ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ"

Transcript

1 ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ - ΠΑΙ ΑΓΩΓΙΚΩΝ - ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΑΓΩΓΗΣ ΙΑΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟ - ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ " Ι ΑΚΤΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ" ΑΚΡΟΤΕΛΕΥΤΙΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΤΟΥ ΕΥΚΛΕΙ Η (Αναλύονται οι τελευταίες ϖροτάσεις των βιβλίων Ι, ΙΙ, ΙΙΙ, ΧΙΙΙ) Ευστράτιος Ι. Κουζελέας ιϖλωµατική Εργασία Εϖιβλέϖων Καθηγητής : ιονύσιος Λάϖϖας ΑΘΗΝΑ

2 2

3 Η ϖαρούσα ιϖλωµατική Εργασία εκϖονήθηκε στα ϖλαίσια των σϖουδών για την αϖόκτηση του Μεταϖτυχιακού ιϖλώµατος Ειδίκευσης ϖου αϖονέµει το ιαϖανεϖιστηµιακό ιατµηµατικό Πρόγραµµα Μεταϖτυχιακών Σϖουδών «ιδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηµατικών» Εγκρίθηκε την αϖό Εξεταστική Εϖιτροϖή αϖοτελούµενη αϖό τους : Ονοµατεϖώνυµο Βαθµίδα Υϖογραφή 1). (εϖιβλέϖων Καθηγητής).... 2) )

4 4

5 Ευχαριστώ τα µέλη της τριµελούς εϖιτροϖής και ιδιαίτερα τον κ. ιον. Λάϖϖα για το ενδιαφέρον του, τις εϖισηµάνσεις, τις ϖαραϖοµϖές, τις ϖαραινέσεις του και κυρίως για την τιµή ϖου µου έκανε να µου ϖροτείνει να αναλάβω ένα θέµα, τόσο ϖολυδαίδαλο, τόσο δύσβατο αλλά και τόσο γοητευτικό! Τον κ. Στυλ. Νεγρεϖόντη διότι αυτός υϖήρξε ο εµϖνευστής του µεταϖτυχιακού, αλλά και διότι µε το µάθηµά του µας έδειξε τι σηµαίνει έρευνα, ϖως ακριβώς γίνεται, µε τι έχει να κάνει, κ.λ.ϖ. Εϖίσης, διότι µας µετέδωσε την αγάϖη του για τα αρχαία Ελληνικά Μαθηµατικά και µας ϖροσανατόλισε σε συγκεκριµένες κατευθύνσεις. Την κ. εσϖ. Πόταρη διότι µε το µάθηµά και τη φιλική ϖροσέγγισή της µας έδειξε τι σηµαίνει συνεργατικότητα, εϖικοινωνία, διάθεση για αναζήτηση. Τον κ. Παν. Σϖύρου διότι µε το µάθηµά και τη συζήτησή ϖου ϖροκαλούσε, ϖροσεγγίσαµε σε ϖιο θεωρητικό εϖίϖεδο τις έννοιες και στραφήκαµε στους µεγάλους διανοητές. Τη σύζυγό µου Αναστασία Κότσιρα διότι χωρίς την αϖαραίτητη στήριξή και φροντίδα της δεν θα µϖορούσα να φέρω σε ϖέρας αυτή την εργασία. Τον φίλο, συνάδελφο Παναγ. Αντωνόϖουλο διότι χάρις στην ϖαρακίνηση, στην ϖρακτική βοήθεια και στις συµβουλές του ξεκίνησα και συνέχισα το µεταϖτυχιακό. Αυτός µε έφερε σε εϖαφή µε βιβλία και ϖνευµατικούς ανθρώϖους. 5

6 6

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελ. Εξώφυλλο..1 Υϖογραφές 3 Ευχαριστίες 5 Περιεχόµενα..7 Εισαγωγή 9 Πρώτο βιβλίο Α) Πυθαγόρειο Θεώρηµα. 13 Β) Η ακροτελεύτια ϖρόταση του ϖρώτου βιβλίου 19 εύτερο βιβλίο Πρόλογος. 23 Συνολική εξέταση των ϖροτάσεων του δεύτερου βιβλίου, των αϖοδείξεών τους και της τοϖοθέτησής τους στο βιβλίο. Σύγκριση µεταξύ τους. Ενότητα ϖρώτη (ϖροτάσεις ΙΙ.1,2,3) Ενότητα δεύτερη (ϖροτάσεις (ϖροτάσεις ΙΙ.4,,ΙΙ.8) Ενότητα τρίτη (ϖροτάσεις ΙΙ.9,,ΙΙ.13) Η ϖαράξενη αλλαγή µεταξύ ΙΙ.8-ΙΙ.9 53 Ενότητα τέταρτη (η ακροτελεύτια ϖρόταση του ΙΙ βιβλίου) 79 Τρίτο βιβλίο...89 ιδακτική ϖρόταση.97 έκατο τρίτο βιβλίο 100 Πλατωνικά στερεά: τα τέλεια σχήµατα.109 Κανονικό εικοσάεδρο Κανονικό δωδεκάεδρο.113 Πυραµίδα.116 Κύβος 119 Οκτάεδρο.120 Βιβλιογραφία

8 8

9 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στην ϖαρούσα διϖλωµατική εργασία, γίνεται µια ϖροσϖάθεια να εξαρθεί η ιδιαίτερη σηµασία της τελευταίας ϖρότασης κάθε βιβλίου των «Στοιχείων του Ευκλείδη»,µέσα αϖό τη µελέτη και διαδροµή στο ϖεριεχόµενο µερικών βιβλίων. εν ξέρω αν το αρχικό σχέδιο ήταν ϖαραϖάνω αϖ ότι έϖρεϖε φιλόδοξο και αν το αϖοτέλεσµα εκϖλήρωσε κάϖως τους στόχους, όµως σίγουρα αυτό ϖου έµεινε ϖιστεύουµε, είναι το «ωραίο ταξίδι» ϖρος τη φανταστική Ιθάκη, στον ϖολυδαίδαλο κόσµο των αρχαίων µαθηµατικών! Πράγµατι,ήταν µια εξαιρετική εµϖειρία όλο αυτό και το αϖόσταγµα ϖου µένει µας φέρνει σε εϖαφή µε ότι ϖιο λεϖτό κατείχε ο αρχαίος ϖολιτισµός! ιότι τα µαθηµατικά εκείνης της εϖοχής, δεν αϖοτελούν µόνο για µας ένα ακλόνητο θεµέλιο, ένα ανεκτίµητο εύρηµα, αλλά την ίδια αξία είχαν και για τους αρχαίους, όϖως συµϖεραίνουµε αϖό τα λεγόµενα του Πλάτωνα, του Αριστοτέλη και των Πυθαγορείων. εν είναι τυχαίο ότι τα λεγόµενα «µαθήµατα» εκείνης της εϖοχής ήταν η Γεωµετρία, Αστρονοµία, Αριθµητική, Μου-σική, ούτε είναι τυχαίο ότι οι Πυθαγόρειοι διεκήρυτταν το αϖόφθεγµα «τα ϖάντα είναι αριθµοί». Έχοντας λοιϖόν µια ελάχιατη υϖοψία για τη γοητεία αυτών των αρχαίων κατακτήσεων, ξεκινήσαµε µια ϖεριήγηση στα «Στοιχεία του Ευκλείδη», ενώ ϖαράλληλα ϖροσϖαθήσαµε να κάνουµε συνδέσεις µε ϖιο αρχαίους ή ϖαράλληλους ϖολιτισµούς, όϖως τους Βαβυλώνιους και τους Αιγύϖτιους, ϖροσϖαθήσαµε να εξηγήσουµε αϖορίες, να βρούµε ϖηγές, να διαβάσουµε ιστορικά στοιχεία, να ανατρέξουµε σε αρχαία κείµενα ή να µελετήσουµε διατριβές και ερευνητικές εργασίες. Όλη αυτή η δουλειά, κέντρισε το ενδιαφέρον, δηµιούργησε έµϖνευση για έρευνα και τέλος έδωσε εϖιχειρήµατα και στοιχεία για µια ϖεραιτέρω συζήτηση και ανάλυση. ηλαδή, θέλουµε να τονίσουµε ότι µια έρευνα είναι ϖολύ σύνθετη, δαιδαλώδης και τελικά ατέρµονη διαδικασία. εν είχαµε µόνο να αντιµετωϖίσουµε αντιµαχόµενες εικασίες και γνώ- µες, ϖροκαταλήψεις και θέσφατα για ένα ϖεδίο ϖου βρίσκεται κάτω αϖό «µεγεθυντικό» φακό αρκετό καιρό, αλλά είχαµε και τον κίνδυνο της έκφρασης µιας γνώµης ϖου δεν θα έϖαιρνε υϖ όψη της τις θέσεις «ιερών τεράτων» της εϖιστήµης της «ιστορίας των µαθηµατικών»! Παρ όλ αυτά όµως η όλη εργασία ϖαρέµεινε γοητευτική. Παρ όλο ϖου έχουνε χιλιοειϖωθεί εικασίες, ανακατασκευές, εναλλακτικές αϖοδείξεις, το αρχαίο κείµενο των «Στοιχείων» είναι τόσο ελκυστικό και ενδιαφέρον, σαν αστυνοµικό ϖρόβληµα ϖου αναζητεί την λύση του. Είναι η διαίσθηση, είναι η µελέτη των αρχαίων κειµένων, είναι η εϖαφή µε τη φιλοσοφία και τη διαλεκτική? εν γνωρίζουµε Αυτό ϖου είναι σίγουρο όµως, είναι ότι για µια φορά ακόµη εϖαληθεύεται το ρητό ότι η «οντογένεση ανακεφαλαιώνει τη φυλογένεση» και ότι ή όλη ϖορεία της ϖρώιµης εϖιστήµης «µοιάζει» κατά ϖολύ µε την ϖορεία ϖου ο καθένας αϖό µας ακολούθησε για να κατανοήσει, αϖό τα ϖαιδικά ακόµη χρόνια,να αναλύσει, να συνδέσει και τελικά να αφοµοιώσει σε όϖοιο βαθµό το µαθηµατικό αντικείµενο. Αν θέλουµε να δούµε τον τρόϖο ϖου µελετούσαν και ανακάλυϖταν οι αρχαίοι δεν έχουµε ϖαρά να ϖαρατηρήσουµε ένα ϖαιδί ή έναν αϖλό άνθρωϖο! Όµως οι αρχαίοι έλληνες δεν ήταν µια αϖλή ϖερίϖτωση. Η αρχαία ελληνική γραµµατεία µας δείχνει ότι είχαν φτάσει σε εϖίϖεδα διανόησης και αισθητικής εξαιρετικά ϖου αϖοτελούν σταθµό και όϖου οι άνθρωϖοι στην διάρκεια των µετέϖειτα αιώνων εϖιστρέφουν για να εµϖνευστούν να εϖαναϖροσδιοριστούν, να καταλάβουν και να εξηγήσουν. Ακόµη και σήµερα, µετά αϖό ένα ϖλήθος ανακαλύψεων, ερµηνειών και µελετών, οι άνθρωϖοι βρίσκουν να ϖουν κάτι καινούργιο ϖου να αφορά σ εκείνα τα µοναδικά συγγράµµατα, κάτι ϖου δεν έχει ειϖωθεί, ή κάτι ϖου το είδαν αλλιώς. Αυτή την αξία έχει ένα σϖουδαίο έργο. Ας µείνουµε όµως στη Γεωµετρία των αρχαίων χρόνων, µε την οϖοία έχει καταϖιαστεί η ϖαρούσα εργασία. Ήδη τους ϖολύ ϖροηγούµενους αιώνες, αϖό το 2000 ϖ.χ. ϖερίϖου 1 οι 1 Η πρώτη µορφή του πάπυρου Rhind χρονολογείται π.χ, ενώ η πινακίδα Plimpton το 1700 π.χ 9

10 Βαβυλώνιοι και οι Αιγύϖτιοι, είχαν εκϖληκτικές εϖιδόσεις στον λογισµό και µέτρηση µηκών, εϖιφανειών και ήταν εϖιδέξιοι σε ϖράξεις και υϖολογισµούς. Εϖίσης έµοιαζαν να γνωρίζουν εϖίλυση εξισώσεων και ϖολλούς τύϖους. Το Πυθαγόρειο Θεώρηµα σαν τύϖος και οι Πυθαγόρειες τριάδες εϖίσης ήταν γνωστά. Ο Πυθαγόρας και ο Θαλής, κατά ϖάσα ϖιθανότητα, ήταν αυτοί ϖου ϖρωτοήρθαν σε εϖαφή µ αυτούς τους ϖολιτισµούς. Ο Πυθαγόρας είναι γνωστό ότι είχε κάνει 22 χρόνια στην Αίγυϖτο και 12 στη Βαβυλώνα, έτσι λοιϖόν είναι ϖολύ ϖιθανόν να είναι αυτός αϖό τους διανοούµενους της εϖοχής ϖου µεταλα- µϖάδεψε τα µαθηµατικά της ανατολής στην Ελλάδα. Αλλωστε αυτό φαίνεται αϖό τη σχέση των δικών του ανακαλύψεων µε εκείνες των µαθηµατικών της ανατολής. Η µεγαλύτερη αϖό τις ανακαλύψεις όµως των Πυθαγορείων δεν ήταν το Πυθαγόρειο Θεώρηµα, το οϖοίο βέβαια όϖως είϖαµε ήταν γνωστό στους Βαβυλώνιους αλλά η εύρεση της αρρητότητας! Αυτή ήταν ϖου καθόρισε τη φιλοσοφική θεώρηση της µετέϖειτα εϖοχής αλλά και άλλαξε το ϖλαίσιο ϖου έκανε κανείς µαθηµατικά και διαµόρφωσε τις αναζητήσεις αϖό κει και ϖέρα. Αρκετά αϖ τα βιβλία του Ευκλείδη αϖό αυτή την ανακάλυψη έχουν εϖηρεαστεί και έχουν διαµορφωθεί κατάλληλα. Το ζήτηµα της σχέσης µεγέθους-αριθµού, όϖως και η ίδια η έννοια της αναλογίας αϖ αυτή την ανακάλυψη έϖαιρναν νόηµα. Το δέκατο βιβλίο το ϖιο εξεζητη- µένο και αϖρόσιτο του Ευκλείδη καταϖιάνεται αϖοκλειστικά µ αυτή. Γενικά αϖ ότι φαίνεται, ο Ευκλείδης ϖραγµατοϖοίησε µια σύνθεση όλων των µαθηµατικών κατακτήσεων της εϖοχής. Ενοϖοίησε και έδωσε νόηµα και στόχο. Βέβαια, τίϖοτε δεν ϖροκύ- ϖτει αϖό ϖαρθενογένεση, όµως εδώ έχουµε να κάνουµε µε µια εϖιλεκτική αναδηµιουργία µιας θεωρίας η οϖοία σε κάθε βιβλίο, ξεκινώντας αϖό ορισµούς, αιτήµατα και κοινές έννοιες, ϖερνάει σε αϖλές ϖροτάσεις, αργότερα σε ϖιο σύνθετες, ϖάντα όµως καταλήγει µε ϖιο δύσκολες αϖοδείξεις,είναι αλήθεια, σε κάτι τόσο αϖλό και όµορφο ϖου µοιάζει κλασικό και δεδοµένο! Πάντως, µοιάζει να είναι κιόλας ήδη γνωστό! Για ϖαράδειγµα το Πυθαγόρειο Θεώρηµα και το αντίστροφό του.γιατί τοϖοθετείται στο τέλος του ϖρώτου βιβλίου? ιότι το ϖρώτο βιβλίο είναι µια θεωρία για τις γωνίες, τα τρίγωνα, τα εµβαδά και την ισότητα. Ωραία, το Πυθαγόρειο Θεώρηµα όµως, όϖως και το αντίστροφό του, συµϖυκνώνει όλες αυτές τις έννοιες συλλήβδην, αφού αφορά τρίγωνο, όµως όχι οϖοιοδήϖοτε τρίγωνο αλλά εκείνο ϖου έχει µια γωνία ορθή, η ορθή γωνία όµως έχει σχέση µε την ισότητα, αφού ϖροκύϖτει αϖό µια κάθετο η οϖοία κάθετος όµως είναι µια ευθεία ϖου σχηµατίζει δύο εφεξής γωνίες ίσες, το ίδιο το Π.Θ.είναι µια ισότητα ανάµεσα σε εµβαδά, µε την έννοια του χώρου ϖου ϖερικλείεται αϖό τις ϖλευρές ενός ευθυγράµµου σχήµατος, δεν είναι µια τυχαία όµως ισότητα, αφορά τετράγωνα ϖου σχηµατίζονται αϖό τις ϖλευρές του τριγώνου. Το Π.Θ.είναι µια αϖλή σχέση, ανάµεσα σε τετράγωνα, όµως είναι γεωµετρική σχέση? Η είναι µια σχέση ανάµεσα σε αριθµούς? Η είναι µια σχέση ανάµεσα σε µεταβλητές?και αν είναι µια σχέση ανάµεσα σε τετράγωνα ευθυγράµµων τµηµάτων, τότε τι µϖορούµε να ϖούµε για τη σχέση των ϖλευρών µεταξύ τους, η τι µϖορούµε να ϖούµε για τη σχέση των τετραγώνων µεταξύ τους? Είναι οι ϖλευρές σύµµετρες µεταξύ τους ή ασύµµετρες? Είναι οι ϖλευρές δυνάµει σύµµετρες (κατά τετράγωνο) η δυνάµει ασύµµετρες? Το δεύτερο βιβλίο δεν έχει τόσο σχέση µε το ϖρώτο αϖό την άϖοψη ότι ασχολείται µονοµερώς µε την ισότητα µεγεθών. Ποιων µεγεθών? Των µεγεθών ϖου µϖορούµε µε αϖλό τρόϖο να εµφανίσουµε σε ένα ευθύγραµµο τµήµα.και τίϖοτε άλλο. Εϖεκτείνει το Π.Θ. Χρησιµοϖοιεί το Π.Θ. Άρα βλέϖουµε ότι ήδη έχει αλλάξει το ϖλαίσιο. Ωραία και ϖοια είναι η ουσία του δεύτερου βιβλίου? Που ϖια καταλαβαίνουµε ότι είναι ένα ϖολύ σηµαντικό βιβλίο.όλες οι ϖροτάσεις ϖου ϖεριέχουν τετράγωνα, κυρίως όµως η ΙΙ. 11 και τη ΙΙ. 14 έχουν να κάνουν µε τη διαχείριση της ασυµµετρίας. εν είναι µόνο αυτό όµως. Οι ϖερισσότερες ϖροτάσεις έχουν να κάνουν µε την µέθοδο της ϖαραβολής ευθυγράµµων χωρίων, η οϖοία έχει µια αντιστοιχία µε την γενική µεθοδο εϖίλυσης εξίσωσης, ϖολύ γενικά µιλώντας. Στην ϖροκειµένη ϖερίϖτωση, δεν ενδιαφέρει τόσο η εύρεση ακριβούς τιµής, αλλά η διερεύνηση ασυµµέτρων τµηµάτων και η κατασκευή τους.χωρίς να αναφέρεται τίϖοτα για ασυµµετρία, αλλά δηµιουργείται ένα ϖρόϖλασµα για τις µετέϖειτα ϖροτάσεις. Όλες οι ακροτελεύτιες ϖροτάσεις των Ι,ΙΙ,ΙΙΙ βιβλίων έχουν σχεδόν το ίδιο ϖεριεχόµενο.κατ αρχάς ϖροετοιµάζουν τα εϖόµενα βιβλία, µετά κάνουν µια εισαγωγή στη διαχείριση της αρρητότητας και τέλος κάνουν µια ϖρόταση ϖοσοτικής διερεύνησης της καθετότητας. 10

11 Όσον αφορά τώρα στο XIII βιβλίο, εκεί ϖια η αισθητική της «χρυσής τοµής» και η διαχείριση της αρρητότητας του X βιβλίου συναντούν την Πυθαγόρεια αρµονία και την κοσµολογία του Πλάτωνα. Στην ϖαρούσα διϖλωµατική, θέλω να ελϖίζω, ότι έγινε µια εισαγωγή στην κατανόηση του ϖεριεχοµένου και του σκοϖού µερικών αϖ τις ακροτελεύτιες ϖροτάσεις των «Στοιχείων του Ευκλείδη».Προσϖαθήσαµε να δούµε το κάθε βιβλίο ξεχωριστά σαν ενιαίο σύνολο, αλλά και σε συνάρτηση µε όλο το έργο. Προσϖαθήσαµε τέλος να εξετάσουµε την τελευταία ϖρόταση του κάθε βιβλίου σαν κατακλείδα µιας εξέλιξης νοητικής ϖου έχει σαν αρχή την ϖρώτη ϖρόταση του κάθε βιβλίου. Εϖίσης σαν συνδετικό κρίκο µε το εϖόµενο βιβλίο. Νοµίζουµε ότι κάθε διαφορετική οϖτική, θα οδηγούσε σε λανθασµένα συµϖεράσµατα και σε αϖοσϖασµατικές διαδικασίες. Στην ϖροσϖάθεια αυτή, στραφήκαµε µε σεβασµό κυρίως στους :Heath, Van der Waerden, Mueller, Knorr, Χριστιανίδη, Νεγρεϖόντη.Αντιµετωϖίσαµε τη Γεωµετρία, τη γοητευτική αυτή εϖιστήµη των σχηµάτων, των σχέσεων των εννοιών και των µεγεθών και σαν φιλοσοφικό κλάδο, µε την ειδική χροιά ϖου δίνει ο Πρόκλος, όταν µιλάει για τη σχέση Γεωµετρίας και διαλεκτικής και τα βασικά στοιχεία της ϖου είναι : η σύνθεση, η ανάλυση, η διαίρεση, ο ορισµός και η αϖόδειξη.έτσι ϖροσϖαθήσαµε να την εκλάβουµε «αφηρηµένα» σαν κάτι αϖοµακρυσµένο αλλά και κάτι σϖουδαίο, µε µια διαφορετική µατιά, ϖέρα αϖό ϖροκαταλήψεις, τετριµµένες θεωρίες και µίζερες αϖοτυϖώσεις.κι αυτό µε σκοϖό, όχι να ϖούµε κάτι ακόµη στα τόσα ϖου έχουν ειϖωθεί, αλλά για να µϖορέσουµε να δούµε τη Γεωµετρία ϖιο ουσιαστικά, και εν τέλει στο βαθµό ϖου αυτό είναι δυνατόν, να µϖορέσουµε να µεταδώσουµε στους µαθητές έστω λίγη αϖ την ευχαρίστηση ϖου ϖήραµε στη διάρκεια της µελέτης. 11

12 12

13 ΠΡΩΤΟ ΒΙΒΛΙΟ Α) Πυθαγόρειο θεώρηµα Ι.47 ιερεύνηση του ϖιθανού τρόϖου και της µεθόδου της αρχικής ανακάλυψης του θεωρήµατος όϖως και σύνδεση αυτού µε γενικώτερες έννοιες (γωνία- εµβαδό) ϖου κυριαρχούν στο ϖρώτο βιβλίο των «Στοιχείων». Τέλος, ϖως δικαιολογείται και θεµελιώνεται η αϖόδειξη του Ι.47. Το Πυθαγόρειο θεώρηµα είναι η ϖροτελευταία ϖρόταση του Ι βιβλίου των «Στοιχείων». Η αϖόδειξη καθώς εϖισηµαίνει ο Πρόκλος στο : «Εις ϖρώτον Ευκλείδου Στοιχείων» 4.26 (σχόλια στο Ι.47) είναι του Ευκλείδη. Είναι σχετικά αϖοκοµµένο αϖ τις υϖόλοιϖες ϖροτάσεις του Ι βιβλίου όσον αφορά την µορφή και εγκαινιάζει τις ϖροτάσεις «γεωµετρικής άλγεβρας» ϖου συνθέτουν το ΙΙ βιβλίο. Εµείς θα ϖροσϖαθήσουµε να ρίξουµε φως στην καταγωγή της εµφάνισης της ϖρότασης όχι τοσο αϖό την άϖοψη των αρχαίων ϖηγών και ευρηµάτων αλλά ϖερισσότερο αϖό την άϖοψη της ίδιας της λογικής της ανακάλυψης, της σχέσης της µε την εξέλιξη των µαθηµατικών και τέλος σε συνάρτηση µε τις έννοιες: γωνία και εµβαδόν ϖου κυριαρχούν στις ϖροτάσεις του Ι βιβλίου. Κατ αρχάς είναι γνωστό ότι ο Πυθαγόρας είχε έρθει σε εϖαφή µε τους Βαβυλώνιους και όϖως µας λέει ο Van der Waerden στο «αφύϖνιση της εϖιστήµης» σελ.108 : «Είναι δύσκολο να ϖιστέψουµε ότι όλες αυτές οι συµϖτώσεις γνωρισµάτων µεταξύ των Βαβυλωνιακών και των Πυθαγόρειων µαθηµατικών είναι αϖλώς τυχαίες. Προφανώς ο Πυθαγόρας έµαθε αϖό τους Βαβυλώνιους ϖολλά σηµαντικά ϖράγµατα για τους αριθµούς και τη µυστηριακή σηµασία τους». Όϖως δε µας αναφέρει ο Πρόκλος ϖάλι στο ίδιο βιβλίο, ο Πυθαγόρας ήταν γνώστης ε- νός τύϖου λύσης της αϖροσδιόριστης εξίσωσης : (#)χ 2 +y 2 =z 2 µε τη µορφή :χ=1/2(m 2-1), y=m, z=1/2(m 2 +1) όϖου m ϖεριττός ακέραιος. Εϖοµένως βάσει αυτού του τύϖου γνώριζε αρκετές τριάδες ακεραίων ϖου εϖαλήθευαν τον τύϖο (#) όϖως για ϖαράδειγµα τους : Αρα ϖριν να αϖοϖειραθεί να το αϖοδείξει γνώριζε ότι για κάϖοιους ακέραιους ίσχυε το θεώρηµα Γιατί όµως ίσχυαν αυτές στο ορθογώνιο τρίγωνο? Εϖίσης είναι γνωστό ότι οι Βαβυλώνιοι σε εϖίλυση ϖροβληµάτων χρησιµοϖοιούσαν το Πυθαγόρειο θεώρηµα σαν τύϖο. Αρα γνώριζε και τον τύϖο. Όµως, ϖροφανώς δεν ήταν σίγουρος ότι ο τύϖος ήταν ακριβής Ο Πρόκλος ϖάλι µας λέει ότι η αϖόδειξη του Ι.47 είναι Ευκλείδεια και µάλιστα εκφράζει το θαυµασµό του για τη σαφήνειά της, άρα δεν γνωρίζουµε ϖως ακριβώς ο Πυθαγόρας αϖέδειξε την ϖρόταση ϖου φέρει το όνοµά του, όµως µϖορούµε να κάνουµε κάϖοιες εικασίες για την ε- ϖιβεβαίωση της ϖρότασης στο ορθογώνιο τρίγωνο µε βάση τη θεωρία του: plausible reasoning 2 (ευλογοφανής αιτιολόγηση) ϖου εισήγαγε ο G.Polya. Προτού λοιϖόν αϖοσαφηνίσει ϖλήρως µέσα του την αλήθεια της ϖρότασης έϖρεϖε να σιγουρευτεί ότι ισχύει για οϖοιοδήϖοτε ορθογώνιο τρίγωνο µ οσοδήϖοτε µεγέθους ϖλευρές! Αυτό ϖροφανώς δεν µϖορούσε να το διασταυρώσει αριθµητικά εκτός αϖό ελάχιστες ϖεριϖτώσεις. Ετσι η µοναδική διέξοδος ήταν ένα σχήµα. Για την ϖερίϖτωση όϖου το ορθογώνιο είχε ίσες ϖλευρές δεν υϖήρχε ϖρόβληµα καθώς η εϖίλυση η σχηµατική ήταν εύκολη, όϖως µάλιστα ϖροτείνουν οι Cantor και Allman στο ϖρώτο και ο Burk 3 στο δεύτερο(σχ. 1) : 2 Mathematics and Plausible Reasoning: Patterns of Plausible Inference 3 Euclid The thirteen books of the Elements,Volume 1, Sir Thomas Heath, page

14 Σχ. 1 Το δεύτερο σχήµα ϖου ϖροτείνει ο Burk είναι το ίδιο ϖου ϖροτείνει και ο Σωκράτης στον Πλατωνικό διάλογο «Μένων» όταν ϖροσϖαθεί να εκµαιεύσει αϖό τον δούλο το διϖλάσιο τετράγωνο αϖό ένα δεδοµένο τετράγωνο και το βρίσκει χρησιµοϖοιώντας τη «διάµετρο» του αρχικού. Αϖό τα σχήµατα είναι αϖλό να διαϖιστώσουµε ότι στο µεν ϖρώτο το µεγάλο τετράγωνο είναι ίσο µε τα δύο µικρότερα ενώ στο δεύτερο το µεγάλο τετράγωνο ϖου είναι οκτώ τρίγωνα είναι διϖλάσιο αϖό το εσωτερικό µικρότερο ϖου είναι τέσσερα τρίγωνα. Αρα: 4 α 2 =2 δ 2 => 2 α 2 = δ 2 (τα ϖαραδείγµατα αϖόδειξης βρίσκονται στο βιβλίο του Thomas L. Heath Euclid the thirteen books of the elements, σελ.352). Όϖως εϖίσης αναφέρει ο Heath : «όταν η γεωµετρική θεώρηση του σχήµατος είχε δείξει ότι το ισοσκελές ορθογώνιο είχε την υϖό διερεύνηση ιδιότητα, η εξέταση του ίδιου ϖράγµατος αϖό την αριθµητική άϖοψη θα οδηγούσε στην άλλη τεράστια ανακάλυψη εκείνη της ασυµµετρίας της διαγωνίου σε σχέση µε την ϖλευρά τετραγώνου».(σελ. 353) ιότι καθώς µας εξηγεί ο Πρόκλος στο: «εις Πρώτον Ευκλείδου Στοιχείων» (Ζητηµάτων Β, 427,19) «Καθώς µάλιστα τα ορθογώνια τρίγωνα είναι δύο ειδών, άλλα ισοσκελή και άλλα σκαληνά, στα ισοσκελή δεν είναι δυνατόν ϖοτέ να βρούµε αριθµούς ϖου να εφαρµόζουν στις ϖλευρές. Γιατί δεν υϖάρχει τετράγωνος αριθµός διϖλάσιος ενός τετραγώνου, εκτός κι αν κανείς µιλά κατά ϖροσέγγιση. Γιατί το τετράγωνο του εϖτά είναι το διϖλάσιο του τετραγώνου του ϖέντε µείον ένα. Μέσα στα σκαληνά τρίγωνα, όµως, αϖοδεικνύεται ξεκάθαρα σε εµάς ότι είναι δυνατόν να βρούµε το τετράγωνο της ϖλευράς ϖου βρίσκεται αϖέναντι αϖό την ορθή να είναι ίσο µε τα τετράγωνα των ϖλευρών ϖου ϖεριέχουν την ορθή. Γιατί τέτοιο είναι το τρίγωνο στην Πολιτεία, του οϖοίου την ορθή γωνία ϖεριέχουν οι αριθµοί τρία και τέσσερα. Αϖέναντι αϖό την ορθή βρίσκεται το ϖέντε». Με βάση αυτά ϖου µας λέει λοιϖόν ο Πρόκλος έϖρεϖε να λυθεί µια αντίφαση : Πως είναι δυνατόν να εϖιλύουµε µε σχήµα ένα ϖρόβληµα και την ίδια στιγµή αριθµητικά να µην εϖαληθεύεται? Οι Πυθαγόρειοι λοιϖόν οδηγήθηκαν στο συµϖέρασµα ότι κάτι άλλο συµβαίνει! ότι η σχέση αυτή ισχύει για άλλους αριθµούς ϖέρα αϖό τους γνωστούς. Τους ασυµµέτρους! Αυτή η ανακάλυψη είναι η αιτία ϖου οδήγησε και τους αρχαίους να χρησιµοϖοιούν σχήµατα και όχι αλγεβρικές σχέσεις! τετράγωνα αντί για δύναµη α 2, εµβαδό ορθογωνίου αντί για αb κ.λ.ϖ. αφού δεν µϖορούσαν να αναϖαραστήσουν τους ασυµµέτρους ϖαρά µόνο σαν ευθύγραµµα τµήµατα! Αυτό το τονίζει ο Van der Waerden στο «αφύϖνιση της εϖιστήµης» : «Η γεωµετρική άλγεβρα είναι έγκυρη και για τα άρρητα ευθύγραµµα τµήµατα και είναι ϖαρ όλα αυτά µια ακριβολογική εϖιστήµη. Είναι εϖοµένως η λογική αναγκαιότητα, όχι η αϖλή αϖόλαυση του ορατού, εκείνη ϖου υϖοχρέωσε τους Πυθαγορείους να µετατρέψουν την άλγεβρά τους σε γεωµετρική µορφή». Για τη δεύτερη ϖερίϖτωση όϖου το τρίγωνο ήταν σκαληνό κατ αρχάς τίϖοτε δεν µας ϖείθει ότι ϖράγµατι είχαν βρεί ένα σχήµα αϖόδειξης της ϖρότασης. Αν υϖήρχε τέτοιο σχήµα ϖροφανώς θα ϖεριείχε γνώµονα και στοιχειώδη θεωρία (του ϖρώτου και δεύτερου βιβλίου) α- φού αρκετές ϖροτάσεις της λεγόµενης γεωµετρικής άλγεβρας χρειαζόντουσαν το Π.Θ. Εϖίσης 14

15 αυτό είναι αϖό τις ϖιο βασικές ϖροτάσεις και µια γεωµετρική θεµελίωση το χρειάζεται. Η αϖόδειξη του ϖρώτου βιβλίου των στοιχείων καθώς µας λέει ο Πρόκλος είναι του Ευκλείδη, εϖοµένως δεν είναι των Πυθαγορείων. Ετσι µϖορούµε να εικάσουµε ότι οι Πυθαγόρειοι είχαν βρεί µια αϖλή σχηµατική (οϖτική) αϖόδειξη καθώς γι αυτούς ϖροφανώς είχε µεγάλη αξία η διδακτική αξία της αϖόδειξης. Ο Heath στο ίδιο βιβλίο (σελ. 354) µας εϖιδεικνύει την ϖρόταση των Bretschneider, Hankel ϖου είναι µια ϖολύ όµορφη οϖτική αϖόδειξη ϖου στηρίζεται στην ϖρόταση ΙΙ. 4. Αυτή ϖεριγράφεται µε τα ϖαρακάτω δύο σχήµατα: Σχ. 2 Προφανώς το ϖρώτο µας ϖεριγράφει την ϖρόταση : (α+β) 2 =α 2 +β 2 +2αβ ενώ το δεύτερο την ϖρόταση : (α+β) 2 =c 2 + 2αβ. Αρα ισχύει : c 2 =α 2 +β 2 Αυτή η αϖόδειξη συνδυάζει γνώµονες, γνώση ότι το άθροισµα των γωνιών τριγώνου είναι δύο ορθές και γνώση της ϖρώτης σχέσης του ΙΙ.4 και εϖίσης είναι εξαιρετικά αϖλή και διδακτική! Θα µϖορούσε να είναι Πυθαγόρεια, όµως δεν µϖορούµε να γνωρίζουµε Ενδεχοµένως να είχε γνώση, ίσως να κατείχε αυτή την αϖόδειξη ή κάϖοια άλλη ϖου συναντάµε στο βιβλίο του Heath (σελ. 355) και ϖροτείνεται αϖό τον Cantor εϖηρεασµένο αϖό τους Κινέζους : Σχ. 3 15

16 Βλέϖουµε ότι το εγεγραµµένο τετράγωνο EHGF ϖεριέχει 4 x ½ ορθογώνια 4x3 δηλ 24 τετράγωνα συν το κεντρικό = 25 τετράγωνα. Όµοια και τα τετράγωνα : 4x4, 3x3 ϖεριέχουν δύο ορθογώνια 4x3 συν το κεντρικό : 24+1=25 τετράγωνα. Αϖό όϖου ϖροκύϖτει η αϖόδειξη του Π.Θ. για τα µήκη ϖλευρών 3, 4, 5. Σχ. 4 Το ϖαραϖάνω σχήµα αϖοτελεί µια εκδοχή της λύσης του ϖροβλήµατος του Liu Hui (3 ος µ.χ αι.)αϖό τον Li Huang 4 τον 17 ο αιώνα µ.χ. Στην ουσία είναι θαυµάσια γεωµετρική αϖόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήµατος και η ϖροσέγγισή του θυµίζει έντονα εκείνη των Πυθαγορείων. Η αϖόδειξη έχει ως εξής : κατ αρχάς K I Z= A M B διότι ΚΖ=ΜΒ και I Z K = A BM διότι έχουν ϖαράλληλες ϖλευρές. Άρα ΚΙ=ΑΜ, ΙΖ=ΑΒ. Εϖίσης I K Z= B H Z άρα ΙΚ=ΗΖ=ΕΖ εϖοµένως και E Z= Θ I K. Άρα ΙΚ=ΕΖ=ΑΜ. Εϖοµένως ΛΜ=ΗΒ-ΗΖ=β-γ. Όµοια ΒΓ=β-γ. Άρα B Γ = M Λ Θ Αϖόδειξη ϖου στηρίζεται στην µέθοδο cut and paste ϖου ϖαρουσίασε ο Ευκλείδης εκτενώς. Σχ. 5 Ο Ευκλείδης ϖρότεινε µια αϖόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήµατος (Σχ. 5) ϖου φαίνεται να έχει έρθει σχεδόν αϖ το ϖουθενά. Είναι ϖράγµατι όµως έτσι? 4 Κινέζοι µαθηµατικοί 16

17 Κατ αρχάς ότι είναι γνήσια αϖόδειξη του Ευκλείδη µας το αναφέρει ο Πρόκλος στο «Εις Πρώτον Ευκλείδου Στοιχείων» (Ζητηµάτων Β) : «Εγώ όµως θαυµάζω και αυτούς ϖου ϖρώτοι εϖισήµαναν την αλήθεια αυτού του θεωρήµατος, ϖερισσότερο όµως θαυµάζω τον συγγραφέα των Στοιχείων όχι µόνο εϖειδή το εϖιβεβαίωσε µε µια σαφέστατη αϖόδειξη, αλλά και εϖειδή στο έκτο βιβλίο εϖιβεβαίωσε µε τους αδιάψευστους συλλογισµούς της εϖιστήµης το θεώρηµα ϖου είναι ϖιο γενικό αϖ αυτό». Ο Πρόκλος µιλάει για την ϖρόταση VΙ. 31 : «Εν τοις ορθογωνίοις τριγώνοις το αϖό της την ορθήν γωνίαν υϖοτεινούσης ϖλευράς είδος ίσον εστί τοις αϖό των την ορθήν γωνίαν ϖεριεχουσών ϖλευρών είδεσι τοις οµοίοις τε και οµοίως αναγραφοµένοις». ηλ στα ορθογώνια τρίγωνα αν σχεδιάσουµε στις ϖλευρές τους όµοια σχήµατα του ίδου είδους ϖ.χ. ορθογώνια τότε το σχήµα της υϖοτείνουσας θα είναι ίσο µε το άθροισµα των σχηµάτων των δύο καθέτων ϖλευρών. Η αϖόδειξη αυτής της ϖρότασης αϖαιτούσε θεωρία αναλογιών και οµοιότητα, ϖράγµατα ϖου δεν είχαν καν αναφερθεί στο 1 ο βιβλίο. Όµως είναι ϖράγµατι αξιοϖερίεργο ϖως ο Ευκλείδης µϖόρεσε και σκέφτηκε µια τέτοια αϖόδειξη όϖως είναι της Ι. 47 χωρίς να εφαρµόσει τη θεωρία του VI βιβλίου! Άϖοψή µας είναι ότι την αϖόδειξη Ι. 47 την εµϖνεύστηκε αϖό το σχήµα των τριών οµοίων τριγώνων της ϖρότασης VI. 8 η οϖοία ϖρόταση είναι και η «εϖεξήγηση» του Πυθαγορείου, όϖως αναλύουµε ϖαρακάτω. Σχ. 6 Αν λοιϖόν θεωρήσουµε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ και φέρουµε το ύψος ϖου αντιστοιχεί στην υϖοτείνουσα Α τότε σχηµατίζονται εν συνόλω τρία όµοια τρίγωνα : ΑΒΓ, Α Γ, ΑΒ. Αυτά τα τρία τρίγωνα είναι ανάλογα των αντιστοίχων τετραγώνων των ϖλευρών δηλ : 2 2 (A B Γ) (A Γ) (A B ) (A B Γ) α A Γ β = =, αφού ισχύει: = (1) και 2 = (2) 2 α β γ (A Γ) β A B γ Εϖοµένως, αφού ισχύει ότι : (A B Γ) = (A B ) + (A Γ) α = β + γ θα ισχύει και : 17

18 Η σχέση (1) θέλει αϖόδειξη µε την µέθοδο του Ευκλείδη. Ισχύει ότι ο λόγος των εµβαδών δύο όµοιων τριγώνων ισούται µε τον διϖλασίονα λόγο των οµολόγων ϖλευρών (VI. 19). Άρα : (A B Γ) = διϖλασίονας λόγος του α (A Γ) β Τώρα θα αϖοδείξουµε ότι ο διϖλασίονας λόγος του α 2 β ισούται µε α Ισχύει : α = β διϖλασίονας λόγος του α = α β Γ β Γ Τώρα ισχύει : Αρα: 2 α = Γ α 2 ΓiΒΓ 5 Αλλά : α α = Τελικά ισχύει η (1). 2 Γ β Γi B Γ = β διότι : 2 Γ β = β α β 2 Σχ. 7 Ο συγγραφέας λοιϖόν των «Στοιχείων» έχοντας στο µυαλό του το σχήµα της ϖρότασης VI. 8 και τα ϖροηγούµενα ϖου αϖοτελούν εξήγηση του Π.Θ και ένα µέρος τους υϖάρχει στο Λήµµα ακριβώς µετά την ϖρόταση XIII. 13, ϖιθανώς ϖροέκτεινε το ύψος Α ϖρος τα κάτω έως το Ζ. Προφανώς αϖό την ϖροηγούµενη αϖόδειξη ήξερε ότι α α = Γ β 2 2 και όµοια α α = Β γ 2 2. Αυτές τις 5 Τέτοιες πράξεις κάνει ο Ευκλείδης στο λήµµα µετά την πρόταση ΧΙΙΙ

19 2 Γ β σχέσεις αν τις γράψουµε ανάϖοδα : = 2 α α και Β γ = και ϖροσθέσουµε κατά µέλη 2 α α ϖροκύϖτει ϖάλι η διατύϖωση του Πυθαγορείου Θεωρήµατος. Αυτή είναι η εξήγηση του σχήµατος ϖου χρησιµοϖοίησε για την αϖόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήµατος στο Ι. 47. Α=Β+Γ Τα ϖροηγούµενα ϖροέρχονται ϖερισσότερο αϖό σκέψεις του Ηeath (σελ 354 του βιβλίου Euclid the thirteen books of the elements, Vol.1). Ας το δούµε τώρα λίγο θεωρητικά το ζήτηµα. Το ορθογώνιο τρίγωνο είναι το µοναδικό τρίγωνο στο οϖοίο ισχύει : δηλ η ϖροσθετικότητα των γωνιών. Λόγω αυτής της σχέσης αν φέρουµε το ύψος Α σχηµατίζονται τρία όµοια τρίγωνα. Εϖειδή δε ισχύει και η ϖροσθετικότητα των εµβαδών των τριγώνων : (Α Β Γ)=(Α Β )+(Α Γ ) έϖεται η ισχύς του Πυθαγορείου θεωρήµατος. 2 Β)Η ακροτελεύτια ϖρόταση του ϖρώτου βιβλίου(ι.48) 'E n trigènou tõ põ mi j tîn pleurîn tetr gwnon son Ï to j põ tîn loipîn toà trigènou dúo pleurîn tetragènoij, ¹ periecomšnh gwn a ØpÕ tîn loipîn toà trigènou dúo pleurîn Ñrq» stin. ηλ ϖρόκειται για το αντίστροφο του Π.Θ. Το καινούργιο και το εντυϖωσιακό είναι ότι, ενώ µέχρι τώρα στο ϖρώτο βιβλίο η ορθή κι εϖοµένως η καθετότητα- οριζόταν ϖοιοτικά ( µε κατασκευή αϖό σηµείο εκτός της ευθείας µιας άλλης ευθείας ϖου σχηµατίζει δύο ίσες γωνίες) αϖό την ϖρόταση αυτή κι εφεξής, µας δίνεται ένας καινούργιος τρόϖος ϖροσδιορισµού (ή και κατασκευής) της ορθής, ϖοσοτικά δηλ µε µια µετρική σχέση ϖου αφορά στις ϖλευρές ενός τριγώνου. Καθώς γνωρίζουµε, το τέταρτο αίτηµα µας λέει : «και ϖάσας τας ορθάς γωνίας ίσας αλλήλαις είναι» και ο Ευκλείδης το χρειαζόταν αυτό στη θεµελίωση των ϖροτάσεών του, διότι ϖροφανώς δεν υϖήρχε αντικειµενικός τρόϖος να αϖοδειχθεί ότι όλες οι ορθές γωνίες ήταν ίσες. ηλ δεν µϖορούσε να τις µετρήσει µε κάϖοιο σταθερό τρόϖο. (Θα µϖορούσε ίσως να τις συγκρίνει µ έναν γνώµονα, όµως δε θα ήταν σίγουρο ότι και ο γνώµονας θα ήταν ορθή γωνία). Εισάγοντας όµως το Ι. 48 υϖήρχε τρόϖος ϖια να συγκριθούν δύο υϖοψήφιες για ορθές γωνίες. Σχ. 8 19

20 ηλ ενώ µέχρι εκείνη τη στιγµή στη θεωρία δεν αντιλαµβάνονταν την ορθή σαν µέτρηση αλλά σαν µια ιδιότητα (καθετότητα) και διερευνούσαν κάϖοιους τρόϖους µε τους οϖοίους αυτή εϖιτυγχάνετο, αϖό το Ι. 48 και µετά η ορθή φαίνεται ϖια να ϖροκύϖτει σαν ϖροϊόν µιας µέτρησης, κατ αρχάς ϖλευρών. Αρα εφ εξής η ορθή γωνία έϖαιρνε µια καθαρή «ϖοσοτική» διάσταση και εϖιϖλέον υϖήρχε ένας αντικειµενικός τρόϖος µέτρησης και διαϖίστωσης του χαρακτήρα της, ϖέρα αϖό όργανα και εργαλεία εµϖειρικά ϖου µόνο ϖροσεγγιστικά εϖετύγχαναν ένα αϖοτέλεσµα. Αρα, βλέϖουµε ότι το Ι. 48 σαν ακροτελεύτιο θεώρηµα του ϖρώτου βιβλίου των «Στοιχείων του Ευκλείδη» είναι ιδιαίτερης σηµασίας, καθώς αϖοτελεί «όργανο» ορθογωνιότητας και καθετότητας στο τρίγωνο. Το Ι.48 εϖιβεβαιώνει ότι είτε ϖούµε : α 2 =β 2 +γ 2 είτε ϖούµε : Α= Β + Γ (Α= µία ορθή) είναι το ίδιο και το αυτό, αφού η αλήθευση του αντιστρόφου του Π.Θ. καθιστά ισοδύναµα τα ϖαραϖάνω. Σύµφωνα ϖάλι µε όσα αναλύσαµε στο ϖροηγούµενο κεφάλαιο, υϖάρχει αντιστοίχιση ανάµεσα στην µέση τιµή των δύο τετραγώνων β 2, γ 2 (δηλ. το α 2 /2) και στην µέση τιµή των γωνιών Β, Γ(ϖου είναι το µισό της ορθής Α). Η αϖόδειξη του Ι. 48 αϖό τον Ευκλείδη : Σχ. 10 Εστω το τρίγωνο B A Γ και ϖαίρνουµε Α κάθετην στην ΑΒ και Α =ΑΓ. Τότε αϖοδεικνύουµε ότι τα τρίγωνα : B A Γ = B A οϖότε B A Γ =1 ορθή. Χρησιµοϖοιεί το Ι. 47 και στην ουσία της αυτή η αϖόδειξη µας λέει ότι αν δοθεί ένα τρίγωνο µε ϖλευρές β, γ και ότι ισχύει η ϖαραϖάνω σχέση : α 2 =β 2 +γ 2, τότε είναι σίγουρο, ότι κατασκευάζεται ορθογώνιο τρίγωνο µε τις ίδιες κάθετες ϖλευρές και υϖοτείνουσα α. Αρα, αφού µϖορούµε να κατασκευάσουµε τέτοιο τρίγωνο, µ αυτή την ιδιότητα και αυτό το τρίγωνο είναι ίσο µε το αρχικό, άρα ϖροκύϖτει ότι τελικά αυτό το τρίγωνο είναι µοναδικό! Ο Heath στο Euclid the thirteen books of the elements Vol 1σελ. 369 στα σχόλια για το Ι.48 µας λέει ότι ο Πρόκλος αναφέρει τη συµϖλήρωση της αϖόδειξης του Ι. 48 ϖου είναι ελαφρώς ϖαραλλαγµένη αϖό εκείνη του Ηρωνα όϖως αναφέρει ο an-nairizi. Αϖό την αϖόδειξη του Ι. 48, καταλαβαίνουµε ότι οϖοιοδήϖοτε τρίγωνο κατασκευάσουµε χρησιµοϖοιώντας µια Πυθαγόρεια τριάδα ή χρησιµοϖοιώντας τρεις ϖλευρές α, β, γ, έτσι ϖου να ισχύει : α 2 =β 2 +γ 2, αυτό θα είναι κατ αρχάς ορθογώνιο και κατά δεύτερο µοναδικό.τώρα, αϖό τη στιγµή ϖου µϖορούµε να αντιστοιχίσουµε Πυθαγόρειες τριάδες στις ϖλευρές 20

21 οϖοιασδήϖοτε ορθής, αϖό την ισότητα των τριγώνων έϖεται και η ισότητα των ορθών γωνιών. Συγκεκριµένα ο Πρόκλος, στο «εις Πρώτον Ευκλείδου Στοιχείων» (Ζητηµάτων Β ) στα σχόλια για το Ι. 48 συµϖληρώνει την αϖόδειξη του Ευκλείδη ως εξής : Σχ. 11 Εστω το ΓΒΑ τρίγωνο ϖου είναι τέτοιο ώστε : ΑΓ 2 =ΑΒ 2 +ΒΓ 2 (*). Θα αϖοδείξουµε ότι είναι ορθογώνιο. Αν φέρουµε κάθετη ΒΕ στο ΒΓ ώστε ΒΑ=ΒΕ υϖάρχουν δύο βασικές ϖεριϖτώσεις : 1) ΒΕ και ΒΑ σε διαφορετικά ηµιεϖίϖεδα ως ϖρος ΒΓ 2) ΒΕ, ΒΑ στο ίδιο ηµιεϖίϖεδο ως ϖρος ΒΓ. Την 1) ϖερίϖτωση την αναλύει ο Ευκλείδης. Όσον αφορά τη 2) ϖερίϖτωση υϖάρχουν ϖάλι δύο υϖοϖεριϖτώσεις : α) Η κάθετη ΒΕ να ϖέσει µέσα στο τρίγωνο ΑΒΓ (σχ. 11). Εϖειδή ΒΕ κάθετη στη ΒΓ η γωνία ΒΖΓ είναι οξεία, άρα η ΒΖΑ είναι αµβλεία, εϖοµένως ΑΒ > ΒΖ και ΑΒ=ΒΕ άρα ΒΕ> ΒΖ. Τώρα, εϖειδή ΓΕ 2 =ΓΒ 2 +ΒΕ 2 αϖό (*) έϖεται ότι : ΓΕ 2 =ΑΓ 2 => ΓΕ=ΑΓ εϖίσης ΒΑ=ΒΕ άρα αϖό ϖρόταση : Ι.7 καταλήγουµε σε άτοϖο. Αρα η κάθετη ΒΕ δεν θα ϖέσει στο εσωτερικό του τριγώνου ΑΒΓ. β) Η κάθετη ΒΗ να ϖέσει έξω αϖ το τρίγωνο ΑΒΓ. Όϖως ϖαρακάτω : Σχ.12 Οµοίως σκεφτόµενοι, η ΓΗ θα είναι ίση µε την ΑΓ και η ΑΒ θα είναι ίση µε την ΒΗ. Ατοϖο κι αυτό αϖό το Ι. 7. Αρα αϖοκλείεται η ΒΗ να ϖέσει κι αυτή αϖ έξω αϖ το τρίγωνο ΑΒΓ. 21

22 Αρα µένει η ϖερίϖτωση η ΒΗ, ή ΒΕ να είναι σε αντικείµενα ηµιεϖίϖεδα ως ϖρος ΓΗ. Εϖοµένως,σύµφωνα µε την αϖόδειξη του Ευκλείδη το τρίγωνο ΑΒΓ θα είναι ορθογώνιο στο Β. Αρϖεδόνη : Η αρϖεδώνη ήταν ένα µετρικό εργαλείο ϖου χρησιµοϖοιούσαν οι αρχαίοι Αιγύϖτιοι ϖου εξασκούσαν το εϖάγγελα του οικοδόµου οι «αρϖεδονάϖται». Η αϖοστολή του ήταν να κατασκευάζει ορθές γωνίες και ήταν ένα στρογγυλό κορδόνι χωρισµένο σε 12 ίσα διαστήµατα µε ισάριθµους κόµϖους. Μ αυτό οι Αιγύϖτιοι φτιάχνανε ένα ορθογώνιο µε ϖλευρές: 3, 4, 5.Ανάµεσα στην ϖλευρά 3 και στην ϖλευρά 4 υϖήρχε η ορθή! Προφανώς ήταν ορθή λόγω του Ι.48. Άρα οι αρχαίο Αιγύϖτιοι και συνεϖώς και οι Έλληνες ήξεραν ϖρακτικά να εφαρµόζουν το Ι. 48 στην ϖράξη χωρίς αϖόδειξη. Και αυτό µάλλον συνέβαινε ϖολλά χρόνια ϖριν να ασχοληθεί κάϖοιος µε καθαρά µαθηµατική θεωρία, αφού η αρχιτεκτονική και η οικοδοµική τέχνη ασκείτο εϖιτυχηµένα αϖό τους ϖολύ ϖαλιούς αιώνες. Άρα διαφαίνεται σοβαρή ένδειξη έτσι, ότι το ακροτελεύτιο του ϖρώτου βιβλίου των «Στοιχείων» αϖοτελούσε θεωρητική ανάλυση «ϖροϋϖάρχουσας» γνώσης ϖου εφαρµόζετο στην ϖράξη για ϖολύ καιρό. 22

23 ΕΥΤΕΡΟ ΒΙΒΛΙΟ Η ακροτελεύτια ϖρόταση του δεύτερου βιβλίου είναι η εξής : Tù doqšnti eùqugr mmj son tetr gwnon sust»sasqai. και ϖροφανώς είναι ένα ϖρόβληµα και όχι θεώρηµα. Στην ϖαρούσα εργασία θα διατρέξουµε το δεύτερο βιβλίο και θα ϖροσϖαθήσουµε να αϖοδώσουµε την ανάλογη σηµασία σ αυτή τη ϖρόταση καθώς και να τη συνδέσουµε µε τις υϖόλοιϖες ϖροτάσεις αυτού του βιβλίου όϖως και των άλλων βιβλίων. Θα αξιολογήσουµε τις αϖοδείξεις και θα αϖοτιµήσουµε τη µέθοδό τους. Θα ϖροσϖαθήσουµε µε βάση τις ϖηγές (κυρίως τα συγγράµµατα του Πρόκλου και του Heath) να αναλύσουµε τη µέθοδο του Ευκλείδη και να την εξηγήσουµε. Συνήθως οι ακροτελεύτιες ϖροτάσεις αϖοτελούν «στοιχεία» δηλ ϖροτάσεις ϖου έχουν ξεχωριστή θέση και καθολική αξία για το σύνολο των βιβλίων και δεν εξαντλούν τη σηµασία τους στη χρήση τους στις αϖοδείξεις. Αλλά ας αφήσουµε τον Πρόκλο, να αναλύσει αυτό το θέµα µέσα αϖό το : «Εις Πρώτον Ευκλείδου Στοιχείων» Πρόλογος 72. «Στοιχεία, λοιϖόν, ονοµάζονται αυτά των οϖοίων η γνώση οδηγεί στην κατανόηση των άλλων και αϖό τα οϖοία εµείς εϖιτυγχάνουµε την εϖίλυση των αϖοριών ϖου εµφανίζονται µέσα στα άλλα». Και συνεχίζει : «Γιατί, όϖως στην ϖερίϖτωση του γραϖτού λόγου αυτά στα οϖοία δίνουµε την ονοµασία στοιχεία (γράµµατα) είναι οι ϖρώτες, αϖλούστατες και αδιαίρετες αρχές, και όϖως ακριβώς κάθε λέξη και κάθε έκφραση έχει λάβει υϖόσταση αϖό αυτά, έτσι λοιϖόν και στην ϖερίϖτωση ολόκληρης της γεωµετρίας υϖάρχουν κάϖοια βασικά θεωρήµατα τα οϖοία ϖαίζουν τον ρόλο της αρχής σε σχέση µε τα εϖόµενα και αϖλώνονται σε όλα τα άλλα και ϖροσφέρουν αϖοδείξεις ϖολλών ιδιοτήτων αυτά τα θεωρήµατα τα αϖοκαλούν στοιχεία.» Κατ αρχάς θα ϖροσϖαθήσουµε να αναλύσουµε τον όρο «ϖρόβληµα» όϖως ακριβώς µας τον έθεσε ϖάλι ο Πρόκλος στο ίδιο σύγγραµµα (Εις Πρώτον Ευκλείδου Στοιχείων, Πρόλογος, 77) «Αϖό την άλλη, ϖάλι, όσα ϖροέρχονται αϖό τις αρχές διαιρούνται σε ϖροβλήµατα και θεωρήµατα τα ϖροβλήµατα ϖεριέχουν τις γεννήσεις των σχηµάτων, τις τοµές, τις αφαιρέσεις, τις ϖροσθέσεις και γενικά τα ϖαθήµατα ϖου συµβαίνουν γύρω αϖό τα σχήµατα, ενώ τα θεωρήµατα δείχνουν τις έµφυτες ιδιότητες καθενός Ετσι όλες οι ϖροτάσεις της γεωµετρίας ϖου βρίσκονται µετά τις αρχές, λαµβάνονται µέσω αϖόδειξης, ώστε το θεώρηµα είναι ϖιο γενικός όρος. Όµως, δεν χρειάζονται ϖροβλήµατα όλα τα θεωρήµατα, αλλά υϖάρχουν µερικά ϖου έχουν αϖό µόνα τους την αϖόδειξη του ζητουµένου. Αϖό την άλλη, όσοι ξεχωρίζουν το θεώρηµα αϖό το ϖρόβληµα λένε ότι κάθε ϖρόβληµα εϖιδέχεται τα αντίθετα κατηγορήµατα µέσα στην ύλη του, δηλαδή το ίδιο το ζητούµενο και το αντίθετό του, ενώ κάθε θεώρηµα εϖιδέχεται το ίδιο το ζητούµενο ως κατηγόρηµα, όχι όµως και το αντίθετό του. Και αϖοκαλώ «ύλη» το γένος των υϖό εξέταση ϖραγµάτων, για ϖαράδειγµα το τρίγωνο, το τετράγωνο ή τον κύκλο, ενώ «κατηγόρηµα» αϖοκαλώ το σύµϖτωµα ϖου έχει συµβεί στην ουσία τους, για ϖαράδειγµα την ισότητα ή την τοµή ή τη θέση ή κάτι άλλο ϖαρόµοιο. Όταν, λοιϖόν, κανείς διατυϖώσει την εξής ϖρόταση : «Να εγγράψουµε ένα ισόϖλευρο τρίγωνο σε κύκλο», λέει ένα ϖρόβληµα. Γιατί είναι δυνατόν να εγγράψουµε και µη ισόϖλευρο τρίγωνο εϖίσης όταν λέει : «Πάνω σε ϖεϖερασµένη δοθείσα ευθεία να κατασκευαστεί ισόϖλευρο τρίγωνο», αυτό το ϖράγµα είναι ϖρόβληµα γιατί είναι δυνατόν να κατασκευαστεί και µη ισόϖλευρο τρίγωνο. Όταν, όµως, κανείς διατυϖώσει την ϖρόταση ότι τα ύψη των ισοσκελών τριγώνων είναι ίσα,ϖρέϖει να ϖούµε ότι αυτός διατυϖώνει θεώρηµα. Γιατί δεν είναι δυνατόν να µην είναι ίσα τα ύψη των ισοσκελών τριγώνων. Εϖοµένως, αν κανείς το διατυϖώσει ως ϖρόβληµα και ϖει «να εγγράψουµε ορθή γωνία σε ηµικύκλιο», θα δώσει την εντύϖωση του αγεωµέτρητου. Γιατί κάθε γωνία ϖου εγγράφεται σε ηµικύκλιο είναι ορθή. Στις ϖεριϖτώσεις, λοιϖόν, ϖου το σύµϖτωµα είναι καθολικό και ακολουθεί ολόκληρη την ύλη, αυτά ϖρέϖει να τα ϖούµε θεωρήµατα στις ϖεριϖτώσεις ϖου το 23

24 σύµϖτωµα δεν είναι καθολικό και δεν ακολουθεί σε κάθε ϖερίϖτωση το υϖοκείµενο, αυτό το ϖράγµα ϖρέϖει να το θεωρήσουµε ϖρόβληµα. Το να διχοτοµήσουµε µια ϖεϖερασµένη ευθεία (γιατί είναι δυνατόν να τη χωρίσουµε σε άνισα µέρη ) και το να διχοτοµήσουµε κάθε γωνία (γιατί υϖάρχει και η διαίρεση σε άνισα µέρη) και το να σχηµατίσουµε τετράγωνο αϖό δοθείσα ευθεία (γιατί είναι δυνατόν να σχηµατίσουµε και κάτι άλλο αϖό τετράγωνο ) και όλα όσα είναι τέτοια ανήκουν στην κατηγορία των ϖροβληµάτων. Οι οϖαδοί του Ζηνόδοτου, ο οϖοίος ανήκε στη σχολή του Οινοϖίδη και στους µαθητές του Ανδρωνα, ξεχώρισαν το θεώρηµα αϖό το ϖρόβληµα ως ϖρος το ότι το θεώρηµα ψάχνει ϖοιο είναι το σύµϖτωµα ϖου αϖοδίδεται στην ύλη την οϖοία µελετά, ενώ το ϖρόβληµα ψάχνει υϖό ϖοιες ϖροϋϖοθέσεις υϖάρχει κάτι. Γι αυτό και οι οϖαδοί του Ποσειδώνιου όριζαν το ϖρόβληµα ως ϖρόταση µε την οϖοία ερευνάται αν υϖάρχει ή δεν υϖάρχει κάτι, και το θεώρηµα ως ϖρόταση µε την οϖοία ερευνάται ϖοιο είναι ή τι λογής είναι κάτι, και έλεγαν ότι την ϖρόταση του θεωρήµατος ϖρέϖει να τη διατυϖώνουµε σαν κρίση, όϖως για ϖαράδειγµα ότι κάθε τρίγωνο έχει τις δύο γωνίες του µεγαλύτερες αϖό τη µία, και ότι τα ύψη κάθε ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσα, ενώ την ϖρόταση του ϖροβλήµατος ϖρέϖει να τη διατυϖώνουµε ερωτηµατικά, σαν να ψάχνουµε, για ϖαράδειγµα, αν είναι δυνατόν να σχηµατισουµε τρίγωνο ϖάνω σε δεδοµένη ευθεία. Γιατί διαφέρει το να ψάχνουµε αϖλά και αόριστα αν υϖάρχει κάθετη αϖό ένα συγκεκριµένο σηµείο ϖρος µια συγκεκριµένη ευθεία, και το να ϖαρατηρήσουµε ϖοια είναι η κάθετη. Αϖό αυτά είναι φανερό ότι υϖάρχει κάϖοια διαφορά µεταξύ ϖροβλήµατος και θεωρήµατος. Ότι και τα Στοιχεία του Ευκλείδη έχουν ϖροβλήµατα και θεωρήµατα, θα γίνει φανερό µε καθεµία ϖρόταση και µε τη συνήθεια του να ϖροσθέτει στο τέλος των αϖόδείξεων αλλού τη φράση «οϖερ έδει ϖοιήσαι» και αλλού «όϖερ έδει δείξαι», η οϖοία είναι χαρακτηριστική των θεωρηµάτων. Και αυτά ϖαρόλο ϖου, όϖως είϖαµε, υϖάρχει αϖόδειξη και στα ϖροβλήµατα όµως αλλού η αϖόδειξη έχει σαν σκοϖό της τη γέννηση (γιατί χρησιµοϖοιούµε την αϖόδειξη για να δείξουµε ότι έχει κατασκευαστεί το ζητούµενο) και αλλού είναι άξια µελέτης αϖό µόνη της, εϖειδή µϖορεί να ϖαρουσιάσει τη φύση του ζητουµένου. Μϖορείς, µάλιστα, να δεις ότι ο Ευκλείδης άλλοτε συνδυάζει τα θεωρήµατα µε τα ϖροβλήµατα και τα χρησιµοϖοιεί εναλλάξ, όϖως στο ϖρώτο βιβλίο, και αλλού χρησιµοϖοιεί ϖερισσότερο κάϖοια αϖό τα δύο. Γιατί ολόκληρο το τέταρτο βιβλίο αϖοτελείται αϖό ϖροβλήµατα, ενώ το ϖέµϖτο αϖό θεωρήµατα». Σύµφωνα λοιϖόν µε τη συλλογιστική του Πρόκλου, η τελευταία ϖρόταση του δεύτερου βιβλίου, είναι ένα «ϖρόβληµα» και µάλιστα κατασκευής : «Να κατασκευαστεί τετράγωνο ϖου να είναι ίσο µε δεδοµένο ευθύγραµµο (σχήµα)». Παρατηρήσεις : 1)Κατ αρχάς δεν δίνεται η αϖάντηση όϖως στα θεωρήµατα ότι ϖράγµατι είναι δυνατόν να κατασκευαστεί τέτοιο τετράγωνο. Αρα µϖορεί να τεθεί µε ερωτηµατικό. 2) Ουτε καν λέγεται ότι το ευθύγραµµο σχήµα ϖρέϖει αϖαραιτήτως να είναι τετράϖλευρο. Στην αϖόδειξη όµως χρησιµοϖοιείται τετράϖλευρο. Αυτό ϖου υϖονοείται ίσως, είναι ότι ψάχνουµε να βρούµε ένα τετράγωνο συγκεκριµένου εµβαδού µε κάϖοιο τρόϖο. 3) Σύµφωνα µε τον Πρόκλο, το ϖαραϖάνω ϖρόβληµα είναι ένα ϖρόβληµα ανοικτού τύϖου, δηλ υϖεισέρχονται ϖολλές ϖαράµετροι και ϖρουϖοθέσεις. Για ϖαράδειγµα το συγκεκριµένο εµβαδόν είναι τετράγωνο αριθµού ή όχι? αν είναι τότε αϖλοϖοιείται ϖολύ. Εϖίσης δεν µας λέει µε ϖοιο συγκεκριµένο τρόϖο µϖορούµε να το κατασκευάσουµε. Θα µϖορούσαµε ίσως να χρησιµοϖοιήσουµε το Π.Θ. 4) Η αϖόδειξη συνίσταται στα εξής : Πρώτα το δοθέν µετασχηµατίζεται σύµφωνα µε το Ι. 45 σε ορθογώνιο ϖαρ/µµο. Μετά ϖροεκτείνεται η µεγαλύτερη ϖλευρά α του ορθογωνίου κατά αϖόσταση ίση µε την µικρότερη β και κατασκευάζεται ηµικύκλιο µε διάµετρο την αϖόσταση α+β. Προεκτείνουµε την ϖλευρά β ώστε να κόψει το ηµικύκλιο σ ένα σηµείο. Το σηµείο αυτό 24

25 έχει µια αϖόσταση αϖό τη διάµετρο. Αυτή είναι η ζητούµενη ϖλευρά του τετραγώνου. Το τετράγωνο ισούται µε το γινόµενο των ϖλευρών αβ. Βλέϖουµε ότι η αϖόδειξη καταλήγει σε συγκεκριµένη ϖρόταση ϖου ϖροέρχεται αϖό τα εϖόµενα βιβλία συγκεκριµένα αϖό το VΙ 13 την οϖοία αϖοδεικνύει χωρίς αναλογίες. Υϖάρχει λοιϖόν κίνδυνος κάϖοιος να µϖερδέψει την κατάληξη της αϖόδειξης µε την ουσία του ϖροβλήµατος. Αυτή συνίσταται στην κατασκευή ενός τετραγώνου µε οϖοιονδήϖοτε τρόϖο και όχι µε τον συγκεκριµένο ϖου καταλήγει η αϖόδειξη δηλ ότι «το τετράγωνο του ύψους ορθογωνίου τριγώνου αϖό την κορυφή της ορθής ισούται µε το γινόµενο των τµηµάτων στην υϖοτείνουσα». Τώρα θα ϖροσϖαθήσουµε να κάνουµε µια διαδροµή στις ϖροτάσεις του δεύτερου βιβλίου, εϖίσης να αναλύσουµε τη σηµασία τους και να τις συσχετίσουµε µε τις ϖροτάσεις των άλλων βιβλίων. Τελικός σκοϖός µας, θα είναι να συνδέσουµε το ακροτελεύτιο ϖρόβληµα µ αυτές τις ϖροτάσεις και να δικαιολογήσουµε τη θέση του, τη µορφή του και τη σηµασία του σαν εϖιστέγασµα ή βασικό εργαλείο του δεύτερου βιβλίου. Συνολική εξέταση των ϖροτάσεων του δεύτερου βιβλίου, των αϖοδείξεών τους και της τοϖοθέτησής τους στο βιβλίο. Σύγκριση µεταξύ τους. ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΡΩΤΗ Η ϖροσεκτική εξέταση των ϖροτάσεων του βιβλίου, µας οδηγεί στα ϖαρακάτω συµϖεράσµατα : Ι) Ο Ευκλείδης εκθέτει κατ αρχάς κάϖοιες αλγεβρικές ταυτότητες (αϖό την άϖοψη της σύγχρονης ορολογίας). Είναι οι ϖροτάσεις : ΙΙ. 1, ΙΙ. 2, ΙΙ. 3. ηλ µε σύγχρονο συµβολισµό οι ϖαρακάτω : 1) a( b+c+d+ )=ab+ac+ad+ 2) (a+b)a + (a+b)b=(a+b) 2 3) (a+b)a=ab+a 2 Κατ αρχάς αυτές οι ταυτότητες, εκτός αϖό την ϖρώτη, ϖάλι µε σύγχρονους όρους δεν φαίνονται και τόσο χρήσιµες. Είναι ϖροφανώς ειδικές ϖεριϖτώσεις της ϖρώτης (εϖιµεριστικής ιδιότητας).αλλά και για τον Ευκλείδη, ϖάλι δεν φαίνονται να είναι χρήσιµες καθώς τη δεύτερη και τρίτη, δεν τις χρησιµοϖοιεί καθόλου στο δεύτερο βιβλίο. Χρησιµοϖοιούνται µόνο στα εϖόµενα βιβλία και συγκεκριµένα στα ΧΙΙΙ. 10 και ΙΧ. 15 αντίστοιχα. Εν τούτοις χρησιµοϖοιούνται αϖό τον Πάϖϖο 6 ϖολύ συχνά. Οι ϖροτάσεις λοιϖόν αυτές, εγκαινιάζουν την λεγόµενη «γεωµετρική άλγεβρα» αν δεχθούµε ότι δεν έχει ήδη αρχίσει αυτή µε το Π.Θ. δηλ το Ι.47 του ϖρώτου βιβλίου. 6 (Heath, Euclid the thirteen books of the elements, Volume 1, p.377) 25

26 Η ϖρόταση ΙΙ. 1 λοιϖόν µας λέει µε αϖλά λόγια ότι αν δοθούν δύο ευθ. τµήµατα a,e και το ϖρώτο τµηθεί τυχαία στα b,c,d, τότε αν σχηµατίσουµε µε δεύτερη διάσταση e ορθογώνια δηµιουργείται το ϖαρακάτω σχήµα : Σχ.13 ϖροφανώς ισχύει : ae=be+ce+de δηλ (b+c+d)e=be+ce+de Είναι µια οϖτική αϖόδειξη. Προφανώς ο Ευκλείδης είχε καλύτερα ϖαραδείγµατα για µια αµειγώς αριθµητική εϖαλήθευση. Π.χ. (2+3)6= Μϖορούσε κάλλιστα µια τέτοια καθαρά αριθµητική ϖρόταση να την εφαρµόσει µε αριθµούς. Για κάϖοιο λόγο την µετέτρεψε σε γεωµετρική και χρησιµοϖοίησε µια οϖτική αϖόδειξη. Παρακάτω οι δύο εϖόµενες ϖροτάσεις είναι όϖως ειϖώθηκε ειδικές ϖεριϖτώσεις της ϖρώτης ϖρότασης. α) AB i A Γ+ B Γ i A Γ = A Γ 2 Σχ

27 Πρώτος τρόϖος(γεωµετρικός) : οϖτική αϖόδειξη. εύτερος τρόϖος (ηµιαλγεβρικός) : ΑΒ. ΑΓ + ΒΓ. ΑΓ = (ΑΒ + ΒΓ) ΑΓ = ΑΓ. ΑΓ = ΑΓ 2 Είναι ϖροφανές ότι αυτή η ϖρόταση είναι ειδική ϖερίϖτωση της ΙΙ. 1. Είναι αϖολύτως λογικό και µαθηµατικά συνεϖές ότι η ϖιο σωστή αϖόδειξη θα ϖροέκυϖτε σαν αϖόρροια αυτής της ϖρότασης. Αλλωστε ϖαρόµοια τακτική ακολουθεί ο Ευκλείδης στις τελευταίες ϖροτάσεις του βιβλίου όϖου χρησιµοϖοιεί το Π.Θ. σαν τύϖο για να τις αϖοδείξει. Ανάλογη γνώµη έχει και ο Heath 7 : «Αλλά είναι σϖουδαίο, νοµίζω, να δει κάϖοιος ότι οι αϖοδείξεις των ϖρώτων δέκα ϖροτάσεων του δεύτερου βιβλίου, είναι ϖρακτικά ανεξάρτητες µεταξύ τους, αν και τα αϖοτελέσµατα είναι ϖραγµατικά τόσο συνυφασµένα µεταξύ τους ϖου µϖορούν συχνά να εξαχθούν το ένα αϖ το άλλο µε µια ϖοικιλία αϖό τρόϖους. Τι ήταν ωστόσο, η ϖρόθεση του Ευκλείδη, καθώς εισήγαγε κάϖοιες ϖροτάσεις όχι άµεσα αϖαραίτητες, και εκ δευτέρου µε αϖοδείξεις ανεξάρτητες τη µία αϖό την άλλη (των δέκα ϖρώτων)? Σίγουρα ο στόχος ήταν να δείξει τη δύναµη της µεθόδου της γεωµετρικής άλγεβρας στο να φτάνει σε αϖοτελέσµατα. Αϖό τη σκοϖιά της ανάδειξης της µεθόδου, δεν υϖάρχει αµφιβολία ότι ο τρόϖος του Ευκλείδη είναι κατά ϖολύ ϖιο διδακτικός αϖό τα ηµιαλγεβρικά υϖοκατάστατα ϖου τυγχάνουν ευνοϊκής αντιµετώϖισης. Πρακτικά αυτό σηµαίνει ότι, αντί να βασιζόµαστε στη µνήµη µας για να ανακαλούµε κάϖοιον τύϖο, µϖορούµε να χρησιµοϖοιούµε τον µηχανισµό ϖου αϖορρέει αϖό την µέθοδο του Ευκλείδη ώστε να αϖοδεικνύουµε αµέσως αϖό την αρχή οϖοιαδήϖοτε ϖρόταση ϖαρµένη στην τύχη». Η γνώµη λοιϖόν του Heath είναι ότι ο Ευκλείδης ακολουθεί αυτή την τακτική για διδακτικούς σκοϖούς. ηλ ο µαθητής καλείται να ενστερνιστεί µια µέθοδο µε την οϖοία θα µϖορεί ταυτόχρονα να ανακαλεί και να αϖοδεικνύει έναν οϖοιοδήϖοτε τύϖο. (Αργότερα θα συµϖεριλάβουµε και άλλους ϖαράγοντες ϖου συµµετέχουν στη διαµόρφωση της δοµής των ϖροτάσεων). Εϖίσης αριθµητικά θα µϖορούσε να εφαρµόσει την ίδια ϖρόταση. β) ΑΓ. ΒΓ = ΑΒ. ΒΓ + ΒΓ 2 Σχ Euclid, the thirteen books of the elements, Vol. 1, p

28 Πρώτος τρόϖος (γεωµετρικός) : οϖτική αϖόδειξη εύτερος τρόϖος (ηµιαλγεβρικός) : ΑΓ. ΒΓ = ( ΑΒ + ΒΓ). ΒΓ = ΑΒ. ΒΓ + ΒΓ. ΒΓ = ΑΒ. ΒΓ + ΒΓ 2 Ότι ειϖώθηκε για τη ϖρόταση ΙΙ. 2 ισχύει και για τη ΙΙ. 3. Εδώ θα µϖορούσαµε να συµϖληρώσουµε τα σχόλια του Heath στην ίδια σελίδα 377 ϖου κρίνουµε ότι είναι ϖολύ σηµαντικά. «Ας συγκρίνουµε το σχέδιο του Ευκλείδη µε την ηµιαλγεβρική εναλλακτική άϖοψη. Ενας εϖιµελητής ας ϖούµε µϖορεί να σκεφτεί ότι καθώς η ϖρόταση ΙΙ. 1 δεν ξαναχρησιµοϖοιείται στο βιβλίο ενδεχοµένως να ϖαράγονται αϖ αυτή οι ϖροτάσεις ΙΙ. 2, ΙΙ. 3 και συνακόλουθα η ΙΙ. 4 αϖό την ΙΙ. 1 και τη ΙΙ. 3 κ.ο.κ. Ενδεχοµένως όλες οι ϖρώτες δέκα ϖροτάσεις θα ϖαρήγοντο αϖό τη ΙΙ. 1. Μ αυτό τον τρόϖο οι ϖροτάσεις δεν θα ήταν ανεξάρτητες αλλά η όλη δοµή θα ήταν ϖυραµιδοειδής και υδροκέφαλη. ηλ θα υϖήρχε εξάρτηση αϖό µία κεντρική ϖρόταση. Πολλοί εϖιµελητές έχουν εϖηρεαστεί αϖό τη ϖρόκληση να κάνουν τις αϖοδείξεις των ϖροτάσεων του δεύτερου βιβλίου ευκολότερες καθώς νοµίζουν για τους µαθητές. Αλλά, ακόµη και αϖ αυτή την άϖοψη, είναι άραγε βελτίωση να συµϖεράνεις τη ΙΙ. 2, 3 αϖό τη ΙΙ. 1? Αµφιβάλλω! ιότι, στο ϖρώτο µέρος, τα σχήµατα του Ευκλείδη οϖτικοϖοιούν τα αϖοτελέσµατα και έτσι είναι εύκολο να συλλάβει κάϖοιος το νόηµα της ϖρότασης. Η αλήθεια κάθε ϖρότασης φαίνεται ολοκάθαρη ακόµη και για το µάτι». 8 Φαίνεται σαν ο Ευκλείδης όϖως τουλάχιστον τον εξηγεί ο Heath- να είχε συλλάβει την αξία των εσωτερικών αναλογικών αναϖαραστάσεων όϖως µε σύγχρονη ορολογία αναφέρονται στα βιβλία γνωστικής ψυχολογίας και να συµµετείχε µε τον τρόϖο του στη σηµερινή συζήτηση σχετικά µε την αναγκαιότητα των νοητικών εικόνων ως µια µορφή αναϖαράστασης (εσωτερικής). ιαβάζω αϖόσϖασµα αϖό τη σελ.142, 143 της : εισαγωγής στη ψυχολογία, (γνωστική ψυχολογία) της Στέλλας Βοσνιάδου. «Αναλογικές αναϖαραστάσεις. Οι αναλογικές αναϖαραστάσεις είναι συνήθως αϖεικονίσεις ϖου έχουν την µορφή νοητικών εικόνων αν και µϖορεί να είναι ακουστικές, κινητικές κλϖ. Το γεγονός ότι οι αναλογικές αναϖαραστάσεις έχουν µια συγκεκριµένη µορφή (χωρική) τις καθιστά διαφορετικές αϖό τις ϖροτασιακές αναϖαραστάσεις. Ετσι η ϖρόταση : Το βιβλίο είναι ϖάνω στο τραϖέζι, αναϖαριστάται µε τη νοητική εικόνα ενός βιβλίου ϖάνω στο τραϖέζι. Οι αναλογικές αναϖαραστάσεις είναι εϖίσης διαφορετικές αϖό τις ϖροτασιακές στο ότι δεν αϖοτελούνται αϖό διακριτά σύµβολα (όϖως οι λέξεις ϖάνω, γραφείο) αλλά αναϖαριστούν ϖολλά ϖιθανά υϖονοούµενα αντικείµενα, σχέσεις και ϖράξεις, κι έχουν ασαφείς κανόνες συνδυασµού. Ένα αϖό τα εϖίµαχα ερωτήµατα ήταν το κατά ϖόσο οι νοητικές εικόνες µϖορούν να λειτουργήσουν ως αναϖαραστάσεις αϖό µόνες τους, ανεξάρτητα αϖό αναϖαραστάσεις ϖροτασιακού τύϖου. Οι ϖροτασιακές αναϖαραστάσεις φαίνεται είναι αναγκαίες για να εξηγηθεί το ϖώς οι νοητικές εικόνες ερµηνεύονται και ϖως συνδέονται µε άλλους τύϖους ϖληροφοριών ϖου µεταβιβάζονται µέσω του γλωσσικού κώδικα. Σήµερα έχει γίνει ευρέως αϖοδεκτό ότι η νοητική εικόνα, ϖαρόλο ϖου είναι δυνατόν να στηρίζεται εν µέρει σε ϖροτασιακές αναϖαραστάσεις, είναι ένας µοναδικός και ξεχωριστός τύϖος αναϖαράστασης ϖου αξίζει εϖιστηµονικής διερεύνησης». Εϖίσης όϖως αναφέρεται στη σελ. 191 του ίδιου βιβλίου : «Ενας λόγος ϖου εξηγεί το γεγονός ότι τα υϖοκείµενα θυµόντουσαν τόσο καλά τις εικόνες είναι ότι αυτά τα ερεθίσµατα µϖορούν να αναϖαρασταθούν και οϖτικά και σηµασιολογικά. Η θεωρία της διϖλής κωδικοϖοίησης υϖοστηρίζει ότι θυµόµαστε καλύτερα τις ϖληροφορίες όταν αυτές αναϖαρίστανται και µε τους δύο κώδικες ϖαρά µόνο µε τον έναν (Paivio, 1986)». 8 Ας µην ξεχνάµε ότι εκείνη την εποχή υπήρχε η ρητορική φάση της µαθηµατικής διατύπωσης. Οι µαθητές δεν µπορούσαν να κρατήσουν σηµειώσεις και πιθανώς προσπαθούσαν να αποµνηµονεύσουν τη διδακτική ύλη χρησιµοποιώντας παράλληλα εικόνα και σηµασία. 28

29 ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΥΤΕΡΗ Το ΙΙ. 4 µε σύγχρονους όρους είναι η κλασική ταυτότητα του τετραγώνου του αθροίσµατος δύο αριθµών : (α+β) 2 = α 2 + β 2 + 2αβ και η αϖόδειξή της είναι κι εδώ οϖτική : Σχ. 16 Το ΙΙ. 5 ϖάλι µε σύγχρονους όρους είναι η ταυτότητα : «η διαφορά τετραγώνων δύο αριθµών είναι ίση µε το άθροισµα εϖί τη διαφορά των δύο αριθµών» Η απόδειξη δίνεται µε την µέθοδο : cut and paste σχεδόν οπτική. Σχ. 17 ΑΒ. ΒΓ + ΜΒ 2 = ΑΜ 2 (1) Αν θέσουµε : ΑΜ=α, ΜΒ= β 29

30 τότε η σχέση (1) γίνεται :(α+β)(α-β)= α 2 -β 2 Αν θέσουµε ΑΒ= x, ΒΓ= y τότε η σχέση (1) γίνεται : xy + ((x-y)/2) 2 =((x+y)/2) 2 Φαίνεται καθαρά ότι το ορθογώνιο ΑΒ είναι ίσο µε τον γνώµονα (ΜΒΓΕ) άρα αϖοδεικνύεται οϖτικά η ϖρόταση. Αυτό όµως δηλ το Σχ. 4 και το Σχ. 5 είναι ένα κλασικό σχήµα ϖαραβολής (εφαρµογής) χωρίων. Παρόµοιο ϖρος αυτό είναι το Ι. 44. και το ίδιο σχήµα έχει και το Ι. 43. Τι είναι όµως «ϖαραβολή χωρίων» και µε τι ακριβώς έχει σχέση? «Παραβολή χωρίων» είναι η κατασκευή κάϖοιου ϖαρ/µου, δεδοµένου εµβαδού, ξεκινώντας αϖό συγκεκριµένο ευθ. τµήµα το οϖοίο θεωρούµε σαν µία διάσταση του ϖαρ/µου. Παρόµοια ϖρος την ϖαραβολή είναι η έλλειψη και η υϖερβολή. Όϖως µας εξηγεί ο Πρόκλος ϖάλι στο ίδιο βιβλίο στο σχόλιό του για το Ι. 44 : «Η σχολή του Εύδηµου υϖοστηρίζει ότι αυτά τα ϖράγµατα, δηλ. η ϖαραβολή, η υϖερβολή και η έλλειψη σχηµάτων, είναι εφευρέσεις της εϖιστήµης των ϖυθαγορείων. Οι νεότεροι ϖήραν αϖό αυτούς τις ονοµασίες τούτες και τις µετέφεραν στις λεγόµενες κωνικές γραµµές και αϖοκάλεσαν άλλη γραµµή ϖαραβολή, άλλη υϖερβολή και άλλη έλλειψη, ϖαρόλο ϖου εκείνοι οι ϖαλαιοί και θεϊκοί άνδρες έβλεϖαν τη σηµασία αυτών των ονοµασιών στην κατασκευή εϖιϖέδων σχηµάτων κατά µήκος µιας ορισµένης ευθείας. Γιατί, όταν έχεις µια δοσµένη ευθεία και εϖεκτείνεις το δοσµένο σχήµα κατά µήκος ολόκληρης της ευθείας, τότε λένε ότι ϖαραβάλλεις εκείνο το σχήµα. Όταν κάνεις το µήκος του σχήµατος µεγαλύτερο αϖό την ίδια την ευθεία, τότε λένε ότι το σχήµα υϖερβάλλει, ενώ όταν κάνεις το µήκος του σχήµατος µικρότερο, ώστε να υϖάρχει ένα µέρος του χαραγµένου σχήµατος έξω αϖό την ευθεία, τότε λένε ότι το σχήµα ελλείϖει. Και έτσι στο έκτο βιβλίο ο Ευκλείδης µνηµονεύει και την υϖερβολή και την έλλειψη». Αυτές όλες οι κατασκευές έχουν συνδεθεί άµεσα, αϖό τους Heath και Wan der Waerden µε τις µορφές εϖίλυσης µιας δευτεροβάθµιας εξίσωσης. Το κοινό στοιχείο όλων αυτών είναι το σχήµα ϖου αϖεικονίζει ϖαρ/µµο µε διαγώνιο και αριστερά και δεξιά του ϖαρ/µµου δύο ίσα ϖαρ/µµα (ϖαραϖληρώµατα). Πολύ κοντά σ αυτό είναι και η έννοια του «γνώµονα». Ολ αυτά είναι Πυθαγόρεια δηµιουργήµατα. Σχ. 18 Το (1234) αϖοτελεί τον «γνώµονα» και σύµφωνα µε τον Ηρωνα τον Αλεξανδρέα : «γνώµων είναι γενικά εκείνο ϖου όταν ϖροστίθεται σε κάτι αρχικό, αριθµό ή σχήµα, κάνει το τελικό όλο όµοιο ϖρος αυτό στο οϖοίο έχει ϖροστεθεί». Παραϖληρώµατα είναι το (1) και (4). 30

31 Πως ακριβώς συνέβη αυτή η σύνδεση γεωµετρίας και άλγεβρας µας το εξηγεί ϖολύ καλά κατ αρχάς ο Victor J. Katz στην εργασία του : «Stages in the history of algebra with implications for teaching»: «Σαν ϖαράδειγµα, θεωρούµε το ϖρόβληµα αϖό τον Βαβυλωνιακό Πίνακα YBC 4663 (1800 ϖ.χ), όϖου µας δίνεται ότι το άθροισµα του ϖλάτους και του µήκους ενός ορθογωνίου είναι 6 ½ και το εµβαδόν του ορθογωνίου είναι 7 ½ (Negebauer and Sachs, 1945, p. 70). Πρέϖει να βρούµε το ϖλάτος και το µήκος. Το χαραγµένο έγγραφο ϖεριγράφει λεϖτοµερώς τα εξής βήµατα : -Παίρνει το 6 ½ και το διαιρεί δια 2. -Το αϖοτέλεσµα το υψώνει στο τετράγωνο. -Αϖ αυτό αφαιρεί το 7 ½ -Παίρνει τη ρίζα. -Το µισό του 6 ½ συν τη ρίζα µας δίνει το µήκος -Το µισό του 6 ½ µείον τη ρίζα µας δίνει το ϖλάτος. Με σύγχρονο συµβολισµό αν θέσουµε: x+y = b, xy = c τότε ο ϖαραϖάνω αλγόριθµος µεταφράζεται στον εξής τύϖο : b b 2 x = + ( ) c 2 2 b b 2 y = ( ) c 2 2 Είναι ο τύϖος της διακρίνουσας αλλά ϖιο εξειδικευµένος. Εξ ολοκλήρου µε x, y γράφεται : ((x-y)/2) 2 +xy = ((x+y)/2) 2 (2) ϖου είναι ακριβώς ο τύϖος της ϖρότασης : ΙΙ. 5. Αρα ο αλγόριθµος των Βαβυλωνίων ϖου είχαν εϖινοήσει για να εϖιλύσουν µια αϖλή δευτεροβάθµια εξίσωση δεν είναι τίϖοτε άλλο ϖαρά η ϖρόταση ΙΙ. 5. Η ϖιο αϖλά σκεφτόµενοι, ξέρουµε το άθροισµα και το γινόµενο δύο αριθµών. Για να µϖορέσουµε να τους βρούµε αρκεί να υϖολογίσουµε αϖό τα γνωστά ( άθροισµα και γινόµενο) τη διαφορά τους. Η διαφορά όµως δύο αριθµών συναρτήσει του αθροίσµατος και του γινοµένου δίνεται µόνο αϖ αυτόν τον τύϖο (2) ϖου ϖροκύϖτει αϖό την ϖρόταση ΙΙ. 5. Εϖειδή τώρα αυτή η ίδια ϖρόταση η ΙΙ. 5 αϖοδεικνύεται µε τη µέθοδο : cut and paste χρησιµοϖοιώντας ϖαράλληλα και ϖαραβολή χωρίων ϖροκύϖτει σαν βασικό συµϖέρασµα ότι η ϖαραβολή χωρίων και η εϖίλυση δευτεροβάθµιων εξισώσεων συνδέονται άµεσα. H II. 6 είναι η ίδια ϖρόταση µε τη ΙΙ. 5 µόνο ϖου η τοµή στο ευθ. τµήµα δεν γίνεται εσωτερικά αλλά εξωτερικά. Σχ

32 ΑΒ. ΒΓ + ΑΜ 2 =ΒΜ 2 Αν θέσουµε ΑΒ=x και ΒΓ=y τότε καταλήγουµε στον τύϖο : xy + ((xy)/2) 2 = ((x+y)/2) 2 ϖου είναι η ίδια µ αυτή ϖου ϖροέκυψε αϖό την ΙΙ. 5. Η διαφοροϖοίηση των δύο ϖροτάσεων εξηγείται αϖό το γεγονός ότι στη µεν ΙΙ. 5 το άθροισµα των x,y είναι το δεδοµένο ευθ. τµήµα ΑΓ ενώ στη ΙΙ. 6 η διαφορά των x,y είναι το δεδοµένο ευθ. τµήµα ΑΓ. Αντιστοιχία σ αυτές τις δύο ϖροτάσεις υϖάρχει στα «εδοµένα» του Ευκλείδη (ϖροτάσεις 84, 85) όϖου το θέµα ϖου εξετάζεται είναι ϖώς να αϖοδειχθεί ότι δύο ευθύγραµµα τµήµατα x,y είναι γνωστά όταν δίνονται το άθροισµά τους x+y ή η διαφορά τους x-y, κι εϖίσης το εµβαδόν του ορθογωνίου ϖου σχηµατίζεται αϖ αυτά. Προφανώς όταν δίνεται το άθροισµα τότε εφαρµόζεται η ΙΙ. 5 ενώ όταν δίνεται η διαφορά εφαρµόζεται η ΙΙ. 6. Εϖιλέγω τώρα µερικά αϖοσϖάσµατα αϖό το έργο του Van der Waerden «η αφύϖνιση της εϖιστήµης» σελ «Οι εφαρµογές στα Στοιχεία είναι συνεϖείς µε αυτή τη θεώρηση. Στη ΙΙ. 11 ζητείται να διαιρεθεί ένα ευθύγραµµο τµήµα σε µέσο και άκρο λόγο «Μια δεδοµένη ευθεία να διαιρεθεί µε τέτοιο τρόϖο ώστε το ορθογώνιο ϖου σχηµατίζεται αϖό ολόκληρη την ευθεία και ένα αϖό τα µέρη να είναι ίσο ϖρος το αϖό του άλλου µέρους τετράγωνο». Αυτό οδηγεί στην εξίσωση: y = α(α-y) y = α -αy y(y+α)=α Αυτή η τελευταία αϖαιτεί την κατασκευή δύο τµηµάτων y, y+α των οϖοίων δίνεται η διαφορά α και το γινόµενο α 2. Αφού η διαφορά είναι δεδοµένη το ϖρόβληµα εϖιλύεται µε τη χρήση της ΙΙ. 6. Και συνεχίζει : «Αυτή η ερµηνεία των ΙΙ. 5, 6 ως λύσεων ϖροβληµάτων αναδύεται ϖέρα αϖό κάθε αµφιβολία αϖό τις γενικεύσεις VI. 28, 29, οι οϖοίες είναι διατυϖωµένες καθαρά ως ϖροβλήµατα : VI. 28 Σε δεδοµένη ευθεία ΑΒ να ϖαραβληθεί ϖαραλληλόγραµµο ΑΠ ίσο ϖρος δεδοµένο ευθύγραµµο σχήµα Γ, στο οϖοίο να λείϖει σχήµα ϖαραλληλόγραµµο (ΒΠ) όµοιο ϖρος δεδοµένο. VI. 29 Σε δεδοµένη ευθεία να ϖαραβληθεί ϖαραλληλόγραµµο (ΑΞ) ίσο ϖρος δεδοµένο ευθ. σχήµα Γ, το οϖοίο να υϖερβάλλει κατά ϖαραλληλόγραµµο (ΒΞ) σχήµα όµοιο ϖρος το δεδοµένο. Σχ. 20 Το σχήµα της ϖρότασης VI.28 32

33 Σχ. 21 Το σχήµα της ϖρότασης VI.29 Ενδεικτικά, θα ϖεριγράψουµε σύντοµα την ϖρόταση VI. 29 ϖου δεν είναι τίϖοτε άλλο αϖό µια ϖαραβολή σε ευθεία ΑΒ ενός ϖαραλληλογράµµου ΑΞ µε εµβαδό Γ, όµοιου µε το και το οϖοίο υϖερβάλλει κατά το ϖαρ/µµο ΒΞ όµοιο κι αυτό µε το. Παίρνουµε το µέσο Μ του ΑΒ και κατασκευάζουµε το ΗΒ όµοιο µε το. Μετά φτιάχνουµε ένα ϖαρ/µµο βοηθητικό ίσο µε το ΗΒ συν το Γ. Το ϖαρ/µµο αυτό το µεταφέρουµε και γίνεται ΗΞ. Φέρνουµε το ευθ τµήµα ΗΞ. Προφανώς ο γνώµων ΘΞΜ είναι ίσος µε Γ και άρα το ΑΞ είναι ίσο µε Γ. Όϖως µας λέει ο Van der Waerden (αφύϖνιση της εϖιστήµης, σελ. 136) «Στις σϖουδαιότερες εφαρµογές το δεδοµένο ϖαραλληλόγραµµο είναι τετράγωνο. Το ζητούµενο ϖαραλληλόγραµµο ΒΠ ή ΒΞ ϖρέϖει να είναι τετράγωνο. Αν συµβολίσουµε τη βάση και το ύψος του ζητούµενου ϖαραλληλογράµµου µε x και y, το δεδοµένο εµβαδόν µε F και τη δεδοµένη ευθεία, στην οϖοία ϖρέϖει να ϖαραβληθεί το ορθογώνιο µε 2α τότε οι συνθήκες στην VI. 28 είναι : (5) xy = F, x+y = 2α και στην VI. 29 είναι : (6) xy = F, x-y = 2α Οι λύσεις των ϖροβληµάτων (5) και (6), ϖου υϖοδεικνύονται στις γενικεύσεις VI. 28,29 είναι ακριβώς οι ίδιες µε αυτές ϖου δίδονται αϖό τις ϖροτάσεις ΙΙ. 5, 6. Στην ϖερίϖτωση (6) έχουµε µέσω της (3) ((x+y)/2) 2 = xy + ((x-y)/2) 2 = F + α 2 Όταν δίνονται τα F και 2α αυτό το εµβαδόν είναι γνωστό. Αν µετατραϖεί σε τετράγωνο, µε τη χρήση της II. 14, τότε η ϖλευρά αυτού του τετραγώνου είναι το ηµιάθροισµα (x+y)/2. Αν σε αυτό ϖροσθέσουµε το α = (x-y)/2, βρίσκουµε το x, αν το αφαιρέσουµε βρίσκουµε το y». Παρακάτω συνεχίζει : «Οι λύσεις των ϖροβληµάτων (5) και (6) ϖαίζουν εξαιρετικά σηµαντικό ρόλο στα ελληνικά µαθηµατικά Για να εϖιλύσουν τις δευτεροβάθµιες εξισώσεις οι Ελληνες τις ανήγαγαν σε µια αϖό τις ακόλουθες µορφές : x(x+α) = F, x(α-x) = F, x(x-α) = F, τις οϖοίες κατόϖιν έλυναν µε ϖαραβολή των χωρίων. Στην ϖρώτη και στη τρίτη ϖερίϖτωση, υϖάρχουν δύο ευθ. τµήµατα, x και x + α (ή x-α), των οϖοίων δίδονται η διαφορά και το γινόµενο και έτσι έχουµε µία ϖαραβολή µε υϖερβολή τετραγώνου στη δεύτερη ϖερίϖτωση έχουµε δύο ευθ. τµήµατα, x και α-x, των οϖοίων γνωρίζουµε το άθροισµα και το γινόµενο, ϖράγµα ϖου οδηγεί σε ϖαραβολή µε έλλειψη τετραγώνου», 33

34 «Κατά τον Εύδηµο εϖοµένως, αυτό το σηµαντικό µέρος της γεωµετρικής άλγεβρας είναι ανακάλυψη των Πυθαγορείων. Εν τούτοις, εν όψει του γεγονότος ότι στις δύο ϖαραλλαγές, µε έλλειψη και µε υϖερβολή, αϖαιτείται ϖάντοτε η µετατροϖή ενός δεδοµένου χωρίου σε τετράγωνο (εφ όσον ϖρέϖει να εξαχθεί τετραγωνική ρίζα), η ϖρόταση II. 14, η οϖοία εϖιλύει αυτό το ϖρόβληµα µε τη χρήση του θεωρήµατος του Πυθαγόρα, ϖρέϖει και αυτή να ήταν οικεία στους Πυθαγορείους». 1) Αν θεωρήσουµε τη δεύτερη εξίσωση σύµφωνα µε τον Van der Waerden δηλ την αx-x 2 =b 2 τότε ϖροφανώς αυτή συνδέεται µε το ΙΙ. 5 αφού αυτή γράφεται : x(α-x)=b 2 και συνεϖώς µϖορεί να αϖοδοθεί ως εξής : ψάχνουµε να βρούµε δύο µεγέθη ϖου να έχουν άθροισµα δεδοµένο α και γινόµενο b 2. Αλλά άθροισµα δεδοµένο έχουν τα ευθ. τµήµατα ϖου χωρίζονται µε εσωτερική τοµή ενός αρχικού τµήµατος µεγέθους α. Εϖίσης σύµφωνα ϖάλι µε τη ΙΙ. 5 αυτά τα δύο ευθ. τµήµατα σχηµατίζουν έναν «γνώµονα» δεδοµένου µεγέθους b 2. Υϖήρχε γεωµετρικός τρόϖος ϖου να µας δίνει τη λύση µιας δευτεροβάθµιας εξίσωσης? ο Heath ϖροτείνει τη µέθοδο του Simson σαν µια ιδέα για το ϖώς οι αρχαίοι διαχειρίζονταν το θέµα: Ας ϖούµε για τη λύση της εξίσωσης : αx-x 2 =b 2 ϖου ανήκει στη δεύτερη κατηγορία σύµφωνα µε τον Van der Waerden δηλ της ϖαραβολής µε έλλειψη τετραγώνου, χρησιµοϖοιεί το ϖαρακάτω σχήµα : Σχ. 22 Η κατασκευή γίνεται ως εξής : Στο µέσον C του ΑΒ=α υψώνουµε κάθετο ίση µε b. ηλ. CO= b. Κατόϖιν µε κέντρο Ο και ακτίνα ΟD=α/2 γράφουµε κύκλο ϖου τέµνει την ΑΒ στα Ε, D. Με ϖλευρά DB φτιάχνουµε τετράγωνο ΗΒ. Φτιάχνουµε το HA. Aν θέσουµε το DB=x τότε (ΑKJB) (DBJH)=(ADHK), ϖου σηµαίνει ότι : αx- x 2 =(ADHK) όµως το (ADHK) = ΑD. DH= (ΟD + CD).(OD-CD)=OD 2 -CD 2 =CO 2 =b 2. Aρα εϖαληθεύεται η εξίσωση. Προφανώς λύση είναι και το x=ae. Όχι βέβαια διαφορετική, αϖλώς βρίσκονται οι ίδιες λύσεις αϖό την άλλη µεριά. Αυτό εϖίσης δικαιολογείται και µε µετατροϖή του ϖροβλήµατος σε εύρεση δύο µεγεθών ϖου το άθροισµα και το γινόµενό τους είναι δεδοµένα : x+y = α xy = b 2 Αφού x, (α-x) έχουν άθροισµα α και γινόµενο b 2. Προφανώς το ϖαραϖάνω σύστηµα αϖοτελείται αϖό δύο συµµετρικές εξισώσεις. Αρα είναι λογικό να υϖάρχουν δύο ζευγάρια λύσεων ένα (x,y) και ένα (y,x) όϖως ακριβώς αϖεικονίζονται και στη γεωµετρική λύση. Το ότι το ϖρόβληµα αυτό, όϖως ακριβώς διατυϖώνεται εδώ, είχε αϖασχολήσει τους αρχαίους µαθηµατικούς, αϖοδεικνύεται αϖό την ύϖαρξη της ϖρότασης 85 στα «εδοµένα» του Ευκλείδη: 34

35 'E n dúo eùqe qe ai doq n cwr on perišcwsin n dedo- mšnv gwn v, Ï d sunamfòteroj doqe sa, kaˆ katšra aùtîn œstai doqe sa. Που µας λέει ότι : «αν δύο ευθείες ϖεριέχουν ένα (ϖαραλληλόγραµµο) χωρίο υϖό δεδοµένη γωνία και αν το άθροισµα αυτών εϖίσης είναι δεδοµένο, τότε κάθε µία αϖ αυτές είναι δεδοµένη». Εϖίσης, η ϖρόταση 58 των «εδοµένων» του Ευκλείδη µας δίνει µια ϖιο «αλγεβρική» µορφή του ίδιου ϖροβλήµατος : «Εάν σε γνωστό ευθύγραµµο τµήµα ϖαραβληθεί γνωστό χωρίο ως ϖαραλληλόγραµµο αϖό το οϖοίο να λείϖει ϖαραλληλόγραµµο γνωστό κατά το είδος, τότε οι διαστάσεις αυτού ϖου λείϖει είναι γνωστές». Αν το ίδιο ϖρόβληµα το εξειδικεύσουµε στην ϖιο αϖλή ϖερίϖτωση για ϖαραλληλόγραµµο γνωστό κατά το είδος, το τετράγωνο δηλαδή και για τους αριθµούς ας ϖούµε 5 και 6, όϖου 5 το µήκος του γνωστού ευθυγράµµου τµήµατος και 6 το εµβαδόν του ϖαραβαλλόµενου ϖαρ/µµου, τότε το ϖρόβληµα ανάγεται στην εϖίλυση δύο ϖεριϖτώσεων: Α) η ϖλευρά του τετραγώνου να είναι µικρότερη αϖό το µισό του γνωστού τµήµατος. Β) η ϖλευρά του τετραγώνου να είναι µεγαλύτερη αϖό το µισό του γνωστού τµήµατος. Σχ. 23 Α) Αν είναι ΑΒ=5 και (ΑΡ)=6 τότε ισχύει ότι : (ΑΝ) - χ 2 = (ΑΡ). Αλλά (ΑΝ)=ΑΒ χ και (ΑΡ)=6, άρα η εξίσωση είναι : 5χ - χ 2 = 6 (1) είναι η κλασική : χ 2 5χ + 6=0. Σύµφωνα τώρα µε την αϖόδειξη της ϖρότασης 58, ισχύει ότι: (ΑΡ) είναι ίσο µε τον γνώµονα (ΛΡΘ) δηλ το άθροισµα : (ΜΡ) + (ΡΒ) + (ΝΘ). Αυτό όµως είναι η διαφορά του µικρού τετραγώνου (ΡΗ) αϖό το µεγάλο τετράγωνο (ΗΒ) και είναι γνωστό, διότι το εµβαδόν του (ΑΡ) είναι ίσο µε τον γνώµονα. Εϖοµένως, η διαφορά αυτή είναι γνωστή, είναι γνωστό και το τετράγωνο (ΗΒ) διότι είναι γνωστή η ϖλευρά του, άρα είναι γνωστό το τετράγωνο (ΡΗ). Οϖότε είναι γνωστή η ϖλευρά αυτού του τετραγώνου ΜΚ άρα είναι γνωστό και το ΚΒ=χ σαν διαφορά του ΜΚ αϖό το ΜΒ. Αυτή τη συλλογιστική αν την µεταφέρουµε στο συγκεκριµένο ϖαράδειγµα (1) τότε το (ΑΡ)=6. Τώρα αυτό είναι ίσο µε τη διαφορά : (ΗΒ) (ΗΡ) = 6 δηλ 2,5 2 (ΗΡ) =6 δηλ (ΗΡ) είναι : 0,25. Άρα ΜΚ= 0,5. Εϖοµένως χ = 2,5 0,5=2 35

36 (Β) Η δεύτερη ϖερίϖτωση αϖοτελεί στην ουσία τη διαδικασία εύρεσης της δεύτερης ρίζας. Αν λοιϖόν το Κ βρίσκεται αριστερά του Μ τότε το χ θα είναι µεγαλύτερο του µισού του ΑΒ. Σχ. 24 ΑΒ χ χ 2 = (ΝΚ) δηλαδή 5χ - χ 2 = 6. Εϖειδή (ΝΜ) = ( ΜΡ) έϖεται : 6 + (ΛΤ) = (ΜΣ) άρα (ΜΣ) (ΛΤ) = 6 άρα 6,25 (ΛΤ) = 6 άρα ΚΜ = 0,5 δηλ. χ=3 Ενας µεταγενέστερος ϖαρόµοιος τρόϖος ϖροσέγγισης. Η σχέση µεταξύ αλγεβρικής εϖίλυσης δευτεροβάθµιας εξίσωσης και γεωµετρίας φαίνεται ϖολύ καλά αϖό τον τρόϖο εϖίλυσης της εξίσωσης : χ χ = 39 ϖου ϖροτείνει ο al- Khwarizmi. 9 Πρώτος τρόϖος : Κατασκευάζει ένα τετράγωνο ΑΒ του οϖοίου η ϖλευρά είναι η ζητούµενη ρίζα. Στις τέσσερις ϖλευρές του τετράγωνου κατασκευάζει ορθογώνια ϖου το καθένα έχει ϖλάτος το ¼ του 10 δηλ 2 ½. Ισχύει : χ (2 ½ )χ = 39. Για να κατασκευάσει γύρω-γύρω ένα µεγαλύτερο τετράγωνο, ϖροσθέτει τέσσερα τετράγωνα ϖλευράς 2 ½ δηλ συνολικά 25. Άρα : = 64 9 Αλ Κβαρίζµι ( µ.Χ) Βαγδάτη. Ο πατέρας της Άλγεβρας. ιαχειρίστηκε εξισώσεις α, β βαθµού. 36

37 Σχ. 25 Εϖοµένως : 8 5 = 3 δηλ χ = 3. Είναι η µέθοδος «συµϖλήρωσης τετραγώνου» όϖως λέγεται σήµερα. εύτερος τρόϖος : Σχ. 26 Ισχύει : χ χ = 39 ϖου γίνεται : χ χ = δηλ χ χ + 25 = 64. Άρα η ϖλευρά του τετραγώνου είναι 8. Εϖοµένως : χ = 8 5 = 3 Εϖίσης, µε τη ΙΙ. 5 ϖρόταση εϖαληθεύεται και ο τύϖος ϖου µας µεταφέρει ο Πρόκλος για την εύρεση Πυθαγόρειων τριάδων : «Η µέθοδος του Πυθαγόρα ξεκινά αϖό τους ϖεριττούς αριθµούς. Γιατί θεωρεί τον δοσµένο ϖεριττό αριθµό ως την µικρότερη ϖλευρά ϖου ϖεριέχει την ορθή, ϖαίρνει το τετράγωνό του, αφαιρεί αϖό αυτό µία µονάδα και θεωρεί το µισό του υϖολοίϖου ως την µεγαλύτερη ϖλευρά 37

38 ϖου ϖεριέχει την ορθή. Κατόϖιν ϖροσθέτει στο µισό του υϖολοίϖου µία µονάδα και σχηµατίζει την υϖόλοιϖη ϖλευρά η οϖοία βρίσκεται αϖέναντι αϖό την ορθή.» 2 2 n n ηλ ο τύϖος : ( ) ( ) = n 2 2 x + y 2 x y 2 Αυτός όµως εξάγεται αϖό τον τύϖο: ( ) ( ) = xy ϖου όϖως είδαµε είναι ο κύριος 2 2 τύϖος της ΙΙ. 5 για x=n 2 και y=1. Η ϖρόταση ΙΙ.5 χρησιµοϖοιεί την κατ έλλειψη ϖαραβολή ορθογωνίου ϖαρ/µµου σε δεδοµένο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ. Αϖό το ϖαρακάτω σχήµα φαίνεται ότι στο ευθ. τµήµα ΑΓ ϖαραβάλλεται κατ έλλειψη του τετραγώνου ΒΓ το ορθογώνιο Σχ. 27 2) Αν θεωρήσουµε τη ϖρώτη και τρίτη εξίσωση σύµφωνα µε τον Van der Waerden, δηλ τις : x(α+x) = b 2, x(x-α) = b 2, τότε ϖροφανώς αυτές µϖορούν να αϖοδοθούν κάϖως έτσι : ψάχνουµε να βρούµε δύο µεγέθη ώστε η διαφορά τους να είναι δεδοµένη α, ενώ το γινόµενό τους να είναι b 2. Αλλά διαφορά δεδοµένη έχουν δύο τµήµατα ϖου ϖροκύϖτουν µε εξωτερική τοµή σε ένα δεδοµένο ευθ.τµήµα µεγέθους α. ηλ ότι ακριβώς συµβαίνει στο ΙΙ. 6. Οι ϖροτάσεις ΙΙ. 7, ΙΙ. 8 αϖοτελούν συνέχεια της ίδιας µεθόδου ϖου ακολουθήθηκε αϖ την αρχή του δεύτερου βιβλίου, δηλ όσον αφορά τη διατύϖωση των ϖροτάσεων, αυτές έχουν να κάνουν µε συσχέτιση ορθογωνίων και τετραγώνων ϖου ϖροκύϖτουν αϖό µια τοµή εσωτερική ή εξωτερική δεδοµένου ευθ. τµήµατος, όσον αφορά δε την αϖόδειξη ακολουθείται ϖάλι η µέθοδος : cut and paste «Κόψε και επικόλλησε», παραπέµπει σε µεθόδους δυναµικής Γεωµετρίας. 38

39 ΙΙ. 7 Ισχύει: 2ΑΓ. ΓΒ + ΑΒ 2 = ΑΓ 2 + ΓΒ 2 ϖου είναι η γνωστή ταυτότητα του τετραγώνου της διαφοράς δύο µεγεθών : (ΑΓ-ΓΒ) 2 = ΑΓ 2 + ΓΒ 2-2ΑΓ. ΓΒ Η αϖόδειξη σχεδόν οϖτική. Σχ. 28 ΙΙ. 8 Σχ. 29 Ισχύει: 4ΑΓ. ΒΓ + ΑΒ 2 = (ΑΓ+ΒΓ) 2 ϖου είναι η γνωστή ταυτότητα : (ΑΓ+ΒΓ) 2 (ΑΓ-ΒΓ) 2 = 4ΑΓ. ΒΓ Η αϖόδειξη κι αυτή εύκολη, όϖως φαίνεται αϖ το σχήµα 12. Όµως για ϖρώτη φορά στο δεύτερο βιβλίο, το σχήµα φαίνεται να είναι κάϖως ϖερίϖλοκο, ενώ τα εϖί µέρους στοιχεία του σχήµατος αλληλοεϖικαλύϖτονται. Ετσι η οϖτική αϖόδειξη δεν είναι αϖόλυτα ϖροφανής. 39

40 ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΡΙΤΗ ΑΛΛΑΓΗ ΤΟΥ ΠΛΑΙΣΙΟΥ: η ΙΙ. 9 σηµατοδοτεί την αλλαγή του ϖλαισίου όσον αφορά την αϖοδεικτική µέθοδο, αφού ϖια εγκαταλείϖεται η µέθοδος cut and paste και εισάγεται µια ϖερισσότερο αλγεβρική 11 (µε σύγχρονους όρους µεταφρασµένη). εν εγκαταλείϖεται βέβαια η ρητορική φάση (όϖως την έχει ϖροσδιορίσει ο Victor Katz στην εργασία του «stages in the history of algebra with implications for teaching») ούτε η γεωµετρική διατύϖωση (αυτό όϖως έχουµε εξηγήσει στο ϖρώτο µέρος της εργασίας µας εκ των ϖραγµάτων αϖοκλείεται αφού θεωρούσαν σύµφωνα µε τον Van der Waerden ϖολύ ακριβές να ϖαραστούν τους αριθµούς µε ευθ. τµήµατα). Όµως το σχήµα αϖέχει ϖολύ ϖια αϖό το να ϖαρουσιάζει µια οϖτική αϖόδειξη. Αυτό οφείλεται εν µέρει και στη µορφή του τύϖου της ϖρότασης µιας και αναφέρεται µόνο σε τετράγωνα και όχι σε ορθογώνια και συνεϖώς δεν ήταν εύκολο όϖως ϖριν να χρησιµοϖοιηθεί η ϖροηγούµενη cut and paste. Σαφώς όµως δεν ήταν µόνο αυτό. Σύµφωνα µε τον Heath, στις ϖροτάσεις του δεύτερου βιβλίου ϖαρουσιάζεται µια µέθοδος διδακτική. Το γεγονός ότι οι ϖερισσότερες αϖοδείξεις είναι «οϖτικές» ή σχεδόν «οϖτικές» και ότι µέχρι τη ΙΙ. 9 ϖρόταση όλες είναι ανεξάρτητες µεταξύ τους και ακολουθούν την ίδια σχεδόν αϖοδεικτική µέθοδο ϖου συνίσταται στο σχηµατισµό τετραγώνων και ορθογωνίων τα οϖοία µε «µαγικό τρόϖο» µϖαίνουν το ένα µέσα στο άλλο µας οδηγεί στο συµϖέρασµα ότι ο Ευκλείδης(συνεϖώς και οι αρχικοί εφευρέτες Πυθαγόρειοι ) ήθελε αφ ενός να δηµιουργήσει στους µαθητές ισχυρές εντυ- ϖώσεις, αφ ετέρου να δηµιουργήσει ισχυρούς συνειρµούς σχηµάτων και µαθηµατικών τύϖων. Εϖίσης ήθελε να δώσει στις αϖοδείξεις µια «χαριτωµένη» νότα σα να εϖρόκειτο για ϖαιχνίδι. Παράλληλα ήταν συνεϖής στη δέσµευσή του να χρησιµοϖοιεί ευθ. τµήµατα αντί για αριθµούς. Όµως ο Ευκλείδης ϖροφανώς ήξερε ϖολύ καλά, ότι αυτή η συγκεκριµένη µέθοδος έχει ηµεροµηνία λήξεως. Ηξερε ότι δεν θα εϖαρκούσε και δεν θα εφαρµοζόταν σε οϖοιαδήϖοτε ϖρόταση τουλάχιστον µε την αρχική ευκολία. Αυτό φάνηκε ϖολύ καλά στη ΙΙ. 8 όϖου το σχήµα δυσκολεύει αρκετά, ενώ τα εϖι µέρους στοιχεία αλληλοεϖικαλύϖτονται κρύβοντας ταυτόχρονα το ολοφάνερο της αϖόδειξης. Εχοντας λοιϖόν αυτό σα δεδοµένο ϖροχώρησε σε αλλαγή τακτικής. Η αλλαγή αυτή συνίσταται σε αρκετά στοιχεία : Α) χρησιµοϖοιεί τον τύϖο του Π.Θ. Β) χρησιµοϖοιεί αλγεβρικές ιδιότητες (όϖως κάνουµε σήµερα) Αντικατάσταση, ϖρόσθεση η αφαίρεση στα δύο µέλη του ίδιου µεγέθους, «τα τω αυτώ ίσα είναι και µεταξύ των ίσα»(µεταβατική ιδιότητα). Γ) σχήµατα ϖιο ϖεριορισµένα ϖου η κατασκευή τους όµως δύσκολα αιτιολογείται. Αυτή η «αλλαγή ϖλεύσης» όϖως είδαµε είναι αναγκαστική, όµως εϖειδή ο κύριος άξονας του δεύτερου βιβλίου είναι διδακτικός ο συγγραφέας των «Στοιχείων» ϖροσϖάθησε να αξιοϖοιήσει διδακτικά αυτή την αλλαγή. ηλ να ϖροτείνει στους µαθητές µια νέα µέθοδο αϖόδειξης ϖου θα συνίσταται ϖερισσότερο στη χρήση του Π.Θ. ϖαράλληλα µε το σχεδιασµό ορθογωνίων ισοσκελών τριγώνων στο σχήµα και τέλος χρήση ϖερισσότερων «αλγεβρικών ϖράξεων». Θα ϖροσϖαθήσουµε να εικάσουµε ϖως συνέβη αυτή η διαδικασία αϖό κοντά. Όϖως θα δειχθεί ϖαρακάτω άϖοψη του γράφοντος είναι, ότι ο Ευκλείδης ίσως θα µϖορούσε να αλλάξει τη µέθοδο σύνθεσης τετραγώνων στο σχήµα και να συνεχίσει µια σχεδόν οϖτική αϖόδειξη. Εν τούτοις ϖροτίµησε να ακολουθήσει την «αλγεβρική» µέθοδο αν και γνώριζε την εναλλακτική λύση όϖως µαρτυρά το σχήµα της ϖρότασης και όϖως θα ϖροσϖαθήσω να δείξω ϖαρακάτω. 11 Γενικότερα, στην παρούσα εργασία, λέγοντας «αλγεβρικός» εννοούµε την κοινή µαθηµατική ουσία (δοµή) που ενυπάρχει και στην άλγεβρα και στη γεωµετρία, καθώς η έννοια «άλγεβρα» δεν υφίστατο εκείνη την εποχή! Η διαµάχη πάνω στο ζήτηµα της λεγόµενης «γεωµετρικής άλγεβρας» θα λέγαµε ότι αφορά περισσότερο στην «ονοµατολογία» ενός θέµατος που ούτως ή άλλως τίθεται έντονα! 40

41 Μοιάζει να συµβαίνουν ταυτόχρονα δύο κινήσεις : η εξέλιξη των ϖροτάσεων και η εξέλιξη της διδακτικής µεθόδου. Σε τελευταία ανάλυση, δηµιουργείται µε τη νέα µέθοδο, µια άλλη οϖτική στην οϖοία ενδεχοµένως ήθελε να καταλήξει : όταν διατυϖώνεται η λέξη : τετράγωνο δεν εννοείται ϖλέον το εµβαδόν του σχήµατος «τετραγώνου» αλλά κάτι «άλλο» κατ αρχάς ϖου δεν σχηµατοϖοιείται αλλά εννοείται το σχήµα του. Στη ΙΙ. 9 λοιϖόν για ϖρώτη φορά (µε εξαίρεση το ΙΙ. 48) όταν διατυϖώνεται η λέξη «τετράγωνο» γίνεται το ϖέρασµα ϖρος µια καινούργια έννοια ϖου βρίσκεται λίγο ϖιο ϖέρα αϖό το σχήµα του τετραγώνου και το εµβαδόν του τετραγώνου και ίσως- ίσως ϖλησιάζει λίγο τη συµβολική (αλγεβρική) σηµασία της έννοιας. Μια ϖαρόµοια κατάσταση µελετά και ο Ian Mueller στο : Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid s Elements (σελ. 108, 109). Συγκεκριµένα, αναζητώντας κάϖοιες αριθµητικές εφαρµογές της «γεωµετρικής άλγεβρας» 12 στα «Στοιχεία» στέκεται σε δύο ϖαραδείγµατα : στο IX.15 και στα λήµµατα µετά το Χ.28. Στο ϖρώτο, ο Ευκλείδης εφαρµόζει την ΙΙ. 3, 4 σε αριθµούς, για την αϖόδειξη της ϖρότασης και µάλιστα χρησιµοϖοιεί την έκφραση : «ο αϖό του ΑΒ (τετράγωνος αριθµός)» και «ο αϖό των ΑΒ, ΒΓ γενόµενος αριθµός» αντί του : «το αϖό του ΑΒ (τετράγωνο)» και «το αϖό των ΑΒ, ΒΓ ϖεριεχόµενον ορθογώνιον». Αυτό δείχνει, αν µη τι άλλο, ότι ο Ευκλείδης ήξερε να χρησιµοϖοιεί τις ταυτότητες της «γεωµετρικής άλγεβρας» για αριθµούς, όϖως εϖίσης ότι αυτός όχι µόνο δεν χρειαζόταν σχήµα για να εκφράσει την έννοια του «τετραγώνου» αλλά και µε µεγάλη ευκολία, όταν ανέφερε την λέξη «τετράγωνο» ενδέχεται να εννοούσε και το σχήµα αλλά και τον τετράγωνο αριθµό. Αυτό είναι ένα εϖιϖλέον εϖιχείρηµα της άϖοψής µας ότι, όταν ανέφερε την λέξη : «τετράγωνο» είχε ϖλησιάσει τη συµβολική (αλγεβρική) σηµασία της έννοιας. Στα λήµµατα µετά την X. 28 εφαρµόζει την ΙΙ. 6 για αριθµούς ϖάλι. Αλλά ας δούµε αϖό κοντά την ϖρόταση ΙΙ. 9: «'E n ra eùqe a gramm¾ tmhqí e j sa kaˆ nisa, t põ tîn n swn táj Ólhj tmhm twn tetr gwna dipl - si sti toà te põ táj ¹mise aj kaˆ toà põ táj metaxý tîn tomîn tetragènou Óper œdei de xai.» Αν ο Ευκλείδης ήθελε να συνεχίσει τη µέθοδο της ΙΙ. 8 δηλ του cut and paste θα εϖέλεγε το ϖαρακάτω σχήµα : Σχ. 30 Προφανώς, ισχύει ότι : τετραβ + τετρβγ = 2 τετραμ + 2P (1) Tα δύο P ϖερισσεύουν ενώ P σηµαίνει τετρμβ. Η (1) τώρα µεταφράζεται ως εξής : ΑΒ 2 + ΒΓ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΜΒ 2 δηλ η ζητούµενη σχέση. 12 Περισσότερα για το ιστορικό της διαµάχης πάνω στον όρο «γεωµετρική άλγεβρα» θα βρείτε στο «ιαµάχες για την ιστορία των αρχαίων ελληνικών µαθηµατικών» κείµενα των S. Unguru, B. L. Van der Waerden, H. Freudenthal, A. Weil.(Εισαγωγή- επιµέλεια Γιάννης Χριστιανίδης, ηµήτρης ιαλέτης). 41

42 Όµως αυτή η αϖόδειξη εν συγκρίσει µε τις αρχικές είναι άκοµψη και είναι δύσκολο να την εϖινοήσεις και να τη χαράξεις στην µνήµη. Γι αυτό έχει µειωµένη διδακτική αξία ϖαρ όλο ϖου είναι σχεδόν οϖτική. Αντίθετα αν δούµε το σχήµα ϖου µας έχει δώσει στη ΙΙ. 9 και βάλουµε λίγο τη φαντασία µας να δουλέψει, δηλ ν αλλάξουµε λίγο το ϖλαίσιο και να σκεφτούµε ας ϖούµε την αϖεικόνιση του τετραγώνου λίγο διαφορετικά τότε ϖροκύϖτει µια σχεδόν οϖτική αϖόδειξη! Ξεκινάµε λοιϖόν µε τον τύϖο της ΙΙ. 9 : ΑΒ 2 + ΒΓ 2 = 2ΜΒ 2 + 2ΜΑ 2 (1) Σχ. 31 Αν διαιρέσουµε δια 2 γίνεται : ΑΒ 2 /2+ ΒΓ 2 /2 = ΜΒ 2 + ΜΑ 2 (2) Όµως αν κοιτάξουµε το σχήµα της αϖόδειξης της ΙΙ. 9 των «Στοιχείων» θα δούµε ότι αλλάζοντας το ϖλαίσιο του cut and paste µϖορούµε να βρούµε το ΜΑ 2 του δευτέρου µέλους ως εξής : Σχ. 32 Φέρνουµε κάθετο στην ΑΓ στο Μ µε µέγεθος ΜΚ=ΜΑ=ΜΓ. Προφανώς έτσι κατασκευάζεται ένα τετράγωνο µε ϖλευρά ΜΑ δηλ το ΜΑ 2 χωρισµένο στα δύο και διαφορετικά τοϖοθετηµένο. Με ανάλογη σκέψη, φέρνουµε κάθετη στην ΑΓ στο Β και ϖροεκτείνουµε την ΑΚ µέχρι αυτές οι δύο να τµηθούν στο Λ. Προφανώς ϖάλι το (ΚΛΕ) είναι το ΜΒ 2. Και όϖως είϖαµε (ΚΑΓ)=ΜΑ 2. Ισχύει: (ΑΚΛΕΓΑ)=(ΚΛΕ) + (ΚΑΓ). 42

43 Οϖτικά βλέϖουµε ότι : (ΑΚΛΕΓΑ)= (ΑΛΒ) + (ΕΒΓ) αυτό µεταφράζεται στη σχέση (2), διότι (ΑΛΒ)= ΑΒ 2 /2 και (ΒΕΓ)= ΒΓ 2 /2. Αντί γι αυτό στην αϖόδειξη των «Στοιχείων» γίνεται κάτι ϖαρόµοιο. Ενώνει τα Α, Ε και φέρνει αϖό το Ε κάθετη στο ΚΜ την ΕΡ. Τότε ισχύει : ΑΕ 2 =ΚΑ 2 + ΚΕ 2 = 2ΑΜ 2 + 2ΜΒ 2 Αλλά : ΑΕ 2 = ΕΒ 2 + ΑΒ 2 = ΒΓ 2 + ΑΒ 2. Αϖό την ισότητα των ϖρώτων µελών ϖροκύϖτει η (1). Το ερώτηµα είναι, γιατί ο Ευκλείδης ϖροτίµησε τη τελευταία ϖροηγούµενη! µέθοδο και όχι την Η δική µας άϖοψη είναι ότι ϖροτίµησε µια ϖερισσότερο «αλγεβρική» µέθοδο διότι καταλάβαινε ότι η µέθοδος cut and paste δεν µϖορούσε να συνεχιστεί για όλες τις ϖροτάσεις, αλλά και διότι ήθελε να αναδείξει µια µέθοδο ϖου ϖεριείχε ϖερισσότερες ϖράξεις. Μια µέθοδο ϖου θα χρησιµοϖοιήσει και στο ΙΙΙ βιβλίο (ΙΙΙ. 14, ΙΙΙ. 35). Η ΙΙ. 10 είναι συµϖληρωµατική της ϖρότασης ΙΙ. 9 συγκεκριµένα : 'E n eùqe qe a gramm¾ tmhqí d ca ca, prosteqí dš tij aùtí eùqe a p' eùqe aj, tõ põ táj Ólhj sýn tí proskeimšnv kaˆ tõ põ táj proskeimšnhj t sunamfòtera tetr gwna dipl si sti toà te põ táj ¹mise aj kaˆ toà põ táj sugkeimšnhj œk te táj ¹mise aj kaˆ táj proskeimšnhj æj põ mi j nagrafšntoj tetragènou. Σχ. 33 ηλ είναι η ίδια ϖρόταση µε την ΙΙ. 9 αφορά όµως εξωτερικά σηµεία του ΑΒ, τα σηµεία και ισχύει : Α 2 + Β 2 = 2ΜΒ 2 + 2Μ 2 Αν βάλουµε όϖου : Α =x και Β = y τότε ο τύϖος γίνεται : x 2 + y 2 = 2[(x-y)/2] 2 + 2[(x+y)/2] 2 ή 2x 2 + 2y 2 = (x-y) 2 + (x+y) 2 (2) Όµως ο ίδιος τύϖος µϖορεί να εξαχθεί και αϖό την ϖρόταση ΙΙ. 9 ΑΒ 2 + ΒΓ 2 = 2ΜΒ 2 + 2ΜΑ 2 (σχ. 14) αν θέσουµε όϖου ΑΒ=x και ΒΓ=y οϖότε x 2 + y 2 = 2[(x-y)/2] 2 + 2[(x+y)/2] 2 δηλ ο ίδιος τύϖος (2). Αν τώρα αλλάξουµε λίγο το ϖλαίσιο και θέσουµε στο σχήµα 14 όϖου ΜΒ=x και όϖου ΒΓ=y τότε ο τύϖος : ΑΒ 2-2ΜΑ 2 = 2ΜΒ 2 - ΒΓ 2 γίνεται : (2x+y) 2 2(x+y) 2 = 2x 2 y 2 (3) Αυτός ο τύϖος είναι ϖηγή έµϖνευσης των λεγοµένων : «ϖλευρικών διαµετρικών» αριθµών ϖου όϖως µας αναλύει ο Πρόκλος έλκουν καταγωγή αϖ τους Πυθαγόρειους και έχουν 43

44 µεγάλη ανάµειξη στην ανακάλυψη της αρρητότητας του λόγου ϖλευράς-διαµέτρου τετραγώνου. Για να ϖλησιάσουµε τον τρόϖο σκέψης ϖερίϖου, µϖορούµε να σκεφτούµε τα εξής : Αν θέσουµε όλα τα τετράγωνα ακεραίων σε µια διάταξη : 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289 ϖαρατηρούµε ότι για κάϖοια τετράγωνα ισχύει ότι το διϖλάσιό τους ϖλησιάζει ϖολύ κάϖοιο άλλο τετράγωνο. Π.χ =2 ~ = 8 ~ 3 2, =50 ~ 7 2, =288 ~ 17 2 και συγκεκριµένα όχι αϖλά ϖλησιάζει αλλά διαφέρει το αϖοτέλεσµα κατά 1. ±1 Αν συνδυάσουµε αυτή τη γνώση µε τη γνώση του τύϖου (3) τότε καταλήγουµε στο εξής συµϖέρασµα : Αν το 2x 2 y 2 είναι ίσο µε ±1 τότε αναγκαστικά αϖό τον τύϖο (3)και οι αριθµοί : 2x+y, x+y θα είναι λύσεις της ίδιας εξίσωσης δηλ της : 2x 2 y 2 =±1. Αυτό σηµαίνει ότι γνωρίζουµε τον αναδροµικό τύϖο των ϖλευρικών διαµετρικών, αφού κατ αρχάς γνωρίζουµε το ϖρώτο ζευγαράκι των αριθµών δηλ το (1,1). Τα υϖόλοιϖα είναι : (2,3),(5,7),(12,17),(29,41) κ.λ.ϖ. ϖου βρίσκονται βάσει των τύϖων : (x+y, 2x+y). Προφανώς αυτοί οι αριθµοί είχαν ενδιαφέρον για τους Πυθαγόρειους και ονοµάσθηκαν «ϖλευρικοί- διαµετρικοί» διότι αϖοτελούσαν µια ϖροφανή καλή ακέραιη ϖροσέγγιση «µεγεθών» ϖου µϖορούσαν να είναι αντίστοιχα ϖλευρές και διαγώνιοι (διάµετροι) τετραγώνου. Όµως µόνο ϖροσέγγιση και όχι ακριβή εϖαλήθευση. Τέθηκε λοιϖόν το εξής ζήτηµα : ήταν σίγουρο ότι υϖήρχαν ακέραιοι ή λόγοι ακεραίων (κανονικοί αριθµοί για τους αρχαίους) οι οϖοίοι ϖλησίαζαν µόνο την ϖλευρά και τη διάµετρο τετραγώνου. Εφ όσον όµως γεωµετρικά ίσχυε, δηλ ότι ένα τετράγωνο ευθ. τµήµατος ήταν ίσο µε το διϖλάσιο του τετραγώνου ενός άλλου τµήµατος, άρα έβγαινε το συµϖέρασµα ότι αυτή η σχέση θα ίσχυε ακριβώς για κάϖοιους άλλους αριθµούς, ϖέρα αϖό τους ακέραιους. Οι Πυθαγόρειοι γνωρίζανε ότι αυτή η ισότητα δηλ η 2x 2 =y 2 ϖοτέ δεν θα εϖαληθευόταν για ακέραιους αριθµούς, αφού άλλωστε µϖορούσαν να αϖοδείξουν ότι : 2x 2 y 2 =±1 για κάϖοιους ακέραιους. Ας υϖοθέσουµε ότι αυτοί οι αριθµοί γράφονται µε µορφή ακολουθίας : (p n, q n) τότε ο τύϖος (3) γράφεται ως εξής : q n+1 2-2p n+1 2 = 2p n 2 - q n 2 αν θέσουµε p n=x, q n=y οϖότε : q n+1=2x+y, p n+1=x+y Αϖόδειξη της 2x 2 y 2 =±1 Ισχύει : 2p n 2 - q n 2 = -(2q n-1 2 q n-12 ) = -(-(2p n-22 -q n-22 ) = =(-1) n-1 (2p n-(n-1) 2 q n-(n-1)2 ) = (-1) n-1 (2-1)=(-1) n-1. (Για n=1 ισχύει. Έστω ότι ισχύει για n=k δηλ. 2p k2 -q k2 =(-1) k-1 τότε ισχύει : 2p k+12 - q k+12 =q k2-2p k2 =-(-1) k-1 =(-1) k+1-1, άρα δείχθηκε.) Συµϖέρασµα : Οι ϖροτάσεις ΙΙ. 9, ΙΙ. 10 είναι στην ουσία η «ϖηγή» της δηµιουργίας των «ϖλευρικών-διαµετρικών» αριθµών η ανακάλυψη των οϖοίων συνέτεινε ϖάρα ϖολύ στην ανακάλυψη της αρρητότητας. Προς εϖίρρωση των ϖαραϖάνω ϖαραθέτουµε το αϖόσϖασµα (Vol.II, 24) των «σχολίων για την Πολιτεία του Πλάτωνα» του Πρόκλου. KG. Oti aƒ ta j rr»toij diamštroij parake menai h- taˆ mon di me zouj e sˆn À l ttouj diplas ou ou, di tîn riqm riqmîn oƒ PuqagÒreioi deiknúousin. peˆ g r ¹ mo- 44

45 n j p nta stˆn spermatikîj, dálon, fas n, Óti kaˆ pleur stin kaˆ di metroj. œstwn oân dúo mon dej dej, m n æj pleur [ d] d æj di metroj, kaˆ proske sqw tí m n æj pleur m a di metroj, tí d æj diamštrj pleuraˆ dúo, pe per ¹ æj di metroj mon di l sswn À diplas a táj æj pleur j. œstai oân oûtwj m n due n mon dwn, d triîn kaˆ t m n põ toútwn t táj m n tess rwn, táj d nnša, Óper stˆn mon di me zon À dipl sion. p lin proske sqw tí m n due n m a di metroj ¹ triîn, tí d triîn diamštrj dˆj ¹ pleur ta n due n. œstai oân ¹ m n pleur pšnte tinîn, ¹ d di metroj pt tinwn, kaˆ t p' aùtîn táj m n ke, táj d mq, mon di l ssona À dipl sion. Î kaˆ Ð Pl twn e pen tõn Ñktë kaˆ tettar - konta riqmõn e nai põ diamštrwn htîn m n pemp doj deomšnwn nòj, rr»twn d deomšnwn due n, peid¾ dipl - sion ¹ di metroj dúnatai táj pleur j. n d l bwmen p saj t j põ tîn toioútwn diamštrwn, œsontai dipl siai Ôntwj, ïn k sth mon di me zwn À l sswn diplas ou oœon ¹ nnša met toà mq táj toà ke kaˆ d. d diõ kaˆ oƒ PuqagÒreioi q rrhsan tí meqòdj. KZ. Oti peid¾ dúnaton ht¾n e nai t¾n di metron táj pleur j oüshj htáj (où g r stin tetr gwnoj riqmõj tetragènou dipl sioj ú kaˆ dálon Óti súmmetr stin megšqh, kaˆ Óti 'Ep kouroj yeudîj poiîn mštron t¾n to- mon p ntwn swm twn kaˆ Ð Xenokr thj t¾n tomon gram- m¾n tîn grammîn), penòhsan oûtw lšgein oƒ PuqagÒreioi kaˆ Pl twn, táj pleur j oüshj htáj t¾n di metron h- t¾n oùc plîj, ll' n oœj dúnantai tetragènoij, toà diplas ou lògou, Ön de t¾n di metron poie n, À mon di [dš dš]ousan À mon di pleon zousan pleon zousan m n æj toà D tõn Q, dšousan d æj toà KE tõn MQ. Proet - qesan d oƒ PuqagÒreioi toútou toiònde qeèrhma glafurõn perˆ tîn diamštrwn kaˆ pleurîn, Óti ¹ m n di metroj proslaboàsa t¾n pleur n, Âj stin di metroj, g netai pleur, ¹ d pleur autí sunteqe sa kaˆ proslaboàsa t¾n di metron t¾n autáj g netai di metroj. kaˆ toàto de knutai di tîn n tù deutšrj stoice wn grammikîj p' ke nou. n eùqe a tmhqí d ca, prosl bv d eù- qe an, tõ põ táj [Ólhj sýn tí proskeimšnv] kaˆ tõ põ [taú taú]thj thj [mònhj tetr gwna di]pl sia toà te põ táj ¹mi- se [aj kaˆ toà põ] táj sugkeimšnhj k táj ¹m[ise aj kaˆ táj] proslhfqe shj. œstw g r pl[eur ¹ AB kaˆ sh] aùtí ¹ [BG BG] kaˆ di metroj táj [AB ¹ GD dipl ]sion aù- táj dunamšnh, di tõ qeèrhma œstai tõ põ táj AD met toà põ táj DG dipl sion toà põ táj AB kaˆ põ táj BD. ïn tõ põ táj DG dipl sion toà põ táj AB kaˆ lo[ipõn ipõn] ra tõ põ táj AD toà põ táj BD dipl sion n g r Ï æj Ólon prõj Ólon, oûtwj fa[ireq n ireq n] prõj faireqšn, œstai kaˆ tõ loipõn [prõj tõ loi]põn æj Ólon prõj Ólon on.. [¹][ ra GD di metroj proslaboàsa t¾n BG pleur n sti pleur ¹ d AB aut¾n proslaboàsa t¾n BG kaˆ t¾n di metron autáj t¾n GD stˆ di metroj dún[atai atai] g r dipl sion táj pleur j táj DB. Taàta m n oân taútv deiknúsqw d pˆ tîn htîn diamštrwn riqmh qmh- tikîj, j e pomen mon di me zouj e nai À l ssouj. œstw mon j, perˆ d aùt¾n œstw mon j,, < > < kaˆ pleur stin autáj, diòti pax tõ n g netai n, kaˆ di metroj ht», mon di poioàsa œlasson toà põ táj pleur j, toàt' œstin toà f' autáj n g r prosl bv p mon da tõ p' aùtáj, Ó sti tõ n, g netai toà põ aùtáj æj pleur j dipl sion. labštw oân ¹ diametrik¾ mon j pleur n, Ó sti mon da 45

46 (kaˆ g r aûth di metroj Ãn), g netai du j kaˆ pleur te- tr doj ¹ d pleurik¾ mon j autí sunteqe sa labštw di - metron llhn mon da (Ãn g r kaˆ ¹ diametrik»), g netai tri j kaˆ poie tõn nnša, mon di me zona toà põ du doj kaˆ xáj ¹ du j proslabštw pleur oâsa t¾n tri da [di di] m m[etr etr]on oâsan, g n[etai pemp] j j kaˆ ¹ [tri tri] j pros- [laboàsa laboàsa] dˆj t¾n du da g netai i p[t j t j]. kaˆ œsti tõ m n põ táj pent doj e kosi pšnte, tõ d põ táj [pt pt ]doj tessar konta q, q, [Ój[ sti mo]n di l s[swn swn toà] põ táj pem[p p ]doj doj. p lin ¹ pemp j proslabštw t¾n pt da kaˆ ¹ pt j dˆj t¾n pemp da g netai Ð m n põ toà dèdeka katõn tessar konta tšssara, Ð d põ toà ptaka deka diakòsia Ñgdo»konta nnša, Ój sti mon di me zwn À dipl - sioj toà katõn tessar konta tšssara kaˆ eˆ oûtwj. Για το τέλος αυτής της ϖαραγράφου ϖαραθέτουµε το ϖαρακάτω σχήµα αϖό το βιβλίο του Heath, ϖου µας δείχνει ϖως ϖερίϖου ϖροέκυψαν οι «ϖλευρικοί-διαµετρικοί». Σχ. 34 «Εϖειδή όµως είναι αδύνατον η διαγώνιος να είναι ρητή, όταν η ϖλευρά είναι ρητή (γιατί δεν υϖάρχει τετράγωνος αριθµός διϖλάσιος ενός τετράγωνου αριθµού και εξ αυτού έγινε φανερό ότι υϖάρχουν ασύµµετρα µεγέθη και ότι ήταν λάθος του Εϖίκουρου να κάνει το άτοµο µέτρο όλων των σωµάτων και του Ξενοκράτη να κάνει την άτµητη γραµµή µέτρο των γραµµών), οι ϖυθαγόρειοι και ο Πλάτων σκέφτηκαν λοιϖόν να ϖουν ότι, όταν η ϖλευρά είναι ρητή, η διαγώνιος δεν είναι αϖλώς ρητή, αλλά τα τετράγωνα αυτών των διαγωνίων είναι µια µονάδα µεγαλύτερα ή µικρότερα αϖό το διϖλάσιο τετράγωνο των ϖλευρών, µε το οϖοίο το τετράγωνο της διαγωνίου ϖρέϖει να είναι ίσο. Ανέφεραν ως ϖαράδειγµα του ϖλεονασµού µιας µονάδας την ϖερίϖτωση του 4 και του 9, ως ϖαράδειγµα έλλειψης µιας µονάδας την ϖερίϖτωση του 25 και του 49. Αντί να ϖαρουσιάσουν µε αυτόν τον τρόϖο τα ϖράγµατα, οι ϖυθαγόρειοι ϖροτίµησαν ένα γλαφυρό θεώρηµα σχετικά µε τις διαγωνίους και τις ϖλευρές, σύµφωνα µε το οϖοίο η διαγώνιος, αυξηµένη αϖό την ϖλευρά ϖου της αντιστοιχεί, γίνεται ϖλευρά ( σε ένα νέο τετράγωνο), ενώ η ϖλευρά, ϖου ϖροστίθεται στον εαυτό της και αυξάνεται αϖό τη διαγώνιο ϖου της αντιστοιχεί, γίνεται διαγώνιος. Και τούτο αϖοδεικνύεται µε σχήµατα αϖό τον Ευκλείδη στο δεύτερο βιβλίο των Στοιχείων. Αν ένα ευθύγραµµο τµήµα διαιρεθεί σε δύο τµήµατα και του ϖροστεθεί άλλο ένα τµήµα, το άθροισµα των τετραγώνων στο άθροισµα των δύο τµηµάτων και στο τµήµα ϖου ϖροστέθηκε είναι ίσο µε το διϖλάσιο του αθροίσµατος των τετραγώνων στο µισό (του δεδοµένου τµήµατος) και στο τµήµα ϖου είναι το άθροισµα αυτού του µισού και του τµήµατος ϖου ϖροστέθηκε. Έστω λοιϖόν η ϖλευρά ΑΒ και ίση µε αυτή το ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ. Έστω τώρα Γ η διαγώνιος ϖου αντιστοιχεί στο ΑΒ και τέτοια ϖου το τετράγωνό της να αντιστοιχεί στο ΑΒ και τέτοια ϖου το τετράγωνό της να αντιστοιχεί στο διϖλάσιο του τετραγώνου του ΑΒ. Σύµφωνα µε το ϖαραϖάνω θεώρηµα το τετράγωνο στο Α, ϖου αυξάνεται αϖό το τετράγωνο στο Γ, θα είναι ίσο µε το διϖλάσιο του αθροίσµατος 46

47 του τετραγώνου στο ΑΒ και του τετραγώνου στο Β. Ανάµεσα στους όρους, το τετράγωνο στο Γ είναι ίσο µε το διϖλάσιο του τετραγώνου στο Β. ιότι, αν αϖό δύο µεγέθη ϖου έχουν µεταξύ τους συγκεκριµένη σχέση αφαιρέσουµε µεγέθη ϖου έχουν µεταξύ τους την ίδια σχέση, τα υϖόλοιϖα θα έχουν την ίδια σχέση. Το άθροισµα λοιϖόν της διαγωνίου Γ και της ϖλευράς ΒΓ είναι µια ϖλευρά (ενός νέου τετραγώνου) και το άθροισµα της ϖλευράς ΑΒ, του τµήµατος ΒΓ, ίσου µε το ΑΒ, και της διαγωνίου ϖου αντιστοιχεί στο ΑΒ είναι η διαγώνιος (του ίδιου νέου τετραγώνου). ιότι το τετράγωνο στο τελευταίο αυτό άθροισµα είναι ίσο µε το διϖλάσιο του τετραγώνου στην ϖλευρά Β. Αυτά είναι τα αϖοτελέσµατα ϖου ϖροκύϖτουν αϖό τη γεωµετρική µέθοδο. Ας δείξουµε τώρα χρησιµοϖοιώντας την αριθµητική µέθοδο στις ρητές διαγωνίους ϖου (υψωµένες στο τετράγωνο) είναι, όϖως είχαµε ϖαραϖάνω, µια µονάδα µεγαλύτερες ή µικρότερες (αϖό το διϖλάσιο τετράγωνο της αντίστοιχης ϖλευράς). Έστω λοιϖόν µια µονάδα και γύρω αϖό αυτήν µια άλλη µονάδα. Η µονάδα ( ϖου θεωρείται ως διαγώνιος) είναι εϖίσης η ϖλευρά ϖου αντιστοιχεί στη διαγώνιο µονάδα, αφού άϖαξ η µονάδα ϖαράγει τη µονάδα. Αυτή η διαγώνιος µονάδα είναι µια ρητή διαγώνιος, αϖό τη στιγµή ϖου το τετράγωνο της είναι µια µονάδα µικρότερο αϖό το άθροισµα των τετραγώνων των ϖλευρών, δηλαδή αϖό το διϖλάσιο τετράγωνο ϖου κατασκευάζεται στην ίδια. Αν ϖράγµατι ϖροστεθεί µια µονάδα στο τετράγωνο της διαγωνίου, ϖου το ίδιο είναι µονάδα, ϖροκύϖτει το διϖλάσιο του τετραγώνου ϖου κατασκευάζεται στην µονάδα ϖου θεωρήθηκε ως ϖλευρά. Ας ϖροσθέσουµε τώρα στη µονάδα ϖου ϖαίρνουµε ως διαγώνιο την ϖλευρά µονάδα (και αυτή η µονάδα εϖίσης αϖεικόνιζε τη διαγώνιο) το αϖοτέλεσµα αυτής της ϖράξης είναι µια δυάδα, ϖλευρά ενός τετραγώνου τεσσάρων µονάδων. Αϖό την άλλη ϖροσθέτουµε στην ϖλευρά µονάδα ως διαγώνιο (γιατί αυτή η µονάδα αϖεικόνιζε εϖίσης τη διαγώνιο) το αϖοτέλεσµα της ϖρόσθεσης είναι µια τριάδα, ϖλευρά ενός τετραγώνου εννέα µονάδων, µεγαλύτερο κατά µία µονάδα αϖό το άθροισµα των τετραγώνων ϖου κατασκευάζονται σε δύο διάδες. Αν ϖροσθέσουµε στη συνέχεια στη δυάδα ϖλευρά την τριάδα διαγώνιο, ϖροκύϖτει 5. Η ϖρόσθεση της τριάδας στη διϖλάσια δυάδα ϖαράγει το 7. Το τετράγωνο του 5 είναι το 25 και το τετράγωνο του 7 το 49, αριθµός ϖου είναι κατά µία µονάδα µικρότερος αϖό το διϖλάσιο του τετραγώνου του 5. Ας ϖροσθέσουµε τώρα το 5 στο 7 και το 7 στο δύο φορές το 5 : το τετράγωνο του 12 είναι το 144 και το τετράγωνο του 17 το 289, αριθµός ϖου είναι κατά µία µονάδα µεγαλύτερος αϖό το διϖλάσιο του 144 : κι έτσι εϖ άϖειρον.»(εις τας Πολιτείας Πλάτωνος Υϖόµνηµα, ΚΖ,27, Πρόκλος) Η ϖρόταση ΙΙ. 11 µας λέει : T¾n doqe san eùqe an teme n éste tõ ØpÕ táj Ólhj kaˆ toà tšrou tîn tmhm twn periecòmenon Ñrqogènion son e nai tù põ toà loipoà tm»matoj tetragènj. Σχ. 35 ηλ να ισχύει : ΑΓ. ΒΓ = ΑΒ 2. Αν θεωρήσουµε ΑΓ=α και ΑΒ=x τότε η ισότητα γίνεται : α. (αx) = x 2. Προφανώς, αυτή γίνεται : α 2 - αx = x 2 ή α 2 = αx + x 2 (4). Το Λ είναι η λεγόµενη «χρυσή τοµή» όϖως βλέϖουµε αϖό τον τύϖο της ϖρότασης και όϖως θα εϖαναφέρει στο VI. 30 ονοµάζοντας τη διαίρεση ευθ. τµήµατος σε «µέσο και άκρο λόγο». Συγκεκριµένα ισχύει : ΑΓ. ΒΓ= ΑΒ 2 ΑΓ/ΑΒ=ΑΒ/ΒΓ.(Σχ. 35) 47

48 Σχ. 36 Στο σχ. 36 βλέϖουµε την κατασκευή της χρυσής τοµής όϖως την κάνει ο Ευκλέιδης στην ΙΙ. 11. Όϖως ήδη έχουµε αναφέρει η κατασκευή της λύσης της εξίσωσης : α 2 = αx + x 2 ανάγεται στην ϖαραβολή µε υϖερβολή τετραγώνου όϖου αντί της σταθεράς F έχουµε το α 2. Στην VI. 30 χρησιµοϖοιεί «ϖαραβολή ϖαραλληλογράµµου σε ευθύγραµµο τµήµα καθ υϖερβολή τετραγώνου». Σχ. 37 Η κατασκευή γίνεται ως εξής : Φτιάχνουµε κατ αρχάς το τετράγωνο ΖΓ µε ϖλευρά ΑΓ. Παραβάλλουµε κατόϖιν στο γνωστό ευθύγραµµο τµήµα ΑΖ το ορθογώνιο ϖαραλληλόγραµµο ΖΘ καθ υϖερβολή τετραγώνου ώστε να έχει εµβαδόν όσο το τετράγωνο ΖΓ. Αυτό γίνεται µε τον τρόϖο της ϖρότασης VI. 29. To B είναι το ζητούµενο σηµείο. ιότι : 2 ΑΒ = ΑΓi ΒΓ 48

49 Η «χρυσή τοµή» γενικά αϖ ότι φαίνεται, κέντρισε το ενδιαφέρον των αρχαίων αφού είχε άµεση σχέση και µε την αρρητότητα αλλά και µε την αϖειρία. Στην ουσία η λύση της εξίσωσης είναι ένας άρρητος αριθµός ϖου η εύρεσή του µας δίνει τη δυνατότητα να βρούµε µια µοναδική αναλογία και εϖίσης µία τοµή σ ένα δεδοµένο ευθ. τµήµα ϖου αϖετέλεσε σταθµό στην ιστορία της αισθητικής και της τέχνης γενικότερα. Αν το δούµε το ϖρόβληµα ϖιο αϖλουστευµένα θα µϖορούσαµε να ϖούµε σε τελευταία ανάλυση ότι ψάχνουµε να βρούµε ένα σηµείο Λ στο ΑΒ ώστε P=L. Σχ. 38 Αυτό όµως είναι στην ουσία ένα ϖρόβληµα κατασκευής «ϖαραϖληρωµάτων» σε ϖαραλληλόγραµµο (Ι.43) όϖου το ένα αϖό τα δύο ϖαραϖληρώµατα ϖρέϖει να είναι τετράγωνο! Η αλλιώς µετακινώ την ευθεία ΖΗ µέσα στην ορθή γωνία Ζ µέχρι το ΗΒ=ΑΛ. Προφανώς υϖάρχει µοναδική λύση. Εϖίσης : P=L. Το (ΗΖ) είναι χρυσό ορθογώνιο, όϖως εϖίσης και το (ΗΑ), όϖως και το (ΗΛ). Στο ίδιο σχήµα µϖορούν να κατασκευαστούν άϖειρα, σαν να είναι είδωλα δύο αντικρυστών καθρεϖτών. Εϖίσης είναι ένα σχήµα αυτοοµοιότητας (fractals). Τα δύο αυτά τµήµατα: ΑΛ, ΛΒ είναι ασύµµετρα αφού έχουν άϖειρη ανθυφαίρεση : [1,1,1,.]. Σύµφωνα µε την άϖοφη του κ. Στυλιανού Νεγρεϖόντη, ισχύουν τα εξής : Έστω δύο ευθύγραµµα τµήµατα α, β σε µέσο και άκρο λόγο. Τότε θα ισχύει η ϖαρακάτω ισότητα : α 2 = αβ + β 2 (1) δηλ σχηµατίζεται γνώµων : α 2 β 2 = αβ. Άρα: α 2 > αβ δηλ α>β. Τότε αϖό την ϖρόταση Ι.3 µϖορούµε να διαιρέσουµε τον µικρότερο αϖό τον µεγαλύτερο και να ϖάρουµε τη σχέση : α=β+γ 1. Μϖορούµε τώρα να υψώσουµε στο τετράγωνο τη σχέση (1). ηλαδή : (β+γ 1) 2 = (β+γ 1)β + β 2 οϖότε : β 2 + γ βγ 1 = β 2 + γ 1β + β 2 άρα : β 2 = γ 1β + γ 1 2 Οϖότε : β 2 γ 1 2 = βγ 1 καινούργιος γνώµων. Ισχύει : β 2 > βγ 1 άρα β>γ 1. Εϖοµένως το ϖρώτο ϖηλίκον είναι το 1 δηλ ο συντελεστής του β. Οµοίως συνεχίζεται εϖ αϖειρον. ηλαδή : α = β+γ 1, β = γ 1 + γ 2, γ 1 = γ 2 + γ 3 Άρα η ανθυφαίρεση είναι : [1,1,1,.]. Παρατηρούµε ότι ο γνώµων µειούται αλλά διαφυλάττει το αρχικό σχήµα και άρα είναι το Πέρας. Αυτή η διαιρετική διαδικασία συνεχίζεται µέχρι το άϖειρο. 13 Σύµφωνα µε το X.2 των «Στοιχείων» : «εδοµένων δύο άνισων µεγεθών, εάν αϖό το µεγαλύτερο ανθυφαιρείται συνεχώς το µικρότερο και ϖοτέ το υϖόλοιϖο δεν διαιρεί ακριβώς το ϖροηγούµενό του, τα µεγέθη θα είναι ασύµµετρα.» ϖροκύϖτει ότι τα α, β είναι ασύµµετρα. 13 «στιγµές και διάρκειες», Η Φύση της Γεωµετρίας και της Φιλοσοφίας των Πυθαγορείων, Στυλ. Νεγρεπόντη (σελ. 234) 49

50 Εϖίσης, στο σχήµα 38 βλέϖουµε ξεκάθαρα ότι : το ορθ(αλζ) + L= τετρ.(αβζ). Εϖειδή τώρα θέλουµε να βρούµε το ΑΛ=x και ισχύει ότι ορθ.(αλζ) = αx L= x 2 και τετρ.(αβζ) = α 2 έϖεται ότι : α 2 = αx + x 2. ΧΡΥΣΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ Η σπείρα που δηµιουργείται από τις διαγωνίους των τετραγώνων των χρυσών ορθογωνίων, παραπέµπει στην απειρία των ανθυφαιρέσεων των ασυµµέτρων τµηµάτων. Ως γνωστόν η χρυσή τοµή δηµιουργεί ασύµµετρα τµήµατα. 50

51 Η ϖρόταση ΙΙ. 12 µας λέει : 'En to j mblugwn oij trigènoij tõ põ táj t¾n mble - an gwn an ØpoteinoÚshj pleur j tetr gwnon me zòn sti tîn põ tîn t¾n mble an gwn an periecousîn pleurîn tetragènwn tù periecomšnj dˆj ØpÒ te mi j tîn perˆ t¾n mble an gwn an, f' n ¹ k qetoj p ptei, kaˆ táj po- lambanomšnhj ktõj ØpÕ táj kaqštou prõj tí mble v gwn v. Εϖίσης η ΙΙ. 13 µας λέει : 'En to j Ñxugwn oij trigènoij tõ põ táj t¾n Ñxe an gwn an ØpoteinoÚshj pleur j tetr gwnon œlattòn sti tîn põ tîn t¾n Ñxe xe an gwn an periecousîn pleurîn tetragènwn tù periecomšnj dˆj ØpÒ te mi j tîn perˆ t¾n Ñxe an gwn an, f' n ¹ k qetoj p ptei, kaˆ táj po- lambanomšnhj ntõj ØpÕ táj kaqštou prõj tí Ñxe v gwn v. Οι ϖροτάσεις ΙΙ. 12, 13 µας ϖροτείνουν µια αναλογία στο ϖνεύµα ϖου ϖεριγράψαµε στην ανάλυση του ϖρώτου βιβλίου : Είναι : Α>1ορθ και Β+Γ < 1ορθ άρα Β+Γ < Α η ϖρόταση ΙΙ.12 µας λέει ότι θα ισχύει και : Β+Γ <Α => β 2 + γ 2 < α 2. Οµοια σκεφτόµενοι, για την ΙΙ. 13 ισχύει : Β+Γ >Α => β 2 + γ 2 > α 2 Ετσι λοιϖόν, ενώ µας φαίνεται ότι στην αϖόδειξη της ΙΙ. 9 γίνεται µια υϖερβολική χρήση του Π.Θ. ενώ ίσως θα γινόταν να χρησιµοϖοιηθούν κι άλλοι τύϖοι, εν τούτοις βλέϖουµε ότι ο Ευκλείδης σ αυτές τις ϖροτάσεις, δεν διστάζει να χρησιµοϖοιήσει κι άλλους τύϖους όϖως τους ΙΙ. 4 και ΙΙ. 7. Αυτό ενισχύει την υϖόθεση ότι για λόγους διδακτικούς ( και για άλλους) άλλαξε τελείως το ϖλαίσιο χρησιµοϖοιώντας ϖερισσότερο «αλγεβρικές» µεθόδους και λιγότερο το σχήµα. Σ αυτό το σηµείο όµως θα ήθελα να ϖροσθέσω και µια εϖιϖλέον ϖαρατήρηση ϖου αφορά το ϖρώτο βιβλίο. Η ϖρόταση Ι. 48 για την οϖοία είϖαµε αρκετά ϖράγµατα και ως γνωστόν είναι ακροτελεύτια του ϖρώτου βιβλίου είναι µια ϖρόταση ϖου αµφισβητείται η αξία της, η δε αϖόδειξή της φαίνεται να ϖραγµατοϖοιείται και στο δεύτερο βιβλίο µέσω των ΙΙ. 12, ΙΙ. 13. ιότι αν : α 2 = β 2 + γ 2 τότε αϖοκλείεται να ισχύει : Α > 1ορθ. ή Α < 1ορθ. διότι τότε θα ήταν : α 2 > β 2 + γ 2 ή α 2 < β 2 + γ 2 άτοϖο οϖότε αυτό ϖου µένει είναι : Α = 1ορθ. Αρα τίθεται το ερώτηµα για ϖοιο ιδιαίτερο λόγο ο Ευκλείδης έθεσε το Ι. 48 στο τέλος του ϖρώτου βιβλίου? Νοµίζω ότι αυτό σε µεγάλο βαθµό έχει αϖαντηθεί στην ανάλυση της αντίστοιχης ϖρότασης. Αλλωστε ο Ευκλείδης συνηθίζει να θέτει ϖροτάσεις και αϖοδείξεις στα ϖρώϊµα βιβλία ϖου είναι εϖηρεασµένες αϖό ϖροτάσεις ϖου τίθενται στα όψιµα βιβλία. Οσον αφορά την αµφισβήτηση της Ι. 48 ο καθηγητής Στ. Νεγρεϖόντης λέει : «Η ϖρόταση Ι. 48, αντίστροφη του Πυθαγορείου θεωρήµατος, δεν έχει λόγο ύϖαρξης, καθώς οι µετέϖειτα ϖροτάσεις ΙΙ. 12, ΙΙ. 13 δίδουν ϖολύ καλύτερη ϖεριγραφή αυτής της αντίστροφης Πρότασης. 51

52 Ότι οι Προτάσεις ΙΙ. 12, ΙΙ. 13 είναι αρχαίες φαίνεται και αϖό το ότι χρησιµοϖοιούνται αϖό τον Ιϖϖοκράτη τον Χίο». (Στιγµές και διάρκειες, εϖιµέλεια. Αναϖολιτάνος, σελ. 215.) 52

53 Η ΠΑΡΑΞΕΝΗ ΑΛΛΑΓΗ ΜΕΤΑΞΥ ΙΙ.8-ΙΙ.9 Η δική µας άϖοψη είναι ότι ϖράγµατι στη ΙΙ. 9 συµβαίνει µια ϖαράξενη τοµή, µια αλλαγή,όσον αφορά τις αϖοδείξεις ϖερισσότερο ϖου δεν δικαιολογείται ϖλήρως αϖό την υϖάρχουσα δοµή των ϖροτάσεων,όµως ϖερισσότερο την αϖοδίδουµε αυτή σε διδακτικούς λόγους. Ας το αναλύσουµε ϖερισσότερο αυτό. Παρατηρώντας τις διατυϖώσεις και τις αϖοδείξεις των ϖροτάσεων των «Στοιχείων» διαϖιστώνουµε ότι ο Ευκλείδης ακολουθεί µια µέθοδο αυστηρά διδακτική και ϖαράλληλα γεωµετρική. ηλ η µέθοδός του είναι εϖικεντρωµένη στο σχήµα στην οϖτική αναϖαράσταση συζητήσαµε ήδη για ϖοιους λόγους και όταν ϖια αϖοφασίζει να χρησιµοϖοιήσει ϖερισσότερες ϖράξεις, δηλ αντικαταστάσεις τετραγώνων µε αθροίσµατα τετραγώνων, αναγωγές οµοίων όρων (αν αϖό ίσα αφαιρεθούν ίσα ϖροκύϖτουν ίσα), το κάνει µε τόσο ϖροσοχή και αυτοϖεριορισµό, ακολουθώντας τις λεγόµενες «κοινές έννοιες» ϖου σου δίνει την εντύϖωση ότι υϖοτιµάει τις ϖράξεις και δίνει έµφαση ϖάντα στο σχήµα. Εϖειδή όµως το θέµα της «γεωµετρικής άλγεβρας» έχει τεθεί σαν αντικείµενο έντονης αντιϖαράθεσης µεταξύ των ειδικών της ιστορίας των µαθηµατικών και όϖως ϖεριγράφεται στο βιβλίο : «ιαµάχες για την ιστορία των αρχαίων ελληνικών µαθηµατικών» (Εισαγωγήεϖιµέλεια Γ. Χριστιανίδης, ηµ. ιαλέτης) κυρίως µεταξύ των S. Unguru και Van der Waerden, οϖοιαδήϖοτε αναφορά σήµερα στον όρο «άλγεβρα» όσον αφορά στη θεωρία της αρχαίας ελληνικής γεωµετρίας, καθίσταται αµφισβητήσιµη! Ως εκ τούτου οφείλουµε να διευκρινίσουµε ότι µε τον όρο : «άλγεβρα» ή «αλγεβρικός» δεν εννοούµε ένα αυστηρό θεωρητικό ϖλαίσιο µε σύγχρονους όρους, αλλά εννοούµε ϖερισσότερο: τη δυνατότητα αντικατάστασης ευθ. τµηµάτων µε αριθµούς, τις ίδιες τις ϖράξεις (δηλ εφαρµογή των κοινών εννοιών), τη χρήση γεωµετρικών µεθόδων για την εϖίλυση εξισώσεων και την εύρεση άρρητων αριθµών ϖάλι µε γεωµετρικούς τρόϖους. Κυρίως όµως ο όρος αυτός, στο ϖαρόν κείµενο, χρησιµοϖοιείται για να εννοηθεί η µαθηµατική ουσία ϖου ενυϖάρχει και στην άλγεβρα και στη γεωµετρία, σαν κοινό µέρος και των δύο στο βαθµό ϖου οι δύο κλάδοι ϖεριγράφουν κάϖοια σταθερά αντικείµενα ϖου µϖορεί να ϖάρουν είτε γεωµετρική είτε αλγεβρική µορφή. Ας µην ξεχνάµε ότι εκείνη την εϖοχή, δεν υϖήρχε δυνατότητα συµβολοϖοίησης κάϖοιων µεγεθών ή χρήσης µεταβλητής, αφού η διαδικασία αφαίρεσης και χρήσης συµβόλων ϖήρε ϖολλά χρόνια, ήταν ιδιαίτερα δύσκολη και βασικά είχε να κάνει ϖερισσότερο µε το ϖρόβληµα της εξήγησης της σχέσης µεγέθους-αριθµού αϖό τους αρχαίους, όϖως και µε το ϖρόβληµα της κατανόησης και χρήσης αρρήτων αριθµών. Τέλος, ας µην ξεχνάµε ότι εκείνη την εϖοχή ήταν ϖιο βολικός και διδακτικός ο ρητορικός τρόϖος εξήγησης και κατανόησης και σε συνάφεια µ αυτόν, η εϖοϖτεία των σχηµάτων. Η συγκοϖτόµενη φάση, δηλ το στάδιο ανάµεσα στο ρητορικό ϖεριγραφικό τρόϖο και τον άµεσα συµβολικό κράτησε ϖολλούς αιώνες! Όϖως ήδη συζητήσαµε, ακόµη και οι ϖράξεις ϖου υϖάρχουν ϖροκύϖτουν έµµεσα ή άµεσα αϖό κάϖοια σχήµατα. Ούτε κατά διάνοια υϖάρχει η σκέψη να βρεθεί αϖοτέλεσµα χωρίς σχήµα. Η µέθοδος αυτή ισχυριζόµαστε ότι έχει διδακτικές καταβολές και ξεκινάει αϖό ϖολύ ϖαλιά, όϖου οι αρχαίοι µαθηµατικοί έκαναν αναγωγή όλων των ϖερίϖλοκων ϖροβληµάτων σε ϖολύ αϖλά στοιχεία. Όϖως αναφέρει ο Ε. Σταµάτης στην εισαγωγή της «Ευκλείδου Γεωµετρίας» : «Ως γεωµετρικά σχήµατα χρησιµοϖοιούνται υϖό του Ευκλείδου εις τα Στοιχεία η ευθεία γραµµή, ο κύκλος και τα εκ του συνδυασµού τούτων ϖροκύϖτοντα Σχήµατα δηλ δυνάµενα να σχεδιασθούν δια του κανόνος και του διαβήτου. Προβλήµατα µη δυνάµενα να λυθούν δια του κανόνος και του διαβήτου εθεωρούντο άλυτα, καίτοι εϖί του σηµείου τούτου δεν έχοµεν συγκεκριµένας µαρτυρίας. Τοιαύτα ϖροβλήµατα είναι τ ανωτέρω µνηµονευθέντα ϖροβλήµατα του τετραγωνισµού του κύκλου, του διϖλασιασµού του κύβου και της τριχοτοµήσεως της οξείας γωνίας. Οι αρχαίοι Ελληνες εγνώριζον, ότι τα τρία ταύτα ϖροβλήµατα δεν είχαν λύσιν δια κανόνος και διαβήτου, ως συνάγεται εκ της χρησιµοϖοιήσεως δια την εϖίλυσιν αυτών άλλων καµϖύλων. Η χρησιµοϖοίησις εις τα Στοιχεία των αϖλουστάτων γεωµετρικών σχηµάτων των 53

54 ϖροκυϖτόντων εκ της ευθείας και του κύκλου δεν είναι τυχαία. Ακολουθεί την γενική τάσιν του ελληνικού ϖνεύµατος ν αναγάγη τα ϖάντα εις ολίγας αϖλάς γενικάς αρχάς νοήσεως, συναφείς όµως ϖρος την ϖραγµατικότητα, ως αυτή ϖαρέχεται κατά την κοινήν έννοιαν της λέξεως.» Εϖίσης η γνωστική ψυχολογία και η έρευνα της διδακτικής έρχεται σήµερα να εϖιβεβαιώσει την τακτική του Ευκλείδη. Συγκεκριµένα είναι γνωστό ότι οι ϖληροφορίες κωδικοϖοιούνται στην µακρόχρονη µνήµη και µάλιστα θυµόµαστε καλύτερα κάτι όταν συνοδεύεται αϖό εικόνα : «Οι άνθρωϖοι µϖορούν εϖίσης να χρησιµοϖοιήσουν την οϖτική κωδικοϖοίηση για να εϖεξεργαστούν εικόνες στην µακρόχρονη µνήµη. Σε µια µελέτη, τα άτοµα ϖου συµµετείχαν σ αυτή είδαν 2500 εικόνες. Αν και χρειάστηκαν 16 ώρες για να ϖαρουσιαστούν τα ερεθίσµατα, τα υϖοκείµενα αργότερα αναγνώρισαν σωστά ϖερισσότερο αϖό το 90% των εικόνων (Standing, Conezio & Haber, 1970). Ενας λόγος ϖου εξηγεί το γεγονός ότι τα υϖοκείµενα θυµόντουσαν τόσο καλά τις εικόνες είναι ότι αυτά τα ερεθίσµατα µϖορούν να ϖαρασταθούν και οϖτικά και σηµασιολογικά. Η θεωρία της διϖλής κωδικοϖοίησης υϖοστηρίζει ότι θυµόµαστε καλύτερα τις ϖληροφορίες όταν αυτές αναϖαριστάνονται και µε τους δύο κώδικες ϖαρά µόνο µε τον ένα (Paivio, 1986)».(Στέλλα Βοσνιάδου, Εισαγωγή στην Ψυχολογία, σελ. 191). Πιθανώς οι αρχαίοι, να είχαν φτάσει στη γνώση αυτή και αυτός να ήταν ένας αϖό τους λόγους ϖου έδιναν έµφαση στα σχήµατα. Εϖίσης όϖως ισχυριστήκαµε στα ϖροηγούµενα, ϖιθανώς ο Ευκλείδης να ϖλησίασε το συµβολικό ϖεριεχόµενο της έννοιας του «τετραγώνου» µε την αλγεβρική διατύϖωση, όϖως ήδη αναφέρθηκε και αυτό συνέβη κυρίως στην ϖρόταση ΙΙ. 9, αλλά και στην Ι. 48. Προφανώς «αξονας» αυτής της ϖροσέγγισης ήταν το Π.Θ. Σε σχέση µε τους άλλους τύϖους της «γεωµετρικής άλγεβας» είναι ϖιο λιτός και εφαρµόσιµος εύκολα σε σχήµατα όϖου υϖάρχει µια αϖλή κάθετος. Εϖίσης είναι ο ϖρώτος τύϖος της «γεωµετρικής άλγεβρας» ϖου τέθηκε και εϖίσης χρησιµοϖοιήθηκε (στο Ι. 48). Στο Π.Θ. και κυρίως στο Ι. 48 γίνεται η εξής αλλαγή : µια σχέση εµβαδών αλλάζει και γίνεται σηµασιολογικά σχέση ϖλευρών δηλ αριθµών. Ας ϖαρακολουθήσουµε τι µας λέει ο Πρόκλος : «Καθώς, µάλιστα, τα ορθογώνια τρίγωνα είναι δύο ειδών, άλλα ισοσκελή και άλλα σκαληνά, στα ισοσκελή δεν είναι δυνατόν ϖοτέ να βρούµε αριθµούς ϖου να εφαρµόζουν στις ϖλευρές. Γιατί δεν υϖάρχει τετράγωνος αριθµός διϖλάσιος ενός τετραγώνου, εκτός κι αν κανείς µιλά κατά ϖροσέγγιση. Γιατί το τετράγωνο του εϖτά, είναι το διϖλάσιο του τετραγώνου του ϖέντε µείον ένα. Μέσα στα σκαληνά τρίγωνα, όµως, αϖοδεικνύεται ξεκάθαρα σε εµάς ότι είναι δυνατόν να βρούµε το τετράγωνο της ϖλευράς ϖου βρίσκεται αϖέναντι αϖό την ορθή να είναι ίσο µε τα τετράγωνα των ϖλευρών ϖου ϖεριέχουν την ορθή. Γιατί τέτοιο είναι το τρίγωνο στην Πολιτεία, του οϖοίου στην ορθή γωνία ϖεριέχουν οι αριθµοί τρία και τέσσερα. Αϖέναντι αϖό την ορθή γωνία βρίσκεται το ϖέντε.» (Πρόκλος, Εις Πρώτον Ευκλείδου Στοιχείων). Βλέϖουµε δηλ ϖως η µετάβαση αυτή, αϖό την καθαρά γεωµετρική έννοια στην αριθµητική και το αντίστροφο ήταν ήδη γνωστή. Αυτή λοιϖόν την ιδιότητα του Π.Θ. τη χρησιµοϖοίησε ϖιθανώς ο Ευκλείδης αϖό τη ΙΙ. 9 και µετά. Αλλά και στη Ι. 48. Προφανώς σ αυτές όλες τις ϖροτάσεις έχει µόλις αλλάξει ελαφρά, η συµβολική σηµασία της έννοιας «τετράγωνο» αφού ϖιά όταν χρησιµοϖοιείται η λέξη, δεν συνοδεύεται αυτή µε το ανάλογο σχήµα, αλλά τείνει να θεωρείται ϖερισσότερο σαν µεταβλητή στη θέση της οϖοίας µϖορεί να τεθεί οϖοιοσδήϖοτε ακέραιος αριθµός. Η διαφορά τονίζεται και αϖό τον Ευκλείδη καθώς στη Ι. 48 αλλά και στις ϖροτάσεις µετά την ΙΙ. 9 αλλάζει η έννοια της φράσης «τετράγωνο». Συγκεκριµένα µέχρι τη Ι. 48 χρησιµοϖοιεί τη φράση: «αναγράφω αϖό της ϖλευράς τετράγωνο» δηλ εννοεί το σχήµα, στην Ι. 48 όµως χρησιµοϖοιεί τη φράση : «το αϖό µιας ϖλευράς τετράγωνο» δηλ την µεταβλητή. Το ίδιο και στις ϖροτάσεις του δεύτερου βιβλίου. 54

55 Η εκδοχή αυτή ενισχύεται και αϖό τη θεωρία της «εννοιολογικής αλλαγής» ϖου ϖαίρνουµε αϖό την γνωστική ψυχολογία και της οϖοίας ϖροφανές ϖαράδειγµα είναι η αϖόδειξη της ΙΙ. 9. Συγκεκριµένα η αϖόδειξη της ΙΙ. 9, όϖως και οι εϖόµενες αϖοδείξεις είναι χαρακτηριστικό ϖαράδειγµα, κατά τη γνώµη µας, ενδιάµεσου νοητικού µοντέλου δηλ µεταξύ της ϖαλιάς αντίληψης του σχήµατος και της καινούργιας των «αλγεβρικών» σχέσεων. Πιθανώς συµβαίνει µια αναδιοργάνωση (ριζική) της ϖαλιάς αντίληψης ϖου θεωρούσε ότι τα µαθηµατικά (της αρχαίας εϖοχής) αφορούσαν σχέσεις γεωµετρικών στοιχείων. Στα αρχικά βιβλία του Ευκλείδη βλέϖουµε έντονα την εϖίδραση των ύστερων βιβλίων και έτσι µοιραία δεν µϖορούσε να µείνει ανεϖηρέαστος αϖό τη συµβολή του V, VIΙ και του X. Αυτό συµβαίνει σε τέτοιο βαθµό ϖου δεν ξέρει κανείς αν σωστά κάϖοιος έϖρεϖε να θέσει αυτά τα βιβλία αρχικά και όχι στο τέλος. Για ϖαράδειγµα το V βιβλίο ασχολείται µε «µεγέθη» ενώ το VIΙ ασχολείται µε κλάσµατα και γενικότερα αριθµούς. Το δέκατο βιβλίο ασχολείται µε τους αρρήτους. Αρα είναι λογικό σε όλη αυτή την ϖορεία των «Στοιχείων» ϖου εκφράζει και µια ιστορικήεϖιστηµονική εξέλιξη, ϖαράλληλα µε µια διδακτική ϖρόθεση να συνέβη και µια αλλαγή της θεώρησης των εϖιστηµονικών εννοιών. Για ϖαράδειγµα αλλιώς ϖεριγράφεται η έννοια του «λόγου» στο βιβλίο V και αλλιώς στο βιβλίο VII(21 ορισµός). Η διαφοροϖοίηση αυτή έγγειται ϖροφανώς στην ύϖαρξη της αρρητότητας και στη δύσκολη διαχείρισή της. Ο Ευκλείδης ϖροφανώς ήταν γνώστης όλης αυτής της εξέλιξης των ιδεών. Ετσι λοιϖόν αυτή η εξέλιξη αντανακλάται και συµϖυκνώνεται στην µεταβολή της αϖοδεικτικής µεθόδου µετά τη ΙΙ. 9. Εϖίσης αν φέρουµε και στο µυαλό µας ότι «η οντογένεση ανακεφαλαιώνει τη φυλογένεση» µια ψυχολογική θεωρία µάθησης ϖου µϖορεί να έχει εφαρµογή στους σηµερινούς µαθητές µϖορεί κάλλιστα να εφαρµόζεται και στην ιστορία των µαθηµατικών. Αρα λοιϖόν µϖορούµε να αντλήσουµε αϖό τη διδακτική µας εµϖειρία συµϖεράσµατα ϖου µϖορούν να χρησιµεύσουν στην εξήγηση της συµϖεριφοράς των αρχαίων. Ετσι λοιϖόν το δεύτερο βιβλίο ξεκινά µε τύϖους, ϖροτάσεις ϖου ισχύουν σε ευθύγραµµα τµήµατα. Το ερώτηµα τώρα είναι ισχύουν αυτές και σε αριθµούς? και σε τι αριθµούς? ρητούς ή άρρητους? Το ίδιο ερώτηµα θα µϖορούσε να τεθεί και στους µαθητές µας. Για τους ακεραίους ϖροφανώς το ήξεραν ότι ισχύει. Για τους υϖόλοιϖους όµως δεν είχε ακόµη διατυϖωθεί µια θεωρία αριθµών. Ας ϖούµε τι είναι «τετράγωνο». Στην αρχή είναι σίγουρα ένα σχήµα, αλλά τι είναι ένα σχήµα? είναι µέγεθος (εµβαδόν)? Όµως τώρα, τίθεται το ζήτηµα να χρησιµοϖοιηθούν κάϖοιοι τύϖοι κι εϖοµένως στη θέση των τετραγώνων να χρησιµοϖοιηθούν αριθµοί. Είχε τεθεί αυτό το ζήτηµα όϖως αναφέραµε µε το Π.Θ. διότι οι αρχαίοι βέβαια γνώριζαν ότι : 5 =3 +4 όϖως εϖίσης γνώριζαν ότι : 7 =2i 5-1 άρα είχαν φανταστεί ότι υϖήρχαν κάϖοιοι αριθµοί ϖου µϖορούσες να τους σχεδιάσεις σαν µήκη ευθ. τµηµάτων αλλά δεν µϖορούσες να τους βρείς ακριβώς, όϖως ϖεριγράψαµε εϖίσης ότι συµβαίνει στο διάλογο «Μένων» του Πλάτωνα. Μετά τη θεµελίωση των αρρήτων στο X βιβλίο και αφού έχουν ϖεριγραφεί η έννοια του λόγου, τα υϖοκατάστατα των ρητών στο VII και οι συνεχείς αναλογίες στο VIII έχει γίνει δυνατό να αναλυθεί σε µεγάλο βαθµό η σηµασία της έκφρασης : «αϖό µιας ϖλευράς τετράγωνο δηλ του α 2» χωρίς να έχουµε τη βοήθεια ενός σχεδιασµένου τετραγώνου! Το ζήτηµα όµως άϖτεται της ϖολύ σϖουδαίας θεωρητικής συζήτησης ϖερί σχέσης µεγέθουςαριθµού : γενικά όσο µελετάµε όλα τα βιβλία των «Στοιχείων» τόσο ϖιο ϖολύ µεταβάλλεται και αλλάζει η σχέση µεγέθους-αριθµού. Βασικά το είδος αυτής της σχέσης εξαρτάται αϖό την εϖίδραση της θεµελίωσης της έννοιας της ασυµµετρίας κυρίως αϖ το X βιβλίο και µέσω του VII βιβλίου στο V όϖου η εϖίδραση αυτή γίνεται άµεση στους ορισµούς των βιβλίων και ειδικά στον ορισµό της µιάς εκδοχής του λόγου ϖου βρίσκεται στο V βιβλίο. Συγκεκριµένα, η έννοια του «µεγέθους» ϖροσδιορίζεται µε τους ορισµούς : 4, 5. Ορισµός 4 : «Μεγέθη λέγονται, ότι έχουσι λόγον ϖρος άλληλα, όταν ϖολλαϖλασιαζόµενα δύνανται να υϖερέχωσιν αλλήλων». Ορισµός 5 : «Μεγέθη λέγονται, ότι είναι εις αυτόν λόγον ϖρώτον ϖρος δεύτερον και τρίτον ϖρος τέταρτον, όταν τα ισάκις ϖολλαϖλάσια του ϖρώτου και τρίτου των ισάκις 55

56 ϖολλαϖλασίων του δευτέρου και τετάρτου καθ οιονδήϖοτε ϖολλαϖλασιασµόν ή είναι µεγαλύτερα ή ίσα ή µικρότερα, όταν ληφθώσι καταλλήλως». Ο ορισµός 5, µας λέει ότι η αναλογία: α : β = γ : δ σηµαίνει ότι : αν nα > mβ τότε nγ > mδ αν nα < mβ τότε nγ < mδ αν nα = mβ τότε nγ = mδ Είναι κατά ϖάσα ϖιθανότητα του Εύδοξου και χρησιµεύει για τον ϖροσδιορισµό του λόγου συµµέτρων και ασυµµέτρων. Η εϖεξεργασία της ασυµµετρίας αϖό την µια και η αναθεώρηση του ορισµού του λόγου µεγεθών ( του V) δίνουν µια καινούργια θεώρηση στον τρόϖο ϖου οι αρχαίοι θεωρούσαν τη σχέση µεγέθους-αριθµού. Το ϖρόβληµα της σχέσης µεγέθους-αριθµού µϖορεί να λυθεί στο βαθµό ϖου µϖορεί να αϖαντηθεί το ερώτηµα: είναι ο αριθµός µέγεθος? ή το ερώτηµα : είναι δυνατόν ένα µέγεθος να θεωρηθεί αριθµός? Ένα έξοχο ϖαράδειγµα της αντίληψης ϖου είχαν οι αρχαίοι για τη σχέση µεγέθους και αριθµού είναι το εϖανερχόµενο για µια ακόµη φορά αϖόσϖασµα του διάλογου «Μένων» του Πλάτωνα. Σχ. 39 Στο µαθηµατικό αυτό αϖόσϖασµα σχηµατίζονται τρία τετράγωνα τα : Θ ΗΚ, ΘΗΖΕ, ΑΒΓ µε αντίστοιχα εµβαδά: 4, 8, 16 και των οϖοίων αναζητείται η σχέση των ϖλευρών τους. ηλ µε σύγχρονα µαθηµατικά των τετραγωνικών ριζών των αριθµών αυτών. Στα αρχαία µαθηµατικά η τετραγωνική ρίζα είχε αντίστοιχο την ϖλευρά του τετραγώνου. Ενώ λοιϖόν οι τετραγωνικές ρίζες των 4, 16 είναι φανερές, δεν µϖορεί να βρεθεί η τετραγωνική ρίζα του 8 ϖαρά µόνο σαν διαγώνιος ΘΗ. Η ουσία όµως είναι άλλη : Στην ϖραγµατικότητα και στο βαθµό ϖου το σχήµα του αϖοσϖάσµατος είναι αυτό, βλέϖουµε ότι µϖορεί να γίνει αντιστοίχιση των τετραγώνων δηλ των µεγεθών και των ευθ. τµηµάτων µε κάϖοιους αριθµούς. Ενώ όµως για τα τετράγωνα αυτό είναι εύκολο, αυτό καθίσταται αδύνατο για τις ϖλευρές των τετραγώνων. Παραϖέρα θα µϖορούσαµε να ϖούµε αυτό ϖου θεµελιώνεται στο X βιβλίο ότι ενώ κάϖοια µεγέθη είναι «δυνάµει» σύµµετρα (σαν τετράγωνα) «µήκει» είναι ασύµµετρα (σαν ϖλευρές)! Εϖίσης, ενώ στο σχήµα βλέϖουµε ότι τα τετράγωνα έχουν µια ολοφάνερη σύµµετρη αναλογία, οι ϖλευρές εν τούτοις έχουν µια ολοφάνερη ασύµµετρη αναλογία. Προφανώς, φαίνεται και αϖό δώ η ανάγκη να δηµιουργηθεί ένας καινούργιος ορισµός «λόγου» (του βιβλίου V) ϖέρα αϖό τον ϖαραδοσιακό (ορισµό 21 του VII) ϖου θα ϖεριλαµβάνει και αυτούς τους «ϖερίεργους» αριθµούς. 56

57 Ο Wilbur R. Knorr στο «the evolution of the Euclidean elements» µας λέει ότι η έννοια της «ασυµµετρίας» έχει καθολική εϖίδραση σ όλα τα στοιχεία του Ευκλείδη και µάλιστα έχει καθοριστική συµβολή στη θεµελίωση της έννοιας του «λόγου». Στην ϖορεία της θεµελίωσης των «στοιχείων» συναντάµε τρείς διαφορετικούς ορισµούς «λόγου» (proportion) : του λόγου µε την ϖαραδοσιακή έννοια (του VII) του λόγου κατά Εύδοξον (του V) και του ανθυφαιρετικού όϖως τον έθεσαν οι ιστορικοί των µαθηµατικών. Εϖίσης η έννοια της «ασυµµετρίας» καθόρισε τη διαφοροϖοίηση γεωµετρίας αριθµητικής όϖως και την εµφάνιση της λεγόµενης «γεωµετρικής άλγεβρας». Τα «Στοιχεία» είναι σκόϖιµο να τα θεωρούµε σαν εννιαίο σύνολο και όχι να τα κοιτάζουµε αϖοσϖασµατικά. Πολλές φορές γίνονται γενικεύσεις κάϖοιων ϖαλαιότερων ϖροτάσεων, εϖαναλήψεις εννοιών, ενώ µϖορεί να δούµε µε άλλο µάτι κάϖοιες ϖροτάσεις λαµβάνοντας υϖ όψη τη γενικότερη γνώση των «Στοιχείων». Παρακολουθώντας όλη τη διαδροµή τους, σηµειώνουµε τις εξής έννοιες : µεγέθη στο V, αριθµοί στο VII, συνεχείς λόγοι στο VIII, ασύµµετρα µεγέθη κι αριθµοί στο X. Oλ αυτά όµως συµβολίζονται και γίνονται αντικείµενα εϖεξεργασίας σαν ευθύγραµµα τµήµατα. Εϖοµένως σαν ϖρώτη αρχή υϖήρχε ο γεωµετρικός τρόϖος έκφρασης και λειτουργίας. Όµως τα ευθύγραµµα τµήµατα ας ϖούµε στο X και στο VII, είχαν άλλη χρήση αϖό εκείνη των γεωµετρικών σχηµάτων. Κυρίως χρησίµευαν να εκφράσουν λόγους αλλά και τη διαδικασία της ανθυφαίρεσης. Όµως ϖαρέµενε το γεγονός ότι οι αριθµοί εκφράζονταν σαν ευθύγραµµα τµήµατα! Όϖως αναφέρει ο Κnorr τα µεγέθη είναι όϖως οι αριθµοί : «Οι γεωµετρικές φόρµες στο βιβλίο VII εγείρονται αϖοκλειστικά αϖό λόγους αξιοϖοίησης της θεωρίας της ασυµµετρίας. Ετσι εφευρέθηκαν για να εξυϖηρετήσουν τις µελέτες του Θεαίτητου. Το γεωµετρικό στυλ της θεωρίας αριθµών, ενώ διαφορετικά δεν έχει κανένα ϖλεονέκτηµα για την µελέτη των καθαρών αριθµών, διατηρήθηκε αϖ τον Ευκλείδη κυρίως στη βάση του ϖροηγούµενου του Θεαίτητου» (σελ. 308). Η αλλού (σελ. 309) : «Η αναϖαράσταση των ακεραίων µε ευθύγραµµα τµήµατα ήταν χαρακτηριστική της διαδικασίας του Θεαίτητου : Για να ϖεριορίσει τους λόγους ακεραίων, ευθύγραµµων ϖεριοχών ή στερεών σε λόγους ευθ. τµηµάτων. Μέσω του VI,I και της ϖαραβολής των χωρίων αυτός ο ϖεριορισµός γινόταν δυνατός για τον λόγο χωρίων. Μέσω των αναϖαραστάσεων του βιβλίου VII το ίδιο γινότανε για τον λόγο των ακεραίων. Αλλά αυτό δεν σηµαίνει ότι οι οντότητες έχουν ϖεράσει κάτω αϖό άλλη κλάση : οι ακέραιοι δεν είναι ξαναγεννηµένοι σαν κάϖοιος ειδικός τύϖος µεγέθους. Έχουν τους δικούς τους κατάλληλους ορισµούς, τις ειδικές ιδιότητες Η διατήρηση αϖ τον Ευκλείδη της ϖλήρους χωριστής θεωρίας της ακέραιης αναλογίας είναι µια ένδειξη γι αυτό. Το βιβλίο VII δεν αναϖαράγει αϖλώς το V. Αυτό αναϖτύσσει µια θεωρία αναλογιών για το ξεχωριστό σύνολο των ακεραίων ϖου σηµαίνει ότι αντιµετωϖίζονται σαν ξεχωριστή συµϖεριφορά και όχι σαν αναϖαραγωγή του V. Μια ϖεραιτέρω ένδειξη αϖοτελεί ότι τα θεωρήµατα του VII, θα µϖορούσαν να είναι και ϖεριττά αν οι ακέραιοι θεωρούνταν σαν τύϖοι µεγεθών. Για ϖαράδειγµα το VII, 16 δηλώνει την αντιµετάθεση του ϖολλαϖλασιασµού ΑΒ=ΒΑ. Αν οι ακέραιοι δεν ήταν τίϖοτε άλλο ϖαρά γραµµικά µεγέθη, τότε τα ϖαράγωγα των ακεραίων δεν θα ήταν τίϖοτε άλλο ϖαρά αντίστοιχα ορθογώνια µέσω του ορισµού του εϖίϖεδου αριθµού (VII ορ. 16). Το θεώρηµα της αντιµετάθεσης θα ήταν µια φανερή γεωµετρική συνέϖεια αϖό το Ι, 36. Αλλά εν τούτοις ο γεωµετρικός ορισµός είναι αϖότοκος. Ο ϖολλαϖλασιασµός ορίζεται µε όρους ορισµού ακεραίου». Και στη σελίδα 90 συζητώντας για την µέθοδο του Θεόδωρου : «Στο «Θεαίτητος» 148 Α µϖορεί να αναγνωρίσουµε µια ιδιοφυή ανάϖτυξη ϖου ϖραγµατοϖοιείται ϖάνω στην αντίληψη του αριθµού και του µεγέθους. Ο Θεόδωρος είναι ακόµη κοντά στην µετρική ταύτιση αριθµού και µεγέθους. Η έρευνά του για τις «δυνάµεις» ακόµη αϖαιτεί αυτές να θεωρηθούν σαν γεωµετρικά τετράγωνα µέσω ϖραγµατικής κατασκευής. Αλλά στη θεώρηση του Θεαίτητου για τις δυνάµεις και τους ορισµούς του τετραγώνου και ορθογώνιου αριθµού, βλέϖουµε ένα ενδιαφέρον για τους «αφηρηµένους» αριθµούς. Αυτοί µϖορεί να αναϖαριστώνται αϖό γεωµετρικές φιγούρες αλλά αυτές είναι σαφώς ειδωµένες σαν µεταφορά η φύση τους δεν αϖαιτεί γεωµετρικοϖοίηση και η έρευνά τους δεν αναφέρεται σε ϖραγµατικές κατασκευές. Αυτό ϖου συµβαίνει είναι ότι οι δύο 57

58 όψεις της µελέτης των ασυµµέτρων γίνονται χωριστά, σε µια γεωµετρική κατασκευή των γραµµών εν ϖρώτοις και µια αριθµητική έρευνα εν δευτέροις µε καταγωγή αϖό τα γεωµετρικά δεδοµένα, αλλά όχι αϖοκλειστικά αναφερόµενη σ αυτά. Αυτός ο διαχωρισµός των δύο ϖλαισίων είναι χαρακτηριστικός της Ευκλείδειας αντιµετώϖισης της ασυµµετρίας στο δέκατο βιβλίο. Πράγµατι το δέκατο βιβλίο είναι η γεωµετρική θεώρηση της θεωρίας µόνο η αριθµητική θεώρηση δεν έχει ϖεριληφθεί. Τώρα, ο τέτοιος διαχωρισµός αυτών των δύο θεωρήσεων µαρτυρεί µια συσχετισµένη ανάϖτυξη στη θεωρία αριθµών». Πέρα αϖ αυτή τη συζήτηση αξίζει τον κόϖο να σταθούµε στην ορολογία ϖου χρησιµοϖοιεί ο Ευκλείδης για να εκφράσει το «τετράγωνο» ενός αριθµού όϖως το εννοούµε χρησιµοϖοιώντας σύγχρονη µαθηµατική ορολογία. Η διερεύνηση αυτής της ορολογίας θα ϖροσϖαθήσει να διαλευκάνει αν υϖάρχει σαφής αντιστοίχιση των εννοιών «τετράγωνο» σαν γεωµετρικό σχήµα και «τετράγωνο» σαν αλγεβρική ϖράξη. Αυτή η διερεύνηση θα µας βοηθήσει να βγάλουµε χρήσιµα συµϖεράσµατα ως ϖρος το αν ϖράγµατι µετα την ϖρόταση ΙΙ. 9 έχει αλλάξει η συµβολική σηµασία της έννοιας «τετράγωνο» και έχει γίνει ϖερισσότερο αριθµητική-αλγεβρική. Α) το γεγονός ότι ο Ευκλείδης χρησιµοϖοιεί τον όρο: «τετράγωνος» αριθµός και εννοεί τον αριθµό (ακέραιο) ϖου ϖροκύϖτει αϖό τον ϖολλαϖλασιασµό ενός αριθµού µε τον εαυτό του, µαρτυρεί ότι υϖάρχει σαφής συσχέτιση του εµβαδού τετραγώνου σχήµατος και κάϖοιου ειδικού αριθµού ϖου σήµερα θα τον λέγαµε α 2. Αρα όταν διατυϖώνει λεκτικά το ϖυθαγόρειο θεώρηµα ϖροφανώς γνωρίζει ότι αυτό αφορά και µια σχέση «τετράγωνων» αριθµών.. Αρα είναι σαφές ότι βλέϖει σ αυτό και µια καθαρά αριθµητική σχέση. Εϖειδή όµως δεν µϖορεί να χρησιµοϖοιήσει συγκεκριµένους αριθµούς (ακεραίους ή άρρητους ή ρητούς) άλλωστε έτσι θα ϖεριόριζε και τη χρήση του- ϖροφανώς, κάνοντας χρήση κάϖοιων ευθυγράµµων τµηµάτων δίνει έµφαση στη συµβολική αξία αυτών των τµηµάτων. Η ίδια η λειτουργία της σηµερινής ϖράξης : «υψώνω εις το τετράγωνο» αν εϖρόκειτο για αριθµούς αντιστοιχούσε στην έκφραση : «ο εκ του αριθµού γενόµενος» (VII, 25), ή αν εϖρόκειτο για λόγο : «διϖλασίονα λόγον» (VIII, 11) Συγκεκριµένα η VIII, 11 µας λέει: 2 α 2 = διϖλασίονα λόγο έχει ήϖερ α όϖου α,β ακέραιοι β β αριθµοί. ηλαδή, βλέϖουµε ότι τον λόγο δύο τετράγωνων αριθµών µϖορούσαν να τον φανταστούν (αϖό VIII, 11) σαν τον διϖλασίονα λόγο ϖου έχει η ϖλευρά ϖρος ϖλευρά. Αυτό σηµαίνει α χ όϖου α η ϖρώτη ϖλευρά ενώ η χ είναι η τρίτη ϖλευρά µιας συνεχούς αναλογίας α,β,χ. (Οϖότε µε σηµερινούς όρους : ϖροκύϖτει καθαρά γεωµετρική α β α α α β α 2 α = = ( ) = ) Αρα η λύση β χ β β β χ β χ Όµως αν σταθούµε στο δέκατο βιβλίο στην ϖρόταση 9 : «τα αϖό των µήκει συµµέτρων ευθειών τετράγωνα ϖρος άλληλα λόγον έχει, όν τετράγωνος αριθµός ϖρος τετράγωνον αριθµόν και τα τετράγωνα τα ϖρος άλληλα λόγον έχοντα, όν τετράγωνος αριθµός ϖρος τετράγωνον αριθµόν, και τας ϖλευράς έξει µήκει συµµέτρους», εδώ είναι φανερή η συσχέτιση των «τετραγώνων» σχηµάτων των συµµέτρων ευθ. τµηµάτων και των «τετραγώνων» αριθµών. Αρα αν εϖρόκειτο για σύµµετρα ευθ. τµήµατα θα ήταν εύκολο για τους αρχαίους, φαντάζοµαι, να αντικαταστήσουν στο µυαλό τους τα «τετράγωνα» σχήµατα 58

59 µε «τετράγωνους» αριθµούς. Αλλά για να φτάσουν εκεί έϖρεϖε να αναϖτυχθεί η θεωρία των ασυµµέτρων του δεκάτου βιβλίου. Β) Ο Van der Waerden στο «αφύϖνιση της εϖιστήµης» σελ. 184, συζητώντας για το αν ο Αρχύτας ο Ταραντίνος είχε καταλήξει κι αυτός στην ανακάλυψη των αρρήτων και µε ϖοιο τρόϖο, µας λέει : «Αν κάϖοιος υϖέθετε µια φυσιολογική υϖόθεση για έναν Πυθαγόρειο- ότι όλα τα ευθύγραµµα τµήµατα µϖορούν, και αυτά, να εκφράζονται µε αριθµούς, θα κατέληγε στο συµϖέρασµα ότι για ευθύγραµµα τµήµατα µε ορισµένους λόγους, µέσος ανάλογος δεν µϖορούσε να υϖάρχει. Όµως µέση ανάλογος δύο ευθυγράµµων τµηµάτων µϖορεί ϖάντοτε να κατασκευασθεί. Αυτό οδηγεί στο συµϖέρασµα ότι τα ευθύγραµµα τµήµατα δεν εκφράζονται ϖάντοτε µε αριθµούς (ακεραίους), η ακριβέστερα διατυϖωµένο : οι λόγοι ευθυγράµµων τµηµάτων δεν εκφράζονται ϖάντοτε ως λόγοι ακεραίων. Με άλλα λόγια υϖάρχουν ασύµµετρα ευθύγραµµα τµήµατα». ηλ. στους άϖειρους ακέραιους αντιστοιχούν άϖειρα ευθύγραµµα τµήµατα, υϖάρχουν ευθ. τµήµατα όϖου δεν αντιστοιχεί κανείς ακέραιος. Εϖίσης στη σελ. 185 αναφέρει : «Στην αϖόδειξη της X 9, αϖό την : α β 2 2 γ = δ 2 2 όµως όϖου τα α, β είναι ευθύγραµµα τµήµατα ενώ οι γ, δ αριθµοί, ϖρέϖει να εξαχθεί το συµϖέρασµα ότι : α γ =. Για τον σκοϖό αυτό σηµειώνεται ότι ο λόγος των τετραγώνων β δ «διϖλασίονας λόγος» του λόγου α 2 β και ότι ο λόγος γ δ 2 α β 2 2 είναι είναι οµοίως, «διϖλασίονας λόγος» του γ. Η ισότητα των λόγων συνάγεται, τώρα, χωρίς καµιά άλλη εξήγηση, αϖό την ισότητα δ των διϖλασιόνων λόγων. Η αϖόδειξη, εϖοµένως, είναι ατελής.» Αυτό το ϖροηγούµενο για ν αϖοδειχθεί είναι αρκετά δύσκολο! Βλέϖουµε δηλ. ότι η «άλγεβρα» των αρχαίων κάθε άλλο ϖαρά αϖλή ήταν. Γι αυτό άλλωστε, ϖιθανώς και χρησιµοϖοιούσαν ϖερισσότερο γεωµετρία! Γ) Στο δέκατο βιβλίο τώρα, στην ϖρόταση 9, ϖρέϖει να αϖοδειχθεί ότι : «Τα τετράγωνα των κατά το µήκος συµµέτρων ευθειών έχουν µεταξύ τους τον λόγο ϖου έχει τετράγωνος αριθµός ϖρος τετράγωνο αριθµό, και τα τετράγωνα ϖου έχουν µεταξύ τους τον λόγο τετράγωνου αριθµού ϖρος τετράγωνο αριθµό θα έχουν τις ϖλευρές σύµµετρες κατά το µήκος. Ενώ τα τετράγωνα ασυµµέτρων κατά το µήκος ευθειών µεταξύ τους δεν έχουν τον λόγο ϖου έχει τετράγωνος αριθµός ϖρος τετράγωνο αριθµό. Εϖίσης τα τετράγωνα ϖου µεταξύ τους δεν έχουν τον λόγο τετράγωνου αριθµού ϖρος τετράγωνο αριθµό ούτε τις ϖλευρές τους θα έχουν σύµµετρες κατά το µήκος». Αρα βλέϖουµε ότι τα τετράγωνα συµµέτρων ϖλευρών έχουν σχέση µεταξύ τους ίδια µ εκείνη ϖου έχουν τετράγωνοι αριθµοί! ηλ είναι σαν να έχουµε τετράγωνους αριθµούς ή τετράγωνους αριθµούς ϖολ/µένους µε τον ίδιο σταθερό αριθµό. Όλη αυτή η διερεύνηση έχει σαν αντικείµενο τη σχέση τετραγώνων ευθ. τµηµάτων και των ίδιων των ευθ. τµηµάτων! Προφανώς ϖάλι όλο αυτό κάϖου χρησίµευε και δεν ήταν αϖλά θεωρητικό. Ας θέσουµε ϖάλι το ϖαράδειγµα του Πυθαγορείου θεωρήµατος : α 2 =β 2 + γ 2. Ας ξεχάσουµε ϖρος στιγµήν ότι είναι µια σχέση ϖου αφορά κάϖοια τετράγωνα σχήµατα. Μϖορεί να είναι και µια σχέση αριθµών? Προφανώς είναι. Όµως ο Ευκλείδης την αντιλαµβανόταν και σαν τέτοια? Αν µιλήσουµε εφ όλης της ύλης, δηλ έχοντας υϖ όψη µας όλα τα «στοιχεία» τότε θα µϖορούσαµε να ϖούµε τα εξής : Αν υϖοθέσουµε ότι τα α, β είναι σύµµετρα τότε τα α 2, β 2 είναι όϖως δύο τετράγωνοι αριθµοί ας ϖούµε : 9, 4. Το ίδιο ισχύει και για τα α, γ κ.λ.ϖ. 59

60 Αν υϖοθέσουµε ότι δεν είναι σύµµετρα µήκει άλλα σύµµετρα δυνάµει δηλ κατά το τετράγωνο, τότε τα α 2, β 2 θα είναι όϖως δύο αϖλοί ακέραιοι αριθµοί, ας ϖούµε : 3= 2+1 δηλ µήκει δεν είναι σύµµετροι. Προτάσεις του X βιβλίου, όϖως οι ϖαρακάτω δεν µϖορούµε να φανταστούµε άλλο λόγο για τον οϖοίο υϖήρχαν ϖαρά για να συγκεκριµενοϖοιήσουν τέτοιες αριθµητικές-αλγεβρικέςγεωµετρικές σχέσεις, όϖως ανάµεσα στα α, β, γ της ισότητας : α 2 = β 2 + γ 2. 1) X.14 «Εάν τέσσερις ευθείες είναι ανάλογες και το τετράγωνο της ϖρώτης είναι µεγαλύτερο του τετραγώνου της δεύτερης κατά τετράγωνο ευθείας σύµµετρης κατά το µήκος µε την ϖρώτη, τότε και το τετράγωνο της τρίτης θα είναι µεγαλύτερο αϖό το τετράγωνο της τέταρτης κατά τετράγωνο ευθείας σύµµετρης κατά το µήκος µε την τρίτη. Εϖίσης, εάν το τετράγωνο της ϖρώτης είναι µεγαλύτερο του τετραγώνου της δεύτερης κατά τετράγωνο ευθείας ασύµµετρης κατά το µήκος µε την ϖρώτη, τότε και το τετράγωνο της τρίτης θα είναι µεγαλύτερο του τετραγώνου της τέταρτης κατά τετράγωνο ευθείας ασύµµετρης κατά το µήκος µε την τρίτη». ηλ αν ισχύει : α = p β q τότε αν το α είναι σύµµετρο-ασύµµετρο µε το 2 2 α -β θα είναι και το p σύµµετρο-ασύµµετρο µε το 2 2 p -q. Αυτή η ϖρόταση φαίνεται καθαρά ότι δηµιουργήθηκε για να διερευνήσει αρρητότητα ή όχι της 2 2 p -q για ανάλογους αριθµούς p,q µε τους α,b..για ϖαράδειγµα, µας λεέι ότι αν έχω τους αριθµούς : 2, 3, 1046, 1569 ϖου είναι ανάλογοι, τότε αν η 2 2 την είναι άρρητος (ϖου είναι) τότε και ο είναι άρρητος ή το αντίστροφο. Μας ενδιαφέρει ϖουθενά αυτό στο συµϖέρασµα? Ναι µας ενδιαφέρει στο αν µϖορούµε να ϖροσδιορίσουµε αριθµητικά ή γεωµετρικά αυτόν τον αριθµό. Πάντως, αν είµαστε αδιάφοροι για το αριθµητικό µέρος δεν νοµίζω ότι θα µας ένοιαζε η διερεύνηση αυτού του τύϖου. 2) Λήµµα (1) : «Να βρεθούν δύο τετράγωνοι αριθµοί, τέτοιοι ώστε και το άθροισµά τους να είναι τετράγωνος αριθµός». Χρησιµοϖοιούµε τώρα την ϖρόταση ΙΙ. 6 και φτιάχνουµε το ϖαρακάτω σχήµα. Σχ. 40 Οι αριθµοί 6 και 24 είναι όµοιοι εϖίϖεδοι και έχουν γινόµενο : 6Χ24= 144=12 2. ΒΓ=6. Τώρα είναι : ΑΓ-ΒΓ=24-6=18 οϖότε : ΜΒ 2 + ΑΓ ΒΓ= ΜΓ 2 άρα =225 ή =

61 ηλ το ΙΙ. 6 είναι ένας µηχανισµός ϖαραγωγής τετράγωνων αριθµών ϖου εϖαληθεύουν το Πυθαγόρειο θεώρηµα. Μετά την αϖόδειξη του λήµµατος συµϖληρώνεται το εξής : «Είναι φανερό ότι έχουν βρεθεί και δύο τετράγωνοι αριθµοί, το τετράγωνο του ΒΜ και το τετράγωνο του ΓΜ, η διαφορά των οϖοίων, το γινόµενο των ΑΒ και ΒΓ, είναι τετράγωνος αριθµός, εφόσον οι ΑΓ και ΒΓ είναι αριθµοί όµοιοι εϖίϖεδοι. Όταν όµως δεν είναι όµοιοι εϖίϖεδοι, έχουν βρεθεί δύο τετράγωνοι, το τετράγωνο του ΒΜ και το τετράγωνο του ΜΓ, η διαφορά των οϖοίων, το γινόµενο των ΑΓ, ΒΓ, δεν είναι τετράγωνος». Το λήµµα (1) εφαρµόζεται στο ϖαρακάτω θεώρηµα X. 29 ϖου είναι βασικό διότι στην αϖόδειξή του ϖρώτη φορά τοϖοθετούνται ϖαράλληλα το Πυθαγόρειο θεώρηµα µε τετράγωνους αριθµούς και το Πυθαγόρειο θεώρηµα µε τετράγωνα σχήµατα: «Να βρεθούν δύο ρητές ευθείες σύµµετρες µόνο κατά το τετράγωνο, τέτοιες ώστε το τετράγωνο της µεγαλύτερης να υϖερέχει του τετραγώνου της µικρότερης κατά τετράγωνο ευθείας σύµµετρης κατά το µήκος µε αυτή [τη µεγαλύτερη]». Κυττάξτε ϖως ο Heath µεταφράζει την αϖόδειξη (του Ευκλειδη) αυτής της ϖρότασης µε σύγχρονα µαθηµατικά : ϖάρτε µια ρητή ευθεία ρ και δύο τετράγωνους αριθµούς m 2, n 2 έτσι ϖου το m 2 - n 2 να µην είναι τετράγωνος αριθµός. Τώρα εϖιλέγουµε µια ευθεία x τέτοια ώστε m ρ m -n να ισχύει : = x = ρ αϖό όϖου ϖροκύϖτει το x. Αρα το x 2 είναι σύµµετρο m -n x m µε το ρ 2 ενώ το x είναι ασύµµετρο µε το ρ και εϖίσης ϖροκύϖτει αϖό την ϖροηγούµενη σχέση : 2 2 m ρ = n ρ -x άρα : 2 2 ρ -x είναι σύµµετρο µε το ρ. Βλέϖουµε δηλ µια αντιστοίχιση αριθµών και ευθ τµηµάτων στη χρήση του τύϖου του Πυθαγορείου θεωρήµατος. ) Ο Πρόκλος αντελήφθη τη σηµασία της εϖαλήθευσης του Πυθαγόρειου θεωρήµατος αϖό ακέραιους αριθµούς. Σχετικά µε τον τρόϖο δηµιουργίας των λεγόµενων Πυθαγόρειων τριάδων ακολουθεί το ϖαρακάτω κείµενο.ας διαβάσουµε αϖ τον Πρόκλο (428, «εις ϖρώτον ευκλείδου στοιχείων: ζητηµάτων β») : «Αυτό ϖου λέγεται, λοιϖόν, είναι σαφές για την ϖερίϖτωση των αριθµών. Έχουν, όµως, ϖαραδοθεί και κάϖοιες µέθοδοι για την ανεύρεση τέτοιων τριγώνων τη µία µάλιστα αϖό αυτές τις µεθόδους την ανάγουν στον Πλάτωνα και την άλλη στον Πυθαγόρα. Η µέθοδος του Πυθαγόρα ξεκινά αϖό τους ϖεριττούς αριθµούς. Γιατί θεωρεί τον δοσµένο ϖεριττό αριθµό ως την µικρότερη ϖλευρά ϖου ϖεριέχει την ορθή, ϖαίρνει το τετράγωνό του, αφαιρεί αϖό αυτό µία µονάδα και θεωρεί το µισό του υϖολοίϖου ως την µεγαλύτερη ϖλευρά ϖου ϖεριέχει την ορθή. Κατόϖιν ϖροσθέτει στο µισό του υϖολοίϖου µία µονάδα και σχηµατίζει την υϖόλοιϖη ϖλευρά η οϖοία βρίσκεται αϖέναντι αϖό την ορθή. Για ϖαράδειγµα αφού ϖάρει το τρία και το υψώσει στο τετράγωνο και αφαιρέσει αϖό το εννέα µία µονάδα, ϖαίρνει το µισό του οκτώ, δηλαδή το τέσσεραˆ ϖροσθέτει ϖάλι στο µισό του οκτώ µία µονάδα και ϖαίρνει το ϖέντε και έτσι έχει βρεθεί ένα ορθογώνιο τρίγωνο ϖου έχει τη µία ϖλευρά ίση µε τρία, την άλλη ϖλευρά ίση µε τέσσερα και την τρίτη ϖλευρά ίση µε ϖέντε. Η µέθοδος του Πλάτωνα ξεκινά αϖό τους άρτιους αριθµούς. Γιατί, αφού ϖάρει τον δοσµένο άρτιο αριθµό, τον θεωρεί ως µία ϖλευρά εξ αυτών ϖου ϖεριέχουν την ορθή και, αφού τον διαιρέσει µε το δύο και υψώσει το µισό του στο τετράγωνο, ϖροσθέτει µία µονάδα στο τετράγωνο και ϖαίρνει την ϖλευρά ϖου βρίσκεται αϖέναντι αϖό την ορθή, ενώ αφαιρεί µία µονάδα αϖό το τετράγωνο και ϖαίρνει την άλλη ϖλευρά εξ αυτών ϖου ϖεριέχουν την ορθή για ϖαράδειγµα, αφού ϖάρει το τέσσερα, υψώνει το µισό του, δηλαδή το δύο, στο τετράγωνο και ϖαίρνει το τέσσερα και αφαιρώντας µία µονάδα ϖαίρνει το τρία, ενώ ϖροσθέτοντας µία µονάδα ϖαίρνει το τέσσερα, και έχει σχηµατισµένο το ίδιο τρίγωνο το οϖοίο ϖροέκυϖτε και µε την ϖροηγούµενη µέθοδο. Γιατί το τετράγωνο του ϖέντε είναι ίσο µε το άθροισµα των τετραγώνων του τρία και του τέσσερα». 61

62 ηλ µε σύγχρονους ορους µας λέει ότι ο τύϖος του Πυθαγόρα όσον αφορά τους ϖεριττούς είναι : m -1 2 m +1 2 m +( ) =( ) (2m) +(m -1) =(m +1) ενώ η µέθοδος του Πλάτωνα όσον αφορά τους άρτιους : Αρα, το σχόλιο του Πρόκλου µας δείχνει ότι οι αρχαίοι γνώριζαν την αριθµητική εϖαλήθευση του Πυθαγορείου θεωρήµατος, όσον αφορά βέβαια τους ακέραιους και µάλιστα είχαν ϖροχωρήσει µε κάϖοιο τρόϖο και σε µεθόδους εύρεσης τέτοιων αριθµών. Το γεγονός µάλιστα ότι η εύρεση τέτοιων αριθµών, δηλ η ύϖαρξή τους ήταν σϖάνια, ενώ αντίθετα η γεωµετρική εϖαλήθευση ήταν εύκολη, τους οδήγησε στο δρόµο της αριθµητικής διερεύνησης του X βιβλίου δηλ. την µέθοδο διερεύνησης της ασυµµετρίας ή όχι των τµηµάτων. Ε) Παρακάτω γίνεται µια ϖροσϖάθεια διερεύνησης της ικανότητας των αρχαίων να εϖιλύουν «αριθµητικά» δευτεροβάθµιες εξισώσεις. Βέβαια, η σηµασία αυτού είναι ότι αν αϖοδεικνυόταν ότι ϖράγµατι οι αρχαίοι είχαν άνεση στο να αντικαθιστούν ευθύγραµµα τµήµατα µε αριθµούς και να εϖιλύουν εξισώσεις χρησιµοϖοιώντας µάλιστα και το Πυθαγόρειο θεώρηµα τότε σαφώς θα είχαµε σαφή αντίληψη για το τι σήµαινε γι αυτούς τετράγωνο ευθ. τµήµατος. Υϖάρχει µια χαρακτηριστική ϖρόταση η X. 17 ϖου λέει το εξής: «Εάν δύο ευθείες είναι άνισες και στη µεγαλύτερη ϖαραβληθεί ϖαραλληλόγραµµο ίσο µε το ένα τέταρτο του τετραγώνου της µικρότερης, αϖό το οϖοίο να λείϖει σχήµα τετράγωνο, και τη χωρίζει σε σύµµετρα κατά το µήκος τµήµατα, τότε το τετράγωνο της µεγαλύτερης θα υϖερέχει του τετραγώνου της µικρότερης κατά τετράγωνο ϖλευράς σύµµετρης µε τη µεγαλύτερη κατά το µήκος. Και εάν το τετράγωνο της µεγαλύτερης υϖερέχει του τετραγώνου της µικρότερης κατά τετράγωνο ϖλευράς σύµµετρης µε αυτή, και στη µεγαλύτερη ϖαραβάλλεται ϖαραλληλόγραµµο ίσο µε το ένα τέταρτο του τετραγώνου της µικρότερης, αϖό το οϖοίο λείϖει τετράγωνο σχήµα, τότε τη χωρίζει σε σύµµετρα κατά το µήκος τµήµατα». όϖου δίνει ιδιαίτερη έµφαση ο Heath και όϖως λέει χαρακτηριστικά : «Είναι η καλύτερη αϖόδειξη ϖου µϖορεί να βρεθεί για την αϖόδειξη του γεγονότος ότι ο Ευκλείδης και οι αρχαίοι χρησιµοϖοιούσαν τις λύσεις των δευτεροβαθµίων εξισώσεων για αριθµητικά ϖροβλήµατα. εν θα µϖορούσε να σκεφτεί κάϖοιος κανένα άλλο λόγο, γιατί θα έϖρεϖε να ενδιαφέρει η αρρητότητα των ριζών. Σε µια καθαρά γεωµετρική εϖίλυση η διάκριση µεταξύ ασυµµέτρων η συµµέτρων ριζών δεν έχει καµµιά ιδιαίτερη σηµασία, διότι και στις δύο ϖεριϖτώσεις αυτές αϖοδίδονται σαν ευθύγραµµα τµήµατα. Αϖό την άλλη µεριά, µε την ϖροϋϖόθεση ότι οι αριθµητικές εϖιλύσεις των δευτεροβαθµίων εξισώσεων, ήταν ένα σηµαντικό κοµµάτι της µεθόδου των Ελλήνων γεωµετρών, η διάκριση µεταξύ των ϖεριϖτώσεων όϖου οι ρίζες είναι σύµµετρες ή ασύµµετρες σχετικά µε ένα δεδοµένο µήκος η µονάδα, καθίσταται εξαιρετικής σηµασίας. Αφ ής στιγµής οι Ελληνες δεν είχαν έναν τρόϖο να εκφράσουν αυτό ϖου λέµε «άρρητο» αριθµό, η ϖερίϖτωση της εξίσωσης µε ασύµµετρες ρίζες µϖορούσε να αϖοδωθεί µόνο µε γεωµετρικό τρόϖο. Και µόνο αυτός ο τρόϖος υϖήρχε στη θέση του τρόϖου ϖου χρησιµοϖοιούµε εµείς σήµερα µε τύϖο ϖου ϖεριέχει άρρητους»(sir Thomas L. Heath, Euclid the thirteen books of the elements,vol.3,σελ. 43,44). Η αϖόδειξη ϖου χρησιµοϖοιεί ο Ευκλείδης στη X. 17 είναι ένας καθαρά αλγεβρικός τρόϖος εϖίλυσης εξίσωσης : 62

63 Σχ. 41 Η εξίσωση ϖου εϖιλύεται είναι η : b b αx-x = x(α-x)= 4 4 Είναι : Ε =ΕΖ= α -χ 2. Οϖότε εφαρµόζουµε το ΙΙ. 5 ισχύει : 2 α Β Γ + Ε 2 = ΕΒ 2 2 α x(α-x)+( -x) = 2 4 Η κατακλείδα της ϖρότασης είναι ότι : b +(α-2x) =α 2 2 α -b =α-2x 2 2 α -β είναι σύµµετρο µε α τότε x είναι σύµµετρο µε α-x και αντίστροφα. Αντίθετα, ο Wilbur Richard Knorr (the evolution of the Euclidean elements, σελ. 10) όσον αφορά το ίδιο ακριβώς θέµα, έχει ϖερίϖου αντίθετη άϖοψη! «Το βιβλίο X έτσι εισάγεται και θεωρείται σαν την εργασία ταξινόµισης των ριζών των συγκεκριµένων τύϖων των ϖολυωνυµικών εξισώσεων (τετάρτης τάξης ϖολυώνυµων). Κρίνετε τον σχολιασµό της ϖρότασης X. 17 για ϖαράδειγµα. Σ αυτή ϖαρατηρούµε ένα κριτήριο µε το οϖοίο κρίνουµε αν τα τµήµατα ϖου ϖαράγονται µε την ϖαραβολή χωρίων µε έλλειψη τετραγώνου είναι σύµµετρα ή όχι. Συγκεκριµένα ο Heath γράφει : «Καµµία καλύτερη αϖόδειξη δεν υϖάρχει του γεγονότος ότι ο Ευκλείδης και οι αρχαίοι χρησιµοϖοιούσαν τις εϖιλύσεις των δευτεροβαθµίων εξισώσεων για αριθµητικά ϖροβλήµατα (βλέϖε ανωτέρω)». Η δήλωση αυτή είναι ϖαράλογη. Καθώς εµείς δεχόµαστε ότι η θεωρία της ασυµµετρίας εϖιβάλλει µια συγκεκριµένη εφαρµογή των µεθόδων της γεωµετρίας και της αριθµητικής- άλγεβρας, ενώ δεν θα έϖρεϖε να δούµε αυτή την µέθοδο σαν µια ϖροσϖάθεια για διευκόλυνση της «αριθµητικής» ανάλυσης. Στην ουσία, αυτοί ϖου ασχολούνταν αυστηρά µε την αριθµητική εϖίλυση εξισώσεων (αν ϖράγµατι οι αρχαίοι το έκαναν αυτό) δεν θα χρειάζονταν να ταξινοµήσουν τους άρρητους και δεν θα είχαν κανένα ϖρόβληµα όταν θα εµφανίζονταν άρρητοι.αυτοί θα είχαν αϖλώς να εφαρµόσουν µια αϖό τις τόσο αϖοτελεσµατικές µέθοδες ϖροσέγγισης τετραγωνικής ρίζας Αυτό ϖου µαρτυρά το σχόλιο του Heath είναι η αδυναµία του να αϖοδεχθεί ότι η θεωρία του δέκατου βιβλίου, ήταν εξαιρετικής εγγενούς σϖουδαιότητας για τους Έλληνες γεωµέτρες. Γι 63

64 αυτόν το κίνητρο του δέκατου βιβλίου είναι εξωτερικό και βρίσκεται στην µελέτη των εξισώσεων το οϖοίο αϖ την µεριά του είχε σϖουδαία «εγγενή» σηµασία. Φυσικά, η µελέτη των αρρήτων έλκει την καταγωγή της αϖό την αριθµητική. Με κάϖοιο τρόϖο βρέθηκε ότι το αριθµητικό-γεωµετρικό ϖρόβληµα του «διϖλασιασµού του τετραγώνου» οδηγούσε σε µια ϖιθανή γεωµετρική εϖίλυση και καθόλου σε αριθµητική. Μετά αϖ αυτό θα ήταν φυσικό να διερευνηθεί αν και κατά ϖόσον και άλλες γεωµετρικές κατασκευές µϖορούσαν να ϖαράγουν ασύµµετρες γραµµές. Ας ϖούµε, η ΙΙ. 11 ϖαράγει, η ΙΙ. 14 εϖίσης σε κάϖοιες ϖεριϖτώσεις. Η X. 17 εϖίσης αναϖαράγει τη ϖαραβολή των χωρίων στο κριτήριο της X.9. Περαιτέρω, η X. 17 είναι ένα βασικό λήµµα για τη δόµηση ανώτερων αρρήτων. Ετσι, το βιβλίο X έχει εϖεκταθεί ϖιο µακριά αϖό τις αριθµητικές καταβολές του. Στην ϖορεία αντίληψης αυτής της θεωρίας θα βρούµε ότι οι συλλογιστικές ϖου χρησιµοϖοιούνται στη θεωρία εξισώσεων δεν είναι κεντρικές εδώ και ότι αντίθετα, αλγεβρικές και αριθµητικές τεχνικές εµφανίζονται µόνο σαν βοηθητικές της γεωµετρικής διερεύνησης». Η αλήθεια µάλλον βρίσκεται κάϖου στη µέση. Είναι γεγονός, ότι οι αρχαίοι δεν είχαν αϖοκλειστικό ενδιαφέρον να εϖιλύουν εξισώσεις µε αριθµητικά δεδοµένα, όϖως ενδεχοµένως έκαναν οι Βαβυλώνιοι, όµως, όϖως δείχθηκε ϖιο ϖάνω, η µέθοδός τους, ήταν καθαρά αλγεβρική και τα συµϖεράσµατα της ϖρότασης ϖάλι είχαν αλγεβρική διερεύνηση. Αρα, βγαίνει το συµϖέρασµα ότι, αν ενδεχοµένως ήθελαν, θα µϖορούσαν µε την µέθοδο ϖου υϖοδείκνυαν να εϖιλύσουν µια εξίσωση και αριθµητικά, χωρίς όµως να θέλουµε να υϖοβαθµίσουµε τη γεωµετρική σηµασία της ϖρότασης. Αυτό ϖου τους ενδιαφέρει ϖερισσότερο, νοµίζω, είναι να δοµήσουν µια θεωρία αρρήτων ή ασυµµέτρων τµηµάτων και να διερευνήσουν όλα τα ϖιθανά µονοϖάτια και τις εϖεκτάσεις.η θεωρία αυτή είναι ϖρωτίστως γεωµετρική, όµως ταυτόχρονα είναι και αλγεβρική αν θεωρήσουµε τα ευθύγραµµα τµήµατα σαν µεταβλητές. ΣΤ) Παρακάτω, θα ϖροσϖαθήσουµε να αναλύσουµε την άϖοψη του Ian Mueller ϖάνω στη «γεωµετρική άλγεβρα» όϖως διαφαίνεται αϖό τη συζήτηση στο βιβλίο: «Philosophy of Mathematics and Deductive Structure in Euclid s Elements» και γενικότερα τη σχέση γεωµετρίας άλγεβρας στις ϖρώτες 7 ϖροτάσεις του ΙΙ βιβλίου, εν ϖρώτοις και εν δευτέροις θα συζητήσουµε κάϖοιες ϖεριϖτώσεις ϖου έχει εντοϖίσει στα «Στοιχεία» και δείχνουν ότι ο Ευκλείδης γενικά τη «γεωµετρική άλγεβρα», µϖορεί να την αντιµετώϖιζε και σαν σύνολο αϖό τύϖους όϖου µϖορούσε να αντικαταστήσει αριθµούς. O Μueller έχει δύο κεφάλαια στο βιβλίο όϖου ασχολείται µε το θέµα : Geometry and Algebra (σελ. 41) και Arithmetic and Algebra. Applications of Arithmetic in Book X. Ξεκινάει αϖό τον όρο «γεωµετρική άλγεβρα» και µιλάει για τον εισηγητή του Ζeuthen ϖροσϖαθώντας να ϖεριγράψει µε τι τρόϖο κατέληξε σ αυτόν. Ο Zeuthen κυρίως ξεκίνησε µε αφορµή µια ανάλυση για τα «Κωνικά» του Αϖολλωνίου να διαϖιστώνει ότι η «γεωµετρική άλγεβρα» εκατό χρόνια µετά τον Ευκλείδη ήταν ένα αϖαραίτητο εργαλείο για υϖολογισµούς και εϖιστηµονικές εφαρµογές. Ο Zeuthen ϖροχωρεί ακόµη ϖιο ϖέρα : η «γεωµετρική άλγεβρα» είναι γι αυτόν ιδιότητες µεταξύ µεταβλητών και οι γραµµές και τα χωρία αντιστοιχούν σε αυθαίρετα µεγέθη, µεταξύ των οϖοίων είναι και οι αριθµοί. Αϖ την άλλη µεριά ο Negebauer ϖαρατηρώντας Βαβυλωνιακές ϖηγές, βλέϖει ότι η «γεωµετρική άλγεβρα» δεν είναι τίϖοτε άλλο ϖαρά, ενσωµάτωση στα Ελληνικά µαθηµατικά όλων των αρχαίων Βαβυλωνιακών µεθόδων! Όµως ο Mueller είναι εϖιφυλακτικός : «Εχω ισχυριστεί ήδη ότι η δοµική αντίληψη των µαθηµατικών ϖου είναι ο ϖυρήνας της άλγεβρας είναι ουσιαστικά ξένη για τον Ευκλείδη..(αλλού) Ο Zeuthen ϖολύ εύκολα µας δείχνει ϖως τα Ελληνικά µαθηµατικά αϖοτελέσµατα µϖορούν να ερµηνευθούν σαν γεωµετρικές ενσωµατώσεις τέτοιων αλγεβρικών λύσεων. Ως τόσο, ξέρει ϖολύ καλά ότι δεν υφίσταται τέτοιο ϖράγµα όϖως το λεγόµενο : Ελληνική αλγεβρική εξίσωση στο νού µας.υϖάρχουν µόνο γεωµετρικές ϖροτάσεις και ϖροβλήµατα όϖως το ΙΙ.1. Ούτε υφίστανται εξισώσεις στα Βαβυλωνιακά µαθηµατικά, οι ϖερισσότερες αϖ τις οϖοίες είναι διαδικασίες βήµα-βήµα εϖίλυσης αριθµητικών ϖροβληµάτων στη βάση γενικότερων τύϖων». 64

65 Ενώ αντιλαµβάνεται την «αλγεβρική» αξία τέτοιων ϖροτάσεων, για ϖαράδειγµα της ΙΙ. 14 σαν εύρεση τετραγωνικής ρίζας ή του Π.Θ. σαν βασικό εργαλείο της γεωµετρικής άλγεβρας ή της «ϖαραβολής ορθογωνίου» σαν εϖίλυση της εξίσωσης : αx=β, στην ϖραγµατικότητα στέκεται στο «εϖιφαινόµενο», δηλ. ότι ο Ευκλείδης δεν εϖεκτείνει τις ϖροτάσεις του σε εφαρµογές, οϖότε εµείς οφείλουµε να σταθούµε µόνο στη γεωµετρική τους αξία. Υϖερθεµατίζει λέγοντας ότι οι ϖροτάσεις ΙΙ. 1,..,7 είναι τελείως ανεξάρτητες µεταξύ τους και ο Ευκλείδης τις αντιµετωϖίζει ακριβώς έτσι! Μα αν δούµε αϖό κοντά τον τρόϖο αϖόδειξης θα δούµε ότι είναι ακριβώς ο ίδιος σε όλες τις ϖροτάσεις! Αρα υϖάρχει κάτι κοινό. Το ότι ο Ευκλείδης δεν βασίζεται στην µία για να αϖοδείξει την άλλη οφείλεται στο γεγονός ότι χρησιµοϖοιεί τον ϖιο άµεσο τρόϖο αϖόδειξης (οϖτικό) ϖου συνήθως δεν χρειάζεται τις ϖροηγούµενες ϖροτάσεις. Για ϖαράδειγµα στη σελ 46 αναφέρει ότι η ΙΙ. 4 µϖορεί να αϖοδειχθεί συνθετικά αϖό την ΙΙ.1(εϖιµεριστική ιδιότητα) : (x + y) = (x + y)(x + y) = x(x + y) + y(x + y) = x + xy + yx + y Όµως οι αρχαίοι δεν έβλεϖαν έτσι την αϖόδειξη, αλλά όϖως ϖαρακάτω : Σχ. 42 Αλλά αν χρησιµοϖοιήσουµε την µέθοδο την ϖροηγούµενη (αλγεβρική) ϖου ϖροτείνει ο Mueller είναι σαν να ϖεριϖλέκουµε µια υϖάρχουσα ολοφάνερη «οϖτική» αϖόδειξη.η οϖτική αϖόδειξη του ϖαραϖάνω σχήµατος δεν ϖροέκυψε αϖ το ϖουθενά, αλλά δικαιολογείται ϖλήρως αϖ τις αϖοδείξεις των ϖροηγούµενων ϖροτάσεων.εϖίσης είναι ιδιαίτερα αξιοϖερίεργο ότι η βήµα-βήµα αϖόδειξη του Mueller (σύγχρονη) όϖως φαίνεται αϖό ϖάνω δικαιολογείται κυριολεκτικά αϖό µία-µία τις ϖροτάσεις ΙΙ.1,2,3. Η µέθοδος του Mueller είναι µέθοδος «χωρίς σχήµα». Όµως τέτοια γεωµετρία δεν είχε ϖιθανότητα ύϖαρξης στα αρχαία χρόνια. Μια τέτοια γεωµετρία αϖαιτούσε ικανότητα αφαίρεσης και χρήση µεταβλητών ή συνεχών αντικαταστάσεων, µε το σχήµα σε βοηθητικό ρόλο. Η Ευκλείδεια γεωµετρία είχε σαν σύνολο αναφοράς το σχήµα και µάλιστα ένα σχήµα όϖου ϖεριέγραφε τις ισότητες και δεν ϖροσφερόταν σαν βοήθηµα για να εκτελεστούν αυτόνοµες αλγεβρικές ϖράξεις. Βέβαια το ϖλαίσιο αυτό άλλαξε λίγο µετά την ϖρόταση ΙΙ.8 όϖως ϖεριγράψαµε µε τη χρήση του Π.Θ. Ιστορικά όϖως θα δούµε ϖήρε ϖολύ καιρό µέχρι να αλλάξει η µέθοδος και να καταλήξει στα εϖιτεύγµατα του ιόφαντου. 15 Ο Ήρων το 100 µ.χ. 16 ϖερίϖου µας δίνει µια αϖόδειξη της ΙΙ.3 στηριζόµενος στη ΙΙ.1, όϖως τονίζει δε στην αρχή η αϖόδειξη αυτή δεν αϖαιτεί σχήµα (ϖολύ σηµαντικό). 15 ιόφαντος ο Αλεξανδρεύς (περίπου 3 ο αιώνα µ.χ) θεωρείται ο πατέρας της σηµερινής άλγεβρας 16 Ήρων ο Αλεξανδρεύς 100 µ.χ. αιώνα, µηχανικός και µαθηµατικός της ελληνιστικής περιόδου. 65

66 «Ας υϖοθέσουµε ότι µας δίνονται δύο γραµµές ΑΒ, BC η µία η BC αδιαίρετη ενώ η άλλη διαιρεµένη στο C. Αϖό τη ΙΙ.1 έϖεται ότι : το ορθογώνιο ϖου σχηµατίζουν οι ευθείες ΑΒ και BC είναι ίσο µε τα ορθογώνια ϖου σχηµατίζουν οι ευθείες: ΑC και BC και οι ευθείες : CB και BC. Το τελευταίο όµως είναι το τετράγωνο µε ϖλευρά BC». Παρακάτω ο Mueller θέτει κάϖοια εϖιχειρήµατα (αρχές) ϖου είναι ισχυρά για να θεµελιώσουν µια αλγεβρική ερµηνεία των ϖροτάσεων των «στοιχείων». Εστω και ένα αϖ αυτά : 1) Οι γραµµές ή τα χωρία της γεωµετρικής άλγεβρας αντιϖροσωϖεύουν αυθαίρετα µεγέθη. 2) Η γεωµετρική άλγεβρα είναι µια µετάφραση των Βαβυλωνιακών αλγεβρικών µεθόδων. 3) Η «γραµµή της σκέψης» σε ϖολλούς αϖ τους Ελληνες µαθηµατικούς είναι «κατά βάθος σαφώς αλγεβρική». Το ϖρώτο εϖιχείρηµα εϖικεντρώνεται στο ερώτηµα αν η γεωµετρική άλγεβρα ϖροοριζόταν να εφαρµοστεί σε νούµερα. Αϖό τα «σχόλια» ϖου ερµηνεύουν τα «Στοιχεία» συµϖεραίνουµε ότι η εφαρµογή γεωµετρικής άλγεβρας σε αριθµητικά ϖροβλήµατα ήταν ένα καθεστώς αϖό τον 1 ο µ.χ. αιώνα. Ο Mueller ϖιστεύει ότι έχει µια υϖόσταση η ϖροσέγγιση του Zeuthen 17 για την ύϖαρξη µιας ϖροευκλείδειας αριθµητικής άλγεβρας στηριγµένης κατ εξοχήν στη γνώση των Βαβυλωνίων. Όµως ξεχωρίζει τη χρήση των αριθµητικο-γεωµετρικών αναλογιών αϖό την καθαρή αλγεβρική σκέψη. Συγκεκριµένα λέει : «Φαίνεται σχετικά σαφές ότι οι γεωµετρικές ιδέες έϖαιξαν έναν ουσιαστικό ρόλο στην ϖρώϊµη ελληνική αριθµητική σκέψη ϖου ίσως έχει βασιστεί ολοκληρωτικά στην αναϖαράσταση των αριθµών σαν εϖίϖεδες σειρές µονάδων.αυτός ο τρόϖος διαχείρισης αριθµών θα εξυϖηρετούσε φανερά την αναγνώριση των αναλογιών µεταξύ γεωµετρικών και αριθµητικών αϖοτελεσµάτων και θα ϖρότεινε την ϖιθανότητα της εκµετάλλευσης γεωµετρικών διαδικασιών στην αριθµητική!τέτοια αναλογική σκέψη ϖρέϖει να ξεχωριστεί αϖό την αλγεβρική ϖροσέγγιση ϖου συνίσταται στο συνδυασµό της διαχείρισης ξεχωριστών κλάδων κάνοντας «αφαίρεση» στις κοινές ιδιότητες των αντικειµένων µε τα οϖοία ασχολούνται». Όµως δεν είναι αϖίθανο κάϖοιος να στηριχθεί σε τέτοια µοντέλα και να ϖαρουσιάσει αλγεβρικές λύσεις. Θα δώσουµε ένα ϖαράδειγµα για να κατανοήσουµε τι εννοεί ϖερίϖου ο Mueller Σχ. 43 Το ϖαραϖάνω σχήµα είναι το Πυθαγόρειο ϖαράδειγµα του «ϖέρατος» 18. Βλέϖουµε ότι σχηµατίζονται διαδοχικά τετράγωνα το ένα µέσα στο άλλο µε κοινή κορυφή. Το ένα τετράγωνο ϖροκύϖτει αϖ το ϖροηγούµενο µε ϖρόσθεση ενός ϖεριττού : 17 Hieronymous Georg Zeuthen, ( ) ανός µαθηµατικός, µηχανικός, ιστορικός των µαθηµατικών. 18 Το «πέρας» για τους Πυθαγόρειους είχε σχέση µε τους «περιττούς» αριθµούς που µε µορφή γνωµόνων σχηµάτιζαν διαδοχικά τετράγωνα δηλ συνεχώς όµοια σχήµατα. 66

67 1+3=4, 1+3+5=9, =16, =25. Αρα το ϖρώτο ϖου ϖαρατηρούµε είναι ότι τα τετράγωνα αντιστοιχούν σε τετράγωνους αριθµούς. εύτερο, υϖάρχει µια αριθµητική ϖρόοδος αϖό ϖεριττούς αριθµούς ϖου όταν ϖροστίθενται µας δίνουν άθροισµα ν 2. ηλ [2(ν-1) +1]= ν 2 Εϖίσης : (3+2) 2 = ϖου φαίνεται ολοκάθαρα στο σχήµα ότι ισχύει και εγκαινιάζει την µέθοδο: cut and paste. Εϖίσης, αϖ αυτό το ϖαράδειγµα, µϖορούµε να εξάγουµε τον τύϖο των Πυθαγορείων ϖου αναφέρει ο Πρόκλος και µας δίνει Πυθαγόρειες τριάδες ξεκινώντας αϖό έναν ϖεριττό αριθµό : m 2 + [(m 2 1)/2] 2 = [(m 2 +1)/2] 2. Αϖό το ϖαράδειγµα του «ϖέρατος» βλέϖουµε ότι η διαφορά δύο τετραγώνων είναι ϖάντα ένας ϖεριττός αριθµός. Για ϖαράδειγµα : 4-1=3, 9-4=5, 16-9=7, 25-16=9. Προφανώς, κάϖοιος ϖου θα ήθελε να βρει µια Πυθαγόρεια τριάδα, θα έψαχνε να βρει µια διαφορά ενός ϖεριττού ϖου θα ήταν ταυτόχρονα και τετράγωνο. Ο ϖρώτος τέτοιος είναι ο 9= Όµως έτσι βρίσκεται και ο ϖαραϖάνω τύϖος αν σκεφτούµε ότι : m 2 είναι ο 9 και m 2 +1/2 είναι ο 5, ενώ ο m 2 1/2 είναι ο 4. Άρα, στο µοντέλο αυτό βλέϖουµε την αναλογία ανάµεσα στα γεωµετρικά και στα αριθµητικά αϖοτελέσµατα, όϖως και την ανάϖτυξη ενός αλγεβρικού νοήµατος µε ταυτότητες και ϖροόδους. Στη συνέχεια ο Mueller εξηγεί το δεύτερο εϖιχείρηµα δίνοντάς του την εξής µορφή : αν οι έλληνες µαθηµατικοί ϖροσέλαβαν µε κάϖοιο τρόϖο τα µέχρι τότε µαθηµατικά των Βαβυλωνίων τότε είναι σίγουρο ότι η ϖρόθεσή τους ήταν να λύσουν εξισώσεις. Όµως σε αυτά τα µαθηµατικά έδωσαν καινούργια διάσταση, τη διάσταση των ϖροτάσεων ϖου έϖρεϖε να αϖοδειχθούν. Οσον αφορά το τρίτο εϖιχείρηµα, δηλ αν η γραµµή της σκέψης των αρχαίων είναι βαθιά «αλγεβρική» λέει : «Τα ϖαραδείγµατα της αλγεβρικής αιτιολόγησης είναι το δοµικό εϖιχείρηµα «αφαίρεσης», αφ ενός και διαχείρισης εξισώσεων αφ ετέρου. Κανένα αϖ αυτά τα ϖαραδείγµατα δεν εµφανίζονται καθαρά Ευκλείδεια». Όµως ο Ευκλείδης στα «Στοιχεία» κάνει αφαίρεση. Οσο για τις εξισώσεις έχει γίνει τόση κουβέντα γι αυτό. Στη συνέχεια λέει : «Πράγµατι, ως τόσο αν κάϖοιος εύχεται να ϖεριγράψει τα αϖοτελέσµατα ϖου αϖοδεικνύονται στο δεύτερο βιβλίο, οι αϖοδείξεις αϖό µόνες τους δεν δείχνουν µε τίϖοτα τη σύνδεση µεταξύ των ϖροτάσεων. Το γεγονός αυτό δείχνει ολοκάθαρα ότι ο Ευκλείδης ϖροσεγγίζει το θέµα του κοιτάζοντας ϖρος τις γεωµετρικές ιδιότητες κάϖοιων χωρικών διαµορφώσεων και όχι θεωρώντας αφηρηµένες σχέσεις µεταξύ µεγεθών ή τυϖικών σχέσεων µεταξύ εκφράσεων». Όϖως είϖαµε οι αϖοδείξεις µεταξύ τους έχουν άµεση εξάρτηση, ενώ η τελική αϖόδειξη της ΙΙ. 4 είναι η γενίκευση όλων των ϖροηγούµενων αϖοδείξεων. Το εϖόµενο αϖόσϖασµα του Mueller ϖου είναι σχετικό µε την ϖαρούσα συζήτηση εϖιγράφεται «αριθµητική και άλγεβρα» και αναλύει ϖεριϖτώσεις όϖου «η αριθµητική σκέψη καθοδηγείται αϖό γεωµετρικές αναλογίες» και «ιδέες όϖως εκείνες του εϖίϖεδου και τετράγωνου αριθµού φαίνονται να εϖιδέχονται τη χρήση της γεωµετρικής άλγεβρας». Αϖό τα «Στοιχεία» ανασύρει δύο βασικές ϖεριϖτώσεις όϖου φαίνεται καθαρά ότι ο Ευκλείδης εϖαληθεύει στους τύϖους της «γεωµετρικής άλγεβρας» κάϖοιους αριθµούς. Συγκεκριµένα στην αϖόδειξη της X. 15 χρησιµοϖοιεί την ΙΙ. 3 όµως όσον αφορά τη διατύϖωση κάϖως διαφορετικά, αντί της φράσης : «το αϖό της Ε (τετράγωνο)» θέτει «ο αϖό του Ε (τετράγωνος αριθµός)». Εϖίσης αντί της φράσης : «το αϖό των ΑΒ, ΒΓ (ϖεριεχόµενον ορθογώνιον)», θέτει «ο εκ των ΑΒ, ΒΓ (γενόµενος αριθµός)». Η δεύτερη είναι η αϖόδειξη του Λήµµατος (1) του X βιβλίου όϖου σε κάϖοιο σηµείο αναφέρει : «ο άρα εκ των ΑΒ, ΒΓ µετά του αϖό του Γ τετραγώνου ίσος εστί τω αϖό του Β τετραγώνου», ϖου είναι η εφαρµογή της ΙΙ. 6 αλλά µε αριθµούς. Παρακάτω όµως ο Mueller συµϖληρώνει : «υστυχώς, η ϖαρουσία τέτοιων εφαρµογών θα έκφραζε µια έντονη υϖοχώρηση της αυστηρότητας στα «Στοιχεία», αφού τα συµϖεράσµατα για τα οϖοία µιλάµε θα στηρίζονταν εντελώς σε µια γεωµετρική αναλογία χωρίς αριθµητική θεµελίωση» 67

68 Όταν µιλάει για αριθµούς στην ϖροκειµένη ϖερίϖτωση ο Ευκλείδης αναφέρεται σε οµάδες διακριτών µονάδων, όϖως ισχυρίζεται ο Mueller και όχι σε αριθµούς µε τη σύγχρονη αντίληψη. Σχ. 44 ενώ η ΙΙ. 3 γράφεται : ΑΒ ΑΓ = ΑΒ 2 + ΑΒ ΒΓ δηλ 2 5 = εν τούτοις καταλήγει : «Αλλά, όϖου ο Ευκλείδης έχει έναν τύϖο, µια µέθοδο µε την οϖοία διαχειρίζεται και εκφέρει γνώµη για γεωµετρικά σχήµατα, είναι αϖρόθυµος να κάνει χρήση σαφώς ισχυρισµών ϖου στηρίζονται σε σειρές αριθµών στην αριθµητική». Ζ) Τώρα θα δώσουµε την άϖοψη του Knorr αϖό το σύγγραµµα the evolution of the Euclidean elements σχετικά µε τη διαδικασία σύνδεσης της «αριθµητικής» των ϖροευκλείδειων µαθηµατικών µε τη γεωµετρική άλγεβρα του ΙΙ βιβλίου των στοιχείων. Σαν θεµελιωτή αυτής της σύνδεσης θεωρεί τον Θεόδωρο. Είναι γνωστό ότι οι Πυθαγόρειοι είχαν αναϖτύξει µια ιδιαίτερη σχέση µε τους αριθµούς όϖως αϖορρέει αϖό την αϖοστροφή ϖου καθόριζε τη φιλοσοφία τους : «τα ϖάντα είναι αριθµοί». Και ϖίστευαν «ευλαβικά» ότι τα µαθηµατικά κρύβουν µέσα τους την εξήγηση του µυστηρίου του κόσµου. Οι Πυθαγόρειοι συνήθιζαν ν αναϖαριστούν τους αριθµούς µε µικρούς λίθους (pebbles) τοϖοθετηµένους κατάλληλα σε κάϖοια εϖίϖεδη εϖιφάνεια και ϖάνω σ αυτούς να κάνουν χρήση των λεγόµενων «dots methods» δηλ των µεθόδων µε κουκκίδες. Ο Knorr λέει : «Πως συνδυάστηκε η µέθοδος των κουκίδων µε την µελέτη των ϖεριττών και των αρτίων? υστυχώς, οι Νεοϖυθαγόρειοι δεν ακολουθούν αυτόν τον τρόϖο όµως ο Εϖίχαρµος µας λέει ότι τον ϖέµϖτο αιώνα οι µαθηµατικοί µελετούσαν τους άρτιους- ϖεριττούς µ αυτόν τον τρόϖο». Ο τρόϖος λοιϖόν αυτός συνδύαζε την αριθµητική (δηλ τον λογισµό αριθµών) µε τη γεωµετρία (δηλ την µελέτη σχηµάτων). Για ϖαράδειγµα οι «τρίγωνοι» αριθµοί ήταν οι αριθµοί ϖου συµβολίζονταν µε βάση την dot method µε ισόϖλευρα τρίγωνα Σχ

69 Οι «ετεροµήκεις» η «ορθογώνιοι» αριθµοί ήταν αριθµοί ϖου ϖροέκυϖταν αϖό το γινόµενο ενός αριθµού µε τον εϖόµενό του. Συµβολίζονταν µε ορθογώνιο ϖαρ/µµο α : (α+1). 6 Σχ. 46 Οι τετράγωνοι ήταν αριθµοί ϖου ϖροέκυϖταν αϖό το γινόµενο ενός αριθµού µε τον εαυτό του. ηλ οι αριθµοί : 4, 9, 16, Συµβολίζονταν µε τετράγωνα σχήµατα : 9 4 Σχ. 47 Εδώ έχει θέση και ο ορισµός του γνώµονα : «Γνώµων είναι ένας αριθµός ϖου όταν ϖροστίθεται σ έναν όρο µιας ακολουθίας σχηµατοϖοιηµένων αριθµών ϖαράγεται ο εϖόµενος όρος». Για να δούµε ϖως συνδέεται η µελέτη των ϖεριττών άρτιων µε τους σχηµατοϖοιηµένους αριθµούς ας δούµε µια ϖρόταση ϖου ϖεριέχεται στη θεωρία του Knorr. Θεώρηµα 7 Οϖοιοσδήϖοτε άρτιος τετράγωνος αριθµός διαιρείται σε τέσσερα ίσα µέρη. Θεώρηµα 8 Οϖοιοσδήϖοτε ϖεριττός τετράγωνος αριθµός αν µειωθεί κατά ένα διαιρείται σε τέσσερα ίσα µέρη. άρτιος ϖεριττός Σχ

70 Μϖορεί τώρα ένας ετεροµήκης αριθµός να χωριστεί σε δύο τρίγωνους? ( ηλ αναλογικά ένα ορθογώνιο να χωριστεί σε δύο τρίγωνα?) Σχ. 49 Ο ετεροµήκης 5x6 = 30 χωρίζεται σε δύο τρίγωνους : 15, 15. Όµως ο τετράγωνος 25 δεν µϖορεί να χωριστεί σε δύο ίσους τρίγωνους αλλά στους άνισους 15, 10. Σχ. 50 Στη σελ 155 του ίδιου συγγράµµατος ο Knorr µας ϖεριγράφει : Θεώρηµα 11 «Αν εϖιλέξουµε κάϖοιον ϖεριττό αριθµό Ν τότε οι Ν, (Ν 2-1)/2, (Ν 2 +1)/2 ικανοϖοιούν την Πυθαγόρεια σχέση. Πως όµως αυτοί οι τύϖοι ϖροέρχονται και έχουν δικαιολογηθεί αϖό τους Πυθαγόρειους? Ο Heath µας δίνει µια ωραία εξήγηση βασισµένη στην αριθµητική των κουκκίδων. Αϖό τον ορισµό 5 του Knorr : «όταν ο ϖρώτος αριθµός είναι ο 1 και ϖροστίθεται σ αυτόν µια ακολουθία ϖεριττών µε αρχή τον 3 τότε ϖροκύϖτει η ακολουθία των τετράγωνων αριθµών».βλέϖουµε ότι δοθέντος ενός ϖεριττού αριθµού θα υϖάρχουν δύο τετράγωνοι αριθµοί ϖίσω κι εµϖρός ϖου η διαφορά τους είναι ο ϖεριττός. Αν κι αυτός ο ϖεριττός είναι κι αυτός τετράγωνος τότε έχουµε τρείς αριθµούς τετράγωνους ϖου σχηµατίζουν Πυθαγόρεια τριάδα. Αν ο γνώµων είναι ο Ν 2 τότε ο ϖροηγούµενος τετράγωνος ϖροκύϖτει αϖό τον τύϖο: Ν 2-1/2 ενώ ο εϖόµενος είναι ο Ν 2 +1/2.»(αφού τους υψώσουµε στο τετράγωνο). Σχ

71 Σχετικά µ αυτό, τώρα, αν εφαρµόσουµε την ταυτότητα του «τελείου τετραγώνου» µε δεύτερο αριθµό τη µονάδα τότε έχουµε : (Α+1) 2 = Α Α + 1. Ο 2 Α + 1 όµως είναι ϖεριττός αριθµός. Βλέϖουµε δηλ ότι το σχηµατοϖοιηµένο αριθµητικό ϖαράδειγµα ϖροκύϖτει σαν εφαρµογή της γνωστής αλγεβρικής ταυτότητας. (Σηµείωση συγγραφέως) Ένα ϖαρόµοιο ϖαράδειγµα ϖροκύϖτει αν θεωρήσουµε ϖάλι το τετράγωνο 25 και µέσα σ αυτό τα εϖί µέρους τετράγωνα 9 και 4 ως εξής : Σχ. 52 Οϖότε : (3+2) 2 = (3 2) ϖου είναι µια αριθµητική εϖαλήθευση της ταυτότητας του τελείου τετραγώνου ή της ϖρότασης ΙΙ. 4. (Σηµ συγγραφέα) Οϖότε ενδεχοµένως οι αρχαίοι χρησιµοϖοιώντας την αριθµητική «µέθοδο των κουκκίδων» µϖορούσαν να συµϖεράνουν τις λεγόµενες «αλγεβρικές» ταυτότητες. Η µέθοδος αυτή όµως, αφορά µεµονωµένα ϖαραδείγµατα ακεραίων αριθµών.άραγε, η εξέλιξή της, η γεωµετρία δηλ, ασχολείται µε τη γενίκευση και διαϖραγµάτευση τέτοιων µαθηµατικών σχέσεων σε οϖοιοδήϖοτε µέγεθος και εϖοµένως αριθµό έξω αϖό τους τετριµµένους ακεραίους? Εϖίσης ο Knorr στο ίδιο σύγγραµµα ϖεριγράφει : «Το γεγονός ότι τα στοιχεία ΙΙ είναι µια αϖόφυση της Πυθαγόρειας αριθµητικής, σαν γεωµετρικοϖοίηση αυτής είναι λοιϖόν ϖροφανές! Η µέθοδος εϖίσης ϖου αυτή η γεωµετρικοϖοίηση γίνεται, εϖίσης ϖροφανής. Οϖοια µερική ϖαράδοση της γεωµετρίας µϖορεί να ονοµαστεί ϖρωτόγονη αριθµητικοϖοίηση του µεγέθους, όϖου αληθινές γεωµετρικές φιγούρες αναλύονται µε όρους αριθµών οι οϖοίοι εκφράζουν τα δοσµένα µεγέθη. ηλ η θεωρία των στοιχείων ΙΙ ξεκίνησε σαν αριθµητική της dot method µε κουκκίδες ϖου ϖαριστάνουν άρτιους-ϖεριττούς. Αυτή η αριθµητική µετατράϖηκε σε σχέσεις γεωµετρικών σχηµάτων και ϖροτάσεις ϖου αφορούσαν γενικά µεγέθη ϖου εκφράζονται µε ακέραιους αριθµούς. Γιατί όµως έγινε αυτή η αλλαγή? Η αϖάντηση είναι ότι η ανακάλυψη της ασυµµετρίας ανάγκασε τους µαθηµατικούς να γεωµετρικοϖοιήσουν την αριθµητική. Όµως δεν είναι τόσο εύκολο ν αϖοφανθεί κανείς. Κυρίως το ΙΙ βιβλίο έϖρεϖε να γίνει ϖιο γεωµετρικό διότι θ αϖοτελούσε τη βάση για την ανάϖτυξη ασύµµετρων µεγεθών. Εϖίσης θα έδινε τις ϖιο σηµαντικές αλγεβρικές ιδιότητες ϖου χρησιµεύουν στην µελέτη τόσο των ασυµµέτρων όσο και των συµµέτρων µεγεθών. Θα συµφωνήσουµε ότι ο Θεόδωρος έκανε αυτή την ενοϖοίηση ϖαλιών αριθµητικών και αλγεβρικώνγεωµετρικών µεθόδων ϖου βρίσκουµε στο βιβλίο ΙΙ ώστε να αναϖτυχθεί η µελέτη των ασυµµέτρων µεγεθών». (Σηµείωση συγγραφ.) Αυτή η σχέση µεγέθους αριθµού είναι αναϖόσϖαστη και καθορίζει τη γέννηση της γεωµετρίας και της εξέλιξής της, της λεγόµενης «γεωµετρικής άλγεβρας». 71

72 Όϖως είϖαµε, σύµφωνα µε την εκδοχή του Knorr, οι σχηµατοϖοιηµένοι (ακέραιοι) αριθµοί, εξελίχθηκαν σε γεωµετρικές σχέσεις και ϖροτάσεις µε γεωµετρικά σχήµατα ϖου µε τη σειρά τους εϖαληθεύονταν αϖό κάθε είδους αριθµό (άρρητο και ρητό, ακέραιο η άλλης µορφής). Οι ϖροτάσεις µε γεωµετρικά σχήµατα αφορούσαν κυρίως µεγέθη (εµβαδά ή ευθείες γραµµές) και εϖαληθεύονταν αϖό (ακέραιους) αριθµούς. Οµοια και τα λεγόµενα αριθµητικά βιβλία το VII, VIII, IX ασχολούνται µε αριθµούς (ακέραιους) ϖου τους αντιµετωϖίζουν σαν ευθύγραµµα τµήµατα δηλ µεγέθη. ίνουµε ένα ϖαράδειγµα αυτού του τελευταίου το VII, 1 όϖου οι αριθµοί συµϖεριφέρονται σαν µεγέθη, όϖως το αναφέρει ο Knorr. «Αν δωθούν δύο αριθµοί και ανθυφαιρείται ο µικρότερος αϖό τον µεγαλύτερο. Εάν ο λειϖόµενος ουδέϖοτε καταµετρή τον ϖροηγούµενο µέχρι να µείνει υϖόλοιϖο η µονάδα, τότε οι αρχικοί αριθµοί είναι ϖρώτοι ϖρος αλλήλους». H αϖόδειξη γίνεται µε άτοϖο αϖαγωγή. Εστω ότι δεν είναι ϖρώτοι µεταξύ τους. Τότε θα υϖάρχει αριθµός Ε ϖου θα µετρεί και τους αρχικούς αριθµούς τον Α και τον Β Σχ. 53 Εστω το Γ µετρεί το ΒΖ και δίνει υϖόλοιϖο ΑΖ. Το ΑΖ µετρεί το Η και δίνει υϖόλοιϖο το ΓΗ. Το ΓΗ µετρεί το ΖΘ και αφήνει υϖόλοιϖο το ΑΘ ϖου είναι η µονάδα. Τότε το Ε αν µετρεί το ΑΒ, Γ τότε µετρεί το ΑΖ κ.λ.ϖ και τέλος το ΑΘ, άρα άτοϖο. Ας ϖάρουµε δύο αριθµούς : τους 15 και 7. Και ας ακολουθήσουµε ϖαρόµοια διαδικασία : Ανθυφαιρούµε τον 7 αϖό τον 25. Οϖότε ισχύει : 25= συνέχεια 7 = και 4= Αρα οι δύο αρχικοί αριθµοί είναι ϖρώτοι µεταξύ τους. Παίρνουµε τώρα τους : 15, 9 και κάνουµε την ίδια διαδικασία. 15 = , 9= , 6=3 2 µονάδα δεν βρίσκουµε.όµως ενώ βλέϖουµε ότι ισχύει για κάϖοια αριθµητικά ϖαραδείγµατα δεν µϖορούµε ν αϖοφασίσουµε ότι ισχύει για οϖοιουσδήϖοτε αριθµούς ούτε µϖορεί ν αϖοδειχθεί η ϖρόταση για όλους τους αριθµούς. Εν τούτοις η ϖρόταση αϖοδεικνύεται εύκολα για γεωµετρικά µεγέθη εϖοµένως ισχύει και για αϖλούς (ακέραιους) αριθµούς! Αϖ αυτό το ϖαράδειγµα λοιϖόν φαίνεται η σηµασία της χρήσης µεγεθών και η αιτία της ανάϖτυξής τους. 72

73 Ο Knorr σαν εϖιστέγασµα αυτής της µελέτης, θέτει την ανακάλυψη του Πυθαγορείου θεωρήµατος κατ ευθείαν αϖό την µέθοδο των κουκκίδων µέσα αϖό την ϖρόταση ΙΙ. 8 των «στοιχείων». Κατόϖιν χρησιµοϖοιώντας την ίδια δοµή θεωρίας, αϖοδεικνύει την ασυµµετρία ϖλευράς και υϖοτείνουσας, ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου µε τη χρήση θεωρίας άρτιων- ϖεριττών. Ξεκινάει µε µια ϖρόταση ϖου έχει θέσει εξ αρχής : «Οϖοιοσδήϖοτε ϖεριττός τετράγωνος αριθµός αν του αφαιρεθεί η µονάδα ισούται µε οκτώ τρίγωνους αριθµούς». Αυτή η ϖρόταση «αϖεικονίζεται» µε κουκκίδες για την ϖερίϖτωση του 7x7 τετραγώνου ως εξής : Β D B Σχ. 54 Αλλά το δεύτερο σχήµα, µας ϖαραϖέµϖει σε µια ελαφρά ϖαραλλαγή της ϖρότασης ΙΙ. 8 : (D + 2B) 2 = D 2 + 4B(D+B) H ϖρόταση όµως αυτή, οδηγεί σε αϖόδειξη του Π.Θ. όϖως φαίνεται στο ϖαρακάτω σχήµα : Σχ

74 Και καταλήγει µε τρία θεωρήµατα ϖου δεν κάνουν τίϖοτε άλλο ϖαρά να εξελίσσουν τη γνώση και εφαρµογή των Πυθαγορείων τριάδων στο γνωστό µας Πυθαγόρειο θεώρηµα! Θεώρηµα 1. «οθέντος ενός ορθογωνίου τριγώνου όϖου οι κάθετες ϖλευρές του αντιστοιχούν σε δύο (ακέραιους) αριθµούς Α, Β και η υϖοτείνουσα σε έναν άλλον ακέραιο C, τότε ο τετράγωνος αριθµός ο ϖαραγόµενος αϖό τον C ισούται µε το άθροισµα των δύο τετραγώνων αριθµών ϖου ϖαράγονται αϖό τους Α, Β. ηλ οι Α, Β, C αϖοτελούν Πυθαγόρεια τριάδα». Θεώρηµα 2. «οθείσης µιας Πυθαγόρειας τριάδας Α, Β, C τότε τρία ευθ. τµήµατα µε την ίδια αναλογία όϖως οι αριθµοί σχηµατίζουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο του οϖοίου το C είναι η υϖοτείνουσα». Θεώρηµα 3. «οθέντος ενός ορθογωνίου τριγώνου, το τετράγωνο ϖου σχηµατίζει η υϖοτείνουσα ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο καθέτων ϖλευρών του τριγώνου». Το τρίτο θεώρηµα ϖροκύϖτει, διότι αϖό την ϖαραϖάνω οϖτική αϖόδειξη, φαίνεται ότι ισχύει για γεωµετρικά σχήµατα (τετράγωνα) ασχέτως αν οι ϖλευρές είναι ανάλογες µε µια Πυθαγόρεια τριάδα ακεραίων αριθµών. Ως εκ τούτου το τρίτο θεώρηµα καθίσταται ϖιο γενικό αϖ τα άλλα δύο ϖου ϖραγµατεύονται ακέραιους αριθµούς. Όµως καθώς φαίνεται αϖό την ίδια την εξέλιξή του δεν αφορά σε σχέτα εµβαδά τετραγώνων, αλλά σε κάτι ϖιο γενικό και αφηρηµένο ϖου αντιϖροσωϖεύεται αϖό µήκη ευθ. τµηµάτων και το οϖοίο σιγά-σιγά θα ϖάρει µορφή είτε σαν αριθµός (ακέραιος), είτε σαν άρρητος, είτε σαν µέρος ή µέρη αριθµού. Αξίζει τον κόϖο τέλος, να δούµε ϖως ο Knorr συνδέει την µελέτη ϖεριττών-αρτίων µε την ανακάλυψη της ασυµµετρίας και να θαυµάσουµε την αϖόδειξη ϖου ϖαρουσιάζει : «Το θεώρηµα των ορθογωνίων τριγώνων λοιϖόν εµφανίζεται µε ένα αριθµητικό ϖλαίσιο (θεώρηµα Ι) και ένα γεωµετρικό (θεώρηµα ΙΙΙ). Ακόµη σε µια αριθµητική ϖαράδοση σαν την Πυθαγόρεια οι δύο τύϖοι θα θεωρούνταν αρχικά ότι ϖαρουσιάζουν το ίδιο ϖράγµα. Ο γεωµετρικός τύϖος θα είχε µια αναµενόµενη συνέϖεια : δοθέντος ενός ορθογωνίου κάϖοιος θα ανέµενε να ανακαλύψει ένα σύνολο αϖό αριθµούς ϖου θα ικανοϖοιούσαν την ιδιότητα της Πυθαγόρειας τριάδας. Κάϖοιος άλλος θα έκανε τη φυσιολογική αρχή : το ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο. Ποιοι αριθµοί αντιστοιχούν στις ϖλευρές? Ο ερευνητής υϖοθέτει ότι κάϖοιοι αριθµοί Α, Β αντιστοιχούν στην υϖοτείνουσα και στα σκέλη, αντιστοίχως. Αυτός εϖίσης ίσως να αναρωτηθεί αν ο Α είναι ϖεριττός ή άρτιος. Αν είναι άρτιος, αϖό το θεώρηµα V. 14 (ϖου έχει ϖαραθέσει ο Knorr και λέει ότι αν η υϖοτείνουσα αντιστοιχεί σε άρτιο τότε και οι κάθετες αντιστοιχούν σε άρτιους ) όλοι οι υϖόλοιϖοι θα είναι άρτιοι. ιαιρώντας δια δύο σε κάθε ϖλευρά, ϖετυχαίνουµε ένα άλλο ορθογώνιο. Εάν τώρα, η υϖοτείνουσα είναι ϖάλι άρτιος, εφαρµόζουµε το ίδιο. Μια τέτοια ως τόσο διαδικασία, ϖρέϖει κάϖοια στιγµή να τερµατίσει µιας και ο Α είναι ακέραιος. Κάϖοια στιγµή υϖοθέτουµε ότι η υϖοτείνουσα Α είναι ϖεριττός. Αϖό άλλο θεώρηµα τώρα 14a(ϖου εϖίσης έχει ϖαραθέσει ο Knorr), το ένα σκέλος είναι άρτιος και το άλλο ϖεριττός. Όµως τα δύο σκέλη είναι ίσα Α=Β, ως τόσο αυτό σηµαίνει ότι ο Β είναι ταυτόχρονα άρτιος και ϖεριττός. Ο ερευνητής βλέϖει εδώ µια αντίφαση : Ο Α δεν µϖορεί να είναι διαιρετός δια δύο αιωνίως µιάς και είναι ακέραιος. Ούτε είναι δυνατόν να είναι ϖεριττός, διότι θα έϖρεϖε να είναι ταυτόχρονα ϖεριττός και άρτιος. Εάν δοκιµάσουµε να θέσουµε Β= µονάδα, ϖου µϖορεί να θεωρηθεί άρτιος και ϖεριττός, ερχόµαστε αντιµέτωϖοι µε µεγαλύτερες δυσκολίες. ιότι τότε ο Α ϖρέϖει να είναι ένας ακέραιος ϖου το τετράγωνό του είναι το δύο. Εϖοµένως ο Α θα ήταν αναγκαστικά µεγαλύτερος του 1 αλλά µικρότερος του 2. Ατοϖο. Ποιόν είναι το λάθος? Ο ερευνητής θα ανακαλύψει ότι το λάθος του βρίσκεται στην υϖόθεση ότι τα µήκη των ϖλευρών εκφράζονται µε ακέραιους. Ετσι έχει καταλήξει στο εϖόµενο µη αναµενόµενο αρνητικό αϖοτέλεσµα : «οθέντος ενός ορθογωνίου ισοσκελούς τριγώνου, είναι αδύνατον ότι η υϖοτείνουσα και τα σκέλη αντιστοιχούν σε αριθµούς(ακεραίους) διαδοχικά». Οι Πυθαγόρειοι ϖου ϖρώτοι αντιµετώϖισαν αυτή την αντίφαση είχαν να εϖεξεργαστούν τις συνέϖειές της στην κατανόηση του αριθµού και του µεγέθους. Αυτοί τώρα θα διέκριναν δύο τύϖους µεγέθους. Αν ένα ευθ. τµήµα υϖοτίθεται ότι είναι η µονάδα, τότε ένα άλλο ευθ. τµήµα ϖου εκφράζεται σαν ϖολλαϖλάσιο, 74

75 µέρος ή µέρη αυτής θα ονοµαζόταν ρητός. Αλλά οϖοιοδήϖοτε τµήµα ϖου δεν έχει κοινό µέτρο µε την µονάδα ονοµάζεται άρρητος. Για ϖαράδειγµα, στην ϖερίϖτωση του ισοσκελούς ορθογωνίου ή του τετραγώνου, µια ρητή ϖλευρά θα έχει µια άρρητη διάµετρο. Περαιτέρω, κάϖοιος µϖορεί να θεωρήσει τη σχέση δύο ευθ. τµηµάτων χωρίς να αναφερθεί στη µονάδα. Αν τα ευθ. τµήµατα έχουν ένα κοινό µέτρο θα ονοµαστούν σύµµετρα και αν όχι ασύµµετρα». Η) Τώρα θα δούµε ϖως ο Αϖολλώνιος ο Περγαίος ϖου έζησε γύρω στο 210 ϖ.χ ϖερίϖου σύγχρονος του Αρχιµήδη, χρησιµοϖοιούσε µεγαλοφυώς «γεωµετρική άλγεβρα» στις αϖοδείξεις των «Κωνικών». Γνωρίζουµε ότι και ο Ευκλείδης 100 σχεδόν χρόνια ϖριν είχε γράψει ένα έργο για τις κωνικές τοµές ϖου ϖλέον έχει χαθεί. Αρα ενδεχοµένως, ϖολλά αϖ αυτά ϖου µας άφησε ο Αϖολλώνιος να τα γνώριζε και ο Ευκλείδης. Πάντως ενώ ο Αϖολλώνιος χρησιµοϖοιεί κάϖοιες αναλογίες µε σκοϖό να βρεί τις εξισώσεις των κωνικών τοµών κάϖοια στιγµή χρησιµοϖοιεί «ϖαραβολή χωρίων». Το γεγονός αυτό δείχνει ότι η «ϖαραβολή χωρίων» ήταν ένα εργαλείο για «αλγεβρικές ϖράξεις» του εϖιϖέδου της εϖοχής και δεν αϖοτελούσε αϖοσϖασµένο θεωρητικό κοµµάτι της γεωµετρίας. Αυτό αϖοτελεί βασικό εϖιχείρηµα για την αξία της «γεωµετρικής άλγεβρας» όϖως και σοβαρή ένδειξη για τη χρήση της. Όϖως το έχουµε ήδη αναφέρει, αυτό ϖροκύϖτει αϖό τη σϖουδαία µελέτη του Zeuthen ϖάνω στα «Κωνικά» του Αϖολλωνίου και στις εξακριβώσεις του. Σχ. 56 Παίρνουµε αϖοσϖάσµατα αϖό το «χρυσό» βιβλίο της ιστορίας των µαθηµατικών:«η αφύϖνιση της εϖιστήµης» του Van der Waerden. (H εξαγωγή των συµϖτωµάτων αϖό τον Αϖολλώνιο, σελ. 288) Το σχήµα ϖαραϖάνω είναι µια κάθετη τοµή ενός ϖλαγίου κώνου. Το ΠΡ είναι διάµετρος κύκλου ΠΚΡ και Κ ανήκει στον κύκλο οϖότε : ΘΚ 2 = ΘΠ ΘΡ. Εϖίσης εϖειδή ΤΛ // ΑΒ ισχύουν : ΘΠ : ΘΒ = ΛΓ : ΛΤ ΘΠ ΘΡ : ΘΒ ΘΑ = ΛΓ Λ : ΛΤ 2 ΘΡ : ΘΑ = Λ : ΛΤ αντικαθιστούµε το ΘΠ ΘΡ µε το ΘΚ 2 και έτσι βρίσκουµε το «σύµϖτωµα» της έλλειψης : 75

76 ΚΘ 2 = λ (ΘΑ ΘΒ) όϖου α ο λόγος στο δεξιό µέλος. Που γράφεται και y 2 =λxx 1. Για την ϖαραβολή βρίσκει : y 2 = px O Αϖολλώνιος δεν αϖαιτεί για τις κωνικές τοµές τρία είδη κώνων (ορθογώνιο, αµβλυγώνιο, οξυγώνιο), αλλά στον ίδιο ϖλάγιο κώνο, φέρνοντας κατάλληλα εϖίϖεδα σχηµατίζει ανάλογα έλλειψη, ϖαραβολή ή υϖερβολή. Στο ϖαραϖάνω σχήµα λοιϖόν δείχνει την έλλειψη : x 1=α-x ενώ για την υϖερβολή : x 1=α +x. H ϖαραβολή είναι ϖιο αϖλή : y 2 = px. Σχ. 57 O Αϖολλώνιος λοιϖόν, αριστοτεχνικά ϖολ/ζει αυτές τις ισότητες µε τον λόγο λ = p/α και εϖοµένως η ϖρώτη γίνεται : λx 1=λα-λx και αυτή τη σχέση αν την ϖολ/µε κατά µέλη µε x γίνεται : λx 1x = λαx λx 2 δηλ y 2 = px-λx 2 δηλ κάνει ϖερίϖου σύγχρονη άλγεβρα (τρίτο σχήµα). Στην υϖερβολή είναι η ίδια εξίσωση µε + στο δεύτερο σχήµα. Ενώ η ϖαραβολή είναι η ϖιο αϖλή ϖερίϖτωση στο ϖρώτο σχήµα. Αντιγράφω τώρα αϖό την εξήγηση του Van der Waerden αϖό το ίδιο βιβλίο σελ «Τα διαγράµµατα του Αϖολλωνίου ϖου αναϖαράγονται εδώ αϖοτελούνται αϖό δύο άνισα µέρη θα µϖορούσε κανείς να µιλήσει για ένα γεωµετρικό και ένα αλγεβρικό διάγραµµα. Το γεωµετρικό διάγραµµα αϖοτελείται αϖό την κωνική τοµή, η οϖοία τελικά µας ενδιαφέρει, τους ϖλάγιους άξονες, την τετµηµένη x και την τεταγµένη y. Το αλγεβρικό διάγραµµα δεν είναι ϖλάγιο, αλλά ορθογώνιο εκφράζει την αλγεβρική σχέση µεταξύ των α, p, x και y. Τα εµβαδά τα οϖοία εδώ ϖροστίθενται και αφαιρούνται αντιστοιχούν, στη σύγχρονη αναλυτική γεωµετρία, στους όρους µιας εξίσωσης και ο Αϖολλώνιος αϖοδεικνύει γεωµετρικά όλους τους αλγεβρικούς µετασχηµατισµούς ϖου εκτελούνται σε αυτήν την εξίσωση. Ο τρόϖος του σκέϖτεσθαι είναι εν ϖολλοίς καθαρά αλγεβρικός και ϖολύ ϖιο «σύγχρονος» αϖό ότι η αφηρηµένη γεωµετρική διατύϖωση θα έκανε κάϖοιον να νοµίσει». Θ) Θα µελετήσουµε ένα ϖρόβληµα αϖό τα «αριθµητικά» του ιόφαντου ενός µαθηµατικού του 3 ου µ.χ. αιώνα για να δούµε µε ϖοιό τρόϖο εξελίχθηκαν τα µαθηµατικά του Ευκλείδη. Τα βιβλία του ιόφαντου ανήκουν στην λεγόµενη «συγκεκοµµένη άλγεβρα» και είναι αϖό τους ϖρώτους αρχαίους έλληνες, ϖου γνωρίζουµε, ϖου χρησιµοϖοίησε σύµβολο στη θέση του 76

77 «αγνώστου». Στα µετέϖειτα χρόνια, χρειάστηκαν 14 αιώνες για να βρει συνεχιστές το έργο του ιόφαντου, αν εξαιρέσουµε τους άραβες ϖου είχαν µια ϖαράλληλη ϖορεία. Το έργο του συνίσταται σε µια ϖλήρη αλγεβρική µελέτη εξισώσεων και εϖίλυσης ϖροβληµάτων. Αϖό αυτή την άϖοψη, βλέϖουµε ότι έχει γίνει : 1) ϖλήρης αϖοκοϖή αϖό τη γεωµετρία και τα σχήµατα. 2) λογισµός µε αριθµούς ϖου ϖολλές φορές συµβολίζονται µε µεταβλητές. 3) χρήση κλασµατικών αριθµών. 4) γνώση εϖίλυσης δευτεροβαθµίων εξισώσεων. 5) µη χρήση αρνητικών αριθµών. Σχετικά µε την εµφάνιση µεταβλητών η αρχή έχει γίνει µε τη χρήση ενός «αγνώστου» ς αϖό τον ιόφαντο. Την µέθοδο αυτή τη δανείστηκε κατά ϖάσα ϖιθανότητα αϖό τους Αιγύϖτιους, όϖως αναφέρει ο Heath µε τα εξής εϖιχειρήµατα : Α) η µέθοδος συναντιέται στα γραϖτά του Ήρωνος του Αλεξανδρέως ϖου µάλλον είχε τέτοιους εϖηρεασµούς. Β) ο Ψελλός µιλάει για µια µέθοδο υϖολογισµού ϖου έρχεται αϖό τους Αιγύϖτιους. Γ) κάϖοιος σχολιαστής του «Χαρµίδη» του Πλάτωνα λέει ότι η «λογιστική» η εϖιστήµη των υϖολογισµών είναι η τέχνη των υϖολογισµών των Ελλήνων και Αιγυϖτίων. ) ο Πλάτων στους «Νόµους» µας λέει ότι τα ϖαιδιά θα έϖρεϖε να µαθαίνουν αριθµητικούς υϖολογισµούς όϖως ακριβώς γίνεται και στην Αίγυϖτο. Οι Αιγύϖτιοι µαθηµατικοί µϖορούσαν να εϖιλύουν ϖροβλήµατα ϖου θα τα κατατάσαµε σήµερα στα αλγεβρικά ϖροβλήµατα ϖρώτου βαθµού µε ένα άγνωστο. Στον άγνωστο αυτό µάλιστα είχαν δώσει και ονοµασία τη λέξη «αχά» ή «χά» ϖου σηµαίνει ϖοσότητα. Αϖό κεί και ϖέρα χρησιµοϖοιούσαν µια µέθοδο ϖαρόµοια µε εκείνη του ιόφαντου. ηλ. δεν έλυναν την εξίσωση µε τον γνωστό αλγεβρικό τρόϖο, αλλά θεωρούσαν µια τυχαία αριθµητική τιµή στη θέση του αγνώστου σαν υϖοτιθέµενη λύση και βρείσκαν ένα αϖοτέλεσµα. Μετά διαιρούσαν το ϖραγµατικό αϖοτέλεσµα µε το υϖοτιθέµενο και καταλήγαν σε ένα συντελεστή τον οϖοίο ϖολ/ζαν τέλος µε την αρχική τιµή. Παράδειγµα : Μια ϖοσότητα και το τέταρτο µέρος αυτής κάνουν 15. [Ποια είναι η ϖοσότητα?] Εµείς θα λύναµε το ϖρόβληµα αυτό σχηµατίζοντας την ϖρωτοβάθµια εξίσωση x + x/4=15. Ο Αιγύϖτιος όµως δεν εργαζόταν έτσι. Άρχιζε µε την αυθαίρετη υϖόθεση ότι η ζητούµενη ϖοσότητα ισούται µε κάϖοιο αριθµό, έστω τον αριθµό 4. Το τέταρτο µέρος του 4 είναι 1. Αλλά 4+1 κάνει 5 και όχι 15, όϖως αϖαιτεί η συνθήκη του ϖροβλήµατος. Πρέϖει λοιϖόν να βρούµε ϖόσες φορές χωράει το 5 στο 15. Το 15 είναι τριϖλάσιο του 5. Άρα ϖρέϖει να τριϖλασιαστεί ο αυθαίρετα εϖιλεγείς αριθµός ϖου γίνεται έτσι 12. Το τέταρτο µέρος του 12 είναι το 3, και ϖράγµατι, 12+3=15. (Θέµατα αϖό την ιστορία των Μαθηµατικών, Γιάννης Χριστιανίδης). Αρα οι Αιγύϖτιοι και εϖοµένως ο ιόφαντος ϖου χρησιµοϖοιούσε την ίδια µέθοδο, είχαν κατακτήσει την έννοια της µεταβλητής σε κάϖοιο βαθµό και συνακόλουθα είχαν ϖετύχει «αφαιρετική σκέψη» σε ένα σύνολο ϖροβληµάτων ϖου αναφέρονταν σε διαφορετικά αντικείµενα. 77

78 Αντιγράφουµε τώρα ένα ϖαράδειγµα εφαρµογής της µεθόδου της ψευδούς ϖαραδοχής αϖό τον ιόφαντο. «Την µονάδα διελείν εις δύο αριθµούς, και ϖροσθείναι εκατέρω δοθέντα αριθµόν, και ϖοιείν τον υϖ αυτών τετράγωνον». Ο ιόφαντος µας λέει : Εστω ότι οι αριθµοί ϖου θα ϖροστεθούν είναι ο 3 και ο 5. Εστω ότι το ένα µέρος [της µονάδας] είναι s και το άλλο 1-s. Αϖό την ϖρόσθεση στα µέρη αυτά του 3 και του 5 ϖροκύϖτουν s+3 και 6-s. Άρα, το γινόµενό τους είναι 3s+18-s 2 και αυτό ϖρέϖει να είναι ίσο µε τετράγωνο αριθµό. Εστω, ότι είναι ίσο, ϖ.χ µε 4s 2, οϖότε έχουµε : 3s + 18 = 5s 2 H εξίσωση αυτή δεν έχει ρητές λύσεις. Για να έχει ρητές λύσεις η εξίσωση, ϖρέϖει αυτός ο συντελεστής, αφού ϖολλαϖλασιασθεί εϖί 18 και στο εξαγόµενο ϖροστεθεί το τετράγωνο του µισού του 3, να σχηµατίζει τετράγωνο. (Η διακρίνουσα δηλ να είναι τετράγωνο). Πρέϖει δηλ. να βρεθεί ένας τετράγωνος αριθµός, ο οϖοίος, αν αυξηθεί κατά 1 και το άθροισµα ϖολλαϖλασιασθεί εϖί 18 και κατόϖιν αυξηθεί κατά 2 ¼, να ϖροκύϖτει τετράγωνο. Έστω και ϖάλι s 2 o ζητούµενος τετράγωνος. (διαφορετική µεταβλητή αϖό την αρχική). Τότε, s 2 +1 εϖί 18 συν 2 ¼ δηλ 18s ¼ ϖρέϖει να είναι τετράγωνος. Πολ/µε εϖί τέσσερα : το 72s ϖρέϖει να είναι τετράγωνος. Το θέτουµε ίσο ϖρος (8s + 9) 2 και βρίσκουµε s = 18. Άρα το ζητούµενο s 2 είναι το 324. Εϖιστρέφουµε τώρα στην αρχική εξίσωση: 3s s 2 =324 s 2 οϖότε βρίσκουµε s= 78/325=6/25. To ένα µέρος είναι 6/25 και το άλλο 19/25. (Van der Waerden, «αφύϖνιση της εϖιστήµης» σελ. 335). Βλέϖουµε δηλ ότι ο ιόφαντος κάνει ϖράξεις, εφαρµόζει ταυτότητες, εφαρµόζει ιδιότητες, ή τύϖους εϖίλυσης, βρίσκει τετραγωνικές ρίζες. Ο τρόϖος του είναι ϖρακτικός και η µέθοδος είναι της «ψευδούς ϖαραδοχής» ϖαρµένη αϖό τους Αιγυϖτίους. 78

79 ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΕΤΑΡΤΗ Η ακροτελεύτια ϖρόταση του δεύτερου βιβλίου : «Τω δοθέντι ευθυγράµµω ίσον τετράγωνον συστήσασθαι» και η συγκεκριµένη ϖρόταση ϖου ϖροτείνει ο Ευκλείδης όϖως φαίνεται στη δοµή του δεύτερου βιβλίου είναι η κορύφωση και το αϖόσταγµα µιας διερεύνησης σϖουδαίων θεµάτων ϖου ετίθεντο εκείνη την εϖοχή. Όϖως ήδη διαϖιστώσαµε αϖό την ανάλυση του δεύτερου βιβλίου ένα βασικό θέµα ϖου ετέθη κυρίως µετά τη ΙΙ.5 ήταν η γεωµετρική κατασκευή των λύσεων µιας δευτεροβάθµιας εξίσωσης. Η µέθοδος του Simson όϖως ϖαρουσιάζεται στα σχήµατα καταλήγει στην εύρεση ενός τµήµατος x ϖου είναι ϖλευρά τετραγώνου. ηλ υϖάρχει ταυτόχρονη αναζήτηση ϖλευράς και τετραγώνου. Τι γίνεται όµως στην ϖερίϖτωση ϖου γνωρίζουµε το εµβαδόν του τετραγώνου και ψάχνουµε την ϖλευρά? Με σύγχρονους όρους τι γίνεται όταν θέλω να εµφανίσω γεωµετρικά την τετραγωνική ρίζα ενός µεγέθους? ϖ.χ. το 3 ηλ µε άλλα λόγια όταν δίνεται ότι το εµβαδόν ενός τετραγώνου είναι 3 ϖόδια και ζητείται η ϖλευρά του. Ο Ευκλείδης µε την αϖόδειξη της ΙΙ. 14 ϖροτείνει µια µέθοδο. Αυτή η µέθοδος είναι γεωµετρική. Μα δεν υϖήρχε κι άλλος τρόϖος να εκφραστεί ένας άρρητος Εϖίσης η αϖόδειξη της ΙΙ. 14 είναι ϖαράλληλα και κατασκευή της «µέσης αναλόγου», άλλωστε η ίδια κατασκευή βρίσκεται στην VI.13 όµως για να τεθεί µ αυτόν τον τρόϖο ϖρέϖει να ϖροηγηθεί η θεωρία αναλογιών. Ετσι ο Ευκλείδης ϖροτιµά να θέσει το ζήτηµα µε τις υϖάρχουσες γνώσεις των δύο ϖρώτων βιβλίων γιατί ϖροφανώς υϖήρχε λόγος να τεθεί η ϖρόταση σ αυτό το σηµείο και να κλείσει αυτή την ενότητα. 1)Αρα λοιϖόν µε την ακροτελεύτια του δεύτερου βιβλίου δίνεται ένα εργαλείο «εύρεσης τετραγωνικής ρίζας» µε γεωµετρικό ϖάντα τρόϖο. Το θέµα της εύρεσης τετραγωνικής ρίζας έστω και µε ϖροσεγγιστικό τρόϖο (σαν ακέραιο αριθµό δηλ), είχε αϖασχολήσει τους αρχαίους µαθηµατικούς, όϖως φαίνεται και στο διάλογο «Μένων» του Πλάτωνα: SW. E p d» moi, ð pa, gignèskeij tetr gwnon cwr on Óti toioàtòn stin; PAI. Egwge. SW. Estin oân tetr gwnon cwr on saj œcon t j gramm j taútaj p saj, tšttaraj oüsaj; PAI. P nu ge. SW. OÙ kaˆ tautasˆ t j di mšsou stˆn saj œcon; PAI. Na. SW. OÙkoàn e h n toioàton cwr on kaˆ me zon kaˆ œlatton; PAI. P nu ge. SW. E oân e h aûth ¹ pleur duo n podo n kaˆ aûth duo n, pòswn n e h podîn tõ Ólon; ïde d skòpei e Ãn taútv duo n podo n, taútv d nõj podõj mònon, llo ti pax n Ãn duo n podo n tõ cwr on; PAI. Na. SW. 'Epeid¾ d duo n podo n kaˆ taútv, llo ti À dˆj duo n g gnetai; PAI. G gnetai. SW. Duo n ra dˆj g gnetai podîn; PAI. Na. SW. PÒsoi oân e sin oƒ dúo dˆj pòdej; logis menoj e pš. PAI. Tšttarej, ð Sèkratej. SW. OÙkoàn gšnoit' n toútou toà cwr ou teron dipl sion, toioàton dš, saj œcon p saj t j gramm j ésper toàto; PAI. Na. SW. PÒswn oân œstai podîn; PAI. 'Oktè. SW. Fšre d», peirî moi e pe n phl kh tij œstai ke nou ¹ gramm¾ k sth. ¹ m n g r toàde duo n podo n t d ¹ ke nou toà diplas ou; PAI. DÁlon d», ð Sèkratej, Óti diplas a. SW. `Or j, ð Mšnwn, æj gë toàton oùd n did skw, ll' rwtî p nta; kaˆ nàn oátoj o etai e dšnai Ðpo a stˆn f' Âj tõ Ñktèpoun cwr on gen»setai À où doke soi; MEN. Emoige. SW. O den oân; 79

80 MEN. OÙ dáta. SW. O etai dš ge põ táj diplas aj; MEN. Na. SW. Qeî d¾ aùtõn namimnvskòmenon fexáj, æj de namimnçskesqai. SÝ dš moi lšge põ táj diplas aj grammáj fêj tõ dipl sion cwr on g gnesqai; toiònde lšgw, m¾ taútv m n makròn, tí d bracú, ll son pantací œstw ésper tout, dipl sion d toútou, Ñktèpoun ll' Óra e œti soi põ táj diplas aj doke œsesqai. PAI. Emoige. SW. OÙkoàn diplas a aûth taúthj g gnetai, n tšran tosaúthn prosqîmen nqšnde; PAI. P nu ge. SW. 'ApÕ taúthj d», fçj, œstai tõ Ñktèpoun cwr on, n tšttarej tosaàtai gšnwntai; PAI. Na. SW. 'Anagrayèmeqa d¾ p' aùtáj saj tšttaraj. llo ti À toutˆ n e h Ö fêj tõ Ñktèpoun e nai; PAI. P nu ge. SW. OÙkoàn n aùtù stin tautˆ tšttara, ïn kaston son toútj stˆn tù tetr podi; PAI. Na. SW. PÒson oân g gnetai; où tetr kij tosoàton; PAI. Pîj d' oü; SW. Dipl sion oân stin tõ tetr kij tosoàton; PAI. OÙ m D a. SW. 'All posapl sion; PAI. Tetrapl sion. SW. 'ApÕ táj diplas aj ra, ð pa, où dipl sion ll tetrapl sion g gnetai cwr on. PAI. 'AlhqÁ lšgeij. SW. Tett rwn g r tetr kij stˆn kka deka. oùc ; PAI. Na. SW. 'Oktèpoun d' põ po aj grammáj; oùcˆ põ m n taúthj tetrapl sion; PAI. Fhm. SW. Tetr poun d põ táj ¹misšaj tauthsˆ tout ; PAI. Na. SW. E en tõ d Ñktèpoun où toàde m n dipl siòn stin, toútou d ¼misu; <PAI. Na.> SW. OÙk põ m n me zonoj œstai À tosaúthj grammáj, põ l ttonoj d À toshsd ; À oü; PAI. Emoige doke oûtw. SW. Kalîj tõ g r soi dokoàn toàto pokr nou. ka moi lšge oùc ¼de m n duo n podo n Ãn, ¹ d tett rwn; PAI. Na. SW. De ra t¾n toà Ñktèpodoj cwr ou gramm¾n me zw m n e nai tásde táj d podoj, l ttw d táj tetr podoj. PAI. De. SW. Peirî d¾ lšgein phl khn tin fêj aùt¾n e nai. PAI. Tr poda. SW. OÙkoàn nper tr pouj Ï, tõ ¼misu taúthj proslhyòmeqa kaˆ œstai tr pouj; dúo m n g r o de, Ð d eœj kaˆ nqšnde æsaútwj dúo m n o de, Ð d eœj kaˆ g gnetai toàto tõ cwr on Ö fçj. PAI. Na. SW. OÙkoàn n Ï tíde triîn kaˆ tíde triîn, tõ Ólon cwr on triîn trˆj podîn g gnetai; PAI. Fa netai. SW. Tre j d trˆj pòsoi e sˆ pòdej; PAI. 'Ennša. SW. Edei d tõ dipl sion pòswn e nai podîn; PAI. 'Oktè. SW. OÙd' r' põ táj tr podòj pw tõ Ñktèpoun cwr on g gnetai. PAI. OÙ dáta. SW. 'All' põ po aj; peirî ¹m n e pe n kribîj kaˆ e m¾ boúlei riqme n, ll de xon põ po aj. PAI. 'All m tõn D a, ð Sèkratej, œgwge oùk o da. Lšge g r moi sú où tõ m n tetr poun toàto ¹m n sti cwr on; manq neij; PAI. Egwge. SW. Eteron d aùtù prosqe men n toutˆ son; PAI. Na. SW. Kaˆ tr ton tòde son katšrj toútwn; PAI. Na. SW. OÙkoàn prosanaplhrwsa meq' n tõ n tí gwn v tòde; PAI. P nu ge. SW. Allo ti oân gšnoit' n tšttara sa cwr a t de; PAI. Na. SW. T oân; tõ Ólon tòde posapl sion toàde g gnetai; PAI. Tetrapl sion. SW. Edei dš ge dipl sion ¹m n genšsqai À où mšmnhsai; PAI. P nu ge. SW. OÙkoàn stin aûth gramm¾ k gwn aj e j gwn an 80

81 [tin ] tšmnousa d ca kaston toútwn tîn cwr wn; PAI. Na. SW. OÙkoàn tšttarej aátai g gnontai grammaˆ sai, perišcousai toutˆ tõ cwr on; PAI. G gnontai g r. SW. SkÒpei d» phl kon t stin toàto tõ cwr on; PAI. OÙ manq nw. SW. OÙcˆ tett rwn Ôntwn toútwn ¼misu k stou k sth ¹ gramm¾ potštmhken ntòj; À oü; PAI. Na. SW. PÒsa oân thlikaàta n toútj œnestin; PAI. Tšttara. SW. PÒsa d n tùde; PAI. DÚo. SW. T d tšttara to n duo n t stin; PAI. Dipl sia. SW. TÒde oân pos poun g gnetai; PAI. 'Oktèpoun. SW. 'ApÕ po aj grammáj; PAI. 'ApÕ taúthj. SW. 'ApÕ táj k gwn aj e j gwn an teinoúshj toà tetr podoj; PAI. Na. SW. Kaloàsin dš ge taúthn di metron oƒ sofista ést' e taútv di metroj Ônoma, põ táj diamštrou n, æj sý fçj, ð pa Mšnwnoj, g gnoit' n tõ dipl sion cwr on. Στην αρχή φτιάχνει ένα τετράγωνο : Σχ. 58 µε ϖλευρά 4 ϖόδες και το χωρίζει σε τέσσερα εϖι µέρους. Μ αυτό τον τρόϖο είναι εύκολο ν αϖοδείξει στο δούλο ότι το εµβαδόν του εϖι µέρους τετραγώνου είναι 4 ϖόδες. Κατόϖιν ψάχνουν µαζί µε το δούλο ϖόση ϖρέϖει να είναι η ϖλευρά ενός τετραγώνου ϖου το εµβαδόν του είναι 8 ϖόδες. ηλ την τετραγωνική ρίζα του 8. Μήϖως είναι 4 ϖόδες? Μα τότε το εµβαδόν θα ήταν 16. Ατοϖο. Μήϖως είναι 3 ϖόδες? Μα τότε το εµβαδόν θα ήταν 9. Ατοϖο. Εϖοµένως ένας ϖιο σχετικός µε τα µαθηµατικά αϖό τον δούλο, θα ϖρόσθετε ότι αυτός ο αριθµός ϖρέϖει να είναι ανάµεσα στο 2 και στο 3. Και ίσως να συνεχιζόταν η διαδικασία για κάϖοιους ρητούς. Όµως αυτό ϖεριείχε δυσκολίες. Εϖίσης ϖοτέ δεν θα ολοκληρωνόταν η διαδικασία εϖειδή η λύση είναι άρρητος, άρα στο τέλος εκθέτει τη γεωµετρική λύση. 81

82 Σχ. 59 Η εύρεση της µέσης αναλόγου σχετίζεται µε το ϖρόβληµα του διϖλασιασµού του κύβου. Πρώτος ο Ιϖϖοκράτης 19 βρήκε ότι το ϖρόβληµα αυτό ανάγεται στην εύρεση δύο µέσων αναλόγων των δεδοµένων τµηµάτων α, β. ηλ ψάχνουµε x, y ώστε : α/x = x/y=y/β. Εϖίσης ο Πρόκλος µας λέει ότι οι Πυθαγόρειοι αφού τετραγώνισαν οϖοιοδήϖοτε χωρίο ϖροσϖάθησαν να τετραγωνίσουν και τον κύκλο. Αρα ο τετραγωνισµός οϖοιουδήϖοτε χωρίου συνδέεται και µε το µεγάλο θέµα του «τετραγωνισµού του κύκλου». Ο εινόστρατος 20 (ο αδελφός του Μέναιχµου) ήταν ο ϖρώτος ϖου χρησιµοϖοίησε την τετραγωνίζουσα για να τετραγωνίσει τον κύκλο. (Van der Waerden, η αφύϖνιση της εϖιστήµης, σελ. 224). Την αϖόδειξη ϖαρακάτω µας την ϖροτείνει ο Πάϖϖος. 21 Τετραγωνίζουσα είναι η καµϖύλη ϖου ϖροκύϖτει αϖό τις τοµές δύο κινήσεων : µιας ακτίνας τεταρτοκύκλιου και ενός τµήµατος ϖου κατεβαίνει οριζόντια (κάθετου αρχικά στην ακτίνα και µήκους όσο η ακτίνα). Η ταχύτητα είναι ίδια και οι κινήσεις ταυτόχρονες. 19 Ιπποκράτης ο Χίος (5 ος αι. π.χ.) έλληνας µαθηµατικός και έµπορος, ασχολήθηκε µε τον τετραγωνισµό του κύκλου. 20 εινόστρατος (4 ος αι. π.χ.) έλληνας µαθηµατικός, πατέρας της «τετραγωνίζουσας» µαθητής του Ευδόξου. 21 Πάππος ο Αλεξανδρεύς (3 ος -4 ος αι. µ.χ) έλληνας µαθηµατικός, µηχανικός, γεωµέτρης ο τελευταίος απ τους µεγάλους, πνευµατικός κληρονόµος του ιόφαντου. 82

83 Σχ. 60 Προφανώς ο ϖαραϖάνω είναι κι ένας τρόϖος διαίρεσης της ορθής σε όσες γωνίες θέλουµε. Θα αϖοδείξουµε ότι : τοξ ΕΒ / ΒΓ = ΒΓ / ΓΘ.(1) Η αϖόδειξη ϖου ϖαρουσιάζει ο Πάϖϖος είναι η εξής : Εστω ότι η τέταρτη ανάλογος δεν συµϖίϖτει µε το ΓΘ και είναι µεγαλύτερή του έστω ΓΚ.Τότε ισχύει : τοξ ΕΒ / ΒΓ = ΒΓ / ΓΚ Αϖό το Κ έστω ότι διέρχεται το τόξο ΚΖΗ µε κέντρο Γ. Αϖό το Ζ σηµείο της τετραγωνίζουσας φέρνουµε κάθετη στο ΓΘ έστω ΖΛ. Τότε ισχύει : τοξ ΗΖΚ / ΗΓ = τοξ ΕΒ / ΒΓ. Αρα αϖό (1) ισχύει : τοξ ΗΖΚ / ΗΓ = ΒΓ / ΓΚ, αλλά ΗΓ = ΓΚ οϖότε τοξ ΗΖΚ = ΒΓ.(2) Εϖίσης ισχύει : τοξ ΗΖΚ/ ΒΓ =τοξ ΖΚ / ΖΛ άρα αϖό (2) έϖεται ότι τοξ ΖΚ = ΖΛ.Ατοϖο. Αρα συµϖίϖτουν το Κ και Θ. Τώρα ϖως αϖό τη σχέση (1) µϖορεί κανείς να τετραγωνίσει τον κύκλο? Την αϖάντηση µας τη δίνει ο Van der Waerden ϖάλι στην «αφύϖνιση της εϖιστήµης» σελ 226 : «Εχοντας βρεί, έτσι, το µήκος της ϖεριφέρειας, ϖως µϖορεί κανείς να βρεί την εϖιφάνεια, δηλ να τετραγωνίσει τον κύκλο? Προφανώς ο εινόστρατος γνώριζε την ϖρόταση ϖου αϖέδειξε αργότερα αυστηρά ο Αρχιµήδης, ότι η εϖιφάνεια ενός κύκλου είναι ίση µε εκείνη του τριγώνου ϖου έχει βάση ίση µε την ϖεριφέρεια και ύψος ίσο ϖρος την ακτίνα, ή, ίσως, κάϖοια άλλη ισοδύναµη ϖρόταση.» 2)Προφανώς η ϖαραϖάνω ϖρόταση (1) µας δίνει µια αναλογία τόξου και ευθ τµήµατος οϖότε ϖρακτικά γνωρίζουµε την ϖεριφέρεια ενός κύκλου. Παρακάτω για να υϖολογίσουµε το εµβαδόν ϖολλ/µε ϖεριφέρεια εϖί ακτίνα και διαιρούµε δια δύο. Το αϖοτέλεσµα µϖορούµε να το τετραγωνίσουµε µε τη ΙΙ. 14. Εϖοµένως η ΙΙ. 14 αϖοτελούσε βασικό εργαλείο στη διαδικασία της ϖροσϖάθειας για τον τετραγωνισµό του κύκλου! Στη 2 η ενότητα έχει ϖεριγραφεί ακριβώς ϖως στην «ϖαραβολή χωρίων» ϖροκύϖτει η ανάγκη ϖάντα κάϖοιο δεδοµένο χωρίο να µετατραϖεί σε τετράγωνο. Αυτό συµβαίνει σ όλες τις ϖεριϖτώσεις. 3)Αρα, αν υϖοθέσουµε ότι η «ϖαραβολή» ευθυγράµµων χωρίων σχετίζεται µε την εϖίλυση εξισώσεων β βαθµού, η ΙΙ. 14 ϖροφανώς έχει τον ρόλο εξαγωγής τετραγωνικής ρίζας. 83

84 Εϖίσης το ακροτελεύτιο θεώρηµα του δεύτερου βιβλίου ϖροετοιµάζει τον αναγνώστη στην είσοδο του 3 ου βιβλίου εισάγοντας στην αϖόδειξη για ϖρώτη φορά στο δεύτερο βιβλίο τον κύκλο. Όϖως ακριβώς έκανε στο ϖρώτο βιβλίο µε το Π.Θ. εισάγοντας τη «γεωµετρική άλγεβρα». Λίγα σχόλια τώρα συµϖληρωµατικά για την αϖόδειξη του ΙΙ.14. Το γεγονός ότι οϖοιοδήϖοτε «ευθύγραµµο χωρίο» ο Ευκλείδης το µετασχηµατίζει σε ορθογώνιο, σηµαίνει ότι µ αυτό τον τρόϖο γνωρίζουµε το εµβαδόν του, διότι γνωρίζουµε το µήκος και το ϖλάτος του. Αρα το ϖρόβληµα βασικά ανάγεται σε εύρεση της τετραγωνικής ρίζας γνωστού εµβαδού. Το θέµα αυτό συζητήθηκε λίγο στην εισαγωγή της τέταρτης ενότητας. Για ϖαράδειγµα, ας υϖοθέσουµε ότι ζητείται να κατασκευαστεί το 7. Αυτό γράφεται : 4+ 3 = ( 4) 2 + ( 3 ) 2 = 2 2 +( 3 ) 2 δηλ σαν υϖοτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου µε κάθετες ϖλευρές 2, 3. Το 3 ϖάλι γράφεται : 2 2 ( 2 ) + 1 κ.ο.κ. Όµως αφού το εµβαδόν ευθ. χωρίου έχει µετασχηµατιστεί σε εµβαδόν ορθογωνίου τότε είναι της µορφής : αβ Αν λάβουµε υϖ όψη και τη ΙΙ. 5 η οϖοία µε σύγχρονους όρους είναι η εξής : αβ + [(α-β)/2] 2 = [(α+β)/2] 2 τότε για να βρεθεί η τετραγωνική ρίζα του αβ αρκεί να φτιάξουµε ένα ορθογώνιο τρίγωνο µε κάθετη ϖλευρά [(α-β)/2] και υϖοτείνουσα [(α+β)/2] οϖότε η άλλη κάθετος είναι η αβ. Το Μ είναι µέσον του α+β.εϖίσης ΜΡ= (α-β)/2. Με κέντρο το Μ και ακτίνα (α+β)/2 φτιάχνουµε κύκλο ϖου κόβει την κάθετο στο Ρ στο Ε. Σχ 61 84

85 Ο Ευκλείδης µε το να χρησιµοϖοιεί τη ΙΙ.5 στην αϖόδειξη της τελευταίας ϖρότασης του δεύτερου βιβλίου, ταυτόχρονα χρησιµοϖοιεί και την µέθοδο ϖαραβολής ορθογωνίου ϖαρ/µµου µε έλλειψη τετραγώνου στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΓ, όϖως ϖαρακάτω : Σχ. 62 Πρώτα φτιάχνει το ορθογώνιο ϖαρ/µµο ΑΠ µε εµβαδόν αβ. Μετά φτιάχνει το τετράγωνο ΒΛ και σύµφωνα µε το σχήµα του ΙΙ.5 ολοκληρώνει το τελικό σχήµα. Τώρα το ΑΠ µεταφέρεται στο γνώµονα ΣΠΡ ϖου ϖροκύϖτει σαν διαφορά δύο τετραγώνων : των ΤΓ και ΠΤ ϖου έχουν αντίστοιχα ϖλευρές : (α+β)/2 και (α-β)/2. Εϖοµένως για να κατασκευάσει τελικά το τετράγωνο µε ϖλευρά αβ αρκεί να χρησιµοϖοιήσει το Πυθαγόρειο Θεώρηµα σ ένα ορθογώνιο τρίγωνο µε υϖοτείνουσα (α+β)/2 και µια κάθετη (α-β)/2. Εϖίσης, αν το ϖρόβληµα το δούµε σαν εξίσωση, ϖροφανώς είναι η εϖίλυση της β βαθµού εξίσωσης : x 2 = αβ η οϖοία γράφεται σαν αναλογία : α/x = x/β. ηλ είναι η µέση ανάλογος η γεωµετρικός µέσος των α, β. Είναι εύκολο να δούµε ότι αυτό έχει µια οµοιότητα µε τη «χρυσή τοµή». Ο Νικόµαχος και ο Πάϖϖος στο βιβλίο του Heath : «A history of Greek Mathematics» σελ 87 ϖεριγράφουν την µέση ανάλογο µε την εξής αναλογία : α-x / x-β = α / x Στην ϖραγµατικότητα, όλες αυτές οι σϖουδαίες ϖροτάσεις ϖου έχουν να κάνουν µε µια «ιδανική ισορροϖία» µ ένα µαθηµατικό θαύµα δηλαδή, έχουν να κάνουν λίγο ως ϖολύ µε την εύρεση µιας ή ϖερισσοτέρων «µέσων αναλόγων». Η εύρεση αυτή ϖαρουσιάζεται µε την Πυθαγόρεια «ϖαραβολή ευθυγράµµων χωρίων». 85

86 α) χρυσή τοµή : Σχ. 63 Ξεκινάµε µε το τετράγωνο µε ϖλευρά α. Μέσα στην ορθή γωνία Κ µετακινούµε το ΚΛ ώστε κάϖοια στιγµή ΚΡ = ΣΛ. Τότε έχουµε βρεί τη χρυσή τοµή x. ιότι : x 2 + αx = α 2. β) Το ΙΙ. 14 δηλ ο µετασχηµατισµός ευθ. χωρίου και ισοδύναµα ενός ορθογωνίου σε τετράγωνο. Σχ. 64 Ξεκινάµε αϖό το ορθογώνιο (α.β). Με κέντρο το Ο ϖεριστρέφουµε το ΚΛ ώστε κάϖοια στιγµή να κόψει τις ϖροεκτάσεις των α, β σε σηµεία τέτοια ώστε : ΚΣ=ΛΡ. Τότε ϖροφανώς: x 2 = αβ. 86

87 γ) το Ι. 48 δηλ το αντίστροφο του Π.Θ. Σχ. 65 Ξεκινάµε µε το τετράγωνο ΚΛ Ζ. Φέρνουµε τυχαία το ΑΡ.Με κέντρα τα Κ, Λ ϖεριστρέφουµε τις ευθείες ΚΗ, ΛΘ όϖως ακριβώς στο ϖροηγούµενο ώστε Η = ΣΡ και ΖΘ = ΤΡ. Λόγω του ότι είναι τετράγωνο το ΚΛ Ζ οι ϖλευρές των τετραγώνων Ω, Φ όταν ϖεριστραφούν ϖερί των Λ, Κ τέµνονται ϖάνω στο ύψος ΑΡ και εϖίσης σχηµατίζουν µεταξύ τους γωνία ορθή. 4) Σύµφωνα µε τον Van der Waerden «η αφύϖνιση της εϖιστήµης» σελ 184, ο Πυθαγόρειος Αρχύτας ο Ταραντίνος ϖου κατά ϖάσα ϖιθανότητα είναι ο δηµιουργός του VIII βιβλίου των στοιχείων έκανε τη σύνδεση ανάµεσα στη θεωρία των συνεχών αναλογιών ϖου ανέϖτυξε και στην ύϖαρξη των αρρήτων! Πως συνέβη αυτό? Η εξήγηση ϖου µας δίνει είναι η εξής : Η κατασκευή της µέσης αναλόγου ϖου µας δίνει εν µέρει η ΙΙ. 14 ήταν βεβαίως γνωστή αϖό ϖαλιά. Ο Αρχύτας ο Ταραντίνος 22 όµως στην ϖροσϖάθειά του να εϖιτύχει τον διϖλασιασµό του κύβου ανακάλυψε την κατασκευή δύο µέσων αναλόγων. Όµως ταυτόχρονα είχε αναϖτύξει και τη θεωρία για τις συνεχείς αναλογίες και τους όµοιους εϖίϖεδους αριθµούς του VIII βιβλίου. Στην ϖρόταση VIII 20 λέει : «Εάν µεταξύ δύο αριθµών ϖαρεµβάλλεται είς αριθµός µέσος ανάλογος, οι αριθµοί θα είναι όµοιοι εϖίϖεδοι». ηλ αν δύο αριθµοί δεν είναι όµοιοι εϖίϖεδοι τότε δεν θα υϖάρχει µεταξύ τους µέσος ανάλογος. Για ϖαράδειγµα αϖοδεικνύει ότι µεταξύ δύο αριθµών µε λόγο (n+1) / n δεν µϖορεί να υϖάρχουν µέσοι ανάλογοι. Όµως αυτή η µέση ανάλογος όϖως µας δείχνει και η ΙΙ. 14 ήταν γεωµετρικά κατασκευάσιµη ϖάντα! Εϖίσης στην «Εϖινοµίδα» του Πλάτωνα αναφέρεται µε έµφαση ότι οι αριθµοί οι οϖοίοι εκ φύσεως είναι ανόµοιοι ( και συνεϖώς, για τους οϖοίους, σύµφωνα µε την ϖρόταση 20 του όγδοου βιβλίου, δεν υϖάρχει µέσος ανάλογος αριθµός) µϖορούν να γίνουν όµοιοι µε χρήση 22 Αρχύτας ο Ταραντίνος ( π. Χ) Πυθαγόρειος αστρονόµος, µαθηµατικός και πολιτικός µαθητής του Φιλόλαου του Κροτωνιάτη. 87

88 της γεωµετρικής κατασκευής. Αρα τουλάχιστον για τον Πλάτωνα αυτή η σύνδεση ήταν σαφής (Van der Waerden, η αφύϖνιση της εϖιστήµης, σελ. 184). Εϖοµένως τα ευθύγραµµα τµήµατα δεν εκφράζονται ϖάντοτε µε αριθµούς ή ακριβέστερα οι λόγοι ευθ. τµηµάτων δεν εκφράζονται ϖάντα σαν λόγοι ακεραίων. Με άλλα λόγια υϖάρχουν ασύµµετρα ευθύγραµµα τµήµατα. Αρα βλέϖουµε ότι υϖάρχει άµεση σχέση της γεωµετρικής κατασκευής της µέσης αναλόγου µε έναν τρόϖο ανακάλυψης της ύϖαρξης των αρρήτων! 88

89 ΤΡΙΤΟ ΒΙΒΛΙΟ Η ϖρόταση ΙΙΙ.16 του τρίτου βιβλίου είναι εξαιρετικά σηµαντική διότι ϖροσδιορίζει εϖακριβώς την έννοια της εφαϖτοµένης. Για να το ϖετύχει αυτό, εµϖλέκει θεµελιώδεις έννοιες της ανάλυσης όϖως και ιδιαίτερης µορφής γωνίες ϖου σχηµατίζονται αϖό καµϖύλες και ευθείες (κερατοειδείς, γωνίες ηµικυκλίου). Ας τα ϖεριγράψουµε αυτά αναλυτικά : ΙΙΙ.16 «`H tí diamštrj toà kúklou prõj Ñrq j p' kraj gomšnh ktõj pese tai toà kúklou, kaˆ e j tõn metaxý tòpon táj te eùqe aj kaˆ táj perifere aj tšra eùqe a où parempese tai, kaˆ ¹ m n toà ¹mikukl ou gwn a p shj gwn aj Ñxe aj eùqugr mmou me zwn st n, ¹ d loip¾ l ttwn». ηλ. η φερόµενη κάθετος στο άκρο της διαµέτρου του κύκλου θα ϖέσει εκτός του κύκλου και στο µέρος µεταξύ της καθέτου και της ϖεριφερείας του κύκλου ( κερατοειδής γωνία) δεν δύναται να γραφτεί ευθεία και η µεν γωνία του ηµικυκλίου (διαµέτρου- ηµικυκλίου) είναι µεγαλύτερη κάθε ευθύγραµµης οξείας γωνίας, η δε υϖόλοιϖη (κερατοειδής γωνία) είναι µικροτέρα της αντίστοιχης ευθύγραµµης οξείας γωνίας. Αϖόδειξη : Κατ αρχάς αϖοδεικνύουµε ότι η φερόµενη κάθετος θα ϖέσει ολόκληρη εκτός του κύκλου. Εστω ότι κάϖοιο σηµείο της θα ϖέσει εντός ή ϖάνω στην ϖεριφέρεια. Τότε ένα µεγάλο κοµµάτι της καθέτου θα ϖέσει εντός του κύκλου (εν µέρει αϖό ΙΙΙ.2) όϖως στο ϖαρακάτω σχήµα. Σχ. 66 Ισχύει λοιϖόν Α ΕΑ. Εστω ότι η κάθετος ϖέφτει µέσα στον κύκλο δηλ όϖως η ΑΓ. Τότε θα είναι Α ΑΓ. Εϖειδή όµως Α= Γ=> Α 1=Γ 1.. ηλ και Γ 1.= 1ορθ.αλλά και Α 1=1ορθ. άτοϖο διότι το άθροισµα των γωνιών ενός τριγώνου(ι. 32) είναι ίσο µε 2 ορθές και όχι µεγαλύτερο! Το δεύτερο τώρα. Εστω ότι υϖάρχει κι άλλη ευθεία ΑΖ ϖου µϖορεί να γραφτεί ώστε να βρίσκεται ολόκληρη ανάµεσα στην ϖεριφέρεια και στην εφαϖτοµένη ΑΕ. Φέρνουµε αϖό το κάθετη Η στην ΑΖ. Εϖειδή ΗΑ ορθή έϖεται ότι η υϖοτείνουσα του ορθογωνίου ΑΗ η Α 89

90 είναι µεγαλύτερη αϖό τη Η. Αρα και η ίση της Θ θα είναι µεγαλύτερη αϖό την Η. Ατοϖο διότι Θ < Η. Τώρα, κατ αρχάς θα αϖοδείξουµε ότι η γωνία µε ϖλευρές ΓΘΑ και ΑΒ είναι µεγαλύτερη αϖό οϖοιαδήϖοτε ευθ. οξεία γωνία ϖου έχει µια ϖλευρά την ΑΒ. Η δεύτερη ϖλευρά ή θα βρίσκεται εκτός της κερατοειδούς δηλ ϖέρα αϖό την ϖλευρά ΑΕ και συνεϖώς θα είναι µεγαλύτερη αϖό ορθή (άτοϖο) ή θα βρίσκεται µέσα στην κερατοειδή (άτοϖο) αϖ τα ϖροηγούµενα. Τρίτη ϖερίϖτωση είναι η ϖλευρά της να κόβει τον κύκλο. Ετσι θα σχηµατίζεται µια γωνία ϖου θα είναι µικρότερη της γωνίας ηµικυκλίου.αρα αϖοδείχθηκε. Τώρα θα αϖοδείξουµε ότι η κερατοειδής µεταξύ τόξου ΓΘΑ και τµήµατος ΑΕ είναι µικρότερη αϖό οϖοιαδήϖοτε ευθ. οξεία γωνία. Αν υϖοθέσουµε ότι µια ϖλευρά της είναι η ΑΕ τότε η άλλη ϖλευρά της ενδέχεται να κόβει τον κύκλο, έτσι θα ήταν µεγαλύτερη αϖό την κερατοειδή. Εϖίσης αϖοκλείεται να βρίσκεται µέσα στην κερατοειδή αϖό τα ϖροηγούµενα. Αρα αϖοδείχθηκε ότι η κερατοειδής είναι µικρότερη αϖό οϖοιαδήϖοτε ευθ. οξεία γωνία. Ο.Ε.. Τώρα εδώ τίθενται κάϖοια ερωτήµατα ως ϖρος τον εϖιδιωκόµενο σκοϖό του Ευκλείδη και ως ϖρος την µέθοδό του! 1) Κατ αρχάς τίθεται το εξής σηµαντικό ζήτηµα: Ενώ στην αρχή της ϖρότασης δίνεται ένας τρόϖος κατασκευής της εφαϖτοµένης σε κύκλο και ϖαρακάτω αϖοδεικνύεται ουσιαστικά ότι είναι µοναδική, ως τόσο η ϖρόταση συνεχίζει στον ϖροσδιορισµό της εφαϖτοµένης µε τις γωνίες : ηµικυκλίου, κερατοειδή. «Ευθεία κύκλου εφάϖτεσθαι λέγεται ήτις αϖτοµένη του κύκλου και εκβαλλοµένη ου τέµνει τον κύκλο». ηλ είναι µια ευθεία εξωτερική του κύκλου ϖου έχει ένα µόνο κοινό σηµείο µε τον κύκλο. Πως µϖορούµε όµως να συνδυάσουµε δύο ϖοιοτικά διαφορετικά ϖράγµατα όϖως την ευθεία και τον κύκλο? Τα δύο αυτά µϖορεί να τέµνονται σε δύο σηµεία το ϖολύ. Οσο ϖιο µικρό κοµµάτι της ευθείας βρίσκεται µέσα στον κύκλο δηλ όσο ϖιο κοντά είναι το Α µε το Β και όσο ϖιο µακριά βρίσκεται η ευθεία αϖ το κέντρο τόσο ϖιο ϖολύ εξωτερική γίνεται η ευθεία δηλ τόσο ϖιο λίγο κοινό µέρος µε τον κύκλο έχει (σύµφωνα µε το ΙΙΙ. 15) και κάϖοια στιγµή το Α συµϖίϖτει µε το Β οϖότε η αϖόσταση της ευθείας αϖ το κέντρο γίνεται µέγιστη και η ευθεία γίνεται «εξωτερική» εκτός αϖό ένα σηµείο το σηµείο εϖαφής. Η ϖρώτη γραµµή της ΙΙΙ.16 µας δίνει µια κατασκευή εφαϖτοµένης : «`H tí diamštrj toà kúklou prõj Ñrq j p' kraj gomšnh ktõj pese tai toà kúklou» διότι µας λέει ότι αν φτιάξουµε µια κάθετο στο άκρο της διαµέτρου κύκλου τότε αυτή θα είναι εφαϖτοµένη διότι δεν υϖάρχει ϖερίϖτωση να έχει δεύτερο σηµείο κοινό µε τον κύκλο αφού ϖέφτει εκτός του κύκλου. Η δεύτερη γραµµή της ΙΙΙ.16 µας δίνει µια ϖροσϖάθεια ϖροσδιορισµού αυτής της εφαϖτοµένης ϖου έχει ήδη κατασκευαστεί, µε τρόϖο ϖου ϖλησιάζει τη σύγχρονη µαθηµατική ανάλυση. «ka kaˆ e j tõn metaxý tòpon táj te eùqe aj kaˆ táj perifere aj tšra eùqe a où parempese tai tai, kaˆ ˆ ¹ m n toà ¹mikukl ¹ mikukl ou gwn a p shj gwn aj Ñxe xe aj eùqugr qugr mmou me zwn st st n». Αϖό το ϖρώτο κοµµάτι έϖεται ότι η εφαϖτοµένη είναι µοναδική και ότι αν υϖάρχει άλλη ευθεία ϖου να ϖερνάει αϖ το σηµείο τοµής αυτή είναι σίγουρα τέµνουσα του κύκλου. Εϖίσης εδώ ϖρέϖει να σταθούµε. Αν φτιάξουµε ένα ϖαρόµοιο σχήµα στον ϖίνακα και ρωτήσουµε τα ϖαιδιά αν υϖάρχει η δυνατότητα να φέρουµε ευθείες στο χώρο ανάµεσα στον κύκλο και την εφαϖτοµένη θα αϖαντήσουν ότι µϖορούµε να φέρουµε άϖειρες ευθείες.στην ϖραγµατικότητα όµως δεν µϖορούµε να φέρουµε καµµία, διότι για οϖοιαδήϖοτε αϖ αυτές τις ευθείες αν µεγεθύνουµε το σχήµα θα δούµε ότι ϖάντα υϖάρχει ένα σηµείο, έστω αϖειροελάχιστα κοντά στο σηµείο εϖαφής, ώστε αυτό το σηµείο να είναι σηµείο τοµής µε τον κύκλο, δηλ αυτή η ευθεία τελικά είναι τέµνουσα του κύκλου. 90

91 Αυτό το «ϖαράδοξο» θυµίζει το ϖαράδειγµα του Αχιλλέα και της χελώνας του Ζήνωνα! και συµβαίνει διότι φιλοσοφικά αν το δούµε, υϖάρχει διαφοροϖοίηση ανάµεσα στα «αισθητά» και στα «νοητά». Το δεύτερο κοµµάτι όµως αυτής της ϖρότασης : «ka kaˆ ˆ ¹ m n toà ¹mikukl¹ mikukl ou gwn a p shj gwn aj Ñxe xe aj eùqugr qugr mmou me zwn st st n» ουσιαστικά µας λέει ότι οϖοιαδήϖοτε οξεία γωνία και να ϖάρουµε, οσοδήϖοτε µεγάλη, ακόµη και αϖειροελάχιστα κοντά στην ορθή γωνία η γωνία του ηµικυκλίου ϖάντα θα εξακολουθεί να είναι µεγαλύτερη! ηλ η γωνία του ηµικυκλίου ϖεριέχει οϖοιαδήϖοτε οξεία γωνία ή διαφορετικά η µια ϖλευρά µιάς οξείας γωνίας θα είναι τέµνουσα του κύκλου (αν η άλλη είναι η διάµετρος). Αυτό σηµαίνει ότι η γωνία του ηµικυκλίου δεν είναι κάτι σταθερό δηλ µε σταθερό µέτρο. Ο Ευκλείδης ούτε ϖου ασχολείται µαζί της, αλλά ϖέφτει σαν «διάττοντας» στη Γεωµετρία για να εξυϖηρετήσει κάϖοιο σκοϖό. Το ίδιο ισχύει και για την κερατοειδή.τι ακριβώς είναι λοιϖόν στην ϖρόταση ΙΙΙ. 16 η γωνία του ηµικυκλίου δεν ξέρουµε, καταλαβαίνουµε όµως ότι είναι µια γωνία ϖου µϖορούµε να τη συγκρίνουµε µε τις ευθύγραµµες αλλά µέχρι εκεί, δεν µϖορούµε να ϖροσδιορίσουµε το µέτρο της αφού δεν είναι και σταθερή, ϖαρά µόνο να την αντιληφθούµε διαισθητικά! Αν θεωρήσουµε λοιϖόν µια ακολουθία αύξουσα αϖό ευθύγραµµες οξείες γωνίες ϖου το σηµείο τοµής των ϖλευρών τους µε τον κύκλο (η τετµηµένη του) να ϖλησιάζει το σηµείο εϖαφής, τότε αυτή η ακολουθία καλύϖτεται ϖάντα αϖό την γωνία ηµικυκλίου. Αυτή η ακολουθία είναι αύξουσα και άνω φραγµένη, άρα συγκλίνει στο supremum ϖου είναι η ορθή γωνία. Ανάµεσα όµως σ αυτή την ακολουθία και το όριο της δηλ την ορθή, υϖάρχει ϖάντα η γωνία του ηµικυκλίου. Και για τιµές ϖολύ µεγάλες, ας ϖούµε 89,9 όϖου η ακολουθία ϖλησιάζει το όριο της η γωνία ηµικυκλίου ϖαρεµβάλλεται ανάµεσα, δηλ. µεταξύ της τιµής της ακολουθίας και της ορθής γωνίας. Αρα χωρίς να ξέρουµε τι ϖράγµα στ αλήθεια είναι αυτή η γωνία, εν τούτοις µϖορεί να ϖαίξει τον ρόλο αυτού ϖου µϖορεί να ϖεριγράψει τι είναι εφαϖτοµένη : για καταστάσεις οριακές ϖολύ κοντινές στο σηµείο εϖαφής εφαϖτοµένη είναι ένα αϖειροελάχιστο κοµµατάκι του κύκλου. Σχ

92 Με σύγχρονη µαθηµατική σκέψη, θα λέγαµε ότι : 0 :το f( x) f( x0) lim x x x x0 κλίση της εφαϖτοµένης. 0 χ χ και f( x) f( x0) οϖότε υϖάρχει και είναι το όριο της κλίσης των τεµνουσών δηλ η Γενικότερα µιλώντας, ότι είϖαµε για την εφαϖτοµένη θα µϖορούσαµε να το εϖεκτείνουµε και στην έννοια της καθέτου σε ευθεία. Πραγµατικά, ενώ µέχρι τότε γνώριζαν να κατασκευάζουν κάθετες ευθείες γενικά ϖάσχιζαν αρκετά να θεµελιώσουν την έννοια της κάθετότητας να την ϖοσοτικοϖοιήσουν και να τη θέσουν σε ϖοσοτικές σχέσεις όϖως µας δείχνει το Ι. 48, το ΙΙΙ. 37 κ.λ.ϖ. 2) Η δεύτερη αναζήτησή µας έχει σαν αντικείνενο την λεγόµενη κερατοειδή γωνία. Τι ϖράγµα είναι αυτό αλήθεια? και τι ήταν αυτό ϖου ανάγκασε τον Ευκλείδη να χρησιµοϖοιήσει έστω ϖεριορισµένα αυτή τη γωνία? Εϖίσης τι σχέση έχει µε τη γωνία του ηµικυκλίου? Κατ αρχάς είναι πράγµατι γωνία? Οι αρχαίοι όριζαν γωνία την κλίση δύο επίπεδων γραµµών µεταξύ τους. Αρα µ αυτόν τον ορισµό η κερατοειδής είναι γωνία! Όµως τότε µπορούµε να την προσθέσουµε ή να την αφαιρέσουµε σε µια άλλη ή να να τη συγκρίνουµε µε κάποια άλλη. Αυτό εκ των πραγµάτων όµως καθίσταται δύσκολο, αφού κατ αρχάς σ αυτή τη γωνία δεν µπορούµε να φέρουµε εσωτερική ηµιευθεία µε αρχή την κορυφή! άρα δεν µπορεί να συγκριθεί µε καµµία ευθύγραµµη. Ή αλλιώς είναι πάντα µικρότερη από οποιαδήποτε ευθύγραµµη, όπως ήδη έχει δειχθεί. Αλλά, µπορούµε να φέρουµε εσωτερικά µια περιφέρεια κύκλου διαφορετικής ακτίνας. Αρα φαίνεται, µάλλον να έχει µέγεθος. Αλλά τι µέγεθος έχει? εν φαίνεται να έχει σταθερό µέγεθος. Το µέγεθος της εξαρτάται από τον εκάστοτε κύκλο? Σχ

93 Τι διαφορά έχει η ω 1 αϖό την ω 2? είναι άνισες ή ίσες? Ποσοτικά δεν έχουν διαφορά Η ω 1 γίνεται ίδια µε την ω 2 «αισθητά» όταν ϖλησιάζουµε ϖιο ϖολύ στο Β. Αρα η διαφορά είναι φαινοµενική δηλ «αισθητή» και όχι «νοητή». Παρ όλο ϖου η µία φαίνεται να ϖεριέχεται στην άλλη! Αλλωστε ξέρουµε ότι όλοι οι κύκλοι είναι όµοιοι. Εϖοµένως είναι λογικό η κλίση οϖοιουδήϖοτε κύκλου και ευθείας να είναι η ίδια. Τι ϖράγµα λοιϖόν είναι αυτή η κερατοειδής γωνία? Η κερατοειδής γωνία είναι µια ειδικού τύϖου γωνία ίδια για όλους τους κύκλους ϖου το µέγεθός της ϖοικίλλει αναλόγως ϖόσο κοντά στο σηµείο εϖαφής είµαστε. Ας δούµε τι λέει ο Πρόκλος γι αυτή (Εις Πρώτον Ευκλείδου Στοιχείων : Οροι) «Κάϖοιοι αϖό τους ϖαλαιούς κατέταξαν τη γωνία στην κατηγορία της σχέσης και έχουν ϖει ότι είναι κλίση είτε γραµµών είτε εϖιϖέδων ϖου συγκλίνουν µεταξύ τους. Αλλοι τη συµϖεριέλαβαν στην κατηγορία της ϖοιότητας και λένε ότι είναι ένα χαρακτηριστικό της εϖιφάνειας ή του στερεού όϖως η ευθύτητα και η καµϖυλότητα. Αλλοι την ανηγαγαν στην ϖοσότητα και δέχονται ότι είναι εϖιφάνεια ή στερεό. Γιατί η γωνία στις εϖιφάνειες διαιρείται αϖό µία γραµµή, ενώ η γωνία στα στερεά διαιρείται αϖό µία εϖιφάνεια. Και αυτό ϖου διαιρείται, λένε, αϖό αυτά δεν είναι τίϖοτ άλλο αϖό µέγεθος και µάλιστα όχι γραµµικό (γιατί η γραµµή διαιρείται αϖό ένα σηµείο), οϖότε αϖοµένει η γωνία να είναι είτε εϖιφάνεια είτε στερεό. Αν, όµως, είναι µέγεθος και αν όλα τα οµογενή µεγέθη ϖου είναι ϖεϖερασµένα έχουν µεταξύ τους κάϖοιο λόγο, τότε και όλες οι οµογενείς γωνίες, όϖως όσες βρίσκονται σε εϖιφάνειες, θα έχουν κάϖοιο λόγο µεταξύ τους, ώστε η κερατοειδής γωνία θα έχει κάϖοιο λόγο ϖρος την ευθύγραµµη γωνία. Οσα, όµως, έχουν λόγο µεταξύ τους, µϖορούν να υϖερβαίνουν το ένα το άλλο, αν ϖολλαϖλασιαστούν. Αρα κάϖοτε και η κερατοειδής γωνία θα υϖερβεί την ευθύγραµµη, ϖράγµα αδύνατον. Γιατί αϖοδεικνύεται ότι η κερατοειδής γωνία είναι µικρότερη αϖό κάθε ευθύγραµµη γωνία.» Εϖοµένως,κατά τον Πρόκλο η κερατοειδής γωνία δεν έχει µέγεθος. Αφού όµως είναι µικρότερη αϖό οϖοιαδήϖοτε οξεία γωνία µήϖως το µέγεθός της είναι αϖειροστό? δηλ άϖειρα µικρό? ιαβάζουµε αϖό τη διατριβή της Βιργινίας Στεργίου : «Ιστορική εξέλιξη, ερµηνείες και διδακτικές ϖροσεγγίσεις της έννοιας του αϖειροστού» : «Η βάση της µεθόδου εξάντλησης ϖεριέχεται στην ακόλουθη ϖρόταση, όϖως διατυϖώνεται ως Θεώρηµα 1 του Βιβλίου Χ των Στοιχείων του Ευκλείδη: «DÚo megeqîn n swn kkeimšnwn, n põ toà me zonoj faireqí me zon À tõ ¼misu kaˆ toà kataleipomšnou me zon À tõ ¼misu, kaˆ toàto eˆ g gnhtai, leifq»seta ti mšgeqoj, Ö œstai œlasson toà kkeimšnou l ssonoj me- gšqouj.» Η σηµασία της πρότασης αυτής είναι ότι αποκλείει τη ρητή αναφορά σε κάθε ιδέα του «απείρου» ή ακριβέστερα του «άπειρα µεγάλου» και «άπειρα µικρού». Εϖοµένως συµϖεραίνουµε ότι και ο Ευκλείδης δεν αϖοδεχόταν την έννοια του άϖειρα µεγάλου και άϖειρα µικρού. Όµως τότε τι ακριβώς ήταν η κερατοειδής γωνία? Εφ όσον αϖοδείκνυε ότι ήταν µικρότερη αϖό οϖοιαδήϖοτε ευθύγραµµη οξεία γωνία τότε ήταν άϖειρα µικρή. Αλλά η κερατοειδής γωνία δεν έχει σταθερό µέγεθος,όϖως δείξαµε, αφού το µέγεθός της αλλάζει ανάλογα ϖόσο µακριά βρισκόµαστε αϖ το σηµείο εϖαφής. Βασική της ιδιότητα 93

94 είναι ότι για οσοδήϖοτε µικρή οξεία γωνιά και να ϖάρουµε µε µία ϖλευρά την εφαϖτοµένη η άλλη ϖλευρά θα κόβει «τελικά» κάϖου τον κύκλο ώστε η κερατοειδής να καθίσταται έστω σε ένα κοµµάτι της µικρότερη αϖό την αντίστοιχη οξεία γωνία. Σχ. 69 Ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς ( µ.χ. ϖερίϖου) µϖορεί να µας δώσει µια εικόνα για την εξέλιξη ϖου είχαν αυτές οι ιδέες 400 χρόνια και ϖλέον µετά τον Ευκλείδη, όϖως φαίνεται στον 4 ο τόµο των αϖάντων του και όϖως τον εξέδοσε ο Heiberg µε τον τίτλο : definitiones- Geometrica (σε αϖόδοση Χ.Κηϖουρού Ηρωνος Αλεξανδρέως, ονόµατα γεωµετρικών όρων, γεωµετρικά, ΕΜΕ). Κατ αρχάς ϖεριγράφει την ορθή γωνία : (σελ.143) «η ορθή γωνία είναι το σύµβολο της σταθερής ενέργειας η οϖοία εµϖεριέχεται (ακλινώς συνεχοµένης ενέργειας) στην ισότητα, το όριον και το ϖέρας: ως εκ τούτου λέγουν ότι η κάθετος η οϖοία σχηµατίζει τις ορθές γωνίες είναι η εικόνα της κατερχόµενης ζωής: κατά δύο τρόϖους λέγεται ότι εκϖορεύονται σ εµάς, οι ϖρονοητικές ενέργειες του θεού : κατά κύκλο και κατά ευθεία γραµµή». Φαίνεται φιλοσοφικό το κείµενο, όµως η αλήθεια είναι ότι οι αρχαίοι αντιλαµβάνονταν την εφαϖτοµένη και συνεϖώς την κάθετο στο άκρο της διαµέτρου σαν την τοµή της έννοιας του κύκλου και της ευθείας. Εκφράζει την ισότητα, το όριο και το ϖέρας. Στη σελ. 75 και στους 119, 120 όρους όµως ϖροχωράει σε ϖολύ ϖιο ενδιαφέρουσα ανάλυση : 119 Περί του αϖείρου ως µεγέθους. Μέγεθος είναι αυτό, ϖου µϖορεί, εϖ άϖειρον, ν αυξάνεται και να διαιρείται: τα είδη του είναι τρία : γραµµή, εϖιφάνεια, στερεόν. Άϖειρο µέγεθος είναι αυτό, του οϖοίου µεγαλύτερο δε νοείται µε οϖοιαδήϖοτε υϖόσταση, ώστε γι αυτό, να µην υϖάρχει ϖέρας.(βέβαια µόνο στην ευθεία υϖήρχε ϖέρας και αυτό ήταν το σηµείο). 120 Περί του µέρους των µεγεθών Ένα µέγεθος, είναι µέρος ενός [µεγαλύτερου] µεγέθους, όταν το µεγαλύτερο χωρίζεται σε ίσα [τµήµατα ως ϖρος το µικρότερο]. Αναφέρεται, τώρα, το µέρος όχι όϖως : η Γη είναι µέρος του κόσµου, ή η κεφαλή του ανθρώϖου, αλλά βεβαίως, ούτε τη γωνία ϖου σχηµατίζεται αϖό την κάθετο, ϖου φέρεται στο άκρο µιας διαµέτρου κύκλου και του εξωτερικού του ηµικυκλίου, λέµε ότι είναι µέρος της ορθής, ϖου κατασκευάστηκε αϖό την κάθετο: διότι είναι αδύνατο να µετρηθεί η ορθή γωνία, χωρίς υϖόλοιϖο, αϖό µια τέτοια γωνία, ϖου λέγεται κερατοειδής, γιατί κάθε ευθύγραµµη γωνία είναι µικρότερη αϖό την κερατοειδή γωνία. Θα λάβουµε λοιϖόν, το µέρος µεγέθους εϖι οµοειδών, µάλλον [µεγεθών] και έτσι θα µιλάµε για µέρος µεγέθους, όϖως όταν λέµε ότι το τρίτον της ορθής γωνίας είναι µέρος της ορθής». Προφανώς ο Ήρων ο Αλεξανδρεύς, δεν θεωρούσε την κερατοειδή οµογενές µέγεθος µε την ορθή. Γι αυτό και θεωρούσε ότι ήταν αδύνατο να «µετρήσει»(δηλ να διαιρέσει χωρίς υϖόλοιϖο) η κερατοειδής µια ορθή γωνία. 94

95 Γιατί λοιϖόν ο Ευκλείδης εϖέλεξε να χρησιµοϖοιήσει µια γωνία όϖου εντοϖίζονταν αντιφάσεις ϖεριεχοµένου? Την οϖοία ούτε καν κατονόµασε? Πιθανώς τη χρησιµοϖοίησε άϖαξ διότι δεν είχε άλλο τρόϖο να ϖεριγράψει ϖιο κατάλληλα την έννοια της εφαϖτοµένης, µιας και είχε διαϖιστώσει ότι αυτή εµϖεριείχε την έννοια του ορίου, όϖως και η κερατοειδής! Ας κάνουµε τώρα µια αναδροµή στην ιστορία των αϖειροστών και στην ιστορία της διαµάχης για την ανάλυση της «κερατοειδούς». Ο Αριστοτέλης διαιρεί ένα µέγεθος άϖειρες φορές. εν δέχεται το «αµερές» των Ατοµικών φιλοσόφων και καταλήγει σε δύο συµϖεράσµατα : 1) δεν υϖάρχουν αδιαίρετα µεγέθη 2) οι αριθµοί µϖορούν να αυξηθούν χωρίς όριο Μ αυτή την υϖόθεση θεµελιώνει το «συνεχές» ϖ.χ. των σηµείων ϖου φτιάχνουν µια ευθεία, των εϖιϖέδων ϖου φτιάχνουν ένα στερεό, των ευθειών ϖου φτιάχνουν ένα εϖίϖεδο σχήµα. Την άϖοψη του Αριστοτέλη εϖεξέτειναν οι Μαθηµατικοί του 13 ου, 14 ου αιώνα Αϖ αυτή την ανάλυση βέβαια ϖροκύϖτουν µερικά ερωτήµατα : Πως είναι δυνατόν, αφού ένα σηµείο δεν έχει διαστάσεις ϖολ/µενο να δίνει ένα ϖεϖερασµένο µέγεθος. Η το ϖαράδοξο του Russel 23 : Αν θεωρήσουµε κάϖοιους οµόκεντρους κύκλους, ϖως είναι δυνατόν µια εϖιβατική ακτίνα να δηµιουργεί αντιστοιχίες σηµείων ϖάνω στους κύκλους και έτσι να δηµιουργεί την εντύϖωση ότι ένας µικρός κύκλος έχει τον ίδιο αριθµό σηµείων µε έναν µεγάλο! Αν υϖοθέσουµε ότι ισχύει η σηµειακή κατασκευή του «συνεχούς» τότε ένα ευθ. τµήµα δεν ϖεριέχει ϖεϖερασµένα σηµεία αλλά άϖειρα. Τώρα, όσον αφορά την «κερατοειδή». Ο Cardano ( ) 24 έθεσε ένα ϖαράδοξο : «ϖως είναι δυνατόν να υϖάρχει µια ϖοσότητα ϖου να µεγαλώνει χωρίς όρια, ωστόσο να ϖαραµένει µικρότερη αϖό µιαν άλλη ϖοσότητα ϖου µικραίνει χωρίς όριο» και έθεσε το εξής ϖαράδειγµα : Όϖως βλέϖουµε στο ϖαρακάτω σχήµα, όσο και να µεγαλώσει χωρίς όριο η κερατοειδής ϖαραµένει µικρότερη αϖό την οξεία γωνία ϖου µικραίνει χωρίς όριο. Σχ. 70 Η κυρίως διαµάχη για το είδος της «κερατοειδούς» διεξήχθη ανάµεσα στον Peletier (στοιχεία 1557) και στον Clavious ( ) Ο πρώτος είπε ότι η «κερατοειδής» δεν έχει ποσότητα και ότι είναι ορθή γωνία. Ολες οι «κερατοειδείς» είναι ίσες, ανεξαρτήτου ακτίνας. Οι γωνίες αυτού του είδους όπως η 23 Μπέρτραντ Ράσελ ( ) φιλόσοφος, µαθηµατικός, ειρηνιστής. 24 Τζερολάµο Καρντάνο ( ) µαθηµατικός, γιατρός και φιλόσοφος, µέσω του πάθους του για τον τζόγο ανακάλυψε τις πιθανότητες. 95

96 «κερατοειδής» και η «γωνία του ηµικυκλίου» είναι γωνίες «τίποτε». Η εφαπτοµένη δεν έχει κλίση µε τον κύκλο αλλά εµπλέκεται σε µια σχέση µε τον κύκλο. Ο δεύτερος απάντησε ότι αν αυτές οι γωνίες ήσαν πραγµατικά «τίποτε» ο Ευκλείδης δεν θα έµπαινε στον κόπο να τις συµπεριλάβει στο ΙΙΙ.16. Επίσης υποθέτει ότι δεν είναι ίσες µεταξύ τους και ότι έχουν ποσότητα. εν είναι ίσες διότι η µία περιέχει την άλλη. Ο Vieta ( ) 25 όπως και ο Γαλιλαίος ( ) 26 παίρνουν το µέρος του Peletier.O Vieta θεωρεί τον κύκλο σαν κανονικό πολύγωνο µε άπειρου πλήθους πλευρές και την εφαπτοµένη να σχηµατίζει µηδενική γωνία µε µια πλευρά του πολυγώνου. Αρα δεν υφίσταται «κερατοειδής». (Μια σύνοψη αϖ τις σελίδες 41, 42 του Volume 2 «Eucleed, the thirteen books of the elements του Sir Thomas L. Heath) Σχ. 71 Στο ϖαραϖάνω σχήµα είναι εύκολο να δούµε το εξής : Οσο η τεττµηµένη του Κ, Λ, Μ ϖλησιάζει το Α τόσο οι αντίστοιχες γωνίες : ΚΑχ, ΛΑχ, ΜΑχ µικραίνουν. Αυτό συµβαίνει διότι για οϖοιαδήϖοτε τέµνουσα ένα κοµµάτι της κερατοειδούς ϖεριέχεται µέσα στη γωνία τέµνουσας- εφαϖτοµένης. Εϖοµένως και το κάθε τόξο ΚΑ, ΛΑ, ΜΑ ϖεριέχεται µέσα στην αντίστοιχη γωνία της κάθε τέµνουσας. Οϖότε τελικά σχηµατίζεται µια ακολουθία αϖό γωνίες µηδενική καθώς το χ ϖλησιάζει το Α. Στοιχειοθετείται αυτή η ϖροσέγγιση αϖό το εϖίϖεδο µαθηµατικής γνώσης της εϖοχής? Και τι γνώριζαν οι αρχαίοι για τα όρια? Αϖό τα αρχαία συγγράµµατα, γνωρίζουµε ότι οι αρχαίοι χρησιµοϖοιούσαν κάϖοιες τεχνικές ϖου είχαν άµεση σχέση µε την µαθηµατική ανάλυση, όµως αυτό αϖέχει ϖολύ αϖό την άϖοψη 25 Φρανσουά Βιετά (16 ος αιώνας) δικηγόρος, χοµπίστας µαθηµατικός που εισήγαγε τους συντελεστές στις εξισώσεις και τα σύµβολα +, Galileo Galilei, φυσικός, µαθηµατικός, αστρονόµος, θεµελιωτής της κλασικής Μηχανικής, γνωστός για τη διαµάχη του µε την Εκκλησία. 96

97 ότι είχαν θεµελιώσει αυστηρά την έννοια του ορίου! Για ϖαράδειγµα τα ϖαράδοξα του Ζήνωνα, οι ϖλευρικοί διαµετρικοί αριθµοί, η µέθοδος της εξάντλησης ϖαραϖέµϖουν σε εύρεση ορίου. Σ Υ Μ Π Ε Ρ Α Σ Μ Α Βλέϖουµε λοιϖόν, ότι ο Ευκλείδης είχε βάσιµους λόγους ϖου ανέλυσε την κερατοειδή και τη γωνία του ηµικυκλίου. Ουσιαστικά µας είϖε µε άλλα λόγια ότι η εφαϖτοµένη είναι κάτι ϖερισσότερο αϖό µια ευθεία ϖου άϖτεται του κύκλου σ ένα σηµείο. Είναι κυρίως µια ευθεία ϖου ϖροσδιορίζεται αϖό ένα «όριο»! ηλ η ϖροσέγγιση του Ευκλείδη µοιάζει να ϖλησιάζει το σύγχρονο ορισµό της εφαϖτοµένης µε συντελεστή διεύθυνσης ή τον ορισµό της ϖαραγώγου συνάρτησης. ιδακτική ϖρόταση Εχοντας σαν βάση ϖερισσότερο την «κερατοειδή» γωνία και λιγότερο την γωνία ηµικυκλίου καλούµαστε χρησιµοϖοιώντας σχετικά αϖλά µέσα (όϖως ακριβώς έκανε κι ο Ευκλείδης) να δείξουµε στους µαθητές ότι ϖολλές φορές το σχήµα στη Γεωµετρία είναι κακός σύµβουλος και ότι αυτό ϖου µετράει είναι ϖερισσότερο ο µαθηµατικός στοχασµός και τα µαθηµατικά εϖιχειρήµατα. Εϖίσης εισάγουµε τους µαθητές στην έννοια του «ορίου» όϖως εϖίσης τους ϖροετοιµάζουµε για τον «αναλυτικό»ορισµό της εφαϖτοµένης σε κύκλο και της ϖαραγώγου. Πρόβληµα : «Να κατασκευαστεί κύκλος οϖοιασδήϖοτε ακτίνας και η εφαϖτοµένη σ ένα σηµείο του κύκλου. Κερατοειδής γωνία είναι η ϖεριοχή ανάµεσα στο εξωτερικό του κύκλου και την εφαϖτοµένη. Πόσες ευθείες εξωτερικές, (ϖου δεν είναι τέµνουσες του κύκλου) µϖορούµε να φέρουµε, δηλ να βρίσκονται εξ ολοκλήρου µέσα στην κερατοειδή γωνία?» Σχ. 72 Προφανώς αϖό το ϖαραϖάνω σχήµα, ιδιαίτερα αϖό την τελευταία φάση (σµίκρυνση) φαίνεται ότι µϖορούµε να φέρουµε άϖειρες ευθείες ϖου δεν ακουµϖάνε τον κύκλο (αισθητό). Όµως, αν µεγεθύνουµε το σχήµα, τότε θα δούµε ότι ενώ η κερατοειδής φαίνεται να µηδενίζεται οι ευθείες ϖου φαίνονται ότι µϖορούµε να φέρουµε είναι ελάχιστες. ηλ όσο µικραίνουµε το σχήµα, η κερατοειδής µοιάζει να µεγαλώνει, ενώ όσο µεγαλώνουµε το σχήµα, η κερατοειδής µοιάζει να µικραίνει. 97

98 Σχ. 73 Εϖειδή όλοι οι κύκλοι είναι όµοια σχήµατα, για να µεγεθύνουµε ή να κάνουµε σµίκρυνση ενός κύκλου αρκεί να µεγαλώσουµε ή να µικρύνουµε την ακτίνα του ίδιου κύκλου, εϖοµένως αυτό ϖου φαίνεται κυκλικό αϖό µακριά όταν ϖλησιάζουµε µοιάζει ευθύγραµµο ή αϖλά ευθύ. Τώρα, αντίστοιχα οϖοιαδήϖοτε ευθεία και να ϖάρουµε, όσο ϖλησιέστερα στην εφαϖτοµένη ϖου να φαίνεται ότι χωράει στην κερατοειδή, κάϖοια στιγµή ϖολύ κοντά στο Α, θα υϖάρξει σηµείο όϖου αυτή η ευθεία θα τέµνει τον κύκλο και συνεϖώς δεν θα ανήκει εξ ολοκλήρου στην κερατοειδή! Αρα, οσοδήϖοτε µικρή γωνία και να σχηµατίζει η ευθεία αυτή µε την εφαϖτοµένη, ϖάντα θα υϖάρχει ένα σηµείο κοντά στο Α, έστω Β, όϖου η ευθεία αυτή θα τέµνει τον κύκλο δηλ η γωνία αυτή θα καθίσταται µεγαλύτερη της κερατοειδούς.αυτή τη συλλογιστική µϖορούµε να 98

99 την εφαρµόσουµε και σε µια ακολουθία αϖό τέτοιες ευθείες (µηδενική) όϖου δείχνουµε ϖαραστατικά και τον ορισµό µιας µηδενικής ακολουθίας µε τη βοήθεια της κερατοειδούς. 3) Σύνδεση της ϖρότασης ΙΙΙ.16 µε την ακροτελεύτια ϖρόταση του τρίτου βιβλίου, αϖοτίµηση της τελευταίας, όϖως και ανάδειξής της σαν αϖοκορύφωµα της θεωρητικής αναζήτησης του τρίτου βιβλίου. Η ϖρόταση ΙΙΙ.16 όϖως είδαµε, είναι βασική για την κατασκευή και ϖροσδιορισµό της εφαϖτοµένης ενός κύκλου. Ολόκληρο το τρίτο βιβλίο έχει σαν θέµα την εϖεξεργασία των εννοιών του κύκλου και της γωνίας όϖως και κάϖοιων στοιχείων του κύκλου, την ανάλ&upsilo