CAPITOLUL 6. Definiţia Fie D un domeniu (mulţime deschisă şi conexă). Se numeşte pânză parametrizată de clasă C, orice funcţie vectorială r:

Transcript

1 4 CAPITOLUL 6 INTEGRALE E UPRAFAŢĂ 6 UPRAFEŢE PARAMETRIZATE NETEE efiiţia 6 Fie u domeiu (mulţime deschisă şi coexă) e umeşte pâză paametizată de clasă C, oice fucţie ectoială : de clasă C acă otăm cu x, y şi z compoetele scalae ale lui, atuci u (, ) ( x( u, ), y( u, ), z( u, )), ( u, ) Ecuaţiile x xu (, ), y y( u, ), z z( u, ), ( u, ) se umesc ecuaţiile paametice ale pâzei, sau o epezetae paametică a pâzei, ia u şi se umesc paametii pâzei Imagiea diectă a domeiului pi fucţia ectoială, adică mulţimea xu,, y u,, z u, ; u, se umeşte supotul (sau uma) pâzei { } Î cotiuae om folosi câtea otaţii specifice geometiei difeeţiale Petu fucţia : folosim otaţia ectoială: ( u, ) x( u, ) i + yu (, ) j+ zuk (, ), ( u, ) x x y e asemeea, otăm cu xu, x, y u u etc, cu u ( y, z) yu zu ( z, x) z A Au (, ), B Bu (, ) u (, ) y z u (, ) u x u z x (, ) (, ) y z x C C( u, ) u y u u x y u xui + yuj+ z u uk, xi + yj+ zk E u xu + yu + z u, F u xux+ yy u + zz u G x + y + z Obseăm că: u Ai + Bj + Ck şi u A + B + C acă otăm cu ϕ ughiul dite ectoii u şi, atuci EG F cos ϕ u u u şi,

2 CAP 6 INTEGRALE E UPRAFAŢĂ ( si ϕ) A + B + C u u Aşada aem: A + B + C EG F () efiiţia 6 O pâză paametizată de clasă A B C + + >, ( u, ) C 4 se umeşte etedă dacă Petu o pâză paametizată etedă ezultă că u u,, deci u şi sut ecoliiai Fie ( u, ) şi fie M xu (, ), yu (, ), zu (, ), puctul coespuzăto de pe supotul pâzei Plaul detemiat de ectoii şi, şi cae tece pi M se umeşte plaul taget î M la şi ae ecuaţia: (, ) ( (, )) ( (, )) A X x u + B Y y u + C Z z u () Nomala î puctul M la (adică pepediculaa pe plaul taget î puctul M al supotului al pâzei) este paalelă cu ectoul u Rezultă că paametii diectoi ai omalei î M la sut A, B şi C efiiţia 6 O pâză paametizată fucţia este ijectiă, adică dacă u, ( ) ( u, ), ( u, ), ( u, ) ( u, ) : se umeşte simplă, dacă u,, oicae a fi puctele Exemplul 6 Fie pâza paametizată de clasă C, defiită pi: π π u (, ) ( Rsi ucos R, siusi R, cosu), ( u, ),, Ecuaţiile paametice sut: x Rsiucos y Rsi usi π π z Rcos u ( u, ),,, puctul Obseăm că petu oice ( u, ) ( (, ), (, ), (, )) x u y u z u eifică ecuaţia x + y + z R, x >, y >, z > Rezultă că supotul acestei pâze este poţiuea sfeei cu Fig cetul î oigie şi de ază R, cupisă î pimul octat Mai depate aem: x Rcosucos, y Rcosusi, z Rsi u u u u u

3 4 x Rsiusi, y Rsiucos, z A R si ucos, E R, F, B R si usi, C R si ucosu G R si u 4 >, A + B + C EG F R si u u, e asemeea, este eidet că fucţia este ijectiă pe Aşada, pâza paametizată di acest exemplu este o pâză paametizată etedă şi simplă U caz paticula de pâză paametizată, deosebit de impotat î aplicaţii, este cazul pâzei defiită explicit Mai pecis, fie u domeiu şi fie f f f : o fucţie de clasă C Notăm cu p şi cu q Cu ajutoul x y fucţiei f putem defii umătoaea pâză paametizată de clasă C : :, ( x, x, y, f ( x,, ( x, Ecuaţiile paametice sut: x x y y z f( xy, ), ( xy, ) Obseăm că supotul acestei pâze este gaficul fucţiei f (Fig ) Pe de altă pate, aem ( y, z) A p, x, y p q Fig (, ) (, ) z x p q B q şi x, y x y C x, y Plaul taget ît-u puct oaecae ( ) ( X x)( p) ( Y ( q) Z f ( x, M sut ( p, q,) eoaece A + B + C p + q + >, ezultă că pâza () este etedă e aseme ea, este eidet că este o pâză simplă M x, y, f x, y ae ecuaţia: + +, ia paametii diectoi ai omalei î : mofism efiiţia 65 ouă pâze paametizate de clasă C, : şi se umesc echialete cu aceeaşi oietae dacă există u difeo- Φ cu popietăţile: det JΦ ( u, ) >, ( u, ) : şi oφ

4 CAP 6 INTEGRALE E UPRAFAŢĂ 4 Reamitim că Φ este difeomofism, dacă Φ este bijectiă, Φ C acă det J Φ < Φ C pe, spuem că cele două pâze sut echialete cu oietăi opuse Fucţia Φ se mai umeşte şi schimbae de paameti Vom ota cu faptul că pâzele şi sut echialete i efiiţia 64 ezultă: Obseaţia 6 Oice două pâze echialete au acelaşi supot Exemplul 6 Fie pâza paametizată defiită astfel: (, ) (,, ) u u R u, { } u, u, ; u + < R, u >, > Obseăm că pâzele di exemplele 6 şi 6 sut echialete cu aceeaşi π π oietae Ît-adeă, fie Φ :,,, defiită pi: u, Rsiucos, Rsiusi u, Rezultă că Φ C şi Φ, J ( u, ) Φ Rcosucos Rsi usi Rcosusi Rsi ucos pesupuem că ( u, ) ( u ) R si ucosu >, ( u, ) şi acă Φ Φ,, atuci ezultă că tg tg şi mai depate că şi u u Aşada, Φ este ijectiă Petu a doedi că Φ este şi sujectiă, fie u >, > cu popietatea u + < R u + eoaece < <, ezultă R π că există u, astfel îcât u + + u R siu, elaţie echialetă cu π u Rsiu Rsiu Atuci există, astfel îcât cos Rsi u şi si Î defiiti, am aătat că există Rsi u u, astfel îcât u Rsiucos, Rsi usi, deci u, Φ u, e asemeea, este uşo de obseat că u + Φ ( u, ) acsi, actg u, ( ) u,, deci Φ C ( ) Pe de altă pate aem: ( o Φ )( u, ) Φ ( u, ) ( Rsiucos, Rsiusi, Rcos u) ( u, ),

5 44 ( u, ), deci Obseaţia 6 Oice pâză paametizată echialetă cu o pâză paametizată simplă sau etedă este la âdul său simplă sau etedă Ît-adeă, fie ude u, xu,, y u,, z u u,, ( (, )), ( u, ) ( x( u, ), y( u, ), z( u, ) ), ( u, ) şi fie Φ :, Φ ( u, ) ( λ ( u, ), µ ( u, )), ( u, ), schimbaea de paameti eoaece oφ şi Φ este bijectiă, ezultă că dacă este ijectiă (deci simplă) atuci şi este ijectiă (simplă) Pe de altă pate: x( u, ) x λ ( u, ), µ ( u, ), yu (, ) y λ ( u, ), µ ( u, ) şi z( u, ) z λ ( u, ), µ ( u, ) Ţiâd seama de fomulele de deiae a fucţiilo compuse de două aiabile ezultă: ( y, z ) ( y, z ) ( λ, µ ) ( λ, µ ) A A u (, ) u (, ) u (, ) u (, ) şi aalog ( λ, µ ) ( λ, µ ) B B şi C C ( u, ) ( u, ) Aşada, aem: ( ) ( λµ, ) u (, ) Cum ( λµ, ) u (, ) A + B + C A + B + C >, ezultă că dacă (especti ) este etedă, atuci şi (especti ) este etedă efiiţia 66 e umeşte supafaţă paametizată de clasă oice clasă de echialeţă de pâze paametizate de clasă C Aşada, ˆ este o supafaţă paametizată de clasă C, dacă există o pâză paametizată de clasă C, :, astfel îcât: ˆ :, pâză etedă paametizată; } { Cum, ezultă că ˆ upafaţa ˆ se umeşte simplă (especti etedă) dacă pâza cae o detemiă este simplă (etedă) upotul supafeţei ˆ, este supotul al pâzei cae o detemiă, acelaşi cu supotul oicăei alte pâze de clasă ˆ e egulă, om idetifica supafeţa ˆ su supotul său C

6 CAP 6 INTEGRALE E UPRAFAŢĂ 45 6 ARIA UNEI UPRAFEŢE Petu îceput abodăm poblema aiei uei supafeţe edete explicită Fie u domeiu măgiit cae ae aie şi fie f : o fucţie de clasă C f f pe acă otăm cu p şi q, ezultă că p şi q sut cotiue pe Fie x y (especti ) gaficul fucţiei f : (especti f : ) Aşada, {(,, (, )); (, ) } şi xy f xy xy {(,,, ); (, ) } x y f x y x y Mulţimea Γ \ se umeşte bodua supafeţei acă este fotiea domeiului, atuci {( x, y, f( xy, )); ( xy, ) C} Γ Fie ρ :,, K, o patiţie a domeiului şi fie M ( x, y u i i i) puct oaecae di i Notăm cu P i puctul coespuzăto de pe supafaţa Eidet ae coodoatele P i ( i, i, ( i, i) ) x y f x y puctul la î Fie Pi P i π i plaul taget la î şi fie i esoul omalei, oietat î sus acă otăm cu γ i ughiul fomat de esoul i cu axa Oz, atuci cosγ i, + p + q Fig f f ude pi ( xi, y ) x i şi qi ( xi, y ) i y Fie Ti poţiuea decupată di plaul taget π i de cilidul cu geeatoaele paalele cu Oz şi cuba diectoae Ci fotiea domeiului i eoaece γ i este ughiul dite plaul π i şi plaul xoy ezultă că aia i aia ( Ti)cosγ i sau aia + + q aia Ti pi i Pi defiiţie, aia aia A () i lim ρ aia ( T ) i esul exact fiid umătoul: Există A + astfel îcât ε >, există δ ε > astfel îcât, ρ :, K,, patiţie a lui, cu ρ < δε şi ( ) Mi( xi, yi) i, aem: i i

7 46 aia ( i ) A T < ε Ţiâd seama de () ezultă că aia ( Ti ) + pi + qi aiai Obseăm că suma di membul dept este suma Riema ataşată fucţiei + +, patiţiei ρ şi puctelo itemediae Mi( xi, yi) i g p q cotiuă pe, deci itegabilă, ezultă că: Cum g este aia lim σ ρ ( gm ; i ) g ( x, dx dy + p + q ( x, dx dy ρ Aşada, o supafaţă etedă explicită : z f ( x,, ( x,, ae aie şi xdy () aia + p + q x, y d Exemplul 6 ă se calculeze aia supafeţei, : z R x y Rezultă: z x p x R x y R + p + q R x y Cofom () aem R Aia dx dy R R + p + q π R R ρ πr { } x, y x, y ; x + y < R, R z y q y R x y π R ρ dρ R ρ i puct de edee geometic, {,, ; } x y R x y x + y R epezită emisfea supeioaă a sfeei cu cetul î oigii şi de ază R Aia îtegii sfee a fi 4π R efiiţia 6 Fie o supafaţă paametizată simplă şi etedă şi fie (, ) ( (, ), (, ), ) u xu y u z u,, u,, o epezetae paametică a sa Pesupuem că este u domeiu măgiit cae ae aie şi că x, y, z C { } Notăm cu ( (, ), (, ), (, )); (, ) x u y u z u u şi cu

8 CAP 6 INTEGRALE E UPRAFAŢĂ 47 {( (, ), (, ), (, )); (, ) } xu y u z u u eoaece supafaţa este simplă, ezultă că fucţia : este bijectiă Mulţimea Γ \ se umeşte bodua supafeţei acă otăm cu C fotiea domeiului, atuci Γ C xu,, y u,, z u, ; u, C {( ) } Coespodeţa dite C şi Γ, î geeal u este bijectiă upafaţa se umeşte îchisă dacă O supafaţă paametizată îchisă u ae boduă Exemplul 6 Fie supafaţa paametizată u, Rsiucos R, siusi R, cosu, ( u, ) (, π ) (, π ) Fig Ecuaţiile paametice sut: x Rsiucos y Rsi usi u (, π ) z Rcosu (, π ),,, R, π Aşada, imagiea oicăui Obseăm că, [ ] P(,, R) BF este puctul P (,, R) puct de pe segmetul AE, pi fucţia ectoială, este puctul mod aalog imagiea oicăui puct de pe segmetul Î Pe de altă pate, imagiea oicăui puct M AB U EF a fi u puct de coodoate x Rsiu, y, z Rcosu eoaece, u [, π ] x + y + z R şi x ezultă că imagiea fotieei dome- iului pi fucţia ectoială este meidiaul PQP de pe sfea cu cetul î oigie şi de ază R Aşada, este sfea cu cetul î oigie şi de ază R mai puţi meidiaul PQP

9 48 este sfea cu cetul î oigie şi de ază R Bodua supafeţei este Γ \ PQP efiiţia 6 Fie u domeiu măgiit cae ae aie şi fie, (, ) Pesupu că C : :, ( u, ) xu (, ), y( u, ), z( u, ) Pi defiiţie u şi este ijectiă Fie şi () aia aia EG F du d A + B + C du d Obseaţia 6 Fie o supafaţă etedă explicită: z f ( x, ( xy, ), f C Î acest caz A p, B q, C 6 ezultă că: aia p q dxdy + +, şi di efiiţia Aşada, î acest caz paticula, egăsim fomula () de calcul a aiei uei supafeţe Rezultă că efiiţia 6 este geealizaea, petu supafeţe paametizate, a oţiuii de aie a uei supafeţe explicite Obseaţia 6 Aia uei supafeţe paametizate u depide de paametizaea aleasă Ît-adeă, fie o supafaţă paametizată simplă şi etedă şi fie :, ( u, ) xu (, ), y( u, ), z( u, ), ( u, ), o epezetae paameti- zată a sa acă, : ( u, ) ( x ( u, ), y ( u, ), z ( u, )), ( u, ) este o altă epezetae paametică echialetă a lui, atuci există u difeomofism Φ:, Φ ( u, ) ( λ ( u, ),,( u, )), ( u, ) şi aem ( λµ, ) (, ) A + B + C ( A + B + C ) u obţiem acă î fomula () facem schimbaea de aiabile u λ ( u ), µ ( u ),, λµ, λµ, aia A + B + C dud A + B + C du d u, u, A B C dud + +

10 CAP 6 INTEGRALE E UPRAFAŢĂ 49 Exemplul 6 ă se calculeze aia supafeţei paametizate π π : x Rsi ucos, y Rsiusi, z Rcosu, ( x, ),, Aşa cum s-a aătat î exemplul 6, î acest caz 4 A + B + C EG F R si u, deci Aia R siudud R d siudu π π π R i puct de edee geometic supafaţa este poţiuea di pimul octat a sfeei, cu cetul î oigie şi de ază R Aia îtegii sfee a fi egală cu π R 8 4π R Exemplul 64 ă se calculeze aia toului Cosideăm î plaul xoy u cec de ază a cu cetul î puctul (b,) ude < a < b Toul este supafaţa T cae se obţie câd otim acest cec, ca u cop igid, î spaţiu î juul axei Oy acă θ este ughiul di figua şi ϕ este ughiul de otie al cecului î juul axei Oy, atuci ecuaţiile paametice ale toului sut: x ( b+ acosθ) cosϕ T : y asi θ ( θϕ, ) (,π) (,π) z ( b + acosθ) siϕ Rezultă: xθ asiθ cosϕ yθ acosθ zθ asiθ siϕ xϕ ( b+ acosθ ) siϕ y ϕ Fig ϕ ϕ ϕ θ G x + y + z b+ acos EG F a b + acosθ zϕ b+ acosθ cosϕ θ θ θ E x + y + z a ; F xθxϕ + yθyϕ + zθzϕ ; Aia T ab ( + acosθ ) dθdϕ a dϕ ( b+ acosθ) dθ 4 ab Aşada, aia toului este aia sfeei π π π 4π ab Î cazul paticula câd a b eobţiem

11 5 6 INTEGRALE E UPRAFAŢĂ E PRIMA PEŢĂ Fie o supafaţă paametizată simplă şi etedă şi fie x u,, y u,, z u,, u, o epezetae paametică a sa (u, ) Pesupuem că este u domeiu măgiit cae ae aie şi că x, y, z C ( ) Fie de asemeea, F o fucţie eală defiită pe şi fie ρ :,, K, o patiţie a lui Notăm cu ( i ) şi cu (,, ) i Pi xi yi z i u puct oaecae di i efiiţia 6 e umeşte itegala de supafaţă de pima speţă a fucţiei F x, y, z dσ umătoaea limită F pe supafaţa şi se otează cu i lim F Pi aia i, dacă această limită există şi e fiită ρ (esul exact al existeţei acestei limite fiid umătoul: există L Ρ astfel îcât ε >, δ ε > cu popietatea că oicae a fi patiţia ρ a lui cu ρ < δε şi oicae a fi puctele Pi i aem L F( Pi) aia i < ε Obseaţia 6 acă este o supafaţă mateială eomogeă, a căei desitate aiabilă este descisă de fucţia F: +, atuci F ( Pi) apoximează masa supafeţei, ia lim F ( Pi) aia i masa( ) ρ i aia Aşada, F x, y, z dσ epezită masa supafeţei mateiale a căei desitate aiabilă este dată de fucţia F: + Teoema 6 Fie o supafaţă paametizată simplă şi etedă şi fie xu, y y u, z z u, u, o epezetae paametică a sa x,,, Pesupuem că este u domeiu măgiit cae ae aie şi că x, yz, C dacă F: este cotiuă, atuci există itegala de supafaţă de pima speţă a fucţiei F pe supafaţa şi F( x, y, z) dσ emostaţie F x u,, y u,, z u, EG F u, dud () i

12 CAP 6 INTEGRALE E UPRAFAŢĂ 5 Fie ρ :,, K, o patiţie oaecae a domeiului O astfel de patiţie detemiă o patiţie a supafeţei (mai exact a supafeţei lui ) şi aume:,, K, ude ( i ) Fie P( x, y, z ) u puct oaecae di i ( i) şi fie π F ( P) i i i i i aia acă ţiem seama de modul de calcul al aiei uei i i supafeţe (efiiţia 6), ezultă că π F ( xi, yi, zi) EG F ( u, ) dud Pe de altă pate, di teoema de medie a itegalei duble, ezultă că există α, β astfel îcât i i i EG F ( u, ) dud EG F ( αi, βi) aia( i) i Fie, de asemeea ( ξη i, i) i cu popietatea că xi x( ξi, ηi), yi y( ξi, ηi) şi ( ξ η ) Cu aceste pecizăi ezultă că: zi z i, i F x(, ), y(, ), z(, ) EG F (, ) aia( i) π ξ η ξ η ξ η α β i i i i i i i i acă otăm cu G( u, ) F x ( u, ), y( u, ), z( u, ) EG F ( u, ), ( u, ), atuci suma Riema coespuzătoae patiţiei ρ, fucţiei G şi puctelo itemediae ( ξ, η ) este i i i ( G,, ) F x( i, i), y( i, i), z( i, i) EG F ( i, i) aia( i) σρ ξ η ξ η ξ η ξ η ξ η i eoaece G este cotiuă pe, deci itegabilă pe, ezultă că există lim σ G; ξ, η G u, dud () ρ Cum F este cotiuă pe pe Fie M > astfel îcât F( x, y, z) ρ şi este o mulţime compactă (fiid imagiea mulţimii compacte pi fucţia cotiuă ), ezultă că F este măgiită < M, ( x, yz, ) Î cotiuae aem: ρ i i i i i ( G;, ) M EG F (, ) EG F (, ) aia π σ ξ η α β ξ η Pe de altă pate, fucţia EG F fiid cotiuă pe mulţimea compactă, este uifom cotiuă, deci ε >, δ ε > cu popietatea că oicae a fi

13 5 puctele ( u, ) şi ( u, ) di astfel îcât u < δε, u < δε, ezultă că ε EG F ( u, ) EG F ( u, ) < () M aia acă pesupuem acum că β η diam( ) < δ, deci i i i ε ρ < δ, atuci diam( ) ε α ξ < δ, i i i ( G ;, ) M ε π σρ ξ η < aia( i) M aia ε (4) i () şi (4) ezultă că există ρ ρ ( G ) F x ( u) y( u) z( u) EG F ( u) u lim π lim σ ; ξ, η,,,,,, d d ρ Exemplul 6 ă se calculeze ( x+ y+ z)dσ ude ε : x y z a + +, z > upafaţa epezită emisfea supeioaă a sfeei cu cetul î oigie şi de ază a O epezetae paametică a acestei supafeţe este: x asiucos, y asiusi, z a cosu, π,,, π ) ( u) ( 4 (Vezi Exemplul 6) Ţiâd seama că EG F a si u, di Teoema 6 ezultă: ( x+ y+ z)dσ asiucos+ asiusi+ a cosu a siudud π π a du si ucos+ si usi+ siucosu d π π π π a si usi si ucos siu cosu d + u π si u π a π a Coolaul 6 Fie : z f ( x,, ( x, ude este u domeiu măgiit cae ae aie, ia f C este cotiuă, atuci: F( x, y, z) dσ + + o supafaţă etedă explicită, acă F: F xyf,, xy, p q xy, dxdy (5) Afimaţia ezultă di Teoema 6 şi di obseaţia că o epezetae, x, y paametică a supafeţei este: x x, y y, z f ( xy ),

14 CAP 6 INTEGRALE E UPRAFAŢĂ 5 di coul Exemplul 6 ă se calculeze ( xy + yz + zx)dσ, ude este poţiuea z x + y, decupată de cilidul Fig Fig x + y y Obseăm că poiecţia supafeţei î plaul xoy este domeiul : x + y y Aşada, +, ( x, : z x y z Î cotiuae aem p x x z y, q şi x + y y x + y + p + q i coolaul 6 ezultă că: I ( xy + yz + zx)dσ xy+ ( y+ x) x + y dxdy Tecâd la coodoate polae: x ρ cosθ, y ρ siθ, θ [, π ] ρ siθ, obţiem: π siθ I dθ ( ρ siθcosθ + ρ siθ + ρ cosθ) ρdρ 4 siθ π ρ ( siθ cosθ + siθ + cosθ) dθ 4 π 5 5 4, 4 si θ cosθ + si θ + si θcosθ dθ 4 si θ dθ ( θ) π 64 4 cos siθdθ 5 Obseaţia 6 acă supafaţa este etedă pe poţiui, adică este o euiue fiită de supafeţe simple etede, simplă şi etedă ρ i π U cu popietăţile: este i, ρ, două câte două u au pucte iteioae comue ii j ij i j ( dacă i j) şi petu oice i şi j Γ I este o cubă etedă pe poţiui (î cazul câd este eidă), atuci ρ F( x, y, z) d σ F( x, y, z) dσ aia aia i şi ρ 5 i

15 54 64 INTEGRALE E UPRAFAŢĂ E PEŢA A OUA Petu a defii itegala de supafaţă de speţa a doua, tebuie mai îtâi să defiim oietaea uei supafeţe, poblemă asemăătoae cu oietaea uei cube Fie o supafaţă paametizată etedă şi fie ( u, ) ( x( u, ), y( u, ), z( u, )), ( u, ) o epezetae paametică a sa Î sciee ectoială, u x u i y u j z u k (, ) (, ) + (, ) + (, ), ( u, ) eoaece supafaţa este etedă, ezultă că, petu oice ( u), Î u (, ), (, ), (, ) fiecae puct M, de coodoate M xu yu zu există doi esoi omali la supafaţa (otogoali pe plaul taget î puctul M la supafaţa ) şi aume ± M u ude M u efiiţia 64 upafaţa se umeşte oietabilă (sau cu două feţe) dacă aplicaţia M M : este cotiuă Este eidet că dacă aplicaţia M ( M): este cotiuă, atuci şi aplicaţia M ( M): este cotiuă acă o supafaţă este oietabilă, atuci oietaea sa (sau desemaea uei feţe a acestei supafeţe) eie la alegeea ueia di cele două aplicaţii cotiue M ± M Aşada, aem două oietăi posibile ale supafeţei (sau două feţe ale supafeţei ) şi aume: + (, ) cae coespude aplicaţiei cotiue M ( M): şi (, ) cae coespude aplicaţiei cotiue M ( M): esigu, otaţia petu faţa (, ) este abitaă Putem foate bie să otăm cu (, ) + + Impotat este faptul că, odată ales u aumit ses al omalei petu a desema o faţă a supafeţei, cealaltă faţă a coespude sesului opus al omalei O supafaţă eoietabilă se mai umeşte şi supafaţă cu o siguă faţă Obseaţia 64 Popietatea aplicaţiei M ( M): de a fi cotiuă, î cazul uei supafeţe oietabile, este o popietate globală şi se efeă la îteaga supafaţă Aceasta pesupue de pildă umătoaea popietate: fie M oaecae fixat şi fie C o cubă îchisă pe supafaţa cae tece pi M şi cae u îtâleşte bodua supafeţei ă pesupuem că am ales u ses pe omala î M la şi aume sesul esoului ( M ) eplasâd esoul M pe cuba C, plecâd di M, eeim î puctul M cu aceeaşi oietae a omalei, adică

16 CAP 6 INTEGRALE E UPRAFAŢĂ 55 Exemple lim M M M M M C Oice supafaţă etedă explicită, z f ( x,, (, ) x y ae două feţe şi aume: faţa supeioaă, cae coespude omalei oietată î sus (cae face u ughi ascuţit cu diecţia pozitiă a axei Oz) şi faţa ifeioaă cae coespude omalei oietată î jos Fig fea x + y + z R ae două feţe şi aume: faţa exteioaă cae coespude omalei oietată spe exteio şi faţa iteioaă cae coespude omalei oietată spe iteio Ît-adeă, petu oice puct M ( xyz,, ) de pe sfeă, esoul omalei uuuu exteioae î puctul M al sfeei este: M OM R Este uşo de aătat că aplicaţia M ( M): este cotiuă pe {(,, ) } x y z x + y + z R (, ) u x u i + y u j + Fie o supafaţă paametizată etedă şi fie (, ) (, ) (, ) ) + zuk, ( u, o epezetae paametică a sa Pesupuem î plus că : este homeomofism, adică este bijectiă şi bicotiuă ( şi sut cotiue) Atuci () este o supafaţă oietabilă u Ît-adeă, aplicaţia M ( M):, ude M este cotiuă pe, petu că este compueea fucţiilo cotiue : şi ( u), u : u u

17 56 4 U exemplu clasic de supafaţă cu o siguă faţă (eoietabilă) este aşaumita bada lui Möbius U model al acestei supafeţe se obţie dacă ăsucim o bucată de hâtie deptughiulaă ABC astfel îcât puctul A să coicidă cu C, ia puctul B cu Fig Este uşo de obseat că dacă deplasăm esoul omalei la supafaţă plecâd di E, pe cuba îchisă de pe supafaţă coespuzătoae liiei mediae EF, câd eeim î E, oietaea esoului omalei a fi opusă oietăii iiţiale a acestuia Aşada, u este asiguată cotiuitatea globală a aplicaţiei M ( M):, deci supafaţa u este oietabilă efiiţia 64 Fie o supafaţă paametizată simplă, etedă, oietabilă u, x u, i+ y u, j+ z u, k şi fie, ( u, ) o epezetae paametică a sa Pesupuem că este u domeiu măgiit cae ae aie şi că x, yz, C ( ) Fie de asemeea : Ω o fucţie ectoială cotiuă defiită pi ( xyz,, ) P( xyzi,, ) + Q( xyz,, ) j+ R( xyzk,, ), ( xyz Ω,, ), ude Ω este u domeiu ce coţie supafaţa acă otăm cu, ude u u +, atuci itegala de supafaţă de speţa a doua a fucţiei pe faţa + a supafeţei, se defieşte astfel: Pdy dz + Qdz dx + Rdx dy dσ + P xyz,, cos α + Q xyz,, cos β + R xyz,, cosγ dσ ude α, βγ, sut ughiuile pe cae le face esoul al omalei la supafaţă cu diecţiile pozitie ale axelo de coodoate Aşada: ( x, y, z) cos α ( x, y, z) i + + cos β( x, yz, ) j+ cos γ ( xyzk,, ), ( x, yz, ) acă (, ) este cealaltă faţă a supafeţei, atuci: Pdydz + Qdzdx + Rdxdy ( )dσ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy + ()

18 CAP 6 INTEGRALE E UPRAFAŢĂ 57 Obseaţia 64 i puct de edee fizic, itegala de supafaţă de speţa a doua epezită fluxul câmpului de ectoi pi faţa + (especti ) a supafeţei Mai pecis, să pesupuem că epezită câmpul itezelo paticulelo uui fluid î cugee staţioaă, adică oicae a fi M Ω, (M) coicide cu iteza paticulei de fluid cae tece pi M, iteză cae depide de puctul M, da u depide de timp Atuci dσ epezită olumul fluidului cae tece î uita- + tea de timp pi supafaţa î diecţia esoului, ce defieşte faţa feţei acă otăm cu (, ) (, ) yz A, u (, ) (, ) zx B şi u (, ) (, ) + a supa- xy C, atuci A, B, C u A sut paametii diectoi ai omalei la supafaţă şi cosα, ± A + B + C B C cosβ, cosγ Alegeea semului "+" sau " " ± A + B + C ± A + B + C î faţa adietului se face î fucţie de oietaea omalei la supafaţă Ţiâd seama de modul de calcul al itegalei de supafaţă de pima speţă ezultă: + { (, ), (, ), (, ) (, ) Pdy dz + Qdz dx + Rdx dy ± P x u y u z u A u + } + Q x u,, y u,, z u, B u, + R x u,, y u,, z u, C u, dud Exemplul 64 ă se calculeze faţa exteioaă a sfeei x Rsiucos y Rsiusi z Rcosu A R si ucos, 4 + () xdydz + ydzdx + zdxdy, ude + este x + y + z + R Ecuaţiile paametice ale sfeei sut: [ π ] [ π ] u,,, B R si usi, C R si ucosu şi A + B + C R si u cosα ± siucos, cosβ ± siusi, cosγ ± cosu () Obseăm că petu omala oietată spe exteio tebuie să alegem π semul "+" î fomulele () Ît-adeă, dacă u, puctul coespuzăto M de pe sfeă se află pe emisfea supeioaă şi omala exteioaă a face u ughi ascuţit cu axa Oz (cosγ cosu > )

19 58 π acă u, π, puctul coespuzăto M de pe sfeă se află pe emisfea ifeioaă şi omala oietată spe exteio a face u ughi optuz cu axa Oz (cosγ cosu < ) i fomula de calcul () ezultă: xdy dz + ydzdx + zdxdy + π π d R si ucos + R si usi + R siucos u du π π si 4π R udu R Î cazul uei supafeţe etede explicită z f ( x,, (, ) f f B q, C, ude p şi q x y p q cosα, cosβ ± + p + q ± + p + q x y, aem A p,, cosγ ± + p + q acă + este faţa supeioaă a supafeţei, coespuzătoae omalei oie- tate î sus, atuci cosγ > şi om alege semul "+" î faţa adicalului Petu faţa ifeioaă, cosγ < şi alegem semul " " î faţa adicalului q x cosα y + y x Exemplul 64 ă se calculeze y z dydz + z x dzdx + x y dxdy, ude este faţa ifeioaă a coului x + y z : z h Aşada aem: +, ( x, : z x y {(, ) }, ude x y x + y h, p x x, + p + q eoaece cosγ <, ezultă că x + y şi cosβ x y + y ( y z) dydz + ( z x) dzdx + ( x dxdy + y, cosγ,

20 CAP 6 INTEGRALE E UPRAFAŢĂ 59 x y + + dσ x y x y + + x y x y ( y x + y ) + ( x + y x) + dx dy x + y x + y ( y z) ( z x) ( x ( y x) dxdy ( θ θ)dθ si cos h 65 FORMULE INTEGRALE O pimă fomulă itegală a fost deja pezetată î Capitolul 5, 57 şi aume fomula lui Gee, cae stabileşte legătua îte itegala dublă pe u domeiu şi itegala cubiliie de speţa a doua pe fotiea acestui domeiu Î cele ce umează pezetăm alte două fomule: fomula Gauss-Ostogadski, cae stabileşte legătua îte itegala tiplă şi itegala de supafaţă şi fomula tokes cae stabileşte legătua îte itegala cubiliie şi itegala de supafaţă Teoema 65 (Gauss-Ostogadski) Fie T u domeiu simplu î apot cu cele tei axe de coodoate şi P Q R fie P, Q, R tei fucţii eale cotiue, împeuă cu deiatele lo,, pe x y z T Pesupuem de asemeea că T \ T (fotiea lui T) este o supafaţă etedă pe poţiui Atuci: P Q R + + dxdydz P ( x, y, z ) dydz + Q ( x, y, z ) dzdx + R ( x, y, z ) dxdy x y z, T e ude cu e am otat faţa exteioaă a supafeţei emostaţie eoaece domeiul T ezultă că există u domeiu măgiit ϕ x, y ψ x, coţie pe popietatea că < ( y ), (,, ) ; ϕ(, ) ψ(, ), (, ) fucţiei { } T x y z x y < z< x y x y Notăm cu gaficul fucţiei z ϕ ( x, ψ ( y ), ( x, z x, este simplu î apot cu axa Oz,, cae ae aie şi două fucţii eale, x, y astfel îcât, ( x, toaele paalele cu axa Oz Obseăm că supafaţa, cu gaficul şi cu supafaţa cilidică lateală, cu geea- UU este fotiea domeiului T Ipoteza că este etedă pe poţiui îseamă că, C ϕψ

21 6 Mai depate aem: Fig Faţa exteioaă a supafeţei îseamă faţa coespuzătoae omalei oietate spe exteio Aceasta îseamă petu supafaţa, faţa ifeioaă, ia petu supafaţa, faţa supeioaă Aşada U U e + e eoaece petu faţa ifeioaă a supafeţei, ughiul γ fomat de omala oietată î jos, cu axa Oz, este optuz, ezultă că cosγ <, deci cosγ ϕ ϕ + + x y R( x, y, z) dxdy R( x, y, z) dσ ( ) ϕ ϕ + + x y ϕ ϕ R( xy,, ϕ ( xy, )) + dxdy x + y ϕ ϕ + + x y R x, y, ϕ ( x, dxdy () Î mod aalog, petu faţa supeioaă a supafeţei, cosγ > + (,, ) R xyzdxdy ( ), deci ψ ψ R xy,, ψ ( xy, ) + dxdy x + y ψ ψ + + x y R x, y, ψ ( x, dxdy () Petu faţa exteioaă a supafeţei cilidice lateale, cosγ, deoaece π ughiul γ Rezultă că:

22 CAP 6 INTEGRALE E UPRAFAŢĂ 6 R( x, y, z) dxdy R( x, y, z) cosγ dσ () ( ) e Aşada aem: R( xyzdxdy,, ) Rxyzdxdy (,, ) + Rxyzdxdy (,, ) + Rxyzdxdy (,, ) e + e R x, y, ψ ( x, dxdy,, ϕ (, ) R x y x y dxdy (4) Pe de altă pate, di modul de calcul al itegalei tiple ezultă: ψ ( xy, ) R dxdydz z ψ xy, R dz dx dy R x, y, z dx dy ϕ( xy, ) z T ϕ( xy, ) R x, y, ψ ( x, dx dy R x, y, ϕ( x, dx dy (5) i (4) şi (5) deducem: R dxdydz R( xyzdxdy,, ) z (6) T e Î mod aalog, folosid faptul că domeiul T este simplu şi î apot cu axele Oy şi Ox deducem: Q dxdydz Q( x, y, z) dzdx y (7) T T e P dxdydz P x, y, z dxdy x (8) e Î sfâşit, aduâd elaţiile (6), (7) şi (8) obţiem fomula Gauss- Ostogadski: P Q R + + dxdydz x y z P ( x, y, z ) dydz + Q ( x, y, z ) dzdx + R ( x, y, z ) dxdy (9) T e Obseaţia 65 Pite exemplele de domeii simple î apot cu cele axe de coodoate amitim: sfea, elipsoidul, paalelipipedul deptughic cu muchiile paalele cu axele etc Făă a ita î detalii, meţioăm că fomula Gauss- Ostogadski ămâe alabilă şi petu domeii cae sut euiui fiite de domeii simple î apot cu cele axe de coodoate, două câte două, dite acestea aâd î comu cel mult supafeţe etede pe poţiui ciid fomula Gauss-Ostogadski petu fiecae di domeiile simple T i, cae alcătuiesc domeiul T, aduâd aceste fomule şi folosid popietatea de aditiitate a itegalei tiple şi a itegalei de supafaţă, se obţie fomula Gauss-Ostogadski petu domeiul T Acest lucu se explică pi faptul că itegala de supafaţă, pe o supafaţă de itesecţie a două domeii simple ecie, apae î suma di membul

23 6 dept de două oi, o dată pe faţa supeioaă şi o dată pe faţa ifeioaă, deci cotibuţia ei î membul dept este ulă Î felul acesta, î membul dept ămâe umai itegala pe faţa exteioaă a domeiului T Obseaţia 65 Ţiâd seama de legătua dite itegala de supafaţă de speţa a doua şi de itegala de supafaţă de speţa îtâi, fomula Gauss-Ostogadski se mai scie: P Q R + + dxdydz x y z ( Pcos Qcos Rcos ) d T α + β + γ σ () ude α, βγ, sut ughiuile pe cae le face omala exteioaă la supafaţa cu Ox, Oy şi Oz acă otăm cu V câmpul ectoial de compoete P, Q, R, atuci V Pi + Qj + Rk P Q R şi div + + Fie de asemeea, x y z cosα i + cosβ j + cosγ k esoul omalei exteioae la supafaţa Cu aceste pecizăi, fomula Gauss-Ostogadski deie: divdxdydz V dσ () T ub această fomă, fomula Gauss-Ostogadski se mai umeşte şi fomula flux-diegeţă Exemplul 65 Folosid fomula Gauss-Ostogadski să se calculeze x dydz + y dzdx + z dxdy, ude e este faţa exteioaă a cubului e {(,, ) ;,, } Notâd cu P( xyz,, ) x (,, ) y şi R( xyz,, ) z x dy dz + y dzdx + z dxdy ( x + y + z) dxdydz T x y z x a y a z a Q x y z e dx dy x + y + z dz a a a a a a dx ax ay dy + +,, di fomula Gauss-Ostogadski deducem: T dx xz + yz + dy a a z a a a y a axy + a + y dx a a a x 4 ax+ + dx a + ax a a

24 CAP 6 INTEGRALE E UPRAFAŢĂ 6 Teoema 65 (tokes) Fie o supafaţă etedă explicită: z f ( x,, (, ) x y, ude este u domeiu măgiit a căui fotieă γ este o cubă etedă Pesupuem că f C şi P, Q, R sut tei fucţii de clasă C pe u domeiu Ω cae iclude supafaţa acă otăm cu \ (,, (, ));(, ) { } Γ x y f x y x y γ bodu- a supafeţei, atuci aem: R Q P R Q P Pdx + Qdy + Rdz dydz + dzdx + dxdy y z z x x y Γ + (Îte sesul de pacugee al cubei Γ şi faţa supafeţei pe cae se face itegala di membul dept, există umătoaea legătuă de compatibilitate *) : dacă cuba Γ este pacusă î ses tigoometic (especti sesul acelo uui ceasoic), atuci itegala di membul dept se face pe faţa supeioaă (especti ifeioaă) a supafeţei ) emostaţie Fie x ϕ(), t y ψ(), t t [ a, b] Fig o epezetae paametică a cubei γ Atuci x ϕ( t), y ψ ( t), [ ϕ(), ψ() ], t [ a, ] z f t t b este o epezetae paametică a cubei Γ-bodua supafeţei Ţiâd seama de modul de calcul al itegalei duble de speţa a doua aem: Γ P( x, y, z) dx a p ϕ (), t ψ (), t f ( ϕ (), t ψ () t ) ϕ ()d t t dx () P x, y, f ( x, γ Î cotiuae, di fomula lui Gee ezultă: P P f P x, y, f ( x, dx + dxdy y z y () γ acă otăm f p şi cu x f q, mai depate aem: y *) Î ipoteza că sistemul de coodoate este ectagula dept

25 64 şi şi P P dxdy + p + q dxdy y y + p + q P cosγ dσ y + P dxdy y P f P q dxdy + p + q dxdy z y y + p + q P cosβdσ z + P dzdx z i (), () şi (5) deducem: P P P( x, y, z) dx dzdx dxdy z y Γ + + (4) (5) (6) Î mod aalog se aată că: Q Q( x, y, z) dy dxdy x Γ Γ R( xyzdz,, ) + + Q dydz z (7) R dydz y + + R dzdx x (8) Aduâd elaţiile (6), (7) şi (8) obţiem fomula lui tokes di euţul teoemei Obseaţia 65 Fomula lui tokes ămâe alabilă şi petu supafeţe cae sut euiui fiite de supafeţe explicite de tipul celei di Teoema 64, două dite acestea aâd î comu ace de cubă cae sut poţiui di boduile oietate ale acesto supafeţe Ît-adeă, sciid fomula lui tokes petu fiecae di supafeţele i şi aduâd fomulele obţiute, ezultă fomula lui tokes petu Fig supafaţa Ui p Explicaţia costă î faptul că itegala cubiliie pe o cubă de itesecţie a două supafeţe ecie iteie î suma di membul stâg de două oi, cu oietăi difeite, deci cotibuţia sa î această sumă este ulă Î felul acesta î membul stâg apae umai itegala cubiliie pe bodua

26 CAP 6 INTEGRALE E UPRAFAŢĂ 65 supafeţei Pe de altă pate este eidet că p ( i) Obseaţia 654 Ţiâd seama de legătua îte itegala de supafaţă de speţa a doua şi itegala de supafaţă de speţa îtâi, fomula lui tokes se mai scie: Pdx+ Qdy+ Rdz Γ R Q P R Q P cosα + cosβ + cosγ d y z z x x y σ acă otăm cu V câmpul ectoial de compoete P, Q, R, atuci V Pi + Qj R Q P R Q P + Rk şi otv i j + + y z z x k x y Fie de asemeea cosα i + cosβ j+ cosγ k esoul omalei la supafaţa oietată î sus şi fie d dxi + dyj+ dzk Cu aceste pecizăi, fomula lui tokes deie: Vd otv dσ Γ Itegala di membul stâg epezită ciculaţia câmpului V de-a lugul cugei Γ, ia itegala di membul dept epezită fluxul câmpului otv pi supafaţa î sesul omalei oietate î sus Exemplul 65 Folosid fomula lui tokes să se calculeze z y dx + x z dy + y x dz, ude Fig 4 ABC A, B, C sut puctele de Aa,,, coodoate (,,), (,, ) B b C c, a>, b>, c> Plaul detemiat de puctele A, B şi C ae x y z ecuaţia + + a b c Obseăm că tiughiul ABC este bodua supafeţei : z c x y a b x, y,, ude este tiughiul (pli) OAB Notâd cu P z y, Q x z şi R y x, di fomula lui tokes ezultă:

27 66 ( z dx + ( x z) dy + ( y x) dz cos ( α + cosβ + cosγ) dσ, ude,, ABC cosβ Fig 5 ca ab + bc + ca α βγ sut ughiuile pe cae le face omala la supafaţa, oietată î sus, cu axele Ox, Oy şi Oz Cum γ este ascuţit, ezultă cosγ > Pe z c c de altă pate aem p, q şi x a b ab + bc + ca + p + q ab Rezultă că: cosγ ab ab + bc + ca, cosα bc ab + bc + ca, Cu aceste pecizăi, ezultă: ( z dx + ( x z) dy + ( y x) dz ABC bc + ca + ab dxdy bc + ca ab ab +