Ερωτήσεις θεωρίας βασισμένες στο βιβλίο των μαθηματικών της Γ τάξης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ερωτήσεις θεωρίας βασισμένες στο βιβλίο των μαθηματικών της Γ τάξης"

Transcript

1 Ερωτήσεις θεωρίς βσισμένες στο βιβλίο των μθημτικών της Γ τάξης 1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΑΣ 27 Απριλίου 29

2 2 Μθημτικά Γ Τάξης 1. Τι είνι πληθυσμός, άτομο κι μέγεθος ενός πληθυσμού; Πληθυσμός ονομάζετι το σύνολο των ντικειμένων γι το οποίο συλλέγοντι στοιχεί κι συντάσσοντι οι σττιστικοί πίνκες. Κάθε στοιχείο του πληθυσμού ονομάζετι άτομο. Μέγεθος του πληθυσμού εινι το πλήθος των τόμων. 2. Τι εινι μετβλητή; Ποι χρκτηιστικά ονομάζοντι ποιοτικά κι ποι ποσοτικά; Μετβλητή ονομάζετι το χρκτηριστικό σύμφων με το οποίο μελετάμε ένν πληθυσμό. Ποσοτικά ονομάζοντι τ χρκτηριστικά που μπορούν ν μετρηθούν. Ποιοτικ είνι τ χρκτηριστικά τ οποί δεν επιδέχοντι μέτρησης. 3. Σε ποι είδη δικρίνοντι οι μετβλητές των ποσοτικών χρκτηριστικών; Οι μετβλητές των ποσοτικών χρκτηριστικών χωρίζοντι σε:. Δικριτές μετβλητές, στις οποίες κάθε άτομο του πληθυσμού μπορει ν πάρει μόνο δικεκριμένες τιμές. β. Συνεχείς μετβλητές, στις οποίες κάθε άτομο του πληθυσμού μπορει ν ντιστοιχιθεί σε οποιδηποτε πργμτική τιμή που νήκει σε διάστημ των πργμτικών ριθμών ή ένωση διστημάτων. 4. Τι ονομάζετι δείγμ; Δείγμ εινι το ντιπροσωπευτικό μέρος ενός πληθυσμού που επιλέγουμε, με σκοπό ν εξετάσουμε σττιστικά κάποιο χρκτηριστικό του πληθυσμού υτού. 5. Τι ονομάζουμε συχνότητ κι τι σχετική συχνότητ μις μετβλητής;. Συχνότητ τιμής x i μις μετβλητής ονομάζετι το πλήθος των τομων του πληθυσμού (ή του δείγμτος) γι τ οποί η μετβλητή πίρνει την τιμή x i κι συμβολίζετι με ν i. β. Σχετική συχνότητ τιμής x i μις μετβλητής ονομάζετι ο λόγος της συχνότητς προς το μέγεθος του δείγμτος κι συμβολίζετι με f i, δηλδή f i = ν i ν. 6. Σε μι ποσοτική μετβλητή, τι ονομάζετι θροιστική συχνότητ κι τι σχετική θροιστική συχνότητ; Σε μι ποσοτική μετβλητή,. θροιστική συχνότητ μις τιμής x i λέγετι το άθροισμ των συχνοτήτων ν i των τιμών που είνι μικρότερες ή ίσες με την τιμή υτή. β. σχετική θροιστική συχνότητ μις τιμής x i λέγετι το άθροισμ των σχετικών συχνοτήτων f i των τιμών που είνι μικρότερες ή ίσες με την τιμή υτή.

3 1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΟΣ 3 7. Με ποιους τρόπους πριστάνουμε γρφικά τ δεδομέν ενός σττιστικού πίνκ;. Γρφικές πρστάσεις β. Ρβδογράμμτ (κτκόρυφ κι οριζόντι) γ. Κυκλικά διγράμμτ δ. Εικονογράμμτ 8. Σε έν ομδοποιημένο δείγμ τι ονομάζουμε κλάση, πλάτος κλάσης κι κέντρο κλάσης; Σε έν ομδοποιημένο δείγμ, κλάση ονομάζετι το διάστημ [,β) μέσ στο οποίο νήκουν κάποι πό τ στοιχει του δείγμτος. Πλάτος κλάσης είνι η διφορά της ελάχιστης τιμής της κλάσης πό τη μέγιστη τιμή της κλάσης β δηλδή β. Το μέσο κάθε διστήμτος +β 2 ονομάζετι κέντρο της κλάσης. 9. Ποι ιδιότητ έχει το πολύγωνο συχνοτήτων ενός ομδοποιημένου δείγμτος; Το εμβδό του χωρίου που σχημτίζετι μετξύ του πολυγώνου συχνοτήτων κι του οριζόντιου άξον ισούτι με το εμβδό των ορθογωνίων ιστών του ιστογράμμτος. 1. Τι πρέπει ν προσέχουμε ότν κτσκευάζουμε ιστόγρμμ συχνοτήτων; Το ύψος των ορθογωνίων ιστών πρέπει ν είνι ντιστρόφως νάλογο του πλάτος των κλάσεων. Αν c i το πλάτος της κλάσης, ν i η συχνότητ της κλάσης i, τότε το ύψος του ορθογωνίου πρέπει ν είνι ν i c i μονάδες ύψους. 11. Ποιες είνι οι πράμετροι θέσεις ενός δείγμτος; Δώστε τους ορισμούς τους. Πράμετροι θέσης είνι η επικρτούσ τιμή, η μέση τιμή, η διάμεσος.. Επικρτούσ τιμή μις μετβλητής ονομάζετι η τιμή με τη μεγλύτερη συχνότητ. Αν δύο ή περισσοτερες τιμές έχουν τη μέγιστη συχνότητ, υπάρχουν περισσότερες πό μι επικρτούσες τιμές. β. Μέση τιμή ενός δείγμτος, είνι το πηλίκο του θροίσμτος όλων των τιμών του δείγμτος προς το πλήθος του δείγμτος υτού. Ουσιστικά είνι ο μέσος όρος του δείγμτος. x = ν 1x 1 + ν 2 x ν κ x κ ν 1 + ν ν κ = ν 1x 1 + ν 2 x ν κ x κ ν όπου x i τιμή μετβλητής ν πρόκειτι γι τη δικριτή μετβλήτη (ή κέντρο κλάσης ν πρόκειτι γι ομδοποιημένο δείγμ). Το ν i είνι η συχνότητ της τιμής x i (ή της κλάσης i), ν το πλήθος του δείγμτος κι κ το πλήθος των τιμών της μετβλητής (ή των κλσεων). γ. Διάμεσος δ ενός δειγμτος ν πρτηρήσεων που έχουν διτχθεί σε άυξουσ σειρά ονομάζετι:

4 4 Μθημτικά Γ Τάξης * Η μεσί πρτήρηση ν το πλήθος των πρτηρήσεων είνι περιττό. * Το ημιάθροισμ των μεσίων πρτηρήσεων ν το πλήθος των πρτηρήσεων είνι άρτιο. 12. Από ποιους πράγοντες εξρτώντι οι πράμετροι θέσης; * Η μέση τιμή επηρεάζετι πό τις ριες τιμές κι εξρτάτι πό όλες τις τιμές μις μετβλητής. * Η επικρτούσ τιμή εξρττι μόνο πό την τιμή της μετβλητής με τη μεγλύτερη συχνότητ. * Η διάμεσος σε ντίθεση με τη μέση τιμή δεν επηρεάζετι πό τις κρίες τιμές, εξρτάτι πό όλες τις τιμές του δείγμτος. 13. Ποιες είνι οι πράμετροι δισποράς κι τι εκφράζουν; Πράμετροι δισποράς είνι το έυρος, η δικύμνση κι η τυπική πόκλιση. Οι πράμετροι δισποράς εκφράζουν τη δισπορά των τιμών ενός δείγμτος γύρω πό τη μέση τιμή του, δηλδη πόσο διφέρουν οι τιμές του δείγμτος πό τη μέση τιμή. 14. Πώς προσδιορίζετι η δισπορά των τιμών μις μετβλητής Χ γύρω πό τη μέση τιμή της x; Η δισπορά των τιμών γυρω πό τη μέση τιμή προσδιορίζετι πό τις διφορές ( x x i ) 2. Η μέση τιμή των διφορών υτών είνι η δικύμνση. 15. Ποιος ο ορισμός της δικύμνσης μις μετβλητής που πίρνει ν τιμές t 1, t 2,, t ν ; Αν μι μετβλητή πίρνει ν τιμές t 1, t 2,, t ν που έχουν μέση τιμή x,τότε δικύμνση της μετβλητής ονομάζετι το πηλίκο: s 2 = ( x t 1) 2 + ( x t 2 ) ( x t ν ) 2 ν 16. Ποιος ο ορισμός της δικύμνσης μις μετβλητής που πίρνει ν τιμές x 1, x 2,, x κ με ντιστοιχες συχνότητες ν 1, ν 2,, ν κ ; Αν μι μετβλητή πίρνει ν τιμές x 1, x 2,, x κ με ντιστοιχες συχνότητες ν 1, ν 2,, ν κ που έχουν μέση τιμή x,τότε δικύμνση της μετβλητής ονομάζετι το πηλίκο: s 2 = ν 1( x x 1 ) 2 + ν 2 ( x x 2 ) ν( x x κ ) 2 ν

5 1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΟΣ Ποιο το μειονέκτημ της δικύμνσης ως πρμέτρου δισποράς; Οι μονάδες της δικύμνσης είνι τ τετράγων των μονάδων μέτρησης της ντίστοιχης μετβλητής. Γι υτό ντί της δικύμνσης χρησιμοποιούμε ως μέτρο δισποράς την τετργωνική ριζ της δικύμνσης που ονομάζετι τυπική πόκλιση. 18. Τι ονομάζουμε τυπική πόκλιση μις μετβλητής X που πίρνει ν το πλήθος τιμές t 1, t 2,, t ν ; Αν μι μετβλητή X πίρνει ν το πλήθος τιμές t 1, t 2,, t ν που έχουν μέση τιμή x τότε η τυπική πόκλιση της μετβλητής ονομάζετι το πηλίκο: ( x t1 ) 2 + ( x t 2 ) ( x t ν ) 2 s = ν 19. Τι ονομάζουμε τυπική πόκλιση μις μετβλητής X που πίρνει κ το πλήθος τιμές x 1, x 2,, x κ ; Αν μι μετβλητή X πίρνει κ το πλήθος τιμές x 1, x 2,, x κ με ντίστοιχες συχνότητες ν 1, ν 2,, ν κ που έχουν μέση τιμή x τότε η τυπική πόκλιση της μετβλητής ονομάζετι το πηλίκο: ν1 ( x x 1 ) 2 + ν 2 ( x x 2 ) ν( x x κ ) 2 s = ν 2. Γιτί δεν μπορούμε ν εξετάσουμε τη μετβλητότητ δυο πληθυσμών ως προς μι μετβλητή συγκρίνοντς τις τυπικές ποκλίσεις; Αυτό δε μπορει ν συμβεί στην περίπτωση που η κλίμκ μέτρησης της ίδις μετβλητής σε δύο πληθυσμούς είνι διφορετική. Π.χ. ς θεωρήσουμε X τη μετβλητή: βθμολογί των μθητών του σχολείου στην Ιστορί Οι μθητές ενός Λυκείου Α έχουν μέσο όρο x = 15 κι τυπική πόκλιση βθμολογίς s = 3 στην κλίμκ του 2. Οι μθητες ενός άλλου Λυκείου Β έχουν μέσο όρο x = 65 κι τυπική πόκλιση s = 6 στη βθμολογική κλίμκ του 1. Δεν μπορούμε ν πούμε ότι υπάρχει μικρότερη δισπορά των τιμών στο Λύκειο, κθώς οι μέτρηση της μετβλητής X έγινε σε διφορετική κλίμκ στ δύο Λύκει. 21. Τι ονομάζουμε συντελεστή μετβλητότητς (ή συντελεστής μετβολής) ενός δείγμτος, ως προς μι μετβλητή X; Τι μετράει; Αν έν δείγμ εξετζόμενο ως προς μι μετβλητή X, προυσιάζει μέση τιμή x κι τυπική πόκλιση s, συντελεστής μετβλητότητς (ή συντελεστής μετβολής) ονομάζετι το πηλίκο: CV = s x

6 6 Μθημτικά Γ Τάξης Ο συντελεστής μετβλητότητς μετράει την ομοιογένει του πληθυσμού πό τον οποίο έχουμε πάρει το δείγμ. 22. Πότε ένς πληθυσμός εινι ομοιογενής; Πότε ένς είνι πιο ομοιογενής πό ένν άλλο; Ένς πληθυσμός είνι ομοιογενής ως προς μι μετβλητή X, ν έχει συντελεστή μετβλητότητς ως προς υτή τη μετβλήτη μικρότερο του,1. Ένς πληθυσμός είνι πιο ομοιογενής πό ένν άλλο ως προς μι μετβλητή X, ν έχει μικρότερο συντελεστή μετβλητότητς ως προς υτή την μετβλητή. 23. Τι σημίνει ότι το x τείνει στο x ; Πώς εκφράζετι; Η φράση ότι το x τείνει στο x, σημίνει ότι το x βρίσκετι ρκετά κοντά στο x. Εκφράζετι ως εξής: το x νήκει σε μι περιοχή του x, δηλδή σε έν νοιχτό διάστημ της μορφής (, x ),(x, β) ή κι στην ένωσή τους (, x ) (x, β). 24. Πότε λέμε ότι μι συνάρτηση f έχει όριο τον πργμτικό ριθμό l ότν το x τεινει στο x R; Θ λέμε ότι μι συνάρτηση f : (, x ) (x, β) R έχει όριο τον πργμτικό ριθμό l ότν το x τείνει στο x, ν οι τιμές της f(x) βρίσκοντι οσοδήποτε κοντά στον ριθμό l, ότν το x είνι ρκετά κοντά στο x (λλά δε γίνετι πρίτητ ίσο με το x ). Θ συμβολίζουμε: lim f(x) = l 25. Τι σημίνει ότι οι τιμές της f(x) βρίσκοντι οσοδήποτε κοντά στο όριο l R; Σημίνει ότι οι τιμές της f(x) νήκουν σε οσοδήποτε μικρή περιοχή του l, δηλδή στο σύνολο (l ε, l) (l, l + ε) γι οσοδήποτε μικρό πργμτικό ριθμό. 26. Ποιες είνι οι ιδιότητες του ορίου; Αν υπάρχουν τ lim f(x), lim g(x) κι εινι l 1, l 2 R ντίστοιχ, τότε: * lim [f(x) + g(x)] = l 1 + l 2 * lim [f(x) g(x)] = l 1 l 2 * lim [f(x) g(x)] = l 1 l 2 f(x) * lim g(x) = l 1 l2 * lim f(x) = l 1 * lim [f(x)] ν = l ν 1, ν N κ * lim f(x) = κ l1, γι κάθε κ N, κ 2 με την f(x) ν είνι θετική σε μι περιοχή του x.

7 1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΟΣ Τι ονομάζουμε πλευρικά όρι της συνάρτησης f σε έν x R; Τ πλευρικά όρι δικρίνοντι σε: * Το ριστερό πλευρικό όριο της f ότν το x τείνει στο x πό ριστερά που συμβολίζετι lim f(x) * Το δεξί πλευρικό όριο της f ότν το x τείνει στο x πό δεξιά που συμβολίζετι lim f(x) Πότε λέμε ότι υπάρχει το όριο μις συνάρτησης στο x R με πλευρικά όρι lim f(x) + κι lim f(x); Τι γίνετι ότν τ πλευρικά όρι δεν είνι ίσ; Το όριο μις συνάρτησης υπάρχει, ν κι μόνο ν υπάρχουν τ πλευρικά της όρι κι είνι ίσ, δηλδή lim f(x) = l, όπου l R, ν κι μόνο ν: lim f(x) = lim f(x) = l + Αν τ δύο πλευρικά όρι μις συνάρτησης είνι διφορετικά τότε θ λέμε ότι δεν υπάρχει το όριο της f, ότν το x τείνει στο x. 29. Τι εννοούμε με την έννοι του άπειρου ορίου; Αν το όριο μις συνάρτησης f ότν το x τείνει στο x είνι +, τότε υτό σημίνει ότι το f(x) ξεπερνάει οποιοδήποτε θετικό πργμτικό ριθμό κθώς το x πλησιάζει το x. Αν το όριο μις συνάρτησης f ότν το x τείνει στο x είνι, τότε υτό σημίνει ότι το f(x) είνι μικρότερο πό οποιοδήποτε ρνητικό πργμτικό ριθμό κθώς το x πλησιάζει το x. 3. Πότε το όριο μις συνάρτησης είνι μη πεπερσμένο; Ότν το όριο μις συνάρτησης f ότν το x τείνει στο x είνι +, ή,τότε λέμε ότι το όριο είνι μη πεπερσμένο. 31. Πότε θ λέμε ότι μι συνάρτηση f έχει όριο το + ότν το x τείνει στο x ; Θ λέμε ότι μι συνάρτηση f : (, x ) (x, β) R έχει όριο το + ότν το x τείνει στο x, ν οι τιμές της f(x) υξάνοντι περιόριστ ξεπερνώντς κάθε θετικό πργμτικό ριθμό, κθώς το x πλησιάζει το x.

8 8 Μθημτικά Γ Τάξης 32. Πότε θ λέμε ότι μι συνάρτηση f έχει όριο το ότν το x τείνει στο x ; Θ λέμε ότι μι συνάρτηση f : (, x ) (x, β) R έχει όριο το ότν το x τείνει στο x, ν οι τιμές της f(x) ελττώνοντι περιόριστ ώστε ν γίνοντι μικρότερες πό κάθε ρνητικό πργμτικό ριθμό, κθώς το x πλησιάζει το x. 33. Ποιες πράξεις με το άπειρο τις ορίζουμε ως επιτρεπτές; Έστω x R. Ορίζουμε τις κόλουθες πράξεις: * x + = +, x = * Αν x >,τότε x (+ ) = +, x ( ) = * Αν x <,τότε x (+ ) =, x ( ) = + * x + = x = κι επίσης: * Πρόσθεση: (+ ) + (+ ) = +, ( ) + ( ) = * Πολλπλσισμός: (+ ) (+ ) = +, ( ) ( ) = +, (+ ) ( ) = 34. Ποιες πράξεις κλούντι προσδιόριστες μορφές; Δεν ορίζοντι οι πράξεις:,,, (+ ) + ( ) οι οποίες κλούντι προσδιόριστες μορφές. 35. Ποιες προϋποθέσεις εξρφλίζουν τη συνέχει της f(x) στο x R; Η συνέχει της f σε έν σημείο x R, εξσφλίζετι με τρεις προϋποθέσεις: i. Το x νήκει στο πεδίο ορισμού της f, δηλδή υπάρχει στο R το f(x ). ii. Υπάρχει στο R το lim f(x), δηλδή τ δυο πλευρικά όρι της f, ότν x x υπάρχουν στο R κι είνι ίσ. iii. Ισχύει ότι lim f(x) = f(x )

9 1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΟΣ Ποιος είνι ο ορισμός της συνέχεις συνάρτησης f στο σημείο x R; Έστω R, κι x A. Θ λέμε ότι η συνάρτηση f : A R είνι συνεχής στο x, ν κι μόνο ν ισχύει ότι: lim f(x) = f(x ) 37. Ποι είνι τ είδη των σημείων συνέχεις μις συνάρτησης; i. H f συνεχής στο x ότν: * Ορίζετι το f(x ) * Υπάρχει στο R το lim f(x) * lim f(x) f(x ) ii. H f συνεχής στο x ότν: * Ορίζετι το f(x ) * Δεν υπάρχει στο R το lim f(x) γιτί lim + * lim f(x) f(x ) κι lim + f(x) f(x ) f(x) lim f(x) iii. H f συνεχής στο x, συνεχής πό ριστερά ότν: * Ορίζετι το f(x ) * Δεν υπάρχει στο R το lim f(x) γιτί lim * lim f(x) = f(x ) + f(x) lim f(x)

10 1 Μθημτικά Γ Τάξης iv. H f συνεχής στο x, συνεχής πό δεξιά ότν: * Ορίζετι το f(x ) * Δεν υπάρχει στο R το lim f(x) γιτί lim * lim f(x) = f(x ) + + f(x) lim f(x) 38. Πότε μι συνάρτηση είνι συνεχής σε νοιχτό διάστημ (, β); Μι συνάρτηση f : (, β) R λέγετι συνεχής στο διάστημ (, β) ν είνι συνεχής σε κάθε x (, β). 39. Πότε μι συνάρτηση είνι συνεχήςσε κλειστό διάστημ [, β]; Μι συνάρτηση f : [, β] R λέγετι συνεχής στο διάστημ [, β] ν είνι συνεχής σε κάθε x (, β) κι επιπλέον έχουμε ότι: lim f(x) = f() lim x + f(x) = f(β) x β 4. Ποιες είνι οι βσικές συνεχείς συνρτήσεις κι ποι τ διστήμτ συνέχειάς τους; i. f : R R με f(x) = c. Γι κάθε x R ισχύει lim f(x) = lim + f(x) = c = f(x ), δηλδή η f είνι συνεχής στο R.

11 1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΟΣ 11 ii. f : R R με f(x) = x. Γι κάθε x R ισχύει lim f(x) = lim f(x) = x = f(x + ), δηλδή η f είνι συνεχής στο R. iii. f : R R με f(x) = x ν, ν N. Γι κάθε x R ισχύει lim f(x) = lim f(x) = x ν = f(x + ), δηλδή η f είνι συνεχής στο R. iv. f : R R με f(x) = 1 x, ν N. ν Γι κάθε x R ισχύει lim f(x) = lim f(x) = 1 + x ν = f(x ), δηλδή η f είνι συνεχής στο R. v. f : R R με f(x) = ν x ν + ν 1 x ν x + με i R, i ν. Γι κάθε x R ισχύει lim f(x) = lim f(x) = f(x) = νx ν + + ν 1 x ν x + = f(x ), δηλδή η f είνι συνεχής στο R. vi. f : A R με f(x) = P (x) Q(x) Γι κάθε x A ισχύει lim δηλδή η f είνι συνεχής στο A. όπου A = {x R, Q(x) }. f(x) = lim + f(x) = P (x ) Q(x ) = f(x ), vii. f : [, + ) R με f(x) = x, >. Γι κάθε x ισχύει lim f(x) = lim f(x) = x = f(x + ), δηλδή η f είνι συνεχής στο [, + ). viii. f : (, + ) R με f(x) = 1 x, >. Γι κάθε x > ισχύει lim f(x) = lim f(x) = 1 + x = f(x ), δηλδή η f είνι συνεχής στο (, + ). ix. f : R R με f(x) = x, < 1. Γι κάθε x R ισχύει lim f(x) = lim f(x) = x = f(x ), + δηλδή η f είνι συνεχής στο R. x. f : (, + ) R με f(x) = log x, < 1. Γι κάθε x > ισχύει lim f(x) = lim f(x) = log + x = f(x ), δηλδή η f είνι συνεχής στο (, + ). xi. f : R [ 1, 1] με f(x) = ημx. Γι κάθε x R ισχύει lim f(x) = lim f(x) = ημx = f(x + ), δηλδή η f είνι συνεχής στο R. xii. f : R [ 1, 1] με f(x) = συνx. Γι κάθε x R ισχύει lim f(x) = lim f(x) = συνx = f(x + ), δηλδή η f είνι συνεχής στο R. xiii. f : R { κπ + π 2, κ Z} R με f(x) = εφx. Γι κάθε x R { κπ + π 2, κ Z}

12 12 Μθημτικά Γ Τάξης ισχύει lim f(x) = lim f(x) = εφx = f(x + ), δηλδή η f είνι συνεχής στο R { κπ + π 2, κ Z}. xiv. f : R { κπ + π 2, κ Z} R με f(x) = σφx. Γι κάθε x R {κπ, κ Z} ισχύει lim f(x) = lim f(x) = σφx = f(x + ), δηλδή η f είνι συνεχής στο R {κπ, κ Z}. 41. Ποιες είνι οι ιδιότητες των συνεχών συνρτησεων; Αν οι συνρτήσεις f, g : A R είνι συνεχείς στο σημείο x A με A R. i. Η συνάρτηση h(x) = f(x) + g(x) είνι συνεχής στο x. ii. H συνάρτηση h(x) = f(x) g(x) είνι συνεχής στο x. iii. Η συνάρτηση h(x) = κ f(x) είνι συνεχής στο x, γι κάθε κ R. iv. Η συνάρτηση h(x) = f(x) g(x) είνι συνεχής στο x. v. Αν g(x ), η συνάρτηση h(x) = f(x) g(x) είνι συνεχής στο x. vi. Η συνάρτηση h(x) = f(x) είνι συνεχής στο x. vii. Η συνάρτηση h(x) = κ f(x) με f(x) είνι συνεχής στο x. 42. Έστω η f : A R κι g : B R συνεχείς με f(a) B. Είνι η σύνθεσή τους συνεχής; Έστω συνρτησεις f : A R κι g : B R με f(a) B. Αν η f είνι συνεχής στο x A κι η g στο f(x ) B, τότε κι η σύνθεσή τους g f : A R είνι συνεχής στο x. 43. Αν μι συνάρτηση f εκφράζει τη σχέση μετξύ δύο μεγεθών x κι y ως y = f(x) τότε πώς εκφράζετι η μέση τιμή της μετβολής του x; Δώστε έν πράδειγμ. Θεωρούμε δυο σημεί A(x, f(x )) κι B(x + h, f(x + h)) της C f. Η διφορά f(x + h) f(x ) f(x ) εκφράζει τη μετβολή του μεγέθους y, που ντιστοιχεί στη μετβολή h του μεγέθους x. Ο λόγος: f(x + h) f(x ) h εκφράζει τη μέση τιμή της μετβολής του μεγέθους y. Αν x είνι η ποσότητ ενός πργόμενου προϊόντος, τότε θεωρούμε τις συνρτήσεις K(x) κόστους κι P (x) κέρδους. Άρ τ πηλίκ K(x + h) K(x ), h P (x + h) P (x ) h

13 1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΟΣ 13 είνι η μέση τιμή κόστους κι η μέση κέρδους, νίστοιχ. 44. Πότε μι συνάρτηση είνι πργωγίσιμη σε σημείο x του πεδίου ορισμού της f; Τι ονομάζετι πράγωγος της συνάρτησης f σε σημείο x του πεδίου ορισμού της f; Μι συνάρτηση f λέγετι πργωγίσιμη σε έν σημείο x του πεδίου ορισμού της, ν υπάρχει το όριο: f(x + h) f(x ) lim h h κι είνι πργμτικός ριθμός. Τότε συμβολίζουμε το όριο υτό f (x ) κι το ονομάζουμε πράγωγο της f στο x. Η πράγωγος της f στο x εκφράζει το ρυθμό μετβολής της f στο x. 45. Ποι είνι νγκί κι ικνή συνθήκη ώστε μι συνάρτηση ν είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο x του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο x του πεδίου ορισμού της, ν κι μόνο ν υπάρχει f(x + h) f(x ) lim h h κι είνι πργμτικός ριθμός. Δηλδή, ν υπάρχουν τ πλευρικά όρι: f(x + h) f(x ) f(x + h) f(x ) lim, lim h h h + h κι είνι ίσ με τον ίδιο πργμτικό ριθμό. 46. Είνι κάθε πργωγίσιμη συνάρτηση σε έν σημειο x του πεδίου ορισμού της, πρίτητ συνεχής στο x ; Το ντίστροφο ισχύει; Αιτιολογήστε την άποψή σς. Κάθε πργωγίσιμη συνάρτηση σε έν x του πεδίου ορισμού της είνι συνεχής στο x. Το ντίστροφο δεν ισχύει. Γι πράδειγμ η f(x) = x είνι συνεχής στο x = φού lim x f(x) = = f(). Όμως η f(x) δεν είνι πργωγίσιμη στο, φού ενώ, f( + h) f() lim h h f( + h) f() lim h + h = lim h h h = lim h + h h h = lim h h = 1 = lim h + h h = 1

14 14 Μθημτικά Γ Τάξης 47. Ποι σημεί ονομάζοντι γωνικά κι γιτί; Τ σημεί του πεδίου ορισμού μις συνάρτησης f στ οποί η f είνι συνεχής λλά δεν είνι πργωγίσιμη, ονομάζοντι γωνικά σημεί. Αυτό γιτί σε υτά τ σημεί η γρφική πράστση της f σχημτίζει γωνίες. 48. Τι ονομάζουμε ρυθμό μετβολής μεγέθους y ως προς x γι την τιμή x = x ; Αν δυο μεγέθη x, y συνδέοντι με τη συνάρτηση f, έτσι ώστε y = f(x) κι η f είνι πργωγίσιμη στο x, τότε η πράγωγος f (x ) εκφράζει το ρυθμό μετβολής του μεγέθους y ως προς x, γι τη συγκεκριμένη τιμή x = x. 49. Ανφέρετε πρδείγμτ ρυθμού μετβολής.. Επιτάχυνση Θεωροούμε έν κινητό του οποίου η τχύτητ δίνετι πό τη συνάρτηση v(t). Τότε τη χρονική στιγμή t ο ρυθμός μετβολής της τχύτητς είνι v(t + h) v(t ) lim h h = v (t ) κι εκφράζει την επιτάχυνση του κινητού τη χρονική στιγμή t. β. Ορικό κόστος - Ορικό κέρδος Αν x είνι η ποσότητ ενός πργόμενου προϊόντος, τότε θεωρούμε τις συνρτήσεις K(x) κόστους κι P (x) κέρδους. Άρ τ πηλίκ K(x + h) K(x ), h P (x + h) P (x ) h εκφράζουν το μέσο κόστος κι το μέσο κέρδος, ντίστοιχ. Ότν η μετβολή της πργόμενης ποσότητς x τείνει στο μηδέν (h ), τ πρκάτω όρι εκφράζουν το ορικό κόστος κι το ορικό κέρδος, ντίστοιχ, γι την πργόμενη ποσότητ προϊόντος x. K K(x + h) K(x ) (x ) = lim h h P P (x + h) P (x ) (x ) = lim h h 5. Ποτε ορίζετι η πράγωγος συνάρτηση f της f : (, β) R; Έστω μι συνάρτηση f κι (, β) υποσύνολο του πεδίου ορισμού της. Τότε ορίζετι η πράγωγος συνάρτηση f : (, β) R, ν κι μόνο ν η f είνι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο του συνόλου (, β).

15 1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΟΣ Πότε ορίζετι η πράγωγος συνάρτηση f της f : [, β] R; Έστω μι συνάρτηση f κι [, β] υποσύνολο του πεδιου ορισμού της. Τότε ορίζετι η πράγωγος συνάρτηση f : [, β] R, ν κι μόνο ν * Η f είνι πργωγίσιμη γι κάθε x, β) * Υπάρχουν τ πλευρικά όρι: κι είνι πργμτικοί ριθμοί. f( + h) f() f(β + h) f(β) lim, lim h + h h h 52. Ποιες είνι οι βσικές πράγωγοι συνρτήσεις; Συνάρτηση f Πράγωγος συνάρτηση f c (στθερά) x 1 x R, x > x 1 ημx συνx x -ημx e x e x ln x x > 1 x 53. Ποιοι είνι οι κνόνες πργώγισης; Αν οι συνρτήσεις f, g : A R είνι πργωγίσιμες στο πεδίο ορισμού τους A, τότε κι οι συνρτήσεις f + g, f g, cf, f g με c R κι f g με g(x) γι κάθε x είνι πργωγίσιμες στο κι ισχύουν οι κόλουθοι κνόνες πργώγισης: i. (f + g) (x) = f (x) + g (x) ii. (f g) (x) = f (x) g (x) iii. (cf) (x) = c f (x) iv. (f g) (x) = f (x)g(x) + f(x)g (x) ( ) v. f g (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) [g(x)] Διτυπώστε τον κνόν πργώγισης. Έστω οι συνρτήσεις f : A R κι g : B R με f(a) B. Αν η f είνι πργωγίσιμη σε κάθε x A κι η g πργωγίσιμη σε κάθε f(x) B, τότε η σύνθεσή τους g f : A R είνι πργωγίσιμη στο A κι ισχύει ότι (g f) (x) = g (f(x)) f (x)

16 16 Μθημτικά Γ Τάξης. 55. Τι ονομάζουμε δεύτερη πράγωγο μις πργωγίσιμης συνάρτησης f; Αν μι συνάρτηση f : A R είνι πργωγίσιμη στο A κι η πράγωγος συνάρτηση f : A R είνι υτή πργωγίσιμη στο A, τότε ορίζετι η δεύτερη πράγωγος f : A R της συνάρτησης f, ώστε f (x) = (f (x)). 56. Ποι συνάρτηση ονομάζουμε πράγουσ της f : Δ R ; Έστω συνάρτηση f : Δ R, όπου Δ διάστημ του R. Αν υπάρχει πργωγίσιμη συνάρτηση F : Δ R, τέτοι ώστε: F (x) = f(x), γι κάθε x Δ τότε η F λέγετι πργουσ συνάρτηση της f στο διάστημ Δ. 57. Υπάρχει μονδική πράγουσ της f : Δ R ; Δίνετι η συνάρτηση f : R, με διάστημ του R κι F μι πράγουσ της f. Τότε οποιδήποτε άλλη πράγουσ της f είνι της μορφης F+c, όπου c R στθερά. 58. Γράψτε τις πράγουσες των βσικών συνρτήσεων. Οι πράγουσες των βσικών συνρτήσεων είνι οι εξής: Συνάρτηση f Πράγωγουσ συνάρτηση F c 1 x + c x x 1, x > c 1 x x > ln x + c e x e x + c ημx -συνx + c συνx ημx + c 1 συν 2 x x κπ + π 2 εφx 1 ημ 2 x x κπ, κ Z -σφx + c 59. Πότε μι συνάρτηση f ονομάζετι γνησίως άυξουσ σε έν (, β) του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση λέγετι γνησίως ύξουσ σε έν διάστημ (, β) του πεδίου ορισμού της ν γι οποιδήποτε x 1, x 2 (, β) ισχύει ότι f(x 1 ) < f(x 2 ), εφόσον x 1 < x 2. Αυτό σημίνει ότι κθώς υξάνετι η x, υξάνοντι κι οι τιμές της f(x). 6. Πότε μι συνάρτηση f ονομάζετι γνησίως φθίνουσ σε έν (, β) του πεδίου ορισμού

17 1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΟΣ 17 της; Μι συνάρτηση λέγετι γνησίως φθίνουσ σε έν διάστημ (, β) του πεδίου ορισμού της ν γι οποιδήποτε x 1, x 2 (, β) ισχύει ότι f(x 1 ) > f(x 2 ), εφόσον x 1 < x 2. Αυτό σημίνει ότι κθώς υξάνετι η x, μειώνοντι οι τιμές της f(x). 61. Πότε μι πργωγίσιμη συνάρτηση f : (, β) R είνι i. Γνησίως ύξουσ στο (, β); ii. Γνησίως φθίνουσ στο (, β); iii. Στθερή στο (, β); Έστω πργωγίσιμη συνάρτηση f : (, β) R. i. Αν f (x) >, γι κάθε x (, β), τότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο (, β). ii. Αν f (x) <, γι κάθε x (, β), τότε η f είνι γνησίως φθίνουσ στο (, β). iii. Αν f (x) =, γι κάθε x (, β), τότε η f είνι στθερή στο (, β). 62. Έστω f πργωγίσιμη συνάρτηση κι γνησίως ύξουσ στο (, β). Ισχύει ότι f (x) > γι κάθε x (, β); Δεν ισχύει εν γένει. Ανφέρουμε το πρκάτω ντιπράδειγμ. Θεωρούμε τη συνάρτηση f(x) = x 3 κι f (x) = 3x 2. Έστω x 1, x 2 R με την ιδιότητ x 1 < x 2. Τότε έχουμε: x 1 < x 2 x 1 3 < x 2 3 f(x 1 ) < f(x 2 ) Άρ η f είνι γνησίως ύξουσ στο R. Όμως δεν ισχυει f (x) > γι κάθε x R, φού f () = 3 2 =. 63. Πότε θ λέμε ότι μι συνάρτηση f προυσιάζει τοπικό μέγιστο σε έν x του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f προυσιάζει τοπικό μέγιστο στο σημείο x = x του πεδίου ορισμού της, ν υπάρχει νοιχτό διάστημ (, β) που περιέχει το x, τέτοιο ώστε γι κάθε x (, β). f(x) f(x ) 64. Πότε θ λέμε ότι μι συνάρτηση f προυσιάζει τοπικό ελάχιστο σε έν x του πεδίου ορισμού της; Μι συνάρτηση f προυσιάζει τοπικό ελάχιστο στο σημείο x = x του πεδίου ορισμού της, ν υπάρχει νοιχτό διάστημ (, β) που περιέχει το x, τέτοιο ώστε f(x) f(x )

18 18 Μθημτικά Γ Τάξης γι κάθε x (, β). 65. Διτυπώστε το Θεώρημ του Fermat. Ισχύει το ντίστροφο; Αν η συνάρτηση f προυσιάζει τοπικό κρόττο σε έν εσωτερικό σημείο x του πεδίου ορισμού της κι είνι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, τότε f (x ) =. Το ντίστροφο δεν ισχύει. Δηλδή ν έχουμε μι f πργωγίσιμη στο x κι ισχύει f (x ) =, υτό δε σημίνι πρίτητ ότι η συνάρτηση προυσιάζει στο x τοπικό κρόττο. Αντιπράδειγμ Θεωρούμε την f(x) = x 3 που είνι πργωγίσιμη στο R κι f (x) = 3x 2. Ενώ ισχυει ότι f () = η f δεν προυσιάζει τοπικό κρόττο στο. 66. Ποιες είνι οι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων μις συνάρτησης f; Υπάρχουν τρεις κτηγορίες σημείων γι μι συνεχη συνάρτηση f, που μπορεί ν θεωρηθούν ως πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων: i. Τ άκρ διστημάτων που ποτελούν το πεδιο ορισμού της f. ii. Τ γωνικά σημεί της f δηλδή τ εσωτερικά σημεί του πεδίου ορισμού της f στ οποί δεν υπάρχει η πράγωγος της f. iii. Τ στάσιμ σημεί της f δηλδη τ εσωτερικά σημεί του πεδίου ορισμού της f στ οποί υπάρχει η πράγωγος της f κι είνι ίση με. 67. Ποι σημεί ονομάζοντι κρίσιμ μις συνάρτησης f; Κρίσιμ σημεί μις συνάρτησης f είνι τ γωνικά σημεί (δηλδή τ εσωτερικά σημεί του πεδίου ορισμού της f στ οποί δεν υπάρχει η πράγωγος της f) κι τ στάσιμ σημεί (δηλδη τ εσωτερικά σημεί του πεδίου ορισμού της f στ οποί υπάρχει η πράγωγος της f κι είνι ίση με ). 68. Διτυπώστε το κριτήριο της 1ης Πργώγου γι τη μελέτη τοπικών κροτάτων μις συνεχούς συνάρτησης f. Έστω συνεχής συνάρτηση f : (, β) R κι x έν κρίσιμο σημείο της. Αν υπάρχει η f (x) στ (, x ) κι (x, β) τότε: i. Αν f (x) > στο (, x ) κι f (x) < στο (x, β), τότε το f(x ) είνι τοπικό μέγιστο της f. ii. Αν f (x) < στο (, x ) κι f (x) > στο (x, β), τότε το f(x ) είνι τοπικό ελάχιστο της f. i. Αν η f (x) διτηρεί στθερό πρόσημο στο (, x ) (x, β), τότε το f(x ) δεν είνι τοπικό κρόττο κι η f είνι γνησίως μονότονη στο (, β).

19 1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΟΣ Διτυπώστε το κριτήριο 2ης Πργώγου γι τη μελέτη των τοπικών κροτάτων μις συνάρτησης f. Έστω συνεχής συνάρτηση f : R κι x έν στάσιμο σημείο της f. Αν η f είνι δύο φορές πργωγίσιμη στο x, τότε προυσιάζει τοπικό μέγιστο στ x ν f (x ) <, ενώ προυσιάζει τοπικό ελάχιστο στο x ν f (x ) >. 7. Ποιο κριτήριο χρησιμεύει γι τη μελέτη τοπικών κροτάτων στ άκρ διστήμτος κι ποιο μόνο γι στάσιμ σημει κι γιτί; Το κριτήριο 1ης Πργώγου χρησιμεύει στη μελέτη τοπικών κροτάτων σε όλ τ σημεί, όπως κι στ άκρ διστήμτος. Αντίθετ το κριτήριο 2ης πργώγου χρησιμεύει μόνο γι μελέτη σε στάσιμ σημεί, φού πό τ πιθνά κρόττ μόνο υτά μπορεί ν έχουν δεύτερη πράγωγο. 71. Πώς ορίζετι το ορισμένο ολοκλήρωμ της f πό το στο β; Πότε εκφράζει εμβδό; Έστω συνεχής συνάρτηση f : [, β] R με πράγουσ συνάρτηση F. Τη στθερή διφορά F (β) F () ονομάζουμε ορισμένο ολοκλήρωμ της συνάρτησης f πό το ως το β κι το συμβολίζουμε με: κι συμβολίζουμε β f(x)dx β f(x)dx = [F (x)] β = F (β) F () Αν η διφορά F (β) F () είνι θετική τότε εκφράζει το εμβδό του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f τις ευθείες x =, x = β κι τον άξον x x. 72. Πότε μι συνάρτηση f είνι ολοκληρώσιμη σε διάστημ [, β]; Μι συνάρτηση f είνι ολοκληρώσιμη σε έν διάστημ [, β], ότν είνι συνεχής σε υτό το διάστημ. 73. Ποιες είνι οι ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώμτος; Έστω συνάρτηση f συνεχής στο [, β]. Ισχύουν οι κόλουθες ιδιότητες γι το ορισμένο ολοκλήρωμ: i. β cdx = c(β ), ii. β f(x)dx = γ f(x)dx + β iii. f(x)dx = iv. β f(x)dx = β f(x)dx όπου c στθερά. γ f(x)dx, όπου < γ < β

20 2 Μθημτικά Γ Τάξης v. β [λf(x) + μg(x)]dx = λ β f(x)dx + μ β g(x)dx, λ, μ R Άμεσες συνέπειες του πρπάνω: * β λf(x)dx = λ β f(x)dx * β [f(x) + g(x)]dx = β f(x)dx + β g(x)dx vi. Αν f(x), γι κάθε x [, β], τότε β f(x)dx vii. Αν f(x) g(x), γι κάθε x [, β], τότε β f(x)dx β g(x)dx 74. Υπολογίστε τ ολοκληρώμτ των βσικών συνρτησεων. * β 1dx = [x]β = β * [ ] β β xκ dx = * β x κ+1 κ+1 1 x dx = [ln x]β = β κ+1 κ+1 κ+1, με κ R { 1}, β > > = ln β ln, β > > * β ex dx = [e x ] β = e β e * β συνxdx = [ημx]β = ημβ ημ * β ημxdx = [ συνx]β = συνβ + συν 75. Υπολογίστε τ ολοκληρώμτ των βσικών σύνθετων συνρτήσεων. * β * β [, β] * β g (x) g 2 (x) dx = [ 1 g(x) ]β = 1 g(β) + 1 g(), όπου g(x) γι κάθε x [, β] g (x) g(x) dx = [2 g(x)] β = 2( g(β) g()), όπου g(x) > γι κάθε x g (x) g(x) dx = [ln(g(x))]β = ln(g()) ln(g(β)), όπου g(x) > γι κάθε x [, β] * β gκ (x)g (x)dx = [ (g(x))κ+1 κ+1 ] β = (g(β))κ+1 (g()) κ+1 κ+1, όπου κ R { 1} κι g(x) > γι κάθε x [, β] * β eg(x) g (x)dx = [e g(x) ] β = e g(β) e g() 76. Ποιος είνι ο τύπος της πργοντικής ολοκλήρωσης; Έστω δύο συνεχείς συνρτήσεις f, g : [, β] R με συνεχείς πργώγους f, g. Τότε ισχύει ότι: β f (x)g(x)dx = [f(x)g(x)] β β f(x)g (x)dx

21 1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΟΣ Πως υπολογίζουμε το εμβδό χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση μις ολοκληρώσιμης συνάρτησης κι τον άξον x x; Έστω μι ολοκληρώσιμη συνάρτηση f στο διάστημ [, β]. Το επίπεδο χωρίο του οποίου θ υπολογίζουμε το εμβδό είνι μετξύ της γρ. πράστσης της f(x) του άξον x x κι είτε των δοσμένων ευθειών x = κι x = β, είτε των σημείων τομής της γρ. πράστσης της f με τον άξον x x. Ας υποθέσουμε ότι τ σημεί τομής υτά είνι τ (, ) κι (β, ) γι χάρη πλότητς (με < β). Τότε: * 1η περίπτωση: Αν f(x) > γι κάθε x (, β) το εμβδό δίνετι πό τον τύπο: E = β f(x)dx

22 22 Μθημτικά Γ Τάξης * 2η περίπτωση: Αν f(x) < γι κάθε x (, β) το εμβδό δίνετι πό τον τύπο: E = β [ f(x)]dx = β f(x) * 3η περίπτωση: Αν η f(x) δε διτηρεί στθερό πρόσημο στο διάστημ [, β], τότε το εμβδό δίνετι πό τον τύπο E = γ f(x)dx, στο διάστημ (, γ) [, β] που η f έχει θετικό πρόσημο κι E = β γ f(x)dx, στο διάστημ (γ, β) [, β] που η f έχει ρνητικό πρόσημο.

23 1ο ΕΠΑΛ ΣΑΛΑΜΙΝΟΣ 23 Τελικά το εμβδό που περικλείετι μετξύ της γρ. πράστσης της f(x) του άξον x x κι είτε των δοσμένων ευθειών x = κι x = β δίνετι πό τον τύπο: E = β f(x) dx 78. Πώς υπολογίζουμε το εμβδό του χωρίου που βρίσκετι μετξύ δύο ολοκληρώσιμων γρ. πρστάσεων f κι g κι των ευθειών x =, x = β ; Έστω δύο συνρτήσεις f, g ολοκληρώσιμες στο διάστημ [, β]. Τότε το εμβδό του χωρίου που περικλείετι μετξύ των δύο γρ. πρστάσεων των f, g κι των ευθειών x =, x = β δίνετι πό τον τύπο: E = β f(x) g(x) dx Πιο νλυτικά: E = d c [f(x) g(x)]dx, στ διστήμτ (c, d) [, β] που η f(x) > g(x) κι E = b l [g(x) f(x)]dx, στ διστήμτ (l, b) [, β] που η f(x) < g(x) Γι πράδειγμ: Αν οι συνρτήσεις f, g είνι ολοκληρώσιμες στο διάστημ [, β] κι f(x) > g(x) γι κάθε x (, γ) (δ, β) κι f(x) < g(x) γι κάθε x (γ, δ) με < γ < δ < β. Τότε το εμβδό του χωρίου που περικλείετι πό τις γρ. πράστσεις των f κι g

24 24 Μθημτικά Γ Τάξης κι τις ευθείες x =, x = β, βρίσκετι πό τον τύπο E = β f(x) g(x) dx = γ [f(x) g(x)]dx+ δ γ [g(x) f(x)]dx+ β δ [f(x) g(x)]dx

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σττιστική είνι ο κλάδος των µθηµτικών που συγκεντρώνει στοιχεί τ τξινοµεί κι τ προυσιάζει σε κτάλληλη µορφή ώστε ν µπορούν ν νλυθούν κι ν ερµηνευτούν. Πληθυσµός είνι το σύνολο των

Διαβάστε περισσότερα

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3 Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ ΘΕΜΑ Α Επνληπτικό Διγώνισµ Μθηµτικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ Α. Ν δώσετε τον ορισµό της συχνότητς κι της σχετικής συχνότητς µις πρτήρησης x i. (7 Μονάδες) Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo. Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto.

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ. www.1proto.gr. www.1proto. 1 Τ πρκάτω είνι τ κυριότερ θεωρήμτ κι ορισμοί πό το σχολικό βιβλίο κολουθούμεν πό δικά μς σχόλι. 1 ο ΠΡΩΤΟ 2 Συνρτήσεις Γνησίως μονότονη συνάρτηση Μι γνησίως ύξουσ ή γνησίως φθίνουσ συνάρτηση λέμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά; ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015 ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΘΕΜΑ Α. Γι μι συνεχή συνάρτηση f ν γράψετε τις τρείς κτηγορίες σημείων, τ οποί εινι πιθνές θέσεις τοπικών κροτάτων. (6 Μονάδες). Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ

ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς

Διαβάστε περισσότερα

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a, ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση

Διαβάστε περισσότερα

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της συνάρτησης

Η έννοια της συνάρτησης Η έννοι της συνάρτησης Τι ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση; Έστω Α έν υποσύνολο του R Ονομάζουμε πργμτική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί (κνόν), με την οποί κάθε στοιχείο A ντιστοιχίζετι σε έν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009. ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 9. ΘΕΜΑ ο Α. Έστω, Δ. Δικρίνουμε τις περιπτώσεις: Αν =, τότε f( ) = f( ). Αν

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τάξη Γ Κεφάλιο Ολοκληρωτικός Λογισμός Θεωρί-Μεθοδολογί-Ασκήσεις Κεφάλιο 3 Ολοκληρωτικός Λογισμός Σε κάθε μί πό τις πρκάτω περιπτώσεις ορίζετι πό τη γρφική πράστση μις τουλάχιστον συνάρτησης κι πό κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Τι οομάζετι πληθυσμός μις σττιστικής έρευς; Οομάζετι το σύολο τω τικειμέω (έμψυχω ή άψυχω γι τ οποί συλλέγοτι στοιχεί.. Τι οομάζετι άτομο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)

Διαβάστε περισσότερα

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 4 Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ: 5 + d (988) 4 Αν I v π 4 v = εϕ d, ν Ν*, τότε: ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ν>, ισχύει: Iv = Iv v β) Ν υπολογίσετε το Ι 5 (99) 4 Ν βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 24 ΜΑΪΟΥ 202 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑ.Λ. Α ΟΜΑ ΑΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑ.Λ. Α ΟΜΑ ΑΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑ.Λ. Α ΟΜΑ ΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Α. Τι ονοµάζετι εύρος µις µετβλητής; Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς, δίπλ στο γράµµ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονί συνάρτησης Οι έννοιες γνησίως ύξουσ συνάρτηση, γνησίως φθίνουσ συνάρτηση είνι γνωστές πό προηγούμενη τάξη Συγκεκριμέν,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Πράγουσ συνάρτηση ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ.

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αρχική συνάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ ονομάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιμη στο

Διαβάστε περισσότερα

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E.

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E. ΘΕΜΑ Α Α i Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 ii Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελίδ 85 Α3 Ισχύει ότι 7 3 7 ()d ()d ()d () 3 Στο,3 είνι () οπότε το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό την κι τις ευθείες, 3

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: 3 η ΤΑΞΗ ΕΠΑ.Λ. (Β ΟΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 4 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον just f ( u) du it Πτρόκλου 66 Ίλιον 637345 6944 www.group group-aei aei.gr Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς Ν χρκτηρίσετε τ πρκάτω, σηµειώνοντς Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν z, z C, τοτε zz = zz. Η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 3ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 17-18 Θέμ A Α1 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ β ν ποδείξετε ότι: f t dt G β G Α Πότε μι συνάρτηση λέγετι 1-1; Α3 Πότε μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης:

( ) 2.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισμός συνάρτησης: Πγκόσμιο χωριό γνώσης.3. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.3.1. Ορισμός συνάρτησης: 6 Ο ΜΑΘΗΜΑ Συνάρτηση f / A B, ονομάζετι η διδικσί (νόμος ) που ντιστοιχίζει κάθε στοιχείο του συνόλου Α ( πεδίο ορισμού ) σε έν μόνο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΚΑΜΠΟΥΡΗΣ ΘΕΟΔΩΡΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει

Διαβάστε περισσότερα

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1. Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ εθοδολογί Πρδείγµτ σκήσεις πιµέλει.: άτσιος ηµήτρης ΡΩ-Ρ ΡΩ διότητες: Ρ Πρδείγµτ:. υπολογίσετε τ πρκάτω ολοκληρώµτ: 5 d d συν π ( + ) d 4 Π ΡΩ ΡΩΩ. d c 6. d. d. d 4. d 5. συνd f '( ) d f ( ) + c. ηµ συν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.

2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i. . Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,

Διαβάστε περισσότερα

4o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

4o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016 wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ A 4o Επνληπτικό Διγώνισμ 6 Διάρκει: ώρες Α Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ,, με εξίρεση ίσως έν σημείο του f διτηρεί πρόσημο στο,,, ν,στο οποίο όμως η f είνι συνεχής Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω συνεχής συνάρτηση f:[ α, β ] με παράγουσα συνάρτηση F. Τι ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f από το α έως το β;

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω συνεχής συνάρτηση f:[ α, β ] με παράγουσα συνάρτηση F. Τι ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f από το α έως το β; Ανκτήθηκε πό την Εκπιδευτική Κλίμκ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β

Διαβάστε περισσότερα

Επανάληψη Τελευταίας Στιγμής. για εξάσκηση

Επανάληψη Τελευταίας Στιγμής. για εξάσκηση Επνάληψη Τελευτίς Στιγμής. γι εξάσκηση kanellopoulos@hotmail.com 5/4/ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Eπνάληψη Θεωρίς Ερωτήσεις με βάση το σχολικό βιβλίο ) Πότε δύο μιγδικοί ριθμοί βi κι γ δi είνι ίσοι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επνληπτικό Διγώνισμ Μθημτικών Γενικής Πιδείς Γ Λυκείου Θέμ A Α. Ν ποδείξετε ότι η πράγωγος της συνάρτησης f(x)=x ισούτι με x, δηλδή(x ) =x. (6 μονάδες) A. Ν δώσετε τον ορισμό:. του ξιωμτικού ορισμού της

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές . ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.

Διαβάστε περισσότερα

µε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x

µε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x 998 ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f: ικνοποιεί τη σχέση f(f()) +f ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι «έν προς έν». β) Ν λύσετε την εξίσωση f( 3 + ) f(4 ),. 3 () + 3,. ) Έστω, µε f( ) f( ). Τότε f(f( )) f(f( )) κι f 3 (

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (7 /5/ 4) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μι συνάρτηση f ορισμένη σ' έν διάστημ Δ κι έν εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είνι πργωγίσιμη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω συνεχής συνάρτηση f:[ α, β ] με παράγουσα συνάρτηση F. Τι ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f από το α έως το β;

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω συνεχής συνάρτηση f:[ α, β ] με παράγουσα συνάρτηση F. Τι ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f από το α έως το β; ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΠΕΜΠΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.

Ιόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ. Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε

Η συνάρτηση F(x)= 13/3/2010 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είναι συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε Μθημτικός Η συνάρτηση F()= //200 ΘΕΩΡΗΜΑ Αν f είνι συνάρτηση συνεχής σε διάστημ Δ κι είνι έν σημείο του Δ, τότε η συνάρτηση F()=, Δ είνι μι πράγουσ της f στο Δ. Δηλδή ισχύει: = f() γι κάθε Δ. (H πργώγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1

ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. * Αν η γρφική πράστση µις συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήµ, τότε λάθος είνι Α. lim f () = 4 B. lim f () = 1 1 1 Γ. lim f () =. f ( 1) = 1 4 0 1 1 1 E. f (1) = 4.

Διαβάστε περισσότερα

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής, Μθημτικά κτεύθυνσης Γ Λυκείου ο Διγώνισμ διάρκεις ωρών στις Συνρτήσεις κι τ Όρι Οκτώβριος Θέμ Α Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο

Διαβάστε περισσότερα

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN

Άτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α &

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Ερώτηση 2: Τι ονομάζεται πληθυσμός και τι άτομα του πληθυσμού; Τι ονομάζεται μέγεθος ενός πληθυσμού και πως συμβολίζεται;

Στατιστική. Ερώτηση 2: Τι ονομάζεται πληθυσμός και τι άτομα του πληθυσμού; Τι ονομάζεται μέγεθος ενός πληθυσμού και πως συμβολίζεται; Σττιστιή Ερώτηση : Τι ονομάζετι σττιστιή; Απάντηση: Σττιστιή είνι ο λάδος των μθημτιών ο οποίος ως έργο έχει τη συγέντρωση στοιχείων, την τξινόμησή τους ι την προυσίσή τους σε τάλληλη μορφή ώστε ν μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ ΜΑΪΟΥ 9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέµ 1ο Α. Έστω µι συνεχής συνάρτηση f ορισµένη σε έν διάστηµ.

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μθητής που έχει μελετήσει το κεφάλιο υτό θ πρέπει ν είνι σε θέση:. Ν γνωρίζει τις έννοιες πράγουσ ή ρχική συνάρτηση, όριστο ολοκλήρωμ κι ν μπορεί ν υπολογίζει πλά όριστ ολοκληρώμτ με τη οήθει των μεθόδων

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ δυδικό η εξετστική περίοδος πό 9/0/5 έως 9/04/5 γρπτή εξέτση στo μάθημ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τμήμ: Βθμός: Ονομτεπώνυμο: Κθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Α. Έστω μι συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Κωνστντόπουλος Κων/νος Μθημτικός ΜSc ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κτεύθυνσης Γ Λυκείου ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ -ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΤΟΥ ου ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΘΕΜΑ Α Α. (i) Βλέπε σχολικό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Γι μθητές Β & Γ Λυκείου ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Πολλές συνρτήσεις μπορούν ν πρστθούν γρφικά, χωρίς τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο : Έστω z, z C με (z ) = κι (z ) = Αν f() ( z )( z )( z )( z ) = κι f(i ) = 64 8i, τότε ν ποδείξετε ότι: ) f( i )

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 6 ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι συνεχής στο, πργωγίσιμη στο κι γι κάθε ισχύει f f ( ) d = e e e Α) Ν ποδείξετε ότι: f = e i) η f είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει ii) f() = e Β)

Διαβάστε περισσότερα

3. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

3. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Πγκόσμι χωριό γνώσης ΜΑΘΗΜΑ. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ.. Έννι της πργώγυ Ορισμός: Αν f/α είνι μι συνάρτηση κι Α, νμάζετι πράγωγς της f στ σημεί κι συμβλίζετι f(), τ όρι: f() f f() () εφόσν βέβι υπάρχει κι νήκει

Διαβάστε περισσότερα

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx

f(x) dx ή f(x) dx f(x) dx ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ

1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Δίνετι το τριώνυμο λ 5 λ 5, όπου λ Ν ποδείξετε ότι η δικρίνουσ του τριωνύμου ισούτι με Δ 4λ 5λ 3 β Ν βρείτε γι ποιες τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x Ν εξετάσετε ν είνι ίσες οι συνρτήσεις f() N ποδείξετε ότι f g, ότν γι κάθε Η συνάρτηση f : f,. 4 σκήσεις έν ερώτημ - σε όλη την ύλη ln κι g ln ln ισχύει η σχέση: είνι περιττή κι ισχύει ότι 4 Ν οριστεί

Διαβάστε περισσότερα

( 0) = lim. g x - 1 -

( 0) = lim. g x - 1 - ν ν ΘΕΜΑ Η πολυωνυµική συνάρτηση ν + ν + + + έχει όριο στο R κι ισχύει lim ν ν Έχουµε lim + + + lim ν ν ν ν lim ν + lim ν + ν ν ν lim + ν lim + + lim + lim ν ν ν + ν + + Εποµένως, lim ΘΕΜΑ Η ρητή συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Η συνάρτηση f() =, 0 Υπερβολή Δύο ποσά λέγοντι ντιστρόφως νάλογ, εάν μετβάλλοντι με τέτοιο τρόπο, που ότν οι τιμές του ενός πολλπλσιάζοντι με ένν ριθμό, τότε κι οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ν διιρούντι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A Έστω µι συνεχής συνάρτηση σ' έν διάστηµ [, β] Αν G είνι µι πράγουσ της στο [, β], τότε ν δείξετε ότι β d Gβ G

Διαβάστε περισσότερα

Σάββατο, 27 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. A.1. Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα Δ. Να αποδείξετε ότι:

Σάββατο, 27 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. A.1. Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα Δ. Να αποδείξετε ότι: Σάββτο, 7 Μΐου 006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o A.. Έστω συνάρτηση, η οποί είνι συνεχής σε έν διάστηµ Δ. Ν ποδείξετε ότι: Αν (>0 σε κάθε εσωτερικό σηµείο x του Δ, τότε η είνι γνησίως ύξουσ σε

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ

f (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) =

Διαβάστε περισσότερα

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι

1. Έςτω f:r R, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη και α,b,c R. Αποδείξτε ότι Έςτω :RR, ςυνεχήσ ςυνάρτηςη κι,,cr Αποδείξτε ότι ) d d β) d d γ) d c c d c c δ) d c c c d ε) d στ) d Απάντηση:, εάν η είνι περιττή d, εάν η είνι άρτι Πρόκειτι γι πολύ βσική άσκηση, που είνι εφρμογή της

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ. ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΑΠΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΝΤΩΝΗΣ ΚΥΡΙΑΚΟΠΟΥΛΟΣ Μθηµτικός Συγγρφές µέλος του Σ της ΕΜΕ Πρόεδρος της Συντκτικής Επιτροπής του περιοδικού «Ευκλείδης Β» ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ Τρυλντώνη 8, 577 Ζωγράφου Τηλ: 747344 747395 email:info@orosimoeu wwworosimoeu ISBN: 978-68-873--4 ΕΚΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τετάρτη, 20 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Τετάρτη, 20 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τετάρτη, Μ ου 9 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o Α. Έστω μί συνάρτηση f ορισμένη σε έν διάστημ Δ. Αν η f είνι συνεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ ισχύει f (), ν ποδείξετε ότι η f είνι

Διαβάστε περισσότερα

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ρρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλει: Τομές Μθημτικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 5 ευτέρ, 5 Μ ου 5 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μι συνάρτηση, η οποί είνι ορισμένη σε έν κλειστό

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Κεφάλιο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f: [, ] πό το έως κι το κι πώς συμολίζετι ; Αν F είνι πράγουσ

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

4.3 ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν κάνουμε την μελέτη ή την γρφική πράστση μις συνάρτησης ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Ότν μς ζητούν κάνουμε την γρφική πράστση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (Οµάδα Α) Θέµα1.Α κυκλώστε το Σ αν η πρόταση είναι σωστή και το Λ αν είναι λάθος

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (Οµάδα Α) Θέµα1.Α κυκλώστε το Σ αν η πρόταση είναι σωστή και το Λ αν είναι λάθος ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (Οµάδ Α) Θέµ.Α κυκλώστε το Σ ν η πρότση είνι σωστή κι το Λ ν είνι λάθος ) σχετική συχνότητ v = v ) Η µέση τιµή µις µετλητής εξρτάτι πο τις κριες τιµές γ) Η διάµεσος νφέρετι

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΑΞΗ Β Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 81 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 8 Α. Ν ποδείξετε ότι ν συν( + β) 0, συν 0 κι συνβ 0 ισχύει: εφ + εφβ εφ( + β) = 1 εφ εφβ Β. Ν χρκτηρίσετε με Σ(σωστό) ή Λ(λάθος)κάθε μι πό τις πρκάτω προτάσεις:. Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5) θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη συνάρτησης f(x) = α x. α f(x) είναι περιττή α 0 x. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση f με f(x),α 0

Μελέτη συνάρτησης f(x) = α x. α f(x) είναι περιττή α 0 x. Να μελετηθεί ως προς την μονοτονία η συνάρτηση f με f(x),α 0 Z. 7. Μελέτη συνάρτησης f() = Απρίτητες γνώσεις Θεωρίς Θεωρί 4. Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση: f() είνι περιττή 0 Απόδειξη: Το πεδίο ορισμού της f είνι το R* R 0 Γι κάθε R*, R* κι f(-) f() ( ) Επομένως η

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ

ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗΣ ΣΤΑΘΗΣ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟ ΒΑΙΗ - ΜΑΥΡΑΓΑΝΗ ΤΑΘΗ ΠΑΝΕΗΝΙΕ ΕΞΕΤΑΕΙ 5 - - Οι πρκάτω σημειώσεις βσίστηκν στ έντυπ του Κ.Ε.Ε. (999 ) κι στη θεμτοδοσί των Πνελλδικών Εξετάσεων στ Μθημτικά Κτεύθυνσης της Γ υκείου. τις επόμενες

Διαβάστε περισσότερα

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ. 995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ

Διαβάστε περισσότερα

ολοκληρωτικος λογισμος

ολοκληρωτικος λογισμος γ λυκειου ` κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο ολοκληρωτικος λογισμος επιμελει : τκης τσκλκος 7 ... ρχικη συνρτηση... ορισμενο ολοκληρωμ... η συνρτηση F()= f()d... εμδον επιπεδου χωριου γιτι...

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I Σε κθεµιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράµµ Α, ν ο ισχυρισµός είνι ληθής κι το γράµµ Ψ, ν ο ισχυρισµός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την πάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 5 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α 7. Έστω συνάρτηση f : R R, η οποί είνι πργωγίσιµη κι κυρτή στο R µε f() κι f () i) Ν ποδείξετε ότι f() γι κάθε R f (t)dt Ν ποδείξετε ότι ηµ Αν επιπλέον ισχύει f () (f()

Διαβάστε περισσότερα

sin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx

sin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx I. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ.Ορισμένο ολοκλήρωμ.πράγουσ.θεμελιώδες Θεώρημ.Βσικά ολοκληρώμτ 5.Γρμμικότητ 6.Ολοκλήρωση με λλγή μετλητής ή με ντικτάστση 7.Ολοκλήρωση κτά μέρη 8.Ολοκληρώμτ ρητών 9.Ολοκληρώμτ τριγωνομετρικών.γενικευμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. I. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σηµεία που να βρίσκονται πάνω από τον άξονα. x x.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. I. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σηµεία που να βρίσκονται πάνω από τον άξονα. x x. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΘΕΜΑΤΑ Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) = ( + ) ( + ) µε κι. I. Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της δεν έχει σηµεί που ν ρίσκοντι πάνω πό τον άξον. II. Ν ποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A 4ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμ A Α Έστω η συνάρτηση Ν ποδείξετε ότι η είνι πργωγίσιμη στο,, δηλδή κι ισχύει Ν ποδείξετε ότι η δεν είνι πργωγίσιμη στο μονάδες 7 A Ν

Διαβάστε περισσότερα

Προτάσεις που χρησιμοποιούνται στη λύση ασκήσεων και χρειάζονται απόδειξη. Πρόταση 1

Προτάσεις που χρησιμοποιούνται στη λύση ασκήσεων και χρειάζονται απόδειξη. Πρόταση 1 Προτάσεις που χρησιμοποιούντι στη λύση σκήσεων κι χρειάζοντι πόδειξη Πρότση 1 Έστω η συνάρτηση f: A R η οποί είνι γνησίως ύξουσ Ν δείξετε ότι ) η f ντιστρέφετι ) η f -1 είνι γνησίως ύξουσ στο f(α) γ) Οι

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτηση 2. Να αποδείξετε ότι η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α + βi και γ + δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους.

Ερωτηση 2. Να αποδείξετε ότι η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α + βi και γ + δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους. Peiramatiko Lukeio Euaggelikc Sqolc Smurnc Tax G, Majmatika Jetikc kai Teqnologikc Kateujunsc, Smeiwseic Jewriac Kajgt c: Oi smei seic autèc eðnai gia sqolik qr s. MporoÔn na anaparaqjoôn kai na dianemjoôn

Διαβάστε περισσότερα