ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ"

Transcript

1 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΟΥΣ ΑΡΧΑΙΟΥΣ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥΣ

2 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΩΝ ΒΑΒΥΛΩΝΙΩΝ

3 Οι Βαβυλώνιοι ζούσαν στη Μεσοποταµία,περιοχή µεταξύ των ποταµών Τίγρη και Ευφράτη.Η Μεσοποταµία ήταν κέντρο πολιτισµού των Σουµέριων,Ακκάδιων,Ασσύριων,Αραµαίων και Χαλδαίων,ενός πολιτισµού πολύ αναπτυγµένου ήδη από το π.χ.

4 Όλα αυτά τα φύλα χρησιµοποιούσαν το ίδιο σύστηµα γραφής, τη σφηνοειδή.τα σύµβολά τους γράφονταν σε πήλινες πλάκες που ψήνονταν στο καυτό ήλιο. Πολλές εκατοντάδες έχουν διατηρηθεί µέχρι σήµερα όπως αυτή της διπλανής φωτογραφίας

5 Οι Βαβυλώνιοι είχαν ένα αναπτυγµένο αριθµητικό σύστηµα το εξηνταδικό ( βάση το 60 ).Στο Βαβυλωνιακό σύστηµα αρίθµησης υπάρχουν δύο µόνο σύµβολα.τα σύµβολα αυτά είναι η σφήνα για τις µονάδες και η γωνία για τις δεκάδες.

6

7 Τα σηµεία του συστήµατος είναι 59. Αντιστοιχούν στους αριθµούς 1 έως 59 οι οποίοι γράφονται µε επαναληπτικό τρόπο. Από το 60 και µετά χρησιµοποιούν τα ίδια ψηφία αλλά µε τη σηµασία των εξηντάδων

8 Η ΠΡΟΣΘΕΣΗ Η τεχνική των πράξεων στο βαβυλωνιακό σύστηµα δεν διαφέρει στην ουσία από την τεχνική που ακολουθούµε στο δεκαδικό αριθµητικό σύστηµα. Οι Βαβυλώνιοι εκτελούν την πρόσθεση και την αφαίρεση όπως εµείς µε τη διαφορά ότι αντί να µεταφέρουν δεκάδες,µεταφέρουν εξηντάδες. 10 µονάδες=1 δεκάδα 6 δεκάδες=1 60άδα

9 Η ΑΦΑΙΡΕΣΗ Η αφαίρεση αντιµετωπίζεται ως αντίθετη πράξη της πρόσθεσης. Για να αφαιρέσουν το 17 από το 42 έβρισκαν έναν αριθµό, τον οποίο πρόσθεταν στο 17 για να δώσει 42.

10 Ο ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Δεν αναφέρεται κάποιος συγκεκριµένος τρόπος τον οποίο ακολουθούσαν για να πολλαπλασιάζουν αριθµούς.όµως έχουν βρεθεί πάρα πολλοί πίνακες που περιέχουν τα πολλαπλάσια αριθµών. Δεν γνωρίζουµε αν οι µαθητές της εποχής εκείνης ήταν υποχρεωµένοι να αποστηθίζουν αυτούς τους πίνακες ή απλώς τους αντέγραφαν και τους συµβουλεύονταν όποτε τους χρειάζονταν. Οι πίνακες πολλαπλασίων που έχουν έρθει στο φως περιέχουν τα πολλαπλάσια των αριθµών 2,3,4,5,6,7,8,9,10,12,15,16,18,20,24, 25,30,40,45,48,50.

11 Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ Οι Βαβυλώνιοι αντιµετώπιζαν τη διαίρεση ως πολλαπλάσιο του διαιρετέου επί του αντίστροφο του διαιρέτη. 10:5= 10 1/5

12 Η περίοδος της «Αρχαίας Αιγύπτου» είναι η εποχή κατά την οποία οι Φαραώ κυβερνούσαν την Αίγυπτο µετά το 3000 π.χ..κατά τη παλαιολιθική εποχή οι άνθρωποι ζούσαν σε αρκετά υψωµένα σηµεία του εδάφους δίπλα από το Νείλο,από το Δέλτα µέχρι το Ασουάν. Η εύφορη γη,τα νερά του Νείλου αλλά και η ειρήνη που επικρατούσε στη περιοχή για πολλά χρόνια αποτέλεσαν τα αίτια για την ανάπτυξη της γεωργίας.

13 Οι δραστηριότητες αυτές ανάγκασαν τους Αιγυπτίους να αναπτύξουν τα µαθηµατικά καθώς η ζωή έγινε πιο περίπλοκη και έπρεπε να κρατούνται αρχεία για τις σοδειές,να γίνονται υπολογισµοί,να ανταλλάσσουν τα προϊόντα.ήταν απαραίτητη η καλλιέργεια της γραφής και της αριθµητικής ώστε να καταγράφονται οι συναλλαγές.η ραγδαία ανάπτυξη της µαθηµατικής επιστήµης είχε ως αποτέλεσµα την ανάπτυξη του πολιτισµού των αρχαίων Αιγυπτίων.Αυτό φαίνεται από τις ογκώδεις κατασκευές των πυραµίδων(τάφοι των Φαραώ) όπως αυτή της Σφίγγας στη περιοχή της Γκίζας και από τους λαξευτούς τάφους και τα υδατοφράγµατα.

14 Τα πρώτα ιερογλυφικά αριθµητικά µπορεί να εντοπιστούν σε ναούς,πετρώδη µνηµεία και βάζα.τα έγραφαν από αριστερά προς τα δεξιά,από δεξιά προς αριστερά ή από πάνω προς τα κάτω.μας δίνουν στοιχεία για κάθε µαθηµατικό υπολογισµό που θα µπορούσαν να έχουν κάνει µε το αριθµητικό τους σύστη- µα. ΠΑΠΥΡΟΣ ΤΟΥ ΡΗΝΤ

15 ΑΙΓΥΠΤΙΑΚΑ ΙΕΡΟΓΛΥΦΙΚΑ

16 Όταν άρχισαν να χρησιµοποιούν παπύρους υπήρχε λόγος να αναπτύξουν τρόπους γραφής όπως η ιερατική. Σε ό,τι αφορά τα µαθηµατικά οι βασικές πηγές που έχουµε σήµερα είναι ένας αριθµός παπύρων µε καθαρά µαθηµατικό περιεχόµενο.χαρακτηριστικό παράδειγµα είναι ο πάπυρος της Μόσχας.

17 ΑΙΓΥΠΤΙΑΚΗ ΙΕΡΑΤΙΚΗ ΓΡΑΦΗ

18 Ο πάπυρος του Ρηντ περιλαµβάνει 87 προβλήµατα ενώ ο πάπυρος της Μόσχας 25.Τα προβλήµατα δεν είχαν µόνο πρακτική εφαρµογή αλλά είχαν τεθεί για να διδάξουν τη χρήση του αριθµητικού συστήµατος.το σύστηµα που χρησιµοποιούσαν οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι ήταν το δυαδικό.

19 Η ΠΡΟΣΘΕΣΗ Οι Αιγύπτιοι χρησιµοποιούσαν το δεκαδικό σύστηµα αρίθµησης όταν εργάζονταν µε ιερογλυφικά σύµβολα.η πρόσθεση γινόταν µε τον εξής απλό τρόπο: αντικαθιστούσαν κάθε δέκα σύµβολα µιας τάξης µε ένα σύµβολο ανώτερης τάξης.δηλαδή µετρούσαν τα σύµβολα της µονάδας,τα σύµβολα της δεκάδας,τα σύµβολα της εκατοντάδας που υπήρχαν στους αριθµούς που επρόκειτο να προστεθούν και στη συνέχεια αν τα σύµβολα της µονάδας κάποιας τάξης ήταν περισσότερα από 10 αντικαθιστούσαν 10 σύµβολα της µονάδας της τάξης αυτής µε ένα σύµβολο της µονάδας της αµέσως επόµενης τάξης.

20 Τα ιερογλυφικά σύµβολα διαβάζονται από τα δεξιά προς τα αριστερά

21 Η ΑΦΑΙΡΕΣΗ Όπως και οι Βαβυλώνιοι την αφαίρεση την αντιµετώπιζαν ως αντίθετη πράξη της πρόσθεσης. Δηλαδή για να αφαιρέσουν το 25 από το 37 έβρισκαν τον αριθµό που έπρεπε να προστεθεί στο 25 για να δώσει το άθροισµα 37.

22 Ο ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ Ο πολλαπλασιασµός γινόταν µε τη µέθοδο του διπλασιασµού και της πρόσθεσης.όταν ήθελαν να υπολογίσουν ένα γινόµενο αποφάσιζαν πρώτα ποιος θα είναι ο πολλαπλασιαστής και ποιος ο πολλαπλασιαστέος.αν ο πολλαπλασιαστής είναι το 13 και ο πολλαπλασιαστέος το 15 τότε διπλασίαζαν τον πολλαπλασιαστέο ώστε το άθροισµα κάποιων από τους αριθµούς 1,2,3,4,5,6,7 να δίνει τον αριθµό 13.

23 Έγραφαν: Παρατηρούµε ότι 7+6=13. Άρα το άθροισµα των αριθµών 15, 30,45 κ.τ.λ. που αντιστοιχούν στους αριθµούς 1,2,3 κ.τ.λ. δίνει το γινόµενο Δηλαδή 13 15=105+90=195

24 Η ΔΙΑΙΡΕΣΗ Οι Αιγύπτιοι τη διαίρεση την αντιµετώπιζαν ως αντίθετη πράξη του πολλαπλασιασµού.αν είχαν να διαιρέσουν τον αριθµό 195 µε το 13 θα έβρισκαν έναν αριθµό µε τον οποίο αν πολλαπλασίαζαν το 13 θα έδινε 195.Για να βρουν το αποτέλεσµα χρησιµοποιούσαν τη διαδικασία του διπλασιασµού του 13 µέχρι να βρεθούν πολλαπλάσια στη δεξιά στήλη που θα έχουν άθροισµα 195.

25 Δηλαδή: * * * Το άθροισµα των αριθµών 13,78,104 είναι 195.Το άθροι- σµα των αντίστοιχων αριθµών της αριστερής στήλης δίνει το πη- λίκο της διαίρεσης αφού 8+6+1=15.

26 Ο πρώτος και ο µεγαλύτερος πολιτισµός στην αρχαία Ινδία αναπτύχθηκε γύρω από τη κοιλάδα του Ινδού ποτα- µού (σήµερα ανήκει στο Πακιστάν)γύρω στο π.χ..το π.χ. είχε φτάσει στη µεγαλύτερη ακµή του.ο πολιτισµός της κοιλάδας του Ινδού ήταν ο µεγαλύτερος από κάθε άλλη αρχαία αυτοκρατορία ακόµη και από την Αιγυπτιακή και αυτή των λαών της Μεσοποταµίας.Οι πόλεις ήταν κέντρα εµπορίου,το οποίο βασιζόταν στα γεωργικά προϊόντα που παράγονταν στις εύφορες κοιλάδες του ποταµού.

27 Η συνεισφορά των Ινδών στη παγκόσµια ιστορία των µαθηµατικών ήταν πολύ σηµαντική.σ αυτό συνέβαλε το γεγονός ότι οι άνθρωποι ήταν αρκετά µορφωµένοι.η ανάπτυξη του ινδικού πολιτισµού κατά τη κλασική περίοδο µπορεί να εξηγήσει τους µηχανισµούς που επέτρεψαν την άνθιση των µαθη- µατικών.οι Ινδοί εκτός από τα µαθη- µατικά ανέπτυξαν και άλλες επιστή- µες όπως η αστρονοµία.

28 Αριθµητικά των Βραχµάνων(Ινδοί ιερείς) 1ος αιώνας µ.χ Αριθµητικά των Τζίπτα 4ος αιώνας µ.χ. 11ος αιώνας µ.χ. Αριθµητικά των Ναγκάρι

29 Τα αριθµητικά Μπράχµι που προέρχονται από τους Βραχµάνους ήταν ο προποµπός της δηµιουργίας των σηµερινών αριθµητικών.έχουν βρεθεί κάποιες επιγραφές του 2000 π.χ. που το βεβαιώνουν. Οι Ινδοί χρησιµοποιούσαν το εξηνταδικό σύστηµα και ειδικό σύµβολο για το µηδέν.ανακάτεψαν το δικό τους αριθµητικό σύστηµα µε το σύστηµα των Ελλήνων και αποδέχτηκαν την ελληνική διάταξη, δηλαδή, µονάδεςδεκάδες-εκατοντάδες-χιλιάδες κ.τ.λ. Ανακάλυψαν πιο απλά αριθµητικά σύµβολα που σήµερα χρησιµοποιούνται απ όλη την ανθρωπότητα.

30 Ο ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ (6 2)+2=14, γράφουµε 14 Ο πολλαπλασιασµός που χρησιµοποιούσαν οι Ινδοί διδάσκεται ακόµα και σήµερα. Εδώ έχουµε ένα απλό παράδειγµα: 65 Χ =15,γράφουµε 5, κρατάµε 1 (6 3)+(2 5)+1=29 γράφουµε 9, κρατάµε 2

31 ΤΕ ΛΟ Σ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α] ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ: ΟΙ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α] ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ: ΟΙ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Α] ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ: ΟΙ ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β] ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ: Mathematics The Man Made Universe, SHERMAN K. STEIN, 1963 Α] ΒΑΒΥΛΩΝΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 2-1 ΚΑΠΟΙΑ ΙΣΤΟΡΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ

ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÉÙÁÍÍÉÍÙÍ ÓïöïêëÞò Ä. ÃáëÜíçò ÁíáðëçñùôÞò ÊáèçãçôÞò ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍ ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ É Ù Á Í Í É Í Á 0 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Γενικά. Αλγόριθμος του Συμπληρώματος 6.3

Διαβάστε περισσότερα

B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ

B. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΠΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥΣ Τα Μαθηματικά παίζουν κυρίαρχο ρόλο σε όλους τους χώρους της σύγχρονης κοινωνίας. Όλα σχεδόν τα επιτεύγματα της τεχνολογίας και της ε- πιστήμης στηρίζονται στην ανάπτυξη των Μαθηματικών. Αλλά και τα προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΟΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Χ. ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΟΙ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΕΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗΣ ΜΕ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 Στη διδασκαλία συνήθως τα παιδιά αρχικά διδάσκονται τις

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Οι πράξεις της πρόσθεσης, της αφαίρεσης και του πολλαπλασιασµού στο σύνολο των ακεραίων µε εποπτικό τρόπο: Ένα µοντέλο ή ένα παιχνίδι; ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 www.ptheodoropoulos.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΑΠΟΣΠΑΣΜΕΝΗ: ΚΑΠΠΑΤΟΥ ΝΑΤΑΣΑ

ΥΠΕΥΘΥΝΗ ΑΠΟΣΠΑΣΜΕΝΗ: ΚΑΠΠΑΤΟΥ ΝΑΤΑΣΑ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:ΙΜΣΙΡΙΔΟΥ ΜΑΡΙΑ Α.Ε.Μ: 1986 ΕΞΑΜΗΝΟ: Ε ΘΕΜΑ: «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ-ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ» ΣΧΟΛΕΙΟ: 1 Ο ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΑΞΗ: Ε ΤΜΗΜΑ: Ε 2 ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΛΕΜΟΝΙΔΗΣ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΥΠΕΥΘΥΝΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΦΛΩΡΙΝΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙ.ΜΕ.Π.Α Β ΦΑΣΗ: ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Φοιτητής: Παύλου Νικόλαος, Α.Ε.Μ: 2245, Ε Εξάμηνο Σχολείο: 1 ο Πειραματικό

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς

Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Σηµειώσεις στους πραγµατικούς και µιγαδικούς αριθµούς Τα βασικά αριθµητικά σύνολα Οι πρώτοι αριθµοί που διδάσκεται ο µαθητής στο δηµοτικό σχολείο είναι οι φυσικοί αριθµοί Αυτοί είναι οι 0,,,, 4, κτλ Το

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΙΔΗΜΟΣ Θ. ΒΕΡΓΟΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στην ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ

ΧΑΡΙΔΗΜΟΣ Θ. ΒΕΡΓΟΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ. Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στην ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΧΑΡΙΔΗΜΟΣ Θ. ΒΕΡΓΟΣ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Πανεπιστημιακές Παραδόσεις στην ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ & ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση

Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση Φυσικοί αριθμοί - Διάταξη φυσικών αριθμών - Στρογγυλοποίηση TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 2 Φυσικοί

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες

Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Τµήµα Επιστήµης και Τεχνολογίας Υλικών Πρόχειρες σηµειώσεις στις Πιθανότητες Νίκος Λαζαρίδης Για το µάθηµα Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά (ΤΕΤΥ 116) Αναθεώρηση, συµπληρώσεις : Μαρία Καφεσάκη 1 Κεφάλαιο 1: Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008.

Πρόλογος. Η νέα έκδοση των παρόντων σημειώσεων θα ολοκληρωθεί κατά το εαρινό εξάμηνο του ακαδημαϊκού έτους 2008-2009. Αύγουστος 2008. Πρόλογος Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν το μεγαλύτερο μέρος του υλικού που διδάχτηκε στις παραδόσεις του προπτυχιακού μαθήματος της Αριθμητικής Ανάλυσης, το εαρινό εξάμηνο 7-8, στο Μαθηματικό τμήμα του

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. 2.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Η εξίσωση αx β 0 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ.1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ Η εξίσωση α 0 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης των εξισώσεων της μορφής α 0 για συγκεκριμένους αριθμούς α,,με α 0 Γενικότερα τώρα, θα δούμε πώς με την οήθεια των

Διαβάστε περισσότερα

Εξηγώντας τα μαθηματικά στις κόρες μου. του ΝΤΕΝΙ ΓΚΕΤΖ Νάουσα Ιούλης 2010

Εξηγώντας τα μαθηματικά στις κόρες μου. του ΝΤΕΝΙ ΓΚΕΤΖ Νάουσα Ιούλης 2010 Εξηγώντας τα μαθηματικά στις κόρες μου του ΝΤΕΝΙ ΓΚΕΤΖ Νάουσα Ιούλης 2010 ΓΙΑ ΠΟΙΟ ΠΡΑΓΜΑ ΜΙΛΟΥΝ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τι σημαίνει εξηγώ; Τι είναι τα μαθηματικά; Σε τι χρησιμεύουν τα μαθηματικά; Στα μαθηματικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Στ Δημοτικού

Μαθηματικά Στ Δημοτικού Μαθηματικά Στ Δημοτικού Τετράδιο εργασιών β τεύχος 10-0171_MATHIMATIKA_B_TEU_ST_DHM.indd 1 2/4/1 12:1 PM ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ ΣYΓΓPAΦEIΣ ΚΡΙΤΕΣ-ΑΞΙΟΛΟΓΗΤΕΣ ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

«ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012

«ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012 «ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ;» Α1 Γυμνασίου Προσοτσάνης 2011-2012 1 ΠΩΣ ΦΑΝΤΑΖΟΜΑΙ ΤΗ ΖΩΗ ΜΟΥ ΧΩΡΙΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ; Γράφει ο Ηλίας Δερμετζής «Τη ζωή μου χωρίς αριθμούς δεν μπορώ να τη φανταστώ,

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής

1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής ε ν ό τ η τ α 1 1.1. Η Χρησιμότητα της Στατιστικής Οι εφαρμογές των μεθόδων της στατιστικής είναι ευρείες. Πριν την αναφορά μας για τη χρησιμότητα της στατιστικής, είναι σκόπιμο να παραθέσουμε τους παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Η εκπαίδευση στα Βυζαντινά χρόνια. Ο συνδετικός κρίκος του αρχαίου με το νεότερο Ελληνισμό

Η εκπαίδευση στα Βυζαντινά χρόνια. Ο συνδετικός κρίκος του αρχαίου με το νεότερο Ελληνισμό Η εκπαίδευση στα Βυζαντινά χρόνια. Ο συνδετικός κρίκος του αρχαίου με το νεότερο Ελληνισμό 1. Εισαγωγή Λεωνίδας Ν. Λυμπέρης Η εργασία μας αυτή έχει ως αντικείμενο την εκπαίδευση στα χρόνια του Βυζαντίου.

Διαβάστε περισσότερα

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων

8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων 8. Σύνθεση και ανάλυση δυνάμεων Βασική θεωρία Σύνθεση δυνάμεων Συνισταμένη Σύνθεση δυνάμεων είναι η διαδικασία με την οποία προσπαθούμε να προσδιορίσουμε τη δύναμη εκείνη που προκαλεί τα ίδια αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Στ Δημοτικού

Μαθηματικά Στ Δημοτικού Μαθηματικά Στ Δημοτικού Τετράδιο εργασιών α τεύχος 10-0170_MATHIMATIKA_A_TEU_ST_DHM.indd 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚΔΟΣΗΣ ΣYΓΓPAΦEIΣ ΚΡΙΤΕΣ-ΑΞΙΟΛΟΓΗΤΕΣ ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ ΦΙΛΟΛΟΓΙΚΗ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Sudoku. - Οι άμεσοι αποκλεισμοί είναι δυο ειδών, ήτοι: 1) Απευθείας αποκλεισμός από ένα κουτάκι όλων, πλην ενός, των αριθμών.

Sudoku. - Οι άμεσοι αποκλεισμοί είναι δυο ειδών, ήτοι: 1) Απευθείας αποκλεισμός από ένα κουτάκι όλων, πλην ενός, των αριθμών. 1 από 10 Sudoku. Αν κάποιος ασχοληθεί με ένα λαό το σίγουρο είναι πως θα βρει πολλά ενδιαφέροντα πράγματα, χαρακτηριστικά του τρόπου σκέψης - και της στάσης ζωής γενικότερα - του λαού αυτού, και πιθανόν

Διαβάστε περισσότερα

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της;

1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες εντολές (μορφές) της; 1. Πότε χρησιμοποιούμε την δομή επανάληψης; Ποιες είναι οι διάφορες (μορφές) της; Η δομή επανάληψης χρησιμοποιείται όταν μια σειρά εντολών πρέπει να εκτελεστεί σε ένα σύνολο περιπτώσεων, που έχουν κάτι

Διαβάστε περισσότερα

2. Η διδασκαλία της Γεωµετρίας στο ελληνικό δηµοτικό σχολείο

2. Η διδασκαλία της Γεωµετρίας στο ελληνικό δηµοτικό σχολείο Εισαγωγή Η εργασία αυτή έχει στόχο να παρουσιάσει µια εναλλακτική πρόταση για τη διδασκαλία της Γεωµετρίας στις πρώτες τάξεις του δηµοτικού σχολείου, αντλώντας περιεχόµενα από τη λαϊκή παράδοση και λαµβάνοντας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20

ΕΝΟΤΗΤΑ 12 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕΧΡΙ ΤΟ 20 ΔΕΙΚΤΕΣ ΕΠΙΤΥΧΙΑΣ ΑΡΙΘΜΟΙ Διερεύνηση αριθμών Αρ 1.6 Συνθέτουν και αναλύουν αριθμούς μέχρι το 100 με βάση την αξία θέσης ψηφίου, χρησιμοποιώντας αντικείμενα, εικόνες, και σύμβολα. Αρ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΚΔΟΣΕΩΝ «ΔΙΟΦΑΝΤΟΣ» ΦΥΣΙΚΗ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Αʹ ΤΑΞΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΕΡΟΙ ΚΑΤ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΥΠΡΟΥ

ΝΟΕΡΟΙ ΚΑΤ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΑ ΤΩΝ ΠΡΩΤΩΝ ΤΑΞΕΩΝ ΤΟΥ ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΚΑΙ ΤΗΣ ΚΥΠΡΟΥ Νοεροί - Κατ εκτίμηση Υπολογισμοί 44. Σοφοκλέους, Π., Λεμονίδης, Χ., (2007). Νοεροί κατ εκτίμηση υπολογισμοί: Μαθηματικές διαδικασίες μέσα από τα σχολικά εγχειρίδια των πρώτων τάξεων του Δημοτικού της

Διαβάστε περισσότερα

Η φύση της πραγµατικότητος

Η φύση της πραγµατικότητος Η φύση της πραγµατικότητος Γ. Κοντόπουλος Προλεγόµενα Ακούσαµε προ ολίγου τα πεπραγµένα της Ακαδηµίας κατά το έτος 2011. Εγώ θα ήθελα µόνο να τονίσω ότι µία από τις σηµαντικότερες δραστηριότητες της Ακαδηµίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Με εκτίµηση, Παπαδοπούλου Ειρήνη

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Με εκτίµηση, Παπαδοπούλου Ειρήνη ΠΡΟΛΟΓΟΣ Όπως γνωρίζουµε τα βότανα έχουν ευρεία χρήση στην καθηµερινή ζωή των ανθρώπων. Έτσι λοιπόν είναι κατανοητό να ασχοληθεί κανείς διεξοδικά µε τις χρήσεις αυτές αλλά και µε τα αποτελέσµατά τους.

Διαβάστε περισσότερα