ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ Εισαγωγή Στο παρακάτω σχέδιο βλέπουμε την απεικόνηση τεσσάρων διαφορετικών κορνιζών. Ποια θα επιλέγατε, σαν την καλύτερη αισθητικά προκειμένου να τοποθετήσετε μία φωτογραφίας σας; Μετά απο έρευνα που διεξήχθη διαπιστώθηκε ότι η πλειοψηφία των ερωτηθέντων προτιμά το σχέδιο (II). Αν πάρουμε το λόγο μήκους προς πλάτος του προηγούμενου σχεδίου θα διαπιστώσουμε ότι αυτός είναι προσεγγιστικά ίσος με 1, 618. Στο παρακάτω ζωγραφικό σχέδιο απεικονίζονται τρείς πίνακες που αναπαριστούν ένα τοπίο θάλασσας και ουρανού. Και στους τρεις πίνακες φαίνεται το ίδιο τοπίο σε διαφορετικές αναλογίες κάθε φορά. Ποιός πίνακας κατά την γνώμη σας θεωρείτε ότι είναι αισθητικά πιο όμορφος; 1

2 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ Μετά από απόψεις που συγκεντρώθηκαν για τους παραπάνω πίνακες παρατηρήθηκε από την πλειοψηφεία ότι αισθητικά το προτιμότερο είναι το σχέδιο (II). Αυτό που διαπιστώθηκε όταν μετρήσαμε την αναλογία της θάλασσας και του ουρανού που απεικονίζονται στον δεύτερο πίνακα, είναι ότι ο αριθμός που προκύπτει είναι ο 1, 618. Στα δύο προηγούμενα παραδείγματα η αναλογία που βρέθηκε, και που όπως είδαμε είναι προσεγγιστικά ίση με τον αριθμό 1, 618, ονομάστηκε αργότερα Χρυσή Τομή. 1.1 Χωρισμός τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο Στο παραπάνω σχήμα έχουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα AB και ένα εσωτερικό του σημείο Γ. Σχηματίζουμε τους λόγους AB AΓ και. Όταν το σημείο Γ παίρνει διάφορες θέσεις στο εσωτερικό του AΓ Γ B τμήματος AB, οι δύο λόγοι είναι γενικά διαφορετικοί μεταξύ τους. Αναρωτιώμαστε τώρα το εξής: Ποιά θέση είναι αυτή που πρέπει να πάρει το σημείο Γ, προκειμένου οι δύο λόγοι να είναι ίσοι μεταξύ τους; Το πρόβλημα της χρυσής τομής αναφέρεται στη διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος, από ένα εσωτερικό σημείο Γ, σε δυο άνισα τμήματα που το μεγαλύτερο να είναι μέσο ανάλογο του μικρότερου μέρους και ολόκληρου του τμήματος. Δηλαδή AB AΓ = AΓ Γ B AΓ 2 = AB Γ B Ο Ευκλείδης προσδιόρισε την αναλόγια η όποια εξάγεται από αυτή τη διαίρεση ενός ευθύγραμμου τμήματος και την αποκάλεσε «άκρο και μέσο λόγο». Συμφώνα με τα λόγια του ίδιου του Ευκλείδη: Στοιχεία Ευκλείδη, Βιβλίο VI, ορισμός 3 Ἄκρον καὶ μέσον λόγον εὐθεῖα τετμῆσθαι λέγεται, ὅταν ᾖ ὡς ἡ ὅλη πρὸς τὸ μεῖζον τμῆμα, οὕτως τὸ μεῖζον πρὸς τὸ ἔλαττον. Δηλαδή Ένα ευθύγραμμο τμήμα λέγεται ότι κόβεται σε άκρο και μέσο λόγο όταν, όλο το ευθύγραμμο τμήμα είναι ανάλογο προς το μεγαλύτερο τμήμα όσο και το μεγαλύτερο τμήμα προς το μικρότερο.

3 1.2. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΗΣ ΧΡΥΣΗΣ ΤΟΜΗΣ ΕΝΟΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ AB 3 Η διαίρεση ενός τμήματος σε μέσο και άκρο λόγο, ονομάστηκε αργότερα «Χρυσή Τομή», «Χρυσός Λόγος», ονοαμασία που αποδίδεται στον Leonardo Da Vinci. Το σύμβολο που χρησιμοποιήθηκε για το συμβολισμό της χρυσής τομής ήταν το γράμμα τ, το πρώτο γράμμα της ελληνικής λέξης τομή. Όμως, στις αρχές του εικοστού αιώνα ο Αμερικανός Μαθηματικός Mark Barr έδωσε στον λόγο το όνομα ϕ, το πρώτο γράμμα από το όνομα του μεγάλου Έλληνα γλύπτη Φειδία, ο οποίος τον χρησιμοποίησε συχνά και σχολαστικά στα έργα του. Η χρυσή τομή είχε αποκαλεστεί νωρίτερα και «Θεία Αναλογία» από το μοναχό-μαθηματικό του 15ου αιώνα Luca Pacioli, επηρεασμένος από την αντίληψη της εποχής του η οποία ήθελε τις νέες γνώσεις της επιστήμης να εντάσσονται στο εκκλησιαστικό δόγμα. Ο χρυσός λόγος ενώ ορίστηκε μαθηματικά, θεωρείται ότι έχει ελκυστικές, αρμονικές ιδιότητες. 1.2 Κατασκευή της χρυσής τομής ενός τμήματος AB Η παρακάτω κατασκευή βασίστηκε στο θεώρημα της δύναμης σημείου, το οποίο ήταν γνωστό από την εποχή του Ευκλείδη και καταγράφεται στα βιβλία του «Στοιχεία». Η πρόταση αυτή ήταν ήδη γνωστή από την εποχή του Αρχύτα, αρχές του 4ου π.χ. αιώνα. Στοιχεία Ευκλείδη, Βιβλίο III, πρόταση 36 Ἐάν κύκλου ληφθῇ τι σημεῖον ἐκτός, καί ἀπ' αὐτοῦ πρός τόν κύκλον προσπίπτωσι δύο εὐθεῖαι, καί ἡ μεν αὐτῶν τέμνη τόν κύκλον, ἡ δε ἐφάπτηται, ἕσται τό ὑπό ὅλης τῆς τεμνούσης καί τῆς ἐκτός ἀπολαμβανομένης μεταξύ τοῦ τε σημείου και τῆς κυρτῆς περιφερείας ἴσον τῷ ἀπό τῆς ἐφαπτομένης τετραγώνω. Δηλαδή «Εάν πάρουμε σημείο εκτός κύκλου και δύο ευθείες που περνούν από αυτόν, εκ των οποίων η μία τον τέμνει και η άλλη εφάπτεται σε αυτόν, το ορθογώνιο που περιέχεται ανάμεσα στην τέμνουσα ευθεία και το σημείο εντός της κυρτής περιοχής προς την ευθεία αυτή θα είναι ίσο με το τετράγωνο της εφαπτόμενης.» Σύμφωνα με αυτήν, εάν πάρουμε ένα σημείο εκτός του κύκλου από το οποίο περνούν δυο ευθείες, εκ των οποίων η μια τέμνει τον κύκλο και η άλλη εφάπτεται σε αυτόν, το γινόμενο των τμημάτων από το σημείο εκτός του κύκλου μέχρι τα σημεία που τέμνει ο κύκλος, ισούται με το τετράγωνο του εφαπτόμενου τμήματος. Δηλαδή P A P B = P Γ P = P E 2 Σχεδιάζουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα AB = a. Θέλουμε να βρούμε το σημείο Γ το οποίο χωρίζει το τμήμα AB σε μέσο και άκρο λόγο. Ονομάζουμε AΓ = x οπότε Γ B = a x. Τότε: AΓ 2 = AB Γ B x 2 = a(a x) x 2 = a 2 ax a 2 = x 2 + ax a 2 = x(x + a)

4 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ Τώρα θα κατασκευάσουμε με κανόνα και διαβήτη το τμήμα x, όταν γνωρίζουμε το τμήμα a, ώστε να ισχύει η ισότητα: x(x + a) = a 2. Αυτό θα γίνει σε τέσσερα βήματα, όπως παρακάτω: ΒΗΜΑ 1: Σχεδιάζουμε το τμήμα AB = a στο οποίο θέλουμε να βρούμε σημείο Γ που να το χωρίζει σε μέσο και άκρο λόγο. ΒΗΜΑ 2: Κατασκευάζουμε κύκλο με κέντρο O και ακτίνα a, ο οποίος εφάπτεται του τμήματος 2 AB στο σημείο B. ΒΗΜΑ 3: Eνώνουμε το A με το κέντρο O του κύκλου με αποτέλεσμα το τμήμα AO να τέμνει τον κύκλο στο και η προέκταση του στο E. Από το θεώρημα της δύναμης σημείου έχουμε: A AE = AB 2 x ( x + a 2 + a 2) = a 2 x(x + a) = a 2. ΒΗΜΑ 4: Τέλος, γράφουμε κύκλο με κέντρο A και ακτίνα A, ο οποίος τέμνει το τμήμα AB στο σημείο Γ. Το ζητούμενο σημείο είναι το Γ. 1.3 Ο αριθμός ϕ. Θεωρούμε ένα τμήμα AB και ονομάζουμε Γ το σημείο της χρυσής τομής που βρίσκεται ανάμεσα στα σημεια A και B. Θέτουμε AΓ = α και Γ B = β. Τότε AB = AΓ + Γ B = α + β. Αφού το σημείο

5 1.4. ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΝΟΣ ΤΜΗΜΑΤΟΣ AB ΓΝΩΡΙΖΟΝΤΑΣ ΤΗ ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΤΟΥ 5 Γ χωρίζει το τμήμα AB σε μέσο και άκρο λόγο, θα έχουμε: AB AΓ = AΓ Γ B α + β α = α β α α + β α = α β 1 + β α = α β Ονομάζουμε το λόγο α β = x και η τελευταία ισότητα γίνεται: x = x x + 1 = x2 x 2 x 1 = 0 Η διακρίνουσα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι: = ( 1) ( 1) = = 5. Οι λύσεις της εξίσωσης είναι: x = 1 ± 5. Επειδή η τιμή x = 1 5 είναι αρνητική, παίρνουμε ότι 2 2 x = Επομένως, AB AΓ = AΓ Γ B = Ο αριθμός αυτός συμβολίζεται με ϕ. 2 ϕ = = 1, Κατασκευή ενός τμήματος AB γνωρίζοντας τη χρυσή τομή του Σtην προηγούμενη κατασκευή βρίκαμε το σημείο Γ που χωρίζει ένα τμήμα AB σε μέσο και άκρο λόγο, δηλαδή βρήκαμε τη χρυσή τομή του. Τώρα θα δουλέψουμε αντίστροφα. Θα κατασκευάσουμε το τμήμα AB αν γνωρίζουμε το τμήμα AΓ, όπου Γ είναι η χρυσή τομή του AB. ΒΗΜΑ 1: Σχεδιάζουμε το τμήμα AΓ = a και βρίσκουμε το μέσο του M. Τότε: AM = MΓ = a 2.

6 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΒΗΜΑ 2: Στο σημείο Γ φέρνουμε κάθετη στο τμήμα AΓ και παίρνουμε σ αυτήν τμήμα M = a. Από το Πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο MΓ έχουμε: M 2 = MΓ 2 +Γ 2 = a a2 4 = 5a2 4. 5a 2 Άρα M = 4 = a 5 2. ( a 2) 2+a 2 = a2 4 +a2 = ΒΗΜΑ 3: Κατασκευάζουμε κύκλο με κέντρο το σημείο M και ακτίνα M = a 5, ο οποίος τέμνει την ευθεία AΓ στο σημείο B. 2 Τότε MB = M = a 5. 2 Άρα AB = AΓ + Γ B = a 2 + a 5 = 2 a + a 5 = a( 5 + 1). 2 2 Δηλαδή AB a = AB AΓ = = ϕ Κατασκευή της χρυσής τομής στα στοιχεία του Ευκλείδη Η εύρεση της χρυσής τομής ενός τμήματος βρίσκεται στα Στοιχεία του Ευκλείδη, στο βιβλίο II, Πρόταση 11. Τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν ὥστε τὸ ὑπὸ τῆς ὄλης καὶ τοῦ ἑτέρου τῶν τμημάτων περιεχόμενον ὀρθογώνιον ἴσον εἶναι τῷ ἀπὸ τοῦ λοιποῦ τμήματος τετραγώνω. Δηλαδή Να τμηθεί ευθύγραμμο τμήμα έτσι, ώστε το γινόμενο όλου του τμήματος με ένα από αυτά να είναι ίσο με το τετράγωνο του άλλου. Η περιγραφή της λύσης που παρουσιάζεται στα Στοιχεία είναι: Κατασκευάζουμε αρχικά τετράγωνο με πλευρά AB και στη συνέχεια ενώνουμε το B με το μέσο E της AΓ. Πάνω στην ευθεία Γ παίρνουμε τμήμα EZ = EB. Ύστερα κατασκευάζουμε τετράγωνο με πλευρά AZ και αποδεικνύει ότι η πλευρά του είναι το μεγάλο τμήμα της χρυσής τομής του AB. Ισχύει δηλαδή AΘ 2 = AB ΘB. Δηλαδή το Θ αποτελεί την χρυσή τομή του τμήματος AB.

7 1.6. Η ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΚΑΙ Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ Η Πυθαγόρεια σχολή και η χρυσή τομή Ο Πυθαγόρας έζησε τον 5ο αιώνα π.χ. και ήταν γιός πλούσιου έμπορα από τη Σάμο. Αφού άκουσε τις διδασκαλίες των Ιώνων φιλοσόφων, μετά από παρότρυνση του Θαλή έφυγε για την Αίγυπτο για να αποκτήσει περισσότερη μόρφωση. Αφού έμεινε δέκα χρόνια στην Αίγυπτο, λέγεται ότι μεταφέρθηκε αιχμάλωτος από τους Πέρσες στη Βαβυλωνία όπου έμεινε 1-2 ακόμα χρόνια και διδάχθηκε από τους σοφούς της. Σε ηλικία γύρω στα 45 χρόνια επέστρεψε στη Σάμο, αλλά δεν έμεινε για πολύ επειδή δεν άντεχε το τυραννικό καθεστώς του Πολυκράτη. Μετά από περιπλανήσεις σε διάφορα μέρη της αρχαίας Ελλάδας κατέληξε στην κάτω Ιταλία, την Μεγάλη Ελλάδα και συγκεκριμμένα στον Κρότωνα. Στον Κρότωνα ο Πυθαγόρας βρήκε κατάλληλες συνθήκες για να εφαρμόσει τις πολιτικοθρησκευτικές του ιδέες και πεποιθήσεις. Εκεί ίδρυσε τη Σχολή του, ένα είδος αδελφότητας, όπου γίνονταν μυστικές ιεροτελεστίες και στο στενότερο περιβάλλον συστηματικότερη σπουδή στη Μουσική, τα Μαθηματικά, την Ιατρική και στη θρησκεία. Η στρατολόγηση των μυστών γινόταν με προσοχή, ανάλογα με τη φυσιογνωμία, το παράστημα, τις συνήθειες και τις κλίσεις των υποψηφίων. Το αρχικό στάδιο της μύησης διαρκούσε δύο με πέντε χρόνια και περιλάμβανε μια σειρά δοκιμασιών (διαπεΐρα). Ο μαθητευόμενος υποβαλλόταν στη δοκιμασία της σιωπής (έχεμυθία), περιοριζόταν δηλαδή αποκλειστικά στο να ακούει τις διδασκαλίες δίχως να ζητά οιαδήποτε εξήγηση γι αυτό και οι δόκιμοι ονομάζονταν ακουσματικοί. Κατά το αρχικό αυτό στάδιο της μύησης οι μαθητές δεν αντίκριζαν το δάσκαλο τους, που ήταν κρυμμένος πίσω από μια κουρτίνα, γι αυτό και οι μαθητές ονομάζοντανοί έξω. Στη συνέχεια, οι νεόφυτοι ανέρχονταν στις τάξεις των μαθηματικών και, απαλλαγμένοι πια από τον όρκο σιωπής, όφειλαν να διδάξουν. Τελικό στάδιο ήταν η τάξη των φυσικών, των μελετητών δηλαδή των φυσικών φαινομένων. Στις τάξεις των Πυθαγορείων γίνονταν δεκτές και γυναίκες. Όλα τα μέλη πάντως όφειλαν απόλυτη υπακοή και το «Αυτός έφα» επείχε θέση ύπατου αξιώματος. Η αίρεση εμφάνιζε όλα τα χαρακτηριστικά ενός μοναστικού τάγματος: περίπατος και προσευχή τα πρωινά, συχνές νηστείες, αποχή από κάθε ζωική τροφή, απαγόρευση οιασδήποτε θρησκευτικής θυσίας για κάποιον ανεξήγητο ακόμα λόγο απαγορευόταν επίσης και το να τρώνε κουκιά. Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν πως η ψυχή δε χάνεται με τον θάνατο, αλλά ακολουθεί μια συνεχή διαδικασία μετενσάρκωσης, σε κατώτερες ή ανώτερες μορφές ζωής κάθε φορά, έως ότου επιτευχθεί η τελική κάθαρση που οδηγεί τελικά στην αθανασία της. Γι αυτό, τόσο με τα διδάγματα όσο και με τις ασκήσεις πειθαρχίας, καλλιεργούσαν τη φιλοσοφία της οποίας σκοπός είναι να καθαρίσει και να απελευθερώσει τον συσκοτισμένο νου από τα δεσμά του. Πίστευαν ότι μόνον ο νους μπορεί να φθάσει στη γνώση της Αλήθειας για τους Θεούς και τον κόσμο. Και ότι για να συμβεί αυτό χρειάζεται να τιθασσευθούν οι ορμές του σώματος και η ταραχή που προκαλούν τα ερεθίσματα των αισθήσεων, ώστε να φθάσει κάποιος σε σταθερή ευδιαθεσία και εγκράτεια, απαλλαγμένος από πάθη κι ελαττώματα. Η μουσική, δηλαδή η μελέτη των αριθμητικών αναλογιών της μουσικής κλίμακας (αρμονία), και η αριθμητική ερμηνεία της φύσης, ήταν οι κύριοι τομείς του έργου των Πυθαγορείων. Η διδασκαλία του Πυθαγόρα μπορεί να διακριθεί σε δύο είδη: Εκείνη με αντικείμενο την ηθική διαμόρφωση προς βελτίωση της ψυχής κι εκείνη με αντικείμενο την γεωμετρία και τα μαθηματικά προς μελέτη της περί ουρανίων σωμάτων επιστήμης. Οι Πυθαγόρειοι απέδιδαν πολύ μεγάλη σημασία στα Μαθηματικά, πρεσβεύοντας ότι αυτά αποτελούν την οδό για την απελευθέρωση της ψυχής. Βάσει της πεποίθησης του Πυθαγόρα πως «τα στοιχεία των αριθμών είναι στοιχεία όλων των όντων», οι Πυθαγόρειοι απέδωσαν στην Αριθμητική μέγιστη σημασία, μελετώντας τις ιδιότητές της. Καθώς δε ο αριθμός είναι κάτι που δε γίνεται αντιληπτό μέσω της αίσθησης, αλλά μέσω της νόησης, οι Πυθαγόρειοι αναγκάστηκαν να παύσουν να θεωρούν την ουσία των όντων ως υλική και προσιτή στις αισθήσεις. Αντιθέτως η ουσία γίνεται αντιληπτή, κατά τους Πυθαγόρειους, μόνο μέσω της αφηρημένης σκέψης.

8 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ Οι Πυθαγόρειοι χρησιμοποιούσαν το πεντάγραμμο, το πεντάκτινο αστέρι, ως σύμβολο της αδελφότητάς τους και το ονόμαζαν «Υγεία». Το πεντάγραμμο συνδέεται με το κανονικό πεντάγωνο, το επίπεδο σχήμα που έχει πέντε ίσες πλευρές και ίσες γωνίες. Το σχήμα που δημιουργείται από τις διαγώνιες ενός κανονικού πενταγώνου, είναι ένα πεντάγραμμο. Οι διαγώνιες επίσης σχηματίζουν ένα μικρότερο πεντάγωνο στο κέντρο, και οι διαγώνιοι αυτού του πενταγώνου σχηματίζουνένα πεντάγραμμο και ένα ακόμα μικρότερο πεντάγωνο. Αυτή η διαδικασία μπορεί να συνεχιστεί επ άπειρον, δημιουργώντας όλο και μικρότερα πεντάγωνα και πεντάγραμμα. Η εκπληκτική ιδιότητα όλων αυτών των σχημάτων είναι ότι τα ευθύγραμμα τμήματα που δημιουργούνται με φθίνουσα τάξη μήκους είναι: Κάθε ευθύγραμμο τμήμα είναι μικρότερο από το προηγούμενό του κατά έναν παράγοντα που ισούται ακριβώς με τον Χρυσό Λόγο, το ϕ.

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΤΑ ΧΡΥΣΑ ΣΧΗΜΑΤΑ 2.1 Το χρυσό ορθογώνιο Ένα ορθογώνιο λέγεται χρυσό, όταν ο λόγος των δύο διαστάσεών του είναι ίσος με ϕ. Στο σχήμα έχουμε ένα χρυσό ορθογώνιο ABΓ για το οποίο ισχύει ότι ο λόγος των πλευρών του είναι ίσος με ϕ, δηλαδή AB BΓ = ϕ. Τώρα θα δούμε ποιά ιδιότητα έχει το χρυσό ορθογώνιο. Εάν κατασκευάσουμε μέσα στο ορθογώνιο ABΓ ένα τετράγωνο AA 1 1 τότε μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι το νέο ορθογώνιο που δημιουργείται, δηλαδή το A 1 BΓ 1 είναι και αυτό χρυσό. Από το σχήμα βλέπουμε ότι: AB BΓ = ϕ AA 1 + A 1 B BΓ 1 + A 1B BΓ = ϕ A 1B BΓ = ϕ 1 = ϕ AA 1 BΓ + A 1B BΓ = ϕ BΓ A 1 B = 1 ϕ 1. Όμως ϕ 2 = ϕ + 1 ϕ 2 ϕ = 1 ϕ(ϕ 1) = 1 ϕ 1 = 1 ϕ. Άρα BΓ A 1 B = ϕ. 2.2 Το χρυσό τρίγωνο 9

10 10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. ΤΑ ΧΡΥΣΑ ΣΧΗΜΑΤΑ

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ FIBONACCI Ο Λεονάρδος Φιμπονάτσι γεννήθηκε το 1175 μ.χ στην Πίζα της Ιταλίας. Ήταν γνωστός έμπορος και μαθηματικός της εποχής που τελείωνε στον Ευρωπαικό χώρο ο σκοτεινός μεσαίωνας και άρχιζε η αναγέννηση με πρωτοπόρες τις Ιταλικές πόλεις Γένοβα, Φλωρεντία, Μιλάνο και Πίζα όπου και βρίσκεται ο ομώνυμος κεκλυμμένος πύργος. Ταξίδεψε σε ανατολική Μεσόγειο και Κωνσταντινούπολη κυνηγώντας περισσότερο τη γνώση παρά τα πλούτη του εμπορίου. Σπούδασε Αραβικά και Αρχαιοελληνικά μαθηματικά, έγραψε σημαντικά έργα με σημαντικότερα το Liberabbaci, Practica geometria. Ένα από τα θέματα που ασχολέιται στο Liberabacci ειναι το πρόλημα: Πόσα ζευγάρια κουνέλια μπορούν να γεννηθούν μέσα σε ένα χρόνο από ένα νεογέννητο ζευγάρι, αν κάθε ζευγάρι γεννάει καθε μήνα ένα ζευγάρι, το οποίο απο το δεύτερο μήνα αρχίζει να γεννά. Ας δούμε τώρα τη λύση του προβλήματος: 11

12 12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Η ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ FIBONACCI Ξεκινάμε από ένα ζεύγος μετά τον πρώτο μήνα, το πρώτο ζεύγος γεννάει ένα άλλο ζεύγος, επομένως είναι δύο. Μετά τον δεύτερο μήνα, το ώριμο ζεύγος γεννάει ένα άλλο ζεύγος, ενώ το νεαρό ζεύγος ωριμάζει. Επομένως υπάρχουν τρία ζευγάρια. Μετά τον τρίτο μήνα, καθένα από τα δύο ώριμα ζεύγη γεννάει ένα άλλο ζευγάρι και το νεαρό ζεύγος ωριμάζει. Έτσι έχουμε πέντε. Μετά τον τέταρτο μήνα, καθένα από τα τρία ώριμα ζεύγη, γεννάει ένα ζεύγος και τα δύο νεαρά ζεύγη ωριμάζουν, δίνοντας μας ένα σύνολο οχτώ ζευγαριών. Μετά τους πέντε μήνες, έχουν ένα μικρό ζεύγος από το καθένα από τα πέντε ενήλικα ζεύγη, συν τρία ζευγάρια που ωριμάζουν, ένα σύνολο δεκατριών. Μέχρι τώρα έχουμε κατανοήσει τη διαδικασία, για τη λήψη των αριθμών των ώριμων ζευγαριών, των νεαρών ζευγαριών και των ζευγαριών στο σύνολο στους διαδοχικούς μήνες. Ας υποθέσουμε ότι εξετάζουμε μόνο τον αριθμό των ενηλίκων ζευγαριών σε κάποιο συγκεκριμένο μήνα. Αυτός ο αριθμός δημιουργείται από τον αριθμό των ενηλίκων ζευγαριών του προηγούμενου μήνα, συν τον αριθμό των νεαρών ζευγαριών(που έχουν ωριμάσει) από τον ίδιο προηγούμενο μήνα. Όμως, ο αριθμός των νεαρών ζευγαριών από τον προηγούμενο μήνα στη πραγματικότητα ισούται με τον αριθμό των ενηλίκων ζευγαριών του προηγούμενου μήνα. Επομένως, σε ένα συγκεκριμένο μήνα (ξεκινώντας από τον τρίτο) ο αριθμός των ενηλίκων ζευγαριών απλώς ισούται με το άθροισμα των αριθμών των ενηλίκων ζευγαριών τους δύο προηγούμενους μήνες. Ο αριθμός των ενηλίκων ζευγαριών επομένως ακολουθεί τη σειρά: 1, 1, 2, 3, 5,... Φυσικά, ο συνολικός αριθμός των ζευγαριών είναι απλώς το άθροισμα αυτών και δίνει την ίδια ακολουθία με αυτή των ενηλίκων ζευγαριών, όπου έχει παραληφθεί ο πρωτος όρος (1, 2, 3, 5, 8,...). Η ακολουθία 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987,... στην οποία κάθε όρος, ξεκινώντας από τον τρίτο, ισούται με το άθροισμα των δύο προηγούμενων όρων, ονομάστηκε δικαίως ακολουθία Fibonacci τον 19ο αιώνα από τον Γάλλο μαθηματικό Ενtιάρ Λικάς (Eduard Lucas ). Οι αριθμητικές ακολουθίες όπου η σχέση μεταξύ των διαδοχικών όρων μπορεί να εκφραστεί από μια μαθηματική πρόταση είναι γνωστές ως επαναληπτικές. Η ακολουθία Fibonacci ήταν η πρώτη τέτοια επαναληπτική ακολουθία που έγινε γνωστή στην Ευρώπη. Η ακολουθία του Fibonacci έχει τον αναδρομικό τύπο: f ν = f ν 1 + f ν 2 για ν > 2 και f 1 = 1, f 2 = 1

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο φ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ 4.1 Ο Παρθενώνας Ο Παρθενώνας είναι το καλύτερο παράδειγμα μαθηματικής προσέγγισης στην τέχνη. Οι αρχαίοι Έλληνες αρχιτέκτονες φαίνεται πως γνώριζαν τις διάφορες αναλογίες που τείνουν να ισούνται με ϕ. Έτσι λοιπόν η βάση και το ύψος της πρόσοψης του Παρθενώνα, αν συνυπολογίσει κανείς και το τμήμα του αετώματος που λείπει, έχουν λόγο ίσο με τη Χρυσή Τομή. Ο ναός ταιριάζει σε ένα χρυσό ορθογώνιο. Οι υποδιαιρέσεις του ορθογωνίου ευθυγραμμίζονται σχεδόν στο μεγαλύτερο μέρος τους με την αρχιτεκτονική δομή του κτίσματος. Ο Παρθενώνας για αυτούς τους λόγους είναι γνωστός ως «τέλειο κτήριο». 4.2 Η Παναγία των Παρισίων Ο αριθμός ϕ και η χρήση της Χρυσής Αναλογίας έχει βρεθεί και στο σχέδιο της Παναγίας των Παρισίων. Η δυτική πρόσοψη της εκκλησίας είναι η μεριά όπου η παρουσία των χρυσών ευθύγραμμων τμημάτων είναι ιδιαίτερα αισθητή. 13

14 14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Ο φ ΣΤΗΝ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ 4.3 Το κτίριο των Ηνωμένων Εθνών Η Χρυσή Αναλογία φαίνεται και στο κτίριο των Ηνωμένων Εθνών (UN Building). Στο συγκεκριμένο κτίριο, ο λόγος του πλάτους του κτιρίου προς το ύψος κάθε 10 ορόφων ισούται με ϕ. 4.4 Ο Πύργος των Τηλεπικοινωνιών CN Ο Πύργος Τηλεπικοινωνιών (CN Tower) στο Τορόντο, ο ψηλότερος πύργος στον κόσμο, περιλαμβάνει τη χρυσή τομή στο σχεδιασμό του. Ο λόγος του συνολικού ύψους του, 553, 33 μέτρα, προς το ύψος του «καταστρώματος παρατήρησης» (observation deck), 342 μέτρα, είναι 1, 618 δηλαδή ο αριθμός ϕ.

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο φ ΣΤΗΝ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ Στην Αναγέννηση, η διεύρυνση της προοπτικής και η αναζήτηση των ιδανικών αναλογιών για την ομορφιά, ένωσαν καλλιτέχνες και επιστήμονες. Η κωδικοποίηση της προοπτικής σήμανε επίσης το ξεκίνημα της προβολικής γεωμετρίας, την οποία οι ίδιοι οι αναγεννησιακοί ζωγράφοι θεμελίωσαν απεικονίζοντας με ρεαλιστικό τρόπο τα τρισδιάστατα αντικείμενα στους πίνακες τους, δηλαδή σε δύο διαστάσεις. Καθοριστικός ήταν ο ρόλος του Λεονάρντο ντα Βίντσι στην προοπτική τέχνη, όπως και των Ραφαήλ και Ντίρερ. Τα πάντα εδραιώθηκαν ως οινέοι κανόνες όπως αυτοί που εμφανίζονται στις περίφημες φράσεις «πρωταρχική προ υ πόθεση για έναν ζωγράφο είναι να γνωρίζει γεωμετρία» και «ο πίνακας είναι το ανοιχτό παράθυρο μέσα από το οποίο παρουσιάζεται το ζωγραφισμένο αντικείμενο». O Λεονάνρντο ντα Βίντσι συνέχισε τη μελέτη της προοπτικής στο επίσημο και θεωρητικό απόγειο της εποχής του.επιβεβαίωσε πως «η προοπτική είναι το ηνίο και το πηδάλιο της ζωγραγικής». Η επιρροή του είναι εμφανέστερη σε πολλούς καλλιτέχνες που τον διαδέχτηκαν, ειδικά τον Άλμπρεχτ Ντίρερ, που είχε δείξει ανάλογο ενδιαφέρον για την έρευνα των επιστημονικών βάσεων της ζωγραφικής. 5.1 Ο άνθρωπος του Βιτρούβιου Ο Άνθρωπος του Βιτρούβιου, που φυλάσσεται στη Βασιλική Ακαδημία της Βενετίας, είναι ένα 15

16 16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Ο φ ΣΤΗΝ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ διάσημο σχέδιο με συνοδευτικές σημειώσεις του το Leonardo Da Vinci, που φτιάχτηκε περίπου το 1490 σε ένα από τα ημερολόγιά του. Απεικονίζει μία γυμνή αντρική φιγούρα σε δύο αλληλοκαλυπτόμενες θέσεις με τα μέλη του ανεπτυγμένα και συγχρόνως εγγεγραμμένη σε ένα κύκλο και ένα τετράγωνο. Ο λόγος ανάμεσα στο τετράγωνο και στην ακτίνα του κύκλου είναι χρυσός. Το σχέδιο και το κείμενο συχνά ονομάζονται Κανόνας των Αναλογιών. Σύμφωνα με τις σημειώσεις του Da Vinci στο συνοδευτικό κείμενο, οι οποίες είναι γραμμένες με καθρεπτιζόμενη γραφή, το σχέδιο έγινε ως μελέτη των αναλογιών του (ανδρικού) ανθρώπινου σώματος όπως περιγράφεται σε μια πραγματεία του Ρωμαίου αρχιτέκτονα Βιτρούβιου¹, που είχε γράψει για το ανθρώπινο σώμα. Η επαναφορά των ανακαλύψεων των μαθηματικών αναλογιών του ανθρώπινου σώματος τον 15ο αιώνα από τον Da Vinci και άλλους θεωρείται ένα από τα μεγάλα επιτεύγματα που οδήγησαν στην Ιταλική Αναγέννηση. Αξίζει να σημειωθεί ότι, το σχέδιο του ντα Βίντσι συνδυάζει μια προσεκτική ανάγνωση του αρχαίου κειμένου με τις δικές του παρατηρήσεις σε αληθινά ανθρώπινα σώματα. Κατά το σχεδιασμό του κύκλου και του τετραγώνου πολύ σωστά παρατήρησε ότι το τετράγωνο δεν μπορεί να έχει το ίδιο κέντρο με τον κύκλο, στον ομφαλό, αλλά κάπου χαμηλότερα στην ανατομία. Αυτή η ρύθμιση είναι μια καινοτομία στο σχέδιο του Da Vinci και το ξεχωρίζει από προγενέστερες απεικονίσεις. Το ίδιο το σχέδιο συχνά χρησιμοποιείται ως ένα υπονοούμενο σύμβολο της ουσιώδους συμμετρίας του ανθρώπινου σώματος και κατά προέκταση του σύμπαντος ως σύνολο. Μπορεί να παρατηρηθεί από την εξέταση του σχεδίου ότι ο συνδυασμός των θέσεων των χεριών και των ποδιών μπορεί να δημιουργήσει δεκαέξι διαφορετικές στάσεις. Η στάση με τα χέρια εκτεταμένα μακριά και τα πόδια ενωμένα είναι εγγεγραμμένη στο τετράγωνο. Η στάση με τα χέρια ελαφρώς υψωμένα και τα πόδια ανοικτά εγγράφεται στον κύκλο. Αυτό εικονογραφεί το θεώρημα ότι κατά την εναλλαγή μεταξύ των δύο στάσεων, το φαινόμενο κέντρο της φιγούρας φαίνεται να κινείται, αλλά στην πραγματικότητα ο ομφαλός της φιγούρας που είναι το πραγματικό κέντρο της βαρύτητας παραμένει ακίνητος. 5.2 Ο Μυστικός Δείπνος του Dali Το έργο αυτό του μεγάλου Ισπανού ζωγράφου Σαλβατόρ Νταλί (11 Μαΐου Ιανουαρίου ¹Ο Μάρκος Πολλίωνας Βιτρούβιος (Marcus Vitruvius Pollio) ήταν Ρωμαίος συγγραφέας, αρχιτέκτονας και μηχανικός ο οποίος έζησε τον 1ο αιώνα π.χ. Έγραψε μια πραγματεία σχετικά με την αρχιτεκτονική και άλλες επιστήμες (αστρονομία, μαθηματικά, φυσιολογία, μουσική, πολεοδομία, κλπ) στη λατινική γλώσσα που ονομάστηκε De architectura, γνωστό στις μέρες μας με τον τίτλο Δέκα Βιβλία Αρχιτεκτονικής.

17 5.3. Ο ΜΥΣΤΙΚΟΣ ΔΕΙΠΝΟΣ ΤΟΥ DA VINCI ) κοσμεί για πολλά - πολλά χρόνια (από την φοιτητική εποχή της Αθήνας) το ονομαζόμενο «καθιστικό» μας δωμάτιο. Φαίνεται σαν να έχουμε μεγαλώσει δίπλα του. Όχι μαζί του, γιατί αυτό δεν πρόκειται να μεγαλώσει ποτέ. Μπροστά του έχουμε σταθεί ή καθίσει αμέτρητες φορές και ατέλειωτες ώρες, με πολλούς φίλους, ειδικούς και μη. Το έχουμε ατενίσει, το έχουμε αναλύσει, έχουμε εκφράσει πολλές σκέψεις μας γύρω από το ξεχωριστό αυτό έργο. Μια από τις ενδιαφέρουσες φιλοσοφικοθεολογικές αναλύσεις και σκέψεις μας είναι και η εξής: Η φιγούρα του Χριστού είναι διαφανής, ενώ στο πάνω μέρος (στον ουρανό) εμφανίζεται το στήθος και τα ανοικτά χέρια ένός ανδρός (προφανώς του Χριστού), μάλλον δείχνοντας πως αναλαμβάνεται στους ουρανούς. 5.3 Ο Μυστικός Δείπνος του Da Vinci Aναφορικά με τη χρήση της χρυσής αναλογίας,συνθέσεις έργων του όπως Ο Μυστικός Δείπνος του Ντα Βιντσι εντυπωσιάζουν για τα κοινά χαρακτηριστηκά που παρουσιάζουν με διάφορα χρυσά σχήματα, και ειδικά με το ορθογώνιο. Στο εν λόγω έργο το χρυσό ορθογώνιο προσδιορίζει τόσο τις αναλογίες του τραπεζιού όσο και τη διαρρύθμιση γύρω από τον Χριστό και τους μαθητές του. Με τη γνώση που διαθέτουμε πια για τη χρυσή αναλογία, μπορούμε να επιβεβαιώσουμε με την πρώτη ματιά πως την ακολουθούν ακόμη και οι τοίχοι του δωματίου αλλά και τα παράθυρα στο βάθος.

18 18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. Ο φ ΣΤΗΝ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ 5.4 Η Mona Liza Στο πορτρέτο της Τζοκόντα, όπως έδειξαν διάφορες μελέτες, τόσο το πρόσωπο όσο και συνολικά στις λεπτομέρειες του, εμπεριέχεται ακριβώς σε μια καλαίσθητη ακολουθία χρυσών ορθογωνίων. Στην μεταγενέστερη εποχή χρησιμοποιείται στους πίνακες μεγάλων ζωγράφων όπως του Da Vinci που δόμησε την Mona Lisa με βάση ένα χρυσό τρίγωνο και την ζωγράφισε επεκτείνοντάς το με άλλα χρυσά τρίγωνα, σε σχέδια που βασίζονται σε γεωμετρικά σχήματα όπως τα Fractals. 5.5 Αγιος Ιερωνυμος Ένα άλλο έργο του Leonardo Da Vinci που φαίνεται να είναι βασισμένο στο Χρυσό Αριθμό είναι και ο πίνακας του Άγιου Ιερώνυμου (Saint Jerome). Ένα χρυσό ορθογώνιο ταιριάζει τόσο προσεγμένα γύρω από την κεντρική φιγούρα που λέγεται πως ο καλλιτέχνης το σχεδίασε μόνο και μόνο γι αυτό. Παρατηρούμε επίσης πως η υποδιαίρεση του τετραγώνου βρίσκεται στην ίδια σειρά με το εκτεταμένο χέρι του Αγίου Ιερώνυμου.

19 5.6. Η ΠΛΑΤΕΙΑ ΟΜΟΝΕΙΑΣ Η πλατεία Ομονείας Γραμμικός αφηρημένος πίνακας του Πιε Μοντριαν περιέχει επάλληλα Χρυσά Ορθογώνια. Τουλάχιστον τρια φαίνονται καθαρά. Το ένα υποδεικνύεται με το σημείο x σε κάθε γωνια, το άλλο με το y είναι τρίτο με το z. Πιθανότατα δεν έγιναν συνειδητά. Ο ίδιος ο Μοντριαν δεν αποσαφηνίζει την έννοια των σχημάτων του λέγοντας ότι αυτό που επείωκε ήταν μόνο να εκαταστρέψει τον όγκο. Όταν τον ρώτησαν αν ζωγραφίζει αποκλειστηκά τετράγωνα αποκρίθηκε: «Τετράγωνα; Μα δεν βλέπω τετράγωνα στους πίνακες μου.» 5.7 Παρέλαση Παράδειγμα από την Γαλλία στην εποχή του Γαλλικού Ιμπρεσιονισμού, στον πινακα, του Q.Suerat με τιτλο «Παρελαση», 1888, όπου μπορεί να παρατηρήσει κανείς μια σειρά από χρυσά ορθογώνια.

20

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο ϕ ΣΤΟ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ ΣΩΜΑ 6.1 Ο χρυσός λόγος και η ανατομία του ανθρώπου Παρά τη μεγάλη ποικιλοµορφία των ανθρώπινων προσώπων, η «µέση προσωπογραφία» ενός ανθρώπου που προκύπτει από την αλληλεξέταση πολλών φωτογραφιών ανθρωπίνων προσώπων είναι ένα ιδανικό πρόσωπο που ακολουθεί τον κανόνα του Χρυσού ορθογωνίου. Δηλαδή, µπορεί να εγγραφεί σε ένα Χρυσό ορθογώνιο. Επιπλέον, µπορεί εύκολα να διαπιστωθεί ότι πολλές από τις λεπτοµέρειες του προσώπου βρίσκονται σε αυστηρά καθορισµένους γεωµετρικούς τοµείς ή σε σηµεία που προκύπτουν από την αρµονική ανάλυση του Χρυσού ορθογωνίου, ενώ ο ανθρώπινος οφθαλµός έχει την ικανότητα να εντοπίζει άµεσα ακόµη και ελάχιστες αποκλίσεις από µια τέτοια αρµονική δοµή (Ghyka, 1977). Το κεφάλι σχηµατίζει χρυσό ορθογώνιο µε τα µάτια στο µέσον του. Το στόµα και η µύτη είναι τοποθετηµένα σε χρυσές τοµές της απόστασης µεταξύ των µατιών και του κάτω µέρους του σαγονιού. Ο Ελβετός αρχιτέκτονας Le Corbusier ( ), επεξεργάστηκε ένα νέο αναλογικό σύστημα, που ονομάστηκε «Modulor», μια σειρά αριθμητικών αναλογιών που σχετίζουν το κτίριο με τις αναλογίες του ανθρώπινου σώματος. Ένας άνθρωπος ύψους 1,83μ., με το χέρι σηκωμένο(σε ένα ύψος 2,26μ. ) είναι εγγεγραμμένο σε ένα τετράγωνο. Ο λόγος του ύψους του άνδρα (1,83μ) προς το ύψος του αφαλού του θεωρείται ότι αντιστοιχεί ακριβώς στον Χρυσό Λόγο. Το συνολικό ύψος από τα πόδια έως το ανυψωμένο χέρι χωρίζεται επίσης στον Χρυσό Λόγο σε 1,40μ και στη συνέχεια 0,86μ στο ύψος του καρπού ενός χεριού που κρέμεται προς τα κάτω. Οι δύο λόγοι (113/70) και (140/86) χωρίζονται στη συνέχεια σε μικρότερες διαστάσεις, σύμφωνα με την ακολουθία Fibonacci. 21

22 22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Ο ϕ ΣΤΟ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ ΣΩΜΑ 6.2 Η Χρυσή αναλογία στα άκρα Το χέρι µας παρουσιάζει τη χρυσή τοµή και την ακολουθία Fibonacci. Κάθε τµήµα είναι φορές µεγαλύτερο από το προηγούµενό του. Κάθε φάλαγγα του ανθρώπινου δείκτη, από το ακροδάκτυλο µέχρι τη βάση του στον καρπό είναι µεγαλύτερη από την προηγούµενή της κατά περίπου 1.618, δηλαδή περίπου κατά το χρυσό λόγο, προσαρµοζόµενη επίσης στους αριθµούς Fibonacci 2, 3, 5 και 8. Με αυτή την κλίµακα το νύχι µας έχει µοναδιαίο µήκος. Προχωρώντας σε λεπτομερέστερα σημεία του ανθρωπίνου σώματος μπορούμε να παρατηρήσουμε και άλλες διαιρέσεις σε χρυσό λόγο. Για παράδειγμα ο καρπός διαιρεί το χέρι από τον αγκώνα και κάτω σε λόγο χρυσής τομής, ενώ αν παρατηρήσουμε τις φάλαγγες του δείκτη μας, φαίνεται πως καθεμιά βρίσκεται σε χρυσή αναλογία με την επόμενή της. (παρατηρήστε τους αριθμούς Fibonacci στις μετρήσεις) 6.3 Η Χρυσή αναλογία στο αυτί Η χρυσή αναλογία, όπως φαίνεται και στην προηγούμενη εικόνα, εμφανίζεται στις αναλογίες του αυτιού μας. Αξίζει να προσέξουμε ιδιαίτερα την χρυσή σπείρα που εμφανίζεται στο εικονιζόμενο αυτί.

23 6.4. Ο ϕ ΣΤΟ ΚΑΡΔΙΟΛΟΓΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ Ο ϕ στο καρδιολογικό σύστημα Ο καρδιακός παλμός Η ανθρώπινη καρδιά χτυπά µε περίπου 60 σφυγµούς το λεπτό σε κατάσταση ηρεµίας και µε έως και 120 σφυγµούς σε κατάσταση άγχους ή έντονης κίνησης. Η πίεση του αίµατος µεταβάλλεται κατά τη διάρκεια της καρδιακής λειτουργίας. Φθάνει τη µέγιστη τιµή της στην αριστερή καρδιακή κοιλία τη στιγµή της συστολής. Στις αρτηρίες κατά τη διάρκεια της κοιλιακής συστολής η πίεση του αίµατος φθάνει τη µέγιστη τιµή των mm στήλης υδραργύρου. Τη στιγµή της χαλάρωσης του καρδιακού µυός (διαστολή) η πίεση µειώνεται µέχρι τα mm στήλης υδραργύρου. Ο λόγος της µέγιστης προς την ελάχιστη πίεση ισούται κατά µέσο όρο µε 1, 6, δηλαδή, πολύ κοντά στη χρυσή αναλογία. Είναι αυτή η σύµπτωση τυχαία ή µήπως απεικονίζει κάποια αντικειµενική κανονικότητα της αρµονικής οργάνωσης της καρδιακής δραστηριότητας; Η καρδιά χτυπά συνεχώς από τη στιγµή της γέννησης του ανθρώπου ως τη στιγµή του θανάτου του. Και η δραστηριότητά της πρέπει να είναι η βέλτιστη και να υπόκειται στους νόµους αυτοοργάνωσης των βιολογικών συστηµάτων. Και καθώς η χρυσή αναλογία είναι ένα από τα κριτήρια των αυτόοργανωµένων συστηµάτων µπορούµε φυσικά να υποπτευθούµε ότι η καρδιακή λειτουργία υπόκειται στο νόµο της χρυσής τοµής Το ανθρώπινο καρδιογράφημα Στο καρδιογράφηµα µπορούµε να επιλέξουµε δύο τµήµατα διαφορετικής διάρκειας που αντιστοιχούν στη συστολική (t 1 ) και τη διαστολική (t 2 ) καρδιακή δραστηριότητα. Αποδεικνύεται ότι υπάρχει η βέλτιστη («χρυσή») παλµική συχνότητα για τον άνθρωπο αλλά και για άλλα θηλαστικά. Εδώ οι διάρκειες της συστολής, της διαστολής και του πλήρους καρδιακού κύκλου () βρίσκονται σε χρυσή αναλογία: T = t 2 t 2 t 1 Επομένως, για τον άνθρωπο η «χρυσή συχνότητα» είναι 63 παλµοί το λεπτό. Το σχεδιάγραμμα δίπλα είναι ένα καρδιογράφημα σε στιγμή ηρεμίας. Για τους γιατρούς είναι μία ιδιαίτερα ικανοποιητική ένδειξη όταν το διάστημα μεταξύ δύο οξέων επαρμάτων R διαιρείται σε λόγο χρυσής τομής από ένα έπαρμα Τ. (το κόκκινο βέλος στο διάγραμμα) 6.5 Χρυσή αναλογία στην οδοντιατρική Oι γιατροί πρέπει να επιδιώκουν την «Χρυσή τομή» δηλαδή την αναλογία : 1 που οι αρχαίοι Έλληνες θεωρούσαν απαραίτητη για ένα αντικείμενο ώστε αυτό να φαίνεται όμορφο. «Η Χρυσή τομή

24 24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Ο ϕ ΣΤΟ ΑΝΘΡΩΠΙΝΟ ΣΩΜΑ δεν αναφέρεται μόνον στη γραμμική διάσταση του πλάτους» δηλώνει ο Goldstein που ασχολείται με την αισθητική Οδοντιατρική. «Δεν μπορείτε να μετρήσετε κάθε δόντι ξεχωριστά για να δείτε αν αυτό βρίσκεται στην Χρυσή τομή». Αντίθετα, χρησιμοποιώντας την απεικόνιση σε υπολογιστή, ο Goldstein καθορίζει αυτήν την αναλογία βασιζόμενος στον τρόπο με τον οποίο τα δόντια συμμετέχουν στο τόξο. Π.χ. ένας κεντρικός τομέας πλάτους 8mm συνήθως δεν έχει καλή αναλογία με ένα πλάγιο τομέα πλάτους 7mm. Εν τούτοις, αν ο τελευταίος στραφεί κατά μία γωνία, ο συνωστισμός μπορεί να κάνει τα δόντια να φαίνονται καλά. «Αν κατόπιν αυτά τα δόντια διευθετηθούν, μπορεί να μην φαίνονται ικανοποιητικά», λέει ο Goldstein «γιατί δεν εμπίπτουν στην αναλογία της Χρυσής τομής».

25 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο ϕ ΣΤΟ ΖΩΙΚΟ ΚΑΙ ΦΥΤΙΚΟ ΒΑΣΙΛΕΙΟ Από παρατηρήσεις που έχουν γίνει, έχει διαπιστωθεί ότι ο λόγος της χρυσής τομής συναντάται σχεδόν παντού στη φύση. Έχει παρατηρηθεί επίσης ότι οι αριθμοί Fibonacci εμφανίζονται συχνά στη φύση, τόσο στο φυτικό όσο και στο ζωικό βασίλειο. Επομένως, αφού οι αριθμοί Fibonacci συνδέονται άμεσα με το λόγο χρυσής τομής, περιμένουμε ότι και αυτός θα εμφανίζεται με τη σειρά του στη φύση. Έτσι πραγματικά, οι σπείρες στα ανθύλλια των λουλουδιών, ή σπείρες στα σαλιγκάρια, είναι χρυσές σπείρες στις περισσότερες περιπτώσεις. Αυτό συμβαίνει γιατί τα πάντα αυξάνονται με έναν ρυθμό ίσο με ϕ. Σ αυτή την ενότητα θα δώσουμε εικόνες από τη Φύση όπου εμφανίζεται ο λόγος χρυσής τομής, με κάποια από τις γεωμετρικές εκδοχές που έχουμε ήδη αναφέρει. 7.1 Η χρυσή σπείρα στα οστρακοειδή Στο ζωικό βασίλειο υπάρχουν όμορφες σπειροειδής δομές πολλών κοχυλιών των μαλακίων και ένα από αυτά είναι ο Ναυτίλος (Nautilus pompilius). Στην ινδική μυθολογία ο χορευτής Σίβα κρατάει έναν τέτοιο Ναυτίλο στο ένα του χέρι, ως σύμβολο ενός από τα όργανα που ξεκίνησαν την δημιουργία. Επίσης, πολλές αρχιτεκτονικές κατασκευές έχουν εμπνευστεί από αυτό το κοχύλι. Το σχήμα της σπείρας περιγράφει μια βασική ιδιότητα που είναι μοναδική: δέν αλλάζει το σχήμα της όσο μεγαλώνει το μέγεθός της. Αυτό το χαρακτηριστικό είναι γνωστό ως αυτο-ομοιότητα. Αυτή η ιδιότητα απαιτείται για πολλά φαινόμενα ανάπτυξης στη φύση. Για παράδειγμα, όσο μεγαλώνει σε μέγεθος το μαλάκιο μέσα στο κοχύλι του ναυτίλου, κατασκευάζει όλο και μεγαλύτερους θαλάμους αποκλείοντας τους μικρότερους, που δεν χρησιμοποιούνται πια. Κάθε τμήμα κατά μήκος του κοχυλιού συνοδεύεται απο μια αναλογική αύξηση στην ακτίνα του, έτσι ώστε το σχήμα να παραμένει αναλλοίωτο. 25

Ο Βιτρούβιος Άντρας του Λεονάρντο Ντα Βίντσι

Ο Βιτρούβιος Άντρας του Λεονάρντο Ντα Βίντσι Ο Βιτρούβιος Άντρας του Λεονάρντο Ντα Βίντσι Ο Άνθρωπος του Βιτρούβιου είναι ένα διάσημο σχέδιο με συνοδευτικές σημειώσεις του Λεονάρντο Ντα Βίντσι, που φτιάχτηκε περίπου το 1490 σε ένα από τα ημερολόγιά

Διαβάστε περισσότερα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα

Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα Κ. Σ. Δ. Μ. Ο. Μ. Οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι είναι μια φιλοσοφική, θρησκευτική και πολιτική σχολή που ιδρύθηκε τον 6ο αιώνα π.χ από τον Πυθαγόρα τον Σάμιο στον Κρότωνα της Κάτω Ιταλίας. Η κοινότητα στεγαζόταν

Διαβάστε περισσότερα

Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ

Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ Η ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ ΣΤΗ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ Τα µαθηµατικά και η τέχνη, αν και φαινοµενικά τουλάχιστον, αποτελούν δύο ξεχωριστά πεδία της ανθρώπινης δραστηριότητας, είναι δυνατόν να συνδυαστούν και να δώσουν δηµιουργίες

Διαβάστε περισσότερα

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του

ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του Ανδρέας Ιωάννου Κασσέτας ο χρυσός φ Στην άκρη του νήµατος βρίσκονται πέντε ερωτήµατα καθένα από τα οποία περιµένει την απάντησή του 1. Υπάρχει αριθµός τέτοιος ώστε εάν τον υψώσεις στο τετράγωνο να αυξηθεί

Διαβάστε περισσότερα

1 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡΤΗΣ. Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ φ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 2012-13

1 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡΤΗΣ. Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ φ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 2012-13 1 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡΤΗΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ φ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 01-13 1ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΣΠΑΡΤΗΣ 1 ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΙΤΛΟΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΕΟΝΑΡΝΤΟ ΝΤΑ ΒΊΝΤΣΙ 1452-1519 ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΕΥΤΥΧΙΑ ΓΚΕΚΑΣ ΤΡΥΦΩΝ ΑΡΣΕΝΙΔΗΣ ΕΥΘΥΜΙΟΣ

ΛΕΟΝΑΡΝΤΟ ΝΤΑ ΒΊΝΤΣΙ 1452-1519 ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΕΥΤΥΧΙΑ ΓΚΕΚΑΣ ΤΡΥΦΩΝ ΑΡΣΕΝΙΔΗΣ ΕΥΘΥΜΙΟΣ ΛΕΟΝΑΡΝΤΟ ΝΤΑ ΒΊΝΤΣΙ 1452-1519 ΒΑΣΙΛΕΙΟΥ ΕΥΤΥΧΙΑ ΓΚΕΚΑΣ ΤΡΥΦΩΝ ΑΡΣΕΝΙΔΗΣ ΕΥΘΥΜΙΟΣ 1 Ο Λεονάρντο ντα Βίντσι ήταν Ιταλός αρχιτέκτονας, ζωγράφος, γλύπτης, μουσικός, εφευρέτης, μηχανικός, ανατόμος, γεωμέτρης

Διαβάστε περισσότερα

Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που διατύπωσε τον μαθηματικό ορισμό της αναλογίας χρησιμοποιώντας δύο ευθύγραμμα τμήματα.

Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που διατύπωσε τον μαθηματικό ορισμό της αναλογίας χρησιμοποιώντας δύο ευθύγραμμα τμήματα. Ο ΧΡΥΣΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ Φ Ο Πυθαγόρας ήταν ο πρώτος που διατύπωσε τον μαθηματικό ορισμό της αναλογίας χρησιμοποιώντας δύο ευθύγραμμα τμήματα. Η σκέψη του ήταν πως αν υπάρχει ένα ευθύγραμμο τμήμα και ένα σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Χρυσή τομή. 3.1 Εισαγωγή

Χρυσή τομή. 3.1 Εισαγωγή Χρυσή τομή 3.1 Εισαγωγή Ίσως όλοι έχουμε την εντύπωση πως αυτό που λέγεται λόγος χρυσής τομής, είναι μία έμπνευση των αρχαίων Ελλήνων την οποία εκμεταλλεύτηκαν για να κατασκευάσουν κτίσματα ή να δημιουργήσουν

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Βασιλειάδης, Λύκειο Παιανίας «Η χρυσή τομή στα μαθηματικά, στην τέχνη, στη ζωή» 2012-2013

Γεώργιος Βασιλειάδης, Λύκειο Παιανίας «Η χρυσή τομή στα μαθηματικά, στην τέχνη, στη ζωή» 2012-2013 Γεώργιος Βασιλειάδης, Λύκειο Παιανίας «Η χρυσή τομή στα μαθηματικά, στην τέχνη, στη ζωή» 2012-2013 Η Χρυσή τοµή στην καθηµερινότητά µας Η χρυσή τοµή δεν είναι µόνο ένας µαθηµατικός όρος, αλλά και µια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4.

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α. Γεωμετρικές κατασκευές. 1. Μεσοκάθετος ευθυγράμμου τμήματος. 2. ιχοτόμος γωνίας. 3. ιχοτόμος γωνίας με άγνωστη κορυφή. 4. ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α Γεωμετρικές κατασκευές Σκοπός των σημειώσεων αυτών είναι να υπενθυμίζουν γεωμετρικές κατασκευές, που θα φανούν ιδιαίτερα χρήσιμες στο μάθημα της παραστατικής γεωμετρίας, της προοπτικής, αξονομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci»

Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Ε Ρ Γ Α Σ Ι Α Θέμα: «Ακολουθία Fibonacci» Μάθημα: Άλγεβρα Υπεύθυνος καθηγητής: κ. Σκοτίδας Τάξη: Β Λυκείου Τμήμα Β2 Ονοματεπώνυμο: Λαμπρινή Μαρίνα Λάππα Σχολικό έτος: 2010 2011 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) Ποιο πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ

Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ ΦΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΣΤΟ ΦΥΣΙΚΟ ΚΟΣΜΟ Επιμέλεια: Μιχαηλίσιν Άννα- Μαρία, Τζιώτης Δημήτρης, Τσάτσα Κωνσταντίνα Η συμμετρία στο φυσικό κόσμο Η συμμετρία που κατεξοχήν

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 11 ο, Τμήμα Α. Γεωμετρία Μαθηματικά: ριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 11 ο, Τμήμα Γεωμετρία Η γεωμετρία σε σχέση με την άλγεβρα ή την αριθμητική έχει την εξής ιδιαιτερότητα: πρέπει να είμαστε πολύ ακριβείς στην περιγραφή μας (σκέψη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ

ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Σπουδαίοι μαθηματικοί ανά τους αιώνες

Σπουδαίοι μαθηματικοί ανά τους αιώνες Σπουδαίοι μαθηματικοί ανά τους αιώνες ΑΡΧΑΙΟΙ ΧΡΟΝΟΙ Πυθαγόρας (580-500π.Χ) Ευκλείδης (350-270π.Χ) Αρχιμήδης (287-212π.Χ) Διοκλής (240-180π.Χ) ΠΡΩΤΟΧΡΙΣΤΙΑΝΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ Ήρων (1 Ος αιώνας μ.χ) Υπατία (370-416

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι ένα ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ; Πώς ονομάζονται τα σημεία Α και Β; 1 ος ορισμός : Είναι η «ίσια» γραμμή που ενώνει τα δύο σημεία Α και Β. 2 ος ορισμός : Είναι

Διαβάστε περισσότερα

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2

βοήθεια ευθείας και κύκλου. Δεν ισχύει όμως το ίδιο για την παρεμβολή δύο μέσων αναλόγων η οποία απαιτεί τη χρησιμοποίηση διαφορετικών 2 3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Εισαγωγή Η μελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς φαίνεται ότι είχε αφετηρία τη σχέση αυτών των καμπύλων με ορισμένα προβλήματα γεωμετρικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος»

ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ. ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΥΚΕΙΟΥ Κεφάλαιο 9ο: ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό-άθος» Να χαρακτηρίσετε με (σωστό) ή (λάθος) τις παρακάτω προτάσεις. 1. * Αν σε τρίγωνο ΑΒ ισχύει ΑΒ = Α + Β, τότε το τρίγωνο είναι:

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή

Η Γεωμετρία της Αντιστροφής Η βασική θεωρία. Αντιστροφή Αντιστροφή Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένας κανόνας ο οποίος επιτρέπει την μετάβαση από ένα σχήμα σε ένα άλλο, με τέτοιο τρόπο ώστε το δεύτερο σχήμα να είναι τελείως ορισμένο όταν το πρώτο είναι δοσμένο και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Ευθύγραμμο τμήμα είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή και τέλος. Ημιευθεια Είναι το κομμάτι της ευθείας που έχει αρχή αλλά όχι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα

Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Ασκήσεις της Ενότητας 2 : Ζωγραφίζοντας με το ΒΥΟΒ -1- α. Η χρήση της πένας Κεφάλαιο 1: Κίνηση και γεωμετρικά σχήματα Υπάρχουν εντολές που μας επιτρέπουν να επιλέξουμε το χρώμα της πένας, καθώς και το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος

Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος Εγγράψιμα και περιγράψιμα τετράπλευρα Ερωτήσεις τύπου «Σωστό - Λάθος» Σωστό Λάθος 1. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι παραλληλόγραμμο.. Ένα τετράπλευρο είναι εγγράψιμο σε κύκλο αν είναι

Διαβάστε περισσότερα

DaVinci Σχολικό Έτος: 2012-2013 Ανατομία και Ιατρική

DaVinci Σχολικό Έτος: 2012-2013 Ανατομία και Ιατρική DaVinci Σχολικό Έτος: 2012-2013 Ανατομία και Ιατρική Υπεύθυνοι καθηγητές: Ζούλας Δημ. Αδαμάρα Αθαν. { Εργασία των μαθητών: Psyco Killers Πεταλωτή Χρήστου Σέρβου Αθανάσιου Χατζηγκόντζιου Χάρη Χατζηπαυλίδη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Γεωμετρικές κατασκευές Στα αιτήματα του Ευκλείδη περιλαμβάνονται μόνο τρία που αναφέρονται στη δυνατότητα κατασκευής ενός σχήματος. Ηιτήσθω από παντός σημείου επί παν σημείον ευθείαν γραμμήν

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες

Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Βασικές Γεωμετρικές έννοιες Σημείο Με την άκρη του μολυβιού μου ακουμπώντας την σε ένα κομμάτι χαρτί αφήνω ένα σημάδι το οποίο το λέω σημείο. Το σημείο το δίνω όνομα γράφοντας πάνω απ αυτό ένα κεφαλαίο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας

Μαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ΛΥΚΙΟΥ - ΩΜΤΡΙ ΩΜΤΡΙ ΘΜ o ΙΩΝΙΣΜ. Να αποδείξετε ότι : Ι) διάμεσος που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα ορθογωνίου τριγώνου είναι ίση με το μισό της υποτείνουσας. ΙΙ) ν μια διάμεσος τριγώνου είναι ίση με το

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία

Μαθηματικά Β Γυμνασίου. Επανάληψη στη Θεωρία Μαθηματικά Β Γυμνασίου Επανάληψη στη Θεωρία Α.1.1: Η έννοια της μεταβλητής - Αλγεβρικές παραστάσεις Α.1.2: Εξισώσεις α βαθμού Α.1.4: Επίλυση προβλημάτων με τη χρήση εξισώσεων Α.1.5: Ανισώσεις α βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. Πέτρου Αναστασία. Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα

ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ. Πέτρου Αναστασία. Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ Πέτρου Αναστασία Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Αργύρη Παναγιώτα ΑΘΗΝΑ 2013 Ο Πυθαγόρας (586 500 π.χ.) του Μνησάρχου και της «ωραίας υπέρ φύσιν» Πυθαϊδος γεννήθηκε στη Σάμο. Μικρός επισκέφθηκε τους Δελφούς,

Διαβάστε περισσότερα

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες

Β.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS

ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS 246 3 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΤΟ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΚΑΙ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟ ΚΥΚΛΙΚΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΜΙΑ ΣΕΙΡΑ JAVA-APPLETS Φουναριωτάκης Αθανάσιος Μαθηματικός Β/θμιας Εκπαίδευσης Προσωπική ιστοσελίδα:

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΙ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΛΕΙΣΤΟΥ ΤΥΠΟΥ ΑΠΟΤΕΛΟΥΝ ΜΕΡΟΣ ΤΟΥ ΘΕΜΑΤΟΣ Α ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ (ΘΕΜΑ ΘΕΩΡΙΑΣ) Α. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ - ΛΑΘΟΥΣ ΚΕΦΑΚΑΙΟ 3 ο -ΤΡΙΓΩΝΑ 1. Ένα τρίγωνο είναι οξυγώνιο όταν έχει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

Ερευνητική εργασία Da Vinci «ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ» 2º ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ

Ερευνητική εργασία Da Vinci «ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ» 2º ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ Ερευνητική εργασία Da Vinci «ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ» 2º ΛΥΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2012-2013 Υπεύθυνοι μαθητές Τζούρι Άρτεμις Σίμος Νίκος Πέτσιος Αναστάσης Σακελλίων Γρηγόρης Υπεύθυνοι καθηγητές: Αδαμάρα Ζούλας

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού

Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Πρόγραμμα Σπουδών Εκπαίδευσης Παιδιών-Προφύγων 2016-2017 Τάξεις Ε+ΣΤ Δημοτικού Περιεχόμενα Στόχοι Πηγή Υλικού 3.1 Αριθμοί Οι μαθητές πρέπει: Σχολικά βιβλία Ε και ΣΤ Φυσικοί, Δεκαδικοί, μετρήσεις Να μπορούν

Διαβάστε περισσότερα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα

(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΓΥΝΜΣΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΛΓΕΡ ΚΕΦΛΙΟ. Να διατυπώσετε τα κριτήρια διαιρετότητας. πό τους αριθμούς 675, 0, 4404, 7450 να γράψετε αυτούς που διαιρούνται με το, με το, με το 4, με το 9.. Ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωμετρία της ζωής. Ερευνητική εργασία Α Λυκείου 2ου ΓΕΛ ΚΑΒΑΛΑΣ

Η γεωμετρία της ζωής. Ερευνητική εργασία Α Λυκείου 2ου ΓΕΛ ΚΑΒΑΛΑΣ Η γεωμετρία της ζωής Ερευνητική εργασία Α Λυκείου 2ου ΓΕΛ ΚΑΒΑΛΑΣ Τι μελετά η γεωμετρία ; Γεωμετρία είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με χωρικές σχέσεις, δηλαδή με τη σύνθεση του χώρου που

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τετραγωνική ρίζα θετικού αριθμού Τετραγωνική ρίζα ενός θετικού αριθμού α, λέγεται ο θετικός αριθμός, ο οποίος, όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον αριθμό α. Η τετραγωνική ρίζα του

Διαβάστε περισσότερα

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ. ΖΟΥΖΙΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3 o ΓΕ.Λ. ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Μαθηματικός 2013 2014 EΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1) ΘΕΩΡΙΑ... 2 2) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ... 5 2.1. ΤΡΙΓΩΝΑ... 5 2.1.1. ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σωστού - Λάθους στα τρίγωνα... 5 2.1.2.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ: «ΜΕΤΡΟΝ ΑΡΙΣΤΟΝ» ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΤΡΕΙΣ ΚΑΙ Ο ΚΟΥΚΟΣ ΦΑΙΔΡΑ ΚΟΥΡΒΙΣΙΑΝΟΥ ΒΑΣΙΛΗΣ ΚΑΤΣΑΝΤΩΝΗΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΚΑΣΙΜΑΤΗΣ Ερευνητικά Ερωτήματα Ποιοι είναι ΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΩΣ ΕΠΗΡΕΑΣΑΝ ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΝ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ

ΠΩΣ ΕΠΗΡΕΑΣΑΝ ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΝ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ ΠΩΣ ΕΠΗΡΕΑΣΑΝ ΔΙΑΧΡΟΝΙΚΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΝ ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ Η ΟΜΑΔΑ μας ανέλαβε το θέμα της σχέσης των Μαθηματικών με τη ΖΩΓΡΑΦΙΚΗ!!! ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ-ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΟΥΛΑ ΕΙΡΗΝΗ, ΡΑΛΛΙΟΥ ΕΥΑΝΘΙΑ, ΤΣΙΜΗΤΡΑ ΑΓΓΕΛΙΚΗ. ΙΣΤΟΡΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 76 ος ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο ΘΑΛΗΣ 14 Νοεμβρίου 2015. Ενδεικτικές λύσεις Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 34 06 79 ΑΘΗΝΑ Τηλ. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Εleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη

ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλο 1. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II

Φύλλο 1. Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II 1 Φύλλο 1 Δράσεις με το λογισμικό Cabri-geometry II Στις δύο παρακάτω γραμμές από το περιβάλλον του λογισμικού αυτού η πρώτη αφορά γενικές επεξεργασίες και δεύτερη με τα εικονίδια περιλαμβάνει τις στοιχειώδεις

Διαβάστε περισσότερα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα

Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα ενώνουν. Τα τρία σημεία αυτά λέγονται κορυφές του τριγώνου.

Διαβάστε περισσότερα

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων?

1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? ΣΧΕΔΙΑΣΤΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ - Εξεταστέα ύλη Β εξαμήνου 2011 1.1. ΓΕΙΝΙΚΑ ΟΡΙΣΜΟΙ Με ποιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε έναν τρισδιάστατο χώρο ή αντικείμενο, πάνω σ ένα χαρτί δύο διαστάσεων? Τρεις μέθοδοι προβολών

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ

ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ Επιμέλεια: Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ ΚΑΙ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΤΗΣ ΥΛΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Σχολικό Έτος: 016-017 Μαθηματικός Περιηγητής:

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές

Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Κεφάλαιο 7 Γεωμετρικές Κατασκευές Συντομεύσεις Ακρωνύμια... 2 Σύνοψη... 3 Προαπαιτούμενη γνώση... 3 7.1. Κατασκευή ευθύγραμμων τμημάτων... 3 7.2. Κατασκευή γωνιών... 8 7.3. Κατασκευή πολυγώνων... 11 7.4.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης

Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα. Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α. Τρόποι απόδειξης Μαθηματικά: Αριθμητική και Άλγεβρα Μάθημα 3 ο, Τμήμα Α Ο πυρήνας των μαθηματικών είναι οι τρόποι με τους οποίους μπορούμε να συλλογιζόμαστε στα μαθηματικά. Τρόποι απόδειξης Επαγωγικός συλλογισμός (inductive)

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας

Κύκλου μέτρησις. Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης. Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο. Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Κύκλου μέτρησις Ολοκληρωμένο διδακτικό σενάριο Δημιουργία: Τεύκρος Μιχαηλίδης Μαθηματικό Εργαστήρι Β Αθήνας Η ιστορία του π 2 Κυ κλου με τρησις Η μέθοδος του Αρχιμήδη για την προσέγγιση του π και ο ρόλος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ MATHEMATICS LEVEL: 9 10 (Γ Γυμνασίου Α Λυκείου) 10:00 11:00, 20 March 2010 THALES FOUNDATION 1 3 βαθμοί 1. Ποιο από τα ακόλουθα είναι το αποτέλεσμα της διαίρεσης του αριθμού 20102010 με τον

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα

Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή. Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Η Γεωμετρία στην Υπηρεσία της Τέχνης και της Τεχνικής: μια ιστορική αναδρομή Δρ. Κυριακή Τσιλίκα Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστημίου Θεσσαλίας Η απαρχή της Γεωμετρίας Οι Βαβυλώνιοι, για πρώτη φορά,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ

ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΧΟΛΗ ΑΝΘΡΩΠΙΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΔΗΜΟΤΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΠΜΣ «ΑΝΑΛΥΤΙΚΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ» Παραδείγματα Variation Μεταπτυχιακός Φοιτητής:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89...

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89... ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ: Β ΜΕΡΟΣ 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89... Οι παραπάνω αριθμοί ονομάζονται Ακολουθία Fibonacci το άθροισμα των 2 προηγουμένων αριθμών ισούται με τον επόμενο αριθμό στην ακολουθία. Το πηλίκο τον

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΤΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ (ΓΙΑ ΤΗΝ ΤΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟΣ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΤΗΣΗ 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται πρώτοι και ποιοι σύνθετοι; Να δώσετε παραδείγματα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ 1 Όταν ένας αριθμός διαιρείται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 015 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση... Error! Bookmark not deined. Σκοποί Μαθήματος (Επικεφαλίδα

Διαβάστε περισσότερα

Κορδάτος Κωνσταντίνος Λισέβσκι Αντριάν Μακελαράκη Μελίνα Μιράντα Νίξον Μπελέρης Άρης Νεζεργιώτης Ιωάννης Παβλόβσκα Μάρτα Τάμπα Ιουλιάν

Κορδάτος Κωνσταντίνος Λισέβσκι Αντριάν Μακελαράκη Μελίνα Μιράντα Νίξον Μπελέρης Άρης Νεζεργιώτης Ιωάννης Παβλόβσκα Μάρτα Τάμπα Ιουλιάν ΟΙ ΜΑΘΗΤΕΣ ΤΟΥ PROJECT Αντέμι Ορέστης Γκαντάλλα Μάρκος Γεωργακόπουλος Ευάγγελος Γιώργκο Σπύρο Καρούσης Στέφανος Κερμέζο Χριστίνα Κονιτόπουλος Πέτρος-Παύλος Κορδάτος Κωνσταντίνος Λισέβσκι Αντριάν Μακελαράκη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2012

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 3 Μαρτίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΘΗΝ Τηλ 665-6778 - F: 605 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR 06

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος Συνάρτησης Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.: Η Παράγωγος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ. ΘΕΜΑ 2ο Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΘΕΜΑ ο ΘΕΜΑ 8603 Δίνεται τρίγωνο και σημεία και του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και 5. α) Να γράψετε το διάνυσμα ως γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα "Ο Αρχιμήδης" 3 Μαρτίου 2012

ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ 29 η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα Ο Αρχιμήδης 3 Μαρτίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΘΗΜΤΙΚΗ ΕΤΙΡΕΙ Πανεπιστημίου (Ελευθερίου Βενιζέλου) 06 79 ΘΗΝ Τηλ 665-677 - F: 605 e-mail : info@hmsgr wwwhmsgr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY, Panepistimiou (Εleftheriou Venizelou) Street GR 06

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία

Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Τάξη A Μάθημα: Γεωμετρία Η Θεωρία σε Ερωτήσεις Ερωτήσεις Κατανόησης Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Τρίγωνα Α. Θεωρία-Αποδείξεις Σελ.2 Β. Θεωρία-Ορισμοί..Σελ.9 Γ. Ερωτήσεις Σωστού

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έλλειψης

Μεθοδολογία Έλλειψης Μεθοδολογία Έλλειψης Έλλειψη ονομάζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων, των οποίων το άθροισμα των αποστάσεων από δύο σταθερά σημεία Ε και Ε είναι σταθερό και μεγαλύτερο από την απόσταση (ΕΕ ). Στη Φύση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟ 2 Ο ΘΕΜΑ Άσκηση 1 Δίνονται οι ανισώσεις: 3x και 2 x α) Να βρείτε τις λύσεις τους (Μονάδες 10) β) Να βρείτε το σύνολο των κοινών τους λύσεων (Μονάδες 15) α) Έχουμε 3x 2x x 2

Διαβάστε περισσότερα

A3. Στο στιγμιότυπο αρμονικού μηχανικού κύματος του Σχήματος 1, παριστάνονται οι ταχύτητες ταλάντωσης δύο σημείων του.

A3. Στο στιγμιότυπο αρμονικού μηχανικού κύματος του Σχήματος 1, παριστάνονται οι ταχύτητες ταλάντωσης δύο σημείων του. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 15 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες

Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες Γ. Ν. Π Α Π Α Δ Α Κ Η Σ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ ( M S C ) ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ: Σπουδές στις Φυσικές Επιστήμες ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΦΥΕ10 (Γενικά Μαθηματικά Ι) ΠΕΡΙΕΧΕΙ ΤΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΣΧΕΣΗ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΑ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ: Ο αρχιτέκτονας οπλίζεται με γνώση πολλών επιστημών και εμπειρία διαφόρων τεχνών: Η αρχιτεκτονική είναι καρπός πράξης και θεωρίας.

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 12, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Διαγράμματα Minkowski

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 12, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Διαγράμματα Minkowski 1 Διαγράμματα Minkowski Σκοποί της διάλεξης 12: Να εισάγει τα διαγράμματα Minkowski. 18.1.2012 Να περιγράψει την ιδέα του ταυτοχρονισμού στην θεωρία της σχετικότητας με μεθόδους γεωμετρίας. Να εισάγει

Διαβάστε περισσότερα

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738)

Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ Το μαθηματικό λογισμικό GeoGebra ως αρωγός για τη λύση προβλημάτων γεωμετρικών κατασκευών Χαριτωμένη Καβουρτζικλή (ΑΕΜ: 2738) Επιβλέπων Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1

1 m z. 1 mz. 1 mz M 1, 2 M 1 Σύνοψη Κεφαλαίου 6: Υπερβολική Γεωμετρία Υπερβολική γεωμετρία: το μοντέλο του δίσκου 1. Στο μοντέλο του Poincaré της υπερβολικής γεωμετρίας, υπερβολικά σημεία είναι τα σημεία του μοναδιαίου δίσκου, D =

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση

Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Παραμετρική Σχεδίαση Παραμετρική σχεδίαση Παραμετρικό αντικείμενο (2D σχήμα/3d στερεό) ονομάζουμε το αντικείμενο του οποίου η (γεωμετρική)

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών

Διαβάστε περισσότερα