Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα"

Transcript

1 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ψηφιακά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Περιεχόμενα Εισαγωγή στα Γραφήματα. Βασικοί Ορισμοί: Μονοπάτια, κυκλώματα, ισόμορφα γραφήματα, εμβαρημένα γραφήματα, συνεκτικότητα. Ο Αλγόριθμος του Dijkstra. Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. 4

5 Στόχοι Εισαγωγή στη θεωρία γραφημάτων. Κατανόηση και μελέτη γραφημάτων και των πρακτικών εφαρμογών τους. Εξοικείωση με την ορολογία των γραφημάτων και με τις κατηγοριοποιήσεις τους. Μελέτη ορισμένων βασικών προβλημάτων σε γραφήματα, όπως η εύρεση ελαφρυτέρων διαδρομών σε εμβαρημένα γραφήματα (με τον αλγόριθμο του Dijkstra), η εύρεση μονοπατιών Euler και η εύρεση μονοπατιών Hamilton. 5

6 Γραφήματα (1) Γράφημα: Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα. Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 1 2 (διμελής σχέση επί των κορυφών) πλήθος κορυφών πλήθος ακμών 6

7 Γραφήματα (2) Γράφημα: Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα. Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 1 2 (διμελής σχέση επί των κορυφών) πλήθος κορυφών πλήθος ακμών TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAA 7

8 Γραφήματα (3) Γράφημα: Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα. Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) (διμελής σχέση επί των κορυφών) Μερικά είδη γραφημάτων: Κατεύθυνση ακμών - μη κατευθυνόμενα - κατευθυνόμενα Βάρος ακμών - αβαρή - εμβαρή 8

9 Γραφήματα (4) Εφαρμογές: διμελείς σχέσεις (π.χ. κοινωνικά δίκτυα) 9

10 Γραφήματα (5) Εφαρμογές: οδικά ή μεταφορικά δίκτυα, δίκτυα υπολογιστών κ.λ.π. Πηγή: http: //www.personal.psu.edu/kxl272/assignment5%266.html 10

11 Γραφήματα (6) Εφαρμογές: internet / world wide web Πηγή: http: //www.pearltrees.com/davidbruce/web/id

12 Γραφήματα (7) Ισόμορφα Γραφήματα 1 2 α 3 β ε 4 5 γ δ Υπάρχει 1-1 συνάρτηση τέτοια ώστε 12

13 Γραφήματα (8) Ισόμορφα Γραφήματα 1 2 α 3 β ε 4 5 γ δ Υπάρχει 1-1 συνάρτηση τέτοια ώστε 13

14 Γραφήματα (9) Είναι τα δύο παρακάτω γραφήματα ισόμορφα; a b c d e 14

15 Γραφήματα (10) Το είναι υπογράφημα του εάν και 15

16 Γραφήματα (11) Το είναι υπογράφημα του εάν και Το είναι το συμπλήρωμα του ως προς το εάν και 16

17 Γραφήματα (12) πλήρες (μη κατευθυνόμενο) γράφημα με κορυφές ένα οποιοδήποτε (μη κατευθυνόμενο γράφημα) με κορυφές συμπλήρωμα του (ως προς το ) 17

18 Γραφήματα (13) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) α β γ δ ε ζ η θ ι 18

19 Γραφήματα (14) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) α β γ δ Π.χ. (β,γ,θ,η,β,γ,θ,ι) ε Οι ακμές (β,γ) και (γ,θ) εμφανίζονται 2 φορές ζ η θ ι 19

20 Γραφήματα (15) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) α β γ δ Π.χ. (α,ε,ζ,α,β,γ) ε Κάθε ακμή εμφανίζεται μία φορά Οι κορυφή α εμφανίζεται 2 φορές ζ η θ ι 20

21 Γραφήματα (16) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) α β γ δ Π.χ. (α,ε,ζ,α,β,γ) ε Κάθε ακμή εμφανίζεται μία φορά Η κορυφή α εμφανίζεται 2 φορές ζ η θ ι Απλό μονοπάτι : για κάθε 21

22 Γραφήματα (17) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) α β γ δ Π.χ. (δ,ι,γ,θ,η) ε Κάθε κορυφή εμφανίζεται μία φορά ζ η θ ι 22

23 Γραφήματα (18) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) α β γ δ Π.χ. (δ,ι,γ,θ,η) ε Κάθε κορυφή εμφανίζεται μία φορά ζ η θ ι Στοιχειώδες μονοπάτι : για κάθε 23

24 Γραφήματα (19) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) Κύκλωμα : μονοπάτι τέτοιο ώστε α β γ δ ε ζ η θ ι 24

25 Γραφήματα (20) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) Κύκλωμα : μονοπάτι τέτοιο ώστε α β γ δ Π.χ. (α,ε,β,θ,η,β,θ,η,ζ,α) ε Οι ακμές (β,θ) και (θ,η) εμφανίζονται 2 φορές ζ η θ ι 25

26 Γραφήματα (21) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) Κύκλωμα : μονοπάτι τέτοιο ώστε α β γ δ Π.χ. (α,ε,ζ,α,β,θ,ι,α) ε Κάθε ακμή εμφανίζεται μία φορά Η κορυφή α εμφανίζεται 3 φορές ζ η θ ι 26

27 Γραφήματα (22) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) Κύκλωμα : μονοπάτι τέτοιο ώστε α β γ δ Π.χ. (α,ε,ζ,α,β,θ,ι,α) ε Κάθε ακμή εμφανίζεται μία φορά Η κορυφή α εμφανίζεται 3 φορές ζ η θ ι Απλό κύκλωμα : για κάθε 27

28 Γραφήματα (23) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) Κύκλωμα : μονοπάτι τέτοιο ώστε α β γ δ Π.χ. (γ,θ,η,ζ,α,β,γ) ε Κάθε κορυφή εκτός της γ εμφανίζεται μία φορά ζ η θ ι 28

29 Γραφήματα (24) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) Κύκλωμα : μονοπάτι τέτοιο ώστε α β γ δ Π.χ. (γ,θ,η,ζ,α,β,γ) ε Κάθε κορυφή εκτός της γ εμφανίζεται μία φορά ζ η θ ι Στοιχειώδες κύκλωμα : αποτελείται από στοιχειώδες μονοπάτι και την ακμή 29

30 Γραφήματα (25) Συνεκτικό μη κατευθυνόμενο γράφημα : περιέχει μονοπάτι μεταξύ οποιουδήποτε ζεύγους κορυφών του α β γ δ α β γ δ ε ε ζ η θ ι ζ η θ ι συνεκτικό μη συνεκτικό 30

31 Γραφήματα (26) Συνεκτικό κατευθυνόμενο γράφημα: το αντίστοιχο μη κατευθυνόμενο γράφημα (αγνοώντας τις κατευθύνσεις των ακμών) είναι συνεκτικό. Ισχυρά συνεκτικό κατευθυνόμενο γράφημα: για οποιοδήποτε ζεύγος κορυφών α και β περιέχει μονοπάτι από το α στο β και μονοπάτι από το β στο α. α β γ α β γ ζ η θ ζ η θ συνεκτικό αλλά όχι ισχυρά συνεκτικό ισχυρά συνεκτικό 31

32 Γραφήματα (27) Εμβαρές γράφημα βάρος κορυφών : συνάρτηση με πεδίο ορισμού βάρος ακμών : συνάρτηση με πεδίο ορισμού 2 α 11 β δ ε 2 γ

33 Γραφήματα (28) Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση βάρους (μη αρνητικά βάρη) Ελαφρύτατη διαδρομή από το u στο v : διαδρομή με και ελάχιστο βάρος Βάρος ελαφρύτατης διαδρομής εάν υπάρχει διαδρομή από το u στο v διαφορετικά Θέλουμε να βρούμε όλες τις ελαφρύτερες διαδρομές από το s προς κάθε άλλο κόμβο 33

34 Γραφήματα (29) Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση βάρους (μη αρνητικά βάρη) Ελαφρύτατη διαδρομή από το u στο v : διαδρομή με και ελάχιστο βάρος Βάρος ελαφρύτατης διαδρομής εάν υπάρχει διαδρομή από το u στο v διαφορετικά Θέλουμε να βρούμε όλες τις ελαφρύτερες διαδρομές από το s προς κάθε άλλο κόμβο 34

35 Αλγόριθμος του Dijkstra: Γραφήματα (30) Διατηρεί τις ακόλουθες πληροφορίες. για κάθε κορυφή μία προεκτίμηση του βάρους της ελαφρύτατης διαδρομής από το για κάθε κορυφή έναν προκάτοχο που είναι ο κόμβος που προηγείται του στην διαδρομή από το που έχει κατασκευαστεί μέχρι τώρα σύνολο κορυφών για τις οποίες έχει υπολογιστεί το τελικό βάρος της ελαφρύτατης διαδρομής από το Αρχικοποίηση : 35

36 Αλγόριθμος του Dijkstra: Γραφήματα (31) Διατηρεί τις ακόλουθες πληροφορίες. για κάθε κορυφή μία προεκτίμηση του βάρους της ελαφρύτατης διαδρομής από το για κάθε κορυφή έναν προκάτοχο που είναι ο κόμβος που προηγείται του στην διαδρομή από το που έχει κατασκευαστεί μέχρι τώρα σύνολο κορυφών για τις οποίες έχει υπολογιστεί το τελικό βάρος της ελαφρύτατης διαδρομής από το Σε κάθε επανάληψη επιλέγει μία κορυφή τέτοια ώστε και. Θέτει για κάθε ακμή 36

37 Γραφήματα (32) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε 37

38 Γραφήματα (33) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

39 Γραφήματα (34) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

40 Γραφήματα (35) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

41 Γραφήματα (36) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

42 Γραφήματα (37) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

43 Γραφήματα (38) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

44 Γραφήματα (39) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

45 Γραφήματα (40) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

46 Γραφήματα (41) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

47 Γραφήματα (42) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

48 Γραφήματα (43) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

49 Γραφήματα (44) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler Μπορεί κανείς να διασχίσει ακριβώς μία φορά κάθε γέφυρα σε έναν περίπατο; Πηγή: http: //www.ebabylone.com/encyclopedie_1736.html 49

50 Γραφήματα (45) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler Μπορεί κανείς να διασχίσει ακριβώς μία φορά κάθε γέφυρα σε έναν περίπατο; Πηγή: http: //philsproof.com/2007/11/04/how-i-met-leonhard-euler/ 50

51 Γραφήματα (46) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε ζ η θ 51

52 Γραφήματα (47) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) ζ η θ 52

53 Γραφήματα (48) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) ζ η θ 53

54 Γραφήματα (49) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) ζ η θ 54

55 Γραφήματα (50) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) ζ η θ 55

56 Γραφήματα (51) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) ζ η θ 56

57 Γραφήματα (52) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) (η,θ) ζ η θ 57

58 Γραφήματα (53) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) (η,θ) (θ,β) ζ η θ 58

59 Γραφήματα (54) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) (η,θ) (θ,β) (β,γ) ζ η θ 59

60 Γραφήματα (55) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) (η,θ) (θ,β) (β,γ) (γ,θ) ζ η θ 60

61 Γραφήματα (56) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) (η,θ) (θ,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,ζ) ζ η θ 61

62 Γραφήματα (57) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) (η,θ) (θ,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,ζ) (ζ,η) ζ η θ 62

63 Γραφήματα (58) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) (η,θ) (θ,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,ζ) (ζ,η) (η,ε) ζ η θ 63

64 Γραφήματα (59) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Euler: ορίζεται με όμοιο τρόπο. α β γ ε ζ η θ TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA 64

65 Γραφήματα (60) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Euler: ορίζεται με όμοιο τρόπο. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,η) (η,ζ) (ζ,θ) (θ,β) (β,η) (η,θ) (θ,γ) (γ,β) (β,α) ζ η θ 65

66 Γραφήματα (61) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. 66

67 Γραφήματα (62) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Βαθμός κορυφής : πλήθος ακμών που προσπίπτουν σε αυτήν βαθμός(α) = 3 α β γ βαθμός(γ) = 2 ε ζ η θ βαθμός(θ) = 4 67

68 Γραφήματα (63) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: α) Έστω ότι υπάρχει μονοπάτι Euler. Τότε το γράφημα είναι συνεκτικό. α β γ ε ζ η θ 68

69 Γραφήματα (64) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: α) Έστω ότι υπάρχει μονοπάτι Euler. Τότε το γράφημα είναι συνεκτικό. Κάθε φορά που το μονοπάτι επισκέπτεται μία κορυφή διασχίζει δύο ακμές. α β γ ε ζ η θ 69

70 Γραφήματα (65) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: α) Έστω ότι υπάρχει μονοπάτι Euler. Τότε το γράφημα είναι συνεκτικό. Κάθε φορά που το μονοπάτι επισκέπτεται μία κορυφή διασχίζει δύο ακμές. Άρα όλες οι ενδιάμεσες κορυφές (εκτός από την αρχική και την τελική κορυφή του μονοπατιού) πρέπει να έχουν άρτιο βαθμό. Αν οι κορυφές στα άκρα του μονοπατιού διαφέρουν τότε έχουν περιττό βαθμό, διαφορετικά έχουμε κύκλωμα Euler και όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό. α β γ ε ζ η θ 70

71 Γραφήματα (66) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. α β γ ε ζ η θ 71

72 Γραφήματα (67) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. Μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα μονοπάτι από την μία κορυφή περιττού βαθμού στην άλλη: σε κάθε άλλη κορυφή το μονοπάτι μπορεί να συνεχιστεί ακολουθώντας μία ακμή που δεν έχουμε χρησιμοποιήσει ακόμα. α β γ ε ζ η θ 72

73 Γραφήματα (68) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. α ε β γ Μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα μονοπάτι από την μία κορυφή περιττού βαθμού στην άλλη: σε κάθε άλλη κορυφή το μονοπάτι μπορεί να συνεχιστεί ακολουθώντας μία ακμή που δεν έχουμε χρησιμοποιήσει ακόμα. ζ η θ Αν έχουμε χρησιμοποιήσει όλες τις ακμές τότε έχουμε βρει ένα μονοπάτι Euler. Διαφορετικά αφαιρούμε τις ακμές του μονοπατιού από το γράφημα. 73

74 Γραφήματα (69) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. α ε β γ Μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα μονοπάτι από την μία κορυφή περιττού βαθμού στην άλλη: σε κάθε άλλη κορυφή το μονοπάτι μπορεί να συνεχιστεί ακολουθώντας μία ακμή που δεν έχουμε χρησιμοποιήσει ακόμα. ζ η θ Αν έχουμε χρησιμοποιήσει όλες τις ακμές τότε έχουμε βρει ένα μονοπάτι Euler. Διαφορετικά αφαιρούμε τις ακμές του μονοπατιού από το γράφημα. 74

75 Γραφήματα (70) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. α ε β γ Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. ζ η θ Στο υπογράφημα που λαμβάνουμε κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθμό. Επιπλέον περιέχει μία τουλάχιστον κορυφή που βρίσκεται πάνω στο μονοπάτι που αφαιρέσαμε. 75

76 Γραφήματα (71) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. Στο υπογράφημα που λαμβάνουμε κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθμό. Επιπλέον περιέχει μία τουλάχιστον κορυφή που βρίσκεται πάνω στο μονοπάτι που αφαιρέσαμε. α ζ ε β η γ θ Ένα μονοπάτι που ξεκινά από αυτήν την κορυφή και διασχίζει κάθε ακμή από μία φορά πρέπει να καταλήγει στην ίδια κορυφή. 76

77 Γραφήματα (72) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. α ε β γ Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. ζ η θ (α,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) + (β,γ) (γ,θ) (θ,β) = (α,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) 77

78 Γραφήματα (73) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. α β γ Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. ε Μπορούμε να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να λάβουμε ένα μονοπάτι Euler. ζ η θ (α,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) + (β,γ) (γ,θ) (θ,β) = (α,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) 78

79 Γραφήματα (74) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. α ε β γ Μπορούμε να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να λάβουμε ένα μονοπάτι Euler. ζ η θ (α,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) + (β,γ) (γ,θ) (θ,β) = (α,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) 79

80 Γραφήματα (75) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. α Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. ε Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. ζ η θ Μπορούμε να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να λάβουμε ένα μονοπάτι Euler. 80

81 Γραφήματα (76) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. α ζ ε η θ Μπορούμε να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να λάβουμε ένα μονοπάτι Euler. 81

82 Γραφήματα (77) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. α ε β γ Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. ζ η θ Μπορούμε να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να λάβουμε ένα μονοπάτι Euler. 82

83 Γραφήματα (78) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. α β γ Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. Μπορούμε να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να λάβουμε ένα μονοπάτι Euler. ζ ε η θ (α,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) + (η,ε) (ε,α) (α,ζ) (ζ,θ) (θ,η) = (α,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,β) (β,η) (η,ε) (ε,α) (α,ζ) (ζ,θ) (θ,η) (η,ζ) (ζ,ε) 83

84 Γραφήματα (79) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. Μπορούμε να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να λάβουμε ένα μονοπάτι Euler. α ζ ε β η γ θ (α,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) + (η,ε) (ε,α) (α,ζ) (ζ,θ) (θ,η) = (α,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,β) (β,η) (η,ε) (ε,α) (α,ζ) (ζ,θ) (θ,η) (η,ζ) (ζ,ε) 84

85 Γραφήματα (80) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. α ζ ε β η γ θ Πόρισμα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα κύκλωμα Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και όλες οι κορυφές του έχουν άρτιο βαθμό. 85

86 Γραφήματα (81) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α ε β γ ζ η θ 86

87 Γραφήματα (82) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α ε β γ (α,ε) ζ η θ 87

88 Γραφήματα (83) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α ε β γ (α,ε) (ε,ζ) ζ η θ 88

89 Γραφήματα (84) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α ε β γ (α,ε) (ε,ζ) (ζ,η) ζ η θ 89

90 Γραφήματα (85) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α ε β γ (α,ε) (ε,ζ) (ζ,η) (η,β) ζ η θ 90

91 Γραφήματα (86) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α ε β γ (α,ε) (ε,ζ) (ζ,η) (η,β) (β,θ) ζ η θ 91

92 Γραφήματα (87) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α ε β γ (α,ε) (ε,ζ) (ζ,η) (η,β) (β,θ) (θ,γ) ζ η θ 92

93 Γραφήματα (88) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Η εύρεση μονοπατιού ή κυκλώματος Hamilton είναι γενικά ένα πολύ δύσκολο πρόβλημα για το οποίο κανένας αποδοτικός αλγόριθμος δεν είναι γνωστός. Επιπλέον δεν γνωρίζουμε κάποια απλή ικανή και αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη μονοπατιού ή κυκλώματος Hamilton. 93

94 Γραφήματα (89) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Ας υποθέσουμε πρώτα ότι το γράφημα δεν είναι συνεκτικό. Έστω και δύο συνιστώσες του. Θεωρούμε δύο κορυφές και. Τότε η έχει βαθμό το πολύ. Ομοίως η έχει βαθμό το πολύ. Άρα το άθροισμα των βαθμών είναι μικρότερο ή ίσο με Άτοπο, άρα το γράφημα είναι συνεκτικό. 94

95 Γραφήματα (90) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Έστω τώρα ένα μονοπάτι όπου 95

96 Γραφήματα (91) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Έστω τώρα ένα μονοπάτι όπου Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές 96

97 Γραφήματα (92) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Έστω τώρα ένα μονοπάτι Ομοίως αν υπάρχει ακμή όπου τότε έχουμε μονοπάτι 97

98 Γραφήματα (93) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Έστω τώρα ένα μονοπάτι όπου Διαφορετικά για κάθε ακμή και ισχύει Θα δείξουμε ότι υπάρχει στοιχειώδες κύκλωμα με τις κορυφές 98

99 Γραφήματα (94) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Θα δείξουμε ότι υπάρχει στοιχειώδες κύκλωμα με τις κορυφές Προφανώς ισχύει αν υπάρχει η ακμή 99

100 Γραφήματα (95) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Θα δείξουμε ότι υπάρχει στοιχειώδες κύκλωμα με τις κορυφές Υποθέτουμε τώρα ότι δεν υπάρχει η Έστω ότι η συνδέεται με τις κορυφές Τότε η πρέπει να συνδέεται με μία από τις. Διαφορετικά το άθροισμα των βαθμών των και θα ήταν το πολύ 100

101 Γραφήματα (96) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Θα δείξουμε ότι υπάρχει στοιχειώδες κύκλωμα με τις κορυφές Υποθέτουμε τώρα ότι δεν υπάρχει η Έστω ότι η Έστω λοιπόν ότι η συνδέεται με τις κορυφές συνδέεται με την 101

102 Γραφήματα (97) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Θα δείξουμε ότι υπάρχει στοιχειώδες κύκλωμα με τις κορυφές Υποθέτουμε τώρα ότι δεν υπάρχει η Έστω ότι η Έστω λοιπόν ότι η συνδέεται με τις κορυφές συνδέεται με την Άρα έχουμε τον κύκλο 102

103 Γραφήματα (98) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Έχουμε τώρα ένα στοιχειώδες κύκλωμα με τις κορυφές Αφού υπάρχει κορυφή τέτοια ώστε η ακμή ανήκει στο 103

104 Γραφήματα (99) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Έχουμε τώρα ένα στοιχειώδες κύκλωμα με τις κορυφές Αφού υπάρχει κορυφή τέτοια ώστε η ακμή ανήκει στο Τότε υπάρχει το μονοπάτι με κορυφές Επαναλαμβάνουμε την κατασκευή αυτή μέχρι να πάρουμε μονοπάτι με κορυφές 104

105 Γραφήματα (100) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα: επιλέγουμε μία κατεύθυνση για κάθε ακμή 4 5 Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. 105

106 Γραφήματα (101) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. 106

107 Γραφήματα (102) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές 107

108 Γραφήματα (103) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές Διαφορετικά υπάρχει η ακμή. 108

109 Γραφήματα (104) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές Διαφορετικά υπάρχει η ακμή. Αν υπάρχει και η τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. 109

110 Γραφήματα (105) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές Διαφορετικά υπάρχει η ακμή. Αν υπάρχει και η τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. Αν όχι τότε υπάρχει η και εξετάζουμε αν υπάρχει ή κ.ο.κ. 110

111 Γραφήματα (106) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές Διαφορετικά υπάρχει η ακμή. Αν υπάρχει και η τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. Αν όχι τότε υπάρχει η και εξετάζουμε αν υπάρχει ή κ.ο.κ. 111

112 Γραφήματα (107) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές Διαφορετικά υπάρχει η ακμή. Αν υπάρχει και η τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. Αν όχι τότε υπάρχει η και εξετάζουμε αν υπάρχει ή κ.ο.κ. 112

113 Γραφήματα (108) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές Διαφορετικά υπάρχει η ακμή. Αν υπάρχει και η τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. Αν όχι τότε υπάρχει η και εξετάζουμε αν υπάρχει ή κ.ο.κ. Αν τελικά δεν υπάρχει τέτοιο ώστε και να υπάρχουν στο γράφημα, τότε υπάρχει η οπότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. 113

114 Γραφήματα (109) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές Διαφορετικά υπάρχει η ακμή. Αν υπάρχει και η τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. Αν όχι τότε υπάρχει η και εξετάζουμε αν υπάρχει ή κ.ο.κ. Αν τελικά δεν υπάρχει τέτοιο ώστε και να υπάρχουν στο γράφημα, τότε υπάρχει η οπότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. Επαναλαμβάνουμε το ίδιο μέχρι να κατασκευάσουμε μονοπάτι με κορυφές. 114

115 Ασκήσεις Έστω G={V,E} ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα με k συνεκτικές συνιστώσες και V =n, E =m. Αποδείξτε ότι m n-k. Δείξτε ότι σε ένα κατευθυνόμενο γράφημα το άθροισμα των εισερχόμενων βαθμών επί όλων των κορυφών ισούται με το άθροισμα όλων των εξερχόμενων ακμών. 115

116 Τέλος Ενότητας 116

117 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Στεργίου Κωνσταντίνος. «Διακριτά Μαθηματικά». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https: //eclass.uowm.gr/courses/icte257/ 117

118 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Όχι Παράγωγα Έργα Μη Εμπορική Χρήση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] h t t p ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό 118

119 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 119

120 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες http: //www.personal.psu.edu/kxl272/assignment5%266.html http: //www.pearltrees.com/davidbruce/web/id http: //www.ebabylone.com/encyclopedie_1736.html http: //philsproof.com/2007/11/04/how-i-met-leonhardeuler/ 120

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

Νέες Τεχνολογίες και Καλλιτεχνική Δημιουργία

Νέες Τεχνολογίες και Καλλιτεχνική Δημιουργία Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Νέες Τεχνολογίες και Καλλιτεχνική Δημιουργία Ενότητα # 9: Ψηφιακός Ήχος - Audacity Θαρρενός Μπράτιτσης Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 5: Όρια και Συνέχεια Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην πληροφορική

Εισαγωγή στην πληροφορική Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στην πληροφορική Ενότητα 4: Ψηφιακή Λογική, Άλγεβρα Boole, Πίνακες Αλήθειας (Μέρος Α) Αγγελίδης Παντελής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 3: Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Ενότητα 3: Νόμος του Ohm Κανόνες του Kirchhoff Αριστείδης Νικ. Παυλίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Βιομηχανικού Σχεδιασμού ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 11: Θεωρία Οργάνωσης & Διοίκησης Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Ήπιες και νέες μορφές ενέργειας

Ήπιες και νέες μορφές ενέργειας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ήπιες και νέες μορφές ενέργειας Ενότητα : Ωκεάνια Θερμική Ενέργεια II Ενέργεια από την διαφορά θερμοκρασίας Σκόδρας Γεώργιος, Αν. Καθηγητής gskodras@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Ενότητα: Επενδύσεις και χρηματοδότηση Αν. Καθηγητής Μπακούρος Ιωάννης e-mail: ylb@uowm.gr,

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτροτεχνία ΙΙ. Ενότητα 2: Ηλεκτρικά κυκλώματα συνεχούς ρεύματος. Δημήτρης Στημονιάρης, Δημήτρης Τσιαμήτρος Τμήμα Ηλεκτρολογίας

Ηλεκτροτεχνία ΙΙ. Ενότητα 2: Ηλεκτρικά κυκλώματα συνεχούς ρεύματος. Δημήτρης Στημονιάρης, Δημήτρης Τσιαμήτρος Τμήμα Ηλεκτρολογίας Ηλεκτροτεχνία ΙΙ Ενότητα 2: Ηλεκτρικά κυκλώματα συνεχούς ρεύματος Δημήτρης Στημονιάρης, Δημήτρης Τσιαμήτρος Τμήμα Ηλεκτρολογίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 6: Ομοιοπολικός δεσμός. Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm.

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 6: Ομοιοπολικός δεσμός. Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Χημεία Ενότητα 6: Ομοιοπολικός δεσμός Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 10: Θεωρία μοριακών τροχιακών. Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm.

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 10: Θεωρία μοριακών τροχιακών. Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Χημεία Ενότητα 10: Θεωρία μοριακών τροχιακών Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 3: Κλασικά Υποδείγματα της Διεθνούς Οικονομικής Θεωρίας (Heckscher-Ohlin model) Γρηγόριος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές της Πληροφορικής στην Εκπαίδευση

Εφαρμογές της Πληροφορικής στην Εκπαίδευση Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Εφαρμογές της Πληροφορικής στην Εκπαίδευση Ενότητα # 3:Εκπαιδευτικό Λογισμικό και Ελληνικό Νηπιαγωγείο: Μια γενική επισκόπηση Θαρρενός Μπράτιτσης Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Ενότητα 1: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Ενότητα 1: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Ενότητα 1: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Αθανασιάδης Αναστάσιος Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και Οικονομία Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Ενότητα 11: «Ασκήσεις 1» ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Τμήμα ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων)

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης (ΜΒΑ) Ενότητα 1: Δικτυωτή Ανάλυση (Θεωρία Γράφων) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Ενότητα 2: Όργανα Μετρήσεων Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Αριστείδης Νικ. Παυλίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Βιομηχανικού Σχεδιασμού ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις

Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις Ενότητα 8: Άνωση, Πλεύση/Βύθιση, Πίεση. Καθηγητής: Καριώτογλου Πέτρος (pkariotog@uowm.gr) Παιδαγωγικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 3.2 : Απαρίθμηση Συνδυαστική (ΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην πληροφορική

Εισαγωγή στην πληροφορική Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στην πληροφορική Ενότητα 2: Βασικές αρχές λειτουργίας και χρήσης του υπολογιστή Αγγελίδης Παντελής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 4: Κλασικά Υποδείγματα της Διεθνούς Οικονομικής Θεωρίας (Heckscher-Ohlin model) Γρηγόριος

Διαβάστε περισσότερα

Μάρκετινγκ Εξαγωγών. Ενότητα 3 : Το Περιβάλλον και το Διεθνές Μάρκετινγκ Κοινωνικο-Πολιτιστικό Περιβάλλον

Μάρκετινγκ Εξαγωγών. Ενότητα 3 : Το Περιβάλλον και το Διεθνές Μάρκετινγκ Κοινωνικο-Πολιτιστικό Περιβάλλον ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 : Το Περιβάλλον και το Διεθνές Μάρκετινγκ Κοινωνικο-Πολιτιστικό Περιβάλλον Χριστίνα Μπουτσούκη Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 2 : Κλασικά Υποδείγματα της Διεθνούς Οικονομικής Θεωρίας (Ricardo model) Γρηγόριος Ζαρωτιάδης

Διαβάστε περισσότερα

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 4.3: Αγγελική Γιαννικοπούλου Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία (ΤΕΑΠΗ) Διδακτική Πρακτική Διδακτική πρακτική: Ελένη Τσενεκίδη,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Πολυμέσων Ενότητα 7: Ψηφιοποίηση και ψηφιακή επεξεργασία σήματος.

Συστήματα Πολυμέσων Ενότητα 7: Ψηφιοποίηση και ψηφιακή επεξεργασία σήματος. Συστήματα Πολυμέσων Ενότητα 7: Ψηφιοποίηση και ψηφιακή επεξεργασία σήματος. Επικ. Καθηγητής Συνδουκάς Δημήτριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών. Ενότητα 10: ΚΛΙΜΑΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Λοΐζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών. Ενότητα 10: ΚΛΙΜΑΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Λοΐζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 10: ΚΛΙΜΑΚΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ Λοΐζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου

Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου Θεοδωρίδης Προκόπης Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις

Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις Ενότητα 1: Αναπαραστάσεις ΕΦΕΙΑ Καθηγητής: Καριώτογλου Πέτρος (pkariotog@uowm.gr) Παιδαγωγικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 12: Οργανογράμματα Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Ενότητα: Παραχώρηση (Franchising) Αν. Καθηγητής Μπακούρος Ιωάννης e-mail: ylb@uowm.gr,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Ενότητα 5: Επανάληψη στο Συνεχές Ρεύμα. Αριστείδης Νικ. Παυλίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Βιομηχανικού Σχεδιασμού ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΝΕΟΤΕΡΗ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΙΣΤΟΡΙΑ

ΝΕΟΤΕΡΗ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΙΣΤΟΡΙΑ Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών ΝΕΟΤΕΡΗ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΕΥΡΩΠΑΪΚΗ ΙΣΤΟΡΙΑ Ενότητα 4: Επέτειος Πολυτεχνείου Νηπιαγωγείο Αν. Καθηγήτρια: Ι. Βαμβακίδου e-mail: ibambak@uowm.gr Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ανατομία - Φυσιολογία Ακοής Ομιλίας Λόγου

Ανατομία - Φυσιολογία Ακοής Ομιλίας Λόγου 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Ανατομία - Φυσιολογία Ακοής Ομιλίας Λόγου Ενότητα 5 : Στοματική κοιλότητα Φάρυγγας (Μέρος Α ) Ναυσικά Ζιάβρα 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα

Διαβάστε περισσότερα

Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις

Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις Ενότητα 6: Ατομικό μοντέλο, άτομα, μόρια, δομή ατόμου Καθηγητής: Καριώτογλου Πέτρος (pkariotog@uowm.gr)

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση Υπολογιστών

Οργάνωση Υπολογιστών Οργάνωση Υπολογιστών Επιμέλεια: Γεώργιος Θεοδωρίδης, Επίκουρος Καθηγητής Ανδρέας Εμερετλής, Υποψήφιος Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Ενότητα 9: ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΙΣΧΥΟΣ Αριστείδης Νικ. Παυλίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Βιομηχανικού Σχεδιασμού ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Ενότητα 8: Συντονισμός Αριστείδης Νικ. Παυλίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Βιομηχανικού Σχεδιασμού ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνοοικονομική Μελέτη

Τεχνοοικονομική Μελέτη Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τεχνοοικονομική Μελέτη Ενότητα 2: Βασικοί Οικονομικοί Όροι Σκόδρας Γεώργιος, Αν. Καθηγητής gskodras@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Κοινωνιολογία του Πολιτισμού

Κοινωνιολογία του Πολιτισμού Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Κοινωνιολογία του Πολιτισμού Ενότητα 2: Κοινωνιολογία - πολιτισμός - κουλτούρα. Επίκ. Καθηγητής: Νίκος Φωτόπουλος e-mail: nfotopoulos@uowm.gr Τηλ. Επικοινωνίας: 23850-55150

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 4 η : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 4.4: Αρχιτεκτονική και Εικονογραφημένο Βιβλίο Αγγελική Γιαννικοπούλου Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία (ΤΕΑΠΗ) Διδακτική

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 4: Οι αριθμητικές πράξεις: Πρόσθεση - Αφαίρεση Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Οι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 4.3 : Πιθανότητα Δεσμευμένη Πιθανότητα- Όρια (ΙΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρικά Κινητήρια Συστήματα

Ηλεκτρικά Κινητήρια Συστήματα Ηλεκτρικά Κινητήρια Συστήματα Ενότητα 2:Συγκρότηση ενός Ηλεκτρικού Κινητήριου Συστήματος είδη φορτίων Επαμεινώνδας Μητρονίκας Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 1: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός H/Y Ενότητα 6: Δομές (structures) Επικ. Καθηγητής Συνδουκάς Δημήτριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

Προγραμματισμός H/Y Ενότητα 6: Δομές (structures) Επικ. Καθηγητής Συνδουκάς Δημήτριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Προγραμματισμός H/Y Ενότητα 6: Δομές (structures) Επικ. Καθηγητής Συνδουκάς Δημήτριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτό Ψηφιακό Μάθημα για την κατάρτιση του προσωπικού υποστήριξης ανάπτυξης ψηφιακών μαθημάτων

Ανοικτό Ψηφιακό Μάθημα για την κατάρτιση του προσωπικού υποστήριξης ανάπτυξης ψηφιακών μαθημάτων Ανοικτό Ψηφιακό Μάθημα για την κατάρτιση του προσωπικού υποστήριξης ανάπτυξης ψηφιακών μαθημάτων Ενότητα 4: Opencourses.gr eclass delos Υποστήριξη & υποδομές Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 11: ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΔΙΑΤΡΕΞΗΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΟΣ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 11: ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΔΙΑΤΡΕΞΗΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΟΣ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 11: ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΔΙΑΤΡΕΞΗΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΟΣ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Ενότητα: Ισολογισμός Επιχειρήσεων Αν. Καθηγητής Μπακούρος Ιωάννης e-mail: ylb@uowm.gr,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Τεχνική Μηχανική

Μάθημα: Τεχνική Μηχανική Μάθημα: Τεχνική Μηχανική Ενότητα 1: Τεχνική Μηχανική Διδάσκων: Γκούντας Ιωάννης Τμήμα: Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης Τ.Ε. 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Ενότητα: Χρηματοδοτική Μίσθωση (Leasing) Αν. Καθηγητής Μπακούρος Ιωάννης e-mail: ylb@uowm.gr,

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Μεικτών VLSI Κυκλωμάτων Ενότητα 9: Ευστάθεια και Αντιστάθμιση Συχνότητας

Σχεδίαση Μεικτών VLSI Κυκλωμάτων Ενότητα 9: Ευστάθεια και Αντιστάθμιση Συχνότητας Σχεδίαση Μεικτών VLSI Κυκλωμάτων Αγγελική Αραπογιάννη Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Σύστημα αρνητικής ανάδρασης Y X s H(s) 1 H(s) Συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου Ταλαντωτής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 1: Διοίκηση και Manager Επίκ. Καθηγητής Θεμιστοκλής Λαζαρίδης Τμήμα Διοίκηση Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

Εισαγωγή στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 1: Διοίκηση και Manager Επίκ. Καθηγητής Θεμιστοκλής Λαζαρίδης Τμήμα Διοίκηση Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Εισαγωγή στη Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 1: Διοίκηση και Manager Επίκ. Καθηγητής Θεμιστοκλής Λαζαρίδης Τμήμα Διοίκηση Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 2.1: Αγγελική Γιαννικοπούλου Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία (ΤΕΑΠΗ) Διδακτική Πρακτική Διδακτική πρακτική: Μαρία Φράγκου.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 8: Διπλά ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 4: Οι αριθμητικοί πράξεις: Πολλαπλασιασμός - Διαίρεση Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Ενότητα 8: ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΠΩΛΗΤΩΝ

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Ενότητα 8: ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΠΩΛΗΤΩΝ Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Ενότητα 8: ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΠΩΛΗΤΩΝ Αθανασιάδης Αναστάσιος Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και Οικονομία Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 10: Ουρά Μ/Μ/s. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 10: Ουρά Μ/Μ/s. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 10: Ουρά Μ/Μ/s Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ Ενότητα 1: ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ ΧΡΗΜΑΤΑΓΟΡΑ. ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Τμήμα ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ

ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ Ενότητα 1: ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ ΧΡΗΜΑΤΑΓΟΡΑ. ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Τμήμα ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΔΙΕΘΝΕΙΣ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ Ενότητα 1: ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΑΓΟΡΕΣ ΧΡΗΜΑΤΑΓΟΡΑ ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Τμήμα ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονες Μορφές Χρηματοδότησης

Σύγχρονες Μορφές Χρηματοδότησης Σύγχρονες Μορφές Χρηματοδότησης Ενότητα 13: ΘΕΩΡΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Τμήμα ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Ήπιες και νέες μορφές ενέργειας

Ήπιες και νέες μορφές ενέργειας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ήπιες και νέες μορφές ενέργειας Ενότητα 1: ΥΔΡΟΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ I Εισαγωγή Σκόδρας Γεώργιος, Αν. Καθηγητής gskodras@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 3 η : ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 4.1: Πιθανότητα Δεσμευμένη Πιθανότητα- Όρια (Ι). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Ι Ενότητα 5: Μελέτες Περιπτώσεων.

Λογιστική Ι Ενότητα 5: Μελέτες Περιπτώσεων. Λογιστική Ι Ενότητα 5: Μελέτες Περιπτώσεων. Επίκουρος Καθηγητής Γεώργιος Κοντέος ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (ΓΡΕΒΕΝΑ) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ενότητα 1: Ιστορική αναδρομή και υπόβαθρο Δημοσθένης Πασχαλίδης Τμήμα Ιερατικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Ενότητα 7: ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΠΩΛΗΤΩΝ Αθανασιάδης Αναστάσιος Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και Οικονομία Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών. Πρακτική Άσκηση. Ενότητα 1: Εισαγωγικά

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών. Πρακτική Άσκηση. Ενότητα 1: Εισαγωγικά Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Πρακτική Άσκηση Ενότητα 1: Εισαγωγικά Αν. Καθηγήτρια: Σοφία Αυγητίδου E-mail: saugitidoy@uowm.gr Μέντορες: Βάσω Αλεξίου, Λίζα Θεοδωρίδου, Αγάπη Κοσκοσίδου Παιδαγωγικό Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Λογικός Προγραμματισμός Ασκήσεις

Λογικός Προγραμματισμός Ασκήσεις Λογικός Προγραμματισμός Ασκήσεις Παναγιώτης Σταματόπουλος Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιεχόμενα 1. Α Ομάδα Ασκήσεων "Λογικού Προγραμματισμού" Ακαδημαϊκού Έτους 2011-12... 3 1.1 Άσκηση 1...

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Ενότητα 3: ΜΟΡΦΕΣ ΤΥΠΟΙ ΠΩΛΗΣΕΩΝ Αθανασιάδης Αναστάσιος Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και Οικονομία Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΑ ΣΧΕΔΙΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΑ ΣΧΕΔΙΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΑ ΣΧΕΔΙΑ Ενότητα 7η: ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΔΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Ενότητα 2: Βήμα 1 Ανάλυση Υφιστάμενης Εταιρικής Κατάστασης Καθ. Αλεξανδρίδης Αναστάσιος Δρ. Αντωνιάδης Ιωάννης Τμήμα Διοίκηση Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 4.9: Τέχνη του Δρόμου - Γκράφιτι και Εικονογραφημένο Βιβλίο Αγγελική Γιαννικοπούλου Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία (ΤΕΑΠΗ)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ενότητα 7: Βάσεις Δεδομένων (Θεωρία) Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 6: Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιγραφική στατιστική ΕΡΩΤΗΜΑ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Όλες

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 15: Διαλύματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 15: Διαλύματα Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Χημεία Ενότητα 15: Διαλύματα Αν. Καθηγητής Γεώργιος Μαρνέλλος e-mail: gmarnellos@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 8: ΤΟΠΟΣ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Νοσηλευτική Σεμινάρια

Νοσηλευτική Σεμινάρια Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Νοσηλευτική Σεμινάρια Ενότητα 4: Τρόποι συγγραφής της Περίληψης μιας επιστημονικής εργασίας. Μαίρη Γκούβα 1 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ

Διαβάστε περισσότερα

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 3.1: Αγγελική Γιαννικοπούλου Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία (ΤΕΑΠΗ) Διδακτική Πρακτική Διδακτική πρακτική: Μαρία Φράγκου.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΑ ΣΧΕΔΙΑ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΑ ΣΧΕΔΙΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΑ ΣΧΕΔΙΑ Ενότητα 11η: ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΤΙΜΟΛΟΓΗΣΗΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΔΗΣ ΑΝΑΣΤΑΣΙΟΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 4.4: Αρχιτεκτονική και Εικονογραφημένο Βιβλίο Αγγελική Γιαννικοπούλου Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία (ΤΕΑΠΗ) Διδακτική

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΗΘΙΚΗ. Ενότητα 2: ΗΘΙΚΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΗΘΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ. ΜΑΡΙΑ Κ. ΚΑΡΑΜΠΕΛΙΑ Τμήμα Ιερατικών Σπουδών

ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΗΘΙΚΗ. Ενότητα 2: ΗΘΙΚΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΗΘΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ. ΜΑΡΙΑ Κ. ΚΑΡΑΜΠΕΛΙΑ Τμήμα Ιερατικών Σπουδών ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΗΘΙΚΗ Ενότητα 2: ΗΘΙΚΟΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΗΘΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΜΑΡΙΑ Κ. ΚΑΡΑΜΠΕΛΙΑ Τμήμα Ιερατικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηση σε νέα τεχνολογικά περιβάλλοντα

Μάθηση σε νέα τεχνολογικά περιβάλλοντα ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μάθηση σε νέα τεχνολογικά περιβάλλοντα Ενότητα 2: Εκπαίδευση με ΤΠΕ Βασιλική Μητροπούλου-Μούρκα Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Ι. Ενότητα 4: Μελέτες Περιπτώσεων. Επίκουρος Καθηγητής Γεώργιος Κοντέος ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (ΓΡΕΒΕΝΑ)

Λογιστική Ι. Ενότητα 4: Μελέτες Περιπτώσεων. Επίκουρος Καθηγητής Γεώργιος Κοντέος ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (ΓΡΕΒΕΝΑ) Λογιστική Ι Ενότητα 4: Μελέτες Περιπτώσεων. Επίκουρος Καθηγητής Γεώργιος Κοντέος ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (ΓΡΕΒΕΝΑ) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

1. Εκπαιδευτικό υλικό... Error! Bookmark not defined. Διάκριση εκπαιδευτικού υλικού... Error! Bookmark not defined.

1. Εκπαιδευτικό υλικό... Error! Bookmark not defined. Διάκριση εκπαιδευτικού υλικού... Error! Bookmark not defined. Πίνακας Οδηγίες περιεχομένων Αναφοράς 1. Εκπαιδευτικό υλικό... Error! Bookmark not defined. Διάκριση εκπαιδευτικού υλικού... Error! Bookmark not defined. Υλικό που έχει αναπτυχθεί αμιγώς από εμένα... Error!

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής

Διδακτική της Πληροφορικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4: Η Πληροφορική στην Ελληνική Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση Γενικό Λύκειο & Επαγγελματική Εκπαίδευση Σταύρος Δημητριάδης Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Από τον Ηρόδοτο μέχρι τον Απόστολο Παύλο Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ και τις Εφαρμογές Ενότητα 5: Επεξεργασία δεδομένων με τη γλώσσα προγραμματισμού python Υπο-ενότητα 5.

Εισαγωγή στους Η/Υ και τις Εφαρμογές Ενότητα 5: Επεξεργασία δεδομένων με τη γλώσσα προγραμματισμού python Υπο-ενότητα 5. Εισαγωγή στους Η/Υ και τις Εφαρμογές Ενότητα 5: Επεξεργασία δεδομένων με τη γλώσσα προγραμματισμού python Υπο-ενότητα 5.1: Λίστες Μανώλης Τζαγκαράκης, Βικτωρία Δασκάλου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα