ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Ι ΕΠΑ. Λ. ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΑΝΔΡΟΜΑΧΗ ΣΚΟΥΦΑ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Ι ΕΠΑ. Λ. ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ. Επιμέλεια: ΑΝΔΡΟΜΑΧΗ ΣΚΟΥΦΑ"

Transcript

1 ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Ι ΕΠΑ. Λ. Επιμέλεια: ΑΝΔΡΟΜΑΧΗ ΣΚΟΥΦΑ

2 Κεφάλαιο 1:Περιγραφική Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική είναι ο κλάδος των µαθηµατικών ο οποίος έχει ως σκοπό:! Το σχεδιασµό της διαδικασίας συλλογής δεδοµένων.! Την Ταξινόµηση και κατάλληλη παρουσίαση τους.! Την ανάλυση και εξαγωγή συµπερασµάτων. Πληθυσµός λέγεται το σύνολο των αντικειµένων του οποίου τα στοιχεία εξετάζουµε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητή είναι το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο εξετάζουµε τον πληθυσµό. Τις µεταβλητές τις διακρίνουµε σε:! Ποιοτικές µεταβλητές, των οποίων οι τιµές δεν είναι αριθµοί.! Ποσοτικές µεταβλητές, των οποίων οι τιµές είναι αριθµοί και διακρίνονται σε: α) διακριτές µεταβλητές β)συνεχείς µεταβλητές. Δείγµα είναι µία αντιπροσωπευτική οµάδα ή υποσύνολο του πληθυσµού και δειγµατοληψία η εξέτασή του. Οι τιµές t 1,t,,t v που παίρνουµε από την µελέτη ενός δείγµατος µεγέθους ν µιας µεταβλητής Χ, λέγονται παρατηρήσεις. Οι τιµές χ 1,χ,,χ κ (κ ν) λέγονται τιµές της µεταβλητής Χ και είναι οι διαφορετικές µεταξύ τους παρατηρήσεις.

3 Συχνότητες Στην τιµή χ i (i=1,,,κ) αντιστοιχίζεται η συχνότητα ν i, δηλαδή ο φυσικός αριθµός που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή χ i, στο σύνολο των παρατηρήσεων και είναι ν 1 +ν + +ν κ =ν. Η αθροιστική συχνότητα(ν i ) εκφράζει το πλήθος των παρατηρήσεων που είναι µικρότερες ή ίσες της τιµής χ i. Αν διαιρέσουµε την συχνότητα ν i µε το µέγεθος ν του δείγµατος προκύπτει η σχετική συχνότητα f i της τιµής χ i δηλαδή: f i = (i=1,,3,,κ) µε 0 f i 1 και f 1 +f +f 3 + f κ =1. Εκφράζεται συνήθως επί τοις εκατό, δηλαδή f i = και ισχύει f 1 %+f %+f 3 %+ f κ %=100%. Η αθροιστική σχετική συχνότητα F i εκφράζει το ποσοστό των παρατηρήσεων που είναι µικρότερες ή ίσες της τιµής χ i.

4 Γραφικές Παραστάσεις α) Ραβδόγραµµα Το ραβδόγραµµα χρησιµοποιείται για την γραφική παράσταση των τιµών µιας ποιοτικής ή µιας ποσοτικής µεταβλητής.! Αποτελείται από ορθογώνιες στήλες που οι βάσεις του βρίσκονται πάνω στον οριζόντιο άξονα(κατακόρυφο ραβδόγραµµα).! Σε κάθε τιµή της µεταβλητής Χ αντιστοιχεί µία ορθογώνια στήλη της οποίας το ύψος είναι ίσο µε την αντίστοιχη συχνότητα, σχετική συχνότητα κλπ.! Με παρόµοιο τρόπο έχουµε και το οριζόντιο ραβδόγραµµα. Κατακόρυφο ραβδόγραµµα

5 Οριζόντιο ραβδόγραµµα β) Εικονόγραµµα Χρησιµοποιείται στην µελέτη µεγάλων δειγµάτων. γ) Κυκλικό διάγραµµα! Χρησιµοποιείται για την γραφική παράσταση των ποιοτικών και ποσοτικών µεταβλητών, όταν οι διαφορετικές τιµές της µεταβλητής είναι σχετικά λίγες.! Είναι ένας κυκλικός δίσκος χωρισµένος σε κυκλικούς τοµείς, τα τόξα των οποίων είναι ανάλογα προς τις αντίστοιχες συχνότητες.! Αν α i τα τόξα τότε α i = *360 o =360*f i.

6 Πωλήσεις 8% 3% 10% 59% 1ο*Τρ. ο*τρ. 3ο*Τρ. 4ο*Τρ. Οµαδοποίηση των παρατηρήσεων! Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι αρκετά µεγάλο(συνήθως σε συνεχείς µεταβλητές) οµαδοποιούµε τα δεδοµένα σε µικρό πλήθος οµάδων, που ονoµάζονται κλάσεις µε τέτοιο τρόπο ώστε κάθε τιµή να ανήκει σε µία µόνο κλάση.! Οι κλάσεις έχουν την µορφή διαστηµάτων [α,β).! Το ηµιάθροισµα ονοµάζεται κέντρο κλάσης.! Πλάτος κλάσης ονοµάζεται η διαφορά β-α.! Η γραφική παράσταση ενός πίνακα συχνοτήτων µε οµαδοποιηµένες παρατηρήσεις γίνεται µε το ιστόγραµµα συχνοτήτων.

7 Παράµετροι θέσης Επικρατούσα τιµή µιας µεταβλητής είναι η τιµή µε τη µεγαλύτερη συχνότητα. Αν δυο ή περισσότερες τιµές έχουν την ίδια µέγιστη συχνότητα, τότε υπάρχουν περισσότερες από µία επικρατούσες τιµές. Μέση τιµή ( ) διαφόρων τιµών είναι το πηλίκο του αθροίσµατος των τιµών προς το πλήθος τους. Η µέση τιµή ταυτίζεται µε το µέσο όρο µόνο σε ποσοτικές µεταβλητές. Ισχύει η σχέση: Διάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά, ονοµάζεται: Η µεσαία παρατήρηση αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι περιττό. Το ηµιάθροισµα των µεσαίων παρατηρήσεων αν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι άρτιο. Σύγκριση παραµέτρων θέσης! Η µέση τιµή επηρεάζεται από τις ακραίες τιµές και εξαρτάται από όλες τις τιµές της µεταβλητής.! Η επικρατούσα τιµή εξαρτάται µόνο από την µεγαλύτερη τιµή.! Η διάµεσος δεν επηρεάζεται από τις ακραίες τιµές και εξαρτάται από όλες τις τιµές της µεταβλητής.

8 Παράµετροι διασποράς Εύρος( R) των τιµών µιας µεταβλητής είναι η διαφορά της µικρότερης από τη µεγαλύτερη τιµή. Διακύµανση (s )µιας µεταβλητής Χ που παίρνει τιµές, µε αντίστοιχες συχνότητες, που έχουν µέση τιµή, ονοµάζεται το πηλίκο: Τυπική απόκλιση (s) µιας µεταβλητής Χ που παίρνει τιµές, µε αντίστοιχες συχνότητες, που έχουν µέση τιµή ονοµάζεται το πηλίκο: Συντελεστής µεταβλητότητας ή µεταβολής. Ορισµός: Αν ένα δείγµα εξεταζόµενο ως προς µια ποσοτική µεταβλητή του, παρουσιάζει µέση τιµή και τυπική απόκλιση s, τότε συντελεστής µεταβολής ή συντελεστής µεταβλητότητας (CV) ονοµάζεται το πηλίκο:

9 Παρατηρήσεις: Ο CV µετράει την οµοιογένεια ενός πληθυσµού. Αν είναι CV<10%, ο πληθυσµός θεωρείται οµοιογενής. Αν είναι CV>10% ή CV=10%, ο πληθυσµός θεωρείται ανοµοιογενής. Όσο µεγαλύτερος είναι ο CV τόσο µικρότερη είναι η οµοιογένεια.

10 Ασκήσεις 1. Ποιές από τις παρακάτω µεταβλητές είναι ποιοτικές και ποιές ποσοτικές. α) Ο µήνας κατά τον οποίο ένας υπάλληλος παίρνει άδεια. β) οι απουσίες ενός µαθητή σε όλο το σχολικό έτος. γ) οι προτιµήσεις των µαθητών στα µουσικά συγκροτήµατα. δ) το αγαπηµένο χρώµα των µαθητών ενός τµήµατος.. Ποιες από τις παρακάτω µεταβλητές είναι ποιοτικές και ποιες ποσοτικές; Ποιες από τις ποσοτικές είναι διακριτές και ποιες συνεχείς; α. το µήκος ενός ποταµού β. το πλήθος των σελίδων ενός βιβλίου γ. το χρώµα µαλλιών δ. η διάρκεια µιας κινηµατογραφικής ταινίας ε. τα µόρια για τη εισαγωγή στα ΑΕΙ και ΤΕΙ στ. η θερµοκρασία ενός δωµατίου ζ. η εθνικότητα η. το πλήθος των επιβατών που χωράει ένα αυτοκίνητο θ. το πλήθος των θεατών σε ένα αγώνα ποδοσφαίρου ι. το ύψος ενός βουνού κ. η διάρκεια ζωής ενός λαµπτήρα λ. οι πωλήσεις ενός µοντέλου αυτοκινήτου µ. το βάρος µιας φραντζόλας ψωµιού ν. το φύλο ενός ανθρώπου 3.Μελετάµε τους µαθητές της Γ τάξης Λυκείου ως προς την διαγωγή τους. Τον αριθµό των απουσιών τους, την ειδικότητα που παρακολουθούν και το βάρος τους. Να βρείτε ποιες από τις µεταβλητές αυτές είναι ποιοτικές και ποιες ποσοτικές. Από τις ποσοτικές ποιες είναι συνεχείς και ποιες διακριτές. 4.Έγινε µία δειγµατοληπτική έρευνα για το βάρος των εµπορευµάτων µιας αποθήκης λαχανικών. Βρήκαµε ότι τα βάρη 10 κιβωτίων σε κιλά είναι: 17,1,1,15,18,,4,5,19,0. α) ποιος είναι ο πληθυσµός; β) ποιο είναι το δείγµα; γ) Ποιες είναι οι παρατηρήσεις; δ) ποια είναι η µεταβλητή και ποιες οι τιµές της;

11 5.Σε ένα λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών στη στατιστική. Πήραµε τις βαθµολογίες: 15,11,10,10,14,16,19,18,13,17. α) ποιος είναι ο πληθυσµός; β) ποιο είναι το δείγµα; γ) Ποιες είναι οι παρατηρήσεις; δ) ποια είναι η µεταβλητή και είναι συνεχής ή διακριτή; 6.Τα τµήµατα ενός Λυκείου έχουν τους εξής µαθητές: 31,9,7,9,8,8,30,8,9,30,31,9,31,7,7,9. Να κατασκευάσετε τους πίνακες συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων, αθροιστικών συχνοτήτων και σχετικών αθροιστικών συχνοτήτων. Να κατασκευάσετε τα κατακόρυφα ραβδογράµµατα συχνοτήτων και σχετικών ποσοστιαίων συχνοτήτων. 7. Οι παρακάτω αριθµοί παρουσιάζουν τις ενδείξεις ενός ζαριού το οποίο ρίξαµε 30 φορές:,3,6,,3,1,,4,1,,1,1,3,3,5,5,1,6,4,4,4,6,4,5,5,,5,,6,5 Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτητων. 8.Οι παρακάτω αριθµοί είναι το πλήθος των τηλεφωνικών κλήσεων που πραγµατοποίησαν σε µία µέρα 30 συνδροµητές Να κατασκευάσετε: α. Τους πίνακες συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. β. Το διάγραµµα συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο.

12 γ. Να βρεθεί το ποσοστό των συνδροµητών που πραγµατοποίησαν: 1. τουλάχιστον 6 κλήσεις.. το πολύ 5 κλήσεις. 3. από 4 εως και 7 κλήσεις. 9. Ένα δείγµα 0 µαθητών της Β Γυµνασίου εξετάστηκε ως προς τις ώρες που παρακολουθεί τηλεόραση το Σαββατοκύριακο. Από την εξέταση αυτή προέκυψαν τα παρακάτω δεδοµένα: α) Να κάνετε πίνακα κατανοµής συχνοτήτων και σχετ. συχνοτήτων. β) Να κάνετε ραβδόγραµµα σχετικών συχνοτήτων. γ) Να βρείτε τον αριθµό των µαθητών που βλέπουν το πολύ 3 ώρες τηλεόραση το Σαββατοκύριακο. δ) Να βρείτε το ποσοστό των µαθητών που βλέπουν τουλάχιστον 5 ώρες τηλεόραση το Σαββατοκύριακο. 10.Οι παρακάτω αριθµοί αντιπροσωπεύουν το πλήθος των ενηλίκων επιβατών που µπορεί να µεταφέρει καθένα από 30 διαφορετικά αυτοκίνητα α. Να κατασκευάσετε τον πίνακα µε τις συχνότητες, σχετικές συχνότητες, αθροιστικές συχνότητες και αθροιστικές σχετικές συχνότητες της µεταβλητής «πλήθος επιβατών». β. Να κατασκευάσετε ένα διάγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων γ. Να βρείτε το ποσοστό των αυτοκινήτων του δείγµατος που µπορεί να µεταφέρει: i. τουλάχιστον 5 επιβάτες ii. το πολύ 4 επιβάτες iii. 4 ή 5 επιβάτες 11.Μια βιβλιοθήκη περιέχει συνολικά 105 τόµους βιβλίων. Απ αυτούς 350 είναι λογοτεχνικοί, οι 50 ιστορικοί και οι υπόλοιποι σχετικοί µε µαθηµατικά. Να κατασκευάσετε πίνακα κατανοµής συχνοτήτων και ραβδόγραµµα σχετικών συχνοτήτων.

13 1.Ένας παίκτης του µπάσκετ είχε το 008 συµµετοχή σε 30 αγώνες της οµάδας του. Τα παρακάτω δεδοµένα αντιπροσωπεύουν τα φάουλ που έκανε σε καθέναν απ αυτούς τους αγώνες α. Να κατασκευάσετε τον πίνακα µε τις συχνότητες, σχετικές συχνότητες, αθροιστικές συχνότητες και αθροιστικές σχετικές συχνότητες της µεταβλητής «φάουλ». β. Να κατασκευάσετε ένα διάγραµµα συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο συχνοτήτων. 13. Να συµπληρώσετε τον ακόλουθο πίνακα ο οποίος αναφέρεται σε κάποια µεταβλητή Χ. Σχ. Μεταβλητη Σχετ. Αθρ. Αθρ.Σχ. Αθρ.Σχ. Συχνότητα Συχν. Χ Συχν. Συχν. Συχν. Συχν. % % Χ 1 Χ Χ 3 67,5 Χ 4 0,1 Χ Nα συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα. Μεταβλητή Χ Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Αθροιστική Συχνότητα Αθροιστική Σχετική συχνότητα X Χ 0,5 Χ ,5

14 15. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα και κατόπιν να κατασκευάσετε το πολύγωνο των αθροιστικών συχνοτήτων. 16.Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα που έχει τους βαθµούς ενός τµήµατος φοιτητών Βαθµοί χ i Συχνότητα v i Αθροιστική Συχνότητα v i Σύνολο Σχετική Συχνότητα f i % Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i % Να βρείτε το πλήθος και το ποσοστό των φοιτητών που πήραν βαθµό: α) Το πολύ 7 β) Τουλάχιστον 7 γ) Από 6εώς 8.

15 17.Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας ο οποίος παρουσιάζει τους µεταξεταστέους µαθητές της Α τάξης Λυκείου. Μαθήµατα Συχνότητα Σχετική χ i v i Συχνότητα f i % Αρχαία 6 Νέα 5 Αγγλικά 8 Μαθηµατικά 8 Φυσική 10 5 Χηµεία Σύνολο 18. Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα: χ i Συχνότητ ν i Αθροιστική Συχνότητα Ν i Σχετική Συχνότητα f i Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i Σχετική Συχνότητα f i % Αθροιστική Σχετική Συχνότητα F i % , Σ 19.Συµπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: και υπολογίστε την µέση τιµή και την διάµεσο.

16 0.Συµπληρώστε τον παρακάτω πίνακα: 1.Ο παρακάτω πίνακας δίνει την κατανοµή συχνοτήτων 50 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών τους. Αριθµός παιδιών χ i Αριθµός οικογενειών ν i Σύνολο 50 α) να τον συµπληρώσετε µε τις στήλες αθροιστικών συχνοτήτων, σχετικών συχνοτήτων % και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων %. β) Να βρείτε τον αριθµό και το ποσοστό των οικογενειών που έχουν: I. Τουλάχιστον 1 παιδί. II. Πάνω από 3 παιδία. III. Από 3 ως 5 παιδιά. IV. Το πολύ 6 παιδιά.

17 V. Ακριβώς 6 παιδιά. γ) Να κατασκευάσετε το ραβδόγραµµα συχνοτήτων και το κυκλικό διάγραµµα σχετικών ποσοστιαίων συχνοτήτων..οι πωλήσεις σε χιλιάδες τεµάχια ενός προϊόντος φαίνονται στο παρακάτω ραβδόγραµµα. Να κατασκευάσετε το κυκλικό διάγραµµα. 3.Σε ένα κυκλικό διάγραµµα ο κυκλικός τοµέας της τιµής Α έχει κεντρική γωνία ίση µε 100. Αν η µεταβλητή που µελετούµε παίρνει τιµές Α, Β, Γ, Δ και η τιµή Α έχει διπλάσια σχετική συχνότητα από την Β και τριπλάσια από την Γ, να κατασκευάσετε το αντίστοιχο ραβδόγραµµα. 4.Από την ερώτηση ενός δείγµατος 800 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών προέκυψε ο παρακάτω πίνακας. α. Να κάνετε την κατανοµή συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων και να παραστήσετε την κατανοµή αυτή µε ραβδόγραµµα. β. Να βρεθεί η επικρατούσα τιµή. γ. Αν οι οικογένειες µε περισσότερα από 3 παιδιά παίρνουν επίδοµα πολυτεκνίας να βρείτε το ποσοστό που θα πάρουν το επίδοµα.

18 5.Τα παρακάτω δεδοµένα αντιπροσωπεύουν τις καθυστερήσεις (σε λεπτά) 30 δροµολογίων µιας αµαξοστοιχίας α. Να οµαδοποιήσετε τα δεδοµένα σε κατάλληλο αριθµό κλάσεων ίσου πλάτους και να κατασκευάσετε πίνακα µε τις συχνότητες, σχετικές συχνότητες, αθροιστικές συχνότητες και αθροιστικές σχετικές συχνότητες των κλάσεων αυτών. β. Να κατασκευάσετε τα πολύγωνα σχετικών συχνοτήτων και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. 6.Μετρήσαµε τη διάρκεια ζωής (σε ώρες) 44 λυχνιών και βρήκαµε τα παρακάτω αποτελέσµατα: α. Να οµαδοποιήσετε τις µετρήσεις αυτές σε κατάλληλο αριθµό κλάσεων β. Να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων, το ιστόγραµµα συχνοτήτων και το πολύγωνο συχνοτήτων.

19 7.Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει την επίδοση που είχαν 10 φοιτητές σε εξέταση του µαθήµατος των µαθηµατικών: ΒΑΘΜΟΣ ΦΟΙΤΗΤΕΣ i. Να υπολογιστούν: α) Η µέση βαθµολογία των φοιτητών β) Η διάµεσος της βαθµολογίας γ) Η επικρατούσα τιµή δ) το εύρος ε) Η διακύµανση της βαθµολογίας ii. είναι το δείγµα οµοιογενές: (Δίνεται ότι 1,7) 8.Οι τιµές δέκα προιόντων σε ένα κατάστηµα είναι: 7,11,10,13,15,3,1,11,4,14 σε ευρώ. Να υπολογίσετε τα παρακάτω για τις τιµές των προιόντων: α) να κατασκευάσετε πίνακα συχνοτήτων β) την µέση τιµή γ)την επικρατούσα τιµή δ) τη διάµεσο ε) το εύρος στ)τη διακύµανση ζ)να βρεθεί το πλήθος των προιόντων µε τιµή τουλάχιστον 1 ευρώ. 9.Οι βαθµοί 7 φοιτητών σε µία εργασία ήταν: 3,9,5,10,5,7,10 α) Να βρεθεί η µέση βαθµολογία των φοιτητών. β) Να βρεθεί η διάµεσος γ) Να βρεθεί η τυπική απόκλιση δ)να δειχθεί ότι το δείγµα δεν είναι οµοιογενές.

20 30.Εξετάζουµε ένα δείγµα 5 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών που έχουν. Μερικά αποτελέσµατα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: Αριθµός παιδιών οικογένειες Σχετικές συχνότητες Αθροιστικές συχνότητες Σχετικές Αθροιστικές συχνότητες χ i ν i f i % Ν i F i Σύνολο 5 α) Να συµπληρώσετε τον πίνακα β) Να βρείτε την µέση τιµή, την διάµεσο και την επικρατούσα τιµή γ) Να βρείτε την διακύµανση και να εξετάσετε αν το δείγµα είναι οµοιογενές δ) Να βρείτε το πλήθος και το ποσοστό των οικογενειών που έχουν: i. τουλάχιστον 3 παιδιά ii. το πολύ παιδιά iii. ένα µόνο παιδί. 31.Στον παρακάτω πίνακα: χ i v i f i % N i F i % Σύνολο α) Βρείτε την Επικρατούσα τιµή.

21 β) Συµπληρώστε τα κενά. γ) Βρείτε την διάµεσο. δ) Υπολογίστε την τιµή του 4 ώστε η µέση τιµή να είναι 5,48. 3.Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει των αριθµό πελατών που επισκέφθηκαν ένα κατάστηµα σε µία χρονική περίοδο 100 ηµερών. α. Να συµπληρώσετε τον πίνακα: β. Να κάνετε: 1. Το ιστόγραµµα συχνοτήτων και το αντίστοιχο πολύγωνο. Το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % και το αντίστοιχο πολύγωνο γ. Να βρείτε το ποσοστό των ηµερών στις οποίες επισκέφθηκαν το κατάστηµα: 1. Λιγότεροι από 50 πελάτες. Από 35 εως 75 πελάτες 3. Από 43 εως 63 πελάτες 33.Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τα ποσά σε ευρώ που ξοδεύουν 100 µαθητές στο κυλικείο του σχολείου τους σε διάστηµα ενός µηνός. α. Να συµπληρώσετε τον πίνακα:

22 β. Να κάνετε το ιστόγραµµα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων % και το αντίστοιχο πολύγωνο. γ. Να βρείτε το ποσοστό των µαθητών που ξοδεύουν: 1. Λιγότερο από 30 ευρώ ευρώ ευρώ. δ. Να βρείτε το µέσο ποσό χρηµάτων που ξοδεύουν οι µαθητές. 34.Στο σχήµα δίνεται το ιστόγραµµα συχνοτήτων που παρουσιάζει τη βαθµολογία µιας οµάδας φοιτητών στο µάθηµα της Στατιστικής. Η βαθµολογία κυµαίνεται από έως 10. α. Να κατασκευάσετε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων. β. Να βρείτε τη διάµεσο. γ. Να βρείτε τη µέση τιµή και τυπική απόκλιση της βαθµολογίας των φοιτητών.

23 35.Ο παρακάτω πίνακας παρουσιάζει τις ηλικίες σε έτη των παιδιών σε ένα κολυµβητήριο: ΗΛΙΚΙΕΣ [3,5) 0 [5,7) 0, [7,9) 60 [9,11) ΣΥΝΟΛΟ 00 α) Να συµπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα β) Αποδείξτε ότι το παραπάνω δείγµα δεν είναι οµοιογενές γ)τι ποσοστό παιδιών έχει ηλικία τουλάχιστον 7 έτη 36.Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τις ηλικίες εικοσιπέντε αθλητών ποδοσφαίρου: Ηλικίες Συχνότητα [16,0) 3 [0,4) 5 [4,8) [8,3) 7 [3,36) α) Αν η συχνότητα της τρίτης κλάσης είναι τετραπλάσια από την συχνότητα της πέµπτης κλάσης. Να βρεθεί η µέση τιµή β) Να βρεθεί η επικρατούσα τιµή γ) Να βρεθεί η διάµεσος δ) Να βρεθούν η διακύµανση και η τυπική απόκλιση ε) Να εξετασθεί αν το δείγµα είναι οµοιογενές.

24 37.Ο παρακάτω πίνακας δείχνει την κατανοµή δείγµατος 50 κινηµατογραφικών ταινιών ως προς την διάρκειά τους (σε λεπτά). Να βρείτε: α. τη µέση τιµή β. την τυπική απόκλιση γ. το συντελεστή µεταβλητότητας Διάρκεια Συχνότη (λεπτά) τα [60,75) [75,90) 8 [90,105) 15 [105,10) 11 [10,135) 10 [135,150) 4 38.Ο διπλανός πίνακας δείχνει το ενοίκιο ανά στρέµµα ενοικιαζόµενης γης (µε άρδευση) στους 54 νοµούς της Ελλάδας. Να βρείτε: α. τη µέση τιµή του ενοικίου β. το εύρος γ. τη διακύµανση και την τυπική απόκλιση δ. το συντελεστή µεταβλητότητας Κλάση ( ) Συχνότητα [7,36) 7 [36,45) 14 [45,54) 13 [54,63) 6 [63,7) 9 [7,81) 5

25 39.Ο παρακάτω πίνακας δίνει τον αριθµό των επισκέψεων 30 µαθητών µιας τάξης σε διάφορες βιβλιοθήκες της Αθήνας τον τελευταίο µήνα Επισκέψεις Μαθητές Σχετική Συχνότητα χ i ν i f i [0,) 3 [,4) 9 [4,6) 6 [6,8) 0, [8,10) α) Να συµπληρωθεί ο πίνακας β) Να βρεθούν η µέση τιµή, η διάµεσος, η επικρατούσα τιµή, το εύρος γ) Να υπολογιστούν (θεωρήστε την =5) η διακύµανση, η τυπική απόκλιση, ο συντελεστής µεταβλητότητας. 40.Να συµπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας και να βρεθούν τα µέτρα θέσης και διασποράς. Είναι το δείγµα οµοιογενές;

26 41.Σε ένα εργοστάσιο παραγωγής ηλεκτρικών λαµπτήρων έγινε δειγµατοληπτική έρευνα σε 500 λαµπτήρες για το «χρόνο ζωής» τους σε µήνες. Τα αποτελέσµατα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: α) Να συµπληρωθεί ο πίνακας. β) Πόσοι λαµπτήρες έχουν διάρκεια ζωής τουλάχιστον 7,5 µήνες; γ) Να υπολογισθεί η µέση τιµή, η διάµεσος και η επικρατούσα τιµή. 4.Η βαθµολογία 30 φοιτητών στο µάθηµα της στατιστικής κυµαίνεται από 0 µέχρι 10. Γνωρίζουµε επίσης ότι πέντε φοιτητές έχουν βαθµό κάτω του, δώδεκα µαθητές έχουν βαθµό κάτω του 4, έξι µεγαλύτερο ή ίσο του 8 και δέκα µεγαλύτερο ή ίσο του 6. α. Να παραστήσετε τα δεδοµένα σε ένα πίνακα συχνοτήτων. β. Να υπολογίσετε την µέση τιµή, τη διάµεσο, την επικρατούσα τιµή και την τυπική απόκλιση. γ. Να κατασκευάσετε το ιστόγραµµα συχνοτήτων. δ. Τι ποσοστό µαθητών έγραψε 14 και πάνω; 43. Μεταξύ 50 δροµέων 400 µέτρων οι 1 έκαναν χρόνο κάτω από 51 sec, οι 0 έκαναν χρόνο κάτω από 5 sec, οι 30 έκαναν χρόνο κάτω από 53 sec και οι 44 έκαναν χρόνο κάτω από 54 sec. Αν οι χρόνοι των αθλητών κυµάνθηκαν από 50 έως 55 sec τότε: α. Να παραστήσετε τα δεδοµένα µε πίνακα συχνοτήτων β. Να υπολογίσετε τη µέση τιµή, τη διάµεσο, την επικρατούσα τιµή και την τυπική απόκλιση γ. Αν προκρίνεται το 16% των αθλητών τότε ποιο χρόνο το πολύ πρέπει να έχει κάνει ένας δροµέας ώστε να προκριθεί;

27 44. Σε µια βιοµηχανία εργάζονται 100 άτοµα. Ο συνολικός χρόνος εργασίας τους σε έτη δίνεται από το παρακάτω κυκλικό διάγραµµα (οι τιµές αντιστοιχούν σε µοίρες): Έτη [0,5)&&36 [15,0)&&7 [5,30)&& [0,5)&&36 [5,10)&&54 [10,15)&&144 [0,5)&&36 [5,10)&&54 [10,15)&&144 [15,0)&&7 [0,5)&&36 [5,30)&& α) Να κατασκευάσετε τον πίνακα κατανοµής συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων, απολύτων και αθροιστικών β) Να βρείτε την µέση τιµή των ετών εργασίας τους γ) Πόσοι υπάλληλοι της βιοµηχανίας εργάζονται τουλάχιστον 10 έτη; 45.Να υπολογιστεί η συχνότητα που λείπει στον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων αν γνωρίζουµε ότι: α. η µέση τιµή είναι ίση µε 3,0 β. η διάµεσος είναι ίση µε 3,5

28 46.Να υπολογιστεί η συχνότητα που λείπει στον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων αν γνωρίζουµε ότι: α. η µέση τιµή είναι ίση µε 3,41 β. η διάµεσος είναι ίση µε 3,5 47.Οι µηνιαίοι µισθοί των 0 υπαλλήλων µιας επιχείρησης ήταν στο τέλος του 009 (σε χιλιάδες ): 17,5 15 7,5 17, ,5 1,5 17,5 30 7, , ,5 33,75 7,5 7,5 1,5 α. Να βρείτε τη µέση τιµή των µισθών β. Το 010 όλοι όσοι είχαν µισθό µικρότερο από τη µέση τιµή πήραν αύξηση ώστε ο µισθός τους να είναι όσο η µέση τιµή του 009. Οι υπόλοιποι πήραν αύξηση από ο καθένας. Ποια είναι η µέση τιµή των µισθών µετά από αυτές τις αυξήσεις; 48.Ένα δείγµα τιµών µιας µεταβλητής Χ έχει µέση τιµή!! =5 και συντελεστή µεταβλητότητας CV=30%. Να βρεθεί η τυπική απόκλιση s. 49.Το µέσο ύψος µιας τάξης µε 0 µαθητές είναι 1,70 εκ. α) Να βρεθεί το µέσο ύψος αν φύγει ένας µαθητής µε ύψος 1.80 εκ. β) Το µέσο ύψος των µαθητών όταν ήρθε ένας καινούριος µαθητής έγινε 1,7. Τι ύψος είχε ο νέος µαθητής;

29 Όριο-συνέχεια Συνάρτησης Όριο Συνάρτησης Πεδίο ορισµού συνάρτησης f ονοµάζουµε το σύνολο από το οποίο παίρνει τιµές η µεταβλητή. Διακρίνουµε περιπτώσεις:! Αν η f είναι πολυώνυµο τότε το πεδίο ορισµού είναι το σύνολο Α=R. π.χ η f()=5- έχει πεδίο ορισµού το σύνολο Α=R.! Αν η f είναι κλάσµα τότε έχει πεδίο ορισµού το σύνολο R, εκτός από τις τιµές που µηδενίζουν τον παρανοµαστή. π.χ. η f()= έχει πεδίο ορισµού το σύνολο A=R-{3}.! Αν f()= τότε το πεδίο ορισµού είναι το σύνολο που προκύπτει από την λύση της εξίσωσης φ() 0! Αν f()= τότε το πεδίο ορισµού είναι το σύνολο που προκύπτει από την λύση της εξίσωσης φ() 0. Ιδιότητες του Ορίου Συνάρτησης 1) ) 3), εφόσον 0 4), εφόσον

30 5), νє Ν 6). Παρατήρηση Για να βρούµε το, βάζουµε όπου τον αριθµό 0. Αν (απροσδιόριστη µορφή), τότε: α) Αν η f είναι κλάσµα µετατρέπουµε τον αριθµητή και τον παρανοµαστή σε γινόµενο, απλοποιούµε όσες φορές χρειαστεί και βρίσκουµε το όριο. β) Αν η f είναι κλάσµα που περιέχει τετραγωνικές ρίζες, πολλαπλασιάζουµε τον αριθµητή και παρανοµαστή µε την συζυγή παράσταση του όρου που περιέχει τις ρίζες και εφαρµόζουµε την ταυτότητα (α-β)(α+β)=α -β. Έπειτα απλοποιούµε και βρίσκουµε το όριο. Συνέχεια συνάρτησης Μια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α, λέγεται συνεχής στο σηµείο 0 του πεδίου ορισµού της, αν και µόνο αν, ισχύει. Αν µια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού το σύνολο Α, αριστερά του єα (< ) και δεξία του δίνεται µε διαφορετικό τύπο, τότε είναι συνεχής στο, αν και µόνο αν:

31 Ασκήσεις 1. Αν f()= 3-3,να υπολογίσετε τις τιµές f(1),f(),f(-1).. Αν φ(t)= t -5t+6, να υπολογίσετε τις τιµές φ(0) και φ(1). Για ποιές τιµές του t είναι φ(t)=0. 3. Δίνεται η συνάρτηση f µε τύπο:f()= -5. Υπολογίστε τις τιµές f(0), f(1), f(5), f(-3), f(+1), f( 0 +h). 4. Αν f()=, να υπολογίσετε τις τιµές f(1) και f(e). 5. Δίνεται η συνάρτηση f()= υπολογίστε τις τιµές f(0), f(), f(3), f(1). 6. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού καθεµίας από τις συναρτήσεις: i) f()= ii) f() iii) f() 7. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f()=. 8. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της συνάρτησης f()=. 9. Να βρεθεί το πεδίο ορισµού των συναρτήσεων: i) f()= ii) f()= 10. Δίνεται η συνάρτηση α) να βρεθεί το πεδίο ορισµού της f β) να υπολογιστούν οι τιµές f(-1), f().

32 11. Δίνεται η συνάρτηση α) Να βρεθεί το πεδίο ορισµού της. β) Να βρεθούν τα f(), f(0), f(1), f(-1). 1. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων: i) f()=, ii) f(), iii) f(), iv) f(), v) f() 13. Να βρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων: i) f(), ii) f(), iii) f(), iv) f() v) f(), vi) f() 14. Δίνεται η συνάρτηση µε τύπο f(). Ποια από τα παρακάτω σηµεία ανήκουν στην γραφική παράσταση της: Α(,0), Β(0,-1), Γ(3,0.8), Δ(-1,1), Ε(5,6). 15. Να υπολογίσετε τον αριθµό κ,έτσι ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης f()=k -3 να διέρχεται από το σηµείο Κ(,8). 16. Να υπολογιστούν τα όρια: i), ii), iii). 17. Να υπολογιστούν τα όρια: i) ), ii) iii)

33 18.Να βρείτε τα όρια: i. lim( 1) ii. ( 3 lim ) iii. lim ( 1 ) ( 3 + ) + 4 iv. lim v. lim Να βρείτε τα όρια: α. lim ( 3 + 1) β. lim 1 + lim 1 3 γ. ( ) 1 3 ( + ) δ. ( ) ε. lim lim στ. lim 1 3 lim ζ. ( ) η. 1 lim θ. lim ι. lim ( )( ) ( ) κ. lim 3( 4) ( 4 + 1) λ. lim ( 3 11) ( 5 15) µ. ν. 3 ( ) + ( 3) 3 lim lim ( ) ( )

34 0.Αν γνωρίζετε ότι παρακάτω όρια: lim f() g() α. [ ] 0 10g() β. lim 0 f() f() + 5g() γ. lim 0 f() g() δ. lim f() + 5() 0 1 ε. lim 3 0 g() f() g() στ. lim 0 f() + g() lim f() = 5 και 0 lim g() = 4, υπολογίστε τα 0 1.Να υπολογιστούν τα όρια: i), ii), iii), iv), v).να βρείτε τα παρακάτω όρια : α), β), γ) δ), ε) 3.Να βρείτε τα παρακάτω όρια :, β), γ) δ), ε), στ) 4.Να βρείτε τα παρακάτω όρια :

35 α), β), γ) δ), ε), στ) ζ), η) 5.Να υπολογίσετε αν υπάρχουν τα όρια: 3+ α. lim β. lim 3 ( ) + 4 γ. lim δ. lim ε. lim στ. lim ζ. lim η. lim θ. lim ( ) 6.Να βρεθούν αν υπάρχουν τα όρια: + α. lim β. lim γ. lim 9 9 δ. ε. 1 1 lim lim 1 1

36 + 8 3 στ. lim ζ. lim η. lim θ. lim ι. lim κ. lim λ. lim µ. ν lim lim ξ. lim 1 1 ο lim Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε το. 8.Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε το. 9.Δίνεται η συνάρτηση:

37 Να βρείτε το. 30.Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε το. 31.Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε το. 3.Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε το. 33.Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε το. 34. Δίνονται οι συναρτήσεις: + 1, < 1 α) f( ) = + 1, 1 β) + 1, < g ( ) = 1,

38 3 >, 1 γ) f( ) =, 1 +, < 3 δ) g ( ) = + 4, 3 5 1, 5<, < 1 ε) f( ) = +, 1, > + 1, 5 στ) f( ) = 6 1, 5<. + 1, < Να βρεθούν τα όρια των συναρτήσεων στα σηµεία όπου αλλάζει ο τύπος , < Δίνεται η συνάρτηση f( ) = + 1, , Να βρεθούν τα παρακάτω όρια: lim f lim f lim f α) ( ) 1 β) ( ) 1 γ) ( ) 3. 1, Δίνεται η συνάρτηση f() = + 4, > 1 Να βρείτε αν υπάρχει το lim f() Να βρεθούν τα όρια: α. lim f() 1 και +, < 1 g() = + + 1, 1 limg(), όπου f() = 3, , > 1 και 38.Σε κάθε µια από τις παρακάτω συναρτήσεις, να βρεθούν οι τιµές των α και β για τα οποία υπάρχουν τα όρια στα σηµεία όπου αλλάζει ο τύπος: α, < 3 α) f( ) =, 3

39 +, > 4 β) f( ) = 1 α, 4 β, < 1 γ) f( ) = β 3, 1 β, < 1 δ) f( ) = + α, 1 3 ( β + 1) + 3 α, > ε) 3 1, < β f( ) =. + 1, β 39.Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε το α ώστε να υπάρχει το. 40.Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε το α ώστε να υπάρχει το. 41.Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε το λ ώστε να υπάρχει το. 4.Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε το α ώστε να υπάρχει το.

40 3 α, 1 43.Έστω η συνάρτηση f() = α + β, 1< < 1. 3 α + γ, 1 Να βρείτε τις τιµές των α, β, γ για τις οποίες υπάρχει το lim f() και limf() = α + 1, 1 44.Δίνεται η συνάρτηση f() =. 3 α + β, > 1 Να βρείτε τις τιµές των α,β R ώστε να υπάρχει το lim f() Έστω η συνάρτηση Να βρείτε τα α,β ώστε 3 8α β + 1, < 1 f() = β + 3, 1 lim f( ) = 1 1. α + β, < 46.Δίνεται η συνάρτηση f() = + 4 α β, Να βρεθούν τα α, β ώστε lim f() = 4.. α + β, 1 47.Δίνεται η συνάρτηση f() =. Αν υπάρχει + β + α, > 1 το lim f() και η γραφική παράσταση της f περνά από το σηµείο Α(,) να βρεθούν οι τιµές των α και β. 48.Να µελετήσετε ως προς την συνέχεια στο χ 0 τις συναρτήσεις: και χ 0 = και χ 0 =0 49.Να µελετήσετε ως προς την συνέχεια στο χ 0 τις συναρτήσεις:

41 και χ 0 =1 και χ 0 =- 50.Να µελετήσετε ως προς την συνέχεια στο χ 0 =1 τις συναρτήσεις: 51. Να µελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις: + 4, < α. f() = 3, + 1, < 1 β. f() = 3+, 1 +, γ. f() = + 3, =

42 5+ 6, δ. f() = 5, = 3, 1 ε. f() = 1, > , 1 στ. f() = + + 1, > 1 1, 1 ζ. f() = 1, = 1 + 3, < 1 η. f() = 4 + 1, 1 3 +, < 1 θ. f() = 6, = 1 + 3, > , 1 ι. f() = + 3, 1< < 4 1, , 1 κ. f() = 1 1, = 1 5.Να µελετήσετε ως προς τη συνέχεια τις παρακάτω συναρτήσεις: α. β. γ. δ. ε.

43 στ. ζ. η. θ. + + f() = 1 3, = 1 3, 1 53.Δίνεται η συνάρτηση: α)για χ είναι συνεχής η f; β)για ποια τιµή του αєr η συνάρτηση είναι συνεχής στο χ 0 =3; 54.Δίνεται η συνάρτηση: α)να βρείτε το β) Την τιµή του αєr, ώστε η f να είναι συνεχής στο σηµείο χ 0 =1. 55.Δίνεται η συνάρτηση: α)να βρείτε το β) Την τιµή του αєr, ώστε η f να είναι συνεχής στο σηµείο χ 0 =

44 56.Να βρείτε τις τιµές του αєr για τις οποίες οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχής στο πεδίο ορισµού τους. 57.Δίνεται η συνάρτηση: Να βρείτε τα α,βєr, ώστε η f να είναι συνεχής στο σηµείο που αλλάζει ο τύπος της. 58.Να βρείτε τις τιµές των α,β ώστε η f να είναι συνεχής: α. β. γ. α + β < 1, 1 f() = 5, = 1 α + β, > 1 ( α )( + α), f() = α + 5, > + 1 e + α, 1 f() = β, 1< < 0 βηµ 7 συν + ln( + 1 ), 0

45 δ. α + = α + β < < βηµ +ασυν + 1, e, 1 f() 3, Να βρεθούν τα α, β ώστε η f να είναι συνεχής α + β, < 1 f() = 1, = 1 β + α 1, > 1 60.Να βρεθούν τα α, β ώστε η f να είναι συνεχής 3α + β + 1, < 1 α. f() = 3, = 1 + α + β, 1< β. + α + β, < f() = 4, = α + β, < 61.Να βρεθούν τα α, β ώστε η f να είναι συνεχής 3α + β 4, 1 α. f() = και f()=5 β α, > 1 β. 3α + β, < f() = α β, και f(-1)=4

46 Παράγωγοι Ορισµός: Μία συνάρτηση f λέγεται παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο 0 του πεδίου ορισµού της, αν υπάρχει το όριο: Παρατήρηση: Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο 0 του πεδίου ορισµού τη, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Αν δεν είναι συνεχής στο 0, τότε δεν είναι παραγωγίσιµη σε αυτό. Κανόνες παραγώγισης (f +g) =f g (f g) = f g+ f (c f) = c f () = g Παράγωγοι Βασικών Συναρτήσεων Συνάρτηση f Παράγωγος f c (c) =0, c =1 ( ) =,,>0 ( ) =, ( ) =, ( ) = ηµ συν εφ σφ (ηµ) =συν (συν) =-ηµ (εφ) = (σφ) =, ( ) =

47 Παράγωγοι Σύνθετων Συναρτήσεων ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ f ( ) =!, ) = ( = ( ) = ηµ(g()) (ηµ(g()) =συν(g()) συν(g() (συν(g()) =-ηµ(g()) εφ(g()) (εφ(g())) = σφ(g()) (σφ(g())) = ( =

48 1. Για την f()=+5 υπολογίστε: Ασκήσεις i) f (1), ii) f (5), iii) f ( ), για κάθε..α) Αν f()= 3-, να βρείτε το f (). β) Αν f()= +, να εξετάσετε αν η f είναι παραγωγίσιµη στο 3. Εξετάστε αν η συνάρτηση f() είναι παραγωγίσιµη στο 4. Έστω f()= Εξετάστε αν η f είναι: i) συνεχής στο ii) παραγωγίσιµη στο 5. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f()= είναι συνεχής και παραγωγίσιµη στο σηµείο 6. Αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε σηµείο του πεδίου ορισµού της και ισχύει f( = να βρείτε το 7. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε σηµείο του πεδίου ορισµού της και ισχύει και f( 0 )=, να βρείτε το α 8. Να βρείτε τα α,β, ώστε η συνάρτηση f()= να είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 =1.

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική Επιμέλεια: ΑΝΔΡΕΑΣ ΓΚΟΥΡΤΖΟΥΝΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr 1) Να

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Εξετάσαμε 50 μαθητές ως προς τα βιβλία που έχουν διαβάσει και διαπιστώσαμε ότι: 5 μαθητές δεν έχουν διαβάσει κανένα βιβλίο, 15 μαθητές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους;

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών ο οποίος ως έργο έχει την συγκέντρωση

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ.

Πίνακας κατανοµής συχνοτήτων και αθροιστικών συχνοτήτων. Σχετ. Λυµένη Άσκηση στην οµαδοποιηµένη κατανοµή Στην Γ τάξη του Ενιαίου Λυκείου µιας περιοχής φοιτούν 4 µαθητές των οποίων τα ύψη τους σε εκατοστά φαίνονται στον ακόλουθο πίνακα. 7 4 76 7 6 7 3 77 77 7 6 7 6

Διαβάστε περισσότερα

Αξιολόγηση. Θεωρία. Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f. Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D

Αξιολόγηση. Θεωρία. Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f. Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D ΦΥΛΛΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Βασίλης Γατσινάρης ωρεάν υποστηρικτικό υλικό 1 Περί συναρτήσεων Έστω η ορισµένη στο διάστηµα D συνάρτηση f Α1 Να αναφέρετε πότε λέµε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο D Α Να αναφέρετε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΟΥ ΕΠΑ.Λ. 2013-2014 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Τι ονομάζουμε: i. πληθυσμό και μέγεθος πληθυσμού; (σελ. 59) ii. μεταβλητή; (σελ.59-60) 2. Ποιες μεταβλητές ονομάζονται ποσοτικές; (σελ.60)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο IR, να αποδείξετε ότι (()+g()) ()+g (), R Μονάδες 7 Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο. x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο. x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.Να συμπληρωθούν οι πίνακες x i v i f i f i % x 1 7 x 2 5 x 3 15 x 4 14 x 5 9 Άθροισμα 50 x i v i f i f i % 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010 ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 919113 949422 www.syghrono.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΤΣΑΚΛΑΝΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ΕΠΑΛ Α )

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΤΣΑΚΛΑΝΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ΕΠΑΛ Α ) ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΤΣΑΚΛΑΝΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ( ΕΠΑΛ Α ) ΘΕΜΑ Εξετάζουµε τις αθµολογίες ενός δείγµατος φοιτητών σε κάποιο διαγώνισµα και πήραµε τον πίνακα Χ i (αθ.) ν i f i % N i F i % 4

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÔÑÉÐÔÕ Ï ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 Ε_3.Μλ3ΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών. ΜΕΡΟΣ Α 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ 185 4.5 ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ-ΔΙΑΜΕΣΟΣ Μέση τιμή Για να βρούµε τη µέση τιµή ενός συνόλου παρατηρήσεων, προσθέτουµε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούµε µε το πλήθος των παρατηρήσεων αυτών.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k.

Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ. οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους ν με k. Δ Ι Α Γ Ω Ν Ι Σ Μ Α Σ Τ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ Ε Ν Ι Κ Η Σ Π Α Ι Δ Ε Ι Α Σ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση () είναι παραγωγίσιμη στο R με () Α Έστω k οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος πλήθους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, Ιουνίου 00 ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙ ΕΙΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α.. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι P(A B) P(A)

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι. της απαντήσεις τους κατασκευάστηκε το παρακάτω ραβδόγραμμα. κανάλι α i. συχνότητα ν i.

Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι. της απαντήσεις τους κατασκευάστηκε το παρακάτω ραβδόγραμμα. κανάλι α i. συχνότητα ν i. Γ. ΛΥΚ. ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ (2014-15) Λ. Γρίλλιας Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι 1) Σε ένα σχολείο ρωτήθηκαν 70 μαθητές για την προτίμησή τους σε ποδοσφαιρικές ομάδες. Από της απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) 3 1 0 011 ΘΕΡΙΝΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1η σειρά) ΘΕΜΑ 1 Α. Έστω η συνάρτηση F()=f()+g(). Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες, να αποδείξετε ότι F

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 008 ΘΕΜΑ o ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x).

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x). ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 1 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης

Κεφάλαιο 4 Δείκτες Κεντρικής Τάσης Πανεπιστήµιο Κρήτης Σχολή Επιστηµών Αγωγής Παιδαγωγικό Τµήµα Δηµοτικής Εκπαίδευσης Β06 03. Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην Ψυχοπαιδαγωγική Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου ΑΣΚΗΣΗ 1 Κεφάλαιο 4

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ: ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδες Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2ο (2000) Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑ 2ο (2000) Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ 2ο (2000) Α. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Σχετική Συχνότητα Αθροιστική Συχνότητα x i ν i f i f

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο ΙR. και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f()) =c f (), ΙR. B.α. Πότε δύο ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α.Τι λέγεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης; Μονάδες. Πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (ν θετικός ακέραιος) Μονάδες 4 B. Αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική Μάθηµα 3 ο Περιγραφική Στατιστική ΗΣτατιστικήείναι Μια τυποποιηµένη σειρά αναλυτικών µεθόδων, οι οποίες χρησιµοποιούνται από τον εκάστοτε ερευνητή για την ανάλυση των διαθέσιµων δεδοµένων. Υπάρχουν δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1. Στον πιο κάτω πίνακα παρουσίαζονται οι μέρες της άδειας ασθενείας των υπαλλήλων μιας εταιρείας. Μέρες Άδειας Ασθενείας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1. Στον πιο κάτω πίνακα παρουσίαζονται οι μέρες της άδειας ασθενείας των υπαλλήλων μιας εταιρείας. Μέρες Άδειας Ασθενείας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Στον πιο κάτω πίνακα παρουσίαζονται οι μέρες της άδειας ασθενείας των υπαλλήλων μιας εταιρείας. Μέρες Άδειας Ασθενείας 5 6 7 8 9 10 Υπάλληλοι 9 13 6 9 5 4 Α. Να βρεθεί πόσοι υπάλληλοι

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1

1. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: , x [0, 2π] εφx -1 Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Να βρεθεί το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεµιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f () = ( -) 4 - + β) f () = - - + 3 4 - - γ) f () = δ) f () = - + - - 5-3

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει: Ρ(Α )=-Ρ(Α) Μονάδες 7 Α. Να ορίσετε το μέτρο διασποράς εύρος ή

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ 22 ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «ΠΡΟΟΔΟΣ» ΚΥΡΙΑΚΗ ΝΟΕΜΒΡΙΟΥ 5 ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ» Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο A. Να δώσετε τον ορισμό της συνέχειας μιας συνάρτησης στο πεδίο ορισμού της. ( Μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ- ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Εργασία για το σεµινάριο «Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην ψυχοπαιδαγωγική(β06σ03)» ΤΙΤΛΟΣ: «ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Λύση α) Μετά από την σχετική διαλογή ο πίνακας των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ο παρακάτω. Aθρ. Συχν N. συχν

Λύση α) Μετά από την σχετική διαλογή ο πίνακας των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ο παρακάτω. Aθρ. Συχν N. συχν 1 2.2 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 78 83 Α ΟΜΑ ΑΣ 1. Η βαθµολογία 5 φοιτητών στις εξετάσεις ενός µαθήµατος είναι: 3 4 5 8 9 7 6 8 7 1 8 7 6 5 9 3 8 5 6 6 6 3 5 6 4 2 9 8 7 7 1 6 3 1 5 8 1 2 3 4 5 6 7 9

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς

Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς Πανεπιστήµιο Κρήτης Σχολή Επιστηµών Αγωγής Παιδαγωγικό Τµήµα Δηµοτικής Εκπαίδευσης Β06 03. Στατιστική περιγραφική εφαρµοσµένη στην Ψυχοπαιδαγωγική Διδάσκων: Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Κεφάλαιο 5 Δείκτες Διασποράς

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 +

Ερωτήσεις ανάπτυξης. 2. ** Να βρείτε το ευρύτερο δυνατό υποσύνολο του R στο οποίο ορίζεται καθεμιά από τις παρακάτω συναρτήσεις: α) f (x) = 2 + Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Έστω η συνάρτηση f () = - 3 +. α) Να βρείτε τις τιμές f (), f (0), f (-3), f () β) Να βρείτε τα σημεία τομής της C f με τους άξονες γ) Να βρείτε τις τιμές f (t), f (t), f ( + h),,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 14 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός

Διαβάστε περισσότερα

OPMH. κοντά στο µαθητή!

OPMH. κοντά στο µαθητή! ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ HMEΡΗΣΙΩΝ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α A ) ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΕΙ ΙΚΟΤΗΤΑΣ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΡΙΤΗ 3 IOYNIOY 014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΗΜΕΡΗΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:........................................... ΤΜΗΜΑ:....... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... / 0 / 20 ΘΕΜΑ A. Έστω μεταβλητή Χ, με τιμές x, x 2,...., x k, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, με k,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης

1.3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. 1. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης . ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός της παραγώγου συνάρτησης Έστω µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α, και Β το σύνολο των Α στα οποία η είναι παραγωγίσιµη. Τότε ορίζεται νέα συνάρτηση µε την οποία κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ 1 ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β ΜΕΡΟΣ (ΑΝΑΛΥΣΗ) ΚΕΦ ο : Όριο Συνέχεια Συνάρτησης Φυλλάδιο Φυλλάδι555 4 ο ο.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ.α) ΕΝΝΟΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Άλγεβρα Β Λυκείου, ο Κεφάλαιο ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μια συνάρτηση ƒ λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012

Μαθηματικά Γ Λυκείου. Έκδοση Α. 120 Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων. Αθήνα 2012 (λίγο πριν τις εκλογές) 5/5/2012 Μαθηματικά Γ Λυκείου Ασκήσεις προσδοκούν να προαχθούν σε θέµατα εξετάσεων 5/5/ Έκδοση Α Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση ( mac964@gmail.com) Αθήνα (λίγο πριν τις εκλογές) Επαναληπτικές ασκήσεις που φιλοδοξούν

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 20 ΜΑΪΟΥ 20 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά)

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (1 η σειρά) 9 ΘΕΡΙΝΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( η σειρά) ΘΕΜΑ ο Α. Έστω η συνάρτηση f με f() ημ. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει f () συν Β. Πότε μια συνάρτηση f λέμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ-ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f ()=, g()= +3,h()= -3 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 1. ο παρακάτω διάγραµµα παρουσιάζει την κατανοµή των οικογενειών ενός χωριού σε σχέση µε τον αριθµό των παιδιών τους. 40 35 Αριθµός οικογενειών 30 25 20 15 10 5 0 0 1

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα ΘΕΜΑ ο Α. Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα α,β. Αν G είναι μία παράγουσα της f στο α,β τότε να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

3.4 3.5 ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο.. ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συμφώνα με το Θεμελιώδες Θεώρημα του Ολοκληρωτικού Λογισμού Θ.Θ.Ο.Λ ισχύει : I. d II. d III. d ln IV. d V. d VI. d VII. d

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα