Camilla Colombo. Submitted in fulfilment of the requirements for the Degree of Doctor of Philosophy

Transcript

1 Colombo, Camilla and Radice, Gianmarco and Vasile, Massimiliano (1) Optimal trajectory design for interception and deflection of Near Earth Objects. PhD thesis, University of Glasgow., This version is available at Strathprints is designed to allow users to access the research output of the University of Strathclyde. Unless otherwise explicitly stated on the manuscript, Copyright and Moral Rights for the papers on this site are retained by the individual authors and/or other copyright owners. Please check the manuscript for details of any other licences that may have been applied. You may not engage in further distribution of the material for any profitmaking activities or any commercial gain. You may freely distribute both the url ( and the content of this paper for research or private study, educational, or not-for-profit purposes without prior permission or charge. Any correspondence concerning this service should be sent to the Strathprints administrator: The Strathprints institutional repository ( is a digital archive of University of Strathclyde research outputs. It has been developed to disseminate open access research outputs, expose data about those outputs, and enable the management and persistent access to Strathclyde's intellectual output.

2 Camilla Colombo Submitted in fulfilment of the requirements for the Degree of Doctor of Philosophy Department of Aerospace Engineering Faculty of Engineering University of Glasgow Camilla Colombo, 1

3 ΝΟΤΕ Τηισ τηεσισ χονταινσ σοmε φιγυρεσ ιν.επσ. Ιν ορδερ το πριντ ιτ ουτ χορρεχτελψ αν επσ πριντερ ισ συγγεστεδ. Αυτηορ χονταχτ: αλλιmαχ17 γmαιλ.χοm ii

4 Abstract Μανψ αστεροιδσ ανδ χοmετσ ορβιτ τηε ιννερ σολαρ σψστεm; αmονγ τηεm Νεαρ Εαρτη Οβϕεχτσ (ΝΕΟσ) αρε τηοσε χελεστιαλ βοδιεσ φορ ωηιχη τηε ορβιτ λιεσ χλοσε, ανδ σοmετιmεσ χροσσεσ, τηε Εαρτη σ ορβιτ. Οϖερ τηε λαστ δεχαδεσ τηε ιmπαχτ ηαζαρδ τηεψ ποσε το τηε Εαρτη ηασ γενερατεδ ηεατεδ δισχυσσιονσ ον τηε ρεθυιρεδ mεασυρεσ το ρεαχτ το συχη α σχεναριο. Τηε αιm οφ τηε ρεσεαρχη πρεσεντεδ ιν τηισ δισσερτατιον ισ το δεϖελοπ mετηοδολογιεσ φορ τηε τραϕεχτορψ δεσιγν οφ ιντερχεπτιον ανδ δεφλεχτιον mισσιονσ το Νεαρ Εαρτη Οβϕεχτσ. Τηε δισπλαχεmεντ, φολλοωινγ α δεφλεχτιον mανοευϖρε, οφ τηε αστεροιδ ατ τηε mινιmυm ορβιτ ιντερσεχτιον διστανχε ωιτη τηε Εαρτη ισ εξπρεσσεδ βψ mεανσ οφ α σιmπλε ανδ γενεραλ φορmυλατιον, ωηιχη εξπλοιτσ τηε ρελατιϖε mοτιον εθυατιονσ ανδ Γαυσσ εθυατιονσ. Τηε ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ ελεmεντσ αχηιεϖεδ βψ ανψ ιmπυλσιϖε ορ λοω τηρυστ αχτιον ον τηε τηρεατενινγ βοδψ ισ δεριϖεδ τηρουγη α σεmι αναλψτιχαλ αππροαχη, ωηοσε αχχυραχψ ισ εξτενσιϖελψ σηοων. Τηισ φορmυλατιον αλλοωσ τηε αναλψσισ οφ τηε οπτιmαλ διρεχτιον οφ τηε δεφλεχτιον mανοευϖρε το mαξιmισε τηε αχηιεϖαβλε δεϖιατιον. Τηε σεαρχη φορ οπτιmαλ οππορτυνιτιεσ φορ mιτιγατιον mισσιονσ ισ δονε τηρουγη α γλοβαλ οπτιmισατιον αππροαχη. Τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ, mοδελλεδ τηρουγη πρελιmιναρψ δεσιγν τεχηνιθυεσ, ισ ιντεγρατεδ ωιτη τηε δεφλεχτιον mοδελ. Ιν τηισ ωαψ, τηε mισσιον πλαννινγ χαν βε περφορmεδ βψ οπτιmισινγ διφφερεντ χοντραστινγ χριτερια, συχη ασ τηε mασσ ατ λαυνχη, τηε ωαρνινγ τιmε, ανδ τηε τοταλ δεφλεχτιον. Α σετ οφ Παρετο φροντσ ισ χοmπυτεδ φορ διφφερεντ δεφλεχτιον στρατεγιεσ ανδ χονσιδερινγ ϖαριουσ αστεροιδ mιτιγατιον σχεναριοσ. Εαχη Παρετο σετ ρεπρεσεντσ α νυmβερ οφ mισσιον οππορτυνιτιεσ, οϖερ α ωιδε δοmαιν οφ λαυνχη ωινδοωσ ανδ δεσιγν παραmετερσ. Α φιρστ σετ οφ ρεσυλτσ φοχυσεσ ον ιmπυλσιϖε δεφλεχτιον mισσιονσ, το α σελεχτεδ γρουπ οφ ποτεντιαλλψ ηαζαρδουσ αστεροιδσ; τηε αναλψσισ σηοωσ τηατ τηε ιδεαλ οπτιmαλ διρεχτιον οφ τηε δεφλεχτιον mανοευϖρε χαννοτ αλωαψσ βε αχηιεϖεδ ωηεν τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ ισ ιντεγρατεδ ωιτη τηε δεφλεχτιον πηασε. Α σεχονδ σετ οφ ρεσυλτσ iii

5 Abstract ινχλυδεσ σολυτιονσ φορ τηε δεϖιατιον οφ σοmε σελεχτεδ ΝΕΟσ βψ mεανσ οφ α σολαρ χολλεχτορ στρατεγψ. Τηε σεmι αναλψτιχαλ φορmυλατιον δεριϖεδ αλλοωσ τηε ρεδυχτιον οφ τηε χοmπυτατιοναλ τιmε, ηενχε τηε γενερατιον οφ α λαργε νυmβερ οφ σολυτιονσ. Μορεοϖερ, σετσ οφ Παρετο φροντσ φορ αστεροιδ mιτιγατιον αρε χοmπυτεδ τηρουγη τηε mορε φεασιβλε δεφλεχτιον σχηεmεσ προποσεδ ιν λιτερατυρε: κινετιχ ιmπαχτορ, νυχλεαρ ιντερχεπτορ, mασσ δριϖερ δεϖιχε, λοω τηρυστ ατταχηεδ προπυλσιον, σολαρ χολλεχτορ, ανδ γραϖιτψ τυγ. Α δοmινανχε χριτεριον ισ υσεδ το περφορm α χοmπαρατιϖε ασσεσσmεντ οφ τηεσε mιτιγατιον στρατεγιεσ, ωηιλε αλσο χονσιδερινγ τηε ρεθυιρεδ τεχηνολογιχαλ δεϖελοπmεντ τηρουγη α τεχηνολογψ ρεαδινεσσ φαχτορ. Τηε γλοβαλ σεαρχη οφ σολυτιονσ τηρουγη α mυλτι χριτερια οπτιmισατιον αππροαχη ρεπρεσεντσ τηε φιρστ σταγε οφ τηε mισσιον πλαννινγ, ιν ωηιχη πρελιmιναρψ δεσιγν τεχηνιθυεσ αρε υσεδ φορ τηε τραϕεχτορψ mοδελ. Ατ α σεχονδ σταγε, α σελεχτεδ νυmβερ οφ τραϕεχτοριεσ χαν βε οπτιmισεδ, υσινγ α ρεφινεδ mοδελ οφ τηε δψναmιχσ. Φορ τηισ πυρποσε, τηε υσε οφ Dιφφερεντιαλ Dψναmιχ Προγραmmινγ (DDΠ) ισ ινϖεστιγατεδ φορ τηε σολυτιον οφ τηε οπτιmαλ χοντρολ προβλεm ασσοχιατεδ το τηε δεσιγν οφ λοω τηρυστ τραϕεχτοριεσ. Τηε σταγε ωισε αππροαχη οφ DDΠ ισ εξπλοιτεδ το ιντεγρατε αν αδαπτιϖε στεπ δισχρετισατιον σχηεmε ωιτηιν τηε οπτιmισατιον προχεσσ. Τηε δισχρετισατιον mεση ισ αδϕυστεδ ατ εαχη ιτερατιον, το ασσυρε ηιγη αχχυραχψ οφ τηε σολυτιον τραϕεχτορψ ανδ ηενχε φυλλψ εξπλοιτ τηε δψναmιχσ οφ τηε προβλεm ωιτηιν τηε οπτιmισατιον προχεσσ. Τηε φεεδβαχκ νατυρε οφ τηε χοντρολ λαω ισ πρεσερϖεδ, τηρουγη α παρτιχυλαρ ιντερπολατιον τεχηνιθυε τηατ ιmπροϖεσ τηε ροβυστνεσσ αγαινστ σοmε αππροξιmατιον ερρορσ. Τηε mοδιφιεδ DDΠ mετηοδ ισ πρεσεντεδ ανδ αππλιεδ το τηε δεσιγν οφ τρανσφερ τραϕεχτοριεσ το τηε φλψ βψ ορ ρενδεζϖουσ οφ ΝΕΟσ, ινχλυδινγ τηε εσχαπε πηασε ατ τηε Εαρτη. Τηε DDΠ αππροαχη αλλοωσ τηε οπτιmισατιον οφ τηε τραϕεχτορψ ασ α ωηολε, ωιτηουτ ρεχυρρινγ το τηε πατχηεδ χονιχ αππροαχη. Τηε ρεσυλτσ σηοω ηοω τηε προποσεδ mετηοδ ισ χαπαβλε οφ φυλλψ εξπλοιτινγ τηε mυλτι βοδψ δψναmιχσ οφ τηε προβλεm; ιν φαχτ, ιν ονε οφ τηε στυδψ χασεσ, α φλψ βψ οφ τηε Εαρτη ισ σχηεδυλεδ, ωηιχη ωασ νοτ ινχλυδεδ ιν τηε φιρστ γυεσσ σολυτιον. iv

6 To my brother Marco Isaiah 43, 1 3 «Do not be afraid. I ve redeemed you. I ve called your name. You re mine. When you re in over your head, I ll be there with you. When you re in rough waters, you will not go down. When you re between a rock and a hard place, it won t be a dead end Because I am God, your personal God, the Holy One of Israel, your Saviour. I paid a huge price for you: all of Egypt, with rich Cush and Seba thrown in! That s how much you mean to me! That s how much I love you! I d sell off the whole world to get you back, trade the creation just for you. So don t be afraid: I am with you» v

7 Richard Feynman, The Value of Science, in Frontiers in Science: A Survey, Ed. E. Hutchings, Basic Books, New York, «The same thrill, the same awe and mystery, comes again and again when we look at any question deeply enough. With more knowledge comes a deeper, more wonderful mystery, luring one on to penetrate deeper still. Never concerned that the answer may prove disappointing, with pleasure and confidence we turn over each new stone to find unimagined strangeness leading on to more wonderful questions and mysteries - certainly a grand adventure!» vi

8 Acknowledgments Ι ωουλδ λικε το αχκνοωλεδγε mψ αδϖισορσ, Dρ. Γιανmαρχο Ραδιχε ανδ Dρ. Μασσιmιλιανο ςασιλε φορ mακινγ τηισ ωορκ ποσσιβλε. Τηειρ συππορτ ανδ γυιδανχε ηαϖε βεεν πρεχιουσ τηρουγηουτ τηεσε ψεαρσ. Ι ωουλδ λικε το τηανκ Μαξ, φορ χονϖεψινγ το mε τηε σαmε τηριλλ, τηε σαmε αωε ανδ mψστερψ τηατ mακε ρεσεαρχη σο βεαυτιφυλ, ανδ φορ σηαρινγ τηε εντηυσιασm οφ ωορκινγ ιν τεαm. Τηανκ ψου φορ τηε ινϖαλυαβλε σχιεντιφιχ γυιδανχε ανδ τηε χοντριβυτιον το mανψ οφ τηε ιδεασ ιν τηισ τηεσισ. Ι ωουλδ λικε το τηανκ Γιανmαρχο, φορ mακινγ τηισ εξτραορδιναρψ εξπεριενχε ποσσιβλε. Τηανκ ψου, φορ συππορτινγ mε αλωαψσ ε υνχονδιτιοναλλψ, φορ βελιεϖινγ ιν mψ αβιλιτιεσ ανδ γιϖινγ mε χονφιδενχε ιν τηεm. Ψουρ ποσιτιϖενεσσ ενχουραγεδ mε ανδ ηελπεδ mε ιν πλαψινγ δοων mψ ωορριεσ ανδ ινσεχυριτιεσ. Ι αm ϖερψ γρατεφυλ το εαχη mεmβερ οφ τηε Dεπαρτmεντ οφ Αεροσπαχε Ενγινεερινγ οφ τηε Υνιϖερσιτψ οφ Γλασγοω, βεχαυσε τηε ενϖιρονmεντ ηασ βεεν φριενδλψ, συππορτιϖε ανδ στιmυλατινγ. Ι αm τηανκφυλ το τηε εξαmινερσ οφ τηισ τηεσισ, Dρ. ςιχτορ Βεχερρα ανδ Dρ. ϑονγραε Κιm φορ τηε φρυιτφυλ δισχυσσιον. Φορ mανψ ρεασονσ, mψ εξπεριενχε οφ τηε ΠηD ιν Γλασγοω ηασ βεεν ονε οφ τηε βεστ ανδ στρονγεστ ιν mψ λιφε, ιτ ηασ χηανγεδ ανδ εξτενδεδ mψ ϖισιονσ ανδ στρενγτηενεδ mψ βελιεφσ. Ι ωουλδ λικε το τηανκ αλλ mψ χολλεαγυεσ ανδ βεστ φριενδσ οφ τηε Σπαχε Αδϖανχεδ Ρεσεαρχη Τεαm; ψου ηαϖε βεεν ωονδερφυλ τραϖελ mατεσ, ον εϖερψ δαψ οφ τηισ εξπεριενχε. Τηανκ ψου Παυ, Ι ηαϖε λεαρντ α λοτ φροm τηε χλοσε χολλαβορατιον ωιτη ψου, σαϖινγ τηε Εαρτη φροm ΝΕΟσ ηασ βεεν ενϕοψαβλε τογετηερ! Τηανκ ψου Ματτεο, φορ βεινγ αλωαψσ αϖαιλαβλε, ενχουραγινγ ανδ συππορτινγ mε. Τηανκ ψου φορ ψουρ σπλενδιδ φριενδσηιπ, Νιχο, φορ λιστενινγ το mψ τηουγητσ ανδ φορ σηαρινγ ωιτη mε ψουρσ. Α βιγ ηυγ ανδ σινχερε τηανκ ψου το Χηριστιε, Dανιελ, Εδmονδο, Στυαρτ, Ιmραν, Αννα, Γιυλιο, Ιρενε, Παολα, Ματτ, Γιανγι, Νιτα, DΧ, Κιραν, Ταο, mψ Σχοττιση συππορτερσ, ϑανιχε, Χελια ανδ ϑαmεσ. Wιτη εαχη ονε οφ ψου Ι ηαϖε σηαρεδ υνφοργετταβλε πρεχιουσ mοmεντσ οφ mψ Γλασωεγιαν εξπεριενχε. Τηε βιγγεστ τηανκ ψου γοεσ το mψ φαmιλψ: Εmιλια, Γιοργιο, Ριχχαρδο, Μαρχο ανδ Φαβριζιο, βεχαυσε τηειρ λοϖε ανδ υνχονδιτιοναλ συππορτ ισ αλωαψσ ωιτη mε, vii

9 Acknowledgments εϖεν ατ 1,91 κm φαρ αωαψ. Ι αm γρατεφυλ το mψ παρεντσ, φορ τεαχηινγ mε τηατ γοοδ ρεσυλτσ χοmε φροm στρονγ χοmmιτmεντ ανδ φορ ραισινγ mε το χηασε mψ δρεαmσ. Γραζιε παπι, βεχαυσε ωιτη ψουρ mορνινγ πηονε χαλλσ Ι εξπεριενχεδ τηατ διστανχεσ αρε νοτηινγ, ιφ ψου βελιεϖε σο. Γραζιε mαmmα, φορ ψουρ χονσταντ χαρε, φορ σηαρινγ mψ φεελινγσ ανδ ανξιετιεσ, ανδ σοmετιmεσ νοτ σλεεπινγ βεχαυσε οφ τηεm. Α βιγ ηυγ το Ριχηι, ωηο σηοωσ mε ηισ λοϖε ωιτη νο νεεδσ φορ ωορδσ! Μαρχο, Ι φεελ ψου χλοσε το mε ιν εϖερψ σινγλε mοmεντ. Φαβρι, λιϖινγ σο φαρ δυρινγ τηεσε ψεαρσ ηασ βεεν διφφιχυλτ, βυτ ωε ονλψ κνοω ηοω τηατ mαδε υσ χλοσε. Τηανκ ψου φορ ψουρ πατιενχε, πρεσενχε ανδ λοϖε. Ψου αρε τηε ονε ωηο χοmπλετεσ mε. viii

10 Ι δεχλαρε τηατ, εξχεπτ ωηερε εξπλιχιτλψ στατεδ, τηε ωορκ χονταινεδ ιν τηισ δισσερτατιον ισ mψ οων. Νοϖεmβερ 9, Χαmιλλα Χολοmβο ix

11 Contents Αβστραχτ... ιιι Αχκνοωλεδγmεντσ... ϖιι Χοντεντσ... ξ Λιστ οφ φιγυρεσ... ξιιι Λιστ οφ ταβλεσ... ξξ Νοmενχλατυρε... ξξιι Λιστ οφ σψmβολσ... ξξιι Λιστ οφ χονσταντσ... ξξξ Λιστ οφ αχρονψmσ... ξξξ Χηαπτερ 1. Ιντροδυχτιον Νεαρ Εαρτη Οβϕεχτσ ανδ προβλεm δεφινιτιον Ρεσεαρχη mοτιϖατιονσ ανδ οβϕεχτιϖεσ Βαχκγρουνδ Ιmπαχτ ηαζαρδ ΝΕΟ δεφλεχτιον στρατεγιεσ Αστεροιδ δεϖιατιον ΝΕΟ ιντερχεπτιον ανδ τραϕεχτορψ οπτιmισατιον Μετηοδολογιεσ δεϖελοπεδ ανδ ιmπλεmεντεδ Dισσερτατιον οργανισατιον Χοντριβυτιονσ... 1 Χηαπτερ. Ιmπυλσιϖε ΝΕΟ δεφλεχτιον Αστεροιδ δεϖιατιον προβλεm Μαξιmυm δεϖιατιον στρατεγιεσ Αχχυραχψ αναλψσισ Ρεπρεσεντατιον ον τηε β πλανε Μισσιον οπτιονσ φορ ιmπυλσιϖε δεϖιατιον Ταργετσ σελεχτιον Ιmπαχτ mοδελ ανδ οπτιmισατιον προβλεm δεφινιτιον x

12 Contents..3. Ρεσυλτσ Συmmαρψ Χηαπτερ 3. Λοω τηρυστ ΝΕΟ δεφλεχτιον Αστεροιδ δεϖιατιον προβλεm Αναλψσισ οφ τηε οπτιmαλ τηρυστ διρεχτιον Σεmι αναλψτιχαλ φορmυλαε φορ λοω τηρυστ δεϖιατιον αχτιον Λατιτυδε φορmυλατιον Περιοδιχ ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ παραmετερσ Τιmε φορmυλατιον Μισσιον οπτιονσ φορ λοω τηρυστ δεϖιατιον Ταργετσ σελεχτιον Σπαχεχραφτ mοδελ ανδ οπτιmισατιον προβλεm δεφινιτιον Ρεσυλτσ Συmmαρψ Χηαπτερ 4. Χοmπαρισον οφ mιτιγατιον στρατεγιεσ φορ ηαζαρδουσ ΝΕΟσ ΝΕΟ δεφλεχτιον στρατεγιεσ mοδελ Ιmπυλσιϖε αχτιον Λοω τηρυστ αχτιον Τρανσφερ τραϕεχτορψ Μυλτι χριτερια οπτιmισατιον προβλεm φορmυλατιον Οβϕεχτιϖε φυνχτιον δεφινιτιον Dεφλεχτιον mισσιον οπτιονσ Ταργετσ σελεχτιον Παρετο φροντσ Μυλτι χριτερια αναλψσισ Συmmαρψ Χηαπτερ 5. Οπτιmαλ λοω τηρυστ τραϕεχτοριεσ το αστεροιδσ τηρουγη αν αλγοριτηm βασεδ ον διφφερεντιαλ δψναmιχ προγραmmινγ Dιφφερεντιαλ Dψναmιχ Προγραmmινγ Dιφφερεντιαλ δψναmιχ προγραmmινγ φορ τραϕεχτορψ οπτιmισατιον Μοδιφιεδ DDΠ mετηοδ Dισχρετισατιον σχηεmε xi

13 Contents 5... Μεση δεφινιτιον Αλγοριτηm Ηευριστιχσ το ιmπροϖε τηε χονϖεργενχε ρατε Λοχαλ ρεφινεmεντ οφ λοω τηρυστ τραϕεχτοριεσ Αστεροιδ ρενδεζϖουσ ανδ φλψ βψ mισσιονσ Ρενδεζϖουσ ωιτη αστεροιδ Αποπηισ Ρενδεζϖουσ ωιτη αστεροιδ Αποπηισ φροm α γεοστατιοναρψ τρανσφερ ορβιτ Φλψ βψ οφ αστεροιδ ΑΑ Συmmαρψ... 3 Χηαπτερ 6. Χονχλυσιονσ Συmmαρψ ανδ φινδινγσ οφ τηε τηεσισ Λιmιτατιονσ Ρεmαρκσ φορ φυτυρε ωορκ Ρεφερενχεσ Αππενδιξ Α. Σεχυλαρ ϖαριατιον οφ ορβιταλ ελεmεντσ δυε το λοω τηρυστ mανοευϖρε... 3 Α.1. Σεχυλαρ ϖαριατιον οφ εχχεντριχιτψ οϖερ ονε ορβιταλ ρεϖολυτιον... 3 Α.. Σεχυλαρ ϖαριατιον οφ σεmι mαϕορ αξισ οϖερ ονε ορβιταλ ρεϖολυτιον Α.3. Σεχυλαρ ϖαριατιον οφ ανοmαλψ οφ τηε περιχεντρε οϖερ ονε ορβιταλ ρεϖολυτιον Α.4. Σεχυλαρ ϖαριατιον οφ τηε mεαν ανοmαλψ οϖερ ονε ορβιταλ ρεϖολυτιον Αππενδιξ Β. Ινφλυενχε οφ τηε τεχηνολογψ ρεαδινεσσ λεϖελ ον τηε mυλτι χριτερια αναλψσισ... 4 xii

14 List of figures Φιγυρε.1: Ιmπυλσιϖε ΝΕΟ δεϖιατιον Φιγυρε.: Χοmπονεντσ οφ τηε οπτιmαλ ϖ διρεχτιον φορ α) αστεροιδ ΣΓ344 ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ Φιγυρε.3: Dεϖιατιον αχηιεϖεδ ωιτη ϖ =.7 m/σ φορ α) αστεροιδ ΣΓ344 ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ Φιγυρε.4: Ρελατιϖε ερρορ χαλχυλατεδ βψ ορβιτ προπαγατιον φορ αστεροιδ ΣΓ Φιγυρε.5: Ρελατιϖε ερρορ φορ τηε δεϖιατιον οφ α) αστεροιδ ΣΓ344 ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ Φιγυρε.6: Dεϖιατιον οφ α) αστεροιδ ΣΓ344 ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ Φιγυρε.7: Μαξιmυm ρελατιϖε ερρορ φορ διφφερεντ αστεροιδσ Φιγυρε.8: Εαρτη χεντρεδ λοχαλ ρεφερενχε σψστεm: α) β πλανε ρεπρεσεντατιον ανδ β) γεοmετρψ οφ ηψπερβολιχ πασσαγε Φιγυρε.9: Ιmπαχτ παραmετερ ανδ mαγνιτυδε οφ τηε δεϖιατιον φορ 1979ΞΒ ωιτη ϖ =.7 m/σ; β παραmετερ (βολδ λινεσ), ανδ δεϖιατιον (τηιν λινεσ) Φιγυρε.1: Ιmπαχτ παραmετερ φορ αστεροιδ 1979ΞΒ τ<1τ ΝΕΟ : α) στρατεγψ οφ mαξιmυm δεϖιατιον ανδ β) στρατεγψ οφ mαξιmυm β παραmετερ Φιγυρε.11: Ιmπαχτ παραmετερ φορ αστεροιδ ΣΓ344 τ<.5τ ΝΕΟ. Στρατεγψ οφ mαξιmυm δεϖιατιον (σολιδ λινε) ανδ mαξιmυm β παραmετερ (βολδ λινε) Φιγυρε.1: Dεϖιατιον (δασηεδ λινε) ανδ ιτσ προϕεχτιον (βολδ λινε) ον τηε β πλανε χαλχυλατεδ τηρουγη τηε τωο βοδψ προβλεm ανδ mινιmυm δεϖιατιον χοmπυτεδ τηρουγη τηε τηρεε βοδψ προβλεm (χοντινυουσ τηιν λινε): α) mαξιmυm δεϖιατιον στρατεγψ φορ αστεροιδ 1979ΞΒ ανδ β) mαξιmυm β παραmετερ στρατεγψ φορ αστεροιδ 1979ΞΒ Φιγυρε.13: Προϕεχτιον οφ τηε δεϖιατιον (χοντινυουσ λινε) ον τηε β πλανε χαλχυλατεδ τηρουγη τηε τωο βοδψ προβλεm ανδ mινιmυm δεϖιατιον χοmπυτεδ τηρουγη τηε τηρεε βοδψ προβλεm (δασηεδ λινε) φορ αστεροιδ 1979ΞΒ. Τηε βολδ λινεσ ρεπρεσεντ τηε ρεσυλτσ οφ τηε mαξιmυm β στρατεγψ, τηε τηιν λινεσ ρεπρεσεντ τηε ρεσυλτ φορ τηε mαξιmυm δεϖιατιον στρατεγψ Φιγυρε.14: Χοmπονεντσ οφ τηε δεϖιατιον ιν τηε β πλανε φορ αστεροιδ 1979ΞΒ... 4 Φιγυρε.15: Φλψ βψ ρεπρεσεντατιον ιν τηε β πλανε ρεφερενχε σψστεm. α) χασε Α: τηε αστεροιδ ισ αππροαχηινγ τηε φλψ βψ οφ τηε Εαρτη ανδ β) χασε Β: τηε αστεροιδ ισ ατ τηε ενδ οφ τηε φλψ βψ xiii

15 List of figures Φιγυρε.16: Προϕεχτιον ον τηε β πλανε οφ τηε δεϖιατιον φορ αστεροιδ ΣΓ344 (λεφτ) ανδ αστεροιδ 1979ΞΒ (ριγητ) ωιτη ϖ =.7 m/σ αππλιεδ α) αλονγ τηε τανγεντ το τηε mοτιον, β) αλονγ τηε νορmαλ το τηε mοτιον, ανδ χ) αλονγ τηε η διρεχτιον Φιγυρε.17: Προϕεχτιον ον τηε β πλανε, φυνχτιον οφ τ φορ α) αστεροιδ ΣΓ344 ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ Φιγυρε.18: Προϕεχτιον ον τηε β πλανε οφ τηε δεϖιατιον. ϖ =.7 m/σ αππλιεδ αλονγ τηε οπτιmαλ (νορmαλ λινε), τηε τανγεντ το τηε mοτιον (δαρκ γρεψ νορmαλ λινε), τηε νορmαλ το τηε mοτιον (βλαχκ βολδ λινε), ανδ τηε η (λιγητ γρεψ βολδ λινε) διρεχτιονσ φορ α) αστεροιδ ΣΓ344 ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ Φιγυρε.19: Dιστριβυτιον οφ τηε χοmπονεντσ οφ ϖ, ρεπρεσεντεδ τηρουγη τηε Γαυσσιαν mεmβερσηιπ φυνχτιον, ωιτη 3 = ϖ τ, mεαν /1. α) Τανγεντιαλ χοmπονεντ, β) νορmαλ χοmπονεντ, ανδ χ) χοmπονεντ αλονγ τηε η διρεχτιον Φιγυρε.: Προϕεχτιον ον τηε β πλανε οφ τηε δεϖιατιον. ϖ τ, mεαν =.7 m/σ αππλιεδ αλονγ τηε τανγεντ διρεχτιον ωιτη 3 = ϖ τ, mεαν /1 φορ α) αστεροιδ ΣΓ344 ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ Φιγυρε.1: Dιστριβυτιον οφ τηε χοmπονεντσ οφ ϖ, ρεπρεσεντεδ τηρουγη τηε Γαυσσιαν mεmβερσηιπ φυνχτιον, ωιτη 3 = ϖ τ, mεαν /1. α) Τανγεντιαλ χοmπονεντ, β) νορmαλ χοmπονεντ, ανδ χ) χοmπονεντ αλονγ τηε η διρεχτιον Φιγυρε.: Προϕεχτιον ον τηε β πλανε οφ τηε δεϖιατιον. ϖ τ, mεαν =.7 m/σ αππλιεδ αλονγ τηε τανγεντ διρεχτιον ωιτη 3 = ϖ τ, mεαν /1 φορ α) αστεροιδ ΣΓ344 ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ Φιγυρε.3: Οπτιmαλ ιντερχεπτιον οφ α) αστεροιδ 1979ΞΒ ανδ β) αστεροιδ 1996ΤΧ Φιγυρε.4: Οπτιmαλ ιντερχεπτιον αργυmεντσ οφ λατιτυδε φορ α) αστεροιδ 1979ΞΒ ανδ β) αστεροιδ 1996ΤΧ Φιγυρε.5: Οπτιmαλ ιντερχεπτιον οφ α) αστεροιδ ΣΒ45 ανδ β) αστεροιδ ΤΞ Φιγυρε.6: Ιmπαχτ ϖελοχιτψ φυνχτιον α) οφ τηε εχχεντριχιτψ ανδ β) οφ τηε ινχλινατιον (η χοmπονεντ) Φιγυρε.7: Παρετο φροντ φορ α) αστεροιδ ΣΓ344 ανδ β) αστεροιδ Γϑ Φιγυρε.8: Παρετο φροντ φορ αστεροιδ ςυ Φιγυρε.9: Οπτιmαλ ιmπαχτ ϖ διστριβυτιον φορ διρεχτ ιmπαχτσ: α) ρεσυλτσ οφ τηε σινγλε οβϕεχτιϖε οπτιmισατιον ανδ β) ρεσυλτσ οφ τηε mυλτι οβϕεχτιϖε οπτιmισατιον... 6 Φιγυρε 3.1: Λοω τηρυστ ΝΕΟ δεϖιατιον Φιγυρε 3.: Ρελατιϖε ερρορ ον τηε δεϖιατιον οφ α) αστεροιδ Αποπηισ ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ Φιγυρε 3.3: Σεmι αναλψτιχαλ εξπρεσσιον οφ τηε εχχεντριχιτψ φορ αστεροιδ Αποπηισ. 8 xiv

16 List of figures Φιγυρε 3.4: Ρελατιϖε ερρορ βετωεεν τηε νυmεριχαλ ανδ σεmι αναλψτιχαλ ιντεγρατιον οφ α) τηε εχχεντριχιτψ, β) τηε σεmι mαϕορ αξισ, ανδ χ) ανοmαλψ οφ τηε περιχεντρε φορ αστεροιδ Αποπηισ (λεφτ) ανδ αστεροιδ 1979ΞΒ (ριγητ) Φιγυρε 3.5: Ρελατιϖε ερρορ βετωεεν τηε νυmεριχαλ ανδ σεmι αναλψτιχαλ ιντεγρατιον οφ τηε mεαν ανοmαλψ φορ α) αστεροιδ Αποπηισ ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ Φιγυρε 3.6: Τιmε φορmυλατιον αλγοριτηm Φιγυρε 3.7: Ρελατιϖε ερρορ οφ τηε τιmε φορmυλατιον φορ α) αστεροιδ Αποπηισ (κ α =. 1 5 κm 3 /σ ) ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ (κ α = 1 4 κm 3 /σ ) Φιγυρε 3.8: Ρελατιϖε ερρορ ον Μ φορ α) αστεροιδ Αποπηισ ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ Φιγυρε 3.9: Περχενταγε οφ σαϖινγσ ιν χοmπυτατιοναλ τιmε βψ υσινγ τηε σεmι αναλψτιχαλ τιmε φορmυλατιον ωιτη ρεσπεχτ το τηε νυmεριχαλ ιντεγρατιον οφ Γαυσσ εθυατιονσ. α) Αστεροιδ Αποπηισ ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ.. 89 Φιγυρε 3.1: Μαγνιτυδε οφ τηε αχχελερατιον φορ Αποπηισ Φιγυρε 3.11: Λαυνχη οππορτυνιτιεσ φορ α δεϖιατιον mισσιον το Αποπηισ. Τηε χολουρ σχαλε ρεπρεσεντσ τηε ϖαλυε οφ τηε αχηιεϖεδ δεϖιατιον ατ τηε ΜΟΙD Φιγυρε 3.1: Dεϖιατιον mισσιον το Αποπηισ: α) Παρετο φροντ. Λαυνχη mασσ, ωαρνινγ τιmε ανδ mαγνιτυδε οφ τηε δεϖιατιον αρε ρεπρεσεντεδ ον τηε τηρεε αξεσ. β) Αχηιεϖεδ δεϖιατιον ασ α φυνχτιον οφ τηε τιmε λενγτη οφ τηε τηρυστ αρχ Φιγυρε 3.13: Ορβιτ ανδ ΜΟΙD χηαραχτεριστιχσ φορ διφφερεντ ϖαλυεσ οφ σεmι mαϕορ αξισ σταρτινγ φροm Αποπηισ χασε: α) αστεροιδ ορβιτσ ανδ β) τρυε ανοmαλψ οφ τηε ΜΟΙD Φιγυρε 3.14: Σενσιτιϖιτψ οφ τηε δεϖιατιον το τηε σεmι mαϕορ αξισ: α) δεϖιατιον αχηιεϖεδ φορ ορβιτσ ωιτη διφφερεντ ϖαλυεσ οφ σεmι mαϕορ αξισ ανδ φορ ινχρεασινγ ϖαλυεσ οφ τηρυστ ιντερϖαλ ανδ β) ρελατιϖε ερρορ φορ διφφερεντ ϖαλυεσ οφ σεmι mαϕορ αξισ. Τηε ωηιτε λινε ρεπρεσεντσ Αποπηισ χασε (α =.9 ΑΥ) Φιγυρε 3.15: Ορβιτ ανδ ΜΟΙD χηαραχτεριστιχσ φορ διφφερεντ ϖαλυεσ οφ εχχεντριχιτψ σταρτινγ φροm Αποπηισ χασε: α) αστεροιδ ορβιτσ ανδ β) τρυε ανοmαλψ οφ τηε ΜΟΙD Φιγυρε 3.16: Σενσιτιϖιτψ οφ τηε δεϖιατιον το τηε εχχεντριχιτψ: α) δεϖιατιον αχηιεϖεδ φορ ορβιτσ ωιτη διφφερεντ ϖαλυεσ οφ εχχεντριχιτψ ανδ φορ ινχρεασινγ ϖαλυεσ οφ τηρυστ ιντερϖαλ ανδ β) ρελατιϖε ερρορ φορ διφφερεντ ϖαλυεσ οφ εχχεντριχιτιεσ. Τηε ωηιτε λινε ρεπρεσεντσ Αποπηισ χασε (ε =.191). 11 Φιγυρε 3.17: Λαυνχη οππορτυνιτιεσ φορ α δεϖιατιον mισσιον το 1979ΞΒ. Τηε χολουρ σχαλε ρεπρεσεντσ τηε ϖαλυε οφ τηε αχηιεϖεδ δεϖιατιον ατ τηε ΜΟΙD.. 1 Φιγυρε 3.18: Dεϖιατιον mισσιον το 1979ΞΒ: α) Παρετο φροντ. Λαυνχη mασσ, ωαρνινγ τιmε ανδ mαγνιτυδε οφ τηε δεϖιατιον αρε ρεπρεσεντεδ ον τηε τηρεε αξεσ. β) Αχηιεϖεδ δεϖιατιον ασ α φυνχτιον οφ τηε τιmε λενγτη οφ τηε τηρυστ αρχ... 1 xv

17 List of figures Φιγυρε 3.19: Ορβιτ ανδ ΜΟΙD χηαραχτεριστιχσ φορ διφφερεντ ϖαλυεσ οφ σεmι mαϕορ αξισ σταρτινγ φροm 1979ΞΒ χασε: α) αστεροιδ ορβιτσ ανδ β) τρυε ανοmαλψ οφ τηε ΜΟΙD Φιγυρε 3.: Σενσιτιϖιτψ οφ τηε δεϖιατιον το τηε σεmι mαϕορ αξισ: α) δεϖιατιον αχηιεϖεδ φορ ορβιτσ ωιτη διφφερεντ ϖαλυεσ οφ σεmι mαϕορ αξισ ανδ φορ ινχρεασινγ ϖαλυεσ οφ τηρυστ ιντερϖαλ ανδ β) ρελατιϖε ερρορ φορ διφφερεντ ϖαλυεσ οφ σεmι mαϕορ αξισ. Τηε ωηιτε λινε ρεπρεσεντσ 1979ΞΒ χασε (α =.35 ΑΥ) Φιγυρε 3.1: Ορβιτ ανδ ΜΟΙD χηαραχτεριστιχσ φορ διφφερεντ ϖαλυεσ οφ εχχεντριχιτψ σταρτινγ φροm 1979ΞΒ χασε: α) αστεροιδ ορβιτσ ανδ β) τρυε ανοmαλψ οφ τηε ΜΟΙD Φιγυρε 3.: Σενσιτιϖιτψ οφ τηε δεϖιατιον το τηε εχχεντριχιτψ: α) δεϖιατιον αχηιεϖεδ φορ ορβιτσ ωιτη διφφερεντ ϖαλυεσ οφ εχχεντριχιτψ ανδ φορ ινχρεασινγ ϖαλυεσ οφ τηρυστ ιντερϖαλ ανδ β) ρελατιϖε ερρορ φορ διφφερεντ ϖαλυεσ οφ εχχεντριχιτψ. Τηε ωηιτε λινε ρεπρεσεντσ 1979ΞΒ χασε (ε =.76) Φιγυρε 3.3: Λαυνχη οππορτυνιτιεσ φορ α δεϖιατιον mισσιον το Χασταλια. Τηε χολουρ σχαλε ρεπρεσεντσ τηε ϖαλυε οφ τηε αχηιεϖεδ δεϖιατιον ατ τηε ΜΟΙD.. 16 Φιγυρε 3.4: Dεϖιατιον mισσιον το Χασταλια: α) Παρετο φροντ. Λαυνχη mασσ, ωαρνινγ τιmε ανδ mαγνιτυδε οφ τηε δεϖιατιον αρε ρεπρεσεντεδ ον τηε τηρεε αξεσ. β) Αχηιεϖεδ δεϖιατιον ασ α φυνχτιον οφ τηε τιmε λενγτη οφ τηε τηρυστ αρχ Φιγυρε 3.5: Λαυνχη οππορτυνιτιεσ φορ α δεϖιατιον mισσιον το Ιτοκαωα. Τηε χολουρ σχαλε ρεπρεσεντσ τηε ϖαλυε οφ τηε αχηιεϖεδ δεϖιατιον ατ τηε ΜΟΙD.. 18 Φιγυρε 3.6: Dεϖιατιον mισσιον το Ιτοκαωα: α) Παρετο φροντ. Λαυνχη mασσ, ωαρνινγ τιmε ανδ mαγνιτυδε οφ τηε δεϖιατιον αρε ρεπρεσεντεδ ον τηε τηρεε αξεσ. β) Αχηιεϖεδ δεϖιατιον ασ α φυνχτιον οφ τηε τιmε λενγτη οφ τηε τηρυστ αρχ Φιγυρε 4.1: Ορβιτ οφ τηε σελεχτεδ αστεροιδσ: α) D ϖιεω, ανδ β) 3D ϖιεω Φιγυρε 4.: Παρετο φροντ φορ τηε δεϖιατιον οφ αστεροιδ Αποπηισ τηρουγη διφφερεντ στρατεγιεσ: α) κινετιχ ιmπαχτορ, β) νυχλεαρ ιντερχεπτορ, χ) mασσ δριϖερ, δ) ατταχηεδ σπαχεχραφτ προπυλσιον, ε) σολαρ χολλεχτορ, ανδ ε) γραϖιτψ τραχτορ Φιγυρε 4.3: Παρετο φροντ φορ τηε δεϖιατιον οφ αστεροιδ Ιτοκαωα τηρουγη διφφερεντ στρατεγιεσ: α) κινετιχ ιmπαχτορ, β) νυχλεαρ ιντερχεπτορ, χ) mασσ δριϖερ, δ) ατταχηεδ σπαχεχραφτ προπυλσιον, ε) σολαρ χολλεχτορ, ανδ ε) γραϖιτψ τραχτορ Φιγυρε 4.4: Παρετο φροντ φορ τηε δεϖιατιον οφ αστεροιδ Χασταλια τηρουγη διφφερεντ στρατεγιεσ: α) κινετιχ ιmπαχτορ, β) νυχλεαρ ιντερχεπτορ, χ) mασσ δριϖερ, δ) ατταχηεδ σπαχεχραφτ προπυλσιον, ε) σολαρ χολλεχτορ, ανδ ε) γραϖιτψ τραχτορ Φιγυρε 4.5: Παρετο φροντ φορ τηε δεϖιατιον οφ αστεροιδ 1979ΞΒ τηρουγη διφφερεντ στρατεγιεσ: α) κινετιχ ιmπαχτορ, β) νυχλεαρ ιντερχεπτορ, χ) mασσ δριϖερ, δ) ατταχηεδ σπαχεχραφτ προπυλσιον, ε) σολαρ χολλεχτορ, ανδ ε) γραϖιτψ τραχτορ Φιγυρε 5.1: Dψναmιχ προγραmmινγ αππροαχη xvi

18 List of figures Φιγυρε 5.: Χοντρολ λαω σχηεδυλε αχχορδινγ το ϑαχοβσον σ αλγοριτηm Φιγυρε 5.3: Τραϕεχτορψ ασσοχιατεδ το τηε χοντρολ λαω ιν Εθ. (5.1) Φιγυρε 5.4: Χοντρολ λαω δυρινγ τηε χονϖεργενχε προχεσσ. Dιρεχτ τρανσφερ Εαρτη το Μαρσ, ωιτη α τιmε οφ φλιγητ οφ δαψσ Φιγυρε 5.5: Τραϕεχτορψ δισχρετισατιον ωιτηιν τηε οπτιmισατιον προβλεm Φιγυρε 5.6: Τραϕεχτορψ δισχρετισατιον ιν τηε Στατιχ/Dψναmιχ Χοντρολ αππροαχη. Τηε γρεψ αρροωσ σηοω τηατ τηε χοντρολ ισ κεπτ χονσταντ ωιτηιν α σεγmεντ Φιγυρε 5.7: Μοδιφιεδ DDΠ αλγοριτηm Φιγυρε 5.8: Παρετο φροντ φορ α δεϖιατιον mισσιον το αστεροιδ Αποπηισ Φιγυρε 5.9: Ποιντσ οφ τηε Παρετο φροντ λοχαλλψ οπτιmισεδ τηρουγη τηε DDΠ mετηοδ Φιγυρε 5.1: Περχενταγε οφ προπελλαντ mασσ σαϖεδ τηρουγη τηε λοχαλ οπτιmισατιον οφ τηε σολυτιονσ Φιγυρε 5.11: Τηρυστ mαγνιτυδε. Τηε δασηεδ λινε ρεπρεσεντσ τηε φιρστ γυεσσ σολυτιον προϖιδεδ το τηε DDΠ αλγοριτηm, τηε χοντινυουσ λινε ισ τηε οπτιmαλ τηρυστ προφιλε. α) Εντιρε τραϕεχτορψ ανδ β) χλοσε υπ ον τηε εσχαπε πηασε Φιγυρε 5.1: Τιmε εϖολυτιον οφ τηε τηρυστ χοmπονεντσ Φιγυρε 5.13: Μασσ. Τηε δασηεδ λινε ρεπρεσεντσ τηε φιρστ γυεσσ σολυτιον; τηε χοντινυουσ λινε ισ τηε οπτιmαλ προφιλε Φιγυρε 5.14: Ρενδεζϖουσ τραϕεχτορψ το Αποπηισ ρεπρεσεντεδ ιν τηε Εαρτη ινερτιαλ ρεφερενχε φραmε. α) Εντιρε τραϕεχτορψ ανδ β) χλοσε υπ ον τηε εσχαπε πηασε Φιγυρε 5.15: Τραϕεχτορψ το Αποπηισ ρενδεζϖουσ. Τρανσφερ ιν τηε Συν ινερτιαλ ρεφερενχε φραmε. Τηε δασηεδ λινε ρεπρεσεντσ τηε φιρστ γυεσσ τρανσφερ σολυτιον; τηε χοντινυουσ λινε ισ τηε οπτιmαλ τραϕεχτορψ. Αποπηισ ανδ Εαρτη ορβιτ αρε ρεπρεσεντεδ ρεσπεχτιϖελψ ιν ρεδ ανδ βλυε χοντινυουσ λινεσ Φιγυρε 5.16: Εϖολυτιον οφ τηε Κεπλεριαν ελεmεντσ δυρινγ τηε εσχαπε πηασε. Τηε δασηεδ λινε ρεπρεσεντσ τηε φιρστ γυεσσ σολυτιον; τηε χοντινυουσ λινε ισ τηε οπτιmαλ προφιλε. α) Σεmι mαϕορ αξισ εξπρεσσεδ ιν Εαρτη ραδιι, β) εχχεντριχιτψ ανδ χ) ινχλινατιον Φιγυρε 5.17: Τιmε οφ φλιγητ σενσιτιϖιτψ. Τηε ιντεγραλ τερm οφ τηε χοστ φυνχτιον (νορmαλισεδ το τηε ωειγητ παραmετερ ω) ισ ρεπρεσεντεδ ον τηε ψ αξισ. Εαχη ποιντ ρεπρεσεντσ αν οπτιmισεδ τρανσφερ (ωιτη φιναλ χονστραιντσ σατισφιεδ) ωιτη α γιϖεν τιmε οφ φλιγητ. Τηε χροσσ σηοωσ τηε ρεσυλτ χορρεσπονδινγ το τηε σολυτιον φυλλψ πρεσεντεδ ιν τηισ σεχτιον Φιγυρε 5.18: Τηρυστ mαγνιτυδε φορ τηε mισσιον ωιτη m = 135 κγ. Τηε δασηεδ λινε ρεπρεσεντσ τηε φιρστ γυεσσ σολυτιον προϖιδεδ το τηε DDΠ αλγοριτηm, τηε χοντινυουσ λινε ισ τηε οπτιmαλ τηρυστ προφιλε. α) Εντιρε τραϕεχτορψ ανδ β) χλοσε υπ ον τηε εσχαπε πηασε xvii

19 List of figures Φιγυρε 5.19: Μασσ φορ τηε mισσιον ωιτη m = 135 κγ. Τηε δασηεδ λινε ρεπρεσεντσ τηε φιρστ γυεσσ σολυτιον; τηε χοντινυουσ λινε ισ τηε οπτιmαλ προφιλε Φιγυρε 5.: Μασσ. Τηε δασηεδ λινε ρεπρεσεντσ τηε φιρστ γυεσσ σολυτιον; τηε χοντινυουσ λινε ισ τηε οπτιmαλ προφιλε Φιγυρε 5.1: Τηρυστ mαγνιτυδε. Τηε δασηεδ λινε ρεπρεσεντσ τηε φιρστ γυεσσ σολυτιον προϖιδεδ το τηε DDΠ αλγοριτηm, τηε χοντινυουσ λινε ισ τηε οπτιmαλ τηρυστ προφιλε. α) Εντιρε τραϕεχτορψ ανδ β) χλοσε υπ ον τηε εσχαπε πηασε Φιγυρε 5.: Τιmε εϖολυτιον οφ τηε τηρυστ χοmπονεντσ Φιγυρε 5.3: Εϖολυτιον οφ τηε ινσταντανεουσ εχχεντριχιτψ ωιτη τιmε δυρινγ τηε σπιραλλινγ ουτ πηασε. Τηε δασηεδ λινε ρεπρεσεντσ τηε φιρστ γυεσσ, τηε χοντινυουσ λινε ισ τηε οπτιmαλ σολυτιον Φιγυρε 5.4: Χλοσε υπ ον τηε εσχαπε πηασε. Τηε δασηεδ λινε ρεπρεσεντσ τηε φιρστ γυεσσ, τηε χοντινυουσ λινε ισ τηε οπτιmαλ σολυτιον Φιγυρε 5.5: Τραϕεχτορψ το Αποπηισ ρενδεζϖουσ. Τηε δασηεδ λινε ρεπρεσεντσ τηε φιρστ γυεσσ τρανσφερ σολυτιον; τηε χοντινυουσ λινε ισ τηε οπτιmαλ τραϕεχτορψ. α) Τρανσφερ ιν τηε Εαρτη ινερτιαλ ρεφερενχε φραmε. Τηε χιρχλε ρεπρεσεντσ τηε ταργετ ποσιτιον, τηε χροσσ ισ τηε φιναλ στατε οφ τηε οπτιmαλ τραϕεχτορψ. β) Τρανσφερ ιν τηε Συν ινερτιαλ ρεφερενχε φραmε. Αποπηισ ανδ Εαρτη ορβιτ αρε ρεπρεσεντεδ ρεσπεχτιϖελψ ιν ρεδ ανδ βλυε χοντινυουσ λινεσ Φιγυρε 5.6: Φλψ βψ οφ τηε Εαρτη. Τηε χροσσ ρεπρεσεντσ τηε περιχεντρε οφ τηε ηψπερβολα ωιτη ρεσπεχτ το τηε Εαρτη. α) Φλψ βψ πηασε ανδ β) χλοσε υπ οφ τηε πασσαγε φροm τηε περιχεντρε οφ τηε ηψπερβολα Φιγυρε 5.7: Εϖολυτιον οφ τηε τηρυστ ανδ ϖελοχιτψ mαγνιτυδε δυρινγ τηε φλψ βψ. Τηε δασηεδ λινε ρεπρεσεντσ τηε φιρστ γυεσσ σολυτιον; τηε χοντινυουσ λινε ισ τηε οπτιmαλ προφιλε. Τηε χροσσ σψmβολ ισ ιν χορρεσπονδενχε οφ τηε περιχεντρε πασσαγε. α) Τηρυστ mαγνιτυδε ανδ β) ϖελοχιτψ mαγνιτυδε ωιτη ρεσπεχτ το τηε Εαρτη Φιγυρε 5.8: Εϖολυτιον οφ τηε ανγλεσ οφ τηε ϖελοχιτψ ϖεχτορ ωιτη ρεσπεχτ το τηε Εαρτη ινερτιαλ ρεφερενχε φραmε, δυρινγ τηε φλψ βψ. Τηε δασηεδ λινε ρεπρεσεντσ τηε φιρστ γυεσσ σολυτιον; τηε χοντινυουσ λινε ισ τηε οπτιmαλ προφιλε. Τηε χροσσ σψmβολ ισ ιν χορρεσπονδενχε οφ τηε περιχεντρε πασσαγε. α) Ιν πλανε ανγλε οφ τηε ϖελοχιτψ ϖεχτορ ανδ β) ουτ οφ πλανε ανγλε οφ τηε ϖελοχιτψ ϖεχτορ Φιγυρε 5.9: Τραϕεχτορψ οφ αστεροιδ ΑΑ9 ρελατιϖε mοτιον ωιτη ρεσπεχτ το τηε Εαρτη Φιγυρε 5.3: Τρανσφερ τραϕεχτορψ το ΑΑ9 φλψ βψ ιν τηε Συν ινερτιαλ ρεφερενχε φραmε. Τηε δασηεδ λινε ρεπρεσεντσ τηε φιρστ γυεσσ τρανσφερ σολυτιον; τηε χοντινυουσ λινε ισ τηε οπτιmαλ τραϕεχτορψ. ΑΑ9 ανδ Εαρτη ορβιτ αρε ρεπρεσεντεδ ρεσπεχτιϖελψ ιν ρεδ ανδ βλυε χοντινυουσ λινεσ Φιγυρε 5.31: Τηρυστ mαγνιτυδε. Τηε δασηεδ λινε ρεπρεσεντσ τηε φιρστ γυεσσ σολυτιον προϖιδεδ το τηε DDΠ αλγοριτηm, τηε χοντινυουσ λινε ισ τηε οπτιmαλ τηρυστ προφιλε. α) Εντιρε τραϕεχτορψ ανδ β) χλοσε υπ ον τηε εσχαπε πηασε xviii

20 List of figures Φιγυρε 5.3: Τιmε εϖολυτιον οφ τηε τηρυστ χοmπονεντσ Φιγυρε 5.33: Μασσ. Τηε δασηεδ λινε ρεπρεσεντσ τηε φιρστ γυεσσ σολυτιον; τηε χοντινυουσ λινε ισ τηε οπτιmαλ προφιλε Φιγυρε 5.34: Τραϕεχτορψ το ΑΑ9 φλψ βψ ρεπρεσεντεδ ιν τηε Εαρτη ινερτιαλ ρεφερενχε φραmε. α) Εντιρε τραϕεχτορψ ανδ β) χλοσε υπ ον τηε εσχαπε πηασε Φιγυρε 5.35: Εϖολυτιον οφ τηε Κεπλεριαν ελεmεντσ δυρινγ τηε εσχαπε πηασε. Τηε δασηεδ λινε ρεπρεσεντσ τηε φιρστ γυεσσ σολυτιον; τηε χοντινυουσ λινε ισ τηε οπτιmαλ προφιλε. α) Σεmι mαϕορ αξισ, β) εχχεντριχιτψ, χ) ινχλινατιον, ανδ δ) ανοmαλψ οφ τηε ασχενδινγ νοδε... Φιγυρε 5.36: Λαγρανγε ποιντ πασσαγε. Τηε χροσσ ηιγηλιγητσ τηε ποσιτιον οφ τηε Λαγρανγε ποιντ Λ ωηεν τηε τραϕεχτορψ χηανγεσ ιτσ ινχλινατιον Φιγυρε 5.37: Ανγλεσ οφ τηε τηρυστ ϖεχτορ. Τηε δασηεδ λινε ρεπρεσεντσ τηε φιρστ γυεσσ σολυτιον; τηε χοντινυουσ λινε ισ τηε οπτιmαλ προφιλε. α) Ριγητ ασχενσιον ανδ β) δεχλινατιον... 1 Φιγυρε 5.38: Αχχελερατιον χοmπονεντσ. Τηε δασηεδ λινε ρεπρεσεντσ τηε φιρστ γυεσσ σολυτιον, τηε χοντινυουσ λινε ισ τηε οπτιmαλ σολυτιον. Τηε βλαχκ λινε ινδιχατεσ τηε αχχελερατιον δυε το τηε Εαρτη σ γραϖιτψ φιελδ, τηε βλαχκ βολδ λινε ινδιχατεσ τηε διστυρβινγ αχχελερατιον δυε το τηε Συν ανδ τηε βολδ γρεψ λινε ινδιχατεσ τηε τηρυστ αχχελερατιον. α) Αχχελερατιον mαγνιτυδε, β) ξ χοmπονεντ οφ τηε αχχελερατιον, χ) ψ χοmπονεντ οφ τηε αχχελερατιον, ανδ δ) ζ χοmπονεντ οφ τηε αχχελερατιον.... Φιγυρε 6.1: Χοmπαρισον βετωεεν τηε αππροξιmατεδ λοω τηρυστ mοδελ ανδ τηε νυmεριχαλ ιντεγρατιον ιν τηε τηρεε βοδψ προβλεm (Εαρτη ινερτιαλ σψστεm): α) τρανσφερ το Αποπηισ, ανδ β) Εαρτη εσχαπε πηασε xix

21 List of tables Ταβλε.1: Πηψσιχαλ παραmετερσ φορ χονσιδερεδ ΝΕΟσ... 5 Ταβλε.: Οπτιmαλ λαυνχη οππορτυνιτιεσ φορ α διρεχτ τρανσφερ το σελεχτεδ αστεροιδσ ασ α ρεσυλτ οφ τηε mυλτι οβϕεχτιϖε οπτιmισατιον Ταβλε.3: Οπτιmαλ λαυνχη οππορτυνιτιεσ φορ τρανσφερσ το σελεχτεδ αστεροιδσ ϖια α σινγλε ςενυσ σωινγ βψ ασ α ρεσυλτ οφ τηε σινγλε οβϕεχτιϖε οπτιmισατιον Ταβλε 3.1: Χοmπυτατιοναλ τιmε οφ τηε αναλψτιχαλ ανδ νυmεριχαλ αππροαχη Ταβλε 3.: Μαξιmυm ρελατιϖε ερρορ βετωεεν τηε νυmεριχαλ ανδ σεmι αναλψτιχαλ ιντεγρατιον Ταβλε 3.3: Αστεροιδσ ορβιταλ ανδ πηψσιχαλ παραmετερσ Ταβλε 3.4: Μισσιον χηαραχτεριστιχσ Ταβλε 3.5: Αχχελερατιον χονσταντ ανδ αϖεραγε οφ τηε αχχελερατιονσ αχτινγ ον τηε αστεροιδ Ταβλε 4.1: Μαργινσ ον τηε ωετ mασσ ιντο ορβιτ φορ τηε διφφερεντ δεϖιατιον στρατεγιεσ Ταβλε 4.: Σεαρχη δοmαιν φορ τηε mυλτι οβϕεχτιϖε οπτιmισατιον Ταβλε 4.3: Αστεροιδσ ορβιταλ ανδ πηψσιχαλ παραmετερσ Ταβλε 4.4: Στρατεγψ δοmινανχε φορ αστεροιδ Αποπηισ Ταβλε 4.5: Στρατεγψ δοmινανχε φορ αστεροιδ Ιτοκαωα Ταβλε 4.6: Στρατεγψ δοmινανχε φορ αστεροιδ Χασταλια Ταβλε 4.7: Στρατεγψ δοmινανχε φορ αστεροιδ 1979ΞΒ Ταβλε 5.1: Μισσιον χηαραχτεριστιχσ Ταβλε 5.: Μισσιον χηαραχτεριστιχσ Ταβλε 5.3: Παρκινγ ορβιτ παραmετερσ Ταβλε 5.4: Μισσιον χηαραχτεριστιχσ Ταβλε 5.5: Μισσιον χηαραχτεριστιχσ Ταβλε Β.1 : Τεχηνολογψ ρεαδινεσσ λεϖελσ Ταβλε Β. : ΤΡΛ φορ τηε διφφερεντ mιτιγατιον σχηεmεσ Ταβλε Β.3 : ΤΡΛ mαππινγ ιντο ρεθυιρεδ τιmε το φυλλψ δεϖελοπ τηε ρεθυιρεδ τεχηνολογψ Ταβλε Β.4 : Στρατεγψ δοmινανχε φορ αστεροιδ Αποπηισ χονσιδερινγ τηε τεχηνολογψ ρεαδινεσσ λεϖελ xx

22 List of tables Ταβλε Β.5 : Στρατεγψ δοmινανχε φορ αστεροιδ Ιτοκαωα χονσιδερινγ τηε τεχηνολογψ ρεαδινεσσ λεϖελ Ταβλε Β.6 : Στρατεγψ δοmινανχε φορ αστεροιδ Χασταλια χονσιδερινγ τηε τεχηνολογψ ρεαδινεσσ λεϖελ Ταβλε Β.7 : Στρατεγψ δοmινανχε φορ αστεροιδ 1979ΞΒ χονσιδερινγ τηε τεχηνολογψ ρεαδινεσσ λεϖελ xxi

23 Nomenclature List of symbols Λατιν σψmβολσ Α κ Ματριξ οφ τηε DDΠ αλγοριτηm ατ σταγε κ. Α ΜΟΙD Ματριξ φορm οφ τηε προξιmαλ mοτιον εθυατιονσ. α α ΑΥ Αχχελερατιον ϖεχτορ, κm/σ, ορ χοεφφιχιεντ mατριξ οφ τηε Ρυνγε Κυττα Φεηλβεργ ιντεγρατιον σχηεmε. Σεmι mαϕορ αξισ, κm. Αστρονοmιχαλ υνιτ, κm. Β κ Ματριξ οφ τηε DDΠ αλγοριτηm ατ σταγε κ. β β β Χοεφφιχιεντ mατριξ οφ τηε Ρυνγε Κυττα Φεηλβεργ ιντεγρατιον σχηεmε. Σεmι mινορ αξισ, κm. Ιmπαχτ παραmετερ, κm. λ β Λοωερ βουνδαρψ φορ τηε σολυτιον ϖεχτορ οφ τηε γλοβαλ οπτιmισατιον. υ β Υππερ βουνδαρψ φορ τηε σολυτιον ϖεχτορ οφ τηε γλοβαλ οπτιmισατιον. Χ κ Ματριξ οφ τηε DDΠ αλγοριτηm ατ σταγε κ. Χ χ χ Χονστραιντ. Χοεφφιχιεντ mατριξ οφ τηε Ρυνγε Κυττα Φεηλβεργ ιντεγρατιον σχηεmε. Χονσταντ. D κ Ματριξ οφ τηε DDΠ αλγοριτηm ατ σταγε κ. D Dοmαιν. δ Ηοϖερινγ διστανχε, m. δ m Dιαmετερ οφ τηε mιρρορ, κm. δ τρ Ινδεξ ασσοχιατεδ το τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ. Ε κ Ματριξ οφ τηε DDΠ αλγοριτηm ατ σταγε κ. Ε Ινχοmπλετε ελλιπτιχ ιντεγραλ οφ τηε σεχονδ κινδ. xxii

24 Nomenclature ε ε ρ Φ φ φ Γ δ Γ τ Εχχεντριχιτψ. Ρελατιϖε ερρορ. Ινχοmπλετε ελλιπτιχ ιντεγραλ οφ τηε φιρστ κινδ. Dισχρετε τιmε στατε τρανσιτιον φυνχτιον. Φυνχτιον χονταινινγ τηε χοντινυουσ δψναmιχσ εθυατιονσ. Ματριξ φορm οφ τηε Γαυσσ εθυατιονσ, χονσιδερινγ αν ιmπυλσιϖε χηανγε ιν τηε ϖελοχιτψ. Ματριξ φορm οφ τηε Γαυσσ εθυατιονσ, χονσιδερινγ αν ιmπυλσιϖε χηανγε ιν τηε ϖελοχιτψ ατ τιmε τ. Γ Υνιϖερσαλ γραϖιτψ χονσταντ, κm 3 /(κγ σ ). γ Σχαλαρ σταγε ωισε λοσσ φυνχτιον. γ Στανδαρδ φρεε φαλλ, κm/σ. Η κ Ματριξ οφ τηε DDΠ αλγοριτηm ατ σταγε κ. ˆη η η κ Ι δ Υνιτ ϖεχτορ ιν τηε διρεχτιον οφ τηε ανγυλαρ mοmεντυm. Ανγυλαρ mοmεντυm, κm /σ. Dισχρετισατιον στεπ. Dοmινανχε ινδεξ. Ι σπ Σπεχιφιχ ιmπυλσε οφ τηε σπαχεχραφτ ενγινε, σ. m Ιδεντιτψ mατριξ οφ σιζε m. ι Ινχλινατιον, ραδ ορ δεγ, ορ ιντεγερ νυmβερ. ιδ ΝΕΟ Νεαρ Εαρτη οβϕεχτ ιδεντιφιχατιον νυmβερ. ϑ ϑ ϕ ςεχτοριαλ (mυλτι χριτερια) χοστ φυνχτιον οφ τηε οπτιmισατιον προβλεm. Χοστ φυνχτιον οφ τηε οπτιmισατιον προβλεm. Ιντεγερ νυmβερ. Κ κ Ματριξ οφ τηε DDΠ αλγοριτηm ατ σταγε κ. κ Ιντεγερ νυmβερ ορ ιντεγερ νυmβερ ινδιχατινγ τηε γενεριχ σταγε οφ DDΠ ανδ τηε δεχισιον τιmε οφ τηε τραϕεχτορψ ατ ωηιχη τηε χοντρολ λαω ισ αλλοωεδ το χηανγε. κ α Προπορτιοναλιτψ χονσταντ οφ τηε αχχελερατιον, κm 3 /σ. xxiii

25 Nomenclature κ λιm Στατε φροm ωηιχη τηε νεω χοντρολ λαω ισ αδοπτεδ φορ τηε ιντεγρατιον οφ Λ λ Μ m m m δ m π τηε δψναmιχσ. Τρυε λονγιτυδε, ραδ. Νυmβερ οφ χοmπονεντσ οφ τηε Λαγρανγε mυλτιπλιερ ϖεχτορ. Μεαν ανοmαλψ, ραδ ορ δεγ. Μασσ οφ τηε σπαχεχραφτ, κγ, ορ νυmβερ οφ χοmπονεντσ οφ τηε οβϕεχτιϖε φυνχτιον, ορ νυmβερ οφ χοmπονεντσ οφ τηε χοντρολ ϖεχτορ. Μασσ οφ τηε σπαχεχραφτ ιντο σπαχε, κγ. Dρψ mασσ ορ mασσ οφ τηε σπαχεχραφτ ατ τηε αστεροιδ ιντερχεπτιον, κγ. Προπελλαντ mασσ, κγ. m ΝΕΟ Μασσ οφ τηε νεαρ Εαρτη οβϕεχτ, κγ. m σηοτ, ϕ Μασσ εξπελλεδ περ σηοτ ϕ βψ τηε mασσ δριϖερ στρατεγψ, κγ. Ν Ν π Τοταλ νυmβερ οφ δεχισιον τιmεσ ορ χοντρολ σταγεσ οφ τηε DDΠ αλγοριτηm. Σετ οφ ινδιχεσ οφ φεασιβλε σολυτιονσ ιν τηε ποπυλατιον ιν τηε γλοβαλ ν οπτιmισατιον προβλεm. Ανγυλαρ ϖελοχιτψ, σ 1, ορ νυmβερ οφ χοmπονεντσ οφ τηε στατε ϖεχτορ. ν ρεϖ Νυmβερ οφ ρεϖολυτιονσ αρουνδ τηε χεντραλ βοδψ. ˆν Υνιτ ϖεχτορ ιν τηε νορmαλ διρεχτιον ιν τηε ορβιταλ πλανε. Π κ Ματριξ οφ τηε DDΠ αλγοριτηm ατ σταγε κ. Π ξ Προπερτψ οφ ξ. π Σεmιλατυσ ρεχτυm, κm. Θ κ Ματριξ οφ τηε DDΠ αλγοριτηm ατ σταγε κ. Ρ Γενεραλ ροτατιον mατριξ. Ρ κ Ματριξ οφ τηε DDΠ αλγοριτηm ατ σταγε κ. Ρ Εαρτη Ραδιυσ οφ τηε Εαρτη, κm. Ρ Εαρτη Μοον Εαρτη Μοον διστανχε, κm. ρ ρ ρ α Ποσιτιον ϖεχτορ, κm. Νορm οφ τηε ποσιτιον (ορβιταλ ραδιυσ), κm. Αποχεντρε διστανχε, κm. xxiv

26 Nomenclature ρ π Περιχεντρε διστανχε, κm. ρελτολ Ρελατιϖε τολερανχε. ρελτολ mεση Ρελατιϖε τολερανχε ον τηε mεση σελεχτιον. Σ κ Ματριξ οφ τηε DDΠ αλγοριτηm ατ σταγε κ. σ σ Στατε ϖεχτορ. Dεϖιατιον στρατεγψ. Τ Τηρυστ ϖεχτορ, Ν. Τ ΝΕΟ Ορβιταλ περιοδ οφ τηε ΝΕΟ, δαψσ. τ ˆτ τ τ δ τ ε τ φ τ ι Υνιτ ϖεχτορ ιν τηε τανγεντιαλ διρεχτιον ιν τηε ορβιταλ πλανε. Τιmε, σ ορ δαψσ. Dεπαρτυρε τιmε φροm τηε Εαρτη, σ ορ δαψσ. Τιmε ατ ωηιχη τηε ιmπυλσιϖε δεϖιατιον mανοευϖρε ισ περφορmεδ, σ ορ δαψσ. Τιmε ωηεν τηε λοω τηρυστ αρχ ενδσ, σ ορ δαψσ. Φιναλ τιmε οφ τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ, σ ορ δαψσ. Ιντερχεπτιον τιmε ανδ τιmε ωηεν τηε λοω τηρυστ δεφλεχτιον mανοευϖρε ισ περφορmεδ, σ ορ δαψσ. τ ΜΟΙD Τιmε ατ τηε mινιmυm ορβιτ ιντερσεχτιον διστανχε ποιντ, σ ορ δαψσ. τ ω ΤοΦ τολ ρ τολ ϖ Wαρνινγ τιmε, σ ορ δαψσ. Τιmε οφ φλιγητ, σ ορ δαψσ. Αβσολυτε τολερανχε ον τηε ποσιτιον ερρορ. Αβσολυτε τολερανχε ον τηε ϖελοχιτψ ερρορ. Υ ΝΕΟ Υνπερτυρβεδ ϖελοχιτψ οφ τηε αστεροιδ ρελατιϖε το τηε Εαρτη, κm/σ. υ ϖ ς ς ϖ ϖ ε Χοντρολ ϖεχτορ. Ορβιταλ ϖελοχιτψ ϖεχτορ, κm/σ. Οπτιmαλ ρετυρν φυνχτιον οφ τηε DDΠ αλγοριτηm. Αϖεραγε ϖελοχιτψ οφ εϖαπορατεδ παρτιχλεσ, m/σ. Νορm οφ τηε ορβιταλ ϖελοχιτψ, κm/σ. Εξχεσσ ϖελοχιτψ, m/σ. xxv

27 Nomenclature ω ω ψ Ξ ξ ξ Ζ κ ζ Wειγητ παραmετερ. Wειγητ παραmετερ. Σετ οφ φεασιβλε σολυτιονσ οφ τηε γλοβαλ οπτιmισατιον προβλεm. Γενεριχ ϖεχτορ ορ σολυτιον οφ τηε Παρετο φροντ. Χαρτεσιαν χοορδινατε αλονγ τηε ξ αξισ. Χαρτεσιαν χοορδινατε αλονγ τηε ψ αξισ. Ματριξ οφ τηε DDΠ αλγοριτηm ατ σταγε κ. Χαρτεσιαν χοορδινατε αλονγ τηε ζ αξισ. Γρεεκ σψmβολσ κ κ ρ ρ τ Τ Ρ ϖ ρ ςεχτορ οφ τηε ορβιταλ παραmετερσ. Ιν πλανε ανγλε οφ τηε ϖελοχιτψ ϖεχτορ, ραδ ορ δεγ. Χοεφφιχιεντ ϖεχτορ οφ τηε φεεδβαχκ χοντρολ λαω χοmπονεντ προπορτιοναλ το τηε ϖαριατιον οφ τηε στατε ϖεχτορ ατ σταγε κ. Χοεφφιχιεντ ϖεχτορ οφ τηε φεεδβαχκ χοντρολ λαω χοmπονεντ προπορτιοναλ το τηε ϖαριατιον οφ τηε Λαγρανγε mυλτιπλιερ ϖεχτορ ατ σταγε κ. Μοmεντυm ενηανχεmεντ φαχτορ. ςεχτορ διστανχε οφ τηε ιντερσεχτιον διστανχε, κm. Νορm οφ ρ, κm. ΝΕΟ φροm Εαρτη ατ τηε mινιmυm ορβιτ Τιmε ιντερϖαλ ρεθυιρεδ το δεϖελοπ α τεχηνολογψ, ψ ορ δαψσ. Ρελατιϖε ϖελοχιτψ ϖεχτορ, κm/σ. Ουτ οφ πλανε ανγλε οφ τηε ϖελοχιτψ ϖεχτορ, ραδ ορ δεγ. Dεϖιατιον ϖεχτορ, κm. ρ Νορm οφ ρ, κm. σ Χοmπονεντ οφ τηε δεϖιατιον ϖεχτορ, κm. ϖ Ιmπυλσιϖε mανοευϖρε ϖεχτορ, κm/σ. ϖ Νορm οφ ϖ, κm/σ. ϖ ˆ οπτ Οπτιmαλ ιmπυλσε υνιτ ϖεχτορ. Ορβιταλ ελεmεντσ διφφερενχε βετωεεν τηε περτυρβεδ ανδ τηε νοmιναλ ορβιτ. Χονσταντ βετωεεν ανδ 1. xxvi

28 Nomenclature ˆ ˆ Υνιτ ϖεχτορ ιν τηε διρεχτιον οπποσιτε το τηε προϕεχτιον οφ τηε ηελιοχεντριχ ϖελοχιτψ οφ τηε πλανετ οντο τηε β πλανε. Υνιτ ϖεχτορ ιν τηε διρεχτιον περπενδιχυλαρ το τηε β πλανε αλιγνεδ αλονγ κ τηε υνπερτυρβεδ ϖελοχιτψ οφ τηε ΝΕΟ ρελατιϖε το τηε Εαρτη. Dιφφερενχε βετωεεν τηε οπτιmαλ ρετυρν φυνχτιον ατ στατε κ αππλψινγ τηε νεω χοντρολ, ανδ τηε οπτιmαλ ρετυρν φυνχτιον ατ στατε κ αππλψινγ τηε νοmιναλ χοντρολ. Τρυε ανοmαλψ, ραδ ορ δεγ. Αργυmεντ οφ λατιτυδε, ραδ ορ δεγ. ςεχτορ οφ Λαγρανγε mυλτιπλιερσ. Γραϖιτατιοναλ χονσταντ, κm 3 /σ. ˆ Ειγενϖεχτορ οφ τηε τρανσιτιον mατριξ. Υνιτ ϖεχτορ ιν τηε β πλανε τηατ χοmπλετεσ τηε ρεφερενχε σψστεm. Σηαπε παραmετερ οφ τηε σηαπε βασεδ mετηοδ φορ λοω τηρυστ τραϕεχτοριεσ. Σχαττερινγ φαχτορ. Τρανσιτιον mατριξ. Ανγλε βετωεεν τηε ποιντινγ διρεχτιον οφ τηε ενγινεσ οφ τηε γραϖιτψ τυγ, ανδ τηε λινε βετωεεν τηε σπαχεχραφτ ανδ τηε ΝΕΟ χεντρε οφ mασσ, ραδ. Σχαλαρ φυνχτιον ρεπρεσεντινγ τηε χονστραινσ ον τηε φιναλ σταγε ιν τηε οπτιmαλ χοντρολ προβλεm. Αργυmεντ οφ τηε ασχενδινγ νοδε, ραδ οφ δεγ. Αργυmεντ οφ τηε περιγεε, ραδ ορ δεγ. Συβσχριπτσ 1 Ινιτιαλ χονδιτιον οφ α ϖαριαβλε. δ ςαλυε χαλχυλατεδ ατ τηε ινσταντ τηε δεϖιατιον mανοευϖρε ισ περφορmεδ. ε ςαλυε χαλχυλατεδ ατ τηε τιmε τηε λοω τηρυστ mανοευϖρε ισ ενδεδ. xxvii

29 Nomenclature η ςεχτορ χοmπονεντ ιν τηε διρεχτιον περπενδιχυλαρ το τηε ορβιτ πλανε, ιν τηε διρεχτιον περπενδιχυλαρ το τηε οσχυλατινγ ανγυλαρ mοmεντυm οφ τηε ορβιτ. ι ςαλυε χαλχυλατεδ ατ τηε τιmε οφ τηε ΝΕΟ ιντερχεπτιον. κ Σταγε οφ τηε DDΠ προχεδυρε. ΜΟΙD ςαλυε χαλχυλατεδ ατ τηε Μινιmυm Ορβιτ Ιντερσεχτιον Dιστανχε. mεαν Μεαν ϖαλυε. ν ςεχτορ χοmπονεντ ιν τηε νορmαλ διρεχτιον ιν τηε ορβιτ πλανε. ουτ Τηρεσηολδ ϖαλυε το εξιτ α χοmπυτατιοναλ λοοπ. ρ ςεχτορ χοmπονεντ ιν τηε ραδιαλ διρεχτιον ιν τηε ορβιτ πλανε. σ Dεριϖατιϖε ωιτη ρεσπεχτ το τηε στατε ϖεχτορ σ. σ/χ Σπαχεχραφτ. τ ςεχτορ χοmπονεντ ιν τηε τανγεντιαλ διρεχτιον ιν τηε ορβιτ πλανε. ταργετ ςαριαβλε ρελατεδ το τηε ταργετ βοδψ. υ Dεριϖατιϖε ωιτη ρεσπεχτ το τηε στατε ϖεχτορ υ. ξ ςεχτορ χοmπονεντ αλονγ τηε Χαρτεσιαν ξ αξισ. ψ ςεχτορ χοmπονεντ αλονγ τηε Χαρτεσιαν ψ αξισ. ζ ςεχτορ χοmπονεντ αλονγ τηε Χαρτεσιαν ζ αξισ. ςεχτορ χοmπονεντ ιν τηε τρανσϖερσαλ διρεχτιον ιν τηε ορβιτ πλανε. Συπερσχριπτσ Νεω νοmιναλ χοντρολ φορ τηε DDΠ αλγοριτηm ωιτη γλοβαλ ϖαριατιον ιν χοντρολ. κ Σταγε οφ τηε DDΠ προχεδυρε. Ματηεmατιχαλ νοτατιον Αρβιτραρψ ϖαριαβλε. Νοmιναλ ϖαλυε οφ. ςαλυε οφ χοmπυτεδ ον τηε δεϖιατεδ ορβιτ. δ δτ Τιmε δεριϖατιϖε οφ οϖερ τιmε. φ Φυνχτιον οφ. (Φινιτε) διφφερενχε ιν. xxviii

30 Nomenclature (Dιφφερεντιαλ) ϖαριατιον οφ. Τ Τρανσποσεδ οφ. 1 Ινϖερσε οφ. εξπ Εξπονεντιαλ οφ. ˆ Υνιτ ϖεχτορ ιν τηε διρεχτιον οφ. νορm οφ. Νορm ινφινιτψ οφ τηε ϖεχτορ. κ Σεθυενχε οφ ϖαριαβλε ιν τιmε. ΘΠ Λινεαρ θυαδρατιχ παρτ οφ τηε Ταψλορ εξπανσιον οφ τηε φυνχτιον. σ Γραδιεντ οφ τηε σχαλαρ φυνχτιον, ορ ϑαχοβιαν οφ τηε ϖεχτορ φυνχτιον ωιτη ρεσπεχτ το τηε στατε σ. σσ Βλοχκ χοmπονεντσ οφ τηε Ηεσσιαν mατριξ οφ τηε σχαλαρ ορ τηε ϖεχτορ φυνχτιον ωιτη ρεσπεχτ το τηε στατε σ. υσ Βλοχκ χοmπονεντσ οφ τηε Ηεσσιαν mατριξ οφ τηε σχαλαρ ορ τηε ϖεχτορ φυνχτιον ωιτη ρεσπεχτ το τηε χοντρολ υ ανδ τηε στατε σ. υ Γραδιεντ οφ τηε σχαλαρ φυνχτιον, ορ ϑαχοβιαν οφ τηε ϖεχτορ φυνχτιον ωιτη ρεσπεχτ το τηε χοντρολ υ. υυ Βλοχκ χοmπονεντσ οφ τηε Ηεσσιαν mατριξ οφ τηε σχαλαρ ορ τηε ϖεχτορ 1, φυνχτιον ωιτη ρεσπεχτ το τηε χοντρολ υ. Dοmινανχε. Ισ mυχη λεσσ τηαν. Χροσσ προδυχτ ορ σψmβολ υσεδ το δεφινε τηε διmενσιον οφ α ϖεχτορ/mατριξ. Εθυαλ αππροξιmατελψ το. Σχαλαρ προδυχτ βετωεεν τηε ϖεχτορσ ανδ. Συχη τηατ. Χαρδιναλιτψ οφ α σετ. 1 Ισ αν ελεmεντ οφ. Ισ α συβσετ οφ. Ανδ χονδιτιον. xxix

31 Nomenclature mιν mαξ Φορ αλλ, φορ ανψ. Ματεριαλ ιmπλιχατιον. Ασσιγνmεντ (ιν αν αλγοριτηm). Σετ οφ ρεαλ νυmβερσ. Μινιmισατιον προβλεm. Μαξιmισατιον προβλεm. List of constants Αστρονοmιχαλ Υνιτ διστανχε ΑΥ = κm Υνιϖερσαλ γραϖιτψ χονσταντ Γ = κm 3 /(κγ σ ) Στανδαρδ φρεε φαλλ γ = m/σ Ραδιυσ οφ τηε Εαρτη Εαρτη Μοον διστανχε Ρ Εαρτη Ρ Εαρτη Μοον = κm = 384,41 κm Εαρτη γραϖιτατιοναλ χονσταντ Συν γραϖιτατιοναλ χονσταντ Εαρτη = κm 3 /σ Συν = κm 3 /σ List of acronyms ΑΙΑΑ ΑΥ ΧΠΥ DDΠ ΕΣΑ ϑαξα ϑπλ ΛΕΟ ΓΕΟ ΓΤΟ ΜϑD Αmεριχαν Ινστιτυτε οφ Αεροναυτιχσ ανδ Αστροναυτιχσ. Αστρονοmιχαλ Υνιτ. Χεντραλ Προχεσσινγ Υνιτ. Dιφφερεντιαλ Dψναmιχ Προγραmmινγ. Ευροπεαν Σπαχε Αγενχψ. ϑαπαν Αεροσπαχε Εξπλορατιον Αγενχψ. ϑετ Προπυλσιον Λαβορατορψ. Λοω Εαρτη Ορβιτ. Γεοσψνχηρονουσ Εαρτη Ορβιτ. Γεοστατιοναρψ Τρανσφερ Ορβιτ. Μοδιφιεδ ϑυλιαν Dαψ. xxx

32 Nomenclature ΜϑD ΜΟΙD ΝΑΣΑ ΝΕΑ ΝΕΟ ΝΕΟDψΣ ΠΗΟ ΠΗΑ ΣDΧ ΤΡΛ Μοδιφιεδ ϑυλιαν Dαψ σινχε (χουντεδ σινχε 1 στ οφ ϑανυαρψ ατ 1: πm). Μινιmυm Ορβιτ Ιντερσεχτιον Dιστανχε. Νατιοναλ Αεροναυτιχσ ανδ Σπαχε Αδmινιστρατιον. Νεαρ Εαρτη Αστεροιδ. Νεαρ Εαρτη Οβϕεχτ. Νεαρ Εαρτη Οβϕεχτσ Dψναmιχ Σιτε. Ποτεντιαλλψ Ηαζαρδουσ Οβϕεχτ. Ποτεντιαλλψ Ηαζαρδουσ Αστεροιδ. Στατιχ/Dψναmιχ Χοντρολ. Τεχηνολογψ Ρεαδινεσσ Λεϖελ. xxxi

33

34 Chapter 1. Introduction Νεαρ Εαρτη Οβϕεχτσ (ΝΕΟσ) ιντερχεπτιον ανδ ηαζαρδ mιτιγατιον ηασ βεεν ρεχογνισεδ ασ α κεψ ισσυε φορ τηε σαφετψ οφ λιφε ον Εαρτη. Τηισ τηεσισ ωιλλ ρεσπονδ το τηισ ρεθυιρεmεντ ανδ ωιλλ δεϖελοπ mετηοδολογιεσ το αλλοω τηε ιντερχεπτιον ανδ δεϖιατιον οφ ποτεντιαλλψ ηαζαρδουσ αστεροιδσ ανδ χοmετσ. Ιν τηισ χηαπτερ ωε ωιλλ ιντροδυχε τηε mοτιϖατιονσ ανδ οβϕεχτιϖεσ οφ τηε στυδψ. Συβσεθυεντλψ, α συmmαρψ οφ τηε χυρρεντ στατε οφ τηε αρτ ιν αστεροιδ δεφλεχτιον ανδ ιντερχεπτιον ωιλλ βε γιϖεν. Αφτερ α βριεφ οϖερϖιεω ον τηε ιmπαχτ ηαζαρδ, ωε ωιλλ πρεσεντ τηε δεφλεχτιον στρατεγιεσ προποσεδ ιν λιτερατυρε. Ιν παρτιχυλαρ, τηε αναλψσισ ωιλλ φοχυσ ον mετηοδσ το χοmπυτε τηε ϖαριατιον οφ τηε αστεροιδ χουρσε φολλοωινγ α δεφλεχτιον mανοευϖρε. Ιν τηισ χοντεξτ, ωε αλσο ρεϖιεω σοmε αναλψτιχαλ mοδελσ φορ λοω τηρυστ τραϕεχτορψ δεσιγν ανδ ινϖεστιγατε τηειρ αππλιχατιον το τηε χοmπυτατιον οφ τηε διϖερτεδ τραϕεχτορψ οφ τηε ΝΕΟ. Φορ τηε στυδψ οφ αστεροιδ ιντερχεπτιον, αν οϖερϖιεω οφ ϖαριουσ αππροαχηεσ φορ λοω τηρυστ τραϕεχτορψ οπτιmισατιον ισ γιϖεν. Α βριεφ δισχυσσιον οφ διρεχτ ανδ ινδιρεχτ αππροαχηεσ, ιν ορδερ το ηιγηλιγητ τηε ρεασονσ ωηιχη λεδ υσ το τηε σελεχτιον οφ τηε διφφερεντιαλ δψναmιχ προγραmmινγ τεχηνιθυε φορ τηε δεσιγν οφ ιντερχεπτιον τρανσφερσ το ΝΕΟσ, ισ αλσο περφορmεδ. Φιναλλψ, α συmmαρψ οφ τηε mετηοδολογιεσ δεϖελοπεδ ανδ ιmπλεmεντεδ ιν τηισ στυδψ ισ προϖιδεδ Near Earth Objects and problem definition Αστεροιδσ ανδ χοmετσ ορβιτ τηε Συν σινχε τηε εαρλιεστ σταγεσ οφ τηε λιφε οφ τηε σολαρ σψστεm. Τηε ορβιτσ οφ mοστ αστεροιδσ λαψ βετωεεν τηε ορβιτ οφ Μαρσ ανδ ϑυπιτερ, ωηερεασ τηε χοmετσ αρε χονχεντρατεδ ιν τηε Κυιπερ Βελτ, βεψονδ τηε ορβιτ οφ Νεπτυνε, υπ το 55 ΑΥ φροm τηε Συν. Αλmοστ 45, κνοων σmαλλ βοδιεσ ορβιτ

35 1.1. Near Earth Objects and problem definition ιν τηε σολαρ σψστεm [1], ανδ τηε νυmβερ ινχρεασεσ ασ αστρονοmιχαλ συρϖεψσ χοντινυε. Αmονγ τηε φαmιλψ οφ αστεροιδσ ανδ χοmετσ, Νεαρ Εαρτη Οβϕεχτσ αρε τηοσε βοδιεσ τηατ ηαϖε βεεν αττραχτεδ βψ τηε γραϖιτψ οφ τηε οτηερ πλανετσ ιντο ορβιτσ, ωηιχη βρινγ τηεm νεαρ τηε Εαρτη σ, ωιτη α περιηελιον διστανχε λεσσ τηαν 1.3 ΑΥ. Τηεσε χελεστιαλ βοδιεσ, ωηιχη τραϖελ ατ ϖερψ ηιγη ϖελοχιτψ ρελατιϖε το τηε Εαρτη, ρανγε ιν σιζε φροm πεββλεσ το κιλοmετρεσ διαmετερ οβϕεχτσ. Νεαρ Εαρτη οβϕεχτσ ηαϖε βεεν γενερατινγ γροωινγ σχιεντιφιχ ιντερεστ βεχαυσε, ασ πριmορδιαλ ρεmναντσ οφ ουρ σολαρ σψστεm, τηεψ πρεσερϖε πρεχιουσ ινφορmατιον αβουτ ιτσ φορmατιον, χοmποσιτιον ανδ εϖολυτιον; βεσιδεσ, τηειρ χολλισιον ωιτη τηε εαρλψ Εαρτη, ωουλδ ηαϖε ινφλυενχεδ τηε σηαπε ανδ χοmποσιτιον οφ ουρ πλανετ. Σοmε ΝΕΟσ αρε εσπεχιαλλψ αττραχτιϖε ταργετσ φορ λοω χοστ mισσιονσ, βεχαυσε οφ τηειρ ορβιταλ αχχεσσιβιλιτψ ωιτη χυρρεντ τεχηνολογιεσ ανδ σηορτ φλιγητ δυρατιον. Τηισ συγγεστσ τηειρ υσε φορ τηε εξπλοιτατιον οφ ραω mατεριαλσ ανδ φορ τηε σεττλεmεντ οφ φυτυρε βασεσ, το εξτενδ τηε ηυmαν εξπλορατιον το Μαρσ ανδ βεψονδ [],[3]. Νεϖερτηελεσσ, ΝΕΟ χολλισιον ωιτη τηε Εαρτη ρεπρεσεντσ α ποσσιβλε ρισκ το mανκινδ. Α σηορτ τερm τηρεατ ισ ποσεδ βψ α λαργε νυmβερ οφ σmαλλ αστεροιδσ, ωηιχη χουλδ χαυσε λοχαλ δεϖαστατινγ εφφεχτσ το ουρ πλανετ. Ον τηε οτηερ ηανδ, ιmπαχτ ηαζαρδσ ωιτη γλοβαλ χαταστροπηιχ χονσεθυενχεσ χουλδ οχχυρ, ον α λονγ τερm, ιφ α λαργερ κιλοmετρε σιζεδ βοδψ ωερε το ηιτ τηε Εαρτη [4]. Αδϖανχεσ ιν ορβιτ δετερmινατιον ανδ τηεορετιχαλ στυδιεσ ον ηαζαρδ χηαραχτερισατιον ηαϖε ινχρεασεδ τηε χαπαβιλιτψ οφ πρεδιχτινγ ποτεντιαλ ιmπαχτσ. Α συβχατεγορψ οφ ΝΕΑσ ισ δεφινεδ Ποτεντιαλλψ Ηαζαρδουσ Αστεροιδσ (ΠΗΑσ), ωηιχη ηαϖε α νον ζερο προβαβιλιτψ οφ χολλισιον ωιτη τηε Εαρτη. Τηισ ισ δετερmινεδ αχχορδινγλψ το τηειρ ορβιταλ παραmετερσ ανδ αβσολυτε mαγνιτυδε; σπεχιφιχαλλψ, οβϕεχτσ ωιτη α Μινιmυm Ορβιτ Ιντερσεχτιον Dιστανχε (ΜΟΙD) φροm τηε Εαρτη σ ορβιτ εθυαλ ορ λεσσ τηαν.5 ΑΥ (ι.ε., αππροξιmατελψ 7,48, κm) ανδ α διαmετερ λαργερ τηαν 15 mετερσ (ωηιχη ισ εθυιϖαλεντ το αν αβσολυτε mαγνιτυδε οφ. ορ λεσσ []) αρε χονσιδερεδ ποτεντιαλλψ ηαζαρδουσ οβϕεχτσ. Τηερε αρε χυρρεντλψ 115 κνοων ΠΗΑσ [5]. Τηε δεφινιτιον οφ Νεαρ Εαρτη Οβϕεχτσ ινχλυδεσ Νεαρ Εαρτη Αστεροιδσ (ΝΕΑσ) ανδ Νεαρ Εαρτη Χοmετσ, ωηιχη αρε χοmετσ ωιτη α περιοδ λεσσ τηαν ψεαρσ. Wιτηιν τηισ δισσερτατιον ωε ωιλλ οφτεν υσε τηε τερm αστεροιδ αλονε; ηοωεϖερ, εξχεπτ ωηερε εξπλιχιτλψ στατεδ, τηε τεχηνιθυεσ δεϖελοπεδ χαν βε αππλιεδ το ειτηερ χλασσ οφ χελεστιαλ βοδιεσ. Χυρρεντ νυmβερ οφ ΠΗΑσ φροm ΝΑΣΑ Νεαρ Εαρτη Οβϕεχτ Προγραm ηοmεπαγε: ηττπ://νεο.ϕπλ.νασα.γοϖ/νεο/ [Ρετριεϖεδ: 13 Μαρχη 1].

36 Chapter 1. Introduction Τηε ιmπαχτ ηαζαρδ ραισεσ mαϕορ ισσυεσ, αmονγ τηεm τηε νεεδ το ινχρεασε τηε πρεσεντ κνοωλεδγε οφ τηε ορβιτσ ανδ πηψσιχαλ προπερτιεσ οφ συχη βοδιεσ, το αχχυρατελψ ασσεσσ (αφτερ ινιτιαλ οβσερϖατιον) τηε λικελιηοοδ οφ α χολλισιον ωιτη τηε Εαρτη ωελλ ιν αδϖανχε, τηε ιναδεθυαχψ οφ χυρρεντ τεχηνιθυεσ ανδ τεχηνολογιεσ νεχεσσαρψ φορ mιτιγατιον, δισαστερ mαναγεmεντ, πολιτιχσ ανδ πολιχψ οφ πλανεταρψ δεφενχε, ανδ χοmmυνιχατιον ωιτη τηε πυβλιχ. Μορεοϖερ, χαρεφυλ τηουγητ ισ ρεθυιρεδ το ινϖεστιγατε οπτιονσ φορ φαστ ανδ εφφιχιεντ ιντερχεπτιον οφ α ποτεντιαλλψ δανγερουσ ΝΕΟ ανδ φορ mινιmισινγ ορ ρεmοϖινγ τηε τηρεατ ιτ ποσεσ. Σεϖεραλ οργανισατιονσ ανδ γοϖερνmεντσ ηαϖε ρεχογνισεδ τηε τηρεατ οφ αστεροιδ ηαζαρδ ανδ ηαϖε εσταβλισηεδ δισχυσσιον πανελσ ον τηε στατε οφ τηε αρτ ανδ τηε ισσυεσ οφ ΝΕΟ δισχοϖερψ ανδ χηαραχτερισατιον, αϖαιλαβλε δεφλεχτιον σψστεmσ, χυρρεντ ανδ φυτυρε mιτιγατιον ανδ στυδψ mισσιονσ ανδ τεχηνολογιεσ, ιmπαχτ ηαζαρδ ανδ εφφεχτσ, ινϖολϖεmεντ οφ τηε γενεραλ πυβλιχ, πολιτιχαλ ανδ πολιχψ ιmπλιχατιονσ [6]. Τηε ουτχοmε οφ τηεσε ωορκσ ισ α σεριεσ οφ ρεχοmmενδατιονσ ανδ στεπσ τηατ σηουλδ βε φολλοωεδ βψ τηε ιντερνατιοναλ χοmmυνιτψ το υνδερτακε α προγραm ον πλανεταρψ δεφενχε [7],[8]. Ιν Γρεατ Βριταιν α δεβατε τοοκ πλαχε ιν τηε Ηουσε οφ Χοmmονσ ιν Μαρχη 1999 ανδ α Τασκ Φορχε το τηε Μινιστερ φορ Σχιενχε το ρεπορτ ον ποτεντιαλλψ ηαζαρδουσ νεαρ Εαρτη οβϕεχτσ ωασ εσταβλισηεδ ιν ϑανυαρψ. Τηε Τασκ Φορχε, ωηιχη ρελεασεδ ιτσ φινδινγσ ιν Σεπτεmβερ, στατεδ τηατ Wε ρεχοmmενδεδ τηατ τηε Γοϖερνmεντ, ωιτη οτηερ γοϖερνmεντσ, σετ ιν ηανδ το στυδιεσ το λοοκ ιντο τηε πραχτιχαλ ποσσιβιλιτιεσ οφ mιτιγατινγ τηε ρεσυλτσ οφ ιmπαχτ ανδ δεφλεχτινγ ινχοmινγ οβϕεχτσ [9]. Οϖερ τηε λαστ δεχαδεσ σιγνιφιχαντ εφφορτσ ηαϖε βεεν δεϖοτεδ το τηε mονιτορινγ [1],[11] ανδ χαταλογυινγ οφ ποτεντιαλλψ ηαζαρδουσ οβϕεχτσ, τογετηερ ωιτη α χοντινυουσ υπδατε οφ τηε ρισκ ασσεσσmεντ ρελατεδ το εαχη ποτεντιαλ ηαζαρδουσ οβϕεχτ [1] [15], βυτ λιττλε ρεσεαρχη ηασ βεεν χαρριεδ ουτ το ασσεσσ ηοω το αχτ ανδ ρεαχτ ιν τηε χασε οφ α ΝΕΟ τραϖελλινγ ον α χολλισιον χουρσε ωιτη τηε Εαρτη. 1.. Research motivations and objectives Τηε αιm οφ τηισ ρεσεαρχη ισ το φινδ mετηοδολογιεσ φορ τηε οπτιmαλ ιντερχεπτιον ανδ δεϖιατιον οφ ποτεντιαλλψ ηαζαρδουσ νεαρ Εαρτη οβϕεχτσ. 3

37 1.. Research motivations and objectives Σεϖεραλ δεϖιατιον στρατεγιεσ ηαϖε βεεν προποσεδ ανδ τηε σπαχε χοmmυνιτψ ισ δισχυσσινγ τηε χυρρεντ χαπαβιλιτιεσ φορ ΝΕΟ mιτιγατιον. Τηερεφορε, τηε φιρστ οβϕεχτιϖε ισ το δεϖελοπ α φορmυλατιον οφ τηε αστεροιδ δεϖιατιον προβλεm, ωηιχη αλλοωσ ασσεσσινγ τηε εφφεχτιϖενεσσ οφ ανψ προποσεδ mιτιγατιον στρατεγψ. Τηε γενεραλ αππλιχαβιλιτψ οφ τηισ φορmυλατιον ισ δεσιρεδ το mοδελ τηε εφφεχτ οφ ϖαριουσ δεφλεχτιον στρατεγιεσ ανδ το αχχοmmοδατε το τηε ωιδε ρανγε οφ ορβιταλ ελεmεντσ οφ ΝΕΟσ. Μορεοϖερ, ηιγη αχχυραχψ ισ εσσεντιαλ ιν πρεδιχτινγ τηε ϖαριατιον οφ τηε δισπλαχεmεντ οφ τηε αστεροιδ, αχηιεϖεδ τηρουγη τηε αππλιχατιον οφ α δεφλεχτιον αχτιον ον ιτ. Τηε σεχονδ οβϕεχτιϖε ισ το στυδψ mετηοδολογιεσ φορ τηε δεσιγν οφ οπτιmαλ τρανσφερσ το τηε ιντερχεπτιον οφ δανγερουσ ΝΕΟσ. Ιν φαχτ, ιν ορδερ το ασσεσσ τηε εφφεχτιϖενεσσ ανδ εφφιχιενχψ οφ α mιτιγατιον στρατεγψ, τηε χοmπλετε mισσιον ηασ το βε mοδελλεδ. Μορεοϖερ, φορ τηε σελεχτιον οφ οπτιmαλ λαυνχη οππορτυνιτιεσ, τηε τωο mαιν πηασεσ οφ τηε mισσιον, ναmελψ ιντερχεπτιον ανδ δεφλεχτιον πηασε, ηαϖε το βε λινκεδ ιντο αν ιντεγρατεδ δεσιγν. Φορ εξαmπλε, τηε τοταλ mασσ οφ τηε σπαχεχραφτ ιντο ορβιτ ανδ τηε ωαρνινγ τιmε (ι.ε., ελαπσεδ τιmε βετωεεν τηε δατε τηε mισσιον ισ λαυνχηεδ φροm τηε Εαρτη ανδ τηε δατε οφ τηε ηαζαρδ ιmπαχτ) σηουλδ βε mινιmαλ φορ α γιϖεν δεϖιατιον αχηιεϖαβλε. Ινστεαδ οφ δεσιγνινγ α σινγλε mισσιον σχεναριο, α mορε γενεραλ αππροαχη ηινγεσ ον τηε αναλψσισ οφ φαmιλιεσ οφ οπτιmαλ οππορτυνιτιεσ, αχχορδινγ το διφφερεντ χριτερια. Ιν χοmπυτατιοναλ τερmσ, τηισ τρανσλατεσ ιν εξπλορινγ α ωιδε δοmαιν οφ δεσιγν παραmετερσ ανδ ηενχε ρεθυιρεσ τηε υσε οφ πρελιmιναρψ δεσιγν τεχηνιθυεσ (υσυαλλψ υνδερ τηε ηψποτηεσισ οφ τωο βοδψ προβλεm δψναmιχσ), φορ φαστ mοδελλινγ τηε τρανσφερ λεγ. Ατ α σεχονδ σταγε, ονχε α σετ οφ φιρστ γυεσσ σολυτιονσ φορ τηε οϖεραλλ mισσιον ηασ βεεν ιδεντιφιεδ, α σελεχτεδ νυmβερ οφ ρεφινεδ τραϕεχτοριεσ χαν βε οπτιmισεδ, υσινγ α mορε αχχυρατε mοδελ οφ τηε σψστεm δψναmιχσ. Ιν τηισ χοντεξτ, τηισ ρεσεαρχη αιmσ το στυδψ ανδ δεϖελοπ τεχηνιθυεσ φορ τηε σολυτιον οφ τηε οπτιmαλ χοντρολ προβλεm ασσοχιατεδ το τηε δεσιγν οφ λοω τηρυστ τραϕεχτοριεσ. Τηε πρινχιπαλ ρεθυιρεmεντσ αρε αχχυραχψ ιν ρεπροδυχινγ τηε τραϕεχτορψ, ιν ορδερ το φυλλψ εξπλοιτ τηε δψναmιχσ οφ τηε προβλεm ωιτηιν τηε οπτιmισατιον προχεσσ, ανδ ροβυστνεσσ, το χονϖεργε εϖεν ωηεν α ποορ φιρστ γυεσσ σολυτιον ισ αϖαιλαβλε. Τηε λαστ ρεσεαρχη οβϕεχτιϖε ισ το δεφινε α ωιδε ϖαριετψ οφ δεφλεχτιον mισσιον οππορτυνιτιεσ φορ α νυmβερ οφ σελεχτεδ αστεροιδσ, οϖερ α ωιδε ρανγε οφ ποσσιβλε 4

38 Chapter 1. Introduction λαυνχη δατεσ. Μορεοϖερ, τηε πυρποσε ισ το περφορm α χοmπαρατιϖε ασσεσσmεντ οφ τηε mορε φεασιβλε mιτιγατιον στρατεγιεσ προποσεδ ιν λιτερατυρε, ιν ορδερ το εϖαλυατε τηειρ εφφιχιενχψ ανδ τεχηνολογψ ρεαδινεσσ. Ιν ορδερ το περφορm α χοmπρεηενσιϖε αναλψσισ, το χοmπαρε τηε ϖαριουσ δεφλεχτιον στρατεγιεσ αχχορδινγ το α ωιδε νυmβερ οφ mιτιγατιον σχεναριοσ, ιν τερmσ οφ ταργετ ΝΕΟσ ανδ mισσιον δεσιγν παραmετερσ, α mετηοδ ωιλλ βε δεφινεδ Background Impact hazard Τηε Εαρτη, ασ ωιτη mοστ οφ τηε πλανετσ οφ τηε σολαρ σψστεm, φροm ιτσ φορmατιον υπ το ρεχεντ τιmεσ, ηασ εξπεριενχεδ α στρονγ ιντεραχτιον ωιτη mινορ χελεστιαλ βοδιεσ συχη ασ αστεροιδσ ανδ χοmετσ. Τηισ ισ τεστιφιεδ βψ τηε νυmερουσ χρατερσ ον τηε Μοον ανδ οτηερ πλανετσ [16]. Τηε οϖερ 17 ιmπαχτ στρυχτυρεσ ορ χρατερσ ρεχογνισεδ αρουνδ τηε γλοβε προϖιδε σχιεντιφιχ εϖιδενχε τηατ συχη αστρονοmιχαλ εϖεντσ ηαϖε ρεπεατεδλψ οχχυρρεδ ιν τηε παστ [17], τηουγη ιν mανψ χασεσ τηε εροσιον ανδ τηε mοϖεmεντ οφ τηε τερρεστριαλ πλατεσ χανχελλεδ τηειρ σιγν. Τηεσε ιmπαχτ εϖεντσ ηαϖε ηαδ εφφεχτσ ον τηε γεολογιχαλ, χλιmατε ανδ βιοσπηερε εϖολυτιον οφ ουρ πλανετ, σοmετιmεσ ωιτη γλοβαλ ανδ δραmατιχ χονσεθυενχεσ. Α χαταστροπηιχ ιmπαχτ δυρινγ τηε Χρεταχεουσ Τερτιαρψ περιοδ, αβουτ 65 mιλλιονσ ψεαρσ αγο, ηασ βεεν συγγεστεδ βψ Αλϖαρεζ ετ αλ. [18] ασ τηε χαυσε φορ τηε εξτινχτιον οφ mανψ σπεχιεσ αmονγ ωηιχη τηε δινοσαυρσ, οβσερϖεδ ιν τηε παλεοντολογιχαλ ρεχορδ. Τηε αστεροιδ ιmπαχτ ηψποτηεσισ ηασ βεεν ωιδελψ αχκνοωλεδγεδ σινχε τηε ιδεντιφιχατιον οφ τηε Χηιχξυλυβ Χρατερ ον τηε χοαστ οφ Ψυχαταν, Μεξιχο [19],[], ωηιχη ισ εστιmατεδ το ηαϖε βεεν χαυσεδ βψ α χελεστιαλ βοδψ οφ αβουτ τεν κm ιν διαmετερ. Ιν φαχτ, τηε ποτεντιαλ ιmπαχτ οφ συχη α λαργε ανδ mασσιϖε οβϕεχτ, τηουγη στατιστιχαλλψ υνλικελψ, ηαϖινγ α προβαβιλιτψ οφ ονε εϖεντ οϖερ mιλλιονσ οφ ψεαρσ, ωουλδ χερταινλψ ποσε α χριτιχαλ τηρεατ το mοστ οφ τηε ποπυλατιον οφ τηε πλανετ, mαινλψ βεχαυσε δυστ mατεριαλ φροm τηε ιmπαχτ ωουλδ βε ινϕεχτεδ ιντο τηε στρατοσπηερε, πρεϖεντινγ συνλιγητ το ρεαχη τηε συρφαχε φορ σεϖεραλ ψεαρσ [18]. Τηε σιζε οφ αν οβϕεχτ τηατ χουλδ ποσε α τηρεατ το τηε γλοβαλ εχοσψστεm 5

39 1.3. Background ηασ βεεν εστιmατεδ το βε λαργερ τηαν 1 κm ανδ ισ εστιmατεδ τηατ τηε νυmβερ οφ συχη οβϕεχτσ ισ αρουνδ 1 [1]. Ιφ τηεσε λαργε σιζε βοδιεσ αρε εξτρεmελψ ραρε, ον τηε οτηερ ηανδ οβϕεχτσ ωιτη διαmετερ γρεατερ τηαν 4 m, ωηιχη ισ χονσιδερεδ τηε χριτιχαλ τηρεσηολδ αβοϖε ωηιχη τηε Εαρτη σ ατmοσπηερε ισ νο λονγερ δισιντεγρατινγ αν οβϕεχτ, αρε εστιmατεδ το βε mορε τηαν ονε mιλλιον ιν νυmβερ, ωιτη α στατιστιχαλ φρεθυενχψ οφ ιmπαχτ οφ ονε ηυνδρεδ ψεαρσ ορ εϖεν λεσσ. Αν εξαmπλε οφ συχη αν εϖεντ ηαππενεδ ατ τηε βεγιννινγ οφ τηε τωεντιετη χεντυρψ ιν Σιβερια, ωηερε αν οβϕεχτ οφ φεω τενσ οφ mετερσ, τηουγη δισιντεγρατινγ βεφορε ηιττινγ τηε γρουνδ, πυλϖερισεδ mανψ σθυαρε κιλοmετρεσ οφ τηε Σιβεριαν φορεστ [],[3]. Αν εθυιϖαλεντ ιmπαχτ ιν α δενσελψ ποπυλατεδ αρεα ωουλδ ηαϖε λοχαλλψ δεϖαστατινγ εφφεχτσ [4]. Τηουγη τηε χονχερν φορ ηαζαρδ φροm ιmπαχτ οφ χοmετσ ωασ φιρστ εξπρεσσεδ βψ Ηαλλεψ ιν 175 [4], τηε τηρεατ οφ αν αστεροιδ ηιττινγ τηε Εαρτη ηασ βεεν ρεχογνισεδ ανδ αχχεπτεδ ονλψ οϖερ τηε λαστ δεχαδεσ, ανδ σοmετιmεσ βρουγητ το τηε αττεντιον οφ α ωιδερ πυβλιχ, φορ εξαmπλε τηρουγη σπεχταχυλαρ εϖεντσ συχη ασ τηε χολλισιον οφ φραγmεντσ οφ τηε χοmετ Σηοεmακερ Λεϖψ 9 ωιτη ϑυπιτερ ιν 1994 [5]. Τηε δισχοϖερψ οφ Αποπηισ (φορ ωηιχη αν ιmπαχτ ιν 9 ηασ βεεν δεφινιτιϖελψ εξχλυδεδ, τηρουγη α πασσαγε ιν α κεψηολε δυρινγ τηε 9 φλψ βψ χουλδ στιλλ λεαδ το αν ιmπαχτ ιν 36 [6]) ηασ δραων τηε αττεντιον οφ πυβλιχ ανδ mεδια το τηε ισσυε οφ ποτεντιαλλψ ηαζαρδουσ οβϕεχτσ, ανδ, χονσεθυεντλψ, το τηε τεχηνολογιχαλ ανδ δετεχτιον χαπαβιλιτιεσ τηατ νατιονσ ηαϖε ιν ορδερ το ιmπλεmεντ α mιτιγατιον ανδ πρεϖεντιον πολιχψ. Ατ τηε σαmε τιmε, σπαχε αγενχιεσ ηαϖε σταρτεδ ωιδενινγ τηειρ σχοπε το χοmετσ ανδ αστεροιδσ νοτ ονλψ το ιmπροϖε τηε χυρρεντ κνοωλεδγε οφ τηεσε σmαλλ χελεστιαλ βοδιεσ, βυτ αλσο το δεϖελοπ τηε τεχηνολογιχαλ χαπαβιλιτιεσ ρεθυιρεδ ιν χασε αν οβϕεχτ σηουλδ ποσε α σεριουσ τηρεατ το τηε Εαρτη. Σεϖεραλ φλψ βψ, ρενδεζϖουσ ορ σαmπλε ρετυρν mισσιονσ το αστεροιδσ ανδ χοmετσ ηαϖε βεεν σχηεδυλεδ το τραχκ τηειρ ποσιτιον ανδ ϖελοχιτιεσ, mαπ τηε συρφαχε, δετερmινε σιζε, σηαπε, mασσ, ροτατιον ρατε, δενσιτψ, γασ ανδ δυστ εmισσιον ανδ χηαραχτερισε τηειρ χηεmιχαλ χοmποσιτιον ανδ στρυχτυρε. Παστ mισσιονσ συχη ασ Γιοττο (ΕΣΑ) [7], Dεεπ Ιmπαχτ (ΝΑΣΑ) [8], ΝΕΑΡ Σηοεmακερ (ΝΑΣΑ) [9], Dεεπ Σπαχε 1 (ΝΑΣΑ) [3],[31], Γαλιλεο 9994 Αποπηισ ρισκ παγε, αϖαιλαβλε ατ ηττπ://νεο.ϕπλ.νασα.γοϖ/ρισκ/α9994.ητmλ [Ρετριεϖεδ 14 Σεπτεmβερ 9]. 6

40 Chapter 1. Introduction (ΝΑΣΑ) [3], Σταρδυστ (ΝΑΣΑ) [33], πρεσεντ mισσιονσ λικε Ροσεττα (ΕΣΑ) [34], Ηαψαβυσα (ϑαξα) [35], ανδ φυτυρε mισσιονσ λικε Dαων (ΝΑΣΑ) [36] τεστιφψ τηε ιντερεστ οφ σπαχε αγενχιεσ ιν σχιεντιφιχ εξπλορατιον οφ τηε σολαρ σψστεm. Ιν παρτιχυλαρ, τηε Ευροπεαν Σπαχε Αγενχψ ισ νοω ασσεσσινγ τηε φεασιβιλιτψ οφ Dον Θυιϕοτε αστεροιδ δεφλεχτιον πρεχυρσορ mισσιον [37],[38], ωηιχη πλανσ το ιmπαχτ α σπαχεχραφτ ωιτη α ηιγη ρελατιϖε ϖελοχιτψ οντο αν αστεροιδ ανδ mεασυρε ιτσ δεφλεχτιον. Σηουλδ τηισ mισσιον λαυνχη, τηισ ωουλδ βε τηε φιρστ τεχηνολογιχαλ δεmονστρατιον οφ ουρ χαπαβιλιτψ το δεϖιατε αν αστεροιδ ιφ νεεδεδ NEO deflection strategies Dυρινγ τηε λαστ δεχαδεσ α νυmβερ οφ ποσσιβλε στρατεγιεσ το πρεϖεντ α χολλισιον οφ α ποτεντιαλλψ ηαζαρδουσ οβϕεχτ ωιτη Εαρτη ηαϖε βεεν προποσεδ [39],[6]. Μοστ οφ τηεm χονσιδερ α χηανγε ιν λινεαρ mοmεντυm οφ τηε αστεροιδ, ωιτη α χονσεθυεντ ϖαριατιον ιν ιτσ νοmιναλ ορβιτ, τηισ ρεσυλτινγ ιν αν ινχρεασε οφ τηε διστανχε οφ mινιmυm δισπλαχεmεντ οφ τηε οβϕεχτ φροm τηε Εαρτη. Τηε mιτιγατιον στρατεγιεσ ρεϖιεωεδ ιν τηε λιτερατυρε χαν βε χαταλογυεδ δεπενδινγ ον τηειρ ιντεραχτιον ωιτη τηε αστεροιδ, ασ: Στρατεγιεσ προδυχινγ αν ιmπυλσιϖε χηανγε ιν τηε λινεαρ mοmεντυm οφ τηε αστεροιδ, συχη ασ κινετιχ ιmπαχτορσ ορ νυχλεαρ ιντερχεπτορσ; Στρατεγιεσ προδυχινγ α mυλτι ιmπυλσιϖε χηανγε ιν τηε λινεαρ mοmεντυm οφ τηε ΝΕΟ βψ εϕεχτιον οφ mατεριαλ, συχη ασ mασσ δριϖερσ; Στρατεγιεσ αχτιϖελψ προδυχινγ α λοω τηρυστ, συχη ασ ατταχηεδ προπυλσιον δεϖιχεσ, αβλατιον βασεδ τεχηνολογιεσ, γραϖιτψ τραχτορσ; Στρατεγιεσ πασσιϖελψ προδυχινγ α λοω τηρυστ βψ ινδυχινγ τηερmο οπτιχαλ χηανγεσ οφ τηε αστεροιδ συρφαχε. Dεφλεχτιον βψ κινετιχ ιmπαχτορ ισ τηε σιmπλεστ τεχηνολογψ: α σπαχεχραφτ αχτσ ασ α προϕεχτιλε ανδ ηιτσ τηε ΝΕΟ ατ ηιγη ρελατιϖε ϖελοχιτψ [4] [43]. Ασ αν αλτερνατιϖε, νυχλεαρ εξπλοσιον δεϖιχεσ χαν βε αδοπτεδ [44],[45], ιν τηρεε διφφερεντ φορmσ: 1) στανδ οφφ, τηε εξπλοσιον οχχυρσ ατ α χερταιν διστανχε φροm τηε αστεροιδ συρφαχε; ) τηε εξπλοσιον τακεσ πλαχε ον τηε συρφαχε οφ τηε αστεροιδ; 3) τηε νυχλεαρ ωαρηεαδ ισ πλαχεδ υνδερ τηε αστεροιδ συρφαχε. Ιφ τηε εξπλοσιον τακεσ πλαχε ον ορ υνδερ τηε αστεροιδ συρφαχε, τηε εϕεχτεδ mασσ φροm τηε βοδψ ισ βιγγερ. Ηοωεϖερ, 7

41 1.3. Background στανδ οφφ εξπλοσιον, οχχυρρινγ ατ α χερταιν διστανχε φροm τηε ΝΕΟ, ισ mορε ροβυστ αγαινστ τηε υνχερταιντιεσ ον αστεροιδ mατεριαλσ, χοmπονεντσ, σηαπε, ετχ. Ον τηε οτηερ ηανδ, τηε υσε οφ νυχλεαρ εξπλοσιϖεσ ιν σπαχε ισ βαννεδ βψ τηε Ουτερ Σπαχε Τρεατψ [46] ανδ τηε mισυσε οφ τηισ δεφλεχτιον σψστεm χουλδ ποσε α ηιγηερ ρισκ τηαν τηε προβαβιλιτψ οφ ΝΕΟ χολλισιον ωιτη Εαρτη [47]. Σψστεmσ λικε κινετιχ ιmπαχτορσ ανδ νυχλεαρ ιντερχεπτορσ ωιλλ δελιϖερ αν ιmπυλσε τηατ ωιλλ χηανγε τηε αστεροιδ ορβιτ ορ βρεακ ιτ ιντο φραγmεντσ [48],[49]. Στρατεγιεσ ρελψινγ ον κινετιχ ιmπαχτ ορ νυχλεαρ εξπλοσιον χαν αχηιεϖε τηε τηρεατ mιτιγατιον ειτηερ βψ διϖερτινγ τηε αστεροιδ ορ χοmετ χουρσε, ορ βψ δεστροψινγ ιτ ιν σπαχε ωιτη α σινγλε εξπλοσιϖε χηαργε ον, ορ, βελοω τηε συρφαχε. Τηισ λαττερ οπτιον, ηοωεϖερ, ισ α χριτιχαλ στρατεγψ, ασ τηε αστεροιδ χουλδ ονλψ φραγmεντ ανδ στιλλ ιmπαχτ τηε Εαρτη ανδ ποτεντιαλλψ χαυσε mορε δαmαγε [5],[51]. Μασσ δριϖερσ δελιϖερ α mυλτι ιmπυλσιϖε χηανγε ιν τηε λινεαρ mοmεντυm οφ τηε ΝΕΟ βψ χολλεχτινγ mατεριαλ φροm τηε αστεροιδ συρφαχε ανδ εϕεχτινγ ιτ αωαψ φροm τηε αστεροιδ. Τηε εφφεχτ ισ εθυιϖαλεντ το τηε στεαm οφ αν ενγινε δεϖιχε; τηε ονλψ διφφερενχε ισ τηε υσε οφ ιν σιτυ mατεριαλ (mατεριαλ φροm τηε αστεροιδ συρφαχε) ασ προπελλαντ [5]. Οτηερ mιτιγατιον στρατεγιεσ προδυχε α χοντινυουσ λοω τηρυστ αχτιον ον τηε αστεροιδ; χονχεπτσ ινχλυδε ατταχηεδ προπυλσιον δεϖιχεσ, γραϖιτψ τυγσ ορ στρατεγιεσ mακινγ υσε οφ αβλατιον οφ τηε ΝΕΟ συρφαχε. Ιν τηε φιρστ χασε α προπυλσιον σψστεm ισ ανχηορεδ το τηε βοδψ ανδ οπερατεσ αλονγ τηε δεσιρεδ διρεχτιον, δετερmινεδ αχχορδινγλψ το τηε ροτατιον οφ τηε αστεροιδ. Τηε ανχηορεδ δεϖιχε χαν αδοπτ ανψ χονϖεντιοναλ ορ αδϖανχεδ προπυλσιον σψστεm (ε.γ. ελεχτριχαλ, χηεmιχαλ ορ νυχλεαρ προπυλσιον, σολαρ σαιλσ, ετχ.) [53]. Τηε τεχηνιχαλ προβλεm ρελατεδ το τηισ σχηεmε ισ τηε χοννεχτιον βετωεεν τηε δεϖιχε ανδ τηε ροτατινγ αστεροιδ. Τηε γραϖιτψ τραχτορ χονσιστσ οφ α σπαχεχραφτ ηοϖερινγ αβοϖε τηε αστεροιδ; τηε γραϖιτατιοναλ αττραχτιον βετωεεν τηε τωο βοδιεσ ισ εξπλοιτεδ το πυλλ τηε αστεροιδ ανδ mοϖε ιτ [54]. Τηισ στρατεγψ ηασ τηε αδϖανταγε οφ νοτ βεινγ αφφεχτεδ βψ τηε υνχερταιντιεσ ον τηε αστεροιδ συρφαχε ανδ χοmποσιτιον, βεχαυσε ιτ δοεσ νοτ νεεδ πηψσιχαλ χονταχτ ωιτη τηε ΝΕΟ. Ανοτηερ οπτιον δεφλεχτσ τηε τηρεατενινγ οβϕεχτ φροm ιτσ νοmιναλ ορβιτ, βψ προϖοκινγ τηε αβλατιον οφ ιτσ συρφαχε. Φορ εξαmπλε α mιρρορ χολλεχτσ τηε σολαρ ραδιατιον ανδ, τηρουγη α σψστεm οφ λενσεσ, ιτ φοχυσεσ ιτ οντο τηε αστεροιδ σ συρφαχε [55] [58]. Τηε σαmε πρινχιπλε ισ εξπλοιτεδ βψ α σπαχεχραφτ βασεδ λασερ βεαm, 8

42 Chapter 1. Introduction ωηιχη ισ χονχεντρατεδ οντο τηε αστεροιδ συρφαχε, προδυχινγ τηε ϖαπορισατιον οφ τηε συρφαχε [59],[6]. Αβλατιον βασεδ στρατεγιεσ προδυχε α βεαm οφ εϕεχτεδ mατεριαλ τηατ ωουλδ αχτ ασ α τηρυστ αχχορδινγ το τηε Νεωτον σ τηιρδ λαω. Χοατινγ τηε συρφαχε οφ τηε αστεροιδ ισ υσεδ το αλτερ τηε αλβεδο ανδ mοδιφψ τηε ινδυχεδ Ψαρκοϖσκψ αχχελερατιον [61]. Τηε ρεσυλτινγ τηρυστ ισ σmαλλ χοmπαρεδ το οτηερ σχηεmεσ, εσπεχιαλλψ φορ ινχρεασινγ ΝΕΟ σιζε. Α σmαλλ νυmβερ οφ αυτηορσ ηαϖε περφορmεδ α παρτιαλ χοmπαρατιϖε ασσεσσmεντ οφ τηε νυmερουσ προποσεδ mιτιγατιον στρατεγιεσ. Σοmε οφ τηεσε εmπηασισε α χλασσιφιχατιον σψστεm βασεδ ον εφφεχτιϖενεσσ ιν αχτινγ νεαρ ινσταντανεουσλψ ον τηε ηαζαρδ, ορ προδυχινγ α λονγ δυρατιον χοντινυουσ εφφεχτ [6]. Σοmε χονσιδερατιονσ ον τηε χαπαβιλιτιεσ οφ χυρρεντ τεχηνολογιεσ (ι.ε., νεαρ τερm, mεδιυm τερm ορ λονγ τερm στρατεγιεσ) ωερε αλσο ινχλυδεδ ιν τηε δισχυσσιον; ηοωεϖερ, σιmπλιφιεδ δψναmιχσ mοδελ ωερε υσεδ το ασσεσ τηε ρεθυιρεδ ϖελοχιτψ ινχρεmεντ φορ τηε δεφλεχτιον (φορ εξαmπλε, τηε δεφλεχτιον mανοευϖρε ισ ασσυmεδ αππλιεδ ατ τηε περιχεντρε οφ τηε ΝΕΟ σ ορβιτ). Οτηερ αυτηορσ χλασσιφιεδ ϖαριουσ mιτιγατιον στρατεγιεσ ον τηε βασισ οφ τηε χουπλινγ βετωεεν τηε δψναmιχσ οφ τηε δεφλεχτιον οφ τηε οβϕεχτ ανδ τηε γυιδανχε οφ τηε σπαχεχραφτ [63]. Τηε αππροξιmατιον οφ τηε χοντρολ δελιϖερεδ βψ τηε σπαχεχραφτ το τηε ΝΕΟ δεπενδσ ον τηε mοτιον οφ τηε τωο βοδιεσ ανδ ον τηε δεφλεχτιον mεχηανισm χαπαβιλιτιεσ. Τηρεε mαιν χατεγοριεσ οφ στρατεγιεσ αρε ιδεντιφιεδ, ρεσπεχτιϖελψ βασεδ ον χρατερινγ οφ τηε ΝΕΟ, χοντινυουσ mασσ εϕεχτιον ορ ον αχτιον ατ διστανχε, συχη ασ εξπλοιτινγ σολαρ πρεσσυρε, ωιτη σολαρ σαιλσ ορ παιντ. Ιν ρεχεντ ψεαρσ σεϖεραλ στυδιεσ ηαϖε βεεν περφορmεδ ατ ΝΑΣΑ [64], το αναλψσε ποσσιβλε αλτερνατιϖεσ φορ ΝΕΟ δεφλεχτιον, εϖαλυατε τηειρ εφφεχτιϖενεσσ ανδ ιδεντιφψ ρεχοmmενδεδ οπτιονσ φορ φυρτηερ στυδιεσ. Σεϖεραλ ποτεντιαλ mιτιγατιον στρατεγιεσ ωερε mοδελλεδ ωιτη ινπυτσ φροm οτηερ στυδιεσ. Υνλικε πρεϖιουσ ωορκ, α χοmπλετε mισσιον δεσιγν ωασ περφορmεδ, ινχλυδινγ α φιρστ αππροξιmατιον οφ τηε ρεθυιρεδ ϖ (ι.ε., ϖελοχιτψ χηανγε) φορ τηε ιντερχεπτιον ορ ρενδεζϖουσ οφ τηε αστεροιδ. Σοmε mιτιγατιον οπτιονσ ωερε αναλψσεδ ωιτη τηε πυρποσε οφ βυιλδινγ α παραmετριχ mοδελ ανδ θυαντιφψινγ τηε ρελατιον βετωεεν ρεθυιρεδ σψστεm mασσ, mισσιον τιmε ανδ σιζε οφ τηε οβϕεχτ δεφλεχτεδ, ηοωεϖερ, α προχεδυρε φορ χοmπαρινγ τηε διφφερεντ τεχηνολογιεσ ωασ νοτ δεφινεδ. Ιν α συβσεθυεντ ρεπορτ [6] αν αττεmπτ ωασ mαδε το γραπηιχαλλψ χοmπαρε αλτερνατιϖεσ φορ ΝΕΟ δεφλεχτιον; φιϖε σχεναριοσ 9

43 1.3. Background ωερε ιδεντιφιεδ, ρεπρεσεντινγ διφφερεντ σιζεσ οφ τηρεατ. Τηε σψστεm περφορmανχε ωασ δεσχριβεδ ασ τηε εφφεχτιϖε mοmεντυm χηανγε (ι.ε., ϖ ρεθυιρεδ φορ τηε δεφλεχτιον mυλτιπλιεδ βψ τηε ΝΕΟ σ mασσ) ανδ τηε λαυνχη περφορmανχε (ι.ε., δεφλεχτιον ϖεηιχλε λαυνχη mασσ) το πλαχε τηε παψλοαδ ιντο αν ιντερχεπτ τραϕεχτορψ. Φιναλλψ Ρογερσ ανδ Ιζενβεργ [65] υσεδ τηε νορmαλισεδ σπεχιφιχ ιmπυλσε οφ τηε διϖερτ τεχηνολογψ (δεφινεδ ασ τηε ρατιο οφ τηε ιmπυλσε ιmπαρτεδ το τηε ωειγητ ον Εαρτη οφ τηε στρατεγψ) ασ α θυαλιτατιϖε ωαψ οφ χοmπαρινγ τηε εφφιχιενχψ οφ ϖαριουσ mιτιγατιον στρατεγιεσ Asteroid deviation Ιν ορδερ το δετερmινε τηε ϖαριατιον οφ τηε δισπλαχεmεντ οφ τηε ΝΕΟ, φολλοωινγ τηε αππλιχατιον οφ ανψ οφ τηε προποσεδ στρατεγιεσ, ιτ ισ χονϖενιεντ το χλασσιφψ τηεm αχχορδινγ το τηε εθυιϖαλεντ αχτιον τηεψ δελιϖερ το τηε βοδψ. Τηε εφφεχτ αλλ τηε προποσεδ δεφλεχτιον στρατεγιεσ ηαϖε ον τηε αστεροιδ χαν βε διστινγυισηεδ ειτηερ ασ αν ιmπυλσιϖε ορ νεαρλψ ινσταντανεουσ ϖαριατιον οφ τηε ϖελοχιτψ οφ τηε αστεροιδ, ορ ασ α λοω τηρυστ, ιφ τηεψ αχτ ον τηε αστεροιδ οϖερ αν εξτενδεδ περιοδ οφ τιmε, ωιτη α χοντινυουσ mοmεντυm χηανγε [6]. Ηενχε ιν τηε φολλοωινγ οφ τηισ στυδψ, τηεψ ωιλλ βε διστινγυισηεδ βετωεεν ιmπυλσιϖε στρατεγιεσ (ε.γ., κινετιχ ιmπαχτορ, νυχλεαρ ιντερχεπτορ. Μασσ δριϖερ χαν βε χονσιδερεδ ασ α mυλτι ιmπυλσιϖε στρατεγψ, εϖεν ιφ ιτσ εφφεχτ ισ χοmπαραβλε το τηε δεϖιατιον προδυχεδ βψ α χοντινυουσ αχτιον) ορ λοω τηρυστ στρατεγιεσ (ε.γ., σολαρ χολλεχτορ, πυλσεδ λασερ, γραϖιτψ τραχτορ, ενηανχεδ Ψαρκοϖσκψ εφφεχτ, ετχ.). Τηε χονσεθυεντ ϖαριατιον οφ τηε ορβιτ οφ τηε αστεροιδ χαν βε χοmπυτεδ τηρουγη α νυmεριχαλ προχεδυρε, ανδ τηε ρεσυλτ ηασ το βε ϖαλιδατεδ τηρουγη ορβιτ τραχκινγ ανδ αστρονοmιχαλ οβσερϖατιονσ. Χαρυσι ετ αλ. [4] στυδιεδ τηε ϖ ρεθυιρεmεντ φορ δεφλεχτινγ α ηαζαρδουσ νεαρ Εαρτη οβϕεχτ ατ διφφερεντ εποχησ. Τηε ορβιταλ χουρσε οφ τηε αστεροιδ φολλοωινγ α δεφλεχτιον ιmπυλσε αλονγ ιτσ ϖελοχιτψ ισ χοmπυτεδ τηρουγη τηε νυmεριχαλ προπαγατιον οφ τηε φυλλ ν βοδψ δψναmιχσ. Τηεψ σηοω τηατ ωηεν αν ενχουντερ οχχυρσ βεφορε τηε ιmπαχτ εποχη, τηε ρεθυιρεδ δεφλεχτιον mανοευϖρε ισ νοτιχεαβλψ λοωερ ιφ γιϖεν βεφορε ρατηερ τηαν αφτερ τηε ενχουντερ ιτσελφ. Καηλε ετ αλ. [66] εξτενδεδ τηισ στυδψ βψ ρεmοϖινγ τηε ασσυmπτιον οφ α mανοευϖρε αλονγ τραχκ; τηεψ σηοω τηατ υσινγ α διφφερεντ διρεχτιον φορ τηε δεφλεχτιον mανοευϖρε ιν τηε ϖιχινιτψ οφ α πλανεταρψ ενχουντερ σιγνιφιχαντλψ 1

44 Chapter 1. Introduction ινχρεασεσ τηε περφορmανχε. Τηε ισσυε ωιτη νυmεριχαλ αππροαχηεσ ισ τηε χοmπυτατιοναλ τιmε, ωηιχη βεχοmεσ α λιmιτ ωηεν τηε τραϕεχτορψ ηασ το βε ιντεγρατεδ οϖερ α λονγ περιοδ ωιτηουτ λοσινγ αχχυραχψ. Οφ χουρσε, ιν τηε χασε οφ α ρεαλ εϖεντ, τηε ΧΠΥ τιmε ωουλδ νοτ βε αν ισσυε; νονετηελεσσ, α νυmβερ οφ αυτηορσ ηαϖε δεϖελοπεδ αναλψτιχαλ φορmυλατιονσ το mακε εξτενσιϖε ινϖεστιγατιονσ ανδ γατηερ υσεφυλ λεσσονσ φροm τηε χοmπυτατιον οφ α ωιδε ρανγε οφ σολυτιονσ. Ιν τηισ χασε τηε σιmπλιφιχατιον οφ τηε τωο βοδψ προβλεm ισ οφτεν αδοπτεδ. Αηρενσ ανδ Ηαρρισ [67] γαϖε αν εστιmατιον οφ τηε ϖ ρεθυιρεδ φορ δεφλεχτινγ αν αστεροιδ φροm αν Εαρτη χροσσινγ ορβιτ, βψ περτυρβατιον ειτηερ περπενδιχυλαρ ορ αλονγ τηε διρεχτιον οφ mοτιον, ανδ Σχηεερεσ ανδ Σχηωειχκαρτ [68] δεριϖεδ αν αναλψτιχαλ εξπρεσσιον οφ τηε σηιφτ ιν τηε ποσιτιον οφ τηε αστεροιδ, υνδερ τηε ασσυmπτιον οφ α χιρχυλαρ ορβιτ ανδ α χονσταντ αχχελερατιον αλιγνεδ ωιτη τηε ϖελοχιτψ οφ τηε ΝΕΟ. Τηισ στρατεγψ, ωηιχη ψιελδσ α χηανγε ιν τηε mεαν mοτιον οφ τηε αστεροιδ, ισ προποσεδ φορ λονγ λεαδ τιmε υντιλ τηε ιmπαχτ. Συβσεθυεντλψ, Ιζζο [69] προποσεδ α σιmιλαρ σολυτιον, βυτ εξτενδεδ ιτ το νον χιρχυλαρ ορβιτσ. Ηοωεϖερ, τηισ φορmυλατιον ιντροδυχεσ αν ιντεγραλ τερm τηατ ωασ σολϖεδ αναλψτιχαλλψ ονλψ ιν τηε χασε οφ αν ιmπυλσιϖε δεφλεχτιον mανοευϖρε. Φυρτηερmορε, τηε εφφεχτ οφ τηε δεϖιατιον στρατεγψ ισ τρανσλατεδ ιν α χηανγε οφ mεαν mοτιον ανδ ηενχε ιν α πηασε σηιφτ; οτηερ χηανγεσ ιν τηε ορβιταλ γεοmετρψ αρε νοτ ινχλυδεδ. Α mορε γενεραλ αππροαχη ωασ υσεδ βψ Χονωαψ [7] το δετερmινε τηε νεαρ οπτιmαλ διρεχτιον ιν ωηιχη αν ιmπυλσιϖε mανοευϖρε σηουλδ βε γιϖεν. Τηε mοδιφιεδ ορβιταλ χουρσε ωασ προπαγατεδ αναλψτιχαλλψ φορωαρδ ιν τιmε βψ mεανσ οφ Λαγρανγε χοεφφιχιεντσ εξπρεσσεδ τηρουγη υνιϖερσαλ φορmυλαε [71]. Αν αναλψσισ ον τηε mινιmυm ϖ ανδ τηε οπτιmαλ ιmπυλσε ανγλε ωασ περφορmεδ αλσο βψ Παρκ ανδ Ροσσ [7], ωηο υσεδ Λαγρανγε χοεφφιχιεντσ το προπαγατε τηε δεϖιατεδ ορβιτ οφ τηε αστεροιδ ρατηερ τηαν ονλψ ιτσ δισπλαχεmεντ ωιτη ρεσπεχτ το τηε νοmιναλ χουρσε. Τηεψ αλσο ινχλυδεδ τηε εφφεχτσ οφ τηε Εαρτη σ γραϖιτψ [73],[74], οβταινινγ α mορε αχχυρατε εστιmατιον οφ τηε οπτιmαλ ιmπυλσε. Σονγ ετ αλ. [75] ινϖεστιγατεδ τηε δεφλεχτιον οφ αστεροιδσ ανδ χοmετσ υσινγ α ποωερ λιmιτεδ λασερ βεαm. Τηεψ υσεδ τηε σαmε τεχηνιθυε προποσεδ βψ Παρκ ανδ Ροσσ [7] το σολϖε τηε ηελιοχεντριχ τωο βοδψ mοτιον αφτερ τηε λασερ ισ σηυτ οφφ, ωηερεασ ωηεν τηε λασερ ισ ον, τηε τραϕεχτορψ οφ τηε Εαρτη χροσσινγ οβϕεχτ ισ νυmεριχαλλψ ιντεγρατεδ. Τηεψ φουνδ τηατ τηε οπτιmαλ οπερατινγ ανγλε βετωεεν τηε αστεροιδ ϖελοχιτψ ανδ τηε τηρυστ αχχελερατιον ϖεχτορ 11

45 1.3. Background ρεmαινσ ιν τηε ρανγε δεγ φορ ωαρνινγ τιmεσ λονγερ τηαν ονε αστεροιδ περιοδ, ρεγαρδλεσσ οφ τηε ορβιταλ ελεmεντσ οφ τηε αστεροιδ. Low-thrust analytical models Τηε αττεντιον ισ νοω φοχυσεδ ον ΝΕΟ δεϖιατιον βψ τεχηνολογιεσ δελιϖερινγ α χοντινυουσ λοω τηρυστ αχτιον. Ιν παρτιχυλαρ, ωηεν τηε οβϕεχτιϖε ισ τηε ιδεντιφιχατιον οφ mανψ mισσιον οππορτυνιτιεσ (ι.ε., φαϖουραβλε χονδιτιονσ φορ δεφλεχτιον), γλοβαλ οπτιmισατιον τεχηνιθυεσ χαν βε εmπλοψεδ, το περφορm αν εξτενσιϖε σεαρχη φορ οπτιmαλ σολυτιον οϖερ α σεαρχη σπαχε. Ιν τηισ χασε, τηε εϖαλυατιον οφ σεϖεραλ τενσ οφ τηουσανδσ οφ τραϕεχτοριεσ ισ ρεθυιρεδ, τηυσ τηε νυmεριχαλ χοmπυτατιον οφ τηε δεφλεχτεδ χουρσε οφ τηε αστεροιδ ωουλδ βε ιmπραχτιχαλ. Σινχε 195 [76] [78], σεϖεραλ αυτηορσ ηαϖε προποσεδ αναλψτιχαλ σολυτιονσ φορ σοmε παρτιχυλαρ χασεσ οφ λοω τηρυστ χοντρολ προβλεmσ. Τσιεν [77] ανδ Βεννεψ [78] δεϖελοπεδ α σολυτιον φορ εσχαπε τραϕεχτοριεσ, ρεσπεχτιϖελψ, συβϕεχτ το ραδιαλ ανδ τανγεντιαλ χοντινυουσ τηρυστ αχχελερατιον. Φολλοωινγ α σιmιλαρ φορmυλατιον, Βολτζ [79],[8] προποσεδ α σολυτιον ιν χασε τηε ρατιο βετωεεν τηε τηρυστ ανδ τηε γραϖιτψ αχχελερατιον ισ κεπτ χονσταντ. Ιν βοτη χασεσ, τηε ορβιτ ισ ασσυmεδ το βε χιρχυλαρ ορ νεαρλψ χιρχυλαρ. Κεχηιχηιαν [81] υσεδ αν αϖεραγινγ τεχηνιθυε το χοmπυτε αναλψτιχαλ σολυτιονσ φορ ορβιτ ραισινγ ωιτη χονσταντ τανγεντιαλ αχχελερατιον ιν τηε πρεσενχε οφ Εαρτη σηαδοω. Κεχηιχηιαν σ εθυατιονσ, ωηιχη χονταιν σοmε τερmσ εξπανδεδ ιν ποωερ οφ τηε εχχεντριχιτψ, αρε αχχυρατε φορ σmαλλ το mοδερατε ϖαλυεσ οφ τηε εχχεντριχιτψ υπ το.. Τηε εφφεχτσ οφ τηε Εαρτη οβλατενεσσ αρε αλσο χονσιδερεδ. Γαο ανδ Κλυεϖερ [8] αδοπτεδ αν αϖεραγινγ τεχηνιθυε ωιτη ρεσπεχτ το τηε εχχεντριχ ανοmαλψ φορ χοντινυουσ τανγεντιαλ τηρυστ τραϕεχτοριεσ, αλσο αχχουντινγ φορ τηε Εαρτη οβλατενεσσ ανδ τηε Εαρτη σηαδοω. Τηε ϖαλυε οφ τηε ελλιπτιχ ιντεγραλσ ιν τηε σολυτιον οφ Γαο ανδ Κλυεϖερ ισ αππροξιmατεδ ανδ τηε αχχυραχψ οφ τηε σολυτιον δεπενδσ ον τηε εχχεντριχιτψ. Οτηερ αναλψτιχαλ σολυτιονσ φορ λοω τηρυστ τραϕεχτοριεσ ωερε στυδιεδ βψ Πετροπουλοσ [83], ωηο πρεσεντεδ α γενεραλ οϖερϖιεω οφ τηε αππροξιmατεδ σολυτιονσ δεριϖεδ σο φαρ. Ιν ηισ ωορκ, Πετροπουλοσ δεϖελοπεδ σοmε αναλψτιχαλ ιντεγραλσ το δεσχριβε τηε σεχυλαρ εϖολυτιον οφ τηε ορβιτ οφ α σπαχεχραφτ συβϕεχτ το διφφερεντ τηρυστ χοντρολ λαωσ. Τηε ρατε οφ χηανγε οφ τηε ορβιταλ ενεργψ ανδ τηε εχχεντριχιτψ αρε 1

46 Chapter 1. Introduction τιmε αϖεραγεδ ανδ ρεφορmυλατεδ, ιντροδυχινγ σοmε ελλιπτιχ ιντεγραλσ, ωηιχη αρε ϖαλιδ φορ αλλ ινιτιαλ εχχεντριχιτψ φροm σλιγητλψ αβοϖε ζερο NEO interception and trajectory optimisation Αστεροιδσ αρε νοωαδαψσ αππεαλινγ ταργετσ φορ σπαχε mισσιονσ. Τηε ορβιτ οφ τηοσε αστεροιδσ χλασσιφιεδ ασ Νεαρ Εαρτη Οβϕεχτσ χοmεσ χλοσε το τηε Εαρτη σ ορβιτ αρουνδ τηε Συν; τηισ mακεσ τηειρ εξπλορατιον ϖιαβλε ωιτη χυρρεντ τεχηνολογιεσ. Ιν παρτιχυλαρ, ασ τεστιφιεδ βψ σοmε mισσιονσ λικε Dαων [36] ανδ Ηαψαβυσα [35], τηε υσε οφ λοω τηρυστ προπυλσιον σηοωεδ ιν τηε λαστ δεχαδε το βε α ϖαλυαβλε οπτιον το δεχρεασε προπελλαντ χονσυmπτιον, ατ τηε εξπενσε οφ λονγερ τιmεσ οφ φλιγητ. Τηε δεσιγν οφ λοω τηρυστ τραϕεχτοριεσ ρεθυιρεσ τηε σολυτιον οφ αν οπτιmαλ χοντρολ προβλεm, τηε διφφιχυλτψ οφ ωηιχη ινχρεασεσ ωιτη τηε χοmπλεξιτψ οφ τηε τρανσφερ ανδ τηε φιδελιτψ οφ τηε τραϕεχτορψ mοδελ. Μυλτι βοδψ δψναmιχσ, γραϖιτψ ασσιστ mανοευϖρεσ, χαπτυρε ορ εσχαπε πηασεσ χονχυρ το ινχρεασε τηε χοmπλεξιτψ οφ α τραϕεχτορψ δεσιγν προβλεm [84]. Φυρτηερmορε, τηε λοω λεϖελ οφ τηρυστ ιmπλιεσ λονγ τρανσφερ τιmεσ ανδ α λοω χοντρολ αυτηοριτψ βεχαυσε τηε τηρυστ λεϖελ ισ χοmπαραβλε το τηε γραϖιτατιοναλ φορχεσ. Μορεοϖερ, τηε δεσιγν οφ ιντερπλανεταρψ τρανσφερσ ινϖολϖεσ δψναmιχσ οφ ϖαριαβλε σχαλεσ, ι.ε., φροm πλανετοχεντριχ πηασεσ (ε.γ., δυρινγ γραϖιτψ ασσιστ mανοευϖρεσ) το ηελιοχεντριχ λεγσ. Ιν ορδερ το προπερλψ ηανδλε τηε διφφερεντ σχαλεσ, ιτ ωουλδ βε δεσιραβλε το ηαϖε αν οπτιmισατιον mετηοδ τηατ χαν αδαπτιϖελψ χηανγε τηε δισχρετισατιον οφ τηε νυmεριχαλ ιντεγρατιον οφ τηε δψναmιχσ, δυρινγ τηε οπτιmισατιον ιτσελφ. Αδδιτιοναλλψ, ιτ σηουλδ βε ροβυστ ενουγη το χονϖεργε εϖεν ωηεν α ποορ φιρστ γυεσσ σολυτιον ισ αϖαιλαβλε ανδ αχχυρατε ενουγη το ρεπροδυχε τηε τραϕεχτορψ ωιτη ηιγη φιδελιτψ, ηενχε εξπλοιτινγ α φυλλ δψναmιχαλ mοδελ. Direct and indirect methods Ιν γενεραλ, mετηοδσ φορ τραϕεχτορψ οπτιmισατιον αρε χλασσιφιεδ υνδερ διρεχτ ορ ινδιρεχτ αππροαχηεσ [85],[86]. Dιρεχτσ mετηοδσ αρε κνοων το βε θυιτε ροβυστ, χονϖεργενχε βεινγ ρεαχηεδ εϖεν ιφ α ποορ φιρστ γυεσσ σολυτιον ισ αϖαιλαβλε; ηοωεϖερ, χολλοχατιον mετηοδ εφφιχαχψ ισ βουνδεδ βψ τηε δεφινιτιον οφ τηε δισχρετισατιον οφ τηε στατε ϖαριαβλεσ πριορ το τηε οπτιmισατιον [87] [89]. Dιρεχτ σηοοτινγ mετηοδσ οϖερχοmε τηε δισαδϖανταγε οφ χολλοχατινγ τηε στατεσ, βυτ στιλλ 13

47 1.3. Background νεεδ τηε α πριορι χολλοχατιον οφ τηε χοντρολ [9],[91] ανδ τενδ το βε λεσσ ροβυστ τηαν χολλοχατιον mετηοδσ. Ον τηε χοντραρψ, ινδιρεχτ mετηοδσ γυαραντεε τηε αχχυραχψ οφ τηε σολυτιον, ωηιχη σατισφιεσ Ποντρψαγιν σ mαξιmυm πρινχιπλε [9], βυτ, ον τηε οτηερ ηανδ, τηεψ ρεθυιρε α γοοδ φιρστ γυεσσ φορ τηε αδϕοιντ ϖαριαβλεσ. Χοmmον αππλιχατιονσ υσυαλλψ φοχυσ ον α σινγλε πηασε οφ τηε mισσιον, ιν ωηιχη τηε πριmαρψ βοδψ δοεσ νοτ χηανγε, συχη ασ Εαρτη χεντρεδ τρανσφερσ [93] ορ ηελιοχεντριχ λεγ [94],[95]. Wηεν διρεχτ ανδ ινδιρεχτ mετηοδσ αρε αππλιεδ το τηε δεσιγν οφ τρανσφερσ ωηιχη ινϖολϖε mυλτι βοδψ δψναmιχσ (ι.ε., ινχλυδε εσχαπε ανδ χαπτυρε πηασεσ) ορ γραϖιτψ ασσιστ mανοευϖρεσ (νοτ σιmπλιφιεδ ασ ιmπυλσιϖε χηανγε οφ ϖελοχιτψ), α πατχηεδ χονιχ αππροαχη ισ υσυαλλψ αδοπτεδ. Τηε οϖεραλλ τραϕεχτορψ ισ διϖιδεδ ιν α σεθυενχε οφ προβλεmσ, εαχη οφ τηεm εξπρεσσεδ ιν τηε πριmαρψ βοδψ ρεφερενχε φραmε; διφφερεντ σεγmεντσ αρε τηεν πατχηεδ τογετηερ, τηρουγη βουνδαρψ χονστραιντσ ατ τηε εδγε οφ εαχη σεγmεντ (διρεχτ mετηοδσ), ορ τηρουγη χονδιτιονσ ον στατεσ ανδ χοστατεσ (ινδιρεχτ mετηοδσ). Μανψ αππλιχατιονσ ηαϖε βεεν πρεσεντεδ, mακινγ υσε οφ διρεχτ mετηοδσ [96] [99], ινδιρεχτ mετηοδσ [1] [13], ορ ηψβριδ mετηοδσ [14],[15]. Τηε πατχηεδ χονιχ αππροαχη αλλοωσ ηανδλινγ διφφερεντ τιmε ανδ διστανχε σχαλεσ οϖερ διφφερεντ σεγmεντσ οφ τηε τραϕεχτορψ, ηενχε αϖοιδινγ νυmεριχαλ σενσιτιϖιτψ; ηοωεϖερ, σινχε τηε τρανσιτιον χονδιτιονσ φροm ονε σεγmεντ το τηε φολλοωινγ ονε αρε δεφινεδ α πριορι, τηε σολυτιον mαψ νοτ φυλλψ εξπλοιτ τηε mυλτι βοδψ δψναmιχσ νατυρε οφ α τρανσφερ. Πρεϖιουσ ωορκσ αττεmπτεδ το οπτιmισε mυλτι βοδψ λοω τηρυστ προβλεmσ, τρεατινγ τηε τραϕεχτορψ ασ α ωηολε, ωιτηουτ ρεσορτινγ το τηε πατχηεδ χονιχ αππροαχη; Wηιφφεν ετ αλ. πρεσεντεδ mανψ ιντερπλανεταρψ τραϕεχτοριεσ, ινχλυδινγ εσχαπε, χαπτυρε ανδ φλψ βψσ, χοmπυτεδ ωιτη τηε Στατιχ/Dψναmιχ Χοντρολ (ΣDΧ) αλγοριτηm [16] [18], Λαντοινε ανδ Ρυσσελ [19] προποσεδ α ηψβριδ διφφερεντιαλ δψναmιχ προγραmmινγ αλγοριτηm ανδ αππλιεδ ιτ το α ΛΕΟ το ΓΕΟ ορβιταλ τρανσφερ ανδ Ολψmπιο [11] δεϖελοπεδ α γραδιεντ βασεδ mετηοδ το αδδρεσσ τηε προβλεm οφ ιντερπλανεταρψ τρανσφερσ ωιτη εσχαπε ανδ χαπτυρε πηασεσ. 14

48 Chapter 1. Introduction Differential dynamic programming Ιν τηισ ωορκ ωε ινϖεστιγατε τηε υσε οφ Dιφφερεντιαλ Dψναmιχ Προγραmmινγ (DDΠ) (ιντροδυχεδ βψ ϑαχοβσον ανδ Μαψνε ιν 1969 [111]) φορ δεσιγνινγ ιντερπλανεταρψ τραϕεχτοριεσ το τηε ρενδεζϖουσ ανδ φλψ βψ οφ νεαρ Εαρτη οβϕεχτσ, ινχλυδινγ τηε εσχαπε πηασε ατ τηε Εαρτη. Τηισ τεχηνιθυε χαν βε χλασσιφιεδ αmονγ διρεχτ mετηοδσ, βυτ, υνλικε τηε οτηερ αππροαχηεσ, τηε τιmε δεπενδενχε ισ νοτ ρεmοϖεδ φροm τηε παραmετερισατιον. DDΠ ισ δεριϖεδ φροm τηε τηεορψ οφ δψναmιχ προγραmmινγ [11], ανδ οϖερχοmεσ ιτσ ινηερεντ χυρσε οφ διmενσιοναλιτψ (σεε Ψακοωιτζ ανδ Ρυτηερφορδ, [113]) βψ ρεπλαχινγ τηε χοστ φυνχτιον οφ τηε προβλεm ωιτη ιτσ θυαδρατιχ εξπανσιον ιν τηε νειγηβουρηοοδ οφ α νοmιναλ νον οπτιmαλ τραϕεχτορψ. Τηε οπτιmισατιον προχεσσ ισ βασεδ ον συχχεσσιϖε ιτερατιονσ, ιν ωηιχη τηε χοεφφιχιεντσ φορ α φεεδβαχκ χοντρολ λαω αρε γενερατεδ τηρουγη τηε σταγε ωισε σολυτιον, βαχκωαρδ ιν τιmε, οφ Βελλmαν σ παρτιαλ διφφερεντιαλ εθυατιον, ανδ τηε χονσεθυεντ ιmπροϖεδ τραϕεχτορψ ανδ χοντρολ πολιχψ αρε τηεν προπαγατεδ φορωαρδ ιν τιmε. Βεχαυσε τηε mινιmισατιον ισ περφορmεδ τηρουγη συχχεσσιϖε αππροξιmατιονσ αρουνδ α νοmιναλ σολυτιον, τηε λαργε σχαλε προβλεm, ασσοχιατεδ ωιτη τηε οπτιmισατιον οφ α λοω τηρυστ τραϕεχτορψ, ισ τρανσλατεδ ιντο α σεριεσ οφ προβλεmσ οφ σmαλλ διmενσιονσ. Ιν οτηερ ωορδσ, τηε σταγε ωισε αππροαχη αλλοωσ το εφφιχιεντλψ ηανδλε προβλεmσ ωιτη α λαργε νυmβερ οφ σταγεσ; τηισ οϖερχοmεσ τηε λιmιτ οφ διρεχτ τρανσχριπτιον mετηοδσ, ωηιχη λεαδ το τηε σολυτιον οφ σψστεmσ οφ νονλινεαρ προγραmmινγ προβλεmσ οφ ινχρεασινγ διmενσιον ωιτη τηε νυmβερ οφ δισχρετισατιον στεπσ (ορ σταγεσ). Φορ εξαmπλε τηε τραϕεχτορψ ρεπρεσεντατιϖε οφ ΣΜΑΡΤ 1 mισσιον, χοmπυτεδ βψ Βεττσ ανδ Ερβ [88] ρεθυιρεδ τηε σολυτιον οφ α σπαρσε οπτιmισατιον προβλεm ωιτη 11,31 ϖαριαβλεσ ανδ 146,85 χονστραιντσ. Μορεοϖερ, DDΠ ισ βασεδ ον Βελλmαν σ πρινχιπλε οφ οπτιmαλιτψ ωηιχη ισ α νεχεσσαρψ ανδ συφφιχιεντ χονδιτιον φορ α σολυτιον το βε λοχαλλψ οπτιmαλ [114]; ηενχε τηε σολυτιον οφ τηε οπτιmαλ χοντρολ προβλεm πρεσερϖεσ τηε αχχυραχψ οφ ινδιρεχτ mετηοδσ, ωιτηουτ ρεθυιρινγ α φιρστ γυεσσ σολυτιον φορ τηε αδϕοιντ ϖαριαβλεσ. 15

49 1.4. Methodologies developed and implemented 1.4. Methodologies developed and implemented Τηε πρεσεντ ρεσεαρχη φοχυσεσ ον τηε ορβιταλ δψναmιχσ οφ τηε αστεροιδ δεϖιατιον προβλεm ανδ στυδιεσ τηε δεσιγν ανδ οπτιmισατιον οφ ιντερπλανεταρψ τραϕεχτοριεσ φορ τηε ιντερχεπτιον ανδ ρενδεζϖουσ οφ ποτεντιαλλψ ηαζαρδουσ ΝΕΟσ. Τηε εφφεχτ ον τηε αστεροιδ οφ ανψ δεφλεχτιον στρατεγψ χαν βε mοδελλεδ ειτηερ ασ αν ιmπυλσιϖε αχτιον ορ ασ α λοω τηρυστ χοντινυουσ mανοευϖρε. Ιν βοτη χασεσ, α σεmι αναλψτιχαλ φορmυλατιον ισ δεριϖεδ το χοmπυτε τηε δισπλαχεmεντ οφ τηε ποσιτιον οφ αν αστεροιδ ατ τηε ΜΟΙD ποιντ, αφτερ α δεϖιατιον mανοευϖρε. Τηισ αππροαχη mακεσ υσε οφ τηε προξιmαλ mοτιον εθυατιονσ [115] εξπρεσσεδ ασ α φυνχτιον οφ τηε ορβιταλ ελεmεντσ, τηρουγη Γαυσσ πλανεταρψ εθυατιονσ [71]. Τηισ φορmυλατιον προϖιδεσ α ϖερψ σιmπλε ανδ γενεραλ mεανσ το χοmπυτε τηε ϖαριατιον οφ τηε ΜΟΙD ωιτη γοοδ αχχυραχψ, ωιτηουτ τηε νεεδ φορ φυρτηερ αναλψτιχαλ δεϖελοπmεντσ. Ιτ ισ ωορτη υνδερλψινγ τηατ τηε χοmπυτατιον οφ τηε δεφλεχτιον διστανχε τηρουγη προξιmαλ mοτιον εθυατιονσ χαν βε αδοπτεδ φορ ανψ δεϖιατιον στρατεγψ (λοω τηρυστ ανδ ιmπυλσιϖε) ανδ ρεπρεσεντσ αν εξτενσιον ανδ α γενεραλισατιον οφ τηε mετηοδολογιεσ προποσεδ ιν πρεϖιουσ ωορκσ [4],[68],[69], ιν ωηιχη αναλψτιχαλ φορmυλαε ωερε δεριϖεδ το χοmπυτε τηε δεϖιατιον δυε το α ϖαριατιον ιν τηε ορβιταλ mεαν mοτιον, ι.ε., δυε το αν αχτιον αππλιεδ αλονγ τηε διρεχτιον οφ τηε mοτιον οφ τηε αστεροιδ. Ιν τηισ ωορκ, νεαρ οπτιmαλ διρεχτιονσ φορ τηε δεϖιατιον ιmπυλσε αρε δεριϖεδ υσινγ α σιmπλε ρεστριχτεδ τωο βοδψ δψναmιχ mοδελ. Τηε γραϖιτατιοναλ εφφεχτ οφ τηε Εαρτη ισ αχχουντεδ φορ βψ λοοκινγ ατ τηε οβταινεδ δεϖιατιον ον τηε β πλανε. Τηισ αλλοωσ τηε χοmπυτατιον οφ τηε χορρεχτ εστιmατε οφ τηε mινιmυm ιντερσεχτιον διστανχε βετωεεν τηε αστεροιδ ανδ τηε Εαρτη. Τηε αχχυραχψ οφ τηε ρεσυλτ ισ τηεν ασσεσσεδ υσινγ α νυmεριχαλ προπαγατιον οφ τηε ποστ δεϖιατιον χονδιτιονσ ωιτηιν α φυλλ τηρεε βοδψ δψναmιχ mοδελ, ωηιχη ινχλυδεσ τηε Συν ανδ τηε Εαρτη. Ιφ λοω τηρυστ mιτιγατιον οπτιονσ αρε σελεχτεδ, τηε χοmπυτατιον οφ τηε αχηιεϖεδ δεϖιατιον ρεθυιρεσ, ιν τηε γενεραλ χασε, τηε νυmεριχαλ ιντεγρατιον οφ τηε διϖερτεδ τραϕεχτορψ. Το οϖερχοmε τηε ισσυε οφ χοmπυτατιοναλ τιmε, α σετ οφ σεmι αναλψτιχαλ φορmυλαε ισ δεϖελοπεδ, υνδερ τηε ασσυmπτιον τηατ τηε δεφλεχτιον στρατεγψ υσεσ τηε Συν ασ α ποωερ σουρχε, ανδ τηερεφορε τηε τηρυστ αχχελερατιον ισ ινϖερσελψ προπορτιοναλ το τηε σθυαρε οφ τηε διστανχε φροm τηε Συν. Τηε ρεασον φορ τηισ χηοιχε 16

50 Chapter 1. Introduction ισ τηατ, ασ ωιλλ βε σηοων ιν Χηαπτερ 4, τηε σολαρ χολλεχτορ mιτιγατιον στρατεγψ σηοωεδ το βε τηε mοστ εφφιχιεντ αmονγ τηε λοω τηρυστ δεφλεχτιον οπτιονσ. Φυρτηερmορε, τηε αττεντιον ισ φοχυσεδ ον τηε χασε ιν ωηιχη τηε τηρυστ ισ αλιγνεδ ωιτη τηε τανγεντ το τηε οσχυλατινγ ορβιτ οφ τηε αστεροιδ. Το οβταιν αν αναλψτιχαλ σολυτιον φορ τηε ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ ελεmεντσ, Γαυσσ εθυατιονσ αρε αϖεραγεδ οϖερ ονε ορβιταλ ρεϖολυτιον. Ηοωεϖερ, τηε ρεθυιρεδ αχχυραχψ φορ τηε χοmπυτατιον οφ τηε δεφλεχτιον διστανχε ισ ηιγηερ τηαν φορ τηε δεσιγν οφ α γενεριχ λοω τηρυστ τραϕεχτορψ; ηενχε, υνλικε οτηερ ωορκσ [81] [83], τηε περιοδιχ ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ ελεmεντσ ισ αλσο τακεν ιντο αχχουντ. Ιν αδδιτιον, τηε αναλψτιχ ιντεγραλσ αρε υπδατεδ ωιτη α ονε περιοδ στεπ το φυρτηερ ιmπροϖε τηε αχχυραχψ. Τηε γενεραλ αππλιχαβιλιτψ οφ τηε προποσεδ φορmυλατιον ανδ ιτσ αχχυραχψ ισ δεmονστρατεδ τηρουγη α νυmβερ οφ τεστ χασεσ. Φυρτηερmορε, σοmε αναλψσεσ αρε πρεσεντεδ ον τηε σενσιτιϖιτψ οφ τηε δεϖιατιον το τηε ιν πλανε ορβιταλ ελεmεντσ οφ τηε νοmιναλ ορβιτ οφ τηε αστεροιδ. Τηε σεχονδ ρεσεαρχη οβϕεχτιϖε ισ το στυδψ mετηοδολογιεσ φορ τηε δεσιγν οφ τρανσφερ τραϕεχτοριεσ τηατ ιντερχεπτ ανδ ρενδεζϖουσ ωιτη ΠΗΑσ. Α ΝΕΟ mιτιγατιον mισσιον ρεθυιρεσ τηε ιντεγρατεδ δεσιγν οφ τηε τωο πηασεσ οφ τηε mισσιον, ναmελψ ιντερχεπτιον ανδ δεφλεχτιον πηασε. Ιν φαχτ, τηε mισσιον περφορmανχε ισ δετερmινεδ βψ χοντραστινγ δριϖερσ, συχη ασ τηε τοταλ mασσ οφ τηε σπαχεχραφτ ιντο ορβιτ ανδ τηε τοταλ τιmε οφ τηε mισσιον, ωηιχη σηουλδ βε mινιmαλ φορ α γιϖεν δεϖιατιον. Ιν τηισ ωορκ, τηε σεαρχη φορ διφφερεντ τρανσφερ οπτιονσ ισ περφορmεδ ωιτη α παρτιχυλαρ γλοβαλ οπτιmισατιον προχεδυρε βασεδ ον αν αυτοmατιχ βρανχη ανδ πρυνε οφ τηε σολυτιον σπαχε χοmβινεδ ωιτη αν αγεντ βασεδ σεαρχη τεχηνιθυε [116],[117]. Ιν παρτιχυλαρ, αν εξτενσιϖε σεαρχη φορ αλλ mισσιον οππορτυνιτιεσ ισ χαρριεδ ουτ, οϖερ α ωιδε ρανγε οφ λαυνχη δατεσ τηατ αρε Παρετο οπτιmαλ ωιτη ρεσπεχτ το τηρεε χριτερια: τηε αχηιεϖαβλε δισπλαχεmεντ οφ τηε αστεροιδ ατ τηε ποιντ οφ ΜΟΙD, τηε τιmε βετωεεν τηε λαυνχη ανδ τηε ηψποτηετιχαλ ιmπαχτ, ανδ τηε προπελλαντ mασσ φορ τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ. Τηε υσε οφ ηιγη φιδελιτψ mοδελσ οφ τηε τραϕεχτορψ (ι.ε., χηαραχτερισεδ βψ α χοmπλετε δψναmιχσ ανδ α φυλλ ανδ αχχυρατε δεσχριπτιον οφ αλλ τηε σινγυλαρ εϖεντσ, συχη ασ γραϖιτψ ασσιστ mανοευϖρεσ) ωουλδ βε ιmπραχτιχαλ; ηενχε, ατ τηισ σταγε, πρελιmιναρψ δεσιγν τεχηνιθυεσ αρε υσεδ το mοδελ τηε τραϕεχτορψ (σηαπε βασεδ αππροαχη φορ λοω τηρυστ τρανσφερ [118] ανδ Λαmβερτ σ αλγοριτηm φορ ιmπυλσιϖε τρανσφερ [71],[119]). 17

51 1.4. Methodologies developed and implemented Τηε προποσεδ φορmυλατιον οφ ΝΕΟ δεϖιατιον τηρουγη ιmπυλσιϖε ανδ λοω τηρυστ αχτιον, τογετηερ ωιτη τηε mοδελ οφ τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ, βψ mεανσ οφ εξιστεντ πρελιmιναρψ δεσιγν τεχηνιθυεσ, προϖιδεσ α ωαψ το φυλλψ mοδελ α γενεριχ mιτιγατιον mισσιον. Ιν ορδερ το γιϖε σοmε ινσιγητ ιντο τηε ΝΕΟ δεϖιατιον προβλεm, τηε φορmυλαε δεϖελοπεδ αρε αππλιεδ το τηε δεσιγν οφ α σετ οφ mιτιγατιον σχεναριοσ. Ινστεαδ οφ υσινγ α σινγλε ηψποτηετιχαλ mισσιον χασε, α σετ οφ ηυνδρεδσ οφ σολυτιονσ ισ φουνδ, εαχη ονε ρεπρεσεντινγ α χοmπλετε mισσιον ωιτη α σπεχιφιχ λαυνχη δατε ανδ τρανσφερ τιmε. Φιρστλψ, τηε αττεντιον ισ φοχυσεδ ον τηε αναλψσισ οφ ιmπαχτ στρατεγιεσ φορ τηε δεφλεχτιον οφ αστεροιδσ. Βεχαυσε ιδεαλ οπτιmαλ δεφλεχτιον χονδιτιονσ χαννοτ αλωαψσ βε αχηιεϖεδ, α χηαραχτερισατιον οφ οπτιmαλ mισσιον οππορτυνιτιεσ ισ περφορmεδ φορ α ρεστριχτεδ γρουπ οφ σελεχτεδ ΠΗΑσ οϖερ α ϖερψ ωιδε ρανγε οφ ποσσιβλε λαυνχη δατεσ. Τηε ρεσυλτ οφ τηισ αναλψσισ δεmονστρατεσ τηατ ωιτη α σmαλλ σπαχεχραφτ ανδ ϖερψ σιmπλε τρανσφερ στρατεγιεσ, ιτ ισ ποσσιβλε το οβταιν χονσιδεραβλε δεϖιατιονσ φορ τηε mαϕοριτψ οφ τηε τηρεατενινγ αστεροιδσ. Μορεοϖερ α σετ οφ mιτιγατιον mισσιονσ τηρουγη α σολαρ χολλεχτορ στρατεγψ ισ δεσιγνεδ βψ mεανσ οφ τηε σεmι αναλψτιχαλ λοω τηρυστ φορmυλαε ανδ α σηαπε βασεδ αππροαχη φορ τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ. Φαmιλιεσ οφ Παρετο οπτιmαλ σολυτιονσ, φορ διφφερεντ αστεροιδσ, τηατ mινιmισε τηε ωαρνινγ τιmε ανδ τηε σπαχεχραφτ mασσ, ωηιλε mαξιmισινγ τηε ορβιταλ δεϖιατιον, αρε πρεσεντεδ. Τηε ωαρνινγ τιmε ισ δεφινεδ ασ τηε τιmε διφφερενχε βετωεεν τηε ιmπαχτ εποχη ανδ τηε λαυνχη δατε τηατ ισ ρεθυιρεδ το αχηιεϖε α γιϖεν δεϖιατιον; ηενχε ιτ γιϖεσ θυαντιτατιϖε ινφορmατιον ον τηε τιmε το ρεαχτ, ονχε τηε ιmπαχτ ηαζαρδ ηασ βεεν χονφιρmεδ. Ανοτηερ ρεσυλτ οφ τηισ ρεσεαρχη ισ α χοmπαρισον οφ δεφλεχτιον τεχηνολογιεσ, προποσεδ ιν λιτερατυρε, αχχορδινγ το διφφερεντ χριτερια. Α σετ οφ ΝΕΟσ, διφφερινγ ιν πηψσιχαλ χηαραχτεριστιχσ (ι.ε. σιζε, mασσ ανδ σπιν προπερτιεσ) ανδ ορβιταλ παραmετερσ, ωασ σελεχτεδ φορ τηισ αναλψσισ. Α γρουπ οφ διφφερεντ mιτιγατιον στρατεγιεσ ισ τηεν αππλιεδ το τηεσε αστεροιδσ, ανδ εϖαλυατεδ ιν τερmσ οφ φουρ φιγυρεσ οφ mεριτ: αχηιεϖεδ δεφλεχτιον διστανχε ατ τηε ΜΟΙD, ωαρνινγ τιmε, τοταλ mασσ ιντο ορβιτ ανδ τεχηνολογψ ρεαδινεσσ λεϖελ, ι.ε., τηε ρεθυιρεδ τεχηνολογιχαλ δεϖελοπmεντ το ιmπλεmεντ α γιϖεν mιτιγατιον στρατεγψ. Τηε δεφλεχτιον διστανχε βετωεεν τηε αστεροιδ ανδ τηε Εαρτη ισ τηε δισπλαχεmεντ οφ τηε ποσιτιον οφ τηε αστεροιδ ατ τηε ΜΟΙD, αχηιεϖεδ βψ α δεϖιατιον mανοευϖρε αππλιεδ βεφορε τηε ενχουντερ. Τηε φιρστ 18

52 Chapter 1. Introduction τηρεε χριτερια (δεφλεχτιον διστανχε, ωαρνινγ τιmε ανδ mασσ ιντο ορβιτ) εξπρεσσ θυαντιτατιϖελψ ηοω εασψ δεφλεχτινγ αν αστεροιδ ωιτη α γιϖεν στρατεγψ ισ, ανδ ωηετηερ α γιϖεν δεϖιατιον στρατεγψ χαν βε ιmπλεmεντεδ ωιτη πρεσεντ λαυνχη χαπαβιλιτιεσ. Α mυλτι χριτερια οπτιmισατιον ισ υσεδ, το προϖιδε α πρελιmιναρψ ανδ ρελατιϖε mεασυρε οφ τηε εφφεχτιϖενεσσ οφ ονε δεϖιατιον οϖερ ανοτηερ αχχορδινγ το τηε σελεχτεδ χριτερια. Τηε νοϖελτψ οφ τηισ στυδψ ισ τηε υσε οφ τηε δοmινανχε χριτεριον (βορροωεδ φροm mυλτι οβϕεχτιϖε οπτιmισατιον) το mακε α χοmπαρατιϖε ασσεσσmεντ οφ αλλ τηε ϖαριουσ mιτιγατιον οπτιονσ, οϖερ α ωιδε ρανγε οφ ινιτιαλ mασσεσ ανδ ωαρνινγ τιmεσ. Ιν ορδερ το αδδρεσσ τηε σεχονδ ρεσεαρχη οβϕεχτιϖε, τηε τραϕεχτορψ δεσιγν προχεσσ ισ περφορmεδ ον τωο λεϖελσ. Ονχε α λαργε νυmβερ οφ οπτιmαλ ιντερχεπτιον οπτιονσ ηαϖε βεεν ιδεντιφιεδ οϖερ α ωιδε σολυτιον δοmαιν, ηιγη φιδελιτψ mοδελσ αρε υσεδ το λοχαλλψ ρεφινε σοmε σολυτιονσ. Ιν λιγητ οφ τηε στρενγτη ανδ δραωβαχκσ οφ τραδιτιοναλ διρεχτ ανδ ινδιρεχτ mετηοδσ, ιτ ωασ δεχιδεδ το ινϖεστιγατε τηε υσε οφ διφφερεντιαλ δψναmιχ προγραmmινγ φορ δεσιγνινγ λοω τηρυστ ιντερπλανεταρψ τραϕεχτοριεσ το τηε ρενδεζϖουσ ανδ φλψ βψ οφ νεαρ Εαρτη οβϕεχτσ, ινχλυδινγ τηε εσχαπε πηασε ατ τηε Εαρτη. Ιν τηισ ρεσεαρχη, τηε σταγε ωισε φεατυρε οφ DDΠ (δισχυσσεδ ιν Σεχτιον 1.3.4), ισ εξπλοιτεδ το ιντεγρατε αν αδαπτιϖε ϖαριαβλε στεπ δισχρετισατιον σχηεmε ωιτηιν τηε οπτιmισατιον προχεσσ. Τηε δισχρετισατιον γριδ ισ αδϕυστεδ ατ εαχη ιτερατιον, το βεττερ αδαπτ το τηε νον λινεαρ δψναmιχσ οφ τηε προβλεm. Α Ρυνγε Κυττα εξπλιχιτ mετηοδ ισ σελεχτεδ φορ τηε νυmεριχαλ ιντεγρατιον ανδ τηε δεριϖατιϖεσ οφ τηε δψναmιχσ σχηεmε αρε αναλψτιχαλλψ δεριϖεδ. Τηε σταγε ωισε αππροαχη αλσο αλλοωσ ηανδλινγ α mυλτι πηασε τραϕεχτορψ ασ α ωηολε, ωιτηουτ ρεχυρρινγ το τηε πατχηεδ χονιχ αππροξιmατιον. Α παρτιχυλαρ ιντερπολατιον τεχηνιθυε ισ υσεδ το πρεσερϖε τηε φεεδβαχκ νατυρε οφ τηε χοντρολ λαω, τηυσ ιmπροϖινγ ροβυστνεσσ αγαινστ σοmε αππροξιmατιον ερρορσ ιντροδυχεδ δυρινγ τηε αδαπτατιον προχεσσ. Τηε αλγοριτηm δεϖελοπεδ αππλιεσ γλοβαλ ϖαριατιον οφ τηε χοντρολ λαω [111], τηρουγη τηε υσε οφ DDΠ ανδ νον λινεαρ προγραmmινγ τεχηνιθυεσ; τηισ ενσυρεσ α φυρτηερ ινχρεασε ιν ροβυστνεσσ. Τηε χονστραιντσ ον τηε ταργετ στατε ατ τηε ενδ οφ τηε τραϕεχτορψ αρε ινχλυδεδ ιν τηε οπτιmισατιον προβλεm ασ αν αδδιτιοναλ τερm οφ τηε χοστ οβϕεχτιϖε, τηρουγη α τιmε ινϖαριαντ ϖεχτορ οφ Λαγρανγε mυλτιπλιερσ, ωηοσε ϖαλυε ισ mοδιφιεδ αλονγ τηε 19

53 1.5. Dissertation organisation χονϖεργενχε προχεσσ [1]. Τηε ρεσυλτσ πρεσεντεδ σηοω ηοω τηε προποσεδ αππροαχη ισ χαπαβλε οφ φυλλψ εξπλοιτινγ τηε mυλτι βοδψ δψναmιχσ οφ τηε προβλεm; ιν φαχτ, ιν ονε οφ τηε στυδψ χασεσ, α φλψ βψ οφ τηε Εαρτη ισ σχηεδυλεδ, ωηιχη ωασ νοτ ινχλυδεδ ιν τηε φιρστ γυεσσ σολυτιον Dissertation organisation Τηισ δισσερτατιον ισ διϖιδεδ ιντο σιξ χηαπτερσ, ωηιχη ιντροδυχε διφφερεντ ασπεχτσ οφ τηε ρεσεαρχη ον οπτιmαλ ιντερχεπτιον ανδ δεφλεχτιον οφ νεαρ Εαρτη οβϕεχτσ. Τηε φιρστ παρτ οφ εαχη χηαπτερ εξπλαινσ τηε τηεορετιχαλ δεϖελοπmεντ ανδ τηε mετηοδ αδοπτεδ, συβσεθυεντλψ σοmε ρεσυλτσ αρε πρεσεντεδ ασ τηε αππλιχατιον οφ τηε τηεορψ. Τηε τηεσισ ισ οργανισεδ ασ φολλοωσ. Χηαπτερ ιντροδυχεσ τηε ρεαδερ το τηε αστεροιδ δεϖιατιον προβλεm. Τηε αναλψτιχαλ φορmυλατιον φορ αν ιmπυλσιϖε δεφλεχτιον mανοευϖρε ισ δεριϖεδ ανδ ιτσ αχχυραχψ ισ ασσεσσεδ. Τηε χηαπτερ χοντινυεσ ωιτη αν αναλψσισ οφ τηε οπτιmαλ mανοευϖρεσ ιν ορδερ το mαξιmισε τηε αχηιεϖαβλε δεϖιατιον ανδ α στυδψ ον ινχλυδινγ τηε γραϖιτατιοναλ εφφεχτ οφ τηε Εαρτη, τηρουγη τηε β πλανε ρεπρεσεντατιον. Ιν Σεχτιον. α χηαραχτερισατιον οφ οπτιmαλ mισσιον οππορτυνιτιεσ ισ περφορmεδ, αππλψινγ α κινετιχ ιmπαχτ το α νυmβερ οφ σελεχτεδ ποτεντιαλλψ ηαζαρδουσ αστεροιδσ. Ιν Χηαπτερ 3, τηε αττεντιον ισ φοχυσεδ ον δεϖιατιον τεχηνιθυεσ τηατ mακε υσε οφ α χοντινυουσ λοω τηρυστ αχτιον. Α σεmι αναλψτιχαλ σολυτιον ισ δεριϖεδ φορ τηε αστεροιδ δεϖιατιον προβλεm ωηεν α σελεχτεδ χοντρολ αχχελερατιον προφιλε ισ υσεδ (Αππενδιξ Α χονταινσ σοmε mατηεmατιχαλ δεϖελοπmεντσ λεφτ ασιδε ιν Χηαπτερ 3). Τηε αχχυραχψ ανδ χοmπυτατιοναλ τιmε οφ τηισ αππροαχη αρε σηοων, τογετηερ ωιτη α σενσιτιϖιτψ αναλψσισ ον τηε ορβιταλ ελεmεντσ οφ τηε αστεροιδ. Ιν Σεχτιον 3.3 ωε περφορm αν εξτενσιϖε σεαρχη φορ mισσιον οππορτυνιτιεσ το ρενδεζϖουσ ωιτη τηε αστεροιδ βψ mεανσ οφ α λοω τηρυστ σπαχεχραφτ ανδ α σολαρ χολλεχτορ δεϖιχε φορ τηε δεφλεχτιον. Χηαπτερ 4 πρεσεντσ α χοmπαρατιϖε ασσεσσmεντ οφ σιξ δεφλεχτιον στρατεγιεσ: κινετιχ ιmπαχτορ, νυχλεαρ ιντερχεπτορ, mασσ δριϖερ, λοω τηρυστ ατταχηεδ προπυλσιον, σολαρ χολλεχτορ, ανδ γραϖιτψ τυγ. Α mυλτι χριτερια οπτιmισατιον ισ υσεδ το χοmπυτε α σετ οφ οπτιmαλ σολυτιονσ φορ τηε mιτιγατιον οφ φουρ διφφερεντ αστεροιδσ. Α δοmινανχε χριτεριον ισ δεφινεδ το χοmπαρε τηε σετ οφ σολυτιονσ ανδ α τεχηνολογψ ρεαδινεσσ

54 Chapter 1. Introduction λεϖελ ισ ασσοχιατεδ το εαχη ονε οφ τηε δεϖιατιον σψστεm το ασσεσ τηε ρεθυιρεδ τεχηνολογιχαλ δεϖελοπmεντ (Αππενδιξ Β). Φολλοωινγ τηε φορmαλισατιον οφ τηε δεφλεχτιον προβλεm ανδ τηε ιδεντιφιχατιον οφ α ωιδε νυmβερ οφ οπτιmαλ mιτιγατιον mισσιον οππορτυνιτιεσ ιν Χηαπτερ το 4, Χηαπτερ 5 φοχυσεσ ον τηε λοω τηρυστ τρανσφερ προβλεm. Αν οπτιmισατιον mετηοδ βασεδ ον διφφερεντιαλ δψναmιχ προγραmmινγ ισ στυδιεδ ανδ αππλιεδ το τηε δεσιγν οφ ρενδεζϖουσ ανδ φλψ βψ τραϕεχτοριεσ το νεαρ Εαρτη οβϕεχτσ. Τηε χλασσιχαλ DDΠ αππροαχη ισ ιντροδυχεδ ιν Σεχτιον 5.1, ωηερεασ Σεχτιονσ 5. ανδ 5.3 πρεσεντ τηε mοδιφιεδ mετηοδ, ωηιχη ωασ αδοπτεδ φορ δεσιγνινγ τραϕεχτοριεσ το αστεροιδσ. Σεχτιονσ 5.4 ανδ 5.5 πρεσεντ σοmε ιντερεστινγ χασεσ οφ τρανσφερ τραϕεχτοριεσ, αιmεδ ατ ηιγηλιγητινγ τηε στρενγτησ οφ τηε προποσεδ αππροαχη. Φιναλλψ Χηαπτερ 6 συmmαρισεσ τηε φινδινγ οφ τηισ ρεσεαρχη ανδ γιϖεσ αν ινσιγητ ιντο ποσσιβλε φυρτηερ δεϖελοπmεντσ οφ τηισ στυδψ τηατ ωιλλ βε συβϕεχτ οφ φυτυρε ωορκ Contributions Τηε χοντεντσ οφ τηισ δισσερτατιον ηαϖε βεεν πυβλισηεδ ιν φουρ στανδ αλονε βυτ ηιγηλψ ρελατεδ ϕουρναλ παπερσ. Τηε στυδψ ον οπτιmαλ ιmπαχτ στρατεγιεσ φορ αστεροιδ δεφλεχτιον ωασ πυβλισηεδ ιν τηε ΑΙΑΑ ϑουρναλ οφ Γυιδανχε, Χοντρολ ανδ Dψναmιχσ ιν 8 [11]. Τηε λοω τηρυστ φορmυλατιον ωασ πρεσεντεδ ατ τηε 7 Πλανεταρψ Dεφενσε Χονφερενχε ιν Wασηινγτον, D.Χ. Αν εξτενδεδ ϖερσιον ωασ πρεσεντεδ ατ τηε 58 τη Ιντερνατιοναλ Αστροναυτιχαλ Χονγρεσσ ιν Ηψδεραβαδ, Ινδια [1] ανδ ωασ πυβλισηεδ ιν τηε ΑΙΑΑ ϑουρναλ οφ Γυιδανχε, Χοντρολ ανδ Dψναmιχσ [13]. Τηε ρεσυλτσ ον τηε χοmπαρατιϖε ασσεσσmεντ οφ διφφερεντ δεφλεχτιον στρατεγιεσ αρε τηε ουτχοmε οφ α ϕοινεδ ωορκ ωιτη Dρ. ϑοαν Παυ Σανχηεζ, ωηο δεϖελοπεδ τηε mοδελ οφ τηε δεφλεχτιον δεϖιχεσ ανδ ωερε πρεσεντεδ ιν 7 ατ Νεω Τρενδσ ιν Αστροδψναmιχσ ανδ Αππλιχατιονσ ΙΙΙ χονφερενχε ιν Πρινχετον, Νεω ϑερσεψ [14] ανδ ατ τηε 57 τη Ιντερνατιοναλ Αστροναυτιχαλ Χονγρεσσ, ιν ςαλενχια, Σπαιν [15]. Α mορε εξηαυστιϖε ϖερσιον οφ τηισ στυδψ ωασ δισχυσσεδ ατ τηε 7 Πλανεταρψ Dεφενσε Χονφερενχε ιν Wασηινγτον, D.Χ. ανδ πυβλισηεδ ιν τηε ΑΙΑΑ ϑουρναλ οφ Γυιδανχε, Χοντρολ ανδ Dψναmιχσ ιν Φεβρυαρψ 9 [16]. 1

55 1.6. Contributions Φιναλλψ τηε αλγοριτηm βασεδ ον διφφερεντιαλ δψναmιχ προγραmmινγ ωασ πρεσεντεδ ιν Μιλανο, Ιταλψ ιν ϑυνε 8 ατ τηε χονφερενχε Νεω Τρενδσ ιν Αστροδψναmιχσ ανδ Αππλιχατιονσ ς. Τηισ στυδψ ηασ βεεν πυβλισηεδ ον τηε ϕουρναλ Χελεστιαλ Μεχηανιχσ ανδ Dψναmιχαλ Αστρονοmψ [17]. Σοmε ρεσυλτσ οφ Χηαπτερ 5 ωερε πρεσεντεδ ατ τηε 59 τη Ιντερνατιοναλ Αστροναυτιχαλ Χονγρεσσ, ιν Γλασγοω [18]. Journal Publications ςασιλε Μ. ανδ Χολοmβο Χ., Οπτιmαλ Ιmπαχτ Στρατεγιεσ φορ Αστεροιδ Dεφλεχτιον, ϑουρναλ οφ Γυιδανχε, Χοντρολ ανδ Dψναmιχσ, ςολ. 31, Νο. 4, ϑυλψ Αυγυστ 8, ππ , δοι: 1.514/ Χολοmβο Χ., ςασιλε Μ. ανδ Ραδιχε Γ., Σεmι Αναλψτιχαλ Σολυτιον φορ τηε Οπτιmαλ Λοω Τηρυστ Dεφλεχτιον οφ Νεαρ Εαρτη Οβϕεχτσ, ϑουρναλ οφ Γυιδανχε, Χοντρολ ανδ Dψναmιχσ, ςολ. 3, Νο. 3, Μαψ ϑυνε 9, ππ , δοι: 1.514/ Σανχηεζ ϑ. Π., Χολοmβο Χ., ςασιλε Μ. ανδ Ραδιχε Γ., Α Μυλτι χριτερια Ασσεσσmεντ οφ Dεφλεχτιον Μετηοδσ φορ Dανγερουσ ΝΕΟσ, Αmεριχαν Ινστιτυτε οφ Πηψσιχσ, Χονφερενχε Προχεεδινγσ οφ Νεω Τρενδσ ιν Αστροδψναmιχσ ανδ Αππλιχατιονσ ΙΙΙ, Αυγυστ 6, Πρινχετον, Νεω ϑερσεψ, ςολ. 886, 7, ππ , δοι: 1.163/ Σανχηεζ ϑ. Π., Χολοmβο Χ., ςασιλε Μ. ανδ Ραδιχε Γ., Μυλτι Χριτερια Χοmπαρισον αmονγ Σεϖεραλ Μιτιγατιον Στρατεγιεσ φορ Dανγερουσ Νεαρ Εαρτη Οβϕεχτσ, ϑουρναλ οφ Γυιδανχε, Χοντρολ ανδ Dψναmιχσ, ςολ. 3, Νο. 1, ϑανυαρψ Φεβρυαρψ 9, ππ , δοι: 1.514/ Χολοmβο Χ., ςασιλε Μ. ανδ Ραδιχε Γ., Οπτιmαλ Λοω τηρυστ Τραϕεχτοριεσ το Αστεροιδσ τηρουγη αν Αλγοριτηm βασεδ ον Dιφφερεντιαλ Dψναmιχ Προγραmmινγ, Χελεστιαλ Μεχηανιχσ ανδ Dψναmιχαλ Αστρονοmψ, ςολ. 15, Νοσ. 1 3, Νοϖεmβερ 9, ππ , δοι: 1.17/σ Conference Publications Χολοmβο Χ., Σανχηεζ ϑ. Π., ςασιλε Μ. ανδ Ραδιχε Γ., Α Χοmπαρατιϖε Ασσεσσmεντ οφ Dιφφερεντ Dεϖιατιον Στρατεγιεσ φορ Dανγερουσ ΝΕΟ, 57 τη

56 Chapter 1. Introduction Ιντερνατιοναλ Αστροναυτιχαλ Χονγρεσσ, ςαλενχια, 6 Οχτοβερ, Σπαιν, 6, ΙΑΧ 6 Α Χολοmβο Χ. ανδ ςασιλε Μ., Οπτιmαλ Τραϕεχτοριεσ φορ ΝΕΟ Dεφλεχτιον, 58 τη Ιντερνατιοναλ Αστροναυτιχαλ Χονγρεσσ, Ηψδεραβαδ, Ινδια, 4 8 Σεπτεmβερ 7, ΙΑΧ 7 Χ1.4.. Χολοmβο Χ., ςασιλε Μ. ανδ Ραδιχε Γ., Ιντερχεπτιον ανδ Dεϖιατιον οφ Νεαρ Εαρτη Οβϕεχτσ ϖια Σολαρ Χολλεχτορ Στρατεγψ, 59 τη Ιντερνατιοναλ Αστροναυτιχαλ Χονγρεσσ, Γλασγοω, Υνιτεδ Κινγδοm, 9 Σεπτεmβερ 3 Οχτοβερ 8, ΙΑΧ 8 Α3.Ι.6. Presentations (not included in conference publications) Χολοmβο Χ., Σανχηεζ ϑ. Π., ςασιλε Μ. ανδ Ραδιχε Γ., Οπτιmαλ Τραϕεχτοριεσ φορ ΝΕΟ Dεφλεχτιον Μισσιονσ, 7 Πλανεταρψ Dεφενσε Χονφερενχε, 5 8 Μαρχη 7, Wασηινγτον. Χολοmβο Χ., Σανχηεζ ϑ. Π., ςασιλε Μ. ανδ Ραδιχε Γ., Χοmπαρατιϖε Ασσεσσmεντ οφ Dεϖιατιον Στρατεγιεσ φορ Dανγερουσ Νεαρ Εαρτη Οβϕεχτσ, Αερο Μεχη Σεmιναρ, 3 Μαψ 7, Υνιϖερσιτψ οφ Γλασγοω. Σανχηεζ ϑ. Π., Χολοmβο Χ., ςασιλε Μ. ανδ Ραδιχε Γ., Α Μυλτι χριτερια Ασσεσσmεντ οφ Dεφλεχτιον Μετηοδσ φορ Dανγερουσ ΝΕΟσ, Νεω Τρενδσ ιν Αστροδψναmιχσ ανδ Αππλιχατιονσ ΙΙΙ, Αυγυστ 6, Πρινχετον, Νεω ϑερσεψ. Χολοmβο Χ., ςασιλε Μ. ανδ Ραδιχε Γ., Αν αλγοριτηm βασεδ ον Dιφφερεντιαλ Dψναmιχ Προγραmmινγ φορ λοω τηρυστ τραϕεχτοριεσ, Νεω Τρενδσ ιν Αστροδψναmιχσ ανδ Αππλιχατιονσ ς, ϑυνε 3, 1 ϑυλψ 8, Μιλανο, Ιταλψ. 3

57 Chapter. Impulsive NEO deflection Τηισ χηαπτερ πρεσεντσ αν αναλψσισ οφ οπτιmαλ ιmπαχτ στρατεγιεσ το δεφλεχτ ποτεντιαλλψ δανγερουσ ΝΕΟσ. Το χοmπυτε τηε ινχρεασε ιν τηε mινιmυm ορβιτ ιντερσεχτιον διστανχε οφ τηε αστεροιδ δυε το αν ιmπαχτ ωιτη α σπαχεχραφτ, σιmπλε αναλψτιχαλ φορmυλαε αρε δεριϖεδ φροm τηε προξιmαλ mοτιον εθυατιονσ. Τηε προποσεδ αναλψτιχαλ φορmυλατιον αλλοωσ αν αναλψσισ οφ τηε οπτιmαλ διρεχτιον οφ τηε δεϖιατινγ ιmπυλσε τρανσφερρεδ το τηε αστεροιδ. Τηισ ιδεαλ οπτιmαλ διρεχτιον χαννοτ βε αχηιεϖεδ φορ εϖερψ αστεροιδ ατ ανψ τιmε; τηερεφορε, αν αναλψσισ οφ τηε οπτιmαλ λαυνχη οππορτυνιτιεσ φορ δεϖιατινγ α νυmβερ οφ σελεχτεδ αστεροιδσ ισ περφορmεδ τηρουγη τηε υσε οφ α γλοβαλ οπτιmισατιον προχεδυρε. Τηε ρεσυλτσ ιν τηισ χηαπτερ δεmονστρατε τηατ τηε προξιmαλ mοτιον φορmυλατιον ηασ ϖερψ γοοδ αχχυραχψ ιν πρεδιχτινγ τηε αχτυαλ δεϖιατιον ανδ χαν βε υσεδ ωιτη ανψ δεϖιατιον στρατεγψ σινχε ιτ ηασ γενεραλ ϖαλιδιτψ. Φυρτηερmορε, τηε χηαραχτερισατιον οφ οπτιmαλ λαυνχη οππορτυνιτιεσ σηοωσ τηατ α σιγνιφιχαντ δεϖιατιον χαν βε οβταινεδ εϖεν ωιτη α σmαλλ σπαχεχραφτ..1. Asteroid deviation problem Γιϖεν τηε ορβιτ οφ α γενεριχ νεαρ Εαρτη οβϕεχτ, ιδεντιφιεδ βψ ιτσ ορβιταλ ελεmεντσ, τηε Μινιmυm Ορβιτ Ιντερσεχτιον Dιστανχε (ΜΟΙD) ρ βετωεεν τηε ΝΕΟ ανδ τηε Εαρτη ισ δεφινεδ το βε τηε mινιmυm διστανχε βετωεεν τηε οσχυλατινγ ορβιτσ οφ τηε τωο βοδιεσ. Τηε ΜΟΙD ισ υσεδ ασ α ωαρνινγ ινδιχατορ οφ ηαζαρδ χολλισιον, βεχαυσε α σmαλλ ρ χουλδ ρεπρεσεντ α χλοσε ενχουντερ, ιφ τηε τωο βοδιεσ αρε ιν πηασε. Ασ α χονσεθυενχε οφ τηε εϖολυτιον οφ ΝΕΟσ επηεmεριδεσ Νοτε τηατ ιν τηισ τηεσισ ωε ωιλλ υσε τηε τερm ΜΟΙD ασ τηε mινιmυm διστανχε βετωεεν τηε οσχυλατινγ ορβιτσ οφ τηε Εαρτη ανδ τηε ΝΕΟ, βυτ αλσο το ινδιχατε τηε λοχατιον αλονγ τηε αστεροιδ σ ορβιτ ωηερε τηε mινιmυm διστανχε οχχυρσ.

58 Chapter. Impulsive NEO deflection ωιτη τιmε, δυε το πλανεταρψ γραϖιτατιοναλ περτυρβατιονσ [19], τηε ΜΟΙD αλσο χηανγεσ ιν τιmε [5],[13]. Τηε οβϕεχτιϖε ισ το mαξιmισε τηε δεφλεχτιον οφ τηε αστεροιδ ατ τηε ΜΟΙD βψ αππλψινγ αν ιmπυλσιϖε δεϖιατιον αχτιον ατ α χερταιν τιmε. Τηε ιmπυλσε αχτσ ασ α θυασι ινσταντανεουσ περτυρβατιον ον τηε ορβιτ οφ τηε ΝΕΟ ανδ ιτσ νεω ορβιτ χαν βε χονσιδερεδ το βε προξιmαλ το τηε υνπερτυρβεδ ονε (σεε Φιγυρε.1). τ δ προξιmαλ ορβιτ ιmπυλσιϖε mανοευϖρε ΝΕΟ ιντερχεπτιον ΜΟΙD νοmιναλ ορβιτ Λετ α, ε, ι, ανδ Φιγυρε.1: Ιmπυλσιϖε ΝΕΟ δεϖιατιον. βε ρεσπεχτιϖελψ τηε σεmι mαϕορ αξισ, εχχεντριχιτψ, ινχλινατιον, ανοmαλψ οφ τηε ασχενδινγ νοδε, ανδ ανοmαλψ οφ τηε περιχεντρε οφ τηε νοmιναλ ορβιτ οφ τηε ΝΕΟ. Ιφ ΜΟΙD ισ τηε τρυε ανοmαλψ οφ τηε ΝΕΟ ατ τηε ΜΟΙD αλονγ τηε υνπερτυρβεδ ορβιτ, ανδ τηε χορρεσπονδινγ αργυmεντ οφ ΜΟΙD λατιτυδε, ωε χαν ωριτε τηε ϖαριατιον οφ τηε ποσιτιον οφ τηε ΝΕΟ αφτερ δεϖιατιον, ωιτη ρεσπεχτ το ιτσ υνπερτυρβεδ ποσιτιον, βψ υσινγ τηε προξιmαλ mοτιον εθυατιονσ [115]: ΜΟΙD ρ αεσιν χοσ α ΜΟΙD ΜΟΙD σρ α Μ α ΜΟΙD ε ρμοιd σ 3 1εχοσΜΟΙD Μ ρμοιd σιν ΜΟΙD ΜΟΙD ε ΜΟΙD ερμοιd ΜΟΙD ΜΟΙD ΜΟΙD χοσ χοσι σ ρ σιν ιχοσ σιν ι η ρ (.1) ωηερε σρ, σ ανδ ση αρε τηε δισπλαχεmεντσ ιν τηε ραδιαλ, τρανσϖερσαλ ανδ περπενδιχυλαρ το τηε ορβιτ πλανε διρεχτιονσ, ανδ 1 ε. Τηε λινεαρισινγ 5

59 .1. Asteroid deviation problem ασσυmπτιον το χοmπυτε Εθσ. (.1) ισ τηατ τηε ϖαριατιον οφ ρελατιϖε ποσιτιον ρ ρ ισ σmαλλ χοmπαρεδ το τηε ινερτιαλ χηιεφ ορβιτ ραδιυσ ρ ΜΟΙD, τηατ ισ [115], ωηερε σ σ σ Τ ρ ρ ΜΟΙD το ελλιπτιχαλ ορβιτσ ( ε 1), βεχαυσε οφ τηε τερm ρ η. Μορεοϖερ, Εθσ. (.1) αρε λιmιτεδ ρ 1 ε. Τηε ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ παραmετερσ α, ε, ι, ανδ αρε χοmπυτεδ τηρουγη Γαυσσ πλανεταρψ εθυατιονσ [71] χονσιδερινγ αν ινσταντανεουσ χηανγε ιν τηε ΝΕΟ ϖελοχιτψ ϖεχτορ ϖ. Λετ τηε χοmπονεντσ οφ τηε ιmπυλσιϖε ϖαριατιον οφ τηε ϖελοχιτψ ϖεχτορ Τ ϖ ϖ ϖ ϖ βε αλονγ τηε ϖελοχιτψ ϖεχτορ ανδ νορmαλ το τ ν η ιτ, ιν τηε πλανε οφ τηε οσχυλατινγ ορβιτ, ανδ περπενδιχυλαρ το ιτ. α αϖδ δ Συν ϖ τ 1 ρ χοσ δ ε ε δϖτ σιν δϖν ϖ α ρδ χοσδ ι ϖη η ρδ σινδ ϖη ησιν ι 1 ρδ ρδ σιν χοσι σινδϖτ ε χοσδ ϖ δ ν ϖ εϖ δ α ησιν ι β ερ δ ρ δ Μτ 1 σιν χοσ δ δϖτ δϖν εαϖδ π α η (.) ωηερε ρ ανδ ϖ αρε ρεσπεχτιϖελψ τηε ορβιταλ ραδιυσ ανδ ϖελοχιτψ ατ τηε ποιντ τηε δ δ δεφλεχτιον mανοευϖρε ισ γιϖεν, η ισ τηε ανγυλαρ mοmεντυm, π τηε σεmιλατυσ ρεχτυm, β ισ τηε σεmι mινορ αξισ ανδ Συν τηε γραϖιτατιοναλ χονσταντ οφ τηε Συν. Τηε πρεχεδινγ ϖαριατιον ον τηε mεαν ανοmαλψ Μ τακεσ ιντο αχχουντ ονλψ τηε ινσταντανεουσ χηανγε οφ τηε ορβιτ γεοmετρψ ατ τιmε. Ον τηε οτηερ ηανδ, δυε το τηε χηανγε ιν τηε σεmι mαϕορ αξισ, ωε ηαϖε α ϖαριατιον οφ τηε mεαν mοτιον ν ανδ τηερεφορε α χηανγε ιν τηε mεαν ανοmαλψ ατ τηε τιmε οφ τηε ΜΟΙD, γιϖεν βψ: ν ΜΟΙD δ τ δ Μ ντ τ ντ (.3) 6

60 Chapter. Impulsive NEO deflection ωηερε τ ΜΟΙD ισ τηε τιmε ατ τηε ΜΟΙD αλονγ τηε ορβιτ οφ τηε ΝΕΟ, ν Συν α α α Συν 3 3 ανδ τ ισ τηε τιmε το ΜΟΙD, δεφινεδ ασ τ τ ΜΟΙD δ. Εθ. (.3) τακεσ ιντο αχχουντ τηε πηασε σηιφτ βετωεεν τηε Εαρτη ανδ τηε ΝΕΟ. Τηε τοταλ ϖαριατιον ιν τηε mεαν ανοmαλψ βετωεεν τηε υνπερτυρβεδ ανδ τηε προξιmαλ ορβιτ ισ τηερεφορε: β ερ δ ρ δ Μ 1 σινδϖτ χοσδϖν ντ (.4) εαϖδ π α Τηε ρεσυλτ ιν Εθ. (.4) χαν βε προϖεδ ασ φολλοωσ, Μ ανδ Μ, ρεσπεχτιϖελψ τηε mεαν ανοmαλψ ατ τηε ΜΟΙD ον τηε νοmιναλ ανδ ον τηε περτυρβεδ ορβιτ, χαν βε εξπρεσσεδ ασ: ΜΟΙD ΜΟΙD ΜΟΙD ΜΟΙD δ τ δ Μ Μ τ Μ ν ν τ Μ Μ τ ν τ δ (.5) φροm ωηιχη Εθ. (.4) χαν βε χοmπυτεδ ασ Μ Μ Μ. ΜΟΙD Εθσ. (.) αρε λιmιτεδ το ε 1, βεχαυσε οφ τηε τερm ΜΟΙD 1 ε. Μορεοϖερ, τηισ σετ οφ εθυατιονσ πρεσεντ σινγυλαριτιεσ φορ ζερο ινχλινατιον ανδ/ορ ζερο εχχεντριχιτψ (τηε τερmσ σιν ι ανδ ε αρε ατ τηε δενοmινατορ οφ τηε εξπρεσσιονσ δεσχριβινγ τηε ϖαριατιον οφ, ανδ Μ). Ιφ α ΝΕΟ ωιτη εχχεντριχιτψ ορ ινχλινατιον εθυαλ το ζερο ισ φουνδ, τηε σετ οφ εθυατιονσ Εθσ. (.1) ανδ Εθσ. (.) ωουλδ ηαϖε το βε ρεωριττεν υσινγ τηε νον σινγυλαρ ελεmεντσ [71],[115]. Τηε χλασσιχαλ ελεmεντσ ρεπρεσεντατιον ωασ υσεδ ηερε βεχαυσε ιτ ψιελδσ α mορε ελεγαντ ρεσυλτ. ρ η ισ τηε ϖεχτορ διστανχε οφ τηε αστεροιδ Ατ τηισ ποιντ, ιφ σ σ σ Τ ρ ρ σ σ σ φροm τηε Εαρτη σ ορβιτ ατ τηε ΜΟΙD ανδ Τ ρ η ισ τηε ϖαριατιον γιϖεν βψ Εθσ. (.1) ατ τ ΜΟΙD, τηεν τηε οβϕεχτιϖε φυνχτιον φορ τηε mαξιmυm δεϖιατιον προβλεm ισ τηε φολλοωινγ: 7

61 .1. Asteroid deviation problem ϑ σ σ σ σ σ σ ρ ρ η η (.6) Τηε προποσεδ φορmυλατιον προϖιδεσ α ϖερψ φαστ αναλψτιχαλ ωαψ οφ χοmπυτινγ τηε ϖαριατιον οφ ανψ αστεροιδ σ ορβιτ δυε το ανψ ιmπυλσιϖε δεϖιατιον αχτιον. Ιτ ισ βοτη αν εξτενσιον ανδ α γενεραλισατιον οφ οτηερ αππροαχηεσ [4],[68],[69] τηατ αρε βασεδ ον τηε mοδιφιχατιον οφ τηε ορβιταλ περιοδ δυε το αν αχτιον ον τηε αστεροιδ. Ιν τηεσε αππροαχηεσ, ονλψ τηε εφφεχτ ον τηε ορβιταλ mεαν mοτιον δυε το α χηανγε ιν τηε ορβιταλ ενεργψ ωασ χονσιδερεδ, ανδ τηε ϖαριατιον ιν τηε οτηερ ορβιταλ ελεmεντσ ωασ νεγλεχτεδ. Ασ α χονσεθυενχε, τηε ρεσυλτινγ δεϖιατιον χουλδ βε mαξιmισεδ ονλψ βψ αχτινγ ιν α διρεχτιον παραλλελ το τηε ϖελοχιτψ ϖεχτορ οφ τηε αστεροιδ. Ανψ οτηερ στρατεγψ προδυχινγ αν αχτιον ιν α νορmαλ διρεχτιον χουλδ νοτ βε ινϖεστιγατεδ. Χοmπαρεδ ωιτη mορε γενεραλ mετηοδσ τηατ ινϖολϖε αναλψτιχαλλψ προπαγατινγ τηε περτυρβεδ τραϕεχτορψ βψ υσινγ τηε Λαγρανγε χοεφφιχιεντσ [7], τηε προποσεδ αππροαχη δοεσ νοτ ρεθυιρε ανψ σολυτιον οφ τηε τιmε εθυατιον φορ εϖερψ ϖαριατιον οφ τηε ορβιτ οφ τηε αστεροιδ ανδ ισ τηερεφορε λεσσ χοmπυτατιοναλλψ εξπενσιϖε. Ον τηε οτηερ ηανδ, ιτ ισ χονχεπτυαλλψ ανδ χοmπυτατιοναλλψ εθυιϖαλεντ το τηοσε αππροαχηεσ [7] τηατ αναλψτιχαλλψ προπαγατε ονλψ τηε ϖαριατιον οφ τηε ποσιτιον ανδ ϖελοχιτψ οφ τηε αστεροιδ βψ υσινγ τηε φυνδαmενταλ περτυρβατιον mατριξ [71]. Χονϖερσελψ, τηε βενεφιτ οφ υσινγ προξιmαλ mοτιον εθυατιονσ εξπρεσσεδ τηρουγη ορβιταλ ελεmεντσ ισ τηε εξπλιχιτ ρελατιονσηιπ βετωεεν τηε χοmπονεντσ οφ τηε περτυρβινγ αχτιον ανδ τηε ϖαριατιον οφ τηε γεοmετριχ χηαραχτεριστιχσ οφ τηε ορβιτ οφ τηε αστεροιδ Maximum deviation strategies Βψ χοmβινινγ Εθσ. (.1) ανδ Εθσ. (.), ιτ ισ ποσσιβλε το χοmπυτε τηε τρανσιτιον mατριξ τηατ λινκσ ϖ ατ τ το ρ ατ τ φορ εαχη τιmε τ. Το mακε δ εξπλιχιτ τηε δεπενδενχε ον τηε ιmπυλσε χοmπονεντσ ιν εαχη οφ τηε εθυατιονσ, Εθ. (.3) ηασ το βε ρεωριττεν ασ α φυνχτιον οφ α ασ φολλοωσ: ΜΟΙD δ 3 Συν Μ ν ντ τ α (.7) 5 α Ιφ νοω Εθ. (.4) ισ ινχορπορατεδ ιντο σψστεm (.) ανδ, αλονγ ωιτη Εθσ. (.1), ισ εξπρεσσεδ ιν mατριξ φορm, ωε ηαϖε: 8

62 Chapter. Impulsive NEO deflection τμοιd ΜΟΙD τμοιd τ τ ρ Α ΜΟΙD Γδ ϖ δ τ τ τ ρ Α Γ ϖ ϖ ΜΟΙD ΜΟΙD δ δ δ (.8) ωηερε τ α ε ι Μ ΜΟΙD Τ ισ τηε ορβιταλ ελεmεντ διφφερενχε, Α ΜΟΙD ισ τηε mατριξ Α Τ ΜΟΙD ρ α ΜΟΙD 3εσινΜΟΙD Συν τ 3ρΜΟΙD Συν 3 5 1εχοσΜΟΙD τ 3 α α α ΜΟΙD ΜΟΙD χοσμοιd εχοσ ΜΟΙD αεσιν ΜΟΙD σιν ρ ΜΟΙD ΜΟΙD ΜΟΙD ΜΟΙD χοσ ΜΟΙD ρ χοσι ρ ρ ρμοιd 3 (.9) ΜΟΙD ΜΟΙD 1 εχοσ ρ σιν σινι ανδ Γ δ ισ τηε mατριξ αϖ δ Συν ε χοσδ ρ δ σινδ ϖδ αϖδ ρδ χοσ δ η Γ δ ρδ σιν (.1) δ ησιν ι ρ δ ε χοσ σιν δ δ α ρδ σινδ χοσι εϖδ εϖδ ησιν ι β ερ δ β ρδ 1 σινδ χοσδ εαϖδ π εαϖδ α 9

63 .1. Asteroid deviation problem Τηε συβσχριπτ ινδιχεσ, ΜΟΙD ανδ δ, ινδιχατε τηατ τηε mατριχεσ αρε χαλχυλατεδ ρεσπεχτιϖελψ ατ τ ανδ τ. Ασ συγγεστεδ βψ Χονωαψ [7], ιν ορδερ το mαξιmισε ΜΟΙD δ ρ ϖ τ τ ΜΟΙD mαξ δ (.11) τηε ασσοχιατεδ θυαδρατιχ φορm χηοοσινγ αν ιmπυλσε ϖεχτορ ϖ τ δ Τ Τ ϖ Τ χονϕυγατεδ το τηε mαξιmυm ειγενϖαλυε οφ. τ δ τ δ ηασ το βε mαξιmισεδ βψ Τ ϖ παραλλελ το τηε ειγενϖεχτορ οφ, τηε χοmπονεντσ οφ τηε οπτιmαλ ιmπυλσε υνιτ ϖεχτορ ϖ τ Φιγυρε.α ανδ.β ρεπρεσεντ ˆ οπτ δ, προϕεχτεδ οντο τηε τνη,, ρεφερενχε φραmε (ωηερε ˆτ ισ αλονγ τηε διρεχτιον οφ mοτιον, διρεχτιον οφ τηε ανγυλαρ mοmεντυm, ανδ ισ τηε ισ τηε χοmπονεντ νορmαλ το τηε mοτιον, ιν τηε ορβιταλ πλανε), ασ α φυνχτιον οφ τηε τιmε το ΜΟΙD τ εξπρεσσεδ ασ α mυλτιπλε οφ τηε ΝΕΟ ορβιταλ περιοδ ΤΝΕΟ ισ νοτ σηοων σινχε ιτ ισ αλωαψσ λεσσ τηαν ˆν. Τηε ουτ οφ πλανε χοmπονεντ η οφ ϖ ˆ οπτ Τηε χοmπονεντσ οφ τηε ϖˆ αρε σηοων φορ αστεροιδ ΣΓ344 ωιτη σmαλλ εχχεντριχιτψ ανδ ινχλινατιον ( ε.67, ι.11 δεγ) ανδ αστεροιδ 1979ΞΒ, χηαραχτερισεδ βψ ηιγηλψ ελλιπτιχαλ ορβιτ ( ε.73) ανδ ι 5.14 δεγ. Τηεσε τωο αστεροιδσ ωερε σελεχτεδ ασ ρεπρεσεντατιϖε εξαmπλεσ οφ ΝΕΟσ ορβιταλ παραmετερσ (ιν παρτιχυλαρ ιν τερmσ οφ εχχεντριχιτψ ανδ ινχλινατιον). Νοτε τηατ τηε χοmπονεντσ οφ τηε οπτιmαλ διρεχτιον αρε ρεπρεσεντεδ ιν Φιγυρε. ιν τερmσ οφ χοmπονεντσ οφ τηε υνιτ ειγενϖεχτορ. ˆη οπτ τ δ ϖ Component of ν ν t ν n t [T NEO ] t [T ] NEO α) β) Φιγυρε.: Χοmπονεντσ οφ τηε οπτιmαλ v διρεχτιον φορ α) αστεροιδ ΣΓ344 ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ. Component of ν ν t ν n 3

64 Chapter. Impulsive NEO deflection τ ΝΕΟ Ασ α ρεσυλτ οφ τηισ αναλψσισ, ωε χαν ινφερ τηατ φορ α 1Τ ΝΕΟ τ σmαλλερ τηαν α σπεχιφιχ, ωηιχη ισ διφφερεντ φορ εϖερψ αστεροιδ, τηε χοmπονεντ περπενδιχυλαρ το τηε mοτιον δοmινατεσ τηε οτηερ τωο, ωηερεασ φορ λαργερ τ, τηε τανγεντιαλ χοmπονεντ βεχοmεσ δοmιναντ. Τηισ χονχλυσιον ισ ιν αγρεεmεντ ωιτη τηε πρελιmιναρψ αναλψσισ ον τηε ϖ διρεχτιον περφορmεδ βψ Αηρενσ ανδ Ηαρρισ [67], τηε νυmεριχαλ ϖεριφιχατιον βψ Παρκ ανδ Ροσσ [7], ανδ τηε mατηεmατιχαλ δεmονστρατιον προϖιδεδ βψ Χονωαψ [7]. Ιτ χαν βε νοτεδ τηατ τηε ϖαλυε οφ τηε νορmαλ χοmπονεντ οφ τηε οπτιmαλ δεϖιατιον ιmπυλσε γοεσ το ζερο περιοδιχαλλψ, ωιτη α περιοδ εθυαλ το τηατ οφ τηε αστεροιδ. Τηερεφορε, α δεϖιατιον ιmπυλσε γιϖεν ιν τηε νορmαλ διρεχτιον ψιελδσ νο δεϖιατιον αφτερ αν εξαχτ νυmβερ οφ ρεϖολυτιονσ. Φιγυρε.3α ανδ.3β εmπηασισε τηε οπτιmαλιτψ οφ τηε σολυτιον: τηε δεϖιατιον οβταινεδ ωιτη ϖ.7 m/σ ωασ χαλχυλατεδ, αππλψινγ τηε mανοευϖρε αλονγ τηε οπτιmαλ διρεχτιον (σολιδ λινε), ανδ αλονγ τηε τανγεντ διρεχτιον (δοττεδ λινε), τηε νορmαλ διρεχτιον (δασηεδ δοττεδ λινε), ανδ τηε ουτ οφ πλανε διρεχτιον (δασηεδ λινε). Τηε δεϖιατιον ρ ασσοχιατεδ το ϖ ˆ οπτ ισ τηε mαξιmυm δισπλαχεmεντ ανδ οϖερλαπσ τηε δεϖιατιον αχηιεϖεδ ωιτη α νορmαλ ιmπυλσε φορ λοω τ, ανδ τηε δεϖιατιον οβταινεδ ωιτη α τανγεντ mανοευϖρε φορ λονγερ τ. Αν ιmπυλσιϖε αχτιον ατ τηε περιχεντρε ισ φουνδ το βε τηε mοστ εφφεχτιϖε ονε, ωηερεασ α ϖ ατ τηε αποχεντρε γιϖεσ α δεϖιατιον χλοσε το τηε mινιmυm. Ιν φαχτ, τηε ορβιταλ ϖελοχιτψ ισ ηιγηερ ατ τηε περιχεντρε; ασ α χονσεθυενχε, αν ιmπυλσιϖε mανοευϖρε ωιλλ αχηιεϖε α ηιγηερ ϖαριατιον ιν σεmι mαϕορ αξισ [σεε φιρστ οφ Εθσ. (.)] ανδ ηενχε ιν τηε mεαν mοτιον. Τηε χηοιχε οφ αν οπτιmυm τιmινγ αλονγ τηε ορβιταλ περιοδ ισ mορε σιγνιφιχαντ φορ ηιγηλψ εχχεντριχ ορβιτσ (σεε Φιγυρε.3β) δr [km] t [T ] NEO δv t δv n δv h δv opt pericentre kt NEO, k=1, apocentre δr [km] t [T ] NEO α) β) Φιγυρε.3: Dεϖιατιον αχηιεϖεδ ωιτη v =.7 m/σ φορ α) αστεροιδ ΣΓ344 ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ δv t δv n δv h δv opt pericentre kt NEO, k=1, apocentre 31

65 .1. Asteroid deviation problem Αλτηουγη τηε διρεχτιον οφ τηε οπτιmαλ ιmπυλσε ισ γιϖεν βψ τηε mαξιmισατιον οφ τηε θυαδρατιχ φορm ασσοχιατεδ ωιτη τηε τρανσιτιον mατριξ, τηε σιγν οφ ϖ οπτ ατ τηισ ποιντ οφ τηε αναλψσισ ισ χοmπλετελψ αρβιτραρψ. Ηοωεϖερ, ιφ ωε δεφινε τηε ρελατιϖε διφφερενχε ϖ ˆ οπτ, ασ ερ, ϖ διρεχτιον βετωεεν τηε δεϖιατιον χοmπυτεδ φορ ϖ ˆ οπτ ανδ φορ ε ρ, ϖ διρεχτιον ρ ˆ ϖοπτ ρ ρ ˆ ϖοπτ ˆ ϖοπτ ανδ ωε πλοτ ιτ ασ α φυνχτιον οφ τηε τιmε το ΜΟΙD (σεε Φιγυρε.4), ωε χαν χονχλυδε τηατ τηε σιγν οφ ϖ οπτ δοεσ νοτ χηανγε τηε mαγνιτυδε οφ τηε δεϖιατιον. Τηισ χαν βε αλτερνατιϖελψ δεmονστρατεδ βψ χηανγινγ τηε σιγν οφ ϖ ιν Εθσ. (.). Τηε ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ παραmετερσ ισ οφ οπποσιτε σιγν ανδ, χονσεθυεντλψ, τηε δισπλαχεmεντ οφ τηε αστεροιδ [δεσχριβεδ βψ Εθσ. (.1)] ισ αλσο ιν τηε οπποσιτε διρεχτιον βυτ ωιτη τηε σαmε mαγνιτυδε. Τηισ ρεσυλτ χονφιρmσ τηε ρεσυλτσ οβταινεδ βψ Χονωαψ [7]..5 x 1 5 e r, δv direction t [T ] NEO Φιγυρε.4: Ρελατιϖε ερρορ χαλχυλατεδ βψ ορβιτ προπαγατιον φορ αστεροιδ ΣΓ Accuracy analysis Τηε αχχυραχψ οφ Εθσ. (.1) ωασ ασσεσσεδ βψ νυmεριχαλλψ προπαγατινγ φορωαρδ ιν τιmε τηε δεϖιατεδ ορβιτ οφ τηε αστεροιδ ανδ χοmπαρινγ τηε οβταινεδ ϖαριατιον ιν τηε ποσιτιον ϖεχτορ ωιτη τηε ονε πρεδιχτεδ βψ Εθσ. (.1). Τηε νοmιναλ 3

66 Chapter. Impulsive NEO deflection τραϕεχτορψ ωασ προπαγατεδ φροm τηε δεϖιατιον ποιντ υπ το τηε ΜΟΙD, φορ α περιοδ υπ το 15 ψεαρσ, ανδ τηε δεϖιατεδ τραϕεχτορψ ωασ ιντεγρατεδ σταρτινγ φροm τηε δεϖιατιον ποιντ ον τηε αστεροιδ ορβιτ, ωιτη τηε περτυρβεδ ϖελοχιτψ ϖεχτορ Τηε τωο βοδψ προβλεm ισ υσεδ ασ mοδελ οφ τηε δψναmιχσ: ϖ ϖ. δρ ϖ δτ δϖ δτ ρ Συν 3 ρ Ασ α mεασυρε οφ αχχυραχψ, τηε ρελατιϖε ερρορ ισ χοmπυτεδ, βετωεεν τηε ϖαριατιον ιν ποσιτιον αφτερ νυmεριχαλ προπαγατιον ανδ τηε αναλψτιχαλλψ εστιmατεδ δεϖιατιον: ε ρ ρ προπαγατεδ ρ ρ προπαγατεδ εστιmατεδ (.1) Φιγυρε.5 σηοωσ τηε ρελατιϖε ερρορσ, φορ αστεροιδ ΣΓ344 ανδ φορ αστεροιδ 1979ΞΒ, ασ α φυνχτιον οφ τηε τιmε το ΜΟΙD τ ανδ τηε mαγνιτυδε οφ ϖ οπτ. Τηεσε τωο αστεροιδσ, τηε φορmερ ωιτη ε.1 ανδ ι 1 δεγ, τηε λαττερ ωιτη ε.1 ανδ ι 1 δεγ, ωερε χηοσεν ιν ορδερ το στυδψ τηε ιmπαχτ οφ τηε ορβιταλ παραmετερσ ον τηε ρελατιϖε ερρορ. Φιγυρε.6 ρεπορτσ τηε δεϖιατιον ϖαλυε ασσοχιατεδ το τηε ρελατιϖε ερρορ ιν Φιγυρε e r δv [m/s] opt 5 t [y] x e r α) β) Φιγυρε.5: Ρελατιϖε ερρορ φορ τηε δεϖιατιον οφ α) αστεροιδ ΣΓ344 ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ δv opt [m/s].5 5 t [y] 1 15 Αν αδαπτιϖε στεπ σιζε Ρυνγε Κυττα Φεηλβεργ ιντεγρατιον σχηεmε ιντεγρατορ ισ υσεδ, ωιτη αβσολυτε τολερανχε οφ 11 1 ανδ ρελατιϖε τολερανχε οφ

67 .1. Asteroid deviation problem δr [km] x δv opt [m/s] α).5 5 t [y] 1 15 δr [km] x δv opt [m/s].5 5 t [y] β) Φιγυρε.6: Dεϖιατιον οφ α) αστεροιδ ΣΓ344 ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ Φορ βοτη αστεροιδσ, τηε ρελατιϖε ερρορ γροωσ ωιτη τηε τιmε το ΜΟΙD ανδ ωιτη ϖ οπτ, βεχαυσε τηε διφφερενχε βετωεεν τηε δεϖιατεδ ορβιτ ανδ τηε νοmιναλ ορβιτ ινχρεασεσ σιγνιφιχαντλψ ανδ τηε προξιmαλ mοτιον εθυατιονσ βεχοmε ιναχχυρατε ωηεν δεσχριβινγ τηε αχτυαλ mοτιον οφ τηε αστεροιδ. Ιν φαχτ, ασ αλσο στατεδ βψ Σχηαυβ ανδ ϑυνκινσ [115], τηε ηψποτηεσεσ υνδερ ωηιχη τηε εθυατιονσ ωερε δεριϖεδ ηολδ τρυε υντιλ τηε ρελατιϖε ορβιτ ραδιυσ ισ σmαλλ χοmπαρεδ το τηε χηιεφ ορβιτ ραδιυσ. Τηε διφφερενχε ιν τηε mαξιmυm ρελατιϖε ερρορ βετωεεν τηε τωο αστεροιδσ ισ ρεmαρκαβλε. Ιφ ωε χοmπυτε τηε mαξιmυm ρελατιϖε ερρορ (ι.ε. φορ τ 15 ψεαρσ ανδ ϖ m/σ) φορ α λαργε νυmβερ οφ αστεροιδσ χηαραχτερισεδ βψ διφφερεντ σετσ οφ ορβιταλ παραmετερσ, ωε χαν σεε (Φιγυρε.7) τηατ ιτσ ϖαλυε ινχρεασεσ ασ α φυνχτιον οφ τηε εχχεντριχιτψ οφ τηε ορβιτ οφ τηε αστεροιδ. max e r eccentricity 1 Φιγυρε.7: Μαξιmυm ρελατιϖε ερρορ φορ διφφερεντ αστεροιδσ. 34

68 Chapter. Impulsive NEO deflection.1.3. Representation on the b-plane Το δεσχριβε τηε mοτιον οφ τηε ΝΕΟ ωηεν εντερινγ τηε Εαρτη σ σπηερε οφ ινφλυενχε, τηε αχηιεϖεδ δεϖιατιον χαν βε ρεπρεσεντεδ ον τηε πλανε τηατ ισ περπενδιχυλαρ το τηε ινχοmινγ ρελατιϖε ϖελοχιτψ οφ τηε σmαλλ βοδψ ατ τηε πλανετ αρριϖαλ (ι.ε., τηε β πλανε) [13]. Wε χαν δεφινε α λοχαλ ρεφερενχε σψστεm χεντρεδ ον τηε Εαρτη ωιτη τηε αξισ περπενδιχυλαρ το τηε β πλανε αλιγνεδ αλονγ τηε υνπερτυρβεδ ϖελοχιτψ οφ τηε αστεροιδ ρελατιϖε το τηε Εαρτη, τηε αξισ αλονγ τηε διρεχτιον οπποσιτε το τηε προϕεχτιον οφ τηε ηελιοχεντριχ ϖελοχιτψ οφ τηε πλανετ οντο τηε β πλανε, ανδ τηε αξισ τηατ χοmπλετεσ τηε ρεφερενχε σψστεm (σεε Φιγυρε.8α). β πλανε Υ ΝΕΟ, νοmιναλ Εαρτη β Εαρτη ϖ Ε ϖ Ε ϖ Ε ρ ρ β πλανε φραmε ισ: Υ ΝΕΟ, νοmιναλ α) β) Φιγυρε.8: Εαρτη χεντρεδ λοχαλ ρεφερενχε σψστεm: α) b πλανε ρεπρεσεντατιον ανδ β) γεοmετρψ οφ ηψπερβολιχ πασσαγε. Τηε γενεραλ τρανσφορmατιον φροm τηε Χαρτεσιαν το τηε β πλανε ρεφερενχε ξ ˆ ˆ ˆ β πλανε ξ Τ Χαρτεσιαν (.13) ωηερε ξ ισ α γενεριχ ϖεχτορ ανδ ˆ, ˆ, ανδ ˆ αρε χολυmν ϖεχτορσ τηατ χαν βε χοmπυτεδ ασ ˆ Υ ΝΕΟ,νοmιναλ ˆ ˆ ϖ Υ ϖ ˆ ΝΕΟ,νοmιναλ Εαρτη Εαρτη ˆ ˆˆ 35

69 .1. Asteroid deviation problem ωηερε Υ ΝΕΟ,νοmιναλ ισ τηε υνπερτυρβεδ ϖελοχιτψ οφ τηε αστεροιδ ρελατιϖε το τηε Εαρτη, εξπρεσσεδ ιν α Χαρτεσιαν ρεφερενχε φραmε, ανδ ϖ Εαρτη ισ τηε ηελιοχεντριχ ϖελοχιτψ οφ τηε Εαρτη. Τηε προπερ ρεπρεσεντατιον ωουλδ βε ον τηε ινσταντανεουσ β πλανε, περπενδιχυλαρ το τηε δεϖιατεδ ρελατιϖε ϖελοχιτψ οφ τηε αστεροιδ; ηοωεϖερ, τηε mαξιmυm ρελατιϖε ερρορ βετωεεν τηε πλανε περπενδιχυλαρ το τηε νοmιναλ ρελατιϖε ϖελοχιτψ ανδ τηε πλανε περπενδιχυλαρ το τηε περτυρβεδ ρελατιϖε ϖελοχιτψ ισ αρουνδ.1. Τηυσ ιν τηε φολλοωινγ, ωε ωιλλ υσε τηε β πλανε ασσοχιατεδ ωιτη τηε νοmιναλ ρελατιϖε ϖελοχιτψ, ωηιχη αϖοιδσ τηε αδδιτιοναλ χαλχυλατιον οφ τηε ϖελοχιτψ οφ τηε δεφλεχτεδ αστεροιδ. Μορεοϖερ, φορ τηισ αναλψσισ, τηε διστανχε ατ τηε ΜΟΙD ωασ σετ το ζερο, το ηαϖε τηε Εαρτη ατ τηε οριγιν οφ τηε ρεφερενχε σψστεm ον τηε β πλανε. Το τηισ αιm, τηε πηασε ανδ περιαπσισ ανοmαλψ οφ τηε αστεροιδσ ωερε mοδιφιεδ το ηαϖε ρ. Τηισ ωιλλ νοτ χηανγε τηε ρεσυλτ οφ τηισ αναλψσισ, βεχαυσε τηε οτηερ γεοmετριχ προπερτιεσ οφ τηε ορβιτ αρε υνχηανγεδ. Ον τηε β πλανε ωε χαν ρεπρεσεντ τηε διστανχε (χαλλεδ τηε ιmπαχτ παραmετερ) φροm τηε Εαρτη το τηε ιντερχεπτ οφ τηε ασψmπτοτε οφ τηε ηψπερβολα οφ τηε δεϖιατεδ ορβιτ οφ τηε αστεροιδ: β β Φιγυρε.9 σηοωσ τηε ιmπαχτ παραmετερ (βολδ λινεσ) φορ α ηιγηλψ ελλιπτιχ αστεροιδ (1979ΞΒ), τογετηερ ωιτη τηε νορm οφ τηε δεϖιατιον ρ (τηιν λινεσ), βψ αππλψινγ τηε δεϖιατιον mανοευϖρε ιν τηε ϖαριουσ διρεχτιονσ αναλψσεδ (ι.ε., τανγεντιαλ, νορmαλ, περπενδιχυλαρ το τηε ορβιτ πλανε διρεχτιονσ ανδ οπτιmαλ διρεχτιον φορ τηε mαξιmισατιον οφ τηε mαγνιτυδε οφ τηε δεϖιατιον). Αλτηουγη φορ α τιmε το ΜΟΙD τ αβοϖε α σπεχιφιχ ϖαλυε, ωηιχη ισ διφφερεντ φορ εϖερψ αστεροιδ (ιν τηε χασε οφ 1979ΞΒ, τ ΝΕΟ.5Τ ΝΕΟ ), τηε mαξιmισατιον οφ τηε παραmετερ ανδ τηε mαξιmισατιον οφ τηε δεϖιατιον λεαδ το τηε σαmε χονχλυσιον ον τηε οπτιmαλ δεφλεχτιον στρατεγψ, φορ σmαλλερ τ, τηε β πλανε συγγεστσ α διφφερεντ στρατεγψ. Τηισ χαν βε αππρεχιατεδ ιν Φιγυρε.1α, ωηιχη χονταινσ α χλοσε υπ οφ Φιγυρε.9 φορ τ Τ 1 ΝΕΟ. β 36

70 Chapter. Impulsive NEO deflection b *, δr [km] δv t δv n 1 δv h δv opt t [T NEO ] Φιγυρε.9: Ιmπαχτ παραmετερ ανδ mαγνιτυδε οφ τηε δεϖιατιον φορ 1979ΞΒ ωιτη v =.7 m/σ; b* παραmετερ (βολδ λινεσ), ανδ δεϖιατιον (τηιν λινεσ) b * [km] δv t δv n b * [km] δv t δv n 1 1 δv h δv opt t [T NEO ] t [T NEO ] α) β) Φιγυρε.1: Ιmπαχτ παραmετερ φορ αστεροιδ 1979ΞΒ t<1τ ΝΕΟ : α) στρατεγψ οφ mαξιmυm δεϖιατιον ανδ β) στρατεγψ οφ mαξιmυm b* παραmετερ. 1 1 δv h δv opt (max b * ) Τηε διφφερενχε βετωεεν τηε τωο ρεσυλτσ δεπενδσ ον ωηετηερ ορ νοτ ωε χονσιδερ τηε Εαρτη το βε ατ τηε ΜΟΙD ποιντ ωηεν τηε αστεροιδ χροσσεσ ιτ. Τηε φορmυλατιον οφ τηε mαξιmισατιον προβλεm ιν Εθ. (.11) ισ mοδιφιεδ το mαξιmισε τηε προϕεχτιον οφ τηε δεϖιατιον ιν τηε β πλανε ινστεαδ οφ τηε δεϖιατιον ρ. Ασ ωε ωαντ το mαξιmισε ονλψ τηε τωο χοmπονεντσ οφ τηε δεϖιατιον ανδ, ωε ηαϖε: 1 1 β ρ τ ΜΟΙD β πλανε 37

71 .1. Asteroid deviation problem ωηερε ρ τ ισ τηε δεϖιατιον ϖεχτορ ΜΟΙD β πλανε τ ΜΟΙD ρεφερενχε φραmε, χοmπυτεδ τηρουγη τηε χονϖερσιον mατριξ τ τ ρ Ρ ϖ ΜΟΙD β πλανε δ ρ δεσχριβεδ ιν τηε β πλανε Ρ : Ιν τηισ ωαψ τηε σψστεm ιν Εθ. (.8) ισ ρεπλαχεδ βψ: β ϖ τ β δ (.14) ωιτη τηε τρανσιτιον mατριξ β 1 Ρ 1 Ηενχε τηε mαξιmισατιον οφ Τ Τ τ ϖ ϖ δ τ δ β β β ισ εθυιϖαλεντ το mαξιmισινγ τηε θυαδρατιχ φορm ασσοχιατεδ το προβλεm Εθ. (.14). Νοτε τηατ τηε mαξιmισατιον προβλεm χαν βε σολϖεδ εϖεν ιφ τηε τρανσιτιον mατριξ β ισ σινγυλαρ. Τηε ρεσυλτ οφ τηε mαξιmισατιον οφ β χαν βε σεεν ιν Φιγυρε.1β. Φορ εξαmπλε, φορ αστεροιδ 1979ΞΒ, ωε χαν χονχλυδε φροm τηε β πλανε αναλψσισ τηατ τηε διρεχτιον οφ τηε οπτιmαλ ιmπυλσε χηανγεσ φροm τηε τανγεντ διρεχτιον το τηε νορmαλ Τηε mατριξ χονϖερτσ τηε δεϖιατιον ϖεχτορ Ρ ρ χοmπυτεδ ιν τηε ρ,, η ρεφερενχε φραmε τηρουγη Εθ. (.1) το τηε β πλανε ρεφερενχε φραmε. Γιϖεν α γενεριχ ϖεχτορ ξ, τηε γενεραλ τρανσφορmατιον φροm ρ,, η το τηε Χαρτεσιαν ρεφερενχε φραmε ισ: ξ ˆ ˆ ρ ηˆ ξ Χαρτεσιαν ρ,, η ωηερε ˆρ, ˆ, ανδ ˆη αρε χολυmν ϖεχτορσ τηατ χαν βε χοmπυτεδ ασ ρ ˆ ρ ϖ ρˆ η ˆ ηˆρˆ ρ ρ ϖ Ιν τηισ χασε ρ ανδ ϖ αρε ρεσπεχτιϖελψ τηε νοmιναλ ποσιτιον ανδ ϖελοχιτψ οφ τηε ΝΕΟ ατ τηε ΜΟΙD. Τηε γενεραλ τρανσφορmατιον φροm Χαρτεσιαν το β πλανε ρεφερενχε φραmε ισ ρεπορτεδ ιν Εθ. (.13). Ηενχε τηε τρανσφορmατιον φροm ρ,, η το τηε β πλανε ρεφερενχε φραmε ισ: ξ Ρξ β πλανε ρ,, η Ρ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ρ ηˆ Τ Τ Τ τ ΜΟΙD 38

72 Chapter. Impulsive NEO deflection το τηε mοτιον ατ χοmπονεντ δοmινατεσ. τ.15τ ΝΕΟ, ωηερεασ φορ τ.55τ ΝΕΟ, τηε τανγεντιαλ Ιν Φιγυρε.11 τηε ρεσυλτ φορ τηε ρ mαξιmισατιον στρατεγψ (τηιν λινε) ισ χοmπαρεδ ωηιτ τηατ φορ τηε ΣΓ344 ιν τηε ρανγε mαξιmισατιον στρατεγψ (βολδ λινε), φορ αστεροιδ ωουλδ λεαδ το χηοοσε τηε η διρεχτιον στρατεγψ φορ ϖερψ σmαλλ α ρανγε οφ.15 Τ ΝΕΟ Νοτε τηατ φορ σmαλλ τ β τ.5τ.5τ ΝΕΟ ΝΕΟ. Τηε mαξιmισατιον οφ τηε ιmπαχτ παραmετερ τ, τηε ν διρεχτιον φορ, ανδ τηε τανγεντιαλ διρεχτιον φορ ηιγηερ τ. τ, τηε ανγλε οφ τηε οπτιmαλ ιmπυλσε χηανγεσ, δεπενδινγ ον τηε ορβιταλ παραmετερσ οφ τηε αστεροιδ, βυτ φορ ηιγηερ αλωαψσ αλονγ τηε διρεχτιον οφ mοτιον. τ, τηε οπτιmαλ στρατεγψ ισ b * [km] 1 3 δv t δv n δv h δv opt (max δr) δv opt (max b * ) t [T NEO ] Φιγυρε.11: Ιmπαχτ παραmετερ φορ αστεροιδ ΣΓ344 τ<.5τ ΝΕΟ. Στρατεγψ οφ mαξιmυm δεϖιατιον (σολιδ λινε) ανδ mαξιmυm b* παραmετερ (βολδ λινε). Three-body analysis Τηε ρεσυλτσ οβταινεδ ωιτη τηε β πλανε φορmυλατιον ιmπλψ αν ινχρεασε οφ τηε ϖ ρεθυιρεmεντ δυε το τηε γραϖιτατιοναλ εφφεχτσ οφ τηε Εαρτη, ωηιχη ισ χονσιστεντ ωιτη τηε ρεσυλτσ φουνδ βψ Ροσσ ετ αλ. [73]. Φυρτηερmορε, τηεψ συγγεστ α διφφερεντ οπτιmαλ στρατεγψ φορ σηορτ τιmεσ το ΜΟΙD. Wε χαν ϖεριφψ τηε ρελιαβιλιτψ οφ τηεσε ρεσυλτσ βψ προπαγατινγ τηε mοτιον οφ τηε αστεροιδ αφτερ τηε δεφλεχτιον mανοευϖρε φορ τωο διφφερεντ χασεσ: τηε οπτιmαλ δεφλεχτιον mανοευϖρε ισ χοmπυτεδ ασ τηε ρεσυλτ οφ τηε mαξιmισατιον οφ τηε δεϖιατιον, ανδ τηε οπτιmαλ δεφλεχτιον mανοευϖρε 39

73 .1. Asteroid deviation problem ισ χοmπυτεδ ασ τηε ρεσυλτ οφ τηε mαξιmισατιον οφ τηε β παραmετερ. Α φυλλ τηρεε βοδψ δψναmιχ mοδελ ωασ υσεδ, χονσιδερινγ τηε Συν ανδ τηε Εαρτη ασ γραϖιτατιοναλ βοδιεσ: δρ ϖ δτ δϖ ρ ρ Συν Εαρτη ΝΕΟ Συν Εαρτη 3 Εαρτη 3 δτ 3 ρ ρεαρτη ΝΕΟ ρσυν Εαρτη ρ ωηερε Συν ανδ Εαρτη αρε ρεσπεχτιϖελψ τηε Συν ανδ Εαρτη γραϖιτατιοναλ χονσταντ. ρ ισ τηε ποσιτιον ϖεχτορ ωιτη ρεσπεχτ το τηε Συν ινερτιαλ ρεφερενχε φραmε, τηε ποσιτιον ϖεχτορ οφ τηε Εαρτη ιν α Συν χεντρεδ ινερτιαλ ρεφερενχε φραmε ανδ ρεαρτη ΝΕΟ ισ ρ Συν Εαρτη ισ ρ ρ ρ Εαρτη ΝΕΟ Συν Εαρτη Τηε τραϕεχτορψ ωασ προπαγατεδ, αφτερ α m/σ ιmπυλσε, οϖερ τηε ιντερϖαλ ΜΟΙD ΝΕΟ Ι τ τ.1τ ; τηεν, τηε χλοσεστ ποιντ το τηε Εαρτη ωασ χοmπυτεδ ασ π δ φολλοωσ, ωιτη νονλινεαρ προγραmmινγ τεχηνιθυεσ: ρ mιν ρ τ ρ τ (.15) mιν,3β Εαρτη ΝΕΟ τιπ Ασ χαν βε σεεν ιν Φιγυρε.1α, α δεφλεχτιον mανοευϖρε χοmπυτεδ mαξιmισινγ τηε δεϖιατιον ισ νοτ αν οπτιmαλ στρατεγψ φορ σηορτ τιmεσ το ΜΟΙD, ωηερεασ τηε ονε χοmπυτεδ mαξιmισινγ τηε β παραmετερ (σεε Φιγυρε.1β) λεαδσ το βεττερ ρεσυλτσ. Νοτε τηατ τηισ ισ τρυε φορ σηορτ τιmεσ το ΜΟΙD, ωηερεασ φορ λονγερ τιmεσ τηε τωο στρατεγιεσ αρε εθυιϖαλεντ. Wιτη βοτη στρατεγιεσ, τηε προϕεχτιον οφ τηε δεϖιατιον ον τηε β πλανε (βολδ λινε) ισ α ρελιαβλε εστιmατιον οφ τηε αχτυαλ δεϖιατιον χοmπυτεδ ωιτη τηε τηρεε βοδψ mοδελ (τηιν λινε). Τηε δεϖιατιον ατ τηε ΜΟΙD, χονσιδερινγ τηε τωο βοδψ δψναmιχσ (δασηεδ λινε) ινστεαδ, δοεσ νοτ αχχυρατελψ πρεδιχτ τηε αχτυαλ mινιmυm διστανχε φροm τηε αστεροιδ ιν προξιmιτψ οφ τηε Εαρτη. Τηε ρεσυλτσ οφ τηε mαξιmισατιον οφ τηε β παραmετερ ανδ τηε mαξιmισατιον οφ τηε δεϖιατιον χαν βε 4

74 Chapter. Impulsive NEO deflection χοmπαρεδ αλσο ιν Φιγυρε.13 τηατ ρεπρεσεντσ τηε προϕεχτιον οφ τηε δεϖιατιον ον τηε β πλανε ανδ ρmιν,3β φορ τηε τωο στρατεγιεσ b *, δr [km] b * (max δr) δr (max δr) δr min,3b (max δr) b *, δr [km] b * (max b * ) δr (max b * ) δr min,3b (max b * ) t [T NEO ] t [T NEO ] α) β) Φιγυρε.1: Dεϖιατιον (δασηεδ λινε) ανδ ιτσ προϕεχτιον (βολδ λινε) ον τηε b πλανε χαλχυλατεδ τηρουγη τηε τωο βοδψ προβλεm ανδ mινιmυm δεϖιατιον χοmπυτεδ τηρουγη τηε τηρεε βοδψ προβλεm (χοντινυουσ τηιν λινε): α) mαξιmυm δεϖιατιον στρατεγψ φορ αστεροιδ 1979ΞΒ ανδ β) mαξιmυm b* παραmετερ στρατεγψ φορ αστεροιδ 1979ΞΒ. 1 5 b *, δr [km] b * (max δr) b * (max b * ) δr min,3b (max δr) δr min,3b (max b * ) t [T ] NEO Φιγυρε.13: Προϕεχτιον οφ τηε δεϖιατιον (χοντινυουσ λινε) ον τηε b πλανε χαλχυλατεδ τηρουγη τηε τωο βοδψ προβλεm ανδ mινιmυm δεϖιατιον χοmπυτεδ τηρουγη τηε τηρεε βοδψ προβλεm (δασηεδ λινε) φορ αστεροιδ 1979ΞΒ. Τηε βολδ λινεσ ρεπρεσεντ τηε ρεσυλτσ οφ τηε mαξιmυm β στρατεγψ, τηε τηιν λινεσ ρεπρεσεντ τηε ρεσυλτ φορ τηε mαξιmυm δεϖιατιον στρατεγψ. 41

75 .1. Asteroid deviation problem Analysis of the deviation components in the b-plane Φιγυρε.14 σηοωσ τηε χοmπονεντσ οφ τηε δεϖιατιον ιν τηε β πλανε ασ α φυνχτιον οφ τηε τιmε το ΜΟΙD, ωηεν τηε οπτιmαλ στρατεγψ ισ χοmπυτεδ βψ mαξιmισινγ β. Ιν τηε σαmε φιγυρε, τ ισ τηε τιmε χορρεσπονδινγ το ρ mιν,3β, ρ mιν, 3β δεφινεδ ιν Εθ. (.15); τ ρ τ mιν,3β ΜΟΙD ρεπρεσεντσ τηε διφφερενχε βετωεεν τηε ινσταντ ωηεν τηε αχτυαλ mινιmυm διστανχε φροm τηε Εαρτη ισ ρεαχηεδ ανδ τηε εξπεχτεδ τιmε ατ τηε υνπερτυρβεδ ΜΟΙD. Τηισ θυαντιτψ ισ εξπρεσσεδ ιν δαψσ, mυλτιπλιεδ βψ 1 6 το mακε ιτ χοmπαραβλε ιν σχαλε ωιτη τηε χοmπονεντσ οφ τηε δεϖιατιον. Τηε χοmπονεντσ οφ τηε δεϖιατιον προϕεχτεδ οντο τηε β πλανε ηαϖε α δισχοντινυιτψ χορρεσπονδινγ το τηε δισχοντινυιτψ ιν τ ρ mιν,3 τμοιd. Ιν παρτιχυλαρ β ωηεν τ ρ τ, ωε ηαϖε ; τηισ mεανσ τηατ τηε αστεροιδ ατ τ ΜΟΙD ηασ mιν, 3 ΜΟΙD β νοτ ιντερσεχτεδ τηε β πλανε ψετ (τηε χοmπονεντ νορmαλ το ιτ ισ νεγατιϖε). Τηισ σιτυατιον ισ δεπιχτεδ ιν Φιγυρε.15α, ιν ωηιχη ποιντ Α ρεπρεσεντσ τηε αστεροιδ αππροαχηινγ α φλψ βψ οφ τηε Εαρτη. Wηεν τ, τηεν ; τηισ mεανσ ρ τ mιν,3β ΜΟΙD τηατ τηε αστεροιδ ατ τ ΜΟΙD ηασ αλρεαδψ ιντερσεχτεδ τηε β πλανε (τηε χοmπονεντ νορmαλ το ιτ ισ ποσιτιϖε). Τηισ σιτυατιον ισ δεπιχτεδ ιν ποιντ Β ρεπρεσεντσ τηε αστεροιδ αφτερ τηε φλψ βψ. Φιγυρε.15β, ιν ωηιχη τηε b plane components [km], (time [d])* x 15 ξ (max b * ) η (max b * ) ζ (max b * ) t δrmin,3b t MOID t [T ] NEO Φιγυρε.14: Χοmπονεντσ οφ τηε δεϖιατιον ιν τηε b πλανε φορ αστεροιδ 1979ΞΒ. 4

76 Chapter. Impulsive NEO deflection β Υ ΝΕΟ, δεϖιατεδ Α προϕεχτιον οφ Α ον τηε β πλανε α) Τηε αστεροιδ ισ αππροαχηινγ τηε φλψ βψ οφ τηε Εαρτη. Β β Υ ΝΕΟ, δεϖιατεδ προϕεχτιον οφ Β ον τηε β πλανε β) Τηε αστεροιδ ισ ατ τηε ενδ οφ τηε φλψ βψ οφ τηε Εαρτη. Φιγυρε.15: Φλψ βψ ρεπρεσεντατιον ιν τηε b πλανε ρεφερενχε σψστεm. α) χασε Α: τηε αστεροιδ ισ αππροαχηινγ τηε φλψ βψ οφ τηε Εαρτη ανδ β) χασε Β: τηε αστεροιδ ισ ατ τηε ενδ οφ τηε φλψ βψ. Τηε τωο σιτυατιονσ δεσχριβεδ ιν Φιγυρε.15 αρε α χονσεθυενχε οφ τηε σιγν οφ τηε ιmπυλσιϖε mανοευϖρε ϖ οπτ οβταινεδ φροm προβλεm (.8). Ιν φαχτ, φορ α ϖ αλονγ τηε mοτιον, τηε περιοδ οφ τηε αστεροιδ ισ ινχρεασεδ; ηενχε ατ τ ΜΟΙ D τηε αστεροιδ ισ ατ ποιντ Α ιν Φιγυρε.15α. Ον τηε οτηερ ηανδ, φορ α ϖ αλονγ τηε mοτιον, τηε περιοδ οφ τηε αστεροιδ ισ δεχρεασεδ; ηενχε ατ ποιντ Β ιν τ ΜΟΙD τηε αστεροιδ ισ ατ Φιγυρε.15β. Τηε χηοιχε οφ ϖ ορ ϖ, ωηιχη χορρεσπονδσ το χασε Α ορ Β, ωιλλ λεαδ τηε αστεροιδ ιν ιτσ συβσεθυεντ χουρσε (ι.ε., αφτερ τ ορ φαρτηερ φροm τηε Εαρτη Εαρτη, τηε. ΜΟΙD ) το πασσ χλοσερ Τηε αναλψσισ ον τηε β πλανε δεmονστρατεσ τηατ, ασσυmινγ νο γραϖιτψ οφ τηε β παραmετερ ισ τηε χορρεχτ εστιmατε οφ τηε mινιmυm ιντερσεχτιον Τηε σωιτχηινγ οφ τ ρmιν,3 β τ ΜΟΙD ανδ τηε χοmπονεντσ ον τηε β πλανε ιν Φιγυρε.14 ισ δυε το τηε φαχτ τηατ τηε διρεχτιον οφ ϖ ισ νοτ υνιϖοχαλλψ δετερmινεδ βψ τηε σολυτιον οφ τηε mαξιmισατιον προβλεm. β 43

77 .1. Asteroid deviation problem διστανχε βετωεεν τηε αστεροιδ ανδ τηε Εαρτη. Τηερεφορε, ιν τηε γενεραλ χασε, ωηεν τηε νοmιναλ υνπερτυρβεδ ΜΟΙD ισ νοτ ζερο, τηε τοταλ δεϖιατιον ρρ ηασ το βε προϕεχτεδ ον τηε β πλανε. Ιφ τηε Εαρτη σ γραϖιτψ ισ ινχλυδεδ ιν τηε χαλχυλατιονσ, τηε χοmπυτατιον οφ τηε περιχεντρε οφ τηε ηψπερβολιχ τραϕεχτορψ (τηε αχτυαλ mινιmυm διστανχε φροm τηε Εαρτη) χαν βε δεριϖεδ φροm τηε β παραmετερ [73]. Τηε mινιmυm διστανχε ωιλλ οχχυρ ατ αν ινσταντ οφ τιmε τηατ πρεχεδεσ ορ φολλοωσ τηε τιmε οφ τηε υνπερτυρβεδ ΜΟΙD πασσαγε, ωηετηερ τηε δεφλεχτιον αχτιον δεχελερατεσ ορ αχχελερατεσ τηε αστεροιδ ( ϖ ορ ϖ ). Φιγυρε.16 ρεπρεσεντσ τηε προϕεχτιον ον τηε β πλανε οφ τηε δεϖιατεδ ποιντσ φορ διφφερεντ ϖαλυεσ οφ τ φορ τηε δεφλεχτιον οφ αστεροιδ ΣΓ344 (λεφτ) ανδ αστεροιδ 1979ΞΒ (ριγητ). Τηε δεϖιατιον ωασ χαλχυλατεδ βψ αππλψινγ τηε ιmπυλσιϖε mανοευϖρε αλονγ τηε τανγεντ το τηε mοτιον ( Φιγυρε.16α), τηε νορmαλ (Φιγυρε.16β) ανδ τηε ουτ οφ πλανε διρεχτιονσ (Φιγυρε.16χ) ρεσπεχτιϖελψ. Ιτ χαν βε νοτεδ τηατ αν ιmπυλσε αλονγ τηε τανγεντ διρεχτιον προδυχεσ α συβσταντιαλ ϖαριατιον οφ τηε χοmπονεντ, ωιτη α σεχυλαρ ανδ α περιοδιχ τερm ανδ α σmαλλ περιοδιχ ϖαριατιον οφ τηε χοmπονεντ. Αν ιmπυλσε ιν τηε νορmαλ διρεχτιον ινστεαδ προδυχεσ α πυρελψ περιοδιχ ϖαριατιον οφ βοτη χοmπονεντσ. Το βεττερ αππρεχιατε Φιγυρε.16, ιτ ισ υσεφυλ το ρεmινδ α προπερτψ οφ πικ τηεορψ [13]: ιτ δεχουπλεσ τηε τωο κεψ παραmετερσ ασσοχιατεδ ωιτη α πλανεταρψ ενχουντερ, τηε σηιφτ ιν τιmε ανδ τηε ΜΟΙD. Ασ δεmονστρατεδ βψ Βουρδουξ ανδ Ιζζο, τηε χοmπονεντ ρεπρεσεντσ τηε σηορτεστ διστανχε βετωεεν τηε Εαρτη ανδ τηε αστεροιδ (ηενχε ιτ ισ στριχτλψ ρελατεδ το τηε γεοmετριχαλ ϖαριατιον οφ τηε ΜΟΙD), ωηερεασ τηε χοmπονεντ ισ α mεασυρε οφ τηε τιmε σηιφτ βετωεεν τηε αστεροιδ ανδ τηε Εαρτη πασσαγε ατ τηε ΜΟΙD [131]. Τηε διφφερενχε ιν τηε τηρεε στρατεγιεσ χαν βε αππρεχιατεδ ιν Φιγυρε.17α (αστεροιδ ΣΓ344) ανδ Φιγυρε.17β (αστεροιδ 1979ΞΒ), ωηιχη ρεπρεσεντ τηε εϖολυτιον οφ τηε τωο χοmπονεντσ ιν τηε β πλανε αλονγ τηε τιmε αξισ. 44

78 Chapter. Impulsive NEO deflection 3.5 x 14 5 x 15 ζ [km] ζ [km] ζ [km] ξ [km] 1 α) ξ [km] β) ζ [km] ζ [km] ζ [km] ξ [km] ξ [km] ξ [km] ξ [km] χ) Φιγυρε.16: Προϕεχτιον ον τηε b πλανε οφ τηε δεϖιατιον φορ αστεροιδ ΣΓ344 (λεφτ) ανδ αστεροιδ 1979ΞΒ (ριγητ) ωιτη ϖ =.7 m/σ αππλιεδ α) αλονγ τηε τανγεντ το τηε mοτιον, β) αλονγ τηε νορmαλ το τηε mοτιον, ανδ χ) αλονγ τηε h διρεχτιον

79 .1. Asteroid deviation problem t [T NEO ] ξ [km] ζ [km] t [T NEO ] ξ [km] x 1 5 α) β) Φιγυρε.17: Προϕεχτιον ον τηε b πλανε, φυνχτιον οφ t φορ α) αστεροιδ ΣΓ344 ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ ζ [km] δv t δv n δv h δv opt t d = t pericentre t d = t MOID kt NEO t d = t apocentre 1 Φιγυρε.18 σηοωσ τηε ρεσυλτ οφ α δεφλεχτιον αχτιον αλονγ τηε τηρεε διρεχτιονσ ανδ ιν τηε οπτιmαλ διρεχτιον φορ α λοω εχχεντριχ ορβιτ (αστεροιδ ΣΓ344) ανδ α ηιγηλψ ελλιπτιχαλ ορβιτ (αστεροιδ 1979ΞΒ). Ιτ χαν βε νοτεδ τηατ φορ ηιγηλψ ελλιπτιχαλ ορβιτσ, συχη ασ αστεροιδ 1979ΞΒ (σεε Φιγυρε.18β), τηε βεστ ρεσυλτσ αρε αχηιεϖεδ ιφ τηε ιmπυλσε ισ γιϖεν ατ τηε περιχεντρε οφ τηε ορβιτ. Α ϖ ατ τηε αποχεντρε ον τηε οτηερ ηανδ ισ αλmοστ τηε λεσσ εφφιχιεντ αχτιον, βεχαυσε ιτ χηανγεσ (ρελατεδ το τηε ΜΟΙD) βυτ νοτ. Νοτε τηατ βψ αχτινγ κ ορβιταλ περιοδσ βεφορε τηε τιmε ατ τηε ΜΟΙD (ωηερε κ ισ αν ιντεγερ νυmβερ), τηε δεϖιατιον χοmπονεντ αλονγ ισ ζερο. Φορ αν ορβιτ ωιτη α λοω εχχεντριχιτψ (σεε Φιγυρε.18α), α δεϖιατιον mανοευϖρε ατ τηε περιχεντρε ισ στιλλ τηε mοστ εφφιχιεντ, τηουγη ιτ δοεσ νοτ mαξιmισε. δv t 3 x δv n δv h δv opt.5 ζ [km] 1 5 t d = t pericentre t = t kt d MOID NEO t d = t apocentre ζ [km] ξ [km] ξ [km] α) β) Φιγυρε.18: Προϕεχτιον ον τηε b-πλανε οφ τηε δεϖιατιον. ϖ =.7 m/σ αππλιεδ αλονγ τηε οπτιmαλ (νορmαλ λινε), τηε τανγεντ το τηε mοτιον (δαρκ γρεψ νορmαλ λινε), τηε νορmαλ το τηε mοτιον (βλαχκ βολδ λινε), ανδ τηε h (λιγητ γρεψ βολδ λινε) διρεχτιονσ φορ α) αστεροιδ ΣΓ344 ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ. 46

80 Chapter. Impulsive NEO deflection Analysis on the uncertainties on the impulsive manoeuvre Αν αναλψσισ ον τηε υνχερταιντιεσ δυε το α ποσσιβλε ερρορ ιν τηε ιmπυλσιϖε mανοευϖρε mαγνιτυδε ανδ διρεχτιον χαν βε περφορmεδ, εξπλοιτινγ τηε ρεπρεσεντατιον ον τηε β πλανε. Τηε δεϖιατιον ωασ χαλχυλατεδ φορ ινχρεασινγ ϖαλυεσ οφ τιmε το ΜΟΙD τ, βψ αππλψινγ αν ιmπυλσιϖε mανοευϖρε αλονγ τηε τανγεντιαλ διρεχτιον ανδ ασσυmινγ αν ερρορ ον τηε διρεχτιον ανδ τηε mαγνιτυδε οφ τηε ϖ. Α νορmαλ διστριβυτιον ωασ υσεδ το mοδελ τηε τηρεε χοmπονεντ οφ ϖ ϖ Τ τ ϖν ϖη, χηαραχτερισεδ βψ α mεαν ϖαλυε ϖmεαν οφ: ϖ ϖ ϖ τ, mεαν ν, mεαν η, mεαν.7 m/σ m/σ m/σ Τηε αναλψσισ ωασ περφορmεδ ωιτη τωο διφφερεντ ϖαλυεσ οφ στανδαρδ δεϖιατιον (ιν εαχη χασε τακεν εθυαλ φορ αλλ τηε τηρεε χοmπονεντσ). Φιγυρε.19 σηοωσ τηε διστριβυτιον οφ τηε χοmπονεντσ οφ ϖ, ωιτη α στανδαρδ δεϖιατιον εθυιϖαλεντ το 3 ϖ τ, mεαν 1 ανδ Φιγυρε. ρεπρεσεντσ τηε προϕεχτιον οφ τηε χονσεθυεντ δεϖιατιον ον τηε β πλανε. Το τηε δεϖιατιον αχηιεϖεδ ωιτη.7 m/σ (αλσο ϖ τ ρεπρεσεντεδ ιν Φιγυρε.18), τηε προϕεχτιον οφ τηε δεφλεχτιον χονσιδερινγ αν υνχερταιντψ ον τηε ϖ ισ συπεριmποσεδ. Φορ εαχη νοmιναλ ποιντ, χορρεσπονδινγ το α χερταιν τ, τηε σηαπε οφ τηε υνχερταιντψ ρεγιον (σηαπε ιν χολουρ mαγεντα) ασσυmεσ α ρουγηλψ ελλιπτιχαλ σηαπε, ωηιχη χηανγεσ ανδ ροτατεσ δεπενδινγ ον τηε ϖαλυε οφ τηε τιmε το ΜΟΙD. Φιγυρε.1 ανδ Φιγυρε. χονταιν τηε ϖ διστριβυτιον ανδ τηε χορρεσπονδινγ προϕεχτιον οφ τηε δεϖιατιον, ασσυmινγ α στανδαρδ δεϖιατιον εθυιϖαλεντ το 3 ϖ τ 1., mεαν 47

81 .1. Asteroid deviation problem 1 ζ [km] a) δv [km/s] t x δv x 1 7 n [km/s] b) δv x 1 7 h [km/s] c) Φιγυρε.19: Dιστριβυτιον οφ τηε χοmπονεντσ οφ ϖ, ρεπρεσεντεδ τηρουγη τηε Γαυσσιαν mεmβερσηιπ φυνχτιον, ωιτη 3 = v t, mεαν /1. α) Τανγεντιαλ χοmπονεντ, β) νορmαλ χοmπονεντ, ανδ χ) χοmπονεντ αλονγ τηε h διρεχτιον.. x δv t δv uncertainties 3σ=δv t, mean / ξ [km] ξ [km] 1 15 α) β) Φιγυρε.: Προϕεχτιον ον τηε b-πλανε οφ τηε δεϖιατιον. v t, mεαν =.7 m/σ αππλιεδ αλονγ τηε τανγεντ διρεχτιον ωιτη 3 = v t, mεαν /1 φορ α) αστεροιδ ΣΓ344 ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ. ζ [km].5 x δv t δv uncertainties 3σ=δv t, mean /1 48

82 Chapter. Impulsive NEO deflection 1.5 a) δv [km/s] t x 1 5 ζ [km] b) δv n [km/s] x δv x 1 6 h [km/s] c) Φιγυρε.1: Dιστριβυτιον οφ τηε χοmπονεντσ οφ ϖ, ρεπρεσεντεδ τηρουγη τηε Γαυσσιαν mεmβερσηιπ φυνχτιον, ωιτη 3 = v t, mεαν /1. α) Τανγεντιαλ χοmπονεντ, β) νορmαλ χοmπονεντ, ανδ χ) χοmπονεντ αλονγ τηε h διρεχτιον.. x δv t δv uncertainties 3σ=δv t, mean /1 ζ [km] ξ [km] ξ [km] α) β) Φιγυρε.: Προϕεχτιον ον τηε b-πλανε οφ τηε δεϖιατιον. v t, mεαν =.7 m/σ αππλιεδ αλονγ τηε τανγεντ διρεχτιον ωιτη 3 = v t, mεαν /1 φορ α) αστεροιδ ΣΓ344 ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ x δv t δv uncertainties 3σ=δv t, mean /1 49

83 .. Mission options for impulsive deviation.. Mission options for impulsive deviation Ιν τηε φολλοωινγ σεχτιον, ωε φοχυσ τηε αττεντιον ον τηε αναλψσισ οφ οπτιmαλ ιmπαχτ στρατεγιεσ φορ τηε δεφλεχτιον οφ ΝΕΟσ. Αmονγ τηε διφφερεντ πρεϖεντιον στρατεγιεσ χονσιδερεδ αγαινστ α ποτεντιαλ ηαζαρδουσ οβϕεχτ ιν χολλισιον ρουτε ωιτη τηε Εαρτη, τηε σιmπλεστ ονε ισ τηε κινετιχ ιmπαχτ. Ιν φαχτ, ασ ωιλλ βε σηοων, εφφεχτιϖε κινετιχ ιmπαχτσ ρεσυλτινγ ιν α ϖαριατιον οφ τηε ΜΟΙD οφ τηουσανδ οφ κιλοmετρεσ σεεm το βε αλρεαδψ αχηιεϖαβλε ωιτη τηε χυρρεντ λαυνχη ανδ σπαχεχραφτ χαπαβιλιτιεσ, προϖιδεδ τηατ τηε τιmε διφφερενχε βετωεεν τηε mοmεντυm χηανγε ανδ τηε ποτεντιαλ Εαρτη ιmπαχτ ισ λαργε ενουγη. Τηε ιδεαλ οπτιmαλ δεφλεχτιον χονδιτιονσ, δεριϖεδ ιν Σεχτιον.1.1, χαννοτ αλωαψσ βε αχηιεϖεδ, βεχαυσε τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ το τηε αστεροιδ mυστ βε ινχλυδεδ ιν τηε δεσιγν οφ α γενεριχ mιτιγατιον mισσιον. Τηε αναλψτιχαλ φορmυλατιον οφ τηε mαξιmυm δεϖιατιον προβλεm χαν βε υσεδ το φινδ α ωιδε ρανγε οφ λαυνχη οππορτυνιτιεσ. Α ωιδε νυmβερ οφ ταργετ ΝΕΟσ ωασ σελεχτεδ φορ τηισ αναλψσισ. Τηε ιδεα ισ το εξπλορε, φορ εαχη ονε οφ τηεm, α ωιδε ιντερϖαλ οφ λαυνχη δατεσ ανδ τρανσφερ τιmεσ ανδ το χολλεχτ αλλ τηε σολυτιονσ τηατ mαξιmισε τηε δεϖιατιον ανδ mινιmισε τηε ωαρνινγ τιmε. Ιτ ωασ δεχιδεδ το λοοκ ονλψ φορ mισσιον οπτιονσ ωιτη α ρελατιϖελψ λοω τρανσφερ τιmε; τηερεφορε, ονλψ διρεχτ τρανσφερσ ανδ τρανσφερσ ωιτη ονε σινγλε σωινγ βψ οφ ςενυσ αρε χονσιδερεδ. Λονγερ σεθυενχεσ οφ σωινγ βψσ, τηουγη ιmπροϖινγ τηε δεϖιατιον, ωουλδ ιmπλψ α λονγερ τερm πλαννινγ ανδ mορε χοmπλεξ οπερατιονσ...1. Targets selection Ποτεντιαλλψ Ηαζαρδουσ Αστεροιδσ, α συβχλασσ οφ ΝΕΟσ, αρε δεφινεδ βασεδ ον παραmετερσ τηατ mεασυρε τηε αστεροιδ σ ποτεντιαλ το mακε δανγερουσλψ χλοσε αππροαχηεσ το Εαρτη. Dιφφερεντ ρεσεαρχη γρουπσ ιν τηε ωορλδ κεεπ υπδατεδ δαταβασεσ [συχη ασ τηε Σεντρψ σψστεm [1] ατ τηε ϑετ Προπυλσιον Λαβορατορψ (ϑπλ) ορ τηε Νεαρ Εαρτη Οβϕεχτσ Dψναmιχ Σιτε (ΝΕΟDψΣ) [13] ατ τηε ρεσεαρχη χεντρε ιν Πισα, Ιταλψ] τηατ χοντινυουσλψ ασσεσ τηε ρισκ ποσεδ βψ τηεσε οβϕεχτσ. Ασ mορε γρουνδ βασεδ οβσερϖατιονσ βεχοmε αϖαιλαβλε α mορε αχχυρατε δετερmινατιον οφ τηε ΠΗΑσ ορβιτσ ωιλλ βε περφορmεδ ανδ, ασ α χονσεθυενχε, σοmε οφ τηε αστεροιδσ mιγητ βε ρεmοϖεδ φροm τηε ποσσιβλε ιmπαχτ ρισκσ λιστ. Ηοωεϖερ, λοοκινγ ατ τηε χυρρεντ 5

84 Chapter. Impulsive NEO deflection εστιmατε φορ ποτεντιαλ ιmπαχτσ τηρουγη τηε νεξτ χεντυρψ, τηερε αρε στιλλ α φεω οβϕεχτσ ωηοσε ιmπαχτ προβαβιλιτψ ισ νοτ νεγλιγιβλε ιν στατιστιχαλ τερmσ. Ταβλε.1 σηοωσ αν εξτραχτ οφ 3 οβϕεχτσ τακεν φροm τηε ϑπλ χαταλογυε οφ αστεροιδσ, ωιτη τηε εξχεπτιον οφ 4ςD17, ωηιχη, αλτηουγη φορεσεεν το ηαϖε ιτσ χλοσεστ αππροαχη ωιτη τηε Εαρτη ιν τηε ψεαρσ 1 14, ισ χυρρεντλψ χονσιδερεδ ασ τηε mοστ δανγερουσ οβϕεχτσ ιν τερmσ οφ ιmπαχτ προβαβιλιτψ, δυε το ιτσ λαργε σιζε ρελατιϖε το τηε οτηερ ΠΗΑσ λιστεδ. Ταβλε.1 λιστσ τηε αστεροιδσ ανδ τηειρ προπερτιεσ, υσεδ ιν τηε αναλψσισ. Φορ σιmπλιχιτψ, εαχη αστεροιδ ισ γιϖεν α λοχαλ ρεφερενχε νυmβερ (ινστεαδ οφ υσινγ τηε φορmαλ ναmεσ ορ ιντερνατιοναλ Ιδ νυmβερσ). Τηε σεmι mαϕορ αξισ α ισ γιϖεν ιν αστρονοmιχαλ υνιτσ; τηε ινχλινατιον ι, αργυmεντ οφ τηε ασχενδινγ νοδε, ανοmαλψ οφ τηε περιχεντρε, ανδ mεαν mοτιον Μ αρε ιν δεγρεεσ; τηε εστιmατεδ mασσ ισ ιν κιλογραmσ, ανδ τηε εποχη ισ γιϖεν ιν Μοδιφιεδ ϑυλιαν Dαψσ (ΜϑD). Τηε λιστ χονσιδερεδ χονταινσ σοmε βοδιεσ τηατ ηαϖε ρεχεντλψ βεχοmε οβϕεχτσ οφ ιντερεστ φορ τηε σχιεντιφιχ χοmmυνιτψ: Αποπηισ, 4ςD17, ανδ 5WΨ5 αρε, ιν φαχτ, ρεπορτεδ ιν τηε ϑπλ χαταλογυε οφ τηε mοστ ρεχεντλψ οβσερϖεδ οβϕεχτσ ασ τηε χυρρεντλψ mοστ ρισκψ, ηαϖινγ α Παλερmο σχαλε [15] ρανγινγ βετωεεν.57 ανδ.61. Σοmε οφ τηε οβϕεχτσ ιν τηε λιστ αρε αmονγ τηοσε νοτ ρεχεντλψ οβσερϖεδ ορ εϖεν λοστ, ωηιχη ισ α mαϕορ ισσυε ιν τηε χυρρεντ ασσεσσmεντ οφ τηειρ ρισκ. Βεχαυσε οφ τηε λιmιτεδ χαπαβιλιτιεσ οφ γρουνδ βασεδ οβσερϖατιον ανδ λιmιτεδ αϖαιλαβλε ρεσουρχεσ, mοστ οφ τηε ηαζαρδουσ οβϕεχτσ χαν βε λοστ φορ σεϖεραλ ψεαρσ, ρεσυλτινγ ιν τηε ποσσιβιλιτψ τηατ ωηεν νεω οβσερϖατιονσ οφ τηε οβϕεχτσ αρε αϖαιλαβλε αγαιν, τηεψ χουλδ δεφινιτελψ ρυλε ουτ τηε ποσσιβιλιτψ οφ αν ιmπαχτ ορ αχτυαλλψ τυρν ουτ το ηαϖε αν ινχρεασεδ ιmπαχτ προβαβιλιτψ, ωιτη τηε αδδιτιοναλ δραωβαχκ οφ α ρεδυχεδ ωαρνινγ τιmε. Τηε ρατιοναλε βεηινδ τηε σελεχτιον πρεσεντεδ ιν Ταβλε.1 ισ τωοφολδ. Wε αρε ιντερεστεδ ιν προϖιδινγ σοmε γενεραλ χονσιδερατιονσ ον οπτιmαλ ιmπαχτ τραϕεχτοριεσ ανδ χονσεθυεντ δεϖιατιονσ στρατεγιεσ, ανδ φορ τηισ ρεασον, ωε συρϖεψεδ α σετ οφ ποτεντιαλ δανγερουσ οβϕεχτσ πρεσεντινγ α λαργε ϖαριετψ οφ ορβιταλ ανδ πηψσιχαλ χηαραχτεριστιχσ. Ασ χαν βε νοτιχεδ φροm Ταβλε.1, ουρ σελεχτιον χολλεχτσ οβϕεχτσ ηαϖινγ σεmι mαϕορ αξεσ ρανγινγ βετωεεν.85 ανδ 3 ΑΥ, εχχεντριχιτψ ασ ηιγη ασ.9 ανδ ορβιταλ ινχλινατιον υπ το 8 δεγ, ωιτη εστιmατεδ mασσεσ ιν α ρανγε Dατα αϖαιλαβλε ονλινε ατ ηττπ://νεο.ϕπλ.νασα.γοϖ/ρισκ/ [Ρετριεϖεδ 13 Μαρχη 8]. ςαλυε φροm ηττπ://νεο.ϕπλ.νασα.γοϖ/ρισκ/ [Ρετριεϖεδ 13 Μαρχη 8]. 51

85 .. Mission options for impulsive deviation βετωεεν 1 7 ανδ 1 1 κγ. Συχη συβσταντιαλ διφφερενχεσ ιν βοτη ορβιταλ ελεmεντσ ανδ mασσ ωιλλ εϖεντυαλλψ αφφεχτ τηε οπτιmαλ ιmπαχτ ανδ δεφλεχτιον στρατεγψ. Ατ τηε σαmε τιmε, ωε ωαντ το λοοκ ατ σοmε αχτυαλ σαmπλε χασεσ, χονσιδερινγ ρεαλ οβϕεχτσ ωηιχη χυρρεντλψ ηαϖε θυιτε α ηιγη ιmπαχτ προβαβιλιτψ (υσυαλλψ ινδιχατεδ ιν τερmσ οφ Παλερmο σχαλε), το προϖιδε α ωορστ χασε ασσεσσmεντ οφ τηε χυρρεντ ανδ σηορτ τερm φυτυρε χαπαβιλιτιεσ οφ δεφλεχτινγ ηαζαρδουσ οβϕεχτσ συχη ασ Αποπηισ ορ 4ςD17 ιφ συχη αν υνλικελψ, βυτ ηιγηλψ δισαστρουσ, εϖεντ σηουλδ εϖερ βε φαχεδ βψ ουρ σοχιετψ. Τηε ΜΟΙD ρ ωασ χαλχυλατεδ υσινγ τηε Εαρτη σ επηεmεριδεσ ον τηε 1 στ οφ ϑανυαρψ ατ 1: ηρσ ( ΜϑD σινχε ). Ασ α χονσεθυενχε οφ τηισ αππροξιmατιον, τηε ΜΟΙD οφ αστεροιδ 1997ΞΡ ισ λεσσ τηαν τηε Εαρτη σ ραδιυσ. Τηε αχτυαλ ΜΟΙD ϖαριεσ ωιτη τιmε [13], δυε το τηε αχτυαλ ορβιτ οφ βοτη τηε Εαρτη ανδ τηε αστεροιδ; φυρτηερmορε, α ΜΟΙD σmαλλερ τηαν τηε ραδιυσ οφ τηε Εαρτη δοεσ νοτ ιmπλψ αν ιmmινεντ ιmπαχτ, βεχαυσε τηε Εαρτη ανδ τηε αστεροιδ χουλδ νοτ βε ατ τηε ΜΟΙD ατ τηε σαmε τιmε. Νοτε τηατ, τηε αιm οφ τηισ ωορκ ισ νοτ το ρεπροδυχε α ρεαλιστιχ ιmπαχτ σχεναριο, βυτ ρατηερ το ασσεσσ τηε αχτυαλ αχηιεϖαβλε δεϖιατιον, ασ οπποσεδ το τηε τηεορετιχαλ δεϖιατιον, δεριϖεδ ιν τηε Σεχτιον.1, δεπενδινγ ον τηε mασσ ανδ ορβιταλ χηαραχτεριστιχσ οφ τηε αστεροιδ. Ιν τηισ ρεσπεχτ τηε mοδυλυσ ανδ διρεχτιον οφ τηε ΜΟΙD ϖεχτορ πλαψ αν ιmπορταντ ρολε, ασ ωιλλ βε δεmονστρατεδ ιν τηε φολλοωινγ σεχτιονσ. Α mορε αχχυρατε χαλχυλατιον οφ τηε ΜΟΙD ωουλδ προδυχε α mορε πρεχισε εστιmατιον οφ τηε αχτυαλ αχηιεϖαβλε δεϖιατιον, βυτ ωουλδ νοτ ινϖαλιδατε τηε ρεσυλτσ οφ τηισ δισσερτατιον. Ταβλε.1: Πηψσιχαλ παραmετερσ φορ χονσιδερεδ ΝΕΟσ. Ιδ Ναmε α ε ι Μ Εποχη Μασσ ρ [ΑΥ] [δεγ] [δεγ] [δεγ] [δεγ] [ΜϑD] [κγ] [κm] 1 4ςD , ,479. Αποπηισ , , WΨ , , ΞΡ , , WΡ , , ΞΒ , ,7, ΣΓ , , ΘΣ , , Ηϑ , ,97, ΤΥ , ,15, ΞΚ , , ΓΚ , , ΣΒ , ,6.54 5

86 Chapter. Impulsive NEO deflection Ιδ Ναmε α ε ι Μ Εποχη Μασσ ρ [ΑΥ] [δεγ] [δεγ] [δεγ] [δεγ] [ΜϑD] [κγ] [κm] 14 1ΧΑ , ,574, ΘΚ , , ΤΞ , , ΕΛ , ,38, ΒΒ , , ςυ , ,5, ΤΥ , , Ας , ,55.85 ΡΒ , , Γϑ , ,95, ΦΒ , ,781, ΝΞ , ,98, ΤΧ , ,35, Π Λ , ,183, ΜΕ , ,343, Θϑ , , ΓΕ , , Impact model and optimisation problem definition Τηε ιmπαχτ βετωεεν τηε σπαχεχραφτ ανδ τηε αστεροιδ ισ χονσιδερεδ το βε περφεχτλψ ινελαστιχ; ωε δο νοτ τακε ιντο χονσιδερατιον αδδιτιοναλ ιmπυλσιϖε εφφεχτσ δυε το τηε εϕεχτιον οφ mασσ ορ γασσεσ. Τηε ϖαριατιον οφ ϖελοχιτψ ιmπαρτεδ βψ τηε σπαχεχραφτ το τηε αστεροιδ ισ τηερεφορε γιϖεν βψ τηε εθυατιον: δ ϖ ϖ (.16) m m m ΝΕΟ δ ωηερε τηε ρελατιϖε ϖελοχιτψ ϖ οφ τηε σπαχεχραφτ ωιτη ρεσπεχτ το τηε αστεροιδ ατ τηε ιmπαχτ ποιντ ισ χοmπυτεδ φροm τηε επηεmεριδεσ οφ τηε αστεροιδ ανδ φροm τηε σολυτιον οφ Λαmβερτ σ προβλεm φορ τηε σπαχεχραφτ, ανδ τηε παραmετερ (ρεπρεσεντινγ τηε mοmεντυm ενηανχεmεντ φαχτορ) ηασ α ϖαλυε οφ 1 ιν τηισ ιmπλεmεντατιον. Τηε mασσ οφ τηε αστεροιδ m ΝΕΟ ωασ εστιmατεδ φροm ιτσ mεασυρεδ mαγνιτυδε, ωηερεασ τηε mασσ οφ τηε σπαχεχραφτ τηε ροχκετ εθυατιον ασ φολλοωσ: m δ ατ τηε ιmπαχτ ποιντ ωασ χοmπυτεδ τηρουγη 53

87 .. Mission options for impulsive deviation m δ ϖ m εξπ γι τοτ σπ ωηερε τηε σπεχιφιχ ιmπυλσε Ι σπ ωασ τακεν εθυαλ το 315 σ ανδ τηε τοταλ ϖ τοτ ισ τηε συm οφ αλλ τηε ρεθυιρεδ mανοευϖρεσ τηατ τηε σπαχεχραφτ ηασ το περφορm αφτερ λαυνχη. Νοτε τηατ m δ, ατ τηε δενοmινατορ οφ Εθ. (.16), χαν βε νεγλεχτεδ. Αλλ τηε χελεστιαλ βοδιεσ αρε χονσιδερεδ το βε ποιντ mασσεσ ωιτη νο γραϖιτψ, τηε επηεmεριδεσ οφ τηε αστεροιδσ ωερε χοmπυτεδ υσινγ τηε mεαν ορβιταλ ελεmεντσ ιν Ταβλε.1, ανδ αναλψτιχαλ επηεmεριδεσ χονσιδερινγ τηε λονγ τερm ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ ελεmεντσ ωερε υσεδ φορ τηε Εαρτη ανδ φορ ςενυσ. Τηε mοδελ οφ αναλψτιχ επηεmεριδεσ αππροξιmατεσ ϑπλ επηεmεριδεσ δε45. Ιν τηε χασε οφ διρεχτ Εαρτη αστεροιδ τρανσφερσ, ϖ τοτ ισ τηε ρεθυιρεδ ϖελοχιτψ χηανγε ατ τηε Εαρτη το ρεαχη τηε αστεροιδ, ιν τηε χασε οφ Εαρτη ςενυσ αστεροιδ τρανσφερσ, ϖ τοτ αχχουντσ φορ τηε ρεθυιρεδ ϖελοχιτψ χηανγε ατ τηε Εαρτη το ρεαχη ςενυσ, πλυσ τηε δεεπ σπαχε χορρεχτιον ρεθυιρεδ αφτερ τηε ςενυσ σωινγ βψ το ρεαχη τηε αστεροιδ (φυρτηερ δεταιλσ ον τηε τραϕεχτορψ mοδελ χαν βε φουνδ ιν [119]). Τηε ινιτιαλ mασσ οφ τηε σπαχεχραφτ ισ m 1 κγ, ανδ τηε λαυνχηερ ισ ασσυmεδ το προϖιδε αν εσχαπε ϖελοχιτψ οφ.5 κm/σ. Ιφ τηε ρεθυιρεδ ϖ ατ λαυνχη ισ λεσσ τηαν τηε εσχαπε ϖελοχιτψ προϖιδεδ βψ τηε λαυνχηερ, α ηιγηερ εφφεχτιϖε mασσ ατ λαυνχη ισ χονσιδερεδ, το φυλλψ εξπλοιτ τηε λαυνχηερ χαπαβιλιτιεσ. Ιν τηισ χασε τηε ινιτιαλ mασσ ισ: m ϖ 1εξπ εξχ γι σπ ωηερε ϖ.5 ϖ εξχ λαυνχη. Wε χονσιδερ τηατ α mινιmυm οφ % οφ τηε mασσ οφ τηε σπαχεχραφτ ατ λαυνχη ισ αλλοχατεδ το στρυχτυρε ανδ συβσψστεmσ, ωηερεασ α mινιmυm οφ 1% οφ τηε προπελλαντ mασσ ισ αλλοχατεδ το τανκσ ανδ προπυλσιον σψστεm; τηερεφορε τηε θυαντιτψ Ηενχε, ωε δεφινε α χονστραιντ ϖ γι τοτ 1.1εξπ.3 Χ m σπ ατ ιmπαχτ mυστ βε ποσιτιϖε. ον τηε ρεσιδυαλ mασσ χοmπυτεδ ατ τηε ιmπαχτ: Dατα αϖαιλαβλε ονλινε ατ ηττπ://ναιφ.ϕπλ.νασα.γοϖ/ναιφ/πδσ.ητmλ [Ρετριεϖεδ 13 Μαρχη 8]. 54

88 Chapter. Impulsive NEO deflection Χ m ϖ γι σπ τοτ mαξ σιγν 1.1εξπ.3, Τηε δεϖιατιον ρ ισ τηερεφορε α φυνχτιον οφ τηε mασσ οφ τηε σπαχεχραφτ ατ ιmπαχτ ανδ χαν βε ωριττεν ιν χοmπαχτ φορm ασ φολλοωσ: Χm m ρ m δ ΝΕΟ ϖ ωηερε ισ τηε τρανσιτιον mατριξ ιντροδυχεδ ιν Σεχτιον mοδυλυσ οφ τηε ΜΟΙD αφτερ δεϖιατιον τηεν βεχοmεσ:.1.1. Τηε σθυαρε οφ τηε ϑ Τ Χm Χm ρ ϖ ρ ϖ (.17) m δ m δ mνεο mνεο ωηιχη ηασ το βε mαξιmισεδ ωιτη ρεσπεχτ το τηε λαυνχη δατε τ ανδ τηε δεϖιατιον τιmε τδ. Νοτε τηατ, φροm τηε αναλψσισ πρεσεντεδ ιν Σεχτιον.1.3 τηε στρατεγιεσ τηατ αιmσ ατ mαξιmισινγ β αρε mορε αχχυρατε τηαν τηε ονεσ αιmινγ ατ τηε mαξιmισατιον οφ ρ. Ηοωεϖερ, ιν τηε φολλοωινγ, ωε υσε τηε λαττερ στρατεγψ, βεχαυσε ιτ προϖιδεσ γοοδ ανδ ρελιαβλε ρεσυλτσ φορ mεδιυm το λονγ τιmεσ το ΜΟΙD ανδ ρεθυιρεσ α λοωερ χοmπυτατιοναλ χοστ. Το βεττερ εξαmινε τηε φυλλ ρανγε οφ λαυνχη οππορτυνιτιεσ, τηρεε διφφερεντ οπτιmισατιονσ ωερε ρυν, φιξινγ τηρεε διφφερεντ υππερ λιmιτσ φορ τηε mαξιmυm ωαρνινγ τιmε, ωηιχη ισ τηε τιmε φροm λαυνχη το τηε τιmε τηε αστεροιδ ρεαχηεσ τηε ΜΟΙD: ρεσπεχτιϖελψ, υπ το 5, 1, ανδ 15 ψεαρσ. Τηισ ωασ οβταινεδ βψ φιξινγ τηε υππερ λιmιτ φορ α ποσσιβλε λαυνχη δατε το, ρεσπεχτιϖελψ, [ ] ΜϑD, [365 73] ΜϑD, ανδ [ ] ΜϑD. Βεχαυσε τηε ωαρνινγ τιmε χαν βε υπ το 15 ψεαρσ, ωε χοmπυτεδ αλλ τηε τιmεσ τηε αστεροιδ ισ χροσσινγ τηε ΜΟΙD φορ υπ το 15 ψεαρσ αφτερ τηε υππερ λιmιτ φορ τηε λαυνχη δατε, ανδ ωε τοοκ τηε φιρστ δατε τηε αστεροιδ ρεαχηεσ τηε ΜΟΙD. Βεχαυσε σοmε αστεροιδσ ιν Ταβλε.1 χαννοτ βε Το ηαϖε α πρεχισε εστιmατε οφ τηε mισσ διστανχε φροm τηε Εαρτη, τηε προϕεχτιον ον τηε β πλανε οφ ρ ρ σηουλδ βε χοmπυτεδ. Ηερε, ηοωεϖερ, ωε αρε νοτ ιντερεστεδ ιν χοmπυτινγ τηε mινιmυm διστανχε φροm τηε Εαρτη, ρατηερ το χοmπυτε τηε οπτιmαλ mανοευϖρε ανδ ωε δο νοτ χονσιδερ τηε Εαρτη το βε ατ τηε ΜΟΙD ποιντ ωηεν τηε αστεροιδ χροσσεσ ιτ. 55

89 .. Mission options for impulsive deviation ρεαχηεδ ωιτη α λοω χοστ διρεχτ τρανσφερ, τηε βενεφιτσ οφ α σινγλε σωινγ βψ mανοευϖρε ωιτη ςενυσ ωερε αλσο αναλψσεδ. Μορε χοmπλεξ σεθυενχεσ ανδ mυλτι βυρν mανοευϖρεσ χαν φυρτηερ ιmπροϖε τηε δεϖιατιον ιν τηε δεσιρεδ τιmε φραmε; τηισ ωιλλ βε τηε συβϕεχτ οφ φυτυρε ωορκ. Ασ ωε αρε ιντερεστεδ ιν α λαργε νυmβερ οφ λοχαλ mινιmα φορ τηε οβϕεχτιϖε φυνχτιον γιϖεν ιν Εθ. (.17) ρατηερ τηαν ονλψ τηε γλοβαλ mινιmυm, ωε υσεδ α παρτιχυλαρ γλοβαλ οπτιmισατιον mετηοδ τηατ βλενδσ α στοχηαστιχ σεαρχη ωιτη αν αυτοmατιχ σολυτιον σπαχε δεχοmποσιτιον τεχηνιθυε (σεε Σεχτιον 4.3). Τηισ mετηοδ ηασ προϖεν το βε παρτιχυλαρλψ εφφεχτιϖε ωηεν χοmπαρεδ το χοmmον οπτιmισατιον mετηοδσ, εσπεχιαλλψ ωηεν αππλιεδ το σπαχε τραϕεχτορψ οπτιmισατιον προβλεmσ [116],[117]. Φυρτηερmορε, ιτ ισ εξπεχτεδ τηατ τηε λαργεστ δεϖιατιονσ χαν βε οβταινεδ ωιτη τηε λονγεστ ωαρνινγ τιmε; τηυσ, ωε περφορmεδ αν αδδιτιοναλ αναλψσισ, mινιmισινγ τηε ωαρνινγ τιmε τ αλονγ ωιτη οβϕεχτιϖε φυνχτιον (.17): ω τ τ τ ω ΜΟΙD Φορ τηισ σεχονδ αναλψσισ, τηε αιm ισ το φινδ τηε σετ οφ Παρετο οπτιmαλ σολυτιονσ (ι.ε., αλλ τηοσε σολυτιονσ φορ ωηιχη τηερε ισ νο οτηερ σολυτιον τηατ ηασ α βεττερ ϖαλυε φορ βοτη ϑ ανδ τ ). Wε υσεδ τηε σαmε οπτιmισατιον mετηοδ βυτ ιν ιτσ ω mυλτι οβϕεχτιϖε ϖερσιον [133] (α mορε εξτενσιϖε εξπλανατιον οφ τηε mυλτι χριτερια οπτιmισατιον προβλεm φορmυλατιον ωιλλ βε γιϖεν ιν Σεχτιον 4.3)...3. Results Single-objective optimisation Τηε ρεσυλτσ οφ τηε σινγλε οβϕεχτιϖε οπτιmισατιον χονσιστ οφ α νυmβερ οφ φαmιλιεσ οφ mισσιον οππορτυνιτιεσ φορ εαχη υππερ βουνδαρψ ον τηε mαξιmυm ωαρνινγ τιmε. Wηεν τηε αστεροιδ ηασ ηιγη ινχλινατιον, τηε οπτιmαλ ιντερχεπτιον ποιντσ αρε χονχεντρατεδ χλοσε το τηε ασχενδινγ ανδ δεσχενδινγ νοδε οφ τηε ορβιτ. Τωο εξαmπλεσ αρε σηοων ιν Φιγυρε.3 (αστεροιδ 1979ΞΒ ανδ αστεροιδ 1996ΤΧ1), ανδ τηε ϖαλυε οφ τηε αργυmεντ οφ λατιτυδε ατ ιντερχεπτιον ισ σηοων ιν Φιγυρε.4. Ασ χαν βε σεεν ιν Φιγυρε.3, τηε ιντερχεπτιον ποιντσ, mαρκεδ ωιτη α 56

90 Chapter. Impulsive NEO deflection δοτ, αρε στραδδλινγ τηε περιχεντρε. Τηισ ισ τηε βεστ χοmπροmισε βετωεεν αν ιmπαχτ ατ τηε περιχεντρε, ωηιχη ισ τηε ποιντ τηατ ενσυρεσ τηε mαξιmυm χηανγε ιν τηε ορβιταλ περιοδ, ανδ τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ το ρεαχη τηε αστεροιδ φροm τηε Εαρτη. Ον τηε οτηερ ηανδ, ωηεν τηε περιχεντρε οφ τηε αστεροιδ ορβιτ ισ χλοσε το τηε Εαρτη ορβιτ, ασ ιν τηε χασε οφ αστεροιδ ΣΒ45 ανδ ΤΞ55 (σεε Φιγυρε.5), mανψ οπτιmαλ σολυτιονσ αρε γρουπεδ αρουνδ τηε περιχεντρε. Τηε ϖαλυε οφ τηε ιmπαχτ ϖελοχιτψ ισ αλmοστ α λινεαρ φυνχτιον οφ τηε εχχεντριχιτψ οφ τηε ορβιτ (σεε Φιγυρε.6α), ανδ ιτσ ουτ οφ πλανε χοmπονεντ ινχρεασεσ ωιτη τηε ινχλινατιον οφ τηε ορβιτ (σεε Φιγυρε.6β). y [km] x 1 8 NEO 1979XB Earth ascending node pericentre y [km] x [km] x 1 8 x [km] x 1 8 α) β) Φιγυρε.3: Οπτιmαλ ιντερχεπτιον οφ α) αστεροιδ 1979ΞΒ ανδ β) αστεροιδ 1996ΤΧ x 1 8 NEO 1996TC1 Earth ascending node pericentre log( δr ) [km] log( δr ) [km] argument of latitude θ * at interception [deg] argument of latitude θ * at interception [deg] α) β) Φιγυρε.4: Οπτιmαλ ιντερχεπτιον αργυmεντσ οφ λατιτυδε φορ α) αστεροιδ 1979ΞΒ ανδ β) αστεροιδ 1996ΤΧ1. 57

91 .. Mission options for impulsive deviation y [km] 1.5 x y [km] 1.5 NEO SB45.5 Earth 1.5 ascending node 1.5 pericentre x [km] x [km] x 1 8 x 1 8 α) β) Φιγυρε.5: Οπτιmαλ ιντερχεπτιον οφ α) αστεροιδ ΣΒ45 ανδ β) αστεροιδ ΤΞ x 1 8 NEO TX55 Earth ascending node pericentre v [km/s] eccentricity inclination [deg] v [km/s] h α) β) Φιγυρε.6: Ιmπαχτ ϖελοχιτψ φυνχτιον α) οφ τηε εχχεντριχιτψ ανδ β) οφ τηε ινχλινατιον (h χοmπονεντ). Multi-objective optimisation Φορ εαχη mιτιγατιον σχεναριο (ι.ε., διφφερεντ υππερ βουνδαρψ ον τηε mαξιmυm ωαρνινγ τιmε), α νυmβερ οφ σολυτιονσ ωερε φουνδ τηατ αρε Παρετο οπτιmαλ ωιτη ρεσπεχτ το τηε τοταλ δεϖιατιον σετσ οφ Παρετο οπτιmαλ σολυτιονσ αρε γιϖεν ασ αν εξαmπλε ιν ρρ ανδ ωαρνινγ τιmε. Τωο τ ω Φιγυρε.7. Τηε φορmερ αστεροιδ (ΣΓ344) ηασ α λοω εχχεντριχ ορβιτ, ωηερεασ τηε λαττερ αστεροιδ (Γϑ8) ηασ αν εχχεντριχιτψ ε.8. Τηε Παρετο φροντ φορ τηε λοω εχχεντριχ χασε ηασ α mορε ρεγυλαρ σηαπε (σεε Φιγυρε.7α); τηε Παρετο φροντ οφ τηε ηιγη εχχεντριχ χασε (σεε Φιγυρε.7β), ινστεαδ, ισ στρονγλψ ινφλυενχεδ βψ τηε σψνοδιχ περιοδ βετωεεν τηε αστεροιδ ανδ τηε Εαρτη, ανδ ιτσ σηαπε ισ δριϖεν βψ τηε ταργετ ιντερχεπτιον ατ τηε ορβιτ νοδεσ. 58

92 Chapter. Impulsive NEO deflection 1.36 x x r + δr [km] r + δr [km] warning time [d] warning time [d] α) β) Φιγυρε.7: Παρετο φροντ φορ α) αστεροιδ ΣΓ344 ανδ β) αστεροιδ Γϑ8. Αmονγ αλλ τηε σολυτιονσ οφ εαχη Παρετο οπτιmαλ σετ φορ εαχη σχεναριο, ωε σελεχτεδ (λιστεδ ιν Ταβλε.) τηοσε τηατ mαξιmισε τηε τοταλ δεφλεχτιον. Φορ εαχη mισσιον, δεταιλσ οφ τηε οπτιmαλ τραϕεχτορψ αρε γιϖεν: ναmελψ τηε λαυνχη δατε, τηε τιmε οφ φλιγητ ΤοΦ, ανδ τηε mασσ οφ τηε σπαχεχραφτ ατ τηε ιντερχεπτιον ποιντ ωιτη τ τηε αστεροιδ m δ. Τηε δεφλεχτιον σχεναριο σελεχτεδ φορ εαχη χασε ισ ιδεντιφιεδ βψ τ ΜΟΙD (ι.ε., τηε αστεροιδ πασσεσ τηρουγη τηε ΜΟΙD ποσιτιον αλονγ ιτσ ορβιτ), ωηιχη αλσο δετερmινεσ τηε ωαρνινγ τιmε φορ τηατ mισσιον τ ω. Τηε χοmπονεντσ οφ τηε ρελατιϖε ϖελοχιτψ οφ τηε σπαχεχραφτ ωιτη ρεσπεχτ το τηε ΝΕΟ ατ τηε ιντερχεπτιον ποιντ αρε ϖ, ϖ, ανδ ϖ, ανδ ρ ισ τηε αχηιεϖεδ δεϖιατιον. τ ν η Τηε λαστ χολυmν οφ Ταβλε. ηιγηλιγητσ τηε νετ δεϖιατιον ατ τηε ΜΟΙD (ι.ε., ρρ ρ ). Τηε ταβλε σηοωσ τηατ τηε ϖαλυε οφ τηε δεϖιατιον ρ χαν βε σιγνιφιχαντλψ ηιγηερ τηαν τηε αχτυαλ mοδιφιχατιον οφ τηε ΜΟΙD. Φυρτηερmορε, φροm τηε χοmπαρισον βετωεεν τηε αχτυαλ αχηιεϖεδ δεϖιατιονσ οφ αστεροιδσ ωιτη σmαλλ ανδ βιγ ρ, ωε χαν ινφερ τηατ νεγλεχτεδ ωηεν δεαλινγ ωιτη α ρεαλιστιχ ιmπαχτ σχεναριο. ρ ιτσελφ πλαψσ αν ιmπορταντ ρολε ανδ χαννοτ βε 59

93 .. Mission options for impulsive deviation Ταβλε.: Οπτιmαλ λαυνχη οππορτυνιτιεσ φορ α διρεχτ τρανσφερ το σελεχτεδ αστεροιδσ ασ α ρεσυλτ οφ τηε mυλτι οβϕεχτιϖε οπτιmισατιον. Ιδ τ ΤοΦ τ ΜΟΙD τ ω m δ ϖ τ ϖ ν ϖ η ρ [δ] [δ] [ΜϑD σινχε ] ρρ ρ [δ] [δ] [κm/σ] [κm/σ] [κm/σ] [κm] [κm] Τηε δεσιγνατιον νυmβερσ χορρεσπονδ το τηε αστεροιδσ λιστεδ ιν Ταβλε.1. 6

94 Chapter. Impulsive NEO deflection Ιδ τ ΤοΦ τ ΜΟΙD τ ω m δ ϖ τ ϖ ν ϖ η ρ [δ] [δ] [ΜϑD σινχε ] ρρ ρ [δ] [δ] [κm/σ] [κm/σ] [κm/σ] [κm] [κm] Ιτ σηουλδ βε νοτεδ τηατ α νυmβερ οφ σολυτιονσ χοmπυτεδ ωιτη τηε σινγλε οβϕεχτιϖε αππροαχη βελονγ το τηε σετ οφ Παρετο οπτιmαλ σολυτιονσ οφ τηε mυλτι οβϕεχτιϖε οπτιmισατιον. Ασ αν εξαmπλε, Φιγυρε.8 σηοωσ τηε Παρετο οπτιmαλ σετ φορ αστεροιδ ςυ17; τηε βλαχκ ποιντσ ρεπρεσεντ τηε σολυτιονσ ωιτηιν αν υππερ βουνδαρψ οφ 5 ψεαρσ, τηε δαρκ γρεψ ποιντσ τηε σολυτιονσ ωιτη αν υππερ βουνδαρψ οφ 1 ψεαρσ, ανδ τηε λιγητ γρεψ ποιντσ τηε σολυτιον ωιτη αν υππερ βουνδαρψ οφ 15 ψεαρσ. Τηε τηρεε χιρχλεσ ρεπρεσεντ τηε Παρετο οπτιmαλ σολυτιονσ ωιτη τηε mαξιmυm δεϖιατιον οφ εαχη σχεναριο; τηε τηρεε χροσσεσ αρε τηε οπτιmαλ σολυτιονσ φροm τηε σινγλε οβϕεχτιϖε οπτιmισατιον ωιτη τηε mαξιmυm δεϖιατιον οφ εαχη σχεναριο. 61

95 .. Mission options for impulsive deviation Φιγυρε.9 ρεπρεσεντσ τηε διστριβυτιον, φορ αλλ τηε αστεροιδσ ανδ φορ βοτη αναλψσεσ, οφ τηε χοmπονεντσ οφ τηε ιmπαχτ ϖελοχιτψ ιν τηε ορβιτ πλανε x 1 pareto front 5y pareto front 1y pareto front 15y optimal solution (multi objective) 5y optimal solution (multi objective) 1y optimal solution (multi objective) 15y optimal solution (single objective) 5y optimal solution (single objective) 1y optimal solution (single objective) 15y 1.6 r + δr [km] warning time [d] Φιγυρε.8: Παρετο φροντ φορ αστεροιδ ςυ v [km/s] n vn [km/s] v [km/s] t vt [km/s] 5 1 β) α) Φιγυρε.9: Οπτιmαλ ιmπαχτ ϖ διστριβυτιον φορ διρεχτ ιmπαχτσ: α) ρεσυλτσ οφ τηε σινγλε οβϕεχτιϖε οπτιmισατιον ανδ β) ρεσυλτσ οφ τηε mυλτι οβϕεχτιϖε οπτιmισατιον. Venus swing-by Φιγυρε.9 σηοωσ τηατ ϖερψ ηιγη σπεεδ φυελ εφφιχιεντ ιmπαχτσ ηαϖε βοτη ϖερψ ηιγη νορmαλ ανδ τανγεντιαλ χοmπονεντσ ωιτη νεγατιϖε σιγν. Ηιγη σπεεδ διρεχτ ιmπαχτσ, τηερεφορε, χορρεσπονδ το τραϕεχτοριεσ τηατ ιντερσεχτ αλmοστ περπενδιχυλαρλψ τηε ορβιτ οφ τηε ΝΕΟ ανδ νοτ νεχεσσαριλψ ατ τηε περιηελιον. Βεχαυσε τηισ παρτιχυλαρ βεηαϖιουρ ισ δυε το τηε λιmιτατιονσ ον προπελλαντ χονσυmπτιον, ονε ορ mορε γραϖιτψ ασσιστ mανοευϖρεσ χουλδ ιmπροϖε τηε ιmπαχτ περφορmανχε. Ηερε, τηε εφφεχτ οφ α σινγλε σωινγ βψ οφ ςενυσ ωιλλ βε χονσιδερεδ. Ταβλε.3 ρεπορτσ αλλ τηε 6

96 Chapter. Impulsive NEO deflection σολυτιονσ τηατ σηοω α σιγνιφιχαντ ιmπροϖεmεντ οφ τηε τοταλ δεϖιατιον ωιτη ρεσπεχτ το τηε διρεχτ τρανσφερ οπτιονσ. Ταβλε.3: Οπτιmαλ λαυνχη οππορτυνιτιεσ φορ τρανσφερσ το σελεχτεδ αστεροιδσ ϖια α σινγλε ςενυσ σωινγ βψ ασ α ρεσυλτ οφ τηε σινγλε οβϕεχτιϖε οπτιmισατιον. Ιδ τ ΤοΦ τ ΜΟΙD τ ω m δ ϖ τ ϖ ν ϖ η ρ [δ] [δ] [ΜϑD σινχε ] ρρ ρ [δ] [δ] [κm/σ] [κm/σ] [κm/σ] [κm] [κm] Summary Ιν τηισ χηαπτερ, α σιmπλε αναλψτιχαλ εξπρεσσιον βασεδ ον προξιmαλ mοτιον εθυατιονσ ισ δεριϖεδ φορ τηε χοmπυτατιον οφ τηε δεφλεχτιον οφ ποτεντιαλλψ ηαζαρδουσ αστεροιδσ. Αν αναλψσισ οφ τηε αχχυραχψ οφ τηε προποσεδ αναλψτιχαλ φορmυλατιον ηασ σηοων ιτσ αχχυραχψ φορ α ωιδε ρανγε οφ ορβιτ γεοmετριεσ ανδ φορ διφφερεντ δεϖιατιον στρατεγιεσ. Τηισ φορmυλατιον ρεπρεσεντσ αν εξτενσιον οφ αλλ τηε αππροαχηεσ βασεδ ον α ϖαριατιον οφ τηε mεαν mοτιον οφ τηε αστεροιδ. Φυρτηερmορε, ιτ ισ λεσσ χοmπυτατιοναλλψ εξπενσιϖε τηαν τηε αππροαχηεσ βασεδ ον τηε υσε οφ τηε Λαγρανγε χοεφφιχιεντσ. Τηε προποσεδ φορmυλατιον ισ φιρστ υσεδ το πρεδιχτ τηε οπτιmαλ Τηε δεσιγνατιον νυmβερσ χορρεσπονδ το τηε αστεροιδσ λιστεδ ιν Ταβλε.1. 63

97 .3. Summary διρεχτιον οφ τηε δεφλεχτιον ϖ τηατ ηασ το βε αππλιεδ το τηε ΝΕΟ. Τηε ρεσυλτσ πρεσεντεδ ιν τηισ χηαπτερ αρε ιν αγρεεmεντ ωιτη αλρεαδψ εξιστινγ ρεσυλτσ οβταινεδ ωιτη διφφερεντ τεχηνιθυεσ. Τηισ χονφιρmσ τηε χορρεχτνεσσ οφ τηε αππροαχη ανδ τηε ϖαλιδιτψ οφ τηε βασιχ ασσυmπτιονσ τηατ ωερε mαδε. Μορεοϖερ, α ωιδε ρανγε οφ mισσιον οππορτυνιτιεσ ισ αναλψσεδ τηρουγη α ηψβριδ γλοβαλ σεαρχη mετηοδ. Οπτιmαλ λαυνχη οπτιονσ φορ διρεχτ τρανσφερσ ανδ φορ τρανσφερσ ϖια α σινγλε ςενυσ γραϖιτψ ασσιστ mανοευϖρε αρε ιδεντιφιεδ φορ α σελεχτιον οφ 3 αστεροιδσ ωιτη διφφερεντ ορβιταλ χηαραχτεριστιχσ ανδ διφφερεντ mασσεσ. Τηουγη τηε ασσυmεδ ιmπαχτινγ σπαχεχραφτ mασσ ισ θυιτε σmαλλ, ιτ χαν βε σεεν τηατ ρεmαρκαβλε δεϖιατιονσ χαν βε αχηιεϖεδ ωιτη α ρεασοναβλε τιmε το ΜΟΙD βψ προδυχινγ α σmαλλ ϖ αλονγ τραχκ. Ον τηε οτηερ ηανδ, φορ ϖερψ σηορτ τιmεσ το ΜΟΙD α mορε χονσιστεντ ϖ ισ ρεθυιρεδ, εσπεχιαλλψ ιφ τηε γραϖιτατιοναλ εφφεχτσ οφ τηε Εαρτη αρε χονσιδερεδ; ιν τηισ χασε τηε διρεχτιον οφ τηε οπτιmαλ ιmπυλσε δεπενδσ ον τηε τιmε το ΜΟΙD ανδ τηε ορβιταλ παραmετερσ οφ τηε αστεροιδ. Τηε ρεσυλτσ οβταινεδ ιν τηισ χηαπτερ σηοω τηατ τηε αχτυαλ αχηιεϖαβλε χηανγε ιν τηε ΜΟΙD χαν βε σιγνιφιχαντλψ διφφερεντ φροm τηε δεϖιατιον ρ ασ α χονσεθυενχε οφ τηε mοδυλυσ ανδ διρεχτιον οφ τηε ΜΟΙD ϖεχτορ ιτσελφ. Τηερεφορε, τηε αχτυαλ ΜΟΙD χαννοτ βε νεγλεχτεδ, ιν γενεραλ. Φυρτηερmορε, ιτ ωασ σηοων τηατ τηε ιδεαλ ποιντ οφ ιντερχεπτιον οφ τηε αστεροιδ, ωηεν τηε τρανσφερ ισ χονσιδερεδ, ισ νοτ νεχεσσαριλψ τηε περιχεντρε οφ τηε ορβιτ οφ τηε αστεροιδ. Τηε ιmπορτανχε οφ τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ συγγεστσ τηατ mορε χοmπλεξ σεθυενχεσ οφ γραϖιτψ ασσιστ mανοευϖρεσ ανδ mυλτι ιmπυλσε τρανσφερσ mαψ ιmπροϖε τηε ρεσυλτσ οβταινεδ ιν τηισ χηαπτερ. Τηε δεσιγν οφ mορε εφφιχιεντ τρανσφερ τραϕεχτοριεσ ισ χυρρεντλψ υνδερ ινϖεστιγατιον ανδ ωιλλ βε τηε συβϕεχτ οφ α φυτυρε ωορκ. 64

98 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection Τηισ χηαπτερ φοχυσεσ ον τηε δεφλεχτιον οφ α νεαρ Εαρτη οβϕεχτ ωιτη α λοω τηρυστ στρατεγψ προϖιδινγ α χοντινυουσ πυση ον τηε τηρεατενινγ βοδψ οϖερ α χερταιν ιντερϖαλ οφ τιmε. Τηε δισπλαχεmεντ οφ τηε αστεροιδ ατ τηε mινιmυm ορβιτ ιντερσεχτιον διστανχε φροm τηε Εαρτη σ ορβιτ ισ χοmπυτεδ τηρουγη τηε προξιmαλ mοτιον εθυατιονσ ασ α φυνχτιον οφ τηε ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ ελεmεντσ. Ιν τηε γενεραλ χασε, τηε ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ ελεmεντσ βετωεεν τηε δεϖιατεδ ανδ τηε νοmιναλ ορβιτσ ισ χοmπυτεδ βψ νυmεριχαλ ιντεγρατιον οφ Γαυσσ εθυατιονσ, χονσιδερινγ τηε τηρυστ αχχελερατιον οφ τηε δεφλεχτιον στρατεγψ ασ α περτυρβινγ αχχελερατιον. Σεχτιον 3. πρεσεντσ α σεmι αναλψτιχαλ σολυτιον οφ τηε αστεροιδ δεϖιατιον προβλεm ωηεν α λοω τηρυστ αχτιον, ινϖερσελψ προπορτιοναλ το τηε σθυαρε οφ τηε διστανχε φροm τηε Συν, ισ αππλιεδ το τηε αστεροιδ. Α σετ οφ σεmι αναλψτιχαλ φορmυλαε ισ δεριϖεδ το χοmπυτε τηε ϖαριατιον οφ τηε ελεmεντσ: Γαυσσ πλανεταρψ εθυατιονσ αρε αϖεραγεδ οϖερ ονε ορβιταλ ρεϖολυτιον το γιϖε τηε σεχυλαρ ϖαριατιον οφ τηε ελεmεντσ, ανδ τηειρ περιοδιχ χοmπονεντσ αρε αππροξιmατεδ τηρουγη α τριγονοmετριχ εξπανσιον. Τωο φορmυλατιονσ οφ τηε σεmι αναλψτιχαλ φορmυλαε, λατιτυδε ανδ τιmε φορmυλατιον, αρε πρεσεντεδ αλονγ ωιτη τηειρ αχχυραχψ αγαινστ α φυλλ νυmεριχαλ ιντεγρατιον οφ Γαυσσ εθυατιονσ. Ιτ ισ σηοων τηατ τηε σεmι αναλψτιχαλ αππροαχη προϖιδεσ α σιγνιφιχαντ σαϖινγ ιν χοmπυτατιοναλ τιmε ωηιλε στιλλ mαινταινινγ α γοοδ αχχυραχψ. Φιναλλψ, σοmε εξαmπλεσ οφ δεϖιατιον mισσιονσ αρε πρεσεντεδ ασ αν αππλιχατιον οφ τηε προποσεδ σεmι αναλψτιχαλ τηεορψ. Ιν παρτιχυλαρ, τηε σεmι αναλψτιχαλ φορmυλαε αρε υσεδ ιν χονϕυνχτιον ωιτη α mυλτι οβϕεχτιϖε οπτιmισατιον αλγοριτηm το φινδ α σετ οφ Παρετο οπτιmαλ mισσιον οπτιονσ τηατ mινιmισεσ τηε αστεροιδ ωαρνινγ τιmε ανδ τηε σπαχεχραφτ mασσ ωηιλε mαξιmισινγ τηε ορβιταλ δεϖιατιον.

99 3.1. Asteroid deviation problem 3.1. Asteroid deviation problem Γιϖεν τηε τιmε οφ ιντερχεπτιον τ ι οφ α γενεριχ ΝΕΟ, τηε οβϕεχτιϖε ισ το mαξιmισε τηε mινιmυm ορβιτ ιντερσεχτιον διστανχε φροm τηε Εαρτη βψ αππλψινγ α λοω τηρυστ δεϖιατιον αχτιον, ωηιχη χονσιστσ οφ α χοντινυουσ πυση αλονγ τηε αστεροιδ σ χεντρε οφ mασσ οϖερ α χερταιν ιντερϖαλ οφ τιmε. Ιν γενεραλ, ανψ δεϖιατιον στρατεγψ γενερατεσ α περτυρβατιον οφ τηε νοmιναλ ορβιτ οφ τηε αστεροιδ. Τηε νεω ορβιτ χαν βε χονσιδερεδ προξιmαλ το τηε υνπερτυρβεδ ονε (σεε Φιγυρε 3.1). προξιmαλ ορβιτ λοω τηρυστ mανοευϖρε ΜΟΙD ΝΕΟ ιντερχεπτιον νοmιναλ ορβιτ Φιγυρε 3.1: Λοω τηρυστ ΝΕΟ δεϖιατιον. Τηε προξιmαλ mοτιον εθυατιονσ [115] χαν βε αγαιν υσεδ το δεσχριβε τηε ϖαριατιον οφ τηε ΝΕΟ δισπλαχεmεντ ατ τηε ΜΟΙD ρελατιϖε το ιτσ υνπερτυρβεδ ποσιτιον, αφτερ τηε λοω τηρυστ αχτιον. Τηε νοmιναλ ορβιτ οφ τηε ΝΕΟ ισ τακεν ασ χηιεφ ορβιτ ανδ τηε περτυρβεδ ορβιτ ατ τηε ενδ οφ τηε λοω τηρυστ αρχ ισ χονσιδερεδ τηε δεπυτψ ορβιτ. Εθσ. (.1) τηατ αρε ρεχαλλεδ ηερε φορ χλαριτψ αρε ϖαλιδ αλσο ιν τηε λοω τηρυστ χασε: ρ αεσιν α ΜΟΙD ΜΟΙD σρ α Μ αχοσ ΜΟΙD ε ρμοιd σ 3 1εχοσΜΟΙD Μ ρμοιd σιν ΜΟΙD ΜΟΙD ε ΜΟΙD ερμοιd ΜΟΙD ΜΟΙD ΜΟΙD χοσ χοσι σ ρ σιν ιχοσ σιν ι η ρ (3.1) Ιν τηισ στυδψ, τηε δεϖιατιον αχτιον ισ αλωαψσ χονσιδερεδ αλιγνεδ ωιτη τηε ΝΕΟ χεντρε οφ mασσ. Τηε χοντρολ ισσυεσ ρελατεδ το τηε mεχηανιχσ οφ mοϖινγ αν αστεροιδ χονσιδερινγ ιτ ασ α ριγιδ βοδψ, ωιτη σπιν προπερτιεσ, αρε νοτ χονσιδερεδ. Ον τηε οτηερ ηανδ, ιν τηε ρεσυλτσ σεχτιονσ οφ τηισ τηεσισ mαργινσ ον τηε τοταλ mισσιον mασσ αρε αδδεδ το τακε ιντο αχχουντ τηε προπελλαντ mασσ φορ τηε σπαχεχραφτ χοντρολ ιν προξιmιτψ οφ τηε ΝΕΟ. Τηε ρεαδερ χαν ρεφερ το [68] φορ mορε δεταιλσ ον τηε mεχηανιχσ οφ τηε ΝΕΟ σεεν ασ α 6 δεγρεεσ οφ φρεεδοm βοδψ. 66

100 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection ωηερε 1 ε, ΜΟΙD ινδιχατεσ τηε τρυε ανοmαλψ οφ τηε ΝΕΟ ατ τηε ΜΟΙD αλονγ τηε υνπερτυρβεδ ορβιτ, ανδ τηε χορρεσπονδινγ αργυmεντ οφ ΜΟΙD ΜΟΙD λατιτυδε. Τηε ϖαριατιον ιν ποσιτιον σ Τ ρ σ σ ισ εξπρεσσεδ ιν τηε ραδιαλ τρανσϖερσαλ περπενδιχυλαρ το τηε ορβιτ πλανε ρεφερενχε φραmε ασ φυνχτιον οφ ρ η τηε ορβιταλ παραmετερσ βετωεεν τηε τωο ορβιτσ; ιν α mατριξ φορm: ρ Α τ (3.) τ ΜΟΙD ΜΟΙD ΜΟΙD ωηερε τ α ε ι ΜΟΙD Τ Μ ισ τηε ϖεχτορ οφ τηε ορβιτ ελεmεντ διφφερενχε ατ τηε ΜΟΙD βετωεεν τηε περτυρβεδ ανδ τηε νοmιναλ ορβιτ, ανδ Μ ισ τηε mεαν ανοmαλψ. Wηεν α λοω τηρυστ δεϖιατιον αχτιον ισ αππλιεδ οϖερ τηε ιντερϖαλ, ωηερε τ τ ισ τηε τιmε ωηεν τηε mανοευϖρε ισ ενδεδ, τηε τι τε ε ΜΟΙD τοταλ ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ παραmετερσ χαν βε χοmπυτεδ βψ ιντεγρατινγ Γαυσσ πλανεταρψ εθυατιονσ [71]: δα δτ α ϖ α τ Συν δε 1 ρ ε χοσ ατ σιν αν δτ ϖ α δι ρ χοσ αη δτ η δ ρσιν αη δτ ησιν ι δ 1 ρ ρσιν χοσι σινατ ε χοσ αν α δτ εϖ α ησιν ι ν 1 σιν α χοσαν δτ εαϖ π α δμ β ε ρ ρ τ η (3.3) Τηε λοω τηρυστ στρατεγψ προϖιδεσ αν αχχελερατιον Τ α τ α α α τ ν η, ηερε εξπρεσσεδ ιν α τανγεντιαλ νορmαλ βινορmαλ ρεφερενχε φραmε, συχη τηατ α τ ανδ α ν αρε τηε χοmπονεντσ οφ τηε αχχελερατιον ιν τηε πλανε οφ τηε οσχυλατιον ορβιτ, ρεσπεχτιϖελψ, αλονγ τηε ϖελοχιτψ ϖεχτορ ανδ περπενδιχυλαρ το ιτ, ανδ α η ισ τηε χοmπονεντ περπενδιχυλαρ το τηε ορβιταλ πλανε. Νοτε τηατ τηε δεριϖατιϖε οφ Μ ιν τηε 67

101 3.1. Asteroid deviation problem σιξτη εθυατιον οφ σψστεm (3.3) τακεσ ιντο αχχουντ τηε ινσταντανεουσ χηανγε οφ τηε ορβιτ γεοmετρψ ατ εαχη ινσταντ οφ τιmε τ τ τ ανδ τηε ϖαριατιον οφ τηε mεαν mοτιον ν δυε το τηε χηανγε ιν τηε σεmι mαϕορ αξισ αλονγ τηε τηρυστ αρχ. Λεττινγ Τ παραmετερσ, ωε δεφινε ι ε τ α ε ι Μ βε τηε ϖεχτορ οφ τηε ορβιταλ τ τ Μ Τ α ε ι ε ι ασ τηε φινιτε ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ ελεmεντσ ωιτη ρεσπεχτ το τηε νοmιναλ ορβιτ ιν τηε ιντερϖαλ τ τ, οβταινεδ φροm τηε νυmεριχαλ ιντεγρατιον οφ Εθσ. (3.3). Ιτ ισ ι ε ιmπορταντ το ποιντ ουτ τηατ Μ ιν Εθσ. (3.1) mυστ ινχλυδε τηε πηασε σηιφτ βετωεεν τηε Εαρτη ανδ τηε αστεροιδ. Τηερεφορε, βεχαυσε τηε mεαν ανοmαλιεσ ατ τηε ΜΟΙD ον τηε περτυρβεδ Μ ανδ ον τηε νοmιναλ ορβιτσ Μ αρε χοmπυτεδ ασ ΜΟΙD ΜΟΙD ε ε ε ι ε ε ν τ τ Μ Μ τ ν τ τ Μ τ Μ ν τ τ ΜΟΙD ΜΟΙD ΜΟΙD ΜΟΙD ν τ τ Μ ι ι π Μ ν τ τ ι ΜΟΙD π ε ΜΟΙD ε ωηερε τ π ισ τηε πασσαγε ατ τηε περιχεντρε, τηεν τηε τοταλ ϖαριατιον ιν τηε mεαν ανοmαλψ βετωεεν τηε προξιmαλ ανδ τηε υνπερτυρβεδ ορβιτ ισ ΜΟΙD ΜΟΙD ε ι ΜΟΙD ι ι ε ε Μ Μ Μ ν ν τ ντ ν τ Μ (3.4) ωηερε ν ι ισ τηε νοmιναλ ανγυλαρ ϖελοχιτψ ανδ νε Συν αα 3 Τηε ϖαριατιον οφ τηε οτηερ ορβιταλ παραmετερσ ιν Εθσ. (3.1) ισ σιmπλψ α α, ε ε, ι ι,,. 68

102 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection ρ σ σ ση ισ τηε ϖεχτορ διστανχε οφ τηε αστεροιδ φροm τηε Ιφ Τ ρ Εαρτη ατ τηε ΜΟΙD ανδ σ σ σ Τ ρ ισ τηε ϖαριατιον γιϖεν βψ Εθσ. (3.1) ρ η ατ τ ΜΟΙD, τηεν τηε οβϕεχτιϖε φυνχτιον φορ τηε mαξιmυm δεϖιατιον προβλεm ισ σ σ σ σ σ σ ρρ (3.5) ρ ρ η η Τηε προξιmαλ mοτιον εθυατιονσ προϖιδε α ϖερψ σιmπλε ανδ γενεραλ mεανσ το χοmπυτε τηε ϖαριατιον οφ τηε ΜΟΙD ωιτη γοοδ αχχυραχψ, ωιτηουτ τηε νεεδ φορ φυρτηερ αναλψτιχαλ δεϖελοπmεντσ. Γαυσσ εθυατιονσ (3.3), τογετηερ ωιτη Εθ. (3.4), προϖιδε α ωαψ το χοmπυτε τηε ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ ελεmεντσ βετωεεν τηε νοmιναλ ανδ τηε δεϖιατεδ ορβιτσ. Τηε εθυατιονσ αχχουντ βοτη φορ τηε γεοmετριχαλ ϖαριατιον οφ τηε ορβιτ ανδ τηε σεχυλαρ χηανγε ιν τηε mεαν mοτιον. Το χοmπυτε τηε εφφεχτ οφ ανψ λοω τηρυστ δεφλεχτιον στρατεγψ, Γαυσσ εθυατιονσ ωουλδ ηαϖε το βε νυmεριχαλλψ ιντεγρατεδ. Ηοωεϖερ, ιν Σεχτιον 3., ωε ωιλλ ρεστριχτ ουρ αττεντιον το τηε χασε οφ α τανγεντιαλ πυση ωιτη τηε mοδυλυσ ινϖερσελψ προπορτιοναλ το τηε σθυαρε οφ τηε διστανχε φροm τηε Συν. Νοτε τηατ ιφ ωε ιντεγρατε ονλψ τηε φιρστ τερm οφ τηε λαστ οφ Εθσ. (3.3), νεγλεχτινγ τηε ϖαριατιονσ οφ ε, ι, ανδ, ανδ ινσερτ ιτ ιντο Εθ. (3.4), ωε ωουλδ γετ: τε ΜΟΙD Μ ν ν τ ντ ν τ νδτ (3.6) ε ι ι ι ε ε τι ωηιχη ισ τηε σεχυλαρ χηανγε ιν τηε mεαν mοτιον, αλρεαδψ χονσιδερεδ βψ οτηερ αυτηορσ [68],[69]. Τηε εθυιϖαλενχε οφ Εθ. (3.6) το ωηατ ισ αλρεαδψ ιν τηε λιτερατυρε χαν βε δεmονστρατεδ ασ φολλοωσ. Λετ υσ σταρτ βψ ρεωριτινγ Εθ. (3.6) ασ τ τ ε ε ΜΟΙD τ ι τι Μ ντ τ νδτ ανδ ιντεγρατινγ βψ παρτ δν δτ τε ΜΟΙD δτ (3.7) τι Μ τ τ 69

103 3.1. Asteroid deviation problem Νοω, τηε διφφερεντιαλ δν χαν βε ωριττεν ασ α φυνχτιον οφ δα, ανδ τηρουγη τηε φιρστ οφ Γαυσσ εθυατιονσ (3.3) ασ α φυνχτιον οφ τηε τιmε σηιφτ δτ: 3 5 αϖ δν Συν α δα δα ατ δτ Συν Ηενχε, Εθ. (3.7) βεχοmεσ 3 τε ϖ Μ τμοιd τ ατ τ δτ ι α Συν Ιφ ωε νοω υσε τηε συπερσχριπτ το δενοτε τηε τιmε χοορδινατεσ mεασυρεδ φροm τηε ιντερχεπτιον τιmε ουτ οφ τηε ιντεγραλ, ωε γετ: τ ι ανδ ωε τακε τηε mεαν ϖαλυε οφ τηε σεmι mαϕορ αξισ 3 Μ τˆ τˆ, τˆ α τˆ ε ˆ ΜΟΙD ϖα δτ Συν ωηιχη τηεν χαν βε τρανσλατεδ φροm Μ το τηε ϖαριατιον οφ τηε τιmε το ενχουντερ, ινδυχεδ βψ τηε στρατεγψ δεφλεχτιον αχτιον α, προϕεχτεδ οντο τηε ϖελοχιτψ οφ τηε αστεροιδ [69]: 3α τˆ τˆ, τˆ τˆ ε ΜΟΙD ϖα δτˆ Συν Analysis of the optimal thrust direction Αν εστιmατιον οφ τηε οπτιmαλ διρεχτιον οφ τηε πυση χαν βε δριϖεν φροm τηε mαξιmυm δεϖιατιον αναλψσισ περφορmεδ φορ τηε ιmπυλσιϖε αχτιον χασε (σεε Σεχτιον.1.1). Τηε αστεροιδ ιmπυλσιϖε προβλεm ωασ ωριττεν τηρουγη τηε στατε τρανσιτιον mατριξ ασ τηε σενσιτιϖιτψ οφ τηε χυρρεντ ποσιτιον ϖεχτορ ατ τηε ΜΟΙD ωιτη ρεσπεχτ το τηε ϖελοχιτψ ινχρεασε ατ τηε δεϖιατιον τιmε [σεε Εθ. (.8)]. Τηε mαξιmισατιον οφ ρ τ ΜΟΙD ιν Εθ. (.8) συγγεστσ τηατ τηε οπτιmαλ διρεχτιον οφ τηε ιmπυλσιϖε αχτιον ισ αλονγ τηε τανγεντ διρεχτιον, ανδ τηισ ονε ισ ασσοχιατεδ ωιτη τηε σηιφτ ιν τιmε βετωεεν τηε ποσιτιον οφ τηε αστεροιδ ανδ τηε Εαρτη, ρατηερ τηαν ωιτη α γεοmετριχαλ 7

104 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection ϖαριατιον οφ τηε ΜΟΙD. Τηισ ρεσυλτ ισ ϖαλιδ φορ τ λαργερ τηαν α σπεχιφιχ τ 1Τ ΝΕΟ ΝΕΟ. Ιν τηε χασε οφ α λοω τηρυστ mανοευϖρε, ασ α φιρστ αππροξιmατιον, τηεσε ρεσυλτσ χαν βε γενεραλισεδ βψ χηοοσινγ τηε χοντρολ ϖεχτορ ατ τιmε τ ινσταντανεουσλψ τανγεντ το τηε οπτιmαλ ιmπυλσιϖε ϖ οπτ τ. Τηισ ισ εθυιϖαλεντ το mαξιmισε τ τ ϖ ρ Α Γ ϖ τ τ ΜΟΙD ΜΟΙD τ φορ εαχη ινσταντ οφ τιmε τ τ τ, ωηερε τ ισ τηε τρανσιτιον mατριξ τηατ λινκσ ι ε τηε ιmπυλσιϖε ϖ τ ατ τιmε τ το τηε χονσεθυεντ δεϖιατιον ατ τ. Α ισ τηε Γ τ mατριξ ιν Εθ. (3.) ανδ ισ τηε mατριξ ασσοχιατεδ το τηε Γαυσσ εθυατιονσ ωριττεν φορ φινιτε διφφερενχεσ; τηατ ισ, τηε χοντρολ αχχελερατιον ισ ρεπλαχεδ βψ αν ινσταντανεουσ χηανγε ιν τηε αστεροιδ ϖελοχιτψ ϖεχτορ: τ τ Γ ϖ ΜΟΙD τ ΜΟΙD ΜΟΙD Ιν Σεχτιον 3., το δεριϖε α σεmι αναλψτιχαλ φορmυλατιον οφ τηε λοω τηρυστ αστεροιδ δεϖιατιον προβλεm, ωε φοχυσ ον λοω τηρυστ αχχελερατιον αλονγ τηε τανγεντ διρεχτιον. Τηισ ισ α ϖαλιδ ασσυmπτιον ωηεν ωε χονσιδερ ηαζαρδουσ χασεσ ωιτη α ωαρνινγ τιmε λονγερ τηαν αππροξιmατελψ.75τ ΝΕΟ. Φορ α βεττερ εστιmατιον οφ τηε οπτιmαλ διρεχτιον οφ τηρυστ ιν τηε χασε οφ λοω τηρυστ προπυλσιον, ονε χαν ρεφερ το τηε αναλψσισ βψ Σονγ ετ αλ. [75]. Νοτε τηατ, φορ λονγ τιmεσ το ΜΟΙD, τηε διρεχτιον τηατ mαξιmισεσ ρ ισ αλσο οπτιmαλ φορ τηε mαξιmισατιον οφ προϕεχτιον ιντο τηε β πλανε. ρρ ανδ ιτσ Φορ αν αχτυαλ ιmπαχτ ηαζαρδ ρ ισ λεσσ τηαν τηε Εαρτη ραδιυσ. 71

105 3.. Semi-analytical formulae for low-thrust deviation action 3.. Semi-analytical formulae for low-thrust deviation action Ιν τηισ σεχτιον, α σετ οφ σεmι αναλψτιχαλ φορmυλαε ωιλλ βε δεριϖεδ το χαλχυλατε τηε τοταλ ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ παραmετερσ δυε το α λοω τηρυστ αχτιον. Α χοντινυουσ αχχελερατιον α τ ισ αππλιεδ αλονγ τηε ορβιτ τραχκ, ωιτη mοδυλυσ γιϖεν βψ α τ κα (3.8) ρ ωηερε ρ ισ τηε διστανχε φροm τηε Συν ανδ κ α ισ α τιmε ινϖαριαντ προπορτιοναλιτψ χονσταντ τηατ ηασ το βε φιξεδ αχχορδινγ το τηε σπεχιφιχατιον οφ τηε ποωερ σψστεm. Τηε σελεχτιον οφ τηισ αχχελερατιον λαω δοεσ νοτ ρεπρεσεντ α σεϖερε ρεστριχτιον το τηε mισσιον δεσιγν, ιν φαχτ Εθ. (3.8) δεσχριβεσ ανψ στρατεγψ τηατ εξπλοιτσ τηε Συν ασ α ποωερ σουρχε: φορ εξαmπλε, α σολαρ ελεχτριχ προπυλσιον σπαχεχραφτ τηατ ρενδεζϖουσ ωιτη τηε ΝΕΟ, ανχηορσ το ιτσ συρφαχεσ, ανδ πυσηεσ, ορ α σολαρ mιρρορ τηατ χολλεχτσ τηε ενεργψ φροm τηε Συν ανδ φοχυσεσ ιτ οντο τηε αστεροιδ συρφαχε το αβλατε ιτ. Μορεοϖερ, ιφ τηε φορmυλαε πρεσεντεδ ιν τηε φολλοωινγ αρε αδοπτεδ το δεσιγν α λοω τηρυστ τραϕεχτορψ, Εθ. (3.8) ρεπρεσεντσ τηε χοντρολ αχχελερατιον δυε το α ποωερ λιmιτεδ σπαχεχραφτ. Τωο φορmυλατιονσ οφ τηε αστεροιδ δεϖιατιον προβλεm, ωηιχη mακε υσε οφ διφφερεντ ινδεπενδεντ ϖαριαβλεσ φορ δεριϖινγ τηε σεmι αναλψτιχαλ φορmυλαε, ωιλλ βε πρεσεντεδ. Τηε λατιτυδε φορmυλατιον εξπρεσσεσ τηε σεχυλαρ ανδ περιοδιχ ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ παραmετερσ ασ φυνχτιον οφ τηε αργυmεντ οφ λατιτυδε, ωηερεασ τηε τιmε φορmυλατιον ιντροδυχεσ τηε τιmε ασ ινδεπενδεντ ϖαριαβλε. Τηε υσε οφ λατιτυδε ασ ινδεπενδεντ ϖαριαβλε αλλοωσ δεριϖινγ σοmε ελεγαντ φορmυλαε τηατ χονταιν ονλψ τωο ελλιπτιχ ιντεγραλσ το βε σολϖεδ νυmεριχαλλψ. Τηε τιmε φορmυλατιον, αλτηουγη mορε χοmπλεξ ανδ ρεθυιρινγ τηε νυmεριχαλ σολυτιον οφ mορε τερmσ, ισ νεχεσσαρψ ωηεν δεαλινγ ωιτη τηε αστεροιδ δεϖιατιον προβλεm. Ιν φαχτ τηε υσε οφ τιmε ασ ινδεπενδεντ ϖαριαβλε αλλοωσ χονσιδερινγ τηε χοmπονεντ οφ τηε δεϖιατιον ασσοχιατεδ το τηε σηιφτ ιν τιmε βετωεεν τηε πασσαγε οφ τηε Εαρτη ανδ τηε αστεροιδ ατ τηε ΜΟΙD. 7

106 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection Latitude formulation Γαυσσ εθυατιονσ αρε ωριττεν ασ α φυνχτιον οφ τηε τρυε λατιτυδε : δ δ δτ δ δτ δ ωηερε, ιν χασε οφ ζερο αχχελερατιον ουτ οφ πλανε α η, δ δτ η (3.9) ρ ωηερε η ισ τηε ορβιταλ ανγυλαρ mοmεντυm. Υνδερ τηε ηψποτηεσισ οφ πλαναρ τανγεντιαλ mανοευϖρε, Εθσ. (3.3) βεχοmε δα δ α ϖ ρ α τ Συν η δε 1 ρ ε χοσ ατ δ ϖ η δι δ δ δ δ 1 ρ σιν α τ δ εϖ η δμ β ε ρ ρ ν 1 σινατ η δ εαϖ π (3.1) Εθυατιονσ (3.1) αρε αϖεραγεδ οϖερ ονε περιοδ οφ τηε τρυε ανοmαλψ [71], ψιελδινγ τηε αϖεραγε ρατε οφ χηανγε οφ τηε ορβιταλ παραmετερσ:, δ 1 δ δ δ δ Τηε τοταλ ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ ελεmεντσ οϖερ ονε ορβιταλ περιοδ οφ χαν βε αππροξιmατεδ ασ: 73

107 3.. Semi-analytical formulae for low-thrust deviation action δ δ, δ ιφ α ζερο ϖαριατιον ιν τηε ανοmαλψ οφ τηε περιχεντρε ισ ασσυmεδ (ι.ε., δ δ ). Τηισ ασσυmπτιον ηολδσ τρυε ωηεν τηε δεϖιατιον ισ χαλχυλατεδ οϖερ ονε ιντεγερ νυmβερ οφ ορβιταλ ρεϖολυτιονσ, βεχαυσε τηε περιοδιχ ϖαριατιον οφ τηε ανοmαλψ οφ τηε περιχεντρε ισ ζερο ανδ τηε σεχυλαρ ονε ισ οφ ορδερ 11 1 ραδ φορ τηε λεϖελ οφ αχχελερατιον υσεδ ιν τηισ χηαπτερ. Τηυσ, τηε ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ ελεmεντ οϖερ ονε ρεϖολυτιον χαν βε ωριττεν ασ 1 1ε εχοσ ε κα ε χοσ Συν δ η α1 ε κα α 1ε εχοσ Συν Συν η α 1 ε α δ ι σιν 1 α 1 ε κα δ εη 1ε εχοσ Συν ν α 1 ε βκα 1 α 1 ε σιν η1 εχοσ εαη Συν ε ε Μ 1 χοσ α 1 χοσ Συν 1 χοσ εβκ σιν 1 α 1 ε δ αη ε ε ε (3.11) Βψ χονσιδερινγ α ανδ ε χονσταντ ωιτηιν ονε ρεϖολυτιον, τηε φολλοωινγ αναλψτιχαλ φορmυλαε χαν βε δεριϖεδ αφτερ σοmε αλγεβραιχ mανιπυλατιονσ (σεε Αππενδιξ Α): 74

108 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection κ 1 ε α 4ε 4ε ε 1εΕ, ε1φ, η εϖ 1 ε 1 ε ακα ϖ 4ε α Ε, Συνη 1 ε ι κ 1ε εχοσ α εη εϖ, εε, ε, εε, ε 1ε ε 1ε σιν Μ αρχταν ταν 1 ε 1εχοσ βκ ε ε εαη ϖε ε α 1 χοσ αρχταν Συν 1 χοσ ϖ α ε ε ϖ 1 ε, εε, ε (3.1) ωηερε ϖ 1ε εχοσ Συν α 1 ε ισ τηε ορβιταλ ϖελοχιτψ, ανδ ισ δεφινεδ ασ 1 ε εχοσ 1 ε Εθυατιονσ (3.1) χονταιν τωο ελλιπτιχ ιντεγραλσ το βε εϖαλυατεδ ονλψ ονχε εϖερψ ορβιταλ περιοδ: 4ε Φ, 1 ε (3.13) ωηερε 75

109 3.. Semi-analytical formulae for low-thrust deviation action Φ, δ 1 σιν ισ τηε ινχοmπλετε ελλιπτιχ ιντεγραλ οφ τηε φιρστ κινδ ανδ 4ε Ε, 1 ε (3.14) ωηερε Ε, 1 σιν δ ισ τηε ινχοmπλετε ελλιπτιχ ιντεγραλ οφ τηε σεχονδ κινδ [71],[134]. Νοτε τηατ τηε ιντεγραλ κερνελσ (3.1) το βε εϖαλυατεδ ιν ανδ αρε φυνχτιον ονλψ οφ τηε σεmι mαϕορ αξισ ανδ τηε εχχεντριχιτψ. Τηε ϖαριατιον οφ τηε mεαν ανοmαλψ Μ στρονγλψ ινφλυενχεσ τηε χονσεθυεντ δεϖιατιον, χαλχυλατεδ τηρουγη Εθσ. (3.1). Ηενχε, ωηεν τηε πριmιτιϖε φυνχτιον ισ εϖαλυατεδ ιν τηε υππερ λιmιτ, τηε ϖαλυε οφ τηε εχχεντριχιτψ ισ σετ εθυαλ το εε το ηαϖε α βεττερ αππροξιmατιον οφ ιντο αχχουντ τηε σεχυλαρ ϖαριατιον Μ ιν Εθσ. (3.1). Τηισ αλλοωσ τακινγ ε οϖερ ονε ορβιταλ ρεϖολυτιον. Φιναλλψ, τηε τοταλ ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ παραmετερσ οϖερ τηε τηρυστ αρχ ισ δετερmινεδ βψ ιντεγρατινγ Εθσ. (3.1) ωιτη τηε Ευλερ mετηοδ ωιτη α στεπ σιζε οφ ονε ορβιταλ περιοδ (ι.ε., συmmινγ υπ Εθσ. (3.1) οϖερ τηε νυmβερ οφ ρεϖολυτιονσ οφ α, ε, Ε, Φ φορ εαχη ρεϖολυτιον). ν ρεϖ, υπδατινγ τηε ϖαλυε νρεϖ νρεϖ ϕ1 ϕ αεεφ,,, ωηερε αεεφ,,, χοmεσ φροm τηε εϖαλυατιον οφ Εθσ. (3.1) ωιτηιν τηε ϕ ιντεγρατιον βουνδαριεσ ϕ νρεϖ τηε νυmβερ οφ φυλλ ρεϖολυτιονσ οφ. 1 ϕ, ωιτη ϕ αν ιντεγερ νυmβερ ανδ 76

110 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection Accuracy analysis Τηε αχχυραχψ οφ Εθσ. (3.1) ισ ασσεσσεδ βψ χοmπυτινγ τηε ρελατιϖε ερρορ ον τηε αχηιεϖεδ δεϖιατιον ρ βετωεεν τηε νυmεριχαλ προπαγατιον οφ Γαυσσ εθυατιονσ ανδ τηε σεmι αναλψτιχαλ φορmυλαε: ε ρ ρ προπαγατεδ ρ ρ προπαγατεδ εστιmατεδ Τηε δεϖιατιον ρ ισ χαλχυλατεδ χονσιδερινγ α πυση οφ τηε αστεροιδ οϖερ τηε ϕ ανγυλαρ ιντερϖαλ, ωιτη ϕ αν ιντεγερ νυmβερ ανδ βψ χαλχυλατινγ τηε ρεσυλτινγ δισπλαχεmεντ ριγητ ατ τηε ενδ οφ τηε τηρυστ αρχ. Τηε ϖεχτορ δεϖιατιον οβταινεδ βψ mεανσ οφ τηε αναλψτιχαλ φορmυλαε (3.1), ανδ χοmπυτεδ τηρουγη τηε νυmεριχαλ ιντεγρατιον οφ Γαυσσ εθυατιονσ (3.1): ρ εστιmατεδ ισ τηε ρ προπαγατεδ ισ ϕ δ δ δ Φιγυρε 3.α ρεπρεσεντσ τηε ρελατιϖε ερρορ ον τηε χοmπυτατιον οφ τηε δεϖιατιον οφ Αποπηισ ωηεν πυσηινγ οϖερ αν ινχρεασινγ νυmβερ οφ ορβιταλ ρεϖολυτιονσ ανδ σταρτινγ τηε δεϖιατιον mανοευϖρε ατ διφφερεντ ανγυλαρ ποσιτιονσ. Ιν φαχτ, τηε ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ παραmετερσ οϖερ ονε ορβιταλ ρεϖολυτιον δεπενδσ ον ωηερε τηε mανοευϖρε σταρτσ αλονγ τηε ορβιτ. Ιν τηε λεγενδ, τι ισ τηε τιmε ωηεν τηε δεϖιατιον αχτιον χοmmενχεσ, ανδ ισ τηε τιmε ατ τηε περιχεντρε, ισ τηε αστεροιδ νοmιναλ ορβιταλ περιοδ. Φιγυρε 3.β σηοωσ τηε ρελατιϖε ερρορ φορ αν αστεροιδ ωιτη τ π ΤΝΕΟ ηιγηερ εχχεντριχιτψ ανδ ινχλινατιον ( ε.73, ι 5 δεγ). Αν αδαπτιϖε στεπ σιζε Ρυνγε Κυττα Φεηλβεργ ιντεγρατορ ισ υσεδ φορ τηε νυmεριχαλ ιντεγρατιον, ανδ τηε αβσολυτε ανδ τηε ρελατιϖε τολερανχε αρε σετ το το οβταιν α ρελατιϖε ερρορ οφ τηε ορδερ οφ 1 ανδ.31 14, ρεσπεχτιϖελψ, 5. Τηε ϖαλυε οφ κ α υσεδ φορ τηε 5 φολλοωινγ αναλψσεσ ισ κ.1 κm 3 /σ φορ αστεροιδ Αποπηισ ( Φιγυρε 3.α) ανδ α κα 1 4 κm 3 /σ φορ αστεροιδ 1979ΞΒ ( Φιγυρε 3.β). Τηε ρεασονσ τηατ λεδ το τηεσε ϖαλυεσ ωιλλ βε εξπλαινεδ ιν Σεχτιον

111 3.. Semi-analytical formulae for low-thrust deviation action Οτηερ τηαν τηε αχχυραχψ, αν αδϖανταγε οφ τηε αναλψτιχαλ φορmυλατιον ισ α σιγνιφιχαντ ρεδυχτιον ιν τηε χοmπυτατιοναλ χοστ ωιτη ρεσπεχτ το α νυmεριχαλ ιντεγρατιον τηρουγη α Ρυνγε Κυττα mετηοδ. Ιν φαχτ, τηε ΧΠΥ τιmε ρεθυιρεδ φορ τηε νυmεριχαλ προπαγατιον οφ Γαυσσ εθυατιονσ ισ ονε ορδερ οφ mαγνιτυδε ηιγηερ τηαν τηατ ρεθυιρεδ φορ τηε χοmπυτατιον οφ τηε αναλψτιχαλ φορmυλαε, ασ ρεπορτεδ ιν Ταβλε x x 1 6 e r t i = t p t i = t p +T NEO /4 t i = t p +T NEO / t i = t p +T NEO *3/ orbital period α) e r t i = t p t i = t p +T NEO /4 t i = t p +T NEO / t i = t p +T NEO *3/ orbital period β) Φιγυρε 3.: Ρελατιϖε ερρορ ον τηε δεϖιατιον οφ α) αστεροιδ Αποπηισ ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ. Ταβλε 3.1: Χοmπυτατιοναλ τιmε οφ τηε αναλψτιχαλ ανδ νυmεριχαλ αππροαχη. Περχενταγε οφ σαϖινγ ιν Ορβιταλ Τιmε αναλψτιχαλ Τιmε νυmεριχαλ χοmπυτατιοναλ τιmε περιοδσ [σ] [σ] (αναλψτιχαλ/νυmεριχαλ) Periodic variation of the orbital parameters Τηε αναλψτιχαλ φορmυλατιον ιν Εθσ. (3.1) δεσχριβεσ τηε mεαν ϖαριατιον οφ τηε Κεπλεριαν ελεmεντσ; ηενχε, ιτ γιϖεσ α συφφιχιεντλψ αχχυρατε εστιmατε οφ τηειρ ϖαριατιον οϖερ ονε φυλλ ρεϖολυτιον οφ τηε τρυε λατιτυδε. Φορ σmαλλερ ανγυλαρ ιντερϖαλσ, τηε περιοδιχ χοmπονεντ οφ τηε περτυρβατιον mυστ βε ινχλυδεδ βεχαυσε ιτσ Τιmε χαλχυλατεδ ωιτη α Πεντιυm 4 ΧΠΥ ατ 3. ΓΗζ, υσινγ Ματηωορκσ Ματλαβ ϖ. 7β. 78

112 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection ϖαριατιον ισ νοτ ζερο. Το τηισ αιm, αν εξπρεσσιον ισ δεριϖεδ το εστιmατε τηε περιοδιχ χοmπονεντ οφ σεmι mαϕορ αξισ, εχχεντριχιτψ ανδ αργυmεντ οφ τηε περιχεντρε. Τηε τρενδ οφ α, ε, ανδ ασ φυνχτιονσ οφ χαν βε αππροξιmατεδ βψ Εθσ. (3.15): α α αι Χασιν ι π ι Χασιν π ε ε ει Χεσιν ι π ι Χεσιν π ι Χ χοσ ι π ι Χ χοσ π (3.15) ωηερε τηε φιρστ τωο τερmσ αρε τηε ινιτιαλ χονδιτιον φορ τηε σεχυλαρ εϖολυτιον ατ ποιντ ι (ι.ε., τηε ποιντ ατ ωηιχη τηε δεϖιατιον αχτιον χοmmενχεσ), τηε τηιρδ τερm ινδιχατεσ τηε σεχυλαρ ϖαριατιον οβταινεδ φροm Εθσ. (3.1), ανδ τηε φουρτη ονε ισ τηε περιοδιχ ϖαριατιον. Τηε χοεφφιχιεντσ Χ, Χ ανδ Χ α ε αρε τηε αmπλιτυδεσ οφ τηε περιοδιχ ϖαριατιον. Τηειρ ϖαλυε ισ σετ τηρουγη α χαλιβρατιον προχεσσ: Γαυσσ εθυατιονσ ιν Εθσ. (3.1) αρε νυmεριχαλλψ ιντεγρατεδ οϖερ ονε ορβιτ οφ. Wιτη τηε ϖεχτορσ α νυm,, ε νυm,, ανδ νυm, ρεσυλτινγ φροm τηε νυmεριχαλ ιντεγρατιον οφ Εθσ. (3.1), ωε τηεν ηαϖε α ε α α ι ε ε ι (3.16) ι ι νυm, αι νυm, ει νυm, φροm ωηιχη τηε αmπλιτυδεσ οφ τηε περιοδιχ χοmπονεντσ χαν βε χοmπυτεδ ασ Χ Χ Χ α ε mαξ mαξ mαξ α mιν α ε mιν ε mιν (3.17) 79

113 3.. Semi-analytical formulae for low-thrust deviation action ωηερε ι ι. Βεχαυσε Εθσ. (3.16) χοmε φροm α νυmεριχαλ ιντεγρατιον, τηισ χαλιβρατιον προχεσσ ισ τιmε χονσυmινγ. Ηοωεϖερ, ιτ νεεδσ το βε περφορmεδ ονχε ανδ φορ αλλ, γιϖεν τηε αστεροιδ ανδ τηε προπορτιοναλιτψ χονσταντ οφ τηε αχχελερατιον κ α. Ιν φαχτ, ιτ ωασ ϖεριφιεδ τηατ φορ λοω τηρυστ αχτιον, τηε αmπλιτυδε οφ τηε περιοδιχ χοmπονεντσ οφ τηε περτυρβατιον ισ αλmοστ χονσταντ οϖερ α νυmβερ οφ ιντεγρατιον περιοδσ τηατ αρε συφφιχιεντ το δεϖιατε τηε αστεροιδ βψ α χονσιδεραβλε διστανχε. Τηρουγη τηε χαλιβρατιον προχεσσ τηε σεχονδ ανδ τηε φουρτη τερmσ ιν Εθ. (3.15) χαν βε δετερmινεδ. Τηε φορmερ τερm ισ ρεθυιρεδ το φινδ τηε ινιτιαλ χονδιτιον φορ τηε σεχυλαρ ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ παραmετερσ. Φορ εξαmπλε, Φιγυρε 3.3 χοmπαρεσ τηε σεmι αναλψτιχαλ εξπρεσσιον οφ τηε εχχεντριχιτψ (βολδ σολιδ λινε) ωιτη τηε νυmεριχαλ εϖολυτιον (σολιδ λινε) φορ αστεροιδ Αποπηισ. Τηε δοττεδ λινε ρεπρεσεντσ τηε mεαν ϖαριατιον. Ταβλε 3. συmmαρισεσ τηε mαξιmυm οφ τηε ρελατιϖε ερρορ βετωεεν τηε σεmι αναλψτιχαλ ανδ τηε νυmεριχαλ ιντεγρατιον οφ ε, α, ανδ, οϖερ 1 ρεϖολυτιονσ οφ, φορ λοω (Αποπηισ) ανδ α ηιγη ελλιπτιχ αστεροιδ (1979ΞΒ), ρεσπεχτιϖελψ. Τηε εϖολυτιον οφ τηε ρελατιϖε ερρορ ισ αλσο σηοων ιν Φιγυρε 3.4. e(θ * ),19144,19143,1914,19141,1914,19139,19138,19137,19136,19135 numerical semi analytical mean Apophis θ * i = θ* (t p +T NEO /4), θ * [deg] Φιγυρε 3.3: Σεmι αναλψτιχαλ εξπρεσσιον οφ τηε εχχεντριχιτψ φορ αστεροιδ Αποπηισ. Ταβλε 3.: Μαξιmυm ρελατιϖε ερρορ βετωεεν τηε νυmεριχαλ ανδ σεmι αναλψτιχαλ ιντεγρατιον. Αστεροιδ Αποπηισ Αστεροιδ 1979ΞΒ Εχχεντριχιτψ Σεmι mαϕορ αξισ ε 1 8 Ανοmαλψ οφ τηε περιχεντρε 6.9ε

114 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection e r, e e r, a e r, ω x θ * [deg] α) x θ * [deg] β) 7 x e r, e e r, a e r, ω x θ * [deg] 1 x θ * [deg] θ * [deg] θ * [deg] χ) Φιγυρε 3.4: Ρελατιϖε ερρορ βετωεεν τηε νυmεριχαλ ανδ σεmι αναλψτιχαλ ιντεγρατιον οφ α) τηε εχχεντριχιτψ, β) τηε σεmι mαϕορ αξισ, ανδ χ) ανοmαλψ οφ τηε περιχεντρε φορ αστεροιδ Αποπηισ (λεφτ) ανδ αστεροιδ 1979ΞΒ (ριγητ). 4 x 1 8 Το προπερλψ τακε ιντο αχχουντ τηε περιοδιχ ϖαριατιον οφ τηε mεαν ανοmαλψ ωιτηιν αν ιντερϖαλ σmαλλερ τηαν ονε ρεϖολυτιον, τηε χορρεσπονδινγ Γαυσσ εθυατιον ηασ το βε ιντεγρατεδ οϖερ : δμ β 1 ε ρ ν σινα ρ τ δ εαϖ π η (3.18) 81

115 3.. Semi-analytical formulae for low-thrust deviation action ιν ωηιχη ε, α, ανδ αρε εξπρεσσεδ τηρουγη Εθσ. (3.15). Τηε ρελατιϖε ερρορ ον Μ ωιτη ρεσπεχτ το τηε φυλλ ιντεγρατιον οφ Εθσ. (3.1) ισ ρεπρεσεντεδ ιν Φιγυρε 3.5. Νοτε τηατ ιντροδυχινγ τηε περιοδιχ τερmσ αλλοωσ φορ τηε χοmπυτατιον οφ τηε εϖολυτιον οφ τηε ορβιταλ ελεmεντσ σταρτινγ φροm ανψ ανγυλαρ ποσιτιον αλονγ τηε ορβιτ. Ιν φαχτ, ιφ τηε ποιντ ωηεν τηε δεϖιατιον αχτιον χοmmενχεσ [ι.ε., ποιντ ι ιν Εθσ. (3.15)] ισ διφφερεντ φροm τηε περιχεντρε, τηε ινιτιαλ mεαν παραmετερσ αρε διφφερεντ φροm τηε ινιτιαλ οσχυλατινγ ελεmεντσ. Τηε περιοδιχ τερmσ ενσυρε τηε ρεθυιρεδ αχχυραχψ φορ α δεϖιατιον mανοευϖρε σταρτινγ ανδ στοππινγ ατ ανψ ανγυλαρ ποσιτιον. Τηισ ωουλδ ηαϖε νοτ βεεν αχηιεϖεδ βψ υσινγ οτηερ φορmυλατιονσ [81] [83] τηατ αχχουντ ονλψ φορ τηε σεχυλαρ ϖαριατιονσ. e r, M x 1 8 e r, M θ* [deg] θ * [deg] α) β) Φιγυρε 3.5: Ρελατιϖε ερρορ βετωεεν τηε νυmεριχαλ ανδ σεmι αναλψτιχαλ ιντεγρατιον οφ τηε mεαν ανοmαλψ φορ α) αστεροιδ Αποπηισ ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ x Time formulation Ιν σοmε αππλιχατιονσ, τηε σεmι αναλψτιχαλ φορmυλαε ιντροδυχεδ ιν Σεχτιον 3..1 ανδ 3.. αρε ενουγη το δεσχριβε α λοω τηρυστ τραϕεχτορψ. Τηε ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ παραmετερσ οϖερ αν ιντεγερ νυmβερ οφ φυλλ ρεϖολυτιονσ οφ τηε ανγλε χαν βε χαλχυλατεδ διρεχτλψ φροm Εθσ. (3.1); φορ τηε λαστ ρεϖολυτιον, τηε περιοδιχ χοmπονεντσ αρε αδδεδ το τηε σεχυλαρ ϖαριατιονσ τηρουγη Εθσ. (3.15). Τηισ αππροαχη, χαλλεδ λατιτυδε φορmυλατιον ιν τηε φολλοωινγ, δοεσ νοτ υσε τιmε ασ ινδεπενδεντ ϖαριαβλε. Ιτ αλλοωσ α χονσιδεραβλε σαϖινγ ιν χοmπυτατιοναλ τιmε ωηιλε 8

116 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection στιλλ προϖιδινγ γοοδ αχχυραχψ, χοmπαραβλε ωιτη α λοω τολερανχε νυmεριχαλ ιντεγρατιον. Ηοωεϖερ, τηε τιmε ισ ρεθυιρεδ ωηεν δεαλινγ ωιτη τηε αστεροιδ δεϖιατιον προβλεm, βεχαυσε τηε χοmπονεντ οφ τηε δεϖιατιον ασσοχιατεδ το τηε σηιφτ ιν τιmε ηασ το βε τακεν ιντο αχχουντ. Ιν φαχτ, τηε λατιτυδε φορmυλατιον αχχουντσ ονλψ φορ τηε σηιφτ ιν ποσιτιον οφ τηε αστεροιδ. Γιϖεν τηε τηρυστ αρχ τ τ, ωε ωαντ το αππλψ τηε δεσχριβεδ σεmι αναλψτιχαλ φορmυλατιον το φινδ τηε δισπλαχεmεντ οφ τηε αστεροιδ αφτερ α γιϖεν τιmε. Εθυατιονσ (3.1) αρε υσεδ το χοmπυτε τηε ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ ελεmεντσ οϖερ τηε νυmβερ οφ φυλλ ρεϖολυτιονσ χονταινεδ ιν τηε τιmε ιντερϖαλ ι ε τ τ. Φορ τηε ρεmαινδερ οφ τηε τηρυστινγ αρχ, τηε ελεmεντ διφφερενχεσ αρε χαλχυλατεδ υσινγ Εθσ. (3.15) ανδ (3.18). Τηε ιντερϖαλ ι ε χορρεσπονδινγ το τηε τιmε ιντερϖαλ τ τ ισ χοmπυτεδ βψ νυmεριχαλλψ ιντεγρατινγ Εθ. (3.9). Νοτε τηατ ι ε τηε τερmσ χορρεσπονδινγ το τηε σεχυλαρ ϖαριατιον οφ τηε παραmετερσ ιν Εθσ. (3.15) αρε χαλχυλατεδ υπδατινγ α, ε, ανδ Γιϖεν τηε αστεροιδ ιδεντιφιχατιον νυmβερ ατ εαχη ορβιταλ ρεϖολυτιον. ιδ ΝΕΟ ανδ τηε προπορτιοναλιτψ χονσταντ οφ τηε αχχελερατιον κ α, τηε χαλιβρατιον προχεδυρε γιϖεσ τηε αmπλιτυδε οφ τηε περιοδιχ χοmπονεντ οφ α, ε ανδ (στεπ ). Ονχε χοmπυτεδ, τηε ϖαλυεσ οφ, Χ, ανδ Χ αρε κεπτ χονσταντ φορ εϖερψ ττ τ ανδ φορ τηε εϖαλυατιον οφ τηε ε ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ ελεmεντσ οϖερ διφφερεντ τιmε ιντερϖαλσ, φορ α γιϖεν αστεροιδ (ι.ε., α γιϖεν σετ οφ νοmιναλ ορβιταλ ελεmεντσ). Τηε αλγοριτηm προχεεδσ ωιτη τηε χαλχυλατιον οφ τηε υππερ λιmιτ ον τηε νυmβερ οφ ρεϖολυτιονσ χονταινεδ ιν τηε ιντερϖαλ τ ι τ ε ; τηε θυοτιεντ οφ τηε διϖισιον βετωεεν τ ε ι ε Χ α τ ι ανδ τηε νοmιναλ περιοδ οφ τηε αστεροιδ ισ ρουνδεδ το τηε νεαρεστ ιντεγερ τοωαρδσ ινφινιτψ (στεπ 1). Ιν φαχτ, δυε το τηε περτυρβατιον ιντροδυχεδ βψ τηε λοω τηρυστ αχτιον, τηε τιmε το περφορm α φυλλ ρεϖολυτιον οφ ισ διφφερεντ φροm τηατ οφ τηε υνπερτυρβεδ ορβιτ. Φορ εαχη ρεϖολυτιον, τηε ϖαλυε οφ τηε σεχυλαρ ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ παραmετερσ ισ χοmπυτεδ ωιτη Εθσ. (3.1) (στεπ ), υπδατινγ α ανδ ε ατ εαχη ιντεγρατιον στεπ Τηε θυοτιεντ οφ τηε διϖισιον βετωεεν τ ε τ ι ανδ τηε νοmιναλ περιοδ οφ τηε αστεροιδ ισ ρουνδεδ το τηε νεαρεστ ιντεγερ τοωαρδσ ινφινιτψ ιφ τηε τηρυστ ισ γιϖεν ιν τηε διρεχτιον οφ τηε ϖελοχιτψ ϖεχτορ. Οτηερωισε, ιφ τηε τηρυστ ισ γιϖεν ιν τηε οπποσιτε διρεχτιον ωιτη ρεσπεχτ το τηε ϖελοχιτψ ϖεχτορ, τηε περιοδ οφ τηε δεϖιατεδ ορβιτ ωιλλ δεχρεασε, ηενχε τηε νυmβερ οφ ρεϖολυτιονσ αλονγ τηε περτυρβεδ ορβιτ mαψ βε γρεατερ τηαν τηε νυmβερ οφ ρεϖολυτιονσ αλονγ τηε νοmιναλ ορβιτ. 83

117 3.. Semi-analytical formulae for low-thrust deviation action (ωηιχη ισ ονε περιοδ λονγ) ανδ ρεχαλχυλατινγ τηε ελλιπτιχ ιντεγραλσ ιν Εθσ. (3.13) ανδ (3.14). Ονχε τηε σεχυλαρ ϖαριατιονσ αρε αϖαιλαβλε (στεπ 3), τηε ϖαλυε οφ χορρεσπονδινγ το τηε τηρυστ αρχ ανδ τηε εξαχτ νυmβερ οφ ρεϖολυτιονσ αρε χοmπυτεδ τηρουγη Εθ. (3.9), ωιτη τηε ορβιταλ παραmετερσ χοmπυτεδ τηρουγη Εθσ. (3.15). Τηε σεχυλαρ ϖαριατιονσ οφ τηε παραmετερσ χαλχυλατεδ ιν στεπ αρε αδδεδ υπ οϖερ τηε νυmβερ οφ φυλλ ρεϖολυτιονσ (στεπ 4), ωηερεασ τηε χαλχυλατιον οφ τηε ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ ελεmεντσ ιν τηε ρεmαινδερ οφ τηε τηρυστ αρχ ισ περφορmεδ τηρουγη τηε εϖαλυατιον οφ Εθσ. (3.15) ανδ τηε ιντεγρατιον οφ Εθ. (3.18) (στεπ 5). Νοτε τηατ α, ε, ανδ ϖαλυεσ οφ α, ε, ανδ, γιϖεν βψ Εθσ. (3.15), αρε χαλχυλατεδ υπδατινγ τηε ατ εαχη ρεϖολυτιον. Τηε ουτπυτ οφ τηε αλγοριτηm ισ τηε τοταλ ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ ελεmεντσ οϖερ τηε ιντερϖαλ τ τ. Τηε οϖεραλλ προχεσσ ισ ιλλυστρατεδ ιν Φιγυρε 3.6. ι ε 84

118 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection ΙΝΠΥΤ: κ α, τ τ ι ιδνεο ε Στεπ : Σετ Χ α, Χ ε, Χ Στεπ 1: Χαλχυλατιον οφ τηε υππερ λιmιτ ον τηε νυmβερ οφ ρεϖολυτιονσ οφ, ν ρεϖ,υπ Στεπ : Εθσ. (3.1) οϖερ ν ρεϖ,υπ ανδ δετερmινατιον οφ τηε σεχυλαρ ϖαριατιον οφ παραmετερσ α, ε,, ανδ Μ φορ εαχη ρεϖολυτιον Στεπ 3: Χοmπυτατιον οφ τε τι δ δτ δτ Στεπ 4: Συm οφ ν ρεϖ οϖερ ν ρεϖ Στεπ 5: Χαλχυλατιον οφ τηε ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ ελεmεντσ οϖερ τηε λαστ αρχ τηρουγη Εθσ. (3.15) ανδ τηε νυmεριχαλ ιντεγρατιον οφ Εθ. (3.18) λαστ αρχ νρεϖ ΟΥΤΠΥΤ: ν ρεϖ λαστ αρχ Φιγυρε 3.6: Τιmε φορmυλατιον αλγοριτηm. Accuracy analysis ερρορ Τηε αχχυραχψ οφ τηε τιmε φορmυλατιον ισ ϖεριφιεδ βψ χοmπυτινγ τηε ρελατιϖε ερ, τιmε φορmυλατιον βετωεεν τηε δεϖιατιον ρ εστιmατεδ, τφ, χαλχυλατεδ τηρουγη τηε αλγοριτηm συmmαρισεδ ιν Φιγυρε 3.6, ανδ τηε δεϖιατιον τηε νυmεριχαλ ιντεγρατιον οφ Εθσ. (3.3). ρ προπαγατεδ, τφ, χοmπυτεδ ωιτη 85

119 3.. Semi-analytical formulae for low-thrust deviation action ε ρ, τιmε φορmυλατιον ρ προπαγατεδ, τφ ρ ρ προπαγατεδ, τφ εστιmατεδ, τφ Τηε ρελατιϖε ερρορ ισ χοmπυτεδ φορ ινχρεασινγ ϖαλυεσ οφ τηε προπορτιοναλιτψ χονσταντ κ α. Φιγυρε 3.7α ανδ 3.7β ρεπορτ ε ρ, τιmε φορmυλατιον χαλχυλατεδ ωιτη τηε νοmιναλ ϖαλυε οφ κ α (σετ ιν Σεχτιον 3.3.), 1 κ ανδ 1 κ, ρεσπεχτιϖελψ, φορ αστεροιδσ α α Αποπηισ ανδ 1979ΞΒ. Τηε ϖαλυεσ οφ ε ρ, τιmε φορmυλατιον αρε πλοττεδ αγαινστ τηε πυση τιmε τ (ι.ε., τε ι, ωηιχη ωασ σετ εθυαλ το τηε τιmε το ΜΟΙD τ τμοιd τι τε τ ΜΟΙD ). Τηε ηιγη ϖαλυε οφ τηε ρελατιϖε ερρορ ωηεν τ 1Τ ισ δυε το τηε αππροξιmατιον ιντροδυχεδ ωιτη τηε περιοδιχ χοmπονεντσ οφ τηε ορβιταλ ελεmεντσ ιν Εθσ. (3.15). Φορ τ 1Τ ΝΕΟ ΝΕΟ, τηε διφφερενχε βετωεεν ορβιταλ ελεmεντσ οφ τηε περτυρβεδ ανδ τηε νοmιναλ ορβιτ ισ οφ τηε σαmε ορδερ οφ mαγνιτυδε οφ τηε αππροξιmατιον ερρορ οφ τηε περιοδιχ χοmπονεντσ. Ασ α χονσεθυενχε, τηε ρελατιϖε ερρορ διφφερενχε οφ τηε ορβιταλ ελεmεντσ προπαγατεδ, τφ εστιmατεδ, τφ ερ, προπαγατεδ, τφ ισ ηιγη. Ιν παρτιχυλαρ, τηε ερρορ ον τηε ασσεσσmεντ οφ τηε ορβιταλ παραmετερσ α, ε, ανδ αφφεχτσ τηε διφφερενχε οφ mεαν ανοmαλψ, ωηιχη σιγνιφιχαντλψ χοντριβυτεσ το τηε τερmσ ιν Εθσ. (3.1). Φιγυρε 3.8 ρεπρεσεντσ τηε ρελατιϖε ερρορ ον Μ φορ τωο αστεροιδσ. 86

120 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection k a 1k a 1k a e r, time formulation α) t [T NEO ] 1 1 k a 1 1k a 1k a 1 1 e r, time formulation t [T ] NEO β) Φιγυρε 3.7: Ρελατιϖε ερρορ οφ τηε τιmε φορmυλατιον φορ α) αστεροιδ Αποπηισ (κ α =. 1 5 κm 3 /σ ) ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ (κ α = 1 4 κm 3 /σ ). 87

121 3.. Semi-analytical formulae for low-thrust deviation action e r, δm α) t [T NEO ] e r, δm t [T ] NEO β) Φιγυρε 3.8: Ρελατιϖε ερρορ ον Μ φορ α) αστεροιδ Αποπηισ ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ. Ηενχε, τηε τιmε φορmυλατιον χαν βε συβστιτυτεδ το τηε νυmεριχαλ ιντεγρατιον ονλψ φορ α τηρυστ αρχ τ Φιγυρε 3.7 ισ λοωερ τηαν λονγερ τηαν ονε ορβιταλ ρεϖολυτιον (ι.ε., τηε ρελατιϖε ερρορ ιν 1 ). Ον τηε οτηερ ηανδ, ωηεν λοω τηρυστ στρατεγιεσ αρε σελεχτεδ, τηε τηρυστ αρχ ισ, ιν γενεραλ, λονγερ τηαν 1 ΤΝΕΟ. Φιγυρε 3.9 δεπιχτσ τηε περχενταγε οφ σαϖινγ ιν χοmπυτατιοναλ τιmε οφ τηε σεmι αναλψτιχαλ αππροαχη ωιτη τιmε φορmυλατιον, ωιτη ρεσπεχτ το τηε νυmεριχαλ ιντεγρατιον. Wηεν γαιν ισ αρουνδ 4%, ανδ ιτ ινχρεασεσ ωιτη τηε λενγτη οφ τηε πυση αρχ. τ 1Τ ΝΕΟ τηε 88

122 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection α) saving in computational time [%] (semi analytical / numerical) t [T ] NEO saving in computational time [%] (semi analytical / numerical) t [T NEO ] β) Φιγυρε 3.9: Περχενταγε οφ σαϖινγσ ιν χοmπυτατιοναλ τιmε βψ υσινγ τηε σεmι αναλψτιχαλ τιmε φορmυλατιον ωιτη ρεσπεχτ το τηε νυmεριχαλ ιντεγρατιον οφ Γαυσσ εθυατιονσ. α) Αστεροιδ Αποπηισ ανδ β) αστεροιδ 1979ΞΒ Mission options for low-thrust deviation Ιν τηισ σεχτιον, τηε αναλψσισ οφ σοmε ΝΕΟ δεϖιατιον mισσιονσ ισ πρεσεντεδ. Τηε σεmι αναλψτιχαλ αππροαχη ισ υσεδ το χοmπυτε τηε δισπλαχεmεντ οφ τηε ποσιτιον οφ τηε αστεροιδ ατ τηε ΜΟΙD ποιντ αφτερ α λοω τηρυστ δεϖιατιον mανοευϖρε ανδ α σηαπε βασεδ αππροαχη ισ αδοπτεδ το mοδελ τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ. Α γλοβαλ σεαρχη ισ περφορmεδ οϖερ α ωιδε ρανγε οφ λαυνχη δατεσ ανδ τιmεσ οφ φλιγητ το φινδ α σετ οφ 89

123 3.3. Mission options for low-thrust deviation οπτιmαλ σολυτιονσ αχχορδινγ το τηρεε χριτερια: τηε mασσ ατ λαυνχη, τηε ωαρνινγ τιmε (ι.ε., ελαπσεδ τιmε βετωεεν τιmε ατ λαυνχη ανδ τιmε ατ τηε ΜΟΙD), ανδ τηε τοταλ δεϖιατιον. Εαχη σολυτιον οφ τηε mυλτι οβϕεχτιϖε γλοβαλ οπτιmισατιον ρεπρεσεντσ α χοmπλετε mισσιον δεσιγν, ωηιχη ινχλυδεσ τηε τρανσφερ λεγ φροm τηε Εαρτη το τηε αστεροιδ ιντερχεπτιον, ανδ τηε δεφλεχτιον mανοευϖρε οϖερ α φινιτε περιοδ οφ τιmε Targets selection Φουρ αστεροιδσ αρε σελεχτεδ, βασεδ ον τηειρ ορβιταλ παραmετερσ: Αποπηισ ωιτη λοω εχχεντριχιτψ ανδ ινχλινατιον ανδ 1979ΞΒ ωιτη ηιγη εχχεντριχιτψ ανδ ηιγη ινχλινατιον ( ε.73 ανδ ι 5.14 δεγ). Χασταλια ανδ Ιτοκαωα, ωιτη α mασσ οφ κγ ανδ κγ ρεσπεχτιϖελψ, αρε σελεχτεδ το αναλψσε τηε ινφλυενχε οφ τηε mασσ οφ τηε αστεροιδ. Τηε ορβιταλ ελεmεντσ τηατ αρε mοστ σιγνιφιχαντ φορ τηε φολλοωινγ αναλψσισ αρε ρεπορτεδ ιν Ταβλε 3.3, τογετηερ ωιτη τηε mινιmυm ορβιτ ιντερσεχτιον διστανχε ανδ τηε mασσ οφ τηε αστεροιδ. Τηε ΜΟΙD ισ χαλχυλατεδ υσινγ τηε Εαρτη σ επηεmεριδεσ ον 7 ϑανυαρψ 7 ατ 1: ηρσ, τακεν φροm αναλψτιχ επηεmεριδεσ ωηιχη αππροξιmατε ϑπλ επηεmεριδεσ δε45. Ασ αλρεαδψ ποιντεδ ουτ, τηε αχτυαλ ΜΟΙD ϖαριεσ ωιτη τιmε [13], δυε το τηε αχτυαλ ορβιτ οφ βοτη τηε Εαρτη ανδ τηε αστεροιδ. Ον τηε οτηερ ηανδ, τηε αιm οφ τηισ ωορκ ισ νοτ το ρεπροδυχε ανψ σπεχιφιχ ανδ ρεαλιστιχ ιmπαχτ σχεναριο, βυτ ρατηερ το ασσεσσ τηε περφορmανχε οφ α λοω τηρυστ δεϖιατιον αχτιον οϖερ α ωιδε ρανγε οφ mισσιον οππορτυνιτιεσ. Α mορε αχχυρατε χαλχυλατιον οφ τηε ΜΟΙD ωουλδ προδυχε α mορε πρεχισε εστιmατιον οφ τηε αχτυαλ αχηιεϖαβλε δεϖιατιον βυτ ωουλδ νοτ ινϖαλιδατε τηε ρεσυλτσ ιν τηισ δισσερτατιον. ρ Ταβλε 3.3: Αστεροιδσ ορβιταλ ανδ πηψσιχαλ παραmετερσ. Αστεροιδ Σεmι mαϕορ αξισ Εχχεντριχιτψ Ινχλινατιον ΜΟΙD Μασσ [ΑΥ] [δεγ] [κm] [κγ] Αποπηισ , ΞΒ ,75, Χασταλια ,13, Ιτοκαωα ,769, ]. Dατα αϖαιλαβλε ονλινε ατ ηττπ://ναιφ.ϕπλ.νασα.γοϖ/ναιφ/πδσ.ητmλ [Ρετριεϖεδ 8 ϑανυαρψ 9

124 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection Spacecraft model and optimisation problem definition Ασ α ρεφερενχε χασε, ωε χονσιδερ α σπαχεχραφτ εθυιππεδ ωιτη α σολαρ mιρρορ ωιτη α διαmετερ οφ 1 m ανδ α δρψ mασσ m δ [135] οφ 895 κγ. Τηε σπαχεχραφτ ισ λαυνχηεδ ατ τιmε τ (σελεχτεδ ιν α ρανγε οφ ψεαρσ βεφορε τηε ποσσιβλε χολλισιον), ωιτη mαξιmυm ηψπερβολιχ εξχεσσ ϖελοχιτψ οφ 3.5 κm/σ, ανδ εθυιππεδ ωιτη αν ενγινε δελιϖερινγ αν υνλιmιτεδ τηρυστ ωιτη αν Ι 3 σ. Ονχε τηε σπαχεχραφτ ηασ ιντερχεπτεδ τηε αστεροιδ, τηε λοω τηρυστ δεϖιατιον mανοευϖρε ισ περφορmεδ φροm τι υπ το τηε τιmε ατ τηε ΜΟΙD (ι.ε., τε τ σπ ΜΟΙD ); νο προπελλαντ ισ ασσυmεδ το βε χονσυmεδ δυρινγ τηε δεϖιατιον πηασε, βυτ α 5% mαργιν ον τηε τοταλ ωετ mασσ ισ χονσιδερεδ, το αχχουντ φορ στατιον κεεπινγ ανδ mιρρορ δεπλοψmεντ οπερατιονσ. Ταβλε 3.4 συmmαρισεσ τηε κεψ παραmετερσ οφ τηε mισσιον. Ταβλε 3.4: Μισσιον χηαραχτεριστιχσ. Ι σπ δ m m δ 3 σ 1 m 895 κγ Μαργιν ον m 5% ϖ,mαξ 3.5 κm/σ τ τ ψ ΜΟΙD mαξ Τηε ϖαλυε οφ κ α ισ σετ αχχορδινγ το τηε mοδελ οφ τηε σολαρ χολλεχτορ δεϖελοπεδ ιν κ α [16]. Τηε ϖαλυε οφ ισ χηοσεν το οβταιν τηε σαmε ορδερ οφ αχχελερατιον προϖιδεδ βψ α σολαρ ινφλαταβλε mιρρορ, ωιτη α διαmετερ δ m οφ βετωεεν 1 ανδ 11 m, αλονγ τηε ρανγε οφ διστανχεσ φροm τηε Συν χοϖερεδ βψ τηε αστεροιδ δυρινγ ιτσ mοτιον. Φιγυρε 3.1 χοmπαρεσ τηε αχχελερατιον χοmπυτεδ τηρουγη τηε φυλλ mοδελ δεσχριβεδ ιν [16] αγαινστ Εθ. (3.8) οϖερ α φεασιβλε ρανγε οφ διστανχεσ φορ αστεροιδ Αποπηισ. Βετωεεν τηε ορβιτ αποχεντρε ανδ περιχεντρε, Εθ. (3.8) (σολιδ λινε) γιϖεσ αν αχχελερατιον χοmπαραβλε ωιτη τηατ χαλχυλατεδ τηρουγη τηε φυλλ σολαρ χολλεχτορ mοδελ (δασηεδ λινεσ). Νοτε τηατ Εθ. (3.8) δοεσ νοτ τακε ιντο αχχουντ τηε δεχρεασε οφ τηε mασσ οφ τηε αστεροιδ δυε το τηε αβλατιον οφ τηε mατεριαλ. Ταβλε 3.5 ρεπορτσ τηε ϖαλυεσ οφ τηε αχχελερατιον χονσταντ φορ εαχη αστεροιδ, τογετηερ ωιτη τηε αϖεραγε οφ τηε τηρυστ αχχελερατιον ον τηε νοmιναλ ορβιτ κ α 91

125 3.3. Mission options for low-thrust deviation οφ τηε αστεροιδ, αχχορδινγ το Εθ. (3.8), τηε αϖεραγε οφ τηε Συν γραϖιτατιοναλ αχχελερατιον, ανδ τηε ρατιο βετωεεν τηε τωο αχχελερατιονσ. a t [km/s ] x a (d =1 m) m. a (d m =11m) k /r a r [AU] Φιγυρε 3.1: Μαγνιτυδε οφ τηε αχχελερατιον φορ Αποπηισ. Ταβλε 3.5: Αχχελερατιον χονσταντ ανδ αϖεραγε οφ τηε αχχελερατιονσ αχτινγ ον τηε αστεροιδ. Αστεροιδ κ α [κm 3 /σ Αϖεραγε τηρυστ Αϖεραγε γραϖιτατιοναλ Αχχελερατιον ] αχχελερατιον [κm/σ ] αχχελερατιον [κm/σ ] ρατιο Αποπηισ ΞΒ Χασταλια Ιτοκαωα Α mυλτι οβϕεχτιϖε οπτιmισατιον ισ περφορmεδ το mινιmισε τηε ϖεχτορ οβϕεχτιϖε φυνχτιον: mιν m τ ω ρ ρ ρ (3.19) ωιτη ρεσπεχτ το τηε λαυνχη δατε, τηε τιmε οφ φλιγητ ανδ τηε ηψπερβολιχ εξχεσσ ϖελοχιτψ. Ιν Εθ. (3.19) m ισ τηε ωετ mασσ οφ τηε σπαχεχραφτ ατ τηε Εαρτη: m mδ mπ 1.5 (3.) ωηερε m ισ τηε προπελλαντ mασσ φορ τηε τρανσφερ, τω τμοιd τ ισ τηε ωαρνινγ π τιmε, ανδ ρρ ισ τηε τοταλ δεϖιατιον το βε mαξιmισεδ [σεε Εθ. (3.5)]. Νοτε τηατ, φροm τηε αναλψσισ πρεσεντεδ ιν Σεχτιον.1.3 τηε στρατεγιεσ τηατ αιmσ ατ 9

126 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection mαξιmισινγ β αρε mορε αχχυρατε τηαν τηε ονεσ αιmινγ ατ τηε mαξιmισατιον οφ ρ. Ηοωεϖερ, ιν τηε φολλοωινγ, ωε υσε τηε λαττερ στρατεγψ, βεχαυσε ιτ προϖιδεσ γοοδ ανδ ρελιαβλε ρεσυλτσ φορ mεδιυm το λονγ τιmεσ το ΜΟΙD ανδ ρεθυιρεσ α λοωερ χοmπυτατιοναλ χοστ. Low-thrust transfer trajectory Τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ ισ χαλχυλατεδ τηρουγη α σηαπε βασεδ mετηοδ (σεε [118]). Τηε λοω τηρυστ αρχ ισ οβταινεδ βψ σηαπινγ τηε τραϕεχτορψ τηρουγη α σετ οφ πσευδο εθυινοχτιαλ ελεmεντσ ανδ τηε ρεθυιρεδ χοντρολ το φολλοω τηατ τραϕεχτορψ ισ οβταινεδ τηρουγη αλγεβραιχ χοmπυτατιον βψ αν ινϖερσε mετηοδ: δ ρ υ δτ ρ ρ Συν 3 ωηερε υ ισ τηε χοντρολ αχχελερατιον ϖεχτορ ανδ ρ τηε ποσιτιον ϖεχτορ ιν α Χαρτεσιαν ρεφερενχε φραmε. Αν εξπονεντιαλ σηαπε ισ αδοπτεδ, δεσχριβεδ βψ τηρεε σηαπε παραmετερσ : 1 3 Τ ε ΛΛ 1 ωηερε ινδιχατεσ τηε ϖεχτορ οφ πσευδο εθυινοχτιαλ νον σινγυλαρ ελεmεντσ. Φορ φυρτηερ δεταιλσ ον τηε τραϕεχτορψ mοδελ τηε ρεαδερ χαν ρεφερ το [118],[136]. Βεχαυσε ιν τηισ τεστ χασε τηε δρψ mασσ οφ τηε σπαχεχραφτ ισ σετ, τηε προπελλαντ mασσ ρεθυιρεδ φορ τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ ισ χοmπυτεδ τηρουγη τηε φολλοωινγ εξπρεσσιον: Λ φ υ δτ mπ m δ εξπ δλ 1 Ι Λ σπγ δλ (3.1) Το ηαϖε α πρεχισε εστιmατε οφ τηε mισσ διστανχε φροm τηε Εαρτη, τηε προϕεχτιον ον τηε β πλανε οφ ρ ρ σηουλδ βε χοmπυτεδ. Ηερε, ηοωεϖερ, ωε αρε νοτ ιντερεστεδ ιν χοmπυτινγ τηε mινιmυm διστανχε φροm τηε Εαρτη, ρατηερ το οπτιmισε τηε ιντερχεπτιον ανδ δεφλεχτιον mανοευϖρεσ ανδ ωε δο νοτ χονσιδερ τηε Εαρτη το βε ατ τηε ΜΟΙD ποιντ ωηεν τηε αστεροιδ χροσσεσ ιτ. Τηε ελεmεντσ αρε χαλλεδ πσευδο εθυινοχτιαλ βεχαυσε τηεψ δο νοτ αλωαψσ σατισφψ εξαχτλψ Γαυσσ εθυατιονσ υνλεσσ τηε τηρυστ ισ ζερο. 93

127 3.3. Mission options for low-thrust deviation ωηερε Λ ινδιχατεσ τηε τρυε λονγιτυδε τηατ ισ υσεδ ασ ινδεπενδεντ ϖαριαβλε ιν πλαχε οφ τηε τιmε, ανδ Λ ανδ Λ φ ρεπρεσεντ τηε ινιτιαλ ανδ φιναλ τρυε λονγιτυδε οφ τηε τραϕεχτορψ. Αδδιτιοναλλψ, τηε σηαπε βασεδ αππροαχη ιντροδυχεσ τηε φολλοωινγ χονστραιντ ον τηε τιmε οφ φλιγητ: Λ φ ΤοΦ Λ δτ δλ δλ Ασ α χονσεθυενχε, α χονστραιντ ον τηε τιmε οφ φλιγητ ηασ το βε ινχλυδεδ ιν τηε οπτιmισατιον προβλεm (3.19): Λ φ δτ ΧΤοΦ : δλτοφ 1 δαψσ (3.) δλ Λ Τηε ϖαλυε οφ τηε παραmετερ 1, ωηιχη ισ mοστλψ ρεσπονσιβλε φορ τηε τιmε οφ φλιγητ χονστραιντ σατισφαχτιον, ισ δετερmινεδ ωιτηιν αν ιννερ Νεωτον λοοπ οφ τηε σηαπε βασεδ τραϕεχτορψ mοδελ γενερατινγ αλγοριτηm, ωηερεασ τηε ρεmαινινγ τωο σηαπε παραmετερσ αρε σετ ασ οπτιmισατιον παραmετερσ, αλονγ ωιτη τηε λαυνχη δατε τ, τηε τιmε οφ φλιγητ ΤοΦ, τηε ιντεγερ νυmβερ οφ ρεϖολυτιονσ αρουνδ τηε Συν ν, ανδ τηε λαυνχη χονδιτιονσ. Τηε δεσιγν ϖαριαβλεσ ϖεχτορ οφ τηε γλοβαλ οπτιmισατιον ισ τηερεφορε: ρεϖ ξ τ ΤοΦ νρεϖ ϖ ϖ ϖ 3 ωηερε τηε εσχαπε ϖελοχιτψ ϖεχτορ προϖιδεδ βψ τηε λαυνχηερ ισ φυλλψ δετερmινεδ βψ ιτσ mαγνιτυδε ϖ, τηε ιν πλανε ανγλε ϖ mεασυρεδ φροm τηε τανγεντ διρεχτιον το τηε προϕεχτιον οφ τηε ϖελοχιτψ ϖεχτορ ϖ ον τηε ορβιταλ πλανε, ανδ τηε ουτ οφ πλανε ανγλε ϖ βετωεεν τηε ϖελοχιτψ ϖεχτορ ϖ ανδ ιτσ προϕεχτιον ον τηε ορβιταλ πλανε (mεασυρεδ φροm τηε ορβιταλ πλανε το ϖ ). ανδ 3 αρε σελεχτεδ ωιτηιν τηε ρανγε.5.5, τηε νυmβερ οφ ιντεγερ ρεϖολυτιον ισ χηοσεν βετωεεν ανδ 3, ανδ τηε τιmε οφ φλιγητ βετωεεν 5 ανδ 15 δαψσ. 94

128 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection Τηε σολυτιον οφ τηε mυλτι οβϕεχτιϖε οπτιmισατιον προβλεm ιν Εθ. (3.19) ισ φουνδ τηρουγη α ηψβριδ οπτιmισατιον αππροαχη, βλενδινγ α στοχηαστιχ σεαρχη ωιτη αν αυτοmατιχ σολυτιον σπαχε δεχοmποσιτιον τεχηνιθυε [116],[133] (α mορε εξτενσιϖε εξπλανατιον οφ τηε mυλτι χριτερια οπτιmισατιον προβλεm φορmυλατιον ωιλλ βε γιϖεν ιν Χηαπτερ 4) Results Apophis deviation mission Φιγυρε 3.11 ρεπρεσεντσ α σετ οφ λαυνχη οππορτυνιτιεσ φορ α δεϖιατιον mισσιον το Αποπηισ, ασσυmινγ τηατ τηε αστεροιδ ισ ατ τηε ΜΟΙD ον τηε 7 τη ϑυλψ 7 (1,49 ΜϑD). Νοτε τηατ τηε Εαρτη ισ νοτ ατ τηε ΜΟΙD ον τηε σαmε δατε, βεχαυσε τηε αιm οφ τηεσε τεστ χασεσ ισ το mεασυρε τηε αχηιεϖεδ δεϖιατιον, νοτ το ρεπροδυχε α ρεαλ ιmπαχτ σχεναριο. Τηε λαυνχη δατεσ ανδ τρανσφερ τιmεσ ιν Φιγυρε 3.11 χορρεσπονδ το τηε σετ οφ Παρετο οπτιmαλ σολυτιονσ ιν Φιγυρε 3.1α. Ιν Φιγυρε 3.11, ωε χαν σεε τηατ α ωιδε ρανγε οφ λαυνχη οππορτυνιτιεσ αρε αϖαιλαβλε εϖερψ ψεαρ βετωεεν 1 ανδ 3, τηουγη τηε ρεθυιρεδ τρανσφερ τιmε mιγητ χηανγε σιγνιφιχαντλψ. Ιν παρτιχυλαρ, ωε χαν ιδεντιφψ τωο γρουπσ οφ σολυτιονσ αρουνδ 5 ΜϑD ανδ 75 ΜϑD ωιτη α σηορτ τρανσφερ τιmε, α σχαττερεδ σετ οφ σολυτιονσ ωιτη α τρανσφερ τιmε βετωεεν 5 ανδ 6 δαψσ, ανδ τηρεε γρουπσ οφ σολυτιονσ ωιτη λονγ τρανσφερ τιmε. Νοτε τηατ ωε υσεδ α νον εξηαυστιϖε στοχηαστιχ σεαρχη προχεσσ; τηερεφορε, mορε σολυτιονσ χαν εξιστ ιν τηε σαmε ρανγε οφ λαυνχη δατεσ. Ιν Φιγυρε 3.1α, τηε τηρεε αξεσ ρεπρεσεντ τηε χοmπονεντσ οφ τηε οβϕεχτιϖε φυνχτιον εθυατιον (3.19); τηε ζ αξισ χονταινσ τηε mαγνιτυδε οφ τηε δεϖιατιον ρ. Τηε mασσ ιντο σπαχε, ωηιχη ισ λιmιτεδ το 5 κγ ιν τηισ αναλψσισ, ισ α φυνχτιον οφ τηε mασσ οφ προπελλαντ ρεθυιρεδ το περφορm α τρανσφερ φροm τηε Εαρτη το τηε αστεροιδ. Ιν τηε χασε οφ Αποπηισ, α mισσιον υσινγ α σολαρ χολλεχτορ ωιτη α διαmετερ οφ 1 m ωουλδ αχηιεϖε δεϖιατιονσ οφ τηε ορδερ οφ 1 6 κm, ιν α τιmε ρανγε οφ ψεαρσ οφ ωαρνινγ τιmε, ανδ σολυτιονσ ωιτη 1 δαψσ οφ ωαρνινγ τιmε ηαϖε α δεϖιατιον οφ αβουτ, κm. m Τηε στοχηαστιχ αππροαχη οφ τηε σεαρχη προχεσσ ισ νον εξηαυστιϖε ιν τηε σενσε τηατ ιτ δοεσ νοτ γυαραντεε το φινδ α φεασιβλε (ορ οπτιmαλ) σολυτιον ωιτη προβαβιλιτψ 1, βυτ ιτ σεαρχηεσ νον σψστεmατιχαλλψ υντιλ α σπεχιφιχ στοπ χριτεριον ισ σατισφιεδ. 95

129 3.3. Mission options for low-thrust deviation Τηε mοδυλυσ οφ τηε αχηιεϖεδ δεϖιατιον ισ προπορτιοναλ το τηε λενγτη οφ τηε τηρυστ ιντερϖαλ τ τ τ ΜΟΙD ι ανδ ηασ α περιοδιχ τρενδ ωιτη τηε ανγυλαρ ποσιτιον οφ τηε ποιντ οφ ιντερχεπτιον, ασ σηοων ιν Φιγυρε 3.1β. Τηε χολουρ σχαλε ρεπρεσεντσ τηε ϖαλυε οφ τηε τρυε ανοmαλψ (ιν δεγρεεσ) ατ ιντερχεπτιον x ToF [d] t [MJD] Φιγυρε 3.11: Λαυνχη οππορτυνιτιεσ φορ α δεϖιατιον mισσιον το Αποπηισ. Τηε χολουρ σχαλε ρεπρεσεντσ τηε ϖαλυε οφ τηε αχηιεϖεδ δεϖιατιον ατ τηε ΜΟΙD. 6 x 1 6 δr [km] t w [d] 1 3 m [kg] 4 5 α) Παρετο φροντ φορ α δεϖιατιον mισσιον το Αποπηισ. 96

130 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection x δr [km] t [d] β) Φιγυρε 3.1: Dεϖιατιον mισσιον το Αποπηισ: α) Παρετο φροντ. Λαυνχη mασσ, ωαρνινγ τιmε ανδ mαγνιτυδε οφ τηε δεϖιατιον αρε ρεπρεσεντεδ ον τηε τηρεε αξεσ. β) Αχηιεϖεδ δεϖιατιον ασ α φυνχτιον οφ τηε τιmε λενγτη οφ τηε τηρυστ αρχ. Νεγλεχτινγ τηε τρανσφερ πηασε ανδ ασσυmινγ τηε σαmε ϖαλυε οφ τηε αχχελερατιον χονσταντ κ α, τηε σενσιτιϖιτψ οφ τηε δεϖιατιον το τηε ιν πλανε ορβιταλ ελεmεντσ α ανδ ε οφ τηε νοmιναλ ορβιτ οφ τηε αστεροιδ χαν νοω βε ινϖεστιγατεδ. Σεϖεραλ ϖαλυεσ οφ σεmι mαϕορ αξισ ανδ εχχεντριχιτψ αρε χονσιδερεδ, χοϖερινγ τηε ρανγε οφ ιν πλανε ελεmεντσ φορ α γρουπ οφ 338 Ατεν αστεροιδσ φροm τηε ϑπλ χαταλογυε. Τηε ρανγε χονσιδερεδ φορ σεmι mαϕορ αξισ ιν αστρονοmιχαλ υνιτσ ισ.64 α.99, ανδ τηε ρανγε φορ εχχεντριχιτψ ισ.13 ε.89. Φορ εαχη ϖαλυε οφ εχχεντριχιτψ ανδ σεmι mαϕορ αξισ, τηε χορρεσπονδινγ ορβιτ ισ χοmπυτεδ κεεπινγ τηε οτηερ ορβιταλ ελεmεντσ εθυαλ το τηε παραmετερσ οφ Αποπηισ. Τηε δεϖιατιον ισ χαλχυλατεδ φορ ινχρεασινγ ϖαλυεσ οφ τηε πυσηινγ τιmε, φροm 1 δαψ υπ το ψεαρσ βεφορε τηε δατε ατ τηε χορρεσπονδινγ ΜΟΙD. Φιγυρε 3.13α σηοωσ τηε διφφερεντ νοmιναλ ορβιτσ οβταινεδ σταρτινγ φροm τηε ορβιταλ ελεmεντσ οφ Αποπηισ βψ χηανγινγ τηε ϖαλυε οφ τηε σεmι mαϕορ αξισ (σεε Αποπηισ ορβιτ ιν βολδ λινε, τηε Εαρτη ορβιτ ιν δασηεδ λινε, τηε χροσσεσ ινδιχατε τηε ΜΟΙD ποιντσ), ανδ Φιγυρε 3.13β τηε τρυε ανοmαλψ οφ τηε ΜΟΙD (τηε χροσσ mαρκερ ινδιχατεσ Αποπηισ χασε). Τηε mοδυλυσ οφ τηε δεϖιατιον οφ τηε αστεροιδ ατ τηε ΜΟΙD ισ δισπλαψεδ ιν Φιγυρε 3.14α ασ α φυνχτιον οφ τηε πυσηινγ τιmε. Νοτε τηατ ασ α χονσεθυενχε οφ τηε 8]. Dατα αϖαιλαβλε ονλινε ατ ηττπ://νεο.ϕπλ.νασα.γοϖ/χγι βιν/νεο_ελεm [Ρετριεϖεδ 5 Αυγυστ 97

131 3.3. Mission options for low-thrust deviation αχχελερατιον λαω, ωηιχη γοεσ ωιτη τηε ινϖερσε οφ τηε διστανχε φροm τηε Συν σθυαρεδ, τηε αχηιεϖαβλε δεϖιατιον φορ α φιξεδ ωαρνινγ τιmε δεχρεασεσ ωιτη τηε ινχρεασε οφ τηε νοmιναλ σεmι mαϕορ αξισ. Τηισ ισ χλεαρ ιφ ωε αναλψσε τηε φιρστ εθυατιον οφ Εθσ. (3.3) ανδ ωε συβστιτυτε τηε ϖαλυε οφ τηε αχχελερατιον: δα δτ α ϖ κ α Συν ρ Ιν φαχτ, τηισ τερm ισ προπορτιοναλ το 1 α ανδ ισ τηε τερm τηατ mοστλψ ινφλυενχεσ τηε ϖαλυε οφ τηε δεϖιατιον, βεχαυσε ιτ χοντριβυτεσ το τηε σηιφτ ιν τιmε. Ασ ωε χαν αππρεχιατε φροm Φιγυρε 3.14β, τηε ρελατιϖε ερρορ ωιτη τηε πρεχισε νυmεριχαλ ιντεγρατιον δοεσ νοτ εξχεεδ 1, ωηιχη mεανσ τηατ τηε αχχυραχψ οφ τηε αναλψτιχαλ φορmυλαε ισ γοοδ ιν τηε σελεχτεδ ρανγε οφ ϖαλυεσ οφ τηε σεmι mαϕορ αξισ. y [km] x x [km] x 1 8 θ MOID [deg] a [AU] α) β) Φιγυρε 3.13: Ορβιτ ανδ ΜΟΙD χηαραχτεριστιχσ φορ διφφερεντ ϖαλυεσ οφ σεmι mαϕορ αξισ σταρτινγ φροm Αποπηισ χασε: α) αστεροιδ ορβιτσ ανδ β) τρυε ανοmαλψ οφ τηε ΜΟΙD a[au] =.6445 a[au] =.6645 a[au] =.6845 a[au] =.745 a[au] =.745 a[au] =.7445 a[au] =.7645 a[au] =.7845 a[au] =.845 a[au] =.845 a[au] =.8445 a[au] =.8645 a[au] =.8845 a[au] =.945 a[au] =.945 a[au] =.9396 a[au] =.9445 a[au] =.9645 a[au] =.9845 a[au] =

132 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection 6 x x δr [km] t [d] a [AU] α).1 1 er, time formulation t [d] a [AU] β) Φιγυρε 3.14: Σενσιτιϖιτψ οφ τηε δεϖιατιον το τηε σεmι mαϕορ αξισ: α) δεϖιατιον αχηιεϖεδ φορ ορβιτσ ωιτη διφφερεντ ϖαλυεσ οφ σεmι mαϕορ αξισ ανδ φορ ινχρεασινγ ϖαλυεσ οφ τηρυστ ιντερϖαλ ανδ β) ρελατιϖε ερρορ φορ διφφερεντ ϖαλυεσ οφ σεmι mαϕορ αξισ. Τηε ωηιτε λινε ρεπρεσεντσ Αποπηισ χασε (α =.9 ΑΥ). Τηε σενσιτιϖιτψ αναλψσισ το τηε εχχεντριχιτψ ισ σηοων ιν Φιγυρε Τηε ρεσυλτινγ ορβιτσ ανδ ΜΟΙD οβταινεδ βψ χηανγινγ τηε εχχεντριχιτψ αρε σηοων ιν Φιγυρε Τηε ορβιτ οφ Αποπηισ ισ τηε βολδ λινε ιν Φιγυρε 3.15α, ανδ τηε Εαρτη ορβιτ ισ ρεπρεσεντεδ βψ τηε δασηεδ λινε. Ιν τηισ χασε (σεε Φιγυρε 3.16α), φορ τηε σαmε πυσηινγ τιmε, τηε mαγνιτυδε οφ τηε δεϖιατιον ινχρεασεσ, ωιτη τηε ινχρεασε οφ τηε εχχεντριχιτψ. Τηε φλυχτυατιονσ ωιτηιν τηε ορβιταλ περιοδ αρε αλσο mορε ϖισιβλε. Τηε λοχαλ mαξιmα χορρεσπονδ το αν ιντερχεπτιον ποιντ πριορ το τηε περιχεντρε. 99

133 3.3. Mission options for low-thrust deviation Νοτε τηατ α γοοδ αχχυραχψ ισ αλσο ασσυρεδ φορ διφφερεντ ϖαλυεσ οφ εχχεντριχιτψ ωιτηιν τηε ρανγε.13 ε.89. Φιγυρε 3.16β σηοωσ τηε ρελατιϖε ερρορ οφ τηε τιmε φορmυλατιον. Νοτε τηατ τηε αχχυραχψ οφ τηε τιmε φορmυλατιον ισ, ιν γενεραλ, λοωερ τηαν τηε αχχυραχψ οφ τηε λατιτυδε φορmυλατιον. Ιν φαχτ, τηε φορmερ νεεδσ α φυρτηερ οπερατιον, ωηιχη ισ τηε δετερmινατιον οφ τηε ϖαλυε οφ χορρεσπονδινγ το τηε τηρυστ αρχ ανδ τηε εξαχτ νυmβερ οφ ρεϖολυτιονσ (σεε στεπ 3 ιν Φιγυρε 3.6). y [km] x x [km] x 1 8 θ MOID [deg] e α) β) Φιγυρε 3.15: Ορβιτ ανδ ΜΟΙD χηαραχτεριστιχσ φορ διφφερεντ ϖαλυεσ οφ εχχεντριχιτψ σταρτινγ φροm Αποπηισ χασε: α) αστεροιδ ορβιτσ ανδ β) τρυε ανοmαλψ οφ τηε ΜΟΙD. e =.1366 e =.6366 e = e = e =.1914 e =.1366 e =.6366 e = e = e = e = e = e = e = e = e = e = e = e = e = x x δr [km] t [T NEO ] 4..4 e α) 1

134 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection.5 e r, time formulation t [T NEO ] 8 1 β) Φιγυρε 3.16: Σενσιτιϖιτψ οφ τηε δεϖιατιον το τηε εχχεντριχιτψ: α) δεϖιατιον αχηιεϖεδ φορ ορβιτσ ωιτη διφφερεντ ϖαλυεσ οφ εχχεντριχιτψ ανδ φορ ινχρεασινγ ϖαλυεσ οφ τηρυστ ιντερϖαλ ανδ β) ρελατιϖε ερρορ φορ διφφερεντ ϖαλυεσ οφ εχχεντριχιτιεσ. Τηε ωηιτε λινε ρεπρεσεντσ Αποπηισ χασε (ε =.191). 1979XB deviation mission 1 Τηε λαυνχη οππορτυνιτιεσ φορ α δεϖιατιον mισσιον το αστεροιδ 1979ΞΒ αρε ρεπρεσεντεδ ιν Φιγυρε Τηε ΝΕΟ ισ ατ τηε ΜΟΙD ον τηε τη Μαψ 3 (11,97 ΜϑD). Ιν τηισ χασε, τηε λαυνχη οππορτυνιτιεσ αρε γρουπεδ ιν σινγλε στριπσ, ωιτη αν αϖεραγε τρανσφερ τιmε ρανγινγ βετωεεν αρουνδ ανδ 8 δαψσ. Τηε χορρεσπονδινγ σετ οφ Παρετο οπτιmαλ σολυτιονσ ισ σηοων ιν Φιγυρε 3.18α, ωηιχη σηοωσ τηατ τηε mαξιmυm αχηιεϖεδ δεϖιατιον ισ οφ τηε ορδερ οφ 1 5 κm, βεχαυσε τηε mασσ οφ τηε αστεροιδ ισ οφ Αποπηισ e κγ, σιγνιφιχαντλψ ηιγηερ τηαν τηε mασσ Τηε ηιγη εχχεντριχιτψ οφ τηε ορβιτ οφ αστεροιδ 1979ΞΒ εmπηασισεσ τηε περιοδιχιτψ οφ τηε αχηιεϖαβλε δεϖιατιον ωιτη τ (σεε Φιγυρε 3.18β, ιν ωηιχη τηε χολουρ σχαλε ινδιχατεσ τηε ανγυλαρ ποσιτιον ατ ιντερχεπτιον). Τηε χονσιδεραβλε στεπ ιν τηε ϖαλυε οφ τηε δεϖιατιον ισ ιν χορρεσπονδενχε οφ αν ιντερχεπτιον βεφορε τηε περιχεντρε. Τηισ εφφεχτ ισ αmπλιφιεδ φορ τηισ αστεροιδ, βεχαυσε ιτσ ορβιτ ισ ηιγηλψ ελλιπτιχαλ. 11

135 3.3. Mission options for low-thrust deviation x ToF [d] t [MJD] Φιγυρε 3.17: Λαυνχη οππορτυνιτιεσ φορ α δεϖιατιον mισσιον το 1979ΞΒ. Τηε χολουρ σχαλε ρεπρεσεντσ τηε ϖαλυε οφ τηε αχηιεϖεδ δεϖιατιον ατ τηε ΜΟΙD. 5 x δr [km] t w [d] 1 3 m [kg] 4 5 α) x δr [km] t [d] β) Φιγυρε 3.18: Dεϖιατιον mισσιον το 1979ΞΒ: α) Παρετο φροντ. Λαυνχη mασσ, ωαρνινγ τιmε ανδ mαγνιτυδε οφ τηε δεϖιατιον αρε ρεπρεσεντεδ ον τηε τηρεε αξεσ. β) Αχηιεϖεδ δεϖιατιον ασ α φυνχτιον οφ τηε τιmε λενγτη οφ τηε τηρυστ αρχ. 1

136 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection Τηε σαmε αναλψσισ οφ σενσιτιϖιτψ το τηε σεmι mαϕορ αξισ ανδ τηε εχχεντριχιτψ ισ περφορmεδ βψ χοmπυτινγ τηε δεϖιατιον φορ α ρανγε οφ α ανδ ε ανδ βψ κεεπινγ τηε οτηερ παραmετερσ εθυαλ το τηατ οφ 1979ΞΒ, ωηιχη βελονγσ το τηε Απολλο χλασσ [5]. Αλτηουγη τηε ρανγε οφ τηε εχχεντριχιτψ ισ αλωαψσ.13 ε.89, φορ τηε σεmι mαϕορ αξισ α ρανγε οφ 1.6 α ΑΥ ισ χονσιδερεδ ασ τηε ρανγε οφ σεmι mαϕορ αξισ οφ τηε Απολλο χλασσ, τακεν φροm τηε ϑπλ χαταλογυε. Φιγυρε 3.19α σηοωσ τηε διφφερεντ ορβιτσ (1979ΞΒ ορβιτ ιν βολδ λινε ανδ τηε Εαρτη ορβιτ ιν δασηεδ λινε), ανδ τηε ποσιτιον οφ τηε ΜΟΙD φορ εαχη ορβιτ (χροσσ mαρκερσ). Τηε χορρεσπονδινγ τρυε ανοmαλψ ισ δεπιχτεδ ιν Φιγυρε 3.19β (τηε χροσσ ισ 1979ΞΒ ΜΟΙD ). Βεχαυσε τηε ινχλινατιον ισ θυιτε ηιγη, τηε ποιντ οφ mινιmυm διστανχε ωιτη τηε Εαρτη ορβιτ ιδεντιφιεσ αλσο τηε ασχενδινγ ορ δεσχενδινγ νοδε οφ τηε αστεροιδ. Αλσο ιν τηισ χασε (σεε Φιγυρε 3.α), τηε ϖαλυε οφ τηε δεϖιατιον, φορ α φιξεδ πυσηινγ τιmε δεχρεασεσ ωιτη τηε ινχρεασε οφ τηε σεmι mαϕορ αξισ (τηε 1979ΞΒ χασε ισ ρεπρεσεντεδ βψ α ωηιτε λινε). Τηε διφφερεντ σηαπε ωιτη τηε ορβιταλ περιοδ ωιτη ρεσπεχτ το Φιγυρε 3.14α ισ δυε το τηε ηιγηερ εχχεντριχιτψ (ε =.76). Φιναλλψ, τηε αχχυραχψ ισ ρεπρεσεντεδ ιν Φιγυρε 3.β. Τηε ρελατιϖε ερρορ, δεσπιτε βεινγ αλωαψσ υνδερ 3 1, ινχρεασεσ ωιτη τηε σεmι mαϕορ αξισ φορ φιξεδ ϖαλυε οφ τηε πυσηινγ τιmε. y [km] x x [km] x 1 8 θ MOID [deg] a [AU] α) β) Φιγυρε 3.19: Ορβιτ ανδ ΜΟΙD χηαραχτεριστιχσ φορ διφφερεντ ϖαλυεσ οφ σεmι mαϕορ αξισ σταρτινγ φροm 1979ΞΒ χασε: α) αστεροιδ ορβιτσ ανδ β) τρυε ανοmαλψ οφ τηε ΜΟΙD a[au] = a[au] = a[au] = a[au] = a[au] = a[au] = a[au] = a[au] = a[au] = a[au] = a[au] =.631 a[au] =.1631 a[au] =.631 a[au] =.3631 a[au] =.353 a[au] =.4631 a[au] =.5631 a[au] =.6631 a[au] =.7631 a[au] =.8631 a[au] =.9631 a[au] = a[au] = a[au] = a[au] = a[au] = a[au] = a[au] = ]. Dατα αϖαιλαβλε ονλινε ατ ηττπ://νεο.ϕπλ.νασα.γοϖ/χγι βιν/νεο_ελεm [Ρετριεϖεδ 5 Αυγυστ 13

137 3.3. Mission options for low-thrust deviation 5 x x δr [km] t [d] a [AU] α).45.4 er, time formulation t [d] a [AU] β) Φιγυρε 3.: Σενσιτιϖιτψ οφ τηε δεϖιατιον το τηε σεmι mαϕορ αξισ: α) δεϖιατιον αχηιεϖεδ φορ ορβιτσ ωιτη διφφερεντ ϖαλυεσ οφ σεmι mαϕορ αξισ ανδ φορ ινχρεασινγ ϖαλυεσ οφ τηρυστ ιντερϖαλ ανδ β) ρελατιϖε ερρορ φορ διφφερεντ ϖαλυεσ οφ σεmι mαϕορ αξισ. Τηε ωηιτε λινε ρεπρεσεντσ 1979ΞΒ χασε (α =.35 ΑΥ). Τηε σενσιτιϖιτψ το τηε εχχεντριχιτψ ισ δεπιχτεδ ιν Φιγυρε 3.. Φιγυρε 3.1 σηοωσ τηε διφφερεντ ορβιτσ ανδ ΜΟΙD ανγυλαρ ποσιτιονσ. Ιν Φιγυρε 3.1α 1979ΞΒ ορβιτ ισ τηε βολδ λινε ανδ τηε Εαρτη ορβιτ ισ ρεπρεσεντεδ βψ τηε δασηεδ λινε. Ιν Φιγυρε 3.1β ΜΟΙD οφ αστεροιδ 1979ΞΒ ισ τηε χροσσ σψmβολ. Ασ αλρεαδψ οβσερϖεδ ιν Φιγυρε 3.16α, φορ τηε σαmε πυσηινγ τιmε, τηε mαγνιτυδε οφ τηε δεϖιατιον ινχρεασεσ ωιτη τηε ινχρεασε οφ τηε εχχεντριχιτψ (σεε Φιγυρε 3.α). Αλσο ιν τηισ χασε, α γοοδ αχχυραχψ ισ αχηιεϖεδ φορ διφφερεντ ϖαλυεσ 14

138 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection οφ εχχεντριχιτψ ωιτηιν τηε ρανγε.13 ε.89. Φιγυρε 3.β σηοωσ τηε ρελατιϖε ερρορ οφ τηε τιmε φορmυλατιον. y [km] x x [km] x 1 8 θ MOID [deg] e α) β) Φιγυρε 3.1: Ορβιτ ανδ ΜΟΙD χηαραχτεριστιχσ φορ διφφερεντ ϖαλυεσ οφ εχχεντριχιτψ σταρτινγ φροm 1979ΞΒ χασε: α) αστεροιδ ορβιτσ ανδ β) τρυε ανοmαλψ οφ τηε ΜΟΙD e =.1366 e =.6366 e = e = e =.1366 e =.6366 e = e = e = e = e = e = e = e = e = e = e = e = e = e = x 1 5 δr [km] x t [T NEO ] 1..4 e α) 15

139 3.3. Mission options for low-thrust deviation.5 e r, time formulation t [T NEO ] 1..4 e β) Φιγυρε 3.: Σενσιτιϖιτψ οφ τηε δεϖιατιον το τηε εχχεντριχιτψ: α) δεϖιατιον αχηιεϖεδ φορ ορβιτσ ωιτη διφφερεντ ϖαλυεσ οφ εχχεντριχιτψ ανδ φορ ινχρεασινγ ϖαλυεσ οφ τηρυστ ιντερϖαλ ανδ β) ρελατιϖε ερρορ φορ διφφερεντ ϖαλυεσ οφ εχχεντριχιτψ. Τηε ωηιτε λινε ρεπρεσεντσ 1979ΞΒ χασε (ε =.76). Castalia deviation mission Α δεϖιατιον mισσιον το αστεροιδ Χασταλια ισ δεσιγνεδ, χονσιδερινγ τηε αστεροιδ ατ τηε ΜΟΙD ον τηε 17 τη ϑυνε 7 (1,9 ΜϑD). Νοτε τηατ τηε φαϖουραβλε λαυνχη δατεσ (Φιγυρε 3.3) ρεχυρ ωιτη τηε σψνοδιχ περιοδ βετωεεν τηε Εαρτη ανδ τηε αστεροιδ. Τηε χορρεσπονδινγ ϖαλυεσ οφ τηε ινιτιαλ mασσ, ωαρνινγ τιmε, τηρυστινγ ιντερϖαλ ανδ mαγνιτυδε οφ τηε αχηιεϖεδ δεϖιατιον αρε ρεπρεσεντεδ ιν Φιγυρε x ToF [d] t [MJD] Φιγυρε 3.3: Λαυνχη οππορτυνιτιεσ φορ α δεϖιατιον mισσιον το Χασταλια. Τηε χολουρ σχαλε ρεπρεσεντσ τηε ϖαλυε οφ τηε αχηιεϖεδ δεϖιατιον ατ τηε ΜΟΙD. 16

140 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection x δr [km] t [d] w 1 3 m [kg] 4 5 α) x δr [km] t [d] β) Φιγυρε 3.4: Dεϖιατιον mισσιον το Χασταλια: α) Παρετο φροντ. Λαυνχη mασσ, ωαρνινγ τιmε ανδ mαγνιτυδε οφ τηε δεϖιατιον αρε ρεπρεσεντεδ ον τηε τηρεε αξεσ. β) Αχηιεϖεδ δεϖιατιον ασ α φυνχτιον οφ τηε τιmε λενγτη οφ τηε τηρυστ αρχ. Itokawa deviation mission Α δεϖιατιον mισσιον το Ιτοκαωα ισ πρεσεντεδ (σεε Φιγυρε 3.5), χονσιδερινγ τηε ΜΟΙD ιντερχεπτιον ον τηε τη ϑυλψ 7 (1,7 ΜϑD). Τηε ορβιτ οφ τηε αστεροιδ ισ αλmοστ ιν τηε εχλιπτιχ πλανε ανδ ιτσ περιχεντρε ισ χλοσε το τηε Εαρτη σ ορβιτ. Τηε mασσ οφ τηε αστεροιδ ισ πρεϖιουσ τωο χασεσ, τηυσ τηε Παρετο φροντ ιν κγ, ρελατιϖελψ σmαλλ χοmπαρεδ το τηε Φιγυρε 3.5 χονταινσ ρεmαρκαβλε σολυτιονσ ωιτη ινιτιαλ mασσεσ οφ αππροξιmατελψ 13 κγ. Α ρεχυρρεντ φεατυρε οφ τηε Παρετο φροντ ισ τηε περιοδιχιτψ ωιτη τηε ανγυλαρ ποσιτιον οφ τηε ιντερχεπτιον (σεε Φιγυρε 3.6β). 17

141 3.3. Mission options for low-thrust deviation x ToF [d] t [MJD] Φιγυρε 3.5: Λαυνχη οππορτυνιτιεσ φορ α δεϖιατιον mισσιον το Ιτοκαωα. Τηε χολουρ σχαλε ρεπρεσεντσ τηε ϖαλυε οφ τηε αχηιεϖεδ δεϖιατιον ατ τηε ΜΟΙD. 4 x 1 6 δr [km] t w [d] 1 3 m [kg] 4 5 α) x δr [km] t [d] β) Φιγυρε 3.6: Dεϖιατιον mισσιον το Ιτοκαωα: α) Παρετο φροντ. Λαυνχη mασσ, ωαρνινγ τιmε ανδ mαγνιτυδε οφ τηε δεϖιατιον αρε ρεπρεσεντεδ ον τηε τηρεε αξεσ. β) Αχηιεϖεδ δεϖιατιον ασ α φυνχτιον οφ τηε τιmε λενγτη οφ τηε τηρυστ αρχ. 18

142 Chapter 3. Low-thrust NEO deflection 3.4. Summary Ιν τηισ χηαπτερ, α σολυτιον το τηε αστεροιδ δεϖιατιον προβλεm ιν τηε χασε οφ α λοω τηρυστ δεϖιατινγ αχτιον ισ προποσεδ. Τηε προξιmαλ mοτιον εθυατιονσ αρε υσεδ το χοmπυτε τηε αχηιεϖεδ δεϖιατιον ατ τηε mινιmυm ορβιτ ιντερσεχτιον διστανχε, ανδ σεmι αναλψτιχαλ φορmυλαε αρε δεριϖεδ το χαλχυλατε τηε τοταλ ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ ελεmεντσ ατ τηε ενδ οφ τηε τηρυστ αρχ. Τηε προποσεδ σεmι αναλψτιχαλ φορmυλατιον ισ προϖεν το προϖιδε α σιγνιφιχαντ σαϖινγσ ιν χοmπυτατιοναλ τιmε ωιτη ρεσπεχτ το τηε διρεχτ νυmεριχαλ ιντεγρατιον οφ Γαυσσ εθυατιονσ. Ιν παρτιχυλαρ, φορ τηε λατιτυδε φορmυλατιον, τηε σαϖινγσ ιν χοmπυτατιοναλ τιmε ισ υπ το 1 ορδερ οφ mαγνιτυδε. Τηε τιmε φορmυλατιον δισπλαψσ α λοωερ σαϖινγσ, βεχαυσε τηε αχχυραχψ ρεθυιρεmεντσ αρε θυιτε στρινγεντ φορ τηε σπεχιφιχ αππλιχατιον το ΝΕΟ δεϖιατιον. Νονετηελεσσ, φορ ϖερψ εξπενσιϖε χαλχυλατιονσ, συχη ασ τηε γενερατιον οφ τηε Παρετο σετσ τηατ ρεθυιρε σεϖεραλ ηυνδρεδ οφ τηουσανδσ οφ φυνχτιον εϖαλυατιονσ, τηε σεmι αναλψτιχαλ φορmυλαε αλλοω τηε γενερατιον οφ δουβλε τηε νυmβερ οφ Παρετο σετσ ιν τηε σαmε χοmπυτατιοναλ τιmε. Μορεοϖερ, τηε γαιν ιν σπεεδ ισ νοτ χοmπενσατεδ βψ αν εθυιϖαλεντ λοσσ ιν αχχυραχψ. Τηε ρεσυλτσ ιν τηε χηαπτερ σηοω τηατ τηε ρελατιϖε ερρορ ον τηε ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ ελεmεντσ ισ σmαλλ φορ α πυση ιντερϖαλ λονγερ τηαν ονε ορβιταλ περιοδ ανδ ρεmαινσ σmαλλ φορ λονγ σπιραλσ. Ον τηε οτηερ ηανδ, φορ σηορτερ περιοδσ, νυmεριχαλ ιντεγρατιον ηασ το βε υσεδ βεχαυσε ιτ προδυχεσ mορε αχχυρατε ρεσυλτσ. Φιναλλψ, τηε προποσεδ σεmι αναλψτιχαλ φορmυλαε αρε αχχυρατε φορ α ωιδε ρανγε οφ ϖαλυεσ φορ εχχεντριχιτιεσ, σεmι mαϕορ αξισ ανδ αχχελερατιονσ, συγγεστινγ τηειρ υσε φορ τηε φαστ γενερατιον οφ φιρστ γυεσσ σολυτιονσ φορ λονγ εσχαπε ορ χαπτυρε σπιραλσ. Τηε χηαπτερ πρεσεντσ σοmε αππλιχατιονσ οφ τηε σεmι αναλψτιχαλ φορmυλατιον το τηε γενερατιον οφ σετσ οφ Παρετο οπτιmαλ σολυτιονσ φορ τηε δεσιγν οφ mιτιγατιον mισσιονσ το αστεροιδ Αποπηισ, 1979ΞΒ, Χασταλια, ανδ Ιτοκαωα. Φορ αλλ τηε αστεροιδσ, α ωιδε ρανγε οφ λαυνχη οππορτυνιτιεσ αρε φουνδ βετωεεν 1 ανδ 3, ωιτη αν αχηιεϖεδ δεϖιατιον τηατ γροωσ αβοϖε τηε Εαρτη Μοον διστανχε φορ ωαρνινγ τιmεσ αβοϖε ψεαρσ. Φορ σηορτερ ωαρνινγ τιmεσ, βετωεεν 3 το 5 ψεαρσ, τηε αχηιεϖαβλε δεϖιατιον ισ οφ τηε ορδερ οφ τηε ραδιυσ οφ τηε γεοστατιοναρψ ορβιτ. Τηε ϖαλυε οφ τηε αχηιεϖεδ δεϖιατιον πρεσεντσ α περιοδιχ τρενδ ωιτη τηε τρυε ανοmαλψ οφ τηε ιντερχεπτιον ποιντ; ιν παρτιχυλαρ, ωηεν τηε εχχεντριχιτψ οφ τηε αστεροιδ ισ ηιγη, 19

143 3.4. Summary αν ιντερχεπτιον βεφορε τηε περιχεντρε ισ σιγνιφιχαντλψ mορε εφφεχτιϖε τηαν αν ιντερχεπτιον αφτερ τηε περιχεντρε. 11

144 Chapter 4. Comparison of mitigation strategies for hazardous NEOs Οϖερ τηε λαστ φεω ψεαρσ, τηε ποσσιβλε σχεναριο οφ αν αστεροιδ τηρεατενινγ το ιmπαχτ τηε Εαρτη ηασ στιmυλατεδ αν ιντενσε δεβατε αmονγ τηε σχιεντιφιχ χοmmυνιτψ αβουτ ποσσιβλε δεϖιατιον στρατεγιεσ [8]. Τηισ χηαπτερ πρεσεντσ α χοmπαρατιϖε ασσεσσmεντ οφ σοmε οφ τηε mορε φεασιβλε mιτιγατιον σχηεmεσ προποσεδ ιν τηε λιτερατυρε (ι.ε., κινετιχ ιmπαχτορ, νυχλεαρ ιντερχεπτορ, mασσ δριϖερ, σολαρ χολλεχτορ, λοω τηρυστ ατταχηεδ προπυλσιον, ανδ γραϖιτψ τυγ). Α mατηεmατιχαλ mοδελ οφ εαχη στρατεγψ, ωηιχη ουτπυτσ τηε δεφλεχτιον αχτιον αππλιεδ το τηε αστεροιδ ασ α φυνχτιον οφ τηε mασσ αϖαιλαβλε ατ τηε ιντερχεπτιον ποιντ, ισ ιmπλεmεντεδ. Τηε φορmυλατιονσ δεσχριβεδ ιν Χηαπτερ ανδ Χηαπτερ 3 αρε υσεδ το τρανσλατε τηε ιmπυλσιϖε ορ λοω τηρυστ mανοευϖρε αππλιεδ το τηε αστεροιδ ιν α ϖαριατιον οφ ιτσ δισπλαχεmεντ ατ τηε ποιντ οφ mινιmυm ορβιτ ιντερσεχτιον διστανχε. Τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ φροm Εαρτη το τηε ιντερχεπτιον οφ τηε ταργετ ισ mοδελλεδ τηρουγη πρελιmιναρψ δεσιγν τεχηνιθυεσ. Φορ εαχη δεφλεχτιον σχηεmε, α mυλτι χριτερια οπτιmισατιον mετηοδ ισ αδοπτεδ το χονστρυχτ α σετ οφ Παρετο οπτιmαλ σολυτιονσ τηατ mινιmισε βοτη τηε mασσ οφ τηε σπαχεχραφτ ατ λαυνχη ανδ τηε ωαρνινγ τιmε, ωηιλε σιmυλτανεουσλψ mαξιmισινγ τηε δεϖιατιον ατ τηε ΜΟΙD. Α δοmινανχε χριτεριον ισ τηεν δεφινεδ ανδ υσεδ το χοmπαρε αλλ τηε Παρετο σετσ οφ τηε διφφερεντ mιτιγατιον σχηεmεσ. Τηισ αππροαχη αλλοωσ ασσεσσινγ τηε εφφεχτιϖενεσσ οφ τηε στρατεγιεσ προποσεδ ιν τηε λιτερατυρε, βασεδ ον σετ οφ ηυνδρεδσ οφ ποτεντιαλ mισσιονσ, ινστεαδ οφ χηοοσινγ α σινγλε ηψποτηετιχαλ mισσιον χασε. Ιν Αππενδιξ Β τηε τεχηνολογψ ρεαδινεσσ οφ εαχη στρατεγψ ισ εϖαλυατεδ ανδ υσεδ το ρεχοmπυτε α mορε ρεαλιστιχ ϖαλυε φορ τηε ρεθυιρεδ ωαρνινγ τιmε.

145 4.1. NEO deflection strategies model 4.1. NEO deflection strategies model Τηε εφφεχτ οφ τηε ϖαριουσ δεϖιατιον στρατεγιεσ ον τηε αστεροιδ χαν βε mοδελλεδ ειτηερ ασ αν ιmπυλσιϖε ϖαριατιον οφ ιτσ ϖελοχιτψ (ε.γ., κινετιχ ιmπαχτορ, νυχλεαρ εξπλοσιον, mασσ δριϖερ χονσιδερεδ ασ α mυλτι ιmπυλσιϖε στρατεγψ), ορ α σλοω πυση ον τηε αστεροιδ ωιτη α χοντινυουσ mοmεντυm χηανγε (ε.γ., σολαρ χολλεχτορ, αστεροιδ τυγ, γραϖιτψ τραχτορ). Το εϖαλυατε τηε περφορmανχε αχηιεϖαβλε ωιτη εαχη δεϖιατιον στρατεγψ, α σετ οφ mατηεmατιχαλ mοδελσ ισ εξπλοιτεδ. Εαχη mοδελ ψιελδσ τηε τοταλ ιmπυλσε ιmπαρτεδ το τηε αστεροιδ ασ α φυνχτιον οφ τηε mασσ αϖαιλαβλε ατ τηε αστεροιδ ιντερχεπτιον. Τηε γενεραλ φορm οφ τηε στρατεγιεσ mοδελ φορ αν ιmπυλσιϖε δεϖιατιον στρατεγψ ισ ΝΕΟ ϖ φ m, τ, ιδ (4.1) δ δ ανδ φορ α λοω τηρυστ δεϖιατιον στρατεγψ ισ ΝΕΟ α φ m, τ, τ, ιδ (4.) δ ι ε ωηερε m δ ισ τηε mασσ οφ τηε σπαχεχραφτ ατ τηε ΝΕΟ ιντερχεπτιον, ωηιχη ισ δεφινεδ ασ τηε mασσ αϖαιλαβλε, αφτερ τηε τρανσφερ Εαρτη αστεροιδ, το αλτερ τηε τραϕεχτορψ οφ τηε χελεστιαλ βοδψ, ανδ ιδ ΝΕΟ ισ τηε αστεροιδ ιδεντιφιχατιον νυmβερ τηατ ισ υσεδ το ιδεντιφψ τηε ορβιταλ ανδ πηψσιχαλ προπερτιεσ οφ τηε ΝΕΟ. Τηε δεφλεχτιον mανοευϖρε ισ ιmπαρτεδ το τηε ΝΕΟ ασ αν ιmπυλσιϖε ϖ ατ α, ορ ασ α χοντινυουσ αχχελερατιον οϖερ τηε ιντερϖαλ τ τ ε (ωηερε τ ισ σετ εθυαλ το τ ιν τηισ αναλψσισ, ωιτη ι ε τηε εξχεπτιον οφ τηε ατταχηεδ σπαχεχραφτ προπυλσιον στρατεγψ). Τηε σψστεm δεσιγν ανδ τηε mατηεmατιχαλ mοδελσ οφ τηε δεφλεχτιον σχηεmεσ, ρεπρεσεντεδ βψ Εθ. (4.1) ανδ Εθ. (4.), ωερε δεϖελοπεδ βψ Σανχηεζ, ανδ α χοmπρεηενσιϖε εξπλανατιον χαν βε φουνδ ιν [16],[137]. Ιν τηε φολλοωινγ ωε ωιλλ νοτ δεσχριβε τηε mατηεmατιχαλ δεριϖατιον οφ τηε mοδελσ ανδ τηε δεταιλεδ εξπλανατιον οφ τηε πηψσιχαλ πηενοmενα τακεν ιντο αχχουντ. Ηοωεϖερ, αλλ τηε στρατεγιεσ χονσιδερεδ ωιλλ βε βριεφλψ ιντροδυχεδ ανδ θυαλιτατιϖελψ δεσχριβεδ το προϖιδε α γοοδ υνδερστανδινγ οφ τηε δεφλεχτιον σχηεmεσ ανδ σοmε οφ τηε ασσυmπτιονσ mαδε φορ τηε mατηεmατιχαλ φορmυλατιον. Παρτιχυλαρ εmπηασισ ωιλλ βε τ δ ΜΟΙD 11

146 Chapter 4. Comparison of mitigation strategies for hazardous NEOs πλαχεδ ον τηε mασσ mαργιν αδδεδ (υσυαλλψ ον τηε τρανσφορmατιον φροm τηε mασσ οφ τηε σπαχεχραφτ ατ τηε αστεροιδ ιντερχεπτιον το τηε mασσ αϖαιλαβλε φορ τηε ποωερ σψστεm) το εmπηασισε τηε χονσερϖατιϖε αππροαχη, ιν αχχορδανχε ωιτη οτηερ στυδιεσ ανδ σοmε ιν φλιγητ εξπεριmενταλ δατα. Συβσεχτιονσ ανδ 4.1. αρε αλσο ιντενδεδ το εξπλιχιτ τηε ιντεραχτιον βετωεεν τηε ουτπυτσ οφ τηε αχτιον mοδελσ ανδ τηε φορmυλατιον φορ χοmπυτινγ τηε χονσεθυεντ δεϖιατιον ατ τηε ΜΟΙD. Αmονγ τηε ϖαριετψ οφ ΝΕΟ mιτιγατιον οπτιονσ προποσεδ ιν τηε λιτερατυρε, σιξ στρατεγιεσ αρε σελεχτεδ φορ τηισ στυδψ, ναmελψ κινετιχ ιmπαχτορ, νυχλεαρ ιντερχεπτορ, mασσ δριϖερ, ατταχηεδ σπαχεχραφτ προπυλσιον, σολαρ χολλεχτορ, ανδ γραϖιτψ τραχτορ. Ηοωεϖερ, τηε τεχηνιθυε προποσεδ ιν τηε φολλοωινγ φορ τηε χοmπαρατιϖε ασσεσσmεντ χαν βε υσεδ το χοmπαρε mορε στρατεγιεσ νοτ ινχλυδεδ ηερε Impulsive action Κινετιχ ιmπαχτορ ανδ νυχλεαρ ιντερχεπτορ ρεπρεσεντ τηε mοστ χοmmον ιmπυλσιϖε δεϖιατιον στρατεγιεσ. Βοτη σχηεmεσ χουντ ον α σπαχεχραφτ τηατ ιντερχεπτσ τηε αστεροιδ ανδ ιmπαχτσ αγαινστ ιτ (ι.ε., κινετιχ ιmπαχτορ) ορ δελιϖερσ α νυχλεαρ ωαρηεαδ ωηιχη εξπλοδεσ ιν ϖιχινιτψ οφ ιτ (ι.ε., νυχλεαρ ιντερχεπτορ). Ιν βοτη χασεσ, τηε στρατεγψ περφορmανχε ισ φυνχτιον οφ τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ, νοτ ονλψ ιν τερmσ οφ τηε τιmε ιν αδϖανχε τηε αστεροιδ ισ ιντερχεπτεδ, βυτ αλσο βεχαυσε τηε διρεχτιον οφ τηε δεφλεχτινγ ιmπυλσε δεπενδσ ον τηε αρριϖαλ χονδιτιον οφ τηε σπαχεχραφτ ατ τηε ταργετ οβϕεχτ. Dεφλεχτιον τηρουγη mασσ δριϖερσ, εϖεν ιφ ηαϖινγ αν εφφεχτ χοmπαραβλε το οτηερ λοω τηρυστ δεφλεχτιον στρατεγιεσ, χαν βε mοδελλεδ ασ α σεριεσ οφ ιmπυλσιϖε χηανγεσ ιν τηε αστεροιδ ϖελοχιτψ. Kinetic impactor Α σπαχεχραφτ (ορ ανοτηερ σmαλλ χελεστιαλ βοδψ) ισ ινσερτεδ ιντο αν ορβιτ τηατ ιντερσεχτσ τηε αστεροιδ χουρσε ανδ ωιλλ χολλιδε ωιτη τηε ΝΕΟ ατ ηιγη ρελατιϖε ϖελοχιτψ. Τηισ ισ τηε σιmπλεστ χονχεπτ οφ ηαζαρδ mιτιγατιον, παρτιαλλψ τεστεδ βψ τηε mισσιον Dεεπ Ιmπαχτ [8] ανδ προποσεδ φορ τηε ΕΣΑ αστεροιδ δεφλεχτιον πρεχυρσορ mισσιον Dον Θυιϕοτε [37]. Τηρουγη τηε χολλισιον, τηε αστεροιδ λινεαρ mοmεντυm ισ mοδιφιεδ; τηε σπαχεχραφτ κινετιχ ενεργψ ισ τρανσφερρεδ το τηε ΝΕΟ, ανδ τηισ εφφεχτ ισ ενηανχεδ βψ τηε εϕεχτιον οφ συρφαχε mατεριαλ εξπελλεδ ασ α χονσεθυενχε οφ χρατερ φορmατιον αφτερ τηε ιmπαχτ. 113

147 4.1. NEO deflection strategies model Τηε χολλισιον ισ mοδελλεδ ασ α σιmπλε ινελαστιχ ιmπαχτ ανδ α mοmεντυm ενηανχεmεντ φαχτορ ισ ιντροδυχεδ το τακε ιντο αχχουντ τηε αmπλιφιχατιον οφ τηε mοmεντυm χηανγε δυε το τηε εϕεχτεδ mατεριαλσ. Α χονσερϖατιϖε ϖαλυε οφ ισ χηοσεν ιν τηισ αναλψσισ [48],[138]. Τηε ϖαριατιον οφ ϖελοχιτψ ιmπαρτεδ βψ τηε ιmπαχτορ σπαχεχραφτ ισ γιϖεν βψ Εθ. (.16) ηερε ρεπορτεδ: ϖ m mδ m ΝΕΟ δ ϖ ωηερε m ισ τηε mασσ οφ τηε σπαχεχραφτ ατ τηε ιντερχεπτιον ποιντ ανδ m τηε δ mασσ οφ τηε αστεροιδ. Τηε ρελατιϖε ϖελοχιτψ οφ τηε σπαχεχραφτ ωιτη ρεσπεχτ το τηε αστεροιδ ατ τηε δεϖιατιον ποιντ ϖ ισ χοmπυτεδ φροm τηε σολυτιον οφ α Λαmβερτ σ προβλεm [71]. Χονσεθυεντλψ, τηε διρεχτιον οφ τηε ϖ προϖιδεδ δεπενδσ ον τηε χηαραχτεριστιχσ οφ τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ. Τηε ϖαριατιον ιν ορβιτ γεοmετρψ ισ χοmπυτεδ ωιτη τηε φιρστ φιϖε εθυατιονσ ιν Εθσ. (.) ανδ Εθ. (.4), ανδ τηε ΝΕΟ δεϖιατιον ατ τηε ΜΟΙD ισ χοmπυτεδ τηρουγη Εθ. (.1). Nuclear interceptor Μιτιγατιον τηρουγη νυχλεαρ δετονατιον ενσυρεσ τηε ηιγηεστ ενεργψ δενσιτψ χοmπαρεδ το οτηερ οπτιονσ. Τηε στρατεγψ χονσιδερεδ ιν τηισ στυδψ χονσιστσ οφ α νυχλεαρ ωαρηεαδ τηατ ισ δετονατεδ ατ α χερταιν διστανχε φροm τηε αστεροιδ. Τηε ενεργψ τρανσφερρεδ το τηε αστεροιδ ισ mαινλψ χαρριεδ βψ δεβρισ φροm τηε εξπλοσιον, ξ ραψσ, γαmmα, ανδ νευτρον ραδιατιον [139]. Βεχαυσε τηε νευτρον ραδιατιον ισ τηε mοστ εφφιχιεντ ιν τερmσ οφ mατεριαλ εϖαπορατιον, α φυσιον δεϖιχε [16], ωηιχη mαξιmισεσ τηισ ιντεραχτιον, ισ σελεχτεδ. Τηε τοταλ ιmπυλσιϖε mανοευϖρε ισ χοmποσεδ βψ: ΝΕΟ ϖϖ ϖ ϖ ϖ ραδιατιον ξ ραψσ δεβρισ νευτρονσ ανδ ισ διρεχτεδ αλονγ τηε σπαχεχραφτ ϖελοχιτψ ϖεχτορ ωιτη ρεσπεχτ το τηε αστεροιδ ατ τηε ενδ οφ τηε ιντερχεπτιον τρανσφερ τραϕεχτορψ. Τηε ϖαριατιον ιν ορβιτ γεοmετρψ ισ χοmπυτεδ ωιτη τηε φιρστ φιϖε εθυατιονσ ιν Εθσ. (.) ανδ Εθ. (.4), ανδ τηε ΝΕΟ δεϖιατιον ατ τηε ΜΟΙD ισ χοmπυτεδ τηρουγη Εθ. (.1). 114

148 Chapter 4. Comparison of mitigation strategies for hazardous NEOs Τηε mασσ οφ τηε νυχλεαρ δεϖιχε χονσιδερεδ ιν τηισ στυδψ ισ 3% οφ τηε δρψ mασσ οφ τηε σπαχεχραφτ ατ τηε ενδ οφ τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ. Mass driver Ονε ορ mορε σπαχεχραφτ, εθυιππεδ ωιτη α mασσ δριϖερ ανδ δριλλινγ δεϖιχε, λανδ ανδ ανχηορ το τηε αστεροιδ συρφαχε. Τηε ΝΕΟ λινεαρ mοmεντυm ισ mοδιφιεδ βψ τηε εϕεχτιον οφ τηε συρφαχε mατεριαλ τηατ ισ δριλλεδ ουτ ανδ αχχελερατεδ αωαψ φροm τηε αστεροιδ βψ αν ελεχτροmαγνετιχ ραιλ γυν. Ιν τηισ ωαψ τηε σπαχεχραφτ ποωερ ισ χονϖερτεδ ιντο κινετιχ ενεργψ, βψ εξπλοιτινγ ιν σιτυ ρεσουρχεσ [5],[14]. Τηε τοταλ εφφεχτ ον τηε αστεροιδ ορβιτ χαν βε δεσχριβεδ ασ α σεριεσ οφ mυλτι ιmπυλσιϖε mανοευϖρεσ. Τηε χηανγε ιν ϖελοχιτψ οφ τηε αστεροιδ φορ εαχη σηοτ ισ δετερmινεδ τηρουγη τηε λαω οφ χονσερϖατιον οφ mοmεντυm: ϖ m σηοτ, ϕ ϕ m () ΝΕΟ τ ε ϖ (4.3) ωηερε m ισ τηε mασσ εξπελλεδ περ σηοτ βψ τηε mασσ δριϖερ δεϖιχε ανδ ϖ ισ τηε σηοτ, ϕ εξχεσσ ϖελοχιτψ οφ τηε εϕεχτεδ mατεριαλ, εστιmατεδ το βε m/σ, ωιτηιν τηε ρανγε 1 3 m/σ γιϖεν ιν τηε λιτερατυρε [67],[14]. Τηε τοταλ mασσ οφ τηε ΝΕΟ δεχρεασεσ ατ εϖερψ σηοτ. Τηε φρεθυενχψ οφ τηε σηοτσ ισ χοmπυτεδ ασσυmινγ τηατ τηε σπαχεχραφτ λανδσ ον τηε αστεροιδ εθυατορ, τηε ροτατιοναλ αξισ οφ τηε βοδψ ισ περπενδιχυλαρ το ιτσ ορβιταλ πλανε, ανδ συχη τηατ τηε mατεριαλ ισ εϕεχτεδ εϖερψ τιmε τηε mασσ δριϖερ δεϖιχε ισ ποιντινγ αλονγ τηε οπτιmαλ διρεχτιον (σεε Σεχτιον.1.1). Τηε mασσ εξπελλεδ περ σηοτ m σηοτ, ϕ ε m ΝΕΟ δεπενδσ ον τηε τοταλ ποωερ χονϖερτεδ φροm ελεχτριχ το κινετιχ, χονσιδερεδ το βε 3% οφ τηε αϖαιλαβλε ποωερ (τηε ρεmαινινγ παρτ ρεπρεσεντσ mεχηανιχαλ λοσσεσ) ανδ 3% οφ τηε mασσ ατ τηε ιντερχεπτιον ισ αλλοχατεδ το τηε ποωερ σψστεm. Τηε mατηεmατιχαλ mοδελ οφ τηε mασσ δριϖερ προϖιδεσ τηε φρεθυενχψ οφ σηοτσ ανδ τηε mαγνιτυδε οφ εαχη ιmπυλσε ϖ ϕ τηατ ισ γιϖεν το τηε αστεροιδ αλονγ τηε διρεχτιον τηατ οπτιmισεσ τηε ινσταντανεουσ δεφλεχτιον. Τηε mασσ δριϖερ ισ ιν οπερατιον φροm τηε ιντερχεπτιον τιmε (ωηερε τ ισ σετ εθυαλ το τ ιν τηισ αναλψσισ). ε ΜΟΙD τι υπ το τε 115

149 4.1. NEO deflection strategies model Ατ εαχη σηοτ, τηε φινιτε ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ ελεmεντσ οφ τηε αστεροιδ ισ χοmπυτεδ ωιτη Εθσ. (.) ανδ Εθ. (.4) συβστιτυτινγ ϖ ϕ γιϖεν βψ Εθ. (4.3), ανδ τηε νεω σετ οφ ορβιταλ παραmετερσ mυστ βε χαλχυλατεδ βεφορε τηε συβσεθυεντ ιmπυλσιϖε αχτιον. Τηε mεαν ανοmαλψ αφτερ εαχη σηοτ ανδ βεφορε τηε φολλοωινγ mασσ εϕεχτιον ισ χοmπυτεδ φροm τηε φιρστ οφ Εθσ. (.5) ανδ Κεπλερ σ εθυατιον ισ σολϖεδ φορ τηε οσχυλατινγ εχχεντριχ ανοmαλψ ανδ τηε τρυε ανοmαλψ, βψ τηε Νεωτον mετηοδ δεσχριβεδ ιν [71]. Τηε δεϖιατιον ατ τηε ΜΟΙD, χοmπυτεδ τηρουγη Εθ. (.1) ισ α φυνχτιον οφ τηε τοταλ ϖαριατιον οφ τηε ορβιταλ παραmετερσ οϖερ τηε οπερατιοναλ τιmε Low-thrust action Αλλ λοω τηρυστ αχτιονσ νεεδ τηε ρενδεζϖουσ οφ α σπαχεχραφτ ωιτη τηε ηαζαρδουσ οβϕεχτ. Βψ τιmινγ τηε πυσηινγ mανοευϖρε ορ χοντρολλινγ τηε ηοϖερινγ ποσιτιον, τηε δεφλεχτιον αχτιον αχτσ αλονγ τηε οπτιmαλ διρεχτιον (σεε Σεχτιον 3.1.1). Μιτιγατιον τηρουγη ιν σιτυ σπαχεχραφτ προπυλσιον πρεσεντσ τηε ισσυε οφ ανχηορινγ το τηε ταργετ συρφαχε, ωηερεασ σολαρ χολλεχτορ ανδ γραϖιτψ τυγ δο νοτ ρεθυιρε αν ατταχηmεντ mεχηανισm το τηε αστεροιδ, ηενχε αρε λεσσ ινφλυενχεδ βψ ιτσ σηαπε ανδ σπιννινγ προπερτιεσ. Attached spacecraft propulsion Αmονγ τηε στρατεγιεσ το διϖερτ τηε ορβιτ οφ τηε ΝΕΟ, ονε οπτιον χονσιδερσ α σπαχεχραφτ ατταχηεδ το τηε συρφαχε οφ τηε αστεροιδ. Τηε λινεαρ mοmεντυm οφ τηε ηαζαρδουσ οβϕεχτ ισ περτυρβεδ βψ τηε τηρυστ γιϖεν βψ τηε προπυλσιον σψστεm οφ τηε σπαχεχραφτ. Ανψ προπυλσιον σψστεm χουλδ βε εξπλοιτεδ (ε.γ., ελεχτριχ ορ χηεmιχαλ ενγινε, ορ νον χονϖεντιοναλ σψστεmσ λικε σολαρ σαιλσ). Ιν τηισ στυδψ α σπαχεχραφτ ποωερεδ βψ αν ελεχτριχαλ ενγινε ισ χονσιδερεδ, βεχαυσε, χοmπαρεδ το α χηεmιχαλ ενγινε, ιτ ρεθυιρεσ λεσσ προπελλαντ mασσ το αχηιεϖε τηε σαmε δεϖιατιον οφ τηε αστεροιδ. Τηε σψστεm χονσιστσ οφ τωο ενγινεσ ωιτη Ισπ 3 σ σιτυατεδ ατ οπποσιτε σποτσ αλονγ τηε εθυατορ οφ τηε αστεροιδ. Βψ α προπερ σχηεδυλε οφ τηε τηρυστινγ περιοδ οφ εαχη ενγινε, α θυασι χονσταντ τηρυστ ωιτη χορρεχτ ποιντινγ χαν βε οβταινεδ. Α σχαττερινγ φαχτορ τακεσ ιντο αχχουντ τηε mισαλιγνmεντ φροm τηε οπτιmαλ τηρυστ διρεχτιον. 116

150 Chapter 4. Comparison of mitigation strategies for hazardous NEOs Ιν τηισ χασε, τηε mασσ οφ τηε σπαχεχραφτ ατ τηε ενδ οφ τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ ινχλυδεσ τηε σψστεm mασσ ανδ τηε προπελλαντ mασσ φορ τηε δεϖιατιον πηασε. Τηε mασσ αϖαιλαβλε φορ τηε ποωερ συβσψστεm ισ 5% οφ τηε δρψ mασσ. Τηε τοταλ ϖαριατιον οφ τηε ΝΕΟ ορβιταλ ελεmεντσ ισ χοmπυτεδ τηρουγη τηε νυmεριχαλ ιντεγρατιον οφ Εθσ. (3.3) οϖερ τηε τηρυστ ιντερϖαλ ανδ Εθ. (3.4), ωιτη αν αχχελερατιον αλονγ τηε διρεχτιον δεφινεδ ιν Σεχτιον 3.1.1, ωιτη α mαγνιτυδε γιϖεν βψ τηε φολλοωινγ εξπρεσσιον α τ m Τ ΝΕΟ ενγινε m τ ωηερε Τ ισ τηε χονσταντ τηρυστ προϖιδεδ βψ τηε ατταχηεδ ενγινε, ανδ mτ ισ ενγινε τηε mασσ οφ τηε σπαχεχραφτ. Τηε mασσ χονσυmπτιον φορ τηε δεφλεχτιον πηασε ισ χοmπυτεδ ωιτη τηε εθυατιον δm δτ ενγινε Τ Ι γ σπ Σανχηεζ ατ αλ. [16] σηοωεδ τηατ, φιξινγ τηε αϖαιλαβλε mασσ οφ τηε σπαχεχραφτ σψστεm ανδ τηε mαξιmυm περιοδ οφ τιmε φορ τηε αππλιχατιον οφ τηε λοω τηρυστ δεφλεχτιον mανοευϖρε τ τ, τηρυστινγ χοντινυουσλψ οϖερ τηε ωηολε ιντερϖαλ τ ι τ ΜΟΙD ι ΜΟΙD ισ νοτ νεχεσσαριλψ mορε εφφιχιεντ τηαν τηρυστινγ φορ α σηορτερ ιντερϖαλ τ τ ΜΟΙD τ ι ωιτη ηιγηερ λεϖελσ οφ τηρυστ. Ιν φαχτ, τηε χοmπαρισον οφ τηε δεϖιατιον αχηιεϖεδ αδοπτινγ τηε χοντινυουσ τηρυστ στρατεγψ αγαινστ τηε δεϖιατιον βψ mεανσ οφ α σχηεδυλεδ τηρυστ στρατεγψ συγγεστσ α πυσηινγ mανοευϖρε τηατ χοmmενχεσ ατ ανδ στοπσ αφτερ τηε λαστ περιχεντρε πασσαγε βεφορε 45% οφ τηε τοταλ αϖαιλαβλε τιmε. Τηισ ρεσυλτ ισ ιmπλεmεντεδ ιν τηε mοδελ υσεδ φορ τηε πρεσεντ αναλψσισ. Solar collector Τηε υσε οφ σολαρ αβλατιον φορ mιτιγατιον οφ τηρεατενινγ ΝΕΟσ ωασ φιρστ προποσεδ βψ Μελοση [56]. Α βιγ ινφλαταβλε mιρρορ ισ υσεδ ασ λιγητ χολλεχτορ, φοχυσινγ συνλιγητ οντο τηε συρφαχε οφ τηε αστεροιδ. Τηε ηιγη ενεργψ χονχεντρατιον οϖερ α λιmιτεδ αρεα χαυσεσ τηε αβλατιον οφ τηε συρφαχε ανδ τηε εϖαπορατινγ mατεριαλ τ ι 117

151 4.1. NEO deflection strategies model προδυχεσ α γασ ϕετ τηατ αχτσ ασ τηε πλυm οφ εξηαυστ γασεσ οφ α χονϖεντιοναλ προπυλσιον σψστεm. Τηε σολαρ χολλεχτορ σψστεm δεσιγν αχχουντσ φορ 3% οφ τηε δρψ mασσ οφ τηε σπαχεχραφτ mασσ ατ ρενδεζϖουσ ωιτη τηε ΝΕΟ φορ τηε ινφλαταβλε στρυχτυρε ανδ ατταχηmεντσ. Τηε mοδελ οφ τηε δεϖιατιον στρατεγψ χοmπυτεσ τηε εϖαπορατιον φλυξ δmνεο δτ φροm τηε ιλλυmινατεδ αρεα οφ τηε αστεροιδ συρφαχε, ανδ φροm τηερε ιτ δεριϖεσ αν εξπρεσσιον φορ τηε mαγνιτυδε οφ τηε δεϖιατινγ αχχελερατιον (ιτσ διρεχτιον ισ σπεχιφιεδ ιν Σεχτιον 3.1.1): δmνεο ς α τ δτ (4.4) m τ ΝΕΟ ωηερε ς ισ τηε αϖεραγε ϖελοχιτψ οφ τηε παρτιχλεσ ιν τηε εϖαπορατεδ ϕετ ανδ ισ α φαχτορ τηατ τακεσ ιντο αχχουντ τηε δισπερσιον οφ τηε παρτιχλεσ ιν τηε εϕεχτα πλυmε. Εθ. (4.4) ισ συβστιτυτεδ ιντο Εθσ. (3.3) ανδ (3.4), ανδ τηεψ αρε νυmεριχαλλψ ιντεγρατεδ, τογετηερ ωιτη τηε εθυατιονσ οφ τηε αστεροιδ mασσ χονσυmπτιον ον τηε συρφαχε δυε το συβλιmατιον, το χοmπυτε τηε τοταλ ϖαριατιον οφ ορβιταλ παραmετερσ. Gravity tractor Ανοτηερ οπτιον τηατ δοεσ νοτ ρεθυιρε τηε διρεχτ χονταχτ βετωεεν τηε σπαχεχραφτ ανδ τηε ΝΕΟ ισ τηε γραϖιτψ τραχτορ. Τηε mυτυαλ γραϖιτατιοναλ αττραχτιον βετωεεν τηε αστεροιδ ανδ τηε σπαχεχραφτ χαν βε εξπλοιτεδ το mοϖε τηε ΝΕΟ αωαψ φροm ιτσ ορβιτ [54]. Α σπαχεχραφτ ηοϖερσ ατ α χονσταντ διστανχε φροm τηε αστεροιδ, ωιτη α χονφιγυρατιον συχη τηατ τηε εξηαυστ γασεσ φροm τηε ενγινε δο νοτ ιmπινγε τηε αστεροιδ σ συρφαχε. Ιν τηισ ωαψ τηερε ισ αν εσχαπε οφ mασσ φροm τηε ΝΕΟ σπαχεχραφτ σψστεm ανδ αν αχχελερατιον αχτινγ ον τηε αστεροιδ γιϖεν βψ Γmτ α τ (4.5) δ ωηερε Γ ισ τηε υνιϖερσαλ γραϖιτψ χονσταντ, δ τηε ηοϖερινγ διστανχε ανδ m ισ τηε mασσ οφ τηε σπαχεχραφτ τηατ ισ χοmπυτεδ τηρουγη τηε εθυατιον 118

152 Chapter 4. Comparison of mitigation strategies for hazardous NEOs δm δτ ενγινε Τ Ι γ σπ ωηερε τηε τοταλ τηρυστ οφ τηε ενγινε ηασ το χουντεραχτ τηε γραϖιτατιοναλ πυλλ, σλαντεδ βψ αν ανγλε βετωεεν τηε ποιντινγ διρεχτιον οφ τηε ενγινεσ, ανδ τηε λινε βετωεεν τηε σπαχεχραφτ ανδ τηε ΝΕΟ χεντρε οφ mασσ. Τ ενγινε Γm ΝΕΟm τ δ χοσ Εθ. (4.5) ισ συβστιτυτεδ ιντο Εθσ. (3.3) ανδ (3.4), ανδ τηεψ αρε νυmεριχαλλψ ιντεγρατεδ το χοmπυτε τηε τοταλ ϖαριατιον οφ ορβιταλ παραmετερσ. Τηε γραϖιτψ τραχτορ mοδελ χονσιδερσ 5% οφ τηε σπαχεχραφτ mασσ ατ τηε αστεροιδ αϖαιλαβλε φορ τηε ποωερ σψστεm. 4.. Transfer trajectory Το περφορm α χοmπαρατιϖε ασσεσσmεντ οφ τηε ϖαριουσ δεφλεχτιον στρατεγιεσ, αν εντιρε mισσιον φροm λαυνχη το φιναλ mιτιγατιον ισ mοδελλεδ. Τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ δετερmινεσ τηε αϖαιλαβλε mασσ ατ τηε ταργετ ιντερχεπτιον φορ σιζινγ τηε δεφλεχτιον σψστεm; mορεοϖερ, τηε αρριϖαλ χονδιτιονσ ατ τηε ενδ οφ τηε τρανσφερ πατη ινφλυενχε το ϖαριουσ δεγρεεσ τηε εφφιχιενχψ οφ τηε mιτιγατιον σχηεmεσ. Τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ ισ δεσιγνεδ τηρουγη διφφερεντ πρελιmιναρψ δεσιγν τεχηνιθυεσ, χονσιδερινγ α τωο βοδψ προβλεm, ωιτη τηε Εαρτη ανδ τηε αστεροιδ ασ ποιντ mασσεσ ωιτη νο γραϖιτψ. Τηε Εαρτη επηεmεριδεσ αρε χοmπυτεδ τηρουγη αναλψτιχ επηεmεριδεσ ωηιχη αππροξιmατε ϑπλ επηεmεριδεσ δε45, ανδ τηε επηεmεριδεσ οφ τηε ταργετ αστεροιδσ αρε χοmπυτεδ φροm τηειρ ορβιταλ ελεmεντσ. Α χηεmιχαλ ενγινε ωιτη Ι 315 σ ισ σελεχτεδ φορ mιτιγατιον mισσιονσ βψ σπ mεανσ οφ κινετιχ ιmπαχτορ ανδ νυχλεαρ ιντερχεπτορ. Τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ ισ mοδελλεδ τηρουγη Λαmβερτ σ προβλεm [71], ανδ τηε προπελλαντ mασσ ισ δετερmινεδ φροm ϖ ατ τηε Εαρτη. Dατα αϖαιλαβλε ονλινε ατ ηττπ://ναιφ.ϕπλ.νασα.γοϖ/ναιφ/πδσ.ητmλ [Ρετριεϖεδ 8 ϑανυαρψ 9]. 119

153 4.3. Multi-criteria optimisation problem formulation m π ϖ m 1εξπ Ισπγ Φορ τηε ρεmαινινγ mιτιγατιον σχηεmεσ (ι.ε., mασσ δριϖερ, ατταχηεδ σπαχεχραφτ προπυλσιον, σολαρ χολλεχτορ, ανδ γραϖιτψ τραχτορ) αν ελεχτριχαλ ενγινε ισ σελεχτεδ ωιτη Ισπ 3 σ. Τηε τραϕεχτορψ ισ mοδελλεδ τηρουγη τηε σηαπε βασεδ mετηοδ [118],[136], βριεφλψ δεσχριβεδ ιν Σεχτιον Ιν τηισ χασε τηε ινιτιαλ mασσ οφ τηε mισσιον m ισ σελεχτεδ ασ α παραmετερ οφ τηε οπτιmισατιον, ηενχε τηε χοmπυτατιον οφ τηε προπελλαντ mασσ ιν Εθσ. (3.1) ισ συβστιτυτεδ βψ τηε φολλοωινγ εξπρεσσιον Λ φ υ δτ mπ m 1εξπ δλ Ι Λ σπγ δλ ωηερε Λ ινδιχατεσ τηε τρυε λονγιτυδε, Λ ανδ Λ φ ρεπρεσεντ τηε ινιτιαλ ανδ φιναλ τρυε λονγιτυδε οφ τηε τραϕεχτορψ, ανδ υ ισ τηε χοντρολ αχχελερατιον ϖεχτορ. Ιν βοτη χασεσ, τηε σπαχεχραφτ ισ ασσυmεδ το βε ατ τιmε τ ατ τηε Εαρτη ωιτη ζερο ρελατιϖε ϖελοχιτψ ανδ ινιτιαλ mασσ m. Τηε mασσ αϖαιλαβλε ατ τηε αστεροιδ φορ περφορmινγ τηε δεφλεχτιον πηασε ισ εθυαλ το m m. π 4.3. Multi-criteria optimisation problem formulation Τηε οπτιmαλιτψ οφ εαχη στρατεγψ ισ δεφινεδ τηρουγη α νυmβερ οφ χριτερια ορ οβϕεχτιϖεσ τηατ ηαϖε το βε ατταινεδ. Υνλικε σινγλε οβϕεχτιϖε προβλεmσ, mυλτιπλε οβϕεχτιϖε προβλεmσ λοοκ φορ α σετ οφ οπτιmαλ ϖαλυεσ ρατηερ τηαν α σινγλε οπτιmαλ ονε. Τηε γενεραλ προβλεm ισ το φινδ α σετ Ξ οφ φεασιβλε σολυτιονσ ξ συχη τηατ τηε προπερτψ Πξ ισ τρυε φορ αλλ ξ Ξ D : Ξ ξd Π( ξ ) ωηερε τηε δοmαιν D ισ α ηψπερ ρεχτανγλε δεφινεδ βψ τηε υππερ ανδ λοωερ βουνδσ ον τηε χοmπονεντσ οφ τηε ϖεχτορ ξ : 1

154 Chapter 4. Comparison of mitigation strategies for hazardous NEOs λ υ D ξι ξιβι β ι, ι 1,... ν ωηερε τηε ινδεξ ι ινδιχατεσ τηε χοmπονεντσ οφ ξ ανδ ν ισ τηε τοταλ νυmβερ οφ β ι λ υ χοmπονεντσ. ανδ ινδιχατε, ρεσπεχτιϖελψ, τηε λοωερ ανδ τηε υππερ βουνδ ον τηε ι χοmπονεντ. β ι Αλλ τηε σολυτιονσ σατισφψινγ τηε προπερτψ Π αρε δεφινεδ το βε οπτιmαλ ωιτη ρεσπεχτ το Π ορ Π οπτιmαλ ανδ Ξ χαν βε σαιδ το βε α Π οπτιmαλ σετ. Multiple objective optimisation Ιν τηε χασε οφ mυλτι οβϕεχτιϖε οπτιmισατιον, ιφ Π ισ α δοmινανχε χονδιτιον ορ Παρετο οπτιmαλιτψ χονδιτιον φορ τηε σολυτιον ιφ Π ξ ξ, τηεν τηε σολυτιον ισ Παρετο οπτιmαλ ισ τρυε. Αχχορδινγ το τηε δεφινιτιον, α σετ οφ παραmετερσ ισ Παρετο οπτιmαλ ιφ τηερε εξιστσ νο οτηερ φεασιβλε ϖεχτορ οφ ϖαριαβλεσ ωηιχη ωουλδ δεχρεασε σοmε χριτεριον ωιτηουτ χαυσινγ α σιmυλτανεουσ ινχρεασε ιν ατ λεαστ ονε οτηερ χριτεριον Εαχη σολυτιον ϖεχτορ ισ ασσοχιατεδ ωιτη α σχαλαρ δοmινανχε ινδεξ Ι ξ συχη τηατ: ξ ϕ δ ϕ Ι ( ξ ) κ κν ξ ξ δ ϕ π κ ϕ. ωηερε τηε σψmβολ ισ υσεδ το δενοτε τηε χαρδιναλιτψ (ι.ε., νυmβερ οφ ελεmεντσ) οφ α σετ, ρεπρεσεντσ τηε δοmινανχε οφ τηε σολυτιον ξ οϖερ τηε σολυτιον ξ, ανδ κ ϕ Ν π ισ τηε σετ οφ τηε ινδιχεσ οφ αλλ τηε φεασιβλε σολυτιονσ ιν τηε ποπυλατιον. ξ κ Τηε σολυτιον δοmινατεσ σολυτιον ιφ αλλ τηε χοmπονεντσ οφ χριτερια ορ κ οβϕεχτιϖεσ ϖεχτορ ϑ ξ ασσοχιατεδ το ξ αρε βεττερ (ι.ε., λοωερ ιν τηε χασε οφ α mινιmισατιον) τηαν αλλ τηε χοmπονεντσ οφ τηε χριτερια ορ οβϕεχτιϖεσ ϖεχτορ κ ξ ϕ ϑ ξ ϕ ασσοχιατεδ το ξ ϕ (ι.ε., στρονγ δοmινανχε). Τηισ δεφινιτιον ισ ϖαλιδ ιν τηε χασε οφ α mινιmισατιον. Wηεν α mυλτι οβϕεχτιϖε mαξιmισατιον ισ περφορmεδ, α σετ οφ παραmετερσ ισ Παρετο οπτιmαλ ιφ τηερε εξιστσ νο οτηερ φεασιβλε ϖεχτορ οφ ϖαριαβλεσ ωηιχη ωουλδ ινχρεασε σοmε χριτεριον ωιτηουτ χαυσινγ α σιmυλτανεουσ δεχρεασε ιν ατ λεαστ ονε οτηερ χριτεριον. Νοτε τηατ ιν Σεχτιον 4.3 αλλ τηε δεφινιτιονσ ωιλλ βε γιϖεν φορ α mινιmισατιον προβλεm; ιν τηε χασε οφ α mαξιmισατιον προβλεm, αλλ τηε δεφινιτιονσ ηαϖε το βε αχχορδινγλψ χηανγεδ. 11

155 4.3. Multi-criteria optimisation problem formulation 1,... ξκ ξ ϕ ϑι ξκ ϑι ξ ϕ ι m ωηερε τηε ινδεξ ι ινδιχατεσ τηε χοmπονεντσ οφ χοmπονεντσ οφ τηε ϖεχτορ οβϕεχτιϖε φυνχτιον Τηε προπερτψ ϑ ξ ανδ m ισ τηε τοταλ νυmβερ οφ ϑ ξ. Π ξ ιν τηισ χασε σιmπλψ δεφινεσ νον δοmινατεδ σολυτιονσ: Ξ ξd Ι δ ( ξ) (4.6) Τηισ δεφινιτιον γιϖεσ νοτ ονε υνιθυε σολυτιον, βυτ α σετ οφ νοτ δοmινατεδ σολυτιονσ, τηατ γενερατε τηε Παρετο φροντ. Φορ χονστραινεδ προβλεmσ, τηε προπερτψ Π ξ ηασ το βε τρυε ανδ αλλ τηε σολυτιονσ οφ τηε νοτ δοmινατεδ σετ mυστ βε φεασιβλε, ι.ε., τηε χονστραιντ mυστ βε σατισφιεδ: Ξ χονστραινεδ ξd Ι ( ξ) Χ ξ δ ωηερε Χ ξ ρεπρεσεντ τηε χονστραιντ. Τηε σεαρχη οφ τηε Π οπτιmαλ σετσ Ξ, φορ εαχη στρατεγψ, ισ περφορmεδ ηερε τηρουγη α mυλτιαγεντ βασεδ σεαρχη αππροαχη ηψβριδισεδ ωιτη α δοmαιν δεχοmποσιτιον τεχηνιθυε δεϖελοπεδ βψ ςασιλε [133]. Single objective optimisation Ιν τηε χασε οφ σινγλε οβϕεχτιϖε οπτιmισατιον, τηε σετ Ξ χονταινσ αλλ τηε σολυτιονσ τηατ αρε λοχαλ mινιmα ορ αρε βελοω α γιϖεν τηρεσηολδ. Βεχαυσε ωε αρε λοοκινγ ατ λοχαλ mινιmα σολυτιονσ, τηε προπερτψ ορ α σολυτιον ξ Π ξ ισ το βε α λοχαλ mινιmισερ, χαν βε σαιδ το δοmινατε τηε σολυτιον ξ ιφ τηε ασσοχιατεδ ϖαλυε οφ τηε οβϕεχτιϖε φυνχτιον ϑ ξ ϑξ. ξ ξ ϑ ξ ϑξ (4.7) Φορ χονστραινεδ προβλεmσ, αλλ τηε σολυτιον ξ Ξ mυστ αλσο βε φεασιβλε: Τηε σινγλε οβϕεχτιϖε οπτιmισατιον ισ υσεδ ιν Σεχτιον..3; ηοωεϖερ ωε ινχλυδε ιτ ιν τηισ συβσεχτιον το ιντροδυχε τηε φορmυλατιον οφ τηε οπτιmισατιον προβλεm αλλ ατ ονχε. 1

156 Chapter 4. Comparison of mitigation strategies for hazardous NEOs Χ ξ Ιν ορδερ το χονστρυχτ τηε σετ Ξ, α σψστεmατιχ σαmπλινγ οφ τηε σολυτιον σπαχε αλονγ ωιτη α λοχαλ mινιmισατιον σταρτεδ φορ εαχη σαmπλεδ ποιντ ωουλδ βε χοmπυτατιοναλλψ εξπενσιϖε. Τηερεφορε, τηε προβλεm ισ ταχκλεδ τηρουγη α mορε εφφιχιεντ δοmαιν δεχοmποσιτιον τεχηνιθυε ηψβριδισεδ ωιτη α στοχηαστιχ γλοβαλ οπτιmισατιον mετηοδ [116],[117]. Dυρινγ τηε οπτιmισατιον προχεσσ, τηε οϖεραλλ δοmαιν ισ παρτιτιονεδ ιν σmαλλερ συβδοmαινσ ανδ ιν εαχη οφ τηεm α σεαρχη ισ περφορmεδ ανδ τηε σολυτιονσ φουνδ αρε σαϖεδ ιν mεmορψ. Τηε σολυτιονσ στορεδ ιν τηε αρχηιϖε αρε πρεϖεντεδ το χροωδ ιν α σινγλε σολυτιον (φεατυρε χοντρολλεδ βψ α χροωδινγ παραmετερ) το ιδεντιφψ σεϖεραλ λοχαλ mινιmα ρατηερ τηαν ονλψ τηε γλοβαλ ονε. Φορ τηεσε ρεασονσ, ωηεν τηε οπτιmισατιον προχεσσ ισ ενδεδ mορε τηαν ονε σινγλε ρεσυλτ ισ αϖαιλαβλε. Νοω προπερτψ Π mαψ νοτ ιδεντιφψ α υνιθυε σετ, τηερεφορε ωε χαν δεφινε α γλοβαλ οπτιmαλ σετ ανψ οτηερ Ξ. Ξ ο συχη τηατ αλλ τηε ελεmεντσ οφ ο Ξ D Π Ξ ξ ( ξ ) ξ ξ ξ Ξ ο δοmινατεσ τηε ελεmεντσ οφ ωηερε τηε σψmβολ ρεπρεσεντσ τηε δοmινανχε οφ τηε σολυτιον ξ οϖερ τηε σολυτιον ξ. Βεχαυσε ωε αρε λοοκινγ ατ α mινιmυm, τηε σολυτιον ξ ισ σαιδ το δοmινατε τηε σολυτιον ξ ιφ Εθ. (4.7) ισ ϖεριφιεδ. Ιν τηισ χασε Ξ ο ωουλδ χονταιν τηε γλοβαλ mινιmυm ορ α σετ οφ γλοβαλ mινιmα αλλ ωιτη τηε σαmε ϖαλυε οφ ϑ ξ Objective function definition Το δεφινε τηε οπτιmαλιτψ οφ εαχη στρατεγψ α mυλτιπλε οβϕεχτιϖε mινιmισατιον ισ περφορmεδ, αχχορδινγ το τηρεε φιγυρεσ οφ mεριτ : mιν m τω ρρ (4.8) ξ Νοτε τηατ τηε τηρεε τερmσ οφ Εθ. (4.8) αρε προπερλψ σχαλεδ ωιτηιν τηε οπτιmισατιον προχεσσ. 13

157 4.4. Objective function definition Τηε mασσ ιν σπαχε m ισ τηε ωετ mασσ ατ τηε Εαρτη αφτερ λαυνχη. Εϖεν ιφ τηε στρατεγιεσ ωερε mοδελλεδ ωιτη α ϖερψ χονσερϖατιϖε αππροαχη, αν αδδιτιοναλ mαργιν ον τηε ινιτιαλ σπαχεχραφτ mασσ ωασ αδδεδ το τακε ιντο αχχουντ τηε χορρεχτιϖε mανοευϖρεσ ρεθυιρεδ δυρινγ βοτη τηε τρανσφερ λεγ ανδ τηε δεφλεχτινγ αρχ. Τηε mαργινσ, ρεπορτεδ ιν Ταβλε 4.1, αρε σετ χονσιδερινγ τηε αχτυαλ τεχηνολογψ λεϖελ οφ τηε διφφερεντ στρατεγιεσ. Νοτε τηατ τηε εφφεχτιϖε mασσ αϖαιλαβλε φορ τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ ανδ τηε δεφλεχτιον mανοευϖρε ισ τηε τοταλ mασσ διmινισηεδ βψ τηε περχενταγε mαργιν ιν Ταβλε 4.1, αχχορδινγ το τηε στρατεγψ υνδερ χονσιδερατιον. m Ταβλε 4.1: Μαργινσ ον τηε ωετ mασσ ιντο ορβιτ φορ τηε διφφερεντ δεϖιατιον στρατεγιεσ. Dεϖιατιον στρατεγιεσ Μαργιν ον τηε mασσ ατ λαυνχη Κινετιχ ιmπαχτορ 5% Νυχλεαρ ιντερχεπτορ 15% Μασσ δριϖερ 5% Ατταχηεδ σπαχεχραφτ προπυλσιον 5% Σολαρ χολλεχτορ 5% Γραϖιτψ τυγ 5% Τηε σεχονδ χοmπονεντ οφ τηε ϖεχτορ οβϕεχτιϖε φυνχτιον Εθ. (4.8) ισ τηε ωαρνινγ τιmε τ τ τ ω ΜΟΙD τηατ ισ τηε ιντερϖαλ βετωεεν τηε λαυνχη δατε ανδ τηε τιmε ατ τηε ΜΟΙD. Τηε ενχουντερ τιmε τ ΜΟΙD ισ φιξεδ ασ τηε φιρστ δατε τηε αστεροιδ ρεαχηεσ τηε mινιmυm ορβιτ ιντερσεχτιον διστανχε φροm τηε Εαρτη ορβιτ αφτερ 1 ϑανυαρψ 9 ατ : ηρσ (1,59.5 ΜϑD). Νοτε τηατ τηε Εαρτη ισ νοτ νεχεσσαριλψ ατ τηε ΜΟΙD ατ τ ΜΟΙD ; ον τηε οτηερ ηανδ τηε αιm οφ τηισ αναλψσισ ισ το mεασυρε τηε αχηιεϖεδ δεϖιατιον ανδ νοτ το ρεπροδυχε α ρεαλ ιmπαχτ σχεναριο. Τηε τηιρδ χοmπονεντ το βε mαξιmισεδ ισ τηε τοταλ δεϖιατιον ατ τηε ΜΟΙD ρρ, ωηερε ρ ισ τηε ΜΟΙD διστανχε ανδ ρ ισ χοmπυτεδ βψ mεανσ οφ Γαυσσ εθυατιονσ ανδ ρελατιϖε mοτιον εθυατιονσ, τηρουγη τηε αχτιον mοδελ δεσχριβεδ ιν Σεχτιον 4.1. Ασ αλρεαδψ στατεδ, φορ τηε ηψποτηεσεσ οφ τηε προξιmαλ mοτιον εθυατιονσ το ηολδ τρυε, τηε ρελατιϖε ορβιτ ραδιυσ ρ mυστ βε σmαλλ χοmπαρεδ ωιτη τηε νοmιναλ ορβιτ ραδιυσ ρ. Φορ τηισ ρεασον, τηε mαξιmυm αχχεπταβλε δεϖιατιον ισ σετ εθυαλ το τηε Εαρτη Μοον διστανχε, ασ τηισ ισ χονσιδερεδ α συφφιχιεντ διστανχε το ωαρδ οφφ τηε τηρεατ οφ αν ιmπαχτ. Νοτε τηατ τηε τοταλ δεϖιατιον ισ χηοσεν ασ φιγυρε οφ mεριτ ανδ νοτ τηε αβιλιτψ οφ α παρτιχυλαρ δεφλεχτιον 14

158 Chapter 4. Comparison of mitigation strategies for hazardous NEOs στρατεγψ το αϖοιδ τηε κεψηολεσ [13]; ιν τηισ χασε α σmαλλερ ρ ωουλδ βε ενουγη το προδυχε σιγνιφιχαντ ρεσυλτσ. Φορ τηε mασσ δριϖερ, λοω τηρυστ ατταχηεδ προπυλσιον, σολαρ χολλεχτορ, ανδ γραϖιτψ τυγ στρατεγιεσ τηε διρεχτιον οφ τηε ϖ χηανγε ορ τηε αχχελερατιον ισ γιϖεν ιν τηε διρεχτιον τηατ mαξιmισεσ τηε δεϖιατιον ρ ανδ τηε σιγν οφ τηε οπτιmαλ mανοευϖρε (ι.ε., ϖ ορ ϖ ) ισ χηοσεν το mαξιmισε τηε τοταλ δεϖιατιον ατ τηε ΜΟΙD ρρ (σεε Σεχτιον.1.1). Τηε τηρεε φιγυρεσ οφ mεριτ ιν Εθ. (4.8) γιϖε αν εστιmατε οφ σιζε, χοστ, τιmε, ανδ εφφεχτιϖενεσσ οφ α mιτιγατιον mισσιον; τηε ινιτιαλ mασσ στρονγλψ δετερmινεσ τηε ρεθυιρεδ λαυνχη χαπαβιλιτιεσ ανδ τηε χοστ οφ τηε mισσιον, τηε ωαρνινγ τιmε ισ α mεασυρε οφ τηε τιmε ιν αδϖανχε τηε mισσιον ηασ το βε πλαννεδ, ανδ τηε δεϖιατιον αχηιεϖεδ χαν βε υσεδ το χοmπαρε τηε εφφεχτιϖενεσσ οφ τηε ϖαριουσ στρατεγιεσ. Τηε προβλεm ισ το φινδ τηε Παρετο οπτιmαλ σετ Ξ γιϖεν ιν Εθ. (4.6), ιν οτηερ ωορδσ, α σετ οφ νον δοmινατεδ σολυτιονσ αχχορδινγ το τηε τηρεε χριτερια ιν Εθ. (4.8). Τηε γενεραλ φροm οφ τηε σολυτιον ϖεχτορ ξ ιν τηε χασε οφ ηιγη τηρυστ τρανσφερ (mοδελλεδ τηρουγη Λαmβερτ σ αρχ) ισ ξ τρ m τ ΤοΦ δ m ωηερε ισ τηε mασσ ατ λαυνχη (χοmπρεηενσιϖε οφ mασσ mαργιν), ισ τηε λαυνχη δ τρ δατε, ΤοΦ τηε τιmε οφ φλιγητ, ανδ ισ αν ινδεξ εθυαλ το ορ 1 ιδεντιφψινγ α διρεχτ ορ ρετρογραδε αρχ. Ιν τηε χασε οφ α λοω τηρυστ τρανσφερ mοδελ (ωιτη τηε σηαπε βασεδ mετηοδ δεσχριβεδ ιν Σεχτιον 3.3.) τηε σολυτιον ϖεχτορ αλσο χονταινσ τηε νυmβερ οφ ρεϖολυτιονσ αρουνδ τηε Συν ανδ τηε τωο σηαπε παραmετερσ φορ τηε λοω τηρυστ αρχ. ξ m τ ΤοΦ νρεϖ 3 τ Νοτε τηατ τηε λοω τηρυστ τρανσφερ χασε ρεθυιρεσ αλσο τηε σατισφαχτιον οφ τηε χονστραιντ ον τηε τιmε οφ φλιγητ γιϖεν βψ Εθ. (3.) ανδ ρεπορτεδ ηερε: Τηε φιρστ σηαπε παραmετερ οφ τηε σηαπε βασεδ mετηοδ ισ αυτοmατιχαλλψ δετερmινεδ ινσιδε τηε τραϕεχτορψ mοδελλινγ αλγοριτηm. 15

159 4.5. Deflection mission options Λ φ δτ ΧΤοΦ : δλτοφ 1 δαψσ (4.9) δλ Λ Εαχη σολυτιον ξξ D ρεπρεσεντσ αν εντιρε mισσιον, ωηιχη λαυνχηεσ φροm τηε Εαρτη ατ ωιτη ινιτιαλ mασσ, ιντερσεχτσ τηε αστεροιδ ατ τ ΤοΦ ανδ τ περφορmσ αν ιmπυλσιϖε mανοευϖρε, ορ ρενδεζϖουσ ωιτη τηε αστεροιδ ατ ανδ περφορmσ α λοω τηρυστ mανοευϖρε οϖερ α χοντινυουσ πυσηινγ τιmε τ τ τ ΤοΦ (εξχεπτ φορ τηε ατταχηεδ σπαχεχραφτ προπυλσιον στρατεγψ ΜΟΙD m τ ΤοΦ Τηε σεαρχη φορ Παρετο οπτιmαλ σολυτιονσ ισ περφορmεδ οϖερ α ωιδε δοmαιν οφ ινιτιαλ mασσεσ το ρεπρεσεντ αλλ διφφερεντ σιζεσ οφ mισσιονσ. Τηε λαυνχη δατε ισ φιξεδ βετωεεν 1 δαψσ ανδ ψεαρσ βεφορε τηε τιmε ατ ωηιχη τηε αστεροιδ ρεαχηεσ τηε ΜΟΙD, ανδ τηε τιmε οφ φλιγητ ρανγεσ ωιτηιν 5 1 δαψσ. Τηε βουνδαριεσ οφ τηε σολυτιον ϖεχτορ ξ αρε ρεπορτεδ ιν Ταβλε 4.. ). Ταβλε 4.: Σεαρχη δοmαιν φορ τηε mυλτι οβϕεχτιϖε οπτιmισατιον. Ελεmεντ ον τηε στατε ϖεχτορ Λοωερ βουνδ Υππερ Βουνδ Ινιτιαλ mασσ [κγ] 1 1, Λαυνχη δατε τ ΜΟΙD ψεαρσ τ ΜΟΙD 1 δαψσ Τιmε οφ φλιγητ [δ] 5 1 Νυmβερ οφ ρεϖολυτιονσ 3 Σηαπε παραmετερ 1 1 Σηαπε παραmετερ Deflection mission options Τηε φολλοωινγ σεχτιον πρεσεντσ διφφερεντ σχεναριοσ φορ τηε mιτιγατιον οφ α νυmβερ οφ σελεχτεδ αστεροιδσ. Φιξεδ α ταργετ αστεροιδ, τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ το ρεαχη ιτ φροm Εαρτη ισ mοδελλεδ τηρουγη πρελιmιναρψ δεσιγν τεχηνιθυεσ (σεε Σεχτιον 4.); συβσεθυεντλψ, σιξ δεφλεχτιον στρατεγιεσ (πρεσεντεδ ιν Σεχτιον 4.1) αρε αππλιεδ το ινχρεασε τηε δισπλαχεmεντ οφ τηε αστεροιδ ατ τηε ΜΟΙD. Φορ εαχη mιτιγατιον σχηεmε, α σετ οφ Παρετο οπτιmαλ δεφλεχτιον mισσιονσ ισ χοmπυτεδ αχχορδινγ το τηε οβϕεχτιϖε φυνχτιον ιν Εθ. (4.8). Τηε χονχεπτ οφ δοmινανχε ισ προποσεδ το περφορm α χοmπαρισον οφ τηε ϖαριουσ δεφλεχτιον στρατεγιεσ, αχχορδινγ Ιν τηε χασε οφ τηε ατταχηεδ σπαχεχραφτ προπυλσιον στρατεγψ: τ τ τ ΤοΦ. ΜΟΙD 16

160 Chapter 4. Comparison of mitigation strategies for hazardous NEOs το τηε τηρεε χριτερια οφ τηε οπτιmισατιον. Ιν Αππενδιξ Β τηε τεχηνολογψ ρεαδινεσσ οφ εαχη σψστεm ισ ινχλυδεδ ιν τηε αναλψσισ, βψ αδδινγ το τηε ωαρνινγ τιmε τηε τιmε δελαψ νεχεσσαρψ φορ τηε ρεθυιρεδ τεχηνολογψ το βε χοmπλετελψ ϖιαβλε Targets selection Τηε εφφεχτιϖενεσσ οφ α γιϖεν δεϖιατιον στρατεγψ δεπενδσ ον τηε ορβιταλ ανδ πηψσιχαλ χηαραχτεριστιχσ οφ τηε ΝΕΟ ιτ ισ αππλιεδ το; φορ τηισ ρεασον, φουρ αστεροιδσ αρε χηοσεν φορ τηε mυλτι χριτερια αναλψσισ (σεε Ταβλε 4.3 ανδ Φιγυρε 4.1). Αποπηισ βελονγσ το τηε Ατεν χλασσ (ι.ε., ωιτη σεmι mαϕορ αξισ σmαλλερ τηαν Εαρτη σ: α 1 ΑΥ ανδ αποχεντρε διστανχε ιτσ ορβιτ αφτερ τηε νεξτ ενχουντερ ωιτη Εαρτη ιν 9, ιτ ισ οφτεν σελεχτεδ ασ α χασε στυδψ φορ τηε ονγοινγ δισχυσσιον ον τηε αϖαιλαβλε οπτιονσ φορ ιτσ δεφλεχτιον. Τηε οτηερ αστεροιδσ σελεχτεδ φορ τηισ στυδψ, Ιτοκαωα, Χασταλια, ανδ 1979ΞΒ, βελονγ το τηε Απολλο χλασσ (ι.ε., Εαρτη χροσσινγ οβϕεχτσ ωιτη σεmι mαϕορ αξισ λαργερ τηαν Εαρτη σ: α 1 ΑΥ ανδ περιχεντρε διστανχε ρα.983 ΑΥ ); βεχαυσε οφ τηε υνχερταιντιεσ ον ρ π 1.17 ΑΥ ) γρουπ ανδ διφφερ φορ τηειρ mασσ ανδ ορβιταλ ελεmεντσ. Οτηερ πηψσιχαλ χηαραχτεριστιχσ τηατ ινφλυενχε τηε περφορmανχεσ οφ τηε αχτιον mοδελσ αρε τηε δενσιτψ ανδ τηε ροτατιοναλ σπεεδ οφ τηε αστεροιδ. Τηε ιντερεστεδ ρεαδερ χαν ρεφερ το [16],[137] φορ φυρτηερ ινφορmατιον ον τηε αστεροιδ mοδελ. Νοτε τηατ τηε νοmιναλ ΜΟΙD οφ τηε Απολλο χλασσ αστεροιδσ ισ θυιτε βιγ; τηισ mεανσ τηατ τηε τηρεε αστεροιδσ δο νοτ χυρρεντλψ ρεπρεσεντ α ρεαλ ιmπαχτ ηαζαρδ το ουρ πλανετ. Ηοωεϖερ, τηε αιm οφ τηισ αναλψσισ ισ το πρεσεντ α θυαλιτατιϖε χοmπαρισον οφ τηε διφφερεντ δεφλεχτιον στρατεγιεσ ανδ νοτ το ρεπροδυχε α ρεαλ ιmπαχτ σχεναριο. Τηε σαmε τεχηνιθυε πρεσεντεδ ιν Σεχτιον 4.3 χαν βε αππλιεδ το οτηερ στυδψ χασεσ. Ταβλε 4.3: Αστεροιδσ ορβιταλ ανδ πηψσιχαλ παραmετερσ. Αστεροιδ Σεmι mαϕορ αξισ Εχχεντριχιτψ Ινχλινατιον ΜΟΙD Μασσ [ΑΥ] [δεγ] [κm] [κγ] Αποπηισ , Ιτοκαωα ,769, Χασταλια ,13, ΞΒ ,75, Α δενσιτψ οφ.5 γ/χm 3 ισ τακεν φορ αλλ τηε αστεροιδσ, ωηερεασ τηε ροτατιοναλ περιοδ οφ τηε φουρ αστεροιδσ ισ ρεσπεχτιϖελψ: 3.54 ηρσ φορ Αποπηισ, 1.13 ηρσ φορ Ιτοκαωα, 4.7 ηρσ φορ Χασταλια, ανδ 1 ηρσ φορ αστεροιδ 1979ΞΒ. 17

161 4.5. Deflection mission options x 1 8 y [km] 1 1 z [km] x Earth Castalia Apophis 1979XB Itokawa Sun 3 x x [km] x 1 8 α) y [km] x [km] Φιγυρε 4.1: Ορβιτ οφ τηε σελεχτεδ αστεροιδσ: α) D ϖιεω, ανδ β) 3D ϖιεω. β) 4 x Pareto fronts Α χονϖενιεντ ρεπρεσεντατιον οφ τηε ρεσυλτ οφ εαχη δεφλεχτιον στρατεγψ ισ τηε Παρετο φροντ, χονστιτυτεδ βψ αλλ τηε οπτιmαλ σολυτιονσ τηατ ηαϖε λοωερ χοστ (ι.ε., λοωερ mασσ ανδ ωαρνινγ τιmε ανδ ηιγηερ τοταλ δεϖιατιον) τηαν ποιντσ χορρεσπονδινγ το οτηερ χηοιχεσ οφ παραmετερσ. Φιγυρε 4. Φιγυρε 4.5 πρεσεντ τηε Παρετο φροντσ φορ τηε mιτιγατιον οφ αστεροιδ Αποπηισ, Ιτοκαωα, Χασταλια, ανδ 1979ΞΒ, ρεσπεχτιϖελψ, βψ mεανσ οφ αλλ τηε δεφλεχτιον σχηεmεσ αναλψσεδ. Εαχη βλαχκ δοτ ρεπρεσεντσ α χοmπλετε πρελιmιναρψ δεσιγν φορ α mισσιον τηατ λαυνχηεσ φροm Εαρτη, ιντερχεπτσ τηε αστεροιδ ανδ αππλιεσ α δεφλεχτιον mανοευϖρε. Το ιmπροϖε τηε ϖισυαλισατιον οφ τηε Παρετο φροντσ, φορ εαχη φιγυρε αν ιντερπολατινγ συρφαχε ηασ βεεν γενερατεδ φροm τηε σχαττερεδ σετ οφ Παρετο οπτιmαλ σολυτιονσ. Τηε ξ ανδ ψ αξισ ρεπρεσεντ τηε φιρστ τωο χοmπονεντσ οφ τηε χοστ φυνχτιον Εθ. (4.8), ινιτιαλ mασσ m ανδ ωαρνινγ τιmε τ ; ον τηε ζ αξισ τηε δεϖιατιον ρ ισ ρεπορτεδ. ω Τηε σηαπε οφ τηε Παρετο φροντσ ισ mοστλψ δεπενδεντ ον τηε mιτιγατιον στρατεγψ υσεδ. ΝΕΟ ορβιταλ χηαραχτεριστιχσ, σιζε ανδ ροτατιοναλ περιοδ αλσο mοδελ τηε συρφαχε οφ τηε Παρετο φροντ, σιζινγ ιτ ανδ σλιγητλψ χηανγινγ τηε ινχλινατιον ανδ ποσιτιον ιν τηε χριτερια σπαχε. Σοmε χοmmον φεατυρεσ χαν βε ρεχογνισεδ ιν τηε Παρετο φροντσ φορ αλλ τηε αστεροιδσ, ιν παρτιχυλαρ τηε λινεαρ ορ θυαδρατιχ ινχρεασε οφ τηε δεϖιατιον ωιτη τηε ινιτιαλ mασσ (διρεχτλψ ρελατεδ το τηε mοδελσ οφ τηε στρατεγιεσ), ανδ τηε περιοδιχιτψ αλονγ τηε ωαρνινγ τιmε αξισ, ωηιχη ισ ρελατεδ το τηε τρανσφερ τραϕεχτορψ ανδ τηε ανγυλαρ ποσιτιον οφ τηε ιντερχεπτιον ποιντ ωηερε α ϖαριατιον οφ τηε αστεροιδ ϖελοχιτψ ισ mορε εφφεχτιϖε. Νοτε τηατ φορ λοω τηρυστ προπυλσιον, τηε 18

162 Chapter 4. Comparison of mitigation strategies for hazardous NEOs χονχεντρατιον οφ τηε σολυτιονσ αλονγ στριπεσ ον τηε τ ω αξισ ισ δυε το τηε χονστραιντ οφ τηε τιmε οφ φλιγητ ιν Εθ. (4.9); ιν φαχτ ιτ ωασ ϖεριφιεδ τηατ τηε ποιντσ αρε mορε σπρεαδ ιφ τηισ χονστραιντ ισ ρελαξεδ (ηοωεϖερ, ιν τηατ χασε τηε σολυτιονσ ωουλδ νοτ βε φεασιβλε). Apophis deviation mission Τηε mιτιγατιον σχεναριο χονσιδερεδ φορ αστεροιδ Αποπηισ ισ ιδεντιφιεδ βψ α χλοσε ενχουντερ ωιτη τηε Εαρτη ον τηε 14 τη Απριλ 9 ( ΜϑD). Φιγυρε 4. πρεσεντσ τηε Παρετο φροντσ φορ τηε mιτιγατιον οφ αστεροιδ Αποπηισ βψ mεανσ οφ αλλ τηε δεφλεχτιον σχηεmεσ αναλψσεδ. Τηε ρανγε οφ ινιτιαλ mασσεσ ανδ ωαρνινγ τιmεσ χοϖερεδ βψ τηε σολυτιονσ ιν τηε Παρετο φροντσ ισ σιmιλαρ φορ αλλ στρατεγιεσ ανδ δεπενδσ ον τηε βουνδαριεσ ον τηε οπτιmισατιον παραmετερ ϖεχτορ ξ. Τηε ρανγε οφ αχηιεϖαβλε δεϖιατιον, ον τηε οτηερ ηανδ, γιϖεσ αν ιδεα οφ τηε χαπαβιλιτψ οφ εαχη mιτιγατιον σχηεmε. Τηε στρατεγιεσ τηατ εξηιβιτ τηε βεστ ρεσυλτσ φορ αλmοστ αλλ τηε αστεροιδσ χονσιδερεδ αρε τηε σολαρ χολλεχτορ ανδ τηε νυχλεαρ ιντερχεπτορ (σεε Φιγυρε 4.ε ανδ β); ιν φαχτ, τηεψ ρεαχη τηε λιmιτ σετ ον τηε mαξιmυm δεϖιατιον (εθυαλ το τηε Εαρτη Μοον διστανχε) φορ σmαλλ ϖαλυεσ οφ τηε ωετ mασσ ανδ ωαρνινγ τιmε. Νοτε τηατ, τηε τωο σχηεmεσ αρε χοmπλετελψ διφφερεντ, ασ τηε δεϖιατιον ισ αχηιεϖεδ τηρουγη α χοντινυουσ τηρυστ αρχ ιν τηε φορmερ χασε, ορ τηρουγη αν ιmπυλσιϖε χηανγε οφ τηε λινεαρ mοmεντυm ιν τηε λαττερ χασε. Τηε mασσ δριϖερ στρατεγψ (σεε Φιγυρε 4.χ) σηοωσ α σατισφαχτορψ περφορmανχε, ρεαχηινγ τηε mαξιmυm δεϖιατιον ιν σοmε χασεσ; εϖεν ιφ τηισ σχηεmε ισ mοδελλεδ ασ α mυλτι ιmπυλσιϖε αχτιον, ιτσ εφφεχτ ισ αναλογουσ το α χοντινυουσ τηρυστ mανοευϖρε. Στρατεγιεσ λικε κινετιχ ιmπαχτορ, ατταχηεδ λοω τηρυστ προπυλσιον, ανδ γραϖιτψ τραχτορ πρεσεντ δεϖιατιον ρανγεσ οφ ονε ορδερ οφ mαγνιτυδε λεσσ τηαν τηε ονε αχηιεϖαβλε ωιτη νυχλεαρ ιντερχεπτορ ανδ σολαρ χολλεχτορ; α δεϖιατιον οφ αππροξιmατελψ 1, κm ισ ρεαχηεδ φορ ϖαλυεσ οφ ινιτιαλ mασσ ανδ ωαρνινγ τιmε χλοσε το τηε mαξιmυm χονσιδερεδ. 19

163 4.5. Deflection mission options α) Παρετο φροντ φορ τηε δεϖιατιον οφ αστεροιδ Αποπηισ τηρουγη κινετιχ ιmπαχτορ. β) Παρετο φροντ φορ τηε δεϖιατιον οφ αστεροιδ Αποπηισ τηρουγη νυχλεαρ ιντερχεπτορ. 13

164 Chapter 4. Comparison of mitigation strategies for hazardous NEOs χ) Παρετο φροντ φορ τηε δεϖιατιον οφ αστεροιδ Αποπηισ τηρουγη mασσ δριϖερ. δ) Παρετο φροντ φορ τηε δεϖιατιον οφ αστεροιδ Αποπηισ τηρουγη ατταχηεδ σπαχεχραφτ προπυλσιον. 131

165 4.5. Deflection mission options ε) Παρετο φροντ φορ τηε δεϖιατιον οφ αστεροιδ Αποπηισ τηρουγη σολαρ χολλεχτορ. φ) Παρετο φροντ φορ τηε δεϖιατιον οφ αστεροιδ Αποπηισ τηρουγη γραϖιτψ τραχτορ. Φιγυρε 4.: Παρετο φροντ φορ τηε δεϖιατιον οφ αστεροιδ Αποπηισ τηρουγη διφφερεντ στρατεγιεσ: α) κινετιχ ιmπαχτορ, β) νυχλεαρ ιντερχεπτορ, χ) mασσ δριϖερ, δ) ατταχηεδ σπαχεχραφτ προπυλσιον, ε) σολαρ χολλεχτορ, ανδ ε) γραϖιτψ τραχτορ. 13