ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας,

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας,"

Transcript

1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Εισαγωγή Αυτό που στην εφαρμοσμένη γεωμετρία ονομάζουμε συχνά γραμμική προοπτική είναι ένα σύστημα αναπαράστασης του τρισδιάστατου χώρου σε επιφάνεια δύο διαστάσεων. Η μέθοδος αυτή απεικόνισης έχει πολλά κοινά με την εμπειρική προοπτική, τον τρόπο δηλαδή που οι άνθρωποι αντιλαμβανόμαστε το χώρο και τα αντικείμενα μέσα σ αυτόν. Στην πραγματικότητα, επειδή η προοπτική απεικόνιση βασίζεται στη στατική άποψη ενός σημείου οράσεως και σε γεωμετρικούς υπολογισμούς, επιτυγχάνει μια προσέγγιση μόνο του σύνθετου τρόπου της λειτουργίας της όρασης. Η προοπτική σαν επιστήμη σχετίζεται με την οπτική, δηλαδή τη μελέτη των νόμων της όρασης, επιστήμη που άρχισε και άνθισε στην αρχαία Ελλάδα και τη Ρώμη. Το προοπτικό σύστημα απεικόνισης όμως αναπτύχθηκε και οριστικοποιήθηκε στις αρχές του 15ου αιώνα, με τους πρωτοποριακούς πειραματισμούς του Filippo Brounelesci ( ) και του Leon Battista Alberti ( ). Ο τελευταίος ειδικά θεωρούσε την επιφάνεια προβολής της προοπτικής εικόνας σαν «ανοιχτό παράθυρο, μέσα από το οποίο βλέπουμε το ζωγραφικό θέμα». Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας, εικ. 1 Το τζάμι του καλλιτέχνη Ο Alberti και ο da Vinci αναφέρουν στα κείμενά τους ότι μπορεί κανείς «να ζωγραφίζει μια εικόνα υπό κλίμακα, σχεδιάζοντας το αντικείμενο σε τζάμι». Στην ξυλογραφία του Dürer το τζάμι βρίσκεται σε κορνίζα σε ειδικό τραπέζι, όπου είναι τοποθετημένο ένα μετακινούμενο στόχαστρο. Είναι ο πιο απλός τρόπος κατασκευής ενός προοπτικού εικ. 2 Η εφεύρεση του ντε Κέιζερ Ένα άλλο σύστημα κατασκευής προοπτικού, με τη χρήση μιας ειδικής ακίδας στην άκρη ενός νήματος, στερεωμένου στον τοίχο. ιατηρείται μ αυτό τον τρόπο σταθερή η οπτική γωνία του καλλιτέχνη. 93

2 που αργότερα έγινε διάσημος για το θόλο του καθεδρικού ναού της Φλωρεντίας. Αυτός όμως που ανακάλυψε και μελέτησε τη γεωμετρική βάση της γραμμικής προοπτικής ήταν ο L. B. Alberti, καλλιτέχνης, αρχιτέκτονας, αρχαιογνώστης και γενικά άνθρωπος του πνεύματος. εικ. 3 & 4 Ο κάναβος του Alberti Με τον κάναβο να εξελίσσεται από δισδιάστατο σε τρισδιάστατο, ο Alberti κατάφερε να κάνει τις πρώτες μετρήσεις στις προοπτικές εικόνες Βάσισε το σύστημά του στο ύψος του ανθρώπου, το οποίο όρισε να είναι τρεις πήχεις (περίπου 1,80). Καθόρισε απέναντί του μια κατακόρυφη επιφάνεια προβολής και χώρισε τη γραμμή του εδάφους, τη γραμμή δηλαδή τομής της επιφάνειας του πίνακα προβολής και του εδάφους, σε μέρη ανάλογα με τους πήχεις. Έπειτα όρισε ένα σημείο σύγκλισης στη μεσοκάθετο της γραμμής εδάφους και σε ύψος τριών πήχεων. Ένωσε τέλος κάθε τμήμα ενός πήχη με το σημείο φυγής. Σχηματίζεται τελικά ένας τρισδιάστατος προοπτικός κάναβος, μέσα στον οποίο μπορούν να απεικονιστούν προοπτικά τα σχήματα του χώρου (εικ. 3,4). Αργότερα και άλλοι σημαντικοί καλλιτέχνες ασχολήθηκαν με το θέμα και ανάμεσα σ αυτούς ο Albrecht Dürer και ο Leonardo da Vinci. Σύστημα προβολής εικ. 5 Ο κάναβος του σχεδιαστή Το κατακόρυφο πλαίσιο αποτελείται από μια κορνίζα διαιρεμένη σε τετράγωνα, με νήματα. Ο καλλιτέχνης χρησιμοποιεί ένα χαρτί σχεδίασης, επίσης διαιρεμένο σε τετράγωνα τμήματα, ίδια με του πλαισίου και παρατηρεί το μοντέλο του από ένα στόχαστρο. Η προβολή ενός αντικειμένου επάνω σε ένα επίπεδο από ένα συγκεκριμένο σημείο Ο (καθ υπόσταση), ονομάζεται κεντρική προβολή ή προοπτική εικόνα του αντικειμένου ή απλά προοπτικό (σχ. 6). 94

3 Το σημείο προβολής Ο, ονομάζεται κέντρο προβολής ή σημείο οράσεως ή οπτικό κέντρο. Η επιφάνεια προβολής, είναι συνήθως ένα κατακόρυφο επίπεδο το οποίο ονομάζεται πίνακας. Ο πίνακας τέμνει το οριζόντιο επίπεδο του εδάφους κατά μία ευθεία που, ονομάζεται βάση του πίνακα ή γραμμή του εδάφους (γε) (σχ. 7). Οι ευθείες που ξεκινούν από το κέντρο προβολής και προβάλλουν το αντικείμενο στο πίνακα, ονομάζονται οπτικές ακτίνες. σχ. 6 Το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο οράσεως Ο και είναι παράλληλο στο έδαφος, ονομάζεται επίπεδο του ορίζοντα (σχ. 8). Η τομή του με τον πίνακα προβολής είναι μία ευθεία παράλληλη προς την γραμμή εδάφους (γε), και την ονομάζουμε γραμμή του ορίζοντα (γο). Είναι προφανές ότι η απόσταση της γραμμής του εδάφους από την γραμμή του ορίζοντα, ισούται με το ύψος του παρατηρητή (σχ. 9). Συμβατικά το επίπεδο πίνακα προβολής ονομάζεται Π και το οριζόντιο επίπεδο του εδάφους e 1. σχ. 7 Το οριζόντιο επίπεδο e 1 είναι απαραίτητο στο παραπάνω προβολικό σύστημα για τον καθορισμό του αντικειμένου στο χώρο. Τα διάφορα σημεία του αντικειμένου εξαρτώνται από το e 1 μέσω του υψομέτρου τους. Προοπτικά βασικών σχημάτων του e 1 Προοπτικό ευθείας Προκειμένου να καθορίσουμε το προοπτικό μιας ευθείας α, αρκεί να προσδιορίσομε τα προοπτικά δύο σημείων της. σχ. 8 Θεωρώντας επί της ευθείας α διάφορα σημεία Β, Γ,..., τα προοπτικά τους (Β), (Γ), ( )..., στον πίνακα Π προσδιορίζονται αν τα προβάλλουμε από το Ο επί του επιπέδου Π, δηλαδή στην τομή των οπτικών ακτινών ΟΒ, ΟΓ, Ο κλπ με το Π (σχ. 10). Παρατηρούμε ότι η τυχούσα ευθεία α του οριζοντίου επιπέδου e 1, συναντά τη βάση του πίνακα (γε) σε ένα σημείο Α το οποίο έχει προοπτικό τον εαυτό του, δηλαδή Α=(Α). σχ. 9 95

4 Επίσης παρατηρούμε ότι όσο απομακρυνόμαστε επί της α προς το άπειρο, οι οπτικές ακτίνες από το Ο τείνουν να γίνουν παράλληλες προς το e 1 και την α (σχ. 11). σχ. 10 σχ. 11 Έτσι, η τομή της οπτικής ακτίνας -η οποία είναι παράλληλη στην α- με τον πίνακα Π είναι ένα σημείο της γραμμής του ορίζοντα και ονομάζεται σημείο φυγής Φ1 της α (σχ. 12). Σύμφωνα με τα παραπάνω, προκειμένου να εντοπίσουμε το σημείο φυγής της ευθείας α, αρκεί από το Ο να φέρουμε παράλληλη προς την α και να τμήσουμε το Π. ηλαδή το σημείο φυγής Φ1 τυχούσας ευθείας α του e 1 βρίσκεται στη γραμμή του ορίζοντα (γο), και είναι η τομή της οπτικής ακτίνας (με την οποία προβάλλεται από το Ο το επ άπειρον σημείο Φ της α) με το επίπεδο του πίνακα Π. Ύστερα από την παραπάνω ανάλυση, για να βρούμε το προοπτικό ευθείας α του e 1, που τέμνει τη βάση του πίνακα στο Α=(Α), φέρνουμε την ΟΦ1 παράλληλη με την α και ορίζουμε το Φ1 στη γραμμή του ορίζοντα. Ενώνουμε το Φ1 με το Α=(Α) και η ευθεία Φ1(Α), είναι η προοπτική (α) της α (σχ. 13). σχ. 12 Παρατηρούμε ότι αν Ο είναι η προβολή του σημείου οράσεως Ο στο επίπεδο e 1, η παράλληλη από την προβολή Ο προς την ευθεία α, τέμνει τη βάση του πίνακα στο Φ1, το οποίο είναι η προβολή του σημείου φυγής Φ1 στο επίπεδο του εδάφους (σχ. 14). Έτσι, για να σχεδιάσουμε το σημείο φυγής Φ1 ευθείας α, μπορούμε να φέρουμε την Ο Φ1 παράλληλη στην α και από το σημείο τομής της Φ1 με την γραμμή εδάφους φέρνουμε κάθετη σ αυτή. Το σημείο τομής της κατακόρυφης με τη γραμμή του ορίζοντα είναι το σημείο φυγής Φ1. σχ. 13 σχ. 14 σχ. 15 Κατάκλιση του Π στο e 1 96

5 Προκειμένου να κατασκευάσουμε το προοπτικό της ευθείας στον δισδιάστατο χώρο, κατακλίνουμε το Π στο e 1 περιστρέφοντάς το περί την γραμμή του εδάφους (σχ. 15). Η προοπτική εικόνα (α) της ευθείας α κατασκευάζεται τότε ως εξής: η ευθεία α συναντά τη γραμμή του εδάφους (βάση του πίνακα) στο σημείο Α, το οποίο ταυτίζεται με το προοπτικό του (Α). Η παράλληλη από το Ο προς την α συναντάει την γραμμή εδάφους στο Φ (προβολή του σημείου φυγής). Η κάθετη από το Φ προς τη γραμμή του εδάφους τέμνει την γραμμή του ορίζοντα στο σημείο φυγής Φ. Η ευθεία ΦΑ είναι η (α), προοπτική εικόνα της ευθείας α (σχ. 16,17). σχ. 16 Επειδή, όπως είναι φανερό, όλες οι παράλληλες μεταξύ τους ευθείες έχουν κοινό επ άπειρον σημείο, κατά συνέπεια θα έχουν κοινό σημείο φυγής (σχ. 18). Επίσης παρατηρούμε ότι: η γραμμή του ορίζοντα είναι η ευθεία φυγής του οριζοντίου επιπέδου e 1 (σχ. 19). στη γραμμή του ορίζοντα ανήκουν τα σημεία φυγής όλων των οριζοντίων ευθειών. αν ευθεία α είναι κάθετη στη γε (και στον πίνακα Π), το σημείο φυγής της Φ Ο είναι η ορθή προβολή του Ο στο Π και ονομάζεται πρωτεύον σημείο φυγής (σχ. 20). σχ. 17 σχ. 19 σχ. 18 Παράλληλη μετατόπιση βάσης Προκειμένου να αποφεύγουμε την επικάλυψη του αρχικού σχήματος ενός αντικειμένου και του σχ

6 προοπτικού του, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της παράλληλης μετατόπισης της βάσης (σχ. 21). ιατηρούμε τα δεδομένα: γραμμή εδάφους, γραμμή ορίζοντα και αρχικό σχήμα στην αρχική τους θέση και μεταφέρουμε παράλληλα το προοπτικό με τα σημεία αναφοράς του σε νέα θέση. Η απόσταση γραμμής εδάφους και γραμμής πίνακα δεν μεταβάλλεται. Η παράλληλη μεταφορά γίνεται αποκλειστικά και μόνο για λόγους ευκρίνειας του προοπτικού. Μετά την παράλληλη μεταφορά η αρχική γραμμή του ορίζοντα δεν είναι απαραίτητο να σχεδιάζεται. Προοπτικό σημείου σχ. 21 Αν θεωρήσουμε ότι τυχαίο σημείο Α είναι η τομή δύο ευθειών ρ και σ του e 1, τότε η τομή των δύο προοπτικών ευθειών (ρ) και (σ) μας δίνουν την προοπτική εικόνα του Α (σχ. 22). Για να σχεδιάσουμε λοιπόν το προοπτικό τυχαίου σημείου Α, σχεδιάζουμε πρώτα τα προοπτικά δύο ευθειών που περνούν από το Α και η τομή τους μας δίνει το (Α). Οπτικές ακτίνες Μια άλλη μέθοδος προσδιορισμού του προοπτικού του σημείου Α είναι αυτή των οπτικών ακτινών (σχ. 23). Οπτικές ακτίνες είναι οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο οράσεως O και κάποιο σημείο Α. Προβάλλουν δε τα σημεία του χώρου στον πίνακα Π. Η οπτική ακτίνα ΟΑ και η προβολή της Ο Α στο e 1, ορίζουν ένα κατακόρυφο επίπεδο ΟΑΟ, το οποίο τέμνει τον πίνακα Π κατά την κατακόρυφη ευθεία Α 1 (Α), που διέρχεται από το προοπτικό του Α, δηλαδή το (Α) (σχ. 23). Παρατηρούμε ότι η προβολή Ο Α της οπτικής ακτίνας ΟΑ, τέμνει τη γραμμή του εδάφους σ ένα σημείο Α 1. Η κάθετη από το Α 1 στη γε περνάει από το προοπτικό (Α) του Α (σχ. 24). σχ. 22 Επισημαίνεται ότι η μέθοδος προσδιορισμού ενός σημείου μέσω οπτικής ακτίνας προαπαιτεί να έχει προσδιοριστεί η προοπτική εικόνα του φορέα του σημείου, δηλαδή η προοπτική εικόνα μιας ευθείας στην οποία ανήκει το ζητούμενο σημείο. 98

7 Η μέθοδος αυτή σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να φανεί πολύ χρήσιμη, όπως για παράδειγμα στην περίπτωση του μετωπικού προοπτικού, που θα μελετήσουμε παρακάτω, αλλά και στις περιπτώσεις κατά τις οποίες κάποιο από τα σημεία φυγής βρίσκεται έξω από τη σχεδιαστική επιφάνεια. Προοπτικό τυχαίου σχήματος του επιπέδου Σχεδιάζουμε στο e 1 τυχαίο σχήμα π.χ. ένα τρίγωνο ΑΒΓ, του οποίου ζητάμε την προοπτική εικόνα. σχ. 23 Προεκτείνουμε τις πλευρές του σχήματος ΑΒΓ μέχρι να συναντήσουν τη βάση του πίνακα (γε) στα σημεία 1, 2, και 3, τα οποία σύμφωνα με τα προηγούμενα συμπίπτουν με τις προοπτικές εικόνες τους. Από το Ο φέρνουμε ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου και προσδιορίζουμε τα σημεία Φ1, Φ2 και Φ3 στη γραμμή του εδάφους. Κατόπιν ορίζουμε τα πραγματικά σημεία φυγής Φ1, Φ2 και Φ3 στη γραμμή του ορίζοντα. Βρίσκουμε τα προοπτικά των πλευρών του τριγώνου, ενώνοντας τα σημεία 1 και Φ1, 2 και Φ3, 3 και Φ2. Το προοπτικό του τριγώνου ΑΒΓ σχηματίζεται από τις τομές των ευθειών αυτών (σχ. 25). σχ. 24 σχ

8 Προοπτικό παραλληλογράμμου Προκειμένου να κατασκευαστεί το προοπτικό σχήμα παραλληλογράμμου ΑΒΓ, αρκεί να σχεδιάσουμε τα προοπτικά των τεσσάρων ευθειών των πλευρών του σχήματος. Σύμφωνα με τα παραπάνω, προεκτείνουμε όσες πλευρές του σχήματος δεν τέμνουν ήδη τη γραμμή εδάφους και ορίζουμε τα σημεία 1, 2, 3 και 4. Από το σημείο οράσεως Ο φέρνουμε ευθείες παράλληλες στις πλευρές του παραλληλογράμμου και προσδιορίζουμε τα σημεία φυγής Φ1 και Φ2. Προβάλλοντας τα σημεία 1 και 4 από το Φ1 και 2, 3 από το Φ2, προκύπτει το προοπτικό του σχήματος ΑΒΓ (σχ. 26). σχ. 26 Προοπτικό παραλληλογράμμου - Μετωπικό προοπτικό Είναι μια ειδική περίπτωση του προηγούμενου κεφαλαίου, με το σχήμα μας να έχει πλευρές παράλληλες και κάθετες προς τον πίνακα (σχ. 27). Στην περίπτωση αυτή οι πλευρές ΑΒ και Γ έχουν σημείο φυγής το πρωτεύον σημείο Φ Ο, ενώ οι Α και ΒΓ έχουν σημείο φυγής στο άπειρο. Το προοπτικό λέγεται μετωπικό. Προεκτείνουμε τις ΑΒ και Γ μέχρι να συναντήσουν τη γε στα σημεία 1 και 2 αντίστοιχα. Μπορούμε επομένως να προσδιορίσουμε τις προοπτικές εικόνες των ΑΒ και Γ, όμως δεν μπορούμε να ορίσουμε τα σημεία (Α), (Β), (Γ) και ( ), παρά μόνο με τη μέθοδο των οπτικών ακτίνων. σχ βλ. Παράρτημα Α, παρ. 7 ιαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε προοπτικά ίσα μέρη Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ζητούμε να χωριστεί σε 4 ίσα μέρη στην προοπτική του εικόνα (σχ. 28). Βρίσκουμε την προοπτική εικόνα του φορέα του ΑΒ και με οπτικές ακτίνες προσδιορίζουμε τα προοπτικά σημεία (Α) και (Β) των σημείων Α και Β. Από το σημείο (Α) σχεδιάζουμε οριζόντια ημιευθεία (Α)ε και ορίζουμε σ εκείνη τα 4 ίσα μέρη. Χρησιμοποιούμε δηλαδή την εφαρμογή στην προοπτική του θεωρήματος του Θαλή 1, με τη διαφορά ότι αντί για παράλληλες ευθείες, από 100

9 το σημείο (Β) φέρνουμε προοπτικά παράλληλες ευθείες, δηλαδή συγκλίνουσες στο σημείο φυγής Φ2. Ενώνουμε με το σημείο φυγής Φ2 τα υπόλοιπα τμήματα α της (Α)ε και προσδιορίζουμε τα τμήματα ā, που είναι προοπτικά ίσα μεταξύ τους. Με αντίστοιχο τρόπο μπορούμε να διαιρέσουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε τμήματα ανάλογα, με δοθέντα λόγο. Προοπτικά σχημάτων σε επίπεδα παράλληλα στο e 1 Προοπτικό οριζόντιας ευθείας Μία οριζόντια ευθεία α, που δεν βρίσκεται στο επίπεδο e 1 έχει 1 η προβολή στο επίπεδο e 1 την ευθεία α. Οι ευθείες α και α είναι παράλληλες μεταξύ τους ευθείες στο χώρο, επομένως έχουν κοινό σημείο φυγής Φ1 (σχ. 29). Η ευθεία α τέμνει τη γε στο σημείο 1 και η ευθεία α τέμνει το επίπεδο του πίνακα στο σημείο Μ. Τα σημεία Μ και 1 βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφη ευθεία και ορίζουν το υψόμετρο της ευθείας α από το επίπεδο του εδάφους e 1. Κατακλίνοντας το επίπεδο Π στο e 1, το υψόμετρο z Μ θα παραμείνει ίσο με το πραγματικό υψόμετρο του σημείου Μ από το έδαφος. Επομένως μπορούμε να προσδιορίσουμε την προοπτική εικόνα (α) της ευθείας α, ως εξής: από το σημείο 1, που είναι η τομή της προβολής α της α με τη γραμμή του εδάφους γε, ορίζουμε κατακόρυφα το υψόμετρο z M του σημείου Μ (σχ. 30) και ενώνουμε με το σημείο φυγής Φ1. Η ευθεία Φ1Μ είναι η προοπτική εικόνα (α) της ευθείας α. σχ. 28 σχ. 29 Προοπτικό ορθού πρίσματος 1. Το πρίσμα εδράζεται στο e 1 Αρχικά κατασκευάζουμε το προοπτικό της κάτω βάσης του πρίσματος, ενώνοντας τα σημεία 1 και 3 με το Φ2 και τα 2 και 4 με το Φ1 (σχ. 31). Φέρνουμε κάθετες ευθείες από καθένα από τα σημεία της κάτω βάσης του πρίσματος (Α ), (Β ), (Γ ) και ( ). Από οποιοδήποτε από τα 1, 2, 3 ή 4, έστω το 4, φέρνουμε ευθεία κάθετη στη γε και ορίζουμε το σημείο 5, που σχ

10 απεικονίζει το ύψος h1 του πρίσματος. Ενώνουμε το σημείο 5 με το Φ1. Στην τομή της κάθετης από το ( ) και της 5Φ1 είναι το σημείο ( ), το προοπτικό του σημείου της άνω βάσης του πρίσματος. Στην τομή της Φ1( ) με την κάθετη από το (Γ ) βρίσκεται το σημείο (Γ). Φέρνουμε τη Φ2(Γ) και στην τομή της με την κάθετη από το (Β ) βρίσκεται το σημείο (Β) κ.ο.κ. σχ. 31 Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι στο πρίσμα του σχήματος 31 το ύψος του πρίσματος h1 είναι μικρότερο από το ύψος του ορίζοντα h και ως εκ τούτου ο παρατηρητής βλέπει την άνω βάση του πρίσματος, την έδρα (Α)(Β)(Γ)( ). Αντίθετα, στο σχήμα 32 το ύψος h του ορίζοντα είναι μικρότερο από το ύψος h2 του πρίσματος και ο παρατηρητής δεν βλέπει την άνω βάση του πρίσματος. 2. Το πρίσμα δεν εδράζεται στο e 1 Στην περίπτωση αυτή το πρίσμα δεν εδράζεται στο επίπεδο e 1 του εδάφους, αλλά απέχει απ αυτό υψόμετρο h1 κι έχει ύψος h2 (σχ. 33). σχ. 32 Μπορούμε να εργαστούμε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, ορίζοντας το ύψος h1 σε κάθε κάθετη από τα σημεία 1, 2, 3 και 4, όμως μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το πρίσμα εδράζεται σε ένα νέο έδαφος, που βρίσκεται σε υψόμετρο h1 πάνω από το αρχικό. Έτσι η γε μετατοπίζεται κατά h1, στη γε1. Από εδώ και πέρα εργαζόμαστε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, προσδιορίζοντας τα σημεία 1, 2, 3 και 4, για να κατασκευάσουμε την κάτω βάση του πρίσματος, στη γε1, αντί της γε. σχ

11 εικ. 34 Προοπτικό τυχαίας ευθείας Όπως γνωρίζουμε ήδη, όλες οι οριζόντιες ευθείες έχουν σημεία φυγής πάνω στη γραμμή του ορίζοντα. Οι ευθείες που σχηματίζουν κάποια γωνία ω με το επίπεδο του εδάφους e1 έχουν σημεία φυγής πάνω στο επίπεδο Π του πίνακα, αλλά όχι πάνω στον ορίζοντα. Σε οποιαδήποτε περίπτωση ισχύει η συνθήκη που ισχύει και για τις οριζόντιες ευθείες, ότι δηλαδή οι παράλληλες μεταξύ τους ευθείες του χώρου έχουν κοινό σημείο φυγής. Η τυχαία ευθεία α έχει προβολή την α στο επίπεδο e1 και έστω ότι τέμνει το επίπεδο του πίνακα στο σημείο 12 (σχ. 35), όπως και η προβολή της α. Η ευθεία α σχηματίζει με το e1 (επομένως και με την α ) γωνία ω, που αναπαριστά την κλίση της ευθείας α ως προς το επίπεδο e1. Για να προσδιορίσουμε το επ άπειρον σημείο της α, το σημείο φυγής της α, φέραμε από το Ο ευθεία παράλληλη στην α, που τέμνει τον πίνακα στο σημείο Φ. Όμοια, για να βρούμε το σημείο φυγής της α, φέρνουμε από το Ο ευθεία παράλληλη στην α, που τέμνει τον πίνακα στο σημείο Φα. Η 2. Επειδή όλες οι παράλληλες μεταξύ τους ευθείες έχουν κοινό σημείο φυγής, για τον προσδιορισμό του χρησιμοποιούμε μία από το σύνολο ευθειών, με ιδιότητα να τέμνει τον πίνακα σε σημείο 1 της βάσης του σχ

12 γωνία Φ α ΟΦ είναι ίση με τη γωνία ω, λόγω των παραλλήλων φορέων τους. Το σημείο Φ α είναι το σημείο φυγής της α, η δε προοπτική εικόνα (α) της α είναι η ευθεία Φ α 1. σχ. 36 Η γωνία ω βρίσκεται στο χώρο και δεν μπορούμε στις δύο διαστάσεις μιας σχεδιαστικής επιφάνειας να προσδιορίσουμε το σημείο φυγής της α. Πρέπει επομένως να την μεταφέρουμε σε κάποιο από τα επίπεδα e 1 ή Π. Μεταφέρουμε τη γωνία Φ α ΟΦ στον πίνακα Π (σχ. 36), γράφοντας τόξο κύκλου με κέντρο το σημείο Φ και ακτίνα r=φο. Το σημείο Ο μεταφέρεται στο σημείο Τ. Η γωνία ω βρίσκεται τώρα στο επίπεδο Π και είναι η Φ α ΤΦ. Προβάλλουμε το τόξο (Φ,r) και το σημείο Τ στο επίπεδο e 1, στα (Φ,r) και Τ. Μετά την κατάκλιση του Π στο e 1 και την παράλληλη μετατόπιση, έχουμε την εικόνα του σχήματος 37. Έχοντας την ευθεία α μέσω της προβολής της α, βρίσκουμε το σημείο φυγής Φ της α και την προβολή του Φ. Με κέντρο Φ και ακτίνα r=φ Ο γράφουμε τόξο κύκλου, που τέμνει τη γε στο σημείο Τ. Μεταφέρουμε το Τ στη δεύτερη γε και σχηματίζουμε εκεί τη γνωστή γωνία ω. Παρατηρούμε ότι σχηματίζονται δύο γωνίες ω συμμετρικές, με άξονα συμμετρίας την γε. Ο φορέας της άνω γωνίας ω τέμνει την κατακόρυφη από το σημείο φυγής Φ στο σημείο φυγής Φ α 1 της α1. Η κάτω γωνία ω δίνει το σημείο φυγής Φ α 2 της α2, η οποία είναι στο χώρο συμμετρική της α1 ως προς το επίπεδο e 1. σχ. 37 σχ

13 Θεωρήσαμε αρχικά ότι η κεκλιμένη ευθεία α έχει σημείο τομής με τον πίνακα Π ακριβώς πάνω στην γε. Μια οποιαδήποτε ευθεία β, παράλληλη της α, θα έχει το ίδιο σημείο φυγής με την α, οπότε για τον προσδιορισμό του σημείου φυγής της β μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ευθεία α. Ο προσδιορισμός των σημείων φυγής κεκλιμένων ευθειών εφαρμόζεται όταν το αντικείμενο που θέλουμε ν απεικονίσουμε προοπτικά, περιλαμβάνει στέγες, ράμπες, όπως επίσης σκάλες με πολλά σκαλοπάτια, όπου είναι χρήσιμος ο προσδιορισμός του σημείου φυγής των ευθειών που ενώνουν τα άνω και κάτω σημεία των υψών (ριχτιών) των σκαλοπατιών (σχ. 38). Μια ακόμη εφαρμογή είναι σε θέματα σκιαγραφίας σε προοπτικές απεικονίσεις 3. σχ. 39 Προοπτικό κύκλου σχ. 40 Η προοπτική εικόνα ενός κύκλου είναι γενικά έλλειψη, αλλά αυτό εξαρτάται από τη θέση του παρατηρητή και του πίνακα. Ορίζουμε ένα επίπεδο παράλληλο στον πίνακα, που να περνά από το σημείο οράσεως. Η τομή του με το επίπεδο του εδάφους είναι η ευθεία γπ (σχ. 39). Εάν η ευθεία γπ δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τον κύκλο, η προοπτική εικόνα του είναι έλλειψη. Εάν η ευθεία γπ έχει ένα κοινό σημείο με τον κύκλο (σχ. 40), είναι δηλαδή εφαπτόμενη στον κύκλο, τότε η προοπτική εικόνα του κύκλου είναι τμήμα παραβολής. Τέλος, αν η ευθεία γπ τέμνει τον κύκλο σε πάνω από ένα σημεία (σχ. 41), τότε η προοπτική εικόνα του κύκλου είναι τμήμα ενός σκέλους υπερβολής. σχ Προοπτικό κύκλου του επιπέδου e 1 Είτε εργαζόμαστε σε μετωπικό προοπτικό, είτε σε προοπτικό δύο σημείων φυγής Φ1 και Φ2, κατασκευάζουμε το περιγεγραμμένο τετράγωνο του κύκλου ΑΒΓ, του οποίου προσδιορίζουμε την προοπτική εικόνα (Α)(Β)(Γ)( ) (σχ. 42,43). Γράφουμε τις διαγωνίους (Α)(Γ) και (Β)( ). Από την τομή των διαγωνίων ενώνουμε με τα σημεία φυγής (στο μετωπικό προοπτικό ενώνουμε με το Φ Ο και φέρνουμε τη δεύτερη ευθεία παράλληλη στην 3. βλ. Σκιαγραφία, Σκιαγραφία στην προοπτική σχ

14 γε). Μ αυτό τον τρόπο ορίζουμε τα σημεία επαφής της έλλειψης στις πλευρές του περιγεγραμμένου προοπτικού του τετραγώνου ΑΒΓ. Τα τέσσερα αυτά σημεία επαφής δεν είναι γενικά αρκετά, ως εκ τούτου προσδιορίζουμε και τα σημεία τομής της έλλειψης με τις διαγωνίους (Α)(Γ) και (Β)( ): στο προοπτικό δύο σημείων, όπου η (Α)(Β) δεν είναι παράλληλη στη γε, κατασκευάζουμε από το (Β) ευθεία παράλληλη στη γε, μέχρι να τμήσει την προέκταση της (Α)( ) στο σημείο Σ (σχ. 42). Γράφουμε ημικύκλιο με κέντρο το μέσο του Σ(Β) και διάμετρο Σ(Β). Σχεδιάζουμε τις ακτίνες που σχηματίζουν γωνίες 45 Ο με την Σ(Β) και φέρνουμε κάθετες στη γε ευθείες. Ενώνουμε με το σημείο φυγής Φ2. στο μετωπικό προοπτικό, όπου η (Α)(Β) είναι ευθεία παράλληλη στη γε, γράφουμε ημικύκλιο με κέντρο το μέσο της και διάμετρο το μήκος της (Α)(Β) (σχ. 43). Σχεδιάζουμε τις ακτίνες που σχηματίζουν γωνίες 45 Ο με την (Α)(Β) και φέρνουμε κάθετες στη γε ευθείες. Ενώνουμε με το σημείο φυγής Φ Ο. Γνωρίζοντας πλέον 8 σημεία (και στις δύο περιπτώσεις) της έλλειψης, η κατασκευή της γίνεται σχετικά εύκολα με γραφικό τρόπο. 2. Προοπτικό κατακόρυφου κύκλου σχ. 43 Η προβολή του κύκλου και του περιγεγραμμένου σ αυτόν τετραγώνου έχουν προβολή στο e 1 ένα ευθύγραμμο τμήμα, όπου τα σημεία Α, και Β, Γ ταυτίζονται (σχ. 44). Κατασκευάζουμε την προοπτική εικόνα (Α)(Β) της κάτω πλευράς ΑΒ του περιγεγραμμένου τετραγώνου και στο σημείο 1 υψώνουμε κατά h=αβ. Προσδιορίζουμε και τα σημεία (Γ) και ( ), χαράσσουμε τις διαγωνίους (Α)(Γ) και (Β)( ) και χρησιμοποιούμε την πλευρά (Α)( ) ακριβώς όπως και στα προηγούμενα παραδείγματα για να προσδιορίσουμε τα 8 σημεία από τα οποία διέρχεται η έλλειψη, η προοπτική εικόνα του κατακόρυφου κύκλου. Στην ειδική περίπτωση που ο κύκλος βρίσκεται σε μετωπικό επίπεδο, η προοπτική του εικόνα είναι κύκλος. σχ

15 3. Προοπτικό κύκλου σε τυχαίο επίπεδο Σ αυτή την περίπτωση το περιγεγραμμένο του κύκλου τετράγωνο προβάλλεται στο επίπεδο e 1 στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Α Β Γ (σχ. 45). Κατασκευάζουμε την προοπτική εικόνα του ΑΒΓ και προεκτείνουμε τις κεκλιμένες πλευρές (Α)( ) και (Β)(Γ) μέχρι να τμήσουν την κατακόρυφη από το Φ1, προσδιορίζοντας έτσι το σημείο φυγής τους Φ. Γράφουμε τις διαγωνίους (Α)(Γ) και (Β)( ) και ενώνουμε την τομή τους με τα Φ και Φ2. Από το σημείο (Α) φέρνουμε ευθεία παράλληλη στη γε μέχρι να τμήσει την προέκταση της Φ1(Β) στο σημείο Ρ και κατασκευάζουμε ημικύκλιο με κέντρο το μέσο του (Α)Ρ και διάμετρο (Α)Ρ. Παρατηρούμε ότι η ευθεία που ενώνει το μέσο της (Α)Ρ με το Φ1 διέρχεται από το σημείο 1, το οποίο είναι το σημείο της (Α)(Β) όπου καταλήγει η προοπτική εικόνα της διαμέτρου του κύκλου από το Φ. Σχεδιάζουμε τις ακτίνες που σχηματίζουν γωνίες 45 Ο με την (Α)Ρ και φέρνουμε κάθετες στην (Α)Ρ ευθείες. Ενώνουμε με το σημείο φυγής Φ1 και προσδιορίζουμε τα σημεία 2 και 3, τα οποία ενώνουμε με το Φ. Ορίζουμε μ αυτό τον τρόπο τα 8 βασικά σημεία της έλλειψης και τη σχεδιάζουμε γραφικά. σχ. 45 Προοπτικά στερεών σχημάτων Από τα βασικά στερεά σχήματα, αυτά που παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον και κάποιες ιδιαιτερότητες στην κατασκευή της προοπτικής εικόνας τους είναι ο κύλινδρος, ο κώνος και η σφαίρα. Προοπτικό κυλίνδρου 1. Κατακόρυφος κύλινδρος Η προοπτική εικόνα ορθού κατακόρυφου κυλίνδρου κατασκευάζεται ξεκινώντας από την κατασκευή των προοπτικών της κάτω και άνω βάσης του, που είναι κύκλοι σε παράλληλα οριζόντια επίπεδα. Κατασκευάζουμε το προοπτικό της κάτω βάσης, όπως είδαμε παραπάνω, προσδιορίζουμε το σχ

16 προοπτικό του περιγεγραμμένου τετραγώνου της άνω βάσης και μεταφέρουμε κατακόρυφα τα 8 σημεία ορισμού της έλλειψης της κάτω βάσης στους αντίστοιχους φορείς της άνω βάσης. Οι ακραίες γενέτειρες ορίζονται από τα κατακόρυφα επίπεδα που εφάπτονται στις βάσεις του κυλίνδρου (σχ. 46). Για να προσδιορίσουμε τα σημεία επαφής Μ και Ν, φέρνουμε από το Ο (σχ. 47) τις εφαπτόμενες στην προβολή των βάσεων του κυλίνδρου 4, οι οποίες είναι ταυτόχρονα οι οπτικές ακτίνες των σημείων επαφής Μ και Ν. σχ βλ. Παράρτημα Α, παρ

17 Ένας άλλος τρόπος να προσδιορίσουμε τα Μ και Ν είναι να βρούμε τις εφαπτόμενες των ελλείψεων των βάσεων μέσω της ευθείας Pascal, γνωρίζοντας ότι η διεύθυνση των γενετειρών είναι κατακόρυφη Οριζόντιος κύλινδρος Ο οριζόντιος ορθός κύλινδρος εδράζεται στο επίπεδο e 1 και για να βρούμε την προοπτική του εικόνα κατασκευάζουμε κατ αρχήν τις προοπτικές εικόνες των βάσεών του, που είναι κύκλοι σε δύο κατακόρυφα επίπεδα. σχ. 48 Οι ακραίες γενέτειρες ορίζονται από τα δύο κεκλιμένα επίπεδα, που φαίνονται στο σχήμα 48 και περνούν από το σημείο οράσεως. σχ βλ. Παράρτημα Α, παρ

18 Αρκεί επομένως να προσδιορίσουμε τα σημεία Μ και Ν στη μία από τις δύο βάσεις του κυλίνδρου, για να ορίσουμε τις ακραίες γενέτειρες συγκλίνουσες προς το σημείο φυγής Φ1 (σχ. 49). Όπως φαίνεται στο σχήμα 48, το σημείο Τ είναι η προβολή του σημείου οράσεως Ο στο επίπεδο Π, το οποίο είναι το επίπεδο της μίας βάσης του κυλίνδρου. Το σημείο Τ απέχει από τη βάση του πίνακα απόσταση ίση με την ΟΟ, δηλαδή ίση με το ύψος της γραμμής του ορίζοντα από τη γραμμή εδάφους. Έχοντας την προβολή του κυλίνδρου στο e 1 (σχ. 49), προεκτείνουμε τη μία από τις δύο ευθείες της βάσης του κυλίνδρου και κάνουμε κατάκλιση του επιπέδου Π στο επίπεδο e 1. Ορίζουμε την απόσταση ΤΤ Ο ίση με το ύψος του ορίζοντα. Από το σημείο Τ Ο φέρνουμε τις εφαπτόμενες στον κύκλο της βάσης του κυλίνδρου 6 και προσδιορίζουμε τα Μ Ο και Ν Ο, τα οποία προβάλλουμε (ανακλίνουμε) στην προβολή της βάσης και ορίζουμε τα Μ και Ν. Φέρνουμε τέλος τις οπτικές ακτίνες προς τα Μ και Ν για να ορίσουμε τις προοπτικές εικόνες (Μ) και (Ν) των Μ και Ν (σχ. 49). Και σ αυτή την περίπτωση μπορούμε να βρούμε τις εφαπτόμενες στις ελλείψεις των βάσεων του κυλίνδρου μέσω της ευθείας Pascal 7, θεωρώντας ότι φέρνουμε ευθείες εφαπτόμενες σε ελλείψεις από το σημείο Φ1. Προοπτικό κώνου Η προοπτική εικόνα ενός κώνου προκύπτει από την προοπτική εικόνα της καμπύλης της βάσης του, όταν αυτή ενωθεί με το προοπτικό της κορυφής του. Όταν η βάση του κώνου είναι κύκλος του e 1, εργαζόμαστε όπως στα προηγούμενα παραδείγματα, για να προσδιορίσουμε το προοπτικό της καμπύλης της βάσης του. Το τμήμα του κώνου που ο παρατηρητής «βλέπει» (σχ. 50) ορίζεται από τα κεκλιμένα εφαπτόμενα επίπεδα προς τη βάση του κώνου, τα οποία περνούν από το σημείο οράσεως Ο. Τα σημεία Μ και Ν είναι τα σημεία των εφαπτομένων της βάσης του κώνου από το σημείο Σ, που ορίζεται σαν το ίχνος της ΚΟ στο επίπεδο της βάσης του κώνου. Σύμφωνα με τα μέχρι τώρα γνωστά, κατασκευάζουμε το προοπτικό της βάσης του σχ βλ. Παράρτημα Α, παρ βλ. Παράρτημα Α, παρ

19 κώνου και της κορυφής του (σχ. 51). Ενώνουμε τα σημεία Ο και Κ στην προβολή του κώνου και από το σημείο Κ φέρνουμε ευθεία κάθετη στην ΚΟ. Στην ευθεία αυτή υπολογίζουμε το ύψος του κώνου και ορίζουμε το σημείο Κ Ο. Από το σημείο Ο φέρνουμε ευθεία κάθετη στην ΚΟ, υπολογίζουμε το ύψος του σημείου Ο (δηλαδή το ύψος του ορίζοντα) και ορίζουμε το σημείο Ο Ο. Ενώνουμε τα Κ Ο και Ο Ο και προεκτείνουμε μέχρι η ευθεία να τμηθεί με την ΚΟ στο σημείο Σ. Από το Σ φέρνουμε τις εφαπτόμενες στον κύκλο της βάσης του κώνου 8 και ορίζουμε τα σημεία επαφής Μ και Ν. Βρίσκουμε τις προοπτικές εικόνες των Μ και Ν με οπτικές ακτίνες. σχ βλ. παράρτημα Α, παρ

20 Κι εδώ μπορούμε να προσδιορίσουμε τις ακραίες γενέτειρες του κώνου με την ευθεία Pascal 9, ως ευθείες εφαπτόμενες στην έλλειψη από το σημείο (Κ) της κορυφής του κώνου. Προοπτικό σφαίρας Η προοπτική εικόνα μιας σφαίρας είναι γενικά έλλειψη, όμως αυτό εξαρτάται από τη θέση του παρατηρητή και του πίνακα, όπως και στην περίπτωση του προοπτικού κύκλου. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να απεικονίσουμε προοπτικά μια σφαίρα. Είναι όλοι προσεγγιστικοί και αποσκοπούν στην κατασκευή της καμπύλης u, που είναι η αλληλοτομία της σφαίρας και του οπτικού κώνου (σχ. 52). Σύμφωνα με τη μέθοδο που συνήθως χρησιμοποιούμε για την κατασκευή της προοπτικής εικόνας μιας σφαίρας, αρκεί να κατασκευάσουμε τις προοπτικές εικόνες των κύκλων c 1, c 2, c 3 που προκύπτουν από την τομή της σφαίρας με διάφορα (σε τυχαίες θέσεις) μετωπικά ή οριζόντια επίπεδα και να κατασκευάσουμε την περιβάλλουσα καμπύλη, δηλαδή την έλλειψη που εφάπτεται στις (c 1 ), (c 2 ), (c 3 ) Μεταξύ της επιλογής οριζοντίων ή μετωπικών επιπέδων τομής της σφαίρας, εδώ θα προτιμήσουμε να μελετήσουμε τα μετωπικά επίπεδα, διότι αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν και στον υπολογισμό της σκιάς της σφαίρας 10. Κατ αρχήν προσδιορίζουμε την προοπτική εικόνα (s) του οριζόντιου κύκλου s της σφαίρας, χρησιμοποιώντας το περιγεγραμμένο τετράγωνο που είναι παράλληλο στη γε (σχ. 53). Κάθετα στη διάμετρο ΜΝ ορίζουμε διάφορα τυχαία μετωπικά επίπεδα, τα οποία τέμνουν τη σφαίρα στους κύκλους c, c 1, c 2. Οι μετωπικοί κύκλοι που δημιουργούνται, έχουν τα κέντρα τους Κ, Κ 1, Κ 2 στη διάμετρο ΜΝ και εφάπτονται στον οριζόντιο κύκλο s στα Α, Α 1, Α 2. Με οπτικές ακτίνες βρίσκουμε τα προοπτικά σημεία (Κ), (Κ 1 ), (Κ 2 ) των κέντρων στη (Μ)(Ν) και χαράσσουμε τις οριζόντιες ευθείες διαμέτρους των c, c 1, c 2. Οι κύκλοι c, c 1, c 2 απεικονίζονται προοπτικά στους κύκλους, (c), (c 1 ), (c 2 ). σχ βλ. παράρτημα Α, παρ βλ. Σκιαγραφία, σκιαγραφία στην προοπτική, Σκιά σφαίρας 112

21 Η περιβάλλουσα είναι η καμπύλη που εφάπτεται στους κύκλους (c), (c 1 ), (c 2 ) και προσδιορίζεται κατά προσέγγιση. Άλλος τρόπος προσδιορισμού του προοπτικού σφαίρας είναι μέσω του θεωρήματος του Dandelin 11. σχ βλ. παράρτημα Β 113

22 Σχετικές θέσεις παρατηρητή, αντικειμένου, πίνακα και ορίζοντα σχ. 54 Το οπτικό εύρος του ανθρώπινου ματιού έχει υπολογιστεί περίπου στις 93 Ο. Για το λόγο της σχεδιαστικής απλούστευσης, θεωρούμε το οπτικό εύρος στις 90 Ο. Μέσα σ αυτή τη γωνία των 90 Ο πρέπει να βρίσκεται το αντικείμενο, του οποίου την προοπτική εικόνα ζητούμε να σχεδιάσουμε. Φροντίζουμε όμως να μην χρησιμοποιούμε ολόκληρο αυτό το εύρος, αλλά μόνο τις κεντρικές 30 Ο -45 Ο (σχ. 54). Στην αντίθετη περίπτωση η προοπτική εικόνα του αντικειμένου παρουσιάζει έντονη παραμόρφωση (σχ. 55). Παρατηρούμε ότι αν σχεδιάσουμε τις οπτικές ακτίνες που περνούν από τα άκρα του αντικειμένου, σχηματίζεται πάνω στον πίνακα το μέγιστο πλάτος α της προοπτικής εικόνας (σχ. 56). Μ αυτό τον τρόπο μπορούμε ευθύς εξ αρχής να γνωρίζουμε το μέγεθος της προοπτικής εικόνας, τουλάχιστον κατά το πλάτος. Παρατηρούμε επίσης ότι αν ο πίνακας τέμνει το αντικείμενο και αφήνεται κάτω από τον πίνακα μέγεθος β, κατά την παράλληλη μετατόπιση, αφήνοντας χώρο περίπου ίσο με β από την άκρη της σχεδιαστικής επιφάνειας, το προοπτικό δεν κινδυνεύει να βρεθεί εκτός της σχεδιαστικής επιφάνειας (σχ. 56). Η θέση του πίνακα, δηλαδή της γραμμής του εδάφους γε, μπορεί να βρίσκεται ανάμεσα σχ. 55 σχ. 56 σχ

23 στον παρατηρητή και το αντικείμενο, πίσω από το αντικείμενο, ή να τέμνει το αντικείμενο. Η θέση του πίνακα έχει να κάνει κυρίως με το μέγεθος της προοπτικής εικόνας. Όσο πιο κοντά βρίσκεται ο πίνακας στον παρατηρητή, τόσο το προοπτικό μικραίνει, ενώ όσο ο πίνακας απομακρύνεται από τον παρατηρητή, η προοπτική εικόνα μεγαλώνει (σχ. 54,57). Ανακλάσεις στο προοπτικό Ανάκλαση ονομάζουμε τον αντικατοπτρισμό ενός αντικειμένου σε ανακλαστική επιφάνεια. Το θέμα των αντικατοπτρισμών παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον, γιατί μας δίνει τη δυνατότητα να «δούμε» τις πλευρές των αντικειμένων που στην πραγματικότητα δεν βλέπουμε (εικ. 58) και ταυτόχρονα ολοκληρώνουν τις προοπτικές εικόνες. Η θεμελιώδης πρόταση της θεωρίας των επιπέδων κατόπτρων αναφέρει ότι η γωνία προσπτώσεως μιας φωτεινής ή οπτικής ακτίνας στην κατοπτρική επιφάνεια είναι ίση με τη γωνία ανακλάσεώς της (σχ. 59). Η ανάκλαση γίνεται σε επίπεδο κάθετο στο επίπεδο της κατοπτρικής επιφάνειας και περιέχει τη φωτεινή ή οπτική ακτίνα. Για το λόγο αυτό κάθε αντικείμενο και η ανάκλασή του σε επίπεδο κάτοπτρο είναι σχήματα συμμετρικά ως προς την κατοπτρική επιφάνεια. Η γωνία προσπτώσεως ω είναι η γωνία που σχηματίζει η φωτεινή/οπτική ακτίνα με την κατακόρυφη της κατοπτρικής επιφάνειας στο σημείο πρόσπτωσης. ιακρίνουμε δύο περιπτώσεις θέσης κατοπτρικών επιφανειών: εικ. 58 Salvador Dali, Ατελείωτη στερεοσκοπική εικόνα, 1973 σχ. 59 εικ. 60 εικ

24 1. 2. Κατακόρυφη κατοπτρική επιφάνεια, π.χ. ένας καθρέφτης (εικ. 58) Οριζόντια κατοπτρική επιφάνεια, π.χ. επιφάνεια του νερού (εικ. 60), γυαλισμένη επιφάνεια (εικ. 61). 1. Ανάκλαση σε κατακόρυφη επιφάνεια σχ. 62 Όταν η ανακλαστική επιφάνεια είναι κατακόρυφη το πραγματικό αντικείμενο και ο αντικατοπτρισμός του έχουν στην προοπτική εικόνα προοπτικά ίσες διαστάσεις. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι ο αντικατοπτρισμός του αντικειμένου φαίνεται μικρότερος από το ίδιο το αντικείμενο, εφ όσον βρίσκεται μακρύτερα από τον παρατηρητή (σχ. 62). Κατασκευάζουμε το προοπτικό του παραλληλεπιπέδου του βιβλίου και στον οριζόντιο άξονα του καθρέφτη και στο υψόμετρο της κάτω βάσης του, ορίζουμε το σημείο Β Μ στην τομή του άξονα με την ΒΦ1 (σχ. 63). Ορίζουμε το σημείο Α Μ στην τομή της ΑΦ1 με τον κάθετο άξονα του καθρέφτη, που περνά από το Β Μ. Το σημείο Μ είναι το προοπτικό μέσο της Α Μ Β Μ. Φέρνουμε την ΑΜ, προεκτείνουμε μέχρι να τμήσει την ΒΦ1 και ορίζουμε το σημείο Β Κ. Με τον ίδιο τρόπο ορίζουμε το Α Κ, στην τομή των ΒΜ και ΑΦ1. Το τετράπλευρο ΑΒΑ Κ Β Κ είναι προοπτικό ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, επομένως η Α Κ Β Κ είναι ο προοπτικός αντικατοπτρισμός της ΑΒ. σχ. 63 Αυτή η μέθοδος δίνει τους αντικατοπτρισμούς των αντικειμένων απ ευθείας στην προοπτική εικόνα. Μπορούμε όμως να προσδιορίσουμε τον αντικατοπτρισμό ενός αντικειμένου στην πρώτη προβολή του (κάτοψη) και να το απεικονίσουμε προοπτικά σαν να ήταν ξεχωριστό αντικείμενο. 2. Ανάκλαση σε οριζόντια επιφάνεια Θεωρούμε ότι η οριζόντια επιφάνεια έδρασης του βιβλίου του προηγούμενου παραδείγματος είναι κι αυτή ανακλαστική (σχ. 62). Για να προσδιορίσουμε την αντικατοπτρική εικόνα του σημείου (σχ. 64), κατασκευάζουμε την Γ Κ στην προέκταση της Γ και ίση με την Γ. σχ

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Προοπτική Αξονομετρία Ορθές προβολές «κατ εκδοχήν»

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Προοπτική Αξονομετρία Ορθές προβολές «κατ εκδοχήν» ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σκοπός της παραστατικής Γεωμετρίας είναι η απεικόνιση των δισδιάστατων και των τρισδιάστατων αντικειμένων στο επίπεδο, δηλαδή στο χαρτί σχεδίασης. Αναλύοντας τα δισδιάστατα και τα τρισδιάστατα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες

ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ. Γενικές αρχές και έννοιες ΣΚΙΑΓΡΑΦΙΑ Γενικές αρχές και έννοιες Στο σύστημα προβολής κατά Monge δεν μας δίνεται η δυνατότητα ν αντιληφθούμε άμεσα τα αντικείμενα του χώρου, παρά μόνο αφού συνδυάσουμε τις δύο προβολές του αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ

ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΕΙΚΟΝΕΣ Η προοπτική εικόνα, είναι, όπως είναι γνωστό, η προβολή ενός χωρικού αντικειμένου, σε ένα επίπεδο, με κέντρο προβολής, το μάτι του παρατηρητή. Η εικόνα αυτή, θεωρούμε ότι αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή

ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Εισαγωγή ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Εισαγωγή Η προβολή τρισδιάστατου αντικειμένου πάνω σε δισδιάστατη επιφάνεια αποτέλεσε μια από τις βασικές αναζητήσεις μεθόδων απεικόνισης και απασχόλησε από πολύ παλιά τους ανθρώπους. Με την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ.

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ. ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ ΜΕΣΩ ΑΝΑΚΛΑΣΕΩΝ ΣΕ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ. Πρόκειται για εικόνες τις οποίες μπορούμε να παρατηρήσουμε χρησιμοποιώντας κατάλληλες ανακλαστικές επιφάνειες, οι οποίες συνήθως είναι κωνικές ή κυλινδρικές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση της ενότητας αυτής ο/η μαθητής/τρια πρέπει: 1. Να σχεδιάζει γεωμετρικές καμπύλες (ελλειψοειδή, ωοειδή, παραβολή, υπερβολή, έλικα, σπείρα) εφαρμόζοντας τους

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D

Φύλλο 2. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D 1 Φύλλο 2 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry 3D Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο με το αντίστοιχο λογισμικό του Cabri II. Περιέχει γενικές εντολές και εικονίδια που συμπεριλαμβάνουν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Με τη συμπλήρωση του στόχου αυτού θα μπορείτε να: Σχεδιάζετε τρίγωνα, τετράπλευρα και πολύγωνα. ΓΕΝΙΚΑ: Οι γεωμετρικές κατασκευές εφαρμόζονται στην επίλυση σχεδιαστικών προβλημάτων

Διαβάστε περισσότερα

6 Γεωμετρικές κατασκευές

6 Γεωμετρικές κατασκευές 6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΡΟΟΠΤΙΚΟΥ ΣΕ ΠΛΑΓΙΟ ΠΙΝΑΚΑ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ CAD

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΠΡΟΟΠΤΙΚΟΥ ΣΕ ΠΛΑΓΙΟ ΠΙΝΑΚΑ ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ CAD ΣΕ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ CAD Σύμφωνα με τους ορισμούς, το προοπτικό είναι η κεντρική προβολή (από τη θέση του ματιού του παρατηρητή) ενός σχήματος πάνω στο επίπεδο του πίνακα. Οι παράλληλες ευθείες του αρχικού σχήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές Τομές: Η Γεωμετρία των Σκιών. Κοινή εργασία με τους Σπύρο Στίγκα και Δημήτρη Θεοδωράκη

Κωνικές Τομές: Η Γεωμετρία των Σκιών. Κοινή εργασία με τους Σπύρο Στίγκα και Δημήτρη Θεοδωράκη Κωνικές Τομές: Η Γεωμετρία των Σκιών Κοινή εργασία με τους Σπύρο Στίγκα και Δημήτρη Θεοδωράκη Ιστορικά Η μεταφορά αντικειμένων του Χώρου των τριών διαστάσεων στο επίπεδο έχει τις ρίζες της στην προϊστορική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ Ιστορικά Στις αρχές του 16 ου αιώνα ήταν ήδη γνωστές οι αρχές της γραμμικής προοπτικής, περίπου όπως την ξέρουμε σήμερα. Την περίοδο αυτή καλλιτέχνες, γλύπτες και αρχιτέκτονες άρχισαν να πειραματίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η

Γεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας.

τ και τ' οι ημιπερίμετροι των βάσεων, Β και β τα εμβαδά των βάσεων, υ το ύψος και υ' το παράπλευρο ύψος της πυραμίδας. ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 12 ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ 1. Αν τυχαία πυραμίδα τμηθεί με επίπεδο παράλληλο στη βάση της, έχουμε: KA/KA' = KB/KB' = ΚΓ/ΚΓ' = ΚΗ/Κ'Η' = λ και ΑΒΓ Α'Β'Γ' με λόγο ομοιότητας λ. 2. Μέτρηση κανονικής πυραμίδας:

Διαβάστε περισσότερα

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ

2 Β Βάσεις παραλληλογράµµου Βαρύκεντρο Γ Γεωµετρική κατασκευή Γεωµετρικός τόπος (ς) Γωνία Οι απέναντι πλευρές του. Κέντρο βάρους τριγώνου, δηλ. το σηµ 1 ΛΕΞΙΚΟ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΟΡΩΝ Α Ακτίνιο Ακτίνα κύκλου Ακτίνα σφαίρας Άκρα ευθύγραµµου τµήµατος Αµβλεία γωνία Αµβλυγώνιο Ανάλογα ευθύγραµµα τµήµατα Αντιδιαµετρικό σηµείο Αντικείµενες ηµιευθείες Άξονας συµµετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

β. Πιο κάτω από τη βάση τοποθετούμε το εστιακό σημείο του παρατηρητή, σε κάτοψη.

β. Πιο κάτω από τη βάση τοποθετούμε το εστιακό σημείο του παρατηρητή, σε κάτοψη. Προβολές σε άλλα επίπεδα - Προοπτικές απεικονίσεις Μπορεί να γίνει προβολή ως προς σημείο το οποίο μπορεί να είναι το ανθρώπινο μάτι, ή ακριβέστερα το εστιακό σημείο του ανθρώπινου ματιού: Η απεικόνιση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 3. Δράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad. Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II

Φύλλο 3. Δράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad. Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II Φύλλο 3 1 ράσεις με το λογισμικό The geometer s Sketchpad Το περιβάλλον του λογισμικού αυτού είναι παρόμοιο μ εκείνο του Cabri II όμως έχει τη δικιά του φιλοσοφία και το δικό του τρόπο συνεργασίας με το

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ

1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Βασικές Γεωμετρικές Έννοιες ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Μια τεντωμένη κλωστή με άκρα δύο σημεία Α και Β μας δίνει μια εικόνα της έννοιας του.. Τα σημεία Α και Β λέγονται.. 2. Τι ονομάζεται ευθεία;..

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΚΛΟ. κάθετη στη χορδή ΑΒ. τη χορδή. του κέντρου Κ από. (βλέπε σχήμα).

ΚΥΚΛΟ. κάθετη στη χορδή ΑΒ. τη χορδή. του κέντρου Κ από. (βλέπε σχήμα). ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ 1. Να κατασκευάσετε έναν κύκλο και να πάρετε μια χορδή του ΑΒ. Από το κέντρο Κ του κύκλου να φέρετε κάθετη στη χορδή ΑΒ η οποία τέμνει τη χορδή στο σημείο Μ. Να διαπιστώσετε με μέτρηση

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** 2. ** 3. ** 4. ** 5. ** 6. **

Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** 2. ** 3. ** 4. ** 5. ** 6. ** Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** ίνονται επίπεδο p και τρία µη συνευθειακά σηµεία του Α, Β και Γ καθώς και ένα σηµείο Μ, που δεν συµπίπτει µε το Α. Αν η ευθεία ΑΜ τέµνει την ευθεία ΒΓ, να δείξετε ότι το Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης

«Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης Τομέας Παιδαγωγικής Ιστορίας, και Φιλοσοφίας των Μαθηματικών «Η Ευκλείδεια γεωμετρία και η διδασκαλία της» Λύσεις Θεμάτων Εξέτασης 01-0-016 ΘΕΜΑ 1α [] Σε τυχαίο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Α=90 Ο ) η διχοτόμος

Διαβάστε περισσότερα

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.

Οι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες. ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ-ΟΜΟΛΟΓΙΑ (εκδοχή Οκτωβρίου 2014) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες)

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ-ΟΜΟΛΟΓΙΑ (εκδοχή Οκτωβρίου 2014) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ-ΟΜΟΛΟΓΙΑ (εκδοχή Οκτωβρίου 04) ΕΜΠ (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Εισαγωγή Προοπτική απεικόνιση του (προβολικού) χώρου ονομάζουμε την

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες

ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων

ΘΕΜΑ ίνονται τα διανύσµαταα, β. α) Να υπολογίσετε τη γωνία. β) Να αποδείξετε ότι 2α+β= β) το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕ ΟΛΗ ΤΗΝ ΥΛΗ! ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ 005 Θεωρούµε τα σηµεία Ρ, Λ, Κ και Μ του επιπέδου για τα οποία ισχύει η σχέση 5ΡΛ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 6: Γεωμετρικά σχήματα και μεγέθη δύο και τριών διαστάσεων Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του

Κωνικές τομές. Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του Κωνικές τομές Προκύπτουν σαν τομές ορθού κυκλικού κώνου με επίπεδο που δεν διέρχεται από την κορυφή του ΚΥΚΛΟΣ το επίπεδο είναι κάθετο στον άξονα του κώνου ΠΑΡΑΒΟΛΗ το επίπεδο είναι παράλληλο σε μια γενέτειρα

Διαβάστε περισσότερα

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0)

Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο(0,0) τότε έχει εξίσωση της μορφής : x y και αντίστροφα. Ειδικότερα Ο κύκλος με κέντρο Ο(0,0) . Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν γνωρίζουμε το κέντρο του, και την ακτίνα του ρ. Αν ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο, τότε έχει εξίσωση της μορφής : και αντίστροφα. Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β

= π 3 και a = 2, β =2 2. a, β 1 of 68 Δίνονται τα διανύσματα a και β με a, β = π 3 και a =, β =. α) Να βρείτε το εσωτερικό γινόμενο a β. (Μονάδες 8) β) Αν τα διανύσματα a + β και κ a + β είναι κάθετα να βρείτε την τιμή του κ. γ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x

Γραμμή. Σημείο. κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή. αποτελείται. Ευθεία κι αν αρχή και χωρίς. τέλος! x x 1. Οι Πρωταρχικές Γεωμετρικές Έννοιες Σημείο Γραμμή Δεν έχει διαστάσεις!! Υπάρχει μόνο στο μυαλό μας. Συμβολίζεται με κεφαλαίο γράμμα. Κάθε γραμμή αποτελείται από άπειρα σημεία. Ευθεία Δεν είναι εύκολο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και 7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ

Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Ασκήσεις για τις εξετάσεις Μάη Ιούνη 014 στη Γεωμετρία Β Λυκείου του ΜΑΝΩΛΗ ΨΑΡΡΑ Άσκηση 1 η Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ και. Με διάμετρο τη διαγώνιο ΑΓ γράφουμε κύκλο με κέντρο Ο που τέμνει τη ΓΔ στο

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Υπερβολής

Μεθοδολογία Υπερβολής Μεθοδολογία Υπερβολής Υπερβολή ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερή και μικρότερη από την απόσταση

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Να αποδειχθεί ότι : «Οι διαγώνιοι ορθογωνίου είναι ίσες». ( 5.3 σελ 100 ) 2 ) Να αποδειχθεί ότι τα εφαπτόμενα τμήματα κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

14 Μαρτίου 2015, Τρίκαλα Ποιές ιδιότητες του σχήματος διατηρούνται; Ποιές ιδιότητες του σχήματος διατηρούνται; Τα σημεία της περιφέρειας ισαπέχουν από το κέντρο; Ποιές ιδιότητες του σχήματος διατηρούνται;

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή ρόμβων. Μέθοδος 1: Ιδιότητες: Μέθοδος 2: Ιδιότητες: Μέθοδος 3: Ιδιότητες: Μέθοδος 4: Ιδιότητες: Ονοματεπώνυμο(α):

Κατασκευή ρόμβων. Μέθοδος 1: Ιδιότητες: Μέθοδος 2: Ιδιότητες: Μέθοδος 3: Ιδιότητες: Μέθοδος 4: Ιδιότητες: Ονοματεπώνυμο(α): Κατασκευή ρόμβων Ονοματεπώνυμο(α): Πόσους τρόπους μπορείτε να σκεφτείτε για την κατασκευή ενός ρόμβου; Εξετάστε μεθόδους που χρησιμοποιούν το μενού Κατασκευή, το μενού Μετασχηματισμός ή συνδυασμούς αυτών.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων

ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΕΝΟΤΗΤΑ Β.3.1. Στοιχεία τριγώνου - Είδη τριγώνων ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / Σελίδα 37 Στο παρακάτω σχήμα σχεδιάστε την διάμεσο ΑΜ, την διάμεσο ΒΛ και την διάμεσο ΓΝ. Τι παρατηρείτε; Να κατασκευάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. ΓΩΝΙΕΣ - ΚΥΚΛΟΣ 1. Απόσταση δύο σηµείων Α και Β είναι το µήκος του ευθύγραµµου τµήµατος που τα ενώνει. 2. Γωνία είναι το µέρος του επιπέδου που βρίσκεται µεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ

ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΡΓΑΣΙΑ 1) Ο λόγος των μηκών δύο κύκλων ( Ο, ρ ) και ( Ο, ρ ) είναι 1 3. Αν ρ = 1,15 cm να βρείτε : Την ακτίνα ρ. Το μήκος του ( Ο, ρ ) Το λόγο των διαμέτρων τους. 2) Οι περίμετροι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Να μπορείτε να Δίνετε τον ορισμό της Εφαπτομένης Χαράσσετε ε φαπτομένη σημείο Α περιφέρειας κύκλου Χαράσσετε ε φαπτομένη σε κ

ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Να μπορείτε να Δίνετε τον ορισμό της Εφαπτομένης Χαράσσετε ε φαπτομένη σημείο Α περιφέρειας κύκλου Χαράσσετε ε φαπτομένη σε κ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΕΣ ΣΤΟΧΟΙ: Να μπορείτε να Δίνετε τον ορισμό της Εφαπτομένης Χαράσσετε εφαπτομένη σε σημείο Α περιφέρειας κύκλου Χαράσσετε εφαπτομένη σε κύκλο από οποιοδήποτε σημείο Α εκτός κύκλου Χαράσσετε εξωτερικές

Διαβάστε περισσότερα

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α. 3.1 Η έννοια της συνάρτησης Ορισμοί Συνάρτηση f από ένα συνόλου Α σε ένα σύνολο Β είναι μια αντιστοιχία των στοιχείων του Α στα στοιχεία του Β, κατά την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12

Τράπεζα συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ. Μονάδες 13 β) να αποδείξετε ότι τα σημεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά. Μονάδες 12 Τράπεζα 0- Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα.58 Θεωρούμε τα διανύσματα α,β,γ και τυχαίο σημείο Ο. Αν α β 5γ, α 3β 4γ και 3α β 6γ, τότε: α) να εκφράσετε τα διανύσματα, συναρτήσει των διανυσμάτων α,β,γ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ

ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΟΣ ΣΥΝΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ -.Μ.Κ. 10.98 1 ΕΛ Λ Ε Ι Ψ Η - ΚΥΚΛΣ Ε1 Μ 2γ Ε2 2β 1. ΡΙΣΜΙ ΡΙΣΜΙ - ΚΤΣΚΕΥΕΣ Η έλλειψη είναι επίπεδη καµπύλη 2 ου βαθµού, είναι δε ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων, των οποίων το άθροισµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις: 1. Να αναγνωρίσετε και να ονομάσετε γεωμετρικά σχήματα στα παραπάνω στερεά.

Ερωτήσεις: 1. Να αναγνωρίσετε και να ονομάσετε γεωμετρικά σχήματα στα παραπάνω στερεά. 1. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ, ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ a. Αναγνώριση και ονομασία Δραστηριότητα 1 1. Ας κατασκευάσουμε όσο το δυνατόν περισσότερες γραμμές μπορούμε να σκεφτούμε. 2. Έχουμε ξανασυναντήσει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Στάμου Γιάννης Αναλυτική θεωρία Λυμένα παραδείγματα Ερωτήσεις κατανόησης Ασκήσεις Επαναληπτικά διαγωνίσματα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο ο : Διανύσματα Ενότητα I: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα

Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ α φάση. Διανύσματα Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου wwwaskisopolisgr ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΟΕΦΕ 00-018α φάση Διανύσματα 1 Σε σύστημα συντεταγμένων Oxy θεωρούμε τρία σημεία Α, Β, Γ του μοναδιαίου κύκλου, για τα οποία υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες.

Όμοια τρίγωνα. Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Όμοια τρίγωνα Ορισμός : Δύο τρίγωνα είναι όμοια όταν έχουν τις γωνίες τους ίσες και τις αντίστοιχες πλευρές τους ανάλογες. Συμβολισμός : Αν τα τρίγωνα ΑΒΓ, ΔΕΖ είναι όμοια γράφουμε Κριτήριο 1 Όταν δύο

Διαβάστε περισσότερα

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του

Το επίπεδο του ημιεπιπέδου σ χωρίζει το χώρο σε δύο ημιχώρους. Καλούμε Π τ τον ημιχώρο στον οποίο βρίσκεται το ημιεπίπεδο τ Επίσης, το επίπεδο του ΣΤΕΡΕΑ ΜΑΘΗΜΑ 10 Δίεδρες γωνίες Δύο επίπεδα α και β που τέμνονται, χωρίζουν τον χώρο σε τέσσερα μέρη, που λέγονται τεταρτημόρια. Ορίζουν επίσης σχήματα ανάλογα των γωνιών που ορίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

ΓΥΜΝΑΣΜΑΤΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Στο άρθρο αυτό παρουσιάζουμε τη βασική θεωρία της γεωμετρίας της αντιστροφής, ή της συμμετρίας ως προς κύκλο όπως αποκαλείται συχνά. Το άρθρο είναι δομημένο σε τρία μέρη ως εξής: Α ΜΕΡΟΣ Παρουσίαση των

Διαβάστε περισσότερα

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την

66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα Η έννοια του λόγου ορίζεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ως εξής: Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών η κατά πηλικότητά ποια σχέσις Λόγον έχειν προς άλληλα

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ

2.3 ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΟΥ ΤΜΗΜΑΤΟΣ 1 3 ΜΕΣΚΘΕΤΣ ΕΥΘΥΡΜΜΥ ΤΜΗΜΤΣ ΘΕΩΡΙ Μεσοκάθετος ευθυγράµµου τµήµατος Λέγεται η ευθεία που διέρχεται από το µέσο του ευθυγράµµου τµήµατος και είναι κάθετη σ αυτό. Ιδιότητα : Κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου

Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων. Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Απαντήσεις Λύσεις σε Θέματα από την Τράπεζα Θεμάτων Μάθημα: Γεωμετρία Α Λυκείου Παρουσιάζουμε συνοπτικές λύσεις σε επιλεγμένα Θέματα («Θέμα 4 ο») από την Τράπεζα θεμάτων. Το αρχείο αυτό τις επόμενες ημέρες

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Παραβολής

Μεθοδολογία Παραβολής Μεθοδολογία Παραβολής Παραβολή είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από μια σταθερή ευθεία, την επονομαζόμενη διευθετούσα (δ), και από ένα σταθερό σημείο Ε που λέγεται εστία της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ)

(ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) (ΤΑ ΑΓΑΘΑ ΚΟΠΟΙΣ ΚΤΩΝΤΑΙ) 1. Να σχεδιάσετε ένα σκαληνό τρίγωνο με περίμετρο 10 cm. Περίμετρος ενός τριγώνου λέγεται το άθροισμα των μηκών των πλευρών του). Μια περίπτωση είναι οι πλευρές του να έχουν μήκος

Διαβάστε περισσότερα

4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα

4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα 4. Πολύγωνα Πολύγωνο ονομάζεται κάθε κλειστά γεωμετρικό σχήμα που αποτελείται από διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα Όταν όλες οι πλευρές και οι εσωτερικές γωνίες του πολύγωνου είναι ίσες, τότε λέγεται κανονικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ 1 Σε τρίγωνο με > και ορθόκεντρο Η να δείξετε ότι: Δίνεται τρίγωνο στο οποίο ισχύει: α β γ βγ Να δείξετε ότι: A 10 Δίνεται τρίγωνο με πλευρές α, β, γ και διάμεσο μα ν ισχύει η

Διαβάστε περισσότερα

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ

Σε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα