6. VARIABILE ALEATOARE
|
|
- Ευαδνη Καλύβας
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 6. VARIABILE ALEATOARE 6.. Vrble letore. Reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe O vrblă letore este o cttte măsurtă î legătură cu u expermet letor, de exemplu, umărul de produse cu defecţu î producţ zlcă (lură) ue fbrc, umărul de utle defecte îtr-o secţe, umărul de solctţ, l u momet dt, îtr-o bză de provzore, cocetrţ poluăr îtr-u medu chmc etc. Să cosderăm că îtr-u expermet letor s- relzt rezulttul ω ş prtr-o operţe de măsurre, cestu î socem umărul rel f(ω). Î cest mod putem să stblm o fucţe f : Ω R. Acestă fucţe se umeşte vrblă letore dcă mulţme {ω : f(ω) < x} evemetelor elemetre ω petru cre f(ω) < x este u evemet, orcre r f x rel, dcă (6..) {ω : f(ω) < x} K, petru orce x rel. Îtr-o formă m geerlă, fd dt u câmp de probbltte (Ω, K, Ρ), o fucţe f : Ω R se umeşte vrblă letore relă, dcă petru orce mulţme borelă de pe drept relă ( A B R ) f ( A) K. Codţ d defţe, refertore l K, este ecesră petru permte studul probbltăţlor vlorlor lu f, î czul î cre cest re o mulţme ftă su umărblă de vlor su probbltăţlor tervlelor de vlor le lu f, î czul î cre cest re o mulţme ftă eumărblă de vlor. Î czul î cre mulţme Ω este ftă su umărblă, coceptul de vrblă letore cocde cu cel de fucţe relă deftă pe Ω. Vrble letore pot f defte ş pe bz coceptulu echvlet de fucţe măsurblă.
2 Vrble letore - 6 O vrblă letore f : Ω R se umeşte smplă, dcă mulţme vlorlor e f(ω) este ftă. Î cest cz f se pote exprm sub form f x χ, ude { x }, A K x R,f ( Ω) ş fucţ χ A este dctorul mulţm A, dcă:, petru ω A (6..) χa ( ω) 0 petru ω A Evemetele A, A, K, A se pot lege stfel îcât să costtue o desfcere (o prtţe) lu Ω. O vrblă letore f : Ω R se umeşte dscretă dcă mulţme vlorlor e f(ω) este ftă su umărblă. R, B spţu măsurbl cu Fe cum (Ω, K, P) u câmp de probbltte ş ( ) B (geert de mulţmle deschse d R ). O fucţe R } măsurblă f : Ω R se umeşte vector letor -dmesol dcă fml mulţmlor borelee {K, f B R ( A) K B R petru orce A. Petru vectorul letor f este o vrblă letore relă. Dcă f : Ω R este u vector letor tuc fucţ P : B R ( ) deftă pr P ( A) P f ( A) R A f R f este o probbltte pe B ş se umeşte reprtţ R (dstrbuţ) vectorulu letor f. D cele de m sus rezultă că fecăre vrble letore (vector letor) î corespude o probbltte pe ( R,B R ), respectv ( R ),B de ude rezultă mportţ studulu cestor probbltăţ, l cre se R reduce, de ltfel, studul vrblelor letore cu vlor î R ( R ). Propozţ. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltăţ ş f : Ω R o vrblă letore. Atuc u loc: {ω Ω : f(ω) x} K, {ω Ω : f(ω) x} K ş {ω Ω : f(ω) > x} K, orcre r f x R Demostrţ rezultă d fptul că orcre d fml de tervle {(-, x] : x R}, {[x, + ) : x R}, {(x, + ) : x R} costtue ssteme de geertor petru B. R
3 6.. Vrble letore. reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe 3 Propozţ. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte ş f, g : Ω R două vrble letore. Atuc: {ω Ω : f(ω) < g(ω)} K, {ω Ω : f(ω) g(ω)} K, {ω Ω : f(ω) g(ω)} K Demostrţe: Să otăm cu r, r,k şrul umerelor rţole. Atuc: U : k k. k {ω Ω : f(ω) < g(ω)} { ω Ω f ( ω) < r } I { ω Ω : r < g( ω) } Teorem. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte. Dcă k, α R, α > 0 ş f, g sut vrble letore rele (f, g : Ω R), tuc f + g, f - g, f g, g dcă g 0, f + k, kf, f α sut de semee vrble letore. Teorem. Dcă ( f ) este u şr de vrble letore rele ( f : Ω R) ş fucţ f deftă pe Ω cu vlor î R este lmt puctulă şrulu ( f ), dcă f( ω) f ( ω) lm petru orce ω Ω, tuc f este desemee o vrblă letore relă. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte. Dcă mulţme vlorlor ue vrble letore f : Ω R coţe u tervl mărgt su emărgt (re crdlul strct m mre decât cel l umerelor turle), tuc vrbl letore se umeşte cotuă, de exemplu, dcă o vrblă letore repreztă tempertur îtr-u proces de prelucrre termcă, tuc cest vrză îtr-u tervl, dec vrbl este u cotuă. M sus m prezett câtev defţ ş propretăţ utle le vrblelor letore, cre se găsesc expuse m pe lrg ş m complet î cursurle ş trttele de teor probbltăţlor. Nu vom sst supr cestor, m les d motvul că î plcţle prctce le teore probbltăţlor, dr ş teoretc se lucreză m puţ cu vrblele letore îsăş ş m mult cu legle de probbltte (reprtţe) corespuzătore, cre oferă formţ supr vlorlor vrblelor letore ş probbltăţlor cu cre u ceste vlor. Petru descre o vrblă dscretă trebue cuoscute vlorle rele ş probbltăţle p P( f x ) ott Pf ( x) P{ ω f( ω) x}., N cu cre ceste vlor sut lute. M sus m ( ) Ω: ş vom folos cestă otţe î coture,
4 4 Vrble letore - 6 ( ) dcă vom îţelege P(f A) P({ω Ω : f(ω) A}) Pf ( A) otţe, î czul ue vrble letore dscrete vom ve: P f A p. (6..3) ( ) Ţâd sem că evemetele ( ) u sstem complet de evemete, dcă rezultă că : x A { } A N, ude A ω f ( ω ) x U N. Cu cestă Ω: formeză A Ω ş A A petru orce (6..4) p. Reprtţ ue vrble letore dscrete se obşueşte să se descre cu utorul uu tblou de form: x x K x K (6..5) f:. p p K p K Să presupuem că vrbl letore f vlorle x, N cu probbltăţle p pq cu p + q, p, q > 0. Acestă vrblă letore este descrsă complet d puct de vedere l teore probbltăţlor de tbloul : f: p pq K K pq K. K O vrblă letore cu o stfel de reprtţe se umeşte vrblă letore geometrcă su cu reprtţe geometrcă. Dcă vrbl letore f este smplă, î (5) vem î râdul superor l tbloulu u umăr ft de vlor, r î cel feror celş umăr de probbltăţ l căror sumă este. Să cosderăm o vrblă letore cre vlorle 0 cu probbltte p 0 ş cu probbltte p, ceste î v corespude tbloul: 0 f: cu p p0 p 0 + p. Fe cum f o vrblă letore relă deftă pe câmpul de probbltte (Ω, K, P), cum f este o fucţe ( K,B R ) măsurblă ş B R B( {(, x) : x R} ), reprtţ lu f este complet determtă de probbltăţle:
5 6.. Vrble letore. reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe 5 ({ }) (6..6) Ff ( x) P ω Ω: f( ω) < x. Defţ. Fucţ F f : R [0, ], deftă pr (6) se umeşte fucţ de reprtţe vrble letore f. Acestă fucţe de reprtţe u determă î mod uc vrbl letore f, î sesul că pot exst vrble letore rele dferte l cre corespud pr (6) ceeş fucţe de reprtţe. D puctul de vedere l teore probbltăţlor ceste vrble letore sut cosderte echvlete ş le vom detfc. Defţ. Fe cum A K cu P(A) > 0, tuc fucţ: F fa, : R [0, ] deftă pr: (6..7) FfA, ( x) PA( { ω Ω : f( ω) < x} ) se umeşte fucţ de reprtţe vrble letore f codţotă de evemetul A. Fe f o vrblă letore dscretă cre vlorle x cu probbltăţle ( ) P P f x, tuc rezultă că: (6..8) Fx ( ) P, x < x sumre d (8) fd făcută petru tote vlorle lu N, petru cre x < x. Fucţ de reprtţe ue vrble letore dscrete se umeşte fucţe de reprtţe de tp dscret. Să otăm Sx F( x + 0) F( x 0 ) sltul fucţe F î puctul x. Dcă x este u puct de cotutte l lu F tuc S x 0 r î cz cotrr S x > 0. Atuc: (6..9) Fx ( ) S x, x < x ude { } x N este mulţme puctelor de dscotutte le fucţe de reprtţe. Deorece fucţ F creşte pr sltur î puctele de dscotutte grfcul său v f o fucţe î scră. Să cosderăm următorul exemplu smplu. Exemplul. Îte puer pe pţă, u produs ft (utl) este supus l tre probe succesve de fucţore. Probbltte c să trecă de orcre d cele tre probe este de 0,8. Dcă se presupue că cele tre îcercăr sut depedete u de lt, să se determe:
6 6 Vrble letore - 6 ) Dstrbuţ vrble letore cre repreztă umărul de probe trecute pâă l prm ereuştă; b) Să se determe fucţ de reprtţe ş să se costruscă grfcul fucţe de reprtţe l vrble letore de l puctul ). Rezolvre: Notăm cu f vrbl letore cerută, e v ve o dstrbuţe de form: 0 3 f: Pf ( 0) Pf ( ) Pf ( ) Pf ( 3). D modul cum fost deftă vrbl letore f rezultă: P(f 0) 0, P(f ) 0,8 0, 0,6 P(f ) 0,8 0,8 0, 0,8 P(f 3) 0,8 0,8 0,8 0,5 dec: 0 3 f:. 0, 0, 6 0, 8 0, 5 Să otăm cu F fucţ de reprtţe corespuzătore vrble letore f. Atuc vem: Grfcul lu F este următorul: 0 petru x 0 0, petru 0< x Fx ( ) 036, petru < x 0, 448 petru < x 3 petru x > 3 F(x) 0,488 0,36 0, 3 x
7 6.. Vrble letore. reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe 7 Propozţ 3. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte, c R ş f, g vrble letore rele smple, defte pe Ω vâd dstrbuţle dte pr: x f: p, ş g y :. q, m Atuc vrblele letore cf, f + g, f g sut desemee vrble letore smple, vâd dstrbuţle dte pr: cx cf f g x + y f g x y : + : :, p p p,,,, m,,, m ude p este probbltte relzăr smulte evemetelor A { f x } { }, dcă P P( A B) B g y u loc relţle: ş. M mult, ître probbltăţle de m sus m m p, p q, p p. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte ş f, g : Ω R două vrble letore. Pe bz coceptulu de depedeţă deft petru evemete se defesc vrblele letore depedete. Dcă f ş g sut două vrble letore smple, cu reprtţle cosderte m sus, tuc ele sut depedete dcă sstemele complete de evemete ( ) ( ) B, m sut depedete, dcă PA ( B) PA ( ) PB ( ) A ş,, petru orce, ş, m su puâd î evdeţă vrblele îsăş ş vlorle lor, f ş g sut depedete dcă P ( f x ş g y ) P( f x ) P( g y ), orcre r f, ş, m. Î czul câd vrblele f ş g sut dscrete cu o ftte de vlor relţle de defţe sut celeş, dor că dc ş prcurg mulţm umărble. Dcă f ş g sut vrble letore cotue, tuc ceste sut depedete dcă:
8 8 Vrble letore - 6 P(f < x ş g < y) P(f < x) P(g < y), petru orce x ş y d R. f, cu I cel mult umărblă, defte pe I celş câmp de probbltte sut depedete dcă, petru orce submulţme ftă de dc {,, K, } I re loc: O fmle de vrble letore ( ) (,, K, ) Pf < x f < x f < x orcre r f x, x, K, x d R. ( ) ( ) ( ) Pf < x Pf < x L Pf < x, Exemplul. Vrblele letore smple f ş g sut dte pr dstrbuţle de probbltte: f: ş g:. 0, 0, 07, 04, 05, 0, Se cere să se scre dstrbuţle vrblelor letore f + g, f g ş f. x,,,3 ş ( ) Rezolvre: Să otăm cu ( ) respectv g. Atuc evemetele A { f x } { } y,,,3, vlorle vrblelor f,,,, 3 ş respectv B g y,,, 3, formeză ssteme complete de evemete. Se verfcă medt că ş evemetele C A B,,,,3 formeză u sstem complet de evemete. Vrbl letore f + g vlorle x + y,,,, 3 cu probbltăţle PC ( ) PA ( B) PA ( ) PB ( ) (ître vrblele f ş g u fost dtă c u fel de depedeţă dec le cosderăm depedete, cee ce este echvlet cu fptul că sstemele de evemete defte de ele sut depedete). Vrbl letore f g vlorle x y PC r,,,, 3 cu probbltăţle ( ) vrbl letore f vlorle x,,, 3 cu probbltăţle ( ) ( ) PA A PA. Vom obţe stfel:
9 6.. Vrble letore. reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe 9 f + g :, , 039, 037, 007, f g: 004, 005, 00, 008, 0, 03, 035, 007, ; f 4 9 :. 0, 0, 07, Î coture vom prezet câtev propretăţ le fucţe de reprtţe socte ue vrble letore. Teorem 3: Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte ş f o vrblă letore relă deftă pe Ω. Atuc fucţ de reprtţe soctă ceste vrble letore F: R [0, ], pr F(x) P(f < x) re următorele propretăţ: ) F este mooto crescătore, ) lm Fx ( ) 0, lm Fx ( ) x x 3) F este cotuă l stâg î orce puct x R. Demostrţe: Fe x, x R. Dcă x < x, tuc { f < x } { f < x } dtortă propretăţ de mootoe probbltăţ, Pf ( < x) Pf ( < x ) Fx ( ) Fx ( ). ) Fe { x } x, tuc şrul { < } u şr descrescător cu lm N este u şr descedet ş: De m sus rezultă că: { f < x } { f < x } I lm. ( ) ( ) ( { } ) ( ) ş, rezultă lm Fx lm Pf< x Plm f< x P 0, dec lm Fx ( ) 0. f x N
10 0 Vrble letore - 6 Alog, să cosderăm u şr rbtrr { y } tuc şrul { < } lm f x N { f < y } { f < y } U Ω., crescător, cu lm y N, este u şr scedet de evemete ş D relţ de m sus, ţâd sem de comutre lmte cu probbltte petru şrur scedete su descedete rezultă: lm Fy ( ) lm Pf ( < y ) P lm { f < y} P( Ω). Deş o fucţe de reprtţe F este deftă pe R u pe R vom ot F(- ) lm Fx ( ) 0 ş F( ) lm F( x). x x 3) Să luăm u şr crescător ( z ), rbtrr, coverget către x. Atuc şrul de N evemete { < } este scedet ş: f z N { f < z } { f < z } { f < x} U lm. Ţâd sem de ceste egltăţ vem: Fx ( 0) lm Fz ( ) lm Pf ( < z ) P lm { f < z} P( f < x) F( x) cee ce rtă că fucţ F este cotuă l stâg î puctul x, cum cest fost les rbtrr, rezultă că fucţ de reprtţe F este cotuă l stâg pe R. Se pote demostr că propretăţle ), ) ş 3) d teorem de m sus crcterzeză complet fucţ de reprtţe ue vrble letore, î sesul că, fd dtă o fucţe F : R [0.] cu propretăţle de m sus, tuc exstă u câmp de probbltte (Ω, K, P) ş o vrblă letore f : Ω R căre fucţe de reprtţe este fucţ f dtă. Avâd î vedere ş posbltte utlzăr rezulttelor stblte de lz mtemtcă, refertor l fucţle rele de vrblă relă, s- mpus î Teor probbltăţlor utlzre fucţlor de reprtţe î locul vrblelor letore, î studul uor feomee ş expermete letore.
11 6.. Vrble letore. reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe Teorem 4. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte, f : Ω R o vrblă letore ş F : R [0, ], fucţ s de reprtţe. Atuc re loc: ) Petru orce x R, F(x + 0) F(x) + P(f x) ş F este cotuă î x R dcă ş um dcă P(f x) 0; ) Petru tervlele mărgte, de extremtăţ ş b ( < b) re loc: P( f < b) F(b) - F() P( < f < b) F(b) - F( + 0) P( f b) F(b + 0) - F() P( < f b) F(b +0) - F( +0). Demostrţe: ) Petru clcul lmt l drept î puctul x, cosderăm u şr descrescător ( x ) cu lm x N x. Şrul de evemete { f < x } este u N şr descedet ş re lmt: De c rezultă: lm I { f < x } ({ f < x }) { f x}. ( + ) ( ) ({ < } ) { < } ( ) Fx 0 lm Fx lm P f x P lm f x Pf x. Î celş tmp putem scre: de ude rezultă: { f x} { f < x} U { f x}, cu { f < x} I { f x}, Pf ( x) Pf ( < x) + Pf ( x) Fx ( ) + Pf ( x) su F(x + 0) F(x) + P(f 0) 0, relţe ce rtă că f este cotuă î x dcă ş um dcă P(f x) 0. Petru demostr egltăţle d ) observăm că: de ude rezultă: { f < b} {f < } {f < b} ş { f < b} {f < }, P( f < b) + P(f < ) P(f < b). Ţâd sem de defţ fucţe de reprtţe rezultă: P( f < b) F(b) -F(). { < f < b} {f } { f <b} ş { < f < b} {f },
12 Vrble letore - 6 d cele două egltăţ de m sus vem: P( < f < b) P(f ) F(b) - F(). Cum F(b) - [F() + P(f )] F(b) - F( + 0), rezultă că: P( < f < b) F(b) - F( + 0). Î mod log se demostreză ş ultmele două egltăţ le puctulu ). Fe cum ρ : R [0, ), spuem despre fucţ ρ că este tegrblă pe R dcă este tegrblă pe orce tervl compct [, b] R cu < b. Petru o stfel de x fucţe se defeşte tegrl mpropre ρ( ) x x dx pr: () dt lm ρ() t ρ t dt. x Spuem că tegrl mpropre de m sus este covergetă dcă lmt d membrul drept exstă ş este ftă. Acestă tegrlă mpropre stă l bz defţe destăţ de reprtţe ue vrble letore. Defţ 3. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte, f: Ω R o vrblă letore ş F fucţ s de reprtţe. Dcă exstă o fucţe ρ: R [0, ) tegrblă pe R, stfel c: F x ( x) ρ( t) tuc fucţ ρ se umeşte destte de reprtţe su destte de probbltte vrble letore f. Teorem 5. Dcă vrbl letore f dmte destte de reprtţe ρ, tuc: P ρ dx ; ) ( f < b) ( x) ) ( ) ρ x dx. b Demostrţe: P( f b) F(b) - F() ρ( x ) dx ρ( x) dx b dt,
13 6.. Vrble letore. reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe 3 ρ b ( x ) dx + ρ( x) dx ρ( x) dx ρ( x) ρ b dx. ( x) dx lm ρ( x) dx lm F( b) lm F( ) F( ) F( ). b b Teorem 6. Fe ρ destte de reprtţe corespuzătore vrble letore f. Dcă ρ este cotuă îtr-u puct x d R, tuc fucţ de reprtţe F soctă vrble letore f este dervblă î x ş F (x) ρ(x). Recproc, dcă fucţ de reprtţe F este dervblă pe R, tuc f dmte o destte de reprtţe ρ ş F ρ. Demostrţe: Î codţle teoreme: ( x) F( ) ρ ( t) F dt, ş tegrl d membrul drept este o fucţe dervblă î x, r dervt e este ρ(x), dec F (x) ρ(x). Dcă F este dervblă pe R, tuc putem scre: ( x) F( ) F ( t) x F dt, petru x R. Deorece fucţ de reprtţe F este crescătore rezultă că F (x) 0 petru orce x R. Dcă î egltte de m sus trecem l lmt petru -, obţem: F (x) x F (t)dt, petru orce x R, rezultă stfel, că fucţ F stsfce codţle Defţe 3, petru f o destte de reprtţe vrble f. Observţ. Fe ρ ş F destte, respectv fucţ de reprtţe vrble letore f. Să presupuem că ρ este cotuă pe u tervl I R, tuc F este dervblă ş dec cotuă pe I. Dcă, b I ş < b putem scre: x P ( f< b) P ( < f< b) P ( f b) P ( < f b) b ( b ) ρ( ξ) ρ( x)dx,
14 4 Vrble letore - 6 ude ξ (, b) (ρ fd cotuă m plct o teoremă de mede tegrle de m sus, cre sgură exsteţ lu ξ stfel c ultm egltte scrsă să fe devărtă). D cele de m sus rezultă că: ( ) ρξ P ( f b), ude ξ ( b, ). b Teorem 6. Fe ρ destte de reprtţe corespuzătore vrble letore f. Dcă ρ este cotuă îtr-u puct x d R, tuc fucţ de reprtţe F soctă vrble letore f este dervblă î x ş F (x) ρ(x). Recproc, dcă fucţ de reprtţe F este dervblă pe R, tuc f dmte o destte de reprtţe ρ ş F ρ. Demostrţe: Î codţle teoreme: ( x) F( ) ρ ( t) F dt, ş tegrl d membrul drept este o fucţe dervblă î x, r dervt e este ρ(x), dec F (x) ρ(x). Dcă F este dervblă pe R, tuc putem scre: ( x) F( ) F ( t) x F dt, petru x R. Deorece fucţ de reprtţe F este crescătore rezultă că F (x) 0 petru orce x R. Dcă î egltte de m sus trecem l lmt petru -, obţem: F (x) x F (t)dt, petru orce x R, rezultă stfel, că fucţ F stsfce codţle Defţe 3, petru f o destte de reprtţe vrble f. Observţ. Fe ρ ş F destte, respectv fucţ de reprtţe vrble letore f. Să presupuem că ρ este cotuă pe u tervl I R, tuc F este dervblă ş dec cotuă pe I. Dcă, b I ş < b putem scre: x P ( f< b) P ( < f< b) P ( f b) P ( < f b) b ( b ) ρ( ξ) ρ( x)dx,
15 6.. Vrble letore. reprtţ de probbltte. Fucţ de reprtţe 5 ude ξ (, b) (ρ fd cotuă m plct o teoremă de mede tegrle de m sus, cre sgură exsteţ lu ξ stfel c ultm egltte scrsă să fe devărtă). D cele de m sus rezultă că: ( ) ρξ P ( f b), ude ξ ( b, ). b Teorem 6. Fe ρ destte de reprtţe corespuzătore vrble letore f. Dcă ρ este cotuă îtr-u puct x d R, tuc fucţ de reprtţe F soctă vrble letore f este dervblă î x ş F (x) ρ(x). Recproc, dcă fucţ de reprtţe F este dervblă pe R, tuc f dmte o destte de reprtţe ρ ş F ρ. Demostrţe: Î codţle teoreme: ( x) F( ) ρ ( t) F dt, ş tegrl d membrul drept este o fucţe dervblă î x, r dervt e este ρ(x), dec F (x) ρ(x). Dcă F este dervblă pe R, tuc putem scre: ( x) F( ) F ( t) x F dt, petru x R. Deorece fucţ de reprtţe F este crescătore rezultă că F (x) 0 petru orce x R. Dcă î egltte de m sus trecem l lmt petru -, obţem: F (x) x F (t)dt, petru orce x R, rezultă stfel, că fucţ F stsfce codţle Defţe 3, petru f o destte de reprtţe vrble f. Observţ. Fe ρ ş F destte, respectv fucţ de reprtţe vrble letore f. Să presupuem că ρ este cotuă pe u tervl I R, tuc F este dervblă ş dec cotuă pe I. Dcă, b I ş < b putem scre: P ( f< b) P ( < f< b) P ( f b) P ( < f b) b x ( b ) ρ( ξ) ρ( x)dx, ude ξ (, b) (ρ fd cotuă m plct o teoremă de mede tegrle de m sus, cre sgură exsteţ lu ξ stfel c ultm egltte scrsă să fe devărtă). D cele de m sus rezultă că:
16 6 Vrble letore - 6 ( ) ρξ P ( f b), ude ξ ( b, ). b Fe x 0 u puct rbtrr d (, b). Dtortă cotutăţ fucţe ρ trecâd l lmtă petru b - 0 ş x ( b) 0, rezultă că ξ x 0 ş re loc egltte: P ( f b) ρ( x0) lm, b 0 b < x0 < b ce ustfcă deumre de destte de probbltte vrble letore f, trbută fucţe ρ. k Exemplul 3. Se dă fucţ ρ: R R, ρ( x). x e + e x ) Să se determe costt k stfel c fucţ ρ să fe destte de reprtţe ue vrble letore f; b) Dcă f ş f sut două vrble letore depedete ş detc reprtzte, vâd ceeş destte de reprtţe, ce lu f, să se clculeze P( f < ş f > ). Rezolvre: π ) ρ(x) este tegrblă pe R ş ρ ( x) dx k. Petru c ρ să fe o destte de reprtţe se mpue k π, de ude rezultă k π. b) Dcă vrblele f ş f sut depedete tuc: Pf ( < ş f > ) P( f < ) P( f > ) [ ] P( f < ) ( ) Pf ρ ( ρ ) ( x)dx (x)dx < rctg e rctg e. π π
17 6.. Vrble letore depedete Vrble letore depedete Vrblele letore cu proprette de depedeţă ocă u rol cotrl î tor probbltăţlor. Defţ. Fe (Ω, Κ, Ρ) u spţu cu măsură de probbltte complet dtvă ş F (f α ) α I o fmle de vrble letore rele defte pe (Ω, Κ, Ρ). Vom spue că F este o fmle de vrble letore depedete, dcă petru orce prte ftă J I ş orce submulţm borelee le mulţm umerelor rele (B α ) α J re loc egltte: ( ) ( α ) B P f ( Bα ) P f. α J α J Observţ. Dcă F este o subfmle de vrble letore fmle F, dcă F F, tuc depedeţ fmle F mplcă, evdet depedeţ subfmle F. Acest cocept de depedeţă fost trodus de mtemtce H. Stehus ş M. Kc. Să lzăm o crcterzre depedeţe ue fml fte de vrble letore smple. x vlorle pe cre le pote lu Fe ( ) f, o stfel de fmle ş fe ( ),r vrbl letore f. Aceste vrble letore geereză fmlle de prtţ le lu Ω ( D ), defte pr ( ) D A ş A { ( ) },r ω Ω : f ω x Cu ceste otţ re loc: Propozţ. Fml de vrble letore smple ( ) um dcă prtţle ( ), D sut depedete. Demostrţe. Fe fml de dc ( ), q Să otăm { } B x,, depedete. Atuc f sut depedete dcă ş, q, cu q r, petru orce ş să presupuem că vrblele { },,,. f sut
18 Vrble letore ( ) ( ) ( ) B P f B f P I. Ţâd sem de fptul că ( ) q A B f egltte de m sus deve ( ) q q A P A P I, ce ce rtă pr rbtrrtte dclor q, că prtţle ( ), D sut depedete. Recproc, fe ( ), B o fmle de submulţm borelee de pe drept relă. Atuc ( ) U I A B f, ude { } B x N s : I Cu otţle de m sus obţem ( ) ( ) l I l I I l I I l l l l l l l l P A A A P A P A P B f P I UI UU I ( ) ( ) I B f A P U Am obţut stfel relţ cre dcă depedeţ vrblelor letore ( ), f. Cu utorul fucţlor de reprtţe socte, u crteru de depedeţă petru o fmle de vrble letore este dt pr teorem următore. Teorem. Codţ ecesră ş sufcetă petru c o fmle de vrble letore ( ) I f F α α să fe o fmle de vrble depedete este c:
19 6.. Vrble letore depedete 9 ( x, x,...,x ) F( x ) F( x )... F( x ) F α α... α α α α α α α, α,..., α x α,x,...,x α α, ude F α α...α { } I, petru orce α ş { } R reprtţe vrble letore -dmesole ( f, f,..., f ) de reprtţe vrble letore f,, α. Observţ. Î czul î cre vrblele letore ( ) α I probbltte ( ρ α ) α I echvletă cu: α α α, r este fucţ de F α este fucţ fα dmt destăţle de, tuc codţ de depedeţă d teorem de m sus este ( x,x,...,x ) ρ ( x ) ρ( x )... ρ( x ) ρ, α α... α α α α α α α α ude ρ α α...α este destte de probbltte soctă vrble letore - dmesole fα α... α. U lt cocept petru depedeţ ue fml de vrble letore este următorul: F f este o fmle de vrble letore depedete k câte k, dcă orce subfmle F k formtă d k Defţ. Spuem că o fmle de vrble letore ( α ) α I vrble letore rbtrre d fml F este o fmle de vrble letore depedete. Observţ 3. Este evdet că orce fmle de vrble letore F depedete este o fmle de vrble letore depedete k câte k, petru orce k ft ş k crd(f). Petru czul două vrble letore depedete re loc următore proprette crcterstcă. Teorem. Vrblele letore f ş g sut depedete dcă ş um dcă vrblele letore f+, g+b sut depedete petru orce, b d R. Petru demostrţ teoreme se cosderă submulţmle borelee le drepte ' ' b, B b, ş se utlzeză relţ de defţe depedeţe. rele B [ ], [ ] b b Aplcţe. Fe vectorul letor bdmesol h (f, g) dt pr tbloul:. f, g /6 0 0 /6 0 /4 3/8 /4
20 30 Vrble letore - 6 Să se studeze depedeţ vrblelor letore f ş g. Rezolvre. Vrblele letore mrgle f ş g sut defte pr: f :, g : / 8 7 / 8 / 6 / 4 3/ 8 5 /6 7 Deorece P(f ş g 3) P(f ş g 3) rezultă că vrblele letore f ş g u sut depedete. Î prgrful următor vom stbl o măsură grdulu de depedeţă 6.3. Crcterstc umerce le vrblelor letore Vrblele letore sut crcterzte complet pr fucţle lor de reprtţe ş tuc câd ceste exstă, pr destăţle de reprtţe. De multe or îsă, este ecesră ş sufcetă o crcterzre m sumră vrblelor letore. De exemplu, petru determ umărul de mş ecesr petru obţere uu produs îtr-o cttte dtă, este sufcet să cuoştem produsul medu relzt de fecre mşă îtr-o utte de tmp. Astfel de crcterzăr m sumre sut dte pr umte crcterstc umerce c: vlore mede, mometele, dspers, btere mede pătrtcă le ue vrble letore Crcterstc umerce le vrblelor letore dscrete Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte ş f : Ω R o vrblă letore dscretă. x f:, p I ude I este cel mult umărblă ş p, p > 0, I Defţ. Numărul rel ott cu M(f) ş deft pr: (6.3.) M ( f ) I se umeşte vlore mede vrble letore f. p x
21 6.3. Crcterstc umerce le vrblelor letore 3 Dcă f este o vrblă letore smplă (mulţme de dc I este ftă), tuc sum d () coţe u umăr ft de terme ş M(f) re ses totdeu. Petru vrblele letore dscrete cu o ftte de vlor dstcte (I mulţme umărblă) sum d () coţe o ftte de terme ş ecestăţle prvd posbltte schmbăr ord termelor îtr-o sere, mpu cerţ c ser p x, cre defeşte vlore mede să fe u um covergetă, c bsolut covergetă. Vlore mede ue vrble letore măsoră tedţ cetrlă reprtţe vlorlor vrble letore. Vlore M(f) repreztă umărul î urul căru se costtă o propere vlorlor vrble letore. Să cosderăm vrbl letore cre socză, î expereţ letore rucăr uu zr, umărul de pucte flt pe fţ superoră zrulu. Acest v ve tbloul de reprtţe: f: M. ş vlore mede () f p x k 6 6 k k 3, 5 k 6 k 6 Observţ. Dcă vrbl letore f : Ω R este smplă: tuc vlore mede () f cu poderle ( ) p k k,. k x f : p p k x k k k k,, M este med podertă vlorlor ( ) I x k k, Propozţ. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte ş f, g : Ω R vrble letore dscrete. Dcă vlorle med M(f) ş M(g) exstă, tuc ş vrblele letore f + g ş λf, cu λ R, u vlor med ş u loc următorele relţ: ) M(f + g) M(f) + M(g), b) M(λf) λm(f), c) dcă î plus vrblele f ş g sut depedete, tuc exstă ş M(f g) ş re loc M(f g) M(f) M(g).
22 3 Vrble letore - 6 Demostrţe: Deorece f ş g sut dscrete, u dstrbuţle de form: x f : p I, y g : g cu I ş J cel mult umărble. Vrbl letore f + g re dstrbuţ: x + y r I, ude r J P( f x,g y ). + M(f + g) r ( x y ) x r + y r I J I J J I x p + y q M(f ) + M(g). I J λx Dstrbuţ vrble letore λf este, dec M ( λf) p I λpx λ px λmf ( ). I I Dcă f ş g sut depedete, tuc r pq ş: Mfg ( ) xypq xp yq Mf ( ) Mg ( ). I J I J Î geerl, vlore mede produsulu două vrble letore dferă de produsul vlorlor med le celor două vrble letore. O legătură ître ceste vlor med este dtă de egltte lu Schwrtz. Teorem. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte ş f, g : Ω R două vrble Mg exstă. Atuc re loc letore dscrete stfel îcât Mf ( ) ş ( ) (6.3.) Mf ( g) Mf ( ) Mg ( ),. Demostrţe: Să cosderăm vrbl letore hα ( f αg) Observăm că h α 0 petru orce α R ş dec, l fel Mh ( α ) R. Î bz Propozţe vem:, ude α R. 0, petru orce α
23 Obţem stfel egltte: 6.3. Crcterstc umerce le vrblelor letore 33 ( α ) ( ) α ( ) + α ( ) Mh Mf Mfg Mg. ( ) ( ) ( ) Mf αmfg + α Mg 0, petru orce α R. Cosderăm membrul stâg l egltăţ de m sus c u trom de grdul do î α, fd poztv su ul petru orce α R, rezultă că dscrmtul său Mfg Mf Mg este egtv su 0, dec vem: [ ( )] ( ) ( ) [ Mfg ( )] Mf ( ) Mg ( ), de ude rezultă egltte () ş teorem este demostrtă. Fe f : Ω R o vrblă letore dscretă ş A u evemet d K (A K) x stfel că P(A) > 0. Să presupuem că f re dstrbuţ de probbltte, cu I p I mulţme umărblă. Defţ. Dcă ser xp ( f x) A este bsolut covergetă, tuc vlore: I (6.3.3) MfA ( ) xp ( f x) I se umeşte vlore mede codţotă vrble letore f, de evemetul A. Dcă î loc de evemetul A cosderăm u sstem complet de evemete ( A ), J cu J cel mult umărblă ş PA ( ) A > 0 tuc re loc următore relţe de legătură ître vlore mede lu f, M(f) ş vlorle med codţote le lu f, MfA ( ), ş ume: (6.3.4) Mf ( ) PA ( ) MfA ( ). J
24 34 Vrble letore - 6 x Defţ 3. Fe f : Ω R o vrblă letore dscretă petru cre exstă p I M(f). Atuc vrbl letore g : Ω R, cre re dstrbuţ de probbltte dtă pr g f M ( f ) : se umeşte vrblă btere de l vlore mede lu f. p I Ţâd sem că vlore mede ue vrble letore costte este costt îsăş, rezultă că M(g) M(f) - M(M(f)) M(f) -M(f) 0. Defţ 4. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte ş f : Ω R o vrblă letore dscretă. Petru orce N ( ), vlore mede vrble letore f, (6.3.5) ( ) ( M f M f ), dcă exstă se umeşte mometul de ordul l vrble letore f. Vlore mede vrble letore f, (6.3.6) ( ) ( M f M f ) se umeşte mometul bsolut, de ordul, l vrble letore f. Să otăm, petru smplfcre screr, Mf ( ) f ş să presupuem că cestă vlore mede exstă. f f, Vlore mede vrble letore ( ) (6.3.7) m ( f) M ( f f) [ ] se umeşte mometul cetrt de ordul l vrble letore f. Dcă vrbl letore dscretă f, cosdertă m sus, re dstrbuţ x f:, vlorle med ş mometele cosderte m sus exstă, tuc ceste u p I exprmărle: (6.3.8) () f P x, M ( f ) P x m (f ) P ( x f ) I M. I Defţ 5. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte ş f : Ω R o vrblă letore dscretă. Mometul cetrt de ordul do l vrble letore f, dcă exstă, se I
25 6.3. Crcterstc umerce le vrblelor letore 35 umeşte dspers su vrţ vrble letore f ş se oteză cu ( ) x D f su σ ( f). Dcă f re dstrbuţ dtă pr f : p, tuc: I I (6.3.9) D () f σ () f m (f ) P ( x f ). Vlore D(f) σ(f) m ( f) se umeşte btere mede pătrtcă vrble letore f. Dcă vlore mede ue vrble letore este o vlore umercă î urul căre se costtă o grupre vlorlor vrble letore, dspers ş btere mede pătrtcă sut dctor ce m utlzţ petru crcterz împrăştere vlorlor ue vrble letore î urul vlor med. Teorem. Dcă dspers D ( f) vrble letore dscrete f exstă, tuc u loc egltăţle (6.3.0) D ( f) M ( f) [ M( f) ] (6.3.) D ( f) λ D ( f), petru orce λ R. Demostrţe: ( ) ( ) [ ] [ ( ) ] D ( f ) M f f M f f M f f f + f ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] Mf fmf + f M f Mf [( ) ] ( ) [ ] ( ) D f M f f M f f M f f D ( λ ) λ λ λ λ λ ( f ) (mtm că f M( f)). Teorem 3. Dcă vrblele dscrete f ş g sut depedete re loc: D f + g D ( f) + D ( g). (6.3.) ( )
26 36 Vrble letore - 6 Demostrţe: Fe vrblele letore bter f f f ş g g g, ude f M( f) ş g M( g). Dcă f ş g sut depedete rezultă că f ş g sut depedete. D ( f + g ) M f + g ( f + g ) M f f + g g [ ] [( ) ( )] ( ) ( ) [ ] ( ) M f + g M f + g M f + f g + g ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Mf + Mf Mg + Mg Mf + Mg D f + D g. ( ) ( ) Exemplul. Să rucăm o moedă de tre or ş să cosderăm vrbl letore f, cre c vlor umărul cre dcă de câte or s- obţut fţ pe cre este mrct bul. f vlorle 0,, su 3. Î cestă expereţă letore exstă 8 czur posble. Vrbl f vlorle de m sus cu probbltăţle Pf ( 0) 3 Pf ( ) 8, Pf ( ) 3 8 ş Pf ( 3) 8. Dstrbuţ de probbltte vrble letore f pote f reprezettă pr următore hstogrmă, r tbelul următor coţe elemete utle clcululu vlor med ş dsperse vrble letore f. 8, P(f) f D(f) fp(f) f f P ( f ) f Totl M,5 M 3,0
27 6.3. Crcterstc umerce le vrblelor letore 37 D tbelul de m sus vem M(f),5, M ( f) 30,, r dspers σ ( f) M ( f) [ M( f) ] 30, ( 5, ) 30, 5, 075,. Abtere mede părtcă este σ 075, 087,. Exemplul. U ucător este dspus să îcerce l u oc de oroc pâă l prm ereuştă. Ştd că l fecre îcercre î prte, şsele de reuştă sut de, să se 3 scre dstrbuţ vrble letore umărulu de îcercăr ecesre pâă l prm reuştă ş fucţ de reprtţe soctă ceste vrble letore. Să se clculeze vlore mede ş dspers ceste vrble letore. Rezolvre: Fe f umărul îcercărlor ecesre pâă l prm reuştă. Se observă că Pf ( ) 3, ( ) ( ) ( ) ( ) P f P A I A P A P A ude A este evemetul l prm îcercre vem reuştă, r A este evemetul l dou îcercre se obţe o reuştă. După celş rţomet se stbleşte că k Pf ( k). Vrbl letore f v ve dstrbuţ dtă pr: k 3 ( x) P( f < x) f: 3 p < x L L 3 L L. F este o fucţe î scră cu o ftte de trepte. Mf ( ) L L L L Petru clcul sum de m sus otăm u. Ţâd sem că u (0, ) ş 3 utlzâd ser geometrcă vem + u + u u + L +, relţe, cre îmulţtă cu u
28 38 Vrble letore - 6 ş dervtă î rport cu vrbl u, v ve î membrul drept sum d prteză vlor med M(f). Se obţe M(f) 3. Petru clcul dspers vrble letore f, folosd formul (0) obţem ( ) D f Mf ( ) Mf ( ) Mf 9. Dstrbuţ vrble letore f este [ ] ( ) 3 L L dtă pr f : L L Se obţe Mf ( ) 5, D ( f) ş Df ( ) 6 7,. Cele de m sus rtă că, î mede, ucătorul re evoe de 3 îcercăr pîă l prm reuştă, r D(f),7 rtă că btere (mede pătrtcă) de l vlore mede 3, l cre e putem ştept î cest expermet letor, este de, Crcterstc umerce le vrblelor letore cotue Vom cosder, petru îceput, câtev cosderţ supr tegrle Rem- Steltes, bsolut ecesre î cele ce urmeză. Fe [, b] R, < b u tervl îchs ş mărgt. Mulţme de pucte {,,, } x 0 x K x, cu x0 < x < x < L < x b se umeşte o dvzue segmetulu [, b]. xk x k se umeşte orm dvzu. k Fe f, g : [, b] R două fucţ mărgte ş î plus presupuem că g este crescătore. Numărul ν( ) mx ( ) Defţ 6. Sum: [ ] (6.3.3) σ ( fgξ ) f( ξ ) gx ( ) gx ( ) ude [ x x ),, ξ,, portă umele de sumă Rem-Steltes fucţe f î rport cu fucţ g. Defţ 7. Spuem că fucţ f este tegrblă Rem-Steltes (R-S) î rport cu g pe [, b], dcă exstă u umăr rel I cu proprette că petru orce ε > 0, exstă δ(ε) > 0, stfel îcât, orcre r f o dvzue lu [, b] cu orm ν( ) < δ(ε) să vem:,
29 (6.3.4) ( fg ) orcre r f legere puctelor [ ) 6.3. Crcterstc umerce le vrblelor letore 39 σ,, ξ I < ε, ξ x, x,,. Numărul I este pr defţe tegrl Rem-Steltes lu f î rport cu g pe [, b] ş se oteză pr: (6.3.5) f ( x) dg( x) I. b Observţ. Dcă g(x) x se obţe tegrl Rem, dg(x) u repreztă îtotdeu dfereţl fucţe g, fucţ g pote să u fe dfereţblă pe [, b] ş tegrl R-S să exste. Teorem 4. Codţ ecesră ş sufcetă c f să fe tegrblă R-S, î rport cu g, pe [, b], este c orcre r f şrul de dvzu {, cu şrul ormelor { ( )} } N { } tzâd l 0, şrul sumelor tegrle R-S σ (,, ξ ) ν N fg să fe N coverget l I. Petru clculul ue tegrle R-S putem folos defţ, î umte codţ, clculul tegrle R-S se reduce l clculul ue tegrle Rem. Teorem 5. Dcă fucţ f este cotuă pe [, b] ş g dervblă cu dervt cotuă pe [, b], tuc: b b (6.3.6) ( S ) f ( x) dg( x) ( R) f ( x) g ( x) R dx. De semee re loc următorul rezultt de reversbltte (formul de tegrre pr părţ), cre se utlzeză, de obce, câd u sut îdeplte codţle d teorem de m sus, dr schmbâd rolul lu f cu g ele dev stsfăcute. Teorem 6. Dcă f este tegrblă (R-S) î rport cu g pe [, b], tuc g este tegrblă (R-S) î rport cu f pe [, b] ş re loc: b b (6.3.7) f ( x) dg( x) f ( b) g( b) f ( ) g( ) g( x) df ( x) Să presupuem cum că tegrl ( x) dg( x) orce b >. Dcă lmt: b (6.3.8) lm f ( x) dg( x) b b f exstă ş este ftă, petru
30 40 Vrble letore - 6 exstă ş este ftă, spuem că tegrl (R-S) fucţe f(x), î rport cu g(x), pe [, + ), este covergetă (re ses) ş este dtă de: b (6.3.9) ( x) dg( x) lm f ( x) dg( x) f. b Itegrlele R-S pe tervlele emărgte (-, + ), (-, ) pot f reduse l ce deftă m sus. Să cosderăm cum, czul geerl l ue vrble letore f, dscrete su cotue. Fe F fucţ s de reprtţe, cest este o fucţe crescătore, I(x) x, fucţ detcă ş fe o dvzue tervlulu [, b). Atuc sum: (6.3.0) σ ( I,F, ξk ) ξk[ F( xk ) F( x k ) ] ξkp( xk f < xk ) k împărţtă cu P( f < b) F(b) - F() pote f cosdertă c o proxmţe vlor med vrble letore pe tervlul [, b), proxmre fd cu tât m buă cu cât orm dvzu este m mcă. Se pote tuc cosder tegrl R-S fucţe detce I(x) x î rport cu fucţ de reprtţe F: b (6.3.) lm σ ( ξ ) ( ) ( ) I,f, k xdf x, ν 0 împărţtă cu F(b) - F(), c vlore mede vrble letore f pe tervlul [, b). Deorece fucţ I(x) este cotuă, r F este crescătore, tegrl exstă ş este depedetă de legere puctelor [ x x ) ξ k k, k. k Î potez că xdf ( x) este bsolut covergetă, dcă ( ) df x lm ( Fb F) bsolut covergetă, cum ( ) ( ) x este, sutem coduş l def b vlore mede vrble letore f, M(f) pr: (6.3.) M () f xdf() x. Dcă f este o vrblă letore dscretă, luâd puctele dvzu, î ş fel c ele să u cocdă cu vlorle vrble letore f, r puctele ξ k chr vlorle vrble letore f, ţâd sem că dcă î tervlul [ xk xk) găsesc vlor le vrble letore f, tuc Px ( f x ) obţem:, u se k < k 0, d ()
31 ude p P( f v ) 6.3. Crcterstc umerce le vrblelor letore 4 ( f ) M p k v k, k I k k, r v k sut vlorle vrble letore dscrete f, dcă exct relţ de defţe (). Pe bz celor de m sus re loc: Defţ 8. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte, f : Ω R o vrblă letore ş F fucţ s de reprtţe. Dcă ( x) vlore mede: (6.3.3) M() f xdf() x xdf este covergetă, vrbl letore f re f. Î czul câd vrbl letore f dmte o destte de reprtţe ρ cotuă pe porţu, tuc F este dervblă î orce puct x î cre ρ este cotuă ş F ( x) ρ ( x). Î cest cz tegrl d (3) se reduce l o tegrlă Rem ş f re vlore mede: (6.3.4) M() f xρ() x f dx. Pord de l ceste exprmăr le vlor med, le ue vrble letore f, tuc câd tegrlele cre terv, sut corect defte, exstă ş sut fte, celellte crcterstc umerce le ue vrble letore cotue se exprmă pr: ) Mometul de ordul k: M b) Mometul bsolut de ordul k: M c) Mometul cetrt de ordul k: m d) Dspers: k k k () f M( f ) x df( x) x ρ( x) dx k. k k k ( f ) M( f ) x df( x) x ρ( x) dx k. () k ( ) k k f M f f ( x f ) df( x) ( x f ) ρ( x) dx k, D (f ) m (f ) (x f ) df(x) (x f ) f (x) dx.
32 4 Vrble letore - 6 e) Abtere mede pătrtcă: () σ M () f ( x f ) df( x) ( x f ) ρ( x)dx D f f Cu exprmărle de m sus se costtă că propretăţle crcterstclor umerce le ue vrble letore dscrete rămâ vlble ş î czul cotuu, dec sut, î geerl, vlble. Fe f o vrblă letore ş M(f) vlore s mede (deseor tereseză frecveţ bterlor de l vlore mede) depăşd o umtă lmtă L > 0 su ( evemetulu opus) frecveţ bterlor sub lmt L. Răspusul este dt de: Teorem 7. (Iegltte lu Cebîşev). Dcă σ este dspers vrble letore f, tuc probbltte c modulul bter f - M(f) să vlor m mr decât u umăr L > 0 este m mcă decât σ L, dcă: ( ) (6.3.5) P f M( f) L σ L,Ö su: σ (6.3.5 ) P( f M( f) < L) >. L Demostrţe: Să otăm λ L σ, rezultă. Se mpue λ >. Ţâd sem σ λ L că L λσ egltte lu Cebîşev se m scre sub form: (6.3.6) P ( f M ( f ) λσ ), λ ude σ D(f) este btere mede pătrtcă vrble letore f. Fe: Aλ { ω Ω: f( ω) M( f) λσ}. Atuc vem: Deorece f M( f) [( )] ( ) [( ( )) ] [( ) / λ] 0 rezultă că M[ ( f M( f) ) / Aλ ] 0 σ λ λ D ( f) M f M( f) P A M f M f / A + ( ) ( ) + PAλ M f Mf A [ ]
33 6.4. Fucţ crcterstcă soctă ue vrble letore 43 D egltte de m sus se obţe egltte: [( ) ] ( ) σ λ λ D ( f) M f M( f) / A P A. Pe de ltă prte, d modul cum fost deftă mulţme A λ, rezultă că pe cestă mulţme f M( f) λσ, de ude vem M f M( f) / Aλ λσ. Am [ ] [( ) ] obţut stfel egltte P( A ), cre mplcă ( ) σ λ σ λ PA λ λ, cee ce rtă că egltte (6.3.6) este demostrtă, e fd echvletă cu egltăţle (6.3.5) ş (6.3.5 ). Teorem este complet demostrtă Fucţ crcterstcă soctă ue vrble letore U strumet de studu l vrblelor letore, uşor de mâut, coducâd l clcule m smple ş cu plcţ î studul proceselor stocstce, îl costtue fucţle crcterstce. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte, f : Ω R o vrblă letore, tuc fucţ ( ) ( ) g ω e tf ω, ude este utte mgră, r t este u prmetru rel, este o ouă vrblă letore, e re îsă vlor complexe. Vrbl g se m pote exprm g(ω) cos tf(ω) + s tf(ω) ş re modulul egl cu utte, g( ω ). Evdet, dcă f este o vrblă letore dscretă tuc ş g este dscretă ş l fel dcă f este cotuă g este cotuă. Defţ. Se umeşte fucţe crcterstcă vrble letore f, plcţ ϕ : R C, deftă pr relţ: (6.4.) (t) M( e t f x ) e t df( x) ϕ. Dcă f este o vrblă letore dscretă dtă pr: xk (6.4.) f:, pk k, tuc fucţ crcterstcă soctă lu f este deftă pr:
34 44 Vrble letore - 6 t xk (6.4.3) ϕ( t) e pk. k Dcă f este o vrblă letore cotuă ş re destte de reprtţe ρ(x), tuc fucţ crcterstcă soctă lu f este dtă pr: (6.4.4) () t x ϕ t e ρ( x) dx. D cele prezette pâă cum, rezultă că, ue vrble letore f se socză o fucţe de reprtţe F cotuă l stâg ş o fucţe crcterstcă cotuă. M mult, ceste fucţ crcterzeză, probblstc, vrbl letore f, putâd-o îlocu î dverse clcule, m les, câd ceste se smplfcă pr folosre ue su lte d fucţle socte. Teorem. Fucţ crcterstcă, ue vrble letore f, dmte următore dezvoltre î sere de puter: M (6.4.5) () ( f ) 0 ϕ t t,! ude Mf ( ) este mometul de ordul l vrble letore f. Demostrţe: Îtr-devăr îlocud î () ( t f ϕ t M e ) e t x df( x) fucţ e tx e obţem () ( ) cu dezvoltre e î sere de puter t x t x M f ϕ t t. 0! 0! Acestă egltte permte să se clculeze, m uşor, pe bz fucţe crcterstce, mometele de orce ord le vrble letore f, ş ume vem: ϕ M( f ) t C t, ude C 0! () D cele de m sus rezultă: M f d ϕ ( ) ( t). dt d ϕ( t), dr C. dt! t 0 t 0
35 6.4. Fucţ crcterstcă soctă ue vrble letore 45 Teorem. Dcă vrbl letore f dmte o reptţe cotuă, tuc destte de reprtţe vrble letore f, ρ(x) este dtă, cu utorul fucţe crcterstce ϕ corespuzătore, pr: ρ π ( ) t x x e ϕ() t dt. Exemplul. Se dă fucţ crcterstcă ue vrble letore f, ϕ( t) ( + e t ) 4. Să se scre fucţ de reprtţe corespuzătore vrble letore f. Rezolvre: ( ) t t t ϕ t ( + e ) + e + e 4, de ude rezultă că vrbl 4 4 letore vlorle 0,, cu probbltăţle 4,, 4, dcă dstrbuţ lu f este 0 f: 4 4. Fucţ de reprtţe corespuzătore este: Fx ( ) 0 petru x 0 petru 0< x 4 3. petru < x 4 petru x > Exemplul. Să se scre fucţ de reprtţe corespuzătore vrble f, petru cre e t este dtă fucţ crcterstcă ϕ( t). Rezolvre: Observăm că et <. Să otăm e t r, tuc:
36 46 Vrble letore - 6 t ϕ() t ( r) r e. + r 0 0 Deducem că vrbl letore f re dstrbuţ de probbltte dtă pr: 0 L L f: L L ş fucţ de reprtţe: F(x) k 0 0 k+ petru x 0 petru 0 < x. petru x <,,3,K 6.5. Depedeţ vrblelor letore. Corelţe. Coefcet de corelţe Fe f ş g două vrble letore, ele pot f depedete, ître ele pote exst o depedeţă fucţolă, de exemplu, f h(g) su pot f depedete, dr u fucţol, dcă ître ele pote exst o depedeţă de tură letore. Covrţ ş coefcetul de covrţă repreztă măsur le grdulu de depedeţă letore două vrble. Fe (Ω, K, P) u câmp de probbltte ş f, g : Ω R două vrble letore. Fe f, g vlorle lor med. Defţ. Se umeşte corelţe su covrţă vrblelor letore f ş g vlore: [ ] (6.5.) cov( fg, ) M ( f f)( g g). D defţ de m sus, rezultă medt că, covrţ re următorele propretăţ: ) cov (f, g) cov (g, f) - proprette de smetre;
37 6.5. Depedeţ vrblelor letore. Corelţe. Coefcet de corelţe 47 b) cov (αf, βg) αβ cov (f, g) - proprette de omogette; c) cov (f, g) M(f g) - M(f) M(g). Ultm proprette stbleşte legătur ître covrţ vrblelor letore f ş g, ş vlorle med le lu f g, f ş g. Dcă cov (f, g) 0, se spue că vrblele letore sut ecorelte. Se observă medt că, dcă vrblele letore f ş g sut depedete, tuc M(f g) M(f) M(g) ş d c) rezultă că ele sut ecorelte. Dcă vrblele f ş g sut ecorelte, tuc re loc M(f g) M(f) M(g), dr ele u sut î mod oblgtoru depedete. O măsură stdrdztă depedeţe două vrble letore o repreztă coefcetul de corelţe. Defţ. Se umeşte coefcet de corelţe l vrblelor f ş g vlore: cov ( fg, ) (6.5.) ρ( fg, ). D ( f) D ( g) Dcă vrblele f ş g sut dscrete ş u vlorle ( ) p P( f x ş g y ), N tuc: ( f,g) ( x f )( y g) ρ. D (f )D (g) x N, respectv ( ) p y N ş D egltte lu Schwrtz rezultă medt că orcre r f două vrble letore f ş g : Ω R: (6.5.3) ρ ( fg, ). M mult, re loc: Teorem. Ître două vrble letore f ş g exstă o relţe lră dcă ş um dcă: ρ fg,. (6.5.4) ( ) Pe lâgă cele rătte m sus exstă ş lte măsur le grdulu de depedeţă două vrble, dtre cre mtm coefcetul de cotgeţă. Exemplul. Fe vectorul letor h (f, g) dt pr tbloul:
38 48 Vrble letore - 6 f g Să se studeze depedeţ ş ecorelre vrblelor letore f ş g. Rezolvre: Vrbl letore f vlorle ş cu probbltăţle Pf ( ) , Pf ( ) Vlore letore g 8 vlorle: 0,,, 3, 4 cu probbltăţle Pg ( 0) 6, Pg ( ) 4, Pg ( ) 3 8, Pg ( 3) 4 ş Pg ( 4), dcă dstrbuţle lu f ş g sut dte pr: 6 Petru produsul f g se obţe dstrbuţ: f: 7 8 8, g: f g: Clculâd vlorle med corespuzătore obţem M(f) 5, M(g), M(f g) 8 5 5, cov(f, g) M(f g) - M(f) M(g) Dec vrblele letore f ş 4 g sut ecorelte, dr P(f ş g ) 4 P(f ) P(g ) 7, cee ce rtă 8 4 că f ş g u sut depedete.
CAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< <
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.
CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME (toate problemele se pot rezolva cu ajutorul teoriei din sinteze)
Uverstte Spru Hret Fcultte de Stte Jurdce Ecoome s Admstrtve Crov Progrmul de lcet Cotbltte ş Iormtcă de Gestue Dscpl Mtemtc Aplcte î Ecoome tulr dscplă Co uv dr Lur Ugureu SUBIECE ote subectele se regsesc
Διαβάστε περισσότερα2. Functii de mai multe variabile reale
. Fuct de m multe vrble rele.. Elemete de topologe R Fe u sptu lr (XK. Det. Se umeste produs sclr plct < > < < λ > λ < v < > < > ; XX K cu omele: > ( X < > ( X ( λ K >< > < > ( X ( Xs < > ; dc s um dc
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραCursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότερα4. Interpolarea funcţiilor
Iterpolre ucţlor 7 Iterpolre ucţlor Fe : [] R ş e pucte dstcte d tervlul [] umte odur Prolem terpolăr ucţe î odurle costă î determre ue ucţ g : [] R dtro clsă de ucţ cuoscută cu proprette g Pusă su cestă
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 5 E E} 5.1. ARIA UNEI MULŢIMI PLANE. D I D = pentru i j. Se ştie că aria unui dreptunghi este egală cu produsul
Cp 5 INTEGRALE MULTIPLE 87 CAPITOLUL 5 INTEGRALE MULTIPLE 5 ARIA UNEI MULŢIMI PLANE Î cele ce urmeză, pr mulţme plă polgolă, vom îţelege orce mulţme d pl mărgtă de u polgo Î prtculr, pr mulţme plă dreptughulră
Διαβάστε περισσότεραCURS 4 METODE NUMERICE PENTRU PROBLEMA DE VALORI PROPRII. Partea I
CURS 4 MEODE NUMERICE PENRU PROBLEM DE VLORI PROPRII ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ Prte I. Defț, propretăț.. Metod puter ş
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Διαβάστε περισσότεραCurs 3. Spaţii vectoriale
Lector uv dr Crsta Nartea Curs Spaţ vectorale Defţa Dacă este u îtreg, ş x, x,, x sut umere reale, x, x,, x este u vector -dmesoal Mulţmea acestor vector se otează cu U spaţu vectoral mplcă patru elemete:
Διαβάστε περισσότεραTema: şiruri de funcţii
Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE. Eerciţii rezolvte Eerciţiul Stbiliţi dcă următorele şiruri sut fudmetle: ), N 5 b) + + + +, N * c) + + +, N * cos(!) d), N ( ) e), N Soluţii p p ) +p - < şi mjortul este
Διαβάστε περισσότεραdef def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a
Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR
CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA PROAILITĂŢILOR Câmp de evemete U feome îtâmplător se poate observa, de regulă, de ma multe or Faptul că este îtâmplător se mafestă pr aceea că u ştm date care este rezultatul
Διαβάστε περισσότεραINTEGRAREA ȘI DERIVAREA NUMERCĂ A FUNCȚIILOR REALE
Metode Numerce Lucrre r. 7 NTEGRAREA Ș DERVAREA NUMERCĂ A FUNCȚLOR REALE Modelul mtemtc ș metodele umerce utlzte Cudrtur este o procedură umercă pr cre vlore ue tegrle dete ( este promtă olosd ormț despre
Διαβάστε περισσότεραEvaluare : 1. Continuitatea funcţiilor definite pe diferite spaţii metrice. 2. Răspunsuri la problemele finale.
Modulul 4 APLICAŢII CONTINUE Subecte :. Cotutatea fucţlor defte pe spaţ metrce.. Uform cotutatate. 3. Lmte. Dscotutăţ lmte parţale lmte terate petru fucţ de ma multe varable reale. Evaluare :. Cotutatea
Διαβάστε περισσότεραSTUDIUL DEZINTEGRĂRILOR RADIOACTIVE. VERIFICAREA DISTRIBUȚIEI POISSON
UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREȘTI CATEDRA DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICĂ ATOMICĂ Ș FIZICĂ NUCLEARĂ BN - 030 STUDIUL DEZINTEGRĂRILOR RADIOACTIVE VERIFICAREA DISTRIBUȚIEI POISSON 997 STUDIUL DEZINTEGRĂRILOR
Διαβάστε περισσότεραCu ajutorul noţiunii de corp se defineşte noţiunea de spaţiu vectorial (spaţiu liniar): Fie V o mulţime nevidă ( Ø) şi K,,
Cursul 1 Î cele ce urmează vom prezeta o ouă structură algebrcă, structura de spaţu vectoral (spaţu lar) utlzâd structurle algebrce cuoscute: mood, grup, el, corp. Petru îceput să reamtm oţuea de corp:
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL
ELEMENTE DE CLCUL NUMERIC MTRICEL Metode de clcul l verse Metod reducer l mtrce utte / metod elmăr î versue Guss-Jord dgolzăr / metod elmăr vtj: Obţere vlor determtulu fără clcule suplmetre Se bzeză pe
Διαβάστε περισσότερα2. Metoda celor mai mici pătrate
Metode Nuerce Curs. Metoda celor a c pătrate Fe f : [a, b] R o fucţe. Fe x, x,, x + pucte dstcte d tervalul [a, b] petru care se cuosc valorle fucţe y = f(x ) petru orce =,,. Aproxarea fucţe f prtr-u polo
Διαβάστε περισσότεραSeminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.
Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL
ELEMENTE DE CLCUL NUMERIC MTRICEL. Metode de clcul l verse Metod reducer l mtrce utte / metod elmăr î versue Guss-Jord dgolzăr / metod elmăr. vtj: Obţere vlor determtulu fără clcule suplmetre. Se bzeză
Διαβάστε περισσότερα3.6 Valori şi vectori proprii. Fie V un K-spaţiu vectorial n-dimensional şi A L K (V) un operator liniar.
Algebră lnră, geometre nltcă ş dferenţlă 6 Vlor ş vector propr Fe V un K-spţu vectorl n-dmensonl ş A L K (V) un opertor lnr Defnţ 6 Un vector x V, x se numeşte vector propru l opertorulu A dcă exstă K
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS. CAPITOLUL 1: Module şi spaţii vectoriale
PREFAŢĂ, După ce î lucrre [5] m prezett elemetele de bză le ş zse lgebre bstrcte (mulţm ordote, grupur, ele, corpur, ele de polome, elemete de teor ctegorlor) c o coture frescă cestor, î lucrre de fţă
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραI. REGRESIA Clasificări. Metode corelationale Regresia si Corelatia. Stud. Master - AMP
9.1.13 Metode coreltole Regres s Corelt Stud. Mster - AMP ISAIC- MANIU ALEXANDRU we www.mu.se.ro e-ml AL.ISAIC-MANIU@CSIE.ASE.RO 9.XII.13 1 Cotet Itre metodele ctttve de cerctre utle sut s cele de studere
Διαβάστε περισσότεραMETODE DE APROXIMARE NUMERICĂ A FUNCŢIILOR
METODE DE APROXIMARE NUMERICĂ A FUNCŢIILOR. Puere probleme Apre î multe tuţ d ştţă ş tehcă î geerl ş d domele utomtcă formtcă ş clcultore î prtculr. Î cete dome pr plcţ î cre u e cuoşte epre ltcă fucţe
Διαβάστε περισσότεραREZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
Διαβάστε περισσότεραElemente de teoria probabilitatilor
Elemete de teora probabltatlor CONCEPTE DE BAZA VARIABILE ALEATOARE DISCRETE DISTRIBUTII DISCRETE VARIABILE ALEATOARE CONTINUE DISTRIBUTII CONTINUE ALTE VARIABILE ALEATOARE Spatul esatoaelor, pucte esato,
Διαβάστε περισσότεραMETODE NUMERICE APLICAŢII
MARILENA POPA ROMULUS MILITARU METODE NUMERICE APLICAŢII 7 . Metod Guss cu pvotre prţlă l ecre etpă petru rezolvre sstemelor de ecuţ lre Prezetre proleme Se cosderă sstemul lr: () A t ude: A R mtrce sstemulu
Διαβάστε περισσότεραIntegrale cu parametru
1 Integrle proprii cu prmetru 2 3 Integrle proprii cu prmetru Definiţi 1.1 Dcă f : [, b ] E R, E R este o funcţie cu propriette că pentru orice y E, funcţi de vribilă x x f (x, y) este integrbilă pe intervlul
Διαβάστε περισσότεραProcese stocastice (2) Fie un proces stocastic de parametru continuu si avand spatiul starilor discret. =
Xt () Procese stocastce (2) Fe u proces stocastc de parametru cotuu s avad spatul starlor dscret. Cu spatul starlor S = {,,, N} sau S = {,, } Defta : Procesul X() t este u proces Markov daca: PXt { ( )
Διαβάστε περισσότεραSisteme cu partajare - continut. M / M /1 PS ( numar de utilizatori, 1 server, numar de pozitii pentru utilizatori)
Ssteme cu partajare - cotut Recaptulare: modelul smplu de trafc M / M / PS ( umar de utlzator, server, umar de pozt petru utlzator) M / M / PS ( umar de utlzator, servere, umar de pozt petru utlzator)
Διαβάστε περισσότερα4. Integrale improprii cu parametru real
4. Itegrle improprii cu prmetru rel Fie f: [ b, ) [ cd, ] y [, itegrl improprie R cu < b +, stfel îcât petru fiecre b cd ] f (, ) ydeste covergetă. Atuci eistă o fucţie defiită pritr-o itegrlă improprie
Διαβάστε περισσότεραSondajul statistic- II
08.04.011 odajul statstc- II EŞATIOAREA s EXTIDEREA REZULTATELOR www.amau.ase.ro al.sac-mau@cse.ase.ro Data : 13 aprle 011 Bblografe : ursa I,cap.VI,pag.6-70 11.Aprle.011 1 odajul aleator smplu- cu revere
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 1. În acest paragraf vom reaminti noţiunea de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele generale de calcul ale acestora.
Cp PRIMITIVE 5 CAPITOLUL PRIMITIVE METOE GENERALE E CALCUL ALE PRIMITIVELOR Î cest prgrf vom remiti oţiue de primitivă, proprietăţile primitivelor şi metodele geerle de clcul le cestor efiiţi Fie f : I,
Διαβάστε περισσότεραMULTIMEA NUMERELOR REALE
www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).
Διαβάστε περισσότεραECUATII NELINIARE PE R n. (2) sistemul (1) poate fi scris si sub forma ecuatiei vectoriale: ) D
ANALIZA NUMERICA ECUATII NELINIARE PE R (http://bavara.utclu.ro/~ccosm) ECUATII NELINIARE PE R. INTRODUCERE e D R D R : s sstemul: ( x x x ) ( x x x ) D () Daca se cosdera aplcata : D R astel ca: ( x x
Διαβάστε περισσότεραPentru această problemă se consideră funcţia Lagrange asociată:
etoda ultplcatorlor lu arae ceastă etodă de optzare elară elă restrcţle de tp ealtate cluzâdu-le îtr-o ouă fucţe oectv ş ărd sulta uărul de varale al prolee de optzare. e urătoarea proleă: < (7. Petru
Διαβάστε περισσότεραMETODE ȘI PROGRAME DE CALCUL NUMERIC
METODE ȘI PROGRAME DE CALCUL NUMERIC -NOTE DE CURS- GRECU LUMINIȚA I CONCEPTE DE BAZĂ ȘI TIPURI DE ERORI I INTRODUCERE Metodele umerce sut cele tehc cre permt trsformre modelelor mtemtce î modele umerce
Διαβάστε περισσότεραANALIZA GRAFICA A REZULTATELOR DETERMINAREA FUNCTIEI DE REGRESIE OPTIME
ANALIZA GRAFICA A REZULTATELOR DETERMINAREA FUNCTIEI DE REGREIE OPTIME A. copul lucrr: e urmreste relzre urmtorelor oectve: - prezetre otulor geerle legte de formele de prezetre rezulttelor - prezetre
Διαβάστε περισσότερα6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU
6. INTEGRALA SIMPLĂ. INTEGRALA SIMPLĂ CU PARAMETRU 6.1. Noţiui teoretice şi rezultte fudmetle 6.1.1. Metod lui Droux de defii itegrl simplă Fie [, ] u itervl. Descompuem itervlul [, ] îtr-u umăr orecre
Διαβάστε περισσότεραCurs 4. Metode Numerice de Rezolvare a Sistemelor de Ecuaţii Liniare
Curs 4 Metode Numerce de Rezolvre Sstemelor de Ecuţ Lre As. Dr. g. Levete CZUMBIL Lortorul de Cercetre î Metode Numerce Deprtmetul de Electrotehcă, Igere Electrcă E-ml: Levete.Czuml@ethm.utcluj.ro Notţ
Διαβάστε περισσότερα9. CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM NESINUSOIDAL
9. CRCE ELECRCE N REGM NESNSODAL 9.. DESCOMPNEREA ARMONCA Ateror am studat regmul perodc susodal al retelelor electrce, adca regmul permaet stablt retele lare sub actuea uor t.e.m. susodale s de aceeas
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei metode pentru calculul unor integrale definite din functii trigonometrice
Educţi Mtemtică Vol. 1, Nr. (5), 59 68 Asupr unei metode pentru clculul unor integrle definite din functii trigonometrice Ion Alemn Astrct In this pper is presented one method of clcultion for the trigonometricl
Διαβάστε περισσότεραSeminariile 1 2 Capitolul I. Integrale improprii
Cpitolul I: Integrle improprii Lect. dr. Lucin Mticiuc Fcultte de Mtemtică Clcul integrl şi Aplicţii, Semestrul I Lector dr. Lucin MATICIUC Seminriile Cpitolul I. Integrle improprii. Să se studieze ntur
Διαβάστε περισσότεραDRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR
Drumuri, rce, lugimi Virgil-Mihil Zhri DRUMURI, ARCE ŞI LUNGIMILE LOR FucŃiile cu vrińie mărgiită u fost itroduse de Jord Cmille (88-9) şi utilizte de el cu oczi studiului prolemei rectificilităńii curelor,
Διαβάστε περισσότεραSisteme cu asteptare - continut. Modelul simplu de trafic
Ssteme cu asteptare - cotut Recaptulare: modelul smplu de trafc Dscpla cadrul cozlor de asteptate M / M / Modelul ( server, pozt de asteptare ) Aplcat modelarea trafculu de date la vel de pachete M / M
Διαβάστε περισσότεραCap. IV Serii Fourier. 4.1 Serii trigonometrice. (1) Numărul T se numeşte perioadă pentru funcţia f ( x )., x D, x ± T D
Cp. IV Serii Fourier 4. Serii trigoometrice Defiiţie: O fucţie f ( ) defiită pe o muţime ifiită D se umeşte periodică dcă eistă u umăr T stfe îcât: f ( ± T) = f ( ), D, ± T D () Număru T se umeşte periodă
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de ecuaţii neliniare
Ssteme de ecuaţ elare 9 Ssteme de ecuaţ elare Î acest catol abordăm roblema reolvăr umerce a sstemelor de ecuaţ alebrce elare Cosderăm următorul sstem de ecuaţ î care cel uţ ua d ucţle u este lară Sub
Διαβάστε περισσότεραcele mai ok referate
Permur www.refereo.ro cele m o refere.noue de permure. Fe A o mulme f de elemee, dc A{,, 3,, }. O fuce becv σ:aàa e umee permure ubue de grdul. P:Numrul uuror permurlor de ord ee egl cu!..produul compuere
Διαβάστε περισσότερα4. Serii de numere reale
I. (,) lim x lim + II. x şi lim x III. > x ( + ) ( + ) şi cum lim ( >) ; lim x lim lim lim x + ; (,) (, ). 4. Serii de umere rele Coceptul de serie umerică este o geerlizre turlă oţiuii de sum fiită de
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραCUPRINS 1. Optimalitate Metode analitice
CUPRINS. Optltte.......................... Optzre.. Forulre ş clscre probleelor de optzre.. Etpele rezolvăr probleelor de optzre.4. Codţ de optltte.5. Cocvtte covette.5.. Fucţ covee ş cocve.5.. Mulţ covee.
Διαβάστε περισσότεραmărimea de stare (prin conditiile iniţiale x(τ) numita stabilitate internă sistem liniar este stabi mărime de intrare u(t),
/3/5 Stbltte este un dn propretăţle nterne le sstemelor dnmce reflecttă de dependenţ funcţe de trnzţe stărlor x(t) = φ(t,τ,x τ,ω), de fz nţlă (τ,x(τ)). Se spune că un sstem lnr este stbl dcă, lăst să evolueze
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL I. PRELIMINARII Elemente de teoria mulţimilor
CAPITOLUL I. PRELIMINARII.. Elemete de teora mulţmlor. Mulţm Pr mulţme vom îţelege o colecţe (set, asamblu) de obecte (elemetele mulţm), be determate ş cosderate ca o ettate. Se subâţelege fatul că elemetele
Διαβάστε περισσότεραINTRODUCERE. 1. Erori în procesul de masura
INTRODUCERE. Eror î procesul de msur. Geerltt Dup cum este e cuoscut, fzc, u d sttele tur, operez cu otu s mrm exprmle ctttv s, c urmre (m mult su m put) precs determle. O operte fudmetl î fzc este cee
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραCURS 10. Regresia liniară - aproximarea unei functii tabelate cu o functie analitica de gradul 1, prin metoda celor mai mici patrate
Y CURS 0 Regresa lară - aproxmarea ue fuct tabelate cu o fucte aaltca de gradul, pr metoda celor ma mc patrate 30 300 90 80 70 60 50 40 30 0 y = -78.545x + 33.4 R² = 0.983 0 0. 0.4 0.6 0.8. X Fe o fucţe:
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραREZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE
REZOLVAREA NUMERICĂ A ECUAŢIILOR DIFERENŢIALE Itroducere Acest tp de prolee prove d cdrul vst l le ucţole. Ecuţle dereţle su cu dervte prţle costtue odelele tetce petru ortte proleelor gereşt: studul eorturlor
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematică, clasa a XI-a probleme rezolvate Rolul derivatei întâi
Anliz mtemtică, cls XI- proleme rezolvte Rolul derivtei întâi Virgil-Mihil Zhri DefiniŃie: Punctele critice le unei funcńii derivile sunt rădăcinile (zerourile) derivtei întâi DefiniŃie: Fie f:i R, cu
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL II. 1. Corpul numerelor complexe. Construcţia şi reprezentarea numerelor complexe.
APITOLUL II FUNŢII OMPLEXE orpl merelor complee ostrcţ ş repreetre merelor complee Imposbltte reolvăr or ecţ lgebrce î corpl merelor rele R cos pe lgebrşt tle î secoll XVI să trocă o epres e orm b b R
Διαβάστε περισσότεραCursul 10 T. rezultă V(x) < 0.
ursul uţol ătrtă V: X R V s lsă stl: ) V st oztv tă ă X u X rzultă V(). ) V st tv tă ă X u X rzultă V()
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA SI MATEMATICI SPECIALE
Uverstatea OVIDIUS Costaţa Departametul ID-IFR Facultatea Matematca-Iformatca ELEMENTE DE ANALIZA MATEMATICA SI MATEMATICI SPECIALE Caet de Studu Idvdual Specalzarea IEDM Aul de stud I Semestrul I Ttular
Διαβάστε περισσότεραSub formă matriceală sistemul de restricţii poate fi scris ca:
Metoda gradetulu proectat (metoda Rose) Î cazul problemelor de optmzare covee ale căror restrcţ sut lare se poate folos metoda gradetulu proectat. Î prcpu, această metodă poate f folostă ş petru cazul
Διαβάστε περισσότεραOperaŃii cu numere naturale
MulŃime umereleor turle www.webmteifo.com Petru scrie u umr orecre trebuie s combim itre ele uele ditre cele 0 simboluri: 0,,,, 4,, 6, 7, 8, 9.Aceste simboluri se umesc cifre. Ele sut de origie rb. Ν =
Διαβάστε περισσότεραConcursul Naţional Al. Myller Ediţia a VI - a Iaşi, 2008
Cocursul Naţioal Al. Myller CLASA a VII-a Numerele reale disticte x, yz, au proprietatea că Să se arate că x+ y+ z = 0. 3 3 3 x x= y y= z z. a) Să se arate că, ditre cici umere aturale oarecare, se pot
Διαβάστε περισσότεραEcuaŃii de gradul al doilea ax 2 + bx + c = 0, a,b,c R, a 0 1. Formule de rezolvare: > 0 b x =, x =, = b 2 4ac; sau
EcuŃii de grdul l doile x + x + c = 0,,,c R, 0 Formule de rezolvre: > 0 + x =, x =, = c; su ' + ' ' ' x =, x =, =, = c Formule utile în studiul ecuńiei de grdul l II-le: x + x = (x + x ) x x = S P 3 x
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότεραsin d = 8 2π 2 = 32 π
.. Eerciţii reolvte. INTEGRALA E UPRAFAŢĂ E AL OILEA TIP. ÂMPURI OLENOIALE. Eerciţiul... ă se clculee dd dd dd, () fiind fţ eterioră sferei + + 4. oluţie. Avem: sin θ cos φ, sin θ sin φ, cos θ, θ[, π],
Διαβάστε περισσότεραIntegrale generalizate (improprii)
Integrle generlizte (improprii) Fie f : [, ] R, definită prin =, α > 0. Pentru u, funţi α f este integrilă pe intervlul [, u] şi u ln α+ α+ u u = ( α)u α α, α = ln u, α =. Dă treem l limită pentru u oţinem
Διαβάστε περισσότεραCURS III, IV. Capitolul II: Serii de numere reale. a n sau cu a n. Deci lungimea segmentului este suma lungimilor sub-segmentelor obţinute, adică
Capitolul II: Serii de umere reale Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC CURS III, IV Capitolul
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραCURS 3 METODE NUMERICE PENTRU SISTEME DE ECUAŢII LINIARE
CURS EODE NUERICE PENRU SISEE DE ECUAŢII LINIARE ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ I etode drecte: Gss; LU; Choesy; Choesy mtrc
Διαβάστε περισσότερα4.7. Stabilitatea sistemelor liniare cu o intrare şi o ieşire
4.7. Sbilie sisemelor liire cu o irre şi o ieşire Se spue că u sisem fizic relizbil ese sbil fţă de o siuţie de echilibru sţior, dcă sub cţiue uei perurbţii eeriore (impuls Dirc) îşi părăseşe sre de echilibru
Διαβάστε περισσότεραNumere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.
Numere complexe Numere complexe Forma algebrcă a numărulu complex este a b unde a ş b sunt numere reale Numărul a se numeşte partea reală a numărulu complex ş se scre a Re ar numărul b se numeşte partea
Διαβάστε περισσότεραaşteptării pot fi înţelese cu ajutorul noţiunilor de bază culese din acest volum. În multe cazuri hazardul, întâmplarea îşi pun amprenta pe
Cuprs Prefaţă... 5 I. ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ... 7 Matrc... 8 Matrc partculare... 9 Iversa ue matrc... Ssteme de ecuaţ lare... 5 Problema compatbltăţ sstemelor... 7 Problema determăr sstemelor... 8
Διαβάστε περισσότεραExerciţii de Analiză Matematică
Exerciţii de Aliză Mtemtică October, 5 Şiruri si serii de umere rele. Să se stbilescă dcă şirul cu termeul geerl x =... este su u fudmetl.. Petru răt că şirul este fudmetl: Petru răt că şirul este fudmetl:
Διαβάστε περισσότεραANEXA., unde a ij K, i = 1, m, j = 1, n,
ANEXA ANEXĂ MATRICE ŞI DETERMINANŢI Fie K u corp şi m N* = N \ {} Tbloul dreptughiulr A = ude ij K i = m j = m m m se umeşte mtrice de tip (m ) cu elemete di corpul K Mulţime mtricelor cu m liii şi coloe
Διαβάστε περισσότεραlim lim lim lim (criteriul cu şiruri); lim lim = lim ; Limite de funcńii NotaŃii: f :D R, D R, α - punct de acumulare a lui D;
Limit d fucńii Aliz mtmtică, cls XI- Limit d fucńii NotŃii: f :D R, D R, α - puct d cumulr lui D DfiiŃii l iti DfiiŃi f ( = l, l R, dcă ptru oric vciătt V lui l istă o vciătt α U lui α stfl îcât D U, α,
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραLaboraratorul 7. Validarea generatorilor
Lborrtorul 7. Vldre genertorlor Bblogrfe:. I. Văduv. Modele de smulre Edtur Unverstt dn Bucureşt 004.. I. Vduv Modele de smulre cu clcultorul Edtur Tehnc Bucureşt 977. 3. I. Vldmrescu Probbltt s sttstc
Διαβάστε περισσότεραInegalitati. I. Monotonia functiilor
Iegalitati I acest compartimet vor fi prezetate diverse metode de demostrare a iegalitatilor, utilizad metodele propuse vor fi demostrate atat iegalitati clasice precum si iegalitati propuse la diferite
Διαβάστε περισσότεραPolinoame.. Prescurtat putem scrie. sunt coeficienţii polinomului cu a. este mulţimea polinoamelor cu coeficienţi complecşi.
Poliome ) Form lgebrică uui poliom Pri form lgebrică su form coică îţelegem f X X X Prescurtt putem scrie f X,,, sut coeficieţii poliomului cu, se umeşte coeficiet domit şi X terme domit tuci poliomul
Διαβάστε περισσότεραIV.1.6. Sisteme de ecuaţii liniare
IV6 Sseme de ecuţ lre IV6 Defţ Noţ Ssemele de ecuţ lre erv prope î oe domele memc plce Î uele czur, ele pr î mod url, d îsăş formulre proleme Î le czur, ssemele de ecuţ lre rezulă d plcre uor meode umerce
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE. SpaŃii vectoriale. Organizarea spańiilor economice ca spańii vectoriale
EEMENTE DE AGERĂ SUPERIOARĂ CU APICAłII ÎN ECONOMIE SpŃ vetorle. Orgzre spńlor eoome spń vetorle DeŃe Fe V o mulńme evdă de elemete ş K u orp de slr ş e: - o lege de ompozńe teră ottă dtv + : V V V + -
Διαβάστε περισσότεραAnaliza matematica Specializarea Matematica vara 2010/ iarna 2011
Aaliza matematica Specializarea Matematica vara 010/ iara 011 MULTIPLE HOIE 1 Se cosidera fuctia Atuci derivata mita de ordi data de este egala cu 1 y Derivata partiala de ordi a lui i raport cu variabila
Διαβάστε περισσότεραCOMPLEMENTE de ALGEBRĂ
Dumtru Buşeg D Pu COMPLEMENTE de LGEBRĂ 6 Preţă estă rte, struurtă e tole, urde umte hestu de lgeră, re, deş u se roudeă suet de mult î drul lor de leţă de l ultăţle de mtemtă ş u um!, sut totuş orte mortte
Διαβάστε περισσότεραSUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραINTRODUCERE. Capitolele îndrumătorului corespund materiei predate şi abordate la seminar pentru Statică, prima diviziune a disciplinei Mecanică.
INTDUEE utor u conceput lucrre de fţă, nttultă Îndrumător ş plcţ pentru studul ndvdul l mecncă prte I: sttc, c un mterl necesr studenţlor pentru consoldre cunoştnţelor teoretce ş formre deprnder rezolvăr
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότερα3. Caracterizarea microgeometriei suprafeţelor de frecare 18
3. Crcterzre mcrogeometre suprfeţeor de frecre 8 3. CARACTERIZAREA MICROGEOMETRIEI SUPRAFEŢELOR DE FRECARE 3.. Mărm stdrdzte [A, A,A9, A5] Ctte suprfeţeor de cotct cupeor de frecre se pote crcterz pr :
Διαβάστε περισσότεραMÉTHODES ET EXERCICES
J.-M. MONIER I G. HABERER I C. LARDON MATHS PCSI PTSI MÉTHODES ET EXERCICES 4 e édition Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations Dunod, 2018 11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff www.dunod.com
Διαβάστε περισσότεραAnaliza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele
Διαβάστε περισσότερα