CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU Curbe în plan"

Transcript

1 CAPITOLUL 8 CURBE ÎN PLAN ŞI ÎN SPAŢIU 81 Curbe în plan I Definiţia analitică a curbelor plane În capitolul 7 am studiat deja câteva eemple de curbe plane, amintim aici conicele nedegenerate: elipsa, hiperbola şi parabola În continuare vom prezenta noţiunea generală de curbă plană, precum şi o serie de proprietăţi ale acesteia Curbele plane studiate până acum au fost reprezentate doar prin ecuaţii implicite, de forma F(, Deoarece, din punctul de vedere al cinematicii, o curbă plană este traiectoria unui punct material M, este util să descriem curba prin legătura dintre coordonatele carteziene, (,, ale punctului material M şi timpul t : f(t, g(t Fie {O, i, j} (O un reper cartezian în spaţiul punctual euclidian E Definiţia următoare permite introducerea riguroasă a noţiunii de curbă plană folosind diferite tipuri de reprezentări: eplicită, implicită, parametrică etc Definiţia 811 Numim arc simplu de curbă plană, mulţimea (C a punctelor M(, E care satisfac o ecuaţie de tipul (811 f (, a < < b, unde a, b R sunt fiate, sau o ecuaţie de tipul (81 F(,, a 1 < < a, b 1 < < b cu a 1, a, b 1, b R sau un sistem de forma 3

2 (813 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială g h ( t, c ( t 1 < t < c, cu c 1, c R, unde f, F, g, h sunt funcţii reale, de clasă cel puţin C 1 pe domeniile lor de definiţie, iar g şi h stabilesc o corespondenţă bijectivă şi bicontinuă între punctele M (C şi mulţimea valorilor parametrului t (c 1, c Dacă arcul simplu de curbă (C este definit prin ecuaţia (811, spunem că avem o reprezentare (carteziană eplicită a acestuia În cazul utilizării ecuaţiei (81 avem o reprezentare implicită, iar în cazul sistemul (813 o reprezentarea parametrică Fie f o funcţia de clasă cel puţin C 1 pe intervalul (t 1, t Dacă (ρ, θ este un sistem de coordonate polare în E, atunci mulţimea punctelor M(ρ, θ E, ale căror coordonate polare satisfac ecuaţia (814 ρ f (θ, θ (t 1, t, defineşte de asemenea un arc simplu de curbă Reprezentarea (814 se numeşte ecuaţia în coordonate polare a arcului de curbă Asemănător, mulţimea punctelor M E, al căror vector de poziţie r satisface ecuaţia (815 r r (t, c 1 < t < c, c 1, c R ( r (t g(ti + h(t j, unde g, h îndeplinesc condiţiile din definiţia de mai sus reprezintă un arc simplu de curbă Ecuaţia (815 se numeşte ecuaţia vectorială a arcului de curbă (C Eemplu 81 a Se consideră porţiunea situată deasupra aei O din elipsa cu centrul în originea O(, a 31

3 reperului cartezian O şi vârfurile în punctele A(a,, A`(-a,, B(b,, B`(-b, (Vezi Fig 4 Ecuaţia carteziană eplicită a acestui arc de elipsă este 1, a (-a, a, iar ecuaţia implicită este + 1, >, (-a, a a b Deoarece funcţiile f( 1, F(, + 1 satisfac condiţiile a a b din definiţia de mai sus, deducem că porţiunea de elipsă descrisă este un arc simplu de curbă Ecuaţiile parametrice ale acestui arc sunt a cos t t (,π iar cele vectoriale r a cos(ti + b sin(t j, t (,π bsin t În ceea ce priveşte ecuaţiile în coordonate polare, acestea sunt ρ a a b cos θ + b sin θ, θ (,π Observăm că, în cazul în care a b, arcul de curbă descris mai sus reprezintă semicercul de rază r a, cu centrul în originea reperului cartezian O, situat deasupra aei O Definiţia 81 O mulţime de puncte (C se numeşte arc regulat de curbă plană dacă (C este un arc simplu de curbă plană şi, în reprezentările (81 şi (813, sunt îndeplinite condiţiile (816 (F` + (F` >, a 1 < < a, b 1 < < b (F` F F` şi respectiv F, (817 (g`(t + (h`(t >, c 1 < t < c 3

4 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Condiţia (816 din definiţia de mai sus arată că, în cazul arcelor regulate de curbă, derivatele F` şi F` din reprezentarea implicită nu se anulează simultan în punctul de coordonate (, (a 1, a ( b 1, b Analog, în cazul reprezentării parametrice condiţia (817 eprimă faptul că g`(t şi h`(t nu sunt simultan nule în nici un t (c 1, c Dacă în Definiţia 81 cerem ca funcţiile F, g şi h să fie continue pe mulţimea de definiţie şi să aibă derivate (eventual derivate parţiale până la un ordin n(inclusiv n continue (adică funcţiile să fie de clasă C n şi cel puţin una din derivatele de ordinul n să nu se anuleze pe mulţimea de definiţie, atunci arcul regulat se spune că este arc regulat de ordinul n sau de clasă n Condiţiile (816, (817 se numesc condiţii de regularitate Definiţia 813 Un punct M de pe arcul simplu de curbă (C se numeşte punct regulat dacă el îndeplineşte toate condiţiile de regularitate În caz contrar, punctul se numeşte punct singular Din definiţiile de mai sus deducem că un arc regulat este constituit numai din puncte regulate, eceptând eventual etremităţile Definiţia 814 Numim curbă de clasă n, o reuniune de arce regulate de clasă n Deci, dacă (C i (i I este o mulţime de arce regulate de clasă n, atunci curba (C de clasă n arată ca în Fig 41 (Se observă că ea poate avea şi întreruperi 33

5 II Dreapta tangentă şi dreapta normală într-un punct regulat Definiţia 815 Fie M (, un punct regulat al curbei (C şi fie M 1 ( 1, 1 (C un punct oarecare Dreapta tangentă la curba (C în punctul regulat M este limita dreptei M 1 M, secantă la curbă, când M 1 M (Fig 4 Fie curba (C, a cărei ecuaţie parametrică este f(, şi fie M (, un punct regulat al ei, iar M 1 ( 1, 1 un punct oarecare pe curbă Căutăm ecuaţia dreptei tangente la curba (C în punctul M Ecuaţia secantei M 1 M este 1 parametrică a curbei, ecuaţia secantei M 1 M se mai scrie g g( t ( t g( t 1 h h( t ( t h( t 1 1 Ţinând cont de ecuaţia Conform definiţiei de mai sus, ecuaţia tangentei în punctul M se obţine trecând la limită, pentru t 1 t, în ecuaţia secantei M 1 M Obţinem (818 g` g( t ( t h` h( t ( t Ecuaţia (818 reprezintă ecuaţia dreptei tangente la curba (C în punctul regulat M (C atunci când curba este reprezentată parametric Dacă folosim reprezentarea eplicită (811 a curbei (C, observăm că f`( g` h` ( t, ( t g(t, f( h(t Aplicând (818, obţinem (819 f`( ( -, 34

6 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială adică ecuaţia tangentei în punctul M în cazul reprezentării eplicite În cazul curbei date prin ecuaţia implicită F(,, ţinem cont de formula de derivare a funcţiilor implicite şi avem F` (, `( F` (, g' h` ( t În acest caz, ecuaţia (818 devine ( t (811 ( F`(, + ( F`(, Am obţinut teorema următoare: Teorema 81 Considerăm curba (C şi M (, un punct regulat al ei În cazul reprezentării parametrice (813 a curbei (C, ecuaţia tangentei în punctul M (, este (818; în cazul reprezentării eplicite (811 a curbei (C, ecuaţia tangentei este (819, iar în cazul reprezentării implicite de ecuaţia tangentei este (811 Definiţia 816 Dreapta normală într-un punct regulat al unei curbe plane este dreapta ce trece prin acel punct şi este perpendiculară pe dreapta tangentă în punctul respectiv Din definiţia de mai sus şi Teorema 81 rezultă imediat ecuaţiile normalei la o curbă plană într-un punct regulat al acesteia Teorema 813 Fie M (, un punct regulat al curbei (C În cazul în care curba (C are reprezentarea parametrică (813, ecuaţia dreptei normale în punctul M (, este (8111 h` g( t ( t + g` h( t ( t ; în cazul reprezentării carteziene eplicite (811, ecuaţia normalei este (811 ( f `( + ( -, 35

7 iar în cazul reprezentării implicite ecuaţia căutată este (8113 ( F`(, - ( F`(, III Curbura şi rază de curbură Înainte de a da definiţia următoare, reamintim că lungimea arcului de curbă AB, A( A, A, B( B, B (C este dată de formula B (8114 l 1 ( f `( AB + a d, în cazul reprezentării carteziene eplicite (811 şi de formula B (8115 l ( g` ( t ( h`(t AB t + (81, unde A g(t A, B h (t B t a dt, în cazul reprezentării parametrice Definiţia 817 a Numim unghi de contingenţă al unui arc de curbă şi-l notăm α, unghiul ascuţit format de tangentele duse la etremităţile arcului (Fig 43 b Numim curbură medie a unui arc de curbă, şi o notăm cu K m, raportul dintre unghiul de contingenţă şi lungimea arcului: α (8115 K m s c Numim curbura unei curbe într-un punct şi o notăm cu K sau R 1, limita curburii medii când lungimea arcului tinde către zero 1 α (8116 K lim s R s 36

8 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Inversul curburii poartă numele de raza de curbură a curbei în acel punct În cele ce urmează vom determina o epresie analitică pentru calculul curburii Pentru înce- put, considerăm reprezentarea eplicită (811 a curbei (C Presupunem că funcţia f( este clasă cel puţin în vecinătatea unui punct regulat M (, al curbei Considerăm punctul M 1 ( +, +, infinit apropiat de M, şi (T, (T tangentele în M şi respectiv M 1, care formează cu aa O unghiurile ϕ şi respectiv ϕ + ϕ (Fig 43 Presupunem în plus că f `` Este uşor de văzut că unghiul ϕ + ϕ, ca unghi eterior, este egal cu suma unghiurilor ϕ şi α Deci ϕ α De asemenea, observăm că dacă s (M 1 M, atunci Deci α K lim s ( ϕ / ( ϕ / lim s lim s ( s / ( dϕ / d ( s / ( / d Interpretarea geometrică a derivatei, tg ϕ f `( ϕ arctg f `(, conduce la relaţia dϕ /d 1+ 1 ( f `( (8114, rezultă că /d ( f `( f ``( (8117 K 1+ ( f `( f ``( 1+ şi [ ] 3/ de Pe de altă parte, din formula [ ] 1+ ( f `(, R f ``( Teorema 814 Fie (C o curbă plană, de clasă cel puţin într-o vecinătate a punctului său regulat şi neinfleionar ( ``( M(, aîn cazul reprezentării eplicite (811 a curbei 3/ 37

9 (C curbura şi respectiv raza de curbură în punctul M sunt date de relaţia (8117 b În cazul reprezentării implicite (81 a curbei (C, curbura este dată de formula ( `` F (8118 K - ( ` F F `F `F ``+ F ` ( F ` + ( F ` (8119 K - (8119 prin înlocuire directă Este bine-cunoscut următorul rezultat: Curbura unei curbe este identic nulă dacă şi numai dacă curba este o dreaptă (pentru detalii vezi [1] Rezultă următoarea interpretare: curbura unei curbe într-un punct măsoară abaterea curbei de la o linie dreaptă, anume abaterea de la dreapta tangentă la curbă în punctul respectiv VI Puncte multiple ale unei curbe plane Fie (C o curbă definită de ecuaţia F(, Punctul M(, (C se numeşte punct multiplu de ordinul n, dacă funcţia F(, împreună 38 F `` c În cazul reprezentării parametrice (813 curbura este g` ( h``( h`( g``( ( g`( + ( h`( Demonstraţie Deoarece cazul a a fost demonstrat, este suficient să arătăm b şi c b Teorema de derivare a funcţiilor implicite ne asigură că F` (, f`( `( Derivând încă o dată pe f`( în raport cu F` (, ( `` F obţinem f``( ( ` F F `F `F ``+ F ` ( F ` 3 F `` Înlocuind epresiile obţinute pentru f`( şi f``( în (8117 obţinem (8118 c Reamintim g' ( t g& că f`( Deci f``( h`( t h& gh &&& &&& gh Din (8117 rezultă ( h&

10 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială cu toate derivatele sale parţiale până la ordinul n-1 inclusiv se anulează în acest punct şi cel puţin o derivată parţială de ordinul n este diferită de zero în M(, Propoziţia 811 Fie (C o curbă definită de ecuaţia F(,, unde F este o funcţie de clasă C Într-un punct dublu, M(, (C, pantele tangentelor la cele două ramuri ale curbei sunt rădăcinile ecuaţiei în m (81 m F ``(, + m F ``(, + F ``(, Demonstraţie Dacă punctul M (, este un punct dublu al curbei (C, atunci F(,, F `(,, F `(, Panta tangentei în M F este m - ` (, lim Cum M (, (, F `(, este punct dublu, rezultă m - lim (, (, (, (, F ` (, F `(, Aplicând teorema lui l` Hospital, avem m - (, F `(, F ` F `` lim F `` + (, + F ``(, `( Deoarece derivatele mite sunt egale, iar (, F ``(, `( `( m, trecem la limită şi eliminând numitorii obţinem ec (81 În funcţie de natura rădăcinilor ecuaţiei (81 avem următoarele situaţii (vezi Fig 44: Definiţia 818 a Punctul dublu M (, este eliptic dacă not (F ``(, - F ``(, F ``(, < În acest caz cele două tangente sunt imaginare iar punctul M (, este un punct izolat b Punctul dublu M (, este hiperbolic dacă > Atunci ecuaţia (81 are două rădăcini reale şi distincte Acestea corespund celor două tangente 39

11 (distincte la curbă în punctul M Prin punct trec două ramuri ale curbei Punctul M se numeşte nod c Punctul dublu M (, este parabolic dacă De această dată ecuaţia (81 are două rădăcini reale egale Corespunzător, eistă două tangente la curbă în punctul M reale şi confundate Spunem că punctul M este punct de întoarcere 8 Curbe în spaţiu Fie {O, i, j, k } (notat Oz un reper cartezian ortonormat în spaţiul punctual euclidian E 3 Definiţia 81 Numim arc simplu de curbă în spaţiu, mulţimea (C a punctelor M(,, z E 3 care satisfac fie ecuaţiile (81 f (,, z g(,, (, (a, b (c, d, a, b, c, d R fie ecuaţii de tipul (8 F(,, z, G(,, z, (,, z (a 1, b 1 (a, b (a 3, b 3, a i, b i R, i 1,, 3, fie un sistem de forma (83 z z(t ( t ( t, t (t 1,t, t 1, t R, 4

12 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială unde f, g, F, G,,, z sunt funcţii reale de clasă cel puţin C 1 pe domeniile lor de definiţie, funcţiile F şi G satisfac teorema de eistenţă a funcţiilor implicite (p 58 [8] iar funcţiile (, ( şi z( stabilesc o corespondenţă bijectivă şi bicontinuă între punctele M (C şi mulţimea valorilor parametrului t (t 1, t Ecuaţia (81 poartă numele de reprezentare eplicită a arcului simplu de curbă (C, ecuaţia (8 este reprezentarea implicită a acestuia, iar sistemul (813 furnizează reprezentarea parametrică a lui (C Fie r vectorul de poziţie al punctului M (C Dacă funcţiile (, ( şi z( sunt cele din definiţia de mais sus, atunci ecuaţia (84 r (ti + (t j + z(t k, t 1 < t < t, t 1, t R se numeşte ecuaţia vectorială a arcului simplu de curbă (C D( F,G F` Introducem notaţia pentru determinantul funcţional D(,z G` mod asemănător se definesc şi determinanţii (, ( D F,G D z, ( ( D F,G D, Ca şi în cazul curbelor plane, avem următoarele condiţii de regularitate: (85 ( ( D F,G D,z D( F,G sau sau D( z, ( ( D F,G D, definite implicit prin ecuaţiile (8 şi (86 (`(t + (`(t + (z`(t - în cazul curbelor definite prin ecuaţiile parametrice (83 Astfel, un arc simplu de curbă în spaţiu (C se numeşte arc regulat de curbă dacă în reprezentările (8 sau (83, sunt îndeplinite condiţiile (85, respectiv (86 Un punct M, de pe un arc simplu de curbă (C, se numeşte regulat dacă îndeplineşte toate condiţiile de regularitate În caz contrar, se spune că punctul este singular 41 F` z G` z În - în cazul curbelor

13 I Dreapta tangentă şi planul normal la o curbă în spaţiu Fie (C o curbă definită parametric prin ecuaţiile (83 şi fie (84 ecuaţia sa vectorială Reamintim formula de calcul a lungimii arcului regulat de curbă AB t B (87 ( ` ( t + ( `(t ( z`(t l AB + dt ta Dreapta tangentă la curbă în punctul regulat M (,, z (C este poziţia limită a dreptelor M M 1 atunci când M 1 (C, M 1 M Se cunoaşte, (vezi cursul de analiză matematică sau [8] pentru detalii, că vectorul director al tangentei în punctul M este dr dt t t r ( t & (t i + & (t j + z& (t k, (t, (t, z(t z Dacă R este vectorul de poziţie al unui punct arbitrar M(,, z de pe tangentă, atunci ecuaţia vectorială a tangentei este R r (t + λ ṙ (t Ecuaţiile dreptei tangente la (C în punctul M, sub formă de rapoarte, se obţin imediat şi sunt următoarele (88 & ( t ( t & ( t ( t z z& z( t ( t Dacă curba (C este dată ca intersecţie a două suprafeţe, adică se cunosc ecuaţiile implicite (8, atunci presupunem că (t; (t; z z (t este o parametrizare a curbei Prin derivare în raport cu t, F` ` obţinem: G` ` ( t + F` `( t + F` z`( t ( t + G` `( t + G` z`( t 4

14 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Pentru t t, matricea sistemului are rangul doi, deoarece punctul M este regulat Putem presupune că, spre eemplu, determinantul ( (, z D F,G D este nenul în punctul M Rezolvăm sistemul de mai sus prin regula lui Cramer şi, luând z`(t ca parametru, avem (89 & ( t ( ( z D F,G D, & ( t ( ( D F,G D z, tangentei în M la curba (C (81 ( t D( F,G D(, z z& ( t Aplicând (88, obţinem ecuaţiile ( ( D F,G D, ( t ( ( D F,G D z, z( t ( ( z D F,G D, Definiţia 8 Se numeşte plan normal (π N la curba (C într-un punct regulat M (,, z (C, planul perpendicular în M pe dreapta tangentă la curbă în punctul M Dacă R (respectiv r (t este vectorul de poziţie al unui punct arbitrar M(,, z situat în planul normal (π N (respectiv al punctului M (C, atunci ecuaţia vectorială a planului normal este < R - r (t, ṙ (t > De aici rezultă ecuaţia carteziană a planului normal: (811 ( (t `(t + ( (t `(t + (z z(t z`(t În cazul în care curba (C este dată prin ecuaţiile implicite (8, putem folosi formulele (89 pentru a rescrie ecuaţia (811 sub forma ( t ( t z z( t (81 F ` F ` F ` G ` G ` G z z `, unde toate derivatele parţiale F `, G ` etc se calculează în punctul (,, z 43

15 II Triedrul lui Frenet Fie (C o curbă de clasă cel puţin şi fie M un punct regulat al curbei Fie r vectorul de poziţie al unui punct oarecare M (C Presupunem că avem următoarea reprezentare vectorială a curbei (C r r (t, t I, I un interval din R şi că vectorul de poziţie al punctului M este r (t Aşa cum am arătat în paragraful precedent vectorul ṙ (t este vectorul director al tangentei în punctul M la curbă Punctul M se numeşte neinfleionar dacă r (t şi infleionar dacă r (t Dacă, în plus, vectorii ṙ (t şi r (t sunt necoliniari, adică r (t r (t, atunci punctul M se numeşte nestaţionar În caz contrar, el se numeşte punct staţionar al curbei (C Definiţia 83 Se numeşte plan osculator (π la curba (C într-un punct neinfleionar şi nestaţionar M (t (C, planul care trece prin M şi este paralel cu direcţiile vectorilor liberi ṙ (t şi r (t Dacă R este vectorul de poziţie al unui punct oarecare M(,, z (π, atunci ecuaţia vectorială a planului osculator este R - r (t, ṙ (t r (t De aici rezultă ecuaţia carteziană a planului osculator: (813 & ( t & ( t z& ( t ( t ( t z( t z z 44

16 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Se observă că planul osculator (π conţine dreapta tangentă la curbă în punctul M şi este perpendicular pe planul normal, (π N, în M De asemenea este important de reţinut că, în punctele infleionare sau staţionare ale lui (C, nu putem ataşa plan osculator Din acest motiv, în cele ce urmează, vom lua în considerare numai punctele M (C, neinfleionare şi nestaţionare O altă observaţie importantă este aceea că planul osculator nu depinde de parametrizarea aleasă pe curba (C Intersecţia dintre planul normal (π N şi planul osculator (π la curba (C în punctul M este în mod evident o dreaptă Definiţia 84 Dreapta de intersecţie dintre planul normal (π N şi planul osculator (π se numeşte normala principală la curba (C în punctul M şi va fi notată (n p Ecuaţia normalei principale, ca dreaptă de intersecţie a celor două plane, este dată de sistemul format de ecuaţiile (81 şi (813 Pe de altă parte, se observă că vectorul director v N al normalei principale este perpendicular pe fiecare din normalele celor două plane Deci v N este coliniar cu vectorul ( ṙ (t r (t ṙ (t Dacă R este vectorul de poziţie al unui punct oarecare M(,, z (n p, atunci ecuaţia vectorială a normalei principale este (814 R - r (t λ( ṙ (t r (t ṙ (t, λ R canonice Scriind această ecuaţie pe componente obţinem ecuaţiile carteziene (815 (n p : & z& z& & m n n l z z & & l 45 m, unde

17 (816 l & && z& && z, m z& && z & &&, n & && & && Definiţia 85 Dreapta perpendiculară pe planul osculator (π în M se numeşte dreaptă binormală (b N Observăm că am obţinut în M trei drepte perpendiculare două câte două, anume: dreapta tangentă la curba (C în M, normala principală şi dreapta binormală Este clar că dreapta binormală este conţinută în planul normal, iar vectorul ei director este de fapt normala la planul osculator, adică vectorul liber ṙ (t r (t Dacă R este vectorul de poziţie al unui punct oarecare M(,, z (b N, atunci ecuaţia vectorială a binormalei este (817 R - r (t λ( ṙ (t r (t, λ R De aici deducem ecuaţiile carteziene generale ale binormalei (818 (b N : (816 l m z z n, unde l, m şi n sunt definiţi de Definiţia 86 Se numeşte plan rectificat (sau rectificator în M planul ce trece prin M principală în M şi este perpendicular pe normala Ecuaţia vectorială a planului rectificat este R - r (t, ( ṙ (t r (t ṙ (t, deoarece normala principală în M este de fapta normala la planul rectificat Ecuaţia carteziană a planului rectificat este z z (819 & ( t & ( t z& ( t l m n cu l, m şi n definiţi de (816 46

18 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială Fie M(,, z un punct regulat neinfleionar şi nestaţionar al curbei (C ( (t, (t, z z(t În continuare vom dicuta unele proprietăţi ale tangentei, normalei principale şi binormalei la curba (C în punctul M În primul rând, observăm că versorul dreptei tangente este τ r r (t/ ( t dr, unde s semnifică lungimea arcului de curbă Derivând dτ dτ relaţia τ, τ 1 în raport cu s, obţinem τ, Deci τ şi sunt vectori ortogonali Deducem că dτ este o direcţie în planul normal Un dτ d r calcul simplu arată că d dr d dr dt dt d r dt dr d t + dt dt r dt d t + r Deoarece ṙ şi r sunt direcţii ce determină planul osculator, dτ rezultă că este o direcţie în planul osculator Fiind direcţie atât în planul osculator cât şi în cel normal, dτ este vectorul director al norm- dτ dτ alei principale Notăm cu ν versorul / şi îl vom numi versor normal principal Deoarece binormala este perpendiculară atât pe dreapta tangentă cât şi pe normala principală, alegem versorul β al binormalei astfel încât reperul {M, τ,ν, β } să fie drept orientat (adică τ ν β, ν β τ, β τ ν Atunci planul osculator este determinat de τ şi ν, planul normal (π N este determinat de ν şi β iar planul rectificat este determinat de τ şi β 47

19 Definiţia 87 a Triedrul format de vectorii liberi τ,ν şi β se numeşte triedrul lui Frenet dτ b Scalarul K se numeşte curbură a curbei (C în punctul regulat M (C Inversul curburii se numeşte rază de curbură R 1/K dν dβ În cele ce urmează vom calcula şi derivatele, Cum ν, ν dν 1, prin derivare rezultă că, ν sunt vectori ortogonali Analog se dβ arată că şi β sunt ortogonali Deoarece triedrul lui Frenet formează o dν dβ baza în V 3, avem a β + b τ şi a1 ν + b 1 τ Derivând relaţia τ, dτ dν ν obţinem, ν + τ, K + τ,a β + b τ K + b b -K Procedând asemănător, se derivează relaţia τ, β şi se obţine b 1 Derivăm şi relaţia ν, β şi deducem că a + a 1 Notând scalarul a 1 cu 1/T obţinem a - 1/T Valoarea 1/T se numeşte torsiunea curbei (C în punctul M, iar T se numeşte raza de torsiune Din cele de mai sus rezultă relaţia (8 dτ / dν / 1/ R dβ / 48 1/ R 1/ T cunoscută sub denumirea de formulele lui Frenet 83 Eerciţii τ 1/ T ν, β 1 (Cisoida lui Diocles Cercul (C de rază r şi centru A(r, care intersectează aa O a reperului cartezian O în punctele O şi B Fie D un

20 Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială punct variabil pe tangenta în punctul B la cercul (C Notăm cu E intersecţia dreptei DO cu cercul (C a Să se determine locul geometric al punctelor P(, care satisfac condiţia P OD şi DP OE (Fig 46 b Să se determine punctele singulare ale cisoidei şi să se precizeze care este ordinul lor de multiplicitate R: Dacă (, sunt coordonatele lui P, atunci folosim notaţiile din Fig 46 şi avem OP cos t, OP sin t, OP OD - PD OD OE r/cos(t rcos (t r sin (t/cos(t Deci r sin (t, r sin 3 (t/cos(t Eliminând pe t, obţinem ecuaţia carteziană implicită F(,, unde F(, 3 + r b Deoarece F` 3 +, F` 4r se anulează simultan dacă şi numai dacă, rezultă că O(, este singurul punct singular al cisoidei El este un punct dublu deoarece F`` -4r pentru Punctul este parabolic (Foliului lui Descartes Se considera curba a cărei ecuaţie implicită este (Fig 47 a Să se determine toate punctele duble ale curbei precum şi pantele tangentelor în acestea b Să se determine curbura şi raza de curbură în punctele de pe curbă ce au abscisa egală cu 1 R: a Avem F` 3 -, F` 3, F`` 6, F`` -, F`` 6 Singurul punct de pe curbă în care se anulează derivatele parţiale de ordinul înâi este O(, Deoarece F`` -, rezultă că O(, este punct dublu Cantitatea, din Definiţia 818 este egală cu 4 în punctul (,, deci avem de a face cu un punct hiperbolic Rezolvând ecuaţia (81 rezultă că 49

21 pantele celor două tangente în punct sunt m 1 şi m Cele două tangente sunt aa O şi aa O b Se deduce uşor că punctele de pe foliul lui Descartes care au abscisa egală cu 1 sunt (1, 1, (1, 5 /-1/ şi (1, - 5 /-1/ Aplicând formula (8118 deducem că în cazul punctului (1, 1 curbura este K 8, R 1/8 În cazul punctului (1, 5 /-1/ obţinem K (59/ /1 615, R 1/K şi pentru punctul (1, - 5 /-1/ avem K -(59/ /1 169, R 1/K (Elicea cilindrică Fie curba (C : cos t, sint, z 3t, t R (Fig 48 a Să se determine triedrul Frenet al curbei într-un punct oarecare b Să se scrie ecuaţia planului rectificator R: Avem: & (t -sint, & (t cost, z& (t 3, & & (t - cost, & & (t - sint, & z& (t Versorul dreptei tangente este τ - / 13 sin(t i + / 13 cos(t j + 3/ 13 k Ecuaţia planului osculator este (vezi relaţia (813 cos sin cos ( t sin( t z ( t cos( t 3 ( t cos( t 3t 3 sin(t( cos(t - 3 cos(t( sin(t +(z 3t De aici deducem că un versor al binormalei este β 3/ 13 sin(t i - 3/ 13 cos(t j + / 13 k Atunci versorul normalei principale va fi ν β τ -13(cos(t i + sin(t j Ecuaţiile tangentei sunt principale sunt ( t ( t X cos 3sin X cos sin ( t ( t X cos cos Y sin 3cos Y ( t Z ( t cos(t + (Y - 3sin(t sin(t ( t ( t Y sin cos sin( t sin( t 5 ( t Z ( t 3 3t Ecuaţiile normalei, Y 3t Ecuaţiile binormalei sunt 3t Ecuaţia planului rectificator este (X - 3cos(t

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu

Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu Geometria diferenţială a curbelor în spaţiu A. U. Thor 0.1 Generalităţi Definitia 1.1 Se numeşte curbă înspaţiu dată parametric mulţimea punctelor M (x, y, z) din spaţiuacăror coordonate sunt date de x

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene

CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu. I. Coordonate carteziene Geometrie liniară în spaţiu CAPITOLUL 6 GEOMETRIE LINIARĂ ÎN SPAŢIU 6.. Sisteme de coordonate în plan şi în spaţiu I. Coordonate carteziene În cele ce urmează, notăm cu E 3 spaţiul punctual tridimensional

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu

ELEMENTE DE GEOMETRIE. Dorel Fetcu ELEMENTE DE GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Dorel Fetcu Acest curs este un fragment din manualul D. Fetcu, Elemente de algebră liniară, geometrie analitică şi geometrie diferenţială, Casa Editorială

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R.

a carei ecuatie matriceala este data in raport cu R. POZITIA RELATIVA A UNEI DREPTE FATA DE O HIPERCUADRICA AFINA REALA. TANGENTE SI ASIMPTOTE. OANA CONSTANTINESCU Pentru studiul pozitiei relative a unei drepte fata de o hipercuadrica, remarcam ca nu mai

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }.

OANA CONSTANTINESCU. ( a carei ecuatie matriceala este data in raport cu un reper cartezian R = {O; ē 1,, ē n }. ELEMENTE DE SIMETRIE ALE UNEI HIPERCUADRICE IN SPATII AFINE EUCLIDIENE OANA CONSTANTINESCU 1. Centru de simetrie pentru o hipercuadrica afina Pentru inceput cadrul de lucru este un spatiu an real de dimensiune

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi

GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE. Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 20, 2009, Iaşi GEOMETRIE VECTORIALĂ, ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ. PROBLEME REZOLVATE Gabriel POPA, Paul GEORGESCU c August 0, 009, Iaşi Cuprins 1 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI. STRUCTURA AFINĂ 4 SPAŢIUL VECTORILOR LIBERI.

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ. Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Departamentul de Informaticǎ Liliana Brǎescu Eva Kaslik Simina Mariş Simona Epure Ioan Rodilǎ CURS DE GEOMETRIE Timişoara 2007

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi

Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Produsul scalar: denitie, proprietati Schimbari de repere ortonormate in plan Aplicatii Lectia III Produsul scalar a doi vectori liberi Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia III Produsul scalar:

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale.

Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Puncte de extrem pentru funcţii reale de mai multe variabile reale. Definiţie. Fie f : A R n R. i) Un punct a A se numeşte punct de extrem local pentru f dacă diferenţa f(x) f păstrează semn constant pe

Διαβάστε περισσότερα

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l +

f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl, x U 0 D\{x 0 }. < f(x) < l + Semnul local al unei funcţii care are limită. Propoziţie. Fie f : D (, d) R, x 0 D. Presupunem că lim x x 0 f(x) = l 0. Atunci f are local semnul lui l, adică, U 0 V(x 0 ) astfel încât sgnf(x) = sgnl,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii

Seminariile Capitolul IX. Integrale curbilinii Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 7 8 Capitolul IX. Integrale curbilinii. Să se calculee Im ) d, unde este segmentul

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber

CAPITOLUL 2 VECTORI LIBERI. 2.1 Segment orientat. Vector liber Algebră liniară CAPITOLUL VECTORI LIBERI. Segment orientat. Vector liber Acest capitol este dedicat în totalitate studierii spaţiului vectorilor liberi, spaţiu cu foarte multe aplicaţii în geometrie, fizică

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme

Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme Cum folosim cazuri particulare în rezolvarea unor probleme GHEORGHE ECKSTEIN 1 Atunci când întâlnim o problemă pe care nu ştim s-o abordăm, adesea este bine să considerăm cazuri particulare ale acesteia.

Διαβάστε περισσότερα

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,...

1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,... 1. Sisteme de ecuaţii liniare Definiţia 1.1. Fie K un corp comutativ. 1) Prin sistem de m ecuaţii liniare cu n necunoscute X 1,..., X n şi coeficienţi în K se înţelege un ansamblu de egalităţi formale

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC

cateta alaturata, cos B= ipotenuza BC cateta alaturata AB cateta opusa AC .Masurarea unghiurilor intr-un triunghi dreptunghic sin B= cateta opusa ipotenuza = AC BC cateta alaturata, cos B= AB ipotenuza BC cateta opusa AC cateta alaturata AB tg B=, ctg B= cateta alaturata AB

Διαβάστε περισσότερα

Geometria curbelor şi suprafeţelor 27 Mai 2014

Geometria curbelor şi suprafeţelor 27 Mai 2014 Geometria curbelor şi suprafeţelor 7 Mai 04 Mircea Crâşmăreanu ii Cuprins Introducere v Noţiunea de curbă. Geometria unei curbe Reperul Frenet şi curburi 9 3 Teorema fundamentală a curbelor 7 4 Ecuaţiile

Διαβάστε περισσότερα

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.

T R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită. Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică

Διαβάστε περισσότερα

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează

7. Fie ABCD un patrulater inscriptibil. Un cerc care trece prin A şi B intersectează TEMĂ 1 1. În triunghiul ABC, fie D (BC) astfel încât AB + BD = AC + CD. Demonstraţi că dacă punctele B, C şi centrele de greutate ale triunghiurilor ABD şi ACD sunt conciclice, atunci AB = AC. India 2014

Διαβάστε περισσότερα

1Reziduuri şi aplicaţii

1Reziduuri şi aplicaţii Reziduuri şi aplicaţii În acest curs vom prezenta noţiunea de reziduu, modul de calcul al reziduurilor, teorema reziduurilor şi câteva aplicaţii ale teoremei reziduurilor, în special la calculul unor tipuri

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =.

1. Completati caseta, astfel incat propozitia obtinuta sa fie adevarata lg 4 =. Copyright c ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician Ministerul Educatiei al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 4 iunie Profilul real Timp

Διαβάστε περισσότερα

Cuprins. I Geometrie Analitică 9

Cuprins. I Geometrie Analitică 9 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului POSDRU/56/1.2/S/32768, Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predareînvăţare-evaluare

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a

CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

, m ecuańii, n necunoscute;

, m ecuańii, n necunoscute; Sisteme liniare NotaŃii: a ij coeficienńi, i necunoscute, b i termeni liberi, i0{1,,..., n}, j0{1,,..., m}; a11 1 + a1 +... + a1 nn = b1 a11 + a +... + an n = b (S), m ecuańii, n necunoscute;... am11 +

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice

Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Platformă de e-learning și curriculă e-content pentru învățământul superior tehnic Geometrie computationala 2. Preliminarii geometrice Preliminarii geometrice Spatiu Euclidean: E d Spatiu de d-tupluri,

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3

6.CONUL ŞI CILINDRUL. Fig Fig. 6.2 Fig. 6.3 6.CONUL ŞI CILINDRUL 6.1.GENERALITĂŢI Conul este corpul geometric mărginit de o suprafaţă conică şi un plan; suprafaţa conică este generată prin rotaţia unei drepte mobile, numită generatoare, concurentă

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi-seminar 1

Vectori liberi-seminar 1 Vectori liberi-seminar ) Determinati α R astfel incat vectorii ā = m+ n si b = m+α n sa fie coliniari, unde m, n sunt necoliniari. ) Demonstrati ca urmatorii trei vectori liberi sunt coplanari: ā = ī j

Διαβάστε περισσότερα

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE

APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL. Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE 1 APLICAŢII ALE CALCULULUI DIFERENŢIAL Material pentru uzul studenţilor de la FACULTATEA DE MECANICĂ 2 Contents 1 Aplicaţii ale calculului diferenţial 5 1.1 Extreme ale funcţiilor reale de mai multe variabile

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE. Valeriu Zevedei, Ionela Oancea

ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE. Valeriu Zevedei, Ionela Oancea ALGEBRĂ LINEARĂ, GEOMETRIE ANALITICĂ ŞI DIFERENŢIALĂ Valeriu Zevedei, Ionela Oancea April 9, 005 CUPRINS 1 CALCUL VECTORIAL 7 1.1 Vectori legaţi,vectori liberi... 7 1. Operaţiilinearecuvectori... 9 1..1

Διαβάστε περισσότερα

Transformata Laplace

Transformata Laplace Tranformata Laplace Tranformata Laplace generalizează ideea tranformatei Fourier in tot planul complex Pt un emnal x(t) pectrul au tranformata Fourier ete t ( ω) X = xte dt Pt acelaşi emnal x(t) e poate

Διαβάστε περισσότερα

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI

Nicolae Cotfas ELEMENTE DE EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Nicolae Cotfas ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ EDITURA UNIVERSITĂŢII DIN BUCUREŞTI Introducere Pe parcursul acestei cărţi ne propunem să prezentăm într-un mod cât mai accesibil noţiuni si rezultate de bază

Διαβάστε περισσότερα

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice...

2.9 Forme biafine Forme pătratice afine. Aducerea la forma canonică Centre de simetrie Varietăţi pătratice... Geometrie Afină Contents 1 Spaţii vectoriale 3 1.1 Spaţii vectoriale peste un corp K........................ 3 1.2 Exemple de spaţii vectoriale........................... 4 1.3 Dependenţă liniară de vectori..........................

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

2. CALCULE TOPOGRAFICE

2. CALCULE TOPOGRAFICE . CALCULE TOPOGRAFICE.. CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE... CALCULAREA DISTANŢEI DINTRE DOUĂ PUNCTE DIN COORDONATE RECTANGULARE Distanţa în linie dreaptă dintre două puncte se poate calcula dacă

Διαβάστε περισσότερα

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian.

Spaţii vectoriale. Definiţia 1.1. Fie (K, +, ) un corp şi (V, +) un grup abelian. Spaţii vectoriale 1. Spaţii vectoriale. Definiţii şi proprietăţi de bază În continuare prin corp vom înţelege corp comutativ. Dacă nu se precizează altceva, se vor folosi notaţiile standard pentru elementele

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2. Integrala stochastică

Capitolul 2. Integrala stochastică Capitolul 2 Integrala stochastică 5 CAPITOLUL 2. INTEGRALA STOCHASTICĂ 51 2.1 Introducere În acest capitol vom prezenta construcţia integralei stochastice Itô H sdm s, unde M s este o martingală locală

Διαβάστε περισσότερα

Fişier template preliminar

Fişier template preliminar logo.png Contract POSDRU/86/1.2/S/62485 Fişier template preliminar Universitatea Tehnica din Iaşi (front-hyperlinks-colors * 29 iulie 212) UTC.png UTI.png Universitatea Tehnică Gheorghe Asachi din Iaşi

Διαβάστε περισσότερα

7 Distribuţia normală

7 Distribuţia normală 7 Distribuţia normală Distribuţia normală este cea mai importantă distribuţie continuă, deoarece în practică multe variabile aleatoare sunt variabile aleatoare normale, sunt aproximativ variabile aleatoare

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

Polarizarea tranzistoarelor bipolare

Polarizarea tranzistoarelor bipolare Polarizarea tranzistoarelor bipolare 1. ntroducere Tranzistorul bipolar poate funcţiona în 4 regiuni diferite şi anume regiunea activă normala RAN, regiunea activă inversă, regiunea de blocare şi regiunea

Διαβάστε περισσότερα

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener

Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener Analiza funcționării și proiectarea unui stabilizator de tensiune continuă realizat cu o diodă Zener 1 Caracteristica statică a unei diode Zener În cadranul, dioda Zener (DZ) se comportă ca o diodă redresoare

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y).

Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f : I G R n. Forma generala a unei ecuaţii diferenţiale de ordinul întâi este: = f(x, y). Ecuaţii diferenţiale Ecuaţii diferenţiale ordinare Ecuaţii cu derivate parţiale Ordinul unei ecuaţii Soluţia unei ecuaţii diferenţiale ordinare Fie I R un interval deschis, G R n, n 1, un domeniu şi f

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1 CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei

Διαβάστε περισσότερα

4.Inversul lui z=a+bi este nr.complex, z cu proprietatea ca zz =1, rezulta z =a/(a 2 +b 2 ) (bi)/(a 2 +b 2 ) si notam z =z -1

4.Inversul lui z=a+bi este nr.complex, z cu proprietatea ca zz =1, rezulta z =a/(a 2 +b 2 ) (bi)/(a 2 +b 2 ) si notam z =z -1 Numere complexe 1.Multimea numerelor complexe este C=RxR={(a;b)/a,b R} cu operatiile: z 1 =(a 1 ;b 1 ), z 2 =(a 2 ;b 2 ) a 1 ;b 1 ;a 2 ;b 2 R, z 1 +z 2 = (a 1 +a 2 ; b 1 +b 2 ), z 1 z 2 = (a 1 a 2 - b

Διαβάστε περισσότερα

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007

VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M1-1, 2007 VARIANTE PENTRU BACALAUREAT, M-, 27 VARIANTA SUBIECTUL I. a) Să se determine ecuația dreptei care trece prin punctul A(2; 5;3) și este paralelă cu dreapta x = y 2 4 6 = z +3 9. b) Să se determine valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI In mecanică există mărimi scalare sau scalari şi mărimi vectoriale sau vectori. Mărimile scalare (scalarii) sunt complet determinate prin valoarea lor numerică

Διαβάστε περισσότερα

MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA

MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA MC. 13 ELEMENTE DE TEORIA CÂMPURILOR Cuprins 15 MC. 13 Elemente de teoria câmpurilor 5 15.1 Câmpuri scalare. Curbe şi suprafeţe de nivel............................. 5 15.2 Derivata după o direcţie şi

Διαβάστε περισσότερα

Probleme pentru clasa a XI-a

Probleme pentru clasa a XI-a Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =

Διαβάστε περισσότερα

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL

7. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE 7.1. RETELE ELECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINUSOIDAL 7. RETEE EECTRICE TRIFAZATE 7.. RETEE EECTRICE TRIFAZATE IN REGIM PERMANENT SINSOIDA 7... Retea trifazata. Sistem trifazat de tensiuni si curenti Ansamblul format din m circuite electrice monofazate in

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα