ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Mathematica

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Mathematica"

Transcript

1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Mathematica ιδάσκων: Λέκτορας Ε Κοφίδης Σ αυτά τα εργαστηριακά µαθήµατα θα κάνουµε µια εισαγωγή στη χρήση του λογισµικού πακέτου Mathematica, µε έµφαση σε προβλήµατα Αριθµητικής Ανάλυσης Θα πρέπει από τώρα να τονίσουµε ότι οι χρονικοί περιορισµοί µας επιτρέπουν να εξετάσουµε µόνο ένα µικρό µέρος του πακέτου, δίνοντας έµφαση σε βασικούς χειρισµούς και έννοιες Παρακάτω δίνεται µια σύντοµη αλλά επαρκής βιβλιογραφική λίστα για περισσότερο διάβασµα Εκτός από βιβλία, περιλαµβάνει διαθέσιµες on-line σηµειώσεις και συνδέσµους (links) όπου µπορεί κανείς να βρει περισσότερο υλικό Βιβλιογραφία Σ Τραχανάς, Mathematica και Εφαρµογές, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, 00 Γ Σ Παπαγεωργίου, Χ Γ Τσίτουρας, και Ι Θ Φαµέλης, Σύγχρονο Μαθηµατικό Λογισµικό: Matlab Mathematica, Εκδόσεις Συµεών, E Don, Mathematica, Schaum s series, Εκδόσεις Κλειδάριθµος, S Wolfram, The Mathematica Book, 5 th edition, Wolfram Media, S Wolfram, Mathematica: A System for Doing Mathematics by Computer, nd edition, Addison-Wesley, 99 (διαθέσιµο στη βιβλιοθήκη) 6 Μ Μπούτσικας, Εισαγωγή στο Mathematica, 7 Mathematica: Εισαγωγή στη χρήση του πακέτου, 8 Επίσηµη ιστοσελίδα του Mathematica: (περιλαµβάνει και κατάλογο σχετικών βιβλίων) Επίσης, το ο κεφάλαιο του βιβλίου που χρησιµοποιείται στο µάθηµα είναι µια (µάλλον πολύ σύντοµη) εισαγωγή στο Mathematica Ξεκίνηµα Αν και το Mathematica είναι στην πραγµατικότητα περιβάλλον προγραµµατισµού και περιλαµβάνει εντολές και συναρτήσεις, διαφέρει κατά πολύ από άλλα προγραµµατιστικά περιβάλλοντα που ίσως έχετε χρησιµοποιήσει µέχρι σήµερα (πχ αυτό της Borland C++) Πρώτα-πρώτα, λειτουργεί ως διερµηνέας εντολών (interpreter), που σηµαίνει ότι µπορείτε να δίνετε µια εντολή υπολογισµού και να παίρνετε άµεσα την απάντηση, χωρίς να χρειάζετε να γράψετε πρόγραµµα για το σκοπό αυτό Επίσης, είναι σε θέση να εκτελεί εύκολα και κοµψά και συµβολικούς (όχι µόνο αριθµητικούς) υπολογισµούς, πχ υπολογισµό ολοκληρωµάτων και παραγώγων, αναλυτική επίλυση αλγεβρικών και διαφορικών εξισώσεων, κά Άλλα τέτοια πακέτα είναι τα Maple, Matlab, κλπ Όµως καλύτερα να τα βλέπουµε στην πράξη Ξεκινήστε το Mathematica είτε από τη συντόµευση στην επιφάνεια εργασίας ή από την αντίστοιχη επιλογή στον κατάλογο προγραµµάτων στην Έναρξη (Start) Ανοίγει τότε ένα παράθυρο µε τίτλο Untitled- Αυτό είναι το λεγόµενο σηµειωµατάριό σας (notebook) Αποθηκεύστε το µε όνοµα FirstNb σε δικό Γ Σ Παπαγεωργίου και Χ Γ Τσίτουρας, Αριθµητική Ανάλυση µε Εφαρµογές σε Matlab και Mathematica, 3 η έκδοση, Εκδόσεις Συµεών, 004

2 σας φάκελο στην επιφάνεια εργασίας Γράψτε τώρα την παράσταση 57 * 43 και πατήστε Shift+Enter Ναι, Shift+Enter Στο Mathematica το απλό Enter αλλάζει γραµµή, δεν δίνει εντολή Παίρνετε σε λίγο το αποτέλεσµα στη µορφή: In[]:=57 * 43 Out[]=3706 Ας ζητήσουµε τώρα τον υπολογισµό της τιµής µιας συνάρτησης: In[]:=Sin[04] Out[]= Παρατηρείστε ότι τα ονόµατα των συναρτήσεων αρχίζουν πάντα µε κεφαλαίο γράµµα και αντί των γνωστών µας παρενθέσεων χρησιµοποιούνται αγκύλες ([ ]) Οι In και Out είναι κι αυτές συναρτήσεις, µε ακέραια ορίσµατα Έτσι, το In[] είναι η είσοδος στον πρώτο υπολογισµό και το Out[] η έξοδος Το ίδιο για τα In[], Out[], κλπ οκιµάστε και µε άλλες συναρτήσεις Πχ In[3]:=Log[5] Out[3]= In[4]:=Cos[] Out[4]=Cos[] Το τελευταίο αποτέλεσµα φαίνεται περίεργο, αλλά έχει την εξήγησή του Όταν δίνουµε ακέραιο όρισµα (πχ ), τότε, αν δεν υπάρχει ακριβές αποτέλεσµα, το Mathematica απαντάει µε την πιο ακριβή έκφραση που µπορεί να δώσει Αν όµως δώσουµε 0 αντί του, τότε: In[5]:=Cos[0] Out[5]= Εναλλακτικά, µε χρήση της συνάρτησης N (Numeric): In[6]:=N[Cos[]] Out[6]= Η N[ ] υπολογίζει την αριθµητική (προσεγγιστική) τιµή µιας παράστασης Εξ ορισµού, η µηχανή χρησιµοποιεί 6 ψηφία: In[7]:=InputForm[%] Out[7]//InputForm= Τι είναι αυτό το %; Για να µην ξαναγράφουµε προηγούµενα αποτελέσµατα, χρησιµοποιούµε τη συντοµογραφία % Έτσι, % είναι το πιο πρόσφατο Out, δηλαδή το Out[6] Αν θέλουµε να αναφερθούµε, πχ, στο Out[], γράφουµε % (ή σπανιότερα Out[]) Μπορούµε να µάθουµε ποιο εύρος αριθµών αναπαρίσταται στον υπολογιστή µας ως εξής: In[8]:=$MinMachineNumber 308 Out[8]= In[9]:=$MaMachineNumber 308 Out[9]= καθώς και ποιος είναι ο µικρότερος θετικός αριθµός ε που µπορούµε να χειριστούµε: In[0]:=$MachineEpsilon 6 Out[0]= Ουσιαστικά «µικρότερο ή ίσο του ε» σηµαίνει µηδέν: In[]:=+% Out[]=

3 Επιστρέφουµε για λίγο στη N[ ] Μπορούµε, µε τη βοήθειά της, να πάρουµε αποτέλεσµα σε όσα ψηφία επιθυµούµε, περισσότερα απ όσα µπορεί να µας διαθέσει η ακρίβεια της µηχανής (µε εσωτερική χρήση κατάλληλων αλγορίθµων) Για παράδειγµα, µε N[Pi,00] θα πάρετε το π µε 00 ψηφία οκιµάστε το! Υπολογίστε τις τιµές των παραστάσεων lnsin0! και 3 00 π Υπολογίστε το e µε 00 ψηφία (συνάρτηση Ep) 00 3 Βρείτε το σε συνεπτυγµένη µορφή (επιστηµονική γραφή) (δοκιµάστε µε τη συνάρτηση N) Ας δούµε και πιο περίπλοκες πράξεις, όπως η ολοκλήρωση και η παραγώγιση συναρτήσεων Για παράδειγµα, το π 0 sin d µπορεί να υπολογιστεί ως εξής: In[3]:=Integrate[(^)*Sin[],{,0,Pi}] Out[3]= 4π Σηµείωση: Οι οµάδες οµοειδών στοιχείων τοποθετούνται ανάµεσα σε άγκιστρα ({ }) επειδή αποτελούν λίστες Θα επιστρέψουµε αργότερα σ αυτές οκιµάστε και µε ένα αόριστο ολοκλήρωµα: In[4]:=Integrate[^3*Ep[-a*],] Out[4]= Η σταθερά ολοκλήρωσης δεν συµπεριλαµβάνεται στο αποτέλεσµα Απλά εννοείται Η συνάρτηση D κάνει παραγώγιση Το παρακάτω υπολογίζει την 3 η παράγωγο της ln : In[5]:=D[(^)*Log[],{,3}] Out[5]=/ Με παρόµοιο τρόπο, µε τη συνάρτηση Sum, µπορείτε να υπολογίσετε και αθροίσµατα Για παράδειγµα, το n= n : In[6]:=Sum[/n^,{n,,Infinity}] Out[6]= π / 6 Το Mathematica έχει µεγάλες δυνατότητες οπτικοποίησης αποτελεσµάτων Ας δούµε µόνο µερικές απλές γραφικές παραστάσεις: In[7]:=Plot[(Sin[])^,{,0,4Pi}] Out[7]=-Graphics- Αν έχουµε περισσότερες από µια συναρτήσεις στο ίδιο γράφηµα, µπορούµε να τις διακρίνουµε δίνοντάς τους διαφορετικά χρώµατα Πχ In[8]:=Plot[{Ep[],},{,0,},PlotStyle->{{RGBColor[,0,0]},{RGBColor[0,,0]}}] Out[8]=-Graphics- Παρατηρείστε ότι, όπως αναφέραµε και πιο πάνω, το Mathematica προσπαθεί να δώσει το ακριβέστερο αποτέλεσµα που µπορεί Έτσι, εδώ δεν απαντά µε κάποια αριθµητική τιµή, αλλά µε την ακριβή έκφραση 4π 3

4 Περισσότερα για µια συνάρτηση όπως η Plot µπορούµε να µάθουµε από την ενσωµατωµένη βοήθεια (Help) Επιλογές για την εµφάνιση ενός γραφήµατος θα βρείτε µε Options[Plot] Για τρισδιάστατα γραφήµατα, χρησιµοποιούµε την Plot3D: In[8]:=Plot3D[^-y^, {,-5,5}, {y,-5,5},aeslabel->{, y, ^-y^ }] Out[8]=-Graphics- 0 3 a Υπολογίστε το ολοκλήρωµα e d Καταλαβαίνετε το αποτέλεσµα; Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωµα cos kd 3 Κάντε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) = e στο διάστηµα [-3,3] π 4 Βρείτε την η και τη η παράγωγο της ln και παραστήστε τις γραφικά στο ίδιο γράφηµα Προσπαθήστε να προσθέσετε και ετικέτες στους άξονες (πχ, f()) ( + y 5 Παραστήστε γραφικά τη συνάρτηση e ) για στους άξονες (και τίτλο στο γράφηµα) i 6 Βρείτε τα αθροίσµατα,, N n N n= n= n i=0 a, y Προσθέστε ετικέτες 7 Με τη συνάρτηση Limit µπορείτε να βρείτε όριο συνάρτησης ή ακολουθίας Για παράδειγµα, το lim βρίσκεται ως Limit[/,->Infinity] οκιµάστε µε sin το lim 0 Συναρτήσεις οριζόµενες από το χρήστη Αντί να γράφουµε κάθε φορά τον τύπο µιας συνάρτησης, µπορούµε να της δώσουµε όνοµα και να αναφερόµαστε σ αυτή µε το όνοµά της Για παράδειγµα: In[4]:=f[_]=^*Log[] Out[4]= Log[ ] Το σύµβολο υπογράµµισης (underscore) _ είναι απαραίτητο στο αριστερό µέρος του ορισµού µιας συνάρτησης Μόνο έτσι µπορούµε στη συνέχεια να δώσουµε τιµή στο : In[5]:=f[0] Out[5]=7759 ή In[6]:=f[^(/)] Out[6]= Log [ ] Μπορούµε να κάνουµε αντικατάσταση του και ως εξής: In[5]:= f[]/->0 Out[5]= In[6]:=f[]/->^(/) Out[6]= Στο εξής µπορούµε να χρησιµοποιούµε την έκφραση f[ ] όπως θα κάναµε αν γράφαµε µαθηµατικούς τύπους στο χαρτί Ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα αυτού του γεγονότος είναι το εξής: In[5]:=f [] Out[5]= + Log[ ] Είναι αυτό που φαντάζεστε Η f [] είναι η η παράγωγος της f οκιµάστε να υπολογίσετε µε ανάλογο τρόπο τη η παράγωγο και συγκρίνετε µε το αποτέλεσµα της συνάρτησης D 4

5 3 Ορίστε τη συνάρτηση f ( ) = και κάντε τη γραφική της παράσταση στο διάστηµα [,] Έχει ρίζες σ αυτό το διάστηµα; Αν ναι, πόσες; Ορίστε τη συνάρτηση g ( ) = f ( ) d και παραγωγίστε την για να επαληθεύσετε την ορθότητα του αποτελέσµατος 3 Ορίζοντας τις συντεταγµένες, y των σηµείων µιας καµπύλης ως συναρτήσεις µιας παραµέτρου t, µπορούµε να σχεδιάσουµε την καµπύλη, µε τη συνάρτηση ParametricPlot Σχεδιάστε την καµπύλη που ορίζεται παραµετρικά ως ( t) = cos( t) cos(00t)sin( t), y( t) = sin( t) sin(00t), για 0 t π 4 Με ανάλογο τρόπο, σχεδιάστε τον κύκλο µε κέντρο το 0 και ακτίνα (Για να φαίνεται ο κύκλος σαν κύκλος, θα χρειαστεί να αλλάξετε κατάλληλα και την παράµετρο AspectRatio της ParametricPlot) 3 Λίστες Λίστα είναι µια διατεταγµένη συλλογή οµοειδών αντικειµένων Παραδείγµατα λιστών που έχουµε ήδη συναντήσει είναι τα {, 0, 4Pi}, {n,, Infinity} Παρακάτω δίνονται άλλα δύο παραδείγµατα: In[30]:= S={,,3,4,5,6,7,8,9,0} Out[30]={,,3,4,5,6,7,8,9,0} In[3]:= fs={f[],f[],f[3],f[4],f[5],f[6],f[7],f[8],f[9],f[0]} Out[3]={-,5,3,59, } Τα οποία δείχουν ότι θα ταλαιπωρηθούµε αρκετά αν θέλουµε να υπολογίσουµε πχ τις τιµές της f στα,,, 00 Κι όµως ένας τέτοιος υπολογισµός είναι πολύ εύκολος στο Mathematica Να δύο τρόποι για να εκτελεστεί: In[3]:= S=Range[00] Out[3]= {,,3,,00} In[33]:= f[s] Out[33]= {-,5,3,59, } και In[34]:=Table[f[n],{n,,00}] Out[34]= {-,5,3,59, } 3 ιανύσµατα και Πίνακες Μια πολύ ενδιαφέρουσα χρήση των λιστών είναι στην κατασκευή διανυσµάτων και πινάκων Ένα διάνυσµα είναι µια λίστα: In[35]:= b={3,,-} Out[35]= {3,,-} Ενώ ένας πίνακας µπορεί να ειδωθεί ως µια λίστα από λίστες (µία για κάθε γραµµή του): In[36]:= A={{,, 0},{,, },{0,, }} Out[36]= {{,, 0},{,, },{0,, }} Για να δούµε τον πίνακα στη µορφή που έχουµε συνηθίσει, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη συνάρτηση MatriForm: In[37]:= MatriForm[A] Out[37]//MatriForm= Μπορούµε να αναφερθούµε σε µέρος µιας λίστας Πχ το b[[]] είναι το ο στοιχείο του διανύσµατος b ενώ το A[[,3]] είναι το στοιχείο (,3) του πίνακα Α Οι βασικές πράξεις σε πίνακες είναι διαθέσιµες σε έτοιµες συναρτήσεις Mathematica Πχ: 5

6 Ab Πολλαπλασιασµός Inverse[A] Αντίστροφος Transpose[A] Ανάστροφος Det[A] Ορίζουσα καθώς επίσης και οι διαδικασίες επίλυσης γραµµικών συστηµάτων εξισώσεων, υπολογισµού ιδιοδιανυσµάτων και ιδιοτιµών, κά: In[38]:= =LinearSolve[A,b] Out[38]= {,,-} In[39]:= lambda=eigenvalues[a] Out[39]= {,, + } In[40]:= U=Eigenvectors[A] Out[40]= {{,0,},{,,},{,,}} Γράφοντας?Eigenvectors για παράδειγµα µπορούµε να ζητήσουµε πληροφορίες για τον τρόπο χρήσης της Eigenvectors και ερµηνείας του αποτελέσµατός της Εναλλακτικά, και κυρίως σε περίπτωση που δεν θυµόµαστε καν το όνοµα της συνάρτησης, µπορούµε να ζητήσουµε βοήθεια από το menu Help Ορίστε τον πίνακα A = Υπολογίστε την ορίζουσά του κι αν αυτή είναι µη-µηδενική, βρείτε και τον αντίστροφο πίνακα Επαληθεύστε το αποτέλεσµα υπολογίζοντας το γινόµενο AA Λύστε το σύστηµα εξισώσεων A=b µε b = [ 7 8 9] T Ελέγξτε την ορθότητα του αποτελέσµατος 3 Βρείτε τις ιδιοτιµές και αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα του Α και επαληθεύστε την ορθότητα των αποτελεσµάτων 4 Από τα παραπάνω, και µε τη βοήθεια των συναρτήσεων Abs και Ma, βρείτε τη φασµατική ακτίνα του A 5 Όπως είπαµε και νωρίτερα, το Mathematica δίνει και τη δυνατότητα συµβολικών a b υπολογισµών Βρείτε πχ την ορίζουσα και τον αντίστροφο του πίνακα B = c d 4 Παρεµβολή µε Πολυώνυµα Πριν περάσουµε να δούµε µερικές βασικές προγραµµατιστικές τεχνικές (όπως blocks και επαναλήψεις), ας κάνουµε µια (ελπίζω ευχάριστη) παρένθεση υπολογίζοντας πολύ εύκολα το πολυώνυµο βαθµού k που παρεµβάλλι µια συνάρτηση f () σε δοσµένα σηµεία, 0,, K, k Αυτό βρίσκεται µε τη συνάρτηση InterpolatingPolynomial ως εξής: P[_]=InterpolatingPolynomial[{{0,f0},{,f}, {k,fk}},] η οποία δίνει το πολυώνυµο στη µορφή Newton Ας δοκιµάσουµε µε τη συνάρτηση f ( ) = ( + ) 4 Θα την παρεµβάλλουµε στα σηµεία 0, 05,, 5, Το πολυώνυµο θα είναι εποµένως 4 ου βαθµού In[5]:= data=table[{z,f[z]},{z,0,,05}] Out[5]= {{0,/6}, } In[5]:= P[_]=InterpolatingPolynomial[data,] Out[5]= 6

7 Για να εκφράσουµε το πολυώνυµο στη γνώριµή µας µορφή, αρκεί να εφαρµόσουµε τη συνάρτηση Epand (δηλ ανάπτυξη): In[53]:= Epand[%] Out[53]= Ας βρούµε και το πολυώνυµο Taylor 4 ου βαθµού που προσεγγίζει τη συνάρτηση γύρω από κάποιο από αυτά τα σηµεία, έστω το 5: In[54]:= T[_]=Series[f[],{,5,4}] Out[54]= In[55]:= T[_]=Normal[%] Out[55]= Η συνάρτηση Series βρίσκει το ανάπτυγµα Taylor δοσµένου βαθµού µιας συνάρτησης γύρω από ένα σηµείο, ενώ συµπεριλαµβάνει κι έναν όρο που παριστάνει το υπόλοιπο Αυτός µπορεί να παραλειφθεί (δηλαδή να αποκοπεί η σειρά) µε τη Normal Τέλος, µια γραφική παράσταση των τριών συναρτήσεων (f, P, T) στο ίδιο γράφηµα θα µας δείξει πόσο καλές είναι οι δύο προσεγγίσεις που βρήκαµε Βρείτε το παρεµβολικό πολυώνυµο για την f ( ) = / στα σηµεία,, 3, 4 Παραστήστε γραφικά (στο ίδιο γράφηµα) τη συνάρτηση και το πολυώνυµο, στο διάστηµα [,4] Κάντε, σε άλλο γράφηµα, και τη γραφική παράσταση του σφάλµατος E( ) = f ( ) P( ) Υπολογίστε το πολυώνυµο που παρεµβάλλει την παραπάνω συνάρτηση και στο 5 Συγκρίνετε τις µορφές Newton των δύο παρεµβολικών πολυωνύµων Παραστήστε στο ίδο γράφηµα τη συνάρτηση και τα δύο πολυώνυµα, στο [,5] Συγκρίνετε γραφικά και τις αντίστοιχες συναρτήσεις σφάλµατος 3 Βρείτε το παρεµβολικό πολυώνυµο για τη συνάρτηση f ( ) = ln στα σηµεία, 07, και Προσεγγίστε την τιµή της συνάρτησης στο 05 από την αντίστοιχη τιµή του πολυωνύµου Ποιο είναι το σφάλµα; 4 Για την παραπάνω συνάρτηση, κατασκευάστε τα πολυώνυµα Taylor 3 ου, 5 ου, και 0 ου βαθµού, γύρω από το Σχεδιάστε τα γραφήµατά τους (µε διαφορετικά χρώµατα) στο ίδιο σύστηµα αξόνων, για Προγραµµατισµός στο Mathematica Εκτός από διερµηνέας εντολών υπολογισµού, το Mathematica είναι και µια γλώσσα προγραµµατισµού και δεν υστερεί σε βασικές δοµές ελέγχου που συναντούµε και σε άλλες γλώσσες όπως πχ η C 5 Επανάληψη Ας ξεκινήσουµε µε τις εντολές συναρτήσεις επανάληψης, µε πρώτη τη For Συντάσσεται ως εξής: For[start, test, increment, body] και λειτουργεί όπως η αντίστοιχη κατασκευή της C: for (start; test; increment) body Να ένα απλό παράδειγµα χρήσης της For: Εµφάνιση στην οθόνη των ακέραιων αριθµών από 0 έως και 9 (Παρατηρείστε ότι υπάρχει κι εδώ ο γνωστός µας από τη C τελεστής µοναδιαίας αύξησης, ++): 7

8 In[65]:= For[i=0, i < 0, i++, Print[i]] 0 9 Όταν γνωρίζουµε εκ των προτέρων πόσες επαναλήψεις θα πρέπει να γίνουν, πιο εύχρηστη είναι η Do: Do[epr, {i, imin, ima}], η οποία υπολογίζει την έκφραση epr ima-imin+ φορές, θέτοντας τη µεταβλητή i αρχικά σε imin και αυξάνοντάς την κατά ένα ώσπου να πάρει την τιµή ima Το παραπάνω παράδειγµα θα υλοποιούνταν µε Do ως εξής: In[66]:= Do[Print[i], {i, 0, 9}] Και, φυσικά, δεν λείπει η While, της οποίας η λειτουργία είναι εντελώς ανάλογη µ εκείνης της C Έτσι, η While[test, body] αντιστοιχεί στην κατασκευή C: while (test) body Πολύ εύκολα µπορεί κανείς να δει πώς γίνεται το παραπάνω παράδειγµα µε τη βοήθεια της While: In[67]:= i = 0; While[i < 0, Print[i]; i++] Έχει ενδιαφέρον να δούµε τις παραπάνω εντολές στα πλαίσια του προβλήµατος εύρεσης ρίζας µιας (µη-γραµµικής) συνάρτησης, µε τη γενική µέθοδο σταθερού σηµείου και ειδικότερα µε τη µέθοδο Newton-Raphson Ας πάρουµε για παράδειγµα την εξίσωση f ( ) = e = 0 στο διάστηµα [,] Μπορεί να επαληθευτεί, πχ µέσω γραφικής παράστασης, ότι υπάρχει ακριβώς µία ρίζα στο διάστηµα αυτό Επίσης, είναι σχετικά εύκολο να δει κανείς ότι η συνάρτηση g ( ) = ln( + ) είναι τέτοια ώστε η δοσµένη εξίσωση f ( ) = 0 να ισοδυναµεί µε την = g() και να έχει µοναδικό σταθερό σηµείο στο [,] Εποµένως, η επαναληπτική διαδικασία n = g( n ), n =,,K θα συγκλίνει στην αναζητούµενη ρίζα, για οποιοδήποτε [ ] 0, Με τη βοήθεια της Do, θα µπορούσαµε να υλοποιήσουµε την παραπάνω διαδικασία, πχ για 30 επαναλήψεις και µε αρχική προσέγγιση 5, ως εξής: In[68]:= g[_]=log[+] Out[68]= Log[+] In[69]:= =5; Do[=g[];Print[], {30}] Αν επιθυµούµε να εισάγουµε κι έναν έλεγχο τερµατισµού, πχ προτιµώτερη η While: n n < 0 6, τότε είναι 8

9 In[70]:= =5; new=g[]; Print[new]; While[Abs[-new]>=0^(-6), =new;new=g[];print[new]] Η τελευταία τιµή του new είναι το Out[70] Έτσι, για να δούµε αν όντως είναι η ρίζα που αναζητούµε, µπορούµε να ζητήσουµε τον υπολογισµό της f σ αυτή: In[7]:= f[%] 6 Out[7]= Ας προσπαθήσουµε και τη µέθοδο Newton-Raphson: In[7]:= f[_]=ep[]-- Out[7]= In[73]:= fd[_]=f [] Out[73]= πρώτα µε τη Do: In[74]:= =5; Do[=-f[]/fd[], {5}] και κατόπιν µε τη While: In[75]:= =5; new=-f[]/fd[]; Print[new]; While[Abs[-new]>=0^(-6), =new;new=-f[]/fd[]; Print[new]] (Είναι φανερή η υπεροχή της µεθόδου Newton-Raphson σε ταχύτητα σύγκλισης) Αποθηκεύοντας την ακολουθία των διαφορών n n σε µια λίστα, µπορούµε στο τέλος να τις παραστήσουµε γραφικά, µε τη συνάρτηση ListPlot Έτσι, µπορούµε να έχουµε και µια εικόνα της σύγκλισης της µεθόδου: In[76]:= =5; new=-f[]/fd[]; Print[new]; err=abs[-new]; errors={err}; While[err>=0^(-6), =new;new=-f[]/fd[]; Print[new];err=Abs[-new]; errors=append[errors,err]]; ListPlot[errors] Out[76]=-Graphics

10 Η εντολή errors=append[errors,err] προσθέτει το στοιχείο err στη λίστα errors Επειδή οι διαφορές γρήγορα γίνονται πολύ µικρές, η γραφική τους αναπαράσταση θα γινόταν πιο ευανάγνωστη αν αντί των διαφορών παραστούσαµε γραφικά πχ τις ποσότητες log οκιµάστε το (µε τη συνάρτηση Log) 0 n n Με την on-line βοήθεια (Help) του Mathematica, δείτε πώς λειτουργούν και πώς χρησιµοποιούνται οι συναρτήσεις FiedPoint, FiedPointList, NestWhile, NestWhileList, και FindRoot Εφαρµόστε τις στην παραπάνω µη-γραµµική εξίσωση Συγκρίνετε τα αποτελέσµατά τους µε τα αποτελέσµατα που πήρατε παραπάνω 3 Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης 5cos = 4, µε τη βοήθεια της συνάρτησης FindRoot 3 Χρησιµοποιείστε το πρόγραµµα που γράψατε παραπάνω για τη µέθοδο Newton- 3 Raphson για να βρείτε τη ρίζα του πολυωνύµου f ( ) = + 3 κοντά στο -9 Σταµατήστε την επανάληψη όταν η σχετική διαφορά n n γίνει µικρότερη του 0 4 Παραστήστε γραφικά την ακολουθία των σχετικών διαφορών Για επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων όπως η παραπάνω, το Mathematica διαθέτει έτοιµη συνάρτηση, τη Solve Εφαρµόστε την στο πρόβληµα αυτό: Solve[f[]==0,] 3 4 Επαναλάβετε για την εξίσωση = 0 στο διάστηµα [,], µε αρχική εκτίµηση 5 5 Με τη συνάρτηση Solve βρείτε τις ιδιοτιµές του παραπάνω πίνακα Α ως ρίζες του χαρακτηριστικού του πολυωνύµου 5 Σύνθετες Εντολές Υποµονάδες (Blocks) Το Block ή Module παρέχει τη δυνατότητα στον προγραµµατιστή να ορίσει τα δικά του υπο-προγράµµατα Αυτό που δεν πρέπει να ξεχνάµε όταν γράφουµε Block ή Module είναι να παραθέτουµε στην αρχή του τη λίστα των τοπικών µεταβλητών, αυτών δηλαδή που θα χρησιµοποιηθούν στο υπο-πρόγραµµα εκτός από τις παραµέτρους του Ένα απλό και ταυτόχρονα ενδιαφέρον και χρήσιµο παράδειγµα είναι αυτό της µεθόδου Newton-Raphson Στα προηγούµενα είδαµε ότι κάθε φορά που θέλουµε να ξεκινήσουµε από µια διαφορετική αρχική προσέγγιση ή/και να αλλάξουµε τον αριθµό των επαναλήψεων, θα πρέπει να διορθώνουµε τον αντίστοιχο κώδικα Ένας πιο εύχρηστος αλλά και πιο ολοκληρωµένος τρόπος είναι να κάνουµε αυτές τις ποσότητες παραµέτρους σ ένα υποπρόγραµµα: In[85}:= NR[f_,0_,TOL_]:=Module[{=0,new,err,errors,z_}, fd[z_]=f [z]; new=-f[]/fd[];print[new]; err=abs[-new];errors={err}; (* repeat while error is not less than TOL *) While[err>=TOL, =new; new=-f[]/fd[]; Print[new]; err=abs[-new]; errors=append[errors,err] n 0

11 ] ListPlot[errors] (* plot error sequence) ] Παρατηρείστε ότι το υποπρόγραµµα ορίζεται κι αυτό όπως µια συνάρτηση (εδώ µε όνοµα NR) αλλά αντί του = χρησιµοποιούµε το:= Αυτός είναι ο ορισµός συνάρτησης µε αναβολή, που σηµαίνει ότι η συνάρτηση δεν ορίζεται άµεσα αλλά η ακριβής λειτουργία της θα γίνει σαφής µόλις πάρουν τιµές οι παράµετροι f,0,tol Για παράδειγµα, δεν µπορεί να είναι γνωστό πόσες επαναλήψεις θα εκτελεστούν πριν αρχίσει να εκτελείται το υποπρόγραµµα Το δεύτερο που αξίζει να παρατηρήσουµε είναι ότι, όπως όλες οι γλώσσες προγραµµατισµού, έτσι και το Mathematica παρέχει τη δυνατότητα εισαγωγής σχολιασµού (ανάµεσα στα (* *)) στο πρόγραµµα Για να βρούµε την ίδια προσέγγιση της ρίζας όπως παραπάνω, θα πρέπει να καλέσουµε το υποπρόγραµµα ως εξής: In[86]:=NR[f,5,0^(-6)] Πλέον έχουµε τη δυνατότητα να εκτελούµε τη διαδικασία Newton-Raphson για οποιαδήποτε συνάρτηση, µε οποιαδήποτε αρχική προσέγγιση, και µε οποιαδήποτε επιθυµητή ακρίβεια, χωρίς να είµαστε υποχρεωµένοι να επεµβαίνουµε στις εντολές Έτσι, αν πχ επιθυµούµε ακρίβεια 0 8, αρκεί να καλέσουµε το υποπρόγραµµα ως In[87]:=NR[f,5,0^(-8)] Ας σηµειώσουµε επίσης ότι ένα υποπρόγραµµα µπορούµε να το αποθηκεύσουµε σε ένα ξεχωριστό αρχείο (notebook) ώστε να είµαστε σε θέση, όποτε το επιθυµούµε, να το ενεργοποιήσουµε (ώστε να µπορούµε να το καλέσουµε) Για παράδειγµα, αποθηκεύοντας το παραπάνω πρόγραµµα στο αρχείο NRm, µπορούµε αργότερα να το καλέσουµε αφού πρώτα το ενεργοποιήσουµε µε In[86]:=<<NRm Τροποποιήστε το υποπρόγραµµα NR ώστε το κριτήριο τερµατισµού να βασίζεται στη σχετική διαφορά των διαδοχικών προσεγγίσεων αντί της απόλυτης διαφοράς όπως παραπάνω οκιµάστε το στο παραπάνω παράδειγµα Γράψτε υποπρόγραµµα (ονοµάστε το FP) που να υλοποιεί τη µέθοδο σταθερού σηµείου, για δοσµένη συνάρτηση g, αρχική τιµή 0, και επιθυµητή ακρίβεια οκιµάστε το στο παραπάνω παράδειγµα (µε g ( ) = ln( + ) ) Συγκρίνετε τα αποτελέσµατα µε αυτά του NR 3 Με τη βοήθεια του on-line Help, δείτε τις συναρτήσεις Solve και NSolve για επίλυση (ακριβή και αριθµητική, αντίστοιχα) συστηµάτων µη-γραµµικών αλγεβρικών = 0, εξισώσεων οκιµάστε τις στο σύστηµα = 0 4 Με τη συνάρτηση FindRoot βρείτε τη λύση του συστήµατος εξισώσεων e + ln y =, sin + cos y = κοντά στο (,) 5 Γράψτε υποπρόγραµµα (µε όνοµα PowerMethod) που να υλοποιεί τη βελτιωµένη µέθοδο των δυνάµεων για δοσµένο πίνακα και αρχικό διάνυσµα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση

Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima

Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Εισαγωγή στο Πρόγραμμα Maxima Το Maxima είναι ένα πρόγραμμα για την εκτέλεση μαθηματικών υπολογισμών, συμβολικών μαθηματικών χειρισμών, αριθμητικών υπολογισμών και γραφικών παραστάσεων. Το Maxima λειτουργεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών

5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Κεφάλαιο 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5.1 Συναρτήσεις δύο ή περισσοτέρων µεταβλητών Οταν ένα µεταβλητό µέγεθος εξαρτάται αποκλειστικά από τις µεταβολές ενός άλλου µεγέθους, τότε η σχέση που συνδέει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΜΗΤΣΟΤΑΚΗΣ ΑΘΗΝΑ 27 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : ΜΕΘΟ ΟΣ NEWTON Πρόγραµµα Matlab για την προσέγγιση της ρίζας της εξίσωσης f(x)= µε την µέθοδο Newton. Συναρτήσεις f(x), f

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Οκτώβριος 2014 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Οκτώβριος 2014 1 / 42 Αριθμητικές Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 2 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 3 ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 4 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 5 ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Καθηγητής Α.Π.Θ. ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Μαθηματικός ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Βασικά στοιχεία του MATLAB

Βασικά στοιχεία του MATLAB ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Εξοικείωση µε το περιβάλλον του MATLAB και χρήση βασικών εντολών και τεχνικών δηµιουργίας προγραµµάτων, συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. 1.1 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 11 Τι είναι η αριθµητική ανάλυση Στα µαθητικά και φοιτητικά µας χρόνια, έχουµε γνωριστεί µε µία ποικιλία από µαθηµατικά προβλήµατα των οποίων µαθαίνουµε σταδιακά τις λύσεις Παραδείγµατος χάριν,

Διαβάστε περισσότερα

C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 2 ο Κεφάλαιο

C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 2 ο Κεφάλαιο C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 2 ο Τύποι Δεδοµένων Δήλωση Μεταβλητών Έξοδος Δεδοµένων Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Μνήµη και Μεταβλητές Σχέση Μνήµης Υπολογιστή και Μεταβλητών Η µνήµη (RAM) ενός

Διαβάστε περισσότερα

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10;

a = 10; a = k; int a,b,c; a = b = c = 10; C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 4 ο Τελεστές Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Ο τελεστής εκχώρησης = Ο τελεστής = χρησιµοποιείται για την απόδοση τιµής (ή αλλιώς ανάθεση τιµής) σε µία µεταβλητή Π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις - Όρια- Παράγωγοι- Ολοκληρώματα Ακολουθίες-Σειρές

Συναρτήσεις - Όρια- Παράγωγοι- Ολοκληρώματα Ακολουθίες-Σειρές Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής με εφαρμογές στη Βιοϊατρική Συναρτήσεις - Όρια- Παράγωγοι- Ολοκληρώματα Ακολουθίες-Σειρές Μαθηματική Ανάλυση Ι Συνάρτηση μίας Μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12)

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Οκτωβρίου 006 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 0 Νοεµβρίου 006.

Διαβάστε περισσότερα

Non Linear Equations (2)

Non Linear Equations (2) Non Linear Equations () Τρίτη, 17 Φεβρουαρίου 015 5:14 μμ 15.0.19 Page 1 15.0.19 Page 15.0.19 Page 3 15.0.19 Page 4 15.0.19 Page 5 15.0.19 Page 6 15.0.19 Page 7 15.0.19 Page 8 15.0.19 Page 9 15.0.19 Page

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Οι πραγµατικοί και οι µιγαδικοί αριθµοί

Κεφάλαιο 1 Οι πραγµατικοί και οι µιγαδικοί αριθµοί Σελίδα από 9 Κεφάλαιο Οι πραγµατικοί και οι µιγαδικοί αριθµοί. 7 Τα σύµβολα και.7. Παράδειγµα Αθροίσµατα και γινόµενα στο Matlab. Υπολογίστε τις ακόλουθες ποσότητες στο MATLAB: a) b) c) d) 00 k = 00 k

Διαβάστε περισσότερα

11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 11.1 Γενικά περί συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μια συνήθης διαφορική εξίσωση (ΣΔΕ) 1 ης τάξης έχει τη μορφή dy d = f (, y()) όπου f(, y) γνωστή και y() άγνωστη συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο

Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Ομάδα Γ. Ο υπολογιστής ως επιστημονικό εργαλείο Η Mathematica είναι ένα ολοκληρωμένο μαθηματικό πακέτο με πάρα πολλές δυνατότητες σε σχεδόν όλους τους τομείς των μαθηματικών (Άλγεβρα, Θεωρία συνόλων, Ανάλυση,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην C. Μορφή Προγράµµατος σε γλώσσα C

Εισαγωγή στην C. Μορφή Προγράµµατος σε γλώσσα C Εισαγωγή στην C Μορφή Προγράµµατος σε γλώσσα C Τµήµα Α Με την εντολή include συµπεριλαµβάνω στο πρόγραµµα τα πρότυπα των συναρτήσεων εισόδου/εξόδου της C.Το αρχείο κεφαλίδας stdio.h είναι ένας κατάλογος

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 9 Φεβουαρίου 007 Ημερομηνία Παράδοσης της Εργασίας

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) TEΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 4 Ιουνίου 7 Από τα κάτωθι Θέµατα καλείστε να λύσετε το ο που περιλαµβάνει ερωτήµατα από όλη την ύλη

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικές χρήσεις της Matlab

Τυπικές χρήσεις της Matlab Matlab Μάθημα 1 Τι είναι η Matlab Ολοκληρωμένο Περιβάλλον Περιβάλλον ανάπτυξης Διερμηνευμένη γλώσσα Υψηλή επίδοση Ευρύτητα εφαρμογών Ευκολία διατύπωσης Cross platform (Wintel, Unix, Mac) Τυπικές χρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση του Mathematica

Παρουσίαση του Mathematica Παρουσίαση του Mathematica Εργαστήριο Σκυλίτσης Θεοχάρης Καλαματιανός Ρωμανός Καπλάνης Αθανάσιος Ιόνιο Πανεπιστήμιο (www.ionio.gr)( Εισαγωγή Σύμβολα πράξεων ή συναρτήσεων: Πρόσθεση + Αφαίρεση - Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011.

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Να διατηρηθεί µέχρι... Βαθµός Ασφαλείας...

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία)

1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία) ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ KAI THΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ /5/007 η Οµάδα Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ (Θεωρία). α) Έστω fl() x η παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Πέµπτο: Η Εξάσκηση

Κεφάλαιο Πέµπτο: Η Εξάσκηση Κεφάλαιο Πέµπτο: Η Εξάσκηση 1. Γενικά Η εξάσκηση στο Εργαστήριο προϋποθέτει τη γνώση των εντολών (τουλάχιστον) τις οποίες καλείται ο σπουδαστής κάθε φορά να εφαρµόσει. Αυτές παρέχονται µέσω της Θεωρίας

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

3. Στο Block Diagram αναπτύσουµε το υπολογιστικό µέρος του προγράµµατος. Σχήµα 1.1: Το Front Panel του LabVIEW.

3. Στο Block Diagram αναπτύσουµε το υπολογιστικό µέρος του προγράµµατος. Σχήµα 1.1: Το Front Panel του LabVIEW. Front Panel και Block Diagram 1. Το LAbVIEW αποτελείται από δύο καρτέλες. Το Front Panel και το Block Diagram. Εναλλασσόµαστε ανάµεσα στις δύο καρτέλες µε τη συντόµευση CTRL+E ή µε το µενού Windows / Show

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008 Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 5//008 Πρόβληµα ο Στα παρακάτω ερωτήµατα επισηµαίνουµε ότι perceptron είναι ένας νευρώνας και υποθέτουµε, όπου χρειάζεται, τη χρήση δικτύων

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

http://users.auth.gr/~ppi/mathematica

http://users.auth.gr/~ppi/mathematica http://users.auth.gr/~ppi/mathematica ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Γλώσσες Προγραμματισμού Fortran, C++, Java,. ΑΛΓΕΒΡΙΚΟΙ ή ΣΥΜΒΟΛΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Computer Algebra Systems Mathematica,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Έλεγχος Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ακ. Έτος 2012-2013 Σχεσιακοί Τελεστές και Ισότητας Ένα πρόγραμμα εκτός από αριθμητικές πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Α Κ Α Η Μ Α Ι Κ Ο Ε Τ Ο Σ 2 0 1 1-2 0 1 2 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΏΝ ΠΑΙΓΝΙΩΝ- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ GAMBIT Ο συγκεκριµένος οδηγός για το πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Mathematics and its Applications, 5th

Mathematics and its Applications, 5th Μαθηµατικα για Πληροφορικη Εφαρµογες και τεχνικες Ηλιας Κουτσουπιάς Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Σχετικα µε το µαθηµα Σχετικα µε το µαθηµα Το µαθηµα πραγµατευεται καποια ϑεµατα

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη

Επιλογή και επανάληψη. Λογική έκφραση ή συνθήκη Επιλογή και επανάληψη Η ύλη που αναπτύσσεται σε αυτό το κεφάλαιο είναι συναφής µε την ύλη που αναπτύσσεται στο 2 ο κεφάλαιο. Όπου υπάρχουν διαφορές αναφέρονται ρητά. Προσέξτε ιδιαίτερα, πάντως, ότι στο

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

MATLAB. Λογισµικό υλοποίησης αλγορίθµων και διεξαγωγής υπολογισµών.

MATLAB. Λογισµικό υλοποίησης αλγορίθµων και διεξαγωγής υπολογισµών. MATLAB Tι είναι το λογισµικό MATLAB? Λογισµικό υλοποίησης αλγορίθµων και διεξαγωγής υπολογισµών. Σύστηµα αλληλεπίδρασης µε τοχρήστηγια πραγµατοποίηση επιστηµονικών υπολογισµών (πράξεις µε πίνακες επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

προγραµµατίζοντας τον υπολογιστή

προγραµµατίζοντας τον υπολογιστή προγραµµατίζοντας τον υπολογιστή Οι εφαρµογές λογισµικού που µέχρι τώρα γνωρίσαµε, µας δίνουν τη δυνατότητα να εκτελέσουµε ένα συγκεκριµένο είδος εργασιών. Έτσι η Ζωγραφική µας προσφέρει τα κατάλληλα εργαλεία

Διαβάστε περισσότερα

= x. = x1. math60.nb

= x. = x1. math60.nb MH ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Χώρος Φάσεων : Επίπεδο (, Φασικές Τροχιές : Επίπεδες µονοπαραµετρικές καµπύλες (t (t χωρίς εγκάρσιες τοµές. Οι φασικές τροχιές µπορούν να υπολογιστούν από

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή

Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ. Εισαγωγή Εισαγωγή Εργαστήριο ΨΗΦΙΑΚΗ ΛΟΓΙΚΗ Ξεκινάµε την εργαστηριακή µελέτη της Ψηφιακής Λογικής των Η/Υ εξετάζοντας αρχικά τη µορφή των δεδοµένων που αποθηκεύουν και επεξεργάζονται οι υπολογιστές και προχωρώντας

Διαβάστε περισσότερα

Πειραματιζόμενοι με αριθμούς στο περιβάλλον του Microworlds Pro: διαθεματική προσέγγιση περί «πολλαπλασίων και διαιρετών»

Πειραματιζόμενοι με αριθμούς στο περιβάλλον του Microworlds Pro: διαθεματική προσέγγιση περί «πολλαπλασίων και διαιρετών» Πειραματιζόμενοι με αριθμούς στο περιβάλλον του Microworlds Pro: διαθεματική προσέγγιση περί «πολλαπλασίων και διαιρετών» μια Νίκος Δαπόντες Φυσικός Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Το περιβάλλον Microworlds

Διαβάστε περισσότερα

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους

ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΛΧ1004 Μαθηματικά για Οικονομολόγους Μάθημα 1 ου Εξαμήνου 2Θ+2Φ(ΑΠ) Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟ ΒΙΒΛΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών. Τµήµα Πληροφορικής. Φθινοπωρινό Εξάµηνο 2015. Δοµές Δεδοµένων - Εργασία 2. Διδάσκων: E. Μαρκάκης

Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών. Τµήµα Πληροφορικής. Φθινοπωρινό Εξάµηνο 2015. Δοµές Δεδοµένων - Εργασία 2. Διδάσκων: E. Μαρκάκης Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Πληροφορικής Φθινοπωρινό Εξάµηνο 2015 Δοµές Δεδοµένων - Εργασία 2 Διδάσκων: E. Μαρκάκης Ταξινόµηση και Ουρές Προτεραιότητας Σκοπός της 2 ης εργασίας είναι η εξοικείωση

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών. Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Λογισμικό Υπολογιστών Κεφάλαιο 8ο Αλγόριθμοι 1 Έννοια Ανεπίσημα, ένας αλγόριθμος είναι μια βήμα προς βήμα μέθοδος για την επίλυση ενός προβλήματος ή την διεκπεραίωση

Διαβάστε περισσότερα

o AND o IF o SUMPRODUCT

o AND o IF o SUMPRODUCT Πληροφοριακά Εργαστήριο Management 1 Information Συστήματα Systems Διοίκησης ΤΕΙ Τμήμα Ελεγκτικής Ηπείρου Χρηματοοικονομικής (Παράρτημα Πρέβεζας) και Αντικείµενο: Μοντελοποίηση προβλήµατος Θέµατα που καλύπτονται:

Διαβάστε περισσότερα

if(συνθήκη) {... // οµάδα εντολών } C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 5 ο Κεφάλαιο

if(συνθήκη) {... // οµάδα εντολών } C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή 5 ο Κεφάλαιο C: Από τη Θεωρία στην Εφαρµογή Κεφάλαιο 5 ο Έλεγχος Προγράµµατος Γ. Σ. Τσελίκης Ν. Δ. Τσελίκας Η εντολή if (Ι) Η εντολή if είναι µία από τις βασικότερες δοµές ελέγχου ροής στη C, αλλά και στις περισσότερες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Οκτώβριος 011 MATLAB

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 2: ΔΟΜΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ C, ΧΕΙΡΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΟΔΟΥ ΚΑΙ ΕΞΟΔΟΥ

ΑΣΚΗΣΗ 2: ΔΟΜΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ C, ΧΕΙΡΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΟΔΟΥ ΚΑΙ ΕΞΟΔΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 2: ΔΟΜΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ C, ΧΕΙΡΙΣΜΟΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΙΣΟΔΟΥ ΚΑΙ ΕΞΟΔΟΥ Σκοπός της Άσκησης Ο σκοπός αυτής της εργαστηριακής άσκησης είναι η ανάλυση των βασικών χαρακτηριστικών της Γλώσσας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα

Κεφάλαιο M3. Διανύσµατα Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των

Διαβάστε περισσότερα

ιαχείριση Πληροφοριών στο ιαδίκτυο

ιαχείριση Πληροφοριών στο ιαδίκτυο ιαχείριση Πληροφοριών στο ιαδίκτυο Εργαστήριο (Φυλλάδιο 8) ΤΕΙ Καβάλας - Σχολή ιοίκησης & Οικονοµίας Τµήµα ιαχείρισης Πληροφοριών ιδάσκων: Μαρδύρης Βασίλειος, ιπλ. Ηλ. Μηχανικός & Μηχ. Υπολογιστών, MSc

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων

Κ. Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 61. 12. Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 6 Ολοκληρώµατα διανυσµατικών συναρτήσεων Υπάρχουν διαφόρων ειδών ολοκληρώµατα διανυσµάτων, ανάλογα µε τη µορφή που έχει η ολοκληρωτέα

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Θεωρητική εισαγωγή

5.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 5 ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ BCD Σκοπός: Η κατανόηση της µετατροπής ενός τύπου δυαδικής πληροφορίας σε άλλον (κωδικοποίηση/αποκωδικοποίηση) µε τη µελέτη της κωδικοποίησης BCD

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου

Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 31 3. Άσκηση 3 Μέτρηση κατανοµής ηλεκτρικού πεδίου 3.1 Σκοπός της Εργαστηριακής Άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η µέτρηση της κατανοµής του ηλεκτρικού πεδίου Ε, µπροστά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton. ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Ομάδα Α ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΜΑ ον (+ μονάδες) Δίνεται ο πρόβολος, με μήκος = m, με κατανεμημένο φορτίο που

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887

.339981043584856.652145154862456.861136311594053.347854845137454.183434642495650.362683783378632.525532409916239.313706645877887 Ολοκλήρωση κατά Gauss Ενώ στους τύπους Newton-Cotes χρησιµοποιούσαµε τις τιµές της συνάρτησης σε ισαπέχοντα σηµεία, στους τύπους ολοκλήρωσης κατά Gauss τα σηµεία xj και τα βάρη wj επιλέγονται, έτσι ώστε

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008

2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 2 o Καλοκαιρινό σχολείο Μαθηµατικών Νάουσα 2008 Μικρό Θεώρηµα του Fermat, η συνάρτηση του Euler και Μαθηµατικοί ιαγωνισµοί Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Αύγουστος 2008 Αλεξανδρος Γ. Συγκελακης

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΘΕΜΑ 1 ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1 5 και δίπλα τη λέξη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3.5-3.6, 3.2: Συναρτήσεις II. ( ιάλεξη 12) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

Κεφάλαιο 3.5-3.6, 3.2: Συναρτήσεις II. ( ιάλεξη 12) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 3.5-3.6, 3.2: Συναρτήσεις II ( ιάλεξη 12) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ 12-1 Ανασκόπηση οµής Προγράµµατος µε Συναρτήσεις #include 1 void PrintMessage (); Πρότυπο ( ήλωση) Συνάρτησης (

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε

2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε 2.2.3 Η εντολή Εκτύπωσε Η εντολή Εκτύπωσε χρησιµοποιείται προκειµένου να εµφανίσουµε κάτι στην οθόνη του υπολογιστή. Για τον λόγο αυτό ονοµάζεται και εντολή εξόδου. Ισοδύναµα µπορεί να χρησιµοποιηθεί και

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή

ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή ζωγραφίζοντας µε τον υπολογιστή Μια από τις εργασίες που µπορούµε να κάνουµε µε τον υπολογιστή είναι και η ζωγραφική. Για να γίνει όµως αυτό πρέπει ο υπολογιστής να είναι εφοδιασµένος µε το κατάλληλο πρόγραµµα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας. Δρ Ι. Φαμέλης

Αριθμητική Ανάλυση. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας. Δρ Ι. Φαμέλης Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Αριθμητική Ανάλυση Δρ Ι. Φαμέλης Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Β'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της B Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν βάση των µαθηµατικών του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 6: Συναρτήσεις και Αναδρομή

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 6: Συναρτήσεις και Αναδρομή ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 6: Συναρτήσεις και Αναδρομή Στο εργαστήριο αυτό θα μάθουμε για τη χρήση συναρτήσεων με σκοπό την κατασκευή αυτόνομων τμημάτων προγραμμάτων που υλοποιούν μία συγκεκριμένη διαδικασία, τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης

Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Έργο µιας χρονικά µεταβαλλόµενης δύναµης Κ. Ι. Παπαχρήστου Τοµέας Φυσικών Επιστηµών, Σχολή Ναυτικών οκίµων papachristou@snd.edu.gr Θα συζητήσουµε µερικά λεπτά σηµεία που αφορούν το έργο ενός χρονικά µεταβαλλόµενου

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα