VVR,EF Zagreb. November 24, 2009

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "VVR,EF Zagreb. November 24, 2009"

Transcript

1 November 24, 2009

2 Homogena funkcija Parcijalna elastičnost Eulerov teorem Druge parcijalne derivacije Interpretacija Lagrangeovog množitelja

3 Ako je (x, y) R 2 uredjeni par realnih brojeva, onda je s (x, y) x + y definirana funkcija dviju varijabli, zbrajanje. Pišemo z = f (x, y) = x + y. Analogno, ako je (x, y, z) R 3 uredjena trojka realnih brojeva, onda je s (x, y, z) x + y + z definirana funkcija triju varijabli. Pišemo u = f (x, y, z) = x + y + z.

4 Zbrajanje nije jedina funkcija i mi općenito uredjenoj n-torki realnih brojeva, tj. za (x 1,..., x n ) R n definiramo funkciju n varijabli (x 1,..., x n ) f (x 1,..., x n ) i zovemo funkcija n realnih varijabli. Ako je f (x 1,..., x n ) R zovemo je realna funkcija od n realnih varijabli. Pišemo f : Ω R, Ω R n. Ako je funkcija f zadana formulom (izrazom), D(f ) je prirodno područje definicije za koje formula y = f (x) = f (x 1,..., x n )

5 ima smisla. Outline

6 Ako je na primjer zadana funkcija f formulom f (x, y) = 4 x 2 y 2 i f : D(f ) R, D(f ) R 2, onda je prirodno područje definicije D(f ) = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 4} zatvoreni krug.

7 Graf funkcije Sa f (x, y) = x 2 + y 2 definirana je funkcija dviju varijabli, gdje je D(f ) = R 2. U pravokutnom koordinatnom sustavu promatramo skup G = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) D(f )} i nazivamo ga graf funkcije f. Graf G predstavlja plohu u prostoru R 3. Graf funkcije f (x, y) = x 2 + y 2 je... Općenito, graf funkcije od n varijabli je skup G = {(x 1,..., x n, f (x)) : x D(f )}.

8 Homogena funkcija Funkcija f je homogena stupnja homogenosti α ako vrijedi f (λx 1,..., λx n ) = λ α f (x 1,..., x n ). Ako je α = 1 funkcija se zove linearno homogena. To znači slijedeće: za λ = 1.01 imamo f (1.01x 1,..., 1.01x n ) = 1.01f (x 1,..., x n ) odnosno, ako se svaka varijabla poveća za 1% funkcija ć e se povećati za 1%. Ako je stupanj homogenosti α = 2 i λ = 1.01 imamo f (1.01x 1,..., 1.01x n ) = f (x 1,..., x n ) = f (x 1,..., x n ) odnosno, ako se svaka varijabla poveća za 1% funkcija će se povećati za 2.01%.

9 Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Razina (količina) proizvodnje Q ovisi faktorima proizvodnje, L razina uloženog rada i C razina uloženog kapitala. Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje je gdje je 0 < α < 1 i 0 < β < 1. Ako je α + β = 1 imamo Q(L, C) = AL α C β Q(L, C) = AL α C 1 α.

10 Primjer: Poznata je Coob-Douglasova funkcija proizvodnje 1. Q(L, C) = 1.7L 0.6 C Q(L, C) = 1.7L 0.6 C 0.2 gdje je Q oznaka za razinu (količinu) proizvodnje, L razina uloženog rada i C razina uloženog kapitala. Za koliko će se promijeniti ukupna proizvodnja ako se L I C povećaju za 6%? 1. α = 1 λ α = 1.06, pa ako L 6%, C 6% onda Q 6%. 2. α = 0.8 λ α = = , pa ako L 6%, C 6% onda Q 4.79%.

11 Parcijalne derivacije Prvo promatramo parcijalne derivacije funkcije dviju varijabli. Neka je Ω R 2 otvoren skup i f : Ω R tj. f = f (x, y). Za svaku točku P 0 = (x 0, y 0 ) Ω imamo dvije funkcije (1) (x, y 0 ) Ω, x f (x, y 0 ) je funkcija jedne varijable, a ta je varijabla x, (2) (x 0, y) Ω, y f (x 0, y) je funkcija jedne varijable, a ta je varijabla y.

12 Sada teoriju koju smo razvili za funkciju jedne varijable primjenimo na proučavanje funkcije dviju varijabli. Medjutim, ako su funkcije (1) i (2) neprekidne, ne znači da je neprekidna funkcija z = f (x, y). Ako je funkcija x f (x, y 0 ) diferencijabilna za x = x 0, tj. postoji f (x, y 0 ) f (x 0, y 0 ) lim = x x 0 x x 0 f (x 0 + x, y 0 ) f (x 0, y 0 ) = lim x 0 x kažemo da funkcija f ima parcijalnu derivaciju po x u točki (x 0, y 0 ) i označavamo f x (x 0, y 0 ) = f x (P 0)

13 ili Outline f x (x 0, y 0 ) = f x (P 0 ).

14 Analogno, ako fiksiramo varijablu x, tj. x = x 0 i promatramo funkciju jedne varijable, y, odnosno y f (x 0, y) i ta je funkcija diferencijabilna za y = y 0, tj. postoji f (x 0, y) f (x 0, y 0 ) lim = y y 0 y y 0 f (x 0, y 0 + y) f (x 0, y 0 ) = lim y 0 y kažemo da funkcija f ima parcijalnu derivaciju po y u točki (x 0, y 0 ) i označavamo f y (x 0, y 0 ) = f y (P 0)

15 ili Outline f y (x 0, y 0 ) = f y (P 0 ).

16 Primjeri: 1. Za funkciju f (x, y) = ax 2 + 2bxy + cy 2 parcijalne derivacije su f x = 2ax + 2by i f y = 2bx + 2cy.

17 2.Funkcija Outline ima prirodno područje definicije Njene parcijalne derivacije su f (x, y) = ln 1 x 2 y 2 D(f ) = {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 < 1}. x f x = 1 x 2 y 2 i y f y = 1 x 2 y 2.

18 Pogledajmo geometrijsku interpretaciju danih parcijalnih derivacija. Označimo z 0 = f (x 0, y 0 ). Parcijalna derivacija po x u točki P 0 = (x 0, y 0 ) je koeficijent smjera (nagib) tangente kroz točku T 0 = (x 0, y 0, z 0 ) na krivulju u kojoj ravnina y = y 0 sijeće graf Jednadžba te tangente je G = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) Ω}. y = y 0, z z 0 = f x (x 0, y 0 ) (x x 0 ) ili y = y 0, z z 0 = f x (P 0 ) (x x 0 )

19 Analogno, parcijalna derivacija po x u točki P 0 = (x 0, y 0 ) je koeficijent smjera tangente kroz točku T 0 = (x 0, y 0, z 0 ) na krivulju u kojoj ravnina x = x 0 sijeće graf Jednadžba te tangente je G = {(x, y, f (x, y)) : (x, y) Ω}. x = x 0, z z 0 = f y (x 0, y 0 ) (y y 0 ) ili x = x 0, z z 0 = f y (P 0 ) (y y 0 )

20 Primjer: Ako je dana funkcija f (x, y) = x 2 + y 2 i točka P 0 = (1, 1), onda je Radi z 0 = f (x 0, y 0 ) = f (1, 1) = 2 f x = 2x, f x (1, 1) = 2 jednadžba tangente krivulje koja je na presjeku ravnine y = 1 i grafa G = {(x, y, x 2 + y 2 )) : (x, y) R 2 } ili na G 1 = {(x, 1, x 2 + 1) : x R} je ili y = 1, z 2 = 2(x 1) y = 1, z = 2x.

21 Takodjer Outline f y = 2y, f y (1, 1) = 2 jednadžba tangente krivulje koja je na presjeku ravnine x = 1 i grafa G = {(x, y, x 2 + y 2 )) : (x, y) R 2 } ili na G 2 = {(1, y, y 2 + 1) : y R} je ili x = 1, z 2 = 2(y 1) x = 1, z = 2y.

22 Za funkciju Outline y = f (x 1,..., x i,..., x n ) n varijabli kažemo da ima parcijalnu derivaciju po x i, (i = 1,..., n) u x = (x 1,..., x i,..., x n ) ako postoji f (x 1,..., x i + x i, x n ) f (x 1,..., x i,..., x n ) lim. x i 0 x i Označavamo je ili f x i (x) f xi (x)

23 ili Outline f i (x), (i = 1,..., n).

24 Parcijalna elastičnost Imamo funkciju potražnje q za nekom robom, gdje je q razina potražnje za promatranom robom. Ona ovisi o cijeni p 1 te robe cijeni p 2,..., p n drugih roba koje imaju utjecaj na potražnju promatrane robe dohotku k potrošača vremenu t. Dakle q = q(p 1, p 2,..., p n, k, t).

25 Zanima nas: kako na relativnu promjenu samo jedne od varijabli reagira potražnja? Mjera reagiranja potražnje dana je koeficijentima elastičnosti. Koeficijent elastičnosti potražnje promatrane robe u odnosu na cijenu te robe E q,p1 = p 1 q q p 1. Koeficijent elastičnosti potražnje promatrane robe u odnosu na cijenu neke druge robe ili koeficijent križne elastičnosti E q,pi = p i q q p i, i = 2, 3,..., n.

26 Koeficijent dohodovne elastičnosti E q,k = k q q k. Koeficijent elastičnosti potražnje prema tijeku vremena E q,t = t q q t.

27 Primjer 1: Funkcija potražnje za nekom robom je gdje je q(p 1, p 2 ) = p e 0.5p p 1 cijena te robe1. p 2 cijena neke druge robe2. Izračunajte koeficijente parcijalne i križne elastičnosti na razini cijena p 1 = 10, p 2 = 4. E q,p1 = 0.5 ako na razini p 1 = 10, p 2 = 4 cijena robe1. raste za 1% a cijena robe2.se ne mijenja, tj. na razini cijena p 1 = 10.1, p 2 = 4 potražnja za robom1. pada približno za 0.5%. E q,p2 = 0.5p 2 ako na razini p 1 = 10, p 2 = 4 cijena robe2. raste za 1% a cijena robe1.se ne mijenja, tj. na razini cijena p 1 = 10, p 2 = 4.04 potražnja za robom1. raste približno za 2% roba1 i roba2 su dobri supstituti.

28 Primjer2: Poznata je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Q(L, C) = 2.1L 0.7 C 0.3. Izračunajte koeficijente parcijalne elastičnosti. E Q,L = 0.7 tj. ako L 1%, C se ne mijenja, Q približno za 0.7%. E Q,C = 0.3 tj. ako C 1%, L se ne mijenja, Q približno za 0.3%.

29 Ako je Outline y = f (x 1,..., x n ) koeficijent parcijalne elastičnosti je E y,xi = x i y y x i = x i y y x i, i = 1,..., n.

30 Eulerov teorem: Ako je y = f (x 1,..., x n ) homogena funkcija stupnja homogenosti α i ima sve parcijalne derivacije f xi, (i = 1,..., n), onda vrijedi E y,x1 + + E y,xn = α. Primjer: Poznata je Cobb-Douglasova funkcija proizvodnje Q(L, C) = 2.1L 0.7 C 0.3. Ova funkcija je homogena stupnja homogenosti α = 1 pa je E Q,L + E Q,C = 1.

31 Neka je z = f (x, y) funkcija f : Ω R, Ω R 2 i neka je klase C 1 (Ω). Promatramo ravninu u kojoj leže pravci y = y 0, z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) i x = x 0, z z 0 = f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). Eksplicitni oblik jednadžbe ravnine je z = ax + by + c. Kako tražena ravnina prolazi kroz točku T 0 = (x 0, y 0, z 0 ) vrijedi z 0 = ax 0 + by 0 + c pa je z z 0 = a(x x 0 ) + b(y y 0 ).

32 Za y = y 0 imamo a = f x (x 0, y 0 ). Za x = x 0 imamo b = f y (x 0, y 0 ). Jednadžba te ravnine je sada ili z z 0 = f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) z = f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) i uz pretpostavku da je f C 1 (Ω) ovu ravninu zovemo tangencijalna ravnina plohe ili grafa G kroz točku T 0 = (x 0, y 0, z 0 ). Uz oznaku P 0 = (x 0, y 0 ) jednadžbu tangencijalne ravnine pišemo z = f (P 0 ) + f x (P 0 )(x x 0 ) + f y (P 0 )(y y 0 ).

33 Ovdje kontrolom samo dva smjera promjene funkcije f iz točke (x 0, y 0 ) u točku (x 0 + x, y 0 ) ili u točku (x 0, y 0 + y) kontroliramo i preostale smjerove (x 0 + x, y 0 + y) = (x, y). Sada je f (x, y) f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) ili f (P) f (P 0 ) + f x (P 0 )(x x 0 ) + f y (P 0 )(y y 0 )

34 ako je točka P = (x, y) blizu točke P 0 = (x 0, y 0 ), tj. ako je ρ = (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 = d(p, P 0 ) malo. Označimo prirast funkcije s f = f (x 0, y 0 ) = f (x, y) f (x 0, y 0 ) = f (P) f (P 0 ). Ako je f C 1 (Ω) u izrazu f x (x 0, y 0 )(x x 0 )+f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) = f x (P 0 )(x x 0 )+f y (P 0 )(y y 0 ) uvodimo oznake dx = x x 0 i dy = y y 0 i zovemo ga potpuni ili totalni diferencijal funkcije dviju varijabli u točki P 0 = (x 0, y 0 ) i označavamo ga s df = df (x 0, y 0 ) = df (P 0 ) pa je df = df (x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 )dx + f y (x 0, y 0 )dy

35 ili Dakle Outline df = df (P 0 ) = f x (P 0 )dx + f y (P 0 )dy. df f. Diferencijal df zovemo još potpuni diferencijal prvog reda.

36 Primjer: Ako je f (x, y) = 3x 2 + xy y 2 + 1, odredite približnu vrijednost funkcije f u točki P = (x, y) = (1.1, 2.2) pomoću točke P 0 = (x 0, y 0 ) = (1, 2). Kako je f x = 6x + y, f x (1, 2) = 8 i f y = x 2y, f y (1, 2) = 3 imamo jednadžbu tangencijalne ravnine u točki (1, 2) z = 2 + 8(x 1) 3(y 2).

37 Sada je vrijednost funkcije f u točki (1.1, 2.2) približno jednaka vrijednosti funkcije z u točki (1.1, 2.2), tj. f (1.1, 2.2) = Primjetimo da je f (1.1, 2.2) = 2.21.

38 Primjer: Izračunajte približno Ako uzmemo te imamo df = f x dx + f y dy = x 0 = 1, x = 0.02, y 0 = 2, y = 0.03, f (x, y) = x 3 + y 3 3x 2 2 x 3 + y 3 dx + 3y 2 2 x 3 + y 3 dy. Sada je f (1, 2) + f x (1, 2)dx + f y (1, 2)dy = = = 2.95.

39 Druge parcijalne derivacije Ako funkcija f : Ω R, Ω R 2 ima obje parcijalne derivacije f x i f y na Ω, time su definirane dvije nove funkcije i možemo promatrati njihove parcijalne derivacije f xx, f xy, f yx, f yy. Schwartzov teorem: Ako je funkcija f C 2 (Ω), onda su mješovite parcijalne derivacije drugog reda jednake, odnosno f xy = f yx.

40 Matricu Outline [ fxx f H = xy f yx f yy ] zovemo Hesseova matrica. Zbog f C 2 (Ω) imamo f xy = f yx pa je [ ] fxx f H = xy f xy f yy

41 se definira na konveksnom skupu i predstavlja jednu od osnovnih i najvažnijih funkcija primjenjene matematike. Skup Ω R n je konveksan ako pravocrtna spojnica bilo koje dvije točke skupa Ω leži u skupu, tj ako za svako x 1 x 2, x 1, x 2 Ω i svako α [0, 1] (1 α)x 1 + αx 2 Ω. Definicija: Funkcija f : Ω R, Ω R n konveksan skup, je konveksna ako za svako x 1 x 2, x 1, x 2 Ω i svako α [0, 1] f ((1 α)x 1 + αx 2 ) (1 α)f (x 1 ) + αf (x 2 ). Drugim riječima, pravocrtna spojnica bilo koje dvije točke grafa G funkcije f je iznad grafa ili na grafu.

42 Takodjer vrijedi Teorem: Neka su f i g konveksne funkcije na konveksnom skupu Ω onda je i njihov zbroj h = f + g konveksna funkcija na Ω. Takodjer funkcija h = kf, gdje je k > 0 konstanta, je konveksna. Funkcija f definirana na konveksnom skupu Ω je konkavna ako je funkcija f na njemu konveksna. Kako je po definicije općenito teško provjeriti da li je funkcija konveksna ili nije, prelaz na diferencijabilne funkcije omogućava, u nekim slučajevima, jednostavniju karakterizaciju.

43 Funkcija f je konveksna na konveksnom skupu Ω ako je tangencijalna ravnina u svakoj točki grafa te funkcije na grafu ili ispod grafa. Ako je f C 2 (Ω), Ω R 2 konveksan, otvoren skup i f xx > 0, det H = f xx f yy f 2 xy > 0 onda je funkcija f konveksna na Ω.

44 Funkcija je konveksna jer je te det H = 4. Outline f (x, y) = x 2 + y 2 f x = 2x, f y = 2y f xx = 2 > 0, f xy = 0, f yy = 2

45 Funkcija je konveksna jer je te det H = e x e y > 0. Outline f (x, y) = e x + e y f x = e x, f y = e y f xx = e x > 0, f xy = 0, f yy = e y

46 Funkcija je konveksna jer je Outline f (x, y) = x 2 + 4xy + 5y 2 f x = 2x + 4y, f y = 4x + 10y f xx = 2 > 0, f xy = 4, f yy = 10 i H = [ ], det H = = 4 > 0.

47 Konkavna funkcija Funkcija f je konkavna ako je f xx < 0 det H = f xx f yy f 2 xy > 0. Primjer: Funkcija f (x, y) = ln x + ln y je konkavna jer je f xx = 1 x 2 < 0 det H = 1 x 2 y 2 > 0.

48 funkcije dviju varijabli Za funkciju f : Ω R, Ω R 2, δ okolina oko točke (x, y ) je otvoreni krug O(δ) = {(x, y) : (x x ) 2 + (y y ) 2 < δ}. Ako je (x, y ) Ω i vrijedi f (x, y ) f (x, y), (x, y) Ω onda je (x, y ) globalni maksimum funkcije f na Ω. Ako je (x, y ) Ω i vrijedi f (x, y ) f (x, y), (x, y) Ω onda je (x, y ) globalni minimum funkcije f na Ω. Jedno ime za globalni maksimum i globalni minimum je globalni ekstrem.

49 Ako je (x, y ) Ω te postoji okolina O(δ) oko (x, y ) takva da vrijedi f (x, y ) f (x, y), (x, y) Ω O(δ) onda je (x, y ) lokalni maksimum funkcije f na Ω. Ako je (x, y ) Ω te postoji okolina O(δ) takva da vrijedi f (x, y ) f (x, y), (x, y) Ω O(δ) onda je (x, y ) lokalni minimum funkcije f na Ω. Jedno ime za lokalni maksimum i lokalni minimum je lokalni ekstrem.

50 Teorem: Ako je f C 1 (Ω) i (x, y ) Ω lokalni ekstrem, onda je Primjedba: f x (x, y ) = 0, f y (x, y ) = 0. (x, y ) Ω sa svojstvom f x (x, y ) = 0, f y (x, y ) = 0 zove se stacionarna točka. Stacionarna točka je kandidat za ekstrem. Uvjet izrečen u teoremu je nužan (potreban) za postojanje ekstrema.

51 Teorem: Neka je f C 1 (Ω) i (x, y ) Ω stacionarna točka, tj. f x (x, y ) = 0, f y (x, y ) = Ako je f konveksna funkcija na Ω, onda je (x, y ) globalni minimum na Ω. 2. Ako je f konkavna funkcija na Ω, onda je (x, y ) globalni maksimum na Ω.

52 Primjeri: Da li funkcije 1. f (x, y) = x 2 + xy + y 2 + x y f (x, y) = 2xy 3x 2 2y f (x, y) = 4(x y) x 2 y 2 4. f (x, y) = e x + e y imaju globalne ekstreme?

53 Teorem: Neka je f C 2 (Ω) i (x, y ) Ω stacionarna točka, tj. f x (x, y ) = 0, f y (x, y ) = Ako je f xx (x, y ) > 0 i det H(x, y ) = f xx (x, y )f yy (x, y ) f xy (x, y ) 2 > 0, onda je (x, y ) lokalni minimum. 2. Ako je f xx (x, y ) < 0 i det H(x, y ) = f xx (x, y )f yy (x, y ) f xy (x, y ) 2 > 0, onda je (x, y ) lokalni maksimum. Primjedba: Ako je Ako je det H(x, y ) = 0, potrebna su daljnja ispitivanja. Ako je det H(x, y ) < 0, funkcija nema ekstrema.

54 Primjeri: 1. Odredite ekstreme funkcije f (x, y) = x 3 + y 3 3xy. Stacionarne točke su (0, 0) i (1, 1). Lokalni minimum je (1, 1) i f (1, 1) = Da li je (5, 6) lokalni minimum funkcije f (x, y) = x 3 + y 2 6xy 39x + 18y + 20? Daaaa...

55 Problem kojim se bavimo je iznalaženje lokalnog ekstrema funkcije f dviju varijabli uz ograničenje u obliku jednadžbe g(x, y) = 0. Metode Metoda supstitucije Metoda Lagrangeovih množitelja

56 Metoda supstitucije Ograničenje g(x, y) = 0 je implicitno zadana funkcija y = y(x) ili x = x(y). Ako je barem jednu od ove dvije funkcije moguće izraziti eksplicitno, tj y = y(x) ili x = x(y), onda koristimo metodu supstitucije na slijedeći način. Ako je y = y(x), formiramo funkciju F jedne varijable x i imamo i njoj odredimo ekstreme. F (x) = f (x, y(x))

57 Primjer: Funkciji f (x, y) = x 2 + y 2 treba naći lokalne ekstreme na skupu rješenja jednadžbe x + y 2 = 0. Rješenje: Za x = 1, y = 1 funkcija f dostiže najmanju vrijednost f (1, 1) = 2.

58 Metoda Lagrangeovih množitelja Formiramo Lagrangeovu funkciju L(x, y; λ) = f (x, y) + λg(x, y). Lagrangeova funkcija je funkcija od tri varijable. Uvedena varijabla λ je Lagrangeov množitelj. Stacionarna točka Lagrangeove funkcije je kandidat za optimum.

59 Stacionarna točka Lagrangeove funkcije 1. Odredimo parcijalne derivacije Lagrangeove funkcije L x, L y i L λ. 2. Riješimo sustav jednadžbi L x = 0, L y = 0 i L λ = Ako ovaj sustav ima rješenje (x, y, λ ), onda je (x, y, λ ) stacionarna točka. 2.2 Ako ovaj sustav nema rješenje, problem nema optimum. 3. Postojanje stacionarne točke je nužan (potreban) uvjet za postojanje optimuma.

60 Dovoljan uvjet Formiramo Hesseovu matricu Lagrangeove funkcije H = L xx L xy L xλ L yx L yy L yλ L λx L λy L λλ. 1. Ako je det H(x, y, λ ) > 0, onda je (x, y ) lokalni maksimum i f (x, y ) je vrijednost funkcije. 2. Ako je det H(x, y, λ ) < 0, onda je (x, y ) lokalni minimum i f (x, y ) je vrijednost funkcije.

61 Primjer: Treba odrediti ekstreme funkcije f (x, y) = x + y uz ograničenje x 2 + y 2 = 2. Rješenje: Dvije su stacionarne točke 1. (x, y, λ ) = (1, 1, 0.5) 2. (x, y, λ ) = ( 1, 1, 0.5) 1. (1, 1) je lokalni maksimum i f (1, 1) = ( 1, 1) je lokalni minimum i f ( 1, 1) = 2.

62 Interpretacija Lagrangeovog množitelja Primjer: Riješimo problem uz ograničenje max xy x + y = 2. Dobivamo (x, y, λ ) = (1, 1, 0.5) i f = f (x, y ) = f (1, 1) = 1. Ako je f (x, y) korist od dodijele dvije jedinice novčanih jedinica na dvije aktivnosti te se prvoj aktivnosti dodijeli jedna novčana jedinica (x = 1), drugoj, (y = 1), jedna novčana jedinica, dostiže se najveća korist f = 1.

63 Graf funkcije xy = 1 je krivulja konveksna (prema ishodištu) i svaka točka te krivulje opisuje jednu raspodjelu na aktivnosti pri kojoj je korist od raspodjele jednaka jedan. Raspodjela ograničenog budžeta je uvjet x + y = 2 i graf ove funkcije je pravac koji je tangenta krivulje xy = 1 u točki (1, 1).

64 Pri povećanju budžeta za jednu jedinicu, tj. ograničenje je x + y = 3 pa imamo novi problem uz ograničenje max xy x + y = 3. Ovaj problem ima novo optimalno rješenje i novu optimalnu vrijednost funkcije koristi koja je približno jednaka f λ, tj. f λ =

65 Optimalna vrijednost Lagrangeovog množitelja je λ = 0.5 a λ = 0.5 zovemo cijena u sjeni dualna cijena obračunska cijena. Približna promjena optimalne vrijednosti funkcije cilja (koristi) pri povećanju resursa za jedinicu je λ. λ je oportunitetni trošak, jer trošak dodatne jedinice resursa usporedjujemo s koristi dobivenom od tog povećanja, tj. da li se povećanje isplati ili ne.

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI Homogene funkcije, homogenost Parcijalne derivacije Totalni diferencijal

3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI Homogene funkcije, homogenost Parcijalne derivacije Totalni diferencijal Sadržaj 3 FUNKCIJE VIŠE VARIJABLI 34 3. Homogene funkcije, homogenost................. 34 3.2 Parcijalne derivacije........................ 38 3.3 Totalni diferencijal........................ 40 3.4 Koeficijenti

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun

Diferencijalni račun ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable

1 DIFERENCIJALNI RAČUN Granična vrijednost i neprekidnost funkcije Derivacija realne funkcije jedne varijable Sadržaj 1 DIFERENCIJALNI RAČUN 3 1.1 Granična vrijednost i neprekidnost funkcije........... 3 1.2 Derivacija realne funkcije jedne varijable............ 4 1.2.1 Pravila deriviranja....................

Διαβάστε περισσότερα

5. PARCIJALNE DERIVACIJE

5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1

Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1 2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije

2 REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE Elementarne funkcije Primjeri ekonomskih funkcija Limes funkcije Sadržaj REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE VARIJABLE 7. Elementarne funkcije....................... 7. Primjeri ekonomskih funkcija.................. 78.3 Limes funkcije........................... 8.4 Neprekidnost

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu,

Διαβάστε περισσότερα

Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije

Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo Derivacije višeg reda Derivacija

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli

Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli Franka Miriam Brückler f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. Dakle, za svaki par (x, y) u domeni

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI)

FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI (ZADACI) Rozarija Jak²i 5. travnja 03. UVOD U FUNKCIJE DVIJU VARIJABLI.. Domena funkcija dviju varijabli Jedno od osnovnih pitanja koje se moºe postaviti za realnu funkciju dvije

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 2

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 2 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 2 Ivica Gusić Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Lekcije iz Matematike 2. 7. Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija.

Διαβάστε περισσότερα

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim. 1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni teoremi diferencijalnog računa

Osnovni teoremi diferencijalnog računa Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Preddiplomski studij matematike Tena Pavić Osnovni teoremi diferencijalnog računa Završni rad Osijek, 2009. Sveučilište J.J. Strossmayera u Osijeku

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Lokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla

Lokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 9 Lokalni ekstremi funkcije više varijabla Poglavlje 1 Lokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla Denicija 1.0.1 Za funkciju f dviju varijabli

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011.

MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011. MATEMATIKA 2 š.g. 2010./2011. Matematika 2 1. Funkcije više varijabli 2. Višestruki integral 3. Vektorska Analiza 4. Obi cne diferencijalne jednadbe MATEMATIKA 2 1 Literatura: Petar Javor, Matematicka

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x

x + t x 2 x t x 2 t x = + x + = + x + = t 2. 3 y y [x množi cijelu zagradu] y y 2 x [na lijevu stranu prebacimo nepoznanicu y] [izlučimo 3 y ] x x x Zadatak 00 (Sanja, gimnazija) Odredi realnu funkciju f() ako je f ( ) = Rješenje 00 Uvedemo supstituciju (zamjenu varijabli) = t Kvadriramo: t t t = = = = t Uvrstimo novu varijablu u funkciju: f(t) = t

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Ekstremi funkcije jedne varijable

Ekstremi funkcije jedne varijable maksimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) < f(x 0 ) (1) za po volji male vrijednosti h minimum funkcije y = f(x) je vrijednost f(x 0 ) za koju vrijedi f(x 0 + h) > f(x

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije više varijabli

Funkcije više varijabli VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 7 Pojam funkcije dviju varijabla, grafa i parcijalnih derivacija Poglavlje 1 Funkcije više varijabli 1.1 Domena Jedno od osnovnih pitanja

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016. Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA

9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA 9. PREGLED ELEMENTARNIH FUNKCIJA Pod elementarnim funkcijama najčešće ćemo podrazumijevati realne funkcije realne varijable Detaljnije ćemo u Matematici II analizirati funkcije koje se najčešće koriste

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA

5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA 5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta,

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI

Sadrˇzaj. Sadrˇzaj 1 9 DVODIMENZIONALNI SLUČAJNI VEKTOR DISKRETNI DVODIMENZIONALNI Sadrˇzaj Sadrˇzaj DVODIMENZIONALNI. DISKRETNI DVODIMENZIONALNI............................ KONTINUIRANI -dim tko želi znati više.............................. 5. KOVARIJANCA, KORELACIJA, PRAVCI REGRESIJE........

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj

Matematika 1. kolokviji. Sadržaj Matematika kolokviji Sadržaj. kolokvij, 2..2004.............................................. 2. kolokvij, 2..2004.............................................. 3 2. kolokvij, 7.2.2004..............................................

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE

DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE 9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler

Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku.

x M kazemo da je slijed ogranicen. Weierstrass-Bolzano-v teorem tvrdi da svaki ograniceni slijed ima barem jednu granicnu tocku. 1. FUNKCIJE, LIMES, NEPREKINUTOST 1.1 Brojevi - slijed, interval, limes Slijed realnih brojeva je postava brojeva na primjer u obliku 1,,3..., nn, + 1... koji na realnoj osi imaju oznaceno mjesto odgovarajucom

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA /2012.

MATEMATIKA /2012. MATEMATIKA 2 2011./2012. 1 MATEMATIKA 2 1 MATEMATIKA 2 2 MATEMATIKA 2 3 MATEMATIKA 2 4 2 ρ O 0 1 ϕ T=(ϕ,ρ) MATEMATIKA 2 5 MATEMATIKA 2 6 z z T'' 1 O ϕ ρ T=(ϕ,ρ,z) T'=(ϕ,ρ) Π z z z0 T'' 0 z0=z0 ravnina

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

1. Topologija na euklidskom prostoru R n 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a

Zadatak 081 (Nina, gimnazija) Tada je: 2 f x = a x + b x + c ima ekstrem čija vrijednost. 4 a c. 4 a c b. 2 a Zadatak 8 (Nina, gimnazija) Skup svih vrijednosti funkcije f() = + c jest interval, 3 ]. Tada je: Rješenje 8 A. c = B. c = C. c = 3 D. c = 4 Polinom drugog stupnja (kvadratna funkcija) iznosi f = a + b

Διαβάστε περισσότερα

8 Tangencijalna ravnina plohe

8 Tangencijalna ravnina plohe 8 Tangencijalna ravnina plohe Sferu kao plohu pokrili smo sa šest, odnosno sa dvije karte u Primjeru 2. Dakle, općenito, neka točka sfere ležat će u slikama od više karata. Proučimo stoga što se dogada

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNO PROGRAMIRANJE

KONVEKSNO PROGRAMIRANJE KONVEKSNO PROGRAMIRANJE 1 Sadržaj Konveksni skupovi Konveksne funkcije Optimalnost Dualnost Neke metode u (KP) Rješenja Osnovni pojmovi Simboli Uvod Neka je f realna funkcija sa domenom D(f) R n, i neka

Διαβάστε περισσότερα

Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole

Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole Parabola Definicija parabole Parabola u koordinatnom sustavu Parabola i pravac Uvjet dodira pravca i parabole Jednadžba tangente u točki parabole 5. 1. Definicija parabole...............................

Διαβάστε περισσότερα

3 Populacija i uzorak

3 Populacija i uzorak 3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE J. J. STROSSMAYERA U OSIJEKU Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Zrinka Bertić GREENOV TEOREM I PRIMJENE

SVEUČILIŠTE J. J. STROSSMAYERA U OSIJEKU Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike. Zrinka Bertić GREENOV TEOREM I PRIMJENE SEUČILIŠTE J. J. STROSSMAYERA U OSIJEKU Odjel za matematiku Sveučilišni preddiplomski studij matematike Zrinka Bertić GREENO TEOREM I PRIMJENE Završni rad Osijek, godina 2012. SEUČILIŠTE J. J. STROSSMAYERA

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

( pol funkcije), horizontalna ili kosa.

( pol funkcije), horizontalna ili kosa. 4. ANALIZA TOKA FUNKCIJE, EKSTREMI 4. Opci pojmovi Nultocke funkcije - su tocke u kojima je funkcija jednak nula. Za razlomljenu racionalnu funkciju, je kada je brojnik nula. Polovi funkcije - su tocke

Διαβάστε περισσότερα

3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E

3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E . Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje

Διαβάστε περισσότερα

6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE

6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE Matematika 6. REALNE FUNKCIJE POJAM FUNKCIJE U nekom algebarskom, geometrijskom ili izikalnom zadatku mogu se pojaviti dvije vrste veličina; veličine koje imaju uvijek istu vrijednost i veličine koje mogu

Διαβάστε περισσότερα

1. Vektorske i skalarne funkcije

1. Vektorske i skalarne funkcije VEKTORSKE I SKALARNE FUNKCIJE 1 1. Vektorske i skalarne funkcije 1.1. Što su to skalarne i vektorske funkcije? Ako svakoj točki u nekom dijelu prostora pridružimo broj, ili drugim riječima skalar zadali

Διαβάστε περισσότερα