ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Θεωρία Πιθανοτήτων και Στοχαστικές ιαδικασίες, Κ. Πετρόπουλος. Τµ. Επιστήµης των Υλικών

Transcript

1 Τµ. Επιστήµης των Υλικών

2 Χώρος Πιθανότητας Συµµετρικός Χώρος Πιθανότητας 1 Θεωρούµε ότι ο δειγµατοχώρος Ω είναι πεπερασµένος, Ω= {ω 1,ω 2,...,ω n }. 2 Κάθε δειγµατοσηµείο έχει τις ίδιες ευκαιρίες εµφάνισης (ή πραγµατοποίησης), τότε πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων πραγµατοποίησης του A P(A) =. πλήθος των σηµείων του δειγµατοχώρου Η τριάδα (Ω, A, P) ονοµάζεται συµµετρικός χώρος πιθανότητας. Παράδειγµα 1 ιαθέτουµε ένα συµµετρικό Ϲάρι και ένα αµερόληπτο νόµισµα, τα οποία ϱίχνουµε µια ϕορά. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες των παρακάτω γεγονότων. A = {εµφανίζεται Κ στο νόµισµα}. B = {ο αριθµός που εµφανίζεται στο Ϲάρι είναι 3}. A B, A B, A c, B c.

3 Προσθετικό Θεώρηµα A, B ενδεχόµενα όχι ξένα µεταξύ τους, τότε P(A B) = P(A)+P(B) P(A B). Γενίκευση. P(A B Γ) = P(A)+P(B)+P(Γ) P(A B) P(A Γ) P(B Γ)+P(A B Γ). Παράδειγµα 2 Τρεις εφηµερίδες Α, Β και Γ εκδίδονται σε µία πόλη και έχει εκτιµηθεί ότι το 20% διαβάζουν την εφηµερίδα Α, 16% την εφηµερίδα Β, 14% διαβάζουν την εφηµερίδα Γ, 8% διαβάζουν τις εφηµερίδες Α και Β, 5% διαβάζουν τις εφηµερίδες Α και Γ, 4% διαβάζουν τις εφηµερίδες Β και Γ, ενώ 2% διαβάζουν και τις 3 εφηµερίδες. Ποιο ποσοστό από τον παραπάνω πληθυσµό διαβάζει τουλάχιστον µια εφηµερίδα;

4 Βασική Αρχή Απαρίθµησης Εστω ότι ϑέλουµε να εκτελέσουµε ένα έργο Τ και το έργο εκτελείται σε κάποιες ϐαθµίδες, οι οποίες ϐαθµίδες εκτελούνται σε υποέργα, T j, j = 1, 2,...,k και κάθε υποέργο µπορεί να εκτελεστεί κατά n j τρόπους j = 1, 2,..., k. Ο συνολικός αριθµός των διαφορετικών τρόπων εκτέλεσης είναι, n 1 n 2... n k. Παράδειγµα 3 Ενα µενού εστιατορίου αποτελείται από το ορεκτικό, την σαλάτα, το κυρίως πιάτο και το επιδόρπιο. Στον κατάλογο ενός εστιατορίου υπάρχουν 7 είδη ορεκτικών, 5 διαφορετικές σαλάτες, 6 κυρίως πιάτα και 4 διαφορετικά επιδόρπια, τότε τα διαφορετικά µενού που µπορούν να δηµιουργηθούν από αυτόν τον κατάλογο ϑα είναι

5 ειγµατοληψία Ορισµός ιαθέτουµε µία κάλπη, η οποία περιέχει n πανοµοιότυπα σφαιρίδια και κάθε σφαιρίδιο ϕέρει έναν αριθµό από το 1, 2,...,n. Θέλουµε να πάρουµε k σφαιρίδια για να δούµε πόσες οµάδες µπορούµε να σχηµατίσουµε. Η λήψη σφαιριδίων από την κάλπη ονοµάζεται δειγµατοληψία. Τα k σφαιρίδια που πήραµε σχαηµατίζουν ένα δείγµα µεγέθους k. Χωρίς Επανατοποθέτηση ειγµατοληψία Με ιάταξη Χωρίς ιάταξη Με Επανατοποθέτηση Χωρίς Επανατοποθέτηση Με Επανατοποθέτηση

6 ειγµατοληψία Θεώρηµα 1 ( ιατεταγµένα δείγµατα) Εστω ότι παίρνουµε από την κάλπη k σφαιρίδια, τότε 1 Το πλήθος των k διατεταγµένων δειγµάτων χωρίς επανατοποθέτηση ϑα δίνεται από τη σχέση (n) k = n(n 1)...(n k + 1). Αν k = n, τότε (n) n = n! και έχουµε µετάθεση. 2 Το πλήθος των k διατεταγµένων δειγµάτων µε επανατοποθέτηση ϑα δίνεται από τη σχέση Παράδειγµα4 Ο αριθµός της πινακίδας κυκλοφορίας ενός αυτοκινήτου σχηµατίζεται χρησιµοποιώντας 3 γράµµατα και 4 ψηφία µε τη σειρά αυτή. Πόσες πινακίδες κυκλοφορίας µπορούν να δηµιουργηθούν; n k.

7 ειγµατοληψία Θεώρηµα 2 (Μη ιατεταγµένα δείγµατα) Εστω ότι παίρνουµε από την κάλπη k σφαιρίδια, τότε 1 Το πλήθος των k µη διατεταγµένων δειγµάτων χωρίς επανατοποθέτηση ϑα δίνεται από τη σχέση ( n (n) k k! = n! k!(n k)! = 2 Το πλήθος των k µη διατεταγµένων δειγµάτων µε επανατοποθέτηση ϑα δίνεται από τη σχέση ( n + k 1 k ). k ). Παράδειγµα5 Μέσα σε µια κάλπη έχω τρία αριθµηµένα σφαιρίδια ({1, 2, 3}). Με πόσους διαφορετικούς τρόπους µπορώ να πάρω 2 σφαιρίδια από αυτήν την κάλπη;

8 Αρχή της Προσθετικότητας Εστω ότι έχουµε ένα γεγονός A 1 και υπάρχουν r 1 επιλογές για την εκτέλεση του γεγονότος. Οµοίως, ένα γεγονός A 2 µε r 2 επιλογές. ένα γεγονός A 3 µε r 3 επιλογές. ένα γεγονός A k µε r k επιλογές. Τότε ο συνολικός αριθµός εκτέλεσης του A 1 ή A 2 ή... ή A k είναι r 1 + r r k.