i) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "i) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας."

Transcript

1 Στην διάταξη του σχήµατος ) οι δύο κυκλικοί δίσκοι Δ, Δ έχουν την ιδια ακτίνα R και αντίστοιχες µάζες m, m µπορούν δε να κυλίωνται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος δύο κεκλιµέ νων επιπέδων που είναι µεταξύ τους κάθετα. Η τροχαλία έχει µάζα Μ που θεωρείται συγκεντρωµένη στην περιφέρειά της και µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της, το δε νήµα που περιβάλλει το αυλάκι της τροχαλίας είναι αβαρές και µη εκτατό και οι άκρες του έχουν δεθεί µε τα κέντρα των δίσκων. Κάποια στιγµή που θεωρείται ως αρχή µέτρησης του χρόνου το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο να κινηθεί εκ της ηρεµίας. i) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας. ii) Εάν n είναι ο συνελεστής οριακής τριβής µεταξύ του κάθε κεκλι µένου επιπέδου και του αντίστοιχου δίσκου, να βρείτε τις αναγκαίες συνθήκες που εξασφαλίζουν την κύλιση των δίσκων. Δίνεται η επιτά χυνση g της βαρύτητας, οι ροπές αδράνειας m R /, m R / των δύο δίσκων ως προς τους άξονες περιστροφής τους, η γωνία κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα του ενός κεκλιµένου επιπέδου και ότι το νήµα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας. ΛΥΣΗ: i) Ας δεχθούµε ότι ο δίσκος Δ ανέρχεται κυλιόµενος χωρίς ολίσθηση επί του κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσεως φ, ενώ ο δίσκος Δ κατέρχεται επίσης κυλιόµενος χωρίς ολίσθηση επί του κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσως θ=π/-φ. Ο δίσκος Δ δέχεται το βάρος του w που αναλύεται στην παράλληλη προς το αντίστοιχο κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w ' και στην κάθετη προς αυτό συνιστώσα w '', την τάση Q του νήµατος και την δύναµη επαφής του κεκλιµένου επιπέδου που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T. Αντίστοιχες δυνάµεις w ', w '', Q, N, T δέχεται ο δίσκος Δ. Εφαρµόζοντας για την κίνηση του κέντρου µάζας του Δ τον δεύτε ρο νόµο του Νεύτωνα και για την περιστροφή του δίσκου περί το κέντρο µάζας του τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, παίρνουµε τις σχέσεις: Q - w' -T = m a T R = m R ' / Q - m gµ - T = m a T = m R' / όπου a το κοινό µέτρο των επιταχύνσεων a, a των κέντρων µάζας των δύο )

2 δίσκων και ' η γωνιακή επιτάχυνση του Δ. Όµως λόγω της κύλισης του Δ ισχύει a=ω R, οπότε οι σχέσεις ) γράφονται: Q - m gµ - T T = m a / = m a Q - m gµ - m a / = m a Q = m gµ + 3m a / ) Σχήµα Εφαρµόζοντας τους ίδιους νόµους για τον δίσκο Δ παίρνουµε: w' - Q - T = m a T R = m R ' / m gµ - Q - T = m a T = m R' / m g - Q - T T = m a / = m a ' Q = m g - 3m a/ 3) Εξάλλου η τροχαλία δέχεται από το νήµα που περιβάλλει το αυλάκι της τις δυνάµεις Q ' και Q ' που είναι αντίθετες προς τις δυνάµεις Q και Q αντι στοίχως, διότι το νήµα θεωρείται µε ασήµαντη µάζα. Εφαρµόζοντας για την τροχαλία τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: Q' r - Q' r = Mr ' Q - Q = Mr' Q - Q = Ma 4) όπου r η ακτίνα της τροχαλίας και ' η γωνιακή της επιτάχυνση για την οποία ισχύει rω =a, διότι το µέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης των σηµείων της περιφέρειας της τροχαλίας είναι ίσο µε a. Συνδυάζοντας την σχέση 4) µε τις ) και 3) έχουµε: m g - 3m a/ - m gµ + 3m a / ) = Ma

3 g m - m µ ) = a 3m + 3m + M) / a = g m - m µ ) 3m + 3m + M 5) Άρα το µέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της τροχαλίας θα είναι: '= a r 5) '= g r ' m - m µ ), 6) 3m + 3m + M + Παρατηρούµε από την 6) ότι το µέτρο της ' είναι σταθερό, δηλαδή η τροχαλία εκτελεί οµαλα επιταχυνόµενη περιστροφική κίνηση, οπότε το µέτρο της γωνια κής της ταχύτητας ύστερα από χρόνο t αφ ότου ξεκίνησε η περιστροφή της δί νεται από την σχέση: 6) = 't = g r ' ) m - m µ, t 7) 3m + 3m + M + Από τις σχέσεις 5) και 6) παρατηρούµε τα εξής: α) Αν m συνφ-m ηµφ> ή m συνφ>m ηµφ ή m /m >εφφ, τότε a> και ω >, δηλαδή η αρχική µας παραδοχή ότι ο δίσκος Δ ανέρχεται και ο Δ κατέρχεται είναι σωστή. Στην περίπτωση αυτή η τροχαλία στρεφεται δεξιόστροφα ω >). β) Αν m συνφ-m ηµφ< ή m συνφ<m ηµφ ή m /m <εφφ, τότε a< και ω <, που σηµαίνει ότι ο δίσκος Δ κατέρχεται και ο Δ ανέρχεται, η δε τροχαλία στρέφεται αριστερόστροφα ω <). γ) Αν m συνφ-m ηµφ= ή m συνφ=m ηµφ ή m /m =εφφ, τότε a= και ω = που σηµαίνει ότι το σύστηµα αν αφεθεί ελευθερο θα ισορροπεί. ii) Από τους προηγούµενους υπολογισµούς προκύπτει ότι τα µέτρα των στατι κών τριβών T, T είναι: T = m a / T =m a / 8) Όµως λόγω της κύλισης των δύο δίσκων τα µέτρα αυτά ικανοποιούν και τις σχέσεις: T nn T nn T nm g ' T nm g ) 8) m a / nm g ' m a / nm g )

4 m g m - m µ 3m + 3m + M m g m - m µ 3m + 3m + M nm g ) nm g' + m - m µ 3m + 3m + M m - m µ 3m + 3m + M n ' ) ) ) nµ ) ) m - m 3m + 3m + M n ' m - m 3m + 3m + M n ) 9) Οι σχέσεις 9) αποτελούν τις αναγκαίες συνθήκες για να κυλίωνται χωρίς ολίσ θηση οι δύο δίσκοι. P.M. fysikos Στην διάταξη του σχήµατος ) η διπλή τροχαλία έχει µάζα m και µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της, τα δε νήµατα που είναι περιτυλιγµένα στα αυλάκια της είναι αβαρή και µη εκτατά. Στις ελεύθερες άκρες των νηµάτων έχουν δεθεί τα σώµατα Σ, Σ µε αντίστοιχες µάζες 3m και m, το δε σύστηµα κρατείται ακίνητο ώστε το Σ να απέχει από το έδαφος απόσταση h, ενώ το Σ µόλις εφάπτεται του εδάφους. Κάποια στιγµή που θεωρεί ται ως αρχή µέτρησης του χρόνου το σύστηµα αφήνεται ελευθερο και το µεν σώµα Σ κατέρχεται ενώ το Σ ανέρχεται. i) Nα εκφράσετε σε συνάρτηση µε τον χρόνο την γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας κατά το στάδιο που το σώµα Σ ανέρχεται και να δώσε τε την γραφική παράσταση της σχέσεως που θα βρείτε. ii) Να βρείτε την ανοδική µετατόπιση του σώµατος Σ µετά την προσ γείωση του Σ στο έδαφος. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, η ακτίνα αδράνειας k της τροχαλίας, οι ακτίνες της R και R, τα δε νή µατα δεν ολισθαίνουν στα αυλάκια της. ΛΥΣΗ: i) Eξετάζοντας το σύστηµα πριν το σώµα Σ προσγειωθεί στο έδαφος, παρατηρούµε ότι το Σ κατέρχεται υπό την επίδραση του βάρους του 3m g και της τάσεως T του νήµατος που το συγκρατεί, το δε σώµα Σ ανέρχεται υπό την επίδραση του βάρους του m g και της τάσεως T του αντίστοιχου νήµατος σχ. ). Εφαρµόζοντας για τα δύο σώµατα τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε τις σχέσεις: 3mg - T = 3ma T - mg = ma T = 3mg - 3ma T = ma + mg )

5 όπου a, a οι επιταχύνσεις των σωµάτων Σ και Σ αντιστοίχως. Εξάλλου η διπλή τροχαλία στρέφεται αριστερόστροφα περί τον σταθερό άξονά της υπό την επίδραση των ροπών των τάσεων T ', T ' που δέχεται από το νήµα που περι βάλλει τα αυλάκια της, oι οποίες είναι αντίθετες προς τις τάσεις T, T αντιστοί χως, διότι τα νήµατα θεωρούνται µε ασήµαντη µάζα. Εφαρµόζοντας για την τροχαλία τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα έχουµε: Σχήµα Σχήµα 3 T' R - T' R = mk ' T R - T R = mk ' ) όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας. Συνδυάζοντας τις σχέσεις ) και ) παίρνουµε: 3mg - 3ma )R - ma + mg)r = mk ' 3) Όµως οι επιτρόχιες επιταχύνσεις των σηµείων επαφής των δύο νηµάτων µε τα αυλάκια ακτίνων R και R είναι ίσες µε τις επιταχύνσεις a, a αντιστοίχως, δηλαδή ισχύουν οι σχέσεις a =Rω π και a =Rω π, οπότε η 3) γράφεται: 3mg - 3mR' )R - mr' + mg)r = mk ' gr = 7R ' +k ' ' = gr 7R + k 4) Παρατηρούµε από την 4) ότι η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας είναι στα θερή, δηλαδή κατά το στάδιο αυτό η τροχαλία εκτελεί οµαλά επιταχυνόµενη περιστροφική κίνηση, που σηµαίνει ότι το µέτρο της γωνιακής της ταχύτητας ύστερα από χρόνο t αφ ότου αρχισε η περιστροφή της δίνεται από την σχέ ση: 4) grt = ' t = 7R + k µε t t όπου t ο χρόνος κίνησης του σώµατος Σ µέχρις ότου προσγειωθεί. Όµως ο χρό νος t ικανοποιεί την σχέση:

6 4) h = a t / = ' Rt / h = gr t 7R + k t = h g 7R + k R 5) Μετά την προσγείωση του Σ t t ), το νήµα µε το οποίο συνδέεται χαλαρώνει, ενώ η τροχαλία εξακολουθεί να περιστρέφεται υπό την επίδραση της ροπής της τάσεως T ' η οποία την επιβραδύνει, το δέ σώµα Σ συνεχίζει την ανοδική του κίνηση υπό την επίδραση των δυνάµεων m g και T, η οποία όµως κατά το στάδιο αυτό είναι επιβραδυνόµενη σχ. 3). Εφαρµόζοντας για την τροχαλία τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης και για το σώµα Σ τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε τις σχέσεις: -T' R = mk ' µ T - mg = ma -T R = mk ' µ T = ma + mg - ma + mg)r = mk ' µ ' µ R + g) R = k ' µ -gr = 4R ' µ +k ' µ ' µ = -gr 4R + k 6) όπου ' µ η νέα γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας. Tο αρνητικό πρόσηµο στην 6) δηλώνει ότι κατά το στάδιο αυτό η περιστροφή της τροχαλίας είναι οµαλά επιβραδυνόµενη, οπότε το µέτρο της γωνιακής της ταχύτητας µ θα δίνεται από την σχέση: 6) µ = + ' µ t - t ) µ = - gr t - t ) 4R + k 7) µε t t t + t, όπου t ο χρόνος της ανοδικής κίνησης του Σ µετά την προσ γείωση του Σ. Όµως την χρονική στιγµή t +t είναι ω µ = και η 7) δίνει: = - gr t + t - t ) 4R + k ) grt 4R + mk = t = 4R + k gr όπου η γωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας την στιγµή t, για την οποία ισχύει: 4),5) = ' t = gr h 7R + k g Συνδυάζοντας τις σχέσεις 8) και 9) παίρνουµε: 7R + k R ' = 8) h g 7R + k 9)

7 t = h g 7R + k 4R + k ) gr = 4R + k R h g 7R + k ) ) Σχήµα 4 Mε βάση τα παραπάνω το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας της τροχαλίας θα µεταβάλλεται µε τον χρόνο t κατα την ανοδική κίνηση του σώµατος Σ σύµ φωνα µε την σχέση: grt 7R + k, t t = - gr t - t ), t 4R + k t t + t ) H γραφική παράσταση της ) φαίνεται στο σχήµα 4). ii) Έαν s είναι η µετατόπιση του σώµατος Σ µετά την προσγείωση του Σ δηλαδή κατά τον χρόνο t και Δφ η αντίστοιχη γωνία στροφής της τροχαλίας θα έχουµε: s = R = R + ' ) t = R t 9),) s = R h g 4R + k 7R + k R h g 7R + k ) 4R + k s = h 7R + k ) Παρατήρηση: Μπορούµε να υπολογίσουµε την µετατόπιση s κάνοντας χρήση του θεωρήµατος διατήρησης της µηχανικής ενέργειας τόσο κατα το στάδιο που και τα δύο σώµα τα κινούνται, όσο και κατα το στάδιο που κινείται µόνο το Σ ανερχόµενο. Εάν v, v είναι οι ταχύτητες των Σ και Σ την χρονική στιγµή t, τότε κατά το πρώτο στάδιο κίνησης του συστήµατος θα έχουµε την σχέση:

8 3mgh = 3mv + mv + mk + mgh' 3gh = 3v + v + k + gh' 3) όπου h η απόσταση του σώµατος Σ από το έδαφος την χρονική στιγµή t. Εάν Δφ είναι η γωνία στροφής της τροχαλίας στον χρόνο t, θα έχουµε: h = R h' = R :) h h' = h' = h οπότε η ) γράφεται: 3gh = 3v + v + k + gh gh = 3v + v + k Όµως για τα µέτρα των ταχυτήτων v, v έχουµε v =Rω και v =Rω και η 4) παίρνει την µορφή: 4) gh = 3R + 4R + k gh = 7R + k ) = gh 7R + k 5) Kατά το δεύτερο στάδιο που κινείται µόνο το σώµα Σ, θα έχουµε: mv + mgh' + mk = + mgh' +s) + 4R + k s = 4R + k ) g = gs s = 4R + k ) g 5) gh 7R + k s = h 4R + k 7R + k P.M. fysikos Στον λαιµό µιάς ελεύθερης τροχαλίας µάζας m και ακτίνας R, έχει περιτυλιχθεί ελαφρό αλλά ανθεκτικό νήµα. H τροχα λία εφάπτεται οριζοντίου δαπέδου, µε το οποίο παρουσιάζει συντελε στή οριακής τριβής n και κάποια στιγµή εξασκείται στο ελεύθερο άκρο του νήµατος σταθερή δύναµη F, της οποίας ο φορέας σχηµατίζει µε την οριζόντια διεύθυνση γωνία φ, που αναγκάζει την τροχαλία να κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο οριζόντιο δάπεδο.

9 i) Εάν s είναι η µετατόπιση του κέντρου µάζας της τροχαλίας σε ορισ µένο χρόνο, να δείξετε ότι το αντίστοιχο έργο της F δίνεται από την σχέση: W F = F + ) s ii) Χρησιµοποιώντας την παραπάνω σχέση να δείξετε ότι, το µέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου µάζας της τροχαλίας δίνεται από την σχέση: a = F 3m + ) iii) Nα βρείτε τις επιτρεπτές τιµές του µέτρου της F, ώστε η τροχαλία να κυλίεται χωρίς ολίσθηση στο οριζόντιο δάπεδο. Δίνεται η ροπή αδράνειας I=mR / της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της και ότι το νήµα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της. ΛYΣH: i) Η χωρίς ολίσθηση κύλιση της τροχαλίας πάνω στο οριζόντιο δάπεδο µπορεί να θεωρήθει ως επαλληλία µιας οριζόντιας µεταφορικής κίνησης και µιας περιστροφικής κίνησης περί το κέντρο µάζας της και µάλιστα οι δύο αυτές κινήσεις διαπλέκονται έτσι ώστε, τα σηµεία επαφής της τροχαλίας µε το οριζόντιο δάπεδο να έχουν µηδενική ταχύτητα ως προς αυτό. Λόγω της περιστ ροφικής κίνησης το νήµα που περιβάλλει το αυλάκι της τροχαλίας ξετιλύγεται µε αποτέλεσµα το άκρο του Α να µετατοπίζεται κατά µήκος του νήµατος. Όµως το νήµα µετατοπίζεται και οριζόντια λόγω της µεταφορικής κίνησης της κυλιό Σχήµα 5 µενης τροχαλίας αφού η κλίση του ως προς το οριζόντιο δάπεδο παραµένει σταθερή, οπότε το άκρο Α έχει και οριζόντια µετατόπιση. Στον χρόνο t που το κέντρο µάζας της τροχαλίας µετατοπίζεται κατά s η αντίστοιχη µετατόπιση s του Α λόγω της περιστροφής της τροχαλίας θα σχηµατίζει γωνία φ µε την s και το µέτρο της θα είναι: s = R = Rs/R) = s ) όπου θ η γωνία στροφής της τροχαλίας στον χρόνο t, ίση µε s/r λόγω της κύλι

10 σης. Εξάλλου η αντίστοιχη µετατόπιση s του Α, λόγω της µεταφορικής κίνη σης της τροχαλίας θα είναι ίση µε s, οπότε η συνολική µετατόπιση s του Α σε χρόνο t θα είναι: s = s + s = s + s ) Το έργο W F της F σε χρόνο t υπολογίζεται από την σχέση: W ) s ) = F F = F s F [ + s ) ] = F W s ) + F s ) W F = Fs + Fs W F = Fs + Fs W F = F + ) s 3) ii) Eφαρµόζοντας για την τροχαλια το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου κατά τον χρόνο t παίρνουµε την σχέση: mv + I = W F mv + mr = Fs + ) 4 mv + mv = Fs + 4 ) v = 4F ) s 4) 3m + όπου έργο παράγει µόνο η δύναµη F, ένω τα έργα του βάρους της τροχαλίας, της στατικής τριβής και της κάθετης αντίδρασης που δέχεται από το δάπεδο είναι µηδενικά. Έστω ότι µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt η ταχύτητα του κέντρου µάζας αυξάνεται κατά dv dv ) και η µετατόπιση του κέν τρου µάζας κατά ds ds ). Σύµφωνα µε την 4) θα έχουµε: v +dv ) = 4F 3m + ) s + 4F = 4F 3m + ) s + ds) v + v dv + dv = 4) ) ds 3m + v dv + dv = 4F 3m + ) ds v + dv )dv = 4F 3m + ) ds Όµως η στοιχειώδης ποσότητα dv µπορεί να αµεληθεί ως προσθετέος στο άθροισµα v +dv και η προηγούµενη σχέση γράφεται: ) ds dv v dt = 4F 3m + dt v a = 4F 3m + ) v

11 a = F 3m + ) 5) όπου α το µέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου µάζας την χρονική στιγµή t, ίσο µε το διαφορικό πηλίκο dv /dt. iii) Eπί της κυλιόµενης τροχαλίας ενεργεί το βάρος της w, η δύναµη F στο άκρο A του νήµατος, η οποία αναλύεται στην οριζόντια συνιστώσα F x και στην κατακόρυφη συνιστώσα F y και η πλάγια αντίδραση του οριζόντιου δαπέδου, η οποία αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T, της οποίας η φορά έστω ότι είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα 5). Eφαρµόζοντας για την κίνηση του κέντρου µάζας της τροχαλίας τον δεύτερο νόµο του Nεύτω να παίρνουµε την σχέση: 5) F x + T = ma F + T = ma F + T = Fm 3m + ) T = F 3 + ) - F = F 3 - ) 6) Eπειδή η τριβή T είναι στατική το µέτρο της ικανοποιεί την σχέση: 6) T nn F - ) / 3 nmg - F y ) F -) 3nmg - Fµ) F - + 3nµ) 3nmg F 3nmg - + 3nµ 7) Η 7) καθορίζει, για δεδοµένη τιµή της γωνίας φ, τις επιτρεπτές τιµές του µέτ ρου της F, ώστε η τροχαλία να κυλίεται χωρίς ολίσθηση επί του οριζόντιου δαπέδου. P.M. fysikos Ένας οµογενής κυκλικός δίσκος, µάζας m και ακτίνας R, βρίσκεται ακίνητος στο µέσο ενός δοκαριού µήκους L και µάζας Μ, µε το επίπεδό του κατακόρυφο. Το δοκάρι εφάπτεται σε λειο οριζόντιο δάπεδο και κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή του χρόνου αρχίζει να κινείται µε εξωτερική επέµβαση πάνω στο δάπεδο κατά την διεύθυνσή του, µε σταθερή επιτάχυνση. i) Nα βρεθεί η µέγιστη τιµή της επιτάχυνσης του δοκαριού, ώστε ο δίσκος να κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά µήκος του δοκαριού.

12 ii) Nα βρεθεί στην περίπτωση αυτή η ενέργεια που πρέπει να προσ φερθεί στο δοκάρι µέχρι την στιγµή που ο δίσκος θα το εγκαταλείψει. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας, ο συντελεστής οριακής τριβής n µεταξύ δίσκου και δοκαριού, η δε ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα κάθετο στο επίπεδό του και διερχόµενο από το κέντρο του είναι I =mr /. ΛYΣH: i) Με την έναρξη της κίνησης του δοκαριού αναπτύσσεται µεταξυ αυτού και του δίσκου τριβή, η οποία για µεν το δοκάρι είναι αντίρροπη της κίνησής του, για δε τον δίσκο, συµφωνα µε το άξίωµα της ισότητας δράσης-αντίδρασης είναι οµόρροπη της κίνησης του δοκαριού σχ. 6). H τριβή T επί του δίσκου είναι στατική τριβή, αφού θέλουµε να κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο δοκάρι, αποτελεί δε την µοναδική δύναµη που προκαλεί την επιτάχυνση a της µετα φορικής κίνησης του τροχού, ενώ η ροπή της περί το κέντρο του τροχού, προ Σχήµα 6 καλεί την περιστροφή του περί άξονα που διέρχεται από το και είναι κάθε τος στο επίπεδό του, της οποίας η φορά φαίνεται στο σχήµα 6). Eφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνηση του δίσκου τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα και για την περιστροφή του τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, παίρνουµε: T = ma TR = I ' T = ma TR = mr '/ T = ma T = mr'/ όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου. Συνδυάζοντας µεταξύ τους τις σχέ σεις 3), έχουµε: ma = mrω'/ Rω = a ) Εξάλλου για να κυλίεται ο δίσκος πάνω στο δοκάρι, πρέπει η σχετική ταχύτητα ως προς το δοκάρι του σηµείου επαφής Α του τροχού µε αυτό να είναι µηδε νική, δηλαδή πρέπει τα σηµείο αυτο να έχει στο σύστηµα αναφοράς του δαπέ δου ταχύτητα v A ίση µε την ταχύτητα v του δοκαριού, δηλαδή πρέπει να ισχύει η σχέση: v A = v v + v = v 3) όπου v η ταχύτητα του κέντρου του δίσκου και v η ταχύτητα του Α, λόγω της περιστροφής του τροχού. Εάν µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt οι )

13 ταχύτητες v, v, v µεταβάλλονται κατα d v, d v, d v αντιστοίχως, τότε από την ) προκύπτει: d v + d v = d v d v dt + d v dt = d v dt a + a = a 4) όπου a η λόγω της περιστροφής του δίσκου επιτρόχια επιτάχυνση του Α. Όµως η φορά της περιστροφικής κίνησης του δίσκου εγγυάται ότι, τα διανύσµατα a και a είναι οµόρροπα, οπότε τα µέτρα των διανυσµάτων της 4) θα ικανοποιούν την σχέση: ) a δ = a + a ε a δ = a + Rω a δ = a + a = 3a a = a δ /3 5) Σχήµα 7 Eπειδή η τριβή είναι στατική, ισχύει η σχέση: ) T nn 5) ma nmg a δ /3 ng a δ 3ng a δmax) = 3ng 6) Άρα η αντίστοιχη του κέντρου του δίσκου ου θα είναι: a max) = a max /3 6) a max) = ng 7) ii) Από τους προηγούµενους υπολογισµούς προκύπτει ότι στο σύστηµα αναφο ράς του δαπέδου η επιτάχυνση του δοκαριού είναι τριπλάσια της επιτάχυνσης του κέντρου του δίσκου, που σηµαίνει ότι σε δεδοµένο χρόνο η µετατόπιση s δ του δοκαριού είναι µεγαλύτερη της αντίστοιχης µετατόπισης s του κέντρου, δηλαδη κάποια στιγµή ο δίσκος θα βρεθεί στο πίσω άκρο του δοκαριού και τότε θα το εγκαταλείψει σχ. 7). Εφαρµόζοντας για τον δίσκο και το δοκάρι το θεώ ρηµα κινητικής ενέργειας-έργου κατά τον χρονο t που µεσολαβεί απο την εκκί νηση του δοκαριού µέχρις ότου ο δίσκος το εγκαταλείψει, θα έχουµε τις σχέ σεις: Mv / - = W + W - T x mv / + I / - = W T Mv / = -Ts + W x mv / + mr /4 = T s + R ) ' ' + )

14 Mv / + mv / + mr /4 = T s + R - s ) + W x 8) όπου v, v η ταχύτητα του δοκαριού και του κέντρου του δίσκου αντιστοίχως την χρονικη στιγµή t, η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου την στιγµή αυτή, s, s, η µετατόπιση του δοκαριού και του κέντρου αντιστοίχως στον χρόνο t, Δφ η γωνία στροφής του δίσκου στον χρόνο t και W x η αντίστοιχη ενέργεια που προσφέρθηκε στον δίσκο από το εξωτερικό του περιβάλλον. Όµως όλες οι παρουσιαζόµενες επιταχύν σεις είναι σταθερές οπότε για την ποσότητα s +RΔφ+s δ θα έχουµε: s + R - s = a t + R 't - a t s + R - s = t a + R'-a = ) = 9) διότι λόγω της κυλίσεως ισχύει a + R'-a =. Συνδυάζοντας τις 8) και 9) παίρνουµε: Mv / + mv / + mr /4 = W x ) Ακόµη έχουµε τις σχέσεις v δ =a δ t=3ngt, v =a t=ngt και ωr=ω Rt=α t ή ωr= ngt και έτσι η ) γράφεται: M 3ngt ) + m ngt ) + m 4 ngt ) = W x ngt) ) 9M + m + m) = W x 3 ngt Όµως ο χρόνος t θα βρεθεί από την σχέση: L = s - s = a t / - a t / L = 3ngt / - ngt / = ngt t = L/ng οπότε η ) γράφεται: 3 ngt) 3M + m) = W x ) 3M + m) = W x 3n g L 3M + m) = W ng x W x = 3ngL 3M + m) P.M. fysikos

15 Τροχός µάζας m και ακτίνας R, εφάπτεται στο άκρο Α ενός οριζόντιου δοκαριού µήκους L και µάζας Μ, που βρί σκεται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο. Ο τροχός παρουσιάζει µε το δοκάρι αρκετά µεγάλο συντελεστή οριακής τριβής, ο οποίος επιτρέπει µόνο την κύλισή του πάνω στο δοκάρι. Eξασκούµε στο κέντρο του τροχού ορίζόντια σταθερή δύναµη F που τον θέτει σε κίνηση. i) Να βρεθεί σε πόσο χρόνο ο τροχός θα εγκαταλείψει το δοκάρι. ii) Nα βρεθεί το ολικό έργο των τριβών στον χρόνο αυτόν. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι =mr / του τροχού περί άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. ΛΥΣΗ: i) O τροχός δέχεται την δύναµη F, το βάρος του w και την αντίδραση του δοκαριού, η οποία αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην τριβή T, που είναι στατική τριβή, αφού ο τροχός έχει την δυνατότητα µόνο να κυλιθεί χωρίς ολίσθηση πάνω στο δοκάρι. Η τριβή T παρουσιάζει ροπή ως προς το κέν τρο µάζας του τροχού, µε αποτέλεσµα να προκαλεί περιστροφή αυτού περι άξονα που διέρχεται από το και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Εφαρµόζον τας για την κίνηση του κέντρου µάζας του τροχού τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα και για την περιστροφή του τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνη σης παίρνουµε τις σχέσεις: F - T = ma TR = I ' F - T = ma TR = mr '/ F - T)/m = a T / m = R' ) Σχήµα 8 όπου a η επιτάχυνση του κέντρου µάζας του τροχού και ' η γωνιακή του επιτάχυνση. Εξάλλου το δοκάρι τίθεται σε κίνηση πάνω στο λείο οριζόντιο δάπεδο υπό την επίδραση της δύναµης - T που δέχεται από τον τροχό, η οποία δύναµη είναι η αντίδραση της τριβής T. Εφαρµόζοντας για το δοκάρι τον δεύ τερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε: T = Ma a = T/ M ) όπου a η επιτάχυνση του δοκαριού. Επειδή ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο δοκάρι, η σχετική ταχύτητα ως προς το δοκάρι του σηµείου επαφής του Α µε αυτό είναι µηδενική, δηλαδή το σηµείο αυτο στο σύστηµα αναφοράς

16 του δαπέδου έχει ταχύτητα v A ίση µε την ταχύτητα v του δοκαριού, δηλαδή ισχύει η σχέση: v A = v v + v = v 3) όπου v η ταχύτητα του κέντρου του δίσκου και v η ταχύτητα του Α, λόγω της περιστροφής του τροχού. Εάν µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt οι ταχύτητες v, v, v µεταβάλλονται κατα d v, d v, d v αντιστοίχως, τότε από την 3) προκύπτει: d v + d v = d v d v dt + d v dt = d v dt a + a = a 4) όπου a η λόγω της περιστροφής του τροχού επιτρόχια επιτάχυνση του Α. Όµως η φορά της περιστροφικής κίνησης του τροχού εγγυάται ότι, τα διανύσµατα a και a είναι αντίρροπα, οπότε τα µέτρα των διανυσµάτων της 4) θα ικανοποι ούν την σχέση: a δ = a - a ε a δ = a - Rω 5) Η 5) λόγω των ) και ) γράφεται: T M = F - T m - T m T M = F m - 3T m F m = T M + 3T m F m = T m + 3M T = mm MF m + 3M 6) H ) λόγω της 6) δίνει: a = MF m + 3M)M = F m + 3M 7) και η πρώτη εκ των ) λόγω της 6) δίνει: MF a = F - m + 3M ) m = F m + 3M - M m + 3M)m F M + m a = > m + 3M m F m + 3M 7) a > a 8) Από την 8) προκύπτει ότι στο σύστηµα αναφοράς του δαπέδου η επιτάχυνση του δοκαριού είναι µικρότερη της επιτάχυνσης του κέντρου του τροχού, που σηµαίνει ότι σε δεδοµένο χρόνο t η µετατόπιση s δ του δοκαριού είναι µικρότερη της αντίστοιχης µετατόπισης s του κέντρου, δηλαδη κάποια στιγµή ο τροχός θα βρεθεί στο µπροστινό άκρο του δοκαριού µε αποτέλεσµα να το εγκαταλείψει

17 σχ. 9). Εξάλλου, επειδή οι επιταχύνσεις a και a είναι σταθερές θα έχουµε για τις µετατοπίσεις s και s δ τις σχέσεις: Σχήµα 9 s = a t / s = a t / 7),8) ) ) t s = F M + m m m + 3M F s = ' m + 3M ) t + ) s - s = Ft M + m m m + 3M ' m + 3M ' ) - s - s = Ft M ' m m + 3M) ' Όµως η διαφορά s -s δ είναι ίση µε το µήκος L του δοκαριού σχ. 9), οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: L = MFt ) m m + 3M t = m m + 3M)L MF 9) ii) Σε χρόνο t τo έργο W δ της τριβής που δέχεται το δοκάρι είναι: W = Ts = Ta t το δε αντίστοιχο έργο W τ της τριβής που δέχεται ο τροχός είναι: W ) = -T a t = -T s - R ' - R't ) = T R'- a )t To συνολικό έργο W oλ των τριβών σε χρόνο t είναι: W = W + W = Tt a + R'-a ) ) Όµως από 7), ) και 8) έχουµε: a + R'- a = ) F m + 3M + T m - F m + M m + 3M)m 6)

18 F a + R'- a = m + 3M + M m - M + m = ) m ' oπότε από την ) προκύπτει W oλ =. Παρατήρηση: H σχέση a +R'- a = προκύπτει και από το γεγονός ότι, ο τροχός κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο δοκάρι βλέπε σχέση 5). P.M. fysikos Τροχός µάζας m και ακτίνας R, εφάπτεται στο άκρο Α ενός οριζόντιου δοκαριού µήκους L και µάζας m, που βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Εξασκούµε στον τροχό επί βραχύ χρονικό διάστηµα οριζόντια δύναµη που ο φορέας της διέρχε ται από το κέντρο του τροχού µε αποτέλεσµα αυτός να αποκτά αρχι κή ταχύτητα v. i) Εάν συνελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ του τροχού και του δοκα ριού είναι n, να βρεθεί η αναγκαία συνθήκη, ώστε την στιγµή που ο τροχός βρίσκεται στο µέσον του δοκαριού να αρχίσει η χωρίς ολίσθη ση κύλισή του πάνω στο δοκάρι. ii) Nα βρεθεί η θερµότητα που ελευθερώνεται από το σύστηµα, µέχρις ότου ο τροχός βρεθεί στο µέσον του δοκαριού. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι=mR / του τροχού ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. ΛΥΣΗ: i) Την στιγµή t= ο τροχός βρίστεται περίπου στο άκρο Α του δοκα ριού έχοντας µεταφορική ταχύτητα v ως προς το ακίνητο δάπεδο, ενώ το δοκάρι την στιγµή αυτή έχει περίπου µηδενική ταχύτητα. Ο τροχός κινούµενος πάνω στο δοκάρι δέχεται το βάρος του w και την δύναµη επαφής από το δοκά Σχήµα ρι, η οποία αναλύεται στην τριβή ολίσησης T που είναι αντίρροπη της v και στην κάθετη αντίδραση N σχ. ). Η τριβή επιβραδύνει την µεταφορική κίνηση του τροχού και σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νευτωνα θα έχουµε την σχέση:

19 T = ma nn = ma nmg = ma a = ng ) όπου a η επιβράδυση του κέντρου µάζας του τροχού. Εξάλλου η τριβή T πα ρουσιάζει ροπή περί το κέντρο µάζας του τροχού που του προσδίνει περιστρο φική κίνηση µε γωνιακή επιτάχυνση ', της οποίας το µέτρο συµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης ικανοποιεί την σχέση: TR = I ' nmgr = mr '/ '= ng / R ) Εξετάζοντας στην συνέχεια το δοκάρι παρατηρούµε ότι δέχεται κατα την διεύ θυνση του x την αντίδραση - T της τριβής, η οποία του προσδίδει επιτάχυνση a για την οποία ισχύει η σχέση: T = ma nmg = ma a = ng / 3) Αν αναφερθούµε στο σηµείο επαφής Α του τροχού µε το δοκάρι το σηµείο αυτό ως σηµείο του τροχού έχει ταχύτητα της οποίας το µέτρο είναι v -ωr, όπου v η ταχύτητα του κέντρου τροχού και η γωνιακή του ταχύτητα, ενώ θεωρού µενο ως σηµείο του δοκαριού έχει την ταχύτητα v του δοκαριού. Αν δεχ θούµε ότι υπάρχει χρονική στιγµή t για την οποία ισχύει v -ωr=v Δ, τότε για t t o τροχός κυλίεται µε ολίσθηση, ενώ για t t η κύλιση είναι χωρίς ολίσθη ση. Για την χρονική στιγµη t θα έχουµε: v - a t - R't = a t η οποία λόγω των ), ) και 3) γράφεται: v - ngt - ngt = ngt / v = 7ngt / t = v / 7ng 4) Eάν s είναι η µετατόπιση του κέντρου τoυ τροχού ως προς το ακίνητο δάπε δο στον χρόνο t και s Δ η αντίστοιχη µετατόπιση του δοκαριού, θα έχουµε τις σχέσεις: s = v t - a t / s = a t / 5) Η αναγκαία συνθήκη για την έναρξη κύλισης χωρίς ολίσθηση του τροχού όταν αυτός βρίσκεται στο µέσον του δοκαριού είναι η διαφορά s -s Δ να είναι ίση µε το µισό µήκος L του δοκαριού σχ. ), δηλαδή αρκεί να ισχύει η σχέση: 5) s - s = L v t - a t / - a t / = L v t - t a + a ) / = L η οποία λόγω των ), ) και 4) γράφεται:

20 v 7ng - v ng + ng/ = L v 7ng 7ng - 3v 49ng = L v 49ng = L v = 49ngL 6) Σχήµα ii) Eάν Q είναι η θερµότητα που ελευθερώνεται στο περιβάλλον του συστηµα τος µέχρις ότου ο τροχός βρεθεί στο µέσον του δοκαριού, τότε σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ενέργειας θα ισχύει η σχέση: mv = mv + I + mv + Q Q = mv - mv - mr 4 - mv Q = m v - v - R - v 7) ' Όµως για τις ταχύτητες v, v Δ και για την γωνιακή ταχύτητα ω έχουµε: v = v - a t R = R't v = a t v = v - ngt R = ngt v = ngt / 4) v = v - v ng/7ng R = ngv /7ng v = ngv /7ng οπότε η 7) γράφεται: v = 5v /7 R = 4v /7 v = v /7 Q = m ' ) v ) - 5v 7-4v 7 - v 7, +,

21 Q = m v - 5v 49-8v 49 - v 49 = 6mv 49 6) Q = 6m 49 49ngL Q = 6mngL P.M. fysikos Ξύλινος κύλινδρος µάζας M και ακτίνας R, βρίσκεται ακίνητος πάνω σε οριζόντιο δάπεδο µε το οποίο παρουσιά ζει συντελεστή τριβής ολίσθησης n. Ένα βλήµα µάζας m<m/ κινού µενο µε οριζόντια ταχύτητα v, της οποίας ο φορέας είναι ασύµβατα κάθετος στον γεωµετρικό άξονα του κυλίνδρου σε απόσταση R/ από αυτόν, διαπερνά σχεδόν ακαριαία τον κύλινδρο και εξέρχεται από αυτόν µε ταχύτητα v /. i) Eάν το επίπεδο κίνησης του βλήµατος διέρχεται από το κέντρο του κυλίνδρου και είναι κάθετο στον γεωµετρικό του άξονα, να µελετηθεί η κίνηση του κυλίνδρου. ii) Nα βρείτε την θερµότητα που ελευθερώνεται κατά την κίνηση του κυλίνδρου στο οριζόντιο δάπεδο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτη τας και η ροπή αδράνειας I =MR / του κυλίνδρου ως προς τον γεω µετρικό του άξονα. ΛYΣH: i) Κατά τον πολύ µικρό χρόνo Δt Δt ) που διαρκεί το πέρασµα του βλήµατος µέσα από τον κύλινδρο η πεπερασµένη τριβή T που δέχεται ο κύλινδρος από το οριζόντιο δάπεδο προκαλεί ασήµαντη µεταβολή της ορµής του συστήµατος βλήµα-κυλινδρος η δε ροπή της τριβής περί τον άξονα του κυ Σχήµα Σχήµα 3 λίνδρου προκαλεί επίσης ασήµαντη µεταβολή της στροφορµής του συστήµατος περί τον άξονα αυτόν. Θα έχουµε εποµένως τις σχέσεις: mv = MV + mv / mv R / = I + mv R/4 mv / = MV mv R / 4 = MR /

22 V = v M/m R = v m/m όπου V η ταχύτητα του κέντρου µάζας του κυλίνδρου και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής περί τον άξονά του αµέσως µετά το πέρασµα του βλήµα τος. Από τις σχέσεις ) προκύπτει: ) V - R = v M m - v m M = v M - 4m mm ) > ) H σχέση ) εγγυάται ότι, αµέσως µετά το πέρασµα του βλήµατος µέσα από τον κύλινδρο τα σηµεία επαφής του Α µε το δάπεδο θα έχουν ταχύτητα όµορροπη της V, που σηµαίνει ότι η τριβή T είναι τριβή ολίσθησης αντίρροπη της V σχ. 3). H τριβή T αποτελεί δύναµη που επιβραδύνει την µεταφορική κίνηση του κυλίνδρου, ενώ η ροπή της περί τον γεωµετρικό του άξονα επιταχύνει την περιστροφική κίνηση του κυλίνδρου. Eφαρµόζοντας για την µεταφορική κίνη ση του κυλίνδρου τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα και για την περιστροφι κή του κίνηση τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης, παίρνουµε τις σχέσεις: T = ma TR = I ' nn = Ma nnr = MR '/ nmg = Ma a = ng 3) nmgr = MR '/ '= ng/r όπου a η επιβράδυνση του κέντρου µάζας και ' η γωνιακή επιτάχυνση του κυλίνδρου την στιγµή που τον εξετάζουµε. Παρατηρούµε από τις σχέσεις 3) ότι τα µεγέθη a και ' είναι σταθερά, δηλαδή η µεταφορική κίνηση του κυλίνδρου είναι οµαλά επιβραδυνόµενη, η δε περιτροφική του κίνηση οµαλά επιταχυνόµενη. Εάν V είναι η ταχύτητα του κέντρου µάζας ύστερα από χρόνο t αφ ότου αρχισε η ολίσθηση του κυλίνδρου και η αντίστοιχη γωνια κή του ταχύτητα, θα έχουµε τις σχέσεις: V = V - a t = + 't 3) V = V - ngt = + ngt/r 4) Tην στιγµή t= ισχύει V >ωr, αλλά µε την πάροδο του χρόνου η ταχύτητα V µειώνεται ενώ η ποσότητα ωr αυξάνεται, θα υπάρξει εποµένως χρονική στιγµή t που θα συµβεί V =ωr, οπότε από την στιγµή αυτή και µετά ο κύλινδρος θα κυλίεται ισοταχώς χωρίς να ολισθαίνει πάνω στο οριζόντιο δάπεδο, η δε τριβή θα έχει µηδενιστεί διότι έχει µηδενιστεί η σχετική ταχύτητα των σηµείων επαφής του κυλίνδρου ως προς το οριζόντιο δάπεδο. Όσον αφορά τον χρόνο t αυτός θα προκύψει από την σχέση: V - ngt = R + ngt 3ngt = V - R

23 t = V - R 3ng ) t = v M - 4m ) 6ngmM 5) ii) Εάν Q είναι η ζητούµενη θερµότητα αυτή ελευθερώνεται στην διάρκεια του χρόνoυ t και οφείλεται στην τριβή. Eφαρµόζοντας για τον κύλινδρο την αρχή διατήρησης της ενέργειας κατά τον χρόνο t, παίρνουµε την σχέση: MV = MV + I + Q MV = MV + MR 4 + Q 6) όπου V η τελική ταχύτητα του κέντρου µάζας του κυλίνδρου και η τελική γωνιακή του ταχύτητα. Όµως ισχύει V =ω R, οπότε η 6) γράφεται: MV = MV + MV 4 + Q Q = MV - 3MV 4 Q = M V - 3V ) 4 Q = M Eξάλλου για το µέτρο της V ισχύει: 5) V = V - ngt V = v M m - v M - 4m ) 6mM ' v M ) m ) V = V - v M - 4m ) 6mM = v M + 4m ) 6mM - 3V, 4 +, Οι 7) και 8) επιτρέπουν τον υπολογισµό της θερµότητας Q. ) 7) 8) P.M. fysikos Λεπτή ράβδος ΑΒ µήκους L και µάζας m, απουµ πάει µε το άκρο της Α σε µια γωνία οριζόντιου τραπεζιού, όπως φαίνεται στο σχήµα 4) και κρατείται κατακόρυφη. Η ράβδος κάποια στιγµή δέχεται στο άκρο της Β ελαφρά οριζόντια ώθηση και όταν σχηµατίζει γωνία φ µε την κατακόρυφη διεύθυνση χάνει την επαφή της µε το τραπέζι. i) Nα υπολογιστεί η γωνία φ. ii) Nα καθοριστεί το είδος της κίνησης που θα εκτελέσει η ράβδος αφού εγκαταλείψει το τραπέζι και να βρεθεί µετά από πόσο χρόνο θα γίνει οριζόντια για πρώτη φορά. Δίνεται η ροπή αδράνειας Ι Α =ml /3 της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο της Α και είναι κάθετος σ αυτήν και η επιτά

24 χυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Την στιγµή που η ράβδος εγκαταλείπει το τραπέζι η µοναδική δύναµη που δέχεται είναι το βάρος της w, που αναλύεται στην συνιστώσα w κατά την διεύθυνση της ράβδου και στην κάθετο επί την ράβδο συνιστώσα w. Η w εκείνη τη στιγµή ενεργεί ως κεντροµόλος δύναµη για την κυκλική κίνηση που διαγράφει το κέντρο µάζας της ράβδου, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: mv L/ = w mv L = w mv L = mg v = gl ) Σχήµα 4 όπου v η γραµµική ταχύτητα του κεντρου µάζας και η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου. Όµως ισχύει και η σχέση v =ωl/, όποτε η ) γράφεται: L 4 = gl = g L ) Εφαρµόζοντας εξάλλου το θεώρηµα κινητικής ενέργειας-έργου για το κέντρο µάζας από την αρχική του θέση στην θέση όπου εγκαταλείπει το τραπέζι, παίρνουµε την σχέση: I A - = W w ml 6 = mgl M) L 3 = g - ) 3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις ) και 3) έχουµε: g / 3 = g - ) = 3-3 = 3/5 4) ii) Η ράβδος αφού εγκαταλείψει το τραπέζι εκτελεί σύνθετη κίνηση, που αποτε λείται από µια οµαλή περιστροφική κίνηση περί ελεύθερο οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της, µε γωνιακή ταχύτητα και µια µεταφο

25 ρική καµπυλόγραµµη κίνηση κατά την οποία το κέντρο µάζας διαγράφει παραβολική τροχιά σχ. 5). Όταν η ράβδος γίνει οριζόντια για πρώτη φορά, θα Σχήµα 5 έχει στραφεί από την θέση που εγκατέλειψε το τραπέζι κατά γωνία π/-φ και αυτό θα συµβεί την χρονική στιγµή t για την οποία ισχύει: t = / - t = - ) t = 4) - g/l t = - ' 5L 6g P.M. fysikos Ένα σώµα κυβικού σχήµατος ακµής α και µάζας m ολισθαίνει χωρίς τριβή επί οριζοντίου επιπέδου εφαπτόµενο µε µια έδρα του και κάποια στιγµή συναντά ένα µικρό σταθερό εµπόδιο. i) Να βρεθεί η ταχύτητα του σώµατος, ώστε µετά την κρούση του µε το εµπόδιο να επίκειται η ανατροπή του. ii) Ποια είναι στην περίπτωση αυτή η ελάττωση της µηχανικής ενερ γειας του σώµατος λόγω της κρούσεώς του µε το εµπόδιο; Δίνεται η ροπή αδράνειας mα /3 του κύβου ως προς µία ακµή του και η επιτάχυνση g της βαρύτητας. Nα δεχθείτε ότι το σώµα κατά την κρούση του µε το εµπόδιο δεν αναπηδά. ΛΥΣΗ: i) Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt που διαρκεί η κρούση του σώµατος µε το εµπόδιο, η ροπή του βάρους του περί την ακµή Ο του κύβου που εφάπτε ται του εµποδίου προκαλεί ασήµαντη µεταβολή της στροφορµής του περί την ακµή αυτή, η δε αντίστοιχη ροπή της δύναµής επαφής του κύβου µε το εµπόδιο είναι µηδενική. Μπορούµε λοιπόν να ισχυριστούµε ότι η στροφορµή του περί την ακµή Ο λίγο πριν την κρούση είναι ίση µε την αντίστοιχη στροφορµή του αµέσως µετά, δηλαδή ισχύει η σχέση:

26 mv = I mv O) = m 3 v = 4 3 ) όπου Ι Ο) η ροπή αδράνειας του κύβου ως προς την ακµή του Ο, v η ταχύτητα του σώµατος λίγο πριν συναντήσει το εµπόδιο και η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του περί την Ο, αµέσως µετά την κρούση. Για να επίκειται η ανατροπή του κυβικού σώµατος πρέπει, την στιγµή που η επιβατική ακτίνα του Σχήµα 6 κέντρου µάζας του ως προς την ακµή Ο γίνεται κατακόρυφη, να µηδενίζεται η γωνιακή του ταχύτητα, οπότε σύµφωνα µε το θεώρηµα διατήρησης της µηχανι κής ενέργειας θα ισχύει: I O) + mg = + mgoa) m 3 + mg = mg + 3g = 3 g = 3g - )/ = 3g - )/ ) Συνδυάζοντας τις σχέσεις ) και ) παίρνουµε: v = 4 3 3g - ) = 8 - )g 3 3) ii) Η µεταβολή ΔΕ µηχ της µηχανικής ενέργειας του σώµατος λόγω της κρούσε ώς του µε το εµπόδιο, είναι ίση µε την µηχανική του ενέργεια την στιγµή που µηδενίζεται η γωνιακή του ταχύτητα µείον την µηχανική του ενέργεια την στιγµή που συναντα το εµπόδιο, δηλαδή ισχύει:

27 µ = mg - mv 3) µ = mg - mg 8 - )g 3 µ = mg ' ) 3 + = mg ) µ = mg 6-5 ) < 4) Η αρνητική τιµή της ΔΕ µηχ δηλώνει ότι, κατά την κρούση συµβαίνει µείωση της µηχανικής ενέργειας του σώµατος, δηλαδή η κρούση αυτή δεν είναι ελαστική. P.M. fysikos Λεπτή οµογενής ράβδος µήκους L και µάζας m, εκτελεί ελεύθερη πτώση σχηµατίζουσα µε την οριζόντια διεύθυνση γωνία φ. Tο άκρο A της ράβδου που φθάνει πρώτο στο οριζόντιο έδα φος συναντά µια υποδοχή και έτσι η ράβδος αρχίζει να περιστρέφε ται περί το A χωρίς ολίσθηση και χωρίς ανάκρουση του άκρου A. i) Eάν την στιγµή που το άκρο A συναντά το έδαφος η ταχύτητα της ράβδου είναι v, να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της ράβ δου, αµέσως µετά την κρούση. Mεταβάλλεται η κινητική ενέργεια της ράβδου κατά την κρούση της µε το έδαφος; ii) Να βρεθεί η κατά την διεύθυνση της ράβδου συνιστώσα της δύνα µης που δέχεται η ράβδος από την υποδοχή αµέσως µετά την κρούση. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο και είναι κάθετος σ αυτήν είναι I=mL /3. ΛYΣH: Kατά το πολύ µικρό χρονικό διάστηµα Δt Δt ) της κρούσης του άκρου A της ράβδου µε την υποδοχή η ροπή του βάρους w της ράβδου περί το A ελάχιστα µεταβάλλει την στροφορµή της περί το σηµείο αυτό, η δε αντίστοι χη ροπή της δύναµης κρούσεως που δέχεται η ράβδος είναι µηδενική, οπότε σύµφωνα µε τον γενικευµένο νόµο της στροφικής κίνησης µπορούµε να ισχυρι στούµε ότι η στροφορµή της ράβδου περί το A, λίγο πρίν την κρούση είναι ίση µε την αντίστοιχη στροφορµή της αµέσως µετά την κρούση. Έτσι θα έχουµε την σχέση: L ' = L )µ+,- µ./ L ' = L )µ+,- µ./ L mv x = I mv L = ml 3 = 3v ) L όπου ω το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της ράβδου περί το

28 σταθερό άκρο της A, αµέσως µετά την κρούση της και v x η κάθετη προς την ράβδο συνιστώσα της v. Eξάλλου οι κινητικές ενέργειες της ράβδου λίγο πριν και αµέσως µετά την κρούση της, υπολογζονται από τις σχέσεις: Σχήµα 7 Σχήµα 8 K ' = mv / K )µ+,- µ./ = I / :) K ' = mv ) K )µ+,- µ./ I K ' K )µ+,- µ./ = mv ml /)3v / L) K ' K )µ+,- µ./ = 4 3 > που σηµαίνει ότι, κατά την κρούση της ράβδου επέρχεται µείωση της κινητικής της ενέργειας, δηλαδή η κρούση αυτή δεν µπορεί να είναι ελαστική. ii) Έστω F η συνιστώσα της δύναµης κρούσεως κατά την διεύθυνση της ράβ δου και w η αντίστοιχη συνιστώσα του βάρους της ράβδου. Εξετάζοντας την κίνηση του κέντρου µάζας της ράβδου µετά την κρούση της, παρατηρούµε ότι αυτό κινείται σε κυκλική τροχιά κέντρου Α και ακτίνας L/, που σηµαίνει ότι η συνισταµένη των F και w αποτελεί κεντροµόλο δύναµη για το αµέσως µετά την κρούση, δηλαδή µπορούµε να γράψουµε την σχέση: w - F = m L/ mgµ - F = m L/ - ' F = m gµ - 3v ) L /, +. / L F = m gµ - 9v ' ) 8L, ) + Από την ) παρατηρούµε τα εξής: α) Αν v = 8gLµ / = 8gL /, τότε F ρ =.

29 β) Αν v < 8gL /, τότε F ρ > και η F έχει την φορά που δεχθήκαµε στο σχήµα 8). γ) Αν v > 8gL /, τότε F ρ < και η F έχει την φορά αντίθετη αυτής που δεχθήκαµε στο σχήµα 8). P.M. fysikos

i) Nα δείξετε ότι, κάθε στιγµή οι ταχύτητες των δύο πιθήκων ως προς το ακίνητο έδαφος είναι ίσες.

i) Nα δείξετε ότι, κάθε στιγµή οι ταχύτητες των δύο πιθήκων ως προς το ακίνητο έδαφος είναι ίσες. Δύο πιθηκάκια της ίδιας µάζας αναρριχώνται εκ της ηρεµίας κατά µήκος των τµηµάτων του αβαρούς σχοινιού, που διέρχεται από τον λαιµό µιας σταθερής τροχαλίας (σχ. ). H τροχαλία έχει αµελητέα µάζα και µπορεί

Διαβάστε περισσότερα

από τον κατακόρυφο τοίχο, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και την δύναµη επα φής N!

από τον κατακόρυφο τοίχο, της οποίας ο φορέας είναι οριζόντιος και την δύναµη επα φής N! Οµογενής συµπαγής κύβος ακµής α και µάζας m, ισορροπεί ακουµπώντας µε µια ακµή του σε κατακόρυφο τοίχο και µε µια του έδρα σε κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, όπως φαίνεται στο

Διαβάστε περισσότερα

διέρχεται από το σηµείο τοµής Ο των φορέων του βάρους w! της ράβδου και της οριζόντιας αντίδρασης A!

διέρχεται από το σηµείο τοµής Ο των φορέων του βάρους w! της ράβδου και της οριζόντιας αντίδρασης A! Η οµογενής ράβδος ΑΒ του σχήµατος έχει βά ρος w και στηρίζεται διά του άκρου της Α σε τραχύ κεκλιµένο επί πεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα, ενώ το άλλο της άκρο Β ακουµπάει σε λείο κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

i) Να δείξετε ότι: F max = (m 1 + m 2 όπου! g η επιτάχυνση της βαρύτητας.

i) Να δείξετε ότι: F max = (m 1 + m 2 όπου! g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Δύο σώµατα Σ και Σ µε αντίστοιχες µάζες m και m, είναι στερεωµένα στις άκρες ενός κατακόρυφου αβαρούς ελατηρίου, όπως φαίνεται στο σχήµα. Εξασκούµε στο σώµα Σ κατακόρυφη δύναµη µε φορά προς τα κάτω, της

Διαβάστε περισσότερα

Q του νήµατος που το συγκρατεί, συµφωνα δε µε τον δεύτερο νό µο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: της τάσεως!

Q του νήµατος που το συγκρατεί, συµφωνα δε µε τον δεύτερο νό µο κίνησης του Νεύτωνα θα ισχύει η σχέση: της τάσεως! Αβαρής ράβδος αποτελείται από δύο συνεχόµενα τµήµατα ΟΑ και ΑΒ που είναι ορθογώνια µεταξύ τους. Το άκρο Ο της ράβδου είναι αρθρωµένο σε οριζόντιο έδαφος το δε τµήµα της ΟΑ είναι κατακόρυφο και εφάπτεται

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα βρείτε την ταχύτητα του κέντρου της στεφάνης αµέσως µετά την κρού ση, η οποία θεωρείται βραχείας διάρκειας.

i) Nα βρείτε την ταχύτητα του κέντρου της στεφάνης αµέσως µετά την κρού ση, η οποία θεωρείται βραχείας διάρκειας. Mια κυκλική στεφάνη ακτίνας R, της οποίας η µάζα θεωρείται συγκεντρωµένη στην περιφέρεια της, κυλίεται ισοταχώς πάνω σε οριζόντιο επίπεδο το δε κέντρο της έχει ταχύτητα v. Kάποια στιγµή η στε φάνη προσκρούει

Διαβάστε περισσότερα

ii) Nα βρεθεί η κινητική ενέργεια της σφαίρας, όταν το δοκάρι έχει µετατοπιστεί κατά S ως προς το έδαφος.

ii) Nα βρεθεί η κινητική ενέργεια της σφαίρας, όταν το δοκάρι έχει µετατοπιστεί κατά S ως προς το έδαφος. Στην διάταξη του σχήµατος () το δοκάρι Δ έχει µάζα Μ και µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα. Κάποια στιγµή που λαµβά νεται ως αρχή µέτρησης του χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

περί το κέντρο της σφαίρας, ονοµάζεται δε τριβή κυλίσεως. Tο µέτρο της τρι βής κυλίσεως είναι προφανώς ανάλογο του µέτρου της N,!

περί το κέντρο της σφαίρας, ονοµάζεται δε τριβή κυλίσεως. Tο µέτρο της τρι βής κυλίσεως είναι προφανώς ανάλογο του µέτρου της N,! Θεωρούµε µια βαρειά σφαίρα, η οποία ισορροπεί επί σχετικά µαλακού εδάφους, ώστε να προκαλεί σ αυτό µια µικρή παραµόρφωση. Λόγω της συµµετρίας που παρουσιάζει η παραµόρφωση αυτή, ως προς την κατακόρυφη

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου Κ της τροχαλίας την στιγµή t=0 αµέσως µετά την θραύση του νήµατος.

i) Nα βρεθεί η επιτάχυνση του κέντρου Κ της τροχαλίας την στιγµή t=0 αµέσως µετά την θραύση του νήµατος. H τροχαλία του σχήµατος () µάζας m και ακτίνας R, ισορροπεί εξαρτηµένη από τα νήµατα ΑΒ και ΓΔ τα οποία είναι ισο κεκλιµένα ως προς την οριζόντια διεύθυνση κατα γωνία φ. Κάποια στιγµή κόβουµε το νήµα ΑΒ

Διαβάστε περισσότερα

όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης, φ η αρχική της φάση και ω η γωνιακή της συχνότητα. Οι σχέσεις (2) εφαρµοζόµενες τη χρονική στιγµή t=0 δίνουν:

όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης, φ η αρχική της φάση και ω η γωνιακή της συχνότητα. Οι σχέσεις (2) εφαρµοζόµενες τη χρονική στιγµή t=0 δίνουν: Tο ένα άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου είναι στερεωµένο στο οριζόντιο έδαφος, ενώ το άλλο του άκρο είναι ελεύθερο. Mικρό σφαιρίδιο, µάζας m, αφήνεται σε ύψος h από το άκρο Β. Το σφαιρίδιο πέφτοντας

Διαβάστε περισσότερα

i) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και

i) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και Δύο αβαρή και µη εκτατά νήµατα του ίδιου µή κους είναι στερεωµένα στο ίδιο σηµείο Ο, ενώ στις ελεύθερες άκρες των νηµάτων είναι δεµένα δύο σφαιρίδια, µε µάζες 1 και. Eκτρέ πουµε τα σφαιρίδια από την θέση

Διαβάστε περισσότερα

i) την µέγιστη ροπή του ζεύγους δυνάµεων που επιτρέπεται να ενερ γήσει επί του κυλίνδρου, ώστε αυτός να ισορροπεί και

i) την µέγιστη ροπή του ζεύγους δυνάµεων που επιτρέπεται να ενερ γήσει επί του κυλίνδρου, ώστε αυτός να ισορροπεί και Oµογενής κύλινδρος µάζας m και ακτίνας R εφάπ τεται στα τοιχώµατα ενός αυλακιού, τα οποία είναι επίπεδες σταθερές επιφάνειες που η τοµή τους είναι οριζόντια. Τα τοιχώµατα είναι ισο κεκλιµένα ως προς τον

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η λεπτή, ομογενής ράβδος ΟΑ του σχήματος έχει μήκος, μάζα και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο ακλόνητο άξονα (άρθρωση) που διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

, που είναι στατική τριβή µε κατεύθυνση αντίθετη της ταχύτητας του κέντρου µάζας C 1 της σφαίρας (σχήµα 1) και η δύναµη επαφής!

, που είναι στατική τριβή µε κατεύθυνση αντίθετη της ταχύτητας του κέντρου µάζας C 1 της σφαίρας (σχήµα 1) και η δύναµη επαφής! Δύο οµογενείς σφαίρες Α και Β, της ίδιας ακτίνας R µε αντίστοιχες µάζες m και m είναι ακίνητες επί οριζοντίου εδάφους και εφάπ τονται µεταξύ τους. Κάποια στιγµή που λαµβάνεται ως αρχή µέτρη σης του χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

i) Nα δείξετε ότι αν το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο η τροχαλία τ 1 δεν µπορεί να κυλίεται, άλλά µόνο να ισσρροπεί ή να ολισθαίνει.

i) Nα δείξετε ότι αν το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο η τροχαλία τ 1 δεν µπορεί να κυλίεται, άλλά µόνο να ισσρροπεί ή να ολισθαίνει. Στην διάταξη του σχήµατος η τροχαλία τ 1 έχει µάζα m 1 και ακτίνα R και στο αυλάκι της έχει περιτυλιχθεί αβαρές νήµα, το οποίο διέρ χεται από τον λαιµό της µικρής τροχαλίας τ στο δε άκρο του έχει δε θεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης)

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση. (Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος στροφικής κίνησης) Ένας ομογενής οριζόντιος δίσκος, μάζας Μ και ακτίνας R, περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα z, ο οποίος διέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

θα επιβρα δύνεται. Επειδή η F! /Μ και θα ισχύει η σχέση: /t!

θα επιβρα δύνεται. Επειδή η F! /Μ και θα ισχύει η σχέση: /t! Ξύλινο κιβώτιο µάζας M κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο µε ταχύτητα µέτρου v 0. Ένα βλήµα µάζας m, κινούµενο αντίρροπα προς το κιβώτιο προσπίπτει σ αυτό µε ταχύ τητα µέτρου v 0 και εξέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

που δέχονται οι τροχοί αυτοί αποτελούν κινητήριες δυνάµεις για το αυτοκί νητο, δηλαδή είναι δυνάµεις οµόρροπες προς την κίνησή του, ένω οι τριβές T!

που δέχονται οι τροχοί αυτοί αποτελούν κινητήριες δυνάµεις για το αυτοκί νητο, δηλαδή είναι δυνάµεις οµόρροπες προς την κίνησή του, ένω οι τριβές T! Tο κέντρο µάζας ενός επιβατηγού αυτοκινήτου απέχει από το οριζόντιο έδαφος απόσταση h. Δίνεται η µάζα Μ του αυτοκινήτου η µάζα m και η ακτίνα R κάθε τροχού, η επιτάχυνση g της βαρύτητας και οι αποστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΣΗΜΟ >Ι 3. δ. Ι Οι τροχοί (1) και (2) του σχήματος είναι ίδιοι. Τότε: και Ι 2

ΟΡΟΣΗΜΟ >Ι 3. δ. Ι Οι τροχοί (1) και (2) του σχήματος είναι ίδιοι. Τότε: και Ι 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ροπή αδράνειας - Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης 4.1 Η ροπή αδράνειας ενός σώματος εξαρτάται: α. μόνο από τη μάζα του σώματος β. μόνο τη θέση του άξονα γύρω από τον οποίο μπορεί να περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

ii) Nα βρείτε την µέγιστη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου.

ii) Nα βρείτε την µέγιστη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου. Oµογενής ράβδος σταθερής διατοµής, µάζας m και µήκους L, µπορεί να στρέφεται περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της. Όταν η ράβδος βρίσκεται στην θέση ευσταθούς ισορροπίας εφαρµόζεται στο

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Ενδεικτικές Λύσεις Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Θέµα Α Α.1. Ενα στερεό σώµα περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα. Εάν διπλασιαστεί η στροφορµή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ - ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 12. Ένας οριζόντιος ομογενής δίσκος ακτίνας μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

ακτινικής διεύθυνσης και στην οριακή τριβή T!"

ακτινικής διεύθυνσης και στην οριακή τριβή T! Λεπτή κυκλική στεφάνη ακτίνας R και µάζας m, ισορρο πεί εφαπτόµενη σε δύο υποστηρίγµατα A και Γ, όπως φαίνεται στο σχήµα (1. Eάν ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ της στεφάνης και των υποστη ριγµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ Ονοµατεπώνυµο: Διάρκεια: (3 45)+5=50 min Τµήµα: ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ Ζήτηµα ο Ένα στερεό µπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα και αρχικά ηρεµεί. Σε µια στιγµή δέχεται (ολική) ροπή

Διαβάστε περισσότερα

! =A'B=C!! C! = R" (1)

! =A'B=C!! C! = R (1) Οµογενής κύβος ακµής α ισορροπεί επί ακλό νητης σφαιρικής επιφάνειας ακτίνας R, µε το κέντρο µάζας του ακριβώς πάνω από την κορυφή Α της επιφάνειας. Εάν µεταξύ του κύβου και της σφαιρικής επιφάνειας υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ [Υποκεφάλαιο 4.2 Οι κινήσεις των στερεών σωμάτων του σχολικού βιβλίου]

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ [Υποκεφάλαιο 4.2 Οι κινήσεις των στερεών σωμάτων του σχολικού βιβλίου] ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος

Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος Διαγώνισμα Μηχανική Στερεού Σώματος Θέμα Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία τη συμπληρώνει σωστά

Διαβάστε περισσότερα

[1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s][1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s]

[1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s][1kgm 2, 5m/s, 3,2cm, 8rad/s] ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΚΑΙ ΕΡΓΟ ΔΥΝΑΜΗΣ ΣΤΗ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ 34. Μία κατακόρυφη ράβδος μάζας μήκους, μπορεί να περιστρέφεται στο κατακόρυφο επίπεδο γύρω από

Διαβάστε περισσότερα

# $ + L " = ml " ml! = ML " $ + ml " $ L " = ML/2(M + m) # $ (1) Eξάλλου, εάν L' α, L' σ είναι οι τελικές αποστάσεις του κέντρου µάζας C του

# $ + L  = ml  ml! = ML  $ + ml  $ L  = ML/2(M + m) # $ (1) Eξάλλου, εάν L' α, L' σ είναι οι τελικές αποστάσεις του κέντρου µάζας C του Mία σανίδα, µήκους L καί µάζας M, βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Στο ένα άκρο της σανίδας πατάει άνθ ρωπος µάζας m και αρχίζει να κινείται προς το άλλο άκρο της. Kατά πόσο θα µετατοπιστεί η

Διαβάστε περισσότερα

Οµογενής σφαίρα µάζας m και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση!!

Οµογενής σφαίρα µάζας m και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση!! Οµογενής σφαίρα µάζας και ατίνας R, ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Κάποια στιγµή ενεργεί στην σφαίρα οριζόντια ώθηση βραχείας διάρκειας, της οποίας ο φορέας βρίσκε ται άνωθεν του κέντρου της

Διαβάστε περισσότερα

Kινηµατική άποψη της επίπεδης κίνησης

Kινηµατική άποψη της επίπεδης κίνησης Kινηµατική άποψη της επίπεδης κίνησης Θα λέµε ότι ένα στερεό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση, όταν οι αποστάσεις των υλικών του σηµείων από ένα ορισµένο επίπεδο αναφοράς (ε), παραµέ νουν αµετάβλητες µε το

Διαβάστε περισσότερα

και όταν φθάσει στο σηµείο Γ αρχίζει να κινείται στο κυκλικό του τµήµα που έχει την µορφή λείου τεταρτο κυκλίου ακτίνας R.

και όταν φθάσει στο σηµείο Γ αρχίζει να κινείται στο κυκλικό του τµήµα που έχει την µορφή λείου τεταρτο κυκλίου ακτίνας R. Το σώµα Σ του σχήµατος (α) έχει µάζα και µπορεί να ολισθαίνει πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος. Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m κινείται αρχικά πάνω στο οριζόντιο τµήµα του σώµατος µε ταχύτητα v 0 και όταν φθάσει

Διαβάστε περισσότερα

i) την ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο σφαιρίδιο,

i) την ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο σφαιρίδιο, Tο σφαιρίδιο του σχήµατος ισορροπεί πάνω στο λείο οριζόντιο δαπεδο, ενώ τα οριζόντια ελατήρια είναι τεντωµένα. H απόσταση των σηµείων στήριξης των δύο ελατηρίων είναι 3α, ενώ τα ελατήρια έχουν το ίδιο

Διαβάστε περισσότερα

1. Για το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και. = (x σε μέτρα).

1. Για το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και. = (x σε μέτρα). Θέμα ο. ια το σύστηµα που παριστάνεται στο σχήµα θεωρώντας ότι τα νήµατα είναι αβαρή και µη εκτατά, τις τροχαλίες αµελητέας µάζας και M= M = M, υπολογίστε την επιτάχυνση της µάζας. ίνεται το g. (0) Λύση.

Διαβάστε περισσότερα

γ) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου τη στιγμή κατά την οποία έχει ξετυλιχθεί όλο το σχοινί.

γ) το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου τη στιγμή κατά την οποία έχει ξετυλιχθεί όλο το σχοινί. 1. Ο ομογενής και ισοπαχής δίσκος του σχήματος έχει ακτίνα και μάζα, είναι οριζόντιος και μπορεί να περιστρέφεται, χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του. Ο δίσκος

Διαβάστε περισσότερα

από τα σύρµατα λόγω της συµµετρίας τους ως προς την µεσοκάθετο θα δίνουν συνι σταµένη δύναµη F µε κατεύθυνση προς το Ο, που σηµαίνει ότι το σφαιρίδιο

από τα σύρµατα λόγω της συµµετρίας τους ως προς την µεσοκάθετο θα δίνουν συνι σταµένη δύναµη F µε κατεύθυνση προς το Ο, που σηµαίνει ότι το σφαιρίδιο Mικρό σφαιρίδιο µάζας m, είναι στερεωµένο στην µια άκρη δύο ακριβώς όµοιων λεπτών συρµάτων, των οποίων οι άλλες άκρες συνδέονται προς δύο σταθερά σηµεία Α και Β λείου ορι ζόντιου δαπέδου που βρίσκονται

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Η γωνιακή επιτάχυνση ενός οµογενούς δίσκου που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, που διέρχεται από το κέντρο

Διαβάστε περισσότερα

i) Να δείξετε ότι αν για µια τιµή της γωνίας θ η ράβδος ισορροπεί, η ισορροπία αυτή είναι αδιάφορη.

i) Να δείξετε ότι αν για µια τιµή της γωνίας θ η ράβδος ισορροπεί, η ισορροπία αυτή είναι αδιάφορη. Η ράβδος του σχήµατος έχει µήκος L, βάρος w και στηρίζεται διά του άκρου της Α επί λείου τοίχου, ενώ το άλλο άκρο της Β ακουµπά ει σε λεία κοίλη επιφάνεια. Η τοµή της επιφάνειας µε κατακόρυφο επίπεδο που

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ.

ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ομογενής δίσκος ροπής αδράνειας, με μάζα και ακτίνας θα χρησιμοποιηθεί σε 3 διαφορετικά πειράματα.

Ομογενής δίσκος ροπής αδράνειας, με μάζα και ακτίνας θα χρησιμοποιηθεί σε 3 διαφορετικά πειράματα. Δίσκος Σύνθετη Τρίτη 01 Μαϊου 2012 ΑΣΚΗΣΗ 5 Ομογενής δίσκος ροπής αδράνειας, με μάζα και ακτίνας θα χρησιμοποιηθεί σε 3 διαφορετικά πειράματα. ΠΕΙΡΑΜΑ Α Θα εκτοξευθεί με ταχύτητα από τη βάση του κεκλιμένου

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα Κ είναι Ι= M R

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ. Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα Κ είναι Ι= M R ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1 Η ράβδος ΟΑ του σχήματος μπορεί να στρέφεται γύρω από τον άξονα z z χωρίς τριβές Tη στιγμή t=0 δέχεται την εφαπτομενική δύναμη F σταθερού μέτρου 0 Ν, με φορά όπως φαίνεται στο σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα: Μηχανική Στερεού Σώματος

Διαγώνισμα: Μηχανική Στερεού Σώματος Διαγώνισμα: Μηχανική Στερεού Σώματος Θέμα Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία τη συμπληρώνει σωστά

Διαβάστε περισσότερα

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ» ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 01: ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση,

Διαβάστε περισσότερα

Eάν L 1, L 2 είναι τα αντίστοιχα φυσικά µήκη των ελατηρίων ε 1 και ε 2 τότε για την απόσταση ΑΒ των σηµείων στήριξης των ελατηρίων θα έχουµε:

Eάν L 1, L 2 είναι τα αντίστοιχα φυσικά µήκη των ελατηρίων ε 1 και ε 2 τότε για την απόσταση ΑΒ των σηµείων στήριξης των ελατηρίων θα έχουµε: Tο µικρό σώµα του σχήµατος (1) έχει µάζα m και συγκρατείται στο λείο οριζόντιο έδαφος σε τέτοια θέση, ώστε τα ελατήρια ε 1 και ε να είναι τεντωµένα κατά α απο την φυσική τους κατάσταση. i) Eάν k, k είναι

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος ΙΙ Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Κυριακή 28 Φλεβάρη 2016 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1

Διαβάστε περισσότερα

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014 ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΤΑΞΗ ΤΜΗΜΑ ΟΝΟΜΑ. ΘΕΜΑ 1ο. 7 mr 5. 1 mr. Μονάδες 5. α. 50 W β. 100 W γ. 200 W δ. 400 W

Γ ΤΑΞΗ ΤΜΗΜΑ ΟΝΟΜΑ. ΘΕΜΑ 1ο. 7 mr 5. 1 mr. Μονάδες 5. α. 50 W β. 100 W γ. 200 W δ. 400 W ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΟΝΟΜΑ ΤΜΗΜΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΤΕΤΑΡΤΗ 8 ΜΑΡΤΙΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ 1ο Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις. Φυσική Γ Λυκείου - Μηχανική στερεού σώματος

Ασκήσεις. Φυσική Γ Λυκείου - Μηχανική στερεού σώματος - Μηχανική στερεού σώματος Ασκήσεις 1. Στερεό στρέφεται γύρω Ένας δίσκος μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα ο οποίος διέρχεται από το κέντρο και είναι κάθετος στο επίπεδο του. Ο δίσκος είναι

Διαβάστε περισσότερα

Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός.

Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος. Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός. Συνταγολόγιο Φυσικής Μηχανική Στερεού Σώµατος Επιµέλεια: Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου, MSc Φυσικός http://perifysikhs.wordpress.com 1 Κίνηση Ράβδου σε κατακόρυφο επίπεδο Εστω µια οµογενής ϱάβδος ΟΑ µάζας Μ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ: ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΚΑΙ ΡΟΠΕΣ Σ ένα στερεό ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις. Όταν το στερεό ισορροπεί, δηλαδή ισχύει ότι F 0 και δεν περιστρέφεται τότε το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών είναι μηδέν Στ=0,

Διαβάστε περισσότερα

Για τις παραπάνω ροπές αδράνειας ισχύει: α. β. γ. δ. Μονάδες 5

Για τις παραπάνω ροπές αδράνειας ισχύει: α. β. γ. δ. Μονάδες 5 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΘΕΡΙΝΑ Α (ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 01-03-2015 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ M-ΑΓΙΑΝΝΙΩΤΑΚΗ ΑΝ.-ΠΟΥΛΗ Κ. ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Στερεό (Μέχρι Ροπή Αδράνειας) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Α)Σε κάθε μια από τις ερωτήσεις (1-4) να σημειώσετε στο τετράδιό σας τη σωστή απάντηση.

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Στερεό (Μέχρι Ροπή Αδράνειας) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Α)Σε κάθε μια από τις ερωτήσεις (1-4) να σημειώσετε στο τετράδιό σας τη σωστή απάντηση. ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Στερεό (Μέχρι Ροπή δράνειας) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜ 1 Ο : )Σε κάθε μια από τις ερωτήσεις (1-4) να σημειώσετε στο τετράδιό σας τη σωστή απάντηση. 1. Για ένα ζεύγος δυνάμεων Η ροπή του, εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

i) το πλάτος ταλάντωσης του καροτσιού µετά την ενσωµάτωση του σφαιριδίου σ' αυτό και

i) το πλάτος ταλάντωσης του καροτσιού µετά την ενσωµάτωση του σφαιριδίου σ' αυτό και Ένα καροτσάκι που περιέχει άµµο, συνολικής µάζας M, εκτελεί οριζόντια αρµονική ταλάντωση σε λείο επίπεδο, µε τη βοήθεια ιδανικού οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k. Ένα σφαιρίδιο µάζας m

Διαβάστε περισσότερα

Σχήµα 20. οι οριζόντιες συνιστώσες των ταχυτήτων v! προσπτώσεως και ανακλάσεως αντιστοίχως του σφαιριδίου, T!

Σχήµα 20. οι οριζόντιες συνιστώσες των ταχυτήτων v! προσπτώσεως και ανακλάσεως αντιστοίχως του σφαιριδίου, T! Ένα στερεό σώµα εκτελεί επίπεδη κίνηση και δύο σηµεία αυτού βρίσκονται κάποια στιγµή t στις θέσεις Α(,) και Β(,α) του επιπέδου κίνησής του (x,y) Εάν οι ταχύτητες των σηµείων αυτών έχουν το ίδιο µέτρο v

Διαβάστε περισσότερα

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι

ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Μηχανική Στερεού - µέρος Ι Σύνολο Σελίδων: οκτώ (8) - ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες Κυριακή 24 Γενάρη 2016 Βαθµολογία % Ονοµατεπώνυµο: Θέµα Α Στις ηµιτελείς προτάσεις Α.1 Α.4

Διαβάστε περισσότερα

Οι τροχαλίες θεωρούνται κυλινδρικά σώµατα µε ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής τους I. = mr και g=10m/s 2.

Οι τροχαλίες θεωρούνται κυλινδρικά σώµατα µε ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής τους I. = mr και g=10m/s 2. Γιο Γιο σε Τροχαλία και µια Ολίσθηση που µετατρέπεται σε Κύλιση Η µεγάλη τροχαλία του διπλανού σχήµατος έχει µάζα Μ=4kg, ακτίνα R=0, και κρέµεται από σταθερό σηµείο. Η µικρή τροχαλία έχει µάζα =kg και

Διαβάστε περισσότερα

Ένα κυβικό δοχείο ακµής α, είναι γεµάτο νερό και τοποθετείται πάνω σε οριζόντιο έδαφος (σχ. 13).

Ένα κυβικό δοχείο ακµής α, είναι γεµάτο νερό και τοποθετείται πάνω σε οριζόντιο έδαφος (σχ. 13). Ένα κυβικό δοχείο ακµής α, είναι γεµάτο νερό και τοποθετείται πάνω σε οριζόντιο έδαφος σχ. 3). i) Εάν στο κέντρο Ο µιας έδρας του δοχείου ανοίξουµε µικρή κυκλική οπή εµβαδού S, ποιο πρέπει να είναι το

Διαβάστε περισσότερα

φυσική κατεύθυνσης γ λυκείου ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (κεφ.4) Γκότσης Θανάσης - Τερζής Πέτρος

φυσική κατεύθυνσης γ λυκείου ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ (κεφ.4) Γκότσης Θανάσης - Τερζής Πέτρος 1 Ένα στερεό εκτελεί μεταφορική κίνηση όταν: α) η τροχιά κάθε σημείου είναι ευθεία γραμμή β) όλα τα σημεία του έχουν ταχύτητα που μεταβάλλεται με το χρόνο γ) μόνο το κέντρο μάζας του διαγράφει ευθύγραμμη

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτική άσκηση: Περιστροφή Κρούση - Κύλιση με ολίσθηση

Επαναληπτική άσκηση: Περιστροφή Κρούση - Κύλιση με ολίσθηση Επαναληπτική άσκηση: Περιστροφή Κρούση - Κύλιση με ολίσθηση Η ομογενής και ισοπαχής ράβδος ΑΓ του διπλανού σχήματος έχει μήκος L=1,m και μάζα M=4kg και μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

2) Ομογενής δίσκος μάζας m και ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο

2) Ομογενής δίσκος μάζας m και ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο - 1 - Επώνυμο.. Όνομα.. Αγρίνιο 22/3/2015 Ζήτημα 1 0 Να επιλεγεί η σωστή πρόταση 1) Ομογενής δίσκος μάζας m και ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω σε οριζόντιο επίπεδο. Ο δίσκος στρέφεται γύρω

Διαβάστε περισσότερα

Ισορροπία στερεού. 3.2.8. Ποιες είναι οι δυνάμεις που ασκούνται; 3.2.9. Ένας Κύλινδρος Πάνω σε μια Σφήνα. Υλικό Φυσικής Χημείας

Ισορροπία στερεού. 3.2.8. Ποιες είναι οι δυνάμεις που ασκούνται; 3.2.9. Ένας Κύλινδρος Πάνω σε μια Σφήνα. Υλικό Φυσικής Χημείας 3.2.. 3.2.1. Ροπές και ισορροπία. Πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται μια ράβδος μήκους l=4m, η οποία μπορεί να στρέφεται γύρω από κατακόρυφο άξονα, ο οποίος διέρχεται από το μέσον της Ο. Ασκούμε

Διαβάστε περισσότερα

Β. Συµπληρώστε τα κενά των παρακάτω προτάσεων

Β. Συµπληρώστε τα κενά των παρακάτω προτάσεων ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΣΤΕΡΕΟ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1 έως 3 επιλέξτε τη σωστή απάντηση 1. Δυο δακτύλιοι µε διαφορετικές ακτίνες αλλά ίδια µάζα κυλάνε χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο έδαφος µε την

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση

2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ. Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων. Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση 2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την,

Διαβάστε περισσότερα

F r. www.ylikonet.gr 1

F r. www.ylikonet.gr 1 3.5. Έργο Ενέργεια. 3.5.1. Έργο δύναµης- ροπής και Κινητική Ενέργεια. Το οµοαξονικό σύστηµα των δύο κυλίνδρων µε ακτίνες R 1 =0,1m και R =0,5m ηρεµεί σε οριζόντιο επίπεδο. Τυλίγουµε γύρω από τον κύλινδρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΕΡΕΟ. ΘΕΜΑ Α (μοναδες 25)

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΕΡΕΟ. ΘΕΜΑ Α (μοναδες 25) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΕΡΕΟ ΘΕΜΑ Α (μοναδες 25) Α1. Σε στερεό που περιστρέφεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα ενεργεί σταθερή ροπή. Τότε αυξάνεται με σταθερό ρυθμό: α. η ροπή αδράνειας του β. η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ : ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 23/2/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ: ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3-4

ΘΕΜΑΤΑ : ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 23/2/2014 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ: ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3-4 ΚΕΝΤΡΟ Αγίας Σοφίας 39 3 ΝΤΕΠΩ Β Όλγας 3 38 ΕΥΟΣΜΟΣ ΜΑλεξάνδρου 5 37736 ΘΕΜΑΤΑ : ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3// ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ: ΚΕΦΑΛΑΙΑ 3- ΘΕΜΑ A Στις ερωτήσεις - να γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

ii) Να βρεθεί η απόσταση των δύο σωµάτων την χρονική στιγµή t=τ/2, όπoυ Τ η περίοδος ταλάντωσης του Σ 1.

ii) Να βρεθεί η απόσταση των δύο σωµάτων την χρονική στιγµή t=τ/2, όπoυ Τ η περίοδος ταλάντωσης του Σ 1. Το ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθε ράς k είναι ακλόνητο, ενώ στο άλλο του άκρο έχει στερεωθεί µικρό σώµα Σ µάζας m, το οποίο βρίσκεται σε επαφή µε λείο οριζόντιο έδαφος. Μετατοπίζουµε το σώµα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/2014 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 09/03/014 ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Στις ερωτήσεις Α1 Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

από το νήµα που περιβάλλει το εσωτερικό της αυλάκι, ίση µε το βάρος m g! του σώµατος Σ, την δύναµη επαφής F!

από το νήµα που περιβάλλει το εσωτερικό της αυλάκι, ίση µε το βάρος m g! του σώµατος Σ, την δύναµη επαφής F! Στην διάταξη του σχήµατος (1) η διπλή τροχα λία θεωρείται µε αµελητέα µάζα και εφάπτεται λείου κεκλιµένου επιπέδου και κατακόρυφου τοίχου. Στο εσωτερικό αυλάκι της τροχαλίας έχει περιτυλιχθεί αβαρές νήµα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1

ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1 1. Νήμα τυλίγεται σε λεπτό αυλάκι κατά μήκος της περιφέρειας κυλίνδρου, που έχει μάζα 2 kg και ακτίνα 0,2 m. Ο κύλινδρος συγκρατείται αρχικά στη θέση που φαίνεται στο σχήμα, με το νήμα να εξέχει τεντωμένο

Διαβάστε περισσότερα

. Εάν η κρούση της ράβ δου µε το οριζόντιο έδαφος είναι τελείως ελαστική, να βρείτε:

. Εάν η κρούση της ράβ δου µε το οριζόντιο έδαφος είναι τελείως ελαστική, να βρείτε: Μια λεπτή λαστιχένια ράβδος ΑΒ µήκους L και µάζας m, εκτελεί ελεύθερη πτώση χώρίς να περιστρέφεται και κάποια στιγµή το άκρο της Α συναντά λείο οριζόντιο έδαφος. Την στιγµή αυτή η ράβδος έχει κλίση φ ως

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου

Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Προτεινόμενο διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Θέμα 1 ο Σε κάθε μια από τις παρακάτω προτάσεις 1-5 να επιλέξετε τη μια σωστή απάντηση: 1. Όταν ένα σώμα ισορροπεί τότε: i. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητάς του

Διαβάστε περισσότερα

i) Να βρεθεί η ελάχιστη επιτρεπόµενη απόσταση των Α 1, Α 2, όταν το µήκος της ράβδου είναι L=20 L *.

i) Να βρεθεί η ελάχιστη επιτρεπόµενη απόσταση των Α 1, Α 2, όταν το µήκος της ράβδου είναι L=20 L *. Στην διάταξη του σχήµατος (1) η οµογενής λεπτή ράβδος ΑΒ έχει στε ρεωθεί στις άκρες Α 1, Α δύο κατακόρυφων ιδανικών ελατηρίων µε αντίστοιχες σταθερές k και 3k. Η ράβδος ισορροπεί οριζόντια όταν οι αποστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΟ ΙΓΩΝΙΣΜ ΣΤΗ ΜΗΧΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΤΟΣ ΘΕΜ Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 πολλαπλής επιλογής, αρκεί να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της ερώτησης και δεξιά απ αυτόν, μέσα σε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 (ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ) ΚΥΡΙΑΚΗ 15 ΜΑΡΤΙΟΥ 2015 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ 5

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 (ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ) ΚΥΡΙΑΚΗ 15 ΜΑΡΤΙΟΥ 2015 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ 5 ΑΡΧΗ 1 ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 (ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ) ΚΥΡΙΑΚΗ 15 ΜΑΡΤΙΟΥ 2015 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ 5 ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον

Διαβάστε περισσότερα

µε φορά προς το κυρτό µέρος του σύρµατος (σχήµα α) η οποία µαζί µε την ακτινική συνιστώσα w!

µε φορά προς το κυρτό µέρος του σύρµατος (σχήµα α) η οποία µαζί µε την ακτινική συνιστώσα w! Το κυκλικό σύρµα του σχήµατος έχει µάζα m/ και είναι κρεµασµένο από κατακόρυφο σπάγκο αµελητέας µάζας αλλά επαρκούς αντοχής. Δύο όµοιες σηµειακές χάντρες, καθε µιά µε µάζα m, αφήνονται ταυτόχρονα από την

Διαβάστε περισσότερα

i) Nά δείξετε ότι το νήµα θα χαλαρώσει και ότι το σφαιρίδιο θα συγκρουσθεί µε την οροφή.

i) Nά δείξετε ότι το νήµα θα χαλαρώσει και ότι το σφαιρίδιο θα συγκρουσθεί µε την οροφή. Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, είναι στερεωµένο στο ένα άκρο απολύτως ελαστικού νήµατος φυσικού µήκους L =3mg/k και σταθεράς k, όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας, του οποίου το άλλο άκρο έχει στερεωθει σε

Διαβάστε περισσότερα

mu R mu = = =. R Γενική περίπτωση ανακύκλωσης

mu R mu = = =. R Γενική περίπτωση ανακύκλωσης Γενική περίπτωση ανακύκλωσης Με τον όρο ανακύκλωση εννοούμε την κίνηση ενός σώματος σε κατακόρυφο επίπεδο σε κυκλική τροχιά. Χαρακτηριστικό παράδειγμα τέτοιας κίνησης είναι η κίνηση στο roller coaster,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Αντικείμενο: Κεφάλαιο 4 Θέμα 1ο Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση που ακολουθεί κάθε μια από τις πιο κάτω προτάσεις α. Ένα σώμα ηρεμεί εκτός πεδίου βαρύτητας. Ασκούμε

Διαβάστε περισσότερα

Γιο Γιο σε Τροχαλία και μια Ολίσθηση που μετατρέπεται σε Κύλιση

Γιο Γιο σε Τροχαλία και μια Ολίσθηση που μετατρέπεται σε Κύλιση Γιο Γιο σε Τροχαλία και μια Ολίσθηση που μετατρέπεται σε Κύλιση Απάντηση α) Επειδή το νήµα δεν ολισθαίνει στις τροχαλίες και παραµένει τεντµένο, όλα τα σηµεία του έχουν την ίδια ταχύτητα. Το σηµείο Α συµµετέχει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤ. & ΤΕΧΝ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤ. & ΤΕΧΝ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤ. & ΤΕΧΝ. ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Στις ημιτελείς προτάσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. Α1.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1

ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1 1. Ένα βλήμα μάζας 0,1 kg που κινείται οριζόντια με ταχύτητα 100 m/s σφηνώνεται σε ακίνητο ξύλο μάζας 1,9 kg. Να βρεθεί η απώλεια ενέργειας που οφείλεται στην κρούση, όταν το ξύλο είναι: α. πακτωμένο στο

Διαβάστε περισσότερα

Β. Κίνηση σώματος (ή συστήματος σωμάτων)

Β. Κίνηση σώματος (ή συστήματος σωμάτων) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Γενικές ερωτήσεις Γενικές ασκήσεις Κριτήρια αξιολόγησης Ένα πρόβλημα μηχανικής στερεού σώματος είναι γενικά σύνθετο πρόβλημα και απαιτούνται όλα όσα γράψαμε μέχρι τώρα στις επιμέρους ενότητες

Διαβάστε περισσότερα

ταχύτητα μέτρου. Με την άσκηση κατάλληλης σταθερής ροπής, επιτυγχάνεται

ταχύτητα μέτρου. Με την άσκηση κατάλληλης σταθερής ροπής, επιτυγχάνεται ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ 26. Δύο σημειακές σφαίρες που η καθεμιά έχει μάζα συνδέονται μεταξύ τους με οριζόντια αβαρή ράβδο. Το σύστημα περιστρέφεται γύρω από κατακόρυφο

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό διαγώνισµα Ταλαντώσεις Στερεό σώµα

Επαναληπτικό διαγώνισµα Ταλαντώσεις Στερεό σώµα Επαναληπτικό διαγώνισµα Ταλαντώσεις Στερεό σώµα Θέµα ο Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Ένα σηµειακό

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Τζιόλας Χρήστος. και Α 2

ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Τζιόλας Χρήστος. και Α 2 ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών Τζιόλας Χρήστος 1. Ένα σύστημα ελατηρίου σταθεράς = 0 π N/ και μάζας = 0, g τίθεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση. Αν είναι Α 1 και Α τα πλάτη της ταλάντωσης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. = 2r, τότε:

ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. = 2r, τότε: ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. (Διατήρηση της στροφορμής) Η Γη στρέφεται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τον Ήλιο. Το κοντινότερο σημείο στον Ήλιο ονομάζεται Περιήλιο (π) και το πιο απομακρυσμένο Αφήλιο (α).

Διαβάστε περισσότερα

% ] Βαγγέλης Δημητριάδης 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου

% ] Βαγγέλης Δημητριάδης 4 ο ΓΕΛ Ζωγράφου 1. Ομογενής και ισοπαχής ράβδος μήκους L= 4 m και μάζας M= 2 kg ισορροπεί οριζόντια. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο. Σε σημείο Κ της ράβδου έχει προσδεθεί το ένα άκρο κατακόρυφου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΛΙΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΚΑΤΑ ΜΗΚΟΣ ΠΛΑΓΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΚΥΛΙΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΚΑΤΑ ΜΗΚΟΣ ΠΛΑΓΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΚΥΛΙΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΚΑΤΑ ΜΗΚΟΣ ΠΛΑΙΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Σε ένα πλάγιο επίπεδο γωνίας κλίσης κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει προς τα κάτω, ένα στερεό σώµα µε κατανοµή µάζας συµµετρική ως προς το κέντρο του. ( Το στερεό

Διαβάστε περισσότερα

i) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και

i) τον λόγο των µαζών των δύο σφαιριδίων, ώστε αυτά µετά την κρού ση τους να φθάνουν στις αρχικές τους θέσεις και Δύο αβαρή και µη εκτατά νήµατα του ίδιου µή κους είναι στερεωµένα στο ίδιο σηµείο Ο, ενώ στις ελεύθερες άκρες των νηµάτων είναι δεµένα δύο σφαιρίδια, µε µάζες 1 και. Eκτρέ πουµε τα σφαιρίδια από την θέση

Διαβάστε περισσότερα

Διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου

Διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Διαγώνισμα Φυσικής Α Λυκείου Δυναμιική.. Θέμα 1 ο 1. Συμπληρώστε την παρακάτω πρόταση. H αρχή της αδράνειας λέει ότι όλα ανεξαιρέτως τα σώματα εκδηλώνουν μια τάση να διατηρούν την... 2. Ένα αυτοκίνητο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

, κάθετο στο επίπεδο των ράβδων.

, κάθετο στο επίπεδο των ράβδων. Κοίλος κύλινδρος µάζας m, ακτίνας r και ύψους L µπορεί να κινείται πάνω σε δύο λείες και αµελητέας ωµικής αντίστασης µεταλλικές ράβδους, που είναι παράλληλες και στερεωµέ νες µε το επίπεδό τους να σχηµατίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΣΗΜΟ. 12 της στροφορμής της ράβδ ου ως προς παράλληλο άξονα, που περνά από το ένα άκρο της, με ίδια ω, είναι: ω 3

ΟΡΟΣΗΜΟ. 12 της στροφορμής της ράβδ ου ως προς παράλληλο άξονα, που περνά από το ένα άκρο της, με ίδια ω, είναι: ω 3 5.1 Oι σφαίρες του σχήματος έχουν ίσες μάζες και ακτίνες. Η σφαίρα (1) είναι συμπαγής και η σφαίρα () κοίλη. Οι ροπές αδράνειάς τους είναι Ι 1 και Ι αντίστοιχα. Και οι δύο σφαίρες περιστρέφονται με γωνιακές

Διαβάστε περισσότερα

του νήµατος που συγκρατεί το Α, σύµφωνα δε µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα υπό την γενικευµένη µορφή του, θα ισχύει η σχέση:

του νήµατος που συγκρατεί το Α, σύµφωνα δε µε τον δεύτερο νόµο του Νεύτωνα υπό την γενικευµένη µορφή του, θα ισχύει η σχέση: Στην διάταξη του σχήµατος () οι δύο σταθερές τροχαλίες τ και τ έχουν αµελητέα µάζα και το νήµα που διέρχεται από τα αυλάκια τους είναι αβαρές και µη εκτατό. Στις άκρες του νήµατος είναι στερεωµένα τα σώµατα

Διαβάστε περισσότερα

2) Βάρος και κυκλική κίνηση. Β) Κυκλική κίνηση

2) Βάρος και κυκλική κίνηση. Β) Κυκλική κίνηση Β) Κυκλική κίνηση 1) Υπολογισμοί στην ομαλή κυκλική κίνηση. Μια μικρή σφαίρα, μάζας 2kg, εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση, σε κύκλο κέντρου Ο και ακτίνας 0,5m, όπως στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή t=0 η σφαίρα

Διαβάστε περισσότερα

κατά την οποία το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του τροχού είναι ίσο με

κατά την οποία το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του τροχού είναι ίσο με ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ - ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 06/0/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

A) Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού, καθώς και ο αριθµός των στροφών

A) Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση του τροχού, καθώς και ο αριθµός των στροφών Άσκηση ολίσθηση-κύλιση µε ολίσθηση-κύλιση χωρίς ολίσθηση Ο τροχός του σχήµατος έχει ακτίνα R0,m και αφήνεται τη χρονική στιγµή t0 µε αρχική γωνιακή ταχύτητα ω ο 300 rad/sec σε επαφή µε τα δύο κάθετα τοιχώµατα,

Διαβάστε περισσότερα