Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα"

Transcript

1 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ψηφιακά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Περιεχόμενα Εισαγωγή στα Γραφήματα. Βασικοί Ορισμοί: Μονοπάτια, κυκλώματα, ισόμορφα γραφήματα, εμβαρημένα γραφήματα, συνεκτικότητα. Ο Αλγόριθμος του Dijkstra. Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. 4

5 Στόχοι Εισαγωγή στη θεωρία γραφημάτων. Κατανόηση και μελέτη γραφημάτων και των πρακτικών εφαρμογών τους. Εξοικείωση με την ορολογία των γραφημάτων και με τις κατηγοριοποιήσεις τους. Μελέτη ορισμένων βασικών προβλημάτων σε γραφήματα, όπως η εύρεση ελαφρυτέρων διαδρομών σε εμβαρημένα γραφήματα (με τον αλγόριθμο του Dijkstra), η εύρεση μονοπατιών Euler και η εύρεση μονοπατιών Hamilton. 5

6 Γραφήματα (1) Γράφημα: Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα. Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 1 2 (διμελής σχέση επί των κορυφών) πλήθος κορυφών πλήθος ακμών 6

7 Γραφήματα (2) Γράφημα: Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα. Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 1 2 (διμελής σχέση επί των κορυφών) πλήθος κορυφών πλήθος ακμών TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAA 7

8 Γραφήματα (3) Γράφημα: Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα. Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) (διμελής σχέση επί των κορυφών) Μερικά είδη γραφημάτων: Κατεύθυνση ακμών - μη κατευθυνόμενα - κατευθυνόμενα Βάρος ακμών - αβαρή - εμβαρή 8

9 Γραφήματα (4) Εφαρμογές: διμελείς σχέσεις (π.χ. κοινωνικά δίκτυα) 9

10 Γραφήματα (5) Εφαρμογές: οδικά ή μεταφορικά δίκτυα, δίκτυα υπολογιστών κ.λ.π. Πηγή: http: //www.personal.psu.edu/kxl272/assignment5%266.html 10

11 Γραφήματα (6) Εφαρμογές: internet / world wide web Πηγή: http: //www.pearltrees.com/davidbruce/web/id

12 Γραφήματα (7) Ισόμορφα Γραφήματα 1 2 α 3 β ε 4 5 γ δ Υπάρχει 1-1 συνάρτηση τέτοια ώστε 12

13 Γραφήματα (8) Ισόμορφα Γραφήματα 1 2 α 3 β ε 4 5 γ δ Υπάρχει 1-1 συνάρτηση τέτοια ώστε 13

14 Γραφήματα (9) Είναι τα δύο παρακάτω γραφήματα ισόμορφα; a b c d e 14

15 Γραφήματα (10) Το είναι υπογράφημα του εάν και 15

16 Γραφήματα (11) Το είναι υπογράφημα του εάν και Το είναι το συμπλήρωμα του ως προς το εάν και 16

17 Γραφήματα (12) πλήρες (μη κατευθυνόμενο) γράφημα με κορυφές ένα οποιοδήποτε (μη κατευθυνόμενο γράφημα) με κορυφές συμπλήρωμα του (ως προς το ) 17

18 Γραφήματα (13) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) α β γ δ ε ζ η θ ι 18

19 Γραφήματα (14) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) α β γ δ Π.χ. (β,γ,θ,η,β,γ,θ,ι) ε Οι ακμές (β,γ) και (γ,θ) εμφανίζονται 2 φορές ζ η θ ι 19

20 Γραφήματα (15) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) α β γ δ Π.χ. (α,ε,ζ,α,β,γ) ε Κάθε ακμή εμφανίζεται μία φορά Οι κορυφή α εμφανίζεται 2 φορές ζ η θ ι 20

21 Γραφήματα (16) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) α β γ δ Π.χ. (α,ε,ζ,α,β,γ) ε Κάθε ακμή εμφανίζεται μία φορά Η κορυφή α εμφανίζεται 2 φορές ζ η θ ι Απλό μονοπάτι : για κάθε 21

22 Γραφήματα (17) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) α β γ δ Π.χ. (δ,ι,γ,θ,η) ε Κάθε κορυφή εμφανίζεται μία φορά ζ η θ ι 22

23 Γραφήματα (18) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) α β γ δ Π.χ. (δ,ι,γ,θ,η) ε Κάθε κορυφή εμφανίζεται μία φορά ζ η θ ι Στοιχειώδες μονοπάτι : για κάθε 23

24 Γραφήματα (19) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) Κύκλωμα : μονοπάτι τέτοιο ώστε α β γ δ ε ζ η θ ι 24

25 Γραφήματα (20) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) Κύκλωμα : μονοπάτι τέτοιο ώστε α β γ δ Π.χ. (α,ε,β,θ,η,β,θ,η,ζ,α) ε Οι ακμές (β,θ) και (θ,η) εμφανίζονται 2 φορές ζ η θ ι 25

26 Γραφήματα (21) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) Κύκλωμα : μονοπάτι τέτοιο ώστε α β γ δ Π.χ. (α,ε,ζ,α,β,θ,ι,α) ε Κάθε ακμή εμφανίζεται μία φορά Η κορυφή α εμφανίζεται 3 φορές ζ η θ ι 26

27 Γραφήματα (22) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) Κύκλωμα : μονοπάτι τέτοιο ώστε α β γ δ Π.χ. (α,ε,ζ,α,β,θ,ι,α) ε Κάθε ακμή εμφανίζεται μία φορά Η κορυφή α εμφανίζεται 3 φορές ζ η θ ι Απλό κύκλωμα : για κάθε 27

28 Γραφήματα (23) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) Κύκλωμα : μονοπάτι τέτοιο ώστε α β γ δ Π.χ. (γ,θ,η,ζ,α,β,γ) ε Κάθε κορυφή εκτός της γ εμφανίζεται μία φορά ζ η θ ι 28

29 Γραφήματα (24) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) Κύκλωμα : μονοπάτι τέτοιο ώστε α β γ δ Π.χ. (γ,θ,η,ζ,α,β,γ) ε Κάθε κορυφή εκτός της γ εμφανίζεται μία φορά ζ η θ ι Στοιχειώδες κύκλωμα : αποτελείται από στοιχειώδες μονοπάτι και την ακμή 29

30 Γραφήματα (25) Συνεκτικό μη κατευθυνόμενο γράφημα : περιέχει μονοπάτι μεταξύ οποιουδήποτε ζεύγους κορυφών του α β γ δ α β γ δ ε ε ζ η θ ι ζ η θ ι συνεκτικό μη συνεκτικό 30

31 Γραφήματα (26) Συνεκτικό κατευθυνόμενο γράφημα: το αντίστοιχο μη κατευθυνόμενο γράφημα (αγνοώντας τις κατευθύνσεις των ακμών) είναι συνεκτικό. Ισχυρά συνεκτικό κατευθυνόμενο γράφημα: για οποιοδήποτε ζεύγος κορυφών α και β περιέχει μονοπάτι από το α στο β και μονοπάτι από το β στο α. α β γ α β γ ζ η θ ζ η θ συνεκτικό αλλά όχι ισχυρά συνεκτικό ισχυρά συνεκτικό 31

32 Γραφήματα (27) Εμβαρές γράφημα βάρος κορυφών : συνάρτηση με πεδίο ορισμού βάρος ακμών : συνάρτηση με πεδίο ορισμού 2 α 11 β δ ε 2 γ

33 Γραφήματα (28) Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση βάρους (μη αρνητικά βάρη) Ελαφρύτατη διαδρομή από το u στο v : διαδρομή με και ελάχιστο βάρος Βάρος ελαφρύτατης διαδρομής εάν υπάρχει διαδρομή από το u στο v διαφορετικά Θέλουμε να βρούμε όλες τις ελαφρύτερες διαδρομές από το s προς κάθε άλλο κόμβο 33

34 Γραφήματα (29) Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση βάρους (μη αρνητικά βάρη) Ελαφρύτατη διαδρομή από το u στο v : διαδρομή με και ελάχιστο βάρος Βάρος ελαφρύτατης διαδρομής εάν υπάρχει διαδρομή από το u στο v διαφορετικά Θέλουμε να βρούμε όλες τις ελαφρύτερες διαδρομές από το s προς κάθε άλλο κόμβο 34

35 Αλγόριθμος του Dijkstra: Γραφήματα (30) Διατηρεί τις ακόλουθες πληροφορίες. για κάθε κορυφή μία προεκτίμηση του βάρους της ελαφρύτατης διαδρομής από το για κάθε κορυφή έναν προκάτοχο που είναι ο κόμβος που προηγείται του στην διαδρομή από το που έχει κατασκευαστεί μέχρι τώρα σύνολο κορυφών για τις οποίες έχει υπολογιστεί το τελικό βάρος της ελαφρύτατης διαδρομής από το Αρχικοποίηση : 35

36 Αλγόριθμος του Dijkstra: Γραφήματα (31) Διατηρεί τις ακόλουθες πληροφορίες. για κάθε κορυφή μία προεκτίμηση του βάρους της ελαφρύτατης διαδρομής από το για κάθε κορυφή έναν προκάτοχο που είναι ο κόμβος που προηγείται του στην διαδρομή από το που έχει κατασκευαστεί μέχρι τώρα σύνολο κορυφών για τις οποίες έχει υπολογιστεί το τελικό βάρος της ελαφρύτατης διαδρομής από το Σε κάθε επανάληψη επιλέγει μία κορυφή τέτοια ώστε και. Θέτει για κάθε ακμή 36

37 Γραφήματα (32) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε 37

38 Γραφήματα (33) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

39 Γραφήματα (34) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

40 Γραφήματα (35) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

41 Γραφήματα (36) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

42 Γραφήματα (37) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

43 Γραφήματα (38) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

44 Γραφήματα (39) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

45 Γραφήματα (40) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

46 Γραφήματα (41) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

47 Γραφήματα (42) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

48 Γραφήματα (43) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

49 Γραφήματα (44) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler Μπορεί κανείς να διασχίσει ακριβώς μία φορά κάθε γέφυρα σε έναν περίπατο; Πηγή: http: //www.ebabylone.com/encyclopedie_1736.html 49

50 Γραφήματα (45) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler Μπορεί κανείς να διασχίσει ακριβώς μία φορά κάθε γέφυρα σε έναν περίπατο; Πηγή: http: //philsproof.com/2007/11/04/how-i-met-leonhard-euler/ 50

51 Γραφήματα (46) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε ζ η θ 51

52 Γραφήματα (47) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) ζ η θ 52

53 Γραφήματα (48) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) ζ η θ 53

54 Γραφήματα (49) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) ζ η θ 54

55 Γραφήματα (50) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) ζ η θ 55

56 Γραφήματα (51) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) ζ η θ 56

57 Γραφήματα (52) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) (η,θ) ζ η θ 57

58 Γραφήματα (53) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) (η,θ) (θ,β) ζ η θ 58

59 Γραφήματα (54) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) (η,θ) (θ,β) (β,γ) ζ η θ 59

60 Γραφήματα (55) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) (η,θ) (θ,β) (β,γ) (γ,θ) ζ η θ 60

61 Γραφήματα (56) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) (η,θ) (θ,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,ζ) ζ η θ 61

62 Γραφήματα (57) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) (η,θ) (θ,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,ζ) (ζ,η) ζ η θ 62

63 Γραφήματα (58) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) (η,θ) (θ,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,ζ) (ζ,η) (η,ε) ζ η θ 63

64 Γραφήματα (59) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Euler: ορίζεται με όμοιο τρόπο. α β γ ε ζ η θ TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA 64

65 Γραφήματα (60) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Euler: ορίζεται με όμοιο τρόπο. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,η) (η,ζ) (ζ,θ) (θ,β) (β,η) (η,θ) (θ,γ) (γ,β) (β,α) ζ η θ 65

66 Γραφήματα (61) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. 66

67 Γραφήματα (62) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Βαθμός κορυφής : πλήθος ακμών που προσπίπτουν σε αυτήν βαθμός(α) = 3 α β γ βαθμός(γ) = 2 ε ζ η θ βαθμός(θ) = 4 67

68 Γραφήματα (63) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: α) Έστω ότι υπάρχει μονοπάτι Euler. Τότε το γράφημα είναι συνεκτικό. α β γ ε ζ η θ 68

69 Γραφήματα (64) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: α) Έστω ότι υπάρχει μονοπάτι Euler. Τότε το γράφημα είναι συνεκτικό. Κάθε φορά που το μονοπάτι επισκέπτεται μία κορυφή διασχίζει δύο ακμές. α β γ ε ζ η θ 69

70 Γραφήματα (65) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: α) Έστω ότι υπάρχει μονοπάτι Euler. Τότε το γράφημα είναι συνεκτικό. Κάθε φορά που το μονοπάτι επισκέπτεται μία κορυφή διασχίζει δύο ακμές. Άρα όλες οι ενδιάμεσες κορυφές (εκτός από την αρχική και την τελική κορυφή του μονοπατιού) πρέπει να έχουν άρτιο βαθμό. Αν οι κορυφές στα άκρα του μονοπατιού διαφέρουν τότε έχουν περιττό βαθμό, διαφορετικά έχουμε κύκλωμα Euler και όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό. α β γ ε ζ η θ 70

71 Γραφήματα (66) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. α β γ ε ζ η θ 71

72 Γραφήματα (67) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. Μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα μονοπάτι από την μία κορυφή περιττού βαθμού στην άλλη: σε κάθε άλλη κορυφή το μονοπάτι μπορεί να συνεχιστεί ακολουθώντας μία ακμή που δεν έχουμε χρησιμοποιήσει ακόμα. α β γ ε ζ η θ 72

73 Γραφήματα (68) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. α ε β γ Μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα μονοπάτι από την μία κορυφή περιττού βαθμού στην άλλη: σε κάθε άλλη κορυφή το μονοπάτι μπορεί να συνεχιστεί ακολουθώντας μία ακμή που δεν έχουμε χρησιμοποιήσει ακόμα. ζ η θ Αν έχουμε χρησιμοποιήσει όλες τις ακμές τότε έχουμε βρει ένα μονοπάτι Euler. Διαφορετικά αφαιρούμε τις ακμές του μονοπατιού από το γράφημα. 73

74 Γραφήματα (69) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. α ε β γ Μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα μονοπάτι από την μία κορυφή περιττού βαθμού στην άλλη: σε κάθε άλλη κορυφή το μονοπάτι μπορεί να συνεχιστεί ακολουθώντας μία ακμή που δεν έχουμε χρησιμοποιήσει ακόμα. ζ η θ Αν έχουμε χρησιμοποιήσει όλες τις ακμές τότε έχουμε βρει ένα μονοπάτι Euler. Διαφορετικά αφαιρούμε τις ακμές του μονοπατιού από το γράφημα. 74

75 Γραφήματα (70) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. α ε β γ Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. ζ η θ Στο υπογράφημα που λαμβάνουμε κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθμό. Επιπλέον περιέχει μία τουλάχιστον κορυφή που βρίσκεται πάνω στο μονοπάτι που αφαιρέσαμε. 75

76 Γραφήματα (71) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. Στο υπογράφημα που λαμβάνουμε κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθμό. Επιπλέον περιέχει μία τουλάχιστον κορυφή που βρίσκεται πάνω στο μονοπάτι που αφαιρέσαμε. α ζ ε β η γ θ Ένα μονοπάτι που ξεκινά από αυτήν την κορυφή και διασχίζει κάθε ακμή από μία φορά πρέπει να καταλήγει στην ίδια κορυφή. 76

77 Γραφήματα (72) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. α ε β γ Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. ζ η θ (α,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) + (β,γ) (γ,θ) (θ,β) = (α,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) 77

78 Γραφήματα (73) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. α β γ Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. ε Μπορούμε να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να λάβουμε ένα μονοπάτι Euler. ζ η θ (α,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) + (β,γ) (γ,θ) (θ,β) = (α,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) 78

79 Γραφήματα (74) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. α ε β γ Μπορούμε να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να λάβουμε ένα μονοπάτι Euler. ζ η θ (α,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) + (β,γ) (γ,θ) (θ,β) = (α,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) 79

80 Γραφήματα (75) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. α Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. ε Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. ζ η θ Μπορούμε να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να λάβουμε ένα μονοπάτι Euler. 80

81 Γραφήματα (76) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. α ζ ε η θ Μπορούμε να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να λάβουμε ένα μονοπάτι Euler. 81

82 Γραφήματα (77) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. α ε β γ Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. ζ η θ Μπορούμε να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να λάβουμε ένα μονοπάτι Euler. 82

83 Γραφήματα (78) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. α β γ Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. Μπορούμε να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να λάβουμε ένα μονοπάτι Euler. ζ ε η θ (α,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) + (η,ε) (ε,α) (α,ζ) (ζ,θ) (θ,η) = (α,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,β) (β,η) (η,ε) (ε,α) (α,ζ) (ζ,θ) (θ,η) (η,ζ) (ζ,ε) 83

84 Γραφήματα (79) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. Μπορούμε να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να λάβουμε ένα μονοπάτι Euler. α ζ ε β η γ θ (α,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) + (η,ε) (ε,α) (α,ζ) (ζ,θ) (θ,η) = (α,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,β) (β,η) (η,ε) (ε,α) (α,ζ) (ζ,θ) (θ,η) (η,ζ) (ζ,ε) 84

85 Γραφήματα (80) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. α ζ ε β η γ θ Πόρισμα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα κύκλωμα Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και όλες οι κορυφές του έχουν άρτιο βαθμό. 85

86 Γραφήματα (81) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α ε β γ ζ η θ 86

87 Γραφήματα (82) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α ε β γ (α,ε) ζ η θ 87

88 Γραφήματα (83) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α ε β γ (α,ε) (ε,ζ) ζ η θ 88

89 Γραφήματα (84) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α ε β γ (α,ε) (ε,ζ) (ζ,η) ζ η θ 89

90 Γραφήματα (85) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α ε β γ (α,ε) (ε,ζ) (ζ,η) (η,β) ζ η θ 90

91 Γραφήματα (86) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α ε β γ (α,ε) (ε,ζ) (ζ,η) (η,β) (β,θ) ζ η θ 91

92 Γραφήματα (87) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α ε β γ (α,ε) (ε,ζ) (ζ,η) (η,β) (β,θ) (θ,γ) ζ η θ 92

93 Γραφήματα (88) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Η εύρεση μονοπατιού ή κυκλώματος Hamilton είναι γενικά ένα πολύ δύσκολο πρόβλημα για το οποίο κανένας αποδοτικός αλγόριθμος δεν είναι γνωστός. Επιπλέον δεν γνωρίζουμε κάποια απλή ικανή και αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη μονοπατιού ή κυκλώματος Hamilton. 93

94 Γραφήματα (89) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Ας υποθέσουμε πρώτα ότι το γράφημα δεν είναι συνεκτικό. Έστω και δύο συνιστώσες του. Θεωρούμε δύο κορυφές και. Τότε η έχει βαθμό το πολύ. Ομοίως η έχει βαθμό το πολύ. Άρα το άθροισμα των βαθμών είναι μικρότερο ή ίσο με Άτοπο, άρα το γράφημα είναι συνεκτικό. 94

95 Γραφήματα (90) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Έστω τώρα ένα μονοπάτι όπου 95

96 Γραφήματα (91) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Έστω τώρα ένα μονοπάτι όπου Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές 96

97 Γραφήματα (92) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Έστω τώρα ένα μονοπάτι Ομοίως αν υπάρχει ακμή όπου τότε έχουμε μονοπάτι 97

98 Γραφήματα (93) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Έστω τώρα ένα μονοπάτι όπου Διαφορετικά για κάθε ακμή και ισχύει Θα δείξουμε ότι υπάρχει στοιχειώδες κύκλωμα με τις κορυφές 98

99 Γραφήματα (94) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Θα δείξουμε ότι υπάρχει στοιχειώδες κύκλωμα με τις κορυφές Προφανώς ισχύει αν υπάρχει η ακμή 99

100 Γραφήματα (95) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Θα δείξουμε ότι υπάρχει στοιχειώδες κύκλωμα με τις κορυφές Υποθέτουμε τώρα ότι δεν υπάρχει η Έστω ότι η συνδέεται με τις κορυφές Τότε η πρέπει να συνδέεται με μία από τις. Διαφορετικά το άθροισμα των βαθμών των και θα ήταν το πολύ 100

101 Γραφήματα (96) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Θα δείξουμε ότι υπάρχει στοιχειώδες κύκλωμα με τις κορυφές Υποθέτουμε τώρα ότι δεν υπάρχει η Έστω ότι η Έστω λοιπόν ότι η συνδέεται με τις κορυφές συνδέεται με την 101

102 Γραφήματα (97) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Θα δείξουμε ότι υπάρχει στοιχειώδες κύκλωμα με τις κορυφές Υποθέτουμε τώρα ότι δεν υπάρχει η Έστω ότι η Έστω λοιπόν ότι η συνδέεται με τις κορυφές συνδέεται με την Άρα έχουμε τον κύκλο 102

103 Γραφήματα (98) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Έχουμε τώρα ένα στοιχειώδες κύκλωμα με τις κορυφές Αφού υπάρχει κορυφή τέτοια ώστε η ακμή ανήκει στο 103

104 Γραφήματα (99) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Έχουμε τώρα ένα στοιχειώδες κύκλωμα με τις κορυφές Αφού υπάρχει κορυφή τέτοια ώστε η ακμή ανήκει στο Τότε υπάρχει το μονοπάτι με κορυφές Επαναλαμβάνουμε την κατασκευή αυτή μέχρι να πάρουμε μονοπάτι με κορυφές 104

105 Γραφήματα (100) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα: επιλέγουμε μία κατεύθυνση για κάθε ακμή 4 5 Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. 105

106 Γραφήματα (101) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. 106

107 Γραφήματα (102) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές 107

108 Γραφήματα (103) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές Διαφορετικά υπάρχει η ακμή. 108

109 Γραφήματα (104) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές Διαφορετικά υπάρχει η ακμή. Αν υπάρχει και η τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. 109

110 Γραφήματα (105) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές Διαφορετικά υπάρχει η ακμή. Αν υπάρχει και η τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. Αν όχι τότε υπάρχει η και εξετάζουμε αν υπάρχει ή κ.ο.κ. 110

111 Γραφήματα (106) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές Διαφορετικά υπάρχει η ακμή. Αν υπάρχει και η τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. Αν όχι τότε υπάρχει η και εξετάζουμε αν υπάρχει ή κ.ο.κ. 111

112 Γραφήματα (107) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές Διαφορετικά υπάρχει η ακμή. Αν υπάρχει και η τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. Αν όχι τότε υπάρχει η και εξετάζουμε αν υπάρχει ή κ.ο.κ. 112

113 Γραφήματα (108) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές Διαφορετικά υπάρχει η ακμή. Αν υπάρχει και η τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. Αν όχι τότε υπάρχει η και εξετάζουμε αν υπάρχει ή κ.ο.κ. Αν τελικά δεν υπάρχει τέτοιο ώστε και να υπάρχουν στο γράφημα, τότε υπάρχει η οπότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. 113

114 Γραφήματα (109) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές Διαφορετικά υπάρχει η ακμή. Αν υπάρχει και η τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. Αν όχι τότε υπάρχει η και εξετάζουμε αν υπάρχει ή κ.ο.κ. Αν τελικά δεν υπάρχει τέτοιο ώστε και να υπάρχουν στο γράφημα, τότε υπάρχει η οπότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. Επαναλαμβάνουμε το ίδιο μέχρι να κατασκευάσουμε μονοπάτι με κορυφές. 114

115 Ασκήσεις Έστω G={V,E} ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα με k συνεκτικές συνιστώσες και V =n, E =m. Αποδείξτε ότι m n-k. Δείξτε ότι σε ένα κατευθυνόμενο γράφημα το άθροισμα των εισερχόμενων βαθμών επί όλων των κορυφών ισούται με το άθροισμα όλων των εξερχόμενων ακμών. 115

116 Τέλος Ενότητας 116

117 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Στεργίου Κωνσταντίνος. «Διακριτά Μαθηματικά». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https: //eclass.uowm.gr/courses/icte257/ 117

118 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Όχι Παράγωγα Έργα Μη Εμπορική Χρήση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] h t t p ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό 118

119 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 119

120 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες http: //www.personal.psu.edu/kxl272/assignment5%266.html http: //www.pearltrees.com/davidbruce/web/id http: //www.ebabylone.com/encyclopedie_1736.html http: //philsproof.com/2007/11/04/how-i-met-leonhardeuler/ 120

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 5: Όρια και Συνέχεια Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Νέες Τεχνολογίες και Καλλιτεχνική Δημιουργία

Νέες Τεχνολογίες και Καλλιτεχνική Δημιουργία Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Νέες Τεχνολογίες και Καλλιτεχνική Δημιουργία Ενότητα # 9: Ψηφιακός Ήχος - Audacity Θαρρενός Μπράτιτσης Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskl Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 3: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 8

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 8 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 8 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην πληροφορική

Εισαγωγή στην πληροφορική Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στην πληροφορική Ενότητα 4: Ψηφιακή Λογική, Άλγεβρα Boole, Πίνακες Αλήθειας (Μέρος Α) Αγγελίδης Παντελής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 3: Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2β: Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εύρεση συνάρτησης Boole όταν είναι γνωστός μόνο ο πίνακας αληθείας.

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 1η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkra Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upara.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Ενότητα 3: Νόμος του Ohm Κανόνες του Kirchhoff Αριστείδης Νικ. Παυλίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Βιομηχανικού Σχεδιασμού ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 5

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 5 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 5 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 10: Δυναμοσειρές Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 7η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 2: Οργάνωση και Διοίκηση Εισαγωγή Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα # 14: Τμηματοποίηση με χρήση τυχαίων πεδίων Markov Καθηγητής Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τμηματοποίηση εικόνων

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Ενότητα 8: Αξιολόγηση και επιλογή αγορών στόχων από ελληνική εταιρία στον κλάδο παραγωγής και εμπορίας έτοιμου γυναικείου Καθ. Αλεξανδρίδης Αναστάσιος Δρ. Αντωνιάδης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 11: Θεωρία Οργάνωσης & Διοίκησης Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 9: Εφαρμογές Ολοκληρωμάτων Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzgiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνοοικονομική Μελέτη

Τεχνοοικονομική Μελέτη Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τεχνοοικονομική Μελέτη Ενότητα 7: Σχέση μεταξύ εσόδων και ανάκτηση κεφαλαίου Σκόδρας Γεώργιος, Αν. Καθηγητής gskodras@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Ήπιες και νέες μορφές ενέργειας

Ήπιες και νέες μορφές ενέργειας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ήπιες και νέες μορφές ενέργειας Ενότητα : Ωκεάνια Θερμική Ενέργεια II Ενέργεια από την διαφορά θερμοκρασίας Σκόδρας Γεώργιος, Αν. Καθηγητής gskodras@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 4: Στρατηγικοί προσανατολισμοί Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 5: Προορισμός Κόστους

Λογιστική Κόστους Ενότητα 5: Προορισμός Κόστους Λογιστική Κόστους Ενότητα 5: Προορισμός Κόστους Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Ενότητα: Επενδύσεις και χρηματοδότηση Αν. Καθηγητής Μπακούρος Ιωάννης e-mail: ylb@uowm.gr,

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομένων. Ενότητα 1: Εισαγωγή στις Βάσεις δεδομένων. Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών

Βάσεις Δεδομένων. Ενότητα 1: Εισαγωγή στις Βάσεις δεδομένων. Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών Βάσεις Δεδομένων Ενότητα 1: Εισαγωγή στις Βάσεις δεδομένων Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 6: Ομοιοπολικός δεσμός. Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm.

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 6: Ομοιοπολικός δεσμός. Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Χημεία Ενότητα 6: Ομοιοπολικός δεσμός Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 6: ΜΕΓΕΘΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία & Καινοτομία - Αρχές Βιομηχανικής Επιστήμης

Τεχνολογία & Καινοτομία - Αρχές Βιομηχανικής Επιστήμης Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τεχνολογία & Καινοτομία - Αρχές Βιομηχανικής Επιστήμης Ενότητα: Εισαγωγή Αν. Καθηγητής Μπακούρος Ιωάννης Τηλ.: 24610 56660, e-mail: ylb@uowm.gr,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 3: Σειρές Πραγματικών Αριθμών Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτροτεχνία ΙΙ. Ενότητα 2: Ηλεκτρικά κυκλώματα συνεχούς ρεύματος. Δημήτρης Στημονιάρης, Δημήτρης Τσιαμήτρος Τμήμα Ηλεκτρολογίας

Ηλεκτροτεχνία ΙΙ. Ενότητα 2: Ηλεκτρικά κυκλώματα συνεχούς ρεύματος. Δημήτρης Στημονιάρης, Δημήτρης Τσιαμήτρος Τμήμα Ηλεκτρολογίας Ηλεκτροτεχνία ΙΙ Ενότητα 2: Ηλεκτρικά κυκλώματα συνεχούς ρεύματος Δημήτρης Στημονιάρης, Δημήτρης Τσιαμήτρος Τμήμα Ηλεκτρολογίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Νέες Τεχνολογίες και Καλλιτεχνική Δημιουργία

Νέες Τεχνολογίες και Καλλιτεχνική Δημιουργία Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Νέες Τεχνολογίες και Καλλιτεχνική Δημιουργία Ενότητα # 2: Αρχεία Ψηφιακών εικόνων Θαρρενός Μπράτιτσης Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 7η: Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Άσκηση αυτοαξιολόγησης Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ2, Ενότητα : Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Ενότητα : Υλοποίηση Λεξικών µε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 2: Ακολουθίες Πραγματικών Αριθμών Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνοοικονομική Μελέτη

Τεχνοοικονομική Μελέτη Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τεχνοοικονομική Μελέτη Ενότητα 11: Αποδοτικότητα επενδύσεων και πληθωρισμός Σκόδρας Γεώργιος, Αν. Καθηγητής gskodras@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Ενότητα 4: Ισχύς στο Συνεχές Ρεύμα Αριστείδης Νικ. Παυλίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Βιομηχανικού Σχεδιασμού ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΑΙΩΡΟΥΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Ενότητα 2: Αιωρούμενα σωματίδια & Απόδοση συλλογής Αν. Καθ. Δρ Μαρία Α. Γούλα Τμήμα Μηχανικών

ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΑΙΩΡΟΥΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Ενότητα 2: Αιωρούμενα σωματίδια & Απόδοση συλλογής Αν. Καθ. Δρ Μαρία Α. Γούλα Τμήμα Μηχανικών ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΑΙΩΡΟΥΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Ενότητα 2: Αιωρούμενα σωματίδια & Απόδοση συλλογής Αν. Καθ. Δρ Μαρία Α. Γούλα Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος & Μηχανικών Αντιρρύπανσης Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 3

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 3 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 3 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 4: Συναρτήσεις Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Ενότητα 1: Κρίσιμα συμβάντα Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Απομαγνητοφώνηση αποσπάσματος από Β Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΝΩΣΗ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΣΤΟΝ ΠΛΑΤΩΝΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ

Η ΓΝΩΣΗ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΣΤΟΝ ΠΛΑΤΩΝΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ Η ΓΝΩΣΗ ΚΑΙ ΤΟ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΣΤΟΝ ΠΛΑΤΩΝΑ ΚΑΙ ΤΟΝ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΗ Ενότητα: 7 η Ελένη Περδικούρη Τμήμα Φιλοσοφίας 1 Ενότητα 7 η Πότε γνωρίζω; Α. Τα κριτήρια της γνώσης (Μετά τα Φυσικά Α 1 και Αναλυτικά Ύστερα Ι

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων Ενότητα 1

Δομές Δεδομένων Ενότητα 1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Εισαγωγή Απόστολος Παπαδόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Παράλληλης & Κατανεμημένης Επεξεργασίας

Συστήματα Παράλληλης & Κατανεμημένης Επεξεργασίας Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Συστήματα Παράλληλης & Κατανεμημένης Επεξεργασίας Ενότητα 3: MPI_Get_count, non blocking send/recv, εμφάνιση και αποφυγή αδιεξόδων Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους. Ενότητα 4: ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ - ΦΥΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Λογιστική Κόστους. Ενότητα 4: ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ - ΦΥΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Λογιστική Κόστους Ενότητα 4: ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ - ΦΥΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον δομημένο προγραμματισμό

Εισαγωγή στον δομημένο προγραμματισμό Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στον δομημένο προγραμματισμό Ενότητα 5 η : Πίνακες (Προχωρημένα Θέματα) Αν. καθηγητής Στεργίου Κώστας e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 3: Τομές Ι Όνομα Καθηγητή: Γιώργος Ανδρεάδης Τμήμα: Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 10: Θεωρία μοριακών τροχιακών. Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm.

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 10: Θεωρία μοριακών τροχιακών. Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Χημεία Ενότητα 10: Θεωρία μοριακών τροχιακών Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΔΕΝΤΡΑ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΔΕΝΤΡΑ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 4: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ - ΔΕΝΤΡΑ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων

Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Δυναμική και Έλεγχος E-L Ηλεκτρομηχανικών Συστημάτων Ενότητα 1: E-L Συστήματα Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εργαστήριο 2 Καθηγητές: Αβούρης Νικόλαος, Παλιουράς Βασίλης, Κουκιάς Μιχαήλ, Σγάρμπας Κυριάκος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άσκηση 2 ου εργαστηρίου

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Κοινωνιολογία της Εκπαίδευσης

Κοινωνιολογία της Εκπαίδευσης Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Κοινωνιολογία της Εκπαίδευσης Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Κοινωνιολογία της Εκπαίδευσης Επίκ. Καθηγητής: Νίκος Φωτόπουλος e-mail: nfotopoulos@uowm.gr Τηλ. Επικοινωνίας: 23850-55150

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Taylor. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Taylor. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8: Εφαρμογές Σειρών Tylor Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα # 15: Τμηματοποίηση σε τοπολογικά συνεκτικές περιοχές Καθηγητής Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Διαμέριση σε συνεκτικές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Δικτύωση Υπολογιστών

Εισαγωγή στη Δικτύωση Υπολογιστών Εισαγωγή στη Δικτύωση Υπολογιστών Ενότητα 4: Το Επίπεδο Δικτύου Δημήτριος Τσώλης Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων Τεχνολογιών Στόχοι Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 9: Πρότυπο κόστος

Λογιστική Κόστους Ενότητα 9: Πρότυπο κόστος Λογιστική Κόστους Ενότητα 9: Πρότυπο κόστος Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτροτεχνία ΙΙ. Ενότητα 1: Βασικές Έννοιες Ηλεκτροτεχία Ηλεκτρονική. Δημήτρης Στημονιάρης, Δημήτρης Τσιαμήτρος Τμήμα Ηλεκτρολογίας

Ηλεκτροτεχνία ΙΙ. Ενότητα 1: Βασικές Έννοιες Ηλεκτροτεχία Ηλεκτρονική. Δημήτρης Στημονιάρης, Δημήτρης Τσιαμήτρος Τμήμα Ηλεκτρολογίας Ηλεκτροτεχνία ΙΙ Ενότητα 1: Βασικές Έννοιες Ηλεκτροτεχία Ηλεκτρονική Δημήτρης Στημονιάρης, Δημήτρης Τσιαμήτρος Τμήμα Ηλεκτρολογίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές πληροφορικής σε θέματα πολιτικού μηχανικού

Εφαρμογές πληροφορικής σε θέματα πολιτικού μηχανικού ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμογές πληροφορικής σε θέματα πολιτικού μηχανικού Ενότητα 4: Εφαρμογές λογιστικών φύλλων στη Στατική: Γεωμετρικά μεγέθη πολυγωνικά

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 3: Κλασικά Υποδείγματα της Διεθνούς Οικονομικής Θεωρίας (Heckscher-Ohlin model) Γρηγόριος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 3: Στρατηγικός Προγραμματισμός Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 5: Υποδείγματα Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 6

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 6 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ IΙ Ενότητα 6: Ανάδραση Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχ. Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις

Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις Ενότητα 2: Οι Φυσικές καταστάσεις της ύλης και οι αλλαγές τους. Καθηγητής: Καριώτογλου Πέτρος

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Ενότητα 7: Άσκηση στο Εναλλασσόμενο Ρεύμα Αριστείδης Νικ. Παυλίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Βιομηχανικού Σχεδιασμού ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής

Διδακτική της Πληροφορικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 14: Διδακτικές Προσεγγίσεις για τον Προγραμματισμό Σταύρος Δημητριάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας,

Διαβάστε περισσότερα