ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας,

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ. Εισαγωγή. Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας,"

Transcript

1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Εισαγωγή Αυτό που στην εφαρμοσμένη γεωμετρία ονομάζουμε συχνά γραμμική προοπτική είναι ένα σύστημα αναπαράστασης του τρισδιάστατου χώρου σε επιφάνεια δύο διαστάσεων. Η μέθοδος αυτή απεικόνισης έχει πολλά κοινά με την εμπειρική προοπτική, τον τρόπο δηλαδή που οι άνθρωποι αντιλαμβανόμαστε το χώρο και τα αντικείμενα μέσα σ αυτόν. Στην πραγματικότητα, επειδή η προοπτική απεικόνιση βασίζεται στη στατική άποψη ενός σημείου οράσεως και σε γεωμετρικούς υπολογισμούς, επιτυγχάνει μια προσέγγιση μόνο του σύνθετου τρόπου της λειτουργίας της όρασης. Η προοπτική σαν επιστήμη σχετίζεται με την οπτική, δηλαδή τη μελέτη των νόμων της όρασης, επιστήμη που άρχισε και άνθισε στην αρχαία Ελλάδα και τη Ρώμη. Το προοπτικό σύστημα απεικόνισης όμως αναπτύχθηκε και οριστικοποιήθηκε στις αρχές του 15ου αιώνα, με τους πρωτοποριακούς πειραματισμούς του Filippo Brounelesci ( ) και του Leon Battista Alberti ( ). Ο τελευταίος ειδικά θεωρούσε την επιφάνεια προβολής της προοπτικής εικόνας σαν «ανοιχτό παράθυρο, μέσα από το οποίο βλέπουμε το ζωγραφικό θέμα». Πρώτος κατέδειξε τις αρχές της γραμμικής προοπτικής ο Brounelesci, γλύπτης και αρχιτέκτονας, εικ. 1 Το τζάμι του καλλιτέχνη Ο Alberti και ο da Vinci αναφέρουν στα κείμενά τους ότι μπορεί κανείς «να ζωγραφίζει μια εικόνα υπό κλίμακα, σχεδιάζοντας το αντικείμενο σε τζάμι». Στην ξυλογραφία του Dürer το τζάμι βρίσκεται σε κορνίζα σε ειδικό τραπέζι, όπου είναι τοποθετημένο ένα μετακινούμενο στόχαστρο. Είναι ο πιο απλός τρόπος κατασκευής ενός προοπτικού εικ. 2 Η εφεύρεση του ντε Κέιζερ Ένα άλλο σύστημα κατασκευής προοπτικού, με τη χρήση μιας ειδικής ακίδας στην άκρη ενός νήματος, στερεωμένου στον τοίχο. ιατηρείται μ αυτό τον τρόπο σταθερή η οπτική γωνία του καλλιτέχνη. 93

2 που αργότερα έγινε διάσημος για το θόλο του καθεδρικού ναού της Φλωρεντίας. Αυτός όμως που ανακάλυψε και μελέτησε τη γεωμετρική βάση της γραμμικής προοπτικής ήταν ο L. B. Alberti, καλλιτέχνης, αρχιτέκτονας, αρχαιογνώστης και γενικά άνθρωπος του πνεύματος. εικ. 3 & 4 Ο κάναβος του Alberti Με τον κάναβο να εξελίσσεται από δισδιάστατο σε τρισδιάστατο, ο Alberti κατάφερε να κάνει τις πρώτες μετρήσεις στις προοπτικές εικόνες Βάσισε το σύστημά του στο ύψος του ανθρώπου, το οποίο όρισε να είναι τρεις πήχεις (περίπου 1,80). Καθόρισε απέναντί του μια κατακόρυφη επιφάνεια προβολής και χώρισε τη γραμμή του εδάφους, τη γραμμή δηλαδή τομής της επιφάνειας του πίνακα προβολής και του εδάφους, σε μέρη ανάλογα με τους πήχεις. Έπειτα όρισε ένα σημείο σύγκλισης στη μεσοκάθετο της γραμμής εδάφους και σε ύψος τριών πήχεων. Ένωσε τέλος κάθε τμήμα ενός πήχη με το σημείο φυγής. Σχηματίζεται τελικά ένας τρισδιάστατος προοπτικός κάναβος, μέσα στον οποίο μπορούν να απεικονιστούν προοπτικά τα σχήματα του χώρου (εικ. 3,4). Αργότερα και άλλοι σημαντικοί καλλιτέχνες ασχολήθηκαν με το θέμα και ανάμεσα σ αυτούς ο Albrecht Dürer και ο Leonardo da Vinci. Σύστημα προβολής εικ. 5 Ο κάναβος του σχεδιαστή Το κατακόρυφο πλαίσιο αποτελείται από μια κορνίζα διαιρεμένη σε τετράγωνα, με νήματα. Ο καλλιτέχνης χρησιμοποιεί ένα χαρτί σχεδίασης, επίσης διαιρεμένο σε τετράγωνα τμήματα, ίδια με του πλαισίου και παρατηρεί το μοντέλο του από ένα στόχαστρο. Η προβολή ενός αντικειμένου επάνω σε ένα επίπεδο από ένα συγκεκριμένο σημείο Ο (καθ υπόσταση), ονομάζεται κεντρική προβολή ή προοπτική εικόνα του αντικειμένου ή απλά προοπτικό (σχ. 6). 94

3 Το σημείο προβολής Ο, ονομάζεται κέντρο προβολής ή σημείο οράσεως ή οπτικό κέντρο. Η επιφάνεια προβολής, είναι συνήθως ένα κατακόρυφο επίπεδο το οποίο ονομάζεται πίνακας. Ο πίνακας τέμνει το οριζόντιο επίπεδο του εδάφους κατά μία ευθεία που, ονομάζεται βάση του πίνακα ή γραμμή του εδάφους (γε) (σχ. 7). Οι ευθείες που ξεκινούν από το κέντρο προβολής και προβάλλουν το αντικείμενο στο πίνακα, ονομάζονται οπτικές ακτίνες. σχ. 6 Το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το σημείο οράσεως Ο και είναι παράλληλο στο έδαφος, ονομάζεται επίπεδο του ορίζοντα (σχ. 8). Η τομή του με τον πίνακα προβολής είναι μία ευθεία παράλληλη προς την γραμμή εδάφους (γε), και την ονομάζουμε γραμμή του ορίζοντα (γο). Είναι προφανές ότι η απόσταση της γραμμής του εδάφους από την γραμμή του ορίζοντα, ισούται με το ύψος του παρατηρητή (σχ. 9). Συμβατικά το επίπεδο πίνακα προβολής ονομάζεται Π και το οριζόντιο επίπεδο του εδάφους e 1. σχ. 7 Το οριζόντιο επίπεδο e 1 είναι απαραίτητο στο παραπάνω προβολικό σύστημα για τον καθορισμό του αντικειμένου στο χώρο. Τα διάφορα σημεία του αντικειμένου εξαρτώνται από το e 1 μέσω του υψομέτρου τους. Προοπτικά βασικών σχημάτων του e 1 Προοπτικό ευθείας Προκειμένου να καθορίσουμε το προοπτικό μιας ευθείας α, αρκεί να προσδιορίσομε τα προοπτικά δύο σημείων της. σχ. 8 Θεωρώντας επί της ευθείας α διάφορα σημεία Β, Γ,..., τα προοπτικά τους (Β), (Γ), ( )..., στον πίνακα Π προσδιορίζονται αν τα προβάλλουμε από το Ο επί του επιπέδου Π, δηλαδή στην τομή των οπτικών ακτινών ΟΒ, ΟΓ, Ο κλπ με το Π (σχ. 10). Παρατηρούμε ότι η τυχούσα ευθεία α του οριζοντίου επιπέδου e 1, συναντά τη βάση του πίνακα (γε) σε ένα σημείο Α το οποίο έχει προοπτικό τον εαυτό του, δηλαδή Α=(Α). σχ. 9 95

4 Επίσης παρατηρούμε ότι όσο απομακρυνόμαστε επί της α προς το άπειρο, οι οπτικές ακτίνες από το Ο τείνουν να γίνουν παράλληλες προς το e 1 και την α (σχ. 11). σχ. 10 σχ. 11 Έτσι, η τομή της οπτικής ακτίνας -η οποία είναι παράλληλη στην α- με τον πίνακα Π είναι ένα σημείο της γραμμής του ορίζοντα και ονομάζεται σημείο φυγής Φ1 της α (σχ. 12). Σύμφωνα με τα παραπάνω, προκειμένου να εντοπίσουμε το σημείο φυγής της ευθείας α, αρκεί από το Ο να φέρουμε παράλληλη προς την α και να τμήσουμε το Π. ηλαδή το σημείο φυγής Φ1 τυχούσας ευθείας α του e 1 βρίσκεται στη γραμμή του ορίζοντα (γο), και είναι η τομή της οπτικής ακτίνας (με την οποία προβάλλεται από το Ο το επ άπειρον σημείο Φ της α) με το επίπεδο του πίνακα Π. Ύστερα από την παραπάνω ανάλυση, για να βρούμε το προοπτικό ευθείας α του e 1, που τέμνει τη βάση του πίνακα στο Α=(Α), φέρνουμε την ΟΦ1 παράλληλη με την α και ορίζουμε το Φ1 στη γραμμή του ορίζοντα. Ενώνουμε το Φ1 με το Α=(Α) και η ευθεία Φ1(Α), είναι η προοπτική (α) της α (σχ. 13). σχ. 12 Παρατηρούμε ότι αν Ο είναι η προβολή του σημείου οράσεως Ο στο επίπεδο e 1, η παράλληλη από την προβολή Ο προς την ευθεία α, τέμνει τη βάση του πίνακα στο Φ1, το οποίο είναι η προβολή του σημείου φυγής Φ1 στο επίπεδο του εδάφους (σχ. 14). Έτσι, για να σχεδιάσουμε το σημείο φυγής Φ1 ευθείας α, μπορούμε να φέρουμε την Ο Φ1 παράλληλη στην α και από το σημείο τομής της Φ1 με την γραμμή εδάφους φέρνουμε κάθετη σ αυτή. Το σημείο τομής της κατακόρυφης με τη γραμμή του ορίζοντα είναι το σημείο φυγής Φ1. σχ. 13 σχ. 14 σχ. 15 Κατάκλιση του Π στο e 1 96

5 Προκειμένου να κατασκευάσουμε το προοπτικό της ευθείας στον δισδιάστατο χώρο, κατακλίνουμε το Π στο e 1 περιστρέφοντάς το περί την γραμμή του εδάφους (σχ. 15). Η προοπτική εικόνα (α) της ευθείας α κατασκευάζεται τότε ως εξής: η ευθεία α συναντά τη γραμμή του εδάφους (βάση του πίνακα) στο σημείο Α, το οποίο ταυτίζεται με το προοπτικό του (Α). Η παράλληλη από το Ο προς την α συναντάει την γραμμή εδάφους στο Φ (προβολή του σημείου φυγής). Η κάθετη από το Φ προς τη γραμμή του εδάφους τέμνει την γραμμή του ορίζοντα στο σημείο φυγής Φ. Η ευθεία ΦΑ είναι η (α), προοπτική εικόνα της ευθείας α (σχ. 16,17). σχ. 16 Επειδή, όπως είναι φανερό, όλες οι παράλληλες μεταξύ τους ευθείες έχουν κοινό επ άπειρον σημείο, κατά συνέπεια θα έχουν κοινό σημείο φυγής (σχ. 18). Επίσης παρατηρούμε ότι: η γραμμή του ορίζοντα είναι η ευθεία φυγής του οριζοντίου επιπέδου e 1 (σχ. 19). στη γραμμή του ορίζοντα ανήκουν τα σημεία φυγής όλων των οριζοντίων ευθειών. αν ευθεία α είναι κάθετη στη γε (και στον πίνακα Π), το σημείο φυγής της Φ Ο είναι η ορθή προβολή του Ο στο Π και ονομάζεται πρωτεύον σημείο φυγής (σχ. 20). σχ. 17 σχ. 19 σχ. 18 Παράλληλη μετατόπιση βάσης Προκειμένου να αποφεύγουμε την επικάλυψη του αρχικού σχήματος ενός αντικειμένου και του σχ

6 προοπτικού του, χρησιμοποιούμε τη μέθοδο της παράλληλης μετατόπισης της βάσης (σχ. 21). ιατηρούμε τα δεδομένα: γραμμή εδάφους, γραμμή ορίζοντα και αρχικό σχήμα στην αρχική τους θέση και μεταφέρουμε παράλληλα το προοπτικό με τα σημεία αναφοράς του σε νέα θέση. Η απόσταση γραμμής εδάφους και γραμμής πίνακα δεν μεταβάλλεται. Η παράλληλη μεταφορά γίνεται αποκλειστικά και μόνο για λόγους ευκρίνειας του προοπτικού. Μετά την παράλληλη μεταφορά η αρχική γραμμή του ορίζοντα δεν είναι απαραίτητο να σχεδιάζεται. Προοπτικό σημείου σχ. 21 Αν θεωρήσουμε ότι τυχαίο σημείο Α είναι η τομή δύο ευθειών ρ και σ του e 1, τότε η τομή των δύο προοπτικών ευθειών (ρ) και (σ) μας δίνουν την προοπτική εικόνα του Α (σχ. 22). Για να σχεδιάσουμε λοιπόν το προοπτικό τυχαίου σημείου Α, σχεδιάζουμε πρώτα τα προοπτικά δύο ευθειών που περνούν από το Α και η τομή τους μας δίνει το (Α). Οπτικές ακτίνες Μια άλλη μέθοδος προσδιορισμού του προοπτικού του σημείου Α είναι αυτή των οπτικών ακτινών (σχ. 23). Οπτικές ακτίνες είναι οι ευθείες που διέρχονται από το σημείο οράσεως O και κάποιο σημείο Α. Προβάλλουν δε τα σημεία του χώρου στον πίνακα Π. Η οπτική ακτίνα ΟΑ και η προβολή της Ο Α στο e 1, ορίζουν ένα κατακόρυφο επίπεδο ΟΑΟ, το οποίο τέμνει τον πίνακα Π κατά την κατακόρυφη ευθεία Α 1 (Α), που διέρχεται από το προοπτικό του Α, δηλαδή το (Α) (σχ. 23). Παρατηρούμε ότι η προβολή Ο Α της οπτικής ακτίνας ΟΑ, τέμνει τη γραμμή του εδάφους σ ένα σημείο Α 1. Η κάθετη από το Α 1 στη γε περνάει από το προοπτικό (Α) του Α (σχ. 24). σχ. 22 Επισημαίνεται ότι η μέθοδος προσδιορισμού ενός σημείου μέσω οπτικής ακτίνας προαπαιτεί να έχει προσδιοριστεί η προοπτική εικόνα του φορέα του σημείου, δηλαδή η προοπτική εικόνα μιας ευθείας στην οποία ανήκει το ζητούμενο σημείο. 98

7 Η μέθοδος αυτή σε πολλές περιπτώσεις μπορεί να φανεί πολύ χρήσιμη, όπως για παράδειγμα στην περίπτωση του μετωπικού προοπτικού, που θα μελετήσουμε παρακάτω, αλλά και στις περιπτώσεις κατά τις οποίες κάποιο από τα σημεία φυγής βρίσκεται έξω από τη σχεδιαστική επιφάνεια. Προοπτικό τυχαίου σχήματος του επιπέδου Σχεδιάζουμε στο e 1 τυχαίο σχήμα π.χ. ένα τρίγωνο ΑΒΓ, του οποίου ζητάμε την προοπτική εικόνα. σχ. 23 Προεκτείνουμε τις πλευρές του σχήματος ΑΒΓ μέχρι να συναντήσουν τη βάση του πίνακα (γε) στα σημεία 1, 2, και 3, τα οποία σύμφωνα με τα προηγούμενα συμπίπτουν με τις προοπτικές εικόνες τους. Από το Ο φέρνουμε ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του τριγώνου και προσδιορίζουμε τα σημεία Φ1, Φ2 και Φ3 στη γραμμή του εδάφους. Κατόπιν ορίζουμε τα πραγματικά σημεία φυγής Φ1, Φ2 και Φ3 στη γραμμή του ορίζοντα. Βρίσκουμε τα προοπτικά των πλευρών του τριγώνου, ενώνοντας τα σημεία 1 και Φ1, 2 και Φ3, 3 και Φ2. Το προοπτικό του τριγώνου ΑΒΓ σχηματίζεται από τις τομές των ευθειών αυτών (σχ. 25). σχ. 24 σχ

8 Προοπτικό παραλληλογράμμου Προκειμένου να κατασκευαστεί το προοπτικό σχήμα παραλληλογράμμου ΑΒΓ, αρκεί να σχεδιάσουμε τα προοπτικά των τεσσάρων ευθειών των πλευρών του σχήματος. Σύμφωνα με τα παραπάνω, προεκτείνουμε όσες πλευρές του σχήματος δεν τέμνουν ήδη τη γραμμή εδάφους και ορίζουμε τα σημεία 1, 2, 3 και 4. Από το σημείο οράσεως Ο φέρνουμε ευθείες παράλληλες στις πλευρές του παραλληλογράμμου και προσδιορίζουμε τα σημεία φυγής Φ1 και Φ2. Προβάλλοντας τα σημεία 1 και 4 από το Φ1 και 2, 3 από το Φ2, προκύπτει το προοπτικό του σχήματος ΑΒΓ (σχ. 26). σχ. 26 Προοπτικό παραλληλογράμμου - Μετωπικό προοπτικό Είναι μια ειδική περίπτωση του προηγούμενου κεφαλαίου, με το σχήμα μας να έχει πλευρές παράλληλες και κάθετες προς τον πίνακα (σχ. 27). Στην περίπτωση αυτή οι πλευρές ΑΒ και Γ έχουν σημείο φυγής το πρωτεύον σημείο Φ Ο, ενώ οι Α και ΒΓ έχουν σημείο φυγής στο άπειρο. Το προοπτικό λέγεται μετωπικό. Προεκτείνουμε τις ΑΒ και Γ μέχρι να συναντήσουν τη γε στα σημεία 1 και 2 αντίστοιχα. Μπορούμε επομένως να προσδιορίσουμε τις προοπτικές εικόνες των ΑΒ και Γ, όμως δεν μπορούμε να ορίσουμε τα σημεία (Α), (Β), (Γ) και ( ), παρά μόνο με τη μέθοδο των οπτικών ακτίνων. σχ βλ. Παράρτημα Α, παρ. 7 ιαίρεση ευθυγράμμου τμήματος σε προοπτικά ίσα μέρη Το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ ζητούμε να χωριστεί σε 4 ίσα μέρη στην προοπτική του εικόνα (σχ. 28). Βρίσκουμε την προοπτική εικόνα του φορέα του ΑΒ και με οπτικές ακτίνες προσδιορίζουμε τα προοπτικά σημεία (Α) και (Β) των σημείων Α και Β. Από το σημείο (Α) σχεδιάζουμε οριζόντια ημιευθεία (Α)ε και ορίζουμε σ εκείνη τα 4 ίσα μέρη. Χρησιμοποιούμε δηλαδή την εφαρμογή στην προοπτική του θεωρήματος του Θαλή 1, με τη διαφορά ότι αντί για παράλληλες ευθείες, από 100

9 το σημείο (Β) φέρνουμε προοπτικά παράλληλες ευθείες, δηλαδή συγκλίνουσες στο σημείο φυγής Φ2. Ενώνουμε με το σημείο φυγής Φ2 τα υπόλοιπα τμήματα α της (Α)ε και προσδιορίζουμε τα τμήματα ā, που είναι προοπτικά ίσα μεταξύ τους. Με αντίστοιχο τρόπο μπορούμε να διαιρέσουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ σε τμήματα ανάλογα, με δοθέντα λόγο. Προοπτικά σχημάτων σε επίπεδα παράλληλα στο e 1 Προοπτικό οριζόντιας ευθείας Μία οριζόντια ευθεία α, που δεν βρίσκεται στο επίπεδο e 1 έχει 1 η προβολή στο επίπεδο e 1 την ευθεία α. Οι ευθείες α και α είναι παράλληλες μεταξύ τους ευθείες στο χώρο, επομένως έχουν κοινό σημείο φυγής Φ1 (σχ. 29). Η ευθεία α τέμνει τη γε στο σημείο 1 και η ευθεία α τέμνει το επίπεδο του πίνακα στο σημείο Μ. Τα σημεία Μ και 1 βρίσκονται στην ίδια κατακόρυφη ευθεία και ορίζουν το υψόμετρο της ευθείας α από το επίπεδο του εδάφους e 1. Κατακλίνοντας το επίπεδο Π στο e 1, το υψόμετρο z Μ θα παραμείνει ίσο με το πραγματικό υψόμετρο του σημείου Μ από το έδαφος. Επομένως μπορούμε να προσδιορίσουμε την προοπτική εικόνα (α) της ευθείας α, ως εξής: από το σημείο 1, που είναι η τομή της προβολής α της α με τη γραμμή του εδάφους γε, ορίζουμε κατακόρυφα το υψόμετρο z M του σημείου Μ (σχ. 30) και ενώνουμε με το σημείο φυγής Φ1. Η ευθεία Φ1Μ είναι η προοπτική εικόνα (α) της ευθείας α. σχ. 28 σχ. 29 Προοπτικό ορθού πρίσματος 1. Το πρίσμα εδράζεται στο e 1 Αρχικά κατασκευάζουμε το προοπτικό της κάτω βάσης του πρίσματος, ενώνοντας τα σημεία 1 και 3 με το Φ2 και τα 2 και 4 με το Φ1 (σχ. 31). Φέρνουμε κάθετες ευθείες από καθένα από τα σημεία της κάτω βάσης του πρίσματος (Α ), (Β ), (Γ ) και ( ). Από οποιοδήποτε από τα 1, 2, 3 ή 4, έστω το 4, φέρνουμε ευθεία κάθετη στη γε και ορίζουμε το σημείο 5, που σχ

10 απεικονίζει το ύψος h1 του πρίσματος. Ενώνουμε το σημείο 5 με το Φ1. Στην τομή της κάθετης από το ( ) και της 5Φ1 είναι το σημείο ( ), το προοπτικό του σημείου της άνω βάσης του πρίσματος. Στην τομή της Φ1( ) με την κάθετη από το (Γ ) βρίσκεται το σημείο (Γ). Φέρνουμε τη Φ2(Γ) και στην τομή της με την κάθετη από το (Β ) βρίσκεται το σημείο (Β) κ.ο.κ. σχ. 31 Αξίζει να παρατηρήσουμε ότι στο πρίσμα του σχήματος 31 το ύψος του πρίσματος h1 είναι μικρότερο από το ύψος του ορίζοντα h και ως εκ τούτου ο παρατηρητής βλέπει την άνω βάση του πρίσματος, την έδρα (Α)(Β)(Γ)( ). Αντίθετα, στο σχήμα 32 το ύψος h του ορίζοντα είναι μικρότερο από το ύψος h2 του πρίσματος και ο παρατηρητής δεν βλέπει την άνω βάση του πρίσματος. 2. Το πρίσμα δεν εδράζεται στο e 1 Στην περίπτωση αυτή το πρίσμα δεν εδράζεται στο επίπεδο e 1 του εδάφους, αλλά απέχει απ αυτό υψόμετρο h1 κι έχει ύψος h2 (σχ. 33). σχ. 32 Μπορούμε να εργαστούμε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, ορίζοντας το ύψος h1 σε κάθε κάθετη από τα σημεία 1, 2, 3 και 4, όμως μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το πρίσμα εδράζεται σε ένα νέο έδαφος, που βρίσκεται σε υψόμετρο h1 πάνω από το αρχικό. Έτσι η γε μετατοπίζεται κατά h1, στη γε1. Από εδώ και πέρα εργαζόμαστε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, προσδιορίζοντας τα σημεία 1, 2, 3 και 4, για να κατασκευάσουμε την κάτω βάση του πρίσματος, στη γε1, αντί της γε. σχ

11 εικ. 34 Προοπτικό τυχαίας ευθείας Όπως γνωρίζουμε ήδη, όλες οι οριζόντιες ευθείες έχουν σημεία φυγής πάνω στη γραμμή του ορίζοντα. Οι ευθείες που σχηματίζουν κάποια γωνία ω με το επίπεδο του εδάφους e1 έχουν σημεία φυγής πάνω στο επίπεδο Π του πίνακα, αλλά όχι πάνω στον ορίζοντα. Σε οποιαδήποτε περίπτωση ισχύει η συνθήκη που ισχύει και για τις οριζόντιες ευθείες, ότι δηλαδή οι παράλληλες μεταξύ τους ευθείες του χώρου έχουν κοινό σημείο φυγής. Η τυχαία ευθεία α έχει προβολή την α στο επίπεδο e1 και έστω ότι τέμνει το επίπεδο του πίνακα στο σημείο 12 (σχ. 35), όπως και η προβολή της α. Η ευθεία α σχηματίζει με το e1 (επομένως και με την α ) γωνία ω, που αναπαριστά την κλίση της ευθείας α ως προς το επίπεδο e1. Για να προσδιορίσουμε το επ άπειρον σημείο της α, το σημείο φυγής της α, φέραμε από το Ο ευθεία παράλληλη στην α, που τέμνει τον πίνακα στο σημείο Φ. Όμοια, για να βρούμε το σημείο φυγής της α, φέρνουμε από το Ο ευθεία παράλληλη στην α, που τέμνει τον πίνακα στο σημείο Φα. Η 2. Επειδή όλες οι παράλληλες μεταξύ τους ευθείες έχουν κοινό σημείο φυγής, για τον προσδιορισμό του χρησιμοποιούμε μία από το σύνολο ευθειών, με ιδιότητα να τέμνει τον πίνακα σε σημείο 1 της βάσης του σχ

12 γωνία Φ α ΟΦ είναι ίση με τη γωνία ω, λόγω των παραλλήλων φορέων τους. Το σημείο Φ α είναι το σημείο φυγής της α, η δε προοπτική εικόνα (α) της α είναι η ευθεία Φ α 1. σχ. 36 Η γωνία ω βρίσκεται στο χώρο και δεν μπορούμε στις δύο διαστάσεις μιας σχεδιαστικής επιφάνειας να προσδιορίσουμε το σημείο φυγής της α. Πρέπει επομένως να την μεταφέρουμε σε κάποιο από τα επίπεδα e 1 ή Π. Μεταφέρουμε τη γωνία Φ α ΟΦ στον πίνακα Π (σχ. 36), γράφοντας τόξο κύκλου με κέντρο το σημείο Φ και ακτίνα r=φο. Το σημείο Ο μεταφέρεται στο σημείο Τ. Η γωνία ω βρίσκεται τώρα στο επίπεδο Π και είναι η Φ α ΤΦ. Προβάλλουμε το τόξο (Φ,r) και το σημείο Τ στο επίπεδο e 1, στα (Φ,r) και Τ. Μετά την κατάκλιση του Π στο e 1 και την παράλληλη μετατόπιση, έχουμε την εικόνα του σχήματος 37. Έχοντας την ευθεία α μέσω της προβολής της α, βρίσκουμε το σημείο φυγής Φ της α και την προβολή του Φ. Με κέντρο Φ και ακτίνα r=φ Ο γράφουμε τόξο κύκλου, που τέμνει τη γε στο σημείο Τ. Μεταφέρουμε το Τ στη δεύτερη γε και σχηματίζουμε εκεί τη γνωστή γωνία ω. Παρατηρούμε ότι σχηματίζονται δύο γωνίες ω συμμετρικές, με άξονα συμμετρίας την γε. Ο φορέας της άνω γωνίας ω τέμνει την κατακόρυφη από το σημείο φυγής Φ στο σημείο φυγής Φ α 1 της α1. Η κάτω γωνία ω δίνει το σημείο φυγής Φ α 2 της α2, η οποία είναι στο χώρο συμμετρική της α1 ως προς το επίπεδο e 1. σχ. 37 σχ

13 Θεωρήσαμε αρχικά ότι η κεκλιμένη ευθεία α έχει σημείο τομής με τον πίνακα Π ακριβώς πάνω στην γε. Μια οποιαδήποτε ευθεία β, παράλληλη της α, θα έχει το ίδιο σημείο φυγής με την α, οπότε για τον προσδιορισμό του σημείου φυγής της β μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ευθεία α. Ο προσδιορισμός των σημείων φυγής κεκλιμένων ευθειών εφαρμόζεται όταν το αντικείμενο που θέλουμε ν απεικονίσουμε προοπτικά, περιλαμβάνει στέγες, ράμπες, όπως επίσης σκάλες με πολλά σκαλοπάτια, όπου είναι χρήσιμος ο προσδιορισμός του σημείου φυγής των ευθειών που ενώνουν τα άνω και κάτω σημεία των υψών (ριχτιών) των σκαλοπατιών (σχ. 38). Μια ακόμη εφαρμογή είναι σε θέματα σκιαγραφίας σε προοπτικές απεικονίσεις 3. σχ. 39 Προοπτικό κύκλου σχ. 40 Η προοπτική εικόνα ενός κύκλου είναι γενικά έλλειψη, αλλά αυτό εξαρτάται από τη θέση του παρατηρητή και του πίνακα. Ορίζουμε ένα επίπεδο παράλληλο στον πίνακα, που να περνά από το σημείο οράσεως. Η τομή του με το επίπεδο του εδάφους είναι η ευθεία γπ (σχ. 39). Εάν η ευθεία γπ δεν έχει κανένα κοινό σημείο με τον κύκλο, η προοπτική εικόνα του είναι έλλειψη. Εάν η ευθεία γπ έχει ένα κοινό σημείο με τον κύκλο (σχ. 40), είναι δηλαδή εφαπτόμενη στον κύκλο, τότε η προοπτική εικόνα του κύκλου είναι τμήμα παραβολής. Τέλος, αν η ευθεία γπ τέμνει τον κύκλο σε πάνω από ένα σημεία (σχ. 41), τότε η προοπτική εικόνα του κύκλου είναι τμήμα ενός σκέλους υπερβολής. σχ Προοπτικό κύκλου του επιπέδου e 1 Είτε εργαζόμαστε σε μετωπικό προοπτικό, είτε σε προοπτικό δύο σημείων φυγής Φ1 και Φ2, κατασκευάζουμε το περιγεγραμμένο τετράγωνο του κύκλου ΑΒΓ, του οποίου προσδιορίζουμε την προοπτική εικόνα (Α)(Β)(Γ)( ) (σχ. 42,43). Γράφουμε τις διαγωνίους (Α)(Γ) και (Β)( ). Από την τομή των διαγωνίων ενώνουμε με τα σημεία φυγής (στο μετωπικό προοπτικό ενώνουμε με το Φ Ο και φέρνουμε τη δεύτερη ευθεία παράλληλη στην 3. βλ. Σκιαγραφία, Σκιαγραφία στην προοπτική σχ

14 γε). Μ αυτό τον τρόπο ορίζουμε τα σημεία επαφής της έλλειψης στις πλευρές του περιγεγραμμένου προοπτικού του τετραγώνου ΑΒΓ. Τα τέσσερα αυτά σημεία επαφής δεν είναι γενικά αρκετά, ως εκ τούτου προσδιορίζουμε και τα σημεία τομής της έλλειψης με τις διαγωνίους (Α)(Γ) και (Β)( ): στο προοπτικό δύο σημείων, όπου η (Α)(Β) δεν είναι παράλληλη στη γε, κατασκευάζουμε από το (Β) ευθεία παράλληλη στη γε, μέχρι να τμήσει την προέκταση της (Α)( ) στο σημείο Σ (σχ. 42). Γράφουμε ημικύκλιο με κέντρο το μέσο του Σ(Β) και διάμετρο Σ(Β). Σχεδιάζουμε τις ακτίνες που σχηματίζουν γωνίες 45 Ο με την Σ(Β) και φέρνουμε κάθετες στη γε ευθείες. Ενώνουμε με το σημείο φυγής Φ2. στο μετωπικό προοπτικό, όπου η (Α)(Β) είναι ευθεία παράλληλη στη γε, γράφουμε ημικύκλιο με κέντρο το μέσο της και διάμετρο το μήκος της (Α)(Β) (σχ. 43). Σχεδιάζουμε τις ακτίνες που σχηματίζουν γωνίες 45 Ο με την (Α)(Β) και φέρνουμε κάθετες στη γε ευθείες. Ενώνουμε με το σημείο φυγής Φ Ο. Γνωρίζοντας πλέον 8 σημεία (και στις δύο περιπτώσεις) της έλλειψης, η κατασκευή της γίνεται σχετικά εύκολα με γραφικό τρόπο. 2. Προοπτικό κατακόρυφου κύκλου σχ. 43 Η προβολή του κύκλου και του περιγεγραμμένου σ αυτόν τετραγώνου έχουν προβολή στο e 1 ένα ευθύγραμμο τμήμα, όπου τα σημεία Α, και Β, Γ ταυτίζονται (σχ. 44). Κατασκευάζουμε την προοπτική εικόνα (Α)(Β) της κάτω πλευράς ΑΒ του περιγεγραμμένου τετραγώνου και στο σημείο 1 υψώνουμε κατά h=αβ. Προσδιορίζουμε και τα σημεία (Γ) και ( ), χαράσσουμε τις διαγωνίους (Α)(Γ) και (Β)( ) και χρησιμοποιούμε την πλευρά (Α)( ) ακριβώς όπως και στα προηγούμενα παραδείγματα για να προσδιορίσουμε τα 8 σημεία από τα οποία διέρχεται η έλλειψη, η προοπτική εικόνα του κατακόρυφου κύκλου. Στην ειδική περίπτωση που ο κύκλος βρίσκεται σε μετωπικό επίπεδο, η προοπτική του εικόνα είναι κύκλος. σχ

15 3. Προοπτικό κύκλου σε τυχαίο επίπεδο Σ αυτή την περίπτωση το περιγεγραμμένο του κύκλου τετράγωνο προβάλλεται στο επίπεδο e 1 στο ορθογώνιο παραλληλόγραμμο Α Β Γ (σχ. 45). Κατασκευάζουμε την προοπτική εικόνα του ΑΒΓ και προεκτείνουμε τις κεκλιμένες πλευρές (Α)( ) και (Β)(Γ) μέχρι να τμήσουν την κατακόρυφη από το Φ1, προσδιορίζοντας έτσι το σημείο φυγής τους Φ. Γράφουμε τις διαγωνίους (Α)(Γ) και (Β)( ) και ενώνουμε την τομή τους με τα Φ και Φ2. Από το σημείο (Α) φέρνουμε ευθεία παράλληλη στη γε μέχρι να τμήσει την προέκταση της Φ1(Β) στο σημείο Ρ και κατασκευάζουμε ημικύκλιο με κέντρο το μέσο του (Α)Ρ και διάμετρο (Α)Ρ. Παρατηρούμε ότι η ευθεία που ενώνει το μέσο της (Α)Ρ με το Φ1 διέρχεται από το σημείο 1, το οποίο είναι το σημείο της (Α)(Β) όπου καταλήγει η προοπτική εικόνα της διαμέτρου του κύκλου από το Φ. Σχεδιάζουμε τις ακτίνες που σχηματίζουν γωνίες 45 Ο με την (Α)Ρ και φέρνουμε κάθετες στην (Α)Ρ ευθείες. Ενώνουμε με το σημείο φυγής Φ1 και προσδιορίζουμε τα σημεία 2 και 3, τα οποία ενώνουμε με το Φ. Ορίζουμε μ αυτό τον τρόπο τα 8 βασικά σημεία της έλλειψης και τη σχεδιάζουμε γραφικά. σχ. 45 Προοπτικά στερεών σχημάτων Από τα βασικά στερεά σχήματα, αυτά που παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον και κάποιες ιδιαιτερότητες στην κατασκευή της προοπτικής εικόνας τους είναι ο κύλινδρος, ο κώνος και η σφαίρα. Προοπτικό κυλίνδρου 1. Κατακόρυφος κύλινδρος Η προοπτική εικόνα ορθού κατακόρυφου κυλίνδρου κατασκευάζεται ξεκινώντας από την κατασκευή των προοπτικών της κάτω και άνω βάσης του, που είναι κύκλοι σε παράλληλα οριζόντια επίπεδα. Κατασκευάζουμε το προοπτικό της κάτω βάσης, όπως είδαμε παραπάνω, προσδιορίζουμε το σχ

16 προοπτικό του περιγεγραμμένου τετραγώνου της άνω βάσης και μεταφέρουμε κατακόρυφα τα 8 σημεία ορισμού της έλλειψης της κάτω βάσης στους αντίστοιχους φορείς της άνω βάσης. Οι ακραίες γενέτειρες ορίζονται από τα κατακόρυφα επίπεδα που εφάπτονται στις βάσεις του κυλίνδρου (σχ. 46). Για να προσδιορίσουμε τα σημεία επαφής Μ και Ν, φέρνουμε από το Ο (σχ. 47) τις εφαπτόμενες στην προβολή των βάσεων του κυλίνδρου 4, οι οποίες είναι ταυτόχρονα οι οπτικές ακτίνες των σημείων επαφής Μ και Ν. σχ βλ. Παράρτημα Α, παρ

17 Ένας άλλος τρόπος να προσδιορίσουμε τα Μ και Ν είναι να βρούμε τις εφαπτόμενες των ελλείψεων των βάσεων μέσω της ευθείας Pascal, γνωρίζοντας ότι η διεύθυνση των γενετειρών είναι κατακόρυφη Οριζόντιος κύλινδρος Ο οριζόντιος ορθός κύλινδρος εδράζεται στο επίπεδο e 1 και για να βρούμε την προοπτική του εικόνα κατασκευάζουμε κατ αρχήν τις προοπτικές εικόνες των βάσεών του, που είναι κύκλοι σε δύο κατακόρυφα επίπεδα. σχ. 48 Οι ακραίες γενέτειρες ορίζονται από τα δύο κεκλιμένα επίπεδα, που φαίνονται στο σχήμα 48 και περνούν από το σημείο οράσεως. σχ βλ. Παράρτημα Α, παρ

18 Αρκεί επομένως να προσδιορίσουμε τα σημεία Μ και Ν στη μία από τις δύο βάσεις του κυλίνδρου, για να ορίσουμε τις ακραίες γενέτειρες συγκλίνουσες προς το σημείο φυγής Φ1 (σχ. 49). Όπως φαίνεται στο σχήμα 48, το σημείο Τ είναι η προβολή του σημείου οράσεως Ο στο επίπεδο Π, το οποίο είναι το επίπεδο της μίας βάσης του κυλίνδρου. Το σημείο Τ απέχει από τη βάση του πίνακα απόσταση ίση με την ΟΟ, δηλαδή ίση με το ύψος της γραμμής του ορίζοντα από τη γραμμή εδάφους. Έχοντας την προβολή του κυλίνδρου στο e 1 (σχ. 49), προεκτείνουμε τη μία από τις δύο ευθείες της βάσης του κυλίνδρου και κάνουμε κατάκλιση του επιπέδου Π στο επίπεδο e 1. Ορίζουμε την απόσταση ΤΤ Ο ίση με το ύψος του ορίζοντα. Από το σημείο Τ Ο φέρνουμε τις εφαπτόμενες στον κύκλο της βάσης του κυλίνδρου 6 και προσδιορίζουμε τα Μ Ο και Ν Ο, τα οποία προβάλλουμε (ανακλίνουμε) στην προβολή της βάσης και ορίζουμε τα Μ και Ν. Φέρνουμε τέλος τις οπτικές ακτίνες προς τα Μ και Ν για να ορίσουμε τις προοπτικές εικόνες (Μ) και (Ν) των Μ και Ν (σχ. 49). Και σ αυτή την περίπτωση μπορούμε να βρούμε τις εφαπτόμενες στις ελλείψεις των βάσεων του κυλίνδρου μέσω της ευθείας Pascal 7, θεωρώντας ότι φέρνουμε ευθείες εφαπτόμενες σε ελλείψεις από το σημείο Φ1. Προοπτικό κώνου Η προοπτική εικόνα ενός κώνου προκύπτει από την προοπτική εικόνα της καμπύλης της βάσης του, όταν αυτή ενωθεί με το προοπτικό της κορυφής του. Όταν η βάση του κώνου είναι κύκλος του e 1, εργαζόμαστε όπως στα προηγούμενα παραδείγματα, για να προσδιορίσουμε το προοπτικό της καμπύλης της βάσης του. Το τμήμα του κώνου που ο παρατηρητής «βλέπει» (σχ. 50) ορίζεται από τα κεκλιμένα εφαπτόμενα επίπεδα προς τη βάση του κώνου, τα οποία περνούν από το σημείο οράσεως Ο. Τα σημεία Μ και Ν είναι τα σημεία των εφαπτομένων της βάσης του κώνου από το σημείο Σ, που ορίζεται σαν το ίχνος της ΚΟ στο επίπεδο της βάσης του κώνου. Σύμφωνα με τα μέχρι τώρα γνωστά, κατασκευάζουμε το προοπτικό της βάσης του σχ βλ. Παράρτημα Α, παρ βλ. Παράρτημα Α, παρ

19 κώνου και της κορυφής του (σχ. 51). Ενώνουμε τα σημεία Ο και Κ στην προβολή του κώνου και από το σημείο Κ φέρνουμε ευθεία κάθετη στην ΚΟ. Στην ευθεία αυτή υπολογίζουμε το ύψος του κώνου και ορίζουμε το σημείο Κ Ο. Από το σημείο Ο φέρνουμε ευθεία κάθετη στην ΚΟ, υπολογίζουμε το ύψος του σημείου Ο (δηλαδή το ύψος του ορίζοντα) και ορίζουμε το σημείο Ο Ο. Ενώνουμε τα Κ Ο και Ο Ο και προεκτείνουμε μέχρι η ευθεία να τμηθεί με την ΚΟ στο σημείο Σ. Από το Σ φέρνουμε τις εφαπτόμενες στον κύκλο της βάσης του κώνου 8 και ορίζουμε τα σημεία επαφής Μ και Ν. Βρίσκουμε τις προοπτικές εικόνες των Μ και Ν με οπτικές ακτίνες. σχ βλ. παράρτημα Α, παρ

20 Κι εδώ μπορούμε να προσδιορίσουμε τις ακραίες γενέτειρες του κώνου με την ευθεία Pascal 9, ως ευθείες εφαπτόμενες στην έλλειψη από το σημείο (Κ) της κορυφής του κώνου. Προοπτικό σφαίρας Η προοπτική εικόνα μιας σφαίρας είναι γενικά έλλειψη, όμως αυτό εξαρτάται από τη θέση του παρατηρητή και του πίνακα, όπως και στην περίπτωση του προοπτικού κύκλου. Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να απεικονίσουμε προοπτικά μια σφαίρα. Είναι όλοι προσεγγιστικοί και αποσκοπούν στην κατασκευή της καμπύλης u, που είναι η αλληλοτομία της σφαίρας και του οπτικού κώνου (σχ. 52). Σύμφωνα με τη μέθοδο που συνήθως χρησιμοποιούμε για την κατασκευή της προοπτικής εικόνας μιας σφαίρας, αρκεί να κατασκευάσουμε τις προοπτικές εικόνες των κύκλων c 1, c 2, c 3 που προκύπτουν από την τομή της σφαίρας με διάφορα (σε τυχαίες θέσεις) μετωπικά ή οριζόντια επίπεδα και να κατασκευάσουμε την περιβάλλουσα καμπύλη, δηλαδή την έλλειψη που εφάπτεται στις (c 1 ), (c 2 ), (c 3 ) Μεταξύ της επιλογής οριζοντίων ή μετωπικών επιπέδων τομής της σφαίρας, εδώ θα προτιμήσουμε να μελετήσουμε τα μετωπικά επίπεδα, διότι αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν και στον υπολογισμό της σκιάς της σφαίρας 10. Κατ αρχήν προσδιορίζουμε την προοπτική εικόνα (s) του οριζόντιου κύκλου s της σφαίρας, χρησιμοποιώντας το περιγεγραμμένο τετράγωνο που είναι παράλληλο στη γε (σχ. 53). Κάθετα στη διάμετρο ΜΝ ορίζουμε διάφορα τυχαία μετωπικά επίπεδα, τα οποία τέμνουν τη σφαίρα στους κύκλους c, c 1, c 2. Οι μετωπικοί κύκλοι που δημιουργούνται, έχουν τα κέντρα τους Κ, Κ 1, Κ 2 στη διάμετρο ΜΝ και εφάπτονται στον οριζόντιο κύκλο s στα Α, Α 1, Α 2. Με οπτικές ακτίνες βρίσκουμε τα προοπτικά σημεία (Κ), (Κ 1 ), (Κ 2 ) των κέντρων στη (Μ)(Ν) και χαράσσουμε τις οριζόντιες ευθείες διαμέτρους των c, c 1, c 2. Οι κύκλοι c, c 1, c 2 απεικονίζονται προοπτικά στους κύκλους, (c), (c 1 ), (c 2 ). σχ βλ. παράρτημα Α, παρ βλ. Σκιαγραφία, σκιαγραφία στην προοπτική, Σκιά σφαίρας 112

21 Η περιβάλλουσα είναι η καμπύλη που εφάπτεται στους κύκλους (c), (c 1 ), (c 2 ) και προσδιορίζεται κατά προσέγγιση. Άλλος τρόπος προσδιορισμού του προοπτικού σφαίρας είναι μέσω του θεωρήματος του Dandelin 11. σχ βλ. παράρτημα Β 113

22 Σχετικές θέσεις παρατηρητή, αντικειμένου, πίνακα και ορίζοντα σχ. 54 Το οπτικό εύρος του ανθρώπινου ματιού έχει υπολογιστεί περίπου στις 93 Ο. Για το λόγο της σχεδιαστικής απλούστευσης, θεωρούμε το οπτικό εύρος στις 90 Ο. Μέσα σ αυτή τη γωνία των 90 Ο πρέπει να βρίσκεται το αντικείμενο, του οποίου την προοπτική εικόνα ζητούμε να σχεδιάσουμε. Φροντίζουμε όμως να μην χρησιμοποιούμε ολόκληρο αυτό το εύρος, αλλά μόνο τις κεντρικές 30 Ο -45 Ο (σχ. 54). Στην αντίθετη περίπτωση η προοπτική εικόνα του αντικειμένου παρουσιάζει έντονη παραμόρφωση (σχ. 55). Παρατηρούμε ότι αν σχεδιάσουμε τις οπτικές ακτίνες που περνούν από τα άκρα του αντικειμένου, σχηματίζεται πάνω στον πίνακα το μέγιστο πλάτος α της προοπτικής εικόνας (σχ. 56). Μ αυτό τον τρόπο μπορούμε ευθύς εξ αρχής να γνωρίζουμε το μέγεθος της προοπτικής εικόνας, τουλάχιστον κατά το πλάτος. Παρατηρούμε επίσης ότι αν ο πίνακας τέμνει το αντικείμενο και αφήνεται κάτω από τον πίνακα μέγεθος β, κατά την παράλληλη μετατόπιση, αφήνοντας χώρο περίπου ίσο με β από την άκρη της σχεδιαστικής επιφάνειας, το προοπτικό δεν κινδυνεύει να βρεθεί εκτός της σχεδιαστικής επιφάνειας (σχ. 56). Η θέση του πίνακα, δηλαδή της γραμμής του εδάφους γε, μπορεί να βρίσκεται ανάμεσα σχ. 55 σχ. 56 σχ

23 στον παρατηρητή και το αντικείμενο, πίσω από το αντικείμενο, ή να τέμνει το αντικείμενο. Η θέση του πίνακα έχει να κάνει κυρίως με το μέγεθος της προοπτικής εικόνας. Όσο πιο κοντά βρίσκεται ο πίνακας στον παρατηρητή, τόσο το προοπτικό μικραίνει, ενώ όσο ο πίνακας απομακρύνεται από τον παρατηρητή, η προοπτική εικόνα μεγαλώνει (σχ. 54,57). Ανακλάσεις στο προοπτικό Ανάκλαση ονομάζουμε τον αντικατοπτρισμό ενός αντικειμένου σε ανακλαστική επιφάνεια. Το θέμα των αντικατοπτρισμών παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον, γιατί μας δίνει τη δυνατότητα να «δούμε» τις πλευρές των αντικειμένων που στην πραγματικότητα δεν βλέπουμε (εικ. 58) και ταυτόχρονα ολοκληρώνουν τις προοπτικές εικόνες. Η θεμελιώδης πρόταση της θεωρίας των επιπέδων κατόπτρων αναφέρει ότι η γωνία προσπτώσεως μιας φωτεινής ή οπτικής ακτίνας στην κατοπτρική επιφάνεια είναι ίση με τη γωνία ανακλάσεώς της (σχ. 59). Η ανάκλαση γίνεται σε επίπεδο κάθετο στο επίπεδο της κατοπτρικής επιφάνειας και περιέχει τη φωτεινή ή οπτική ακτίνα. Για το λόγο αυτό κάθε αντικείμενο και η ανάκλασή του σε επίπεδο κάτοπτρο είναι σχήματα συμμετρικά ως προς την κατοπτρική επιφάνεια. Η γωνία προσπτώσεως ω είναι η γωνία που σχηματίζει η φωτεινή/οπτική ακτίνα με την κατακόρυφη της κατοπτρικής επιφάνειας στο σημείο πρόσπτωσης. ιακρίνουμε δύο περιπτώσεις θέσης κατοπτρικών επιφανειών: εικ. 58 Salvador Dali, Ατελείωτη στερεοσκοπική εικόνα, 1973 σχ. 59 εικ. 60 εικ

24 1. 2. Κατακόρυφη κατοπτρική επιφάνεια, π.χ. ένας καθρέφτης (εικ. 58) Οριζόντια κατοπτρική επιφάνεια, π.χ. επιφάνεια του νερού (εικ. 60), γυαλισμένη επιφάνεια (εικ. 61). 1. Ανάκλαση σε κατακόρυφη επιφάνεια σχ. 62 Όταν η ανακλαστική επιφάνεια είναι κατακόρυφη το πραγματικό αντικείμενο και ο αντικατοπτρισμός του έχουν στην προοπτική εικόνα προοπτικά ίσες διαστάσεις. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι ο αντικατοπτρισμός του αντικειμένου φαίνεται μικρότερος από το ίδιο το αντικείμενο, εφ όσον βρίσκεται μακρύτερα από τον παρατηρητή (σχ. 62). Κατασκευάζουμε το προοπτικό του παραλληλεπιπέδου του βιβλίου και στον οριζόντιο άξονα του καθρέφτη και στο υψόμετρο της κάτω βάσης του, ορίζουμε το σημείο Β Μ στην τομή του άξονα με την ΒΦ1 (σχ. 63). Ορίζουμε το σημείο Α Μ στην τομή της ΑΦ1 με τον κάθετο άξονα του καθρέφτη, που περνά από το Β Μ. Το σημείο Μ είναι το προοπτικό μέσο της Α Μ Β Μ. Φέρνουμε την ΑΜ, προεκτείνουμε μέχρι να τμήσει την ΒΦ1 και ορίζουμε το σημείο Β Κ. Με τον ίδιο τρόπο ορίζουμε το Α Κ, στην τομή των ΒΜ και ΑΦ1. Το τετράπλευρο ΑΒΑ Κ Β Κ είναι προοπτικό ορθογώνιο παραλληλόγραμμο, επομένως η Α Κ Β Κ είναι ο προοπτικός αντικατοπτρισμός της ΑΒ. σχ. 63 Αυτή η μέθοδος δίνει τους αντικατοπτρισμούς των αντικειμένων απ ευθείας στην προοπτική εικόνα. Μπορούμε όμως να προσδιορίσουμε τον αντικατοπτρισμό ενός αντικειμένου στην πρώτη προβολή του (κάτοψη) και να το απεικονίσουμε προοπτικά σαν να ήταν ξεχωριστό αντικείμενο. 2. Ανάκλαση σε οριζόντια επιφάνεια Θεωρούμε ότι η οριζόντια επιφάνεια έδρασης του βιβλίου του προηγούμενου παραδείγματος είναι κι αυτή ανακλαστική (σχ. 62). Για να προσδιορίσουμε την αντικατοπτρική εικόνα του σημείου (σχ. 64), κατασκευάζουμε την Γ Κ στην προέκταση της Γ και ίση με την Γ. σχ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά

ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ. Ιστορικά ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΕΙΣ Ιστορικά Στις αρχές του 16 ου αιώνα ήταν ήδη γνωστές οι αρχές της γραμμικής προοπτικής, περίπου όπως την ξέρουμε σήμερα. Την περίοδο αυτή καλλιτέχνες, γλύπτες και αρχιτέκτονες άρχισαν να πειραματίζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ο κύκλος Ορισμός. Ο κύκλος (Κ, r) με κέντρο Κ και ακτίνα r είναι το σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του επιπέδου που απέχουν απόσταση r από το σημείο Κ. Σχήμα 9.1: Στοιχεία ενός κύκλου.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Στα 1849 ο Sir David Brewster περιγράφει τη μακροσκοπική μηχανή λήψης και παράγονται οι πρώτες στερεοσκοπικές φωτογραφίες (εικ. 5,6).

Στα 1849 ο Sir David Brewster περιγράφει τη μακροσκοπική μηχανή λήψης και παράγονται οι πρώτες στερεοσκοπικές φωτογραφίες (εικ. 5,6). ΣΤΕΡΕΟΣΚΟΠΙΑ Η στερεοσκοπία είναι μια τεχνική που δημιουργεί την ψευδαίσθηση του βάθους σε μια εικόνα. Στηρίζεται στο ότι η τρισδιάστατη φυσική όραση πραγματοποιείται διότι κάθε μάτι βλέπει το ίδιο αντικείμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ Βασικά θεωρήματα Αν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ευθείες τέμνουν δύο άλλες ευθείες, ορίζουν σε αυτές τμήματα ανάλογα. (αντίστροφο Θεωρήματος Θαλή) Θεωρούμε δύο ευθείες δ και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015

2ηέκδοση 20Ιανουαρίου2015 ηέκδοση 0Ιανουαρίου015 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ Μ.Ε. ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΜΑΘΗΣΗ (β-πακέτο ασκήσεων) 1 89 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και Δ εσωτερικό σημείο του ΒΓ. Φέρουμε από το Δ παράλληλες στις πλευρές ΑΒ και ΑΓ. Η παράλληλη στην

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό.

Ορισμός: Έλλειψη είναι ένα σύνολο σημείων τέτοιων ώστε το άθροισμα των αποστάσεων κάθε σημείου από τις δύο εστίες να είναι σταθερό. Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ

2.4-2.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΣΗΜΕΙΟ 1 4-5 ΣΥΜΜΤΡΙ ΩΣ ΠΡΣ ΣΗΜΙ ΚΝΤΡ ΣΥΜΜΤΡΙΣ ΘΩΡΙ Το συµµετρικό σηµείου ως προς κέντρο σηµείο νοµάζουµε συµµετρικό του ως προς κέντρο το σηµείο µε το οποίο συµπίπτει το περιστρεφόµενο περί το κατά γωνία 180

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ

ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ. 2ο ΘΕΜΑ ΙΣΟΣΚΕΛΕΣ ΤΡΙΓΩΝΟ ΜΕΣΟΚΑΘΕΤΟΣ - ΔΙΧΟΤΟΜΟΣ 5029 Έστω κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ με και α) β) Το τρίγωνο ΑΔΓ είναι ισοσκελές μ 10 γ) Η ευθεία ΒΔ είναι μεσοκάθετος του τμήματος ΑΓ μ 7 5619 Δίνεται γωνία χαy και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος

Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Πεδίο, ονομάζεται μια περιοχή του χώρου, όπου σε κάθε σημείο της ένα ορισμένο φυσικό μέγεθος παίρνει καθορισμένη τιμή. Ηλεκτρικό πεδίο Ηλεκτρικό πεδίο ονομάζεται ο χώρος, που σε κάθε σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr

6. Εγγεγραμμένα Σχήματα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 6. Εγγεγραμμένα Σχήματα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) asepfreedom@yahoo.gr 1 Επίκεντρη γωνία Μια γωνία λέγεται επίκεντρη γωνία ενός κύκλου αν η κορυφή της είναι το κέντρο του κύκλου. Το τόξο ΑΓΒ που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ

ΘΕΜΑ 2 Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ Δίνεται παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ με ΑΒ=2ΒΓ. Προεκτείνουμε την πλευρά ΑΔ (προς το μέρος του Δ) κατά τμήμα ΔΕ=ΑΔ και φέρουμε την ΒΕ που τέμνει τη ΔΓ στο σημείο Η. Να αποδείξετε ότι: α) το τρίγωνο ΒΑΕ είναι ισοσκελές.

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ Μάθημα προς τους ειδικευόμενους γιατρούς στην Οφθαλμολογία, Στο Κ.Οφ.Κ.Α. την 18/11/2003. Υπό: Δρος Κων. Ρούγγα, Οφθαλμιάτρου. 1. ΑΝΑΚΛΑΣΗ ΤΟΥ ΦΩΤΟΣ Όταν μια φωτεινή ακτίνα ή

Διαβάστε περισσότερα

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1

Λ υ μ ε ν ε ς Α σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 υ μ ε ν ε ς σ κ η σ ε ι ς ( Π α ρ α λ λ η λ o γ ρ α μ μ α ) 1 Προεκτεινουµε τις πλευρες και παραλληλογραμμου κατα τμηματα = και = αντιστοιχως. Να αποδειξετε οτι τα σημεια, και ειναι συνευθειακα. = παραλληλογραμμο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι:

Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ και τα μέσα Δ, Ε των ΑΒ, ΑΓ αντίστοιχα.θα αποδείξουμε ότι: 7o Γενικό Λύκειο Αθηνών Σχολικό Έτος 04-5 Τάξη: A' Λυκείου Αθήνα -6-05 ΘΕΜΑΤΑ ΓΡΑΠΤΩΝ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Θέμα ο Α. Να αποδείξετε ότι: Το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα

Κεφάλαιο 7. Τρισδιάστατα Μοντέλα Κεφάλαιο 7. 7.1 ομές εδομένων για Γραφικά Υπολογιστών. Οι δομές δεδομένων αποτελούν αντικείμενο της επιστήμης υπολογιστών. Κατά συνέπεια πρέπει να γνωρίζουμε πώς οργανώνονται τα γεωμετρικά δεδομένα, προκειμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα

1 Εγγεγραµµένα σχήµατα Εγγεγραµµένα σχήµατα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σκοπός του µαθήµατος είναι να δώσει στους µαθητές συνοπτικά τις απαραίτητες γνώσεις από τη διδακτέα ύλη της Α λυκείου που δεν διδάχθηκε ή διδάχθηκε περιληπτικά.

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ

Generated by Foxit PDF Creator Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. ΑΣΚΗΣΗ 10 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 0 ΜΕΤΡΗΣΗ ΤΗΣ ΕΣΤΙΑΚΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΦΑΚΟΥ . Γεωμετρική οπτική ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ Η Γεωμετρική οπτική είναι ένας τρόπος μελέτης των κυμάτων και χρησιμοποιείται για την εξέταση μερικών

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Σ ένα στερεό ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις. Όταν το στερεό ισορροπεί, δηλαδή ισχύει ότι F 0 και δεν περιστρέφεται τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν Στ=0,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και

β φυσικοί αριθμοί. Δίνεται ότι η Ευκλείδεια διαίρεση με διαιρετέο τον α και 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 GR. 06 79 - Athens - HELLAS Tel. 36653-367784 - Fax: 36405 ΣΑΒΒΑΤΟ, 30 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 00 B Γυμνασίου 3. Έστω x = 3 4 :4+ 5 και y = 45 4 3 + 73. (α) Να βρεθούν οι αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ. Να σηµειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισµούς:. Αν ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ, τότε τα σηµεία Α, Β, Γ είναι συνευθειακά.. Αν α = β, τότε

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σημειώσεις

Πρόχειρες Σημειώσεις Πρόχειρες Σημειώσεις ΛΕΠΤΟΤΟΙΧΑ ΔΟΧΕΙΑ ΠΙΕΣΗΣ Τα λεπτότοιχα δοχεία πίεσης μπορεί να είναι κυλινδρικά, σφαιρικά ή κωνικά και υπόκεινται σε εσωτερική ή εξωτερική πίεση από αέριο ή υγρό. Θα ασχοληθούμε μόνο

Διαβάστε περισσότερα

. Ασκήσεις για εξάσκηση

. Ασκήσεις για εξάσκηση . Ασκήσεις για εξάσκηση Βασικές ασκήσεις Εφαρµογές 1.76 ίνεται ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε AB= 8 και AΓ= 1. Ένας κύκλος διέρχεται από τα σηµεία Β και Γ και τέµνει τις πλευρές ΑΒ και ΑΓ στα σηµεία και Ε αντίστοιχα.

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο

Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο Α Υλικά, Γραμμές και Τεχνικές στο Ελεύθερο Σχέδιο Σκοπός Σκοπός του κεφαλαίου αυτού είναι να γνωρίσουν οι μαθητές τα υλικά που χρειάζονται για το ελεύθερο σχέδιο και τον τρόπο που θα τα

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26

Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996. 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 Ευκλείδης Β' Γυμνασίου 1995-1996 1. Να λύσετε την εξίσωση: 1 {3 [5 7 x : 9] 7} 5=26 2. Σ' ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ παίρνουμε τις διαμέσους ΑΔ, ΒΕ και ΓΖ (που διέρχονται από το ίδιο σημείο Θ). Πόσες γωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση.

6. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. 12ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Να βρείτε ποια είναι η σωστή απάντηση. Το όργανο μέτρησης του βάρους ενός σώματος είναι : α) το βαρόμετρο, β) η ζυγαριά, γ) το δυναμόμετρο, δ) ο αδρανειακός ζυγός.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου

Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Μαθηματικα Γ Γυμνασιου Θεωρια και παραδειγματα livemath.eu σελ. απο 9 Περιεχομενα Α ΜΕΡΟΣ: ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Χ 4 ΜΟΝΩΝΥΜΑ & ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΜΟΝΩΝΥΜΑ 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 5 ΡΙΖΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ 5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ»

ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ» ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΣΑΒΒΑΤΟ 26 ΙΟΥΝΙΟΥ 2010 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ: «ΜΙΚΡΗ ΚΑΤΟΙΚΙΑ ΔΙΑΚΟΠΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ

3.6 ΕΜΒΑ ΟΝ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ 1 3.6 ΕΜΝ ΚΥΚΛΙΚΥ ΤΜΕ ΘΕΩΡΙ 1. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας µ ο : Ε = πρ. µ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου και π ο γνωστός αριθµός. Εµβαδόν κυκλικού τοµέα γωνίας α rad: Ε = 1 αρ, όπου ρ η ακτίνα του κύκλου

Διαβάστε περισσότερα

Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία)

Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία) Από το επίπεδο στο χώρο (Στερεομετρία) (Διεπιστημονική προσέγγιση αριθμητικού και οπτικού γραμματισμού) Εκπαιδευτικοί: Αθανασοπούλου Ζαφειρία (οπτικός γραμματισμός) Σαρακινίδου Σοφία (αριθμητικός γραμματισμός)

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις - 4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ. + 1) με Ν=0,1,2,3..., όπου d το μήκος της χορδής. 4 χορδή με στερεωμένο το ένα άκρο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. ,στο κενό (αέρα) co

ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ. + 1) με Ν=0,1,2,3..., όπου d το μήκος της χορδής. 4 χορδή με στερεωμένο το ένα άκρο ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. ,στο κενό (αέρα) co ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Κύματα που t x t x σχηματίζουν το y1 = A. hm2 p ( - ), y2 = A. hm2 p ( + ) T l T l στάσιμο Εξίσωση στάσιμου c κύματος y = 2 A. sun 2 p. hm2p t l T Πλάτος ταλάντωσης c A = 2A sun 2p l Κοιλίες,

Διαβάστε περισσότερα

Τέκτων 10. for Windows. Εκπαιδευτική Έκδοση 5.4.0.104. Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα. Αθήνα, Μάιος 2013. Version_1_0_1

Τέκτων 10. for Windows. Εκπαιδευτική Έκδοση 5.4.0.104. Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα. Αθήνα, Μάιος 2013. Version_1_0_1 Τέκτων 10 for Windows Εκπαιδευτική Έκδοση 5.4.0.104 Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα Αθήνα, Μάιος 2013 Version_1_0_1 2 Τέκτων 10 for Windows Εκπαιδευτική Έκδοση Σύντομο αρχιτεκτονικό παράδειγμα Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ης ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ ΕΣ ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙ ΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ TΡΙΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ: «ΧΩΡΟΣ ΕΚΘΕΣΗΣ ΚΕΡΑΜΙΚΩΝ ΕΙΔΩΝ» ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ: Πρόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Α και Β Γενικού Λυκείου ε 3 Γ ε 2 Κ Ε ε 1 Ι Ο Θ Η Ζ Α μ α Ψ ε 4 Β Β ( Σελ. 63 120 ) Τόμος 2ος ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ

Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΔΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ Θέμα: ΟΡΓΑΝΩΣΗ & ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΧΕΔΙΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΩΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ & ΟΙΚΟΔΟΜΙΚΗΣ Σύνταξη κειμένου: Μαρία Ν. Δανιήλ, Αρχιτέκτων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11.2 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΑΝΟΝΙΚΟΥ ΠΟΛΥΓΩΝΟΥ 11. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1 (Ορισμός κανονικού πολυγώνου) Ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό, όταν έχει όλες τις πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT

ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT ΤΕΧΝΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ PROJECT Βασιλίσιν Μιχάλης, Δέφτο Χριστίνα, Ιλινιούκ Ίον, Κάσα Μαρία, Κουζμίδου Ελένη, Λαμπαδάς Αλέξης, Μάνε Χρισόστομος, Μάρκο Χριστίνα, Μπάμπη Χριστίνα, Σακατελιάν Λίλιτ, Σαχμπαζίδου

Διαβάστε περισσότερα

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Επιτρεπόμενη διάρκεια γραπτού 2,5 ώρες (150 λεπτά)

ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Επιτρεπόμενη διάρκεια γραπτού 2,5 ώρες (150 λεπτά) ΛΑΝΙΤΕΙΟ ΛΥΚΕΙΟ Β ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2009-2010 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΕΙΡΑ: Α ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31/05/2010 ΤΑΞΗ: Β ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ: 07:30 10:00 π.μ. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:... ΤΜΗΜΑ:...

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ν περνά από σταθερό σημείο. ν περνά από το σταθερό μέσο του επίσης σταθερού ΚΛ. Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: Το διανυσματικό άθροισμα f Μ γράφεται: f Μ = x ΜΑ+ x ΜΑ+ΑΒ + x ΜΑ+ΑΓ = ΜΑ + ΜΑ + ΜΑ + ΑΒ + ΑΓ ( x) ( x) ( x ) ( x) ( x ) = ( x + x + x ) ΜΑ + ( x) ΑΒ + ( x ) ΑΓ = ( x 4x+ ) ΜΑ+ ( x) ΑΒ+ ( x ) Α Γ f Μ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ

ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε κίνηση ενός κινητού; 2. Τι ονομάζουμε τροχιά ενός κινητού; 3. Τι ονομάζουμε υλικό σημείο; 4. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. 4Ο

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦ. 4Ο Όνοµα:... Ηµεροµηνία:... Βαθµός : ΘΕΜΑ Ο Στις παρακάτω ερωτήσεις να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Όταν ένα σώµα πραγµατοποιεί µόνο στροφική κίνηση : α) όλα τα σηµεία του έχουν την ίδια γραµµική ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996

Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 Θαλής Α' Λυκείου 1995-1996 1. Δυο μαθητές Α και Β παίζουν το ακόλουθο παιχνίδι: Τους δίνεται ένα κανονικό πολύγωνο με άρτιο πλήθος πλευρών, μεγαλύτερο από 6 (π.χ. ένα 100-γωνο). Κάθε παίκτης συνδέει δυο

Διαβάστε περισσότερα

Κατεύθυνση:«Τεχνικής Γεωλογία και Περιβαλλοντική Υδρογεωλογία»

Κατεύθυνση:«Τεχνικής Γεωλογία και Περιβαλλοντική Υδρογεωλογία» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ» Κατεύθυνση:«Τεχνικής Γεωλογία και Περιβαλλοντική Υδρογεωλογία» Βασικά εργαλεία Τεχνικής Γεωλογίας και Υδρογεωλογίας Επικ. Καθηγ. Μαρίνος

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

Ευκλείδεια Γεωμετρία. ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ και ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1 Σωτήρης Ε. Λουρίδας 1. ΓΕΝΙΚΑ: 1.1 Θεωρούμε ότι κάθε Μαθηματικό πρόβλημα είναι της μορφής «αν p τότε q», συμβολικά p q. 1.2. Λύση ενός Μαθηματικού προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΣΑΒΒΑΤΟ, 18 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2014 Τηλ. 6165-617784 - Fax: 64105 Tel. 6165-617784 - Fax: 64105 ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΡΟΣ ΤΟΥΣ ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΤΩΝ ΤΟΠΙΚΩΝ ΝΟΜΑΡΧΙΑΚΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΩΝ, ΠΡΟΕΔΡΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΩΝ ΚΕΝΤΡΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΤΗΡΗΤΕΣ 1. Παρακαλούμε να διαβάσετε προσεκτικά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β Λυκείου Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι αν α,β τότε α //β α λβ, λ. είναι δύο διανύσματα, με β 0, Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ

ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΛΛΗΛΟΤΟΜΙΕΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΙ - ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 1. ΟΡΙΣΜΟΙ ύο επιφάνειες βαθµών µ και ν αντιστοίχως, τέµνονται κατά καµπύλη βαθµού (µ. ν). Η αλληλοτοµία, εποµένως, δύο επιφανειών 2 ου βαθµού,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //

5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = // 1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ. ΣΧΕΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Πολυτίδης Δημήτρης. 1 ο ΕΤΟΣ

ΣΧΟΛΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ. ΣΧΕΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Πολυτίδης Δημήτρης. 1 ο ΕΤΟΣ ΣΧΟΛΕΙΟ ΓΙΑΝΝΙΤΣΩΝ ΣΧΕΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Πολυτίδης Δημήτρης 1 ο ΕΤΟΣ 1 η φάση: Ερώτημα συζήτησης: Που χρησιμοποιείται τη γεωμετρία στην εργασία σας και στην καθημερινή σας ζωή. (Μια διδακτική ώρα).

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙΣ ΕΛΕΝΗ Κ. ΆΓΑ, Επίκουρη Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. Μάθημα: ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΧΕΔΙΟ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΣΧΕΔΙΑΣΕΙΣ EΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Σχέδιο Ειδικότητας Αµαξωµάτων

Σχέδιο Ειδικότητας Αµαξωµάτων 89 ιδακτικοί στόχοι: Στο τέλος αυτής της διδακτικής ενότητας θα είσαι σε θέση: Να µπορείς να απεικονίζεις σε σκαρίφηµα τα κυριότερα µέρη των αµαξωµάτων. Να γνωρίζεις τη σειρά συναρµολόγησης των τµηµάτων

Διαβάστε περισσότερα

, y 1. y y y y = x ( )

, y 1. y y y y = x ( ) ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ Μία εξίσωση µε αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µίας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C και µόνο αυτές την επαληθεύουν. Αν έχουµε

Διαβάστε περισσότερα

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΕΜΠΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΔΥΟ (2)

AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΕΜΠΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΔΥΟ (2) AΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΕΙΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ ΠΕΜΠΤΗ 18 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΚΟΙΝΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΣΤΟ ΕΛΕΥΘΕΡΟ ΣΧΕΔΙΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ ΔΥΟ (2) ΖΗΤΟΥΝΤΑΙ: 1. Απεικόνιση του θέματος στον καθορισμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ

ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ [7] ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΚΥΚΛΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Κύκλος µε κέντρο Κ και ακτίνα ρ λέγεται ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν από το Κ απόσταση ίση µε ρ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Αν ο κύκλος έχει κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

Δύναμη είναι η αιτία που μπορεί να προκαλέσει μεταβολή στην ταχύτητα ενός σώματος ή που μπορεί να το παραμορφώσει.

Δύναμη είναι η αιτία που μπορεί να προκαλέσει μεταβολή στην ταχύτητα ενός σώματος ή που μπορεί να το παραμορφώσει. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναμης 1. Τι είναι δύναμη; Δύναμη είναι η αιτία που μπορεί να προκαλέσει μεταβολή στην ταχύτητα ενός σώματος ή που μπορεί να το παραμορφώσει. 2. Ποια είναι τα χαρακτηριστικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009

ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1 Ο ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΟΙ ΧΑΡΤΕΣ Δρ. ΜΑΡΙΑ ΦΕΡΕΝΤΙΝΟΥ 2008-2009 Τοπογραφικοί Χάρτες Περίγραμμα - Ορισμοί - Χαρακτηριστικά Στοιχεία - Ισοϋψείς Καμπύλες - Κατασκευή τοπογραφικής τομής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΔΥΝΑΜΕΙΣ 3.1 Η έννοια της δύναμης ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Στο κεφάλαιο των κινήσεων ασχοληθήκαμε με τη μελέτη της κίνησης χωρίς να μας απασχολούν τα αίτια που προκαλούν την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΠΙΠΛΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΠΙΠΛΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ & ΑΡΧΙΚΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΙΚΗ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗ (Ε.Π.Ε.Α.Ε.Κ. ΙΙ) ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΡΑΞΕΩΝ: 2.2.2.α. Αναμόρφωση Προπτυχιακών

Διαβάστε περισσότερα