ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Mathematica

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Mathematica"

Transcript

1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Mathematica ιδάσκων: Λέκτορας Ε Κοφίδης Σ αυτά τα εργαστηριακά µαθήµατα θα κάνουµε µια εισαγωγή στη χρήση του λογισµικού πακέτου Mathematica, µε έµφαση σε προβλήµατα Αριθµητικής Ανάλυσης Θα πρέπει από τώρα να τονίσουµε ότι οι χρονικοί περιορισµοί µας επιτρέπουν να εξετάσουµε µόνο ένα µικρό µέρος του πακέτου, δίνοντας έµφαση σε βασικούς χειρισµούς και έννοιες Παρακάτω δίνεται µια σύντοµη αλλά επαρκής βιβλιογραφική λίστα για περισσότερο διάβασµα Εκτός από βιβλία, περιλαµβάνει διαθέσιµες on-line σηµειώσεις και συνδέσµους (links) όπου µπορεί κανείς να βρει περισσότερο υλικό Βιβλιογραφία Σ Τραχανάς, Mathematica και Εφαρµογές, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, 00 Γ Σ Παπαγεωργίου, Χ Γ Τσίτουρας, και Ι Θ Φαµέλης, Σύγχρονο Μαθηµατικό Λογισµικό: Matlab Mathematica, Εκδόσεις Συµεών, E Don, Mathematica, Schaum s series, Εκδόσεις Κλειδάριθµος, S Wolfram, The Mathematica Book, 5 th edition, Wolfram Media, S Wolfram, Mathematica: A System for Doing Mathematics by Computer, nd edition, Addison-Wesley, 99 (διαθέσιµο στη βιβλιοθήκη) 6 Μ Μπούτσικας, Εισαγωγή στο Mathematica, 7 Mathematica: Εισαγωγή στη χρήση του πακέτου, 8 Επίσηµη ιστοσελίδα του Mathematica: (περιλαµβάνει και κατάλογο σχετικών βιβλίων) Επίσης, το ο κεφάλαιο του βιβλίου που χρησιµοποιείται στο µάθηµα είναι µια (µάλλον πολύ σύντοµη) εισαγωγή στο Mathematica Ξεκίνηµα Αν και το Mathematica είναι στην πραγµατικότητα περιβάλλον προγραµµατισµού και περιλαµβάνει εντολές και συναρτήσεις, διαφέρει κατά πολύ από άλλα προγραµµατιστικά περιβάλλοντα που ίσως έχετε χρησιµοποιήσει µέχρι σήµερα (πχ αυτό της Borland C++) Πρώτα-πρώτα, λειτουργεί ως διερµηνέας εντολών (interpreter), που σηµαίνει ότι µπορείτε να δίνετε µια εντολή υπολογισµού και να παίρνετε άµεσα την απάντηση, χωρίς να χρειάζετε να γράψετε πρόγραµµα για το σκοπό αυτό Επίσης, είναι σε θέση να εκτελεί εύκολα και κοµψά και συµβολικούς (όχι µόνο αριθµητικούς) υπολογισµούς, πχ υπολογισµό ολοκληρωµάτων και παραγώγων, αναλυτική επίλυση αλγεβρικών και διαφορικών εξισώσεων, κά Άλλα τέτοια πακέτα είναι τα Maple, Matlab, κλπ Όµως καλύτερα να τα βλέπουµε στην πράξη Ξεκινήστε το Mathematica είτε από τη συντόµευση στην επιφάνεια εργασίας ή από την αντίστοιχη επιλογή στον κατάλογο προγραµµάτων στην Έναρξη (Start) Ανοίγει τότε ένα παράθυρο µε τίτλο Untitled- Αυτό είναι το λεγόµενο σηµειωµατάριό σας (notebook) Αποθηκεύστε το µε όνοµα FirstNb σε δικό Γ Σ Παπαγεωργίου και Χ Γ Τσίτουρας, Αριθµητική Ανάλυση µε Εφαρµογές σε Matlab και Mathematica, 3 η έκδοση, Εκδόσεις Συµεών, 004

2 σας φάκελο στην επιφάνεια εργασίας Γράψτε τώρα την παράσταση 57 * 43 και πατήστε Shift+Enter Ναι, Shift+Enter Στο Mathematica το απλό Enter αλλάζει γραµµή, δεν δίνει εντολή Παίρνετε σε λίγο το αποτέλεσµα στη µορφή: In[]:=57 * 43 Out[]=3706 Ας ζητήσουµε τώρα τον υπολογισµό της τιµής µιας συνάρτησης: In[]:=Sin[04] Out[]= Παρατηρείστε ότι τα ονόµατα των συναρτήσεων αρχίζουν πάντα µε κεφαλαίο γράµµα και αντί των γνωστών µας παρενθέσεων χρησιµοποιούνται αγκύλες ([ ]) Οι In και Out είναι κι αυτές συναρτήσεις, µε ακέραια ορίσµατα Έτσι, το In[] είναι η είσοδος στον πρώτο υπολογισµό και το Out[] η έξοδος Το ίδιο για τα In[], Out[], κλπ οκιµάστε και µε άλλες συναρτήσεις Πχ In[3]:=Log[5] Out[3]= In[4]:=Cos[] Out[4]=Cos[] Το τελευταίο αποτέλεσµα φαίνεται περίεργο, αλλά έχει την εξήγησή του Όταν δίνουµε ακέραιο όρισµα (πχ ), τότε, αν δεν υπάρχει ακριβές αποτέλεσµα, το Mathematica απαντάει µε την πιο ακριβή έκφραση που µπορεί να δώσει Αν όµως δώσουµε 0 αντί του, τότε: In[5]:=Cos[0] Out[5]= Εναλλακτικά, µε χρήση της συνάρτησης N (Numeric): In[6]:=N[Cos[]] Out[6]= Η N[ ] υπολογίζει την αριθµητική (προσεγγιστική) τιµή µιας παράστασης Εξ ορισµού, η µηχανή χρησιµοποιεί 6 ψηφία: In[7]:=InputForm[%] Out[7]//InputForm= Τι είναι αυτό το %; Για να µην ξαναγράφουµε προηγούµενα αποτελέσµατα, χρησιµοποιούµε τη συντοµογραφία % Έτσι, % είναι το πιο πρόσφατο Out, δηλαδή το Out[6] Αν θέλουµε να αναφερθούµε, πχ, στο Out[], γράφουµε % (ή σπανιότερα Out[]) Μπορούµε να µάθουµε ποιο εύρος αριθµών αναπαρίσταται στον υπολογιστή µας ως εξής: In[8]:=$MinMachineNumber 308 Out[8]= In[9]:=$MaMachineNumber 308 Out[9]= καθώς και ποιος είναι ο µικρότερος θετικός αριθµός ε που µπορούµε να χειριστούµε: In[0]:=$MachineEpsilon 6 Out[0]= Ουσιαστικά «µικρότερο ή ίσο του ε» σηµαίνει µηδέν: In[]:=+% Out[]=

3 Επιστρέφουµε για λίγο στη N[ ] Μπορούµε, µε τη βοήθειά της, να πάρουµε αποτέλεσµα σε όσα ψηφία επιθυµούµε, περισσότερα απ όσα µπορεί να µας διαθέσει η ακρίβεια της µηχανής (µε εσωτερική χρήση κατάλληλων αλγορίθµων) Για παράδειγµα, µε N[Pi,00] θα πάρετε το π µε 00 ψηφία οκιµάστε το! Υπολογίστε τις τιµές των παραστάσεων lnsin0! και 3 00 π Υπολογίστε το e µε 00 ψηφία (συνάρτηση Ep) 00 3 Βρείτε το σε συνεπτυγµένη µορφή (επιστηµονική γραφή) (δοκιµάστε µε τη συνάρτηση N) Ας δούµε και πιο περίπλοκες πράξεις, όπως η ολοκλήρωση και η παραγώγιση συναρτήσεων Για παράδειγµα, το π 0 sin d µπορεί να υπολογιστεί ως εξής: In[3]:=Integrate[(^)*Sin[],{,0,Pi}] Out[3]= 4π Σηµείωση: Οι οµάδες οµοειδών στοιχείων τοποθετούνται ανάµεσα σε άγκιστρα ({ }) επειδή αποτελούν λίστες Θα επιστρέψουµε αργότερα σ αυτές οκιµάστε και µε ένα αόριστο ολοκλήρωµα: In[4]:=Integrate[^3*Ep[-a*],] Out[4]= Η σταθερά ολοκλήρωσης δεν συµπεριλαµβάνεται στο αποτέλεσµα Απλά εννοείται Η συνάρτηση D κάνει παραγώγιση Το παρακάτω υπολογίζει την 3 η παράγωγο της ln : In[5]:=D[(^)*Log[],{,3}] Out[5]=/ Με παρόµοιο τρόπο, µε τη συνάρτηση Sum, µπορείτε να υπολογίσετε και αθροίσµατα Για παράδειγµα, το n= n : In[6]:=Sum[/n^,{n,,Infinity}] Out[6]= π / 6 Το Mathematica έχει µεγάλες δυνατότητες οπτικοποίησης αποτελεσµάτων Ας δούµε µόνο µερικές απλές γραφικές παραστάσεις: In[7]:=Plot[(Sin[])^,{,0,4Pi}] Out[7]=-Graphics- Αν έχουµε περισσότερες από µια συναρτήσεις στο ίδιο γράφηµα, µπορούµε να τις διακρίνουµε δίνοντάς τους διαφορετικά χρώµατα Πχ In[8]:=Plot[{Ep[],},{,0,},PlotStyle->{{RGBColor[,0,0]},{RGBColor[0,,0]}}] Out[8]=-Graphics- Παρατηρείστε ότι, όπως αναφέραµε και πιο πάνω, το Mathematica προσπαθεί να δώσει το ακριβέστερο αποτέλεσµα που µπορεί Έτσι, εδώ δεν απαντά µε κάποια αριθµητική τιµή, αλλά µε την ακριβή έκφραση 4π 3

4 Περισσότερα για µια συνάρτηση όπως η Plot µπορούµε να µάθουµε από την ενσωµατωµένη βοήθεια (Help) Επιλογές για την εµφάνιση ενός γραφήµατος θα βρείτε µε Options[Plot] Για τρισδιάστατα γραφήµατα, χρησιµοποιούµε την Plot3D: In[8]:=Plot3D[^-y^, {,-5,5}, {y,-5,5},aeslabel->{, y, ^-y^ }] Out[8]=-Graphics- 0 3 a Υπολογίστε το ολοκλήρωµα e d Καταλαβαίνετε το αποτέλεσµα; Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωµα cos kd 3 Κάντε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) = e στο διάστηµα [-3,3] π 4 Βρείτε την η και τη η παράγωγο της ln και παραστήστε τις γραφικά στο ίδιο γράφηµα Προσπαθήστε να προσθέσετε και ετικέτες στους άξονες (πχ, f()) ( + y 5 Παραστήστε γραφικά τη συνάρτηση e ) για στους άξονες (και τίτλο στο γράφηµα) i 6 Βρείτε τα αθροίσµατα,, N n N n= n= n i=0 a, y Προσθέστε ετικέτες 7 Με τη συνάρτηση Limit µπορείτε να βρείτε όριο συνάρτησης ή ακολουθίας Για παράδειγµα, το lim βρίσκεται ως Limit[/,->Infinity] οκιµάστε µε sin το lim 0 Συναρτήσεις οριζόµενες από το χρήστη Αντί να γράφουµε κάθε φορά τον τύπο µιας συνάρτησης, µπορούµε να της δώσουµε όνοµα και να αναφερόµαστε σ αυτή µε το όνοµά της Για παράδειγµα: In[4]:=f[_]=^*Log[] Out[4]= Log[ ] Το σύµβολο υπογράµµισης (underscore) _ είναι απαραίτητο στο αριστερό µέρος του ορισµού µιας συνάρτησης Μόνο έτσι µπορούµε στη συνέχεια να δώσουµε τιµή στο : In[5]:=f[0] Out[5]=7759 ή In[6]:=f[^(/)] Out[6]= Log [ ] Μπορούµε να κάνουµε αντικατάσταση του και ως εξής: In[5]:= f[]/->0 Out[5]= In[6]:=f[]/->^(/) Out[6]= Στο εξής µπορούµε να χρησιµοποιούµε την έκφραση f[ ] όπως θα κάναµε αν γράφαµε µαθηµατικούς τύπους στο χαρτί Ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα αυτού του γεγονότος είναι το εξής: In[5]:=f [] Out[5]= + Log[ ] Είναι αυτό που φαντάζεστε Η f [] είναι η η παράγωγος της f οκιµάστε να υπολογίσετε µε ανάλογο τρόπο τη η παράγωγο και συγκρίνετε µε το αποτέλεσµα της συνάρτησης D 4

5 3 Ορίστε τη συνάρτηση f ( ) = και κάντε τη γραφική της παράσταση στο διάστηµα [,] Έχει ρίζες σ αυτό το διάστηµα; Αν ναι, πόσες; Ορίστε τη συνάρτηση g ( ) = f ( ) d και παραγωγίστε την για να επαληθεύσετε την ορθότητα του αποτελέσµατος 3 Ορίζοντας τις συντεταγµένες, y των σηµείων µιας καµπύλης ως συναρτήσεις µιας παραµέτρου t, µπορούµε να σχεδιάσουµε την καµπύλη, µε τη συνάρτηση ParametricPlot Σχεδιάστε την καµπύλη που ορίζεται παραµετρικά ως ( t) = cos( t) cos(00t)sin( t), y( t) = sin( t) sin(00t), για 0 t π 4 Με ανάλογο τρόπο, σχεδιάστε τον κύκλο µε κέντρο το 0 και ακτίνα (Για να φαίνεται ο κύκλος σαν κύκλος, θα χρειαστεί να αλλάξετε κατάλληλα και την παράµετρο AspectRatio της ParametricPlot) 3 Λίστες Λίστα είναι µια διατεταγµένη συλλογή οµοειδών αντικειµένων Παραδείγµατα λιστών που έχουµε ήδη συναντήσει είναι τα {, 0, 4Pi}, {n,, Infinity} Παρακάτω δίνονται άλλα δύο παραδείγµατα: In[30]:= S={,,3,4,5,6,7,8,9,0} Out[30]={,,3,4,5,6,7,8,9,0} In[3]:= fs={f[],f[],f[3],f[4],f[5],f[6],f[7],f[8],f[9],f[0]} Out[3]={-,5,3,59, } Τα οποία δείχουν ότι θα ταλαιπωρηθούµε αρκετά αν θέλουµε να υπολογίσουµε πχ τις τιµές της f στα,,, 00 Κι όµως ένας τέτοιος υπολογισµός είναι πολύ εύκολος στο Mathematica Να δύο τρόποι για να εκτελεστεί: In[3]:= S=Range[00] Out[3]= {,,3,,00} In[33]:= f[s] Out[33]= {-,5,3,59, } και In[34]:=Table[f[n],{n,,00}] Out[34]= {-,5,3,59, } 3 ιανύσµατα και Πίνακες Μια πολύ ενδιαφέρουσα χρήση των λιστών είναι στην κατασκευή διανυσµάτων και πινάκων Ένα διάνυσµα είναι µια λίστα: In[35]:= b={3,,-} Out[35]= {3,,-} Ενώ ένας πίνακας µπορεί να ειδωθεί ως µια λίστα από λίστες (µία για κάθε γραµµή του): In[36]:= A={{,, 0},{,, },{0,, }} Out[36]= {{,, 0},{,, },{0,, }} Για να δούµε τον πίνακα στη µορφή που έχουµε συνηθίσει, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη συνάρτηση MatriForm: In[37]:= MatriForm[A] Out[37]//MatriForm= Μπορούµε να αναφερθούµε σε µέρος µιας λίστας Πχ το b[[]] είναι το ο στοιχείο του διανύσµατος b ενώ το A[[,3]] είναι το στοιχείο (,3) του πίνακα Α Οι βασικές πράξεις σε πίνακες είναι διαθέσιµες σε έτοιµες συναρτήσεις Mathematica Πχ: 5

6 Ab Πολλαπλασιασµός Inverse[A] Αντίστροφος Transpose[A] Ανάστροφος Det[A] Ορίζουσα καθώς επίσης και οι διαδικασίες επίλυσης γραµµικών συστηµάτων εξισώσεων, υπολογισµού ιδιοδιανυσµάτων και ιδιοτιµών, κά: In[38]:= =LinearSolve[A,b] Out[38]= {,,-} In[39]:= lambda=eigenvalues[a] Out[39]= {,, + } In[40]:= U=Eigenvectors[A] Out[40]= {{,0,},{,,},{,,}} Γράφοντας?Eigenvectors για παράδειγµα µπορούµε να ζητήσουµε πληροφορίες για τον τρόπο χρήσης της Eigenvectors και ερµηνείας του αποτελέσµατός της Εναλλακτικά, και κυρίως σε περίπτωση που δεν θυµόµαστε καν το όνοµα της συνάρτησης, µπορούµε να ζητήσουµε βοήθεια από το menu Help Ορίστε τον πίνακα A = Υπολογίστε την ορίζουσά του κι αν αυτή είναι µη-µηδενική, βρείτε και τον αντίστροφο πίνακα Επαληθεύστε το αποτέλεσµα υπολογίζοντας το γινόµενο AA Λύστε το σύστηµα εξισώσεων A=b µε b = [ 7 8 9] T Ελέγξτε την ορθότητα του αποτελέσµατος 3 Βρείτε τις ιδιοτιµές και αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα του Α και επαληθεύστε την ορθότητα των αποτελεσµάτων 4 Από τα παραπάνω, και µε τη βοήθεια των συναρτήσεων Abs και Ma, βρείτε τη φασµατική ακτίνα του A 5 Όπως είπαµε και νωρίτερα, το Mathematica δίνει και τη δυνατότητα συµβολικών a b υπολογισµών Βρείτε πχ την ορίζουσα και τον αντίστροφο του πίνακα B = c d 4 Παρεµβολή µε Πολυώνυµα Πριν περάσουµε να δούµε µερικές βασικές προγραµµατιστικές τεχνικές (όπως blocks και επαναλήψεις), ας κάνουµε µια (ελπίζω ευχάριστη) παρένθεση υπολογίζοντας πολύ εύκολα το πολυώνυµο βαθµού k που παρεµβάλλι µια συνάρτηση f () σε δοσµένα σηµεία, 0,, K, k Αυτό βρίσκεται µε τη συνάρτηση InterpolatingPolynomial ως εξής: P[_]=InterpolatingPolynomial[{{0,f0},{,f}, {k,fk}},] η οποία δίνει το πολυώνυµο στη µορφή Newton Ας δοκιµάσουµε µε τη συνάρτηση f ( ) = ( + ) 4 Θα την παρεµβάλλουµε στα σηµεία 0, 05,, 5, Το πολυώνυµο θα είναι εποµένως 4 ου βαθµού In[5]:= data=table[{z,f[z]},{z,0,,05}] Out[5]= {{0,/6}, } In[5]:= P[_]=InterpolatingPolynomial[data,] Out[5]= 6

7 Για να εκφράσουµε το πολυώνυµο στη γνώριµή µας µορφή, αρκεί να εφαρµόσουµε τη συνάρτηση Epand (δηλ ανάπτυξη): In[53]:= Epand[%] Out[53]= Ας βρούµε και το πολυώνυµο Taylor 4 ου βαθµού που προσεγγίζει τη συνάρτηση γύρω από κάποιο από αυτά τα σηµεία, έστω το 5: In[54]:= T[_]=Series[f[],{,5,4}] Out[54]= In[55]:= T[_]=Normal[%] Out[55]= Η συνάρτηση Series βρίσκει το ανάπτυγµα Taylor δοσµένου βαθµού µιας συνάρτησης γύρω από ένα σηµείο, ενώ συµπεριλαµβάνει κι έναν όρο που παριστάνει το υπόλοιπο Αυτός µπορεί να παραλειφθεί (δηλαδή να αποκοπεί η σειρά) µε τη Normal Τέλος, µια γραφική παράσταση των τριών συναρτήσεων (f, P, T) στο ίδιο γράφηµα θα µας δείξει πόσο καλές είναι οι δύο προσεγγίσεις που βρήκαµε Βρείτε το παρεµβολικό πολυώνυµο για την f ( ) = / στα σηµεία,, 3, 4 Παραστήστε γραφικά (στο ίδιο γράφηµα) τη συνάρτηση και το πολυώνυµο, στο διάστηµα [,4] Κάντε, σε άλλο γράφηµα, και τη γραφική παράσταση του σφάλµατος E( ) = f ( ) P( ) Υπολογίστε το πολυώνυµο που παρεµβάλλει την παραπάνω συνάρτηση και στο 5 Συγκρίνετε τις µορφές Newton των δύο παρεµβολικών πολυωνύµων Παραστήστε στο ίδο γράφηµα τη συνάρτηση και τα δύο πολυώνυµα, στο [,5] Συγκρίνετε γραφικά και τις αντίστοιχες συναρτήσεις σφάλµατος 3 Βρείτε το παρεµβολικό πολυώνυµο για τη συνάρτηση f ( ) = ln στα σηµεία, 07, και Προσεγγίστε την τιµή της συνάρτησης στο 05 από την αντίστοιχη τιµή του πολυωνύµου Ποιο είναι το σφάλµα; 4 Για την παραπάνω συνάρτηση, κατασκευάστε τα πολυώνυµα Taylor 3 ου, 5 ου, και 0 ου βαθµού, γύρω από το Σχεδιάστε τα γραφήµατά τους (µε διαφορετικά χρώµατα) στο ίδιο σύστηµα αξόνων, για Προγραµµατισµός στο Mathematica Εκτός από διερµηνέας εντολών υπολογισµού, το Mathematica είναι και µια γλώσσα προγραµµατισµού και δεν υστερεί σε βασικές δοµές ελέγχου που συναντούµε και σε άλλες γλώσσες όπως πχ η C 5 Επανάληψη Ας ξεκινήσουµε µε τις εντολές συναρτήσεις επανάληψης, µε πρώτη τη For Συντάσσεται ως εξής: For[start, test, increment, body] και λειτουργεί όπως η αντίστοιχη κατασκευή της C: for (start; test; increment) body Να ένα απλό παράδειγµα χρήσης της For: Εµφάνιση στην οθόνη των ακέραιων αριθµών από 0 έως και 9 (Παρατηρείστε ότι υπάρχει κι εδώ ο γνωστός µας από τη C τελεστής µοναδιαίας αύξησης, ++): 7

8 In[65]:= For[i=0, i < 0, i++, Print[i]] 0 9 Όταν γνωρίζουµε εκ των προτέρων πόσες επαναλήψεις θα πρέπει να γίνουν, πιο εύχρηστη είναι η Do: Do[epr, {i, imin, ima}], η οποία υπολογίζει την έκφραση epr ima-imin+ φορές, θέτοντας τη µεταβλητή i αρχικά σε imin και αυξάνοντάς την κατά ένα ώσπου να πάρει την τιµή ima Το παραπάνω παράδειγµα θα υλοποιούνταν µε Do ως εξής: In[66]:= Do[Print[i], {i, 0, 9}] Και, φυσικά, δεν λείπει η While, της οποίας η λειτουργία είναι εντελώς ανάλογη µ εκείνης της C Έτσι, η While[test, body] αντιστοιχεί στην κατασκευή C: while (test) body Πολύ εύκολα µπορεί κανείς να δει πώς γίνεται το παραπάνω παράδειγµα µε τη βοήθεια της While: In[67]:= i = 0; While[i < 0, Print[i]; i++] Έχει ενδιαφέρον να δούµε τις παραπάνω εντολές στα πλαίσια του προβλήµατος εύρεσης ρίζας µιας (µη-γραµµικής) συνάρτησης, µε τη γενική µέθοδο σταθερού σηµείου και ειδικότερα µε τη µέθοδο Newton-Raphson Ας πάρουµε για παράδειγµα την εξίσωση f ( ) = e = 0 στο διάστηµα [,] Μπορεί να επαληθευτεί, πχ µέσω γραφικής παράστασης, ότι υπάρχει ακριβώς µία ρίζα στο διάστηµα αυτό Επίσης, είναι σχετικά εύκολο να δει κανείς ότι η συνάρτηση g ( ) = ln( + ) είναι τέτοια ώστε η δοσµένη εξίσωση f ( ) = 0 να ισοδυναµεί µε την = g() και να έχει µοναδικό σταθερό σηµείο στο [,] Εποµένως, η επαναληπτική διαδικασία n = g( n ), n =,,K θα συγκλίνει στην αναζητούµενη ρίζα, για οποιοδήποτε [ ] 0, Με τη βοήθεια της Do, θα µπορούσαµε να υλοποιήσουµε την παραπάνω διαδικασία, πχ για 30 επαναλήψεις και µε αρχική προσέγγιση 5, ως εξής: In[68]:= g[_]=log[+] Out[68]= Log[+] In[69]:= =5; Do[=g[];Print[], {30}] Αν επιθυµούµε να εισάγουµε κι έναν έλεγχο τερµατισµού, πχ προτιµώτερη η While: n n < 0 6, τότε είναι 8

9 In[70]:= =5; new=g[]; Print[new]; While[Abs[-new]>=0^(-6), =new;new=g[];print[new]] Η τελευταία τιµή του new είναι το Out[70] Έτσι, για να δούµε αν όντως είναι η ρίζα που αναζητούµε, µπορούµε να ζητήσουµε τον υπολογισµό της f σ αυτή: In[7]:= f[%] 6 Out[7]= Ας προσπαθήσουµε και τη µέθοδο Newton-Raphson: In[7]:= f[_]=ep[]-- Out[7]= In[73]:= fd[_]=f [] Out[73]= πρώτα µε τη Do: In[74]:= =5; Do[=-f[]/fd[], {5}] και κατόπιν µε τη While: In[75]:= =5; new=-f[]/fd[]; Print[new]; While[Abs[-new]>=0^(-6), =new;new=-f[]/fd[]; Print[new]] (Είναι φανερή η υπεροχή της µεθόδου Newton-Raphson σε ταχύτητα σύγκλισης) Αποθηκεύοντας την ακολουθία των διαφορών n n σε µια λίστα, µπορούµε στο τέλος να τις παραστήσουµε γραφικά, µε τη συνάρτηση ListPlot Έτσι, µπορούµε να έχουµε και µια εικόνα της σύγκλισης της µεθόδου: In[76]:= =5; new=-f[]/fd[]; Print[new]; err=abs[-new]; errors={err}; While[err>=0^(-6), =new;new=-f[]/fd[]; Print[new];err=Abs[-new]; errors=append[errors,err]]; ListPlot[errors] Out[76]=-Graphics

10 Η εντολή errors=append[errors,err] προσθέτει το στοιχείο err στη λίστα errors Επειδή οι διαφορές γρήγορα γίνονται πολύ µικρές, η γραφική τους αναπαράσταση θα γινόταν πιο ευανάγνωστη αν αντί των διαφορών παραστούσαµε γραφικά πχ τις ποσότητες log οκιµάστε το (µε τη συνάρτηση Log) 0 n n Με την on-line βοήθεια (Help) του Mathematica, δείτε πώς λειτουργούν και πώς χρησιµοποιούνται οι συναρτήσεις FiedPoint, FiedPointList, NestWhile, NestWhileList, και FindRoot Εφαρµόστε τις στην παραπάνω µη-γραµµική εξίσωση Συγκρίνετε τα αποτελέσµατά τους µε τα αποτελέσµατα που πήρατε παραπάνω 3 Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης 5cos = 4, µε τη βοήθεια της συνάρτησης FindRoot 3 Χρησιµοποιείστε το πρόγραµµα που γράψατε παραπάνω για τη µέθοδο Newton- 3 Raphson για να βρείτε τη ρίζα του πολυωνύµου f ( ) = + 3 κοντά στο -9 Σταµατήστε την επανάληψη όταν η σχετική διαφορά n n γίνει µικρότερη του 0 4 Παραστήστε γραφικά την ακολουθία των σχετικών διαφορών Για επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων όπως η παραπάνω, το Mathematica διαθέτει έτοιµη συνάρτηση, τη Solve Εφαρµόστε την στο πρόβληµα αυτό: Solve[f[]==0,] 3 4 Επαναλάβετε για την εξίσωση = 0 στο διάστηµα [,], µε αρχική εκτίµηση 5 5 Με τη συνάρτηση Solve βρείτε τις ιδιοτιµές του παραπάνω πίνακα Α ως ρίζες του χαρακτηριστικού του πολυωνύµου 5 Σύνθετες Εντολές Υποµονάδες (Blocks) Το Block ή Module παρέχει τη δυνατότητα στον προγραµµατιστή να ορίσει τα δικά του υπο-προγράµµατα Αυτό που δεν πρέπει να ξεχνάµε όταν γράφουµε Block ή Module είναι να παραθέτουµε στην αρχή του τη λίστα των τοπικών µεταβλητών, αυτών δηλαδή που θα χρησιµοποιηθούν στο υπο-πρόγραµµα εκτός από τις παραµέτρους του Ένα απλό και ταυτόχρονα ενδιαφέρον και χρήσιµο παράδειγµα είναι αυτό της µεθόδου Newton-Raphson Στα προηγούµενα είδαµε ότι κάθε φορά που θέλουµε να ξεκινήσουµε από µια διαφορετική αρχική προσέγγιση ή/και να αλλάξουµε τον αριθµό των επαναλήψεων, θα πρέπει να διορθώνουµε τον αντίστοιχο κώδικα Ένας πιο εύχρηστος αλλά και πιο ολοκληρωµένος τρόπος είναι να κάνουµε αυτές τις ποσότητες παραµέτρους σ ένα υποπρόγραµµα: In[85}:= NR[f_,0_,TOL_]:=Module[{=0,new,err,errors,z_}, fd[z_]=f [z]; new=-f[]/fd[];print[new]; err=abs[-new];errors={err}; (* repeat while error is not less than TOL *) While[err>=TOL, =new; new=-f[]/fd[]; Print[new]; err=abs[-new]; errors=append[errors,err] n 0

11 ] ListPlot[errors] (* plot error sequence) ] Παρατηρείστε ότι το υποπρόγραµµα ορίζεται κι αυτό όπως µια συνάρτηση (εδώ µε όνοµα NR) αλλά αντί του = χρησιµοποιούµε το:= Αυτός είναι ο ορισµός συνάρτησης µε αναβολή, που σηµαίνει ότι η συνάρτηση δεν ορίζεται άµεσα αλλά η ακριβής λειτουργία της θα γίνει σαφής µόλις πάρουν τιµές οι παράµετροι f,0,tol Για παράδειγµα, δεν µπορεί να είναι γνωστό πόσες επαναλήψεις θα εκτελεστούν πριν αρχίσει να εκτελείται το υποπρόγραµµα Το δεύτερο που αξίζει να παρατηρήσουµε είναι ότι, όπως όλες οι γλώσσες προγραµµατισµού, έτσι και το Mathematica παρέχει τη δυνατότητα εισαγωγής σχολιασµού (ανάµεσα στα (* *)) στο πρόγραµµα Για να βρούµε την ίδια προσέγγιση της ρίζας όπως παραπάνω, θα πρέπει να καλέσουµε το υποπρόγραµµα ως εξής: In[86]:=NR[f,5,0^(-6)] Πλέον έχουµε τη δυνατότητα να εκτελούµε τη διαδικασία Newton-Raphson για οποιαδήποτε συνάρτηση, µε οποιαδήποτε αρχική προσέγγιση, και µε οποιαδήποτε επιθυµητή ακρίβεια, χωρίς να είµαστε υποχρεωµένοι να επεµβαίνουµε στις εντολές Έτσι, αν πχ επιθυµούµε ακρίβεια 0 8, αρκεί να καλέσουµε το υποπρόγραµµα ως In[87]:=NR[f,5,0^(-8)] Ας σηµειώσουµε επίσης ότι ένα υποπρόγραµµα µπορούµε να το αποθηκεύσουµε σε ένα ξεχωριστό αρχείο (notebook) ώστε να είµαστε σε θέση, όποτε το επιθυµούµε, να το ενεργοποιήσουµε (ώστε να µπορούµε να το καλέσουµε) Για παράδειγµα, αποθηκεύοντας το παραπάνω πρόγραµµα στο αρχείο NRm, µπορούµε αργότερα να το καλέσουµε αφού πρώτα το ενεργοποιήσουµε µε In[86]:=<<NRm Τροποποιήστε το υποπρόγραµµα NR ώστε το κριτήριο τερµατισµού να βασίζεται στη σχετική διαφορά των διαδοχικών προσεγγίσεων αντί της απόλυτης διαφοράς όπως παραπάνω οκιµάστε το στο παραπάνω παράδειγµα Γράψτε υποπρόγραµµα (ονοµάστε το FP) που να υλοποιεί τη µέθοδο σταθερού σηµείου, για δοσµένη συνάρτηση g, αρχική τιµή 0, και επιθυµητή ακρίβεια οκιµάστε το στο παραπάνω παράδειγµα (µε g ( ) = ln( + ) ) Συγκρίνετε τα αποτελέσµατα µε αυτά του NR 3 Με τη βοήθεια του on-line Help, δείτε τις συναρτήσεις Solve και NSolve για επίλυση (ακριβή και αριθµητική, αντίστοιχα) συστηµάτων µη-γραµµικών αλγεβρικών = 0, εξισώσεων οκιµάστε τις στο σύστηµα = 0 4 Με τη συνάρτηση FindRoot βρείτε τη λύση του συστήµατος εξισώσεων e + ln y =, sin + cos y = κοντά στο (,) 5 Γράψτε υποπρόγραµµα (µε όνοµα PowerMethod) που να υλοποιεί τη βελτιωµένη µέθοδο των δυνάµεων για δοσµένο πίνακα και αρχικό διάνυσµα

Εργασία στην Αριθµητική Ανάλυση

Εργασία στην Αριθµητική Ανάλυση Εργασία στην Αριθµητική Ανάλυση Κάντε πέντε (τουλάχιστον) από τις παρακάτω ασκήσεις. Ο βαθµός σας σ αυτές θ αποτελέσει το 0% του τελικού βαθµού σας στο µάθηµα. Όλες οι ασκήσεις (και τα µέρη τους) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 3 Iανουαρίου 004. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: 8 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson

Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Ιαν. 009 Συστήµατα Μη-Γραµµικών Εξισώσεων Μέθοδος Newton-Raphson Έστω y, y,, yn παρατηρήσεις µιας m -διάστατης τυχαίας µεταβλητής µε συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας p( y; θ) η οποία περιγράφεται από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Πράξεις με Πολυωνυμικές Εκφράσεις... 66

4.1 Πράξεις με Πολυωνυμικές Εκφράσεις... 66 Περιεχόμενα Ευρετήριο Πινάκων... 7 Ευρετήριο Εικόνων... 8 Εισαγωγή... 9 Κεφάλαιο 1-Περιβάλλον Εργασίας - Στοιχεία Εντολών... 13 1.1 Το Πρόγραμμα... 14 1.2.1 Εισαγωγή Εντολών... 22 1.2.2 Εισαγωγή Εντολών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12,

ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ 12, ΛΥΣΕΙΣ 6 ης ΕΡΓΑΣΙΑΣ - ΠΛΗ, - Οι παρακάτω λύσεις των ασκήσεων της 6 ης εργασίας που καλύπτει το µεγαλύτερο µέρος της ύλης της θεµατικής ενότητας ΠΛΗ) είναι αρκετά εκτεταµένες καθώς έχει δοθεί αρκετή έµφαση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: Iανουαρίου 005. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: 8 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #1: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, , 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #1: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, 005-06, 3 ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Πως ορίζεται και τι σηµαίνει ο όρος lop στους επιστηµονικούς υπολογισµούς.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Το Maxima είναι ένα πρόγραμμα για την εκτέλεση μαθηματικών υπολογισμών, συμβολικών μαθηματικών χειρισμών, αριθμητικών υπολογισμών και γραφικών παραστάσεων. Το Maxima λειτουργεί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση

Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Εισαγωγή στην Αριθμητική Ανάλυση Εισαγωγή στη MATLAB ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΚΡΙΒΗΣ ΒΟΗΘΟΙ: ΔΗΜΗΤΡΙΑΔΗΣ ΣΩΚΡΑΤΗΣ, ΣΚΟΡΔΑ ΕΛΕΝΗ E-MAIL: SDIMITRIADIS@CS.UOI.GR, ESKORDA@CS.UOI.GR Τι είναι Matlab Είναι ένα περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

β) Με τη βοήθεια του αποτελέσµατος της απαλοιφής υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα του συστήµατος. x x = x

β) Με τη βοήθεια του αποτελέσµατος της απαλοιφής υπολογίστε την ορίζουσα του πίνακα του συστήµατος. x x = x ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ: Φεβρουάριος 5 ΜΑΘΗΜΑ: Αριθµητική Ανάλυση ΕΞΑΜΗΝΟ: ο Ι ΑΣΚΩΝ: Ε Κοφίδης Όλα τα ερωτήµατα είναι ισοδύναµα Καλή επιτυία! Θέµα ο α Χρησιµοποιείστε τη µέθοδο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση Ηµεροµηνία επιστροφής : Τετάρτη 4/11/2010 18 Οκτωβρίου 2010 1 Γραµµική άλγεβρα (20 µονάδες) Η παράγωγος ενός µητρώου H ορίζεται ως η παράγωγος κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή στο Sage.

1. Εισαγωγή στο Sage. 1. Εισαγωγή στο Sage. 1.1 Το μαθηματικό λογισμικό Sage Το Sage (System for Algebra and Geometry Experimentation) είναι ένα ελεύθερο (δωρεάν) λογισμικό μαθηματικών ανοιχτού κώδικα που υποστηρίζει αριθμητικούς

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Mathematica

Εισαγωγή στο Mathematica Εισαγωγή στο Mathematica Συντακτικοί κανόνες, βασικές συναρτήσεις και σύμβολα Το Mathematica είναι ένα λογισμικό το οποίο εγκαθιστά στον υπολογιστή ένα διαδραστικό μαθηματικό περιβάλλον. Το περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal Δοµή προγράµµατος 1. Δοµή προγράµµατος program όνοµα_προγράµµατος(αρχείο_1, αρχείο_2,...αρχείο_ν); ΕΠΙΚΕΦΑΛΙΔΑ ΒΙΒΛΙΟΘΗΚΕΣ uses όνοµα_βιβλιοθήκης,όνοµα_βιβλιοθήκης;

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 23 Νοεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 23 Νοεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 23 Νοεµβρίου 2016 Αριθµητική Ανάλυση 23 Νοεµβρίου 2016 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64

15 εκεµβρίου εκεµβρίου / 64 15 εκεµβρίου 016 15 εκεµβρίου 016 1 / 64 Αριθµητική Ολοκλήρωση Κλειστοί τύποι αριθµητικής ολοκλήρωσης Εστω I(f) = b µε f(x) C[a, b], τότε I(f) = F(b) F(a), όπου F(x) είναι το αόριστο ολοκλήρωµα της f(x).

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΜΗΤΣΟΤΑΚΗΣ ΑΘΗΝΑ 27 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : ΜΕΘΟ ΟΣ NEWTON Πρόγραµµα Matlab για την προσέγγιση της ρίζας της εξίσωσης f(x)= µε την µέθοδο Newton. Συναρτήσεις f(x), f

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ

Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 25 Μαΐου 2010 ΕΚΠΑ Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Ολοκλήρωση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 5 Μαΐου 010 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ρ. Χρήστος Βοζίκης

ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ρ. Χρήστος Βοζίκης ΤΜΗΜΑ Β ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟΥ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΚΑ. ΕΤΟΣ - ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 7 Φεβρουαρίου ΘΕΜΑ ον ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ι Ι ΑΣΚΩΝ :

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004)

ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004) 1 ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004) ιάλεξη 1 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ FORTRAN 77 Ένα πρόγραµµα σε οποιαδήποτε γλώσσα προγραµµατισµού δεν τίποτα άλλο από µια σειρά εντολών που πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 2 ο Κεφάλαιο

C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 2 ο Κεφάλαιο C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 2 ο Τύποι Δεδοµένων Δήλωση Μεταβλητών Έξοδος Δεδοµένων Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Μνήµη και Μεταβλητές Σχέση Μνήµης Υπολογιστή και Μεταβλητών Η µνήµη (RAM) ενός

Διαβάστε περισσότερα

for for for for( . */

for for for for( . */ Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό «C» Βρόχοι Επανάληψης Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Τµήµα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Νικόλαος Δ. Τσελίκας Νικόλαος Προγραµµατισµός Δ. Τσελίκας Ι Ο βρόχος for Η εντολή for χρησιµοποιείται

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

4. Σειρές Τέηλορ και Μακλώριν

4. Σειρές Τέηλορ και Μακλώριν Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής Σειρές Τέηλορ και Μακλώριν Το θεώρηµα του Τέηλορ Το θεώρηµα του Τέηλορ (Tayl) µάς δίνει τη δυνατότητα να αναπτύσσουµε συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Εντολές Επανάληψης REPEAT UNTIL, FOR, WHILE

Η ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Εντολές Επανάληψης REPEAT UNTIL, FOR, WHILE ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 7 Ο Η ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Εντολές Επανάληψης REPEAT UNTIL, FOR, WHILE Βασικές Έννοιες: Δομή Επανάληψης, Εντολές Επανάληψης (For, While do, Repeat until), Αλγόριθμος, Αθροιστής, Μετρητής, Παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές ΙΙ : Εισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση

Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές ΙΙ : Εισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση Τµηµα Επιστηµης και Τεχνολογιας Υλικων Πανεπιστηµιο Κρητης Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές ΙΙ : Εισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση Σηµειώσεις ιαλέξεων και Εργαστηρίων Μ. Γραµµατικακης Γ. Κοπιδακης Ν. Παπαδακης

Διαβάστε περισσότερα

int array[10]; double arr[5]; char pin[20]; Προγραµµατισµός Ι

int array[10]; double arr[5]; char pin[20]; Προγραµµατισµός Ι Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό «C» Πίνακες Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Τµήµα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Νικόλαος Δ. Τσελίκας Νικόλαος Προγραµµατισµός Δ. Τσελίκας Ι Πίνακες στη C Ένας πίνακας στη C είναι

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία του MATLAB

Βασικά στοιχεία του MATLAB ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Εξοικείωση µε το περιβάλλον του MATLAB και χρήση βασικών εντολών και τεχνικών δηµιουργίας προγραµµάτων, συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν Επαναληπτικές δοµές Η λογική των επαναληπτικών διαδικασιών εφαρµόζεται όπου µία ακολουθία εντολών εφαρµόζεται σε ένα σύνολο περιπτώσεων που έχουν κάτι κοινό. Όταν ψάχνουµε θέση για να παρκάρουµε κοντά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΑΙ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Η γλώσσα προγραμματισμού C ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2: Εκφράσεις, πίνακες και βρόχοι 14 Απριλίου 2016 Το σημερινό εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Υλοποιήσεις Ψηφιακών Φίλτρων

Υλοποιήσεις Ψηφιακών Φίλτρων Ψηφιακή Επεξεργασία Σηµάτων 10 Υλοποιήσεις Ψηφιακών Φίλτρων Α. Εισαγωγή Οποιοδήποτε γραµµικό χρονικά αµετάβλητο σύστηµα διακριτού χρόνου χαρακτηρίζεται πλήρως από τη συνάρτηση µεταφοράς του η οποία έχει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών

Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 2 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 3 ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 4 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 5 ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Καθηγητής Α.Π.Θ. ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Μαθηματικός ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 5 Μαίου 2012

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 5 Μαίου 2012 ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική 5 Μαίου 2012 Συµπληρώστε τα στοιχεία σας στο παρακάτω πίνακα τώρα Ονοµατεπώνυµο Αρ. Ταυτότητας Username Password Δηµιουργήστε ένα φάκελο στο home directory σας µε

Διαβάστε περισσότερα

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ

A2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ A. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΛΙΣΗ-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ d df() = f() = f (), = d d.κλίση ευθείας.μεταβολές 3.(Οριακός) ρυθµός µεταβολής ή παράγωγος 4.Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων 5. Κανόνες παραγώγισης 6.Αλυσωτή παράγωγος 7.Μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

1. Κατασκευάστε ένα διάνυσμα με στοιχεία τους ζυγούς αριθμούς μεταξύ του 31 και 75

1. Κατασκευάστε ένα διάνυσμα με στοιχεία τους ζυγούς αριθμούς μεταξύ του 31 και 75 1. Κατασκευάστε ένα διάνυσμα με στοιχεία τους ζυγούς αριθμούς μεταξύ του 31 και 75 2. Έστω x = [2 5 1 6] α. Προσθέστε το 16 σε κάθε στοιχείο β. Προσθέστε το 3 σε κάθε στοιχείο που βρίσκεται σε μονή θέση.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός αθροισμάτων

Υπολογισμός αθροισμάτων Υπολογισμός αθροισμάτων Τα αθροίσματα θα τα δημιουργούμε σαν συναρτήσεις και θα τα αποθηκεύουμε σε αρχείο (m-file) με την ίδια ονομασία με τη συνάρτηση. Για να δημιουργήσουμε ένα άθροισμα ξεκινάμε μηδενίζοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου)

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου) ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Κεφάλαιο 8 : H γλώσσα προγραµµατισµού Pascal 1 ο Μέρος σηµειώσεων (Ενότητες 8.1 & 8.2 σχολικού βιβλίου) 1. Εισαγωγή Χαρακτηριστικά της γλώσσας Τύποι δεδοµένων Γλώσσα προγραµµατισµού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ 4 ο Εξάμηνο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Πρώτη Ενότητα Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων

Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ 4 ο Εξάμηνο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Πρώτη Ενότητα Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών ΕΜΠ 4 ο Εξάμηνο ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Πρώτη Ενότητα Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών Εξισώσεων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, Κ. ΓΙΑΝΝΑΚΟΓΛΟΥ, Σχ. Μηχ. Μηχ. ΕΜΠ 1 Αριθμητική Επίλυση Μη-Γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004)

ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004) 8 ΦΥΣ-151. Ηλεκτρονικοί Υπολογιστές Ι (FORTRAN 77) (Άνοιξη 2004) ιάλεξη 2 2.1 ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ (ΜΕΡΟΣ Β) Στην προηγούµενη διάλεξη µάθαµε ότι µπορούµε να χρησιµοποιούµε τη ρητή ή την αυτονόητη δήλωση µεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10;

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10; C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 4 ο Τελεστές Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Ο τελεστής εκχώρησης = Ο τελεστής = χρησιµοποιείται για την απόδοση τιµής (ή αλλιώς ανάθεση τιµής) σε µία µεταβλητή Π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 3: Συναρτήσεις

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 3: Συναρτήσεις ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 3: Συναρτήσεις Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Συναρτήσεις 60 Ροή ελέγχου Είναι η σειρά µε την οποία εκτελούνται οι εντολές. Μέχρι τώρα, «σειριακή»,

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 11 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση Στα µαθητικά και φοιτητικά µας χρόνια, έχουµε γνωριστεί µε µία ποικιλία από µαθηµατικά προβλήµατα των οποίων µαθαίνουµε σταδιακά τις λύσεις Παραδείγµατος χάριν,

Διαβάστε περισσότερα

11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11.1 Γενικά περί συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μια συνήθης διαφορική εξίσωση (ΣΔΕ) 1 ης τάξης έχει τη μορφή dy d = f (, y()) όπου f(, y) γνωστή και y() άγνωστη συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Η Mathematica είναι ένα ολοκληρωμένο μαθηματικό πακέτο με πάρα πολλές δυνατότητες σε σχεδόν όλους τους τομείς των μαθηματικών (Άλγεβρα, Θεωρία συνόλων, Ανάλυση,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο. Έτσι ο προγραµµατισµός µε τη ΓΛΩΣΣΑ εστιάζεται στην ανάπτυξη του αλγορίθµου και τη µετατροπή του σε σωστό πρόγραµµα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο. Έτσι ο προγραµµατισµός µε τη ΓΛΩΣΣΑ εστιάζεται στην ανάπτυξη του αλγορίθµου και τη µετατροπή του σε σωστό πρόγραµµα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο 1. Επιλογή της κατάλληλης γλώσσας προγραµµατισµού Εκατοντάδες γλώσσες προγραµµατισµού χρησιµοποιούνται όπως αναφέρθηκε σήµερα για την επίλυση των προβληµάτων µε τον υπολογιστή, τη δηµιουργία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ 1, Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, , 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ 1, Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 6-7, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Δ. Βαλουγεώργης Απαντήσεις: ΠΡΟΟΔΟΣ, --6 Επιμέλεια λύσεων: Γιώργος Τάτσιος Άσκηση [] Επιλύστε με μία απευθείας μέθοδο διατηρώντας τρία σημαντικά ψηφία σε

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα #2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης

Παράδειγμα #2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης Παράδειγμα # ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟΔΙΑΣΤΟΛΗΣ ΚΑΙ ΡΙΖΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Σ. Βαρούτης. Πως ορίζεται και τι σημαίνει ο όρος lop στους επιστημονικούς υπολογισμούς. Ο όρος lop (loatig poit operatio) συναντάται

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 21 Μαίου Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας.

ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική. 21 Μαίου Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας. ΦΥΣ 145 Μαθηµατικές Μέθοδοι στη Φυσική 21 Μαίου 2009 Γράψτε το ονοµατεπώνυµο και αριθµό ταυτότητάς σας στο πάνω µέρος της αυτής της σελίδας. Επίσης γράψετε το password σας. Στο τέλος της εξέτασης θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1

[ ], σχηµατίζουµε το άθροισµα. Το άθροισµα αυτό είναι µια δυαδική πράξη η οποία αντιστοιχεί στις ακολουθίες f [ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΥΝΕΛΙΞΗ 4.. ΣΥΝΕΛΙΞΗ Στην προηγούµενη παράγραφο εισαγάγαµε την ιδέα της συνέλιξης από τα συµφραζόµενα των γραµµικών συστηµάτων. Σ' αυτήν την παράγραφο ορίζουµε τη συνέλιξη σαν µια πράξη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ ΣΧΟΛΗ Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ Σ.Α.Ε. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ FOURIER ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟ ΤΡΟΠΟ ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 3 ) Αρχικό σήµα ( ) Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται ένα περιοδικό σήµα ( ), το οποίο έχει ληφθεί από

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο SAGE. Νίκος Νοδαράκης. 31 Οκτωβρίου 2010

Εισαγωγή στο SAGE. Νίκος Νοδαράκης. 31 Οκτωβρίου 2010 Εισαγωγή στο Νίκος Νοδαράκης 31 Οκτωβρίου 2010 Τι είναι το ; Περιγραφή του Ορισµός Το είναι ένα δωρεάν σύστηµα λογισµικού µαθηµατικών ανοιχτού κώδικα κάτω από την άδεια GPL. Συνδυάζει τις δυνατότητες πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.

Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM. Μάθηµα : Αλγοριθµικές Βάσεις στη Γεωπληροφορική ιδάσκων : Συµεών Κατσουγιαννόπουλος Μεθοδολογίες παρεµβολής σε DTM.. Μέθοδοι παρεµβολής. Η παρεµβολή σε ψηφιακό µοντέλο εδάφους (DTM) είναι η διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Λύνοντας ασκήσεις µε αντίστροφες συναρτήσεις ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Η αντίστροφη συνάρτηση f µιας αντιστρέψιµης συνάρτησης f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην C. Μορφή Προγράµµατος σε γλώσσα C

Εισαγωγή στην C. Μορφή Προγράµµατος σε γλώσσα C Εισαγωγή στην C Μορφή Προγράµµατος σε γλώσσα C Τµήµα Α Με την εντολή include συµπεριλαµβάνω στο πρόγραµµα τα πρότυπα των συναρτήσεων εισόδου/εξόδου της C.Το αρχείο κεφαλίδας stdio.h είναι ένας κατάλογος

Διαβάστε περισσότερα

BloodShed Dev C++ Οδηγίες Χρήσης (Συγγραφέας: Πάρις Πολύζος)

BloodShed Dev C++ Οδηγίες Χρήσης (Συγγραφέας: Πάρις Πολύζος) BloodShed Dev C++ Οδηγίες Χρήσης (Συγγραφέας: Πάρις Πολύζος) Σκοπός του οδηγού αυτού είναι να σας εξοικειώσει µε το BloodShed Dev C++, ένα από τα περιβάλλοντα που µπορείτε να χρησιµοποιήσετε στα πλαίσια

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ

Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Ενότητα 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- Ενότητα 2. Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα α. Θέση και προσανατολισμός της μορφής Η θέση της κάθε μορφής στο σκηνικό προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 4.1: Εισαγωγή βρόγχου while-loop.

Σχήµα 4.1: Εισαγωγή βρόγχου while-loop. Ο βρόγχος While-loop 1. Ο βρόγχος while-loop εκτελείται έως ότου ικανοποιηθεί µία προκαθορισµένη συνθήκη. 2. Ο αριθµός των επαναλήψεων ενός βρόγχου while-loop δεν είναι εκ των προτέρων προκαθορισµένος,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις - Όρια- Παράγωγοι- Ολοκληρώματα Ακολουθίες-Σειρές

Συναρτήσεις - Όρια- Παράγωγοι- Ολοκληρώματα Ακολουθίες-Σειρές Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής με εφαρμογές στη Βιοϊατρική Συναρτήσεις - Όρια- Παράγωγοι- Ολοκληρώματα Ακολουθίες-Σειρές Μαθηματική Ανάλυση Ι Συνάρτηση μίας Μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann

13 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemann 3 Μέθοδοι υπολογισµού ολοκληρωµάτων Riemnn 3. Μέθοδος αντικατάστασης ή αλλαγής µεταβλητής Πρόταση 3.. Εστω ότι η u = f (y) είναι συνεχής στο διάστηµα I, η y = g() έχει συνεχή παράγωγο στο διάστηµα Ι και

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 1 - Εισαγωγή. Ευστράτιος Γαλλόπουλος

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 1 - Εισαγωγή. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Ενότητα 1 - Εισαγωγή Ευστράτιος Γαλλόπουλος c Ε. Γαλλόπουλος 201-2015 Ασκηση 1 Τι ονοµάζουµε υπολογιστικούς πυρήνες ; πυρήνων. Να δώσετε 3 παραδείγµατα τέτοιων Απάντηση ιαδικασίες (που µπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 9 Φεβουαρίου 007 Ημερομηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων

Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Εισαγωγή στην Ανάλυση και Προσοµοίωση Δυναµικών Συστηµάτων Control Systems Laboratory Περιγραφή Δυναµικών Συστηµάτων Εξίσωση µεταβολής όγκου Η µεταβολή όγκου ισούται µε τη παροχή υγρού Q που σχετίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα