Gauss και Αριθµητική. Εµµανουήλ Γ. Τσακνάκης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Gauss και Αριθµητική. Εµµανουήλ Γ. Τσακνάκης"

Transcript

1 Gauss και Αριθµητική Εµµανουήλ Γ. Τσακνάκης Μεταπτυχιακή Εργασία Επιβλέπων Καθηγητής κ. Γιάννης Α. Αντωνιάδης Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Κρήτης εκέµβριος 007

2

3 Η µεταπτυχιακή αυτή εργασία πραγµατοποιήθηκε στο Τµήµα Μαθηµατικών του Πανεπιστηµίου Κρήτης, στα πλαίσια του ιατµηµατικού Προγράµµατος Μεταπτυχιακών Σπουδών µε τίτλο Μαθηµατικά και οι Εφαρµογές τους, στην κατεύθυνση Μαθηµατικά για την Εκπαίδευση και κατατέθηκε τον εκέµβριο του 007. Την επιτροπή αξιολόγησης αποτέλεσαν οι κύριοι : Γιάννης Α. Αντωνιάδης (επιβλέπων καθηγητής) Χρήστος Κουρουνιώτης Νίκος Τζανάκης

4 4

5 5 Πρόλογος Ενας από τους µεγαλύτερους και παραγωγικότερους µαθηµατικούς που υπήρξαν ποτέ είναι αδιαµφισβήτητα ο Carl Friedrich Gauss ( ). Η εργασία αυτή έγινε µε στόχο να γνωρίσει ο αναγνώστης τον Gauss µέσα από το µαθηµατικό του έργο. Είναι ϕυσικά αδύνατο να καταπιαστεί κανείς µε όλες τις περιοχές που ασχολήθηκε ο ιδιοφυής µαθηµατικός σε µία µόνο εργασία, αλλά πιστεύω ότι έχει γίνει µια καλή επιλογή για το έργο του στη ϑεωρία αριθµών και την άλγεβρα. Θα δούµε λοιπόν τα αποτελέσµατα του Gauss για τα κατασκευάσιµα κανονικά n-γωνα (δουλεύοντας 30 χρόνια πριν τον Galois συνέδεσε τα ενδιάµεσα σώµατα της κυκλοτοµικής επέκτασης Q(ζ p )/Q µε τις υποοµάδες της Gal(Q(ζ p )/Q), κατασκευά- Ϲοντας το κανονικό 17-γωνο και αποδεικνύοντας ότι αν p πρώτος του Fermat, τότε το κανονικό p-γωνο κατασκευάζεται µε κανόνα και διαβήτη), για τον τετραγωνικό νόµο αντιστροφής (ο Gauss ήταν ο πρώτος που απέδειξε τον τετραγωνικό νόµο αντιστροφής, δίνοντας συνολικά οκτώ αποδείξεις) και για το ϑεώρηµα των πολύγωνων αριθµών (απέδειξε την ισχύ του ϑεωρήµατος για την περίπτωση των τρίγωνων αριθ- µών), την ιστορία των προβληµάτων αυτών, αλλά και την εξέλιξη τους µετά τον Gauss. Το εντυπωσιακό είναι ότι όλες του οι ανακαλύψεις που ϑα δούµε έγιναν το έτος 1796, όταν ο Gauss ήταν µόλις 19 ετών, χαρακτηρίζοντας το σαν µία από τις παραγωγικότερες περιόδους της Ϲωής του. Μία από τις πρώτες παρατηρήσεις που µπορεί να κάνει κανείς είναι ότι απουσιάζει από την εργασία το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Άλγεβρας, ένα από τα σηµαντικότερα αποτελέσµατα του Gauss. Αυτό έχει ως αιτία την κυκλοφορία του ϐιβλίου Το ϑεµελιώδες Θεώρηµα της Άλγεβρας (G. Rosenberger και F. Benjamin, εκδόσεις Leader Books) και µία δική µας αναφορά στο ϑεώρηµα δε ϑα πρόσφερε κάτι νέο στην Ελληνική ϐιβλιογραφία. Τέλος ϑα ήθελα να ευχαριστήσω ϑερµά τον καθηγητή µου κ. Γιάννη Α. Αντωνιάδη που χωρίς την πολύτιµη ϐοήθεια και καθοδήγηση του δε ϑα είχε γίνει αυτή η εργασία, καθώς και την οικογένεια µου για τη στήριξη της όλα αυτά τα χρόνια. Εµµανουήλ Γ. Τσακνάκης

6 6

7 Περιεχόµενα 1 Κατασκευάσιµα κανονικά n-γωνα Εισαγωγή Κατασκευασιµότητα κανονικού n-γώνου Η κατασκευή του ισοπλεύρου τριγώνου και του κανονικού πενταγώνου κατά τον Ευκλείδη Η κατασκευή του κανονικού 17-γώνου από το Gauss Γεωµετρική κατασκευή του κανονικού 17-γώνου από τον Richmond Κύκλοι Carlyle και κατασκευές κανονικών πολυ-γώνων Ο τετραγωνικός νόµος αντιστροφής 57.1 Εισαγωγή Εισαγωγικά της ϑεωρίας αριθµών Τετραγωνικά υπόλοιπα Ο τετραγωνικός νόµος αντιστροφής εύτερη απόδειξη του τετραγωνικού νόµου αντιστροφής Το σύµβολο του Jacobi και η γενίκευση του τετραγωνικού νόµου αντιστροφής Modulus δυνάµεων πρώτων Τρίτη απόδειξη του τετραγωνικού νόµου αντιστροφής Αθροίσµατα Gauss Τέταρτη απόδειξη του τετραγωνικού νόµου αντιστροφής Πολύγωνοι αριθµοί 10 7

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Εισαγωγή Μορφές Gauss Τριαδικές τετραγωνικές µορφές πινάκων Omega Kernel ή Τετραγωνικές Μορφές Ασαφείς ή αυτο-αντίστροφες µορφές Αθροίσµατα τρίγωνων αριθµών Το ϑεώρηµα των πολύγωνων αριθµών Παράρτηµα p-οµάδες Θεωρία Galois Συµπληρωµατικά της παραγράφου Συµπληρωµατικά παραγράφων 3.3, 3.4 και Ο αριθµός λύσεων της ισοτιµίας x R (mod D)

9 Κεφάλαιο 1 Κατασκευάσιµα κανονικά n-γωνα 1.1 Εισαγωγή Οταν ο Gauss άφησε το κολλέγιο Carolinum τον Οκτώβριο του 1795 για να σπουδάσει στο Πανεπιστήµιο του Göttingen είχε το δίληµµα για το αν ϑα συνέχιζε τις σπουδές του στα µαθηµατικά ή στην άλλη του µεγάλη αγάπη, τις γλώσσες. Μια ανακάλυψή του όµως έµελε να χαράξει την πορεία του σα µεγάλου µαθηµατικού. Σε ηλικία µόλις 19 ετών (30 Μαρτίου 1796) ο Gauss κατασκεύασε το κανονικό 17-γωνο (η απόδειξη ϐρίσκεται στο Disquisitiones Arithmiticae, κεφάλαιο 7, άρθρο 365, το οποίο αν και ολοκληρώθηκε το 1798, όταν ο Gauss ήταν 1 ετών, δηµοσιεύθηκε το 1801, δείτε [9]). Ο Gauss ήταν πολύ περήφανος για αυτή του την ανακάλυψη (αναφέρει µάλιστα ότι από την εποχή του Ευκλείδη ήταν γνωστή η κατασκευή του ισοπλεύρου τριγώνου καθώς και του κανονικού πενταγώνου, αλλά καµία πρόοδος δε σηµειώθηκε για 000 χρόνια) και εξέφρασε την επιθυµία η επιτάφια πλάκα του να έχει χαραγµένο το κανονικό 17-γωνο. Η επιθυµία του δεν πραγµατοποιήθηκε, αφού ο γλύπτης το αρνήθηκε λέγοντας ότι ϑα µοιάζει περισσότερο µε κύκλο. Εδώ ϑα πρέπει να σηµειώσουµε ότι η ανακάλυψη του Gauss είναι πολύ σηµαντική για έναν ακόµα λόγο. Για πρώτη ϕορά χρησιµοποιήθηκε µια τεχνική που αργότερα έγινε από τις πιο χρήσιµες στην ιστορία των µαθηµατικών, η µεταφορά δηλαδή ενός προβλήµατος από µία περιοχή σε µια άλλη. Στη συγκεκριµένη περίπτωση έχουµε τη µεταφορά ενός προβλήµατος της γεωµετρίας στην άλγεβρα. Ο Gauss απέδειξε επίσης ότι το κανονικό n-γωνο είναι κατασκευάσιµο µε κανόνα και διαβήτη όταν n = r p 1...p s, όπου οι p i να είναι διαφορετικοί πρώτοι της µορφής 9

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 10 n + 1. Ο Gauss ήταν ϐέβαιος για την ισχύ του αντιστρόφου, δεν κατάφερε όµως να το αποδείξει. Την απόδειξη έδωσε ο Pierre Wantzel ( ) το Οι πρώτοι της µορφής F n = n + 1 ονοµάζονται πρώτοι του Fermat. Ο Fermat διατύπωσε τον ισχυρισµό ότι όλοι οι αριθµοί της µορφής αυτής είναι πρώτοι, εικασία που κατέρριψε ο Euler δείχνοντας ότι ο 641 διαιρεί τον F 5 = Λόγω του αποτελέσµατος του Euler, λίγο ενδιαφέρον δόθηκε στη συνέχεια για τους πρώτους του Fermat, µέχρι ο Gauss να δείξει τη σχέση τους µε την κατασκευασιµότητα των κανονικών n-γώνων. Μέχρι σήµερα δεν έχει ϐρεθεί άλλος πρώτος του Fermat µετά τον F 4. ηλαδή οι F 0 = 3, F 1 = 5, F = 17, F 3 = 57 και F 4 = είναι οι µόνοι γνωστοί πρώτοι του Fermat. Μέχρι τις Ιουνίου 007 είχε αποδειχθεί ότι για n = 5, 6, 7,..., 3, 36,..., 39, 4, 43 και για άλλες 196 τιµές του n µε 43 < n οι F n είναι σύνθετοι, συνολικά 30 αριθµοί. Θα δούµε στη συνέχεια ότι αν το κανονικό m-γωνο και το κανονικό n-γωνο είναι κατασκευάσιµα και (m,n)=1, τότε και το κανονικό mn-γωνο καθώς και το κανονικό n-γωνο είναι κατασκευάσιµα. Εποµένως το πρόβληµα της κατασκευασιµότητας των κανονικών n-γώνων ανάγεται στο πρόβληµα της κατασκευής του κανονικού p-γώνου, όπου p πρώτος του Fermat. Το ισόπλευρο τρίγωνο καθώς και το κανονικό 5-γωνο κατασκευάστηκαν από τον Ευκλείδη (Στοιχεία, 300 π.χ., ϐιβλίο 4, προτάσεις 11,15), το τελευταίο κατασκευάστηκε και από τον Πτολεµαίο (Almagest, 150 µ.χ.). Το κανονικό 17-γωνο κατασκευάστηκε από τον Gauss (δόθηκε το µήκος cos π σε κατασκευάσιµη έκφραση) και ακολού- 17 ϑησε µια γεωµετρική απόδειξη από τον Johannes Erchinger. Ο R. J. Richelot το 183 κατασκευάζει το κανονικό 57-γωνο (ϐιβλιο-γραφία [17]) και ο J. Hermes το 1894 δουλεύοντας για δέκα χρόνια κατασκευάζει, σε µία εργασία 00 σελίδων, το κανονικό γωνο (δείτε [11]). Ο Coxeter (δείτε [4]) αναφέρει ότι µετά τη λήξη του ευτέρου Παγκοσµίου Πολέµου τα γραπτά του µεταφέρθηκαν στο Μαθηµατικό Ινστιτούτο του Göttingen, όπου και ϐρίσκονται µέχρι σήµερα. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα δούµε τις κατασκευές του ισοπλεύρου τριγώνου και του κανονικού πενταγώνου, όπως αυτές έγιναν από τον Ευκλείδη. Στη συνέχεια ϑα δούµε την κατασκευή του κανονικού 17-γώνου από τον Gauss µε χρήση των περιόδων και µια γεωµετρική κατασκευή του Richmond (1893). Τέλος ϑα µελετήσουµε τους κύκλους Carlyle, πως µπορούµε µε τη ϐοήθεια τους να κατασκευάσουµε γεωµετρικά τις ϱίζες δευτεροβάθµιων πολυωνύµων και πως από αυτό µπορούµε να κατασκευάσουµε όλα τα κανονικά n-γωνα για n=3,5,17,57 και µε οµοιόµορφο τρόπο. Ξεκινώντας, ϑα δούµε πρώτα την ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι ένα κανονικό n-γωνο κατασκευάσιµο. Κάποια ϑεωρήµατα από τη ϑεωρία οµάδων και τη

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 11 ϑεωρία Galois που είναι απαραίτητα για τις αποδείξεις ϐρίσκονται στο παράρτηµα.

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 1 1. Κατασκευασιµότητα κανονικού n-γώνου Κατασκευές µε κανόνα και διαβήτη : Εστω P R. Θεωρούµε τις ακόλουθες δύο κατασκευές : 1. Κατασκευή ευθείας γραµµής, ορισµένης από δύο σηµεία του P.. Κατασκευή κύκλου µε κέντρο σηµείο του P και ακτίνα ίση µε την απόσταση δύο σηµείων του P. Λέµε ότι ένα σηµείο του επιπέδου είναι άµεσα κατασκευάσιµο (µε κανόνα και διαβήτη) από το P, αν είναι σηµείο τοµής δύο ευθειών ή µιας ευθείας και ενός κύκλου ή δύο κύκλων που προκύπτουν από τις κατασκευές 1,. Θα λέµε ότι ένα σηµείο r R του επιπέδου είναι κατασκευάσιµο (µε κανόνα και διαβήτη) από το P, αν υπάρχει πεπερασµένο πλήθος σηµείων r 1,..., r n έτσι ώστε : -Το r 1 να είναι άµεσα κατασκευάσιµο από το P. -Το r i, µε i =,..., n να είναι άµεσα κατασκευάσιµο από το P {r 1,..., r i 1 }. -r n = r. Σε κάθε ϐήµα της κατασκευής ϑεωρούµε το υπόσωµα του R που παράγεται από τις συντεταγµένες των σηµείων που έχουν κατασκευαστεί. Εστω K 0 το υπόσωµα του R που παράγεται από τις συντεταγµένες του P. Αν το r i = (x i, y i ), ορίζουµε επαγωγικά το σώµα K i, K i = K i 1 (x i, y i ), i = 1,..., n. K 0 K 1... K n R Λήµµα 1..1: Τα x i,y i K i (µε τον παραπάνω συµβολισµό) είναι ϱίζες ενός τετραγωνικού πολυωνύµου µε συντελεστές από το σώµα K i 1. Απόδειξη : Για την κατασκευή του r i = (x i, y i ) έχουµε τρεις περιπτώσεις, να είναι τοµή δύο ευθειών ή κύκλων ή τοµή ευθείας µε κύκλο. Θα εξετάσουµε µόνο την τρίτη περίπτωση. Οι άλλες δύο περιπτώσεις διαπραγµατεύονται ανάλογα. Εστω ότι η ευθεία διέρχεται από τα σηµεία A = (p, q) και B = (r, s) µε p, q, r, s K i 1 και ο κύκλος έχει ακτίνα ω και κέντρο C = (t, u), µε t, u, ω K i 1

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 13 (Το ω εν γένει δεν ανήκει στο K i 1, όµως αφού το ω είναι η απόσταση δύο σηµείων του K i 1, έστω των G(a, b) και D(c, d), ϑα έχουµε ότι ω = (a c) +(b d) K i 1 ) Η εξίσωση της ευθείας AB είναι x p = y q και η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο r p s q C και ακτίνα ω, είναι (x t) +(y u) = ω. Τελικά (x t) +( s q r p (x p)+q) = ω, άρα το x είναι ϱίζα τετραγωνικού πολυωνύµου µε συντελεστές από το K i 1. Οµοίως αποδεικνύεται για το y. Θεώρηµα 1..: Αν το r = (x, y) είναι κατασκευάσιµο από ένα P R και K 0 το υπόσωµα του R που παράγεται από τις συντεταγµένες του P, τότε οι ϐαθµοί [K 0 (x) : K 0 ] και [K 0 (y) : K 0 ] είναι δυνάµεις του. Απόδειξη : Από το λήµµα 1..1 έχουµε [K i 1 (x i ) : K i 1 ]=1 ή και όµοια [K i 1 (y i ) : K i 1 ]=1 ή, (αφού όπως είδαµε τα x i και y i είναι ϱίζες ενός δευτεροβάθµιου πολυωνύ- µου µε συντελεστές από το K i 1, άρα το ανάγωγο πολυώνυµό τους στο K i 1 ϑα είναι ϐαθµού 1 ή ), τότε [K i : K i 1 ] = [K i 1 (x i, y i ) : K i 1 ] = [K i 1 (x i, y i ) : K i 1 (x i )] [K i 1 (x i ) : K i 1 ] = 1, ή 4 (αφού [K i 1 (x i, y i ) : K i 1 (x i )]=, αν y i K i 1 (x i ), ενώ είναι 1 αν y i K i 1 (x i )). Άρα ο ϐαθµός [K i : K i 1 ] είναι δύναµη του. Επαγωγικά αποδεικνύεται ότι [K n : K 0 ] είναι δύναµη του και επειδή [K n : K 0 ] = [K n : K 0 (x)] [K 0 (x) : K 0 ] συνεπάγεται ότι [K 0 (x) : K 0 ] είναι δύναµη του. Αντίστοιχα, το [K 0 (y) : K 0 ] είναι δύναµη του. Λήµµα 1..3: Εστω P R µε (0,0),(1,0) P. Αν οι συντεταγµένες του (x, y) ανήκουν στο σώ- µα που παράγουν οι συντεταγµένες των σηµείων του P, τότε το (x, y) κατασκευάζεται από το P.

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 14 (Το αντίστροφο εν γένει δεν ισχύει, ϑα δούµε αργότερα ότι αν το (x, y) κατασκευάζεται από το P µπορεί τα x, y να ανήκουν σε µια επέκταση του σώµατος ϐαθµού δύναµη του ). Σε όσα ακολουθούν ϑεωρείται γνωστό ότι είναι δυνατόν, µε κανόνα και διαβήτη να γίνουν τα παρακάτω : i) Μπορούµε να κατασκευάσουµε ευθεία ε 1, κάθετη σε δοσµένη ευθεία ε, που να διέρχεται από δοθέν σηµείο A ε. ii) Μπορούµε να κατασκευάσουµε ευθεία ε 1, κάθετη σε δοσµένη ευθεία ε, που να διέρχεται από δοθέν σηµείο A ε. iii)μπορούµε να κατασκευάσουµε ευθεία ε 1, παράλληλη σε δοσµένη ευθεία ε, που να διέρχεται από δοθέν σηµείο A ε. Απόδειξη (Λήµµατος 1..3): Καταρχήν λόγω των i) και ii) και αφού (0,0),(1,0) P, από το (x, y) εύκολα κατασκευάζουµε τα (0, x), (0, y) και αντίστροφα. Αρκεί λοιπόν να δείξουµε ότι δοσµένων των (0, x), (0, y) µπορούµε να κατασκευάσουµε τα (0, x + y), (0, x y), (0, xy) και (0, x ), y 0. (δηλαδή από τα σηµεία y (x, y) P µπορούµε να κατασκευάσουµε όλα τα σηµεία που οι συντεταγµένες τους ανήκουν στο σώµα που παράγεται από τα x και y). Τα πρώτα δύο προκύπτουν αµέσως από την κατασκευή κύκλου ακτίνας y και κέντρου x. Για την κατασκευή του, ενώνουµε τα B(0, y) και A(1, 0) και από το iii) ϕέρνουµε ευθεία παράλληλη προς x y το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ που να διέρχεται από το (0, x). (Υποθέτουµε ότι x y, αν x = y τότε έχουµε το (0, 1), τετριµµένο). D(0, x) B(0, y) O(0,0) A(1,0) C(u,0) -1

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 15 Τα τρίγωνα ΟΑΒ και OCD είναι όµοια, άρα u x = 1 y u = x y. Για το xy κάνουµε την παραπάνω διαδικασία ϑέτοντας όπου x το 1 και κατασκευά- Ϲουµε το 1 y και µετά την επαναλαµβάνουµε ϑέτοντας όπου y το 1 y. Λήµµα 1..4: Εστω K(a)/K επέκταση σωµάτων, µε [K(a) : K] =, όπου K(a) R. Τότε κάθε (z, t) R µε z, t K(a) κατασκευάζεται από (πεπερασµένο) σύνολο σηµείων, µε συντεταγµένες από το K. Απόδειξη : Εχουµε [K(a) : K] =, άρα το ανάγωγο πολυώνυµο f(x) του a πάνω από το K, (ϑα το συµβολίζουµε µε Irr(a, K)), ϑα είναι δευτέρου ϐαθµού, δηλαδή f(x) = x + px + q, q, p K. Άρα a = p± p 4q, όπου p 4q 0, αφού K(a) R. Αφού για κάθε z, t K(a) έχουµε z, t = x + ay (η {1,a} είναι ϐάση της K(a)/K) µε x, y K και p, q, p 4q K, αρκεί να δείξουµε την κατασκευασιµότητα του a ή ισοδύναµα του (0, k) για κάθε k K µε k > 0. Κατασκευάζουµε τους άξονες (µε τον κανόνα ϕέρνουµε τον άξονα των x, επειδή το 1 είναι στοιχείο του K µπορούµε να αριθµήσουµε, στη συνέχεια, από το (i), µπορούµε να ϕέρουµε κάθετη στο σηµείο 0, σχηµατίζουµε δηλαδή και τον άξονα των y) και τα σηµεία (-1,0),(k,0) (τα σηµεία κατασκευάζονται αφού οι συντεταγµένες τους είναι στοιχεία του K). Γράφουµε το ηµικύκλιο µε διάµετρο ΒΕ, µε Β(-1,0) και Ε(k,0), το οποίο τέµνει τον άξονα στο (0, u). A(0,u) B(-1,0) -1 O(0,0) E(k,0)

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 16 Τα τρίγωνα ΑΒΟ και ΑΟΕ είναι όµοια, άρα OE AO = AO BO k u = u 1 u = k και το k κατασκευάστηκε. Αυτό ολοκληρώνει την απόδειξη. Λήµµα 1..5: Εστω K υπόσωµα του R, που παράγεται από τις συντεταγµένες των σηµείων ενός συνόλου P, P R και έστω τα a, b L, όπου L υπόσωµα του R, επέκταση του K τ.ω. να υπάρχει πεπερασµένη ακολουθία σωµάτων K = K 0 K 1... K r = L µε [K i+1 : K i ] = για κάθε i = 0,..., r 1, τότε το (a, b) κατασκευάζεται από το P. Απόδειξη : Αν r = 0, τότε σύµφωνα µε το λήµµα 1..3, έχουµε τελειώσει. Αν r 0, τότε το (a, b), σύµφωνα µε το λήµµα 1..4 κατασκευάζεται από το K r 1 και συνεχίζοντας επαγωγικά, από το P. Παρατήρηση : Ισχύει και το αντίστροφο του λήµµατος 1..5 λόγω του ϑεωρήµατος 1... Πρόταση 1..6: Αν K υπόσωµα του R, παραγόµενο από τις συντεταγµένες των σηµείων κάποιου P R και αν a, b L, όπου L υπόσωµα του R, κανονική επέκταση του K, ϐαθµού [L : K] = r, τότε το (a, b) κατασκευάζεται από το P. Απόδειξη : Η L/K είναι διαχωρίσιµη, αφού η χαρακτηριστική του σώµατος K είναι µηδέν. Επίσης είναι και κανονική, άρα είναι Galois, τότε αν ϑέσουµε G = Gal(L/K) ϑα έχουµε G = [L : K] = r. Από το λήµµα αφού η G είναι µία -οµάδα έχει πεπερασµένη ακολουθία κανονικών υποοµάδων : τ.ω. G i = i, για κάθε i = 0,..., r. < id >= G 0 G 1... G r = G (1)

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 17 Από το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Θεωρίας Galois ϑα έχουµε την αντίστοιχη ακολουθία ενδιάµεσων σωµάτων : K = K 0 K 1... K r = L και οι υποοµάδες G i της (1) γράφονται σαν οµάδες Galois των σωµάτων αυτών : < id >= Gal(L/L) Gal(L/K r 1 )... Gal(L/K 1 ) Gal(L/K) = G όπου Gal(L/K r i ) = i. Επίσης [K 1 : K] = [K : K] = G Gal(L/K 1 ) = G Gal(L/K ) = r r 1 = r = r... [K r : K] = G Gal(L/K r ) = Άρα από τον τύπο γινοµένου διαστάσεων έχουµε : [K j+1 : K j ] =, για κάθε j = 0,..., r 1. r = r r r Εποµένως, σύµφωνα µε το λήµµα 1..5, το (a, b) κατασκευάζεται από το P. Ορισµός : Ενας n N ϑα λέµε ότι είναι κατασκευάσιµος αν και µόνο αν το κανονικό n-γωνο είναι κατασκευάσιµο µε κανόνα και διαβήτη.

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 18 Λήµµα 1..7: 1)Αν n κατασκευάσιµος και m n τότε ο m είναι κατασκευάσιµος. )Αν (m,n)=1 και m,n κατασκευάσιµοι τότε και ο mn είναι κατασκευάσιµος. Απόδειξη : 1) Αν ο n είναι κατασκευάσιµος, κατασκευάζουµε το κανονικό m-γωνο ενώνοντας κάθε n -οστή κορυφή του n-γώνου. m )Αν (m, n) = 1 am + bn = 1 a 1 + b 1 = 1 a π + b π = π n m mn n m mn, για κάποια a, b Z. ηλαδή K = La + bm, όπου K, L και M οι χορδές που αντιστοιχούν στις πλευρές του κανονικού mn-γώνου, n-γώνου και m-γώνου αντίστοιχα. Οµως τα µήκη των χορδών L και M είναι γνωστά (m,n κατασκευάσιµοι), άρα υπολογίζουµε την χορδή K. Πόρισµα : Αν n = p a p a r r, όπου p i διακεκριµένοι πρώτοι, τότε ο n είναι κατασκευάσιµος αν και µόνο αν ο p a i i είναι κατασκευάσιµος για κάθε i = 1,..., r. Λήµµα 1..8: Το a είναι κατασκευάσιµος για κάθε a N >1. Απόδειξη : Η απόδειξη είναι άµεση συνέπεια του γεγονότος ότι το τετράγωνο κατασκευάζεται µέσω των κατασκευών (i) και (ii), ενώ για κάθε ϕυσικό a > µε διχοτόµηση γωνιών. Λήµµα 1..9: Εστω πρώτος p τ.ω. p n κατασκευάσιµος και Ϲ πρωταρχική p n -ϱίζα της µονάδας στο C, τότε deg(irr(ζ, Q)) = m, για κάποιο m N {0}. Απόδειξη : ζ = e πi p n = (cos π p n, sin π p n ) := (a, b)

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 19 Τα a, b είναι κατασκευάσιµα αφού ο p n κατασκευάσιµος. Από το ϑεώρηµα 1.. έχουµε [Q(a, b) : Q] = r. Άρα [Q(a, b, i) : Q] = r+1, (a, b R, άρα Irr(i, Q(a, b)) = x + 1). Επίσης ζ Q(ζ), άρα Q Q(ζ) Q(a, b, i) [Q(ζ) : Q] [Q(a, b, i) : Q(ζ)] = [Q(a, b, i) : Q] = r+1, άρα [Q(ζ) : Q] = m, για κάποιο m N {0}, δηλαδή deg(irr(ζ, Q)) = m, για κάποιο m N {0}. Λήµµα 1..10: Εστω p πρώτος και Ϲ πρωταρχική p ϱίζα της µονάδας στο C, τότε Irr(ζ, Q) = 1 + t t p 1. Απόδειξη : Εχουµε Ϲ 1, αφού Ϲ πρωταρχική ϱίζα, άρα Ϲ ϱίζα του πολυωνύµου f(t) = 1 + t t p 1. Θα αποδείξουµε ότι το πολυώνυµο είναι ανάγωγο µε τη ϐοήθεια της παρατήρησης που λέει ότι : f(x) ανάγωγο στο Q f(x + c) ανάγωγο στο Q, για κάποιο c Z. Για να δείξουµε λοιπόν ότι το f(t) είναι ανάγωγο πάνω από το Q, αρκεί να δείξουµε ότι το f(t + 1) είναι ανάγωγο πάνω από το Q. Είναι f(t + 1) = (t+1)p 1 t+1 1 = tp +( p p 1 )tp ( p 1 )t+1 1 t f(t + 1) = t p 1 + ( p p 1)t p ( p )t + ( p 1) f(t + 1) = t p 1 + ( p p 1)t p ( p )t + p Τότε έχουµε ότι p ( p p 1),..., ( p ), p, p 1 και p p, άρα από το κριτήριο Eisenstein το f(t + 1) είναι ανάγωγο πάνω από το Q. Λήµµα 1..11: Εστω p πρώτος και Ϲ πρωταρχική p -οστή ϱίζα του 1 στο C, τότε Irr(ζ, Q) = 1 + t p + t p t (p 1)p. Απόδειξη : Εστω g(x) = 1 + t p + t p t (p 1)p = tp 1 t p 1. Είναι g(ζ) = 0, αφού ζp 1 = 0 και ζ p 1. Οπως πριν, για να δείξουµε ότι g(t) είναι ανάγωγο πάνω από το Q, αρκεί να δείξουµε ότι το g(t + 1) είναι ανάγωγο πάνω από το Q.

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 0 Εχουµε g(1 + t) = 1 + (1 + t) p (1 + t) (p 1)p = (1+t)p 1 (1+t) p 1 tp t p t p(p 1) (mod p). Άρα g(1 + t) = t p(p 1) + pk(t), k(t) Z[x]. Από το κριτήριο του Eisenstein για p το g(t + 1) είναι ανάγωγο πάνω από το Q, άρα και το g(t). Λήµµα 1..1: Εστω K σώµα µε χαρακτηριστική 0 (chk = 0) και L το σώµα ανάλυσης του t p 1 στο K, όπου p πρώτος, τότε η οµάδα Gal(L/K) είναι αβελιανή. Απόδειξη : Οι ϱίζες του t p 1, δηλαδή οι p-ϱίζες του 1, αποτελούν πολλαπλασιαστική οµάδα, τάξης p, άρα κυκλική. Αν ε ένας γεννήτοράς της, τότε L = K(ε). Κάθε Κ-αυτοµορφισµός του L καθορίζεται από τη δράση του στο ε και είναι µια µετάθεση των ϱιζών του t p 1. Άρα ϑα είναι της µορφής σ j (ε) = ε j. Οµως τότε η οµάδα ϑα είναι αβελιανή αφού σ i σ j (ε) = ε ij = σ j σ i (ε). Λήµµα 1..13: Το κανονικό n-γωνο είναι κατασκευάσιµο µε κανόνα και διαβήτη αν και µόνο αν n = r p 1...p s, όπου r, s N {0} και p 1,..., p s είναι περιττοί πρώτοι της µορφής n + 1, για ϑετικούς ακεραίους n (πρώτοι του Fermat). Απόδειξη : ( ) Εστω n κατασκευάσιµο και n = r p a p a s s πρώτους (p i διακριτοί περιττοί πρώτοι). η µονοσήµαντη ανάλυση του n σε Από το λήµµα 1..7 κάθε p a i i είναι κατασκευάσιµος. Αν a i τότε το p i είναι κατασκευάσιµο (πάλι από το λήµµα 1..7, αφού p i p a i i ). Άρα από το λήµµα 1..9 έχουµε ότι ο ϐαθµός deg(irr(ζ, Q)) = είναι δύναµη του, όπου Ϲ πρωταρχική p i - ϱίζα της µονάδας στο C. Από το λήµµα 1..11, deg(irr(ζ, Q)) = p i (p i 1). Τότε όµως ϑα πρέπει το p i (p i 1) να είναι δύναµη του, δηλαδή ο περιττός πρώτος p i πρέπει να διαιρεί το, άτοπο! Άρα a i = 1 για κάθε i. Μένει να δείξουµε ότι οι πρώτοι p i, για i = 1,..., s είναι πρώτοι του Fermat. Από το λήµµα 1..10, αν Ϲ πρωταρχική p i -ϱίζα της µονάδας στο C τότε deg(irr(ζ, Q)) = p i 1 και από το λήµµα 1..9 ϑα πρέπει να είναι ίσο µε s i, για κάποιο s i N.

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 1 Εστω ότι ο s i έχει περιττό διαιρέτη a > 1, τότε s i = ab p i = ab + 1 = ( b ) a + 1 = ( b + 1)( b(a 1) ), µε b + 1 και b(a 1) ακέραιοι, µεγαλύτεροι του 1, άτοπο! Άρα το s i δεν έχει περιττό διαιρέτη, άρα είναι δύναµη του, δηλαδή ο n είναι της µορφής n + 1, για κάποιο n N και η αναγκαία συνθήκη για να είναι ένα κανονικό n-γωνο κατασκευάσιµο αποδείχθηκε. ( ) Αρκεί να δείξουµε ότι οι r,p i είναι κατασκευάσιµοι. Το r είναι κατασκευάσιµο από το λήµµα Θα δείξουµε την κατασκευασιµότητα των p i. Εστω Ϲ p i -οστή πρωταρχική ϱίζα της µονάδας στο C. Τότε από το λήµµα [Q(ζ) : Q] = p i 1 = n = n := a. Το Q(ζ) είναι το σώµα ανάλυσης του f(t) = 1 + t t p i 1 στο Q, άρα Q(ζ)/Q κανονική και διαχωρίσιµη (χαρακτηριστική 0), άρα Galois. Από το λήµµα 1..1 η Gal(Q(ζ)/Q) είναι αβελιανή. Εστω K = R Q(ζ), (Q K = R Q(ζ) Q(ζ)). Είναι [Q(ζ) : K] = (Irr(ζ, K) = (x ζ)(x ζ 1 ) = x (ζ +ζ 1 )x+ζζ 1 = x cos( π p i )x+1 K[x]). Εχουµε ότι Gal(Q(ζ)/K) Gal(Q(ζ)/Q), (αφού κάθε υποοµάδα αβελιανής οµάδας είναι κανονική). Άρα από το Θεµελιώδες Θεώρηµα της Θεωρίας Galois (δείτε το παράρτηµα µε τη ϑεωρία Galois) έχουµε ότι η επέκταση K/Q είναι Galois, άρα κανονική και επίσης : a = [Q(ζ) : Q] = [Q(ζ) : K] [K : Q] = [K : Q] [K : Q] = a 1. Αφού λοιπόν η K/Q είναι κανονική επέκταση ϐαθµού δύναµη του, από την πρόταση 1..6 έχουµε ότι κάθε στοιχείο του K είναι κατασκευάσιµο. Οµως τα ζ = cos π p i + isin π p i και ζ 1 = cos π p i isin π p i ανήκουν στο Q(ζ), άρα και το ζ + ζ 1 = cos π p i ανήκει στο Q(ζ), το οποίο όµως είναι πραγµατικός αριθµός, άρα ανήκει στο K. ηλαδή το cos π p i κατασκευάζεται, άρα κατασκευάζεται το cos π p i και συνεπώς µπορούµε να κατασκευάσουµε και το σηµείο (cos π p i, 0) του R. Σχηµατίζουµε λοιπόν τον µοναδιαίο κύκλο και το σηµείο Γ=(cos π p i, 0).

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ (0,1) B A E(cos( /p i ),0) Z (1,0) Τότε cosθ = AE AB p i -γώνου. = cos( π ) p i = cos π 1 p i, άρα η ΒΖ είναι η πλευρά του κανονικού

23 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ Η κατασκευή του ισοπλεύρου τριγώνου και του κανονικού πενταγώνου κατά τον Ευκλείδη Είδαµε ότι το πρόβληµα κατασκευής κανονικού n-γώνου µε κανόνα και διαβήτη ανάγεται στο πρόβληµα κατασκευής κανονικού p-γώνου, όπου p πρώτος του Fermat. Οι πρώτες κατασκευές τέτοιων p-γώνων έγιναν περίπου 000 χρόνια πριν από τον Gauss, από τους αρχαίους Ελληνες. Αυτές ήταν οι κατασκευές του ισοπλεύρου τριγώνου και του κανονικού πενταγώνου (Στοιχεία του Ευκλείδη, ϐιβλίο 4, 300 π.χ.). Αρχικά ϑα αποδείξουµε τέσσερεις προτάσεις που ϑα µας χρησιµεύσουν στη συνέχεια, µετά ϑα κατασκευάσουµε το κανονικό πεντάγωνο και τέλος το κανονικό εξάγωνο από το οποίο προκύπτει και το ισόπλευρο τρίγωνο. Πρόταση 1.3.1: Να διαιρεθεί δοσµένο ευθύγραµµο τµήµα ώστε το ορθογώνιο που ορίζει το τµήµα και το ένα µέρος του, να είναι ισοδύναµο µε το τετράγωνο που έχει πλευρά το άλλο µέρος. Απόδειξη : Η απόδειξη που ϑα δώσουµε είναι σύγχρονη (αλγεβρική), η γεωµετρική απόδειξη του Ευκλείδη ϐρίσκεται στα στοιχεία, ϐιβλίο, πρόταση 11. Εστω ΑΒ το δοσµένο τµήµα, το Ϲητούµενο είναι να ϐρούµε σηµείο Θ τέτοιο ώστε ΑΒ ΒΘ=ΑΘ, δηλαδή AB BΘ=(ΑΒ-ΒΘ). Εστω x και d (γνωστό) τα µήκη των ΒΘ και ΑΒ αντίστοιχα. Τότε dx = (d x) x 3dx + d = 0 x = 3d + d 5 = d 3 + 5, άρα x κατασκευάσιµο. Φέρνουµε κύκλο κέντρου Β και ακτίνας x, το σηµείο τοµής του κύκλου µε το ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ είναι το Ϲητούµενο σηµείο Θ.

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 4 Πρόταση 1.3. (Στοιχεία, IV.1): Αν δοθούν κύκλος και ευθύγραµµο τµήµα µικρότερο ή ίσο από τη διάµετρο του κύκλου, να κατασκευαστεί χορδή του κύκλου ίση προς το δοθέν ευθύγραµµο τµήµα. Απόδειξη : Εστω κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας ϱ και ευθύγραµµο τµήµα d µικρότερο ή ίσο µε τη διάµετρο του κύκλου. d A B O G Z Φέρνουµε µια διάµετρο του κύκλου, έστω BG. Αν το d είναι ίσο µε τη διάµετρο τελειώσαµε. Αν το d είναι µικρότερο από τη διάµετρο, ϕέρνουµε κύκλο κέντρου G και ακτίνας d, ο οποίος τέµνει τον (Ο,ρ) στα Α και Ζ. Η GA = d είναι η Ϲητούµενη χορδή. Η παραπάνω κετασκευή δεν ταιριάζει µε τις άλλες κατασκευές του τέτερτου ϐιβλίου των Στοιχείων και µάλλον ϑα πρέπει να είναι του ίδιου του Ευκλείδη, ο οποίος τη χρησιµοποιεί σαν λήµµα σε µια σειρά προτάσεων (π.χ. Στοιχεία IV.16,XII.16).

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 5 Πρόταση (Στοιχεία, IV.5): Περί δοθέν τρίγωνο να περιγραφεί κύκλος. Απόδειξη : ίνεται τρίγωνο ABG και ϑέλουµε να ϕέρουµε κύκλο περί αυτού, δηλαδή να κατασκευάσουµε κύκλο που να διέρχεται από τις κορυφές του τριγώνου A, B και G. Παίρνουµε τα µέσα D και E των πλευρών AB και AG αντίστοιχα και ϕέρνουµε κάθετες στις AB και AG που να διέρχονται από τα D και E. Οι κάθετες αυτές τέµνονται ή εντος του τριγώνου ή σε σηµείο της BG ή εκτός του τριγώνου. Εστω ότι τέµνονται σε σηµείο Z εσωτερικό του τριγώνου. A D E Z B G Φέρνουµε τα ευθύγραµµα τµήµατα ZA,ZB και ZG. Τα ορθογώνια τρίγωνα DAZ και DBZ έχουν AD = DB = AB και DZ κοινή, άρα είναι ίσα, εποµένως ZA=ZB. Οµοίως αποδεικνύεται ότι ZG=ZA. Άρα ZA=ZB=ZG=r. Τότε ο κύκλος (Z,r) διέρχεται από τις κορυφές A, B, G και είναι ο περιγεγραµ- µένος περί του τριγώνου ABG. Οµοια εργαζόµαστε και στις άλλες περιπτώσεις. Πρόταση (Στοιχεία, IV.10): Να κατασκευαστεί ισοσκελές τρίγωνο, του οποίου η γωνία της ϐάσης να είναι διπλάσια από τη γωνία της κορυφής του.

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 6 Απόδειξη : Παίρνουµε ευθύγραµµο τµήµα AB και σηµείο του G, τέτοιο ώστε AB BG = AG (από πρόταση 1.3.1). Με κέντρο το A και ακτίνα AB γράφουµε κύκλο c και κατασκευάζουµε χορδή BD του c ίση µε το AG, η οποία δεν είναι µεγαλύτερη από τη διάµετρο του κύκλου (πρόταση 1.3.). Φέρνουµε τα AD, DG και τον περιγεγραµµένο κύκλο c 1 του τριγώνου AGD (πρόταση 1.3.3). Εχουµε ότι AB BG = AG και AG = BD, άρα AB BG = BD. Από το B, που ϐρίσκεται εκτός του κύκλου c 1, διέρχονται δυο ευθείες, εκ των οποίων η µία τέµνει τον c 1 στα σηµεία A και G και η άλλη έχει κοινό σηµείο µε τον c 1 το D και επειδή AB BG = BD, η BD ϑα εφάπτεται στον c 1 στο σηµείο D. c A G B D c 1 Άρα η γωνία BDG είναι ίση µε τη GAD (γωνία χορδής και εφαπτοµένης). Εποµένως B ˆDG + G ˆDA = GÂD + G ˆDA ή B ˆDA = GÂD + G ˆDA. Αλλά GÂD + G ˆDA = BĜD (η BGD γωνία είναι εξωτερική του τριγώνου AGD). Συνεπώς B ˆDA = BĜD (1). Ακόµα B ˆDA = D ˆBA του κύκλου c). (), αφού το ABD είναι ισοσκελές, (AB = AD=ακτίνα Από τις (1) και () προκύπτει ότι BĜD = D ˆBA. Άρα B ˆDA = D ˆBA = BĜD

27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 7 και επειδή D ˆBG = DĜB, στο τρίγωνο DBG ϑα είναι DB = DG. Αλλά DB = AG, άρα AG = GD, δηλαδή στο τρίγωνο GAD ισχύει GÂD = G ˆDA. Επίσης GÂD + G ˆDA = BĜD. Άρα BĜD = DÂG και αφού BĜD = A ˆBD = A ˆDB, ϑα έχουµε A ˆBD = A ˆDB = DÂG. Άρα το ABD είναι το Ϲητούµενο τρίγωνο. Προφανώς το τρίγωνο έχει γωνίες 36 o,7 o,7 o. Η πρόταση αυτή χρησιµεύει για την κατασκευή του κανονικού πενταγώνου, για το λόγο αυτό πολλοί αποδίδουν την πρόταση στους Πυθαγορείους. Με τη ϑέση αυτή π.χ. συµφωνεί και ο Πρόκλος, όπως ο ίδιος γράφει σχετικά. Πρόταση (Στοιχεία, IV.11): Σε δοθέντα κύκλο να εγγραφεί πεντάγωνο ισόπλευρο και ισογώνιο. Απόδειξη : Εστω ότι δίνεται κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας ϱ και ϑέλουµε να εγγράψουµε πεντάγωνο ισόπλευρο και ισογώνιο. Κατασκευάζουµε ισοσκελές τρίγωνο ΖΗΤ µε Ĥ = ˆT = Ẑ, πρόταση και στη συνέχεια εγγράφουµε στον κύκλο (Ο,ρ) τρίγωνο AGD όµοιο µε το ΖΗΤ, τέτοιο ώστε GÂD = Ẑ και AĜD = Ĥ = ˆT = A ˆDG, όπως στο σχήµα. A Z B E H T G D Άρα AĜD = G ˆDA = GÂD

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 8 Φέρνουµε τις διχοτόµους GE και DB των γωνιών AGD και GDA αντίστοιχα και τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΒ, BG, GD, DE και EA. Επειδή AĜD = G ˆDA = GÂD και οι GE, DB είναι οι διχοτόµοι των AGD και GDA, ϑα έχουµε AĜE = EĜD = A ˆDB = B ˆDG = GÂD. Άρα τα αντίστοιχα τόξα ϑα είναι ίσα, συνεπώς και οι αντίστοιχες πλευρές, δηλαδή AB = BG = GD = DE = EA. Εποµένως το πεντάγωνο είναι ισόπλευρο. Θα δείξουµε ότι είναι και ισογώνιο. Οπως είδαµε τα τόξα AB και DE είναι ίσα, άρα και το τόξο AB + BGD είναι ίσο µε το DE + BGD, δηλαδή τα τόξα ABGD και EDGB είναι ίσα. Φυσικά και οι εγγεγραµµένες γωνίες AÊD και BÂE που ϐαίνουν στα τόξα αυτά είναι ίσες. Οµοια αποδεικνύουµε ότι BÂE = A ˆBG = BĜD = G ˆDE = AÊD. ηλαδή το πεντάγωνο είναι και ισογώνιο. Παρατηρούµε ότι ο Ευκλείδης για την απόδειξη της πρότασης 1.3.5, χρησι- µοποιεί την Θα µπορούσαµε όµως να κατασκευάσουµε το κανονικό πεντάγωνο κατασκευάζοντας τις επίκεντρες γωνίες 36 o. Από την πρόταση έχουµε ισοσκελές τρίγωνο ZHT µε γωνίες H = T =7 o και Z=36 o. Με κέντρο την κορυφή Ζ και ακτίνα ΖΗ γράφουµε κύκλο (Ζ,ΖΗ), παίρνουµε τόξα HT = T I =... και ϕέρνουµε τις χορδές HI,IL,... Z L K H T I Η ευφυής στραγηγική της χρήσης ενός γνωστού σχήµατος για την κατασκευή ενός Ϲητουµένου χρησιµοποιείται συχνά από τον Ευκλείδη (π.χ. Στοιχεία, ϐιβλίο IV, πρόταση 16).

29 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 9 Πρόταση (Στοιχεία, IV.11): Σε δοθέντα κύκλο να εγγραφεί εξάγωνο ισόπλευρο και ισογώνιο. Απόδειξη : Εστω δοθέν κύκλος (Η,ρ) και ϑέλουµε να εγγράψουµε εξάγωνο ισόπλευρο και ισογώνιο. Φέρνουµε τη διάµετρο AD του κύκλου και γράφουµε κύκλο (D, DH) που τέµνει το δοθέντα κύκλο στα σηµεία G και E. Φέρνουµε τις EH και GH που τέµνουν τον (Η,ρ) στα B και Z αντίστοιχα. B G A H D Z E Γράφουµε τα ευθύγραµµα τµήµατα AB, BG, GD, DE, EZ και ZA. δείξουµε ότι το εξάγωνο ABGDEZ είναι ισόπλευρο και ισογώνιο. Εχουµε ότι HE = HD (ακτίνες του (Η,ρ) ) και DE = DH (ακτίνες του (D, DH)), άρα HE = DE. Εποµένως το τρίγωνο EHD είναι ισόπλευρο. Άρα EĤD = H ˆDE = DÊH και αφού το άθροισµα τους είναι ίσο µε δυο ορθές, ϑα είναι EĤD = 1 3 ορθές. Οµοίως αποδεικνύουµε ότι DĤG = 1 ορθές και επειδή EĤG + GĤB = 3 ορθές (παραπληρωµατικές), ϑα είναι GĤB = 1 3 ορθές. Εποµένως οι γωνίες EĤD, DĤG, GĤB είναι ίσες, άρα και οι κατακορυφήν τους BĤA, AĤZ, ZĤE είναι ίσες προς αυτές. Άρα τα αντίστοιχα τόξα είναι ίσα και αφού ίσα τόξα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές, ϑα έχουµε ότι AB = BG = GD = DE = EZ = ZA, δηλαδή το εξάγωνο είναι ισόπλευρο. Θα δείξουµε ότι είναι και ισογώνιο. Θα

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 30 Είδαµε ότι τα τόξα AZ και DE είναι ίσα, άρα ϑα είναι ίσο και το τόξο AZ + ABGD µε το DE +ABGD, εποµένως τα τόξα ZABGD και EDGBA είναι ίσα. Άρα ZÊD = AẐE (εγγεγραµµένες που ϐαίνουν σε ίσα τόξα). Οµοια αποδυκνείεται ότι AẐE = ZÂB = A ˆBG = BĜD = G ˆDE = DÊZ. Άρα το εξάγωνο ABGDEZ είναι και ισογώνιο και έχει εγγραφεί σε δοθέντα κύκλο. Τώρα συνδέοντας π.χ. τις άρτιες κορυφές του κανονικού εξαγώνου κατασκευά- Ϲουµε το ισόπλευρο τρίγωνο.

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ Η κατασκευή του κανονικού 17-γώνου από το Gauss Σε αυτό το κεφάλαιο ϑα δούµε πως ο Gauss µελέτησε την κυκλοτοµική επέκταση Q(ζ p )/Q, όπου p είναι περιττός πρώτος. Μελετώντας την επέκταση αυτή 30 χρόνια πριν το Galois, ο Gauss περιέγραψε τα ενδιάµεσα σώµατά της και τα χρησιµοποίησε για να δείξει ότι η x p 1 = 0 είναι επιλύσιµη µε ϱιζικά. Θα δούµε κάποια αποτελέσµατα, τα οποία προκύπτουν εύκολα από τη ϑεωρία Galois και τα οποία είχε κατανοήσει ο Gauss χρόνια πριν. Εστω p περιττός πρώτος, τότε Gal(Q(ζ p )/Q) Z p. Η ισοµορφία αυτή προκύπτει εύκολα, αν ϑεωρήσουµε την απεικόνιση Θ : Gal(Q(ζ p )/Q) Z p, η οποία στέλνει τη σ(ζ p ) = ζp t στο t + pz, µε p t. Η Θ είναι οµοµορφισµός οµάδων. Εστω σ(ζ p ) = ζp t και τ(ζ p) = ζp s δυο στοιχεία της οµάδας Galois, τότε στ(ζ p ) = σ(ζp) s = ζp st = ζpζ t p s = σ(ζ p )τ(ζ p ), επίσης είναι 1-1, αφού Kerθ =< id > και επί. Η οµάδα Z p είναι κυκλική τάξης p 1. Για κάθε ϑετικό διαιρέτη f του p 1 η Z p έχει µοναδική υποοµάδα H f τάξης f (στο παράρτηµα µε τις p-οµάδες δείξαµε ότι ισχύει για κάθε αβελιανή), η οποία είναι και κανονική υποοµάδα (κάθε υποοµάδα αβελιανής οµάδας είναι κανονική). Ακολουθώντας τον Gauss, ας ϑέσουµε e = p 1, δηλαδή ef = p 1. Η οµάδα f H f έχει δείκτη e στη Z p. Λήµµα 1.4.1: Εστω f και f ϑετικοί διαιρέτες του p-1, τότε H f H f αν και µόνο αν f f. Απόδειξη : ( ) Προφανές, αφού από ϑεώρηµα Lagrange ξέρουµε ότι η τάξη της υποοµάδας διαιρεί την τάξη της οµάδας. ( ) Εχουµε ότι f p 1, άρα υπάρχει µοναδική υποοµάδα H f της G µε H f = f. Οµοια έχουµε µοναδική υποοµάδα H f G, µε H f = f. Οµως f f, άρα υπάρχει µοναδική υποοµάδα H της Z p µε H = f, τ.ω. H H f G. Τότε όµως H G, µε H = f.

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 3 Από µοναδικότητα της H f έχουµε H = H f. Από την ισοµορφία Gal(Q(ζ p )/Q) Z p και την αντιστοιχία Galois, τα ενδιάµεσα σώµατα της Q(ζ p )/Q είναι τα σώµατα : L f = {a Q(ζ p ) σ(a) = a, για κάθε σ µε σ(ζ p ) = ζ i p, i H f } όπου το f διατρέχει τους ϑετικούς διαιρέτες του p 1. Αυτά τα σώµατα έχουν τις ακόλουθες ωραίες ιδιότητες. Πρόταση 1.4.: i) Αν L f ένα ενδιάµεσο σώµα της επέκτασης Q(ζ p )/Q, τότε η L f /Q είναι επέκταση Galois, ϐαθµού e. ii) Αν f, f ϑετικοί διαιρέτες του p 1, τότε για τα αντίστοιχα σώµατα L f και L f ισχύει L f L f αν και µόνο αν f f. Απόδειξη : i) Από το ϑεµελιώδες ϑεώρηµα της ϑεωρίας Galois ξέρουµε ότι αφού H f Gal(Q(ζ p )/Q), τότε η L f /Q είναι επάκταση Galois ϐαθµού [L f : Q] = [Gal(Q(ζ p )/Q) : H f ] = e. ii) ( ) Εχουµε L f L f, άρα H f H f, άρα f f. ( ) Αφού f f, από το λήµµα έχουµε H f H f, τότε x L f x {a Q(ζ p ) σ(a) = a, σ : σ(ζ p ) = ζ i p, i H f } x {a Q(ζ p ) σ(a) = a, σ : σ(ζ p ) = ζ i p, i H f } x L f, άρα L f L f. Ας ϑεωρήσουµε λοιπόν ότι p 1 = q 1 q... q r είναι η ανάλυση του p 1 σε πρώτους (όχι κατ ανάγκη διαφορετικούς), τότε ϑα έχουµε τον πύργο σωµάτων : Q = L q1...q r L q...q r... L qr 1 q r L qr L 1 = Q(ζ p ),

33 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 33 όπου [L qi+1...q r : L qi q i+1...q r ] = H q i q i+1...q r H qi+1...q r = q i. Περίοδοι Εστω ef = p 1 και H f Z p η µοναδική υποοµάδα τάξης f. οθέντος ενός στοιχείου a = [i] Z p, έχουµε ζa p = ζp i (αφού ζp p = 1). Ορισµός : Εστω λ Z, µε (λ, p) = 1, τότε [λ] Z p. Θεωρούµε το σύµπλοκο [λ]h f της H f στο Z p, τότε ορίζουµε την f-περίοδο του λ να είναι το άθροισµα : (f, λ) = a [λ]h f ζ a p. Τώρα ϑα δούµε κάποιες από τις ιδιότητες των f-περιόδων. Λήµµα 1.4.3: Εστω ef = p 1 και (f, λ) όπως ορίσαµε παραπάνω. Τότε : i) υο f-περίοδοι είτε ταυτίζονται είτε δεν έχουν κανένα κοινό όρο στο άθροισµα. ii) Υπάρχουν e διακριτές f-περίοδοι. iii) Οι f-περίοδοι είναι γραµµικά ανεξάρτητες στο Q. iv) Εστω σ Gal(Q(ζ p )/Q) τ.ω. σ(ζ p ) = ζp i, τότε για οποιαδήποτε f-περίοδο (f, λ) ϑα έχουµε σ((f, λ)) = (f, iλ). Απόδειξη : i) Ξέρουµε ότι οι 1, ζ p,..., ζp p Q(ζ p ) είναι γραµµικά ανεξάρτητα στο Q, (αφού [Q(ζ p ) : Q] = p 1). Πολλαπλασιάζοντας µε ζ p, έχουµε ότι και οι ζ p,..., ζp p 1 είναι γραµµικά ανεξάρτητα στο Q. Αυτό σηµαίνει ότι δυο f-περίοδοι (ας ϑυµηθούµε ότι η (f, λ) είναι αθροίσµατα όρων ζp a, a [λ]h f και αυτοί οι όροι είναι γραµµικά ανεξάρτητοι) ταυτίζονται αν και µόνο αν τα αντίστοιχα σύµπλοκα είναι τα ίδια. Επειδή όµως τα σύµπλοκα είτε είναι ίδια είτε δεν έχουν κοινά στοιχεία, το ίδιο ϑα ισχύει και για τις f-περιόδους. ii) Είδαµε λοιπόν ότι κάθε f-περίοδος αντιστοιχεί σε ένα σύµπλοκο, σύµπλοκα όµως έχουµε p 1 f = e (όσος είναι και ο δείκτης της H f στη Z p ). iii) Από το i) είδαµε ότι οι f-περίοδοι είτε είναι ίδιες είτε δεν έχουν κανένα κοινό όρο στο άθροισµα, άρα αν ήταν γραµµικά εξαρτηµένες το ίδιο ϑα έπρεπε να ισχύει

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 34 και για τα ζ p,..., ζp p 1, άτοπο. iv) Θυµόµαστε ότι ζ i p = ζ [i] p. Τότε σ((f, λ)) = ϑέτουµε b = [i]a Z p και έχουµε σ((f, λ)) = a [λ]h f (ζ i p) a = ζ p [i]a, a [λ]h f b [iλ]h f ζ b p = (f, iλ). Τώρα ϑα δείξουµε ότι οι f-περίοδοι είναι πρωταρχικά στοιχεία της L f /Q και µάλιστα αποτελούν ϐάση της L f πάνω από το Q. Πρόταση 1.4.4: Εστω L f το ενδιάµεσο σώµα της επέκτασης Q(ζ p )/Q που αντιστοιχεί στη H f, τότε ισχύουν : i) Αν (f, λ 1 ),..., (f, λ e ) οι διακριτές f περίοδοι, τότε το g(x) = (x (f, λ 1 ))...(x (f, λ e )) ανήκει στο Q[x] και είναι το ελάχιστο πολυώνυµο υπέρ του Q για οποιαδήποτε f- περίοδο. ii) Κάθε f-περίοδος είναι πρωταρχικό στοιχείο της επέκτασης L f /Q. Απόδειξη : i) Ξέρουµε ότι αν έχουµε µια επέκταση Galois L/K και G = Gal(L/K), τότε για να ϐρούµε το ανάγωγο πολυώνυµο p(x) πάνω από το K ενός στοιχείου a L, αρκεί να ϐρούµε τα συζυγή του ως προς τις µεταθέσεις σ, σ G, έστω b 1,..., b n και τότε p(x) = (x b 1 )...(x b n ). Εστω λοιπόν µια f-περίοδος η = (f, λ) που αντιστοιχεί σε ένα σύµπλοκο [λ]h f. Αν [i] Z p, τότε η f-περίοδος (f, iλ) που αντιστοιχεί στο σύµπλοκο [iλ]h f είναι η συζυγής του η πάνω από το Q, όπως είδαµε στο Λήµµα (iv).

35 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 35 Εφόσον το [iλ]h f µας δίνει όλα τα σύµπλοκα της H f στη Z p καθώς µεταβάλλεται το [i], τα συζυγή του η πάνω από το Q ϑα είναι οι e διακριτές f-περίοδοι (f, λ 1 ),..., (f, λ e ). Εποµένως το ανάγωγο πολυώνυµο στο Q είναι πράγµατι το g(x). ii) Εχουµε ότι η Q(η)/Q είναι επέκταση ϐαθµού e (προκύπτει από το ϐαθµό του αναγώγου πολυωνύµου), όµως και η L f /Q έχει ϐαθµό e. Αφού η Gal(Q(ζ p /Q)) Z p έχει µοναδική υποοµάδα ϐαθµού e, την H e, αυτή ορίζει (αντιστοιχία Galois) ένα ενδιάµεσο σώµα που να έχει ϐαθµό e, άρα ϑα πρέπει Q(η) = L f και προκύπτει το (ii). Σαν συνέπεια έχουµε την παρακάτω ενδιαφέρουσα ϐάση της L f /Q Λήµµα 1.4.5: Οι f-περίοδοι αποτελούν ϐάση του L f πάνω από το Q. Απόδειξη : Από την πρόταση έχουµε ότι οι f-περίοδοι είναι πρωταρχικά στοιχεία του L f, γραµµικά ανεξάρτητα (από λήµµα 1.4.3) και είναι e το πλήθος, αφού [L f : Q] =e. Συνεπώς αποτελούν ϐάση του L f πάνω από το Q. Θα αποδείξουµε ένα λήµµα από τη ϑεωρία οµάδων το οποίο ϑα µας ϕανεί χρήσιµο στη συνέχεια. Λήµµα 1.4.6: Εστω A B υποοµάδες µιας οµάδας (G, ) και ο δείκτης [B : A] της Α στην Β είναι d. Κάθε αριστερό σύµπλοκο της Β στη G είναι διακριτή ένωση d αριστερών συµπλόκων της Α στη G. Απόδειξη : [B : A] = d, τότε B = d j=1b j A (διακριτή ένωση) µε b j B. Ας ϑεωρήσουµε στοιχείο g G και να πάρουµε το αριστερό σύµπλοκο : gb = g d j=1 b j A = d j=1gb j A d j=1 h j A, µε h j = gb j G. Για να ολοκληρωθεί η απόδειξη πρέπει να δείξουµε ότι η ένωση είναι διακριτή. Εστω h k A = h l A, µε k, l 1,..., d, δηλαδή h k h l A, τότε gb k gb l A και έχουµε ότι gb k = gb l a, για κάποιο a A.

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 36 Αφού η (G, ) οµάδα, ϑα υπάρχει το g 1 και πολλαπλασιάζοντας µε αυτό από αριστερά την πάνω σχέση έχουµε ότι b k = b l a, δηλαδή b k b l A που συνεπάγεται ότι b l A = b k A το οποίο είναι άτοπο αφού B = d j=1b j A, µε b j B είναι διακριτή ένωση. Στη συνέχεια ϑα περιγράψουµε την επέκταση L f /L f µε τη ϐοήθεια των περιόδων, όπου f, f ϑετικοί διαιρέτες του p 1, µε f f. Αν ϑέσουµε d = f, όπως έχουµε δει ϑα έχουµε [L f : L f ] = [L f :Q] = e = p 1 f [L f :Q] e p 1 f = f f f = d. Κάθε f-περίοδος (f, λ) είναι πρωταρχικό στοιχείο του L f πάνω από το L f. Θα περιγράψουµε το ελάχιστο πολυώνυµο της (f, λ) πάνω από το L f. Ας υποθέσουµε λοιπόν ότι η H f είναι η υποοµάδα µε δείκτη d = f f στην H f. Από το λήµµα κάθε σύµπλοκο του H f στο Zp είναι διακριτή ένωση d συµπλόκων του H f. Εχουµε ότι το [λ]h f είναι η διακριτή ένωση : [λ]h f = [λ 1 ]H f... [λd ]H f (1) µπορούµε να ϑεωρήσουµε λ = λ 1, αφού [λ]h f [λ]h f. Αυτό ϑα µας ϐοηθήσει στην ακόλουθη περιγραφή του ελάχιστου πολυωνύµου. Πρόταση 1.4.7: Εστω f, f ϑετικοί διαιρέτες του p 1, µε f f και d = f. οσµένης f-περιόδου f (f, λ), ϑεωρούµε λ 1 = λ, λ,..., λ d όπως στην (1). Τότε το h(x) = (x (f, λ 1 ))...(x (f, λ d )) ανήκει στο L f [x] και είναι το ελάχιστο πολυώνυµο της (f, λ) πάνω από το L f. Απόδειξη : Οπως και στην απόδειξη 1.4.4, ϑεωρούµε η = (f, λ) µια f-περίοδο, αρκεί να δείξουµε ότι καθώς η σ διατρέχει τα σχτοιχεία της Gal(Q(ζ p )/L f ), τα στοιχεία σ(η) µας δίνουν τις f-περιόδους (f, λ 1 ),..., (f, λ d ). Για να το δείξουµε αυτό ϑεωρούµε σ Gal(Q(ζ p )/L f ) µε σ(ζ p ) = ζ i p, για [i] H f, τότε σ(η) = σ((f, λ)) = (f, iλ), (λήµµα (iv)). Η (f, iλ) αντιστοιχεί στο σύµπλοκο [iλ]h f. Οµως [iλ]h f [iλ]h f = [λ][i]h f = [λ]h f, αφού [i] H f. Από τη σχέση [iλ]h f [λ]h f και από την (1) [λ]h f = [λ 1 ]H f... [λd ]H f έπεται ότι [iλ]h f = [λ j ]H f για κάποιο j = 1,.., d. Επειδή λοιπόν τα σύµπλοκα είναι

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 37 ίδια ϑα είναι ίδιες και οι αντίστοιχες f-περίοδοι. ηλαδή (f, iλ) = (f, λ j ), οπότε και σ(η) = (f, λ j ). Εχουµε δείξει ότι τα σ(η) παίρνουν τιµές από το σύνολο {(f, λ 1 ),..., (f, λ d )}. Για να ολοκληρωθεί η απόδειξη ϑα πρέπει να δείξουµε ότι για κάθε f-περίοδο (f, λ j ), µε j = 1,..., d υπάρχει i H f τ.ω. σ(η) = (f, λ j ), δηλαδή (f, iλ) = (f, λ j ). Από την (1) υπάρχει στοιχείο, έστω i H f τ.ω. λi = λ j a για κάποιο a H f. Συνεπώς [λi]h f = [λ j a]h f = [λ j ]H f (αφού a H f ), άρα (f, iλ) = (f, λ j ). Αφού λοιπόν δείξαµε ότι τα συζυγή του η είναι (f, λ j ) για κάποια j = 1,..., d και ότι για κάθε i = 1,..., d το (f, λ j ) είναι συζυγές του η, έχουµε ότι είναι ακριβώς αυτά και η πρόταση αποδείχθηκε. Για να µπορέσουµε να µελετήσουµε συγκεκριµένα προβλήµατα µε τη χρήση των περιόδων, ϑα δώσουµε προτάσεις που ϑα µας ϐοηθήσουν να τις χειριστούµε καλύτερα. Βασιζόµενοι πάντα στη σκέψη του Gauss, ϑεωρούµε ένα γεννήτορα [g] της κυκλικής οµάδας Z p. Αφού η τάξη της οµάδας είναι p 1, έχουµε ότι : Z p = {[1], [g], [g ],..., [g p ]} Με άλλα λόγια οι p 1 αριθµοί 1, g, g,..., g p είναι οι µη µηδενικές κλάσεις (mod p). Το g ονοµάζεται πρωταρχική ϱίζα (mod p). οσµένης µιας πρωταρχικής ϱίζας g και ef = p 1, έχουµε ότι ο g e είναι γεννήτορας της H f (το g e παράγει υποοµάδα της Z p τάξης f, από µοναδικότητα όµως της H f πρέπει να είναι ίδιες), δηλαδή : H f = {[1], [g e ], [g e ],..., [g (f 1)e ]}. Εποµένως το σύµπλοκο [λ]h f δίνει την f-περίοδο : (f, λ) = a [λ]h f ζ a p = a {[λ],[λg e ],[λg e ],...,[λg (f 1)e ]} ζ a p = ζ λ p + ζ λge p ζ λg(f 1)e p. Μέχρι τώρα ϑεωρούσαµε ότι [λ] Z p, δηλαδή p λ. Οµως η παραπάνω σχέση έχει νόηµα για κάθε ακέραιο λ. Αφού ζ p p = 1, εύκολα προκύπτει ότι (f, λ) = f όταν p λ.

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 38 Για τυχαίο λ Z η (f, λ) λέγεται γενικευµένη περίοδος. Ετσι µια γενικευµένη περίοδος είναι η συνήθης περίοδος αν p λ ή είναι ίση µε το f αν p λ. Για να υπολογίσουµε τα ελάχιστα πολυώνυµα µε τη ϐοήθεια των προτάσεων και ϑα χρειαστεί να πολλαπλασιάσουµε f-περιόδους. Ο Gauss εξέφρασε το γινόµενο δυο f-περιόδων µε τον ακόλουθο τρόπο. Πρόταση 1.4.8: Εστω (f, λ) και (f, µ) δυο f-περίοδοι µε p λ και p µ, τότε Απόδειξη : (f, λ) (f, µ) = f 1 (f, λ + µ) = (f, λg je + µ). [λ ] [λ]h f j=0 Εστω h = g e γεννήτορας της H f, τότε f 1 (f, µ) = ζ p µhl. Εχουµε επίσης ότι [λ]h f = [λh l ]H f για κάθε λ (αφού f H f ), άρα (f, λ) = (f, λh l ). Εποµένως f 1 (f, λ) (f, µ) = (f, λ)ζ µhl l=0 f 1 p = l=0 (f, λh l )ζ µhl l=0 f 1 p = f 1 ( l=0 j=0 ζ λhl h j p )ζ p µhl = f 1 f 1 f 1 ( ζ (λhj +µ)h l p ) = (f, λh j + µ) j=0 l=0 f 1 Αντικαθιστώντας από τη σχέση h = g e, έχουµε (f, λ) (f, µ) = (f, λg je + µ). j=0 j=0 Τώρα είµαστε έτοιµοι να δούµε πως ο Gauss έδειξε ότι η x 17 1 = 0 είναι επιλύσιµη µε ϱιζικά (αυτό όπως είδαµε ισοδυναµεί µε την κατασκευασιµότητα του κανονικού 17-γώνου).

39 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 39 Ας ϑεωρήσουµε λοιπόν την επέκταση Q(ζ 17 )/Q, τα ενδιάµεσα σώµατα L f, µε f διαιρέτες του 17-1=16 και τις αντίστοιχες υποοµάδες H f της Gal(Q(ζ 17 )/Q) Z 17. Q L 8 L 4 L Q(ζ 17 ) Είναι Gal(Q(ζ 17 )/Q) Z 17 H 8 H 4 H < id > Z 17 = {1,, 3,..., 16} =< 3 > H 8 =< 3 p 1 f >=< >=< 3 >=< 9 >= {9, 13, 15, 16, 8, 4,, 1} H 4 =< >=< 3 4 >=< 13 >= {1, 4, 13, 16} H =< >=< 3 8 >=< 16 >= {1, 16} Στη συνέχεια ϑα υπολογίσουµε τις f-περιόδους και τα ελάχιστα πολυώνυµα τους. Αρχικά ϑα ϐρούµε το ελάχιστο πολυώνυµο των 8-περιόδων πάνω από το Q. Οι 8-περίοδοι είναι e = p 1 = 17 1 = το πλήθος. Τα σύµπλοκα της H f 8 8 στην Z 17 είναι οι H 8 = {1,, 4, 8, 9, 13, 15, 16} 3H 8 = {3, 6, 1, 7, 10, 5, 11, 14} που αντιστοιχούν στις περιόδους (8,1) και (8,3). Από την πρόταση το ελάχιστο πολυώνυµο των (8,1) και (8,3) είναι το : p 1 (x) = (x (8, 1))(x (8, 3)) = x ((8, 1) + (8, 3))x + (8, 1)(8, 3). Οι ζ p, ζ p,..., ζ p 1 p V ieta), τότε (8, 1) + (8, 3) = a H 8 ζ a 17 + p 1 είναι ϱίζες του x p 1 + x p x + 1 άρα ζp i = 1 (τύποι b 3H 8 ζ b 17 = a Z ζ17 a = ζ17 i = 1 άρα p 1 (x) = x + x + (8, 1)(8, 3). Αρκεί να υπολογίσουµε το (8, 1)(8, 3). Από την πρόταση έχουµε : i=1 i=1

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 40 f 1 7 (8, 1)(8, 3) = (f, λg je +µ) = (8, 3 j +3) = (8, 4)+(8, 1)+(8, 16)+(8, 1)+ j=0 j=0 (8, ) + (8, 11) + (8, 7) + (8, 5) = 4(8, 1) + 4(8, 3) = 4((8, 1) + (8, 3)) = 4( 1) = 4. ηλαδή p 1 (x) = x + x 4. Το σώµα ανάλυσης του p 1 (x) είναι το L 8 /Q (η επέκταση έχει ϐάση τις 8- περιόδους, δες λήµµα 1.4.5). Θα ϐρούµε τώρα το ελάχιστο πολυώνυµο των 4-περιόδων, (που είναι πρωταρχικά στοιχεία της L 4 /L 8 ) πάνω από το L 8. Εχουµε H 8 = H 4 H 4, δηλαδή (8, 1) = (4, 1) + (4, ). Το ελάχιστο πολυώνυµο των (4, 1), (4, ) στην L 8, από πρόταση είναι : p (x) = (x (4, 1))(x (4, )) = x ((4, 1) + (4, ))x + (4, 1)(4, ) = x (8, 1)x + (4, 1)(4, ). Από την πρόταση έχουµε : 3 (4, 1)(4, ) = (4, 3 4j + ) = (4, 3) + (4, 15) + (4, 1) + (4, 6) = j=0 = ζ17 a + ζ17 b + ζ17 c + a 3H 4 b 15H 4 c H 4 d 6H 4 ζ d 17 όµως Z 17 = 3H 4 15H 4 H 4 6H 4 και έπεται ότι (4, 1)(4, ) = ζ17 a = 1. ηλαδή το a Z 17 p (x) = x (8, 1)x 1 είναι το ελάχιστο πολυώνυµο των (4,1),(4,) πάνω από το L 8. Επίσης 3H 8 = 3H 4 6H4, δηλαδή (8,3)=(4,3)+(4,6). Από την πρόταση το ελάχιστο πολυώνυµο των (4,3) και (4,6) πάνω από το L 8 είναι το p 3 (x) = (x (4, 3))(x (4, 6)) = x ((4, 3) + (4, 6))x + (4, 3)(4, 6). Από τη πρόταση έχουµε :

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 41 (4, 3)(4, 6) = Εποµένως 3 (4, 3 3 4j + 6) = (4, 9) + (4, 15) + (4, 14) + (4, 7) = 1 j=0 p 3 (x) = x (8, 3)x 1. Τώρα ϑα ϑεωρήσουµε την επέκταση L /L 4 και ϑα υπολογίσουµε το ελάχιστο πολυώνυµο των -περιόδων (,1) και (,4) πάνω από το L 4. Εχουµε ότι H 4 = H 4H, άρα (4,1)=(,1)+(,4). Το ελάχιστο πολυώνυµο των (,1) και (,4) πάνω από το L 4, από πρόταση είναι το p 4 (x) = (x (, 1))(x (, 4)) = x ((, 1) + (, 4))x + (, 1)(, 4) = x (4, 1)x + (, 1)(, 4) Από πρόταση (, 1)(, 4) = (, 3 j8 + 4) = (, 5) + (, 3) = (4, 3), (αφού 5H 3H = 3H 4 ). ηλαδή j=0 p 4 (x) = x (4, 1)x + (4, 3). Οι 1-περίοδοι για p = 17 είναι οι 17-ϱίζες της µονάδας, (1, λ) = ζ17 a = ζ17 λ, για λ=1,...,16. a λh 1 a {λ} H = H 1 16H 1, δηλαδή (,1)=(1,1)+(1,16) Το ελάχιστο πολυώνυµο των (1,1)=ζ 17 και (1, 16) = ζ πάνω από το L, σύµφωνα µε την πρόταση ϑα είναι µε p 5 (x) = (x (1, 1))(x (1, 16)) = = x ((1, 1) + (1, 16))x + (1, 1)(1, 16) = x (, 1)x + (1, 1)(1, 16), (1, 1)(1, 16) = j=0 (1, 3 8j + 16) = (1, 17) = ζ = 1

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 4 δηλαδή το p 5 (x) = x (, 1)x + 1 είναι το ελάχιστο πολυώνυµο των ζ 17 και ζ17 16 πάνω από το L, τότε ζ 17 + ζ17 16 = ( (, 1)) = (, 1), όµως ζ 17 + ζ17 16 = cos π 17 (αφού ζp k + ζp p k = cos kπ ), άρα p (, 1) = cos π 17. Για να υπολογίσουµε το (,1) ϑα πρέπει να λύσουµε τα δευτεροβάθµια πολυώνυ- µα p i (x), για i = 1,, 3, 4. Το πρόβληµα είναι πως ϑα αντιστοιχίσουµε τις ϱίζες στις περιόδους. Για παράδειγµα οι ϱίζες του p 1 (x) είναι και 1 17, αλλά πως ϑα τις αντιστοιχίσουµε στις 8-περιόδους (8,1) και (8,3); Αυτό που έκανε ο Gauss ήταν να υπολογίσει αριθµητικά τις περιόδους και τις εκφρασµένες µε ϱιζικά λύσεις των δευτεροβάθµιων εξισώσεων και να τις συγκρίνει. Εχουµε λοιπόν ότι : (8, 1) = ζ17 a = ζ 17 + ζ17 + ζ ζ ζ ζ ζ ζ17 16 a H 8 µε τη ϐοήθεια της σχέσης ζ k p + ζ p k p = cos kπ p (8, 1) = cos π 4π 8π 16π + cos + cos + cos Οµοίως ϕτάνουµε στα παρακάτω αποτελέσµατα : (4, 1) = cos π 8π + cos (4, 3) = cos 6π 17 (, 1) = cos π 17 10π + cos 17 1, , , έπεται ότι 1, Άρα η περίοδος (8, 1) 1, αντιστοιχεί στη ϱίζα του p 1 (x). ηλαδή (8, 1) = και (8, 3) = Τότε το p (x) = x (8, 1)x 1 = x ( )x 1 έχει ϱίζες τις 1 4 ( ) και 1 4 ( ). Σύµφωνα µε τους υπολογισµούς έχουµε (4, 1) = 1 4 ( ) και (4, ) = 1 4 ( ). Από το p 3 (x) = x (8, 3)x 1 = x x 1 η 4-περίοδος (4,3) αντιστοιχεί στη ϱίζα 1 4 ( ). Είδαµε ότι το (, 1) = cos π 17 είναι ϱίζα του πολυωνύµου p 4(x) = x (4, 1)x + (4, 3) = x 1 4 ( )x ( ) και (, 1) 1, , υπολογίζοντας τις ϱίζες του p 4 (x) έχουµε

43 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ 43 (, 1) = ( ) δηλαδή cos π 17 =

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΙΜΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ N-ΓΩΝΑ Γεωµετρική κατασκευή του κανονικού 17-γώνου από τον Richmond Η απόδειξη που ϑα ακολουθήσει ϐασίζεται σε αυτή του Gauss, αλλά είναι διατυπωµένη έτσι ώστε να µην εµφανίζονται οι f-περίοδοι και να µπορεί να διδαχθεί σε ένα παιδί της δευτεροβάθµιας εκπαίδευσης. Τα x i, y i που ϑα οριστούν αυθαίρετα δεν είναι τίποτα άλλο εκτός από τις f-περίοδους του Gauss. Στη συνέχεια ϑα δούµε τη γεωµετρική απόδειξη του Richmond (1893). Σκοπός µας είναι να ϐρούµε εκφράσεις µε ϱιζικά των ϱιζών του πολυωνύµου t 16 1 t 1 = t t + 1, στο C (1) Εστω θ = π 17, και ε k = e ikθ = cos kθ + i sin kθ, µε k = 1,..., 16. Τότε οι ϱίζες της παραπάνω εξίσωσης στο C ϑα είναι οι ε 1,..., ε 16. Ορίζουµε x 1 = ε 1 + ε 9 + ε 13 + ε 15 + ε 16 + ε 8 + ε 4 + ε x = ε 3 + ε 10 + ε 5 + ε 11 + ε 14 + ε 7 + ε 1 + ε 6 y 1 = ε 1 + ε 13 + ε 16 + ε 4 y = ε 9 + ε 15 + ε 8 + ε y 3 = ε 3 + ε 5 + ε 14 + ε 1 y 4 = ε 10 + ε 11 + ε 7 + ε 6 Με τη ϐοήθεια της σχέσης ε k + ε 17 k = cos kθ για k = 1,..., 16 ϑα έχουµε : x 1 = (cos θ + cos 8θ + cos 4θ + cos θ) () x = (cos 3θ + cos 7θ + cos 5θ + cos 6θ) (3) y 1 = (cos θ + cos 4θ) (4)

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2

Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2 A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. Η δική µας Εικασία

1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ. Η δική µας Εικασία 1 ο Γυµνάσιο Μελισσίων Λέσχη Ανάγνωσης ΤΡΙΧΟΤΟΜΗΣΗ ΓΩΝΙΑΣ Η δική µας Εικασία Οι αρχαίοι Έλληνες γνώριζαν να διχοτοµούν µια τυχαία γωνία µε χρήση κανόνα και διαβήτη, και, κατά συνέπεια, µπορούσαν να διαιρέσουν

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

a pn 1 = 1 a pn = a a pn a = 0,

a pn 1 = 1 a pn = a a pn a = 0, Θεωρία Galois Θεοδώρα Θεοχαρη-Αποστολιδη Χαρά Χαραλαμπους Οι σημειωσεις αυτες θα συμπληρωνονται κατα τη διαρκεια των μαθηματων. 14 Ιανουαρίου 2015 Θ. Θεοχάρη-Αποστολίδη, Χ. Χαραλάμπους, Θεωρία Galois 60

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n

G = a. H = g n. a m = a nq+r = a nq a r = (a n ) q a r = a r = (a n ) q a m. h = a m = a nq = (a n ) q a n 236 5. Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Στην παρούσα ενότητα ϑα ταξινοµήσουµε τις κυκλικές οµάδες, τις υποοµάδες τους, και τους γεννήτο- ϱές τους. Οι ταξινοµήσεις αυτές ϑα ϐασιστούν στην

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Thanasis Kehagias, 2009

Thanasis Kehagias, 2009 Μέρος II Αναλυτικη Γεωµετρια 33 34 Το παρον τευχος περιεχει συντοµη ϑεωρια, λυµενες και αλυτες ασκησεις Αναλυτικης Γεωµετριας. Κατα τη γνωµη µου, για τους περισσοτερους ανθρωπους, ο µονος τροπος εξοικειωσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0}

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0} 1 Θεώρημα BEZOU T Ο δακτύλιος K[x 1,..., x n ] είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης. Άρα κάθε πολυώνυμο f K[x 1,..., x n ] (που δεν είναι σταθερά, δηλαδή f / K) αναλύεται σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων,

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι

Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Ορια Συναρτησεων - Ορισµοι Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 3 Σεπτεµβρίου 205 Εισαγωγή Στην παράγραφο αυτή ϑα δούµε πως προκύπτει η ιδέα του ορίου στην προσπά- ϑεια να ορίσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του.

1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε κύκλο ακτίνας R = 3 cm είναι περιγεγραµµένο ισόπλευρο τρίγωνο. Να υπολογίσετε: α) Την πλευρά του. β) Το εµβαδόν του. 2. ** Υπάρχει κανονικό πολύγωνο εγγεγραµµένο σε κύκλο ακτίνας

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7: Αναπαραστάσεις Πεπερασµένων Οµάδων Ι Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του Weddebu για ηµιαπλούς δακτυλίους αναπτύσσουµε εδώ τις πρώτες προτάσεις από τη θεωρία των αναπαραστάσεων και αρακτήρων πεπερασµένων

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα για την κατανόηση της μορφής και των απλών ιδιοτήτων των κανονικών

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

to Modern Number Theory των Kenneth Ireland και Michael Rosen, GTM 84, Springer - Verlag, New York 1982.

to Modern Number Theory των Kenneth Ireland και Michael Rosen, GTM 84, Springer - Verlag, New York 1982. Αθροισµατα Gauss και Jacobi και Εφαρµογες Κατερίνα Κούτα Πτυχιακή Εργασία Παρουσιάσθηκε στις 15-11-2004 Επιβλέπων Καθηγητής ΝΓ Τζανάκης Τµήµα Μαθηµατικών - Πανεπιστήµιο Κρήτης Φθινοπωρινό εξάµηνο 2004

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2012

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 3 Μαρτίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΘΗΝ Τηλ 665-677 - F: 605 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR 06

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Σεπτεµβρίου ακαδηµαϊκού έτους 29-2 Τρίτη, 3 Αυγούστου 2 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 01-0-016 ΘΕΜΑ 1α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος

Διαβάστε περισσότερα

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο

Διαβάστε περισσότερα

Απέναντι πλευρές παράλληλες

Απέναντι πλευρές παράλληλες 5. 5.5 ΘΩΡΙ. Παραλληλόγραµµο πέναντι πλευρές παράλληλες. Ιδιότητες παραλληλογράµµου πέναντι πλευρές ίσες πέναντι γωνίες ίσες Οι διαγώνιοι διχοτοµούνται Το σηµείο τοµής των διαγωνίων είναι κέντρο συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης

2 η εκάδα θεµάτων επανάληψης η εκάδα θεµάτων επανάληψης. Έστω τρίγωνο µε + Ένα πρόχειρο σχήµα είναι το διπλανό

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση

Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Η εξίσωση του Fermat για τον εκθέτη n=3. Μία στοιχειώδης προσέγγιση Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης 6 Απριλίου 2006 Περίληψη Θέµα της εργασίας αυτής, είναι η απόδειξη οτι η εξίσωση x 3 + y 3 = z 3 όπου xyz 0,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ( Κανονικά πολύγωνα ) Δραστηριότητα 1 : Θεωρούμε ένα κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας ρ ( τυχαίο μήκος ) και πάνω σε σ αυτόν παίρνουμε 5 διαδοχικά ίσα τόξα τα: AB, B Γ, ΓΔ, ΔΕ, ΕΑ. Στην συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου 2 ο Θέμα. Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (14/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β τάξης Γενικού Λυκείου ο Θέμα Εκφωνήσεις - Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 1 η (14/11/014) Θέματα ης Ομάδας GI_V_GEO 18975 Δίνεται τρίγωνο ABΓμε AB=9, AΓ=15. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.

Ορισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. 6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις (3) (4)

Ασκήσεις σχ. Βιβλίου σελίδας Γενικές ασκήσεις (3) (4) σκήσεις σχ. ιβλίου σελίδας 5 5 ενικές ασκήσεις. ανονικό εξάγωνο ΕΖ είναι εγγεγραµµένο σε κύκλο (Ο, ) και έστω, Λ,, Ν, Ρ, Σ τα µέσα των πλευρών του. Να αποδείξετε ότι το ΛΝΡΣ είναι κανονικό εξάγωνο µε κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2012

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 3 Μαρτίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΘΗΝ Τηλ 665-6778 - F: 605 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR 06

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 6 Ιανουαρίου 013 1 Ασκήσεις 1.1 Ασκήσεις Επανάληψης 1. είξτε ότι : ηµ x + 3συν y 5.. Να αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009

3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 3 o Καλοκαιρινό Μαθηµατικό σχολείο Ε.Μ.Ε. Λεπτοκαρυά Πιερίας 2009 ιαιρετότητα και Ισοτιµίες Β και Γ Λυκείου Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Ιούλιος 2009 1 ιαιρετοτητα και Ισοτιµιες ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το

Διαβάστε περισσότερα

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας

Δώδεκα Αποδείξεις του. Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Δώδεκα Αποδείξεις του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Άλγεβρας Mία εκδοχή της αρχικής απόδειξης του Gauss f ( z) = T ( z) + iu ( z) T = r cos φ + Ar 1 cos(( 1) φ + α) + + L cosλ U = r si φ + Ar 1 si(( 1) φ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο ΥΣΕΙΣ ΙΩΝΙΣΜΤΣ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜ 1 ο ) Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή ως λάθος () καθεµία από τις επόµενες προτάσεις. ύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, όταν οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες.

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος

Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 3. 3.9 ΘΕΩΡΙ. Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 2. Είδη τριγώνων Ως προς τις πλευρές : Σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο. Ως προς τις γωνίες

Διαβάστε περισσότερα