Κύλινδρος κοιμώμενος εντός κώνου

Transcript

1 Κύλινδρος κοιμώμενος εντός κώνου Γιώργος Μπαλόγλου 7 η Μαθηματική Εβδομάδα, 18- Μαρτίου 015, Θεσσαλονίκη Εισαγωγή Περίληψη: Υπολογίζεται ο μέγιστος όγκος οριζοντίου κυλίνδρου εγγεγραμμένου σε δοθέντα κατακόρυφο κώνο. Ο υπολογισμός του μεγίστου όγκου κυλίνδρου εγγεγραμμένου σε κώνο αποτελεί κλασικό πρόβλημα του Λογισμού και είναι αρκετά απλός: αν η ακτίνα βάσης και το ύψος του κώνου, και η ακτίνα βάσης του εγγεγραμμένου κυλίνδρου, τότε από όμοια τρίγωνα προκύπτει ότι το ύψος z του εγγεγραμμένου κυλίνδρου ισούται προς d (1 d ), οπότε d d V(d) (d ) και V' (d) d( ), άρα ο μέγιστος όγκος 4 ισούται προς V( ) (δηλαδή του όγκου του κώνου) Το πρόβλημα γίνεται δραματικά δυσκολότερο αν ο κύλινδρος αντί να στέκεται κοιμάται μέσα στον κώνο, αν είναι δηλαδή εγγεγραμμένος σε οριζόντια αντί κατακόρυφη θέση. Είναι φανερό ότι έχει καίρια σημασία ο τρόπος με τον οποίο ο οριζόντιος κύλινδρος αγγίζει τον κατακόρυφο κώνο, η σχέση δηλαδή ανάμεσα στις βάσεις του κυλίνδρου και στην διατομή του κώνου κατά μήκος των βάσεων.

2 Ας υποθέσουμε λοιπόν ότι η βάση του κώνου κορυφής ( 0,0, ) στο επίπεδο είναι ο κύκλος x y, ενώ ο κύλινδρος έχει ως άξονα την ευθεία, (παράλληλη προς τον άξονα των ) και ως βάσεις κύκλους κέντρων, όπου. (Το μήκος του κυλίνδρου ισούται λοιπόν προς, ενώ η ακτίνα θα υπολογισθεί αργότερα). Τα επίπεδα y s των βάσεων του κυλίνδρου τέμνουν τον κώνο κατά την z 0 x 0 z d ( 0, s,d) s 0 s x s υπερβολή z (1 ), όπως εύκολα προκύπτει από όμοια τρίγωνα. Άμεσα προκύπτει το ερώτημα: πως σχετίζεται η υπερβολή (διατομή του κώνου) με τους κύκλους (βάσεις του κυλίνδρου), ποια δηλαδή η σχέση των x s z (1 ) και x (z d) d ; Με δεδομένο ότι υπερβολή και κύκλος οφείλουν να εφάπτονται, είναι λογικό όπως δείχνουν τα παρακάτω σχήματα αλλά και η διερεύνηση που ακολουθεί να υποθέσουμε ότι υπάρχουν δύο περιπτώσεις: μοναδικό (κεντρικό, x 0 ) σημείο επαφής ή δύο (συμμετρικά αλλήλων ως προς τον άξονα των z ) σημεία επαφής. d y 1, 1, 4, s 0, 8, d 0, 14

3 1,, s 0,8, d 0, 1, 0, 8, s 0, 1, d 0, 6 1,, s 0, 1, d 0, 614

4 Περίπτωση Ι: μικρή διατομή -- βάση με ένα κεντρικό σημείο επαφής s Στην περίπτωση αυτή ισχύει η d (1 ), ενώ το άνω ημικύκλιο του x (z d) d οφείλει να βρίσκεται, για d x d, κάτω από την x s s z (1 ). Αντικαθιστώντας την d (1 ) στην z dz x 0 και λύνοντας την δευτεροβάθμιο προκύπτει η ανισότητα s s (1 ) (1 ) 4x x s (1 s s x s (1 ) 4x ( ). ), ισοδύναμη προς την Ύστερα από δύο υψώσεις στο τετράγωνο καταλήγουμε στην ανισότητα ( ) x ( s)[( s) s]. Θέτοντας x 0 λαμβάνουμε την ανισότητα s s0, όπου s0. s Αντιστρόφως, αν s s0 τότε, θέτοντας d (1 ), έχουμε ένα και x s μοναδικό σημείο επαφής των x (z d) d και z (1 ), καθώς όλα τα βήματα είναι αντιστρεπτά. (Χρειάζεται προσοχή στο προτελευταίο αντίστροφο βήμα, καθώς αυτό, σε αντίθεση προς το

5 αντίστοιχο ευθύ, απαιτεί την ανισότητα s εύκολα από τις (λόγω s x s s, που προκύπτει s s (1 ) x (1.) s s 0) και ) Περίπτωση ΙΙ: μεγάλη διατομή -- βάση με δύο συμμετρικά σημεία επαφής Ο κύκλος και η υπερβολή έχουν δύο ακριβώς σημεία επαφής, της μορφής x,z ), αν και μόνον αν έχει μοναδική ως προς λύση το σύστημα ( 0 0 x s, z (1 ) x (z d) d, δηλαδή αν και μόνον αν έχει μοναδική λύση η εξίσωση ( )z ( d)z ( s ) 0, δηλαδή αν και μόνον αν ισχύει η ( )( s ) d. [Έλεγχος: για s 0 (που η διατομή είναι ισοσκελές τρίγωνο βάσης και ύψους ) ο παραπάνω τύπος δίνει d που είναι πράγματι η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου.] z

6 ( d) Για την παραπάνω τιμή της ακτίνας η μοναδική ρίζα z0 s της δευτεροβαθμίου οφείλει να ικανοποιεί την z 0 (1 ), κάτι που ισχύει αν και μόνον αν s s0 (όπου, όπως στην Περίπτωση Ι, s 0 ). s Ας παρατηρηθεί εδώ ότι ισχύει στην Περίπτωση ΙΙ η d (1 ), ισοδύναμη προς την (( )s ) 0, που ισχύει ως ισότητα για s s 0 (όταν δηλαδή οι Ι και ΙΙ συμπίπτουν με d d ). Μεταβολή όγκου, Περίπτωση Ι (μικρή διατομή) Εκφράζοντας τον όγκο του εγγεγραμμένου κυλίνδρου μήκους και s ακτίνας d(s) (1 ) ως συνάρτηση του s λαμβάνουμε s V I (s) (1 ) s. s s s Θέτοντας f (s) (1 ) s παρατηρούμε ότι f ' (s) (1 )(1 ), επομένως η συνάρτηση όγκου V I (s) είναι αύξουσα για 0 s s1 και φθίνουσα για s 1 s, όπου s 1. s Μεταβολή όγκου, Περίπτωση ΙΙ (μεγάλη διατομή) Εκφράζοντας τον όγκο του εγγεγραμμένου κυλίνδρου μήκους ( )( s ) ακτίνας d(s) λαμβάνουμε s και

7 Θέτοντας VII (s) [ ( )( s )] s. g(s) [ ( )( s )] s παρατηρούμε ότι ( )( s g' (s) s επομένως η συνάρτηση όγκου s s V II (s ) 0) και και φθίνουσα για ) [( (s) V II s s s s ) 0 s s s ], είναι αύξουσα για και για, όπου s (με ( ) s (Ο παράγων s s, ενώ ο παράγων ( s )( s ( s ) s ) είναι θετικός αν και μόνον αν είναι προφανώς αρνητικός για s και αρνητικός αν και μόνον αν (ύψωση στο 4 τετράγωνο) 9( )(s ) (5 6 )(s ) 0 για s, δηλαδή αν και μόνον αν ο είναι μεγαλύτερος της μικρότερης ρίζας ( s ), καθώς ο s βρίσκεται ανάμεσα στις δύο ρίζες.) Μεγιστοποίηση όγκου μίξη των Ι και ΙΙ Η μελέτη της συνάρτησης όγκου στις Περιπτώσεις Ι και ΙΙ οδηγεί εύκολα στην υπολογισμό του μεγίστου όγκου του εγγεγραμμένου οριζοντίου κυλίνδρου, χρειάζεται όμως αρκετή προσοχή. Πιο συγκεκριμένα, απαιτείται η κατανόηση των σχέσεων ανάμεσα στα κρίσιμα σημεία s 0, s 1, s, s. Εύκολα διαπιστώνουμε ότι ισχύει πάντοτε η s0 s (άρα δεν θα παίξει ρόλο στην μεγιστοποίηση το s, καθώς αυτό αφορά μόνο την Περίπτωση ΙΙ

8 ενώ πέραν του s1 s s 0 είμαστε στην Περίπτωση Ι), ενώ τόσο η είναι ισοδύναμες προς την. s1 s 0 όσο και η Αρκετά δυσκολότερη είναι η ισοδυναμία της s s0 προς την Παρατηρούμε ότι η s s0 είναι ισοδύναμη προς την ανισότητα-κλειδί ( ) 5 4 Η ανισότητα-κλειδί ισχύει τετριμμένα (με αρνητικό αριστερό σκέλος) για 6 4, όπου r 0 1, 6077 η θετική ρίζα της 1r 11r 44r 0 0, 0 r και είναι ισοδύναμη (ύψωση στο τετράγωνο) για 0 r. προς την 144 ( )( )( )( )( ) 0 : η ανισότητα αυτή ισχύει αν και μόνον αν, δηλαδή (και με δεδομένη την ) αν και μόνον αν και η s s r r. Συμπεραίνουμε ότι η ανισότητα-κλειδί, άρα, είναι πράγματι ισοδύναμη προς την Ανακεφαλαιώνοντας προκύπτουν οι ισοδυναμίες s0 s s1 και s1 s s0. (Στην περίπτωση ισχύει η s0 s1 s.) Οι δύο δυνατές διατάξεις των κρισίμων σημείων διατομής στις οποίες καταλήξαμε οδηγούν, σύμφωνα με όσα προηγήθηκαν, σε δύο δυνατότητες μεταβολής και μεγιστοποίησης όγκου ως εξής: Πρώτη δυνατότητα:. Μεταβολή όγκου για Ο όγκος V (s) αυξάνεται για s s 0 s (Περίπτωση ΙΙ), συνεχίζει να αυξάνεται για s0 s s1 (Περίπτωση Ι) και μειώνεται για s s 1 s0

9 (Περίπτωση Ι και πάλι): συμπεραίνουμε ότι για ο μέγιστος όγκος ισούται προς V I (s1) d(s1) s Μεταβολή όγκου για,,,, s 45 1 V(s) VII(s) ( 5 5s ) s για 0 s και 9 1 V(s) V I (s) (1 s) s για s s s 1 1, με Δεύτερη δυνατότητα: Μεταβολή όγκου για Ο όγκος αυξάνεται για s s s0 (Περίπτωση ΙΙ), μειώνεται για s s s0 (Περίπτωση ΙΙ και πάλι), και συνεχίζει να μειώνεται για s s 0 s1 (Περίπτωση Ι): συμπεραίνουμε ότι για ο μέγιστος όγκος ισούται προς V (s ) d(s ) s [ II ] ( ) 4.

10 [Έλεγχος: διατηρώντας την ακτίνα σταθερή και αυξάνοντας το ύψος απεριόριστα, οπότε ο κώνος τείνει να γίνει άπειρος κύλινδρος ακτίνας, ο παραπάνω τύπος δίνει οριακό όγκο που είναι πράγματι ο μέγιστος όγκος οριζοντίου κυλίνδρου εγγεγραμμένου σε κατακόρυφο κύλινδρο ακτίνας. (Αν το μήκος του κυλίνδρου τότε η ακτίνα του κυλίνδρου ισούται προς d V(s) d s ( s s ), κλπ)] s s, οπότε 1 1 Μεταβολή όγκου για 1,, s 0, s 1, s, με 5 V(s) VII (s) ( 1 5 5s ) s για 0 s και V(s) V I(s) (1 s) s για s 1 Συμπεράσματα Ο μέγιστος όγκος οριζοντίου κυλίνδρου εγγεγραμμένου σε κατακόρυφο κώνο ύψους και ακτίνας ισούται προς όταν και προς 7 1 [. όταν ] ( ) 4

11 Μεταβολή μεγίστου όγκου για 1, 0 και για 1, 0 Είναι φανερό ότι ο λόγος του όγκου του εγγεγραμμένου κυλίνδρου προς τον όγκο του δοθέντος κώνου τείνει προς το μηδέν καθώς ο λόγος r προς το άπειρο, αλλά δύσκολο να δειχθεί ότι μεγιστοποιείται όταν 6,4494, με αντίστοιχη μέγιστη τιμή 16 0, [Απαιτείται η μεγιστοποίηση, για r 1, της συνάρτησης 6 11r 5 4r 5 6r 5 4r Q(r) [ 1 ] r 18 18(1 r ) (Βεβαίως για r 1 ο ζητούμενος λόγος ισούται προς r 9.)]. τείνει Λόγος όγκου κυλίνδρου προς όγκο κώνου για 1 10

12 Ιστορικό Το πρόβλημα τέθηκε από τον γράφοντα στο [1], όπου η Μαργαρίτα Βαρελά κάλυψε μερικώς (Περίπτωση Ι) την περίπτωση : από όμοια τρίγωνα d προκύπτει η, οπότε V(d) (d ) και για s d (και ), με μέγιστο όγκο κυλίνδρου ίσο προς V( ). 7 d Αναφορά s V' (d) [1] Μπαλόγλου, Γ. (01) «Κύλινδρος κοιμώμενος εντός κώνου», ttp:// 0