ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. Αντώνης Οικονόµου ηµήτρης Καγιούλης Ιγνάτιος Χάρος ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ
|
|
- Έχω Ζωγράφου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αντώνης Οικονόµου ηµήτρης Καγιούλης Ιγνάτιος Χάρος ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ. Το πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού - περίληψη 2. Το πρόβληµα ακέραιου προγραµµατισµού 3. Τεχνικές µοντελοποίησης 4. Κλασικά προβλήµατα 5. Σύγκριση εναλλακτικών µοντελοποιήσεων 6. η µέθοδος επίλυσης: Αποκοπτικών επιπέδων (Cutting plane) 7. 2 η µέθοδος επίλυσης: Κλάδος Φράγµα (Branch and bound) 8. 3 η µέθοδος επίλυσης: υναµικού προγραµµατισµού (Dynamic programming) 9. Προσεγγιστική µέθοδος επίλυσης: Προσοµοιωµένης βαφής (Simulated annealing)
2 2. Το πρόβληµα γραµµικού προγραµµατισµού περίληψη! Γενική µορφή Ελαχιστοποίηση ή µεγιστοποίηση µιας γραµµικής συνάρτησης υπό γραµµικούς περιορισµούς: min ή max( cx + cx cx n n) a x + a x a x b ή b n n a x + a x a x b ή b n n 2 2 a x + a x a x b ή b m m2 2 mn n m m xi 0 ή xi 0 ή xi R! Πινακική µορφή Κάθε γραµµικό πρόβληµα τίθεται στην τυπική πινακική µορφή min ( c'x) Ax = b x 0 όπου Α είναι ένας δοσµένος πίνακας και b, c δοσµένα διανύσµατα.! Βασικά στοιχεία που αφορούν τη λύση Η εφικτή περιοχή είναι πολύεδρο (στον R n ) H βέλτιστη λύση επιτυγχάνεται σε κορυφή της εφικτής περιοχής
3 3! Μέθοδοι λύσης Μέθοδος Simplex (Dantzig (947)) Αλγόριθµος εσωτερικού σηµείου (Karmarkar (984)) Μέθοδος του ελλειψοειδούς (πολυωνυµικής πολύπλοκότητας ως προς τα m,n) (Shor(970) Yudin and Nemirovskii(977))
4 4 Παράδειγµα υπό τους περιορισµούς Γεωµετρική Αναπαράσταση x 2 min( 2 2) x x 0 x x + x x+ x2 4 x, x2 0 αντικειµενική συνάρτηση = c (0,4) αντικειµενική συνάρτηση = c 2 (min) Y-Axis 3 (0, ) 2 F x2 0 9 (,0) 4 + 4x 6x2 9 (4,0) x + x2 4 x (, 2) άξονας των συντελεστών της αντικειµενικής συνάρτησης
5 5 2. Το πρόβληµα ακέραιου προγραµµατισµού! Γενική Μορφή min c'x + d'y υπό τους περιορισµούς Ax + By = b xy, 0 x διάνυσµα ακεραίων όπου Α, Β δοσµένοι πίνακες b, c, d δοσµένα διανύσµατα (τα στοιχεία πινάκων και διανυσµάτων τυπικά υποτίθενται ακέραιοι) 3. Τεχνικές µοντελοποίησης! Τεχνική : Χρήση δυαδικών µεταβλητών για τη λήψη απόφασης µεταξύ δύο εναλλακτικών (δυαδική επιλογή).! Παράδειγµα : Η κατασκευαστική εταιρεία ΠΡΟΚΑΤ ΑΕ µελετά την επέκτασή της Κτίζοντας καινούργια εργοστάσια στην Θεσσαλονίκη ή / και στην Αθήνα. Κτίζοντας αποθήκες στην Θεσσαλονίκη ή / και στην Αθήνα εδοµένα που είναι γνωστά στην διεύθυνση:
6 6 Αριθµός απόφασης Ερώτηση ναι ή όχι Μεταβλητή απόφασης Παρούσα καθαρή αξία Απαιτούµενο κεφάλαιο Κτίζω εργοστάσιο στην Αθήνα; x 9 εκατ. 6 εκατοµµύρια Κτίζω εργοστάσιο στην Θεσσαλονίκη; x 2 5 εκατ. 3 εκατοµµύρια Κτίζω αποθήκη στην Αθήνα; x 3 6 εκατ. 5 εκατοµµύρια Κτίζω αποθήκη στην Θεσσαλονίκη; x 4 4 εκατ. 2 εκατοµµύρια ιαθέσιµο κεφάλαιο 0 εκατ. Σκοπός: Μεγιστοποίηση της συνολικής καθαρής αξίας της επένδυσης. Το πρόβληµα αυτό είναι µικρό και µπορεί να λυθεί πολύ γρήγορα µε µια µατιά (χτίζω εργοστάσιο στη Θεσσαλονίκη και τις αποθήκες). Ωστόσο ας το µοντελοποιήσουµε προκειµένου να φανεί πως µπορεί να µοντελοποιηθεί ως πρόβληµα ακέραιου προγραµµατισµού. Έστω: x j, αν η απόφαση j είναι ναι = 0, αν η απόφαση j είναι όχι για ( j =,2,3,4)
7 7! Μοντέλο ακέραιου προγραµµατισµού µε τους περιορισµούς max z = 9x + 5x + 6x + 4x x+ 3x2+ 5x3+ 2x4 0 x j 0- ακέραιος ( j =,2,3,4).! Λύση Έχουµε x 2 = x 3 = x 4 = και x = 0 µε αντίστοιχη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης z = 5.
8 8! Τεχνική 2. Χρήση δυαδικών (0-) µεταβλητών για τη διατύπωση επιβαλλόµενων (αναγκαστικών) περιορισµών. Αυτή η τεχνική χρησιµοποιείται όταν θέλουµε να µοντελοποιήσουµε µία κατάσταση όπου οι αποφάσεις είναι αλληλοσχετιζόµενες. Για παράδειγµα ας υποθέσουµε ότι η απόφαση Α µπορεί να παρθεί µόνο αν η απόφαση Β έχει παρθεί. Εισάγουµε δυαδικές µεταβλητές xa, x B και θέτουµε τον περιορισµό xa xb. Τότε: Β όχι Α όχι ( xb = 0 xa= 0) (Η απόφαση Α δεν µπορεί να ληφθεί αν η Β είναι όχι).
9 9! Παράδειγµα 2: Στο παράδειγµα ας προσθέσουµε έναν ακόµη περιορισµό: Η επιλογή να κτιστεί µια αποθήκη επιτρέπεται µόνο στις περιοχές όπου ένα καινούργιο εργοστάσιο θα κτιστεί. Τότε οι αποφάσεις 3 και 4 είναι εξαρτώµενες από τις αποφάσεις και 2. Απαιτούµε x 3 = 0 αν x = 0. Οµοίως x 4 =0 αν x 2 = 0.! Μοντέλο ακέραιου προγραµµατισµού µε τους περιορισµούς max z = 9x + 5x + 6x + 4x x 3x2 5x3 2x x x x 3 x 4 2 x j 0- ακέραιος ( j =,2,3,4).! Λύση x = x 2 =, x 3 = x 4 = 0, z = 4. Κατασκευή εργοστασίων σε Αθήνα και Θεσσαλονίκη αλλά όχι κατασκευή αποθηκών.
10 0! Τεχνική 3: Χρησιµοποίηση περιορισµών για την µοντελοποίηση σχέσεων µεταξύ αποφάσεων. Και αυτή η τεχνική χρησιµοποιείται όταν θέλουµε να µοντελοποιήσουµε αλληλοσχετιζόµενες αποφάσεις. Για παράδειγµα ας υποθέσουµε ότι µπορούµε να πάρουµε το πολύ µία από τις ναι/όχι αποφάσεις, 2,, n. Εισάγουµε δυαδικές µεταβλητές x, x 2,, x n και θέτουµε τον περιορισµό: n j= x j. Αυτός ο περιορισµός σηµαίνει ότι το πολύ µία από τις x,x 2,, x n, µπορεί να είναι (ναι). Παροµοίως αν ο περιορισµός είναι του τύπου: n xj =, j= τότε ακριβώς µία από τις αποφάσεις, 2,, n θα πρέπει να είναι ναι.
11 ! Παράδειγµα 3 Στο προηγούµενο παράδειγµα προσθέτουµε τον περιορισµό: Το πολύ µία αποθήκη µπορεί να κτιστεί.! Μοντέλο ακέραιου προγραµµατισµού υπό τους περιορισµούς maxz = 9x + 5x + 6x + 4x x 3x2 5x3 2x x x x 3 4 x 3 x x x j 0- ακέραιος (j =,2,3,4).! Λύση Η βέλτιστη λύση µε απόδοση z = 4 επιτυγχάνεται τώρα για x = x 2 = και x 3 = x 4 = 0 (κατασκευή µόνο εργοστασίων σε Αθήνα και Θεσσαλονίκη)
12 2! Τεχνική 4: Εισαγωγή διαζευκτικών περιορισµών µε χρήση δυαδικών µεταβλητών. Μέχρι τώρα είδαµε πώς µπορούν να χρησιµοποιηθούν οι δυαδικές µεταβλητές για την µοντελοποίηση αλληλοεξαρτώµενων αποφάσεων. Μια άλλη χρήση των δυαδικών µεταβλητών είναι η µοντελοποίηση ορισµένων λογικών εξαρτήσεων µεταξύ των περιορισµών ενός προβλήµατος βελτιστοποίησης Σε ένα τυπικό πρόβληµα γραµµικού ή ακόµα και µη γραµµικού προγραµµατισµού απαιτείται να ικανοποιείται η σύζευξη όλων των περιορισµών. Με την τεχνική που θα αναπτύξουµε παρακάτω µοντελοποιούνται περιστάσεις όπου απαιτείται να ισχύει τουλάχιστον ένας περιορισµός (διάζευξη των περιορισµών) ή γενικότερα τουλάχιστον ένας συγκεκριµένος αριθµός από αυτούς.
13 3! ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 x ένα µη αρνητικό διάνυσµα απόφασης x πρέπει να ικανοποιεί τουλάχιστον έναν από τους περιορισµούς ax ' b cx ' d όπου όλες οι συνιστώσες των a και c είναι µη αρνητικές.! Μοντέλο ακέραιου προγραµµατισµού Ορίζουµε µία δυαδική µεταβλητή y Επιβάλουµε τους περιορισµούς a x yb c x (-y)d y { 0,}.! Γενίκευση Έστω x µη αρνητικό διάνυσµα απόφασης Το x απαιτούµε να ικανοποιεί τουλάχιστον k από τους περιορισµούς a i x b i i=,2,,m όπου όλες οι συνιστώσες των a i είναι µη αρνητικές.
14 4! Μοντέλο ακέραιου προγραµµατισµού Ορίζουµε δυαδικές µεταβλητές y i Επιβάλουµε τους περιορισµούς και ai' x by i i ( i=,2,..., m) m i= yi k. Σηµείωση: Αν έχουµε στην άριστη λύση y i =, συµπεραίνουµε ότι ο αντίστοιχος περιορισµός a i x b i είναι ενεργός (ικανοποιείται).
15 5! Τεχνική 5: Χρήση δυαδικών µεταβλητών για την εισαγωγή µεταβλητών µε πεπερασµένο πεδίο τιµών. Ας υποθέσουµε ότι θέλουµε να περιορίσουµε µια µεταβλητή x να παίρνει τιµές σε ένα πεπερασµένο σύνολο {α, α 2,, α m }. Αυτό επιτυγχάνεται εισάγοντας m δυαδικές µεταβλητές.! Παράδειγµα 5. Η µεταβλητή x απαιτείται να παίρνει τιµές σε ένα πεπερασµένο σύνολο {α, α 2,, α m }! Μοντέλο ακέραιου προγραµµατισµού Εισάγουµε δυαδικές µεταβλητές y, y 2,, y m. Θέτουµε m x= ay j j. j= Εισάγουµε τους περιορισµούς m yj =. j=
16 6 4. Κλασικά προβλήµατα! Πρόβληµα : Το πρόβληµα του σακιδίου. ίδονται n αντικείµενα. Το j-οστό αντικείµενο έχει βάρος w j και αξία c j. Υπάρχει ένα σακίδιο µε µέγιστο επιτρεπόµενο συνολικό βάρος k Σκοπός: Να επιλέξουµε ποια αντικείµενα θα µπουν στο σακίδιο ώστε να µεγιστοποιήσουµε τη συνολική αξία του.! Μοντέλο ακέραιου προγραµµατισµού Εισάγουµε δυαδικές µεταβλητές x j, j =,2,, n: x j, αν το j-οστό αντικείµενο επιλεγεί = 0, διαφορετικά Πρόβληµα ακέραιου προγραµµατισµού max n j= υπό τους περιορισµούς: cx j j n j= wx j j k x j {0,}, (j =,, n).
17 7! Πρόβληµα 2: Tα προβλήµατα κάλυψης, οµαδοποίησης και διαµέρισης κάλυψ η διαµέριση οµαδοποίηση Μ={,, m} ένα σύνολο σηµείων Ν={,, n} ένα σύνολο δεικτών {Μ,Μ 2,, Μ n } είναι µία δοσµένη συλλογή υποσυνόλων του Μ c j ένα βάρος για κάθε σύνολο M j Ορίζουµε: F F F N είναι µια κάλυψη του Μ αν U Mj = M. j F N είναι µια οµαδοποίηση του Μ αν M j Mk = για όλα τα jk, F, j k. N είναι µια διαµέριση του Μ αν F είναι ταυτόχρονα κάλυψη και οµαδοποίηση του Μ.
18 8 Σκοποί: Πρόβληµα κάλυψης: Να βρεθεί κάλυψη µε το ελάχιστο συνολικό βάρος. Πρόβληµα διαµέρισης: Να βρεθεί διαµέριση µε το µέγιστο (ή ελάχιστο) συνολικό βάρος. Πρόβληµα οµαδοποίησης: Να βρεθεί οµαδοποίηση µε το µέγιστο συνολικό βάρος.! Μοντέλο ακέραιου προγραµµατισµού Εισάγουµε δυαδικές µεταβλητές x j, j=,2,, n: x j, αν το σύνολο Mj επιλεγεί για να µπεί στο F = 0, αν το σύνολο Mj δεν επιλεγεί για να µπεί στο F Κατασκευάζουµε τον m n πίνακα πρόσπτωσης Α της οικογένειας { M, M 2,..., M n},του οποίου τα στοιχεία α ij δίνονται από τη σχέση: a ij, αν i Mj, = 0, διαφορετικά. Τότε το F είναι κάλυψη, διαµέριση, οµαδοποίηση του Μ αν και µόνο αν Ax e, Ax = e, Ax e, αντιστοίχως, όπου x είναι ένα διάνυσµα που δείχνει πια σύνολα M j περιέχονται στο F και e = (,,, ) είναι ένα m-διάστατο διάνυσµα µε όλες τις συνιστώσες του ίσες µε.
19 9! Θέτουµε το πρόβληµα κάλυψης (αντιστοίχως διαµέρισης, οµαδοποίησης) min z n = (αντιστοίχως min ή max, max) j= cx j j υπό τους περιορισµούς Ax e (αντιστοίχως Ax = e, Ax e) x j 0- ακέραιος (j =, 2,, n).
20 20! Πρόβληµα 3: Το πρόβληµα του ελάχιστου επικαλυπτικού δένδρου. G=(Ν,Ε ) µη κατευθυνόµενο γράφηµα µε σύνολο κόµβων Ν ( Ν = n) και σύνολο ακµών Ε ( Ε = m). c e κόστος (ή βάρος) κάθε ακµής e, e Ε. Σκοπός: Να βρεθεί ένα (συνεκτικό) επικαλυπτικό δένδρο - υπογράφηµα του G, ώστε να συνδέονται όλες οι κορυφές του G µε το ελάχιστο κόστος.
21 2! Μοντέλο ακέραιου προγραµµατισµού εισάγουµε δυαδικές µεταβλητές x e, e Ε : x e, αν η ακµή e περιληφθεί στο επικαλυπτικό δένδρο = 0, διαφορετικά Καθόσον υπάρχουν n κορυφές ένα επικαλυπτικό δένδρο θα πρέπει να έχει συνολικά n- ακµές: E e x e = n Για κάθε µη κενό σύνολο S N, ορίζουµε το σύνολο { } } ES ( ) = ij, E ij, S που περιλαµβάνει τις ακµές του G που και τα δύο άκρα τους ανήκουν στο S. εν επιτρέπονται οι κύκλοι οπότε θα έχουµε: xe S, S N, S. e ES ( )! Ακέραιος προγραµµατισµός υπό τους περιορισµούς e ES ( ) min cx e e E e x e E e = n xe S, S N, S, N { } xe 0,, e Ε.
22 22 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΙΣΧΥΡΕΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΕΙΣ! Πολυπλοκότητα του Γραµµικού Προγραµµατισµού Υπάρχει πολυωνυµικός αλγόριθµος για το Γραµµικό Προγραµµατισµό. (Εσωτερικού Σηµείου Karmakar (984) & Ελλειψοειδούς - Shor (970), Yudin and Nemirovskii (977)) Η πολυπλοκότητα του προβλήµατος αυξάνεται πολυωνυµικά µε τον αριθµό των µεταβλητών n και τον αριθµό των περιορισµών m.! Πολυπλοκότητα του Ακέραιου Προγραµµατισµού εν υπάρχει πολυωνυµικός αλγόριθµος για τον Ακέραιο Προγραµµατισµό.! Βασική ιδέα για επίλυση προβληµάτων Ακέραιου Προγραµµατισµού Η αναγωγή ενός Προβλήµατος Ακέραιου Προγραµµατισµού σε ένα ή πολλά προβλήµατα Γραµµικού Προγραµµατισµού και η επίλυση αυτών αντί του αρχικού Ακέραιου Προβλήµατος.
23 23! Η σύνδεση µεταξύ Ακέραιου και Γραµµικού Προγραµµατισµού Έστω ένα πρόβληµα ακεραίου προγραµµατισµού : υπό τους περιορισµούς min c'x+ d'y Αx+ By= b xy, 0 x ακέραιος. Η χαλάρωση γραµµικού προγραµµατισµού ορίζεται ως το παραπάνω πρόβληµα χωρίς τον περιορισµό της ακεραιότητας : υπό τους περιορισµούς min cx ' + dy ' Αx+ By= b xy, 0.! Κεντρική Ιδέα Αν µια βέλτιστη λύση της χαλάρωσης γραµµικού προγραµµατισµού είναι εφικτή για το αρχικό ακέραιο πρόβληµα, είναι και βέλτιστη για αυτό.
24 24! Παράδειγµα: Το πρόβληµα επιλογής τοποθεσίας εγκαταστάσεων n πιθανές τοποθεσίες παροχής υπηρεσιών (πχ αποθήκες) m πελάτες οι οποίοι πρέπει να εξυπηρετηθούν από αυτές τις τοποθεσίες.(πχ µαγαζιά) c j ένα σταθερό κόστος για την εγκατάσταση µιας υπηρεσίας στην τοποθεσία j. d ij ένα κόστος για την εξυπηρέτηση του πελάτη i από την τοποθεσία j. Σκοπός: Να επιλέξουµε ένα σύνολο τοποθεσιών για την εγκατάσταση υπηρεσιών και να αναθέσουµε κάθε πελάτη σε µία υπηρεσία, ελαχιστοποιώντας το συνολικό κόστος.
25 25! Υλοποίηση µοντελοποίησης ακέραιου προγραµµατισµού Εισάγουµε δυαδικές µεταβλητές απόφασης yj, αν η j τοποθεσία επιλεγεί για την εγκατάσταση υπηρεσίας = 0, διαφορετικά (j =,2,,n), x ij, αν ο πελάτης i, ανατεθεί στην τοποθεσία = 0, διαφορετικά. j (j =,2,,n) (i =,2,,m). Κάθε πελάτης i µπορεί να εξυπηρετηθεί από µία µόνο υπηρεσία, έτσι, n j= x ij =, (i =,2,,m) Αν δεν υπάρχει υπηρεσία j τότε κανένας πελάτης i δεν µπορεί να εξυπηρετηθεί σε αυτήν, δηλαδή y j =0 σηµαίνει x ij = 0 για όλα τα i. Αυτό µοντελοποιείται ως ακολούθως: x ij yj, (i =,2,,m j =,2,,n)
26 26! Μοντελοποίηση του προβλήµατος επιλογής τοποθεσίας εγκαταστάσεων (FL) min( cy j j + dijxij) j= i= j= n j= n m n xij =, ( i =,2,..., m), xij yj, ( i =,2,..., m j =,2,..., n), { } xij, yj 0,, ( i =,2,..., m j =,2,..., n)! Εναλλακτικό µοντέλο ακέραιου προγραµµατισµού - (AFL) Στη θέση του περιορισµού xij yj,( i =,2,..., m) για κάθε υπηρεσία j µπορούµε να βάλουµε τον απλό περιορισµό m i= x ij my ο οποίος κάνει ακριβώς το ίδιο πράγµα (δηλαδή y j =0 σηµαίνει x ij = 0 για όλα τα i ενώ y j = επιτρέπει x ij = για όλα τα i ). j
27 27 min( cy j j + dijxij) j= i= j= n j= m i= n m n xij =, ( i =,2,..., m), xij myj,( i =,2,..., m j =,2,..., n), { } xij, yj 0,, ( i =,2,..., m j =,2,..., n)! Σύγκριση των δύο µοντέλων Μοντελοποίηση FL min n j= n m n cy j j+ j= i= j= xij = ( i=,2,..., m) ( =,2,...,, xij yj, i m { } d x ij ij j=,2,..., n) 0, ( =,2,...,, xij, yj i m j=,2,..., n). Μοντελοποίηση AFL min n j= m i= n m n cy + j j ij ij j= i= j= xij = ( i=,2,..., m) ( =,2,..., ) xij myj, j n { } d x 0, ( =,2,...,, xij, yj i m j =,2,..., n). m + m x n περιορισµοί m + n περιορισµοί
28 28 Χαλαρώσεις γραµµικού προγραµµατισµού: Μοντελοποίηση FL Μοντελοποίηση AFL min n j= n m n cy + j j ij ij j= i= j= d x xij = ( i=,2,..., m) ( =,2,...,, xij yj, i m = j =,2,..., n) 0 xij, yj ( i,2,..., m, j =,2,..., n). min n j= m n m n cy + j j ij ij j= i= j= d x xij = ( i=,2,..., m) ( =,2,..., ) xij myj, j n i= 0 xij, yj ( i=,2,..., m, j =,2,..., n). m + m x n περιορισµοί m + n περιορισµοί Από πλευράς µοντελοποίησης οι δύο µοντελοποιήσεις είναι απολύτως ισοδύναµες: Οι εφικτές περιοχές ( = τα σύνολα των εφικτών λύσεων) για τις δύο µοντελοποιήσεις συµπίπτουν. P AFL P FL C B A Σύγκριση λύσεων AFL και FL µοντέλου Τα δύο πολύεδρα P AFL και P FL περιέχουν ακριβώς το ίδιο σύνολο ακεραίων λύσεων
29 29 Έχουµε προφανώς ότι PFL PAFL δηλαδή η πρώτη µοντελοποίηση είναι καλύτερη από τη δεύτερη παρά το ότι η δεύτερη έχει λιγότερους περιορισµούς.! Η ιδανική µοντελοποίηση για ένα πρόβληµα Ακέραιου Προγραµµατισµού Έστω T { x, x2,..., xk} = το σύνολο των εφικτών ακεραίων λύσεων σε ένα συγκεκριµένο πρόβληµα Ακέραιου Προγραµµατισµού. H κυρτή θήκη ή κάλυµµα (Convex Hull CH(T)) του Τ θα δίνεται από τον τύπο: k k CH ( T ) = λixi λi =, λi 0, x i T i= i= Το CH(T) είναι ένα πολύεδρο µε ακέραιες κορυφές Αν µπορούµε να το αναπαραστήσουµε ως : CH ( T )={ x: Dx d } τότε το αρχικό ακέραιο πρόγραµµα γίνεται : min ( c'x) Dx d x ακέραιος µε χαλάρωση γραµµικού προγραµµατισµού : min ( c'x) Dx d
30 30 H βέλτιστη λύση της χαλάρωσης γραµµικού προγραµµατισµού είναι και βέλτιστη λύση για το αρχικό πρόβληµα γιατί το CH ( T )={ x: Dx d } είναι ένα πολύεδρο µε ακέραιες κορυφές. Η κεντρική ιδέα εδώ είναι ότι για ένα πρόβληµα ακέραιου προγραµµατισµού η ιδανική µοντελοποίηση είναι να κατασκευάσουµε το CH ( T )={ x: Dx d } και να επιλύσουµε την αντίστοιχη χαλάρωση γραµµικού προγραµµατισµού.! Είναι η ιδανική µοντελοποίηση πάντα εφικτή ; Το να κατασκευάσουµε το CH ( T )={ x: Dx d } είναι γενικά δύσκολο αν όχι αδύνατο. Καθόσον η ιδανική µοντελοποίηση δεν είναι γενικά εφικτή, ψάχνουµε για µια µοντελοποίηση µε χαλάρωση γραµµικού προγραµµατισµού όσο πιο κοντά µπορούµε στο CH(T).
31 3! Σύγκριση διαφορετικών µοντελοποιήσεων - - Συµπεράσµατα Η ποιότητα των µοντελοποιήσεων ενός ακέραιου προβλήµατος µε σύνολο εφικτών λύσεων Τ, εξαρτάται από το πόσο κοντά είναι το σύνολο εφικτών λύσεων της αντίστοιχης χαλάρωσης γραµµικού προγραµµατισµού µε το CH(T). Έστω Α και Β δύο µοντελοποιήσεις του ίδιου προβλήµατος ακέραιου προγραµµατισµού µε σύνολο εφικτών λύσεων Τ. Ορίζουµε ως P A και P B τα σύνολα εφικτών λύσεων των αντιστοίχων χαλαρώσεων γραµµικού προγραµµατισµού. Θα λέµε ότι η µοντελοποίηση Α είναι τουλάχιστο τόσο ισχυρή όσο η Β αν PA PB.. Η =. Α θα είναι η ιδανική µοντελοποίηση αν PA CH( T) P B P A CH(T)
32 32 ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΓΩΓΗΣ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ. ΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ : «ΑΠΟΚΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΠΕ ΩΝ» & «ΚΛΑ ΟΣ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑ».. «ΑΠΟΚΟΠΤΙΚΩΝ ΕΠΙΠΕ ΩΝ»! Η αρχική ιδέα : Να µειώνουµε την εφικτή περιοχή σε κάθε βήµα, πηγαίνοντας προς µια ιδανική µοντελοποίηση του αρχικού προβλήµατος ακέραιου προγραµµατισµού.! Η γεωµετρική ιδέα : Χρησιµοποιούµε αποκοπτικά επίπεδα για να µειώσουµε την εφικτή περιοχή της χαλάρωσης γραµµικού προγραµµατισµού του προβλήµατος σε ένα πολύεδρο µε ακέραιες κορυφές.! Η αλγεβρική ιδέα :. Λύνουµε τη χαλάρωση γραµµικού προγραµµατισµού του αρχικού προβλήµατος. Έστω x* µια βέλτιστη λύση. 2. Αν η x* είναι ακέραια σταµατάµε. Η x* είναι η βέλτιστη λύση του αρχικού προβλήµατος ακέραιου προγραµµατισµού. 3. Αν όχι, προσθέτουµε έναν περιορισµό τύπου γραµµικής ανισότητας στη χαλάρωση γραµµικού προγραµµατισµού, τον οποίο όλες οι ακέραιες λύσεις του αρχικού τον ικανοποιούν, αλλά όχι η x*. Πηγαίνουµε στο βήµα.
33 33 Γεωµετρικά η διαδικασία παριστάνεται µε τα παρακάτω σχήµατα (στο προηγούµενο παράδειγµα) : x 2 3 x 2 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / Αποκοπτικό επίπεδο x2 2 Y-Axis Αρχική εφικτή περιοχή χαλάρωσης x Y-Axis x x 2 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / Αποκοπτικό επίπεδο 2 Νέα εφικτή περιοχή χαλάρωσης x x x 3 Y-Axis Νέα εφικτή περιοχή χαλάρωσης (τελική) x
34 34 2. «ΚΛΑ ΟΣ ΚΑΙ ΦΡΑΓΜΑ»! Η αρχική ιδέα : ιαίρει και βασίλευε : Αντί να εξερευνούµε ολόκληρο το σύνολο εφικτών λύσεων, χρησιµοποιούµε φράγµατα στο βέλτιστο κόστος για να αποφύγουµε να εξερευνήσουµε συγκεκριµένα κοµµάτια του συνόλου των εφικτών ακεραίων λύσεων.! Η γεωµετρική ιδέα : Σπάµε την εφικτή περιοχή σε µικρότερες περιοχές και εξερευνούµε κάθε µια από αυτές ακολουθιακά.! Η αλγεβρική ιδέα : Αντί να λύσουµε το min( cx ' ) x F k σπάµε το F ως F = U i= Fi και λύνουµε τα : min( cx ' ) x Fi ( i=,2,..., k) Συγκρίνουµε τη βέλτιστη λύση και επιλέγουµε την καλύτερη. Αν η χαλάρωση γραµµικού προγραµµατισµού που αντιστοιχεί στο F i έχει βέλτιστη λύση χειρότερη από την ακέραια εφικτή λύση ενός άλλου F j, τότε το F j απορρίπτεται.
35 35 Παράδειγµα (το προηγούµενο) min x 2x x + x x+ x2 4 x, x2 0 x, x2 ακέραιοι Γεωµετρικά η διαδικασία παριστάνεται µε τα παρακάτω σχήµατα :
36 36 x 2 bf ( ) = x = 3 5 (, ) 2 2 κλάδος x2 3 F = 2 x2 2 ( ιάγραµµα 2) F x ιάγραµµα x 2 bf ( 2) = x2 = (,2) 4 F x κλάδος x 0 x ιάγραµµα 2 ( ιάγραµµα 4) ( ιάγραµµα 3)
37 37 x 2 bf ( 3) = x3 = (, 2) F x ιάγραµµα 3 x 2 3 bf ( 4) 3 U 3 = = 2 3 x4 = (0, ) 2 F x ιάγραµµα 4 Έτσι η βέλτιστη λύση είναι η x3 = (, 2)
38 38 Αλγεβρικά η διαδικασία παριστάνεται µε το παρακάτω διάγραµµα : F = F x = (, ) 5 2 b(f)= 3.5 U 0=+ : Φράγµα για το τρέχον υποπρόβληµα : Καλύτερη έως τώρα τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης x2 3 x2 2 F= F 0 { x2 3} = F = τερµατισµός διακλάδωσης F= F 0 { x2 2} 3 x2 = (,2) 4 bf = U ( 2) =+ x x 0 F3= F2 { x } x3 bf = (, 2) = ( 3) 3 U 3 = 3 F4= F2 { x 0} 3 x4 = (0, ) 2 bf = ( 4) 3 U 4 = 3 ( 4) 3 τερµατισµός της διακλάδωσης bf U Βέλτιστη λύση : x 3 =(,2) µε z =-3
39 39 ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ. ΥΝΑΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ! Ο δυναµικός προγραµµατισµός είναι µια επαναληπτική τεχνική που επιλύει προβλήµατα ακέραιου προγραµµατισµού.! Βήµατα για την κατασκευή αλγορίθµων δυναµικού προγραµµατισµού : Βλέπουµε την επιλογή µιας εφικτής λύσης σαν µια ακολουθία αποφάσεων που συµβαίνουν σε στάδια έτσι ώστε το συνολικό κόστος να είναι το άθροισµα από τα επιµέρους κόστη. Καθορίζουµε την κατάσταση ως µια σύνοψη όλων των σχετικών παλαιότερων αποφάσεων καταστάσεων που έχουµε διέλθει. Είναι σηµαντικό ο χώρος καταστάσεων να είναι όσο το δυνατόν απλούστερος και γι αυτό κάθε κατάσταση πρέπει να περιέχει την ελάχιστη πληροφορία που είναι απαραίτητη για την ορθή περιγραφή της µελλοντικής δυναµικής του συστήµατος. Καθορίζουµε ποιες µεταβάσεις είναι εφικτές και προσδιορίζουµε το κόστος της αντίστοιχης απόφασης.
40 40 Γράφουµε µια αναδροµική σχέση του βέλτιστου κόστους από την παρούσα κατάσταση σε µια επόµενη κατάσταση προορισµού. Το πιο κρίσιµο βήµα είναι ο αποτελεσµατικός καθορισµός των καταστάσεων.! Έστω το πρόβληµα του σακιδίου : max n j= cx j j n j= wx j j k x j {0, } j =,,n Αντί να επιλέξουµε ένα διάνυσµα ( x,..., x n) µεµιάς, βλέπουµε το πρόβληµα ως οι αποφάσεις να λαµβάνονταν σειριακά, µία για κάθε αντικείµενο κάθε φορά. Μετά από i αποφάσεις, έχουµε αποφασίσει ποια από τα πρώτα i αντικείµενα θα συµπεριλάβουµε στο σακίδιο και έχουµε έτσι καθορίσει τις τιµές των µεταβλητών x,..., x i. Η συνολική αξία που αθροίζεται είναι : i j= cx j j
41 4 και το βάρος i j= wx j j.! Τότε έχουµε την αναδροµική σχέση : { } C ( w) = max C( w), C( w w ) + c i + i i i + i + από την οποία υπολογίζουµε όλα τα C i (w) αρχίζοντας από το τέλος (i=n)., i i+, u c i + i u c + 0 n, 0 w i + 0, 0 i, u 0 i+, u w i max i, u c i + n, nc Σχήµα: Το διάγραµµα µεταβάσεων για την τεχνική του δυναµικού προγραµµατισµού στο πρόβληµα του σακιδίου.
42 42 2. «ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΕΝΗΣ ΒΑΦΗΣ» (SIMULATED ANNEALING)! Η µέθοδος της προσοµοιωµένης βαφής είναι µια γενική µέθοδος που προσπαθεί να βελτιώσει τους αλγόριθµους τοπικής έρευνας µε το να επιτρέπει περιστασιακές µετακινήσεις προς εφικτές λύσεις µε υψηλότερα κόστη.! Τα βασικά στοιχεία : Το πρόβληµα γράφεται ως εξής: min c( x) x F ( F διακριτό σύνολο) Ορίζουµε µια δοµή γειτνίασης στο F : x F: N( x) να είναι το σύνολο των γειτονικών του x (Η γειτνίαση είναι µια συµµετρική σχέση : x N( y) y N( x )) Μια Μαρκοβιανή αλυσίδα στο F µε µεταβάσεις ενός βήµατος µόνο σε γειτονικές καταστάσεις. q xy : πιθανότητα µετάβασης στο y N( x ) ενώ είµαστε στο x.! Η ιδέα της προσοµοιωµένης βαφής : Να µετακινούµαστε τυχαία από κατάσταση σε κατάσταση στο F χρησιµοποιώντας τη Μαρκοβιανή αλυσίδα µε µια τάση να παραµένουµε τον περισσότερο χρόνο σε καταστάσεις x που βελτιστοποιούν το c(x).
43 43! Υλοποίηση της ιδέας Ορίζουµε µια νέα Μαρκοβιανή αλυσίδα x(t) στο F µε πιθανότητες µετάβασης : ( c( y) c( x) )/ T xy > ( y) ( x) q e, αν c c pxy = P( x( t+ ) = y x( t) = x) = qxy διαφορετικά όπου Τ είναι µια θετική σταθερά που ονοµάζεται Θερµοκρασία. Η Μαρκοβιανή αλυσίδα x(t) επιλέγει τις καταστάσεις της, σύµφωνα µε την q xy. Μόλις επιλεγεί η y υπολογίζουµε το c( ) c( ) o Αν c( y) c( ) y x. x, που σηµαίνει ότι η y είναι µια καλύτερη λύση για το πρόβληµα ελαχιστοποίησης, τότε η x(t) προχωράει στην y. o Αν c( ) > c( ) y x, τότε η x(t) προχωράει στην y µε πιθανότητα διαφορετικά. ( ) ( ) ( c c )/ T e y x ή παραµένει στη x o Η θερµοκρασία T ελέγχει την πιθανότητα αύξησης κόστους.
44 44 Βασικό Θεώρηµα: Έστω ότι Η x() t είναι αδιαχώριστη και ότι qxy = qyx για κάθε x και κάθε y N( x ) Έστω A= z F e ( ) cz/ T c ( x) / T π ( x) = e / A, x F, Τότε το διάνυσµα µε συντεταγµένες π ( x ), x F,είναι η µοναδική στάσιµη κατανοµή της Μαρκοβιανής αλυσίδας x () t! Ο αλγόριθµος : Αφήνουµε την αλυσίδα να τρέξει για αρκετό χρόνο. Τότε για µικρές θερµοκρασίες όλη στάσιµη πιθανότητα επικεντρώνεται σε καταστάσεις που ελαχιστοποιούν τη c(x). Σύµφωνα µε ένα πρόγραµµα θερµοκρασίας Tt: () C Tt () = 0, καθώς η t logt µπορεί να αποδειχθεί ότι : lim P( x ( t) βέλτιστη) = t δηλαδή ο αλγόριθµος συγκλίνει σε µια βέλτιστη λύση.
max c 1 x 1 + c 2 x c n x n υπό a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n b 2 a m1 x 1 + a m2 x a mn x n b m
Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 10 Εισαγωγή στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 29 Φεβρουαρίου 2016 Προβλήματα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ 1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το µαθηµατικό µοντέλο του ακέραιου προγραµµατισµού είναι ακριβώς το µοντέλο του γραµµικού προγραµµατισµού µε τον επιπρόσθετο περιορισµό ότι όλες (γνήσιος ακέραιος προγραµµατισµός) ή κάποιες (µικτός
Διαβάστε περισσότεραΒασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση
Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,
Διαβάστε περισσότεραΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ
ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex
Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ
Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex
Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός
Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Εφαρµογές : Παράλληλη εκτέλεση εργασιών Χρονοπρογραµµατισµός (scheduling) Ανάθεση πόρων (resource allocation) Πρόβληµα k-ϐασιλισσών Τηλεπικοινωνίες Μέγιστο
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός
Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Εφαρµογές : Παράλληλη εκτέλεση εργασιών Χρονοπρογραµµατισµός (scheduling) Ανάθεση πόρων (resource allocation) Πρόβληµα k-ϐασιλισσών Τηλεπικοινωνίες Μέγιστο
Διαβάστε περισσότεραγια NP-Δύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός
Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Σε περιπτώσεις
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού
Κεφάλαιο 6 Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού 1 Γραφική επίλυση Η γραφική μέθοδος επίλυσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για πολύ μικρά προβλήματα με δύο ή το πολύ τρεις μεταβλητές απόφασης.
Διαβάστε περισσότεραείναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς όρους όλες οι μεταβλητές είναι μη αρνητικές
Ένα τυχαίο π.γ.π. maximize/minimize z=c x Αx = b x 0 Τυπική μορφή του π.γ.π. maximize z=c x Αx = b x 0 b 0 είναι πρόβλημα μεγιστοποίησης όλοι οι περιορισμοί είναι εξισώσεις με μη αρνητικούς του σταθερούς
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ακέραια Πολύεδρα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ακέραια Πολύεδρα 1 Ορισμός 4.1 (Convex Hull) Έστω ένα σύνολο S C R n. Ένα σημείο x του R n είναι κυρτός συνδυασμός (convex combination) σημείων του S, αν υπάρχει ένα πεπερασμένο σύνολο σημείων
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα
Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ :
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ - ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ-ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 26
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018-2019 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex (C) Copyright Α.
Διαβάστε περισσότεραΒασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία
Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Υπερεπίπεδο α R, a R n P = {x R n ax = α} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός
Πανεπιστήμιο Αιγαίου URL: http://www.aegean.gr Γραμμικός Προγραμματισμός Ευστράτιος Ιωαννίδης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών 832 Καρλόβασι Σάμος Copyright Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραSimplex µε πίνακες Simplex µε πίνακες
Μορφή Πινάκων max z =cx s.t. Ax = b x 0 Μορφή Πινάκων max z =cx s.t. Ax = b x 0 [ A c x = b ] Μορφή Πινάκων max z =cx s.t. Ax = b x 0 A x = b [ ] c Επιλογή αντιστρέψιµου υποπίνακα m m (Βάση) Συµβολισµοί
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε
Διαβάστε περισσότεραILP-Feasibility conp
Διάλεξη 19: 23.12.2014 Θεωρία Γραμμικού Προγραμματισμού Γραφέας: Χαρίλαος Τζόβας Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος 19.1 Θεωρία Πολυπλοκότητας και προβλήματα απόφασης Για να μιλήσουμε για προβλήματα και τον
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Δημήτρης Φωτάκης Προσθήκες (λίγες): Άρης Παγουρτζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήµατα Μεταφορών (Transportation)
Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 9: Γεωμετρία του Χώρου των Μεταβλητών, Υπολογισμός Αντιστρόφου Μήτρας Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραμμικός Προγραμματισμός Ελαχιστοποίηση γραμμικής αντικειμενικής συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΓραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραφική Λύση & Πρότυπη Μορφή Μαθηματικού Μοντέλου Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Προϋποθέσεις Εφαρμογής
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός
Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός και θεωρία Παιγνίων
Σε αυτό το κεφάλαιο θα χρησιμοποιήσουμε πίνακες οι οποίοι δεν θα είναι γραμμικές εξισώσεις. Θα πρέπει λοιπόν να δούμε την γεωμετρική ερμηνεία των ανισώσεων. Μια ανίσωση διαιρεί τον n-διάστατο χώρο σε δύο
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήματα Μεταφορών (Transportation)
Προβλήματα Μεταφορών (Transportation) Παραδείγματα Διατύπωση Γραμμικού Προγραμματισμού Δικτυακή Διατύπωση Λύση Γενική Μέθοδος Simplex Μέθοδος Simplex για Προβλήματα Μεταφοράς Παράδειγμα: P&T Co ΗεταιρείαP&T
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΠροσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
Διαβάστε περισσότεραΒασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία
Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Υπερεπίπεδο α R, a R n P = {x R n ax = α} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία
Διαβάστε περισσότεραΖητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν τη γραµµική αντικειµενική συνάρτηση. n j = j = 1, 2,, n
KΕΦΑΛΑΙΟ 6 Γραµµικός Προγραµµατισµός 6. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο γραµµικός προγραµµατισµός (Γ.Π.) είναι µια µέθοδος βελτιστοποίησης που εφαρµόζεται για την επίλυση προβληµάτων στα οποία η αντικειµενική συνάρτηση και
Διαβάστε περισσότερα11 Το ολοκλήρωµα Riemann
Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση προβληµάτων
Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Θεωρία γράφων
Διαβάστε περισσότεραmin f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +
KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ολοκληρωμένη μαθηματική τεχνική βελτιστοποίησης Ευρύτατο φάσμα εφαρμογών Εισαγωγή ακέραιων/λογικών/βοηθητικών μεταβλητών Δυνατότητα γραμμικοποίησης με 0-1 μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΝΑΣ ΔΙΚΡΙΤΗΡΙΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ SIMPLEX 3.1 Εισαγωγή Ο αλγόριθμος Simplex θεωρείται πλέον ως ένας κλασικός αλγόριθμος για την επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Η πρακτική αποτελεσματικότητά του έχει
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση
Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση http://www.di.uoa.gr/ telelis/opt.html Ορέστης Τελέλης telelis@di.uoa.gr Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Νοέμβριος 006 Αθήνα Κεφάλαιο ο Ακέραιος και μικτός προγραμματισμός. Εισαγωγή Μια από τις
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων
Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός
Κεφάλαιο 3ο: Γραμμικός Προγραμματισμός 3.1 Εισαγωγή Πολλοί πιστεύουν ότι η ανάπτυξη του γραμμικού προγραμματισμού είναι μια από τις πιο σπουδαίες επιστημονικές ανακαλύψεις στα μέσα του εικοστού αιώνα.
Διαβάστε περισσότεραιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών
ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Το Πρόβληµα Μεταφοράς Άλλες µέθοδοι επιλογής τοποθεσίας Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Ορισµός του προβλήµατος µεταφοράς συσχέτιση µε πρόβληµα
Διαβάστε περισσότεραΔυναµικός Προγραµµατισµός (ΔΠ)
Δυναµικός Προγραµµατισµός (ΔΠ) Περίληψη Δυναµικός Προγραµµατισµός Αρχή του Βέλτιστου Παραδείγµατα Δυναµικός Προγραµµατισµός ΔΠ (Dynamic Programming DP) Μέθοδος σχεδιασµού αλγορίθµων Είναι µια γενική µεθοδολογία
Διαβάστε περισσότερα4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές
Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai017/lai017html Παρασκευή 17 Νοεµβρίου 017
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Μια εταιρεία παράγει κέικ δύο κατηγοριών, απλά και πολυτελείας: Ένα απλό κέικ αποδίδει κέρδος 1 ευρώ. Ένα κέικ πολυτελείας αποδίδει κέρδος 6 ευρώ. Η καθημερινή ζήτηση του απλού κέικ είναι 200. Η καθημερινή
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 17/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex
Διαβάστε περισσότερα5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας
5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Πέµπτη, 19/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι έχουµε δει µέχρι τώρα Κατευθυνόµενοι µη κατευθυνόµενοι
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)
Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Ιουνίου ακαδηµαϊκού έτους 29-21 Παρασκευή, 1 Ιουνίου 21 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση
Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση http://www.di.uoa.gr/ telelis/opt.html Ορέστης Τελέλης telelis@di.uoa.gr Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai018/lai018html Παρασκευή 3 Νοεµβρίου 018 Ασκηση
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση
Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50
Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι. Παράδειγµα. ιαίρει και Βασίλευε. Παράδειγµα MergeSort. Τεχνικές Σχεδιασµού Αλγορίθµων
Τεχνικές Σχεδιασµού Αλγορίθµων Αλγόριθµοι Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Ορισµένες γενικές αρχές για τον σχεδιασµό αλγορίθµων είναι: ιαίρει και Βασίλευε (Divide and Conquer) υναµικός Προγραµµατισµός
Διαβάστε περισσότεραBranch and Bound. Branch and Bound
Μέθοδος επίλυσης προβληµάτων ακέραιου γραµµικού προγραµµατισµού Μέθοδος επίλυσης προβληµάτων ακέραιου γραµµικού προγραµµατισµού Προσπαθούµε να αποφύγουµε την εξαντλητική αναζήτηση Μέθοδος επίλυσης προβληµάτων
Διαβάστε περισσότερα( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}
7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που
Διαβάστε περισσότεραΑκρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων
ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Ελέγχου με Μικροϋπολογιστές (h9p://courseware.mech.ntua.gr/ml23259/)
Συστήματα Ελέγχου με Μικροϋπολογιστές (h9p://courseware.mech.ntua.gr/ml23259/) Κων/νος Ι. Κυριακόπουλος Καθηγητής ΕΜΠ (h9p://users.ntua.gr/kkyria/) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Δομή της Ύλης του
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΜη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) Υπογραφήµατα.
Κατευθυνόµενα γραφήµατα Απλό κατευθυνόµενο Γράφηµα G είναι διατεταγµένο Ϲεύγος (V, E), µε: Στοιχεία Θεωρίας Γραφηµάτων (1) σύνολο κορυφών / κόµβων V, Ορέστης Τελέλης tllis@unipi.r Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων,
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση γεωµετρικών περιορισµών σε µικρά µόρια µε αλγεβρικές µεθόδους
Επίλυση γεωµετρικών περιορισµών σε µικρά µόρια µε αλγεβρικές µεθόδους Επαµεινώνδας. Φριτζίλας Μ Ε Βιοπληροφορικής Τµήµα Βιολογίας ΕΚΠΑ 17 Φεβρουαρίου 2005 Τί σηµαίνει ο τίτλος ; γεωµετρικός περιορισµός:
Διαβάστε περισσότερα3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ
. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέθοδοι επίλυσης : Οι βασικές µέθοδοι αλγεβρικής επίλυσης ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι δύο η µέθοδος της αντικατάστασης
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX
ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-2014 ΔΙΑΛΕΞΗ 6 η -Η ΔΥΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX ΔΥΙΚΟΤΗΤΑ Κάθε πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού συνδέεται με εάν άλλο πρόβλημα γραμμικού προγραμματισμού
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ)
Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Περίληψη Επίλυση δυσδιάστατων προβληµάτων Η µέθοδος simplex Τυπική µορφή Ακέραιος Προγραµµατισµός Προγραµµατισµός Παραγωγής Προϊόν Προϊόν 2 Παραγωγική Δυνατότητα Μηχ. 4 Μηχ.
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.
Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότερα3 Αναδροµή και Επαγωγή
3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση
Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 4: Αναλυτικές μέθοδοι βελτιστοποίησης για συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας
Διαβάστε περισσότεραΑρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών
Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΤο θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων
57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από
Διαβάστε περισσότεραmax 17x x 2 υπό 10x 1 + 7x 2 40 x 1 + x 2 5 x 1, x 2 0.
Υπολογιστικές Μέθοδοι στη Θεωρία Αποφάσεων Ενότητα 11 Επίλυση στον Ακέραιο Προγραμματισμό Αντώνης Οικονόμου Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Προπτυχιακό πρόγραμμα σπουδών 6 Μαΐου 2016 Η μέθοδος κλάδος-φράγμα
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 30 Απριλίου 2015 1 / 48 Εύρεση Ελάχιστου
Διαβάστε περισσότεραΓενικευµένη Simplex Γενικευµένη Simplex
Πρόβληµα cutting stock Λογικά µεγέθη (20 περιορισµοί, 24000 µεταβλητές) Πρόβληµα cutting stock Λογικά µεγέθη (20 περιορισµοί, 24000 µεταβλητές) Μεγάλα µεγέθη (30 περιορισµοί, 190000 µεταβλητές) Πρόβληµα
Διαβάστε περισσότερα3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,
Διαβάστε περισσότεραΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών
54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού
Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ
ΠΡΟΚΑΤΑΡΚΤΙΚΗ ΕΚ ΟΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Φ. ΜΑΓΕΙΡΟΥ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ ΑΘΗΝΑ ΕΚ ΟΣΗ 2.3 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2008 1-1 Κεφάλαιο 1. Μαθηµατικός Προγραµµατισµός...
Διαβάστε περισσότερα