Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Integral i mjera. Braslav Rabar. 13. lipnja 2007."

Transcript

1 Itegral i mjera Braslav Rabar 13. lipja 2007.

2 Def 1 Neka je X skup tada familiju F podskupova od X zovemo σ-algebra a X ako je X uutra te je zatvorea a komplemetiraje i prebrojive uije tada urede par (X, F) zovemo izmjeriv prostor, a elemete iz F zovemo izmjerivi skupovi. Teorem 1 Neka je F σ-algebra a X tada vrijedi: (i) φ, X F (ii) F je zatvorea a prebrojive presjeke (iii) F je zatvorea a koače uije i presjeke (iv) A, B F A\B F (v) A, B F A B F Teorem 2 Presjek proizvolje familije σ-algebri a X je poovo σ-algebra a X. Def 2 Neka su zadaa dva izmjeriva prostora (X, F) i (Y, G) kažemo da je fukcija f: X Y izmjeriva u paru σ-algebri F i G ako za sve B G vrijedi da je f 1 (B) F Def 3 Neka je X skup tada familiju T podskupova od X zovemo topologija a X ako su i X uutra te je zatvorea a uije i koače presjeke tada urede par (X, T ) zovemo topološki prostor, elemete skupa T zovemo otvorei skupovi. Def 4 Neka je X skup i eka je C eka familija podskupova od X tada sa σ(c) ozačimo ajmaju σ-algebru koja sadrži C. Ukoliko je T toplološki prostor tada σ(t ) zovemo Borelovom σ-algebrom. Teorem 3 Presjek proizvolje familije toplogija a X je poovo topologija a X. Def 5 Stadarda toplologija a R koju ćemo ozačiti sa T R je ajmaja toplologija koja sadrži sve otvoree itervale a, b gdje su a < b reali brojevi dok za stadardu σ-algebra a R uzimamo B(R) = σ(t R ) Borelovu σ-algebru obzirom a stadardu toplogiju. Ukoliko ije specificiraa σ-algebra a R tada predpostvljamo da se radi o stadardoj σ-algebri. Def 6 Stadarda toplologija a R = R {, + } koju ćemo ozačiti sa T R je ajmaja toplologija koja sadrži sve otvoree itervale a, b gdje su a < b reali brojevi kao i sve itervale oblika [, a i a, + ] gdje je a reala broj dok za stadardu σ-algebru a R uzimamo B(R) = σ(t R ) Borelovu σ-algebru obzirom a stadardu toplologiju. Ukoliko ije specificiraa σ- algebra a R tada predpostavljamo da se radi o stadardoj σ-algebri.

3 Teorem 4 B(R) je ajmaja σ-algebra koja sadrži sve otvoree itervale a, b gdje su a < b reali brojevi Dokaz Ozačimo sa O R familiju svih otvoreih itervala iz iskaza teorema tada je očito O R T R pa imamo da je σ(o R ) B(R) = σ(t R ) opet s druge strae jer se svaki skup iz T R može prikazati kao prebrojiva uija elemeata iz O R imamo da je T R σ(o R ) pa imamo da je B(R) = σ(t R ) σ(σ(o R )) = σ(o R ) Teorem 5 B(R) je ajmaja σ-algebra koja sadrži sve otvoree itervale a, b gdje su a < b reali brojevi kao i sve itervale oblika [, a i a, + ] gdje je a reala broj Dokaz Ozačimo sa O R familiju svih itervala kao u iskazu teorema tada je očito O R T R pa imamo da je σ(o R ) B(R) = σ(t R ) opet s druge strae jer se svaki elemet iz T R se može dobiti kao prebrojiva uija elemeata iz O R imamo da je T R σ(o R ) pa imamo da je B(R) = σ(t R ) σ(σ(o R )) = σ(o R ) Teorem 6 B(R) = σ(b(r) {+ } { }) Dokaz Imamo da je B(R) B(R) {+ } { } i da je O R σ(b(r) {+ } { }) sada imamo da je B(R) = σ(b(r)) σ(b(r) {+ } { }) i da je B(R) = σ(o R ) σ(σ(b(r) {+ } { })) = σ(b(r) {+ } { }) pa slijedi tvrdja. Teorem 7 Neka su (X, F) i (Y, G) dva izmjeriva prostora, eka je f: X Y fukcija i eka je E familija podskupova od Y takva da je σ(e) = G te eka je f 1 (E) F E E tada je f izmjeriva u paru σ-algebri F i G Dokaz Neka je H = {A G : f 1 (A) F} sada vidimo da je E H G, pa je dovoljo pokazati da je H σ-algebra jer će tada slijediti da je H = G. Imamo da je f 1 (Y) = X F Y H, eka su A, B H tada je f 1 (A\B) = f 1 (A)\f 1 (B) F A\B H, eka je (A ) iz u H tada je f 1 ( A ) = f 1 (A ) F A H pa je H σ-algebra. =1 =1 =1 Teorem 8 Neka je (X, F) izmjeriv prostor, fukcija f: X R je izmjeriva ako i samo ako vrijedi bilo koje od uvijeta: (1) ( α R) {f α} F (2) ( α R) {f > α} F (3) ( α R) {f α} F (4) ( α R) {f < α} F

4 Dokaz Neka je C = {[α, +, α R} imamo da je C B(R) pa ako je f izmjeriva imamo da je {f α} = f 1 ([α, + ) F za sve α R pa vrijedi (1), a s druge strae imamo da je σ(c) O R pa imamo da je σ(c) = σ(σ(c)) σ(o R ) = B(R), a zamo da je σ(c) B(R) pa imamo da je σ(c) = B(R) pa ako vrijedi (1) imamo da je f izmjeriva. Sada imamo da (1) (2) jer je {f > α} = {f α + 1 } F. Imamo i da (2) (3) jer =1 je {f α} = X \{f > α} F, a očito (3) (4) jer {f < α} = {f α 1 } F, o (4) (1) jer {f α} = X \{f < α} F, pa je teorem u potpuosti dokaza. Teorem 9 Neka su (X, F), (Y, G) i (Z, H) tri izmjeriva prostora i eka je f: X Y izmjeriva u paru σ-algebri F i G i eka je g: Y Z izmjeriva u paru σ-algebri G i H tada je g f izmjeriva u paru σ-algebri F i H. Dokaz Neka je A H tada je g 1 (A) G pa je (g f) 1 (A) = f 1 (g 1 (A)) F. Teorem 10 Neka je (X, F) izmjeriv prostor, eka su f, g: X R izmjerive i eka je c R tada vrijedi: (i) f + g je izmjeriva (ii) cf je izmjeriva (iii) f je izmjeriva (iv) f g je izmjeriva Dokaz (i) Pokažimo {f + g α} = ({g α + q } {f α q }) N q Q Neka je x {f + g α} tada je g(x) + f(x) α eka je β 1 = g(x) tada je f(x) α β 1 = β 2 sada rjesavamo sustav jedakosti β 1 = α+β β 2 2 = α β 2 po β i taj sustav ima rjeseje β = β 1 β 2 pa za taj x postoji β takav da je x {g α+β α β } {f } zoro je jaso da za svaki β R i svaki 2 2 N mogu aći takav q Q da je α+q < α+β i da je α q 1 < α β pa je x ({g α + q } {f α q 1 }) idemo obruto eka je 2 2 N q Q x ( {g α + q } {f α q 1 }) tada za svaki N postoji 2 2 N q Q q Q takav da je g(x) α+q i da je f(x) α q 1 pa imamo da za svaki 2 2 N vrijedi da je g(x) + f(x) α 1 pa imamo da je f(x) + g(x) α sada tvrdja slijedi iz čijeice da su f i g izmjerive. (ii) eka je c = 0 i eka je α > 0 tada je {cf α} = φ, a ako je α 0 tada =1

5 je {cf α} = X, a ako je c 0 tada ako je c > 0 je {cf α} = {f α c }, ako je c < 0 tada je {cf α} = {f α c } (iii) dovoljo je pokazati da je apsoluta vrijedost p(x) = x izmjeriva fukcija imamo {p β} =, β] [β, + B R (iv) pokažimo da je h(x) = x 2 izmjeriva imamo da je {h α} =, α] [ α, + B R kada je α > 0, a {h α} = R kada je α 0 sada tvrdja slijedi jer imamo da je f g = 1 4 ((f + g)2 (f g) 2 ) Def 7 Neka (X, F) izmjeriv prostor tada sa M(X, F) ozačimo skup svih izmjerivih fukcija f: X R Teorem 11 Neka je (X, F) izmjeriv prostor tada je fukcija f M(X, F) ako i samo ako vrijedi bilo koji od uvijeta (1) ( α R) {f α} F (2) ( α R) {f > α} F (3) ( α R) {f α} F (4) ( α R) {f < α} F Dokaz Neka je C = {[α, + ], α R} imamo da je C B(R) pa ako je f M(X, F) imamo da je {f α} = f 1 ([α, + ]) F za sve α R pa vrijedi (1), a s druge strae imamo da je σ(c) O R pa imamo da je σ(c) = σ(σ(c)) σ(o R ) = B(R), a zamo da je σ(c) B(R) pa imamo da je σ(c) = B(R) pa ako vrijedi (1) imamo da je f M(X, F). Sada imamo da (1) (2) jer je {f > α} = {f α + 1 } F. Imamo i da (2) (3) =1 jer je {f α} = X \{f > α} F, a očito (3) (4) jer {f < α} = {f α 1 } F, o (4) (1) jer {f α} = X \{f < α} F, pa je teorem u potpuosti dokaza. Teorem 12 Neka je (X, F) izmjeriv prostor tada imamo da je f M(X, F) ako i samo ako vrijedi (i) {f = + } F (ii) {f = } F { f(x) f(x) R (iii) g: X R je izmjeriva gdje je g(x) = 0 f(x) / R Dokaz Neka je f M(X, F) tada jer su {+ }, { } B(R) imamo da su {f = + }, {f = } F eka je fukcija g defiiraa kao u iskazu teorema tada za α 0 vrijedi {g α} = {f α} {f = + } F, a za α < 0 vrijedi {g α} = {f α}\{f = } F Predpostavimo obruto da vrijedi (i) (iii) tada za α < 0 imamo da je {f α} = {g α} {f = } F, a za α 0 imamo da je {f α} = {g α}\{f = + } F =1

6 Teorem 13 Neka je (X, F) izmjeriv prostor, eka je f, h M(X, F), a g: X R izmjeriva i eka je c R tada vrijedi (i) f + g M(X, F) (ii) cf M(X, F) (iii) f M(X, F) (iv) f h M(X, F) (v) mi{f, g}, max{f, g} M(X, F) Dokaz (i) Dovoljo je pokazati da je {f +g > α} = {f > α+q α q } {g > }. 2 2 Neka je x {f + g > α} ako je f(x) = + tada postoji q Q takav da je g(x) > α q α+q, a zamo da vrijedi f(x) = + >, a ako je f(x) < tada postoji δ > 0 takav da je f(x) + g(x) = α + δ tada postoji q Q takav da je g(x) α q < δ pa je f(x) = α + δ g(x) > α + δ δ α q > α+q pa je x i u desoj strai, obruta ikluzija je očita. (ii) uz dogovor da je 0 (+ ) = 0 ( ) = 0 ako je c = 0 tada je cf ulfukcija pa je iz M(X, F), a ako je c 0 tada ako je c > 0 imamo da je {cf α} = {f α } i sličo za c < 0. (iii) Trebamo pokazati da je p(x) = x iz c M(R, B R ), a to je jer je {p α} = [, α] [α, + ] B R (iv) Neka { (f h)(x) (f h)(x) R { f(x) f(x) R je r(x) = 0 (f h)(x) / R, eka je u(x) = 0 f(x) / R, i { h(x) h(x) R eka je t(x) = tada je r = ut pa je r: X R izmjeriva, 0 h(x) / R a {f h = + } = ({f = + } {h > 0}) ({f = } {h < 0}) F, sličo je {f h = } F pa je f h M(X, F) (v) Tvrdja slijedi jer mi{f, g} = 1(f + g f g ) i max{f, g} = 1 (f + g + f g ) 2 2 Def 8 Neka je zada iz (x ) u R tada je if x = if{x : N} sup lim if lim sup x = sup{x : N} x = sup m x = if m q Q if x = sup{if{x : m} : m N} m x = if{sup{x : m} : m N} sup m Def 9 Neka je X eki eprazi skup i eka je zada iz fukcija f : X R tada su dobro defiirae fukcije (if f )(t) = if f (t) za sve t X (sup (lim if (lim sup f )(t) = sup f )(t) = lim if f )(t) = lim sup f (t) za sve t X f (t) za sve t X f (t) za sve t X

7 Teorem 14 Neka je (X, F) izmjeriv prostor, eka je zada iz (f ) u M(X, F) tada su if f, sup f, lim if f, lim sup f u M(X, F) Dokaz {if f α} = {x X : ( N) f (x) α} = {f α} F =1 i sličo za supremum iza fukcija, a imamo da je lim if f = sup if f i m m sliču tvrju za limes superior iza fukcija pa slijedi tvrdja teorema. Teorem 15 Neka je (X, F) izmjeriv prostor i eka iz fukcija (f ) u M(X, F) kovergira po točkama prema fukciji f tada je i f u M(X, F). Dokaz Jer iz (f ) kovergira po točkama imamo da je lim if lim sup f pa tvrdja slijedi. f = lim f = Def 10 Neka je (X, F) izmjeriv prostor za fukciju µ: F R kažemo da je mjera ako vrijedi (i) µ(φ) = 0 (ii) µ(a) 0 za sve A F (iii) eka je (E ) iz u parovima disjuktih skupova iz F tada je µ( E ) = =1 µ(e ) =1 Tada za (X, F, µ) kažemo da je prostor s mjerom. Svojstvo (iii) iz defiicije mjere zovemo σ-aditivost. Def 11 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom ako je µ(x ) < + tada kažemo da je µ koača mjera, a ako postoji familija skupova {E : N} takvih da je µ(e ) < + za sve N i da je X = E tada kažemo da je µ σ-koača. Teorem 16 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada (1) za svaku koaču familiju {E : {1,... m}} u parovima disjuktih skupova iz F imamo da je µ( m E ) = m µ(e ) =1 (2) Ako su A, B F takvi da je µ(a) < + i da je A B tada je µ(b\a) = µ(b) µ(a) (3) Neka su A, B F takvi da je A B tada je µ(a) µ(b) (4) Neka je (E ) iz epadajućih skupova iz F što ćemo kraće ozačavati sa (E ) tada je µ( E ) = lim µ(e ) =1 =1 =1

8 (5) Neka je (E ) iz erastućih skupova iz F što ćemo kraće ozačavati sa (E ) tada je µ( E ) = lim µ(e ) =1 Def 12 Neka je (X, F) izmjeriv prostor sa M + (X, F) ćemo ozačiti skup svih fukcija iz M(X, F) koje su eegative zači fukcije za koje vrijedi f(x) 0 za sve x X što ćemo krače zapisivati f 0 Def 13 Neka je (X, F) izmjeriv prostor za f M(X, F) kažemo da je jedoostava ako je f(x ) koača. Neka je f(x ) = {a 1,..., a } gdje su svi a i za i {1,..., } različiti tada prikaz f = a j 1 Aj gdje imamo da je A j = {f = a j } zovemo stadardim prikazom jedostave fukcije f. Def 14 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je ϕ M + (X, F) jedoostava gdje je ϕ = a j 1 Aj stadardi prikaz fukcije ϕ tada Lebesgueov j=1 itegral fukcije ϕ defiramo kao ϕdµ = a X j µ(a j ) gdje vrijedi kovecija da je 0 (+ ) = 0 Teorem 17 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka su f, g M + (X, F) jedostave i eka je c 0 tada su fukcije cf,f +g M + (X, F) jedostave i vrijedi (i) X (cf)dµ = c X fdµ (ii) X (f + g)dµ = X fdµ + X gdµ (iii) g f X gdµ X fdµ Dokaz Neka su f = a i 1 Ai i g = m b j 1 Bj stadardi prikazi tih fukcija, j=1 odmah vidimo da je i fukcija cf M + (X, F) jedostava i da ima stadardi prikaz cf = ca i 1 Ai pa sad imamo da je cfdµ = ca X i µ(a i ) = c a i µ(a i ) = c fdµ Fukcija f + g poprima samo koačo mogo vri- X jedosti pa eka su {c 1,..., c p } sve vrijedosti koje f + g poprima gdje su c k za k {1,..., p} medusobo različiti tada fukcija f + g ima prikaz oblika f + g = p c k 1 Ck gdje su C k = A i B j F pa je fukcija a i +b j =c k f + g M + (X, F) jedostava sa stadardim prikazom f + g = j=1 j=1 p c k 1 Ck

9 j=1 pa račuamo itegral (f +g)dµ = p c X k µ(c k ) = p c k µ( A i B j ) = a i +b j =c k p (a i + b j )µ(a i B j ) = m (a i + b j )µ(a i B j ) = m a i µ(a i a i +b j =c k j=1 j=1 B j )+ m b j µ(a i B j ) = a i µ(a i )+ m b i µ(b i ) = fdµ+ gdµ Posljed- ja tvrdja slijedi iz čijeice da ako je g f tada je f g M + (X, F) jedostava, a itegral takve je 0 pa imamo da je fdµ = (f g)dµ + (g)dµ gdµ Teorem 18 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je ϕ M + (X, F) jedostava tada je fukcija λ : F R daa sa λ(e) = E ϕdµ = X ϕ1 Edµ mjera. Def 15 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je f M + (X, F) tada Lebesgueov itegral fukcije f defiiramo kao X fdµ = sup{ X ϕdµ : ϕ f ϕ M + (X, F) jedostava } Def 16 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je A F i eka je f M + (X, F) tada je f 1 A M + (X, F) pa defiiramo A fdµ = X f 1 Adµ Teorem 19 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka su f, g M + (X, F) i eka je f g tada je X fdµ X gdµ Teorem 20 (Lebesgueov teorem o mootooj kovergeciji) Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je (f ) epadajući iz fukcija što ćemo ozačavati kao (f ) iz M + (X, F) i eka je f = lim f tada je f M + (X, F) i vrijedi fdµ = lim f X X dµ Dokaz (f ) je posebo iz u M(X, F) pa je i f = lim f M(X, F), a jer su sve f eegative imamo da je i f eegativa pa je f M + (X, F) Jer je (f ) slijedi da je ( f X dµ ) pa postoji lim X f dµ sada jer je f f imamo da je fdµ f dµ za sve N pa je fdµ X lim X f dµ Obruto eka je 0 < α < 1 i eka je ϕ M + (X, F) jedostava takva da je ϕ f defiiramo A = {x X : f (x) > αϕ(x)} i B = {ϕ = + } primjetimo da je A F te vrijedi A A +1 i A B = X Prvo promotrimo slučaj kada je µ(b) = 0 tada imamo ϕdµ = X ϕdµ + ϕdµ = lim A B A ϕdµ Sada imamo A αϕdµ A f dµ =1 j=1 =1

10 f X dµ pa kada a to dijelujemo s limesom dobijemo α ϕdµ lim f X X dµ i to vrijedi za svaki 0 < α < 1 pa dobijemo ϕdµ lim f X X dµ i to vrijedi za svaku jedostavu fukciju ϕ f pa dobijemo fdµ lim f X X dµ. Sada promotrimo slučaj kada je µ(b) > 0 zadajmo eki priroda broj m > 0 pa defiramo B = {x B : f (x) > m} jaso je da je B = B sada imamo f X kdµ B f k dµ pa ejedakost ostaje i kad prijedjemo a limes, a imamo lim k B f k dµ B mdµ i to vrijedi za svaki N pa imamo lim f k X kdµ lim B mdµ = mdµ = mµ(b) i to za svaki m > 0 pa B imamo da je lim k X f kdµ = + = fdµ X Teorem 21 Neka je (X, F) izmjeriv prostor i eka je f M + (X, F) tada postoji iz (ϕ ) u M + (X, F) jedostavih fukcija takav da je lim ϕ = f to ćemo kraće pisati (ϕ f). Dokaz Defiiramo skupove E () k = f 1 ([ k, k+1 ) za k {0,..., 2 1}, a 2 2 E () k = f 1 ([, + ) za k = 2, zatim defiiramo fukciju ϕ (x) = k za 2 x E () k tada je očito (ϕ ) iz jedostavih fukcija, a lagao se pokaže da lim ϕ = f Teorem 22 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka su f, g M + (X, F), a c 0 tada su cf, f + g M + (X, F) i vrijedi (i) X cfdµ = c X fdµ (ii) X (f + g)dµ = X fdµ + X gdµ Dokaz Raije je pokazao da je cf M(X, F), a jer je c 0 imamo da je iz M + (X, F), jaso je da je f + g 0, a od prije zamo da je f + g M(X, F) Zamo da postoje epadajući izovi jedostavih fukcija iz M + (X, F) takvi da (ϕ f) i (ψ g) tada (cϕ cf) i (ϕ +ψ f +g) pa cfdµ = lim X X cϕ dµ = c lim ϕ X dµ = c fdµ i (f + g)dµ = lim (ϕ X + ψ )dµ = lim ϕ X dµ + lim X ψ dµ = fdµ + gdµ Teorem 23 (Fatouova lema) Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je (f ) iz u M + (X, F) tada je lim if f M + (X, F) i vrijedi lim if f X dµ lim if f X dµ =1

11 Dokaz Imamo da je lim if f M(X, F) i poprima eegative vrijedosti pa je iz M + (X, F). Neka je (g ) iz defiira sa g = if f m tada je m g f m za sve m pa imamo da je g X dµ f X mdµ za sve m pa je i g X dµ lim if f m X mdµ o kako (g lim if f m) pa imamo da je m lim if f X dµ lim if f X dµ Teorem 24 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je f M + (X, F) tada defiiramo λ : F R kao λ(e) = fdµ tada je λ mjera. E Dokaz Imamo da je f1 E 0 pa slijedi da je f1 X Edµ 0 pa imamo pozitivost, sada jer je 1 φ = 0 imamo da je fdµ = 0dµ = 0. Neka je (E φ X k) iz u parovima disjuktih skupova iz F, eka je E = ϕ = E k defiiramo 1 Ek i ϕ = 1 E vrijedi da je (ϕ ϕ) pa vrijedi da (ϕ f ϕf) pa imamo λ(e) = fϕdµ = lim X pa je i σ-aditivost dokazaa. X fϕ dµ = lim X f1 E k dµ = λ(e k) Def 17 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, kažemo da eko svojstvo vrijedi skoro svuda i pišemo (s.s) u odosu a mjeru µ ako posoji skup A F takav da svojstvo vrijedi a A, a µ(a c ) = 0 Teorem 25 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je f M + (X, F) tada je fdµ = 0 ako i samo ako je f = 0 (s.s.) X Dokaz Neka je fdµ = 0 eka je E X = {f 1 } tada je f 1 1 E pa imamo da je fdµ 1 1 E dµ = 1 µ(e ) pa mora biti µ(e ) = 0, eka je E = E imamo jer (E E) da µ(e) = lim µ(e ) = 0, a E = {f > 0} =1 pa budući je f eegativa slijedi da je f = 0 (s.s) predpostavimo obruto { + f(x) > 0 da je f = 0 (s.s) defiramo fukciju g(x) = tada je f g 0 f(x) = 0 pa je i fdµ gdµ = 0µ({g = 0}) + (+ )µ({g = + }) = 0 Teorem 26 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je (f ) iz u M + (X, F) takav da kovergira prema fukciji f (s.s) što čemo krače pisati (f f) (s.s) tada je lim X f dµ = fdµ X

12 Dokaz Zamo da postoji skup A takav da lim f (t) = f(t) za sve t A tada (f 1 A f1 A ), vidimo da su f 1 A c = 0 (s.s) kao i f1 A c = 0 (s.s) sada vrijedi lim f X dµ = lim f X 1 A + lim X f 1 A c = f1 X Adµ = f1 X Adµ + f1 X A cdµ = fdµ X Def 18 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je f M(X, F) tada su (i) f + = max{0, f}, f = mi{0, f} M + (X, F) (ii) f = f + f (iii) f = f + + f Ukoliko su f + dµ, f dµ < + f dµ < + tada kažemo da je X f itegrabila i tada defiiramo fdµ = f + dµ f dµ Skup svih X itegrabilih ozačimo L(X, F, µ) Teorem 27 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je f L(X, F, µ) tada ukoliko su g, h M + (X, F) takvi da su gdµ, hdµ < + i da je f = g h tada je fdµ = gdµ hdµ X Teorem 28 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada vrijedi (i) f L(X, F, µ) f L(X, F, µ) i fdµ f dµ (ii) f izmjeriva, g itegrabila i f g tada je i f itegrabila (iii) Neka su α, β kostate i eka su f, g L(X, F, µ) tada je αf + βg L(X, F, µ) i vrijedi α fdµ + β gdµ = (αf + βg)dµ X (iv) eka su f, g L(X, F, µ) i eka je f g tada je fdµ gdµ Dokaz (i) Prvi dio tvrdje slijedi jer je f + dµ, f dµ < + (f + + X f )dµ < +, a drugi fdµ = f + dµ f dµ f + dµ + f dµ = f dµ (ii) f + dµ, f dµ gdµ < + (iii) Pokažimo X prvo da za f L(X, F, µ) i α kostatu vrijedi da je αf L(X, F, µ) to se lako vidi jer je αf dµ = α f dµ = α f dµ < +, lako X se pokaže da je ( f)dµ = (f)dµ, za α 0 se lako pokaže da je αfdµ = α fdµ X pa eka je α < X 0 tada je αfdµ = ( 1)( α)fdµ = ( α)fdµ = ( 1)( α) fdµ = α fdµ pokažimo ostatak, eka je X f = f + f i g = g + g tada je f + g = f + + g + (f + g ) sada jer je (f + + g + )dµ = f + dµ + X g+ dµ < + i jer je (f + g )dµ = f X dµ + g dµ < + imamo da je (f + g)dµ = (f + + g + )dµ (f + g )dµ = ( f + dµ f dµ) + ( g+ dµ X g dµ) = fdµ + gdµ (iv) gdµ = g fdµ + fdµ fdµ X X Teorem 29 (Lebesgueov teorem o domiiraoj kovergeciji) Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je (f ) iz u M(X, F) takav koji skoro svuda kovergira prema fukciji f M(X, F), a iače možda i ekovergira i

13 eka postoji g L(X, F, µ) takav da je f g za sve N tada je fdµ = lim f X X dµ Dokaz Imamo da za sve N vrijedi 0 g + f 2g i 0 g f 2g. Nadalje imamo lim if(g + f X )dµ lim if (g + f X )dµ što daje lim if f X dµ lim if f X dµ i imamo lim if(g f X )dµ lim if (g X f )dµ što daje lim if( f X )dµ lim if ( f X )dµ iz čega slijedi lim sup f X dµ lim sup f X dµ Tvrdaja sada slijedi jer je f = lim if f (s.s) i f = lim sup f (s.s), a za f = g (s.s) vrijedi da je fdµ = gdµ Def 19 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom, eka je f L(X, F, µ) tada fukciju λ : F R dau sa λ(e) = fdµ zovemo eodredei itegral od E f. Teorem 30 Ne postoji mjera µ : P(R) R takva da (i) ( c R) ( X R) µ(x + c) = µ(x) (ii) ( a < b) µ( a, b]) = b a Dokaz Defiiramo relaciju ekvivalecije a R kao x y x y Q tada jer je svaka od defiiraih klasa gusta a R možemo uzeti iz svake klase jeog reprezetata takvog da je u skupu [ 1, 1] i dobivei skup ozačimo sa A, poredajmo sada racioale brojeve iz [ 2, 2] u iz q 1, q 2, q 3,... sada se lako pokaže da je 4, 3] (A + q i ) 1, 1] pa kada bi mjera iz tvrdje teorema postojala tada bi vrijedilo 7 µ(a) 2, što je emoguće. Def 20 Algebra skupova A a X je familija podskupova od X takva da vrijedi (i) A (ii) A A A c A (iii) A 1,..., A A A i A Mjera µ a algebri skupova A je fukcija µ : A R takva da vrijedi (i) µ( ) = 0 (ii) µ(a) 0 za sve A A (iii) Neka je (A k ) iz u parovima disjuktiih skupova iz A takvih da je A i A tada je µ( A i ) = µ(a i )

14 Teorem 31 Neka je P skup svih koačih uija poluotvoreih itervala oblika a, b] gdje su a, b R tada je P prste (epraza familja zatvorea a koače uije i skupove razlike) te se svaki elemet iz P da prikazati kao disjukta uija poluotvoreih itervala spomeutog oblika. Neka je P prste skupova tada je familija A = {A : A ili A c P} algebra i to je ajmaja algebra koja sadrži P. Teorem 32 Neka je P prste svih koačih uija poluotvoreih itervala kao iz prošlog teorema i eka je A ajmaja algebra koja sadrži P tada postoji samo jeda mjera µ a A takva da je µ( a, b]) = b a Dokaz Neka su µ i ν dvije mjere koje se podudaraju a poluotvoreim itervalima tada je jaso da se podudaraju a P zbog koače aditivosti mjere i vrijedosti koje poprimaju a tom skupu su koače pa su vrijedosti a komplemetima elemeata iz P beskoače pa se µ i ν podudaraju a cijelom A. Egzisteciju takve mjere ostavljamo bez dokaza. Def 21 Neka je X bilo kakav skup, te A algebra a X, a µ mjera a A tada za svaki A X defiiramo µ (A) = if{ µ(e k ) : gdje je (E k ) iz u A takav da je A od µ E k } Fukciju µ : P(X ) R zovemo vajska mjera Teorem 33 Svojstva vajske mjere: (a) µ( ) = 0 (b) µ(b) 0 za sve B X (c) A B µ (A) µ (B) (d) B A µ (B) = µ(b) (e) µ ( B i ) µ (B i ) (σ-subaditivost) i=0 Dokaz (a)-(c) su lagae posljedice defiicije pokažimo (d) prvo je µ (B) µ(b) jer je B,,,... jeda pokrivač od B pa je µ (B) µ(b) + µ( ) + µ( ) +... drugo vrijedi da za iz (E i ) u A takav da je jegova uija u A vrijedi µ( E i ) µ(e i ) pa eka je (E i ) proizvolja pokrivač od B tada za (F i = B E i ) vrijedi da je B = F i pa vrijedi µ(b) µ(f i ) µ(e i ) pa zbog proizvoljosti od (E i ) imamo da je µ(b) µ (B). Pokažimo (e) eka je ε > 0 proizvolja tada za svaki B X možemo aći iz (E k ) k u A takav

15 da je µ (B ) + ε µ(e 2 ) k tada vrijedi µ ( B ) µ(ek ) =1 =1 (µ (B ) + ε ) = µ (B 2 ) + ε zbog proizvoljosti od ε slijedi tvrdja. =1 =1 Def 22 Neka je A algebra a X, eka je µ mjera a A, a µ vajska mjera od µ za skup E X kažemo da je µ -izmjeriv ako za sve A X vrijedi µ (A) = µ (A E) + µ (A\E) Teorem 34 (Caratheodoryjev teorem o prošireju) Neka je A algebra a X, eka je µ mjera a A, a µ vajska mjera od µ i eka je A skup svih µ - izmjerivih skupova a X tada vrijedi: (a) A je σ-algebra (b) µ je σ-aditiva a A (c) A A Dokaz Očito vrijedi da je, X A i da je familija A zatvorea a komplemetiraje, pokažimo da je zatvorea a presjek dva skupa. Neka su E, F A tada vrijedi (1) µ (A) = µ (A F ) + µ (A\F ) i sliča jedakost za E u koju umjesto A uvrstimo A F pa dobijemo (2) µ (A F ) = µ (A F E)+ µ ((A F )\E) te uvrstimo A\(E F ) u (1) pa dobijemo (3) µ (A\(E F )) = µ (A\F ) + µ ((A F )\E) zbrojimo (1) i (2) te iskoristimo (3) pa dobijemo µ (A) = µ (A (E F )) + µ (A\(E F )) za sve A X pa je E F A sada vidimo da je i E F = (E c F c ) c A Neka je (E k ) iz u parovima disjuktih skupova iz A, eka je F = E k tada jer je E A i jer vrijedi (1) A E = A ( E k ) E i (2) A 1 E k = A ( E k )\E imamo da je µ (A F ) = µ (A E )+µ (A 1 E k ) = µ (A E k ) Neka je E = E k tada vrijedi µ (A) = µ (A F ) + µ(a\f ) µ (A E k ) + µ (A\E) i to vrijedi za sve N pa zaključujemo da je µ (A) µ (A E k )+µ (A\E), a iz σ-subaditivosti izlazi (1) µ (A E k ) µ ( (A E k )) = µ (A E) pa to skupa daje µ (A) µ (A E) + µ (A\E), a iz σ-subaditivosti s druge strae slijedi µ (A) µ (A E) + µ (A\E) pa je E A Jaso je da je A zatvore a sve prebrojive uije elemeata iz A jer svakom izu elemeata iz A možemo pridružiti iz u parovima disjuktih elemeata takvih da je uija ovih drugih jedaka uiji oih prvih pa je A σ-algebra. Vidimo da u (1) zbog daljjeg zaključivaja stoji čak jedakost pa uvrstimo

16 A = E i dobijemo µ (E) = µ (E k ) pa je µ σ-aditiva a A. Neka je E A tada iz σ-subaditiviosti vrijedi µ (A) µ (A E) + µ (A\E) pokažimo drugu ejedakost tako što odaberemo ε > 0 tada postoji pokrivač od A recimo F 1, F 2,... A takav da je µ (A) + ε µ(f k ) primjetimo da je (F k \E) pokrivač od A\E i (F k E) pokrivač od A E pa vrijedi µ (A E) + µ (A\E) (µ(f k E) + µ(f k \E)) = µ(f k ) µ (A) + ε kako to vrijedi za svaki ε > 0 imamo da je A A Def 23 Za prostor s mjerom (X, F, µ) kažemo da je potpu ako za sve F X za koje postoji E F takav da je F E i da je µ(e) = 0 vrijedi da je F F Teorem 35 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada postoji potpu prostor s mjerom (X, G, µ ) takav da je F G i da je µ F = µ Def 24 Skup iz predhodog teorema ije jedistve, ali ajmaji takav je i taj zovemo upotpujeje prostora s mjerom. Teorem 36 Neka je A algebra a X, µ mjera a A, µ vajska mjera od µ i eka je A skup svih µ -izmjerivih skupova, eka je µ restrikcija od µ a A tada je (X, A, µ ) potpu prostor s mjerom. Dokaz Neka je F X takav da postoji E A takav da je µ (E) = 0 to zači da je µ (E) = 0 i da je µ (A) = µ (A E) + µ (A\E) i zamo da vrijedi µ (A) µ (A F ) + µ (A\F ), imamo da je µ (A F ) + µ (A\F ) µ (A E) + µ (A) µ (E) + µ (A) = µ (A) pa je i F A Teorem 37 (Hah) Neka je A algebra a X i eka je µ σ-koača mjera a A, eka je A σ-algebra dobivea Caratheodorijevom kostrukcijom tada postoji jedistveo prošireje od µ a A Dokaz Predpostavimo da imamo dvije takve mjere ν i µ, eka je E A tada uzmimo proizvolja iz (E i ) u A takav da je E i E tada je ν (E) ν ( E i ) ν (E i ) = µ(e i ) pa slijedi da je (1) ν (E) µ (E) za sve E A. Kako je µ bila σ-koača postoji iz F 1 F 2 F 3... u A takav da je µ(f k ) < + za sve k N pa je ν (F k \(E F k )) µ (F k \(E F k )) iz čega imamo da je (2) ν (F k E) µ (F k E) to skupa s (1) odmah daje ν (E F k ) = µ (E F k ) sada iz eprekiutosti odozda slijedi ν (E) = µ (E) Egzistecija je daa Caratheodorijevom kostrukcijom.

17 Def 25 Neka su µ i A kao u iskazu teorema 31 i eka je A dobivea Caratheodorijevom kostrukcijom te eka je λ prošireje od µ a A (µ je σ- koača pa am jedistveost garatira Hah) tada λ zovemo Lebesgueova mjera, a skupove iz A zovemo Lebesgue izmjerivi skupovi. Teorem 38 Lebesgueova mjera je ivarijata a traslacije Def 26 Neka je V reali vektorski prostor tada kažemo da je fukcija N: V R orma ako vrijedi (i) N(v) 0 za sve v V (ii) N(v) = 0 v = 0 (iii) N(αv) = α N(v) (iv) N(v + w) N(v) + N(w) Ako vrijedi samo (i),(iii),(iv) tada je N poluorma. Def 27 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je p [1, + tada skup svih f : X R izmjerivih fukcija takvih da je X f p dµ < + ozačavamo s L p (X, F, µ) te za f L p (X, F, µ) defiiramo f p = ( X f p dµ) 1 p Teorem 39 (Hölderova ejedakost) Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka je f L p (X, F, µ) i eka je g L q (X, F, µ) gdje je p > 0 i eka vrijedi 1 p + 1 q = 1 tada je fg 1 f p g q Dokaz Neka su p i q kao u iskazu teorema pokažimo Yougovu ejedakost ab ap + bq oa slijedi iz ab = e l(a)+l(b) = e 1 p l(ap )+ 1 q l(bq) 1 p q p el(ap) + 1 q el(bq) = ap + bq jer je ekspoecijala fukcija koveksa. Predpostavimo p q da f p 0 i da je g q 0 tada primjeom Yougove ejedakosti imamo f(x)g(x) za sve x X kada ovo proitegriramo dobit ćemo f p g q fg 1 f p g q f(x) p p f p p + g(x) q q g q q = 1 što odmah daje tvrdju teorema. Sada predpostavimo p q da je f p = 0 tada je f p = 0 (s.s) pa je i fg = 0 (s.s) što zači da je 0 = fg 1 f p g q Teorem 40 (Nejedakost Mikowskog) Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom i eka su f, g L p (X, F, µ) tada je i f +g L p (X, F, µ) i vrijedi f +g p f p + g p Dokaz Slučaj kada je p = 1 je jedostava jer slijedi iz ejedakosti trokuta za apsolutu vrijedost fg f + g zato predpostvimo da je p > 1. Prvo pokažimo da je f+g L p (X, F, µ) to slijedi jer je f+g p (2 max f, g ) p 2 p ( f p + g p ) Sada imamo f +g p = f +g f +g p f f +g p 1 + g f +g p 1 eka je q > 0 takav da je (p 1)q = 1 tada vrijedi = 1, sada imamo p q

18 da je f + g p 1 L q (X, F, µ) sada primjeimo Hölderovu ejedakost pa dobijemo X f f + g p dµ f p f + g p q p i sličo za drugi čla pa dobijemo f + g p p ( f p + g p ) f + g p p q ako je (1) f + g q p = 0 tada je tvrdja dokazaa, a ako je (1) različito od ule tada dijeljejem s (1) dobivamo tražeu tvrdju. Teorem 41 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada L p (X, F, µ) vekorski prostor, a fukcija. p je poluorma Teorem 42 Neka je V vektorski prostor i eka je. : V R poluorma tada defiiramo relaciju ekvivalecije u v ako i samo ako u v = 0 ozačimo klasu od u sa [u] tada je prostor svih klasa K = {[u] : u V } vektorski prostor, a defiramo li fukcuju. : K R sa [u] = u tada je ta fukcija orma a K Def 28 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada je prostor L p (X, F, µ) pridruže prostoru L p (X, F, µ) gorjom kostrukcijom. Teorem 43 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom tada je prostor L p (X, F, µ) potpu. Dokaz Neka je (f ) Cauchyjev iz u L p (X, F, µ) tada postoji podiz (g ) takav da je g +1 g p < 2. Defiiramo h = g 1 + g k+1 g k i h = lim h tada je h izmjeriva jer je dobivea kao limes izmjerivih fukcija Sada imamo h p = ( X h p dµ) 1 p = ( X lim h p dµ) 1 p (lim if h X p dµ) 1 p = lim if h p g 1 p + lim if g k+1 g k p g 1 p + 1 što odmah zači da je h L p (X, F, µ) Sada defiiramo w = g 1 + (g k+1 g k ) još ozačimo E = {x X : h(x) < + } sada buduči je h p itegrabila imamo da je µ(e c ) = 0 sada za svaki x E red (g k+1 g k ) je apsoluto kovergeta pa za sve x E iz (w (x)) kovergeta pa defiiramo w(x) = lim w (x) za x E odoso w(x) = 0 za x / E Sada imamo w p h p h p pa po LTDK imamo da je X w p dµ = lim X w p dµ sada gledamo w p = ( X w p dµ) 1 p = (lim X w dµ) 1 p = (lim w p h p < + pa je w L p (X, F, µ) Za zadai ε > 0 možemo aći 0 takav da za sve m, 0 vrijedi f g m < ε što je ekvivalto da X f g m p dµ < ε p još imamo

19 da je f w p = (s.s) = lim f w m 1 p = lim if f m g m p pa po Fautouvoj m lemi imamo f X w p dµ lim if f m X g m p dµ < ε p pa vrijedi da je f w < ε Def 29 Neka je (X, F, µ) prostor s mjerom defiiramo prostor L (X, F, µ) kao skup svih f : X R izmjerivih fukcija koje su skoro svuda omedee to zači da postoji N F takav da je µ(n) = 0 i da je sup{ f(x) : x / N} < +, defiiramo f = if{sup{ f(x) : x / N}, N F, µ(n)} = 0 tada je. poluorma, sada zaim postupkom dobijemo L (X, F, µ) Literatura: Robert G. Bartle, Elemets of itegratio

MJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan

MJERA I INTEGRAL. Bilješke s predavanja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godina 2010./2011. Natipkao i uredio: Ivan Krijan MJERA I INTEGRAL Bilješke s predavaja (Prof. dr. sc. Hrvoje Šikić) akademska godia 2010./2011. Natipkao i uredio: Iva Krija Zagreb, 23. 05. 2011. Sadržaj Sadržaj 1 UVOD 3 2 PRSTEN SKUPOVA 8 3 MJERE NA

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL završni ispit 4. srpnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupo 8 bodova) MJERA I INTEGRAL završi ispit 4. srpja 216. (Kjige, bilježice, dodati papiri i kalkulatori isu dozvoljei!) (a) (2 boda) Defiirajte p za ekspoete p [1, +. (b) (6 bodova) Dokažite da

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

1 Neprekidne funkcije na kompaktima

1 Neprekidne funkcije na kompaktima Neprekide fukcije a kompaktima.. Teorem. Neka je K kompakta podskup metričkog prostora X, a f : X Y eprekido preslikavaje u metrički prostor Y. Tada je slika f(k) kompakta skup u Y..2. Zadatak. Neka su

Διαβάστε περισσότερα

MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)

MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) MJERA I INTEGRAL 1. kolokvij 29. travnja 2016. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je I kolekcija svih ograničenih jednodimenzionalnih intervala

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrijske funkcije

Trigonometrijske funkcije 9 1. Trigoometrijske fukcije 1.1. Ako je α + β π,izračuaj 1 + tg α)1 + tg β). 4 1.. Izračuaj zbroj log a tg 1 + log a tg +...+ log a tg 89. 1.3. Izračuaj 40 0 si 0 bez uporabe tablica ili račuala. 1.4.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA STATISTIKA

MATEMATIČKA STATISTIKA MATEMATIČKA STATISTIKA Bilješke s predavaja (prof. dr. sc. Miljeko Huzak akademske godie 04./05. Natipkao i uredio: Kristija Kilassa Kvaterik Ova skripta služi samo kao pomoć u praćeju predavaja iz istoimeog

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Mjera i Integral Vjeºbe

Mjera i Integral Vjeºbe Mjera i Integral Vjeºbe September 8, 2015 Chapter 1 σ-algebre 1.1 Osnovna svojstva i prvi primjeri Najprije uvodimo pojmove algebre i σ-algebre 1 skupova. Za skup, familiju svih njegovih podskupova zovemo

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.

Neka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2. Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Glava I : METRIČKI PROSTORI. FUNKCIJE VIŠE PROMJENLJIVIH Teorija graičih vrijedosti je od iteresa e samo u skupu R realih brojeva, već i u ekim drugim skupovima

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

1. Topologija na euklidskom prostoru R n

1. Topologija na euklidskom prostoru R n 1 1. Topologija na euklidskom prostoru R n Euklidski prostor R n je okruženje u kojem ćemo izučavati realnu analizu. Kao skup R n se sastoji od svih uredenih n-torki realnih brojeva: R n = {(x 1,...,x

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJENA L-FUNKCIJA U TEORIJI BROJEVA. Marija Patljak PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad

PRIMJENA L-FUNKCIJA U TEORIJI BROJEVA. Marija Patljak PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK. Diplomski rad SVEUČILIŠTE U ZAGREBU PRIRODOSLOVNO MATEMATIČKI FAKULTET MATEMATIČKI ODSJEK Marija Patljak PRIMJENA L-FUNKCIJA U TEORIJI BROJEVA Dilomski rad Voditelj rada: rof. dr. sc. Fili Najma Zagreb, veljača 2016.

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni račun funkcija više varijabli

Diferencijalni račun funkcija više varijabli Diferecijali raču fukcija više varijabli vježbe uredio Matija Bašić Sveučilište u Zagrebu Prirodoslovo-matematički fakultet Matematički odsjek (skripta e može zamijeiti vježbe) Sadržaj 1 Struktura ormiraog

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

REALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih

REALNA FUNKCIJA realnom funkcijom n realnih nezavisno-promjenljivih REALNA FUNKCIJA Fukciju f čiji je skup vrijedosti V podskup skupa R realih brojeva zovemo realom fukcijom. Ako je, pritom, oblast defiisaosti D eki podskup skupa R uređeih -torki realih brojeva, kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Izrada Domaće zadaće 4

Izrada Domaće zadaće 4 Uiverzitet u Sarajevu Elektrotehički fakultet Predmet: Ižejerska matematika I Daa: 76006 Izrada Domaće zadaće Zadatak : Izračuajte : si( ) (cos( )) L 0 a) primjeom L'Hospitalovog pravila; b) izravom upotrebom

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

R ω s uniformnom topologijom i aksiomi prebrojivosti

R ω s uniformnom topologijom i aksiomi prebrojivosti Opća topologija 116 Opća topologija 118 Drugi aksiom prebrojivosti 4 AKSIOMI SEPARACIJE I PREBROJIVOSTI Aksiomi prebrojivosti Aksiomi separacije Normalni prostori Urysonova lema Urysonov teorem o metrizaciji

Διαβάστε περισσότερα

Definicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1,

Definicija: Beskonačni niz realnih brojeva je funkcija a : N R. Umjesto zapisa a(1), a(2),,a(n), može se koristiti zapis a 1, Defiicija: Beskoači iz realih brojeva je fukcija a : N R i Umjesto zapisa a(), a(),,a(), može se koristiti zapis a, a,,a, Broj a zove se opći čla iza, a cijeli iz se kratko ozačuje (a ). Niz je : -rastući

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Geodetski akultet dr s J Beba-Brkić Predavaja iz Matematike OSNOVNI TEOREMI DIFERENCIJALNOG RAČUNA Teoremi koje ćemo avesti u ovom poglavlju su osovi teoremi koji osiguravaju ispravost primjea diereijalog

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Glava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva

Glava 2 Nizovi i skupovi realnih brojeva Glava Nizovi i skupovi realih brojeva Cetralo mesto u matematičkoj aalizi pripada pojmu graiče vredosti, odoso limesa. Upozaćemo se sa defiicijom limesa iza i sa tehikama alažeja graičih vredosti. Razmatraćemo

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Dragan Jukić MJERA I INTEGRAL OSIJEK, f = 3 α i χ Ai. α 2. α 1. α 3 A 1 A 2 A 3. 3 fdλ = α i λ(a i )

Dragan Jukić MJERA I INTEGRAL OSIJEK, f = 3 α i χ Ai. α 2. α 1. α 3 A 1 A 2 A 3. 3 fdλ = α i λ(a i ) Dragan Jukić α 2 f = 3 α i χ Ai 3 fdλ = α i λ(a i ) α 1 α 3 A 1 A 2 A 3 MJERA I INTEGRAL OSIJEK, 2012. prof.dr.sc. Dragan Jukić MJERA I INTEGRAL Osijek, 2012. D. Jukić Mjera i integral. Izdavač: Sveučilište

Διαβάστε περισσότερα

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto

Trigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

INŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d e s e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) G L A V A 5

INŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d e s e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) G L A V A 5 INŽENJERSKA MATEMATIKA NOTA BENE Dobro zapamti. Imaj a umu. Ne zaboravi. P r e d a v a j a z a d e s e t u s e d m i c u a s t a v e (u akademskoj 9/. godii) G L A V A 5 DIFERENCIJALNI RAČUN REALNIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Procjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2.

Procjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2. 4 Procjea parametara Neka je X slučaja varijabla čiju distribuciju proučavamo. Defiicija: Slučaji uzorak duljie za X je iz od ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli X 1, X,..., X koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella

Uvod u teoriju brojeva. Andrej Dujella Uvod u teoriju brojeva (skripta) Andrej Dujella PMF - Matematički odjel Sveučilište u Zagrebu Sadržaj. Djeljivost.... Kongruencije... 3. Kvadratni ostatci... 9 4. Kvadratne forme... 38 5. Aritmetičke funkcije...

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ).

PID: Domen P je glavnoidealski [PID] akko svaki ideal u P je glavni (generisan jednim elementom; oblika ap := {ab b P }, za neko a P ). 0.1 Faktorizacija: ID, ED, PID, ND, FD, UFD Definicija. Najava pojmova: [ID], [ED], [PID], [ND], [FD] i [UFD]. ID: Komutativan prsten P, sa jedinicom 1 0, je integralni domen [ID] oblast celih), ili samo

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija

Društvo matematičara Srbije. Pripreme za Juniorske olimpijade školske 2007/2008. Matematička indukcija Društvo matematičara Srbije Pripreme za Juiorske olimpijade školske 007/008 -Dord e Baralić Tel:063/706-706-6 e-mail:djolebar@ptt.yu Matematička idukcija Primer 1. Dokazati da je > za sve N. Ituitivo zamo

Διαβάστε περισσότερα

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet

Diferencijalni i integralni račun I. Prirodoslovno matematički fakultet Diferencijalni i integralni račun I Saša Krešić-Jurić Prirodoslovno matematički fakultet Sveučilište u Splitu Sadržaj Skupovi i funkcije. Skupovi N, Z i Q................................. 4.2 Skup realnih

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1

VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Ivan Ivec SOBOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE

Ivan Ivec SOBOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE Sveučilište u Zagrebu PMF Matematički odjel Ivan Ivec SOOLJEVLJEVE NEJEDNAKOSTI I PRIMJENE Diplomski rad Voditelj rada: doc. dr. sc. Nenad Antonić Zagreb, siječnja 001. Zahvaljujem svojem mentoru doc.

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

KOMPAKTNI OPERATORI. Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević. Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu. u zimskom semestru akademske godine 2007./2008.

KOMPAKTNI OPERATORI. Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević. Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu. u zimskom semestru akademske godine 2007./2008. KOMPAKTNI OPERATORI Prof. dr. sc. Hrvoje Kraljević Predavanja održana na PMF Matematičkom odjelu Sveučilišta u Zagrebu u zimskom semestru akademske godine 2007./2008. Zagreb, siječanj 2008. 2 SADRŽAJ 3

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Topologije A

Zadaci iz Topologije A Zadaci iz Topologije A 1. Neka je X neprazan skup i Φ : P(X P(X funkcija za koju vaжi: (1 Φ( = ; (2 A Φ(A za sve A P(X; (3 Φ(A B = Φ(A Φ(B za sve A, B P(X; (4 Φ(Φ(A = Φ(A za sve A P(X. Dokazati da postoji

Διαβάστε περισσότερα

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja

2 Skupovi brojeva 17. m n N. (m + n) + k = m + (n + k) - asocijativnost sabiranja. m + n = n + m - komutativnost sabiranja Skupovi brojeva 17 Skupovi brojeva.1 Skup prirodih brojeva Skup N prirodih brojeva čie brojevi 1,,3,... Nad skupom prirodih brojeva defiisae su operacije sabiraja (+) i možeja ( ), čiji je rezultat takože

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Linearna uređenja i GO prostori

Linearna uređenja i GO prostori UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Milijana Milovanović Linearna uređenja i GO prostori -Master rad- Mentor: dr Aleksandar Pavlović Novi Sad, 2015.

Διαβάστε περισσότερα

METRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI. Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974.

METRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI. Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974. METRIČKI PROSTORI 0 METRIČKI PROSTORI Šime Ungar http://www.mathos.unios.hr/~sime/ Literatura: S. Mardešić. Matematička analiza, 1. dio, Školska knjiga, Zagreb, 1974. Š. Ungar. Matematička analiza 3, PMF-Matematički

Διαβάστε περισσότερα

2.7 Primjene odredenih integrala

2.7 Primjene odredenih integrala . INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu

Διαβάστε περισσότερα

INŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d v a n a e s t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini)

INŽENJERSKA MATEMATIKA 1. P r e d a v a n j a z a d v a n a e s t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. godini) INŽENJERSKA MATEMATIKA Tko je a poziciji vlasti o e treba praviti smisla. (Čarska poslovica.) P r e d a v a j a z a d v a a e s t u s e d m i c u a s t a v e (u akademskoj 009/00. godii) 5.9. Primjee diferecijalog

Διαβάστε περισσότερα

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003.

Teorija skupova. Matko Males Split. lipanj 2003. Teorija skupova Matko Males Split lipanj 2003. 2 O pojmu skupa A, B, C,... oznake za skupove a, b, c,... oznake za elemente skupa a A, a / A Skup je posve odredjen svojim elementima, tj u potpunosti je

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Flag-tranzitivni linearni prostori

Flag-tranzitivni linearni prostori Flag-tranzitivni linearni prostori Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) 5. studenoga 2010. Andrea Švob (asvob@math.uniri.hr) () Flag-tranzitivni linearni prostori 5. studenoga 2010. 1 / 31 Djelovanja grupe

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČKA ANALIZA II

MATEMATIČKA ANALIZA II MATEMATIČKA ANALIZA II primjeri i zadaci Ilja Gogić, Ate Mimica 6. siječja. Sadržaj Derivacija 5. Tehika deriviraja............................... 5. Derivacija iverzih i implicito zadaih fukcija..............

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo

PRIMJER 3. MATLAB filtdemo PRIMJER 3. MATLAB filtdemo Prijenosna funkcija (IIR) Hz () =, 6 +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 53 z +, 3 z +, 78 z +, 3 z +, 6 z, 95 z +, 74 z +, z +, 9 z +, 4 z +, 5 z +, 3 z +, 4 z 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim.

1 Diferencijabilnost Motivacija. Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji limes f f(x) f(c) (c) = lim. 1 Diferencijabilnost 11 Motivacija Kažemo da je funkcija f : a, b R derivabilna u točki c a, b ako postoji es f f(x) f(c) (c) x c x c Najbolja linearna aproksimacija funkcije f je funkcija l(x) = f(c)

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija

Neprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute

Διαβάστε περισσότερα

Prosti brojevi. Uvod

Prosti brojevi. Uvod MLADI NADARENI MATEMATIČARI Marin Getaldic Prosti brojevi 20.12.2015. Uvod Definicija 1. Kažemo da je prirodan broj p prost broj ako ima točno dva (različita) djelitelja (konkretno, to su 1 i p). U suprotnom

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić

Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016. Tomislav Berić Operatori na normiranim prostorima vježbe 2015/2016 Tomislav Berić tberic@math.hr Sadržaj 1 Operatori na Hilbertovim prostorima 1 1.1 Normalni operatori..................................... 3 1.2 Unitarni

Διαβάστε περισσότερα

Osnove matematičke analize

Osnove matematičke analize Osnove matematičke analize prof.dr.sc. Nikola Koceić Bilan FPMOZ Sveučilište u Mostaru FPMOZ Sveučilište u Mostaru 1 / Sadržaj 1 Topološka i metrička struktura normiranog vektorskog prostora R n. Konvergencija

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

3 Linearani operatori Ograničenost i neprekidnost Inverzni operator O još dva principa Zatvoreni operator...

3 Linearani operatori Ograničenost i neprekidnost Inverzni operator O još dva principa Zatvoreni operator... Sadržaj 3 Linearani operatori 68 3.1 Ograničenost i neprekidnost................... 68 3.2 Inverzni operator......................... 79 3.3 O još dva principa........................ 83 3.4 Zatvoreni

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα