Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων"

Transcript

1 Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, Α.1 Μεταθέσεις Μια μετάθεση (permutation σ είναι μια ένα-προς-ένα απεικόνιση του συνόλου S n = {1, 2,..., n}, με n 2, στον εαυτό του. Έστω σ(i η εικόνα του φυσικού αριθμού i μέσω της μετάθεσης σ. Ο χαρακτηρισμός ένα-προς-ένα σημαίνει ότι: σ(i σ(j, εάν i j. Επομένως, το σύνολο {σ(1, σ(2,..., σ(n} περιέχει n διακεκριμένα στοιχεία που δεν είναι άλλα από τους φυσικούς αριθμούς 1, 2,..., n, σε μια διαφορετική όμως διάταξη. Ένας πρακτικός τρόπος προσδιορισμού μιας μετάθεσης σ είναι ο εξής ( 1 2 n σ =, (Α.1 σ(1 σ(2 σ(n δηλ. κάτω από κάθε στοιχείο του S n τοποθετούμε την αντίστοιχη εικόνα του. Προφανώς, δεν είναι αναγκαίο να γράφουμε τα στοιχεία του S n πάντα στη διάταξη 1, 2,..., n, αρκεί κάτω από κάθε στοιχείο να βρίσκεται η αντίστοιχη εικόνα. Για παράδειγμα, έστω S 4 = {1, 2, 3, 4}. Η μετάθεση σ για την οποία σ(1 = 2, σ(2 = 4, σ(3 = 3, σ(4 = 1, μπορεί να προσδιοριστεί με τους παρακάτω ισοδύναμους τρόπους σ = ( ή ( ή ( (Α.2 Η σύνθεση μιας μετάθεσης σ με μια μετάθεση ρ δημιουργεί τη μετάθεση ρ σ, η οποία ορίζεται με τον συνήθη τρόπο σύνθεσης δύο συναρτήσεων. Συγκεκριμένα, η ρ σ ορίζεται ως η μετάθεση που αντιστοιχεί στο στοιχείο i την εικόνα ρ(σ(i, δηλ. (ρ σ(i = ρ(σ(i. Για παράδειγμα, εάν σ είναι η μετάθεση (Α.2 και ρ είναι η μετάθεση ( ρ =, (Α

2 52 Παρ. Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων τότε και ρ σ = σ ρ = ( ( , (Α.4. (Α.5 Παρατηρούμε λοιπόν ότι, εν γένει, ρ σ σ ρ. Η μετάθεση που αφήνει όλα τα στοιχεία του S n σταθερά ονομάζεται ταυτοτική μετάθεση και συμβολίζεται με ϵ ( 1 2 n ϵ =. (Α n Προφανώς, ισχύει ότι σ ϵ = σ = ϵ σ, για κάθε μετάθεση σ, και επιπλέον η ϵ είναι η μοναδική μετάθεση που έχει αυτήν τη χαρακτηριστική ιδιότητα. Για κάθε μετάθεση σ, υπάρχει μία μοναδική μετάθεση σ 1, τέτοια ώστε: σ σ 1 = ϵ = σ 1 σ, δηλ. σ 1 (σ(i = i, για κάθε i = 1, 2,..., n. Η σ 1 ονομάζεται η αντίστροφη της σ και έχουμε ( σ 1 σ(1 σ(2 σ(n =. (Α n Εάν για ένα ζεύγος στοιχείων i < j του S n ισχύει ότι σ(i > σ(j, τότε λέγεται ότι η σ περιέχει μια αναστροφή (inversion. Ο ολικός αριθμός αναστροφών της σ θα συμβολίζεται με N(σ. Για τη μετάθεση του παραδείγματος (Α.2 έχουμε: N(σ = 4. Γενικά, ισχύει ότι: N(σ = N(σ 1, για κάθε μετάθεση σ. Επιπλέον, είναι προφανές ότι: N(ϵ = 0. Ως πρόσημο μιας μετάθεσης σ ορίζεται ο αριθμός: ( 1 N(σ. Εάν ο ολικός αριθμός αναστροφών N(σ της σ είναι άρτιος, τότε προφανώς ( 1 N(σ = 1 και η μετάθεση λέγεται ότι είναι άρτια. Αντιστοίχως, εάν ο ολικός αριθμός αναστροφών είναι περιττός, τότε ( 1 N(σ = 1 και η μετάθεση λέγεται ότι είναι περιττή. Από τον ορισμό του προσήμου και τις προηγούμενες παρατηρήσεις έπονται οι απλές ταυτότητες: ( 1 N(ϵ = +1, ( 1 N(σ = ( 1 N(σ 1. (Α.8 Γενικότερα, έχουμε το παρακάτω πολύ χρήσιμο θεώρημα. Θεώρημα Α.1 Έστω δύο μεταθέσεις ρ και σ. Ισχύει ότι ( 1 N(ρ σ = ( 1 N(ρ ( 1 N(σ. Απόδειξη: Η ρ μπορεί να παρασταθεί με τη μορφή ( σ(i σ(j ρ = ρ(σ(i ρ(σ(j (Α.9, (Α.10 δεδομένου ότι κάθε στοιχείο του S n εμφανίζεται στην πρώτη γραμμή. Επομένως, για να μετρήσουμε τις αναστροφές της ρ, αρκεί να συγκρίνουμε τα σ(i και σ(j με τα ρ(σ(i και ρ(σ(j. Για ένα δοσμένο ζεύγος i < j έχουμε τέσσερις μόνο δυνατότητες: 1. i < j, σ(i < σ(j, ρ(σ(i < ρ(σ(j: καμία αναστροφή στην σ, καμία αναστροφή στην ρ, καμία αναστροφή στην ρ σ.

3 Α.1 Μεταθέσεις i < j, σ(i < σ(j, ρ(σ(i > ρ(σ(j: καμία αναστροφή στην σ, μία αναστροφή στην ρ, μία αναστροφή στην ρ σ. 3. i < j, σ(i > σ(j, ρ(σ(i > ρ(σ(j: μία αναστροφή στην σ, καμία αναστροφή στην ρ, μία αναστροφή στην ρ σ. 4. i < j, σ(i > σ(j, ρ(σ(i < ρ(σ(j: μία αναστροφή στην σ, μία αναστροφή στην ρ, καμία αναστροφή στην ρ σ. Εξετάζοντας τις παραπάνω δυνατότητες, συμπεραίνουμε ότι ο N(ρ σ διαφέρει από τον N(ρ + N(σ πάντα κατά έναν άρτιο αριθμό. Επομένως, ισχύει ότι: ( 1 N(ρ σ = ( 1 N(ρ ( 1 N(σ. Θεώρημα Α.2 Εάν μια μετάθεση σ αφήνει κάποιο στοιχείο του S n σταθερό, τότε οι αναστροφές που περιέχουν το στοιχείο αυτό μπορούν να αγνοηθούν στον υπολογισμό του προσήμου της σ. Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι σ(j = j. Υπάρχουν j 1 στοιχεία του S n μικρότερα του j και n j στοιχεία του S n μεγαλύτερα του j. Επομένως, η σ έχει τη γενική μορφή j 1 n j σ = 1,, j 1, j, j + 1,, n. (Α.11 σ(1,, σ(j 1, j, σ(j + 1,, σ(n Για i < j μια αναστροφή εμφανίζεται εάν και μόνο εάν σ(i > σ(j = j. Αντιστοίχως, για i > j μια αναστροφή εμφανίζεται εάν και μόνο εάν σ(i < σ(j = j. Έστω l ο αριθμός των στοιχείων i του S n τέτοια ώστε: i < j και σ(i > j. Ομοίως, έστω m ο αριθμός των στοιχείων i του S n τέτοια ώστε: i > j και σ(i < j. Ο αριθμός l + m ταυτίζεται λοιπόν με τον αριθμό των αναστροφών που περιέχουν το στοιχείο j. Παρατηρούμε τώρα ότι n j = (αριθμός των στοιχείων του S n μεγαλύτερων του j = l + [(n j m], (Α.12 άρα l = m. Επομένως, υπάρχουν l + m = 2l αναστροφές που περιέχουν το στοιχείο j. Δεδομένου ότι ο αριθμός 2l είναι άρτιος, μπορεί να αγνοηθεί στον υπολογισμό του πρόσημου ( 1 N(σ. Μια μετάθεση τ χαρακτηρίζεται ως αντιμετάθεση (transposition εάν υπάρχει ένα ζεύγος στοιχείων, i j, τέτοιο ώστε τ(i = j και τ(j = i, (Α.13 ενώ για όλα τα υπόλοιπα στοιχεία του S n έχουμε: τ(k = k. Με άλλα λόγια, μια αντιμετάθεση έχει τη μορφή ( 1 i j n τ =. (Α.14 1 j i n Προφανώς, για κάθε αντιμετάθεση τ ισχύει ότι: τ τ = ϵ, ή ισοδύναμα τ 1 = τ.

4 54 Παρ. Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Θεώρημα Α.3 Κάθε αντιμετάθεση είναι περιττή. Απόδειξη: Έστω τ μια αντιμετάθεση των στοιχείων i και j. Σύμφωνα με το θεώρημα Α.2, στον υπολογισμό του προσήμου ( 1 N(τ μπορούμε να αγνοήσουμε τις αναστροφές που περιέχουν στοιχεία του S n διάφορα του i και j. Παραμένει λοιπόν ακριβώς μία αναστροφή που πρέπει να ληφθεί υπ όψιν και επομένως: ( 1 N(τ = ( 1 1 = 1. Θεώρημα Α.4 Κάθε μετάθεση μπορεί να εκφρασθεί ως μια σύνθεση αντιμεταθέσεων. Απόδειξη: Θα αποδείξουμε το θεώρημα με τη μέθοδο της επαγωγής ως προς την παράμετρο n του συνόλου S n = {1, 2,..., n}. Για n = 2 υπάρχουν συνολικά 2! = 2 μεταθέσεις των στοιχείων του συνόλου S 2 = {1, 2}; συγκεκριμένα οι εξής ϵ = ( , ρ = ( (Α.15 Προφανώς, η μετάθεση ρ είναι μια αντιμετάθεση ενώ για την ταυτοτική μετάθεση ϵ έχουμε την ισότητα: ρ ρ = ϵ. Επομένως, για n = 2 το θεώρημα ισχύει. Έστω n > 2 και ας υποθέσουμε ότι το θεώρημα ισχύει για n 1, δηλ. ισχύει για όλες τις μεταθέσεις του συνόλου S n 1 = {1, 2,..., n 1}. Έστω σ μια τυχαία μετάθεση του συνόλου S n = {1, 2,..., n}. Ορίζουμε τον φυσικό αριθμό l από τη σχέση: l = σ(n. Εάν l n, τότε ορίζουμε ως τ την αντιμετάθεση του S n με: τ(l = n και τ(n = l. Εάν l = n, τότε ορίζουμε ως τ την ταυτοτική μετάθεση του S n, δηλ. τ = ϵ. Σε κάθε περίπτωση, η τ σ είναι μια μετάθεση του S n τέτοια ώστε (τ σ(n = τ(σ(n = τ(l = n. (Α.16 Με άλλα λόγια, η μετάθεση τ σ αφήνει το στοιχείο n σταθερό. Επομένως, μπορούμε να θεωρήσουμε την τ σ ως μια μετάθεση του συνόλου S n 1 = {1, 2,..., n 1} για την οποία, από την υπόθεση της επαγωγής, θα υπάρχουν αντιμεταθέσεις τ 1,..., τ s του S n 1, τέτοιες ώστε τ σ = τ 1 τ s. (Α.17 Η τετριμμένη επέκταση της δράσης των τ 1,..., τ s στο σύνολο S n, θέτοντας εξ ορισμού τ 1 (n = = τ s (n = n, διατηρεί τον αντιμεταθετικό τους χαρακτήρα αλλά και την ισχύ της εξίσωσης (Α.17, που θεωρείται πλέον ως μια εξίσωση μεταξύ μεταθέσεων του S n. Μπορούμε τώρα να γράψουμε σ = τ 1 τ 1 τ s = τ τ 1 τ s, (Α.18 ολοκληρώνοντας έτσι την απόδειξή μας. Από τα θεωρήματα Α.1, Α.3, και Α.4 συνάγεται αμέσως η παρακάτω σημαντική πρόταση. Πρόταση Α.5 Ανεξάρτητα από τον τρόπο με τον οποίο μια μετάθεση σ έχει εκφρασθεί ως σύνθεση αντιμεταθέσεων τ 1,..., τ s, το πλήθος s των αντιμεταθέσεων είναι πάντοτε άρτιο ή πάντοτε περιττό, σύμφωνα με το εάν η μετάθεση σ είναι αντιστοίχως άρτια ή περιττή, όπως αυτό καθορίζεται από το πρόσημο της μετάθεσης: ( 1 N(σ = ( 1 s.

5 Α.1 Μεταθέσεις 55 Παράδειγμα Α.1 Θεωρούμε τη μετάθεση σ = ( , (Α.19 όπου N(σ = 3, καθώς και τις παρακάτω τρεις αντιμεταθέσεις: ( ( ( τ 1 =, τ =, τ = (Α.20 Προφανώς, έχουμε ότι σ = τ 2. (Α.21 Είναι επίσης εύκολο να ελεγχθεί ότι η μετάθεση σ εκφράζεται ισοδύναμα και ως σύνθεση των τριών αντιμεταθέσεων, τ 1, τ 2, τ 3, με την παρακάτω μορφή σ = τ 1 τ 2 τ 3. (Α.22 Παρατηρούμε ότι, και στις δύο περιπτώσεις (Α.21 (Α.22, η μετάθεση σ εκφράζεται ως σύνθεση ενός περιττού πλήθους αντιμεταθέσεων, όπως είναι αναμενόμενο από το γεγονός ότι η εν λόγω μετάθεση είναι περιττή: ( 1 N(σ = 1. Σύμφωνα με την πρόταση Α.5, είναι αδύνατον να εκφράσουμε τη μετάθεση (Α.19, σ, ως σύνθεση ενός άρτιου πλήθους αντιμεταθέσεων. Το θεώρημα Α.3 αποδεικνύει, μεταξύ άλλων, και την ύπαρξη τουλάχιστον μίας περιττής μετάθεσης. Από την άλλη μεριά, γνωρίζουμε ήδη την ύπαρξη τουλάχιστον μίας άρτιας μετάθεσης, της ταυτοτικής. Γενικότερα, ισχύει το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα Α.6 Το πλήθος των άρτιων μεταθέσεων ισούται με το πλήθος των περιττών μεταθέσεων. Απόδειξη: Έστω ρ μια δοσμένη περιττή μετάθεση. Εάν σ είναι μια τυχαία άρτια μετάθεση, τότε λόγω του θεωρήματος Α.1 η μετάθεση ρ σ είναι περιττή. Έχουμε λοιπόν μιαν απεικόνιση σ ρ σ, (Α.23 του συνόλου των άρτιων μεταθέσεων στο σύνολο των περιττών μεταθέσεων. Παρατηρούμε τώρα ότι, για κάθε περιττή μετάθεση ρ 0, υπάρχει μια άρτια μετάθεση σ 0 (συγκεκριμένα, η σ 0 ρ 1 ρ 0, τέτοια ώστε: ρ σ 0 = ρ 0. Επιπλέον, εάν σ 1 και σ 2 είναι δύο μεταθέσεις τέτοιες ώστε ρ σ 1 = ρ σ 2, τότε πολλαπλασιάζοντας από αριστερά με ρ 1 και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι ρ 1 ρ = ϵ, θα έχουμε: ϵ σ 1 = ϵ σ 2 και συνεπώς σ 1 = σ 2. Συνοψίζοντας, βλέπουμε ότι η (Α.23 αποτελεί μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση των άρτιων μεταθέσεων στις περιττές. Επομένως, το πλήθος των άρτιων μεταθέσεων είναι αναγκαστικά ίσο με το πλήθος των περιττών μεταθέσεων. Το πλήθος των μεταθέσεων του συνόλου S n ισούται με το πλήθος των δυνατών διατάξεων των στοιχείων 1, 2,..., n, δηλ. ισούται με n! = 1 2 n. Επομένως, από το θεώρημα Α.6 συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν n!/2 το πλήθος άρτιες μεταθέσεις και n!/2 το πλήθος περιττές μεταθέσεις.

6 56 Παρ. Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το σύνολο των μεταθέσεων ως μια ομάδα Το σύνολο των μεταθέσεων των n το πλήθος στοιχείων του συνόλου S n = {1, 2,..., n} διαπιστώσαμε ότι έχει, μεταξύ άλλων, τις εξής ιδιότητες: (α η ταυτοτική μετάθεση είναι μια μετάθεση, (β το αντίστροφο μιας μετάθεσης είναι επίσης μια μετάθεση, (γ η σύνθεση δύο μεταθέσεων είναι επίσης μια μετάθεση. Επομένως, το σύνολο των μεταθέσεων των n το πλήθος στοιχείων του συνόλου S n = {1, 2,..., n} αποτελεί μια ομάδα κάτω από την προσεταιριστική διμελή πράξη της σύνθεσης μεταθέσεων. Α.2 Πίνακες μεταθέσεων Έστω μια μετάθεση σ σ = ( 1 2 n σ(1 σ(2 σ(n και ο n n ταυτοτικός πίνακας I I = = e T e T 1 e T n., (Α.24 (Α.25 Εξ ορισμού, ο n n τετραγωνικός πίνακας μετάθεσης P σ που αντιστοιχεί στη μετάθεση σ ισούται με P σ = e T σ(1 e T σ(2. e T σ(n. (Α.26 Με άλλα λόγια, η γραμμή i του πίνακα μετάθεσης P σ ισούται με τη γραμμή σ(i του ταυτοτικού πίνακα I. Πιο αναλυτικά, έχουμε ότι (P σ ij = δ σ(i,j, για κάθε i, j = 1, 2,..., n. (Α.27 Είναι φανερό ότι κάθε πίνακας μετάθεσης είναι ένας τετραγωνικός πίνακας που έχει ένα μόνο 1 σε κάθε γραμμή και σε κάθε στήλη και μηδενικά οπουδήποτε αλλού. Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού από τα αριστερά με τον n n τετραγωνικό πίνακα μετάθεσης P σ ενός n p παραλληλόγραμμου πίνακα A είναι μια αντίστοιχη μετάθεση σ των γραμμών του A a σ(11 a σ(12 a σ(1p a σ(21 a σ(22 a σ(2p P σ A = (Α.28 a σ(n1 a σ(n2 a σ(np Ο πίνακας μετάθεσης που αντιστοιχεί στην ταυτοτική μετάθεση ισούται με τον ταυτοτικό πίνακα: P ϵ = I. Από τον ορισμό (Α.26 έπεται ότι: δύο πίνακες μετάθεσης είναι ίσοι εάν και μόνον εάν αντιστοιχούν στην ίδια μετάθεση, με άλλα λόγια, ισχύει ότι P σ = P σ σ = σ. (Α.29

7 Α.2 Πίνακες μεταθέσεων 57 Παράδειγμα Α.2 Για τη μετάθεση σ = ( , (Α.30 ο αντίστοιχος πίνακας μετάθεσης P σ έχει τη μορφή P σ = e T σ(1 e T σ(2 e T σ(3 = e T 2 e T 3 e T 1 = (Α.31 Με άλλα λόγια, σύμφωνα με τον τύπο (Α.27, έχουμε ότι (P σ 1,j = δ σ(1,j = δ 2,j, για κάθε j = 1, 2, 3, (Α.32 (P σ 2,j = δ σ(2,j = δ 3,j, για κάθε j = 1, 2, 3, (Α.33 (P σ 3,j = δ σ(3,j = δ 1,j, για κάθε j = 1, 2, 3. (Α.34 Λήμμα Α.7 Έστω δύο μεταθέσεις ρ και σ. Ισχύει ότι P ρ σ = P σ P ρ. (Α.35 Με άλλα λόγια, ο πίνακας μετάθεσης που αντιστοιχεί στη σύνθεση δύο μεταθέσεων ισούται με το γινόμενο των επιμέρους πινάκων μετάθεσης σε αντίστροφη διάταξη. Απόδειξη: Με τη βοήθεια του γνωστού κανόνα πολλαπλασιασμού πινάκων και του τύπου (Α.27 έχουμε διαδοχικά ότι (P σ P ρ ij = = n (P σ ik (P ρ kj k=1 n δ σ(i,k δ ρ(k,j k=1 = δ ρ(σ(i,j = δ (ρ σ(i,j = (P ρ σ ij, (Α.36 για κάθε i, j = 1, 2,..., n, ολοκληρώνοντας έτσι την απόδειξή μας. Το αποτέλεσμα του λήμματος Α.7 μπορεί να γενικευθεί για οποιοδήποτε πλήθος μεταθέσεων, όπως σημειώνεται στο παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα Α.8 Έστω ένα σύνολο μεταθέσεων σ 1, σ 2,..., σ s. Ισχύει ότι P σ1 σ 2 σ s = P σs P σ2 P σ1. (Α.37 Με άλλα λόγια, ο πίνακας μετάθεσης που αντιστοιχεί στη σύνθεση ενός συνόλου μεταθέσεων ισούται με το γινόμενο των επιμέρους πινάκων μετάθεσης σε αντίστροφη διάταξη.

8 58 Παρ. Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Απόδειξη: Θα αποδείξουμε το θεώρημα με τη μέθοδο της επαγωγής για τον θετικό ακέραιο δείκτη s, δηλ. για το πλήθος εμφανιζόμενων μεταθέσεων σ 1, σ 2,..., σ s. Για s = 1 το θεώρημα προφανώς ισχύει δεδομένου ότι η (Α.37 ανάγεται στην τετριμμένη ταυτότητα: P σ1 = P σ1. Υποθέτουμε τώρα ότι s > 1 και ότι το θεώρημα ισχύει για κάθε s 1 το πλήθος μεταθέσεις. Στη συνέχεια, θεωρούμε τις s το πλήθος μεταθέσεις σ 1, σ 2,..., σ s. Αξιοποιώντας την προσεταιριστική ιδιότητα της σύνθεσης μεταθέσεων έχουμε ότι σ 1 σ 2 σ s = (σ 1 σ 2 σ s 1 σ s. (Α.38 Συνεπώς, εφαρμόζοντας το λήμμα Α.7 έχουμε διαδοχικά ότι P σ1 σ 2 σ s = P (σ1 σ 2 σ s 1 σ s = P σs P σ1 σ 2 σ s 1 = P σs (P σs 1 P σ2 P σ1 = P σs P σ2 P σ1. (Α.39 Τονίζουμε ότι στην τρίτη ισότητα της (Α.39 χρησιμοποιήσαμε την επαγωγική μας υπόθεση σύμφωνα με την οποία: P σ1 σ 2 σ s 1 = P σs 1 P σ2 P σ1. Επιπλέον, στην τέταρτη ισότητα της (Α.39 αγνοήσαμε τις παρενθέσεις ενόψει της προσαιτεριστικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού πινάκων. Με τις παρατηρήσεις αυτές ολοκληρώνουμε την απόδειξή μας. Υπενθυμίζουμε ότι κάθε μετάθεση σ ικανοποιεί τη σχέση: σ σ 1 = ϵ = σ 1 σ. Συνεπώς, εφαρμόζοντας το λήμμα Α.7 συμπεραίνουμε ότι: P σ 1P σ = I = P σ P σ 1, ή ισοδύναμα (P σ 1 = P σ 1. Το τελευταίο αυτό αποτέλεσμα συνοψίζεται στο πόρισμα που ακολουθεί. Πόρισμα Α.9 Κάθε πίνακας μετάθεσης P σ, που αντιστοιχεί σε μια μετάθεση σ, είναι αντιστρέψιμος. Συγκεκριμένα, ισχύει ότι (P σ 1 = P σ 1. (Α.40 Με άλλα λόγια, ο αντίστροφος του P σ ισούται με τον πίνακα μετάθεσης P σ 1, που αντιστοιχεί στην αντίστροφη μετάθεση σ 1. Στην ειδική περίπτωση μιας αντιμετάθεσης (Α.14, τ, όπου εναλλάσσονται δύο στοιχεία i j, ο αντίστοιχος πίνακας μετάθεσης P τ P ij λέγεται πίνακας εναλλαγής. Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού από τα αριστερά με τον n n τετραγωνικό πίνακα εναλλαγής P τ P ij ενός n p παραλληλόγραμμου πίνακα A είναι η εναλλαγή των δύο γραμμών i και j του A. 1 Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι P τ P ij = I (e i e j (e i e j T. (Α.41 Υπενθυμίζουμε ότι κάθε αντιμετάθεση τ ικανοποιεί τη σχέση: τ τ = ϵ, ή ισοδύναμα τ 1 = τ. Συνεπώς, εφαρμόζοντας το λήμμα Α.7 συμπεραίνουμε ότι: (P τ 2 = I, ή ισοδύναμα (P τ 1 = P τ. Με τη βοήθεια της ταυτότητας (Α.41 ελέγχεται επίσης εύκολα ότι: (P τ T = P τ. Συνοψίζουμε τις δύο αυτές χρήσιμες ιδιότητες των πινάκων εναλλαγής σε μια πρόταση. 1 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού από τα δεξιά με τον n n τετραγωνικό πίνακα εναλλαγής P τ P ij ενός p n παραλληλόγραμμου πίνακα A είναι η εναλλαγή των δύο στηλών i και j του A.

9 Α.2 Πίνακες μεταθέσεων 59 Πρόταση Α.10 Κάθε πίνακας εναλλαγής P τ, που αντιστοιχεί σε μια αντιμετάθεση τ, ικανοποιεί τις σχέσεις (P τ 1 = P τ = (P τ T. (Α.42 Με άλλα λόγια, κάθε πίνακας εναλλαγής ισούται με τον αντίστροφό του καθώς και με τον ανάστροφό του. Από το θεώρημα Α.4 γνωρίζουμε ότι κάθε μετάθεση σ μπορεί να εκφρασθεί ως μια σύνθεση αντιμεταθέσεων, τ 1, τ 2,..., τ s, σ = τ 1 τ 2 τ s, (Α.43 όπου το πλήθος s των αντιμεταθέσεων αυτών είναι πάντοτε άρτιο εάν η μετάθεση είναι άρτια, ή πάντοτε περιττό εάν η μετάθεση είναι περιττή, όπως αυτό καθορίζεται από το πρόσημο της μετάθεσης: ( 1 N(σ = ( 1 s. Ενόψει των (Α.37 και (Α.29 έπεται ισοδύναμα από την (Α.43 ότι ο αντίστοιχος πίνακας μετάθεσης, P σ, μπορεί να εκφρασθεί ως το γινόμενο των πινάκων εναλλαγής, P τ1, P τ2,..., P τs, P σ = P τs P τ2 P τ1. (Α.44 Συνοπτικά λοιπόν, έχουμε αποδείξει και τυπικά το παρακάτω εύλογο θεώρημα. Θεώρημα Α.11 Κάθε πίνακας μετάθεσης μπορεί να εκφρασθεί ως ένα γινόμενο πινάκων εναλλαγής. Η πρόταση που ακολουθεί αναδεικνύει το γεγονός ότι οι πίνακες μετάθεσης αποτελούν μέλη μιας ευρύτερης οικογένειας πινάκων, των λεγόμενων ορθογώνιων πινάκων. Πρόταση Α.12 Κάθε πίνακας μετάθεσης P σ, που αντιστοιχεί σε μια μετάθεση σ, ικανοποιεί τη σχέση: (P σ 1 = (P σ T. Το αποτέλεσμα διατυπώνεται ισοδύναμα και ως εξής (P σ T P σ = I = P σ (P σ T. (Α.45 Με άλλα λόγια, κάθε πίνακας μετάθεσης είναι ένας ορθογώνιος πίνακας. Απόδειξη: Με αφετηρία την έκφραση (Α.44 ενός οποιουδήποτε πίνακα μετάθεσης P σ ως γινομένου κατάλληλων πινάκων εναλλαγής, και αξιοποιώντας την ιδιότητα (Α.42, έχουμε διαδοχικά ότι (P σ 1 = (P τs P τ2 P τ1 1 = (P τ1 1 (P τ2 1 (P τs 1 = (P τ1 T (P τ2 T (P τs T = (P τs P τ2 P τ1 T = (P σ T. (Α.46 Το αποτέλεσμα (Α.46 μπορεί προφανώς να διατυπωθεί και με τη μορφή της εξίσωσης (Α.45 η οποία αποτελεί την ιδιότητα-ορισμό ενός ορθογώνιου πίνακα, ολοκληρώνοντας έτσι την απόδειξή μας.

10 60 Παρ. Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Στο σημείο αυτό αξίζει να παρουσιάσουμε και μια δεύτερη εναλλακτική απόδειξη της εξίσωσης (Α.45 η οποία δεν χρησιμοποιεί την παραγοντοποίηση (Α.44 του πίνακα μετάθεσης σε γινόμενο πινάκων εναλλαγής. Συγκεκριμένα, με αφετηρία τον ορισμό (Α.26 του πίνακα μετάθεσης P σ και χρησιμοποιώντας τον κανόνα πολλαπλασιασμού πινάκων γραμμές επί στήλες έχουμε διαδοχικά ότι (P σ (P σ T ij = e T σ(i e σ(j = δ σ(i,σ(j = δ ij = (I ij, για κάθε i, j = 1, 2,..., n, (Α.47 ή ισοδύναμα P σ (P σ T = I. Με ανάλογο τρόπο, χρησιμοποιώντας τον κανόνα πολλαπλασιασμού πινάκων στήλες επί γραμμές έχουμε διαδοχικά ότι ((P σ T P σ ij = (e σ(1 e T σ(1 + + e σ(ne T σ(n ij n = (e σ(l i1 (e T σ(l 1j = l=1 n δ i,σ(l δ σ(l,j l=1 = δ ij = (I ij, για κάθε i, j = 1, 2,..., n, (Α.48 ή ισοδύναμα (P σ T P σ = I, ολοκληρώνοντας έτσι τη δεύτερη απόδειξή μας. Δεδομένου ότι για κάθε πίνακα εναλλαγής ισχύει ότι (P τ 2 = I, η (Α.44 γράφεται ισοδύναμα με τη μορφή (P τ1 P τ2 P τs P σ = I. (Α.49 Η ισοδυναμία της (Α.49 με την (Α.43 οδηγεί αμέσως σε μια σημαντική πρόταση. Πρόταση Α.13 Ανεξάρτητα από την ειδική ακολουθία εναλλαγών γραμμών που οδηγούν έναν πίνακα μετάθεσης P σ στον ταυτοτικό πίνακα I, το πλήθος s των εναλλαγών είναι πάντοτε άρτιο ή πάντοτε περιττό, σύμφωνα με το εάν η μετάθεση σ είναι αντιστοίχως άρτια ή περιττή, όπως αυτό καθορίζεται από το πρόσημο της μετάθεσης: ( 1 N(σ = ( 1 s. Η παραπάνω πρόταση αποδεικνύει ότι δεν υπάρχει ασάφεια στην τιμή της ορίζουσας ενός πίνακα μετάθεσης, det(p σ, όπως αυτή προκύπτει από την εφαρμογή των γνωστών κανόνων 1, 2, 3 της ορίζουσας. H εν λόγω τιμή είναι, πράγματι, καλώς ορισμένη και ίση με το πρόσημο της μετάθεσης σ, δηλαδή det(p σ = ( 1 N(σ = ±1. (Α.50 Επαναλαμβάνουμε ότι: το πρόσημο που εμφανίζεται στην (Α.50 είναι το πρόσημο της μετάθεσης σ και ισούται με (+ ή (, σύμφωνα με το εάν η μετάθεση σ είναι άρτια ή περιττή, δηλ. σύμφωνα με το εάν o ολικός αριθμός αναστροφών N(σ της μετάθεσης είναι άρτιος ή περιττός, αντιστοίχως. Ισοδύναμα μπορούμε να πούμε ότι: το πρόσημο που εμφανίζεται στην (Α.50 ισούται με (+ ή (, σύμφωνα με το εάν το πλήθος s των εναλλαγών γραμμών που οδηγούν τον πίνακα μετάθεσης P σ στον ταυτοτικό πίνακα I είναι άρτιο ή περιττό, αντιστοίχως.

11 Α.2 Πίνακες μεταθέσεων 61 Το σύνολο των πινάκων μετάθεσης ως μια ομάδα Το σύνολο των n n τετραγωνικών πινάκων μετάθεσης διαπιστώσαμε ότι έχει, μεταξύ άλλων, τις εξής ιδιότητες: (α ο ταυτοτικός πίνακας είναι ένας πίνακας μετάθεσης, (β ο αντίστροφος ενός πίνακα μετάθεσης είναι επίσης ένας πίνακας μετάθεσης, (γ το γινόμενο δύο πινάκων μετάθεσης είναι επίσης ένας πίνακας μετάθεσης. Επομένως, το σύνολο των n n τετραγωνικών πινάκων μετάθεσης αποτελεί μια ομάδα κάτω από την προσεταιριστική διμελή πράξη του πολλαπλασιασμού πινάκων. Το αποτέλεσμα αυτό συνάδει με το γεγονός ότι το αντίστοιχο σύνολο των μεταθέσεων των n το πλήθος στοιχείων του συνόλου S n = {1, 2,..., n} αποτελεί επίσης μια ομάδα κάτω από την προσεταιριστική διμελή πράξη της σύνθεσης μεταθέσεων. Ο μεγάλος τύπος για την ορίζουσα Θεωρούμε έναν n n τετραγωνικό πίνακα A a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn. (Α.51 Με αφετηρία τους γνωστούς κανόνες 1, 2, 3 για τον ορισμό της ορίζουσας, det(a A, έχουμε δείξει ότι a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det(a =..... = det(p σ a. 1σ(1 a 2σ(2 a nσ(n, (Α.52 σ a n1 a n2 a nn όπου το σ-άθροισμα εκτείνεται πάνω σε όλες τις n! το πλήθος μεταθέσεις των στοιχείων του συνόλου S n = {1, 2,..., n}. Το αποτέλεσμα (Α.52 αναφέρεται ως ο μεγάλος τύπος για την ορίζουσα και ενόψει της (Α.50 μπορεί να γραφεί ισοδύναμα με τη μορφή a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det(a =..... = ( 1 N(σ a. 1σ(1 a 2σ(2 a nσ(n. (Α.53 σ a n1 a n2 a nn Από το δεξιό μέλος της (Α.53, ή ισοδύναμα της (Α.52, γίνεται φανερό ότι η ορίζουσα ενός n n τετραγωνικού πίνακα αποτελείται από ένα άθροισμα n! όρων, καθένας εκ των οποίων είναι ένα γινόμενο n στοιχείων. [ ] a11 a Παράδειγμα Α.3 Έστω A = 12 ένας 2 2 τετραγωνικός πίνακας. Υπάρχουν συνολικά a 21 a 22 2! = 2 μεταθέσεις των στοιχείων του συνόλου S 2 = {1, 2}, συγκεκριμένα οι εξής: ( 1 2 ϵ =, με ( 1 N(ϵ = +1, (Α ( 1 2 τ =, με ( 1 N(τ = 1. (Α

12 62 Παρ. Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Επομένως, η ορίζουσα του τετραγωνικού πίνακα A δίνεται από τον τύπο det(a = a 11 a 12 a 21 a 22 = ( 1 N(ϵ a 1ϵ(1 a 2ϵ(2 + ( 1 N(τ a 1τ(1 a 2τ(2 = a 11 a 22 a 12 a 21. (Α.56 a 11 a 12 a 13 Παράδειγμα Α.4 Έστω A = a 21 a 22 a 23 ένας 3 3 τετραγωνικός πίνακας. Υπάρχουν a 31 a 32 a 33 συνολικά 3! = 6 μεταθέσεις των στοιχείων του συνόλου S 3 = {1, 2, 3}, συγκεκριμένα οι εξής: ϵ = ( 1 2 3, με ( 1 N(ϵ = +1, (Α.57 ρ 1 = ( 1 2 3, με ( 1 N(ρ1 = +1, (Α.58 ρ 2 = ( 1 2 3, με ( 1 N(ρ2 = +1, (Α.59 τ 1 = ( 1 2 3, με ( 1 N(τ1 = 1, (Α.60 τ 2 = ( 1 2 3, με ( 1 N(τ2 = 1, (Α.61 τ 3 = ( 1 2 3, με ( 1 N(τ3 = 1. (Α.62 Επομένως, η ορίζουσα του τετραγωνικού πίνακα A δίνεται από τον τύπο a 11 a 12 a 13 det(a = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32. (Α.63

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν.

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Υπολογίστε τις ακόλουθες ορίζουσες a) 4 b) c) a b + a) 4 4 Παρατήρηση: Προσέξτε ότι ο συμβολισμός της ορίζουσας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2015-2016 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο Β Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης ΜΑΘΗΜΑ :

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K =

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K = Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες πραγματικών αριθμών

Ακολουθίες πραγματικών αριθμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ακολουθίες πραγματικών αριθμών Όταν διαδοχικές τιµές που παίρνει µία μεταβλητή προσεγγίζουν απεριόριστα µία συγκεκριµένη τιµή έτσι ώστε τελικά να διαφέρουν από αυτήν λιγότερο από όσο επιθυµεί

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

a και ( ) a11 a12 με απλή εφαρμογή του ορισμού του αντίστροφου πίνακα [Κεφάλαιο 2] διαπιστώνουμε

a και ( ) a11 a12 με απλή εφαρμογή του ορισμού του αντίστροφου πίνακα [Κεφάλαιο 2] διαπιστώνουμε ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 3 Εισαγωγή Θεωρούμε δύο μη μηδενικά διανύσματα = ( α α) b = β β του επιπέδου Γνωρίζουμε ότι αν τα διανύσματα και b είναι μη συγγραμμικά τότε αληθεύει η συνεπαγωγή λ+ μb = 0 λ μ λ =

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Τελεστές Δομή Διάλεξης Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Ερμητειανοί τελεστές Στοιχεία πίνακα τελεστών Μεταθέτες

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ : https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Α Δ Ι Θ Θ Α Ε Ι Μ :  https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Α Δ Ι Θ Θ Α Ε 2013-2014 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 12 Μαρτίου 2014 19:26

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ορίζουσες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Ορίζουσα H Ορίζουσα είναι ένας αριθμός και ορίζεται μόνον για τετραγωνικούς

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x

Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r. Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

2. Ορίζουσες-ιδιότητες -ανάπτυγμα ορίζουσας. Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ν-τάξης Α, αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός,

2. Ορίζουσες-ιδιότητες -ανάπτυγμα ορίζουσας. Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ν-τάξης Α, αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός, . Ορίζουσες-ιδιότητες -ανάπτυγμα ορίζουσας Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ν-τάξης Α, αντιστοιχεί ένας πραγματικός αριθμός, που λέγεται Ορίζουσα (Determinant) του Α, και παριστάνεται με τα σύμβολα: D(A), ή

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace

Μετασχηματισμοί Laplace Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Ορίζουσες ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Προηγείται της Γραµµικής Αλγεβρας. Εχει ενδιαφέρουσα γεωµετρική ερµηνεία. ΛΥ.

Ορίζουσες ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Προηγείται της Γραµµικής Αλγεβρας. Εχει ενδιαφέρουσα γεωµετρική ερµηνεία. ΛΥ. ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος 1 1 Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήµιο Πατρών 11/5/2012 Σηµαντικό χαρακτηριστικό µέγεθος (ϐαθµωτός) για κάθε τετραγωνικό

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

5.9 ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

5.9 ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Α Β Δ J 1 =A+Γ και J 3 = Β Γ Ε Δ Ε Ζ d + c x + a + b y ac+ bd x y = R A έχουμε: 1 1 1 1 Για την εξίσωση ( ) ( ) ( ) ( ) A, B,, 0, E 0, Z A = c + d = ac+ bd Γ= a + b Δ= =

Διαβάστε περισσότερα