Θεμέλια και Καινοτομίες της Κβαντικής Μηχανικής

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Θεμέλια και Καινοτομίες της Κβαντικής Μηχανικής"

Transcript

1 Θεμέλια και Καινοτομίες της Κβαντικής Μηχανικής Α. Αραγεώργης Τομέας Ανθρωπιστικών, Κοινωνικών Επιστημών και Δικαίου Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Θα έπρεπε να αρχίσω εκφράζοντας τη γενική στάση μου απέναντι στη σημερινή κβαντική θεωρία, με την οποία εννοώ την καθιερωμένη μησχετικιστική κβαντική μηχανική. Η θεωρία έχει, πράγματι, δυο ισχυρούς όγκους γεγονότων υπέρ της και μόνο ένα πράγμα εναντίον της. Πρώτο, υπέρ της είναι όλες οι θαυμαστές συμφωνίες που είχε η θεωρία με κάθε πειραματικό αποτέλεσμα μέχρι σήμερα. Δεύτερο, και για μένα σχεδόν εξίσου σημαντικό, είναι μια θεωρία εκπληκτικής και βαθιάς μαθηματικής ομορφιάς. Το μόνο πράγμα που μπορεί να ειπωθεί εναντίον της είναι ότι δεν βγάζει απολύτως κανένα νόημα! Roger Perose (986, σ. 9) 0. Προλεγόμενα Αποκλειστικός στόχος του παρόντος είναι η σκιαγράφηση των θεμελίων της μη σχετικιστικής κβαντικής μηχανικής σε βαθμό που κρίνεται επαρκής για την πραγμάτευση των ερμηνευτικών προβλημάτων και των φιλοσοφικών προεκτάσεών της. Στην ενότητα αναπτύσσονται οι βασικές έννοιες και παραδοχές που συγκροτούν το υπόβαθρο κάθε θεωρίας για τον φυσικό κόσμο, είτε κλασικής είτε κβαντικής. Στην ενότητα περιγράφεται η δομή της κλασικής μηχανικής σωματιδίων με σκοπό να καταστούν σαφείς οι διαφορές με τη δομή της κβαντικής μηχανικής που περιγράφεται στην ενότητα 3. Η ενότητα 4 πραγματεύεται μερικές από τις κύριες καινοτομίες της κβαντικής μηχανικής που βρίσκονται στο επίκεντρο συναφών φιλοσοφικών συζητήσεων. Στο Παράρτημα παρατίθενται στη μορφή ενός συνοπτικού πίνακα τα κύρια σημεία των ενοτήτων και 3. Τέλος, στο Παράρτημα παρουσιάζεται με τη μορφή τυπολογίου ο πυρήνας της κβαντομηχανικής θεωρίας του spi. Η ανάπτυξη είναι εσκεμμένα απλουστευμένη από μαθηματικής σκοπιάς. Έτσι δεν υπάρχουν αναφορές σε σύνολα Borel, πεδία ορισμού μη φραγμένων τελεστών, τελεστές με συνεχές φάσμα, μη διαχωρίσιμους χώρους Hilbert, κ.ά. Η επιλογή αυτή δεν προέρχεται από την (εσφαλμένη) πεποίθηση ότι η μαθηματική αυστηρότητα δεν πρέπει να ενδιαφέρει τον / την φιλόσοφο της φυσικής. Πηγάζει απλώς από τη διαπίστωση ότι η κβαντική μηχανική θα είχε να μας παρουσιάσει δύσκολα ερμηνευτικά προβλήματα ακόμη και εάν ο μοναδικός χώρος Hilbert ήταν το!. Βασικές παραδοχές και έννοιες Υποθέτουμε ότι ο κόσμος είναι τέτοιος ώστε διάφορα ενδεχόμενα να επιδέχονται, κάτω από ορισμένες συνθήκες, συγκεκριμένες τιμές πιθανότητας και να υφίστανται πιθανοκρατικές σχέσεις μεταξύ διαφόρων συμβάντων. Αυτή είναι η ελάχιστη προϋπόθεση για τη συγκρότηση μιας θεωρίας για τον κόσμο με ρεαλιστικές αξιώσεις. Σημειώσεις για το μάθημα Φιλοσοφία της Φυσικής, 7ο Εξάμηνο, ΣΕΜΦΕ, ΕΜΠ.

2 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 Αν ο κόσμος δεν ενέχει κανένα στοιχείο τυχαιότητας, οι εν λόγω τιμές πιθανότητας (στο [0,]) θα εκφυλίζονται σε τιμές αληθείας (στο {0,}). Ένα φυσικό σύστημα μπορεί να νοηθεί ως o φορέας των πιθανοκρατικών σχέσεων μεταξύ συμβάντων «ό,τι έχουν κοινό» τα συμβάντα, «ό,τι υπόκειται» των διαδικασιών. Τα ίδια τα συμβάντα περιγράφονται με τη βοήθεια της απόδοσης τιμών σε παρατηρήσιμα μεγέθη και η κατάσταση του συστήματος κωδικοποιεί τις πιθανότητες για τις δυνατές τιμές των παρατηρήσιμων μεγεθών. Με τον όρο παρατηρήσιμο μέγεθος εννοούμε γενικώς κάθε συλλογή ιδιοτήτων («τιμές του παρατηρήσιμου μεγέθους») που είναι τέτοια ώστε (α) οτιδήποτε μπορεί να έχει κάποια από αυτές τις ιδιότητες μπορεί να έχει το πολύ μια από αυτές τις ιδιότητες και (β) καθεμία από αυτές τις ιδιότητες αναπαριστάνεται από κάποιο πραγματικό αριθμό ή διατεταγμένη -άδα πραγματικών αριθμών. Για παράδειγμα, ο όρος ορμή υποδηλώνει ένα παρατηρήσιμο μέγεθος με την έννοια ότι οτιδήποτε μπορεί να έχει καθορισμένη τιμή ορμής μπορεί να έχει το πολύ μια τέτοια τιμή που αναπαριστάνεται 3 από ένα διάνυσμα (στο ). Κανένα σύστημα δεν μπορεί να έχει την ίδια χρονική στιγμή περισσότερες από μια διαφορετικές τιμές ορμής και, ίσως, ένα (κβαντικό) σύστημα μπορεί να μην έχει καμία καθορισμένη τιμή ορμής σε κάποια χρονική στιγμή. Πάντως, η χρήση εδώ του όρου παρατηρήσιμο μέγεθος δεν περιορίζεται «ανθρωποκεντρικά» μόνο σε ιδιότητες που εμείς μπορούμε να παρατηρήσουμε, άμεσα ή έμμεσα. Και μια επιπλέον διάκριση. Οι φυσικές θεωρίες συχνά περιλαμβάνουν παρατηρήσιμα μεγέθη, όπως η μάζα ή το φορτίο, που είναι ανεξάρτητα της εκάστοτε κατάστασης του συστήματος. Στο εξής θα αναφερόμαστε κυρίως σε εκείνα τα παρατηρήσιμα μεγέθη που εξαρτώνται κατά μη τετριμμένο τρόπο από την κατάσταση του συστήματος και υπόκεινται σε δυναμική εξέλιξη. Είναι σαφές ότι η προηγούμενη παράγραφος περιέχει μόνο λίγο-πολύ αόριστες επεξηγήσεις όρων. Αυστηρότερα, οι όροι σύστημα, παρατηρήσιμο μέγεθος και κατάσταση μπορούν να εκληφθούν ως πρωταρχικοί όροι (που δεν επιδέχονται ορισμό) στο πλαίσιο ενός αξιωματικού συστήματος. Δεδομένου ενός συστήματος, υπάρχουν πολλά ενδεχόμενα που μπορούν να καθοριστούν: πού βρίσκεται το σύστημα ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς, ποια είναι η ενέργειά του, κ.λπ. Μερικά από αυτά τα ενδεχόμενα καθορίζονται όταν κάποιο παρατηρήσιμο μέγεθος λάβει μια τιμή από ένα μεγάλο πλήθος δυνατών τιμών το σύνολο των δυνατών τιμών μπορεί να είναι άπειρο, διακριτό ή συνεχές. Μερικά ενδεχόμενα, όμως, μπορούν να χαρακτηριστούν με μόνο δυο δυνατές τιμές τις οποίες μπορούμε να εκλάβουμε ως αληθοτιμές. Τέτοια «δίτιμα ενδεχόμενα» θα τα ονομάσουμε ενδεχομενικότητες και ανάγονται σε ενδεχόμενα που περιγράφονται από προτάσεις της μορφής: Η τιμή του παρατηρησίμου μεγέθους A ανήκει στο σύνολο πραγματικών αριθμών Δ συμβολικά και συντομογραφικά ( A, Δ). Από τα παραπάνω, έπεται ότι κάθε κατάσταση s ενός συστήματος Σ ορίζει μια στοχαστική συνάρτηση απόκρισης (.) Pr s : Obs( Σ ) B( ) [0,]: ( A, Δ) Pr s( A, Δ), όπου Obs(Σ) το σύνολο των παρατηρησίμων μεγεθών που σχετίζονται με το Σ, B( ) η άλγεβρα των υποσυνόλων του και Prs ( A, Δ) η πιθανότητα να αληθεύει η ενδεχομενικότητα ( A, Δ) όταν το Σ βρίσκεται στην κατάσταση s. Μετά από συμβατικές επιλογές συστημάτων μονάδων μέτρησης, κ.λπ.

3 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 3 s Μια κατάσταση λέγεται μίγμα των καταστάσεων s και s ακριβώς στην περίπτωση που υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί w, w 0 τέτοιοι ώστε w+ w = και (.) Pr = w Pr + w Pr. s s s Μια κατάσταση s λέγεται μικτή αν και μόνο αν είναι μη τετριμμένο μίγμα άλλων διαφορετικών καταστάσεων s και s ( w 0, w και Prs Pr s ). Μια κατάσταση λέγεται καθαρή αν και μόνο αν δεν είναι μικτή. Με απλά μαθηματικά, αποδεικνύεται ότι αν η s είναι μίγμα των s και s, τότε για κάθε ενδεχομενικότητα ( A, Δ) (.3) Pr ( A, Δ ) = [ Pr ( A, Δ ) = ή Pr ( A, Δ ) = ]. s s s Με αυτή την έννοια, το πλήθος των «βέβαιων ενδεχομενικοτήτων» είναι μέγιστο για τις καθαρές καταστάσεις. Έτσι μια καθαρή κατάσταση ενός συστήματος μπορεί να νοηθεί ως μια μέγιστη εξειδίκευση της περιγραφής του συστήματος.. Κλασική μηχανική Ο χώρος S των καθαρών καταστάσεων («φασικός χώρος») ενός συστήματος N 6N σωματιδίων στον 3-διάστατο ευκλείδειο χώρο είναι το και μια καθαρή κατάσταση αναπαριστάνεται από ένα σημείο ( q,..., q3n; p,..., p3n) S όπου συντεταγμένες θέσης, ορμής αντίστοιχα. Η μαθηματική q, p ( =,...,3 N) αναπαράσταση ενός παρατηρησίμου μεγέθους A είναι μια πραγματική συνάρτηση (.) f A: S : s fa ( s ). Για παράδειγμα, η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος δίνεται από τον τύπο (.) N p3k + p3k + p3k Tq (,... q3n; p,..., p3n) =, m οστου όπου m k η μάζα του k σωματιδίου. Τέλος, η χρονική εξέλιξη της κατάστασης του συστήματος περιγράφεται από τις εξισώσεις Hamilto (.3) dq H dp H = = ( =,...,3 N), dt p dt q όπου H = H( q,..., q3n; p,..., p3n) η χαμιλτονιανή (για H t = 0 ). Για παράδειγμα, στην περίπτωση ενός αρμονικού ταλαντωτή σε -διάστατο χώρο έχουμε Hqp ( ; ) = p m+ mω q. Είναι σημαντικό ότι ο προσδιορισμός της καθαρής κατάστασης ενός κλασικού συστήματος καθορίζει την αληθοτιμή όλων ενδεχομενικοτήτων που αφορούν το σύστημα: η ενδεχομενικότητα ( A, Δ ) αληθεύει όταν το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση s αν και μόνο αν fa() s Δ. Επομένως κάθε ενδεχομενικότητα ( A, Δ) αντιστοιχεί σε ένα υποσύνολο (.4) S = ( A, ) f [ Δ A ] = { s Δ S: fa( s) Δ } k = k Αν w, w 0, w + w =, wx + wx = και 0 x, x, τότε x = ή x =.

4 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 4 του φασικού χώρου S. Έπεται ότι κάθε ενδεχομενικότητα ( A, Δ ) αντιστοιχεί σε ένα δίτιμο παρατηρήσιμο μέγεθος χ Δ : S, όπου χ Δ η χαρακτηριστική συνάρτηση του συνόλου. 3 S( A, Δ ) S( A, ) Φυσικά, η αντιστοίχιση ενδεχομενικοτήτων σε υποσύνολα του φασικού χώρου δεν είναι -. Για παράδειγμα, για ένα σύστημα που αποτελείται από ένα υλικό σημείο μάζας kg σε -διάστατο ευκλείδειο χώρο, οι ενδεχομενικότητες «Η ορμή βρίσκεται μεταξύ kg m/s και 4kg m/s» και «Η ενέργεια βρίσκεται μεταξύ J και 8J» αντιστοιχούν στο ίδιο υποσύνολο του φασικού χώρου. Ας ονομάσουμε φυσικώς ισοδύναμες δυο ενδεχομενικότητες αν και μόνο αν αντιστοιχούν στο ίδιο υποσύνολο του φασικού χώρου ενός κλασικού συστήματος. Η προκύπτουσα - αντιστοιχία μεταξύ προτάσεων που περιγράφουν κλάσεις φυσικής ισοδυναμίας κλασικών ενδεχομενικοτήτων και υποσυνόλων ενός φασικού χώρου κάνει τη λογική των πρώτων να έχει δομή άλγεβρας Boole (με την άρνηση, σύζευξη, διάζευξη προτάσεων να απεικονίζεται σε συμπλήρωμα, τομή, διάζευξη, αντίστοιχα, συνόλων). Αφού η καθαρή κατάσταση του συστήματος προσδιορίζει την αληθοτιμή κάθε ενδεχομενικότητας, οι πιθανοκρατικοί συλλογισμοί για ένα κλασικό σύστημα απορρέουν μόνον από άγνοια («ελλιπή προσδιορισμό») της καθαρής κατάστασης του συστήματος. Στην κλασική μηχανική η έννοια της πιθανότητας έχει αμιγώς γνωσιολογική ερμηνεία. Έτσι η κλασική στατιστική μηχανική εισάγει συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας ρ πάνω στον φασικό χώρο (.5) ρ( q,..., q3n; p,..., p3n) 0 και ορίζει (.6)... ρ( q,..., p ) dq... dp = S 3N 3N S( A, ) Pr ( A, )... χ ( q,..., p ) ρ( q,..., p ) dq... dp Δ =. s S S( A, Δ ) 3N 3N 3N Δηλαδή, η πιθανότητα αλήθειας μιας ενδεχομενικότητας ισούται με την αναμενόμενη τιμή του αντίστοιχου παρατηρήσιμου μεγέθους. Επιπλέον, αν S και S είναι οι χώροι των καθαρών καταστάσεων δυο κλασικών συστημάτων και αντίστοιχα, τότε ο χώρος των καθαρών καταστάσεων του σύνθετου συστήματος + είναι το καρτεσιανό γινόμενο S S. Έπεται ότι οι καθαρές καταστάσεις των υποσυστημάτων προσδιορίζουν μονοσήμαντα την καθαρή κατάσταση του σύνθετου συστήματος. 4 Από την άλλη, αν το σύνθετο σύστημα βρίσκεται σε καθαρή κατάσταση, τότε σε καθαρή κατάσταση θα βρίσκεται και κάθε υποσύστημα ξεχωριστά. 3 Η χαρακτηριστική συνάρτηση χ ενός υποσυνόλου E ενός συνόλου Ω έχει πεδίο ορισμού το Ω E και είναι τέτοια ώστε χ ( x ) = 0 αν x Ω και χ ( x ) = αν x Ω. E 4 Δεδομένου, βεβαίως, ότι η κατάσταση καθενός από τα δυο υποσυστήματα περιλαμβάνει πληροφορίες που καθορίζουν τη θέση και τον προσανατολισμό του υποσυστήματος ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς. E

5 Α.Α./ΘΚΚΜ/ Κβαντική μηχανική Στην κβαντική μηχανική, η καθαρή κατάσταση ενός συστήματος αναπαριστάνεται από ένα κανονικοποιημένο διάνυσμα σε ένα μιγαδικό χώρο Hilbert H. 5 Με (3.) ˆP = συμβολίζεται ο τελεστής προβολής πάνω στον -διάστατο υποχώρο του H που απαρτίζεται από διανύσματα της μορφής c, c. Επιπλέον, κάθε χώρος Hilbert H επιδέχεται ορθοκανονική βάση { e } : =,,... (3.) 0, k e ek = δ k = (σύμβολο Kroecker), = k = e e για κάθε H. Κατά συνέπεια, αν ˆ είναι ο ταυτοτικός τελεστής στον H, έχουμε (3.3) ˆ = e e = Pˆ e («ανάλυση της ταυτότητας»). Ένα παρατηρήσιμο μέγεθος A του συστήματος αναπαριστάνεται από έναν αυτοσυζυγή (γραμμικό) τελεστή Â πάνω στον χώρο Hilbert H των φυσικών καταστάσεων Aˆ: H H : Aˆ (3.4) Ac ˆ + c = caˆ + caˆ ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ A= A, A ϕ = ϕ A * όπου c, c. Σύμφωνα με την κβαντική σημασιολογία, 6 τα δυνατά αποτελέσματα μέτρησης ενός παρατηρήσιμου μεγέθους Α είναι οι ιδιοτιμές a, a,... του αντίστοιχου αυτοσυζυγούς τελεστή Â, (3.5) Aa ˆ = a a, =,,..., όπου a το ιδιοδιάνυσμα του Â που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή a. Οι ιδιοτιμές ενός αυτοσυζυγούς τελεστή είναι πραγματικοί αριθμοί και τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές ορθογώνια. Εφόσον τα ιδιοδιανύσματα είναι κανονικοποιημένα, συγκροτούν μια ορθοκανονική βάση του χώρου Hilbert. Αναλυτικά, για κάθε m=,,,... και κάθε H, έχουμε am, a, a m a αν m, (3.6) a a = δ και = a a. Τέλος, η m m 5 Χρησιμοποιούμε, ως επί το πλείστον, τον συμβολισμό Dirac. Κατά σύμβαση, θεωρούμε ότι το εσωτερικό γινόμενο ii είναι γραμμικό ως προς το δεύτερο όρισμα και συμβολίζουμε με z * τον συζυγή του μιγαδικού αριθμού z. 6 Η σημασιολογία μιας θεωρίας απαρτίζεται από τους κανόνες που αποδίδουν νόημα στις εκφράσεις της θεωρίας και αληθοτιμές στις προτάσεις της θεωρίας. Σε μια φυσική θεωρία η σημασιολογία συνδέει τον «φορμαλισμό» με την «εμπειρική πραγματικότητα» (παρατήρηση, πείραμα, κ.λπ.)

6 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 6 (3.7) a a = ˆ εκφράζει την ως προς A ανάλυση της ταυτότητας. Η σύζευξη των (3.5) και (3.6) δίνει την (3.8) Aˆ = a a a = a Pˆ a που εκφράζει την φασματική αναπαράσταση ή ανάλυση του αυτοσυζυγούς τελεστή Â. Κατά την καθιερωμένη ερμηνεία, ένα παρατηρήσιμο μέγεθος ενός κβαντικού συστήματος έχει καθορισμένη τιμή όταν και μόνον όταν η κατάσταση του συστήματος αναπαριστάνεται από ιδιοδιάνυσμα του αντίστοιχου αυτοσυζυγούς τελεστή οπότε η καθορισμένη τιμή ισούται με την ιδιοτιμή που αντιστοιχεί στο ιδιοδιάνυσμα αυτό. Αυτή η σημασιολογική αρχή ονομάζεται συνήθως σύνδεσμος ιδιοκατάστασης-ιδιοτιμής (eigestate-eigevalue lik) και παίζει κεντρικό ρόλο στις ερμηνείες της κβαντικής μηχανικής. Τώρα, η πιθανότητα μια μέτρηση του παρατηρήσιμου μεγέθους A στην κατάσταση να δώσει ως αποτέλεσμα την ιδιοτιμή a ( =,,...) του αντίστοιχου αυτοσυζυγούς τελεστή Â δίνεται από τον στατιστικό αλγόριθμο Bor: (3.9) Pr ( Α,{ a }) = a = a a = Pˆ. a Έπεται ότι η πιθανότητα αληθείας της ενδεχομενικότητας ( A, Δ ) στην κατάσταση θα είναι (3.0) Pr ( A, Δ ) = χ ( a ) Pr ( A,{ a }) = χ ( a ) a = όπου έχουμε θέσει (3.) Δ = χ ( a ) a a = Pˆ Δ Δ ( A, Δ). Pˆ = χ ( a ) a a = χ ( a ) Pˆ ( A, Δ) Δ Δ a Με χρήση του «αλγεβρικού ορισμού», 7 αποδεικνύεται ότι ο Pˆ ( A, Δ ) είναι τελεστής προβολής. Η αναμενόμενη τιμή του παρατηρήσιμου μεγέθους A στην κατάσταση θα είναι (3.) A = a Pr ( A,{ a }) = a a = = a a a = Aˆ αφού ισχύουν οι (3.8) και (3.9). Από τα παραπάνω προκύπτει ότι σε κάθε κβαντική κατάσταση η πιθανότητα αληθείας της ενδεχομενικότητας ( A, Δ ) ισούται με την αναμενόμενη τιμή του προβολικού τελεστή Pˆ ( A, Δ ) που, για αυτό το λόγο, μπορεί να εκληφθεί ως το παρατηρήσιμο μέγεθος που αντιστοιχεί στην ενδεχομενικότητα αυτή. Ασφαλώς, ο προβάλλει στον υποχώρο Pˆ ( A, Δ ) 7 Ένας φραγμένος (γραμμικός) τελεστής ˆP σε ένα χώρο Hilbert είναι προβολικός αν και μόνο αν Pˆ = Pˆ = Pˆ.

7 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 7 (3.3) M ˆ ( A, Δ) = { H : P ( A, Δ) = } του χώρου Hilbert H. Έτσι, αν θεωρήσουμε ως φυσικώς ισοδύναμες δυο ενδεχομενικότητες που αντιστοιχούν στον ίδιο προβολικό τελεστή, παίρνουμε μια - αντιστοιχία μεταξύ προτάσεων που περιγράφουν κλάσεις φυσικής ισοδυναμίας ενδεχομενικοτήτων ενός κβαντικού συστήματος και υποχώρων ενός χώρου Hilbert. Αυτή η - αντιστοιχία αποδίδει στη λογική της άλγεβρας των κβαντικών προτάσεων 8 δομή διαφορετική από εκείνη μιας άλγεβρας Boole. Κατά την κβαντική δυναμική, η χρονική εξέλιξη κάθε φυσικού συστήματος περιγράφεται από μια μονοπαραμετρική ομάδα μοναδιαίων 9 (γραμμικών) τελεστών: (3.4) () t = Uˆ () t (0) t Ut ˆ(), Ut ˆ( + t) = UtUt ˆ( ) ˆ( ) ( ) Ut ˆ() c + c = cut ˆ() + cut ˆ(), c, c Ut ˆ Ut ˆ = ˆ ˆ = ˆ () () UtUt () (). Ειδικότερα, στη μη σχετικιστική κβαντική μηχανική, η καθαρή κατάσταση () t κατά τη χρονική στιγμή t ενός κβαντικού συστήματος εξελίσσεται δυναμικά σύμφωνα με την εξίσωση Schrödiger (3.5) i () t Hˆ () t = t όπου Ĥ η χαμιλτονιανή του συστήματος, οπότε 0 Ut ˆ( ) = exp( ithˆ ), t. Αν στο παρατηρήσιμο μέγεθος A αντιστοιχεί ο αυτοσυζυγής τελεστής Â με φασματική ανάλυση που δίνεται από την (3.8), τότε για κάθε συνάρτηση f : το παρατηρήσιμο μέγεθος f ( A ) αναπαριστάνεται από τον τελεστή (3.6) f ( Aˆ ) = f( a ) Pˆ = f( a ) a a a. Από τις (3.) και (3.6) συνάγεται ότι ο προβολικός τελεστής Pˆ ( A, Δ ) που αντιστοιχεί στην ενδεχομενικότητα ( A, Δ) δεν είναι παρά ο χ ( Aˆ Δ ). Ας αναζητήσουμε τώρα τη μαθηματική αναπαράσταση σε ένα χώρο Hilbert H μιας μικτής κβαντικής κατάστασης ρ της οποίας η στοχαστική συνάρτηση απόκρισης δίνεται τον τύπο (3.7) N Pr w Pr... w Pr w Pr = + + =, ρ N N = όπου N φυσικός αριθμός, w 0 για κάθε {,..., N}, κάθε {,..., N} και k k = δ για κάθε k, {,..., N}. N w =, Το ίχνος (trace) ενός γραμμικού τελεστή Wˆ στον H ορίζεται ως (3.8) trwˆ = e Wˆ e, όπου k k,,... k k k = H για { e } = ορθοκανονική βάση του H (και αποδεικνύεται ανεξάρτητο της επιλογής βάσης). Με χρήση της έννοιας του ίχνους μπορούμε να καταλήξουμε σε μια 8 Συγκεκριμένα, τη δομή ενός orthomodular πλέγματος. 9 Ο αγγλικός όρος είναι uitary και έχει αποδοθεί στα ελληνικά και ως μοναδιακός. 0 Υποθέτουμε ότι η χαμιλτονιανή είναι ανεξάρτητη του χρόνου.

8 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 8 εναλλακτική μαθηματική διατύπωση του στατιστικού αλγόριθμου Bor. Πράγματι, για κάθε καθαρή κατάσταση και κάθε ενδεχομενικότητα (, ) A Δ, έχουμε (3.9) Ομοίως αποδεικνύεται ότι Pr ( A, Δ ) = Pˆ = Pˆ ˆ = ( A, Δ) ( A, Δ) = Pˆ e e = e Pˆ e = k ( A, Δ) k k k ( A, Δ) k k ( ) ( ˆ Δ χδ ) = e Pˆ Pˆ e = tr Pˆ Pˆ = tr Pˆ ( A). k k ( A, Δ) k ( A, ) (3.0) A = Aˆ = tr( P Aˆ ) ˆ. Συνοίζοντας, ο στατιστικός αλγόριθμος Bor δίνεται από τους τύπους Pr ( A, Δ ) = tr Pˆ ( Aˆ ) (3.) ( χ Δ ) A = tr( Pˆ Aˆ ) για πιθανότητες ενδεχομενικοτήτων και αναμενόμενες τιμές παρατηρήσιμων μεγεθών, αντίστοιχα, σε καθαρές κβαντικές καταστάσεις. Η γενίκευση της (3.) οδηγεί στη μαθηματική αναπαράσταση των μικτών κβαντικών καταστάσεων. Από την (3.7) έχουμε, για κάθε ενδεχομενικότητα ( A, Δ), N N (3.) Pr ( A, Δ ) = w Pr ( A, Δ ) = w tr Pˆ Pˆ = ρ = = ( ( A, Δ) ) N ˆ = tr w ˆ P P( A, ). Δ = Κατά συνέπεια, η μικτή κβαντική κατάσταση ρ της οποίας η στοχαστική συνάρτηση απόκρισης δίνεται από την (3.7), θα αναπαριστάνεται από τον τελεστή (3.3) N N ˆ ρ = wpˆ = w. = = Από μαθηματική άποη, ο ˆρ είναι ένας τελεστής πυκνότητας. Γενικά, ένας τελεστής Wˆ σε ένα χώρο Hilbert H λέγεται τελεστής πυκνότητας αν και μόνο αν είναι θετικός ( Wˆ 0 για κάθε H ), αυτοσυζυγής (Wˆ = Wˆ ) και έχει ίχνος ίσο με τη μονάδα (trw ˆ = ). Ένας τελεστής πυκνότητας Wˆ δεν είναι προβολικός τελεστής εκτός εάν Wˆ = Wˆ (οπότε αντιστοιχεί σε καθαρή κατάσταση του κβαντικού συστήματος). Από φυσική άποη, ο τελεστής πυκνότητας ˆρ της (3.3) εκφράζει μια μερική περιγραφή του κβαντικού συστήματος. Σε στατιστική ορολογία, ο ˆρ περιγράφει ένα στατιστικό σύνολο (esemble) κβαντικών συστημάτων «όμοιας σύστασης», με το w να παριστάνει το ποσοστό των συστημάτων που βρίσκονται στην καθαρή κατάσταση. Ακριβέστερα, αν προετοιμάσουμε ένα στατιστικό σύνολο κβαντικών συστημάτων στη μικτή κατάσταση ˆρ που αναλύεται όπως στην (3.3), τότε η εκτίμηση της σχετικής συχνότητας οποιουδήποτε πειραματικού αποτελέσματος για αυτό το στατιστικό σύνολο ισούται ακριβώς με την εκτίμηση που θα λαμβάναμε εάν το στατιστικό σύνολο αποτελούνταν από N υποσύνολα, καθένα στην καθαρή κατάσταση, έτσι ώστε στο ολικό στατιστικό σύνολο κάθε

9 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 9 υποσύνολο να αντιπροσωπευόταν με σχετική συχνότητα w. Αυτό προκύπτει από το N γεγονός ότι tr( ˆPˆ) = w tr( P ˆ P ˆ), για κάθε προβολικό τελεστή ˆP. ρ = Με την εισαγωγή των τελεστών πυκνότητας για τη γενική αναπαράσταση των κβαντικών καταστάσεων, ο στατιστικός αλγόριθμος της κβαντικής σημασιολογίας παίρνει πλέον την ακόλουθη γενική μορφή. Αν ένα κβαντικό σύστημα βρίσκεται σε μια κατάσταση που αναπαριστάνεται από τον τελεστή πυκνότητας ˆρ, η πιθανότητα μια μέτρηση ενός παρατηρήσιμου μεγέθους A να δώσει αποτέλεσμα εντός του υποσυνόλου Δ των πραγματικών αριθμών είναι Pr ˆ ˆ (, ) ˆ ρ A Δ = tr ρχ Δ ( A), (3.4) ( ) όπου Â ο αυτοσυζυγής τελεστής που αναπαριστάνει το A και χ η χαρακτηριστική Δ συνάρτηση του συνόλου Δ. Επιπλέον, η A = tr ˆ ρ Aˆ, (3.5) ˆ ρ ( ) δίνει, σε αυτή την περίπτωση, την αναμενόμενη τιμή του μεγέθους A. Ας σκιαγραφήσουμε τώρα τον τρόπο με τον οποίο η κβαντική μηχανική πραγματεύεται σύνθετα συστήματα. Ας θεωρήσουμε δυο κβαντικά συστήματα, και, των οποίων οι δυνατές φυσικές καταστάσεις αναπαριστάνονται στους χώρους Hilbert και H αντίστοιχα. Ως χώρος των φυσικών καταστάσεων του σύνθετου συστήματος H + ορίζεται το τανυστικό γινόμενο H H. Αναλυτικά, για κάθε H και H, ονομάζουμε την συζυγώς διγραμμική μορφή: (3.6) : H H :( ϕ, ϕ) ( ) ( ϕ, ϕ) = ϕ ϕ H. H (Παρατηρήστε ότι η πράξη του τανυστικού γινομένου είναι γραμμική σε κάθε όρισμά της.) Έστω V το σύνολο όλων των πεπερασμένων γραμμικών συνδυασμών με μιγαδικούς συντελεστές τέτοιων συζυγώς διγραμμικών μορφών. Εφοδιάζουμε το V με ένα εσωτερικό γινόμενο ii, ορίζοντας (3.7), ϕ ϕ = ϕ ϕ H H και επεκτείνοντας με γραμμικό τρόπο σε ολόκληρο το V. Το H H είναι η πλήρωση (completio) του V ως προς το εσωτερικό γινόμενο ii,. () () Αποδεικνύεται ότι αν { } και { } είναι ορθοκανονικές βάσεις e =,,... e k k=,,... () () για τους και H αντίστοιχα, τότε e e } είναι ορθοκανονική βάση για τον H { k H H. Το γεγονός αυτό επιτρέπει να ορίσουμε ένα γραμμικό τελεστή, A ˆ Aˆ, Κατά μια παραδοσιακή ερμηνεία, που ονομάζεται «ερμηνεία των μιγμάτων με προσφυγή στην άγνοια» ( igorace iterpretatio of mixtures ), αν η κατάσταση ενός κβαντικού συστήματος περιγράφεται από τον τελεστή πυκνότητας ˆρ της (3.3), τότε το σύστημα βρίσκεται όντως σε κάποια από τις καθαρές καταστάσεις για =,,..., N αλλά δεν γνωρίζουμε σε ποια και ο συντελεστής w εκφράζει απλώς τη γνωσιολογική πιθανότητα να βρίσκεται στην. Ωστόσο αυτή η προσέγγιση δεν παρέχει μια συνεπή ερμηνεία όλων των μικτών καταστάσεων στην κβαντική μηχανική. Βλ., π.χ., Hughes (989, σ , 50). Εδώ παρεκκλίνουμε λίγο από τον φορμαλισμό Dirac προκειμένου να διευκολύνουμε την οπτική επόπτευση των μαθηματικών τύπων.

10 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 0 στον για κάθε ζεύγος γραμμικών τελεστών, Â και Â, στους και αντίστοιχα. Συγκεκριμένα, θέτουμε Aˆ Aˆ ( e () e () ) = Aˆ e () Aˆ e () (3.8) ( ) k ( ) ( k ) H H για τα στοιχεία μιας βάσης και επεκτείνουμε με γραμμικό τρόπο σε ολόκληρο τον H H. Ιδιαίτερα, αν οι Â και Â αναπαριστάνουν παρατηρήσιμα μεγέθη A και A για τα κβαντικά συστήματα και αντίστοιχα, τότε ο A ˆ Aˆ αναπαριστάνει ένα παρατηρήσιμο μέγεθος για το σύνθετο σύστημα +. Επιπλέον, ο A ˆ ˆ αναπαριστάνει το παρατηρήσιμο μέγεθος A για το σύστημα ως παρατηρήσιμο μέγεθος για το σύνθετο σύστημα + και, ομοίως, ο ˆ Aˆ αναπαριστάνει το παρατηρήσιμο μέγεθος A για το σύστημα ως παρατηρήσιμο μέγεθος για το σύνθετο σύστημα +. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι κάθε διάνυσμα Ψ H μορφή 3 (3.9) () () () () Ψ = k e ek = k e ek k k με k, και ότι. (3.30) ( Aˆ ) ( ) ( ) () () A ˆ ˆ ˆ Ψ = k A e A ek k H γράφεται στη Προκύπτει, επίσης, ότι η πιθανότητα μια μέτρηση του A στο και του A στο να δώσει τιμές και a, αντίστοιχα, όταν το σύνθετο σύστημα + βρίσκεται στην a κατάσταση είναι (3.3) A = a A = a = a a = H H Pr (, ) = Pr ( A = a ) Pr ( A = a ). Αυτό το αποτέλεσμα συγκροτεί τη «φυσική δικαιολόγηση» για την πραγμάτευση των σύνθετων κβαντικών συστημάτων με τη βοήθεια του τανυστικού γινομένου χώρων Hilbert. 4. Καινοτομίες της κβαντικής μηχανικής Στην ενότητα αυτή θα συζητήσουμε τέσσερις κύριες θεωρητικές καινοτομίες της κβαντικής μηχανικής: απροσδιοριστία, υπέρθεση, ασύμβατα παρατηρήσιμα μεγέθη και εμπλοκή. Είναι σαφές ότι το πώς πρέπει να κατανοηθεί καθεμία από αυτές τις καινοτομίες εξαρτάται από την ερμηνεία της κβαντικής μηχανικής που αποδέχεται κανείς. Έτσι αυτά που γράφονται παρακάτω δεν πρέπει να εκληφθούν ως «τελικές αλήθειες». Πρόκειται, μάλλον, για αφετηρίες προς μια ερμηνεία της κβαντικής μηχανικής για συνέπειες του κβαντικού φορμαλισμού που επιζητούν ερμηνεία επειδή ακριβώς δεν μπορούν να κατανοηθούν (εύκολα) σε ένα κλασικό πλαίσιο διαισθήσεων για τη φυσική πραγματικότητα. 3 Σε συμβολισμό Dirac γράφουμε απλώς αντί για.

11 Α.Α./ΘΚΚΜ/ Απροσδιοριστία Στην κλασική φυσική, ο προσδιορισμός της καθαρής κατάστασης ενός συστήματος καθορίζει την αληθοτιμή κάθε ενδεχομενικότητας (εφόσον αυτή αφορά μόνον το ίδιο το σύστημα και όχι τις σχέσεις του συστήματος με άλλα συστήματα). Αυτό δεν ισχύει στην κβαντική μηχανική όπως συνάγεται από το παρακάτω θεώρημα. Θεώρημα. Για κάθε καθαρή κατάσταση ενός κβαντικού συστήματος υπάρχουν ενδεχομενικότητες του συστήματος που δεν έχουν καθορισμένη αληθοτιμή στην κατάσταση αυτή. Απόδειξη. Έστω H ο χώρος Hilbert των φυσικών καταστάσεων ενός κβαντικού συστήματος. Θα δείξουμε ότι για κάθε H, =, υπάρχει ενδεχομενικότητα ( A, Δ) (όπου A παρατηρήσιμο μέγεθος και Δ ) τέτοια ώστε 0 < Pr ( A, Δ) <. Δεδομένου ότι ο H είναι τουλάχιστον -διάστατος, υπάρχει ϕ H τέτοιο ώστε ϕ = 0 και ϕ ϕ =. Ορίζουμε (4.) χ = + ϕ Με απλούς υπολογισμούς, προκύπτουν οι (4.) χ χ = και χ =. Έστω P το παρατηρήσιμο μέγεθος που αντιστοιχεί στον τελεστή προβολής ˆPχ πάνω στον υποχώρο που γεννάται από το χ. Έχουμε: (4.3) Pr ( P,{}) = χ Επομένως 0 < Pr ( P,{}) < και (P,{}) είναι η ζητούμενη ενδεχομενικότητα. Συνεπώς για κάθε καθαρή κατάσταση ενός κβαντικού συστήματος υπάρχουν ενδεχομενικότητες του συστήματος των οποίων η αληθοτιμή δεν είναι καθορισμένη στην κατάσταση αυτή. Κατά την καθιερωμένη ερμηνεία, το γεγονός αυτό δεν πρέπει να κατανοηθεί ως προϊόν δικής μας άγνοιας. Πρόκειται, μάλλον, για ένα είδος αντικειμενικής απροσδιοριστίας: η ίδια η θεωρία μας λέει ότι κάθε μέγιστη εξειδίκευση της περιγραφής ενός συστήματος παρουσιάζει αυτό το είδος «μη πληρότητας». Αν, τώρα, μια ενδεχομενικότητα δεν έχει καθορισμένη αληθοτιμή σε μια καθαρή κατάσταση και το σύστημα υποβληθεί σε μια διαδικασία (π.χ., κάποιο πείραμα) που «εκμαιεύει» συγκεκριμένη αληθοτιμή, το αποτέλεσμα της «εκμαίευσης» είναι αντικειμενικά τυχαίο. Δεν καθορίζεται από την κατάσταση του συστήματος, ούτε από την κατάσταση του συστήματος σε σύζευξη με τις καταστάσεις των υπολοίπων συστημάτων που συμμετέχουν στη διαδικασία και την αλληλεπίδραση μεταξύ τους και αυτή η τυχαιότητα δεν οφείλεται σε άγνοια των παρατηρητών (αν υπάρχουν), αλλά αποτελεί στοιχείο της ίδιας της φυσικής κατάστασης. Αυτό το είδος της αντικειμενικής τυχαιότητας προϋποθέτει το παραπάνω είδος αντικειμενικής απροσδιοριστίας και, κατά συνέπεια, δεν απαντά στην κλασική φυσική. Ασφαλώς, υπάρχει μια έννοια τυχαίου στην κλασική στατιστική μηχανική αλλά απορρέει από ελλιπή εξειδίκευση της περιγραφής του συστήματος, από μερική άγνοια των μικροσκοπικών ιδιοτήτων του συστήματος. =

12 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 Ας υποθέσουμε, πάλι, ότι η αληθοτιμή μιας ενδεχομενικότητας δεν είναι καθορισμένη σε μια καθαρή κατάσταση, ας πούμε, ενός κβαντικού συστήματος. Σύμφωνα με την κβαντική μηχανική, υπάρχει μια καθορισμένη πιθανότητα να διαπιστωθεί ότι η ενδεχομενικότητα αυτή είναι αληθής και μια καθορισμένη πιθανότητα να διαπιστωθεί ότι είναι ευδής. Οι πιθανότητες αυτές είναι αντικειμενικές με την έννοια ότι εξαρτώνται μόνον από την ενδεχομενικότητα και την καθαρή κατάσταση του συστήματος και όχι από τις πεποιθήσεις κάποιου παρατηρητή. Αν όλα τα μέλη μιας συλλογής όμοιων συστημάτων έχουν προετοιμαστεί στην κατάσταση και για κάθε μέλος «εκμαιεύεται» η αληθοτιμή της ενδεχομενικότητας με την ίδια διαδικασία, τότε μπορούμε να αναμένουμε ότι οι σχετικές συχνότητες των αποτελεσμάτων θα συγκλίνουν στις αντικειμενικές πιθανότητες. Αλλά θα ήταν λάθος να πούμε ότι αρχικά είχαμε ένα ανομοιογενές στατιστικό σύνολο συστημάτων του ιδίου είδους στο οποίο υπήρχαν καθορισμένες συχνότητες αλήθειας και εύδους της ενδεχομενικότητας πριν από τη φυσική διαδικασία «εκμαίευσης» αληθοτιμής. Αν συνέβαινε αυτό τότε η δεν θα αποτελούσε μέγιστη εξειδίκευση της περιγραφής του συστήματος, γιατί για κάθε μέλος του στατιστικού συνόλου συστημάτων θα υπήρχε μια αντικειμενική ιδιότητα που δεν θα συμπεριλαμβανόταν στην περιγραφή που παρέχει η. 4.. Υπέρθεση Αν τα κανονικοποιημένα διανύσματα και σε ένα μιγαδικό χώρο Hilbert H αναπαριστάνουν δυνατές καθαρές καταστάσεις ενός κβαντικού συστήματος Σ, τότε κάθε διάνυσμα της μορφής (4.4) = c + c, c, c, c + c =, αναπαριστάνει μια δυνατή καθαρή κατάσταση του Σ. Αυτή είναι η αρχή της υπέρθεσης (priciple of superpositio) για κβαντικά συστήματα. Είναι κοινή πεποίθηση ότι η αρχή της υπέρθεσης αποτελεί μια από τις πλέον ριζικές εννοιολογικές καινοτομίες που διαφοροποιεί την κβαντική από την κλασική φυσική. 4 Γιατί, όμως, η κβαντική αρχή της υπέρθεσης φαντάζει τόσο «μυστηριώδης»; Μια ανάλογη αρχή διέπει όλα τα φυσικά φαινόμενα που υπακούουν σε γραμμικές ομογενείς μερικές διαφορικές εξισώσεις, όπως η εξίσωση κύματος (4.5) uxt (, ) = c u( x, t), c. t Αν u και u είναι λύσεις της (4.5), τότε κάθε λu+ λuμε λ, λ είναι επίσης λύση της (4.5). Η διαφορά φαίνεται να είναι η εξής. Στην κλασική φυσική, η υπέρθεση δυο κυμάτων ταιριάζει σε μια διαισθητικά εύλογη «εικόνα». Η κυματική συνάρτηση uxt (, ) είναι πεδίο στον χωροχρόνο (π.χ., το ηλεκτρικό ή το μαγνητικό πεδίο) και, κατ αρχήν, παρατηρήσιμο μέγεθος. Επιπλέον, η κατάσταση του συστήματος ορίζεται πλήρως από τις τιμές που λαμβάνουν τέτοια παρατηρήσιμα μεγέθη στα σημεία του χωροχρόνου. Έτσι η υπέρθεση μπορεί να χαρακτηριστεί ως κατάσταση στην οποία οι 4 Αυτή τη θέση υποστηρίζει, μεταξύ άλλων, ο Dirac ([930] 993, σ. 0-8).

13 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 3 τιμές των παρατηρήσιμων μεγεθών σε κάθε χρονικό σημείο είναι «συνδυασμοί» των τιμών που θα είχαν τα ίδια μεγέθη σε καθεμία από τις υπερτιθέμενες καταστάσεις. Στην κβαντική μηχανική, όμως, το διάνυσμα κατάστασης δεν είναι ούτε πεδίο στον χωροχρόνο ούτε παρατηρήσιμο μέγεθος. Και, σημαντικότερο, ο σύνδεσμος ιδιοκατάστασης-ιδιοτιμής ορίζει ότι ένα κβαντικό σύστημα έχει μια καθορισμένη ιδιότητα που εκφράζεται ως καθορισμένη τιμή ενός παρατηρήσιμου μεγέθους μόνο αν το σύστημα βρίσκεται σε ιδιοκατάσταση του αυτοσυζυγούς τελεστή που αναπαριστάνει το εν λόγω παρατηρήσιμο μέγεθος. Έτσι μερικές ιδιότητες ενός κβαντικού συστήματος όταν αυτό βρίσκεται σε υπέρθεση ιδιοκαταστάσεων ενός παρατηρήσιμου μεγέθους δεν μπορούν να νοηθούν ως «συνδυασμοί» των ιδιοτήτων που θα είχε το σύστημα σε καθεμία από τις υπερτιθέμενες καταστάσεις. Για παράδειγμα, θεωρήστε ένα ηλεκτρόνιο που βρίσκεται στην ακόλουθη κατάσταση spi (4.6) = (,, ) + +, όπου μοναδιαίο διάνυσμα για τυχαία κατεύθυνση στον χώρο και, ± τα ιδιοδιανύσματα του τελεστή που αναπαριστάνει τη συνιστώσα του spi κατά τη διεύθυνση του για τις ιδιοτιμές ± αντίστοιχα (σε μονάδες ). 5 Κατά την καθιερωμένη ερμηνεία, η τιμή του spi του ηλεκτρονίου κατά τη διεύθυνση του δεν είναι + και δεν είναι και δεν είναι και + και και δεν είναι ούτε + ούτε. Και το ποια ή τι ακριβώς είναι δεν το γνωρίζουμε (τουλάχιστον, ανεξάρτητα από μια «βαθύτερη» ερμηνεία της θεωρίας) Ασύμβατα παρατηρήσιμα μεγέθη Σε συζητήσεις που αφορούν τα θεμέλια της κβαντικής μηχανικής συναντά κανείς συχνά το ερώτημα αν δυο παρατηρήσιμα μεγέθη είναι συμβατά ερώτημα που θεωρείται συνώνυμο με το αν είναι δυνατή η ταυτόχρονη μέτρηση των δυο μεγεθών ή, σε μια πιο ρεαλιστική προσέγγιση, με το αν είναι δυνατόν τα δυο μεγέθη να έχουν ταυτόχρονα καθορισμένες τιμές. Η συνθήκη συμβατότητας μεταξύ δυο οποιωνδήποτε παρατηρήσιμων μεγεθών, A και B, ικανοποιείται κατά τετριμμένο τρόπο στην κλασική μηχανική. Τα δυο μεγέθη αναπαριστάνονται από δυο συναρτήσεις, f και f, πάνω στον φασικό χώρο τιμές A() A S έτσι ώστε σε κάθε κατάσταση s S να έχουν τις ταυτόχρονα ορισμένες f s και f () s αντίστοιχα. B Η «κατάσταση» στην κβαντική μηχανική φαίνεται να είναι διαφορετική αφού η ασυμβατότητα πολλών ζευγών παρατηρήσιμων μεγεθών φαίνεται να απορρέει από τον ίδιο τον φορμαλισμό της θεωρίας. Ωστόσο, η σχετική συζήτηση πάσχει από την αοριστία της έκφρασης «ταυτόχρονη μέτρηση». Κάθε μέτρηση ολοκληρώνεται σε πεπερασμένο, έστω «μικρό», χρονικό διάστημα. Θα θεωρούμε «ταυτόχρονες» δυο μετρήσεις αν τα αντίστοιχα χρονικά διαστήματα συμπίπτουν εν μέρει ή μόνον αν συμπίπτουν εξ ολοκλήρου; Ή θα λέμε ότι δυο παρατηρήσιμα μεγέθη είναι «ταυτόχρονα μετρήσιμα» αν μια μέτρηση του ενός ακολουθούμενη αμέσως από μια μέτρηση του άλλου δίνει τα ίδια αποτελέσματα ανεξάρτητα από το ποιο μέγεθος επιλέξουμε να μετρήσουμε πρώτο και ποιο δεύτερο; Πρόσθετες ανησυχίες προκαλεί B 5 Βλ. και Παράρτημα.

14 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 4 και η παρατήρηση ότι στη σχετικότητα η σχέση της ταυτοχρονίας εξαρτάται από το σύστημα αναφοράς. Για να αποφύγουμε τέτοιους σκοπέλους μπορούμε να θεωρήσουμε ότι δυο παρατηρήσιμα μεγέθη, A και B, είναι συμβατά αν υπάρχει παρατηρήσιμο μέγεθος C και συναρτήσεις f, g: με A = f( C) και B = gc ( ). Η διαίσθηση είναι ότι, σε αυτή την περίπτωση, μια μόνο μέτρηση του C αποδίδει «ταυτόχρονα» τιμές στα A και B. Το παρακάτω θεώρημα 6 δείχνει ότι αυτή η συνθήκη συμβατότητας ικανοποιείται ακριβώς στην περίπτωση που οι αντίστοιχοι αυτοσυζυγείς τελεστές, Â και ˆB, μετατίθενται δηλαδή, ακριβώς στην περίπτωση που ο μεταθέτης τους, (4.7) Aˆ, Bˆ = AB ˆ ˆ BA ˆ ˆ, μηδενίζεται. Θεώρημα. Αν Aˆ, BC ˆ, είναι αυτοσυζυγείς τελεστές σε ένα χώρο Hilbert H και f, g: συναρτήσεις τέτοιες ώστε A ˆ = f ( Cˆ ) και B ˆ = gc ( ˆ, τότε AB ˆ ˆ, = 0. Αντίστροφα, αν Â και ˆB είναι αυτοσυζυγείς τελεστές σε ένα χώρο Hilbert H και AB ˆ, ˆ = 0, τότε υπάρχει αυτοσυζυγής τελεστής Ĉ στον H και συναρτήσεις f, g: έτσι ώστε Aˆ = f( Cˆ) και B ˆ = gc ( ˆ. Και η ύπαρξη ασύμβατων, με την παραπάνω έννοια, παρατηρήσιμων μεγεθών σχετίζεται με τις σχέσεις απροσδιοριστίας ή αβεβαιότητας του Heiseberg η κατανόηση των οποίων αποτέλεσε την ιστορικά πρώτη μείζονα θεματική στη φιλοσοφία της κβαντικής μηχανικής. Ορίζουμε την αβεβαιότητα ή διασπορά των αποτελεσμάτων μέτρησης ενός παρατηρήσιμου μεγέθους A στην κβαντική κατάσταση με τον τύπο: (4.8) A A A A A ( ) ( ) Αποδεικνύεται εύκολα ότι ( A) 0 Δ = = Δ = αν και μόνο αν το είναι ιδιοδιάνυσμα του αυτοσυζυγούς τελεστή Â που αναπαριστάνει το παρατηρήσιμο μέγεθος A. Εφόσον δεχόμαστε ότι το A έχει καθορισμένη τιμή σε μια κατάσταση ακριβώς στην περίπτωση που η κατάσταση αυτή αναπαριστάνεται από ιδιοδιάνυσμα του Â, μπορούμε να κατανοήσουμε την αβεβαιότητα ή διασπορά ( A ). Δ ως «μέτρο του βαθμού στον οποίο το κβαντικό σύστημα στην κατάσταση δεν έχει καθορισμένη τιμή για το παρατηρήσιμο μέγεθος A». Χωρίς ιδιαίτερη προσπάθεια, μπορεί κανείς να αποδείξει ότι για οποιαδήποτε παρατηρήσιμα μεγέθη A και B και οποιαδήποτε κβαντική κατάσταση ισχύει η γενικευμένη σχέση απροσδιοριστίας ή αβεβαιότητας του Heiseberg: (4.9) ( Δ A)( Δ B) Aˆ, Bˆ. 6 Στην διατύπωση που παρουσιάζεται το θεώρημα ισχύει για χώρους Hilbert πεπερασμένης διάστασης. Για περισσότερες λεπτομέρειες, συμπεριλαμβανομένων αποδείξεων, βλ., π.χ., Isham (995, σ. 97-0).

15 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 5 Συνήθως γράφουμε (με κάποια δόση μαθηματικής αφέλειας) [ xˆ, pˆ] = i, οπότε η (4.9) οδηγεί στη διάσημη σχέση αβεβαιότητας θέσης-ορμής: (4.0) Δ x Δ p. ( )( ) Προκειμένου να αποφύγουμε το συνηθισμένο folklore για τις σχέσεις απροσδιοριστίας, πρέπει να τονίσουμε δυο σημεία. Πρώτο, η (4.9) είναι αυστηρή μαθηματική συνέπεια και όχι συμπέρασμα από νοητικά πειράματα με «μικροσκόπια ακτινών γ», κ.λπ. Και δεύτερο, αντίθετα με ένα «λαϊκό μύθο», η αρχή της απροσδιοριστίας δεν «λέει» ότι το γινόμενο των διασπορών δυο «μεγεθών που δεν μετατίθενται» είναι μεγαλύτερο του μηδενός για κάθε κβαντική κατάσταση. Λόγου χάριν, οι συνιστώσες του spi ως προς ένα καρτεσιανό σύστημα αξόνων ικανοποιούν τις σχέσεις (4.) Sˆ, ˆ ˆ x S y = i Sz. Επομένως με χρήση της (4.9) συνάγεται ότι για κάθε κατάσταση, (4.) ( S )( S ) Sˆ Αλλά για = x, + (ιδιοδιάνυσμα του ˆx ( Δ S x ) = 0, ( S y ) Δ = και Sˆ z 0 «αντίφαση» με την αρχή της απροσδιοριστίας. Δ x Δ y z. S με ιδιοτιμή + σε μονάδες ) έχουμε = οπότε ( S )( S ) 0 Δ Δ = χωρίς x y 4.4. Εμπλοκή Ας θεωρήσουμε το σύνθετο σύστημα + που απαρτίζεται από δυο κβαντικά συστήματα και με χώρους Hilbert H και H. Η γενική μαθηματική αναπαράσταση των φυσικών καταστάσεων του σύνθετου συστήματος + παρέχεται από τελεστές πυκνότητας στον χώρο τανυστικού γινομένου H H. Ποιοι τελεστές πυκνότητας, ˆ () () W στον H και Wˆ στον H, περιγράφουν τις καταστάσεις των υποσυστημάτων και, αντίστοιχα, όταν η κατάσταση του σύνθετου συστήματος + περιγράφεται από τον τελεστή πυκνότητας Wˆ στον H H ; Με στόχο την αποσαφήνιση της ερώτησης εισάγουμε ένα αίτημα συνέπειας: οι πιθανότητες των δυνατών αποτελεσμάτων μέτρησης σε καθένα από τα δυο υποσυστήματα πρέπει να είναι ίδιες ανεξάρτητα από το αν θεωρούμε το εν λόγω υποσύστημα «μεμονωμένο» ή σαν «μέρος» του σύνθετου συστήματος. Συγκεκριμένα, απαιτούμε για κάθε ζεύγος παρατηρήσιμων μεγεθών A και A για τα υποσυστήματα και και για κάθε ζεύγος υποσυνόλων Δ και Δ του συνόλου των πραγματικών αριθμών να ισχύουν οι ταυτότητες (4.3) () tr ( Wˆ( Pˆ ˆ ) ( ˆ ˆ ( A ), Δ) ) = tr W P( A, Δ) () tr ( Wˆ( ˆ Pˆ ( ) ( ˆ ˆ A, Δ) ) = tr W P( A, Δ) ), όπου το σύμβολο tr ( =,) υποδηλώνει την πράξη του μερικού ίχνους ως προς τον H. Αποδεικνύεται ότι η συνθήκη (4.3) ορίζει μονοσήμαντα τους τελεστές

16 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 6 () () πυκνότητας Wˆ και Wˆ και, μάλιστα, ότι τα στοιχεία πίνακα του καθενός στις () () ορθοκανονικές βάσεις { e } = και { e } = δίνονται, αντίστοιχα, από τις ισότητες:,,...,,... (4.4) () () ˆ () () () () ˆ () () Wk = e W ek = e em W ek em m, ( ) W = e Wˆ e = e e, Wˆ( e e ). Γράφουμε απλώς Wˆ και. () () () () () () () () k k m m k m () ˆ () = trw Wˆ = tr Wˆ Για τη φιλοσοφία της κβαντικής μηχανικής, το πιο ενδιαφέρον συμπέρασμα που μπορεί να προκύει με εφαρμογή αυτής της διαδικασίας αναγωγής του πίνακα πυκνότητας είναι το εξής: υπάρχουν καθαρές καταστάσεις του σύνθετου συστήματος των οποίων η αναγωγή σε καθένα από τα υποσυστήματα δίνει μια μικτή κατάσταση. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε ένα ζεύγος σωματιδίων spi ½ στην κατάσταση siglet του ολικού spi: (4.5) (, (), (), (), () ) Ψ = siglet z + z z z +, με τον συνήθη συμβολισμό (βλ. και Παράρτημα ). Η Ψ siglet είναι καθαρή κατάσταση και, μάλιστα, ιδιοκατάσταση του ολικού spi 7 με ιδιοτιμή 0. Ωστόσο, η αναγωγή του πίνακα πυκνότητας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ο τελεστής πυκνότητας για το υποσύστημα (σωματίδιο) είναι, για κάθε {, }, (4.6) ( ) ( ) ˆ ( ) W = ( Pˆ ˆ ˆ, ) ( + P, όπου,, ), ( P ), ( = z ± z ±. z + z z ± ) ( ) Παρατηρήστε ότι ο πίνακας πυκνότητας W ˆ περιγράφει μια μικτή κατάσταση την κατάσταση ενός «εντελώς μη πολωμένου» spi. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι στην κβαντική μηχανική είναι δυνατόν ένα σύνθετο σύστημα να βρίσκεται σε ορισμένη καθαρή κατάσταση ενώ κανένα από τα υποσυστήματα να μην βρίσκεται σε ορισμένη καθαρή κατάσταση από μόνο του. Αυτό το «φαινόμενο» δεν έχει κλασικό ανάλογο και φαίνεται ιδιαίτερα «παράδοξο» αν ληφθεί υπόη ότι μια καθαρή κατάσταση αντιστοιχεί σε μέγιστη εξειδίκευση της περιγραφής ενός συστήματος. Η αύρα της παραδοξότητας ενισχύεται από το γεγονός ότι οι καταστάσεις των υποσυστημάτων δεν καθορίζουν μονοσήμαντα ούτε την κατάσταση ούτε τις συναφείς ιδιότητες του σύνθετου συστήματος. Πράγματι, δεδομένου ότι καθένα από τα δυο spi ½ σωματίδια βρίσκεται στη μικτή κατάσταση που περιγράφεται από την (4.6), δεν είναι απαραίτητο το σύνθετο σύστημα του ζεύγους των σωματιδίων να βρίσκεται στην καθαρή κατάσταση Ψ siglet μπορεί να βρίσκεται στην καθαρή κατάσταση Ψ triplet, όπου (4.7) Ψ = ( () () () () triplet,,,, ) z + z + z z. Και το πρόβλημα δεν αφορά μόνον τον «πλατωνικό κόσμο» των μιγαδικών χώρων Hilbert. Κατά την κβαντική σημασιολογία, οι καταστάσεις Ψ siglet και Ψ triplet διαφέρουν ως προς εμπειρικές ιδιότητες: στην πρώτη το ολικό spi έχει καθορισμένη 7 Ως ολικό spi εννοούμε το παρατηρήσιμο μέγεθος για το σύνθετο σύστημα αναπαριστάνεται από τον τελεστή Sˆ = ( Sˆ ˆ + ˆ Sˆ ).

17 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 7 τιμή 0 ενώ στη δεύτερη έχει καθορισμένη τιμή. Και αυτό υπαινίσσεται ότι ο κβαντικός κόσμος χαρακτηρίζεται από ένα είδος ολισμού φυσικών ιδιοτήτων: το ολικό spi του σύνθετου συστήματος δεν καθορίζεται μονοσήμαντα από τα spi των υποσυστημάτων στη συγκεκριμένη περίπτωση, τα υποσυστήματα δεν έχουν καν καθορισμένες τιμές spi! αλλά ούτε και από τις καταστάσεις των υποσυστημάτων. Αυτή η μυστηριώδης πτυχή των σύνθετων κβαντικών συστημάτων έχει ονομαστεί κβαντική εμπλοκή (quatum etaglemet) και βρίσκεται στον πυρήνα πολλών μεταφυσικών καινοτομιών της κβαντικής μηχανικής όπως η μη τοπικότητα, η μη διαχωρισιμότητα και ο ολισμός. Όπως δήλωσε πρόσφατα ένας σύγχρονος φιλόσοφος της φυσικής, Ο κόσμος δεν είναι απλώς ένα σύνολο εντοπισμένων αντικειμένων που υπάρχουν ξεχωριστά και που σχετίζονται εξωτερικά μόνο διαμέσου του χώρου και του χρόνου. Κάτι βαθύτερο, και πιο μυστηριώδες, υφαίνει τον ιστό του κόσμου. Έχουμε μόλις φθάσει σε εκείνο το στάδιο της ανάπτυξης της φυσικής στο οποίο μπορούμε να αρχίσουμε να συλλογιζόμαστε τι θα μπορούσε να είναι αυτό. Tim Maudli (998, σ. 60) Παράρτημα Καταστάσεις και παρατηρήσιμα μεγέθη στην κλασική και την κβαντική μηχανική 8 Χώρος των φυσικών καταστάσεων Καθαρή κατάσταση Μικτή κατάσταση Παρατηρήσιμο μέγεθος A Κλασική μηχανική Φασικός χώρος σωματίδια, το S 6N : για Ν Σημείο του φασικού χώρου, s S Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας στον φασικό χώρο Πραγματική συνάρτηση πάνω στον φασικό χώρο, fa : S Κβαντική μηχανική Μιγαδικός χώρος Hilbert H Κανονικοποιημένο διάνυσμα στον χώρο Hilbert, H με = = Τελεστής πυκνότητας στον χώρο Hilbert Αυτοσυζυγής τελεστής στον χώρο Hilbert, A ˆ : H H Δυνατές τιμές παρατηρήσιμου μεγέθους A Το πεδίο τιμών της συνήθως συνεχές f A, Οι ιδιοτιμές του Â αν ο Â έχει διακριτό φάσμα. Γενικότερα, τα στοιχεία του φάσματος του Â. Ενδεχομενικότητα Υποσύνολο του φασικού Υποχώρος του χώρου Hilbert, M ( A, Δ) 8 Βλ. και Hughes (989, σ. 69).

18 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 8 ( A, Δ ): «Η τιμή του A βρίσκεται στο υποσύνολο Δ του» Είναι η ( A, Δ) αληθής στην καθαρή κατάσταση του συστήματος; Χώρος των φυσικών καταστάσεων σύνθετου συστήματος χώρου, S ( A, ) f A [ ] Δ = Δ S Απάντηση με «ναι» ή «όχι»: «ναι» αν και μόνο αν f () A s Δ s, όπου η καθαρή κατάσταση του συστήματος Καρτεσιανό γινόμενο S S φασικών χώρων, Πιθανοκρατική απάντηση: Pr (, ) ˆ A A Δ = P (, Δ), όπου η καθαρή κατάσταση του συστήματος Τανυστικό γινόμενο χώρων Hilbert, H H

19 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 9 Παράρτημα Spi 9 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x x y y z S = S S + S S + S Sz Sˆ, ˆ ˆ, ˆ, ˆ ˆ, ˆ, ˆ ˆ x S y i S z Sy S z i S x Sz S = = x = i Sy Αποδεικνύεται ότι S, = 0 για κάθε = xyz,,. Ο S έχει ιδιοτιμές ss ( + ), [ S ] όπου s = ( = 0,,...). Κάθε ιδιοτιμή του S παρουσιάζει πολλαπλότητα εκφυλισμού ( s + ) που μπορεί να αρθεί με προσδιορισμό της ιδιοτιμής μιας από τις συνιστώσες του spi, π.χ. του S z. Οι ιδιοτιμές του S z είναι της μορφής m με m= s, s+,..., s, s για κάθε s. Τα συστήματα spi ½ έχουν s = και m =,. Επιδέχονται μαθηματική αναπαράσταση σε -διάστατο μιγαδικό χώρο Hilbert με ορθοκανονική βάση τα ιδιοδιανύσματα του, z, + ( m = )και z, ( m = ). Τα κανονικοποιημένα ιδιοδιανύσματα των S x και S y γράφονται ως γραμμικοί συνδυασμοί x, ± = z, + ± z, i y, ± = z, + ± z, και οι τελεστές S,, x Sy Sz αποκτούν τις αναπαραστάσεις ˆ Sx = ( z, + z, + z, z, + ) ˆ i Sy = ( z, + z, + z, z, + ) Sˆ z = ( z, + z, + z, z, ). Αναπαράσταση συστήματος spi ½ στο z, + ( z, +, z, ) z, x, +, y, +, z, + i 0 x,, y,, z, 0 i ˆ i S σ όπου σx = σy σz , =, = 0 i Βλ., π.χ., κεφάλαιο 3 στο Sakurai (985).

20 Α.Α./ΘΚΚΜ/006 0 Βιβλιογραφικές Αναφορές Dirac, P. A. M. ([930] 993): The Priciples of Quatum Mechaics. 4 η έκδοση. Oxford: Claredo Press. Hughes, R. I. G. (989): The Structure ad Iterpretatio of Quatum Mechaics. Cambridge, MA: Harvard Uiversity Press. Isham, C. J. (995): Lectures o Quatum Theory: Mathematical ad Structural Foudatios. Lodo: Imperial College Press. Maudli, T. (998): Part ad Whole i Quatum Mechaics στο E. Castellai (επιμ.), Iterpretig Bodies: Classical ad Moder Obects i Quatum Physics. Priceto, NJ: Priceto Uiversity Press, σ Perose, R. (986): Gravity ad State Vector Reductio στο R. Perose και C. J. Isham (επιμ.), Quatum Cocepts i Space ad Time. Oxford: Claredo Press, σ Sakurai, J. J. (985) : Moder Quatum Mechaics. Επιμέλεια Sa Fu Tua. New York, NY: Addiso-Wesley.

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ ΜΑΘΗΜΑ 1: Η ΚΛΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΗΣΗ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Τίποτε δεν θεωρώ μεγαλύτερο αίνιγμα από το χρόνο και το χώρο Εντούτοις, τίποτε δεν με απασχολεί λιγότερο από αυτά επειδή ποτέ δεν τα σκέφτομαι Charles

Διαβάστε περισσότερα

Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική

Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Τομέας Θεωρητικής Φυσική Τανυστές στην Κβαντομηχανική Κβαντική Πληροφορική Το ζήτημα των τανυστών είναι πολύ σημαντικό τόσο για την Κβαντομηχανική, όσο και για τη Σχετικότητα. Οι δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ. Κβαντική Θεωρία ΙΙ. Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Κβαντική Θεωρία ΙΙ Spin Διδάσκων: Καθ. Λέανδρος Περιβολαρόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Η Εντροπία Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Θερμοδυναμική +Στατιστική Μηχανική= Θερμική Φυσική Η Θερμοδυναμική ασχολείται με τις μακροσκοπικές

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντικη Θεωρια και Υπολογιστες

Κβαντικη Θεωρια και Υπολογιστες Κβαντικη Θεωρια και Υπολογιστες 2 Μαθηματικη Βαση της Κβαντικής Θεωρίας Κλασσικα και Κβαντικα Μαθηματικα Μοντελα Χειμερινο Εξαμηνο Iωαννης E. Aντωνιου Τμημα Μαθηματικων Aριστοτελειο Πανεπιστημιο 54124,

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz

Σύγχρονη Φυσική 1, Διάλεξη 4, Τμήμα Φυσικής, Παν/μιο Ιωαννίνων Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz 1 Η Αρχές της Ειδικής Θεωρίας της Σχετικότητας και οι μετασχηματισμοί του Lorentz Σκοποί της τέταρτης διάλεξης: 25.10.2011 Να κατανοηθούν οι αρχές με τις οποίες ο Albert Einstein θεμελίωσε την ειδική θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ

5 Σχετικιστική μάζα. Στο Σ Πριν Μετά. Στο Σ Α Τόγκας - ΑΜ333: Ειδική Θεωρία Σχετικότητας Σχετικιστική μάζα 5 Σχετικιστική μάζα Όπως έχουμε διαπιστώσει στην ειδική θεωρία της Σχετικότητας οι μετρήσεις των χωρικών και χρονικών αποστάσεων εξαρτώνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση

Κβαντομηχανική σε μία διάσταση vrsy of Io Dr of Mrls Scc & grg Couol Mrls Scc κή Θεωρία της Ύλης ιδάσκων: Λευτέρης Λοιδωρίκης Π 76 ldor@cc.uo.gr csl.rls.uo.gr/ldor σταση Μία ιάσ ανική σε Μ κή Θεωρ ρία της Ύλης: Κβα αντομηχα Κβαντομηχανική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Στροφορµή στην Κβαντική Μηχανική 1.1.1 Τροχιακή Στροφορµή Η Τροχιακή Στροφορµή στην Κβαντική

Διαβάστε περισσότερα

1. Στοιχεία κβαντικής μηχανικής

1. Στοιχεία κβαντικής μηχανικής . Στοιχεία κβαντικής μηχανικής Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό, παρουσιάζονται τα κβαντικά συστήματα δύο καταστάσεων, οι βασικές τους καταστάσεις και η έννοια της υπέρθεσης καταστάσεων. Δίνονται ορισμοί και παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q

p p 0 1 1 0 p q p q p q 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 p q Σημειώσεις του Μαθήματος Μ2422 Λογική Κώστας Σκανδάλης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2010 Εισαγωγή Η Λογική ασχολείται με τους νόμους ορθού συλλογισμού και μελετά τους κανόνες βάσει των οποίων

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Μοναδιαίοι Τελεστές Μοναδιαίοι Μετασχηματισμοί Εικόνες Χρονικής Εξέλιξης

Μοναδιαίοι Τελεστές Μοναδιαίοι Μετασχηματισμοί Εικόνες Χρονικής Εξέλιξης Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Τομέας Θεωρητικής Φυσικής Μοναδιαίοι Τελεστές Μοναδιαίοι Μετασχηματισμοί Εικόνες Χρονικής Εξέλιξης Στη Φυσική ενδιαφερόμαστε για την δυναμική εξέλιξη των διαφόρων συστημάτων. Καίριο

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια

Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς

Κεφάλαιο 1. Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς Κεφάλαιο 1 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 2 Κβαντική Μηχανική ΙΙ - Περιλήψεις, Α. Λαχανάς 1.1 Ατοµο του Υδρογόνου 1.1.1 Κατάστρωση του προβλήµατος Ας ϑεωρήσουµε πυρήνα ατοµικού αριθµού Z

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Κεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου

Διαβάστε περισσότερα

κλασσική περιγραφή Κλασσική στατιστική

κλασσική περιγραφή Κλασσική στατιστική Η κανονική κατανομή στη κλασσική περιγραφή Κλασσική στατιστική φυσική Βίγκα Ελένη (ttp://users.aut.gr/vinga) Στατιστική Φυσική Διαφάνεια o o Μια πολύ απλή περίπτωση για να ξεκινήσουμε είναι: Na θεωρήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5)

Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Κατηγορηματικός Λογισμός (ΗR Κεφάλαιο 2.1-2.5) Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Εισαγωγή στον Κατηγορηματικό Λογισμό Σύνταξη Κανόνες Συμπερασμού Σημασιολογία ΕΠΛ 412 Λογική στην

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανική του στερεού σώματος

Μηχανική του στερεού σώματος Κεφάλαιο 1 Μηχανική του στερεού σώματος 1.1 Εισαγωγή 1. Το θεώρημα του Chales Η γενική κίνηση του στερεού σώματος μπορεί να μελετηθεί με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος το οποίο δίνουμε χωρίς απόδειξη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

Μη Σχετικιστική Κβαντομηχανική

Μη Σχετικιστική Κβαντομηχανική Μη Σχετικιστική Κβαντομηχανική Υπενθυμίζουμε τη συνταγή που θέτει την εξίσωση Schrödger σε αντιστοιχία με τη μη-σχετικιστική σχέση ενέργειας-ορμής: p E () m μέσω της αντικατάστασης των E, p με διαφορικούς

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα

Περιεχόμενα. 1. Ειδικές συναρτήσεις. 2. Μιγαδικές Συναρτήσεις. 3. Η Έννοια του Τελεστή. Κεφάλαιο - Ενότητα Περιεχόμενα Κεφάλαιο - Ενότητα σελ 1. Ειδικές συναρτήσεις 1.0 Εισαγωγή 1.1 Εξίσωση του Laplace Συστήματα συντεταγμένων 1.2 Συνάρτηση δ του Dirac 1.3 Συνάρτηση του Heaviside 1.4 Οι συναρτήσεις Β, Γ και

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

Β:περιστροφή κατά 240 ο ως προς τον άξονα z ή περιστροφή κατά 120 ο ως προς τον z. M:περιστροφή κατά 180 ο ως προς την ΟΜ ( c 2

Β:περιστροφή κατά 240 ο ως προς τον άξονα z ή περιστροφή κατά 120 ο ως προς τον z. M:περιστροφή κατά 180 ο ως προς την ΟΜ ( c 2 I ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΜΑΔΑΣ ΠΑΡΑΔΕΙΜΑΤΑ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ I Ομάδες μετασχηματισμών συμμετρίας Όπως συνηθίζεται θα διαλέξουμε μια ομάδα συμμετρίας και θα εξετάσουμε όλες τις ιδιότητες στην συγκεκριμμένη ομάδα σε ολόκληρες

Διαβάστε περισσότερα

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις

Κανονικ ες ταλαντ ωσεις Κανονικες ταλαντωσεις Ειδαµε ηδη οτι φυσικα συστηµατα πλησιον ενος σηµειου ευαταθους ισορροπιας συ- µπεριφερονται οπως σωµατιδια που αλληλεπιδρουν µε γραµµικες δυναµεις επαναφορας οπως θα συνεαινε σε σωµατιδια

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β. ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΤΡΟΠΩΝ - ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ D.O. S Density Of States

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β. ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΤΡΟΠΩΝ - ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ D.O. S Density Of States ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΤΡΟΠΩΝ - ΠΥΚΝΟΤΗΤΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ D.O. S Density Of States Στατιστική Φυσική Διαφάνεια 1 DOS H DOS περιγράφει τον αριθμό των καταστάσεων που είναι προσιτές σε ένα σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

8. 1 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία

8. 1 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία 8. 1 Βαθμωτά και διανυσματικά πεδία Ας θεωρήσουμε τη συνάρτηση f : 2 Ø που έχει ως πεδίο ορισμού ολόκληρο το επίπεδο 2 και τύπο f Hx, yl = 2 xy. Επειδή τα στοιχεία του ονομάζονται και βαθμωτά, η παραπάνω

Διαβάστε περισσότερα

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ

1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Γουλιέλμος Μαρκόνι (1874-1937) (Ιταλός Φυσικός)

Γουλιέλμος Μαρκόνι (1874-1937) (Ιταλός Φυσικός) Γουλιέλμος Μαρκόνι (1874-1937) (Ιταλός Φυσικός) Υπήρξε εφευρέτης του πρώτου σήματος ασυρμάτου τηλεφώνου και εκμεταλλεύτηκε εμπορικά την εφεύρεση. Ίδρυσε το 1897 την Ανώνυμη Εταιρεία Ασυρμάτου Τηλεγράφου

Διαβάστε περισσότερα

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j

, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές

Στοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Ο κυματοσωματιδιακός δυισμός της ύλης

Κεφάλαιο 2. Ο κυματοσωματιδιακός δυισμός της ύλης ΤΕΤΥ Σύγχρονη Φυσική Κεφ. 2-1 Κεφάλαιο 2. Ο κυματοσωματιδιακός δυισμός της ύλης Εδάφια: 2.a. Η σύσταση των ατόμων 2.b. Ατομικά φάσματα 2.c. Η Θεωρία του Bohr 2.d. Η κυματική συμπεριφορά των σωμάτων: Υλικά

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ. Σχολή Θετικών Επιστημών. Τμήμα Μαθηματικών ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Μαθηματικών ΑΔΑ: ΒΙΥΗ469Β7Λ-ΨΞΚ Α.Π : 2223 HMEPOMHNIA : 05.06.2014 Θέμα : Συγκρότηση Ειδικής Επταμελούς Επιτροπής Επιλογής καθηγητή του Τμήματος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»

Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Δ Ακρίβης Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (πανεπιστημιακές παραδόσεις) ΙΩΑΝΝΙΝΑ, 2003 i Πρόλογος Η Γραμμική Άλγεβρα αποτελεί, μαζί με την Ανάλυση, το θεμέλιο των μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Κεφάλαιο 1. Μαθηματικό Υπόβαθρο 23, 26 Ιανουαρίου 2007 Δρ. Παπαδοπούλου Βίκη 1 1.1. Σύνολα Ορισμός : Σύνολο μια συλλογή από αντικείμενα Στοιχεία: Μέλη συνόλου Τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 6: Λογικές πύλες και λογικά κυκλώματα Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Λογικές πύλες Περιεχόμενα 1 Λογικές πύλες

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς

4 Πιθανότητες και Στοιχεία Στατιστικής για Μηχανικούς Πρόλογος Ο μηχανικός πρέπει να συνεχίσει να βελτιώνει την ποιότητα της δουλειάς του εάν επιθυμεί να είναι ανταγωνιστικός στην αγορά της χώρας του και γενικότερα της Ευρώπης. Μία σημαντική αναλογία σε αυτήν

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής

Στοιχεία Προτασιακής Λογικής Στοιχεία Προτασιακής Λογικής ιδάσκοντες: Φ. Αφράτη,. Φωτάκης,. Σούλιου Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματικές Προτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ

ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων

Διαβάστε περισσότερα

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ

ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ. Αλγ ε β ρ α. Γενικής Παιδειασ ΝΙΚΟΣ ΤΑΣΟΣ Αλγ ε β ρ α Β Λυ κ ε ί ο υ Γενικής Παιδειασ Α Τό μ ο ς 3η Εκ δ ο σ η Πρόλογος Το βιβλίο αυτό έχει σκοπό και στόχο αφενός μεν να βοηθήσει τους μαθητές της Β Λυκείου να κατανοήσουν καλύτερα την

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας.

Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 1. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Z είναι ανάγωγο επί του Q. Σωστό. 2. Κάθε πολυώνυμο ανάγωγο επί του Q είναι ανάγωγο επί

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης

Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ

ΤΟ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ 682 ΤΟ ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΟΥ ΑΤΟΜΟΥ Παπαχρήστου Βασίλειος Χημικός, MSc στη διδακτική της Χημείας vasipa@in.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Το παρόν CD-Rom αποτελείται από τέσσερις ενότητες: Η πρώτη ενότητα αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΗ ΠΕΔΙΑ

ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΗ ΠΕΔΙΑ 2 Ο ΣΥΝΕΔΡΙΟ ΣΤΗ ΣΥΡΟ ΤΠΕ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ 467 ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΟΜΟΓΕΝΗ ΠΕΔΙΑ Βαρυπάτη Αθηνά Φυσικός- Επιμορφώτρια Τ.Π.Ε. avarypat@de.sch.gr Μαστραλέξης Δημήτρης Φυσικός-Επιμορφωτής Τ.Π.Ε. dmastral@de.sch.gr

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ιατηρητικές δυνάµεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ιατηρητικές δυνάµεις Στο υποκεφάλαιο.4 είδαµε ότι, για µονοδιάστατες κινήσεις στον άξονα x, όλες οι δυνάµεις της µορφής F F(x) είναι διατηρητικές. Για κίνηση λοιπόν στις τρεις διαστάσεις, µπορούµε

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o? ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο

Διαβάστε περισσότερα