Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007."

Transcript

1 Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007.

2 Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X, F) zovemo izmjeriv prostor, a elemete iz F zovemo izmjerivi skupovi. Teorem 1 Neka je F σ-algebra a X tada vrijedi: (i) φ, X F (ii) F je zatvorea a prebrojive presjeke (iii) F je zatvorea a koače uije i presjeke (iv) A, B F A\B F (v) A, B F A B F Teorem 2 Presjek proizvolje familije σ-algebri a X je poovo σ-algebra a X. Def 2 Neka su zadaa dva izmjeriva prostora (X, F) i (Y, G) kažemo da je fukcija f: X Y izmjeriva u paru σ-algebri F i G ako za sve B G vrijedi da je f 1 (B) F Def 3 Neka je X skup tada familiju T podskupova od X zovemo topologija a X ako su i X uutra te je zatvorea a uije i koače presjeke tada urede par (X, T ) zovemo topološki prostor, elemete skupa T zovemo otvorei skupovi. Def 4 Neka je X skup i eka je C eka familija podskupova od X tada sa σ(c) ozačimo ajmaju σ-algebru koja sadrži C. Ukoliko je T toplološki prostor tada σ(t ) zovemo Borelovom σ-algebrom. Teorem 3 Presjek proizvolje familije toplogija a X je poovo topologija a X. Def 5 Stadarda toplologija a R koju ćemo ozačiti sa T R je ajmaja toplologija koja sadrži sve otvoree itervale a, b gdje su a < b reali brojevi dok za stadardu σ-algebra a R uzimamo B(R) = σ(t R ) Borelovu σ-algebru obzirom a stadardu toplogiju. Ukoliko ije specificiraa σ-algebra a R tada predpostvljamo da se radi o stadardoj σ-algebri. Def 6 Stadarda toplologija a R = R {, + } koju ćemo ozačiti sa T R je ajmaja toplologija koja sadrži sve otvoree itervale a, b gdje su a < b reali brojevi kao i sve itervale oblika [, a i a, + ] gdje je a reala broj dok za stadardu σ-algebru a R uzimamo B(R) = σ(t R ) Borelovu σ-algebru obzirom a stadardu toplologiju. Ukoliko ije specificiraa σ- algebra a R tada predpostavljamo da se radi o stadardoj σ-algebri.

3 Teorem 4 B(R) je ajmaja σ-algebra koja sadrži sve otvoree itervale a, b gdje su a < b reali brojevi Dokaz Ozačimo sa O R familiju svih otvoreih itervala iz iskaza teorema tada je očito O R T R pa imamo da je σ(o R ) B(R) = σ(t R ) opet s druge strae jer se svaki skup iz T R može prikazati kao prebrojiva uija elemeata iz O R imamo da je T R σ(o R ) pa imamo da je B(R) = σ(t R ) σ(σ(o R )) = σ(o R ) Teorem 5 B(R) je ajmaja σ-algebra koja sadrži sve otvoree itervale a, b gdje su a < b reali brojevi kao i sve itervale oblika [, a i a, + ] gdje je a reala broj Dokaz Ozačimo sa O R familiju svih itervala kao u iskazu teorema tada je očito O R T R pa imamo da je σ(o R ) B(R) = σ(t R ) opet s druge strae jer se svaki elemet iz T R se može dobiti kao prebrojiva uija elemeata iz O R imamo da je T R σ(o R ) pa imamo da je B(R) = σ(t R ) σ(σ(o R )) = σ(o R ) Teorem 6 B(R) = σ(b(r) {+ } { }) Dokaz Imamo da je B(R) B(R) {+ } { } i da je O R σ(b(r) {+ } { }) sada imamo da je B(R) = σ(b(r)) σ(b(r) {+ } { }) i da je B(R) = σ(o R ) σ(σ(b(r) {+ } { })) = σ(b(r) {+ } { }) pa slijedi tvrdja. Teorem 7 Neka su (X, F) i (Y, G) dva izmjeriva prostora, eka je f: X Y fukcija i eka je E familija podskupova od Y takva da je σ(e) = G te eka je f 1 (E) F E E tada je f izmjeriva u paru σ-algebri F i G Dokaz Neka je H = {A G : f 1 (A) F} sada vidimo da je E H G, pa je dovoljo pokazati da je H σ-algebra jer će tada slijediti da je H = G. Imamo da je f 1 (Y) = X F Y H, eka su A, B H tada je f 1 (A\B) = f 1 (A)\f 1 (B) F A\B H, eka je (A ) iz u H tada je f 1 ( A ) = f 1 (A ) F A H pa je H σ-algebra. =1 =1 =1 Teorem 8 Neka je (X, F) izmjeriv prostor, fukcija f: X R je izmjeriva ako i samo ako vrijedi bilo koje od uvijeta: (1) ( α R) {f α} F (2) ( α R) {f > α} F (3) ( α R) {f α} F (4) ( α R) {f < α} F

4 Dokaz Neka je C = {[α, +, α R} imamo da je C B(R) pa ako je f izmjeriva imamo da je {f α} = f 1 ([α, + ) F za sve α R pa vrijedi (1), a s druge strae imamo da je σ(c) O R pa imamo da je σ(c) = σ(σ(c)) σ(o R ) = B(R), a zamo da je σ(c) B(R) pa imamo da je σ(c) = B(R) pa ako vrijedi (1) imamo da je f izmjeriva. Sada imamo da (1) (2) jer je {f > α} = {f α + 1 } F. Imamo i da (2) (3) jer =1 je {f α} = X \{f > α} F, a očito (3) (4) jer {f < α} = {f α 1 } F, o (4) (1) jer {f α} = X \{f < α} F, pa je teorem u potpuosti dokaza. Teorem 9 Neka su (X, F), (Y, G) i (Z, H) tri izmjeriva prostora i eka je f: X Y izmjeriva u paru σ-algebri F i G i eka je g: Y Z izmjeriva u paru σ-algebri G i H tada je g f izmjeriva u paru σ-algebri F i H. Dokaz Neka je A H tada je g 1 (A) G pa je (g f) 1 (A) = f 1 (g 1 (A)) F. Teorem 10 Neka je (X, F) izmjeriv prostor, eka su f, g: X R izmjerive i eka je c R tada vrijedi: (i) f + g je izmjeriva (ii) cf je izmjeriva (iii) f je izmjeriva (iv) f g je izmjeriva Dokaz (i) Pokažimo {f + g α} = ({g α + q } {f α q }) N q Q Neka je x {f + g α} tada je g(x) + f(x) α eka je β 1 = g(x) tada je f(x) α β 1 = β 2 sada rjesavamo sustav jedakosti β 1 = α+β β 2 2 = α β 2 po β i taj sustav ima rjeseje β = β 1 β 2 pa za taj x postoji β takav da je x {g α+β α β } {f } zoro je jaso da za svaki β R i svaki 2 2 N mogu aći takav q Q da je α+q < α+β i da je α q 1 < α β pa je x ({g α + q } {f α q 1 }) idemo obruto eka je 2 2 N q Q x ( {g α + q } {f α q 1 }) tada za svaki N postoji 2 2 N q Q q Q takav da je g(x) α+q i da je f(x) α q 1 pa imamo da za svaki 2 2 N vrijedi da je g(x) + f(x) α 1 pa imamo da je f(x) + g(x) α sada tvrdja slijedi iz čijeice da su f i g izmjerive. (ii) eka je c = 0 i eka je α > 0 tada je {cf α} = φ, a ako je α 0 tada =1

5 je {cf α} = X, a ako je c 0 tada ako je c > 0 je {cf α} = {f α c }, ako je c < 0 tada je {cf α} = {f α c } (iii) dovoljo je pokazati da je apsoluta vrijedost p(x) = x izmjeriva fukcija imamo {p β} =, β] [β, + B R (iv) pokažimo da je h(x) = x 2 izmjeriva imamo da je {h α} =, α] [ α, + B R kada je α > 0, a {h α} = R kada je α 0 sada tvrdja slijedi jer imamo da je f g = 1 4 ((f + g)2 (f g) 2 ) Def 7 Neka (X, F) izmjeriv prostor tada sa M(X, F) ozačimo skup svih izmjerivih fukcija f: X R Teorem 11 Neka je (X, F) izmjeriv prostor tada je fukcija f M(X, F) ako i samo ako vrijedi bilo koji od uvijeta (1) ( α R) {f α} F (2) ( α R) {f > α} F (3) ( α R) {f α} F (4) ( α R) {f < α} F Dokaz Neka je C = {[α, + ], α R} imamo da je C B(R) pa ako je f M(X, F) imamo da je {f α} = f 1 ([α, + ]) F za sve α R pa vrijedi (1), a s druge strae imamo da je σ(c) O R pa imamo da je σ(c) = σ(σ(c)) σ(o R ) = B(R), a zamo da je σ(c) B(R) pa imamo da je σ(c) = B(R) pa ako vrijedi (1) imamo da je f M(X, F). Sada imamo da (1) (2) jer je {f > α} = {f α + 1 } F. Imamo i da (2) (3) =1 jer je {f α} = X \{f > α} F, a očito (3) (4) jer {f < α} = {f α 1 } F, o (4) (1) jer {f α} = X \{f < α} F, pa je teorem u potpuosti dokaza. Teorem 12 Neka je (X, F) izmjeriv prostor tada imamo da je f M(X, F) ako i samo ako vrijedi (i) {f = + } F (ii) {f = } F { f(x) f(x) R (iii) g: X R je izmjeriva gdje je g(x) = 0 f(x) / R Dokaz Neka je f M(X, F) tada jer su {+ }, { } B(R) imamo da su {f = + }, {f = } F eka je fukcija g defiiraa kao u iskazu teorema tada za α 0 vrijedi {g α} = {f α} {f = + } F, a za α < 0 vrijedi {g α} = {f α}\{f = } F Predpostavimo obruto da vrijedi (i) (iii) tada za α < 0 imamo da je {f α} = {g α} {f = } F, a za α 0 imamo da je {f α} = {g α}\{f = + } F =1

6 Teorem 13 Neka je (X, F) izmjeriv prostor, eka je f, h M(X, F), a g: X R izmjeriva i eka je c R tada vrijedi (i) f + g M(X, F) (ii) cf M(X, F) (iii) f M(X, F) (iv) f h M(X, F) (v) mi{f, g}, max{f, g} M(X, F) Dokaz (i) Dovoljo je pokazati da je {f +g > α} = {f > α+q α q } {g > }. 2 2 Neka je x {f + g > α} ako je f(x) = + tada postoji q Q takav da je g(x) > α q α+q, a zamo da vrijedi f(x) = + >, a ako je f(x) < tada postoji δ > 0 takav da je f(x) + g(x) = α + δ tada postoji q Q takav da je g(x) α q < δ pa je f(x) = α + δ g(x) > α + δ δ α q > α+q pa je x i u desoj strai, obruta ikluzija je očita. (ii) uz dogovor da je 0 (+ ) = 0 ( ) = 0 ako je c = 0 tada je cf ulfukcija pa je iz M(X, F), a ako je c 0 tada ako je c > 0 imamo da je {cf α} = {f α } i sličo za c < 0. (iii) Trebamo pokazati da je p(x) = x iz c M(R, B R ), a to je jer je {p α} = [, α] [α, + ] B R (iv) Neka { (f h)(x) (f h)(x) R { f(x) f(x) R je r(x) = 0 (f h)(x) / R, eka je u(x) = 0 f(x) / R, i { h(x) h(x) R eka je t(x) = tada je r = ut pa je r: X R izmjeriva, 0 h(x) / R a {f h = + } = ({f = + } {h > 0}) ({f = } {h < 0}) F, sličo je {f h = } F pa je f h M(X, F) (v) Tvrdja slijedi jer mi{f, g} = 1(f + g f g ) i max{f, g} = 1 (f + g + f g ) 2 2 Def 8 Neka je zada iz (x ) u R tada je if x = if{x : N} sup lim if lim sup x = sup{x : N} x = sup m x = if m q Q if x = sup{if{x : m} : m N} m x = if{sup{x : m} : m N} sup m Def 9 Neka je X eki eprazi skup i eka je zada iz fukcija f : X R tada su dobro defiirae fukcije (if f )(t) = if f (t) za sve t X (sup (lim if (lim sup f )(t) = sup f )(t) = lim if f )(t) = lim sup f (t) za sve t X f (t) za sve t X f (t) za sve t X

7 Teorem 14 Neka je (X, F) izmjeriv prostor, eka je zada iz (f ) u M(X, F) tada su if f, sup f, lim if f, lim sup f u M(X, F) Dokaz {if f α} = {x X : ( N) f (x) α} = {f α} F =1 i sličo za supremum iza fukcija, a imamo da je lim if f = sup if f i m m sliču tvrju za limes superior iza fukcija pa slijedi tvrdja teorema. Teorem 15 Neka je (X, F) izmjeriv prostor i eka iz fukcija (f ) u M(X, F) kovergira po točkama prema fukciji f tada je i f u M(X, F). Dokaz Jer iz (f ) kovergira po točkama imamo da je lim if lim sup f pa tvrdja slijedi. f = lim f = Def 10 Neka je (X, F) izmjeriv prostor za fukciju µ: F R kažemo da je mjera ako vrijedi (i) µ(φ) = 0 (ii) µ(a) 0 za sve A F (iii) eka je (E ) iz u parovima disjuktih skupova iz F tada je µ( E ) = =1 µ(e ) =1 Tada za (X, F, µ) kažemo da je prostor s mjerom. Svojstvo (iii) iz defiicije mjere zovemo σ-aditivost. Def 11 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom ako je µ(x ) < + tada kažemo da je µ koača mjera, a ako postoji familija skupova {E : N} takvih da je µ(e ) < + za sve N i da je X = E tada kažemo da je µ σ-koača. Teorem 16 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada (1) za svaku koaču familiju {E : {1,... m}} u parovima disjuktih skupova iz F imamo da je µ( m E ) = m µ(e ) =1 (2) Ako su A, B F takvi da je µ(a) < + i da je A B tada je µ(b\a) = µ(b) µ(a) (3) Neka su A, B F takvi da je A B tada je µ(a) µ(b) (4) Neka je (E ) iz epadajućih skupova iz F što ćemo kraće ozačavati sa (E ) tada je µ( E ) = lim µ(e ) =1 =1 =1

8 (5) Neka je (E ) iz erastućih skupova iz F što ćemo kraće ozačavati sa (E ) tada je µ( E ) = lim µ(e ) =1 Def 12 Neka je (X, F) izmjeriv prostor sa M + (X, F) ćemo ozačiti skup svih fukcija iz M(X, F) koje su eegative zači fukcije za koje vrijedi f(x) 0 za sve x X što ćemo krače zapisivati f 0 Def 13 Neka je (X, F) izmjeriv prostor za f M(X, F) kažemo da je jedoostava ako je f(x ) koača. Neka je f(x ) = {a 1,..., a } gdje su svi a i za i {1,..., } različiti tada prikaz f = a j 1 Aj gdje imamo da je A j = {f = a j } zovemo stadardim prikazom jedostave fukcije f. Def 14 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je ϕ M + (X, F) jedoostava gdje je ϕ = a j 1 Aj stadardi prikaz fukcije ϕ tada Lebesgueov j=1 itegral fukcije ϕ defiramo kao ϕdµ = a X j µ(a j ) gdje vrijedi kovecija da je 0 (+ ) = 0 Teorem 17 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka su f, g M + (X, F) jedostave i eka je c 0 tada su fukcije cf,f +g M + (X, F) jedostave i vrijedi (i) X (cf)dµ = c X fdµ (ii) X (f + g)dµ = X fdµ + X gdµ (iii) g f X gdµ X fdµ Dokaz Neka su f = a i 1 Ai i g = m b j 1 Bj stadardi prikazi tih fukcija, j=1 odmah vidimo da je i fukcija cf M + (X, F) jedostava i da ima stadardi prikaz cf = ca i 1 Ai pa sad imamo da je cfdµ = ca X i µ(a i ) = c a i µ(a i ) = c fdµ Fukcija f + g poprima samo koačo mogo vri- X jedosti pa eka su {c 1,..., c p } sve vrijedosti koje f + g poprima gdje su c k za k {1,..., p} medusobo različiti tada fukcija f + g ima prikaz oblika f + g = p c k 1 Ck gdje su C k = A i B j F pa je fukcija a i +b j =c k f + g M + (X, F) jedostava sa stadardim prikazom f + g = j=1 j=1 p c k 1 Ck

9 j=1 pa račuamo itegral (f +g)dµ = p c X k µ(c k ) = p c k µ( A i B j ) = a i +b j =c k p (a i + b j )µ(a i B j ) = m (a i + b j )µ(a i B j ) = m a i µ(a i a i +b j =c k j=1 j=1 B j )+ m b j µ(a i B j ) = a i µ(a i )+ m b i µ(b i ) = fdµ+ gdµ Posljed- ja tvrdja slijedi iz čijeice da ako je g f tada je f g M + (X, F) jedostava, a itegral takve je 0 pa imamo da je fdµ = (f g)dµ + (g)dµ gdµ Teorem 18 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je ϕ M + (X, F) jedostava tada je fukcija λ : F R daa sa λ(e) = E ϕdµ = X ϕ1 Edµ mjera. Def 15 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je f M + (X, F) tada Lebesgueov itegral fukcije f defiiramo kao X fdµ = sup{ X ϕdµ : ϕ f ϕ M + (X, F) jedostava } Def 16 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je A F i eka je f M + (X, F) tada je f 1 A M + (X, F) pa defiiramo A fdµ = X f 1 Adµ Teorem 19 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka su f, g M + (X, F) i eka je f g tada je X fdµ X gdµ Teorem 20 (Lebesgueov teorem o mootooj kovergeciji) Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je (f ) epadajući iz fukcija što ćemo ozačavati kao (f ) iz M + (X, F) i eka je f = lim f tada je f M + (X, F) i vrijedi fdµ = lim f X X dµ Dokaz (f ) je posebo iz u M(X, F) pa je i f = lim f M(X, F), a jer su sve f eegative imamo da je i f eegativa pa je f M + (X, F) Jer je (f ) slijedi da je ( f X dµ ) pa postoji lim X f dµ sada jer je f f imamo da je fdµ f dµ za sve N pa je fdµ X lim X f dµ Obruto eka je 0 < α < 1 i eka je ϕ M + (X, F) jedostava takva da je ϕ f defiiramo A = {x X : f (x) > αϕ(x)} i B = {ϕ = + } primjetimo da je A F te vrijedi A A +1 i A B = X Prvo promotrimo slučaj kada je µ(b) = 0 tada imamo ϕdµ = X ϕdµ + ϕdµ = lim A B A ϕdµ Sada imamo A αϕdµ A f dµ =1 j=1 =1

10 f X dµ pa kada a to dijelujemo s limesom dobijemo α ϕdµ lim f X X dµ i to vrijedi za svaki 0 < α < 1 pa dobijemo ϕdµ lim f X X dµ i to vrijedi za svaku jedostavu fukciju ϕ f pa dobijemo fdµ lim f X X dµ. Sada promotrimo slučaj kada je µ(b) > 0 zadajmo eki priroda broj m > 0 pa defiramo B = {x B : f (x) > m} jaso je da je B = B sada imamo f X kdµ B f k dµ pa ejedakost ostaje i kad prijedjemo a limes, a imamo lim k B f k dµ B mdµ i to vrijedi za svaki N pa imamo lim f k X kdµ lim B mdµ = mdµ = mµ(b) i to za svaki m > 0 pa B imamo da je lim k X f kdµ = + = fdµ X Teorem 21 Neka je (X, F) izmjeriv prostor i eka je f M + (X, F) tada postoji iz (ϕ ) u M + (X, F) jedostavih fukcija takav da je lim ϕ = f to ćemo kraće pisati (ϕ f). Dokaz Defiiramo skupove E () k = f 1 ([ k, k+1 ) za k {0,..., 2 1}, a 2 2 E () k = f 1 ([, + ) za k = 2, zatim defiiramo fukciju ϕ (x) = k za 2 x E () k tada je očito (ϕ ) iz jedostavih fukcija, a lagao se pokaže da lim ϕ = f Teorem 22 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka su f, g M + (X, F), a c 0 tada su cf, f + g M + (X, F) i vrijedi (i) X cfdµ = c X fdµ (ii) X (f + g)dµ = X fdµ + X gdµ Dokaz Raije je pokazao da je cf M(X, F), a jer je c 0 imamo da je iz M + (X, F), jaso je da je f + g 0, a od prije zamo da je f + g M(X, F) Zamo da postoje epadajući izovi jedostavih fukcija iz M + (X, F) takvi da (ϕ f) i (ψ g) tada (cϕ cf) i (ϕ +ψ f +g) pa cfdµ = lim X X cϕ dµ = c lim ϕ X dµ = c fdµ i (f + g)dµ = lim (ϕ X + ψ )dµ = lim ϕ X dµ + lim X ψ dµ = fdµ + gdµ Teorem 23 (Fatouova lema) Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je (f ) iz u M + (X, F) tada je lim if f M + (X, F) i vrijedi lim if f X dµ lim if f X dµ =1

11 Dokaz Imamo da je lim if f M(X, F) i poprima eegative vrijedosti pa je iz M + (X, F). Neka je (g ) iz defiira sa g = if f m tada je m g f m za sve m pa imamo da je g X dµ f X mdµ za sve m pa je i g X dµ lim if f m X mdµ o kako (g lim if f m) pa imamo da je m lim if f X dµ lim if f X dµ Teorem 24 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je f M + (X, F) tada defiiramo λ : F R kao λ(e) = fdµ tada je λ mjera. E Dokaz Imamo da je f1 E 0 pa slijedi da je f1 X Edµ 0 pa imamo pozitivost, sada jer je 1 φ = 0 imamo da je fdµ = 0dµ = 0. Neka je (E φ X k) iz u parovima disjuktih skupova iz F, eka je E = ϕ = E k defiiramo 1 Ek i ϕ = 1 E vrijedi da je (ϕ ϕ) pa vrijedi da (ϕ f ϕf) pa imamo λ(e) = fϕdµ = lim X pa je i σ-aditivost dokazaa. X fϕ dµ = lim X f1 E k dµ = λ(e k) Def 17 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, kažemo da eko svojstvo vrijedi skoro svuda i pišemo (s.s) u odosu a mjeru µ ako posoji skup A F takav da svojstvo vrijedi a A, a µ(a c ) = 0 Teorem 25 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je f M + (X, F) tada je fdµ = 0 ako i samo ako je f = 0 (s.s.) X Dokaz Neka je fdµ = 0 eka je E X = {f 1 } tada je f 1 1 E pa imamo da je fdµ 1 1 E dµ = 1 µ(e ) pa mora biti µ(e ) = 0, eka je E = E imamo jer (E E) da µ(e) = lim µ(e ) = 0, a E = {f > 0} =1 pa budući je f eegativa slijedi da je f = 0 (s.s) predpostavimo obruto { + f(x) > 0 da je f = 0 (s.s) defiramo fukciju g(x) = tada je f g 0 f(x) = 0 pa je i fdµ gdµ = 0µ({g = 0}) + (+ )µ({g = + }) = 0 Teorem 26 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je (f ) iz u M + (X, F) takav da kovergira prema fukciji f (s.s) što čemo krače pisati (f f) (s.s) tada je lim X f dµ = fdµ X

12 Dokaz Zamo da postoji skup A takav da lim f (t) = f(t) za sve t A tada (f 1 A f1 A ), vidimo da su f 1 A c = 0 (s.s) kao i f1 A c = 0 (s.s) sada vrijedi lim f X dµ = lim f X 1 A + lim X f 1 A c = f1 X Adµ = f1 X Adµ + f1 X A cdµ = fdµ X Def 18 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je f M(X, F) tada su (i) f + = max{0, f}, f = mi{0, f} M + (X, F) (ii) f = f + f (iii) f = f + + f Ukoliko su f + dµ, f dµ < + f dµ < + tada kažemo da je X f itegrabila i tada defiiramo fdµ = f + dµ f dµ Skup svih X itegrabilih ozačimo L(X, F, µ) Teorem 27 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je f L(X, F, µ) tada ukoliko su g, h M + (X, F) takvi da su gdµ, hdµ < + i da je f = g h tada je fdµ = gdµ hdµ X Teorem 28 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada vrijedi (i) f L(X, F, µ) f L(X, F, µ) i fdµ f dµ (ii) f izmjeriva, g itegrabila i f g tada je i f itegrabila (iii) Neka su α, β kostate i eka su f, g L(X, F, µ) tada je αf + βg L(X, F, µ) i vrijedi α fdµ + β gdµ = (αf + βg)dµ X (iv) eka su f, g L(X, F, µ) i eka je f g tada je fdµ gdµ Dokaz (i) Prvi dio tvrdje slijedi jer je f + dµ, f dµ < + (f + + X f )dµ < +, a drugi fdµ = f + dµ f dµ f + dµ + f dµ = f dµ (ii) f + dµ, f dµ gdµ < + (iii) Pokažimo X prvo da za f L(X, F, µ) i α kostatu vrijedi da je αf L(X, F, µ) to se lako vidi jer je αf dµ = α f dµ = α f dµ < +, lako X se pokaže da je ( f)dµ = (f)dµ, za α 0 se lako pokaže da je αfdµ = α fdµ X pa eka je α < X 0 tada je αfdµ = ( 1)( α)fdµ = ( α)fdµ = ( 1)( α) fdµ = α fdµ pokažimo ostatak, eka je X f = f + f i g = g + g tada je f + g = f + + g + (f + g ) sada jer je (f + + g + )dµ = f + dµ + X g+ dµ < + i jer je (f + g )dµ = f X dµ + g dµ < + imamo da je (f + g)dµ = (f + + g + )dµ (f + g )dµ = ( f + dµ f dµ) + ( g+ dµ X g dµ) = fdµ + gdµ (iv) gdµ = g fdµ + fdµ fdµ X X Teorem 29 (Lebesgueov teorem o domiiraoj kovergeciji) Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je (f ) iz u M(X, F) takav koji skoro svuda kovergira prema fukciji f M(X, F), a iače možda i ekovergira i

13 eka postoji g L(X, F, µ) takav da je f g za sve N tada je fdµ = lim f X X dµ Dokaz Imamo da za sve N vrijedi 0 g + f 2g i 0 g f 2g. Nadalje imamo lim if(g + f X )dµ lim if (g + f X )dµ što daje lim if f X dµ lim if f X dµ i imamo lim if(g f X )dµ lim if (g X f )dµ što daje lim if( f X )dµ lim if ( f X )dµ iz čega slijedi lim sup f X dµ lim sup f X dµ Tvrdaja sada slijedi jer je f = lim if f (s.s) i f = lim sup f (s.s), a za f = g (s.s) vrijedi da je fdµ = gdµ Def 19 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je f L(X, F, µ) tada fukciju λ : F R dau sa λ(e) = fdµ zovemo eodredei itegral od E f. Teorem 30 Ne postoji mjera µ : P(R) R takva da (i) ( c R) ( X R) µ(x + c) = µ(x) (ii) ( a < b) µ( a, b]) = b a Dokaz Defiiramo relaciju ekvivalecije a R kao x y x y Q tada jer je svaka od defiiraih klasa gusta a R možemo uzeti iz svake klase jeog reprezetata takvog da je u skupu [ 1, 1] i dobivei skup ozačimo sa A, poredajmo sada racioale brojeve iz [ 2, 2] u iz q 1, q 2, q 3,... sada se lako pokaže da je 4, 3] (A + q i ) 1, 1] pa kada bi mjera iz tvrdje teorema postojala tada bi vrijedilo 7 µ(a) 2, što je emoguće. Def 20 Algebra skupova A a X je familija podskupova od X takva da vrijedi (i) A (ii) A A A c A (iii) A 1,..., A A A i A Mjera µ a algebri skupova A je fukcija µ : A R takva da vrijedi (i) µ( ) = 0 (ii) µ(a) 0 za sve A A (iii) Neka je (A k ) iz u parovima disjuktiih skupova iz A takvih da je A i A tada je µ( A i ) = µ(a i )

14 Teorem 31 Neka je P skup svih koačih uija poluotvoreih itervala oblika a, b] gdje su a, b R tada je P prste (epraza familja zatvorea a koače uije i skupove razlike) te se svaki elemet iz P da prikazati kao disjukta uija poluotvoreih itervala spomeutog oblika. Neka je P prste skupova tada je familija A = {A : A ili A c P} algebra i to je ajmaja algebra koja sadrži P. Teorem 32 Neka je P prste svih koačih uija poluotvoreih itervala kao iz prošlog teorema i eka je A ajmaja algebra koja sadrži P tada postoji samo jeda mjera µ a A takva da je µ( a, b]) = b a Dokaz Neka su µ i ν dvije mjere koje se podudaraju a poluotvoreim itervalima tada je jaso da se podudaraju a P zbog koače aditivosti mjere i vrijedosti koje poprimaju a tom skupu su koače pa su vrijedosti a komplemetima elemeata iz P beskoače pa se µ i ν podudaraju a cijelom A. Egzisteciju takve mjere ostavljamo bez dokaza. Def 21 Neka je X bilo kakav skup, te A algebra a X, a µ mjera a A tada za svaki A X defiiramo µ (A) = if{ µ(e k ) : gdje je (E k ) iz u A takav da je A od µ E k } Fukciju µ : P(X ) R zovemo vajska mjera Teorem 33 Svojstva vajske mjere: (a) µ( ) = 0 (b) µ(b) 0 za sve B X (c) A B µ (A) µ (B) (d) B A µ (B) = µ(b) (e) µ ( B i ) µ (B i ) (σ-subaditivost) i=0 Dokaz (a)-(c) su lagae posljedice defiicije pokažimo (d) prvo je µ (B) µ(b) jer je B,,,... jeda pokrivač od B pa je µ (B) µ(b) + µ( ) + µ( ) +... drugo vrijedi da za iz (E i ) u A takav da je jegova uija u A vrijedi µ( E i ) µ(e i ) pa eka je (E i ) proizvolja pokrivač od B tada za (F i = B E i ) vrijedi da je B = F i pa vrijedi µ(b) µ(f i ) µ(e i ) pa zbog proizvoljosti od (E i ) imamo da je µ(b) µ (B). Pokažimo (e) eka je ε > 0 proizvolja tada za svaki B X možemo aći iz (E k ) k u A takav

15 da je µ (B ) + ε µ(e 2 ) k tada vrijedi µ ( B ) µ(ek ) =1 =1 (µ (B ) + ε ) = µ (B 2 ) + ε zbog proizvoljosti od ε slijedi tvrdja. =1 =1 Def 22 Neka je A algebra a X, eka je µ mjera a A, a µ vajska mjera od µ za skup E X kažemo da je µ -izmjeriv ako za sve A X vrijedi µ (A) = µ (A E) + µ (A\E) Teorem 34 (Caratheodoryjev teorem o prošireju) Neka je A algebra a X, eka je µ mjera a A, a µ vajska mjera od µ i eka je A skup svih µ - izmjerivih skupova a X tada vrijedi: (a) A je σ-algebra (b) µ je σ-aditiva a A (c) A A Dokaz Očito vrijedi da je, X A i da je familija A zatvorea a komplemetiraje, pokažimo da je zatvorea a presjek dva skupa. Neka su E, F A tada vrijedi (1) µ (A) = µ (A F ) + µ (A\F ) i sliča jedakost za E u koju umjesto A uvrstimo A F pa dobijemo (2) µ (A F ) = µ (A F E)+ µ ((A F )\E) te uvrstimo A\(E F ) u (1) pa dobijemo (3) µ (A\(E F )) = µ (A\F ) + µ ((A F )\E) zbrojimo (1) i (2) te iskoristimo (3) pa dobijemo µ (A) = µ (A (E F )) + µ (A\(E F )) za sve A X pa je E F A sada vidimo da je i E F = (E c F c ) c A Neka je (E k ) iz u parovima disjuktih skupova iz A, eka je F = E k tada jer je E A i jer vrijedi (1) A E = A ( E k ) E i (2) A 1 E k = A ( E k )\E imamo da je µ (A F ) = µ (A E )+µ (A 1 E k ) = µ (A E k ) Neka je E = E k tada vrijedi µ (A) = µ (A F ) + µ(a\f ) µ (A E k ) + µ (A\E) i to vrijedi za sve N pa zaključujemo da je µ (A) µ (A E k )+µ (A\E), a iz σ-subaditivosti izlazi (1) µ (A E k ) µ ( (A E k )) = µ (A E) pa to skupa daje µ (A) µ (A E) + µ (A\E), a iz σ-subaditivosti s druge strae slijedi µ (A) µ (A E) + µ (A\E) pa je E A Jaso je da je A zatvore a sve prebrojive uije elemeata iz A jer svakom izu elemeata iz A možemo pridružiti iz u parovima disjuktih elemeata takvih da je uija ovih drugih jedaka uiji oih prvih pa je A σ-algebra. Vidimo da u (1) zbog daljjeg zaključivaja stoji čak jedakost pa uvrstimo

16 A = E i dobijemo µ (E) = µ (E k ) pa je µ σ-aditiva a A. Neka je E A tada iz σ-subaditiviosti vrijedi µ (A) µ (A E) + µ (A\E) pokažimo drugu ejedakost tako što odaberemo ε > 0 tada postoji pokrivač od A recimo F 1, F 2,... A takav da je µ (A) + ε µ(f k ) primjetimo da je (F k \E) pokrivač od A\E i (F k E) pokrivač od A E pa vrijedi µ (A E) + µ (A\E) (µ(f k E) + µ(f k \E)) = µ(f k ) µ (A) + ε kako to vrijedi za svaki ε > 0 imamo da je A A Def 23 Za prostor s mjerom (X, F, µ) kažemo da je potpu ako za sve F X za koje postoji E F takav da je F E i da je µ(e) = 0 vrijedi da je F F Teorem 35 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada postoji potpu prostor s mjerom (X, G, µ ) takav da je F G i da je µ F = µ Def 24 Skup iz predhodog teorema ije jedistve, ali ajmaji takav je i taj zovemo upotpujeje prostora s mjerom. Teorem 36 Neka je A algebra a X, µ mjera a A, µ vajska mjera od µ i eka je A skup svih µ -izmjerivih skupova, eka je µ restrikcija od µ a A tada je (X, A, µ ) potpu prostor s mjerom. Dokaz Neka je F X takav da postoji E A takav da je µ (E) = 0 to zači da je µ (E) = 0 i da je µ (A) = µ (A E) + µ (A\E) i zamo da vrijedi µ (A) µ (A F ) + µ (A\F ), imamo da je µ (A F ) + µ (A\F ) µ (A E) + µ (A) µ (E) + µ (A) = µ (A) pa je i F A Teorem 37 (Hah) Neka je A algebra a X i eka je µ σ-koača mjera a A, eka je A σ-algebra dobivea Caratheodorijevom kostrukcijom tada postoji jedistveo prošireje od µ a A Dokaz Predpostavimo da imamo dvije takve mjere ν i µ, eka je E A tada uzmimo proizvolja iz (E i ) u A takav da je E i E tada je ν (E) ν ( E i ) ν (E i ) = µ(e i ) pa slijedi da je (1) ν (E) µ (E) za sve E A. Kako je µ bila σ-koača postoji iz F 1 F 2 F 3... u A takav da je µ(f k ) < + za sve k N pa je ν (F k \(E F k )) µ (F k \(E F k )) iz čega imamo da je (2) ν (F k E) µ (F k E) to skupa s (1) odmah daje ν (E F k ) = µ (E F k ) sada iz eprekiutosti odozda slijedi ν (E) = µ (E) Egzistecija je daa Caratheodorijevom kostrukcijom.

17 Def 25 Neka su µ i A kao u iskazu teorema 31 i eka je A dobivea Caratheodorijevom kostrukcijom te eka je λ prošireje od µ a A (µ je σ- koača pa am jedistveost garatira Hah) tada λ zovemo Lebesgueova mjera, a skupove iz A zovemo Lebesgue izmjerivi skupovi. Teorem 38 Lebesgueova mjera je ivarijata a traslacije Def 26 Neka je V reali vektorski prostor tada kažemo da je fukcija N: V R orma ako vrijedi (i) N(v) 0 za sve v V (ii) N(v) = 0 v = 0 (iii) N(αv) = α N(v) (iv) N(v + w) N(v) + N(w) Ako vrijedi samo (i),(iii),(iv) tada je N poluorma. Def 27 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je p [1, + tada skup svih f : X R izmjerivih fukcija takvih da je X f p dµ < + ozačavamo s L p (X, F, µ) te za f L p (X, F, µ) defiiramo f p = ( X f p dµ) 1 p Teorem 39 (Hölderova ejedakost) Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je f L p (X, F, µ) i eka je g L q (X, F, µ) gdje je p > 0 i eka vrijedi 1 p + 1 q = 1 tada je fg 1 f p g q Dokaz Neka su p i q kao u iskazu teorema pokažimo Yougovu ejedakost ab ap + bq oa slijedi iz ab = e l(a)+l(b) = e 1 p l(ap )+ 1 q l(bq) 1 p q p el(ap) + 1 q el(bq) = ap + bq jer je ekspoecijala fukcija koveksa. Predpostavimo p q da f p 0 i da je g q 0 tada primjeom Yougove ejedakosti imamo f(x)g(x) za sve x X kada ovo proitegriramo dobit ćemo f p g q fg 1 f p g q f(x) p p f p p + g(x) q q g q q = 1 što odmah daje tvrdju teorema. Sada predpostavimo p q da je f p = 0 tada je f p = 0 (s.s) pa je i fg = 0 (s.s) što zači da je 0 = fg 1 f p g q Teorem 40 (Nejedakost Mikowskog) Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka su f, g L p (X, F, µ) tada je i f +g L p (X, F, µ) i vrijedi f +g p f p + g p Dokaz Slučaj kada je p = 1 je jedostava jer slijedi iz ejedakosti trokuta za apsolutu vrijedost fg f + g zato predpostvimo da je p > 1. Prvo pokažimo da je f+g L p (X, F, µ) to slijedi jer je f+g p (2 max f, g ) p 2 p ( f p + g p ) Sada imamo f +g p = f +g f +g p f f +g p 1 + g f +g p 1 eka je q > 0 takav da je (p 1)q = 1 tada vrijedi = 1, sada imamo p q

18 da je f + g p 1 L q (X, F, µ) sada primjeimo Hölderovu ejedakost pa dobijemo X f f + g p dµ f p f + g p q p i sličo za drugi čla pa dobijemo f + g p p ( f p + g p ) f + g p p q ako je (1) f + g q p = 0 tada je tvrdja dokazaa, a ako je (1) različito od ule tada dijeljejem s (1) dobivamo tražeu tvrdju. Teorem 41 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada L p (X, F, µ) vekorski prostor, a fukcija. p je poluorma Teorem 42 Neka je V vektorski prostor i eka je. : V R poluorma tada defiiramo relaciju ekvivalecije u v ako i samo ako u v = 0 ozačimo klasu od u sa [u] tada je prostor svih klasa K = {[u] : u V } vektorski prostor, a defiramo li fukcuju. : K R sa [u] = u tada je ta fukcija orma a K Def 28 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada je prostor L p (X, F, µ) pridruže prostoru L p (X, F, µ) gorjom kostrukcijom. Teorem 43 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada je prostor L p (X, F, µ) potpu. Dokaz Neka je (f ) Cauchyjev iz u L p (X, F, µ) tada postoji podiz (g ) takav da je g +1 g p < 2. Defiiramo h = g 1 + g k+1 g k i h = lim h tada je h izmjeriva jer je dobivea kao limes izmjerivih fukcija Sada imamo h p = ( X h p dµ) 1 p = ( X lim h p dµ) 1 p (lim if h X p dµ) 1 p = lim if h p g 1 p + lim if g k+1 g k p g 1 p + 1 što odmah zači da je h L p (X, F, µ) Sada defiiramo w = g 1 + (g k+1 g k ) još ozačimo E = {x X : h(x) < + } sada buduči je h p itegrabila imamo da je µ(e c ) = 0 sada za svaki x E red (g k+1 g k ) je apsoluto kovergeta pa za sve x E iz (w (x)) kovergeta pa defiiramo w(x) = lim w (x) za x E odoso w(x) = 0 za x / E Sada imamo w p h p h p pa po LTDK imamo da je X w p dµ = lim X w p dµ sada gledamo w p = ( X w p dµ) 1 p = (lim X w dµ) 1 p = (lim w p h p < + pa je w L p (X, F, µ) Za zadai ε > 0 možemo aći 0 takav da za sve m, 0 vrijedi f g m < ε što je ekvivalto da X f g m p dµ < ε p još imamo

19 da je f w p = (s.s) = lim f w m 1 p = lim if f m g m p pa po Fautouvoj m lemi imamo f X w p dµ lim if f m X g m p dµ < ε p pa vrijedi da je f w < ε Def 29 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom defiiramo prostor L (X, F, µ) kao skup svih f : X R izmjerivih fukcija koje su skoro svuda omedee to zači da postoji N F takav da je µ(n) = 0 i da je sup{ f(x) : x / N} < +, defiiramo f = if{sup{ f(x) : x / N}, N F, µ(n)} = 0 tada je. poluorma, sada zaim postupkom dobijemo L (X, F, µ) Literatura: Robert G. Bartle, Elemets of itegratio

Mjera i integral. bilješke s vježbi ak. god /13. Aleksandar Milivojević

Mjera i integral. bilješke s vježbi ak. god /13. Aleksandar Milivojević Mjera i itegral vježbe bilješke s vježbi ak. god. 202./3. atipkali i uredili Aleksadar Milivojević Saji Ružić Sveučiliste u Zagrebu Prirodoslovo-matematički fakultet Matematički odsjek (skripta e može

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan

MJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan MJERA I INTEGRAL Bilješke s predavaja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godia 2010./2011. Natipkao i uredio: Iva Krija Zagreb, 23. 05. 2011. Sadržaj Sadržaj 1 UVOD 3 2 PRSTEN SKUPOVA 8 3 MJERE NA

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da

Διαβάστε περισσότερα

Niz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza.

Niz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza. 2. NIZOVI 1 / 78 Niz i podiz 2 / 78 Niz i podiz Defiicija Svaku fukciju a : N S zovemo iz u S. Za N pišemo a() = a i azivamo -tim člaom iza. Ozaka za iz je (a ) N ili (a ) ili samo (a ). Kodomea iza može

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Dvanaesti praktikum iz Analize 1

Dvanaesti praktikum iz Analize 1 Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Centralni granični teorem i zakoni velikih brojeva

Centralni granični teorem i zakoni velikih brojeva Poglavlje 8 Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 8.1 Cetrali graiči teorem Lema 8.1 Za 1/ x 1 vrijedi Dokaz: Stavimo log1 + x x x. fx := log1 + x x, x [ 1/, 1]. Očito f0 = 0. Nadalje, po teoremu

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Nizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom:

Nizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom: Nizovi Defiicija Niz je fukcija Ozake: (a ) ili a } a: R Zadatak Napišite prvih ekoliko člaova izova zadaih općim člaom: a = a = ( ) (c) a = Zadatak Odredite opće člaove izova: 3 5 7 9 ; 3 7 5 3 ; (c)

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

1 Neprekidne funkcije na kompaktima

1 Neprekidne funkcije na kompaktima Neprekide fukcije a kompaktima.. Teorem. Neka je K kompakta podskup metričkog prostora X, a f : X Y eprekido preslikavaje u metrički prostor Y. Tada je slika f(k) kompakta skup u Y..2. Zadatak. Neka su

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja 2016. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je I kolekcija svih ograničenih jednodimenzionalnih intervala

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

Teorem o prostim brojevima

Teorem o prostim brojevima Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski sveučiliši studij Matematika Zlatko Durmiš Teorem o prostim brojevima Završi rad Rijeka, 22. Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski

Διαβάστε περισσότερα

1 FUNKCIJE. Pretpostavljamo poznavanje prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,... },

1 FUNKCIJE. Pretpostavljamo poznavanje prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,... }, FUNKCIJE Pretpostavljamo pozavaje prirodih brojeva N = {,, 3,... }, cijelih brojeva Z = {...,,, 0,,,... }, racioalih brojeva Q = { m : m Z, N}. Nećemo defiirati reale brojeve R jer bi as to odvelo previše

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.

KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA. KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije 9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješenja 1. kolokvija (16. studenog 2015.)

DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješenja 1. kolokvija (16. studenog 2015.) DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješeja 1. kolokvija (16. studeog 2015.) Zadatak 1 (20 bodova) Neka je fukcija d: R 2 R 2 R daa formulom { x 1 + y d(x, y) = 1, ako je x y, 0, ako je

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA STATISTIKA

MATEMATIČKA STATISTIKA MATEMATIČKA STATISTIKA Bilješke s predavaja (prof. dr. sc. Miljeko Huzak akademske godie 04./05. Natipkao i uredio: Kristija Kilassa Kvaterik Ova skripta služi samo kao pomoć u praćeju predavaja iz istoimeog

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )

( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( ) Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

Mjera i Integral Vjeºbe

Mjera i Integral Vjeºbe Mjera i Integral Vjeºbe September 8, 2015 Chapter 1 σ-algebre 1.1 Osnovna svojstva i prvi primjeri Najprije uvodimo pojmove algebre i σ-algebre 1 skupova. Za skup, familiju svih njegovih podskupova zovemo

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom

6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom 6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s

Διαβάστε περισσότερα

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :

k a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n : 4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH Teorija graičih vrijedosti je od iteresa e samo u skupu R realih brojeva, već i u ekim drugim skupovima

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun funkcija više varijabli

Diferencijalni račun funkcija više varijabli Diferecijali raču fukcija više varijabli vježbe uredio Matija Bašić Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovo-matematički fakultet Matematički odsjek (skripta e može zamijeiti vježbe) Sadržaj 1 Struktura ormiraog

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.

Klasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove. Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =

Διαβάστε περισσότερα

Slučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.

Slučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015. Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i

1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

1. Topologija na euklidskom prostoru R n 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x

Διαβάστε περισσότερα

Definicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1,

Definicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1, Defiicija: Beskoači iz realih brojeva je fukcija a : N R i Umjesto zapisa a(), a(),,a(), može se koristiti zapis a, a,,a, Broj a zove se opći čla iza, a cijeli iz se kratko ozačuje (a ). Niz je : -rastući

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1

ELEMENTARNA MATEMATIKA 1 Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJENA L-FUNKCIJA U TEORIJI BROJEVA. Marija Patljak PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

PRIMJENA L-FUNKCIJA U TEORIJI BROJEVA. Marija Patljak PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marija Patljak PRIMJENA L-FUNKCIJA U TEORIJI BROJEVA Dilomski rad Voditelj rada: rof. dr. sc. Fili Najma Zagreb, veljača 2016.

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos

2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos . KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..

Διαβάστε περισσότερα

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati

Διαβάστε περισσότερα

2. Konvergencija nizova

2. Konvergencija nizova 6 2. KONVERGENCIJA NIZOVA 2. Konvergencija nizova Niz u skupu X je svaka funkcija x : N X. Vrijednost x(k), k N, se zove opći ili k-ti član niza i obično se označava s x k. U skladu s tim, niz x : N X

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Izrada Domaće zadaće 4

Izrada Domaće zadaće 4 Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014.

Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća nosi 5 bodova. Sve tvrdnje u zadacima obrazložiti! Renato Babojelić 31 Lea Božić 13 Ana Bulić 7 Jelena Crnjac 5 Bernarda Dragin 19 Gabriela Grdić

Διαβάστε περισσότερα

REALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih

REALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih REALNA FUNKCIJA Fukciju f čiji je skup vrijedosti V podskup skupa R realih brojeva zovemo realom fukcijom. Ako je, pritom, oblast defiisaosti D eki podskup skupa R uređeih -torki realih brojeva, kažemo

Διαβάστε περισσότερα

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka

1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka 1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Dijagonalizacija operatora

Dijagonalizacija operatora Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite

Διαβάστε περισσότερα

Dragan Jukić MJERA I INTEGRAL OSIJEK, f = 3 α i χ Ai. α 2. α 1. α 3 A 1 A 2 A 3. 3 fdλ = α i λ(a i )

Dragan Jukić MJERA I INTEGRAL OSIJEK, f = 3 α i χ Ai. α 2. α 1. α 3 A 1 A 2 A 3. 3 fdλ = α i λ(a i ) Dragan Jukić α 2 f = 3 α i χ Ai 3 fdλ = α i λ(a i ) α 1 α 3 A 1 A 2 A 3 MJERA I INTEGRAL OSIJEK, 2012. prof.dr.sc. Dragan Jukić MJERA I INTEGRAL Osijek, 2012. D. Jukić Mjera i integral. Izdavač: Sveučilište

Διαβάστε περισσότερα

Glava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva

Glava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva Glava Nizovi i skupovi realih brojeva Cetralo mesto u matematičkoj aalizi pripada pojmu graiče vredosti, odoso limesa. Upozaćemo se sa defiicijom limesa iza i sa tehikama alažeja graičih vredosti. Razmatraćemo

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Procjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2.

Procjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2. 4 Procjea parametara Neka je X slučaja varijabla čiju distribuciju proučavamo. Defiicija: Slučaji uzorak duljie za X je iz od ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli X 1, X,..., X koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ

LINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.

MATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA. Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.

Διαβάστε περισσότερα

1. Numerički nizovi i redovi

1. Numerički nizovi i redovi . Numerički izovi i redovi Često u svakodevom govoru koristimo termie iz i red, a da pri tome i e razmišljamo o jihovom kokretom začeju. Kada kažemo iz, podrazumijevamo skupiu objekata uredeih po pricipu

Διαβάστε περισσότερα

R ω s uniformnom topologijom i aksiomi prebrojivosti

R ω s uniformnom topologijom i aksiomi prebrojivosti Opća topologija 116 Opća topologija 118 Drugi aksiom prebrojivosti 4 AKSIOMI SEPARACIJE I PREBROJIVOSTI Aksiomi prebrojivosti Aksiomi separacije Normalni prostori Urysonova lema Urysonov teorem o metrizaciji

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

INŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d e s e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) G L A V A 5

INŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d e s e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) G L A V A 5 INŽENJERSKA MATEMATIKA NOTA BENE Dobro zapamti. Imaj a umu. Ne zaboravi. P r e d a v a j a z a d e s e t u s e d m i c u a s t a v e (u akademskoj 9/. godii) G L A V A 5 DIFERENCIJALNI RAČUN REALNIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008

Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni

Διαβάστε περισσότερα