ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΑΝΟΡΘΩΤΙΚΗ ΡΟΠΗ 2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΝΟΡΘΩΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ (GZ) ΜΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΝ 3 ΆΣΚΗΣΗ 1 Η 4

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΑΝΟΡΘΩΤΙΚΗ ΡΟΠΗ 2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΝΟΡΘΩΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ (GZ) ΜΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΝ 3 ΆΣΚΗΣΗ 1 Η 4"

Transcript

1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΑΝΟΡΘΩΤΙΚΗ ΡΟΠΗ 2 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΝΟΡΘΩΤΙΚΟΥ ΒΡΑΧΙΟΝΑ (GZ) ΜΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΝ 3 ΆΣΚΗΣΗ 1 Η 4 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ & ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ 5-6 ΆΣΚΗΣΗ 2 Η 7-8 ΆΣΚΗΣΗ 3 Η 9 ΆΣΚΗΣΗ 4 Η 10 ΆΣΚΗΣΗ 5 Η ΆΣΚΗΣΗ 5 Η ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ / ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΚΣΕ ΆΣΚΗΣΗ 6 Η 16 ΆΣΚΗΣΗ 7 Η 17 ΆΣΚΗΣΗ 9 Η 18 ΆΣΚΗΣΗ 10 Η - ΚΑΜΠΥΛΗ ΑΝΕΜΟΥ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ 21 ΆΣΚΗΣΗ 22 ΆΣΚΗΣΗ 23 ΣΙΤΗΡΑ ΆΣΚΗΣΗ 29 ΆΣΚΗΣΗ 2 Η ΔΕΞΑΜΕΝΙΣΜΟΣ ΆΣΚΗΣΗ 1 Η 35 ΆΣΚΗΣΗ 2 Η 36 ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

2 ΑΝΟΡΘΩΤΙΚΗ ΡΟΠΗ M = Μετάκεντρο G = Κέντρο Βάρους (Gravity) B = Άντωση Κ = Τρόπιδα (keel) BM = Μετακεντρική Ακτίνα GZ = Πραγματικός Ανορθωτικός Μοχλοβραχίονας. G = Assumed Gravity GZ π = Ανορθωτικός Μοχλοβραχίονας που ανήκει στο Assumed ( από πίνακες) 1) Ανορθωτική Ροπή = Gz x Displacement 2) Gz = GM x ημ (έως 10 0 ) Κατά την κλήση το μετάκεντρο Μ μετατοπίζεται προς τα επάνω, δηλαδή δεν είναι σταθερό. 3) Gz = GZ π GG ημ ή Gz = KN KG ημ. Αν KG > από υπολογιστικό πινάκων, αφαιρούμε το GG ημ. Στις μικρές εγκάρσιες κλίσεις (μέχρι 10 0 περίπου) ο ανορθωτικός βραχίονας (GZ) υπολογίζεται με την σχέση : GZ = GM x ημθ Στις μικρές και μεγάλες εγκάρσιες, ο ανορθωτικός βραχίονας (GZ) υπολογίζεται με την χρήση των διασταυρούμενων καμπυλών ευστάθειας (cross curve of stability) GZ = GZΠ GG ημθ - όταν το πραγματικό KG > από υποθετικό KG assumed, +όταν το πραγματικό KG < από υποθετικό KG assumed, GZΠ = ανοπθ.βραχίονας που παίρνουμε από διασταυρούμενες καμπύλες, GG=διαφορά πραγματικού και υποθετικού κέντρου βάρους, GZ = GZΠ όταν actual KG = assumed KG δηλαδή GG=0 Ή GZ = GZΠ (KG ACTUAL KG ASSUMED ) ημθ αλγεβρικά ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

3 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΝΟΡΘ.ΒΡΑΧΙΟΝΑ (GZ) ΜΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΚΝ Εάν ο ναυπηγός κατά τον υπολογισμό των διασταυρούμενων καμπυλών ευστάθειας χρησιμοποιήσει υποθετικό KG=0 τότε οι καμπύλες αυτές ονομάζονται καμπύλες ΚΝ καθώς ο GZ συμβολίζεται από την σχέση : GZ = KN KG.ημθ GZ = πραγματικός ανορθωτικός βραχίονας ΚΝ = ανορθωτικός βραχίονας από πίνακες ΚΝ. Η διόρθωση (KG x ημθ) είναι πάντοτε αφαιρετική και αυτό φαίνεται στο δεύτερο σχήμα. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

4 διασταυρουμένων καμπυλών Ευσταθείας ΑΣΚΗΣΗ 1 Η Πλοίο έχει βύθισμα = 9,25m, Kgo = 7,545 m. Να χαραχθεί η ΚΑΜΠΥΛΗ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ και να υπολογισθεί η θ max, o GZ max, θ caps, το εύρος Ευστάθειας. GZ = GZΠ GG ημθ GZ = GZΠ - GG ημθ, (-) διότι KG actual > KG assumed Actual KG = 7,545 m Assumed KG = 7,000 m - GG.=0,545 m Από πίνακες GZΠ 0 = 0-0,545 x 0 = 0 10 = 0,329-0,545 x 0,174 = 0, = 0,407-0,545 x 0,208 = 0, = ,545 x 0,342 = 0, = 1,041-0,545 x 0,500 = 0, = 1,305-0,545 x 0,642 = 0, = 1,461-0,545 x 0,766 = 1, = 1,406-0,545 x 0,866 = 0, = 1,193-0,545 x 0,940 = 0, = 0,545-0,545 x 1 = 0 GZΠ με G ASSUMED G ACT - G ASS 7,545-7 GZ με G ACTUAL ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

5 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ & ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΩΝ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ Από 0-90 ( caps) = Θεωρητικό Εύρος Ευστάθειας. Από 0-50 ( max) = Αξιολόγηση Ευστάθειας. Πάνω στον άξονα κλίσεων, παίρνουμε απόσταση ίση με 1 ακτίνιο = 57,3 και υψώνουμε κάθετη. Από το σημείο 0 φέρνουμε την εφαπτομένη στην καμπύλη, και όπου τέμψει την υψωμένη κάθετο στην απόσταση του ακτινίου, είναι το GM. Το ανωτέρω ισχύει μέχρι και 10 ο. Ανορθωτική Ροπή = Gz x D Όσο ανεβαίνει το G μικραίνει το Gz Όταν σε μία φόρτωση το G περάσει το Μ, βγει δηλαδή αποπάνω, ο μοχλοβραχίονας θα είναι ZG, άρα αρνητική ευστάθεια. Η καμπύλη επί του προκειμένου θα αρχίζει από κάτω από τον άξονα κλίσεων. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

6 Από όλα τα ανωτέρω συγκεντρωτικά έχουμε ότι : 1. Η σχέση Gz = GM x ημθ δεν ισχύει όταν η γωνία κλίσεως είναι μεγαλύτερη από 8 ο 10 ο. 2. Οι διασταυρούμενες καμπύλες ευστάθειας (cross curves) δίνουν μοχλοβραχίονες στατικής ευστάθειας (Gz) για οποιοδήποτε εκτόπισμα για ορισμένες γωνίες κλίσεως (συνήθως κάθε 10 ο ή 15 ο ) αλλά για ένα μόνο ορισμένο KG πού συνήθως ονομάζεται υποθετικό KG (assumed KG). 3. Εάν το assumed KG είναι μηδενικό τότε οι διασταυρούμενες καμπύλες έχουν την ειδική ονομασία KN curves. 4. Σε κάθε κατάσταση φόρτου (δηλαδή σε ένα Δ και ένα KG) αντιστοιχεί μία καμπύλη στατικής ευστάθειας. 5. Για να χαράξουμε την καμπύλη στατικής ευστάθειας μίας καταστάσεως φόρτου πρέπει να έχουμε στη διάθεσή μας : Διασταυρούμενες καμπύλες ευστάθειας. Εκτόπισμα. Μετακεντρικό ύψος KG. 6. Από την καμπύλη στατικής ευστάθειας μπορούμε να πάρουμε τα εξής χρήσιμα στοιχεία: Τιμή ανορθωτικού μοχλοβραχίονα Gz για οποιαδήποτε γωνία κλίσεως. Γωνία MAX που εμφανίζεται ό μέγιστος μοχλοβραχίονας. Η MAX στην πράξη θεωρείται σαν γωνία ανατροπής του πλοίου. Γωνία καταδύσεως της άκρης του καταστρώματος (Angle of Deck edge Immersion). Γωνία μηδενισμού ανορθωτικού μοχλοβραχίονα (vanishing angle). Γωνία κλίσεως του πλοίου εξαιτίας εγκάρσιας μετατόπισης του κέντρου βάρους του. Η γωνία αυτή προσδιορίζεται όταν χαράξουμε την καμπύλη ανατρεπτικών μοχλοβραχιόνων και από το σημείο τομής της με την καμπύλη ανορθωτικών μοχλοβραχιόνων φέρουμε κάθετο στον άξονα κλίσεων. Δυναμική ευστάθεια. 7. Η καμπύλη στατικής ευστάθειας μιάς καταστάσεως φόρτου μπορεί να διορθωθεί ώστε να μας δίνη στοιχεία και για άλλες καταστάσεις φόρτου. Οί λόγοι από τους οποίους μπορεί να προκύψει ανάγκη διορθώσεων είναι : Μεταβολή εκτοπίσματος. Κατακόρυφη μετατόπιση του κέντρου βάρους του πλοίου. Εγκάρσια μετατόπιση του κέντρου βάρους του πλοίου. 8. Η εγκάρσια μετατόπιση του κέντρου βάρους από το διάμηκες επίπεδο συμμετρίας προκαλεί: Εγκάρσια κλίση. Μείωση των ανορθωτικών μοχλοβραχιόνων Gz όλων των γωνιών κλίσεων. Μείωση της δυναμικής ευστάθειας. 9. Η διόρθωση της καμπύλης στατικής ευστάθειας για εγκάρσια μετατόπιση κέντρου βάρους γίνεται με την χάραξη της καμπύλης συνημιτόνου που στην πράξη αντικαθίσταται από ευθεία. 10. Η κατακόρυφη μετατόπιση του κέντρου βάρους προκαλεί: Μείωση των ανορθωτικών μοχλοβραχιόνων Gz αν είναι προς τα άνω ή Αύξηση των ανορθωτικών μοχλοβραχιόνων Gz αν είναι προς τα κάτω. 11. Η διόρθωση της καμπύλης στατικής ευστάθειας για κατακόρυφη μετατόπιση κέντρου βάρους γίνεται με την χάραξη της καμπύλης ημιτόνου που στην πράξη αντικαθίσταται από ευθεία. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

7 ΑΝΑΤΡΕΠΤΙΚΟΣ ΒΡΑΧΙΟΝΑΣ GAE = GGE X συνθ 0 ΑΣΚΗΣΗ 2 Η Πλοίο έχει βύθισμα = 9,25m, KGo = 7,545 m. Βάρος 950 τόνων μετατοπίσθηκε εγκάρσια κατά 6,65 μέτρα. Να χαραχθεί η ΚΑΜΠΥΛΗ ΑΝΑΤΡΕΠΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ (συνημίτονου) και να διορθωθεί η Κ.Σ.Ε. AE = ΑΝΑΤΡΕΠΤΙΚΩΝ ΒΡΑΧΙΟΝΩΝ ΡΟΠΗ Ισχύει όταν υπάρχει μετατόπιση βάρους, το οποίο μετατόπισε το κέντρο βάρους παράλληλα με την μετατόπιση. Για διόρθωση Κ.Σ.Ε GZc = Gz GAE W x de GGE = Ανατρεπτικός Βραχίονας GAE = GGE X συνθ 0 D W x de 950 x 6.65 GGE = = = 0,301 m D ΓΩΝΙΕΣ GAE = GGE X συνθ GAE = GGE X συνθ 0 0,301 X 1,000 = 0,301 m 10 0 GAE = GGE X συνθ 0 0,301 X 0,985 = 0,297 m 12 0 GAE = GGE X συνθ 0 0,301 X 0,978 = 0,294 m 20 0 GAE = GGE X συνθ 0 0,301 X 0,940 = 0,283 m 30 0 GAE = GGE X συνθ 0 0,301 X 0,866 = 0,261 m 40 0 GAE = GGE X συνθ 0 0,301 X 0,766 = 0,230 m 50 0 GAE = GGE X συνθ 0 0,301 X 0,642 = 0,193 m 60 0 GAE = GGE X συνθ 0 0,301 X 0,500 = 0,150 m 70 0 GAE = GGE X συνθ 0 0,301 X 0,342 = 0,103 m 80 0 GAE = GGE X συνθ 0 0,301 X 0,174 = 0,052 m 90 0 GAE = GGE X συνθ 0 0,301 X 0,000 = 0,000 m ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

8 Για διόρθωση Κ.Σ.Ε Γωνίες GZc = Gz GAE ΔΙΟΡΘΩΣΗ Κ.Σ.Ε. 0 0 GΖC = GZA GAE 0,000 1,000 = 0,301 m 10 0 GΖC = GZA GAE 0,234 0,985 = 0,063 m 12 0 GΖC = GZA GAE 0,294 0,978 = 0,000 m 20 0 GΖC = GZA GAE 0,528 0,940 = 0,245 m 30 0 GΖC = GZA GAE 0,769 0,866 = 0,508 m 40 0 GΖC = GZA GAE 0,955 0,766 = 0,725 m 50 0 GΖC = GZA GAE 1,044 0,642 = 0,851 m 60 0 GΖC = GZA GAE 0,934 0,500 = 0,784 m 70 0 GΖC = GZA GAE 0,681 0,342 = 0,578 m 90 0 GΖC = GZA GAE 0,000 0,000 = 0,000 m ΧΑΡΑΞΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ GAE 1,0 m 0,5 m ΧΑΡΑΞΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ GZC 1,0 m 0,5 m Το διάστημα μεταξύ των 2 καμπυλών (αρχική & διορθωμένη) είναι ίση με την ανατρεπτική βραχιόνων. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

9 ΑΣΚΗΣΗ 3 Η Βύθισμα = 9,25 GM = Να υπολογισθούν οι ανορθωτικοί βραχίονες στις Να απεικονίσετε με σκίτσο την Κ.Σ.Ε και να δείξετε επ αυτής το Gz max - max και την αρχική Ευστάθεια. dm = 9,25 πίνακες ΚΜ = 8.78 KG = KM GM = KG = 7.00 Από πίνακα GZπ διασταυρωμένων καμπύλων ευστάθειας έχουμε για : 10 ο = ο = ο = ο = ο =0.545 ΧΑΡΑΞΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ GZC 1.5 m 1,0 m 0,5 m ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

10 ΑΣΚΗΣΗ 4 Η Βύθισμα = 9.30 και KGo = 7,50. Με ποία εγκάρσια μετατόπιση το πλοίο παίρνει κλίση 10 ο ; GAE = GGE X συνθ GGE = GAE / συνθ. GAE(10 O ) = GZ (10 O ) = GZΠ GGημθ = (πίνακες GZπ) (0,5 x 0,172) = 0,243 GAE 0,243 GGE = = = συνθ 0, ο ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

11 ΑΝΑΤΡΕΠΤΙΚΟΣ ΒΡΑΧΙΟΝΑΣ GAΚ = GGΚ X ΗΜθ 0 ΑΣΚΗΣΗ 5 Η Πλοίο έχει βύθισμα = 9,25m, KGo = 7,545 m. Βάρος 950 τόνων μετατοπίσθηκε κατακόρυφα προς τα επάνω 3,54 μέτρα. Να χαραχθεί η ΚΑΜΠΥΛΗ ημιτόνου και να διορθωθεί η Κ.Σ.Ε. GZc = GZ GAK (ΟΠΟΥ [+] ΟΤΑΝ ΤΟ ΒΑΡΟΣ ΠΑΕΙ ΠΡΟΣ ΤΑ ΚΑΤΩ ΚΑΙ [ ] ΠΡΟΣ ΤΑ ΑΝΩ.) GAK = GGK X ημθ GGK = W x dk Displ. W x dk 950 x 3.54 GGK = = = 0,16 M Displ ΓΩΝΙΕΣ GAK = GGK X ημθ 0 0 GAΚ = GGΚ X ημθ 0 0,16 X 0,000 = 0,000 m 10 0 GAΚ = GGΚ X ημθ 0 0,16 X 0,174 = 0,028 m 12 0 GAΚ = GGΚ X ημθ 0 0,16 X 0,208 = 0,033 m 20 0 GAΚ = GGΚ X ημθ 0 0,16 X 0,342 = 0,055 m 30 0 GAΚ = GGΚ X ημθ 0 0,16 X 0,500 = 0,080 m 40 0 GAΚ = GGΚ X ημθ 0 0,16 X 0,643 = 0,103 m 50 0 GAΚ = GGΚ X ημθ 0 0,16 X 0,766 = 0,122 m 60 0 GAΚ = GGΚ X ημθ 0 0,16 X 0,866 = 0,138 m 70 0 GAΚ = GGΚ X ημθ 0 0,16 X 0,940 = 0,150 m 90 0 GAΚ = GGΚ X ημθ 0 0,16 X 0,160 = 0,160 m Στις 90 ο GAK = GGK ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

12 Για διόρθωση Κ.Σ.Ε Γωνίες GZC = GZA GAK ΔΙΟΡΘΩΣΗ Κ.Σ.Ε. 0 0 GΖC = GZA GAK 0,000 0,000 = m 10 0 GΖC = GZA GAK 0,234 0,028 = 0,206 m 12 0 GΖC = GZA GAK 0,294 0,033 = 0,261 m 20 0 GΖC = GZA GAK 0,528 0,055 = 0,473 m 30 0 GΖC = GZA GAK 0,769 0,080 = 0,689 m 40 0 GΖC = GZA GAK 0,955 0,103 = 0,852 m 50 0 GΖC = GZA GAK 1,044 0,122 = 0,922 m 60 0 GΖC = GZA GAK 0,934 0,138 = 0,796 m 70 0 GΖC = GZA GAK 0,681 0,150 = 0,531 m 90 0 GΖC = GZA GAK 0,000 0,160 = 0,160 m ΧΑΡΑΞΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ GAE 1,0 m 0,5 m ΧΑΡΑΞΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ GAE 1,0 m 0,5 m ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

13 ΑΣΚΗΣΗ 5 Η (ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΚΣΕ) Πλοίο έχει βύθισμα = 9,25m, KGo = 7,545 m. Βάρος 950 τόνων μετατοπίσθηκε εγκάρσια κατά 6,65 μέτρα και προς τα επάνω 3,54 μέτρα. Να διορθωθεί η Κ.Σ.Ε. Εάν μετατοπισθεί το [G] του πλοίου εγκάρσια και κατακόρυφα ταυτόχρονα, τότε ο αρχικός ανορθωτικός βραχίονας [GZ] διορθώνεται με την κατώτερη σχέση : GZc = GZ GAE GAK Η GZC = GZ W X de x συνθ DISPL. W X dk x ημθ DISPL. Η διόρθωση για την εγκάρσια μετατόπιση είναι πάντοτε αφαιρετική ενώ για την κατακόρυφη μετατόπιση είναι αφαιρετική εάν η μετατόπιση γίνει προς τα επάνω και προσθετική εάν η μετατόπιση γίνει προς τα κάτω. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

14 Λ Υ Σ Η ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ : W x dk 950 x 3.54 GGk = = = 0,16 m και GAK = GGK X ημθ βραχίονας ανατρεπτικός διότι μετατό- Displ πιση προς τα πάνω. ΓΩΝΙΕΣ GAK = GGK X ημθ 0 ο GAK = GGK X ημθ = 0.16 x = 0.000m 10 ο GAK = GGK X ημθ = 0.16 x = 0.028m 12 ο GAK = GGK X ημθ = 0.16 x = 0.033m 20 ο GAK = GGK X ημθ = 0.16 x = 0.055m 30 ο GAK = GGK X ημθ = 0.16 x = 0.080m 40 ο GAK = GGK X ημθ = 0.16 x = 0.103m 50 ο GAK = GGK X ημθ = 0.16 x = 0.122m 60 ο GAK = GGK X ημθ = 0.16 x = 0.138m 70 ο GAK = GGK X ημθ = 0.16 x = 0.150m 90 ο GAK = GGK X ημθ = 0.16 x = 0.160m ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ : W x de 950 x 6.65 GGE = = = 0,301 m Displ ΓΩΝΙΕΣ GAK = GGK X ημθ 0 ο GAΕ = GGΕ X συνθ = x = 0.301m 10 ο GAΕ = GGΕ X συνθ = x = 0.297m 12 ο GAΕ = GGΕ X συνθ = x = 0.294m 20 ο GAΕ = GGΕ X συνθ = x = 0.283m 30 ο GAΕ = GGΕ X συνθ = x = 0.261m 40 ο GAΕ = GGΕ X συνθ = x = 0.230m 50 ο GAΕ = GGΕ X συνθ = x = 0.193m 60 ο GAΕ = GGΕ X συνθ = x = 0.150m 70 ο GAΕ = GGΕ X συνθ = x = 0.103m 90 ο GAΕ = GGΕ X συνθ = x = 0.000m ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

15 ΔΙΟΡΘΩΣΗ Κ.Σ.Ε ΓΩΝΙΕΣ GZC = GZA GAE - GAK 0 ο GZC = GZA GAE - GAK = m = - 0,301 m 10 ο GZC = GZA GAE - GAK = = m 12 ο GZC = GZA GAE - GAK = = m 20 ο GZC = GZA GAE - GAK = = m 30 ο GZC = GZA GAE - GAK = = m 40 ο GZC = GZA GAE - GAK = = m 50 ο GZC = GZA GAE - GAK = = m 60 ο GZC = GZA GAE - GAK = = m 70 ο GZC = GZA GAE - GAK = = m 90 ο GZC = GZA GAE - GAK = = m ΧΑΡΑΞΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ GAE 1,0 m 0,5 m ΧΑΡΑΞΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ GZC 1,0 m 0,5 m ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

16 ΑΣΚΗΣΗ 6 Η Πλοίο έχει βύθισμα 9.30 KGo = 7,40. Βάρος 1200 τόνοι μετατοπίσθηκε εγκάρσια 8μ και κατακόρυφα 4μ. Να υπολογισθεί ο διορθωτικός βραχίονας στις GZC (30) = GZ GAE GAK 2. GZ (30) = GZΠ GG ημθ W X de 3. GAE = GGE X συνθ = x συνθ DISPL. W X dκ 4. GAK = GGK X ημθ = x ημθ DISPL. GZ (30) = GZΠ GG ημθ = 1,035 (KG KGASSUMED) ημθ=1,035 (0,40 χ 0,5) =0,830 W X de 1200 χ GAE = GGE X συνθ = x συνθ = x συν30 0 = x 0,866=0,394 DISPL W X dκ 1200 x 4 GAK = GGK X ημθ = x ημθ= x ημ30 0 = DISPL GZC (30) = GZ GAE GAK = 0,830 0,394 0,113 = 0,323 ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

17 ΑΣΚΗΣΗ 7 Η Πλοίο έχει βύθισμα 9.35 KGo = 7,35. Να υπολογισθεί η εγκάρσια μετατόπιση GGE για να πάρει κλίση το πλοίο ,634 GZ (20) = GAE = GGE X συνθ GGE = 0, GAE συνθ GZ (20) = GZΠ GGημθ = GZπ ((KGo KGassumed) x ημ20 0 = 0,716 (0,35 x 0,342 GZ (20) = 0,596 GAE 0,596 GGE = = GGE = 0,634 M συνθ 0,939 ΑΣΚΗΣΗ 8 Η Πλοίο έχει βύθισμα 9.40 GM = Με ποια εγκάρσια μετατόπιση το πλοίο παίρνει κλίση όσο η θ Μαχ? 9,40 ΑΠΟ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΜ = 8.81 GM = 1.81 KG = 7.00 KG ACTUAL = KG ASSUMED ΘMAX = 50 0 = 1,429 = GZ MAX. GAE GGE = = = 2,22M συνθ 0,642 ΑΣΚΗΣΗ 9 Η ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

18 Να απεικονίσετε με σκίτσο Κ.Σ.Ε. 1) Στο ίδιο βύθισμα με KG = m. 2) Εγκάρσια κλίση 12 0 λόγω GGE = 0,2. 3) Εγκάρσια κλίση 20 0 λόγω αρνητικού μετακεντρικού ύψους. 4) Ανατροπή πλοίου λόγω αρνητικού μετακεντρικού ύψους ΑΣΚΗΣΗ 10 Η ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

19 Πλοίο Ε/Γ Ο/Γ έχει βύθισμα = 5,60 μ. - εκτόπισμα =14600 πλευρική επιφάνεια εξάλων (Α) = 3680 m 2 απόσταση κέντρου επιφανείας από keel (I) = 18 m. Το πλοίο ευρίσκεται υπό επίδραση πλευρικού ανέμου πίεσης (Ρ)=0,70 t/m 2. Από την χάραξη της ΚΣΕ έχουν υπολογισθεί ανορθωτικοί βραχίονες (GZA) ως κατωτέρω: Γωνία 0 0 GZA = 0,00m Γωνία 40 0 GZA = 0,65m Γωνία 10 0 GZA = 0,26m Γωνία 50 0 GZA = 0,40m Γωνία 20 0 GZA = 0,48m Γωνία 60 0 GZA = 0,12m Γωνία 30 0 GZA = 0,60m Γωνία 70 0 GZA = 0,00m 1. Να χαραχθεί η καμπύλη ανέμου (ΜΝ) μέχρι Να υπολογισθεί η γωνία ισορροπίας και να εξετασθεί εάν ο ανατρεπτικός βραχίονας σ αυτή είναι εντός του κανονισμού. Ο ανατρεπτικός βραχίονας (ΜΝ) σε διάφορες γωνίες κλίσης λόγω επίδρασης σταθερού πλευρικού ανέμου στα έξαλα του πλοίου υπολογίζεται από την κατωτέρω σχέση: P x A x h x συν 2 θ Όπου : MN= MN..Ανατρεπτικός βραχίονας (m). Displ. Ρ..Πίεση ανέμου σε t/m 2 P= V 2 /51200 (V=Ταχύτης ανέμου σε κόμβους) Α..Προβολή επιφάνειας εξάλων σε m 2 h..κατακόρυφη απόσταση του κέντρου επιφανείας Εξάλων από το ½ του βυθίσματος (m). d h =I I=απόσταση κέντρου επιφάνειας από τρόπιδα. 2 d = Βύθισμα Displ..Εκτόπισμα σε τόνους θ..εγκάρσια κλίση GZc = GZ MN (διόρθωση πάντοτε αφαιρετική) d 5,6 h =I = 18 - = 15,2 m 2 2 P x A x h x συν 2 θ 0.07 x 3680 x 15,2 x συν 2 θ MN= = =0,268 x συν 2 θ Displ Γωνίες ΜΝ = Ρ x A x h x συνθ x συνθ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

20 Displ. Γωνίες ΜΝ = 0,268 x 1,000 x 1,000 = 0,268 m Γωνίες ΜΝ = 0,268 x 0,985 x 0,985 = 0,260 m Γωνίες ΜΝ = 0,268 x 0,940 x 0,940 = 0,237 m Γωνίες ΜΝ = 0,268 x 0,866 x 0,866 = 0,200 m Γωνίες ΜΝ = 0,268 x 0,766 x 0,766 = 0,157 m Γωνίες ΜΝ = 0,268 x 0,642 x 0,642 = 0,110 m Γωνίες ΜΝ = 0,268 x 0,500 x 0,500 = 0,067 m Γωνίες ΜΝ = 0,268 x 0,342 x 0,342 = 0,031 m Γωνία κλίσης = 10 0 (από κανονισμούς ΙΜΟ). ΜΝ (10 ο ) = 0,260 < από 0,6 x GZ max = 0,6 x 0,65 = 0,39 m GZ max στις 40 0 ΧΑΡΑΞΗ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΑΝΕΜΟΥ 1,0 m GZmax 0,5 m MN MN MN MN MN MN ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

21 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ: Η δυναμική ευστάθεια = Displacement x A Όπου Α ή επιφάνεια σε μετροακτίνια (m-rads). Για την εύρεση του εμβαδόν του Α χρησιμοποιούμαι Τον 1 ο κανόνα Simpson. 40 O h = ισαπόσταση = Β V - 1 Y1 h h h h ΠΡΩΤΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ SIMPSON: h A= (Y 1 + 4Y 2 + 2Y 3 + 4Y 4 + Y 5 +..Y v ) Στην ΚΣΕ Υ = GZ 3 Για την εφαρμογή του πρώτου κανόνα του SIMPSON απαιτείται ύπαρξη περιττού αριθμού τεταγμένων (Υ) σε ισαποστάσεις (h), δηλαδή 3,5,7,9,11,13 κτλ. Πολλαπλασιάζουμε το πρώτο και τελευταίο ύψος με τον συντελεστή (1) και όλα τα ενδιάμεσα ύψη με τους συντελεστές (4) και (2) εναλλακτικά και διαδοχικά και αθροίζουμε τα αποτελέσματα. Το άθροισμα των γινομένων πολλαπλασιαζόμενο επί το 1/3 της ισαπόστασης (h) δίνει το εμβαδόν. Η ακρίβεια που δίνει ο κανόνας αυτός εξαρτάται από το πόσο μικρή είναι η ισαπόσταση (h) δηλαδή περισσότερα ύψη μεγαλύτερη ακρίβεια στον υπολογισμό της επιφάνειας. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

22 ΑΣΚΗΣΗ Πλοίο έχει dm = 7,95, από την ΚΣΕ έχουμε GZ 0 o =0, στις 10 0 = 0, = 0, =0, = 0,55. Να υπολογισθεί η δυναμική ευστάθεια μέχρι τις 40 0 με 5 ύψη. Βάση 40 h = = = 10 0 V h h h h h A = (1Y 1 + 4Y 2 + 2Y 3 + 4Y 4 + 1Y 5 ) 3 Y1 ΓΩΝΙΕΣ GZ M.S. ΓΙΝΟΜΕΝΟ h 10 x 2, , Α= x 2,41= =8,03 m x μοίρες ,03 4 0, ,15 2 0, ,36 4 1,44 8, ,55 1 0,55 A = = 0,14 metrorads 2,41 Μ 57,3 Δυναμική ευστάθεια = Εκτόπισμα x A = x 0,14 = 2477 metrorads ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

23 ΑΣΚΗΣΗ Πλοίο έχει βύθισμα 9,20 και KG = Βάρος 900 τόνων μετατοπίσθηκε εγκάρσια 6 μέτρα. Να υπολογισθούν οι διορθωμένοι βραχίονες και να δείξετε στην ΚΣΕ την γωνία κλίσης του πλοίου και την εναπομήνουσα δυναμική μέχρι KG ACTUAL KG ASSUMED = GG = 0,40 Με dm = 9,20 από πίνακες Δ= GZ c = GZ GAE GZ = GZΠ GG x ημθ 0 0 = 0 0,26 = - 0, = χ 0 = = 0,26 0,25 = 0, = χ 0,173 = 0, = 0,577 0,24 = 0, = 0,713-0,4 χ 0,342 = 0,576 GAE = GGE X συνθ 0 0 = 0,26 x 1 = 0, = 0,26 x 0,984 = 0, = 0,26 x 0,939 = 0, x 6 GGE = = 0, ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

24 Σ Ι Τ Η Ρ Α ΣΥΝΤΜΗΣΕΙΣ ΠΟΥ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΟΥΝΤΑΙ ΣΤΗΝ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΝΤΥΠΩΝ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑΣ: V C P.F. F.T. F.UT. ΤΗΜ VSM FSIM = Volumetric center of gravity (Ογκομετρικό KG κυτών) = Cargo center (Κέντρο βάρος φορτίου) = Part Filled (Ημιπλήρες) = Full Trimmed (πλήρες χαμπιαρισμένο) = Full untrimmed (πλήρες αχαμπιάριστο) = Traverse heeling moments (εγκάρσιες ροπές κλίσης) = Vertical shifting moments (κατακόρυφες ροπές) = Free surface inertia moments (Ροπές αδράνειας υγρών) ΒΑΡΟΣ ΦΟΡΤΙΟΥ : Bάρος Φορτίου (W) = Όγκος φορτίου (V) M 3 S.F. M 3 /tons = tons ΟΓΚΟΣ ΦΟΡΤΙΟΥ V (Μ 3 ): Όγκος φορτίου V (M 3 ) = Βάρος φορτίου X S.F. ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΟΓΚΟΜΕΤΡΙΚΗ ΡΟΠΗ (ΤΗΜ) Μ 4 : THM = Όγκος Μ 3 χ Απόσταση (μέτρα) Οι ΤΗΜ υπολογίζονται με μετατόπιση σφήνας φορτίου: 15 0 για πλήρες κύτος, καθίζηση 2% όγκου φορτίου. Τις ΤΗΜ παίρνουμε από το Grain Stability Booklet. ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΕΣ ΡΟΠΕΣ ΣΕ Μ 4 ΑΠΟ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΣΙΤΗΡΟΥ: Όταν το σιτηρό μετατοπισθεί, το G μετατοπίζεται εγκάρσια και κατακόρυφα προς τα άνω. Στο Grain Stability Booklet έχουν υπολογισθεί οι ροπές αυτές και το άθροισμα αυτών διαιρούμενο με το εκτόπισμα μας δίνει την διόρθωση του κέντρου βάρους του πλοίου (GGv) η οποία προστίθεται στο KGo. Στην SOLAS 74 την δυσμενή επίδραση των VSM στην ευστάθεια την υπολογίζουμε με ισοδύναμη προσαύξηση των εγκαρσίων ανατρεπτικών ροπών κατά 6% σε πλήρες κύτος και κατά 12% σε ημιπλήρες κύτος στην περίπτωση που στον υπολογισμό του KG του πλοίου χρησιμοποιήσουμε cargo centers C κυτών. Δεν απαιτείται προσαύξηση των εγκαρσίων ροπών για την δυσμενή επίδραση των κατακόρυφων ροπών εάν χρησιμοποιήσουμε ογκομετρικό κέντρο βάρους φορτίου V στον υπολογισμό του KG του πλοίου. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

25 ΡΟΠΗ ΚΛΙΣΗΣ ΣΙΤΗΡΩΝ (GHM): Ροπή Κλίσης Σιτηρών = ΤΗΜ (Μ 4 ) S.F (m 3 /ton) = t.m. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΡΟΠΕΣ ΦΟΡΤΙΟΥ (GHM): Oi GHM είναι οι ΤΗΜ διορθωμένες για τις κατακόρυφες ροπές του φορτίου. STOWAGE KG ΡΟΠΗ ΚΛΙΣΗΣ ΦΟΡΤΙΟΥ ΠΛΗΡΕΣ ΚΥΤΟΣ - Full ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΡΟΠΗ ΚΛΙΣΗΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΔΙΟΡΘΩΣΗΣ F.T V Διορθωμένες GHM = ΤΗΜ 15 ΜΟΙΡΩΝ χ 1,0 F.UT V Διορθωμένες GHM = ΤΗΜ 25 ΜΟΙΡΩΝ χ 1,0 F.T C Διορθωμένες GHM = ΤΗΜ 15 ΜΟΙΡΩΝ χ 1,06 F.UT C Διορθωμένες GHM = ΤΗΜ 25 ΜΟΙΡΩΝ χ 1,12 ΗΜΙΠΛΗΡΕΣ ΚΥΤΟΣ Party Filled P.F. V Διορθωμένες GHM = ΤΗΜ 25 ΜΟΙΡΩΝ χ 1,0 P.F C Διορθωμένες GHM = ΤΗΜ 25 ΜΟΙΡΩΝ χ 1,12 Στην πράξη χρησιμοποιούμε ογκομετρικό KG για γεμάτα κύτη και KG φορτίου για Partly Filled. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: ΣΕ ΠΛΗΡΕΣ ΚΥΤΟΣ ΤΟ KG ΤΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ C ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΥΡΙΣΚΕΤΑΙ ΕΠΙ ΤΟΥ ΟΓΚΟΜΕΤΡΙΚΟΥ V KG. ΕΑΝ ΟΜΩΣ ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΚΕΝΑ ΚΑΤΩ ΑΠΟ ΤΟ ΚΑΤΑΣΤΡΩΜΑ Η ΑΡΧΗ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΖΗΤΗΣΕΙ ΝΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΘΕΙ Η ΔΥΣΜΕΝΗΣ ΑΥΤΗ ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΣΤΗΝ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΣΤΗΝ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗΣ ΤΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ ΜΕ ΑΥΞΗΣΗ ΤΗΣ ΤΗΜ ΚΑΤΑ 6%. Η ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΑΥΤΗ ΕΛΕΓΧΕΤΑΙ ΜΕ ΤΟΝ ΟΓΚΟ ΤΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ Ο ΟΠΟΙΟΣ ΣΕ ΠΛΗΡΕΣ ΚΥΤΟΣ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΕΙΝΑΙ ΙΣΟΣ ΜΕ ΤΟΝ ΟΓΚΟ ΤΟΥ ΚΥΤΟΥΣ. ΕΑΝ Ο ΟΓΚΟΣ ΤΟΥ ΦΟΡΤΙΟΥ ΕΙΝΑΙ ΜΙΚΡΟΤΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΟΓΚΟ ΤΟΥ ΚΥΤΟΥΣ ΤΟΤΕ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΖΗΤΗΘΕΙ Η ΑΝΩΤΕΡΩ ΔΙΟΡΘΩΣΗ. ΑΠΑΙΤΗΣΕΙΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ SOLAS (VI 4): 1. Το πλοίο να αποπλεύσει χωρίς κλίση. 2. Το GoM του πλοίου σε όλα τα στάδια του ταξιδιού θα πρέπει να είναι μεγαλύτερο από 0,30 μέτρα. 3. Εάν μετατοπισθεί το φορτίο κατά την διάρκεια του ταξιδιού το πλοίο σύμφωνα με τους κανονισμούς δεν θα πρέπει να πάρει κλίση μεγαλύτερη από 12 0 και για τα πλοία που ναυπηγήθηκαν μετά την η κλίση δεν θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από 12 0 η από την γωνία βύθισης της Deck Line, όποια από αυτές είναι μικρότερη. Το ότι μετά την μετατόπιση το πλοίο δεν θα πάρει κλίση μεγαλύτερη από 12 0 ή από την γωνία βύθισης της Deck Line όποια από αυτές είναι μικρότερη, αποδεικνύεται με μία εκ των 2 μεθόδων. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

26 ΜΕΘΟΔΟΣ 1 Η. Ροπές κλίσης Σιτηρών (GHM) t.m. εφθ = θ 0 = εφ(θ) x 57,3 Gom x Displ. Με δεδομένο ότι η σχέση αυτή χρησιμοποιεί το GoM για κλίση περίπου 12 0, δεν είναι μέθοδος που δίνει ικανοποιητική ακρίβεια, αλλά είναι ασφαλής. ΜΕΘΟΔΟΣ 2 Η. Η ακριβής μέθοδος απόδειξης ότι το πλοίο μετά την μετατόπιση του φορτίου δεν θα πάρει κλίση μεγαλύτερη από 12 0 ή μεγαλύτερη από την γωνία βύθισης Deck Line είναι η μέθοδος υπολογισμού στην χειρότερη κατάσταση ταξιδίου της ανορθωτικής ροπής στις 12 0 ή της ανορθωτικής ροπής στην γωνία βύθισης Deck Line (για νέα πλοία) και από αυτήν, της μεγίστης επιτρεπτής ροπής κλίσης (maximum allowable heeling moments M.A.H.M.). Εάν οι ροπές κλίσης του φορτίου (GHM) που δημιουργούνται από την μετατόπιση είναι μικρότερες από την μεγίστη επιτρεπτή ροπή (MAHM) το πλοίο καλύπτει τον κανονισμό διότι το πλοίο δεν θα αποκτήσει κλίση μεγαλύτερη από 12 0, Δηλαδή GHM < MAHM τότε το πλοίο καλύπτει απαιτήσεις κανονισμού Και εάν GHM > MAHM τότε το πλοίο είναι εκτός κανονισμού. Η εναπομένουσα δυναμική ευστάθεια μετά την μετατόπιση μέχρι τις 40 0 εάν η γωνία κατάκλισης είναι μεγαλύτερη από 40 0 θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από 0,075 μετροακτίνια. Η εναπομένουσα δυναμική ευστάθεια υπολογίζεται με τον πρώτο κανόνα του SIMPSON εάν η προσεγγίζουσα μέθοδος δίνει εναπομένουσα δυναμική με μικρή διαφορά από την ελάχιστη απαιτουμένη από τους κανονισμούς.. ΠΡΟΣΕΓΓΙΖΟΥΣΑ ΜΕΘΟΔΟΣ: GZC 40 = GZA 40 λ GZC 40 > 0,307 GZA 40 = GZΠ 40 GG X ημ40 (GG = διαφορά actual assumed KG) λ 0 = GHM t.m. Displ. λ 40 = λ 0 x 0,8 (λ= Ανατρεπτικός βραχίονας λόγω μετατόπισης σιτηρών). Έχοντας υπολογίσει τους ανορθωτικούς βραχίονες (GZA) μετά υπολογίζουμε τους ανατρεπτικούς βραχίονες λόγω μετατόπισης του φορτίου στην όρθια θέση και στις 40 0 (λ 0 και λ 40 αντίστοιχα). Από την γωνία κλίσης (θ) [τομή καμπυλών ανορθωτικών και ανατρεπτικών βραχιόνων] μέχρι τις 40 0 υπολογίζουμε την επιφάνεια που περικλείεται μεταξύ αυτών σε μετρομοίρες λαμβάνοντας την επιφάνεια ως ορθογώνιο τρίγωνο με την σχέση : E = ½ x βάση x ύψος (μετρομοίρες) και Μετρομοίρες Ε= = (Μετροακτίνια) 57,3 ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

27 ΑΚΡΙΒΗΣ ΜΕΘΟΔΟΣ: Ο ακριβής υπολογισμός της επιφάνειας μεταξύ της καμπύλης ανορθωτικών και ανατρεπτικών βραχιόνων, γίνεται με τον πρώτο κανόνα του SIMPSON λαμβάνοντας τουλάχιστον 7 ύψη. h Ε = x (Y 1 + 4Y 2 + 2Y 3 + 4Y 4 + 2Y 5 + 4Y 6 + Y 7 ) 3 h = Ισαπόσταση = Βάση ν 1 όπου ν = περιττός αριθμός υψών (Υ) Ε = Μετρομοίρες 57,3 = μετροακτίνια. ΔΙΑΦΟΡΑ ΕΞΑΛΛΩΝ: Διαφορά εξάλλων = εφθ χ πλάτος. ΒΥΘΙΣΗ ΕΞΑΛΩΝ ΛΟΓΩ ΚΛΙΣΗΣ: Έξαλα Βύθιση εξάλων λόγω κλίσης = 0,5 πλάτους ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

28 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΗΣ Εάν υπάρχουν σ ένα κύτος 2 ή 3 διαφορετικά φορτία με διαφορετικό S.F. τότε βάζουμε το S.F. του επάνω φορτίου γιατί αυτό το φορτίο πρόκειται να μετακινηθεί. Εάν δεν υπάρχουν καμπύλες των Vertical Shifting Moments στο πλοίο, τότε χρησιμοποιούμαι τους συντελεστές 1,06 και 1,12 ως εξής : Πολλαπλασιάζουμε τα Horizontal Shifting Moments ft/tons or tons/mt με τον συντελεστή 1,12 μόνο στα κύτη που μου κάνουν ζημιά, δηλαδή σ αυτά που χρησιμοποίησα cargo center και όχι Volumetric center. Εν συνεχεία αφού τα αθροίσω όλα και βρω τα Actual Heeling Moments θα τα συγκρίνω με το Maximum Allowable Heeling Moments μπαίνοντας με το KGo του πλοίου, δεδομένου ότι KG δεν έχω. Συμπληρωματικά αναφέρουμε ότι Vertical Moment Correction, δηλαδή GGK θα βρω μόνον όταν στο Slack κύτος σαν KG χρησιμοποιούμαι cargo center δηλαδή το KG της ποσότητας που περιέχει το κύτος. Σε περίπτωση που χρησιμοποιήσουμε Volumetric center, δηλαδή το KG πλήρους κύτους δεν βρίσκω GGK γιατί δεν χρειάζεται. Επίσης στα πλήρη κύτη δεν χρειάζεται Vertical Shifting Moments διότι χρησιμοποιώ Volumetric center δηλαδή KG του όγκου όλου του κύτους. Ο συντελεστής 1,06 χρησιμοποιείται όταν στο Stability Booklet το KG των κυτών μας δίδεται για μετά την κατακάθηση του φορτίου κατά 2%, δηλαδή όταν έχουμε στο Stability Booklet IMCO Capacity Table. Τότε πολλαπλασιάζω τα Horizontal Shifting Moments ft/tons or tons/mtrs όλων των πλήρων κυτών με το 1,06 και αφού τα αθροίσω τα συγκρίνω με τα maximum Allowable Heeling Moments. Το slack κύτος πολλαπλασιάζεται με 1.12 εφ όσον έγινε χρίσης του cargo center. Είμαι σε ικανοποιητική ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ όταν τα Actual Shifting ή Heeling Moments είναι μικρότερα από τα Maximum Allowable Heeling Moments. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

29 ΑΣΚΗΣΗ 1 H Πλοίο ΚΕΣΕΝ έχει φορτώσει καλαμπόκι με SF = 1,40 m 3 /t. Τα κύτη Νο είναι χωρίς διευθέτηση φορτίου και στον υπολογισμό του KG του πλοίου χρησιμοποιήθηκαν Ογκομετρικά KG αμπαριών. Το Νο4 αμπάρι είναι ημιπλήρες (slack) με φορτίο 2180 τόνους με KG φορτίου. Μετά 15 ημερών ταξίδι το πλοίο φθάνει στο λιμάνι με βύθισμα 8,70 μέτρα και KGo=7,20 m. Να εξετασθεί εάν το πλοίο είναι εντός του κανονισμού. 1. Νο 4 αμπάρι 2180 τόνους Χ 1,40 (SF) = cu.m. 2. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Actual Heeling Moments (G.H.M.) HOLD STOWAGE KG G.H.M m 4 C/Factor G.H.M. uncorrected για V.S.M corrected No 1 κύτος F.UT V = *1.028 x ***1, m 4 No 2 κύτος F.UT V = 895 x 1,0 895 m 4 No 3 κύτος F.UT V = x 1, m 4 No 4 κύτος P.F. C= **5.000 x 1, m 4 No 5 κύτος F.UT V = x 1, m 4 C= cargo ΣΥΝΟΛΟΝ m 4 * = από καμπύλες κυτών για 25 0 slack και vertical center KG (πραγματικό KG κύτους). **= μπαίνουμε καμπύλες κύτους με κυβικά κάθετα στην καμπύλη όγκου ν παράλληλα στην τομή των ΤΗΜ κάθετα στην ΤΗΜ m 4 και παίρνουμε τα GHM m 4. ***= σταθεροί συντελεστές για όλα τα πλοία : 1,0 = εφ όσον παίρνουμε τα KG κυτών. 1,06= για full χαμπιαρισμένο φορτίο με KG κυτών. 1,12= για slack κύτος με KG φορτίου από καμπύλες. G.H.M. m m 4 actual G.H.M. = = = 6913 t.m. S.F m 3 /t 1,40 m 3 /t Με βύθισμα 8.70 από πίνακες έχουμε Displ. = tons. KGo = 7,20. Με τα ανωτέρω στοιχεία μπαίνουμε στους πίνακες Allowable Heeling Moments Table οριζόντια με το KGo και κάθετα με το Displacement, και βρίσκουμε τα μάξιμουμ επιτρεπτά heeling moments και τα οποία θα πρέπει να είναι πάντα μεγαλύτερα από τα πραγματικά (actual) για να είμαστε μέσα στους κανονισμούς. Στον παραπάνω πίνακα όπου χρειάζεται κάνουμε παρεμβολή. Άρα επί του προκειμένου έχουμε από πίνακες M.A.H.M. = 7145 > actual G.H.M = 6913 t.m. ΕΝΤΟΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

30 ΑΣΚΗΣΗ 2 H Πλοίο ΚΕΣΕΝ έχει φορτώσει tons σιτάρι με SF = 1,24 m 3 /t. Το βύθισμα του πλοίου είναι 8,90 μ και το KGo=7.30 m. Τα κύτη Νο είναι full trimmed και στον υπολογισμό του KG του πλοίου χρησιμοποιήθηκαν Ογκομετρικά KG κυτών (V). Το Νο3 αμπάρι είναι ημιπλήρες (Partly Filled) με φορτίο 1613 τόνους με KG φορτίου (C). Εάν η φόρτωση είναι εκτός απαιτήσεων κανονισμών, να εξετάσετε και να αποδείξετε ότι με ερματισμό 100% των Διπυθμένων Νο3 ΔΕ+ΑΡ χωρητικότητας σύνολον 440 τόνοι με KG δεξαμενών 0,65μ το πλοίο καλύπτει τις απαιτήσεις SOLAS. 1. Νο 3 αμπάρι 1613 τόνους Χ 1,24 (SF) = cu.m. (m 3 ) 2. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Actual Heeling Moments (G.H.M.) HOLD STOWAGE KG G.H.M m 4 C/Factor G.H.M. uncorrected για V.S.M corrected No 1 κύτος F.T V = 931 x 1,0 931 m 4 No 2 κύτος F.T V = 880 x 1,0 880 m 4 No 3 κύτος P.F. C = x 1, m 4 No 4 κύτος F.T. V= 870 x 1,0 870 m 4 No 5 κύτος F.T V = 746 x 1,0 746 m 4 ΣΥΝΟΛΟΝ m 4 G.H.M. m m 4 actual G.H.M. = = = t.m. S.F m 3 /t 1,24 m 3 /t Με βύθισμα 8.90 από πίνακες έχουμε Displ. = tons. KGo = 7,30. Με τα ανωτέρω στοιχεία μπαίνουμε στους πίνακες Allowable Heeling Moments Table οριζόντια με το KGo και κάθετα με το Displacement, και βρίσκουμε τα μάξιμουμ επιτρεπτά heeling moments και τα οποία θα πρέπει να είναι πάντα μεγαλύτερα από τα πραγματικά (actual) για να είμαστε μέσα στους κανονισμούς. Στον παραπάνω πίνακα όπου χρειάζεται κάνουμε παρεμβολή. Άρα επί του προκειμένου έχουμε από πίνακες M.A.H.M. = 7061 t.m. < actual G.H.M = 7731 t.m. ΕKΤΟΣ ΚΑΝΟΝΙΣΜΟΥ Ερματισμός Νο3 D.B.T.(p+s) για συμμόρφωση με απαιτήσεις Solas. Displ. KGo Moments New M.A.H.M.=8031 >7731 actual H.M. Άρα εντός κανονισμών ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

31 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Μ.Α.Η.Μ. = Είναι η ροπή που χρειάζεται ένα πλοίο ανάλογα του βυθίσματός του και εκτοπίσματός του, για να πάρει κλίση 12 ο. Σε περίπτωση που έχουμε διαφορετικά S.F. για τα αμπάρια, δημιουργούμε μία ακόμα στήλη όπου διαιρούμαι την corrected GHM διά του S.F.. Στην περίπτωση που τα actual > M.A.H.M., γίνεται ή δέσιμο του φορτίου ή σαβουρώνουμε κάποιο D.B.T. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

32 ΔΕΞΑΜΕΝΙΣΜΟΣ Υπολογισμός δύναμης (Ρ) P = MTC x TRIM d P =tons, TRIM= cm, MTC = t.m./cm, d =απόσταση από LCF από πρύμη (m). Υπολογισμός δύναμης Ρ κατά την πλήρη επικάθιση επί των βάθρων της δεξαμενής. P = TPC x Μείωση μέσου βυθίσματος σε cm Ή P = W W 1 W= Αρχικό εκτόπισμα, W 1 = Εκτόπισμα κατά την στιγμή επικάθισης. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

33 Μείωση ευστάθειας κατά την κρίσιμο περίοδο δεξαμενισμού. P = Δύναμη αντίδρασης προς τα άνω d = Απόσταση της πρύμης από το κέντρο πλευστότητας (F) t = Διαγωγή Υπάρχουν οι κατωτέρω μέθοδοι υπολογισμού της επήρειας της δύναμης Ρ στην ευστάθεια του πλοίου. Πρώτη μέθοδος (μείωση ΚΜ) Απώλεια GM = MM1 = P x KM W όπου ΜΜ1 είναι η απώλεια του GM. Ανορθωτική ροπή = W x GM1 x ημθ όπου W=εκτόπισμα, ΚΜ= στο αρχικό βύθισμα. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

34 Δεύτερη μέθοδος (Δυναμική ανύψωση G) Απώλεια GM = GG1 = P x KG W - P Ανορθωτική ροπή = (W P) x G1M x ημθ Διορθωμένο μετακεντρικό ύψος (GMc) GMc = GM MM1 GG1 GM = Αρχικό μετακεντρικό ύψος πριν την επικάθιση. GG1 = Φαινομενική ανύψωση του KG μετά την επικάθιση. MM1 = Μεταβολή του μετακέντρου πριν την επικάθηση και μετά την επικάθιση και υπολογίζεται από τον υδροστατικό πίνακα και το πρόσημο θα είναι : + = Όταν το Μ1 μετατοπίσθηκε προς τα άνω, = Όταν το Μ1 μετατοπίσθηκε προς τα κάτω. Οι ανωτέρω σχέσεις δίνουν ικανοποιητική ακρίβεια. ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

35 ΑΣΚΗΣΗ 1 Η Το M/V ΚΕΣΕΝ έχει dm= TRIM = 1,2 BY STERN - KGo = 7.24 η απόσταση d του κέντρου CF από την πρύμη είναι 71μ. Να υπολογισθεί το GM το διορθωμένο κατά την κρίσιμη στιγμή του δεξαμενισμού. Από πίνακες με dm= 6.50 έχουμε Δ= ΚΜ = 8.74 MTC = P x KM TRIM x MTC GM = P = Displ. d 120 CM X P = x 8,74 GM = GM ΑΠΩΛΕΙΑΣ = 0.20 m P = 320 tons KM = 8.74 KGo = 7.24 GM ΑΡΧΙΚΟ = 1.5 m GM ΑΠΩΛΕΙΑΣ = m GM = 1.3 m ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

36 ΑΣΚΗΣΗ 2 Η Το M/V ΚΕΣΕΝ έχει dm= KGo = 8.00 η απόσταση d του κέντρου CF από την πρύμη είναι 72.7μ. Να υπολογισθεί η μεγίστη επιτρεπτή διαγωγή του πλοίου, ώστε κατά την κρίσιμη περίοδο του δεξαμενισμού να έχει μίνιμουμ GoM = 0,3 m πριν από την πλήρη επικάθησή του επί των βάθρων της δεξαμενής. Από πίνακες με dm=7.00 έχουμε Δ= ΚΜ=8.66 ΚΜ = 8.66 m KGo = 8.00 m Αρχικό Gom = 0.66 m Επιθυμητό GoM = 0.30 m Απώλεια GM = 0.36 m GM ΑΠΩΛΕΙΑΣ χ Displ. P = KM P = 639 tons P x d 639 x 72.7 TRIM = = TRIM = 237cm or 2.37 m MTC ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΜΕΓΑΛΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ

Πλωτάρχης (Μ) Γ. Γκουγκουλίδης ΠΝ

Πλωτάρχης (Μ) Γ. Γκουγκουλίδης ΠΝ Πλωτάρχης (Μ) Γ. Γκουγκουλίδης ΠΝ Το GM θεωρείται ως μέτρο ευστάθειας μόνο για την αρχική ευστάθεια πλοίου Ισχύει μέχρι 10 Για μεγάλες γωνίες κλίσεις θα πρέπει να χρησιμοποιείται το GZ Εμπειρικός τύπος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΛΟΓΟΣ..... 13 ΣΥΝΤΜΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΑ.......... 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Η ΠΛΕΥΣΤΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΠΛΟΙΟΥ...... 19 1. Η πίεση του νερού.... 19 2. Η Αρχή του Αρχιμήδη......

Διαβάστε περισσότερα

Πλωτάρχης (Μ) Γ. Γκουγκουλίδης ΠΝ

Πλωτάρχης (Μ) Γ. Γκουγκουλίδης ΠΝ Πλωτάρχης (Μ) Γ. Γκουγκουλίδης ΠΝ Εγκάρσια Ευστάθεια Πλοίου Αρχική Ευστάθεια Επίδραση Ελεύθερων Επιφανειών (FSE) Δεξαμενισμός Αποδεξαμενισμός Η ευστάθεια ενός πλοίου ελέγχεται σε δύο συνθήκες: Αρχική Ευστάθεια

Διαβάστε περισσότερα

EHP είναι R t είναι V είναι 6080/(550X3600) είναι. είναι. είναι

EHP είναι R t είναι V είναι 6080/(550X3600) είναι. είναι. είναι ΑΕΝ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2011-12 Εξεταστική περίοδος Σεπτεμβρίου 2012 Ημερομηνία 07 / 09 / 2012 ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 8 Επώνυμο ΑΓΜ Όνομα Εξάμηνο Βαθμολογία γραπτού ολογράφως EHP

Διαβάστε περισσότερα

[0,4] εφθ = (w * d) /(W * GM) εφθ : [0,4] R f = C f * Α S * (ρ/2) * V 2 R f : W C f A S GM

[0,4] εφθ = (w * d) /(W * GM) εφθ : [0,4] R f = C f * Α S * (ρ/2) * V 2 R f : W C f A S GM ΑΕΝ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2016-17 Εξεταστική περίοδος Ιουνίου Ημερομηνία ΝΑΥΠΗΓΙΑ II Γ ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 16 Επώνυμο Όνομα ΑΓΜ Εξάμηνο ΝΑΥΠΗΓΙΑ II Γ ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 2 / 16 Περιγράψτε τους παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

εφθ : R f : C f A S GM [0,4] εφθ = (w * d) /(W * GM) [0,4] R f = C f * Α S * (ρ/2) * V 2

εφθ : R f : C f A S GM [0,4] εφθ = (w * d) /(W * GM) [0,4] R f = C f * Α S * (ρ/2) * V 2 ΑΕΝ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2016-17 Εξεταστική περίοδος Φεβρουαρίου Ημερομηνία 03./02/2017 ΝΑΥΠΗΓΙΑ II Γ ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 16 Επώνυμο Όνομα Βαθμολογία γραπτού ολογράφως ΑΓΜ Εξάμηνο ΝΑΥΠΗΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

R f C f S V 2. R f = C f χ S χ V 2. w : d : W : GM : εφθ = (w x d) / (W x GM) [0,5] R ts = R fs + (R tm R fm ). λ 3.

R f C f S V 2. R f = C f χ S χ V 2. w : d : W : GM : εφθ = (w x d) / (W x GM) [0,5] R ts = R fs + (R tm R fm ). λ 3. ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2012-13 Εξεταστική περίοδος Σεπτεµβρίου Ηµεροµηνία ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 8 Επώνυµο Όνοµα ΑΓΜ Εξάµηνο Βαθµολογία γραπτού ολογράφως Τρείς λάθος απαντήσεις σε

Διαβάστε περισσότερα

R f C f S V 2. R f = C f χ S χ V 2. w : d : W : GM : εφθ = (w x d) / (W x GM) [0,3] R ts = R fs + (R tm R fm ). λ 3.

R f C f S V 2. R f = C f χ S χ V 2. w : d : W : GM : εφθ = (w x d) / (W x GM) [0,3] R ts = R fs + (R tm R fm ). λ 3. ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2012-13 Εξεταστική περίοδος Φεβρουαρίου Ηµεροµηνία ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 9 Επώνυµο Όνοµα ΑΓΜ Εξάµηνο Βαθµολογία γραπτού ολογράφως Τρείς λάθος απαντήσεις σε

Διαβάστε περισσότερα

R f : C f : S : [0,4] V 2 : w : w x d W x GM. d : [0,4] W : GM :

R f : C f : S : [0,4] V 2 : w : w x d W x GM. d : [0,4] W : GM : ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-14 Εξεταστική περίοδος Φεβρουαρίου Ηµεροµηνία ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 10 Επώνυµο Όνοµα ΑΓΜ Εξάµηνο Βαθµολογία γραπτού ολογράφως πως ονοµάζεται η καµπύλη,

Διαβάστε περισσότερα

ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 8 BM L = I CF / V. Rts είναι Rfs είναι Rtm είναι Rfm είναι λ 3. είναι

ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 8 BM L = I CF / V. Rts είναι Rfs είναι Rtm είναι Rfm είναι λ 3. είναι ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2012-13 Εξεταστική περίοδος ΙΟΥΝΙΟΥ Ηµεροµηνία ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 8 Επώνυµο Όνοµα ΑΓΜ Εξάµηνο Βαθµολογία γραπτού ολογράφως Τρεις λάθος απαντήσεις σε ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

0,875. Η κατακόρυφη ανύψωση h του κέντρου βάρους του μεταφερθέντος λιπαντικού από το σημείο g στο g 1 είναι:

0,875. Η κατακόρυφη ανύψωση h του κέντρου βάρους του μεταφερθέντος λιπαντικού από το σημείο g στο g 1 είναι: AEN ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β Εξαμήνου ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής : Κ. Τατζίδης. Οι συντελεστές όγκου ενός πλοίου είναι 0,70 και 0,80. Ποιος από τους δύο είναι ο συντελεστής γάστρας και ποιος

Διαβάστε περισσότερα

0,4 0,4 0,2 0,4 0,2 0,4 0,3 0,3 52Χ 0,8 0,8 0,6. R f : C f : R f = C f * Α S * (ρ/2) * V 2 [0,4] A S : V :

0,4 0,4 0,2 0,4 0,2 0,4 0,3 0,3 52Χ 0,8 0,8 0,6. R f : C f : R f = C f * Α S * (ρ/2) * V 2 [0,4] A S : V : ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2015-16 Εξεταστική περίοδος Ιουνίου Ηµεροµηνία 22/06/2016 ΝΑΥΠΗΓΙΑ II Γ ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 16 Επώνυµο Όνοµα ΑΓΜ Εξάµηνο Βαθµολογία γραπτού ολογράφως 0,4 0,4 0,2 0,4

Διαβάστε περισσότερα

[0,4] [0,9] V 2 : [0,4]

[0,4] [0,9] V 2 : [0,4] ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2015-16 Εξεταστική περίοδος Φεβρουαρίου Ηµεροµηνία ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 11 Επώνυµο ΑΓΜ ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 2 / 11 Περιγράψτε τους παρακάτω τύπους αναλύοντας

Διαβάστε περισσότερα

R f : C f : S : [0,4] V 2 : w : w x d W x GM. d : [0,4] W : GM :

R f : C f : S : [0,4] V 2 : w : w x d W x GM. d : [0,4] W : GM : ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2015-16 Εξεταστική περίοδος Ιουνίου Ηµεροµηνία ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 11 Επώνυµο Όνοµα ΑΓΜ Εξάµηνο Βαθµολογία γραπτού ολογράφως πως ονοµάζεται η καµπύλη, Τι

Διαβάστε περισσότερα

Πλωτάρχης (Μ) Γ. Γκουγκουλίδης ΠΝ

Πλωτάρχης (Μ) Γ. Γκουγκουλίδης ΠΝ Πλωτάρχης (Μ) Γ. Γκουγκουλίδης ΠΝ Βασικές διαστάσεις πλοίου Τομές πλοίου Γραμμές πλοίου Πίνακες offsets Συντελεστές σχήματος Προσεγγιστικοί κανόνες ολοκλήρωσης Το σχέδιο του πλοίου αποτελεί μία τρισδιάστατη

Διαβάστε περισσότερα

BM L = I CF / V [0,2]

BM L = I CF / V [0,2] ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2014-15 Εξεταστική περίοδος Ιουνίου Ηµεροµηνία 19/06/2015 ΝΑΥΠΗΓΙΑ II Γ ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 12 Επώνυµο ΑΓΜ Όνοµα Εξάµηνο ΝΑΥΠΗΓΙΑ II Γ ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 2 / 12 εφθ : Βαθµολογία

Διαβάστε περισσότερα

R f : C f : S : [0,4] V 2 : w : w x d W x GM. d : [0,4] W : GM :

R f : C f : S : [0,4] V 2 : w : w x d W x GM. d : [0,4] W : GM : ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2014-15 Εξεταστική περίοδος Φεβρουαρίου Ηµεροµηνία ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 11 Επώνυµο Όνοµα ΑΓΜ Εξάµηνο Βαθµολογία γραπτού ολογράφως πως ονοµάζεται η καµπύλη,

Διαβάστε περισσότερα

0,4 0,3 0,4 0,2 0,3 0,4 0,2 0,4 0,1Χ52 0,8 0,8 0,6. R f : C f : A S : [0,4] V 2 : [0,3]

0,4 0,3 0,4 0,2 0,3 0,4 0,2 0,4 0,1Χ52 0,8 0,8 0,6. R f : C f : A S : [0,4] V 2 : [0,3] ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2014-15 Εξεταστική περίοδος Σεπτεµβρίου Ηµεροµηνία 14/09/2015 ΝΑΥΠΗΓΙΑ II Γ ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 12 Επώνυµο Όνοµα ΑΓΜ Εξάµηνο Βαθµολογία γραπτού ολογράφως 0,4 0,3 0,4

Διαβάστε περισσότερα

R f : C f : S : [0,4] V 2 : w : w x d W x GM. d : [0,4] W : GM :

R f : C f : S : [0,4] V 2 : w : w x d W x GM. d : [0,4] W : GM : ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-14 Εξεταστική περίοδος Σεπτεµβρίου Ηµεροµηνία 05/09/2014 ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 11 Επώνυµο Όνοµα ΑΓΜ Εξάµηνο Βαθµολογία γραπτού ολογράφως πως ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΝΑΥΠΗΓΙΑ II Γ ΕΞΑΜΗΝΟΥ

ΝΑΥΠΗΓΙΑ II Γ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2017-18 Εξεταστική περίοδος Ιουνίου Ηµεροµηνία 21/06/18 ΝΑΥΠΗΓΙΑ II Γ ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 16 Επώνυµο ΑΓΜ Όνοµα Εξάµηνο Βαθµολογία γραπτού ολογράφως ΝΑΥΠΗΓΙΑ II Γ ΕΞΑΜΗΝΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΤΡΑΡΤΗΜΑ Α Λυμένες ασκήσεις

ΠΑΤΡΑΡΤΗΜΑ Α Λυμένες ασκήσεις ΠΑΤΡΑΡΤΗΜΑ Α Λυμένες ασκήσεις - 6 - Άσκηση 1η Η καμπύλη του μοχλοβραχίονα στατικής ευστάθειας ενός πλοίου εκτοπίσματος 1.000 t προσεγγίζεται αναλυτικά από τη σχέση: GZ = sin ϕ m. Να υπολογιστεί η μέγιστη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Σύνοψη Αυτό το κεφάλαιο έχει επίσης επαναληπτικό χαρακτήρα. Σε πρώτο στάδιο διερευνάται η μορφή της καμπύλης την οποία γράφει το

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3

Μέτρηση του όγκου και του εμβαδού ορθών πρισμάτων Κανονική Πυραμίδα 1 Βάσης) (Απόστημα) 2 1 ό Βάσης) (Ύψος) 3 Βασικά σύνολα αριθμών -Σύνολο φυσικών: Ν = {0,., } ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ -Σύνολο ακεραίων: Ζ= { -.-.0.,, } Συμβολίζουμε με ν=κ και τους άρτιους και τους περιττούς αντίστοιχα. * -Σύνολο ρητών: Q =, Z &

Διαβάστε περισσότερα

Βασική ορολογία που χρησιμοποιείται στην περιγραφή των πλοίων

Βασική ορολογία που χρησιμοποιείται στην περιγραφή των πλοίων Διάλεξη 3η Βασική ορολογία που χρησιμοποιείται στην περιγραφή των πλοίων Στις επόμενες σελίδες καταγράφονται οι όροι που χρησιμοποιούνται συχνότερα στην περιγραφή των πλοίων και θα αναφέρονται συχνά στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Η επίδραση των ελεύθερων επιφανειών

Κεφάλαιο 6 Η επίδραση των ελεύθερων επιφανειών Κεφάλαιο 6 Η επίδραση των ελεύθερων επιφανειών Σύνοψη Όταν σε ένα πλωτό σώμα υπάρχουν δεξαμενές ή χώροι φορτίου που περιέχουν υγρά με κάποιο βαθμό πληρότητας, η επιφάνειά τους θα παραμείνει οριζόντια σε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ. 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ. 3.1 Τριγωνομετρικοί Αριθμοί Γωνίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΘΕΩΡΙΑ Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με Α = 90 ο, κάθετες πλευρές β, γ και οξεία γωνία ω. απέναντι κάθετη Ορίζουμε, ημω = υποτείνουσα συνω = προσκείμενη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Άλυτες ασκήσεις

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Άλυτες ασκήσεις ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Άλυτες ασκήσεις - 434 - Άσκηση 1η Ποντόνι σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου πλέει αρχικά ισοβύθιστο, όταν βάρος 5 t, που βρίσκεται πάνω του, μετακινείται κατά: Δx = 15 m (κατά τον διαμήκη

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ΘΕΜΑ 2ο ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να

Διαβάστε περισσότερα

Πλωτάρχης (Μ) Γ. Γκουγκουλίδης ΠΝ

Πλωτάρχης (Μ) Γ. Γκουγκουλίδης ΠΝ Πλωτάρχης (Μ) Γ. Γκουγκουλίδης ΠΝ Ορισμοί Κατακλύσιμο μήκος Κατακλύσιμο ύψος Κριτήρια ευστάθειας μετά από βλάβη Ελεύθερη επικοινωνία με τη θάλασσα Μέθοδος πρόσθετου βάρους Μέθοδος χαμένης άντωσης Προσάραξη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα

Κεφάλαιο 6β. Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Κεφάλαιο 6β Περιστροφή στερεού σώματος γύρω από σταθερό άξονα Ροπή Ροπή ( ) είναι η τάση που έχει μια δύναμη να περιστρέψει ένα σώμα γύρω από κάποιον άξονα. d είναι η κάθετη απόσταση του άξονα περιστροφής

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο.

ΘΕΜΑ 2 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. (Μονάδες 10) β) Να παραστήσετε γραφικά στο επίπεδο τις δυο εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4).

με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). Δίνεται το σύστημα: x 2y= 9 ax+ βy= γ με παραμέτρους α, β, γ R α) Να επιλέξετε τιμές για τις παραμέτρους α, β, γ, ώστε το σύστημα αυτό να έχει μοναδική λύση το ζεύγος (1,-4). (Μονάδες 13) β) Να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Η εγκάρσια κλίση των συμβατικών πλοίων

Κεφάλαιο 4 Η εγκάρσια κλίση των συμβατικών πλοίων Κεφάλαιο 4 Η εγκάρσια κλίση των συμβατικών πλοίων Σύνοψη Η εγκάρσια κλίση των συμβατικών πλοίων έχει ιδιαίτερη σημασία στη ναυπηγική, καθώς σχετίζεται άμεσα με την ασφάλειά τους. Η πιθανότητα βύθισης ή

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας

1.1 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας . ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΑΣ (Επαναλήψεις Συμπληρώσεις) Τριγωνομετρικοί αριθμοί οξείας γωνίας Έστω οξεία γωνία ω. Αν πάνω στη μία από τις δύο πλευρές της γωνίας πάρουμε τυχαία σημεία Μ και Ν και φέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.

Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί

Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα

Διαβάστε περισσότερα

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = {

Bbs. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΟΛΑ Σύνολο Φυσικών αριθμών: N = {0,1,2, } Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Z = {,-2,-1,0,1,2, } Σύνολο Ρητών αριθμών: Q = { Άρρητοι αριθμοί A: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών αριθμών R=

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση, μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν = Έχουμε: = ( ) ( ) ( ) ( ) = = =. Το τελευταίο ισχύει, άρα ισχύει και η ισοδύναμη αρχική σχέση.

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ. Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου

Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου Παράρτηµα Β Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου 1. Πρόγραµµα υπολογισµού υδροστατικών δυνάµεων Για τον υπολογισµό των κοµβικών δυνάµεων που οφείλονται στις υδροστατικές

Διαβάστε περισσότερα

W Για σώματα με απλό γεωμετρικό σχήμα τα κέντρα βάρους φαίνονται παρακάτω :

W Για σώματα με απλό γεωμετρικό σχήμα τα κέντρα βάρους φαίνονται παρακάτω : Κέντρο βάρους σώματος Το κέντρο βάρους ενός σώματος είναι το σημείο στο οποίο εφαρμόζεται το βάρος του σώματος. Έστω το ομογενές σώμα του σχήματος. Αν το διαιρέσουμε σε στοιχειώδη όμοια τμήματα καθένα

Διαβάστε περισσότερα

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία

1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία .0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία Εύρεση τριγωνομετρικών αριθμών οξείας γωνίας σε ορθογώνιο τρίγωνο. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α= 90 0 ). Οι τριγωνομετρικοί αριθμοί μιας οξείας γωνίας ορίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να παραστήσετε

Διαβάστε περισσότερα

1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R

1 of 79 ΘΕΜΑ 2. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R 1 of 79 Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x 2 4x + 5, x R α) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται στη μορφή f(x) = (x- 2) 2 + 1. (Μονάδες 12) β) Στο σύστημα συντεταγμένων που ακολουθεί, να παραστήσετε γραφικά τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ. Ασκήσεις 1 έως 12

ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ. Ασκήσεις 1 έως 12 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μ. ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2008-2009 ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ Ασκήσεις 1 έως 12 Για αποκλειστική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα Τράπεζα θεμάτων ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2ο Θέμα ΘΕΜΑ 2 (16950) α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β) Να

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Διαμήκης Αντοχή Πλοίου- Ορθές τάσεις λόγω κάμψης

Ενότητα: Διαμήκης Αντοχή Πλοίου- Ορθές τάσεις λόγω κάμψης ΔΙΑΜΗΚΗΣ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ Ενότητα: Διαμήκης Αντοχή Πλοίου- Ορθές τάσεις λόγω κάμψης Α. Θεοδουλίδης Η αντοχή του πλοίου Διαμήκης αντοχή Εγκάρσια αντοχή Τοπική αντοχή Ανάλυση του σύνθετου εντατικού πεδίου Πρωτεύουσες,

Διαβάστε περισσότερα

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2

Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α - Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 2 Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι - Κ Ε Φ Λ Ι Ο 2 Τριγωνομετρία ΛΟΟΣ ΕΥΘΥΡΜΜΩΝ ΤΜΗΜΤΩΝ α α β α β α β 1. ν 2, να υπολογίσετε τους λόγους :,, β β β α β 2. Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρά 6 cm και ύψος, να υπολογίσετε τους

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήματα Ισορροπίας Δυνάμεων. Μεθοδολογία ασκήσεων

Προβλήματα Ισορροπίας Δυνάμεων. Μεθοδολογία ασκήσεων Μεθοδολογία ασκήσεων Όταν έχουμε προβλήματα στο οποία ένα σώμα ισορροπεί, η μεθοδολογία που χρησιμοποιούμε έχει ως εξής: 1. Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ασκούνται στο σώμα. Το πλήθος των δυνάμεων που σχεδιάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Β Γενική Τριγωνομετρία

Β Γενική Τριγωνομετρία Β Γενική Τριγωνομετρία 40 Γενικευμένη γωνία - Γενικευμένα τόξα - Το ακτίνιο Τριγωνομετρικός κύκλος - Τριγωνομετρικοί αριθμοί γενικευμένης γωνίας 1. Η γωνία ω του παρακάτω σχήματος είναι θετική. α) Συνδέστε

Διαβάστε περισσότερα

Physics by Chris Simopoulos

Physics by Chris Simopoulos ΝΟΜΟΣ COULOMB Πριν την ανάπτυξη της μεθοδογίας κρίνεται σκόπιμο να τονίσουμε τον τρόπο γραφής της δύναμης Coulomb που ασκείται μεταξύ δύο φορτίων. Συγκεκριμένα για αποφυγή των λαθών των μαθητών στις δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΛΟΙΟ ΣΕ ΗΡΕΜΟ ΝΕΡΟ

ΤΟ ΠΛΟΙΟ ΣΕ ΗΡΕΜΟ ΝΕΡΟ AE 0 9 19 30 40 50.98 61 7 8 93.86 104 116 16 138 148.105 160 171 18 19 03 11 0.069 31 ΤΟ ΠΛΟΙΟ ΣΕ ΗΡΕΜΟ ΝΕΡΟ Διαγράμματα διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών Έστω πλοίο σε ισορροπία σε ήρεμο νερό,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Β' Γυμν. - Επαναληπτικές Ασκήσεις 1 Άσκηση 1 Απλοποίησε τις αλγεβρικές παραστάσεις (α) 2y 2z 8ω 8ω 2y 2z (β) 1x 2y 3z 3 3 z 2z z 2 x y Επαναληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρα - Γεωμετρία Άσκηση 2 Υπολόγισε την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

Κεφάλαιο 2 ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Κεφάλαιο ο ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Σε προηγούμενες τάξεις γνωρίσαμε την έννοια της συνάρτησης και μελετήσαμε ορισμένες βασικές συναρτήσεις. Στο κεφάλαιο αυτό θα μελετήσουμε στη γενική τους μορφή ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ÈÅÌÅËÉÏ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ÈÅÌÅËÉÏ ΘΕΜΑ 1ο ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

20/9/2012. Διδάσκοντες. Γραμμική κινηματική. Αξιολόγηση. Γωνιακή κινηματική. Γραμμική Κινητική Δυναμική

20/9/2012. Διδάσκοντες. Γραμμική κινηματική. Αξιολόγηση. Γωνιακή κινηματική. Γραμμική Κινητική Δυναμική Διδάσκοντες Αποκατάσταση μέσω ισοκινητικής δυναμομετρίας (ΜΒ01) ΠΜΣ Άσκηση και Υγεία ΤΕΦΑΑ, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Γιάννης Γιάκας Γιάννης Γιάκας - ΠΘ Βασίλης Γεροδήμος - ΠΘ Τσαόπουλος Δημήτριος - ΚΕΤΕΑΘ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : ΜΕΛΕΤΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΠΗ ΑΛΙΟΥ

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : ΜΕΛΕΤΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΠΗ ΑΛΙΟΥ Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Μηχανές Πλοίου ΙΙ (εργαστήριο) 15 Πηδαλιουχία - πηδάλια ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : ΜΕΛΕΤΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΠΗ ΑΛΙΟΥ (σελ. 96 / ΠΗ ΑΛΙΟΥΧΙΑ - ΠΗ ΑΛΙΑ 17 ) Η μελέτη σχεδίαση του πηδαλίου εκπονείται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Ύψος εξάλων ονομάζεται. Βύθισμα κατασκευής είναι. Διαγωγή ονομάζεται

Ύψος εξάλων ονομάζεται. Βύθισμα κατασκευής είναι. Διαγωγή ονομάζεται Καθ. Γ. Γκοτζαμάνης σελ. 2 / 5 Επώνυμο Όνομα ΑΓΜ Εξάμηνο Βαθμολογία γραπτού ολογράφως Ύψος εξάλων ονομάζεται Βύθισμα κατασκευής είναι Διαγωγή ονομάζεται Η κάθετη απόσταση μεταξύ της πρωραίας και πρυμναίας

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Σχήμα 2 Παραγόμενη Μονάδες S.I. όνομα σύμβολο Εμβαδό Τετραγωνικό μέτρο m 2 Όγκος Κυβικό μέτρο m 3 Ταχύτητα Μέτρο ανά δευτερόλεπτο m/s Επιτάχυνση Μέτρο ανά δευτ/το στο τετράγωνο m/s 2 Γωνία Ακτίνιο

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς

Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 4 η ΕΚΑ Α 31. Μία κυλινδρική δεξαµενή έχει µήκος βάσης 1,56 m. Η δεξαµενή είναι γεµάτη κατά τα 6 7 και περιέχει 75,36 m3 νερό. Να υπολογίσετε το βάθος της δεξαµενής. Να υπολογίσετε

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Καθ. Γ. Γκοτζαµάνης σελ. 1 / 5

Καθ. Γ. Γκοτζαµάνης σελ. 1 / 5 ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΝΑΥΠΗΓΙΑ I Α ΕΞΑΜΗΝΟΥ Καθ. Γ. Γκοτζαµάνης σελ. 1 / 5 Απαντήστε σταυρώνοντας τα γράµµατα της τελευταίας στήλης. Επώνυµο Όνοµα ΑΓΜ Εξάµηνο Βαθµολογία γραπτού ολογράφως Βύθισµα

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΓΡΑΠΤΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΓΡΑΠΤΗ ΔΟΚΙΜΑΣΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ μιας οξείας γωνίας; 0,5, 5 2,, 2 5 Σε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α=90 ο ) δίνεται ότι Β=5 ο και 8 τις πλευρές ΑΓ και ΒΓ με προσέγγιση ενός δεκαδικού ψηφίου. (Δίνονται οι τιμές: ημ5 ο =0,57, συν5 ο =0,82, εφ5

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

21/6/2012. Δυνάμεις. Δυναμική Ανάλυση. Δυναμική ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΔΥΝΑΜΗ

21/6/2012. Δυνάμεις. Δυναμική Ανάλυση. Δυναμική ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ ΔΥΝΑΜΗ Δυνάμεις Δυναμική Ανάλυση Δυνάμεις παράγονται από τον άνθρωπο για να ωθήσουν το σώμα ή ένα όργανο Η κατανόηση ενός αθλήματος ή μιας κίνησης απαιτεί την κατανόηση των δυνάμεων που ασκούνται Η αξιολόγηση

Διαβάστε περισσότερα

α. φ Α < φ Β, u A < 0 και u Β < 0. β. φ Α > φ Β, u A > 0 και u Β > 0. γ. φ Α < φ Β, u A > 0 και u Β < 0. δ. φ Α > φ Β, u A < 0 και u Β > 0.

α. φ Α < φ Β, u A < 0 και u Β < 0. β. φ Α > φ Β, u A > 0 και u Β > 0. γ. φ Α < φ Β, u A > 0 και u Β < 0. δ. φ Α > φ Β, u A < 0 και u Β > 0. ΙΙΑΓΓΩΝΙΙΣΜΑ ΦΦΥΥΣΙΙΚΚΗΣ ΚΚΑΤΤΕΕΥΥΘΥΥΝΣΗΣ ΓΓ ΛΛΥΥΚΚΕΕΙΙΟΥΥ ΚΚυυρρι ιιαακκήή 1133 ΙΙααννοουυααρρί ίίοουυ 001133 Θέμα 1 ο (Μονάδες 5) 1. Στο σχήμα φαίνεται το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού κύματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 1. Τί ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α ; Ονομάζουμε απόλυτη τιμή ενός αριθμού α την απόστασή του από το 0 (μηδέν). ή Απόλυτη τιμή λέμε τον αριθμό χωρίς πρόσημο. 2.Πότε δύο αριθμοί λέγονται αντίθετοι;

Διαβάστε περισσότερα

Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά

Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά ΜΕΡΟΣ. ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ 61 Ορισμοί. ΗΜΙΤΟΝΟ ΚΙ ΣΥΝΗΜΙΤΟΝΟ ΟΞΕΙΣ ΩΝΙΣ Ημίτονο γωνίας Ο λόγος που σχηματίζεται, αν διαιρέσουμε την απέναντι κάθετη πλευρά μιας οξείας γωνίας ω ενός ορθογωνίου

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS

ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ Ο ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ GAUSS 1 1. ΗΛΕΚΤΡΙΚΗ ΡΟΗ O νόμος του Gauss και o νόμος του Coulomb είναι δύο εναλλακτικές διατυπώσεις της ίδιας βασικής σχέσης μεταξύ μιας κατανομής φορτίου και του

Διαβάστε περισσότερα

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 Ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Έστω ΑΒΓ ένα ορθογώνιο τρίγωνο Είναι γνωστό ότι: ( ΑΒ) ηµ Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΓ) συν Γ= ( ΒΓ ) ( ΑΒ) εφ Γ= ( ΑΓ ) ( ΑΓ)

Διαβάστε περισσότερα

Εσωτερικές Αλληλεπιδράσεις Νο 3.

Εσωτερικές Αλληλεπιδράσεις Νο 3. Το θέμα του 05, (επαναληπτικές) Εσωτερικές λληλεπιδράσεις Νο 3. Δύο ράβδοι είναι συνδεδεμένες στο άκρο τους και σχηματίζουν σταθερή γωνία 60 ο μεταξύ τους, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Οι ράβδοι είναι διαφορετικές

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1) Να ανάγετε τους πιο κάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς σε τριγωνομετρικούς αριθμούς οξειών γωνιών: α) 160 β) 135 γ) 150 δ) ( 120

ΑΣΚΗΣΕΙΣ (1) Να ανάγετε τους πιο κάτω τριγωνομετρικούς αριθμούς σε τριγωνομετρικούς αριθμούς οξειών γωνιών: α) 160 β) 135 γ) 150 δ) ( 120 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ΑΝΑΓΩΓΗ ΣΤΟ 1 ο ΤΕΤΑΡΤΗΜΟΡΙΟ ΜΝΗΜΟΝΙΚΟΣ ΚΑΝΟΝΑΣ 1. Χωρίς να λάβουμε υπόψη το πρόσημο: Αν οι δυο γωνιές έουν άθροισμα ή διαφορά, 18, 6 μοίρες τότε ο τριγωνομετρικός αριθμός δεν αλλάζει: ημ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΘΕΜΑ ο GI_V_ALG 16950 1.1 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του μηδενός, το οποίο να είναι αδύνατο. β)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου;

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Να γράψετε τον τύπο της Ευκλείδειας διαίρεσης. Πώς ονομάζεται κάθε σύμβολο του τύπου; 2. Τι ξέρετε για το υπόλοιπο που προκύπτει από μια Ευκλείδεια διαίρεση; 3. Τι ονομάζουμε τέλεια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ 5 ου ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2016 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ 07 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2016

ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ 5 ου ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2016 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ 07 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2016 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μ. ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ 5 ου ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 016

Διαβάστε περισσότερα

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση;

Διαφορικός Λογισμός. Κεφάλαιο Συναρτήσεις. Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; Κεφάλαιο 1 Διαφορικός Λογισμός 1.1 Συναρτήσεις Κατανόηση εννοιών - Θεωρία 1. Τι ονομάζουμε συνάρτηση; 2. Πως ορίζονται οι πράξεις της πρόσθεσης, της διαφοράς, του γινομένου και του πηλίκου μεταξύ δύο συναρτήσεων;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. 2. Έστω Κ (α, β) το κέντρο και ρ η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου C. οπότε:

ΚΥΚΛΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. 2. Έστω Κ (α, β) το κέντρο και ρ η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου C. οπότε: ΚΥΚΛΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΞΑΣΚΗΣΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ 1. Έστω Κ (α, β) το κέντρο και ρ η ακτίνα του ζητούμενου κύκλου C. Έχω: d(k, ε 1 ) = d(k, ε ) = (ΟΚ) = ρ α =, β =, ρ = α =, β =, ρ = οπότε: C 1 : (x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 8 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κυριακή, 13 Απριλίου, 014 Ώρα: 10:00-13:00 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1: (Μονάδες 4) Τα σώματα Α και Β ολισθαίνουν κατά μήκος των δύο κεκλιμένων

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i

Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας. αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας m i και θέσης r i Κέντρο μάζας Ασκήσεις κέντρου μάζας και ροπής αδράνειας Η θέση κέντρου μάζας ορίζεται ως r r i i αν φανταστούμε ότι το χωρίζουμε το στερεό σώμα σε μικρά κομμάτια, μόρια, μάζας i και θέσης r i. Συμβολίζουμε

Διαβάστε περισσότερα