ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας,

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας,"

Transcript

1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Εισαγωγή Αυτό που στην εφαρμοσμένη γεωμετρία ονομάζουμε συχνά γραμμική προοπτική είναι ένα σύστημα αναπαράστασης του τρισδιάστατου χώρου σε επιφάνεια δύο διαστάσεων. Η μέθοδος αυτή απεικόνισης έχει πολλά κοινά με την εμπειρική προοπτική, τον τρόπο δηλαδή που οι άνθρωποι αντιλαμβανόμαστε το χώρο και τα αντικείμενα μέσα σ αυτόν. Στην πραγματικότητα, επειδή η προοπτική απεικόνιση βασίζεται στη στατική άποψη ενός σημείου οράσεως και σε γεωμετρικούς υπολογισμούς, επιτυγχάνει μια προσέγγιση μόνο του σύνθετου τρόπου της λειτουργίας της όρασης. Η προοπτική σαν επιστήμη σχετίζεται με την οπτική, δηλαδή τη μελέτη των νόμων της όρασης, επιστήμη που άρχισε και άνθισε στην αρχαία Ελλάδα και τη Ρώμη. Το προοπτικό σύστημα απεικόνισης όμως αναπτύχθηκε και οριστικοποιήθηκε στις αρχές του 15ου αιώνα, με τους πρωτοποριακούς πειραματισμούς του Filippo Brounelesci ( ) και του Leon Battista Alberti ( ). Ο τελευταίος ειδικά θεωρούσε την επιφάνεια προβολής της προοπτικής εικόνας σαν «ανοιχτό παράθυρο, μέσα από το οποίο βλέπουμε το ζωγραφικό θέμα». Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας, εικ. 1 Το τζάμι του καλλιτέχνη Ο Alberti και ο da Vinci αναφέρουν στα κείμενά τους ότι μπορεί κανείς «να ζωγραφίζει μια εικόνα υπό κλίμακα, σχεδιάζοντας το αντικείμενο σε τζάμι». Στην ξυλογραφία του Dürer το τζάμι βρίσκεται σε κορνίζα σε ειδικό τραπέζι, όπου είναι τοποθετημένο ένα μετακινούμενο στόχαστρο. Είναι ο πιο απλός τρόπος κατασκευής ενός προοπτικού εικ. 2 Η εφεύρεση του ντε Κέιζερ Ένα άλλο σύστημα κατασκευής προοπτικού, με τη χρήση μιας ειδικής ακίδας στην άκρη ενός νήματος, στερεωμένου στον τοίχο. ιατηρείται μ αυτό τον τρόπο σταθερή η οπτική γωνία του καλλιτέχνη. 93

2 που αργότερα έγινε διάσημος για το θόλο του καθεδρικού ναού της Φλωρεντίας. Αυτός όμως που ανακάλυψε και μελέτησε τη γεωμετρική βάση της γραμμικής προοπτικής ήταν ο L. B. Alberti, καλλιτέχνης, αρχιτέκτονας, αρχαιογνώστης και γενικά άνθρωπος του πνεύματος. εικ. 3 & 4 Ο κάναβος του Alberti Με τον κάναβο να εξελίσσεται από δισδιάστατο σε τρισδιάστατο, ο Alberti κατάφερε να κάνει τις πρώτες μετρήσεις στις προοπτικές εικόνες Βάσισε το σύστημά του στο ύψος του ανθρώπου, το οποίο όρισε να είναι τρεις πήχεις (περίπου 1,80). Καθόρισε απέναντί του μια κατακόρυφη επιφάνεια προβολής και χώρισε τη γραμμή του εδάφους, τη γραμμή δηλαδή τομής της επιφάνειας του πίνακα προβολής και του εδάφους, σε μέρη ανάλογα με τους πήχεις. Έπειτα όρισε ένα σημείο σύγκλισης στη μεσοκάθετο της γραμμής εδάφους και σε ύψος τριών πήχεων. Ένωσε τέλος κάθε τμήμα ενός πήχη με το σημείο φυγής. Σχηματίζεται τελικά ένας τρισδιάστατος προοπτικός κάναβος, μέσα στον οποίο μπορούν να απεικονιστούν προοπτικά τα σχήματα του χώρου (εικ. 3,4). Αργότερα και άλλοι σημαντικοί καλλιτέχνες ασχολήθηκαν με το θέμα και ανάμεσα σ αυτούς ο Albrecht Dürer και ο Leonardo da Vinci. Σύστημα προβολής εικ. 5 Ο κάναβος του σχεδιαστή Το κατακόρυφο πλαίσιο αποτελείται από μια κορνίζα διαιρεμένη σε τετράγωνα, με νήματα. Ο καλλιτέχνης χρησιμοποιεί ένα χαρτί σχεδίασης, επίσης διαιρεμένο σε τετράγωνα τμήματα, ίδια με του πλαισίου και παρατηρεί το μοντέλο του από ένα στόχαστρο. Η προβολή ενός αντικειμένου επάνω σε ένα επίπεδο από ένα συγκεκριμένο σημείο Ο (καθ υπόσταση), ονομάζεται κεντρική προβολή ή προοπτική εικόνα του αντικειμένου ή απλά προοπτικό (σχ. 6). 94

3 Το σημείο προβολής Ο, ονομάζεται κέντρο προβολής ή σημείο οράσεως ή οπτικό κέντρο. Η επιφάνεια προβολής, είναι συνήθως ένα κατακόρυφο επίπεδο το οποίο ονομάζεται πίνακας. Ο πίνακας τέμνει το οριζόντιο επίπεδο του εδάφους κατά μία ευθεία που, ονομάζεται βάση του πίνακα ή γραμμή του εδάφους (γε) (σχ. 7). Οι ευθείες που ξεκινούν από το κέντρο προβολής και προβάλλουν το αντικείμενο στο πίνακα, ονομάζονται οπτικές ακτίνες. σχ. 6 Το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο οράσεως Ο και είναι παράλληλο στο έδαφος, ονομάζεται επίπεδο του ορίζοντα (σχ. 8). Η τομή του με τον πίνακα προβολής είναι μία ευθεία παράλληλη προς την γραμμή εδάφους (γε), και την ονομάζουμε γραμμή του ορίζοντα (γο). Είναι προφανές ότι η απόσταση της γραμμής του εδάφους από την γραμμή του ορίζοντα, ισούται με το ύψος του παρατηρητή (σχ. 9). Συμβατικά το επίπεδο πίνακα προβολής ονομάζεται Π και το οριζόντιο επίπεδο του εδάφους e 1. σχ. 7 Το οριζόντιο επίπεδο e 1 είναι απαραίτητο στο παραπάνω προβολικό σύστημα για τον καθορισμό του αντικειμένου στο χώρο. Τα διάφορα σημεία του αντικειμένου εξαρτώνται από το e 1 μέσω του υψομέτρου τους. Προοπτικά βασικών σχημάτων του e 1 Προοπτικό ευθείας Προκειμένου να καθορίσουμε το προοπτικό μιας ευθείας α, αρκεί να προσδιορίσομε τα προοπτικά δύο σημείων της. σχ. 8 Θεωρώντας επί της ευθείας α διάφορα σημεία Β, Γ,..., τα προοπτικά τους (Β), (Γ), ( )..., στον πίνακα Π προσδιορίζονται αν τα προβάλλουμε από το Ο επί του επιπέδου Π, δηλαδή στην τομή των οπτικών ακτινών ΟΒ, ΟΓ, Ο κλπ με το Π (σχ. 10). Παρατηρούμε ότι η τυχούσα ευθεία α του οριζοντίου επιπέδου e 1, συναντά τη βάση του πίνακα (γε) σε ένα σημείο Α το οποίο έχει προοπτικό τον εαυτό του, δηλαδή Α=(Α). σχ. 9 95

4 Επίσης παρατηρούμε ότι όσο απομακρυνόμαστε επί της α προς το άπειρο, οι οπτικές ακτίνες από το Ο τείνουν να γίνουν παράλληλες προς το e 1 και την α (σχ. 11). σχ. 10 σχ. 11 Έτσι, η τομή της οπτικής ακτίνας -η οποία είναι παράλληλη στην α- με τον πίνακα Π είναι ένα σημείο της γραμμής του ορίζοντα και ονομάζεται σημείο φυγής Φ1 της α (σχ. 12). Σύμφωνα με τα παραπάνω, προκειμένου να εντοπίσουμε το σημείο φυγής της ευθείας α, αρκεί από το Ο να φέρουμε παράλληλη προς την α και να τμήσουμε το Π. ηλαδή το σημείο φυγής Φ1 τυχούσας ευθείας α του e 1 βρίσκεται στη γραμμή του ορίζοντα (γο), και είναι η τομή της οπτικής ακτίνας (με την οποία προβάλλεται από το Ο το επ άπειρον σημείο Φ της α) με το επίπεδο του πίνακα Π. Ύστερα από την παραπάνω ανάλυση, για να βρούμε το προοπτικό ευθείας α του e 1, που τέμνει τη βάση του πίνακα στο Α=(Α), φέρνουμε την ΟΦ1 παράλληλη με την α και ορίζουμε το Φ1 στη γραμμή του ορίζοντα. Ενώνουμε το Φ1 με το Α=(Α) και η ευθεία Φ1(Α), είναι η προοπτική (α) της α (σχ. 13). σχ. 12 Παρατηρούμε ότι αν Ο είναι η προβολή του σημείου οράσεως Ο στο επίπεδο e 1, η παράλληλη από την προβολή Ο προς την ευθεία α, τέμνει τη βάση του πίνακα στο Φ1, το οποίο είναι η προβολή του σημείου φυγής Φ1 στο επίπεδο του εδάφους (σχ. 14). Έτσι, για να σχεδιάσουμε το σημείο φυγής Φ1 ευθείας α, μπορούμε να φέρουμε την Ο Φ1 παράλληλη στην α και από το σημείο τομής της Φ1 με την γραμμή εδάφους φέρνουμε κάθετη σ αυτή. Το σημείο τομής της κατακόρυφης με τη γραμμή του ορίζοντα είναι το σημείο φυγής Φ1. σχ. 13 σχ. 14 σχ. 15 Κατάκλιση του Π στο e 1 96

5 Προκειμένου να κατασκευάσουμε το προοπτικό της ευθείας στον δισδιάστατο χώρο, κατακλίνουμε το Π στο e 1 περιστρέφοντάς το περί την γραμμή του εδάφους (σχ. 15). Η προοπτική εικόνα (α) της ευθείας α κατασκευάζεται τότε ως εξής: η ευθεία α συναντά τη γραμμή του εδάφους (βάση του πίνακα) στο σημείο Α, το οποίο ταυτίζεται με το προοπτικό του (Α). Η παράλληλη από το Ο προς την α συναντάει την γραμμή εδάφους στο Φ (προβολή του σημείου φυγής). Η κάθετη από το Φ προς τη γραμμή του εδάφους τέμνει την γραμμή του ορίζοντα στο σημείο φυγής Φ. Η ευθεία ΦΑ είναι η (α), προοπτική εικόνα της ευθείας α (σχ. 16,17). σχ. 16 Επειδή, όπως είναι φανερό, όλες οι παράλληλες μεταξύ τους ευθείες έχουν κοινό επ άπειρον σημείο, κατά συνέπεια θα έχουν κοινό σημείο φυγής (σχ. 18). Επίσης παρατηρούμε ότι: η γραμμή του ορίζοντα είναι η ευθεία φυγής του οριζοντίου επιπέδου e 1 (σχ. 19). στη γραμμή του ορίζοντα ανήκουν τα σημεία φυγής όλων των οριζοντίων ευθειών. αν ευθεία α είναι κάθετη στη γε (και στον πίνακα Π), το σημείο φυγής της Φ Ο είναι η ορθή προβολή του Ο στο Π και ονομάζεται πρωτεύον σημείο φυγής (σχ. 20). σχ. 17 σχ. 19 σχ. 18 Παράλληλη μετατόπιση βάσης Προκειμένου να αποφεύγουμε την επικάλυψη του αρχικού σχήματος ενός αντικειμένου και του σχ

6 προοπτικού του, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της παράλληλης μετατόπισης της βάσης (σχ. 21). ιατηρούμε τα δεδομένα: γραμμή εδάφους, γραμμή ορίζοντα και αρχικό σχήμα στην αρχική τους θέση και μεταφέρουμε παράλληλα το προοπτικό με τα σημεία αναφοράς του σε νέα θέση. Η απόσταση γραμμής εδάφους και γραμμής πίνακα δεν μεταβάλλεται. Η παράλληλη μεταφορά γίνεται αποκλειστικά και μόνο για λόγους ευκρίνειας του προοπτικού. Μετά την παράλληλη μεταφορά η αρχική γραμμή του ορίζοντα δεν είναι απαραίτητο να σχεδιάζεται. Προοπτικό σημείου σχ. 21 Αν θεωρήσουμε ότι τυχαίο σημείο Α είναι η τομή δύο ευθειών ρ και σ του e 1, τότε η τομή των δύο προοπτικών ευθειών (ρ) και (σ) μας δίνουν την προοπτική εικόνα του Α (σχ. 22). Για να σχεδιάσουμε λοιπόν το προοπτικό τυχαίου σημείου Α, σχεδιάζουμε πρώτα τα προοπτικά δύο ευθειών που περνούν από το Α και η τομή τους μας δίνει το (Α). Οπτικές ακτίνες Μια άλλη μέθοδος προσδιορισμού του προοπτικού του σημείου Α είναι αυτή των οπτικών ακτινών (σχ. 23). Οπτικές ακτίνες είναι οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο οράσεως O και κάποιο σημείο Α. Προβάλλουν δε τα σημεία του χώρου στον πίνακα Π. Η οπτική ακτίνα ΟΑ και η προβολή της Ο Α στο e 1, ορίζουν ένα κατακόρυφο επίπεδο ΟΑΟ, το οποίο τέμνει τον πίνακα Π κατά την κατακόρυφη ευθεία Α 1 (Α), που διέρχεται από το προοπτικό του Α, δηλαδή το (Α) (σχ. 23). Παρατηρούμε ότι η προβολή Ο Α της οπτικής ακτίνας ΟΑ, τέμνει τη γραμμή του εδάφους σ ένα σημείο Α 1. Η κάθετη από το Α 1 στη γε περνάει από το προοπτικό (Α) του Α (σχ. 24). σχ. 22 Επισημαίνεται ότι η μέθοδος προσδιορισμού ενός σημείου μέσω οπτικής ακτίνας προαπαιτεί να έχει προσδιοριστεί η προοπτική εικόνα του φορέα του σημείου, δηλαδή η προοπτική εικόνα μιας ευθείας στην οποία ανήκει το ζητούμενο σημείο. 98

7 Η μέθοδος αυτή σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να φανεί πολύ χρήσιμη, όπως για παράδειγμα στην περίπτωση του μετωπικού προοπτικού, που θα μελετήσουμε παρακάτω, αλλά και στις περιπτώσεις κατά τις οποίες κάποιο από τα σημεία φυγής βρίσκεται έξω από τη σχεδιαστική επιφάνεια. Προοπτικό τυχαίου σχήματος του επιπέδου Σχεδιάζουμε στο e 1 τυχαίο σχήμα π.χ. ένα τρίγωνο ΑΒΓ, του οποίου ζητάμε την προοπτική εικόνα. σχ. 23 Προεκτείνουμε τις πλευρές του σχήματος ΑΒΓ μέχρι να συναντήσουν τη βάση του πίνακα (γε) στα σημεία 1, 2, και 3, τα οποία σύμφωνα με τα προηγούμενα συμπίπτουν με τις προοπτικές εικόνες τους. Από το Ο φέρνουμε ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου και προσδιορίζουμε τα σημεία Φ1, Φ2 και Φ3 στη γραμμή του εδάφους. Κατόπιν ορίζουμε τα πραγματικά σημεία φυγής Φ1, Φ2 και Φ3 στη γραμμή του ορίζοντα. Βρίσκουμε τα προοπτικά των πλευρών του τριγώνου, ενώνοντας τα σημεία 1 και Φ1, 2 και Φ3, 3 και Φ2. Το προοπτικό του τριγώνου ΑΒΓ σχηματίζεται από τις τομές των ευθειών αυτών (σχ. 25). σχ. 24 σχ

8 Προοπτικό παραλληλογράμμου Προκειμένου να κατασκευαστεί το προοπτικό σχήμα παραλληλογράμμου ΑΒΓ, αρκεί να σχεδιάσουμε τα προοπτικά των τεσσάρων ευθειών των πλευρών του σχήματος. Σύμφωνα με τα παραπάνω, προεκτείνουμε όσες πλευρές του σχήματος δεν τέμνουν ήδη τη γραμμή εδάφους και ορίζουμε τα σημεία 1, 2, 3 και 4. Από το σημείο οράσεως Ο φέρνουμε ευθείες παράλληλες στις πλευρές του παραλληλογράμμου και προσδιορίζουμε τα σημεία φυγής Φ1 και Φ2. Προβάλλοντας τα σημεία 1 και 4 από το Φ1 και 2, 3 από το Φ2, προκύπτει το προοπτικό του σχήματος ΑΒΓ (σχ. 26). σχ. 26 Προοπτικό παραλληλογράμμου - Μετωπικό προοπτικό Είναι μια ειδική περίπτωση του προηγούμενου κεφαλαίου, με το σχήμα μας να έχει πλευρές παράλληλες και κάθετες προς τον πίνακα (σχ. 27). Στην περίπτωση αυτή οι πλευρές ΑΒ και Γ έχουν σημείο φυγής το πρωτεύον σημείο Φ Ο, ενώ οι Α και ΒΓ έχουν σημείο φυγής στο άπειρο. Το προοπτικό λέγεται μετωπικό. Προεκτείνουμε τις ΑΒ και Γ μέχρι να συναντήσουν τη γε στα σημεία 1 και 2 αντίστοιχα. Μπορούμε επομένως να προσδιορίσουμε τις προοπτικές εικόνες των ΑΒ και Γ, όμως δεν μπορούμε να ορίσουμε τα σημεία (Α), (Β), (Γ) και ( ), παρά μόνο με τη μέθοδο των οπτικών ακτίνων. σχ βλ. Παράρτημα Α, παρ. 7 ιαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε προοπτικά ίσα μέρη Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ζητούμε να χωριστεί σε 4 ίσα μέρη στην προοπτική του εικόνα (σχ. 28). Βρίσκουμε την προοπτική εικόνα του φορέα του ΑΒ και με οπτικές ακτίνες προσδιορίζουμε τα προοπτικά σημεία (Α) και (Β) των σημείων Α και Β. Από το σημείο (Α) σχεδιάζουμε οριζόντια ημιευθεία (Α)ε και ορίζουμε σ εκείνη τα 4 ίσα μέρη. Χρησιμοποιούμε δηλαδή την εφαρμογή στην προοπτική του θεωρήματος του Θαλή 1, με τη διαφορά ότι αντί για παράλληλες ευθείες, από 100

9 το σημείο (Β) φέρνουμε προοπτικά παράλληλες ευθείες, δηλαδή συγκλίνουσες στο σημείο φυγής Φ2. Ενώνουμε με το σημείο φυγής Φ2 τα υπόλοιπα τμήματα α της (Α)ε και προσδιορίζουμε τα τμήματα ā, που είναι προοπτικά ίσα μεταξύ τους. Με αντίστοιχο τρόπο μπορούμε να διαιρέσουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε τμήματα ανάλογα, με δοθέντα λόγο. Προοπτικά σχημάτων σε επίπεδα παράλληλα στο e 1 Προοπτικό οριζόντιας ευθείας Μία οριζόντια ευθεία α, που δεν βρίσκεται στο επίπεδο e 1 έχει 1 η προβολή στο επίπεδο e 1 την ευθεία α. Οι ευθείες α και α είναι παράλληλες μεταξύ τους ευθείες στο χώρο, επομένως έχουν κοινό σημείο φυγής Φ1 (σχ. 29). Η ευθεία α τέμνει τη γε στο σημείο 1 και η ευθεία α τέμνει το επίπεδο του πίνακα στο σημείο Μ. Τα σημεία Μ και 1 βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφη ευθεία και ορίζουν το υψόμετρο της ευθείας α από το επίπεδο του εδάφους e 1. Κατακλίνοντας το επίπεδο Π στο e 1, το υψόμετρο z Μ θα παραμείνει ίσο με το πραγματικό υψόμετρο του σημείου Μ από το έδαφος. Επομένως μπορούμε να προσδιορίσουμε την προοπτική εικόνα (α) της ευθείας α, ως εξής: από το σημείο 1, που είναι η τομή της προβολής α της α με τη γραμμή του εδάφους γε, ορίζουμε κατακόρυφα το υψόμετρο z M του σημείου Μ (σχ. 30) και ενώνουμε με το σημείο φυγής Φ1. Η ευθεία Φ1Μ είναι η προοπτική εικόνα (α) της ευθείας α. σχ. 28 σχ. 29 Προοπτικό ορθού πρίσματος 1. Το πρίσμα εδράζεται στο e 1 Αρχικά κατασκευάζουμε το προοπτικό της κάτω βάσης του πρίσματος, ενώνοντας τα σημεία 1 και 3 με το Φ2 και τα 2 και 4 με το Φ1 (σχ. 31). Φέρνουμε κάθετες ευθείες από καθένα από τα σημεία της κάτω βάσης του πρίσματος (Α ), (Β ), (Γ ) και ( ). Από οποιοδήποτε από τα 1, 2, 3 ή 4, έστω το 4, φέρνουμε ευθεία κάθετη στη γε και ορίζουμε το σημείο 5, που σχ

10 απεικονίζει το ύψος h1 του πρίσματος. Ενώνουμε το σημείο 5 με το Φ1. Στην τομή της κάθετης από το ( ) και της 5Φ1 είναι το σημείο ( ), το προοπτικό του σημείου της άνω βάσης του πρίσματος. Στην τομή της Φ1( ) με την κάθετη από το (Γ ) βρίσκεται το σημείο (Γ). Φέρνουμε τη Φ2(Γ) και στην τομή της με την κάθετη από το (Β ) βρίσκεται το σημείο (Β) κ.ο.κ. σχ. 31 Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι στο πρίσμα του σχήματος 31 το ύψος του πρίσματος h1 είναι μικρότερο από το ύψος του ορίζοντα h και ως εκ τούτου ο παρατηρητής βλέπει την άνω βάση του πρίσματος, την έδρα (Α)(Β)(Γ)( ). Αντίθετα, στο σχήμα 32 το ύψος h του ορίζοντα είναι μικρότερο από το ύψος h2 του πρίσματος και ο παρατηρητής δεν βλέπει την άνω βάση του πρίσματος. 2. Το πρίσμα δεν εδράζεται στο e 1 Στην περίπτωση αυτή το πρίσμα δεν εδράζεται στο επίπεδο e 1 του εδάφους, αλλά απέχει απ αυτό υψόμετρο h1 κι έχει ύψος h2 (σχ. 33). σχ. 32 Μπορούμε να εργαστούμε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, ορίζοντας το ύψος h1 σε κάθε κάθετη από τα σημεία 1, 2, 3 και 4, όμως μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το πρίσμα εδράζεται σε ένα νέο έδαφος, που βρίσκεται σε υψόμετρο h1 πάνω από το αρχικό. Έτσι η γε μετατοπίζεται κατά h1, στη γε1. Από εδώ και πέρα εργαζόμαστε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, προσδιορίζοντας τα σημεία 1, 2, 3 και 4, για να κατασκευάσουμε την κάτω βάση του πρίσματος, στη γε1, αντί της γε. σχ

11 εικ. 34 Προοπτικό τυχαίας ευθείας Όπως γνωρίζουμε ήδη, όλες οι οριζόντιες ευθείες έχουν σημεία φυγής πάνω στη γραμμή του ορίζοντα. Οι ευθείες που σχηματίζουν κάποια γωνία ω με το επίπεδο του εδάφους e1 έχουν σημεία φυγής πάνω στο επίπεδο Π του πίνακα, αλλά όχι πάνω στον ορίζοντα. Σε οποιαδήποτε περίπτωση ισχύει η συνθήκη που ισχύει και για τις οριζόντιες ευθείες, ότι δηλαδή οι παράλληλες μεταξύ τους ευθείες του χώρου έχουν κοινό σημείο φυγής. Η τυχαία ευθεία α έχει προβολή την α στο επίπεδο e1 και έστω ότι τέμνει το επίπεδο του πίνακα στο σημείο 12 (σχ. 35), όπως και η προβολή της α. Η ευθεία α σχηματίζει με το e1 (επομένως και με την α ) γωνία ω, που αναπαριστά την κλίση της ευθείας α ως προς το επίπεδο e1. Για να προσδιορίσουμε το επ άπειρον σημείο της α, το σημείο φυγής της α, φέραμε από το Ο ευθεία παράλληλη στην α, που τέμνει τον πίνακα στο σημείο Φ. Όμοια, για να βρούμε το σημείο φυγής της α, φέρνουμε από το Ο ευθεία παράλληλη στην α, που τέμνει τον πίνακα στο σημείο Φα. Η 2. Επειδή όλες οι παράλληλες μεταξύ τους ευθείες έχουν κοινό σημείο φυγής, για τον προσδιορισμό του χρησιμοποιούμε μία από το σύνολο ευθειών, με ιδιότητα να τέμνει τον πίνακα σε σημείο 1 της βάσης του σχ

12 γωνία Φ α ΟΦ είναι ίση με τη γωνία ω, λόγω των παραλλήλων φορέων τους. Το σημείο Φ α είναι το σημείο φυγής της α, η δε προοπτική εικόνα (α) της α είναι η ευθεία Φ α 1. σχ. 36 Η γωνία ω βρίσκεται στο χώρο και δεν μπορούμε στις δύο διαστάσεις μιας σχεδιαστικής επιφάνειας να προσδιορίσουμε το σημείο φυγής της α. Πρέπει επομένως να την μεταφέρουμε σε κάποιο από τα επίπεδα e 1 ή Π. Μεταφέρουμε τη γωνία Φ α ΟΦ στον πίνακα Π (σχ. 36), γράφοντας τόξο κύκλου με κέντρο το σημείο Φ και ακτίνα r=φο. Το σημείο Ο μεταφέρεται στο σημείο Τ. Η γωνία ω βρίσκεται τώρα στο επίπεδο Π και είναι η Φ α ΤΦ. Προβάλλουμε το τόξο (Φ,r) και το σημείο Τ στο επίπεδο e 1, στα (Φ,r) και Τ. Μετά την κατάκλιση του Π στο e 1 και την παράλληλη μετατόπιση, έχουμε την εικόνα του σχήματος 37. Έχοντας την ευθεία α μέσω της προβολής της α, βρίσκουμε το σημείο φυγής Φ της α και την προβολή του Φ. Με κέντρο Φ και ακτίνα r=φ Ο γράφουμε τόξο κύκλου, που τέμνει τη γε στο σημείο Τ. Μεταφέρουμε το Τ στη δεύτερη γε και σχηματίζουμε εκεί τη γνωστή γωνία ω. Παρατηρούμε ότι σχηματίζονται δύο γωνίες ω συμμετρικές, με άξονα συμμετρίας την γε. Ο φορέας της άνω γωνίας ω τέμνει την κατακόρυφη από το σημείο φυγής Φ στο σημείο φυγής Φ α 1 της α1. Η κάτω γωνία ω δίνει το σημείο φυγής Φ α 2 της α2, η οποία είναι στο χώρο συμμετρική της α1 ως προς το επίπεδο e 1. σχ. 37 σχ

13 Θεωρήσαμε αρχικά ότι η κεκλιμένη ευθεία α έχει σημείο τομής με τον πίνακα Π ακριβώς πάνω στην γε. Μια οποιαδήποτε ευθεία β, παράλληλη της α, θα έχει το ίδιο σημείο φυγής με την α, οπότε για τον προσδιορισμό του σημείου φυγής της β μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ευθεία α. Ο προσδιορισμός των σημείων φυγής κεκλιμένων ευθειών εφαρμόζεται όταν το αντικείμενο που θέλουμε ν απεικονίσουμε προοπτικά, περιλαμβάνει στέγες, ράμπες, όπως επίσης σκάλες με πολλά σκαλοπάτια, όπου είναι χρήσιμος ο προσδιορισμός του σημείου φυγής των ευθειών που ενώνουν τα άνω και κάτω σημεία των υψών (ριχτιών) των σκαλοπατιών (σχ. 38). Μια ακόμη εφαρμογή είναι σε θέματα σκιαγραφίας σε προοπτικές απεικονίσεις 3. σχ. 39 Προοπτικό κύκλου σχ. 40 Η προοπτική εικόνα ενός κύκλου είναι γενικά έλλειψη, αλλά αυτό εξαρτάται από τη θέση του παρατηρητή και του πίνακα. Ορίζουμε ένα επίπεδο παράλληλο στον πίνακα, που να περνά από το σημείο οράσεως. Η τομή του με το επίπεδο του εδάφους είναι η ευθεία γπ (σχ. 39). Εάν η ευθεία γπ δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τον κύκλο, η προοπτική εικόνα του είναι έλλειψη. Εάν η ευθεία γπ έχει ένα κοινό σημείο με τον κύκλο (σχ. 40), είναι δηλαδή εφαπτόμενη στον κύκλο, τότε η προοπτική εικόνα του κύκλου είναι τμήμα παραβολής. Τέλος, αν η ευθεία γπ τέμνει τον κύκλο σε πάνω από ένα σημεία (σχ. 41), τότε η προοπτική εικόνα του κύκλου είναι τμήμα ενός σκέλους υπερβολής. σχ Προοπτικό κύκλου του επιπέδου e 1 Είτε εργαζόμαστε σε μετωπικό προοπτικό, είτε σε προοπτικό δύο σημείων φυγής Φ1 και Φ2, κατασκευάζουμε το περιγεγραμμένο τετράγωνο του κύκλου ΑΒΓ, του οποίου προσδιορίζουμε την προοπτική εικόνα (Α)(Β)(Γ)( ) (σχ. 42,43). Γράφουμε τις διαγωνίους (Α)(Γ) και (Β)( ). Από την τομή των διαγωνίων ενώνουμε με τα σημεία φυγής (στο μετωπικό προοπτικό ενώνουμε με το Φ Ο και φέρνουμε τη δεύτερη ευθεία παράλληλη στην 3. βλ. Σκιαγραφία, Σκιαγραφία στην προοπτική σχ

14 γε). Μ αυτό τον τρόπο ορίζουμε τα σημεία επαφής της έλλειψης στις πλευρές του περιγεγραμμένου προοπτικού του τετραγώνου ΑΒΓ. Τα τέσσερα αυτά σημεία επαφής δεν είναι γενικά αρκετά, ως εκ τούτου προσδιορίζουμε και τα σημεία τομής της έλλειψης με τις διαγωνίους (Α)(Γ) και (Β)( ): στο προοπτικό δύο σημείων, όπου η (Α)(Β) δεν είναι παράλληλη στη γε, κατασκευάζουμε από το (Β) ευθεία παράλληλη στη γε, μέχρι να τμήσει την προέκταση της (Α)( ) στο σημείο Σ (σχ. 42). Γράφουμε ημικύκλιο με κέντρο το μέσο του Σ(Β) και διάμετρο Σ(Β). Σχεδιάζουμε τις ακτίνες που σχηματίζουν γωνίες 45 Ο με την Σ(Β) και φέρνουμε κάθετες στη γε ευθείες. Ενώνουμε με το σημείο φυγής Φ2. στο μετωπικό προοπτικό, όπου η (Α)(Β) είναι ευθεία παράλληλη στη γε, γράφουμε ημικύκλιο με κέντρο το μέσο της και διάμετρο το μήκος της (Α)(Β) (σχ. 43). Σχεδιάζουμε τις ακτίνες που σχηματίζουν γωνίες 45 Ο με την (Α)(Β) και φέρνουμε κάθετες στη γε ευθείες. Ενώνουμε με το σημείο φυγής Φ Ο. Γνωρίζοντας πλέον 8 σημεία (και στις δύο περιπτώσεις) της έλλειψης, η κατασκευή της γίνεται σχετικά εύκολα με γραφικό τρόπο. 2. Προοπτικό κατακόρυφου κύκλου σχ. 43 Η προβολή του κύκλου και του περιγεγραμμένου σ αυτόν τετραγώνου έχουν προβολή στο e 1 ένα ευθύγραμμο τμήμα, όπου τα σημεία Α, και Β, Γ ταυτίζονται (σχ. 44). Κατασκευάζουμε την προοπτική εικόνα (Α)(Β) της κάτω πλευράς ΑΒ του περιγεγραμμένου τετραγώνου και στο σημείο 1 υψώνουμε κατά h=αβ. Προσδιορίζουμε και τα σημεία (Γ) και ( ), χαράσσουμε τις διαγωνίους (Α)(Γ) και (Β)( ) και χρησιμοποιούμε την πλευρά (Α)( ) ακριβώς όπως και στα προηγούμενα παραδείγματα για να προσδιορίσουμε τα 8 σημεία από τα οποία διέρχεται η έλλειψη, η προοπτική εικόνα του κατακόρυφου κύκλου. Στην ειδική περίπτωση που ο κύκλος βρίσκεται σε μετωπικό επίπεδο, η προοπτική του εικόνα είναι κύκλος. σχ

15 3. Προοπτικό κύκλου σε τυχαίο επίπεδο Σ αυτή την περίπτωση το περιγεγραμμένο του κύκλου τετράγωνο προβάλλεται στο επίπεδο e 1 στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Α Β Γ (σχ. 45). Κατασκευάζουμε την προοπτική εικόνα του ΑΒΓ και προεκτείνουμε τις κεκλιμένες πλευρές (Α)( ) και (Β)(Γ) μέχρι να τμήσουν την κατακόρυφη από το Φ1, προσδιορίζοντας έτσι το σημείο φυγής τους Φ. Γράφουμε τις διαγωνίους (Α)(Γ) και (Β)( ) και ενώνουμε την τομή τους με τα Φ και Φ2. Από το σημείο (Α) φέρνουμε ευθεία παράλληλη στη γε μέχρι να τμήσει την προέκταση της Φ1(Β) στο σημείο Ρ και κατασκευάζουμε ημικύκλιο με κέντρο το μέσο του (Α)Ρ και διάμετρο (Α)Ρ. Παρατηρούμε ότι η ευθεία που ενώνει το μέσο της (Α)Ρ με το Φ1 διέρχεται από το σημείο 1, το οποίο είναι το σημείο της (Α)(Β) όπου καταλήγει η προοπτική εικόνα της διαμέτρου του κύκλου από το Φ. Σχεδιάζουμε τις ακτίνες που σχηματίζουν γωνίες 45 Ο με την (Α)Ρ και φέρνουμε κάθετες στην (Α)Ρ ευθείες. Ενώνουμε με το σημείο φυγής Φ1 και προσδιορίζουμε τα σημεία 2 και 3, τα οποία ενώνουμε με το Φ. Ορίζουμε μ αυτό τον τρόπο τα 8 βασικά σημεία της έλλειψης και τη σχεδιάζουμε γραφικά. σχ. 45 Προοπτικά στερεών σχημάτων Από τα βασικά στερεά σχήματα, αυτά που παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον και κάποιες ιδιαιτερότητες στην κατασκευή της προοπτικής εικόνας τους είναι ο κύλινδρος, ο κώνος και η σφαίρα. Προοπτικό κυλίνδρου 1. Κατακόρυφος κύλινδρος Η προοπτική εικόνα ορθού κατακόρυφου κυλίνδρου κατασκευάζεται ξεκινώντας από την κατασκευή των προοπτικών της κάτω και άνω βάσης του, που είναι κύκλοι σε παράλληλα οριζόντια επίπεδα. Κατασκευάζουμε το προοπτικό της κάτω βάσης, όπως είδαμε παραπάνω, προσδιορίζουμε το σχ

16 προοπτικό του περιγεγραμμένου τετραγώνου της άνω βάσης και μεταφέρουμε κατακόρυφα τα 8 σημεία ορισμού της έλλειψης της κάτω βάσης στους αντίστοιχους φορείς της άνω βάσης. Οι ακραίες γενέτειρες ορίζονται από τα κατακόρυφα επίπεδα που εφάπτονται στις βάσεις του κυλίνδρου (σχ. 46). Για να προσδιορίσουμε τα σημεία επαφής Μ και Ν, φέρνουμε από το Ο (σχ. 47) τις εφαπτόμενες στην προβολή των βάσεων του κυλίνδρου 4, οι οποίες είναι ταυτόχρονα οι οπτικές ακτίνες των σημείων επαφής Μ και Ν. σχ βλ. Παράρτημα Α, παρ

17 Ένας άλλος τρόπος να προσδιορίσουμε τα Μ και Ν είναι να βρούμε τις εφαπτόμενες των ελλείψεων των βάσεων μέσω της ευθείας Pascal, γνωρίζοντας ότι η διεύθυνση των γενετειρών είναι κατακόρυφη Οριζόντιος κύλινδρος Ο οριζόντιος ορθός κύλινδρος εδράζεται στο επίπεδο e 1 και για να βρούμε την προοπτική του εικόνα κατασκευάζουμε κατ αρχήν τις προοπτικές εικόνες των βάσεών του, που είναι κύκλοι σε δύο κατακόρυφα επίπεδα. σχ. 48 Οι ακραίες γενέτειρες ορίζονται από τα δύο κεκλιμένα επίπεδα, που φαίνονται στο σχήμα 48 και περνούν από το σημείο οράσεως. σχ βλ. Παράρτημα Α, παρ

18 Αρκεί επομένως να προσδιορίσουμε τα σημεία Μ και Ν στη μία από τις δύο βάσεις του κυλίνδρου, για να ορίσουμε τις ακραίες γενέτειρες συγκλίνουσες προς το σημείο φυγής Φ1 (σχ. 49). Όπως φαίνεται στο σχήμα 48, το σημείο Τ είναι η προβολή του σημείου οράσεως Ο στο επίπεδο Π, το οποίο είναι το επίπεδο της μίας βάσης του κυλίνδρου. Το σημείο Τ απέχει από τη βάση του πίνακα απόσταση ίση με την ΟΟ, δηλαδή ίση με το ύψος της γραμμής του ορίζοντα από τη γραμμή εδάφους. Έχοντας την προβολή του κυλίνδρου στο e 1 (σχ. 49), προεκτείνουμε τη μία από τις δύο ευθείες της βάσης του κυλίνδρου και κάνουμε κατάκλιση του επιπέδου Π στο επίπεδο e 1. Ορίζουμε την απόσταση ΤΤ Ο ίση με το ύψος του ορίζοντα. Από το σημείο Τ Ο φέρνουμε τις εφαπτόμενες στον κύκλο της βάσης του κυλίνδρου 6 και προσδιορίζουμε τα Μ Ο και Ν Ο, τα οποία προβάλλουμε (ανακλίνουμε) στην προβολή της βάσης και ορίζουμε τα Μ και Ν. Φέρνουμε τέλος τις οπτικές ακτίνες προς τα Μ και Ν για να ορίσουμε τις προοπτικές εικόνες (Μ) και (Ν) των Μ και Ν (σχ. 49). Και σ αυτή την περίπτωση μπορούμε να βρούμε τις εφαπτόμενες στις ελλείψεις των βάσεων του κυλίνδρου μέσω της ευθείας Pascal 7, θεωρώντας ότι φέρνουμε ευθείες εφαπτόμενες σε ελλείψεις από το σημείο Φ1. Προοπτικό κώνου Η προοπτική εικόνα ενός κώνου προκύπτει από την προοπτική εικόνα της καμπύλης της βάσης του, όταν αυτή ενωθεί με το προοπτικό της κορυφής του. Όταν η βάση του κώνου είναι κύκλος του e 1, εργαζόμαστε όπως στα προηγούμενα παραδείγματα, για να προσδιορίσουμε το προοπτικό της καμπύλης της βάσης του. Το τμήμα του κώνου που ο παρατηρητής «βλέπει» (σχ. 50) ορίζεται από τα κεκλιμένα εφαπτόμενα επίπεδα προς τη βάση του κώνου, τα οποία περνούν από το σημείο οράσεως Ο. Τα σημεία Μ και Ν είναι τα σημεία των εφαπτομένων της βάσης του κώνου από το σημείο Σ, που ορίζεται σαν το ίχνος της ΚΟ στο επίπεδο της βάσης του κώνου. Σύμφωνα με τα μέχρι τώρα γνωστά, κατασκευάζουμε το προοπτικό της βάσης του σχ βλ. Παράρτημα Α, παρ βλ. Παράρτημα Α, παρ

19 κώνου και της κορυφής του (σχ. 51). Ενώνουμε τα σημεία Ο και Κ στην προβολή του κώνου και από το σημείο Κ φέρνουμε ευθεία κάθετη στην ΚΟ. Στην ευθεία αυτή υπολογίζουμε το ύψος του κώνου και ορίζουμε το σημείο Κ Ο. Από το σημείο Ο φέρνουμε ευθεία κάθετη στην ΚΟ, υπολογίζουμε το ύψος του σημείου Ο (δηλαδή το ύψος του ορίζοντα) και ορίζουμε το σημείο Ο Ο. Ενώνουμε τα Κ Ο και Ο Ο και προεκτείνουμε μέχρι η ευθεία να τμηθεί με την ΚΟ στο σημείο Σ. Από το Σ φέρνουμε τις εφαπτόμενες στον κύκλο της βάσης του κώνου 8 και ορίζουμε τα σημεία επαφής Μ και Ν. Βρίσκουμε τις προοπτικές εικόνες των Μ και Ν με οπτικές ακτίνες. σχ βλ. παράρτημα Α, παρ

20 Κι εδώ μπορούμε να προσδιορίσουμε τις ακραίες γενέτειρες του κώνου με την ευθεία Pascal 9, ως ευθείες εφαπτόμενες στην έλλειψη από το σημείο (Κ) της κορυφής του κώνου. Προοπτικό σφαίρας Η προοπτική εικόνα μιας σφαίρας είναι γενικά έλλειψη, όμως αυτό εξαρτάται από τη θέση του παρατηρητή και του πίνακα, όπως και στην περίπτωση του προοπτικού κύκλου. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να απεικονίσουμε προοπτικά μια σφαίρα. Είναι όλοι προσεγγιστικοί και αποσκοπούν στην κατασκευή της καμπύλης u, που είναι η αλληλοτομία της σφαίρας και του οπτικού κώνου (σχ. 52). Σύμφωνα με τη μέθοδο που συνήθως χρησιμοποιούμε για την κατασκευή της προοπτικής εικόνας μιας σφαίρας, αρκεί να κατασκευάσουμε τις προοπτικές εικόνες των κύκλων c 1, c 2, c 3 που προκύπτουν από την τομή της σφαίρας με διάφορα (σε τυχαίες θέσεις) μετωπικά ή οριζόντια επίπεδα και να κατασκευάσουμε την περιβάλλουσα καμπύλη, δηλαδή την έλλειψη που εφάπτεται στις (c 1 ), (c 2 ), (c 3 ) Μεταξύ της επιλογής οριζοντίων ή μετωπικών επιπέδων τομής της σφαίρας, εδώ θα προτιμήσουμε να μελετήσουμε τα μετωπικά επίπεδα, διότι αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν και στον υπολογισμό της σκιάς της σφαίρας 10. Κατ αρχήν προσδιορίζουμε την προοπτική εικόνα (s) του οριζόντιου κύκλου s της σφαίρας, χρησιμοποιώντας το περιγεγραμμένο τετράγωνο που είναι παράλληλο στη γε (σχ. 53). Κάθετα στη διάμετρο ΜΝ ορίζουμε διάφορα τυχαία μετωπικά επίπεδα, τα οποία τέμνουν τη σφαίρα στους κύκλους c, c 1, c 2. Οι μετωπικοί κύκλοι που δημιουργούνται, έχουν τα κέντρα τους Κ, Κ 1, Κ 2 στη διάμετρο ΜΝ και εφάπτονται στον οριζόντιο κύκλο s στα Α, Α 1, Α 2. Με οπτικές ακτίνες βρίσκουμε τα προοπτικά σημεία (Κ), (Κ 1 ), (Κ 2 ) των κέντρων στη (Μ)(Ν) και χαράσσουμε τις οριζόντιες ευθείες διαμέτρους των c, c 1, c 2. Οι κύκλοι c, c 1, c 2 απεικονίζονται προοπτικά στους κύκλους, (c), (c 1 ), (c 2 ). σχ βλ. παράρτημα Α, παρ βλ. Σκιαγραφία, σκιαγραφία στην προοπτική, Σκιά σφαίρας 112

21 Η περιβάλλουσα είναι η καμπύλη που εφάπτεται στους κύκλους (c), (c 1 ), (c 2 ) και προσδιορίζεται κατά προσέγγιση. Άλλος τρόπος προσδιορισμού του προοπτικού σφαίρας είναι μέσω του θεωρήματος του Dandelin 11. σχ βλ. παράρτημα Β 113

22 Σχετικές θέσεις παρατηρητή, αντικειμένου, πίνακα και ορίζοντα σχ. 54 Το οπτικό εύρος του ανθρώπινου ματιού έχει υπολογιστεί περίπου στις 93 Ο. Για το λόγο της σχεδιαστικής απλούστευσης, θεωρούμε το οπτικό εύρος στις 90 Ο. Μέσα σ αυτή τη γωνία των 90 Ο πρέπει να βρίσκεται το αντικείμενο, του οποίου την προοπτική εικόνα ζητούμε να σχεδιάσουμε. Φροντίζουμε όμως να μην χρησιμοποιούμε ολόκληρο αυτό το εύρος, αλλά μόνο τις κεντρικές 30 Ο -45 Ο (σχ. 54). Στην αντίθετη περίπτωση η προοπτική εικόνα του αντικειμένου παρουσιάζει έντονη παραμόρφωση (σχ. 55). Παρατηρούμε ότι αν σχεδιάσουμε τις οπτικές ακτίνες που περνούν από τα άκρα του αντικειμένου, σχηματίζεται πάνω στον πίνακα το μέγιστο πλάτος α της προοπτικής εικόνας (σχ. 56). Μ αυτό τον τρόπο μπορούμε ευθύς εξ αρχής να γνωρίζουμε το μέγεθος της προοπτικής εικόνας, τουλάχιστον κατά το πλάτος. Παρατηρούμε επίσης ότι αν ο πίνακας τέμνει το αντικείμενο και αφήνεται κάτω από τον πίνακα μέγεθος β, κατά την παράλληλη μετατόπιση, αφήνοντας χώρο περίπου ίσο με β από την άκρη της σχεδιαστικής επιφάνειας, το προοπτικό δεν κινδυνεύει να βρεθεί εκτός της σχεδιαστικής επιφάνειας (σχ. 56). Η θέση του πίνακα, δηλαδή της γραμμής του εδάφους γε, μπορεί να βρίσκεται ανάμεσα σχ. 55 σχ. 56 σχ

23 στον παρατηρητή και το αντικείμενο, πίσω από το αντικείμενο, ή να τέμνει το αντικείμενο. Η θέση του πίνακα έχει να κάνει κυρίως με το μέγεθος της προοπτικής εικόνας. Όσο πιο κοντά βρίσκεται ο πίνακας στον παρατηρητή, τόσο το προοπτικό μικραίνει, ενώ όσο ο πίνακας απομακρύνεται από τον παρατηρητή, η προοπτική εικόνα μεγαλώνει (σχ. 54,57). Ανακλάσεις στο προοπτικό Ανάκλαση ονομάζουμε τον αντικατοπτρισμό ενός αντικειμένου σε ανακλαστική επιφάνεια. Το θέμα των αντικατοπτρισμών παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον, γιατί μας δίνει τη δυνατότητα να «δούμε» τις πλευρές των αντικειμένων που στην πραγματικότητα δεν βλέπουμε (εικ. 58) και ταυτόχρονα ολοκληρώνουν τις προοπτικές εικόνες. Η θεμελιώδης πρόταση της θεωρίας των επιπέδων κατόπτρων αναφέρει ότι η γωνία προσπτώσεως μιας φωτεινής ή οπτικής ακτίνας στην κατοπτρική επιφάνεια είναι ίση με τη γωνία ανακλάσεώς της (σχ. 59). Η ανάκλαση γίνεται σε επίπεδο κάθετο στο επίπεδο της κατοπτρικής επιφάνειας και περιέχει τη φωτεινή ή οπτική ακτίνα. Για το λόγο αυτό κάθε αντικείμενο και η ανάκλασή του σε επίπεδο κάτοπτρο είναι σχήματα συμμετρικά ως προς την κατοπτρική επιφάνεια. Η γωνία προσπτώσεως ω είναι η γωνία που σχηματίζει η φωτεινή/οπτική ακτίνα με την κατακόρυφη της κατοπτρικής επιφάνειας στο σημείο πρόσπτωσης. ιακρίνουμε δύο περιπτώσεις θέσης κατοπτρικών επιφανειών: εικ. 58 Salvador Dali, Ατελείωτη στερεοσκοπική εικόνα, 1973 σχ. 59 εικ. 60 εικ

24 1. 2. Κατακόρυφη κατοπτρική επιφάνεια, π.χ. ένας καθρέφτης (εικ. 58) Οριζόντια κατοπτρική επιφάνεια, π.χ. επιφάνεια του νερού (εικ. 60), γυαλισμένη επιφάνεια (εικ. 61). 1. Ανάκλαση σε κατακόρυφη επιφάνεια σχ. 62 Όταν η ανακλαστική επιφάνεια είναι κατακόρυφη το πραγματικό αντικείμενο και ο αντικατοπτρισμός του έχουν στην προοπτική εικόνα προοπτικά ίσες διαστάσεις. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι ο αντικατοπτρισμός του αντικειμένου φαίνεται μικρότερος από το ίδιο το αντικείμενο, εφ όσον βρίσκεται μακρύτερα από τον παρατηρητή (σχ. 62). Κατασκευάζουμε το προοπτικό του παραλληλεπιπέδου του βιβλίου και στον οριζόντιο άξονα του καθρέφτη και στο υψόμετρο της κάτω βάσης του, ορίζουμε το σημείο Β Μ στην τομή του άξονα με την ΒΦ1 (σχ. 63). Ορίζουμε το σημείο Α Μ στην τομή της ΑΦ1 με τον κάθετο άξονα του καθρέφτη, που περνά από το Β Μ. Το σημείο Μ είναι το προοπτικό μέσο της Α Μ Β Μ. Φέρνουμε την ΑΜ, προεκτείνουμε μέχρι να τμήσει την ΒΦ1 και ορίζουμε το σημείο Β Κ. Με τον ίδιο τρόπο ορίζουμε το Α Κ, στην τομή των ΒΜ και ΑΦ1. Το τετράπλευρο ΑΒΑ Κ Β Κ είναι προοπτικό ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, επομένως η Α Κ Β Κ είναι ο προοπτικός αντικατοπτρισμός της ΑΒ. σχ. 63 Αυτή η μέθοδος δίνει τους αντικατοπτρισμούς των αντικειμένων απ ευθείας στην προοπτική εικόνα. Μπορούμε όμως να προσδιορίσουμε τον αντικατοπτρισμό ενός αντικειμένου στην πρώτη προβολή του (κάτοψη) και να το απεικονίσουμε προοπτικά σαν να ήταν ξεχωριστό αντικείμενο. 2. Ανάκλαση σε οριζόντια επιφάνεια Θεωρούμε ότι η οριζόντια επιφάνεια έδρασης του βιβλίου του προηγούμενου παραδείγματος είναι κι αυτή ανακλαστική (σχ. 62). Για να προσδιορίσουμε την αντικατοπτρική εικόνα του σημείου (σχ. 64), κατασκευάζουμε την Γ Κ στην προέκταση της Γ και ίση με την Γ. σχ

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Η προοπτική εικόνα, είναι, όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός χωρικού αντικειμένου, σε ένα επίπεδο, με κέντρο προβολής, το μάτι του παρατηρητή. Η εικόνα αυτή, θεωρούμε ότι αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ Ιστορικά Στις αρχές του 16 ου αιώνα ήταν ήδη γνωστές οι αρχές της γραμμικής προοπτικής, περίπου όπως την ξέρουμε σήμερα. Την περίοδο αυτή καλλιτέχνες, γλύπτες και αρχιτέκτονες άρχισαν να πειραματίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ ΣΥΝΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ -.Μ.Κ. 10.98 1 ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΣ Ε1 Μ 2γ Ε2 2β 1. ΡΙΣΜΙ ΡΙΣΜΙ - ΚΤΣΚΕΥΕΣ Η έλλειψη είναι επίπεδη καµπύλη 2 ου βαθµού, είναι δε ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων, των οποίων το άθροισµα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΚΥΛΙΝ ΡΟΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ ΕΣ ΤΟΜΕΣ - ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ- ΣΚΙΕΣ - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Σχήµα 1 1. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛΙΝ ΡΟΥ Η κυλινδρική επιφάνεια ή κύλινδρος, προκύπτει από τις διαδοχικές θέσεις µιας ευθείας α, (γενέτειρα) η

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ

Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα. Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Αντώνης Πουλιάσης Φυσικός M.Sc. 12 ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Πουλιάσης Αντώνης Φυσικός M.Sc. 2 Ανάκλαση Είδωλα σε κοίλα και κυρτά σφαιρικά κάτοπτρα Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία.

Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç. Απάντηση Οι γωνίες που σχηµατίζονται είναι: Α. αµβλεία Β. ευθεία Γ. πλήρης. οξεία Ε. ορθή Ζ. αµβλεία Η. οξεία. Ä ÑÁÓÔÇÑÉÏÔÇÔÁ 1ç Σε όλα τα παρακάτω αντικείµενα σχηµατίζονται διάφορες γωνίες ανάλογα µε τη σχετική θέση, κάθε φορά, δύο ηµιευθειών που έχουν ένα κοινό ση- µείο, όπως π.χ. είναι οι δείκτες του ρολογιού,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΥΘΕΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πηγή: KEE 1. Να βρείτε τον συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας ε, που σχηµατίζει µε τον άξονα x x γωνία: α) ω = 3 π β) ω = π 3 γ) ω = π. Να βρείτε τη γωνία ω που σχηµατίζει µε τον άξονα x x µια ευθεία ε, η οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΦΑΙΡΑ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ Η ΤΟΜΗ - ΣΚΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΣΦΑΙΡΑ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ Η ΤΟΜΗ - ΣΚΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΦΑΙΡΑ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ - ΕΠΙΠΕ Η ΤΟΜΗ - ΣΚΙΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1. ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΦΑΙΡΑΣ (Ο, ρ) Σχήµα 1 Η σφαίρα σε κάθε ορθή προβολή προβάλλεται κατά µέγιστο κύκλο που έχει κέντρο την προβολή του κέντρου της σφαίρας και

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688

1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 10.865196 ο Αγγ. Σικελιανού 4 Περισσός 10.718688 AΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Θεωρούμε ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ (Α =90Ο ) και Α το ύψος του. Αν Ε και Ζ είναι οι προβολές του

Διαβάστε περισσότερα

Στα 1849 ο Sir David Brewster περιγράφει τη μακροσκοπική μηχανή λήψης και παράγονται οι πρώτες στερεοσκοπικές φωτογραφίες (εικ. 5,6).

Στα 1849 ο Sir David Brewster περιγράφει τη μακροσκοπική μηχανή λήψης και παράγονται οι πρώτες στερεοσκοπικές φωτογραφίες (εικ. 5,6). ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΑ Η στερεοσκοπία είναι μια τεχνική που δημιουργεί την ψευδαίσθηση του βάθους σε μια εικόνα. Στηρίζεται στο ότι η τρισδιάστατη φυσική όραση πραγματοποιείται διότι κάθε μάτι βλέπει το ίδιο αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.1 ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 10.2 ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 10.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ο ΕΜΒΑΔΑ 0. ΠΟΛΥΓΩΝΙΚΑ ΧΩΡΙΑ 0. ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΕΥΘΥΓΡΑΜ. ΣΧΗΜ. 0.3 ΕΜΒΑΔΟΝ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ (Πολυγωνικά χωρία) Ας θεωρήσουμε ένα πολύγωνο, για παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το CABRI - GEOMETRY II Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Εκτελώντας το πρόγραμμα παίρνουμε ένα παράθυρο εργασίας Γεωμετρικών εφαρμογών. Τα βασικά κουμπιά και τα μενού έχουν την παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Θέμα Α. Να αποδείξετε ότι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο με το μισό της (7 μονάδες)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Ισομετρίες, Συμμετρίες και Πλακοστρώσεις Οπως είδαμε στην απόδειξη του πρώτου κριτηρίου ισότητας τριγώνων, ο Ευκλείδης χρησιμοποιεί την έννοια της εφαρμογής ενός τριγώνου σε ένα άλλο, χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις

Γεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο

ΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ο ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ Ορισμός: Δύο ευθύγραμμα σχήματα ονομάζονται όμοια, αν έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις γωνίες που σχηματίζονται από ομόλογες πλευρές τους ίσες μία προς μία. ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΟΜΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΡΙΓΩΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ.

ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ. ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους. 28/9/2008 12:48 Όνομα: Λεκάκης Κωνσταντίνος καθ. ΘΕΜΑ : ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΜΕ 2 Σ.Φ ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 1 περιόδους 28/9/2008 12:48 καθ. Τεχνολογίας 28/9/2008 12:57 Προοπτικό σχέδιο με 2 Σημεία Φυγής Σημείο φυγής 1 Σημείο φυγής 2 Γωνία κτιρίου

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ

Γεωμετρία Β Λυκείου ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ 36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9: ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ 37 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΤΥΧΑΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ 38 39 40 41 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΚΥΚΛΟ 4 43 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10:ΕΜΒΑΔΑ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ 45 46 47 48 49 50 51 5 53

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΚΩΝΙΚΕ ΤΟΜΕ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ ΕΡΩΤΗΕΙ ΑΞΙΟΟΓΗΗ 1. Να σημειώσετε το σωστό () ή το λάθος () στους παρακάτω ισχυρισμούς: 1. Η εξίσωση + = α (α > 0) παριστάνει κύκλο.. Η εξίσωση + + κ + λ = 0 µε κ, λ 0 παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Ο15. Κοίλα κάτοπτρα. 2. Θεωρία. 2.1 Γεωμετρική Οπτική

Ο15. Κοίλα κάτοπτρα. 2. Θεωρία. 2.1 Γεωμετρική Οπτική Ο15 Κοίλα κάτοπτρα 1. Σκοπός Σκοπός της άσκησης είναι η εύρεση της εστιακής απόστασης κοίλου κατόπτρου σχετικά μεγάλου ανοίγματος και την μέτρηση του σφάλματος της σφαιρικής εκτροπής... Θεωρία.1 Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης

6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης 6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ.

ΒΕ Ζ είναι ισόπλευρο. ΔΕΡ. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΩΕΚΑΝΗΣΟΥ ΘΕΜΑ 1 Θεωρούμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ και έστω ένα σημείο της πλευράς ΑΓ. Κατασκευάζουμε το παραλληλόγραμμο ΒΓΕ και έστω Ζ η τομή της Ε με την ΑB. Ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Ανάκλαση. Κάτοπτρα. Διάθλαση. Ολική ανάκλαση. Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου. Μετατόπιση ακτίνας. Πρίσματα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Ανάκλαση. Κάτοπτρα. Διάθλαση. Ολική ανάκλαση. Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου. Μετατόπιση ακτίνας. Πρίσματα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ Ανάκλαση Κάτοπτρα Διάθλαση Ολική ανάκλαση Φαινόμενη ανύψωση αντικειμένου Μετατόπιση ακτίνας Πρίσματα ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ - Ανάκλαση Επιστροφή σε «γεωμετρική οπτική» Ανάκλαση φωτός ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο. Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Ι) ΚΥΚΛΟΣ 1. Να βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το O(0,0) και ι) διέρχεται από το Α( 4, 3) και ιι) εφάπτεται στην 4x 3y+10=0 2. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης του κύκλου x

Διαβάστε περισσότερα

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών

6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών 6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Να επιλέξετε μια απάντηση για κάθε ερώτηση και να δικαιολογήσετε σύντομα την απάντησή σας. i. Αν η εξωτερική γωνία ενός κανονικού ν-γώνου ισούται με 0 ο, τότε το ν ισούται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ

ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΠΟΛΥΕ ΡΑ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ 2. ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΠΙΠΕ Ο α = µήκος β = πλάτος γ = ύψος δ = διαγώνιος = α. β. γ = Ε β. υ Ε ολ = 2. (αβ + αγ + βγ) 3. ΚΥΒΟΣ = α 3 Ε ολ = 6α 2

Διαβάστε περισσότερα

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός

Φύση του φωτός. Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο. μήκος κύματος φωτός. συχνότητα φωτός Γεωμετρική Οπτική Φύση του φωτός Θεωρούμε ότι το φως έχει διττή φύση: ΚΥΜΑΤΙΚΗ Βασική ιδέα Το φως είναι μια Η/Μ διαταραχή που διαδίδεται στο χώρο Βασική Εξίσωση Φαινόμενα που εξηγεί καλύτερα (κύμα) μήκος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10

ΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10 ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09

Διαβάστε περισσότερα

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2

Ο κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα ρ έχει εξίσωση: B,- 2 A 2 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που απέχουν σταθερή απόσταση από ένα σταθερό σημείο του επιπέδου αυτού. Το σταθερό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων

Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων 9 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Β -- ΓΕΩΜΕΤΡΙΙΑ Κεφάλαιο 1 o Εμβαδά επιπέδων σχημάτων Β. 1. 1 44. Τι ονομάζεται εμβαδόν μιας επίπεδης επιφάνειας και από τι εξαρτάται; Ονομάζεται εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

2. τα ρωμαϊκά, που το λούκι έχει μετασχηματιστεί σε επίπεδο και έχει ενσωματωθεί στο καπάκι

2. τα ρωμαϊκά, που το λούκι έχει μετασχηματιστεί σε επίπεδο και έχει ενσωματωθεί στο καπάκι Οι αριθμοί αντιμετωπίζονται με τον ίδιο τρόπο, αλλά είναι σημαντικό να μελετήσουμε τον τρόπο που σημειώνονται οι αριθμοί που αποδίδουν στα σχέδια τις διαστάσεις του αντικειμένου. Οι γραμμές διαστάσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Βασικά θεωρήματα Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς του είναι ίσο με το γινόμενο της υποτείνουσας επί την προβολή της

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό.

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό. Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α

Διαβάστε περισσότερα

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος.

Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Ενότητα 5 Στερεομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να αναγνωρίζουμε τις σχετικές θέσεις ευθειών και επιπέδων στον χώρο. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν και τον όγκο ορθού πρίσματος. Να υπολογίζουμε το εμβαδόν

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

1,y 1) είναι η C : xx yy 0.

1,y 1) είναι η C : xx yy 0. ΘΕΜΑ Α ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ο δείγμα Α. Αν α, β δύο διανύσματα του επιπέδου με συντελεστές διεύθυνσης λ και λ αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α β λ λ.

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και

ΘΕΜΑΤΑ. β. ΜΗΔ = 45 Μονάδες 5. Θέμα 4 ο Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α = 90 ) με ΑΓ > ΑΒ, η διάμεσός του ΑΖ και έστω Δ και Α. Να χαρακτηρίσετε Σωστές (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: α. Οι διχοτόμοι δύο διαδοχικών και παραπληρωματικών γωνιών σχηματίζουν ορθή γωνία. β. Οι διαγώνιες κάθε παραλληλογράμμου είναι ίσες μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.

5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες. 5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου

Διαβάστε περισσότερα

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180

Διαβάστε περισσότερα

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 4 ΔΙΑΜΕΣΟΣ ΟΡΘΟΓΩΝΙΟΥ ΤΡΙΓΩΝΟΥ 1. Δίνεται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ( ˆ =90 ο ) και ΑΔ η διχοτόμος της γωνίας A. Από το σημείο Δ φέρουμε παράλληλη προς την ΑΒ που τέμνει την πλευρά ΑΓ στο σημείο

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ. (Μέρος πρώτο)

ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ. (Μέρος πρώτο) ΤΕΙ ΛΑΡΙΣΑΣ - Παράρτημα Καρδίτσας ΤΜΗΜΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΞΥΛΟΥ ΕΠΙΠΛΟΥ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΕΧΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΟΥ ΙΙ (Μέρος πρώτο) - ΠΛΑΓΙΑ ΠΡΟΒΟΛΗ - ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ - ΑΝΟΧΕΣ - ΣΥΝΑΡΜΟΓΕΣ ΚΟΛΛΑΤΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10)

και των πλευρών του,,, 1 αντίστοιχα τέτοια, ώστε. 3 Να αποδείξετε ότι: α) / / / /. (Μονάδες 10) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ 04 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ ΘΑΛΗ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ -8975 Δίνεται τρίγωνο ABΓ με AB=9, AΓ=5. Από το βαρύκεντρο φέρνουμε ευθεία παράλληλη στην πλευρά BΓ που τέμνει

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ.

και 2, 2 2 είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ επιπλέον ισχύει Α(3,1), να βρείτε τις συντεταγμένες των κορυφών του Β και Γ. Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ) 8556 ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα και με, και, 3 α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο β) Αν τα διανύσματα γ) Να βρείτε το μέτρο του διανύσματος 8558 ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8)

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) ΘΕΜΑ Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. (Μονάδες 10) γ) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα