جلسه 15 1 اثر و اثر جزي ی نظریه ي اطلاعات کوانتومی 1 ترم پاي یز جدایی پذیر باشد یعنی:

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "جلسه 15 1 اثر و اثر جزي ی نظریه ي اطلاعات کوانتومی 1 ترم پاي یز جدایی پذیر باشد یعنی:"

Σπύρος Βέργας
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 نظریه ي اطلاعات کوانتومی 1 ترم پاي یز مدرس: دکتر ابوالفتح بیگی ودکتر امین زاده گوهري نویسنده: محمدرضا صنم زاده جلسه 15 فرض کنیم ماتریس چگالی سیستم ترکیبی شامل زیر سیستم هايB و A را داشته باشیم. اگر حالت سیستم ترکیبی جدایی پذیر باشد یعنی: ψ AB = ψ A ψ B, ψ A H A, ψ B H B آن گاه می توان گفت که سیستم A در حالت ψ A و سیستم B در حالت ψ B قرار دارد. اما اگر زیرسیستم ها درهم تنیده باشند یعنی ψ AB را نتوان جدا کرد حالت سیستم هاي A و B به تنهایی چگونه توصیف می شود در حالت کلی اگر سیستم مرکب با ماتریس چگالی ρ AB توصیف شود سیستم هاي A و B چگونه توصیف می شود در جلسه قبل این سو ال ها را مورد بررسی قرار دادیم. در این جلسه بحث را کامل می کنیم. 1 اثر و اثر جزي ی تعریف اثر به عنوان یک اپراتور به صورت زیر است: tr : L(H A ) C که به هر ماتریس چگالی یک عضو از میدان اعداد مختلط نسبت می دهد. فرض کنید } A 0 } A,..., 1 d یک پایه ي متعامد یکه براي H A باشد. نگاشت اثر جزي ی 1 را به صورت زیر تعریف می کنیم: tr A : L(H A ) L(H B ) L(H B ) d 1 tr A (ρ AB ) = ( i A I B ) ρ AB ( i A I B ). i=0 البته تعریف اثر جزي ی به پایه انتخاب شده ربطی ندارد (مستقل از این که چه پایه اي انتخاب کنیم به عملگر یکسانی می رسیم). یک راه مشاهده این موضوع این است که توجه کنیم که اثر جزي ی را معادلا می توان بصورت ضرب تانسوري دو عملگر نوشت: یک عملگر اثر (روي فضایی که می خواهیم آن را حذف کنیم) و یک عملگر همانی tr A = tr I L(HB ) : L(H A ) L(H B ) C L(H B ) = L(H B ) 1 Partial trace tr B = I L(HA ) tr : L(H A ) L(H B ) L(H A ) C = L(H A ). و 1

2 1.1 الحاقی اثر جزي ی اگر یک عملگر خطی به همراه یک ضرب داخلی داشته باشیم می توان از روي آن الحاقی را تعریف کرد. براي فضاي خطی عملگرها ضرب داخلی دو عملگر,A B را به صورت زیر تعریف می شود: (A, B) = tr(a B). الحاقی عملگر اثر عملگري خواهد بود با دامنه و برد زیر: tr : C L(H A ). tr (α) = αi. نشان می دهیم که این الحاقی برابر است با اگر tr الحاقی tr باشد باید داشته باشیم: M L(H A ), α C (α, tr(m)) C = (tr (α), M) L(HA ) ضرب داخلی سمت چپ ضرب معمولی اعداد مختلط است. پس (α, tr(m)) C = α tr(m) α tr(m) = (αi, M) L(HA ). از طرف دیگر در نتیجه (αi, M) L(HA ) = (tr (α), M) L(HA ) tr (α) = αi. و الحاقی اثر جزي ی را نیز می توان یافت. توجه کنید که tr A : L(H B) = C L(H B ) L(H A ) L(H B ), tr A = (tr I) = (tr I). و داریم tr A = tr I در نتیجه tr A (ρ B) = tr A (1 ρ B) = tr (1) I(ρ B ) = I A ρ B. بنابراین براي هر حالت ρ B داریم: 2

3 2.1 خواص اثر جزي ی نکته ي مهمی که در مورد اثر جزي ی وجود دارد این است که ترکیب دو اثر جزي ی معادل اثر جزي ی نسبت به ترکیب آنهاست. یعنی tr B (tr C (ρ ABC )) = tr C (tr B (ρ ABC )) = tr BC (ρ ABC ). به همین دلیل نمادگذاري هاي ρ A, ρ AB و مانند آن خوش تعریف هستند. همچنین اثر جزي ی خاصیت دوري بودن اثر را بصورت جزي ی به ارث می برد. براي هر عملگر دلخواه N AB روي فضاي تانسوري H A H B و هر عملگر M B روي فضاي H B داریم: tr B (N (I A M)) = tr B ((I A M) N) جهت اثبات ابتدا فرض کنید که N AB به شکل N A N B باشد. در این صورت tr B ((N A N B ) (I M)) = tr B (N A N B M) = (I tr)(n A (N B M)) = N A tr(n B M) = N A tr(mn B ) = (I tr)(n A (MN B )) = tr B ((I M)(N A N B )). حال از آن جایی که هر عملگر دلخواه N AB را می توان به صورت ترکیب خطی عملگرهاي به شکل N A N B نوشت رابطه ي مطلوب ما با توجه به خطی بودن باید براي هر N AB دلخواه درست باشد. از نتایج رابطه ي فوق مثلا این است که tr B ((A B) ρ (C D)) = tr B ((A DB) ρ (C I)). 3.1 اندازه گیري و اثر جزي ی فرض کنید می خواهیم سیستم A را اندازه گیري کنیم. در این صورت اگر عملگر POVM مربوط به سیستم A برابر E A باشد عملگر اندازه گیري روي سیستم ترکیبی E A I B خواهد بود و روي ماتریس چگالی سیستم مرکب اثر می کند. خاصیت مهم اثر جزي ی این است که می توان اندازه گیري E A I B را روي سیستم ترکیبی اعمال کرد و بعد سیستم B را دور انداخت (نسبت به B اثر جزي ی گرفت). یا اینکه از ابتدا B را دور انداخته و اندازه گیري را فقط روي A انجام داد. یعنی tr(e A ρ A ) = tr(e A tr B (ρ AB )) = tr((e A I)ρ AB ) 3

4 براي اثبات این تساوي توجه کنید که tr(e A (tr B (ρ AB ))) = (E A, tr B (ρ AB )) = (E A, (I L(HA ) tr L(HB ))ρ AB ) = ((I L(HA ) tr L(HB )) E A, ρ AB ) عملگر E A را می توان به صورت ضرب تانسوري نوشت 1: A E A = E در نتیجه tr(e A ρ A ) = ( (I tr L(HB )) (E ) A 1), ρ AB = (E A tr (1), ρ AB ) = (E A I, ρ AB ) = tr((e A I)ρ AB ). 4.1 تحول زمانی و اثر جزي ی اینکه تحول زمانی روي سیستم ترکیبی انجام شود سپس سیستم B دور انداخته شود همانند این است که از ابتدا سیستم B را دور بیندازیم و تحول زمانی را روي سیستم A اعمال کنیم. یعنی Uρ A U = tr B [(U I)ρ AB (U I)] اثبات: براي سادگی نگاشت Φ U را به صورت زیر تعریف می کنیم: Φ U : L(H A ) L(H A ) Φ U (X) = UXU. در این صورت داریم tr B [(U I)ρ AB (U I)] = (I tr)(φ U I)ρ AB اما Φ U I و I tr جابجا می شوند پس: tr B [(U I)ρ AB (U I)] = (Φ U I)(I tr)ρ AB = (Φ U I)(ρ A 1) = Uρ A U 1 = Uρ A U. tr B [(I U)ρ AB (I U )] = tr B (ρ AB ) = ρ A. تمرین 1 نشان دهید 4

5 5.1 اثر جزي ی و هنگردها p} i, ρ AB را روي یک سیستم ترکیبی داریم. اگر روي سیستم مرکب نسبت به B اثر جزي ی بگیریم فرض کنید هنگرد } i هنگردي چون } i p} i, ρ A ایجاد می شود. به هر کدام از هنگردها می توان یک ماتریس چگالی نسبت داد: ρ AB = i p i ρ AB i, τ A = i p i ρ A i. براي نشان دادن سازگاري اثر جزي ی با هنگردها باید ثابت کنیم که با گرفتن اثر جزي ی از ماتریس چگالی ρ AB به τ A می رسیم. با استفاده از خطی بودن tr B داریم: tr B (ρ AB ) = tr B ( i p i ρ AB i ) = i p i tr B (ρ AB i ) = i p i ρ A i = τ A نکته 1 اثر جزي ی در حالت کلی تحت جایگشت عملگر ها ناوردا نیست: (ρσ). tr B (σρ) tr B تمرین 2 نشان دهید tr B [(X A X B )(X A X B)] = tr B [(X A X B)(X A X B )]. 2 نحوه ي محاسبه ي اثر جزي ی فرض کنید که i و j دو بردار یکسان یا عمود بر هم در فضاي V باشند و k و l دو بردار یکسان یا عمود بر هم در فضاي W باشند. در این صورت با استفاده از تعریف اثر جزي ی داریم: tr B ( i j A k l B ) = I tr( i j A k l B ) = δ kl i j A. در حالت کلی تر.tr A (X A Y B ) = tr(x A )Y B از طرف دیگر هر عملگر خطی روي V W را می توان به صورت ترکیب خطی از عملگر هاي به فرم i j A k l B نوشت. بنابراین با توجه به خطی بودن اثر جزي ی می توان اثر جزي ی هر عملگر روي فضاي تانسوري را حساب کرد. محاسبه از روي نمایش ماتریسی: فرض کنید نمایش ماتریسی یک عملگر در دست است و می خواهیم اثر جزي ی آن را حساب کنیم. M AB L(H A ) L(H B ) dim(h A ) = d, dim(h B ) = d. در این صورت نمایش ماتریسی M AB با سایز dd dd خواهد بود و به صورت بلوکی به فرم زیر است: S 11 S S 1d S 21 S S 2d M AB =..... S d1 S d2... S dd 5

6 که در آن S ij ماتریسی d d است. اثر جزي ی گرفتن نسبت به B معادل است با آنکه به جاي هر بلوك ماتریس M AB اثرش را قرار دهیم. tr(s 11 ) tr(s 12 )... tr(s 1d ) tr(s 21 ) tr(s 22 )... tr(s 2d ) tr B (M AB ) =..... tr(s d1 ) tr(s d2 )... tr(s dd ) همچنین اثر جزي ی نسبت به A به صورت زیر بدست می آید: tr A (M AB ) = S 11 + S S dd. ρ AB = ψ ψ AB, ψ AB H A H B. حالت خاص: فرض کنید ρ AB خالص باشد در این صورت می توان تجزیه ي اشمیت ψ AB را در نظر گرفت: ψ AB = i λ i v i A w i B که { i v } پایه اي متعامد یکه براي H A و { i w } پایه اي متعامد یکه براي H B و λ -ها i اعداد حقیقی نامنفی هستند. ψ ψ = i,j λ i λ j v i v j A w i w j B در نتیجه ρ A = tr B (ρ AB )) = i λ 2 i v i v j A, ρ B = tr A (ρ AB )) = i λ 2 i w i w j B بسط هاي بالا در واقع تجزیه هاي طیفی عملگرهاي ρ A و ρ B هستند. نتیجه این که مقادیر ویژه ي ρ A و ρ B یکسان اند. این نکته براي هر حالت خالص ρ AB برقرار است. 3 سیستم هاي کلاسیک فرض کنید متغیر تصادفی X با مقادیر{ 1 n,... 2, {0, 1, و توزیع احتمال p i داده شده است. X = i را می توانیم متناظر با بردار i بگیریم. پس این متغیر تصادفی متناظر با یک هنگرد است: با احتمال p i سیستم در حالت i است. در نتیجه به متغیر تصادفی می توان یک ماتریس چگالی نسبت داد: ρ X = i p i i i. 6

7 ρ X ماتریسی است که روي قطر اصلی آن مقادیر احتمال قرار دارند. ρ X ماتریس چگالی است چون قطري است و مقادیر روي قطر آن همگی نامنفی هستند و همچنین جمع مقادیر روي قطر آن که همان اثر ماتریس است برابر 1 است. به طور مشابه دو متغیر تصادفی,X Y را می توان به صورت یک هنگرد دید که با احتمال (y p(x, حالت y x را می گیرد. در نتیجه ماتریس چگالی مربوط به آن به صورت زیر خواهد بود: ρ XY = x,y p(x, y) x x y y = x,y p(x, y) xy xy حال براي محاسبه ي توزیع هاي حاشیه اي کافی است اثر جزي ی بگیریم: ( ρ X = tr Y (ρ XY ) = tr Y p(x, y) x x y y ) = x,y x,y p(x, y) x x = x p(x) x x اثر جزي ی یک ماتریس قطري قطري است که کلاسیک بودن زیرسیستم هاي کلاسیک را تایید می کند. می دانیم که براي محاسبه ي میانگین و یا واریانس X داشتن توزیع حاشیه اي X کافی است و دیگر نیازي به شناختن توزیع مشترك,X Y نیست. در مکانیک کوانتومی اثر جزي ی دقیقا همین نقش توزیع حاشیه اي را دارد. براي مثال اگر سیستم ترکیبی,A B را داشته باشیم و بخواهیم با اندازه گیري روي سیستم A اطلاعاتی از آن بدست آوریم دیگر نیازي به ماتریس چگالی ρ AB نیست و کافی است ماتریس چگالی کاهیده 2 سیستم ) AB ρ A = tr B ρ) را داشته باشیم. به عبارت دیگر توزیع احتمال حاصل یک اندازه گیري روي بخش A را می توان از روي ρ A محاسبه کرد. توجه کنید که همان طور که در حالت کلی تساوي p(x)p(y) p(x, (y = برقرار نیست تساوي ρ AB = ρ A ρ B نیز لزوما برقرار نیست. 4 خلاصه نکات 1. ماتریس چگالی کاهیده مانند مفهوم توزیع چگالی حاشیه اي است و همان کاربرد ها را دارد. 2. متوسط حالت B مستقل از اندازه گیري روي A است هنگام اندازه گیري روي سیستم A توزیع احتمال متناظر را می توان مستقیما از روي ماتریس چگالی کاهیده حساب کرد. ) A. p(0) = tr( 0 0 ρ به طور کلی داریم tr((m A I B )X AB ) = tr(m A tr B (X AB )). 2 Reduced density matrix 3 No-signaling 7

Σχετικά έγγραφα

جلسه 14 را نیز تعریف کرد. عملگري که به دنبال آن هستیم باید ماتریس چگالی مربوط به یک توزیع را به ماتریس چگالی مربوط به توزیع حاشیه اي آن ببرد.

جلسه 14 را نیز تعریف کرد. عملگري که به دنبال آن هستیم باید ماتریس چگالی مربوط به یک توزیع را به ماتریس چگالی مربوط به توزیع حاشیه اي آن ببرد. تي وري اطلاعات کوانتمی ترم پاییز 39-39 مدرس: ابوالفتح بیگی و امین زاده گوهري نویسنده: کامران کیخسروي جلسه فرض کنید حالت سیستم ترکیبی AB را داشته باشیم. حالت سیستم B به تنهایی چیست در ابتداي درس که حالات