ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι"

Transcript

1 ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ Ι Ευστράτιος Γαλλόπουλος Καθηγητής ΗΥ343 Τµήµα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήµιο Πατρών Φθινόπωρο 2008 c 2008, Ευστράτιος Γαλλόπουλος

2

3 Προλεγόµενα Στο ϐιβλίο αυτό περιέχεται ύλη για τη διδασκαλία του Επιστηµονικού Υπολογισµού. Οπως ϑα διαπιστώσετε, η πλειοψηφία των «επιστηµονικών υπολογισµών» ανάγονται σε προβλήµατα της υπολογιστικής γραµµικής άλγεβρας. Ετσι η εισαγωγή στα ϑέµατα του επιστηµονικού υπολογισµού γίνεται χρησιµοποιώντας την περιοχή αυτή σαν όχηµα. Το µεγαλύτερο µέρος της ύλης που περιέχεται στο τεύχος αυτό καλύπτεται στο µάθηµα «Επιστηµονικός Υπολογισµός I» που διδάσκεται στο τρίτο έτος του τµήµατος Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής του Πανεπιστη- µίου Πατρών. Τα πιο εξειδικευµένα τµήµατά του έχουν επίσης χρησιµοποιηθεί στην Υπολογιστική Γραµµική Άλγεβρα καθώς και σε παραδόσεις ειδικών ϑεµάτων Επιστηµονικού Υπολογισµού. Το µάθηµα στο ιαδίκτυο Η ηλεκτρονική σελίδα είναι αναπόσπαστο τµήµα του µαθήµατος καθώς περιέχει απαραίτητα στοιχεια (περιεχόµενα διαλέξεων, ανακοινώσεις, ϐαθµολογία, προβλήµατα και ασκήσεις, παραδείγµατα, on-line πληροφορίες και πηγές, ϐιβλιογραφία, προγράµµατα, κλπ.) Η σελίδα ανανεώνεται συνεχώς. Για τη Γλώσσα Είναι γνωστό ότι η Πληροφορική δοκιµάζει την ευελιξία κάθε γλώσσας. Τα Ελληνικά δεν αποτελούν εξαίρεση. Στις σηµειώσεις αυτές προτίµησα να επιχειρήσω την µετάφραση των αγγλικών όρων και να περιλάβω την αγγλική ορολογία σε παρένθεση όταν ο ελληνικός όρος είναι αδόκιµος. Επίσης δεν µετέ- ϕρασα τα καθιερωµένα αρκτικόλεξα (όπως RISC και SVD). Για τις µαθηµατικές συναρτήσεις χρησιµοποιούνται τα αγγλικά σύµβολα, π.χ. cos αντί για «συν» 1. Για τη δόκιµη µετάφραση των αγγλικών όρων χρησιµοποιήθηκαν τα παρακάτω λεξικά 2 : Λ1 «Αγγλοελληνικό Λεξικό Μαθηµατικών Ορων» των Α. Καλογεροπούλου, Μ. Γκίκα,. Καραγιαννάκη και Μ. Λάµπρου (εκδ. Τροχαλία : Αθήνα 1992), Λ2 «Αγγλοελληνικόν Λεξικόν των Θεωρητικών και Εφηρµοσµένων Μαθηµατικών» του Μεµά Κολαΐτη (εκδ. Τεχνικού Επιµελητηρίου της Ελλάδος : Αθήνα, 1976). Επισηµαίνουµε εδώ ότι µεταφράζουµε τον όρο matrix ως «µητρώο» γιατί ϑεωρούµε ότι έτσι αποδίδει και µεταφέρει καλύτερα στον αναγνώστη τον αλγεβρικό λογισµό που επιτρέπουν µεταβλητές αυτού του τύπου. Η επιλογή αυτή είναι διαφορετική από τη συνηθισµένη, αλλά λανθασµένη, κατά την άποψή µας, πρακτική αρκετών συγγραφέων που χρησιµοποιούν τον όρο «πίνακας» και άθελά τους δηµιουργούν σύγχυση µε παραπλήσιους (αλλά διαφορετικούς από το µητρώο) όρους όπως array και table. Για παράδειγµα, στη συνάρτηση polyval.m της MATLAB αναφέρεται στα σχόλια ότι «POLYVALM Matrix polynomial evaluation. If V is a vector whose elements are the coefficients of a polynomial, then POLYVALM(V,X) is the value of the polynomial evaluated with matrix argument X. See POLYVAL for 1 Η πρακτική αυτή ακολουθείται και σε άλλα συγγράµµατα, ϐλ. για παράδειγµα τα συγγράµµατα των ουγαλή-ακρίβη και Strang που αναφέρονται πιο κάτω. 2 Με παχειά στοιχεία αναφέρεται η σύντµηση που χρησιµοποιείται στο κείµενο όταν αναφερόµαστε στα λεξικά αυτά.

4 4 polynomial evaluation in the regular or array sense.» Αντίστοιχα προβλήµατα εµφανίζονται και σε άλλα συστήµατα, όπως η Mathematica, σε λογισµικά ϕύλλα, και αλλού. Άποψή µας είναι ότι µια πολύ πιο εύστοχη χρήση του όρου «πίνακας» είναι για τις δοµές δεδοµένων που χρησιµοποιούνται για τα µητρώα και τα διανύσµατα 3. Σηµειώνουµε ότι σε προηγούµενες εκδόσεις του ϐιβλίου χρησιµοποιούσαµε τον επίσης επιτυχηµένο, κατά τη γνώµη µας, νεολογισµό «µητρείο» του Μ. Κολαΐτη 4. Σχετικά µε την παρακολούθηση και τα «προαπαιτούµενα» Από τη ϕύση του, ο Επιστηµονικός Υπολογισµός στηρίζεται στην πρόοδο που έχει γίνει σε πολλούς τοµείς στην επιστήµη και στην τεχνολογία των Η/Υ. Εποµένως, για την πληρέστερη κατανόηση του µαθήµατος, ϑα ήταν χρήσιµη η εξοικείωσή σας µε τα ακόλουθα : α) ΗΥ110 (2ο εξ.): Γραµµική Άλγεβρα, ϐ) ΗΥ240 (4ο εξ.): Αριθµητική Ανάλυση και Περιβάλλον Υλοποίησης. Χρησιµοποιούνται επίσης στοιχεία από το ΗΥ261 (3ο εξ.) (Αρχιτεκτονική Υπολογιστών) και το ΗΥ205 (Εισαγωγή στους Αλγόριθµους). Χρήσιµες πηγές, στα ελληνικά, για τα (α) και (ϐ) είναι το Γραµµική Αλγεβρα και Εφαρµογές του G. Strang, Παν/κές Εκδόσεις Κρήτης (1996) καθώς και το Εισαγωγή στην Αριθµητική Ανάλυση των Γ.. Ακρίβη και Β.Α. ουγαλή, Παν/κές Εκδόσεις Κρήτης (1997). Τέλος αναφέρουµε ότι οι εργαστηριακές ασκήσεις ϑα γίνουν χρησιµοποιώντας κατά κύριο λόγο το (εξαιρετικά διαδεδοµένο και δηµο- ϕιλές) περιβάλλον MATLAB (έκδοση version 7). Επιπλέον των εγχειριδίων του περιβάλλοντος, ϑα ϐρείτε χρήσιµους οδηγούς και στην ιστοσελίδα του µαθήµατος. Εναλλακτικά, µπορείτε να πειραµατιστείτε και µε δηµόσια διαθέσιµο λογισµικό, συγκεκριµένα το περιβάλλον Scilab που προσφέρει παρόµοιες λειτουργίες µε τη MATLAB, αλλά διατίθεται δωρεάν (από Πηγές Βασικές πηγές µας ήταν τα εξής ϐιβλία : 1) G. Golub and C. F. Van Loan. Matrix Computations. The Johns Hopkins University Press, Baltimore, third edition, ) N.J. Higham. Accuracy and Stability of Numerical Algorithms. SIAM, Philadelphia, 2002, 2nd. ed. Συνιστούµε επίσης και το C.W. Ueberhuber. Numerical Computation, volumes 1 and 2. Springer, Berlin, για µια πιο εκτενή εισαγωγή στο πνεύµα του µαθήµατος. Ασκήσεις Το τέλος κάθε κεφαλαίου περιλαµβανει και ένα τµήµα ασκήσεων, διαµορφωµένες σε τρεις ενότητες. Η πρώτη ενότητα περιέχει «ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης» που συνήθως απαιτούν λίγο χρόνο και χώρο για να απαντηθούν. Η δεύτερη περιέχει προβλήµατα που απαιτούν πιο διεξοδικές απαντήσεις. Η τρίτη ενότητα περιέχει εργαστηριακές ασκήσεις. Σε µερικές περιπτώσεις, οι απαντήσεις δίδονται µόνο περιληπτικά ή υπό σε γενικές γραµµές ή αναφέρονται στο ϐιβλίο. Ορισµένες από τις ασκήσεις είναι άλυτες ενώ µερικές ϕορές οι απαντήσεις µπορεί να είναι µακρύτερες λόγω των επιπλέον σχολίων (συχνά σε µικρότερη γραµµατοσειρά). Πολλές από τις ασκήσεις προέρχονται από ϑέµατα εξετάσεων και εργαστηριακών ασκήσεων παλαιότερων ετών ενώ ορισµένες έχουν αντληθεί από τη διεθνή ϐιβλιογραφία. Ευχαριστώ ϑερµά όσους ϐοήθησαν στο σχεδιασµό αυτών των ασκήσεων µε τις υποδείξεις και διορθώσεις τους και ιδιαίτερα τους ηµήτρη 3 Θα µπορούσαµε να πούµε ότι ο όρος «πίνακας», ως µετάφραση του matrix, αποτελεί έναν «κόθορνο» της Πληροφορικής, σύµφωνα µε το Λ2 (ς. xxxiv). 4 είτε και τη ς. 1xvii της εισαγωγής του Λ2 σχετικά µε αυτήν την επιλογή.

5 5 Ζεϊµπέκη, Κώστα Μπέκα, Εφη Κοκιοπούλου, Γιώργο Τσιρογιάννη, Τάσο Σιδηρόπουλο, Γιάννη Κουτή και Λουκά Γεωργιάδη. Ευχαριστώ επίσης τους ϕοιτητές του µαθήµατος που µε τις απαντήσεις τους και παρατηρήσεις τους ορισµένες ϕορές ϐοήθησαν στην κατασκευή «αποτελεσµατικότερων» απαντήσεων. Η προετοιµασία των ασκήσεων υποστηρίχθηκε από ένα Επιχειρησιακό Πρόγραµµα Εκπαίδευσης και Αρχικής Επαγγελµατικής Κατάρτισης (ΕΠΕΑΕΚ). Ευχαριστίες Ευχαριστώ όλους τους ϕοιτητές που διάβασαν προηγούµενες εκδοχές και εκδόσεις του ϐιβλίου. Θέλω όµως να κάνω και ιδιαίτερη µνεία στου Α. Αναγνωστόπουλο, Γεώργιο Γερούτη, Σωτήρη Γκέκα, Γιάννη αγκλή, Σ. Νικολάου, Απόστολο Παπαγεωργίου, Ανδρέα Παπαγεωργίου, Πέτρο Παπακωνσταντίνο, Ευστρατία Περγκαντή, Νικόλαο Πουλοκέφαλο, Τάσο Σιδηρόπουλο, Ευστράτιο Συκκά, Άλκη Τσιλιµαντό και Αλεξία Τσουµάνη που µε εκτεταµένες γραπτές πα- ϱατηρήσεις και διορθώσεις συνεισέφεραν σηµαντικά στη ϐελτίωση του κειµένου. Επίσης στη σηµαντική ϐοήθεια των Ευφροσύνης Κοκιοπούλου, Γιώργου Κόλλια, Γιάννη Κουτή, Κωνσταντίνου Μπέκα, Γιώργου Τσιρογιάννη, ηµήτρη Ζεϊµπέκη, Κυριάκου Πετράκου που ως µεταπτυχιακοί εργάστηκαν για την ανάπτυξη του µα- ϑήµατος. Οι σηµειώσεις αυτές γράφτηκαν χρησιµοποιώντας το πακέτο ελληνικών του LaTEX που ανέπτυξε ο κ. Απόστολος Συρόπουλος τον οποίο και ευχαριστώ και για τις τις χρήσιµες συµβουλές του. Παράκληση Οι ϱαγδαίες επιστηµονικές και τεχνολογικές εξελίξεις που Ϲούµε στη σηµερινή εποχή αφορούν σε µεγάλο ϐαθµό και στον Επιστηµονικό Υπολογισµό. Ετσι, αρκετά ϑέµατα που αναφέρονται στο παρόν ϐιβλίο αναθεωρούνται τακτικά. Επίσης, όσα σφάλµατα εντοπίζονται, διορθώνονται άµεσα και ανακοινώνονται µέσω της οικοσελίδας του µαθήµατος, όπου ϐρίσκεται πάντα και η πιο πρόσφατη εκδοχή του ϐιβλίου. Στη διαδικασία αυτή, οι υποδείξεις και παρατηρήσεις σας είναι πάντα ευπρόσδεκτες και χρήσιµες. Ε. Γαλλόπουλος Νοέµβριος 2008 Πάτρα

6

7 Περιεχόµενα 1 Εισαγωγή Οριοθετήσεις Εφαρµογές Αξιολόγηση Περιβάλλον Υλοποίησης Υλικό και Αρχιτεκτονική Γλώσσες, µεταφραστές, και Περιβάλλοντα Επίλυσης Προβλη- µάτων Αντί ανακεφαλαίωσης Ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης Προβλήµατα Εργαστηριακές ασκήσεις και εργασίες Μοντέλα υπολογισµών Τα µοντέλα στις ϕυσικές επιστήµες και στην τεχνολογία Μοντέλα στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστικά µοντέλα Υπολογιστικά µοντέλα µε ιεραρχία µνήµης Ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης Προβλήµατα Εργαστηριακές ασκήσεις και εργασίες Μοντέλο αριθµητικής και σφάλµατα υπολογισµού Απόλυτο και σχετικό σφάλµα Το σύστηµα αριθµών κινητής υποδιαστολής Υπερχείλιση, υποχείλιση και στρογγύλευση Κανονικοποίηση και κρυµµένο bit Ιδιότητες του συστήµατος α.κ.υ Το «έψιλον της µηχανής» Αριθµητικές πράξεις και µετάδοση σφάλµατος στρογγύλευσης Το πρότυπο αριθµητικής κινητής υποδιαστολής του ΙΕΕΕ Βασικές προδιαγραφές του προτύπου Υποκανονικοποιηµένοι αριθµοί και ϐαθµιαία υποχείλιση Αριθµητική ΙΕΕΕ εκτεταµένης ακρίβειας Η εντολή Fused Multiply and Add (FMA) Η επίδραση της Java Εκτίµηση σφάλµατος και ποιότητα υπολογισµών Μελέτη κατάστασης και σφάλµατος πολυωνυµικών µορφών

8 2 Περιεχόµενα Πίσω ευστάθεια ϱίζας είκτης κατάστασης ϱίζας Ενιαία ϑεωρία σφαλµάτων Ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης Προβλήµατα Εργαστηριακές ασκήσεις και εργασίες Προβλήµατα της Αριθµητικής Γραµµικής Αλγεβρας Ι Εισαγωγή Συµβολισµός Από τον τεµαχισµό πινάκων στα σύνθετα µητρώα Βασικές Πράξεις της Αριθµητικής Γραµµικής Άλγεβρας Εσωτερικά γινόµενα και τριάδες Πράξεις µητρώων διανυσµάτων Πολλαπλασιασµός µητρώου διανύσµατος Πράξεις µητρώων-µητρώων : Πολλαπλασιασµός Υπερταχύς πολλαπλασιασµός µητρώων Τα BLAS Μεθοδολογία και υπολογιστικό µοντέλο Περί προγραµµατισµού Σηµειώσεις Ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης Προβλήµατα Προβλήµατα της Αριθµητικής Γραµµικής Αλγεβρας II Εισαγωγή Θεωρία και πρακτική Τύποι µητρώων Επίλυση πυκνών γραµµικών συστηµάτων οµές δεδοµένων για την αποθήκευση πυκνών µητρώων Συστήµατα µε τριγωνικά µητρώα Γενικά συστήµατα Περί υλοποιήσεων Παραγοντοποίηση µε ορµαθούς Οδήγηση Ανάλυση σφάλµατος των µεθόδων επίλυσης Πολυπλοκότητα του ΑΓΑ Συµµετρικά ϑετικά ορισµένα µητρώα Παραγοντοποίηση Cholesky Λογισµικό Γενικές παρατηρήσεις Βιβλιογραφικές παρατηρήσεις Ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης Προβλήµατα Προβλήµατα της Αριθµητικής Γραµµικής Αλγεβρας III Παραγοντοποίηση QR και εφαρµογές Προβολές και ορθοκανονικοποίηση Στοιχειώδης προβολή Ορθοκανονικοποίηση µε Gram-Schmidt

9 Περιεχόµενα Τροποποιηµένος αλγόριθµος GS Μετασχηµατισµοί Householder και προβολές Πολλαπλασιασµός µε ανακλαστές Παραγοντοποίηση QR: µέθοδος Householder Πολυπλοκότητα της παραγοντοποίησης QR QR µε Householder κατά ορµαθούς Επίλυση ΑΓΑ.2 µε QR Μέθοδος των κανονικών εξισώσεων Λογισµικό Περιστροφή Givens Υπολογισµός περιστροφής Εφαρµογή περιστροφών Givens Λογισµικό QR µε Givens Άλλες εφαρµογές Ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης Προβλήµατα Προβλήµατα της Αριθµητικής Γραµµικής Αλγεβρας IV Πίνακες/µητρώα Ϲώνης Μητρώα ειδικής µορφής Πολυώνυµα και µητρώα : Μια «στενή» σχέση Μητρώα Vandermonde Μητρώα Toeplitz Πολλαπλασιασµός µε µητρώα Toeplitz Κυκλοτερή µητρώα Γρήγορες ερωτήσεις και ασκήσεις αυτοαξιολόγησης Προβλήµατα Το ιακριτό Μοντέλο Εισαγωγή Ορολογία ιακριτοποίηση και πεπερασµένες διαφορές Επίλυση Σ Ε µε πεπερασµένες διαφορές Επίλυση προβλήµατος αρχικών τιµών Μέθοδοι Euler Μέθοδοι Taylor, Runge-Kutta και παρεκβολή Richardson Προβλήµατα αρχικών-συνοριακών τιµών : Εξίσωση διάχυσης Ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης Προβλήµατα Εργαστηριακές ασκήσεις και εργασίες Α Στοιχεία Γραµµικής Αλγεβρας 317 Α.1 Νόρµες Α.1.1 Νόρµα διανύσµατος Α.1.2 Νόρµα µητρώου Α.2 Ιακωβιανά µητρώα και συνέχεια κατά Lipschitz Α.3 Χρήσιµα χαρακτηριστικά µητρώων

10 4 Περιεχόµενα

11 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή 1.1 Οριοθετήσεις Είναι πλέον κοινός τόπος πως µετά τη Θεωρία και το Πείραµα, ο Υπολογισµός µε ΗΥ 1 αποτελεί το τρίτο µεθοδολογικό εργαλείο στην έρευνα και στην ανάπτυξη της Επιστήµης και της Τεχνολογίας. Παραθέτουµε χαρακτηριστικά αποσπάσµατα από σχετικές αναφορές : Στα µέσα του 1980 συστήθηκε στις ΗΠΑ µία επιτροπή για να να εξετάσει τις τότε ανάγκες σε Υπολογιστικά Μαθηµατικά, Αλγόριθµους και Λογισµικό και να προσδιορίσει τρόπους µελλοντικής δράσης. Τα πορίσµατα της επιτροπής δηµοσιεύθηκαν στην έκθεση Future Directions in Computational Mathematics, Algorithms and Scientific Software. Η έκθεση αρχίζει ως ε- ξής : «The use of modern computers in scientific and engineering research and development over the last three decades has led to the inescapable conclusion that a third branch of scientific methodology has been created. It is now widely acknowledged that, along with the traditional theoretical and experimental methodologies, advanced work in all areas of science and technology has come to rely critically on the computational approach.» (Από το [33]). It is becoming clear that dramatic increases in computing power are necessary but insufficient to making high-performance computing a reality. Necessary is also the construction of a large body of applications capable of using that computational power effectively (Στο [3] από τους Alpern και Carter 2.) It is essential to recognize the fact that computer experiments can both be a two-way bridge between Physical Experiments and Mathematical Models, as well as an indepent source of physical understanding. Such experiments have a mind-bing potential for future explorations of nature s secrets, which is only vaguely recognized today. (Από το άρθρο 1 Επιλογισµός, δηλ. υπολογισµός µε ΗΥ σύµφωνα µέ το Λ2. 2 Οι Bowen Alpern και Larry Carter ήταν Computer Scientists στα εργαστήρια της IBM στα Yorktown Heights. Ο Carter είναι τώρα καθηγητής στο University of California, San Diego (UCSD). 5

12 6 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ του Jackson 3 [23]). Ο καθένας διατηρεί ασφαλώς την ανάµνηση των εργαστηριακών µαθηµάτων στο λύκειο : έπρεπε, µε ϐάση το προτεινόµενο πείραµα, να επαληθεύσουµε µετρήσεις, οι οποίες στη συνέχεια µεταφέρονταν σ ένα διάγραµµα, επιτρέποντας έτσι να συµπεράνουµε το νόµο. Μ αυτόν τον τρόπο, ελάχιστα δεδοµένα επέτρεπαν να καταλήξουµε σε σπουδαία αποτελέσµατα. Σήµερα, οι τεχνολογίες επαληθεύουν για µας τις παρατηρήσεις και τις µετρήσεις αυτών των παρατηρήσεων, αυτόµατα και σε πραγµατικό χρόνο, και στη συνέχεια καταγράφουν χωρίς περιορισµούς δυνατοτήτων αυτά τα δεδοµένα. Σε ση- µείο που ένα πρόγραµµα συνίσταται στο να καλεί τους χρήστες υπολογιστών σ ολόκληρο τον κόσµο για να συνδέσει περίπου δύο εκατοµµύρια µηχανή- µατα και να µπορέσει έτσι να επεξεργαστεί τα δεδοµένα. Κατά συνέπεια, αλλάζουµε επίσης επιστηµονικό υπόδειγµα : η σηµερινή επιστήµη δεν έχει πλέον καµία σχέση µε εκείνη η οποία υπήρχε πριν από µερικές δεκαετίες. (Από πρόσφατο άρθρο του Michel Serres 4 [35]) Η διατµηµατικότητα του ΕΥ δυσκολεύει τη διατύπωση ενός ικανοποιητικού ορισµού για το πεδίο. Μερικοί τον εξισώνουν µε την αριθµητική ανάλυση, και άλλοι µε το δυσκολοµετάφραστο επίσης όρο computational science and engineering ϐλ. επίσης τα σχόλια στο άρθρο «Computational Science and Engineering» [12]. Αναφέρουµε τον πλατύ ορισµό που έχει δοθεί από τους Golub και Ortega 5 στο [14, σελ. 2]: Scientific computing is the collection of tools, techniques, and theories required to solve on a computer mathematical models of problems in science and engineering. Θα λάβουµε την παρακάτω ϑέση : Στον ΕΥ µας ενδιαφέρουν ο σχεδιασµός, η ανάπτυξη, και η χρήση αποδοτικών υπολογιστικών εργαλείων που ϐοηθούν στην πρακτική ε- πίλυση των µαθηµατικών µοντέλων της επιστήµης και της τεχνολογίας. Η έµφαση στη λύση προβληµάτων που συνήθως προέρχονται από άλλες επιστήµες δεν πρέπει να µας ξενίζει. Αντιστοιχεί µάλιστα στην περιοχή του Mathematical Modelling που περιγράφεται ως «αντιµετώπιση ϱεαλιστικών προβληµάτων εκτός των Μαθηµατικών» [4, π. 220]. Ο σχεδιασµός και χρήση των εργαλείων του ΕΥ πρέπει να λαµβάνει υπόψη τη ϕυσική και τα µαθηµατικά του προβλήµατος καθώς και το περιβάλλον υλοποίησης (αρχιτεκτονική, λογισµικό, κλπ.) Στο µάθηµα του Γ έτους ϑα µας απασχολήσουν κυρίως ο σχεδιασµός και η υλοποίηση επιστηµονικού λογισµικού. Θα εξετάσουµε επίσης τη δοµή σύγχρονων πακέτων επιστηµονικού υπολογισµού. 3 Ο Atlee Jackson είναι ϕυσικός και διευθύνει το Center for Complex Systems Research στο Beckmann Center του University of Illinois at Urbana-Champaign. Είναι επίσης µέλος του Santa Fe Insitute. 4 Ο Michel Serres είναι ϕιλόσοφος και µέλος της Γαλλικής Ακαδηµίας 5 Ο Gene Golub ήταν ο ιδρυτής του προγράµµατος του ΕΥ στο Stanford και ο James Ortega είνα καθηγητής στο University of Virginia.

13 1.2. Εφαρµογές c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ 7 Πίνακας 1.1: Αντιστοιχία εφαρµογών µε αριθµητικές µεθόδους ϐασισµένη στον [26] κβαντοχηµεία... *... * * * προσοµοίωση καιρού.... * *.... ϱευστοδυναµική *. *. * * *... γεωδαιτικά δίκτυα * * αντίστροφα προβλήµατα. *.. *..... δοµική µηχανική *. * * προσοµοίωση ηλεκτρικών στοιχείων *. *.. * *. *. προσοµοίωση κυκλωµάτων *. *.... *.. ηλεκτροµαγνητισµός * * * * * * *... οικονοµία/παράγωγα * * *.... * * * ανάκτηση πληροφορίας * *. * επεξεργασία σήµατος κ. εικόνας * * * * * * *.. * αλγ. πρβλ. στο ιαδίκτυο *.. * γραµµικά συστήµατα 2. γραµµ. συσ/µατα και πρβλ. ελαχ. τετραγ. 3. µη γραµµικά συστήµατα 4. πρβλ. ιδιοτιµών για αραιά µητρώα 5. ταχείς µετασχηµατισµοί (FFT, κλπ) 6. ταχείς ελλειπτικοί επιλυτές 7. πολυπλεγµατικές (=multigrid) µέθοδοι 8. άκαµπτες συνήθεις Ε 9. µέθοδοι Monte Carlo 10. ολοκληρωµατικοί µετασχηµατισµοί 1.2 Εφαρµογές Οι πιο σηµαντικές κατηγορίες χρήσεων τεχνικών του ΕΥ είναι οι εξής : 1) η προσοµοίωση, 2) η ανάλυση δεδοµένων (εικόνα, ήχος), 3) η υπολογιστική υποστήριξη των γραφικών, και 4) οι εφαρµογές που απαιτούν ανταπόκριση σε πραγµατικό χρόνο. Στον Πίνακα 1.1, µικρή παραλλαγή του οποίου δηµοσιεύθηκε στο άρθρο [26], παρουσιάζεται κατάλογος από σηµαντικές εφαρµογές από την επιστήµη και την τεχνολογία και τα υπολογιστικά προβλήµατα που πρέπει να λυθούν στις εφαρµογές αυτές. Αξίζει να σηµειωθεί ότι οι εφαρµογές που απαριθµούνται στον πίνακα επιλέχθηκαν επειδή απαιτούν σηµαντική υπολογιστική υποστήριξη. Οι συγγραφείς του [26] (όπου παρουσιάστηκε ο πίνακας) είχαν την ιδέα ότι για την αντιµετώπιση των µεγάλων υπολογιστικών προβληµάτων πρέπει πρώτα να αναλυθούν προσεκτικά οι υπάρχοντες κώδικες 6 ώστε να ϕανεί ξεκάθαρα ποιά τµήµατα του κώδικα έχουν το µεγαλύτερο κόστος. Οταν γίνει αυτό, µπορούµε να διακρίνουµε δύο κατηγορίες προβληµάτων. 1) Αυτά που επιταχύνονται ικανοποιητικά µέσω των ϐελτιστοποιήσεων που επιτυγχάνει ο µεταφραστής (restructuring compiler) και 2) αυτά τα οποία απαιτούν την χρήση πληροφορίας «υψηλότερου επιπέδου» για την αποτελεσµατική τους επιτάχυνση π.χ. µαθηµατικής πληροφορίας για την κατασκευή ταχύτερου αλγορίθµου. Προκύπτει ότι για να επιταχύνουµε τον κώδικα πρέπει να χρησιµοποιήσουµε 1. αποτελεσµατικότερους αλγόριθµους µέσω της αξιοποίησης της µαθηµατικής πληροφορίας, και 6 Χαρακτηρίζονται ως «παραδοσιακοί» (= legacy) ή «σκονισµένοι» (= dusty-deck) κώδικες.

14 8 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ 2. αποτελεσµατικότερη µετάφραση. Ο πίνακας 1.1 αναδεικνύει τις υπολογιστικές ανάγκες που µοιράζονται πολλές εφαρµογές. Εποµένως καθίσταται σηµαντική η ϐελτιστοποίηση αυτών των υπολογισµών, οι οποίοι ενίοτε αποκαλούνται χαρακτηριστικά και υπολογιστικοί πυρήνες (= computational kernels). Για παράδειγµα, πάρα πολλές εφαρµογές απαιτούν µετασχηµατισµούς Fourier ενώ άλλες απαιτούν τη λύση πολύ µεγάλων γραµµικών συστηµάτων. Στην πρώτη περίπτωση χρησιµοποιούνται αλγόριθµοι που υλοποιούν τον ταχύ µετασχηµατισµό Fourier (το περίφηµο FFT) ενώ στη δεύτερη αλγόριθµοι για την αριθµητική επίλυση γραµµικών συστηµάτων (η α- παλοιφή Gauss είναι µία από τις µεθόδους που έχουµε στη διάθεσή µας). Οι κοινές ανάγκες των εφαρµογών αποτελούν κίνητρο για τη δηµιουργία ϐιβλιοθηκών επιστηµονικού λογισµικού. Η δηµιουργία τέτοιων ϐιβλιοθηκών (που να είναι αποτελεσµατικές και εύχρηστες) είναι από τα σηµαντικά ϑέµατα που απασχολούν την ευρύτερη περιοχή του επιστηµονικού υπολογισµού. Επισηµαίνουµε εδώ ότι οι έξι πρώτες κατηγορίες υπολογιστικών πυρήνων που απαριθµούνται στον πίνακα είναι ή ανάγονται σε προβλήµατα της γραµµικής άλγεβρας. Παρατήρηση Αν σας εκπλήσσει ότι κατατάσσουµε ακόµα και τους (διακριτούς) µετασχηµατισµούς Fourier στη γραµµική άλγεβρα, λέµε από τώρα - αν δεν το ξέρετε ήδη - ότι πρόκειται για έναν πολλαπλασιασµό µητρώου µε διάνυσµα και ότι ο αποκαλούµενος ταχύς µετασχηµατισµός Fourier είναι ένας τρόπος για να επιταχύνουµε τον πολλαπλασιασµό εκµεταλλευόµενοι την ειδική δοµή του µητρώου. Περισσότερα για το ϑέµα αυτό ϑα δούµε στο Κεφάλαιο 7. Για τους παραπάνω λόγους, µεγάλο µέρος του µαθήµατος του Επιστη- µονικού Υπολογισµού το αφιερώνουµε στο σχεδιασµό µεθόδων για την αποτελεσµατική επίλυση προβληµάτων της γραµµικής άλγεβρας που παρουσιάζονται στις µεγάλες εφαρµογές. Για µια ενδιαφέρουσα περιγραφή εφαρµογών που απαιτούν υπολογισµούς µεγάλης κλίµακας (και που πολλές ϕορές αποκαλούνται «Μεγάλες Προκλήσεις της Υπολογιστικής Επιστήµης 7» ) ϐλ. [24, 34]. Σηµειώνουµε πως αν και οι περισσότερες εφαρµογές που αναφέρονται στον πίνακα 1.1 προέρχονται από µοντέλα των ϕυσικών επιστηµών και της τεχνολογίας, σηµαντικά προβλήµατα ΕΥ προκύπτουν και στις οικονοµικές και κοινωνικές επιστήµες. Για παράδειγµα, µια τοπική ή εθνική οικονοµία µπορεί να µοντελοποιηθεί µε πίνακες που αναπαριστούν τις συνδιαλλαγές ανάµεσα στους τοµείς της π.χ. το ποσό παραγωγής πετρελαίου, χάλυβα και µηχανολογικών εργαλείων σε µια ϐιοµηχανική οικονοµία σχετίζεται µε την παραγωγή αυτοκινήτων. Τυχούσες αυξοµείωσεις στην παραγωγή σε έναν τοµέα της οικονοµίας πρέπει να συνοδεύονται από αντίστοιχη αύξηση ή µείωση στην ανάπτυξη τοµέων που εξαρτώνται (καταρχήν άµεσα αλλά και έµµεσα) από αυτόν. Αυτές οι σχέσεις παριστώνται µε πίνακες «εισόδου-εξόδου» (=input-output tables). Για την ανάλυση αυτών των πινάκων χρησιµοποιούνται µεθόδοι της αριθµητικής γραµµικής άλγεβρας 8. Μεγάλο υ- πολογιστικό ενδιαφέρον συγκεντρώνει και η αριθµητική επίλυση των εξισώσεων που µοντελοποιούν τα παράγωγα της χρηµαταγοράς (= derivatives) [6]. Πρόσφατα, εξετάζεται και η δυνατότητα σύνθεσης µοντέλου της οικονοµίας που συνδυάζει 7 Grand Challenges of Computational Science [22]. 8 Την µέθοδο αυτή την εισήγαγε ο Wassily Leontief (ϐραβείο Νόµπελ οικονοµικών) [28] και χρησι- µοποιήθηκε εκτενέστατα στις ΗΠΑ και στην (πρώην) ΣΕ.

15 1.3. Αξιολόγηση c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ 9 µικρο-οικονοµικά µε µακρο-οικονοµικά στοιχεία µε τρόπο που δεν ήταν εφικτός ως τώρα [11] για περισσότερες πληροφορίες ϐλ Αξιολόγηση Τα κύρια κριτήρια που χρησιµοποιούνται για την αξιολόγηση των εργαλείων του επιστηµονικού υπολογισµού είναι : 1. Ακρίβεια 2. Ταχύτητα 3. Κόστος Ακρίβεια Επιθυµούµε ϐέβαια οι απαντήσεις που λαµβάνουµε να είναι «σωστές». Πέραν των γνωστών ϑεµελιωδών εµποδίων που υπάρχουν για την απόδειξη της πιστότητας κάθε προγράµµατος, στον ΕΥ εµφανίζονται και περαιτέρω δυσκολίες. Ενδεικτικός είναι και ο τίτλος µιας οµιλίας του John Rice (Purdue University) 9 : What is an Answer? Εξηγούµε : Στην πλειοψηφία τους, τα προβλήµατα του ΕΥ έ- χουν σαν αφετηρία µαθηµατικά µοντέλα που περιγράφονται µε κάποιο συνδυασµό διαφορικών, ολοκληρωµατικών και αλγεβρικών εξισώσεων. Θεµελιώδη ϱόλο παίζει η συνέχεια, η οποία µόνο προσεγγιστικά µπορεί να µοντελοποιηθεί στον υπολογιστή 10. Απαιτείται εποµένως η διακριτοποιήση του προβλήµατος, δηλ. των εξισώσεων, του χώρου ορισµού και των οριακών συνθηκών. Στην καλύτερη περίπτωση, η λύση είναι µια «καλή» προσέγγιση της πραγµατικής λύσης του αρχικού µαθηµατικού προβλήµατος. Επιλύοντας το πρόβληµα στον υπολογιστή έχουµε να αντιµετωπίσουµε σφάλµατα που οφείλονται 1) στα δεδοµένα, 2) στη διακριτοποίηση των εξισώσεων, 3) στη διακριτοποίηση των πραγµατικών αριθµών µε αριθµούς κινητής υποδιαστολής (α.κ.υ) και στις περιορισµένης ακρίβειας, αριθµητικές πράξεις µε αυτούς τους αριθµούς. 4) Στον περιορισµό της «πεπερασµένης επανάληψης» στις επαναληπτικές µεθόδους για την εύρεση αποτελέσµατος, λ.χ. των ϱιζών µη γραµµικής εξίσωσης, των ιδιοτιµών ενός µητρώου, κλπ. Στις µεθόδους αυτές ϐασιζόµαστε στη «σύγκλιση», αλλά στον υπολογιστή είµαστε υποχρεωµένοι να σταµατήσουµε τις επαναλήψεις όταν κάποιος δείκτης µέτρησης σφάλµατος γίνει αρκετά µικρός. 5) Σε δεδοµένα ή ενδιάµεσα αποτελέσµατα τα οποία δεν έχουν προβλεφθεί από τη λογική της µεθόδου επίλυσης. Εφόσον είναι σχεδόν αδύνατο να αποφευχθούν τα σφάλµατα, πρέπει να έχουµε τη δυνατότητα να εκτιµήσουµε την επίδρασή τους στο τελικό αποτέλεσµα. Εφόσον δεν έχουµε απεριόριστους πόρους και χρόνο, στην αξιολόγηση και σύγκριση των αποτελεσµάτων πρέπει να συνυπολογίσουµε το κόστος µε το οποίο επιτυγχάνεται η ακρίβεια της λύσης. Σηµειώνουµε ότι δεν είναι λογικό να περιµένουµε απαντήσεις οι οποίες έχουν µεγαλύτερη ακρίβεια από αυτήν των στοιχείων εισόδου ή από αυτήν που µπορεί να µετρηθεί στο πλαίσιο της εφαρµογής. Σηµειώνουµε ότι η εκτίµηση των σφαλµάτων (στρογγύλευσης) τα οποία οφείλονται στην α.κ.υ. 9 Στο πλαίσιο του συνεδρίου HERMIS, Αθήνα Μια εξαίρεση είναι οι µέθοδοι που ϐασίζονται στην απευθείας µοντελοποίηση των σωµατιδίων και των αλληλεπιδράσεών τους (particle methods).

16 10 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ ήταν από τα πρώτα προβλήµατα που απασχόλησαν τους πρωτοπόρους ερευνητές του ΕΥ. Τα αρχικά τους συµπεράσµατα ήταν απογοητευτικά και παραπλανητικά, π.χ. η αρχική µελέτη του σφάλµατος στην απαλοιφή Gauss από τον Hotelling [19], έδειχνε ότι αν επιλύσουµε n εξισώσεις, το σφάλµα στην τελική απάντηση µπορεί να είναι ίσο µε 4 n επί το σφάλµα µιας στρογγύλευσης. Αυτό οδήγησε τον John von Neumann και την οµάδα του να απορρίψουν αρχικά µια µέθοδο που σήµερα ϑεωρείται η πιο σηµαντική για την επίλυση γραµµικών συστηµάτων 11. Σηµειώνουµε την σχετική παράγραφο από το [5]: In the elimination method a series of n compound operations is performed each of which deps on the proceeding. An error at any stage affects all succeeding results and may become greatly magnified; this explains roughly why instability should be expected. It should be noticed that at each step a division is performed by a number whose size cannot be estimated in advance and which might be so small that any error in it would be greatly magnified by division... για την οποία ελέχθη αργότερα από τον «πατέρα» της µοντέρνας ανάλυσης σφαλ- µάτων, John Wilkinson, ότι almost every statement in it is either wrong or misleading. Ευτυχώς όµως, η πρακτική εµπειρία από την χρήση της απαλοιφής ερχόταν σε αντίθεση µε την απαισιόδοξη πρόβλεψη των αρχικών µελετών. Οπως µας πληροφορεί ο στενός συνεργάτης του von Neumann, Herman Goldstine, αυτή η σοβαρή αντίθεση, οδήγησε τον von Neumann και άλλους (συµπεριλαµβανοµένου και του Turing), να εξετάσουν το πρόβληµα από διαφορετική σκοπιά, και να επιβεβαιώσουν τελικά την αξία της απαλοιφής Gauss [13] ϐλ. επίσης [17]. Λέµε επίσης (παραφράζοντας τον Oscar Wilde) ότι Το µόνο χειρότερο από το να µην πάρουµε καµµία απάντηση είναι να πάρουµε λανθασµένη απάντηση. Με άλλα λόγια, τα εργαλεία µας κρίνονται από το κατά πόσο µας ενηµερώνουν για την ποιότητα των απαντήσεων, π.χ. αν µας προειδοποιούν ότι τα σφάλµατα των απαντήσεων υπερβαίνουν κάποια επιτρεπτά όρια. Εδώ ϐλέπουµε το παράδοξο και τη δυσκολία του εγχειρήµατος : Πως δηλαδή να διεξάγουµε τέτοιες µελέτες όταν δεν γνωρίζουµε την πραγµατική λύση (αν την ξέραµε δεν ϑα είχαµε λόγο να προχωρήσουµε στην αριθµητική επίλυση!) Προφανώς πρέπει να αποφασίσουµε να εγκαταλείψουµε τις ελπίδες για την εύρεση του πραγµατικού σφάλµατος, και να αρκεστούµε σε ϕράγµατα, όπως στην εύρεση άνω ϕράγµατος για το µέγιστο λάθος. Ταχύτητα As soon as an Analytical Engine exists, it will necessarily guide the future course of science. Whenever any result is sought by its aid, the question will then arise - By what course of calculation can these results be arrived at by the machine in the shortest time?... του Charles Babbage, [Passages from the Life of a Philosopher, 1864] Ζητούµε µεθόδους που λύνουν το πρόβληµα στον ελάχιστο δυνατό χρόνο. Συνήθως ο «ελάχιστος χρόνος» (όπως και το κάτω ϕράγµα στην πολυπλοκότητα του 11 «Μετρίου» µεγέθους.

17 1.3. Αξιολόγηση c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ 11 Είδος Παράδειγµα Τάξη επιτάχυνσης υλικό ταχύτητα επεξεργαστή O(1) λογισµικό µεταφραστές ϐάθος pipe (vectorizing compilers) υλοποίηση 13 BLAS1 BLAS3 Ο(1) (αλγ. + λογισµ. + αρχιτ.) αρχιτεκτονική παραλληλία Ο(αριθµ. επεξ.) αλγόριθµος FFT Ο(n/ log n) Πίνακας 1.2: Συµβολή στην επιτάχυνση επίλυσης προβληµάτων προβλήµατος) δεν είναι γνωστός και πρέπει να αρκεσθούµε σε µεθοδους οι οποίες είναι ταχύτερες από τις προϋπάρχουσες. Χαρακτηριστικά στοιχεία που συµβάλλουν στην επιτάχυνση της επίλυσης ενός προβλήµατος παρουσιάζονται στον πίνακα Το λογισµικό του ΕΥ πρέπει να σχεδιάζεται µε τρόπο που να συνδυάζει τις επιταχύνσεις που προσφέρει το κάθε επίπεδο ϐελτιστοποίησης. Μια δυσκολία στο εγχείρηµά µας αυτό είναι η ποικιλία και γρήγορη εξέλιξη των αρχιτεκτονικών ΗΥ. Για παράδειγµα, συµβαίνει ένας αλγόριθµος που ϑεωρείται αργός ή µη πρακτικός σε µια αρχιτεκτονική, να είναι ο αλγόριθµος που ϑα επιλέξουµε για µια άλλη. Εποµένως, δεν πρέπει να προκαλεί έκπληξη το γεγονός ότι η µελέτη διαφορετικών αρχιτεκτονικών ΗΥ (π.χ. διανυσµατική επεξεργασία, παραλληλία) αποτέλεσε έναυσµα για τον σχεδιασµό νέων υπολογιστικών εργαλείων και για την επανεξέταση των ήδη υπαρχόντων 14. Σηµαντικό εµπόδιο στις αναλύσεις είναι και η έλλειψη πρακτικά αποδεκτών µοντέλων για τις νέες αρχιτεκτονικές : π.χ. τα µοντέλα RAM και PRAM δεν µπορούν να δώσουν ικανοποιητικές αναλύσεις των αλγορίθµων. Αξίζει να σηµειωθεί ότι προϊόντα του ΕΥ χρησιµοποιούνται ευρέως και σαν µετροπρογράµµατα (benchmarks) για την αξιολόγηση συστηµάτων ΗΥ. Για πα- ϱάδειγµα αναφέρουµε το Linpack benchmark που χρησιµοποιείται στις προδιαγραφές συστηµάτων ΗΥ, το οποίο αποτελείται από υπορουτίνες για την επίλυση γραµµικού συστήµατος. Κόστος Ενα άλλο σηµαντικό κριτήριο είναι το κόστος. Εφόσον οι απαντήσεις που λαµβάνουµε στον ΕΥ είναι συνήθως προσεγγιστικές, ο ϐαθµός της προσέγγισης και το κόστος της επίλυσης είναι άµεσα συνυφασµένα. Επίσης, καθώς οι πόροι είναι πεπερασµένοι και περιορισµένοι, η χρήση τους έρχεται µε κόστος το οποίο πρέπει να ληφθεί υπόψη στην επιλογή των εργαλείων και των µεθόδων. Σχεδιάζοντας µεθόδους που έχουν γενική χρήση και που είναι ανοικτές και επεκτάσιµες έχουµε ταχύτερη απόσβεση του κόστους και µειώνουµε το κόστος προσαρµογής της µεθόδου σε νέες ανάγκες. Αξίζει να σηµειωθεί πως µεγάλος αριθµός από προγράµµατα υψηλής ποιότητας και πιστότητας, λ.χ. η συλλογή των αλγορίθµων της ACM, το πακέτο LAPACK, κ.ά. διατίθενται ελεύθερα. 12 Τα στοιχεία προέρχονται από την µελέτη The Federal High Performance Computing Program που έγινε για λογαριασµό του προέδρου των ΗΠΑ το Οι Alpern και Carter χρησιµοποιούν και τον όρο performance programming [3]. 14 Για το ϑέµα αυτό αξίζει να διαβαστεί το εµπνευσµένο άρθρο του Beresford Parlett [30].

18 12 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ Ανακεφαλαίωση Συνοψίζουµε λέγοντας : Η αξιολόγηση των µεθόδων και των εργαλείων του ΕΥ, γίνεται µε ϐάση την ακρίβεια των αποτελεσµάτων, την ταχύτητα των υπολογισµών, και το κόστος της συνολικής διαδικασίας. Σηµειώνουµε ότι η σηµασία που αναλογεί σε κάθε κριτήριο εξαρτάται από τις συνθήκες του προβλήµατος. Παραδείγµατος χάριν, πολλοί ταχείς αλγόριθµοι που χρησιµοποιούνται στην ϑεωρία του υπολογισµού, απορρίπτονται ως µη πρακτικοί στον ΕΥ, για τους εξής λόγους : 1. Η αριθµητική τους συµπεριφορά είναι κακή. 2. Για να γίνει εµφανής η υποσχόµενη επιτάχυνση του αλγορίθµου το µέγεθος του προβλήµατος πρέπει να γίνει απαγορευτικά µεγάλο. 3. Η πολυπλοκότητα έχει υπολογισθεί µε ϐάση κάποιο ιδεατό µοντέλο προγραµµατισµού (π.χ. RAM) αλλά η υλοποίησή του αλγορίθµου οδηγεί σε σηµαντικό επιπλέον κόστος. Παράδειγµα Ο ταχύς µετασχηµατισµός Fourier οδήγησε σε αλγόριθµο χαµηλότερης πολυπλοκότητας (από Ο(n 2 ) σε Ο(n log n) ) ο οποίος δεν πάσχει από τα προαναφερθέντα προβλήµατα : η επιτάχυνση ήταν εµφανής για µικρό σχετικά n, η αριθµητική συµπεριφορά του αλγορίθµου ήταν ικανοποιητική και η υλοποίηση δεν εισήγαγε επιπρόσθετα προβλήµατα, µε αποτέλεσµα να χρησιµοποιείται ευρύτατα πολύ σύντοµα µετά την «ανακάλυψή» του. Παράδειγµα Ο υπερταχύς πολλαπλασιασµός µητρώων µε την µέθοδο Strassen, ενώ επιτυγχάνει πολυπλοκότητα Ο(n log 7 ) αντί του συνηθισµένου O(n 3 ), χρησιµοποιείται σπάνια γιατί παρουσιάζει πολλές από τις αδυναµίες που περιγράψα- µε. Η πραγµατικότητα όµως είναι ακόµα πιο ενδιαφέρουσα : µετά από εκτεταµένες προσπάθειες των ερευνητών, µέθοδοι τύπου Strassen έχουν αποδειχθεί πρακτικές και χρήσιµες σε ορισµένες κατηγορίες προβληµάτων και ΗΥ! Ετσι η πρόκληση για τους ερευνητές είναι πολύ πιο ενδιαφέρουσα από την απλή ταξινόµηση των µεθοδων σε «πρακτικές» και «µη πρακτικές». 1.4 Περιβάλλον Υλοποίησης Αναφέραµε από την αρχή ότι στον σχεδιασµό υπολογιστικών εργαλείων πρέπει να λαµβάνεται υπόψη το περιβάλλον υλοποίησης. Παραθέτουµε µερικά στοιχεία της σύγχρονης τεχνολογίας ΗΥ τα οποία έχουν καθοριστική επίδραση στον ΕΥ Υλικό και Αρχιτεκτονική Η µεγάλη πρόοδος στην τεχνολογία υλικού οδήγησε σε µεγάλη αύξηση της ταχύτητας των επεξεργαστών και της χωρητικότητας αποθήκευσης που παρέχεται από τα συστήµατα ΗΥ. Ετσι έχουµε την δυνατότητα να αποθηκεύσουµε και να λύσουµε προβλήµατα πολύ µεγαλύτερα από αυτά που λύναµε πριν µερικά χρόνια. Οπως ϑα δούµε, οι εξελίξεις στην αρχιτεκτονική των ΗΥ έχουν καθοριστική επίδραση στην ανάπτυξη και εξέλιξη του επιστηµονικού υπολογισµού. Χαρακτη- ϱιστικά αναφέρουµε :

19 1.4. Περιβάλλον Υλοποίησης c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ Την αρχιτεκτονική RISC µε τα συγκεκριµένα χαρακτηριστικά : αρχεία καταχωρητών (register files), οργάνωση ϕόρτωσης-αποθήκευσης LOAD-STORE, έντονη χρήση pipelining) ϐλ. [8] για µια διασκεδαστική και ενδιαφέρουσα παρουσίαση του προγραµµατισµού των αρχιτεκτονικών RISC ϐλ. επίσης και γενεαλογικές πληροφορίες για τους µικροεπεξεργαστές στο URL mvinant/g_info/cpu_hist.htm#risc. 2. Την ιεραρχική οργάνωση του συστήµατος αποθήκευσης (καταχωρητές, κρυ- ϕή µνήµη, κύρια µνήµη, δευτερεύουσα µνήµη/δίσκος). Η ιεραρχική οργάνωση απαντάται σε όλα σχεδόν τα σύγχρονα συστήµατα ΗΥ (παράλληλα και µη), και χρησιµοποιείται για την αντιµετώπιση των προβλη- µάτων που δηµιουργεί η άνιση ανάπτυξη της ταχύτητας των επεξεργαστών σε σχέση µε τον ϱυθµό µεταφοράς στοιχείων µεταξύ µνήµης και επεξεργαστή. Παραδείγµατος χάριν, ενώ είναι δυνατή η κατασκευή ενός επεξεργαστού σε ένα chip (single-chip processor), ο αριθµός των pins του chip και εποµένως ο ϱυθµός µεταφοράς στοιχείων από την µνήµη στον επεξεργαστή παραµένουν περιορισµένοι µε αποτέλεσµα οι σύγχρονοι single-chip επεξεργαστές να έχουν σχετικά µικρό εύρος επικοινωνίας 15 Ενας τρόπος να αντιµετωπισθεί αυτό το πρόβληµα είναι να διατεθεί µέρος του εµβαδού του chip για αποθήκευση. Το πλεονέκτηµα είναι ότι η on-chip µνήµη είναι προσπελάσιµη µε ϱυθµούς πολύ πιο γρήγορους από την µνήµη που είναι off-chip. Παραδείγµατα on-chip µνήµης είναι : (Αρχεία) καταχωρητών (register files). Κρυφή µνήµη εντολών (instruction cache). Κρυφή µνήµη στοιχείων (data cache). Βέβαια, το µέγεθος της µνήµης που µπορεί να τοποθετηθεί on chip είναι περιορισµένο. Οπως ϑα αναλυθεί σε επόµενο κεφάλαιο, η αποτελεσµατικότητα της ιεραρχικής µνήµης είναι άµεσα συνυφασµένη µε την τοπικότητα που συναντάται στις αναφορές του προγράµµατος. Συνοψίζοντας µπορούµε να πούµε ότι µια από τις µεγαλύτερες προκλήσεις που πρέπει να αντιµετωπίσουµε όταν σχεδιάζουµε συστήµατα υψηλής απόδοσης είναι η µετακίνηση των πληροφοριών (δεδοµένων και εντολών) µεταξύ της µνήµης και του επεξεργαστή µε ικανοποιητικό ϱυθµό. Οπως ανέφερε ένας από τους σηµαντικούς ερευνητές στον χώρο του ΕΥ :... the operation count is not necessarily an adequate figure of merit in comparing theoretically the value of algorithms in numerical analysis [... ] Other factors, such as [... ] the pattern in which memory banks of the computer are referenced, may be as important as the operation count in determining the speed of a program... [18] 3. Την ευρύτερη διάδοση και χρήση παράλληλων συστηµάτων και άλλων αρχιτεκτονικών δοµών για αυξηµένη απόδοση, π.χ. υπερβαθµωτούς (superscalar) 15 Λέγεται πως οι single-chip επεξεργαστές είναι pin-bandwidth limitated.

20 14 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ επεξεργαστές, συστάδες επεξεργαστών (= clusters), δίκτυα σταθµών εργασίας (networks of workstations = NOW) και οι τεχνολογίες Πλέγµατος (Grid) καθώς και οι ϱαγδαίες εξελίξεις στην περιοχή των πολυπύρηνων επεξεργαστών. Για λεπτοµερέστερη περιγραφή των στοιχείων αυτών ϐλ. [16]. Η παραλληλία ϑα συζητηθεί στα σχετικά µαθήµατα του και Ε έτους. Αξίζει να σηµειωθεί ότι πολλές από τις τεχνικές που αναπτύχθηκαν για την αποδοτική χρήση παραλλήλων (και διανυσµατικών) ΗΥ, αποδείχτηκαν χρήσιµες και στο πλαίσιο των απλούστερων, µη παραλλήλων, συστηµάτων που χρησιµοποιούµε καθηµερινά (π.χ. η χρήση τεχνικών αναπτυγµένων για διανυσµατικούς ΗΥ σε συστήµατα αρχιτεκτονικής RISC, και η αντιστοιχία παραλληλισµού µε ανταλλαγή µηνυµάτων και ιεραρχίας µνήµης). Οπως διαφαίνεται, εξάλλου, η παραλληλία ϑα αποτελέσει αναπόσπαστο στοιχείο των κοινών υπολογιστών του µέλλοντος. Για παράδειγµα, το µοντέλο SIMD = Single Instruction Multiple Data) το συναντάµε στις εντολές streaming της Intel, και υλοποιήσεις του µοντέλου στις µονάδες επεξεργασίας γραφικών (GPU = graphics processing units) Γλώσσες, µεταφραστές, και Περιβάλλοντα Επίλυσης Προ- ϐληµάτων εν πρέπει να έχουµε αυταπάτες. Οι χρήστες επιστηµονικού και άλλου λογισµικού, κατά κανόνα, αντιµετωπίζουν τον προγραµµατισµό σαν αναγκαία ενόχληση. Αντίθετα, για αυτούς που αναπτύσσουν λογισµικό, ο σχεδιασµός έξυπνων προγραµµάτων (ϑάπρεπε να) αποτελεί µια πρόκληση για ανάπτυξη και υλοποίηση τεχνικών που µπορούν αργότερα να εφαρµοστούν και σε ευρύτερο κύκλο προβλη- µάτων. Η ανάπτυξη νέων µεθοδολογιών προγραµµατισµού που εφαρµόζονται σε γενικότερα προβλήµατα και όχι µόνον στις ειδικές συνθήκες ενός προβλήµατος είναι αυτό που επικυρώνει την τεχνολογία λογισµικού σαν περιοχή της επιστήµης των υπολογιστών. Από την άλλη, οι χρήστες συνήθως έχουν µικρό ενδιαφέρον να αναπτύξουν γενικές µεθοδολογίες, ή ακόµα και στις περιπτώσεις που ενδια- ϕέρονται, έχουν λίγο χρόνο για να το κάνουν. Είναι εποµένως αναµενόµενο, ο χρήστης-επιστήµονας ή µηχανικός να εύχεται να είχε στη διάθεσή του κάποιο σύστηµα που µειώνει το σηµερινό «σηµαντικό χάσµα» (= semantic gap) µεταξύ των γλωσσών προγραµµατισµού και των µαθηµατικών συµβόλων. Θα ήθελε, για παράδειγµα, ένα σύστηµα που «καταλαβαίνει» τα µαθηµατικά σύµβολα που χρησιµοποιούνται στη διατύπωση των µαθηµατικών µοντέλων και που επιλύουν τα αντίστοιχα προβλήµατα. Το ϑέµα αυτό απασχόλησε τους ερευνητές από πολύ νω- ϱίς (δείτε π.χ. τις ιστορικές αναφορές στις συλλογές [7, 21]) και ϐρίσκεται στο κέντρο της περιοχής των αποκαλούµενων «Περιβαλλόντων Επίλυσης Προβληµάτων» (ΠΕΠ) (= Problem Solving Environments) (ϐλ. [21]). Μια από τις πρώτες µεγάλες προσπάθειες σ αυτή την κατεύθυνση ήταν η κατασκευή του συστήµατος ELLPACK [20] όπου µπορούσαν να ορισθούν ελλειπτικές διαφορικές εξισώσεις, το χωρίο ορισµού, και οι οριακές συνθήκες χρησιµοποιώντας τα συνηθισµένα µα- ϑηµατικά σύµβολα και γραφικά. Το ELLPACK ήταν σχεδιασµένο να επιστρέφει την αριθµητική λύση και πολύ ϐοηθητικές οπτικοποιήσεις. Σήµερα, πάρα πολλοί επιστήµονες και µηχανικοί χρησιµοποιούν περιβάλλοντα προγραµµατισµού πολύ υψηλού επιπέδου που προσφέρουν πολλά από τα στοιχεία που αναζητά κανείς στα ΠΕΠ. Αναφέρουµε, για παράδειγµα, τη Mathematica [36], τη Maple [2], τη Matlab [1], το Scilab [15]). Αξίζει επίσης να αναφερθεί και η πολύ µεγάλη ανά-

21 1.4. Περιβάλλον Υλοποίησης c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ 15 πτυξη γλωσσών scripting 16 [29] (όπως η Python [27]) που προσφέρουν σηµαντική υποστήριξη για τη γρήγορη ανάπτυξη κώδικα αλλά και για τη συγγραφή προγραµµάτων υψηλού επιπέδου που µπορεί να απαρτίζονται από υποπρογράµµατα γραµµένα σε διαφορετικές γλώσσες και µε διαφορετικά χαρακτηριστικά [25]. Ενα σηµαντικό ερευνητικό πρόβληµα που τίθεται στην κατασκευή τέτοιων συστηµάτων είναι πως ϑα επιτευχθεί η Ϲητούµενη ευκολία προγραµµατισµού συγχρόνως µε την καλή επίδοση ; Το πρόβληµα ϐέβαια δεν είναι καινούργιο. Εχει τεθεί από τότε που αντικαταστάθηκε ο προγραµµατισµός σε γλώσσα µηχανής µε προγράµµατα σε γλώσσες υψηλού επιπέδου. Χρειάστηκαν χρόνια έρευνας ώσπου να ϕθάσουµε σε αποτελεσµατικούς µεταφραστές. Αντίστοιχα, περιµένουµε ότι η έρευνα ϑα οδηγήσει σε αποτελεσµατικούς τρόπους µετάφρασης προγραµµάτων που αναπτύχθηκαν σε ΠΕΠ. Προς το παρόν πάντως, η πλειοψηφία των υπολογιστικών εργαλείων είναι γραµµένα σε Fortran. Ακολουθεί η C (και παράγωγά της, π.χ. C++), ενώ α- σήµαντη είναι η χρήση άλλων γλωσσών. Για όσους αντιδρούν στην χρήση της Fortran, αξίζει να σηµειωθεί η µεγάλη εξέλιξη της γλώσσας αυτής. Η Fortran-90, για παράδειγµα, επιτρέπει την δυναµική ανάθεση µνήµης και το «αυτοκάλεσµα», τους δείκτες, τον ορισµό δοµών δεδοµένων πολυπλοκότερων από πίνακες, κλπ. Οπως λέγεται ότι είχε δηλώσει ο John Backus 17 I don t know what the technical characteristics of the standard language for scientific and engineering computation in the year 2000 will be... but I know it will be called Fortran. Για δεδοµένο ΗΥ, οι περισσότεροι αλγόριθµοι επιδέχονται πολλών υλοποιήσεων, ο καθένας από τους οποίους µπορεί να οδηγεί σε διαφορετική ταχύτητα επίλυσης. Για παράδειγµα, η διάταξη των ϐρόχων επηρεάζει σηµαντικά την ταχύτητα εκτέλεσης. Μεγάλο µέρος της έρευνας στην τεχνολογία των µεταφραστών εξετάζει µεθόδους για την αυτόµατη και ϐέλτιστη αναδιοργάνωση των ϐρόχων των προγραµµάτων ώστε να επιτυγχάνονται υψηλές επιδόσεις. Στα επόµενα κεφάλαια ϑα εξετάσουµε αρκετά τέτοια παραδείγµατα ϐλ. επίσης τις εργασίες [10] αλλά και την [31] µε το χαρακτηριστικό τίτλο The Influence of the Compiler on the Cost of Mathematical Software - in Particular on the Cost of Triangular Factorization. Σε µερικές περιπτώσεις, ο µεταφραστής είναι σε ϑέση να µετατρέψει το πρόγραµµα σε µορφή που οδηγεί σε πολύ καλύτερη επίδοση 18. Οι σύγχρονοι µεταφραστές χρησιµοποιούν τεχνικές του ΕΥ για την αύξηση της αποτελεσµατικότητάς τους. Τέλος πρέπει να σηµειωθούν και οι προσπάθειες να συνεργαστεί και το λειτουργικό σύστηµα µε το µεταφραστή για την καλύτερη εκµετάλλευση των πόρων του συστήµατος. 16 Μεταφράζεται ως «γλώσσα συγγραφής σεναρίων». 17 ιακεκριµένος ερευνητής ( ) µε ηγετικό ϱόλο στη σχεδίαση της γλώσσας Fortran και συνεφευρέτης της BNF. 18 Οι µετατροπές που γίνονται συνήθως από τους µεταφραστές είναι πολύ απλές. Η κατασκευή αποτελεσµατικών µεταφραστών είναι σηµαντικό πεδίο έρευνας. Για παραδείγµατα πολύπλοκων µετασχηµατισµών ϐλ. [32, 9].

22 16 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ 1.5 Αντί ανακεφαλαίωσης Στα σχήµατα 1.1 (α-ϐ) παρουσιάζεται η απόδοση ενός συγκεκριµένου ΗΥ για µια απλή πράξη της γραµµικής άλγεβρας, συγκεκριµένα την A A + xy T (1.1) όπου A είναι τετραγωνικό µητρώο µεγέθους n και τα x, y είναι διανύσµατα µεγέ- ϑους n. Η πράξη αυτή ονοµάζεται ανανέωση πρώτης τάξης και στο σχήµα είναι υλοποιηµένη µε τρείς τρόπους : 1. µε απλό πρόγραµµα Fortran (διπλά εµφωλευµένοι ϐρόχοι χωρίς ϐελτιστοποιήσεις), 2. µε ϐελτιστοποιήσεις της υλοποίησης και της µετάφρασης του προγράµµατος ώστε να λαµβάνεται υπόψη η αρχιτεκτονική του ΗΥ 3. χρησιµοποιώντας την υπορουτίνα που παρέχεται στην ϐιβλιοθήκη του ΗΥ. Το µέτρο απόδοσης είναι α) ο χρόνος για την επίλυση του προβλήµατος (1.1) υπολογισµένος από την ϱουτίνα του συστήµατος Unix dtime ως το άθροισµα των χρόνων user και system και ϐ) ο αριθµός των (εκατοµµυρίων) πράξεων α.κ.υ. ανά δευτερόλεπτο (Mflop/s) που εκτελούνται για n = 30 µέχρι n = Ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης Ασκηση Ποιός είναι ο σκοπος του γνωστικού αντικείµενου που ονοµάζουµε «Επιστηµονικός Υπολογισµός»; Απάντηση. [Βιβλίο, εν. 1.1] Στον ΕΥ µας ενδιαφέρουν ο σχεδιασµός, η α- νάπτυξη, και η χρήση αποδοτικών υπολογιστικών εργαλείων που ϐοηθούν στην πρακτική επίλυση των µαθηµατικών µοντέλων της επιστήµης και της τεχνολογίας. Ασκηση Τι ονοµάζουµε «υπολογιστικούς πυρήνες»; Να δώσετε 3 παραδείγµατα τέτοιων πυρήνων. Απάντηση. [Βιβλίο, εν. 1.1] ιαδικασίες (που µπορεί να είναι υποπρογράµµατα ή τµήµατα προγράµµατος που - συνήθως - αντιστοιχούν σε συγκεκριµένες µα- ϑηµατικές διεργασίες ή υπολογισµούς) στις οποίες αναλώνεται σηµαντικό ποσοστό του χρόνου εκτέλεσης του προγράµµατος εφαρµογής που µελετούµε. Για το λόγο αυτό, ένα σηµαντικό ϐήµα στη µείωση του χρόνου εκτέλεσης ενός προγράµµατος εφαρµογής είναι η εύρεση των υπολογιστικών πυρήνων του και η επιτάχυνση της εκτέλεσής τους (π.χ. µε χρήση καλύτερου αλγορίθµου, κ.λπ.) Παραδείγµατα : α) Πολλαπλασιασµός µητρώου µε διάνυσµα, ϐ) ταχύς µετασχηµατισµός Fourier, γ) γεννήτρια τυχαίων αριθµών. Ασκηση Με ϐάση ποια τρία κριτήρια αξιολογούνται τα εργαλεία του Επιστηµονικού Υπολογισµού ; Απάντηση. [Βιβλίο, εν. 1.3] Τα κύρια κριτήρια που χρησιµοποιούνται για την αξιολόγηση των εργαλείων του επιστηµονικού υπολογισµού είναι α) ακρίβεια, ϐ) ταχύτητα, γ) κόστος. Ασκηση Να αναφέρετε τις πέντε κύριες πηγές σφαλµάτων στον επιστη- µονικό υπολογισµό.

23 1.6. Ερωτήσεις αυτοαξιολόγησης c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ time in sec n Mflop/s n Σχήµα 1.1: α) Χρόνος ανανέωσης πρώτης τάξης σε SGI Indigo-2 µε επεξεργαστή 250 MHz, 2 MB cache. Με συµβολίζεται 1η (απλή) υλοποίηση, µε η δεύτερη υλοποίηση και µε. η υλοποίηση µε υπορουτίνες από ϐιβλιοθήκη του συστήµατος. ϐ) Απόδοση του υπολογισµού σε Mflop/s στο SGI Indigo-2 µε 250 MHz, 2 MB cache. Με συµβολίζεται 1η (απλή) υλοποίηση, µε η δεύτερη υλοποίηση και µε. η υλοποίηση µε υπορουτίνες από ϐιβλιοθήκη του συστήµατος.

24 18 Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή c 2008, Ε. ΓΑΛΛΟΠΟΥΛΟΣ Απάντηση. [Βιβλίο, εν. 1.3] Επιλύοντας το πρόβληµα στον υπολογιστή έχουµε να αντιµετωπίσουµε σφάλµατα που οφείλονται 1) στα δεδοµένα, 2) στη διακριτοποίηση των εξισώσεων, 3) στη διακριτοποίηση των πραγµατικών αριθµών µε αριθ- µούς κινητής υποδιαστολής (α.κ.υ) και στις περιορισµένης ακρίβειας, αριθµητικές πράξεις µε αυτούς τους αριθµούς. 4) Στον περιορισµό της «πεπερασµένης επανάληψης» στις επαναληπτικές µεθόδους για την εύρεση αποτελέσµατος, λ.χ. των ϱιζών µη γραµµικής εξίσωσης, των ιδιοτιµών ενός µητρώου, κλπ. Στις µεθόδους αυτές ϐασιζόµαστε στη «σύγκλιση», αλλά στον υπολογιστή είµαστε υποχρεωµένοι να σταµατήσουµε τις επαναλήψεις όταν κάποιος δείκτης µέτρησης σφάλµατος γίνει αρκετά µικρός. 5) Σε δεδοµένα ή ενδιάµεσα αποτελέσµατα τα οποία δεν έχουν προβλεφθεί από τη λογική της µεθόδου επίλυσης. Ασκηση Να αναφέρετε ένα σηµαντικό µετροπρόγραµµα για υπολογιστές υψηλής επίδοσης που προέρχεται από τον επιστηµονικό υπολογισµό. Απάντηση. [Βιβλίο, εν. 1.3] Τα προγράµµατα εκείνα της ϐιβλιοθήκης και LAPACK που αποσκοπούν στην επίλυση γενικού γραµµικού συστήµατος µεγέθους n. Συνηθισµένη τιµή του n είναι το Ασκηση Να αναφέρετε τρία σηµαντικά χαρακτηριστικά/τάσεις στις σύγχρονες αρχιτεκτονικές που έχουν επιδράσει άµεσα στο σχεδιασµό των αλγόριθµων για τον επιστηµονικό υπολογισµό. Απάντηση. [Βιβλίο, εν. 1.4] Είναι α) η αρχιτεκτονική RISC, ϐ) η ιεραρχική µνήµη, γ) οι παράλληλες, δικτυακές και πολυπύρηνες αρχιτεκτονικές. 1.7 Προβλήµατα Ασκηση Εστω το πολυώνυµο p(x) = n 1 j=0 α jx j όπου α n 1 0. α) Να δείξετε ότι ο υπολογισµός των τιµών του σε m σηµεία ζ 1,..., ζ m µπορεί να εκφραστεί σαν πολλαπλασιασµός µητρώου V µε διάνυσµα a. Ειδικότερα, να γράψετε τα V και a. ϐ) Να γράψετε αλγόριθµο τύπου Horner, π.χ. γραµµένο σε MATLAB, που να υπολογίζει το γινόµενο V a χωρίς να κατασκευάζει άµεσα το V. γ) Οταν n = m, και κάτω από ορισµένες συνθήκες (που αφορούν τα δεδοµένα και όχι την υπολογιστική πλατφόρµα) το κόστος του πολλαπλασιασµού V a είναι O(n log n) πράξεις α.κ.υ. Να αναφέρετε ακριβώς ποιες είναι οι συνθήκες αυτές ; Υποθέτουµε ότι τα V και a δεν είναι τετριµµένα (δηλαδή, οι τιµές των ζ j και τα α j δεν είναι µηδέν). Απάντηση. α) Το µητρώο Vandermonde ορίζεται ως εξής : V = ζ 1 ζ 2 ζ 3... ζ m ζ1 2 ζ2 2 ζ ζm ζ1 n 1 ζ2 n 1 ζ3 n 1... ζm n 1 Ο υπολογισµός της τιµής του πολυωνύµου στα m σηµεία ζ 1, ζ 2,..., ζ m µπο- ϱεί να γίνει µε τον πολλαπλασιασµό του αναστρόφου µητρώου Vandermonde µε το διάνυσµα : a = [ α 0 α 1 α 2... α n 1 ]

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές 1 ο Εξάμηνο Σπουδών Χειμερινό Εξάμηνο 2012/13 Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης Διδάσκων: Χαρμανδάρης Ευάγγελος, email: vagelis@tem.uoc.gr, Ιστοσελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος

ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Τι είναι αλγόριθμος ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Στο σηµείωµα αυτό αρχικά εξηγείται η έννοια αλγόριθµος και παραθέτονται τα σπουδαιότερα κριτήρια που πρέπει να πληρεί κάθε αλγόριθµος. Στη συνέχεια, η σπουδαιότητα των αλγορίθµων συνδυάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 1 Διάλεξη 1. Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού. Σιέττος Κωνσταντίνος

Ενότητα 1 Διάλεξη 1. Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού. Σιέττος Κωνσταντίνος Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προγραμματισμός με Εφαρμογές στην Επιστήμη του Μηχανικού Ενότητα 1 Διάλεξη 1 Σιέττος Κωνσταντίνος Άδεια Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟΥ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟΥ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ: ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΔΙΑΔΙΚΤΥΟΥ kv@hua.gr Στόχος Μαθήματος Εισαγωγή σε Βασικούς Όρους Πληροφορικής και Τηλεματικής. Εφαρμογές Τηλεματικής. Αναφορά στις κοινωνικές επιπτώσεις των Υπολογιστών.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία

ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: Μια ενδιαφέρουσα σταδιοδρομία N. Μισυρλής (e-mail: nmis@di.uoa.gr) Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Αθηνών Parallel Scientific Computing Laboratory (PSCL)

Διαβάστε περισσότερα

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ

ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Κεφάλαιο 1.3-1.4: Εισαγωγή Στον Προγραµµατισµό ( ιάλεξη 2) ιδάσκων: ηµήτρης Ζεϊναλιπούρ Περιεχόµενα Εισαγωγικές Έννοιες - Ορισµοί Ο κύκλος ανάπτυξης προγράµµατος Παραδείγµατα Πότε χρησιµοποιούµε υπολογιστή?

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ στους Η/Υ. Δρ. Β Σγαρδώνη. Τμήμα Τεχνολογίας Αεροσκαφών ΤΕΙ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Χειμερινό Εξάμηνο 2013-14

ΕΙΣΑΓΩΓΗ στους Η/Υ. Δρ. Β Σγαρδώνη. Τμήμα Τεχνολογίας Αεροσκαφών ΤΕΙ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ. Χειμερινό Εξάμηνο 2013-14 ΕΙΣΑΓΩΓΗ στους Η/Υ Τμήμα Τεχνολογίας Αεροσκαφών ΤΕΙ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Δρ. Β Σγαρδώνη Χειμερινό Εξάμηνο 2013-14 Εισαγωγικές Έννοιες Τι είναι ένας ηλεκτρονικός υπολογιστής ; Ιστορία των Η/Υ Αρχιτεκτονική των

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

1. Οργάνωση της CPU 2. Εκτέλεση εντολών 3. Παραλληλία στο επίπεδο των εντολών 4. Γραμμές διοχέτευσης 5. Παραλληλία στο επίπεδο των επεξεργαστών

1. Οργάνωση της CPU 2. Εκτέλεση εντολών 3. Παραλληλία στο επίπεδο των εντολών 4. Γραμμές διοχέτευσης 5. Παραλληλία στο επίπεδο των επεξεργαστών ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Ι Γ. Τσιατούχας 2 ο Κεφάλαιο ιάρθρωση 1. Οργάνωση της 2. εντολών 3. Παραλληλία στο επίπεδο των εντολών 4. Γραμμές διοχέτευσης 5. Παραλληλία στο

Διαβάστε περισσότερα

http://www.cslab.ece.ntua.gr/diplom/

http://www.cslab.ece.ntua.gr/diplom/ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ KΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ http://www.cslab.ece.ntua.gr/ ιπλωµατική

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού. Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βασικές Έννοιες Προγραμματισμού Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Αριθμητικά συστήματα Υπάρχουν 10 τύποι ανθρώπων: Αυτοί

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD

ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΟΙ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΕΙΣ LU, QR και SVD Εισαγωγή To παρόν κεφάλαιο χωρίζεται σε μέρη. Στο (Α), μεταξύ άλλων, εξηγούμε γιατί μας ενδιαφέρει η λεγόμενη ανάλυση σε παράγοντες ειδικούς πίνακες (decompositio)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1.1. Υλικό και Λογισμικό.. 1 1.2 Αρχιτεκτονική Υπολογιστών.. 3 1.3 Δομή, Οργάνωση και Λειτουργία Υπολογιστών 6

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1.1. Υλικό και Λογισμικό.. 1 1.2 Αρχιτεκτονική Υπολογιστών.. 3 1.3 Δομή, Οργάνωση και Λειτουργία Υπολογιστών 6 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγή στην Δομή, Οργάνωση, Λειτουργία και Αξιολόγηση Υπολογιστών 1.1. Υλικό και Λογισμικό.. 1 1.2 Αρχιτεκτονική Υπολογιστών.. 3 1.3 Δομή, Οργάνωση και Λειτουργία Υπολογιστών 6 1.3.1 Δομή

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ της ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μ. Γρηγοριάδου Ρ. Γόγουλου Ενότητα: Η Διδασκαλία του Προγραμματισμού Περιεχόμενα Παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 6 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ 6.1 Τι ονοµάζουµε πρόγραµµα υπολογιστή; Ένα πρόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

Προγραµµατισµός Η/Υ. Δρ. Δ.Ν. Παγώνης. Καθηγητής Εφαρµογών. Τηλ: 210-5385340 email: D.N.Pagonis@teiath.gr. Τµήµα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ, ΤΕΙ Αθήνας

Προγραµµατισµός Η/Υ. Δρ. Δ.Ν. Παγώνης. Καθηγητής Εφαρµογών. Τηλ: 210-5385340 email: D.N.Pagonis@teiath.gr. Τµήµα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ, ΤΕΙ Αθήνας Περίγραµµα µαθήµατος Δρ. Δ.Ν. Παγώνης Καθηγητής Εφαρµογών Τηλ: 210-5385340 email: D.N.Pagonis@teiath.gr Τµήµα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ, ΤΕΙ Αθήνας Στοιχεία µαθήµατος Τίτλος µαθήµατος ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Κωδικός

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ. Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Η/Υ Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Βήματα προς τη δημιουργία εκτελέσιμου κώδικα

Διαβάστε περισσότερα

Γλώσσες Προγραμματισμού Μεταγλωττιστές

Γλώσσες Προγραμματισμού Μεταγλωττιστές Γλώσσες Προγραμματισμού Μεταγλωττιστές Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Ηλίας Σακελλαρίου Δομή Γλώσσες Προγραμματισμού Εισαγωγικά Γλώσσα Μηχανής Γλώσσες υψηλού επιπέδου Μεταγλωττιστές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

ιαφάνειες παρουσίασης #1

ιαφάνειες παρουσίασης #1 ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ http://www.corelab.ece.ntua.gr/courses/programming/ ιδάσκοντες: Στάθης Ζάχος (zachos@cs.ntua.gr) Νίκος Παπασπύρου (nickie@softlab.ntua.gr) ιαφάνειες παρουσίασης

Διαβάστε περισσότερα

Λίγα λόγια από το συγγραφέα... 7. 91 Εισαγωγή στους υπολογιστές... 9. 92 Μονάδες µέτρησης χωρητικότητας... 31. 94 Συσκευές εισόδου...

Λίγα λόγια από το συγγραφέα... 7. 91 Εισαγωγή στους υπολογιστές... 9. 92 Μονάδες µέτρησης χωρητικότητας... 31. 94 Συσκευές εισόδου... Περιεχόµενα Λίγα λόγια από το συγγραφέα... 7 91 Εισαγωγή στους υπολογιστές... 9 92 Μονάδες µέτρησης χωρητικότητας... 31 93 Οι βασικές λειτουργίες ενός ηλεκτρονικού υπολογιστή... 37 94 Συσκευές εισόδου...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΓΡΑΦΙΚΟ ΔΕΛΤΙΟ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ ΤΙΤΛΟΣ Συμπληρώστε τον πρωτότυπο τίτλο της Διδακτορικής διατριβής ΑΡ. ΣΕΛΙΔΩΝ ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΜΕΝΗ

ΑΠΟΓΡΑΦΙΚΟ ΔΕΛΤΙΟ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗΣ ΔΙΑΤΡΙΒΗΣ ΤΙΤΛΟΣ Συμπληρώστε τον πρωτότυπο τίτλο της Διδακτορικής διατριβής ΑΡ. ΣΕΛΙΔΩΝ ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΜΕΝΗ ΕΘΝΙΚΟ & ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΑΝΑΓΝΩΣΤΗΡΙΟ Πανεπιστημιούπολη, Κτήρια Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών 15784 ΑΘΗΝΑ Τηλ.: 210 727 5190, email: library@di.uoa.gr,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων:Μ.Χατζόπουλος, Παραδόσεις:Τρίτη 4-6, Τετάρτη 1-3; (Αμφιθέατρο Α15) Πληροφορίες στην ιστοσελίδα του μαθήματος http://www.di.uoa.

Διδάσκων:Μ.Χατζόπουλος, Παραδόσεις:Τρίτη 4-6, Τετάρτη 1-3; (Αμφιθέατρο Α15) Πληροφορίες στην ιστοσελίδα του μαθήματος http://www.di.uoa. Πληροφορική 1 Διδάσκων:Μ.Χατζόπουλος, Παραδόσεις:Τρίτη 4-6, Τετάρτη 1-3; (Αμφιθέατρο Α15) Πληροφορίες στην ιστοσελίδα του μαθήματος http://www.di.uoa.gr/~organosi/ 2 Η δομή του μαθήματος Εισαγωγή στην

Διαβάστε περισσότερα

221 Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Πάτρας

221 Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Πάτρας 221 Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Πάτρας Το Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών ιδρύθηκε το 1967 ως το πρώτο Τμήμα της Πολυτεχνικής Σχολής. Ο αρχικός τίτλος του

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογίες Υλοποίησης Αλγορίθµων

Τεχνολογίες Υλοποίησης Αλγορίθµων Τεχνολογίες Υλοποίησης Αλγορίθµων Σχολιασµένη Βιβλιογραϕία Χρηστος. Ζαρολιαγκης Καθηγητής Τµήµα Μηχ/κων Υπολογιστών & Πληροϕορικής Πανεπιστήµιο Πατρών email: zaro@ceid.upatras.gr Φεβρουάριος 2013 1 Περίληψη

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία αρχιτεκτονικής μικροεπεξεργαστή

Στοιχεία αρχιτεκτονικής μικροεπεξεργαστή Στοιχεία αρχιτεκτονικής μικροεπεξεργαστή Αριθμός bit δίαυλου δεδομένων (Data Bus) Αριθμός bit δίαυλου διευθύνσεων (Address Bus) Μέγιστη συχνότητα λειτουργίας (Clock Frequency) Τύποι εντολών Αριθμητική

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή

1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1ο. Η αριθµητική του υπολογιστή 1.1 Τί είναι Αριθµητική Ανάλυση Υπάρχουν πολλά προβλήµατα στη µαθηµατική επιστήµη για τα οποία δεν υπάρχουν αναλυτικές εκφράσεις λύσεων. Στις περιπτώσεις αυτές έχουν αναπτυχθεί

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα αξιολόγησης εκπαιδευτικού λογισµικού

Θέµατα αξιολόγησης εκπαιδευτικού λογισµικού Θέµατα αξιολόγησης εκπαιδευτικού λογισµικού Όνοµα: Τάσος Αναστάσιος Επώνυµο: Μικρόπουλος Τίτλος: Αναπληρωτής Καθηγητής, Εργαστήριο Εφαρµογών Εικονικής Πραγµατικότητας στην Εκπαίδευση, Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον

Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Ανάπτυξη Εφαρµογών σε Προγραµµατιστικό Περιβάλλον Κεφάλαιο 6ο Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Μέρος Πρώτο (6.1, 6.2 και 6.3) Α. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους 1. Η γλώσσα µηχανής είναι µία γλώσσα υψηλού επιπέδου.

Διαβάστε περισσότερα

7.5 ΑΡΑΙΕΣ ΜΗΤΡΕΣ 290 7.5.1 Κατασκευή αραιών µητρών... 290 7.5.2 Πράξεις και συναρτήσεις αραιών µητρών... 294 7.5.3 Συναρτήσεις για γραφήµατα...

7.5 ΑΡΑΙΕΣ ΜΗΤΡΕΣ 290 7.5.1 Κατασκευή αραιών µητρών... 290 7.5.2 Πράξεις και συναρτήσεις αραιών µητρών... 294 7.5.3 Συναρτήσεις για γραφήµατα... Κ. Π Α Π Α Ρ Ρ Ι Ζ Ο Σ M A T L A B 6. 5 Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ............. v Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1 Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Λ Ε Ι Τ Ο Υ Ρ Γ Ι Ε Σ Τ Ο Υ M A T L A B 1 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μικροεπεξεργαστές - Μικροελεγκτές Ψηφιακά Συστήματα

Μικροεπεξεργαστές - Μικροελεγκτές Ψηφιακά Συστήματα Μικροεπεξεργαστές - Μικροελεγκτές Ψηφιακά Συστήματα 1. Ποια είναι η σχέση της έννοιας του μικροεπεξεργαστή με αυτή του μικροελεγκτή; Α. Ο μικροεπεξεργαστής εμπεριέχει τουλάχιστο έναν μικροελεγκτή. Β. Ο

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel.

Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων: Διερεύνηση περιμέτρου κι εμβαδού με τη βοήθεια του Ms Excel. Έντυπο Α Φύλλα εργασίας Μαθητή Διαμαντής Κώστας Τερζίδης Σωτήρης 31/1/2008 Φύλλο εργασίας 1. Ομάδα: Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑ 3 ο ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΗ ΔΟΜΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ ΒΑΣΙΚΗ ΜΟΝΑΔΑ ΜΝΗΜΗ & CPU Λειτουργική Δομή Αρχιτεκτονική Von Neumann Όλοι οι υπολογιστές ακολουθούν την αρχιτεκτονική κατά Von-Neumann

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥΣ ΚΑΙ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Διδάσκουσα Δρ Β Καβακλή Χειμερινό Εξάμηνο 2001 Στόχοι του Μαθήματος! Ανάπτυξη αναλυτικής

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

chatzipa@math.uoc.gr http://www.math.uoc.gr/ chatzipa

chatzipa@math.uoc.gr http://www.math.uoc.gr/ chatzipa ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ονοµατεπώνυµο : ιεύθυνση : Email: Web: ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΧΑΤΖΗΠΑΝΤΕΛΙ ΗΣ Τµήµα Μαθηµατικών, Λεωφ. Κνωσσού, Ηράκλειο, 71409. chatzipa@math.uoc.gr http://www.math.uoc.gr/ chatzipa Προσωπικά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc.

Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις. Copyright 2009 Pearson Education, Inc. Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή, Μετρήσεις, Προσεγγίσεις Η Φύση της Επιστήµης Ενότητες Κεφαλαίου 1 Μοντέλα Θεωρίες και Νόµοι Μετρήσεις και αβεβαιότητα (σφάλµατα); Σηµαντικά ψηφία Μονάδες, Πρότυπα, και το Διεθνές Σύστηµα

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Eckert-von Neumann. Πως λειτουργεί η ΚΜΕ; Κεντρική μονάδα επεξεργασίας [3] ΕΠΛ 031: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

Αρχιτεκτονική Eckert-von Neumann. Πως λειτουργεί η ΚΜΕ; Κεντρική μονάδα επεξεργασίας [3] ΕΠΛ 031: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ Αρχιτεκτονική Eckert-von Neumann εισόδου μεταφορά δεδομένων από έξω προς τον Η/Υ εξόδου μεταφορά δεδομένων από τον Η/Υ προς τα έξω ΕΠΛ 031: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ Κύκλος Μηχανής κεντρικός έλεγχος/πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2014 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (Ι) ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μάθημα : Μικροϋπολογιστές

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή Η φράση επιστήµη των υπολογιστών σήµερα έχει αποκτήσει ευρύτατο νόηµα. Ωστόσο, στο βιβλίο αυτό ορίζουµε τη φράση ως "θέµατα που σχετίζονται µε τον υπολογιστή". Αυτό το εισαγωγικό

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα διάλεξης. Γιατί χρειάζονται οι Σ ΕΠΥ. Ορισµός. Κατηγοριοποίηση Σ ΕΠΥ Σ ΕΠΥ Ι ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ 2

Θέµατα διάλεξης. Γιατί χρειάζονται οι Σ ΕΠΥ. Ορισµός. Κατηγοριοποίηση Σ ΕΠΥ Σ ΕΠΥ Ι ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ 2 Πανεπιστήµιο Πατρών Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής ΧΡΗΣΤΟΣ Ι. ΜΠΟΥΡΑΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ email: bouras@cti.gr http://ru6.cti.gr/bouras/ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΙΚΤΥΩΝ 1 Θέµατα διάλεξης Γιατί

Διαβάστε περισσότερα

σχετικά µε τις «Αναθέσεις µαθηµάτων Γυµνασίου, Γενικού Λυκείου, ΕΠΑ.Λ. και ΕΠΑ.Σ.»

σχετικά µε τις «Αναθέσεις µαθηµάτων Γυµνασίου, Γενικού Λυκείου, ΕΠΑ.Λ. και ΕΠΑ.Σ.» Κοινό Υπόµνηµα ΠΕΚΑΠ, +++? σχετικά µε τις «Αναθέσεις µαθηµάτων Γυµνασίου, Γενικού Λυκείου, ΕΠΑ.Λ. και ΕΠΑ.Σ.» Αξιότιµε Κύριε Υφυπουργέ Σε συνέχεια των εγγράφων που σας έχουµε αποστείλει σε σχέση µε τις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙ ΕΙΝΑΙ Ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗΣ

ΤΙ ΕΙΝΑΙ Ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗΣ ΤΙ ΕΙΝΑΙ Ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗΣ Ο όρος είναι συντομογραφία του όρου «Αυτόματος, Ηλεκτρονικός Ψηφιακός Υπολογιστής Γενικού Σκοπού» [1]. Αυτόματος Μετά την έναρξη της λειτουργίας του εργάζεται μόνος του εκτελώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (Ι) ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΣΧΟΛΩΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μάθημα : Μικροϋπολογιστές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ και ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ 2014 2015

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ και ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ 2014 2015 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΣΧΟΛΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ και ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ και ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΟΔΗΓΟΣ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΞΕΩΝ 2014 2015 Επιτροπή προπτυχιακών σπουδών: Κ. Βασιλάκης Κ. Γιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3

ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Κεφάλαιο 3 ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Κεφάλαιο 3 Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Κεντρική Μονάδα Επεξεργασίας Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Μονάδα ελέγχου Μονάδα επεξεργασίας δεδομένων Δομή Αριθμητικής Λογικής Μονάδας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ.

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ. 2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες Έχει παρατηρηθεί ότι δεν υπάρχει σαφής αντίληψη της σηµασίας του όρου "διοίκηση ή management επιχειρήσεων", ακόµη κι από άτοµα που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΔΟΜΗΜΕΝΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΔΟΜΗΜΕΝΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΝ ΔΟΜΗΜΕΝΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟ Εισαγωγή Κώστας Στεργίου Τι είναι ο Η/Υ; Ένας ηλεκτρονικός υπολογιστής (Η/Υ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

Ο ξεναγός (Συνοδευτική δραστηριότητα του γύρου του ίππου)

Ο ξεναγός (Συνοδευτική δραστηριότητα του γύρου του ίππου) Ο ξεναγός (Συνοδευτική δραστηριότητα του γύρου του ίππου) Ηλικίες: Προαπαιτούμενες δεξιότητες: Χρόνος: Μέγεθος ομάδας: 8 ενήλικες Καμία 15 λεπτά για τη βασική δραστηριότητα, περισσότερο για τις επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών

2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Το «κλειστό» σύστημα. Ανοικτές επικοινωνίες... Εισαγωγή στην Τεχνολογία της Πληροφορικής. Εισαγωγή στην τεχνολογία της πληροφορικής

Το «κλειστό» σύστημα. Ανοικτές επικοινωνίες... Εισαγωγή στην Τεχνολογία της Πληροφορικής. Εισαγωγή στην τεχνολογία της πληροφορικής ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Εισαγωγή στην Τεχνολογία της Πληροφορικής ΓΙΩΡΓΟΣ Ν. ΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Λέκτορας στο Πανεπιστήμιο Αθηνών gyannop@law.uoa.gr Το «κλειστό» σύστημα ΕΙΣΟΔΟΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΗ ΜΕ Η/Υ 1. Του Αποστόλου Παπαποστόλου Επίκουρου Καθηγητή του ΤΕΙ Αθήνας

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΗ ΜΕ Η/Υ 1. Του Αποστόλου Παπαποστόλου Επίκουρου Καθηγητή του ΤΕΙ Αθήνας ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΦΙΣΤΙΚΗ ΜΕ Η/Υ 1 Του Αποστόλου Παπαποστόλου Επίκουρου Καθηγητή του ΤΕΙ Αθήνας ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι γραφικές παραστάσεις µε υπολογιστές έχουν προχωρήσει πολύ από τότε που οι ε- πιστήµονες που δούλευαν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Εισαγωγή στους Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές 1 ο Εξάμηνο Σπουδών, Χειμερινό Εξάμηνο 2012/13 Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης Διδάσκων: Χαρμανδάρης Ευάγγελος, email: vagelis@tem.uoc.gr Ιστοσελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ. Θεσσαλονίκη, Δεκέμβριος 2005. Κώστας Δόσιος

ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ. Θεσσαλονίκη, Δεκέμβριος 2005. Κώστας Δόσιος ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Μου δίνεται η ευκαιρία με την περάτωση της παρούσης διδακτορικής διατριβής να σημειώσω ότι, είναι ιδιαίτερα δύσκολο και κοπιαστικό να ολοκληρώσεις το έργο που ξεκινάς κάποια στιγμή έχοντας

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητής Παν Πειραιά, Δρ Φούντας Ευάγγελος. Δρ ΦΟΥΝΤΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Πρόεδρος Τμήματος Πληροφορικής

Καθηγητής Παν Πειραιά, Δρ Φούντας Ευάγγελος. Δρ ΦΟΥΝΤΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Πρόεδρος Τμήματος Πληροφορικής Β Ι Ο Γ Ρ Α Φ Ι Κ Ο Σ Η Μ Ε Ι Ω Μ Α Δρ ΦΟΥΝΤΑΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ Καθηγητής Πανεπιστημίου Πειραιώς Πρόεδρος Τμήματος Πληροφορικής Μ. ΚΑΡΑΟΛΗ και Α. ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ 80, 185 34 ΠΕΙΡΑΙΑΣ Τηλ 210 414 2314 / Fax: 210-4142107

Διαβάστε περισσότερα

Ηµερίδα: Γεωπληροφορική και Εκπαίδευση Η Ελληνική Πραγµατικότητα Χαροκόπειο Πανεπιστήµιο ευτέρα και Τρίτη, 21-22 Maΐου 2007. Γεώργιος Ν.

Ηµερίδα: Γεωπληροφορική και Εκπαίδευση Η Ελληνική Πραγµατικότητα Χαροκόπειο Πανεπιστήµιο ευτέρα και Τρίτη, 21-22 Maΐου 2007. Γεώργιος Ν. Ηµερίδα: Γεωπληροφορική και Εκπαίδευση Η Ελληνική Πραγµατικότητα Χαροκόπειο Πανεπιστήµιο ευτέρα και Τρίτη, 21-22 Maΐου 2007 Γεώργιος Ν. Φώτης Geoinformatics Geoinformatics is a science which develops and

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο 6ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο. Δομημένος Προγραμματισμός - Γενικές Ασκήσεις Επανάληψης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5ο 6ο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7ο. Δομημένος Προγραμματισμός - Γενικές Ασκήσεις Επανάληψης ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο 3ο 1. Συμπληρώστε τα κενά με τη λέξη που λείπει. α. Ένα πρόβλημα το χωρίζουμε σε άλλα απλούστερα, όταν είναι ή όταν έχει τρόπο επίλυσης. β. Η επίλυση ενός προβλήματος προϋποθέτει την του. γ.

Διαβάστε περισσότερα

(Ιούνιος 2001 ΤΕΕ Ηµερήσιο) Σε κάθε µία από τις παρακάτω περιπτώσεις, να

(Ιούνιος 2001 ΤΕΕ Ηµερήσιο) Σε κάθε µία από τις παρακάτω περιπτώσεις, να Κεεφάάλλααι ιοο:: 3Β ο Τίττλλοοςς Κεεφααλλααί ίοουυ: : Αρχιτεκτονική Ηλ/κου Τµήµατος των Υπολ. Συστηµάτων (Ιούνιος 2001 ΤΕΕ Ηµερήσιο) Σε κάθε µία από τις παρακάτω περιπτώσεις, να αναφέρετε τις τιµές των

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου

Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου Εισαγωγή στην έννοια του Αλγορίθμου ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Νίκος Μιχαηλίδης, Πληροφορικός ΠΕ19 ΣΧΟΛΕΙΟ 2 ο Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Θεσσαλονίκης Θεσσαλονίκη, 24 Φεβρουαρίου 2015 1. Συνοπτική περιγραφή της

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Ενσωµατωµένα Υπολογιστικά Συστήµατα (Embedded Computer Systems)

Ενσωµατωµένα Υπολογιστικά Συστήµατα (Embedded Computer Systems) Ενσωµατωµένα Υπολογιστικά Συστήµατα (Embedded Computer Systems) Μαθηµα 2 ηµήτρης Λιούπης 1 Intel SA-1110 µc StrongARM core. System-on-Chip. Εξέλιξη των SA-110 και SA-1100. 2 ARM cores ARM: IP (intellectual

Διαβάστε περισσότερα

Το πρόβλημα στα Μαθηματικά

Το πρόβλημα στα Μαθηματικά Το πρόβλημα στα Μαθηματικά από το ΣΔΕ Γιαννιτσών Δημήτρης Πολυτίδης (Μαθηματικός) Στα Μαθηματικά το πρόβλημα θα πρέπει να είναι μια κατάσταση η επίλυση της οποίας, από το μαθητή, δεν είναι αυτόματη και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α : ΘΕΜΑΤΑ ΒΑΣΗΣ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ...11 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ...30

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α : ΘΕΜΑΤΑ ΒΑΣΗΣ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ...11 2. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ...30 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α : ΘΕΜΑΤΑ ΒΑΣΗΣ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ...11 1.1 Τι είναι Πληροφορική;...11 1.1.1 Τι είναι η Πληροφορική;...12 1.1.2 Τι είναι ο Υπολογιστής;...14 1.1.3 Τι είναι το Υλικό και το

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Δημόσια Ελληνική Αστρονομική Εγκυκλοπαίδεια www.astronomia.gr

Δημόσια Ελληνική Αστρονομική Εγκυκλοπαίδεια www.astronomia.gr Ερασιτεχνικής Αστρονομίας Δημόσια Ελληνική Αστρονομική Εγκυκλοπαίδεια www.astronomia.gr Ανδρέας Παπαλάμπρου Παναγιώτης Αντωνόπουλος Κωνσταντίνος-Νεκτάριος Γουργουλιάτος Νικόλας-Ρικάρδο Καβαλιέρο Αστρονομική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Α. ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ «Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ»

ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Α. ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ «Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Α. ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ «Η ΦΥΣΗ ΚΑΙ Η ΔΥΝΑΜΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ» - Κρυπτογραφία είναι - Κρυπτανάλυση είναι - Με τον όρο κλειδί. - Κρυπτολογία = Κρυπτογραφία + Κρυπτανάλυση - Οι επιστήµες αυτές είχαν

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΕΙΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Επίπεδα Αφαίρεσης Σ Β. Αποθήκευση Εγγραφών - Ευρετήρια. ρ. Βαγγελιώ Καβακλή ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ, Επίπεδο Όψεων.

ΒΑΣΕΙΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Επίπεδα Αφαίρεσης Σ Β. Αποθήκευση Εγγραφών - Ευρετήρια. ρ. Βαγγελιώ Καβακλή ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ, Επίπεδο Όψεων. ΒΑΣΕΙΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ Χειµερινό Εξάµηνο 2002 Αποθήκευση Εγγραφών - Ευρετήρια ρ Βαγγελιώ Καβακλή ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΣΜΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ Επίπεδα Αφαίρεσης Σ Β Επίπεδο Όψεων Όψη Όψη

Διαβάστε περισσότερα

Προσφερόμενα Διπλώματα (Προσφερόμενοι Τίτλοι)

Προσφερόμενα Διπλώματα (Προσφερόμενοι Τίτλοι) Εισαγωγή Το Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών του Πανεπιστημίου Κύπρου προσφέρει ολοκληρωμένα προπτυχιακά και μεταπτυχιακά προγράμματα σπουδών στους κλάδους του Ηλεκτρολόγου Μηχανικού

Διαβάστε περισσότερα

Αρχιτεκτονική Μνήµης

Αρχιτεκτονική Μνήµης ΕΣ 08 Επεξεργαστές Ψηφιακών Σηµάτων Αρχιτεκτονική Μνήµης Τµήµα Επιστήµη και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου Βιβλιογραφία Ενότητας Kuo [2005]: Chapters 3 & 4 Lapsley [2002]: Chapter

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ

ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΥΛΙΚΟΥ ΚΑΙ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Εισαγωγή Ηεµφάνιση ηλεκτρονικών υπολογιστών και λογισµικού σε εφαρµογές µε υψηλές απαιτήσεις αξιοπιστίας, όπως είναι διαστηµικά προγράµµατα, στρατιωτικές τηλεπικοινωνίες,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1ο. 1.1.5 Πολυπρογραμματισμός 1.1.6 Πολυδιεργασία 1.2.2. Κατηγορίες Λειτουργικών Συστημάτων

Κεφάλαιο 1ο. 1.1.5 Πολυπρογραμματισμός 1.1.6 Πολυδιεργασία 1.2.2. Κατηγορίες Λειτουργικών Συστημάτων Κεφάλαιο 1ο 1.1.5 Πολυπρογραμματισμός 1.1.6 Πολυδιεργασία 1.2.2. Κατηγορίες Λειτουργικών Συστημάτων http://leitourgika-systhmata-epal-b.ggia.info Creative Commons License 3.0 Share-Alike Πολυπρογραμματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss

Κεφάλαιο Η2. Ο νόµος του Gauss Κεφάλαιο Η2 Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss Ο νόµος του Gauss µπορεί να χρησιµοποιηθεί ως ένας εναλλακτικός τρόπος υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου. Ο νόµος του Gauss βασίζεται στο γεγονός ότι η ηλεκτρική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1 )

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ & ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2014-15 (ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 1 ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 19/6/2015 ΠΕΜΠΤΗ 18/6/2015 ΤΕΤΑΡΤΗ 17/6/2015 ΤΡΙΤΗ 16/6/2015 ΔΕΥΤΕΡΑ 15/6/2015 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΕΑΡΙΝΩΝ ΕΞΑΜΗΝΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Leonardo da Vinci A EUROPEAN OBSERVATORY OF THE USE OF ICT-SUPPORTED LIFELONG LEARNING BY SMES, MICRO-ENTERPRISES & THE SELF-EMPLOYED IN RURAL AREAS ΠΑΚΕΤΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 3: ΕΡΕΥΝΑ ΦΟΡΕΩΝ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ, ΑΠΟ ΕΚΤΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

10. Με πόσους και ποιους τρόπους μπορεί να αναπαρασταθεί ένα πρόβλημα; 11. Περιγράψτε τα τρία στάδια αντιμετώπισης ενός προβλήματος.

10. Με πόσους και ποιους τρόπους μπορεί να αναπαρασταθεί ένα πρόβλημα; 11. Περιγράψτε τα τρία στάδια αντιμετώπισης ενός προβλήματος. 1. Δώστε τον ορισμό του προβλήματος. 2. Σι εννοούμε με τον όρο επίλυση ενός προβλήματος; 3. Σο πρόβλημα του 2000. 4. Σι εννοούμε με τον όρο κατανόηση προβλήματος; 5. Σι ονομάζουμε χώρο προβλήματος; 6.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΕΣ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕ ΤΟ ΑΒΑΚΙΟ/E-SLATE

ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΕΣ ΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΜΕ ΤΟ ΑΒΑΚΙΟ/E-SLATE Θέµα ιερεύνησης: Σχεδιασµός γραµµάτων Μπορώ να φτιάξω το δικό µου επεξεργαστή κειµένου; Στη διερεύνηση αυτή οι µαθητές καλούνται να κατασκευάσουν µια γραµµατοσειρά µε όλα τα κεφαλαία γράµµατα του ελληνικού

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές

Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές Γενικά Για Τη Βελτιστοποίηση Η βελτιστοποίηση µπορεί να χωριστεί σε δύο µεγάλες κατηγορίες: α) την Βελτιστοποίηση Τοπολογίας (Topological Optimization) και β) την Βελτιστοποίηση Σχεδίασης (Design Optimization).

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo

Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo ΦΥΣ 145 - Διαλ.09 Ολοκλήρωση - Μέθοδος Monte Carlo Χρησιμοποίηση τυχαίων αριθμών για επίλυση ολοκληρωμάτων Η μέθοδος Monte Carlo δίνει μια διαφορετική προσέγγιση για την επίλυση ενός ολοκληρώμτατος Τυχαίοι

Διαβάστε περισσότερα

ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι

ο ρόλος των αλγορίθμων στις υπολογιστικές διαδικασίες Παύλος Εφραιμίδης Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Παύλος Εφραιμίδης 1 περιεχόμενα αλγόριθμοι τεχνολογία αλγορίθμων 2 αλγόριθμοι αλγόριθμος: οποιαδήποτε καλά ορισμένη υπολογιστική διαδικασία που δέχεται κάποια τιμή ή κάποιο σύνολο τιμών, και δίνεικάποιατιμήήκάποιοσύνολοτιμώνως

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας: Πρακτικές ιδέες για τη διδασκαλία ενός θεωρητικού μαθήματος

Βασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας: Πρακτικές ιδέες για τη διδασκαλία ενός θεωρητικού μαθήματος Βασικές Αρχές Ψηφιακής Τεχνολογίας: Πρακτικές ιδέες για τη διδασκαλία ενός θεωρητικού μαθήματος Πάσχου Αικατερίνη 1 katpas@sch.gr 1 Εκπαιδευτικός Πληροφορικής, 2 ο ΕΠΑ.Λ. Καρδίτσας Περίληψη Το μάθημα Βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Τεχνών Ήχου και Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος 2006-2007

Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Τεχνών Ήχου και Εικόνας. Ακαδημαϊκό Έτος 2006-2007 Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Τεχνών Ήχου και Εικόνας Ακαδημαϊκό Έτος 2006-2007 ΠΑΡΑΔΟΤΕΟ: Έκθεση Προόδου Υλοποίησης του Μαθήματος Διδάσκων: Φλώρος Ανδρέας Περιεχόμενα 1 Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΡΟΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Διδάσκων: Γ. Χαραλαμπίδης,

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ 3-1 Προσομοιωση και Βελτιστοποιηση Συστηματος (Haimes, 1977) ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΠΙΝΑΚΑΣ 3-1 Προσομοιωση και Βελτιστοποιηση Συστηματος (Haimes, 1977) ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΦΥΣΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ 3 ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ 3.1 Εισαγωγη ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Τα συστηματα εφαρμοζονται σε αναπτυξιακα προγραμματα, σε μελετες σχεδιασμου εργων, σε προγραμματα διατηρησης ή προστασιας περιβαλλοντος και υδατικων πορων και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό

Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Εισαγωγή Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ακ. Έτος 2012-2013 Βιβλιογραφία "C Προγραμματισμός", Deitel & Deitel, Πέμπτη Έκδοση, Εκδόσεις

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα