3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "3. Να δειχτει οτι α + 110 20α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε"

Transcript

1 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Π ε ι ρ α μ α τ υ χ η ς - Δ ε ι γ μ α τ ι κ ο ς χ ω ρ ο ς. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Πειραμα τυχης: λεγεται καθε πειραμα για το οποιο δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα,. Aν οσες α, β φορες θετικοι και, να να συγκρινεται επαναληφθει τους κατω αριθμους απο τις Α ιδιες = α + συνθηκες. β, Β = α β + αβ. Δειγματικος χωρος Ω: ενος πειραματος τυχης ονομαζεται το συνολο ολων των δυνατων αποτελεσματων που μπορουν να εμφανιστουν κατα την εκτελεση του πειραματος. Δηλαδη αν ω, ω,, ω ν τα δυνατα αποτελεσματα του πειραματος, τοτε ο δειγματικος χωρος ειναι: Ω = { ω, ω,, ω ν }. Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο Ενδεχομενο Α: ενος πειραματος τυχης, λεγεται το συνολο που εχει για στοιχεια του ενα ή περισσοτερα δυνατα αποτελεσματα του πειραματος. Δηλαδη το ενδεχομενο Α ειναι ενα υποσυνολο του δειγματικου χωρου Ω: Α Ω Tο πληθος των στοιχειων ενος ενδεχομενου Α συμβολιζεται με Ν(Α). Πραγματοποιηση ενος ενδεχομενου : Ενα ενδεχομενο Α πραγματοποιειται οταν το αποτελεσμα του πειραματος ειναι στοιχειο του ενδεχομενου. Τα στοιχεια του ενδεχομενου Α λεγονται και ευνοϊκες περιπτωσεις για την πραγματοποιηση του. Διακριση των ενδεχομενων Απλο (ή στοιχειωδες) ενδεχομενο: ειναι αυτο που εχει μονο ενα στοιχειο. Συνθετο ενδεχομενο: ειναι αυτο που εχει δυο ή περισσοτερα στοιχεια. Βεβαιο ενδεχομενο: ειναι αυτο που πραγματοποιειται παντοτε (δηλαδη σε καθε εκτελεση του πειραματος) και ταυτιζεται με τον δειγματικο χωρο Ω. Αδυνατο ενδεχομενο: ειναι αυτο που δεν πραγματοποιειται ποτε και ταυτιζεται με το κενο συνολο. H Εννοια του διανυσματος

2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ (Α, Β) Συμβολισμος: Α Διαβαζεται: Οχι Α η αντιθετο του Α η συμπληρωμα του Α Πραγματοποιειται αν: Δεν πραγματοποιειται το ενδεχομενο Α Α Διαγραμμα Venn Α Ω Συμβολισμος: Α Β Διαβαζεται: Α ενωση Β η Α η Β Πραγματοποιειται αν: Πραγματοποιειται τουλαχιστον ενα απο τα ενδεχομενα Α η Β Συμβολισμος: Α Β Διαβαζεται: Α τομη Β η Α και Β Πραγματοποιειται αν: Πραγματοποιουνται συγχρονως τα ενδεχομενα Α και Β Συμβολισμος: Α Β' η Α - Β Διαβαζεται: Διαφορα του Β απ το Α Πραγματοποιειται αν: Πραγματοποιειται το ενδεχομενο Α αλλα οχι το ενδεχομενο Β Α Α Α Διαγραμμα Venn Διαγραμμα Venn Διαγραμμα Venn Β Ω Β Ω Β Ω Συμβολισμος: Β Α' η Β - Α Διαβαζεται: Διαφορα του Α απ το Β Πραγματοποιειται αν: Πραγματοποιειται το ενδεχομενο Β αλλα οχι το ενδεχομενο Α Α Διαγραμμα Venn Β Ω

3 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ (Α, Β) Συμβολισμος: (Α - Β) (Β - Α) η (Α Β') (Β Α') Διαβαζεται: Διαφορα του Β απ το Α η Διαφορα του Α απ το Β Πραγματοποιειται αν: Πραγματοποιειται μονο το ενδεχομενο Α η μονο το ενδεχομενο Β Α Διαγραμμα Venn Β Ω Α σ υ μ β ι β α σ τ α Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α Δυο ενδεχομενα Α, Β λεγονται ασυμβιβαστα η ξενα μεταξυ τους η αμοιβαιως αποκλειομενα, αν ισχυει: Α Β = Δηλαδη αυτα που δεν μπορουν να πραγματοποιηθουν συγχρονως. Στον παρακατω πινακα τα Α και Β συμβολιζουν ενδεχομενα ενος πειραματος και το ω ενα αποτελεσμα του πειραματος αυτου. Στην αριστερη στηλη του πινακα αναγραφονται διαφορες σχεσεις για τα Α και Β διατυπωμενες στην κοινη γλωσσα, και στη δεξια στηλη αναγραφονται οι ιδιες σχεσεις αλλα διατυπωμενες στη γλωσσα των συνολων. Το ενδεχομενο Α πραγματοποιειται ω Α Το ενδεχομενο Α δεν πραγματοποιειται ω Α' η ω Α Ενα τουλαχιστον απ τα Α και Β πραγματοποιειται ω Α Β Α Διαγραμμα Venn Β Ω Πραγματοποιειται και το Α και το Β ω Α Β Δεν πραγματοποιειται ουτε το Α ουτε το Β ω (Α Β)' Πραγματοποιειται μονο το Α ω Α - Β η ω Α Β' Αν πραγματοποιειται το Α, τοτε πραγματοποιειται και το Β Α Β

4 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 4 Ε ι σ α γ ω γ η Στην εκτελεση ενος πειραματος τυχης δεν μπορουμε να προβλεψουμε το αποτελεσμα και κατα συνεπεια δεν γνωριζουμε αν θα πραγματοποιηθει καποιο ενδεχομενο Α του δειγματικου χωρου. Σε πολλα ομως πειραματα εχουμε ενα μετρο προσδοκιας για την πραγματοποιηση ενος ενδεχομενου, π.χ. στη ριψη αμεροληπτου ζαριου η προσδοκια μας να ελθει εξαρι ειναι μια στις εξι. Αυτο το μετρο προσδοκιας πραγματοποιησης του ενδεχομενου λεγεται πιθανοτητα του Α και συμβολίζεται Ρ(Α). Επομενως σε καθε ενδεχομενο Α μπορουμε να αντιστοιχισουμε την πιθανοτητα του Ρ(Α) να πραγματοποιηθει. Σ χ ε τ ι κ η Σ υ χ ν ο τ η τ α Ε ν δ ε χ ο μ ε ν ο υ Λεγεται το πηλικο κ, οπου ν ειναι ο αριθμος εκτελεσεων του πειραματος και κ ο αριθμος που δειχνει ποσες φορες πραγματοποιηθηκε το ενδεχομενο Α. ν κ δηλαδη : f = A ν Ειδικα για τα απλα ενδεχομενα {ω }, {ω },, {ω ν } του δειγματικου χωρου Ω, που πραγματοποιουνται κ, κ,, κ ν φορες αντιστοιχως σε ν επαναληψεις του πειραματος, οι σχετικες τους συχνοτητες ειναι : κ κ κ λ f=, f =,, f = ν ν λ ν Ο νoμος των μεγaλων αριθμων Η σχετικη συχνοτητα ενος ενδεχομενου σταθεροποιειται γυρω απο μια συγκεκριμενη αριθμητικη τιμη, καθως ο αριθμος των επαναληψεων του πειραματος αυξανει απεριοριστα Ι σ ο π ι θ α ν α Ε ν δ ε χ ο μ ε ν α Τα απλα ενδεχομενα ω, ω,, ω ν ενος δειγμ. χωρου Ω = { ω, ω,, ω ν } λεγονται ισοπιθανα, οταν εχουν την ιδια συχνοτητα εμφανισης κατα την εκτελεση του πειραματος. Δηλαδη η σχετικη συχνοτητα για καθ ενα απο αυτα ειναι ν Για ενα συνθετο ενδεχομενο Α = { α, α,, α κ } που αποτελειται απο κ ισοπιθανα κ ενδεχομενα η σχετικη συχνοτητα του είναι: f =f + f f = = A κ ν ν ν ν κ φορες

5 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 5 Κ λ α σ σ ι κ ο ς Ο ρ ι σ μ ο ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς Εστω τα απλα ισοπιθανα ενδεχομενα ω, ω,, ω ν ενος δειγματικου χωρου Ω = { ω, ω,, ω ν }. Πιθανότητα Ρ(Α) του ενδεχομένου Α: πληθος ευνοϊκων περιπτωσεων του Α N(A) ειναι το πηλικο Ρ(Α) = = πληθος δυνατων περιπτωσεων N(Ω) Ιδιοτητες Ρ(ω i ) = ν, i =,,, ν Ρ(Ω) = Ρ( ) = 0 0 Ρ(Α) Α ξ ι ω μ α τ ι κ ο ς Ο ρ ι σ μ ο ς Π ι θ α ν ο τ η τ α ς Εστω Ω = {ω,ω,...,ω } ενας δειγματικος χωρος με πεπερασμενο πληθος στοιχειων. ν Σε καθε απλο ενδεχομενο {ω } αντιστοιχιζουμε εναν πραγματικο αριθμο, που τον i συμβολιζουμε με P(ω ), ετσι ωστε να ισχυουν i 0 P(ω ) P(ω ) + P(ω ) P(ω ) =. i ν Τον αριθμο P(ω ) ονομαζουμε πιθανοτητα του ενδεχομενου {ω }. i i Ως πιθανοτητα ενος ενδεχομενου A = {α,α,...,α } οριζουμε το αθροισμα κ P(α ) + P(α ) P(α ), δηλαδη κ P(A) = P(α ) + P(α ) P(α ) κ Ως πιθανοτητα του αδυνατου ενδεχομενου οριζουμε τον αριθμο P( ) = 0. Παρατηρησεις Αν Ρ(ω i ) =, i =,,, ν, εχουμε τον κλασικο ορισμο της πιθανοτητας. Τοτε : ν H πιθανοτητα του βεβαιου ενδεχομενου Ω ειναι P(Ω)=. H πιθανοτητα του ενδεχομενου Α = {α, α,, α κ } ειναι N(A) κ P(A) = = N(Ω) ν Οταν εχουμε ενα δειγματικο χωρο Ω = {ω,ω,...,ω } και χρησιμοποιουμε τη φραση ν παιρνουμε τυχαια ένα στοιχειο του Ω, εννοουμε οτι ολα τα δυνατα αποτελεσματα ειναι ισοπιθανα με πιθανοτητα P(ω ) =, i =,,..., v. v i

6 ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 6 Απλος προσθετικος νομος (για ασυμβιβαστα ενδεχομενα) Για οποιαδηποτε ασυμβιβαστα μεταξυ τους ενδεχομενα Α και Β ισχυει: P(AU B) = P(A) + P(B) Αν N(A) = κ και N(B) = λ, τοτε το AUB εχει κ + λ στοιχεια, γιατι αλλιως τα Α και Β δε θα ηταν ασυμβιβαστα. Δηλαδη, εχουμε N(AUB) = κ + λ = N(A) + N(B). Επομενως: N(AU B) N(A) + N(B) P(AU B) = = N(Ω) N(Ω) N(A) N(B) = + = P(A) + P(B). N(Ω) N(Ω). Ισχυει και για περισσοτερα απο δυο ενδεχομενα. Ετσι, αν τα ενδεχομενα Α, Β και Γ ειναι ανα δυο ασυμβιβαστα θα εχουμε P(AUB UΓ) = P(A) + P(B) + P(Γ). Πιθανοτητα συμπληρωματικου Για δυο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και P(A ) = - P(A) A (ασυμβιβαστα) ισχύει: P(AU A ) = P(A) + P(A ) P(Ω) = P(A) + P(A ) = P(A) + P(A ). Οποτε P(A ) = - P(A). Προσθετικος νομος ( για τυχαια ενδεχομενα) Για δυο ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει: P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B) Για δυο ενδεχομενα Α και Β έχουμε: N(A B) = N(A) + N(B) - N(A B), () αφου στο αθροισμα N(A) + N(B) το πληθος των στοιχειων του A B υπολογιζεται δυο φορες. Αν διαιρεσουμε τα μελη της () με N(Ω) εχουμε: N(A B) N(A) N(B) N(A B) = + - N(Ω) N(Ω) N(Ω) N(Ω). οποτε P(A B) = P(A) + P(B) - P(A B). Πιθανοτητα υποσυνολου Αν A B, τότε P(A) P(B) Επειδη A B εχουμε διαδοχικα: N(A) N(B) N(A) N(B) P(A) P(B). N(Ω) N(Ω)

7 ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΤΩΝ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 7 Πιθανοτητα Διαφορας Για δυο ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει: P(A- B) = P(A) - P(A B) Επειδη τα ενδεχομενα A -B και A B ειναι ασυμβιβαστα και (A - B) (A B) = A, εχουμε: P(A) = P(A - B) + P(A B). Αρα P(A - B) = P(A) - P(A B). Πιθανοτητα Συμμετροδιαφορας Για δυο ενδεχομενα Α και Β ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει: P((A- B) (B - A)) = P(A) + P(B) - P(A B) P((A - B) (Β - Α)) = P(A - Β) + P(Β - Α) = Ρ(Α) - Ρ(Α Β) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) =. = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β)

8 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εχουμε δυο κουτια α και β.το κουτι α περιεχει μια κοκκινη (Κ) μπαλα, μια. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; ασπρη (Α) και μια μαυρη (Μ), ενω το κουτι β περιεχει μια ασπρη (Α) και μια μαυρη (Μ) μπαλα.. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ Επιλεγουμε ενα κουτι στη τυχη και στη συνεχεια μια μπαλα απ'αυτο. Να γραψετε το δειγματικο χωρο του πειραματος. Ποιο ειναι το ενδεχομενο Α : " η μπαλα ειναι μαυρη ". Ριχνουμε το ζαρι μια φορα και παρατηρουμε την ενδειξη του. Να προσδιορισετε τα ενδεχομενα : Α : " ενδειξη αρτια " Β : " ενδειξη μεγαλυτερη του " H κατασταση του πειραματος φαινεται στο δεντροδιαγραμμα: Ο δειγματικος χωρος ειναι : Κ ακ Ω = {ακ, αα, αμ, βα, βμ} Α ρ χ η Α Β, Α Β, Α', Α Β' Ο δειγματικος χωρος του πειραματος ειναι : Ω = {,,,4,5,6}. Α = {,4,6} Β = {4,5,6} Α Β = {4,6} Α Β = {,4,5,6} Α' = {,, 5} α β (ενδειξη αρτια και μεγαλυτερη του ) (ενδειξη αρτια η μεγαλυτερη του ) (ενδειξη οχι αρτια δηλαδη περιττη) Α Β' = {} (ενδειξη αρτια και οχι μεγαλυτερη το υ ) Α Μ Α Μ αα αμ βα βμ Το ενδεχομενο "η μπαλα ει - ναι μαυρη" ειναι : Α = {αμ,βμ} Ω Εχουμε ενα κουτι που περιεχει κοκκινες, 4 μπλε και 5 ασπρες μπαλες. Επιλεγουμε μια μπαλα στη τυχη. Να υπολογισετε τις πιθανοτητες των ενδεχομενων : Α : " η μπαλα ειναι κοκκινη " Β : " η μπαλα δεν ειναι ασπρη " Γ : " η μπαλα ειναι μπλε η ασπρη "

9 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ν(Ω) = = Οι κοκκινες μπαλες ειναι, οποτε Ν(Α) =. Οι μπαλες που δεν ειναι ασπρες, ειναι μπλε η κοκκινες, οποτε Ν(Β) = 4 + = 6. Οι μπαλες που ειναι ασπρες η μπλε ειναι 9 (5 + 4), οποτε Ν( Γ) = 9. Ετσι Ν(Α) Ν(Β) 6 Ν(Γ) 9 Ρ(Α) = = Ρ(Β) = = Ρ(Γ) = = Ν(Ω) Ν(Ω) Ν(Ω) Εστω Ω = {,,...,0} ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης και τα εν - δεχομενα : Α : " αρτιος " Β : " τελειο τετραγωνο " Γ : " περιττος " Δ : " αρτιος και τελειο τετραγωνο " Ε : " αρτιος ητελειο τετραγωνο " Ζ : " αρτιος και περιττος " Η : " αρτιος η περιττος " α. Να αντιστοιχισετε τα ενδεχομενα Γ εως Η με τα συμβολα : Α Β,, Ω, Α Β, Α' β. Να βρειτε τις πιθανοτητες των πιο πανω ενδεχομενων. α. Γ - Α' Δ - Α Β Ε - Α Β Ζ - Η - Ω β. Ν(Ω) = 0 Ν(Α) = 0, αφου Α = {, 4,6,8,0,,4,6,8,0} Ν(Β) = 4, αφου Β = {, 4,9,6} Ν(Γ) = 0, αφου Γ = {,,5, 7,9,,,5,7,9} Ν(Δ) =, αφου Δ = {4,6} Ν(Ε) =, αφου Ε = {,, 4,6,8,9,0,,4,6,8,0} Ν(Ζ) = 0, αφου Ζ = Ν(Η) = 0, αφου Η = Ω Ετσι Ν(Α) 0 Ν(Β) 4 Ρ(Α) = = = Ρ(Β) = = = Ν(Ω) 0 Ν(Ω) 0 5 Ν(Γ) 0 Ν(Δ) Ρ(Γ) = = = Ρ(Δ) = = = Ν(Ω) 0 Ν(Ω) 0 0 Ν(Ε) Ν(Ζ) 0 Ρ(Ε) = = = Ρ(Ζ) = = = 0 Ν(Ω) 0 5 Ν(Ω) 0 Ν(Η) 0 Ρ(Η) = = = Ν(Ω) 0

10 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εστω Ω = {ω, ω, ω } ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης και τα ενδεχομενα Α = {ω, ω } και Β = { ω, ω }. 4 Αν Ρ(Α) = και Ρ(Β) = να υπολογισετε τις πιθανοτητες : 5 Ρ(ω ), Ρ(ω ), Ρ(ω ). Αφου Ω = x i {ω, ω, ω v i } τοτε : f i f i % Ρ(ω ) + Ρ(ω 0 ) + Ρ(ω ) = Ρ(Ω) 0,0 Ρ(ω ) + Ρ(ω 0 ) + Ρ(ω ) = () Αφου Α = {ω, ω } τοτε 4 : 0, ,50 50 Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = Ρ(Α) Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = () 0, ,0 0 Απο () - () προκυπτει : Ρ(ω ) = - = () Συν ν=0 00 Αφου Β = {ω, ω } τοτε : () 4 4 Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = Ρ(Β) Ρ(ω ) + = Ρ(ω ) = - Ρ(ω ) = (4) Απο τις (), (), (4) προκυπτει : Ρ(ω ) + + = Ρ(ω ) = - - Ρ(ω ) = Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α) = Ρ(Β) = 0,6 και Ρ(Α Β) = 0,4. Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Να βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων : Γ : " να πραγματοποιηθει το Α η το Β " Δ : " να μην πραγματοποιηθει κανενα απο τα Α και Β " Αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα, τοτε : Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) = 0,6 + 0,6 =, >, ατοπο γιατι Ρ(Α Β). Αρα τα ενδεχομενα Α και Β δεν ειναι ασυμβιβαστα. " να πραγματοποιηθει το Α η το Β " σημαινει Α Β, οποτε : Ρ(Γ) = Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β = 0,6 + 0,6-0, 4 = 0,8 "να μην πραγματοποιηθει κανενα απο τα Α και Β" σημαινει (Α Β)', οποτε : Ρ(Δ) = Ρ[(Α Β)'] = - Ρ(Α Β) = - 0,8 = 0, Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α Β) = 0,9 και Ρ(Α') = 0,4 ενω Ρ(Α Β) = 0,5. Να βρειτε τις πιθανοτητες : Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Α - Β), Ρ(Β - Α), Ρ[(Α - Β) (Β - Α)].

11 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 Ρ(Α) = - Ρ(Α') = - v 0, = N 4 = = 0, f% Ρ(ΑUΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) f = = = και = f.v = 0,0.50 = - 00 Ρ(Α Β) 0,0 0,9 F = 0,6 v+ Ρ(Β) - 0,5 Ρ(Β) 5 = 0,9 Ν - 0,6 + 0,5 = 0,8 ν v = Ν - Ν = 6-5 και f = = = 0, Ρ(Α - Β) = Ρ(Α) - Ρ(Α Β) = 0,6-0,5 = 0, ν 50 F = f + f = 0, + 0, = 0, Ρ(Β - Α) = Ρ(Β) - Ρ(Α Β) F % = 0,850-0,5 = 0, F = = = 0,50 και f = F - F = 0,5-0, = 0, Ρ[(Α- Β) (Β - Α)] = Ρ(Α - Β) + Ρ(Β - Α) = 0, + v0, = f.v = 0,8.50 = 9 = 0,4 v = ν - (ν ν ν ν ) = 50-9 = 4 4 Σε ενα μη αμεροληπτο ζαρι οι πιθανοτητες εμφανισης καθε εδρας δινονται απο τη σχεση: 4P() = 4P() = 4P() = 4P(4) = P(5) = P(6) Να βρεθουν οι πιθανοτητες εμφανισης της καθε εδρας. Να βρεθει η πιθανοτητα του ενδεχομενου Α: η ενδειξη να ειναι αρτιος αριθμος. Θετουμε Ρ() = Ρ() = Ρ() = Ρ(4) = x, οποτε : Ρ(5) = x και Ρ(6) = 4x. Ομως Ρ() + Ρ() + Ρ() + Ρ(4) + Ρ(5) + Ρ(6) = x + x + x + x + x + 4x = 0x = x = 0 4 Aρα, Ρ() = Ρ() = Ρ() = Ρ(4) =, Ρ(5) = και Ρ(6) = : Ρ(Α) = Ρ() + Ρ(4) + Ρ(6) = + + = Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α') 0,5 και Ρ(Β') 0,7. Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β),05 - Ρ(Α Β) Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα Ρ(Α')=-Ρ(Α) Ρ(Α') 0,5 - Ρ(Α) 0,5 Ρ(Α) 0,75 () Ρ(Β')=-Ρ(Β) Ρ(Β') 0,70 - Ρ(Β) 0,70 Ρ(Β) 0,0 () Απο () + () : Ρ(Α) + Ρ(Β) 0, =,05 Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β).05 - Ρ(Α Β) () Απ' το προσθετικο νομο των πιθανοτητων η () γινεται : Ρ(Α Β).05 - Ρ(Α Β) Ρ(Α Β),05 - Ρ(Α Β) Εστω οτι τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Τοτε : Ρ(ΑUΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) = 0, =,05 >, που ειναι ατοπο. Αρα τα ενδεχομενα Α και Β δεν ειναι ασυμβιβαστα.

12 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5 Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α) = και Ρ(Β) =. 4 8 Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β) Εστω οτι τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Τοτε : 9 Ρ(ΑUΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) = + = >, που ειναι ατοπο Αρα τα ενδεχομενα Α και Β δεν ειναι ασυμβιβαστα. Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) τοτε 4 Ρ(Α Β) Β Α Β Ρ(Β) Ρ(Α Β) 4 Ρ(Α Β) 8 Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α) Α Β Β τοτε Ρ(Α Β) Ρ(Β) 0 Ρ(Α Β) 0 Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) 4 4 Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Β) = και Ρ(Α Β) =. 4 5 Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α). Α Α Β Ρ(Α) Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Α Β) 0 -Ρ(Α Β) 0 Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α) Ρ(Α) Ρ(Α) Ρ(Α) 5 Ρ(Α Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α) + - Ρ(Α) Ρ(Α) Ρ(Α)

13 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6 Εστω Α ενδεχομενο ενος δειγματικου χωρου Ω με : 0 < Ρ(Α) <. Να αποδειχτει οτι : + 4. Ρ(Α) Ρ(Α') Αφου 0 < Ρ(Α) < τοτε 0 < - Ρ(Α') < - < -Ρ(Α') < 0 Ρ(Α') > 0. Ρ(Α) + Ρ(Α') Ρ(Α) + Ρ(Α') 4Ρ(Α).Ρ(Α') Ρ(Α) Ρ(Α') Ρ(Α).Ρ(Α') Ρ(Α) + - Ρ(Α) 4Ρ(Α).[ - Ρ(Α)] 4Ρ(Α) - 4[Ρ(Α)] + 4[Ρ(Α)] - 4Ρ(Α) 0 [ - Ρ(Α)] 0, που αληθευει. Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Α,Β και α αριθμος θετικος. Να εξετασετε αν υπαρχουν τιμες του α, ωστε οι αριθμοι :,, α α να ειναι οι πιθανοτητες των ενδεχομενων Α, Β και Α Β αντιστοιχα. Θα εξετασουμε αν υπαρχει α > 0 ωστε : Ρ(Α) =, Ρ(Β) =, Ρ(Α Β) =. α α Οι αριθμοι,, πρεπει να ανηκουν στο διαστημα (0,] σαν πιθανοτητες ενδεχομενων. α α Οποτε 0 < α 0 < α 0 < 0 < α 0 < α 0 < α Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α) α α α α Πρεπει : α Α Β Β Ρ(Α Β) Ρ(Β) α α Πρεπει : Ρ(Α Β) (0,] 0 Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) α > < 9 + α - α 6 α α α α Αρα, για α οι αριθμοι,, ειναι οι πιθανοτητες των Α, Β,Α Β. α α Για το ενδεχομενο Α ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει : Ρ(Α) = κ - 4κ + 5 Να βρειτε την τιμη του κ. Να δειξετε οτι Α = Ω.

14 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 7 Εστω η συναρτηση f(κ) = κ - 4κ + 5 : f'(κ) = κ - 4 f'(κ) = 0 κ - 4 = 0 κ = f'(κ) > 0 κ - 4 > 0 κ > η f γ.αυξουσα στο (,+ ) f'(κ) < 0 κ - 4 < 0 κ < η f γ.φθινουσα στο (-,) Οποτε, εχουμε ελαχιστο για κ =, το f() =. Δηλαδη, f(κ) τοτε και Ρ(Α) () Ομως 0 Ρ(Α) () Απο (), () προκυπτει : Ρ(Α) = Ρ(Α) = κ - 4κ + 5 = κ - 4κ + 4 = 0 (κ - ) = 0 κ - = 0 κ =. Ρ(Α) = Ρ(Α) = Ρ(Ω) Α = Ω. Για τους υποψηφιους τηςτεχνολογικης κατευθυνσης το 006 γνωριζουμε οτι : Το 0% απετυχε στη Φυσικη. Το 40% απετυχε στα Μαθηματικα. Το 0% απετυχε στη Φυσικη και στα Μαθηματικα. Επιλεγουμε τυχαια ενα απ'τους υποψηφιους και ζητουμε την πιθανοτητα των ενδεχομενων : Α : " ο υποψηφιος απετυχε τουλαχιστον σ'ενα απο τα δυο μαθηματα ". Β : " ο υποψηφιος απετυχε μονο στα Μαθηματικα ". Γ : " ο υποψηφιος απετυχε μονο σ'ενα απο τα δυο μαθηματα ". Θεωρουμε τα ενδεχομενα : Φ : "ο υποψηφιος απετυχε στη Φυσικη" Οποτε : Ρ(Φ) = 0,, Ρ(Μ) = 0,4 και Ρ(Φ Μ) = 0, Μ : "ο υποψηφιος απετυχε στα Μαθηματικα" : Α = Φ Μ, οποτε Ρ(Α) = Ρ(Φ Μ) = Ρ(Φ) + Ρ(Μ) - Ρ(Φ Μ) = 0, + 0,4-0, = 0,5 : Β = Μ - Φ, οποτε Ρ(Β) = Ρ(Μ - Φ) = Ρ(Μ) - Ρ(Φ Μ) = 0, 4-0, = 0, : Γ = (Φ - Μ) (Μ - Φ), οποτε (αφου Φ - Μ, Μ - Φ ασυμβιβαστα) Ρ(Γ) = Ρ(Φ - Μ) + Ρ(Μ - Φ) = Ρ(Φ) - Ρ(Φ Μ) + Ρ(Μ) - Ρ(Φ Μ) = Ρ(Φ) + Ρ(Μ) - Ρ(Φ Μ) = = 0, + 0, 4 -.0, = 0, Η Γ' ταξη ενος Λυκειου εχει 5 μαθητες - μαθητριες. Τα / 5 των μαθητων και το / 5 τω ν μαθητριων επελεξαν τη θετικη κατευθυνση και οι υπολοιποι την θεωρητικη η τεχνολογικη κατευθυνση. Επιλεγουμε τυχαια εναν υποψηφιο. Αν η πιθανοτητα να ειναι μαθητης που δεν επελεξε τη θετικη κατευθυνση ειναι Ρ(Μ) = 9 / 5, να βρειτε : Ποσοι ειναι οι μαθητες και ποσες οι μαθητριες. Ποια η πιθανοτητα Ρ(Κ) ο υποψηφιος να ειναι μαθητρια που δεν επελεξε τη θετικη κατευθυνση;

15 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 Εστω x o αριθμος των μαθητων. Ευκολα απο τις στηλες v i, xiv i x Οι μαθητες που επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι σε πληθος, ενω αυτοι που δεν προκυπτει η στηλη των x. 5 i Επισης x που επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι σε πληθος. 5 Οποτε η πιθανοτητα Ρ(Μ), "ο μαθητης να μην επελεξε τη θετικη κατευθυνση", ειναι : x 9 Ν(Μ) x Ρ(Μ) = = = = 9 x = 45 x = 5 5 Ν(Ω) Αρα οι μαθητες ειναι 5 και οι μαθητριες 0. Οι μαθητριες που επελεξαν τη θετικη κατευθυνση ειναι : 0. =, ενω αυτες που δεν την 5 επελεξαν ειναι 0 - = 8 Οποτε η πιθανοτητα του ενδεχομενου, "η μαθητρια να μην επελεξε τη θετικη κατευθυνση", Ν(Κ) ειναι : Ρ(Κ) =. Ν(Ω) 8 Ρ(Κ) = 5 Σ'ενα διαγωνισμο ομορφιας 4 υποψηφιες εχουν καστανα μαλλια, ενω οι υπο - λοιπες εχουν μαυρα η ξανθα. Η πιθανοτητα να κερδισει το διαγωνισμο ξανθια ειναι, ενω να κερδισει υπο - ψηφια με μαυρα μαλλια ειναι. 6 Να βρειτε ποσες ειναι οι υποψηφιες. Εστω x oι υποψηφιες με ξανθα και y oι υποψηφιες με μαυρα μαλλια. Τοτε : Ν(Ω) = 4 + x + y. Θεωρουμε τα ενδεχομενα : Α : "υποψηφια με καστανα μαλλια". Β : "υποψηφια με ξανθα μαλλια". Γ : "υποψηφια με μαυρα μαλλια". Ρ(Β) =, Ρ(Γ) =, Ν(Β) = x, N(Γ) = y. 6 Οποτε Ν(Β) x Ρ(Β) = = = Ν(Ω) 4 + x + y x = 4 + x + y Ν(Γ) y 6y = 4 + x + y Ρ(Γ) = = = 6 Ν(Ω) x + y 6 x = 4 + y x = 4 + y x = 4 + y x = 6 x - 5y = y - 5y = -4 4y = 48 y = Aρα οι υποψηφιες ειναι : = 7.

16 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9 Εστω Α ενδεχομενο ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α) - + Ρ(Α) - = κ +, κ και η συναρτηση : f(x) = ln(x + ) + κx, Να βρειτε την τιμη του κ, ωστε η f να ειναι γ.αυξουσα στο. * + x H συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο με : x κx + x + κ f'(x) = ln(x + ) + κx ' = (x + )' + κ = + κ = x + x + x + Για να ειναι η f γ.αυξουσα πρεπει f'(x) > 0. Oποτε πρεπει κx + x + κ x + Δηλαδη Δ 0 4-4κ 0 0 κx + x + κ 0 κ>0 κ - (κ - )(κ + ) 0 κ () κ Ρ(Α) > Ρ(Α) - > 0 Ρ(Α) - = Ρ(Α) - Ρ(Α) - < 0 Ρ(Α) - = - Ρ(Α) Ρ(Α) < Οποτε, η δοσμενη σχεση γινεται : Ρ(Α) - + ( - Ρ(Α)) = κ + Ρ(Α) Ρ(Α) = κ + Ρ(Α) = κ () Αρα απο (),() προκυπτει Ρ(Α) () Ομως 0 Ρ(Α) (4) () Απο (), (4) προκυπτει : Ρ(Α) = κ = Εστω Ω = {,,...,0} ειναι ενας δειγματικος χωρος που αποτελειται απο ισοπι - θανα απλα ενδεχομενα. Επιλεγουμε τυχαια ενα απλο ενδεχομενο α Ω. Αν f(x) = x πραγματικες ριζες. + 4x + α, να βρειτε τη πιθανοτητα η εξισωση f(x) = 0 να μην εχει Για να μην εχει πραγματικες ριζες η εξισωση f(x) = 0 πρεπει : Δ < α < 0 6-4α < 0 α > 4 Οποτε α {5,6,7,8, 9,0} = Α Ν(Α) = 6 και Ν(Ω) = 0. Αρα Ν(Α) 6 Ρ(Α) = = = 0,6 Ν(Ω) 0

17 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 0 Εστω Ω = {,,,4,5} ειναι ενας δειγματικος χωρος που αποτελειται απο ισο - x + y = πιθανα απλα ενδεχομενα και το συστημα, με α Ω. (α + )x + αy = Να βρειτε τη πιθανοτητα του ενδεχομενου Α : " το συστημα αδυνατο ". = α - α - = -(α + - α) D = = -(α - )(α - ) α + α y = - α - 6 D = = 9α - D = = -α - 5 x α α + Για να ειναι αδυνατο το συστημα πρεπει : D = 0 και D 0 η D 0. Οποτε α = D = 0 -(α - )(α - ) = 0 α = Για α = τοτε D = 9. - = 8 0, οποτε το συστημα αδυνατο. x Για α = τοτε D = 9. - = 7 0, οποτε το συστημα αδυνατο. x Ν(Α) = (αφου, Ω) και Ν(Ω) = 5. Αρα Ν(Α) Ρ(Α) = = = 0,4 Ν(Ω) 5 Εστω τα ενδεχομενα Α, Β ενος δειγματικου χωρου Ω και η συναρτηση : 7 f(x) = x - x + x. Aν Ρ(Α), Ρ(Β) ειναι ειναι η μικροτερη και η μεγαλυτερη ριζα της εξισωσης f'(x) = 0 αντιστοιχα, τοτε : Να βρειτε τις Ρ(Α), Ρ(Β). Να δειξετε οτι : Ρ(Α Β) 6 Να δειξετε οτι : Ρ(Α Β) 7 f'(x) = 0 x - x + x ' = 0 6x - 7x + = x = x = = P(B) Δ = (-7) = 7 - x = x = = P(A) A B A P(A B) P(A) P(A B) P(A B) A B B P(A B) P(B) P(A B) x y

18 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Eιναι P(A B) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - P(A B) P(A B) = + - P(A B) 0 P(AUB) 7 7 P(A B) = - P(A B) 0 - P(A B) Ρ(Α Β) Αρα Ρ(Α Β) 6 A A B P(A) P(A B) P(A B) P(A B) B A B P(B) P(A B) P(A B) Εστω Α ενδεχομενο ενος δειγματικου χωρου Ω και κ πραγματικος αριθμος τε - τοιος ωστε : Ρ(Α) + = κ Ρ(Α). Να βρειτε τη μεγιστη και την ελαχιστη τιμη του κ. Αφου Α Β = Ω και Α,Β ασυμβιβαστα ενδεχομενα, τοτε : Ρ(Α) + Ρ(Β) =. Οποτε Ρ(Α) + Ρ(Β) = Ρ(Β) = - Ρ(Α) Ρ(Β) = - Ρ(Α) Ρ(Α) + Ρ(Β) = Ρ(Α) + - Ρ(Α) = Ρ(Α) = - κ κ κ 4 Ρ(Α) - Ρ(Β) = - 4Ρ(Α) = Ρ(Α) = κ κ κ Ρ(Β) = - Ρ(Α) Ρ(Β) = - Ρ(Α) Ρ(Β) = - Ρ(Α) Ρ(Β) = 7 - κ = κ = 6 κ = κ = κ κ Ρ(Α) = Ρ(Α) = Ρ(Α) = Ρ(Α) = κ κ Δινεται ο ακεραιος αριθμος κ με - 4 κ και η εξισωση : (Ε ) : κx + (κ - )x + κ = 0. κ Να βρειτε τη πιθανοτητα με την οποια η εξισωση (Ε ) : Α : εχει δυο πραγματικες και ισες ριζες Β : εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες Γ : δεν εχει πραγματικες ριζες κ Αφου κ [-4,] και οριζει τις εξισωσεις (Ε ),(Ε ),...,(Ε ) τοτε Ω = {(Ε ),(Ε ),...,(Ε )} και Ν(Ω) = (κ - ) - 4.κ.κ = κ - 4κ + 4-4κ -4 - Δ = = -κ - 4κ + 4 Για να εχει η εξισωση δυο πραγματικες και ισες ριζες, πρεπει : κ = - Δ = 0 -κ - 4κ + 4 = 0 κ = (απορριπτεται, κ ακεραιος)

19 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Ν(Α) Αρα Ν(Α) = και Ρ(Α) = Ν(Ω) = 8 Για να εχει η εξισωση δυο πραγματικες και ανισες ριζες, πρεπει : Δ > 0 -κ - 4κ + 4 > 0 - < κ < τοτε κ εχει τιμες - και 0. Ν(Β) Αρα Ν(Β) = και Ρ(Β) = = Ν(Ω) 8 = 4 Για να μην εχει η εξισωση πραγματικες ριζες, πρεπει : Δ < 0 -κ - 4κ + 4 < 0 (κ < - η κ > ) τοτε κ = -4,-,,,. Ν(Γ) Αρα Ν(Γ) = 5 και Ρ(Γ) = 5 Ν(Ω) = 8 Εστω Α ενδεχομενο του δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α) + - Ρ(Α) - = 8κ, κ. Να δειχτει οτι : κ. 8 Ρ(Α) - Ρ(Α) + 0 Ρ(Α) + = Ρ(Α) + 0 Ρ(Α) Ρ(Α) Ρ(Α) - 0 Ρ(Α) - = - Ρ(Α) Οποτε η δοσμενη σχεση γινεται : 8κ + Ρ(Α) + - ( - Ρ(Α)) = 8κ Ρ(Α) Ρ(Α) = 8κ Ρ(Α) = 8κ + Ρ(Α) = () Ομως () 8κ + 0 Ρ(Α) 0 0 8κ + - 8κ - κ 8 8 κ 8 Εστω δειγματικος χωρος Ω = {ω,ω,ω,...,ω }. 0 ν Ισχυει Ρ(ω κ ) =, κ =,,...,ν. κ Να βρεθει Ρ(ω ) και με ποιο ενδεχομενο ειναι ισοπιθανο το {ω }. 0 0 Να βρεθει Ρ(Α), αν Α = {ω,ω,...,ω }. ν- Εστω το ενδεχομενο ν Β = {ω,ω,...,ω }, τοτε Ρ(Β) = Ρ(ω ) + Ρ(ω ) Ρ(ω ν) = () ν ν α.λ - α,,..., ειναι γ. προοδος με α ν = και λ = S v = λ ν Οποτε η () γινεται: Ρ(Β) = = = - () ν - - ν

20 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ () Ρ(ω 0) + Ρ(Β) = Ρ(Ω) Ρ(ω 0) +- = Ρ(ω 0 ) = = Ρ(ω ν ν ) ν Εστω το ενδεχομενο Α = {ω,ω,...,ω }, τοτε ν- Ρ(Α) = Ρ(ω ) + Ρ(ω ) +...+Ρ(ω ν-) = () ν-,,..., ειναι γ. προοδος με α ν- = και λ = και πληθος ν ν Οποτε η () : Ρ(Α) = = = ν ν Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α), Ρ(Β) οι ριζες της εξισωσης : x - P(A)x + P(A B) = 0. 5 Aν P(Α Β) =, να βρεθουν οι πιθανοτητες : 9 Ρ(Α), P(A B),P(A' B), P(Α' Β'). Απ'το αθροισμα και γινομενο ριζων τριωνυμου ειναι: Ρ(Α) +Ρ(Β) =Ρ(Α) Ρ(Α) = Ρ(Β) Ρ(Α).Ρ(Β) = P(AB) [Ρ(Α)] = P(A B) P(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)-P(AB) = Ρ(Α)-[P(A)] = Ρ(Α) = 9[P(A)] -8Ρ(Α) +5 = 0 5 Ρ(Α) = (απορριπτεται αφου Ρ(Α) > ) P(A B) = [P(A)] = = 9 P(A' B) = Ρ(Β)-P(AB) = - = P(Α' Β') = Ρ[(AB)]'=-P(AB) =- = 9 9 Εστω Α, Β,Γ ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω. Να δειξετε οτι : P(A B) Ρ(Α) + Ρ(Β) P(A B Γ) Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) P(ΑΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β)-P(AB) P(A B) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - P(Α Β) Ομως, 0 P(A B)

21 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 Οποτε 0 Ρ(Α) + Ρ(Β)-P(ΑΒ) P(A B) Ρ(Α) + Ρ(Β) (), λογω της () P(Α Β Γ) = Ρ Α (Β Γ) P(Α Β Γ) Ρ(Α) + P(Β Γ) (+) P(Β Γ) Ρ(Β) + Ρ(Γ) P(Β Γ) Ρ(Β) + Ρ(Γ) P(ΑΒ Γ) + P(Β Γ) Ρ(Α) + P(Β Γ) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) P(A B Γ) Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) Εστω Ω = {0,,,,4,5} ειναι ενας δειγματικος χωρος που αποτελειται απο ισοπιθανα ενδεχομενα. Επιλεγουμε ενα ενδεχομενο λ Ω. Αν f(x) = x - λx + λ x + + λ, να βρειτε τη πιθανοτητα του ενδεχομενου Α :" η γραφικη παρασταση της f εχει στο σημειο της Α(,f()) εφαπτομενη πα - ραλληλη στον αξονα x'x ". H συναρτηση f ειναι παραγωγισιμη στο με : f'(x) = x - 4λx + λ Για να ειναι παραλληλη στον αξονα x'x η εφαπτομενη της C στο σημειο με τετμημενη, πρεπει: λ = f'() = λ. + λ = 0 λ - 4λ + = 0 λ = Ω και Ω, οποτε Ν(Α) = και αφου Ν(Ω) = 6, τοτε : Ν(Α) Ρ(Α) = = = Ν(Ω) 6 Εστω Α, Β ενδεχομενα του δειγματικου χωρου Ω με : 9 Ρ(Α) =, Ρ(Α Β) = και Ρ(Α Β) = Ρ(Α Β)x - Ρ(Α)x, αν x 0 P(A) και η συναρτηση : f(x) = x - P(B) + x 4Ρ(Α- Β), αν x = 0 Να εξετασετε αν η f ειναι συνεχης στο x = 0. 0 f 9 4 P(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)-P(AB) = +Ρ(Β)- Ρ(Β) = Ρ(Α- Β) = Ρ(Α)-P(AB) = - = Οποτε η συναρτηση γινεται: 0,9x - 0,4x, αν x 0 f(x) = x - x 0,4, αν x = 0

22 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5 f(0) = 0,4 lim f(x) = = 0,4 0,9x - 0,4x x(0,9x - 0,4) 0,9x -0, 4 lim = lim = lim x - x x(x -) x 0 x 0 x 0 x 0 x - Δηλαδη lim f(x) = f(0) = 0,4 που σημαινει οτι η f ειναι συνεχης στο x = 0. x 0 0 Εστω Α, Β ενδεχομενα του δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α), Ρ[(Α Β)'] και Ρ(Β) να ειναι διαδοχικοι οροι αριθμ.προοδου. Αν Ρ(Α Β) ειναι το τ.ελαχιστο της συναρτησης f(x) = x - x + και Ρ(Α) η θεση του τ.ελαχιστου, να βρεθουν : Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Α Β) και Ρ(Α Β). Αφου Ρ(Α), Ρ[(ΑΒ)'], Ρ(Β) ειναι διαδοχικοι οροι αριθμ.προοδου, τοτε Ρ[(ΑΒ)'] = Ρ(Α) Ρ(Β) [-Ρ(ΑΒ)] = Ρ(Α) Ρ(Β) - P(A B) -Ρ(ΑΒ) = P(AB) + P(AB) P(A B) = () f'(x) =x - και f'(x) = 0 x - = 0 x = Για x < τοτε f'(x) < 0 και η f γ.φθινουσα, ενω για x > τοτε f'(x) > 0 και η f γ.αυξουσα Δηλαδη, για x = η f παρουσιαζει τ.ελαχιστο, το f( ) = - + = 4 4 Αρα Ρ(Α) = Ρ(Α Β) = (απο υποθεση) 4 ( ) - -P(AB) 5 P(A B) = = 4 = 5 8 P(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β)-P(AB) Ρ(Β) = - + = = 4

23 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6 Εστω Ω = {ω,ω,ω } ο δειγματικος χωρος πειραματος τυχης με : Α = {ω,ω } και Ρ(Α) =. x + x - 4Ρ(ω ), x Δινεται η συναρτηση f(x) = x - Ρ(ω ) αx + Ρ(ω )x, x > Να βρεθει η Ρ(ω ). Να βρεθει ο πραγματικος α, ωστε να υπαρχει το limf(x). x Ρ(Ω) = Ρ(ω ) + Ρ(ω ) + Ρ(ω ) = Ρ(ω ) + Ρ(Α) = Ρ(ω ) + = Ρ(ω ) = x + x -, x O τυπος της συναρτησης f γινεται: f(x) = x - αx + x, x > Οποτε x + x - x + x - (x -)(x +) lim f(x) = lim = lim = lim = x x x - x x - x x - lim f(x) = lim αx + x = α + x x 5 Για να υπαρχει το limf(x) πρεπει: lim f(x) = lim f(x) α + = α = x x x Σ'ενα πειραμα τυχης ειναι : Ρ(ω ) Ρ(ω ) Ρ(ω ν ) Ω = {ω,ω,...,ω ν } και Ρ(ω ) = = =... = ν Να βρεθει : η Ρ(ω ) με κ =,,...,ν σε συναρτηση με τα κ,ν. κ η Ρ(ω ) αν ν =. Απο τις ιδιοτητες των αναλογιων προκυπτει: Ρ(ω ) Ρ(ω ) Ρ(ω ) Ρ(ω ν ) Ρ(ω ) + Ρ(ω ) Ρ(ω ν) = = =... = = = = ν ν ν(ν +) ν(ν + ) ν(ν +) : Ρ(ω ) + Ρ(ω ) Ρ(ω ν) = και ν = Ρ(ω κ) : = κ ν(ν + κ Ρ(ω κ ) =, κ =,,...,ν ) ν(ν + ). Ρ(ω ) = = = ( +) 6. 78

24 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 7 Σ'ενα πειραμα τυχης ειναι : Ω = { Α,Β,Γ,Δ } Ρ(Δ) =.Ρ(Γ) Ρ(Α) η θεση του ελαχιστου της συναρτησης f(x) = x - x + 5 Ρ(B) η τετμημενη του σημειου που η εφαπτομενη της συναρτησης g(x) = x - x + ειναι παραλληλη στον αξονα x'x. Nα βρεθουν οι πιθανοτητες : Ρ(Α), Ρ(Β), Ρ(Γ), Ρ(Δ). f'(x) =x - και f'(x) = 0 x - = 0 x = x < f'(x) < 0 f γ.φθινουσα x > f'(x) > 0 f γ.αυξουσα g'(x) = 4x - για x = η f παρουσιαζει τ.ελαχιστο. Για να ειναι η εφαπτομενη της C στο x παραλληλη στον αξονα x'x, πρεπει: g'(x 0) = 0 4x0 - = 0 x 0 = 4 Αρα, Ρ(Α) = Ρ(Β) = 4 Επισης g 0 Ρ(Δ) =Ρ(Γ) Ρ(Δ) =Ρ(Γ) Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) + Ρ(Δ) = + + Ρ(Γ) +Ρ(Γ) = 4 Ρ(Δ) =Ρ(Γ) Ρ(Δ) =. Ρ(Δ) = 6 Ρ(Γ) = 4 Ρ(Γ) = Ρ(Γ) = Εστω Ω ο δειγματικος χωρος του πειραματος της ριψης ενος ζαριου. Να βρεθει η πιθανοτητα του ενδεχομενου: Α = { x Ω : το δειγμα x, 5 x, 7 x, -, -7x να εχει x =- } Ω = {,,,4,5,6}, και x +5 -x + 7 -x --7x = - x - 4x -7x = -0 x - 4x -7x +0 = 0 x = - 5 x = (x -)(x -5)(x +) = 0 x = 5 x = -, απορριπτεται αφου -Ω Ν(Α) Οποτε, Ν(Α) =, Ν(Ω) = 6 και Ρ(Α) = = Ν(Ω) 6 =

25 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 Μια μεταβλητη παιρνει τις τιμες,,,, 4, 6, x. 6x - 6x + 66 Να δειξετε οτι η διακυμανση των παρατηρησεων ειναι : s = 49 Αν το x παιρνει τιμες απο το συνολο : x 8 + x x = =, οποτε x 8 + x 8 + x 8+ x 8 + x 8+ x (- ) +(- ) +(- ) (4 - ) +(6- ) +(x - ) s = = 7 7 (+ x) +(4 + x) +(- x) +(0 - x) +(4 - x) +6(x -) 4x -5x +6 = = = x - 6x + 66 = x -6x s > s > > 0 6x -6x > 0 x -6x > x < 0 η x > 6 (x : -9,-8,-7,-6,-5,-4,-,-,-,7,8,9,0). Ω = {-9,-8,...,8,9,0} να βρειτε την πιθανοτητα του ενδεχομενου 66 Α : " Η τυπικη αποκλιση ειναι μεγαλυτερη απο ". 7 Αρα Ρ(Α) =. 0 Σ'ενα κυκλικο διαγραμμα παρουσιαζονται οι τιμες x, x, x, x μιας μεταβλη - 4 της Χ. Η γωνια του τοξου της τιμης x ειναι 54 και η συχνοτητα της x ειναι ν = 4. Επιλεγουμε στη τυχη μια παρατηρηση και εστω Να βρειτε τη πιθανοτητα Ρ(x ) Αν Ρ(x ) = 0,5 και ν = 6, να βρειτε το πληθος των παρατηρησεων, τις πι - Ρ(x ), Ρ(x ), Ρ(x ), Ρ(x ) η πιθανοτητα να επιλεγει η παρατηρηση με τιμη x,x,x,x αντιστοιχα. θανοτητες Ρ(x ),Ρ(x ) και να κατασκευασετε το κυκλικο διαγραμμα Ρ(x ) = f = = 0, ν ν 4 f = Ρ(x ) = 0,5 = 0,5 ν = ν = ν = 40 ν 0,5 0,5 ν 6 Ρ(x ) = f = = = 0,40 ν 40 Ρ(x ) = - Ρ(x ) +Ρ(x ) + Ρ(x ) =-(0,5 + 0,5 + 0,40) = 0,0 4 Eπισης ω = 0,5.60 = 6, ω = 0, = 44,ω = 0,.60 = 6 Οποτε το κυκλικο διαγραμμα ειναι:

26 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9 P(x 4 )=0,0 P(x )=0,5 Εστω οτι η μεταβλητη Χ παιρνει τις τιμες 0 και και εχει x = λ. Να δειξετε οτι : s = λ( - λ). P(x )=0,40 P(x )=0,5 Μια καλπη περιεχει x + 7x + ασπρες, x κοκκινες κινες και x + x + 4 πρασινες μπαλες. Εστω το ενδεχομενο Α :" η μπαλα ειναι κοκκινη ". Επιλεγουμε τυχαια μια μπαλα. Να βρεθει η τιμη του x για την οποια η Ρ(Α) γινεται μεγιστη. Να βρεθει η μεγιστη πιθανοτητα Ρ(Α). Ν(Ω) =x + 7x + + x +x +x + 4 = 5x +0x +5 και Ν(Α) Ν(Ω) =x + 7x ++ x +x +x + 4 = 5x +0x +5 και Ν(Α) = x, οποτε Ν(Α) x Ρ(Α) = = 5x Ν(Ω) + 0x + 5 x 5x +0x +5- x(0x +0) -5x +5-5(x - )(x + ) Ρ'(Α) = ' = = = 5x +0x +5 (5x +0x +5) (5x +0x +5) (5x + 0x + 5) -5(x -)(x +) x = Ρ'(Α) = 0 = 0-5(x -)(x +) = 0 (5x +0x +5) x = - απορρ. Για 0 < x < P'(A) > 0 η f γ.αυξουσα Για x = η f παρουσιαζει Για x > P'(A) < 0 η f γ.φθινουσα τοπικο μεγιστο, το Ρ(). Οποτε η τιμη για την οποια η Ρ(Α) γιν εται μεγιστη ειναι: x = Η μεγιστη πιθανοτητα Ρ(Α) ειναι: Ρ() = = Εστω Α και Β - Α συμπληρωματικα ενδεχομενα του ιδιου δειγματικου χωρου Ω. Να δειξετε οτι Ρ(Α Β) = Αν Ρ(Α Β) = [Ρ(Β)], να βρειτε : τη συναρτηση f(x), η οποια εκφραζει τη μεταβολη της Ρ(Α), οταν μεταβαλλε - ται η Ρ(Β). την Ρ(B), για την οποια η Ρ(Α) γινεται ι ελαχιστη, καθως και την ελαχιστη αυτη πιθανοτητα.

27 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 0 Αφου Α και Β-Α ειναι συμληρωματικα ενδεχομενα, τοτε : Β-Α = Α' Ρ(Β-Α) = Ρ(Α') Ρ(Β)-Ρ(ΑΒ) =-Ρ(Α) Ρ(Α) + Ρ(Β)-Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α Β) = Ρ(ΑΒ) =[Ρ(Β)] Ρ(Α) + Ρ(Β)-Ρ(ΑΒ) =[Ρ(Β)] Ρ(Α) + Ρ(Β)- = [Ρ(Β)] Ρ(Α) =[Ρ(Β)] -Ρ(Β) + Αρα f(x) = x - x + f'(x) =x - και f'(x) = 0 x - = 0 x = Ρ(ΑΒ)= x < f'(x) < 0 f γ.φθινουσα για x = η f παρουσιαζει x > f'(x) > 0 f γ.αυξουσα τ.ελαχιστο. f = - + = ειναι το τ.ελαχιστο. 4 4 Αρα η Ρ(Α) γινεται ελαχιστη οταν Ρ(Β) =. Η ελαχιστη τιμη της Ρ(Α) ειναι. 4 Στο CD που εχετε αυτη τη στιγμη μπροστα σας, υπαρχουν ν αλυτες ασκησεις, αριθμημενες απο το ως το ν, που επιμεληθηκαν δυο μαθηματικοι, ο Α και ο Β. Καποιες απ'αυτες επιμεληθηκε ο μαθηματικος Α, καποιες ο Β και καποιες επι - μεληθηκαν μαζι ο Α και ο Β. Ο μαθηματικος Α εχει επιμεληθει συνολικα τις πρωτες 50 ασκησεις, απ'τις ο - ποιες μονο τις πρωτες 0 επιμεληθηκε μονος του. Η πιθανοτητα να εχουν επιμεληθει μαζι οι δυο μαθηματικοι μια ασκηση ειναι. 5 Να βρειτε ποσες ειναι οι αλυτες ασκησεις. Αν η πιθανοτητα να εχει επιμεληθει μια ασκηση ο μαθηματικος Β μονος του ειναι, ο ισχυρισμος του οτι ασχοληθηκε με 70 απ'τις ασκησεις ειναι σωστος; Ν(Α) = 50, Ν(Ω) = ν και Ν(ΑΒ) = 50-0 =0. Ν(ΑΒ) 0 Ρ(ΑΒ) = = = ν = 00 5 Ν(Ω) 5 ν 5 7 Ρ(Β-Α) = Ρ(Β)-Ρ(ΑΒ) = Ρ(Β)- = Ρ(Β) = 5 0 Ομως Ν(Β) 7 Ν(Β) Ρ(Β) = = Ν(Β) = 70 Ν(Ω) 0 00 Δηλαδη ο ισχυρισμος του ειναι σωστος.

28 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Απο μια τραπουλα (5 φυλλων) παιρνουμε διαδοχικα φυλλα και τα χαρακτη -. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; ριζουμε ως προς το χρωμα τους σε μαυρα (Μ) και κοκκινα (Κ). Να βρειτε :. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = α + β, Β = α β + αβ Το δειγματικο χωρο Ω του πειραματος. Το ενδεχομενο Α :" το πολυ μαυρα φυλλα " Το ενδεχομενο Β :" τουλαχιστον μαυρα φυλλα " Το ενδεχομενο Γ = Α Β. Ριχνουμε το ζαρι δυο φορες και παρατηρουμε τις ενδειξεις του. Να προσδιορισετε τα ενδεχομενα : Α :" πρωτη ενδειξη μεγαλυτερη απο την δευτερη " Β : " το αθροισμα των δυο ενδειξεων ειναι αρτιος αριθμος " Γ :" η πρωτη ενδειξη περιττη και η δευτερη αρτια " Α Β, Α Γ, Β Γ, Α (Β Γ) Ριχνουμε τα ζαρια στο ταβλι ( ζαρια). Ποια ειναι η πιθανοτητα να φερουμε : Α :" εξαρες " (και τα δυο ζαρια τον αριθμο 6) Β : " ασσοδυο " (το ενα ζαρι τον αριθμο και το αλλο τον αριθμο ) Γ :" ενα τουλαχιστον 5 " Απο τραπουλα 5 παιγνιοχαρτων παιρνουμε ενα φυλλο. α. Να βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων : Α :" το φυλλο ειναι κοκκινο " Β :" το φυλλο ειναι νταμα " Γ :" φυλλο ειναι μαυρο " Δ : " το φυλλο ειναι κοκκιν νταμα " Ε : "τ ο φυλλο ειναι κοκκιν η νταμα " Ζ : " το φυλλο δεν ειναι κοκκιν η νταμα " β. Να αντιστοιχισετε τα ενδεχομενα Γ εως Ζ με καποιο απο τα συμβολα : Α Β,, Ω, Α Β, Α', (Α Β)', Α' Β Εστω Ω = {ω, ω, ω, ω } ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης. 4 Αν Ρ(ω ) =, Ρ(ω ) = και Ρ(ω ) =, να βρεθει η Ρ(ω 4 ) Αν Α = {ω, ω }, Β = { ω, ω 4 }, Ρ(Α) =, Ρ(Β) = και Ρ(ω ) =, να υπολογι σετε τη πιθανοτητα Ρ(ω ).

29 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : Ρ(Α) = 0,7 και Ρ(Β) = 0,5 ενω Ρ(Α Β) = 0,4. Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Να βρειτε τη πιθανοτητα των ενδεχομενων : Γ : " να πραγματοποιηθει μονο το Α " Δ : " να πραγματοποιηθει μονο το Β " x i v i f i f i % Ε : " να πραγματοποιηθει μονο ενα απο τα Α και Β " 0 0, ,0 0 Εστω Α, Β ενδεχομενα 0 ενος 0,50 δειγματικου 50 χωρου Ω με : 0,0 0 Ρ(Α Β) 4 = και Ρ(Β') = ενω 0,0 Ρ(Α Β) 0 =. 4 4 Να βρειτε Συντις πιθανοτητες ν=0 : 00 Ρ(Β) Ρ(Α) Ρ(Α- Β) Ρ(Β - Α) Ρ(Α' Β') Ρ[(Α- Β) (Β - Α)] Ριχνουμε στον αερα ενα ζαρι που δεν ειναι αμεροληπτο. Αν Ρ() =, Ρ() = Ρ() = Ρ(4) = και Ρ(6) =, τοτε : 6 4 Να βρεθει η Ρ(5). Να βρεθει η πιθανοτητα του ενδεχομενου Α :" ενδειξη περιττη ". Να βρεθει η πιθανοτητα του ενδεχομενου Β :"ε νδειξη μεγαλυτερη του 4 ". Αν Α, Β ενδεχομενα δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α ) = και Ρ(Β ) =. Eξεταστε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Αν Ρ(Α Β ) = να υπολογισετε την Ρ(Α Β ). Δειξτε οτι τα ενδεχομενα Α και Β δεν ειναι ασυμβιβαστα. Να υπολογισετε τις πιθανοτητες Ρ(Α Β ) και Ρ(Α Β ). Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : 5 Ρ(Α'), Ρ(Β) και Ρ(Α Β). 6 Να εξετασετε αν τα ενδεχομενα Α και Β ειναι ασυμβιβαστα. Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β). 6

30 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με : v = N = Ρ(Α') και Ρ(Β'). 4 f% 6 f = = = και = f.v = 0,0.50 = = 00 0,0 F 5 v 5 Ν Να αποδειχτει οτι : Ρ(Α Β). 4 ν v = Ν - Ν = 6-5 = και f = = = 0, ν 50 F = f + f = 0, + 0, = 0, Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω. F % 50 F = = = 0,50 Να αποδειχτει οτι και f = F - F = 0,5-0, = 0,8 : [Ρ(Α)] [Ρ(Β)] - Ρ(Α Β) [Ρ(Α Β) - ]. v = f.v = 0,8.50 = 9 v = ν - (ν ν ν ν ) = 50-9 = 4 4 Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω και α > 0. Να εξετασετε αν υπαρχουν τιμες του α, ωστε οι αριθμοι : 8, - και α α α να ειναι οι πιθανοτητες των ενδεχομενων Α, Β και Α Β αντιστοιχα Η πιθανοτητα να επιλεγει ενας μαθητης στη θεατρικη ομαδα του σχολειου του ειναι /6 ενω η πιθανοτητα να μην επιλεγει στην ομαδα μουσικης ειναι 4/5, ε- νω η πιθανοτητα να επιλεγει και στις δυο ομαδες ειναι /0. Να βρεθουν οι πιθανοτητες των ενδεχομενων: Να επιλεγει τουλαχιστον σε μια απο τις δυο ομαδες. Να επιλεγει μονο στην θεατρικη ομαδα. Να επιλεγει μονο στην ομαδα μουσικης. Να επιλεγει μονο σε μια απο τις δυο ομαδες. Να μην επιλεγει σε καμια ομαδα. Να επιλεγει σε μια το πολυ ομαδα. Μια ταξη εχει 0 αγορια και κοριτσια.τα των αγοριων και τα των κοριτσι - ων εχουν κινητο τηλεφωνο. Αν η πιθανοτητα να ειναι κοριτσι που εχει κινητο ειναι 0, να βρεθουν : Ποσα ειναι τα αγορια της ταξης. Ποια η πιθανοτητα το ατομο να ειναι κοριτσι η να εχει κινητο. Σε ενα συνεδριο μαθηματικων συμμετεχουν Ελληνες, Γαλλοι και Αγγλοι μαθηματικοι. Απο τους συνεδρους επιλεγεται τυχαια ενας για τη θεση του συντονιστη του συνεδριου. Αν στο συνεδριο συμμετεχουν 5 Ελληνες, ενω οι πιθανοτητες να επιλεγει Γαλλος ειναι / και Αγγλος ειναι /4, να βρεθει το πληθος των συνεδρων.

31 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 Για το ενδεχομενο Α ενος δειγματικου χωρου Ω ισχυει : Ρ(Α) = λ + 6λ+ 0 Να βρειτε την τιμη του λ. Να δειξετε οτι Α = Ω. Να εξεταστει αν η πιθανοτητα ενος ενδεχομενου Α μπορει να εκφραστει απ'τη 5 συναρτηση : f(x) = x - x +, x -, Aν ακομη ισχυει : - Ρ(Α) - Ρ(Α) - = κ, κ, να βρεθουν οι τιμες των κ και Ρ(Α). Εστω δειγματικος χωρος που αποτελειται απο το συνολο των ριζων της εξισωσης (x 0) (x ) (x 0) = 0. Αν το Ω αποτελειται απο ισοπιθανα απλα ενδεχομενα και λ Ω, να βρεθει η πιθανοτητα η εξισωση y 8y + λ = 0 να μην εχει πραγματικες ριζες. Δινεται το συστημα : x - y = αx + (α - 5α + )y = 6 Για να προσδιορισουμε τη τιμη της παραμετρου α ριχνουμε ενα ζαρι στον αερα. Η ενδειξη του ζαριου θα καθοριζει τη τιμη του α. Να βρειτε τις πιθανοτητες των ενδεχομενων : Α : " το συστημα εχει απειρες λυσεις " Β :" το συστημα ειναι αδυνατο " Γ : " το συστημα εχει μια μονο λυση " Δ :" το συστημα εχει μοναδικη λυση την : (x,y) = (,-) " Αν Α, Β ενδεχομενα δειγματικου χωρου Ω και Ρ(Α), Ρ(Β) ριζες της εξισωσης: 6x + 5x x + 4 = 0 με Ρ(Α) < Ρ(Β) να δειξετε οτι: Α, Β οχι ασυμβιβαστα Ρ(Α Β) Ρ(Α Β) 6 Εστω Α ενδεχομενο ενος δειγματικου χωρου Ω και κ πραγματικος αριθμος τετοιος ωστε : Ρ(Α) - - Ρ(Α) + = κ + 9. Αν α ειναι η ελαχιστη τιμη του κ και β η μεγιστη, τοτε : Να βρεθουν τα α και β. x - 9 x - 4x - x + 4 Να βρεθουν τα ορια : lim lim x α x - x β x - 6

32 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5 Εστω Α,B ασυμβιβαστα ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω ωστε Α Β = Ω. 4 Αν Ρ(Α) - Ρ(Β) = και Ρ(Α) + Ρ(Β) =, θ > 0, τοτε να βρεθουν : θ θ Ρ(Α), Ρ(Β) και θ. Δινεται ο ακεραιος αριθμος κ με κ 7 και η εξισωση : (Ε κ ) : (κ - )x - (κ - )x + κ + = 0. Να βρειτε τη πιθανοτητα με την οποια η εξισωση (Ε ) : Α : εχει δυο πραγματικες και ανισες ριζες Β : εχει δυο ομοσημες και ανισες ριζες Γ : δεν εχει πραγματικες ριζες Εστω Α ενδεχομενο του δειγματικου χωρου Ω. Ισχυει Ρ(Α) + - Ρ(Α) - = κ +, κ. Να δειχτει οτι : κ. Εστω δειγματικος χωρος Ω = {0,,,...,ν},ν θετικος ακεραιος. Ισχυει Ρ(κ) =, κ {,,...,ν}. κ Να βρεθει Ρ(0) και να βρεθουν δυο στοιχειωδη ισοπιθανα ενδεχομενα. Να βρεθει Ρ(Α), αν Α = {,4,6,...,ν}. Εστω Α, Β ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω με Ρ(Α), Ρ(Β) οι ριζες της P(A B) 5 8 Aν P(Α' Β') =, να βρεθουν οι πιθανοτητες : 9 Ρ(Α), P(A B),P(A' B), P(Α Β). εξισωσης : x - (P(A) - Ρ(Β))x + = 0. κ Εστω Α, Β,Γ ενδεχομενα ενος δειγματικου χωρου Ω. Να δειξετε οτι : P(A B) Ρ(Α) + Ρ(Β) - P(A B Γ) Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) - Εστω ο δειγματικος χωρος Ω = {0,,, } και f(x) = λx 4 + λ x 5, με λ Ω. Αν το Ω αποτελειται απο ισοπιθανα απλα ενδεχομενα να βρεθει η πιθανοτητα ωστε η γραφικη παρασταση της f να εχει στο σημειο με συντε-ταγμενες (, f()) εφαπτομενη παραλληλη στον αξονα x x.

33 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 6 Σε ενα κουτι υπαρχουν κοκκινες, πρασινες και μαυρη σφαιρα. Επιλεγουμε τυχαια δυο σφαιρες διαδοχικα. Εστω τα ενδεχομενα Α: οι σφαιρες εχουν το ιδιο χρωμα και Β: η μια σφαιρα ειναι μαυρη. Δινεται η συναρτηση f με τυπο: x + [P(B) + P(A)]x, x 0 f(x) = x + x P(A B), x = 0 Να εξετασετε τη συνεχεια της συναρτησης f στο x 0 = 0, αν η δειγματοληψια γινει: με επανατοποθετηση χωρις επανατοποθετηση Θεωρουμε τις συναρτησεις: f(x) = 4(x )(x 5x + 6) και g(y) = /y 5y + 6y Εστω Ω = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0} ο δειγματικος χωρος ενος πειραματος τυχης με ισοπιθανα απλα ενδεχομενα. Οριζουμε τα ενδεχομενα: Α = { x Ω / f(x) = 0} και Β = { y Ω / y ειναι θεση ακροτατου της g(x)}. Να βρεθουν οι πιθανοτητες των ενδεχομενων: Α, Β, A B,A B, Α Β, Β - Α Εστω ο δειγματικος χωρος Ω = {ω, ω, ω, ω 4 } και τα ενδεχομενα: Α = {ω, ω } και Β = {ω, ω }. 5 Αν Ρ(Α) =, Ρ(Β) =, Ρ(Α Β) = και Ρ(Α- Β) = να βρεθουν οι πιθανοτητες των απλων ενδεχομενων ω, ω, ω και ω 4. Σ'ενα πειραμα τυχης ειναι : Ρ(0) Ρ() Ρ() Ρ() Ρ(4) Ω = {0,,,,4} και = = = = Να βρεθουν οι παραπανω πιθανοτητες. 4 Εστω η συναρτηση f με f(x) = -x + x + λx - (λ - 5λ+ 8)x + 006, λ Ω. Θεωρουμε το ενδεχομενο : Α = {λ Ω / η C δεχεται στο - εφαπτομενη καθετη στην ευθεια : y = -x + 007}. Nα βρεθει η Ρ(Α). f

34 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 7 Σ'ενα πειραμα τυχης ειναι : Ευκολα απο τις στηλες v i, xiv i Ω = {ω,ω,ω } προκυπτει η στηλη των x. i x x Επισης Ρ(ω ) η θεση του ακροτατου της συναρτησης f(x) = Ρ(ω ) το ακροτατο της συναρτησης f. Nα βρεθουν οι πιθανοτητες : Ρ(ω ), Ρ(ω ) και Ρ(ω ). 5 Σ'ενα πειραμα τυχης ειναι : Ω = {,,5,0} με Ρ(κ) =, κ Ω. 9κ Να βρειτε τις πιθανοτητες των στοιχειωδων ενδεχομενων του Ω. Οι τιμες των παρατηρησεων μιας μεταβλητης x ειναι : 6,6,,κ,κ, οπου κ Ω και εστω Α,Β τα ενδεχομενα του Ω : Α = {κ Ω / η διαμεσος των παρατηρησεων της x ειναι : δ < 8} Β = {κ Ω / η μεση τιμη των παρατηρησεων της x ειναι : x > 8} Nα βρεθουν : Ρ(Α), Ρ(Β'), Ρ(Α Β),Ρ(Α Β),Ρ(Α' Β'). Μια μεταβλητη παιρνει τις τιμες, 4, 6, 8, x. 4x - 40x + 00 Να δειξετε οτι η διακυμανση των παρατηρησεων ειναι : s = 5 Αν το x παιρνει τιμες απο το συνολο : Ω = {-9,-,0,8,9,,5,7} να βρειτε την πιθανοτητα του ενδεχομενου Α : " Η τυπικη αποκλιση ειναι μικροτερη απο ". Εστω x oι υποψηφιες με ξανθα και y oι υποψηφιες με μαυρα μαλλια. Τοτε : Ν(Ω) = 4 + x + y. Θεωρουμε τα ενδεχομενα Εστω P(x : ), P(x ), P(x ), P(x 4 ) οι πιθανοτητες να εμφανιστει μια απ τις παρατηρησεις x x i v i f i % Α : "υποψηφια με καστανα μαλλια"., x, x, x 4 αντιστοιχα. x Τοτε, με τη βοηθεια του διπλανου πινακα: x Β : "υποψηφια 0 με ξανθα μαλλια". να βρεθει η πιθανοτητα P(x ) x Γ : "υποψηφια με μαυρα μαλλια". να βρεθει η πιθανοτητα P(x ) x 4 αν P(x 4 )=0,0 να βρεθει η πιθανοτητα P(x ) Συν ν=0 Ρ(Β) =, Ρ(Γ) =, Ν(Β) να κατασκευαστει = x, N(Γ) = y. το αντιστοιχο κυκλικο διαγραμμα. 6 Οποτε Ενας μαθηματικος εχει στον υπολογιστη του x ευκολες ασκησεις, x + με - Ν(Β) x τριας Ρ(Β) = = = δυσκολιας και x δυσκολες ασκησεις. Ν(Ω) 4 + x + y x = 4 + x + y Ο καθηγητης επιλεγει τυχαια μια ασκηση για να τη βαλει σ'ενα test. Ν(Γ) y 6y = 4 + x + y Ρ(Γ) = = = Θεωρουμε το ενδεχομε 6 νο Α :"επιλεγει Ν(Ω) 6 ευκολη ασκηση". 4 + x + y 6 Να βρειτε : x = 4 + y x = 4 + y x = 4 + y x = 6 την πιθανοτητα Ρ(Α) σε συναρτηση με τον x. x - 5y = y - 5y = -4 4y = 48 y = για ποια τιμη του x η Ρ(Α) γινεται μεγιστη. Aρα οι υποψηφιες ειναι : = 7. ποια ειναι η μεγιστη πιθανοτητα Ρ(Α).

35 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 8 Εστω Α και Β - Α ενδεχομενα του ιδιου δειγματικου χωρου Ω. Να δειξετε οτι : 0 Ρ(Α)Ρ(Α') [Ρ(Α)] + [Ρ(Α')] 4 Αν Ρ(Α Β) - Ρ(Α Β) =, να δειξετε : Ρ(Α Β) = 0 Ρ(Α) + Ρ(Β) = Μετα απο ενα τροχαιο ατυχημα το 40% των επιβατων διακομιστηκαν στο κοντινοτερο επαρχιακο νοσοκομειο, το 50% των επιβατων διακομιστηκαν σε νοσοκομειο της Αθηνας, ενω το 5% των επιβατων διακομιστηκαν στο κοντινοτερο επαρχιακο νοσοκομειο και κατοπιν λογω της σοβαροτητας του τραυματισμου τους κριθηκε αναγκαια η μεταφορα τους σε νοσοκομειο της Αθηνας. Αν απο τους επιβατες δεν τραυματιστηκαν καθολου τοτε ποσους επιβατες συνολικα ειχε το οχημα;

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Πιθανότητες. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Πιθανότητες Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 2 Ενότητα 2 η Πιθανότητες Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης ενότητας είναι οι μαθητές να αναγνωρίζουν ένα πείραμα τύχης

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 3. Δίνονται τα σύνολα 2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΟΛΑ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω βασικό σύνολο Ω = {, 4, 5, 8, 0} και τα υποσύνολα του Ω, Α = {, 5, 0}, Β = {4, 8, 0} i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn τα παραπάνω σύνολα ii) Να περιγράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ

Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α ΤΗΣ Α Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1. Για οποιαδήποτε ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει η σχέση ( ) ( ) ( ).. Ισχύει ότι P( A B) P( A

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 0 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει:

Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2

ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ γ) Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f(g(x))) =f (g(x)) g (x) Μονάδες 2 ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΣΑΒΒΑΤΟ 14 MAΪΟΥ 2011 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ÑÏÕËÁ ÌÁÊÑÇ. Εποµένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και άρα δεν έχει ακρότατα. δ. Με x 1 είναι

ÑÏÕËÁ ÌÁÊÑÇ. Εποµένως η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα και άρα δεν έχει ακρότατα. δ. Με x 1 είναι ΘΕΜΑ ο Α.. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 9.. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 87. Β. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 0. Γ. Σ, Σ, Σ, 4 Σ, Λ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο α. Πρέπει x > 0,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. H Εννοια του διανυσματος. Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Σ υ ν ο λ α - Ο ρ ι σ μ ο ι Συνολο λεγεται καθε συλλογη 3. Να δειχτει αντικειμενων, οτι α + 0 που προερχονται 0α. Ποτε ισχυει απ την το εμπειρια ισον; μας η τη διανοηση 3 3. μας, Aν α, ειναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συνάρτησης f(x) x είναι f (x) Β Πότε µια συνάρτηση f σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 6. Πιθανότητες ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεµάτων

Διαβάστε περισσότερα

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress.

2013-14 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ. http://cutemaths.wordpress. 3-4 ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΗΜΑΝΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ Α ΘΕΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΘΕΜΑΤΑ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ttp://cutemats.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΙΑ Η παρούσα εργασία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 2009 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 8 ΙΟΥΝΙΟΥ 2009 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (240 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1. Να λύσετε τα συστήματα: 4 1 17 x y α) 19 x y δ) 1 4 17 5 5 x y β) 15 1 1 y x 1 1 0 x y ε) 1 1 8 x y στ) γ) 5 5 a 1 7 1 1 5 x y 1 7 x y. Να λυθούν τα συστήματα:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 57-2278101 Φαξ: 57-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Σύνολα Συγγραφή: Ομάδα Υποστήριξης Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑ.Λ. (ΟΜΑ Α Β ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΕΥΤΕΡΑ, 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 201 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ:ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο

παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο με τεταγμένη 3 και διέρχεται από το σημείο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ η (Κατσίποδας Δημήτρης) Δίνονται οι συναρτήσεις f() = με a, β R και g() = 5.Αν η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα ψ ψ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015

Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Φροντιστήριο #8 Ασκήσεις σε Πιθανότητες 15/05/2015 Άσκηση Φ8.1 Τρεις λαμπτήρες επιλέγονται τυχαία από ένα σύνολο 15 λαμπτήρων εκ των οποίων οι 5 είναι ελαττωματικοί. (α) Βρέστε την πιθανότητα κανείς από

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΟ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΟ 010 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 5 ΠΕΡΙΟΔΩΝ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 4 Ιουνίου 010 ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 4 ώρες (40 λεπτά) ΕΠΙΤΡΕΠΟΜΕΝΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ Ευρωπαικό τυπολόγιο Μη προγραμματιζόμενος υπολογιστής, χωρίς γραφικά

Διαβάστε περισσότερα

(Μονάδες 10) γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x 1, x 2 και d x 1,

(Μονάδες 10) γ) Αν η εξίσωση (1) έχει ρίζες τους αριθμούς x 1, x 2 και d x 1, Σε ένα τμήμα της Α Λυκείου κάποιοι μαθητές παρακολουθούν μαθήματα Αγγλικών και κάποιοι Γαλλικών. Η πιθανότητα ένας μαθητής να μην παρακολουθεί Γαλλικά είναι 0,8. Η πιθανότητα ένας μαθητής να παρακολουθεί

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Εισαγωγή Υπάρχει σε πολλούς η εντύπωση ότι το κύριο κίνητρο για την ανάπτυξη της Θεωρίας των Πιθανοτήτων προήλθε από το ενδιαφέρον του ανθρώπου για τα τυχερά παιχνίδια Σημαντική μάλιστα ώθηση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010 ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 919113 949422 www.syghrono.gr

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2015 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 015 Μάθημα : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 4-ΩΡΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ Ημερομηνία και

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι.

Το σύνολο Z των Ακεραίων : Z = {... 2, 1, 0, 1, 2, 3,... } Να σηµειώσουµε ότι οι φυσικοί αριθµοί είναι και ακέραιοι. 1 E. ΣΥΝΟΛΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ορισµός του συνόλου Σύνολο λέγεται κάθε συλλογή πραγµατικών ή φανταστικών αντικειµένων, που είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο. Τα παραπάνω αντικείµενα λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα 1 Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 1/1/015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Κεφάλαιο 1 ο : Συστήματα 3 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β. Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις Μαρτάκης Μάρτης Μαθηµατικός του 1 ου ΓΕΛ Ρόδου 1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Β Προηγούµενες και απαραίτητες γνώσεις 1. σε ορθογώνιο τρίγωνο µε 30 ο, η απέναντι 30 ο κάθετη είναι το µισό της υποτείνουσας α και αντίστροφα.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους;

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012

Ε - ΣΤ Δημοτικού 13 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος 2012 1. Πόσες ώρες έχουν περάσει από τις 6:45 πμ μέχρι τις 11:45 μμ της ίδιας μέρας; Α. 5 Β. 17 Γ. 24 Δ. 29 Ε. 41 1 1 2. Αν το χ είναι μεταξύ 1 και 1 +, τότε το χ μπορεί να είναι ίσο με τον κάθε 5 5 αριθμό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες. Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Κεφάλαιο 2 Πιθανότητες Πέτρος Ε. Μαραβελάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Πανεπιστήμιο Πειραιώς 2-2 2 Πιθανότητες Χρησιμοποιώντας την Στατιστική Βασικοί ορισμοί: Ενδεχόμενα, Δειγματικός χώρος και Πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες)

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Άλγεβρας Β Λυκείου. Θέματα. A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) Θέμα 1 Θέματα A. Να διατυπώσετε τον ορισμό μιας γνησίως αύξουσας συνάρτησης. (5 μονάδες) B. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: i) Ο βαθμός του υπολοίπου της διαίρεσης P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Βασικές έννοιες ΕΙΣΑΓΩΓΗ Βασικές έννοιες Σε ένα ερωτηματολόγιο έχουμε ένα σύνολο ερωτήσεων. Μπορούμε να πούμε ότι σε κάθε ερώτηση αντιστοιχεί μία μεταβλητή. Αν θεωρήσουμε μια ερώτηση, τα άτομα δίνουν κάποιες απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΕΦΛΙΟ Ο ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ. Εισαγωγή Στην Θεωρία Πιθανοτήτων, ξεκινάµε από το λεγόµενο πείραµα δηλαδή µια διαδικασία η οποία µπορεί να επαναληφθεί θεωρητικά άπειρες φορές, κάτω από τις ίδιες ουσιαστικά συνθήκες,

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση

Συνδυαστική Απαρίθμηση Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων «πειράματος» ή «γεγονότος» (με συνδυαστικά επιχειρήματα). «Πείραμα» ή «γεγονός»: διαδικασία με συγκεκριμένο (πεπερασμένο) σύνολο παρατηρήσιμων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια)

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΒΑΣΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 21 Οκτωβρίου 2009 ΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η ανάγκη εισαγωγής της δεσµευµένης πιθανότητας αναφύεται στις περιπτώσεις όπου µία µερική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΕ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Tι ονομάζουμε συνάρτηση ; Tι ονομάζουμε πραγματιή συνάρτηση πραγματιής μεταβλητής; Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ

ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Σ υ ν δ υ α σ τ ι κ ή Πειραιάς 2007 1 Μάθημα 5ο Σχηματισμοί όπου επιτρέπεται η επανάληψη στοιχείων 2 Παράδειγμα 2.4.1 Πόσα διαφορετικά αποτελέσματα μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝΑ 1 1.1 ΕΙΓΜΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ - ΕΝ ΕΧΟΜΕΝ ΘΕΩΡΙ 1. Πείραµα τύχης : Το πείραµα του οποίου δε µπορούµε να προβλέψουµε µε ακρίβεια το αποτέλεσµα. 2. ειγµατικός χώρος : Το σύνολο των δυνατών αποτελεσµάτων ενός πειράµατος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα)

Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Συνδυαστική Απαρίθμηση Υπολογισμός αριθμού διαφορετικών αποτελεσμάτων πειράματος (με συνδυαστικά επιχειρήματα) Πείραμα: διαδικασία που παράγει πεπερασμένο σύνολο αποτελεσμάτων Πληθικός αριθμός συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ : ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ

ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ. Mια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού ( της, αν υπάρει το lim και είναι πραγματικός αριθμός. Το όριο αυτό λέγεται παράγωγος της στο και συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

Μέση τιμή - Διάμεσος

Μέση τιμή - Διάμεσος Μέσ τιμή - Διάμεσος Ονομάζεται μέσ τιμή μιας μεταβλτής x και συμβολίζεται x το πλίκο του αθροίσματος όλων των τιμών τς μεταβλτής δια του πλήθους τους. Δλαδή: Όταν έχουμε ένα δείγμα μεγέθους ν με τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια

Ενδεικτικά θέματα Μαθηματικών για την εισαγωγή στα Πρότυπα Πειραματικά Λύκεια ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΔΟΚΙΜΑΣΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΜΑΘΗΤΩΝ ΣΤΑ ΠΡΟΤΥΠΑ-ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΑ 6 η Δοκιμασία ο Θέμα Στις ερωτήσεις έως και 4 να επιλέξτε τη σωστή απάντηση αιτιολογώντας την απάντησή σας. Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50]

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ. Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2014-2015 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 1η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Η καταληκτική ημερομηνία για την παραλαβή

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου

ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου ιακριτά Μαθηµατικά Ασκήσεις Φροντιστηρίου Εαρινό Εξάµηνο 2009 Κάτια Παπακωνσταντινοπούλου 1. Εστω A ένα µη κενό σύνολο. Να δείξετε ότι η αλγεβρική δοµή (P(A), ) είναι αβελιανή οµάδα. 2. Εστω ένα ξενοδοχείο

Διαβάστε περισσότερα

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης

Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Ορθοκανονικό σύστημα αξόνων ονομάζεται ένα σύστημα από δύο κάθετους άξονες με κοινή αρχή στους οποίους οι μονάδες έχουν το ίδιο μήκος. Υπάρχουν περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα