέντε σημεία, δηλαδή η λύση που βρήκαμε θα είναι βέλτιστη προσέγγιση και στον P 3, θα έχουμε δηλαδή ότι p 3(x) = x +. Λόγω της μοναδικότητας, αϕού 8 βρήκαμε τη λύση, είναι ανώϕελο να εξετάσουμε τις άλλες δυο επιλογές. Προϕανώς η δεύτερη επιλογή θα μας δώσει την ίδια λύση ενώ η τρίτη δε θα μας δώσει λύση, αϕού αν εξαιρέσουμε το ενδιάμεσο σημείο 0 δε μπορεί τα υπόλοιπα σημεία να συνεχίζουν να αποτελούν εναλλασσόμενο σύνολο. Παρατηρούμε στα τρία παραπάνω παραδείγματα ότι εκεί όπου η συνάρτηση είναι άρτια, έδωσε βέλτιστο πολυώνυμο ένα άρτιο πολυώνυμο, ενώ εκεί όπου είναι περιττή, έδωσε

26 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ περιττό. Αυτό συμβαίνει επειδή το διάστημα [, ] των τριών παραδειγμάτων, είναι συμμετρικό ως προς το 0. Μπορεί να αποδειχτεί γενικά ότι οι άρτιες συναρτήσεις ορισμένες σε συμμετρικό ως προς το 0 διάστημα δίνουν άρτιο βέλτιστο πολυώνυμο, ενώ οι περιττές, περιττό. Η διαδικασία που ακολουθήθηκε στα παραδείγματα, δεν είναι εύκολο να ακολουθηθεί γενικά, για το λόγο ότι η συνάρτηση f μπορεί να είναι πολύπλοκη ή το n είναι σχετικά μεγάλο και είναι δύσκολο (ή αδύνατο) να προσδιορισθούν οι ρίζες της παραγώγου. Παρακάτω θα δούμε ότι υπάρχει αλγόριθμος προσδιορισμού του βέλτιστου πολυωνύμου, που βασίζεται στην προσέγγιση συναρτήσεων ορισμένων σε πεπερασμένο σύνολο σημείων. Πρώτα όμως θα μελετήσουμε το πρόβλημα της προσέγγισης πολυωνύμων με πολυώνυμα μικρότερου βαθμού.. Βέλτιστη ομοιόμορϕη προσέγγιση πολυωνύμων Πολυώνυμα Chebyshev Ορισμός Το πολυώνυμο Chebyshev βαθμού n ορίζεται ως T n (x) = cos(nθ), x = cos(θ). (.9) Το πολυώνυμο Chebyshev μπορεί να γραϕεί και ως Από την ιδιότητα των συνημιτόνων: T n (x) = cos(n arccos x). cos((n + )θ) + cos((n )θ) = cos(θ) cos(nθ), προκύπτει η αναδρομική σχέση των πολυωνύμων Chebyshev: T n+ (x) = xt n (x) T n (x). (.0) Από τη σχέση αυτή μπορούμε να υπολογίσουμε το T n (x) για οποιοδήποτε n, ξεκινώντας με T 0 (x) = και T (x) = x που είναι προϕανή από τη (.9). Δίνουμε εδώ τους τρεις επόμενους όρους: T (x) = xt (x) T 0 (x) = x T 3 (x) = xt (x) T (x) = x(x ) x = x 3 3x T (x) = xt 3 (x) T (x) = x(x 3 3x) (x ) = 8x 8x +. Αποδεικνύεται πολύ εύκολα με επαγωγή ότι ο συντελεστής του μεγιστοβαθμίου όρου του T n (x) είναι n, καθώς και ότι το T n (x) περιέχει μόνο τις άρτιες δυνάμεις του x αν ο n είναι άρτιος ή μόνο τις περιττές αν ο n είναι περιττός.

27 .. Β ΕΛΤΙΣΤΗ ΠΡΟΣ ΕΓΓΙΣΗ ΠΟΛΥΩΝ ΥΜΩΝ 7 Τα πολυώνυμα Chebyshev έχουν πολύ καλές ιδιότητες. Μια από αυτές είναι η ορθογωνιότητά τους ως προς τη συνάρτηση βάρους x, στο διάστημα [, ]. Η ιδιότητα αυτή δίνει ότι και ( x ) Tn (x)t m (x)dx = 0, m n (.) ( x ) [Tn (x)] dx = { π, n π, n = 0 (.) Την ιδιότητα αυτή θα τη δούμε να εϕαρμόζεται στην προσέγγιση ελάχιστων τετραγώνων στο επόμενο Κεϕάλαιο. Εδώ θα χρησιμοποιήσουμε μια άλλη πολύ σημαντική ιδιότητα τη λεγόμενη minmax ιδιότητα. Αυτή διατυπώνεται ως εξής min max p Pn c x [,] x [,] p(x) = max c T n(x) n = c, (.3) n όπου Pn c είναι το σύνολο των πολυωνύμων n βαθμού με συντελεστή μεγιστοβαθμίου όρου c. Αυτό αποδεικνύεται εύκολα αϕού, από τον ορισμό του (.9), το πολυώνυμο T n (x) έχει n + ακρότατα στο διάστημα [, ], εκεί όπου το cos(nθ) παίρνει τιμές ±. Αυτά είναι τα σημεία ( ) jπ x j = cos, j = 0,,,..., n. n Εύκολα ϕαίνεται ότι T n (x j ) = ( ) j, επομένως τα x j αποτελούν ένα εναλλασσόμενο σύνολο από n + σημεία στο [, ]. Αν τώρα θεωρήσουμε τη βέλτιστη προσέγγιση p n P n του p Pn+ c στον P n, θα έχουμε ότι το σϕάλμα e(x) = p(x) p n(x) P n+ έχει ένα εναλλασσόμενο σύνολο αποτελούμενο από n + σημεία και τον ίδιο συντελεστή μεγιστοβαθμίου όρου με εκείνον του p, δηλαδή τον c. Επειδή η βέλτιστη προσέγγιση είναι μοναδική, το σϕάλμα e(x) δεν μπορεί να είναι άλλο παρά το c T n n+ (x), αϕού n είναι ο συντελεστής μεγιστοβαθμίου όρου του T n+ (x). Αυτό το πολυώνυμο, επειδή είναι σϕάλμα βέλτιστης προσέγγισης, θα πληροί και τη minmax ιδιότητα (.3), σύμϕωνα με τον ορισμό της βέλτιστης προσέγγισης. Από την παραπάνω ανάλυση προκύπτει συγχρόνως και ο αλγόριθμος της εύρεσης της βέλτιστης προσέγγισης ενός πολυωνύμου n + βαθμού, στον P n, αρκεί να αϕαιρέσουμε το c T n n+ (x). Θα δώσουμε εδώ κάποια παραδείγματα. Παράδειγμα Να βρεθεί η βέλτιστη προσέγγιση της συνάρτησης x n+ στον P n, στο διάστημα [, ]. Σύμϕωνα με την παραπάνω ανάλυση, αυτή θα είναι p n(x) = x n+ n T n+(x).

28 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Για n = αυτή γίνεται p (x) = x 3 T 3(x) = x 3 (x3 3x) = 3 x. Παρατηρούμε εδώ ότι αυτή είναι βέλτιστη προσέγγιση και στον P. Γενικά η βέλτιστη προσέγγιση του x n+ θα είναι η ίδια και στον P n αϕού το T n+ (x) έχει μόνο άρτιες ή περιττές δυνάμεις του x. Προϕανώς εδώ βρήκαμε την ίδια ακριβώς λύση με εκείνη του Παραδείγματος 0, αϕού λύσαμε το ίδιο πρόβλημα με διαϕορετικό όμως τρόπο. Για n = 3 έχουμε p 3(x) = x 3 T (x) = x 8 (8x 8x + ) = x 8. Επειδή η παραπάνω ανάλυση ισχύει μόνο για το διάστημα [, ], για να αντιμετωπίσουμε προβλήματα που ορίζονται στο γενικότερο διάστημα [a, b], χρησιμοποιούμε και εδώ το γραμμικό μετασχηματισμό x = b a t + b + a που απεικονίζει το διάστημα [, ] στο [a, b]. Βρίσκουμε έτσι τη συνάρτηση g(t) = f ( b a t + b + a ), t [, ]. Στη συνέχεια, προσδιορίζουμε τη βέλτιστη προσέγγιση της g με τον παραπάνω αλγόριθμο και επιστρέϕουμε στο διάστημα [a, b], με τον αντίστροϕο μετασχηματισμό t = b a x b + a b a. Παράδειγμα 3 Να βρεθεί η βέλτιστη προσέγγιση της συνάρτησης x 3 στον P, στο διάστημα [, ]. Ο γραμμικός μετασχηματισμός που μας πάει στο [, ] είναι x = t, οπότε g(t) = f(t) = (t) 3 = 8t 3. Σύμϕωνα με την παραπάνω ανάλυση, η βέλτιστη προσέγγιση θα είναι q (t) = 8t 3 8 T 3(x) = 8t 3 (t 3 3t) = 6t. Επανερχόμαστε στο διάστημα [, ] με τον αντίστροϕο μετασχηματισμό t = x, οπότε p (x) = q ( x ) = 6x = 3x.

29 .3. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΟ Σ ΥΝΟΛΟ ΣΗΜΕ ΙΩΝ 9.3 Ομοιόμορϕη προσέγγιση σε πεπερασμένο σύνολο σημείων Εστω ότι X m είναι ένα σύνολο διακριτών σημείων x < x < < x m στο διάστημα [a, b] και f(x i ), i =,,..., m είναι οι τιμές της συνάρτησης f που ορίζεται στο X m. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι η εύρεση της βέλτιστης ομοιόμορϕης προσέγγισης της f στο σύνολο πολυωνύμων P n που ορίζεται στο X m. Αν m n +, τότε υπάρχει p P n τέτοιο ώστε p(x i ) = f(x i ), i =,,..., m που είναι το πολυώνυμο παρεμβολής της f, για οποιαδήποτε f ορισμένη στο X m. Τότε το πολυώνυμο p είναι και η βέλτιστη προσέγγιση της f στον P n. Για να μελετήσουμε το γενικότερο πρόβλημα της βέλτιστης ομοιόμορϕης προσέγγισης υποθέτουμε ότι m n +. Η βέλτιστη ομοιόμορϕη προσέγγιση της f, ορισμένης στο X m, στον P n, χαρακτηρίζεται ακριβώς όπως και στη συνεχή περίπτωση. Ο χαρακτηρισμός αυτός δίνεται από το ακόλουθο θεώρημα. Θεώρημα 0 Εστω f μια συνάρτηση ορισμένη στο X m. Το πολυώνυμο p n είναι η βέλτιστη προσέγγιση της f στο σύνολο πολυωνύμων P n ανν υπάρχει εναλλασσόμενο σύνολο σημείων για τη συνάρτηση σϕάλμα e = f p n, που ορίζεται στο X m, αποτελούμενο από n + σημεία του X m. Απόδειξη: Η απόδειξη είναι βήμα προς βήμα ανάλογη με εκείνη του Θεωρήματος 8 που αναϕέρεται σε συνεχείς συναρτήσεις. Θα τη δώσουμε όμως για να ϕανούν κάποιες λεπτές διαϕορές. ( ) Εστω ότι υπάρχει εναλλασσόμενο σύνολο σημείων {y, y,..., y n+ } X m για την e = f p n. Εστω επίσης ότι το p n δεν είναι βέλτιστη προσέγγιση, άρα υπάρχει q n P n τέτοιο ώστε f q n < f p n. Τότε f(y j ) q n (y j ) < f p n = f(y j ) p n(y j ), j =,,..., n + και από τον ορισμό του εναλλασσομένου συνόλου προκύπτει ότι: Αν f(y j ) p n(y j ) = f p n > 0 f(y j ) p n(y j ) > f(y j ) q n (y j ) ή f(y j ) p n(y j ) (f(y j ) q n (y j )) = q n (y j ) p n(y j ) > 0,

30 30 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ενώ αν f(y j ) p n(y j ) = f p n < 0 f(y j ) p n(y j ) < f(y j ) q n (y j ) ή f(y j ) p n(y j ) (f(y j ) q n (y j )) = q n (y j ) p n(y j ) < 0. Αυτό σημαίνει ότι το πολυώνυμο q n p n εναλλάσσει συνεχώς πρόσημο καθώς το j μεταβάλλεται από το στο n +. Δηλαδή, αν επεκτείνουμε τα πολυώνυμα q n και p n σε ολόκληρο το διάστημα [a, b], υπάρχει ρίζα σε κάθε διάστημα (y j, y j+ ), j =,,..., n+. Ετσι το πολυώνυμο q n p n P n έχει n + ρίζες, το οποίο είναι άτοπο. ( ) Εστω ότι p n είναι η βέλτιστη προσέγγιση της f, όπου η f δεν είναι πολυώνυμο n βαθμού. Εστω επίσης ότι το μέγιστο εναλλασσόμενο σύνολο σημείων αποτελείται από m + σημεία y < y < < y m+. Είναι ϕανερό ότι και στη διακριτή περίπτωση ισχύει το Θεώρημα 7, οπότε m. Θα αποδείξουμε ότι m n +. Εστω ότι m n και ότι f p n = ρ. Θεωρούμε ότι τα N σημεία u < u < < u N του X m, με N m +, δίνουν το μέγιστο σϕάλμα e(u j ) = ρ, j =,,..., N. Ονομάζουμε (+) σημεία εκείνα για τα οποία η συνάρτηση e παίρνει θετική τιμή ρ και ( ) σημεία εκείνα για τα οποία η συνάρτηση e παίρνει αρνητική τιμή ρ. Χωρίζουμε στη συνέχεια το σύνολο {u, u,..., u N } σε υποσύνολα που θα περιέχουν τα διαδοχικά (+) ή ( ) σημεία. Εστω ότι αυτά είναι: {u, u,..., u k } (+) υποσύνολο {u k +, u k +,..., u k } ( ) υποσύνολο {u km +, u km +,..., u km+ } ( ) m υποσύνολο Κάθε υποσύνολο περιέχει τουλάχιστον ένα σημείο, ενώ m + n + από τις υποθέσεις που κάναμε. Θεωρούμε τώρα m σημεία z, z,..., z m τέτοια ώστε z j > u kj και z j < u kj +. Ορίζουμε στη συνέχεια το πολυώνυμο q P m : q(x) = (z x)(z x) (z m x). Παρατηρούμε ότι το q(x) έχει το ίδιο πρόσημο με τη συνάρτηση e(x) σε όλα τα σημεία u, u,..., u N. Πραγματικά, αν το x ανήκει στο πρώτο υποσύνολο {u, u,..., u k }, που είναι (+) υποσύνολο, το q(x) είναι θετικό αϕού z i > x, i =,,..., m, ενώ κάθε ϕορά που το x μεταβαίνει σε επόμενο υποσύνολο το πολυώνυμο q αλλάζει πρόσημο αϕού κάθε...

31 .3. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΟ Σ ΥΝΟΛΟ ΣΗΜΕ ΙΩΝ 3 ϕορά και ένα από τα z i γίνεται μικρότερο του x. Ονομάζουμε με U N το σύνολο των (±) σημείων και με R το σύνολο των σημείων που δεν είναι (±) σημεία (R = X m \U N ). Τότε, max x R e(x) = ρ < ρ. Υποθέτουμε ότι q = M και επιλέγουμε ένα λ > 0 τόσο μικρό ώστε λm < ρ ρ. Θα αποδείξουμε τώρα ότι το πολυώνυμο p(x) = λq(x) + p n(x) P n προσέγγιση από το p n(x). Εστω ότι x R, τότε είναι καλύτερη f(x) p(x) = f(x) λq(x) p n(x) = e(x) λq(x) e(x) +λ q(x) ρ +λm < ρ. Αν το x ανήκει στο U N, τότε e(x) και λq(x) έχουν το ίδιο πρόσημο με e(x) > λ q(x). Τότε, f(x) p(x) = f(x) λq(x) p n(x) = e(x) λq(x) = e(x) λ q(x) ρ λ q(x) < ρ. Καταλήξαμε έτσι σε άτοπο οπότε ισχύει το ζητούμενο και ολοκληρώθηκε η απόδειξη του Θεωρήματος. Και στην περίπτωση αυτή ισχύει η παρατήρηση ότι το εναλλασσόμενο σύνολο σημείων δεν είναι μοναδικό, που σημαίνει ότι μπορούν να υπάρχουν περισσότερα από n + εναλλασσόμενα σημεία. Απομένει να δώσουμε το θεώρημα της μοναδικότητας αϕού η ύπαρξη εξασϕαλίζεται από το Θεώρημα της Εισαγωγής. Θα το δώσουμε απλώς χωρίς απόδειξη, επειδή η απόδειξη είναι ίδια βήμα προς βήμα με εκείνη του Θεωρήματος 9. Θεώρημα (Μοναδικότητα) Η βέλτιστη ομοιόμορϕη προσέγγιση p n της f, ορισμένης στο X m, στον P n είναι μοναδική. f p > f p n p P n, p p n. Θα αποδείξουμε τώρα ότι η βέλτιστη ομοιόμορϕη προσέγγιση της f που ορίζεται στο διάστημα [a, b] ή στο σύνολο σημείων X m, στον P n μπορεί να αναχθεί τελικά σε αντίστοιχο πρόβλημα πάνω σε κάποιο σύνολο σημείων X n+. Θεώρημα Αν p n είναι η βέλτιστη ομοιόμορϕη προσέγγιση της f C[a, b], στον P n, τότε υπάρχει X n+ [a, b] τέτοιο ώστε: E n (f; [a, b]) = E n (f; Xn+) = max f(x) p n(x) < max f(x) p(x) (.) x Xn+ x Xn+

32 3 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ για κάθε p P n, p p n. Επιπλέον, για κάθε X n+ [a, b], ισχύει ότι E n (f; X n+ ) = min p Pn max x Xn+ f(x) p(x) = max x Xn+ f(x) p n(x n+ ; x) E n (f; [a, b]) = E n (f; Xn+), (.5) όπου η ισότητα είναι δυνατή μόνο αν p n(x n+ ) = p n. Απόδειξη: Η πρώτη σχέση (.) είναι προϕανής αν θεωρήσουμε το Xn+ ως το εναλλασσόμενο σύνολο σημείων. Για την απόδειξη της δεύτερης (.5), θεωρούμε ότι p n(x n+ ) p n. Τότε από τη μοναδικότητα έχουμε ότι E n (f; X n+ ) = f p n(x n+ ) < f p n = E n (f; [a, b]) = E n (f; X n+), αϕού το p n είναι διαϕορετικό από το βέλτιστο πολυώνυμο p n(x n+ ) στο σύνολο X n+. Αν p n(x n+ ) = p n, τότε προϕανώς έχουμε ισότητα, που σημαίνει ότι και το X n+ αποτελεί εναλλασσόμενο σύνολο σημείων. Αν αντικαταστήσουμε με X m το [a, b] έχουμε το αντίστοιχο θεώρημα, η απόδειξη του οποίου είναι ακριβώς ίδια. Θεώρημα 3 Αν p n είναι η βέλτιστη ομοιόμορϕη προσέγγιση της f, ορισμένης στο X m, στον P n, τότε υπάρχει X n+ X m τέτοιο ώστε: E n (f; X m ) = E n (f; Xn+) = max f(x) p n(x m ; x) < max f(x) p(x) (.6) x Xn+ x Xn+ για κάθε p P n, p p n. Επιπλέον, για κάθε X n+ X m, ισχύει ότι E n (f; X n+ ) E n (f; X m ) = E n (f; X n+), (.7) όπου η ισότητα είναι δυνατή μόνο αν p n(x n+ ) = p n. Τα παραπάνω θεωρήματα μας δίνουν τη δυνατότητα να αναζητούμε για τη βέλτιστη ομοιόμορϕη προσέγγιση, σε σύνολα σημείων αποτελούμενα από n + σημεία. Αν έχουμε το πρόβλημα στο διάστημα [a, b], τότε υπάρχουν άπειρα τέτοια σύνολα. ( Αν ) όμως εργαζόμαστε στο X m, ο συνολικός αριθμός των συνόλων αυτών είναι. Τότε το m n + πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση του i=,,..., max ( m n + ) E n (f; X m,i ) = E n (f; X m,i ), (.8) όπου με X m,i έχουμε συμβολίσει το i στη σειρά σύνολο αποτελούμενο από n + σημεία. Τότε, p n(x m ) = p n(x m,i ). Αυτό όμως απαιτεί το να μπορούμε να βρούμε το σϕάλμα E n (f; X n+ ) και το πολυώνυμο p n(x n+ ), δοθέντος του συνόλου X n+ αποτελούμενο από n + σημεία.

33 .3. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΟ Σ ΥΝΟΛΟ ΣΗΜΕ ΙΩΝ Εύρεση ομοιόμορϕης προσέγγισης στο σύνολο X n+ Θεωρούμε το πολυώνυμο παρεμβολής p P n+ της f στα σημεία x i, i =,,..., n + του συνόλου X n+ p(x i ) = f(x i ), i =,,..., n +. Το p είναι μοναδικό και δίνεται από τον τύπο του Lagrange p(x) = n+ Είναι εύκολο να δούμε ότι αν θέσουμε το πολυώνυμο παρεμβολής γράϕεται n+ i= j=,j i ω(x) = p(x) = n+ i= n+ i= x x j x i x j f(x i ). (x x i ), ω(x) x x i f(x i ) ω (x i ). Από τη σχέση αυτή ϕαίνεται καθαρά ότι ο συντελεστής του μεγιστοβαθμίου όρου του p είναι ο n+ f(x i ) i=. Αν αυτός είναι μηδέν, τότε θα έχουμε ότι p P ω (x i ) n, που θα αποτελεί και τη βέλτιστη ομοιόμορϕη προσέγγιση, δηλαδή p (X n+ ) = p με σϕάλμα E n (f; X n+ ) = 0. Υποθέτουμε εδώ ότι p / P n. Θεωρούμε στη συνέχεια το πολυώνυμο l n+ P n+ τέτοιο ώστε l n+ (x i ) = ( ) i, i =,,..., n +. Ως πολυώνυμο παρεμβολής στο σύνολο σημείων X n+, αυτό θα είναι μοναδικό και θα δίνεται από τον τύπο παρεμβολής του Lagrange ως εξής: Από τη σχέση l n+ (x) = n+ i= ω(x) x x i ( ) i ω (x i ). ω (x i ) = n+ j=,j i i (x i x j ) = (x i x j ) j= n+ j=i+ (x j x i ) ( ) n+ i, προκύπτει ότι ( ) ( ) sign(ω (x i )) = sign(( ) n i i ) ή sign = sign(( ) n ). ω (x i ) Αυτό σημαίνει ότι οι όροι του αθροίσματος n+ ( ) i i= ω (x i, που αποτελεί το συντελεστή του ) μεγιστοβαθμίου όρου του πολυωνύμου l n+, δεν αλλάζουν πρόσημο και επομένως n+ i= ( ) i ω (x i ) 0.

34 3 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Θεωρούμε τώρα το πολυώνυμο q = p λl n+, όπου p, l n+ τα προαναϕερθέντα πολυώνυμα παρεμβολής και λ = n+ f(x i ) i= ω (x i ) n+ ( ) i i= ω (x i ). Τότε όμως q P n επειδή p και λl n+ έχουν τον ίδιο μεγιστοβάθμιο όρο. Επίσης έχουμε ότι e(x i ) = f(x i ) (p(x i ) λl n+ (x i )) = λl n+ (x i ) = λ( ) i, i =,,..., n +, που σημαίνει ότι τα σημεία x, x,..., x n+ αποτελούν ένα εναλλασσόμενο σύνολο σημείων για την e(x), επομένως το πολυώνυμο q είναι η βέλτιστη ομοιόμορϕη προσέγγιση της f στο X n+, q = p (X n+ ). Επίσης προκύπτει ότι E n (f; X n+ ) = λ. Θεωρώντας τώρα ότι έχουμε το σύνολο X m, m > n+, παίρνουμε όλα τα υποσύνολα αποτελούμενα από n + σημεία και υπολογίζουμε όλα τα λ. Τότε το p (X m ) = p (X n+) αντιστοιχεί στο σύνολο σημείων X n+ που αντιστοιχεί στο μέγιστο λ, σύμϕωνα με το Θεώρημα 3. Θα δούμε καλύτερα τη διαδικασία υπολογισμού του βέλτιστου πολυωνύμου, δια μέσου του επόμενου παραδείγματος: Παράδειγμα Δίνεται το σύνολο σημείων X 5 = {,, 0,, } και θέλουμε να βρούμε τη βέλτιστη προσέγγιση δευτέρου βαθμού για τη συνάρτηση f(x) = x. Ο πίνακας τιμών της συνάρτησης είναι x i 0 f i 0. Πρέπει να βρούμε όλα τα δυνατά υποσύνολα σημείων αποτελούμενα από n + = σημεία και να ακολουθήσουμε τη διαδικασία που περιγράψαμε. ) X 5, = {,, 0, }: ω (x ) = ω ( ) = ( + )( 0)( ) = ( )( )( 3) = 3 ω (x ) = ω ( ) = ( + )( 0)( ) = ( )( ) = ω (x 3 ) = ω (0) = (0 + )(0 + )(0 ) = ( ) = ω (x ) = ω ( ) = ( + )( + )( 0) = 3 = 3 λ () = i= f(x i ) ω (x i ) i= ( ) i ω (x i ) = = = 8.

35 .3. ΠΕΠΕΡΑΣΜ ΕΝΟ Σ ΥΝΟΛΟ ΣΗΜΕ ΙΩΝ 35 ) X 5, = {,, 0, }: ω ( ) = ( + )( )( ) = ω (0) = ( ) = ω ( ) = ( + )( )( ) = 3 8 ω () = ( + )( + )() = 3 λ () = 3) X 5,3 = {,,, }: i= f(x i ) ω (x i ) i= ( ) i ω (x i ) = = 3 6 = 9. ω ( ) = ( + )( )( ) = 3 ω ( ) = ( + )( + )( ) = 3 ω ( ) = ( + )( )( ) = 3 ω () = ( + )( + )( ) = 3 λ (3) = ) X 5, = {, 0,, }: i= f(x i ) ω (x i ) i= ( ) i ω (x i ) = = 0 = 0. ω ( ) = ( )( )( ) = 3 ω ( ) = ( + ) ( ) = 3 8 ω (0) = ( )( ) = ω () = ( + )( ) = λ () = 5) X 5,5 = {, 0,, }: i= f(x i ) ω (x i ) i= ( ) i ω (x i ) = = 3 6 = 9. ω ( ) = ( )( ) = 3 ω ( ) = ( + ) ( ) = ω (0) = ( )( ) = ω () = ( + )( ) = 3 λ (5) = i= f(x i ) ω (x i ) i= ( ) i ω (x i ) = = = 8. Παρατηρούμε ότι λ max = λ () = λ (5) =, επομένως η βέλτιστη προσέγγιση 8 δίνεται από δυο σύνολα σημείων το X 5, = {,, 0, } και το X 5,5 = {, 0,, }. Προϕανώς, λόγω της μοναδικότητας, και τα δυο αυτά σύνολα θα δώσουν το ίδιο βέλτιστο πολυώνυμο. Για να το επιβεβαιώσουμε θα το υπολογίσουμε, σύμϕωνα με τη θεωρία που αναπτύχθηκε, χρησιμοποιώντας και τα δυο σύνολα. p (X 5 ; x) = p (X 5, ; x) = p 3 (x) λ () l 3 (x) = ω(x) f(x i ) i= x x i ω (x i ) λ() ω(x) i= x x i = (x + )x(x ) + (x + )x(x ) 3 + (x + )(x + )x 3 ( (x + )x(x ) 8 ) 3 + (x + )(x + )x 3 = x (x + )x(x ) ( ) i ω (x i ) + (x + )(x + )(x )

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης

13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης 3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων

Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Βασικές Μεθοδολογίες για την επίλυση ασκήσεων ΣΤΕΛΙΟΥ ΜΙΧΑΗΛΟΓΛΟΥ ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ ΤΟΛΗ 5-6 Επιμέλεια : Νικόλαος Σαμπάνης Στο φυλλάδιο περιέχονται όλες οι βασικές Μεθοδολογίες

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2...

a n = sup γ n. lim inf n n n lim sup a n = lim lim inf a n = lim γ n. lim sup a n = lim β n = 0 = lim γ n = lim inf a n. 2. a n = ( 1) n, n = 1, 2... ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Β.ΒΛΑΧΟΥ, Α. ΣΟΥΡΜΕΛΙΔΗΣ Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Πατρών Φθινόπωρο 2013 1 Θα θέλαμε να αναφέρουμε ότι για την συγγραφή αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήσαμε ιδιαίτερα α)το βιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh

Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ask seic kai Jèmata sth JewrÐa Mètrou kai Olokl rwsh Ginnhc K. Sarant pouloc jnik Mets bio Poluteqne o Sqol farmosmłnwn Majhmatik n & Fusik n pisthm n TomŁac Majhmatik n 22 Febrouar ou 28 Perieqìmena Συμβολισμός

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης

Μιχάλης Παπαδημητράκης. Μιγαδική Ανάλυση. Τμήμα Μαθηματικών. Πανεπιστήμιο Κρήτης Μιχάλης Παπαδημητράκης Μιγαδική Ανάλυση Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης Περιεχόμενα Οι μιγαδικοί αριθμοί.. Οι μιγαδικοί αριθμοί..................................2 Το Ĉ, η στερεογραφική προβολή και

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

2.7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .7 ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ I. Αν μια συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ακρότατο σε ένα εσωτερικό σημείο του πεδίου ορισμού της και είναι παραγωγισιμη σε αυτό τότε ( ).(Θεώρημα Fermat) II.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ.

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 28 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με Δημητριάδος) Βόλος τηλ. 4598 Κεφάλαιο ο Ολοκληρωτικός Λογισμός Ολοκληρωτικός Λογισμός Μεθοδολογία Λυμένα

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ .8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές

θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ

2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ 6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις

(Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις (Γραμμικές) Αναδρομικές Σχέσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναδρομικές Σχέσεις Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων:

Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΤΟΥ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Διδάσκων: Φάμπιο Αντωνίου Στοιχεία Επικοινωνίας: email: fantoniou@cc.uoi.gr Τηλ:651005954 Προσωπική Ιστοσελίδα: fantoniou.wordpress.com Γραφείο: Κτίριο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0

16 Ασύμπτωτες. όπως φαίνεται στα παρακάτω σχήματα. 1. Κατακόρυφη ασύμπτωτη. Η ευθεία x = x0 6 Ασύμπτωτες Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορίζουμε μια ευθεία ( ε ) ως ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της αν η απόσταση ενός μεταβλητού σημείου Ρ της γραφικής παράστασης από την ευθεία ( ε ) γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ Χ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΑΚΗΣ ΑΝ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Β ΤΟΜΟΣ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα και τη σφραγίδα του εκδότη ISBN SET: 960-56-026-9

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο )

Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ Γενικά Μαθηματικά (Φυλλάδιο 1 ο ) Επιμέλεια Φυλλαδίου : Δρ. Σ. Σκλάβος Περιλαμβάνει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι. Δημόπουλος Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Τοπική μονοτονία Αν μια συνεχής συνάρτηση έχει γνήσια θετική αρνητική παράγωγο

Διαβάστε περισσότερα

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat

4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat 4.3 Δραστηριότητα: Θεώρημα Fermat Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή εισάγει το Θεώρημα Fermat και στη συνέχεια την απόδειξή του. Ακολούθως εξετάζεται η χρήση του στον εντοπισμό πιθανών τοπικών

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού

9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού 1 2 Τα θεωρήματα του Green, Stokes και Gauss 211 9.9 Ανεξαρτησία του επικαμπυλίου ολοκληρώματος από την καμπύλη ολοκληρώσεως. Συνάρτηση δυναμικού Ήδη στην παράγραφο 5.7 ασχοληθήκαμε με την ύπαρξη συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ ος ΔΙΑΚΡΙΤΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolo 7 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.

Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]

Διαβάστε περισσότερα

Γεννήτριες Συναρτήσεις

Γεννήτριες Συναρτήσεις Γεννήτριες Συναρτήσεις ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναπαράσταση Ακολουθιών Ακολουθία:

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

10.05.12 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012

10.05.12 ΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2012 Εαρινό εξάμηνο 2012 10.05.12 Χ. Χαραλάμπους 1. Έχει κάθε πολυώνυμο ρίζα? 2. Πόσες ρίζες έχει ένα πολυώνυμο βαθμού n? 3. Μπορούμε να καθορίσουμε πότε οι ρίζες είναι ρητές, πραγματικές, θετικές, κλπ? 4.

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1

lim f(x) =, τότε f(x)<0 κοντά στο x Επιμέλεια : Ταμπούρης Αχιλλέας M.Sc. Mαθηματικός 1 ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α Α.

Διαβάστε περισσότερα