4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA"

Ῥουβήν Βονόρτας
6 χρόνια πριν
Προβολές:

1 . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili ±. Ako postoji realan broj L, kojem se funkcija y f () približava kad je varijabla blizu a, tada taj broj zovemo es funkcije f () u točki a, odnosno L f ( ) a L f ( ) ako je a. Ovakva proizvoljna definicija je opisna, ali nije potpuno točna. Na primjer, trigonometrijska funkcija f ( ) sin zadovoljava: sin ± ako je. Međutim, brojevi i nisu esi funkcije f ( ) sin u, nego dva različita gomilišta. Prema ovome, da bismo učinili razliku između esa i gomilišta, potrebno je iskazati preciznu definiciju esa i gomilišta dane funkcije y f () u a koristeći pojmove ε okoline ( epsilon okoline). Realan broj L je gomilište funkcije y f () u ako vrijedi: za svaki ε > 0 postoji M > 0 takav da za beskonačno mnogo > M vrijedi f ( ) ( L ε, L + ε ). Realan broj L je es funkcije y f () u ako vrijedi: za svaki ε > 0 postoji M > 0 takav da za svaki > M vrijedi f ( ) ( L ε, L + ε ). Kako vidimo, za preciznu definiciju esa i gomilišta koristimo pojam ε -okoline broja L, a to je interval ( L ε, L + ε). Nije teško pokazati da iz ove dvije definicije slijedi da je es jedinstveno gomilište. Na primjer, ako funkcija ima dva različita gomilišta u, tada funkcija nema es u.

2 70 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI Analogno se definira es funkcije u bilo kojoj konačnoj točki a (vidi poglavlje?.). U računanju esa dane funkcije y f () u, ne koristimo se definicijom, nego svojstvima esa u odnosu na algebarske operacije među funkcijama, te prelazom sa beskonačno velikih na konačne i proizvoljno male (dijeljenje s najvećom potencijom). U tom smislu treba znati da je 0, q 0, za q <. Svojstva esa u odnosu na algebarske operacije među funkcijama su: ( f ( ) ± g( )) f ( ) ± g( ), a ( α f ( )) α f ( ), a ( f ( ) g( )) ( f ( )) ( g( )), a f ( ) f ( ) a, a g( ) g( ) ( f ( ) a g ( ) a a ) ( f ( )) a a a a a g ( ) a, pod uvjetom da svi esi koji se pojavljuju na desnim stranama u prethodnim jednakostima postoje, odnosno konačni su brojevi.. NEODREĐENI OBLIK U ovoj točki ćemo računati ese racionalnih funkcija koristeći prethodno opisana svojstva esa funkcija. RIJEŠENI PRIMJERI U slijedećim zadacima izračunati ese racionalnih funkcija. + + (+ )/.. ( )/

3 . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) ( )/ ( + )/ ( 7 )/ ( + )/ ( )/ ( + )/ (6 )/ ( + )/ + 0 ( )/ ( + )/ ( + )/ (+ )/ [ ]/. + [ + ]/ ( ) [ + + ( )]/. + + [ + + ]/

4 7 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI ( ) ( ) +. ( ) ( + )/. ( + )/ + + ( ) ( ) + ( ). ( ) + ( ) + [ ]/. + [ + ]/ + ZADACI ZA VJEŽBU

5 . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) RJEŠENJA R.. R R.. R 7.. R.. R 8.. R 9.. R0... NEODREĐENI OBLIK U ovoj točki ćemo računati ese funkcija kod kojih se nakon uvrštavanja pojavljuje neodređeni oblik. U tom slučaju je potrebno danu funkciju transformirati raznim trikovima (racionaliziranje, faktoriziranje, itd.) na oblik, te nastaviti u smislu prelaza sa beskonačno velikih na konačne i proizvoljno male veličine (dijeljenje brojnika i nazivnika sa najvećom potencijom), što je objašnjeno u prethodnom poglavlju. RJEŠENI PRIMJERI U slijedećim zadacima izračunati ese funkcija ( ) ( ) ( )/. + + [ + + ]/ + +. ( ) ( )

6 7 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI ( ) ( ) + ( 9)/ + + [ + + ]/ ( + ) ( + ) ( ) 7 [ + + ]/ [ + + ]. 7 / ( ) ( ) [( ) ( ) ( ) ] [ ] [ ] ( + )/ [ ]/ ZADACI ZA VJEŽBU 8. ( + + ). 9. ( + ). 0. ( ).

7 . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 7. ( + ).. ( + + ). RJEŠENJA R 8.. R9.. R0.. R.. R... NEODREĐENI OBLIK U ovoj točki računamo ese funkcija oblika g ( ) y f ( ) kod kojih nakon uvrštavanja dobivamo oblik. Osim svojstava esa, nabrojanih na početku ovog poglavlja, koristit ćemo važan identitet: ( + ) e. Nadalje, treba primijeniti određene «trikove» pomoću kojih se dani oblik y f ( ) transformira na eksponencijalni oblik e, pa potom u eksponentu primijeniti rješavanje oblika s početka ovog poglavlja. g ( ) RJEŠENI PRIMJERI U slijedećim zadacima izračunati ese funkcija e. + a + a a a a a a + e. a a a

8 76 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI. e e a 6. e. a a + + a + a e e ( ) + + e e. + + a a b a b b b b ( b a) ( ) b a b ( ) b a b b a + e e. b b a ZADACI ZA VJEŽBU

9 . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 77 / RJEŠENJA R e. R 6. e. R6. e. R6. e. R6. e.. KOSE ASIMPTOTE Desna kosa asimptota funkcije y f () je pravac y k + l kojem se funkcija f približava kada je blizu +. Lijeva kosa asimptota funkcije y f () je pravac y k + l kojem se funkcija f približava kada je blizu. Prema tome, kose asimptote (ako postoje) opisuju ponašanje funkcije za neizmjerno pozitivne i negativne, odnosno precizira desni i lijevi dio grafa funkcije. Efektivno pronalaženje kosih asimptota se svodi na precizno računanje nekoliko esa. Što više, za koeficijente kosih asimptota vrijede formule: desna kosa asimptota y k + l k f ( ), lijeva kosa asimptota y k k f ( ), l l ( f ( ) k ); + l ( f ( ) k funkcije y funkcije y ). f ( ) : f ( ) : Ako iz ovakvog računa barem jedan od brojeva k i l ne postoji, tada funkcija y f () nema desnu kosu asimptotu. Ako pak barem jedan od brojeva k i l ne postoji, tada funkcija y f () nema lijevu kosu asimptotu. Ako je u jednoj od kosih asimptota prvi koeficijent jednak nuli tada je ona specijalno horizontalna asimptota. Nužnost prethodnih formula za koeficijente k, l, k i l nije teško opravdati direktno iz definicije esa i kosih asimptota. Naime, iz definicije desne kose asimptote imamo da je:

10 78 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI y k + l f ( ) ako je +. Ako podijeo sa ovu aproksimativnu jednakost, dobivamo izraz za k, a potom prebacivanjem na drugu stranu, dobivamo izraz za l, odnosno: ( k + l k + l f ( )) / f ( ) l k + l / f ( ) / k f ( ) k ako je +. f ( ) ako je +, RIJEŠENI PRIMJERI U sljedećim zadacima izračunati kose asimptote danih funkcija. 6. f( ) + ; D( f) (, ] [0, +); f( ) + / + k ; / l ( f( ) k) ( + ) ; + + Desna asimptota je: y k+ l + ; k f ( ) l ( f ( ) k ) + ( + + ) ( + ( ) + + Lijeva asimptota je : y k + l ; / / ) ; ; +

11 . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) f( ) + ; D( f) (,0] [, +); f( ) + k + ; + l ( f( ) k) ( + ) ( ) + ; + + Desna asimptota je: y k + l ; k + f ( ) + l ( f ( ) k + 0; ) ( ( + ) + + Lijeva asimptota je : y k + l ; ) ( ) ; f ( ) arctg ; 9 D( f ) (, ) (, +); π iz razloga arctg ( + ) k 0; π l ( f ( ) k) arctg arctg arctg ; 9 9 π Desna asimptota je: y ; π iz razloga arctg ( ) k l ( f ( ) k) arctg π Lijeva asimptota je : y ; 0; arctg 9 9 π arctg ;

12 80 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI 68. f( ) ; D( f) (,]; nema desnog dijela domene pa nema ni desnu asimptotu ; f( ) + k ; l ( f( ) k ) ( ) ( ) ; Kako ne postoji l, to nema ni lijeve asimptote. ZADACI ZA VJEŽBU U slijedećim zadacima naći kose asimptote danih funkcija. 69. f ( ). 70. f ( ) f ( ) f ( ) th f ( ) +. RJEŠENJA R69. D( f ) [, ], nema kosih asimptota. R70. D( f) (, 6] [, ), desna y +, lijeva y. R7. D( f) (, ] [0, ), desna y +, lijeva y.

13 . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 8 R7. D( f) (, +), desna y, lijeva y. R7. D( f) (, +), desna y, lijeva y.

Σχετικά έγγραφα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za