Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα"

Transcript

1 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ψηφιακά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Περιεχόμενα Εισαγωγή στα Γραφήματα. Βασικοί Ορισμοί: Μονοπάτια, κυκλώματα, ισόμορφα γραφήματα, εμβαρημένα γραφήματα, συνεκτικότητα. Ο Αλγόριθμος του Dijkstra. Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. 4

5 Στόχοι Εισαγωγή στη θεωρία γραφημάτων. Κατανόηση και μελέτη γραφημάτων και των πρακτικών εφαρμογών τους. Εξοικείωση με την ορολογία των γραφημάτων και με τις κατηγοριοποιήσεις τους. Μελέτη ορισμένων βασικών προβλημάτων σε γραφήματα, όπως η εύρεση ελαφρυτέρων διαδρομών σε εμβαρημένα γραφήματα (με τον αλγόριθμο του Dijkstra), η εύρεση μονοπατιών Euler και η εύρεση μονοπατιών Hamilton. 5

6 Γραφήματα (1) Γράφημα: Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα. Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 1 2 (διμελής σχέση επί των κορυφών) πλήθος κορυφών πλήθος ακμών 6

7 Γραφήματα (2) Γράφημα: Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα. Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) 1 2 (διμελής σχέση επί των κορυφών) πλήθος κορυφών πλήθος ακμών TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAA 7

8 Γραφήματα (3) Γράφημα: Συνδυαστικό αντικείμενο που αποτελείται από 2 σύνολα. Σύνολο κορυφών (vertex set) Σύνολο ακμών (edge set) (διμελής σχέση επί των κορυφών) Μερικά είδη γραφημάτων: Κατεύθυνση ακμών - μη κατευθυνόμενα - κατευθυνόμενα Βάρος ακμών - αβαρή - εμβαρή 8

9 Γραφήματα (4) Εφαρμογές: διμελείς σχέσεις (π.χ. κοινωνικά δίκτυα) 9

10 Γραφήματα (5) Εφαρμογές: οδικά ή μεταφορικά δίκτυα, δίκτυα υπολογιστών κ.λ.π. Πηγή: http: //www.personal.psu.edu/kxl272/assignment5%266.html 10

11 Γραφήματα (6) Εφαρμογές: internet / world wide web Πηγή: http: //www.pearltrees.com/davidbruce/web/id

12 Γραφήματα (7) Ισόμορφα Γραφήματα 1 2 α 3 β ε 4 5 γ δ Υπάρχει 1-1 συνάρτηση τέτοια ώστε 12

13 Γραφήματα (8) Ισόμορφα Γραφήματα 1 2 α 3 β ε 4 5 γ δ Υπάρχει 1-1 συνάρτηση τέτοια ώστε 13

14 Γραφήματα (9) Είναι τα δύο παρακάτω γραφήματα ισόμορφα; a b c d e 14

15 Γραφήματα (10) Το είναι υπογράφημα του εάν και 15

16 Γραφήματα (11) Το είναι υπογράφημα του εάν και Το είναι το συμπλήρωμα του ως προς το εάν και 16

17 Γραφήματα (12) πλήρες (μη κατευθυνόμενο) γράφημα με κορυφές ένα οποιοδήποτε (μη κατευθυνόμενο γράφημα) με κορυφές συμπλήρωμα του (ως προς το ) 17

18 Γραφήματα (13) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) α β γ δ ε ζ η θ ι 18

19 Γραφήματα (14) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) α β γ δ Π.χ. (β,γ,θ,η,β,γ,θ,ι) ε Οι ακμές (β,γ) και (γ,θ) εμφανίζονται 2 φορές ζ η θ ι 19

20 Γραφήματα (15) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) α β γ δ Π.χ. (α,ε,ζ,α,β,γ) ε Κάθε ακμή εμφανίζεται μία φορά Οι κορυφή α εμφανίζεται 2 φορές ζ η θ ι 20

21 Γραφήματα (16) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) α β γ δ Π.χ. (α,ε,ζ,α,β,γ) ε Κάθε ακμή εμφανίζεται μία φορά Η κορυφή α εμφανίζεται 2 φορές ζ η θ ι Απλό μονοπάτι : για κάθε 21

22 Γραφήματα (17) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) α β γ δ Π.χ. (δ,ι,γ,θ,η) ε Κάθε κορυφή εμφανίζεται μία φορά ζ η θ ι 22

23 Γραφήματα (18) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) α β γ δ Π.χ. (δ,ι,γ,θ,η) ε Κάθε κορυφή εμφανίζεται μία φορά ζ η θ ι Στοιχειώδες μονοπάτι : για κάθε 23

24 Γραφήματα (19) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) Κύκλωμα : μονοπάτι τέτοιο ώστε α β γ δ ε ζ η θ ι 24

25 Γραφήματα (20) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) Κύκλωμα : μονοπάτι τέτοιο ώστε α β γ δ Π.χ. (α,ε,β,θ,η,β,θ,η,ζ,α) ε Οι ακμές (β,θ) και (θ,η) εμφανίζονται 2 φορές ζ η θ ι 25

26 Γραφήματα (21) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) Κύκλωμα : μονοπάτι τέτοιο ώστε α β γ δ Π.χ. (α,ε,ζ,α,β,θ,ι,α) ε Κάθε ακμή εμφανίζεται μία φορά Η κορυφή α εμφανίζεται 3 φορές ζ η θ ι 26

27 Γραφήματα (22) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) Κύκλωμα : μονοπάτι τέτοιο ώστε α β γ δ Π.χ. (α,ε,ζ,α,β,θ,ι,α) ε Κάθε ακμή εμφανίζεται μία φορά Η κορυφή α εμφανίζεται 3 φορές ζ η θ ι Απλό κύκλωμα : για κάθε 27

28 Γραφήματα (23) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) Κύκλωμα : μονοπάτι τέτοιο ώστε α β γ δ Π.χ. (γ,θ,η,ζ,α,β,γ) ε Κάθε κορυφή εκτός της γ εμφανίζεται μία φορά ζ η θ ι 28

29 Γραφήματα (24) Έστω (κατευθυνόμενο) γράφημα Μονοπάτι : ακολουθία κορυφών τέτοια ώστε (ακολουθία ακμών όπου ) Κύκλωμα : μονοπάτι τέτοιο ώστε α β γ δ Π.χ. (γ,θ,η,ζ,α,β,γ) ε Κάθε κορυφή εκτός της γ εμφανίζεται μία φορά ζ η θ ι Στοιχειώδες κύκλωμα : αποτελείται από στοιχειώδες μονοπάτι και την ακμή 29

30 Γραφήματα (25) Συνεκτικό μη κατευθυνόμενο γράφημα : περιέχει μονοπάτι μεταξύ οποιουδήποτε ζεύγους κορυφών του α β γ δ α β γ δ ε ε ζ η θ ι ζ η θ ι συνεκτικό μη συνεκτικό 30

31 Γραφήματα (26) Συνεκτικό κατευθυνόμενο γράφημα: το αντίστοιχο μη κατευθυνόμενο γράφημα (αγνοώντας τις κατευθύνσεις των ακμών) είναι συνεκτικό. Ισχυρά συνεκτικό κατευθυνόμενο γράφημα: για οποιοδήποτε ζεύγος κορυφών α και β περιέχει μονοπάτι από το α στο β και μονοπάτι από το β στο α. α β γ α β γ ζ η θ ζ η θ συνεκτικό αλλά όχι ισχυρά συνεκτικό ισχυρά συνεκτικό 31

32 Γραφήματα (27) Εμβαρές γράφημα βάρος κορυφών : συνάρτηση με πεδίο ορισμού βάρος ακμών : συνάρτηση με πεδίο ορισμού 2 α 11 β δ ε 2 γ

33 Γραφήματα (28) Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση βάρους (μη αρνητικά βάρη) Ελαφρύτατη διαδρομή από το u στο v : διαδρομή με και ελάχιστο βάρος Βάρος ελαφρύτατης διαδρομής εάν υπάρχει διαδρομή από το u στο v διαφορετικά Θέλουμε να βρούμε όλες τις ελαφρύτερες διαδρομές από το s προς κάθε άλλο κόμβο 33

34 Γραφήματα (29) Κατευθυνόμενο γράφημα Συνάρτηση βάρους (μη αρνητικά βάρη) Ελαφρύτατη διαδρομή από το u στο v : διαδρομή με και ελάχιστο βάρος Βάρος ελαφρύτατης διαδρομής εάν υπάρχει διαδρομή από το u στο v διαφορετικά Θέλουμε να βρούμε όλες τις ελαφρύτερες διαδρομές από το s προς κάθε άλλο κόμβο 34

35 Αλγόριθμος του Dijkstra: Γραφήματα (30) Διατηρεί τις ακόλουθες πληροφορίες. για κάθε κορυφή μία προεκτίμηση του βάρους της ελαφρύτατης διαδρομής από το για κάθε κορυφή έναν προκάτοχο που είναι ο κόμβος που προηγείται του στην διαδρομή από το που έχει κατασκευαστεί μέχρι τώρα σύνολο κορυφών για τις οποίες έχει υπολογιστεί το τελικό βάρος της ελαφρύτατης διαδρομής από το Αρχικοποίηση : 35

36 Αλγόριθμος του Dijkstra: Γραφήματα (31) Διατηρεί τις ακόλουθες πληροφορίες. για κάθε κορυφή μία προεκτίμηση του βάρους της ελαφρύτατης διαδρομής από το για κάθε κορυφή έναν προκάτοχο που είναι ο κόμβος που προηγείται του στην διαδρομή από το που έχει κατασκευαστεί μέχρι τώρα σύνολο κορυφών για τις οποίες έχει υπολογιστεί το τελικό βάρος της ελαφρύτατης διαδρομής από το Σε κάθε επανάληψη επιλέγει μία κορυφή τέτοια ώστε και. Θέτει για κάθε ακμή 36

37 Γραφήματα (32) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε 37

38 Γραφήματα (33) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

39 Γραφήματα (34) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

40 Γραφήματα (35) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

41 Γραφήματα (36) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

42 Γραφήματα (37) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

43 Γραφήματα (38) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

44 Γραφήματα (39) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

45 Γραφήματα (40) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

46 Γραφήματα (41) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

47 Γραφήματα (42) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

48 Γραφήματα (43) Αλγόριθμος του Dijkstra Αρχικοποίηση : ενόσω έστω τέτοια ώστε για κάθε ακμή αν τότε

49 Γραφήματα (44) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler Μπορεί κανείς να διασχίσει ακριβώς μία φορά κάθε γέφυρα σε έναν περίπατο; Πηγή: http: //www.ebabylone.com/encyclopedie_1736.html 49

50 Γραφήματα (45) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler Μπορεί κανείς να διασχίσει ακριβώς μία φορά κάθε γέφυρα σε έναν περίπατο; Πηγή: http: //philsproof.com/2007/11/04/how-i-met-leonhard-euler/ 50

51 Γραφήματα (46) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε ζ η θ 51

52 Γραφήματα (47) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) ζ η θ 52

53 Γραφήματα (48) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) ζ η θ 53

54 Γραφήματα (49) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) ζ η θ 54

55 Γραφήματα (50) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) ζ η θ 55

56 Γραφήματα (51) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) ζ η θ 56

57 Γραφήματα (52) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) (η,θ) ζ η θ 57

58 Γραφήματα (53) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) (η,θ) (θ,β) ζ η θ 58

59 Γραφήματα (54) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) (η,θ) (θ,β) (β,γ) ζ η θ 59

60 Γραφήματα (55) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) (η,θ) (θ,β) (β,γ) (γ,θ) ζ η θ 60

61 Γραφήματα (56) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) (η,θ) (θ,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,ζ) ζ η θ 61

62 Γραφήματα (57) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) (η,θ) (θ,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,ζ) (ζ,η) ζ η θ 62

63 Γραφήματα (58) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,α) (α,β) (β,η) (η,θ) (θ,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,ζ) (ζ,η) (η,ε) ζ η θ 63

64 Γραφήματα (59) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Euler: ορίζεται με όμοιο τρόπο. α β γ ε ζ η θ TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAA 64

65 Γραφήματα (60) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Euler: ορίζεται με όμοιο τρόπο. α β γ ε (α,ζ) (ζ,ε) (ε,η) (η,ζ) (ζ,θ) (θ,β) (β,η) (η,θ) (θ,γ) (γ,β) (β,α) ζ η θ 65

66 Γραφήματα (61) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. 66

67 Γραφήματα (62) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Βαθμός κορυφής : πλήθος ακμών που προσπίπτουν σε αυτήν βαθμός(α) = 3 α β γ βαθμός(γ) = 2 ε ζ η θ βαθμός(θ) = 4 67

68 Γραφήματα (63) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: α) Έστω ότι υπάρχει μονοπάτι Euler. Τότε το γράφημα είναι συνεκτικό. α β γ ε ζ η θ 68

69 Γραφήματα (64) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: α) Έστω ότι υπάρχει μονοπάτι Euler. Τότε το γράφημα είναι συνεκτικό. Κάθε φορά που το μονοπάτι επισκέπτεται μία κορυφή διασχίζει δύο ακμές. α β γ ε ζ η θ 69

70 Γραφήματα (65) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: α) Έστω ότι υπάρχει μονοπάτι Euler. Τότε το γράφημα είναι συνεκτικό. Κάθε φορά που το μονοπάτι επισκέπτεται μία κορυφή διασχίζει δύο ακμές. Άρα όλες οι ενδιάμεσες κορυφές (εκτός από την αρχική και την τελική κορυφή του μονοπατιού) πρέπει να έχουν άρτιο βαθμό. Αν οι κορυφές στα άκρα του μονοπατιού διαφέρουν τότε έχουν περιττό βαθμό, διαφορετικά έχουμε κύκλωμα Euler και όλες οι κορυφές έχουν άρτιο βαθμό. α β γ ε ζ η θ 70

71 Γραφήματα (66) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. α β γ ε ζ η θ 71

72 Γραφήματα (67) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. Μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα μονοπάτι από την μία κορυφή περιττού βαθμού στην άλλη: σε κάθε άλλη κορυφή το μονοπάτι μπορεί να συνεχιστεί ακολουθώντας μία ακμή που δεν έχουμε χρησιμοποιήσει ακόμα. α β γ ε ζ η θ 72

73 Γραφήματα (68) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. α ε β γ Μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα μονοπάτι από την μία κορυφή περιττού βαθμού στην άλλη: σε κάθε άλλη κορυφή το μονοπάτι μπορεί να συνεχιστεί ακολουθώντας μία ακμή που δεν έχουμε χρησιμοποιήσει ακόμα. ζ η θ Αν έχουμε χρησιμοποιήσει όλες τις ακμές τότε έχουμε βρει ένα μονοπάτι Euler. Διαφορετικά αφαιρούμε τις ακμές του μονοπατιού από το γράφημα. 73

74 Γραφήματα (69) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. α ε β γ Μπορούμε να κατασκευάσουμε ένα μονοπάτι από την μία κορυφή περιττού βαθμού στην άλλη: σε κάθε άλλη κορυφή το μονοπάτι μπορεί να συνεχιστεί ακολουθώντας μία ακμή που δεν έχουμε χρησιμοποιήσει ακόμα. ζ η θ Αν έχουμε χρησιμοποιήσει όλες τις ακμές τότε έχουμε βρει ένα μονοπάτι Euler. Διαφορετικά αφαιρούμε τις ακμές του μονοπατιού από το γράφημα. 74

75 Γραφήματα (70) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. α ε β γ Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. ζ η θ Στο υπογράφημα που λαμβάνουμε κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθμό. Επιπλέον περιέχει μία τουλάχιστον κορυφή που βρίσκεται πάνω στο μονοπάτι που αφαιρέσαμε. 75

76 Γραφήματα (71) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. Στο υπογράφημα που λαμβάνουμε κάθε κορυφή έχει άρτιο βαθμό. Επιπλέον περιέχει μία τουλάχιστον κορυφή που βρίσκεται πάνω στο μονοπάτι που αφαιρέσαμε. α ζ ε β η γ θ Ένα μονοπάτι που ξεκινά από αυτήν την κορυφή και διασχίζει κάθε ακμή από μία φορά πρέπει να καταλήγει στην ίδια κορυφή. 76

77 Γραφήματα (72) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. α ε β γ Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. ζ η θ (α,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) + (β,γ) (γ,θ) (θ,β) = (α,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) 77

78 Γραφήματα (73) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. α β γ Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. ε Μπορούμε να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να λάβουμε ένα μονοπάτι Euler. ζ η θ (α,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) + (β,γ) (γ,θ) (θ,β) = (α,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) 78

79 Γραφήματα (74) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. α ε β γ Μπορούμε να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να λάβουμε ένα μονοπάτι Euler. ζ η θ (α,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) + (β,γ) (γ,θ) (θ,β) = (α,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) 79

80 Γραφήματα (75) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. α Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. ε Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. ζ η θ Μπορούμε να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να λάβουμε ένα μονοπάτι Euler. 80

81 Γραφήματα (76) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. α ζ ε η θ Μπορούμε να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να λάβουμε ένα μονοπάτι Euler. 81

82 Γραφήματα (77) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. α ε β γ Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. ζ η θ Μπορούμε να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να λάβουμε ένα μονοπάτι Euler. 82

83 Γραφήματα (78) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. α β γ Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. Μπορούμε να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να λάβουμε ένα μονοπάτι Euler. ζ ε η θ (α,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) + (η,ε) (ε,α) (α,ζ) (ζ,θ) (θ,η) = (α,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,β) (β,η) (η,ε) (ε,α) (α,ζ) (ζ,θ) (θ,η) (η,ζ) (ζ,ε) 83

84 Γραφήματα (79) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. Απόδειξη: β) Έστω ότι υπάρχουν ακριβώς 2 κορυφές περιττού βαθμού. Συνδυάζοντας τα δύο μονοπάτια παίρνουμε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι που διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος το πολύ μία φορά. Μπορούμε να επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία μέχρι να λάβουμε ένα μονοπάτι Euler. α ζ ε β η γ θ (α,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,β) (β,η) (η,ζ) (ζ,ε) + (η,ε) (ε,α) (α,ζ) (ζ,θ) (θ,η) = (α,β) (β,γ) (γ,θ) (θ,β) (β,η) (η,ε) (ε,α) (α,ζ) (ζ,θ) (θ,η) (η,ζ) (ζ,ε) 84

85 Γραφήματα (80) Μονοπάτια και κυκλώματα Euler. Μονοπάτι Euler: διασχίζει κάθε ακμή του γραφήματος ακριβώς μία φορά Θεώρημα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα μονοπάτι Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και έχει 0 ή 2 κορυφές περιττού βαθμού. α ζ ε β η γ θ Πόρισμα: Ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα περιέχει ένα κύκλωμα Euler αν και μόνο αν είναι συνεκτικό και όλες οι κορυφές του έχουν άρτιο βαθμό. 85

86 Γραφήματα (81) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α ε β γ ζ η θ 86

87 Γραφήματα (82) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α ε β γ (α,ε) ζ η θ 87

88 Γραφήματα (83) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α ε β γ (α,ε) (ε,ζ) ζ η θ 88

89 Γραφήματα (84) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α ε β γ (α,ε) (ε,ζ) (ζ,η) ζ η θ 89

90 Γραφήματα (85) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α ε β γ (α,ε) (ε,ζ) (ζ,η) (η,β) ζ η θ 90

91 Γραφήματα (86) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α ε β γ (α,ε) (ε,ζ) (ζ,η) (η,β) (β,θ) ζ η θ 91

92 Γραφήματα (87) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. α ε β γ (α,ε) (ε,ζ) (ζ,η) (η,β) (β,θ) (θ,γ) ζ η θ 92

93 Γραφήματα (88) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Η εύρεση μονοπατιού ή κυκλώματος Hamilton είναι γενικά ένα πολύ δύσκολο πρόβλημα για το οποίο κανένας αποδοτικός αλγόριθμος δεν είναι γνωστός. Επιπλέον δεν γνωρίζουμε κάποια απλή ικανή και αναγκαία συνθήκη για την ύπαρξη μονοπατιού ή κυκλώματος Hamilton. 93

94 Γραφήματα (89) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Ας υποθέσουμε πρώτα ότι το γράφημα δεν είναι συνεκτικό. Έστω και δύο συνιστώσες του. Θεωρούμε δύο κορυφές και. Τότε η έχει βαθμό το πολύ. Ομοίως η έχει βαθμό το πολύ. Άρα το άθροισμα των βαθμών είναι μικρότερο ή ίσο με Άτοπο, άρα το γράφημα είναι συνεκτικό. 94

95 Γραφήματα (90) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Έστω τώρα ένα μονοπάτι όπου 95

96 Γραφήματα (91) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Έστω τώρα ένα μονοπάτι όπου Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές 96

97 Γραφήματα (92) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Έστω τώρα ένα μονοπάτι Ομοίως αν υπάρχει ακμή όπου τότε έχουμε μονοπάτι 97

98 Γραφήματα (93) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Έστω τώρα ένα μονοπάτι όπου Διαφορετικά για κάθε ακμή και ισχύει Θα δείξουμε ότι υπάρχει στοιχειώδες κύκλωμα με τις κορυφές 98

99 Γραφήματα (94) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Θα δείξουμε ότι υπάρχει στοιχειώδες κύκλωμα με τις κορυφές Προφανώς ισχύει αν υπάρχει η ακμή 99

100 Γραφήματα (95) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Θα δείξουμε ότι υπάρχει στοιχειώδες κύκλωμα με τις κορυφές Υποθέτουμε τώρα ότι δεν υπάρχει η Έστω ότι η συνδέεται με τις κορυφές Τότε η πρέπει να συνδέεται με μία από τις. Διαφορετικά το άθροισμα των βαθμών των και θα ήταν το πολύ 100

101 Γραφήματα (96) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Θα δείξουμε ότι υπάρχει στοιχειώδες κύκλωμα με τις κορυφές Υποθέτουμε τώρα ότι δεν υπάρχει η Έστω ότι η Έστω λοιπόν ότι η συνδέεται με τις κορυφές συνδέεται με την 101

102 Γραφήματα (97) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Θα δείξουμε ότι υπάρχει στοιχειώδες κύκλωμα με τις κορυφές Υποθέτουμε τώρα ότι δεν υπάρχει η Έστω ότι η Έστω λοιπόν ότι η συνδέεται με τις κορυφές συνδέεται με την Άρα έχουμε τον κύκλο 102

103 Γραφήματα (98) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Έχουμε τώρα ένα στοιχειώδες κύκλωμα με τις κορυφές Αφού υπάρχει κορυφή τέτοια ώστε η ακμή ανήκει στο 103

104 Γραφήματα (99) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Έστω ένα γράφημα με κορυφές. Αν το άθροισμα των βαθμών κάθε ζεύγους κορυφών του είναι μεγαλύτερο ή ίσο του τότε υπάρχει μονοπάτι Hamilton στο. Απόδειξη Έχουμε τώρα ένα στοιχειώδες κύκλωμα με τις κορυφές Αφού υπάρχει κορυφή τέτοια ώστε η ακμή ανήκει στο Τότε υπάρχει το μονοπάτι με κορυφές Επαναλαμβάνουμε την κατασκευή αυτή μέχρι να πάρουμε μονοπάτι με κορυφές 104

105 Γραφήματα (100) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα: επιλέγουμε μία κατεύθυνση για κάθε ακμή 4 5 Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. 105

106 Γραφήματα (101) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. 106

107 Γραφήματα (102) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές 107

108 Γραφήματα (103) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές Διαφορετικά υπάρχει η ακμή. 108

109 Γραφήματα (104) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές Διαφορετικά υπάρχει η ακμή. Αν υπάρχει και η τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. 109

110 Γραφήματα (105) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές Διαφορετικά υπάρχει η ακμή. Αν υπάρχει και η τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. Αν όχι τότε υπάρχει η και εξετάζουμε αν υπάρχει ή κ.ο.κ. 110

111 Γραφήματα (106) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές Διαφορετικά υπάρχει η ακμή. Αν υπάρχει και η τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. Αν όχι τότε υπάρχει η και εξετάζουμε αν υπάρχει ή κ.ο.κ. 111

112 Γραφήματα (107) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές Διαφορετικά υπάρχει η ακμή. Αν υπάρχει και η τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. Αν όχι τότε υπάρχει η και εξετάζουμε αν υπάρχει ή κ.ο.κ. 112

113 Γραφήματα (108) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές Διαφορετικά υπάρχει η ακμή. Αν υπάρχει και η τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. Αν όχι τότε υπάρχει η και εξετάζουμε αν υπάρχει ή κ.ο.κ. Αν τελικά δεν υπάρχει τέτοιο ώστε και να υπάρχουν στο γράφημα, τότε υπάρχει η οπότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. 113

114 Γραφήματα (109) Μονοπάτια και κυκλώματα Hamilton. Μονοπάτι Hamilton: επισκέπτεται κάθε κορυφή του γραφήματος ακριβώς μία φορά. Κύκλωμα Hamilton: ορίζεται με όμοιο τρόπο. Θεώρημα Ένα κατευθυνόμενο πλήρες γράφημα περιέχει μονοπάτι Hamilton. Έστω ένα μονοπάτι όπου. Έστω κορυφή Αν υπάρχει ακμή τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές Διαφορετικά υπάρχει η ακμή. Αν υπάρχει και η τότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. Αν όχι τότε υπάρχει η και εξετάζουμε αν υπάρχει ή κ.ο.κ. Αν τελικά δεν υπάρχει τέτοιο ώστε και να υπάρχουν στο γράφημα, τότε υπάρχει η οπότε έχουμε μονοπάτι με κορυφές. Επαναλαμβάνουμε το ίδιο μέχρι να κατασκευάσουμε μονοπάτι με κορυφές. 114

115 Ασκήσεις Έστω G={V,E} ένα μη κατευθυνόμενο γράφημα με k συνεκτικές συνιστώσες και V =n, E =m. Αποδείξτε ότι m n-k. Δείξτε ότι σε ένα κατευθυνόμενο γράφημα το άθροισμα των εισερχόμενων βαθμών επί όλων των κορυφών ισούται με το άθροισμα όλων των εξερχόμενων ακμών. 115

116 Τέλος Ενότητας 116

117 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Στεργίου Κωνσταντίνος. «Διακριτά Μαθηματικά». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https: //eclass.uowm.gr/courses/icte257/ 117

118 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Όχι Παράγωγα Έργα Μη Εμπορική Χρήση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] h t t p ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό 118

119 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 119

120 Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήση των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες http: //www.personal.psu.edu/kxl272/assignment5%266.html http: //www.pearltrees.com/davidbruce/web/id http: //www.ebabylone.com/encyclopedie_1736.html http: //philsproof.com/2007/11/04/how-i-met-leonhardeuler/ 120

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs)

Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν στο επίπεδο χωρίς να τέμνονται οι ακμές τους 1 2 1 2 3 4 3 4 Άρα αυτό το γράφημα είναι επίπεδο Επίπεδα Γραφήματα (planar graphs) Μπορούν να σχεδιαστούν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην πληροφορική

Εισαγωγή στην πληροφορική Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στην πληροφορική Ενότητα 2: Βασικές αρχές λειτουργίας και χρήσης του υπολογιστή Αγγελίδης Παντελής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου

Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου Διαφήμιση και Δημόσιες Σχέσεις Ενότητα 9: Σχέσεις διαφημιστή-διαφημιζόμενου Θεοδωρίδης Προκόπης Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 4 η : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 10: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΠΑΓΟΡΕΥΤΙΚΟ ΑΡΙΘΜΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας

Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Εργαστήριο Ανάλυσης Συστημάτων Ηλεκτρικής Ενέργειας Ενότητα: Άσκηση 6: Αντιστάθμιση γραμμών μεταφοράς με σύγχρονους αντισταθμιστές Νικόλαος Βοβός, Γαβριήλ Γιαννακόπουλος, Παναγής Βοβός Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

(E) Το περιεχόμενο. Προγράμματος. διαφορετικά

(E) Το περιεχόμενο. Προγράμματος. διαφορετικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ηλεκτροτεχνία, ηλ. μηχανές & εγκαταστάσεις πλοίου (E) Ενότητα 12: Ηλεκτρικός Ισολογισμόςς Πλοίου Δημήτριος Νικόλαος Παγώνης Τμήμα Ναυπηγών

Διαβάστε περισσότερα

(E) Κώδικας. Το περιεχόμενο. Προγράμματος. διαφορετικά

(E) Κώδικας. Το περιεχόμενο. Προγράμματος. διαφορετικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ηλεκτροτεχνία, ηλ. μηχανές & εγκαταστάσεις πλοίου (E) Ενότητα 1: Ο Νόμος του ΟΗΜ και ο Χρωματικός Κώδικας Δημήτριος Νικόλαος Παγώνης Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #: Εύρεση Ελαχίστων Μονοπατιών σε Γραφήματα που Περιλαμβάνουν και Αρνητικά Βάρη: Αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μακροοικονομική. Ενότητα : Εισαγωγή βασικές οικονομικές έννοιες. Καραμάνης Κωνσταντίνος

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μακροοικονομική. Ενότητα : Εισαγωγή βασικές οικονομικές έννοιες. Καραμάνης Κωνσταντίνος Μακροοικονομική, Χρηματοοικονομική Ενότητα των Επιχειρήσεων, :Εισαγωγή Ενότητα βασικές : έννοιες, Βέλτιστη ΤΜΗΜΑ Κεφαλαιακή ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Δομή, ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΉΣ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ, ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ-Ανοικτά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 10β: Αλγόριθμοι Γραφημάτων-Γραφήματα- Αναπαράσταση Γραφημάτων- Διερεύνηση Πρώτα σε Πλάτος (BFS) Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12.

Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. ΑΣΚΗΣΗ 1: Είναι το ακόλουθο γράφημα απλό; Σημείωση: Δες ορισμό απλού γραφήματος στον Τόμο Α, σελ. 97 και τόμο Β, σελ 12. v 2 ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1: Το παραπάνω γράφημα δεν είναι απλό, αφού υπάρχουν δύο ακμές που

Διαβάστε περισσότερα

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του

Ταιριάσματα. Γράφημα. Ταίριασμα (matching) τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Ταιριάσματα Γράφημα Ταίριασμα (matching) Σύνολο ακμών τέτοιο ώστε κάθε κορυφή να εμφανίζεται σε το πολύ μια ακμή του Θέλουμε να βρούμε ένα μέγιστο ταίριασμα (δηλαδή με μέγιστο αριθμό ακμών) Ταιριάσματα

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μικροοικονομική. Ενότητα 2:Οικονομική σκέψη Καραμάνης Κωνσταντίνος

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μικροοικονομική. Ενότητα 2:Οικονομική σκέψη Καραμάνης Κωνσταντίνος Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Μικροοικονομική Ενότητα 2:Οικονομική σκέψη Καραμάνης Κωνσταντίνος 1 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Λογιστικής και χρηματοοικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μακροοικονομική. Ενότητα :Δημοσιονομική πολιτική. Καραμάνης Κωνσταντίνος

Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου. Μακροοικονομική. Ενότητα :Δημοσιονομική πολιτική. Καραμάνης Κωνσταντίνος Μακροοικονομική Χρηματοοικονομική των,δημοσιονομική Επιχειρήσεων, πολιτική, Ενότητα : Βέλτιστη ΤΜΗΜΑ Κεφαλαιακή ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Δομή, ΤΜΗΜΑ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΉΣ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ, ΤΕΙ ΚΑΙ ΗΠΕΙΡΟΥ- ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα Λειτουργικά

Εισαγωγή στα Λειτουργικά Εισαγωγή στα Λειτουργικά Συστήματα Ενότητα 9: Αρχεία ΙΙ Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σεάδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική υπολογιστών

Αρχιτεκτονική υπολογιστών 1 Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αρχιτεκτονική υπολογιστών Ενότητα 12 : Δομή και Λειτουργία της CPU 2/2 Φώτης Βαρζιώτης 2 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη

Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη Τμήμα: Ιστορίας, Αρχαιολογίας και Κοινωνικής Ανθρωπολογίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 12. Γλύπτες του 4 ου αι. π.χ. Σκόπας, Ευφράνωρ,

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική των επιχειρήσεων

Διοικητική των επιχειρήσεων Ελληνική Δημοκρατία Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Ηπείρου Διοικητική των επιχειρήσεων Ενότητα 13 :Ιστορία της Διοικητικής Σκέψης Καραμάνης Κωνσταντίνος 1 Ανοιχτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ηπείρου Λογιστικής

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #7: Ελάχιστα Επικαλυπτικά Δένδρα, Αλγόριθμος Kruskal, Δομές Union-Find Άσκηση # 0 5 0 0 0

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.

Κεφάλαιο 3. Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. Κεφάλαιο 3 Γραφήµατα v1.1 (2012-01-12) Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 3.1 Βασικοί Ορισµοί και Εφαρµογές γραφήµατα γράφηµα G: ένας τρόπος κωδικοποίησης των σχέσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 5: ΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε.

ΦΥΣΙΚΗ. Ενότητα 5: ΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ. Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΦΥΣΙΚΗ Ενότητα 5: ΟΙ ΝΟΜΟΙ ΤΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Αν. Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη

Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη Εισαγωγή στην Κλασική Αρχαιολογία ΙΙ (5ος - 4ος αι. π.χ.) Ιφιγένεια Λεβέντη Τμήμα: Ιστορίας, Αρχαιολογίας και Κοινωνικής Ανθρωπολογίας Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας 9. Ναοί του 4 ου αι. π.χ. στην ηπειρωτική Ελλάδα

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο)

Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο) Προγραμματισμός Η/Υ 1 (Εργαστήριο) Ενότητα 1: Εισαγωγή στη C - Αλγόριθμοι Καθηγήτρια Εφαρμογών: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου Ενότητα: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Νο 07 Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων και

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο ήπιων µορφών ενέργειας

Εργαστήριο ήπιων µορφών ενέργειας Εργαστήριο ήπιων µορφών ενέργειας Ενότητα: Θερµικός υπολογισµός ηλιακού συλλέκτη Ταουσανίδης Νίκος Τµήµα ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου Ενότητα: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ No 05 Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων και

Διαβάστε περισσότερα

Υδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ Εργαστηριακό μέρος του μαθήματος

Υδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ Εργαστηριακό μέρος του μαθήματος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Υδραυλικά & Πνευματικά ΣΑΕ Εργαστηριακό μέρος του μαθήματος Ενότητα: Σημειώσεις Εργαστηρίου Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιζηήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροθορικής Πρόγραμμα Μεηαπηστιακών Σποσδών «Πληροθορική»

Πανεπιζηήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροθορικής Πρόγραμμα Μεηαπηστιακών Σποσδών «Πληροθορική» Πανεπιζηήμιο Πειραιώς Τμήμα Πληροθορικής Πρόγραμμα Μεηαπηστιακών Σποσδών «Πληροθορική» Μεταπτυχιακή Διατριβή Τίηλος Διαηριβής Θεωρία γραφημάτων: Επίπεδα γραφήματα Ειδικές μορφές γραφημάτων - Χρωματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026

Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός. Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Δρομολόγηση Και Πολύχρωματισμός Μονοπατιών Γραφημάτων ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΣ ΤΙΜΟΘΕΟΣ Α.Μ 1026 Εισαγωγή. Το πρόβλημα με το οποίο θα ασχοληθούμε εδώ είναι γνωστό σαν: Δρομολόγηση και Πολύ-χρωματισμός Διαδρομών (Routing

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Εργαστήριο

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Εργαστήριο Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Εργαστήριο Ενότητα: ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΠΟΣΦΑΛΜΑΤΩΣΗΣ Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων και Αρχιτεκτονικής

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

Chapter 7, 8 : Completeness

Chapter 7, 8 : Completeness CSC 314: Switching Theory Chapter 7, 8 : Completeness 19 December 2008 1 1 Αναγωγές Πολυωνυμικού Χρόνου Ορισμός. f: Σ * Σ * ονομάζεται υπολογίσιμη σε πολυνωνυμικό χρόνο αν υπάρχει μια πολυωνυμικά φραγμένη

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα # 4: Ήχος Διδάσκων: Γεώργιος Ξυλωμένος Τμήμα: Πληροφορικής Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου Εαρινό Εξάµηνο 2009 Κάτια Παπακωνσταντινοπούλου 1. Εστω A ένα µη κενό σύνολο. Να δείξετε ότι η αλγεβρική δοµή (P(A), ) είναι αβελιανή οµάδα. 2. Εστω ένα ξενοδοχείο

Διαβάστε περισσότερα

Ο Σέρλοκ Χόλμς, η εις άτοπο απαγωγή και οι απαρχές του internet.

Ο Σέρλοκ Χόλμς, η εις άτοπο απαγωγή και οι απαρχές του internet. Λέσχη Ανάγνωσης Γενικού Λυκείου Σαντορίνης Σχολικό έτος 2011-2012 Ο Σέρλοκ Χόλμς, η εις άτοπο απαγωγή και οι απαρχές του internet. Γιάννης Παπόγλου Το σμαραγδένιο στέμμα Σύµφωνα µε ένα παλιό µου ρητό,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 18 Dijkstra s Shortest Path Algorithm 1 / 12 Ο αλγόριθμος εύρεσης της συντομότερης διαδρομής του Dijkstra

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Ενότητα: Χρηματοδότηση Νέων Επιχειρήσεων Αν. Καθηγητής Μπακούρος Ιωάννης e-mail: ylb@uowm.gr,

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΗΘΙΚΗ. Ενότητα 20: ΤΑ ΝΕΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΚΟΣΜΟΥ. ΜΑΡΙΑ Κ. ΚΑΡΑΜΠΕΛΙΑ Τμήμα Ιερατικών Σπουδών

ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΗΘΙΚΗ. Ενότητα 20: ΤΑ ΝΕΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΚΟΣΜΟΥ. ΜΑΡΙΑ Κ. ΚΑΡΑΜΠΕΛΙΑ Τμήμα Ιερατικών Σπουδών ΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΗΘΙΚΗ Ενότητα 20: ΤΑ ΝΕΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΤΟΥ ΣΥΓΧΡΟΝΟΥ ΚΟΣΜΟΥ ΜΑΡΙΑ Κ. ΚΑΡΑΜΠΕΛΙΑ Τμήμα Ιερατικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων. Ενότητα 2: Προγραμματισμός Ανθρώπινου Δυναμικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων. Ενότητα 2: Προγραμματισμός Ανθρώπινου Δυναμικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων Ενότητα 2: Προγραμματισμός Ανθρώπινου Δυναμικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΧΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ. ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 2η ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ0 Ε ρ γ α σ ί α η Ε ρ ω τ ή µ α τ α Ερώτηµα 1. (1) Να διατυπώστε αλγόριθµο που θα υπολογίζει το ν-οστό όρο της ακολουθίας a ν : ν = 1,,3,..., όπου a 1 = 1, a

Διαβάστε περισσότερα

Βιοϊατρική τεχνολογία

Βιοϊατρική τεχνολογία Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Βιοϊατρική τεχνολογία Ενότητα 5: Οξύμετρο (OxyPro Project) Αν. καθηγητής Αγγελίδης Παντελής e-mail: paggelidis@uowm.gr ΕΕΔΙΠ Μπέλλου Σοφία e-mail: sbellou@uowm.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Ασκήσεις Rendering

Ενότητα: Ασκήσεις Rendering Ενότητα: Ασκήσεις Rendering Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Επενδύσεις & Διεθνές Εμπόριο

Διεθνείς Επενδύσεις & Διεθνές Εμπόριο Διεθνείς Επενδύσεις & Διεθνές Εμπόριο Ενότητα 3: Θεωρία του Διεθνούς Εμπορίου Θεωρητικές προσεγγίσεις Γεώργιος Μιχαλόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ενότητα 13: (Μέρος Α ) Ενσωματωμένα Συστήματα Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων και Αρχιτεκτονικής

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Βιοϊατρική τεχνολογία

Βιοϊατρική τεχνολογία Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Βιοϊατρική τεχνολογία Ενότητα 1: Εισαγωγή στη Βιοϊατρική Τεχνολογία Αν. καθηγητής Αγγελίδης Παντελής e-mail: paggelidis@uowm.gr ΕΕΔΙΠ Μπέλλου Σοφία e-mail:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής

ΘΕΩΡΙΑ ΠΑΙΓΝΙΩΝ. Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών. Ρεφανίδης Ιωάννης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ενότητα 12: Δημοπρασίες ανερχόμενων και κατερχόμενων προσφορών Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Αλληλεπίδραση Ανθρώπου- Υπολογιστή & Ευχρηστία

Αλληλεπίδραση Ανθρώπου- Υπολογιστή & Ευχρηστία Αλληλεπίδραση Ανθρώπου- Υπολογιστή & Ευχρηστία Ενότητα 3: Ο Υπολογιστής Σαπρίκης Ευάγγελος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Εισαγωγή στην Επιστήμη και Τεχνολογία των Υπηρεσιών

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Εισαγωγή στην Επιστήμη και Τεχνολογία των Υπηρεσιών ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Εισαγωγή στην Επιστήμη και Τεχνολογία των Υπηρεσιών Εργαστήριο: XQuery - 2 Όνομα Καθηγητή: Χρήστος Νικολάου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων. Ενότητα 4: Εντοπισμός και προσέλκυση προσωπικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων. Ενότητα 4: Εντοπισμός και προσέλκυση προσωπικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Διοίκηση ανθρωπίνων Πόρων Ενότητα 4: Εντοπισμός και προσέλκυση προσωπικού Δρ. Καταραχιά Ανδρονίκη Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομία. Ενότητα 1: Εισαγωγικές έννοιες. Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μικροοικονομία. Ενότητα 1: Εισαγωγικές έννοιες. Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μικροοικονομία Ενότητα 1: Εισαγωγικές έννοιες Δριτσάκη Χάιδω Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΒΟΗΘΟΣ: ΒΑΓΓΕΛΗΣ ΔΟΥΡΟΣ Φροντιστήριο #2: Πολυωνυμικοί Αλγόριθμοι, Εισαγωγή στα Γραφήματα, Αναζήτηση κατά Βάθος, Τοπολογική Ταξινόμηση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γράφων - Εισαγωγή

Θεωρία Γράφων - Εισαγωγή Θεωρία Γράφων - Εισαγωγή Τοπολογιές απειονίσεις Τοπολογία Κλάδος των μαθηματιών που μελετά ανάμεσα σε άλλα τις ιδιότητες εείνες των γεωμετριών σχημάτων οι οποίες παραμένουν αναλλοίωτες ατά τις τοπολογιές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΥΡΕΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΩΝ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ & ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ (ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ, Sanjoy Dasgupta, Christos Papadimitriou, Umesh Vazirani, Κεφάλαιο 4 ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ, Jon Kleinberg, Eva Tardos, Κεφάλαιο 4) 1 Θέματα

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 1

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 1 Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 1 Ενότητα 8: Εισαγωγή στα Δίκτυα Δρ. Φραγκούλης Γεώργιος Τμήμα Ηλεκτρολογίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Βιοϊατρική τεχνολογία

Βιοϊατρική τεχνολογία Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Βιοϊατρική τεχνολογία Ενότητα: Συσκευές Τηλεμετρίας Αν. καθηγητής Αγγελίδης Παντελής e-mail: paggelidis@uowm.gr ΕΕΔΙΠ Μπέλλου Σοφία e-mail: sbellou@uowm.gr

Διαβάστε περισσότερα

Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25)

Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25) Βραχύτερα Μονοπάτια σε Γράφους (CLR, κεφάλαιο 25) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Ο αλγόριθµος των BellmanFord Ο αλγόριθµος του Dijkstra ΕΠΛ 232 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 61

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου Αρχιτεκτονική Υπολογιστών Ασκήσεις Εργαστηρίου Ενότητα: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Νο 11 Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Φωτοτεχνία

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Φωτοτεχνία ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Φωτοτεχνία Ενότητα 3: Μελέτες Φωτισμού Εσωτερικών Χώρων Mέθοδος Favie-Οικονομόπουλος Γεώργιος Χ. Ιωαννίδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Επιχειρήσεων

Οργάνωση και Διοίκηση Επιχειρήσεων Οργάνωση και Διοίκηση Επιχειρήσεων 3 ο εξάμηνο Χημικών Μηχανικών ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γιάννης Καλογήρου, Καθηγητής ΕΜΠ y.caloghirou@ntua.gr Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονικό Εμπόριο. Ενότητα 8: Διαδικτυακή Διαφήμιση Σαπρίκης Ευάγγελος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

Ηλεκτρονικό Εμπόριο. Ενότητα 8: Διαδικτυακή Διαφήμιση Σαπρίκης Ευάγγελος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Ηλεκτρονικό Εμπόριο Ενότητα 8: Διαδικτυακή Διαφήμιση Σαπρίκης Ευάγγελος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem)

Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Το Πρόβλημα της Πινακοθήκης (The Art Gallery Problem) Τι είναι το Πρόβλημα της Πινακοθήκης; Σας ανήκει μια πινακοθήκη και επιθυμείτε να τοποθετήσετε κάμερες ασφαλείας έτσι ώστε όλη η γκαλερί να είναι προστατευμένη

Διαβάστε περισσότερα

Εσωτερικές Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις Ι

Εσωτερικές Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Εσωτερικές Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις Ι Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες για τις Ε.Η.Ε. Σταύρος Καμινάρης Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών

Αναζήτηση Κατά Βάθος. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Αναζήτηση Κατά Βάθος ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αναζήτηση Κατά Βάθος (DFS) Εξερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Εισαγωγή: Κάποια αντιπροσωπευτικά προβλήματα... 25. 2. Βασικά στοιχεία ανάλυσης αλγορίθμων... 57. 3. Γραφήματα...

Περιεχόμενα. 1. Εισαγωγή: Κάποια αντιπροσωπευτικά προβλήματα... 25. 2. Βασικά στοιχεία ανάλυσης αλγορίθμων... 57. 3. Γραφήματα... Περιεχόμενα Σχετικά με τους συγγραφείς...3 Πρόλογος... 11 Πρόλογος της ελληνικής έκδοσης... 23 1. Εισαγωγή: Κάποια αντιπροσωπευτικά προβλήματα... 25 1.1 Ένα πρώτο πρόβλημα: Ευσταθές Ταίριασμα...25 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Παιδαγωγικά. Ενότητα ΣΤ: Διαχείριση Σχολικής Τάξης. Ζαχαρούλα Σμυρναίου Σχολή Φιλοσοφίας Τμήμα Παιδαγωγικής και Ψυχολογίας

Παιδαγωγικά. Ενότητα ΣΤ: Διαχείριση Σχολικής Τάξης. Ζαχαρούλα Σμυρναίου Σχολή Φιλοσοφίας Τμήμα Παιδαγωγικής και Ψυχολογίας Παιδαγωγικά Ενότητα ΣΤ: Διαχείριση Σχολικής Τάξης Ζαχαρούλα Σμυρναίου Σχολή Φιλοσοφίας Τμήμα Παιδαγωγικής και Ψυχολογίας Περιεχόμενα ενότητας Ψυχολογική κατάσταση Μαθησιακές Δυσκολίες, Αποκλίνουσες Συμπεριφορές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Μουσική Τεχνολογία Ενότητα: Μουσική Τεχνολογία: Ορισμός και εφαρμογές

Εισαγωγή στη Μουσική Τεχνολογία Ενότητα: Μουσική Τεχνολογία: Ορισμός και εφαρμογές Εισαγωγή στη Μουσική Τεχνολογία Ενότητα: Μουσική Τεχνολογία: Ορισμός και εφαρμογές Αναστασία Γεωργάκη Τμήμα Μουσικών Σπουδών Περιεχόμενα 1. Μουσική Τεχνολογία: Ορισμός και εφαρμογές... 3 1.1 Ορισμός του

Διαβάστε περισσότερα

1 ( x ) =-3χ έχει τουλάχιστον μία ρίζα θετική και

1 ( x ) =-3χ έχει τουλάχιστον μία ρίζα θετική και Διαγώνισμα στο θεώρημα Bolzano με λύσεις Θέμα 1 ο Να δώσετε μια πρόχειρη γραφική παράσταση συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το R, που να είναι συνεχής στο R-{α,β} και να είναι συνεχής στο [α,β]. Να δώσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΔΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥ-ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ ΣΕ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ

ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΔΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥ-ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ ΣΕ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΤΗΛΕΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΓΙΑ ΔΡΟΜΟΛΟΓΗΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥ-ΧΡΩΜΑΤΙΣΜΟ ΜΟΝΟΠΑΤΙΩΝ ΣΕ ΓΡΑΦΗΜΑΤΑ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΧΑΡΙΛΟΓΗΣ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ ΚΑΡΑΓΕΩΡΓΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής. Ακαδημαϊκό Έτος 2007-2008

Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής. Ακαδημαϊκό Έτος 2007-2008 Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Ακαδημαϊκό Έτος 2007-2008 ΠΑΡΑΔΟΤΕΟ: Έκθεση Προόδου Υλοποίησης του Μαθήματος Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Διδάσκοντες: Θ.Ανδρόνικος - Μ.Στεφανιδάκης Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Ευφυείς Τεχνολογίες Πράκτορες

Ευφυείς Τεχνολογίες Πράκτορες Ευφυείς Τεχνολογίες Πράκτορες Ενότητα 2: Αναπαράσταση Γνώσης και Επίλυση Προβλημάτων Δημοσθένης Σταμάτης mos@it.tith.gr www.it.tith.gr/~mos Μαθησιακοί Στόχοι της ενότητας 2 Πως ορίζεται ένα πρόβλημα στα

Διαβάστε περισσότερα

Ο γύρος του ίππου (Συνοδευτική της δραστηριότητας «Ο ξεναγός»)

Ο γύρος του ίππου (Συνοδευτική της δραστηριότητας «Ο ξεναγός») Ο γύρος του ίππου (Συνοδευτική της δραστηριότητας «Ο ξεναγός») Ηλικίες: Προαπαιτούμενες δεξιότητες: Χρόνος: Μέγεθος ομάδας: 8 ενήλικες Καμία 50-60 λεπτά από 1 άτομο και πάνω Εστίαση Γράφοι, Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Πλήρης οδηγός δημιουργίας ενός Ανοικτού Ακαδημαϊκού Μαθήματος. Μονάδα Υλοποίησης Ανοικτών Ακαδημαϊκών Μαθημάτων ΕΜΠ

Πλήρης οδηγός δημιουργίας ενός Ανοικτού Ακαδημαϊκού Μαθήματος. Μονάδα Υλοποίησης Ανοικτών Ακαδημαϊκών Μαθημάτων ΕΜΠ Πλήρης οδηγός δημιουργίας ενός Ανοικτού Ακαδημαϊκού Μαθήματος AO Μονάδα Υλοποίησης Ανοικτών Ακαδημαϊκών Μαθημάτων ΕΜΠ Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons και δημιουργήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κινητές και Δορυφορικές Επικοινωνίες

Κινητές και Δορυφορικές Επικοινωνίες Πανεπιστήμιο Αιγαίου Κινητές και Δορυφορικές Επικοινωνίες Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Κατεύθυνση: «Τεχνολογίες Δικτύων Επικοινωνιών & Υπολογιστών» Βασικές Αρχές Κυψελωτών Συστημάτων Δημοσθένης Βουγιούκας

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρονική Επιχειρηματικότητα

Ηλεκτρονική Επιχειρηματικότητα Πανεπιστήμιο Αιγαίου Ηλεκτρονική Επιχειρηματικότητα Επανάληψη ΔΡ. ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΔΡΟΣΟΣ ddrosos@aegean.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες Οργάνωσης Μαθήματος στην Ιδρυματική πλατφόρμα του open e class. Σύνταξη: MY-AOC

Οδηγίες Οργάνωσης Μαθήματος στην Ιδρυματική πλατφόρμα του open e class. Σύνταξη: MY-AOC Οδηγίες Οργάνωσης Μαθήματος στην Ιδρυματική πλατφόρμα του open e class Σύνταξη: MY-AOC Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Οργάνωση Μαθήματος 3 Η πλήρης οργάνωση ενός

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρική Ενέργεια. Ηλεκτρικό Ρεύμα

Ηλεκτρική Ενέργεια. Ηλεκτρικό Ρεύμα Ηλεκτρική Ενέργεια Σημαντικές ιδιότητες: Μετατροπή από/προς προς άλλες μορφές ενέργειας Μεταφορά σε μεγάλες αποστάσεις με μικρές απώλειες Σημαντικότερες εφαρμογές: Θέρμανση μέσου διάδοσης Μαγνητικό πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Μουσική Τεχνολογία Ενότητα: Τα μουσικά Λογισμικά

Εισαγωγή στη Μουσική Τεχνολογία Ενότητα: Τα μουσικά Λογισμικά Εισαγωγή στη Μουσική Τεχνολογία Ενότητα: Τα μουσικά Λογισμικά Αναστασία Γεωργάκη Τμήμα Μουσικών Σπουδών Περιεχόμενα 8. Τα μουσικά Λογισμικά... 3 8.1 Κατηγορίες Μουσικών Λογισμικών... 3 8.2 Προγράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω.

Α) 4 Β) 5 Γ) 7 Δ) 6 Ε) Κανένα από τα πιο πάνω. η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 200 Χρόνος: 60 λεπτά ΣΤ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ Ο πενταψήφιος αριθμός 45Β7Α, στον οποίο τα ψηφία των μονάδων και των εκατοντάδων είναι σημειωμένα με Α και Β, διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικές οδηγίες για τη δημιουργία προσβάσιμων εγγράφων PDF από προσβάσιμα έγγραφα MS-Word και MS- PowerPoint 2010

Αναλυτικές οδηγίες για τη δημιουργία προσβάσιμων εγγράφων PDF από προσβάσιμα έγγραφα MS-Word και MS- PowerPoint 2010 Γεώργιος Κουρουπέτρογλου Αναλυτικές οδηγίες για τη δημιουργία προσβάσιμων εγγράφων PDF από προσβάσιμα έγγραφα MS-Word και MS- PowerPoint 2010 Έκδοση: 1.1 Αθήνα 2013 Έργο «Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών

Διαβάστε περισσότερα

Υψηλές Τάσεις. Ενότητα 4: Υγρά Μονωτικά Υλικά. Κωνσταντίνος Ψωμόπουλος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ

Υψηλές Τάσεις. Ενότητα 4: Υγρά Μονωτικά Υλικά. Κωνσταντίνος Ψωμόπουλος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Υψηλές Τάσεις Ενότητα 4: Υγρά Μονωτικά Υλικά Κωνσταντίνος Ψωμόπουλος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακές Επικοινωνίες

Επιχειρησιακές Επικοινωνίες ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακές Επικοινωνίες Ενότητα # 4: Ακροατήρια-Κοινά-Στόχοι Πρόδρομος Γιαννάς Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ενσωματωμένα Συστήματα

Ενσωματωμένα Συστήματα Ενσωματωμένα Συστήματα Ενότητα: ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ARDUINO Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Εργαστήριο Ψηφιακών Συστημάτων και Αρχιτεκτονικής Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα.

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα. 2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό διατίθεται με του όρους χρήσης Creative Commons (CC) Αναφορά Δημιουργού Μη Εμπορική Χρήση Όχι Παράγωγα Έργα. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, διαγράμματα,

Διαβάστε περισσότερα

«Λογισμικές εφαρμογές στην Επαγγελματική Εκπαίδευση. Το παράδειγμα του Τομέα Οχημάτων»

«Λογισμικές εφαρμογές στην Επαγγελματική Εκπαίδευση. Το παράδειγμα του Τομέα Οχημάτων» «Λογισμικές εφαρμογές στην Επαγγελματική Εκπαίδευση. Το παράδειγμα του Τομέα Οχημάτων» Ευστράτιος Ντουμανάκης Τεχνολόγος Οχημάτων, Εκπαιδευτικός, 12 ο Επαγγελματικό Λύκειο Θεσσαλονίκης entoum@sch.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ

Διαβάστε περισσότερα

Δίκτυα Υπολογιστών Ενότητα 10: Ethernet και ARP

Δίκτυα Υπολογιστών Ενότητα 10: Ethernet και ARP Δίκτυα Υπολογιστών Ενότητα 10: Ethernet και ARP Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτροτεχνικές Εφαρμογές

Ηλεκτροτεχνικές Εφαρμογές ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ηλεκτροτεχνικές Εφαρμογές Ενότητα 1: Εξαρτήματα Ηλεκτρικών Συσκευών Γεώργιος Χ. Ιωαννίδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα