a,b με a b. Αμ η ζρμάοηηζη f :(a,b) είμαι παοα- f (a,b) ηηπ f είμαι διάζηημα.
|
|
- ψυχή Παππάς
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΙΜΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ 1 ΘΕΩΡΗΜΑ (ΑΡΥΗ) ΣΟΤ FERMAT Έζηω a,b με a b Αμ η ζρμάοηηζη f :(a,b) είμαι παοαγωγίζιμη ζηξ (a,b) και παοξρζιάζει ακοόηαηξ ζηξ, ηόηε f ( ) 0 ΘΕΩΡΗΜΑ DARBOUX Έζηω a,b με a b Αμ η ζρμάοηηζη f :(a,b) είμαι παοα- f (a,b) ηηπ f είμαι διάζηημα γωγίζιμη ηόηε ηξ ζύμξλξ ηιμώμ Τξ παοαπάμω θεώοημα μπξοεί μα έςει και ηη παοακάηω διαηύπωζη Έζηω a,b με a b Αμ η ζρμάοηηζη f :[a,b] είμαι παοαγωγίζιμη και f (a) f(b), ηόηε για κάθε k μεηανύ ηωμ f (a) και f (b) ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ (a,b) ώζηε f ( ) k ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Έζηω a,b με a b Αμ η ζρμάοηηζη f :[a,b] είμαι ζρμεςήπ ζηξ [ a,b], παοαγωγίζιμη ζηξ ( a,b) και f( ) f(b) ηόηε ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ (a,b) ώζηε f ( ) 0 ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΗ ΣΙΜΗ (LAGRANGE) Έζηω a,b με a b Αμ η ζρμάοηηζη f :[a,b] είμαι ζρμεςήπ ζηξ [ a,b] και παοαγωγίζιμη ζηξ ( a,b), f(b) f(a) ηόηε ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ (a,b) ώζηε f ( ) b a Τξ θεώοημα ηηπ μέζηπ ηιμήπ ηξρ LAGRANGE είμαι γεμίκερζη ηξρ θεωοήμαηξπ ηξρ ROLLE Αμ ζηξ θεώοημα ηηπ μέζηπ ηιμήπ ηξρ LAGRANGE ιζςύει f(a) f(b), ηόηε ποξθαμώπ ποξκύπηει ηξ θεώοημα ηξρ ROLLE ΓΕΝΙΚΕΤΜΕΝΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΗ ΣΙΜΗ (CAUCHY) Έζηω a,b με a b Αμ ξι ζρμαοηήζειπ f,g :[a,b] είμαι ζρμεςείπ ζηξ [ a,b] και παοαγωγίζιμεπ ζηξ ( a,b), ηόηε ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ (a,b) f ( ) g(b) g(a) g ( ) f(b) f(a) ώζηε Τξ γεμικερμέμξ θεώοημα ηηπ μέζηπ ηιμήπ ηξρ CAUCHY είμαι γεμίκερζη ηξρ θεωοήμαηξπ ηξρ LAGRANGE Αμ ζηξ θεώοημα ηηπ μέζηπ ηιμήπ ηξρ CAUCHY θεωοήζξρμε ηη ζρμάοηηζη μέζηπ ηιμήπ ηξρ LAGRANGE g(x) x ηόηε ποξθαμώπ ποξκύπηει ηξ θεώοημα ηηπ
2 Όηαμ g (x) 0 για κάθε x (a,b) έςει και ηη παοακάηω διαηύπωζη Έζηω a,b με b ζηξ a,b], ηόηε ηξ παοαπάμω θεώοημα μπξοεί μα a Αμ ξι ζρμαοηήζειπ,g :[a,b] [ και παοαγωγίζιμεπ ζηξ a,b) f( ) f(b) f(a) g ( ) g(b) g(a) (a,b) ώζηε f είμαι ζρμεςείπ (, ηόηε ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΗ ΣΙΜΗ (FLETT) Έζηω f :[a,b] μία παοαγωγίζιμη ζρμάοηηζη με f (a) f(b) Απξδείνηε όηι ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ (a,b) ώζηε f( ) f(a) f ( ) a ΛΤΗ Θεωοξύμε ηη ζρμάοηηζη: f(x) f(a) g (x) αν x(a,b] x a f(a) αν x a f(x) f(a) Ιζςύει lim g(x) lim f(a) g(a) xa xa x a Άοα η g είμαι ζρμεςήπ ζηξ [ a,b] Επίζηπ η f είμαι παοαγωγίζιμη ζηξ ( a,b) με f(x)(x a) f(x) f(a) g (x) (x a) Αοκεί μα απξδείνξρμε όηι ρπάοςει (a,b) ώζηε g ( ) 0??? Θεωοξύμε ηώοα ηη ζρμάοηηζη: f(x) f(b) h (x) αν x[a,b) x b f(b) αν x b f(x) f(b) Ιζςύει lim g(x) lim f(b) h(b) xb xa x b Άοα η h είμαι ζρμεςήπ ζηξ [ a,b] Αμ ηώοα θεωοήζξρμε ηη ζρμάοηηζη ( x) g(x) h(x), έςξρμε:
3 ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΙΜΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ 3 Η είμαι ζρμεςήπ ζηξ [ a,b] και ( a) (b) g (a) h(a) g(b) h(b) f(a) f(b) f(b) f(a) f (a) f(b) a b b a f(b) f(a) f(a) 0 b a f(b) f(a) Αμ ( a) (b) 0 ηόηε f (a) 0 g(a) g(b) b a Οπόηε για ηημ g ιζςύξρμ ξι ζρμθήκεπ ηξρ θεωοήμαηξπ ηξρ ROLLE ζηξ a,b] δηλαδή ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ (a,b) ηέηξιξ ώζηε g ( ) 0!!! [, Αμ όμωπ ( a) (b) 0 ηόηε θα ρπάοςει (ζύμθωμα με ηξ θεώοημα BOLZANO) k (a,b) ώζηε: ( k) 0 g(k) h(k) 0 g(k) h(k) f(k) f(a) f(k) f(b) k a k b Από ηημ ηελερηαία ιζόηηηα, ζρμπεοαίμξρμε όηι ηα ζημεία A (a,f(a)), B (b,f(b είμαι ζρμερθειακά, ξπόηε θα ιζςύει επιπλέξμ: K (k,f(k)) και )) f(k) f(a) k a f(k) f(b) k b f(b) f(a) b a g (k) g (b) B(b,f(b)) K(k,f(k)) A(a,f(a)) Άοα (k) g(b) g
4 4 Η g είμαι ζρμεςήπ ζηξ [ k,b] Η g είμαι παοαγωγίζιμη ζηξ ( k,b) g(k) g(b) Θεώοημα ROLLE άοα ζύμθωμα με ηξ θεώοημα ηξρ ROLLE θα ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ g ( ) 0!! (k,b) ηέηξιξ ώζηε! Έζηω f :[a,b] μία παοαγωγίζιμη ζρμάοηηζη με f (a) f(b) Απξδείνηε όηι ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ (a,b) ώζηε f( ) f(b) f ( ) b ΤΠΟΔΕΙΞΗ Εθαομόζξρμε αμάλξγη διαδικαζία με ηη ποξηγξύμεμη άζκηζη Έζηω f : μία παοαγωγίζιμη και πεοιηηή ζρμάοηηζη Απξδείνηε όηι για κάθε a 0 ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ ώζηε f( ) f(a) f ( ) a ΤΠΟΔΕΙΞΗ Αμ η ζρμάοηηζη f είμαι πεοιηηή ηόηε η f είμαι άοηια Οπόηε για κάθε a 0 θα ιζςύει: f ( a) f(a) Εθαομόζξμηαπ αμάλξγη διαδικαζία ζηξ [ a,a], έςξρμε ηξ ζηηξύμεμξ απξηέλεζμα Αμ η ζρμάοηηζη f :[a,b] είμαι παοαγωγίζιμη ζηξ [ a,b] και ρπάοςει k (a,b] ώζηε f (k) 0, ηόηε ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ f( ) f(a) (a,b) ώζηε f ( ) b a ΛΤΗ f(t) f(a) Θεωοξύμε ηημ ζρμάοηηζη (x) f(x) dt b a Η ζρμάοηηζη g g :[a,b] είμαι παοαγωγίζιμη ζηξ a,b] a x [ με
5 ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΙΜΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ 5 f(x) f(a) g (x) f(x) b a (a,b ηέηξιξ ώζηε g ( ) 0??? f (k) και k (a,b], μπξοξύμε μα ρπξθέζξρμε όηι f (x) 0 για κάθε x (a,k) (a,k ηέηξιξ ώζηε f ( ) 0 Αοκεί μα απξδείνξρμε όηι ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ ) Εθόζξμ 0 (Διόηι αμ ρπξθέζξρμε όηι ρπάοςει κάπξιξ ) ηόηε μπξοξύμε μα θέζξρμε ζηη θέζη ηξρ k ηξ ) Διακοίμξρμε ηώοα δύξ πεοιπηώζειπ Ποώηη πεοίπηωζη ( f (a) 0 ) Αμ f (a) 0 f,, ηόηε θα ιζςύει (x) 0 για κάθε x [a,k) Άοα η f θα διαηηοεί ζηαθεοό ποόζημξ ζηξ [ a,k) και έζηω όηι f (x) 0 κάθε x [a,k) Για ηη ζρμάοηηζη g θα έςξρμε: για f(k) f(a) f(k) f(a) g (k) f(k) 0 b a b a g (a) g (k) 0 f(a) f(a) g (a) f(a) f(a) 0 b a Άοα ζύμθωμα με ηξ θεώοημα ηξρ DARBOUX θα ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ g ( ) 0!! (a,k) ηέηξιξ ώζηε! Δεύηεοη πεοίπηωζη ( f (a) 0 ) Αμ f (a) 0 f, ηόηε θα ιζςύει (x) 0 για κάθε x (a,k) Άοα η f θα διαηηοεί ζηαθεοό ποόζημξ ζηξ ( a,k) και έζηω όηι f (x) 0 κάθε x (a,k) Για ηη ζρμάοηηζη g θα έςξρμε: f(k) f(a) f(k) g(k) f(k) b a b f (a) f(k) f(a) 0 a για g (k) 0 (A) Εθόζξμ 0, θα ρπάοςει (ζύμθωμα με ηξ θεώοημα μέζηπ ηιμήπ ηξρ FLETT) m (a,k) ηέηξιξ ώζηε f (m) f(m) f(a) m a Για ηη ζρμάοηηζη g θα έςξρμε: f(m) f(a) g (m) f(m) b a f(m) f(a) f(m) f(a) m a b a
6 6 b m g (m) 0 (B) (m a)(b a) ( και ( B) έςξρμε g (m) g (k) 0 f (m) f(a) 0 Απξ ηιπ ζςέζειπ A) Άοα ζύμθωμα με ηξ θεώοημα ηξρ DARBOUX θα ρπάοςει έμα ηξρλάςιζηξμ g ( ) 0!! (m,k) ηέηξιξ ώζηε! Έζηω f :[a,b] ζρμάοηηζη ζρμεςήπ ζηξ [ a,b] και παοαγωγίζιμη ζηξ ( a,b) με f(a) f(b) Απξδείνηε όηι ρπάοςξρμ (a,b) ώζηε ( ) f( ) 0 1, f 1 ΛΤΗ Εθαομόζξρμε για ηη ζρμάοηηζη ηξρ LAGRANGE ζηα διαζηήμαηα f :[a,b] ηξ θεώοημα ηηπ μέζηπ ηιμήπ a b a b a, και,b a 1 a b b Η f είμαι ζρμεςήπ ζηξ Η f είμαι παοαγωγίζιμη ζηξ a b a, a b a, ΘΜΤ LAGRANGE Άοα ζύμθωμα με ηξ ηξ θεώοημα ηηπ μέζηπ ηιμήπ ηξρ LAGRANGΕ θα ρπάοςει a b a, 1 ώζηε a b f f(a) f ( 1) A) b a ( Η f είμαι ζρμεςήπ ζηξ a b,b ΘΜΤ LAGRANGE
7 ΘΕΩΡΗΜΑΣΑ ΠΑΡΑΓΩΓΙΙΜΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ 7 Η f είμαι παοαγωγίζιμη ζηξ a b,b Άοα ζύμθωμα με ηξ ηξ θεώοημα ηηπ μέζηπ ηιμήπ ηξρ LAGRANGΕ θα ρπάοςει a b, b ώζηε a b f(b) f f ( 1) B) b a ( Ποξζθέηξμηαπ καηά μέλη ηιπ ζςέζειπ ( A) και ( B) παίομξρμε: f ( 1) f( ) 0 Έζηω f :[a,b] ζρμάοηηζη ζρμεςήπ ζηξ [ a,b] και παοαγωγίζιμη ζηξ ( a,b) με f(a) f(b) Απξδείνηε όηι ρπάοςξρμ 1,,, n (a,b) ώζηε f( ) f( ) f( ) 0 1 n Έζηω f :[0,1] διαθξοίζιμη ζρμάοηηζη και 0 x1 x 1 Αμ f(0) f(x1) 0 και f(x) x, απξδείνηε όηι για κάθε a (0,1) ρπάοςει b (0,1) ώζηε f (b) a Παοαηηοήζειπ Για ηξμ ποώηξ ηοόπξ λύζηπ, θα εθαομόζξρμε ηξ θεώοημα ηξρ DARBOUX: Αμ a b, και η ζρμάοηηζη f :(a,b) είμαι διαθξοίζιμη, ηόηε ηξ ζύμξλξ ηιμώμ (a,b) f ηηπ f είμαι διάζηημα Για ηξμ δεύηεοξ ηοόπξ λύζηπ, θα εθαομόζξρμε ηξ θεώοημα (αοςή) ηξρ FERMAT: Έζηω a b, x (a,b) και η ζρμάοηηζη f :(a,b) είμαι διαθξοίζιμη ζηξ x Αμ ηξ x (a,b) είμαι ζημείξ ηξπικξύ μεγίζηξρ ή ηξπικξύ ελαςίζηξρ για ηημ f ζηξ ( a,b), ηόηε f (x) 0 ΛΤΗ Ποώηξπ ηοόπξπ Η ζρμάοηηζη f είμαι ζρμεςήπ ζηξ [ 0,x1 ], παοαγωγίζιμη ζηξ ( 0,x 1 ) και f(0) f(x1) 0
8 8 Άοα ζύμθωμα με ηξ θεώοημα ηξρ ROLLE θα ρπάοςει ( 1 0,x1) ώζηε: f ( 1) 0 Η ζρμάοηηζη f είμαι ζρμεςήπ ζηξ [ 0,x ] και παοαγωγίζιμη ζηξ ( 0,x ) Άοα ζύμθωμα με ηξ θεώοημα ηηπ μέζηπ ηιμήπ ηξρ LAGRANGE θα ρπάοςει ( f(x 0,x ) ώζηε: ) f(0) x f( ) 1 x 0 x Άοα ζύμθωμα με ηξ θεώοημα ηξρ DARBOUX, για κάθε a (0,1) f ( ),f 1 ( ) ώζηε: θα ρπάοςει b μεηανύ ηωμ 1 f (b) a Δεύηεοξπ ηοόπξπ Έζηω a (0,1) Θεωοξύμε ηη ζρμάοηηζη g :[0,1] με g(x) f(x) ax Η g είμαι παοαγωγίζιμη ζηξ ( 0,1) και g (x) f(x) a Ιζςύξρμ ηώοα ξι ζςέζειπ: g(0) f(0) a 0 0 g(x1) f(x1) ax1 0 ax1 ax1 0 g(x) f(x) ax x ax (1 a)x 0 Δηλαδή η g (πξρ είμαι ζρμεςήπ ζηξ 0,1] b (0,1) g (b) και [ ) θα παοξρζιάζει ακοόηαηξ ζε κάπξιξ Άοα απξ ηξ θεώοημα (αοςή) ηξρ FERMAT θα ιζςύει: 0 Σοίηξπ ηοόπξπ Έζηω (0,1) a Θεωοξύμε ηη ζρμάοηηζη g :[0,1] με g(x) f(x) ax Η g είμαι παοαγωγίζιμη (άοα και ζρμεςήπ) ζηξ [ 0,1] με g (x) f(x) a Ιζςύξρμ ηώοα ξι ζςέζειπ: g(x1) f(x1) ax1 0 ax1 ax1 0 g(x) f(x) ax x ax (1 a)x 0 Άοα ζρμθωμα με ηξ θεώοημα ηξρ BOLZANO, θα ρπάοςει ( x1,x) ώζηε: g( ) 0 Για ηη g ιζςύει ηξ θεώοημα ηξρ ROLLE ζηξ [ 0, ], ξπόηε θα ρπάοςει b (0, ) ώζηε g (b) 0, δηλαδή θα ρπάοςει b (0,1) ώζηε f (b) a
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΕΚΤΟ ΜΑΘΗΜΑ, 14-1-14 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Τις διάφορες απλές ιδιότητες των παραγώγων θα τις θεωρήσω γνωστές από πιο στοιχειώδη μαθήματα απειροστικού λογισμού και από το λύκειο. Τώρα
Διαβάστε περισσότεραf (x) g(h) = 1. f(x + h) f(x) f(x)f(h) f(x) = lim f(x) (f(h) 1) = lim = lim = lim f(x)g(h) g(h) = f(x) lim = f(x) 1 = f(x)
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Απειροστικός Λογισµός Ι ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Απειροστικός Λογισµός Ι - Λύσεις 2ης Σειράς Ασκήσεων Ασκηση 1. Για κάθε a,b και x 2, η f είναι παραγωγίσιµη.
Διαβάστε περισσότερα= df. f (n) (x) = dn f dx n
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) Ορισμός Cauchy: f (ξ) = lim x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) = f(x) f(ξ) x ξ ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0
Διαβάστε περισσότεραΠαράγωγος Συνάρτησης. Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) = lim.
Παράγωγος Συνάρτησης Ορισμός Παραγώγου σε ένα σημείο ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σε ένα σημείο ξ είναι το όριο (αν υπάρχει!) f (ξ) x ξ g(x, ξ), g(x, ξ) f(x) f(ξ) x ξ Ορισμός Cauchy: ɛ > 0 δ(ɛ, ξ) > 0 x x ξ
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο
Διαβάστε περισσότεραΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ
ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 0 ΘΔΧΡΗΜΑTA ΜΔΝΔΛΑΟΤ - CEVA - AUBEL. ΘΔΧΡΗΜΑ ΣΟΤ ΜΔΝΔΛΑΟΤ Γίλεηαη ηξίγσλν AB. ηηο επζείεο πνπ νξίδνπλ νη πιεπξέο ηνπ B, A θαη AB, ζεσξνύκε ηα ζεκεία A, B θαη αληίζηνηρα. Αλ ηα ζεκεία A,B,
Διαβάστε περισσότεραΓρςέπ για μια Καλή Σςξλική Χοξμιά!
- ΤΑΞΗ Α' Οι μαθηηέπ και μαθήηοιεπ ηηπ Α' ηάνηπ θα ποέπει μα ποξμηθερηξύμ ηα Sammy and Kite (Pupil s Book) ητμ εκδόζετμ Hamilton House Sammy and Kite (Activity Book) ητμ εκδόζετμ Hamilton House έμαμ πλαζηικό
Διαβάστε περισσότεραΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, Μ. Παπαδημητράκης.
ΑΝΑΛΥΣΗ 1 ΤΡΙΑΚΟΣΤΟ ΕΒΔΟΜΟ ΜΑΘΗΜΑ, 16-1-14 Μ. Παπαδημητράκης. 1 Άσκηση 5..15. Έστω f παραγωγίσιμη στο (0, + ) και lim x + f (x) = 0. Αποδείξτε ότι ( ) lim f(x + 1) f(x) = 0. x + Λύση: Θα εκμεταλλευτούμε
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Λογισμός Ι Ενότητα 4: Παράγωγοι Κ. Δασκαλογιάννης Τμήμα Μαθηματικών Α.Π.Θ. (Α.Π.Θ.) Λογισμός Ι 1 / 68 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρικές συνθήκες κυρτότητας. Ρ. Μπόρης
Ρ. Μπόρης ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρακάτω δουλειά απευθύνεται στα παιδιά της Γ λυκείου (και όχι μόνο) και σκοπό έχει να τονίσει τις γεωμετρικές ιδιότητες που έχει μια συνάρτηση ώστε να είναι κυρτή ή κοίλη. Χρησιμοποιήθηκε
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 5: Συνέχεια συναρτήσεων και όρια στο άπειρο
Διάλεξη 5: Συνέχεια συναρτήσεων και όρια στο άπειρο Ακριβής ορισμός του πλευρικού ορίου Έστω ότι το πεδίο ορισμού της f x περιέχει ένα διάστημα d, c στα αριστερά του c. Η f x έχει αριστερό όριο L στο c
Διαβάστε περισσότεραf(x) f(c) x 1 c x 2 c
Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 2 ο Μάθημα 2 ο Αριθμητική επίλυση εξισώσεων (μη γραμμικές) Μέθοδοι με διαδοχικές δοκιμές σε διάστημα (Διχοτόμησης, Regula-Falsi) Μέθοδοι με επαναληπτικούς
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Μαθηματικών 2
Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 4 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 4 Παράγωγος Συνάρτησης 4.1 Έννοια Παραγώγου Ορισμός f(x) f(x 0 ) Μια συνάρτηση f ονομάζεται παραγωγίσιμη στο x 0 Df αν υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy
ΣΥΓΚΛΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: Ορισμός Cauchy Augustin- Louis Cauchy 1789-1857 ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ Ορισμός σύγκλισης Cauchy συγκλίνει για x ξ Η συνάρτηση f(x) ɛ > 0 δ (ɛ, ξ) : x ξ < δ f(x) l < ɛ f(x) = l + f(x) = l +
Διαβάστε περισσότεραΚ.Μ. ΚΟΥΜΑΣ. Φυσική Α Λυκείου. Σύνθεση υνάμεων 1. Σκοπός Άσκησης. 2. Υλοποίηση. 3. Εκτέλεση (επίδειξη συζήτηση) φ F r 1. F r. w r
ΕΚΦΕ Χανίων Κ.Μ. ΚΟΥΜΑΣ Εργαστηριακές Ασκήσεις Φυσική Α Λυκείου Σύνθεση υνάμεων 1. Σκοπός Άσκησης Κατανόηση της διανυσματικής μορφής της δύναμης «Σύνθεση» δυνάμεων δεν σημαίνει «άθροισμα» δυνάμεων.. Υλοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΕκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ
Παράγωγος - ιαφόριση ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 05 Μαρτίου 2009 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας των πα- ϱαγώγων πραγµατικών
Διαβάστε περισσότεραΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση
ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 10, 12 Μαρτίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Παρεμβολή 2. Παράσταση και υπολογισμός του πολυωνύμου παρεμβολής
Διαβάστε περισσότεραΔΕΟ 13 - ΠΛΗ 12 Όρια Συναρτήσεων. Ποσοτικές Μέθοδοι: Επιχειρησιακά Μαθηματικά. Κεφάλαιο 1: 3.2 Συνεχείς και Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις
Ποσοτικές Μέθοδοι: Επιχειρησιακά Μαθηματικά Κεφάλαιο 1: 3.2 Συνεχείς και Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Συνέχεια και Παραγωγισιμότητα Θεώρημα Δεξιά Παράγωγος Αριστερή Παράγωγος Γωνιακό στρίψιμο Γωνιακό Σημείο
Διαβάστε περισσότεραΤύπος TAYLOR. f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) ξ μεταξύ x και x 0. (x x 0 ) k k! f(x) = f (k) (x 0 ) + R n (x)
Τύπος TAYLOR f : [a, b] R f (n 1) (x) συνεχής x [a, b] f (n) (x) x (a, b) f(x) = ξ μεταξύ x και x 0 n 1 (x x 0 ) k f (k) (x 0 ) + R n (x) R n (x) = (x ξ)n p (x x 0 ) p p(n 1)! f (n) (ξ) υπόλοιπο Sclömlich-Roche
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων.
Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 2018-19. Λύσεις έβδομου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Έχουν οι παρακάτω συναρτήσεις μέγιστη ή ελάχιστη τιμή στο διάστημα (0, 1); Στο διάστημα (, + ); Στο διάστημα [0,
Διαβάστε περισσότερα.1. 8,5. µ, (=,, ) . Ρ( )... Ρ( ).
ΡΧΗ 1Η Ε ε Γ Α Ο ΗΡ Ε Ε Ε Ε Η Ε Ο Ε Ο Ε Η 14 Ο Ο 2001 Ε Ε Ο Ε Ο Η Ε Η εε : Η Ο ΧΕ Η Ο Ο Ε εά : Ε (6) Ε Α 1ο Α.1. π µ µ ά : Ρ ( ) = Ρ ( ) Ρ ( ). 8,5 Α.2. µ π µπ µ π µ µ, (=,, ) : Ρ ( )... 1 Ρ( ) 2 Ρ( )...
Διαβάστε περισσότεραζρήκα 1 β τπόπορ (από σύγκπιση τπιγώνων):
o Λύκειο Εακύνθος Γεσκεηξία Α Λπθείνπ Κεθάιαην 3ν Άζθεζε Α Γίλεηαη νξζνγώλην ηξίγσλν ΑΒΓ 90 0 θαη ΓΓ δηρνηόκνο ηεο γσλίαο. Να δείμεηε όηη:. Τν ζεκείν Γ απέρεη ηελ ίδηα απόζηαζε από ηηο πιεπξέο ΑΓ θαη ΒΓ.
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση
Διαβάστε περισσότεραΠ Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ
Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 3 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Κ Α T E Y Θ Υ Ν Σ Η Σ Ε ι μ ε λ ε ι : Τ κ η ς Τ σ κ λ κ ο ς o ΘΕΜΑ Π ν ε λ λ δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ σ ε ι ς ( 3 ) A. Εστω f μι συνεχης συνρτηση σε εν διστημ [, β].
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2019 ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΟ ο ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 9 ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 5/4/9 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία-Ορισμός,σχολικού
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όρια συναρτήσεων. Άσκηση. Ποιό είναι το σύνολο στο οποίο έχει νόημα και ποιό το σύνολο στο οποίο ισχύει καθεμιά από τις ανισότητες: x+2 > 00, > 000, < < ; x 2 x
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Κανάρη 6, Δάφνη Τηλ 9794 & 976976 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ 4 Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α α) Σ β) Σ γ) Σ δ) Λ ε) Λ ΘΕΜΑ B Β
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (1/7/ 2013) y x + y.
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΙΙ, ΣΕΜΦΕ (/7/ 203) ΘΕΜΑ. (α) Δίνεται η συνάρτηση f : R 2 R με f(x, y) = xy x + y, αν (x, y) (0, 0) και f(0, 0) = 0. Δείξτε ότι η f είναι συνεχής στο (0, 0). (β) Εξετάστε αν
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2 ο ανάλυσης ερωτήσεις στις παραγώγους. τότε η f(x) είναι παραγωγίσιμη
Κεφάλαιο 2 ο ανάλυσης ερωτήσεις στις παραγώγους. 1. Αν υπάρχει το lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 τότε η f(x) είναι παραγωγίσιμη στο x 0 του Π.Ο της; : όχι. Πρέπει επιπλέον το όριο να είναι πραγματικός αριθμός.
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3/2/2010
Λύσεις των ϑεµάτων, ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι, 3//00 Θέµα ( µονάδα) Θεωρούµε το σύνολο B = {x Q : x < 5}. είξτε ότι sup B = 5. Απάντηση : Για να δείξουµε ότι sup B = 5 αρκεί να δειχθεί ότι α) Το 5 είναι
Διαβάστε περισσότεραf κυρτή στο [1,5] f x x f η Επαναληπτική f [ 2,10], επιπλέον για την f ισχύουν lim 2 x f 8 1,0 και
13η Επαναληπτική Δίνεται η συνάρτηση, δύο φορές παραγωγίσιμη στο [1,] [,1], επιπλέον για την ισχύουν 8 lim στο [1,] Να αποδείξετε ότι ε1 ε Υπάρχουν, με, ώστε στο οποίο η η, έχει σημείο καμπής ε3 Υπάρχει
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές λύσεις)
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04--07 (ενδεικτικές λύσεις) ΘΕΜΑ A Α. Θεωρία / Σχολικό Βιβλίο / Σελίδα 99 Α. Θεωρία / Σχολικό Βιβλίο / Σελίδα 3 Α3. α) Ο ισχυρισμός είναι Ψ (ψευδής). β)
Διαβάστε περισσότεραΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Α' ΜΕΡΟΣ (ΑΛΓΕΒΡΑ) 1 ΠΙΝΑΚΕΣ- ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Α' Ομάδας i) 3x7 ii) π.χ. το στοιχείο α 12 μας πληροφορεί ότι η ομάδα «ΝΙΚΗ» έχει 6 νίκες. x = -7, y = 8, ω = 8..i) x
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θεώρημα Rolle Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β], παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και ισχύει ότι f(α) f(β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α ΟΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΠΟ ΤΟΥΣ ΚΑΘΗΓΗΤΕΣ κύριο ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΜΑΝΩΛΗ κυρία ΦΟΥΝΤΟΥΛΑΚΗ ΑΓΓΕΛΙΚΗ του ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΛ 2019
ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΛ 09 ΘΕΜΑ Α Α. α) ορισμός σελ.5 β)i) για να έχει μια συνάρτηση αντίστροφη πρέπει να είναι -. ii) ορισμός σελ.35 Α. ορισμός σελ.4 Α3. απόδειξη σελ.35 Α4. α)λ
Διαβάστε περισσότερα... 5 A.. RS-232C ( ) RS-232C ( ) RS-232C-LK & RS-232C-MK RS-232C-JK & RS-232C-KK
RS-3C WIWM050 014.1.9 P1 :8... 1... 014.0.1 1 A... 014.0. 1... RS-3C()...01.08.03 A.. RS-3C()...01.08.03 3... RS-3C()... 003.11.5 4... RS-3C ()... 00.10.01 5... RS-3C().008.07.16 5 A.. RS-3C().0 1.08.
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ
ΜΑΘΜΑ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝ ΥΛ ΜΑΘΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ /6/9 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ Α Α α) Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 β) i) Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 ii) Σχολικό βιβλίο σελίδα 5-6 Α Σχολικό βιβλίο σελίδα 4 Α Σχολικό
Διαβάστε περισσότεραΣχόλια στις Παραγώγους. Μια συνάρτηση θα λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του. f(x h) f(x )
Σχόλια στις Παραγώγους. Μια συνάρτηση θα λέγεται παραγωγίσιμη σε ένα σημείο x 0 του Π.Ο της μόνον και μόνον όταν υπάρχει το lim x x0 f(x) f(x 0 ) x x 0 πραγματικός αριθμός. και είναι Η παραγωγισιμότητα
Διαβάστε περισσότεραlim (f(x + 1) f(x)) = 0.
Ανάλυση Ι και Εφαρμογές 4ο Τεστ (Σειρά Α) 17-19 Δεκεμβρίου 2018 Ονοματεπώνυμο:.................................................................. Αριθμός Μητρώου:...............................................................
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)<0 Τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον χ 0
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO..Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β].και f(α).f(β)
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 Πραγματικοί Αριθμοί 1.1 Σύνολα
x + = 0 N = {,, 3....}, Z Q, b, b N c, d c, d N + b = c, b = d. N = =. < > P n P (n) P () n = P (n) P (n + ) n n + P (n) n P (n) n P n P (n) P (m) P (n) n m P (n + ) P (n) n m P n P (n) P () P (), P (),...,
Διαβάστε περισσότερα[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (
Διαβάστε περισσότερα1,2,3,7. i. f(x) = x x, x [1, 3] ii. f(x) = { x2 + 2x + 3, x < 1. iii. f(x) = x x. iv. f(x) = { x ln(x), 0 < x 1. cx 2 + 4x + 4, 0 x 1. Rolle.
Πράξεις και ιδιότητες πραγματικών αριθμών. 1 Εισαγωγή - Οδηγίες Οι ασκήσεις είναι κατηγοριοποιημένες ανάλογα με το βαθμό δυσκολίας τους. Μία άσκηση που δεν είναι επισημασμένη είναι μία απλή εφαρμογή της
Διαβάστε περισσότεραΠρόταση. f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I. δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ. ɛ > 0, δ > 0 : ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής.
f(x) ομοιόμορφα συνεχής στο I ɛ > 0, δ (ɛ) > 0 : x, ξ I, x ξ < δ (ɛ, ξ) f(x) f(ξ) < ɛ f(x) ΜΗ ομοιόμορφα συνεχής ɛ > 0, δ > 0 : x, ξ I, x ξ < δ f(x) f(ξ) ɛ f(x) συνεχής στο [a, b] f(x) ομοιόμορφα συνεχής
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις
Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΕΜΑ Β2.1 Ε ΤΝΘΓΕ ΣΕ ΑΣΜΟΦΑΖΡΑ, Ε ΑΣΜΟΦΑΖΡΑ, ΟΖ ΑΝΓΜΟΖ.
ΜΑΘΕΜΑ Β2.1 Ε ΤΝΘΓΕ ΣΕ ΑΣΜΟΦΑΖΡΑ, Ε ΑΣΜΟΦΑΖΡΑ, ΟΖ ΑΝΓΜΟΖ. Αημόζθαιοα: έκαξ ΑΓΡΖΟ ςθεακόξ, μ μπμίμξ γίκεηαη όιμ θαη πημ ΑΡΑΖΟ θαζώξ ακεβαίκμομε Σμ 90% Σεξ μάδαξ ηεξ αημόζθαηναξ είκαη ζογθεκηνςμέκμ ζηα πνώηα
Διαβάστε περισσότερα3.16 Αζκήζεις ζτ. βιβλίοσ ζελίδας 65 66
3.6 ζκήζεις ζτ. βιβλίοσ ζελίδας 65 66 Ερωηήζεις Καηανόηζης ν (Κ, R) και (, π) είναι δύο κύκλοι πος έσοςν διαθοπεηικά κάνηπα και R > π, Κ = δ, να ανηιζηοισίζεηε κάθε θπάζη ηηρ ππώηηρ ζηήληρ με ηην ανηίζηοιση
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β π Για κάθε μία από τις παρακάτω συναρτήσεις με πεδίο
Διαβάστε περισσότεραx, x (, x ], επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, x0]
Απαντήσεις στο ο Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέμα ο Α Έστω ότι f( ), για κάθε (, ) (, ) Επειδή η f είναι συνεχής στο θα είναι γνησίως αύξουσα σε κάθε ένα από τα διαστήματα (, ] και [,
Διαβάστε περισσότεραΔιαγώνισμα στις παραγώγους μέχρι και ακρότατα. 0 σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα
Διαγώνισμα στις παραγώγους μέχρι και ακρότατα Θέμα A Α Έστω μια συνάρτηση f,η οποία είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ Αν στο Δ f x σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα Α Θεωρήστε
Διαβάστε περισσότεραf (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l.
Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΛΟΓΟΣ. Κλείνει με τις λύσεις όλων των θεμάτων του Μαίου
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν τεύχος δημιουργήθηκε για να διευκολύνει τους μαθητές στην ΆΜΕΣΗ κατανόηση των απαιτήσεων των πανελληνίων εξετάσεων δίνοντας τους τα θέματα των 4 χρόνων των κανονικών εξετάσεων του Μαίου
Διαβάστε περισσότεραΠες το με μία γραφική παράσταση
Πες το με μία γραφική παράσταση Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου www askisopolisgr ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Να γράψετε και να σχεδιάσετε γραφικές παραστάσεις (ορισμένες σε διάστημα ή σε ένωση διαστημάτων):
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )
Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι
Διαβάστε περισσότεραΑ1. Θεωρία Σελίδες Σχολικού Βιβλίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής& Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΕΚΔΟΣΗ 2014
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΜΑΡΤΗ ΘΕΜΑ Α Α Θεωρία Σελίδες 33-33 Σχολικού Βιβλίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής& Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ ΛΥΚΕΙΟΥ, ΕΚΔΟΣΗ ΑΘεωρία
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.
ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Ο.Π. Γ ΓΕΛ 29/ 04 / 2018 ΘΕΜΑ Α. Α1. Σελίδα 216. Α2.i) Λ ii) Σελίδα 134. Α3. Σελίδα 128
Γ ΓΕΛ 9/ 4 / 8 Μαθηματικά Ο.Π. ΘΕΜΑ Α Α. Σελίδα 6 Α.i) Λ ii) Σελίδα 34 Α3. Σελίδα 8 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. τέτοιο ώστε. στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χχ. της γραφικής παράστασης της f x με. Κατηγορίες Ασκήσεων
Διατύπωση: Εάν για μια συνάρτηση ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE x ισχύουν Η x συνεχής στο [α,β] Η x παραγωγίσιμη στο (α, β) a τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ' 0 Γεωμετρική Ερμηνεία : Γεωμετρικά το θεώρημα ROLLE
Διαβάστε περισσότεραH ΑΞΙΑ ΣΗ ΓΛΙΑ ΚΑΙ ΣΟΤ ΓΛΑΙΟΛΑΔΟΤ ΜΤΘΟΙ & ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΟΣΗΣΑ. << Γιηά & Λάδη >>
H ΑΞΙΑ ΣΗ ΓΛΙΑ ΚΑΙ ΣΟΤ ΓΛΑΙΟΛΑΔΟΤ ΜΤΘΟΙ & ΠΡΑΓΜΑΣΙΚΟΣΗΣΑ > ΜΟΛΑΟΙ 9 Οθηςβνίμο 2011 Καηεγμνίεξ θνηηενίςκ πνμζηαζίαξ, αλημιόγεζεξ θαη επηιμγήξ, Έληνα Πανζέκμο Γιαημιάδμο Κνηηήνηα πμηόηεηαξ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MICHEL ROLLE Μία μορφή του θεωρήματος Rolle δόθηκε από τον Ινδό αστρονόμο Bhaskara
Διαβάστε περισσότερα1 Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών
Σύντομη επανάληψη βασικών εννοιών Μερικές χρήσιμες ταυτότητες + r + r 2 + + r n = rn r r + 2 + 3 + + n = 2 n(n + ) 2 + 2 2 + 3 2 + n 2 = n(n + )(2n + ) 6 Ανισότητα Cauchy Schwarz ( n ) 2 ( n x i y i i=
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α. lim f(x) 0 και lim g(x), τότε lim [f(x) g(x)] 0. lim.
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ (3) A1. Έστω μια
Διαβάστε περισσότερα!"! #!"!!$ #$! %!"&' & (%!' #!% #" *! *$' *.!! )#/'.0! )#/.*!$,)# * % $ %!!#!!%#'!)$! #,# #!%# ##& )$&# 11!!#2!
# $ #$ % (% # )*%%# )# )$ % # * *$ * #,##%#)#% *-. )#/###%. )#/.0 )#/.* $,)# )#/ * % $ % # %# )$ #,# # %# ## )$# 11 #2 #**##%% $#%34 5 # %## * 6 7(%#)%%%, #, # ## # *% #$# 8# )####, 7 9%%# 0 * #,, :;
Διαβάστε περισσότερα(a) = lim. f y (a, b) = lim. (b) = lim. f y (x, y) = lim. g g(a + h) g(a) h g(b + h) g(b)
1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ Μερική Παράγωγος Μερικές Παράγωγοι Ορισμός 1: a) Εστω f(x y) : U R R μία συνάρτηση δύο μεταβλητών και (a b) ένα σημείο του U. Θεωρούμε ότι μεταβάλλεται μόνο το x ένω το y παραμένει σταθερό
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Ανάλυση Ι
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 7: Εφαρμογές παραγώγων Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ : Σελίδα από ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: /6/9 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: Μαθηματικά ΟΠ Θετικών Σπουδών & Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΘέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x
Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ :3
ΘΕΜΑ Α ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ :3 Α. Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο, τότε
Διαβάστε περισσότεραÏÑÏÓÇÌÏ ÇÑÁÊËÅÉÏ ( )( ) ( )( ) Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. w w + 1= + 1. α= α.
Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ ο Α Σχολικό βιβλίο σελ Β σελ Β σελ Γ α Λ β Σ γ Λ δ Λ ε Σ ΘΕΜΑ ο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ + w z = w z w = + w z zw = + w w w + zw = z w( + z) = z z z
Διαβάστε περισσότεραM z ιραπέυξσμ από ςα Α 4,0,Β 4,0
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ 6 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΔΝΔΔΙΚΤΙΚΔΣ ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ (Σε όλη την ύλη) ΘΔΜΑ Α 1. Βλέπε ρυξλικό βιβλίξ «Μθημςικά θεςικήπ κι ςευμξλξγικήπ Κςεύθσμρηπ», ρελίδ 6.. Βλέπε ρυξλικό
Διαβάστε περισσότεραΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ
ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πρακτικές και καινοτομίες στην εκπαίδευση και στην έρευνα. Χρόνης Χ. Παναγιώτης pachronis@gmail.com Περίληψη Στόχος της εργασίας αυτής είναι να καταδείξει
Διαβάστε περισσότεραf (x) 2e 5(x 1) 0, άρα η f
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 8 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Σε όλη την ύλη) ΘΕΜΑ Α 1 Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 14-143
Διαβάστε περισσότεραΠροτάσεις που χρησιμοποιούνται στη λύση ασκήσεων και χρειάζονται απόδειξη. Πρόταση 1
Προτάσεις που χρησιμοποιούντι στη λύση σκήσεων κι χρειάζοντι πόδειξη Πρότση 1 Έστω η συνάρτηση f: A R η οποί είνι γνησίως ύξουσ Ν δείξετε ότι ) η f ντιστρέφετι ) η f -1 είνι γνησίως ύξουσ στο f(α) γ) Οι
Διαβάστε περισσότερα3. Ειδικά θεωρήµατα Συνέχεια
3. Ειδικά θεωρήµατα Συνέχεια Κ ε φ α λ α ι ο 3 Ι ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO Με το θεώρηµα του Bolzano (Θ. Bolzano) εξασφαλίζουµε την ύπαρξη ρίζας σε µια συνάρτηση. ΕΝ βρίσκουµε την ρίζα. Προ ποθέσεις είναι η συνέχεια
Διαβάστε περισσότεραΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΣΤΕΛΕΧΩΣΗ
ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΔΟΣΗΣ ΚΑΙ ΣΤΕΛΕΧΩΣΗ ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΥ ΤΕΣΤ ΙΚΑΝΟΤΗΤΩΝ ΓΙΑ ΤΙΣ ΘΕΣΕΙΣ ΩΡΟΜΙΣΘΙΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΒΟΗΘΟΙ ΤΗΛΕΞΥΠΗΡΕΤΗΣΗΣ (ΑΡ. ΠΡΟΚΗΡΥΞΗΣ: 2/2017) (ΛΕΥΚΩΣΙΑ
Διαβάστε περισσότερα). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ Θ.ΜΤ. g είναι παραγωγίσιμη στο,τότε και η συνάρτηση f x g x
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΚΑΙ ΘΜΤ ΘΕΜΑ o Α Η συνάρτηση f( ), f είναι παραγωγίσιμη στο και ισχύει ( ) ln, δηλαδή ln a a a Μονάδες Α Θεωρήστε τον παρακάτω ισχυρισμό: «αν η συνάρτηση : g είναι παραγωγίσιμη
Διαβάστε περισσότερα1. Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής και τεχνολογικής Κατεύθυνσης», σελίδα
6 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΠΡΙΛΙΟΣ 16: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Σε όλη
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Θέματα τύπου Σωστό-Λάθος στις Πανελλαδικές Εξετάσεις από το 2000 έως 204 χωρισμένα σε Κεφάλαια Α. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z 0 ορίζουμε z 0 = 2. Για κάθε μιγαδικό αριθμό z ισχύει: α.
Διαβάστε περισσότερα12. Ηζσύει : 0 θ,όπος θ η γυνία δςο μη μηδενικών διανςζμάηυν.
Α ΔΡΩΣΖΔΗ ΚΛΔΗΣΟΤ ΣΤΠΟΤ 1 Ηζσύει : 0 ι κάθε διάνςζμ Ηζσύει : ΑΒ = ΧΒ - ΧΑ 3 Ηζσύει : ΑΒ - BΑ 0,ι διθοπεηικά ζημεί Α,Β 4 Ηζσύει : ΑΒ 0, ι διθοπεηικά ζημεί Α,Β,Γ,Γ 5 Ηζσύει : 6 Ηζσύει : // 7 Ηζσύει : λ λ
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις-Απαντήσεις Θεωρίας
1 ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΡΟΣ Β 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές παραγώγων. Διαφορικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι
Εφαρμογές παραγώγων Διαφορικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι Ακρότατα Α Θα δούμε πώς οι παράγωγοι βοηθούν στην αναζήτηση ακρότατων (μέγιστα και ελάχιστα) μιας συνάρτησης ώστε να αντιλαμβανόμαστε πώς εξελίσσεται
Διαβάστε περισσότερα23 2011 ΘΕΜΑ Α A1. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και x 0 ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο x 0 και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, να αποδείξετε ότι:
Διαβάστε περισσότεραΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΜΑ A ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ/ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. α) Έστω η συνάρτηση f ( ) = a µε R και p a.να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο R και ισχύει f '( ) = a ln a. β) Έστω
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων.
Ανάλυση πολλών μεταβλητών. Δεύτερο φυλλάδιο ασκήσεων. 1. Ποιά από τα παρακάτω σύνολα είναι συμπαγή; Μία κλειστή μπάλα, μία ανοικτή μπάλα, ένα ανοικτό ορθ. παραλληλεπίπεδο, ένα ευθ. τμήμα (στον R n ), μία
Διαβάστε περισσότεραΣυνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )
Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ
ΤΟ ΘΕΜΑ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑ 1 Ο Α1. Έστω η συνάρτηση f ( x,,1. Nα αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο. v v 1 και ισχύει : x vx A2. Να διατυπώσετε και να ερμηνεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημα Bolzano.
Διαβάστε περισσότεραL 2 -σύγκλιση σειρών Fourier
Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό
Διαβάστε περισσότεραΜηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:
1 ΟΡΙΜΟΙ MONOTONIA AKΡOTATA Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ κεγίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό κέγηζην.
Διαβάστε περισσότεραΜε εφαρμογή στην Ρ. Μπόρης
Ρ. Μπόρης - - - - - 3 - ΠΡΟΛΟΓΟΣ Θα εξετάσουμε την συμπεριφορά ακολουθιών (a ) που ορίζονται μέσω μιας a = f(a ), a ÎR, Î N* όπου f συνεχής πραγματική σχέσης της μορφής + συνάρτηση, πραγματικής μεταβλητής
Διαβάστε περισσότεραΑριθµητική Ανάλυση. Ενότητα 2 Αριθµητική Επίλυση µη Γραµµικών Εξισώσεων. Ν. Μ. Μισυρλής. Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών,
Αριθµητική Ανάλυση Ενότητα 2 Αριθµητική Επίλυση µη Γραµµικών Εξισώσεων Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αριθµητική Ανάλυση - Ενότητα 2 1 / 115 ΕΝΟΤΗΤΑ 2
Διαβάστε περισσότεραΣξ επάγγελμα ασςό μξσ αοέρει επειδή αγαπάω ςα ασςξκίμηςα και πιρςεύω όςι έυω ςιπ ικαμόςηςεπ μα ςξ κάμω. ΜΠΕΡΝΑΝΣΟ ΠΡΟΙ ΝΟΣΗ ΠΑΠΑΠΤΡΟΠΟΤΛΟ Β4
Σξ επάγγελμα ασςό μξσ αοέρει επειδή αγαπάω ςα ασςξκίμηςα και πιρςεύω όςι έυω ςιπ ικαμόςηςεπ μα ςξ κάμω. ΜΠΕΡΝΑΝΣΟ ΠΡΟΙ ΝΟΣΗ ΠΑΠΑΠΤΡΟΠΟΤΛΟ Β4 Porsche 911 του 85 Mercedes benz του 75 Απαιτούμενη Εκπαίδευση:
Διαβάστε περισσότεραΘέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,
Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 5 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 4 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:
Διαβάστε περισσότεραΑπειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο Λύσεις ένατου φυλλαδίου ασκήσεων.
Απειροστικός Λογισμός Ι, χειμερινό εξάμηνο 018-19. Λύσεις ένατου φυλλαδίου ασκήσεων. 1. Έστω a < b. Αποδείξτε ότι υπάρχει ξ ώστε (i) a < ξ < b και e b e a = (b a)e ξ. (ii) a < ξ < b και cos b cos a = (e
Διαβάστε περισσότερα+ 1 n 5 (η) {( 1) n + 1 m
Κεφάλαιο Τοπολογία του. Στοιχεία Θεωρίας Ορισµός Αν α και ɛ > ονοµάζουµε ɛ-περιοχή του α ή περιοχή κέντρου α και ακτίνας ɛ και συµβολίζουµε N α (ɛ) το σύνολο όλων των αριθµών που έχουν απόσταση από το
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Μαθηματικών 2
Σημειώσεις Μαθηματικών 2 Συναρτήσεις - 3 Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Συνέχεια Συναρτήσεων 3.1 Όρισμός Συνεχούς Συνάρτησης Ορισμός Μια συνάρτηση f ονομάζεται συνεχής στο x 0 Df αν υπάρχει το πραγματικός
Διαβάστε περισσότερα