Relacije poretka ure denja

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Relacije poretka ure denja"

Transcript

1

2 Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje. Za skup A se kaže da je A ured en relacijom, a par (A, ) se zove parcijalno ured eni skup, ili samo ured eni skup. Za označavanje ured enja na skupovima najčešće koristimo oznaku, koju koristimo i za standardna ured enja brojeva. Matematička logika 2 Relacije - II deo

3 Relacije poretka ure denja Relacije poretka su, uz relacije ekvivalencija, najrašireniji tip relacija u matematici. One služe da pomoću njih upored ujemo ili ured ujemo elemente skupa A, tj. da formiramo neki poredak u skupu A, odakle potiču i nazivi za te relacije. Prefiks parcijalno služi da se ukaže na to da u ured enom skupu mogu da postoje i elementi koji se ne mogu med usobno uporediti, tj., med usobno su neuporedivi, kao što ćemo videti u primerima koji slede. Matematička logika 3 Relacije - II deo

4 Relacije poretka ure denja a) Osnovne relacije poretka na skupu prirodnih brojeva N su relacije (manje ili jednako), (deli). Analogno definisana, relacija je relacija poretka i na drugim skupovima brojeva: Z (celi brojevi), Q (racionalni brojevi) i R (realni brojevi). Dakle, (N, ), (N, ), (Z, ), (Q, ) i (R, ) su ured eni skupovi. b) Iako je relacija poretka na skupu prirodnih brojeva, analogno definisana relacija deli na skupu celih brojeva nije relacija poretka, jer nije antisimetrična. Kao što smo već rekli, za svaki celi broj n 0 je n n i n n, i pri tome je n n. Matematička logika 4 Relacije - II deo

5 Relacije poretka ure denja c) Na partitivnom skupu P(A) proizvoljnog skupa A, inkluzija je relacija poretka. Ured eni skup (P(A), ) je primer ured enog skupa u kome ima neuporedivih elemenata. Na primer, bilo koja dva disjunktna podskupa od A su med usobno neuporedivi. Naravno, lako je naći primer i skupova koji imaju neprazan presek, a neuporedivi su, tj., nijedan od njih nije podskup onog drugog. d) Relacija < (strogo manje) nije ured enje ni na jednom od skupova N, Z, Q i R, jer nije refleksivna. Matematička logika 5 Relacije - II deo

6 Zatvorenja relacija Zadatak 1.1. Data je relacija = {(2, 2), (2, 3), (5, 3)} na skupu A = {1, 2, 3, 4, 5}. (a) Odrediti najmanju relaciju ekvivalencije na A koja sadrži relaciju. (b) Odrediti najmanju relaciju poretka na A koja sadrži relaciju. Rešenje: Relacija se može zadati sledećim grafom: Matematička logika 6 Relacije - II deo

7 Zatvorenja relacija (a) Prvi korak u konstrukciji najmanje relacije ekvivalencije koja sadrži je refleksivno zatvorenje: relacija se dopunjuje do refleksivne relacije dodavanjem svih parova oblika (x, x), za svaki x A za koji taj par nije već bio u toj relaciji Relacija Refleksivno zatvorenje relacije Matematička logika 7 Relacije - II deo

8 Zatvorenja relacija Sledeći korak je simetrično zatvorenje: relacija dobijena u prvom koraku se dopunjuje do simetrične relacije tako što se za svaki par (x, y) relaciji dodaje i obratni par (y, x), ukoliko nije već bio u toj relaciji Refleksivno zatvorenje relacije Refleksivno-simetrično zatvorenje relacije Matematička logika 8 Relacije - II deo

9 Zatvorenja relacija Konačno, tražena relacija ekvivalencije se dobija primenom tranzitivnog zatvorenja: relacija dobijena u prethodnom koraku se dopunjuje do tranzitivne relacije zatvaranjem svih trouglova u grafu te relacije, tj., ukoliko su (x, y) i (y, z) u toj relaciji, onda dodajemo i par (x, y) Refleksivno-simetrično zatvorenje relacije Najmanja relacija ekvivalencije koja sadrži Matematička logika 9 Relacije - II deo

10 Zatvorenja relacija Dakle, najmanja relacija ekvivalencije koja sadrži je {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 5), (4, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 5)}, tj., to je relacija ekvivalencije sa klasama {2, 3, 5}, {1}, {4}. Matematička logika 10 Relacije - II deo

11 Zatvorenja relacija (b) Relacija je antisimetrična, jer nema parova oblika (x, y) i (y, x), i tranzitivna, jer nema parova oblika (x, y) i (y, z), pa se najmanja relacija poretka koja sadrži dobija samo refleksivnim zatvorenjem Relacija Najmanja relacija poretka koja sadrži Matematička logika 11 Relacije - II deo

12 Dualno ure denje Ako je ured enje na skupu A, onda je i inverzna relacija 1 takod e ured enje na A (proveriti za vežbu). U tom slučaju 1 zovemo dualno ured enje ili dualni poredak za. a) Dualno ured enje ured enja (manje ili jednako), na bilo kom od skupova brojeva N, Z, Q ili R, je ured enje (veće ili jednako). b) Dualno ured enje ured enja na partitivnom skupu P(A) je ured enje (nadskup). Matematička logika 12 Relacije - II deo

13 Restrikcija ure denja Neka je relacija na skupu A i B A. Definišimo relaciju B na B sa: def B = {(x, y) B B (x, y) } = B B. Ovako definisanu relaciju B nazivamo restrikcija relacije na B. Neka je ured enje na skupu A, tada njegova restrikcija B jeste ured enje na skupu B. Bez opasnosti od zabune, umesto B mi često pišemo samo, tj. polazno ured enje i njegovu restrikciju označavamo istim simbolom. Na primer, uobičajeno ured enje prirodnih brojeva je restrikcija uobičajenog ured enja celih brojeva na skup prirodnih brojeva. Matematička logika 13 Relacije - II deo

14 Linearno (totalno) ure denje Ured enje na skupu A je linearno ili totalno ured enje ako pored uslova koji definišu ured enje ispunjava i uslov linearnosti: ➃ za sve x, y A važi x y y x. U tom slučaju, par (A, ) se naziva linearno ured en skup, totalno ured en skup ili lanac. Drugim rečima, ured eni skup je linearno ured en ako su svaka dva njegova elementa uporediva. Kao što smo već videli, u opštem slučaju ne moraju svi elementi ured enog skupa biti uporedivi. Matematička logika 14 Relacije - II deo

15 Primeri linearno ure denih skupova a) Ured eni skupovi (N, ), (Z, ), (Q, ) i (R, ) su linearno ured eni. b) Ured eni skupovi (N, ) i (P(A), ) nisu linearno ured eni: u (N, ), elementi 2 i 3 su neuporedivi, u (P(A), ), za a, b A takve da je a b, {a} i {b} su neuporedivi elementi iz P(A). Matematička logika 15 Relacije - II deo

16 Predstavljanje ure denih skupova Neki ured eni skupovi, pre svega oni konačni, mogu se predstavljati Haseovim dijagramima: Elementi skupa predstavljaju se kao tačke u ravni i to tako da se x y obeležava spojnicom od x ka y, pri čemu je x na crtežu niže od y. Ne označava se x x, niti x z, ako postoje spojnice za x y i y z linearno ured eni skup ({1, 2, 3, 4}, ) Matematička logika 16 Relacije - II deo

17 Primeri Haseovih dijagrama {a, b, c} {a, b, d} kolekcija od četiri podskupa skupa {a, b, c, d} ured ena inkluzijom {a} {b} 4 6 {a, b} skup {1, 2, 3, 4, 5, 6} ured en relacijom deli {a} {b} partitivni skup dvočlanog skupa ured en inkluzijom Matematička logika 17 Relacije - II deo

18 Minimalni i maksimalni elementi Neka je (A, ) ured eni skup. Za element a A kažemo da je minimalan u A ako ne postoji x A tako da je x a i x a. Drugim rečima, a je minimalan ako u A ne postoji strogo manji element od njega. Analogno, za element a A kažemo da je maksimalan u A ako ne postoji x A tako da je x a i a x. Dakle, a je maksimalan ako u A ne postoji strogo veći element od njega. Matematička logika 18 Relacije - II deo

19 Najmanji i najveći element Za element a A kažemo da je najmanji u A ako je a x, za svaki x A. Drugim rečima, a je najmanji element u A ako je manji od svakog drugog elementa iz A. Slično, za element a A kažemo da je najveći u A ako je x a, za svaki x A. Prema tome, a je najveći element u A ako je veći od svakog drugog elementa iz A. Matematička logika 19 Relacije - II deo

20 Odnos minimalnog i najmanjeg elementa Ukoliko ured eni skup A ima najmanji element, tada je on jedinstven. Pri tome taj element jeste i jedini minimalni element u A. Ured eni skup može imati više minimalnih elemenata (i u tom slučaju ne može imati najmanji element). Minimalni elementi Najmanji element Isto važi i za maksimalne elemente i najveći element. Matematička logika 20 Relacije - II deo

21 Primeri a) U ured enim skupovima (N, ) i (N, ) broj 1 je najmanji element, dakle i jedini minimalan, dok nema maksimalnih elemenata niti najvećeg. b) U (Z, ) nema ni minimalnih ni maksimalnih elemenata, pa, prema tome, ni najmanjeg ni najvećeg. c) U (P(A), ) prazan skup je najmanji, a skup A je najveći element. d) U ured enom skupu (P (A), ) svih nepraznih podskupova skupa A, svi jednoelementni podskupovi su minimalni. Ukoliko A ima bar dva elementa, onda P (A) ima više minimalnih elemenata, pa nema najmanji element. Matematička logika 21 Relacije - II deo

22 Primeri {a, b, c} {a, b, d} Ured eni skup na slici ima dva minimalna i dva maksimalna elementa, ali nema najmanji ni najveći element. {a} {b} 6 Ured eni skup ({1, 2, 3, 4, 5, 6}, ) ima tri maksimalna elementa: 4, 5 i 6, i najmanji element Matematička logika 22 Relacije - II deo

23 Svojstvo konačnih ure denih skupova Tvrd enje 3: U svakom konačnom ured enom skupu postoji bar jedan minimalan i bar jedan maksimalan element. Dokaz: Neka je (A, ) konačan ured eni skup i a A. Ako je a minimalan element, dokaz je gotov; ako nije, postoji element a 1 a, tako da je a 1 a. Ako je a 1 minimalan, tvrd enje je dokazano, a ako nije, postoji element a 2 a 1, takav da je a 2 a 1. Jasno je da mora biti i a 2 a, jer bi smo u suprotnom dobili a 1 = a 2 = a. Na ovaj način dolazi se do minimalnog elementa, jer u protivnom skup A ne bi bio konačan sadržao bi lanac a, a 1, a 2,... med usobno različitih elemenata. Dokaz da postoji maksimalan element je analogan. Matematička logika 23 Relacije - II deo

24 Dobro ure deni skupovi Za ured eni skup (A, ) kažemo da je dobro ured en ako je linearno ured en, i svaki njegov neprazan podskup ima najmanji elemenat. a) Glavni primer dobro ured enih skupova je (N, ). b) Primer linearno ured enog skupa koji nije dobro ured en je skup svih nenegativnih racionalnih brojeva Q + 0 = {x Q 0 x} ured en restrikcijom uobičajenog ured enja racionalnih brojeva na Q + 0. Na primer, u ovom ured enom skupu podskup { 1 n N} nema najmanji n element. Matematička logika 24 Relacije - II deo

25 Donja i gornja granica skupa Neka je B neprazan podskup ured enog skupa (A, ). Element a A nazivamo donja granica ili donje ograničenje skupa B ako je a x, za svaki element x B, tj. ako je a manji od svih elemenata skupa B. Analogno, element a A nazivamo gornja granica ili gornje ograničenje skupa B ako je x a, za svaki element x B, tj. ako je a veći od svih elemenata skupa B. Matematička logika 25 Relacije - II deo

26 Donja i gornja granica skupa Sa B d označavaćemo skup svih donjih, a sa B g skup svih gornjih granica skupa B, tj. B d = {a A a x, za svaki x B}, B g = {a A x a, za svaki x B}. Skupovi B d i B g mogu biti i prazni. Na primer, kod ured enog skupa na slici, za skup B = {a, b}, skup B d je prazan, dok je B g = {c, d}. c d a b Matematička logika 26 Relacije - II deo

27 Infimum i supremum skupa Neka je B neprazan podskup ured enog skupa (A, ). Najveća donja granica skupa B, tj. najveći element skupa B d, ukoliko takav postoji, naziva se infimum skupa B. Analogno, najmanja gornja granica skupa B, tj. najmanji element skupa B g, ukoliko takav postoji, naziva se supremum skupa B. Ukoliko postoji infimum skupa B, onda je on jedinstven, zbog jedinstvenosti najvećeg elementa skupa B d. Isto važi i za supremum. Matematička logika 27 Relacije - II deo

28 Primeri infimuma i supremuma a) U ured enom skupu (N, ), svaki konačan podskup ima supremum to je najveći element podskupa. U (N, ) infimum postoji za svaki podskup to je najmanji element u podskupu. b) U ured enom skupu (N, ) infimum konačnog podskupa je najveći zajednički delilac, a supremum je najmanji zajednički sadržalac elemenata tog podskupa. c) U partitivnom skupu nekog skupa, ured enom inkluzijom, infimum kolekcije podskupova je njihov presek, a supremum je njihova unija. Matematička logika 28 Relacije - II deo

29 Primeri infimuma i supremuma d) U ured enom skupu na slici, skup B = {a, b} nema infimum, jer uopšte nema donjih granica. Ovaj skup nema ni supremum, jer skup njegovih gornjih granica B g = {c, d} nema najmanji element. c d a b Matematička logika 29 Relacije - II deo

30 Primeri infimuma i supremuma Zadatak 1.2. Neka je dat parcijalno ured eni skup c b d a f (a) Odrediti elemente neuporedive sa a: (b) Odrediti minimalne elemente: (c) Odrediti maksimalne elemente: (d) Odrediti najmanji element: (e) Odrediti najveći element: (f) Infimum skupa {a, b, d}: (g) Supremum skupa {a, b, d}: e Matematička logika 30 Relacije - II deo

31 Primeri infimuma i supremuma Rešenje: Imamo sledeće: c b d a f e Matematička logika 31 Relacije - II deo

32 Primeri infimuma i supremuma Rešenje: Imamo sledeće: c (a) Elementi neuporedivi sa a su: b d a f e Matematička logika 31 Relacije - II deo

33 Primeri infimuma i supremuma Rešenje: Imamo sledeće: c (a) Elementi neuporedivi sa a su: f, d, e b d a f e Matematička logika 31 Relacije - II deo

34 Primeri infimuma i supremuma Rešenje: Imamo sledeće: c (a) Elementi neuporedivi sa a su: f, d, e b (b) Minimalni elementi su: d a f e Matematička logika 31 Relacije - II deo

35 Primeri infimuma i supremuma Rešenje: Imamo sledeće: c (a) Elementi neuporedivi sa a su: f, d, e b (b) Minimalni elementi su: a, f, e d a f e Matematička logika 31 Relacije - II deo

36 Primeri infimuma i supremuma Rešenje: Imamo sledeće: c (a) Elementi neuporedivi sa a su: f, d, e b (b) Minimalni elementi su: a, f, e d (c) Maksimalni element je: a f e Matematička logika 31 Relacije - II deo

37 Primeri infimuma i supremuma Rešenje: Imamo sledeće: c (a) Elementi neuporedivi sa a su: f, d, e b (b) Minimalni elementi su: a, f, e d (c) Maksimalni element je: c a f e Matematička logika 31 Relacije - II deo

38 Primeri infimuma i supremuma Rešenje: Imamo sledeće: c (a) Elementi neuporedivi sa a su: f, d, e b (b) Minimalni elementi su: a, f, e d (c) Maksimalni element je: c a f e (d) Najmanji element: Matematička logika 31 Relacije - II deo

39 Primeri infimuma i supremuma Rešenje: Imamo sledeće: c (a) Elementi neuporedivi sa a su: f, d, e b (b) Minimalni elementi su: a, f, e d (c) Maksimalni element je: c a f e (d) Najmanji element: ne postoji Matematička logika 31 Relacije - II deo

40 Primeri infimuma i supremuma Rešenje: Imamo sledeće: c (a) Elementi neuporedivi sa a su: f, d, e b (b) Minimalni elementi su: a, f, e d (c) Maksimalni element je: c a f e (d) Najmanji element: ne postoji (e) Najveći element je: Matematička logika 31 Relacije - II deo

41 Primeri infimuma i supremuma Rešenje: Imamo sledeće: c (a) Elementi neuporedivi sa a su: f, d, e b (b) Minimalni elementi su: a, f, e d (c) Maksimalni element je: c a f e (d) Najmanji element: ne postoji (e) Najveći element je: c Matematička logika 31 Relacije - II deo

42 Primeri infimuma i supremuma Rešenje: Imamo sledeće: c (a) Elementi neuporedivi sa a su: f, d, e b (b) Minimalni elementi su: a, f, e d (c) Maksimalni element je: c a f e (d) Najmanji element: ne postoji (e) Najveći element je: c (f) Infimum skupa {a, b, d}: Matematička logika 31 Relacije - II deo

43 Primeri infimuma i supremuma Rešenje: Imamo sledeće: c (a) Elementi neuporedivi sa a su: f, d, e b (b) Minimalni elementi su: a, f, e d (c) Maksimalni element je: c a f e (d) Najmanji element: ne postoji (e) Najveći element je: c (f) Infimum skupa {a, b, d}: ne postoji (jer taj skup nema nijednu donju granicu) Matematička logika 31 Relacije - II deo

44 Primeri infimuma i supremuma Rešenje: Imamo sledeće: c (a) Elementi neuporedivi sa a su: f, d, e b (b) Minimalni elementi su: a, f, e d (c) Maksimalni element je: c a f e (d) Najmanji element: ne postoji (e) Najveći element je: c (f) Infimum skupa {a, b, d}: ne postoji (jer taj skup nema nijednu donju granicu) (g) Supremum skupa {a, b, d} je: Matematička logika 31 Relacije - II deo

45 Primeri infimuma i supremuma Rešenje: Imamo sledeće: c (a) Elementi neuporedivi sa a su: f, d, e b (b) Minimalni elementi su: a, f, e d (c) Maksimalni element je: c a f e (d) Najmanji element: ne postoji (e) Najveći element je: c (f) Infimum skupa {a, b, d}: ne postoji (jer taj skup nema nijednu donju granicu) (g) Supremum skupa {a, b, d} je: c (jer je to i jedina gornja granica tog skupa, pa je i najmanja gornja granica, tj. supremum). Matematička logika 31 Relacije - II deo

46 Reči (stringovi) Neka je A neprazan skup, koji nazivamo alfabetom, a njegove elemente slovima. Reč nad alfabetom A definišemo kao konačan niz elemenata iz A. x 1 x 2 x n Iz ovakve definicije je jasno da se jednakost reči definiše kao jednakost nizova, tj., dve reči u = x 1 x 2 x n i v = y 1 y 2 y m jednake ako i samo ako je m = n i x i = y i, za svaki i {1, 2,..., n}. Matematička logika 32 Relacije - II deo

47 Konkatenacija Skup svih reči nad alfabetom A označavamo sa A +. Na skupu A + definišemo operaciju spajanja, dopisivanja ili konkatenacije reči na sledeći način: Proizvod reči x 1 x 2 x n i y 1 y 2 y n, gde su x 1,..., x n, y 1,..., y m slova iz A, je reč x 1 x 2 x n y 1 y 2 y m. Lako se proverava da je ova operacija asocijativna. Neka je ε element takav da ε / A +, koji nazivamo prazna reč. Tada pišemo A = A + {ε}, i dodefinišemo operaciju spajanja reči sa: uε = u i εu = u, tj., spajanjem bilo koje reči sa praznom reči dobija se ista ta reč. Matematička logika 33 Relacije - II deo

48 Dužina reči Neka je data reč u = x 1 x 2 x n, koju čine slova x 1, x 2,..., x n A. Broj n, tj. broj elemenata u nizu x 1 x 2 x n, označavamo sa u, i nazivamo ga dužinom reči u. Za praznu reč kažemo da je dužine 0. Ako x jeste i-to slovo reči u, onda i zovemo pozicijom slova x u reči u. Neka je A = {x, y}. Reči nad tim alfabetom su x, y, xy, yx, xyx, xy 2, yx 2, yxy, xyx 2, (xy) 2, xy 2 x, xy 3,..., Na primer, reč xyx 2 je dužine 4. Za prirodan broj k, slovo x i reč u, x k i u k su skraćeni zapisi reči xx x }{{} k puta i uu u }{{} k puta Matematička logika 34 Relacije - II deo

49 Prefiks, sufiks, infiks Za reč u A kažemo da je prefiks reči v ako postoji reč w A takva da je v = uw, tj. ako je v reč koja počinje sa u; sufiks reči v ako postoji reč w A takva da je v = wu, tj. ako je v reč koja se završava sa u; infiks reči v ako postoje reči p, q A takve da je v = puq, tj. ako je v reč koja sadrži reč u. Infiks reči v nazivamo još i faktor reči v. Jasno, prema ovim definicijama, prazna reč je prefiks, sufiks i faktor bilo koje reči. Matematička logika 35 Relacije - II deo

50 Prefiks (sufiks, faktor) ure denje Zadatak 1.3. Definišimo na skupu A sledeće relacije: u p v def u je prefiks od v, u s v def u je sufiks od v, u f v def u je faktor od v. Dokazati da su sve one relacije poretka na A. Napomena 1.1. Za ova ured enja koristimo sledeće nazive p prefiks ured enje; s sufiks ured enje; f faktor ured enje. Matematička logika 36 Relacije - II deo

51 Prefiks (sufiks, faktor) ure denje Rešenje: Dokazujemo samo tvrd enje za relaciju p. Ostalo se ostavlja za samostalan rad. (a) Refleksivnost sledi iz činjenice da je u = uε, za svaku reč u A. (b) Antisimetričnost: Neka je u p v i v p u. To znači da je v = up i u = vq, za neke reči p, q A, pa je u = vq = upq. Na osnovu svojstva jednakosti reči, iz u = upq sledi da mora biti pq = ε, što dalje povlači da je p = q = ε, odakle je u = v. (c) Tranzitivnost: Neka je u p v i v p w. To znači da je v = up i w = vq, za neke reči p, q A, odakle je w = vq = upq. Prema tome, u p w. Matematička logika 37 Relacije - II deo

52 Prefiks (sufiks, faktor) ure denje U daljem radu, koristićemo i sledeće oznake: u < p v def u p v i u v, u < s v def u s v i u v, u < f v def u f v i u v. i ako je u < p v (odnosno u < s v, u < f v), govorićemo da je u pravi prefiks (odnosno pravi sufiks, pravi faktor) reči v. Matematička logika 38 Relacije - II deo

53 Prefiks (sufiks, faktor) ure denje Zadatak 1.4. Dokazati da za proizvoljne reči u, v, w A važi u p w v p w u p v v p u. Rešenje: Napišimo reč w u obliku w = x 1 x 2... x n, za neki n N i slova x 1, x 2,..., x n A. Tada u p w i v p w znači da je za neke i, j {1, 2,..., n}. u = x 1... x i i v = x 1... x j, Prema tome, ako je i j, onda imamo da je u p v, a ako je j i, onda je v p u. Matematička logika 39 Relacije - II deo

54 Leksikografsko ure denje Neka je alfabet A linearno ured en nekim ured enjem. Tada se to ured enje može proširiti do linearnog ured enja l na A, koje nazivamo leksikografsko ured enje, na sledeći način: u l v def u p v ili u = pxq, v = pyr, sa x < y u A, gde su p, q, r A i x, y A Drugim rečima, u l v ako je u p v ili za prvo slovo x u u koje se razlikuje od odgovarajućeg slova y u v važi da je x < y u A. Kada kažemo da je y odgovarajuće slovo za x, pod time podrazumevamo da y u v ima istu poziciju kao x u u. Takod e, p u gornjoj formuli je najduži zajednički prefiks reči u i v. Matematička logika 40 Relacije - II deo

55 Leksikografsko ure denje Zadatak 1.5. Dokazati da je l linearno ured enje na A. Rešenje: (1) Refleksivnost: Za proizvoljnu reč u A je u l u, jer je u p u. (2) Antisimetričnost: Za reči u, v A neka je u l v i v l u. (2.1) Ako je u p v i v p u, tada je u = v, zbog antisimetričnosti prefiks ured enja. (2.2) Neka je u p v i v = pxq, u = pyr, pri čemu je x < y, za neke p, q, r A i x, y A. Kako je p najduži zajednički prefiks za u i v i u p v, to je p = u, što je u suprotnosti sa u = pyr i y A. Dakle, zaključujemo da slučaj (2.2) nije moguć. Matematička logika 41 Relacije - II deo

56 Leksikografsko ure denje (2.3) Neka je v p u i u = pxq, v = pyr, pri čemu je x < y, za neke p, q, r A i x, y A. Na isti način dokazujemo da ni ovaj slučaj nije moguć. (2.4) Neka je x 1 < y 1, gde je x 1, y 1 prvi par različitih slova na istoj poziciji u u i v, i neka je y 2 < x 2, gde je y 2, x 2 prvi par različitih slova na istoj poziciji u v i u. Tada je x 1 = x 2 i y 1 = y 2, što znači da je x 1 < y 1 i y 1 < x 1, što nije moguće. Prema tome, ni slučaj (2.4) nije moguć. Matematička logika 42 Relacije - II deo

57 Leksikografsko ure denje (3) Tranzitivnost: Neka su u, v, w A reči takve da je u l v i v l w. (3.1) Neka je u p v i v p w. Tada je u p w, zbog tranzitivnosti prefiks ured enja, pa je u l w. (3.2) Neka je u p v i v = pxq, w = pyr, pri čemu je x < y, za neke p, q, r A i x, y A. Kako u ovom slučaju važi da je u p v i p p v, to dobijamo da je u p v ili p p u. Ako je u p p, tada, s obzirom da je p p w, imamo da je u p w, pa je, dakle, u l w, što je i trebalo dokazati. Matematička logika 43 Relacije - II deo

58 Leksikografsko ure denje Neka je sada p p u. Kako je slučaj p = u obuhvaćen prethodnim slučajem u p p, to možemo uzeti da je p < p u, tj. da je p pravi prefiks od u. U tom slučaju imamo da je u = pxq, za neku reč q A, što zajedno sa w = pyr i x < y povlači da važi u l w. (3.3) Neka je u = pxq, v = pyr, pri čemu je x < y, za neke p, q, r A i x, y A, i v p w. Tada, na potpuno isti način kao u (3.2) dokazujemo da je u l w. Matematička logika 44 Relacije - II deo

59 Leksikografsko ure denje (3.4) Neka je u = p 1 x 1 q 1, v = p 1 y 1 r 1, pri čemu je x 1 < y 1, za neke p 1, q 1, r 1 A i x 1, y 1 A, i neka je v = p 2 x 2 q 2, w = p 2 y 2 r 2, pri čemu je x 2 < y 2, za neke p 2, q 2, r 2 A i x 2, y 2 A. Kako je p 1 p v i p 2 p v, to imamo da je p 1 p p 2 ili p 2 p p 1. Kako se oba slučaja razmatraju na sličan način, to možemo uzeti da je, na primer, p 1 p p 2. Pretpostavimo najpre da je p 1 = p 2. Tada je y 1 = x 2, i x 1 < y 1 = x 2 < y 2 povlači da je x 1 < y 2, pa iz u = p 1 x 1 q 1, w = p 1 y 2 r 2 i x 1 < y 2 zaključujemo da je u l w. Matematička logika 45 Relacije - II deo

60 Leksikografsko ure denje Neka je sada p 1 < p p 2. Iz v = p 1 y 1 r 1, v = p 2 x 2 q 2 i p 1 < p p 2 zaključujemo da je p 2 = p 1 y 1 s, za neku reč s A, odakle sledi da je w = p 1 y 1 t, za neku reč t A. Prema tome, imamo da je u = p 1 x 1 q 1, w = p 1 y 1 t i x 1 < y 1, odakle sledi da je u l w. Ovim je dokazana tranzitivnost relacije l. Matematička logika 46 Relacije - II deo

61 Leksikografsko ure denje (4) Linearnost: Neka su date proizvoljne reči u, v A. Ako u i v nemaju zajednički prefiks, to znači da im se razlikuju već prva slova. Neka je x prvo slovo od u i y je prvo slovo od v. Kako je, prema pretpostavci, alfabet A linearno ured en, to je x < y, u kom slučaju je u < l v, ili je y < x, u kom slučaju je v < l u. Dalje, uzmimo da u i v imaju zajednički prefiks. U tom slučaju postoji najduži zajednički prefiks od u i v, koji ćemo označiti sa p. Sada imamo da je u = pxq i v = pyr, za neke q, r A i slova x, y A takva da je x y, pa opet na osnovu linearnosti ured enja na alfabetu A zaključujemo da je x < y, u kom slučaju je u < l v, ili je y < x, u kom slučaju je v < l u. Matematička logika 47 Relacije - II deo

62 Leksikografsko ure denje Zadatak 1.6. Uporediti leksikografski sledeće binarne reči: u = , v = , w = Rešenje: Prva pozicija na kojoj se reč u razlikuje od v i w je pozicija 2. Pri tome, na poziciji 2 reč u ima slovo 1, a reči v i w slovo 0, pa kako je 0 < 1, to dobijamo da je v < l u i w < l u. Dalje, prva pozicija na kojoj se razlikuju od reči v i w je pozicija 5. Na poziciji 5 reč v ima slovo 0, a reč w slovo 1, odakle je v < l w. Napomena 1.2. Binarne reči iz prethodnog zadatka su ASCII kodovi alfanumeričkih simbola A, 7 i?, tim redom. Matematička logika 48 Relacije - II deo

63 Leksikografsko ure denje Zadatak 1.7. Urediti leksikografski sve binarne reči dužine 4. Rešenje: Sve binarne reči dužine 4 su leksikografski ured ene na sledeći način: Matematička logika 49 Relacije - II deo

64 Alfabetsko ure denje Neka je alfabet A linearno ured en nekim ured enjem. Tada se ured enje a na A, koje nazivamo alfabetsko ured enje, definiše na sledeći način: u a v def u < v ili ( u = v i u l v ) Zadatak 1.8. Dokazati da je a linearno ured enje na A. Rešenje: (1) Refleksivnost: Za proizvoljnu reč u A je u a u, jer je u = u i u l u. Matematička logika 50 Relacije - II deo

65 Alfabetsko ure denje (2) Antisimetričnost: Neka je u a v i v a u, za neke reči u, v A. Ako je u = v, tada imamo da je u l v i v l u, odakle je u = v, zbog antisimetričnosti leksikografskog ured enja. Sa druge strane, slučaj u = v nije moguć, jer bi u suprotnom dobili da je u < v i v < u. Prema tome, zaključujemo da je a antisimetrična relacija. (3) Tranzitivnost: Neka je u a v i v a w, za neke reči u, v, w A. (3.1) Ako je u < v i v < w, tada je u < w, pa je u a w. (3.2) Ako je u < v, v = w i v l w, tada je u < w, odakle sledi da je u a w. (3.3) Ako je u = v, u l v, v < w, tada je opet u < w, odakle je u a w. Matematička logika 51 Relacije - II deo

66 Alfabetsko ure denje (3.4) Neka je u = v, u l v, v = w i v l w. Tada dobijamo da je u = w i u l w, zbog tranzitivnosti leksikografskog ured enja, odakle sledi da je u a w. Ovim smo dokazali tranzitivnost relacije a. (3) Linearnost: Neka su date proizvoljne reči u, v A. Ako je u = v, tada je u < v, u kom slučaju je u a v, ili je v < u, u kom slučaju je v a u. Ako je u = v, tada iz linearnosti leksikografskog ured enja sledi da je u l v ili v l u, što zajedno sa u = v daje u a v ili v a u. Matematička logika 52 Relacije - II deo

67 Alfabetsko ure denje Zadatak 1.9. Urediti leksikografski i alfabetski sve binarne reči dužine manje ili jednake 3. Rešenje: Leksikografski poredak: Alfabetski poredak: Matematička logika 53 Relacije - II deo

68 Alfabetsko ure denje Zadatak Počev od najmanjeg, pa do najvećeg, leksikografski urediti sledeće binarne reči: A = , B = , C = , D = , E = Rešenje: Kako sve ove reči imaju isto prvo slovo, to razmatramo drugo slovo. Jedino reč B ima drigo slovo 0, dok sve ostale imaju drugo slovo 1. Prema tome, B je najmanji element u ovom skupu. Od preostalih reči, A i E imaju treće slovo 0, pa su manje od C i D, koje kao treće slovo imaju 1. Ako dalje uporedimo A i E, videćemo da se prvo slovo po kome se razlikuju na petoj poziciji, gde kod A stoji 1, a kod E stoji 0. Dakle, reč E je druga, a A treća po veličini. Konačno, prvo slovo po kome se razlikuju C i D je na petoj poziciji, gde kod C stoji 0, a kod D stoji 1. Prema tome, reč C je četvrta a D peta po veličini. Dakle, rešenje je BEACD. Matematička logika 54 Relacije - II deo

69 Alfabetsko ure denje Zadatak Neka je ured enje na skupu binarnih nizova zadato sledećim Haseovim dijagramom. X = {0, 1, 10, 01, 11, 101, 011, 1011} Koje od sledećih ured enja ima kao svoju restrikciju na skupu X: (a) prefiks ured enje (b) leksikografsko ured enje (c) faktor ured enje (d) alfabetsko ured enje (e) sufiks ured enje Matematička logika 55 Relacije - II deo

70 Alfabetsko ure denje Rešenje: Primetimo najpre da ured enje nije linearno, jer, na primer, elementi 0 i 1 nisu uporedivi. Kako znamo da leksikografsko i alfabetsko ured enje jesu linearna ured enja, to zaključujemo da nije jedno od njih Ako bi bilo prefiks ured enje, onda ne bi moglo da bude 0 10, a ako bi to bilo sufiks ured enje, onda ne bi moglo da bude Odavde zaključijemo da ne može biti ni jedno od ta dva ured enja. Dakle, ostaje samo mogućnost da jeste faktor ured enje. To zaista važi, jer se sa slike vidi da je bilo koja reč iz datog skupa manja od neke druge ako i samo ako je njen faktor. Dakle, je faktor ured enje. Matematička logika 56 Relacije - II deo

71 Alfabetsko ure denje Zadatak U odnosu na koje ured enje su pored ani sledeći nizovi: (a) prefiks ured enje (b) leksikografsko ured enje (c) faktor ured enje (d) alfabetsko ured enje (e) simetrično ured enje 11, 101, 011, 01, 0. Rešenje: U zavisnosti od toga da li su ove reči date u rastućem poretku (od najmanjeg ka najvećem) ili opadajućem poretku (od najvećeg ka najmanjem), imamo da je ili ili Odatle zaključujemo da se ne radi o prefiks ured enju, jer nijedna od te dve reči nije prefiks one druge. Na isti način zaključujemo i da se ne radi o faktor ured enju, jer nijedna od te dve reči nije faktor druge. Matematička logika 57 Relacije - II deo

72 Alfabetsko ure denje Simetrično ured enje ne postoji, pa i tu mogućnost isključujemo. Prema tome, preostaju mogućnosti da je alfabetsko ili leksikografsko ured enje. Kako se kod alfabetskog ured enja reči ured uju najpre po dužini, a potom se reči iste dužine ured uju leksikografski, to zaključujemo da nije ni alfabetsko ured enje, jer dati poredak ne uvažava dužinu reči. Preostaje, dakle, da jeste leksikografsko ured enje. Ako date nizove pored amo po leksikografskom poretku, od najvećeg ka najmanjem, videćemo da je to upravo dati poredak. To znači da je rešenje (b) - leksikografsko ured enje. Matematička logika 58 Relacije - II deo

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Elementarna matematika - predavanja -

Elementarna matematika - predavanja - Elementarna matematika - predavanja - February 11, 2013 2 Sadržaj I Zasnivanje brojeva 5 I.1 Peanove aksiome............................. 5 I.2 Celi brojevi................................ 13 I.3 Racionalni

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije.

Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Svojstva tautologija Tvrd enje 3: Ako su formule A i A B tautologije, onda je tautologija i formula B. Dokaz: Neka su A i A B tautologije. Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v

Διαβάστε περισσότερα

KURS IZ MATEMATIKE I

KURS IZ MATEMATIKE I UČITELJSKI FAKULTET U SOMBORU dr Aleksandar Petojević KURS IZ MATEMATIKE I TEORIJA I REŠENI ZADACI Sombor, 2003. Glava 1 Matematička logika 1.1 Teorija Definicija 1. Iskazi su one rečenice o kojima ima

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0.

Aksioma zamene. Aksioma dobre zasnovanosti. Aksioma dobre zasnovanosti Svaki neprazan skup A sadrži skup a takav da je A a = 0. Aksioma zamene Aksioma zamene opisuje sledeće: ako je P (x, y) neko svojstvo parova skupova (x, y) takvo da za svaki skup x postoji tačno jedan skup y takav da par (x, y) ima svojstvo P, tada za svaki

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja... Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika. novembar 2012

Matematička logika. novembar 2012 Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog

Διαβάστε περισσότερα

Linearna uređenja i GO prostori

Linearna uređenja i GO prostori UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Milijana Milovanović Linearna uređenja i GO prostori -Master rad- Mentor: dr Aleksandar Pavlović Novi Sad, 2015.

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral

Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Metrički prostori i Riman-Stiltjesov integral Dragan S. Djordjević Niš, 2009. 0 Sadržaj Predgovor 3 1 Metrički prostori 5 1.1 Primeri metričkih prostora................. 5 1.2 Konvergencija nizova i osobine

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe,

O SKUPOVIMA. Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, O SKUPOVIM Do pojma skupa može se vrlo lako doći empirijskim putem, posmatrajući razne grupe, skupine, mnoštva neke vrste objekata, stvari, živih bića i dr. Tako imamo skup stanovnika nekog grada, skup

Διαβάστε περισσότερα

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA

PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA PREDAVANJA O STRUKTURI SKUPA REALNIH BROJEVA 1. Prvo predavanje - funkcije i prirodni brojevi Cilj predavanja u prvoj sedmici je podsećanje na skupove brojeva koji su se koristili u prethodnom školovanju,

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

O Šturmovim rečima i njihovim primenama u teoriji brojeva

O Šturmovim rečima i njihovim primenama u teoriji brojeva UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Kristina Ago O Šturmovim rečima i njihovim primenama u teoriji brojeva - Master rad- Mentor: dr Bojan Bašić

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE

ELEMENTARNE FUNKCIJE 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup Y je pridruživanje

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Prsteni neprekidnih funkcija

Prsteni neprekidnih funkcija 0 Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Prsteni neprekidnih funkcija Master rad Student: Damjan Kocić Mentor: Prof. dr Vladimir Pavlović Niš, Oktobar 2013. Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 23. Reč autora Ovo je verzija teksta koji je pod naslovom Linearna algebra prvobitno bio pripremljen za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

DELJIVOST CELIH BROJEVA

DELJIVOST CELIH BROJEVA DELJIVOST CELIH BROJEVA 1 Osnovne osobine Definicija 1.1 Nea su a 0 i b celi brojevi. Ao postoji ceo broj m taav da je b = ma, onda ažemo da je a delitelj ili fator broja b, b je sadržalac, višeratni ili

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske nejednačine

Trigonometrijske nejednačine Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Iskazni (propozicioni) račun

1.1 Iskazni (propozicioni) račun 1 Osnovi matematičke logike i teorije skupova 3 1 Osnovi matematičke logike i teorije skupova 1.1 Iskazni (propozicioni) račun Osnovni elementi iskaznog računa su iskazi (rečenice) i veznici. Iskaz ili

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE

FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ivan Prokić FUNKCIONALNO GUSTE RELACIONE ALGEBRE -master teza- Novi Sad, 2014 Sadržaj Predgovor 1 1 Uvod 3 1.1

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

Osnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan.

Osnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan. Iskazna algebra Osnovno svojstvo iskaza, ma kako složen bio, jeste da je on ili tačan, ili netačan. Da bi se pravila za odred ivanje istinitosti precizno formalizovala, uvodi se sledeća matematička struktura.

Διαβάστε περισσότερα

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t)

(y) = f (x). (x) log ϕ(x) + ψ(x) Izvodi parametarski definisane funkcije y = ψ(t) Izvodi Definicija. Neka je funkcija f definisana i neprekidna u okolini tačke a. Prvi izvod funkcije f u tački a je Prvi izvod funkcije f u tački : f f fa a lim. a a f lim 0 Izvodi višeg reda funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih

Διαβάστε περισσότερα

Sintaksa i semantika u logici

Sintaksa i semantika u logici Sintaksa i semantika u logici PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu 13. listopad 2012., Zadar Sintaksa i semantika u logici 1 / 51 1. Logika sudova 1.1. Sintaksa jezik 1.2. Semantika logike sudova

Διαβάστε περισσότερα

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika

Διαβάστε περισσότερα

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. 1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje

Διαβάστε περισσότερα