ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Λ03Β ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΔΙΚΤΥΩΝ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ ΦΛΕΒΑΡΗΣ 2004
|
|
- Τρύφων Βιλαέτης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Λ03Β ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΔΙΚΤΥΩΝ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ ΦΛΕΒΑΡΗΣ 2004 Παρουσίαση του paper: Increasing the Weight of Minimum Spanning Trees Greg N. Frederickson and Roberto Solis- Oba Journal of Algorithms 33, (1999) Φοιτητής: Κώστας Μανουβέλος, ΜΠΛΑ,
2 1.ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην εργασία αυτή μελετούμε την επίδραση που η αφαίρεση τυχών ακμών καθώς και οι αυξήσεις στα βάρη των ακμών ενός γράφου, έχουν στο βάρος των MSTs του. Το robustness problem (RP) για MSTs είναι η εύρεση της μέγιστης αύξησης στο βάρος των MST του G, η οποία μπορεί να επιτευχθεί δαπανώντας ένα συγκεκριμένο budget για να αυξήσουμε τα βάρη των ακμών Στην διακριτή (discrete) περίπτωση του προβλήματος, στόχος μας είναι να βρούμε, για μια δοσμένη τιμή k, το σύνολο k ακμών τις οποίες αν αφαιρέσουμε από το γράφο θα προκληθεί η μέγιστη αύξηση στο βάρος των MSTs του. Για την συνεχή (continuous) περίπτωση του προβλήματος, στόχος μας είναι να βρούμε, για δοσμένη τιμή Β, την μέγιστη πιθανή αύξηση στο βάρος των MSTs που μπορεί να επιτευχθεί με συνολικές αυξήσεις στα βάρη των ακμών ίσες με Β. Η διακριτή περίπτωση του προβλήματος μας, έχει εμφανιστεί στη βιβλιογραφία με το όνομα, the most vital edges in the MST problem 2
3 ΔΙΑΚΡΙΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ (εισαγωγής) Στην εργασία αυτή αποδεικνύουμε ότι η διακριτή περίπτωση του RP για γενικότερα k είναι NP-complete, ακόμη και αν οι ακμές έχουν βάρος 0 ή 1. Παρουσιάζεται ο πρώτος προσεγγιστικός αλγόριθμος για το πρόβλημα αυτό, στην περίπτωση που τα βάρη των ακμών είναι τυχαίοι μη αρνητικοί πραγματικοί αριθμοί. Ο αλγόριθμος τρέχει σε χρόνο και για k>1 βρίσκει λύση της οποίας η τιμή είναι φορές η βέλτιστη. Η λύση επιτυγχάνεται με την επίλυση μιας σειράς από στιγμιότυπων του maximum components problem. Δοσμένης μιας τιμής και ενός γράφου G, το πρόβλημα αυτό είναι η επιλογή ενός συνόλου ακμών των οποίων η αφαίρεση από το G μεγιστοποιεί τον αριθμό των connected components του. Θα δώσουμε έναν (1/2)-approximation algorithm για το πρόβλημα αυτό, το οποίο είναι NP-complete, με μια απλή αναγωγή από το minimum k- cut problem [13]. 3
4 ΣΥΝΕΧΗΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ (εισαγωγής) Για την συνεχή περίπτωση του RP δείχνουμε ότι, δοθέντος ενός budget Β, οποιαδήποτε βέλτιστη λύση μπορεί να κατασκευαστεί incrementally με τέτοιο τρόπο ώστε κάθε μερικήσυνάρτησηείναιβέλτιστηγιακάποιατιμήb <=B. Αυτό μας επιτρέπει να σχεδιάσουμε έναν αποδοτικό greedy αλγόριθμο για το πρόβλημα. Ο πυρήνας του αλγορίθμου είναι μια διαδικασία όπου επιλέγουμε ένα υποσύνολο S ακμών, που μεγιστοποιεί το λόγο της αύξησης στο βάρος των MST του G προς το κόστοςτηςμετατροπήςτουβάρουςτωνακμώνστοs. Η επιλογή αυτή μπορεί να πραγματοποιηθεί αποδοτικά με έναν προσεκτικό συνδυασμό edge contraction και graph strength [3, 11] υπολογισμών. Δείχνουμε ότι το μέγιστο βάρος των MSTs του G που επιτυγχάνεται αυξάνοντας τα βάρη των ακμών είναι μια piecewise linear concave συνάρτηση f της budget τιμής. Εφόσον λύνοντας την συνεχή περίπτωση του RP μπορούμε να συναντήσουμε τα βάρη ενός εκθετικού αριθμού από MST, είναι περίεργο το πώς αυτή η περίπτωση δεν είναι NP-hard όπωςηδιακριτήαντίστοιχήτης. Υπάρχει μια πληθώρα από προβλήματα στη θεωρία γράφων [2, 9, 22], στο scheduling [1], και στο transportation [6] με την ίδια ιδιότητα (διακριτή περίπτωση που είναι NPhard και συνεχής που επιλύεται αποτελεσματικά). Έχει ενδιαφέρον ότι η λύση που παρουσιάζουμε εδώ για την συνεχή περίπτωση του RP για MSTs, μπορεί να επεκταθεί και σε τυχαία matroids. 4
5 ΥΠΟΛΟΙΠΗ ΕΡΓΑΣΙΑ (σχεδιάγραμμα) Στο κεφάλαιο 2.1 παρουσιάζουμε έναν (1/2)-προσεγγιστικό αλγόριθμο για το maximum components problem. Στο 2.2 παρουσιάζουμε έναν Ω(1/logk)-προσεγγιστικό αλγόριθμο για τη διακριτή περίπτωση του RP για MSTs. Στο 2.3 προσθέτουμε ένα βήμα πριν την εκτέλεση του προσεγγιστικού αλγορίθμου μας, το οποίο μειώνει την συνολική χρονική πολυπλοκότητά του. Στο 2.4 αποδεικνύουμε ότι το RP για MSTs είναι NP-hard ακόμη και όταν το βάρος κάθε ακμής είναι 0 ή 1. Στο τέλος και στο κεφάλαιο 3 παρουσιάζουμε τον αλγόριθμο που επιλύει την συνεχή περίπτωση του RP. 5
6 2. ΔΙΑΚΡΙΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Το διακριτό RP για MSTs είναι το εξής: Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γράφου G και μιας ακέραιας τιμής k, βρες ένα σύνολο k ακμώντωνοποίωνηαφαίρεσηαπότοg, μεγιστοποιεί τα βάρη των MSTs του γράφου που προκύπτει. Υποθέτουμε ότι η συνεκτικότητα των ακμών του G είναι μεγαλύτερη από k, αλλιώς το πρόβλημα γίνεται τετριμμένο εφόσον η αφαίρεση των ακμών σε ένα minimum cardinality cut αυξάνει τα βάρη των MSTs καιτουδίνειάπειρητιμή. Έστω ένας μη κατευθυνόμενος γράφος G = (V,E,w). Έστω μια ακμή, και έστω G ένας υπό- γράφος του G που περιλαμβάνει μόνο τις ακμές με βάρος το πολύ w(e). Εάν αφαιρέσουμε από το G οποιοδήποτε υποσύνολο S ακμών, που χωρίζει το G σε i+1 connected components, τότε κάθε MST του (V,E-S,w) θα είχε τουλάχιστον i ακμές βάρους μεγαλύτερο από w(e). Χρησιμοποιούμε αυτήν την ιδέα για να κατασκευάσουμε έναν προσεγγιστικό αλγόριθμο για την διακριτή περίπτωση του RP για MSTs. Παρόλα αυτά, χρειάζεται να γνωρίζουμε για δοσμένη τιμή k,πώς να επιλέξουμε ένα υποσύνολο από k ακμές των οποίων η αφαίρεση από το γράφο τον διαχωρίζουν στο μέγιστο δυνατό αριθμό από connected components. 6
7 2.1 Το Maximum Components problem (MCP) Τροποποιούμε έναν αλγόριθμο από τους Saran και Vazirani [24] για να επιτύχουμε έναν (1/2)-προσεγγιστικό αλγόριθμο για το MCP. Ο αλγόριθμός μας χρησιμοποιεί μια greedy εκδοχή για να τεμαχίσουμε το γράφο σε όσο το δυνατό περισσότερα κομμάτια, αφαιρώντας ακμές από αυτό. ALGORITHM dice (G,k). repeat Αφαίρεσε από το G τις ακμές σε ένα ελάχιστο cut, το οποίο διαχωρίζει ένα από τα connected components του G. until k <=k ακμές έχουν αφαιρεθεί και κανένα επιπλέον cut δεν μπορεί να δημιουργηθεί με τις εναπομείναντες k-k ακμές. ΔώσεωςέξοδοτοσύνολοτωνακμώνπουαφαιρέθηκαναπότοG. Πριν το θεώρημα 2.1 βλέπουμε το ΛΗΜΜΑ 2.1 (απόδειξη με επαγωγή στο i, στις σημειώσεις, σελ.5) 7
8 ΘΕΩΡΗΜΑ 2.1. Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γράφου G, ο αλγόριθμος dice βρίσκει ένα σύνολο S το πολύ k ακμών, τωνοποίωνηαφαίρεσηαπότοg, το διαχωρίζουν σε d>d*/2 components, όπου d* είναι ο μέγιστος αριθμός των components που μπορούν να σχηματιστούν με την αφαίρεση οποιουδήποτε συνόλου k ακμών από το G. Απόδειξη θεωρήματος 2.1. Για να απλοποιήσουμε την απόδειξη υποθέτουμε πρώτα ότι ο γράφος είναι συνεκτικός. Στην συνέχεια δείχνουμε ότι το θεώρημα ισχύει και για μη συνεκτικούς γράφους. Απόδειξη στις σημειώσεις, σελ.5-6 8
9 ΘΕΩΡΗΜΑ 2.2 Ο αλγόριθμος dice τρέχει σε χρόνο Ο(km+k 2 nlogn). Απόδειξη. Μπορούμε να τροποποιήσουμε τον αλγόριθμο dice έτσι ώστε σε κάθε επανάληψη, εκτός της πρώτης, να υπολογίζει μόνον connectivity cuts για τα δύο components που δημιουργήθηκαν στην αμέσως προηγούμενη επανάληψη. Ο αλγόριθμος του Gabow [10], βρίσκει την edge connectivity λ και ένα connectivity cut, για δοσμένο γράφο, σε χρόνο Ο(m+λ 2 nlogn(n/λ). Ένας απλός υπολογισμός δείχνει ότι ο αλγόριθμος dice τρέχει σε χρόνο Ο(km+k 2 nlogn) εάν εφαρμοστεί μαζί με τον αλγόριθμο του Gabow. 9
10 2.2 Το RP για MST Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γράφου G=(V,E,w) και ενός ακεραίου k, θέλουμε να βρούμε την μέγιστη αύξηση στο βάρος των MSTs του G, που επιτυγχάνεται με την αφαίρεση k ακμών από αυτό. Το σχήμα 1 παρουσιάζει ένα απλό παράδειγμα. Η τεχνική που ακολουθούμε για να προσεγγίσουμε την λύση του προβλήματος, είναι να βάλουμεμέσασεκάθεmst του G, όσες πιο πολλές ακμές με «μεγάλο» βάρος γίνεται. Εύκολα βλέπουμε ότι μια ακμή e ανήκει σε ένα MST του G αν και μόνον αν η e είναι μια ελαχίστου βάρους ακμή σε κάποιο cut του G. Αυτό σημαίνει ότι αν μια ακμή e δεν ανήκει σε κανένα MST του G, μπορούμε να διαγράψουμε τις ακμές με βάρος μικρότερο από w(e ) σε κάποιο cut που χωρίζει τους κόμβους της e, για να πάρουμε έναν νέο γράφο στον οποίο η e να ανήκει σε τουλάχιστον ένα MST. Από την στιγμή που όλα τα MSTs ενός γράφου έχουν τον ίδιο αριθμό ακμών ενός δοσμένου βάρους, η διαδικασία που μόλις περιγράψαμε μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να προσθέσουμε μια ακμή βάρους w(e ) σε κάθε MST του γράφου που προκύπτει. 10
11 ALGORITHM slice_n_dice(g=(v,e,w),k) max_mst_wgt=0 for each distinct weight w i in G do S=dice(Gw i,k) mst_wgr=weight of a minimum spanning tree of (V,E-S,w) if mst_wgt>max_mst_wgt then max_mst_wgt=mst_wgt S s&d =S end if end for Output S s&d and max_mst_wgt. 11
12 ΛΗΜΜΑ 2.2 Εάν κάθε ακμή του G έχει βάρος της μορφής 2 i,για κάποιον ακέραιο i, τότε το performance ratio του slice_n_dice είναι ίσο με r=w(t s&d )/w(t*)>=1/(3+2log(k+1)). Απόδειξη στις σημειώσεις σελ 6-7. ΛΗΜΜΑ 2.3 Το μέγιστο βάρος των MSTs ενός γράφου G=(V,E,w) που μπορεί να επιτευχθεί με την αφαίρεση k ακμών από το G, δεν είναι μεγαλύτερο από δύο φορές η αντίστοιχη βέλτιστη τιμή για το γράφο G=(V,E,w ),o οποίος δημιουργείται με στρογγυλοποίηση προς τα κάτω (rounding down), του βάρους κάθε ακμής στο E στη πλησιέστερησεαυτόδύναμητουδύο. Απόδειξη σελ.7 12
13 ΘΕΩΡΗΜΑ 2.3. Το performance ratio του slice_n_dice όταν η είσοδος (ο γράφος) έχει ακμές με τυχαία μη αρνητικά βάρη είναι r=w(t s&d )/w(t*)>=1/(2+4log(k+1)). ΛΗΜΜΑ 2.4. Εάν οι ακμές ενός γράφου G=(V,E,w) έχουν τυχαία destruction costs, το performance ratio του slice_n_dice είναι r>=1/(1+4logm). Απόδειξη σελ.9. 13
14 2.3. Ένας γρηγορότερος αλγόριθμος ΛΗΜΜΑ 2.5. w(t s&d )/w(t s&d )<2 απόδειξη στη σελίδα.10. Για ένα γράφο G=(V,E,w) με τυχαία μη αρνητικά βάρη, ο τροποποιημένος μας αλγόριθμος slice_n_dice πρώτα στρογγυλοποιεί μπρος τα κάτω το βάρος κάθε ακμής στην πλησιέστερη σε αυτό δύναμη του 2. Εάν κάποια ακμή έχει βάρος μικρότερο από 1, τότε πολλαπλασιάζει όλα τα βάρη με 2 s, όπου 2 -s είναι το μικρότερο βάρος ακμής που προκύπτει μετά την στρογγυλοποίηση. Αυτό το scaling του βάρους των ακμών, δεν επηρεάζει το performance ratio του αλγορίθμου και επιτρέπει στα βάρη των ακμών που είναι ακέραιοι να παραμένουν δυνάμεις του 2. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.4. Το performance ratio τουτροποποιημένουαλγορίθμουslice_n_dice που μόλις περιγράψαμε είναι r>=1/4(4+8log(k+1). Απόδειξη. Το θεώρημα προκύπτει από τα λήμματα 2.2, 2.3, και 2.5 ΘΕΩΡΗΜΑ 2.5. Η χρονική πολυπλοκότητα του τροποποιημένου slice_n_dice αλγορίθμου, είναι O(klogn(m+knlogn)). Απόδειξη. Χρησιμοποιούμε τον αλγόριθμο του Gabow [10] γιαναεπιλύσουμετηνδιαδικασία που χρειάζεται για να βρούμε το βάρος μιας μέγιστης non- redundant ακμής σε ένα γράφο. 14
15 2.4 NP-Completeness Σε αυτό το κεφάλαιο αποδεικνύουμε, ότι το πρόβλημα του να επιλέξουμε k ακμές, τις οποίες όταν αφαιρέσουμε από ένα γράφο, μεγιστοποιείται το βάρος των MSTs του, είναι NP-hard, ακόμη και όταν τα βάρη των ακμών του είναι 0 ή 1. Η αναγωγή είναι από το minimum k-cut problem. ΘΕΩΡΗΜΑ 2.6. Έστω G=(V,E,w) ένας γράφος του οποίου οι ακμές έχουν βάρος είτε 0 είτε 1, και έστω Κ μια μη-αρνητική ακέραιη τιμή. Το πρόβλημα του να αποφασίσουμε εάν υπάρχει ένα σύνολο S το πολύ k ακμών, τέτοιο που οποιοδήποτε MST του γράφου (V,E- S,w) έχει βάρος τουλάχιστον K, είναι NP-complete. Απόδειξη. Το πρόβλημα είναι εμφανώς στο NP. Για να δείξουμε ότι είναι NP-hard δίνουμε μια αναγωγή από το minimum k-cut problem, στη σελίδα
16 3.ΣΥΝΕΧΗΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ Σε αυτό το κεφάλαιο μελετούμε το πρόβλημα του να καθορίσουμε την μέγιστη αύξηση στα βάρη των MSTs ενός γράφου, που δημιουργείται από μια πεπερασμένη αύξηση στα βάρη των ακμών του. Σε κάθε ακμή έχουμε αναθέσει ένα rate c(e) και υποθέτουμε μια συνάρτηση κόστους που χρεώνει c(e)*δ, όταν αυξηθεί το βάρος της e κατά δ. Το συνολικό κόστος των αλλαγών στα βάρη των ακμών δεν πρέπει να υπερβαίνει κάποια δοσμένη budget τιμή Β. Στο σχήμα 3 παρουσιάζεται ένα στιγμιότυπο του προβλήματος. Ο αλγόριθμος για να λύσουμε το συνεχές RP για MST είναι στην σελίδα
17 ΛΗΜΜΑ 3.1. Σελ.14 ΘΕΩΡΗΜΑ 3.1 Ο αλγόριθμος raise_mst υπολογίζει την μέγιστη αύξηση στα βάρη των MST ενός γράφου G=(V,E,w), η οποία επιτυγχάνεται ξοδεύοντας ένα δοσμένο budget B που αυξάνει τα βάρη των ακμών του. Απόδειξη σελ Βρίσκοντας ένα σύνολο ακμών με ελάχιστο κόστος ανά μονάδα αύξησης ΙΔΙΟΤΗΤΑ 3.1 Το T είναι MST του G αν και μόνον αν περιέχει ένα spanning tree για κάθε nontrivial component σε κάθε Gw i. 17
18 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ OPTIMAL_SUBSET στην σελίδα 16. ΛΗΜΜΑ 3.2. O αλγόριθμος optimal_subset τρέχει σε χρόνο Ο(n 2 mlog(n 2 /m)). Απόδειξη στην σελίδα 16. ΛΗΜΜΑ 3.3 Ο αλγόριθμος raise_mst πραγματοποιεί το πολύ (m-1)(n-1)+1 επαναλήψεις. Σελ.17 ΘΕΩΡΗΜΑ 3.2. Η χρονική πολυπλοκότητα του αλγορίθμου raise_mst είναι O(n 3 m 2 log(n 2 /m). ΛΗΜΜΑ 3.4 Η συνάρτησηf G είναι concave, μη φθίνουσα και piecewise linear με Ο(mn) breakpoints. Σελ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ & ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 18
Graph Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια
Graph Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βάλια Περιεχόμενα Μεταβατικό Κλείσιμο Συνεκτικές συνιστώσες Συντομότερα μονοπάτια Breadth First Spanning
Διαβάστε περισσότεραΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ-ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΣΤΟΥΚΑ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΛΑΜΠΡΟΥ. μπλ 2014
ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ-ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΣΤΟΥΚΑ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΛΑΜΠΡΟΥ μπλ 2014 Έχουμε G = (V,E) μη κατευθυνόμενο γράφο με μη αρνητικές χωρητικότητες c e για κάθε e E. {(s 1, t 1 ),..., (s k, t k )} διακριτά διατεταγμένη ζεύγη
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου Χριστίνα Σπυροπούλου 8η Διάλεξη 8 Δεκεμβρίου 2016 1 Ασύγχρονη κατασκευή BFS δέντρου Στα σύγχρονα συστήματα ο αλγόριθμος της πλημμύρας είναι ένας απλός αλλά
Διαβάστε περισσότεραΚατανεμημένα Συστήματα Ι
Κατανεμημένα Συστήματα Ι Παναγιώτα Παναγοπούλου 11η Διάλεξη 12 Ιανουαρίου 2017 1 Ανεξάρτητο σύνολο Δοθέντος ενός μη κατευθυνόμενου γραφήματος G = (V, E), ένα ανεξάρτητο σύνολο (independent set) είναι ένα
Διαβάστε περισσότεραΓράφοι: κατευθυνόμενοι και μη
Γράφοι: κατευθυνόμενοι και μη (V,E ) (V,E ) Γράφος (ή γράφημα): ζεύγος (V,E), V ένα μη κενό σύνολο, Ε διμελής σχέση πάνω στο V Μη κατευθυνόμενος γράφος: σχέση Ε συμμετρική V: κορυφές (vertices), κόμβοι
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΚουτσιούμπας Αχιλλέας U. Adamy, C. Ambuehl, R. Anand, T. Erlebach
Κουτσιούμπας Αχιλλέας ΕΛΕΓΧΟΣ ΚΛΗΣΕΩΝ ΣΕ ΑΚΤΥΛΙΟ U. Adamy, C. Ambuehl, R. Anand, T. Erlebach ΜΠΛΑ 1 Δομή παρουσίασης Γενικά Ορισμός προβλήματος Σχετιζόμενη δουλειά Εισαγωγικά Αλγόριθμος Παράδειγμα εκτέλεσης
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
7ο εξάμηνο Σ.Η.Μ.Μ.Υ. & Σ.Ε.Μ.Φ.Ε. http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/ 4η εβδομάδα: Εύρεση k-οστού Μικρότερου Στοιχείου, Master Theorem, Τεχνική Greedy: Knapsack, Minimum Spanning Tree, Shortest Paths
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα 5: Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ Ενότητα : Αλγόριθμοι γράφων και δικτύων Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότερα3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων
1/48 3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΣΗΜΜΥ, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 2/48 1 Άσκηση 1: Πομποί και Δέκτες 2 Άσκηση 2: Διακοπές στην Ικαρία 3 Άσκηση 3: Επιστροφή στη Γη 4 Άσκηση
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
Διαβάστε περισσότεραΠροηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ) Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα (ΕΜΠ - ΑΛΜΑ) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι.
Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ) Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα (ΕΜΠ - ΑΛΜΑ) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Άρης Παγουρτζής Άνοιξη 2018 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Αφορούν κυρίως σε προβλήματα βελτιστοποίησης:
Διαβάστε περισσότεραMaximal Independent Set
Maximal Indpndnt St Quick Rviw Μας δίνεται γράφος. Στους κόμβους του βρίσκονται ακίνητοι επεξεργαστές οι οποίοι επικοινωνούν σύγχρονα μέσω των ακμών. Οι επεξεργαστές προσπαθούν να λύσουν ένα πρόβλημα ανταλλάζοντας
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory)
Στοιχεία Θεωρίας Γράφων (Graph Theory) Ε Εξάμηνο, Τμήμα Πληροφορικής & Τεχνολογίας Υπολογιστών ΤΕΙ Λαμίας plam@inf.teilam.gr, Οι διαφάνειες βασίζονται στα βιβλία:. Αλγόριθμοι, Σχεδιασμός & Ανάλυση, η έκδοση,
Διαβάστε περισσότεραGraph Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βασιλική
Graph Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Καούρη Γεωργία Μήτσου Βασιλική Περιεχόμενα minimum weight spanning tree connected components transitive closure shortest paths
Διαβάστε περισσότεραΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ
ΔΥΣΚΟΛΙΑ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΙΜΟΤΗΤΑ Επιμέλεια : Γεωργίου Κωστής Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος: Δίκτυα και πολυπλοκότητα Φεβρουάριος 004 μπλ Κίνητρα για τη μελέτη της μη προσεγγισιμότητας Ο πληρέστερος
Διαβάστε περισσότεραΔένδρα επικάλυψης ελάχιστου κόστους και το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή (Traveling Salesman Problem: TSP)
Δένδρα επικάλυψης ελάχιστου κόστους και το πρόβλημα του πλανόδιου πωλητή (Traveling Salesman Problem: TSP) Αλγόριθμος Prim Ξεκινάμε από ένα δένδρο Τ αποτελούμενο από ένα μόνο κόμβο. Στη συνέχεια, σε κάθε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1,
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Παύλος Εφραιμίδης V1.1, 2015-01-19 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο
Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραMulticut and Integer Multicomodity Flow in Trees (chap. 18) Αγγελής Γιώργος
Multicut and Integer Multicomodity Flow in Trees (chap. 18) Αγγελής Γιώργος Εισαγωγή Εύρεση αλγορίθμου με approx ratio 2 και ½ για τα προβλήματα minimum multicut και integer multicommodity flow αντίστοιχα
Διαβάστε περισσότεραΔένδρα επικάλ επικ υψης ελάχιστου στους
Δένδρα επικάλυψης ελάχιστου κόστους Αλγόριθμος Kruskal Αλγόριθμος Kruskal Ξεκινάμε από ένα δάσος από n δένδρα, κάθε ένα δένδρο εκφυλισμένο σε ένα μεμονωμένο κόμβο. Σε κάθε επανάληψη, προσθέτουμε τη πλευρά
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 26 Ιουνίου 201 1 / Απληστοι (Greedy) Αλγόριθµοι
Διαβάστε περισσότεραΔιαίρει και Βασίλευε. πρόβλημα μεγέθους Ν. διάσπαση. πρόβλημα μεγέθους k. πρόβλημα μεγέθους Ν-k
Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα μεγέθους Ν-k Διαίρει και Βασίλευε πρόβλημα μεγέθους Ν διάσπαση επιλύουμε αναδρομικά τα υποπροβλήματα πρόβλημα μεγέθους k πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Μαΐου 201 1 / Απληστοι (Greedy) Αλγόριθµοι
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»
Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης
Διαβάστε περισσότεραHY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems
HY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems Ημερομηνία Παράδοσης: 0/1/017 την ώρα του μαθήματος ή με email: mkarabin@csd.uoc.gr Γενικές Οδηγίες α) Επιτρέπεται η αναζήτηση στο Internet και στην βιβλιοθήκη
Διαβάστε περισσότεραGeneral Models & Inapproximability Overview. Influence Maximization σε Social Networks
Συνοπτικά: Αν θέλω να πετύχω υιοθέτηση μιας άποψης/προϊόντος από πολλούς, πως διαλέγω το αρχικό target group (free samples) Συνοπτικά: Αν θέλω να πετύχω υιοθέτηση μιας άποψης/προϊόντος από πολλούς, πως
Διαβάστε περισσότερα1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές Δημοπρασίες - Combinatorial Auctions
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Διδάσκων: Ε. Μαρκάκης, Εαρινό εξάμηνο 2015 Συμπληρωματικές σημειώσεις για τον μηχανισμό VCG 1 Εισαγωγή στις Συνδυαστικές
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Γιατί κάποια (επιλύσιμα) προβλήματα είναι δύσκολο
Διαβάστε περισσότεραΑξιολόγηση Ευριστικών Αλγορίθµων
Προσεγγιστικοί Αλγόριθµοι Πολλές ϕορές η εύρεση της ϐέλτιστων λύσεων προβληµάτων ακέραιου γραµµικού προγραµµατισµού είναι µια χρονοβόρα διαδικασία (εκθετική πολυπλοκότητα) Προσεγγιστικοί Αλγόριθµοι Πολλές
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι εύρεσης ελάχιστων γεννητικών δέντρων (MST)
Αλγόριθμοι εύρεσης ελάχιστων γεννητικών δέντρων (MST) Γεννητικό δέντρο (Spanning Tree) Ένα γεννητικό δέντρο για ένα γράφημα G είναι ένα υπογράφημα του G που είναι δέντρο (δηλ., είναι συνεκτικό και δεν
Διαβάστε περισσότεραΛυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007
Λυσεις προβλημάτων τελικής φάσης Παγκύπριου Μαθητικού Διαγωνισμού Πληροφορικής 2007 Πρόβλημα 1 Το πρώτο πρόβλημα λύνεται με τη μέθοδο του Δυναμικού Προγραμματισμού. Για να το λύσουμε με Δυναμικό Προγραμματισμό
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα
Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ
ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #7: Ελάχιστα Επικαλυπτικά Δένδρα, Αλγόριθμος Kruskal, Δομές Union-Find Άσκηση # 0 5 0 0 0
Διαβάστε περισσότεραΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας. Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο
ΕΠΛ 211: Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητας Διάλεξη 2: Μαθηματικό Υπόβαθρο Τι θα κάνουμε σήμερα Συναρτήσεις & Σχέσεις (0.2.3) Γράφοι (Γραφήματα) (0.2.4) Λέξεις και Γλώσσες (0.2.5) Αποδείξεις (0.3) 1
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων / γραφήματα. Τι έχουμε δει μέχρι τώρα. Υπογράφημα. 24 -Γράφοι
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Θεωρία γράφων / γραφήματα Πέμπτη, 11/05/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 11-May-17 1 1 11-May-17 2 2 Τι έχουμε δει μέχρι τώρα Κατευθυνόμενοι μη κατευθυνόμενοι
Διαβάστε περισσότερα3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων
1/55 3η Σειρά Γραπτών Ασκήσεων Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα ΣΗΜΜΥ, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 2/55 1 Άσκηση 1: Πομποί και Δέκτες 2 Άσκηση 2: Διακοπές στην Ικαρία 3 Άσκηση 3: Επιστροφή στη Γη 4 Άσκηση
Διαβάστε περισσότεραΤο πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem)
Το πρόβλημα μονοδρόμησης (The One-Way Street Problem) Το πρόβλημα Σχετίζεται με τη διαχείριση της κίνησης οχημάτων στους δρόμους Αν δεν υπήρχαν καθυστερήσεις στην κίνηση στις πόλεις Αποφυγή σπατάλης ενέργειας
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραNetwork Algorithms and Complexity Παραλληλοποίηση του αλγορίθμου του Prim. Αικατερίνη Κούκιου
Network Algorithms and Complexity Παραλληλοποίηση του αλγορίθμου του Prim Αικατερίνη Κούκιου Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π.
Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα: 4 η σειρά ασκήσεων CO.RE.LAB. ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Άσκηση 1 η : Παιχνίδι επιλογής ακμών Έχουμε ένα ακυκλικό κατευθυνόμενο γράφο, μια αρχική κορυφή και δυο παίκτες. Οι παίκτες διαδοχικά
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Γραφημάτων
Αλγόριθμοι Γραφημάτων 1. Minimum Spanning Trees 2. Αλγόριθμος Prim 3. Αλγόριθμος Kruskal Εισαγωγή στην Ανάλυση Αλγορίθμων Μάγια Σατρατζέμη Minimum Spanning Tree Πρόβλημα: Για δοσμένο συνεκτικό, μη προσανατολισμένο,
Διαβάστε περισσότεραFast broadcasting and gossiping in radio networks. Chrobak, Gasieniec, Rytter 2002.
Fast broadcasting and gossiping in radio networks. Chrobak, Gasieniec, Rytter 2002. ιδάσκων: Άρης Παγουρτζής Παρουσίαση: Νίκος Λεονάρδος nleon@cs.ntua.gr 1 Το μοντέλο 2 6 5 9 1 3 4 7 8 Broadcasting: Ένας
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Άπληστοι Αλγόριθμοι Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Άπληστοι Αλγόριθμοι Είναι δύσκολο να ορίσουμε ακριβώς την έννοια του άπληστου
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραChapter 7, 8 : Completeness
CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Completeness 19 December 2008 1 1 Αναγωγές Πολυωνυμικού Χρόνου Ορισμός. f: Σ * Σ * ονομάζεται υπολογίσιμη σε πολυνωνυμικό χρόνο αν υπάρχει μια πολυωνυμικά φραγμένη
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Πέμπτη, 11/05/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 11-May-17 1 1 Θεωρία γράφων / γραφήματα 11-May-17 2 2 Τι έχουμε δει μέχρι τώρα Κατευθυνόμενοι μη κατευθυνόμενοι
Διαβάστε περισσότεραΜορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης. Οταν το πρόβλημα έχει πεπερασμ
Μαθηματικά Πληροφορικής 4ο Μάθημα Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Μορφές αποδείξεων Υπάρχουν πολλά είδη αποδείξεων. Εδώ θα δούμε τα πιο κοινά: Εξαντλητική μέθοδος ή μέθοδος επισκόπησης.
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Κεφάλαιο 12 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι 12.1 Προβλήματα Βελτιστοποίησης Σε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης σε κάθε στιγμιότυπο του προβλήματος αντιστοιχούν κάποιες εφικτές (feasible) -δηλαδή επιτρεπτές- λύσεις,
Διαβάστε περισσότεραHY118-Διακριτά Μαθηματικά. Θεωρία γράφων/ γραφήματα. Τι έχουμε δει μέχρι τώρα. Ισομορφισμός γράφων: Μία σχέση ισοδυναμίας μεταξύ γράφων.
HY118-Διακριτά Μαθηματικά Θεωρία γράφων/ γραφήματα Τρίτη, 15/05/2018 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 16-May-18 1 1 16-May-18 2 2 Τι έχουμε δει μέχρι τώρα Κατευθυνόμενοι μη κατευθυνόμενοι
Διαβάστε περισσότεραFast broadcasting and gossiping in radio networks. Chrobak, Gasieniec, Rytter 2002.
Fast broadcasting and gossiping in radio networks. Chrobak, Gasieniec, Rytter 2002. ιδάσκων: Άρης Παγουρτζής Παρουσίαση: Νίκος Λεονάρδος nleon@cs.ntua.gr 1 Το μοντέλο 2 6 5 9 1 3 4 7 8 Broadcasting: Ένας
Διαβάστε περισσότεραApproximation Algorithms for the k-median problem
Approximation Algorithms for the k-median problem Ζακυνθινού Λυδία Παυλάκος Γεώργιος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Θεωρία Υπολογισμού 2011-2012 Το πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραMinimum Spanning Tree: Prim's Algorithm
Minimum Spanning Tree: Prim's Algorithm 1. Initialize a tree with a single vertex, chosen arbitrarily from the graph. 2. Grow the tree by one edge: of the edges that connect the tree to vertices not yet
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών
Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 4 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΠολυπλοκότητα. Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης. Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης. Προσπάθεια υλοποίησης
Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι πόροι, π.χ. μνήμη, εύρος ζώνης Προσπάθεια υλοποίησης Παράμετροι της αποδοτικότητας ενός αλγόριθμου: Χρόνος εκτέλεσης Απαιτούμενοι
Διαβάστε περισσότεραΚλάσεις Πολυπλοκότητας
Κλάσεις Πολυπλοκότητας Παύλος Εφραιμίδης pefraimi ee.duth.gr Κλάσεις Πολυπλοκότητας 1 Οι κλάσεις πολυπλοκότητας P και NP P: Polynomial ΗκλάσηP περιλαμβάνει όλα τα υπολογιστικά προβλήματα που μπορούν
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 11: Minimum Spanning Trees Αλγόριθμος Prim Αλγόριθμος Kruskal Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής
Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Παίγνια μηδενικού αθροίσματος PessimisIc play Αμιγείς max-min και
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Εισαγωγή Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Βιβλιογραφία Jon Kleinberg και Éva Tardos, Σχεδιασμός αλγορίθμων, Εκδόσεις Κλειδάριθμος,
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Άνοιξη I. ΜΗΛΗΣ
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ http://eclass.aueb.gr/courses/inf161/ Άνοιξη 016 - I. ΜΗΛΗΣ AΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΦΩΝ ΙΙΙ Minimum Spanning Trees ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ - ΑΝΟΙΞΗ 016 - Ι. ΜΗΛΗΣ 14 - GRAPHS III - MSTs 1 Trees Ένας γράφος T = (V,
Διαβάστε περισσότεραOutline 1 Άσκηση 1 2 Άσκηση 2 3 Άσκηση 3 4 Άσκηση 4 5 Άσκηση 5 6 Προγραμματιστική Άσκηση 1 7 Προγραμματιστική Άσκηση 2 (CoReLab - NTUA) Αλγόριθμοι - 3
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα 3η Σειρά Γραπτών και Προγραμματιστικών Ασκήσεων CoReLab ΣΗΜΜΥ - Ε.Μ.Π. Ιανουάριος 2019 (CoReLab - NTUA) Αλγόριθμοι - 3η σειρά ασκήσεων Ιανουάριος 2019 1 / 54 Outline 1 Άσκηση
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας
Προβλήματα, αλγόριθμοι, ψευδοκώδικας October 11, 2011 Στο μάθημα Αλγοριθμική και Δομές Δεδομένων θα ασχοληθούμε με ένα μέρος της διαδικασίας επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων. Συγκεκριμένα θα δούμε τι
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 1 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα Έκδοση 1.4, 30/10/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 1.2 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα 1. Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων
Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4.0 Επιλογή Αλγόριθμοι Επιλογής Select και Quick-Select Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2016-17 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Webpage: www.cs.uoi.gr/~stavros
Διαβάστε περισσότεραScheduling on Unrelated Parallel Machines
Scheduling on Unrelated Parallel Machines Problem Formulation Given a set J of jobs, a set M of machines, and for each j J and i M, pij Z+, is the time taken to process job j on machine i, the problem
Διαβάστε περισσότεραΑσυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθμου Α: Ποσότητα
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Αλγόριθμοι Γραφημάτων Τοπολογική Διάταξη
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραP. Chretienne, E. Coffman, J. Lenstra, Z. Liu Scheduling Theory and its Applications John Wiley & Sons, New York, (1995)
ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ 8ο Εξάμηνο ΕΡΓΑΣΙΑ P. Chretienne, E. Coffman, J. Lenstra, Z. Liu Scheduling Theory and its Applications John Wiley & Sons, New York, (995) CHAPTER (μέχρι και..) Scheduling with Communication
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: Θεωρία υπολογισµών 1 Συναρτήσεις και ο υπολογισµός τους 2 Μηχανές Turing 3 Καθολικές γλώσσες προγραµµατισµού 4 Μια µη υπολογίσιµη συνάρτηση 5 Πολυπλοκότητα προβληµάτων 1 Συναρτήσεις Μία συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραέντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
έντρα ιδάσκοντες:. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής. Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΓ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης
- Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης http://www.seas.upenn.edu/~tcom50/lectures/lecture.pdf ροµολόγηση σε ίκτυα εδοµένων Αναπαράσταση ικτύου µε Γράφο Μη Κατευθυνόµενοι Γράφοι Εκτεταµένα έντρα Κατευθυνόµενοι
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Δομές Δεδομένων. Ιωάννης Γ. Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές Δεδομένων Ιωάννης Γ. Τόλλης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Πανεπιστήμιο Κρήτης Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού
Διαβάστε περισσότεραΤαιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του
Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 30 Απριλίου 2015 1 / 48 Εύρεση Ελάχιστου
Διαβάστε περισσότεραγια NP-Δύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραu v 4 w G 2 G 1 u v w x y z 4
Διάλεξη :.0.06 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. Εισαγωγικοί ορισμοί Ορισμός. Γράφημα G καλείται ένα ζεύγος G = (V, E) όπου V είναι το σύνολο των κορυφών (ή κόμβων) και E
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 21: Γράφοι IV - Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους
Διάλεξη 2: Γράφοι IV - Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Βραχύτερα Μονοπάτια σε γράφους - Ο αλγόριθμος Dijkstra για εύρεση της βραχύτερης απόστασης
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων
Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων Άσκηση 1 Αναγάγουμε τν Κ 0 που γνωρίζουμε ότι είναι μη-αναδρομική (μη-επιλύσιμη) στην γλώσσα: L = {p() η μηχανή Turing Μ τερματίζει με είσοδο κενή ταινία;} Δοσμένης της περιγραφής
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 4: Απόδειξη: Για την κατεύθυνση, παρατηρούμε ότι διαγράφοντας μια κορυφή δεν μπορούμε να διαχωρίσουμε τα u και v. Αποδεικνύουμε
Διάλεξη 4: 20.10.2016 Θεωρία Γραφημάτων Γραφέας: Σ. Κ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 4.1 2-συνεκτικά γραφήματα (συνέχεια) Πρόταση 4.1 Δύο μπλοκ ενός γραφήματος G μοιράζονται το πολύ μία κορυφή. Απόδειξη:
Διαβάστε περισσότεραΚινητός και ιάχυτος Υπολογισµός (Mobile & Pervasive Computing) Ιστοσελίδα του µαθήµατος. Περιεχόµενα. ηµήτριος Κατσαρός, Ph.D.
1 Κινητός και ιάχυτος Υπολογισµός (Mobile & Pervasive Computing) ηµήτριος Κατσαρός, Ph.D. Χειµώνας 2006 ιάλεξη 5η Ιστοσελίδα του µαθήµατος 2 http://skyblue.csd.auth.gr/~dimitris/courses/mpc_fall06.htm
Διαβάστε περισσότεραιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
έντρα ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο έντρα έντρο: πρότυπο ιεραρχικής δομής.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβληµα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβληµα αναζήτησης είναι ένα πρόβληµα στο
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Σημειώσεις Διαλέξεων Στοιχεία Θεωρίας Αριθμών & Εφαρμογές στην Κρυπτογραφία Επιμέλεια σημειώσεων: Καλογερόπουλος Παναγιώτης
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ενότητα 3 Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Prim-Kruskal Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα - Ενότητα 3 Prim-Kruskal
Διαβάστε περισσότεραΚατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός συγκρίσεων π
Περιορισμοί Αλγοριθμικής Ισχύος Κατηγοριοποίηση πολυπλοκοτήτων Κατώτερα φράγματα Κατώτερο φράγμα: εκτίμηση της ελάχιστης εργασίας που απαιτείται για την επίλυση ενός προβλήματος. Παραδείγματα: Αριθμός
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Πέµπτη, 19/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι έχουµε δει µέχρι τώρα Κατευθυνόµενοι µη κατευθυνόµενοι
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση
Διαβάστε περισσότεραsubstructure similarity search using features in graph databases
substructure similarity search using features in graph databases Aleksandros Gkogkas Distributed Management of Data Laboratory intro Θα ενασχοληθούμε με το πρόβλημα των ερωτήσεων σε βάσεις γραφημάτων.
Διαβάστε περισσότεραΤυχαιοκρατικοί Αλγόριθμοι
Πιθανότητες και Αλγόριθμοι Ανάλυση μέσης περίπτωσης Μελέτα τη συμπεριφορά ενός αλγορίθμου σε μια «μέση» είσοδο (ως προς κάποια κατανομή) Τυχαιοκρατικός αλγόριθμος Λαμβάνει τυχαίες αποφάσεις καθώς επεξεργάζεται
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Συνδετικό Δέντρο
Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Συνδετικό Δέντρο
Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό Δέντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος
Διαβάστε περισσότεραΕλάχιστο Συνδετικό έντρο
Ελάχιστο Συνδετικό έντρο ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Ελάχιστο Συνδετικό έντρο (MST) Συνεκτικό μη-κατευθ. G(V, E, w) με βάρη Βάρος
Διαβάστε περισσότεραd k 10 k + d k 1 10 k d d = k i=0 d i 10 i.
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΑλγοριθμικές Τεχνικές. Brute Force. Διαίρει και Βασίλευε. Παράδειγμα MergeSort. Παράδειγμα. Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων
Τεχνικές Σχεδιασμού Αλγορίθμων Αλγοριθμικές Τεχνικές Παύλος Εφραιμίδης, Λέκτορας http://pericles.ee.duth.gr Ορισμένες γενικές αρχές για τον σχεδιασμό αλγορίθμων είναι: Διαίρει και Βασίλευε (Divide and
Διαβάστε περισσότερα