3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε"

Transcript

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π ε ι ρ α μ α τ υ χ η ς - Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς χ ω ρ ο ς. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,. Aν οσες α, β φορες θετικοι και, να να συγκρινεται επαναληφθει τους κατω αριθμους απο τις Α ιδιες = α + συνθηκες. β, Β = α β + αβ. Δειγματικος χωρος Ω: ενος πειραματος τυχης ονομαζεται το συνολο ολων των δυνατων αποτελεσματων που μπορουν να εμφανιστουν κατα την εκτελεση του πειραματος. Δηλαδη αν ω, ω,, ω ν τα δυνατα αποτελεσματα του πειραματος, τοτε ο δειγματικος χωρος ειναι: Ω = { ω, ω,, ω ν }. Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο Ενδεχομενο Α: ενος πειραματος τυχης, λεγεται το συνολο που εχει για στοιχεια του ενα ή περισσοτερα δυνατα αποτελεσματα του πειραματος. Δηλαδη το ενδεχομενο Α ειναι ενα υποσυνολο του δειγματικου χωρου Ω: Α Ω Tο πληθος των στοιχειων ενος ενδεχομενου Α συμβολιζεται με Ν(Α). Πραγματοποιηση ενος ενδεχομενου : Ενα ενδεχομενο Α πραγματοποιειται οταν το αποτελεσμα του πειραματος ειναι στοιχειο του ενδεχομενου. Τα στοιχεια του ενδεχομενου Α λεγονται και ευνοϊκες περιπτωσεις για την πραγματοποιηση του. Διακριση των ενδεχομενων Απλο (ή στοιχειωδες) ενδεχομενο: ειναι αυτο που εχει μονο ενα στοιχειο. Συνθετο ενδεχομενο: ειναι αυτο που εχει δυο ή περισσοτερα στοιχεια. Βεβαιο ενδεχομενο: ειναι αυτο που πραγματοποιειται παντοτε (δηλαδη σε καθε εκτελεση του πειραματος) και ταυτιζεται με τον δειγματικο χωρο Ω. Αδυνατο ενδεχομενο: ειναι αυτο που δεν πραγματοποιειται ποτε και ταυτιζεται με το κενο συνολο. H Εννοια του διανυσματος

2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ (Α, Β) Συμβολισμος: Α Διαβαζεται: Οχι Α η αντιθετο του Α η συμπληρωμα του Α Πραγματοποιειται αν: Δεν πραγματοποιειται το ενδεχομενο Α Α Διαγραμμα Venn Α Ω Συμβολισμος: Α Β Διαβαζεται: Α ενωση Β η Α η Β Πραγματοποιειται αν: Πραγματοποιειται τουλαχιστον ενα απο τα ενδεχομενα Α η Β Συμβολισμος: Α Β Διαβαζεται: Α τομη Β η Α και Β Πραγματοποιειται αν: Πραγματοποιουνται συγχρονως τα ενδεχομενα Α και Β Συμβολισμος: Α Β' η Α - Β Διαβαζεται: Διαφορα του Β απ το Α Πραγματοποιειται αν: Πραγματοποιειται το ενδεχομενο Α αλλα οχι το ενδεχομενο Β Α Α Α Διαγραμμα Venn Διαγραμμα Venn Διαγραμμα Venn Β Ω Β Ω Β Ω Συμβολισμος: Β Α' η Β - Α Διαβαζεται: Διαφορα του Α απ το Β Πραγματοποιειται αν: Πραγματοποιειται το ενδεχομενο Β αλλα οχι το ενδεχομενο Α Α Διαγραμμα Venn Β Ω

3 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ (Α, Β) Συμβολισμος: (Α - Β) (Β - Α) η (Α Β') (Β Α') Διαβαζεται: Διαφορα του Β απ το Α η Διαφορα του Α απ το Β Πραγματοποιειται αν: Πραγματοποιειται μονο το ενδεχομενο Α η μονο το ενδεχομενο Β Α Διαγραμμα Venn Β Ω Α σ υ μ β ι β α σ τ α Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α Δυο ενδεχομενα Α, Β λεγονται ασυμβιβαστα η ξενα μεταξυ τους η αμοιβαιως αποκλειομενα, αν ισχυει: Α Β = Δηλαδη αυτα που δεν μπορουν να πραγματοποιηθουν συγχρονως. Στον παρακατω πινακα τα Α και Β συμβολιζουν ενδεχομενα ενος πειραματος και το ω ενα αποτελεσμα του πειραματος αυτου. Στην αριστερη στηλη του πινακα αναγραφονται διαφορες σχεσεις για τα Α και Β διατυπωμενες στην κοινη γλωσσα, και στη δεξια στηλη αναγραφονται οι ιδιες σχεσεις αλλα διατυπωμενες στη γλωσσα των συνολων. Το ενδεχομενο Α πραγματοποιειται ω Α Το ενδεχομενο Α δεν πραγματοποιειται ω Α' η ω Α Ενα τουλαχιστον απ τα Α και Β πραγματοποιειται ω Α Β Α Διαγραμμα Venn Β Ω Πραγματοποιειται και το Α και το Β ω Α Β Δεν πραγματοποιειται ουτε το Α ουτε το Β ω (Α Β)' Πραγματοποιειται μονο το Α ω Α - Β η ω Α Β' Αν πραγματοποιειται το Α, τοτε πραγματοποιειται και το Β Α Β

4 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 4 Ε ι σ α γ ω γ η Στην εκτελεση ενος πειραματος τυχης δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα και κατα συνεπεια δεν γνωριζουμε αν θα πραγματοποιηθει καποιο ενδεχομενο Α του δειγματικου χωρου. Σε πολλα ομως πειραματα εχουμε ενα μετρο προσδοκιας για την πραγματοποιηση ενος ενδεχομενου, π.χ. στη ριψη αμεροληπτου ζαριου η προσδοκια μας να ελθει εξαρι ειναι μια στις εξι. Αυτο το μετρο προσδοκιας πραγματοποιησης του ενδεχομενου λεγεται πιθανοτητα του Α και συμβολίζεται Ρ(Α). Επομενως σε καθε ενδεχομενο Α μπορουμε να αντιστοιχισουμε την πιθανοτητα του Ρ(Α) να πραγματοποιηθει. Σ χ ε τ ι κ η Σ υ χ ν ο τ η τ α Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο υ Λεγεται το πηλικο κ, οπου ν ειναι ο αριθμος εκτελεσεων του πειραματος και κ ο αριθμος που δειχνει ποσες φορες πραγματοποιηθηκε το ενδεχομενο Α. ν κ δηλαδη : f = A ν Ειδικα για τα απλα ενδεχομενα {ω }, {ω },, {ω ν } του δειγματικου χωρου Ω, που πραγματοποιουνται κ, κ,, κ ν φορες αντιστοιχως σε ν επαναληψεις του πειραματος, οι σχετικες τους συχνοτητες ειναι : κ κ κ λ f=, f =,, f = ν ν λ ν Ο νoμος των μεγaλων αριθμων Η σχετικη συχνοτητα ενος ενδεχομενου σταθεροποιειται γυρω απο μια συγκεκριμενη αριθμητικη τιμη, καθως ο αριθμος των επαναληψεων του πειραματος αυξανει απεριοριστα Ι σ ο π ι θ α ν α Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α Τα απλα ενδεχομενα ω, ω,, ω ν ενος δειγμ. χωρου Ω = { ω, ω,, ω ν } λεγονται ισοπιθανα, οταν εχουν την ιδια συχνοτητα εμφανισης κατα την εκτελεση του πειραματος. Δηλαδη η σχετικη συχνοτητα για καθ ενα απο αυτα ειναι ν Για ενα συνθετο ενδεχομενο Α = { α, α,, α κ } που αποτελειται απο κ ισοπιθανα κ ενδεχομενα η σχετικη συχνοτητα του είναι: f =f + f f = = A κ ν ν ν ν κ φορες

5 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 5 Κ λ α σ σ ι κ ο ς Ο ρ ι σ μ ο ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς Εστω τα απλα ισοπιθανα ενδεχομενα ω, ω,, ω ν ενος δειγματικου χωρου Ω = { ω, ω,, ω ν }. Πιθανότητα Ρ(Α) του ενδεχομένου Α: πληθος ευνοϊκων περιπτωσεων του Α N(A) ειναι το πηλικο Ρ(Α) = = πληθος δυνατων περιπτωσεων N(Ω) Ιδιοτητες Ρ(ω i ) = ν, i =,,, ν Ρ(Ω) = Ρ( ) = 0 0 Ρ(Α) Α ξ ι ω μ α τ ι κ ο ς Ο ρ ι σ μ ο ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς Εστω Ω = {ω,ω,...,ω } ενας δειγματικος χωρος με πεπερασμενο πληθος στοιχειων. ν Σε καθε απλο ενδεχομενο {ω } αντιστοιχιζουμε εναν πραγματικο αριθμο, που τον i συμβολιζουμε με P(ω ), ετσι ωστε να ισχυουν i 0 P(ω ) P(ω ) + P(ω ) P(ω ) =. i ν Τον αριθμο P(ω ) ονομαζουμε πιθανοτητα του ενδεχομενου {ω }. i i Ως πιθανοτητα ενος ενδεχομενου A = {α,α,...,α } οριζουμε το αθροισμα κ P(α ) + P(α ) P(α ), δηλαδη κ P(A) = P(α ) + P(α ) P(α ) κ Ως πιθανοτητα του αδυνατου ενδεχομενου οριζουμε τον αριθμο P( ) = 0. Παρατηρησεις Αν Ρ(ω i ) =, i =,,, ν, εχουμε τον κλασικο ορισμο της πιθανοτητας. Τοτε : ν H πιθανοτητα του βεβαιου ενδεχομενου Ω ειναι P(Ω)=. H πιθανοτητα του ενδεχομενου Α = {α, α,, α κ } ειναι N(A) κ P(A) = = N(Ω) ν Οταν εχουμε ενα δειγματικο χωρο Ω = {ω,ω,...,ω } και χρησιμοποιουμε τη φραση ν παιρνουμε τυχαια ένα στοιχειο του Ω, εννοουμε οτι ολα τα δυνατα αποτελεσματα ειναι ισοπιθανα με πιθανοτητα P(ω ) =, i =,,..., v. v i

6 ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 6 Απλος προσθετικος νομος (για ασυμβιβαστα ενδεχομενα) Για οποιαδηποτε ασυμβιβαστα μεταξυ τους ενδεχομενα Α και Β ισχυει: P(AU B) = P(A) + P(B) Αν N(A) = κ και N(B) = λ, τοτε το AUB εχει κ + λ στοιχεια, γιατι αλλιως τα Α και Β δε θα ηταν ασυμβιβαστα. Δηλαδη, εχουμε N(AUB) = κ + λ = N(A) + N(B). Επομενως: N(AU B) N(A) + N(B) P(AU B) = = N(Ω) N(Ω) N(A) N(B) = + = P(A) + P(B). N(Ω) N(Ω). Ισχυει και για περισσοτερα απο δυο ενδεχομενα. Ετσι, αν τα ενδεχομενα Α, Β και Γ ειναι ανα δυο ασυμβιβαστα θα εχουμε P(AUB UΓ) = P(A) + P(B) + P(Γ). Πιθανοτητα συμπληρωματικου Για δυο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και P(A ) = - P(A) A (ασυμβιβαστα) ισχύει: P(AU A ) = P(A) + P(A ) P(Ω) = P(A) + P(A ) = P(A) + P(A ). Οποτε P(A ) = - P(A). Προσθετικος νομος ( για τυχαια ενδεχομενα) Για δυο ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Για δυο ενδεχομενα Α και Β έχουμε: N(A B) = N(A) + N(B) - N(A B), () αφου στο αθροισμα N(A) + N(B) το πληθος των στοιχειων του A B υπολογιζεται δυο φορες. Αν διαιρεσουμε τα μελη της () με N(Ω) εχουμε: N(A B) N(A) N(B) N(A B) = + - N(Ω) N(Ω) N(Ω) N(Ω). οποτε P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B). Πιθανοτητα υποσυνολου Αν A B, τότε P(A) P(B) Επειδη A B εχουμε διαδοχικα: N(A) N(B) N(A) N(B) P(A) P(B). N(Ω) N(Ω)

7 ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 7 Πιθανοτητα Διαφορας Για δυο ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει: P(A- B) = P(A) - P(A B) Επειδη τα ενδεχομενα A -B και A B ειναι ασυμβιβαστα και (A - B) (A B) = A, εχουμε: P(A) = P(A - B) + P(A B). Αρα P(A - B) = P(A) - P(A B). Πιθανοτητα Συμμετροδιαφορας Για δυο ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει: P((A- B) (B - A)) = P(A) + P(B) - P(A B) P((A - B) (Β - Α)) = P(A - Β) + P(Β - Α) = Ρ(Α) - Ρ(Α Β) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) =. = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β)

8 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εχουμε δυο κουτια α και β.το κουτι α περιεχει μια κοκκινη (Κ) μπαλα, μια. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; ασπρη (Α) και μια μαυρη (Μ), ενω το κουτι β περιεχει μια ασπρη (Α) και μια μαυρη (Μ) μπαλα.. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ Επιλεγουμε ενα κουτι στη τυχη και στη συνεχεια μια μπαλα απ'αυτο. Να γραψετε το δειγματικο χωρο του πειραματος. Ποιο ειναι το ενδεχομενο Α : " η μπαλα ειναι μαυρη ". Ριχνουμε το ζαρι μια φορα και παρατηρουμε την ενδειξη του. Να προσδιορισετε τα ενδεχομενα : Α : " ενδειξη αρτια " Β : " ενδειξη μεγαλυτερη του " H κατασταση του πειραματος φαινεται στο δεντροδιαγραμμα: Ο δειγματικος χωρος ειναι : Κ ακ Ω = {ακ, αα, αμ, βα, βμ} Α ρ χ η Α Β, Α Β, Α', Α Β' Ο δειγματικος χωρος του πειραματος ειναι : Ω = {,,,4,5,6}. Α = {,4,6} Β = {4,5,6} Α Β = {4,6} Α Β = {,4,5,6} Α' = {,, 5} α β (ενδειξη αρτια και μεγαλυτερη του ) (ενδειξη αρτια η μεγαλυτερη του ) (ενδειξη οχι αρτια δηλαδη περιττη) Α Β' = {} (ενδειξη αρτια και οχι μεγαλυτερη το υ ) Α Μ Α Μ αα αμ βα βμ Το ενδεχομενο "η μπαλα ει - ναι μαυρη" ειναι : Α = {αμ,βμ} Ω Εχουμε ενα κουτι που περιεχει κοκκινες, 4 μπλε και 5 ασπρες μπαλες. Επιλεγουμε μια μπαλα στη τυχη. Να υπολογισετε τις πιθανοτητες των ενδεχομενων : Α : " η μπαλα ειναι κοκκινη " Β : " η μπαλα δεν ειναι ασπρη " Γ : " η μπαλα ειναι μπλε η ασπρη "

9 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ν(Ω) = = Οι κοκκινες μπαλες ειναι, οποτε Ν(Α) =. Οι μπαλες που δεν ειναι ασπρες, ειναι μπλε η κοκκινες, οποτε Ν(Β) = 4 + = 6. Οι μπαλες που ειναι ασπρες η μπλε ειναι 9 (5 + 4), οποτε Ν( Γ) = 9. Ετσι Ν(Α) Ν(Β) 6 Ν(Γ) 9 Ρ(Α) = = Ρ(Β) = = Ρ(Γ) = = Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) Εστω Ω = {,,...,0} ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης και τα εν - δεχομενα : Α : " αρτιος " Β : " τελειο τετραγωνο " Γ : " περιττος " Δ : " αρτιος και τελειο τετραγωνο " Ε : " αρτιος ητελειο τετραγωνο " Ζ : " αρτιος και περιττος " Η : " αρτιος η περιττος " α. Να αντιστοιχισετε τα ενδεχομενα Γ εως Η με τα συμβολα : Α Β,, Ω, Α Β, Α' β. Να βρειτε τις πιθανοτητες των πιο πανω ενδεχομενων. α. Γ - Α' Δ - Α Β Ε - Α Β Ζ - Η - Ω β. Ν(Ω) = 0 Ν(Α) = 0, αφου Α = {, 4,6,8,0,,4,6,8,0} Ν(Β) = 4, αφου Β = {, 4,9,6} Ν(Γ) = 0, αφου Γ = {,,5, 7,9,,,5,7,9} Ν(Δ) =, αφου Δ = {4,6} Ν(Ε) =, αφου Ε = {,, 4,6,8,9,0,,4,6,8,0} Ν(Ζ) = 0, αφου Ζ = Ν(Η) = 0, αφου Η = Ω Ετσι Ν(Α) 0 Ν(Β) 4 Ρ(Α) = = = Ρ(Β) = = = Ν(Ω) 0 Ν(Ω) 0 5 Ν(Γ) 0 Ν(Δ) Ρ(Γ) = = = Ρ(Δ) = = = Ν(Ω) 0 Ν(Ω) 0 0 Ν(Ε) Ν(Ζ) 0 Ρ(Ε) = = = Ρ(Ζ) = = = 0 Ν(Ω) 0 5 Ν(Ω) 0 Ν(Η) 0 Ρ(Η) = = = Ν(Ω) 0

10 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εστω Ω = {ω, ω, ω } ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης και τα ενδεχομενα Α = {ω, ω } και Β = { ω, ω }. 4 Αν Ρ(Α) = και Ρ(Β) = να υπολογισετε τις πιθανοτητες : 5 Ρ(ω ), Ρ(ω ), Ρ(ω ). Αφου Ω = x i {ω, ω, ω v i } τοτε : f i f i % Ρ(ω ) + Ρ(ω 0 ) + Ρ(ω ) = Ρ(Ω) 0,0 Ρ(ω ) + Ρ(ω 0 ) + Ρ(ω ) = () Αφου Α = {ω, ω } τοτε 4 : 0, ,50 50 Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = Ρ(Α) Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = () 0, ,0 0 Απο () - () προκυπτει : Ρ(ω ) = - = () Συν ν=0 00 Αφου Β = {ω, ω } τοτε : () 4 4 Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = Ρ(Β) Ρ(ω ) + = Ρ(ω ) = - Ρ(ω ) = (4) Απο τις (), (), (4) προκυπτει : Ρ(ω ) + + = Ρ(ω ) = - - Ρ(ω ) = Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α) = Ρ(Β) = 0,6 και Ρ(Α Β) = 0,4. Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Να βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων : Γ : " να πραγματοποιηθει το Α η το Β " Δ : " να μην πραγματοποιηθει κανενα απο τα Α και Β " Αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα, τοτε : Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) = 0,6 + 0,6 =, >, ατοπο γιατι Ρ(Α Β). Αρα τα ενδεχομενα Α και Β δεν ειναι ασυμβιβαστα. " να πραγματοποιηθει το Α η το Β " σημαινει Α Β, οποτε : Ρ(Γ) = Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β = 0,6 + 0,6-0, 4 = 0,8 "να μην πραγματοποιηθει κανενα απο τα Α και Β" σημαινει (Α Β)', οποτε : Ρ(Δ) = Ρ[(Α Β)'] = - Ρ(Α Β) = - 0,8 = 0, Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α Β) = 0,9 και Ρ(Α') = 0,4 ενω Ρ(Α Β) = 0,5. Να βρειτε τις πιθανοτητες : Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Α - Β), Ρ(Β - Α), Ρ[(Α - Β) (Β - Α)].

11 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 Ρ(Α) = - Ρ(Α') = - v 0, = N 4 = = 0, f% Ρ(ΑUΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) f = = = και = f.v = 0,0.50 = - 00 Ρ(Α Β) 0,0 0,9 F = 0,6 v+ Ρ(Β) - 0,5 Ρ(Β) 5 = 0,9 Ν - 0,6 + 0,5 = 0,8 ν v = Ν - Ν = 6-5 και f = = = 0, Ρ(Α - Β) = Ρ(Α) - Ρ(Α Β) = 0,6-0,5 = 0, ν 50 F = f + f = 0, + 0, = 0, Ρ(Β - Α) = Ρ(Β) - Ρ(Α Β) F % = 0,850-0,5 = 0, F = = = 0,50 και f = F - F = 0,5-0, = 0, Ρ[(Α- Β) (Β - Α)] = Ρ(Α - Β) + Ρ(Β - Α) = 0, + v0, = f.v = 0,8.50 = 9 = 0,4 v = ν - (ν ν ν ν ) = 50-9 = 4 4 Σε ενα μη αμεροληπτο ζαρι οι πιθανοτητες εμφανισης καθε εδρας δινονται απο τη σχεση: 4P() = 4P() = 4P() = 4P(4) = P(5) = P(6) Να βρεθουν οι πιθανοτητες εμφανισης της καθε εδρας. Να βρεθει η πιθανοτητα του ενδεχομενου Α: η ενδειξη να ειναι αρτιος αριθμος. Θετουμε Ρ() = Ρ() = Ρ() = Ρ(4) = x, οποτε : Ρ(5) = x και Ρ(6) = 4x. Ομως Ρ() + Ρ() + Ρ() + Ρ(4) + Ρ(5) + Ρ(6) = x + x + x + x + x + 4x = 0x = x = 0 4 Aρα, Ρ() = Ρ() = Ρ() = Ρ(4) =, Ρ(5) = και Ρ(6) = : Ρ(Α) = Ρ() + Ρ(4) + Ρ(6) = + + = Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α') 0,5 και Ρ(Β') 0,7. Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β),05 - Ρ(Α Β) Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα Ρ(Α')=-Ρ(Α) Ρ(Α') 0,5 - Ρ(Α) 0,5 Ρ(Α) 0,75 () Ρ(Β')=-Ρ(Β) Ρ(Β') 0,70 - Ρ(Β) 0,70 Ρ(Β) 0,0 () Απο () + () : Ρ(Α) + Ρ(Β) 0, =,05 Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β).05 - Ρ(Α Β) () Απ' το προσθετικο νομο των πιθανοτητων η () γινεται : Ρ(Α Β).05 - Ρ(Α Β) Ρ(Α Β),05 - Ρ(Α Β) Εστω οτι τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Τοτε : Ρ(ΑUΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) = 0, =,05 >, που ειναι ατοπο. Αρα τα ενδεχομενα Α και Β δεν ειναι ασυμβιβαστα.

12 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5 Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α) = και Ρ(Β) =. 4 8 Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β) Εστω οτι τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Τοτε : 9 Ρ(ΑUΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) = + = >, που ειναι ατοπο Αρα τα ενδεχομενα Α και Β δεν ειναι ασυμβιβαστα. Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) τοτε 4 Ρ(Α Β) Β Α Β Ρ(Β) Ρ(Α Β) 4 Ρ(Α Β) 8 Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α) Α Β Β τοτε Ρ(Α Β) Ρ(Β) 0 Ρ(Α Β) 0 Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) 4 4 Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Β) = και Ρ(Α Β) =. 4 5 Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α). Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Α Β) 0 -Ρ(Α Β) 0 Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α) Ρ(Α) Ρ(Α) Ρ(Α) 5 Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α) + - Ρ(Α) Ρ(Α) Ρ(Α)

13 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6 Εστω Α ενδεχομενο ενος δειγματικου χωρου Ω με : 0 < Ρ(Α) <. Να αποδειχτει οτι : + 4. Ρ(Α) Ρ(Α') Αφου 0 < Ρ(Α) < τοτε 0 < - Ρ(Α') < - < -Ρ(Α') < 0 Ρ(Α') > 0. Ρ(Α) + Ρ(Α') Ρ(Α) + Ρ(Α') 4Ρ(Α).Ρ(Α') Ρ(Α) Ρ(Α') Ρ(Α).Ρ(Α') Ρ(Α) + - Ρ(Α) 4Ρ(Α).[ - Ρ(Α)] 4Ρ(Α) - 4[Ρ(Α)] + 4[Ρ(Α)] - 4Ρ(Α) 0 [ - Ρ(Α)] 0, που αληθευει. Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Α,Β και α αριθμος θετικος. Να εξετασετε αν υπαρχουν τιμες του α, ωστε οι αριθμοι :,, α α να ειναι οι πιθανοτητες των ενδεχομενων Α, Β και Α Β αντιστοιχα. Θα εξετασουμε αν υπαρχει α > 0 ωστε : Ρ(Α) =, Ρ(Β) =, Ρ(Α Β) =. α α Οι αριθμοι,, πρεπει να ανηκουν στο διαστημα (0,] σαν πιθανοτητες ενδεχομενων. α α Οποτε 0 < α 0 < α 0 < 0 < α 0 < α 0 < α Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α) α α α α Πρεπει : α Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β) α α Πρεπει : Ρ(Α Β) (0,] 0 Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) α > < 9 + α - α 6 α α α α Αρα, για α οι αριθμοι,, ειναι οι πιθανοτητες των Α, Β,Α Β. α α Για το ενδεχομενο Α ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει : Ρ(Α) = κ - 4κ + 5 Να βρειτε την τιμη του κ. Να δειξετε οτι Α = Ω.

14 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 7 Εστω η συναρτηση f(κ) = κ - 4κ + 5 : f'(κ) = κ - 4 f'(κ) = 0 κ - 4 = 0 κ = f'(κ) > 0 κ - 4 > 0 κ > η f γ.αυξουσα στο (,+ ) f'(κ) < 0 κ - 4 < 0 κ < η f γ.φθινουσα στο (-,) Οποτε, εχουμε ελαχιστο για κ =, το f() =. Δηλαδη, f(κ) τοτε και Ρ(Α) () Ομως 0 Ρ(Α) () Απο (), () προκυπτει : Ρ(Α) = Ρ(Α) = κ - 4κ + 5 = κ - 4κ + 4 = 0 (κ - ) = 0 κ - = 0 κ =. Ρ(Α) = Ρ(Α) = Ρ(Ω) Α = Ω. Για τους υποψηφιους τηςτεχνολογικης κατευθυνσης το 006 γνωριζουμε οτι : Το 0% απετυχε στη Φυσικη. Το 40% απετυχε στα Μαθηματικα. Το 0% απετυχε στη Φυσικη και στα Μαθηματικα. Επιλεγουμε τυχαια ενα απ'τους υποψηφιους και ζητουμε την πιθανοτητα των ενδεχομενων : Α : " ο υποψηφιος απετυχε τουλαχιστον σ'ενα απο τα δυο μαθηματα ". Β : " ο υποψηφιος απετυχε μονο στα Μαθηματικα ". Γ : " ο υποψηφιος απετυχε μονο σ'ενα απο τα δυο μαθηματα ". Θεωρουμε τα ενδεχομενα : Φ : "ο υποψηφιος απετυχε στη Φυσικη" Οποτε : Ρ(Φ) = 0,, Ρ(Μ) = 0,4 και Ρ(Φ Μ) = 0, Μ : "ο υποψηφιος απετυχε στα Μαθηματικα" : Α = Φ Μ, οποτε Ρ(Α) = Ρ(Φ Μ) = Ρ(Φ) + Ρ(Μ) - Ρ(Φ Μ) = 0, + 0,4-0, = 0,5 : Β = Μ - Φ, οποτε Ρ(Β) = Ρ(Μ - Φ) = Ρ(Μ) - Ρ(Φ Μ) = 0, 4-0, = 0, : Γ = (Φ - Μ) (Μ - Φ), οποτε (αφου Φ - Μ, Μ - Φ ασυμβιβαστα) Ρ(Γ) = Ρ(Φ - Μ) + Ρ(Μ - Φ) = Ρ(Φ) - Ρ(Φ Μ) + Ρ(Μ) - Ρ(Φ Μ) = Ρ(Φ) + Ρ(Μ) - Ρ(Φ Μ) = = 0, + 0, 4 -.0, = 0, Η Γ' ταξη ενος Λυκειου εχει 5 μαθητες - μαθητριες. Τα / 5 των μαθητων και το / 5 τω ν μαθητριων επελεξαν τη θετικη κατευθυνση και οι υπολοιποι την θεωρητικη η τεχνολογικη κατευθυνση. Επιλεγουμε τυχαια εναν υποψηφιο. Αν η πιθανοτητα να ειναι μαθητης που δεν επελεξε τη θετικη κατευθυνση ειναι Ρ(Μ) = 9 / 5, να βρειτε : Ποσοι ειναι οι μαθητες και ποσες οι μαθητριες. Ποια η πιθανοτητα Ρ(Κ) ο υποψηφιος να ειναι μαθητρια που δεν επελεξε τη θετικη κατευθυνση;

15 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 Εστω x o αριθμος των μαθητων. Ευκολα απο τις στηλες v i, xiv i x Οι μαθητες που επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι σε πληθος, ενω αυτοι που δεν προκυπτει η στηλη των x. 5 i Επισης x που επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι σε πληθος. 5 Οποτε η πιθανοτητα Ρ(Μ), "ο μαθητης να μην επελεξε τη θετικη κατευθυνση", ειναι : x 9 Ν(Μ) x Ρ(Μ) = = = = 9 x = 45 x = 5 5 Ν(Ω) Αρα οι μαθητες ειναι 5 και οι μαθητριες 0. Οι μαθητριες που επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι : 0. =, ενω αυτες που δεν την 5 επελεξαν ειναι 0 - = 8 Οποτε η πιθανοτητα του ενδεχομενου, "η μαθητρια να μην επελεξε τη θετικη κατευθυνση", Ν(Κ) ειναι : Ρ(Κ) =. Ν(Ω) 8 Ρ(Κ) = 5 Σ'ενα διαγωνισμο ομορφιας 4 υποψηφιες εχουν καστανα μαλλια, ενω οι υπο - λοιπες εχουν μαυρα η ξανθα. Η πιθανοτητα να κερδισει το διαγωνισμο ξανθια ειναι, ενω να κερδισει υπο - ψηφια με μαυρα μαλλια ειναι. 6 Να βρειτε ποσες ειναι οι υποψηφιες. Εστω x oι υποψηφιες με ξανθα και y oι υποψηφιες με μαυρα μαλλια. Τοτε : Ν(Ω) = 4 + x + y. Θεωρουμε τα ενδεχομενα : Α : "υποψηφια με καστανα μαλλια". Β : "υποψηφια με ξανθα μαλλια". Γ : "υποψηφια με μαυρα μαλλια". Ρ(Β) =, Ρ(Γ) =, Ν(Β) = x, N(Γ) = y. 6 Οποτε Ν(Β) x Ρ(Β) = = = Ν(Ω) 4 + x + y x = 4 + x + y Ν(Γ) y 6y = 4 + x + y Ρ(Γ) = = = 6 Ν(Ω) x + y 6 x = 4 + y x = 4 + y x = 4 + y x = 6 x - 5y = y - 5y = -4 4y = 48 y = Aρα οι υποψηφιες ειναι : = 7.

16 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9 Εστω Α ενδεχομενο ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α) - + Ρ(Α) - = κ +, κ και η συναρτηση : f(x) = ln(x + ) + κx, Να βρειτε την τιμη του κ, ωστε η f να ειναι γ.αυξουσα στο. * + x H συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο με : x κx + x + κ f'(x) = ln(x + ) + κx ' = (x + )' + κ = + κ = x + x + x + Για να ειναι η f γ.αυξουσα πρεπει f'(x) > 0. Oποτε πρεπει κx + x + κ x + Δηλαδη Δ 0 4-4κ 0 0 κx + x + κ 0 κ>0 κ - (κ - )(κ + ) 0 κ () κ Ρ(Α) > Ρ(Α) - > 0 Ρ(Α) - = Ρ(Α) - Ρ(Α) - < 0 Ρ(Α) - = - Ρ(Α) Ρ(Α) < Οποτε, η δοσμενη σχεση γινεται : Ρ(Α) - + ( - Ρ(Α)) = κ + Ρ(Α) Ρ(Α) = κ + Ρ(Α) = κ () Αρα απο (),() προκυπτει Ρ(Α) () Ομως 0 Ρ(Α) (4) () Απο (), (4) προκυπτει : Ρ(Α) = κ = Εστω Ω = {,,...,0} ειναι ενας δειγματικος χωρος που αποτελειται απο ισοπι - θανα απλα ενδεχομενα. Επιλεγουμε τυχαια ενα απλο ενδεχομενο α Ω. Αν f(x) = x πραγματικες ριζες. + 4x + α, να βρειτε τη πιθανοτητα η εξισωση f(x) = 0 να μην εχει Για να μην εχει πραγματικες ριζες η εξισωση f(x) = 0 πρεπει : Δ < α < 0 6-4α < 0 α > 4 Οποτε α {5,6,7,8, 9,0} = Α Ν(Α) = 6 και Ν(Ω) = 0. Αρα Ν(Α) 6 Ρ(Α) = = = 0,6 Ν(Ω) 0

17 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 0 Εστω Ω = {,,,4,5} ειναι ενας δειγματικος χωρος που αποτελειται απο ισο - x + y = πιθανα απλα ενδεχομενα και το συστημα, με α Ω. (α + )x + αy = Να βρειτε τη πιθανοτητα του ενδεχομενου Α : " το συστημα αδυνατο ". = α - α - = -(α + - α) D = = -(α - )(α - ) α + α y = - α - 6 D = = 9α - D = = -α - 5 x α α + Για να ειναι αδυνατο το συστημα πρεπει : D = 0 και D 0 η D 0. Οποτε α = D = 0 -(α - )(α - ) = 0 α = Για α = τοτε D = 9. - = 8 0, οποτε το συστημα αδυνατο. x Για α = τοτε D = 9. - = 7 0, οποτε το συστημα αδυνατο. x Ν(Α) = (αφου, Ω) και Ν(Ω) = 5. Αρα Ν(Α) Ρ(Α) = = = 0,4 Ν(Ω) 5 Εστω τα ενδεχομενα Α, Β ενος δειγματικου χωρου Ω και η συναρτηση : 7 f(x) = x - x + x. Aν Ρ(Α), Ρ(Β) ειναι ειναι η μικροτερη και η μεγαλυτερη ριζα της εξισωσης f'(x) = 0 αντιστοιχα, τοτε : Να βρειτε τις Ρ(Α), Ρ(Β). Να δειξετε οτι : Ρ(Α Β) 6 Να δειξετε οτι : Ρ(Α Β) 7 f'(x) = 0 x - x + x ' = 0 6x - 7x + = x = x = = P(B) Δ = (-7) = 7 - x = x = = P(A) A B A P(A B) P(A) P(A B) P(A B) A B B P(A B) P(B) P(A B) x y

18 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Eιναι P(A B) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - P(A B) P(A B) = + - P(A B) 0 P(AUB) 7 7 P(A B) = - P(A B) 0 - P(A B) Ρ(Α Β) Αρα Ρ(Α Β) 6 A A B P(A) P(A B) P(A B) P(A B) B A B P(B) P(A B) P(A B) Εστω Α ενδεχομενο ενος δειγματικου χωρου Ω και κ πραγματικος αριθμος τε - τοιος ωστε : Ρ(Α) + = κ Ρ(Α). Να βρειτε τη μεγιστη και την ελαχιστη τιμη του κ. Αφου Α Β = Ω και Α,Β ασυμβιβαστα ενδεχομενα, τοτε : Ρ(Α) + Ρ(Β) =. Οποτε Ρ(Α) + Ρ(Β) = Ρ(Β) = - Ρ(Α) Ρ(Β) = - Ρ(Α) Ρ(Α) + Ρ(Β) = Ρ(Α) + - Ρ(Α) = Ρ(Α) = - κ κ κ 4 Ρ(Α) - Ρ(Β) = - 4Ρ(Α) = Ρ(Α) = κ κ κ Ρ(Β) = - Ρ(Α) Ρ(Β) = - Ρ(Α) Ρ(Β) = - Ρ(Α) Ρ(Β) = 7 - κ = κ = 6 κ = κ = κ κ Ρ(Α) = Ρ(Α) = Ρ(Α) = Ρ(Α) = κ κ Δινεται ο ακεραιος αριθμος κ με - 4 κ και η εξισωση : (Ε ) : κx + (κ - )x + κ = 0. κ Να βρειτε τη πιθανοτητα με την οποια η εξισωση (Ε ) : Α : εχει δυο πραγματικες και ισες ριζες Β : εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες Γ : δεν εχει πραγματικες ριζες κ Αφου κ [-4,] και οριζει τις εξισωσεις (Ε ),(Ε ),...,(Ε ) τοτε Ω = {(Ε ),(Ε ),...,(Ε )} και Ν(Ω) = (κ - ) - 4.κ.κ = κ - 4κ + 4-4κ -4 - Δ = = -κ - 4κ + 4 Για να εχει η εξισωση δυο πραγματικες και ισες ριζες, πρεπει : κ = - Δ = 0 -κ - 4κ + 4 = 0 κ = (απορριπτεται, κ ακεραιος)

19 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ν(Α) Αρα Ν(Α) = και Ρ(Α) = Ν(Ω) = 8 Για να εχει η εξισωση δυο πραγματικες και ανισες ριζες, πρεπει : Δ > 0 -κ - 4κ + 4 > 0 - < κ < τοτε κ εχει τιμες - και 0. Ν(Β) Αρα Ν(Β) = και Ρ(Β) = = Ν(Ω) 8 = 4 Για να μην εχει η εξισωση πραγματικες ριζες, πρεπει : Δ < 0 -κ - 4κ + 4 < 0 (κ < - η κ > ) τοτε κ = -4,-,,,. Ν(Γ) Αρα Ν(Γ) = 5 και Ρ(Γ) = 5 Ν(Ω) = 8 Εστω Α ενδεχομενο του δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α) + - Ρ(Α) - = 8κ, κ. Να δειχτει οτι : κ. 8 Ρ(Α) - Ρ(Α) + 0 Ρ(Α) + = Ρ(Α) + 0 Ρ(Α) Ρ(Α) Ρ(Α) - 0 Ρ(Α) - = - Ρ(Α) Οποτε η δοσμενη σχεση γινεται : 8κ + Ρ(Α) + - ( - Ρ(Α)) = 8κ Ρ(Α) Ρ(Α) = 8κ Ρ(Α) = 8κ + Ρ(Α) = () Ομως () 8κ + 0 Ρ(Α) 0 0 8κ + - 8κ - κ 8 8 κ 8 Εστω δειγματικος χωρος Ω = {ω,ω,ω,...,ω }. 0 ν Ισχυει Ρ(ω κ ) =, κ =,,...,ν. κ Να βρεθει Ρ(ω ) και με ποιο ενδεχομενο ειναι ισοπιθανο το {ω }. 0 0 Να βρεθει Ρ(Α), αν Α = {ω,ω,...,ω }. ν- Εστω το ενδεχομενο ν Β = {ω,ω,...,ω }, τοτε Ρ(Β) = Ρ(ω ) + Ρ(ω ) Ρ(ω ν) = () ν ν α.λ - α,,..., ειναι γ. προοδος με α ν = και λ = S v = λ ν Οποτε η () γινεται: Ρ(Β) = = = - () ν - - ν

20 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ () Ρ(ω 0) + Ρ(Β) = Ρ(Ω) Ρ(ω 0) +- = Ρ(ω 0 ) = = Ρ(ω ν ν ) ν Εστω το ενδεχομενο Α = {ω,ω,...,ω }, τοτε ν- Ρ(Α) = Ρ(ω ) + Ρ(ω ) +...+Ρ(ω ν-) = () ν-,,..., ειναι γ. προοδος με α ν- = και λ = και πληθος ν ν Οποτε η () : Ρ(Α) = = = ν ν Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α), Ρ(Β) οι ριζες της εξισωσης : x - P(A)x + P(A B) = 0. 5 Aν P(Α Β) =, να βρεθουν οι πιθανοτητες : 9 Ρ(Α), P(A B),P(A' B), P(Α' Β'). Απ'το αθροισμα και γινομενο ριζων τριωνυμου ειναι: Ρ(Α) +Ρ(Β) =Ρ(Α) Ρ(Α) = Ρ(Β) Ρ(Α).Ρ(Β) = P(AB) [Ρ(Α)] = P(A B) P(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)-P(AB) = Ρ(Α)-[P(A)] = Ρ(Α) = 9[P(A)] -8Ρ(Α) +5 = 0 5 Ρ(Α) = (απορριπτεται αφου Ρ(Α) > ) P(A B) = [P(A)] = = 9 P(A' B) = Ρ(Β)-P(AB) = - = P(Α' Β') = Ρ[(AB)]'=-P(AB) =- = 9 9 Εστω Α, Β,Γ ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω. Να δειξετε οτι : P(A B) Ρ(Α) + Ρ(Β) P(A B Γ) Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) P(ΑΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β)-P(AB) P(A B) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - P(Α Β) Ομως, 0 P(A B)

21 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 Οποτε 0 Ρ(Α) + Ρ(Β)-P(ΑΒ) P(A B) Ρ(Α) + Ρ(Β) (), λογω της () P(Α Β Γ) = Ρ Α (Β Γ) P(Α Β Γ) Ρ(Α) + P(Β Γ) (+) P(Β Γ) Ρ(Β) + Ρ(Γ) P(Β Γ) Ρ(Β) + Ρ(Γ) P(ΑΒ Γ) + P(Β Γ) Ρ(Α) + P(Β Γ) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) P(A B Γ) Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) Εστω Ω = {0,,,,4,5} ειναι ενας δειγματικος χωρος που αποτελειται απο ισοπιθανα ενδεχομενα. Επιλεγουμε ενα ενδεχομενο λ Ω. Αν f(x) = x - λx + λ x + + λ, να βρειτε τη πιθανοτητα του ενδεχομενου Α :" η γραφικη παρασταση της f εχει στο σημειο της Α(,f()) εφαπτομενη πα - ραλληλη στον αξονα x'x ". H συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο με : f'(x) = x - 4λx + λ Για να ειναι παραλληλη στον αξονα x'x η εφαπτομενη της C στο σημειο με τετμημενη, πρεπει: λ = f'() = λ. + λ = 0 λ - 4λ + = 0 λ = Ω και Ω, οποτε Ν(Α) = και αφου Ν(Ω) = 6, τοτε : Ν(Α) Ρ(Α) = = = Ν(Ω) 6 Εστω Α, Β ενδεχομενα του δειγματικου χωρου Ω με : 9 Ρ(Α) =, Ρ(Α Β) = και Ρ(Α Β) = Ρ(Α Β)x - Ρ(Α)x, αν x 0 P(A) και η συναρτηση : f(x) = x - P(B) + x 4Ρ(Α- Β), αν x = 0 Να εξετασετε αν η f ειναι συνεχης στο x = 0. 0 f 9 4 P(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)-P(AB) = +Ρ(Β)- Ρ(Β) = Ρ(Α- Β) = Ρ(Α)-P(AB) = - = Οποτε η συναρτηση γινεται: 0,9x - 0,4x, αν x 0 f(x) = x - x 0,4, αν x = 0

22 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5 f(0) = 0,4 lim f(x) = = 0,4 0,9x - 0,4x x(0,9x - 0,4) 0,9x -0, 4 lim = lim = lim x - x x(x -) x 0 x 0 x 0 x 0 x - Δηλαδη lim f(x) = f(0) = 0,4 που σημαινει οτι η f ειναι συνεχης στο x = 0. x 0 0 Εστω Α, Β ενδεχομενα του δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α), Ρ[(Α Β)'] και Ρ(Β) να ειναι διαδοχικοι οροι αριθμ.προοδου. Αν Ρ(Α Β) ειναι το τ.ελαχιστο της συναρτησης f(x) = x - x + και Ρ(Α) η θεση του τ.ελαχιστου, να βρεθουν : Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β). Αφου Ρ(Α), Ρ[(ΑΒ)'], Ρ(Β) ειναι διαδοχικοι οροι αριθμ.προοδου, τοτε Ρ[(ΑΒ)'] = Ρ(Α) Ρ(Β) [-Ρ(ΑΒ)] = Ρ(Α) Ρ(Β) - P(A B) -Ρ(ΑΒ) = P(AB) + P(AB) P(A B) = () f'(x) =x - και f'(x) = 0 x - = 0 x = Για x < τοτε f'(x) < 0 και η f γ.φθινουσα, ενω για x > τοτε f'(x) > 0 και η f γ.αυξουσα Δηλαδη, για x = η f παρουσιαζει τ.ελαχιστο, το f( ) = - + = 4 4 Αρα Ρ(Α) = Ρ(Α Β) = (απο υποθεση) 4 ( ) - -P(AB) 5 P(A B) = = 4 = 5 8 P(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)-P(AB) Ρ(Β) = - + = = 4

23 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6 Εστω Ω = {ω,ω,ω } ο δειγματικος χωρος πειραματος τυχης με : Α = {ω,ω } και Ρ(Α) =. x + x - 4Ρ(ω ), x Δινεται η συναρτηση f(x) = x - Ρ(ω ) αx + Ρ(ω )x, x > Να βρεθει η Ρ(ω ). Να βρεθει ο πραγματικος α, ωστε να υπαρχει το limf(x). x Ρ(Ω) = Ρ(ω ) + Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = Ρ(ω ) + Ρ(Α) = Ρ(ω ) + = Ρ(ω ) = x + x -, x O τυπος της συναρτησης f γινεται: f(x) = x - αx + x, x > Οποτε x + x - x + x - (x -)(x +) lim f(x) = lim = lim = lim = x x x - x x - x x - lim f(x) = lim αx + x = α + x x 5 Για να υπαρχει το limf(x) πρεπει: lim f(x) = lim f(x) α + = α = x x x Σ'ενα πειραμα τυχης ειναι : Ρ(ω ) Ρ(ω ) Ρ(ω ν ) Ω = {ω,ω,...,ω ν } και Ρ(ω ) = = =... = ν Να βρεθει : η Ρ(ω ) με κ =,,...,ν σε συναρτηση με τα κ,ν. κ η Ρ(ω ) αν ν =. Απο τις ιδιοτητες των αναλογιων προκυπτει: Ρ(ω ) Ρ(ω ) Ρ(ω ) Ρ(ω ν ) Ρ(ω ) + Ρ(ω ) Ρ(ω ν) = = =... = = = = ν ν ν(ν +) ν(ν + ) ν(ν +) : Ρ(ω ) + Ρ(ω ) Ρ(ω ν) = και ν = Ρ(ω κ) : = κ ν(ν + κ Ρ(ω κ ) =, κ =,,...,ν ) ν(ν + ). Ρ(ω ) = = = ( +) 6. 78

24 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 7 Σ'ενα πειραμα τυχης ειναι : Ω = { Α,Β,Γ,Δ } Ρ(Δ) =.Ρ(Γ) Ρ(Α) η θεση του ελαχιστου της συναρτησης f(x) = x - x + 5 Ρ(B) η τετμημενη του σημειου που η εφαπτομενη της συναρτησης g(x) = x - x + ειναι παραλληλη στον αξονα x'x. Nα βρεθουν οι πιθανοτητες : Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ), Ρ(Δ). f'(x) =x - και f'(x) = 0 x - = 0 x = x < f'(x) < 0 f γ.φθινουσα x > f'(x) > 0 f γ.αυξουσα g'(x) = 4x - για x = η f παρουσιαζει τ.ελαχιστο. Για να ειναι η εφαπτομενη της C στο x παραλληλη στον αξονα x'x, πρεπει: g'(x 0) = 0 4x0 - = 0 x 0 = 4 Αρα, Ρ(Α) = Ρ(Β) = 4 Επισης g 0 Ρ(Δ) =Ρ(Γ) Ρ(Δ) =Ρ(Γ) Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) + Ρ(Δ) = + + Ρ(Γ) +Ρ(Γ) = 4 Ρ(Δ) =Ρ(Γ) Ρ(Δ) =. Ρ(Δ) = 6 Ρ(Γ) = 4 Ρ(Γ) = Ρ(Γ) = Εστω Ω ο δειγματικος χωρος του πειραματος της ριψης ενος ζαριου. Να βρεθει η πιθανοτητα του ενδεχομενου: Α = { x Ω : το δειγμα x, 5 x, 7 x, -, -7x να εχει x =- } Ω = {,,,4,5,6}, και x +5 -x + 7 -x --7x = - x - 4x -7x = -0 x - 4x -7x +0 = 0 x = - 5 x = (x -)(x -5)(x +) = 0 x = 5 x = -, απορριπτεται αφου -Ω Ν(Α) Οποτε, Ν(Α) =, Ν(Ω) = 6 και Ρ(Α) = = Ν(Ω) 6 =

25 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 Μια μεταβλητη παιρνει τις τιμες,,,, 4, 6, x. 6x - 6x + 66 Να δειξετε οτι η διακυμανση των παρατηρησεων ειναι : s = 49 Αν το x παιρνει τιμες απο το συνολο : x 8 + x x = =, οποτε x 8 + x 8 + x 8+ x 8 + x 8+ x (- ) +(- ) +(- ) (4 - ) +(6- ) +(x - ) s = = 7 7 (+ x) +(4 + x) +(- x) +(0 - x) +(4 - x) +6(x -) 4x -5x +6 = = = x - 6x + 66 = x -6x s > s > > 0 6x -6x > 0 x -6x > x < 0 η x > 6 (x : -9,-8,-7,-6,-5,-4,-,-,-,7,8,9,0). Ω = {-9,-8,...,8,9,0} να βρειτε την πιθανοτητα του ενδεχομενου 66 Α : " Η τυπικη αποκλιση ειναι μεγαλυτερη απο ". 7 Αρα Ρ(Α) =. 0 Σ'ενα κυκλικο διαγραμμα παρουσιαζονται οι τιμες x, x, x, x μιας μεταβλη - 4 της Χ. Η γωνια του τοξου της τιμης x ειναι 54 και η συχνοτητα της x ειναι ν = 4. Επιλεγουμε στη τυχη μια παρατηρηση και εστω Να βρειτε τη πιθανοτητα Ρ(x ) Αν Ρ(x ) = 0,5 και ν = 6, να βρειτε το πληθος των παρατηρησεων, τις πι - Ρ(x ), Ρ(x ), Ρ(x ), Ρ(x ) η πιθανοτητα να επιλεγει η παρατηρηση με τιμη x,x,x,x αντιστοιχα. θανοτητες Ρ(x ),Ρ(x ) και να κατασκευασετε το κυκλικο διαγραμμα Ρ(x ) = f = = 0, ν ν 4 f = Ρ(x ) = 0,5 = 0,5 ν = ν = ν = 40 ν 0,5 0,5 ν 6 Ρ(x ) = f = = = 0,40 ν 40 Ρ(x ) = - Ρ(x ) +Ρ(x ) + Ρ(x ) =-(0,5 + 0,5 + 0,40) = 0,0 4 Eπισης ω = 0,5.60 = 6, ω = 0, = 44,ω = 0,.60 = 6 Οποτε το κυκλικο διαγραμμα ειναι:

26 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9 P(x 4 )=0,0 P(x )=0,5 Εστω οτι η μεταβλητη Χ παιρνει τις τιμες 0 και και εχει x = λ. Να δειξετε οτι : s = λ( - λ). P(x )=0,40 P(x )=0,5 Μια καλπη περιεχει x + 7x + ασπρες, x κοκκινες κινες και x + x + 4 πρασινες μπαλες. Εστω το ενδεχομενο Α :" η μπαλα ειναι κοκκινη ". Επιλεγουμε τυχαια μια μπαλα. Να βρεθει η τιμη του x για την οποια η Ρ(Α) γινεται μεγιστη. Να βρεθει η μεγιστη πιθανοτητα Ρ(Α). Ν(Ω) =x + 7x + + x +x +x + 4 = 5x +0x +5 και Ν(Α) Ν(Ω) =x + 7x ++ x +x +x + 4 = 5x +0x +5 και Ν(Α) = x, οποτε Ν(Α) x Ρ(Α) = = 5x Ν(Ω) + 0x + 5 x 5x +0x +5- x(0x +0) -5x +5-5(x - )(x + ) Ρ'(Α) = ' = = = 5x +0x +5 (5x +0x +5) (5x +0x +5) (5x + 0x + 5) -5(x -)(x +) x = Ρ'(Α) = 0 = 0-5(x -)(x +) = 0 (5x +0x +5) x = - απορρ. Για 0 < x < P'(A) > 0 η f γ.αυξουσα Για x = η f παρουσιαζει Για x > P'(A) < 0 η f γ.φθινουσα τοπικο μεγιστο, το Ρ(). Οποτε η τιμη για την οποια η Ρ(Α) γιν εται μεγιστη ειναι: x = Η μεγιστη πιθανοτητα Ρ(Α) ειναι: Ρ() = = Εστω Α και Β - Α συμπληρωματικα ενδεχομενα του ιδιου δειγματικου χωρου Ω. Να δειξετε οτι Ρ(Α Β) = Αν Ρ(Α Β) = [Ρ(Β)], να βρειτε : τη συναρτηση f(x), η οποια εκφραζει τη μεταβολη της Ρ(Α), οταν μεταβαλλε - ται η Ρ(Β). την Ρ(B), για την οποια η Ρ(Α) γινεται ι ελαχιστη, καθως και την ελαχιστη αυτη πιθανοτητα.

27 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 0 Αφου Α και Β-Α ειναι συμληρωματικα ενδεχομενα, τοτε : Β-Α = Α' Ρ(Β-Α) = Ρ(Α') Ρ(Β)-Ρ(ΑΒ) =-Ρ(Α) Ρ(Α) + Ρ(Β)-Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α Β) = Ρ(ΑΒ) =[Ρ(Β)] Ρ(Α) + Ρ(Β)-Ρ(ΑΒ) =[Ρ(Β)] Ρ(Α) + Ρ(Β)- = [Ρ(Β)] Ρ(Α) =[Ρ(Β)] -Ρ(Β) + Αρα f(x) = x - x + f'(x) =x - και f'(x) = 0 x - = 0 x = Ρ(ΑΒ)= x < f'(x) < 0 f γ.φθινουσα για x = η f παρουσιαζει x > f'(x) > 0 f γ.αυξουσα τ.ελαχιστο. f = - + = ειναι το τ.ελαχιστο. 4 4 Αρα η Ρ(Α) γινεται ελαχιστη οταν Ρ(Β) =. Η ελαχιστη τιμη της Ρ(Α) ειναι. 4 Στο CD που εχετε αυτη τη στιγμη μπροστα σας, υπαρχουν ν αλυτες ασκησεις, αριθμημενες απο το ως το ν, που επιμεληθηκαν δυο μαθηματικοι, ο Α και ο Β. Καποιες απ'αυτες επιμεληθηκε ο μαθηματικος Α, καποιες ο Β και καποιες επι - μεληθηκαν μαζι ο Α και ο Β. Ο μαθηματικος Α εχει επιμεληθει συνολικα τις πρωτες 50 ασκησεις, απ'τις ο - ποιες μονο τις πρωτες 0 επιμεληθηκε μονος του. Η πιθανοτητα να εχουν επιμεληθει μαζι οι δυο μαθηματικοι μια ασκηση ειναι. 5 Να βρειτε ποσες ειναι οι αλυτες ασκησεις. Αν η πιθανοτητα να εχει επιμεληθει μια ασκηση ο μαθηματικος Β μονος του ειναι, ο ισχυρισμος του οτι ασχοληθηκε με 70 απ'τις ασκησεις ειναι σωστος; Ν(Α) = 50, Ν(Ω) = ν και Ν(ΑΒ) = 50-0 =0. Ν(ΑΒ) 0 Ρ(ΑΒ) = = = ν = 00 5 Ν(Ω) 5 ν 5 7 Ρ(Β-Α) = Ρ(Β)-Ρ(ΑΒ) = Ρ(Β)- = Ρ(Β) = 5 0 Ομως Ν(Β) 7 Ν(Β) Ρ(Β) = = Ν(Β) = 70 Ν(Ω) 0 00 Δηλαδη ο ισχυρισμος του ειναι σωστος.

28 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Απο μια τραπουλα (5 φυλλων) παιρνουμε διαδοχικα φυλλα και τα χαρακτη -. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; ριζουμε ως προς το χρωμα τους σε μαυρα (Μ) και κοκκινα (Κ). Να βρειτε :. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ Το δειγματικο χωρο Ω του πειραματος. Το ενδεχομενο Α :" το πολυ μαυρα φυλλα " Το ενδεχομενο Β :" τουλαχιστον μαυρα φυλλα " Το ενδεχομενο Γ = Α Β. Ριχνουμε το ζαρι δυο φορες και παρατηρουμε τις ενδειξεις του. Να προσδιορισετε τα ενδεχομενα : Α :" πρωτη ενδειξη μεγαλυτερη απο την δευτερη " Β : " το αθροισμα των δυο ενδειξεων ειναι αρτιος αριθμος " Γ :" η πρωτη ενδειξη περιττη και η δευτερη αρτια " Α Β, Α Γ, Β Γ, Α (Β Γ) Ριχνουμε τα ζαρια στο ταβλι ( ζαρια). Ποια ειναι η πιθανοτητα να φερουμε : Α :" εξαρες " (και τα δυο ζαρια τον αριθμο 6) Β : " ασσοδυο " (το ενα ζαρι τον αριθμο και το αλλο τον αριθμο ) Γ :" ενα τουλαχιστον 5 " Απο τραπουλα 5 παιγνιοχαρτων παιρνουμε ενα φυλλο. α. Να βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων : Α :" το φυλλο ειναι κοκκινο " Β :" το φυλλο ειναι νταμα " Γ :" φυλλο ειναι μαυρο " Δ : " το φυλλο ειναι κοκκιν νταμα " Ε : "τ ο φυλλο ειναι κοκκιν η νταμα " Ζ : " το φυλλο δεν ειναι κοκκιν η νταμα " β. Να αντιστοιχισετε τα ενδεχομενα Γ εως Ζ με καποιο απο τα συμβολα : Α Β,, Ω, Α Β, Α', (Α Β)', Α' Β Εστω Ω = {ω, ω, ω, ω } ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης. 4 Αν Ρ(ω ) =, Ρ(ω ) = και Ρ(ω ) =, να βρεθει η Ρ(ω 4 ) Αν Α = {ω, ω }, Β = { ω, ω 4 }, Ρ(Α) =, Ρ(Β) = και Ρ(ω ) =, να υπολογι σετε τη πιθανοτητα Ρ(ω ).

29 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α) = 0,7 και Ρ(Β) = 0,5 ενω Ρ(Α Β) = 0,4. Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Να βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων : Γ : " να πραγματοποιηθει μονο το Α " Δ : " να πραγματοποιηθει μονο το Β " x i v i f i f i % Ε : " να πραγματοποιηθει μονο ενα απο τα Α και Β " 0 0, ,0 0 Εστω Α, Β ενδεχομενα 0 ενος 0,50 δειγματικου 50 χωρου Ω με : 0,0 0 Ρ(Α Β) 4 = και Ρ(Β') = ενω 0,0 Ρ(Α Β) 0 =. 4 4 Να βρειτε Συντις πιθανοτητες ν=0 : 00 Ρ(Β) Ρ(Α) Ρ(Α- Β) Ρ(Β - Α) Ρ(Α' Β') Ρ[(Α- Β) (Β - Α)] Ριχνουμε στον αερα ενα ζαρι που δεν ειναι αμεροληπτο. Αν Ρ() =, Ρ() = Ρ() = Ρ(4) = και Ρ(6) =, τοτε : 6 4 Να βρεθει η Ρ(5). Να βρεθει η πιθανοτητα του ενδεχομενου Α :" ενδειξη περιττη ". Να βρεθει η πιθανοτητα του ενδεχομενου Β :"ε νδειξη μεγαλυτερη του 4 ". Αν Α, Β ενδεχομενα δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α ) = και Ρ(Β ) =. Eξεταστε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Αν Ρ(Α Β ) = να υπολογισετε την Ρ(Α Β ). Δειξτε οτι τα ενδεχομενα Α και Β δεν ειναι ασυμβιβαστα. Να υπολογισετε τις πιθανοτητες Ρ(Α Β ) και Ρ(Α Β ). Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : 5 Ρ(Α'), Ρ(Β) και Ρ(Α Β). 6 Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β). 6

30 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : v = N = Ρ(Α') και Ρ(Β'). 4 f% 6 f = = = και = f.v = 0,0.50 = = 00 0,0 F 5 v 5 Ν Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β). 4 ν v = Ν - Ν = 6-5 = και f = = = 0, ν 50 F = f + f = 0, + 0, = 0, Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω. F % 50 F = = = 0,50 Να αποδειχτει οτι και f = F - F = 0,5-0, = 0,8 : [Ρ(Α)] [Ρ(Β)] - Ρ(Α Β) [Ρ(Α Β) - ]. v = f.v = 0,8.50 = 9 v = ν - (ν ν ν ν ) = 50-9 = 4 4 Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω και α > 0. Να εξετασετε αν υπαρχουν τιμες του α, ωστε οι αριθμοι : 8, - και α α α να ειναι οι πιθανοτητες των ενδεχομενων Α, Β και Α Β αντιστοιχα Η πιθανοτητα να επιλεγει ενας μαθητης στη θεατρικη ομαδα του σχολειου του ειναι /6 ενω η πιθανοτητα να μην επιλεγει στην ομαδα μουσικης ειναι 4/5, ε- νω η πιθανοτητα να επιλεγει και στις δυο ομαδες ειναι /0. Να βρεθουν οι πιθανοτητες των ενδεχομενων: Να επιλεγει τουλαχιστον σε μια απο τις δυο ομαδες. Να επιλεγει μονο στην θεατρικη ομαδα. Να επιλεγει μονο στην ομαδα μουσικης. Να επιλεγει μονο σε μια απο τις δυο ομαδες. Να μην επιλεγει σε καμια ομαδα. Να επιλεγει σε μια το πολυ ομαδα. Μια ταξη εχει 0 αγορια και κοριτσια.τα των αγοριων και τα των κοριτσι - ων εχουν κινητο τηλεφωνο. Αν η πιθανοτητα να ειναι κοριτσι που εχει κινητο ειναι 0, να βρεθουν : Ποσα ειναι τα αγορια της ταξης. Ποια η πιθανοτητα το ατομο να ειναι κοριτσι η να εχει κινητο. Σε ενα συνεδριο μαθηματικων συμμετεχουν Ελληνες, Γαλλοι και Αγγλοι μαθηματικοι. Απο τους συνεδρους επιλεγεται τυχαια ενας για τη θεση του συντονιστη του συνεδριου. Αν στο συνεδριο συμμετεχουν 5 Ελληνες, ενω οι πιθανοτητες να επιλεγει Γαλλος ειναι / και Αγγλος ειναι /4, να βρεθει το πληθος των συνεδρων.

31 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 Για το ενδεχομενο Α ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει : Ρ(Α) = λ + 6λ+ 0 Να βρειτε την τιμη του λ. Να δειξετε οτι Α = Ω. Να εξεταστει αν η πιθανοτητα ενος ενδεχομενου Α μπορει να εκφραστει απ'τη 5 συναρτηση : f(x) = x - x +, x -, Aν ακομη ισχυει : - Ρ(Α) - Ρ(Α) - = κ, κ, να βρεθουν οι τιμες των κ και Ρ(Α). Εστω δειγματικος χωρος που αποτελειται απο το συνολο των ριζων της εξισωσης (x 0) (x ) (x 0) = 0. Αν το Ω αποτελειται απο ισοπιθανα απλα ενδεχομενα και λ Ω, να βρεθει η πιθανοτητα η εξισωση y 8y + λ = 0 να μην εχει πραγματικες ριζες. Δινεται το συστημα : x - y = αx + (α - 5α + )y = 6 Για να προσδιορισουμε τη τιμη της παραμετρου α ριχνουμε ενα ζαρι στον αερα. Η ενδειξη του ζαριου θα καθοριζει τη τιμη του α. Να βρειτε τις πιθανοτητες των ενδεχομενων : Α : " το συστημα εχει απειρες λυσεις " Β :" το συστημα ειναι αδυνατο " Γ : " το συστημα εχει μια μονο λυση " Δ :" το συστημα εχει μοναδικη λυση την : (x,y) = (,-) " Αν Α, Β ενδεχομενα δειγματικου χωρου Ω και Ρ(Α), Ρ(Β) ριζες της εξισωσης: 6x + 5x x + 4 = 0 με Ρ(Α) < Ρ(Β) να δειξετε οτι: Α, Β οχι ασυμβιβαστα Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) 6 Εστω Α ενδεχομενο ενος δειγματικου χωρου Ω και κ πραγματικος αριθμος τετοιος ωστε : Ρ(Α) - - Ρ(Α) + = κ + 9. Αν α ειναι η ελαχιστη τιμη του κ και β η μεγιστη, τοτε : Να βρεθουν τα α και β. x - 9 x - 4x - x + 4 Να βρεθουν τα ορια : lim lim x α x - x β x - 6

32 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5 Εστω Α,B ασυμβιβαστα ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω ωστε Α Β = Ω. 4 Αν Ρ(Α) - Ρ(Β) = και Ρ(Α) + Ρ(Β) =, θ > 0, τοτε να βρεθουν : θ θ Ρ(Α), Ρ(Β) και θ. Δινεται ο ακεραιος αριθμος κ με κ 7 και η εξισωση : (Ε κ ) : (κ - )x - (κ - )x + κ + = 0. Να βρειτε τη πιθανοτητα με την οποια η εξισωση (Ε ) : Α : εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες Β : εχει δυο ομοσημες και ανισες ριζες Γ : δεν εχει πραγματικες ριζες Εστω Α ενδεχομενο του δειγματικου χωρου Ω. Ισχυει Ρ(Α) + - Ρ(Α) - = κ +, κ. Να δειχτει οτι : κ. Εστω δειγματικος χωρος Ω = {0,,,...,ν},ν θετικος ακεραιος. Ισχυει Ρ(κ) =, κ {,,...,ν}. κ Να βρεθει Ρ(0) και να βρεθουν δυο στοιχειωδη ισοπιθανα ενδεχομενα. Να βρεθει Ρ(Α), αν Α = {,4,6,...,ν}. Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α), Ρ(Β) οι ριζες της P(A B) 5 8 Aν P(Α' Β') =, να βρεθουν οι πιθανοτητες : 9 Ρ(Α), P(A B),P(A' B), P(Α Β). εξισωσης : x - (P(A) - Ρ(Β))x + = 0. κ Εστω Α, Β,Γ ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω. Να δειξετε οτι : P(A B) Ρ(Α) + Ρ(Β) - P(A B Γ) Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) - Εστω ο δειγματικος χωρος Ω = {0,,, } και f(x) = λx 4 + λ x 5, με λ Ω. Αν το Ω αποτελειται απο ισοπιθανα απλα ενδεχομενα να βρεθει η πιθανοτητα ωστε η γραφικη παρασταση της f να εχει στο σημειο με συντε-ταγμενες (, f()) εφαπτομενη παραλληλη στον αξονα x x.

33 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6 Σε ενα κουτι υπαρχουν κοκκινες, πρασινες και μαυρη σφαιρα. Επιλεγουμε τυχαια δυο σφαιρες διαδοχικα. Εστω τα ενδεχομενα Α: οι σφαιρες εχουν το ιδιο χρωμα και Β: η μια σφαιρα ειναι μαυρη. Δινεται η συναρτηση f με τυπο: x + [P(B) + P(A)]x, x 0 f(x) = x + x P(A B), x = 0 Να εξετασετε τη συνεχεια της συναρτησης f στο x 0 = 0, αν η δειγματοληψια γινει: με επανατοποθετηση χωρις επανατοποθετηση Θεωρουμε τις συναρτησεις: f(x) = 4(x )(x 5x + 6) και g(y) = /y 5y + 6y Εστω Ω = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης με ισοπιθανα απλα ενδεχομενα. Οριζουμε τα ενδεχομενα: Α = { x Ω / f(x) = 0} και Β = { y Ω / y ειναι θεση ακροτατου της g(x)}. Να βρεθουν οι πιθανοτητες των ενδεχομενων: Α, Β, A B,A B, Α Β, Β - Α Εστω ο δειγματικος χωρος Ω = {ω, ω, ω, ω 4 } και τα ενδεχομενα: Α = {ω, ω } και Β = {ω, ω }. 5 Αν Ρ(Α) =, Ρ(Β) =, Ρ(Α Β) = και Ρ(Α- Β) = να βρεθουν οι πιθανοτητες των απλων ενδεχομενων ω, ω, ω και ω 4. Σ'ενα πειραμα τυχης ειναι : Ρ(0) Ρ() Ρ() Ρ() Ρ(4) Ω = {0,,,,4} και = = = = Να βρεθουν οι παραπανω πιθανοτητες. 4 Εστω η συναρτηση f με f(x) = -x + x + λx - (λ - 5λ+ 8)x + 006, λ Ω. Θεωρουμε το ενδεχομενο : Α = {λ Ω / η C δεχεται στο - εφαπτομενη καθετη στην ευθεια : y = -x + 007}. Nα βρεθει η Ρ(Α). f

34 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 7 Σ'ενα πειραμα τυχης ειναι : Ευκολα απο τις στηλες v i, xiv i Ω = {ω,ω,ω } προκυπτει η στηλη των x. i x x Επισης Ρ(ω ) η θεση του ακροτατου της συναρτησης f(x) = Ρ(ω ) το ακροτατο της συναρτησης f. Nα βρεθουν οι πιθανοτητες : Ρ(ω ), Ρ(ω ) και Ρ(ω ). 5 Σ'ενα πειραμα τυχης ειναι : Ω = {,,5,0} με Ρ(κ) =, κ Ω. 9κ Να βρειτε τις πιθανοτητες των στοιχειωδων ενδεχομενων του Ω. Οι τιμες των παρατηρησεων μιας μεταβλητης x ειναι : 6,6,,κ,κ, οπου κ Ω και εστω Α,Β τα ενδεχομενα του Ω : Α = {κ Ω / η διαμεσος των παρατηρησεων της x ειναι : δ < 8} Β = {κ Ω / η μεση τιμη των παρατηρησεων της x ειναι : x > 8} Nα βρεθουν : Ρ(Α), Ρ(Β'), Ρ(Α Β),Ρ(Α Β),Ρ(Α' Β'). Μια μεταβλητη παιρνει τις τιμες, 4, 6, 8, x. 4x - 40x + 00 Να δειξετε οτι η διακυμανση των παρατηρησεων ειναι : s = 5 Αν το x παιρνει τιμες απο το συνολο : Ω = {-9,-,0,8,9,,5,7} να βρειτε την πιθανοτητα του ενδεχομενου Α : " Η τυπικη αποκλιση ειναι μικροτερη απο ". Εστω x oι υποψηφιες με ξανθα και y oι υποψηφιες με μαυρα μαλλια. Τοτε : Ν(Ω) = 4 + x + y. Θεωρουμε τα ενδεχομενα Εστω P(x : ), P(x ), P(x ), P(x 4 ) οι πιθανοτητες να εμφανιστει μια απ τις παρατηρησεις x x i v i f i % Α : "υποψηφια με καστανα μαλλια"., x, x, x 4 αντιστοιχα. x Τοτε, με τη βοηθεια του διπλανου πινακα: x Β : "υποψηφια 0 με ξανθα μαλλια". να βρεθει η πιθανοτητα P(x ) x Γ : "υποψηφια με μαυρα μαλλια". να βρεθει η πιθανοτητα P(x ) x 4 αν P(x 4 )=0,0 να βρεθει η πιθανοτητα P(x ) Συν ν=0 Ρ(Β) =, Ρ(Γ) =, Ν(Β) να κατασκευαστει = x, N(Γ) = y. το αντιστοιχο κυκλικο διαγραμμα. 6 Οποτε Ενας μαθηματικος εχει στον υπολογιστη του x ευκολες ασκησεις, x + με - Ν(Β) x τριας Ρ(Β) = = = δυσκολιας και x δυσκολες ασκησεις. Ν(Ω) 4 + x + y x = 4 + x + y Ο καθηγητης επιλεγει τυχαια μια ασκηση για να τη βαλει σ'ενα test. Ν(Γ) y 6y = 4 + x + y Ρ(Γ) = = = Θεωρουμε το ενδεχομε 6 νο Α :"επιλεγει Ν(Ω) 6 ευκολη ασκηση". 4 + x + y 6 Να βρειτε : x = 4 + y x = 4 + y x = 4 + y x = 6 την πιθανοτητα Ρ(Α) σε συναρτηση με τον x. x - 5y = y - 5y = -4 4y = 48 y = για ποια τιμη του x η Ρ(Α) γινεται μεγιστη. Aρα οι υποψηφιες ειναι : = 7. ποια ειναι η μεγιστη πιθανοτητα Ρ(Α).

35 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 Εστω Α και Β - Α ενδεχομενα του ιδιου δειγματικου χωρου Ω. Να δειξετε οτι : 0 Ρ(Α)Ρ(Α') [Ρ(Α)] + [Ρ(Α')] 4 Αν Ρ(Α Β) - Ρ(Α Β) =, να δειξετε : Ρ(Α Β) = 0 Ρ(Α) + Ρ(Β) = Μετα απο ενα τροχαιο ατυχημα το 40% των επιβατων διακομιστηκαν στο κοντινοτερο επαρχιακο νοσοκομειο, το 50% των επιβατων διακομιστηκαν σε νοσοκομειο της Αθηνας, ενω το 5% των επιβατων διακομιστηκαν στο κοντινοτερο επαρχιακο νοσοκομειο και κατοπιν λογω της σοβαροτητας του τραυματισμου τους κριθηκε αναγκαια η μεταφορα τους σε νοσοκομειο της Αθηνας. Αν απο τους επιβατες δεν τραυματιστηκαν καθολου τοτε ποσους επιβατες συνολικα ειχε το οχημα;

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 1 5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα Είναι τα απλά ενδεχόµενα για τα οποία κάποιο εξ αυτών δεν έχει πλεονέκτηµα έναντι των άλλων όσον αφορά την επιλογή του. Με άλλα λόγια

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων :

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων : 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : Είναι το πηλίκο f κ A = ν ενδεχόµενου Α σε ν το πλήθος εκτελέσεις του πειράµατος όπου κ το πλήθος των πραγµατοποιήσεων του. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56)

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 56) ΓΕΝΙΚEΣ AΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Κώστας Βακαλόπουλος, Κώστας Παπαϊωάννου, Θανάσης Χριστόπουλος Άσκηση ( λ) λ λ 5 Δίνεται η συνάρτηση F(x) x λx. α) Να βρεθεί η F (x). Ν(Β) Άρα: Β = {5}, οπότε

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς. Πιθανότητες Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Πιθανότητες Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης Πείραμα τύχης 1 η δραστηριότητα Ρίξτε ένα κέρμα 5 φορές και καταγράψτε την πάνω όψη του: 1 η ρίψη:, 2 η ρίψη:, 3 η ρίψη:

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,...

Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (Τεύχος 96) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. f (x) s lim e. t,i 1,2,3,... Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 96) Άσκηση ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΤΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Έστω οι παρατηρήσεις δυο δειγμάτων αντίστοιχα των μεταβλητών Χ και Ψ Δίνεται ότι η μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ιδιαιτεραμαθηματα.gr ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ [Δεν είναι σκόπιμο να αποκαλύψεις στο παιδί σου ότι οι μεγάλοι άντρες δεν είχαν ιδέα από άλγεβρα] ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Μ. ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ: ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version )

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version ) ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version 24-3-2016) 2001 2001 επαναληπτικές 2002 2002 επαναληπτικές 2003 2003 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2005 2005 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2007 2007

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Οµάδα η. Αν Ω={ω,ω,,ω 6 } είναι ο δ.χ ενός πειράµατος τύχης να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω ),,Ρ(ω 6 ) αν είναι γνωστό ότι αυτές αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου µε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ Ε. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής i) Αν Α= {0,5,8,3,89}, τότε το Α. ii) Αν Α = {, {,5}, 8, 0}, τότε το Α. iii) Τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ - ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΔΩΔΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0%. Να βρείτε: i. Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

3 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21. (1)

3 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 21. (1) ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ΕΚΑ Α. Το 50% των κατοίκων µιας πόλης διαβάζουν την εφηµερίδα (α), ενώ το 30% των κατοίκων διαβάζουν την εφηµερίδα (α) και δε διαβάζουν την εφηµερίδα (β). Ποια είναι η πιθανότητα ένας

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 1 1) Δίνεται ο διπλανός πίνακας 43 παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ και οι αντίστοιχες συχνότητές τους ν i. Αν 116 η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι x =, η διάμε- 43 σος είναι δ=3 και ισχύει κ>10, να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος»

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν είναι δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε Ρ () = 1. 2. * Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης τότε, 0 Ρ (Α) 1. 3. * Για το αδύνατο

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Άλγεβρα Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., υ -, B., Γ. -,.,., ΙΙ. Το όριο f lm 0 είναι ίσο με: Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3()

ΘΕΜΑ 2 Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με Ρ(Α ) = 3Ρ(Α), Ρ(Β ) = 1/3 και () 3() ΘΕΜΑ 1 Ένα Λύκειο έχει 400 μαθητές από τους οποίους οι 00 είναι μαθητές της Α τάξης Αν επιλέξουμε τυχαία ένα μαθητή, η πιθανότητα να είναι μαθητής της Γ τάξης είναι 0% Να βρείτε: i Το πλήθος των μαθητών

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 4 o Γενιό Λύειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματιά Γενιής Παιδείας γ Ασήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράης http://users.sch.gr/mipapagr 4 ο Γενιό Λύειο Χανίων 00 0 ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει: Ρ(Α )=-Ρ(Α) Μονάδες 7 Α. Να ορίσετε το μέτρο διασποράς εύρος ή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο

ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο ρ πε α εμ των α ματ ών 2014 Γ Ο Η ΡΗ Ο Ο Γ Ρ Θ μα 2ο Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον

Διαβάστε περισσότερα

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10

(α > β και γ > δ)=> αγ > βδ. τύπο S. άνισες. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f( χ )= y j x »/ Ç + 3. παρακάτω προτάσεις: ΜΟΝΑΔΕΣ 2x5=10 ΓΕ.Λ. ΛΙΒΑΔΕΙΑΣ ΖΗΤΗΜΑ A ΑΊ. ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΛΙΒΑΔΕΙΑ 4 ΜΑΪΟΥ 05 ΤΑΞΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) κάθε μία

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ . ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 7 9 Α ΟΜΑΔΑΣ. Από μία τράπουλα με 5 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 77. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέµα Α A1. Για δυο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ( Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) Α. Πότε µια συνάρτηση f µε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f () είναι παραγωγίσιμη στο R με f () Α Αν είναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ ενός δείγματος παρατηρήσεων μεγέθους ν ( ) να ορίσετε την

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f =

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f = ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 16 (version 9-6-16) 1. A Να δώσετε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο ορισμού της. Απάντηση: Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικής Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Ζήτηµα 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1o A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α»Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 18 MAΪΟΥ 009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ

Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 ÈÅÌÅËÉÏ Μαθηµατικά & Στοιχεία Στατιστικης Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 2001 Ζήτηµα 1ο Α.1. Α.2. Β.1. Β.2. Β.3. Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Α Λυκείου Θέμα Α. Αν x, x οι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης αx +βx+γ=, α να αποδείξετε ότι S P. (6 μονάδες) Β. Ελέγξατε αν κάθε μία από τις παρακάτω σχέσεις είναι σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10

ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 8 ΜΑΪΟΥ 005 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4)

Διαβάστε περισσότερα

4

4 4 5 6 7 8 9 0 4 5 6 7 8 9 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ προς απάντηση Διαφορικός Λογισμός Tι ονομάζουμε συνάρτηση ; Tι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής; Tι λέγεται τιμή μίας συνάρτησης f

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου

Άλγεβρα Α Λυκείου. Στέλιος Μιχαήλογλου Άλγεβρα Α Λυκείου Στέλιος Μιχαήλογλου wwwaskisopolisgr Άλγεβρα Α Λυκείου Οι πράξεις των πραγματικών αριθμών και οι ιδιότητες τους Αν οι αριθμοί α,β είναι αντίστροφοι, να αποδείξετε ότι: 7 4 : 8 0 7 Να

Διαβάστε περισσότερα

F(x h) F(x) (f(x h) g(x h)) (f(x) g(x)) F(x h) F(x) f(x h) f(x) g(x h) g(x) h h h. lim lim lim f (x) g (x). h h h

F(x h) F(x) (f(x h) g(x h)) (f(x) g(x)) F(x h) F(x) f(x h) f(x) g(x h) g(x) h h h. lim lim lim f (x) g (x). h h h ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 MAΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A1. Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

[ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ] Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

[ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ] Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου 0 0 4 ο ΓΕΛ Χανίων - Γ Λυκείου 0-0 Μ Παπαγρηγοράκης 4 ΓΕΛ Χανίων [ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ] Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γενικές Συνδιαστικές Ασκήσεις σε Ανάλυση - Στατιστική 7- Μπαρλας θεμα 70/80Μπαρλας

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ Β. α. ΛΑΘΟΣ, β. ΣΩΣΤΟ, γ. ΣΩΣΤΟ, δ. ΛΑΘΟΣ, ε. ΣΩΣΤΟ, στ. ΣΩΣΤΟ. α = 1 δ. im( f (x) x ) = im - 2βx x = - 4β 8 = 4α - 32β =

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ Β. α. ΛΑΘΟΣ, β. ΣΩΣΤΟ, γ. ΣΩΣΤΟ, δ. ΛΑΘΟΣ, ε. ΣΩΣΤΟ, στ. ΣΩΣΤΟ. α = 1 δ. im( f (x) x ) = im - 2βx x = - 4β 8 = 4α - 32β = ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΙΟΥΛΙΟΥ 005 ΘΕΜΑ ο Α.. Θεωρία s s Α.. CV =, αν > 0, ενώ CV =, αν < 0. - Β. α. ΛΑΘΟΣ, β. ΣΩΣΤΟ, γ. ΣΩΣΤΟ, δ. ΛΑΘΟΣ, ε. ΣΩΣΤΟ, στ. ΣΩΣΤΟ. ΘΕΜΑ ο α. Πρέπει > 0, άρα A f = (0, + ). β. f () = (α

Διαβάστε περισσότερα

ευτέρα, 18 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ευτέρα, 18 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 009 ευτέρα, 8 Μα ου 009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ o Α. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει ότι Ρ(Α Β)=Ρ(Α)+Ρ(Β) Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΑΒΒΑΤΟ 4 MAΪΟΥ 0 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

A. Να δείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ενός δειγματικού χώρου, ισχύει

A. Να δείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ενός δειγματικού χώρου, ισχύει ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α.Τι λέγεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης; Μονάδες. Πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (ν θετικός ακέραιος) Μονάδες 4 B. Αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η εκάδα. Στην αρχή της σχολικής χρονιάς, οι 50 µαθητές της τρίτης τάξης ενός λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά µε τον αριθµό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των διακοπών τους. Τα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2011 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Ο : Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδειχθεί ότι: Ρ(Α-Β)=Ρ(Α)-

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ

[ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΤΟ 2 ο ΘΕΜΑ [ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ] ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Από τους μαθητές ενός Λυκείου, το 5% συμμετέχει στη ομάδα, το 30% συμμετέχει στη θεατρική ομάδα ποδοσφαίρου και το 15%

Διαβάστε περισσότερα

35 = (7+ 109) =

35 = (7+ 109) = Άλγεβρα Α Λυείου Στεφανής Παναγιώτης Συνδυαστιές Ασήσεις Ασήσεις δηµοσιευµένες στο περιοδιό τεύχος 8 Άσηση α) Να δείξετε ότι: 7 + + + +... + 9 = β) Να λυθεί η ανίσωση: 7 7x + x + x +... +

Διαβάστε περισσότερα

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α).

β. Να βρείτε την πιθανότητα πραγματοποίησης καθενός από τα δύο ενδεχόμενα του ερωτήματος α). 1.: Έννοια της Πιθανότητας Κεφάλαιο 1ο: Πιθανότητες ΑΣΚΗΣΗ 1 (_497) Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 Ε_3.Μλ3Γ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 01 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9)

ΘΕΜΑ 2. 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2. α) Να λύσετε την ανίσωση: β) Να λύσετε την ανίσωση: x (Μονάδες 9) α) Να λύσετε την ανίσωση: 1 x < 4. (Μονάδες 9) 2 β) Να λύσετε την ανίσωση: x+ 5 3. (Μονάδες 9) γ) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων των ερωτημάτων (α) και (β) με χρήση του άξονα των πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πράξεις ενδεχομένων-γλωσσική περιγραφή 1) Να γράψετε με τη βοήθεια των συνόλων Α,Β,Γ,Α,Β,Γ τα ενδεχόμενα που

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 00 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t,t,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν,

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου 4 ΓΛΧ. Μ. Παπαγρηγοράκης Χανιά. Άλγεβρα 12.09

Α Λυκείου 4 ΓΛΧ. Μ. Παπαγρηγοράκης Χανιά. Άλγεβρα 12.09 Α Λυκείου ΓΛΧ Μ Παπαγρηγοράκης Χανιά Άλγεβρα 9 Ευχαριστώ το συνάδελφο Θανάση Νικολόπουλο από το Γυμνάσιο ΛΤ Βολιμών Ζακύνθου για τις εύστοχες παρατηρήσεις και τις διορθώσεις που έκανε στην αρχική έκδοση

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΜΑΪΟΥ 0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα