ηµιουργία Πλανητικών συστηµάτων: προσοµοίωση µε εφαρµογή κυψελικών αυτοµάτων

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ιπλωµατική Εργασία ηµιουργία Πλανητικών συστηµάτων: προσοµοίωση µε εφαρµογή κυψελικών αυτοµάτων Παπαστεργής Εµµανουήλ A.E.M Επιβλέποντες: Καθηγητής Λουκάς Βλάχος Λέκτορας Κλεοµένης Τσιγάνης Θεσσαλονίκη, Ιούλιος 2007

2 Ι. Εισαγωγή 1. ίσκοι Προσαύξησης (Accretion Discs) ίσκος προσαύξησης ονοµάζεται ένας δίσκος αερίων και σκόνης ο οποίος βρίσκεται σε κίνηση γύρω από ένα κεντρικό σώµα. Το κεντρικό αυτό σώµα είναι συνήθως είτε ένας νεαρός αστέρας (πρωτοαστέρας), είτε ένας λευκός νάνος, αστέρας νετρονίων ή µαύρη τρύπα. Λόγω ασταθειών στο εσωτερικό του δίσκου, υπάρχει µια ανακατανοµή στροφορµής, η οποία αναγκάζει την ύλη να κινειθεί σπειροειδώς προς την κατεύθυνση του κεντρικού σώµατος. Κατά τη διάρκεια αυτής της διαδικασίας, δυναµική ενέργεια µετατρέπεται σε θερµότητα, προκαλώντας την εκποµπή ΗΜ ακτινοβολίας από την επιφάνεια του δίσκου. Η περιοχή συχνοτήτων στην οποία εκπέµπεται το µεγαλύτερο µέρος αυτής της ακτινοβολίας εξαρτάται από το κεντρικό σώµα. Οι δίσκοι προσαύξησης γύρω από πρωτοαστέρες ακτινοβολούν κυρίως στο υπέρυθρο, ενώ αυτοί γύρω από αστέρες νετρονίων και µαύρες τρύπες κυρίως στις ακτίνες Χ. Οι δίσκοι προσαύξησης που σχηµατίζονται γύρω από πρωτοαστέρες ονοµάζονται και πρωτοπλανητικοί δίσκοι, γιατί σήµερα πιστεύουµε ότι από αυτούς τους δίσκους σχηµατίζονται τα πλανητικά συστήµατα Στην περίπτωση των πρωτοπλανητικών δίσκων, τα υλικά προέρχονται από το ίδιο νεφέλωµα από το οποίο δηµιουργήθηκε και ο πρωτοαστέρας. Ένα από τα µεγαλύτερα ανοικτά ζητήµατα στην θεωρητική αστροφυσική είναι η εξήγηση του αυξηµένου ιξώδους που παρατηρείται στους δίσκους προσαύξησης. Για να κινηθεί η ύλη προς τον κεντρικό αστέρα, πρέπει να χάσει στροφορµή, εκτός από δυναµική ενέργεια. Όµως επειδή η ολική στροφορµή του συστήµατος παραµένει σταθερή, πρέπει να υπάρχει κάποιος µηχανισµός που να προκαλεί την ανακατανοµή της στροφορµής, µεταφέροντάς την µακριά από το ισηµερινό επίπεδο όπου βρίσκεται συγκεντρωµένο το µεγαλύτερο ποσοστό της µάζας. Το πρόβληµα είναι ότι το µοριακό ιξώδες του αερίου δεν είναι αρκετά µεγάλο, ώστε να εξηγήσει τους ρυθµούς µεταφοράς στροφορµής που υπάρχουν στην πραγµατικότητα. Φαίνεται ότι η αυξηµένη αυτή µεταφορά στροφορµής οφείλεται στην αύξηση του ενεργού ιξώδους λόγω τύρβης, παρόλο που δεν είναι ακόµα ξεκάθαρη η αιτία που δηµιουργεί την τύρβη αυτή. Μία προσέγγιση του προβλήµατος, η οποία οφείλεται στους ρώσους επιστήµονες Shakura και Shunyaev, είναι η εισαγωγή µίας ελεύθερης παραµέτρου α, η οποία περιγράφει την αύξηση του ενεργού ιξώδους λόγω τύρβης, ανεξαρτήτως του µηχανισµού που προκαλεί την τύρβη αυτή. Μετά από την ανακάλυψη από τους Hawley και Balbus το 1991 της δυνατότητας δηµιουργίας έντονων µαγνητικών πεδίων σε έναν αρχικά ελάχιστα µαγνητισµένο δίσκο προσαύξησης, (λόγω ενός µηχανισµού ανάλογου του δυναµό) η πιθανότερη αιτία για την παρατηρούµενη ανακατανοµή της στροφορµής φαίνεται να είναι κάποια φαινόµενα που συνδέονται µε µαγνητική αστάθεια. 1

3 Οι Shakura και Sunyaev κατόρθωσαν να παράγουν µία λύση για ένα δίσκο προσαύξησης, θεωρώντας ότι φαινόµενα τύρβης είναι η αιτία για το αυξηµένο ιξώδες που παρατηρείται. Θεωρώντας υποηχητική ροή και θέτωντας το πάχος του δίσκου ως το άνω όριο των δινών, µπορούµε να έχουµε µία εκτίµηση του ιξώδους ως ν = αc s H (όπου c s η ταχύτητα του ήχου,h το πάχος του δίσκου και α µία ελεύθερη παράµετρος µεταξυ 0 και 1). Πρωτοπλανητικοί δίσκοι προσαύξησης στο µεγάλο νεφέλωµα του Ωρίωνα (Μ42) Χρησιµοποιώντας την εξίσωση της υδροστατικής ισορροπίας σε συνδυασµό µε την αρχή διατήρησης της στροφορµής και θεωρώντας ότι ο δίσκος είναι λεπτός, µπορούµε να υπολογίσουµε την κατανοµή των φυσικών µεγεθών του δίσκου συναρτήσει της ελεύθερης παραµέτρου α. Τα περισσότερα φυσικά µεγέθη εξαρτώνται σε µικρό µόνο βαθµό από την παράµετρο α και έτσι η θεωρία µπορεί να παράγει σηµαντικά αποτελέσµατα παρόλο που περιέχει µία ελεύθερη παράµετρο. Έτσι καταλήγουµε στα εξής αποτελέσµατα όπου T c και ρ είναι η θερµοκρασία και η πυκνότητα στο κεντρικό επίπεδο του δίσκου αντίστοιχα. είναι ο ρυθµός προσαύξησης µάζας από το κεντρικό σώµα, σε 2

4 µονάδες, m 1 είναι η µάζα του κεντρικού σώµατος σε ηλιακές µάζες, R 10 είναι η απόσταση ενός σηµείου του δίσκου από το κεντρικό σωµα, σε µονάδες cm, και, οπου είναι η ακτίνα του κεντρικού σώµατος Η λύση αυτή ισχύει µόνο όταν ο δίσκος κυριαρχείται από την πίεση του ρευστού. Παύει να ισχύει όµως σε περιπτώσεις όπου η πίεση της ακτινοβολίας είναι συγκρίσιµη ή µεγαλύτερη από την πίεση του αερίου. Παραδείγµατος χάριν όταν ο ρυθµός προσαύξησης µάζας γίνει µεγάλος, ο δίσκος ακτινοβολεί τόσο έντονα που θα «σκάσει» δηµιουργώντας µία τρισδιάστατη δοµή (toroidal structure). 2. ηµιουργία Πλανητικού Συστήµατος Η επικρατούσα θεωρία σήµερα για τον σχηµατισµό πλανητικών συστηµάτων, προτάθηκε για πρώτη φορά τον 18 ο αιώνα από διάφορους επιστήµονες και φιλόσοφους (µεταξύ τους ο φιλόσοφος Kant και ο µεγάλος µαθηµατικός Laplace), και ονοµάζεται θεωρία του αστρικού νεφελώµατος. Σύµφωνα µε τη θεωρία αυτή, τα πλανητικά συστήµατα δηµιουργούνται στο εσωτερικό του δίσκου προσαύξησης που συνήθως περιβάλλει έναν νεαρό αστέρα στα πρώτα στάδια της εξέλιξης του (πρωτοπλανητικός δίσκος). Ο πρωτοπλανητικός δίσκος ΗΗ 30 στον Ταύρο 3

5 Ο πρωτοπλανητικός δίσκος, αποτελείται κυρίως από αέρια (κυρίως υδρογόνο και ήλιο), αλλά περιέχει και ένα µικρό ποσοστό (1-2%) στερεάς ύλης σε µορφή σκόνης και κρυστάλλων πάγου. Αυτοί οι µικροί κόκκοι σκόνης, µπορούν τυχαία να «συγκρουστούν» µεταξύ τους, οπότε και υπάρχει η πιθανότητα να κολλήσουν ηλεκτροστατικά, ξεκινώντας έτσι τη διαδικασία αύξησης µάζας. Το αέριο, αν και σε µεγάλη αφθονία, δεν µπορεί να προσκολληθεί σε αυτά τα πρώτα συσσωµατώµατα, γιατί κινείται υπερβολικά γρήγορα για να συγκρατηθεί από ηλεκτροστατικές δυνάµεις. Αυξάνοντας συνεχώς τη µάζα τους, κάποια από τα αρχικά αυτά συσσωµατώµατα στερεής ύλης, µπορούν να αποκτήσουν διαστάσεις της τάξης του 1 χιλιοµέτρου, οπότε και καλούνται planetesimals (που σηµαίνει άπειρα µικροί πλανήτες). Αρχικά, τα συσσωµατώµατα στερεών βρίσκονται διάσπαρτα στο δίσκο, αλλά µε την πάροδο του χρόνου τείνουν να συγκεντρωθούν όλα στο ισηµερινό επίπεδο του δίσκου, βοηθώντας έτσι στην αύξηση των συγκρούσεων µεταξύ τους. Επίσης, όσο µεγαλώνει ένα συσσωµάτωµα, τόσο µεγαλύτερη επιφάνεια αποκτάει, και άρα µπορεί να «µαζέψει» ευκολότερα µάζα µέσω συγκρούσεων. Όταν ένα σώµα γίνει αρκετά µεγάλο, µπορεί να αρχίσει να έλκει πάνω του µάζα και µέσω του βαρυτικόυ του πεδίου. Έτσι σε µία περίοδο περίπου χρόνων µπορούν να σχηµατιστούν planetesimals. Καθώς τα planetesimals µεγαλώνουν, γίνονται λιγότερα, και οι συγκρούσεις µεταξύ τους µειώνονται. Λόγα της τυχαίας φύσης της διαδικασίας αύξησης των planetesimals, κάποια από αυτά θα γίνουν µεγαλύτερα από τα υπόλοιπα. Τα µεγαλύτερα από αυτά τα σώµατα θα ταξιδεύουν µε τη µικρότερη ταχύτητα και θα έχουν σχεδόν κυκλικές τροχιές, σε αντίθεση µε τα µικρότερα που θα χαρακτηρίζονται από τροχιές µε µεγάλες ταχύτητες και εκκεντρότητες. Όµως ένα αργά κινούµενο σώµα παρουσιάζει µεγαλύτερη ενεργό διατοµή σύγκρουσης (συγκρουεται ευκολότερα µε άλλα σωµατα) και έτσι τα µεγαλύτερα planetesimals τέινουν να ενσωµατώσουν τα µικρότερα. Αυτό οδηγεί σε µία διαδικασία πολύ γρήγορης αύξησης µάζας (runaway growth). Καταλήγουµε έτσι σε µία κατάσταση τα λίγα planetesimals µε τη µεγαλύτερη µάζα, επιβιώνουν και συνεχίζουν τη διαδικασία αύξησης της µάζας τους (oligarchic growth). Μπορούµε να φτάσουµε έτσι σε σώµατα µε διάµετρο αρκετές χιλιάδες χιλιόµετρα, τα οποία µπορούν να ονοµαστούν πρωτοπλανήτες. 4

6 Καλλιτεχνική απεικόνιση πρωτοπλανητικού δίσκου Αίτια της διαφοροποίησης µεταξύ των γήινων και γιγάντιων πλανητών: Η θερµοκρασία σε εναν πρωτοπλανητικό δίσκο δεν είναι σταθερή και αυτή είναι η βασική αιτία της διαφοροποίησης της διαδικασίας σχηµατισµού των γήινων και γιγάντιων πλανητών. Στο εσωτερικό της «γραµµής του πάγου» (frost line or snow line), η θερµοκρασία είναι υψηλή (πάνω από 150Κ), και δεν επιτρέπει τη δηµιουργία κρυστάλλων πάγου. Τα µόνα στερεά υλικά σε αυτή την περιοχή είναι µεταλλικοί και πυριτικοί κόκκοι σκόνης. Έτσι, τα planetesimals που δηµιουργούνται σε αυτήν την ζώνη αποτελούνται σχεδόν αποκλειστικά από πετρώµατα και µέταλλα, όπως οι αστεροειδείς και θα αποτελέσουν τη βάση για το σχηµατισµό των γήινων πλανητών. Έξω από τη ζώνη πάγου, οι παγωµένοι κρύσταλλοι νερού, αµµωνίας και µεθανίου είναι πολύ περισσότεροι από από τους κόκκους µετάλλων και πυριτίου, και έτσι τα planetesimals σε αυτή την περιοχή είναι σώµατα φτιαγµένα κυρίως από πάγο, και µε µικρές ποσότητες πέτρας και µετάλλων στη σύσταση τους. Οι κοµήτες της ζώνης του Oort και στη ζώνη του Kuiper, ο δορυφόρος του Ποσειδώνα Τρίτονας, και οι πιθανότατα ο Πλούτωνας και ο δορυφόρος του Χάροντας, είναι παραδείγµατα αυτού του είδους των planetesimals. Εξαιτίας των µεγαλύτερων ποσοτήτων στερεάς ύλης που είναι διαθέσιµη στην περιοχή πέρα από τη ζώνη πάγου,τα µεγαλύτερα planetesimals µπορούν να µεγαλώσουν τόσο πολύ (περίπου 10 γήινες µάζες) που το βαρυτικό τους πεδίο αρχίζει να έλκει και να συγκρατεί αέριο υλικό (αρχικά ήλιο και στη συνέχεια και υδρογόνο). Μόλις αρχίσει αυτή η διαδικασία, αρχίζουν να µεγαλώνουν αρκετά γρήγορα, καθώς το αέριο στο δίσκο είναι άπλετο. Γρήγορα, τα σώµατα αυτά παύουν να µοιάζουν µε τα παγωµένα planetesimals από τα οποία προήλθαν, και γίνονται τεράστιες µπάλες αερίων µε πυκνούς πυρήνες. Η ανάπτυξη των γιγάντιων αυτών πρωτοπλανητών τελειώνει όταν ο ισχυρός αστρικός άνεµος του νεαρού αστέρα «σκουπίσει» από τα υλικά των δίσκο, αφήνοντας πίσω του ένα σχηµατισµένο πλανητικό σύστηµα. 5

7 3. Μετανάστευση Πλανητών Η µετανάσταυση πλανητών συµβαίνει όταν ένας πλανήτης, αλληλεπιδρά µε έναν δίσκο αερίων και στερεών σωµατιδίων, µε αποτέλεσµα την µεταβολή των παραµέτρων της τροχιάς του, και ειδικότερα του µεγάλου ηµιάξονα του (πρακτικά την µεταβολή της απόστασης του από το κεντρικό σώµα). Ο µηχανισµός της πλανητικής µετανάστευσης αποτελεί την πιθανότερη εξήγηση της παρουσίας, σε κάποια εξωηλιακά πλανητικά συστήµατα, πλανητών µε µεγάλες µάζες σε εξαιρετικά µικρή απόσταση από τον κεντρικό αστέρα ( hot Jupiters ). Σύµφωνα µε την µέχρι στιγµής επικρατούσα θεωρία, της γένεσης πλανητών µέσα σε έναν πρωτοαστρικό δίσκο προσαύξησης, δεν είναι δυνατός ο σχηµατισµός τόσο µεγάλων πλανητών σε τόσο µικρή απόσταση από τον κεντρικό αστέρα, απλούστατα επειδή δεν υπάρχει αρκετή µάζα σε τόσο µικρές τροχιές. Μετανάστευση τύπου Ι: Η κίνηση µικρών πλανητών (µε µάζες συγκρίσιµες µε τη µάζα της γής) δηµιουργεί σπειροειδή κύµατα πυκνότητας στο περιβάλλον αέριο (wake). Η αλληλεπίδραση του πλανήτη µε το µέρος του κύµατος που βρίσκεται εσωτερικά της τροχιάς του, τείνει να αυξήσει την ταχύτητα του πλανήτη, και να µεγαλώσει την τροχιά του. Αντιθέτως, η αλληλεπίδραση του πλανήτη µε το µέρος του κύµατος που βρίσκεται εξωτερικά της τροχιάς του, τείνει να µειώσει την ταχύτητά του, και να µικρύνει την τροχιά του. Συνήθως η επίδραση της µάζας στο εξωτερικό της τροχιάς του είναι µεγαλύτερη, και έτσι η συνισταµένη ροπή τείνει να µειώσει την ταχύτητα του πλανήτη. Αυτό προκαλεί µία συνεχή κίνηση του πλανήτη προς µικρότερες τροχιές. Ο ρυθµός µε τον οποίο ο πλανήτης µετατοπίζεται εξαρτάται από τη µάζα του πλανήτη, και µεγαλώνει όσο µεγαλώνει και η µάζα του πλανήτη. Σε κάθε περίπτωση όµως, οι ρυθµοί είναι σχετικά γρήγοροι, αν συγκριθούν µε την διάρκεια ζωής του δίσκου (περίπου 1 εκατοµµύριο χρόνια). Η ύπαρξη γήινων πλανητών, λαµβάνοντας υπόψιν το φαινόµενο της µετανάστευσης τύπου Ι, θέτει ένα ερώτηµα για το πώς κατόρθωσαν να αποφύγουν την καταστροφή τους. Μετανάστευση τύπου ΙΙ: Πλανήτες µε µάζα µεγαλύτερη από περίπου 10 γήινες µάζες µπορούν να ανοίξουν ένα «κενό» στο δίσκο, οπότε και σταµατάει η µετανάστευση τύπου Ι. Οιν πλανήτες αυτοί µένουν «κλειδωµένοι» (βρίσκονται σε ευσταθή ισορροπία) στο εσωτερικό του κενού που οι ίδιοι δηµιούργησαν, και µένουν ακίνητοι ως προς το δίσκο. Παρόλα αυτά, ο ίδιος ο δίσκος παρουσιάζει µία γενική ροή ύλης προς µικρότερες τροχιές, και έτσι οι πλανήτες αναγκάζονται και αυτοί να κινηθούν εσωτερικότερα, φαινόµενο που ονοµάζεται µετανάστευση τύπου ΙΙ. Ο ρυθµός µετακίνησης του πλανήτη κατά τη διάρκεια της µετανάστευσης ΙΙ εξαρτάται κυρίως από το ιξώδες του δίσκου, και είναι σχεετικά αργός, εν συγκρίσει µε την µετανάστευση τύπου Ι. Η µετανάστευση τύπου δύο φαίνεται να εξηγεί ικανοποιητικά την ύπαρξη των hot Jupiters σε κάποια εξωηλιακά συστήµατα. 6

8 Μετανάστευση τύπου ΙΙΙ: Εάν ένας πλανήτης ανοίξει ένα «µερικό κενό» στην τροχιά του, τότε δηµιουργείται µία περιοχή φτωχή σε αέριο, αλλά όχι ικανή να σταµατήσει τη ροή αερίου διαµέσου της. Σε µία τέτοια περίπτωση, ο πλανήτης µπορεί να κινηθεί ως προς το δίσκο και να πλησιάσει το εσωτερικό όριο της περιοχής. Τότε ο πλανήτης θα προσπαθήσει να διατηρήσει το κενό, και θα «πετάξει» υλικά στο εξωτερικό της τροχιάς του. Σε αυτή του όµµµως την προσπάθεια θα χάσει στροφορµή και θα αρχίσει να κινείται προς τα µέσα. Σε ορισµένες περιπτώσεις αυτές οι συνθήκες µπορούν να οδηγήσουν σε µία εκθετική αύξηση του ρυθµού µετανάστευσης, φαινόµενο που ονοµάζεται µετανάστευση τύπου ΙΙΙ. Η µετανάστευση τύπου ΙΙΙ µπορεί να αλλάξει εντελώς τα χαρακτηριστικά της τροχιάς ενός πλανήτη, µέσα σε διάστηµα λίγων µόνο περιφορών γύρω από το κεντρικό αστέρι. 4. Κυψελικό Αυτόµατο Ένα κυψελικό αυτόµατο (cellular automaton) είναι ένα διακριτό µοντέλο που χρησιµοποιείται στη θεωρία αλγορίθµων, στα µαθηµατικά και στην υπολογιστική φυσική και βιολογία. Αποτελείται από ένα πλέγµα κελιών, καθένα από τα οποία µπορεί να βρίσκεται σε έναν πεπερασµένο αριθµό καταστάσεων. Το πλέγµα µπορεί να είναι οποιασδήποτε διάστασης (1-D,2-D,3-D,κοκ). Ο χρόνος είναι επίσης διακριτός, και η κατάσταση ενός κελιού κατά το χρόνο τ είναι συνάρτηση των καταστάσεων ενός αριθµού από γειτονικά κελιά (grid neighborhood) στο χρόνο τ-1. Αυτά τα γειτονικά κελιά είναι µία συλλογή από κελιά που σχετίζονται µε το δεδοµένο κελί και δεν αλλάζουν. Κάθε κελί ακολουθεί τους ίδιους κανόνες για να µεταβάλλει την κατάσταση του, λαµβάνοντας υπόψιν τους δικούς του γείτονες. Κάθε φορά που οι κανόνες εφαρµόζονται σε ολόκληρο το πλέγµα, µία καινούρια γενιά (generation) δηµιουργείται Ένα παράδειγµα κυψελικού αυτοµάτου, είναι µία άπειρη σελίδα τετραδίου, όπου κάθε τετραγωνάκι είναι ένα κελί. Κάθε κελί µπορεί να βρίσκεται σε µία από δύο καταστάσεις, να είναι άσπρο ή µαύρο. Η γειτονιά κάθε κελιού µπορεί να οριστεί ως τα 8 τετράγωνα που βρίσκονται σε επαφή µαζί του, συν τον εαυτό του. Άρα υπάρχουν 512 διαφορετικοί συνδυασµοί για το κελί και τους γείτονες του. Οι κανόνες για ένα κελί µπορούν να δοθούν τότε σε µορφή πίνακα, όπου για καθε έναν από τους 512 διαφορετικούς συνδυασµούς, ο πίνακας θα όριζε αν το κεντρικό κελί θα ήταν άσπρο ή µαύρο την επόµενη χρονική στιγµή. Αυτό είναι ένα παράδειγµα διδιάστατου κυψελικού αυτοµάτου. Το πιο δηµοφιλές κυψελικό αυτόµατο τέτοιου είδους είναι το Παιχνίδι της Ζωης (Game Of Life) του Conway. 7

9 Συνήθως θεωρούµε ότι όλα τα κελιά αρχίζουν στην ίδια κατάσταση, εκτός από ένα µικρό αριθµό που αρχίζουν σε διαφορετικές καταστάσης. Αυτό ονοµάζεται µία αρχική διάταξη. Γενικότερα, πολλές φορές θεωρούµε ότι τα κελιά αρχίζουν σύµφωνα µε κάποια περιοδική διάταξη, και µόνο λίγα από αυτά την παραβιάζουν. Τα κυψελικά αυτόµατα στην πράξη προσοµοιώνονται µε πεπερασµένα, παρά άπειρα πλέγµατα. Σε δύο διαστάσεις αυτό αντιστοιχεί σε ένα ορθογωνικό πλέγµα στη θέση ενός απείρου επιπέδου. Το πρόβληµα που προκύπτει, είναι ο τρόπος χειρισµού των ακραίων κελιών. Το πώς χειριζόµαστε αυτά τα κελιά είναι πολύ σηµαντικό, γιατί επηρεάζουν την εξέλιξη ολόκληρου του πλέγµατος. Ένας τρόπος είναι να καθορίσουµε σταθερές τιµές των ακραίων κελιών. Μία άλλη µέθοδος είναι να ορίσουµε τις γειτονιές αυτών των κελιών µε διαφορετικό τρόπο. Τότ εόµως θα πρέπει να δηµιουργήσουµε και νέους κανόνες για αυτά τα κελιά. Τέλος µπορούµε να κάνουµε ένα είδος «περιοδικής επέκτασης» του πλέγµατος, όπου η γειτονιά ενός ακραίου κελιού στο δεξί άκρο του πλέγµατος µπορεί να περιέχει και κελιά που βρίσκονται στο αριστερό άκρο του πλέγµατος. Έτσι το πλέγµα γίνεται ουσιαστικά ένα πολικό (polar) πλέγµα. Αντίστοιχα αν διατηρήσουµε το ίδιο σκεπτικό και για το πάνω και κάτω άκρο του πλέγµατος δηµιουργουµε ουσιαστικά ένα τοροειδές (toroidal) πλέγµα. Η ιδέα των κυψελικών αυτοµάτων γεννήθηκε στο Los Alamos National Laboratory, τη δεκαετία του 40, από τη δουλειά δύο επιστηµόνων, του Ulam και του John Von Neumann. Ο πρώτος δούλευε πάνω σε ένα πρόγραµµα που θα προσοµοίωνε την ανάπτυξη των κρυστάλων, χρησιµοποιώντας ένα πλέγµα ως µοντέλο. Ο δεύτερος προσπαθούσε να µελετήσει τη συµπεριφορά αυτο-διαιωνιζόµενων συστηµάτων. Από αυτές τις ιδέες γεννήθηκε το πρώτο κυψελικό αυτόµατο. Ο Von Neumann κατέληξε να κατασκευάσει ένα διδιάστατο πλέγµα, όπου κάθε κελί είχε µόνο 4 γείτονες (γειτονιά του Von Neumann). Το κυψελικό του αυτόµατο έκανε συνεχώς αντίγραφα του εαυτού του, πρόκειται δηλαδή για έναν ατέρµονα αντιγραφέα. Τη δεκαετία του 70 ένα διδιάστατο κυψελικό αυτόµατο δύο καταστάσεων, που ονοµάζεται Παιχνίδι της Ζωής, που ανακαλύφθηκε από τον John Conway, έγινε πολύ δηµοφιλές στην πρώιµη προγραµµατιστική κοινότητα. Το αυτόµατο αυτό έγινε δηµοφιλές µετά την δηµοσίευση του από τον Martin Gardner, στο περιοδικό Scientific American. Οι κανόνες του είναι οι ακόλουθοι: Άν ένα µαύρο κελί έχει 2 ή 3 µαύρους γείτονες, τότε παραµένει µαύρο. Αν ένα άσπρο κελί έχει 3 µαύρους γείτονες, γίνεται µαύρο. Σε όλες τις άλλες περιπτώσεις το κελί παραµένει ή γίνεται άσπρο. Παρόλη την απλότητα του, το σύστηµα µπορεί να επιδείξει µία ταιράστια ποικιλία από συµπεριφορές, και µπορεί να µεταβεί από καταστάσεις φαινοµενικής τάξης σε καταστάσεις φαινοµενικής αταξίας. Ένα χαρακτηριστικό του παιχνιδιού της ζωής είναι η εµφάνιση δοµών που µετακινούνται µέσα στο πλέγµα χωρίς να αλλάζουν µορφή. Το 1983 ο Stephen Wolfram δηµοσίευσε την πρώτη από µία σειρά εργασίες που ερευνούσαν σε βάθος τη συµπεριφορά µίας κλάσης κυψελικών αυτοµάτων, που 8

10 ονοµάζονται στοιχειώδη κυψελικά αυτόµατα. Η αναπάντεχη πολυπλοκότητα της συµπεριφοράς αυτών των απλών κυψελικών αυτοµάτων, οδήγησε τον Wolfram να υποπτευθεί ότι η πολυπλοκότητα στη φύση µπορεί να προέρχεται από πολύ απλους κανόνες. Αργότερα ο Wolfram διέκοψε την έρευνα του για να δηµιουργήσει τη γλώσσα προγραµµατισµού mathematica, την οποία όµως στη συνέχεια χρησιµοποίησε για να εξετάσει τη συµπεριφορά και άλλων απλών αυτοµάτων. Ο Wolfram πατήρησε ότι όλα αυτά τα αναρίθµητα κυψελικά αυτόµατα µπορούν να καταταγούν σε 4 κατηγορίες: Κλαση Ι: Αυτόµατα όπου δηµιουργούνται δοµές στα πρώτα στάδια εξέλιξης και στη συνέχεια εξαφανίζονται οριστικά Κλάση ΙΙ: Αυτόµατα που δηµιουργούν δοµές που µένουν σταθερές στο χρόνο Κλάση ΙΙΙ: Αυτόµατα που δηµιουργούν δοµές που επαναλαµβάνονται 9

11 Κλάση ΙV: Αυτόµατα που επιδυκνύουν άλλοτε φαινοµενική τάξη και άλλοτε φαινοµενική τυχαιότητα Τα αποτελέσµατα του αυτά τα δηµοσίευσε σε µία εργασία 1280 σελίδων µε τoν τίτλο A New Kind of Science, και υποστήριξε ότι τα αποτελέσµατα της µελέτης των κυψελικών αυτοµάτων έχουν µεγάλη σηµασία για πολλούςκλάδους της επιστήµης. Στοιχειώδη κυψελικά αυτόµατα: Το απλούστερο µη τετριµµένο κυψελικό αυτόµατο, θα ήταν ένα µονοδιάστατο κυψελικό αυτόµατο µε κελιά που µπορούν να είναι στη µία από δύο δυνατές καταστάσεις, και µε τη γειτονιά τους να αποτελείται από τα δύο διπλανά κελιά του. Σε µία τέτοια περίπτωση υπάρχουν 256 δυνατοί συνδυασµοί της κατάστασης των γειτόνων, άρα και 256 διαφορετικοί κανόνες. Αυτοί οι 256 διαφορετικοί κανόνες µπορούν να παρασταθούν µε τον συµβολισµό Wolfram. Υπαρχουν 2 τέτοιοι κανόνες που παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον: αυτοί είναι ο κανόνας CA 30 και ο κανόνας CA 110.Παρακάτω φαίνεται η εξέλιξη των δύο αυτών κανόνων για αρχική κατάσταση µε έναν µοναδικό άσσο στη µέση του πλέγµατος. Rule 30 cellular automaton current pattern new state for center cell

12 Rule 110 cellular automaton current pattern new state for center cell Ο κανόνας 30 δηµιουργεί φαινοµενική τυχαιότητα ακόµα και όταν η αρχική κατάσταση του πλέγµατος είναι κάθε άλλο παρά τυχαία. Χρησιµοποιώντας την κεντρική του στήλη µπορούµε να δηµιουργήσουµε µία γεννήτρια ψευδοτυχαίων αριθµών. Παρόλα αυτά υπάρχουν κάποιες συγκεκριµένες ακολουθείες που οδηγουν τον κανόνα 30 να εξελιχθεί σε µία επαναλαµβανόµενη δοµή. Ο κανόνας 110, όπως και το Παιχνίδι Της Ζωης, ανήκει στην κατηγορία IV, και παρουσιάζει συµπεριφορά ούτε εντελώς τυχαία ούτε εντελώς επαναληπτική. Μπορούν να δηµιουργηθούν διάφορες δοµές, οι οποίες εξελίσσονταικαι αλληλεπιδρούν µεταξύ τους µε πολύπλοκο τρόπο. 11

13 5. Self Organised Criticality Self-organized criticality (SOC) ονοµάζεται µία ιδιότητα µίας κλάσης από δυναµικά συστήµατα που έχουν ένα κρίσιµο σηµείο ως ελκυστή. Με άλλα λόγια, πρόκειται για δυναµικά συστήµατα τα οποία θα εξελιχθούν αυθόρµητα προς µία κρίσιµη κατάσταση ανεξάρτητα από την αρχική κατάστασή του. Μακροσκοπικά εµφανίζουν χρονικά και χωρικά χαρακτηριστικά που είναι ανεξάρτητα κλίµακας. Αυτό εµφανίζεται σε συστήµατα που βρίσκονται σε κατάσταση αλλαγής φάσης, µε τη διαφορά ότι δεν χρειαζεται ακριβής καθορισµός των παραµέτρων Το φαινόµενο περιγράφηκε για πρώτη φορά από τους Bak, Tang και Wiesenfeld το 1988, και θεωρείται ένας από τους µηχανισµούς µε τους οποίους εµφανίζεται η πολυπλοκότητα στη φύση. Τα συµπεράσµατα αυτής της εργασίας έχουν βρεί εφαρµογή σε έναν µεγάλο αριθµό κλάδων της επιστήµης, που περιλαµβάνει τη γεωφυσική, κοσµολογία, βιολογία, οικολογία, οικονοµικά, κοινωνιολογία, επιστήµη υλικών, φυσική πλάσµατος και άλλες. Η ιδιότητα του SOC κατά κανόνα παρατηρείται σε µη-γραµµικά, κατανεµηµένα συτήµατα που δεν βρίσκονται σε ισορροπία και που δέχονται επίδραση από το ρεριβάλλον µε σχετικά αργούς ρυθµούς. Υπάρχουν πολλά παραδείγµατα συστηµάτων σε SOC που έχουν περιγραφεί µετά την εργασία των BTW,αλλά προς το παρόν δεν υπάρχει ένα σύνολο ιδιοτήτων ενός συστήµατος το οποίο µπορεί να εγγυηθεί ότι ένα σύστηµα θα βρεθεί σε κατάσταση. H Self-organized criticality είναι µία από τις σηµαντικές ανακαλύψεις που έγιναν στον τοµέα της στατιστικής φυσικής στο δεύτερο µισό του 20 ου αιώνα. Οι ανακαλύψεις αυτές σχετίζονται κυρίως µε τη µελέτη της πολυπλοκότητας στη φύση. Για παράδειγµα, η µελέτη των κυψελικών αυτοµάτων, έδειξε ότι η πολυπλοκότητα µπορούσε να γεννηθεί από εκτεταµένα συστήµατα, τα οποία όµως διέθεταν απλές αλληλεπιδράσεις µεταξύ των υποσυστηµάτων από τα οποία απαρτίζονται. Επίσης στην ίδια χρονική περίοδο, η µελέτη από τον Benoit Mandelbrot των fractals, έδειξε ότι κάποιοι απλοί µαθηµατικοί κανόνες µπορούν να οδηγήσουν στη γένεση εξαιρετικά πολύπλοκων δοµών. Τέλος η επισταµένη µελέτη των συστηµάτων σε κατάσταση αλλαγής φάσης τις δεκαετίες του 60 και 70 έδειξαν πώς µπορούν να γεννηθούν φαινόµενα ανεξάρτητα κλίµακας (scale invariant), όπως fractal δοµές και power law κατανοµές (κατανοµές όπου ένα µέγεθος s ακολουθεί κατανοµή της µορφής D( s) s α ) όταν το σύστηµα βρίσκεται στην κρίσιµη κατάσταση µεταξύ δύο φάσεων. Η εργασία των BTW συνέδεσε αυτούς παράγοντες: ένα απλό κυψελικό αυτόµατο ήταν ικανό να παράγει πολλά από τα φαινόµενα που παρατηρούνται στα πραγµατικά πολύπλοκα συστήµατα (fractal γεωµετρία, power law κατανοµές και παραγωγή flicker noise) µε έναν τρόπο που µπορεί να συσχετιστεί µε φαινόµενα κρίσιµης κατάστασης. Το µεγάλο βήµα προς τα εµπρός όµως ήταν, ότι η πολυπλοκότητα που παρατηρούνταν δεν εξαρτιόταν από την ακριβή ρύθµιση των φυσικών παραµέτρων (όπως απαιτείται στα συστήµατα αλλαγής φάσης), αλλά µπορούσε να παρατηρηθεί για ένα µεγάλο εύρος των παραµέτρων του συστήµατος. Από αυτήν ακριβώς την ιδιότητα προέρχεται ο όρος self-organised. Έχουµε δηλαδή να κάνουµε µε ένα 12

14 σύστηµα µε απλές αλληλεπιδράσεις µεταξύ των υποσυστηµάτων που το απαρτίζουν και το οποίο αυθόρµητα δηµιουργεί φαινόµενα πολυπλοκότητας. Αυτό ήταν και το βασικό αποτέλεσµα της εργασίας των BTW. Πολλά πειράµατα έχουν διεξαχθεί πάνω σε φαινόµενα που φαίνονται να οφείλονται σε SOC. Τέτοια πειράµατα συµπεριλαµβάνουν πειράµατα σε σχέση µε την συµπεριφορά σορών µάζας µε κοκκώδη υφή και καθορισµός της κατανοµής που αλκολουθούν τα µεγέθη των «κατολισθήσεων», πειράµατα σχετικά µε τη διάταξη των µαγνητικών περιοχών σε σιδηροµαγνητικά υλικά, και σχετικά µε την ανάπτυξη στροβιλισµών στο εσωτερικό υπεραγωγών. Εκτός όµως από τέτοια, εργαστηριακά κυρίως, πειράµατα, υπάρχει έντονη µελέτη σχετική µε µεγάλης κλίµακας φυσικά και κοινωνικά φαινόµενα τα οποία φαίνεται να εµφανίζουν πολύπλοκη συµπεριφορα, που πιθανόν να οφείλεται σε SOC. Έτσι, η θεωρία της SOC έχει χρησιµοποιηθεί για την εξήγηση κάποιων φαινοµένων στη σεισµολογία (κατανοµή του µεγέθους των σεισµών, κατανοµή των µετασεισµών), στη µελέτη των ηλιακών εκλάµψεων, της διακύµανσης των τιµών οικονοµικών δεικτών, στην µελέτη επιδηµιών, στη µελέτη της βιολογικής εξέλιξης, ακόµα και στη µελέτη της συχνότητας εµφάνισης πολεµικών συρράξεων. Οι µελέτες αυτές είναι πολύ πιο απαιτητικές από τα εργαστηριακά πειράµατα και πολλές από αυτές δεν έχουν ακόµη κατορθώσει να καταλήξουν σε συγκεκριµένα αποτελέσµατα. II. Ανάλυση του Μοντέλου Το µοντέλο που υλοποιούµε είναι ένα κυψελικό αυτόµατο, το οποίο θα χρησιµοποίειται για την προσοµοίωση ενός πρωτοπλανητικού δίσκου αερίων και σκόνης, και για τη µελέτη δύο συγκεκριµένων διαδικασιών που λαµβάνουν χώρα σε έναν τέτοιο δίσκο. Έτσι το µοντέλο περιλαµβάνει δύο τµήµατα. 1) Ένα κυψελικό αυτόµατο για την αναπαραγωγή του φάσµατος ακτινοβολίας που εκπέµπεται από έναν δίσκο προσαύξησης. Για την υλοποίηση αυτού του αυτοµάτου, χρησιµοποιήθηκε ως πρότυπο ένα κυψελικό αυτόµατο που υλοποιήθηκε το 1993 από τους Ιάπωνες επιστήµονες Mineshige, Ouchi και Nishimori. 2) Επέκταση του κυψελικού αυτοµάτου ώστε να προσοµοιώσει τη δηµιουργία µικρών συσσωµατώσεων στερεών υλικών που θεωρούνται οι «σπόροι» για τη 13

15 δηµιουργία πλανητών (planetesimals), και του φαινοµένου της µετανάστευσης τους. Α. Κυψελικό αυτόµατο για την προσοµοίωση της φασµατικής εκποµπής του δίσκου Από παρατηρήσεις προκύπτει ότι το φάσµα εκποµπής ΗΜ ακτινοβολίας από τους πλανητικούς δίσκους προσαύξησης είναι της µορφής f -β (µε β από 1 έως 1.7), πράγµα το οποίο υποδηλώνει ότι ο δίσκος βρίσκεται σε Self Organised Critical State (SOC). Έτσι αρχικά προσπαθούµε να υλοποίησουµε ένα κυψελικό αυτόµατο που να επιδυκνύει την κατάλληλη συµπεριφορά (να οδηγεί το σύστηµα σε SOC), και να αναπαράγει σωστά το παρατηρούµενο φάσµα των πλανητικών δίσκων προσαύξησης. Για το σκοπό αυτό χρησιµοποιούµε ένα µοντέλο που δηµιουργήθηκε από τους ιάπωνες επιστήµονες Mineshige, Ouchi και Nishimori και αναπαράγει σωστά τα δεδοµένα για τη φασµατική εκποµπή δίσκων προσαύξησης γύρω από µαύρες τρύπες. Πλέγµα: Χρησιµοποιούµε ένα διδιάστατο πλέγµα πολικών συντεταγµένων (r,φ) στο επίπεδο του δίσκου, µε το κέντρο του στον κεντρικό αστέρα. Έπειτα χωρίζουµε το πλέγµα σε Μ δακτυλίους, και κάθε δακτύλιο σε Ν κελιά. Έτσι, κάθε κελί i χαρακτηρίζεται από δύο συντεταγµένες r i (i = 1,M) φ j (j = 0,N-1). Η ακτίνα r 1 αντιστοιχεί στον εσωτερικότερο δακτύλιο και η r M στον εξωτερικότερο. Κάθε κελί περιέχει µάζα M i,j. Το πλέγµα αυτό είναι διαφορικά περιστρεφόµενο, πράγµα που σηµαίνει ότι ο δακτύλιος µε ακτίνα r i περιστρέφεται µε γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από τον τρίτο GM* νόµο του Kepler, δηλαδή ω i = (G η σταθερά της βαρύτητας, M 3 * η µάζα του r κεντρικού αστέρα) Κανόνες κυψελικού αυτοµάτου: i i) Τοποθετούµε ένα σωµατίδιο µε µάζα m στο εξωτερικότερο κελί (µε ακτίνα r M ) σε µία τυχαία γωνία, µε σταθερό ρυθµό. ii) Όταν η µάζα M i,j σε κάποιο κελί ξεπεράσει µία κρίσιµη τιµή µάζας M crit θεωρούµε ότι εκδηλώνεται ένα φαινόµενο αστάθειας, και µάζα «κατρακυλάει» στα τρία γειτονικά κελιά του αµέσως εσωτερικότερου δακτυλίου. Σχηµατικά έχουµε: εάν Μ i,j > M crit σε κάποιο κελί (i,j) τότε M i,j = M i,j 3m M i-1,j = M i-1,j + m M i-1,j -1 = M i-1,j-1 + m M i-1,j +1 = M i-1,j+1 + m 14

16 Μετά από αυτήν την µετατόπιση µάζας, µπορεί η µάζα σε κάποιο άλλο κελί να ξεπεράσει την κρίσιµη, οπότε ο προηγούµενος κανόνας εφαρµόζεται ξανά σε όλα τα υπερκρίσιµα κελιά. Έτσι από µία προσθήκη µάζας στον εξωτερικότερο δακτύλιο µπορεί να δηµιουργηθεί µία «χιονοστιβάδα» κατολισθήσεων, µε µέγεθος που εξαρτάται από την κατανοµή της µάζας στο δίσκο τη συγκεκριµένη χρονική στιγµή. iii) iv) Όταν κατά τη διάρκεια µίας «χιονοστιβάδας» σώµα µάζας m µετακινηθεί από ένα κελί σε απόσταση r i σε ένα άλλο κελί σε απόσταση r j, χάνει 1 1 δυναµική ενέργεια της τάξης U = GM * m, η οποία αποδίδεται r j r i κυρίως µε µορφή ακτινοβολίας. Έτσι, καθώς µάζα προστίθεται συνεχώς από εξω, ο δίσκος εκλύει ενέργεια µε τη µορφή ΗΜ ακτινοβολίας. Έπειτα επαναλαµβάνουµε τις διαδικασίες i έως iii. Αρχικοποίηση: Επειδή οι πιο πάνω κανόνες οδηγούν τον δίσκο σε κατάσταση SOC, η αρχική κατάσταση του δίσκου δεν επηρεάζει την µελλοντική του εξέλιξη, καθώς ο δίσκος θα εξελιχθεί προς την κρίσιµη κατάσταση σε κάθε περίπτωση. Έτσι για εξοικονόµηση χρόνου, αρχίζουµε την προσοµοίωση µας θέτοντας τη µάζα ίση µε την κρίσιµη σε όλα τα κελιά (M i,j =M crit ). Μετά από µία µεταβατική περίοδο, ο δίσκος θα φτάσει σε µία στατιστικά στάσιµη κατάσταση, όπου σε κάθε κελί η µάζα θα είναι ελάχιστα µικρότερη από την οριακή. Πρέπει να σηµειώσουµε ότι στη διαδικασία επεξεργασίας των αποτελεσµάτων δεν λαµβάνεται υπόψιν η µεταβατική αυτή περίοδος, καθώς αυτό θα δηµιουργούσε αλλοίωση των αποτελεσµάτων. B. Κυψελικό Αυτόµατο για την Προσοµοίωση ηµιουργίας Planetesimals Θεωρούµε ότι σε κάθε κελί (i,j) ένα µικρό ποσοστό της µάζας του κελιού Μ i,j (κυρίως αέριο) αποτελείται από στερεά υλικά. (~1% της µάζας των αερίων). Έτσι σε κάθε κελί αντιστοιχεί και µία µάζα στερεών υλικών Ms i,j. Θεωρούµε επίσης ότι στερεά υλικά υπάρχουν µόνο σε κελιά µε ακτίνα µεγαλύτερη από την «γραµµή πάγου». Τα στερεά αυτά υλικά υποθέτουµε ότι αρχικά ακολουθούν την κίνηση του αερίου, οπότε και επηρεάζονται από τις «κατολισθήσεις» µάζας που σηµειώνονται σύµφωνα µε τους κανόνες του προηγούµενου κυψελικού αυτοµάτου. Όµως θεωρούµε επίσης, ότι υπάρχει η δυνατότητα η στερεά ύλη που βρίσκεται σε ένα κελί του πλέγµατος, να καταρρεύσει και να δηµιουργήσει ένα στερεό συσσωµάτωµα. Η πιθανότητα σχηµατισµού ενός συσσωµατώµατος στο µοντέλο µας είναι ανάλογη της πυκνότητας στερεών σε κάθε κελί, δηλαδή P i,j = P 0 ρs i,j. Η πιθανότητα P 0 είναι µία ελεύθερη παράµετρος του µοντέλου. 15

17 Από τη στιγµή που θα σχηµατιστεί, το συσσωµάτωµα παύει να ακολουθεί την κίνηση του αερίου, και είναι ικανό να έλκει και να προσκολάει την στερεά µάζα που συναντάει στη διαδροµή του. Έτσι αν ένα συσσωµάτωµα µε µάζα M p βρεθεί σε ένα κελί µε µάζα στερεών Ms i,j,θα έχουµε αύξηση της µάζας του M p = M p + Ms i,j και παράλληλη «εξαφάνιση» της ελεύθερης µάζας στερεών του κελιού Ms i,j = 0. Τέλος, θεωρούµε ότι τα συσσωµατώµατα αυτά υφίστανται το φαινόµενο ης πλανητικής µετανάστευσης (τύπου Ι), οπότε και ανά χρονικό διάστηµα Τ migration τα συσσωµατώµατα µετακινούνται κατά έναν δακτύλιο προς το εσωτερικό του δίσκου. Ο χρόνος µετανάστευσης Τ migration είναι µία δεύτερη ελεύθερη παράµετρος του συστήµατος. Οι κανόνες αυτοί αποτελούν µία πρώτη προσέγγιση στον τρόπο µε τον οποίο µικρά συσσωµατώµατα δηµιουργούνται σε έναν πρωτοπλανητικό δίσκο, και του τρόπου µε τον οποίο εξελίσσονται. Η µελέτη του συγκεκριµένου κυψελικού αυτοµάτου µπορεί να οδηγήσει σε χρήσιµα αποτελέσµατα σε σχέση µε τον ρυθµό δηµιουργίας πλανητών, την κατανοµή των µαζών τους και τον τρόπο µε τον οποίο κατανέµονται στο πλέγµα. Η υλοποίηση αυτού του κυψελικού αυτοµάτου, έχει γίνει σε επίπεδο κώδικα, αλλά η διαδικασία της προσοµοίωσης και της εξαγωγής συµπερασµάτων θα είναι το αντικείµενο µίας επόµενης εργασίας. Παρακάτω παρατίθεται ο κώδικας ο οποίος αποτελείται από τέσσερα κύρια µέρη: i) Την διαδικασία της διαφορικής περιστροφής του δίσκου και των στερεών σωµάτων γύρω από τον κεντρικό αστέρα (Shift) ii) Την διαδικασία δηµιουργίας νέων σωµάτων µε βάση την πιθανότητα που αντιστοιχεί σε κάθε κελί (Creation) iii) Τη διαδικασία δηµιουργίας χιονοστιβάδων µε βάση τους κανόνες του µέρους A (Avalanche) iv) Τη διαδικασία της µετανάστευσης των σωµάτων (Migration) call random_seed(); counter = 0; do while (counter.le.timemax)!! SHIFT! jj = jtot; do i=1,numberofrings jtot(i) = NINT(counter*OmegaRel(i)); 16

18 end do jd = jtot - jj; Mass = CSHIFT(Mass,-jd,2); MassSolid = CSHIFT(MassSolid,-jd,2); do c3=1,np CurrentJ(c3) = MOD(CurrentJ(c3) + jd(currenti(c3)),cellsperring); end do!! end SHIFT!!! CREATION! do i=1,numberofrings do j=0,cellsperring-1 P(i,j) = Po* (REAL(MassSolid(i,j))/REAL(R(i)**2)) call random_number(rnd2); call random_number(rnd3); if ((rnd2.lt.p(i,j)).and.(rnd3.lt.scalingfactor)) then np = np+1; TimeOfBirth (np) = counter; PlaceOfBirth (np) = CMPLX(i,j); CurrentI (np) = i; CurrentJ (np) = j; CurrentMass (np) = MassSolid(i,j); MassSolid(i,j) = 0; TimeToFall (np) = counter + MigrationTime; PlanetAlive (np) =.TRUE.; end if end do end do 17

19 !! end CREATION!!! AVALANCHE!! #Random Mass injection# if (mod(counter,tinj).eq.0) then call random_number(rnd1); RandomAngle = MOD(floor(CellsPerRing*rnd1),CellsPerRing) 1 Mass(NumberOfRings,RandomAngle) = Mass(NumberOfRings,RandomAngle) + MassSolid(NumberOfRings,RandomAngle) = MassSolid(NumberOfRings,RandomAngle) +1; MassIn = MassIn + 1; if (Mass(NumberOfRings,RandomAngle).gt.Mcrit) then n = n+1; AvBirthTime(n) = counter; AvCurrentI(n) = NumberOfRings; TimeToBeFlushed(n) = counter + Tdrift(NumberOfRings); end if do c3=1,np if (CurrentI(c3).eq.NumberOfRings) then CurrentMass(c3) = CurrentMass(c3) + MassSolid(CurrentI(c3),CurrentJ(c3)); MassSolid(CurrentI(c3),CurrentJ(c3)) = 0;! end if end do end if! #end#! #Avalanches# do c1=1,n if (TimeToBeFlushed(c1).eq.counter) then 18

20 t =.false. do j=0,cellsperring-1 if (Mass(AvCurrentI(c1),j).gt.Mcrit) then t =.TRUE.;! Deiktis oti exei perasei apo mesa Mass(AvCurrentI(c1),j) = Mass(AvCurrentI(c1),j) - 3; if (AvCurrentI(c1).gt.1) then Mass(AvCurrentI(c1)-1,j) = Mass(AvCurrentI(c1)-1,j) + 1; Mass(AvCurrentI(c1)-1,MOD(j+CellsPerRing-1,CellsPerRing)) = & Mass(AvCurrentI(c1)-1,MOD(j+CellsPerRing-1,CellsPerRing)) + 1; Mass(AvCurrentI(c1)-1,MOD(j+1,CellsPerRing)) = Mass(AvCurrentI(c1)-1,MOD(j+1,CellsPerRing)) + 1; AvLuminosity (c1) = AvLuminosity (c1) + 3*C* (1./real(R(AvCurrentI(c1)- 1)) - 1./real(R(AvCurrentI(c1)))); do c2 = counter-tdrift(avcurrenti(c1)),counter-1 LumTimeseries(c2) = LumTimeseries(c2) + 3*C* (1./real(R(AvCurrentI(c1)-1))& - 1./real(R(AvCurrentI(c1)))) / Tdrift(AvCurrentI(c1)); end do else MassOut = MassOut + 3; end if if (MassSolid(AvCurrentI(c1),j).gt.3) then MassSolid(AvCurrentI(c1),j) = MassSolid(AvCurrentI(c1),j) - 3; if (AvCurrentI(c1).gt.Rcrit) then MassSolid(AvCurrentI(c1)-1,j) = MassSolid(AvCurrentI(c1)-1,j) + 1; 1; MassSolid(AvCurrentI(c1)-1,MOD(j+CellsPerRing-1,CellsPerRing)) = & MassSolid(AvCurrentI(c1)-1,MOD(j+CellsPerRing-1,CellsPerRing)) + 19

21 MassSolid(AvCurrentI(c1)-1,MOD(j+1,CellsPerRing)) = MassSolid(AvCurrentI(c1)-1,MOD(j+1,CellsPerRing)) + 1; end if end if end if end do if (t) then AvSize(c1) = AvSize(c1) + 1; AvDuration (c1) = AvDuration (c1) + Tdrift(AvCurrentI(c1)); AvCurrentI (c1) = AvCurrentI (c1) - 1; if (AvCurrentI(c1).gt.0) then TimeToBeFlushed(c1) = TimeToBeFlushed(c1) + Tdrift(AvCurrentI(c1)); end if do c3=1,np CurrentMass(c3) = CurrentMass(c3) + MassSolid(CurrentI(c3),CurrentJ(c3)); MassSolid(CurrentI(c3),CurrentJ(c3)) = 0; end do end if end if end do! #end#!! end AVALANCHE!!! MIGRATION! do c3=1,np 20

22 if (TimeToFall(c3).eq.counter) then CurrentI(c3) = CurrentI(c3) - 1; if (CurrentI(c3).lt.1) then PlanetAlive(c3) =.FALSE.; PlanetLifetime (c3) = counter-timeofbirth (c3); else CurrentMass(c3) = CurrentMass(c3) + MassSolid(CurrentI(c3),CurrentJ(c3)); MassSolid(CurrentI(c3),CurrentJ(c3)) = 0; TimeToFall(c3) = TimeToFall(c3) + MigrationTime; end if end if end do!! end MIGRATION! counter = counter + 1; end do 21

23 III. Αποτελέσµατα Προσοµοίωσης Μετά από χρόνο προσοµοίωσης που αντιστοιχεί σε περίπου περιόδους περιστροφής του εξωτερικότερου δακτυλίου, και αφού καταγράφησαν περίπου χιονοστιβάδες, ακολούθησε η επεξεργασία των δεδοµένων. Τα αποτελέσµατα αυτής της επεξεργασίας έχουν αποτυπωθεί σε 4 γραφήµατα ως εξής 1. Κατανοµή της ενέργειας που εκλύεται σε µία χιονοστιβάδα: Στον άξονα x έχουµε τις τιµές ενέργειας που εκλύει µία χιονοστιβάδα και στον άξονα y τον αριθµό των χιονοστιβάδων που αντιστοιχούν στην κάθε ενέργεια, σε λογαριθµική κλίµακα. Να σηµειώσουµε ότι επειδή ο δίσκος βρίσκεται σε SOC, περιµένουµε µία κατανοµή της µορφής D( ε ) ε α, η οποία σε λογαριθµική κλίµακα θα δώσει µία ευθεία γραµµή µε κλίση ίση µε τον εκθέτη (δηλαδή -α). Παρακάτω δίνεται η γραφική παράσταση N u m b e r o f A v a la n c h e s Avalanche Luminosity n ~ avalanches Όπως βλέπουµε, πράγµατι στη λογαριθµική κλίµακα η κατανοµή ακολουθεί µία ευθεία γραµµή µε κλίση -1.33, που σηµαίνει ότι η ενέργεια των χιονοστιβάδων 1.33 ακολουθεί µία κατανοµή της µορφής D( ε ) ε. Παρατηρούµε όµως επίσης, ότι υπάρχουν περισσότερες χιονοστιβάδες µε µεγάλη ενέργεια από αυτές που θα περιµέναµε. Έτσι βλέπουµε ότι καθώς προχωράµε προς µεγαλύτερες ενέργειες, η 22

24 κατανοµή αποκλίνει ελαφρώς από την ευθεία γραµµή (περιοχή κάτω δεξιά στο διάγραµµα). Αυτή η ανωµαλία θα φανεί πιο έντονα στα επόµενα διαγράµµατα, και θα αναλυθεί στο τέλος αυτής της ενότητας. Να σηµειώσουµε ότι στην προτότυπη εργασία των Mineshige et al. η ενέργεια των χιονοστιβάδων σακολουθεί κατανοµή µε εκθέτη περίπου ίσο µε Κατανοµή της διάρκειας ζωής της χιονοστιβάδας Στο γράφηµα αυτό έχουµε την κατανοµή της διάρκειας µίας χιονοστιβάδας. Έτσι στον άξονα x έχουµε χρόνο και στον άξονα y έχουµε τον αριθµό των χιονοστιβάδων µε συγκεκριµένη διάρκεια ζωής. Και πάλι η κατανοµή περιµένουµε να είναι power-law, εξαιτίας του γεγονότος ότι ο δίσκος βρίσκεται σε SOC. Το γράφηµα είναι το εξής: Num ber of Avalanches Avalanche Duration n~40000 avalanches Πράγµατι, παρατηρούµε ότι η κατανοµή είναι περίπου µία ευθεία γραµµή, µε κλίση -1.71, πράγµα που σηµαίνει ότι η διάρκειας ζωής ακολουθεί µία κατανοµή 1.71 της µορφής Dτ ( ) τ. Όµως παρατηρούµε και µία ανωµαλία, όπου βλέπουµε ότι οι µεγαλύτερες χιονοστιβάδες (µεγαλύτερος χρόνος ζωής), είναι πολύ πιο συνηθισµένες από ότι θα περιµέναµε, και είναι εντελώς εκτός κατανοµής. Πρέπει να επισηµάνουµε ότι στην εργασία των Mineshige et al. η διάρκεια ζωής των χιονοστιβάδων ακολουθεί και αυτή κατανοµή µε εκθέτη -1.7, όµως δεν φαίνεται να παρουσιάζεται η ανωµαλία που φαίνεται παραπάνω. 23

25 3. Κατανοµή του µεγέθους (στην ακτινική διεύθυνση) των χιονοστιβάδων Ουσιαστικά µετράµε τον αριθµό των δακτυλίων που «διέσχισε» µία χιονοστιβάδα. Επειδή κάθε δακτύλιος έχει το ίδιο πάχος r, το ακτινικό µέγεθος µίας χιονοστιβάδας δίνεται από την ποσότητα n r, όπου n ο αριθµός των δακτυλίων που «διέσχισε» µία χιονοστιβάδα. Με άλλα λόγια, µπορούµε να πούµε ότι η ακτινική απόσταση που διανύει µία χιονοστιβάδα, µας πληροφορεί για το πόσο «προχώρησε» η χιονοστιβάδα προς το εσωτερικό του πλέγµατος. Έτσι στον άξονα x βρίσκεται το µέγεθος της χιονοστιβάδας ( ως ο αριθµός των δακτυλίων που «διασχίζει» η χιονοστιβάδα) και στον άξονα των y είναι ο αριθµός των χιονοστιβάδων µε το συγκεκριµένο µέγεθος. Ακόµη µία φορά περιµένουµε µία κατανοµή της µορφής D( s) s a. Πρέπει να σηµειώσουµε ότι το µέγεθος µίας χιονοστιβάδας (n r) σχετίζεται µε τη διάρκεια ζωής της, µε την έννοια ότι µία µεγάλη σε µέγεθος χιονοστιβάδα, θα διαρκέσει και περισσότερο χρόνο. Παρόλα αυτά, η διάρκεια ζωής µιας χιονοστιβάδας δεν δίνεται από µία εξίσου απλή σχέση (της µορφής n t) γιατί η ταχύτητα της «πτώσης» (drift velocity) της χιονοστιβάδας, εξαρτάται από την απόσταση από το κέντρο στην οποία βρίσκεται η µετακινούµενη µάζα. Συγκεκριµένα, στην εργασία των Mineshige et al. υποστηρίζεται ότι, µία µάζα που βρίσκεται σε απόσταση r από τον κεντρικό αστέρα και µετακινείται λόγω της εκδήλωσης χιονοστιβάδα, κινειται προς το εσωτερικό κατά απόσταση ίση µε H r (το µισό πάχος του δίσκου στην απόσταση r), σε χρονικό διάστηµα t orb,r (το χρονικό διάστηµα µιάς πλήρους περιστροφής ενός σώµατος γύρω από τον 9 8 κεντρικό αστέρα, σε απόσταση r). Όµως το πάχος H r µεταβάλεται ως H ~ r (λύση των Shakura-Sunyaev) ενώ η t orb,r µεταβάλλεται σύµφωνα µε r torb, r (τρίτος νόµος του Kepler). Έτσι, ταχύτητα «πτώσης» µεταβάλεται περίπου µε 1 2 ρυθµό u r, που σηµαίνει ότι όσο πιο κοντά στον κεντρικό αστέρα drift βρίσκεται η χιονοστιβάδα τόσο πιο γρήγορα κινείται προς το µέσα. Το γράφηµα έχει ως εξής: r

26 N um ber of A v alanc hes Avalanche Size n~40000 avalanches Όπως βλέπουµε, η κατανοµή ακολουθεί καθαρά power law κατανοµή, µε εκθέτη , ( D( s) s ), εκτός πάλι από τη µεγαλύτερη δυνατή χιονοστιβάδα που βρίσκεται καθαρά εκτός κατανοµής. Επισηµάνσεις σχετικά µε την παρατηρούµενη ανωµαλία: Η ανωµαλία όπως προκύπτει στα διαγράµµατα έγκειται στο γεγονός ότι υπάρχουν πολύ περισσότερες χιονοστιβάδες µέγιστου µεγέθους (που διασχίζουν και τους 64 δακτυλίους του πλέγµατος), από ότι θα περιµέναµε παρατηρώντας την υπόλοιπη κατανοµή. Επίσης, στην εργασία των Mineshige et al., όπου χρησιµοποιείται το ίδιο κυψελικό αυτόµατο, δεν παρατηρείται η ίδια συµπεριφορά. Παρόλα αυτά, οι ίδιοι οι κανόνες του κυψελικού αυτοµάτου δεν επιτρέπουν τον αριθµό των χιονοστιβάδων µεγέθους 64 να είναι τόσο µικρός όσο θα έπρεπε ώστε να ακολουθεί την power-law κατανοµή (όπως ορίζεται από τα υπόλοιπα 63 σηµεία). Συγκεκριµένα, οι κανόνες του αυτοµάτου είναι τέτοιοι ώστε µάζα µπορεί να εγκαταλήψει το πλέγµα µόνο κατά τη διάρκεια µίας χιονοστιβάδας µέγιστου µεγέθους (64 δακτυλίων). Όµως, η µάζα που βγαίνει από το δακτύλιο πρέπει να είναι στατιστικά ίση µε τη µάζα που µπαίνει στο πλέγµα 25

27 (αφού το σύστηµα φτάσει στην κατάσταση της SOC ), καθώς το πλέγµα περιέχει ένα στατιστικά σταθερό ποσό µάζας. Κάνοντας τους υπολογισµούς, προκύπτει ότι οι µέγιστες χιονοστιβάδες πρέπει να είναι πολυάριθµες. Μία εξήγηση µπορεί να είναι ότι στην εργασία των Mineshige et al. το πλέγµα αναφέρεται σε έναν δίσκο προσαύξησης γύρω από µαύρη τρύπα, οπότε και µπορεί ο εσωτερικότερος δακτύλιος (µε ακτίνα r 1 ) να υπακούει σε διαφορετικους κανόνες από τους υπόλοιπους (για παράδειγµα µπορεί να θεωρηθεί ότι η µάζα που βρίσκεται στον εσωτερικότερο δακτύλιο «εξαφανίζεται» µέσα στη µαύρη τρύπα). Μπορεί έτσι να µην λαµβάνονται υπόψιν οι µέγιστες χιονοστιβάδες. 4. Φάσµα της χρονοσειράς έκλυσης ενέργειας Παρακάτω βλέπουµε ένα τµήµα της χρονοσειράς έκλυσης ενέργειας: Luminosity Time typical (800000: time steps) Το φάσµα της συγκεκριµένης χρονοσειράς προκύπτει µε την εφαρµογή του αλγορίθµου του γρήγορου µετασχηµατισµού Fourier (FFT). Το φάσµα θα β πρέπει να είναι της µορφής f (flicker noise). Παρακάτω φαίνεται το φάσµα: 26

28 Frequency όπως παρατηρούµε σε αυτό το λογαριθµικό διάγραµµα, υπάρχει όντως µία εξασθένιση µε µορφή power-law στις υψηλές συχνότητες. Ο εκθέτης της κατανοµής προκύπτει για την προσοµοίωση Πάντως να τονίσουµε ότι το φάσµα εξαρτάται όχι µόνο από την κατανοµή του µεγέθους των χιονοστιβάδων, αλλά και από τον τρόπο που εκπέµπει την ακτινοβολία της µία χιονοστιβάδα (δηλαδή από το shot profile ). Στην συγκεκριµένη περίπτωση έχουµε υποθέσει στιγµιαία έκλυση της ενέργειας. Εάν θεωρήσουµε διαφορετικό shot profile (π.χ µορφή εκθετικής χαλάρωσης) προκύπτει ένα δια φορετικλο φάσµα, όπω φαίνεται παρακάτω: (Εκθέτης -0.75) 27

29 Frequency ΙV. Παραδοχές και Απλοποιήσεις Το µοντέλο µας επιχειρεί µία προσέγγιση πρώτης τάξης τάξης στο φαινόµενο της δηµιουργίας και εξέλιξης των πρώτων στερεών σωµάτων σε έναν πρωτοπλανητικό δίσκο (planetesimals). Έτσι φιλοδοξεί να συµπεριλάβει την ουσία των παρατηρούµενων φαινοµένων, κάνοντας κάποιες απλοποιητικές παραδοχές και κάποιες προσεγγίσεις τις πραγµατικής συµπεριφοράς των σωµάτων αυτών. Παρόλα αυτά, ειδικά στα πλαίσια ενός κυψελικού αυτοµάτου, συνήθως η συµπεριφορά ολόκληρου του συστήµατος (στην συγκεκριµένη περίπτωση δίσκος) καθορίζεται από τα κυρίως γνωρίσµατα των µηχανισµών αλληλεπίδρασης των στοιχείων του, και όχι από τις λεπτοµέρειες τους. Έτσι, γίνεται προσπάθεια να αποτυπωθούν στους κανόνες τα βασικά γνωρίσµατα τις δηµιουργίας και εξέλιξης των planetesimals και της δυναµικής ενός δίσκου προσαύξησης. Συγκεκριµένα, παρακάτω υπάρχει µία λίστα από φαινόµενα που αποτυπώνονται στους κανόνες και µία λίστα των παραδοχών και απλουστεύσεων. Φαινόµενα που καταγράφονται στους κανόνες: Η διαφορική περιστροφή του δίσκου 28

30 Η εµφάνιση SOC στο σύστηµα του δίσκου (πρόκληση ασταθειών, δηµιουργία χιονοστιβάδων κτλ) Η έκλυση ακτινοβολίας από το δίσκο Η δηµιουργία planetesimals µε συνένωση αποκλειστικά στερεών σωµατιδίων (ένα µικρό planetesimal δεν µπορεί να συγκρατήσει αέριο) Το γεγονός ότι τα planetesimals σχηµατίζονται τυχαία, µε αυξηµένη πιθανότητα στα σηµεία όπου υπάρχει µεγάλη συγκέντρωση στερεών υλικών Το γεγονός ότι τα planetesimals υφίστανται µατανάστευση τύπου Ι Απλοποιητικές παραδοχές και προσεγγίσεις: Στην κίνηση του αερίου του δίσκου δεν λαµβάνεται υπόψιν η επίδραση φαινοµένων διάχυσης. Θεωρούµε ότι µάζα προστίθεται στον δίσκο µε σταθερό ρυθµό Στερεά υλικά υπάρχουν και κάτω από τη «γραµµή πάγου», και έτσι υπάρχει και εκαί η δυνατότητα σχηµατισµού planetesimals. Παρόλα αυτά τα στερεά υλικά στη ζώνη αυτή είναι πολύ λιγότερα από τα υλικά που υπάρχουν πέρα από τη ζώνη πάγου, όπως επίσης και ο αριθµός και το µέγεθος των planetesimals που δηµιουργούνται είναι πολύ µικρότερος από τα αντίστοιχα µεγέθη για τη ζώνη πέρα από τη γραµµή πάγου. Η ακριβής εξάρτηση της πιθανότητας σχηµατισµού από την µέση πυκνότητα στερεών σε κάποιο σηµείο του δίσκου δεν είναι γνωστή. Η σχέση P i,j = P 0 ρs i,j είναι µία διαισθητική προσέγγιση. εν έχει ληφθεί υπόψιν το πέρασµα από το µηχανισµό µετανάστευσης τύπου Ι στο µηχανισµό µετανάστευσης τύπου ΙΙ για planetesimals µεγάλου µεγέθους. V. Παιρετέρω Εξέλιξη Είναι ευνόητο ότι πέρα από τη δηµιουργία του κώδικα που θα υλοποιεί το αυτόµατο, είναι αναγκαία και η διεξαγωγή προσοµοιώσεων, και η µελέτη της συµπεριφοράς του αυτοµάτου για διάφορες τιµές των δύο ελεύθερων παραµέτρων, της πιθανότητας γέννησης ενός πλανητοειδούς στο εσωτερικό του δίσκου (P 0 ) και του ρυθµού µετανάστευσης των πλανητοειδών (T drift ). Συγκεκριµένα, τα ερωτήµατα που θα µπορούσαν να διερευνηθούν µε τη συγκεκριµένη προσοµοίωση είναι: Πώς µεταβάλλεται ο αριθµός των πλανητοειδών που σχηµατίζονται στον δίσκο συναρτήσει του χρόνου; Τι µορφή έχει αυτή η καµπύλη; Υπάρχουν τιµές των ελεύθερων παραµέτρων που να οδηγούν το σύστηµα σε µία στάσιµη κατάσταση, όπου ο ρυθµός δηµιουργίας νέων πλανητοειδών να είναι στατιστικά σταθερός; Τί κατανοµή ακολουθεί η µάζα των πλανητοειδών που σχηµατίζονται στο δίσκο; Επηρεάζεται αυτή η κατανοµή από τις τιµές των ελεύθερων παραµέτρων; Ποιά είναι η εξάρτηση της µάζας των πλανητοειδών από το µέγεθος της τροχιάς τους; Πού συγκεντρώνονται τα ογκωδέστερα σώµατα; Πώς σχετίζεται ο ρυθµός δηµιουργίας νέων πλανητών µε την απόσταση της περιοχής δηµιουργίας από τον κεντρικό αστέρα; Αλλάζει αυτή η σχέση µε την πάροδο του χρόνου; 29

31 Είναι ευνόητο ότι για να θεωρηθεί πλήρης η παρούσα διπλωµατική εργασία θα έπρεπε να είχε δώσει απάντηση σε κάποια (αν όχι σε όλα) από τα παραπάνω ερωτήµατα. υστυχώς όµως, για λόγους που έχω εξηγήσει, αυτό δεν κατέστη δυνατό. Έτσι η µελέτη των παραπάνω ερωτηµάτων και άλλων που πιθανόν να προκύψουν στην πορεία, θα πρέπει να γίνει σε µία επόµενη εργασία. VΙ. Βιβλιογραφία Bak P.,,Tang C.,Wiesenfeld K. 1988, Phys Rev A 38,364 Crida A., 2006, PhD Thesis (Universite de Nice Sophia-Antipolis) Lynden-Bell D., Pringle J.E. 1974, MNRAS 168, 603 Mineshige S., Ouchi N., Nishimori H. 1993, PASJ 46, 97 Pavlidou V., Kuijpers J., Vlahos L., Isliker H. 2001, A&A 372, 326 Shakura N.I., Sunyaev R.A. 1973, A&A 24,