Linearna algebra i geometrija

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Linearna algebra i geometrija"

Transcript

1 Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, septembar 2012.

2 Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 3 Sistemi linearnih jedna ina 3 4 Linearni operatori Pojam linearnog operatora Matrice i linearni operatori Promjena baze i matrica operatora Jezgro i slika linearnog operatora Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori Dijagonalizacija

3 POGLAVLJE 1 Uvod

4 POGLAVLJE 2 Matrice i determinante

5 POGLAVLJE 3 Sistemi linearnih jedna ina

6 POGLAVLJE 4 Linearni operatori U uvodnom dijelu smo uveli pojam preslikavanja koje elementima jednog skupa pridruºuje elemente drugog skupa. Ukoliko umjesto skupova posmatramo vektorske prostore i posmatramo preslikavanja koja uvaºavaju njihovu linearnu strukturu govorimo o linearnim operatorima. Ovakva preslikavanja su osnovni predmet prou avanja linearne algebre i funkcionalne analize i javljaju se u mnogim oblastima primijenjene matematike. 4.1 Pojam linearnog operatora Denicija 4.1. Neka su V i W vektorski prostori nad istim poljem F. Preslikavanje A : V W za koje vrijedi ( x, y V, α, β F ) A(αx + βy) = αa(x) + βa(y) (4.1) naziva se linearan operator. Treba napomenuti da se za preslikavanje uvedeno prethodnom denicijom u nekoj literaturi koristi i pojam operator, ²to moºe dovesti do zabune jer je mogu e posmatrati i operatore koji nisu linearni, to jeste one koji ne zadovoljavaju uslov (4.1).

7 4.1.Pojam linearnog operatora Analogno ranije posmatranoj situaciji datoj uslovom (??), uslov (4.1) se naziva uslovom linearnosti i ekvivalentan je uslovima aditivnosti i homogenosti datim sa ( x, y V ) A(x + y) = A(x) + A(y), (4.2) ( x V, α F ) A(αx) = αa(x). (4.3) Slika elementa x V pri djelovanju operatora A se esto skra eno pi²e sa Ax umjesto A(x). Takože skup svih linearnih operatora koji slikaju elemente skupa V u elemente skupa W obiljeºavamo sa L(V, W ). Na ovom skupu mogu e je denirati operaciju sabiranja i operaciju mno- ºenja skalarom na sljede i na in. Za A, B L(V, W ) operator A + B L(V, W ) deniramo sa ( x V ) (A + B)x = Ax + Bx; Za A L(V, W ), α F operator αa L(V, W ) deniramo sa ( x V ) (aa)(x) = a(a(x)); Nula operator O je operator za koji vrijedi ( x V ) O(x) = 0 W, gdje je 0 W neutralni element u W. Za A L(V, W ), operator A se denira sa A = ( 1)A. Jendostavno se pokazuje da skup L(V, W ) sa upravo deniranim operacijama uz uvedeni neutralni i suprotni element predstavlja vektorski prostor. Iz same denicije odmah slijede neke osobine linearnih operatora. (i) Linearan operator A : V W nulu vektorskog prostora V slika u nulu vektorskog prostora W. Dokaz slijedi stavljaju i da je α i β, iz osobine linearnosti, jednako neutralnom elementu polja F. (ii) Linearan operator A : V W po²tuje linearnu kombinaciju, to jeste za proizvoljno n N vrijedi ( ) ( α i F, x i V ) A α i x i = α i A(x i ). Dokaz se dobije induktivnim putem primjenom osobine linearnosti. 5

8 4.1.Pojam linearnog operatora (iii) Ako su x 1,..., x n linearno zavisni elementi prostora V i ako je A : V W linearan operator, onda su A(x 1 ),..., A(x n ) linearno zavisni elementi prostora W. Dokaz slijedi iz denicije linearne zavisnosti i osobine (i). Dalje, treba napomenuti da denicija linearnog operatora dopu²ta da prostori V i W budu jednaki i u tom slu aju govorimo o linearnim operatorima na prostoru V. Specijalno, operatore kod kojih je prostor W prostor skalara nazivamo linearnim funkcionalima ili linearnim formama. Naj e² e je W u ovom slu aju, kao i polje F za linearne operatore, polje realnih ili kompleksnih brojeva. Primjer 4.1. Neka je V = R 3 i W = R 2 i neka je preslikavanje dato sa A : (x 1, x 2, x 3 ) (x 1, x 2 ). Pokaºimo da je A linearan operator. Kao ²to smo ranije vidjeli R n, n = 2, 3 su vektorski prostori nad poljem realnih brojeva. Pokaºimo da je zadovoljen uslov linearnosti. Koristimo deniciju operacija u R n, n = 2, 3 i deniciju preslikavanja A. S jedne strane je A(α(x 1, x 2, x 3 ) + β(y 1, y 2, y 3 )) = A(αx 1 + βy 1, αx 2 + βy 2, αx 3 + βy 3 ) a s druge = (αx 1 + βy 1, αx 2 + βy 2 ), αa(x 1, x 2, x 3 ) + βb(y 1, y 2, y 3 )) = α(x 1, x 2 ) + β(y 1, y 2 ) pa je o igledno uslov zadovoljen. = (αx 1 + βy 1, αx 2 + βy 2 ), Primjer 4.2. Neka je V = R n, W = R m i A R m n. Deni²imo operator A sa A(x) = Ax. Pri tome ureženu k-torku (k = m, n) posmatramo kao matricu formata 1 k i desnu stranu denicije operatora A tuma imo kao mnoºenje matrica. Imaju i na umu osobine mnoºenja matrica zaklju ujemo da je ovako denisan operator linearan. Upravo navedeni primjeri linearnih operatora su primjeri linearnih operatora deniranih na kona nodimenzionalnim prostorima i mi emo u nastavku isklju ivo takve operatore i posmatrati. 6

9 4.2.Matrice i linearni operatori 4.2 Matrice i linearni operatori Primjer 4.2 nam u su²tini govori da svaka matrica predstavlja jedan linearan operator. Prirodno je postaviti pitanje, da li i svakom linearnom operatoru moºemo pridruºiti neku matricu. Odgovor je potvrdan, mežutim, to pridruºivanje nije obostrano jednozna no. Naime, da bi operatoru jednozna no pridruºili matricu neophodno je odabrati baze prostora V i W. Vidjet emo da se promjenom baze u op²tem slu aju mijenja i matrica pridruºena tom operatoru. Jedan od vaºnih zadataka linearne algebre je upravo odabir baza tako da matrica pridruºena operatoru bude ²to jednostavnija. Pridruºivanje matrice linearnom operatoru zasnovano je na injenici da je za poznavanje djelovanja operatora dovoljno poznavati njegovo djelovanje na elementima baze. Preciznije, neka je A : V W linearni operator, dimv = n <. Neka je {b 1, b 2,..., b n } baza prostora V. Proizvoljan elemenat x prostora V moºe biti napisan na jedinstven na in kao linearna kombinacija elemenata baze x = A(x) = n n α j b j. α j A(b j ). Koriste i osobinu (ii) linearnih operatora slijedi da je Dakle, A(x) je potpuno odreženo sa A(b j ), odnosno linearan operator je u potpunosti odrežen djelovanjem na bazu. Neka je A : V W, dimv = n <, dimw = m <, a B V = {b 1, b 2,..., b n } i B W = {w 1, w 2,..., w m } baze prostora V i W, respektivno. Operator A elemente baze B V slika u neke elemente A(b j ), j = 1,..., n prostora W, ti elementi mogu biti napisani u obliku linearne kombinacije elemenata baze B W prostora W, to jeste, postoje skalari a ij, i = 1,..., m, j = 1,..., n takvi da je A(b j ) = a 1j w 1 + a 2j w a a mj w m (4.4) za sve j = 1,..., n. Koriste i skalare a ij formiramo ºeljenu matricu. Preciznije uvodimo sljede u deniciju. Denicija 4.2. Neka je A : V W, dimv = n <, dimw = m <, a B V = {b 1, b 2,..., b n } i B W = {w 1, w 2,..., w m } baze prostora V i W, respektivno. Matricu A = (a ij ) m n, pri emu su skalari a ij dati relacijom (4.4), nazivamo matrica operatora A u odnosu na baze B V i B W. Matrica iz prethodne denicije se esto ozna ava sa A BV,B W ili A B W BV, ukoliko ºelimo istaknuti u odnosu na koje baze prostora je data matrica A. 7

10 4.2.Matrice i linearni operatori Djelovanje operatora A na element x prostora V koriste i matricu operatora moºe biti opisano mnoºenjem matrice A B W BV operatora A sa x. Pri tome vektore x i y interpretiramo kao matrice fomrata n 1 i m 1, respektivno. Naime, jedinstvenost prikaza elemenata x = n α j b j i A(x) = y = m β i w i po datim bazama prostora i linearnost operatora A implicira da vrijedi ( ) A(x) = A α j b j = α j A(b j ) pa mora biti β i = = n α j m a ij w i = ( m ) a ij α j w i, a ij α j za sve i = 1,... m, a prema deniciji mnoºenja matrica to implicira da je A B W BV x = y. Denicija matrice linearnog operatora i upravo navedena razmatranja pokazuju da vrijedi sljede i teorem. Teorem 4.1. Neka je A : V W, dimv = n <, dimw = m <, a B V = {b 1, b 2,..., b n } i B W = {w 1, w 2,..., w m } baze prostora V i W, respektivno. Operatoru A se moºe pridruºiti jedinstvena matrica A = (a ij ) m n ije su kolone koordinate vektora A(b j ) u bazi B W i pri tome je A(x) = Ax 1. Takože, svakoj matrici A m n odgovara samo jedan operator A koji djeluje na elemente prostora V dimenzije n i slika ih u elemente prostora W dimenzije m tako da vrijedi ( x V )(!y W )A(x) = Ax = y. ƒinjenica da je za poznavanje operatora dovoljno poznavati samo njegovo djelovanje na elemente baze ima jo² neke vaºne implikacije. Ukoliko se djelovanje dva linearna operatora A i B s prostora V na prostor W podudara na elementima baze prostora V onda su operatori A i B jednaki. Vrijedi i sljede i teorem. Teorem 4.2. Neka su V i W kona nodimenzionalni vektorski prostori nad poljem F. Neka je dimv = n <, {b 1, b 2,..., b n } baza prostora V i 1 Kao i ranije prilikom mnoºenja matrica elemente x i y interpretiramo kao matrice kolone. 8

11 4.2.Matrice i linearni operatori (w 1, w 2,..., w n ) urežena n-torka elemenata prostora W. Tada postoji jedinstveni linearni operator A : V W takav da je A(b i ) = w i, i = 1,..., n. Dokaz. Prvo dokaºimo egzistenciju linearnog operatora A. Neka je x proizvoljan element prostora V, x = n α i b i. Stavimo da je A(x) = n α i w i. Pogodnim izborom skalara odmah zaklju ujemo da je A(b i ) = w i. Dokaºimo linearnost. Neka je x, y V, x = n α i b i, y = n β i b i. Sada je αx + βy = (αα i + ββ i )b i, i A(x) = α i w i, A(y) = β i w i, pa je A(αx + βy) = = (αα i + ββ i )w i = αα i w i + (αα i w i + ββ i w i ) ββ i w i = α = αa(x) + βa(y). α i w i + β β i w i Dakle, egzistencija linearnog operatora A je dokazana. Dokaºimo i jedinstvenost. Pretpostavimo da postoji i linearan operator B : V W takav da je B(b i ) = w i, za sve i = 1,..., n. Sada je ( ) B(x) = B α i b i = α i B(b i ) = α i w i = A(x). Dakle, A = B, pa je jedinstvenost operatora A dokazana. Zna aj upravo dokazanog teorema se ogleda u tome da za zadanu bazu prostora V postoji jedinstven linearan operator A : V W koji e elemente te baze preslikati u zadate, po volji odabrane vektore prostora W. 9

12 4.3.Promjena baze i matrica operatora 4.3 Promjena baze i matrica operatora U prethodnom odjeljku smo vidjeli da matrica operatora direktno zavisi od izbora baza prostora na kojima operator djeluje. Pitanje koje se prirodno name e je kako uspostaviti vezu matrica nekog operatora pri razli itim izborima baza. Da bismo odgovorili na ovo pitanje prvo emo vidjeti kako uspostaviti vezu izmežu koordinata nekog vektora datih u dvije baze jednog prostora. Neka je V vektorski prostor diomenzije n <. Neka su B V = {b 1, b 2,..., b n } i B V = {b 1, b 2,..., b n} dvije baze tog prostora. Kaºemo da je B V stara, a B V nova baza. Proizvoljan element x V ima reprezentaciju i u jednoj i u drugoj bazi, to jeste x = α j b j = α jb j. Da bi oderedili vezu izmežu komponenti vektora x u dvjema datim reprezenatcija prvo emo prona i vezu vektora jedne i druge baze. Naime, vektore B V moºemo razloºiti po vetorima baze B V i obratno. Neka je odnosno b 1 = p 11 b 1 + p 21 b p n1 b n b 2 = p 12 b 1 + p 22 b p n2 b n. b n = p 1n b 1 + p n2 b p nn b n, P = b 1 = q 11 b 1 + q 21 b q n1 b n b 2 = q 12 b 1 + q 22 b q n2 b n. b n = q 1n b 1 + q n2 b q nn b n. Koecijenti iz prethodnih relacija formiraju matrice p 11 p 12 p 1n p 21 p 22 p 2n..., Q = p n1 p n2 p nn 10 q 11 q 12 q 1n q 21 q 22 q 2n... q n1 q n2 q nn. (4.5)

13 4.3.Promjena baze i matrica operatora Matrica P se naziva matricom prelaza sa stare na novu bazu, matrica Q matricom prelaza sa nove na staru bazu. Vezu mežu uvedenim matricama prelaza i koordinatama datog vektora u razli itim bazama iskazat emu u vidu sljede ih teorema. Teorem 4.3. Neka je V vektorski prostor diomenzije n <. Neka su B V = {b 1, b 2,..., b n } i B V = {b 1, b 2,..., b n} dvije baze tog prostora. Za matrice prelaza P i Q date sa (4.5) vrijedi PQ = QP = E. Dokaz. Dokaz slijedi direktnom primjenom razlaganja vektora jedne baze preko druge baze, zamjenom redoslijeda sumiranja u kona nim sumama i primjenom denicije mnoºenja matrica, kao i injenice da su vektori baze linearno nezavisni. Linearna nezavisnost nam takože govori da matrica sa- injena od kolona iji su elementi komponente vektora baze je matrica punog ranga, pa je ona regularna. Proizilazi da su matrice P i Q mežusobno inverzne. Teorem 4.4. Neka je V vektorski prostor dimenzije n <. Neka su B V = {b 1, b 2,..., b n } i B V = {b 1, b 2,..., b n} dvije baze tog prostora i P matrica prelaza sa baze B V na bazu B V. Neka za x V vrijedi x = n α j b j = n α jb j. Tada je α = P 1 α, pri emu je α = α 1 α 2. α n i α = Dokaz. Koristimo jedinstvenost prikaza elemenata vektorskog prostora u proizvoljno odabranoj bazi i reprezentaciju vektora nove baze pomo u vektora stare baze. Zaista, ( ) ( ) x = α jb j = p ij b i = α jp ij b i. i x = n α j α 1 α 2. α n. α i b i implicira da je α i = n α jp ij za sve i = 1,..., n, odnosno matri no zapisano α = Pα, ili zbog regularnosti matrice prelaza u obliku α = P 1 α, ²to je i trebalo dokazati. Prežimo sada na osnovni zadatak ovog odjeljka, a to je razmatranje veze matrica pridruºenih nekom operatoru pri izboru razli itih baza. 11

14 4.3.Promjena baze i matrica operatora Neka je A : V W linearan operator, dimv = n <, dimw = m <. Neka su B V = {b 1, b 2,..., b n } i B V = {b 1, b 2,..., b n} baze prostora V i P V matrica prelaza sa baze B V na bazu B V, a B W = {w 1, w 2,..., w m } i B W = {w 1, w 2,..., w m} baze prostora W s matricom prelaza P W sa baze B W na bazu B W. Neka je A matrica operatora A u odnosu na baze B V i B W, a matrica A, matrica tog operatora u odnosu na baze B V i B W. Neka je y = A(x), x = n α j b j = n α jb j i y = m β i w i = n β iw i, i neka su kao i ranije α, α, β i β matrice kolone sa injene od odgovaraju ih koecijenata. Prema dosada²njim razmatranjima, koriste i matri ne zapise, zaklju ujemo da vrijedi β = Aα, β = A α, α = P 1 V α, β = P 1 W β, ²to implicira P 1 W β = A (P 1 V α), pa je dalje β = P W (A (P 1 V α)). Primjenom osobina mnoºenja matrica dobijamo da je β = (P W A P 1 V )α. Posljednja jednakost i jednakost β = Aα impliciraju da je A = P W A P 1 V, (4.6) odnosno A = P V AP 1 W. Napomenimo da smo ustanovili da su matrrice prelaza regularne, pa postoje njihove inverzne matrice. Dakle, dokazali smo teorem. Teorem 4.5. Neka je A : V W linearan operator, dimv = n <, dimw = m <. Neka su B V = {b 1, b 2,..., b n } i B V = {b 1, b 2,..., b n} baze prostora V i P V matrica prelaza sa baze B V na bazu B V, a B W = {w 1, w 2,..., w m } i B W = {w 1, w 2,..., w m} baze prostora W s matricom prelaza P W sa baze B W na bazu B W. Ako je matrica A matrica operatora A u odnosu na baze B V B V i B W, data sa A = P V AP 1 W. i B W, tada je matrica A operatora A, u odnosu na baze 12

15 4.4.Jezgro i slika linearnog operatora Specijalno moºemo posmatrati situaciju kada je V = W, pa je B V = B W, B V = B W i P V = P W. Neposredno iz prethodnog teorema slijedi da vrijedi posljedica. Posljedica 4.6. Neka je A : V V linearan operator, dimv = n <. Neka su B V = {b 1, b 2,..., b n } i B V = {b 1, b 2,..., b n} baze prostora V i P V matrica prelaza sa baze B V na bazu B V, a A matrica operatora A u odnosu na bazu B V. Tada je matrica A operatora A u odnosu na bazu B V data sa A = P 1 V AP V Prethodna posljedica je motivacija za uvoženje pojma sli nih matrica. Denicija 4.3. Za matrice A, B R n n kaºemo da su sli ne ukolio postoji regularna matrica P R n n tako da vrijedi Pi²emo A B. B = P 1 AP. Neke od osobina relacije sli nosti za matrice su sljede e. Relacija sli nosti za matrice je relacija ekvivalencije na skupu kvadratnih matrica reda n. Sli ne matrice imaju jednake determinante. Sli ne matrice imaju jednak rang. Vidjet emo u nastavku da se sli ne matrice koriste u postupku dijagonalizacije. 4.4 Jezgro i slika linearnog operatora Iz same denicije linearnog operatora A L(V, W ) slijedi da su V i W vektorski prostori. Neki njihovi potprostori su posebno zna ajni. Uvedimo pojmove jezgra i slike linearnog operatora. Denicija 4.4. Neka je A L(V, W ). Skup nazivamo slikom operatora A. Im(A) = {y W : ( x V )A(x) = y} 13

16 4.5.Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori Denicija 4.5. Neka je A L(V, W ). Skup nazivamo jezgrom operatora A. Ker(A) = {x V : A(x) = 0 W } U prethodnoj denicji sa 0 W smo ozna ili neutralni element u vektorskom prostoru W. Koriste i deniciju vektorskog podprostora odmah slijedi sljede a tvrdnja. Teorem 4.7. Neka je A L(V, W ). Im(A) je podprostor prostora W, a Ker(A) podprostor prostora V. Svaki podprostor je u su²tini vektorski prostor, pa moºemo govoriti o njegovoj dimenziji. Uvodimo sljede e pojmove. Denicija 4.6. Neka je A L(V, W ). Dimenzija vektorskog prostora Im(A) naziva se rangom operatora A i ozna ava se sa r(a). Dimenzija vektorskog prostora Ker(A) naziva se defektom operatora A i ozna ava se sa d(a). Vaºan rezultat o defektu i rangu dat je sljede om teoremom. Teorem 4.8. Neka je A L(V, W ). Vrijedi r(a) + d(a) = dimv. 4.5 Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori Vaºan alat u postupku dijagonalizacije, o kojem emo govoriti u narednom odjeljku, su svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori. Ovdje uvodimo te pojmove i njihove najzna ajnije osobine. Posmatrat emo samo operatore koji djeluju na nekom kona no-dimenzionalnom vektorskom prostoru i imaju vrijednosti u istom tom prostoru. Denicija 4.7. Neka je V kona no-dimenzionalan vektorski prostor nad poljem F, dimv = n < i A : V V linearan operator. Skalar λ F naziva se svojstvenom vrijedno² u operatora A ako postoji nenulti vektor x V takav da je A(x) = λx. (4.7) Nenulti vektor koji zadovoljava (4.7) naziva se svojstvenim vektorom koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ. Skup svih svojstvenih vrijednosti operatora A naziva se spektar operatora. 14

17 4.5.Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori Umjesto pojma svojstveni iz prethodne denicije koriste se i pojmovi sopstveni, karakteristi ni i vlastiti. Treba napomenudi da se prethodnom denicijom deniraju svojstveni vektori i svojstvene vrijednosti operatora. Imaju i na umu korespondenciju linearnih operatora i matrica, analogno uvedenoj deniciji uvode se i pojmovi svojstvenih vrijednosti i vektora kvadratne matrice. Odreživanje svojstvenih vrijednosti i svojstvenih vektora za dati operator esto se naziva i rje²avanjem problema svojstvenih vrijednosti datog operatora. Iz denicije 4.7 moºemo zaklju iti da su zadovoljene sljede e osobine. (i) Ukoliko je nenulti vektor x svojstveni vektor operatora A sa svojstvenom vrijedno² u λ, onda je i αx (α F ) svojstveni vektor sa istom tom svojstvenom vrijedno² u. Zaista, A(αx) = αa(x) = α(λx) = λ(αx). (ii) Ukoliko su nenulti vektori x i y svojstveni vektori operatora A sa svojstvenom vrijedno² u λ, onda je i αx + βy (α, β F ) svojstveni vektor sa istom tom svojstvenom vrijedno² u ukoliko je on razli it od nula vektora. Zaista, A(αx + βy) = αa(x) + βa(y) = α(λx) + β(λy) = λ(αx + βy). Obzirom da se prema deniciji zahtjeva da svojstveni vektor bude nenulti vektor, islju enje tog vektora u osobini (ii) uzrokuje da skup svih svojstvenih vektora koji odgovaraju istoj svojstvenoj vrijednosti λ ne obrazuje vektorski prostor. No, ako tom skupu dodamo nula vektor, tada e on postati vektorski podprostor prostora V. Ovaj podprostor se naziva svojstvenim podprostorom operatora A koji odgovara svojstvenoj vrijednosti λ i ozna ava se sa E λ. Ovaj podprostor se moºe dobiti i ne²to druga ije. Naime, relacija (4.7) se moºe napisati i ne²to druga ije (A λe)x = 0, (4.8) pri emu smo sa E ozna ili identi ni operator, to jeste operator koji svaki element prostora V slika u samog sebe. Sada proizilazi da je E λ = Ker(A λe). Kako smo ve napomenuli skup svih linearnih operatora je vektorski prostor, pa je linearna kombinacija linearnih operatora linearan operator, pa ima smisla posmatrati jezgro tog operatora. Posljednja razmatranja nam daju i na in na koji moºemo rje²avati problem svojstvenih vrijednosti. Naime, svojstveni vektor x je nenulti vektor 15

18 4.5.Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori koji zadovoljava homogeni sistem jedna ina odrežen sa (4.8), ukoliko iskoristimo jednozna nu korespondenciju matrica i operatora u slu aju kada je izabrana baza posmatranog prostora. Neka operatoru A odgovara matrica A = (a ij ) n n u nekoj proizvoljno odabranoj, ali ksiranoj bazi. Identi nom operatoru odgovara jedini na matrica, pa operatoru A λe odgovara matrica A λe n. Kao i ranije, u matri nom zapisu emo vektor x pisati kao vektor kolonu. Da bi sistem (A λe n )x = 0 imao netrivijalno rje²enje potrebno je da je determinanta sistema bude jednaka nula, to jeste a 11 λ a 12 a 1n a 21 a 22 λ a 2n... a n1 a n2 a nn λ = 0. (4.9) Ukoliko determinantu iz (4.9) razvijemo dobijamo polinom n-tog stepena po λ. Vode i koecijent tog polinoma je ( 1) n. Determinanta iz (4.9) se naziva karakteristi nim polinomom matrice A, a odgovaraju a jedna ina karakteristi nom jedna inom. Razmotrimo sada kako se mijenja jedna ina (4.9) kada se mijenja matrica posmatranog operatora, odnosno baza prostora na kojem on djeluje. Neka su matrice A i B matrice datog opereatora u dvije baze prostora na kojem djeluje dati operator. To su sli ne matrice, pa postoji regularna matrica P takva da je B = P 1 AP. Sada koriste i osobine matrica i determinanti slijedi da je det(b λe n ) = det(p 1 AP λe n ) = det(p 1 AP P 1 λe n P) = det(p 1 (A λe n )P) = det(p 1 )det(a λe n )det(p) = det(a λe n ). Dakle, zaklju ujemo da jedna ina (4.9) ostaje nepromijenjena pri promjeni baze prostora V. Obzirom na navedeno, determinanta iz (4.9) se naziva i karakteristi nim polinomom operatora A, dok se odgovaraju a jedna ina naziva karakteristi nom jedna inom. 16

19 4.5.Svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori Dakle, da bi odredili svojstvene vrijednosti operatora A potrebno je i dovoljno da rije²imo karakteristi nu jedna inu. Da bismo to uradili potrebno je izra unati determinatnu n-tog reda i odrediti nule polinoma n-tog stepena. Oba ova problema s prakti nog aspekta su zahtjevna za ve e vrijednosti n. Treba napomenuti da posmatrana determinanta sadrºi pored numeri kih vrijednosti i varijablu λ, ²to oteºava ra un. Koristimo li razvoj determinante potrebno je ra unati veliki broj poddeterminanti. Takože, za traºenje nula polinoma n-tog stepena ne postoje esplicitne formule za n > 4. Dodatno, napomenimo da, u op²tem slu aju, karakteri²ti na jedna ina sa koecijentima iz polja F, ne mora uvijek imati rje²enje u tom polju. U specijalnom, naj e² e kori²tenom, slu aju poljem realnih brojeva, karakteristi na jedna ina ne mora imati rje²enja koja su realni brojevi. Obzirom da nam osnovni stav algebre garantuje da polinom n-tog stepena ima ta no n nula u skupu kompleksnih brojeva, uzimaju i u obzir njihovu vi²estrukost, pri rje²avanju problema svojstvenih vrijednosti koristi se polje kompleksnih brojeva. Slijedi da, u slu aju F = C, karakteristi na jedna ina ima oblik ( 1) n (λ λ 1 ) n 1 (λ λ 2 ) n 2... (λ λ r ) n r = 0, gdje su λ 1,..., λ r razli ite svojstvene vrijednosti, a n 1,..., n r njihove vi²estrukosti, respektivno, n n r = n. Ovaj prelaz na skup kompleksnih brojeva garantuje da svaki linearan operator A ima barem jednu svojstvenu vrijednost, ²to ne mora biti slu aj ako se ograni imo na skup realnih brojeva. Bez obzira na navedenu prednost vektorskih prostora nad poljem kompleksnih brojeva u nekim primjenama neophodno je posmatrati vetorske prostore nad poljem realnih brojeva. U tom slu aju moºemo se susresti sa situacijom u kojoj linearnan operator nema svojstvenih vrijednosti. Za odreživanje svojstvenih vektora datog operatora za datu svojstvenu vrijednost λ = λ 0 treba uvrstiti datu vrijednost u homogeni sistem (4.8). Obzirom na izbor vrijednosti λ sistem ima netrivijalna rje²enja, ima ih beskona no mnogo, ²to je u skladu sa osobinom (ii) svojstvenih vektora. Treba jo² napomenuti, da u slu aju kada odaberemo F = C, svojstvene vrijednosti mogu biti kompleksni brojevi, pa to mogu biti i komponenete svojstvenih vektora. Na kraju ovog odjeljka dokazat emo jednu vaºnu osobinu svojstvenih vektora. Teorem 4.9. Neka je V vektorski prostor, dimv = n i A : V V linearan operator. Neka su λ 1,..., λ r razli ite svojstvene vrijednosti operatora A, a 17

20 4.6.Dijagonalizacija x 1,..., x r njima pridruºeni svojstveni vektori, respektivno. Skup {x 1,..., x r } je linearno nezavisan. Dokaz. Dokaz emo izvesti koriste i princip matemati ke indukcije po broju r razli itih svojstvenih vrijednosti. U slu aju r = 1 tvrdnja je o igledno ta na, jer posmatramo jednoelementan skup i po deniciji svojstveni vektor je nenulti vektor. Pretpostavimo sada da tvrdnja vrijedi za r 1 i dokaºimo da vrijedi za r. Posmatrajmo r α i x i = 0. Treba pokazati da je α i = 0 za sve i = 1,..., r. Djelovanjem operatora A na sumu iz prethodne jednakosti dobijamo ( r ) r r A α i x i = α i A(x i ) = α i λ i x i, pa je r α i λ i x i = 0, odnosno nakon oduzimanja posljednje i po etne jednakosti pomnoºene sa λ r dobijamo r α i λ i x i r α i λ r x i = 0 r 1 α i (λ i λ r )x i = 0. Obzirom da su prema induktivnoj pretpostavci vektori {x 1,..., x r 1 } linearno nezavisni, to slijedi da je α i (λ i λ r ) = 0 za sve i = 1,..., r 1. Po pretpostavci su svojstvene vrijednosti mežusobno razli ite, pa je λ i λ r za i = 1,..., r 1. Slijedi da mora biti α i = 0 za sve i = 1,..., r 1. No, sada se po etna suma reducira na α r x r = 0, a po²to su svojstveni vektori nenulti vektori, slijedi da mora biti α r = 0. Dakle, prema principu matemati ke indukcije tvrdanja teorema vrijedi. 4.6 Dijagonalizacija Kako smo ve napomenuli matrica nekog operatora zavisi od izbora baza prostora na kojim operator djeluje. Jedan od vaºnih zadataka je odreživanje pogodne baze tako da matrica operatora bude ²to jednostavnija. Odgovor 18

21 4.6.Dijagonalizacija na pitanje koliko jednostavnu matricu je mogu e dobiti za dati operator nije jednostavno unaprijed dati. No, imaju i na umu da je ra un sa dijagonalnim matricama znatno jednostavniji od onog sa proizvoljnim matricama, moºemo zaklju iti da bi bilo zna ajno odrediti bazu prostora za koju je matrica operatora dijagonalna, ukoliko takva postoji. Postupak kojim se datom operatoru pridruºuje dijagonalna matrica se naziva postupkom dijagonalizacije operatora. Za operator kojem se moºe pridruºiti dijagonalna matrica kaºe se da se moºe dijagonalizirati. Razmotrimo jednu direktnu posljedicu teorema 4.9. Posmatrajmo linearan operator A : V V, koji djeluje na kona no-dimenzionalnom prostoru V, dimv = n. Ukoliko operator A ima n razli itih svojstvenih vrijednosti, tada je skup od n njima odgovaraju ih svojstvenih vektora nezavisan, pa u prostoru dimenzije n ini bazu. Slijedi, koriste i deniciju svojstvenih vektora, da je matrica operatora A, u toj bazi sastavljenoj od svojstvenih vektora dijagonalna. Dodatno, elementi na dijagonali su svojstvene vrijednosti operatora. Odavde slijedi da se operator koji ima n nezavisnih svojstvenih vektora moºe dijagonalizirati. Pokazuje se da vrijedi i obrnuta tvrdnja. Preciznije, vrijedi sljede i teorem, kojeg navodimo bez dokaza. Teorem Linearni operator se moºe dijagonalizirati ako i samo ako postoji baza koja se sastoji od njegovih svojstvenih vektora. Ovdje treba napomenuti da operator koji ima n razli itih svojstvenih vrijednosti ima i n razli itih svojstvenih vektora, koji su prema teoremu 4.9 linearno nezavisni, pa se prema teoremu 4.10 moºe dijagonalizirati. No, uslov razli itosti svojstvenih vrijednosti nije potreban, mogu e je da operator sa manje od n razli itih svojstvenih vrijednosti ima n nezavisnih svojstvenih vektora i da se moºe dijagonalizirati. Karakteristike dijagonalne matrice i matrice prelaza pri dijagonalizaciji date su sljede im teoremom. Teorem Neka je operator A dat matricom A R n n i neka se moºe dijagonalizirati. Elementi na glavnoj dijagonali dijagonalne matrice A su svojstvene vrijednosti operatora A (odnosno matrice A). Matrica prelaza P na bazu sa injenu od svojstvenih vektora je matrica ije su kolone formirane od komponenti svojstvenih vektora. Navedena razmatranja nam daju i postupak kojim se vr²i dijagonalizacija operatora A kojem je pridruºena matrica operatora A. Dakle, prvo odredimo 19

22 4.6.Dijagonalizacija svojstvene vrijednosti operatora rje²avaju i karakteristi nu jedna inu, zatim za svaku od svojstvenih vrijednosti rje²avanjem odgovaraju eg homogenog sistema jedna ina odredimo pridruºene svojstvene vektore. Ukoliko postoji n linearno nezavisnih svojstvenih vektora operator se moºe dijagonalizirati. Matricu prelaska P s date baze na bazu sa injenu od svojstvenih vektora formiramo tako ²to komponente svojstvenih vektora pi²emo kao kolone matrice prelaza. Matrica A operatora A u novoj bazi je dijagonalna matrica iji su elementi na dijagonali svojstvene vrijednosti, to jeste λ A = P 1 0 λ 2 0 AP = λ n Treba napomenuti da se pojam dijagonalazicije nekada uvodi samo za matrice bez referiranja na odreženi operator. No rezultati su potpuno analogni, a formalni prelazak se izvodi koriste i operator odrežen matricom kao u primjeru 4.2. Jedna od primjena dijagonalizacije matrice je primjena na ra unanje stepena matrice. Naime, kako smo vidjeli, postupak mnoºenja matrica, pa i stepenovanja, zahtijeva izvr²enje velikog broja ra unskih operacija. No, u slu aju dijagonalnih matrica postupak je vrlo jednostavan. 20

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1 Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra i geometrija

Linearna algebra i geometrija Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, septembar 2012. Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 2.1 Pojam matrice..........................

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra i geometrija

Linearna algebra i geometrija Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, septembar 2012 Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 3 Sistemi linearnih jedna ina 3

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F

Διαβάστε περισσότερα

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3. 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3. 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 5 Ispitivanje jedna ina drugog reda u R 2 5 5.1 Krive sa centrom.........................

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).

Teorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora). UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra i geometrija

Linearna algebra i geometrija Univerzitet u Sarajevu Elektrotehni ki fakultet Linearna algebra i geometrija predavanja Sarajevo, oktobar 2017 Sadrºaj Sadrºaj ii 1 Uvod 1 2 Matrice i determinante 2 3 Sistemi linearnih jedna ina 3 31

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

x + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4.

x + 3y + 6z = 3 3x + 5y + z = 4 x + y + z = 4. Linearna algebra A, kolokvijum, 1. tok 22. novembar 2014. 1. a) U zavisnosti od realnih parametara a i b Gausovim metodom rexiti sistem linearnih jednaqina nad poljem R ax + (a + b)y + bz = 3a + 5b ax +

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 3 Zapis nekih transformacija ravnine i prostora - pojam matrice i linearnog operatora Lekcije i Matematike 1. 3. Zapis nekih transformacija ravnine i prostora

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA 1 skripta za nastavni ke studije na PMF-MO. Zrinka Franu²i, Juraj iftar

LINEARNA ALGEBRA 1 skripta za nastavni ke studije na PMF-MO. Zrinka Franu²i, Juraj iftar LINEARNA ALGEBRA 1 skripta za nastavni ke studije na PMF-MO Zrinka Franu²i, Juraj iftar Sadrºaj 1 Vektorski prostori 2 11 Osnovne algebarske strukture 4 111 Binarna operacija Grupoid 4 112 Grupa 6 113

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.

Matematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R. Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije i Limesi i derivacije Poglavlje Limesi i derivacije.0. Limesi Limes funkcije f kada teºi nekoj to ki a ovdje a moºe ozna avati i ± moºemo

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Konačno dimenzionalni vektorski prostori

Konačno dimenzionalni vektorski prostori Konačno dimenzionalni vektorski prostori Dragan S. Dor dević Niš, 2012. 2 Sadržaj Predgovor 5 1 Redukcija operatora 7 1.1 Linearni operatori, matrica linearnog operatora................ 7 1.2 Invarijatni

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Mjera i Integral Vjeºbe

Mjera i Integral Vjeºbe Mjera i Integral Vjeºbe September 8, 2015 Chapter 1 σ-algebre 1.1 Osnovna svojstva i prvi primjeri Najprije uvodimo pojmove algebre i σ-algebre 1 skupova. Za skup, familiju svih njegovih podskupova zovemo

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Linearne algebre (2003/4)

Zadaci iz Linearne algebre (2003/4) Zadaci iz Linearne algebre (2003/4) Srdjan Vukmirović May 22, 2004 1 Matematička indukcija 1.1 Dokazati da za sve prirodne brojeve n važi 3 / (5 n + 2 n+1 ). 1.2 Dokazati da sa svake m Z i n N postoje

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 7 Pojam svojstvene vrijednosti i svojstvenog vektora Lekcije iz Matematike 1. 7. Pojam svojstvene vrijednosti i svojstvenog vektora I. Naslov i obja²njenje naslova

Διαβάστε περισσότερα

Uvod i vektorski prostori

Uvod i vektorski prostori ЛИНЕАРНА АЛГЕБРА припрема испита Оно што следи представља белешке које сам правио непосредно пред полагање усменог дела испита (јул 2002. године). Због тога нису потпуне, и може понешто бити нетачно, или

Διαβάστε περισσότερα

Numerička analiza 26. predavanje

Numerička analiza 26. predavanje Numerička analiza 26. predavanje Saša Singer singer@math.hr web.math.hr/~singer PMF Matematički odjel, Zagreb NumAnal 2009/10, 26. predavanje p.1/21 Sadržaj predavanja Varijacijske karakterizacije svojstvenih

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1

LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 LEKCIJE IZ MATEMATIKE 1 Ivica Gusić Lekcija 4 Algebra matrica. Inverzna matrica. Determinanta Lekcije iz Matematike 1. 4. Algebra matrica. Inverzna matrica. Determinanta I. Naslov i obja²njenje naslova

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler

Matrice linearnih operatora i množenje matrica. Franka Miriam Brückler Matrice linearnih operatora i množenje matrica Franka Miriam Brückler Kako je svaki vektorski prostor konačne dimenzije izomorfan nekom R n (odnosno C n ), pri čemu se ta izomorfnost očituje odabirom baze,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc

Linearna algebra za fizičare, zimski semestar Mirko Primc Linearna algebra za fizičare, zimski semestar 006. Mirko Primc Sadržaj Poglavlje 1. Vektorski prostor R n 5 1. Vektorski prostor R n 6. Geometrijska interpretacija vektorskih prostora R i R 3 11 3. Linearne

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI

SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI VI SVOJSTVENI VEKTORI I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI - 59-6 KARAKTERISTIČNI POLINOM I SVOJSTVENE VRIJEDNOSTI U ovom poglavlju ćemo opisati kako se traži ''najprikladnija'' baza vektorskoga prostora X, baza u

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum

16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum 16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni

Διαβάστε περισσότερα

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi

Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.

Διαβάστε περισσότερα

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3

Sadrºaj. 1 Vektorska algebra 1. 2 Analiti ka geometrija 2. 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 Sadrºaj Sadrºaj i 1 Vektorska algebra 1 2 Analiti ka geometrija 2 3 Analiti ka geometrija u ravni 3 4 Analiti ka geometrija u prostoru 4 4.1 Ravan u prostoru......................... 5 4.2 Udaljenost ta

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima.

M086 LA 1 M106 GRP Tema: Uvod. Operacije s vektorima. M086 LA 1 M106 GRP Tema:.. 5. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 2 M086 LA 1, M106 GRP.. 2/17 P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

1. Linearni operatori. Fiksirajmo po volji odabran kut ϕ [0, 2π) i promotrimo preslikavanje R ϕ : V 2 (O) V 2 (O) koje svaki radijvektor rotira za ϕ.

1. Linearni operatori. Fiksirajmo po volji odabran kut ϕ [0, 2π) i promotrimo preslikavanje R ϕ : V 2 (O) V 2 (O) koje svaki radijvektor rotira za ϕ. 1. Linearni operatori Fiksirajmo po volji odabran kut ϕ [0, 2π) i promotrimo preslikavanje R ϕ : V 2 (O) V 2 (O) koje svaki radijvektor rotira za ϕ. Kako je V 2 (O) vektorski prostor, prirodno je pitanje

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 23. Reč autora Ovo je verzija teksta koji je pod naslovom Linearna algebra prvobitno bio pripremljen za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Matrice i sustavi linearnih jednadžbi, inverzi i determinante, svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori

Matrice i sustavi linearnih jednadžbi, inverzi i determinante, svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori Matrice i sustavi linearnih jednadžbi, inverzi i determinante, svojstvene vrijednosti i svojstveni vektori Franka Miriam Brückler Matrični zapis sustava linearnih jednadžbi Neka je dano n nepoznanica x

Διαβάστε περισσότερα

2. Vektorski prostori

2. Vektorski prostori 2. Vektorski prostori 2.1. Pojam vektorskog prostora. Grubo govoreći, vektorski prostor je skup na kojem su zadane binarna operacija zbrajanja i operacija množenja skalarima koje poštuju uobičajena računska

Διαβάστε περισσότερα

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n : 4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

2 Jordanova forma. 2.1 Nilpotentni operatori

2 Jordanova forma. 2.1 Nilpotentni operatori 2 Jordanova forma 2 Nilpotentni operatori Definicija Neka je V vektorski prostor Operator N P LpV q je nilpotentan indeksa p (p P N) ako vrijedi N p, N p Propozicija Ako je e P V takav da je N p e, onda

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα