Η Ι ΙΑΙΤΕΡΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΣΤΟΝ ΑΡΧΑΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η Ι ΙΑΙΤΕΡΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΣΤΟΝ ΑΡΧΑΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ"

Transcript

1 Η Ι ΙΑΙΤΕΡΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΣΚΕΨΗΣ ΣΤΟΝ ΑΡΧΑΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ Ν. Καστάνη Σ όλο, σχεδόν, τον κόσµο, η ανάπτυξη της αρχαίας ελληνικής σκέψης αποτελεί ένα αξιοθαύµαστο γεγονός. Κάποιοι, µάλιστα, µιλούν για ελληνικό θαύµα. Κατ επέκταση, µέσα σ αυτό το πνεύµα, αναφέρεται και το ελληνικό θαύµα στα Μαθηµατικά. Ίσως αυτή η στάση να εκφράζει µια υπερβολική έκπληξη και έναν διογκωµένο ενθουσιασµό. εν προέρχεται, όµως, από µια µυθοπλασία, από ένα πλασµατικό κατασκεύασµα, γιατί απηχεί µια αξιοσηµείωτη ιστορική πραγµατικότητα: την πολιτισµική αναµόρφωση του Αρχαίου Κόσµου, η οποία αποτέλεσε τη µήτρα της σύγχρονης κουλτούρας. Και είναι αλήθεια ότι η πολιτισµική αυτή αναµόρφωση ήταν και είναι το επίκεντρο του ιστορικού ενδιαφέροντος κι ο απώτερος σκοπός µιας πληθώρας µελετών και αναλύσεων του αρχαίου ελληνικού τρόπου σκέψης και συµπεριφοράς. Πρόκειται για µια οπτική γωνία που είναι στενά συνυφασµένη µε τη διαχρονική και ευρύτατα διαδεδοµένη πεποίθηση ότι Η ευρωπαϊκή σκέψη αρχίζει µε τους αρχαίους Έλληνες. 1 Αυτή η στάση είναι, όπως φαίνεται, αρκετά ισχυρή, γιατί εµπνέει, ενεργοποιεί και νοµιµοποιεί τους µελετητές της αρχαίας ελληνικής δηµιουργίας. Αποτελεί ταυτόχρονα και το πλαίσιο διαµόρφωσης του θαυµασµού για την πνευµατική και πολιτισµική ανέλιξη των αρχαίων Ελλήνων. Μέσα σ αυτό το υψηλό επίπεδο ενδιαφέροντος και ιστοριογραφικής δυναµικής η ανάπτυξη των αρχαίων ελληνικών Μαθηµατικών κατέχει µια κεντρική θέση. Κι όχι τυχαία, γιατί το συγκεκριµένο είδος επιστηµονικής σκέψης άφησε ανεξίτηλα τα ίχνη του από την Αρχαιότητα µέχρι σήµερα. Στην προκειµένη περίπτωση αξίζει να αναφερθεί η πολύ χαρακτηριστική ρήση του διαπρεπή άγγλου ιστορικού των Μαθηµατικών Sir Thomas L. Heath ( ), όσον αφορά τα Στοιχεία του Ευκλείδη, η αντιπροσωπευτικότερη πραγµατεία των αρχαίων ελληνικών Μαθηµατικών: Κανένα ίσως έργο, εκτός από τη Βίβλο, δεν έχει τέτοια διάδοση. 2 Μια επισήµανση που δεν έχασε την αξία της µέχρι τώρα, στην αρχή, δηλαδή, της 3 ης χιλιετίας µ. Χ. Κι αυτό γιατί το διεθνές ενδιαφέρον για το συγκεκριµένο έργο του Ευκλείδη διατηρείται αµείωτο, όπως καταδεικνύει η ανανεωµένη επανέκδοσή του στα γαλλικά, τη δεκαετία του 1990, η βελτιωµένη επανέκδοσή του στα κινεζικά το 1990 και η πρώτη µετάφρασή του στα µογγολικά το Το κείµενο αυτό αποτελεί µέρος της εισήγησης Η Ιστορία των Μαθηµατικών ως Συνιστώσα του Μεταγνωστικού Υπόβαθρου των ασκάλων του Σχετικού Μαθήµατος στο ιήµερο ιαλόγου για τη ιδασκαλία των Μαθηµατικών µε θέµα: Η Ιστορία των Μαθηµατικών ως Μέσο ιδασκαλίας των Μαθηµατικών στο ηµοτικό Σχολείο και το Γυµνάσιο, που έγινε στις 8 και 9 Μαρτίου 2002 στο Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης του Α.Π.Θ. 1 Βλ. Snell, B.: Η Ανακάλυψη του Πνεύµατος. Ελληνικές Ρίζες της Ευρωπαϊκής Σκέψης, Μορφωτικό Ίδρυµα Εθνικής Τράπεζας, 1984, σελ Βλ. Καστάνη, Ν. / Τοκµακίδη, Τ.: Η ιστορική κληρονοµιά των Στοιχείων του Ευκλείδη στην Ανθρωπότητα, στο βιβλίο: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΑ ΟΚΙΜΙΑ, επιµέλεια. Αναπολιτάνου και Β. Καρασµάνη, εκδόσεις Τροχαλία, Αθήνα, 1993, σελ , ειδ. σελ. 67.

2 2 Χωρίς αµφιβολία πρόκειται για µια απήχηση του Ευκλείδη σ όλα τα γεωγραφικά µήκη και πλάτη του κόσµου και σ όλες τις εποχές. Γεγονός που αναδεικνύει όχι µόνο τη δική του διαχρονικότητα και διαπολιτισµικότητα, αλλά και τη σπουδαιότητα όλης της µαθηµατικής κληρονοµιάς του αρχαίου ελληνικού πολιτισµού. Κι αυτό γιατί η επιστηµονική και ιστορική αξία του έργου του δεν είναι ανεξάρτητη από την ωριµότητα και τη δυναµική του διανοητικού περιβάλλοντος απ όπου προήλθε. Με άλλα λόγια, το έργο του Ευκλείδη δεν ήταν, ούτε µπορούσε να είναι αποκοµµένο από την ανάπτυξη της µαθηµατικής σκέψης των αρχαίων Ελλήνων της προ-αλεξανδρινής περιόδου. Θα µπορούσε, µάλιστα, να θεωρηθεί ως η πρώτη αποκορύφωση αυτής της πνευµατικής ανέλιξης. Είναι αλήθεια ότι οι σκέψεις αυτές διαπερνούν τον επιφανειακό θαυµασµό και φθάνουν σ έναν βαθύτερο προβληµατισµό, στο ζήτηµα της συνεκτικότητας των εξατοµικευµένων µαθηµατικών γνώσεων του Αρχαίου Ελληνικού Πολιτισµού. Ανακύπτει, δηλαδή, το ερώτηµα της διαµόρφωσης, τότε, ενός νέου είδους µαθηµατικής σκέψης που διακρίνεται από τα αντίστοιχα είδη των προ-ελληνικών πολιτισµών της Μεσοποταµίας και της Αιγύπτου. Ο προβληµατισµός αυτός µπορεί να τεθεί ως εξής: Τι χαρακτηρίζει τα αρχαία ελληνικά Μαθηµατικά; Ποια είναι η ιδιαιτερότητα της µαθηµατικής σκέψης του αρχαίου ελληνικού πολιτισµού; ίνεται έτσι µια οπτική γωνία για την κατανόηση του χαρακτήρα της µαθηµατικής γνώσης στην Αρχαία Ελλάδα και για την πολιτισµική δικαιολόγησή του. Αυτό σηµαίνει ότι διεγείρεται ένας µεταγνωστικός προβληµατισµός για το επιστηµολογικό και πολιτισµικό παρασκήνιο της ιδιοµορφίας της µαθηµατικής νοοτροπίας και δραστηριότητας των αρχαίων Ελλήνων. Με άλλα λόγια, ανοίγεται ένας δρόµος για τη διείσδυση στο υπόβαθρο της µαθηµατικής σκέψης και συµπεριφοράς του αρχαίου ελληνικού πολιτισµού, µε προσανατολισµό τα γνωστικά και συλλογικά χαρακτηριστικά κι όχι διαµέσου ενός προπετάσµατος από τεχνοκρατικά επιτεύγµατα και ατοµοκεντρική σπουδαιολογία. Μια από τις πρώτες ενδείξεις του νέου τρόπου σκέψης την περίοδο της αρχαίας ελληνικής Αναγέννησης, του 6 ου π.χ. αιώνα, είναι η µέτρηση του ύψους της πυραµίδας. Σύµφωνα µε τον Πλούταρχο (περ µ.χ.) και τον ιογένη Λαέρτιο (3 ος αιώνας µ.χ.) ο Θαλής ο Μιλήσιος (περ π.χ.) µέτρησε το ύψος της πυραµίδας συσχετίζοντας τη σκιά της µε τη σκιά µιας ράβδου. 3 Όπως υποδεικνύουν όλες οι ιστορικές ανακατασκευές για το σκοπό αυτό ο µιλήσιος σοφός µέτρησε τη σκιά της πυραµίδας, όταν η σκιά της ράβδου είναι ίση µε το ύψος της, οπότε το µήκος της σκιάς της πυραµίδας θα ήταν όσο και το ύψος της. Από τη µεθόδευση 3 Βλ. Τέζα, Χ.Α.: Ο Θαλής ο Μιλήσιος και οι Αρχές των Επιστηµών. Η Οδός προς τη Φιλοσοφία, Πανεπιστήµιο Ιωαννίνων, Επιστηµονική Επετηρίδα της Φιλοσοφικής Σχολής, Παράρτηµα αρ. 44, 1990, σελ

3 3 αυτή διαπιστώνεται, χωρίς δυσκολία, ότι το θεωρητικό της υπόβαθρο στηρίζονταν σ έναν έµµεσο τρόπο σκέψης. εν αντιµετωπίσθηκε δηλαδή, ούτε µπορούσε να αντιµετωπισθεί, η µέτρηση αυτή µ έναν άµεσο τρόπο, λόγου χάρη µε την απ ευθείας µέτρηση του συγκεκριµένου ύψους µ ένα σχοινί που διαπερνάει κατακόρυφα την πυραµίδα από την κορυφή µέχρι τη βάση της. Παρατηρείται λοιπόν ένας ιδιότυπος τρόπος σκέψης και πρωτότυπος, εφ όσον δεν έχει σηµατοδοτηθεί κάτι παρόµοιο στην ιστορία των Μαθηµατικών πριν τον Θαλή. Θα πρέπει να σηµειωθεί εδώ ότι το περιστατικό αυτό του έµµεσου τρόπου σκέψης δεν είναι το µοναδικό που αποδίδεται στον Θαλή. Σύµφωνα µε την δοξογραφική παράδοση, ένα δεύτερο µεθοδολογικά όµοιο πρόβληµα που έλυσε ο µιλήσιος σοφός ήταν η µέτρηση της απόστασης ενός πλοίου από το λιµάνι. 4 Στην περίπτωση αυτή µια υποθετική ανακατασκευή της συγκεκριµένης λύσης είναι η εξής: χαράσσεται η κάθετη ευθεία ΛΜΑ στη νοητή γραµµή ΛΜ (Λιµάνι-Πλοίο), έτσι ώστε ΛΜ=ΜΑ, στη συνέχεια προσδιορίζεται το σηµείο Π πάνω στην κάθετη ευθεία της ΛΜΑ στο Α και µε την ιδιότητα να φαίνεται απ αυτό το Π µέσω του Μ (µ άλλα λόγια το Π να είναι στην ίδια ευθεία µε το Π και το Μ). 5 Το ερώτηµα που δηµιουργείται, τώρα, είναι: υπάρχουν άλλες ιστορικές µαρτυρίες, ενδείξεις ή εκφάνσεις που να πιστοποιούν τον έµµεσο τρόπο σκέψης στον αρχαίο ελληνικό πολιτισµό και να είναι ιστοριογραφικά ισχυρότερες απ αυτές που αποδίδονται στον Θαλή; Η πιο πειστική περίπτωση είναι η µέτρηση της ακτίνας της γης από τον Ερατοσθένη τον Κυρηναίο, τον 3 ο αιώνα π.χ. Πρόκειται για ένα επίτευγµα που ήταν αδύνατον να προκύψει µε άµεσο τρόπο. Προήλθε µ έναν έµµεσο συλλογισµό. Συγκεκριµένα συνδυάστηκε η µέτρηση της γωνίας που σχηµατίζει η κατακόρυφος µε τις προσπίπτουσες ακτίνες του ηλίου (πιθανότατα µε τη βοήθεια του λόγου µιας ράβδου προς τη σκιά της) στην Αλεξάνδρεια, τη στιγµή που οι ακτίνες του ήλιου έπεφταν κατακόρυφα στη Συήνη (σηµερινό Ασσουάν), τη µέτρηση της Απόστασης Αλεξάνδρειας- Συήνης και την αξιοποίηση των µαθηµατικών ιδιοτήτων για τις εντός εναλλάξ γωνίες και των ισοσκελών τριγώνων. 6 Μια επίσης χαρακτηριστική περίπτωση έµµεσου τρόπου σκέψης είναι η συνειδητοποίηση του σφαιρικού σχήµατος της γης. Πρόκειται για µια γνωστική εξέλιξη που πραγµατοποιήθηκε, όπως φαίνεται, µε την αξιοποίηση κάποιων παρατηρησιακών ενδείξεων, όπως π.χ. η σταδιακή απώλεια οπτικής επαφής ενός πλοίου όταν αποµακρύνεται από το λιµάνι, όπου χάνεται πρώτα το σκάφος και µετά το κατάρτι, ή το εσωτερικό τόξο της σελήνης στις διάφορες 4 Βλ. στο ίδιο σελ Βλ. Τσιµπουράκη,.: Η Γεωµετρία και οι Εργάτες της στην Αρχαία Ελλάδα, Αθήνα, 1985, σελ Βλ. Cohen, M.R. and Drabkin, I.E.: A Source Book in Greek Science, Harvard Univ. Press, , σελ , Couder, P.: Η Ιστορία της Αστρονοµίας, εκδ. Ι. Ν. Ζαχαρόπουλος, 1964, σελ , Τσιµπουράκη,., πρ. υπ. 40, σελ. 95.

4 4 φάσεις της, ή ακόµη η αλλαγή των αστερισµών µε τη µετατόπιση σε διαφορετικά γεωγραφικά µήκη. Τα πρώτα ίχνη της ιδέας αυτής σηµατοδοτούνται στην προ-πλατωνική περίοδο και καθιερώθηκε την εποχή του Πλάτωνα. 7 ιαφαίνεται λοιπόν ότι ο έµµεσος τρόπος σκέψης διαποτίζει το επιστηµολογικό υπόβαθρο του αρχαίου ελληνικού πολιτισµού. ύσκολα, όµως, έως αδύνατο µπορεί να αποδοθεί κάτι ανάλογο στους προ-ελληνικούς πολιτισµούς. Περιπτώσεις όπως αυτές που αναφέρθηκαν ήταν µάλλον ασύµβατες µε τους πρώτους µεγάλους πολιτισµούς που δηµιουργήθηκαν στη Μεσοποταµία και στην Αίγυπτο, οι οποίοι χαρακτηρίζονται κύρια από έναν εµπειρισµό και µια αµεσότητα. Έτσι δηµιουργείται το ερώτηµα: Τι µεσολάβησε και άνοιξε ο πνευµατικός εκείνος ορίζοντας που εξέθρεψε τον έµµεσο τρόπο σκέψης; Για το σκοπό αυτό θα πρέπει να επισηµανθούν οι αλλαγές στην αρχαία ελληνικά κουλτούρα και συµπεριφορά, που αναµόρφωσαν τη θεωρητική υποδοµή του περιεχοµένου και των διαδικασιών σκέψης. Τρεις σηµαντικότατες πολιτισµικές καινοτοµίες άλλαξαν τη νοοτροπία και την πνευµατική στάση των αρχαίων Ελλήνων και πρώτα αυτών που ζούσαν στο Ανατολικό Αιγαίο, από τον 6 ο π.χ. αιώνα περίπου. Συγκεκριµένα εµφανίστηκε και εδραιώθηκε ένα νέο είδος διακυβέρνησης και εξουσίας, ένας νέος τρόπος εµπορικών συναλλαγών και ένα νέο µέσο επικοινωνίας. 8 Μ άλλα λόγια πρόβαλαν, γύρω στον 6 ο αιώνα π.χ., τρεις νέες θεσµικές και νοητικές καταστάσεις: η δηµοκρατία, το νόµισµα και το αλφάβητο. Αξίζει να αναλυθούν, λίγο, αυτές οι νέες συνιστώσες του αρχαίου ελληνικού πολιτισµού. Είναι κοινή αλήθεια ότι ένα από τα κύρια στοιχεία που χαρακτηρίζουν την αρχαία ελληνική κοινωνία, την προ-αλεξανδρινή περίοδο, αποτελεί η δηµοκρατία σε µια σειρά από ελληνικές πόλεις. Και όλοι λίγο-πολύ γνωρίζούν ότι η δηµοκρατία ως σύστηµα διακυβέρνησης, άσκησης εξουσίας και συλλογικής συµπεριφοράς είναι κάτι πολύ διαφορετικό, διαµετρικά αντίθετο, από τα δεσποτικά καθεστώτα των προ-ελληνικών πολιτισµών της Μεσοποταµίας, της Αιγύπτου, της Περσίας, αλλά και αυτών της αρχαϊκής ελληνικής περιόδου. Η ειδοποιός διαφορά τους εκδηλώνεται στον τρόπο άσκησης της εξουσίας. Στην προκειµένη περίπτωση τα δεσποτικά συστήµατα διακυβέρνησης από µια αµεσότητα στην άσκηση της εξουσίας, του είδους αποφασίζουµε και διατάσουµε. Αντίθετα, στις δηµοκρατίες των ελληνικών πόλεων υπήρχαν έµµεσες µόνο δυνατότητες άσκησης της διακυβέρνησης, δια µέσου της συγκατάθεσης και του ελέγχου θεσµοθετηµένων συλλογικών οργάνων. Πολύ χαρακτηριστικά ο έγκριτος άγγλος ιστορικός Antony Andrewes παρατήρησε ότι Στην Αθήνα κανένας δεν ασκούσε εξουσία για µεγαλύτερο χρονικό διάστηµα από όσο µπορούσε να πείθει την εκκλησία του δήµου ότι οι απόψεις του είναι 7 Βλ. Dicks, D.R.: Η Πρώιµη Ελληνική Αστρονοµία, εκδ. αίδαλος/ι. Ζαχαρόπουλος, 1991, σελ. 68, 129, Couder,P., πρ. υπ. 41, σελ Βλ. Lloyd, G.E.R.: Αρχαία Ελληνική Επιστήµη. Μέθοδοι και Προβλήµατα, Τόµος Α, εκδ. Αλεξάνδρεια, 1996, σελ. 212 κ.ε. Vernant, J.-P.: Η Καταγωγή της Ελληνικής Σκέψης, εκδ. ίπτυχο, Austin, M.M. / Vidal-Naquet, P.: Οικονοµία και Κοινωνία στην Αρχαία Ελλάδα, εκδ. αιδαλός/ι. Ζαχαρόπουλος, 1998, σελ. 88 κ.ε.

5 5 σωστές, και ήταν αναγκασµένος να πείθει το ίδιο ή ελαφρώς διαφορετικό ακροατήριο µε την πάροδο του χρόνου, χωρίς διακοπή. 9 Και ο Αγησίλαος Ντόκας συµπληρώνει οι αρµοδιότητες των ανωτέρων κρατικών αξιωµατούχων ήσαν, εξαιτίας της δύναµης που είχαν η Εκκλησία του ήµου, η Βουλή και τα λαϊκά δικαστήρια, εξαιρετικά περιορισµένες Ακόµη και ο Περικλής, που είχε συγκεντρώσει ένα πλήθος πολιτικών, κυβερνητικών και στρατιωτικών αρµοδιοτήτων, ήταν κυρίαρχος στην Εκκλησία του ήµου και καθώριζε τις αποφάσεις της µόνο χάρη στη δύναµη της προσωπικότητας του και του λόγου. Η θέση του ήταν νοµικά επισφαλής, γιατί ο ήµος µπορούσε στην επιχειροτονία που γινόταν σε κάθε πρυτανεία να τον αποµακρύνη από το αξίωµα και να τον παραπέµψη σε δικαστήριο. 10 Επισηµαίνεται, λοιπόν, όχι µόνο ο έµµεσος τρόπος διακυβέρνησης, αλλά και η αντίστοιχη κοινωνική συµπεριφορά και νοοτροπία των πολιτών της δηµοκρατικής πόλης. Εδώ αξίζει να αναφερθεί ότι η πρώτη δηµοκρατική διακυβέρνηση, που είναι γνωστή, πραγµατοποιήθηκε στη Χίο, γύρω στο 600 π.χ. 11 Στο πεδίο, τώρα, των εµπορικών δραστηριοτήτων παρατηρείται ένας σηµαντικός νεωτερισµός στο δυτικό τµήµα της Μικράς Ασίας, κατά τον 7 ο αιώνα π.χ. Ήταν η χρήση του νοµίσµατος ως µέσο συναλλαγών. Η εµφάνιση και η κυκλοφορία των νοµισµάτων διέλυε, σύµφωνα µε τον 9 Βλ. Andrewes, A.: Αρχαία Ελληνική Κοινωνία, Μορφωτικό Ίδρυµα Εθνικής Τραπέζης, 1987, σελ Βλ. Ντόκα, Α.: Η Αθηναϊκή ηµοκρατία, Βιβλιοπωλείον της Εστίας, σελ Βλ. Thomson, G.: Η Αρχαία Ελληνική Κοινωνία. Οι Πρώτοι Φιλόσοφοι, εκδ. Κέδρος, 1987, σελ. 211.

6 6 διαπρεπή άγγλο ιστορικό George Thomson, όλες τις παλιές συνθήκες, 12 γεγονός που δεν ήταν άσχετο µε τις κοινωνικές ανακατατάξεις, ούτε µε τη θεσµοποίηση και λειτουργία των µορφών δηµοκρατικού πολιτεύµατος σε κάποιες ελληνικές πόλεις. Αναφορικά µε το θέµα ο Αριστοτέλης τόνισε, στα Ηθικά Νικοµάχεια, τον διαµεσολαβητικό ρόλο του νοµίσµατος στην ποσοτική εκτίµηση και σύγκριση ετερογενών προϊόντων και έτσι την ανταλλακτική ισοδυναµία ανόµοιων πραγµάτων. 13 Έχει µάλιστα επισηµανθεί ότι το ζήτηµα αυτό της ισοδυναµίας ανάγεται στους Πυθαγόρειους, που το αντιµετώπισαν µε τη βοήθεια των αναλογιών. 14 Η ανέλιξη των ανταλλακτικών ισοδυναµιών από το εµπειρικό πλαίσιο του εµπορίου σ ένα ευρύτερο πεδίο θεώρησης, όπως για παράδειγµα στις σχέσεις των µηκών χορδής µε τους παραγόµενους µουσικούς ήχους, αντίστοιχα, ή των διαφορετικών πολιτικών δικαιωµάτων και υποχρεώσεων στο δηµοκρατικό πολίτευµα, δεν ήταν άσχετη µε την ανάπτυξη της ισότητας και των αναλογιών στα Μαθηµατικά. 15 Από την άλλη µεριά οι προ-ελληνικοί πολιτισµοί, όπως και στην αρχαϊκή ελληνική περίοδο, έκαναν τις ανταλλαγές άµεσα, δηλ. είδος µε είδος. Συγκεκριµένα από πολύ νωρίς στην ιστορία της Μεσοποταµίας χρησιµοποιείται το κυριότερο δηµητριακό, το κριθάρι, σαν µέτρο της αξίας και γενικό ανταλλακτικό µέσο. 16 Στην αρχαία Αίγυπτο χρησιµοποιούνται αρχικά ως µονάδες αναφοράς για τη µέτρηση της ανταλλακτικής αξίας διάφορα είδη-αλυσίδες, φυσερά, σανδάλια κ.ο.κ. Αργότερα θα χρησιµοποιηθεί σαν µέτρο της ανταλλακτικής αξίας ένα σταθερό βάρος µετάλλου, χρυσού, ασηµιού ή και χαλκού. 17 Αλλά και ο Όµηρος αναφέρει στην Ιλιάδα πως ο Γλαύκος αντάλλαξε τη χρυσή του πανοπλία αξίας 100 βοδιών µε τη µπρούντζινη πανοπλία του ιοµήδη αξίας 9 βοδιών. 18 Η τρίτη αξιοσηµείωτη καινοτοµία του αρχαίου ελληνικού πολιτισµού είναι η επαναστατική αλλαγή του τρόπου επικοινωνίας µε την εδραίωση της αλφαβητικής κωδικοποίησης του γραπτού λόγου. Το νέο αυτό σύστηµα γραφής διεύρυνε αρκετά τις εκφραστικές δυνατότητες µ 12 Στο ίδιο, σελ Βλ. Austin, M.M. / Vidal-Naquet, P., πρ. υπ. 43, σελ Βλ. Snell, B., πρ. υπ. 36, σελ Βλ. Harvey, F.D.: Two Kinds of Equality, Classica et Mediaevalia, 26, 1965, σελ Βλ. Θεοχάρη, Π..: Αρχαία και Βυζαντινή Οικονοµική Ιστορία, εκδ. Παπαζήση, 1983, σελ Στο ίδιο, σελ Στο ίδιο, σελ. 70.

7 7 επακόλουθο να ανοίξει ένας νέος ορίζοντας αφηρηµένης σκέψης. 19 Και αυτό γιατί η αλφαβητική γραφή πρόβαλε µια νέα γλωσσική και γνωστική συµπεριφορά. Η συγκεκριµένη αλλαγή γίνεται φανερή όταν συγκριθούν τα εικονογραφικά, κατά βάση, συστήµατα γραφής των προ-ελληνικών πολιτισµών µε την αλφαβητική γραφή. Στην προκειµένη περίπτωση µπορεί να διαπιστωθεί ότι στα εικονογραφικά συστήµατα τα σηµαινόµενα εκφράζονται άµεσα µε την οπτική τους αναπαράσταση, ενώ στην αλφαβητική γραφή αυτό γίνεται έµµεσα, γιατί κάθε γραπτή λέξη είναι ένας συνδυασµός συµβόλων που δεν έχουν νόηµα από µόνα τους. Να σηµειωθεί ότι το ελληνικό αλφάβητο προήλθε από το φοινικικό αλφάβητο και εξελίχθηκε από τον 8 ο αιώνα π.χ. µε διάφορες τοπικές ιδιοµορφίες. Το 403 π.χ. έγινε ένα σηµαντικό βήµα οµογενοποίησης του, όταν οι Αθηναίοι υιοθέτησαν, µε ψήφισµα, το ιωνικό αλφάβητο της Μιλήτου. 20 Οι τρεις αυτές καινοτοµίες αποτελούν το γενετικό υλικό του αρχαίου ελληνικού πολιτισµού και τον επιστηµολογικό του φορέα. Ο πυρήνας αυτού του υλικού είναι ο έµµεσος τρόπος σκέψης. Αξίζει να αναφερθεί ένα παράδειγµα, από τα πολλά που υπάρχουν, όπου µπορεί να επισηµανθεί η πολιτισµική αξία του έµµεσου τρόπου σκέψης στην αρχαία ελληνική πραγµατικότητα και να φανεί η δηµιουργικότητά του. Ο Παρθενώνας είναι ένα από τα χαρακτηριστικότερα σύµβολα του ελληνικού θαύµατος. Η ακτινοβολία του, στον κόσµο όλο, είναι πολύ µεγάλη. Γιατί, όµως; Τι είναι αυτό που προκαλεί τον υπέρµετρο θαυµασµό; Είναι µόνο ένα µνηµείο που σηµατοδοτεί µια ένδοξη περίοδο της ιστορίας του πολιτισµού; Ή αναδεικνύει µια σηµαντική ιδιαιτερότητα της κατασκευής του, που εναρµονίζεται µε την πολιτισµική και πνευµατική πρόοδο της ελληνικής κουλτούρας; Η σκοπιά αυτή δίνει τη δυνατότητα να ξεπεραστεί το επιφαινόµενο και να αποκαλυφθούν στοιχεία του 19 Βλ. Vernant, J.-P.: Μύθος και Σκέψη στην Αρχαία Ελλάδα, εκδ. Εγνατία, σελ Βλ. Jean, G.: Η γραφή, η Μνήµη του Ανθρώπου, εκδ. εληθανάση, 1991, σελ

8 8 καλλιτεχνικού και διανοητικού παρασκηνίου του αρχαίου ελληνικού πολιτισµού. Και αυτό γιατί µπορεί να φωτίσει την πολιτισµική απήχηση του τρόπου σκέψης και συµπεριφοράς στις αισθητικές ευαισθησίες των αρχαίων Ελλήνων. Συγκεκριµένα ο Ικτίνος (5 ος αιώνας π.χ.), ο αρχιτέκτονας του Παρθενώνα, ήθελε να δώσει στο ναό της Ακρόπολης την εξής µορφή: Γνώριζε, όµως, ότι αν τον κατασκεύαζε µ αυτό το πρότυπο, τότε το αποτέλεσµα θα είχε τις εξής οπτικές παραµορφώσεις: Για να αποφύγει τις αισθητικές αυτές ατέλειες έκανε τις εξής αντισταθµιστικές παρεµβάσεις: Έτσι δηµιούργησε ένα αρχιτεκτόνηµα υψηλής ποιοτικής στάθµης, που οφείλεται σε µια εκλεπτυσµένη ευαισθησία και σ ένα βαθύ αναστοχασµό. Τα χαρακτηριστικά αυτά γίνονται φανερά όταν το εν λόγω µνηµείο συγκριθεί µε τις Πυραµίδες και τα Ζιγκουράτ. Στην περίπτωση αυτή ο Παρθενώνας ακτινοβολεί το µεγαλείο της αρµονίας και της αισθητικής ανάτασης, ενώ οι Πυραµίδες και τα Ζιγκουράτ προβάλλουν το µεγαλοπρεπές του όγκου τους. Με άλλα λόγια, στην πρώτη περίπτωση αντανακλάται η διεισδυτικότητα του έµµεσου τρόπου σκέψης και καλλιτεχνικής στάσης, ενώ στη δεύτερη αποτυπώνεται η υπερβολή της άµεσης δύναµης και αίγλης, δηλαδή τη µεγαλοπραγµοσύνη της εξουσίας που αντιπροσωπεύει.

9 9 Μέσα στη ριζοσπαστική αλλαγή που επέφερε ο έµµεσος τρόπος σκέψης στον αρχαίο ελληνικό πολιτισµό, η µαθηµατική σκέψη δεν µπορούσε να µείνει στατική. Εκτινάχθηκε σε πολύ υψηλό επίπεδο και δηµιούργησε την πρώτη επανάσταση στην ιστορία των Μαθηµατικών. 21 Αξίζει να επισηµανθούν ότι δύο νέες συνιστώσες που επέφεραν την επιστηµολογική µεταλλαγή στη µαθηµατική σκέψη του αρχαίου ελληνικού πολιτισµού ήταν η ισότητα και η απόδειξη. Όσο αφορά την πρώτη έχει επισηµανθεί η συνάφεια της µε τις πολιτισµικές διαστάσεις που εξέθρεψαν τον έµµεσο τρόπο σκέψης. Εκείνο όµως που θα πρέπει να υπογραµµισθεί είναι η απουσία της ισότητας και της λειτουργικότητάς της από την πολιτισµική και την επιστηµολογική συγκυρία της προ-ελληνικής ιστορικής πραγµατικότητας. Και αυτό γιατί οι σύγχρονοι ιστορικοί των Μαθηµατικών παραγνωρίζουν το γεγονός αυτό και παραµορφώνουν την ιστορική κατανόηση προβάλλοντας, κατά κανόνα, αναχρονιστικές ανακατασκευές. 22 Επίσης και η προέλευση της απόδειξης είναι στενά συνυφασµένη µε τον έµµεσο τρόπο σκέψης, γιατί αποτελεί το απαραίτητο στήριγµα για την αποδοχή των αποτελεσµάτων και των συµπερασµάτων της. Για παράδειγµα ο Θαλής δεν µπορούσε απλώς να ανακοινώσει το αποτέλεσµα των συλλογισµών και των µετρήσεων του για τον υπολογισµό του ύψους της πυραµίδας, έπρεπε να το τεκµηριώσει, διαφορετικά θα εκλαµβάνονταν ως µαγική ή µεταφυσική η ικανότητά του αυτή. Στον άµεσο τρόπο σκέψης και συµπεριφοράς δεν τίθεται, εκ των πραγµάτων, τέτοιο ζήτηµα. Θα πρέπει, ωστόσο, να σηµειωθεί ότι η ανάπτυξη της απόδειξης στον αρχαίο ελληνικό πολιτισµό δεν ήταν ανεξάρτητη και από την καλλιέργεια της επιχειρηµατολογίας στη Ρητορική, στη Φιλοσοφία, στην πολιτική και στη δηµόσια ζωή. Αυτή η θεώρηση της αρχαίας ελληνικής µαθηµατικής σκέψης, που δεν περιχαρακώνεται απλά στις περιγραφές των σπουδαίων επιτευγµάτων και στις αυθεντίες του συγκεκριµένου πολιτισµού, αλλά επιδιώκει την ανάδειξη της επιστηµολογικής ιδιαιτερότητας σε συνδυασµό µε τις αντίστοιχες ανθρωπολογικές µεταλλαγές, έχει ως κύριο άξονα τη µεταγνωστική προσέγγιση του θέµατος. Και αυτή η µεταγνωστική προσέγγιση µπορεί να χαρακτηριστεί ως πολιτισµικός αναστοχασµός (cultural reflexivity). Αρκετά ενδεικτική, για τον εν λόγω προβληµατισµό, είναι η εξής επισήµανση: Ο πρώτος ακρογωνιαίος λίθος της [επιστηµονικής ανάπτυξης] ήταν το δεύτερο επίπεδο κατανόησης (second-order concept) της απόδειξης που αναπτύχθηκε στην κλασική Ελλάδα. 23 Και αυτό το δεύτερο επίπεδο κατανόησης δεν είναι άλλο παρά εκείνο της συνειδητής και συστηµατικής σκέψης σχετικά µε τη σκέψη, δηλαδή της µεταγνωστικής κατανόησης. 21 Βλ. Dauben, J.: Conceptual revolutions and the history of mathematics: two studies in the growth of knowledge, στο Gillies, D.(ed.): Revolutions in Mathematics, Clarendon Press, 1992, σελ , ειδ. σελ Τις περισσότερες φορές γιατί είναι επηρεασµένοι από έναν ιστοριογραφικό πλατωνισµό, βλ., για παράδειγµα, Θωµαΐδη, Γ. / Καστάνη, Ν.: Ο όρος Γεωµετρική Άλγεβρα στο στόχαστρο µιας σύγχρονης επιστηµολογικής διαµάχης, στο βιβλίο: ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΚΑ ΟΚΙΜΙΑ, επιµέλεια. Αναπολιτάνου και Β. Καρασµάνη, εκδόσεις Τροχαλία, Αθήνα, 1993, σελ Βλ. Elkana, Y.: The Emergence of Second-order Thinking in Classical Greece, στο Eisenstadt, S.N.(ed.): Axial Age Civilizations, State Univ. of New York Press, 1986, σελ , ειδ. σελ. 64.

Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΩΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ ΤΟΥ ΜΕΤΑΓΝΩΣΤΙΚΟΥ ΥΠΟΒΑΘΡΟΥ ΤΩΝ ΑΣΚΑΛΩΝ ΤΟΥ ΣΧΕΤΙΚΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΩΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ ΤΟΥ ΜΕΤΑΓΝΩΣΤΙΚΟΥ ΥΠΟΒΑΘΡΟΥ ΤΩΝ ΑΣΚΑΛΩΝ ΤΟΥ ΣΧΕΤΙΚΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΩΣ ΣΥΝΙΣΤΩΣΑ ΤΟΥ ΜΕΤΑΓΝΩΣΤΙΚΟΥ ΥΠΟΒΑΘΡΟΥ ΤΩΝ ΑΣΚΑΛΩΝ ΤΟΥ ΣΧΕΤΙΚΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Ν. Καστάνη ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλοι όσοι διδάσκούν Μαθηµατικά έχουν ως εφόδιο τις αυθύπαρκτες και τελεσίδικες

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.

ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου. Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Ευκλείδεια Γεωμετρία

Ευκλείδεια Γεωμετρία Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου

Διαβάστε περισσότερα

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ»

Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Σύλλογος Αρχαίας Ελληνικής Φιλοσοφίας «σὺν Ἀθηνᾷ» Τμήμα 5 ης -6 ης Δημοτικού Σάββατο, 27 Οκτωβρίου 2012 Θαλής ο Μιλήσιος 630/635 π.χ. 543 π.χ. Ο πρώτος φιλόσοφος! Ο Θαλής ο Μιλήσιος ανήκει στους προσωκρατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Γ Λυκείου Αρχαία θεωρητικής κατεύθυνσης. Αριστοτέλης

Γ Λυκείου Αρχαία θεωρητικής κατεύθυνσης. Αριστοτέλης 1 ηµ. Τζωρτζόπουλος ρ. Φιλοσοφίας Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ02 Γ Λυκείου Αρχαία θεωρητικής κατεύθυνσης Αριστοτέλης Ενότητα 15η 1. Μετάφραση Γι αυτόν που ασχολείται µε το σύστηµα διακυβέρνησης, πιο ειδικά µε

Διαβάστε περισσότερα

1.6.3 Ιατρικές και βιολογικές θεωρίες στον Πλάτωνα και στον Αριστοτέλη Η αρχαία ελληνική ιατρική µετά τον Ιπποκράτη

1.6.3 Ιατρικές και βιολογικές θεωρίες στον Πλάτωνα και στον Αριστοτέλη Η αρχαία ελληνική ιατρική µετά τον Ιπποκράτη 1 2 Περιεχόµενα Πρόλογος...5 Εισαγωγή: Οι Απαρχές της Ελληνικής Επιστήµης...8 Κεφάλαιο 1: Η Αρχαία Ελληνική Επιστήµη...24 1.1 Οι φυσικές θεωρίες των Προσωκρατικών φιλοσόφων...25 1.1.1 H πρώιµη ιωνική φιλοσοφική

Διαβάστε περισσότερα

Η ανάπτυξη των µαθηµατικών εννοιών, από τη σκοπιά των Εννοιολογικών Αλλαγών

Η ανάπτυξη των µαθηµατικών εννοιών, από τη σκοπιά των Εννοιολογικών Αλλαγών Η ανάπτυξη των µαθηµατικών εννοιών, από τη σκοπιά των Εννοιολογικών Αλλαγών Εισαγωγή Ν. Καστάνη Τα τελευταία 30 µε 40 χρόνια αναπτύσσεται, δυναµικά, µια νέα θεώρηση της Φιλοσοφίας της Επιστήµης και της

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος

Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος Καθορισµός και διαχείριση διδακτέας ύλης των θετικών µαθηµάτων της Α Ηµερησίου Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013-14 Μετά από σχετική εισήγηση του Ινστιτούτου Εκπαιδευτικής Πολιτικής (πράξη 32/2013

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΙΟΙΚΗΤΙΚΕΣ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ( σελίδες σχολικού βιβλίου 123 127, έκδοση 2014 : σελίδες 118 122 ) 3.3 ιεύθυνση 3.3.1 Ηγεσία Βασικές έννοιες Οι επιχειρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΚΑΙ Ο ΠΟΛΕΜΟΣ. Γενικά στοιχεία Περιεχόµενα Οδηγός για µελέτη

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΚΑΙ Ο ΠΟΛΕΜΟΣ. Γενικά στοιχεία Περιεχόµενα Οδηγός για µελέτη ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΩΤΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΚΑΙ Ο ΠΟΛΕΜΟΣ Γενικά στοιχεία Περιεχόµενα Οδηγός για µελέτη Το παρόν ηλεκτρονικό εγχειρίδιο έχει ως στόχο του να παρακολουθήσει τις πολύπλοκες σχέσεις που συνδέουν τον

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΧΡΗΜΑΤΟΣ 1. Τα πολύ παλιά χρόνια, όταν οι άνθρωποι δημιούργησαν οικισμούς, άρχισαν να καλλιεργούν τη γη και να εκτρέφουν ζώα. Επειδή τα μέταλλα δεν είχαν ανακαλυφθεί ακόμα, οι συναλλαγές τους

Διαβάστε περισσότερα

Μουσική και Μαθηματικά!!!

Μουσική και Μαθηματικά!!! Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ

ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ ΕΡΓΑΣΙΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΣΥΝΟΛΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΛΟΓΟΥ 1. Να γράψετε ένα κείµενο, όπου θα αναφέρετε τα στοιχεία που συναγάγουµε για τη δοµή και τη λειτουργία της αθηναϊκής πολιτείας από τον «Ὑπὲρ Μαντιθέου» λόγο.

Διαβάστε περισσότερα

Αιτιολογική έκθεση. µεγάλων δυσκολιών που η κρίση έχει δηµιουργήσει στον εκδοτικό χώρο και στους

Αιτιολογική έκθεση. µεγάλων δυσκολιών που η κρίση έχει δηµιουργήσει στον εκδοτικό χώρο και στους Αιτιολογική έκθεση Η Επιτροπή Κρατικών Bραβείων Λογοτεχνικής Μετάφρασης εργάστηκε για τα βραβεία του 2013, όπως και την προηγούµενη χρονιά, έχοντας επίγνωση α. των µεγάλων δυσκολιών που η κρίση έχει δηµιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

ελιές, παστά ψάρια, και σπάνια από κρέας, κυρίως στην Αθήνα.

ελιές, παστά ψάρια, και σπάνια από κρέας, κυρίως στην Αθήνα. Η τροφή της Αρχαϊκής οικογένειας ήταν αποτελούνταν από λαχανικά, ελιές, παστά ψάρια, και σπάνια από κρέας, κυρίως στην Αθήνα. Η ενδυμασία των Αρχαίων Ελλήνων ήταν κομψή, αλλά όχι εξεζητημένη. Το βασικό

Διαβάστε περισσότερα

Η Ελλάδα στα Βαλκάνια και στον κόσµο χθες, σήµερα και αύριο

Η Ελλάδα στα Βαλκάνια και στον κόσµο χθες, σήµερα και αύριο Η Ελλάδα στα Βαλκάνια και στον κόσµο χθες, σήµερα και αύριο Χωρίς αµφιβολία οι αρχαίοι Έλληνες στοχαστές, ποιητές και φιλόσοφοι πρώτοι έχουν αναπτύξει τις αξίες πάνω στις οποίες θεµελιώνεται η Ευρωπαϊκή

Διαβάστε περισσότερα

Λυσίου Κατὰ Φίλωνος οκιµ ασίας

Λυσίου Κατὰ Φίλωνος οκιµ ασίας Λυσίου Κατὰ Φίλωνος οκιµ ασίας 26 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το πρόγραµµα της Β Ενιαίου Λυκείου Θεωρητικής Κατεύθυνσης για την Αρχαία Ελληνική Γλώσσα και Γραµµατεία, όπως αυτό ορίστηκε από το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο,

Διαβάστε περισσότερα

4. Η τέχνη στο πλαίσιο της φιλοσοφίας του Χέγκελ για την ιστορία

4. Η τέχνη στο πλαίσιο της φιλοσοφίας του Χέγκελ για την ιστορία 4. Η τέχνη στο πλαίσιο της φιλοσοφίας του Χέγκελ για την ιστορία Α1. Ερωτήσεις γνώσης - κατανόησης 1. Πώς συλλαµβάνει ο Χέγκελ τη σχέση ιστορίας και πνεύµατος και ποιο ρόλο επιφυλάσσει στο πνεύµα; 2. Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΥΛΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016 ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ Οι ενότητες 2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,16,18,19,21,22,23,24,25,29,30,37.

ΤΑΞΗ Α ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΥΛΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016 ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ Οι ενότητες 2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,16,18,19,21,22,23,24,25,29,30,37. 1 ΤΑΞΗ Α ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΥΛΗ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2016 ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ Οι ενότητες 2,3,5,6,7,8,10,11,12,13,14,16,18,19,21,22,23,24,25,29,30,37. ΝΕΟΕΛ. ΓΛΩΣΣΑ Από το βιβλίο Έκφραση-Έκθεση, Τεύχος Α, της Α τάξης Γενικού Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Χρησιμοποιήθηκε στην αρχαία Αίγυπτο και στην Πυθαγόρεια παράδοση,ο πρώτος ορισμός που έχουμε για αυτήν ανήκει στον Ευκλείδη που την ορίζει ως διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών

Περί της Ταξινόμησης των Ειδών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή

ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής Πανεπιστήµιο Κύπρου Χρήστος Παντσίδης Παναγιώτης Σπύρου Πανεπιστήµιο

Διαβάστε περισσότερα

Ηγεσία και Διοικηση. Αποτελεσματική Ηγεσία στο Χώρο της Εργασίας

Ηγεσία και Διοικηση. Αποτελεσματική Ηγεσία στο Χώρο της Εργασίας Ηγεσία και Διοικηση Αποτελεσματική Ηγεσία στο Χώρο της Εργασίας 1. Η έννοια της αποτελεσματικής ηγεσίας Είναι σημαντικό να ξεκαθαρίσουμε πως η έννοια της ηγεσίας δεν είναι ταυτόσημη με τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΑΤΩΝΟΣ ΠΡΩΤΑΓΟΡΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ

ΠΛΑΤΩΝΟΣ ΠΡΩΤΑΓΟΡΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΠΛΑΤΩΝΟΣ ΠΡΩΤΑΓΟΡΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Εκπαιδευση Σχολικά βοηθήματα (για το Λύκειο) Πλάτωνος Πρωταγόρας Γ Λυκείου Θεωρητική Κατεύθυνση

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty

qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty qwertyuiopasdfghjklzxcvbnmq wertyuiopasdfghjklzxcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzxcvbnmqwer ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΟΞΕΙΑΣ ΓΩΝΙΑΣ tyuiopasdfghjklzxcvbnmqwerty ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ uiopasdfghjklzxcvbnmqwertyui 30/7/2016 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Η απαρχή της Γεωμετρίας Οι Βαβυλώνιοι, για πρώτη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΩΣ ΚΑΙ ΣΚΙΑ. Πως δημιουργείτε η σκιά στη φυσική ;

ΦΩΣ ΚΑΙ ΣΚΙΑ. Πως δημιουργείτε η σκιά στη φυσική ; ΦΩΣ ΚΑΙ ΣΚΙΑ Πως δημιουργείτε η σκιά στη φυσική ; Λόγω της ευθύγραμμης διάδοσης του φωτός, όταν μεταξύ μιας φωτεινής πηγής και ενός περάσματος παρεμβάλλεται ένα αδιαφανές σώμα, δημιουργείτε στο πέρασμα

Διαβάστε περισσότερα

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:

4.4 Ερωτήσεις διάταξης. Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται: 4.4 Ερωτήσεις διάταξης Στις ερωτήσεις διάταξης δίνονται:! µία σειρά από διάφορα στοιχεία και! µία πρόταση / κανόνας ή οδηγία και ζητείται να διαταχθούν τα στοιχεία µε βάση την πρόταση αυτή. Οι ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

«Εκπαιδευτικές δραστηριότητες: κυνήγι θησαυρού»

«Εκπαιδευτικές δραστηριότητες: κυνήγι θησαυρού» «Εκπαιδευτικές δραστηριότητες: κυνήγι θησαυρού» Η ταξινόµηση µνηµείων σε εκπαιδευτικές δραστηριότητες αναζήτησης. Παιχνίδι θησαυρού: «Ο Πλάτων ταξιδεύει στην περιοχή σου! Ένα φανταστικό ταξίδι...» Αθανασία

Διαβάστε περισσότερα

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας;

Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Πώς εξελίχθηκαν τα μαθηματικά διαμέσου των αιώνων; Πώς συνδέονται με τις κατακτήσεις και τις αλλαγές στον τρόπο ζωής μας; Τα μαθηματικά διαπερνούν κάθε ανθρώπινη δραστηριότητα. Σ αυτή την παρουσίαση θα

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο εργασίας E ομάδας

Φύλλο εργασίας E ομάδας Φύλλο εργασίας E ομάδας «δημοκρατικὸν μὲν εἶναι τὸ κληρωτὰς εἶναι τὰς ἀρχάς, τὸ δ αἰρετὰς ὀλιγαρχικόν» (Η ανάδειξη στα αξιώματα με κλήρωση θεωρείται δημοκρατική, ενώ με εκλογή ολιγαρχική ) Αριστοτέλους,

Διαβάστε περισσότερα

II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων

II ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ. Κεφ.3ο: Τρίγωνα 3.1. Είδη και στοιχεία τριγώνων ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ (version 22-10-2016) Τα παρακάτω προέρχονται (με δικές μου αλλαγές μορφοποίησης προσθήκες και σχολιασμό) από το έγγραφο (σελ.15 και μετά) με Αριθμό Πρωτοκόλλου 150652/Δ2, που

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία των Μαθηματικών

Ιστορία των Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Αστρονομία

Εισαγωγή στην Αστρονομία Παπαδόπουλος Μιλτιάδης ΑΕΜ: 13134 Εξάμηνο: 7 ο Ασκήσεις: 12-1 Εισαγωγή στην Αστρονομία 1. Ο αστέρας Βέγας στον αστερισμό της Λύρας έχει απόκλιση δ=+38 ο 47. α) Σχεδιάστε την φαινόμενη τροχιά του Βέγα στην

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ ΤΡΙΤΗ ΤΟ ΑΛΦΑΒΗΤΟ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΔΙΑΛΕΚΤΩΝ

ΔΙΑΛΕΞΗ ΤΡΙΤΗ ΤΟ ΑΛΦΑΒΗΤΟ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΔΙΑΛΕΚΤΩΝ ΔΙΑΛΕΞΗ ΤΡΙΤΗ ΤΟ ΑΛΦΑΒΗΤΟ ΚΑΙ Η ΔΙΑΜΟΡΦΩΣΗ ΤΩΝ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΔΙΑΛΕΚΤΩΝ 1. Από τη Γραμμική Β στην εισαγωγή του αλφαβήτου - Στον ελληνικό χώρο, υπήρχε ένα σύστημα γραφής μέχρι το 1200 π.χ. περίπου, η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ. 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ. 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΚΔΡΟΜΕΣ. ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΘΑΛΗ 1 η εκδρομή (21/11/05): Επίσκεψη στο Αστεροσκοπείο. Στόχοι: Οι εκπαιδευόμενοι: Να ενημερωθούν για το σύμπαν. Να παρατηρήσουν τα ουράνια σώματα. Να σκεφτούν -να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟ

ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟ ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟ 2004 2009 Επιτροπή Πολιτισμού και Παιδείας 2008/2226(INI) 16.12.2008 ΣΧΕΔΙΟ ΕΚΘΕΣΗΣ σχετικά με τις καλλιτεχνικές σπουδές στην Ευρωπαϊκή Ένωση (2008/2226(INI)) Επιτροπή Πολιτισμού

Διαβάστε περισσότερα

Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (Αφιερωμένο στη συμπλήρωση 2200 χρόνων από το θάνατο του Αρχιμήδη)

Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (Αφιερωμένο στη συμπλήρωση 2200 χρόνων από το θάνατο του Αρχιμήδη) ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡEΙΑ ΟΜΑΔΑ ΔΙΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΟΜΙΛΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΣΕΜΙΝΑΡΙΟ ΑΡΧΑΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΥ Ε.Μ. ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟΥ Α ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟ ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΙΣΤΟΡΙΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΣΟΦΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ολοκληρωμένη Χωρική Επένδυση στην πόλη της Κέρκυρας με εστίαση στην πολιτιστική & δημιουργική οικονομία

Ολοκληρωμένη Χωρική Επένδυση στην πόλη της Κέρκυρας με εστίαση στην πολιτιστική & δημιουργική οικονομία ΕΙΔΙΚΗ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ Π.Ι.Ν. Ολοκληρωμένη Χωρική Επένδυση στην πόλη της Κέρκυρας με εστίαση στην πολιτιστική & δημιουργική οικονομία εισήγηση στην 1 η συνάντηση για την ΟΧΕ πόλης Κέρκυρας -ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1

Στο προοπτικό ανάγλυφο για τη ευθεία του ορίζοντα χρησιμοποιούμε ένα δεύτερο κατακόρυφο επίπεδο Π 1 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΑΝΑΓΛΥΦΟ Το προοπτικό ανάγλυφο, όπως το επίπεδο προοπτικό, η στερεοσκοπική εικόνα κ.λπ. είναι τρόποι παρουσίασης και απεικόνισης των αρχιτεκτονικών συνθέσεων. Το προοπτικό ανάγλυφο είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΕΠΙΜΟΡΦΩΤΙΚΟΥ ΥΛΙΚΟΥ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Β2. β) Πρώτα απ όλα: Αρχικά παράλληλα: ταυτόχρονα εξάλλου: άλλωστε

Β2. β) Πρώτα απ όλα: Αρχικά παράλληλα: ταυτόχρονα εξάλλου: άλλωστε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α.1 Το συγκεκριμένο κείμενο αναφέρεται στην ανάγκη προσέγγισης των αρχαίων χώρων θέασης και ακρόασης από τους Νεοέλληνες. Επρόκειτο για τόπους έκφρασης συλλογικότητας. Επιπλέον, σ αυτούς γεννήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

A ΛΥΚΕΙΟΥ : ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016

A ΛΥΚΕΙΟΥ : ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 A ΛΥΚΕΙΟΥ : ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 ΘΡΗΣΚΕΥΤΙΚΑ Ενότητες : 7,8, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 24, 25, 26, 31, 32 και 37 ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ Από το βιβλίο ΕΚΦΡΑΣΗ ΕΚΘΕΣΗ, Tεύχος Α του Γενικού

Διαβάστε περισσότερα

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα.

εύτερη διάλεξη. Η Γεωµετρία στα αναλυτικά προγράµµατα. εύτερη διάλεξη. Η στα αναλυτικά προγράµµατα. Η Ευκλείδεια αποτελούσε για χιλιάδες χρόνια µέρος της πνευµατικής καλλιέργειας των µορφωµένων ατόµων στο δυτικό κόσµο. Από τις αρχές του 20 ου αιώνα, καθώς

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής

ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0. Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ Ι Μάθημα 1 0 Ι.Μ. Δόκας Επικ. Καθηγητής Γεωδαισία Μοιράζω τη γη (Γη + δαίομαι) Ακριβής Έννοια: Διαίρεση, διανομή /μέτρηση της Γής. Αντικείμενο της γεωδαισίας: Ο προσδιορισμός της μορφής, του

Διαβάστε περισσότερα

Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1

Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1 Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1 Μια σύνοψη του Βιβλίου (ΟΠΙΣΘΟΦΥΛΛΟ): Η πλειοψηφία θεωρεί πως η Νόηση είναι μια διεργασία που συμβαίνει στον ανθρώπινο εγκέφαλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 1)Τι ονομάζεται διχοτόμος μιας γωνίας ; Διχοτόμος γωνίας ονομάζεται η ημιευθεία που έχει αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες. 2)Να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Εισαγωγικά στην αρχαία Ελληνική ιστοριογραφία

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Εισαγωγικά στην αρχαία Ελληνική ιστοριογραφία ΕΙΣΑΓΩΓΗ Εισαγωγικά στην αρχαία Ελληνική ιστοριογραφία Ενδεικτικοί διδακτικοί στόχοι Οι διδακτικοί στόχοι για τη διδασκαλία της εισαγωγής προσδιορίζονται στο βιβλίο για τον καθηγητή, Αρχαίοι Έλληνες Ιστοριογράφοι,

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ.

2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες 2.2.2 Ιστορική εξέλιξη τον µάνατζµεντ. 2.2 Οργάνωση και ιοίκηση (Μάνατζµεντ -Management) 2.2.1. Βασικές έννοιες Έχει παρατηρηθεί ότι δεν υπάρχει σαφής αντίληψη της σηµασίας του όρου "διοίκηση ή management επιχειρήσεων", ακόµη κι από άτοµα που

Διαβάστε περισσότερα

ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΒΙΟΣ & ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ

ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΒΙΟΣ & ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ Μαθητικό Συνέδριο Ιστορίας "Το Βυζάντιο ανάμεσα στην αρχαιότητα και τη σύγχρονη Ελλάδα" ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΣ ΒΙΟΣ & ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΣ Η επίδραση της αρχαίας ελληνικής φιλοσοφίας στο Βυζαντινό Πολιτισμό Μαθητική Κοινότητα

Διαβάστε περισσότερα

Ταχ. Δ/νση: Ερμού 15, 101 85 ΑΘΗΝΑ Τηλέφωνο: 210 3233051 FAX: 210 3231763 an. 31 Πληροφορίες: Ν. Σταθόπουλος ΑΠΟΦΑΣΗ

Ταχ. Δ/νση: Ερμού 15, 101 85 ΑΘΗΝΑ Τηλέφωνο: 210 3233051 FAX: 210 3231763 an. 31 Πληροφορίες: Ν. Σταθόπουλος ΑΠΟΦΑΣΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 10-07 - 2006 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Αρ. πρωτ. 69598/Γ2 ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΩΝ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ. Α Γενικού Λυκείου και ΕΠΑ.Λ. Καζάκου Γεωργία, ΠΕ09 Οικονομολόγος

ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ. Α Γενικού Λυκείου και ΕΠΑ.Λ. Καζάκου Γεωργία, ΠΕ09 Οικονομολόγος 1 ΠΟΛΙΤΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α Γενικού Λυκείου και ΕΠΑ.Λ. 2 Η ΚΟΙΝΩΝΙΑ, Η ΠΟΛΙΤΕΙΑ ΚΑΙ Η ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Κεφάλαιο 1 ο 1.1 ΆΝΘΡΩΠΟΣ: ΚΟΙΝΩΝΙΚΟ, ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΚΟ ΟΝ 1/6 Ο άνθρωπος είναι από τη φύση του πολιτικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙ ΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΧΑΡΤΗΣ ΧΡΗΣΗ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ. β. φιλιππακοπουλου 1

ΕΙ ΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑΣ ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΧΑΡΤΗΣ ΧΡΗΣΗ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ. β. φιλιππακοπουλου 1 ΧΑΡΤΟΓΡΑΦΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΧΑΡΤΗΣ ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΗΜΙΟΥΡΓΙΑ ΧΡΗΣΗ β. φιλιππακοπουλου 1 Αναλυτικό Πρόγραµµα 1. Εισαγωγή: Μια επιστηµονική προσέγγιση στη χαρτογραφική απεικόνιση και το χαρτογραφικό σχέδιο

Διαβάστε περισσότερα

α) Πίνακας αντιστοιχίας διδασκομένων μαθημάτων του Γυμνασίου και κλάδων και ειδικοτήτων εκπαιδευτικών σε Α και Β ανάθεση

α) Πίνακας αντιστοιχίας διδασκομένων μαθημάτων του Γυμνασίου και κλάδων και ειδικοτήτων εκπαιδευτικών σε Α και Β ανάθεση Γ2/69598/10-07-2006 Απόφαση ΥΠ.Ε.Π.Θ. ΦΕΚ 1050 τ. Β Αναθέσεις μαθημάτων Γυμνασίου και Ενιαίου Λυκείου Έχοντας υπόψη: 1. Το άρθρο 7, παρ. 2 του Ν. 2817/2000 (78 Α ) περί «Εκπαίδευσης των ατόμων με ειδικές

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο Ο Γνώμονας, ένα απλό αστρονομικό όργανο και οι χρήσεις του στην εκπαίδευση Σοφία Γκοτζαμάνη και Σταύρος Αυγολύπης Ο Γνώμονας Ο Γνώμονας είναι το πιο απλό αστρονομικό όργανο και το πρώτο που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΥΘΟΣ, ΤΕΛΕΤΟΥΡΓΊΑ,ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΏΝ

ΜΥΘΟΣ, ΤΕΛΕΤΟΥΡΓΊΑ,ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΏΝ ΜΥΘΟΣ, ΤΕΛΕΤΟΥΡΓΊΑ,ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΏΝ Αρχαία Ελληνική θρησκεία ως "εθνική θρησκεία". Παράδοση +Συλλογική µνήµη. Ποικιλία παραδόσεων (ύθοι) + δυνατότητα πολλαπλής προσέγγισής τους Η ΦΩΩΝΗ ΤΩΩΝ ΠΟΙΗΤΩΩΝ Διάσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Μια διδακτική αξιοποίηση της λογοτεχνίας στα μαθηματικά του δημοτικού σχολείου. Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Εκπαιδευτικός ΠΕ 70

Μια διδακτική αξιοποίηση της λογοτεχνίας στα μαθηματικά του δημοτικού σχολείου. Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Εκπαιδευτικός ΠΕ 70 Μια διδακτική αξιοποίηση της λογοτεχνίας στα μαθηματικά του δημοτικού σχολείου Εισηγητής: Μακρής Νικόλαος Εκπαιδευτικός ΠΕ 70 Εκφράζουν πρακτικότητα/πραγματικότητα Οικοδομούν τον πραγματικό κόσμο. Εκφράζει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΕΧΤΕΛΙΔΗΣ, ΥΒΟΝ ΚΟΣΜΑ

ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΕΧΤΕΛΙΔΗΣ, ΥΒΟΝ ΚΟΣΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η παιδική ηλικία είναι ένα ζήτημα για το οποίο η κοινωνιολογία έχει δείξει μεγάλο ενδιαφέρον τα τελευταία χρόνια. Από τις αρχές της δεκαετίας του 1980 έως σήμερα βρίσκεται υπό εξέλιξη ένα πρόγραμμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΑΣΠΑΙΤΕ ΕΠΑΙΚ 2013-2014 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ : ΜΑΥΡΙΚΑΚΗΣ ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ «Ο ΕΝΣΤΕΡΝΙΣΜΟΣ ΤΩΝ ΑΞΙΩΝ-ΕΝΑ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ» ΣΤΑΜΑΤΑΚΗ ΜΑΡΙΑ ΤΣΕΜΕΚΙΔΟΥ ΓΕΩΡΓΙΑ ΣΥΝΤΥΧΑΚΗΣ ΜΑΝΩΛΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΦΩΣ ΩΣ ΑΓΓΕΛΙΟΦΟΡΟΣ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ. Κατερίνα Νικηφοράκη Ακτινοφυσικός (FORTH)

ΤΟ ΦΩΣ ΩΣ ΑΓΓΕΛΙΟΦΟΡΟΣ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ. Κατερίνα Νικηφοράκη Ακτινοφυσικός (FORTH) ΤΟ ΦΩΣ ΩΣ ΑΓΓΕΛΙΟΦΟΡΟΣ ΤΟΥ ΣΥΜΠΑΝΤΟΣ Κατερίνα Νικηφοράκη Ακτινοφυσικός (FORTH) ΟΙΚΕΙΟ ΦΩΣ Φιλοσοφική προσέγγιση με στοιχεία επιστήμης προσωκρατικοί φιλόσοφοι έχουν σκοπό να κατανοήσουν και όχι να περιγράψουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ Απαντήσεις

ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ Απαντήσεις Σελίδα 1 από 5 Απαντήσεις Β.1 Το συγκεκριμένο απόσπασμα αντλήθηκε από το 8 ο βιβλίο των Πολιτικών του Αριστοτέλη, που έχει ως θέμα του την παιδεία. Ήδη, από την πρώτη φράση του αποσπάσματος (ὅτι μέν οὖν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΑΜΙΑΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6ο ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΧΑΛΚΙΔΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΤΑΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΤΑΞΗ: Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ : 3 διδακτικές ώρες ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ : Μία ώρα για την κατανόηση της μορφής και των απλών ιδιοτήτων των κανονικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1

ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 ΕΙΝΑΙ Η ΑΣΤΡΟΛΟΓΙΑ ΜΙΑ ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΥΤΟΓΝΩΣΙΑΣ; 1 Στο σημείο αυτό του οδοιπορικού γνωριμίας με τις διάφορες μεθόδους αυτογνωσίας θα συναντήσουμε την Αστρολογία και θα μιλήσουμε για αυτή. Θα ερευνήσουμε δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Επιδιώξεις της παιδαγωγικής διαδικασίας. Σκοποί

Επιδιώξεις της παιδαγωγικής διαδικασίας. Σκοποί Επιδιώξεις της παιδαγωγικής διαδικασίας Σκοποί Θεματικές ενότητες Διαμόρφωση των σκοπών της αγωγής Ιστορική εξέλιξη των σκοπών της αγωγής Σύγχρονος προβληματισμός http://users.uoa.gr/~dhatziha/ Διαφάνεια:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΠΠΣ. ΔΕΠΠΣ και ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ

ΔΕΠΠΣ. ΔΕΠΠΣ και ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ ΔΕΠΠΣ ΔΕΠΠΣ και ΝΕΑ ΒΙΒΛΙΑ Διαθεματικό Ενιαίο Πλαίσιο Προγραμμάτων Σπουδών ΔΕΠΠΣ Φ.Ε.Κ., 303/13-03-03, τεύχος Β Φ.Ε.Κ., 304/13-03-03, τεύχος Β Ποιοι λόγοι οδήγησαν στην σύνταξη των ΔΕΠΠΣ Γενικότερες ανάγκες

Διαβάστε περισσότερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα

Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα [ 1 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου Η Κατάκτηση του Απείρου από την Αρχαιότητα ως Σήµερα Νικόλαος Στυλιανόπουλος Ηµερίδα Ιστορία των Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κύπρου Νοέµβριος 2016 [ 2 ] Πανεπιστήµιο Κύπρου υσκολίες

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 6.Ανάλυση των παραμέτρων που θεωρήθηκε ότι δεν επηρεάζουν τα αποτελέσματα της έρευνας.

4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 6.Ανάλυση των παραμέτρων που θεωρήθηκε ότι δεν επηρεάζουν τα αποτελέσματα της έρευνας. Πρόλογος 1.Τίτλος της έρευνας. 2.Παρουσίαση του προβλήματος. 3.Παρουσίαση του σκοπού της έρευνας. 4.Παρουσίαση των κοινωνικών αναγκών που εξυπηρετεί η έρευνα. 5.Διαμωρφωση της υπόθεσης της έρευνας. 6.Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ

ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΣΕΝΑΡΙΟ του Κύπρου Κυπρίδηµου, µαθηµατικού ΤΟ ΠΡΟΣΗΜΟ ΤΟΥ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ Περίληψη Στη δραστηριότητα αυτή οι µαθητές καλούνται να διερευνήσουν το πρόσηµο του τριωνύµου φ(x) = αx 2 + βx + γ. Προτείνεται να διδαχθεί

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή.

Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα. συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη τιµή. Σενάριο 6. Συµµεταβολές στο ισοσκελές τρίγωνο Γνωστική περιοχή: Γεωµετρία Β' Λυκείου. Συµµεταβολή µεγεθών. Εµβαδόν ισοσκελούς τριγώνου. Σύστηµα συντεταγµένων. Γραφική παράσταση συνάρτησης. Μέγιστη - ελάχιστη

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΡΜΑ ΣΧΕΔΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΦΟΡΜΑ ΣΧΕΔΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΦΟΡΜΑ ΣΧΕΔΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Στοιχεία εκπαιδευτικού Ονοματεπώνυμο: Μαρκαντωνάτος Δημήτρης Βαθμίδα: Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση Ειδικότητα: Φιλόλογος E-mail: dmark@acn.gr, dmark@sch.gr Τίτλος μαθήματος: Οι θεσμοί

Διαβάστε περισσότερα

Κατά τη διάρκεια της συγγραφής μιας διδακτορικής διατριβής ο ερευνητής ανατρέχει

Κατά τη διάρκεια της συγγραφής μιας διδακτορικής διατριβής ο ερευνητής ανατρέχει ACADEMIA ISSN, 2241-1402 http://hepnet.upatras.gr Volume 3, Number 1, 2013 BOOK REVIEW Τίτλος: ΕΠΙΣΤΗΜΗ: Η ιδέα καθ αυτήν Τίτλος πρωτοτύπου: Science: The Very Idea Συγγραφέας: Steve Woolgar Σελίδες: 173

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια

ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια 18 ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΓΝΩΣΗ; ΠΟΙΑ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΗΣ; Το ερώτημα για το τι είναι η γνώση (τι εννοούμε όταν λέμε ότι κάποιος γνωρίζει κάτι ή ποια χαρακτηριστικά αποδίδουμε σε ένα πρόσωπο το οποίο λέμε

Διαβάστε περισσότερα

Είναι µε µεγάλη χαρά που παρευρίσκοµαι στη. σηµερινή παρουσίαση των αποτελεσµάτων της. Έρευνας «Βουλευτικές Εκλογές 2006 Οι προτιµήσεις

Είναι µε µεγάλη χαρά που παρευρίσκοµαι στη. σηµερινή παρουσίαση των αποτελεσµάτων της. Έρευνας «Βουλευτικές Εκλογές 2006 Οι προτιµήσεις Υ...Τ. 18.3.09.35 Χαιρετισµός Υπουργού ικαιοσύνης και ηµοσίας Τάξεως Κ. Σοφοκλή Σοφοκλέους Στην παρουσίαση των Αποτελεσµάτων της Έρευνας µε θέµα: «Βουλευτικές Εκλογές 2006 Οι προτιµήσεις Φύλου των Κυπρίων

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1

Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1 Η ΝΟΗΤΙΚΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑ: Η Σχετικότητα και ο Χρονισμός της Πληροφορίας Σελ. 1 Μια σύνοψη του Βιβλίου (ΟΠΙΣΘΟΦΥΛΛΟ): Η πλειοψηφία θεωρεί ότι η Νόηση είναι μια διεργασία που συμβαίνει στο ανθρώπινο εγκέφαλο.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΠΣ & ΑΠΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (ΦΕΚ 303/2003 σσ )

ΕΠΠΣ & ΑΠΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (ΦΕΚ 303/2003 σσ ) ΗΛΙΑΣ. ΑΝΑΓΝΩΣΤΟΥ, Σχολικός Σύµβουλος 41 ης ΕΠ Αττικής ΣΤΕΛΙΟΣ Κ. ΚΡΑΣΣΑΣ, Σχολικός Σύµβουλος 31 ης ΕΠ Αττικής ΕΠΠΣ & ΑΠΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ (ΦΕΚ 303/2003 σσ. 3983-4008) ΣΚΟΠΟΣ ΣΤΟ ΕΠΠΣ 1. Σκοπός της ιδασκαλίας

Διαβάστε περισσότερα

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών

Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 2006 1/5 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:6 ο Οι απαρχές των Μαθηματικών Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη εκείνη η οποία

Διαβάστε περισσότερα

2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ έτσι ώστε: 1 και εφγ = 3

2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος ΑΗ έτσι ώστε: 1 και εφγ = 3 Προβλήµατα 1. Να κατασκευάσετε µια γωνία xαy, γνωρίζοντας ότι: 3 α) εφ xay = 5 β) συν xay = 0,8 γ) ηµ xay = 0,4 2. Να κατασκευάσετε µια γωνία α τέτοια ώστε: εφ (90 - α) = 7 4. 3. Να κατασκευάσετε ένα τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΚΑΙ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 18 ΜΑΪΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Το κείµενο αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΕΦ.1,1.1, 1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 1.2, 1.3 ΚΕΦ.2.Α.2.1, 2.2, 2.2.1, 2.2.2, 2.2.3, 2.2.4, 2.2.5, 2.3, 2.5 ΚΕΦ.2.Β. 2.1, 2.2, 2.3, 2.4 ΚΕΦ.3. 3.1, 3.5, 3.5.1, 3.5.2, 3.5.3

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ». 1. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των σχημάτων,, χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδών το. Τι παρατηρείτε; ρίσκουμε ότι τα εμβαδά των,, είναι : 5,

Διαβάστε περισσότερα