MATEMATICĂ. - frecvenţă redusă - clasa a IX a. Prof. Baran Mihaela Gabriela

Transcript

1 MATEMATICĂ clasa a IX a - frecveţă redusă - Prof. Bara Mihaela Gariela

2 CUPRINS. Mulţimi şi elemete de logică matematică Mulţimea umerelor reale Elemete de logică matematică Şiruri. Fuctii, ecuaţii, iecuaţii Fucţii. Lecturi grafice Ecuaţii de gradul I şi II Fucţia de gradul I Iecuaţii de gradul I Fucţia de gradul al II-lea Iecuaţii de gradul al II-lea. Elemete de trigoometrie

3 Cap.: Mulţimi şi elemete de logică matematică.. Mulţimea umerelor reale Mulţimi de umere 0,,,,4,...,,..., -mulţimea umerelor aturale,...,,,,0,,,,...,,..., - mulţimea umerelor itregi a ; a, ; 0 -mulţimea umerelor raţioale I ; ; ;... -mulţimea umerelor iraţioale; mulţimea umerelor iraţioale cupride fracţiile ifiite eperiodice. N Z I R Q I R Q R Oservatii:. Orice umăr atural sau itreg este şi umăr raţioal: ;. Itre două umere raţioale oarecare de pe aa umerelor, eistă o ifiitate de umere raţiole. Z

4 . Petru reprezetarea pe aa umerelor a umerelor iraţioale, vom da valori aproimative acestora. 4. Două pucte de pe aă simetrice faţă de origiea aei au acisele umere reale opuse Mulţimile care u au pe 0 se otează: ; ; ; 6. Sumulţimile lui R care coţi umerele pozitive se otează: ; ; ; 7. Sumulţimile lui R care coţi umerele egative se otează: ; ; ; Valoarea asolută (modulul), 0, 0 Valoarea asolută sau modulul reprezită distaţa de la origiea aei la puctul de acisă. Proprietăţi:. 0,

5 6. y y y 7., y 0 y 8., Operaţii cu umere reale Aduarea Scăderea Îmulţirea Împărţirea Puterea uui umăr real Puterea a -a, a lui a este : a = a a a a, a se umeşte ază, iar se umeşte epoet. Proprietăţi: * a, şi, a a a a : a a ( a ) Oservaţii: m au loc următoarele proprietăţi: m m m m a m m ( a ) a ( a : ) a : a 0 ; ; ( ), daca par, daca impar a. a

6 Radicali Avem: ( a) a, a 0; a a a Proprietăţi:,. Oricare ar fi a 0, 0 două umere reale au loc: a a ; a a, 0; a a,. Ordiea efectuării operaţiilor Îtr-u eerciţiu fără parateze se efectuează mai îtâi ridicările la putere sau etragerea rădăciii, apoi îmulţirile şi împărţirile, apoi aduările şi scăderile. Îtr-u eerciţiu cu parateze se efectuează mai îtâi operaţiile ditre paratezele rotude, apoi cele ditre paratezele pătrate, apoi cele ditre acolade. EXERCIŢII REZOLVATE. Scrieţi su forma uei puteri: a. (-) 5 (-) 4 ;. (-4) 8 : (-4) 5 ; c. [(-7) ] ; d. (-8) : (-6) ;

7 e. [(-) ] 0 ; f. 7 : (-7) ; Rezolvare: a. (-) 5 (-) 4 = (-) 5+4 = (-) 49 ;. (-4) 8 : (-4) 5 = (-4) 8 5 = (-4) 47 ; c. [(-7) ] = (-7) = (-7) ; d. (-8) : (-6) = [(-8):(-6)] = ; e. [(-) ] 0 = (-) 0 0 ; f. 7 : (-7) = [7 : (-7)] = (-) ;. Calculaţi: a. [(+7) 5 ] 6 :7 0 ;. (+) :(-) 0 ; c. (-4) 8 : (-) 40 Rezolvare: a. [(+7) 5 ] 6 :7 0 = (7 5 ) 6 : 7 0 = : 7 0 = 7 0 : 7 0 = = = 7 0 ;. (+) : (-) 0 = : 0 = 0 = ; c. (-4) 8 : (-) 40 = 4 8 : 40 = ( ) 8 : 40 = 8 : 40 = = 56 : 40 = = 6 ;.Calculaţi: a) (-7) + {(-) [(-4) + (-0) + 9] } ) (-)(-) 5 + (-) (-) - (+4)(-) 0 + (-)(-) 6 c) (-) 0 : 99 0{- [(-) 5 : 4 ]} Rezolvare: a) (-7) + {(-) [(-4) + (-0) + 9] } + 5 = (-7) + [(-) - (+5) ] + 5 = (- 7) + [(-) + (-5) + (-)] + 5 = (-7) + (-8) + 5 = (-45) + 5 = +7 ) (-)(-) 5 + (-) (-) - (+4)(-) 0 + (-)(-) 6 = (-)(-) + (+9)(-) - (+4) + (-) = (+) + (-8) - (+4) + (-) = (-5) + (-4) + (-) = - c) (-) 0 : 99 0{- [(-) 5 : 4 ]}= - 0 : 99 0[- (- 5 : 4 )] = =- 0[- (- )]= (- 4) 0 [- (-5)] = (-4) -0(-+5) = =(-4) -0(+) =(-4) 0 = (-4) + ( 0) = -4

8 EXERCIŢII PROPUSE 0 0. Fie mulţimea A={0,(5); -4; ; 5;00 ; 5 } 5 a) Determiaţi cel mai mic şi cel mai mare elemet al mulţimii A ) Eumeraţi elemetele mulţimilor A Z, A Q, A (R\Q). Îcercuiţi rezultatul corect:. a) (-) (-) = (-) + ; ) (-) (-) = (-) ;. a) 6 = ; ) 6 = ;. a) (-5) 4 (-5) (-5) = (-5) 6 ; ) (-5) 4 (-5) (-5) = (-5) 7 ; 4. a) + = 5 ; ) + = 9 + 7; 5. a) 7 : 7 4 = 7-4 ; ) 7 : 7 4 = 7 : 4 ; 6. a) (- 9) 7 = (-) ; ) (- 9) 7 = (-) ;. Precizaţi valoarea de adevăr a propoziţiilor: a) 5 5 ) c) 4 este u umăr iraţioal d) 00 0 e) 7 este u umăr iraţioal f) 5 6 g) Scoateţi factori de su radical ; 44 ; 60 ; ; 5

9 5.Calculaţi: a) ) c) d) e) 6 f) 5 : 5 g) 4 : ( ) 6. Calculaţi: a) [(- )( ) :[ + :.. Elemete de logică matematică Propoziţii şi predicate Defiiţie: O mulţime fiită de seme se umeşte alfaet. Defiiţie: Se umeşte euţ orice succesiue de seme ditr-u alfae dat. Logica matematică studiază acele euţuri care sut fie adevărate, fie false. Defiiţie: Se umeşte propoziţie u euţ care poate fi adevărat sau fals, iciodată adevărat şi fals simulta. Propoziţiile se otează cu: p, q, r, etc. Propoziţiile sut legate ître ele cu ajutorul coectorilor logici: - o (egaţia propoziţiei); - şi (cojucţia propoziţiei); - sau (disjucţia propoziţiei); - implică (implicaţia propoziţiei); - echivalet (echivaleţa propoziţiei); Dacă o propoziţie este adevărată spuem că ea are ca valoare de adevăr, adevărul şi otăm A sau. Dacă o propoziţie este falsă spuem că ea are ca valoare de adevăr falsul otăm F sau 0. Valoarea de adevăr a uei propoziţii p se otează v(p).

10 Coectori logici Negaţia propoziţiei Defiiţie: Negaţia uei propoziţii p este propoziţia otată p. p p 0 0 Eemplu:. Propoziţia Româia se află î Asia. are egaţia Româia u se află î Asia... Propoziţia 7 are egaţia 7. Cojucţia propoziţiei Defiiţie: Cojucţia a două propoziţii p,q este propoziţia otată p q. p q p q Cojucţia a două propoziţii este o propoziţie adevărată doar atuci câd amele propoziţii sut adevărate şi este falsă î celelalte cazuri. Eemple:. Crapul este u peşte şi 8 este par. este adevărată.

11 . 5 şi este falsă. Disjucţia propoziţiei Defiiţie: Disjucţia a două propoziţii p,q este propoziţia otată p q. p q p q Disjucţia a două propoziţii este o propoziţie falsă doar atuci câd amele propoziţii sut false. Eemple:. 0:4 5 sau 4 este adevărată.. 5:5 sau 5 este falsă. Implicaţia Defiiţie: Implicaţia propoziţiilor p,q este propoziţia otată p q. p q p q

12 Implicaţia a două propoziţii este o propoziţie falsă doar atuci câd adevărul implică falsul. p- premisă sau ipostază q- cocluzie Eemplu:, petru că. este falsă. Echivaleţa Defiiţie: Echivaleţa propoziţiei p,q este propoziţia p q. p q p q q p p q Două propoziţii sut echivalete doar atuci câd amele propoziţii au aceeaşi valoare de adevăr. Eemple:. dacă şi umai dacă 5 6 este propoziţie adevărată.. 5 dacă şi umai dacă urşii se hrăesc cu eto este propoziţie falsă. Defiiţie:O epresie a cărui valoare de adevăr este adevărul idiferet de valorile propoziţiei compoete se umeşte tautologie. EXERCIŢII PROPUSE. Fie p şi q două propoziţii. Alcătuiţi taelul valorii de adevăr petru fiecare di propoziţiile: a) p q ; ) ( p q );

13 c) p q ; d) p ( p q )... Şiruri Defiiţie: O fucţie defiită pe mulţimea o mulţime E se umeşte şir de elemete ale mulţimii E. * a umerelor aturale eule cu valori itr- Modalităţi de descriere a şirurilor Şirul este u caz particular de fucţie, de aceea modurile de defiire a uei fucţii se aplică şi petru defiirea uui şir. a) Siruri defiite descriptive De eemplu, şirul (a ) defiit pri: a =, a =, a =,, a =, Acest şir se poate descrie astfel: fiecare terme al său se scrie cu ajutorul cifrei şi umărul cifrelor este egal cu ragul termeului şirului. ) Siruri defiite cu ajutorul uei formule care permite să se găsească orice terme al şirului De eemplu, şirul ( ) astfel icat petru fiecare, este dat de formula: = - +. Formula care eprimă fiecare terme al şirului cu ajutorul ragului său, se umeşte formula termeului al - lea al şirului. c) Modul recuret de defiire a uui şir De eemlu şirul ( ) astfel icat =, =, + = + +, petru. Cuoscâd primii doi termei, ai şirului şi formula putem să găsim orice terme al acestui şir: = + =, 4 = + = 5 O formula care eprimă orice terme al şirului, de la u rag oarecare, pri precedeţii, se umeşte recureţă.

14 Progresii aritmetice Defiiţie: Se umeşte progresie aritmetică u şir de umere reale, î care fiecare terme îcepâd cu al doilea, se oţie di termeul precedet, pri adăugarea aceluiaş umăr r, umit raţie. Deci şirul (a ) este progresie aritmetică, dacă: a a r, Numerele a, a,..., a, se umesc termeii progresiei aritmetice. Cometarii: Eemple: ) Di defiiţie, rezultă că ȋtr-o progresie aritmetică difereţa ditre orice terme şi predecesorul său este egală cu acelaşi umăr r. ) Petru a pue ȋ evideţă, că şirul a, a,..., a, este o progresie aritmetică, se foloseşte otaţia a, a,..., a. ) O progresie aritmetică este ie determiată, dacă se cuosc primul terme a şi raţia r. 4) Se spue că umerele a, a,..., a sut î progresie aritmetică dacă ele sut termeii cosecutivi ai uei progresii aritmetice. ) Dacă a = 0, r =, se oţie progresia: 0,,,, 4,,, adică şirul umerelor aturale. ) Dacă a =, r =, se oţie progresia:, 4, 6,,, adică şirul umerelor aturale pare. ) Dacă a =, r =, se oţie progresia:,, 5,, +, adică şirul umerelor aturale impare. 4) Dacă a = - şi r = - 4, rezultă progresia aritmetică :

15 -, -6, -0, -4, 5) Dacă a = - şi r =, oţiem progresia aritmetică : -,, 4, 7, Proprietăţi:. Formula termeului geeral al uei progresii aritmetice: Termeul geeral, al uei progresii aritmetice, este dat de formula : a a ( ) r,.. Caracterizarea uei progresii aritmetice: a a Şirul ( a ) este progresie aritmetică a,.. Suma primilor termei ai uei progresii aritmetice: ( a a ) Dacă şirul ( a ) este progresie aritmetică S,. EXERCIŢII REZOLVATE. Să se determie primii patru termei ai uei progresii aritmetice a, dacă: a, r. Rezolvare: a a r a a r a a r 4 ; ; 7.. Fie a, a,..., a cu a = 7, a 5 = 4. Determiaţi raţia r şi termeul a 9. Rezolvare:

16 a 5 = a + (5 ) r 4 = r 6 = 4 r a 9 = a + ( 9 ) r = r = 7 + r = 9. 6 r ; 4 EXERCIŢII PROPUSE. Să se determie al zecelea terme al şirului, 7,, 9,..... Scrieţi primii cici termei ai progresiei aritmetice î cazurile: a) a, r ; ) a, r ; c) a, r.. Progresia aritmetică ( a ) de raţie r este defiită pri aumite elemete date. Determiaţi, î fiecare di cazuri, elemetul cerut. a) a, r. Calculaţi a 0. ) a 0 60, r =. Calculaţi a. c) a, a 8. Calculaţi r. 7 d) a 8, a 4 5. Calculaţi a şi r. 4. Se cosideră progresia aritmetică ( a ) î care a 7 şi a 7. Să se calculeze suma primilor 0 termei ai progresiei. 5. Se cosideră progresia aritmetică ( a ) î care a şi a 4. Să se calculeze suma primilor 0 termei ai progresiei. 6. Să se calculeze următoarele sume: a) ; )

17 Progresii geometrice Defiiţie: Se umeşte progresie geometrică, u şir de umere reale : ( ), cu 0, î care, fiecare terme îcepâd cu al doilea, se oţie di precedetul, pri îmulţirea cu acelaşi umăr q 0. Numărul q se umeşte raţia progresiei. Oservaţii: Cometarii: Eemple: ) Şirul ( ) : este progresie geometrică, dacă: q,, 0, q 0. ) Numerele :,,..., se umesc termeii progresiei geometrice. ) Petru a pue ȋ evideţă, că şirul,,...,, este o progresie geometrică, se foloseşte otaţia....,,...,. ) O progresie geometrică este ie determiată, dacă se cuosc primul terme 0 şi raţia q. ) Se spue că umerele,,..., sut î progresie geometrică dacă ele sut termeii cosecutivi ai uei progresii geometrice. ) Dacă : =, q =, se oţie progresia geometrică :,,,,,.. ) Dacă : =, q =, se oţie progresia geometrică:,,,...,,. ) Dacă : =, q = =>,, 4, 8,.., -,..

18 4) Dacă : =, q = - =>, -,,., ( - ) +., Proprietăţi: ) Formula termeului geeral: Dacă şirul ( ) este o progresie geometrică de raţie q, atuci termeul geeral, are forma : q., ) Caracterizarea progresiei geometrice: Şirul ( ), cu termei euli, este progresie geometrică <=> petru orice terme al său, icepâd cu al doilea, avem :,. ) Suma primilor termei ai uei progresii geometrice: Dacă ( ) este o progresie geometrică, de raţie q, cu S = + + +, atuci q S, petru q. q EXERCIŢII PROPUSE ) Petru progresia geometrică: 4,,,, 4,. să se determie termeul de rag 8, respectiv 0. ) Scrieţi primii trei termei ai progresiei geometrice î cazurile:

19 a), q ; ), q ; c) 8, q. ) Să se determie R, astfel îcât fiecare di tripletele următoare, să fie format di umere î progresie geometrică: a) +, +, 9-; ) 4, +, +5+4,5.

20 Cap.: Fucţii, ecuaţii, iecuaţii.. Fucţii. Lecturi grafice Fie mulţimile A={0,,,} şi B={,,,4,0} astfel îcât -coform diagramei de mai sus se oservă că fiecărui elemet di mulţimea A îi corespude u sigur elemet di mulţimea B ( ître cele două mulţimi eistă o corespodeţă ).Vom spue că această corespodeţă are loc datorită uei legi (reguli) de corespodeţă umită fucţie, pe care o otăm cu ƒ ( sau g sau h ). Notaţii: - f : A B, f ( ) y care se citeşte f defiită pe A cu valori î B, ude f de este egal cu y ; A şi y B ; sau sau - f () care se citeşte elemetului di A îi corespude elemetul y di B - A B, f ( ) y care se citeşte f defiită pe A cu valori î B, ude f de este egal cu y ; A şi y B ; Eemplu : - f :{0,,,} {,,,4,0}, f (0) ; f () ; f () ; f () 4 Defiiţie: f : A B, se umeşte fucţie dacă fiecărui elemet di mulţimea A îi corespude u elemet şi umai uul di mulţimea B. A= domeiu de defiiţie sau mulţime de defiiţie B= codomeiu sau mulţimea î care fucţia ia valori sau mulţimea valorilor fucţiei; B { f ( )/ A}. Moduri de descriere a uei fucţii

21 a) pri diagramă (vezi reprezetarea iiţială a fucţiei f) ) pri tael: f :{0,,,} {,,,4,0}, f ( ) 0 f() 4 c) pri formulă : f :{0,,,} {,,,4,0}, f ( ) Fucţii egale: două fucţii sut egale dacă au acelaşi domeiu, codomeiu şi aceeaşi lege de corespodeţă. f : A B şi g : C D, f g A C B D f ( ) g( ) Eemplu: f, g :{0,,} {0,, } f ( ) şi g ( ) f g Fie A={0,,}, B={,,4} Produsul cartezia a celor două mulţimi este: A B {(, y) / A, y B} A B {(0,),(0,),(0,4),(,),(,),(,4),(,),(,),(,4)} Graficul uei fucţii Defiiţie: Fie o fucţie : A B. Se umeşte graficul fucţiei mulţimea de cupluri G = {(, ()) A} = {(, y) A, y = ()}. Se oservă că G A B. Eemple: ) Fie fucţia : A B, defiită pri diagrama alăturată. Graficul fucţiei este mulţimea G = {(, a), (, a), (, )}. A B ) Fie fucţia umerică : A B defiită pri taelul de valori. - 0 Î acest caz, graficul lui este mulţimea () - 0 G = {(-, ), (0, ), (, -), (, 0)}.

22 Ecuaţii de gradul I şi II Ecuaţia de gradul I Defiiţie: O ecuaţie de tipul a+=0, ude a,, a 0 se umeşte ecuaţie de gradul îtâi cu o ecuoscută. Î cele ce urmează prezetăm câteva elemete referitoare la rezolvarea ecuaţiei de gradul I. Eemplu: Să se rezolve ecuaţia 5 ( ) ( ) 5 Elimiăm paratezele: Reducem termeii asemeea: 7 9 Separăm termeii care coţi ecuoscuta: 7 9 Reducem termeii asemeea: 0 Împărţim pri coeficietul lui : oţiem de ude 0. 5 EXERCIŢII PROPUSE Să se rezolve ecuaţiile: ) 5 ) 4 ) (+) +5(-) = 0 4) 6 4 Ecuaţia de gradul al II- lea Forma geerală a uei ecuaţii de gradul al II-lea este: a + + c = 0 () ude a,,c sut umere reale, cu a 0. Această ecuaţie se umeşte de gradul al II-lea cu coeficieţi reali. Rezolvarea ecuaţiei () presupue determiarea tuturor soluţiilor (rădăciilor) sale. Eisteţa rădăciilor reale precum şi umărul lor depid de epresia 4ac () care se umeşte discrimiatul ecuaţiei de gr. al II-lea şi se otează cu. Dacă discrimiatul este pozitiv ( 0), atuci ecuaţia are două rădăcii reale, diferite ître ele: a a ()

23 Î cazul î care = 0, atuci ecuaţia are două soluţii reale, egale: Dacă <0, atuci ecuaţia u are soluţii reale. a EXERCIŢII REZOLVATE Să se rezolve ecuaţiile: a) 0 ) c) 4 0 d) 5 0 e) 4 0 Rezolvare: a) Petru ecuaţia 0 a ; ; c. Calculăm 4ac. Avem Cum 0 rezultă S=. ) Petru ecuaţia a ; 0; c 5. Calculăm 4ac. Avem Cum 0 ecuaţia se scrie 0 şi deci 5. Aşadar S= 5. c) Petru ecuaţia 4 0 a ; ; c 4 şi atuci Cum 0 vom afla şi folosid formula: Aşadar S= ; 4.,. Avem a, 5 d) Petru ecuaţia 5 0 a ; 5; c ;, Deci S= ;

24 e) Petru ecuaţia 4 0 a ; 4; c ;, S= ; EXERCIŢII PROPUSE. Marcaţi cu u X pe A dacă propoziţia este adevărată sau pe F dacă propoziţia este falsă. A F Mulţimea soluţiilor ecuaţiei a 0 este mulţimea vidă. A F Ecuaţia 5 0 are două soluţii reale. A F Formula de rezolvare a ecuaţiei a c 0 câd 0 este, ude 4ac a A F Ecuaţia 0u are soluţii î mulţimea umerelor reale.. Rezolvaţi ecuaţiile: , Z , Q.. 9 0, R\Q

25 , Q\Z Se dă ecuaţia m m m 0. Rezolvaţi ecuaţia î cazurile: m ; m ; m ; m ; m ; m 0... Fucţia de gradul I Forma: f :, f ( ) a, a,, a 0 Defiiţie: Fie fucţia f : A B, f ( ) y, vom umi graficul fucţiei f mulţimea formată di perechile ordoate (,y). f : A B, G f {(, y) / f ( ) y}. Mootoie: Teoremă: Fucţia de gradul îtâi f :, f ( ) a, a o este: ) strict crescătoare daca a > 0 ) strict descrescătoare dacă a < 0. Oservaţie: Semul lui a precizează mootoia fucţiei de gradul îtâi. Sem: Teoremă: Fucţia de gradul îtâi f :, f ( ) a, a 0 are zeroul = -/a, iar semul fucţiei este dat î taelul de sem - -/a () sem cotrar lui a 0 acelaşi sem cu a Numărul = -/a este rădăcia ecuaţiei ataşate a + = 0. Reprezetarea grafică a lui Fie G f : f : A B, f ( ) a, cu; a, R, a- coeficietul lui ; - termeul lier. Petru a reprezeta G f îtr-u sistem ortogoal XOY vom proceda astfel: - vom face taelul de valori, î care vom lua doar două valori;

26 - vom completa taelul; - vom oţie pucte pe care le vom reprezeta î XOY; - dreapta care coţie cele două pucte este reprezetarea grafică a lui G f î XOY. Reprezetarea grafică a fucţiei liiare este o dreaptă. ( deoarece dreapta e reprezetată pri două pucte disticte, î taelul de valori este suficietă luarea a două valori ). Eemplu : f : R R, f ( ) f ( f () A( ), B(,) ) ( Itersecţia lui ) G f cu aele sistemului ortogoal XOY: f : R R, f ( ) a, a 0 ; G f XOY { M(?,0); N(0,?)} G f OX { M(,0)} M(,0) G f ( ) 0 a f 0 a Deci G f OX={M(-, 0 )} a G f OY={N(0,y)} N( 0, y) G f f (0) y a0 y y Eemplu : f : R R, f ( ), G f OX={M(-, 0 )}={M(-, 0 )} a G f OY={N(0,)}={N(0,)}. a Os. : a) Puctele de itersecţie a lui G f cu aele OX şi OY se mai umesc tăieturi. ) Putem reprezeta G f î XOY şi pri tăieturi astfel: - determiăm tăieturile ; - le reprezetăm î XOY ; - dreapta care coţie cele pucte este reprezetarea grafică a lui G f Fucţii liiare pe mulţimi fiite Defiiţie: Fie fucţia f : A B, f ( ) y, vom umi graficul fucţiei f mulţimea formată di perechile ordoate (,y). f : A B, G f {(, y) / f ( ) y}.

27 Eemplu: a) f :{0,,} {,,}, f()= +, f(0)=0+= f()=+= f()=+= G f { A(0,), B(,), C(,)} ) f :{,,0,,} {,0,}, 0 f ( ) 0, 0, 0 f(-)=-, f(-)=-, f(0)=0, f()=, f()=. G f { A(, ), B(, ), O(0,0), C(,), D(,)} EXERCIŢII PROPUSE ) Reprezetaţi grafic fucţia : f : 4; ; ;0;;, f, dacă, dacă ) Reprezetaţi grafic fucţia g :, f, dacă, dacă ) Studiaţi mootoia, semul şi reprezetaţi grafic fucţiile: a) f :, f ) g :, g c) h :, h 4) Fie fucţia f :, f. Stailiţi care ditre puctele ce urmează aparţi graficului fucţiei: A ;, B 0;.

28 .4. Iecuaţii de gradul I Forma: a+ 0 a,, a 0; a+ 0 a,, a 0; a+ 0 a,, a 0; a+<0 a,, a 0; Rezolvare: Petru a îţelege mai ie tehica de rezolvare a acestor iecuaţii vom lua u eemplu cocret: Să se rezolve iecuaţia: 4 Soluţie: 4 4, EXERCIŢII PROPUSE Să se rezolve iecuaţiile: a) 4 ) c) ( ) d) 4

29 .5. Fucţia de gradul al II lea Forma: f :, f ( ) a c, a,, c, a 0. Mootoie: f() strict descrescătoare, f() strict crescătoare, a>0 (-, a ) a<0 f() strict crescătoare, ( a (-, a ), ) f() strict descrescătoare, ( a, ) a>0 - f() a 4a - a<0 f() a 4a Sem: dacă 0 f ( ) - semul lui a ; dacă =0 f ( ) - semul lui a 0 semul lui a ; dacă 0 - f( ) semul lui a 0 sem cotrar a 0 semul lui a

30 Itersecţia cu aele: Gf OX : y 0 f ( ) y Gf OY : 0 f ( ) y Vârful paraolei: V( a, 4 a ); dacă a>0 V mi - vârf miim; dacă a<0 V ma vârf maim Grafic: graficul fucţiei de gradul II este o paraolă; EXERCIŢII PROPUSE Studiaţi mootoia, semul şi reprezetaţi grafic fucţiile: a) ) c) f :, f 4 g :, g 8 h :, h 4 4

31 .6. Iecuaţii de gradul al II- lea Forma: a ++c<0 a,, c, a 0; a ++c 0 a,, c, a 0; a ++c 0 a,, c, a 0; a ++c 0 a,, c, a 0; Rezolvare: se rezolvă ecuaţia de gradul II ataşată; se studiază semul pe utilizâd semul fucţiei de gradul II; soluţia iecuaţiei este acel iterval sau reuiue de itervale care satisface ceriţele (<, >,, ). EXERCIŢII PROPUSE Să se rezolve iecuaţiile: a) ) c)

32 Cap.Elemete de trigoometrie Defiiţia fucţiilor trigoometrice se azează pe rapoarte ître laturi ale uui triughi dreptughic pla. Îtr-u astfel de triughi, latura cea mai lugă, opusă ughiului drept, se umeşte ipoteuză, iar laturile care formează ughiul drept se umesc catete. Î triughiul dreptughic, siusul uui ughi ascuţit este defiit ca raportul ditre lugimea catetei opuse şi lugimea ipoteuzei. Similar, cosiusul uui ughi ascuţit este raportul ditre lugimea catetei alăturate şi lugimea ipoteuzei: A B C Acestea sut cele mai importate fucţii trigoometrice; alte fucţii pot fi defiite ca diferite rapoarte ale laturilor uui triughi dreptughic, dar pot fi eprimate î termei de sius şi cosius. Acestea sut tageta, cotageta, secata, şi cosecata:

33 Defiiţiile aterioare se aplică doar la ughiuri ître 0 şi 90 grade (0 şi π/ radiai). Utilizâd cercul uitate (u cerc cu raza de lugime ) ele pot fi etise la toate argumetele, pozitive şi egative. Au loc relaţiile: si 0 cos0 si 45 si 60 cos 45 cos60 tg0 tg45 ctg0 ctg45 tg60 ctg60 Relaţii trigoometrice Eistă o serie de alte relaţii ître elemetele (laturi, ughiuri) triughiurilor oarecare, relaţii care, folosid fucţii trigoometrice, permit calculul uui elemet ecuoscut atuci câd se cuosc altele. Astfel de relaţii sut de eemplu teorema siusurilor şi teorema cosiusului.,

34 Teorema siusurilor Dacă laturile uui triughi oarecare sut a, şi c şi ughiurile opuse acestor laturi sut A, B şi C, atuci teorema siusurilor euţă: echivaletă cu: ude "R" este raza cercului circumscris triughiului. Teorema cosiusului EXERCIŢII PROPUSE. Dacă este u ughi ascuţit şi si Idicaţie: Se foloseşte formula. Dacă si, să se calculeze tg., să se calculeze cos.