Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη )

Transcript

1

2 Η ψυχή του ανθρώπου γίνεται παντοδύναμη, όταν συνεπαρθεί από μια μεγάλη ιδέα Τρομάζεις όταν ύστερα από πικρές δοκιμασίες, καταλάβεις πως μέσα μας υπάρχει μια δύναμη που μπορεί να ξεπεράσει τη δύναμη του ανθρώπου τρομάζεις γιατί από τη στιγμή που θα καταλάβεις πως υπάρχει η δύναμη αυτή δεν μπορείς πια να βρεις δικαιολογίες για τις ασήμαντες ή άναντρες πράξεις σου, για τη ζωή σου τη χαμένη, ρίχνοντας το φταίξιμο στους άλλους ξέρεις πια πως εσύ, όχι η τύχη, όχι η μοίρα, μήτε οι ανθρώποι γύρα σου, εσύ μονάχα έχεις, ό,τι κι αν κάνεις, ότι κι αν γίνεις ακέραιη την ευθύνη Και ντρέπεσαι τότε να γελάς, ντρέπεσαι να περγελάς αν μια φλεγόμενη ψυχή ζητάει το αδύνατο Καλά πια καταλαβαίνεις πως αυτή είναι η αξία του ανθρώπου: να ζητάει και να ξέρεις πως ζητάει το αδύνατο και να ναι σίγουρος πως θα το φτάσει, γιατί ξέρει πως αν δεν λιποψυχήσει αν δεν ακούσει τι του κανοναρχάει η λογική, μα κρατάει με τα δόντια την ψυχή του κι εξακολουθεί με πίστη, με πείσμα να κυνηγάει το αδύνατο, τότε γίνεται το θάμα, που ποτέ ο αφτέρουγος κοινός νους δε θα μπορούσε να το μαντέψει: το αδύνατο γίνεται δυνατό Νίκος Καζαντζάκης (Από τον πρόλογο του Καπετάν Μιχάλη )

3 MAL DU DEPART Θα μείνω πάντα ιδανικός κι ανάξιος εραστής των μακρυσμένων θαλασσών και των γαλάζιων πόντων, και θα πεθάνω μια βραδιά, σαν όλες τις βραδιές, χωρίς να σχίσω τη θολή γραμμή των οριζόντων Για το Μαδράς, τη Σιγγαπούρ, το Αλγέρι και το Σφάξ θ' αναχωρούν σαν πάντοτε περήφανα τα πλοία, κι' εγώ σκυφτός σ' ένα γραφείο με χάρτες ναυτικούς, θα κάνω αθροίσεις σε χοντρά λογιστικά βιβλία Θα πάψω πια για μακρινά ταξίδια να μιλώ, οι φίλοι θα νομίζουνε πως τα' χω πια ξεχάσει, κ' η μάνα μου, χαρούμενη, θα λέει σ' όποιον ρωτά : "Ήταν μια λόξα νεανική, μα τώρα έχει περάσει " Μα ο εαυτός μου μια βραδιάν εμπρός μου θα υψωθεί και λόγο, ως ένας δικαστής στυγνός, θα μου ζητήσει, κι' αυτό το ανάξιο χέρι μου που τρέμει θα οπλιστεί, θα σημαδέψει κι άφοβα το φταίστη θα χτυπήσει Κι εγώ, που τόσο επόθησα μια μέρα να ταφώ σε κάποια θάλασσα βαθιά στις μακρινές Ινδίες, θα' χω ένα θάνατο κοινό και θλιβερό πολύ και μια κηδεία σαν των πολλών ανθρώπων τις κηδείες ΝΙΚΟΣ ΚΑΒΒΑΔΙΑΣ "Μαραμπού" (9)

4 Άλγεβρα Β Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Θεωρία Τριγωνομετρικoί αριθμοί οξείας γωνίας Ορίζουμε: ΑΠΕΝΑΝΤΙ ΚΑΘΕΤΗ ΑΒ ΗΜΙΤΟΝΟ = ηµω = ΥΠΟΤΕΙΝΟΥΣΑ ΒΓ ΠΡΟΣΚΕΙΜΕΝΗ ΚΑΘΕΤΗ ΑΓ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ = συνω = ΥΠΟΤΕΙΝΟΥΣΑ ΒΓ ΑΠΕΝΑΝΤΙ ΚΑΘΕΤΗ ΑΒ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ = εϕω = ΠΡΟΣΚΕΙΜΕΝΗ ΚΑΘΕΤΗ ΑΓ ΠΡΟΣΚΕΙΜΕΝΗ ΚΑΘΕΤΗ ΑΓ ΣΥΝΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ = σϕω = ΑΠΕΝΑΝΤΙ ΚΑΘΕΤΗ ΑΒ A B ω Γ Τριγωνομετρικoί αριθμοί οποιασδήποτε γωνίας Αν Μ ( y, ), ΟΜ = ω και ( ΟΜ ) = ρ, είναι: ρ = + y ρ= + y και ορίζονται: y ρ M(,y) ΤΕΤΑΓΜΕΝΗ ΤΟΥ Μ ΗΜΙΤΟΝΟ = ( ΟΜ) ΤΕΤΜΗΜΕΝΗ ΤΟΥ Μ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ = ( ΟΜ) ΤΕΤΑΓΜΕΝΗ ΤΟΥ Μ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ = ΤΕΤΜΗΜΕΝΗ ΤΟΥ Μ ΤΕΤΜΗΜΕΝΗ ΤΟΥ Μ ΣΥΝΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ = ΤΕΤΑΓΜΕΝΗ ΤΟΥ Μ y ηµω = ρ συνω = ρ y εϕω = σϕω = y O ω

5 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρικές ταυτότητες Θεωρία ηµ + συν = ηµ εϕ = συν και συν σϕ = οπότε εϕ σϕ = ηµ Τριγωνομετρικοί αριθμοί βασικών τόξων 0 ημ 0 = 0 π 6 (0 ) = συν εφ 0 π 4 (45 ) π (60 ) σφ π (90 ) π (80 ) π (70 ) Αντίστροφα 0 από το - 0 ημίτονο ηµ εϕ = συν 0 _ 0 Αντίστροφα από την εφαπτομένη _ 0 Βασικές ανισότητες ηµ συν Η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη παίρνουν τιμές από όλο το

6 Άλγεβρα Β Λυκείου Θεωρία Περιοδικές συναρτήσεις Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α είναι περιοδική με περίοδο Τ αν για κάθε Α είναι και Τ Α, +Τ Α και μάλιστα ισχύει: f Τ = f( ) = f +Τ ( ) ( ) Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές Συγκεκριμένα: Η f( ) = ηµ έχει πεδίο ορισμού το και περίοδο Τ= π π ( Η f( ) = ηµ ( ω ) έχει περίοδο Τ=, ω> 0) ω Η f( ) = συν έχει πεδίο ορισμού το και περίοδο Τ= π π ( Η f( ) = συν( ω ) έχει περίοδο Τ=, ω> 0) ω π Η f( ) = εϕ έχει πεδίο ορισμού το Α = κπ +, κ και περίοδο Τ=π π ( Η f( ) = εϕ( ω ) έχει περίοδο Τ=, ω> 0) ω Η f( ) = σϕ έχει πεδίο ορισμού το Α = { κπ, κ } και περίοδο Τ=π ( Η f( ) = σϕ( ω ) έχει περίοδο (Aν ω< 0 τότε οι περίοδοι είναι και συνεφαπτομένη) Βασικές τριγωνομετρικές εξισώσεις π Τ=, ω> 0) ω π Τ= ω για ημίτονο και συνημίτονο και π Τ= ω για εφαπτομένη ηµ = ηµα = κπ + α ή = κπ+π α, κ συν = συνα = κπ ± α, κ π Περιορισµος κπ κ εϕ = εϕα = κπ + α, κ ( Περιορισµος : κπ +, κ ) σϕ = σϕα = κπ + α, κ ( :, ) Χρήσιμοι τύποι ηµ = ηµ ( ) εϕ = εϕ( ) σϕ = σϕ( ) Αλλά συν = συν( π )

7 Άλγεβρα Β Λυκείου Θεωρία Η συνάρτηση f( ) = αηµ + βσυν Αν αβ, 0 τότε για κάθε ισχύει: αηµ + βσυν = ρηµ ( + ϕ ) όπου ρ= α +β και ϕ με Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο α συνϕ = ρ και β ηµϕ = ρ Επεξηγήσεις Ο = όλα θετικά Η = μόνο το ημίτονο θετικό Ε = μόνο η εφαπτομένη (άρα και η συνεφαπτομένη) θετική Σ = μόνο το συνημίτονο θετικό Σημείωση: Η συνεφαπτομένη έχει πάντα το ίδιο πρόσημο με την εφαπτομένη = το ημίτονο γίνεται συνημίτονο και το συνημίτονο ημίτονο, η εφαπτομένη γίνεται συνεφαπτομένη και η συνεφαπτομένη εφαπτομένη

8 Άλγεβρα Β Λυκείου Θεωρία ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΘΕΩΡΗΜΑ Ο Το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου Ρ ( ) με το ρ είναι ίσο με την τιμή του πολυωνύμου για = ρ Είναι δηλαδή υ=ρ( ρ ) ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύμου Ρ ( ) με το πολυώνυμο ρ γράφεται: Ρ ( ) = ( ρ) π ( ) +υ ( ) Επειδή ο διαιρέτης ρ είναι πολυώνυμο ου βαθμού, το υπόλοιπο της διαίρεσης θα είναι ένα σταθερό πολυώνυμο υ Έτσι έχουμε: Ρ ( ) = ( ρ) π ( ) +υ και αν θέσουμε = ρ παίρνουμε: Ρρ ( ) = ( ρ ρπρ ) ( ) +υ Ρρ ( ) =υ ΘΕΩΡΗΜΑ Ο Ένα πολυώνυμο Ρ ( ) έχει παράγοντα το ρ αν και μόνο αν το ρ είναι ρίζα του Ρ ( ), δηλαδή αν και μόνο αν Ρρ ( ) = 0 ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Αν το ρ είναι παράγοντας του Ρ ( ), τότε: Ρ ( ) = ( ρ) π ( ) Από την ισότητα αυτή για = ρ παίρνουμε Ρ( ρ ) = ( ρ ρ) π( ρ) Ρ( ρ ) = 0 δηλαδή το ρ είναι ρίζα του Ρ ( ) Αντίστροφα: Αν το ρ είναι ρίζα του Ρ ( ) θα είναι Ρρ ( ) = 0 Τότε στην ταυτότητα της διαίρεσης: Ρ ( ) = ( ρ) π ( ) +υ είναι: υ=ρ( ρ ) = 0 Άρα Ρ ( ) = ( ρ) π ( ) που σημαίνει ότι το ρ είναι παράγοντας του Ρ ( ) ΘΕΩΡΗΜΑ ο ν ν Έστω η πολυωνυμική εξίσωση α ν +α ν + +α +α 0 = 0, με ακέραιους συντελεστές Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε ο ρ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0 ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Αν ο ακέραιος ρ 0 είναι ρίζα της εξίσωσης, τότε έχουμε: α ρ +α ρ + +α ρ+α = 0 α = α ρ α ρ α ρ ν ν ν ν ν ν 0 0 ν ν ν ν 0 ν ν ραα,,, ν ( ) α =ρ α ρ α ρ α Αλλά οι α είναι ακέραιοι ν ν οπότε και ο ανρ αν ρ α είναι ακέραιος Ο ρ προφανώς διαιρεί το δεύτερο μέλος της τελευταίας ισότητας άρα και το πρώτο Δηλαδή ο ρ διαιρεί τον α 0

9 Άλγεβρα Β Λυκείου Οι εκφράσεις: Το ρ είναι ρίζα του Ρ ( ) Το ρ είναι παράγοντας του Ρ ( ) Το ρ διαιρεί το Ρ ( ) Το Ρ ( ) διαιρείται από το ρ Η διαίρεση Ρ( ):( ρ ) είναι τέλεια Το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ( ):( ρ ) είναι μηδέν σημαίνουν: Θεωρία Ρρ ( ) = 0 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Η συνάρτηση f( ) = α με 0<α ονομάζεται εκθετική ΕΙΔΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ: Για να ορίζεται η f( ) = α σε όλο το πρέπει: α> 0 Αν α> η f( ) = α είναι γνησίως αύξουσα στο οπότε ισχύει: α <α < για κάθε, Αν 0<α< η f( ) = α είναι γνησίως φθίνουσα στο οπότε ισχύει: α <α > για κάθε, Σε κάθε περίπτωση η f( ) = α είναι συνάρτηση - δηλαδή ισχύει: α =α = για κάθε, ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Αν 0<α και θ> 0, ονομάζω λογάριθμο με βάση α του θ και συμβολίζω log α θ, τον εκθέτη στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον α για να βρούμε τον θ Δηλαδή: log θ= α α =θ Ειδικά το log0 θ το συμβολίζω logθ και το log e θ το συμβολίζω ln θ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ: log ( θ θ ) = log θ + log θ Α) α α α ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω log θ = α οπότε α =θ και log θ = α οπότε + α =θ Τότε είναι: α α =θθ α =θθ και από τον ορισμό log θθ = + δηλαδή τελικά: του λογαρίθμου ισοδύναμα: ( ) log ( θ θ ) = log θ + log θ α α α α

10 Άλγεβρα Β Λυκείου Θεωρία θ Β) logα = logα θ logα θ θ ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω log θ = α οπότε α =θ και αν log θ = α οπότε α θ θ α =θ Τότε είναι: = α = και από τον ορισμό έχω α θ θ θ θ ισοδύναμα: logα = δηλαδή τελικά: logα = logα θ logα θ θ θ Γ) log k αθ = k logαθ (Η απόδειξη αυτή δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο) ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Έστω log θ= α οπότε k k α =θ και έτσι α =θ Τότε από τον k ορισμό του λογαρίθμου ισοδύναμα: log θ = k δηλαδή τελικά: log k αθ = k logαθ κ Δ) Επίσης ισχύουν: log α =κ, α α =κ, logα α= και log = α 0 Ε) log0 κ log = κ, 0 κ = κ, log0 = και log = 0 α log α κ ΣΤ) ln e κ ln = κ, e κ = κ, ln e = και ln = 0 Πεδίο ορισμού της f( ) = log είναι το D = (0, + ) δηλαδή οι α λογάριθμοι ορίζονται μόνο για θετικούς αριθμούς Σύνολο τιμών της f( ) = logα είναι όλο το δηλαδή ο λογάριθμος παίρνει τιμές σε όλο το Μονοτονία της f( ) = logα Αν α> η f( ) = logα είναι γνησίως αύξουσα στο, δηλαδή ισχύει: logα < logα < για κάθε, Έτσι: log < log < και ln < ln < Αν 0<α< η f( ) = logα είναι γνησίως φθίνουσα στο δηλαδή ισχύει: logα < logα > για κάθε, Σε κάθε περίπτωση η f( ) = logα είναι συνάρτηση - δηλαδή ισχύει: logα = logα = για κάθε, Πρόσημο της f( ) = logα με α> Για > είναι logα > 0 ενώ για 0< < είναι logα < 0 Οριακές τιμές της f( ) = log με α> : + Αν 0 τότε log α α, ενώ αν + τότε log α f +

11 Άλγεβρα Β Λυκείου Συστήματα Συστήματα εξισώσεων «Μην εκτιμάς το χρήμα ούτε περισσότερο ούτε λιγότερο απ ό,τι του αξίζει Είναι πολύ καλός υπηρέτης, αλλά πολύ κακός αφέντης» Αλέξ Δουμάς Να λυθούν τα ακόλουθα συστήματα: + y = 5 + y = 5 + y = 4 ΒΑ/0 Α) Β) Γ) 4 y = y = 4 + y = 0 y + y = + = y = 6 + y = Δ) Ε) ΣΤ) Ζ) 4y = 7 + y = + y = 9 5y = ( + y) + ( y ) = 7 4 y = 4(6y ) + ΒΑ/0 Α) Β) 5( y) + ( + y) = 4 (+ y) = ( y) + 0 y + y+ + = + = y + Γ) Δ) + y + + = + y = 5 ΒΑ/0Να βρεθούν δύο αριθμοί που διαφέρουν κατά και το διπλάσιο του μεγαλύτερου ελαττωμένο κατά 5 δίνει το μικρότερο ΒΑ/04Βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α(,5) και Β(,7) ΒΑ/05Βρείτε δύο αριθμούς που έχουν άθροισμα 5 και η διαίρεση του μεγαλύτερου με το μικρότερο δίνει πηλίκο και υπόλοιπο 4 ΒΑ/06Σε μια φάρμα υπάρχουν κοτόπουλα και πρόβατα Τα ζώα έχουν συνολικά 8 κεφάλια και 7 πόδια Πόσα είναι τα κοτόπουλα και πόσα τα πρόβατα; ΒΑ/07Ένα ξενοδοχείο έχει συνολικά 50 δωμάτια, δίκλινα και τρίκλινα Αν συνολικά τα κρεβάτια είναι 0, πόσα είναι τα δίκλινα και πόσα τα τρίκλινα δωμάτια;

12 Άλγεβρα Β Λυκείου Συστήματα Μη γραμμικά συστήματα Nα λυθούν τα συστήματα: + y = 78 y = ΒΑ/08 Α) Β) + y = 0 y = 0 + y = 4 + y = Γ) Δ) + y = 6 + y = y + + y = 5 + y = ΒΑ/09 Α) Β) y = y = 5 y = 4+ + y = ΒΑ/0Α) Β) + + y = y = 6 ΒΑ/Βρείτε τα σημεία τομής της παραβολής y = με την ευθεία y+ 6= 0 ΒΑ/Βρείτε τα σημεία τομής της παραβολής 5+ y+ = 0 y = με την ευθεία ΒΑ/Βρείτε τις διαστάσεις ενός ορθογωνίου με περίμετρο 4cm και εμβαδόν cm ΒΑ/4Ένα ορθογώνιο έχει εμβαδόν 4m Αν αυξήσω το μήκος του κατά m και το πλάτος του κατά mτο εμβαδόν του γίνεται 4m Βρείτε το μήκος και το πλάτος του αρχικού ορθογωνίου ΒΑ/5Ένα σύρμα μήκους 0cm χωρίζεται σε δυο κομμάτια με μήκη y, Με καθένα από αυτά τα κομμάτια κατασκευάζουμε από ένα τετράγωνο Αν το άθροισμα των εμβαδών των τετραγώνων είναι cm βρείτε τα y, ΒΑ/6Οι πλευρές δύο τετραγώνων διαφέρουν κατά cm και το άθροισμα των εμβαδών τους είναι 5cm Βρείτε τις πλευρές τους

13 Άλγεβρα Β Λυκείου Συναρτήσεις Συναρτήσεις Ό,τι είναι ο νους και η καρδιά για τον άνθρωπο, είναι και η Ελλάδα για την οικουμένη Wolfgang Gothe BB/0 Να βρεθούν τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων: Α) f( ) = Β) f ( ) = + 5 Γ) f( ) = Δ) f( ) = + 8 Ε) Ζ) 4 f( ) = + ΣΤ) = Η) f( ) f( ) = 4 f( ) = Θ) f( ) = Ι) = f( ) ΙΑ) f( ) = + + IB) IΓ) f( ) = + ΙΔ) + + f( ) = f( ) = BB/0Εξετάστε αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις: + A) f( ) = B) f( ) = + Γ) f( ) = + + Δ) f( ) = Ε) f( ) = + ΣΤ) f( ) = Ζ) f( ) = Η) f( ) = ( ) + Θ) f( ) = + + 4, 0 Ι) f( ) = (5 ) + (5 + ) ΙΑ) f( ) = + 4, > 0

14 Άλγεβρα Β Λυκείου Συναρτήσεις BB/0 Eξετάστε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές ΒΒ/04Βρείτε τα πεδία ορισμού και σημεία τομής των παρακάτω συναρτήσεων με τους άξονες: Α) f( ) = 4 Β) f( ) = + Γ) f( ) = + Δ) f( ) = 4 4+ Ε) f( ) = + 5 ΣΤ) f( ) = 4 Ζ) f( ) = + Η) f( ) = ΒΒ/05Βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: Α) f( ) = + και g ( ) = + 5 Β) f( ) = και g ( ) = + 6 Γ) f( ) = και g ( ) = + 5 Δ) f( ) = και g ( ) = Ε) f( ) = και g ( ) = + ΣΤ) f( ) = και g ( ) = + 6 Ζ) f( ) = και g ( ) = + 4 ΒΒ/06Εξετάστε ως προς τη μονοτονία τις συναρτήσεις: Α) f( ) = 5 Β) f( ) = + Γ) f( ) = 5 Γ) f( ) = Δ) f ( ) = + 4 Ε) f( ) = ΣΤ) f( ) = + Ζ) f( ) = Η) f( ) = Θ) f( ) = Ι) f( ) = + ΙΑ) f( ) =

15 Άλγεβρα Β Λυκείου Συναρτήσεις BB/07 Βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας των συναρτήσεων: ΒΒ/08Α) Μελετήστε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση f( ) = + στα διαστήματα (,0) και ( 0,+ ) κατασκευάστε πίνακα μονοτονίας και προσδιορίστε τα ακρότατά της Β) Όμοια για τις: g ( ) = ( ) 4 + στα (,] και [, + ) και την h ( ) = + + στα (, ] και [, + ) Γ) Όμοια για τις: ϕ ( ) = +, κ ( ) = 4+ και σ ( ) = + στα κατάλληλα διαστήματα ΒΒ/09 Α) Βρείτε το λ ώστε η συνάρτηση f( ) =λ + να είναι: Α) γνησίως αύξουσα Β) γνησίως φθίνουσα λ+ 4 Β) Βρείτε το λ ώστε η συνάρτηση f( ) = να είναι: Α) γνησίως αύξουσα Β) γνησίως φθίνουσα ΒΒ/0Εξετάστε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις συναρτήσεις: Α) f( ) = 5 στα (,] και [, + ) Β) f( ) = 4 στο [,] Γ) f( ) = + + στα (,0] και [0, + ) Δ) f( ) = στα (,] και [, + ) Ε) f( ) = ( ) 4

16 Άλγεβρα Β Λυκείου Συναρτήσεις ΒΒ/Δίνεται η συνάρτηση: f( ) = 9 Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Δείξτε ότι είναι άρτια Γ) Βρείτε που τέμνει τους άξονες Δ) Βρείτε το μέγιστό της Ε) Λύστε την εξίσωση: f( ) = 5 ΒΒ/ Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: A f( ) = + + B g ( ) = + Γ +, < k ( ) = + 5, ΒΒ/ Έστω Δ h ( ) = + 4, <, < f( ) = + k ώστε το σημείο Α(, ) να ανήκει στη γραφική παράσταση της f Α) Βρείτε το k Β) Δείξτε ότι η f είναι άρτια Γ) Μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία Δ) Βρείτε πού η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες Ε) Να γίνει η γραφική της παράσταση 4 ΒΒ/4 Θεωρώ τη συνάρτηση f( ) = + k, k, ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Α (, ) Α) Δείξτε ότι k = Β) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f Γ) Εξετάστε αν η γραφική παράσταση της f έχει άξονα ή κέντρο συμμετρίας Δ) Μελετήστε τη μονοτονία της f στα διαστήματα ( 0) και ( 0,+ ) Ε) Βρείτε που η γραφική παράσταση της f τέμνει τους άξονες ΣΤ) Να γίνει η γραφική της παράσταση ΒΒ/5 Θεωρώ τη συνάρτηση f( ) = + k, k ώστε το σημείο 5 Α, να ανήκει στη γραφική παράσταση της f Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της f και το k Β) Βρείτε αν η γραφ παράσταση της f έχει άξονα ή κέντρο συμμετρίας Γ) Μελετήστε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα

17 Άλγεβρα Β Λυκείου Συναρτήσεις Δ) Βρείτε που η γραφ παράσταση της f τέμνει τους άξονες Ε) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f ΒΒ/6 Θεωρώ τη συνάρτηση f( ) = + A) Bρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Εξετάστε την ως προς τη μονοτονία Γ) Βρείτε την ελάχιστη τιμή της Δ) Βρείτε το f (5) και λύστε την ανίσωση f( ) > 7 καθώς και την ( ) f > 7 Ε) Λύστε την ανίσωση f ( ) < ΒΒ/7 Δίνεται η συνάρτηση: f( ) = 4 Α) Βρείτε το πεδίο ορισμού της Β) Δείξτε ότι είναι άρτια Γ) Βρείτε που τέμνει τους άξονες Δ) Βρείτε το ελάχιστό της Ε) Λύστε την εξίσωση: f( ) =

18 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία Tριγωνομετρία "Αυτοί που θα δουν καθαρά την αλήθεια των μαθηματικών, θα μπορέσουν να θαυμάσουν το μεγαλείο και τη δύναμη της φύσης, σ' αυτή τη διπλή απειρία που μας περιτριγυρίζει από παντού και να μάθουν από αυτή τη θαυμαστή θεώρηση πώς να γνωρίσουν τον εαυτό τους, βλέποντάς τον τοποθετημένο ανάμεσα σε μια απειρία και ένα τίποτα κίνησης, ανάμεσα σε μια απειρία και ένα τίποτα χρόνου Έτσι θα μπορέσουν να μάθουν να αξιολογούν δίκαια τον εαυτό τους και να σχηματίζουν συλλογισμούς που να αξίζουν εν τέλει περισσότερο από όλες τις μαθηματικές γνώσεις" Blaise Pascal Tριγωνομετρικές ταυτότητες π ΒΓ/0 Α) Αν ηµω = και π<ω< βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς π Β) Αν συνω = και <ω<π βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς π Γ) Αν εϕ = και <ω<π βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς Δ) Αν σϕ = και π < < π βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς λ λ+ π E) Αν εϕω = και σϕω = και π<ω< βρείτε το λ καθώς λ+ 4 λ 5 και τα ηµω και συνω ΣΤ) Αν ηµω 4συνω = 5 βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας ω (Λύστε ως προς το ημ και αντικαταστήστε στη βασική τριγων ταυτότητα) Ζ) Αν ηµ + 5συν = 5 να δείξετε ότι συν 5ηµ = (Υψώστε στο τετράγωνο ) Η) Αν y 6 8 = ηµ + συν δείξτε ότι y [ 0,0] τριγωνομ Ταυτότητα και απαιτήστε η εξίσωση να έχει λύση) (Λύστε ως προς ημ, πάρτε την

19 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία ΒΓ/0 Να αποδείξετε ότι: Α) ( ηµω + συνω ) + ( ηµω συνω ) = Β) ( ) ( ) ηµω συνω + ηµω + συνω = Γ) Αν = 5ηµθ και y = συνθ δείξτε ότι Δ) εϕθ + σϕθ = ηµθ συνθ 4 5y 00 + = Ε) ( ) εϕ + σϕ = + ηµ συν συνθ ηµθ ΣΤ) = ηµθ + συνθ 4 συν συν ηµ ηµ y Ζ) = και = 4 ηµ ηµ συν συν y ΒΓ/0 Να αποδείξετε ότι: 4 4 Α) ηµ ω + συν ω = ηµ ω συν ω εϕ θ Β) εϕ ηµ = εϕ ηµ Γ) συν θ ηµ θ = + εϕ θ ηµ σϕ εϕ Δ) = Ε) = συν εϕ ηµ σϕ + + εϕ + ηµ ΣΤ) + = Ζ) εϕ = +εϕ +σϕ συν 4 4 Η) ηµ α συν α + συν α ηµω = + συνα Θ) = σϕω συνα ηµω + συνω συν ηµ + συνθ ηµθ Ι) + + = ηµ ΙΑ) = συνθ ηµθ συν + εϕθ + σϕθ ΒΓ/04 Να αποδείξετε ότι: εϕ εϕα + εϕβ Α) = ηµ Β) = εϕα εϕβ + εϕ σϕα + σϕβ Γ) ( ) ( ) ( ) + εϕ + σϕ ηµ συν = ηµ + συν συν Δ) = Ε) ηµ σϕ συν ΣΤ) ηµ εϕ συν σϕ = εϕ σϕ ηµ συν =

20 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία ΒΓ/05 Βρείτε την ελάχιστη και τη μέγιστη τιμή των παραστάσεων: Α = ηµ + 4 Β = συν 4ηµ Γ= 5 = ηµ + συν y+ 4 Ε = ηµ + 4 π < <π δείξτε ότι: ηµ ηµ + εϕ συν + εϕ > 0 ΒΓ/06 Αν Αναγωγή στο ο τεταρτημόριο ΒΓ/07 Υπολογίστε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς: ηµ0, συν40, εϕ405, συν570, σϕ750, ηµ 855 7π π, συν +, 9π π ηµ + 4, 9π εϕ, 8π π ηµ + 4 6, π 5π εϕ 6, 5π ηµ 4 ΒΓ/08 Απλοποιήστε τις παραστάσεις: συν( π ) συν( π + ) Α) Α= π ηµ ηµ ( π ) ηµ ( θ) εϕ( π θ) συν( π+θ) Β) Α= π π ηµ θ σϕ θ ηµ ( π θ) ηµ ( 80 +θ) συν( 90 θ) εϕ ( 60 +θ) Γ) Α= ηµ 60 + θ εϕ 80 + θ ηµ 80 θ ( ) ( ) ( ) Δ) π π ηµ θ συν +θ εϕ( π θ) Α= 5π π συν + θ σϕ( θ) σϕ + θ Ε) π ηµ ( π+θ) σϕ θ συν( π+θ) Α= π π συν +θ εϕ( π+θ) συν +θ ΒΓ/09 Απλοποιήστε τις παραστάσεις: Α) π π Α = ηµ + ηµ + ηµ ( π + ) + ηµ

21 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία Β) Γ) Δ) π ηµ ( π θ) σϕ θ συν( π θ) Α= π εϕ( π + θ) εϕ + θ ηµθ π ηµ ( π+ω) συν ω εϕ( 9π+ω) Α= π συν 5π ω ηµ +ω εϕ 0π+ω π 7π ηµ ( π+θ) συν θ εϕ +θ Α= ηµ 60 θ ( ) ( ) ( ) 7π ηµ ( π ω) συν( 5π+ω) εϕ +ω σϕ( ω π) E) Α= 5π π π σϕ + ω συν( π ω) εϕ + ω σϕ + ω π ΣΤ) Αν συνθ = και 0 <θ< υπολογίστε την παράσταση: π ηµ ( π + θ) ηµ θ + εϕ( θ) Α= π π συν + θ συν + θ π ΒΓ/0 Aν ηµ ηµ = 0 και 0 < < βρείτε το ηµ και 009π π ηµ εϕ + υπολογίστε την Α= συν 7 π + σϕ( π + ) ΒΓ/ Δείξτε ότι: ( ) Β= Α αν Α = εϕ εϕ9 εϕ εϕ9 και π π Β = συν + ηµ ( π ) ηµ ( ) ηµ + συν( π ) ηµ ηµ ΒΓ/ Αποδείξτε ότι οι παραστάσεις: Α = σϕ και συν συν ηµ ηµ Β= + είναι σταθερές (ανεξάρτητες του ) συν + συν

22 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία Τριγωνομετρικές συναρτήσεις ΒΓ/ Βρείτε τις περιόδους των συναρτήσεων: Α) f( ) = ηµ 4 Β) f( ) = + συν 4 π Γ) f( ) = εϕ Δ) f( ) = ηµ ΒΓ/4 Βρείτε τις περιόδους, το μέγιστο και το ελάχιστο των συναρτήσεων: π π Α) f( ) = ηµ Β) f( ) = + συν π Γ) f( ) = εϕ + Δ) f( ) = ηµ 4 ΒΓ/5 Βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο των παραστάσεων: Α = ηµθ, Β = 4 συνθ, Γ = 4συνθ + ηµϕ, = ηµ συνθ συνω + 5ηµθ Ε = ηµω + συνθ +, Ζ= 5 ΒΓ/6 Βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο των παραστάσεων: y Α = ηµ + συν και Β = ηµ συν y π ΒΓ/7 Δίνεται η συνάρτηση f( ) = ηµ 4 4 Να βρεθεί η περίοδός της καθώς και το μέγιστο και το ελάχιστό της π ΒΓ/8 Α) Δίνεται η συνάρτηση f( ) = + ηµ Να βρεθεί η περίοδός της καθώς και το μέγιστο και το ελάχιστό της π π Β) Δίνεται η συνάρτηση f( ) = ηµ + 4 Να βρεθεί η περίοδός της καθώς και το μέγιστο και το ελάχιστό της ΒΓ/9 Αν η συνάρτηση f( ) ( ) = α ηµβ +, α> και β> 0 έχει περίοδο π / και μέγιστη τιμή, να βρείτε τα α και β ΒΓ/0 Αν f( ) ( ) ( ) = γ + α ηµ β π, α>, β>, η γραφική παράσταση της f διέρχεται από την αρχή των αξόνων έχει μέγιστη τιμή το και περίοδο T =, τότε: Α) Βρείτε τα αβγ,, Β) Δείξτε ότι η f είναι περιττή

23 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία 005 Γ) Υπολογίστε την παράσταση: Α= f f ΒΓ/ Εξετάστε αν οι συναρτήσεις f( ) = ηµ + συν, π π g ( ) = ηµ + ηµ και h ( ) = ηµ συν είναι άρτιες ή περιττές ΒΓ/ Αποδείξτε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f( ) = + 4 συνω δεν τέμνει τον άξονα ' ΒΓ/ Μια μπάλα κρέμεται με τη βοήθεια ενός ελατηρίου από το ταβάνι, έτσι ώστε να απέχει από το πάτωμα m Όταν η μπάλα ταλαντεύεται, το ύψος της από το πάτωμα δίνεται από τη συνάρτηση ht () = + ηµ t, όπου t ο χρόνος σε sec Βρείτε την περίοδο της ταλάντωσης καθώς και το μέγιστο και ελάχιστο ύψος της Bρείτε το ύψος της όταν t = 9π sec Τριγωνομετρικές εξισώσεις Να λυθούν οι τριγωνομετρικές εξισώσεις: ΒΓ/4Α) ηµ = Β) συν = Γ) ηµ = Δ) συν = Ε) εϕ = ΣΤ) σϕ + = 0 Ζ) ηµ = Η) συν = Θ) εϕ = π π π π Ι) συν = συν ΙΑ) εϕ 4 = εϕ ΙΒ) εϕ = π ΙΓ) ηµ π = ΙΔ) συν( π ) = συν + ΒΓ/5Α) ηµ = Β) συν + = 0 Γ) εϕ = 0 Δ) σϕ + = 0 π Ε) συν + = 0 ΣΤ) ηµ + + = 0

24 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία ΒΓ/6Α) ηµ = ηµ ( + π ) π Β) συν 4= συν + π π π Γ) συν( π ) = συν Δ) σϕ 6 = σϕ 5 5 π Ε) εϕ + εϕ = 0 ΣΤ) συν + συν = 0 ΒΓ/7Α)( σϕ )( εϕ + ) = 0 Β) ( συν )( ηµ ) = 0 ΒΓ/8 Α) ηµ = συν π π Β) ηµ = συν Γ) ηµ = συν Δ) ηµ = συν E) ηµ + συν = 0 ΣΤ) ηµ = συν Ζ) π π π π ηµ + = συν 6 6 Θ) ηµ + = συν ΒΓ/9Α) Γ) Ε) ηµ ηµ + = 0 Β) 0 ηµ ηµ + = Δ) συν 7ηµ + = 0 ΣΤ) Z) ( ) ηµ + ηµ = 0 H) συν + 5συν = 0 ηµ + συν = συν συν + ηµ + = 0 ηµ + συν = Θ) εϕ ( σϕ ) = 0 I) εϕ εϕ + = ΒΓ/0Α) ηµ = συν π Β) εϕ = σϕ 6 π π Γ) εϕ + σϕ = 0 4 Δ) εϕ εϕ = π π Ε) εϕ + σϕ = 0 ΣΤ) εϕ σϕ = 0 ΒΓ/Α) εϕ = ηµ Β) σϕ εϕ = 0 4σφ Γ) ηµ + συν = 0 Δ) = σφ + ΣΤ) ηµ = 5+ Ζ) ( + εϕ ) = + ηµ εϕ ΒΓ/Α) ηµ συν + ηµ συν = 0 Ε) ηµ + ηµ συν = 0

25 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία B) εϕ ηµ = εϕ ηµ Γ) ηµ συν = συν ηµ Δ) ηµ εϕ = ηµ εϕ E) ηµ συν = + συν ηµ ΣΤ)ηµ εϕ + = εϕ + ηµ Ζ) συν εϕ συν = εϕ π ΒΓ/ A) σϕ π σϕπ = 0 B) εϕπ = με (,] Γ) συνπ + ηµπ = 0 Δ) σϕ π σϕπ = 0 ΒΓ/4Α) Να λυθούν οι εξισώσεις: Α) ηµ + συν y = π π Β) ηµ + συν y = Γ) ηµ + συν = 4 π π Δ) ηµ + συν y = 5 Ε) Αν ηµ α = βρείτε το α και λύστε την εξίσωση ΣΤ) Οι εξισώσεις ηµ = και εϕ = είναι ισοδύναμες; ΒΓ/5 Α) Λύστε την εξίσωση 0 π Β) Λύστε την εξίσωση ηµ = ηµ Γ) Λύστε την εξίσωση 0 Δ) Λύστε την εξίσωση ΒΓ/6 Α) Λύστε στο [ ] Β) Λύστε στο [ 0,π ] την εξίσωση: ΒΓ/7 Λύστε στο [ π,π] ΒΓ/8 Λύστε στο [ ] ΒΓ/9 Α)Λύστε στο [0, ] εϕ = στο [ ] στο [ 0,π ] συν + = στο [ ππ, ] συν = ηµ στο [ 0,π ] 0,π π 0,π την εξίσωση: ηµ = 6 συν 5συν + = 0 εϕ την εξίσωση: = + εϕ π π,π την εξίσωση: ηµ + συν = 0 π την εξίσωση: εϕ = σϕ Β)Λύστε στο [0, π ] την εξίσωση: συν = σϕ ΒΓ/40 Λύστε την εξίσωση: ηµ + συν = (υψώνουμε στο τετράγωνο και στο τέλος κάνουμε επαλήθευση)

26 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία ΒΓ/4 Να λυθούν οι εξισώσεις: Α) συν ω = 0 + ηµω Β) ηµ συν συν + ηµ συν = 0, Γ) ηµω = σϕω ηµω Δ) ηµ συν + συν = ηµ + συν Ε) ηµ + ηµ συν = ηµ + συν στο ( π, π ) π ΒΓ/4 Aν π< < και 5συν 4ηµ = 0 Α) Δείξτε ότι ηµ = Β) Βρείτε τα συν, εϕ, σϕ 5 π συν συν π + Γ) Βρείτε την τιμή της παράστασης: Α= π π εϕ 4 + σϕ π ΒΓ/4 Aν 0 < < και 5συν + 7συν 6 = 0 Α) Δείξτε ότι συν = Β) Βρείτε τα ηµ, εϕ, σϕ 5 π π ηµ + συν + Γ) Βρείτε την τιμή της παράστασης: Α= π 4εϕ( 7π ) + σϕ π ΒΓ/44 Aν π< < και 5συν ηµ + = 0 Α) Δείξτε ότι ηµ = Β) Βρείτε τα συν, εϕ, σϕ 5 π συν + ( ) συν π Γ) Βρείτε την τιμή της παράστασης: Α= π εϕ( π + ) εϕ + ΒΓ/45 Aν π < < π και 5συν + 7ηµ + = 0 Α) Βρείτε το ηµ Β) Βρείτε τα συν, εϕ, σϕ 0 ηµ ( π ) + 0 συν( ) Γ) Βρείτε την τιμή της παράστασης: Α= 8 εϕ( π + ) σϕ ( )

27 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία ΒΓ/46Αν συν + 5συν = 0 και ηµ > 0, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του τόξου π ηµ + 6συν + 9 = 0 και < <π υπολόγισε τους ΒΓ/47Αν τριγωνομετρικούς αριθμούς του τόξου π ΒΓ/48Αν εϕ σϕ + = 0 και 0 < < : Α) Δείξτε ότι εϕ = Β) Βρείτε τα ηµ, συν ΒΓ/49 Λύστε την εξίσωση: 6ηµ + συν 0 = 0 Α) Υπολογίστε το συν Β) Βρείτε το αν π < < π εϕ + εϕ = 0 ΒΓ/50 Λύστε την εξίσωση: ( ) ΒΓ/5 Βρείτε τη μέγιστη τιμή της συνάρτησης π f( ) = συν + με [ 0,π ] και την αντίστοιχη τιμή του π ΒΓ/5 Αν f( ) = συν + τότε: Α) Βρείτε την περίοδο της f Β) Βρες το ελάχιστο και το μέγιστο της f Γ) Βρες το για το οποίο η f παίρνει τη μέγιστη τιμή της Δ) Λύστε την εξίσωση f( ) = π ΒΓ/5 Έστω συνάρτηση f( ) = 4ηµ, τότε: Α) Βρείτε την περίοδο της Β) Βρες το ελάχιστο και το μέγιστο της Γ) Βρες το για το οποίο η f παίρνει τη μέγιστη τιμή της Δ) Λύστε την εξίσωση f( ) = ΒΓ/54 A) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f( ) = ηµ + συν είναι περιοδική με περίοδο T = π B) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f( ) = ηµ + συν είναι περιοδική με 5 περίοδο T = 0π Γ) Αποδείξτε ότι η συνάρτηση f( ) = εϕ + σϕ είναι περιοδική με περίοδο T = 6π

28 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία ΒΓ/55Δίνεται η συνάρτηση f( ) = συν Α) Να βρείτε την περίοδο και τα ακρότατα της f Β) Να γίνει γραφική παράσταση στο διάστημα [ 0,π ] Γ) Να λύσετε την εξίσωση: f( ) = ΒΓ/56Δίνεται η συνάρτηση f( ) = 4 συν( α) α με α> 0 Αν η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης είναι -8, τότε: Α) Να δείξετε ότι: α= Β) Βρείτε την περίοδο και τη μέγιστη τιμή της f Γ) Βρείτε τα σημεία όπου η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα Δ) Για ποιες τιμές του η συνάρτηση f έχει μέγιστο και για ποιες ελάχιστο στο [ 0,π ] ΒΓ/57Δίνεται η συνάρτηση f( ) = α + βηµ ( ω ) που έχει περίοδο 4π μέγιστη τιμή 5 και η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο π 7 Α, Α) Να δείξετε ότι: α= και β= Β) Βρείτε την ελάχιστη τιμή της Γ) Να γίνει γραφική παράσταση της f στο διάστημα [ 0,4π ] ΒΓ/58Δίνεται η συνάρτηση f( ) = ηµ συν Α) Δείξτε ότι είναι περιοδική με περίοδο Τ=π Β) Να βρείτε την συνάρτηση g ( ) = f( π+ ) f( π ) Γ) Να λύσετε την εξίσωση: f( ) = ηµ Δ) Αποδείξτε ότι δεν υπάρχει τιμή του ώστε f( ) = ΒΓ/59 H επιτάχυνση ενός σώματος δίνεται από την συνάρτηση α () t = + συν t όπου t ο χρόνος σε sec π π Α) βρείτε την επιτάχυνση για t = 0,, sec 4 Β) Ποια είναι η μέγιστη τιμή της α (t); Γ) Για ποια τιμή του t με t ( 0,π ] η επιτάχυνση λαμβάνει τη μέγιστη τιμή της; Δ) Πότε ισχύει α () t = 0, αν t (0, π ]; ΒΓ/60 Βρείτε το πεδίο ορισμού της f( ) = 8ηµ

29 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία ΒΓ/6 Aν η συνάρτηση: f( ) ( ) = α + βηµ ω με β> 0 έχει περίοδο Τ= 4π, μέγιστη τιμή 5 και ελάχιστη τιμή : Α) Βρείτε τα ω, α, β 0,4π Β) Να κάνετε τη γραφική της παράσταση στο διάστημα [ ] ΒΓ/6 Αν f( ) = ηµ τότε: Α) Βρείτε την περίοδο της Β) Βρες το ελάχιστο και το μέγιστο της Γ) Βρες το για το οποίο η f παίρνει τη μέγιστη τιμή της Δ) Λύστε την εξίσωση f( ) = στο διάστημα [ π,π ] Ε) Να γίνει γραφική παράσταση στο διάστημα [ 0,π ] ΒΓ/6 Αν f( ) = συν + τότε: Α) Βρείτε την περίοδο της Β) Βρες το ελάχιστο και το μέγιστο της Γ) Βρες το για το οποίο η f παίρνει τη ελάχιστη τιμή της Δ) Λύστε την εξίσωση f( ) + = στο διάστημα [, ] Ε) Να γίνει γραφική παράσταση στο διάστημα [ 0,4π ] ΒΓ/64 Η θερμοκρασία μιας μέρας σε C π π δίνεται από τη συνάρτηση πt f() t = 4 8ηµ, με 0 t 4 όπου t ο χρόνος σε ώρες Α) Βρείτε την περίοδο της συνάρτησης Β) Βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη θερμοκρασία της ημέρας Γ) Να γίνει γραφική παράσταση των θερμοκρασιών, για 0 t 4 Δ) Ποια ώρα η θερμοκρασία είναι 0 C ; Ε) Ποιες ώρες της ημέρας έχουμε παγετό; (θερμοκρασία κάτω του 0 C ) ΒΓ/65 Αν f( ) ( ) = α + βηµ ω με β> 0 Α) Αν Τ= 4π βρείτε το ω Β) Αν το ελάχιστο της f είναι το και το μέγιστο της 5, βρείτε τα α, β Αν α=, β= : Γ) Λύστε την εξίσωση: f( ) = Δ) Να γίνει γραφική παράσταση σε πλάτος μιας περιόδου

30 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία Τριγωνομετρικοί αριθμοί των α+β, α-β, α ΒΓ/66 Δείξτε ότι: A) ηµ ( β α) εϕβ εϕα = συνα συνβ B) συν( α + β) σϕα εϕβ = Γ) ηµα συνβ συν( α β) σϕα + εϕβ = ηµα συνβ ηµ ( α + β) ΒΓ/67A) Δείξτε ότι: = εϕα + εϕβ συν( α + β ) + συν( α β) Β) Aπλοποιήστε τις παραστάσεις: ηµ ( α β ) + ηµβσυνα Α= ηµ ( α + β ) Β= συν( α β) ηµαηµβ ηµβσυνα συν ( α + β ) + ηµαηµβ ηµ ( α β) ηµ ( β γ) ηµ ( γ α) ΒΓ/68 Δείξτε ότι: + + = 0 ηµαηµβ ηµβηµγ ηµγηµα ΒΓ/69 Δείξτε ότι: A) συν( α + β) συν( α β ) = συν α ηµ β B) συν( α + β) συνγ συν( β + γ) συνα = ηµβηµ ( γ α ) ΒΓ/70 A) Δείξτε ότι: 4 7 ηµ α συν α = ηµ α + ηµα π B) Λύστε την εξίσωση: ηµ 4συν = ηµ 7+ ηµ π συν ηµ ΒΓ/7 Να δειχθεί ότι: εϕ = 4 συν + ηµ ηµ ( α + β) ηµ ( α β ) ΒΓ/7Να δειχθεί ότι: = εϕ α εϕ β συν ασυν β π ΒΓ/7 Αν α β=, δείξτε ότι ( σϕβ + )( σϕα ) = 4 6 ΒΓ/74 Α) Να δειχθεί ότι: ηµασυνβ = ηµ ( α + β ) + ηµ ( α β ) Β) Να δειχθεί ότι: ηµ ασυνα = ηµ 5α + ηµα συν5α Γ) Να δειχθεί ότι: σϕα εϕα = ηµ 5 α + ηµα συν5 Δ) Λύστε την εξίσωση: σϕ εϕ = ηµ ΒΓ/75 Δείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει: Α Β Β Γ Γ Α εϕ εϕ + εϕ εϕ + εϕ εϕ =

31 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία π ΒΓ/76Aν π <α<π και 5 <β< π και ηµα =, συνβ =, 7 υπολογίστε τα ηµ ( α + β ) και συν( α β ) ΒΓ/77 Να λυθούν οι εξισώσεις: π π Α) εϕ + εϕ = B) εϕ + σϕ = 4 4 π π Γ) εϕ εϕ = στο, π Δ) 4 π συν + 5 = π π συν συνσυν 5 5 ΒΓ/78 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ Α) Αν ηµ ( Α Β ) = συναηµβ δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο Β) Αν συν( Α + Β ) = ηµαηµβ δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές Γ) Αν συν( Α Β ) = ηµαηµβ, δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο Δ) Αν ηµα = ηµβσυνγ, δείξτε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές συν( Β Γ) συνα ΒΓ/79 Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει = σϕβ, και ηµα Β 90 δείξτε ότι : Α) συνα = συν( Β + Γ ) Β) ημα=ημ(β+γ) Γ) Το τρίγωνο είναι ισοσκελές ΒΓ/80 A) Aν σε τρίγωνο ΑΒΓ είναι γωνία Γ κτλ) εϕα = και εϕβ = βρείτε τη (Υπόδειξη: Α+Β+Γ=π, άρα Γ=π-(Α+Β) B)Έστω τρίγωνο ΑΒΓ Αν εϕα = και εϕβ = βρείτε τη γωνία Γ εϕα + σϕβ συν( α β) ΒΓ/8 A) Να αποδειχθεί ότι: = σϕβ εϕα συν( α + β) ΒΓ/8 Αν σϕθ = λύστε την εξίσωση: συν ( + θ ) + συν( θ ) = 0 στο ( ππ, ) ΒΓ/8 Δείξτε ότι συν α = εϕα και + συν α = σϕα ηµ α ηµ α

32 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία ΒΓ/84 Δείξτε ότι εϕα + σϕα = ηµ α + συνα α ηµ α εϕα ΒΓ/85 Δείξτε ότι: Α) = σϕ Β) = ηµα συνα + εϕα +συνα+ηµ α ΒΓ/86 Δείξτε ότι = σϕα συνα + ηµ α + ηµα συνα α ΒΓ/87 Δείξτε ότι = εϕ +ηµα+συνα ηµ 4α συνα ΒΓ/88 Δείξτε ότι = εϕα συν4α συνα ΒΓ/89 Δείξτε ότι ηµ α συνα = εϕ α + συνα + συνα συνα ΒΓ/90 Δείξτε ότι εϕ(45 α ) = + ηµ α ηµ α + ηµα ΒΓ/9 Δείξτε ότι = εϕα + συνα + συνα α + συνα + συν ΒΓ/9 Δείξτε ότι α = σϕ α ηµα + ηµ ηµα ηµ α α ΒΓ/9 Δείξτε ότι: Α) = εϕ ηµα + ηµ α ηµα συνα εϕα Β) = συνα ηµα συνα + ηµα ΒΓ/94Δείξτε ότι : Α) συν α = εϕ α ηµ α Β) ηµασυν α ηµ ασυνα = ηµ 4α 4 Λύστε τις παρακάτω εξισώσεις ΒΓ/95 Α) ΒΓ/96 Α) 4 0 ΒΓ/97 Α) συν + ηµ = Β) συν + ηµ = 0 συν + συν = Β) συν + ηµ = συν = συν Β) + συν = συν ΒΓ/98 Α) ηµ ηµ = συν Β) ηµ ηµ = 0

33 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία ΒΓ/99 Α) συν συν = 0 Β) συν + = 4συν + συν ηµ = Β) + ηµ συν = ηµ + ηµ = συν Β) συν + συν = 4ηµ ηµ + ηµ = π ηµ + συν = συν στο 0, ΒΓ/00 Α) 0 ΒΓ/0 Α) ΒΓ/0 Α) Β) Λύστε την εξίσωση: ( ) Γ) ηµ ( σϕ ) = 0 Δ) ΣΤ) ηµ εϕ ηµ = εϕ ηµ συν = Ε) 4 ΒΓ/0 Αν α, β δείξτε ότι ( ) ( ) συνα ηµ α ΒΓ/04 A Να αποδειχθεί ότι: + = σϕα ηµα συνα ηµ α συνα Β) Αποδείξτε ότι : = ηµα συνα Γ) Υπολογίστε την παράσταση: ηµ συν = 4 συν α + β συν α β συν α ηµ 5 συν5 ΒΓ/05A) Συμπληρώστε την ισότητα: ηµασυνβ + ηµβσυνα = συνα ηµ α Β) Δείξτε ότι : + = συνα συνα ηµα Γ) Λύστε την εξίσωση: συν ηµ συν + = συν ηµ π ΒΓ/06 Αν α+β=, δείξτε ότι: 6 συνα ηµβ + ηµα συνβ = Α) ( ) ( ) Β) ( ) ( ) συνα + ηµβ + ηµα + συνβ = ΒΓ/07Α) Αν εϕα = δείξτε ότι: ηµ ( α + β ) + ηµ ( α β ) = συνα συνβ

34 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία Β) Αν ηµ ( α + β ) = ηµ ( α β ) δείξτε ότι: εϕα = εϕβ π Γ) Αν συν( α β ) = + 4ηµα ηµβ και α, β 0, δείξτε ότι: π α+β= ΒΓ/08Υπολογίστε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των τόξων των 75 και 7 π ( 7 π π π = + ) 4 ΒΓ/09 A) Λύστε την εξίσωση: ( ) συν +α = +α με α B) Aν ( + ηµ y)( συν ) = ( + ηµ )( ηµ y ) βρείτε τα y, π ηµα συνα ΒΓ/0Αν 0 <α< να δείξετε ότι = 0 συνα + συνα ΒΓ/ Λύστε την εξίσωση: ηµ συν ηµ συν = ηµ 4 ( )( ) ΒΓ/Αν την εϕθ π συνθ = και <θ<π, να υπολογίσετε το ηµ θ και 5π εϕα ΒΓ/Αν α+β=, να αποδείξετε ότι εϕβ = και 4 + εϕα ( + εϕα )( + εϕβ ) = (όταν ορίζονται οι εφα και εφβ ) ΒΓ/4Αν συν + 5συν = 0 και ηµ > 0, να υπολογίσετε το ηµ και το συν ΒΓ/5Αν 0 συν συν = και π< < π υπολόγισε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του τόξου π ΒΓ/6Αν 5συν συν + = 0 και 0 < < : Α) Βρείτε το συν Β) Βρείτε το ηµ π Γ) Βρείτε το ηµ Δ) Βρείτε τις εϕ και εϕ + 4 π ΒΓ/7Αν η εξίσωση 4συν + λσυν λ = 0 έχει λύση = βρείτε όλες τις λύσεις

35 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία ΒΓ/8Αν η εξίσωση ΒΓ/0Αν λ + συν = + 6ηµ έχει λύση βρείτε όλες τις λύσεις συν4θ ΒΓ/9Να αποδείξετε ότι συν θ + ηµ θ = 4 α εϕ = αποδείξτε ότι βηµ ασυν = α β = π 6 (Υπόδειξη: Διαιρέστε με το β) ΒΓ/Υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του α αν π 4 π α) συνα = και 0 <α< β) ηµα = και π<α< 5 5 π ΒΓ/Υπολογίστε:α) το συνα όταν συνα = και <α<π β) το ηµ α αν ηµα = και 0 5 δ) το ηµ α και το συνα αν π <α< γ) την εϕα αν εϕα = 7 εϕα = π ΒΓ/Υπολογίστε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του τόξου α+β ΒΓ/4 Δείξτε ότι ( συνα + συνβ ) + ( ηµα + ηµβ ) = 4συν ΒΓ/5 Α) Αν ηµ + συν =, υπολόγισε το ηµ Β) Λύστε την εξίσωση: ηµ + συν = ΒΓ/6Αν 0 π και ηµ + συν = να προσδιορίσετε: 5 α) το ηµ και β) το ηµ και το συν + ΒΓ/7 Αν ηµ + συν = υπολογίστε τα ηµ, ηµ, συν ΒΓ/8 Aνα+β=γ, δείξτε ότι εϕγ εϕα εϕβ = εϕα εϕβ εϕγ BΓ/9 Nα λυθούν οι εξισώσεις: ηµ συν = και 4 ηµ συν = 4 ΒΓ/0 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ Αν οι εϕα, εϕβ είναι ρίζες της εξίσωσης = 0, τότε:

36 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία Α) Να δείξετε ότι εϕ( Α + Β ) =, και Β) Να βρείτε τη γωνία Γ του τριγώνου 4 π 4 5π 7 ΒΓ/ Α)Δείξτε ότι ηµ + ηµ = (Υπόδειξη π 5π π + = ) Β) Να λυθεί η εξίσωση: ηµ + συν = 8 π 4 5π Γ) Να δειχθεί ότι: ηµ συν = 6 π 5π Δ) Να δειχθεί ότι: εϕ + εϕ = 4 π π 4π BΓ/Α) Να αποδείξετε ότι: συν συν συν = (Υπόδ: ηµ α ηµασυνα = ηµ α συνα = ) ηµα Β) Να αποδείξετε ότι: π π 5π 7π + συν + συν + συν + συν = (Υπόδ:Τα π 7π π 5π, είναι παραπληρωματικά Το ίδιο και τα, ) BΓ/Α) Aν σϕα = να λυθεί η εξίσωση: εϕ ( + α ) = Β) Aν σϕα = να λυθεί η εξίσωση: ( ) ( ) Γ) Aν εϕα = 5 να λυθεί η εξίσωση: ηµ ( α ) = ηµ ( + α ) Δ) Aν εϕα = να λυθεί η εξίσωση: ( ) ΒΓ/4 Αν Α) Δείξτε ότι συν α = συν + α εϕ + α = π β= α και εϕ( α + β ) =, τότε 4 εϕα = Β) Λύστε τις εξισώσεις i) σϕ( α ) = ii) ηµ ( + α) ηµ ( α ) = 0 π ΒΓ/5 Αν β= +α και εϕ(α β ) = : 8 Α) Δείξτε ότι: εϕα = Β) Λύστε την εξίσωση: συν ( + α ) = συν( α ) λ λ+ π BΓ/6 Αν εϕω = και σϕω = με π<ω<, βρείτε λ+ 4 λ 5 τους τριγωνομετρικούς αριθμούς του ω

37 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία BΓ/7 Α) Αν ( ) f( ) ( ) f = ηµ + συν να την γράψετε στη μορφή = ρηµ + ϕ και λύστε την εξίσωση f( ) = 0 Β) Όμοια για την g ( ) = ηµ συν BΓ/8 Να λυθούν οι εξισώσεις: Α) ηµ συν = Β) ηµ + συν = Γ) ηµ = συν Δ) ηµ = + συν εϕ ΒΓ/9 Α) Nα αποδείξετε ότι: = συν + εϕ Β) Να λυθεί η εξίσωση: εϕ + 5 συν = 0 + εϕ Γ) Βρείτε τις λύσεις της παραπάνω εξίσωσης στο διάστημα [, ] π π 5π ΒΓ/40 Αν [ συν(4 π ) + ] 5ηµ 4 = 0 και 0 < < 4 τότε: Α) Να δείξετε ότι συν = 5 Β) Να βρείτε τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας Γ) Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας π ΒΓ/4 Δίνεται η συνάρτηση: f() = ηµ ( π ) + συν, Α) Να δείξετε ότι: f( ) = ηµ Β) Να βρείτε για ποιες τιμές του (0, π ) η f παίρνει τη μέγιστη τιμή της και ποια είναι αυτή Γ) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της f ΒΓ/4 Δίνεται η παράσταση: 5π 7π ηµ (5 π+ω) συν(7 π ω) ηµ ω συν +ω Κ= 5π 7π σϕ(5 π+ω) ηµ (7 π ω) συν ω σϕ +ω Α) Να δείξετε ότι: Κ = ηµ ω Β) Να λύσετε την εξίσωση: Κ= 0 στο διάστημα (0, π ) Γ) Να λύσετε την εξίσωση: Κ + ηµω + = 0 π

38 Άλγεβρα Β Λυκείου Τριγωνομετρία ΒΓ/4 Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( ) = 5 +α +β, το οποίο έχει παράγοντα το + και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το είναι 9 Α) Να δείξετε ότι α= 4 και β= Β) Να λύσετε την ανίσωση Ρ( ) 0 Γ) Να λύσετε την εξίσωση 5 4 ηµ + συν = ηµ + BΓ/44 Για τη γωνία α ισχύει ότι: 5συνα 4συνα 7 = 0 Α Να δείξετε ότι συνα = 5 π Β Αν επιπλέον ισχύει π α, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ηµ α, συνα και εϕα ( ο θέμα Πανελλαδικών 00) BΓ/45 Για κάθε πραγματικό αριθμό να αποδείξετε ότι: συν( ηµ + 4 ηµ ) = ( συν + 4συν + ) ηµ και να βρείτε εκείνους τους πραγματικούς αριθμούς αριθμούς ώστε: συν + 4συν + = 0 ( ο θέμα Πανελλαδικών 00) BΓ/46 Α) Να λύσετε την εξίσωση: 0 ηµ συν = συνα α Β) Να αποδείξετε ότι = εϕ για όλες τις τιμές του α που ηµα + ηµ α ορίζεται η ισότητα ( ο θέμα Πανελλαδικών 004)

39 Άλγεβρα Β Λυκείου Πολυώνυμα Πολυώνυμα Καμιά ανθρώπινη έρευνα δεν μπορεί να ονομαστεί αληθινή επιστήμη αν δεν περνά μέσα από μαθηματικές αποδείξεις Leonardo da Vinci ΒΔ/0Βρείτε την τιμή του πραγματικού λ για την οποία το πολυώνυμο Ρ ( ) = ( λ+ ) ( λ +λ ) +λ 4 είναι μηδενικό ΒΔ/0Βρείτε για τις διάφορες τιμές του λ το βαθμό του πολυωνύμου Ρ ( ) = ( λ 4λ ) + ( λ λ) λ+ ΒΔ/0Αν το ( ) ( ) να βρείτε το λ Ρ = λ λ + λ + λ είναι ου βαθμού, ( ) 9 9 ΒΔ/04Βρείτε τα α, β, γ, δ ώστε τα Ρ ( ) = α και Q ( ) = β + β+γ δ + +δ να είναι ίσα ( ) ( ) ΒΔ/05 Aν ( ) Ρ = και Q ( ) = + να υπολογίσετε τα πολυώνυμα: Ρ ( ) + Q ( ), Ρ( ) Q ( ), Ρ( ) Q ( ), Ρ( ) Q ( ) Ρ ( ) ΒΔ/06Βρείτε το πολυώνυμο Ρ ( ) για το οποίο ισχύει: ( ) ( ) 4 Ρ = + Ρ ( ) + Q ( ), ΒΔ/07Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) = + ( α ) + α έχει ρίζα το -, να αποδείξετε ότι το ίδιο ισχύει για το Κ ( ) = ( α ) ΒΔ/08Αν για το πολυώνυμο ( ) Ρ είναι: δείξετε ότι το - είναι ρίζα του Ρ ( ) Ρ + = +, να ( 5) ΒΔ/09Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) έχει ως ρίζα το, να δείξετε ότι το πολυώνυμο ( ) Q ( ) =Ρ + ( ) Ρ ( ) έχει ρίζα το ΒΔ/0Να βρεθεί το πολυώνυμο ( ) Ρ τρίτου βαθμού, το οποίο να έχει ρίζα το 0 και να ικανοποιεί τη σχέση: Ρ ( ) = Ρ( ) για κάθε ΒΔ/Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( ) = Να προσδιοριστεί ο πραγματικός α αν ισχύει Ρ( α ) = ΒΔ/Δίνονται τα πολυώνυμα Ρ ( ) = (α+ ) + β και Q ( ) = ( β+ ) + 5α Προσδιορίστε τους α, β αν ο αριθμός είναι κοινή ρίζα των Ρ ( ) και Q ( )

40 Άλγεβρα Β Λυκείου ΒΔ/Το πολυώνυμο ( ) Πολυώνυμα Ρ το οποίο για κάθε πραγματικό αριθμό ικανοποιεί την ταυτότητα Ρ ( ) = ( ) Ρ ( + ) έχει τουλάχιστον τρεις ρίζες Βρείτε τρεις από τις ρίζες αυτές ΒΔ/4Να γίνουν οι διαιρέσεις και να γραφεί σε κάθε περίπτωση η ταυτότητα της διαίρεσης: A) ( : ) ( + ) B) ( : ) ( + ) 5 Γ) ( + 9) : ( ) Δ) ( 4 + : ) ( ) 4 Ε) ( 7 + 5) : ( + 5) ΣΤ) ( ) :( + ) Ζ) ( 4 + ) :( + + ) Η) ( 4 α +α ) : ( α ) Θ) ( 4 8 ) :( ) α α α Ι)( α + α 8 α ) :( α ) 4 4 ΙΑ) ( α ) : ( +α ) ΒΔ/5Βρείτε το πολυώνυμο F( ) το οποίο αν διαιρεθεί με το πηλίκο και υπόλοιπο + 5 ΒΔ/6Έστω το πολυώνυμο Ρ ( ) = + α +β Να βρείτε τους α, β αν το πολυώνυμο έχει ρίζες, + δίνει ΒΔ/7Έστω το πολυώνυμο Ρ ( ) =α +β 5+ 4 Να βρείτε τους α, β, ώστε η διαίρεση του Ρ () με το + να αφήνει υπόλοιπο 6, ενώ η διαίρεση του με το να αφήνει υπόλοιπο ΒΔ/8 Βρείτε τους, α β αν το Ρ ( ) = +α +β + 4 διαιρείται ακριβώς με το και ισχύει Ρ ( ) = 8 ΒΔ/9 Βρείτε τους, α β αν το Ρ ( ) = +α +β έχει παράγοντα το και το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το + είναι ΒΔ/0 Βρείτε τους, 4 α β αν το Ρ ( ) = α +β έχει ρίζα το και το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το είναι 5 ΒΔ/Αν το πολυώνυμο 6, να προσδιορίσετε τα α, β ΒΔ/ Α) Αν το Ρ ( ) διαιρούμενο δια Β) Αν Ρ ( ) = +α +β διαιρείται με το 4 Ρ ( ) = +α +β + να βρεθούν οι α, β ώστε + να δίνει υπόλοιπο Ρ ( ) = +α +β να βρεθούν οι α, β ώστε το Ρ ( ) διαιρούμενο δια να δίνει υπόλοιπο

41 Άλγεβρα Β Λυκείου Πολυώνυμα ΒΔ/Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) = ( α+ ) +β έχει παράγοντα το + να προσδιορίσετε τα α, β ΒΔ/4Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) = +α + ( β+ ) + έχει παράγοντα το + να προσδιορίσετε τα α, β ΒΔ/5Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( ) Ρ με το 4 είναι + 5, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( ) με το + ΒΔ/6Το πολυώνυμο ( ) Ρ διαιρούμενο με το αφήνει υπόλοιπο 0, ενώ διαιρούμενο με το + αφήνει υπόλοιπο 5 Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το ( )( + ) ΒΔ/7Το πολυώνυμο ( ) Ρ διαιρούμενο με το + αφήνει υπόλοιπο, ενώ διαιρούμενο με το αφήνει υπόλοιπο Να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το + ΒΔ/8Έστω πολυώνυμο Ρ ( ) με ακέραιους συντελεστές και Ρ ( ) = Ρ() = 5 Δείξτε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης Ρ( ) : ( 4+ ) είναι υ = 5 ΒΔ/9Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύμου Q ( ) με το 5 είναι και για το πολυώνυμο Ρ ( ) ισχύει: Ρ (+ ) = Q(+ ) +, να βρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( ) με το ΒΔ/0Βρείτε τα α, β ώστε οι παρακάτω ισότητες να ισχύουν για όλες τις τιμές του για τις οποίες ορίζονται τα κλάσματα + α β Α) = + Β) α β = + ( )( ) + α β + 5 α β Γ) = + Δ) = ΒΔ/Mε τη βοήθεια του σχήματος Horner βρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο των παρακάτω διαιρέσεων: : : + A) ( + ) ( ) B) ( ) ( )

42 Άλγεβρα Β Λυκείου Πολυώνυμα Γ) ( 4 + ) :( ) 4 Δ) ( ) : ( + ) 4 Ε) ( + : ) ( + ) ΣΤ) ( ) : ( 5) Ζ) ( :5 ) ( ) Η) ( ) : ( ) Θ) ( α+ ) + ( α+ ) α : ( α) ΒΔ/Δίνεται το πολυώνυμο 4 Ρ ( ) = Να δειχθεί ότι το ( ) διαιρεί το πολυώνυμο και να βρεθεί το πηλίκο της διαίρεσης ΒΔ/ Mε τη βοήθεια του σχήματος Horner βρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των διαιρέσεων: Α) Του Ρ ( ) = με το ( ) Β) Του Γ) Του Q 4 ( ) = + + με το ( )( ) R 4 ( ) = + + με το ( ) ΒΔ/4Bρείτε τους πραγματικούς αριθμούς α, β ώστε το πολυώνυμο 4 Ρ ( ) = +α +β + 6 να διαιρείται με το ( ) συνέχεια λύστε την Ρ ( ) = 0 ΒΔ/5Βρείτε τα α, β ώστε το πολυώνυμο διαιρείται με το ( ) R ( ) = Στη Ρ ( ) = α +β να ΒΔ/6Προσδιορίστε το λ ώστε το + να είναι παράγοντας του 4 πολυωνύμου Ρ ( ) = ( λ 7) + ( λ+ ) + 5+ λ και στη συνέχεια λύστε την εξίσωση Ρ ( ) = 0 ΒΔ/7Να βρείτε τα, α β ώστε το παράγοντα το + Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ΒΔ/8 Α) Ρ = +α +β να έχει ( ) 4+ 4= 0 Β) = 0 4 Γ) 6 5+ = 0 Δ) = 0 ΒΔ/9 Α) 4 = 0 Β) ΒΔ/40Α) 7 0 ΒΔ/4Α) 0 8 = = Β) = = 0 Β) = Γ) = 5 + 6

43 Άλγεβρα Β Λυκείου ΒΔ/4Να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων: = 0 και ( ) + (4 ) = 4+ Πολυώνυμα ΒΔ/4Α) Να βρεθεί ένα πολυώνυμο P ( ) για το οποίο να ισχύει ( ) P ( ) = και να λυθεί η εξίσωση : = 8 Β) Να βρεθεί ένα πολυώνυμο P ( ) για το οποίο να ισχύει ( ) P ( ) 6 7 = + και να λυθεί η εξίσωση : = 0 ΒΔ/44Να βρεθούν οι ρίζες της = 0, αν δύο απ' αυτές διαφέρουν κατά (Υπόδειξη: Έστω ρ και ρ+ οι ρίζες, κάνω Horner για τη ρ οπότε το υπόλοιπο που θα βρω πρέπει να έχει ρίζα ρ+) ΒΔ/45Δίνεται η εξίσωση α +β +γ +δ= 0 με,,, α β γ δ Αν αγ > 0 και βγ = αδ,δείξτε ότι έχει μοναδική ρίζα στο (Υπόδ: ΒΔ/46 Aν k ακέραιος να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακέραιες ρίζες Να λυθούν οι παρακάτω ανισώσεις: ΒΔ/47Α) ΒΔ/48Α) ΒΔ/49Α) + > 0 Β) Β) βγ δ= α ) v k = δεν + + < Β) Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: ΒΔ/50 A) 5 + 6= 0 B) + = ( ) ΒΔ/5 A) B) ηµ + 5ηµ + 5ηµ + = 0 ηµ 5ηµ 4ηµ + = 0 Γ) ΒΔ/5 Α) Β) ηµ + συν ηµ ηµ = 0 4 συν συν 4συν + συν + = 0 ΒΔ/5 ( ) = 4 4 ΒΔ/54A) 4 ΒΔ/55Α) ηµ + 5συν + ηµ = 0 + = B) + = Γ) = Δ) = = Β) + = 4 Γ) + + = + Δ) = +

44 Άλγεβρα Β Λυκείου ΒΔ/56A) ΒΔ/57A) + συν = συν B) + 5 = + Πολυώνυμα + + = + B) = 4 + = = 7 B) = ΒΔ/58A) = B) ΒΔ/59Α) ΒΔ/60Nα λυθούν οι ανισώσεις: Α) 5 Β) + 4 Γ) + 5 < Δ) + ΒΔ/6A) = + 4 Γ) ( ) ( ) ΒΔ/6Α) B) = 0 Δ) 6 ( ) 7( ) 8 0 Γ) ( ) ( ) + + = Β) = 0 Να λυθούν οι ανισώσεις: BΔ/6 A) < 0 B) 5 ( ) ( 4 ) Δ) ( 5) Ε) + > = = = 0 Γ) 7+ < ΣΤ) Ζ) < Η) > Θ) > I) 0 IA) 0 IB) < ( ) ( + ) 5 BΔ/64 Α) 0 Β) Γ) > + 5+ Δ) + < Ε) + < BΔ/65 Α) 6 Β) + > Γ) < ΒΔ/66 Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) = + + α+ β έχει ρίζες τους αριθμούς και Α) Βρείτε τα α, β Β) Λύστε την εξίσωση : Ρ ( ) = 0

45 Άλγεβρα Β Λυκείου Πολυώνυμα Γ) Λύστε την ανίσωση : Ρ ( ) < 0 Δ) Λύστε την εξίσωση: Ρ ( ) = 8 ΒΔ/67 Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) = 5 +α +β έχει παράγοντα το και το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το + είναι 6 : Α) Συμπληρώστε τα : Ρ () = και Ρ ( ) = Β) Βρείτε τα α, β Γ) Για α= και β= λύστε την εξίσωση : Ρ ( ) = 0 Δ) Για α= και β= λύστε την ανίσωση : Ρ ( ) < 0 Ε) Λύστε την εξίσωση : συν + ηµ + συν = 5 0 ΒΔ/68Έστω το πολυώνυμο f( ) =λ + λ λ Α) Να βρείτε για ποια λ το είναι παράγοντας του f( ) Β) Για τις τιμές του λ που βρήκατε στο Α) λύστε την εξίσωση f( ) = 0 ΒΔ/69Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( ) = + α + α, α Α Αν το είναι ρίζα του Ρ ( ) βρείτε το α Β Βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης Ρ( ) : ( ) Γ Να λύσετε την εξίσωση: + 4= + 4 Δ Να λύσετε την ανίσωση: Ρ( ) 0 ΒΔ/70 Aν το πολυώνυμο Ρ ( ) = α +β + έχει δύο θετικές ακέραιες ρίζες, βρείτε τα α, β και λύστε την ανίσωση Ρ( ) 0 ΒΔ/7 Αν το 4 Ρ ( ) = α 7 + +β έχει ρίζα το και το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το είναι : Α) Συμπληρώστε τα : Ρ () = και Ρ () = Β) Βρείτε τα α, β Γ) Λύστε την εξίσωση : Ρ ( ) = 0 Δ) Βρείτε τα για τα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = Ρ ( ) βρίσκεται κάτω από τον άξονα ΒΔ/7 Αν το 4 Ρ ( ) = + +α +β έχει παράγοντα το και το υπόλοιπο της διαίρεσής του με το είναι : Α) Συμπληρώστε τα : Ρ () = και Ρ () = Β) Βρείτε τα α, β Γ) Για α= και β= λύστε την εξίσωση : Ρ ( ) = 0 Δ) Για α= και β= λύστε την ανίσωση : Ρ ( ) < 0 4 Ε) Λύστε την εξίσωση : συν + συν συν συν + = 0 ΒΔ/7 Θεωρούμε το πολυώνυμο: Ρ ( ) = +α 7+ 4, για το οποίο ισχύει: Ρ () =Ρ(0) 4

46 Άλγεβρα Β Λυκείου Πολυώνυμα Α) Να δείξετε ότι α= Β) Να λύσετε την εξίσωση: Ρ ( ) = 0 Γ) Να λύσετε την ανίσωση: Ρ ( ) < 0 4 ΒΔ/74 Θεωρούμε το πολυώνυμο Ρ ( ) = ( α ) +β, το οποίο έχει παράγοντα το + και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με το είναι -4 Α) Να δείξετε ότι α= 4 και β= Β) Να λύσετε την εξίσωση Ρ ( ) = 0 Γ) Να λύσετε την ανίσωση Ρ ( ) < 0 ΒΔ/75 Αν το Ρ ( ) =α +β 4+ 4 έχει ρίζα το και παράγοντα το : Α) Συμπληρώστε τα : Ρ () = και Ρ () = Β) Βρείτε τα α, β Γ) Λύστε την εξίσωση : Ρ ( ) = 0 Δ) Λύστε την εξίσωση: Ρ ( ) = 5+ 5 E) Βρείτε τα για τα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης y = Ρ ( ) βρίσκεται πάνω από τον άξονα ΒΔ/76 Δίνεται το: Ρ ( ) = + k + 8, k ώστε Ρ = Α) να δείξετε ότι k = 6 Β) Να κάνετε τη διαίρεση Ρ( ) : ( ) και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης Γ) Να λύσετε την ανίσωση Ρ( ) ΒΔ/77 Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) = +α +β έχει δύο θετικές ακέραιες ρίζες: Α) Βρείτε τα α, β Β) Λύστε την ανίσωση Ρ ( ) < 0 Γ)Αφού κάνετε τη διαίρεση ( ): ( ) Ρ και λύστε την ανίσωση Ρ ( ) < + 7 ΒΔ/78 Αν το πολυώνυμο Ρ ( ) = +α +β + 4 έχει δύο θετικές ακέραιες ρίζες που διαφέρουν κατά : Α) Βρείτε τα α, β Β) Λύστε την ανίσωση Ρ( ) 0 Ρ( ): και λύστε την ανίσωση Ρ ( ) < 0 Γ)Αφού κάνετε τη διαίρεση ( ) ΒΔ/79Δίνεται το πολυώνυμο P ( ) = 8 + 5

47 Άλγεβρα Β Λυκείου Α) Να γίνει η διαίρεση: ( ):( ) Πολυώνυμα P και να γραφτεί η ταυτότητά της Β) Να λυθεί η εξίσωση: P ( ) = P ( ) < 0 Γ) Να λυθεί η ανίσωση: ( )[ ] ΒΔ/80Aν Ρ ( ) = 4 +β Α) Βρες το β αν η διαίρεση Ρ( ) : ( ) έχει υπόλοιπο Β) Λύσε την ανίσωση Ρ( ) ΒΔ/8Δίνεται το πολυώνυμο P( ) = k +, k A) Βρείτε το k ώστε διαίρεση: P ( ) : ( ) να δίνει υπόλοιπο 5 Β) Για k = να γίνει η διαίρεση: P ( ):( ) και να γραφεί η ταυτότητά της Γ) Για k = να λυθεί η εξίσωση P ( ) = ΒΔ/8Αν το πολυώνυμο P ( ) = α +β έχει παράγοντα το : Α) Βρείτε τα α, β Β) Βρείτε τα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον άξονα ΒΔ/8Έστω Ρ ( ) = 4 +α +β Αν το Ρ ( ) έχει ρίζα το και διαιρούμενο με το + αφήνει υπόλοιπο : Α) Βρείτε τα α, β Β) Να γίνει η διαίρεση του Ρ ( ) με το 6 5+ και να γραφεί η ταυτότητά της Γ) Να λυθεί η ανίσωση: Ρ ( ) > 8 ΒΔ/84Αν 9 6 P ( ) = + 5 +α να βρείτε τις τιμές του α για τις οποίες το να είναι παράγοντας του P ( ) Για τις τιμές που θα βρείτε να λύσετε την εξίσωση P ( ) = 0 4 ΒΔ/85Δίνεται το πολυώνυμο f( ) = α Να αποδείξετε ότι το + είναι παράγοντας του f( ) και να βρείτε το πηλίκο π ( ) της διαίρεσης του f( ) με το + β Να αποδείξετε ότι το είναι παράγοντας του π ( ) και να βρείτε το πηλίκο της διαίρεσης του π ( ) με το γ Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της f( ) βρίσκεται πάνω από τον άξονα ' ( ο θέμα Σεπτεμβρίου 00) ΒΔ/86Έστω Ρ ( ) =α + ( β ) β+ 6 όπου, αβ πραγματικοί αριθμοί α) Αν ο αριθμός είναι ρίζα του πολυωνύμου Ρ ( ) και το

48 Άλγεβρα Β Λυκείου Πολυώνυμα υπόλοιπο της διαίρεσης του Ρ ( ) με το + είναι ίσο με, τότε να δείξετε ότι α= και β= 4 β) Για τις τιμές των αβ, του ερωτήματος α), να λύσετε την εξίσωση Ρ ( ) = 0 ( ο θέμα Πανελλαδικών 000) ΒΔ/87Δίνεται το πολυώνυμο Ρ ( ) = k ( k +λ ) +λ +, k, λ α Αν Ρ = 7 και Ρ ( ) =, να αποδείξετε ότι k = 6 και λ= 5 β Να γίνει η διαίρεση του Ρ (), για k = 6 και λ= 5, με το πολυώνυμο + και να γραφεί το Ρ ( ) με την ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης γ Λύστε την Ρ ( ) > 7 για k = 6 και λ= 5 ( ο θ Πανελλαδικών 00) ΒΔ/88Δίνεται το 4 Ρ ( ) = 8 + (5α ) + 8 α 6 με α α Να κάνετε την διαίρεση του Ρ ( ) δια του και να γράψετε τη σχετική ταυτότητα β Να βρείτε την τιμή του α, ώστε η παραπάνω διαίρεση να είναι τέλεια γ Για α=, να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης Ρ ( ) = 0 καθώς και τα διαστήματα στα οποία η γραφική παράσταση της πολυωνυμικής συνάρτησης Ρ ( ) είναι κάτω από τον άξονα ' ( ο θέμα Πανελλαδικών 004) M C Escher Sun and moon

49 Άλγεβρα Β Λυκείου Εκθετική συνάρτηση Εκθετική συνάρτηση " Όσοι δεν γνωρίζουν μαθηματικά είναι δύσκολο να νιώσουν την ουσία και την ομορφιά, τη βαθύτερη ομορφιά της φύσης " Richard Feynman α BE/0Αν f( ) =, να βρεθεί το α ώστε η συνάρτηση ) α+ f ( : Α) να ορίζεται σε όλο το Β) να είναι γνησίως αύξουσα α BE/0 A) Να βρεθούν τα α για τα οποία η f( ) = α+ i) ορίζεται για κάθε ii) είναι γνησίως αύξουσα iii) είναι γνησίως φθίνουσα α B) Όμοια για την f( ) = α α BE/0 Έστω η συνάρτηση f( ) = α+ Α) Bρείτε τις τιμές του α ώστε η συνάρτηση f ορίζεται σε όλο το B) Να βρείτε τις τιμές του α ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα και εκείνες για τις οποίες είναι γνησίως φθίνουσα BE/04Δίνεται η εκθετική συνάρτηση ( ) ( 4 ) f = λ με 4 λ Για ποιες τιμές του λ ορίζεται η συνάρτηση σε όλο το ; Για ποιες τιμές του λ είναι γνησίως αύξουσα; Βρείτε το λ ώστε η γραφική παράσταση της f να διέρχεται από το Α, 4 Να λυθούν οι εξισώσεις : BE/05 α) = β) = 7 4 BE/06 α) 5 4 = 65 ( 5 + ) + BE/07 α) ( ) ( BE/08 α) 4 = β) 7 = 8 BE/09 α) = β) ( 7 ) 8 = + 4 BE/0 α) 7 = 5 BE/ α) = = + β) = = β) 6) = β) + 4 = 0 β) 8

50 Άλγεβρα Β Λυκείου BE/ α) = 50 BE/ α) 4 5 = 4 BE/4 α) + + BE/5 α) = + BE/6 α) β) = 0 β) = 6 + β) = 80 β) 5 = = 9 Εκθετική συνάρτηση + = β) 4 + = BE/7 α) BE/8 α) = 0 β) BE/9 α) e e 0 + = β) = = 0 + = β) ( ) BE/0 Να λυθούν τα συστήματα: Α) + BE/Λύστε στο ( ),π y y e + e e + e = 0 = 8 = y Β) : 4 = 6 y 4 = 48 (Υπόδειξη: στο Β) Πολλαπλασίασε και διαίρεσε κατά μέλη) 0 την εξίσωση ( εϕ ) ηµ = ( σϕ ) συν BE/ Να λυθούν οι ανισώσεις: Α) <, Β) <, Γ) >, Δ) 7 < 8, Ε) 4 > 9, ΣΤ) 7 4 > 64 BE/ Λύστε τις ανισώσεις: Α) + + < 80, Β) > 0, Γ) > 0, Δ) ΣΤ) < <, Ε) BE/4Α) Να λυθούν οι ανισώσεις: Α) ( ) ( ) Β) ( e ) ( 7) ( 5 5) 0 Δ) ( e e )( 8)( ) < < > 0, >, Γ) ( e )( )( ) 4 + 0, BE/5Να λυθεί η ανίσωση:( 6 + 5) ( 6 + 5) BE/7 Λύστε τις ανισώσεις:α) ( ) e e e BE/6Να λυθεί η ανίσωση : Α) 0 > Β) 0 > e e e e + ee + e< 0 Β) > 4 BE/8Να λυθεί η ανίσωση + α <α με α> 0, αν είναι γνωστό ότι αληθεύει για = 0

51 Άλγεβρα Β Λυκείου Εκθετική συνάρτηση BE/9Αν η ακολουθία ( α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος, δείξτε ότι η ακολουθία β = αν είναι γεωμετρική πρόοδος ν BE/0Αν η ημιζωή ενός ραδιενεργού υλικού είναι 8 χρόνια, να βρεθεί η συνάρτηση που εκφράζει την εκθετική του απόσβεση Tί μέρος από την αρχική ποσότητα θα έχει απομείνει μετά από 4 χρόνια; BE/Αναλύοντας δείγμα υφάσματος από προϊστορικό τάφο οι επιστήμονες βρήκαν ότι η ποσότητα C 4 είναι το ¼ της αρχικής ποσότητας που περιέχονταν στο ύφασμα Ποιας εποχής είναι ο τάφος αν είναι γνωστό ότι ο ραδιενεργός άνθρακας C 4 έχει ημιζωή 4600 έτη ; BE/ Ένα αβγό, που βράζει στους 98 C, τοποθετείται σε ένα δοχείο νερού θερμοκρασίας 8 C για να κρυώσει Η θερμοκρασία T (t) του αυγού μετά από χρόνο t δίνεται από τον τύπο ct Tt () δ 0 =λ e, όπου δ 0 η θερμοκρασία του δοχείου νερού για την οποία υποθέτουμε ότι δεν μεταβάλλεται αισθητά α) Βρείτε τη σταθερά λ β) Αν μετά από 5 λεπτά η θερμοκρασία του αυγού είναι 8 C, να βρείτε μετά από πόσο χρόνο η θερμοκρασία του θα γίνει C BE/Μια ποσότητα 50 ml μιας κολώνιας εξατμίζεται με ρυθμό 5% ανά ημέρα Βρείτε τη συνάρτηση που δίνει την ποσότητα της κολώνιας μετά από t ημέρες και να κάνετε πρόχειρη γραφική παράσταση Πόσα ml θα έχουν απομείνει μετά από 0 ημέρες και πόσα μετά από 40; (Χρησιμοποιείστε computer) BE/4 Σ' έναν ασθενή με υψηλό πυρετό χορηγείται ένα αντιπυρετικό φάρμακο Η θερμοκρασία Q(t) του ασθενούς t ώρες μετά τη λήψη του φαρμάκου, δίνεται, σε βαθμούς Κελσίου, από τον τύπο Qt ( ) = ,5 t α) Να βρείτε τη θερμοκρασία που είχε ο ασθενής τη στιγμή που του χορηγήθηκε το φάρμακο Β) Σε πόσες ώρες η θερμοκρασία του ασθενούς θα επανέλθει στη φυσιολογική τιμή των 6,5 C γ) Αν η δράση του φαρμάκου διαρκέσει 6 ώρες, ποια θα είναι η θερμοκρασία του ασθενούς μόλις σταματήσει η δράση του φαρμάκου; α BE/5 Αν f( ) =, α, τότε: +α Α) Βρείτε τις τιμές του α ώστε η f να ορίζεται για κάθε Β) Βρείτε τις τιμές του α ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα