Inženjerstvo I Termodinamika 3. dio

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Inženjerstvo I Termodinamika 3. dio"

Transcript

1 Inženjerstvo I Termodinamika 3. dio

2 1.2.3 Unutarnja energija Molekularno kinetička teorija nam tumači, da se molekule nekog tijela, ili tvari, nalaze u gibanju i pri tome se međusobno sudaraju. Zavisno o agregatnom stanju, to gibanje molekula je više ili manje intenzivno: Čvrsto vibracija ili titranje Tekuće intenzivno Plinovito najintenzivnije, sve vrste gibanja

3 Ukupna energija svih takvih gibanja čini unutarnju energiju (U) promatranog sustava, te se ona povećava sa porastom temperature. Kod plinova prisutne su sve tri vrste gibanja: a) vibracijsko b) rotacijsko c) translacijsko (tj. pravocrtno) Slika 4. Gibanje molekula plina

4 1.2.4 Bilanca energije sustava Bilanca energije sustava sastoji se iz zbroja kinetičke, potencijalne i unutarnje energije:

5 Neke osnovne karakteristike agregatnih stanja Čvrsto Tekuće Plinovito Volumen određen određen neodređen Struktura Privlačne sile Slobodni put mol. kristalna 230 oblika difuzija, miješanje Brownovo gibanje velike slabe male ~ 0 ~ m ~ 10-7 m

6 1.2.5 Temeljne jedinice i veličine stanja sustava Vrlo je važno dobro poznavanje SI jedinica koje koristimo u termodinamici, ali isto tako i fizikalne veličine stanja termodinamičkog sustava. Stanje se može definirati veličinama kao što su: tlak, temperatura, volumen, gustoća...

7 Tlak ( p ) je sila kojom neki medij djeluje na jedinicu površine, izražava se u newtonima po metru kvadratnom ( N/m 2 ), te je njegova jedinica pascal ( Pa ). Budući da je pascal kao jedinica premala za tlakove koje susrećemo u praksi, koriste se veće jedinice kao što su kilopascal kpa i megapascal MPa

8 1kPa = 10 3 Pa 1MPa = 10 6 Pa Druge dvije često korištene jedinice za tlak su atmosfera i bar: 1 bar =10 5 Pa= 100 kpa = 0,1 MPa 1 atm = Pa = 101,325 kpa = 1,01325 bara 1 atm = 760 mmhg = 10 m H 2 O

9 Na površini mora atmosferski tlak je 101,325kPa, Ili 760 mmhg, i rezultat je težine zemljinog atmosferskog omotača, dok s porastom nadmorske visine on se postupno smanjuje. P o = 101,325 kpa Tlak iznad, veći od atmosferskog nazivamo predtlakom (nadtlakom) ili manometarskim p man a tlakove ispod atmosferskog, sve do apsolutnog vakuma: p = 0 (Pa), podtlakom, p v p = p o + p man (Pa) P = p o p v (Pa)

10 Uređaj za mjerenje atmosferskog tlaka je barometar, mehanički (sa oprugom) ili sa tekućinom (Hg), Torricellijev pokus za određivanje tlaka zraka:

11 Za mjerenje razlike tlaka koriste se manometri u obliku slova U. Hidraulički tlak, je vanjski tlak koji djeluje na tekućinu, i jednako se prenosi u tekućini u svim smjerovima, zbog nestlačivosti tekućina, (Pascalov princip): F 1 A 1 = F 2 A 2 F 2 = F 1 A 2 / A 1 Hidrostatski tlak, nastaje zbog težine tekućine i na dubini h iznosi: p = ρ g h ( Pa )

12 Ukupni tlak u tekućini na dubini h, ako je vanjski tlak p o : p u = p o + ρ g h ( Pa) Stacionarno strujanje tekućine je protjecanje jednakog volumena V tekućine u jedinici vremena, volumni protok V' (m 3 /s), je stalan za različite presjeke cjevovoda (V = konst.): V = v A (m 3 / s) Jednadžba kontinuiteta ukazuje, da su brzine protjecanja obrnuto prporcionalne sa presjekom: v 1 : v 2 = A 2 : A 1

13 Temperatura tijela (sustava) upravno je razmjerna s kinetičkom energijom molekula od kojih je promatrani sustav izgrađen. Što je ta energija veća, i temperatura sustava je viša. Temeratura tijela je svojstvo zbog kojeg to tijelo je ili nije u ravnoteži s nekim drugim tijelom. Količina topline je dio unutrašnje energije tijela (sustava) koji prelazi na drugo tijelo zbog razlike temperatura tih tijela.

14 Temperatura je mjera zagrijanosti nekog tijela. Označavamo je sa t ( C ) ili T (K), zavisno o kojoj se temperaturnoj ljestvici radi, Celzijusovoj ili Kelvinovoj. Osim njih koriste se i neke druge, Fahrenheitova i Rankinova temperaturna ljestvica. Odnosi u preračunavanje su: t ( C) = T (K) t ( F) = 1.8 t ( C) + 32 t ( R ) = t ( F ) +459,67 t ( R ) = 1,8 T ( K )

15 Vrste termometara: - Termometri s tekućinom u staklenoj cijevi (Hg,.) promjena volumena sa promjenom temperature - Otpornički termometri (termistori..) promjena el.otpora - S tekućim kristalima mijenjaju boju pri različitim - temperaturama - Digitalni s električnim dijelovima osjetljivim na temperaturu - Termočlanak mjeri EMS nastalu duž dva metalna spoja

16 Mjerna područja termometara, (min/ max): Živin C 300 C Živin s plinom C 700 C Alkohol C 50 C Električni otpornički C 1000 C Pirometar C 3000 C Plinski C 2800 C

17 Neke osnovne točke termometrije: Vrelište kisika ( 760 mm Hg ) -182,97 C Vrelište vode 100,0 C Trojna točka vode 0,01 C Kristalizacija zlata 1 063,0 C Kristalizacija srebra 960,8 C

18 Specifični toplinski kapacitet ( c ) (J / kg K) Toplina koju tijelo apsorbira ili oslobađa pri promjeni temperature od 1 K. Ovo svojstvo zavisi o masi tijela i vrsti tvari, kao i o temperaturi i tlaku. U praksi se upotrebljava srednji specifični c kapacitet u temperaturnom intervalu Q = m c ( t 2 t 1 ) ( J ) Za plinske smjese, specifični toplinski kapacitet, može se mjeriti: - pri konstantnom volumenu c v - pri konstantnom tlaku c p

19 Srednji specifični toplinski kapacitet c ( J / kg K ) u intervalu od 0 C do 100 C Tvar c ( J / kg K ) voda Et-OH bakar 389 željezo 473 zrak helij 5 190

20 Nulti zakon termodinamike: Ako su dva tijela u toplinskoj ravnoteži sa trećim tijelom, tada su ona i međusobno u toplinskoj ravnoteži: Slika 6. Ako T 1 = T 3 i T 2 = T 3 onda je i T 1 = T 2

21 Prvi glavni zakon termodinamike Zakon o očuvanju energije govori da količina energije dovedena nekom sustavu mora biti jednaka odvedenoj energiji iz sustava. Energija se ne moženi stvoriti niti uništiti. Dovedena toplina Q, djelomice povećava unutrašnju toplinsku energiju sustava U, a djelomice mu omogućuje da obavi rad W. U = U 2 U 1 Q = U + W + Q = primljena - Q = odvedena Slika 7. Zatvoren sustav

22 Kod zatvorenih sustava, ako se toplina Q (J) dovodi sustavu, količina rada W (J) koju sustav vrši, može se napisati kao bilanca energije: početna + dovedena - odvedena = konačna unutarnja e. energija energija unutarnja e. Slika 8. Bilanca energije u zatvorenom sustavu

23 Ako rad obavljaju sile izvan sustava: - mehanička se energija pretvara u unutrašnju toplinsku ( - W ) utrošak rada Ako rad obavlja sam sustav: - tada se unutrašnja toplinska energija sustava pretvara u mehaničku ( + W ) sustav proizvodi rad Poželjno je proizvesti rad, a ne trošiti ga!

24 Adijabatski procesi Prvi zakon termodinamike primjenit ćemo na sustave koji su toplinski izolirani od okoline, tako da se unutrašnja toplinska energija, pretvara u rad, ili se rad pretvara u unutrašnju toplinsku energiju. Q = U + W (J) ako je Q = 0 (J) 0 = U + W U = - W (J) Slika 8. Adijabatski proces

25 Iz izraza za promjenu unutrašnje energije : U = - W (J) može se jasno zaključiti da adijabatski proces, nije isto što i izoterman proces. Naime iako nema prijelaza topline za vrijeme adijabatskog procesa, sadržaj energije a tako i temperatura sustava može se mijenjati na drugi način, npr. vršenjem rada W.

26 Postoje uglavnom dva načina ostvarivanja adijabatskog procesa: - dobra toplinska izolacija ( vakumirane stjenke, novi naterijali za izolacije ) tj. da nema, razlike temperatura T, kao pokretačke sile za prijelaz topline - postupak brze kompresije i ekspanzije ( pri brzoj promjeni volumena, sustav ne uspjeva razmjeniti toplinu s okolinom, npr. kompresori, motori...)

27 Entalpija H (kj), ili sadržaj topline je dovedena toplina pri konstantnom tlaku, nekom sustavu. Specifična entalpija h (kj/kg) je toplina koja je potrebna, da se jedinična masa tvari zagrije od 0 C do zadane temperature. Promjena specifične entalpije (h 2 h 1 ) jednaka je količini topline koja je potrbna da se jedinica mase neke tvari, zagrije od temperature t 1 na temperaturu t 2, pri konstantnom tlaku. q = ( h 2 h 1 ) (kj/kg);

28 Količinu topline možemo izraziti i koristeći cp : q = cp ( t2 - t 1 ) Ove dvije jednadžbe za toplinu q možemo izjednačiti pa dobivamo: ( h2 - h1 ) = cp ( t2 - t1 ) ako t1= 0 C, onda i h1 = 0 h = cp t ( kj/ kg ) Može se zaključiti, da je specifična entalpija jednaka umnošku specifičnog toplinskog kapacitetu i temperature:

29 Kada nema protoka, ni strujanja radnog medija, jednadžbe za energije u sustavu, mogu se napisati: U 1 + Q + W = U 2 Q = U 2 U 1 W ako je rad izvršen pri p = const. W = p V 1 - p V 2 p 1 = p 2 = p = const. W = p 1 V 1 - p 2 V 2 Q = U 2 U 1 ( p 1 V 1 p 2 V 2 ) Q = ( U 2 + p 2 V 2 ) ( U 1 + p 1 V 1 ) Q = H 2 H 1 Može se definirati da je dovedena toplina jednaka promjeni entalpije.

30 H = U + pv (kj) ili h = u + pv (kj/kg) za 1 kg radnog medija Ukupna energija radnog medija u gibanju sastoji iz: ( KE + PE + H ) Opća jednadžba za energiju otvorenih sustava U 1 + ( KE 1 + PE 1 + H 1 ) + Q + W ( KE 2 + PE 2 + H 2 ) = U 2 Kako smo ranije napomenuli Q i W mogu ući ili izaći iz sustava pa imamo (+) ili ( )

31 Plinovi i pare najčešće se koriste kao radni mediji u termodinamičkim procesima. U plinovitoj fazi, molekule su udaljene jedna od druge i nasumično se gibaju. Molekule plina posjeduju malu gustoću, pa su intermolekularne sile vrlo slabe, te je međusobno sudaranje jedini oblik interakcije između molekula. One, u ovoj fazi, posjeduju znatno viši energetski nivo od tekuće ili krute faze.

32 Korištenje radnog medija u obliku pare, važna je praktična primjena u mnogim granama industrije: Većina tehnoloških postupaka u biotehnologiji i drugim granama industrije koristi paru kao prikladan medij za dobivanje energije u svim vrstama procesa, termoelektrane za dobivanje električne energije, i još mnogo drugih primjena. Proces dobivanja vodene pare, može sa primijeniti u principu na svaki medij, kada on mijenja svoje agregatno stanje iz tekućeg u plinovito.

33 Otvoreni sustav Kod otvorenog sustava radni medij ulazi i izlazi iz sustava, dok je masa radnog medija u sustavu obično konstantna (a može se i mijenjati), dok je volumen uvijek konstantan. Budući da kod otvorenog sustava radni medij ulazi i izlazi, potrebno je uzeti u obzir i energiju koju on unosi ili iznosi iz sustava. Osim prijelaza topline (Q) i rada (W), u obzir se moraju uzeti i potencijalna energija (PE), kinetička (KE) i unutarnja energija (U) a ponekad i entalpija (H).

34 Slika 9. primjer je otvorenog sustava sa stalnim protokom radnog medija (volumen je konstantan, dok se masa može mijenjati). Voda ulazi konstantnom brzinom i pretvara se u paru, koristeći toplinu električne energije ili izgaranja goriva npr. drvo, ugljen, nafta, plin. Slika 9. Otvoren sustav zagrijavanja voda

35 Zatvoreni sustav Na slici 10. prikazan je postupak nastajanja vodene pare u zatvorenom sustavu, ( klipcilindar), u 5 faza. Faza 1, početna: pretpostavlja se da klip nema težine i da se pomiče bez trenja, te leži na maloj količini vode pri 0 C u vertikalnom cilindru. Ako je atmosferski tlak 1 bar, tada je i tlak iznad klipa 1 bar. Zbog ravnoteže, tlak ispod klipa također mora iznositi 1 bar.

36 Faza 2, zagrijavanje, vrenje Zagrijavanjem vode do temperature zasićenja, koja pri 1 baru iznosi 99,6 C, nastaje vrela kapljevina, i zasićena para Faza 3, nastajanje mokre pare Daljnjim zagrijavanjem, nastaje mokra para, manje gustoće nego voda, ali većeg volumena (faktor povećanja za 1700 x), kako volumen pare. raste, klip se pomiče prema gore. Faza 4, suha para Iako se sustav i dalje zagrijava temperatura se ne povisuje sve dok i zadnja kapljica vode ne ispari (Latentna toplina). Volumen i dalje raste, klip se diže i nastaje suha para

37 Faza 5, pregrijavanje, pregrijana para Daljnjim zagrijavanjem nakon što je isparila i zadnja kapljica vode, temperatura počinje naglo rasti na 155 C, volumen pare se povečava te se klip diže. Daljnjim dovođenjem topline, temperatura i dalje raste i ova faza se naziva pregrijavanje, a para koja nastaje - pregrijana para

38 Slika 10. Nastajanje pare u zatvorenom sustavu klip cilindar ( 1-početna faza; 2-vrenje;3,4- isparavanje, latentna toplina; 5- pregrijavanje

39 Slika11. Nastajanje vodene pare, Točke (1-2) zagrijavanje; 2 vrenje; (2-4) isparavanje, latentna toplina; (4-5) pregrijavanje, nastajanje pregrijane pare

40 Drugi glavni zakon termodinamike Toplina ne može prelaziti iz spremnika niže temperature u spremnik više temperature bez utroška rada izvana. ( R. Clausius ) Iako je učinjeno mnogo pokušaja da se ospori ovaj zakon Perpetum mobile 2. vrste nije moguć, kako je to formulirao Ostwald. Perpetum mobile 2. vrste bio bi stroj koji bi oduzimao toplinu iz jednog spremnika i pretvarao je svu u rad. ili. Kako bi se toplina mogla dobivati na račun unu trašnjeg trenja i vanjskog rada. ali utvrđeno je da su i unutrašnje trenje i vođenje topline, ireverzibilni proccesi.

41 Treći glavni zakon termodinamike Nije moguće ni na kakav način, ma kako taj način bio idealiziran, sniziti temperaturu nekog sustava do apsolutne nule u konačnom broju operacija, Nernst ( )

42 Eksperimentima je dokazano da je nemoguće postići apsolutnu nulu, ali su postignute vrlo niske vrijedniosti sve do par mikrokelvina. U T, S- dijagramu, vrijednosti entropije S ( kj/k ) na apsolutnoj nuli ( 0 K ) jednaka je nuli ( S = 0 ) Entropija je funkcija stanja sustava: -reverzibilni proces, ukupna promjena S = 0 - ireverzibilni proces, promjena entropije S> 0 S = k ln Ω ( kj / K ) ili po jedinici mase s = k ln ω ( kj / kg K) specifična entropija gdje je k = 1,38 10(-23) J/K Boltzmanova konst aω termodinamička vjerojatnost

43 Termodinamički proces koji se odvija u izoliranom sustavu, teži prema ravnotežnom stanju. Ravnotežno stanje ima najveću vjerojatnost i prema tome najveću entropiju. Entropija je mjera neuređenosti sustava. Prema Clausiusu izraz za proračun entropije je: s = c p ln v + c v ln p + s 0 ( kj/ kg K ) U termodinamičkim procesima nije uvijek potrebno znati apsolutnu vrijednost entropije nego samo njenu promjenu

44 Plin se definira kao tvar koja ima vrlo nisku kritičnu temperaturu pri tlakovima koje susrećemo u praksi. I plinovi kao što su kisik, dušik i ugljični dioksid imaju vrlo niske kritične temperature. Mnogi eksperimenti sa plinovima pokazali su, da u stanju ravnoteže, pvt sustav, temperatura, tlak i volumen su u međusobnom odnosu prema zakonitostima koje su otkrili mnogi poznati znanstvenici kroz povijest: Boyle-Mariotteov zakon (R. Boyle 1662., E. Mariotte 1667.) Umnožak tlaka i volumena je konstantan, pri izotermnoj promjeni idealnog plina u zatvorenom sustavu: p V = konst. za T = konst. Ili p V = f ( T ) ili da je umnožak tlaka i volumena zavisan o temperaturi Treba uočiti da sve zakonitosti vrijede za idelne plinove, kod kojih se ne uzimaju u obzir međumolekularne sile, uz pretpostavku da su sve molekule jednake mase, iste prosječne brzine, te da su njihovi međusobni sudari elastični

45 Slika izotermne promjene, ( T = konst. ), Boyle-Mariotteov zakon Gay- Lussac (1802.) je pronašao, da se volumen plina mijenja linearno s temperaturom pri stalnom tlaku (izobarna promjena). V / T = konst. za p = konst.

46 Charlesov zakon ( ) Kada se temperatura plina mijenja uz stalni volumen ( izohorno ), tlak plina linearno raste s temperaturom: p / T = konst. uz V = konst Slika izohorne promjene ( V = konst.), Charlesov zakon

47 Clapeyron (1843.) je spojio ove zakone u jedan, i dao funkcionalnu povezanost, koja se koristi kao jednadžba stanja: p V / T = const. odnosno p V / T = m R p V = m R T Opća jednadžba stanja plinova gdje je: R plinska konstanta za pojedini plin

48 v = V / m = 1 / ρ ( m 3 / kg ) p = ρ R T budući da je v = 1 / ρ Vrijednost plinske konstante R za pojedini plin može se izračunati iz odnosa, opće plinske konstante R 0 i molekularne mase plina M : R = R 0 / M R 0 = J / kg mol K Relacija specifičnih toplinskih kapaciteta i vrijednosti plinske konstante R za pojedini plin c p c v = R c p / c v = κ ( kapa ) eksponent karakterističan za procese bez izmjene topline

49 Politropski procesi Ako se umnožak tlaka i volumena napiše sa eksponentom n, zavisno o vrijednosti n, dobit ćrmo razne politropske procese : p v n = konst. Slika Ekspanzije i kompresije u p,v -dijagramu

50 Politropski procesi, kako ih je definirao Zeuner (1873.) zavisno o vrijednosti n, mogu biti: Izotermni ( T = konst ) n = 1 Izobarni ( p = konst. ) n = 0 Izohorni ( v = konst. ) n = ~ Adijabatski ( s = konst.) n =κ = c p / c v Politropski - n = n

51 Kružni procesi Da bi se toplinska energija (sadržana u gorivu ili sl.) pretvorila u mehanički rad, još je Carnot (1824.) pronašao, da se toplinski stroj mora sastojati od najmanje dva toplinska spremnika, toplijeg i hladnijeg. Mehanički rad koji se na taj način može dobiti, jednak je razlici između dovedene i odvedene topline. Svaki osnovni trmodinamički ciklus ili kružni proces, sadrži po dvije istovrsne promjene stanja, i mogu se podijeliti na: a) desnokretne koji daju rad, odnosno snagu b) lijevokretne koji troše rad, odnosno snagu

52 Carnot (1824.) je teorijski ukazao na prednost izmjene topline kod konstantne temperature, tj. Izotermno. To je teorijski najidealniji ciklus, koji se odvija između dvije izotrme i dvije adijabate, a kompresija i ekspanzija se odvija u dobro izoliranom sustavu. Takvi termodinamički procesi, u pravilu su teorijski, bez gubitaka energije, dok su procesi u stvarnim toplinskim strojevima povezani sa neizbježnim gubicima topline, koje treba smanjiti, primjenom svih termodinamičkih znajna

53 Carnot nije dao matematičku formulaciju svog ciklusa, jer je pojam entropije uveo Clausius tek godine. Slika Carnotov kružni proces u p, V - dijagramu

54 Ericssonov (1853) toplinski stroj sastoji se iz dva izotermna cilindra i izmjenjivača topline (IT) ili regeneratora. Proces se odvija između dvije izotermne i dvije izobarne promjene stanja. U procesu se toplina vrućih plinova nakon ekspanzije koristi za zagrijavanje plina u (IT) nakon kompresije. Topline koje se izmjenjuju u (IT) su jednake, pa se međusobno mogu izjednačiti. Dobiveni rad jednak je razlici dovedene i odvedene topline, pri izotermnoj promjeni stanja. Time je Ericssonov proces vrlo sličan Carnotovom.

55 Stirlingov (1815.) toplinski stroj, sastoji se od jednog klasično građenog cilindra ili radnog, i cilindra koji služi za miješanje toplog i hladnog medija, sa klipom izmjenjivačem. Kada je klip izmjenjivač u gornjoj mrtvoj točki, sav radni medij je u vrućem prostoru i radni klip vrši ekspanziju. Obzirom da ekspanzija vrućeg medija daje više rada nego što se troši za kompresiju hladnog, dobiva se koristan rad na osovini stroja. Stirlingov stroj ima niz prednosti jer je malih dimenzija, radi tiho, i ima specifičnu potrošnju goriva, a stupanj djelovanja je bolji nego kod Diesel motora.

56 Slika kružnih procesi u T,s i p, v dijagramima : a) Carnot; b) Stirling; c) Ericsson

57 U realnim stapnim (klipnim) kompresorima, mehanički rad se troši za kompresiju zraka ili plina, a bolje iskorištenje, moguće je višestepenom kompresijom. Utrošeni rad W = p d V Prikaz utrošenog rada (površina ispod krivulje), u p, v - dijagramu

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare

Eliminacijski zadatak iz Matematike 1 za kemičare Za mnoge reakcije vrijedi Arrheniusova jednadžba, koja opisuje vezu koeficijenta brzine reakcije i temperature: K = Ae Ea/(RT ). - T termodinamička temperatura (u K), - R = 8, 3145 J K 1 mol 1 opća plinska

Διαβάστε περισσότερα

TEHNIČKA TERMODINAMIKA

TEHNIČKA TERMODINAMIKA UVOD TEHNIČKA TERMODINAMIKA dr. sc. Dražen Horvat, dipl.ing. Zagreb, ožujak 2006. TERMODINAMIKA = znanost o energiji ENERGIJA = sposobnost da se izvrši rad ili mogućnost da se uzrokuju promjene PRINCIP

Διαβάστε περισσότερα

PRVI I DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE

PRVI I DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE PRVI I DRUGI ZAKON TERMODINAMIKE TERMODINAMIČKI SUSTAVI - do sada smo proučavali prijenos energije kroz mehanički rad i kroz prijenos topline - uvijek govorimo o prijenosu energije u ili iz specifičnog

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Upotreba tablica s termodinamičkim podacima

Upotreba tablica s termodinamičkim podacima Upotreba tablica s termodinamičkim podacima Nije moguće znati apsolutnu vrijednost specifične unutarnje energije u procesnog materijala, ali je moguće odrediti promjenu ove veličine, koja odgovara promjenama

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc.

Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc. Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Sveučilišta u Zagrebu Seminar 06 Plinski zakoni dr. sc. Biserka Tkalčec dr. sc. Lidija Furač Pri normalnim uvjetima tlaka i temperature : 11 elemenata su plinovi

Διαβάστε περισσότερα

13.1. Termodinamički procesi O K O L I N A. - termodinamički sustav: količina tvari unutar nekog zatvorenog volumena

13.1. Termodinamički procesi O K O L I N A. - termodinamički sustav: količina tvari unutar nekog zatvorenog volumena 13. TERMODINAMIKA - dio fizike koji proučava vezu izmeñu topline i drugih oblika energije (mehanički rad) - toplinski strojevi: parni stroj, hladnjak, motori s unutrašnjim izgaranjem - makroskopske veličine:

Διαβάστε περισσότερα

Količina topline T 2 > T 1 T 2 T 1

Količina topline T 2 > T 1 T 2 T 1 Izvršeni rad ermodinamički sustav može vršiti rad na račun unutrašnje energije. Smatramo da je rad pozitivan ako sustav vrši rad, odnosno da je negativan ako se rad vrši nad sustavom djelovanjem vanjskih

Διαβάστε περισσότερα

Termodinamički zakoni

Termodinamički zakoni Termodinamički zakoni Stanje sistema Opisano je preko varijabli stanja tlak volumen temperatura unutrašnja energija Makroskopsko stanje izoliranog sistema može se specificirati jedino ako je sistem u unutrašnjoj

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Zadatci za vježbanje Termodinamika

Zadatci za vježbanje Termodinamika Zadatci za vježbanje Termodinamika 1. Električnim bojlerom treba zagrijati 22 litre vode 15 ⁰C do 93 ⁰C. Koliku snagu mora imati grijač da bi se to postiglo za 2 sata zagrijavanja? Specifični toplinski

Διαβάστε περισσότερα

konst. Električni otpor

konst. Električni otpor Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku Elektrotehnički fakultet sijek Stručni studij Električni otpor hmov zakon Pri protjecanju struje kroz vodič pojavljuje se otpor. Georg Simon hm je ustanovio ovisnost

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Drugi zakon termodinamike

Drugi zakon termodinamike Drugi zakon termodinamike Uvod Drugi zakon termodinamike nije univerzalni prirodni zakon, ne važi za sve sisteme, naročito ne za neobične sisteme (mikrouslovi, svemirski uslovi). Zasnovan je na zajedničkom

Διαβάστε περισσότερα

Priprema za državnu maturu

Priprema za državnu maturu Priprema za državnu maturu Toplina / Molekularno-kinetička teorija / Termodinamika 1. Temperatura apsolutne nule iznosi C. Temperatura od 37 C iznosi K. Ako se temperatura tijela povisi od 37 C na 39 C

Διαβάστε περισσότερα

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE)

PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) (Enegane) List: PARNA POSTROJENJA ZA KOMBINIRANU PROIZVODNJU ELEKTRIČNE I TOPLINSKE ENERGIJE (ENERGANE) Na mjestima gdje se istovremeno troši električna i toplinska energija, ekonomičan način opskrbe energijom

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava

Opća bilanca tvari - = akumulacija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog sustava. masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava Opća bilana tvari masa unijeta u dif. vremenu u dif. volumen promatranog sustava masa iznijeta u dif. vremenu iz dif. volumena promatranog sustava - akumulaija u dif. vremenu u dif. volumenu promatranog

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet

Rad, snaga, energija. Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad, snaga, energija Tehnička fizika 1 03/11/2017 Tehnološki fakultet Rad i energija Da bi rad bio izvršen neophodno je postojanje sile. Sila vrši rad: Pri pomjeranju tijela sa jednog mjesta na drugo Pri

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija

SEMINAR IZ KOLEGIJA ANALITIČKA KEMIJA I. Studij Primijenjena kemija SEMINAR IZ OLEGIJA ANALITIČA EMIJA I Studij Primijenjena kemija 1. 0,1 mola NaOH je dodano 1 litri čiste vode. Izračunajte ph tako nastale otopine. NaOH 0,1 M NaOH Na OH Jak elektrolit!!! Disoira potpuno!!!

Διαβάστε περισσότερα

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,

Pošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000, PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Iz poznate entropije pare izračunat ćemo sadržaj pare u točki 2, a zatim i specifičnu entalpiju stanja 2. ( ) = + 2 x2

Iz poznate entropije pare izračunat ćemo sadržaj pare u točki 2, a zatim i specifičnu entalpiju stanja 2. ( ) = + 2 x2 1. zadata Vodena para vrši promjene stanja po desnoretnom Ranineovom cilusu. Kotao proizvodi vodenu paru tlaa 150 bar i temperature 560 o C. U ondenzatoru je tla 0,06 bar, a snaga turbine je 0 MW. otrebno

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Teorijski dio ispita iz Termodinamike I ( )

Teorijski dio ispita iz Termodinamike I ( ) Teorijski dio ispita iz Termodinamike I (08. 09. 2010.) Iz opće jednadžbe politrope pv n = konst. izvedite njezinu diferencijalnu jednadžbu u p,v koordinatama. Napišite izraz čemu je jednak eksponent politrope

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Energijske tehnologije

Energijske tehnologije Ograničenja pretvorbama i pretvorbe oblika energije u eksergiju (mehanički rad) Vladimir Mikuličić, Davor Grgić, Zdenko Šimić, Marko Delimar FER, 2013. Teme: 1. Organizacija i sadržaj predmeta 2. Uvodna

Διαβάστε περισσότερα

4. Termodinamika suhoga zraka

4. Termodinamika suhoga zraka 4. Termodinamika suhoga zraka 4.1 Prvi stavak termodinamike Promatramo čest suhoga zraka mase m. Dodamo li česti malu količinu topline đq brzinom đq / dt, gdje je dt diferencijal vremena, možemo primijeniti

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA

BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA BIOFIZIKA TERMO-FIZIKA Akademik, prof. dr Jovan P. Šetrajčić jovan.setrajcic@df.uns.ac.rs Univerzitet u Novom Sadu Departman za fiziku PMF Powered byl A T E X 2ε! p. / p. 2/ Termika FENOMENOLOŠKA TEORIJA

Διαβάστε περισσότερα

12. SKUPINA ZADATAKA IZ FIZIKE I 6. lipnja 2016.

12. SKUPINA ZADATAKA IZ FIZIKE I 6. lipnja 2016. 12 SKUPIN ZDK IZ FIZIKE I 6 linja 2016 Zadatak 121 U osudi - sremniku očetnog volumena nalazi se n molova dvoatomnog lina na temeraturi rema slici) Plin izobarno ugrijemo na temeraturu, adijabatski ga

Διαβάστε περισσότερα

HIDRODINAMIKA JEDNADŽBA KONTINUITETA I BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA JEDNADŽBA KONTINUITETA. s1 =

HIDRODINAMIKA JEDNADŽBA KONTINUITETA I BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA JEDNADŽBA KONTINUITETA. s1 = HIDRODINAMIKA JEDNADŽBA KONTINUITETA I BERNOULLIJEVA JEDNADŽBA Hidrodinamika proučava fluide (tekućine i plinove) u gibanju. Gibanje fluida naziva se strujanjem. Ovdje ćemo razmatrati strujanje tekućina.

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.

Matematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015. Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Kaskadna kompenzacija SAU

Kaskadna kompenzacija SAU Kaskadna kompenzacija SAU U inženjerskoj praksi, naročito u sistemima regulacije elektromotornih pogona i tehnoloških procesa, veoma često se primenjuje metoda kaskadne kompenzacije, u čijoj osnovi su

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.

VJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno. JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)

Διαβάστε περισσότερα

1. REALNI PLINOVI I PARE Veličine stanja vodene pare

1. REALNI PLINOVI I PARE Veličine stanja vodene pare 1 REALNI PLINOVI I PARE 1 1 Veličine stanja vodene pare Veličine stanja vrele kapljevine, suhe i pregrijane pare prikazuju se u tablicama za vodenu paru Veličine stanja vrele kapljevine označavaju se s

Διαβάστε περισσότερα

U unutrašnja energija H entalpija S entropija G 298. G Gibsova energija TERMOHEMIJA I TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA

U unutrašnja energija H entalpija S entropija G 298. G Gibsova energija TERMOHEMIJA I TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA HEMIJSKA TERMODINAMIKA Bavi se energetskim promenama pri odigravanju hemijskih reakcija. TERMODINAMIČKE FUNKCIJE STANJA U unutrašnja energija H entalpija S entropija Ako su određene na standardnom pritisku

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

PITANJA IZ TERMIČKIH POJAVA I MOLEKULARNO-KINETIČKE TEORIJE

PITANJA IZ TERMIČKIH POJAVA I MOLEKULARNO-KINETIČKE TEORIJE PITANJA IZ TERMIČKIH POJAVA I MOLEKULARNO-KINETIČKE TEORIJE 1. Što je temperatura i kako je mjerimo? 2. Na koji način se mjeri temperatura i kakva je Celzijeva termometrijska ljestvica? 3. Napišite i objasnite

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u termodinamiku

Uvod u termodinamiku Uvod u termodinamiku «Uvod u statističku fiziku» Ivo Batistić ivo@phy.hr Fizički odsjek, PMF Sveučilište u Zagrebu predavanja 2006/2007 Pregled predavanja Osnovni pojmovi Termodinamičko stanje Termodinamički

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)

( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova) A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko

Διαβάστε περισσότερα

Danas ćemo raditi: (P. Kulišić: Mehanika i toplina, poglavlje 12)

Danas ćemo raditi: (P. Kulišić: Mehanika i toplina, poglavlje 12) Školska godina 2007./2008. Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje Studij računarstva Fizika 1 Predavanje i 13 Toplina i temperatura. Prijenos topline. Dr. sc. Ivica Puljak (Ivica.Puljak@fesb.hr)

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

KORIŠTENJE VODNIH SNAGA

KORIŠTENJE VODNIH SNAGA KORIŠTENJE VODNIH SNAGA ENERGIJA I SNAGA Energija i snaga Energija je sposobnost obavljanja rada. Energija se u prirodi javlja u različitim oblicima. Po zakonu o održanju energije: energija se ne može

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Otpornost R u kolu naizmjenične struje

Otpornost R u kolu naizmjenične struje Otpornost R u kolu naizmjenične struje Pretpostavimo da je otpornik R priključen na prostoperiodični napon: Po Omovom zakonu pad napona na otporniku je: ( ) = ( ω ) u t sin m t R ( ) = ( ) u t R i t Struja

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

TOPLINA I TEMPERATURA:

TOPLINA I TEMPERATURA: GEOMETRIJSKA OPTIKA 1. U staklenoj posudi s ravnim dnom nalazi se sloj vode (n v =1,33) debljine 5 cm, a na njemu sloj ulja (n u =1,2) debljine 3 cm. Iz zraka na ulje upada svjetlost pod kutom 45, prolazi

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Rad, energija i snaga

Rad, energija i snaga Rad, energija i snaga Željan Kutleša Sandra Bodrožić Rad Rad je skalarna fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile F na tijelo duž pomaka x. = = cos Oznaka za rad je W, a mjerna jedinica J (džul).

Διαβάστε περισσότερα

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE INTELIGENTNO UPRAVLJANJE Fuzzy sistemi zaključivanja Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović Mehmedović 1 Osnovni elementi fuzzy sistema zaključivanja Fazifikacija Baza znanja Baze podataka Baze pravila

Διαβάστε περισσότερα

numeričkih deskriptivnih mera.

numeričkih deskriptivnih mera. DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Postupak rješavanja bilanci energije

Postupak rješavanja bilanci energije Postupak rješavanja bilanci energije 1. Postaviti procesnu shemu 2. Riješiti bilancu tvari 3. Napisati potreban oblik jednadžbe za bilancu energije (zatvoreni otvoreni sustav) 4. Odabrati referentno stanje

Διαβάστε περισσότερα

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem.

TOPLOTA. Primjeri. * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. 1.OSNOVNI POJMOVI TOPLOTA Primjeri * KALORIKA Nauka o toploti * TERMODINAMIKA Razmatra prenos energije i efekte tog prenosa na sistem. * TD SISTEM To je bilo koje makroskopsko tijelo ili grupa tijela,

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ FIZIKALNE KEMIJE

ZBIRKA ZADATAKA IZ FIZIKALNE KEMIJE Sveučilište u Zagrebu Fakultet kemijskog inženjerstva i tehnologije Zavod za fizikalnu kemiju ZBIRKA ZADATAKA IZ FIZIKALNE KEMIJE (interna zbirka odabranih poglavlja iz Fizikalne kemije za studente Fakulteta

Διαβάστε περισσότερα

Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora. Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo

Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora. Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo Mehatronika - Metode i Sklopovi za Povezivanje Senzora i Aktuatora Sadržaj predavanja: 1. Operacijsko pojačalo Operacijsko Pojačalo Kod operacijsko pojačala izlazni napon je proporcionalan diferencijalu

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Prof. dr. sc. Z. Prelec ENERGETSKA POSTROJENJA Poglavlje: 7 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1

Prof. dr. sc. Z. Prelec ENERGETSKA POSTROJENJA Poglavlje: 7 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1 (Regenerativni zagrijači napojne vode) List: 1 REGENERATIVNI ZAGRIJAČI NAPOJNE VODE Regenerativni zagrijači napojne vode imaju zadatak da pomoću pare iz oduzimanja turbine vrše predgrijavanje napojne vode

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU METALURŠKI FAKULTET

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU METALURŠKI FAKULTET SVEUČILIŠTE U ZAGREBU METALURŠKI FAKULTET FIZIKALNA KEMIJA - predavanja doc. dr. sc. Anita Begić Hadžipašić Sisak, 016. Naslov: Fizikalna kemija Autor: doc. dr. sc. Anita Begić Hadžipašić Recenzenti: prof.

Διαβάστε περισσότερα

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom

Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Kolegij: Obrada industrijskih otpadnih voda Vježba: Uklanjanje organskih bojila iz otpadne vode koagulacijom/flokulacijom Zadatak: Ispitati učinkovitost procesa koagulacije/flokulacije na obezbojavanje

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

Termodinamika. Termodinamika

Termodinamika. Termodinamika ermodinamika Postoje brojne definicije termodinamike kao nauke o toploti. ako na primjer, prema Enriku Fermiju: Glavni sadržaj termodinamike je opisivanje transformacije toplote u mehnaički rad i obratno

Διαβάστε περισσότερα

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina:

S t r a n a 1. 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a) MgCl 2 b) Al 2 (SO 4 ) 3 sa njihovim molalitetima, m. za so tipa: M p X q. pa je jonska jačina: S t r a n a 1 1.Povezati jonsku jačinu rastvora: a MgCl b Al (SO 4 3 sa njihovim molalitetima, m za so tipa: M p X q pa je jonska jačina:. Izračunati mase; akno 3 bba(no 3 koje bi trebalo dodati, 0,110

Διαβάστε περισσότερα

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe

BIPOLARNI TRANZISTOR Auditorne vježbe BPOLARN TRANZSTOR Auditorne vježbe Struje normalno polariziranog bipolarnog pnp tranzistora: p n p p - p n B0 struja emitera + n B + - + - U B B U B struja kolektora p + B0 struja baze B n + R - B0 gdje

Διαβάστε περισσότερα

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa

Gravitacija. Gravitacija. Newtonov zakon gravitacije. Odredivanje gravitacijske konstante. Keplerovi zakoni. Gravitacijsko polje. Troma i teška masa Claudius Ptolemeus (100-170) - geocentrični sustav Nikola Kopernik (1473-1543) - heliocentrični sustav Tycho Brahe (1546-1601) precizno bilježio putanje nebeskih tijela 1600. Johannes Kepler (1571-1630)

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Impuls i količina gibanja

Impuls i količina gibanja FAKULTET ELEKTROTEHNIKE, STROJARSTVA I BRODOGRADNJE - SPLIT Katedra za dinamiku i vibracije Mehanika 3 (Dinamika) Laboratorijska vježba 4 Impuls i količina gibanja Ime i prezime prosinac 2008. MEHANIKA

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα