Παρατηρήσεις και ενδεχόμενα. Πληθυσμοί και δείγματα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παρατηρήσεις και ενδεχόμενα. Πληθυσμοί και δείγματα"

Transcript

1 Ενότητα 0 Εισαγωγή Βασικές Έννοιες. Παρατηρήσεις και ενδεχόμενα. Πληθυσμοί και δείγματα Τα δεδομένα με τα οποία ασχολείται η Στατιστική προέρχονται από παρατηρήσεις και πειράματα που εμπίπτουν σε οποιονδήποτε τομέα, της Φυσικής, της Χημείας, των λεγόμενων Ανθρωπιστικών Επιστημών κλπ. Αυτές οι παρατηρήσεις μπορεί να είναι οσοδήποτε απλές ή περίπλοκες, αλλά τελικά καταλήγουν στην καταγραφή ορισμένων αριθμητικών τιμών ή μη αριθμητικών ιδιοτήτων που σχετίζονται με ένα ή περισσότερα συγκεκριμένα μεγέθη ή πειραματικά αποτελέσματα. Στο πιο απλό πείραμα προσφερόμενο για στατιστική επεξεργασία, το γνωστό και χιλιοειπωμένο κορώνα-γράμματα, καταγράφουμε τα αποτελέσματα κάθε ρίψης του νομίσματος ως κορώνα ή γράμματα. Κάθε δυνατό αποτέλεσμα (αριθμητική τιμή ή μη αριθμητική ιδιότητα) μιας παρατήρησης (αλλά και κάθε σύνολο τέτοιων αποτελεσμάτων) αποτελεί ένα ενδεχόμενο. Έτσι, στη ρίψη νομίσματος έχουμε δύο δυνατά αποτελέσματα: κορώνα και γράμματα. Αν μετρούσαμε το ύψος και το βάρος των φοιτητών του ΤΜΕΥ, τα δυνατά ενδεχόμενα είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί που αποτελούν ένα συνεχές σύνολο, καθώς και τα διαστήματα αυτών των αριθμών. Επειδή όμως πάντα κάνουμε κάποια προσέγγιση ή στρογγύλευση (π.χ. μετράμε το βάρος σε kg, το ύψος σε cm) θα πάρουμε ένα διακριτό σύνολο ρητών ή ακεραίων αριθμών ως πιθανά ενδεχόμενα. Τέλος, τόσο στη ρίψη νομίσματος όσο και σε παρατηρήσεις τύπου χρώμα ματιών ή μαλλιών τα ενδεχόμενα σχηματίζουν ένα διακριτό σύνολο μη αριθμητικών τιμών. Συνοψίζοντας, τα στατιστικά δεδομένα κατηγοριοποιούνται ως εξής: Μη αριθμητικά Αριθμητικά: διακριτά συνεχή Όπως είπαμε, συνήθως, ακόμη και για συνεχή αριθμητικά δεδομένα, μας ενδιαφέρει η καταγραφή τους ως διακριτά, για πρακτικούς λόγους. Εξ άλλου, τίποτα δε μας εμποδίζει να αντιστοιχίσουμε έναν αριθμό και στα στοιχεία ενός συνόλου μη αριθμητικών δεδομένων, π.χ. Κορώνα = 0, Γράμματα = 1, αν και ορισμένοι τρόποι επεξεργασίας τους δε θα έχουν φυσικό νόημα σε αυτή την περίπτωση. Επομένως, σε κάθε περίπτωση μπορούμε να ορίσουμε μια αντιστοιχία ανάμεσα στα δυνατά αποτελέσματα των παρατηρήσεων ενός μεγέθους ή ιδιότητας και στο σύνολο των πραγματικών, εν γένει, αριθμών. Αυτή, από μαθηματική άποψη, είναι μια συνάρτηση και στα πλαίσια της στατιστικής ορίζει αυτό που είναι γνωστό ως τυχαία μεταβλητή. Οι τυχαίες μεταβλητές συνήθως παριστάνονται με κεφαλαία γράμματα Χ, Υ, Ζ, π.χ. το βάρος Β και το ύψος Υ των φοιτητών του ΤΜΕΥ. Οι τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής είναι ή κωδικοποιούν το σύνολο των ενδεχομένων. Αν το

2 μέγεθος ή ιδιότητα που καταγράφουμε διεπόταν από έναν γνωστό νόμο, π.χ. τύπου αιτίαςαποτελέσματος, που μας επέτρεπε να προβλέψουμε με ακρίβεια το αποτέλεσμα κάθε πειράματος ή παρατήρησης, τότε δε θα υπήρχε ανάγκη στατιστικής μελέτης αυτού. Ένας νόμος τέτοιου είδους δεν υπάρχει πάντα και αν υπάρχει δεν είναι πάντα γνωστός. Ένας από τους στόχους της στατιστικής επεξεργασίας είναι η ανακάλυψη τέτοιων νόμων. Αν αυτό δε γίνεται, θέλουμε τουλάχιστον να γνωρίζουμε πόσο συχνά εμφανίζεται κάθε ενδεχόμενο και επομένως, ποια ενδεχόμενα θα είναι περισσότερο αναμενόμενα σε κάθε μελλοντική παρατήρηση, θα θέλαμε δε, να εκφράσουμε αυτή την πληροφορία ποσοτικά και με όσο το δυνατό μεγαλύτερη ακρίβεια. Προς αυτή την κατεύθυνση βοηθά η καταγραφή της συχνότητας με την οποία εμφανίζεται κάθε δυνατό αποτέλεσμα και το σύνολο των συχνοτήτων κάθε τιμής μιας τυχαίας μεταβλητής Χ, βοηθά να ορίσουμε την κατανομή αυτής της μεταβλητής. Η έννοια της κατανομής είναι κεντρικής σημασίας και αποτελεί το σημαντικότερο εργαλείο με το οποίο επωφελούμαστε από τις μεθόδους στατιστικής επεξεργασίας. Επιδίωξή μας είναι να προσεγγίσουμε την κατανομή της τυχαίας μεταβλητής με μια μαθηματική έκφραση που μπορεί να γραφεί αναλυτικά. Σε πολλές και σημαντικές περιπτώσεις αυτό είναι εφικτό και έτσι μπορούμε να βρούμε τουλάχιστον ένα στατιστικό νόμο αντί για ένα νόμο αιτίας-αποτελέσματος που εκφράζει ποσοτικά τι είδους ενδεχόμενα να περιμένουμε και με ποια συχνότητα εμφάνισης. Πρέπει να τονίσουμε όμως ότι η συσχέτιση μεταξύ δυό μεταβλητών δεν είναι απαραίτητα αιτιακή σχέση! Αυτή μπορεί να είναι βαθύτερα κρυμμένη σε πιο περίπλοκες συνδέσεις των φαινομένων από τις οποίες εμείς βλέπουμε μόνο την επιφάνεια. Οι παρατηρήσεις μας αφορούν ένα σύνολο στοιχείων συγκεκριμένης κατηγορίας ή είδους που μας ενδιαφέρει να μελετήσουμε. Το σύνολο όλων αυτών των στοιχείων είναι ο πληθυσμός που μας ενδιαφέρει. Π.χ. όταν γίνονται δημοσκοπήσεις για τις προτιμήσεις ψήφου των πολιτών, πληθυσμός θεωρείται ολόκληρο το εκλογικό σώμα. Αυτός είναι πολύ μεγάλος αλλά πεπερασμένος. Υπάρχουν και περιπτώσεις όπου ο πληθυσμός έχει άπειρο μέγεθος. Το πείραμα τύπου κορώνα-γράμματα αναφέρεται σε πληθυσμό με άπειρο μέγεθος γιατί αυτό περιλαμβάνει όλες τις δυνατές ρίψεις για τις οποίες δεν υπάρχει κανένα όριο (εκτός ίσως από την ηλικία του σύμπαντος...). Δεν πρέπει λοιπόν να συγχέουμε τον πληθυσμό με το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων (κορώνα, γράμματα) που μπορεί να έχει πεπερασμένο μέγεθος ή εύρος. Αν μπορούσαμε να μελετήσουμε ολόκληρο τον υπό μελέτη πληθυσμό δε θα χρειαζόταν περαιτέρω στατιστική μελέτη αυτού, ακόμη και αν δεν ήταν γνωστός κάποιος νόμος που να διέπει την εμφάνιση των δυνατών ενδεχομένων. Τα αποτελέσματα των παρατηρήσεών μας θα ήταν η μόνη βέβαιη απάντηση σε όλα τα σχετικά ερωτήματά μας, όπως το αποτέλεσμα μιας εκλογικής αναμέτρησης απαντά σε όλες τις εικασίες των δημοσκοπήσεων που προηγήθηκαν. Συνήθως όμως, η εξέταση ολόκληρου του πληθυσμού, δεν είναι εφικτή γιατί αυτός μπορεί να είναι πολύ μεγάλος ή απλά, άπειρος. Αν όμως μπορούμε να μελετήσουμε ένα αρκετά μικρό υποσύνολο του πληθυσμού το οποίο έχουμε λόγους να πιστεύουμε ότι δε θα είχε κάτι το ξεχωριστό σε σχέση με το γενικό πληθυσμό, τότε δικαιούμαστε να πούμε ότι η κατανομή των εξεταζόμενων τυχαίων μεταβλητών ως προς αυτό το υποσύνολο θα μοιάζει, ως προς τα ουσιώδη χαρακτηριστικά της, με την κατανομή του πληθυσμού. Ένα τέτοιο υποσύνολο το λέμε δείγμα του πληθυσμού. Έστω ότι ο πληθυσμός μας είναι οι φοιτητές του ΤΜΕΥ και μεταβλητή μας το ύψος τους. Ας πούμε ότι τους μετρήσαμε όλους (εδώ, ο πληθυσμός είναι ευτυχώς αρκετά μικρός!) και βρήκαμε ότι έχουνε ύψος από 1.40 μέχρι 2.10 μέτρα. Τότε, αν πάρουμε ένα οποιοδήποτε υποσύνολο των φοιτητών, αναγκαστικά κάθε μέλος του υποσυνόλου θα έχει ύψος ανάμεσα στα παραπάνω όρια. Επίσης, αν το 50% των φοιτητών έχει ύψος μεταξύ 1.60 και 1.80 και πάρουμε ένα δείγμα 10 φοιτητών, δε θα ήταν παράξενο αν οι 5 από αυτούς είχαν ύψος σε αυτό το διάστημα. Δεν είναι απαραίτητο ότι θα είναι ακριβώς 5 και αν βρίσκαμε 6 ή 4 σε αυτά τα όρια θα το περιμέναμε. Καταλαβαίνουμε όμως, ότι αν και οι 10 ήταν μεταξύ αυτών των ορίων, θα μας φαινόταν κάπως παράξενο να απουσιάζουν τελείως οι πιο ακραίες τιμές. Αν, από την άλλη και οι 10 ήταν εκτός των

3 ορίων, δηλαδή ή κάτω από 1.60 ή πάνω από 1.90, θα ήταν κάτι το απροσδόκητο και θα το θεωρούσαμε πολύ σπάνιο. Τι είναι αυτό που θα μας επέτρεπε να έχουμε τέτοιες προσδοκίες από το δείγμα μας και γενικότερα, πού μπορούμε να βασιστούμε για να πούμε ότι το δείγμα μας δεν ξεχωρίζει ιδιαίτερα από τον πληθυσμό ως προς τα βασικά χαρακτηριστικά του (όπως κι αν τα εννοούμε); Στην πραγματικότητα, εφόσον ο πληθυσμός αρχικά μας είναι άγνωστος, δε μπορούμε ποτέ να ξέρουμε από πριν αν το δείγμα μας μοιάζει με τον πληθυσμό ή διαφέρει από αυτόν. Μπορούμε όμως να δικαιολογήσουμε την προσδοκία μας ότι το δείγμα θα μοιάζει με αυτόν, με βάση τον τρόπο που το επιλέξαμε, δηλαδή, με βάση τη διαδικασία δειγματοληψίας. Συγκεκριμένα, η σωστή δειγματοληψία είναι αυτή που δίνει ίσες ευκαιρίες σε όλα τα δυνατά δείγματα και δεν περιέχει καμία φανερή ή έμμεση προτίμηση προς επιμέρους κατηγορίες του πληθυσμού. Π.χ. αν κατά τη μέτρηση του ύψους των φοιτητών επιλέγουμε μόνο αγόρια ή μόνο κορίτσια, καταλαβαίνουμε ότι αυτό δε θα ήταν η καλύτερη τακτική 1. Για να δώσουμε ένα εξίσου απλό αλλά πιο γενικό παράδειγμα, ας φανταστούμε ένα πολύ μικρό πληθυσμό Π = {α, β, γ, δ, ε}, από τον οποίο θέλουμε να πάρουμε ένα δείγμα των τριών στοιχείων. Τα δυνατά δείγματα είναι {α, β, γ}, {α, β, δ}, {α, β, ε}, {β, γ, δ}, {β, γ, ε}, {γ, δ, ε}. Η δειγματοληψία πρέπει να γίνει έτσι ώστε να μπορεί να επιλεγεί οποιοδήποτε από τα παραπάνω, εξίσου εύκολα. Για παράδειγμα, δε θα ήταν επιτρεπτό να επιλέγαμε μόνο δείγματα που περιέχουν το στοιχείο α γιατί έτσι θα στερούσαμε από ένα μέρος του πληθυσμού την ευκαιρία να καταγραφεί. Ως ένα άλλο παράδειγμα, ας φανταστούμε ένα μεγάλο σύνολο από σφαίρες ίσης διαμέτρου φτιαγμένες από δύο υλικά Α και Β γνωστών διαφορετικών πυκνοτήτων, ρ Α και ρ Β, με διαφορετικές αναλογίες των υλικών σε κάθε σφαίρα, έτσι ώστε τα βάρη τους να διαφέρουν. Θέλουμε να βρούμε την κατανομή βάρους των σφαιρών και από αυτή, την κατανομή των ποσοστών του υλικού Α, από ένα δείγμα 50 σφαιρών. Αν το Α είναι άσπρο και το Β μαύρο, οπότε οι σφαίρες είναι χρωματισμένες σε διαβαθμίσεις του γκρίζου, τότε, προφανώς, θα ήταν λάθος να διαλέγουμε π.χ. μόνο ανοιχτόχρωμες ή μόνο σκουρόχρωμες σφαίρες. Το καλύτερο θα ήταν να τις διαλέγαμε με κλειστά μάτια! Ας πούμε ότι η κατανομή του πληθυσμού των σφαιρών είναι τέτοια ώστε το 70% των σφαιρών έχει περιεκτικότητα μεταξύ 40% και 60% σε υλικό Α, κατά βάρος, ενώ το υπόλοιπο 30% έχει πιο ακραίες αναλογίες, είτε μικρότερες είτε μεγαλύτερες. Αν κατά τη δειγματοληψία δεν είμαστε μεροληπτικοί με βάση την απόχρωση κάθε σφαίρας, όλα τα δυνατά δείγματα έχουν ίσες ευκαιρίες. Αυτό βέβαια, δεν αποκλείει το ενδεχόμενο να επιλεγεί δείγμα με ακραία κατανομή που να διαφέρει σημαντικά από αυτή του πληθυσμού. Αν έχουμε έναν αρκετά μεγάλο πληθυσμό, τότε ένα ή και περισσότερα από τα δυνατά δείγματα μπορεί να αποτελείται αποκλειστικά από σφαίρες με περιεκτικότητα κάτω από 40% σε Α. Τότε, πώς μπορούμε να ισχυριζόμαστε ότι η δειγματοληψία μας είναι σωστή; Το ισχυριζόμαστε γιατί είναι πολύ σπάνιο να συμβεί μια τέτοια ακραία περίπτωση. Πράγματι, μπορεί να δειχθεί με συνδυαστικά επιχειρήματα ότι τα πιο πολλά δείγματα θα έχουν κατανομή παρόμοια με αυτή του πληθυσμού και ότι όσο πιο μεγάλα είναι, τόσο πιο μεγάλο είναι και το ποσοστό τους που θα προσομοιάζει τον πληθυσμό. Καθώς μεγαλώνει το μέγεθος δείγματος, το να πετύχουμε μια ακραία περίπτωση που αποκλίνει σημαντικά από τον πληθυσμό, μπορεί να παρομοιαστεί με το να κερδίσουμε το λαχείο! 2 Αυτό το πετύχαμε δίνοντας ίσες 1 Δεν είναι μικρής σημασίας το ότι γνωρίζουμε εμπειρικά την ύπαρξη σχέσης ύψους-φύλου. Όσο περισσότερα γνωρίζουμε για τον πληθυσμό τόσο πιο καλή ( = αμερόληπτη) δειγματοληψία μπορούμε να κάνουμε. Και φυσικά, αν θέλαμε να διερευνήσουμε τη σχέση ύψους-φύλου σε βάθος εννοείται ότι θα κάναμε το αντίθετο: θα παίρναμε δείγματα αποκλειστικά αγοριών και αποκλειστικά κοριτσιών. 2 Μπορούμε να πειστούμε γι' αυτό ως εξής: Αν πάρουμε το μικρότερο δυνατό δείγμα (μία σφαίρα) από ένα πληθυσμό π.χ σφαιρών, τότε μόνο 300 σφαίρες έχουν ακραίες τιμές αναλογιών. Αν πάρουμε δείγματα Ν=2 σφαιρών, τότε οι δυνατοί συνδυασμοί θα είναι 1000 Χ 999 δηλ. περίπου 10 6 ενώ οι συνδυασμοί όπου και οι δυο σφαίρες έχουν ακραίες αναλογίες είναι 300 Χ 299 δηλ. περίπου 3 Χ Το

4 ευκαιρίες σε κάθε δείγμα και για να δώσουμε ίσες ευκαιρίες, αγνοήσαμε κατά τη δειγματοληψία, ακριβώς τον παράγοντα που θέλουμε να μελετήσουμε (περιεκτικότητα σε Α) αποκλείοντας από τα κριτήρια επιλογής κάθε άλλον παράγοντα που σχετίζεται με αυτόν (εν προκειμένω, απόχρωση). Δείγματα που λαμβάνονται με τέτοια διαδικασία ονομάζονται αντιπροσωπευτικά γιατί πιστεύουμε ότι η διαδικασία με την οποία επιλέγονται συνήθως οδηγεί σε κατανομές παρόμοιες με αυτές του δειγματιζόμενου πληθυσμού. Κλείνοντας και αυτή την παράγραφο, θα πρέπει να πούμε ότι η συσχέτιση μεταξύ διαφόρων παραγόντων (εδώ, απόχρωση και βάρος σφαίρας) είναι καλά ορισμένη έννοια που μπορεί να μελετηθεί στατιστικά και να εκφραστεί με ακριβή ποσοτικά μέτρα, όπως θα δούμε παρακάτω, αλλά, όπως είπαμε και στο παράδειγμα για το ύψος των φοιτητών, για να επιλέξουμε το δείγμα μας, αναγκαστικά θα πρέπει να προβλέψουμε κάποιες δυνατές σχέσεις που δεν έχουμε μετρήσει ακόμη, βασισμένοι σε εύλογα φυσικά επιχειρήματα (εδώ: βάρος περιεκτικότητα απόχρωση). Κατανομές και πιθανότητες Διαβάζοντας τα παραπάνω είναι λογικό να σκεφτεί κάποιος ότι η δειγματοληψία είναι και αυτή ένα είδος παρατήρησης και τα δυνατά δείγματα είναι τα δυνατά αποτελέσματα αυτής. Μέριμνά μας είναι αυτά τα αποτελέσματα να έχουν ίση ευκαιρία να παρουσιαστούν. Επομένως αν παίρναμε πάρα πολλές φορές διάφορα δείγματα και καταγράφαμε τη συχνότητα με την οποία εμφανίστηκε το καθένα, θα βλέπαμε ότι οι μεταξύ τους διαφορές θα ήταν μικρές. Αυτό ισχύει γενικότερα για κάθε πείραμα όπου τα δυνατά αποτελέσματα δεν έχουν λόγο να υπερτερούν το ένα σε σχέση με το άλλο. Κατά τις ρίψεις ενός νομίσματος δεν έχουμε λόγο να περιμένουμε ότι η μια όψη θα εμφανίζεται συχνότερα από την άλλη. Αν κάνουμε ένα μικρό αριθμό πειραμάτων μπορεί να παίρναμε διαφορετικούς αριθμούς για κάθε όψη, π.χ. 7 φορές κορώνα και 3 γράμματα, αλλά καθώς θα προχωρούσαμε σε περισσότερες δοκιμές θα διαπιστώναμε ότι το ποσοστό της συχνότητας εμφάνισης κάθε ενδεχομένου θα πλησίαζε στο 0.5 (ή 50%, αν προτιμούμε να εκφραζόμαστε με εκατοστιαίες αναλογίες). Το παραπάνω παράδειγμα εισάγει δύο έννοιες ταυτόχρονα. Η μία έννοια είναι αυτή της ομοιόμορφης κατανομής. Τέτοια είναι κάθε κατανομή όπου τα ενδεχόμενα ή οι δυνατές τιμές μιας τυχαίας μεταβλητής έχουν ίσες ευκαιρίες εμφάνισης και επομένως οι συχνότητες με τις οποίες παρατηρούνται τείνουν να εξισωθούν, δηλαδή να έχουν όλο και μικρότερες ποσοστιαίες διαφορές μεταξύ τους, για όλο και μεγαλύτερα δείγματα. Πολύ συχνά η κατανομή ενός πληθυσμού υπακούει σε αρκετά απλές μορφές, οι οποίες μπορούν να εκφραστούν με αναλυτικές μαθηματικές εκφράσεις. Η ομοιόμορφη κατανομή είναι η πιο απλή τέτοια περίπτωση. Αν με f x παριστάνεται η συχνότητα εμφάνισης της τιμής x μιας μεταβλητής Χ, τότε για τις ρίψεις f K νομισμάτων ισχύει ότι 1 καθώς αυξάνεται το μέγεθος του δείγματος. Ένας άλλος τρόπος f Γ για να το εκφράσουμε είναι να γράψουμε το ποσοστό της συχνότητας κάθε ενδεχομένου: f Γ f, K 0.5 f K f Γ f K f Γ Γενικότερα, για ένα πείραμα με Ν διαφορετικά δυνατά αποτελέσματα μπορούμε να γράψουμε: f p i = i 1 f 1 f 2... f Ν Ν, i=1, 2,..., Ν. Ονομάζουμε τον αριθμό pi, ποσοστό εμφάνισης του αποτελέσματος i και τη διαίρεση κάθε συχνότητας με το άθροισμα όλων των συχνοτήτων για τη λήψη των ποσοστών, ονομάζουμε κανονικοποίηση της κατανομής. Ο παράγοντας 1 με τον οποίο πολλαπλασιάζεται κάθε συχνότητα για να δώσει το ποσοστό, f 1 f 2... f Ν ποσοστό τους επί του συνόλου είναι, άρα, 3%. Παρόμοια, για μεγαλύτερα δείγματα βρίσκουμε ότι οι συνδυασμοί με ακραίες αναλογίες γίνονται ακόμη πιο σπάνιοι.

5 λέγεται παράγοντας κανονικοποίησης. Η κανονικοποίηση της κατανομής έχει μεγάλη σημασία γιατί μας επιτρέπει να συγκρίνουμε διαφορετικές κατανομές συχνοτήτων από διαφορετικά, ακόμη και διαφορετικής φύσης πειράματα και να διαπιστώσουμε ότι συμπεριφέρονται με τον ίδιο τρόπο. Έτσι, ομοιόμορφη κατανομή για ένα πείραμα με Ν ενδεχόμενα είναι αυτή για την οποία τα ποσοστά εμφάνισης υπακούνε στην παρακάτω έκφραση: p i σταθερά, i=1, 2,..., Ν και η κανονικοποιημένη μορφή της είναι: p i σταθερά= 1 Ν, i=1, 2,..., Ν Αυτές οι εκφράσεις δεν εξαρτώνται από το μέγεθος του δείγματος ή άλλες λεπτομέρειες του πειράματος και εκφράζουν με γενικό τρόπο αυτό που είναι πιο ουσιώδες: ότι κάθε ενδεχόμενο έχει ίση ευκαιρία εμφάνισης. Ως εδώ μιλήσαμε για ομοιόμορφες κατανομές διακριτών ενδεχομένων. Όπως έχουμε ήδη πει, τα πειραματικά αποτελέσματά μας μπορεί να είναι συνεχή αριθμητικά δεδομένα. Τότε, το άθροισμα 1 στον παράγοντα κανονικοποίησης N, αντικαθίσταται από ένα ολοκλήρωμα: i=1 f i 1 b, όπου a, b τα όρια μεταξύ των οποίων κυμαίνονται οι τιμές της μεταβλητής Χ. Από a f x dx τους μέχρι τώρα ορισμούς, προκύπτει ότι το άθροισμα ή ολοκλήρωμα των ποσοστών εμφάνισης N b είναι μονάδα: i=1 p i =1 για διακριτά δεδομένα και a p x dx=1 για συνεχή δεδομένα. Δηλαδή, η κανονικοποίηση μετατρέπει τις συχνότητες σε ποσοστά από το διάστημα [0, 1]. Επειδή αναφερθήκαμε σε δείγματα, χρησιμοποιήσαμε το σύμβολο των ορίων,, αντί για την ισότητα στους παραπάνω ορισμούς. Αν έχουμε ένα πληθυσμό για τον οποίο γνωρίζουμε ότι περιγράφεται από την ομοιόμορφη κατανομή, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο της ισότητας, =, στους ορισμούς. Τότε, π.χ. για συνεχή δεδομένα και αντίστοιχη κατανομή, θα ισχύει ότι f(x) = c (κάποια σταθερά) και p(x) = 1/(b-a), a < x < b. Για το πέρασμα από το διακριτό στο συνεχές όριο, ας θυμηθούμε τις γενικές μαθηματικές αρχές για τον ορισμό και τη σημασία του ολοκληρώματος. Στο συνεχές όριο δε μιλάμε για ποσοστό εμφάνισης μιας τιμής αλλά για το ποσοστό εμφάνισης τιμών από ένα διάστημα (x, x+δx] το οποίο θα είναι ίσο με το εμβαδό κάτω από την καμπύλη p(x) για αυτό το διάστημα. Για απειροστό πλάτος dx αυτού, το ποσοστό εμφάνισης θα είναι p(x)dx. Η παραπάνω συζήτηση μας επιτρέπει να εισάγουμε και να χρησιμοποιούμε την έννοια της πιθανότητας. Η πιθανότητα είναι ουσιαστικά, ένα ποσοτικό μέτρο αυτού που ονομάσαμε, κάπως χαλαρά μέχρι εδώ, ευκαιρίες εμφάνισης ενός ενδεχομένου. Έχοντας ορίσει τα ποσοστά εμφάνισης των ενδεχομένων απέχουμε ένα βήμα από τον ορισμό της πιθανότητας που δε θα ήταν άλλος από αυτά τα ποσοστά αν ο πληθυσμός ήταν γνωστός. Η δε κατανομή των ποσοστών του πληθυσμού θα ήταν η κατανομή πιθανότητας (για την τυχαία μεταβλητή που μας ενδιαφέρει) όσον αφορά το συγκεκριμένο πληθυσμό. Για να ξεχωρίζουμε την πιθανότητα από το ποσοστό εμφάνισης που μπορεί να αναφέρεται σε διάφορα δείγματα, υποσύνολα του πληθυσμού, χρησιμοποιούμε κεφαλαίο γράμμα για αυτή και την αντίστοιχη μεταβλητή, Ρ(Χ) και μικρά γράμματα για το ποσοστό εμφάνισης κάθε τιμής της μεταβλητής: p(x). Συνήθως, ο πληθυσμός δεν είναι και ούτε καν μπορεί να γίνει γνωστός στο σύνολό του. Επομένως, τόσο η πιθανότητα όσο και η κατανομή αυτής μας είναι κατ' αρχήν άγνωστες. Τι μπορούμε να κάνουμε τότε; Βασικά, υπάρχουν δύο τρόποι για να γνωρίσουμε την κατανομή πιθανότητας που περιγράφει κάποιο πληθυσμό: Υπολογισμός με βάση εύλογα επιχειρήματα που αναφέρονται στη φύση των

6 παρατηρήσεών μας και των δυνατών ενδεχομένων, καθώς και του τρόπου διεξαγωγής του πειράματος. Αυτή είναι η εκ των προτέρων ή a priori πιθανότητα. Εκτίμηση με βάση επαρκή, αντιπροσωπευτικά δείγματα που έχουμε επιλέξει (εκ των υστέρων ή a posteriori πιθανότητα). Πριν προχωρήσουμε σε συγκεκριμένα παραδείγματα, πρέπει να διευκρινίσουμε ορισμένα σημεία: Η κατανομή πιθανότητας μπορεί να καθορίζεται από το συνολικό πληθυσμό, αλλά η πιθανότητα Ρ(Χ=x) ενός συγκεκριμένου ενδεχομένου X = x, αναφέρεται σε ένα σύνολο παρατηρήσεων ή και μία και μόνη παρατήρηση. Για να το έχουμε πιο σαφές αυτό, μπορούμε να μεταφράζουμε ως εξής: πιθανότητα εμφάνισης του τάδε ενδεχομένου σε μια παρατήρηση (ή Ν παρατηρήσεις) είναι το ποσοστό των ευκαιριών που δίνονται σε αυτό το ενδεχόμενο να εμφανιστεί κατά την παρατήρηση (ή τις παρατηρήσεις). Η πιθανότητα εμφάνισης ενός ενδεχομένου δε συνεπάγεται δεσμευτική ή υποχρεωτική εμφάνιση αυτού σε προκαθορισμένες αναλογίες. Π.χ. κατά τη ρίψη νομίσματος δύο φορές, δεν είναι υποχρεωτικό να έρθει κορώνα τη μία. Μπορεί να έρθει και τις δύο ή καμία. Είναι μετά από πολλές επαναλήψεις ρίψεων δύο φορές που θα φανεί ότι η αναλογία των εμφανίσεων ακολουθεί το νόμο των a priori πιθανοτήτων. Αν μας επιτρέπεται η έκφραση, η ευκαιρία που ορίζουν οι πιθανότητες υπάρχει, αλλά είναι δυνατό να χαθεί προσωρινά για ένα ενδεχόμενο και υπέρ ενός άλλου. Οι πιθανότητες εκφράζουν το βαθμό της δικής μας γνώσης ή άγνοιας για το υπό μελέτη φαινόμενο, σύνολο, σύστημα κλπ. Π.χ. αν έχουμε ένα σάκκο με 50 λευκά και 50 μαύρα σφαιρίδια, και βγάλουμε ένα, τότε, πριν ανοίξουμε το χέρι μας για να το δούμε, θα πούμε πολύ σωστά, ότι η πιθανότητα να έχουμε επιλέξει μαύρο σφαιρίδιο είναι 50%. Όταν όμως ανοίξουμε το χέρι μας, γνωρίζουμε πλέον το χρώμα του και δεν έχει νόημα η οποιαδήποτε αναφορά στην πιθανότητα με βάση τη γνωστή κατανομή του πληθυσμού. Πριν ανοίξουμε το χέρι μας γνωρίζαμε την κατανομή του πληθυσμού και από αυτή προσπαθούσαμε να συμπεράνουμε το χρώμα της σφαίρας αυτό είναι το αντίστροφο από την προσπάθεια να γνωρίσουμε την κατανομή του πληθυσμού από ένα μικρότερο δείγμα. Όταν ανοίξαμε το χέρι, δε μας χρειαζόταν πλέον η κατανομή και η αναφορά σε πιθανότητες. Όταν η θεωρούμενη τυχαία μεταβλητή Χ, είναι συνεχής, τότε δεν έχει νόημα να αναφερόμαστε σε πιθανότητα μιας συγκεκριμένης τιμής x. Όπως είπαμε προηγουμένως σε σχέση με τα ποσοστά εμφάνισης, μας ενδιαφέρει το εμβαδό κάτω από την καμπύλη p(x) για ένα διάστημα (x, x+δx]. Αν περιοριστούμε σε μια τιμή x, είναι σα να θέτουμε Δx = 0, οπότε το διάστημα και άρα το αντίστοιχο εμβαδόν, είναι μηδέν. Αυτό που έχει νόημα είναι να αντιστοιχίσουμε σε μια τιμή x το εμβαδόν p(x)dx, αναφερόμενοι δηλαδή, στο απειροστό διάστημα (x, x+dx]. Σε μια τέτοια περίπτωση (συνεχούς μεταβλητής και αντίστοιχης κατανομής) λέμε ότι η p(x) παριστάνει την πυκνότητα πιθανότητας στο σημείο x, ενώ η πιθανότητα μεταξύ δύο τιμών x και x+δx, δίνεται από το ολοκλήρωμα της p(x) μεταξύ αυτών των ορίων. Όπως και τα ποσοστά στα οποία αναφερθήκαμε πιο πάνω, οι κατανομές πιθανότητας δίνονται σε κανονικοποιημένη μορφή, έτσι ώστε να ισχύει p x =1 (διακριτά δεδομένα) ή x p x dx=1 (συνεχή δεδομένα). Στη δεύτερη περίπτωση, το ολοκλήρωμα κανονικά είναι ορισμένο και τα όρια μπορεί να εκτείνονται μέχρι το ±, ανάλογα και με τη φύση του εκάστοτε προβλήματος. Παράδειγμα υπολογισμού εκ των προτέρων πιθανότητας, είναι και πάλι η ρίψη νομίσματος: αφού κανένα από τα δύο δυνατά ενδεχόμενα δεν υπάρχει λόγος να ευνοείται έναντι του άλλου, θα ισχύει Ρ(Χ=κ) = Ρ(Χ=γ) = 0.5, ή 50%. x

7 Άλλο παράδειγμα με την ίδια λογική είναι το εξής: ρίχνουμε δύο ζάρια και θέλουμε να βρούμε την πιθανότητα εμφάνισης σε κάθε ζαριά, μιας τιμής x = a + b, όπου a και b, η τιμή που δίνει κάθε ζάρι χωριστά. Σε αυτό το πρόβλημα θα μας διευκολύνει ο παρακάτω πίνακας. Στην πρώτη στήλη και πρώτη γραμμή του πίνακα έχουμε τις τιμές a και b και στα υπόλοιπα κελλιά, τα αντίστοιχα αθροίσματα x = a + b Τώρα, η ζαριά είναι το ζεύγος (a, b) και έχουμε 36 τέτοια ζεύγη που έχουν όλα ίσες ευκαιρίες να εμφανιστούν σε κάθε ρίψη. Επομένως, η πιθανότητα εμφάνισης κάθε τέτοιου ζεύγους σε μία και μόνη ζαριά θα είναι 1/36. Αλλά η τιμή x κυμαίνεται από 2 μέχρι 12, δηλαδή έχει μόνο 11 δυνατές τιμές. Επιπλέον, από τον πίνακα βλέπουμε ότι η κάθε τιμή εμφανίζεται με διαφορετική συχνότητα που μπορούμε να βρούμε μετρώντας κατά μήκος των διαγωνίων από κάτω αριστερά προς τα πάνω δεξιά και να κάνουμε έναν πίνακα συχνοτήτων όπου ουσιαστικά, μετράμε τις ευκαιρίες εμφάνισης κάθε τιμής: Τιμή, x i Πλήθος συνδυασμών με X=x i, f i A priori πιθανότητα, p i = f i/σf i Τιμή, x i Πλήθος συνδυασμών με X=x i, f i A priori πιθανότητα, p i = f i/σf i Άθροισμα, Σf i Το άθροισμα των συχνοτήτων είναι φυσικά και πάλι 36, αλλά βλέπουμε ότι οι μεσαίες τιμές εμφανίζονται συχνότερα από τις ακραίες. Καταλαβαίνουμε ότι αν κάθε συνδυασμός (a, b) έχει 1 στις 36 πιθανότητες να παρατηρηθεί σε μια και μόνη ζαριά, τότε, κάθε τιμή x = a+b έχει f(x) στις 36 πιθανότητες. Έτσι, οι τιμές 2 και 12 (άσσοι και εξάρες) είναι οι πιο απίθανοι με P(X) = 1/36, ενώ η τιμή 7 είναι η πιο πιθανή (Ρ = 6/36 = 1/6) αφού προκύπτει από τους πιο πολλούς συνδυασμούς. Σημειώνουμε ότι το άθροισμα των πιθανοτήτων είναι εξ ορισμού μονάδα αλλά στον παραπάνω πίνακα υπολογίζεται ίσο με λόγω σφαλμάτων στρογγύλευσης στον

8 υπολογισμό των επιμέρους πιθανοτήτων. Μερικοί ορισμοί και κανόνες Στο σημείο αυτό μπορούμε να δώσουμε μερικούς πιο αυστηρούς ορισμούς μερικών βασικών εννοιών που χρησιμοποιήσαμε χαλαρά μέχρι εδώ. Κάναμε λόγο για παρατηρήσεις και πειράματα. Ορίζουμε ως πείραμα τύχης εκείνο το πείραμα του οποίου το αποτέλεσμα δεν είναι δυνατό να προβλέψουμε. Θα αναφερόμαστε σε αυτό για συντομία, απλά ως πείραμα. Ο,τι προκύψει από μια μοναδική εκτέλεση του πειράματος είναι το αποτέλεσμα ή παρατήρηση και το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων είναι ο δειγματικός χώρος (συνήθως συμβολίζετα με S) του πειράματος. Ενδεχόμενο είναι κάθε υποσύνολο του δειγματικού χώρου. Π.χ. αν ρίχνουμε ένα ζάρι, μπορούμε να θεωρήσουμε το υποσύνολο των αποτελεσμάτων {1, 2, 5} ως ένα δυνατό ενδεχόμενο, δεν είναι δηλαδή μόνο τα μεμονωμένα αποτελέσματα που θεωρούμε ως ενδεχόμενα αλλά κα σύνολα περισσότερων του ενός δυνατών αποτελεσμάτων. Ακόμη και το κενό σύνολο ορίζεται ως το αδύνατο ενδεχόμενο. Ένα ενδεχόμενο πραγματοποιείται όταν τουλάχιστον ένα από τα αποτελέσματα που περιλαμβάνει, έχει συμβεί. Ορίζοντας τα ενδεχόμενα ως σύνολα, μπορούμε να κάνουμε πράξεις συνόλων μεταξύ δύο ενδεχομένων, όπως η ένωση Α U Β (όλα τα αποτελέσματα που ανήκουν είτε στο Α είτε στο Β), η τομή Α Β (μόνο τα αποτελέσματα που ανήκουν και στο Α και στο Β) και η διαφορά Α Β (τα αποτελέσματα που ανήκουν στο Α αλλά όχι στο Β). Ασυμβίβαστα είναι τα ενδεχόμενα που η τομή τους είναι το κενό σύνολο. Αυτό πρακτικά σημαίνει ότι θα πραγματοποιηθεί ή το ένα ή το άλλο (ή κανένα), αλλά ποτέ και τα δύο. Τα μεμονωμένα αποτελέσματα ενός πειράματος είναι, φυσικά, ασυμβίβαστα (π.χ. κορώνα ή γράμματα, το αποτέλεσμα ρίψης ενός ζαριού κλπ). Στη συνέχεια μπορούμε να ορίσουμε την πιθανότητα και να διατυπώσουμε ορισμένους κανόνες για το μαθηματικό χειρισμό των πιθανοτήτων διαφόρων ενδεχομένων. Έστω ο δειγματικός χώρος S. Για κάθε ενδεχόμενο Α S, ορίζουμε τον αριθμό Ρ(Α), για τον οποίο ισχύουν τα εξής: 0 Ρ(Α) 1 Ρ(S) = 1 Για ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α, Β: Ρ(Α U Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Τότε, μπορούμε να δώσουμε δύο ορισμούς για την πιθανότητα: Ορισμός a priori πιθανότητας (κατά Laplace). Αν για τα αποτελέσματα ενός πειράματος δεν έχουμε λόγο να υποθέσουμε ότι το ένα θα υπερτερεί, δηλ. θα έχει περισσότερες ευκαιρίες να εμφανιστεί, από τα άλλα, τότε για κάθε ενδεχόμενο Α, η πιθανότητα Ρ(Α) δίνεται διαιρώντας τον αριθμό των αποτελεσμάτων του δια τον αριθμό όλων των αποτελεσμάτων του S: Ρ(Α) = Ν(Α)/Ν(S) Ορισμός a posteriori πιθανότητας (κατά von Mises): αν δε γνωρίζουμε ούτε μπορούμε να υποθέσουμε ότι τα αποτελέσματα έχουν ίσες ευκαιρίες εμφάνισης, εκτελούμε το πείραμα n φορές όπου n πολύ μεγάλος αριθμός, καταγράφουμε τις συχνότητες εμφάνισης των αποτελεσμάτων και ορίζουμε βάσει αυτών την πιθανότητα κάθε ενδεχομένου, με τρόπο ανάλογο με αυτό που χρησιμοποιήσαμε τον αριθμό των δυνατών αποτελεσμάτων στον προηγούμενο ορισμό. Με τα παραπάνω αξιώματα και ορισμούς, μπορούμε να διατυπώσουμε και αποδείξουμε ορισμένους σημαντικούς κανόνες. Όταν δύο ενδεχόμενα είναι ανεξάρτητα, δηλαδή η πραγματοποίηση του ενός δεν εξαρτάται από την πραγματοποίηση του άλλου, ισχύει ο ειδικός νόμος του πολλαπλασιασμού: P( Α Β) = P(A) P(B).

9 Αυτή η σχέση χρησιμεύει και ως ορισμός της ανεξαρτησίας των ενδεχομένων: δύο ενδεχόμενα Α, Β, είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο αν και μόνο αν για αυτά ισχύει ο ειδικός νόμος του πολλαπλασιασμού. Στην πραγματικότητα, αυτή η σχέση αποτελεί ειδική περίπτωση του αντίστοιχου γενικού νόμου του πολλαπλασιασμού. Για να γίνει κατανοητός αυτός, πρέπει να εισάγουμε την έννοια της πιθανότητας υπό συνθήκη ή δεσμευμένης πιθανότητας. Αυτή είναι η πιθανότητα για ένα ενδεχόμενο όταν θεωρούμε ότι πραγματοποιείται ένα άλλο ευρύτερο ενδεχόμενο, π.χ. όταν ένα ζάρι φέρει άρτιο αριθμό, ποια η πιθανότητα αυτός να είναι ίσος με 2; Εδώ, το ενδεχόμενο Β άρτιου αριθμού {2, 4, 6} παίζει το ρόλο ενός νέου δειγματικού χώρου, υποσυνόλου του αρχικού S={1, 2, 3, 4, 5, 6} και η πιθανότητα για το ενδεχόμενο Α = {2} πρέπει να υπολογιστεί με βάση αυτόν. Θα τη συμβολίσουμε με Ρ(Α Β) και θα είναι ίση με Ρ(Α Β) = 1/3, προφανώς. Επειδή ένα ενδεχόμενο πραγματοποιείται όταν παρατηρείται ένα οποιοδήποτε από τα αποτελέσματά του, μπορούμε να επεκτείνουμε αυτή την έννοια και στην περίπτωση όπου το Β δεν είναι υπερσύνολο του Α αλλά απλώς ένα άλλο ενδεχόμενο. Π.χ. ποια είναι η πιθανότητα του Α = {1, 2} όταν πραγματοποιείται το Β = {2, 4, 6}. Ιδιαίτερη σημασία έχουν τα παραπάνω όταν κάνουμε πειράματα λήψης χωρίς επαναποτοθέτηση, για παράδειγμα: Έστω ότι σε ένα κουτί υπάρχουν 8 λευκές και 12 μαύρες σφαίρες. Παίρνουμε ένα σφαιρίδιο και από αυτά που μένουν, παίρνουμε άλλο ένα. Ποια η πιθανότητα το πρώτο να είναι μαύρο και το δεύτερο λευκό; Για το πρώτο ερώτημα: η πιθανότητα να είναι το πρώτο μαύρο είναι προφανώς Ρ(1= Μ ) = 12/20. Η πιθανότητα για το δεύτερο να είναι λευκό είναι η υπό συνθήκη πιθανότητα το δεύτερο να είναι λευκό όταν το πρώτο ήταν μαύρο. Αφού το πρώτο σφαιρίδιο δεν επανατοποθετήθηκε, έχουμε πλέον 8 λευκές και 11 μαύρες σφαίρες, άρα Ρ(2= Λ 1= Μ ) = 8/19. Τώρα, για να υπολογίσουμε την πιθανότητα Ρ(1= Μ 2= Λ ) πρέπει να σκεφτούμε ως εξής: η παρατήρησή μας είναι το χρώμα και των δύο σφαιριδίων, δηλαδή το ζεύγος Χ = (Χρώμα 1, Χρώμα 2). Επομένως, ο δειγματικός χώρος είναι το σύνολο που περιέχει όλα τα δυνατά ζεύγη πρώτων και δεύτερων σφαιριδίων, λαμβανομένων χωρίς επανατοποθέτηση. Καταλαβαίνουμε ότι ο αριθμός των συνολικών δυνατών ζευγών είναι 20 Χ (20-1) = 380, ενώ ο συγκεκριμένος συνδυασμός (1= Μ, 2= Λ ) μπορεί να ληφθεί 12 Χ 8 = 96 φορές, γιατί στην αρχή υπάρχουν και τα 12 μαύρα σφαιρίδια ενώ μετά εξακολουθούν να υπάρχουν και τα 8 λευκά. Τότε, βρίσκουμε ότι Ρ(1= Μ, 2= Λ ) = 96/380. Αλλά αυτό είναι ακριβώς ίσο με Ρ(1= Μ ) Ρ(2= Λ 1= Μ ). Αυτό δεν είναι συμπτωματικό και μπορεί να επαληθευθεί με ανάλογα συνδυαστικά επιχειρήματα και να αποδειχθεί στη γενικότητά του. Με βάση τα παραπάνω, μπορεί να διατυπωθεί ο γενικός νόμος του πολλαπλασιασμού για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύοντος του Α, ως εξής: P( Α Β) = P(A) P(B Α), αλλά και P( Α Β) = P(Β) P(Α Β) Αν ως Β πάρουμε το συνολικό δειγματικό χώρο S, τότε προφανώς ισχύει Ρ(Α) = P( Α S) και Ρ(Β) = P( Β S ) (είναι σα να λέμε η πιθανότητα να συμβεί το Α υπό την προϋπόθεση να συμβεί οτιδήποτε ). Επομένως, αν δεν υπάρχει η προϋπόθεση για το Β να έχει πραγματοποιηθεί το Α, αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να γράψουμε P( Α Β) = P(Β) P(Α S) = P( Α Β) = P(Β) P(Α ) που είναι ο ειδικός νόμος του πολλαπλασιασμού τον οποίο προαναφέραμε. Εφαρμογή του γενικού νόμου του πολλαπλασιασμό αποτελεί ο νόμος ή κανόνας ή θεώρημα του Bayes. Στο παρακάτω σχήμα παριστάνεται ο δειγματικός χώρος S που υποδιαιρείται στα ασυμβίβαστα ενδεχόμενα Α1, Α2,... Αn. Θεωρούμε ένα ενδεχόμενο Β (σκιασμένη περιοχή)

10 S B Α 1 Α 2... Α n και από το σχήμα καταλαβαίνουμε ότι Β = (Α1 Β) U (Α2 Β)... (Αn Β) και επειδή τα ενδεχόμενα (Α i Β) είναι ασυμβίβαστα, θα ισχύει n P B = i=1 n P A i B = i=1 P A i P B A i όπου η τελευταία ισότητα προκύπτει από το γενικό νόμο του πολλαπλασιασμού και μας δίνει τον τύπο ολικής πιθανότητας. Με τη βοήθειά της μπορούμε να βρούμε και την υπό συνθήκη πιθανότητα Ρ(A i B) η οποία βρίσκεται αν τη γράψουμε με βάση το γενικό νόμο πολλαπλασιασμού και εκφράσουμε το Ρ(Β) με τον τύπο ολικής πιθανότητας: P A i B =P B P A i B P A i B = P A i B P B = P A i P B A i P B = P A i P B A i n P A i P B A i i=1 Η τελευταία έκφραση είναι ο κανόνας ή θεώρημα του Bayes. Παρατηρείστε, ως μνημονικό κανόνα, ότι τα P(B A i ) είναι συντελεστές βαρύτητας των P(A i ). Παράδειγμα: Δυο μηχανές σε εργοστάσιο παράγουν το 10% και 90% της παραγωγής συγκεκριμένων αντικειμένων. Η πιθανότητα να παράγει η πρώτη μηχανή ελαττωματικό αντικείμενο είναι 0.01 και για τη δεύτερη είναι Ποια η πιθανότητα ένα ελαττωματικό αντικείμενο να έχει κατασκευαστεί από την πρώτη μηχανή; Αν Β το ενδεχόμενο να είναι το αντικείμενο ελαττωματικό και Α 1, Α 2 τα ενδεχόμενα να έχει παρασκευαστεί από την πρώτη και τη δεύτερη μηχανή αντίστοιχα, τότε επειδή δίνεται ότι το αντικείμενο είναι ελαττωματικό, εφαρμόζουμε τον τύπο του Bayes και βρίσκουμε: P A P A 1 B = 1 P B A 1 P A 1 P B A 1 P A 2 P B A 2 = = P A 2 B = = Τέλος, ας ξαναδούμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής. Μια τυχαία μεταβλητή Χ, όπως έχουμε ήδη αναφέρει, απεικονίζει τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης στο σύνολο των πραγματικών αριθμών. Κατανομή f(x) της μεταβλητής είναι μια συνάρτηση που απεικονίζει τις τιμές x της μεταβλητής στις πιθανότητες P(x) αυτών. Για συνεχείς μεταβλητές θα ισχύει P a x b = a b f x dx Αθροιστική ή σωρευτική κατανομή, F(x) ονομάζεται η συνάρτηση που ορίζεται ως F x =P X x = f u (διακριτή μεταβλητή) u x F x =P X x = f u du (συνεχής μεταβλητή) Από τους παραπάνω ορισμούς, αν Χ είναι τυχαία μεταβλητή και a < b είναι πραγματικοί αριθμοί, προκύπτουν τα παρακάτω: P (a < x b) = F(b) F(a)

11 P(X = a) = 0 αν η F(x) είναι συνεχής στο σημείο x = a και P(x=a) = μέγεθος άλματος της F στο x = a όταν η F είναι ασυνεχής στο σημείο αυτό. Στη γενική περίπτωση ισχύει: Τέλος, αν η Χ είναι συνεχής μεταβλητή, θα ισχύει: P(Χ < a) = F(a) P(X=a) df(x)/dx = f(x) Εκτός από την ομοιόμορφη, μια άλλη, πολύ σημαντική κατανομή στην οποία θα αναφερθούμε εκτενέστερα στη συνέχεια, είναι η λεγόμενη κανονική κατανομή. Αν παραστήσουμε αυτή και την ομοιόμορφη κατανομή για μια συνεχή μεταβλητή σε ένα διάγραμμα, θα πάρουμε κάτι σαν το σχήμα της επόμενης σελίδας. Δηλαδή, ενώ η ομοιόμορφη κατανομή ισοδυναμεί με ίσες πιθανότητες για όλες τις δυνατές τιμές, η κανονική κατανομή προβλέπει μεγαλύτερη πιθανότητα για τιμές που βρίσκονται κοντά σε μία μέση τιμή (εδώ, ίση με 3) όπου και η p(x) μεγιστοποιείται, ενώ όσο απομακρυνόμαστε από αυτή την τιμή, οι πιθανότητες μικραίνουν και τείνουν ασυμπτωτικά στο μηδέν. Αν και θα αναφερθούμε εκτενέστερα στη συνέχεια, θα πούμε από τώρα ότι τόσο η ομοιόμορφη όσο και η κανονική κατανομή μπορούν να περιγραφούν από σχετικά απλές μαθηματικές εκφράσεις με λίγες χαρακτηριστικές παραμέτρους που σχετίζονται με τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά τους. Για την κανονική κατανομή, μια τέτοια παράμετρος είναι η μέση τιμή, ενώ σημαντική είναι επίσης και η διασπορά, η οποία σχετίζεται με το πόσο πλατειά ή στενή είναι η εικονιζόμενη κωδονοειδής καμπύλη. Το ίδιο ισχύει και για άλλες κατανομές που είναι κατάλληλες για την περιγραφή πληθυσμών διαφόρων ειδών. 0,4 Ομοιόμορφη Κανονική 0,3 p(x) 0,2 0,1 0, Η κατανομή ενός πληθυσμού είναι ο άξονας γύρω από τον οποίο περιστρέφεται η Στατιστική. Μερικά από τα κυριώτερα προβλήματα της Στατιστικής είναι: Από τη μελέτη αντιπροσωπευτικών δειγμάτων ενός πληθυσμού να συμπεράνουμε το είδος και τη μορφή της κατανομής του, Αντίστροφα από το προηγούμενο, αν ξέρουμε ή έχουμε εκτιμήσει την κατανομή ενός πληθυσμού, να προβλέψουμε το πιθανό αποτέλεσμα μιας παρατήρησης ή ενός πειράματος ή τα χαρακτηριστικά ενός δείγματος. Παρόμοια, να προβλέψουμε την πιθανότητα εμφάνισης ακραίων τιμών, x Να εκτιμήσουμε τη βεβαιότητα με την οποία κάποια αποτελέσματα προκύπτουν από τη

12 δεδομένη κατανομή του πληθυσμού και όχι κατά τύχη (ομοιόμορφη κατανομή) ή από άλλη κατανομή βλ. έλεγχος υποθέσεων, όπου θα αναφερθούμε σε επόμενες ενότητες. Σε όλες τις περιπτώσεις γνωρίζουμε ή θέλουμε να μάθουμε την κατανομή του πληθυσμού. Αν γνωρίζουμε τη μορφή της (π.χ. κανονική κατανομή) μπορούμε να την περιγράψουμε επαρκώς με κατάλληλες παραμέτρους, μερικές από τις οποίες υπεισέρχονται και στην αναλυτική μαθηματική έκφραση της κατανομής, όπως αναφέραμε. Ποσότητες ανάλογες με τις παραμέτρους του συνολικού πληθυσμού μπορούμε να ορίσουμε και για τα επιμέρους δείγματα. Αυτές οι ποσότητες λέγονται στατιστικά και οι τιμές τους εν γένει διαφέρουν από αυτές των πληθυσμιακών παραμέτρων, αλλά στο βαθμό που τα δείγματα είναι αντιπροσωπευτικά και το μέγεθός τους αυξάνει, τα στατιστικά τείνουν να ταυτιστούν με τις παραμέτρους όπως και οι αντίστοιχες κατανομές. Η μέση τιμή όσον αφορά τον πληθυσμό και ο αριθμητικός μέσος όσον αφορά τα δείγματα είναι η πιο γνωστή περίπτωση παραμέτρου και στατιστικού αντίστοιχα και δίνει μια βασική ιδέα για την κεντρική τάση των δεδομένων μας. Άλλη γνωστή παράμετρος/στατιστικό είναι η τυπική απόκλιση που δίνει μια ιδέα για το πόσο διεσπαρμένα είναι τα δεδομένα γύρω από τη μέση τιμή. Αυτά και άλλα στατιστικά και παράμετροι θα συζητηθούν αναλυτικότερα στην επόμενη ενότητα.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή

Η Κανονική Κατανομή κανονική κατανομή (normal distribution) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem) συνδέει οποιαδήποτε άλλη κατανομή Η Κανονική Κατανομή H κανονική κατανομή (ormal dstrbuto) θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της, είναι βασικά δύο: ) Πολλές

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Η καταληκτική ημερομηνία για την παραλαβή

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE)

ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ 2 (CHI-SQUARE) ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE) ΟΚΙΜΑΣΙΕΣ χ (CI-SQUARE). Εισαγωγή Οι στατιστικές δοκιμασίες που μελετήσαμε μέχρι τώρα ονομάζονται παραμετρικές (paramtrc) διότι χαρακτηρίζονται από υποθέσεις σχετικές είτε για

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Άσκηση Φ8.1 Τρεις λαμπτήρες επιλέγονται τυχαία από ένα σύνολο 15 λαμπτήρων εκ των οποίων οι 5 είναι ελαττωματικοί. (α) Βρέστε την πιθανότητα κανείς από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Βασικές έννοιες

Στατιστική. Βασικές έννοιες Στατιστική Βασικές έννοιες Τι είναι Στατιστική; ή μήπως είναι: Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων επιστημών, η οποία βασίζεται σ ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών που έχουν σκοπό: Το σχεδιασμό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης

Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΑΤΙΚΑ ΠΑΙΓΝΙΑ ΕΛΛΙΠΟΥΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ 67 Στατικά Παίγνια Ελλιπούς Πληροφόρησης ΣΤΟ ΠΑΡOΝ ΚΕΦAΛΑΙΟ ξεκινά η ανάλυση των παιγνίων ελλιπούς πληροφόρησης, τα οποία ονομάζονται και μπεϋζιανά παίγνια (bayesa

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Η κανονική κατανομή ανακαλύφθηκε γύρω στο 720 από τον Abraham De Moivre στην προσπάθειά του να διαμορφώσει Μαθηματικά που να εξηγούν την τυχαιότητα. Γύρω στο 870, ο Βέλγος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ AΝΑΛΟΓΙΕΣ Α. Περίπτωση Ενός Πληθυσμού Έστω ότι μελετάμε μια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιμών κάθε μία από τις οποίες οδηγεί είτε σε επιτυχία είτε σε αποτυχία με σταθερή

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Πολλαπλασιαστική αρχή (multiplicatio rule). Έστω ότι ένα πείραμα Ε 1 έχει 1 δυνατά αποτελέσματα. Έστω επίσης ότι για κάθε ένα από αυτά τα δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα

ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα ΦΥΣ 114 - Διαλ.01 1 Θεωρία - Πείραμα Μετρήσεις - Σφάλματα q Θεωρία: Η απάντηση που ζητάτε είναι αποτέλεσμα μαθηματικών πράξεων και εφαρμογή τύπων. Το αποτέλεσμα είναι συγκεκριμένο q Πείραμα: Στηρίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 57-2278101 Φαξ: 57-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ-13 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 2010-11 Τρίτη Γραπτή Εργασία στη Στατιστική Γενικές οδηγίες

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια Σημαντική μάλιστα ώθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑ Στα πλαίσια της ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ προσπαθούµε να προσεγγίσουµε τα χαρακτηριστικά ενός συνόλου (πληθυσµός) δια της µελέτης των χαρακτηριστικών αυτών επί ενός µικρού

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

0 1 0 0 0 1 p q 0 P =

0 1 0 0 0 1 p q 0 P = Στοχαστικές Ανελίξεις - Σεπτέμβριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282

Συνεχή Κλάσματα. Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 Συνεχή Κλάσματα Εμμανουήλ Καπνόπουλος Α.Μ 282 5 Νοεμβρίου 204 Ορισμός και ιδιότητες: Ορισμός: Έστω a 0, a, a 2,...a n ανεξάρτητες μεταβλητές, n N σχηματίζουν την ακολουθία {[a 0, a,..., a n ] : n N} όπου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA)

ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA) ΑΝΑΛΥΣΗ ΤΗΣ ΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ (ΑΝOVA). Εισαγωγή Η ανάλυση της διακύμανσης (ANalysis Of VAriance ANOVA) είναι μια στατιστική μεθόδος με την οποία η μεταβλητότητα που υπάρχει σ ένα σύνολο δεδομένων διασπάται στις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis)

ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 23 ΜΕΤΑ-ΑΝΑΛΥΣΗ (Meta-Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχοντας παρουσιάσει τις βασικές έννοιες των ελέγχων υποθέσεων, θα ήταν, ίσως, χρήσιμο να αναφερθούμε σε μια άλλη περιοχή στατιστικής συμπερασματολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Ελαφρύτερος και βαρύτερος Αλγόριθμοι ταξινόμησης

Ελαφρύτερος και βαρύτερος Αλγόριθμοι ταξινόμησης 7η Δραστηριότητα Ελαφρύτερος και βαρύτερος Αλγόριθμοι ταξινόμησης Περίληψη Οι υπολογιστές χρησιμοποιούνται συχνά για την ταξινόμηση καταλόγων, όπως για παράδειγμα, ονόματα σε αλφαβητική σειρά, ραντεβού

Διαβάστε περισσότερα

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress.

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress. 3-4 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ttp://cutemats.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η παρούσα εργασία

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 2008 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 29.9.2008 Γραπτή Εξέταση Περιόδου Σεπτεμβρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 9.9.8. [] Μια βιομηχανία τροφίμων προμηθεύεται νωπά κοτόπουλα από τρεις διαφορετικούς παραγωγούς Α, Β, Γ. Το % των κοτόπουλων

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι

Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις. Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Οι ιδιότητες των αερίων και καταστατικές εξισώσεις Θεόδωρος Λαζαρίδης Σημειώσεις για τις παραδόσεις του μαθήματος Φυσικοχημεία Ι Τι είναι αέριο; Λέμε ότι μία ουσία βρίσκεται στην αέρια κατάσταση όταν αυθόρμητα

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός

Γραμμικός Προγραμματισμός Γραμμικός Προγραμματισμός Εισαγωγή Το πρόβλημα του Σχεδιασμού στη Χημική Τεχνολογία και Βιομηχανία. Το συνολικό πρόβλημα του Σχεδιασμού, από μαθηματική άποψη ανάγεται σε ένα πρόβλημα επίλυσης συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo ΦΥΣ 145 - Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo Χρησιμοποίηση τυχαίων αριθμών για επίλυση ολοκληρωμάτων Η μέθοδος Monte Carlo δίνει μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση ενός ολοκληρώμτατος Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις. Μια μηχανή εμφιάλωσης κρασιού γεμίζει φιάλες του μισού κιλού με ποσότητα κρασιού η οποία είναι κανονική τυχαία μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 3ο Διατάξεις και μεταθέσεις 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ-ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ- ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ 2.1 Διατάξεις και μεταθέσεις 2.2 Κυκλικές διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι:

Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: Κατανοµές ειγµατοληψίας 1.Εισαγωγή Οι θεµελιώδεις έννοιες που απαιτούνται στη Επαγωγική Στατιστική (Εκτιµητική, ιαστήµατα Εµπιστοσύνης και Έλεγχοι Υποθέσεων) είναι: 1. Στατιστικής και 2. Κατανοµής ειγµατοληψίας

Διαβάστε περισσότερα

5η Δραστηριότητα. Λύσε το γρίφο Η Θεωρία της Πληροφορίας. Περίληψη. Λπν τ φνντ π τν πρτσ. Ικανότητες. Ηλικία. Υλικά

5η Δραστηριότητα. Λύσε το γρίφο Η Θεωρία της Πληροφορίας. Περίληψη. Λπν τ φνντ π τν πρτσ. Ικανότητες. Ηλικία. Υλικά 5η Δραστηριότητα Λύσε το γρίφο Η Θεωρία της Πληροφορίας Περίληψη Πόση πληροφορία περιέχεται σε ένα βιβλίο των 1000 σελίδων; Υπάρχει περισσότερη πληροφορία σε έναν τηλεφωνικό κατάλογο των 1000 σελίδων ή

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 19 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ ΚΑΙ ΑΝΑΛΟΓΙΩΝ ΔΥΟ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΛΗΘΥΣΜΩΝ Όταν ενδιαφερόμαστε να συγκρίνουμε δύο πληθυσμούς, η φυσιολογική προσέγγιση είναι να προσπαθήσουμε να συγκρίνουμε

Διαβάστε περισσότερα

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100

1-3 10 1-3 6 3-5 40 3-5 30 5-7 20 5-7 20 7-9 20 7-9 30 9-11 8 9-11 10 11-13 2 11-13 4 Σύνολο 100 Σύνολο 100 1. (Εξεταστ. Φεβ. 2004) Μια µεγάλη εταιρία θέλει να εξετάσει εάν το εκπαιδευτικό πρόγραµµα που ακολουθήσανε οι 100 πωλητές της ήταν αποτελεσµατικό (δηλαδή εάν αυξήθηκαν οι πωλήσεις). Οι δύο παρακάτω πίνακες

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΠΑΡΙΘΜΗΣΗΣ 1.1 Απαρίθμηση και καταγραφή 1.2 Η αρχή του αθροίσματος 1.3 Η πολλαπλασιαστική αρχή 1.4 Άλλοι κανόνες απαρίθμησης 1.5 Πιθανότητες σε πεπερασμένους δειγματικούς χώρους 1.6 Γενικές

Διαβάστε περισσότερα

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας

ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ. Μάθημα : Στατιστική Ι. Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας ΙΕΚ ΞΑΝΘΗΣ Μάθημα : Στατιστική Ι Υποενότητα : Τρόποι και μέθοδοι δειγματοληψίας Επαμεινώνδας Διαμαντόπουλος Ιστοσελίδα : http://users.sch.gr/epdiaman/ Email : epdiamantopoulos@yahoo.gr 1 Στόχοι της υποενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων

Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων Μετρήσεις Αβεβαιότητες Μετρήσεων 1. Σκοπός Σκοπός του μαθήματος είναι να εξοικειωθούν οι σπουδαστές με τις βασικές έννοιες που σχετίζονται με τη θεωρία Σφαλμάτων, όπως το σφάλμα, την αβεβαιότητα της μέτρησης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα