Θεμέλια και Καινοτομίες της Κβαντικής Μηχανικής

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεμέλια και Καινοτομίες της Κβαντικής Μηχανικής"

Transcript

1 Θεμέλια και Καινοτομίες της Κβαντικής Μηχανικής Α. Αραγεώργης Τομέας Ανθρωπιστικών, Κοινωνικών Επιστημών και Δικαίου Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Θα έπρεπε να αρχίσω εκφράζοντας τη γενική στάση μου απέναντι στη σημερινή κβαντική θεωρία, με την οποία εννοώ την καθιερωμένη μησχετικιστική κβαντική μηχανική. Η θεωρία έχει, πράγματι, δυο ισχυρούς όγκους γεγονότων υπέρ της και μόνο ένα πράγμα εναντίον της. Πρώτο, υπέρ της είναι όλες οι θαυμαστές συμφωνίες που είχε η θεωρία με κάθε πειραματικό αποτέλεσμα μέχρι σήμερα. Δεύτερο, και για μένα σχεδόν εξίσου σημαντικό, είναι μια θεωρία εκπληκτικής και βαθιάς μαθηματικής ομορφιάς. Το μόνο πράγμα που μπορεί να ειπωθεί εναντίον της είναι ότι δεν βγάζει απολύτως κανένα νόημα! Roger Perose (986, σ. 9) 0. Προλεγόμενα Αποκλειστικός στόχος του παρόντος είναι η σκιαγράφηση των θεμελίων της μη σχετικιστικής κβαντικής μηχανικής σε βαθμό που κρίνεται επαρκής για την πραγμάτευση των ερμηνευτικών προβλημάτων και των φιλοσοφικών προεκτάσεών της. Στην ενότητα αναπτύσσονται οι βασικές έννοιες και παραδοχές που συγκροτούν το υπόβαθρο κάθε θεωρίας για τον φυσικό κόσμο, είτε κλασικής είτε κβαντικής. Στην ενότητα περιγράφεται η δομή της κλασικής μηχανικής σωματιδίων με σκοπό να καταστούν σαφείς οι διαφορές με τη δομή της κβαντικής μηχανικής που περιγράφεται στην ενότητα 3. Η ενότητα 4 πραγματεύεται μερικές από τις κύριες καινοτομίες της κβαντικής μηχανικής που βρίσκονται στο επίκεντρο συναφών φιλοσοφικών συζητήσεων. Στο Παράρτημα παρατίθενται στη μορφή ενός συνοπτικού πίνακα τα κύρια σημεία των ενοτήτων και 3. Τέλος, στο Παράρτημα παρουσιάζεται με τη μορφή τυπολογίου ο πυρήνας της κβαντομηχανικής θεωρίας του spi. Η ανάπτυξη είναι εσκεμμένα απλουστευμένη από μαθηματικής σκοπιάς. Έτσι δεν υπάρχουν αναφορές σε σύνολα Borel, πεδία ορισμού μη φραγμένων τελεστών, τελεστές με συνεχές φάσμα, μη διαχωρίσιμους χώρους Hilbert, κ.ά. Η επιλογή αυτή δεν προέρχεται από την (εσφαλμένη) πεποίθηση ότι η μαθηματική αυστηρότητα δεν πρέπει να ενδιαφέρει τον / την φιλόσοφο της φυσικής. Πηγάζει απλώς από τη διαπίστωση ότι η κβαντική μηχανική θα είχε να μας παρουσιάσει δύσκολα ερμηνευτικά προβλήματα ακόμη και εάν ο μοναδικός χώρος Hilbert ήταν το!. Βασικές παραδοχές και έννοιες Υποθέτουμε ότι ο κόσμος είναι τέτοιος ώστε διάφορα ενδεχόμενα να επιδέχονται, κάτω από ορισμένες συνθήκες, συγκεκριμένες τιμές πιθανότητας και να υφίστανται πιθανοκρατικές σχέσεις μεταξύ διαφόρων συμβάντων. Αυτή είναι η ελάχιστη προϋπόθεση για τη συγκρότηση μιας θεωρίας για τον κόσμο με ρεαλιστικές αξιώσεις. Σημειώσεις για το μάθημα Φιλοσοφία της Φυσικής, 7ο Εξάμηνο, ΣΕΜΦΕ, ΕΜΠ.

2 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 Αν ο κόσμος δεν ενέχει κανένα στοιχείο τυχαιότητας, οι εν λόγω τιμές πιθανότητας (στο [0,]) θα εκφυλίζονται σε τιμές αληθείας (στο {0,}). Ένα φυσικό σύστημα μπορεί να νοηθεί ως o φορέας των πιθανοκρατικών σχέσεων μεταξύ συμβάντων «ό,τι έχουν κοινό» τα συμβάντα, «ό,τι υπόκειται» των διαδικασιών. Τα ίδια τα συμβάντα περιγράφονται με τη βοήθεια της απόδοσης τιμών σε παρατηρήσιμα μεγέθη και η κατάσταση του συστήματος κωδικοποιεί τις πιθανότητες για τις δυνατές τιμές των παρατηρήσιμων μεγεθών. Με τον όρο παρατηρήσιμο μέγεθος εννοούμε γενικώς κάθε συλλογή ιδιοτήτων («τιμές του παρατηρήσιμου μεγέθους») που είναι τέτοια ώστε (α) οτιδήποτε μπορεί να έχει κάποια από αυτές τις ιδιότητες μπορεί να έχει το πολύ μια από αυτές τις ιδιότητες και (β) καθεμία από αυτές τις ιδιότητες αναπαριστάνεται από κάποιο πραγματικό αριθμό ή διατεταγμένη -άδα πραγματικών αριθμών. Για παράδειγμα, ο όρος ορμή υποδηλώνει ένα παρατηρήσιμο μέγεθος με την έννοια ότι οτιδήποτε μπορεί να έχει καθορισμένη τιμή ορμής μπορεί να έχει το πολύ μια τέτοια τιμή που αναπαριστάνεται 3 από ένα διάνυσμα (στο ). Κανένα σύστημα δεν μπορεί να έχει την ίδια χρονική στιγμή περισσότερες από μια διαφορετικές τιμές ορμής και, ίσως, ένα (κβαντικό) σύστημα μπορεί να μην έχει καμία καθορισμένη τιμή ορμής σε κάποια χρονική στιγμή. Πάντως, η χρήση εδώ του όρου παρατηρήσιμο μέγεθος δεν περιορίζεται «ανθρωποκεντρικά» μόνο σε ιδιότητες που εμείς μπορούμε να παρατηρήσουμε, άμεσα ή έμμεσα. Και μια επιπλέον διάκριση. Οι φυσικές θεωρίες συχνά περιλαμβάνουν παρατηρήσιμα μεγέθη, όπως η μάζα ή το φορτίο, που είναι ανεξάρτητα της εκάστοτε κατάστασης του συστήματος. Στο εξής θα αναφερόμαστε κυρίως σε εκείνα τα παρατηρήσιμα μεγέθη που εξαρτώνται κατά μη τετριμμένο τρόπο από την κατάσταση του συστήματος και υπόκεινται σε δυναμική εξέλιξη. Είναι σαφές ότι η προηγούμενη παράγραφος περιέχει μόνο λίγο-πολύ αόριστες επεξηγήσεις όρων. Αυστηρότερα, οι όροι σύστημα, παρατηρήσιμο μέγεθος και κατάσταση μπορούν να εκληφθούν ως πρωταρχικοί όροι (που δεν επιδέχονται ορισμό) στο πλαίσιο ενός αξιωματικού συστήματος. Δεδομένου ενός συστήματος, υπάρχουν πολλά ενδεχόμενα που μπορούν να καθοριστούν: πού βρίσκεται το σύστημα ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς, ποια είναι η ενέργειά του, κ.λπ. Μερικά από αυτά τα ενδεχόμενα καθορίζονται όταν κάποιο παρατηρήσιμο μέγεθος λάβει μια τιμή από ένα μεγάλο πλήθος δυνατών τιμών το σύνολο των δυνατών τιμών μπορεί να είναι άπειρο, διακριτό ή συνεχές. Μερικά ενδεχόμενα, όμως, μπορούν να χαρακτηριστούν με μόνο δυο δυνατές τιμές τις οποίες μπορούμε να εκλάβουμε ως αληθοτιμές. Τέτοια «δίτιμα ενδεχόμενα» θα τα ονομάσουμε ενδεχομενικότητες και ανάγονται σε ενδεχόμενα που περιγράφονται από προτάσεις της μορφής: Η τιμή του παρατηρησίμου μεγέθους A ανήκει στο σύνολο πραγματικών αριθμών Δ συμβολικά και συντομογραφικά ( A, Δ). Από τα παραπάνω, έπεται ότι κάθε κατάσταση s ενός συστήματος Σ ορίζει μια στοχαστική συνάρτηση απόκρισης (.) Pr s : Obs( Σ ) B( ) [0,]: ( A, Δ) Pr s( A, Δ), όπου Obs(Σ) το σύνολο των παρατηρησίμων μεγεθών που σχετίζονται με το Σ, B( ) η άλγεβρα των υποσυνόλων του και Prs ( A, Δ) η πιθανότητα να αληθεύει η ενδεχομενικότητα ( A, Δ) όταν το Σ βρίσκεται στην κατάσταση s. Μετά από συμβατικές επιλογές συστημάτων μονάδων μέτρησης, κ.λπ.

3 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 3 s Μια κατάσταση λέγεται μίγμα των καταστάσεων s και s ακριβώς στην περίπτωση που υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί w, w 0 τέτοιοι ώστε w+ w = και (.) Pr = w Pr + w Pr. s s s Μια κατάσταση s λέγεται μικτή αν και μόνο αν είναι μη τετριμμένο μίγμα άλλων διαφορετικών καταστάσεων s και s ( w 0, w και Prs Pr s ). Μια κατάσταση λέγεται καθαρή αν και μόνο αν δεν είναι μικτή. Με απλά μαθηματικά, αποδεικνύεται ότι αν η s είναι μίγμα των s και s, τότε για κάθε ενδεχομενικότητα ( A, Δ) (.3) Pr ( A, Δ ) = [ Pr ( A, Δ ) = ή Pr ( A, Δ ) = ]. s s s Με αυτή την έννοια, το πλήθος των «βέβαιων ενδεχομενικοτήτων» είναι μέγιστο για τις καθαρές καταστάσεις. Έτσι μια καθαρή κατάσταση ενός συστήματος μπορεί να νοηθεί ως μια μέγιστη εξειδίκευση της περιγραφής του συστήματος.. Κλασική μηχανική Ο χώρος S των καθαρών καταστάσεων («φασικός χώρος») ενός συστήματος N 6N σωματιδίων στον 3-διάστατο ευκλείδειο χώρο είναι το και μια καθαρή κατάσταση αναπαριστάνεται από ένα σημείο ( q,..., q3n; p,..., p3n) S όπου συντεταγμένες θέσης, ορμής αντίστοιχα. Η μαθηματική q, p ( =,...,3 N) αναπαράσταση ενός παρατηρησίμου μεγέθους A είναι μια πραγματική συνάρτηση (.) f A: S : s fa ( s ). Για παράδειγμα, η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος δίνεται από τον τύπο (.) N p3k + p3k + p3k Tq (,... q3n; p,..., p3n) =, m οστου όπου m k η μάζα του k σωματιδίου. Τέλος, η χρονική εξέλιξη της κατάστασης του συστήματος περιγράφεται από τις εξισώσεις Hamilto (.3) dq H dp H = = ( =,...,3 N), dt p dt q όπου H = H( q,..., q3n; p,..., p3n) η χαμιλτονιανή (για H t = 0 ). Για παράδειγμα, στην περίπτωση ενός αρμονικού ταλαντωτή σε -διάστατο χώρο έχουμε Hqp ( ; ) = p m+ mω q. Είναι σημαντικό ότι ο προσδιορισμός της καθαρής κατάστασης ενός κλασικού συστήματος καθορίζει την αληθοτιμή όλων ενδεχομενικοτήτων που αφορούν το σύστημα: η ενδεχομενικότητα ( A, Δ ) αληθεύει όταν το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση s αν και μόνο αν fa() s Δ. Επομένως κάθε ενδεχομενικότητα ( A, Δ) αντιστοιχεί σε ένα υποσύνολο (.4) S = ( A, ) f [ Δ A ] = { s Δ S: fa( s) Δ } k = k Αν w, w 0, w + w =, wx + wx = και 0 x, x, τότε x = ή x =.

4 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 4 του φασικού χώρου S. Έπεται ότι κάθε ενδεχομενικότητα ( A, Δ ) αντιστοιχεί σε ένα δίτιμο παρατηρήσιμο μέγεθος χ Δ : S, όπου χ Δ η χαρακτηριστική συνάρτηση του συνόλου. 3 S( A, Δ ) S( A, ) Φυσικά, η αντιστοίχιση ενδεχομενικοτήτων σε υποσύνολα του φασικού χώρου δεν είναι -. Για παράδειγμα, για ένα σύστημα που αποτελείται από ένα υλικό σημείο μάζας kg σε -διάστατο ευκλείδειο χώρο, οι ενδεχομενικότητες «Η ορμή βρίσκεται μεταξύ kg m/s και 4kg m/s» και «Η ενέργεια βρίσκεται μεταξύ J και 8J» αντιστοιχούν στο ίδιο υποσύνολο του φασικού χώρου. Ας ονομάσουμε φυσικώς ισοδύναμες δυο ενδεχομενικότητες αν και μόνο αν αντιστοιχούν στο ίδιο υποσύνολο του φασικού χώρου ενός κλασικού συστήματος. Η προκύπτουσα - αντιστοιχία μεταξύ προτάσεων που περιγράφουν κλάσεις φυσικής ισοδυναμίας κλασικών ενδεχομενικοτήτων και υποσυνόλων ενός φασικού χώρου κάνει τη λογική των πρώτων να έχει δομή άλγεβρας Boole (με την άρνηση, σύζευξη, διάζευξη προτάσεων να απεικονίζεται σε συμπλήρωμα, τομή, διάζευξη, αντίστοιχα, συνόλων). Αφού η καθαρή κατάσταση του συστήματος προσδιορίζει την αληθοτιμή κάθε ενδεχομενικότητας, οι πιθανοκρατικοί συλλογισμοί για ένα κλασικό σύστημα απορρέουν μόνον από άγνοια («ελλιπή προσδιορισμό») της καθαρής κατάστασης του συστήματος. Στην κλασική μηχανική η έννοια της πιθανότητας έχει αμιγώς γνωσιολογική ερμηνεία. Έτσι η κλασική στατιστική μηχανική εισάγει συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας ρ πάνω στον φασικό χώρο (.5) ρ( q,..., q3n; p,..., p3n) 0 και ορίζει (.6)... ρ( q,..., p ) dq... dp = S 3N 3N S( A, ) Pr ( A, )... χ ( q,..., p ) ρ( q,..., p ) dq... dp Δ =. s S S( A, Δ ) 3N 3N 3N Δηλαδή, η πιθανότητα αλήθειας μιας ενδεχομενικότητας ισούται με την αναμενόμενη τιμή του αντίστοιχου παρατηρήσιμου μεγέθους. Επιπλέον, αν S και S είναι οι χώροι των καθαρών καταστάσεων δυο κλασικών συστημάτων και αντίστοιχα, τότε ο χώρος των καθαρών καταστάσεων του σύνθετου συστήματος + είναι το καρτεσιανό γινόμενο S S. Έπεται ότι οι καθαρές καταστάσεις των υποσυστημάτων προσδιορίζουν μονοσήμαντα την καθαρή κατάσταση του σύνθετου συστήματος. 4 Από την άλλη, αν το σύνθετο σύστημα βρίσκεται σε καθαρή κατάσταση, τότε σε καθαρή κατάσταση θα βρίσκεται και κάθε υποσύστημα ξεχωριστά. 3 Η χαρακτηριστική συνάρτηση χ ενός υποσυνόλου E ενός συνόλου Ω έχει πεδίο ορισμού το Ω E και είναι τέτοια ώστε χ ( x ) = 0 αν x Ω και χ ( x ) = αν x Ω. E 4 Δεδομένου, βεβαίως, ότι η κατάσταση καθενός από τα δυο υποσυστήματα περιλαμβάνει πληροφορίες που καθορίζουν τη θέση και τον προσανατολισμό του υποσυστήματος ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς. E

5 Α.Α./ΘΚΚΜ/ Κβαντική μηχανική Στην κβαντική μηχανική, η καθαρή κατάσταση ενός συστήματος αναπαριστάνεται από ένα κανονικοποιημένο διάνυσμα σε ένα μιγαδικό χώρο Hilbert H. 5 Με (3.) ˆP = συμβολίζεται ο τελεστής προβολής πάνω στον -διάστατο υποχώρο του H που απαρτίζεται από διανύσματα της μορφής c, c. Επιπλέον, κάθε χώρος Hilbert H επιδέχεται ορθοκανονική βάση { e } : =,,... (3.) 0, k e ek = δ k = (σύμβολο Kroecker), = k = e e για κάθε H. Κατά συνέπεια, αν ˆ είναι ο ταυτοτικός τελεστής στον H, έχουμε (3.3) ˆ = e e = Pˆ e («ανάλυση της ταυτότητας»). Ένα παρατηρήσιμο μέγεθος A του συστήματος αναπαριστάνεται από έναν αυτοσυζυγή (γραμμικό) τελεστή Â πάνω στον χώρο Hilbert H των φυσικών καταστάσεων Aˆ: H H : Aˆ (3.4) Ac ˆ + c = caˆ + caˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ A= A, A ϕ = ϕ A * όπου c, c. Σύμφωνα με την κβαντική σημασιολογία, 6 τα δυνατά αποτελέσματα μέτρησης ενός παρατηρήσιμου μεγέθους Α είναι οι ιδιοτιμές a, a,... του αντίστοιχου αυτοσυζυγούς τελεστή Â, (3.5) Aa ˆ = a a, =,,..., όπου a το ιδιοδιάνυσμα του Â που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή a. Οι ιδιοτιμές ενός αυτοσυζυγούς τελεστή είναι πραγματικοί αριθμοί και τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές ορθογώνια. Εφόσον τα ιδιοδιανύσματα είναι κανονικοποιημένα, συγκροτούν μια ορθοκανονική βάση του χώρου Hilbert. Αναλυτικά, για κάθε m=,,,... και κάθε H, έχουμε am, a, a m a αν m, (3.6) a a = δ και = a a. Τέλος, η m m 5 Χρησιμοποιούμε, ως επί το πλείστον, τον συμβολισμό Dirac. Κατά σύμβαση, θεωρούμε ότι το εσωτερικό γινόμενο ii είναι γραμμικό ως προς το δεύτερο όρισμα και συμβολίζουμε με z * τον συζυγή του μιγαδικού αριθμού z. 6 Η σημασιολογία μιας θεωρίας απαρτίζεται από τους κανόνες που αποδίδουν νόημα στις εκφράσεις της θεωρίας και αληθοτιμές στις προτάσεις της θεωρίας. Σε μια φυσική θεωρία η σημασιολογία συνδέει τον «φορμαλισμό» με την «εμπειρική πραγματικότητα» (παρατήρηση, πείραμα, κ.λπ.)

6 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 6 (3.7) a a = ˆ εκφράζει την ως προς A ανάλυση της ταυτότητας. Η σύζευξη των (3.5) και (3.6) δίνει την (3.8) Aˆ = a a a = a Pˆ a που εκφράζει την φασματική αναπαράσταση ή ανάλυση του αυτοσυζυγούς τελεστή Â. Κατά την καθιερωμένη ερμηνεία, ένα παρατηρήσιμο μέγεθος ενός κβαντικού συστήματος έχει καθορισμένη τιμή όταν και μόνον όταν η κατάσταση του συστήματος αναπαριστάνεται από ιδιοδιάνυσμα του αντίστοιχου αυτοσυζυγούς τελεστή οπότε η καθορισμένη τιμή ισούται με την ιδιοτιμή που αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσμα αυτό. Αυτή η σημασιολογική αρχή ονομάζεται συνήθως σύνδεσμος ιδιοκατάστασης-ιδιοτιμής (eigestate-eigevalue lik) και παίζει κεντρικό ρόλο στις ερμηνείες της κβαντικής μηχανικής. Τώρα, η πιθανότητα μια μέτρηση του παρατηρήσιμου μεγέθους A στην κατάσταση να δώσει ως αποτέλεσμα την ιδιοτιμή a ( =,,...) του αντίστοιχου αυτοσυζυγούς τελεστή Â δίνεται από τον στατιστικό αλγόριθμο Bor: (3.9) Pr ( Α,{ a }) = a = a a = Pˆ. a Έπεται ότι η πιθανότητα αληθείας της ενδεχομενικότητας ( A, Δ ) στην κατάσταση θα είναι (3.0) Pr ( A, Δ ) = χ ( a ) Pr ( A,{ a }) = χ ( a ) a = όπου έχουμε θέσει (3.) Δ = χ ( a ) a a = Pˆ Δ Δ ( A, Δ). Pˆ = χ ( a ) a a = χ ( a ) Pˆ ( A, Δ) Δ Δ a Με χρήση του «αλγεβρικού ορισμού», 7 αποδεικνύεται ότι ο Pˆ ( A, Δ ) είναι τελεστής προβολής. Η αναμενόμενη τιμή του παρατηρήσιμου μεγέθους A στην κατάσταση θα είναι (3.) A = a Pr ( A,{ a }) = a a = = a a a = Aˆ αφού ισχύουν οι (3.8) και (3.9). Από τα παραπάνω προκύπτει ότι σε κάθε κβαντική κατάσταση η πιθανότητα αληθείας της ενδεχομενικότητας ( A, Δ ) ισούται με την αναμενόμενη τιμή του προβολικού τελεστή Pˆ ( A, Δ ) που, για αυτό το λόγο, μπορεί να εκληφθεί ως το παρατηρήσιμο μέγεθος που αντιστοιχεί στην ενδεχομενικότητα αυτή. Ασφαλώς, ο προβάλλει στον υποχώρο Pˆ ( A, Δ ) 7 Ένας φραγμένος (γραμμικός) τελεστής ˆP σε ένα χώρο Hilbert είναι προβολικός αν και μόνο αν Pˆ = Pˆ = Pˆ.

7 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 7 (3.3) M ˆ ( A, Δ) = { H : P ( A, Δ) = } του χώρου Hilbert H. Έτσι, αν θεωρήσουμε ως φυσικώς ισοδύναμες δυο ενδεχομενικότητες που αντιστοιχούν στον ίδιο προβολικό τελεστή, παίρνουμε μια - αντιστοιχία μεταξύ προτάσεων που περιγράφουν κλάσεις φυσικής ισοδυναμίας ενδεχομενικοτήτων ενός κβαντικού συστήματος και υποχώρων ενός χώρου Hilbert. Αυτή η - αντιστοιχία αποδίδει στη λογική της άλγεβρας των κβαντικών προτάσεων 8 δομή διαφορετική από εκείνη μιας άλγεβρας Boole. Κατά την κβαντική δυναμική, η χρονική εξέλιξη κάθε φυσικού συστήματος περιγράφεται από μια μονοπαραμετρική ομάδα μοναδιαίων 9 (γραμμικών) τελεστών: (3.4) () t = Uˆ () t (0) t Ut ˆ(), Ut ˆ( + t) = UtUt ˆ( ) ˆ( ) ( ) Ut ˆ() c + c = cut ˆ() + cut ˆ(), c, c Ut ˆ Ut ˆ = ˆ ˆ = ˆ () () UtUt () (). Ειδικότερα, στη μη σχετικιστική κβαντική μηχανική, η καθαρή κατάσταση () t κατά τη χρονική στιγμή t ενός κβαντικού συστήματος εξελίσσεται δυναμικά σύμφωνα με την εξίσωση Schrödiger (3.5) i () t Hˆ () t = t όπου Ĥ η χαμιλτονιανή του συστήματος, οπότε 0 Ut ˆ( ) = exp( ithˆ ), t. Αν στο παρατηρήσιμο μέγεθος A αντιστοιχεί ο αυτοσυζυγής τελεστής Â με φασματική ανάλυση που δίνεται από την (3.8), τότε για κάθε συνάρτηση f : το παρατηρήσιμο μέγεθος f ( A ) αναπαριστάνεται από τον τελεστή (3.6) f ( Aˆ ) = f( a ) Pˆ = f( a ) a a a. Από τις (3.) και (3.6) συνάγεται ότι ο προβολικός τελεστής Pˆ ( A, Δ ) που αντιστοιχεί στην ενδεχομενικότητα ( A, Δ) δεν είναι παρά ο χ ( Aˆ Δ ). Ας αναζητήσουμε τώρα τη μαθηματική αναπαράσταση σε ένα χώρο Hilbert H μιας μικτής κβαντικής κατάστασης ρ της οποίας η στοχαστική συνάρτηση απόκρισης δίνεται τον τύπο (3.7) N Pr w Pr... w Pr w Pr = + + =, ρ N N = όπου N φυσικός αριθμός, w 0 για κάθε {,..., N}, κάθε {,..., N} και k k = δ για κάθε k, {,..., N}. N w =, Το ίχνος (trace) ενός γραμμικού τελεστή Wˆ στον H ορίζεται ως (3.8) trwˆ = e Wˆ e, όπου k k,,... k k k = H για { e } = ορθοκανονική βάση του H (και αποδεικνύεται ανεξάρτητο της επιλογής βάσης). Με χρήση της έννοιας του ίχνους μπορούμε να καταλήξουμε σε μια 8 Συγκεκριμένα, τη δομή ενός orthomodular πλέγματος. 9 Ο αγγλικός όρος είναι uitary και έχει αποδοθεί στα ελληνικά και ως μοναδιακός. 0 Υποθέτουμε ότι η χαμιλτονιανή είναι ανεξάρτητη του χρόνου.

8 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 8 εναλλακτική μαθηματική διατύπωση του στατιστικού αλγόριθμου Bor. Πράγματι, για κάθε καθαρή κατάσταση και κάθε ενδεχομενικότητα (, ) A Δ, έχουμε (3.9) Ομοίως αποδεικνύεται ότι Pr ( A, Δ ) = Pˆ = Pˆ ˆ = ( A, Δ) ( A, Δ) = Pˆ e e = e Pˆ e = k ( A, Δ) k k k ( A, Δ) k k ( ) ( ˆ Δ χδ ) = e Pˆ Pˆ e = tr Pˆ Pˆ = tr Pˆ ( A). k k ( A, Δ) k ( A, ) (3.0) A = Aˆ = tr( P Aˆ ) ˆ. Συνοίζοντας, ο στατιστικός αλγόριθμος Bor δίνεται από τους τύπους Pr ( A, Δ ) = tr Pˆ ( Aˆ ) (3.) ( χ Δ ) A = tr( Pˆ Aˆ ) για πιθανότητες ενδεχομενικοτήτων και αναμενόμενες τιμές παρατηρήσιμων μεγεθών, αντίστοιχα, σε καθαρές κβαντικές καταστάσεις. Η γενίκευση της (3.) οδηγεί στη μαθηματική αναπαράσταση των μικτών κβαντικών καταστάσεων. Από την (3.7) έχουμε, για κάθε ενδεχομενικότητα ( A, Δ), N N (3.) Pr ( A, Δ ) = w Pr ( A, Δ ) = w tr Pˆ Pˆ = ρ = = ( ( A, Δ) ) N ˆ = tr w ˆ P P( A, ). Δ = Κατά συνέπεια, η μικτή κβαντική κατάσταση ρ της οποίας η στοχαστική συνάρτηση απόκρισης δίνεται από την (3.7), θα αναπαριστάνεται από τον τελεστή (3.3) N N ˆ ρ = wpˆ = w. = = Από μαθηματική άποη, ο ˆρ είναι ένας τελεστής πυκνότητας. Γενικά, ένας τελεστής Wˆ σε ένα χώρο Hilbert H λέγεται τελεστής πυκνότητας αν και μόνο αν είναι θετικός ( Wˆ 0 για κάθε H ), αυτοσυζυγής (Wˆ = Wˆ ) και έχει ίχνος ίσο με τη μονάδα (trw ˆ = ). Ένας τελεστής πυκνότητας Wˆ δεν είναι προβολικός τελεστής εκτός εάν Wˆ = Wˆ (οπότε αντιστοιχεί σε καθαρή κατάσταση του κβαντικού συστήματος). Από φυσική άποη, ο τελεστής πυκνότητας ˆρ της (3.3) εκφράζει μια μερική περιγραφή του κβαντικού συστήματος. Σε στατιστική ορολογία, ο ˆρ περιγράφει ένα στατιστικό σύνολο (esemble) κβαντικών συστημάτων «όμοιας σύστασης», με το w να παριστάνει το ποσοστό των συστημάτων που βρίσκονται στην καθαρή κατάσταση. Ακριβέστερα, αν προετοιμάσουμε ένα στατιστικό σύνολο κβαντικών συστημάτων στη μικτή κατάσταση ˆρ που αναλύεται όπως στην (3.3), τότε η εκτίμηση της σχετικής συχνότητας οποιουδήποτε πειραματικού αποτελέσματος για αυτό το στατιστικό σύνολο ισούται ακριβώς με την εκτίμηση που θα λαμβάναμε εάν το στατιστικό σύνολο αποτελούνταν από N υποσύνολα, καθένα στην καθαρή κατάσταση, έτσι ώστε στο ολικό στατιστικό σύνολο κάθε

9 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 9 υποσύνολο να αντιπροσωπευόταν με σχετική συχνότητα w. Αυτό προκύπτει από το N γεγονός ότι tr( ˆPˆ) = w tr( P ˆ P ˆ), για κάθε προβολικό τελεστή ˆP. ρ = Με την εισαγωγή των τελεστών πυκνότητας για τη γενική αναπαράσταση των κβαντικών καταστάσεων, ο στατιστικός αλγόριθμος της κβαντικής σημασιολογίας παίρνει πλέον την ακόλουθη γενική μορφή. Αν ένα κβαντικό σύστημα βρίσκεται σε μια κατάσταση που αναπαριστάνεται από τον τελεστή πυκνότητας ˆρ, η πιθανότητα μια μέτρηση ενός παρατηρήσιμου μεγέθους A να δώσει αποτέλεσμα εντός του υποσυνόλου Δ των πραγματικών αριθμών είναι Pr ˆ ˆ (, ) ˆ ρ A Δ = tr ρχ Δ ( A), (3.4) ( ) όπου Â ο αυτοσυζυγής τελεστής που αναπαριστάνει το A και χ η χαρακτηριστική Δ συνάρτηση του συνόλου Δ. Επιπλέον, η A = tr ˆ ρ Aˆ, (3.5) ˆ ρ ( ) δίνει, σε αυτή την περίπτωση, την αναμενόμενη τιμή του μεγέθους A. Ας σκιαγραφήσουμε τώρα τον τρόπο με τον οποίο η κβαντική μηχανική πραγματεύεται σύνθετα συστήματα. Ας θεωρήσουμε δυο κβαντικά συστήματα, και, των οποίων οι δυνατές φυσικές καταστάσεις αναπαριστάνονται στους χώρους Hilbert και H αντίστοιχα. Ως χώρος των φυσικών καταστάσεων του σύνθετου συστήματος H + ορίζεται το τανυστικό γινόμενο H H. Αναλυτικά, για κάθε H και H, ονομάζουμε την συζυγώς διγραμμική μορφή: (3.6) : H H :( ϕ, ϕ) ( ) ( ϕ, ϕ) = ϕ ϕ H. H (Παρατηρήστε ότι η πράξη του τανυστικού γινομένου είναι γραμμική σε κάθε όρισμά της.) Έστω V το σύνολο όλων των πεπερασμένων γραμμικών συνδυασμών με μιγαδικούς συντελεστές τέτοιων συζυγώς διγραμμικών μορφών. Εφοδιάζουμε το V με ένα εσωτερικό γινόμενο ii, ορίζοντας (3.7), ϕ ϕ = ϕ ϕ H H και επεκτείνοντας με γραμμικό τρόπο σε ολόκληρο το V. Το H H είναι η πλήρωση (completio) του V ως προς το εσωτερικό γινόμενο ii,. () () Αποδεικνύεται ότι αν { } και { } είναι ορθοκανονικές βάσεις e =,,... e k k=,,... () () για τους και H αντίστοιχα, τότε e e } είναι ορθοκανονική βάση για τον H { k H H. Το γεγονός αυτό επιτρέπει να ορίσουμε ένα γραμμικό τελεστή, A ˆ Aˆ, Κατά μια παραδοσιακή ερμηνεία, που ονομάζεται «ερμηνεία των μιγμάτων με προσφυγή στην άγνοια» ( igorace iterpretatio of mixtures ), αν η κατάσταση ενός κβαντικού συστήματος περιγράφεται από τον τελεστή πυκνότητας ˆρ της (3.3), τότε το σύστημα βρίσκεται όντως σε κάποια από τις καθαρές καταστάσεις για =,,..., N αλλά δεν γνωρίζουμε σε ποια και ο συντελεστής w εκφράζει απλώς τη γνωσιολογική πιθανότητα να βρίσκεται στην. Ωστόσο αυτή η προσέγγιση δεν παρέχει μια συνεπή ερμηνεία όλων των μικτών καταστάσεων στην κβαντική μηχανική. Βλ., π.χ., Hughes (989, σ , 50). Εδώ παρεκκλίνουμε λίγο από τον φορμαλισμό Dirac προκειμένου να διευκολύνουμε την οπτική επόπτευση των μαθηματικών τύπων.

10 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 0 στον για κάθε ζεύγος γραμμικών τελεστών, Â και Â, στους και αντίστοιχα. Συγκεκριμένα, θέτουμε Aˆ Aˆ ( e () e () ) = Aˆ e () Aˆ e () (3.8) ( ) k ( ) ( k ) H H για τα στοιχεία μιας βάσης και επεκτείνουμε με γραμμικό τρόπο σε ολόκληρο τον H H. Ιδιαίτερα, αν οι Â και Â αναπαριστάνουν παρατηρήσιμα μεγέθη A και A για τα κβαντικά συστήματα και αντίστοιχα, τότε ο A ˆ Aˆ αναπαριστάνει ένα παρατηρήσιμο μέγεθος για το σύνθετο σύστημα +. Επιπλέον, ο A ˆ ˆ αναπαριστάνει το παρατηρήσιμο μέγεθος A για το σύστημα ως παρατηρήσιμο μέγεθος για το σύνθετο σύστημα + και, ομοίως, ο ˆ Aˆ αναπαριστάνει το παρατηρήσιμο μέγεθος A για το σύστημα ως παρατηρήσιμο μέγεθος για το σύνθετο σύστημα +. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι κάθε διάνυσμα Ψ H μορφή 3 (3.9) () () () () Ψ = k e ek = k e ek k k με k, και ότι. (3.30) ( Aˆ ) ( ) ( ) () () A ˆ ˆ ˆ Ψ = k A e A ek k H γράφεται στη Προκύπτει, επίσης, ότι η πιθανότητα μια μέτρηση του A στο και του A στο να δώσει τιμές και a, αντίστοιχα, όταν το σύνθετο σύστημα + βρίσκεται στην a κατάσταση είναι (3.3) A = a A = a = a a = H H Pr (, ) = Pr ( A = a ) Pr ( A = a ). Αυτό το αποτέλεσμα συγκροτεί τη «φυσική δικαιολόγηση» για την πραγμάτευση των σύνθετων κβαντικών συστημάτων με τη βοήθεια του τανυστικού γινομένου χώρων Hilbert. 4. Καινοτομίες της κβαντικής μηχανικής Στην ενότητα αυτή θα συζητήσουμε τέσσερις κύριες θεωρητικές καινοτομίες της κβαντικής μηχανικής: απροσδιοριστία, υπέρθεση, ασύμβατα παρατηρήσιμα μεγέθη και εμπλοκή. Είναι σαφές ότι το πώς πρέπει να κατανοηθεί καθεμία από αυτές τις καινοτομίες εξαρτάται από την ερμηνεία της κβαντικής μηχανικής που αποδέχεται κανείς. Έτσι αυτά που γράφονται παρακάτω δεν πρέπει να εκληφθούν ως «τελικές αλήθειες». Πρόκειται, μάλλον, για αφετηρίες προς μια ερμηνεία της κβαντικής μηχανικής για συνέπειες του κβαντικού φορμαλισμού που επιζητούν ερμηνεία επειδή ακριβώς δεν μπορούν να κατανοηθούν (εύκολα) σε ένα κλασικό πλαίσιο διαισθήσεων για τη φυσική πραγματικότητα. 3 Σε συμβολισμό Dirac γράφουμε απλώς αντί για.

11 Α.Α./ΘΚΚΜ/ Απροσδιοριστία Στην κλασική φυσική, ο προσδιορισμός της καθαρής κατάστασης ενός συστήματος καθορίζει την αληθοτιμή κάθε ενδεχομενικότητας (εφόσον αυτή αφορά μόνον το ίδιο το σύστημα και όχι τις σχέσεις του συστήματος με άλλα συστήματα). Αυτό δεν ισχύει στην κβαντική μηχανική όπως συνάγεται από το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα. Για κάθε καθαρή κατάσταση ενός κβαντικού συστήματος υπάρχουν ενδεχομενικότητες του συστήματος που δεν έχουν καθορισμένη αληθοτιμή στην κατάσταση αυτή. Απόδειξη. Έστω H ο χώρος Hilbert των φυσικών καταστάσεων ενός κβαντικού συστήματος. Θα δείξουμε ότι για κάθε H, =, υπάρχει ενδεχομενικότητα ( A, Δ) (όπου A παρατηρήσιμο μέγεθος και Δ ) τέτοια ώστε 0 < Pr ( A, Δ) <. Δεδομένου ότι ο H είναι τουλάχιστον -διάστατος, υπάρχει ϕ H τέτοιο ώστε ϕ = 0 και ϕ ϕ =. Ορίζουμε (4.) χ = + ϕ Με απλούς υπολογισμούς, προκύπτουν οι (4.) χ χ = και χ =. Έστω P το παρατηρήσιμο μέγεθος που αντιστοιχεί στον τελεστή προβολής ˆPχ πάνω στον υποχώρο που γεννάται από το χ. Έχουμε: (4.3) Pr ( P,{}) = χ Επομένως 0 < Pr ( P,{}) < και (P,{}) είναι η ζητούμενη ενδεχομενικότητα. Συνεπώς για κάθε καθαρή κατάσταση ενός κβαντικού συστήματος υπάρχουν ενδεχομενικότητες του συστήματος των οποίων η αληθοτιμή δεν είναι καθορισμένη στην κατάσταση αυτή. Κατά την καθιερωμένη ερμηνεία, το γεγονός αυτό δεν πρέπει να κατανοηθεί ως προϊόν δικής μας άγνοιας. Πρόκειται, μάλλον, για ένα είδος αντικειμενικής απροσδιοριστίας: η ίδια η θεωρία μας λέει ότι κάθε μέγιστη εξειδίκευση της περιγραφής ενός συστήματος παρουσιάζει αυτό το είδος «μη πληρότητας». Αν, τώρα, μια ενδεχομενικότητα δεν έχει καθορισμένη αληθοτιμή σε μια καθαρή κατάσταση και το σύστημα υποβληθεί σε μια διαδικασία (π.χ., κάποιο πείραμα) που «εκμαιεύει» συγκεκριμένη αληθοτιμή, το αποτέλεσμα της «εκμαίευσης» είναι αντικειμενικά τυχαίο. Δεν καθορίζεται από την κατάσταση του συστήματος, ούτε από την κατάσταση του συστήματος σε σύζευξη με τις καταστάσεις των υπολοίπων συστημάτων που συμμετέχουν στη διαδικασία και την αλληλεπίδραση μεταξύ τους και αυτή η τυχαιότητα δεν οφείλεται σε άγνοια των παρατηρητών (αν υπάρχουν), αλλά αποτελεί στοιχείο της ίδιας της φυσικής κατάστασης. Αυτό το είδος της αντικειμενικής τυχαιότητας προϋποθέτει το παραπάνω είδος αντικειμενικής απροσδιοριστίας και, κατά συνέπεια, δεν απαντά στην κλασική φυσική. Ασφαλώς, υπάρχει μια έννοια τυχαίου στην κλασική στατιστική μηχανική αλλά απορρέει από ελλιπή εξειδίκευση της περιγραφής του συστήματος, από μερική άγνοια των μικροσκοπικών ιδιοτήτων του συστήματος. =

12 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 Ας υποθέσουμε, πάλι, ότι η αληθοτιμή μιας ενδεχομενικότητας δεν είναι καθορισμένη σε μια καθαρή κατάσταση, ας πούμε, ενός κβαντικού συστήματος. Σύμφωνα με την κβαντική μηχανική, υπάρχει μια καθορισμένη πιθανότητα να διαπιστωθεί ότι η ενδεχομενικότητα αυτή είναι αληθής και μια καθορισμένη πιθανότητα να διαπιστωθεί ότι είναι ευδής. Οι πιθανότητες αυτές είναι αντικειμενικές με την έννοια ότι εξαρτώνται μόνον από την ενδεχομενικότητα και την καθαρή κατάσταση του συστήματος και όχι από τις πεποιθήσεις κάποιου παρατηρητή. Αν όλα τα μέλη μιας συλλογής όμοιων συστημάτων έχουν προετοιμαστεί στην κατάσταση και για κάθε μέλος «εκμαιεύεται» η αληθοτιμή της ενδεχομενικότητας με την ίδια διαδικασία, τότε μπορούμε να αναμένουμε ότι οι σχετικές συχνότητες των αποτελεσμάτων θα συγκλίνουν στις αντικειμενικές πιθανότητες. Αλλά θα ήταν λάθος να πούμε ότι αρχικά είχαμε ένα ανομοιογενές στατιστικό σύνολο συστημάτων του ιδίου είδους στο οποίο υπήρχαν καθορισμένες συχνότητες αλήθειας και εύδους της ενδεχομενικότητας πριν από τη φυσική διαδικασία «εκμαίευσης» αληθοτιμής. Αν συνέβαινε αυτό τότε η δεν θα αποτελούσε μέγιστη εξειδίκευση της περιγραφής του συστήματος, γιατί για κάθε μέλος του στατιστικού συνόλου συστημάτων θα υπήρχε μια αντικειμενική ιδιότητα που δεν θα συμπεριλαμβανόταν στην περιγραφή που παρέχει η. 4.. Υπέρθεση Αν τα κανονικοποιημένα διανύσματα και σε ένα μιγαδικό χώρο Hilbert H αναπαριστάνουν δυνατές καθαρές καταστάσεις ενός κβαντικού συστήματος Σ, τότε κάθε διάνυσμα της μορφής (4.4) = c + c, c, c, c + c =, αναπαριστάνει μια δυνατή καθαρή κατάσταση του Σ. Αυτή είναι η αρχή της υπέρθεσης (priciple of superpositio) για κβαντικά συστήματα. Είναι κοινή πεποίθηση ότι η αρχή της υπέρθεσης αποτελεί μια από τις πλέον ριζικές εννοιολογικές καινοτομίες που διαφοροποιεί την κβαντική από την κλασική φυσική. 4 Γιατί, όμως, η κβαντική αρχή της υπέρθεσης φαντάζει τόσο «μυστηριώδης»; Μια ανάλογη αρχή διέπει όλα τα φυσικά φαινόμενα που υπακούουν σε γραμμικές ομογενείς μερικές διαφορικές εξισώσεις, όπως η εξίσωση κύματος (4.5) uxt (, ) = c u( x, t), c. t Αν u και u είναι λύσεις της (4.5), τότε κάθε λu+ λuμε λ, λ είναι επίσης λύση της (4.5). Η διαφορά φαίνεται να είναι η εξής. Στην κλασική φυσική, η υπέρθεση δυο κυμάτων ταιριάζει σε μια διαισθητικά εύλογη «εικόνα». Η κυματική συνάρτηση uxt (, ) είναι πεδίο στον χωροχρόνο (π.χ., το ηλεκτρικό ή το μαγνητικό πεδίο) και, κατ αρχήν, παρατηρήσιμο μέγεθος. Επιπλέον, η κατάσταση του συστήματος ορίζεται πλήρως από τις τιμές που λαμβάνουν τέτοια παρατηρήσιμα μεγέθη στα σημεία του χωροχρόνου. Έτσι η υπέρθεση μπορεί να χαρακτηριστεί ως κατάσταση στην οποία οι 4 Αυτή τη θέση υποστηρίζει, μεταξύ άλλων, ο Dirac ([930] 993, σ. 0-8).

13 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 3 τιμές των παρατηρήσιμων μεγεθών σε κάθε χρονικό σημείο είναι «συνδυασμοί» των τιμών που θα είχαν τα ίδια μεγέθη σε καθεμία από τις υπερτιθέμενες καταστάσεις. Στην κβαντική μηχανική, όμως, το διάνυσμα κατάστασης δεν είναι ούτε πεδίο στον χωροχρόνο ούτε παρατηρήσιμο μέγεθος. Και, σημαντικότερο, ο σύνδεσμος ιδιοκατάστασης-ιδιοτιμής ορίζει ότι ένα κβαντικό σύστημα έχει μια καθορισμένη ιδιότητα που εκφράζεται ως καθορισμένη τιμή ενός παρατηρήσιμου μεγέθους μόνο αν το σύστημα βρίσκεται σε ιδιοκατάσταση του αυτοσυζυγούς τελεστή που αναπαριστάνει το εν λόγω παρατηρήσιμο μέγεθος. Έτσι μερικές ιδιότητες ενός κβαντικού συστήματος όταν αυτό βρίσκεται σε υπέρθεση ιδιοκαταστάσεων ενός παρατηρήσιμου μεγέθους δεν μπορούν να νοηθούν ως «συνδυασμοί» των ιδιοτήτων που θα είχε το σύστημα σε καθεμία από τις υπερτιθέμενες καταστάσεις. Για παράδειγμα, θεωρήστε ένα ηλεκτρόνιο που βρίσκεται στην ακόλουθη κατάσταση spi (4.6) = (,, ) + +, όπου μοναδιαίο διάνυσμα για τυχαία κατεύθυνση στον χώρο και, ± τα ιδιοδιανύσματα του τελεστή που αναπαριστάνει τη συνιστώσα του spi κατά τη διεύθυνση του για τις ιδιοτιμές ± αντίστοιχα (σε μονάδες ). 5 Κατά την καθιερωμένη ερμηνεία, η τιμή του spi του ηλεκτρονίου κατά τη διεύθυνση του δεν είναι + και δεν είναι και δεν είναι και + και και δεν είναι ούτε + ούτε. Και το ποια ή τι ακριβώς είναι δεν το γνωρίζουμε (τουλάχιστον, ανεξάρτητα από μια «βαθύτερη» ερμηνεία της θεωρίας) Ασύμβατα παρατηρήσιμα μεγέθη Σε συζητήσεις που αφορούν τα θεμέλια της κβαντικής μηχανικής συναντά κανείς συχνά το ερώτημα αν δυο παρατηρήσιμα μεγέθη είναι συμβατά ερώτημα που θεωρείται συνώνυμο με το αν είναι δυνατή η ταυτόχρονη μέτρηση των δυο μεγεθών ή, σε μια πιο ρεαλιστική προσέγγιση, με το αν είναι δυνατόν τα δυο μεγέθη να έχουν ταυτόχρονα καθορισμένες τιμές. Η συνθήκη συμβατότητας μεταξύ δυο οποιωνδήποτε παρατηρήσιμων μεγεθών, A και B, ικανοποιείται κατά τετριμμένο τρόπο στην κλασική μηχανική. Τα δυο μεγέθη αναπαριστάνονται από δυο συναρτήσεις, f και f, πάνω στον φασικό χώρο τιμές A() A S έτσι ώστε σε κάθε κατάσταση s S να έχουν τις ταυτόχρονα ορισμένες f s και f () s αντίστοιχα. B Η «κατάσταση» στην κβαντική μηχανική φαίνεται να είναι διαφορετική αφού η ασυμβατότητα πολλών ζευγών παρατηρήσιμων μεγεθών φαίνεται να απορρέει από τον ίδιο τον φορμαλισμό της θεωρίας. Ωστόσο, η σχετική συζήτηση πάσχει από την αοριστία της έκφρασης «ταυτόχρονη μέτρηση». Κάθε μέτρηση ολοκληρώνεται σε πεπερασμένο, έστω «μικρό», χρονικό διάστημα. Θα θεωρούμε «ταυτόχρονες» δυο μετρήσεις αν τα αντίστοιχα χρονικά διαστήματα συμπίπτουν εν μέρει ή μόνον αν συμπίπτουν εξ ολοκλήρου; Ή θα λέμε ότι δυο παρατηρήσιμα μεγέθη είναι «ταυτόχρονα μετρήσιμα» αν μια μέτρηση του ενός ακολουθούμενη αμέσως από μια μέτρηση του άλλου δίνει τα ίδια αποτελέσματα ανεξάρτητα από το ποιο μέγεθος επιλέξουμε να μετρήσουμε πρώτο και ποιο δεύτερο; Πρόσθετες ανησυχίες προκαλεί B 5 Βλ. και Παράρτημα.

14 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 4 και η παρατήρηση ότι στη σχετικότητα η σχέση της ταυτοχρονίας εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς. Για να αποφύγουμε τέτοιους σκοπέλους μπορούμε να θεωρήσουμε ότι δυο παρατηρήσιμα μεγέθη, A και B, είναι συμβατά αν υπάρχει παρατηρήσιμο μέγεθος C και συναρτήσεις f, g: με A = f( C) και B = gc ( ). Η διαίσθηση είναι ότι, σε αυτή την περίπτωση, μια μόνο μέτρηση του C αποδίδει «ταυτόχρονα» τιμές στα A και B. Το παρακάτω θεώρημα 6 δείχνει ότι αυτή η συνθήκη συμβατότητας ικανοποιείται ακριβώς στην περίπτωση που οι αντίστοιχοι αυτοσυζυγείς τελεστές, Â και ˆB, μετατίθενται δηλαδή, ακριβώς στην περίπτωση που ο μεταθέτης τους, (4.7) Aˆ, Bˆ = AB ˆ ˆ BA ˆ ˆ, μηδενίζεται. Θεώρημα. Αν Aˆ, BC ˆ, είναι αυτοσυζυγείς τελεστές σε ένα χώρο Hilbert H και f, g: συναρτήσεις τέτοιες ώστε A ˆ = f ( Cˆ ) και B ˆ = gc ( ˆ, τότε AB ˆ ˆ, = 0. Αντίστροφα, αν Â και ˆB είναι αυτοσυζυγείς τελεστές σε ένα χώρο Hilbert H και AB ˆ, ˆ = 0, τότε υπάρχει αυτοσυζυγής τελεστής Ĉ στον H και συναρτήσεις f, g: έτσι ώστε Aˆ = f( Cˆ) και B ˆ = gc ( ˆ. Και η ύπαρξη ασύμβατων, με την παραπάνω έννοια, παρατηρήσιμων μεγεθών σχετίζεται με τις σχέσεις απροσδιοριστίας ή αβεβαιότητας του Heiseberg η κατανόηση των οποίων αποτέλεσε την ιστορικά πρώτη μείζονα θεματική στη φιλοσοφία της κβαντικής μηχανικής. Ορίζουμε την αβεβαιότητα ή διασπορά των αποτελεσμάτων μέτρησης ενός παρατηρήσιμου μεγέθους A στην κβαντική κατάσταση με τον τύπο: (4.8) A A A A A ( ) ( ) Αποδεικνύεται εύκολα ότι ( A) 0 Δ = = Δ = αν και μόνο αν το είναι ιδιοδιάνυσμα του αυτοσυζυγούς τελεστή Â που αναπαριστάνει το παρατηρήσιμο μέγεθος A. Εφόσον δεχόμαστε ότι το A έχει καθορισμένη τιμή σε μια κατάσταση ακριβώς στην περίπτωση που η κατάσταση αυτή αναπαριστάνεται από ιδιοδιάνυσμα του Â, μπορούμε να κατανοήσουμε την αβεβαιότητα ή διασπορά ( A ). Δ ως «μέτρο του βαθμού στον οποίο το κβαντικό σύστημα στην κατάσταση δεν έχει καθορισμένη τιμή για το παρατηρήσιμο μέγεθος A». Χωρίς ιδιαίτερη προσπάθεια, μπορεί κανείς να αποδείξει ότι για οποιαδήποτε παρατηρήσιμα μεγέθη A και B και οποιαδήποτε κβαντική κατάσταση ισχύει η γενικευμένη σχέση απροσδιοριστίας ή αβεβαιότητας του Heiseberg: (4.9) ( Δ A)( Δ B) Aˆ, Bˆ. 6 Στην διατύπωση που παρουσιάζεται το θεώρημα ισχύει για χώρους Hilbert πεπερασμένης διάστασης. Για περισσότερες λεπτομέρειες, συμπεριλαμβανομένων αποδείξεων, βλ., π.χ., Isham (995, σ. 97-0).

15 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 5 Συνήθως γράφουμε (με κάποια δόση μαθηματικής αφέλειας) [ xˆ, pˆ] = i, οπότε η (4.9) οδηγεί στη διάσημη σχέση αβεβαιότητας θέσης-ορμής: (4.0) Δ x Δ p. ( )( ) Προκειμένου να αποφύγουμε το συνηθισμένο folklore για τις σχέσεις απροσδιοριστίας, πρέπει να τονίσουμε δυο σημεία. Πρώτο, η (4.9) είναι αυστηρή μαθηματική συνέπεια και όχι συμπέρασμα από νοητικά πειράματα με «μικροσκόπια ακτινών γ», κ.λπ. Και δεύτερο, αντίθετα με ένα «λαϊκό μύθο», η αρχή της απροσδιοριστίας δεν «λέει» ότι το γινόμενο των διασπορών δυο «μεγεθών που δεν μετατίθενται» είναι μεγαλύτερο του μηδενός για κάθε κβαντική κατάσταση. Λόγου χάριν, οι συνιστώσες του spi ως προς ένα καρτεσιανό σύστημα αξόνων ικανοποιούν τις σχέσεις (4.) Sˆ, ˆ ˆ x S y = i Sz. Επομένως με χρήση της (4.9) συνάγεται ότι για κάθε κατάσταση, (4.) ( S )( S ) Sˆ Αλλά για = x, + (ιδιοδιάνυσμα του ˆx ( Δ S x ) = 0, ( S y ) Δ = και Sˆ z 0 «αντίφαση» με την αρχή της απροσδιοριστίας. Δ x Δ y z. S με ιδιοτιμή + σε μονάδες ) έχουμε = οπότε ( S )( S ) 0 Δ Δ = χωρίς x y 4.4. Εμπλοκή Ας θεωρήσουμε το σύνθετο σύστημα + που απαρτίζεται από δυο κβαντικά συστήματα και με χώρους Hilbert H και H. Η γενική μαθηματική αναπαράσταση των φυσικών καταστάσεων του σύνθετου συστήματος + παρέχεται από τελεστές πυκνότητας στον χώρο τανυστικού γινομένου H H. Ποιοι τελεστές πυκνότητας, ˆ () () W στον H και Wˆ στον H, περιγράφουν τις καταστάσεις των υποσυστημάτων και, αντίστοιχα, όταν η κατάσταση του σύνθετου συστήματος + περιγράφεται από τον τελεστή πυκνότητας Wˆ στον H H ; Με στόχο την αποσαφήνιση της ερώτησης εισάγουμε ένα αίτημα συνέπειας: οι πιθανότητες των δυνατών αποτελεσμάτων μέτρησης σε καθένα από τα δυο υποσυστήματα πρέπει να είναι ίδιες ανεξάρτητα από το αν θεωρούμε το εν λόγω υποσύστημα «μεμονωμένο» ή σαν «μέρος» του σύνθετου συστήματος. Συγκεκριμένα, απαιτούμε για κάθε ζεύγος παρατηρήσιμων μεγεθών A και A για τα υποσυστήματα και και για κάθε ζεύγος υποσυνόλων Δ και Δ του συνόλου των πραγματικών αριθμών να ισχύουν οι ταυτότητες (4.3) () tr ( Wˆ( Pˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ( A ), Δ) ) = tr W P( A, Δ) () tr ( Wˆ( ˆ Pˆ ( ) ( ˆ ˆ A, Δ) ) = tr W P( A, Δ) ), όπου το σύμβολο tr ( =,) υποδηλώνει την πράξη του μερικού ίχνους ως προς τον H. Αποδεικνύεται ότι η συνθήκη (4.3) ορίζει μονοσήμαντα τους τελεστές

16 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 6 () () πυκνότητας Wˆ και Wˆ και, μάλιστα, ότι τα στοιχεία πίνακα του καθενός στις () () ορθοκανονικές βάσεις { e } = και { e } = δίνονται, αντίστοιχα, από τις ισότητες:,,...,,... (4.4) () () ˆ () () () () ˆ () () Wk = e W ek = e em W ek em m, ( ) W = e Wˆ e = e e, Wˆ( e e ). Γράφουμε απλώς Wˆ και. () () () () () () () () k k m m k m () ˆ () = trw Wˆ = tr Wˆ Για τη φιλοσοφία της κβαντικής μηχανικής, το πιο ενδιαφέρον συμπέρασμα που μπορεί να προκύει με εφαρμογή αυτής της διαδικασίας αναγωγής του πίνακα πυκνότητας είναι το εξής: υπάρχουν καθαρές καταστάσεις του σύνθετου συστήματος των οποίων η αναγωγή σε καθένα από τα υποσυστήματα δίνει μια μικτή κατάσταση. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ένα ζεύγος σωματιδίων spi ½ στην κατάσταση siglet του ολικού spi: (4.5) (, (), (), (), () ) Ψ = siglet z + z z z +, με τον συνήθη συμβολισμό (βλ. και Παράρτημα ). Η Ψ siglet είναι καθαρή κατάσταση και, μάλιστα, ιδιοκατάσταση του ολικού spi 7 με ιδιοτιμή 0. Ωστόσο, η αναγωγή του πίνακα πυκνότητας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο τελεστής πυκνότητας για το υποσύστημα (σωματίδιο) είναι, για κάθε {, }, (4.6) ( ) ( ) ˆ ( ) W = ( Pˆ ˆ ˆ, ) ( + P, όπου,, ), ( P ), ( = z ± z ±. z + z z ± ) ( ) Παρατηρήστε ότι ο πίνακας πυκνότητας W ˆ περιγράφει μια μικτή κατάσταση την κατάσταση ενός «εντελώς μη πολωμένου» spi. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι στην κβαντική μηχανική είναι δυνατόν ένα σύνθετο σύστημα να βρίσκεται σε ορισμένη καθαρή κατάσταση ενώ κανένα από τα υποσυστήματα να μην βρίσκεται σε ορισμένη καθαρή κατάσταση από μόνο του. Αυτό το «φαινόμενο» δεν έχει κλασικό ανάλογο και φαίνεται ιδιαίτερα «παράδοξο» αν ληφθεί υπόη ότι μια καθαρή κατάσταση αντιστοιχεί σε μέγιστη εξειδίκευση της περιγραφής ενός συστήματος. Η αύρα της παραδοξότητας ενισχύεται από το γεγονός ότι οι καταστάσεις των υποσυστημάτων δεν καθορίζουν μονοσήμαντα ούτε την κατάσταση ούτε τις συναφείς ιδιότητες του σύνθετου συστήματος. Πράγματι, δεδομένου ότι καθένα από τα δυο spi ½ σωματίδια βρίσκεται στη μικτή κατάσταση που περιγράφεται από την (4.6), δεν είναι απαραίτητο το σύνθετο σύστημα του ζεύγους των σωματιδίων να βρίσκεται στην καθαρή κατάσταση Ψ siglet μπορεί να βρίσκεται στην καθαρή κατάσταση Ψ triplet, όπου (4.7) Ψ = ( () () () () triplet,,,, ) z + z + z z. Και το πρόβλημα δεν αφορά μόνον τον «πλατωνικό κόσμο» των μιγαδικών χώρων Hilbert. Κατά την κβαντική σημασιολογία, οι καταστάσεις Ψ siglet και Ψ triplet διαφέρουν ως προς εμπειρικές ιδιότητες: στην πρώτη το ολικό spi έχει καθορισμένη 7 Ως ολικό spi εννοούμε το παρατηρήσιμο μέγεθος για το σύνθετο σύστημα αναπαριστάνεται από τον τελεστή Sˆ = ( Sˆ ˆ + ˆ Sˆ ).

17 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 7 τιμή 0 ενώ στη δεύτερη έχει καθορισμένη τιμή. Και αυτό υπαινίσσεται ότι ο κβαντικός κόσμος χαρακτηρίζεται από ένα είδος ολισμού φυσικών ιδιοτήτων: το ολικό spi του σύνθετου συστήματος δεν καθορίζεται μονοσήμαντα από τα spi των υποσυστημάτων στη συγκεκριμένη περίπτωση, τα υποσυστήματα δεν έχουν καν καθορισμένες τιμές spi! αλλά ούτε και από τις καταστάσεις των υποσυστημάτων. Αυτή η μυστηριώδης πτυχή των σύνθετων κβαντικών συστημάτων έχει ονομαστεί κβαντική εμπλοκή (quatum etaglemet) και βρίσκεται στον πυρήνα πολλών μεταφυσικών καινοτομιών της κβαντικής μηχανικής όπως η μη τοπικότητα, η μη διαχωρισιμότητα και ο ολισμός. Όπως δήλωσε πρόσφατα ένας σύγχρονος φιλόσοφος της φυσικής, Ο κόσμος δεν είναι απλώς ένα σύνολο εντοπισμένων αντικειμένων που υπάρχουν ξεχωριστά και που σχετίζονται εξωτερικά μόνο διαμέσου του χώρου και του χρόνου. Κάτι βαθύτερο, και πιο μυστηριώδες, υφαίνει τον ιστό του κόσμου. Έχουμε μόλις φθάσει σε εκείνο το στάδιο της ανάπτυξης της φυσικής στο οποίο μπορούμε να αρχίσουμε να συλλογιζόμαστε τι θα μπορούσε να είναι αυτό. Tim Maudli (998, σ. 60) Παράρτημα Καταστάσεις και παρατηρήσιμα μεγέθη στην κλασική και την κβαντική μηχανική 8 Χώρος των φυσικών καταστάσεων Καθαρή κατάσταση Μικτή κατάσταση Παρατηρήσιμο μέγεθος A Κλασική μηχανική Φασικός χώρος σωματίδια, το S 6N : για Ν Σημείο του φασικού χώρου, s S Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας στον φασικό χώρο Πραγματική συνάρτηση πάνω στον φασικό χώρο, fa : S Κβαντική μηχανική Μιγαδικός χώρος Hilbert H Κανονικοποιημένο διάνυσμα στον χώρο Hilbert, H με = = Τελεστής πυκνότητας στον χώρο Hilbert Αυτοσυζυγής τελεστής στον χώρο Hilbert, A ˆ : H H Δυνατές τιμές παρατηρήσιμου μεγέθους A Το πεδίο τιμών της συνήθως συνεχές f A, Οι ιδιοτιμές του Â αν ο Â έχει διακριτό φάσμα. Γενικότερα, τα στοιχεία του φάσματος του Â. Ενδεχομενικότητα Υποσύνολο του φασικού Υποχώρος του χώρου Hilbert, M ( A, Δ) 8 Βλ. και Hughes (989, σ. 69).

18 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 8 ( A, Δ ): «Η τιμή του A βρίσκεται στο υποσύνολο Δ του» Είναι η ( A, Δ) αληθής στην καθαρή κατάσταση του συστήματος; Χώρος των φυσικών καταστάσεων σύνθετου συστήματος χώρου, S ( A, ) f A [ ] Δ = Δ S Απάντηση με «ναι» ή «όχι»: «ναι» αν και μόνο αν f () A s Δ s, όπου η καθαρή κατάσταση του συστήματος Καρτεσιανό γινόμενο S S φασικών χώρων, Πιθανοκρατική απάντηση: Pr (, ) ˆ A A Δ = P (, Δ), όπου η καθαρή κατάσταση του συστήματος Τανυστικό γινόμενο χώρων Hilbert, H H

19 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 9 Παράρτημα Spi 9 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x x y y z S = S S + S S + S Sz Sˆ, ˆ ˆ, ˆ, ˆ ˆ, ˆ, ˆ ˆ x S y i S z Sy S z i S x Sz S = = x = i Sy Αποδεικνύεται ότι S, = 0 για κάθε = xyz,,. Ο S έχει ιδιοτιμές ss ( + ), [ S ] όπου s = ( = 0,,...). Κάθε ιδιοτιμή του S παρουσιάζει πολλαπλότητα εκφυλισμού ( s + ) που μπορεί να αρθεί με προσδιορισμό της ιδιοτιμής μιας από τις συνιστώσες του spi, π.χ. του S z. Οι ιδιοτιμές του S z είναι της μορφής m με m= s, s+,..., s, s για κάθε s. Τα συστήματα spi ½ έχουν s = και m =,. Επιδέχονται μαθηματική αναπαράσταση σε -διάστατο μιγαδικό χώρο Hilbert με ορθοκανονική βάση τα ιδιοδιανύσματα του, z, + ( m = )και z, ( m = ). Τα κανονικοποιημένα ιδιοδιανύσματα των S x και S y γράφονται ως γραμμικοί συνδυασμοί x, ± = z, + ± z, i y, ± = z, + ± z, και οι τελεστές S,, x Sy Sz αποκτούν τις αναπαραστάσεις ˆ Sx = ( z, + z, + z, z, + ) ˆ i Sy = ( z, + z, + z, z, + ) Sˆ z = ( z, + z, + z, z, ). Αναπαράσταση συστήματος spi ½ στο z, + ( z, +, z, ) z, x, +, y, +, z, + i 0 x,, y,, z, 0 i ˆ i S σ όπου σx = σy σz , =, = 0 i Βλ., π.χ., κεφάλαιο 3 στο Sakurai (985).

20 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 0 Βιβλιογραφικές Αναφορές Dirac, P. A. M. ([930] 993): The Priciples of Quatum Mechaics. 4 η έκδοση. Oxford: Claredo Press. Hughes, R. I. G. (989): The Structure ad Iterpretatio of Quatum Mechaics. Cambridge, MA: Harvard Uiversity Press. Isham, C. J. (995): Lectures o Quatum Theory: Mathematical ad Structural Foudatios. Lodo: Imperial College Press. Maudli, T. (998): Part ad Whole i Quatum Mechaics στο E. Castellai (επιμ.), Iterpretig Bodies: Classical ad Moder Obects i Quatum Physics. Priceto, NJ: Priceto Uiversity Press, σ Perose, R. (986): Gravity ad State Vector Reductio στο R. Perose και C. J. Isham (επιμ.), Quatum Cocepts i Space ad Time. Oxford: Claredo Press, σ Sakurai, J. J. (985) : Moder Quatum Mechaics. Επιμέλεια Sa Fu Tua. New York, NY: Addiso-Wesley.

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013

ETY-202 ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ. Στέλιος Τζωρτζάκης 1/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 02. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Ο διανυσματικός χώρος των φυσικών καταστάσεων Η έννοια

Διαβάστε περισσότερα

Η άλγεβρα της στροφορμής

Η άλγεβρα της στροφορμής Η άλγεβρα της στροφορμής Στην κλασική μηχανική, η τροχιακή στροφορμή L ενός σωματιδίου είναι L r p (1) όπου r το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου και p η ορμή του. Σε καρτεσιανές συντεταγμένες, η (1) γράφεται

Διαβάστε περισσότερα

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2.

Σπιν 1 2. Γενικά. Ŝ και S ˆz γράφονται. ιδιοκαταστάσεις αποτελούν ορθοκανονική βάση στον χώρο των καταστάσεων του σπιν 1 2. Σπιν Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική στροφορμή ˆ J με συνιστώσες Jˆ, Jˆ, J ˆ,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ. Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου Ι Άσκηση 1: Θεωρήστε δύο ορθοκανονικά διανύσματα ψ 1 και ψ και υποθέστε ότι αποτελούν βάση σε ένα χώρο δύο διαστάσεων. Θεωρήστε επίσης ένα τελαστή T που ορίζεται στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης

μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης Σπιν 1 μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο τυχαίας κατεύθυνσης 1) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο B B ˆ ˆ ˆ 0xex B0 yey B0 zez, όπου B0 x, B0

Διαβάστε περισσότερα

Sˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας)

Sˆy. Η βάση για την οποία συζητάμε απαρτίζεται από τα ανύσματα = (1) ˆ 2 ± =± ± Άσκηση 20. (βοήθημα θεωρίας) Άσκηση 0. (βοήθημα θεωρίας) Έστω + και η βάση που συγκροτούν οι (κοινές) ιδιοκαταστάσεις των τελεστών ˆ S και Sˆz ενός σωματίου με spin 1/. Να βρείτε την αναπαράσταση των τελεστών S ˆx, Sˆ και Sˆz στη

Διαβάστε περισσότερα

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής

Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Λυμένες ασκήσεις στροφορμής Θα υπολογίσουμε τη δράση των τελεστών κλίμακας J ± σε μια τυχαία ιδιοκατάσταση j, m των τελεστών J και Jˆ. Λύση Δείξαμε ότι η κατάσταση Jˆ± j, m είναι επίσης ιδιοκατάσταση των

Διαβάστε περισσότερα

Εξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα

Εξετάσεις 1ης Ιουλίου Για την ϐασική κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου της οποίας η κανονικοποιηµένη στην µονάδα ΘΕΜΑ 1: Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ Εξετάσεις 1ης Ιουλίου 13 Τµήµα Α. Λαχανά) Α ) Για την πρώτη διεγερµένη κατάσταση του ατόµου του Υδρογόνου µε τροχιακή στροφορµή l = 1 να προσδιορισθουν οι αποστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για

και χρησιμοποιώντας τον τελεστή A r P αποδείξτε ότι για ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου IV Άσκηση 1: Σωματίδιο μάζας Μ κινείται στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας R. Υπολογίστε τις επιτρεπόμενες τιμές της ενέργειας, τις αντίστοιχες κυματοσυναρτήσεις και τον εκφυλισμό.

Διαβάστε περισσότερα

Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή

Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή ΜΕΣΗ ΤΙΜΗ ΕΝΟΣ ΕΡΜΙΤΙΑΝΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ Έστω ο ερμιτιανός τελεστής Â. Θέλουμε να βρούμε τη μέση τιμή Â μια χρονική στιγμή, που αυθαίρετα, αλλά χωρίς βλάβη της γενικότητας, θεωρούμε χρονική στιγμή μηδέν, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Σπιν 1/2. Γενικά. 2 Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου,

Σπιν 1/2. Γενικά. 2 Υπενθυμίζουμε ότι τα έξι κουάρκ και τα έξι λεπτόνια του Καθιερωμένου Προτύπου, Σπιν / Γενικά Θα χρησιμοποιήσουμε τις γενικές σχέσεις που αποδείξαμε στην ανάρτηση «Εύρεση των ιδιοτιμών της στροφορμής», που, όπως είδαμε, ισχύουν για κάθε γενική r στροφορμή Jˆ με συνιστώσες Jˆ x, Jˆ

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά

Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΤΥΧΑΙΑ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Έστω â μια παρατηρήσιμη (διανυσματικός τελεστής) με συνεχές φάσμα ιδιοτιμών. Επίσης, έστω ότι t είναι η κατάσταση του συστήματός μας την τυχαία χρονική στιγμή

Διαβάστε περισσότερα

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής.

1 p p a y. , όπου H 1,2. u l, όπου l r p και u τυχαίο μοναδιαίο διάνυσμα. Δείξτε ότι μπορούν να γραφούν σε διανυσματική μορφή ως εξής. ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου V Άσκηση : Οι θεμελιώδεις σχέσεις μετάθεσης της στροφορμής επιτρέπουν την ύπαρξη ακέραιων και ημιπεριττών ιδιοτιμών Αλλά για την τροχιακή στροφορμή L r p γνωρίζουμε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική

Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Spin Nobel Φυσικής για Κβαντική Ηλεκτροδυναμική Δομή Διάλεξης Το πείραμα Stern-Gerlach: Πειραματική απόδειξη spin Ο δισδιάστατος χώρος καταστάσεων spin του ηλεκτρονίου: οι πίνακες Pauli Χρονική εξέλιξη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 1/ 39 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Ενότητα 1 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων Ακαδηµαικό έτος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει

ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ. Θέμα 2. α) Σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα να δείξετε ότι ισχύει ΘΕΜΑΤΑ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΙΙ Θέμα α) Δείξτε ότι οι διακριτές ιδιοτιμές της ενέργειας σε ένα μονοδιάστατο πρόβλημα δεν είναι εκφυλισμένες β) Με βάση το προηγούμενο ερώτημα να δείξετε ότι μπορούμε να διαλέξουμε τις

Διαβάστε περισσότερα

Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική

Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Τομέας Θεωρητικής Φυσική Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική Το ζήτημα των τανυστών είναι πολύ σημαντικό τόσο για την Κβαντομηχανική, όσο και για τη Σχετικότητα. Οι δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7.

ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΚΕΦ. 4. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ ΤΟΥ DIRAC ΚΕΦ. 5. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΚΕΦ. 7. stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 01. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ ΜΕΡΟΣ Α: ΤΑ ΘΕΜΕΛΙΑ ΚΕΦ. 1. ΟΙ ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΙΣ ΑΡΧΕΣ Στέλιος Τζωρτζάκης ΚΕΦ. 2. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΕΦ.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ

ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 07. ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΚΑΙ ΤΟ ΑΤΟΜΟ ΤΟΥ ΥΔΡΟΓΟΝΟΥ Θεωρία της στροφορμής Στέλιος Τζωρτζάκης 1 3 4 Υπενθύμιση βασικών εννοιών της στροφορμής κυματοσυνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation)

Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Η Αναπαράσταση της Θέσης (Position Representation) Δομή Διάλεξης Το παρατηρήσιμο μέγεθος της θεσης και τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας (συνεχές φάσμα ιδιοτιμών και ιδιοκαταστάσεων) Οι τελεστές της θέσης

Διαβάστε περισσότερα

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης

21/11/2013 ETY-202 ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ. 1396; office Δ013 ΙΤΕ. Στέλιος Τζωρτζάκης stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 06. Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ Στέλιος Τζωρτζάκης Ο ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ 1 3 4 Το δυναμικό του αρμονικού ταλαντωτή Η παραβολική προσέγγιση βρίσκει άμεση

Διαβάστε περισσότερα

(με ιδιοτιμές 1,0 και 1 αντίστοιχα ) είναι οι. i i i. ui ui u. i Tr u u Tr ˆ Fˆ

(με ιδιοτιμές 1,0 και 1 αντίστοιχα ) είναι οι. i i i. ui ui u. i Tr u u Tr ˆ Fˆ Παράδειγμα ( Αφορά στις λεγόμενες μη ορθογώνιες μετρήσεις) Σωματίδιο με spn βρίσκεται στην κατάσταση: a 0 b () όπου 0, και οι ιδιοκαταστάσεις του S ˆz. Έστω ότι θέλετε να μετρήσετε την προβολή του spn

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Κίνηση σε κεντρικά δυναµικά 1.1.1 Κλασική περιγραφή Η Χαµιλτωνιανή κλασικού συστήµατος που κινείται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη.

A, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη. Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Θεώρημα (Κριτήριο διαγωνισιμότητας) Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x) γινόμενο διακεκριμένων

Διαβάστε περισσότερα

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013

ETY-202. Ο γενικός φορμαλισμός Dirac ETY-202 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC. Στέλιος Τζωρτζάκης 21/11/2013 stzortz@iesl.forth.gr 1396; office Δ013 ΙΤΕ 2 ΎΛΗ & ΦΩΣ 05. Ο ΓΕΝΙΚΟΣ ΦΟΡΜΑΛΙΣΜΟΣ DIRAC Στέλιος Τζωρτζάκης Ο γενικός φορμαλισμός Dirac 1 3 4 Εικόνες και αναπαραστάσεις Επίσης μια πολύ χρήσιμη ιδιότητα

Διαβάστε περισσότερα

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 KΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Κυματική εξίσωση Schrödiger Η δυνατότητα ενός σωματιδίου να συμπεριφέρεται ταυτόχρονα και ως κύμα, δηλαδή να είναι εντοπισμένο

Διαβάστε περισσότερα

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των

βαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 )

Κβαντομηχανική σε. τρεις διαστάσεις. Εξίσωση Schrödinger σε 3D. Τελεστές 2 ) vs of Io vs of Io D of Ms Scc & gg Couo Ms Scc ική Θεωλης ική Θεωλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 746 dok@cc.uo.g cs.s.uo.g/dok ομηχ ομηχ δ ά τρεις διαστ Εξίσωση Schödg σε D Σε μία διάσταση Σε τρείς

Διαβάστε περισσότερα

Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν s 1

Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν s 1 Δύο διακρίσιμα σωμάτια με σπιν και Σύνδεση της βάσης των ιδιοκαταστάσεων του τετραγώνου και της z συνιστώσας του ολικού σπιν με τη βάση που αποτελείται από τα τανυστικά γινόμενα των καταστάσεων των δύο

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙΙ Χρονικά Ανεξάρτητη Θεωρία Διαταραχών. Τα περισσότερα φυσικά συστήματα που έχομε προσεγγίσει μέχρι τώρα περιγράφονται από μία κύρια Χαμιλτονιανή η οποία

Διαβάστε περισσότερα

, που, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή

, που, χωρίς βλάβη της γενικότητας, μπορούμε να θεωρήσουμε χρονική στιγμή μηδέν, δηλαδή Η ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΟΡΜΗΣ p. Θα βρούμε πρώτα τη σχέση που συνδέει την p με την x. x ΚΑΙ ΣΤΗΝ Έστω η κατάσταση του συστήματός μας μια χρονική στιγμή t 0, που, χωρίς βλάβη

Διαβάστε περισσότερα

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά)

1. Μετάπτωση Larmor (γενικά) . Μετάπτωση Larmor (γενικά) Τι είναι η μετάπτωση; Μετάπτωση είναι η αλλαγή της διεύθυνσης του άξονα περιστροφής ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου. Αν ο άξονας περιστροφής ενός αντικειμένου περιστρέφεται

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις

Ασκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών

Δομή Διάλεξης. Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών. Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών. Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Τελεστές Δομή Διάλεξης Ορισμός-Παραδείγματα Τελεστών Αναμενόμενες τιμές φυσικών μεγεθών με χρήση τελεστών Ιδιοκαταστάσεις και Ιδιοτιμές τελεστών Ερμητειανοί τελεστές Στοιχεία πίνακα τελεστών Μεταθέτες

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013

Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 ΘΕΜΑ 1: ( 3 µονάδες ) Λύσεις Θεµάτων - Κβαντοµηχανική ΙΙ (Τµήµα Α. Λαχανά) Ειδική Εξεταστική Περίοδος - 11ης Μαρτίου 2013 Ηλεκτρόνιο κινείται επάνω από µία αδιαπέραστη και αγώγιµη γειωµένη επιφάνεια που

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών

Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή σε προχωρημένες μεθόδους υπολογισμού στην Επιστήμη των Υλικών Βασικά σημεία της κβαντομηχανικής Διδάσκων : Επίκουρη Καθηγήτρια Χριστίνα Λέκκα

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1

Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Η εξίσωση Dirac (Ι) Σπύρος Ευστ. Τζαμαρίας Στοιχειώδη Σωμάτια 1 Μη- Σχετικιστική Κβαντομηχανική Η μη- σχετικιστική έκφραση για την ενέργεια: Στην QM αντιστοιχούμε την ενέργεια και την ορμή με Τελεστές:

Διαβάστε περισσότερα

. Να βρεθεί η Ψ(x,t).

. Να βρεθεί η Ψ(x,t). ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ασκήσεις Κεφαλαίου II Άσκηση 1: Εάν η κυματοσυνάρτηση Ψ(,0) παριστάνει ένα ελεύθερο σωματίδιο, με μάζα m, στη μία διάσταση την χρονική στιγμή t=0: (,0) N ep( ), όπου N 1/ 4. Να βρεθεί η

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ I Ενότητα 4 Αρχές της Κβαντικής Μηχανικής Δημήτρης Κονταρίδης Αναπληρωτής Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενδεικτική βιβλιογραφία 1. ATKINS, ΦΥΣΙΚΟΧΗΜΕΙΑ P.W. Atkins, J.

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικές Καταστάσεις

Κβαντικές Καταστάσεις Κβαντικές Καταστάσεις Δομή Διάλεξης Σύντομη ιστορική ανασκόπηση Ανασκόπηση Πιθανότητας Το Πλάτος Πιθανότητας Πείραμα διπλής οπής Κβαντικές καταστάσεις (ket) Ο δυίκός χώρος (bra) Σύνοψη Κβαντική Φυσική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 2: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

Το φασματικό Θεώρημα

Το φασματικό Θεώρημα Το φασματικό Θεώρημα 1 Το φάσμα ενός τελεστή Λήμμα 1.1 Έστω A B(H) φυσιολογικός τελεστής. Αν x H είναι ιδιοδιάνυσμα του A με ιδιοτιμή λ, τότε A x = λx. Έπεται ότι οι ιδιόχωροι ενός φυσιολογικού τελεστή

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac)

Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Συνεχές ϕάσµα Συνεχές Φάσµα - Συνάρτηση δέλτα (Dirac) Στην κβαντική µηχανική τα ϕυσικά µεγέθη παρίστανται µε αυτοσυζυγείς τελεστές. Για έναν αυτοσυζυγή τελεστή ˆΩ = ˆΩ είναι γνωστό ότι οι ιδιοτιµές του

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 1: Γενική διατύπωση της Κβαντικής Μηχανικής Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Μηχανική ΙΙ. Ενότητα 1: Γενική διατύπωση της Κβαντικής Μηχανικής Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ενότητα 1: Γενική διατύπωση της Κβαντικής Μηχανικής Αθανάσιος Λαχανάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Μηχανική ΙΙ Ακ. Ετος 2013-14, Α. Λαχανάς 2/ 39 Περιεχόµενα 1ης

Διαβάστε περισσότερα

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i

h(x, y) = card ({ 1 i n : x i y i Κεφάλαιο 1 Μετρικοί χώροι 1.1 Ορισμός και παραδείγματα Ορισμός 1.1.1 μετρική). Εστω X ένα μη κενό σύνολο. Μετρική στο X λέγεται κάθε συνάρτηση ρ : X X R με τις παρακάτω ιδιότητες: i) ρx, y) για κάθε x,

Διαβάστε περισσότερα

1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]

1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x] σκήσεις Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν

Διαβάστε περισσότερα

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής

Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή. Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Spin του πυρήνα Μαγνητική διπολική ροπή Ηλεκτρική τετραπολική ροπή Τάσος Λιόλιος Μάθημα Πυρηνικής Φυσικής Εξάρτηση του πυρηνικού δυναμικού από άλλους παράγοντες (πλην της απόστασης) Η συνάρτηση του δυναμικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 38 Κβαντική Μηχανική

Κεφάλαιο 38 Κβαντική Μηχανική Κεφάλαιο 38 Κβαντική Μηχανική Περιεχόμενα Κεφαλαίου 38 Κβαντική Μηχανική Μια καινούργια Θεωρία Η κυματοσυνάρτηση και η εξήγησή της. Το πείραμα της διπλής σχισμής. Η αρχή της αβεβαιότητας του Heisenberg.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 17: Εφαρμογή στην αναπαράσταση τελεστών με μήτρα και εισαγωγή στον συμβολισμό Dirac

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 17: Εφαρμογή στην αναπαράσταση τελεστών με μήτρα και εισαγωγή στον συμβολισμό Dirac Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 17: Εφαρμογή στην αναπαράσταση τελεστών με μήτρα και εισαγωγή στον συμβολισμό Dirac Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι

Διαβάστε περισσότερα

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1

1 x m 2. degn = m 1 + m m n. a(m 1 m 2...m k )x m 1 1 Πολυώνυμα και συσχετικός χώρος Ορισμός 3.1 Ενα μονώνυμο N στις μεταβλητές x 1, x 2,..., x n είναι ένα γινόμενο της μορφής x m 1 2...x m n n, όπου όλοι οι εκθέτες είναι φυσικοί αριθμοί. Ο βαθμός του μονωνύμου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Κεφάλαιο 6 Ορισμοί Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία Ο πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός λ καλείται ιδιοτιμή του πίνακα Α εάν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα v με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία τέτοιο

Διαβάστε περισσότερα

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0}

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0} 1 Θεώρημα BEZOU T Ο δακτύλιος K[x 1,..., x n ] είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης. Άρα κάθε πολυώνυμο f K[x 1,..., x n ] (που δεν είναι σταθερά, δηλαδή f / K) αναλύεται σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων,

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 5: Κυματομηχανική. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Κβαντική Φυσική Ι. Ενότητα 5: Κυματομηχανική. Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Κβαντική Φυσική Ι Ενότητα 5: Κυματομηχανική Ανδρέας Τερζής Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Σκοπός ενότητας Σκοπός της ενότητας είναι η ερμηνεία της κυματοσυνάρτησης, δηλαδή της λύσης της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Η Εντροπία Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Θερμοδυναμική +Στατιστική Μηχανική= Θερμική Φυσική Η Θερμοδυναμική ασχολείται με τις μακροσκοπικές

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα

Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Συναρτησιακή Ανάλυση, μεταπτυχιακό μάθημα Περίληψη του μαθήματος Μιχάλης Παπαδημητράκης Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 1η εβδομάδα. Στα πρώτα δύο μαθήματα είπαμε κάποια πολύ βασικά πράγματα για

Διαβάστε περισσότερα

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4

ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4 ιαλέξεις Κβαντικής Μηχανικής ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανας 1/ 45 ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ - Κεφάλαιο 4 Α. Λαχανάς ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, Τµήµα Φυσικής Τοµέας Πυρηνικής Φυσικής & Στοιχειωδών Σωµατιδίων ακαδηµαικό

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο

1.2 Συντεταγμένες στο Επίπεδο 1 Συντεταγμένες στο Επίπεδο Τι εννοούμε με την έννοια άξονας; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία και Ι έτσι ώστε το διάνυσμα OI να έχει μέτρο 1 και να βρίσκεται στην ημιευθεία O Λέμε τότε

Διαβάστε περισσότερα

μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x

μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα x Σπιν μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο παράλληλο στον άξονα ) Ηλεκτρόνιο βρίσκεται μέσα σε ομογενές, χρονικά ανεξάρτητο μαγνητικό πεδίο με κατεύθυνση στα θετικά του άξονα, δηλαδή e,

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικη Θεωρια και Υπολογιστες

Κβαντικη Θεωρια και Υπολογιστες Κβαντικη Θεωρια και Υπολογιστες 2 Μαθηματικη Βαση της Κβαντικής Θεωρίας Κλασσικα και Κβαντικα Μαθηματικα Μοντελα Χειμερινο Εξαμηνο Iωαννης E. Aντωνιου Τμημα Μαθηματικων Aριστοτελειο Πανεπιστημιο 54124,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής

ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ. Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΓΕΝΙΚΑ Έστω σωμάτιο, στις τρεις διαστάσεις, που βρίσκεται υπό την επίδραση μιγαδικού δυναμικού της μορφής Re Im V r V r i V r, όπου οι συναρτήσεις Re,Im V r V r είναι πραγματικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης 1 Oct 16 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 4 η Γεωμετρική Αναπαράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας

Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Το Ελεύθερο Σωμάτιο Ρεύμα Πιθανότητας Δομή Διάλεξης Χρονική εξέλιξη Gaussian κυματοσυνάρτησης σε μηδενικό δυναμικό (ελέυθερο σωμάτιο): Μετατόπιση και Διασπορά Πείραμα διπλής οπής: Κροσσοί συμβολής για

Διαβάστε περισσότερα

ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ

ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ ΦΟΡΤΙΣΜΕΝΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΑ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ξεκινώντας από τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής

Διαβάστε περισσότερα

ˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι

ˆ ˆ. (τελεστής καταστροφής) (τελεστής δημιουργίας) Το δυναμικό του συστήματός μας (αρμονικός ταλαντωτής μέσα σε ομογενές ηλεκτρικό πεδίο) είναι ΜΟΝΟΔΙΑΣΤΑΤΟΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΣ ΤΑΛΑΝΤΩΤΗΣ ΜΕΣΕ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ: ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΑΣ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΡΟΦΗΣ, ΒΑΣΙΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ, ΕΛΑΧΙΣΤΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΥΖΗΤΗΣΗ Ξεκινώντας από τους τελεστές δημιουργίας και καταστροφής

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μοριακή Κβαντική Χημεία. Ενότητα 10: Ερμηνεία Κυματοσυναρτήσεως Αριστείδης Μαυρίδης Τμήμα Χημείας

Τίτλος Μαθήματος: Μοριακή Κβαντική Χημεία. Ενότητα 10: Ερμηνεία Κυματοσυναρτήσεως Αριστείδης Μαυρίδης Τμήμα Χημείας Τίτλος Μαθήματος: Ενότητα 10: Ερμηνεία Κυματοσυναρτήσεως Αριστείδης Μαυρίδης Τμήμα Χημείας 1. Ερμηνεία Κυματοσυναρτήσεως.... Το κλασσικό όριο... 6 Σελίδα 1. Ερμηνεία Κυματοσυναρτήσεως Σε προηγούμενο μάθημα

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής

Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Κβαντομηχανική ΙI Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Φυσικής Α. Καρανίκας και Π. Σφήκας Σημειώσεις IX: Πρόσθεση στροφορμών Υπάρχουν πάμπολα φυσικά συστήματα στα οποία η κίνηση των επί μέρους σωματιδίων ή τα spin

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα

Ας ξεκινήσουμε υπενθυμίζοντας τον ορισμό της συνέχειας σε μετρικούς χώρους. διατυπώνεται και με τον ακόλουθο τρόπο: για κάθε σφαίρα 33.4.Συνεχείς συναρτήσεις Η έννοια της συνεχούς συνάρτησης είναι θεμελιώδης και μελετάται κατ αρχήν για συναρτήσεις μιας και κατόπιν δύο ή περισσότερων μεταβλητών στα μαθήματα του Απειροστικού Λογισμού.

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.

Ασκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα. Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz 1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο: Λεπτή Υφή, Φαινόμενο Zeeman, Υπέρλεπτη Υφή

Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο: Λεπτή Υφή, Φαινόμενο Zeeman, Υπέρλεπτη Υφή Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών σε Υδρογόνο: Λεπτή Υφή, Φαινόμενο Zeeman, Υπέρλεπτη Υφή Δομή Διάλεξης Λεπτή Υφή: Άρση εκφυλισμού λόγω σύζευξης spin με μαγνητικό πεδίο τροχιακής στροφορμής και λόγω σχετικιστικού

Διαβάστε περισσότερα

Αγγύλες Poisson. Ας θεωρήσουμε κάποια συνάρτηση των κανονικών μεταβλητών. Οι

Αγγύλες Poisson. Ας θεωρήσουμε κάποια συνάρτηση των κανονικών μεταβλητών. Οι Μηχανική ΙΙ Πέτρος Ιωάννου & Θεοχάρης Αποστολάτος 25 Μαϊου 2001 Αγγύλες Poisson Ας θεωρήσουμε κάποια συνάρτηση των κανονικών μεταβλητών Οι θέσεις και οι ορμές εξελίσσονται χρονικά σύμφωνα με τις εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

iωb = curl E. (Faraday s law) (2)

iωb = curl E. (Faraday s law) (2) Το φασματικό πρόβλημα σε μια διανισοτροπική κοιλότητα Ευτυχία Η. Αργυροπούλου, Ανδρέας Δ. Ιωαννίδης Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Linnaeus University, Σουηδία EME 2013, Καρδίτσα Ευτυχία

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3

Ασκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3 Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Εφαρμογές Θεωρίας Διαταραχών Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

Παραμαγνητικός συντονισμός

Παραμαγνητικός συντονισμός Παραμαγνητικός συντονισμός B B teˆ teˆ B eˆ, όπου Έστω ηλεκτρόνιο σε μαγνητικό πεδίο cos sin x y z B, B. Θεωρούμε ότι η σταθερή συνιστώσα του μαγνητικού πεδίου, Be, ˆz είναι ισχυρότερη από τη χρονοεξαρτώμενη

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.

b. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0. Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις

Διάλεξη 1: Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Διάλεξη : Κβαντομηχανική σε τρεις διαστάσεις Βασικές Αρχές της Κβαντομηχανικής H κατάσταση ενός φυσικού συστήματος περιγράφεται από την κυματοσυνάρτησή του και αποτελεί το πλάτος πιθανότητας να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος

Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ. Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος. eclass.di.uoa.gr. Περιγραφή μαθήματος Περιγραφή μαθήματος Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας (Θεωρία Αλγορίθμων). Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr

Θεωρία Υπολογισμού Αρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Θεωρία Υπολογισμού Άρτιοι ΑΜ Διδάσκων: Σταύρος Κολλιόπουλος eclass.di.uoa.gr Περιγραφή μαθήματος Σκοπός του μαθήματος είναι η εισαγωγή στη Θεωρία Υπολογισμού και στη Θεωρία Υπολογιστικής Πολυπλοκότητας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ο Μονοδιάστατος Γραµµικός Αρµονικός Ταλαντωτής 1.1.1 Εύρεση των ιδιοτοµών και ιδιοσυναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6

ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6 ΣΥΝΗΘΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 6 ΜΑΘΗΜΑ : ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΔΥΟ ΔΙΑΣΤΑΣΕΙΣ Θεωρούμε ένα σύστημα γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς πραγματικούς συντελεστές εκφρασμένο στις καρτεσιανές συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση

ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση ΜΕΜ251 Αριθμητική Ανάλυση Διάλεξη 14, 30 Απριλίου 2018 Μιχάλης Πλεξουσάκης Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Περιεχόμενα 1. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο (Ευκλείδειοι χώροι) 2. Βέλτιστες προσεγγίσεις

Διαβάστε περισσότερα