Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.
|
|
- Τέρις Ζωγράφος
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007.
2 Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X, F) zovemo izmjeriv prostor, a elemete iz F zovemo izmjerivi skupovi. Teorem 1 Neka je F σ-algebra a X tada vrijedi: (i) φ, X F (ii) F je zatvorea a prebrojive presjeke (iii) F je zatvorea a koače uije i presjeke (iv) A, B F A\B F (v) A, B F A B F Teorem 2 Presjek proizvolje familije σ-algebri a X je poovo σ-algebra a X. Def 2 Neka su zadaa dva izmjeriva prostora (X, F) i (Y, G) kažemo da je fukcija f: X Y izmjeriva u paru σ-algebri F i G ako za sve B G vrijedi da je f 1 (B) F Def 3 Neka je X skup tada familiju T podskupova od X zovemo topologija a X ako su i X uutra te je zatvorea a uije i koače presjeke tada urede par (X, T ) zovemo topološki prostor, elemete skupa T zovemo otvorei skupovi. Def 4 Neka je X skup i eka je C eka familija podskupova od X tada sa σ(c) ozačimo ajmaju σ-algebru koja sadrži C. Ukoliko je T toplološki prostor tada σ(t ) zovemo Borelovom σ-algebrom. Teorem 3 Presjek proizvolje familije toplogija a X je poovo topologija a X. Def 5 Stadarda toplologija a R koju ćemo ozačiti sa T R je ajmaja toplologija koja sadrži sve otvoree itervale a, b gdje su a < b reali brojevi dok za stadardu σ-algebra a R uzimamo B(R) = σ(t R ) Borelovu σ-algebru obzirom a stadardu toplogiju. Ukoliko ije specificiraa σ-algebra a R tada predpostvljamo da se radi o stadardoj σ-algebri. Def 6 Stadarda toplologija a R = R {, + } koju ćemo ozačiti sa T R je ajmaja toplologija koja sadrži sve otvoree itervale a, b gdje su a < b reali brojevi kao i sve itervale oblika [, a i a, + ] gdje je a reala broj dok za stadardu σ-algebru a R uzimamo B(R) = σ(t R ) Borelovu σ-algebru obzirom a stadardu toplologiju. Ukoliko ije specificiraa σ- algebra a R tada predpostavljamo da se radi o stadardoj σ-algebri.
3 Teorem 4 B(R) je ajmaja σ-algebra koja sadrži sve otvoree itervale a, b gdje su a < b reali brojevi Dokaz Ozačimo sa O R familiju svih otvoreih itervala iz iskaza teorema tada je očito O R T R pa imamo da je σ(o R ) B(R) = σ(t R ) opet s druge strae jer se svaki skup iz T R može prikazati kao prebrojiva uija elemeata iz O R imamo da je T R σ(o R ) pa imamo da je B(R) = σ(t R ) σ(σ(o R )) = σ(o R ) Teorem 5 B(R) je ajmaja σ-algebra koja sadrži sve otvoree itervale a, b gdje su a < b reali brojevi kao i sve itervale oblika [, a i a, + ] gdje je a reala broj Dokaz Ozačimo sa O R familiju svih itervala kao u iskazu teorema tada je očito O R T R pa imamo da je σ(o R ) B(R) = σ(t R ) opet s druge strae jer se svaki elemet iz T R se može dobiti kao prebrojiva uija elemeata iz O R imamo da je T R σ(o R ) pa imamo da je B(R) = σ(t R ) σ(σ(o R )) = σ(o R ) Teorem 6 B(R) = σ(b(r) {+ } { }) Dokaz Imamo da je B(R) B(R) {+ } { } i da je O R σ(b(r) {+ } { }) sada imamo da je B(R) = σ(b(r)) σ(b(r) {+ } { }) i da je B(R) = σ(o R ) σ(σ(b(r) {+ } { })) = σ(b(r) {+ } { }) pa slijedi tvrdja. Teorem 7 Neka su (X, F) i (Y, G) dva izmjeriva prostora, eka je f: X Y fukcija i eka je E familija podskupova od Y takva da je σ(e) = G te eka je f 1 (E) F E E tada je f izmjeriva u paru σ-algebri F i G Dokaz Neka je H = {A G : f 1 (A) F} sada vidimo da je E H G, pa je dovoljo pokazati da je H σ-algebra jer će tada slijediti da je H = G. Imamo da je f 1 (Y) = X F Y H, eka su A, B H tada je f 1 (A\B) = f 1 (A)\f 1 (B) F A\B H, eka je (A ) iz u H tada je f 1 ( A ) = f 1 (A ) F A H pa je H σ-algebra. =1 =1 =1 Teorem 8 Neka je (X, F) izmjeriv prostor, fukcija f: X R je izmjeriva ako i samo ako vrijedi bilo koje od uvijeta: (1) ( α R) {f α} F (2) ( α R) {f > α} F (3) ( α R) {f α} F (4) ( α R) {f < α} F
4 Dokaz Neka je C = {[α, +, α R} imamo da je C B(R) pa ako je f izmjeriva imamo da je {f α} = f 1 ([α, + ) F za sve α R pa vrijedi (1), a s druge strae imamo da je σ(c) O R pa imamo da je σ(c) = σ(σ(c)) σ(o R ) = B(R), a zamo da je σ(c) B(R) pa imamo da je σ(c) = B(R) pa ako vrijedi (1) imamo da je f izmjeriva. Sada imamo da (1) (2) jer je {f > α} = {f α + 1 } F. Imamo i da (2) (3) jer =1 je {f α} = X \{f > α} F, a očito (3) (4) jer {f < α} = {f α 1 } F, o (4) (1) jer {f α} = X \{f < α} F, pa je teorem u potpuosti dokaza. Teorem 9 Neka su (X, F), (Y, G) i (Z, H) tri izmjeriva prostora i eka je f: X Y izmjeriva u paru σ-algebri F i G i eka je g: Y Z izmjeriva u paru σ-algebri G i H tada je g f izmjeriva u paru σ-algebri F i H. Dokaz Neka je A H tada je g 1 (A) G pa je (g f) 1 (A) = f 1 (g 1 (A)) F. Teorem 10 Neka je (X, F) izmjeriv prostor, eka su f, g: X R izmjerive i eka je c R tada vrijedi: (i) f + g je izmjeriva (ii) cf je izmjeriva (iii) f je izmjeriva (iv) f g je izmjeriva Dokaz (i) Pokažimo {f + g α} = ({g α + q } {f α q }) N q Q Neka je x {f + g α} tada je g(x) + f(x) α eka je β 1 = g(x) tada je f(x) α β 1 = β 2 sada rjesavamo sustav jedakosti β 1 = α+β β 2 2 = α β 2 po β i taj sustav ima rjeseje β = β 1 β 2 pa za taj x postoji β takav da je x {g α+β α β } {f } zoro je jaso da za svaki β R i svaki 2 2 N mogu aći takav q Q da je α+q < α+β i da je α q 1 < α β pa je x ({g α + q } {f α q 1 }) idemo obruto eka je 2 2 N q Q x ( {g α + q } {f α q 1 }) tada za svaki N postoji 2 2 N q Q q Q takav da je g(x) α+q i da je f(x) α q 1 pa imamo da za svaki 2 2 N vrijedi da je g(x) + f(x) α 1 pa imamo da je f(x) + g(x) α sada tvrdja slijedi iz čijeice da su f i g izmjerive. (ii) eka je c = 0 i eka je α > 0 tada je {cf α} = φ, a ako je α 0 tada =1
5 je {cf α} = X, a ako je c 0 tada ako je c > 0 je {cf α} = {f α c }, ako je c < 0 tada je {cf α} = {f α c } (iii) dovoljo je pokazati da je apsoluta vrijedost p(x) = x izmjeriva fukcija imamo {p β} =, β] [β, + B R (iv) pokažimo da je h(x) = x 2 izmjeriva imamo da je {h α} =, α] [ α, + B R kada je α > 0, a {h α} = R kada je α 0 sada tvrdja slijedi jer imamo da je f g = 1 4 ((f + g)2 (f g) 2 ) Def 7 Neka (X, F) izmjeriv prostor tada sa M(X, F) ozačimo skup svih izmjerivih fukcija f: X R Teorem 11 Neka je (X, F) izmjeriv prostor tada je fukcija f M(X, F) ako i samo ako vrijedi bilo koji od uvijeta (1) ( α R) {f α} F (2) ( α R) {f > α} F (3) ( α R) {f α} F (4) ( α R) {f < α} F Dokaz Neka je C = {[α, + ], α R} imamo da je C B(R) pa ako je f M(X, F) imamo da je {f α} = f 1 ([α, + ]) F za sve α R pa vrijedi (1), a s druge strae imamo da je σ(c) O R pa imamo da je σ(c) = σ(σ(c)) σ(o R ) = B(R), a zamo da je σ(c) B(R) pa imamo da je σ(c) = B(R) pa ako vrijedi (1) imamo da je f M(X, F). Sada imamo da (1) (2) jer je {f > α} = {f α + 1 } F. Imamo i da (2) (3) =1 jer je {f α} = X \{f > α} F, a očito (3) (4) jer {f < α} = {f α 1 } F, o (4) (1) jer {f α} = X \{f < α} F, pa je teorem u potpuosti dokaza. Teorem 12 Neka je (X, F) izmjeriv prostor tada imamo da je f M(X, F) ako i samo ako vrijedi (i) {f = + } F (ii) {f = } F { f(x) f(x) R (iii) g: X R je izmjeriva gdje je g(x) = 0 f(x) / R Dokaz Neka je f M(X, F) tada jer su {+ }, { } B(R) imamo da su {f = + }, {f = } F eka je fukcija g defiiraa kao u iskazu teorema tada za α 0 vrijedi {g α} = {f α} {f = + } F, a za α < 0 vrijedi {g α} = {f α}\{f = } F Predpostavimo obruto da vrijedi (i) (iii) tada za α < 0 imamo da je {f α} = {g α} {f = } F, a za α 0 imamo da je {f α} = {g α}\{f = + } F =1
6 Teorem 13 Neka je (X, F) izmjeriv prostor, eka je f, h M(X, F), a g: X R izmjeriva i eka je c R tada vrijedi (i) f + g M(X, F) (ii) cf M(X, F) (iii) f M(X, F) (iv) f h M(X, F) (v) mi{f, g}, max{f, g} M(X, F) Dokaz (i) Dovoljo je pokazati da je {f +g > α} = {f > α+q α q } {g > }. 2 2 Neka je x {f + g > α} ako je f(x) = + tada postoji q Q takav da je g(x) > α q α+q, a zamo da vrijedi f(x) = + >, a ako je f(x) < tada postoji δ > 0 takav da je f(x) + g(x) = α + δ tada postoji q Q takav da je g(x) α q < δ pa je f(x) = α + δ g(x) > α + δ δ α q > α+q pa je x i u desoj strai, obruta ikluzija je očita. (ii) uz dogovor da je 0 (+ ) = 0 ( ) = 0 ako je c = 0 tada je cf ulfukcija pa je iz M(X, F), a ako je c 0 tada ako je c > 0 imamo da je {cf α} = {f α } i sličo za c < 0. (iii) Trebamo pokazati da je p(x) = x iz c M(R, B R ), a to je jer je {p α} = [, α] [α, + ] B R (iv) Neka { (f h)(x) (f h)(x) R { f(x) f(x) R je r(x) = 0 (f h)(x) / R, eka je u(x) = 0 f(x) / R, i { h(x) h(x) R eka je t(x) = tada je r = ut pa je r: X R izmjeriva, 0 h(x) / R a {f h = + } = ({f = + } {h > 0}) ({f = } {h < 0}) F, sličo je {f h = } F pa je f h M(X, F) (v) Tvrdja slijedi jer mi{f, g} = 1(f + g f g ) i max{f, g} = 1 (f + g + f g ) 2 2 Def 8 Neka je zada iz (x ) u R tada je if x = if{x : N} sup lim if lim sup x = sup{x : N} x = sup m x = if m q Q if x = sup{if{x : m} : m N} m x = if{sup{x : m} : m N} sup m Def 9 Neka je X eki eprazi skup i eka je zada iz fukcija f : X R tada su dobro defiirae fukcije (if f )(t) = if f (t) za sve t X (sup (lim if (lim sup f )(t) = sup f )(t) = lim if f )(t) = lim sup f (t) za sve t X f (t) za sve t X f (t) za sve t X
7 Teorem 14 Neka je (X, F) izmjeriv prostor, eka je zada iz (f ) u M(X, F) tada su if f, sup f, lim if f, lim sup f u M(X, F) Dokaz {if f α} = {x X : ( N) f (x) α} = {f α} F =1 i sličo za supremum iza fukcija, a imamo da je lim if f = sup if f i m m sliču tvrju za limes superior iza fukcija pa slijedi tvrdja teorema. Teorem 15 Neka je (X, F) izmjeriv prostor i eka iz fukcija (f ) u M(X, F) kovergira po točkama prema fukciji f tada je i f u M(X, F). Dokaz Jer iz (f ) kovergira po točkama imamo da je lim if lim sup f pa tvrdja slijedi. f = lim f = Def 10 Neka je (X, F) izmjeriv prostor za fukciju µ: F R kažemo da je mjera ako vrijedi (i) µ(φ) = 0 (ii) µ(a) 0 za sve A F (iii) eka je (E ) iz u parovima disjuktih skupova iz F tada je µ( E ) = =1 µ(e ) =1 Tada za (X, F, µ) kažemo da je prostor s mjerom. Svojstvo (iii) iz defiicije mjere zovemo σ-aditivost. Def 11 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom ako je µ(x ) < + tada kažemo da je µ koača mjera, a ako postoji familija skupova {E : N} takvih da je µ(e ) < + za sve N i da je X = E tada kažemo da je µ σ-koača. Teorem 16 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada (1) za svaku koaču familiju {E : {1,... m}} u parovima disjuktih skupova iz F imamo da je µ( m E ) = m µ(e ) =1 (2) Ako su A, B F takvi da je µ(a) < + i da je A B tada je µ(b\a) = µ(b) µ(a) (3) Neka su A, B F takvi da je A B tada je µ(a) µ(b) (4) Neka je (E ) iz epadajućih skupova iz F što ćemo kraće ozačavati sa (E ) tada je µ( E ) = lim µ(e ) =1 =1 =1
8 (5) Neka je (E ) iz erastućih skupova iz F što ćemo kraće ozačavati sa (E ) tada je µ( E ) = lim µ(e ) =1 Def 12 Neka je (X, F) izmjeriv prostor sa M + (X, F) ćemo ozačiti skup svih fukcija iz M(X, F) koje su eegative zači fukcije za koje vrijedi f(x) 0 za sve x X što ćemo krače zapisivati f 0 Def 13 Neka je (X, F) izmjeriv prostor za f M(X, F) kažemo da je jedoostava ako je f(x ) koača. Neka je f(x ) = {a 1,..., a } gdje su svi a i za i {1,..., } različiti tada prikaz f = a j 1 Aj gdje imamo da je A j = {f = a j } zovemo stadardim prikazom jedostave fukcije f. Def 14 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je ϕ M + (X, F) jedoostava gdje je ϕ = a j 1 Aj stadardi prikaz fukcije ϕ tada Lebesgueov j=1 itegral fukcije ϕ defiramo kao ϕdµ = a X j µ(a j ) gdje vrijedi kovecija da je 0 (+ ) = 0 Teorem 17 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka su f, g M + (X, F) jedostave i eka je c 0 tada su fukcije cf,f +g M + (X, F) jedostave i vrijedi (i) X (cf)dµ = c X fdµ (ii) X (f + g)dµ = X fdµ + X gdµ (iii) g f X gdµ X fdµ Dokaz Neka su f = a i 1 Ai i g = m b j 1 Bj stadardi prikazi tih fukcija, j=1 odmah vidimo da je i fukcija cf M + (X, F) jedostava i da ima stadardi prikaz cf = ca i 1 Ai pa sad imamo da je cfdµ = ca X i µ(a i ) = c a i µ(a i ) = c fdµ Fukcija f + g poprima samo koačo mogo vri- X jedosti pa eka su {c 1,..., c p } sve vrijedosti koje f + g poprima gdje su c k za k {1,..., p} medusobo različiti tada fukcija f + g ima prikaz oblika f + g = p c k 1 Ck gdje su C k = A i B j F pa je fukcija a i +b j =c k f + g M + (X, F) jedostava sa stadardim prikazom f + g = j=1 j=1 p c k 1 Ck
9 j=1 pa račuamo itegral (f +g)dµ = p c X k µ(c k ) = p c k µ( A i B j ) = a i +b j =c k p (a i + b j )µ(a i B j ) = m (a i + b j )µ(a i B j ) = m a i µ(a i a i +b j =c k j=1 j=1 B j )+ m b j µ(a i B j ) = a i µ(a i )+ m b i µ(b i ) = fdµ+ gdµ Posljed- ja tvrdja slijedi iz čijeice da ako je g f tada je f g M + (X, F) jedostava, a itegral takve je 0 pa imamo da je fdµ = (f g)dµ + (g)dµ gdµ Teorem 18 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je ϕ M + (X, F) jedostava tada je fukcija λ : F R daa sa λ(e) = E ϕdµ = X ϕ1 Edµ mjera. Def 15 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je f M + (X, F) tada Lebesgueov itegral fukcije f defiiramo kao X fdµ = sup{ X ϕdµ : ϕ f ϕ M + (X, F) jedostava } Def 16 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je A F i eka je f M + (X, F) tada je f 1 A M + (X, F) pa defiiramo A fdµ = X f 1 Adµ Teorem 19 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka su f, g M + (X, F) i eka je f g tada je X fdµ X gdµ Teorem 20 (Lebesgueov teorem o mootooj kovergeciji) Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je (f ) epadajući iz fukcija što ćemo ozačavati kao (f ) iz M + (X, F) i eka je f = lim f tada je f M + (X, F) i vrijedi fdµ = lim f X X dµ Dokaz (f ) je posebo iz u M(X, F) pa je i f = lim f M(X, F), a jer su sve f eegative imamo da je i f eegativa pa je f M + (X, F) Jer je (f ) slijedi da je ( f X dµ ) pa postoji lim X f dµ sada jer je f f imamo da je fdµ f dµ za sve N pa je fdµ X lim X f dµ Obruto eka je 0 < α < 1 i eka je ϕ M + (X, F) jedostava takva da je ϕ f defiiramo A = {x X : f (x) > αϕ(x)} i B = {ϕ = + } primjetimo da je A F te vrijedi A A +1 i A B = X Prvo promotrimo slučaj kada je µ(b) = 0 tada imamo ϕdµ = X ϕdµ + ϕdµ = lim A B A ϕdµ Sada imamo A αϕdµ A f dµ =1 j=1 =1
10 f X dµ pa kada a to dijelujemo s limesom dobijemo α ϕdµ lim f X X dµ i to vrijedi za svaki 0 < α < 1 pa dobijemo ϕdµ lim f X X dµ i to vrijedi za svaku jedostavu fukciju ϕ f pa dobijemo fdµ lim f X X dµ. Sada promotrimo slučaj kada je µ(b) > 0 zadajmo eki priroda broj m > 0 pa defiramo B = {x B : f (x) > m} jaso je da je B = B sada imamo f X kdµ B f k dµ pa ejedakost ostaje i kad prijedjemo a limes, a imamo lim k B f k dµ B mdµ i to vrijedi za svaki N pa imamo lim f k X kdµ lim B mdµ = mdµ = mµ(b) i to za svaki m > 0 pa B imamo da je lim k X f kdµ = + = fdµ X Teorem 21 Neka je (X, F) izmjeriv prostor i eka je f M + (X, F) tada postoji iz (ϕ ) u M + (X, F) jedostavih fukcija takav da je lim ϕ = f to ćemo kraće pisati (ϕ f). Dokaz Defiiramo skupove E () k = f 1 ([ k, k+1 ) za k {0,..., 2 1}, a 2 2 E () k = f 1 ([, + ) za k = 2, zatim defiiramo fukciju ϕ (x) = k za 2 x E () k tada je očito (ϕ ) iz jedostavih fukcija, a lagao se pokaže da lim ϕ = f Teorem 22 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka su f, g M + (X, F), a c 0 tada su cf, f + g M + (X, F) i vrijedi (i) X cfdµ = c X fdµ (ii) X (f + g)dµ = X fdµ + X gdµ Dokaz Raije je pokazao da je cf M(X, F), a jer je c 0 imamo da je iz M + (X, F), jaso je da je f + g 0, a od prije zamo da je f + g M(X, F) Zamo da postoje epadajući izovi jedostavih fukcija iz M + (X, F) takvi da (ϕ f) i (ψ g) tada (cϕ cf) i (ϕ +ψ f +g) pa cfdµ = lim X X cϕ dµ = c lim ϕ X dµ = c fdµ i (f + g)dµ = lim (ϕ X + ψ )dµ = lim ϕ X dµ + lim X ψ dµ = fdµ + gdµ Teorem 23 (Fatouova lema) Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je (f ) iz u M + (X, F) tada je lim if f M + (X, F) i vrijedi lim if f X dµ lim if f X dµ =1
11 Dokaz Imamo da je lim if f M(X, F) i poprima eegative vrijedosti pa je iz M + (X, F). Neka je (g ) iz defiira sa g = if f m tada je m g f m za sve m pa imamo da je g X dµ f X mdµ za sve m pa je i g X dµ lim if f m X mdµ o kako (g lim if f m) pa imamo da je m lim if f X dµ lim if f X dµ Teorem 24 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je f M + (X, F) tada defiiramo λ : F R kao λ(e) = fdµ tada je λ mjera. E Dokaz Imamo da je f1 E 0 pa slijedi da je f1 X Edµ 0 pa imamo pozitivost, sada jer je 1 φ = 0 imamo da je fdµ = 0dµ = 0. Neka je (E φ X k) iz u parovima disjuktih skupova iz F, eka je E = ϕ = E k defiiramo 1 Ek i ϕ = 1 E vrijedi da je (ϕ ϕ) pa vrijedi da (ϕ f ϕf) pa imamo λ(e) = fϕdµ = lim X pa je i σ-aditivost dokazaa. X fϕ dµ = lim X f1 E k dµ = λ(e k) Def 17 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, kažemo da eko svojstvo vrijedi skoro svuda i pišemo (s.s) u odosu a mjeru µ ako posoji skup A F takav da svojstvo vrijedi a A, a µ(a c ) = 0 Teorem 25 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je f M + (X, F) tada je fdµ = 0 ako i samo ako je f = 0 (s.s.) X Dokaz Neka je fdµ = 0 eka je E X = {f 1 } tada je f 1 1 E pa imamo da je fdµ 1 1 E dµ = 1 µ(e ) pa mora biti µ(e ) = 0, eka je E = E imamo jer (E E) da µ(e) = lim µ(e ) = 0, a E = {f > 0} =1 pa budući je f eegativa slijedi da je f = 0 (s.s) predpostavimo obruto { + f(x) > 0 da je f = 0 (s.s) defiramo fukciju g(x) = tada je f g 0 f(x) = 0 pa je i fdµ gdµ = 0µ({g = 0}) + (+ )µ({g = + }) = 0 Teorem 26 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je (f ) iz u M + (X, F) takav da kovergira prema fukciji f (s.s) što čemo krače pisati (f f) (s.s) tada je lim X f dµ = fdµ X
12 Dokaz Zamo da postoji skup A takav da lim f (t) = f(t) za sve t A tada (f 1 A f1 A ), vidimo da su f 1 A c = 0 (s.s) kao i f1 A c = 0 (s.s) sada vrijedi lim f X dµ = lim f X 1 A + lim X f 1 A c = f1 X Adµ = f1 X Adµ + f1 X A cdµ = fdµ X Def 18 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je f M(X, F) tada su (i) f + = max{0, f}, f = mi{0, f} M + (X, F) (ii) f = f + f (iii) f = f + + f Ukoliko su f + dµ, f dµ < + f dµ < + tada kažemo da je X f itegrabila i tada defiiramo fdµ = f + dµ f dµ Skup svih X itegrabilih ozačimo L(X, F, µ) Teorem 27 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je f L(X, F, µ) tada ukoliko su g, h M + (X, F) takvi da su gdµ, hdµ < + i da je f = g h tada je fdµ = gdµ hdµ X Teorem 28 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada vrijedi (i) f L(X, F, µ) f L(X, F, µ) i fdµ f dµ (ii) f izmjeriva, g itegrabila i f g tada je i f itegrabila (iii) Neka su α, β kostate i eka su f, g L(X, F, µ) tada je αf + βg L(X, F, µ) i vrijedi α fdµ + β gdµ = (αf + βg)dµ X (iv) eka su f, g L(X, F, µ) i eka je f g tada je fdµ gdµ Dokaz (i) Prvi dio tvrdje slijedi jer je f + dµ, f dµ < + (f + + X f )dµ < +, a drugi fdµ = f + dµ f dµ f + dµ + f dµ = f dµ (ii) f + dµ, f dµ gdµ < + (iii) Pokažimo X prvo da za f L(X, F, µ) i α kostatu vrijedi da je αf L(X, F, µ) to se lako vidi jer je αf dµ = α f dµ = α f dµ < +, lako X se pokaže da je ( f)dµ = (f)dµ, za α 0 se lako pokaže da je αfdµ = α fdµ X pa eka je α < X 0 tada je αfdµ = ( 1)( α)fdµ = ( α)fdµ = ( 1)( α) fdµ = α fdµ pokažimo ostatak, eka je X f = f + f i g = g + g tada je f + g = f + + g + (f + g ) sada jer je (f + + g + )dµ = f + dµ + X g+ dµ < + i jer je (f + g )dµ = f X dµ + g dµ < + imamo da je (f + g)dµ = (f + + g + )dµ (f + g )dµ = ( f + dµ f dµ) + ( g+ dµ X g dµ) = fdµ + gdµ (iv) gdµ = g fdµ + fdµ fdµ X X Teorem 29 (Lebesgueov teorem o domiiraoj kovergeciji) Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je (f ) iz u M(X, F) takav koji skoro svuda kovergira prema fukciji f M(X, F), a iače možda i ekovergira i
13 eka postoji g L(X, F, µ) takav da je f g za sve N tada je fdµ = lim f X X dµ Dokaz Imamo da za sve N vrijedi 0 g + f 2g i 0 g f 2g. Nadalje imamo lim if(g + f X )dµ lim if (g + f X )dµ što daje lim if f X dµ lim if f X dµ i imamo lim if(g f X )dµ lim if (g X f )dµ što daje lim if( f X )dµ lim if ( f X )dµ iz čega slijedi lim sup f X dµ lim sup f X dµ Tvrdaja sada slijedi jer je f = lim if f (s.s) i f = lim sup f (s.s), a za f = g (s.s) vrijedi da je fdµ = gdµ Def 19 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je f L(X, F, µ) tada fukciju λ : F R dau sa λ(e) = fdµ zovemo eodredei itegral od E f. Teorem 30 Ne postoji mjera µ : P(R) R takva da (i) ( c R) ( X R) µ(x + c) = µ(x) (ii) ( a < b) µ( a, b]) = b a Dokaz Defiiramo relaciju ekvivalecije a R kao x y x y Q tada jer je svaka od defiiraih klasa gusta a R možemo uzeti iz svake klase jeog reprezetata takvog da je u skupu [ 1, 1] i dobivei skup ozačimo sa A, poredajmo sada racioale brojeve iz [ 2, 2] u iz q 1, q 2, q 3,... sada se lako pokaže da je 4, 3] (A + q i ) 1, 1] pa kada bi mjera iz tvrdje teorema postojala tada bi vrijedilo 7 µ(a) 2, što je emoguće. Def 20 Algebra skupova A a X je familija podskupova od X takva da vrijedi (i) A (ii) A A A c A (iii) A 1,..., A A A i A Mjera µ a algebri skupova A je fukcija µ : A R takva da vrijedi (i) µ( ) = 0 (ii) µ(a) 0 za sve A A (iii) Neka je (A k ) iz u parovima disjuktiih skupova iz A takvih da je A i A tada je µ( A i ) = µ(a i )
14 Teorem 31 Neka je P skup svih koačih uija poluotvoreih itervala oblika a, b] gdje su a, b R tada je P prste (epraza familja zatvorea a koače uije i skupove razlike) te se svaki elemet iz P da prikazati kao disjukta uija poluotvoreih itervala spomeutog oblika. Neka je P prste skupova tada je familija A = {A : A ili A c P} algebra i to je ajmaja algebra koja sadrži P. Teorem 32 Neka je P prste svih koačih uija poluotvoreih itervala kao iz prošlog teorema i eka je A ajmaja algebra koja sadrži P tada postoji samo jeda mjera µ a A takva da je µ( a, b]) = b a Dokaz Neka su µ i ν dvije mjere koje se podudaraju a poluotvoreim itervalima tada je jaso da se podudaraju a P zbog koače aditivosti mjere i vrijedosti koje poprimaju a tom skupu su koače pa su vrijedosti a komplemetima elemeata iz P beskoače pa se µ i ν podudaraju a cijelom A. Egzisteciju takve mjere ostavljamo bez dokaza. Def 21 Neka je X bilo kakav skup, te A algebra a X, a µ mjera a A tada za svaki A X defiiramo µ (A) = if{ µ(e k ) : gdje je (E k ) iz u A takav da je A od µ E k } Fukciju µ : P(X ) R zovemo vajska mjera Teorem 33 Svojstva vajske mjere: (a) µ( ) = 0 (b) µ(b) 0 za sve B X (c) A B µ (A) µ (B) (d) B A µ (B) = µ(b) (e) µ ( B i ) µ (B i ) (σ-subaditivost) i=0 Dokaz (a)-(c) su lagae posljedice defiicije pokažimo (d) prvo je µ (B) µ(b) jer je B,,,... jeda pokrivač od B pa je µ (B) µ(b) + µ( ) + µ( ) +... drugo vrijedi da za iz (E i ) u A takav da je jegova uija u A vrijedi µ( E i ) µ(e i ) pa eka je (E i ) proizvolja pokrivač od B tada za (F i = B E i ) vrijedi da je B = F i pa vrijedi µ(b) µ(f i ) µ(e i ) pa zbog proizvoljosti od (E i ) imamo da je µ(b) µ (B). Pokažimo (e) eka je ε > 0 proizvolja tada za svaki B X možemo aći iz (E k ) k u A takav
15 da je µ (B ) + ε µ(e 2 ) k tada vrijedi µ ( B ) µ(ek ) =1 =1 (µ (B ) + ε ) = µ (B 2 ) + ε zbog proizvoljosti od ε slijedi tvrdja. =1 =1 Def 22 Neka je A algebra a X, eka je µ mjera a A, a µ vajska mjera od µ za skup E X kažemo da je µ -izmjeriv ako za sve A X vrijedi µ (A) = µ (A E) + µ (A\E) Teorem 34 (Caratheodoryjev teorem o prošireju) Neka je A algebra a X, eka je µ mjera a A, a µ vajska mjera od µ i eka je A skup svih µ - izmjerivih skupova a X tada vrijedi: (a) A je σ-algebra (b) µ je σ-aditiva a A (c) A A Dokaz Očito vrijedi da je, X A i da je familija A zatvorea a komplemetiraje, pokažimo da je zatvorea a presjek dva skupa. Neka su E, F A tada vrijedi (1) µ (A) = µ (A F ) + µ (A\F ) i sliča jedakost za E u koju umjesto A uvrstimo A F pa dobijemo (2) µ (A F ) = µ (A F E)+ µ ((A F )\E) te uvrstimo A\(E F ) u (1) pa dobijemo (3) µ (A\(E F )) = µ (A\F ) + µ ((A F )\E) zbrojimo (1) i (2) te iskoristimo (3) pa dobijemo µ (A) = µ (A (E F )) + µ (A\(E F )) za sve A X pa je E F A sada vidimo da je i E F = (E c F c ) c A Neka je (E k ) iz u parovima disjuktih skupova iz A, eka je F = E k tada jer je E A i jer vrijedi (1) A E = A ( E k ) E i (2) A 1 E k = A ( E k )\E imamo da je µ (A F ) = µ (A E )+µ (A 1 E k ) = µ (A E k ) Neka je E = E k tada vrijedi µ (A) = µ (A F ) + µ(a\f ) µ (A E k ) + µ (A\E) i to vrijedi za sve N pa zaključujemo da je µ (A) µ (A E k )+µ (A\E), a iz σ-subaditivosti izlazi (1) µ (A E k ) µ ( (A E k )) = µ (A E) pa to skupa daje µ (A) µ (A E) + µ (A\E), a iz σ-subaditivosti s druge strae slijedi µ (A) µ (A E) + µ (A\E) pa je E A Jaso je da je A zatvore a sve prebrojive uije elemeata iz A jer svakom izu elemeata iz A možemo pridružiti iz u parovima disjuktih elemeata takvih da je uija ovih drugih jedaka uiji oih prvih pa je A σ-algebra. Vidimo da u (1) zbog daljjeg zaključivaja stoji čak jedakost pa uvrstimo
16 A = E i dobijemo µ (E) = µ (E k ) pa je µ σ-aditiva a A. Neka je E A tada iz σ-subaditiviosti vrijedi µ (A) µ (A E) + µ (A\E) pokažimo drugu ejedakost tako što odaberemo ε > 0 tada postoji pokrivač od A recimo F 1, F 2,... A takav da je µ (A) + ε µ(f k ) primjetimo da je (F k \E) pokrivač od A\E i (F k E) pokrivač od A E pa vrijedi µ (A E) + µ (A\E) (µ(f k E) + µ(f k \E)) = µ(f k ) µ (A) + ε kako to vrijedi za svaki ε > 0 imamo da je A A Def 23 Za prostor s mjerom (X, F, µ) kažemo da je potpu ako za sve F X za koje postoji E F takav da je F E i da je µ(e) = 0 vrijedi da je F F Teorem 35 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada postoji potpu prostor s mjerom (X, G, µ ) takav da je F G i da je µ F = µ Def 24 Skup iz predhodog teorema ije jedistve, ali ajmaji takav je i taj zovemo upotpujeje prostora s mjerom. Teorem 36 Neka je A algebra a X, µ mjera a A, µ vajska mjera od µ i eka je A skup svih µ -izmjerivih skupova, eka je µ restrikcija od µ a A tada je (X, A, µ ) potpu prostor s mjerom. Dokaz Neka je F X takav da postoji E A takav da je µ (E) = 0 to zači da je µ (E) = 0 i da je µ (A) = µ (A E) + µ (A\E) i zamo da vrijedi µ (A) µ (A F ) + µ (A\F ), imamo da je µ (A F ) + µ (A\F ) µ (A E) + µ (A) µ (E) + µ (A) = µ (A) pa je i F A Teorem 37 (Hah) Neka je A algebra a X i eka je µ σ-koača mjera a A, eka je A σ-algebra dobivea Caratheodorijevom kostrukcijom tada postoji jedistveo prošireje od µ a A Dokaz Predpostavimo da imamo dvije takve mjere ν i µ, eka je E A tada uzmimo proizvolja iz (E i ) u A takav da je E i E tada je ν (E) ν ( E i ) ν (E i ) = µ(e i ) pa slijedi da je (1) ν (E) µ (E) za sve E A. Kako je µ bila σ-koača postoji iz F 1 F 2 F 3... u A takav da je µ(f k ) < + za sve k N pa je ν (F k \(E F k )) µ (F k \(E F k )) iz čega imamo da je (2) ν (F k E) µ (F k E) to skupa s (1) odmah daje ν (E F k ) = µ (E F k ) sada iz eprekiutosti odozda slijedi ν (E) = µ (E) Egzistecija je daa Caratheodorijevom kostrukcijom.
17 Def 25 Neka su µ i A kao u iskazu teorema 31 i eka je A dobivea Caratheodorijevom kostrukcijom te eka je λ prošireje od µ a A (µ je σ- koača pa am jedistveost garatira Hah) tada λ zovemo Lebesgueova mjera, a skupove iz A zovemo Lebesgue izmjerivi skupovi. Teorem 38 Lebesgueova mjera je ivarijata a traslacije Def 26 Neka je V reali vektorski prostor tada kažemo da je fukcija N: V R orma ako vrijedi (i) N(v) 0 za sve v V (ii) N(v) = 0 v = 0 (iii) N(αv) = α N(v) (iv) N(v + w) N(v) + N(w) Ako vrijedi samo (i),(iii),(iv) tada je N poluorma. Def 27 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je p [1, + tada skup svih f : X R izmjerivih fukcija takvih da je X f p dµ < + ozačavamo s L p (X, F, µ) te za f L p (X, F, µ) defiiramo f p = ( X f p dµ) 1 p Teorem 39 (Hölderova ejedakost) Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je f L p (X, F, µ) i eka je g L q (X, F, µ) gdje je p > 0 i eka vrijedi 1 p + 1 q = 1 tada je fg 1 f p g q Dokaz Neka su p i q kao u iskazu teorema pokažimo Yougovu ejedakost ab ap + bq oa slijedi iz ab = e l(a)+l(b) = e 1 p l(ap )+ 1 q l(bq) 1 p q p el(ap) + 1 q el(bq) = ap + bq jer je ekspoecijala fukcija koveksa. Predpostavimo p q da f p 0 i da je g q 0 tada primjeom Yougove ejedakosti imamo f(x)g(x) za sve x X kada ovo proitegriramo dobit ćemo f p g q fg 1 f p g q f(x) p p f p p + g(x) q q g q q = 1 što odmah daje tvrdju teorema. Sada predpostavimo p q da je f p = 0 tada je f p = 0 (s.s) pa je i fg = 0 (s.s) što zači da je 0 = fg 1 f p g q Teorem 40 (Nejedakost Mikowskog) Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka su f, g L p (X, F, µ) tada je i f +g L p (X, F, µ) i vrijedi f +g p f p + g p Dokaz Slučaj kada je p = 1 je jedostava jer slijedi iz ejedakosti trokuta za apsolutu vrijedost fg f + g zato predpostvimo da je p > 1. Prvo pokažimo da je f+g L p (X, F, µ) to slijedi jer je f+g p (2 max f, g ) p 2 p ( f p + g p ) Sada imamo f +g p = f +g f +g p f f +g p 1 + g f +g p 1 eka je q > 0 takav da je (p 1)q = 1 tada vrijedi = 1, sada imamo p q
18 da je f + g p 1 L q (X, F, µ) sada primjeimo Hölderovu ejedakost pa dobijemo X f f + g p dµ f p f + g p q p i sličo za drugi čla pa dobijemo f + g p p ( f p + g p ) f + g p p q ako je (1) f + g q p = 0 tada je tvrdja dokazaa, a ako je (1) različito od ule tada dijeljejem s (1) dobivamo tražeu tvrdju. Teorem 41 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada L p (X, F, µ) vekorski prostor, a fukcija. p je poluorma Teorem 42 Neka je V vektorski prostor i eka je. : V R poluorma tada defiiramo relaciju ekvivalecije u v ako i samo ako u v = 0 ozačimo klasu od u sa [u] tada je prostor svih klasa K = {[u] : u V } vektorski prostor, a defiramo li fukcuju. : K R sa [u] = u tada je ta fukcija orma a K Def 28 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada je prostor L p (X, F, µ) pridruže prostoru L p (X, F, µ) gorjom kostrukcijom. Teorem 43 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada je prostor L p (X, F, µ) potpu. Dokaz Neka je (f ) Cauchyjev iz u L p (X, F, µ) tada postoji podiz (g ) takav da je g +1 g p < 2. Defiiramo h = g 1 + g k+1 g k i h = lim h tada je h izmjeriva jer je dobivea kao limes izmjerivih fukcija Sada imamo h p = ( X h p dµ) 1 p = ( X lim h p dµ) 1 p (lim if h X p dµ) 1 p = lim if h p g 1 p + lim if g k+1 g k p g 1 p + 1 što odmah zači da je h L p (X, F, µ) Sada defiiramo w = g 1 + (g k+1 g k ) još ozačimo E = {x X : h(x) < + } sada buduči je h p itegrabila imamo da je µ(e c ) = 0 sada za svaki x E red (g k+1 g k ) je apsoluto kovergeta pa za sve x E iz (w (x)) kovergeta pa defiiramo w(x) = lim w (x) za x E odoso w(x) = 0 za x / E Sada imamo w p h p h p pa po LTDK imamo da je X w p dµ = lim X w p dµ sada gledamo w p = ( X w p dµ) 1 p = (lim X w dµ) 1 p = (lim w p h p < + pa je w L p (X, F, µ) Za zadai ε > 0 možemo aći 0 takav da za sve m, 0 vrijedi f g m < ε što je ekvivalto da X f g m p dµ < ε p još imamo
19 da je f w p = (s.s) = lim f w m 1 p = lim if f m g m p pa po Fautouvoj m lemi imamo f X w p dµ lim if f m X g m p dµ < ε p pa vrijedi da je f w < ε Def 29 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom defiiramo prostor L (X, F, µ) kao skup svih f : X R izmjerivih fukcija koje su skoro svuda omedee to zači da postoji N F takav da je µ(n) = 0 i da je sup{ f(x) : x / N} < +, defiiramo f = if{sup{ f(x) : x / N}, N F, µ(n)} = 0 tada je. poluorma, sada zaim postupkom dobijemo L (X, F, µ) Literatura: Robert G. Bartle, Elemets of itegratio
Mjera i integral. bilješke s vježbi ak. god /13. Aleksandar Milivojević
Mjera i itegral vježbe bilješke s vježbi ak. god. 202./3. atipkali i uredili Aleksadar Milivojević Saji Ružić Sveučiliste u Zagrebu Prirodoslovo-matematički fakultet Matematički odsjek (skripta e može
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan
MJERA I INTEGRAL Bilješke s predavaja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godia 2010./2011. Natipkao i uredio: Iva Krija Zagreb, 23. 05. 2011. Sadržaj Sadržaj 1 UVOD 3 2 PRSTEN SKUPOVA 8 3 MJERE NA
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da
Διαβάστε περισσότεραNiz i podniz. Definicija Svaku funkciju a : N S zovemo niz u S. Za n N pišemo a(n) = a n i nazivamo n-tim članom niza.
2. NIZOVI 1 / 78 Niz i podiz 2 / 78 Niz i podiz Defiicija Svaku fukciju a : N S zovemo iz u S. Za N pišemo a() = a i azivamo -tim člaom iza. Ozaka za iz je (a ) N ili (a ) ili samo (a ). Kodomea iza može
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραGranične vrednosti realnih nizova
Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se
Διαβάστε περισσότεραCentralni granični teorem i zakoni velikih brojeva
Poglavlje 8 Cetrali graiči teorem i zakoi velikih brojeva 8.1 Cetrali graiči teorem Lema 8.1 Za 1/ x 1 vrijedi Dokaz: Stavimo log1 + x x x. fx := log1 + x x, x [ 1/, 1]. Očito f0 = 0. Nadalje, po teoremu
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραNizovi. Definicija. Niz je funkcija. a: R. Oznake: (a n ) ili a n } Zadatak 2.1 Napišite prvih nekoliko članova nizova zadanih općim članom:
Nizovi Defiicija Niz je fukcija Ozake: (a ) ili a } a: R Zadatak Napišite prvih ekoliko člaova izova zadaih općim člaom: a = a = ( ) (c) a = Zadatak Odredite opće člaove izova: 3 5 7 9 ; 3 7 5 3 ; (c)
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότερα1 Neprekidne funkcije na kompaktima
Neprekide fukcije a kompaktima.. Teorem. Neka je K kompakta podskup metričkog prostora X, a f : X Y eprekido preslikavaje u metrički prostor Y. Tada je slika f(k) kompakta skup u Y..2. Zadatak. Neka su
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja 2016. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je I kolekcija svih ograničenih jednodimenzionalnih intervala
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραTeorem o prostim brojevima
Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski sveučiliši studij Matematika Zlatko Durmiš Teorem o prostim brojevima Završi rad Rijeka, 22. Sveučilište u Rijeci - Odjel za matematiku Preddiplomski
Διαβάστε περισσότερα1 FUNKCIJE. Pretpostavljamo poznavanje prirodnih brojeva N = {1, 2, 3,... },
FUNKCIJE Pretpostavljamo pozavaje prirodih brojeva N = {,, 3,... }, cijelih brojeva Z = {...,,, 0,,,... }, racioalih brojeva Q = { m : m Z, N}. Nećemo defiirati reale brojeve R jer bi as to odvelo previše
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrijske funkcije
9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješenja 1. kolokvija (16. studenog 2015.)
DIFERENCIJALNI RAČUN FUNKCIJA VIŠE VARIJABLI Skica rješeja 1. kolokvija (16. studeog 2015.) Zadatak 1 (20 bodova) Neka je fukcija d: R 2 R 2 R daa formulom { x 1 + y d(x, y) = 1, ako je x y, 0, ako je
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIČKA STATISTIKA
MATEMATIČKA STATISTIKA Bilješke s predavaja (prof. dr. sc. Miljeko Huzak akademske godie 04./05. Natipkao i uredio: Kristija Kilassa Kvaterik Ova skripta služi samo kao pomoć u praćeju predavaja iz istoimeog
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραČetrnaesto predavanje iz Teorije skupova
Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραMjera i Integral Vjeºbe
Mjera i Integral Vjeºbe September 8, 2015 Chapter 1 σ-algebre 1.1 Osnovna svojstva i prvi primjeri Najprije uvodimo pojmove algebre i σ-algebre 1 skupova. Za skup, familiju svih njegovih podskupova zovemo
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότεραk a k = a. Kao i u slučaju dimenzije n = 1 samo je jedan mogući limes niza u R n :
4 Nizovi u R n Neka je A R n. Niz u A je svaka funkcija a : N A. Označavamo ga s (a k ) k. Na primjer, jedan niz u R 2 je dan s ( 1 a k = k, 1 ) k 2, k N. Definicija 4.1. Za niz (a k ) k R n kažemo da
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1
Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραI N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH Teorija graičih vrijedosti je od iteresa e samo u skupu R realih brojeva, već i u ekim drugim skupovima
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalni račun funkcija više varijabli
Diferecijali raču fukcija više varijabli vježbe uredio Matija Bašić Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovo-matematički fakultet Matematički odsjek (skripta e može zamijeiti vježbe) Sadržaj 1 Struktura ormiraog
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραKlasifikacija blizu Kelerovih mnogostrukosti. konstantne holomorfne sekcione krivine. Kelerove. mnogostrukosti. blizu Kelerove.
Klasifikacija blizu Teorema Neka je M Kelerova mnogostrukost. Operator krivine R ima sledeća svojstva: R(X, Y, Z, W ) = R(Y, X, Z, W ) = R(X, Y, W, Z) R(X, Y, Z, W ) + R(Y, Z, X, W ) + R(Z, X, Y, W ) =
Διαβάστε περισσότεραSlučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.
Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότεραPRIMJENA L-FUNKCIJA U TEORIJI BROJEVA. Marija Patljak PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad
SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marija Patljak PRIMJENA L-FUNKCIJA U TEORIJI BROJEVA Dilomski rad Voditelj rada: rof. dr. sc. Fili Najma Zagreb, veljača 2016.
Διαβάστε περισσότερα1. Topologija na euklidskom prostoru R n
1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x
Διαβάστε περισσότεραDefinicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1,
Defiicija: Beskoači iz realih brojeva je fukcija a : N R i Umjesto zapisa a(), a(),,a(), može se koristiti zapis a, a,,a, Broj a zove se opći čla iza, a cijeli iz se kratko ozačuje (a ). Niz je : -rastući
Διαβάστε περισσότεραMETODA SEČICE I REGULA FALSI
METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότερα2. Konvergencija nizova
6 2. KONVERGENCIJA NIZOVA 2. Konvergencija nizova Niz u skupu X je svaka funkcija x : N X. Vrijednost x(k), k N, se zove opći ili k-ti član niza i obično se označava s x k. U skladu s tim, niz x : N X
Διαβάστε περισσότεραGeodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA
Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραIzrada Domaće zadaće 4
Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραZadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014.
Zadaća iz kolegija Metrički prostori 2013./2014. Zadaća nosi 5 bodova. Sve tvrdnje u zadacima obrazložiti! Renato Babojelić 31 Lea Božić 13 Ana Bulić 7 Jelena Crnjac 5 Bernarda Dragin 19 Gabriela Grdić
Διαβάστε περισσότεραREALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih
REALNA FUNKCIJA Fukciju f čiji je skup vrijedosti V podskup skupa R realih brojeva zovemo realom fukcijom. Ako je, pritom, oblast defiisaosti D eki podskup skupa R uređeih -torki realih brojeva, kažemo
Διαβάστε περισσότερα1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραDragan Jukić MJERA I INTEGRAL OSIJEK, f = 3 α i χ Ai. α 2. α 1. α 3 A 1 A 2 A 3. 3 fdλ = α i λ(a i )
Dragan Jukić α 2 f = 3 α i χ Ai 3 fdλ = α i λ(a i ) α 1 α 3 A 1 A 2 A 3 MJERA I INTEGRAL OSIJEK, 2012. prof.dr.sc. Dragan Jukić MJERA I INTEGRAL Osijek, 2012. D. Jukić Mjera i integral. Izdavač: Sveučilište
Διαβάστε περισσότεραGlava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva
Glava Nizovi i skupovi realih brojeva Cetralo mesto u matematičkoj aalizi pripada pojmu graiče vredosti, odoso limesa. Upozaćemo se sa defiicijom limesa iza i sa tehikama alažeja graičih vredosti. Razmatraćemo
Διαβάστε περισσότεραKontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Διαβάστε περισσότεραProcjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2.
4 Procjea parametara Neka je X slučaja varijabla čiju distribuciju proučavamo. Defiicija: Slučaji uzorak duljie za X je iz od ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli X 1, X,..., X koje imaju
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραKONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem
Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 1 8. domaća zadaća: RADIJVEKTORI. ALGEBARSKE OPERACIJE S RADIJVEKTORIMA. LINEARNA (NE)ZAVISNOST SKUPA RADIJVEKTORA.
Napomena: U svim zadatcima O označava ishodište pravokutnoga koordinatnoga sustava u ravnini/prostoru (tj. točke (0,0) ili (0, 0, 0), ovisno o zadatku), označava skalarni umnožak, a vektorski umnožak.
Διαβάστε περισσότερα1. Numerički nizovi i redovi
. Numerički izovi i redovi Često u svakodevom govoru koristimo termie iz i red, a da pri tome i e razmišljamo o jihovom kokretom začeju. Kada kažemo iz, podrazumijevamo skupiu objekata uredeih po pricipu
Διαβάστε περισσότεραINŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d e s e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) G L A V A 5
INŽENJERSKA MATEMATIKA NOTA BENE Dobro zapamti. Imaj a umu. Ne zaboravi. P r e d a v a j a z a d e s e t u s e d m i c u a s t a v e (u akademskoj 9/. godii) G L A V A 5 DIFERENCIJALNI RAČUN REALNIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραR ω s uniformnom topologijom i aksiomi prebrojivosti
Opća topologija 116 Opća topologija 118 Drugi aksiom prebrojivosti 4 AKSIOMI SEPARACIJE I PREBROJIVOSTI Aksiomi prebrojivosti Aksiomi separacije Normalni prostori Urysonova lema Urysonov teorem o metrizaciji
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότερα