ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι"

Transcript

1 ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Καθηγητής ΗΥ343 Τµήµα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών Φθινόπωρο 2008 c 2008, Ευστράτιος Γαλλόπουλος

2

3 Προλεγόµενα Στο ϐιβλίο αυτό περιέχεται ύλη για τη διδασκαλία του Επιστηµονικού Υπολογισµού. Οπως ϑα διαπιστώσετε, η πλειοψηφία των «επιστηµονικών υπολογισµών» ανάγονται σε προβλήµατα της υπολογιστικής γραµµικής άλγεβρας. Ετσι η εισαγωγή στα ϑέµατα του επιστηµονικού υπολογισµού γίνεται χρησιµοποιώντας την περιοχή αυτή σαν όχηµα. Το µεγαλύτερο µέρος της ύλης που περιέχεται στο τεύχος αυτό καλύπτεται στο µάθηµα «Επιστηµονικός Υπολογισµός I» που διδάσκεται στο τρίτο έτος του τµήµατος Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής του Πανεπιστη- µίου Πατρών. Τα πιο εξειδικευµένα τµήµατά του έχουν επίσης χρησιµοποιηθεί στην Υπολογιστική Γραµµική Άλγεβρα καθώς και σε παραδόσεις ειδικών ϑεµάτων Επιστηµονικού Υπολογισµού. Το µάθηµα στο ιαδίκτυο Η ηλεκτρονική σελίδα είναι αναπόσπαστο τµήµα του µαθήµατος καθώς περιέχει απαραίτητα στοιχεια (περιεχόµενα διαλέξεων, ανακοινώσεις, ϐαθµολογία, προβλήµατα και ασκήσεις, παραδείγµατα, on-line πληροφορίες και πηγές, ϐιβλιογραφία, προγράµµατα, κλπ.) Η σελίδα ανανεώνεται συνεχώς. Για τη Γλώσσα Είναι γνωστό ότι η Πληροφορική δοκιµάζει την ευελιξία κάθε γλώσσας. Τα Ελληνικά δεν αποτελούν εξαίρεση. Στις σηµειώσεις αυτές προτίµησα να επιχειρήσω την µετάφραση των αγγλικών όρων και να περιλάβω την αγγλική ορολογία σε παρένθεση όταν ο ελληνικός όρος είναι αδόκιµος. Επίσης δεν µετέ- ϕρασα τα καθιερωµένα αρκτικόλεξα (όπως RISC και SVD). Για τις µαθηµατικές συναρτήσεις χρησιµοποιούνται τα αγγλικά σύµβολα, π.χ. cos αντί για «συν» 1. Για τη δόκιµη µετάφραση των αγγλικών όρων χρησιµοποιήθηκαν τα παρακάτω λεξικά 2 : Λ1 «Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηµατικών Ορων» των Α. Καλογεροπούλου, Μ. Γκίκα,. Καραγιαννάκη και Μ. Λάµπρου (εκδ. Τροχαλία : Αθήνα 1992), Λ2 «Αγγλοελληνικόν Λεξικόν των Θεωρητικών και Εφηρµοσµένων Μαθηµατικών» του Μεµά Κολαΐτη (εκδ. Τεχνικού Επιµελητηρίου της Ελλάδος : Αθήνα, 1976). Επισηµαίνουµε εδώ ότι µεταφράζουµε τον όρο matrix ως «µητρώο» γιατί ϑεωρούµε ότι έτσι αποδίδει και µεταφέρει καλύτερα στον αναγνώστη τον αλγεβρικό λογισµό που επιτρέπουν µεταβλητές αυτού του τύπου. Η επιλογή αυτή είναι διαφορετική από τη συνηθισµένη, αλλά λανθασµένη, κατά την άποψή µας, πρακτική αρκετών συγγραφέων που χρησιµοποιούν τον όρο «πίνακας» και άθελά τους δηµιουργούν σύγχυση µε παραπλήσιους (αλλά διαφορετικούς από το µητρώο) όρους όπως array και table. Για παράδειγµα, στη συνάρτηση polyval.m της MATLAB αναφέρεται στα σχόλια ότι «POLYVALM Matrix polynomial evaluation. If V is a vector whose elements are the coefficients of a polynomial, then POLYVALM(V,X) is the value of the polynomial evaluated with matrix argument X. See POLYVAL for 1 Η πρακτική αυτή ακολουθείται και σε άλλα συγγράµµατα, ϐλ. για παράδειγµα τα συγγράµµατα των ουγαλή-ακρίβη και Strang που αναφέρονται πιο κάτω. 2 Με παχειά στοιχεία αναφέρεται η σύντµηση που χρησιµοποιείται στο κείµενο όταν αναφερόµαστε στα λεξικά αυτά.

4 4 polynomial evaluation in the regular or array sense.» Αντίστοιχα προβλήµατα εµφανίζονται και σε άλλα συστήµατα, όπως η Mathematica, σε λογισµικά ϕύλλα, και αλλού. Άποψή µας είναι ότι µια πολύ πιο εύστοχη χρήση του όρου «πίνακας» είναι για τις δοµές δεδοµένων που χρησιµοποιούνται για τα µητρώα και τα διανύσµατα 3. Σηµειώνουµε ότι σε προηγούµενες εκδόσεις του ϐιβλίου χρησιµοποιούσαµε τον επίσης επιτυχηµένο, κατά τη γνώµη µας, νεολογισµό «µητρείο» του Μ. Κολαΐτη 4. Σχετικά µε την παρακολούθηση και τα «προαπαιτούµενα» Από τη ϕύση του, ο Επιστηµονικός Υπολογισµός στηρίζεται στην πρόοδο που έχει γίνει σε πολλούς τοµείς στην επιστήµη και στην τεχνολογία των Η/Υ. Εποµένως, για την πληρέστερη κατανόηση του µαθήµατος, ϑα ήταν χρήσιµη η εξοικείωσή σας µε τα ακόλουθα : α) ΗΥ110 (2ο εξ.): Γραµµική Άλγεβρα, ϐ) ΗΥ240 (4ο εξ.): Αριθµητική Ανάλυση και Περιβάλλον Υλοποίησης. Χρησιµοποιούνται επίσης στοιχεία από το ΗΥ261 (3ο εξ.) (Αρχιτεκτονική Υπολογιστών) και το ΗΥ205 (Εισαγωγή στους Αλγόριθµους). Χρήσιµες πηγές, στα ελληνικά, για τα (α) και (ϐ) είναι το Γραµµική Αλγεβρα και Εφαρµογές του G. Strang, Παν/κές Εκδόσεις Κρήτης (1996) καθώς και το Εισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση των Γ.. Ακρίβη και Β.Α. ουγαλή, Παν/κές Εκδόσεις Κρήτης (1997). Τέλος αναφέρουµε ότι οι εργαστηριακές ασκήσεις ϑα γίνουν χρησιµοποιώντας κατά κύριο λόγο το (εξαιρετικά διαδεδοµένο και δηµο- ϕιλές) περιβάλλον MATLAB (έκδοση version 7). Επιπλέον των εγχειριδίων του περιβάλλοντος, ϑα ϐρείτε χρήσιµους οδηγούς και στην ιστοσελίδα του µαθήµατος. Εναλλακτικά, µπορείτε να πειραµατιστείτε και µε δηµόσια διαθέσιµο λογισµικό, συγκεκριµένα το περιβάλλον Scilab που προσφέρει παρόµοιες λειτουργίες µε τη MATLAB, αλλά διατίθεται δωρεάν (από Πηγές Βασικές πηγές µας ήταν τα εξής ϐιβλία : 1) G. Golub and C. F. Van Loan. Matrix Computations. The Johns Hopkins University Press, Baltimore, third edition, ) N.J. Higham. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. SIAM, Philadelphia, 2002, 2nd. ed. Συνιστούµε επίσης και το C.W. Ueberhuber. Numerical Computation, volumes 1 and 2. Springer, Berlin, για µια πιο εκτενή εισαγωγή στο πνεύµα του µαθήµατος. Ασκήσεις Το τέλος κάθε κεφαλαίου περιλαµβανει και ένα τµήµα ασκήσεων, διαµορφωµένες σε τρεις ενότητες. Η πρώτη ενότητα περιέχει «ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης» που συνήθως απαιτούν λίγο χρόνο και χώρο για να απαντηθούν. Η δεύτερη περιέχει προβλήµατα που απαιτούν πιο διεξοδικές απαντήσεις. Η τρίτη ενότητα περιέχει εργαστηριακές ασκήσεις. Σε µερικές περιπτώσεις, οι απαντήσεις δίδονται µόνο περιληπτικά ή υπό σε γενικές γραµµές ή αναφέρονται στο ϐιβλίο. Ορισµένες από τις ασκήσεις είναι άλυτες ενώ µερικές ϕορές οι απαντήσεις µπορεί να είναι µακρύτερες λόγω των επιπλέον σχολίων (συχνά σε µικρότερη γραµµατοσειρά). Πολλές από τις ασκήσεις προέρχονται από ϑέµατα εξετάσεων και εργαστηριακών ασκήσεων παλαιότερων ετών ενώ ορισµένες έχουν αντληθεί από τη διεθνή ϐιβλιογραφία. Ευχαριστώ ϑερµά όσους ϐοήθησαν στο σχεδιασµό αυτών των ασκήσεων µε τις υποδείξεις και διορθώσεις τους και ιδιαίτερα τους ηµήτρη 3 Θα µπορούσαµε να πούµε ότι ο όρος «πίνακας», ως µετάφραση του matrix, αποτελεί έναν «κόθορνο» της Πληροφορικής, σύµφωνα µε το Λ2 (ς. xxxiv). 4 είτε και τη ς. 1xvii της εισαγωγής του Λ2 σχετικά µε αυτήν την επιλογή.

5 5 Ζεϊµπέκη, Κώστα Μπέκα, Εφη Κοκιοπούλου, Γιώργο Τσιρογιάννη, Τάσο Σιδηρόπουλο, Γιάννη Κουτή και Λουκά Γεωργιάδη. Ευχαριστώ επίσης τους ϕοιτητές του µαθήµατος που µε τις απαντήσεις τους και παρατηρήσεις τους ορισµένες ϕορές ϐοήθησαν στην κατασκευή «αποτελεσµατικότερων» απαντήσεων. Η προετοιµασία των ασκήσεων υποστηρίχθηκε από ένα Επιχειρησιακό Πρόγραµµα Εκπαίδευσης και Αρχικής Επαγγελµατικής Κατάρτισης (ΕΠΕΑΕΚ). Ευχαριστίες Ευχαριστώ όλους τους ϕοιτητές που διάβασαν προηγούµενες εκδοχές και εκδόσεις του ϐιβλίου. Θέλω όµως να κάνω και ιδιαίτερη µνεία στου Α. Αναγνωστόπουλο, Γεώργιο Γερούτη, Σωτήρη Γκέκα, Γιάννη αγκλή, Σ. Νικολάου, Απόστολο Παπαγεωργίου, Ανδρέα Παπαγεωργίου, Πέτρο Παπακωνσταντίνο, Ευστρατία Περγκαντή, Νικόλαο Πουλοκέφαλο, Τάσο Σιδηρόπουλο, Ευστράτιο Συκκά, Άλκη Τσιλιµαντό και Αλεξία Τσουµάνη που µε εκτεταµένες γραπτές πα- ϱατηρήσεις και διορθώσεις συνεισέφεραν σηµαντικά στη ϐελτίωση του κειµένου. Επίσης στη σηµαντική ϐοήθεια των Ευφροσύνης Κοκιοπούλου, Γιώργου Κόλλια, Γιάννη Κουτή, Κωνσταντίνου Μπέκα, Γιώργου Τσιρογιάννη, ηµήτρη Ζεϊµπέκη, Κυριάκου Πετράκου που ως µεταπτυχιακοί εργάστηκαν για την ανάπτυξη του µα- ϑήµατος. Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν χρησιµοποιώντας το πακέτο ελληνικών του LaTEX που ανέπτυξε ο κ. Απόστολος Συρόπουλος τον οποίο και ευχαριστώ και για τις τις χρήσιµες συµβουλές του. Παράκληση Οι ϱαγδαίες επιστηµονικές και τεχνολογικές εξελίξεις που Ϲούµε στη σηµερινή εποχή αφορούν σε µεγάλο ϐαθµό και στον Επιστηµονικό Υπολογισµό. Ετσι, αρκετά ϑέµατα που αναφέρονται στο παρόν ϐιβλίο αναθεωρούνται τακτικά. Επίσης, όσα σφάλµατα εντοπίζονται, διορθώνονται άµεσα και ανακοινώνονται µέσω της οικοσελίδας του µαθήµατος, όπου ϐρίσκεται πάντα και η πιο πρόσφατη εκδοχή του ϐιβλίου. Στη διαδικασία αυτή, οι υποδείξεις και παρατηρήσεις σας είναι πάντα ευπρόσδεκτες και χρήσιµες. Ε. Γαλλόπουλος Νοέµβριος 2008 Πάτρα

6

7 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή Οριοθετήσεις Εφαρµογές Αξιολόγηση Περιβάλλον Υλοποίησης Υλικό και Αρχιτεκτονική Γλώσσες, µεταφραστές, και Περιβάλλοντα Επίλυσης Προβλη- µάτων Αντί ανακεφαλαίωσης Ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης Προβλήµατα Εργαστηριακές ασκήσεις και εργασίες Μοντέλα υπολογισµών Τα µοντέλα στις ϕυσικές επιστήµες και στην τεχνολογία Μοντέλα στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστικά µοντέλα Υπολογιστικά µοντέλα µε ιεραρχία µνήµης Ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης Προβλήµατα Εργαστηριακές ασκήσεις και εργασίες Μοντέλο αριθµητικής και σφάλµατα υπολογισµού Απόλυτο και σχετικό σφάλµα Το σύστηµα αριθµών κινητής υποδιαστολής Υπερχείλιση, υποχείλιση και στρογγύλευση Κανονικοποίηση και κρυµµένο bit Ιδιότητες του συστήµατος α.κ.υ Το «έψιλον της µηχανής» Αριθµητικές πράξεις και µετάδοση σφάλµατος στρογγύλευσης Το πρότυπο αριθµητικής κινητής υποδιαστολής του ΙΕΕΕ Βασικές προδιαγραφές του προτύπου Υποκανονικοποιηµένοι αριθµοί και ϐαθµιαία υποχείλιση Αριθµητική ΙΕΕΕ εκτεταµένης ακρίβειας Η εντολή Fused Multiply and Add (FMA) Η επίδραση της Java Εκτίµηση σφάλµατος και ποιότητα υπολογισµών Μελέτη κατάστασης και σφάλµατος πολυωνυµικών µορφών

8 2 Περιεχόµενα Πίσω ευστάθεια ϱίζας είκτης κατάστασης ϱίζας Ενιαία ϑεωρία σφαλµάτων Ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης Προβλήµατα Εργαστηριακές ασκήσεις και εργασίες Προβλήµατα της Αριθµητικής Γραµµικής Αλγεβρας Ι Εισαγωγή Συµβολισµός Από τον τεµαχισµό πινάκων στα σύνθετα µητρώα Βασικές Πράξεις της Αριθµητικής Γραµµικής Άλγεβρας Εσωτερικά γινόµενα και τριάδες Πράξεις µητρώων διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός µητρώου διανύσµατος Πράξεις µητρώων-µητρώων : Πολλαπλασιασµός Υπερταχύς πολλαπλασιασµός µητρώων Τα BLAS Μεθοδολογία και υπολογιστικό µοντέλο Περί προγραµµατισµού Σηµειώσεις Ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης Προβλήµατα Προβλήµατα της Αριθµητικής Γραµµικής Αλγεβρας II Εισαγωγή Θεωρία και πρακτική Τύποι µητρώων Επίλυση πυκνών γραµµικών συστηµάτων οµές δεδοµένων για την αποθήκευση πυκνών µητρώων Συστήµατα µε τριγωνικά µητρώα Γενικά συστήµατα Περί υλοποιήσεων Παραγοντοποίηση µε ορµαθούς Οδήγηση Ανάλυση σφάλµατος των µεθόδων επίλυσης Πολυπλοκότητα του ΑΓΑ Συµµετρικά ϑετικά ορισµένα µητρώα Παραγοντοποίηση Cholesky Λογισµικό Γενικές παρατηρήσεις Βιβλιογραφικές παρατηρήσεις Ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης Προβλήµατα Προβλήµατα της Αριθµητικής Γραµµικής Αλγεβρας III Παραγοντοποίηση QR και εφαρµογές Προβολές και ορθοκανονικοποίηση Στοιχειώδης προβολή Ορθοκανονικοποίηση µε Gram-Schmidt

9 Περιεχόµενα Τροποποιηµένος αλγόριθµος GS Μετασχηµατισµοί Householder και προβολές Πολλαπλασιασµός µε ανακλαστές Παραγοντοποίηση QR: µέθοδος Householder Πολυπλοκότητα της παραγοντοποίησης QR QR µε Householder κατά ορµαθούς Επίλυση ΑΓΑ.2 µε QR Μέθοδος των κανονικών εξισώσεων Λογισµικό Περιστροφή Givens Υπολογισµός περιστροφής Εφαρµογή περιστροφών Givens Λογισµικό QR µε Givens Άλλες εφαρµογές Ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης Προβλήµατα Προβλήµατα της Αριθµητικής Γραµµικής Αλγεβρας IV Πίνακες/µητρώα Ϲώνης Μητρώα ειδικής µορφής Πολυώνυµα και µητρώα : Μια «στενή» σχέση Μητρώα Vandermonde Μητρώα Toeplitz Πολλαπλασιασµός µε µητρώα Toeplitz Κυκλοτερή µητρώα Γρήγορες ερωτήσεις και ασκήσεις αυτοαξιολόγησης Προβλήµατα Το ιακριτό Μοντέλο Εισαγωγή Ορολογία ιακριτοποίηση και πεπερασµένες διαφορές Επίλυση Σ Ε µε πεπερασµένες διαφορές Επίλυση προβλήµατος αρχικών τιµών Μέθοδοι Euler Μέθοδοι Taylor, Runge-Kutta και παρεκβολή Richardson Προβλήµατα αρχικών-συνοριακών τιµών : Εξίσωση διάχυσης Ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης Προβλήµατα Εργαστηριακές ασκήσεις και εργασίες Α Στοιχεία Γραµµικής Αλγεβρας 317 Α.1 Νόρµες Α.1.1 Νόρµα διανύσµατος Α.1.2 Νόρµα µητρώου Α.2 Ιακωβιανά µητρώα και συνέχεια κατά Lipschitz Α.3 Χρήσιµα χαρακτηριστικά µητρώων

10 4 Περιεχόµενα

11 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Οριοθετήσεις Είναι πλέον κοινός τόπος πως µετά τη Θεωρία και το Πείραµα, ο Υπολογισµός µε ΗΥ 1 αποτελεί το τρίτο µεθοδολογικό εργαλείο στην έρευνα και στην ανάπτυξη της Επιστήµης και της Τεχνολογίας. Παραθέτουµε χαρακτηριστικά αποσπάσµατα από σχετικές αναφορές : Στα µέσα του 1980 συστήθηκε στις ΗΠΑ µία επιτροπή για να να εξετάσει τις τότε ανάγκες σε Υπολογιστικά Μαθηµατικά, Αλγόριθµους και Λογισµικό και να προσδιορίσει τρόπους µελλοντικής δράσης. Τα πορίσµατα της επιτροπής δηµοσιεύθηκαν στην έκθεση Future Directions in Computational Mathematics, Algorithms and Scientific Software. Η έκθεση αρχίζει ως ε- ξής : «The use of modern computers in scientific and engineering research and development over the last three decades has led to the inescapable conclusion that a third branch of scientific methodology has been created. It is now widely acknowledged that, along with the traditional theoretical and experimental methodologies, advanced work in all areas of science and technology has come to rely critically on the computational approach.» (Από το [33]). It is becoming clear that dramatic increases in computing power are necessary but insufficient to making high-performance computing a reality. Necessary is also the construction of a large body of applications capable of using that computational power effectively (Στο [3] από τους Alpern και Carter 2.) It is essential to recognize the fact that computer experiments can both be a two-way bridge between Physical Experiments and Mathematical Models, as well as an indepent source of physical understanding. Such experiments have a mind-bing potential for future explorations of nature s secrets, which is only vaguely recognized today. (Από το άρθρο 1 Επιλογισµός, δηλ. υπολογισµός µε ΗΥ σύµφωνα µέ το Λ2. 2 Οι Bowen Alpern και Larry Carter ήταν Computer Scientists στα εργαστήρια της IBM στα Yorktown Heights. Ο Carter είναι τώρα καθηγητής στο University of California, San Diego (UCSD). 5

12 6 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ του Jackson 3 [23]). Ο καθένας διατηρεί ασφαλώς την ανάµνηση των εργαστηριακών µαθηµάτων στο λύκειο : έπρεπε, µε ϐάση το προτεινόµενο πείραµα, να επαληθεύσουµε µετρήσεις, οι οποίες στη συνέχεια µεταφέρονταν σ ένα διάγραµµα, επιτρέποντας έτσι να συµπεράνουµε το νόµο. Μ αυτόν τον τρόπο, ελάχιστα δεδοµένα επέτρεπαν να καταλήξουµε σε σπουδαία αποτελέσµατα. Σήµερα, οι τεχνολογίες επαληθεύουν για µας τις παρατηρήσεις και τις µετρήσεις αυτών των παρατηρήσεων, αυτόµατα και σε πραγµατικό χρόνο, και στη συνέχεια καταγράφουν χωρίς περιορισµούς δυνατοτήτων αυτά τα δεδοµένα. Σε ση- µείο που ένα πρόγραµµα συνίσταται στο να καλεί τους χρήστες υπολογιστών σ ολόκληρο τον κόσµο για να συνδέσει περίπου δύο εκατοµµύρια µηχανή- µατα και να µπορέσει έτσι να επεξεργαστεί τα δεδοµένα. Κατά συνέπεια, αλλάζουµε επίσης επιστηµονικό υπόδειγµα : η σηµερινή επιστήµη δεν έχει πλέον καµία σχέση µε εκείνη η οποία υπήρχε πριν από µερικές δεκαετίες. (Από πρόσφατο άρθρο του Michel Serres 4 [35]) Η διατµηµατικότητα του ΕΥ δυσκολεύει τη διατύπωση ενός ικανοποιητικού ορισµού για το πεδίο. Μερικοί τον εξισώνουν µε την αριθµητική ανάλυση, και άλλοι µε το δυσκολοµετάφραστο επίσης όρο computational science and engineering ϐλ. επίσης τα σχόλια στο άρθρο «Computational Science and Engineering» [12]. Αναφέρουµε τον πλατύ ορισµό που έχει δοθεί από τους Golub και Ortega 5 στο [14, σελ. 2]: Scientific computing is the collection of tools, techniques, and theories required to solve on a computer mathematical models of problems in science and engineering. Θα λάβουµε την παρακάτω ϑέση : Στον ΕΥ µας ενδιαφέρουν ο σχεδιασµός, η ανάπτυξη, και η χρήση αποδοτικών υπολογιστικών εργαλείων που ϐοηθούν στην πρακτική ε- πίλυση των µαθηµατικών µοντέλων της επιστήµης και της τεχνολογίας. Η έµφαση στη λύση προβληµάτων που συνήθως προέρχονται από άλλες επιστήµες δεν πρέπει να µας ξενίζει. Αντιστοιχεί µάλιστα στην περιοχή του Mathematical Modelling που περιγράφεται ως «αντιµετώπιση ϱεαλιστικών προβληµάτων εκτός των Μαθηµατικών» [4, π. 220]. Ο σχεδιασµός και χρήση των εργαλείων του ΕΥ πρέπει να λαµβάνει υπόψη τη ϕυσική και τα µαθηµατικά του προβλήµατος καθώς και το περιβάλλον υλοποίησης (αρχιτεκτονική, λογισµικό, κλπ.) Στο µάθηµα του Γ έτους ϑα µας απασχολήσουν κυρίως ο σχεδιασµός και η υλοποίηση επιστηµονικού λογισµικού. Θα εξετάσουµε επίσης τη δοµή σύγχρονων πακέτων επιστηµονικού υπολογισµού. 3 Ο Atlee Jackson είναι ϕυσικός και διευθύνει το Center for Complex Systems Research στο Beckmann Center του University of Illinois at Urbana-Champaign. Είναι επίσης µέλος του Santa Fe Insitute. 4 Ο Michel Serres είναι ϕιλόσοφος και µέλος της Γαλλικής Ακαδηµίας 5 Ο Gene Golub ήταν ο ιδρυτής του προγράµµατος του ΕΥ στο Stanford και ο James Ortega είνα καθηγητής στο University of Virginia.

13 1.2. Εφαρµογές c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ 7 Πίνακας 1.1: Αντιστοιχία εφαρµογών µε αριθµητικές µεθόδους ϐασισµένη στον [26] κβαντοχηµεία... *... * * * προσοµοίωση καιρού.... * *.... ϱευστοδυναµική *. *. * * *... γεωδαιτικά δίκτυα * * αντίστροφα προβλήµατα. *.. *..... δοµική µηχανική *. * * προσοµοίωση ηλεκτρικών στοιχείων *. *.. * *. *. προσοµοίωση κυκλωµάτων *. *.... *.. ηλεκτροµαγνητισµός * * * * * * *... οικονοµία/παράγωγα * * *.... * * * ανάκτηση πληροφορίας * *. * επεξεργασία σήµατος κ. εικόνας * * * * * * *.. * αλγ. πρβλ. στο ιαδίκτυο *.. * γραµµικά συστήµατα 2. γραµµ. συσ/µατα και πρβλ. ελαχ. τετραγ. 3. µη γραµµικά συστήµατα 4. πρβλ. ιδιοτιµών για αραιά µητρώα 5. ταχείς µετασχηµατισµοί (FFT, κλπ) 6. ταχείς ελλειπτικοί επιλυτές 7. πολυπλεγµατικές (=multigrid) µέθοδοι 8. άκαµπτες συνήθεις Ε 9. µέθοδοι Monte Carlo 10. ολοκληρωµατικοί µετασχηµατισµοί 1.2 Εφαρµογές Οι πιο σηµαντικές κατηγορίες χρήσεων τεχνικών του ΕΥ είναι οι εξής : 1) η προσοµοίωση, 2) η ανάλυση δεδοµένων (εικόνα, ήχος), 3) η υπολογιστική υποστήριξη των γραφικών, και 4) οι εφαρµογές που απαιτούν ανταπόκριση σε πραγµατικό χρόνο. Στον Πίνακα 1.1, µικρή παραλλαγή του οποίου δηµοσιεύθηκε στο άρθρο [26], παρουσιάζεται κατάλογος από σηµαντικές εφαρµογές από την επιστήµη και την τεχνολογία και τα υπολογιστικά προβλήµατα που πρέπει να λυθούν στις εφαρµογές αυτές. Αξίζει να σηµειωθεί ότι οι εφαρµογές που απαριθµούνται στον πίνακα επιλέχθηκαν επειδή απαιτούν σηµαντική υπολογιστική υποστήριξη. Οι συγγραφείς του [26] (όπου παρουσιάστηκε ο πίνακας) είχαν την ιδέα ότι για την αντιµετώπιση των µεγάλων υπολογιστικών προβληµάτων πρέπει πρώτα να αναλυθούν προσεκτικά οι υπάρχοντες κώδικες 6 ώστε να ϕανεί ξεκάθαρα ποιά τµήµατα του κώδικα έχουν το µεγαλύτερο κόστος. Οταν γίνει αυτό, µπορούµε να διακρίνουµε δύο κατηγορίες προβληµάτων. 1) Αυτά που επιταχύνονται ικανοποιητικά µέσω των ϐελτιστοποιήσεων που επιτυγχάνει ο µεταφραστής (restructuring compiler) και 2) αυτά τα οποία απαιτούν την χρήση πληροφορίας «υψηλότερου επιπέδου» για την αποτελεσµατική τους επιτάχυνση π.χ. µαθηµατικής πληροφορίας για την κατασκευή ταχύτερου αλγορίθµου. Προκύπτει ότι για να επιταχύνουµε τον κώδικα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε 1. αποτελεσµατικότερους αλγόριθµους µέσω της αξιοποίησης της µαθηµατικής πληροφορίας, και 6 Χαρακτηρίζονται ως «παραδοσιακοί» (= legacy) ή «σκονισµένοι» (= dusty-deck) κώδικες.

14 8 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ 2. αποτελεσµατικότερη µετάφραση. Ο πίνακας 1.1 αναδεικνύει τις υπολογιστικές ανάγκες που µοιράζονται πολλές εφαρµογές. Εποµένως καθίσταται σηµαντική η ϐελτιστοποίηση αυτών των υπολογισµών, οι οποίοι ενίοτε αποκαλούνται χαρακτηριστικά και υπολογιστικοί πυρήνες (= computational kernels). Για παράδειγµα, πάρα πολλές εφαρµογές απαιτούν µετασχηµατισµούς Fourier ενώ άλλες απαιτούν τη λύση πολύ µεγάλων γραµµικών συστηµάτων. Στην πρώτη περίπτωση χρησιµοποιούνται αλγόριθµοι που υλοποιούν τον ταχύ µετασχηµατισµό Fourier (το περίφηµο FFT) ενώ στη δεύτερη αλγόριθµοι για την αριθµητική επίλυση γραµµικών συστηµάτων (η α- παλοιφή Gauss είναι µία από τις µεθόδους που έχουµε στη διάθεσή µας). Οι κοινές ανάγκες των εφαρµογών αποτελούν κίνητρο για τη δηµιουργία ϐιβλιοθηκών επιστηµονικού λογισµικού. Η δηµιουργία τέτοιων ϐιβλιοθηκών (που να είναι αποτελεσµατικές και εύχρηστες) είναι από τα σηµαντικά ϑέµατα που απασχολούν την ευρύτερη περιοχή του επιστηµονικού υπολογισµού. Επισηµαίνουµε εδώ ότι οι έξι πρώτες κατηγορίες υπολογιστικών πυρήνων που απαριθµούνται στον πίνακα είναι ή ανάγονται σε προβλήµατα της γραµµικής άλγεβρας. Παρατήρηση Αν σας εκπλήσσει ότι κατατάσσουµε ακόµα και τους (διακριτούς) µετασχηµατισµούς Fourier στη γραµµική άλγεβρα, λέµε από τώρα - αν δεν το ξέρετε ήδη - ότι πρόκειται για έναν πολλαπλασιασµό µητρώου µε διάνυσµα και ότι ο αποκαλούµενος ταχύς µετασχηµατισµός Fourier είναι ένας τρόπος για να επιταχύνουµε τον πολλαπλασιασµό εκµεταλλευόµενοι την ειδική δοµή του µητρώου. Περισσότερα για το ϑέµα αυτό ϑα δούµε στο Κεφάλαιο 7. Για τους παραπάνω λόγους, µεγάλο µέρος του µαθήµατος του Επιστη- µονικού Υπολογισµού το αφιερώνουµε στο σχεδιασµό µεθόδων για την αποτελεσµατική επίλυση προβληµάτων της γραµµικής άλγεβρας που παρουσιάζονται στις µεγάλες εφαρµογές. Για µια ενδιαφέρουσα περιγραφή εφαρµογών που απαιτούν υπολογισµούς µεγάλης κλίµακας (και που πολλές ϕορές αποκαλούνται «Μεγάλες Προκλήσεις της Υπολογιστικής Επιστήµης 7» ) ϐλ. [24, 34]. Σηµειώνουµε πως αν και οι περισσότερες εφαρµογές που αναφέρονται στον πίνακα 1.1 προέρχονται από µοντέλα των ϕυσικών επιστηµών και της τεχνολογίας, σηµαντικά προβλήµατα ΕΥ προκύπτουν και στις οικονοµικές και κοινωνικές επιστήµες. Για παράδειγµα, µια τοπική ή εθνική οικονοµία µπορεί να µοντελοποιηθεί µε πίνακες που αναπαριστούν τις συνδιαλλαγές ανάµεσα στους τοµείς της π.χ. το ποσό παραγωγής πετρελαίου, χάλυβα και µηχανολογικών εργαλείων σε µια ϐιοµηχανική οικονοµία σχετίζεται µε την παραγωγή αυτοκινήτων. Τυχούσες αυξοµείωσεις στην παραγωγή σε έναν τοµέα της οικονοµίας πρέπει να συνοδεύονται από αντίστοιχη αύξηση ή µείωση στην ανάπτυξη τοµέων που εξαρτώνται (καταρχήν άµεσα αλλά και έµµεσα) από αυτόν. Αυτές οι σχέσεις παριστώνται µε πίνακες «εισόδου-εξόδου» (=input-output tables). Για την ανάλυση αυτών των πινάκων χρησιµοποιούνται µεθόδοι της αριθµητικής γραµµικής άλγεβρας 8. Μεγάλο υ- πολογιστικό ενδιαφέρον συγκεντρώνει και η αριθµητική επίλυση των εξισώσεων που µοντελοποιούν τα παράγωγα της χρηµαταγοράς (= derivatives) [6]. Πρόσφατα, εξετάζεται και η δυνατότητα σύνθεσης µοντέλου της οικονοµίας που συνδυάζει 7 Grand Challenges of Computational Science [22]. 8 Την µέθοδο αυτή την εισήγαγε ο Wassily Leontief (ϐραβείο Νόµπελ οικονοµικών) [28] και χρησι- µοποιήθηκε εκτενέστατα στις ΗΠΑ και στην (πρώην) ΣΕ.

15 1.3. Αξιολόγηση c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ 9 µικρο-οικονοµικά µε µακρο-οικονοµικά στοιχεία µε τρόπο που δεν ήταν εφικτός ως τώρα [11] για περισσότερες πληροφορίες ϐλ Αξιολόγηση Τα κύρια κριτήρια που χρησιµοποιούνται για την αξιολόγηση των εργαλείων του επιστηµονικού υπολογισµού είναι : 1. Ακρίβεια 2. Ταχύτητα 3. Κόστος Ακρίβεια Επιθυµούµε ϐέβαια οι απαντήσεις που λαµβάνουµε να είναι «σωστές». Πέραν των γνωστών ϑεµελιωδών εµποδίων που υπάρχουν για την απόδειξη της πιστότητας κάθε προγράµµατος, στον ΕΥ εµφανίζονται και περαιτέρω δυσκολίες. Ενδεικτικός είναι και ο τίτλος µιας οµιλίας του John Rice (Purdue University) 9 : What is an Answer? Εξηγούµε : Στην πλειοψηφία τους, τα προβλήµατα του ΕΥ έ- χουν σαν αφετηρία µαθηµατικά µοντέλα που περιγράφονται µε κάποιο συνδυασµό διαφορικών, ολοκληρωµατικών και αλγεβρικών εξισώσεων. Θεµελιώδη ϱόλο παίζει η συνέχεια, η οποία µόνο προσεγγιστικά µπορεί να µοντελοποιηθεί στον υπολογιστή 10. Απαιτείται εποµένως η διακριτοποιήση του προβλήµατος, δηλ. των εξισώσεων, του χώρου ορισµού και των οριακών συνθηκών. Στην καλύτερη περίπτωση, η λύση είναι µια «καλή» προσέγγιση της πραγµατικής λύσης του αρχικού µαθηµατικού προβλήµατος. Επιλύοντας το πρόβληµα στον υπολογιστή έχουµε να αντιµετωπίσουµε σφάλµατα που οφείλονται 1) στα δεδοµένα, 2) στη διακριτοποίηση των εξισώσεων, 3) στη διακριτοποίηση των πραγµατικών αριθµών µε αριθµούς κινητής υποδιαστολής (α.κ.υ) και στις περιορισµένης ακρίβειας, αριθµητικές πράξεις µε αυτούς τους αριθµούς. 4) Στον περιορισµό της «πεπερασµένης επανάληψης» στις επαναληπτικές µεθόδους για την εύρεση αποτελέσµατος, λ.χ. των ϱιζών µη γραµµικής εξίσωσης, των ιδιοτιµών ενός µητρώου, κλπ. Στις µεθόδους αυτές ϐασιζόµαστε στη «σύγκλιση», αλλά στον υπολογιστή είµαστε υποχρεωµένοι να σταµατήσουµε τις επαναλήψεις όταν κάποιος δείκτης µέτρησης σφάλµατος γίνει αρκετά µικρός. 5) Σε δεδοµένα ή ενδιάµεσα αποτελέσµατα τα οποία δεν έχουν προβλεφθεί από τη λογική της µεθόδου επίλυσης. Εφόσον είναι σχεδόν αδύνατο να αποφευχθούν τα σφάλµατα, πρέπει να έχουµε τη δυνατότητα να εκτιµήσουµε την επίδρασή τους στο τελικό αποτέλεσµα. Εφόσον δεν έχουµε απεριόριστους πόρους και χρόνο, στην αξιολόγηση και σύγκριση των αποτελεσµάτων πρέπει να συνυπολογίσουµε το κόστος µε το οποίο επιτυγχάνεται η ακρίβεια της λύσης. Σηµειώνουµε ότι δεν είναι λογικό να περιµένουµε απαντήσεις οι οποίες έχουν µεγαλύτερη ακρίβεια από αυτήν των στοιχείων εισόδου ή από αυτήν που µπορεί να µετρηθεί στο πλαίσιο της εφαρµογής. Σηµειώνουµε ότι η εκτίµηση των σφαλµάτων (στρογγύλευσης) τα οποία οφείλονται στην α.κ.υ. 9 Στο πλαίσιο του συνεδρίου HERMIS, Αθήνα Μια εξαίρεση είναι οι µέθοδοι που ϐασίζονται στην απευθείας µοντελοποίηση των σωµατιδίων και των αλληλεπιδράσεών τους (particle methods).

16 10 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ ήταν από τα πρώτα προβλήµατα που απασχόλησαν τους πρωτοπόρους ερευνητές του ΕΥ. Τα αρχικά τους συµπεράσµατα ήταν απογοητευτικά και παραπλανητικά, π.χ. η αρχική µελέτη του σφάλµατος στην απαλοιφή Gauss από τον Hotelling [19], έδειχνε ότι αν επιλύσουµε n εξισώσεις, το σφάλµα στην τελική απάντηση µπορεί να είναι ίσο µε 4 n επί το σφάλµα µιας στρογγύλευσης. Αυτό οδήγησε τον John von Neumann και την οµάδα του να απορρίψουν αρχικά µια µέθοδο που σήµερα ϑεωρείται η πιο σηµαντική για την επίλυση γραµµικών συστηµάτων 11. Σηµειώνουµε την σχετική παράγραφο από το [5]: In the elimination method a series of n compound operations is performed each of which deps on the proceeding. An error at any stage affects all succeeding results and may become greatly magnified; this explains roughly why instability should be expected. It should be noticed that at each step a division is performed by a number whose size cannot be estimated in advance and which might be so small that any error in it would be greatly magnified by division... για την οποία ελέχθη αργότερα από τον «πατέρα» της µοντέρνας ανάλυσης σφαλ- µάτων, John Wilkinson, ότι almost every statement in it is either wrong or misleading. Ευτυχώς όµως, η πρακτική εµπειρία από την χρήση της απαλοιφής ερχόταν σε αντίθεση µε την απαισιόδοξη πρόβλεψη των αρχικών µελετών. Οπως µας πληροφορεί ο στενός συνεργάτης του von Neumann, Herman Goldstine, αυτή η σοβαρή αντίθεση, οδήγησε τον von Neumann και άλλους (συµπεριλαµβανοµένου και του Turing), να εξετάσουν το πρόβληµα από διαφορετική σκοπιά, και να επιβεβαιώσουν τελικά την αξία της απαλοιφής Gauss [13] ϐλ. επίσης [17]. Λέµε επίσης (παραφράζοντας τον Oscar Wilde) ότι Το µόνο χειρότερο από το να µην πάρουµε καµµία απάντηση είναι να πάρουµε λανθασµένη απάντηση. Με άλλα λόγια, τα εργαλεία µας κρίνονται από το κατά πόσο µας ενηµερώνουν για την ποιότητα των απαντήσεων, π.χ. αν µας προειδοποιούν ότι τα σφάλµατα των απαντήσεων υπερβαίνουν κάποια επιτρεπτά όρια. Εδώ ϐλέπουµε το παράδοξο και τη δυσκολία του εγχειρήµατος : Πως δηλαδή να διεξάγουµε τέτοιες µελέτες όταν δεν γνωρίζουµε την πραγµατική λύση (αν την ξέραµε δεν ϑα είχαµε λόγο να προχωρήσουµε στην αριθµητική επίλυση!) Προφανώς πρέπει να αποφασίσουµε να εγκαταλείψουµε τις ελπίδες για την εύρεση του πραγµατικού σφάλµατος, και να αρκεστούµε σε ϕράγµατα, όπως στην εύρεση άνω ϕράγµατος για το µέγιστο λάθος. Ταχύτητα As soon as an Analytical Engine exists, it will necessarily guide the future course of science. Whenever any result is sought by its aid, the question will then arise - By what course of calculation can these results be arrived at by the machine in the shortest time?... του Charles Babbage, [Passages from the Life of a Philosopher, 1864] Ζητούµε µεθόδους που λύνουν το πρόβληµα στον ελάχιστο δυνατό χρόνο. Συνήθως ο «ελάχιστος χρόνος» (όπως και το κάτω ϕράγµα στην πολυπλοκότητα του 11 «Μετρίου» µεγέθους.

17 1.3. Αξιολόγηση c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ 11 Είδος Παράδειγµα Τάξη επιτάχυνσης υλικό ταχύτητα επεξεργαστή O(1) λογισµικό µεταφραστές ϐάθος pipe (vectorizing compilers) υλοποίηση 13 BLAS1 BLAS3 Ο(1) (αλγ. + λογισµ. + αρχιτ.) αρχιτεκτονική παραλληλία Ο(αριθµ. επεξ.) αλγόριθµος FFT Ο(n/ log n) Πίνακας 1.2: Συµβολή στην επιτάχυνση επίλυσης προβληµάτων προβλήµατος) δεν είναι γνωστός και πρέπει να αρκεσθούµε σε µεθοδους οι οποίες είναι ταχύτερες από τις προϋπάρχουσες. Χαρακτηριστικά στοιχεία που συµβάλλουν στην επιτάχυνση της επίλυσης ενός προβλήµατος παρουσιάζονται στον πίνακα Το λογισµικό του ΕΥ πρέπει να σχεδιάζεται µε τρόπο που να συνδυάζει τις επιταχύνσεις που προσφέρει το κάθε επίπεδο ϐελτιστοποίησης. Μια δυσκολία στο εγχείρηµά µας αυτό είναι η ποικιλία και γρήγορη εξέλιξη των αρχιτεκτονικών ΗΥ. Για παράδειγµα, συµβαίνει ένας αλγόριθµος που ϑεωρείται αργός ή µη πρακτικός σε µια αρχιτεκτονική, να είναι ο αλγόριθµος που ϑα επιλέξουµε για µια άλλη. Εποµένως, δεν πρέπει να προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η µελέτη διαφορετικών αρχιτεκτονικών ΗΥ (π.χ. διανυσµατική επεξεργασία, παραλληλία) αποτέλεσε έναυσµα για τον σχεδιασµό νέων υπολογιστικών εργαλείων και για την επανεξέταση των ήδη υπαρχόντων 14. Σηµαντικό εµπόδιο στις αναλύσεις είναι και η έλλειψη πρακτικά αποδεκτών µοντέλων για τις νέες αρχιτεκτονικές : π.χ. τα µοντέλα RAM και PRAM δεν µπορούν να δώσουν ικανοποιητικές αναλύσεις των αλγορίθµων. Αξίζει να σηµειωθεί ότι προϊόντα του ΕΥ χρησιµοποιούνται ευρέως και σαν µετροπρογράµµατα (benchmarks) για την αξιολόγηση συστηµάτων ΗΥ. Για πα- ϱάδειγµα αναφέρουµε το Linpack benchmark που χρησιµοποιείται στις προδιαγραφές συστηµάτων ΗΥ, το οποίο αποτελείται από υπορουτίνες για την επίλυση γραµµικού συστήµατος. Κόστος Ενα άλλο σηµαντικό κριτήριο είναι το κόστος. Εφόσον οι απαντήσεις που λαµβάνουµε στον ΕΥ είναι συνήθως προσεγγιστικές, ο ϐαθµός της προσέγγισης και το κόστος της επίλυσης είναι άµεσα συνυφασµένα. Επίσης, καθώς οι πόροι είναι πεπερασµένοι και περιορισµένοι, η χρήση τους έρχεται µε κόστος το οποίο πρέπει να ληφθεί υπόψη στην επιλογή των εργαλείων και των µεθόδων. Σχεδιάζοντας µεθόδους που έχουν γενική χρήση και που είναι ανοικτές και επεκτάσιµες έχουµε ταχύτερη απόσβεση του κόστους και µειώνουµε το κόστος προσαρµογής της µεθόδου σε νέες ανάγκες. Αξίζει να σηµειωθεί πως µεγάλος αριθµός από προγράµµατα υψηλής ποιότητας και πιστότητας, λ.χ. η συλλογή των αλγορίθµων της ACM, το πακέτο LAPACK, κ.ά. διατίθενται ελεύθερα. 12 Τα στοιχεία προέρχονται από την µελέτη The Federal High Performance Computing Program που έγινε για λογαριασµό του προέδρου των ΗΠΑ το Οι Alpern και Carter χρησιµοποιούν και τον όρο performance programming [3]. 14 Για το ϑέµα αυτό αξίζει να διαβαστεί το εµπνευσµένο άρθρο του Beresford Parlett [30].

18 12 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ Ανακεφαλαίωση Συνοψίζουµε λέγοντας : Η αξιολόγηση των µεθόδων και των εργαλείων του ΕΥ, γίνεται µε ϐάση την ακρίβεια των αποτελεσµάτων, την ταχύτητα των υπολογισµών, και το κόστος της συνολικής διαδικασίας. Σηµειώνουµε ότι η σηµασία που αναλογεί σε κάθε κριτήριο εξαρτάται από τις συνθήκες του προβλήµατος. Παραδείγµατος χάριν, πολλοί ταχείς αλγόριθµοι που χρησιµοποιούνται στην ϑεωρία του υπολογισµού, απορρίπτονται ως µη πρακτικοί στον ΕΥ, για τους εξής λόγους : 1. Η αριθµητική τους συµπεριφορά είναι κακή. 2. Για να γίνει εµφανής η υποσχόµενη επιτάχυνση του αλγορίθµου το µέγεθος του προβλήµατος πρέπει να γίνει απαγορευτικά µεγάλο. 3. Η πολυπλοκότητα έχει υπολογισθεί µε ϐάση κάποιο ιδεατό µοντέλο προγραµµατισµού (π.χ. RAM) αλλά η υλοποίησή του αλγορίθµου οδηγεί σε σηµαντικό επιπλέον κόστος. Παράδειγµα Ο ταχύς µετασχηµατισµός Fourier οδήγησε σε αλγόριθµο χαµηλότερης πολυπλοκότητας (από Ο(n 2 ) σε Ο(n log n) ) ο οποίος δεν πάσχει από τα προαναφερθέντα προβλήµατα : η επιτάχυνση ήταν εµφανής για µικρό σχετικά n, η αριθµητική συµπεριφορά του αλγορίθµου ήταν ικανοποιητική και η υλοποίηση δεν εισήγαγε επιπρόσθετα προβλήµατα, µε αποτέλεσµα να χρησιµοποιείται ευρύτατα πολύ σύντοµα µετά την «ανακάλυψή» του. Παράδειγµα Ο υπερταχύς πολλαπλασιασµός µητρώων µε την µέθοδο Strassen, ενώ επιτυγχάνει πολυπλοκότητα Ο(n log 7 ) αντί του συνηθισµένου O(n 3 ), χρησιµοποιείται σπάνια γιατί παρουσιάζει πολλές από τις αδυναµίες που περιγράψα- µε. Η πραγµατικότητα όµως είναι ακόµα πιο ενδιαφέρουσα : µετά από εκτεταµένες προσπάθειες των ερευνητών, µέθοδοι τύπου Strassen έχουν αποδειχθεί πρακτικές και χρήσιµες σε ορισµένες κατηγορίες προβληµάτων και ΗΥ! Ετσι η πρόκληση για τους ερευνητές είναι πολύ πιο ενδιαφέρουσα από την απλή ταξινόµηση των µεθοδων σε «πρακτικές» και «µη πρακτικές». 1.4 Περιβάλλον Υλοποίησης Αναφέραµε από την αρχή ότι στον σχεδιασµό υπολογιστικών εργαλείων πρέπει να λαµβάνεται υπόψη το περιβάλλον υλοποίησης. Παραθέτουµε µερικά στοιχεία της σύγχρονης τεχνολογίας ΗΥ τα οποία έχουν καθοριστική επίδραση στον ΕΥ Υλικό και Αρχιτεκτονική Η µεγάλη πρόοδος στην τεχνολογία υλικού οδήγησε σε µεγάλη αύξηση της ταχύτητας των επεξεργαστών και της χωρητικότητας αποθήκευσης που παρέχεται από τα συστήµατα ΗΥ. Ετσι έχουµε την δυνατότητα να αποθηκεύσουµε και να λύσουµε προβλήµατα πολύ µεγαλύτερα από αυτά που λύναµε πριν µερικά χρόνια. Οπως ϑα δούµε, οι εξελίξεις στην αρχιτεκτονική των ΗΥ έχουν καθοριστική επίδραση στην ανάπτυξη και εξέλιξη του επιστηµονικού υπολογισµού. Χαρακτη- ϱιστικά αναφέρουµε :

19 1.4. Περιβάλλον Υλοποίησης c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ Την αρχιτεκτονική RISC µε τα συγκεκριµένα χαρακτηριστικά : αρχεία καταχωρητών (register files), οργάνωση ϕόρτωσης-αποθήκευσης LOAD-STORE, έντονη χρήση pipelining) ϐλ. [8] για µια διασκεδαστική και ενδιαφέρουσα παρουσίαση του προγραµµατισµού των αρχιτεκτονικών RISC ϐλ. επίσης και γενεαλογικές πληροφορίες για τους µικροεπεξεργαστές στο URL mvinant/g_info/cpu_hist.htm#risc. 2. Την ιεραρχική οργάνωση του συστήµατος αποθήκευσης (καταχωρητές, κρυ- ϕή µνήµη, κύρια µνήµη, δευτερεύουσα µνήµη/δίσκος). Η ιεραρχική οργάνωση απαντάται σε όλα σχεδόν τα σύγχρονα συστήµατα ΗΥ (παράλληλα και µη), και χρησιµοποιείται για την αντιµετώπιση των προβλη- µάτων που δηµιουργεί η άνιση ανάπτυξη της ταχύτητας των επεξεργαστών σε σχέση µε τον ϱυθµό µεταφοράς στοιχείων µεταξύ µνήµης και επεξεργαστή. Παραδείγµατος χάριν, ενώ είναι δυνατή η κατασκευή ενός επεξεργαστού σε ένα chip (single-chip processor), ο αριθµός των pins του chip και εποµένως ο ϱυθµός µεταφοράς στοιχείων από την µνήµη στον επεξεργαστή παραµένουν περιορισµένοι µε αποτέλεσµα οι σύγχρονοι single-chip επεξεργαστές να έχουν σχετικά µικρό εύρος επικοινωνίας 15 Ενας τρόπος να αντιµετωπισθεί αυτό το πρόβληµα είναι να διατεθεί µέρος του εµβαδού του chip για αποθήκευση. Το πλεονέκτηµα είναι ότι η on-chip µνήµη είναι προσπελάσιµη µε ϱυθµούς πολύ πιο γρήγορους από την µνήµη που είναι off-chip. Παραδείγµατα on-chip µνήµης είναι : (Αρχεία) καταχωρητών (register files). Κρυφή µνήµη εντολών (instruction cache). Κρυφή µνήµη στοιχείων (data cache). Βέβαια, το µέγεθος της µνήµης που µπορεί να τοποθετηθεί on chip είναι περιορισµένο. Οπως ϑα αναλυθεί σε επόµενο κεφάλαιο, η αποτελεσµατικότητα της ιεραρχικής µνήµης είναι άµεσα συνυφασµένη µε την τοπικότητα που συναντάται στις αναφορές του προγράµµατος. Συνοψίζοντας µπορούµε να πούµε ότι µια από τις µεγαλύτερες προκλήσεις που πρέπει να αντιµετωπίσουµε όταν σχεδιάζουµε συστήµατα υψηλής απόδοσης είναι η µετακίνηση των πληροφοριών (δεδοµένων και εντολών) µεταξύ της µνήµης και του επεξεργαστή µε ικανοποιητικό ϱυθµό. Οπως ανέφερε ένας από τους σηµαντικούς ερευνητές στον χώρο του ΕΥ :... the operation count is not necessarily an adequate figure of merit in comparing theoretically the value of algorithms in numerical analysis [... ] Other factors, such as [... ] the pattern in which memory banks of the computer are referenced, may be as important as the operation count in determining the speed of a program... [18] 3. Την ευρύτερη διάδοση και χρήση παράλληλων συστηµάτων και άλλων αρχιτεκτονικών δοµών για αυξηµένη απόδοση, π.χ. υπερβαθµωτούς (superscalar) 15 Λέγεται πως οι single-chip επεξεργαστές είναι pin-bandwidth limitated.

20 14 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ επεξεργαστές, συστάδες επεξεργαστών (= clusters), δίκτυα σταθµών εργασίας (networks of workstations = NOW) και οι τεχνολογίες Πλέγµατος (Grid) καθώς και οι ϱαγδαίες εξελίξεις στην περιοχή των πολυπύρηνων επεξεργαστών. Για λεπτοµερέστερη περιγραφή των στοιχείων αυτών ϐλ. [16]. Η παραλληλία ϑα συζητηθεί στα σχετικά µαθήµατα του και Ε έτους. Αξίζει να σηµειωθεί ότι πολλές από τις τεχνικές που αναπτύχθηκαν για την αποδοτική χρήση παραλλήλων (και διανυσµατικών) ΗΥ, αποδείχτηκαν χρήσιµες και στο πλαίσιο των απλούστερων, µη παραλλήλων, συστηµάτων που χρησιµοποιούµε καθηµερινά (π.χ. η χρήση τεχνικών αναπτυγµένων για διανυσµατικούς ΗΥ σε συστήµατα αρχιτεκτονικής RISC, και η αντιστοιχία παραλληλισµού µε ανταλλαγή µηνυµάτων και ιεραρχίας µνήµης). Οπως διαφαίνεται, εξάλλου, η παραλληλία ϑα αποτελέσει αναπόσπαστο στοιχείο των κοινών υπολογιστών του µέλλοντος. Για παράδειγµα, το µοντέλο SIMD = Single Instruction Multiple Data) το συναντάµε στις εντολές streaming της Intel, και υλοποιήσεις του µοντέλου στις µονάδες επεξεργασίας γραφικών (GPU = graphics processing units) Γλώσσες, µεταφραστές, και Περιβάλλοντα Επίλυσης Προ- ϐληµάτων εν πρέπει να έχουµε αυταπάτες. Οι χρήστες επιστηµονικού και άλλου λογισµικού, κατά κανόνα, αντιµετωπίζουν τον προγραµµατισµό σαν αναγκαία ενόχληση. Αντίθετα, για αυτούς που αναπτύσσουν λογισµικό, ο σχεδιασµός έξυπνων προγραµµάτων (ϑάπρεπε να) αποτελεί µια πρόκληση για ανάπτυξη και υλοποίηση τεχνικών που µπορούν αργότερα να εφαρµοστούν και σε ευρύτερο κύκλο προβλη- µάτων. Η ανάπτυξη νέων µεθοδολογιών προγραµµατισµού που εφαρµόζονται σε γενικότερα προβλήµατα και όχι µόνον στις ειδικές συνθήκες ενός προβλήµατος είναι αυτό που επικυρώνει την τεχνολογία λογισµικού σαν περιοχή της επιστήµης των υπολογιστών. Από την άλλη, οι χρήστες συνήθως έχουν µικρό ενδιαφέρον να αναπτύξουν γενικές µεθοδολογίες, ή ακόµα και στις περιπτώσεις που ενδια- ϕέρονται, έχουν λίγο χρόνο για να το κάνουν. Είναι εποµένως αναµενόµενο, ο χρήστης-επιστήµονας ή µηχανικός να εύχεται να είχε στη διάθεσή του κάποιο σύστηµα που µειώνει το σηµερινό «σηµαντικό χάσµα» (= semantic gap) µεταξύ των γλωσσών προγραµµατισµού και των µαθηµατικών συµβόλων. Θα ήθελε, για παράδειγµα, ένα σύστηµα που «καταλαβαίνει» τα µαθηµατικά σύµβολα που χρησιµοποιούνται στη διατύπωση των µαθηµατικών µοντέλων και που επιλύουν τα αντίστοιχα προβλήµατα. Το ϑέµα αυτό απασχόλησε τους ερευνητές από πολύ νω- ϱίς (δείτε π.χ. τις ιστορικές αναφορές στις συλλογές [7, 21]) και ϐρίσκεται στο κέντρο της περιοχής των αποκαλούµενων «Περιβαλλόντων Επίλυσης Προβληµάτων» (ΠΕΠ) (= Problem Solving Environments) (ϐλ. [21]). Μια από τις πρώτες µεγάλες προσπάθειες σ αυτή την κατεύθυνση ήταν η κατασκευή του συστήµατος ELLPACK [20] όπου µπορούσαν να ορισθούν ελλειπτικές διαφορικές εξισώσεις, το χωρίο ορισµού, και οι οριακές συνθήκες χρησιµοποιώντας τα συνηθισµένα µα- ϑηµατικά σύµβολα και γραφικά. Το ELLPACK ήταν σχεδιασµένο να επιστρέφει την αριθµητική λύση και πολύ ϐοηθητικές οπτικοποιήσεις. Σήµερα, πάρα πολλοί επιστήµονες και µηχανικοί χρησιµοποιούν περιβάλλοντα προγραµµατισµού πολύ υψηλού επιπέδου που προσφέρουν πολλά από τα στοιχεία που αναζητά κανείς στα ΠΕΠ. Αναφέρουµε, για παράδειγµα, τη Mathematica [36], τη Maple [2], τη Matlab [1], το Scilab [15]). Αξίζει επίσης να αναφερθεί και η πολύ µεγάλη ανά-

21 1.4. Περιβάλλον Υλοποίησης c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ 15 πτυξη γλωσσών scripting 16 [29] (όπως η Python [27]) που προσφέρουν σηµαντική υποστήριξη για τη γρήγορη ανάπτυξη κώδικα αλλά και για τη συγγραφή προγραµµάτων υψηλού επιπέδου που µπορεί να απαρτίζονται από υποπρογράµµατα γραµµένα σε διαφορετικές γλώσσες και µε διαφορετικά χαρακτηριστικά [25]. Ενα σηµαντικό ερευνητικό πρόβληµα που τίθεται στην κατασκευή τέτοιων συστηµάτων είναι πως ϑα επιτευχθεί η Ϲητούµενη ευκολία προγραµµατισµού συγχρόνως µε την καλή επίδοση ; Το πρόβληµα ϐέβαια δεν είναι καινούργιο. Εχει τεθεί από τότε που αντικαταστάθηκε ο προγραµµατισµός σε γλώσσα µηχανής µε προγράµµατα σε γλώσσες υψηλού επιπέδου. Χρειάστηκαν χρόνια έρευνας ώσπου να ϕθάσουµε σε αποτελεσµατικούς µεταφραστές. Αντίστοιχα, περιµένουµε ότι η έρευνα ϑα οδηγήσει σε αποτελεσµατικούς τρόπους µετάφρασης προγραµµάτων που αναπτύχθηκαν σε ΠΕΠ. Προς το παρόν πάντως, η πλειοψηφία των υπολογιστικών εργαλείων είναι γραµµένα σε Fortran. Ακολουθεί η C (και παράγωγά της, π.χ. C++), ενώ α- σήµαντη είναι η χρήση άλλων γλωσσών. Για όσους αντιδρούν στην χρήση της Fortran, αξίζει να σηµειωθεί η µεγάλη εξέλιξη της γλώσσας αυτής. Η Fortran-90, για παράδειγµα, επιτρέπει την δυναµική ανάθεση µνήµης και το «αυτοκάλεσµα», τους δείκτες, τον ορισµό δοµών δεδοµένων πολυπλοκότερων από πίνακες, κλπ. Οπως λέγεται ότι είχε δηλώσει ο John Backus 17 I don t know what the technical characteristics of the standard language for scientific and engineering computation in the year 2000 will be... but I know it will be called Fortran. Για δεδοµένο ΗΥ, οι περισσότεροι αλγόριθµοι επιδέχονται πολλών υλοποιήσεων, ο καθένας από τους οποίους µπορεί να οδηγεί σε διαφορετική ταχύτητα επίλυσης. Για παράδειγµα, η διάταξη των ϐρόχων επηρεάζει σηµαντικά την ταχύτητα εκτέλεσης. Μεγάλο µέρος της έρευνας στην τεχνολογία των µεταφραστών εξετάζει µεθόδους για την αυτόµατη και ϐέλτιστη αναδιοργάνωση των ϐρόχων των προγραµµάτων ώστε να επιτυγχάνονται υψηλές επιδόσεις. Στα επόµενα κεφάλαια ϑα εξετάσουµε αρκετά τέτοια παραδείγµατα ϐλ. επίσης τις εργασίες [10] αλλά και την [31] µε το χαρακτηριστικό τίτλο The Influence of the Compiler on the Cost of Mathematical Software - in Particular on the Cost of Triangular Factorization. Σε µερικές περιπτώσεις, ο µεταφραστής είναι σε ϑέση να µετατρέψει το πρόγραµµα σε µορφή που οδηγεί σε πολύ καλύτερη επίδοση 18. Οι σύγχρονοι µεταφραστές χρησιµοποιούν τεχνικές του ΕΥ για την αύξηση της αποτελεσµατικότητάς τους. Τέλος πρέπει να σηµειωθούν και οι προσπάθειες να συνεργαστεί και το λειτουργικό σύστηµα µε το µεταφραστή για την καλύτερη εκµετάλλευση των πόρων του συστήµατος. 16 Μεταφράζεται ως «γλώσσα συγγραφής σεναρίων». 17 ιακεκριµένος ερευνητής ( ) µε ηγετικό ϱόλο στη σχεδίαση της γλώσσας Fortran και συνεφευρέτης της BNF. 18 Οι µετατροπές που γίνονται συνήθως από τους µεταφραστές είναι πολύ απλές. Η κατασκευή αποτελεσµατικών µεταφραστών είναι σηµαντικό πεδίο έρευνας. Για παραδείγµατα πολύπλοκων µετασχηµατισµών ϐλ. [32, 9].

22 16 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ 1.5 Αντί ανακεφαλαίωσης Στα σχήµατα 1.1 (α-ϐ) παρουσιάζεται η απόδοση ενός συγκεκριµένου ΗΥ για µια απλή πράξη της γραµµικής άλγεβρας, συγκεκριµένα την A A + xy T (1.1) όπου A είναι τετραγωνικό µητρώο µεγέθους n και τα x, y είναι διανύσµατα µεγέ- ϑους n. Η πράξη αυτή ονοµάζεται ανανέωση πρώτης τάξης και στο σχήµα είναι υλοποιηµένη µε τρείς τρόπους : 1. µε απλό πρόγραµµα Fortran (διπλά εµφωλευµένοι ϐρόχοι χωρίς ϐελτιστοποιήσεις), 2. µε ϐελτιστοποιήσεις της υλοποίησης και της µετάφρασης του προγράµµατος ώστε να λαµβάνεται υπόψη η αρχιτεκτονική του ΗΥ 3. χρησιµοποιώντας την υπορουτίνα που παρέχεται στην ϐιβλιοθήκη του ΗΥ. Το µέτρο απόδοσης είναι α) ο χρόνος για την επίλυση του προβλήµατος (1.1) υπολογισµένος από την ϱουτίνα του συστήµατος Unix dtime ως το άθροισµα των χρόνων user και system και ϐ) ο αριθµός των (εκατοµµυρίων) πράξεων α.κ.υ. ανά δευτερόλεπτο (Mflop/s) που εκτελούνται για n = 30 µέχρι n = Ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης Ασκηση Ποιός είναι ο σκοπος του γνωστικού αντικείµενου που ονοµάζουµε «Επιστηµονικός Υπολογισµός»; Απάντηση. [Βιβλίο, εν. 1.1] Στον ΕΥ µας ενδιαφέρουν ο σχεδιασµός, η α- νάπτυξη, και η χρήση αποδοτικών υπολογιστικών εργαλείων που ϐοηθούν στην πρακτική επίλυση των µαθηµατικών µοντέλων της επιστήµης και της τεχνολογίας. Ασκηση Τι ονοµάζουµε «υπολογιστικούς πυρήνες»; Να δώσετε 3 παραδείγµατα τέτοιων πυρήνων. Απάντηση. [Βιβλίο, εν. 1.1] ιαδικασίες (που µπορεί να είναι υποπρογράµµατα ή τµήµατα προγράµµατος που - συνήθως - αντιστοιχούν σε συγκεκριµένες µα- ϑηµατικές διεργασίες ή υπολογισµούς) στις οποίες αναλώνεται σηµαντικό ποσοστό του χρόνου εκτέλεσης του προγράµµατος εφαρµογής που µελετούµε. Για το λόγο αυτό, ένα σηµαντικό ϐήµα στη µείωση του χρόνου εκτέλεσης ενός προγράµµατος εφαρµογής είναι η εύρεση των υπολογιστικών πυρήνων του και η επιτάχυνση της εκτέλεσής τους (π.χ. µε χρήση καλύτερου αλγορίθµου, κ.λπ.) Παραδείγµατα : α) Πολλαπλασιασµός µητρώου µε διάνυσµα, ϐ) ταχύς µετασχηµατισµός Fourier, γ) γεννήτρια τυχαίων αριθµών. Ασκηση Με ϐάση ποια τρία κριτήρια αξιολογούνται τα εργαλεία του Επιστηµονικού Υπολογισµού ; Απάντηση. [Βιβλίο, εν. 1.3] Τα κύρια κριτήρια που χρησιµοποιούνται για την αξιολόγηση των εργαλείων του επιστηµονικού υπολογισµού είναι α) ακρίβεια, ϐ) ταχύτητα, γ) κόστος. Ασκηση Να αναφέρετε τις πέντε κύριες πηγές σφαλµάτων στον επιστη- µονικό υπολογισµό.

23 1.6. Ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ time in sec n Mflop/s n Σχήµα 1.1: α) Χρόνος ανανέωσης πρώτης τάξης σε SGI Indigo-2 µε επεξεργαστή 250 MHz, 2 MB cache. Με συµβολίζεται 1η (απλή) υλοποίηση, µε η δεύτερη υλοποίηση και µε. η υλοποίηση µε υπορουτίνες από ϐιβλιοθήκη του συστήµατος. ϐ) Απόδοση του υπολογισµού σε Mflop/s στο SGI Indigo-2 µε 250 MHz, 2 MB cache. Με συµβολίζεται 1η (απλή) υλοποίηση, µε η δεύτερη υλοποίηση και µε. η υλοποίηση µε υπορουτίνες από ϐιβλιοθήκη του συστήµατος.

24 18 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ Απάντηση. [Βιβλίο, εν. 1.3] Επιλύοντας το πρόβληµα στον υπολογιστή έχουµε να αντιµετωπίσουµε σφάλµατα που οφείλονται 1) στα δεδοµένα, 2) στη διακριτοποίηση των εξισώσεων, 3) στη διακριτοποίηση των πραγµατικών αριθµών µε αριθ- µούς κινητής υποδιαστολής (α.κ.υ) και στις περιορισµένης ακρίβειας, αριθµητικές πράξεις µε αυτούς τους αριθµούς. 4) Στον περιορισµό της «πεπερασµένης επανάληψης» στις επαναληπτικές µεθόδους για την εύρεση αποτελέσµατος, λ.χ. των ϱιζών µη γραµµικής εξίσωσης, των ιδιοτιµών ενός µητρώου, κλπ. Στις µεθόδους αυτές ϐασιζόµαστε στη «σύγκλιση», αλλά στον υπολογιστή είµαστε υποχρεωµένοι να σταµατήσουµε τις επαναλήψεις όταν κάποιος δείκτης µέτρησης σφάλµατος γίνει αρκετά µικρός. 5) Σε δεδοµένα ή ενδιάµεσα αποτελέσµατα τα οποία δεν έχουν προβλεφθεί από τη λογική της µεθόδου επίλυσης. Ασκηση Να αναφέρετε ένα σηµαντικό µετροπρόγραµµα για υπολογιστές υψηλής επίδοσης που προέρχεται από τον επιστηµονικό υπολογισµό. Απάντηση. [Βιβλίο, εν. 1.3] Τα προγράµµατα εκείνα της ϐιβλιοθήκης και LAPACK που αποσκοπούν στην επίλυση γενικού γραµµικού συστήµατος µεγέθους n. Συνηθισµένη τιµή του n είναι το Ασκηση Να αναφέρετε τρία σηµαντικά χαρακτηριστικά/τάσεις στις σύγχρονες αρχιτεκτονικές που έχουν επιδράσει άµεσα στο σχεδιασµό των αλγόριθµων για τον επιστηµονικό υπολογισµό. Απάντηση. [Βιβλίο, εν. 1.4] Είναι α) η αρχιτεκτονική RISC, ϐ) η ιεραρχική µνήµη, γ) οι παράλληλες, δικτυακές και πολυπύρηνες αρχιτεκτονικές. 1.7 Προβλήµατα Ασκηση Εστω το πολυώνυµο p(x) = n 1 j=0 α jx j όπου α n 1 0. α) Να δείξετε ότι ο υπολογισµός των τιµών του σε m σηµεία ζ 1,..., ζ m µπορεί να εκφραστεί σαν πολλαπλασιασµός µητρώου V µε διάνυσµα a. Ειδικότερα, να γράψετε τα V και a. ϐ) Να γράψετε αλγόριθµο τύπου Horner, π.χ. γραµµένο σε MATLAB, που να υπολογίζει το γινόµενο V a χωρίς να κατασκευάζει άµεσα το V. γ) Οταν n = m, και κάτω από ορισµένες συνθήκες (που αφορούν τα δεδοµένα και όχι την υπολογιστική πλατφόρµα) το κόστος του πολλαπλασιασµού V a είναι O(n log n) πράξεις α.κ.υ. Να αναφέρετε ακριβώς ποιες είναι οι συνθήκες αυτές ; Υποθέτουµε ότι τα V και a δεν είναι τετριµµένα (δηλαδή, οι τιµές των ζ j και τα α j δεν είναι µηδέν). Απάντηση. α) Το µητρώο Vandermonde ορίζεται ως εξής : V = ζ 1 ζ 2 ζ 3... ζ m ζ1 2 ζ2 2 ζ ζm ζ1 n 1 ζ2 n 1 ζ3 n 1... ζm n 1 Ο υπολογισµός της τιµής του πολυωνύµου στα m σηµεία ζ 1, ζ 2,..., ζ m µπο- ϱεί να γίνει µε τον πολλαπλασιασµό του αναστρόφου µητρώου Vandermonde µε το διάνυσµα : a = [ α 0 α 1 α 2... α n 1 ]

Ε. Γαλλόπουλος Γ. Τσιρογιάννης Τμήμα Η/Υ & Πληροφορικής. Πανεπιστήμιο Πατρών. Πανεπιστήμιο Πατρών

Ε. Γαλλόπουλος Γ. Τσιρογιάννης Τμήμα Η/Υ & Πληροφορικής. Πανεπιστήμιο Πατρών. Πανεπιστήμιο Πατρών Ε. Γαλλόπουλος Γ. Τσιρογιάννης Τμήμα Η/Υ & Πληροφορικής Ο Επιστημονικός Υπολογισμός στηρίζεται στην πρόοδο που έχει γίνει σε πολλούς τομείς στην επιστήμη και τεχνολογία των Η/Υ ΗΥ110 (2ο εξ.): Γραμμική

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Καθηγητής ΗΥ343 Τµήµα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών Φθινόπωρο 2011 c 2011, Ευστράτιος Γαλλόπουλος Προλεγόµενα Στο ϐιβλίο αυτό περιέχεται

Διαβάστε περισσότερα

Επιστημονικοί Υπολογισμοί (ή Υπολογιστική Επιστήμη)

Επιστημονικοί Υπολογισμοί (ή Υπολογιστική Επιστήμη) Επιστημονικοί Υπολογισμοί (ή Υπολογιστική Επιστήμη) Ασχολoύνται με την κατασκευή μαθηματικών μοντέλων και με τεχνικές ποσοτικής ανάλυσης και τη χρήση υπολογιστών για την ανάλυση και την επίλυση επιστημονικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Α. Αλεξόπουλος. Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών

Χ. Α. Αλεξόπουλος. Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ Χ. Α. Αλεξόπουλος Τµήµα Μηχ. Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών Πάτρα 2014 Αφιερωµένο σε δύο εκλεκτούς ανθρώπους, πανεπιστηµιακούς δασκάλους

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κύκλος Ζωής Εφαρμογών ΕΝΟΤΗΤΑ 2. Εφαρμογές Πληροφορικής. Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Κύκλος Ζωής Εφαρμογών ΕΝΟΤΗΤΑ 2. Εφαρμογές Πληροφορικής. Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών 44 Διδακτικές ενότητες 5.1 Πρόβλημα και υπολογιστής 5.2 Ανάπτυξη εφαρμογών Διδακτικοί στόχοι Σκοπός του κεφαλαίου είναι οι μαθητές να κατανοήσουν τα βήματα που ακολουθούνται κατά την ανάπτυξη μιας εφαρμογής.

Διαβάστε περισσότερα

Επίσης, γίνεται αναφορά σε µεθόδους πεπερασµένων στοιχείων και νευρονικών δικτύων.

Επίσης, γίνεται αναφορά σε µεθόδους πεπερασµένων στοιχείων και νευρονικών δικτύων. Πανεπιστήµιο Κύπρου Το µάθηµα περιλαµβάνει Αριθµητικές και Υπολογιστικές Μεθόδους για Μηχανικούς, µε έµφαση στις µεθόδους: αριθµητικής ολοκλήρωσης/παραγώγισης, αριθµητικών πράξεων µητρώων, λύσεων µητρώων

Διαβάστε περισσότερα

Α Ν Α Λ Τ Η Α Λ Γ Ο Ρ Ι Θ Μ Ω Ν Κ Ε Υ Α Λ Α Ι Ο 5. Πως υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου;

Α Ν Α Λ Τ Η Α Λ Γ Ο Ρ Ι Θ Μ Ω Ν Κ Ε Υ Α Λ Α Ι Ο 5. Πως υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου; 5.1 Επίδοση αλγορίθμων Μέχρι τώρα έχουμε γνωρίσει διάφορους αλγόριθμους (αναζήτησης, ταξινόμησης, κ.α.). Στο σημείο αυτό θα παρουσιάσουμε ένα τρόπο εκτίμησης της επίδοσης (performance) η της αποδοτικότητας

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές 1 ο Εξάμηνο Σπουδών Χειμερινό Εξάμηνο 2012/13 Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης Διδάσκων: Χαρμανδάρης Ευάγγελος, email: vagelis@tem.uoc.gr, Ιστοσελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Ανάλυση Αλγορίθμων

Κεφάλαιο 5 Ανάλυση Αλγορίθμων Κεφάλαιο 5 Ανάλυση Αλγορίθμων 5.1 Επίδοση αλγορίθμων Τα πρωταρχικά ερωτήματα που προκύπτουν είναι: 1. πώς υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου; 2. πώς μπορούν να συγκριθούν μεταξύ τους οι διάφοροι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ( , c Ε. Γαλλόπουλος) ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Ε. Γαλλόπουλος. ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών. ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ε. Γαλλόπουλος ΤΜΗΥΠ Πανεπιστήµιο Πατρών ιαφάνειες διαλέξεων 28/2/12 Μαθηµατική Οµάδα Οµάδα είναι ένα σύνολο F µαζί µε µία πράξη + : F F F έτσι ώστε (Α1) α + (β + γ) = (α + β) + γ για

Διαβάστε περισσότερα

Ε. Γαλλόπουλος Γ. Τσιρογιάννης Τμήμα Η/Υ & Πληροφορικής. Πανεπιστήμιο Πατρών. Πανεπιστήμιο Πατρών

Ε. Γαλλόπουλος Γ. Τσιρογιάννης Τμήμα Η/Υ & Πληροφορικής. Πανεπιστήμιο Πατρών. Πανεπιστήμιο Πατρών Ε. Γαλλόπουλος Γ. Τσιρογιάννης Τμήμα Η/Υ & Πληροφορικής Παρατηρήσεις Υπολογιστικοί πυρήνες Επικρατεί γραμμική άλγεβρα Ακόμα και στο μετασχηματισμό Fourier! Η Υπολογιστική Γραμμική Άλγεβρα θα αποτελέσει

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ (Προγραμματισμός & MATLAB)

1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ (Προγραμματισμός & MATLAB) ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΜΕ Η/Υ 1 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ (Προγραμματισμός & MATLAB) Ν.Δ. Λαγαρός Μ. Φραγκιαδάκης Α. Στάμος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων. Ενότητα 1 - Εισαγωγή. Χρήστος Γκουμόπουλος. Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων

Δομές Δεδομένων. Ενότητα 1 - Εισαγωγή. Χρήστος Γκουμόπουλος. Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Δομές Δεδομένων Ενότητα 1 - Εισαγωγή Χρήστος Γκουμόπουλος Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφοριακών και Επικοινωνιακών Συστημάτων Αντικείμενο μαθήματος Δομές Δεδομένων (ΔΔ): Στην επιστήμη υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣ 08 Επεξεργαστές Ψηφιακών Σηµάτων. Βιβλιογραφία Ενότητας

ΕΣ 08 Επεξεργαστές Ψηφιακών Σηµάτων. Βιβλιογραφία Ενότητας ΕΣ 08 Επεξεργαστές Ψηφιακών Σηµάτων Βελτιστοποίηση κώδικα σε επεξεργαστές ΨΕΣ Τµήµα Επιστήµη και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Βιβλιογραφία Ενότητας Kehtarnavaz [2005]: Chapter

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)

Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας

ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας ΑΕΠΠ Ερωτήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1 1. Τα δεδομένα μπορούν να παρέχουν πληροφορίες όταν υποβάλλονται σε 2. Το πρόβλημα μεγιστοποίησης των κερδών μιας επιχείρησης είναι πρόβλημα 3. Για την επίλυση ενός προβλήματος

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων...

Περιεχόμενα. Ανάλυση προβλήματος. Δομή ακολουθίας. Δομή επιλογής. Δομή επανάληψης. Απαντήσεις. 1. Η έννοια πρόβλημα Επίλυση προβλημάτων... Περιεχόμενα Ανάλυση προβλήματος 1. Η έννοια πρόβλημα...13 2. Επίλυση προβλημάτων...17 Δομή ακολουθίας 3. Βασικές έννοιες αλγορίθμων...27 4. Εισαγωγή στην ψευδογλώσσα...31 5. Οι πρώτοι μου αλγόριθμοι...54

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11 2. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΑΣΗ ΝΕΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ

ΠΡΟΤΑΣΗ ΝΕΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ. 2010-2011 ΠΡΟΤΑΣΗ ΝΕΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ ΣΠΟΥ ΩΝ Εισαγωγικά: Το σχέδιο περιλαµβάνει τον προτεινόµενο κατάλογο υποχρεωτικών µαθηµάτων µε τις αντίστοιχες

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμικό για Μαθηματικά

Λογισμικό για Μαθηματικά Λογισμικό για Μαθηματικά Γεώργιος Χρ. Μακρής http://users.sch.gr/gmakris 6 Αυγούστου 2012 Λογισμικό 2 Λογισμικό Με τον όρο λογισμικό υπολογιστών, ή λογισμικό (software), ορίζεται η συλλογή από προγράμματα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση επεξεργαστή (2 ο μέρος) ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική

Οργάνωση επεξεργαστή (2 ο μέρος) ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική Οργάνωση επεξεργαστή (2 ο μέρος) ΜΥΥ-106 Εισαγωγή στους Η/Υ και στην Πληροφορική Ταχύτητα εκτέλεσης Χρόνος εκτέλεσης = (αριθμός εντολών που εκτελούνται) Τί έχει σημασία: Χ (χρόνος εκτέλεσης εντολής) Αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

Από την Άλγεβρα των Υπολογισμών στα Υπολογιστικά Συστήματα Άλγεβρας

Από την Άλγεβρα των Υπολογισμών στα Υπολογιστικά Συστήματα Άλγεβρας Από την Άλγεβρα των Υπολογισμών στα Υπολογιστικά Συστήματα Άλγεβρας Νικόλαος Καραμπετάκης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μαθηματικών, Α.Π.Θ. http://anemos.web.auth.gr/mathematica/index.htm http://anadrasis.web.auth.gr/n.karampetakis.htm

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Πρόλογος... 11 Μέρος Α: Στοιχεία Αλγοριθμικής... 15 1 Επίλυση προβλημάτων με Η/Υ... 19 1.1 Εισαγωγή... 19 1.2 Αλγόριθμοι-αλγοριθμικά προβλήματα... 20 1.3 Το μαθηματικό μοντέλο... 26

Διαβάστε περισσότερα

κεφάλαιο Βασικές Έννοιες Επιστήμη των Υπολογιστών

κεφάλαιο Βασικές Έννοιες Επιστήμη των Υπολογιστών κεφάλαιο 1 Βασικές Έννοιες Επιστήμη 9 1Εισαγωγή στις Αρχές της Επιστήμης των Η/Υ Στόχοι Στόχος του κεφαλαίου είναι οι μαθητές: να γνωρίσουν βασικές έννοιες και τομείς της Επιστήμης. Λέξεις κλειδιά Επιστήμη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Οκτωβρίου 2007 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 1 Οκτωβρίου 007 Ηµεροµηνία παράδοσης της Εργασίας: 9 Νοεµβρίου 007. Πριν από την λύση κάθε άσκησης

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 4 : Ορθογωνιότητα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Στο σηµείωµα αυτό αρχικά εξηγείται η έννοια αλγόριθµος και παραθέτονται τα σπουδαιότερα κριτήρια που πρέπει να πληρεί κάθε αλγόριθµος. Στη συνέχεια, η σπουδαιότητα των αλγορίθµων συνδυάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία N. Μισυρλής (e-mail: nmis@di.uoa.gr) Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Parallel Scientific Computing Laboratory (PSCL)

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Επιστημονικοί Υπολογισμοί - Μέρος ΙΙΙ: Παράλληλοι Υπολογισμοί

Επιστημονικοί Υπολογισμοί - Μέρος ΙΙΙ: Παράλληλοι Υπολογισμοί Επιστημονικοί Υπολογισμοί - Μέρος ΙΙΙ: Παράλληλοι Υπολογισμοί Χαρμανδάρης Βαγγέλης, Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης, Εαρινό Εξάμηνο 2013/14 Κεφάλαιο 3: Θεωρία Παράλληλου Προγραμματισμού

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 1.3-1.4: Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό ( ιάλεξη 2) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Περιεχόµενα Εισαγωγικές Έννοιες - Ορισµοί Ο κύκλος ανάπτυξης προγράµµατος Παραδείγµατα Πότε χρησιµοποιούµε υπολογιστή?

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Τμήμα Τεχνολογίας Αεροσκαφών ΤΕ ΤΕΙ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2013-14 Δρ. Β. Σγαρδώνη ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1. Εισαγωγή 2. Σφάλματα, αριθμητική μηχανής και αλγόριθμοι 3. Επίλυση συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΙ Η, ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΙ Η, ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΕΙ Η, ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ 7.1. Ανάπτυξη Προγράµµατος Τι είναι το Πρόγραµµα; Το Πρόγραµµα: Είναι ένα σύνολο εντολών για την εκτέλεση ορισµένων λειτουργιών από τον υπολογιστή.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες)

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ. Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ, 2016-2017 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΟΣΕΩΝ Κεφ. 1: Εισαγωγή (διάρκεια: 0.5 εβδομάδες) Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων (διάρκεια: 3 εβδομάδες) 2.1 Επίλυση εξισώσεων 2.2 Επίλυση

Διαβάστε περισσότερα

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003

Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2003 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Γ ΕΚ ΟΣΗΣ Μετά την τρίτη έκδοση του βιβλίου µου µε τα προβλήµατα Μηχανικής για το µάθηµα Γενική Φυσική Ι, ήταν επόµενο να ακολουθήσει η τρίτη έκδοση και του παρόντος βιβλίου µε προβλήµατα Θερµότητας

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

Για τις λύσεις των προβλημάτων υπάρχει τρόπος εκτίμησης της επίδοσης (performance) και της αποδοτικότητας (efficiency). Ερωτήματα για την επίδοση

Για τις λύσεις των προβλημάτων υπάρχει τρόπος εκτίμησης της επίδοσης (performance) και της αποδοτικότητας (efficiency). Ερωτήματα για την επίδοση Επίδοση Αλγορίθμων Για τις λύσεις των προβλημάτων υπάρχει τρόπος εκτίμησης της επίδοσης (performance) και της αποδοτικότητας (efficiency). Ερωτήματα για την επίδοση πώς υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Πρόβλημα είναι μία κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής.

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. Πρόβλημα είναι μία κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Τι ονομάζουμε πρόβλημα; Πρόβλημα είναι μία κατάσταση η οποία χρήζει αντιμετώπισης, απαιτεί λύση, η δε λύση της δεν είναι γνωστή, ούτε προφανής. 2. Τι ονομάζουμε επίλυση προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ

ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Εργαστήριο Θερμικών Στροβιλομηχανών Μονάδα Παράλληλης ης Υπολογιστικής Ρευστοδυναμικής & Βελτιστοποίησης ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΕΡΟΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ (7 ο Εξάμηνο Σχολής Μηχ.Μηχ. ΕΜΠ)

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών. ηµήτρης Γκιζόπουλος Καθηγητής

Αρχιτεκτονική Υπολογιστών. ηµήτρης Γκιζόπουλος Καθηγητής Αρχιτεκτονική Υπολογιστών ΙI ηµήτρης Γκιζόπουλος Καθηγητής Γενικά ηµήτρης Γκιζόπουλος, Καθηγητής http://www.di.uoa.gr/~dgizop γραφείο Α32 ιδασκαλία στο αµφιθέατρο Α2 ευτέρα 11 00 13 00 Πέµπτη 13 00 15

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι - Πρώτη εργαστηριακή άσκηση Ηµεροµηνία επιστροφής : Τετάρτη 4/11/2010 18 Οκτωβρίου 2010 1 Γραµµική άλγεβρα (20 µονάδες) Η παράγωγος ενός µητρώου H ορίζεται ως η παράγωγος κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ220 24/1/2007. of them occurring as the solution of a problem indicates some inconsistency or absurdity.

Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ220 24/1/2007. of them occurring as the solution of a problem indicates some inconsistency or absurdity. Σήµατα και Συστήµατα ΗΜΥ0 //007 Μιγαδικοί Αριµοί Παναγιώτης Παναγή, ppanagi@ucy.ac.cy ηµήτρης Ηλιάδης, eldemet@ucy.ac.cy The imaginary expression a and the negative expression b, have this resemblance,

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1 Διάλεξη 1. Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού. Σιέττος Κωνσταντίνος

Ενότητα 1 Διάλεξη 1. Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού. Σιέττος Κωνσταντίνος Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού Ενότητα 1 Διάλεξη 1 Σιέττος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. 4o Εργαστήριο Σ.Α.Ε

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. 4o Εργαστήριο Σ.Α.Ε ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 4o Εργαστήριο Σ.Α.Ε Ενότητα : Μελέτη και Σχεδίαση Σ.Α.Ε Με χρήση του MATLAB Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού

Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 4 : Μοντέλο Αριθµητικής και Σφάλµατα Υπολογισµού Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία N. Μισυρλής (e-mail: nmis@di.uoa.gr) Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Parallel Scientific Computing Laboratory (PSCL)

Διαβάστε περισσότερα

EE512: Error Control Coding

EE512: Error Control Coding EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3

Διαβάστε περισσότερα

2η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές)

2η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές) ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 2η Οµάδα Ασκήσεων 1442008 ΑΣΚΗΣΗ 3 (Θεωρία-Αλγόριθµοι-Εφαρµογές)

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ολοκλήρωση

Αριθµητική Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ Ενότητα 3: Ασυμπτωτικός συμβολισμός Μαρία Σατρατζέμη Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 4 : Μοντέλο Αριθµητικής και Σφάλµατα Υπολογισµού Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 3 : ιανυσµατικοί Χώροι και Υπόχωροι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Επιστημονικός Υπολογισμός (set3) Δρ. Γιώργος Τσιρογιάννης

Επιστημονικός Υπολογισμός (set3) Δρ. Γιώργος Τσιρογιάννης Επιστημονικός Υπολογισμός (set3) Δρ. Γιώργος Τσιρογιάννης Μοντέλο Αριθμητικής και Σφάλματα υπολογισμού Απώλεια πληροφορίας λόγω: Μαθηματικής μοντελοποίησης και αποστεύσεων Διακριτοποίηση Σφάλματα στρογγύλευσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2004 Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από τη συγγραφέα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Σύντοµες Σηµειώσεις. Γιώργος Μανής

Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Σύντοµες Σηµειώσεις. Γιώργος Μανής Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Σύντοµες Σηµειώσεις Γιώργος Μανής Νοέµβριος 2012 Αλγόριθµοι και Λογικά ιαγράµµατα Αλγόριθµος λέγεται µία πεπερασµένη διαδικασία καλά ορισµένων ϐηµάτων µου ακολουθείται για

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟΥ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟΥ kv@hua.gr Στόχος Μαθήματος Εισαγωγή σε Βασικούς Όρους Πληροφορικής και Τηλεματικής. Εφαρμογές Τηλεματικής. Αναφορά στις κοινωνικές επιπτώσεις των Υπολογιστών.

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (24 Φεβρ. 2008, 12-3µµ) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (24 Φεβρ. 2008, 12-3µµ) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (24 Φεβρ. 2008, 12-3µµ) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. α) Σ - Λ : Οι εντολές BLAS-2 µπορούν να υλοποιηθούν να έχουν καλύτερη επίδοση από τις BLAS-3. Απάντηση. Λάθος : Οι εντολές

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικό Πρόβληµα

Υπολογιστικό Πρόβληµα Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Χειρισµός εδοµένων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Χειρισµός εδοµένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Χειρισµός εδοµένων 2.1 Αρχιτεκτονική Υπολογιστών 2.1 Αρχιτεκτονική Υπολογιστών 2.2 Γλώσσα Μηχανής 2.3 Εκτέλεση προγράµµατος 2.4 Αριθµητικές και λογικές εντολές 2.5 Επικοινωνία µε άλλες συσκευές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ στους Η/Υ. Δρ. Β Σγαρδώνη. Τμήμα Τεχνολογίας Αεροσκαφών ΤΕΙ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Χειμερινό Εξάμηνο 2013-14

ΕΙΣΑΓΩΓΗ στους Η/Υ. Δρ. Β Σγαρδώνη. Τμήμα Τεχνολογίας Αεροσκαφών ΤΕΙ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Χειμερινό Εξάμηνο 2013-14 ΕΙΣΑΓΩΓΗ στους Η/Υ Τμήμα Τεχνολογίας Αεροσκαφών ΤΕΙ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Δρ. Β Σγαρδώνη Χειμερινό Εξάμηνο 2013-14 Εισαγωγικές Έννοιες Τι είναι ένας ηλεκτρονικός υπολογιστής ; Ιστορία των Η/Υ Αρχιτεκτονική των

Διαβάστε περισσότερα

1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία)

1η Οµάδα Ασκήσεων. ΑΣΚΗΣΗ 1 (Θεωρία) ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟ ΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ KAI THΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ /5/007 η Οµάδα Ασκήσεων ΑΣΚΗΣΗ (Θεωρία). α) Έστω fl() x η παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου 2012 (3 και 4)

Απαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου 2012 (3 και 4) -- Αριθµητική Ανάλυση και Περιβ. Υλοποίησης Απαντήσεις στα Θέµατα Ιουνίου (3 και 4) Θέµα 3 [6µ] Θεωρούµε ότι κατά την επίλυση ενός προβλήµατος προσέγγισης προέκυψε ένα γραµµικό σύστηµα Αxb, µε αγνώστους,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογίες Υλοποίησης Αλγορίθµων

Τεχνολογίες Υλοποίησης Αλγορίθµων Τεχνολογίες Υλοποίησης Αλγορίθµων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τµήµα Μηχ/κων Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών email: zaro@ceid.upatras.gr Ενότητα 2 1 / 26 Ενότητα 2 Τεχνολογίες Υλοποίησης Αλγορίθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2.3: Προγραμματισμός. Επιστήμη ΗΥ Κεφ. 2.3 Καραμαούνας Πολύκαρπος

Κεφάλαιο 2.3: Προγραμματισμός. Επιστήμη ΗΥ Κεφ. 2.3 Καραμαούνας Πολύκαρπος Κεφάλαιο 2.3: Προγραμματισμός 1 2.3.1 Αναφορά σε γλώσσες προγραμματισμού και «Προγραμματιστικά Υποδείγματα» 2.3.1.1 Πρόγραμμα και Γλώσσες Προγραμματισμού Πρόγραμμα: σύνολο εντολών που χρειάζεται να δοθούν

Διαβάστε περισσότερα

Τo πρόγραμμα «Διάγραμμα Ροής» και η διδακτική του αξιοποίηση στην Διδασκαλία του προγραμματισμού

Τo πρόγραμμα «Διάγραμμα Ροής» και η διδακτική του αξιοποίηση στην Διδασκαλία του προγραμματισμού Τo πρόγραμμα «Διάγραμμα Ροής» και η διδακτική του αξιοποίηση στην Διδασκαλία του προγραμματισμού Α. Βρακόπουλος 1, Θ.Καρτσιώτης 2 1 Καθηγητής Πληροφορικής Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης Vraa8@sch.gr 2 Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής Πανεπιστήµιο Κύπρου Χρήστος Παντσίδης Παναγιώτης Σπύρου Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

215 Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πάτρας

215 Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πάτρας 215 Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πάτρας Το Τμήμα ασχολείται με τη διδασκαλία και την έρευνα στην επιστήμη και τεχνολογία των υπολογιστών και τη μελέτη των εφαρμογών τους. Το Τμήμα ιδρύθηκε το 1980 (ως

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Σηµειώσεις µαθήµατος ηµήτρης Βαλουγεώργης Αναπληρωτής Καθηγητής Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας Εργαστήριο Φυσικών και Χηµικών ιεργασιών Πολυτεχνική Σχολή Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται δύο κριτήρια απόρριψης απομακρυσμένων από τη μέση τιμή πειραματικών μετρήσεων ενός φυσικού μεγέθους και συγκεκριμένα

Διαβάστε περισσότερα

των θετικών µαθηµάτων Ηµερήσιου και Εσπερινού Γυµνασίου για το σχ.

των θετικών µαθηµάτων Ηµερήσιου και Εσπερινού Γυµνασίου για το σχ. Παραγοντοποίηση του τριωνύµου αx + βx + γ (α ) ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ3 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Η παραγοντοποίηση ενός πολυωνύµου είναι µία από τις πιο βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΝΟΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΟ 2000 ΩΣ ΤΟ 2013.

ΜΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΝΟΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΟ 2000 ΩΣ ΤΟ 2013. ΜΙΑ ΜΕΛΕΤΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗΣ: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΤΩΝ ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΤΩΝ ΕΝΟΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΟ 2000 ΩΣ ΤΟ 2013. Πρακτικές και καινοτομίες στην εκπαίδευση και την έρευνα. Άγγελος Μπέλλος Καθηγητής Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή Συμβόλαιο Μαθήματος

Εισαγωγή Συμβόλαιο Μαθήματος ΗΜΥ 212 Οργάνωση Υπολογιστών και Μικροεπεξεγραστές Εαρινό Εξάμηνο 2007 Συμβόλαιο Μαθήματος 1 Γενικές Πληροφορίες Διαλέξεις: Διδάσκων: Βοηθός Μαθήματος: Δευτέρα και Πέμπτη, 16:30 18:00 μ.μ. Πανεπιστημιούπολη,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1.1. Υλικό και Λογισμικό.. 1 1.2 Αρχιτεκτονική Υπολογιστών.. 3 1.3 Δομή, Οργάνωση και Λειτουργία Υπολογιστών 6

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1.1. Υλικό και Λογισμικό.. 1 1.2 Αρχιτεκτονική Υπολογιστών.. 3 1.3 Δομή, Οργάνωση και Λειτουργία Υπολογιστών 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή στην Δομή, Οργάνωση, Λειτουργία και Αξιολόγηση Υπολογιστών 1.1. Υλικό και Λογισμικό.. 1 1.2 Αρχιτεκτονική Υπολογιστών.. 3 1.3 Δομή, Οργάνωση και Λειτουργία Υπολογιστών 6 1.3.1 Δομή

Διαβάστε περισσότερα

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier

(CLR, κεφάλαιο 32) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier CLR, κεφάλαιο 3 Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Παραστάσεις πολυωνύµων Πολυωνυµική Παρεµβολή ιακριτός Μετασχηµατισµός Fourier Ταχύς Μετασχηµατισµός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο. Έτσι ο προγραµµατισµός µε τη ΓΛΩΣΣΑ εστιάζεται στην ανάπτυξη του αλγορίθµου και τη µετατροπή του σε σωστό πρόγραµµα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο. Έτσι ο προγραµµατισµός µε τη ΓΛΩΣΣΑ εστιάζεται στην ανάπτυξη του αλγορίθµου και τη µετατροπή του σε σωστό πρόγραµµα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ο 1. Επιλογή της κατάλληλης γλώσσας προγραµµατισµού Εκατοντάδες γλώσσες προγραµµατισµού χρησιµοποιούνται όπως αναφέρθηκε σήµερα για την επίλυση των προβληµάτων µε τον υπολογιστή, τη δηµιουργία

Διαβάστε περισσότερα