ΣΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΑΣΡΩΝ ΑΚ. ΕΣΟ

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΑΣΡΩΝ ΑΚ. ΕΣΟ"

Κλυμένη Μιαούλης
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΣΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΠΑΣΡΩΝ ΑΚ. ΕΣΟ Μαθηματικά για Οικονομολόγουσ Ι-Μάθημα 7o Αόριςτο Ολοκλήρωμα (Ολοκληρωτικόσ Λογιςμόσ).

2 Πραγματεύεται την εύρεςη τησ ςυνάρτηςησ όταν γνωρίζουμε την παράγωγό τησ. Για παράδειγμα γνωρίζουμε την ςυνάρτηςη οριακού κόςτουσ και αναζητούμε αυτή του ςυνολικού μασ κόςτουσ κ.λ.π. Ένα δεύτερο μέροσ του Ολοκληρωτικού Λογιςμού αφορά τον υπολογιςμό χωρίων κυρίωσ ςτο επίπεδο. Αυτό δεν είναι πάντα και δυνατό (βλέπε προςεγγιςτικέσ μεθόδουσ, πίνακεσ ολοκλήρωςησ κ.λ.π)

3 Έςτω οι ςυναρτήςεισ F και f μιασ πραγματικήσ μεταβλητήσ (x) οριςμένεσ ςτο ίδιο διάςτημα. Το πρόβλημα μασ αφορά την εύρεςη όλων των ςυναρτήςεων F(x) όπου ιςχύει F ' ( x) f ( x) Οριςμόσ:Η ςυνάρτηςη F είναι μια αντιπαράγωγοσ ή μια παράγουςα ςυνάρτηςη τησ f τότε και μόνο τότε εάν για κάθε x του πεδίου οριςμού τησ ιςχύει F ' ( x) f ( x), x A Η οικογένεια των αντιπαραγώγων F(x)+c ονομάζεται Αόριςτο Ολοκλήρωμα Ο όροσ ολοκλήρωμα ή παράγουςα αποδίδεται και ωσ αρχική ςυνάρτηςη. Μια ςυνάρτηςη F μπορεί να είναι ολοκλήρωμα μιασ ςυνάρτηςησ f ςε ένα διάςτημα (α,β) χωρίσ να υπάρχει η παράγωγοσ ςε αυτό. Παραδείγματα

4 Έςτω f μια πραγματική ςυνάρτηςη μιασ πραγματικήσ μεταβλητήσ. Εάν η ςυνάρτηςη f έχει παράγουςεσ, το ςύνολο των παραγουςών τησ λέγεται αόριςτο ολοκλήρωμα και ςυμβολίζεται Ονομάζεται αόριςτο ολοκλήρωμα επειδή η ανεξάρτητη μεταβλητή μπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιμή. f ( x) ή df f ( x) F f f ό '

5 Η οικογένεια των αντιπαραγώγων F(x)+c διαφέρουν κατά την ςταθερά c.η ύπαρξη τησ αρχικήσ ή ςυνοριακήσ ςυνθήκησ μασ δίνει πρόςθετη πληροφόρηςη για την ςταθερά. Παράδειγμα: f ( x) 4x 3 Να παραςταθεί γραφικά το ολοκλήρωμα τησ.

6 1.Ολοκλήπωμα Δύναμηρ για ν -1 1 ν x x c 1.Ολοκλήπωμα Δύναμηρ για ν=-1 1 ln x c, x 0 x 3.Ολοκλήπωμα Εκθετικήρ Σςνάπτησηρ x x x x a e e c, a c ln a 4.Ολοκλήπωμα Αθποίσματορ Σςνάπτησεων Εάν f(x),g(x) ολοκληπώσιμερ σςναπτήσειρ τότε [ f ( x) g( x)] f ( x) g( x) 5.Ολοκλήπωμα γινομένος σςνάπτησηρ επί σταθεπά f ( x) κ f ( x)

7 6.Ολοκλήπωμα ό ημx x c 7.Ολοκλήπωμα σςνημιτόνος x x c, 8.Ολοκλήπωμα Σταθεπήρ Σςνάπτησηρ x c 9.Ολοκλήπωμα τόξος ημιτόνος 1 x c 1 x 10.Ολοκλήπωμα τόξος ευαπτομένηρ 1 1 x xc

8 11.Ολοκλήπωμα ευαπτομένηρ 1 x c x 1.Ολοκλήπωμα σςνευαπτομένηρ 1 x x c,

9 x 1 x 4x e x1 3 4x 4x e 8. 3x a x e x x

10 Οι δύο κυρίαρχοι μέθοδοι ολοκλήρωςησ ςύνθετων ςυναρτήςεων είναι οι εξήσ: 1. Μέθοδοσ Αντικατάςταςησ. Μέθοδοσ Ολοκλήρωςησ κατά παράγοντεσ Ξεχωριςτή αντιμετώπιςη χρήζει η περίπτωςη των ρητών ςυναρτήςεων.

11 Έςτω ότι θέλουμε να υπολογίςουμε το ' ολοκλήρωμα τησ εξήσ μορφήσ I f [ g( x)] g ( x) όπου προφανώσ f(x) ολοκληρώςιμη ςυνάρτηςη. du ' Εάν θέςουμε u g( x) g ( x) Οπότε το ολοκλήρωμα μασ θα προκύπτει ωσ εξήσ: ' ' 1 I f [ g( x)] g ( x) f ( u) g ( x) du f ( u) du ' g ( x) (Ουςιαςτικά μιλάμε για τον αντίςτοιχο αλυςωτό κανόνα τησ παραγώγιςησ)

12 Να υπολογιςτούν τα ολοκληρώματα: 3 1. ( x )3x x a x. ( e x) ( e 1) n ln x x x x x 1 6. ( x x)(1 ) x

Η παραπάνω μέθοδοσ βαςίζεται ςτην αντίςτροφη εφαρμογή του κανόνα παραγώγιςησ του γινομένου δύο ςυναρτήςεων. Έςτω u=u(x),v=v(x) παραγωγίςιμεσ ςυναρτήςεισ.

13 Η παραπάνω μέθοδοσ βαςίζεται ςτην αντίςτροφη εφαρμογή του κανόνα παραγώγιςησ του γινομένου δύο ςυναρτήςεων. Έςτω u=u(x),v=v(x) παραγωγίςιμεσ ςυναρτήςεισ. Από τον κανόνα του διαφορικού (γινόμενο) ιςχύει d( uv) udv vdu udv d( uv) vdu udv d( uv) vdu udv uv vdu Ο τύποσ που ςυνήθωσ αναφέρεται είναι: u( x) v'( x) u( x) v( x) u '( x) v( x)

14 Να υπολογιςτούν τα τα ολοκληρώματα 1. 3 x x e. x ln 3. ln x 3 x x e x xx

15 Στην περίπτωςη των ρητών ςυναρτήςεων χρηςιμοποιούμε την μέθοδο των μερικών κλαςμάτων (partial franctions). Πρόκειται για μια αλγεβρική διαδικαςία μεταςχηματιςμού ςε απλούςτερη μορφήσ κλάςματα. Αν θεωρήςουμε ότι η υπό ολοκλήρωςη ρητή ςυνάρτηςη είναι τησ μορφήσ P(x)/Q(x) μπορούμε να ξεχωρίςουμε την εξήσ περιπτώςεισ (όπου P(x) πολυώνυμο μικρότερου βαθμού του Q(x):

16 Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων () Ο παρανομαςτήσ έχει n διακριτέσ ρίζεσ. Ο παρανομαςτήσ έχει n διακριτέσ ρίζεσ οριςμένεσ εξ αυτών επαναλαμβάνονται κ φορέσ. Ο παρανομαςτήσ μπορεί να γραφεί ωσ γινόμενο παραγόντων (μορφήσ δευτεροβάθμιασ) που δεν έχουν πραγματικέσ ρίζεσ.

17 Να υπολογιςτούν τα ολοκληρώματα: x ( x)( x4) x 11x4 ( x3)( x) 1 xx x x ( 1) 4 4x 7 3x x 6x 5

18 Πλεόναςμα Καταναλωτή Πλεόναςμα Παραγωγού Καμπύλη Lorentz Παρούςα Αξία Χρηματοροήσ Μελλοντική Αξία Χρηματοροήσ Καμπύλη Μάθηςησ

19 Να υπολογιςτούν η ςυνάρτηςη ζήτηςησ και η ςυνάρτηςη ςυνολικών εςόδων όταν είναι γνωςτό ότι MR 84 4Q Q Ο ρυθμόσ απόςβεςησ ενόσ μηχανήματοσ είναι 0(t-10) ευρώ τον χρόνο. Εάν το μηχάνημα αγοραςτεί καινούργιο ςτην τιμή των 10 χιλιάδων ευρώ ποια η αξία του ςε 10 χρόνια;

20 Η μαθηματική ελπίδα μιασ ςυνεχούσ τυχαίασ μεταβλητήσ Χ, με ςυνάρτηςη πυκνότητασ πιθανότητα f(x) δίνεται ωσ εξήσ: Ex ( ) xf(x) Η διακύμανςη μιασ τυχαίασ μεταβλητήσ δίνεται ωσ: Var( x) x E( x) f(x)

Ο υπολογιςμόσ πιθανοτήτων γίνεται με βάςη τη ςυνάρτηςη κατανομήσ: -λx F(x x0 λx ) P(X x ) f(x) 1 e 0 0 0 Παράδειγμα: Ο χρόνοσ που χρειάζεται για να γεμίςει ένα φορτηγό ςε μία αποθήκη ακολουθεί την

21 Ο υπολογιςμόσ πιθανοτήτων γίνεται με βάςη τη ςυνάρτηςη κατανομήσ: -λx F(x x0 λx ) P(X x ) f(x) 1 e Παράδειγμα: Ο χρόνοσ που χρειάζεται για να γεμίςει ένα φορτηγό ςε μία αποθήκη ακολουθεί την εκθετική κατανομή με μέςο μ=15 λεπτά. (α) Ποια είναι η πιθανότητα ένα τυχαίο φορτηγό να γεμίςει ςε χρόνο λιγότερο από 6 λεπτά; (β) Ποια είναι η πιθανότητα ένα τυχαίο φορτηγό να γεμίςει ςε χρόνο λιγότερο από 18 λεπτά; 0 f(x) λe 0,,

22 Η τυποποιημένη (ή τυπική) κανονική κατανομή είναι η κανονική κατανομή που έχει μέςο 0 και διακύμανςη 1, δηλαδή μ=0 και ς =1 Συμβολικά γράφουμε Ζ Ν(0,1) και η ςυνάρτηςη πυκνότητασ πιθανότητασ είναι z 1 f(z) e, z π Για την τυποποιημένη κανονική κατανομή υπάρχουν πίνακεσ που μασ δίνουν τη ςυνάρτηςη κατανομήσ για κάθε τιμή z 0 τησ Ζ z 0 Φ(z ) f(z)dz P(Z z 0 ) 0

23 Η Γάμα και η Βήτα κατανομή έχουν ςυναρτήςεισ πυκνότητασ πιθανότητασ f(x) Να δείξετε ότι E( X ), Var( X ) x 1 1 a x e, x0 x 1 x,0x1 a a a 0, x0 f(x) 0, x0 ή x1 [, [ E( X ), Var( X ) 1

24 Σημειώςεισ και τισ αντίςτοιχεσ αςκήςεισ από το e-class Προφανώσ το κεφάλαιο 10 του ολοκληρωτικού από το βιβλίο του Ξεπαπαδέα, κεφάλαιο 17 ο απο τον Λουκάκη ή το κεφάλαιο 14 απο το βιβλίο του Chiang.

Σχετικά έγγραφα

Ολοκλήρωμα συνάρτησης

Ολοκλήρωμα συνάρτησης Έννοια Υπολογισμός Χρήση Αόριστο και ορισμένο ολοκλήρωμα εισαγωγικό παράδειγμα οριακού κόστους Έστω η συνάρτηση οριακού κόστους μιας επιχείρησης δίνεται από τη σχέση ΜC(q)=3q 2 +4