ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ

Transcript

1 ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΙΩ ΔΑΡΑ ΕΠΙΚΟΥΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗ ΣΤΡΑΤΙΩΤΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΕΥΕΛΠΙΔΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΤΟΜΟΣ ος ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΙΔΙΟΤΙΜΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 7

2 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

3 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ου ΤΟΜΟΥ Πρόογος 7 Κεφάαιο Ι Άγεβρα Πινάκων Ι Βασικοί Ορισμοί ΙΙ Ο Διανυσματικός Χώρος C ΙI Γραμμικές Απεικονίσεις 3 ΙΙ3 Πίνακες 4 Ι Πράεις Μεταύ Πινάκων 7 Ι Πρόσθεση 8 Ι Αριθμητικός Ποαπασιασμός Ι3 Γινόμενο δύο Πινάκων Ι4 Ειδικές Περιπτώσεις Γινομένων 4 Ι5 Πίνακες που προκύπτουν από δοθέντα 7 Ι3 Αντιστροφή Πινάκων 9 Ι3 Γραμμική Ανεαρτησία Διανυσμάτων 9 Ι3 Βάσεις και Διάσταση 3 Ι33 Ευκείδειοι Χώροι και Ορθογώνια Διανύσματα 33 Ι34 Ορθογωνοποίηση Schmdt 4 Ι35 Αντιστροφή Γραμμικής Απεικόνισης 43 Ι36 Αντίστροφος Πίνακας 47 Ι37 Ααγή Βάσης 5 Ι4 Συστήματα Γραμμικών Εισώσεων 54 Ι4 Ορίζουσες 54 Ι4 Συστήματα Crmer 55 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 3

4 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ I5 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 58 Ι5 Ορισμοί 58 Ι5 Ιδιότητες 6 Ι53 Η Μορφή Jord 68 Ι54 Το Θεώρημα Schr 69 Ι55 Εντοπισμός των Ιδιοτιμών 74 Ι6 Διάσπαση Πίνακα 79 Ι6 Διάσπαση Gss 79 Ι6 Διάσπαση Cholesy 8 Ι63 Διάσπαση Hoseholder 83 Κεφάαιο II 85 Αριθμητικός Υποογισμός Ιδιοτιμών ΙΙ Η Μέθοδος των Δυνάμεων 85 ΙΙ Επιτάχυνση της Σύγκισης 9 ΙΙ Παρααγές της Μεθόδου των Δυνάμεων 9 ΙΙ H Μέθοδος των Ιχνών 9 ΙΙ H Μέθοδος του Εσωτερικού Γινομένου 93 ΙΙ3 Αναζήτηση των άων Ιδιοτιμών 94 ΙΙ3 H Μέθοδος της Διαφοράς 95 ΙΙ3 H Μέθοδος της Ύφεσης 95 ΙΙ Μέθοδοι Άμεσου Προσδιορισμού του Χαρακτηριστικού Πουωνύμου 98 ΙΙ Η Μέθοδος Sor 99 II3 Η Μορφή Hesseberg II3 Η Μέθοδος Ges 3 II3 Η Μέθοδος Hoseholder 6 II4 Οι Μέθοδοι Αναγωγής σε Τριδιαγώνια Μορφή 8 ΙΙ4 Η Μέθοδος Lczos 5 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

5 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ4 Οι Μέθοδοι Ges και Hoseholder 3 II5 Οι Μέθοδοι Διάσπασης 4 ΙΙ5 Η Μέθοδος Jcob 7 ΙΙ5 Η Μέθοδος Greestdt 35 ΙΙ53 Ο Αγόριθμος LR 38 ΙΙ54 Ο Αγόριθμος QR 48 Κεφάαιο IIΙ Αριθμητική Επίυση Αγεβρικών Εισώσεων και Συστημάτων Γραμμικών Αγεβρικών Εισώσεων ΙΙΙ Αριθμητική Λύση Εισώσεων 5 ΙΙΙ Γενικά 5 ΙΙΙ Επαναηπτικές Μέθοδοι για Εισώσεις μίας Μεταβητής 7 ΙΙΙ Η Μέθοδος Newto 7 III Οι Μέθοδοι της Τέμνουσας και της Διχοτόμησης 76 ΙΙΙΟι Μέθοδοι Δ του te και του Steffese 85 IIIΟι Μέθοδοι Ανώτερης Τάης Σύγκισης 94 ΙΙΙ3 Επαναηπτικές Μέθοδοι για Εισώσεις Ποών Μεταβητών 96 ΙΙΙ3 Η Μέθοδος Newto 96 III3 Η Μέθοδος Herc 99 III4 Υποογισμός των Ριζών ενός Πουωνύμου ΙΙΙ4 Η Μέθοδος Newto 6 III4 Η Μέθοδος L 8 III4Η Μέθοδος Beroll 9 III4Η Μέθοδος Brstow III4Η Μέθοδος Hörer 6 III Έννοιες Σύγκισης 7 ΙΙΙ Διανυσματικοί Χώροι με Νόρμα 7 5 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 5

6 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ ΙΙΙ Ανισότητες Hölder 37 ΙΙΙ3 Γεωμετρικές Νόρμες Πινάκων 4 ΙΙΙ4 Νόρμες Τετραγωνικών Πινάκων 4 ΙΙΙ5 Φράγματα για την Φασματική Ακτίνα 46 ΙΙΙ6 Σύγκιση Πινάκων 47 ΙΙΙ3 Οι Άμεσες Μέθοδοι Επίυσης Συστημάτων Γραμμικών Εισώσεων 49 ΙΙΙ3 Οι Μέθοδοι Gss και Cholesy 5 III3 Η Μέθοδος Hoseholder 56 ΙΙΙ4 Οι Επαναηπτικές Μέθοδοι Επίυσης Συστημάτων Γραμμικών Εισώσεων 66 III5 ΙΙΙ4 Γενικά 66 ΙΙΙ4 Πίνακες Παράγοντες και Κυκικοί 68 ΙΙΙ43 Μέθοδοι Χαάρωσης 7 ΙΙΙ44 Διάσπαση Πίνακα 75 ΙΙΙ45 Η Μέθοδος Jcob 76 ΙΙΙ46 Η Μέθοδος Gss Sedel 77 ΙΙΙ47 Σύγκιση των Μεθόδων Jcob και Gss Sedel 78 ΙΙΙ48 Η Μέθοδος Υπερχαάρωσης 83 ΙΙΙ49 Η Θεωρία Yog Frel 87 ΙΙΙ4 Γενικεύσεις 39 Οι Μέθοδοι Προβοής για την Επίυση Συστημάτων Γραμμικών Εισώσεων 344 ΙΙΙ5 Γενικά 344 ΙΙΙ5 Μέθοδοι Προβοής για Συμμετρικά Συστήματα 35 ΙΙΙ53 Γεωμετρική Κατασκευή της Διαδικασίας 358 ΙΙΙ54 Μέθοδος της Βαθύτερης Καθόδου 36 ΙΙΙ55 Μέθοδος της Συζυγούς Διαβάθμισης 365 Βιβιογραφία ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

7 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Βασικός σκοπός των Μαθηματικών υπήρε κατ αρχήν η δημιουργία γενικών Θεωριών ανεάρτητα του κατά πόσο οι σχετικές μέθοδοι ήταν εφαρμόσιμες σε συγκεκριμένα πρακτικά προβήματα έτσι ώστε να παρέχουν σαφή αριθμητικά αποτεέσματα Η έειψη υποογιστικών μέσων αποτέεσε σοβαρό όγο για την καθυστέρηση της τροπής των Μαθηματικών προς μία συστηματική ανάπτυη παράηων και διαφορετικών μεθόδων οι οποίες οδηγούν σε συγκεκριμένα αριθμητικά αποτεέσματα Αυτές οι μέθοδοι απαιτούν πεπερασμένο αά τεράστιο πήθος αριθμητικών πράεων ώστε η ευχερής και μέσα σε ογικά χρονικά παίσια εφαρμογή τους προϋποθέτει την χρήση ταχύτατων υποογιστικών μηχανών Και ακριβώς η κατά τα τεευταία χρόνια αματώδης ανάπτυη των ηεκτρονικών υποογιστών είχε πού ευεργετική επίδραση στην ανακάυψη την επεεργασία και την εφαρμογή τέτοιων μεθόδων Ένα κεντρικό γνωστικό αντικείμενο της Αριθμητικής Ανάυσης έγκειται στην αναζήτηση την δημιουργία και την μεέτη αυτών των μεθόδων των εγόμενων αριθμητικών μεθόδων Τα κριτήρια επιογής της κατάηης αριθμητικής μεθόδου που πρέπει να εφαρμοστεί για την επίυση κάποιου προβήματος δεν είναι πάντοτε απά με συνέπεια αυτή η επιογή να συνιστά ένα από τα δυσκοότερα στάδια της όης διερεύνησης του εκάστοτε ζητήματος Ανεάρτητα από τα όσα προηγήθηκαν πρέπει να σημειωθεί ότι η εννοιοογική δυναμική και οι συνεχώς επεκτεινόμενες δυνατότητες της Αριθμητικής Ανάυσης δίνουν διεόδους και θεωρητικές προσεγγίσεις σε ποά μαθηματικά ερωτήματα που είναι άγνωστο ή και ανέφικτο αν και πώς μπορούν να απαντηθούν με μεθόδους της κασσικής Μαθηματικής Ανάυσης Για παράδειγμα είναι γνωστό ότι δεν μπορούμε να υποογίσουμε κάποια οοκηρώματα ποών συναρτήσεων ή ύσεις ορισμένων διαφορικών εισώσεων ή ακόμη τον μοναδικό πραγματικό αριθμό που επαηθεύει την είσωση e Σε μία τέτοια περίπτωση αντικαθιστούμε την μαθηματική επίυση του προβήματος με την αριθμητική ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 7

8 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ επίυσή του Θα δίνουμε για παράδειγμα μία προσεγγιστική τιμή της ύσης της διαφορικής είσωσης σε έναν ορισμένο αριθμό σημείων του διαστήματος οοκήρωσης Έτσι η γενική θεματοογική κατεύθυνση της Αριθμητικής Ανάυσης συνοψίζεται στον προσδιορισμό της σαν τον κάδο των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών που πραγματεύεται τις μεθόδους αριθμητικής επίυσης των προβημάτων της Μαθηματικής Ανάυσης Κατά τον Herc [8] Αριθμητική Ανάυση είναι η θεωρία των κατασκευαστικών μεθόδων της Μαθηματικής Ανάυσης Ο όρος κατασκευαστική μέθοδος σημαίνει ένα σύνοο από κανόνες που έγεται αγόριθμος και που επιτρέπει την ανεύρεση της ύσης ενός μαθηματικού προβήματος με μία αιόπιστη ακρίβεια και μετά από πεπερασμένο αριθμό αριθμητικών πράεων Το πρώτο Κεφάαιο του παρόντος Βιβίου περιαμβάνει μία συνοπτική αναφορά στις βοηθητικές έννοιες και εύχρηστες εφαρμογές της Θεωρίας Πινάκων Μετά από μία σύντομη παράθεση βασικών ιδιοτήτων εετάζονται τρία σπουδαία προβήματα που άπτονται της Θεωρίας αυτής: η επίυση τετραγωνικών συστημάτων γραμμικών εισώσεων η αναζήτηση των ιδιοτιμών και των ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα και η διάσπαση τετραγωνικών πινάκων Κατά την αντιμετώπιση αυτών των προβημάτων στο Κεφάαιο αυτό δόθηκε έμφαση στην κατανόηση των αφηρημένων τεχνικών επίυσής τους γιατί μέσα από αυτές περιγράφεται άμεσα το βαθύτερο θεωρητικό υπόβαθρο και μοντέο που ανταποκρίνεται στην μεέτη της φύσης τους Στο δεύτερο Κεφάαιο αναπτύσσονται οι κύριες αριθμητικές μέθοδοι υποογισμού των ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Όπως θα δούμε υπάρχουν δύο μεγάες κατηγορίες τέτοιων μεθόδων Στην πρώτη κατηγορία περιαμβάνονται όες εκείνες οι τεχνικές που επιτρέπουν τον πρακτικό υποογισμό ενός ιδιοδιανύσματος κάθε φορά καθώς και όες εκείνες οι μέθοδοι που οδηγούν στον διαδοχικό υποογισμό όων των ιδιοδιανυσμάτων Οι μέθοδοι της δεύτερης κατηγορίας διακρίνονται σε δύο κύρια είδη: τις μεθόδους προσδιορισμού του χαρακτηριστικού πουωνύμου και τις μεθόδους διάσπασης Το 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

9 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ πρώτο είδος είναι το ιγότερο ενδιαφέρον εκτός από ορισμένες ειδικές περιπτώσεις επειδή πρέπει στην συνέχεια να υποογισθούν οι ρίζες του χαρακτηριστικού πουωνύμου Το δεύτερο είδος έχει κυρίως επαναηπτικό χαρακτήρα ο οποίος στηρίζεται στην χρησιμοποίηση όμοιων μετασχηματισμών Πέραν των μεθόδων που έχουν συμπεριηφθεί σε αυτό το δεύτερο Κεφάαιο υπάρχει και ένας μικρός αριθμός άων αριθμητικών μεθόδων που αναπτύσσονται αρκετά εαντητικά σε εργασίες και πραγματείες της Βιβιογραφίας Στο τρίτο Κεφάαιο παρουσιάζονται οι αριθμητικές μέθοδοι επίυσης αγεβρικών εισώσεων και συστημάτων γραμμικών εισώσεων Μόνο ίγες αγεβρικές εισώσεις μπορούν να υθούν με την χρήση κασσικών Μαθηματικών :οι πουωνυμικές εισώσεις βαθμού 4 Με την χρήση αριθμητικών μεθόδων όμως έχει κατορθωθεί ο προσεγγιστικός εντοπισμός των ριζών μίας είσωσης της μορφής f όπου f x είναι μία συνάρτηση πραγματικής ή μιγαδικής μεταβητής x Στο πρώτο μέρος του Κεφααίου αυτού θα ασχοηθούμε κυρίως με τον αριθμητικό υποογισμό μίας απής πραγματικής ρίζας της είσωσης f Στα υπόοιπα μέρη του Κεφααίου θα μεετήσουμε το πρόβημα επίυσης ενός γραμμικού συστήματος εισώσεων Αxb όπου Α είναι ένας τετραγωνικός αντιστρέψιμος πίνακας με γραμμές και στήες και όπου b είναι ένα διάνυσμα του C Θεωρητικά ένα τέτοιο σύστημα μπορεί να επιυθεί υποογίζοντας τον αντίστροφο πίνακα του Όμως το γεγονός ότι ο υποογισμός του προϋποθέτει τον υποογισμό της ορίζουσας του υποογισμός που με την σειρά του απαιτεί την εκτέεση! ποαπασιασμών φανερώνει ότι η μαθηματική επίυση ενός μεγάου συστήματος γραμμικών εισώσεων είναι πρακτικά αδύνατη Οι αριθμητικές μέθοδοι επίυσης συστημάτων γραμμικών εισώσεων χωρίζονται σε τρεις μεγάες κατηγορίες που είναι ριζικά διαφορετικές μεταύ τους : τις άμεσες μεθόδους που δίνουν θεωρητικά το διάνυσμα ύση x μετά από πεπερασμένο αριθμό στοιχειωδών αριθμητικών πράεων τις επαναηπτικές μεθόδους που δίνουν την ύση ακοουθίας διανυσμάτων και τις μεθόδους προβοής x σαν όριο μιας ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 9

10 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Στο τέταρτο θεωρητικό Κεφάαιο παρουσιάζεται μία εισαγωγή στην Διακριτή Αριθμητική Ανάυση δηαδή στον κάδο εκείνο της Αριθμητικής Ανάυσης όπου η επίυση ενός μαθηματικού προβήματος επιτυγχάνεται με την αντικατάσταση ενός συνεχούς φαινομένου με ένα προσεγγιστικό διακριτό φαινόμενο Οι κεντρικές γνωστικές οντότητες του Κεφααίου αναφέρονται στην μεέτη του προβήματος παρεμβοής της αριθμητικής οοκήρωσης και παραγώγισης και τέος της αριθμητικής επίυσης μίας συνήθους διαφορικής είσωσης ή ενός συστήματος διαφορικών εισώσεων Στο πέμπτο Κεφάαιο συγκεντρώσαμε ορισμένα χαρακτηριστικά παραδείγματα και ασκήσεις που αναφέρονται στα θεωρητικά εδάφια που προηγήθηκαν Η προτίμηση που δείαμε σε στοιχειώδη παραδείγματα οφείεται όχι μόνο στην επιθυμία μας για άμεση κατανόηση του μηχανισμού των διάφορων μεθόδων από μέρους του αναγνώστη αά και στην απρόσκοπτη ευχέρεια συγκριτικών αντιπαραθέσεων των δυνατοτήτων τους Η συογή υμένων και άυτων ασκήσεων πιστεύουμε ότι καύπτει όο το φάσμα των κυριότερων αριθμητικών μεθόδων Παρά την προσπάθεια που έγινε για μία αναυτική και πήρη ανάπτυη των πρώτων Κεφααίων ενός μαθήματος Αριθμητικής Ανάυσης υπάρχουν μερικά ζητήματα και κάποιες ειδικές μεθοδοογίες που δεν ήταν δυνατόν να συμπεριάβουμε στα πέντε αυτά γενικά Κεφάαια Προς τούτο ο κάθε ενδιαφερόμενος αναγνώστης μπορεί να προστρέει και να συμβουευτεί τα συγγράμματα της προτεινόμενης Βιβιογραφίας στο τέος του παρόντος βιβίου που όμως όπως είναι φυσικό αντιπροσωπεύει μόνο ένα μέρος του συνεχώς διογκούμενου καταόγου σχετικών και συναφών πραγματειών Νικόαος Ιω Δάρας ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

11 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Κεφάαιο Άγεβρα Πινάκων Ι ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ι Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ C Έστωσαν z z z μιγαδικοί αριθμοί Ας τοποθετήσουμε αυτούς τους αριθμούς σε στήη και ας ονομάσουμε z αυτή την στήη: z z z M z Ας θεωρήσουμε μία δεύτερη στήη μιγαδικών αριθμών: w w w M Θα ορίσουμε τώρα δύο πράεις σ αυτό το σύνοο στηών: μία πράη εσωτερική που θα έγεται πρόσθεση και θα συμβοίζεται με και μία πράη εωτερική που θα έγεται αριθμητικός ποαπασιασμός και θα συμβοίζεται με w Η πρόσθεση θα ορίζεται από την σχέση: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

12 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ z w z w z w : : άθροισμα των z και w LLL z w Αυτή η πρόσθεση είναι μία πράη μεταθετικής ή αβειανής ομάδας Πράγματι: ο είναι μεταθετική : z w w z ο είναι προσεταιριστική : z w z w 3 ο έχει μοναδικό ουδέτερο στοιχείο το μηδέν : τέτοιο ώστε z z : M φορές 4 ο κάθε στοιχείο z έχει ένα συμμετρικό ή αντίθετο που συμβοίζεται με z και που ορίζεται από την: τέτοιο ώστε z z z z z : M z Ο αριθμητικός ποαπασιασμός με έναν μιγαδικό αριθμό θα ορίζεται από την σχέση: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

13 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ z z z : : γινόμενο των και z M z Αυτός ο ποαπασιασμός διέπεται από τις ακόουθες τρεις ιδιότητες: ο είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση : z w z w b z z b z για κάθε b C ο είναι προσεταιριστικός : b z b z για κάθε b C 3 ο έχει μοναδικό ουδέτερο στοιχείο που είναι ο μιγαδικός αριθμός τέτοιο ώστε z z Το σύνοο των μιγαδικών στηών εφοδιασμένο με τις δύο παραπάνω πράεις συνιστά έναν διανυσματικό χώρο υπεράνω του C ή έναν μιγαδικό διανυσματικό χώρο Αυτός ο διανυσματικός χώρος συμβοίζεται με διανύσματα Οι αριθμοί C και τα στοιχεία του καούνται μιγαδικά z z z που αποτεούν ένα διάνυσμα ονομάζονται συνιστώσες του διανύσματος z Συμβοίζονται πάντοτε με το ίδιο γράμμα όπως και το διάνυσμα με την συνοδεία ενός δείκτη θέσης Ανάογα το σύνοο των στηών πραγματικών αριθμών εφοδιασμένο με την αντίστοιχη πρόσθεση πραγματικών στηών και το αντίστοιχο αριθμητικό γινόμενο με πραγματικούς αριθμούς συνιστά έναν διανυσματικό χώρο υπεράνω του R ή έναν πραγματικό διανυσματικό χώρο που συμβοίζεται με διανύσματα R και τα στοιχεία του καούνται πραγματικά Ι ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ m Μία απεικόνιση f από το C στο C είναι μία αντιστοιχία κάθε στοιχείου αποκειστικό αντιπροσωπευτικό στοιχείο του m C που συμβοίζεται με z f z C σε ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 3

14 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Λέμε ότι το f z είναι η εικόνα του z μέσω της f Συμβοίζουμε μία απεικόνιση f με την αναπαράσταση : f m : C C : z f z Μία απεικόνιση f καείται C γραμμική αντιστοίχως R γραμμική εάν είναι κειστή ως προς την πρόσθεση και τον αριθμητικό ποαπασιασμό δηαδή εάν διατηρεί τα αθροίσματα και τα αριθμητικά γινόμενα υπό την έννοια ότι: ο f z w f z f w για κάθε zw C ο f z f z για κάθε z C και C αντιστοίχως R Ι3 ΠΙΝΑΚΕΣ Ας θεωρήσουμε τα ακόουθα διανύσματα του K όπου K C ή K R : e : M e : M 3 e : M e M : e : M Τότε κάθε διάνυσμα z K μπορεί να γραφεί υπό την μορφή : z z e z e L z e όπου z z z είναι οι συνιστώσες του z 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

15 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ m Έστω τώρα μία K γραμμική απεικόνιση f : K K : z f z Τότε: f z και επομένως η γνώση των διανυσμάτων z f e z f e z f e f e f e f e K m προσδιορίζει ακριβώς την γραμμική απεικόνιση f υπό την έννοια ότι εάν τα διανύσματα w f e είναι γνωστά για τότε f z z w z w Αντιστρόφως εάν δοθούν διανύσματα w η απεικόνιση: m K για f z m : z M f z z w : K K z z w είναι K γραμμική Μετά από τα παραπάνω είναι σαφές ότι κάθε γραμμική απεικόνιση του K στο είναι πήρως χαρακτηρισμένη από την χωροταική τοποθέτηση των εικόνων των διανυσμάτων m K e e e Ας συμβοίσουμε με την συνιστώσα του διανύσματος f e : [ f e ] και ας παραθέσουμε αυτούς τους αριθμούς σε μία διάταη διπής εισόδου: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 5

16 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ m m Βέπουμε ότι η πρώτη στήη του είναι το διάνυσμα m f e η δεύτερη στήη ταυτίζεται με το f e και η τεευταία με το f e Οι αριθμοί έγονται στοιχεία του Παρατηρούμε ότι ο πρώτος δείκτης δείχνει την γραμμή ενώ ο δεύτερος δείκτης δείχνει την στήη Η κατ αυτόν τον τρόπο διατεταγμένη παράθεση των αριθμών έγεται πίνακας Αυτός ο πίνακας προσδιορίζει την γραμμική απεικόνιση f Στην συνέχεια θα ταυτίσουμε τον πίνακα Α με την γραμμική απεικόνιση f που προσδιορίζει Για να καθιστούμε σαφές ότι τα στοιχεία του πίνακα Α είναι τα γράφουμε ή πιο απά m Επίσης για να καταστήσουμε σαφές ότι ο πίνακας Α έχει m γραμμές και στήες έμε ότι ο Α είναι ένας πίνακας m Εάν m ο πίνακας Α έγεται τετραγωνικός Είναι προφανές ότι οι συνιστώσες w w w του διανύσματος m w K m εκφράζονται σαν συνάρτηση των συνιστωσών βοήθεια των σχέσεων: w w w m z m z z z m z z z του διανύσματος z z L L L z LLLLLLLLLLLLLL m z z z K με την οι οποίες μπορούν να γραφούν συνοπτικά υπό την μορφή: 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

17 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ όπου w z m z είναι το διάνυσμα του K που έχει συνιστώσα τον αριθμό: L z m z z z Αυτό το σύνοο των m σχέσεων προσδιορίζει εντεώς τον ποαπασιασμό ενός πίνακα με ένα διάνυσμα Υπάρχει οιπόν ισοδυναμία μεταύ των εκφράσεων w f z και w z όπου Α είναι ο πίνακας που αντιστοιχεί στην απεικόνιση f και όπου το γινόμενο πίνακα επί διάνυσμα ορίζεται ακριβώς με τον τρόπο που ορίσθηκε παραπάνω Ι ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΠΙΝΑΚΩΝ Οι πράεις μεταύ πινάκων ορίζονται μέσω των αντίστοιχων πράεων μεταύ των K γραμμικών απεικονίσεων που αναπαριστούν K R ή C : ο πρόσθεση: f z g z όπου f g : m m : K K και K K είναι γραμμικές απεικονίσεις ο αριθμητικός ποαπασιασμός: f z όπου K και f m : K K είναι γραμμική απεικόνιση 3 ο σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων: f o g z f g z όπου f : K g : K m K m K ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 7

18 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo ΙΠΡΟΣΘΕΣΗ Έστωσαν m f K K : και m g K K : δύο K γραμμικές απεικονίσεις Ορίζουμε το άθροισμα των f και g ως την απεικόνιση: z g z f z g f z h z g f h m : : : K K Είναι εύκοη η διαπίστωση της K γραμμικότητας της hfg Πραγματικά αφ ενός ] [ ] [ w h z h w g w f z g z f w g z g w f z f w z g w z f w z h και αφ ετέρου z h z g z f z g z f z g z f z h ] [ για οποιοδήποτε K Έστωσαν τώρα: και B β οι δύο m πίνακες που ορίζουν τις γραμμικές απεικονίσεις m f K K : και m g K K : αντιστοίχως Τότε η απεικόνιση άθροισμα m g f h K K : μπορεί να ορισθεί μέσω ενός πίνακα m : m c C Επειδή μάιστα είναι: g e e f h e για

19 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ θα είναι και: c β m και Μετά από αυτά μπορούμε να ορίσουμε την πρόσθεση των δύο πινάκων και B β Το άθροισμά τους είναι ο πίνακας C και γράφουμε: Επεηγηματικότερα έχουμε: m m m Αυτή η πρόσθεση δύο C B β β β c c c β β β c c c β m β m β m cm cm cm ή αβειανής ομάδας γιατί έχει τις ακόουθες ιδιότητες: ο είναι μεταθετική :ΑΒΒΑ β β β β β β : m β m m β m m β m m πινάκων που μόις ορίσαμε είναι μία πράη μεταθετικής ο είναι προσεταιριστική ΑΒΕΑΒΕ 3 ο έχει μοναδικό ουδέτερο στοιχείο τον μηδενικό m πίνακα: : m φορές φορές ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 9

20 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ τέτοιον ώστε ΑΑ 4 ο κάθε m πίνακας Α έχει έναν μοναδικό αντίθετο m πίνακα που συμβοίζεται με Α και που ορίζεται από την ισότητα: τέτοιον ώστε Α : m m m Ι ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Έστω f m : K K μία K γραμμική απεικόνιση και έστω K αριθμητικό γινόμενο της f επί το K ως την απεικόνιση: m h f : K K : z h z f z : f z Ορίζουμε το Η K γραμμικότητα της απεικόνισης h διαπιστώνεται εύκοα Έστω τώρα: m και ας συμβοίσουμε με f m : K K την K γραμμική απεικόνιση που αντιστοιχεί στον πίνακα Α Τότε η απεικόνιση αριθμητικό γινόμενο μέσω ενός m πίνακα: h f : m K K μπορεί να ορισθεί C c m m ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

21 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Καθώς μάιστα είναι: h e για f e θα ισχύει : m και c Μετά από όσα προηγήθηκαν μπορούμε να ορίσουμε τον αριθμητικό ποαπασιασμό του πίνακα επί τον αριθμό Το αριθμητικό γινόμενό τους είναι ο πίνακας C και γράφουμε: ιδιότητες: Αναυτικότερα έχουμε: C : m m m m m Αυτός ο αριθμητικός ποαπασιασμός πίνακα επί αριθμό έχει τις ακόουθες ο είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση : B B b b B για κάθε b K ο είναι προσεταιριστικός : b b για κάθε b K 3 ο έχει μοναδικό ουδέτερο στοιχείο που είναι ο μοναδικός αριθμός K τέτοιος ώστε m και ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

22 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Κατόπιν όων όσων προηγήθηκαν το σύνοο των m πινάκων εφοδιασμένο με την πρόσθεση που ορίστηκε στην Παράγραφο Ι και με τον αριθμητικό ποαπασιασμό που ορίσθηκε στην παρούσα Παράγραφο είναι ένας καινούργιος διανυσματικός χώρος Συμβοίζουμε με: αυτόν τον διανυσματικό χώρο Μ m Ι3 ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΥΟ ΠΙΝΑΚΩΝ Έστωσαν κ f : K K και g m : K κ K δύο γραμμικές απεικονίσεις και έστωσαν και B οι αντίστοιχοι πίνακές τους και Ορίζουμε την απεικόνιση σύνθεση h των f και g με: m h g o f : K K : z h z g o f z : Η h είναι γραμμική απεικόνιση γιατί για κάθε K g f z z w g f z w g f z f w g f z g f w h z h w h h z g f z g f z g f z h z Έτσι η απεικόνιση σύνθεση h μπορεί να ορισθεί μέσω ενός πίνακα C c m m : ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

23 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ θα είναι και: καινούργιος Επειδή μάιστα είναι: h e g f e g β β m m m m c β m e m g e e β e c [ h e ] β m Ο πίνακας C που μόις ορίσαμε με τον πιο πάνω τρόπο είναι ένας Συμβοίζεται με: m πίνακας και έγεται γινόμενο του με τονb με αυτήν την διάταη και έχει τις ακόουθες ιδιότητες : C B ο προσεταιριστικότητα : B D B D ο δεν ισχύει γενικά η μεταθετικότητα : B B κι αυτό μόνον και μόνον γιατί γενικά f o g g o f 3 ο ύπαρη ενός μοναδιαίου τετραγωνικού πίνακα που συμβοίζεται με I ή και με I : I δ O O O με δ εάν εάν τέτοιου ώστε Ι Ι ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 3

24 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ 4 ο υπάρχουν μη μηδενικοί τετραγωνικοί πίνακες που όμως το γινόμενό τους είναι ο μηδενικός πίνακας : πχ z w 5 ο επιμεριστικότητα ως προς την πρόθεση : επιμεριστικότητα από δειά B D B D και επιμεριστικότητα από αριστερά B D D B D ΑΒ 6 ο B B B για κάθε K τον πίνακα: Στην συνέχεια δοθέντος ενός τετραγωνικού πίνακα θα συμβοίζουμε με κ Όπως αποδεικνύεται εύκοα ισχύει: κ 443 κ φορές 7 ο κ κ κ Ι4 ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ΓΙΝΟΜΕΝΩΝ Ένας τετραγωνικός πίνακας έγεται άνω τριγωνικός εάν: όταν > 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

25 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Σε μία τέτοια περίπτωση ο είναι της μορφής: Ο L O Ένας τετραγωνικός πίνακας έγεται κάτω τριγωνικός εάν: όταν < Σε μία τέτοια περίπτωση η γενική μορφή του πίνακα Α έχει ως εής: M M Ο O L Ένας τετραγωνικός πίνακας έγεται διαγώνιος εάν: όταν Η γενική μορφή ενός διαγώνιου πίνακα Α είναι η ακόουθη: Ο Ο O Συναφές προς αυτές τις έννοιες είναι το επόμενο κασσικό αποτέεσμα: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 5

26 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Θεώρημα Ι4 Το γινόμενο δύο πινάκων άνω τριγωνικών ή δύο πινάκων κάτω τριγωνικών ή δύο διαγωνίων πινάκων είναι πίνακας του ιδίου τύπου Επί πέον η κύρια διαγώνιος του πίνακα γινομένου είναι το γινόμενο των κυρίων διαγωνίων των αρχικών πινάκων Απόδειη Θα αποδείουμε μόνο την περίπτωση δύο άνω τριγωνικών πινάκων και B β Οι άες περιπτώσεις είναι ακριβώς ανάογες c Έστω C ο πίνακας γινόμενο των Α και Β Τότε: c β β Εάν > τότε στο πρώτο άθροισμα είναι για ενώ στο δεύτερο άθροισμα είναι β για Επομένως: c Ομοίως μπορούμε να γράψουμε: c όταν > β β β Για τους ίδιους όγους όπως και προηγουμένως τα δύο αθροίσματα είναι μηδέν και κατά συνέπεια ισχύει: c β για που οοκηρώνει την Απόδειη 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

27 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι5 ΠΙΝΑΚΕΣ ΠΟΥ ΠΡΟΚΥΠΤΟΥΝ ΑΠΟ ΔΟΘΕΝΤΑ Έστω ένας τετραγωνικός πίνακας Ονομάζουμε ανάστροφο πίνακα του Α και συμβοίζουμε με τον T T τετραγωνικό πίνακα τα στοιχεία του οποίου ορίζονται από τις σχέσεις: : για T του Α Έτσι οι γραμμές του T είναι οι στήες του Α και οι στήες του T είναι οι γραμμές Ο πίνακας έγεται συμμετρικός εάν T δηαδή εάν: για Ας παραθέσουμε τις βασικές ιδιότητες της αναστροφής πινάκων Οι αποδείεις τους είναι απές και παραείπονται: ο T T ο T T T B B 3 ο T T για κάθε K 4 ο T T T B B Ονομάζουμε συζυγή πίνακα του Α και συμβοίζουμε με ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 7

28 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ τον τετραγωνικό πίνακα τα στοιχεία του οποίου είναι οι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί των στοιχείων του Α δηαδή τον πίνακα: Ονομάζουμε δυϊκό πίνακα του Α και συμβοίζουμε με * * τον ανάστροφο συζυγή πίνακα του Α Με άα όγια : * T T * και για Ο πίνακας Α έγεται ερμιτιανός εάν * δηαδή εάν: για Επίσης είναι αιοσημείωτη η παρατήρηση ότι για οποιοδήποτε πίνακα Α το γινόμενο: είναι οπωσδήποτε ερμιτιανός πίνακας T τετραγωνικό Τέος συναφείς προς τις έννοιες της συζυγίας και δυϊκότητας των τετραγωνικών πινάκων είναι οι πιο κάτω θεμειώδεις ιδιότητες οι οποίες αποδεικνύονται χωρίς καμμία δυσκοία: ο * * και ο B B και 3 ο B B και 4 ο και * * * B B * * * B B * * K 8 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

29 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι3 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΠΙΝΑΚΩΝ Ι3ΓΡΑΜΜΙΚΗΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Έστωσαν m z z z διανύσματα του K K C ή K R Τα διανύσματα αυτά έγονται K γραμμικά ανεάρτητα εάν δεν υπάρχουν αριθμοί του K : m όχι όοι μηδέν τέτοιοι ώστε: z z m z m Με άα όγια εάν η σχέση: z z m z m συνεπάγεται τις ισότητες: m τότε τα διανύσματα m z z z είναι K γραμμικά ανεάρτητα Στην αντίθετη περίπτωση τα πιο πάνω διανύσματα έγονται K γραμμικά εαρτημένα Τα διανύσματα υπάρχει ένα σύστημα αριθμών m z z z είναι οιπόν K γραμμικά εαρτημένα εάν m του K όχι όων ίσων με μηδέν τέτοιων ώστε: m z z z Ας υποθέσουμε τώρα ότι w είναι ένα τυχαίο διάνυσμα του C Λέμε ότι το w είναι K γραμμικά εαρτημένο από τα διανύσματα z z z m m m z z z εάν τα διανύσματα w είναι K γραμμικά εαρτημένα Ομοίως θα έμε ότι το w είναι K γραμμικά ανεάρτητο από τα m z z z εάν τα διανύσματα w m z z z είναι K γραμμικά ανεάρτητα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 9

30 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Ι3ΒΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Έστωσαν το πήθος διανύσματα z z z του K Το σύνοο { z z z } καείται K βάση του K εάν τα z z z είναι K γραμμικά ανεάρτητα και κάθε w K { z z z } είναι γραμμικά εαρτημένο από τα z z z Ο αριθμός έγεται K διάσταση του K K C ή K R Αποδεικνύεται ότι κάθε υποσύνοο του K που περιέχει ακριβώς K γραμμικά ανεάρτητα διανύσματα είναι K βάση του K γιατί κάθε τέτοιο σύνοο δεν μπορεί να διευρυνθεί με την προσθήκη επί πέον διανύσματος χωρίς την απώεια της ιδιότητας της K γραμμικής ανεαρτησίας Με άα όγια κάθε υποσύνοο του K που περιέχει ακριβώς το πήθος K γραμμικά ανεάρτητα διανύσματα είναι μέγιστο ως προς την ιδιότητα της K γραμμικής ανεαρτησίας Η έννοια της K βάσης του υπάρχουν ποές K βάσεις του K δεν είναι μονοσήμαντα προσδιορισμένη αφού K Αντίθετα η K διάσταση του K είναι μοναδική Το κασσικότερο συνηθέστερο και σπουδαιότερο παράδειγμα K βάσης του K είναι το σύνοο των διανυσμάτων e e e που χρησιμοποιήθηκαν στην Παράγραφο Ι3 : e e M M e M Το σύνοο { e e e } ονομάζεται κανονική K βάση του K 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

31 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Θεώρημα Ι3 Εάν { z z z } είναι μία K βάση του μορφή K τότε κάθε w K γράφεται κατά μοναδικό τρόπο υπό την w z z z K Οι μοναδικοί αριθμοί ονομάζονται συνιστώσες του διανύσματος w ως προς την K βάση Απόδειη Έστω { z z z } w K Αν υπάρχει τέτοιο ώστε w z τότε η Απόδειη είναι προφανής: αρκεί να επιέουμε και Ας υποθέσουμε οιπόν ότι w K { z z z } Από τον ορισμό της έννοιας της K βάσης του εαρτημένο από τα όοι μηδέν τέτοιοι ώστε: K το w είναι K γραμμικά z z z Γι αυτό υπάρχουν κάποιοι αριθμοί c c c c c w c z c z L c z όχι Ο c είναι οπωσδήποτε μη μηδενικός αριθμός επειδή στην αντίθετη περίπτωση θα ήταν c z c z c z με c c c όχι όους μηδέν γεγονός που θα σήμαινε ότι τα z z z δεν είναι K γραμμικά ανεάρτητα Μπορούμε επομένως να εκφράσουμε το w υπό την μορφή: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 3

32 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ w z z z με c για c Απομένει να δειχθεί ότι η πιο πάνω έκφραση του w είναι μοναδική Προς τούτο ας υποθέσουμε ότι το w μπορεί να γραφτεί και υπό την διαφορετική μορφή: β z β z z w β Τότε με κατά μέη αφαίρεση θα ήταν: β β z β z z με τους συντεεστές β όχι όους μηδέν γεγονός που θα β β πιστοποιούσε ότι τα διανύσματα z z z είναι K γραμμικά εαρτημένα ισχυρισμός που είναι άτοπος γιατί το σύνοο { z z z } είναι K βάση του K την Άρα η μορφή β z β z β z δεν μπορεί να διαφέρει καθόου από z z και συνεπώς είναι: z β β β Η Απόδειη του Θεωρήματος οοκηρώθηκε 3 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

33 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι33 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ο διανυσματικός χώρος K καείται χώρος εσωτερικού γινομένου ή χώρος προ Hlbert εάν σε κάθε διατεταγμένο ζεύγος διανυσμάτων z και w του αριθμός z / w K K αντιστοιχισθεί ένας αποκαούμενος εσωτερικό γινόμενο των z και w τέτοιος ώστε να επαηθεύονται οι ακόουθες πέντε συνθήκες: ο w / z z / w η μπάρα σημαίνει μιγαδική συζυγία ο z / w z / w / w εάν z w K 3 ο z / w z / w εάν z w K και K με 4 ο z / z για όα τα z K 5 ο z / z μόνον όταν z Εάν z / w τότε το διάνυσμα z έγεται ορθογώνιο προς το w και συμβοίζουμε z w Επειδή η ισότητα z / w συνεπάγεται την ισότητα w / z η σχέση είναι συμμετρική Εάν E K και οποιαδήποτε z E και w F Επίσης ορθογώνια προς κάθε z E F K ο συμβοισμός F E είναι το σύνοο όων των E σημαίνει ότι z w για w K που είναι Σε κάθε εσωτερικό γινόμενο / του K επισυνάπτεται η αντίστοιχη νόρμα του K δηαδή η απεικόνιση: : [ [: z z : K z / z που με την σειρά της οδηγεί στην αντίστοιχη μετρική dst του απεικόνιση: K δηαδή την ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 33

34 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ dst : K K [ [: z w dst z w : z w Δοθέντων δύο διανυσμάτων z K και w K ο μη αρνητικός πραγματικός αριθμός dst z w ονομάζεται απόσταση των z και w Εάν ο διανυσματικός χώρος εφοδιασμένος με μία τέτοια μετρική είναι πήρης τότε έγεται χώρος Hlbert Στη συνέχεια και σε ότι ακοουθήσει θα θεωρούμε ότι ο το Ευκείδειο εσωτερικό γινόμενo: Η αντίστοιχη νόρμα: : K K K : zw z / w : z w / K K είναι εφοδιασμένος με : K [ [: z z : z / z z έγεται Ευκείδεια νόρμα του Ευκείδεια μετρική του K ενώ η αντίστοιχη μετρική : d : K K [ [: z w d z w : z w K Επειδή κάθε ακοουθία σημείων του K των οποίων οι Ευκείδειες αποστάσεις μικραίνουν απεριόριστα συγκίνει ως προς την Ευκείδεια μετρική σε σημείο του K ο διανυσματικός χώρος K εφοδιασμένος με το συγκεκριμένο εσωτερικό γινόμενο είναι χώρος Hlbert και θα ονομάζεται Ευκείδειος χώρος Κασσικό παράδειγμα Ευκείδειου χώρου αποτεεί το μοντέο του μιγαδικού επιπέδου C με τις συνηθισμένες πράεις της πρόσθεσης και του αριθμητικού ποαπασιασμού: το Ευκείδειο εσωτερικό γινόμενο z / w δύο μιγαδικών αριθμών z και w είναι το γινόμενο τους: z / w z w η Ευκείδεια νόρμα z ενός μιγαδικού αριθμού z είναι απά το μέτρο του z ενώ η Ευκείδεια απόσταση d z w δύο μιγαδικών αριθμών z και w είναι ακριβώς d z w z w 34 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

35 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Πιο κάτω παραθέτουμε τις σπουδαιότερες ιδιότητες του προκύπτουν από την Ευκείδεια δομή του διανυσματικού χώρου K Θεώρημα Ι33 Εάν z K w K τότε: w z w για κάθε K εάν και μόνον εάν: Επί πέον: z w z / w z w :Ανισότητα Schwrz και: Απόδειη Θέτοντας : z / w z w z w :Τριγωνική Ανισότητα ένας απός υποογισμός δίνει: z w z Re w Έτσι w z w K z / w z w Εάν z τότε η Ανισότητα Schwrz και η Τριγωνική Ανισότητα είναι τετριμμένα προφανείς Εάν z τότε για / z αμβάνουμε την: z w w z που αποδεικνύει την Ανισότητα Schwrz και επί πέον ότι: w z w K z / w z w ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 35

36 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Schwrz αφού: Μένει να αποδειχθεί η Τριγωνική Ανισότητα Αυτή είναι συνέπεια της Ανισότητας z w z w z w z w z w / z w z w z w z w z / w z / w z w z w Re z / w z w και όπως είναι γνωστό: Re z / w z / w Η πόδειη του Θεωρήματος είναι τώρα πήρης Ένα υποσύνοο U του Ευκείδειου χώρου K έγεται ανοικτό εάν κάθε στοιχείο z U έχει περιοχή { ζ K : d z ζ < ε} που περιέχεται οόκηρη στο U Ένα υποσύνοο E του K έγεται κειστό εάν το συμπήρωμά του K E είναι ανοικτό Η χαρακτηριστική ιδιότητα ενός κειστού συνόου E είναι ότι περιέχει όα τα σημεία στα οποία συσσωρεύονται στοιχεία του: με άα όγια εάν z m E : m N είναι μία ακοουθία στοιχείων του E που συγκίνει ως προς την Ευκείδεια απόσταση σε ένα σημείο z K τότε το z ανήκει στο E Ένα υποσύνοο E του K έγεται κυρτό εάν α E α E E α δηαδή εάν [ α z α w] E για κάθε z w E και α [ ] 36 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

37 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Θεώρημα Ι33 Κάθε μη κενό κειστό κυρτό σύνοο E K περιέχει ένα μοναδικό στοιχείο z εάχιστης νόρμας Απόδειη Η πόδειη είναι ευθεία συνέπεια του Κανόνα του Παραηογράμμου: z w z w z w z K w K ο οποίος με την σειρά του προκύπτει από τον ορισμό z z / z Θέτουμε: d : f { z : z E} και επιέγουμε E έτσι ώστε z m d Επειδή z m m z z E θα είναι z m z 4d Εάν στον Κανόνα του Παραηόγραμμου τα z και w αντικατασταθούν με τα z τότε το δειό μέρος της ισότητας θα τείνει προς το m z και 4d Συνδυασμός των δύο τεευταίων συογισμών οδηγεί στο συμπέρασμα ότι η ακοουθία z m E : m N είναι Cchy υπό την έννοια ότι οι αποστάσεις m z z των στοιχείων της μικραίνουν απεριόριστα τέτοιο ώστε Από την πηρότητα του K η συγκεκριμένη ακοουθία τείνει σε ένα στοιχείο z K z d και από την κειστότητα του E το z ανήκει στο E Εάν υπήρχε και δεύτερο σημείο w E τέτοιο ώστε w d τότε η ακοουθία z w z w θα έπρεπε να ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 37

38 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ συγκίνει σύμφωνα με τα όσα προηγήθηκαν οπότε θα έπρεπε την μοναδικότητα του στοιχείου z w z γεγονός που δείχνει Θεώρημα Ι333 Εάν Μ είναι κειστός υπόχωρος του M M K K τότε: Επεηγηματικότερα το συμπέρασμα είναι ότι τα σύνοα M και διανυσματικοί υπόχωροι του M M ίσο με K Ο χώρος K με τομή M είναι κειστοί M M το μονοσύνοο {} και με άθροισμα M καείται ορθογώνιο συμπήρωμα του M Απόδειη Εάν E K η γραμμικότητα του εσωτερικού γινομένου z / w σαν συνάρτηση του z δείχνει ότι το ορθογώνιο συμπήρωμα του K Τότε η Ανισότητα Schwrz συνεπάγεται την κειστότητα του E του Ε είναι πράγματι υπόχωρος E Εάν z M και z M τότε z / z Επομένως z και συνεπώς M M {} Εάν z K τότε μία εφαρμογή του Θεωρήματος Ι33 για το κειστό κυρτό σύνοο z M δείχνει ότι υπάρχει ~ z M που εαχιστοποιεί την νόρμα z ~ z Θέτουμε ~ z : z ~ z Τότε ~ z ~ z w για κάθε w M Από το Θεώρημα Ι33 έπεται ότι ~ z M Επειδή z ~ z ~ z δείαμε ότι M M K και η Απόδειη είναι πήρης 38 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

39 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Πόρισμα Ι334 Εάν M είναι κειστός υπόχωρος του K τότε: M M Απόδειη Ο εγκεισμός M M είναι προφανής Επειδή M M K M M ο Μ δεν μπορεί να είναι γνήσιος υπόχωρος του M Άρα M M Τέος για όψιμη χρήση θα αποδείουμε την ακόουθη Πρόταση: Πρόταση Ι335 Εάν ο είναι ένας πίνακας με στοιχεία K τότε για κάθε z K ισχύει: z z / T z Απόδειη Εάν τότε: T T z / z z z z z z z z z ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 39

40 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ z z z z z z [ z ] z / z z Ι34 ΟΡΘΟΓΩΝΟΠΟΙΗΣΗ SCHMIDT τους: Τα στοιχεία της κανονικής βάσης { e e e } του e / e Επί πέον για κάθε ισχύει: e / e e K είναι ορθογώνια μεταύ Γενικότερα κάθε K βάση { } του K που είναι τέτοια ώστε: / και / 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

41 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ έγεται ορθοκανονική K βάση Στην συνέχεια θα συζητήσουμε το πρόβημα της μετατροπής μίας τυχαίας K βάσης { z z z } του K σε ορθοκανονική { } Θα κατασκευάσουμε την καινούργια βάση επαγωγικά χρησιμοποιώντας τη Μέθοδο Ορθογωνοποίησης Schmdt Προς τούτο θέτουμε w : z και θεωρούμε ότι τα διανύσματα w w w είναι γνωστά και τέτοια ώστε / w w για κάθε με Επιθυμούμε την κατασκευή ενός διανύσματος w έτσι ώστε η σχέση ορθογωνιότητας να επαηθεύεται μέχρι και τον δείκτη Εκφράζουμε το προς αναζήτηση διάνυσμα w υπό την μορφή: w w w z όπου τα θα πρέπει να επαηθεύουν τη σχέση: w / w w / w w / w z / z για κάθε κι επειδή w / w για θα πρέπει: για κάθε z / z w / w Οι τεευταίες αυτές σχέσεις προσδιορίζουν πήρως το διάνυσμα w / w / z z w z w w : ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 4

42 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Είναι τώρα φανερό πως η νέα K βάση { w w w } στοιχείων του K περιέχει στοιχεία ανά δύο ορθογώνια θέτουμε: Απομένει η μετατροπή αυτής της νέας βάσης σε ορθοκανονική βάση Προς τούτο : w w / w Επειδή / για κάθε η βάση { } είναι ορθοκανονική Αντιστρόφως ισχύει το εής : Θεώρημα Ι34 Εάν τα μη μηδενικά διανύσματα z z z είναι ανά δύο ορθογώνια μεταύ τους τότε είναι K γραμμικά ανεάρτητα Απόδειη Εάν είναι κάποιοι αριθμοί του K τέτοιοι ώστε: z z z τότε για κάθε θα ισχύει: z / z z / z z z / z / z z z / z / z / z Επειδή z / z για θα είναι z / z Καθώς μάιστα είναι z θα ισχύει αναγκαστικά: 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

43 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ για κάθε Η Απόδειη είναι τώρα πήρης Ι35 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ Έστω f μία K γραμμική απεικόνιση από το Έχουμε δει ότι σε κάθε συμβοίζεται με f z Το z K στο K z K η f αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα στοιχείο του K που f ονομάζεται εικόνα του z μέσω της f Στη συγκεκριμένη Παράγραφο θα εετάσουμε το αντίστροφο πρόβημα: δοθέντος ενός σημείου w K ποιές είναι οι συνθήκες που πρέπει να ικανοποιούνται από την f ώστε να εασφαίζεται η ύπαρη ενός μοναδικού z K τέτοιου ώστε z w f ; Σε τέτοια περίπτωση θα έμε ότι η f είναι μία γραμμική αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση του K μέσα στον εαυτό του και θα γράφουμε: w z f Η κατ αυτόν τον τρόπο οριζόμενη συνάρτηση απεικόνιση της f f : w z θα καείται η αντίστροφη Στη συνέχεια θα δείουμε ότι η f είναι επίσης γραμμική απεικόνιση Προς τούτο θα εισάγουμε κατ αρχάς την έννοια του πυρήνα της f Ο πυρήνας Ker f της f ορίζεται ως το ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 43

44 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ σύνοο όων των στοιχείων z του του K : K που μεταφέρονται μέσω της f στο μηδενικό διάνυσμα Ker f : { z K : f z } Κάποιες φορές ο πυρήνας Ker f συμβοίζεται και με Έχουμε το εής αποτέεσμα: f Θεώρημα Ι35 Μια αναγκαία και ικανή συνθήκη προκειμένου η γραμμική απεικόνιση f να είναι αμφιμονοσήμαντη είναι ο πυρήνας Ker f της f να ισούται με το μονοσύνοο {} δηαδή: f { } Ker Απόδειη Από τον ορισμό της αμφιμονοσήμαντης απεικόνισης η συνθήκη Ker f { } είναι αναγκαία Αντιστρόφως ας υποθέσουμε ότι Ker f { } Τότε θα δείουμε ότι η γραμμική απεικόνιση f είναι αμφιμονοσήμαντη δηαδή ότι για κάθε ζευγάρι z και w σημείων του K τέτοιων ώστε z w ισχύει f z f w Πραγματικά εάν ήταν f z f w τότε όγω της γραμμικότητας της f θα ήταν f z f w f z w και επομένως z w Ker f { } z w z w 44 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

45 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Συνεπώς η συνθήκη f { } Ker είναι ικανή να εασφαίσει το αμφιμονοσήμαντο της γραμμικής απεικόνισης f και η Απόδειη οοκηρώθηκε Πόρισμα Ι35 Εάν η f K K : είναι K γραμμική αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση τότε και η αντίστροφή της απεικόνιση f είναι K γραμμική Απόδειη Θέτουμε w f z και f f Ομοίως εαν Τότε w f f z f f f z z f w f K τότε f w f f z f f z z f w Περαιτέρω θα εετάσουμε μια συνθήκη που αφορά την f και που εγγυάται τον εκφυισμό του πυρήνα της στο μονοσύνοο { }: Θεώρημα Ι353 Έστω { z z z } μία K βάση του K Μία αναγκαία και ικανή συνθήκη προκειμένου ο πυρήνας Ker f μίας K γραμμικής απεικόνισης f να είναι το μονοσύνοο { } είναι η K γραμμική ανεαρτησία των f z f z f z ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 45

46 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Απόδειη Η συνθήκη είναι αναγκαία γιατί εάν υποθέσουμε ότι υπήρχαν μη μηδενικοί αριθμοί του K τέτοιοι ώστε θα είχαμε επίσης όγω της K γραμμικότητας της f f z f z z z z f Αυτή η σχέση θα σήμαινε ότι τα στοιχεία της z z z K βάσης { z z z } είναι K γραμμικά εαρτημένα και που είναι φυσικά άτοπη Αντιστρόφως ας υποθέσουμε ότι τα διανύσματα f z f z f z είναι K γραμμικά ανεάρτητα Τότε κάθε σχέση του τύπου Έτσι εάν υπήρχε {} και w f δηαδή w που είναι άτοπο f f z f z συνεπάγεται ότι w K τέτοιο ώστε Ker f f { z { z f {} f z L f z f z L z L z L z } } w θα ήταν 46 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

47 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Παρατήρηση Ι354 Όταν η K γραμμική απεικόνιση f δεν είναι αντιστρέψιμη ο διανυσματικός χώρος f K K : K { w z με z f w } εικόνα της f ο οποίος παράγεται από τα διανύσματα f z f z σύμφωνα με το προηγούμενο Θεώρημα δεν είναι οόκηρο το K Ονομάζουμε τάη της απεικόνισης την K διάσταση του f K Κατά συνέπεια μία αναγκαία και ικανή συνθήκη για να είναι η f αμφινομοσήμαντη είναι η τάη της f να ισούται με Ι36 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ Έστω f μία αμφιμονοσήμαντη K γραμμική απεικόνιση του K μέσα στον εαυτό του Τότε για κάθε z K είναι: f z z f και f f z z Έστω τώρα ο πίνακας που αντιστοιχεί στην f και συμβοίζουμε με τον πίνακα που αντιστοιχεί στην f Ο πίνακας που αντιστοιχεί στη γραμμική ταυτοτική απεικόνιση d :K K : z d z z είναι ο μοναδιαίος Ι που έχουμε ήδη συναντήσει Σύμφωνα με την Παράγραφο Ι3 αά και με την προηγούμενη θα έχουμε: Ο πίνακας I και I έγεται αντίστροφος πίνακας του Ισχύει το ακόουθο: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 47

48 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Θεώρημα Ι36 Έστω είναι ένας πίνακας του οποίου οι στήες είναι διανύσματα K γραμμικά ανεάρτητα Τότε υπάρχει ένας μοναδικός πίνακας τέτοιος ώστε: I Θα έμε σ αυτήν την περίπτωση ότι ο είναι αντιστρέψιμος ή κανονικός ή ομαός Στην αντίθετη περίπτωση θα έμε ότι ο είναι μη αντιστρέψιμος ή μη κανονικός ή ανώμαος Απόδειη Στην Παράγραφο Ι3 είδαμε ότι οι στήες του πίνακα είναι τα διανύσματα f e για Εάν τα διανύσματα αυτά είναι K γραμμικά ανεάρτητα τότε η K γραμμική απεικόνιση f είναι αμφιμονοσήμαντη σύμφωνα με τα Θεωρήματα Ι35 και Ι353 της προηγούμενης Παραγράφου Υπάρχει συνεπώς ένας πίνακας τέτοιος ώστε I Αυτός ο πίνακας είναι ένας πίνακας που αντιστοιχεί στη γραμμική απεικόνιση f Απομένει να δειχθεί ότι αυτός ο πίνακας είναι ο μοναδικός που έχει την ιδιότητα I Προς τούτο ας υποθέσουμε ότι υπάρχει και άος πίνακας B με την ιδιότητα B B Ι Τότε θα είχαμε B B I B αά και B B Ι B Η Απόδειη οοκηρώθηκε με αποτέεσμα να συμβαίνει υποχρεωτικά 48 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

49 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ας δούμε τώρα ποιες είναι οι ιδιότητες του αντίστροφου πίνακα Οι αποδείεις τους είναι τυποποιημένα εύκοες και αφήνονται στην ευχέρεια του αναγνώστη : ο ο B B 3 ο T T 4 ο 5 ο 6 ο εάν ο είναι ερμιτιανός τότε και ο είναι ερμιτιανός 7 ο εάν ο είναι τριγωνικός τότε και ο είναι τριγωνικός του ιδίου τύπου επί πέον σ αυτή την περίπτωση τα στοιχεία της διαγωνίου του είναι οι αντίστροφοι των αντίστοιχων στοιχείων της διαγωνίου του δηαδή εάν και τότε 8 ο το σύνοο των αντιστρέψιμων πινάκων τάης συνιστά αγεβρικό σώμα ως προς τις πράεις της πρόσθεσης και του γινομένου μεταύ πινάκων ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 49

50 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Ι37 ΑΛΛΑΓΗ ΒΑΣΗΣ Έστω f μία K γραμμική απεικόνιση του απεικόνιση αντιστοιχεί ένας πίνακας { z K μέσα στον εαυτό του Σ αυτή την Προφανώς ο πίνακας εαρτάται από την επιογή της K βάσης z z } του K Πράγματι κάθε διάνυσμα z ζ z ζ z ζ z z K μπορεί να γραφεί υπό τη μορφή όπου ζ ζ ζ είναι οι συνιστώσες του z ως προς την K βάση z z } { z Από την K γραμμικότητα της f έπεται ότι f z f z ζ f z ζ f z ζ Αυτό σημαίνει ότι η γνώση των διανυσμάτων f z f z f z προσδιορίζει ακριβώς την γραμμική απεικόνιση f υπό την έννοια ότι εάν διανύσματα w f z είναι γνωστά για τότε f z ζ w ζ w ζ w Αά και αντιστρόφως εάν δοθούν διανύσματα w K τότε η απεικόνιση: f ζ : K ζ K : z M f z ζ w ζ w είναι K γραμμική Έτσι στην προκειμένη περίπτωση [ f z ] 5 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

51 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Στην συνέχεια θα δούμε πώς αυτή η K βάση { z z z } μετασχηματίζεται σε μία καινούργια K βάση { } και θα εετάσουμε την διαδικασία του ταυτόχρονου μετασχηματισμού του πίνακα σε έναν πίνακα Β ως προς την καινούργια βάση Είναι σαφές ότι μπορούμε να γράψουμε την νέα βάση σαν συνάρτηση της παιάς: t Ας θεωρήσουμε τον πίνακα z t z t z για T t Επειδή τα διανύσματα συνιστούν μία K βάση είναι εύκοο να διαπιστώσουμε ότι οι γραμμές του πίνακα T είναι διανύσματα K γραμμικά ανεάρτητα Άρα σύμφωνα με το Θεώρημα Ι36 ο πίνακας T είναι αντιστρέψιμος Έστω τώρα τυχαία επιεγμένο z K Τότε: ως προς την παιά βάση: z ζ z ζ z z ζ ως προς την νέα βάση : z η η η t z η t t z z t z η t z t t z η z ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 5

52 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ Άρα z ζ z t z ζ η [ ] t η z και από την K γραμμική ανεαρτησία των διανυσμάτων 3 z z z z έπεται ότι: ζ t η Θέτοντας: η τεευταία γράφεται: ζ ζ : M και ζ ζ T η η η : M η Έστω τώρα z f z η εικόνα του σημείου z μέσω της f Έστω ακόμα: θ θ : M και θ φ φ M φ οι συνιστώσες του z ως προς την παιά και την καινούργια βάση αντίστοιχα Όπως έχουμε ήδη επισημάνει ενώ επειδή θ T φ θα είναι και επομένως φ ζ θ ζ φ T θ T ή φ T η T 5 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

53 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Η τεευταία αυτή σχέση περιγράφει πήρως τη συμπεριφορά της γραμμικής απεικόνισης f ως προς τη νέα βάση { }: κάθε σημείο z K με συνιστώσες η ως προς τη νέα βάση απεικονίζεται μέσω της γραμμικής απεικόνισης f T η η η στο σημείο με συνιστώσες φ ως προς την νέα βάση Με άα όγια ενώ η γραμμική z K απεικόνιση f όταν εκφράζεται ως προς την παιά βάση { z z } προσδιορίζεται από τον πίνακα η ίδια απεικόνιση όταν εκφράζεται ως προς την νέα βάση { } προσδιορίζεται από τον πίνακα B T T Ο πίνακας B ονομάζεται μετασχηματισμός του μέσω του T Λέμε ακόμη ότι οι πίνακες Α και Β είναι όμοιοι Ι4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ι4 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Στην παρούσα Παράγραφο θα υπενθυμίσουμε σύντομα τον ορισμό της ορίζουσας ενός πίνακα καθώς και τις κύριες ιδιότητές της Δεν πρόκειται να υπεισέθουμε σε επτομέρειες και ειδικότερα δεν θα αναφερθούμε στους τρόπους υποογισμού μίας ορίζουσας Έστω w w w διανύσματα το πήθος του K Έστω ακόμα μία απεικόνιση det του K στο K : det : K K ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 53

54 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ που αντιστοιχίζει στα διανύσματα det w w w έτσι ώστε να ισχύουν οι ιδιότητες : ο det w w w det w w w w w w τον μοναδικό αριθμό K ο 3 det w w w w w det w w w 3 ο det e e e και ανάογες ιδιότητες εάν κανείς ποαπασιάσει στις και ο ένα άο διάνυσμα από το w με έναν αριθμό K w K w w Εάν Α είναι ο πίνακας του οποίου οι στήες είναι τα διανύσματα θα έμε ότι ο αριθμός det w w w είναι η ορίζουσα του Α και θα συμβοίζεται με det Θυμίζουμε χωρίς απόδειη τις ακόουθες ιδιότητες : ο det B det B det det B ο det det 3 ο det K 4 ο det det εάν και μόνον εάν ο είναι αντιστρέψιμος 5 ο εάν ο B είναι όμοιος με τον τότε det B 6 ο T det det det 54 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

55 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ CRMER Το περιεχόμενο της Παραγράφου αυτής αναφέρεται στη θεωρητική επίυση του ακόουθου προβήματος: Έστω μία K γραμμική απεικόνιση f από το b ένα δοθέν διάνυσμα του K Ζητείται να βρεθεί ένα f z b z K τέτοιο ώστε: K στο K και έστω Εφ όσον η f είναι αμφιμονοσήμαντη είναι ήδη γνωστό ότι η πιο πάνω είσωση επιδέχεται μοναδική ύση z : Έστω ο γράφεται ισοδύναμα υπό την μορφή : b z f πίνακας που αντιστοιχεί στην f Τότε η είσωση f z b z b Μία τέτοια είσωση ονομάζεται γραμμικό σύστημα ή ακριβέστερα σύστημα γραμμικών εισώσεων Πράγματι η είσωση z b είναι μία συμπαγής και συνοπτική γραφή του ισοδύναμου προς αυτή συστήματος γραμμικών εισώσεων : z z z b z z z b z z z b όπου φυσικά: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 55

56 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ z z M z και b b M b Κάθε μία από τις εισώσεις αυτού του συστήματος είναι γραμμική ως προς οποιοδήποτε άγνωστο z z z Όπως είναι γνωστό εάν η f είναι αμφιμονοσήμαντη τότε ο πίνακας που αντιστοιχεί στη γραμμική απεικόνιση f είναι ο πίνακας που συμβοίζεται με και που είναι τέτοιος ώστε I Προφανώς σε μία τέτοια περίπτωση το γραμμικό σύστημα ισοδύναμα υπό την μορφή : z b γράφεται z b Ένα τέτοιο σύστημα γραμμικών εισώσεων ονομάζεται σύστημα Crmer Επίυση αυτού του συστήματος σημαίνει εύρεση του διανύσματος συνιστωσών του z z z z K δηαδή εύρεση των Ας συμβοίσουμε με τα διανύσματα στήες του πίνακα : και ας θεωρήσουμε την ορίζουσα M det για b Τότε με γραμμικούς συνδυασμούς των στηών βρίσκουμε ότι αυτή η ορίζουσα είναι ίση με την ορίζουσα : 56 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

57 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ det [ ] det z z det b z z z z για κάθε z det για Άρα τεικά ισχύει: det b z det για Από αυτή τη σχέση συνεπάγεται ότι η τιμή του z δίνεται από τον Τύπο: det b z det επειδή det αφού ο πίνακας είναι αντιστρέψιμος Εάν b και εάν ο είναι αντιστρέψιμος τότε η μοναδική ύση του συστήματος: z είναι το διάνυσμα z K Αντιστρόφως εάν το σύστημα z έχει μία ύση z τότε αποδεικνύεται εύκοα ότι κατ ανάγκη det δηαδή ότι ο δεν είναι αντιστρέψιμος Ι5 ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ι5 ΟΡΙΣΜΟΙ Ορισμός Ι5 Έστω ότι είναι ένας πίνακας Λέμε ότι το K είναι μία ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 57

58 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ ιδιοτιμή του και ότι το z K είναι το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα εάν: z και z z Είναι σαφές ότι η είσωση z z μπορεί ισοδύναμα να γραφεί υπό την μορφή I z κι επειδή έχει υποτεθεί ότι z η τεευταία σημαίνει ότι το είναι ρίζα της είσωσης det Ι Προφανώς το ανάπτυγμα της ορίζουσας det Ι Πράγματι εάν τότε: L L det Ι det M M O M L είναι ένα πουώνυμο ως προς Αυτό το πουώνυμο ονομάζεται χαρακτηριστικό πουώνυμο του ενώ η είσωση Ι det έγεται χαρακτηριστική είσωση του πίνακα Το χαρακτηριστικό πουώνυμο του είναι βαθμού και οι ρίζες του είναι οι ιδιοτιμές του Για αποποίηση θα συμβοίζουμε με αυτό το πουώνυμο Όπως προκύπτει εύκοα ισχύει ότι: P ή με P P P det I σταθερός όρος 58 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo

59 Ν ΔΑΡΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ε άου σύμφωνα με το Θεμειώδες Θεώρημα της Άγεβρας το πήθος όων των ριζών του πουωνύμου P είναι ίσο με Συνεπώς ένας πίνακας τάης επιδέχεται το πού διάφορες ιδιοτιμές Τα ιδιοδιανύσματα ενός τέτοιου πίνακα δεν μπορούν κι αυτά να επερνούν σε πήθος τον αριθμό υπό την έννοια ότι εάν είναι τα ιδιοδιανύσματα του που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές του τότε κάθε άο ιδιοδιάνυσμα του θα είναι αριθμητικό ποαπάσιο κάποιου από τα Πράγματι εάν είναι μία ιδιοτιμή του και εάν ποαπάσιο c c K Επίσης και γενικότερα c είναι αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα τότε και κάθε αριθμητικό του είναι επίσης ιδιοδιάνυσμα του γιατί: c c c z z z z z z κ κ z z που δείχνει ότι εάν είναι ιδιοτιμή του τότε το ιδιοδιάνυσμα είναι και στις δύο περιπτώσεις το διάνυσμα z Σε ότι ακοουθήσει θα συμβοίζουμε με: κ είναι ιδιοτιμή του κ Το αντίστοιχο τις ιδιοτιμές του διάφορες ή όχι μεταύ τους και με: ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo 59

60 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΝΔΑΡΑΣ τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του το κάθε ένα από αυτά θεωρείται σαν αντιπρόσωπος της κατηγορίας όων των αριθμητικών ποαπασίων κάποιου ιδιοδιανύσματος Ορισμός Ι5 Ο μη αρνητικός αριθμός ρ mx{ : } καείται φασματική ακτίνα του Η σημασία της έννοιας της φασματικής ακτίνας ενός τετραγωνικού πίνακα θα φανεί σε επόμενο Κεφάαιο Προς το παρόν παρουσιάζουμε τις βασικές ιδιότητες των ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων Ι5 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Πρόταση Ι5 Ένας τετραγωνικός τις ίδιες ιδιοτιμές πίνακας και ο ανάστροφός του T έχουν Απόδειη Τα χαρακτηριστικά πουώνυμα του και του T είναι ταυτόσημα Προκειμένου να γίνει αντιηπτός αυτός ο ισχυρισμός αρκεί να αναπτυχθεί η ορίζουσα det I κατά T γραμμές και η ορίζουσα det I κατά στήες 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΚΕΝΤΡΟ ΕΛΕΓΧΟΥ ΟΠΛΩΝ wwwrmscotrolfo