Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων"

Transcript

1 Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο, Α.1 Μεταθέσεις Μια μετάθεση (permutation σ είναι μια ένα-προς-ένα απεικόνιση του συνόλου S n = {1, 2,..., n}, με n 2, στον εαυτό του. Έστω σ(i η εικόνα του φυσικού αριθμού i μέσω της μετάθεσης σ. Ο χαρακτηρισμός ένα-προς-ένα σημαίνει ότι: σ(i σ(j, εάν i j. Επομένως, το σύνολο {σ(1, σ(2,..., σ(n} περιέχει n διακεκριμένα στοιχεία που δεν είναι άλλα από τους φυσικούς αριθμούς 1, 2,..., n, σε μια διαφορετική όμως διάταξη. Ένας πρακτικός τρόπος προσδιορισμού μιας μετάθεσης σ είναι ο εξής ( 1 2 n σ =, (Α.1 σ(1 σ(2 σ(n δηλ. κάτω από κάθε στοιχείο του S n τοποθετούμε την αντίστοιχη εικόνα του. Προφανώς, δεν είναι αναγκαίο να γράφουμε τα στοιχεία του S n πάντα στη διάταξη 1, 2,..., n, αρκεί κάτω από κάθε στοιχείο να βρίσκεται η αντίστοιχη εικόνα. Για παράδειγμα, έστω S 4 = {1, 2, 3, 4}. Η μετάθεση σ για την οποία σ(1 = 2, σ(2 = 4, σ(3 = 3, σ(4 = 1, μπορεί να προσδιοριστεί με τους παρακάτω ισοδύναμους τρόπους σ = ( ή ( ή ( (Α.2 Η σύνθεση μιας μετάθεσης σ με μια μετάθεση ρ δημιουργεί τη μετάθεση ρ σ, η οποία ορίζεται με τον συνήθη τρόπο σύνθεσης δύο συναρτήσεων. Συγκεκριμένα, η ρ σ ορίζεται ως η μετάθεση που αντιστοιχεί στο στοιχείο i την εικόνα ρ(σ(i, δηλ. (ρ σ(i = ρ(σ(i. Για παράδειγμα, εάν σ είναι η μετάθεση (Α.2 και ρ είναι η μετάθεση ( ρ =, (Α

2 52 Παρ. Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων τότε και ρ σ = σ ρ = ( ( , (Α.4. (Α.5 Παρατηρούμε λοιπόν ότι, εν γένει, ρ σ σ ρ. Η μετάθεση που αφήνει όλα τα στοιχεία του S n σταθερά ονομάζεται ταυτοτική μετάθεση και συμβολίζεται με ϵ ( 1 2 n ϵ =. (Α n Προφανώς, ισχύει ότι σ ϵ = σ = ϵ σ, για κάθε μετάθεση σ, και επιπλέον η ϵ είναι η μοναδική μετάθεση που έχει αυτήν τη χαρακτηριστική ιδιότητα. Για κάθε μετάθεση σ, υπάρχει μία μοναδική μετάθεση σ 1, τέτοια ώστε: σ σ 1 = ϵ = σ 1 σ, δηλ. σ 1 (σ(i = i, για κάθε i = 1, 2,..., n. Η σ 1 ονομάζεται η αντίστροφη της σ και έχουμε ( σ 1 σ(1 σ(2 σ(n =. (Α n Εάν για ένα ζεύγος στοιχείων i < j του S n ισχύει ότι σ(i > σ(j, τότε λέγεται ότι η σ περιέχει μια αναστροφή (inversion. Ο ολικός αριθμός αναστροφών της σ θα συμβολίζεται με N(σ. Για τη μετάθεση του παραδείγματος (Α.2 έχουμε: N(σ = 4. Γενικά, ισχύει ότι: N(σ = N(σ 1, για κάθε μετάθεση σ. Επιπλέον, είναι προφανές ότι: N(ϵ = 0. Ως πρόσημο μιας μετάθεσης σ ορίζεται ο αριθμός: ( 1 N(σ. Εάν ο ολικός αριθμός αναστροφών N(σ της σ είναι άρτιος, τότε προφανώς ( 1 N(σ = 1 και η μετάθεση λέγεται ότι είναι άρτια. Αντιστοίχως, εάν ο ολικός αριθμός αναστροφών είναι περιττός, τότε ( 1 N(σ = 1 και η μετάθεση λέγεται ότι είναι περιττή. Από τον ορισμό του προσήμου και τις προηγούμενες παρατηρήσεις έπονται οι απλές ταυτότητες: ( 1 N(ϵ = +1, ( 1 N(σ = ( 1 N(σ 1. (Α.8 Γενικότερα, έχουμε το παρακάτω πολύ χρήσιμο θεώρημα. Θεώρημα Α.1 Έστω δύο μεταθέσεις ρ και σ. Ισχύει ότι ( 1 N(ρ σ = ( 1 N(ρ ( 1 N(σ. Απόδειξη: Η ρ μπορεί να παρασταθεί με τη μορφή ( σ(i σ(j ρ = ρ(σ(i ρ(σ(j (Α.9, (Α.10 δεδομένου ότι κάθε στοιχείο του S n εμφανίζεται στην πρώτη γραμμή. Επομένως, για να μετρήσουμε τις αναστροφές της ρ, αρκεί να συγκρίνουμε τα σ(i και σ(j με τα ρ(σ(i και ρ(σ(j. Για ένα δοσμένο ζεύγος i < j έχουμε τέσσερις μόνο δυνατότητες: 1. i < j, σ(i < σ(j, ρ(σ(i < ρ(σ(j: καμία αναστροφή στην σ, καμία αναστροφή στην ρ, καμία αναστροφή στην ρ σ.

3 Α.1 Μεταθέσεις i < j, σ(i < σ(j, ρ(σ(i > ρ(σ(j: καμία αναστροφή στην σ, μία αναστροφή στην ρ, μία αναστροφή στην ρ σ. 3. i < j, σ(i > σ(j, ρ(σ(i > ρ(σ(j: μία αναστροφή στην σ, καμία αναστροφή στην ρ, μία αναστροφή στην ρ σ. 4. i < j, σ(i > σ(j, ρ(σ(i < ρ(σ(j: μία αναστροφή στην σ, μία αναστροφή στην ρ, καμία αναστροφή στην ρ σ. Εξετάζοντας τις παραπάνω δυνατότητες, συμπεραίνουμε ότι ο N(ρ σ διαφέρει από τον N(ρ + N(σ πάντα κατά έναν άρτιο αριθμό. Επομένως, ισχύει ότι: ( 1 N(ρ σ = ( 1 N(ρ ( 1 N(σ. Θεώρημα Α.2 Εάν μια μετάθεση σ αφήνει κάποιο στοιχείο του S n σταθερό, τότε οι αναστροφές που περιέχουν το στοιχείο αυτό μπορούν να αγνοηθούν στον υπολογισμό του προσήμου της σ. Απόδειξη: Υποθέτουμε ότι σ(j = j. Υπάρχουν j 1 στοιχεία του S n μικρότερα του j και n j στοιχεία του S n μεγαλύτερα του j. Επομένως, η σ έχει τη γενική μορφή j 1 n j σ = 1,, j 1, j, j + 1,, n. (Α.11 σ(1,, σ(j 1, j, σ(j + 1,, σ(n Για i < j μια αναστροφή εμφανίζεται εάν και μόνο εάν σ(i > σ(j = j. Αντιστοίχως, για i > j μια αναστροφή εμφανίζεται εάν και μόνο εάν σ(i < σ(j = j. Έστω l ο αριθμός των στοιχείων i του S n τέτοια ώστε: i < j και σ(i > j. Ομοίως, έστω m ο αριθμός των στοιχείων i του S n τέτοια ώστε: i > j και σ(i < j. Ο αριθμός l + m ταυτίζεται λοιπόν με τον αριθμό των αναστροφών που περιέχουν το στοιχείο j. Παρατηρούμε τώρα ότι n j = (αριθμός των στοιχείων του S n μεγαλύτερων του j = l + [(n j m], (Α.12 άρα l = m. Επομένως, υπάρχουν l + m = 2l αναστροφές που περιέχουν το στοιχείο j. Δεδομένου ότι ο αριθμός 2l είναι άρτιος, μπορεί να αγνοηθεί στον υπολογισμό του πρόσημου ( 1 N(σ. Μια μετάθεση τ χαρακτηρίζεται ως αντιμετάθεση (transposition εάν υπάρχει ένα ζεύγος στοιχείων, i j, τέτοιο ώστε τ(i = j και τ(j = i, (Α.13 ενώ για όλα τα υπόλοιπα στοιχεία του S n έχουμε: τ(k = k. Με άλλα λόγια, μια αντιμετάθεση έχει τη μορφή ( 1 i j n τ =. (Α.14 1 j i n Προφανώς, για κάθε αντιμετάθεση τ ισχύει ότι: τ τ = ϵ, ή ισοδύναμα τ 1 = τ.

4 54 Παρ. Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Θεώρημα Α.3 Κάθε αντιμετάθεση είναι περιττή. Απόδειξη: Έστω τ μια αντιμετάθεση των στοιχείων i και j. Σύμφωνα με το θεώρημα Α.2, στον υπολογισμό του προσήμου ( 1 N(τ μπορούμε να αγνοήσουμε τις αναστροφές που περιέχουν στοιχεία του S n διάφορα του i και j. Παραμένει λοιπόν ακριβώς μία αναστροφή που πρέπει να ληφθεί υπ όψιν και επομένως: ( 1 N(τ = ( 1 1 = 1. Θεώρημα Α.4 Κάθε μετάθεση μπορεί να εκφρασθεί ως μια σύνθεση αντιμεταθέσεων. Απόδειξη: Θα αποδείξουμε το θεώρημα με τη μέθοδο της επαγωγής ως προς την παράμετρο n του συνόλου S n = {1, 2,..., n}. Για n = 2 υπάρχουν συνολικά 2! = 2 μεταθέσεις των στοιχείων του συνόλου S 2 = {1, 2}; συγκεκριμένα οι εξής ϵ = ( , ρ = ( (Α.15 Προφανώς, η μετάθεση ρ είναι μια αντιμετάθεση ενώ για την ταυτοτική μετάθεση ϵ έχουμε την ισότητα: ρ ρ = ϵ. Επομένως, για n = 2 το θεώρημα ισχύει. Έστω n > 2 και ας υποθέσουμε ότι το θεώρημα ισχύει για n 1, δηλ. ισχύει για όλες τις μεταθέσεις του συνόλου S n 1 = {1, 2,..., n 1}. Έστω σ μια τυχαία μετάθεση του συνόλου S n = {1, 2,..., n}. Ορίζουμε τον φυσικό αριθμό l από τη σχέση: l = σ(n. Εάν l n, τότε ορίζουμε ως τ την αντιμετάθεση του S n με: τ(l = n και τ(n = l. Εάν l = n, τότε ορίζουμε ως τ την ταυτοτική μετάθεση του S n, δηλ. τ = ϵ. Σε κάθε περίπτωση, η τ σ είναι μια μετάθεση του S n τέτοια ώστε (τ σ(n = τ(σ(n = τ(l = n. (Α.16 Με άλλα λόγια, η μετάθεση τ σ αφήνει το στοιχείο n σταθερό. Επομένως, μπορούμε να θεωρήσουμε την τ σ ως μια μετάθεση του συνόλου S n 1 = {1, 2,..., n 1} για την οποία, από την υπόθεση της επαγωγής, θα υπάρχουν αντιμεταθέσεις τ 1,..., τ s του S n 1, τέτοιες ώστε τ σ = τ 1 τ s. (Α.17 Η τετριμμένη επέκταση της δράσης των τ 1,..., τ s στο σύνολο S n, θέτοντας εξ ορισμού τ 1 (n = = τ s (n = n, διατηρεί τον αντιμεταθετικό τους χαρακτήρα αλλά και την ισχύ της εξίσωσης (Α.17, που θεωρείται πλέον ως μια εξίσωση μεταξύ μεταθέσεων του S n. Μπορούμε τώρα να γράψουμε σ = τ 1 τ 1 τ s = τ τ 1 τ s, (Α.18 ολοκληρώνοντας έτσι την απόδειξή μας. Από τα θεωρήματα Α.1, Α.3, και Α.4 συνάγεται αμέσως η παρακάτω σημαντική πρόταση. Πρόταση Α.5 Ανεξάρτητα από τον τρόπο με τον οποίο μια μετάθεση σ έχει εκφρασθεί ως σύνθεση αντιμεταθέσεων τ 1,..., τ s, το πλήθος s των αντιμεταθέσεων είναι πάντοτε άρτιο ή πάντοτε περιττό, σύμφωνα με το εάν η μετάθεση σ είναι αντιστοίχως άρτια ή περιττή, όπως αυτό καθορίζεται από το πρόσημο της μετάθεσης: ( 1 N(σ = ( 1 s.

5 Α.1 Μεταθέσεις 55 Παράδειγμα Α.1 Θεωρούμε τη μετάθεση σ = ( , (Α.19 όπου N(σ = 3, καθώς και τις παρακάτω τρεις αντιμεταθέσεις: ( ( ( τ 1 =, τ =, τ = (Α.20 Προφανώς, έχουμε ότι σ = τ 2. (Α.21 Είναι επίσης εύκολο να ελεγχθεί ότι η μετάθεση σ εκφράζεται ισοδύναμα και ως σύνθεση των τριών αντιμεταθέσεων, τ 1, τ 2, τ 3, με την παρακάτω μορφή σ = τ 1 τ 2 τ 3. (Α.22 Παρατηρούμε ότι, και στις δύο περιπτώσεις (Α.21 (Α.22, η μετάθεση σ εκφράζεται ως σύνθεση ενός περιττού πλήθους αντιμεταθέσεων, όπως είναι αναμενόμενο από το γεγονός ότι η εν λόγω μετάθεση είναι περιττή: ( 1 N(σ = 1. Σύμφωνα με την πρόταση Α.5, είναι αδύνατον να εκφράσουμε τη μετάθεση (Α.19, σ, ως σύνθεση ενός άρτιου πλήθους αντιμεταθέσεων. Το θεώρημα Α.3 αποδεικνύει, μεταξύ άλλων, και την ύπαρξη τουλάχιστον μίας περιττής μετάθεσης. Από την άλλη μεριά, γνωρίζουμε ήδη την ύπαρξη τουλάχιστον μίας άρτιας μετάθεσης, της ταυτοτικής. Γενικότερα, ισχύει το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα Α.6 Το πλήθος των άρτιων μεταθέσεων ισούται με το πλήθος των περιττών μεταθέσεων. Απόδειξη: Έστω ρ μια δοσμένη περιττή μετάθεση. Εάν σ είναι μια τυχαία άρτια μετάθεση, τότε λόγω του θεωρήματος Α.1 η μετάθεση ρ σ είναι περιττή. Έχουμε λοιπόν μιαν απεικόνιση σ ρ σ, (Α.23 του συνόλου των άρτιων μεταθέσεων στο σύνολο των περιττών μεταθέσεων. Παρατηρούμε τώρα ότι, για κάθε περιττή μετάθεση ρ 0, υπάρχει μια άρτια μετάθεση σ 0 (συγκεκριμένα, η σ 0 ρ 1 ρ 0, τέτοια ώστε: ρ σ 0 = ρ 0. Επιπλέον, εάν σ 1 και σ 2 είναι δύο μεταθέσεις τέτοιες ώστε ρ σ 1 = ρ σ 2, τότε πολλαπλασιάζοντας από αριστερά με ρ 1 και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι ρ 1 ρ = ϵ, θα έχουμε: ϵ σ 1 = ϵ σ 2 και συνεπώς σ 1 = σ 2. Συνοψίζοντας, βλέπουμε ότι η (Α.23 αποτελεί μια αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση των άρτιων μεταθέσεων στις περιττές. Επομένως, το πλήθος των άρτιων μεταθέσεων είναι αναγκαστικά ίσο με το πλήθος των περιττών μεταθέσεων. Το πλήθος των μεταθέσεων του συνόλου S n ισούται με το πλήθος των δυνατών διατάξεων των στοιχείων 1, 2,..., n, δηλ. ισούται με n! = 1 2 n. Επομένως, από το θεώρημα Α.6 συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν n!/2 το πλήθος άρτιες μεταθέσεις και n!/2 το πλήθος περιττές μεταθέσεις.

6 56 Παρ. Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το σύνολο των μεταθέσεων ως μια ομάδα Το σύνολο των μεταθέσεων των n το πλήθος στοιχείων του συνόλου S n = {1, 2,..., n} διαπιστώσαμε ότι έχει, μεταξύ άλλων, τις εξής ιδιότητες: (α η ταυτοτική μετάθεση είναι μια μετάθεση, (β το αντίστροφο μιας μετάθεσης είναι επίσης μια μετάθεση, (γ η σύνθεση δύο μεταθέσεων είναι επίσης μια μετάθεση. Επομένως, το σύνολο των μεταθέσεων των n το πλήθος στοιχείων του συνόλου S n = {1, 2,..., n} αποτελεί μια ομάδα κάτω από την προσεταιριστική διμελή πράξη της σύνθεσης μεταθέσεων. Α.2 Πίνακες μεταθέσεων Έστω μια μετάθεση σ σ = ( 1 2 n σ(1 σ(2 σ(n και ο n n ταυτοτικός πίνακας I I = = e T e T 1 e T n., (Α.24 (Α.25 Εξ ορισμού, ο n n τετραγωνικός πίνακας μετάθεσης P σ που αντιστοιχεί στη μετάθεση σ ισούται με P σ = e T σ(1 e T σ(2. e T σ(n. (Α.26 Με άλλα λόγια, η γραμμή i του πίνακα μετάθεσης P σ ισούται με τη γραμμή σ(i του ταυτοτικού πίνακα I. Πιο αναλυτικά, έχουμε ότι (P σ ij = δ σ(i,j, για κάθε i, j = 1, 2,..., n. (Α.27 Είναι φανερό ότι κάθε πίνακας μετάθεσης είναι ένας τετραγωνικός πίνακας που έχει ένα μόνο 1 σε κάθε γραμμή και σε κάθε στήλη και μηδενικά οπουδήποτε αλλού. Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού από τα αριστερά με τον n n τετραγωνικό πίνακα μετάθεσης P σ ενός n p παραλληλόγραμμου πίνακα A είναι μια αντίστοιχη μετάθεση σ των γραμμών του A a σ(11 a σ(12 a σ(1p a σ(21 a σ(22 a σ(2p P σ A = (Α.28 a σ(n1 a σ(n2 a σ(np Ο πίνακας μετάθεσης που αντιστοιχεί στην ταυτοτική μετάθεση ισούται με τον ταυτοτικό πίνακα: P ϵ = I. Από τον ορισμό (Α.26 έπεται ότι: δύο πίνακες μετάθεσης είναι ίσοι εάν και μόνον εάν αντιστοιχούν στην ίδια μετάθεση, με άλλα λόγια, ισχύει ότι P σ = P σ σ = σ. (Α.29

7 Α.2 Πίνακες μεταθέσεων 57 Παράδειγμα Α.2 Για τη μετάθεση σ = ( , (Α.30 ο αντίστοιχος πίνακας μετάθεσης P σ έχει τη μορφή P σ = e T σ(1 e T σ(2 e T σ(3 = e T 2 e T 3 e T 1 = (Α.31 Με άλλα λόγια, σύμφωνα με τον τύπο (Α.27, έχουμε ότι (P σ 1,j = δ σ(1,j = δ 2,j, για κάθε j = 1, 2, 3, (Α.32 (P σ 2,j = δ σ(2,j = δ 3,j, για κάθε j = 1, 2, 3, (Α.33 (P σ 3,j = δ σ(3,j = δ 1,j, για κάθε j = 1, 2, 3. (Α.34 Λήμμα Α.7 Έστω δύο μεταθέσεις ρ και σ. Ισχύει ότι P ρ σ = P σ P ρ. (Α.35 Με άλλα λόγια, ο πίνακας μετάθεσης που αντιστοιχεί στη σύνθεση δύο μεταθέσεων ισούται με το γινόμενο των επιμέρους πινάκων μετάθεσης σε αντίστροφη διάταξη. Απόδειξη: Με τη βοήθεια του γνωστού κανόνα πολλαπλασιασμού πινάκων και του τύπου (Α.27 έχουμε διαδοχικά ότι (P σ P ρ ij = = n (P σ ik (P ρ kj k=1 n δ σ(i,k δ ρ(k,j k=1 = δ ρ(σ(i,j = δ (ρ σ(i,j = (P ρ σ ij, (Α.36 για κάθε i, j = 1, 2,..., n, ολοκληρώνοντας έτσι την απόδειξή μας. Το αποτέλεσμα του λήμματος Α.7 μπορεί να γενικευθεί για οποιοδήποτε πλήθος μεταθέσεων, όπως σημειώνεται στο παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα Α.8 Έστω ένα σύνολο μεταθέσεων σ 1, σ 2,..., σ s. Ισχύει ότι P σ1 σ 2 σ s = P σs P σ2 P σ1. (Α.37 Με άλλα λόγια, ο πίνακας μετάθεσης που αντιστοιχεί στη σύνθεση ενός συνόλου μεταθέσεων ισούται με το γινόμενο των επιμέρους πινάκων μετάθεσης σε αντίστροφη διάταξη.

8 58 Παρ. Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Απόδειξη: Θα αποδείξουμε το θεώρημα με τη μέθοδο της επαγωγής για τον θετικό ακέραιο δείκτη s, δηλ. για το πλήθος εμφανιζόμενων μεταθέσεων σ 1, σ 2,..., σ s. Για s = 1 το θεώρημα προφανώς ισχύει δεδομένου ότι η (Α.37 ανάγεται στην τετριμμένη ταυτότητα: P σ1 = P σ1. Υποθέτουμε τώρα ότι s > 1 και ότι το θεώρημα ισχύει για κάθε s 1 το πλήθος μεταθέσεις. Στη συνέχεια, θεωρούμε τις s το πλήθος μεταθέσεις σ 1, σ 2,..., σ s. Αξιοποιώντας την προσεταιριστική ιδιότητα της σύνθεσης μεταθέσεων έχουμε ότι σ 1 σ 2 σ s = (σ 1 σ 2 σ s 1 σ s. (Α.38 Συνεπώς, εφαρμόζοντας το λήμμα Α.7 έχουμε διαδοχικά ότι P σ1 σ 2 σ s = P (σ1 σ 2 σ s 1 σ s = P σs P σ1 σ 2 σ s 1 = P σs (P σs 1 P σ2 P σ1 = P σs P σ2 P σ1. (Α.39 Τονίζουμε ότι στην τρίτη ισότητα της (Α.39 χρησιμοποιήσαμε την επαγωγική μας υπόθεση σύμφωνα με την οποία: P σ1 σ 2 σ s 1 = P σs 1 P σ2 P σ1. Επιπλέον, στην τέταρτη ισότητα της (Α.39 αγνοήσαμε τις παρενθέσεις ενόψει της προσαιτεριστικής ιδιότητας του πολλαπλασιασμού πινάκων. Με τις παρατηρήσεις αυτές ολοκληρώνουμε την απόδειξή μας. Υπενθυμίζουμε ότι κάθε μετάθεση σ ικανοποιεί τη σχέση: σ σ 1 = ϵ = σ 1 σ. Συνεπώς, εφαρμόζοντας το λήμμα Α.7 συμπεραίνουμε ότι: P σ 1P σ = I = P σ P σ 1, ή ισοδύναμα (P σ 1 = P σ 1. Το τελευταίο αυτό αποτέλεσμα συνοψίζεται στο πόρισμα που ακολουθεί. Πόρισμα Α.9 Κάθε πίνακας μετάθεσης P σ, που αντιστοιχεί σε μια μετάθεση σ, είναι αντιστρέψιμος. Συγκεκριμένα, ισχύει ότι (P σ 1 = P σ 1. (Α.40 Με άλλα λόγια, ο αντίστροφος του P σ ισούται με τον πίνακα μετάθεσης P σ 1, που αντιστοιχεί στην αντίστροφη μετάθεση σ 1. Στην ειδική περίπτωση μιας αντιμετάθεσης (Α.14, τ, όπου εναλλάσσονται δύο στοιχεία i j, ο αντίστοιχος πίνακας μετάθεσης P τ P ij λέγεται πίνακας εναλλαγής. Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού από τα αριστερά με τον n n τετραγωνικό πίνακα εναλλαγής P τ P ij ενός n p παραλληλόγραμμου πίνακα A είναι η εναλλαγή των δύο γραμμών i και j του A. 1 Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι P τ P ij = I (e i e j (e i e j T. (Α.41 Υπενθυμίζουμε ότι κάθε αντιμετάθεση τ ικανοποιεί τη σχέση: τ τ = ϵ, ή ισοδύναμα τ 1 = τ. Συνεπώς, εφαρμόζοντας το λήμμα Α.7 συμπεραίνουμε ότι: (P τ 2 = I, ή ισοδύναμα (P τ 1 = P τ. Με τη βοήθεια της ταυτότητας (Α.41 ελέγχεται επίσης εύκολα ότι: (P τ T = P τ. Συνοψίζουμε τις δύο αυτές χρήσιμες ιδιότητες των πινάκων εναλλαγής σε μια πρόταση. 1 Το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού από τα δεξιά με τον n n τετραγωνικό πίνακα εναλλαγής P τ P ij ενός p n παραλληλόγραμμου πίνακα A είναι η εναλλαγή των δύο στηλών i και j του A.

9 Α.2 Πίνακες μεταθέσεων 59 Πρόταση Α.10 Κάθε πίνακας εναλλαγής P τ, που αντιστοιχεί σε μια αντιμετάθεση τ, ικανοποιεί τις σχέσεις (P τ 1 = P τ = (P τ T. (Α.42 Με άλλα λόγια, κάθε πίνακας εναλλαγής ισούται με τον αντίστροφό του καθώς και με τον ανάστροφό του. Από το θεώρημα Α.4 γνωρίζουμε ότι κάθε μετάθεση σ μπορεί να εκφρασθεί ως μια σύνθεση αντιμεταθέσεων, τ 1, τ 2,..., τ s, σ = τ 1 τ 2 τ s, (Α.43 όπου το πλήθος s των αντιμεταθέσεων αυτών είναι πάντοτε άρτιο εάν η μετάθεση είναι άρτια, ή πάντοτε περιττό εάν η μετάθεση είναι περιττή, όπως αυτό καθορίζεται από το πρόσημο της μετάθεσης: ( 1 N(σ = ( 1 s. Ενόψει των (Α.37 και (Α.29 έπεται ισοδύναμα από την (Α.43 ότι ο αντίστοιχος πίνακας μετάθεσης, P σ, μπορεί να εκφρασθεί ως το γινόμενο των πινάκων εναλλαγής, P τ1, P τ2,..., P τs, P σ = P τs P τ2 P τ1. (Α.44 Συνοπτικά λοιπόν, έχουμε αποδείξει και τυπικά το παρακάτω εύλογο θεώρημα. Θεώρημα Α.11 Κάθε πίνακας μετάθεσης μπορεί να εκφρασθεί ως ένα γινόμενο πινάκων εναλλαγής. Η πρόταση που ακολουθεί αναδεικνύει το γεγονός ότι οι πίνακες μετάθεσης αποτελούν μέλη μιας ευρύτερης οικογένειας πινάκων, των λεγόμενων ορθογώνιων πινάκων. Πρόταση Α.12 Κάθε πίνακας μετάθεσης P σ, που αντιστοιχεί σε μια μετάθεση σ, ικανοποιεί τη σχέση: (P σ 1 = (P σ T. Το αποτέλεσμα διατυπώνεται ισοδύναμα και ως εξής (P σ T P σ = I = P σ (P σ T. (Α.45 Με άλλα λόγια, κάθε πίνακας μετάθεσης είναι ένας ορθογώνιος πίνακας. Απόδειξη: Με αφετηρία την έκφραση (Α.44 ενός οποιουδήποτε πίνακα μετάθεσης P σ ως γινομένου κατάλληλων πινάκων εναλλαγής, και αξιοποιώντας την ιδιότητα (Α.42, έχουμε διαδοχικά ότι (P σ 1 = (P τs P τ2 P τ1 1 = (P τ1 1 (P τ2 1 (P τs 1 = (P τ1 T (P τ2 T (P τs T = (P τs P τ2 P τ1 T = (P σ T. (Α.46 Το αποτέλεσμα (Α.46 μπορεί προφανώς να διατυπωθεί και με τη μορφή της εξίσωσης (Α.45 η οποία αποτελεί την ιδιότητα-ορισμό ενός ορθογώνιου πίνακα, ολοκληρώνοντας έτσι την απόδειξή μας.

10 60 Παρ. Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Στο σημείο αυτό αξίζει να παρουσιάσουμε και μια δεύτερη εναλλακτική απόδειξη της εξίσωσης (Α.45 η οποία δεν χρησιμοποιεί την παραγοντοποίηση (Α.44 του πίνακα μετάθεσης σε γινόμενο πινάκων εναλλαγής. Συγκεκριμένα, με αφετηρία τον ορισμό (Α.26 του πίνακα μετάθεσης P σ και χρησιμοποιώντας τον κανόνα πολλαπλασιασμού πινάκων γραμμές επί στήλες έχουμε διαδοχικά ότι (P σ (P σ T ij = e T σ(i e σ(j = δ σ(i,σ(j = δ ij = (I ij, για κάθε i, j = 1, 2,..., n, (Α.47 ή ισοδύναμα P σ (P σ T = I. Με ανάλογο τρόπο, χρησιμοποιώντας τον κανόνα πολλαπλασιασμού πινάκων στήλες επί γραμμές έχουμε διαδοχικά ότι ((P σ T P σ ij = (e σ(1 e T σ(1 + + e σ(ne T σ(n ij n = (e σ(l i1 (e T σ(l 1j = l=1 n δ i,σ(l δ σ(l,j l=1 = δ ij = (I ij, για κάθε i, j = 1, 2,..., n, (Α.48 ή ισοδύναμα (P σ T P σ = I, ολοκληρώνοντας έτσι τη δεύτερη απόδειξή μας. Δεδομένου ότι για κάθε πίνακα εναλλαγής ισχύει ότι (P τ 2 = I, η (Α.44 γράφεται ισοδύναμα με τη μορφή (P τ1 P τ2 P τs P σ = I. (Α.49 Η ισοδυναμία της (Α.49 με την (Α.43 οδηγεί αμέσως σε μια σημαντική πρόταση. Πρόταση Α.13 Ανεξάρτητα από την ειδική ακολουθία εναλλαγών γραμμών που οδηγούν έναν πίνακα μετάθεσης P σ στον ταυτοτικό πίνακα I, το πλήθος s των εναλλαγών είναι πάντοτε άρτιο ή πάντοτε περιττό, σύμφωνα με το εάν η μετάθεση σ είναι αντιστοίχως άρτια ή περιττή, όπως αυτό καθορίζεται από το πρόσημο της μετάθεσης: ( 1 N(σ = ( 1 s. Η παραπάνω πρόταση αποδεικνύει ότι δεν υπάρχει ασάφεια στην τιμή της ορίζουσας ενός πίνακα μετάθεσης, det(p σ, όπως αυτή προκύπτει από την εφαρμογή των γνωστών κανόνων 1, 2, 3 της ορίζουσας. H εν λόγω τιμή είναι, πράγματι, καλώς ορισμένη και ίση με το πρόσημο της μετάθεσης σ, δηλαδή det(p σ = ( 1 N(σ = ±1. (Α.50 Επαναλαμβάνουμε ότι: το πρόσημο που εμφανίζεται στην (Α.50 είναι το πρόσημο της μετάθεσης σ και ισούται με (+ ή (, σύμφωνα με το εάν η μετάθεση σ είναι άρτια ή περιττή, δηλ. σύμφωνα με το εάν o ολικός αριθμός αναστροφών N(σ της μετάθεσης είναι άρτιος ή περιττός, αντιστοίχως. Ισοδύναμα μπορούμε να πούμε ότι: το πρόσημο που εμφανίζεται στην (Α.50 ισούται με (+ ή (, σύμφωνα με το εάν το πλήθος s των εναλλαγών γραμμών που οδηγούν τον πίνακα μετάθεσης P σ στον ταυτοτικό πίνακα I είναι άρτιο ή περιττό, αντιστοίχως.

11 Α.2 Πίνακες μεταθέσεων 61 Το σύνολο των πινάκων μετάθεσης ως μια ομάδα Το σύνολο των n n τετραγωνικών πινάκων μετάθεσης διαπιστώσαμε ότι έχει, μεταξύ άλλων, τις εξής ιδιότητες: (α ο ταυτοτικός πίνακας είναι ένας πίνακας μετάθεσης, (β ο αντίστροφος ενός πίνακα μετάθεσης είναι επίσης ένας πίνακας μετάθεσης, (γ το γινόμενο δύο πινάκων μετάθεσης είναι επίσης ένας πίνακας μετάθεσης. Επομένως, το σύνολο των n n τετραγωνικών πινάκων μετάθεσης αποτελεί μια ομάδα κάτω από την προσεταιριστική διμελή πράξη του πολλαπλασιασμού πινάκων. Το αποτέλεσμα αυτό συνάδει με το γεγονός ότι το αντίστοιχο σύνολο των μεταθέσεων των n το πλήθος στοιχείων του συνόλου S n = {1, 2,..., n} αποτελεί επίσης μια ομάδα κάτω από την προσεταιριστική διμελή πράξη της σύνθεσης μεταθέσεων. Ο μεγάλος τύπος για την ορίζουσα Θεωρούμε έναν n n τετραγωνικό πίνακα A a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a n1 a n2 a nn. (Α.51 Με αφετηρία τους γνωστούς κανόνες 1, 2, 3 για τον ορισμό της ορίζουσας, det(a A, έχουμε δείξει ότι a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det(a =..... = det(p σ a. 1σ(1 a 2σ(2 a nσ(n, (Α.52 σ a n1 a n2 a nn όπου το σ-άθροισμα εκτείνεται πάνω σε όλες τις n! το πλήθος μεταθέσεις των στοιχείων του συνόλου S n = {1, 2,..., n}. Το αποτέλεσμα (Α.52 αναφέρεται ως ο μεγάλος τύπος για την ορίζουσα και ενόψει της (Α.50 μπορεί να γραφεί ισοδύναμα με τη μορφή a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det(a =..... = ( 1 N(σ a. 1σ(1 a 2σ(2 a nσ(n. (Α.53 σ a n1 a n2 a nn Από το δεξιό μέλος της (Α.53, ή ισοδύναμα της (Α.52, γίνεται φανερό ότι η ορίζουσα ενός n n τετραγωνικού πίνακα αποτελείται από ένα άθροισμα n! όρων, καθένας εκ των οποίων είναι ένα γινόμενο n στοιχείων. [ ] a11 a Παράδειγμα Α.3 Έστω A = 12 ένας 2 2 τετραγωνικός πίνακας. Υπάρχουν συνολικά a 21 a 22 2! = 2 μεταθέσεις των στοιχείων του συνόλου S 2 = {1, 2}, συγκεκριμένα οι εξής: ( 1 2 ϵ =, με ( 1 N(ϵ = +1, (Α ( 1 2 τ =, με ( 1 N(τ = 1. (Α

12 62 Παρ. Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Επομένως, η ορίζουσα του τετραγωνικού πίνακα A δίνεται από τον τύπο det(a = a 11 a 12 a 21 a 22 = ( 1 N(ϵ a 1ϵ(1 a 2ϵ(2 + ( 1 N(τ a 1τ(1 a 2τ(2 = a 11 a 22 a 12 a 21. (Α.56 a 11 a 12 a 13 Παράδειγμα Α.4 Έστω A = a 21 a 22 a 23 ένας 3 3 τετραγωνικός πίνακας. Υπάρχουν a 31 a 32 a 33 συνολικά 3! = 6 μεταθέσεις των στοιχείων του συνόλου S 3 = {1, 2, 3}, συγκεκριμένα οι εξής: ϵ = ( 1 2 3, με ( 1 N(ϵ = +1, (Α.57 ρ 1 = ( 1 2 3, με ( 1 N(ρ1 = +1, (Α.58 ρ 2 = ( 1 2 3, με ( 1 N(ρ2 = +1, (Α.59 τ 1 = ( 1 2 3, με ( 1 N(τ1 = 1, (Α.60 τ 2 = ( 1 2 3, με ( 1 N(τ2 = 1, (Α.61 τ 3 = ( 1 2 3, με ( 1 N(τ3 = 1. (Α.62 Επομένως, η ορίζουσα του τετραγωνικού πίνακα A δίνεται από τον τύπο a 11 a 12 a 13 det(a = a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 a 11 a 23 a 32. (Α.63

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,

0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1, I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +

Διαβάστε περισσότερα

Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 2013

Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 2013 Α Δ Ι Α - Φ 6 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi20/asi20.html, https://sites.google.com/site/mathsedu/home/algdom Παρασκευή 6 Δεκεμβρίου 20

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν.

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Γραμμικοί Κώδικες. 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γραμμικοί Κώδικες 2.1 Η έννοια του Γραμμικού κώδικα Μέχρι τώρα θεωρούσαμε έναν κώδικα C με παραμέτρους (n, M, d) απλώς ως ένα υποσύνολο του συνόλου A n, όπου A είναι ένα αλφάβητο. Είχαμε, όμως,

Διαβάστε περισσότερα

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) =

f(t) = (1 t)a + tb. f(n) = Παράρτημα Αʹ Αριθμήσιμα και υπεραριθμήσιμα σύνολα Αʹ1 Ισοπληθικά σύνολα Ορισμός Αʹ11 (ισοπληθικότητα) Εστω A, B δύο μη κενά σύνολα Τα A, B λέγονται ισοπληθικά αν υπάρχει μια συνάρτηση f : A B, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορίζουσες. Άσκηση 1.1 Θεωρούμε τον πίνακα. 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 A =

1 Ορίζουσες. Άσκηση 1.1 Θεωρούμε τον πίνακα. 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1 A = 1 Ορίζουσες Άσκηση 1.1 Θεωρούμε τον πίνακα 1 x x x x 1 x x x x 1 x x x x 1, όπου x είναι τυχόν στοιχείο του σώματος R. Να βρεθούν όλες οι τιμές του x για τις οποίες ο πίνακας A δεν είναι αντιστρέψιμος.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΤΟ ΔΙΩΝΥΜΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Εισαγωγή Οι αριθμοί που εκφράζουν το πλήθος των στοιχείων ανά αποτελούν ίσως τους πιο σημαντικούς αριθμούς της Συνδυαστικής και καλούνται διωνυμικοί συντελεστές διότι εμφανίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ΘΕΤΙΚΟΙ ΚΑΙ ΑΡΝΗΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Όταν μπροστα" (αριστερα") απο" ε"ναν αριθμο" γραφει" το συ"μβολο + το"τε ο αριθμο"ς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος

Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παραδείγματα Διανυσματικοί Χώροι Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω το σύνολο V το σύνολο όλων των θετικών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την ακόλουθη πράξη της πρόσθεσης: y y με, y V και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a.

Φ(s(n)) = s (Φ(n)). (i) Φ(1) = a. 1. Τα θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα Με τον όρο θεμελιώδη αριθμητικά συστήματα εννοούμε τα σύνολα N των φυσικών αριθμών, Z των ακεραίων, Q των ρητών και R των πραγματικών. Από αυτά, το σύνολο N είναι πρωτογενές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x.

x 2 = x 2 1 + x 2 2. x 2 = u 2 + x 2 3 Χρησιµοποιώντας το συµβολισµό του ανάστροφου, αυτό γράφεται x 2 = x T x. = x T x. Κεφάλαιο 4 Μήκη και ορθές γωνίες Μήκος διανύσµατος Στο επίπεδο, R 2, ϐρίσκουµε το µήκος ενός διανύσµατος x = (x 1, x 2 ) χρησιµοποιώντας το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα : x 2 = x 2 1 + x 2 2. Στο χώρο R 3, εφαρµόζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Το Θεώρημα Jordan Hölder. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Το Θεώρημα Jordan Hölder. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Το Θεώρημα Jordan Hölder Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Το Θεώρημα Jordan Hölder 31 Προκαταρκτικές Έννοιες 311 Υποορθόθετες

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Υπολογίστε τις ακόλουθες ορίζουσες a) 4 b) c) a b + a) 4 4 Παρατήρηση: Προσέξτε ότι ο συμβολισμός της ορίζουσας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ. 2.3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ - ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΡΟΥ [Κεφ..3: Μέτρο Μιγαδικού Αριθμού σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να βρείτε το μέτρο των μιγαδικών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2015-2016 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο Β Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης ΜΑΘΗΜΑ :

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ

- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ - ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ [Κεφ..6: Μη Πεπερασμένο Όριο στο R - Κεφ..7: Όρια Συνάρτησης

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα

Ασκήσεις στους Γράφους. 2 ο Σετ Ασκήσεων. Δέντρα Ασκήσεις στους Γράφους 2 ο Σετ Ασκήσεων Δέντρα Ασκηση 1 η Ένας γράφος G είναι δέντρο αν και μόνο αν κάθε δυο κορυφές του συνδέονται με ένα μοναδικό μονοπάτι. Υποθέτουμε ότι ο γράφος G είναι δέντρο. Έστω

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K =

Α Δ Ι. Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 & K = Α Δ Ι Α - Φ 5 Δ : Ν. Μαρμαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ι Μ : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114 Παρασκευή 29 Νοεμβρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Συμπλήρωσε στον πίνακα τα τετράγωνα και τους κύβους των αριθμών. α

Συμπλήρωσε στον πίνακα τα τετράγωνα και τους κύβους των αριθμών. α 32 1. Συμπλήρωσε στον πίνακα τα τετράγωνα και τους κύβους των αριθμών α 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 25 α 2 α 3 Τετράγωνο του αριθμού α ονομάζεται η δεύτερη δύναμη του α. Είναι: α 2 = α α. Κύβος

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) =

M. J. Lighthill. g(y) = f(x) e 2πixy dx, (1) d N. g (p) (y) = Εισαγωγή στην ανάλυση Fourier και τις γενικευμένες συναρτήσεις * M. J. Lighthill μετάφραση: Γ. Ευθυβουλίδης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Η ΘΕΩΡΙΑ ΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΑΙ ΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΩΝ ΤΟΥΣ FOURIER 2.1. Καλές

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες πραγματικών αριθμών

Ακολουθίες πραγματικών αριθμών ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ακολουθίες πραγματικών αριθμών Όταν διαδοχικές τιµές που παίρνει µία μεταβλητή προσεγγίζουν απεριόριστα µία συγκεκριµένη τιµή έτσι ώστε τελικά να διαφέρουν από αυτήν λιγότερο από όσο επιθυµεί

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης

1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων

Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων 7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4)

Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smith (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4) Πορίσματα της Κανονικής Μορφής Smh (συμπλήρωμα για την Ενότητα 4 Θα δείξουμε εδώ ότι από την κανονική μορφή Smh πινάκων πάνω από περιοχή κυρίων ιδεωδών R, έπονται τα εξής Το Θεώρημα Βάσεων Το Θεώρημα Ανάλυσης

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τρίτη 6 Νοεµβρίου 0 Ασκηση. Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β.

Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Η έννοια της ακολουθίας Ξέρουμε ότι: Συνάρτηση-απεικόνιση με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α και πεδίο τιμών ένα σύνολο Β είναι κάθε μονοσήμαντη απεικόνιση f του Α στο Β. Δηλαδή: f : A B Η ακολουθία είναι συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σημειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισμούς :

1. Να σημειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισμούς : ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 1. Να σημειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισμούς : 1. Αν μια πρόταση Ρ(ν) αληθής για ν = 3 και με την υπόθεση ότι Ρ(ν) είναι αληθής αποδείξουμε ότι και η Ρ(ν+1)

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

a και ( ) a11 a12 με απλή εφαρμογή του ορισμού του αντίστροφου πίνακα [Κεφάλαιο 2] διαπιστώνουμε

a και ( ) a11 a12 με απλή εφαρμογή του ορισμού του αντίστροφου πίνακα [Κεφάλαιο 2] διαπιστώνουμε ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ 3 Εισαγωγή Θεωρούμε δύο μη μηδενικά διανύσματα = ( α α) b = β β του επιπέδου Γνωρίζουμε ότι αν τα διανύσματα και b είναι μη συγγραμμικά τότε αληθεύει η συνεπαγωγή λ+ μb = 0 λ μ λ =

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.

2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι

8. Πολλαπλές μερικές παράγωγοι 94 8 Πολλαπλές μερικές παράγωγοι Οι μερικές παράγωγοι,,, αν υπάρχουν, μιας συνάρτησης : U R R ( U ανοικτό είναι αυτές συναρτήσεις από το U στο R, επομένως μπορεί να ορισθεί για αυτές η έννοια της μερικής

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Τελεστές Δομή Διάλεξης Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Ερμητειανοί τελεστές Στοιχεία πίνακα τελεστών Μεταθέτες

Διαβάστε περισσότερα

2x y = 1 x + y = 5. 2x y = 1. x + y = 5. 2x y = 1 4x + 2y = 0. 2x y = 1 4x + 2y = 2

2x y = 1 x + y = 5. 2x y = 1. x + y = 5. 2x y = 1 4x + 2y = 0. 2x y = 1 4x + 2y = 2 Σημειώσεις μαθήματος Μ22 Γραμμική Άλγεβρα Ι Βασισμένες στο βιβλίο του GStrang Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2 Εισαγωγή Αυτές οι σημειώσεις καλύπτουν την ύλη του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα