ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Mathematica

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Mathematica"

Transcript

1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Mathematica ιδάσκων: Λέκτορας Ε Κοφίδης Σ αυτά τα εργαστηριακά µαθήµατα θα κάνουµε µια εισαγωγή στη χρήση του λογισµικού πακέτου Mathematica, µε έµφαση σε προβλήµατα Αριθµητικής Ανάλυσης Θα πρέπει από τώρα να τονίσουµε ότι οι χρονικοί περιορισµοί µας επιτρέπουν να εξετάσουµε µόνο ένα µικρό µέρος του πακέτου, δίνοντας έµφαση σε βασικούς χειρισµούς και έννοιες Παρακάτω δίνεται µια σύντοµη αλλά επαρκής βιβλιογραφική λίστα για περισσότερο διάβασµα Εκτός από βιβλία, περιλαµβάνει διαθέσιµες on-line σηµειώσεις και συνδέσµους (links) όπου µπορεί κανείς να βρει περισσότερο υλικό Βιβλιογραφία Σ Τραχανάς, Mathematica και Εφαρµογές, Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Κρήτης, 00 Γ Σ Παπαγεωργίου, Χ Γ Τσίτουρας, και Ι Θ Φαµέλης, Σύγχρονο Μαθηµατικό Λογισµικό: Matlab Mathematica, Εκδόσεις Συµεών, E Don, Mathematica, Schaum s series, Εκδόσεις Κλειδάριθµος, S Wolfram, The Mathematica Book, 5 th edition, Wolfram Media, S Wolfram, Mathematica: A System for Doing Mathematics by Computer, nd edition, Addison-Wesley, 99 (διαθέσιµο στη βιβλιοθήκη) 6 Μ Μπούτσικας, Εισαγωγή στο Mathematica, 7 Mathematica: Εισαγωγή στη χρήση του πακέτου, 8 Επίσηµη ιστοσελίδα του Mathematica: (περιλαµβάνει και κατάλογο σχετικών βιβλίων) Επίσης, το ο κεφάλαιο του βιβλίου που χρησιµοποιείται στο µάθηµα είναι µια (µάλλον πολύ σύντοµη) εισαγωγή στο Mathematica Ξεκίνηµα Αν και το Mathematica είναι στην πραγµατικότητα περιβάλλον προγραµµατισµού και περιλαµβάνει εντολές και συναρτήσεις, διαφέρει κατά πολύ από άλλα προγραµµατιστικά περιβάλλοντα που ίσως έχετε χρησιµοποιήσει µέχρι σήµερα (πχ αυτό της Borland C++) Πρώτα-πρώτα, λειτουργεί ως διερµηνέας εντολών (interpreter), που σηµαίνει ότι µπορείτε να δίνετε µια εντολή υπολογισµού και να παίρνετε άµεσα την απάντηση, χωρίς να χρειάζετε να γράψετε πρόγραµµα για το σκοπό αυτό Επίσης, είναι σε θέση να εκτελεί εύκολα και κοµψά και συµβολικούς (όχι µόνο αριθµητικούς) υπολογισµούς, πχ υπολογισµό ολοκληρωµάτων και παραγώγων, αναλυτική επίλυση αλγεβρικών και διαφορικών εξισώσεων, κά Άλλα τέτοια πακέτα είναι τα Maple, Matlab, κλπ Όµως καλύτερα να τα βλέπουµε στην πράξη Ξεκινήστε το Mathematica είτε από τη συντόµευση στην επιφάνεια εργασίας ή από την αντίστοιχη επιλογή στον κατάλογο προγραµµάτων στην Έναρξη (Start) Ανοίγει τότε ένα παράθυρο µε τίτλο Untitled- Αυτό είναι το λεγόµενο σηµειωµατάριό σας (notebook) Αποθηκεύστε το µε όνοµα FirstNb σε δικό Γ Σ Παπαγεωργίου και Χ Γ Τσίτουρας, Αριθµητική Ανάλυση µε Εφαρµογές σε Matlab και Mathematica, 3 η έκδοση, Εκδόσεις Συµεών, 004

2 σας φάκελο στην επιφάνεια εργασίας Γράψτε τώρα την παράσταση 57 * 43 και πατήστε Shift+Enter Ναι, Shift+Enter Στο Mathematica το απλό Enter αλλάζει γραµµή, δεν δίνει εντολή Παίρνετε σε λίγο το αποτέλεσµα στη µορφή: In[]:=57 * 43 Out[]=3706 Ας ζητήσουµε τώρα τον υπολογισµό της τιµής µιας συνάρτησης: In[]:=Sin[04] Out[]= Παρατηρείστε ότι τα ονόµατα των συναρτήσεων αρχίζουν πάντα µε κεφαλαίο γράµµα και αντί των γνωστών µας παρενθέσεων χρησιµοποιούνται αγκύλες ([ ]) Οι In και Out είναι κι αυτές συναρτήσεις, µε ακέραια ορίσµατα Έτσι, το In[] είναι η είσοδος στον πρώτο υπολογισµό και το Out[] η έξοδος Το ίδιο για τα In[], Out[], κλπ οκιµάστε και µε άλλες συναρτήσεις Πχ In[3]:=Log[5] Out[3]= In[4]:=Cos[] Out[4]=Cos[] Το τελευταίο αποτέλεσµα φαίνεται περίεργο, αλλά έχει την εξήγησή του Όταν δίνουµε ακέραιο όρισµα (πχ ), τότε, αν δεν υπάρχει ακριβές αποτέλεσµα, το Mathematica απαντάει µε την πιο ακριβή έκφραση που µπορεί να δώσει Αν όµως δώσουµε 0 αντί του, τότε: In[5]:=Cos[0] Out[5]= Εναλλακτικά, µε χρήση της συνάρτησης N (Numeric): In[6]:=N[Cos[]] Out[6]= Η N[ ] υπολογίζει την αριθµητική (προσεγγιστική) τιµή µιας παράστασης Εξ ορισµού, η µηχανή χρησιµοποιεί 6 ψηφία: In[7]:=InputForm[%] Out[7]//InputForm= Τι είναι αυτό το %; Για να µην ξαναγράφουµε προηγούµενα αποτελέσµατα, χρησιµοποιούµε τη συντοµογραφία % Έτσι, % είναι το πιο πρόσφατο Out, δηλαδή το Out[6] Αν θέλουµε να αναφερθούµε, πχ, στο Out[], γράφουµε % (ή σπανιότερα Out[]) Μπορούµε να µάθουµε ποιο εύρος αριθµών αναπαρίσταται στον υπολογιστή µας ως εξής: In[8]:=$MinMachineNumber 308 Out[8]= In[9]:=$MaMachineNumber 308 Out[9]= καθώς και ποιος είναι ο µικρότερος θετικός αριθµός ε που µπορούµε να χειριστούµε: In[0]:=$MachineEpsilon 6 Out[0]= Ουσιαστικά «µικρότερο ή ίσο του ε» σηµαίνει µηδέν: In[]:=+% Out[]=

3 Επιστρέφουµε για λίγο στη N[ ] Μπορούµε, µε τη βοήθειά της, να πάρουµε αποτέλεσµα σε όσα ψηφία επιθυµούµε, περισσότερα απ όσα µπορεί να µας διαθέσει η ακρίβεια της µηχανής (µε εσωτερική χρήση κατάλληλων αλγορίθµων) Για παράδειγµα, µε N[Pi,00] θα πάρετε το π µε 00 ψηφία οκιµάστε το! Υπολογίστε τις τιµές των παραστάσεων lnsin0! και 3 00 π Υπολογίστε το e µε 00 ψηφία (συνάρτηση Ep) 00 3 Βρείτε το σε συνεπτυγµένη µορφή (επιστηµονική γραφή) (δοκιµάστε µε τη συνάρτηση N) Ας δούµε και πιο περίπλοκες πράξεις, όπως η ολοκλήρωση και η παραγώγιση συναρτήσεων Για παράδειγµα, το π 0 sin d µπορεί να υπολογιστεί ως εξής: In[3]:=Integrate[(^)*Sin[],{,0,Pi}] Out[3]= 4π Σηµείωση: Οι οµάδες οµοειδών στοιχείων τοποθετούνται ανάµεσα σε άγκιστρα ({ }) επειδή αποτελούν λίστες Θα επιστρέψουµε αργότερα σ αυτές οκιµάστε και µε ένα αόριστο ολοκλήρωµα: In[4]:=Integrate[^3*Ep[-a*],] Out[4]= Η σταθερά ολοκλήρωσης δεν συµπεριλαµβάνεται στο αποτέλεσµα Απλά εννοείται Η συνάρτηση D κάνει παραγώγιση Το παρακάτω υπολογίζει την 3 η παράγωγο της ln : In[5]:=D[(^)*Log[],{,3}] Out[5]=/ Με παρόµοιο τρόπο, µε τη συνάρτηση Sum, µπορείτε να υπολογίσετε και αθροίσµατα Για παράδειγµα, το n= n : In[6]:=Sum[/n^,{n,,Infinity}] Out[6]= π / 6 Το Mathematica έχει µεγάλες δυνατότητες οπτικοποίησης αποτελεσµάτων Ας δούµε µόνο µερικές απλές γραφικές παραστάσεις: In[7]:=Plot[(Sin[])^,{,0,4Pi}] Out[7]=-Graphics- Αν έχουµε περισσότερες από µια συναρτήσεις στο ίδιο γράφηµα, µπορούµε να τις διακρίνουµε δίνοντάς τους διαφορετικά χρώµατα Πχ In[8]:=Plot[{Ep[],},{,0,},PlotStyle->{{RGBColor[,0,0]},{RGBColor[0,,0]}}] Out[8]=-Graphics- Παρατηρείστε ότι, όπως αναφέραµε και πιο πάνω, το Mathematica προσπαθεί να δώσει το ακριβέστερο αποτέλεσµα που µπορεί Έτσι, εδώ δεν απαντά µε κάποια αριθµητική τιµή, αλλά µε την ακριβή έκφραση 4π 3

4 Περισσότερα για µια συνάρτηση όπως η Plot µπορούµε να µάθουµε από την ενσωµατωµένη βοήθεια (Help) Επιλογές για την εµφάνιση ενός γραφήµατος θα βρείτε µε Options[Plot] Για τρισδιάστατα γραφήµατα, χρησιµοποιούµε την Plot3D: In[8]:=Plot3D[^-y^, {,-5,5}, {y,-5,5},aeslabel->{, y, ^-y^ }] Out[8]=-Graphics- 0 3 a Υπολογίστε το ολοκλήρωµα e d Καταλαβαίνετε το αποτέλεσµα; Υπολογίστε το αόριστο ολοκλήρωµα cos kd 3 Κάντε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ) = e στο διάστηµα [-3,3] π 4 Βρείτε την η και τη η παράγωγο της ln και παραστήστε τις γραφικά στο ίδιο γράφηµα Προσπαθήστε να προσθέσετε και ετικέτες στους άξονες (πχ, f()) ( + y 5 Παραστήστε γραφικά τη συνάρτηση e ) για στους άξονες (και τίτλο στο γράφηµα) i 6 Βρείτε τα αθροίσµατα,, N n N n= n= n i=0 a, y Προσθέστε ετικέτες 7 Με τη συνάρτηση Limit µπορείτε να βρείτε όριο συνάρτησης ή ακολουθίας Για παράδειγµα, το lim βρίσκεται ως Limit[/,->Infinity] οκιµάστε µε sin το lim 0 Συναρτήσεις οριζόµενες από το χρήστη Αντί να γράφουµε κάθε φορά τον τύπο µιας συνάρτησης, µπορούµε να της δώσουµε όνοµα και να αναφερόµαστε σ αυτή µε το όνοµά της Για παράδειγµα: In[4]:=f[_]=^*Log[] Out[4]= Log[ ] Το σύµβολο υπογράµµισης (underscore) _ είναι απαραίτητο στο αριστερό µέρος του ορισµού µιας συνάρτησης Μόνο έτσι µπορούµε στη συνέχεια να δώσουµε τιµή στο : In[5]:=f[0] Out[5]=7759 ή In[6]:=f[^(/)] Out[6]= Log [ ] Μπορούµε να κάνουµε αντικατάσταση του και ως εξής: In[5]:= f[]/->0 Out[5]= In[6]:=f[]/->^(/) Out[6]= Στο εξής µπορούµε να χρησιµοποιούµε την έκφραση f[ ] όπως θα κάναµε αν γράφαµε µαθηµατικούς τύπους στο χαρτί Ένα χαρακτηριστικό παράδειγµα αυτού του γεγονότος είναι το εξής: In[5]:=f [] Out[5]= + Log[ ] Είναι αυτό που φαντάζεστε Η f [] είναι η η παράγωγος της f οκιµάστε να υπολογίσετε µε ανάλογο τρόπο τη η παράγωγο και συγκρίνετε µε το αποτέλεσµα της συνάρτησης D 4

5 3 Ορίστε τη συνάρτηση f ( ) = και κάντε τη γραφική της παράσταση στο διάστηµα [,] Έχει ρίζες σ αυτό το διάστηµα; Αν ναι, πόσες; Ορίστε τη συνάρτηση g ( ) = f ( ) d και παραγωγίστε την για να επαληθεύσετε την ορθότητα του αποτελέσµατος 3 Ορίζοντας τις συντεταγµένες, y των σηµείων µιας καµπύλης ως συναρτήσεις µιας παραµέτρου t, µπορούµε να σχεδιάσουµε την καµπύλη, µε τη συνάρτηση ParametricPlot Σχεδιάστε την καµπύλη που ορίζεται παραµετρικά ως ( t) = cos( t) cos(00t)sin( t), y( t) = sin( t) sin(00t), για 0 t π 4 Με ανάλογο τρόπο, σχεδιάστε τον κύκλο µε κέντρο το 0 και ακτίνα (Για να φαίνεται ο κύκλος σαν κύκλος, θα χρειαστεί να αλλάξετε κατάλληλα και την παράµετρο AspectRatio της ParametricPlot) 3 Λίστες Λίστα είναι µια διατεταγµένη συλλογή οµοειδών αντικειµένων Παραδείγµατα λιστών που έχουµε ήδη συναντήσει είναι τα {, 0, 4Pi}, {n,, Infinity} Παρακάτω δίνονται άλλα δύο παραδείγµατα: In[30]:= S={,,3,4,5,6,7,8,9,0} Out[30]={,,3,4,5,6,7,8,9,0} In[3]:= fs={f[],f[],f[3],f[4],f[5],f[6],f[7],f[8],f[9],f[0]} Out[3]={-,5,3,59, } Τα οποία δείχουν ότι θα ταλαιπωρηθούµε αρκετά αν θέλουµε να υπολογίσουµε πχ τις τιµές της f στα,,, 00 Κι όµως ένας τέτοιος υπολογισµός είναι πολύ εύκολος στο Mathematica Να δύο τρόποι για να εκτελεστεί: In[3]:= S=Range[00] Out[3]= {,,3,,00} In[33]:= f[s] Out[33]= {-,5,3,59, } και In[34]:=Table[f[n],{n,,00}] Out[34]= {-,5,3,59, } 3 ιανύσµατα και Πίνακες Μια πολύ ενδιαφέρουσα χρήση των λιστών είναι στην κατασκευή διανυσµάτων και πινάκων Ένα διάνυσµα είναι µια λίστα: In[35]:= b={3,,-} Out[35]= {3,,-} Ενώ ένας πίνακας µπορεί να ειδωθεί ως µια λίστα από λίστες (µία για κάθε γραµµή του): In[36]:= A={{,, 0},{,, },{0,, }} Out[36]= {{,, 0},{,, },{0,, }} Για να δούµε τον πίνακα στη µορφή που έχουµε συνηθίσει, µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τη συνάρτηση MatriForm: In[37]:= MatriForm[A] Out[37]//MatriForm= Μπορούµε να αναφερθούµε σε µέρος µιας λίστας Πχ το b[[]] είναι το ο στοιχείο του διανύσµατος b ενώ το A[[,3]] είναι το στοιχείο (,3) του πίνακα Α Οι βασικές πράξεις σε πίνακες είναι διαθέσιµες σε έτοιµες συναρτήσεις Mathematica Πχ: 5

6 Ab Πολλαπλασιασµός Inverse[A] Αντίστροφος Transpose[A] Ανάστροφος Det[A] Ορίζουσα καθώς επίσης και οι διαδικασίες επίλυσης γραµµικών συστηµάτων εξισώσεων, υπολογισµού ιδιοδιανυσµάτων και ιδιοτιµών, κά: In[38]:= =LinearSolve[A,b] Out[38]= {,,-} In[39]:= lambda=eigenvalues[a] Out[39]= {,, + } In[40]:= U=Eigenvectors[A] Out[40]= {{,0,},{,,},{,,}} Γράφοντας?Eigenvectors για παράδειγµα µπορούµε να ζητήσουµε πληροφορίες για τον τρόπο χρήσης της Eigenvectors και ερµηνείας του αποτελέσµατός της Εναλλακτικά, και κυρίως σε περίπτωση που δεν θυµόµαστε καν το όνοµα της συνάρτησης, µπορούµε να ζητήσουµε βοήθεια από το menu Help Ορίστε τον πίνακα A = Υπολογίστε την ορίζουσά του κι αν αυτή είναι µη-µηδενική, βρείτε και τον αντίστροφο πίνακα Επαληθεύστε το αποτέλεσµα υπολογίζοντας το γινόµενο AA Λύστε το σύστηµα εξισώσεων A=b µε b = [ 7 8 9] T Ελέγξτε την ορθότητα του αποτελέσµατος 3 Βρείτε τις ιδιοτιµές και αντίστοιχα ιδιοδιανύσµατα του Α και επαληθεύστε την ορθότητα των αποτελεσµάτων 4 Από τα παραπάνω, και µε τη βοήθεια των συναρτήσεων Abs και Ma, βρείτε τη φασµατική ακτίνα του A 5 Όπως είπαµε και νωρίτερα, το Mathematica δίνει και τη δυνατότητα συµβολικών a b υπολογισµών Βρείτε πχ την ορίζουσα και τον αντίστροφο του πίνακα B = c d 4 Παρεµβολή µε Πολυώνυµα Πριν περάσουµε να δούµε µερικές βασικές προγραµµατιστικές τεχνικές (όπως blocks και επαναλήψεις), ας κάνουµε µια (ελπίζω ευχάριστη) παρένθεση υπολογίζοντας πολύ εύκολα το πολυώνυµο βαθµού k που παρεµβάλλι µια συνάρτηση f () σε δοσµένα σηµεία, 0,, K, k Αυτό βρίσκεται µε τη συνάρτηση InterpolatingPolynomial ως εξής: P[_]=InterpolatingPolynomial[{{0,f0},{,f}, {k,fk}},] η οποία δίνει το πολυώνυµο στη µορφή Newton Ας δοκιµάσουµε µε τη συνάρτηση f ( ) = ( + ) 4 Θα την παρεµβάλλουµε στα σηµεία 0, 05,, 5, Το πολυώνυµο θα είναι εποµένως 4 ου βαθµού In[5]:= data=table[{z,f[z]},{z,0,,05}] Out[5]= {{0,/6}, } In[5]:= P[_]=InterpolatingPolynomial[data,] Out[5]= 6

7 Για να εκφράσουµε το πολυώνυµο στη γνώριµή µας µορφή, αρκεί να εφαρµόσουµε τη συνάρτηση Epand (δηλ ανάπτυξη): In[53]:= Epand[%] Out[53]= Ας βρούµε και το πολυώνυµο Taylor 4 ου βαθµού που προσεγγίζει τη συνάρτηση γύρω από κάποιο από αυτά τα σηµεία, έστω το 5: In[54]:= T[_]=Series[f[],{,5,4}] Out[54]= In[55]:= T[_]=Normal[%] Out[55]= Η συνάρτηση Series βρίσκει το ανάπτυγµα Taylor δοσµένου βαθµού µιας συνάρτησης γύρω από ένα σηµείο, ενώ συµπεριλαµβάνει κι έναν όρο που παριστάνει το υπόλοιπο Αυτός µπορεί να παραλειφθεί (δηλαδή να αποκοπεί η σειρά) µε τη Normal Τέλος, µια γραφική παράσταση των τριών συναρτήσεων (f, P, T) στο ίδιο γράφηµα θα µας δείξει πόσο καλές είναι οι δύο προσεγγίσεις που βρήκαµε Βρείτε το παρεµβολικό πολυώνυµο για την f ( ) = / στα σηµεία,, 3, 4 Παραστήστε γραφικά (στο ίδιο γράφηµα) τη συνάρτηση και το πολυώνυµο, στο διάστηµα [,4] Κάντε, σε άλλο γράφηµα, και τη γραφική παράσταση του σφάλµατος E( ) = f ( ) P( ) Υπολογίστε το πολυώνυµο που παρεµβάλλει την παραπάνω συνάρτηση και στο 5 Συγκρίνετε τις µορφές Newton των δύο παρεµβολικών πολυωνύµων Παραστήστε στο ίδο γράφηµα τη συνάρτηση και τα δύο πολυώνυµα, στο [,5] Συγκρίνετε γραφικά και τις αντίστοιχες συναρτήσεις σφάλµατος 3 Βρείτε το παρεµβολικό πολυώνυµο για τη συνάρτηση f ( ) = ln στα σηµεία, 07, και Προσεγγίστε την τιµή της συνάρτησης στο 05 από την αντίστοιχη τιµή του πολυωνύµου Ποιο είναι το σφάλµα; 4 Για την παραπάνω συνάρτηση, κατασκευάστε τα πολυώνυµα Taylor 3 ου, 5 ου, και 0 ου βαθµού, γύρω από το Σχεδιάστε τα γραφήµατά τους (µε διαφορετικά χρώµατα) στο ίδιο σύστηµα αξόνων, για Προγραµµατισµός στο Mathematica Εκτός από διερµηνέας εντολών υπολογισµού, το Mathematica είναι και µια γλώσσα προγραµµατισµού και δεν υστερεί σε βασικές δοµές ελέγχου που συναντούµε και σε άλλες γλώσσες όπως πχ η C 5 Επανάληψη Ας ξεκινήσουµε µε τις εντολές συναρτήσεις επανάληψης, µε πρώτη τη For Συντάσσεται ως εξής: For[start, test, increment, body] και λειτουργεί όπως η αντίστοιχη κατασκευή της C: for (start; test; increment) body Να ένα απλό παράδειγµα χρήσης της For: Εµφάνιση στην οθόνη των ακέραιων αριθµών από 0 έως και 9 (Παρατηρείστε ότι υπάρχει κι εδώ ο γνωστός µας από τη C τελεστής µοναδιαίας αύξησης, ++): 7

8 In[65]:= For[i=0, i < 0, i++, Print[i]] 0 9 Όταν γνωρίζουµε εκ των προτέρων πόσες επαναλήψεις θα πρέπει να γίνουν, πιο εύχρηστη είναι η Do: Do[epr, {i, imin, ima}], η οποία υπολογίζει την έκφραση epr ima-imin+ φορές, θέτοντας τη µεταβλητή i αρχικά σε imin και αυξάνοντάς την κατά ένα ώσπου να πάρει την τιµή ima Το παραπάνω παράδειγµα θα υλοποιούνταν µε Do ως εξής: In[66]:= Do[Print[i], {i, 0, 9}] Και, φυσικά, δεν λείπει η While, της οποίας η λειτουργία είναι εντελώς ανάλογη µ εκείνης της C Έτσι, η While[test, body] αντιστοιχεί στην κατασκευή C: while (test) body Πολύ εύκολα µπορεί κανείς να δει πώς γίνεται το παραπάνω παράδειγµα µε τη βοήθεια της While: In[67]:= i = 0; While[i < 0, Print[i]; i++] Έχει ενδιαφέρον να δούµε τις παραπάνω εντολές στα πλαίσια του προβλήµατος εύρεσης ρίζας µιας (µη-γραµµικής) συνάρτησης, µε τη γενική µέθοδο σταθερού σηµείου και ειδικότερα µε τη µέθοδο Newton-Raphson Ας πάρουµε για παράδειγµα την εξίσωση f ( ) = e = 0 στο διάστηµα [,] Μπορεί να επαληθευτεί, πχ µέσω γραφικής παράστασης, ότι υπάρχει ακριβώς µία ρίζα στο διάστηµα αυτό Επίσης, είναι σχετικά εύκολο να δει κανείς ότι η συνάρτηση g ( ) = ln( + ) είναι τέτοια ώστε η δοσµένη εξίσωση f ( ) = 0 να ισοδυναµεί µε την = g() και να έχει µοναδικό σταθερό σηµείο στο [,] Εποµένως, η επαναληπτική διαδικασία n = g( n ), n =,,K θα συγκλίνει στην αναζητούµενη ρίζα, για οποιοδήποτε [ ] 0, Με τη βοήθεια της Do, θα µπορούσαµε να υλοποιήσουµε την παραπάνω διαδικασία, πχ για 30 επαναλήψεις και µε αρχική προσέγγιση 5, ως εξής: In[68]:= g[_]=log[+] Out[68]= Log[+] In[69]:= =5; Do[=g[];Print[], {30}] Αν επιθυµούµε να εισάγουµε κι έναν έλεγχο τερµατισµού, πχ προτιµώτερη η While: n n < 0 6, τότε είναι 8

9 In[70]:= =5; new=g[]; Print[new]; While[Abs[-new]>=0^(-6), =new;new=g[];print[new]] Η τελευταία τιµή του new είναι το Out[70] Έτσι, για να δούµε αν όντως είναι η ρίζα που αναζητούµε, µπορούµε να ζητήσουµε τον υπολογισµό της f σ αυτή: In[7]:= f[%] 6 Out[7]= Ας προσπαθήσουµε και τη µέθοδο Newton-Raphson: In[7]:= f[_]=ep[]-- Out[7]= In[73]:= fd[_]=f [] Out[73]= πρώτα µε τη Do: In[74]:= =5; Do[=-f[]/fd[], {5}] και κατόπιν µε τη While: In[75]:= =5; new=-f[]/fd[]; Print[new]; While[Abs[-new]>=0^(-6), =new;new=-f[]/fd[]; Print[new]] (Είναι φανερή η υπεροχή της µεθόδου Newton-Raphson σε ταχύτητα σύγκλισης) Αποθηκεύοντας την ακολουθία των διαφορών n n σε µια λίστα, µπορούµε στο τέλος να τις παραστήσουµε γραφικά, µε τη συνάρτηση ListPlot Έτσι, µπορούµε να έχουµε και µια εικόνα της σύγκλισης της µεθόδου: In[76]:= =5; new=-f[]/fd[]; Print[new]; err=abs[-new]; errors={err}; While[err>=0^(-6), =new;new=-f[]/fd[]; Print[new];err=Abs[-new]; errors=append[errors,err]]; ListPlot[errors] Out[76]=-Graphics

10 Η εντολή errors=append[errors,err] προσθέτει το στοιχείο err στη λίστα errors Επειδή οι διαφορές γρήγορα γίνονται πολύ µικρές, η γραφική τους αναπαράσταση θα γινόταν πιο ευανάγνωστη αν αντί των διαφορών παραστούσαµε γραφικά πχ τις ποσότητες log οκιµάστε το (µε τη συνάρτηση Log) 0 n n Με την on-line βοήθεια (Help) του Mathematica, δείτε πώς λειτουργούν και πώς χρησιµοποιούνται οι συναρτήσεις FiedPoint, FiedPointList, NestWhile, NestWhileList, και FindRoot Εφαρµόστε τις στην παραπάνω µη-γραµµική εξίσωση Συγκρίνετε τα αποτελέσµατά τους µε τα αποτελέσµατα που πήρατε παραπάνω 3 Βρείτε όλες τις λύσεις της εξίσωσης 5cos = 4, µε τη βοήθεια της συνάρτησης FindRoot 3 Χρησιµοποιείστε το πρόγραµµα που γράψατε παραπάνω για τη µέθοδο Newton- 3 Raphson για να βρείτε τη ρίζα του πολυωνύµου f ( ) = + 3 κοντά στο -9 Σταµατήστε την επανάληψη όταν η σχετική διαφορά n n γίνει µικρότερη του 0 4 Παραστήστε γραφικά την ακολουθία των σχετικών διαφορών Για επίλυση αλγεβρικών εξισώσεων όπως η παραπάνω, το Mathematica διαθέτει έτοιµη συνάρτηση, τη Solve Εφαρµόστε την στο πρόβληµα αυτό: Solve[f[]==0,] 3 4 Επαναλάβετε για την εξίσωση = 0 στο διάστηµα [,], µε αρχική εκτίµηση 5 5 Με τη συνάρτηση Solve βρείτε τις ιδιοτιµές του παραπάνω πίνακα Α ως ρίζες του χαρακτηριστικού του πολυωνύµου 5 Σύνθετες Εντολές Υποµονάδες (Blocks) Το Block ή Module παρέχει τη δυνατότητα στον προγραµµατιστή να ορίσει τα δικά του υπο-προγράµµατα Αυτό που δεν πρέπει να ξεχνάµε όταν γράφουµε Block ή Module είναι να παραθέτουµε στην αρχή του τη λίστα των τοπικών µεταβλητών, αυτών δηλαδή που θα χρησιµοποιηθούν στο υπο-πρόγραµµα εκτός από τις παραµέτρους του Ένα απλό και ταυτόχρονα ενδιαφέρον και χρήσιµο παράδειγµα είναι αυτό της µεθόδου Newton-Raphson Στα προηγούµενα είδαµε ότι κάθε φορά που θέλουµε να ξεκινήσουµε από µια διαφορετική αρχική προσέγγιση ή/και να αλλάξουµε τον αριθµό των επαναλήψεων, θα πρέπει να διορθώνουµε τον αντίστοιχο κώδικα Ένας πιο εύχρηστος αλλά και πιο ολοκληρωµένος τρόπος είναι να κάνουµε αυτές τις ποσότητες παραµέτρους σ ένα υποπρόγραµµα: In[85}:= NR[f_,0_,TOL_]:=Module[{=0,new,err,errors,z_}, fd[z_]=f [z]; new=-f[]/fd[];print[new]; err=abs[-new];errors={err}; (* repeat while error is not less than TOL *) While[err>=TOL, =new; new=-f[]/fd[]; Print[new]; err=abs[-new]; errors=append[errors,err] n 0

11 ] ListPlot[errors] (* plot error sequence) ] Παρατηρείστε ότι το υποπρόγραµµα ορίζεται κι αυτό όπως µια συνάρτηση (εδώ µε όνοµα NR) αλλά αντί του = χρησιµοποιούµε το:= Αυτός είναι ο ορισµός συνάρτησης µε αναβολή, που σηµαίνει ότι η συνάρτηση δεν ορίζεται άµεσα αλλά η ακριβής λειτουργία της θα γίνει σαφής µόλις πάρουν τιµές οι παράµετροι f,0,tol Για παράδειγµα, δεν µπορεί να είναι γνωστό πόσες επαναλήψεις θα εκτελεστούν πριν αρχίσει να εκτελείται το υποπρόγραµµα Το δεύτερο που αξίζει να παρατηρήσουµε είναι ότι, όπως όλες οι γλώσσες προγραµµατισµού, έτσι και το Mathematica παρέχει τη δυνατότητα εισαγωγής σχολιασµού (ανάµεσα στα (* *)) στο πρόγραµµα Για να βρούµε την ίδια προσέγγιση της ρίζας όπως παραπάνω, θα πρέπει να καλέσουµε το υποπρόγραµµα ως εξής: In[86]:=NR[f,5,0^(-6)] Πλέον έχουµε τη δυνατότητα να εκτελούµε τη διαδικασία Newton-Raphson για οποιαδήποτε συνάρτηση, µε οποιαδήποτε αρχική προσέγγιση, και µε οποιαδήποτε επιθυµητή ακρίβεια, χωρίς να είµαστε υποχρεωµένοι να επεµβαίνουµε στις εντολές Έτσι, αν πχ επιθυµούµε ακρίβεια 0 8, αρκεί να καλέσουµε το υποπρόγραµµα ως In[87]:=NR[f,5,0^(-8)] Ας σηµειώσουµε επίσης ότι ένα υποπρόγραµµα µπορούµε να το αποθηκεύσουµε σε ένα ξεχωριστό αρχείο (notebook) ώστε να είµαστε σε θέση, όποτε το επιθυµούµε, να το ενεργοποιήσουµε (ώστε να µπορούµε να το καλέσουµε) Για παράδειγµα, αποθηκεύοντας το παραπάνω πρόγραµµα στο αρχείο NRm, µπορούµε αργότερα να το καλέσουµε αφού πρώτα το ενεργοποιήσουµε µε In[86]:=<<NRm Τροποποιήστε το υποπρόγραµµα NR ώστε το κριτήριο τερµατισµού να βασίζεται στη σχετική διαφορά των διαδοχικών προσεγγίσεων αντί της απόλυτης διαφοράς όπως παραπάνω οκιµάστε το στο παραπάνω παράδειγµα Γράψτε υποπρόγραµµα (ονοµάστε το FP) που να υλοποιεί τη µέθοδο σταθερού σηµείου, για δοσµένη συνάρτηση g, αρχική τιµή 0, και επιθυµητή ακρίβεια οκιµάστε το στο παραπάνω παράδειγµα (µε g ( ) = ln( + ) ) Συγκρίνετε τα αποτελέσµατα µε αυτά του NR 3 Με τη βοήθεια του on-line Help, δείτε τις συναρτήσεις Solve και NSolve για επίλυση (ακριβή και αριθµητική, αντίστοιχα) συστηµάτων µη-γραµµικών αλγεβρικών = 0, εξισώσεων οκιµάστε τις στο σύστηµα = 0 4 Με τη συνάρτηση FindRoot βρείτε τη λύση του συστήµατος εξισώσεων e + ln y =, sin + cos y = κοντά στο (,) 5 Γράψτε υποπρόγραµµα (µε όνοµα PowerMethod) που να υλοποιεί τη βελτιωµένη µέθοδο των δυνάµεων για δοσµένο πίνακα και αρχικό διάνυσµα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011.

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Να διατηρηθεί µέχρι... Βαθµός Ασφαλείας...

Διαβάστε περισσότερα

3. Η µερική παράγωγος

3. Η µερική παράγωγος 1 Κ Χριστοδουλίδης: Μαθηµατικό Συµπλήρωµα για τα Εισαγωγικά Μαθήµατα Φυσικής 1 Μερική παραγώγιση παράγωγος µιας συνάρτησης µερική παράγωγος ( ( µιας µεταβλητής ορίζεται ως d d ( ( (1 Για συναρτήσεις δύο

Διαβάστε περισσότερα

προγραµµατίζοντας τον υπολογιστή

προγραµµατίζοντας τον υπολογιστή προγραµµατίζοντας τον υπολογιστή Οι εφαρµογές λογισµικού που µέχρι τώρα γνωρίσαµε, µας δίνουν τη δυνατότητα να εκτελέσουµε ένα συγκεκριµένο είδος εργασιών. Έτσι η Ζωγραφική µας προσφέρει τα κατάλληλα εργαλεία

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton.

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. (2 μονάδες) Δίνονται τα σημεία (-2, -16), (-1, -3), (0, 0), (1, -1) και (2, 0). Υπολογίστε το πολυώνυμο παρεμβολής Newton. ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΑΚΑΔ. ΕΤΟΣ - Τ. Ε. Ι. Σ Ε Ρ Ρ Ω Ν Σέρρες, 9 Ιανουαρίου ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Ομάδα Α ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΜΑ ον (+ μονάδες) Δίνεται ο πρόβολος, με μήκος = m, με κατανεμημένο φορτίο που

Διαβάστε περισσότερα

7.5 ΑΡΑΙΕΣ ΜΗΤΡΕΣ 290 7.5.1 Κατασκευή αραιών µητρών... 290 7.5.2 Πράξεις και συναρτήσεις αραιών µητρών... 294 7.5.3 Συναρτήσεις για γραφήµατα...

7.5 ΑΡΑΙΕΣ ΜΗΤΡΕΣ 290 7.5.1 Κατασκευή αραιών µητρών... 290 7.5.2 Πράξεις και συναρτήσεις αραιών µητρών... 294 7.5.3 Συναρτήσεις για γραφήµατα... Κ. Π Α Π Α Ρ Ρ Ι Ζ Ο Σ M A T L A B 6. 5 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ............. v Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Λ Ε Ι Τ Ο Υ Ρ Γ Ι Ε Σ Τ Ο Υ M A T L A B 1 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ιαχείριση Πληροφοριών στο ιαδίκτυο

ιαχείριση Πληροφοριών στο ιαδίκτυο ιαχείριση Πληροφοριών στο ιαδίκτυο Εργαστήριο (Φυλλάδιο 8) ΤΕΙ Καβάλας - Σχολή ιοίκησης & Οικονοµίας Τµήµα ιαχείρισης Πληροφοριών ιδάσκων: Μαρδύρης Βασίλειος, ιπλ. Ηλ. Μηχανικός & Μηχ. Υπολογιστών, MSc

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 3: Προγραμματιστικά Περιβάλλοντα και το Πρώτο Πρόγραμμα C

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 3: Προγραμματιστικά Περιβάλλοντα και το Πρώτο Πρόγραμμα C ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 3: Προγραμματιστικά Περιβάλλοντα και το Πρώτο Πρόγραμμα C Στο εργαστήριο αυτό, θα ασχοληθούμε με δύο προγραμματιστικά περιβάλλοντα για τη γλώσσα C: τον gcc μεταγλωττιστή της C σε περιβάλλον

Διαβάστε περισσότερα

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a

ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Παρουσίαση εργασίας φοιτητή (x,a) 1) (xy)a=x(ya) x,y G και a A 1) a(xy)=(ax)y 2) ae=a ικτυωτά διαγράµµατα και οµάδες αυτοµορφισµών Ν. Λυγερός Παρουσίαση εργασίας φοιτητή Θα µιλήσουµε για το θεώρηµα του Lagrange. Αλλά προτού φτάσουµε εκεί, θα ήθελα να εισάγω ορισµένες έννοιες που θα µας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο 6ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο. Δομημένος Προγραμματισμός - Γενικές Ασκήσεις Επανάληψης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο 6ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο. Δομημένος Προγραμματισμός - Γενικές Ασκήσεις Επανάληψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο 1. Συμπληρώστε τα κενά με τη λέξη που λείπει. α. Ένα πρόβλημα το χωρίζουμε σε άλλα απλούστερα, όταν είναι ή όταν έχει τρόπο επίλυσης. β. Η επίλυση ενός προβλήματος προϋποθέτει την του. γ.

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ

Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Πληρουορική Γ Γσμμασίοσ Προγραμματισμός και Αλγόριθμοι Από το και τημ Χελώμα στημ Ευριπίδης Βραχνός http://evripides.mysch.gr/ 2014 2015 1 Προγραμματισμός Ζάννειο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Πειραιά Ενότητα:

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 1.3-1.4: Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό ( ιάλεξη 2) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Περιεχόµενα Εισαγωγικές Έννοιες - Ορισµοί Ο κύκλος ανάπτυξης προγράµµατος Παραδείγµατα Πότε χρησιµοποιούµε υπολογιστή?

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client

Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client ΕΣΔ 516 Τεχνολογίες Διαδικτύου Δυναμικές Ιστοσελίδες Εισαγωγή στην Javascript για προγραμματισμό στην πλευρά του client Περιεχόμενα Περιεχόμενα Javascript και HTML Βασική σύνταξη Μεταβλητές Τελεστές Συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. Óõíåéñìüò ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ. Óõíåéñìüò ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ 1 ΘΕΜΑ 1 o Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Να γράψετε στην κόλλα σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω προτάσεις 1 5 και δίπλα τη λέξη

Διαβάστε περισσότερα

Προγραµµατισµός Η/Υ. Δρ. Δ.Ν. Παγώνης. Καθηγητής Εφαρµογών. Τηλ: 210-5385340 email: D.N.Pagonis@teiath.gr. Τµήµα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ, ΤΕΙ Αθήνας

Προγραµµατισµός Η/Υ. Δρ. Δ.Ν. Παγώνης. Καθηγητής Εφαρµογών. Τηλ: 210-5385340 email: D.N.Pagonis@teiath.gr. Τµήµα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ, ΤΕΙ Αθήνας Περίγραµµα µαθήµατος Δρ. Δ.Ν. Παγώνης Καθηγητής Εφαρµογών Τηλ: 210-5385340 email: D.N.Pagonis@teiath.gr Τµήµα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ, ΤΕΙ Αθήνας Στοιχεία µαθήµατος Τίτλος µαθήµατος ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Κωδικός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας

ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

2.7.4 Πως οι εικόνες καταγράφονται στο γεωγραφικό χώρο

2.7.4 Πως οι εικόνες καταγράφονται στο γεωγραφικό χώρο 2.7.3 Γεωαναφορά raster αρχείου Τα φηφιδωτά (raster) δεδοµένα προέρχονται κυρίως από σαρωµένους χάρτες, αεροφωτογραφίες και δορυφορικές εικόνες. Οι σαρωµένοι χάρτες δεν περιέχουν καµία πληροφορία συντεταγµένων,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ

ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. της f : A. Rούτε εύκολη είναι ούτε πάντοτε δυνατή. Για τις συναρτήσεις f (x) = x ηµ x και ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω fµια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το Α. Το σύνολο των τιµών της είναι f( A) { R = υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A : f () = }. Ο προσδιορισµός του συνόλου τιµών f( A) της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΒΑΣΕΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΤΕΤΑΡΤΟ Insert, Update, Delete, Ένωση πινάκων Γιώργος Μαρκοµανώλης Περιεχόµενα Group By... 1 Having...1 Οrder By... 2 Εντολή Insert...

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Χρήση της Εφαρµογής Compaq Visual Fortran & του Microsoft Developer Studio

Εισαγωγή στη Χρήση της Εφαρµογής Compaq Visual Fortran & του Microsoft Developer Studio Εισαγωγή στη Χρήση της Εφαρµογής Compaq Visual Fortran & του Microsoft Developer Studio Το κείµενο που ακολουθεί είναι ένας σύντοµος οδηγός στο περιβάλλον προγραµµατισµού της γλώσσας Fortran, για τις ανάγκες

Διαβάστε περισσότερα

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44.

11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44. ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ Η καταµετρηση ενος συνολου µε πεπερασµενα στοιχεια ειναι ισως η πιο παλια µαθηµατικη ασχολια του ανθρωπου. Θα µαθουµε πως, δεδοµενης της περιγραφης ενος συνολου, να µπορουµε να ϐρουµε

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού

Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Ανάπτυξη και Σχεδίαση Λογισμικού Η γλώσσα προγραμματισμού C Γεώργιος Δημητρίου Εκφράσεις και Λίγες Εντολές Οι εκφράσεις της C Τελεστές Απλές και σύνθετες εντολές Εντολές ελέγχου (επιλογής) Εισαγωγή σε

Διαβάστε περισσότερα

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές

Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Το πακέτο ΕXCEL: Oικονομικές και Mαθηματικές Eφαρμογές Eπιμέλεια των σημειώσεων και διδασκαλία: Ευαγγελία Χαλιώτη* Θέματα ανάλυσης: - Συναρτήσεις / Γραφικές απεικονίσεις - Πράξεις πινάκων - Συστήματα εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Δομημένος Προγραμματισμός (C#) Τμήμα Μηχανολογίας Νικόλαος Ζ. Ζάχαρης Καθηγητής Εφαρμογών

Εργαστήριο Δομημένος Προγραμματισμός (C#) Τμήμα Μηχανολογίας Νικόλαος Ζ. Ζάχαρης Καθηγητής Εφαρμογών Εργαστήριο Δομημένος Προγραμματισμός (C#) Τμήμα Μηχανολογίας Νικόλαος Ζ. Ζάχαρης Καθηγητής Εφαρμογών Σκοπός Να αναπτύξουν ένα πρόγραμμα όπου θα επαναλάβουν τα βήματα ανάπτυξης μιας παραθυρικής εφαρμογής.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Τρισδιάστατες κινήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ Τρισδιάστατες κινήσεις Οι µονοδιάστατες κινήσεις είναι εύκολες αλλά ζούµε σε τρισδιάστατο χώρο Θα δούµε λοιπόν τώρα πως θα αντιµετωπίζοµε την κίνηση υλικού σηµείου στις τρεις διαστάσεις Ας θεωρήσοµε

Διαβάστε περισσότερα

γλώσσα προγραµµατισµού Logo

γλώσσα προγραµµατισµού Logo γλώσσα προγραµµατισµού Logo προγράµµατα στη Logo Μέχρι τώρα είδαµε ότι για τη δηµιουργία ενός σχήµατος πληκτρολογούµε στο πλαίσιο εισαγωγής του Παραθύρου Εντολών µια σειρά από κατάλληλες εντολές. Στη συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ

2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 7 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ και ΔΟΜΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΣ 2.1 Να δοθεί ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΦΥΛΛΟΥ EXCEL

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΦΥΛΛΟΥ EXCEL ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΥ ΦΥΛΛΟΥ EXCEL Περιεχόµενα Εισαγωγή στο Υπολογιστικό Φύλλο Excel...1 Αρχικά...1 Βασικές έννοιες...3 ηµιουργία νέου Βιβλίου εργασίας...4 1. ηµιουργία νέου βιβλίο εργασίας...5

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Θεωρητική εισαγωγή

1.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ NOT, AND, NAND Σκοπός: Να εξοικειωθούν οι φοιτητές µε τα ολοκληρωµένα κυκλώµατα της σειράς 7400 για τη σχεδίαση και υλοποίηση απλών λογικών συναρτήσεων.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ)

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΑΚΡΙΒΕΙΑΣ (ΚΒΑΝΤΙΣΜΟΥ) 0. Εισαγωγή Τα αποτελέσµατα πεπερασµένης ακρίβειας οφείλονται στα λάθη που προέρχονται από την παράσταση των αριθµών µε µια πεπερασµένη ακρίβεια. Τα αποτελέσµατα

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΟΠΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΕ ΠAΡΑΘΥΡΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ με τη Γλώσσα Προγραμματισμού VISUAL BASIC (1 ο ΕΠΙΠΕΔΟ)

ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΟΠΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΣΕ ΠAΡΑΘΥΡΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ με τη Γλώσσα Προγραμματισμού VISUAL BASIC (1 ο ΕΠΙΠΕΔΟ) Γενικός Σκοπός Το αναλυτικό πρόγραμμα έχει ως γενικό σκοπό να δώσει στους μαθητές τις απαιτούμενες γνωστικές, κριτικές και αναλυτικές δεξιότητες ώστε να είναι ικανοί να χρησιμοποιούν τους υπολογιστές για

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ / Γ ΕΠΑΛ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 27/01/2013

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ / Γ ΕΠΑΛ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 27/01/2013 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ / Γ ΕΠΑΛ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 27/01/2013 ΘΕΜΑ Α Α1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access

Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access Μάθηµα 1 Εισαγωγή στις Βάσεις εδοµένων και την Access Τι είναι οι βάσεις δεδοµένων Μία βάση δεδοµένων (Β..) είναι µία οργανωµένη συλλογή πληροφοριών, οι οποίες είναι αποθηκευµένες σε κάποιο αποθηκευτικό

Διαβάστε περισσότερα

internet είναι το δίκτυο των υπολογιστών που είναι συνδεδεµένοι µεταξύ τους.

internet είναι το δίκτυο των υπολογιστών που είναι συνδεδεµένοι µεταξύ τους. Πριν ξεκινήσουµε την περιγραφή του προγράµµατος καλό θα ήταν να αναφερθούµε στον ορισµό κάποιων εννοιών για τις οποίες θα γίνεται λόγος στο κεφάλαιο αυτό. Πρώτα από όλα πρέπει να καταλάβουµε την διαφορά

Διαβάστε περισσότερα

Outlook Express-User Instructions.doc 1

Outlook Express-User Instructions.doc 1 Οδηγίες προς τους υπαλλήλους του ήµου Θεσσαλονίκης για την διαχείριση της ηλεκτρονικής τους αλληλογραφίας µε το Outlook Express (Ver 1.0 22-3-2011) (Για οποιοδήποτε πρόβληµα ή απορία επικοινωνήστε µε τον

Διαβάστε περισσότερα

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ

3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ 1 3.2 3.3 3.4 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΚΑ ΙΚΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΜΕ ΚΟΜΠΙΟΥΤΕΡΑΚΙ ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση αφαίρεση δεκαδικών Γίνονται όπως και στους φυσικούς αριθµούς. Προσθέτουµε ή αφαιρούµε τα ψηφία

Διαβάστε περισσότερα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα

Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Α. 1. Μετρήσεις και Σφάλµατα Κάθε πειραµατική µέτρηση υπόκειται σε πειραµατικά σφάλµατα. Με τον όρο αυτό δεν εννοούµε λάθη τα οποία γίνονται κατά την εκτέλεση του πειράµατος ή τη λήψη των µετρήσεων, τα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ http://edu.klimaka.gr ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ

Ανακτήθηκε από την ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗ ΚΛΙΜΑΚΑ http://edu.klimaka.gr ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 7 ΙΟΥΝΙΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΟΜΗΜΕΝΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

γράφοντας µε τον υπολογιστή

γράφοντας µε τον υπολογιστή Γνωριµία µε τους υπολογιστές γράφοντας µε τον υπολογιστή Από τις εργασίες που µπορούµε να κάνουµε µε τον υπολογιστή είναι να δηµιουργούµε έγγραφα τα οποία µπορεί να περιέχουν κείµενα και εικόνες. Για να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND)

ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND) ΕΝΟΤΗΤΑ 9 ΕΝΩΣΗ ΞΕΝΩΝ ΣΥΝΟΛΩΝ ( ΟΜΕΣ UNION-FIND) Ένωση Ξένων Συνόλων (Disjoint Sets with Union) S 1,, S k : ξένα υποσύνολα ενός συνόλου U δηλ., S i S j =, αν i j, και S 1 S k = U. Λειτουργίες που θέλουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων;

ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ. φυσικό σύστηµα; Πρόκειται για κίνηση σε συντηρητικό πεδίο δυνάµεων; ΠΟΤΕ ΙΣΧΥΕΙ Η ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΔΡΑΣΕΩΣ Είδαµε ότι η φυσική κίνηση ενός σωµατιδίου σε συντηρητικό πεδίο ικανοποιεί την αρχή ελάχιστης δράσης του Hamilton µε Λαγκρανζιανή, όπου η κινητική ενέργεια του

Διαβάστε περισσότερα

Λογικά Διανύσματα. >>x = -3/2*pi : pi/100 : 3/2*pi; >>y = tan(x); >>plot(x, y)

Λογικά Διανύσματα. >>x = -3/2*pi : pi/100 : 3/2*pi; >>y = tan(x); >>plot(x, y) Λογικά Διανύσματα Τα λογικά διανύσματα του Matlab είναι πολύ χρήσιμα εργαλεία. Για παράδειγμα ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να κάνουμε την γραφική παράσταση της tan(x) στο διάστημα από -3π/2 μέχρι 3π/2. >>x

Διαβάστε περισσότερα

του και από αυτόν επιλέγουµε το φάκελο εµφανίζεται ένα παράθυρο παρόµοιο µε το ακόλουθο:

του και από αυτόν επιλέγουµε το φάκελο εµφανίζεται ένα παράθυρο παρόµοιο µε το ακόλουθο: διαχείριση αρχείων Οι περισσότερες εφαρµογές των Windows είναι προγραµµατισµένες, από τον κατασκευαστή τους, να προτείνουν ως περιοχή αποθήκευσης των εργασιών το φάκελο «Τα έγγραφά µου», που δηµιουργείται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Η σύνταξη μιας συνάρτησης σ ένα κελί έχει την γενική μορφή: =όνομα_συνάρτησης(όρισμα1; όρισμα2;.) ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση είναι ένας έτοιμος τύπος ο οποίος δέχεται σαν είσοδο τιμές ή συνθήκες και επιστρέφει ένα αποτέλεσμα, το οποίο μπορεί να είναι μια τιμή αριθμητική, αλφαριθμητική, λογική, ημερομηνίας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΜΜΑΤΑ ΣΕ C. Γράψτε σε γλώσσα προγραμματισμού C τη συνάρτηση:

ΠΡΟΓΡΜΜΑΤΑ ΣΕ C. Γράψτε σε γλώσσα προγραμματισμού C τη συνάρτηση: ΠΡΟΓΡΜΜΑΤΑ ΣΕ C Γράψτε σε γλώσσα προγραμματισμού C τη συνάρτηση: int b_to_d(int dyad[16]) που δέχεται ως είσοδο έναν θετικό ακέραιο δυαδικό αριθμό με τη μορφή πίνακα δυαδικών ψηφίων και επιστρέφει τον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ C

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ C ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΓΛΩΣΣΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ C Ιανουάριος 2013 Τι είναι ένα πρόγραμμα; Πρόγραμμα είναι μία σειρά από οδηγίες που δίνουμε στον υπολογιστή προκειμένου αυτός να κάνει κάποια συγκεκριμένη εργασία Πώς

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.6: Είσοδος / Έξοδος εδοµένων, Μορφοποίηση εδοµένων Εξόδου. ( ιάλεξη 7) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

Κεφάλαιο 2.6: Είσοδος / Έξοδος εδοµένων, Μορφοποίηση εδοµένων Εξόδου. ( ιάλεξη 7) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 2.6: Είσοδος / Έξοδος εδοµένων, Μορφοποίηση εδοµένων Εξόδου ( ιάλεξη 7) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ 1 Είσοδος/ Έξοδος Σε σχεδόν όλα τα προγράµµατα πρέπει να πάρουµε κάποια δεδοµένα και να δώσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας

Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Σηµειώσεις Γραµµικής Άλγεβρας Κεφάλαιο Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων και Πίνακες Εισαγωγή στα Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων Η µελέτη των συστηµάτων γραµµικών εξισώσεων και των λύσεών τους είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

To SIMULINK του Matlab

To SIMULINK του Matlab ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΧΗΜΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Β ΧΗΜΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΘ. Κ. ΚΥΠΑΡΙΣΣΙΔΗΣ, ΛΕΚΤΟΡΑΣ Χ. ΧΑΤΖΗΔΟΥΚΑΣ Τ.Θ. 472 54 124 ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Μάθημα: ΡΥΘΜΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ακαδ.

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση. Κεφάλαιο 3. Αριθµητική για υπολογιστές

Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση. Κεφάλαιο 3. Αριθµητική για υπολογιστές Οργάνωση και Σχεδίαση Υπολογιστών Η ιασύνδεση Υλικού και Λογισµικού, 4 η έκδοση Κεφάλαιο 3 Αριθµητική για υπολογιστές Ασκήσεις Η αρίθµηση των ασκήσεων είναι από την 4 η έκδοση του «Οργάνωση και Σχεδίαση

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος

Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Προσδιορισµός της φασµατικής ισχύος ενός σήµατος Το φάσµα ενός χρονικά εξαρτώµενου σήµατος µας πληροφορεί πόσο σήµα έχουµε σε µία δεδοµένη συχνότητα. Έστω µία συνάρτηση µίας µεταβλητής, τότε από το θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3.6. ιαµόρφωση φύλλου εργασίας. Προεπισκόπηση Εκτύπωση. Ειδικοί Στόχοι

Ενότητα 3.6. ιαµόρφωση φύλλου εργασίας. Προεπισκόπηση Εκτύπωση. Ειδικοί Στόχοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 : Υπολογιστικά Φύλλα ιαµόρφωση Φ.Ε. Προεπισκόπηση - Εκτύπωση Ενότητα 3.6 ιαµόρφωση φύλλου εργασίας. Προεπισκόπηση Εκτύπωση Ειδικοί Στόχοι Οι επιµορφούµενοι πρέπει: Να µπορούν να εισάγουν αρίθµηση

Διαβάστε περισσότερα

= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα

= (1, 0,1, 0) είναι γραµµικά ανεξάρτητα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Θέµα α) (µ) Θεωρούµε ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουλίου 3 (διάρκεια: 3 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ.

ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. ΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΛΩΘΟΕΙ ΟΥΣ, Ι ΙΑΙΤΕΡΑ ΣΕ ΜΗ ΤΥΠΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Ν. Ε. Ηλιού Επίκουρος Καθηγητής Τµήµατος Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας Γ.. Καλιαµπέτσος Επιστηµονικός

Διαβάστε περισσότερα

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss 4.2 Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Θεωρούµε το γραµµικό σύστηµα α 11χ 1 + α 12χ 2 +... + α 1νχ ν = β 1 α 21χ 1 + α 22χ2 +... + α 2νχ ν = β 2... α ν1χ 1 + α ν2χ 2 +... + α ννχ ν = β ν Το οποίο µπορεί να γραφεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 5 η Η σειριακή επικοινωνία ΙΙ 1.1 ΣΚΟΠΟΣ Σκοπός της άσκησης αυτής είναι η κατανόηση σε βάθος των λειτουργιών που παρέχονται από το περιβάλλον LabView για τον χειρισµό της σειριακής επικοινωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Καµπύλες Bézier και Geogebra

Καµπύλες Bézier και Geogebra Καµπύλες Bézier και Geogebra Κόλλιας Σταύρος Ένα από τα προβλήµατα στη σχεδίαση δυσδιάστατων εικόνων στα προγράµµατα γραφικών των υπολογιστών είναι η δηµιουργία οµαλών καµπυλών. Η λύση στο πρόβληµα αυτό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ

Κεφάλαιο 9 ο Κ 5, 4 4, 5 0, 0 0,0 5, 4 4, 5. Όπως βλέπουµε το παίγνιο δεν έχει καµιά ισορροπία κατά Nash σε αµιγείς στρατηγικές διότι: (ΙΙ) Α Κ Κεφάλαιο ο Μεικτές Στρατηγικές Τώρα θα δούµε ένα παράδειγµα στο οποίο κάθε παίχτης έχει τρεις στρατηγικές. Αυτό θα µπορούσε να είναι η µορφή που παίρνει κάποιος µετά που έχει απαλείψει όλες τις αυστηρά

Διαβάστε περισσότερα

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο:

Γρήγορη Εκκίνηση. Όταν ξεκινήσετε το GeoGebra, εμφανίζεται το παρακάτω παράθυρο: Τι είναι το GeoGebra; Γρήγορη Εκκίνηση Λογισμικό Δυναμικών Μαθηματικών σε ένα - απλό στη χρήση - πακέτο Για την εκμάθηση και τη διδασκαλία σε όλα τα επίπεδα της εκπαίδευσης Συνδυάζει διαδραστικά γεωμετρία,

Διαβάστε περισσότερα

η σύνθεση ενός υπολογιστή

η σύνθεση ενός υπολογιστή ιδακτικό υλικό µαθητή η σύνθεση ενός υπολογιστή Αν παρατηρήσουµε έναν υπολογιστή βλέπουµε ότι αποτελείται από τα ακόλουθα µέρη: Οθόνη Μονάδα συστήµατος Ποντίκι Πληκτρολόγιο τη µονάδα συστήµατος, όπου βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Με το σχεδιασµό επιφάνειας (Custom επιφάνεια) µπορούµε να σχεδιάσουµε επιφάνειες και αντικείµενα που δεν υπάρχουν στους καταλόγους του 1992. Τι µπορούµε να κάνουµε µε το σχεδιασµό

Διαβάστε περισσότερα

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX

(GNU-Linux, FreeBSD, MacOsX, QNX 1.7 διαταξεις (σελ. 17) Παράδειγµα 1 Θα πρέπει να κάνουµε σαφές ότι η επιλογή των λέξεων «προηγείται» και «έπεται» δεν έγινε απλώς για λόγους αφαίρεσης. Μπορούµε δηλαδή να ϐρούµε διάφορα παραδείγµατα στα

Διαβάστε περισσότερα

O πύραυλος. Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δύναμη Μορφές Ενέργειας) - Τεχνολογία Τάξη: Β Γυμνασίου

O πύραυλος. Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δύναμη Μορφές Ενέργειας) - Τεχνολογία Τάξη: Β Γυμνασίου O πύραυλος Γνωστικό Αντικείμενο: Φυσική (Δύναμη Μορφές Ενέργειας) - Τεχνολογία Τάξη: Β Γυμνασίου Χρονική Διάρκεια Προτεινόμενη χρονική διάρκεια σχεδίου εργασίας: 5 διδακτικές ώρες Διδακτικοί Στόχοι Οι

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo;

Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo; Κεφάλαιο 2 Εισαγωγή Πώς μπορούμε να δημιουργούμε γεωμετρικά σχέδια με τη Logo; Η Logo είναι μία από τις πολλές γλώσσες προγραμματισμού. Κάθε γλώσσα προγραμματισμού έχει σκοπό τη δημιουργία προγραμμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ... 11. Κεφάλαιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: BΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 29

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ... 11. Κεφάλαιο 2 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: BΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ... 29 Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα βελτιστοποίησης Γραμμικά προγράμματα Ακέραια προγράμματα Τετραγωνικά προγράμματα Διατύπωση προβλήματος Σύμβαση λύσης Κεφάλαιο ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Έκδοση 1 η. Σταύρος Κόλλιας

Έκδοση 1 η. Σταύρος Κόλλιας Έκδοση 1 η Σταύρος Κόλλιας Το βιβλίο αυτό γράφτηκε στο πλαίσιο μιας ενημέρωσης, για το Geogebra, που οργάνωσε το παράρτημα της μαθηματικής εταιρείας του νομού Κορινθίας, στους συνάδελφους μαθηματικούς.

Διαβάστε περισσότερα

MESSAGE EDITOR FOR WINDOWS Ο ΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΕΩΣ

MESSAGE EDITOR FOR WINDOWS Ο ΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΕΩΣ MESSAGE EDITOR FOR WINDOWS Ο ΗΓΙΕΣ ΧΡΗΣΕΩΣ Εγκατάσταση και λειτουργία message editor: Αρχικά τοποθετούµε το cd στον υπολογιστή και εµφανίζεται η οθόνη εγκατάστασης Στην περίπτωση που δεν εµφανιστεί αυτόµατα

Διαβάστε περισσότερα