ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 104 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 127 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 400 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

Transcript

1 ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 104 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 127 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ 400 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ )

3 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραµµικά συστήµατα ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Μη Γραµµικά Συστήµατα ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Μονοτονία-Ακρότατα-Συµµετρίες Συνάρτησης ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καµπύλης ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ

4 3.3 Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Τριγωνοµετρικές εξισώσεις ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Τριγωνοµετρικές ταυτότητες αθροίσµατος και διαφοράς 2 γωνιών ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Τριγωνοµετρικές ταυτότητες 2πλάσιου τόξου ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Πολυώνυµα ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ιαίρεση πολυωνύµων ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Πολυωνυµικές εξισώσεις και ανισώσεις ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυµικές ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εκθετική Συνάρτηση ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ

5 5.2 Λογάριθµοι ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Λογαριθµική Συνάρτηση ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Βιβλιογραφία Βιβλιογραφία Βιβλία 191 Βιβλία Ιστοσελίδες 191 Ιστοσελίδες 191

6

7 Γραµµικά συστήµατα ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Μη Γραµµικά Συστήµατα ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Γραµµικά συστήµατα ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.1 Τι ονοµάζουµε γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους και τι ονοµάζουµε λύση της ; Κάθε εξίσωση της µορφής αx + βy = γ λέγεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. Λύση της ονοµάζουµε κάθε Ϲεύγος πραγµατικών (x, y) που την επαληθεύει. Ερώτηση 1.2 Τι παριστάνει γραφικά η εξίσωση y = κ; Η εξίσωση y = κ παριστάνει γραφικά µία ευθεία παράλληλη στον άξονα x0 x και η οποία διέρχεται από το σηµείο A(0, κ) Σχήµα 1.1: y = κ Ερώτηση 1.3 Τι παριστάνει γραφικά η εξίσωση x = κ; Η εξίσωση x = κ παριστάνει γραφικά µία ευθεία παράλληλη στον άξονα y 0 y και η οποία διέρχεται από το σηµείο A(κ, 0) Ρ Προσοχή : Η ευθεία x = κ δεν είναι γραφική παράσταση συνάρτησης.

8 Σχήµα 1.2: x = κ Ερώτηση 1.4 είξτε ότι η γραµµική εξίσωση αx + βy = γ µε α 0 ή β 0 παριστάνει ευθεία. ιακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις : i. Εστω β 0 και α = 0. Τότε έχουµε : αx + βy = γ 0x + βy = γ βy = γ y = γ β που παριστάνει ευθεία παράλληλη στον άξονα x x και διέρχεται από το σηµείο A(0, γ β ). ii. Εστω β 0 και α 0. Τότε έχουµε : αx+βy = γ βy = αx+γ y = α β x+ γ β που παριστάνει ευθεία. iii. Εστω β = 0 και α 0. Τότε έχουµε : αx + βy = γ αx = γ x = γ α που παριστάνει ευθεία παράλληλη στον x x και διέρχεται από το σηµείο A( γ α, 0). Ερώτηση 1.5 Τι ονοµάζουµε σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους ; Σύστηµα { δυο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους ονοµάζεται κάθε σύστηµα της µορα1 x + β 1 y = γ 1 ϕής : α 2 x + β 2 y = γ 2 Ερώτηση 1.6 Τι ονοµάζουµε λύση ενός συστήµατος και τι επίλυση ενός συστήµατος ; Λύση ενός συστήµατος ονοµάζεται κάθε Ϲεύγος (x, y) πραγµατικών αριθµών που επαλη- ϑεύει και τις δυο εξισώσεις. Επίλυση ενός συστήµατος ονοµάζεται η διαδικασία εύρεσης του συνόλου των λύσεων του συστήµατος. Ερώτηση 1.7 Τι σηµαίνει κάνουµε επαλήθευση του συστήµατος ; Η µοναδική λύση ενός γραµµικού συστήµατος δυο εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι το σηµείο τοµής των δύο ευθειών που παριστάνουν οι δυο εξισώσεις του συστήµατος. Ερώτηση 1.8 Με ποιες µεθόδους µπορεί να λυθεί ένα σύστηµα δύο γραµµικών εξισώσεων µε δύο αγνώστους ; Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 8

9 Μπορεί να λυθεί µε τις εξής µεθόδους : i. Μέθοδος της αντικατάστασης. ii. Μέθοδος των αντίθετων συντελεστών. iii. Μέθοδος των οριζουσών. iv. Γραφική επίλυση Ερώτηση 1.9 Πότε ένα σύστηµα λέγεται αδύνατο και πώς ερµηνεύεται γεωµετρικά ; Ενα σύστηµα λέγεται αδύνατο όταν δεν υπάρχουν τιµές των x, y που να το επαληθεύουν. Οταν ένα σύστηµα είναι αδύνατο, γεωµετρικά σηµαίνει ότι οι δύο ευθείες που παριστάνουν οι δύο εξισώσεις του συστήµατος είναι µεταξύ τους παράλληλες. Σχήµα 1.3: Αδύνατο σύστηµα Ερώτηση 1.10 Πότε ένα σύστηµα έχει άπειρες λύσεις (είναι αόριστο) και πώς ερµηνεύεται γεωµετρικά ; Ενα σύστηµα έχει άπειρες λύσεις (είναι αόριστο), όταν υπάρχουν άπειρα Ϲεύγη (x, y) που το επαληθεύουν. Οταν ένα σύστηµα έχει άπειρες λύσεις, γεωµετρικά σηµαίνει ότι οι δύο ευθείες που παριστάνουν οι δύο εξισώσεις του συστήµατος συµπίπτουν. Σχήµα 1.4: Αόριστο σύστηµα Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 9

10 Ερώτηση 1.11 Πότε δύο συστήµατα λέγονται ισοδύναµα ; ύο συστήµατα λέγονται ισοδύναµα όταν έχουν ακριβώς τις ίδιες λύσεις.. Πώς ορίζονται οι ορίζου- Ερώτηση 1.12 Εστω το γραµµικό σύστηµα σες D, D x, D y ; { α1 x + β 1 y = γ 1 α 2 x + β 2 y = γ 2 Εστω το σύστηµα { α1 x + β 1 y = γ 1 α 2 x + β 2 y = γ 2. Τότε ορίζουµε τις ορίζουσες : i. D = α 1 β 1 α 2 β 2 = α 1 β 2 α 2 β 1 ii. D x = γ 1 β 1 γ 2 β 2 =γ 1 β 2 γ 2 β 1 iii. D y = α 1 γ 1 α 2 γ 2 = α 1 γ 2 α 2 γ 1 Ερώτηση 1.13 Πώς γίνεται η επίλυση του γραµµικού συστήµατος µε τη ϐοήθεια των οριζουσών ; Για το γραµµικό σύστηµα { α1 x + β 1 y = γ 1 α 2 x + β 2 y = γ 2 ισχύει : i. Αν D 0, έχει µοναδική λύση, την (x, y) µε x = D x D και y = D y D. ii. Αν D = 0, είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Ερώτηση 1.14 Τι ονοµάζουµε γραµµική εξίσωση µε τρεις αγνώστους και τι ονοµάζουµε λύση της ; Μία εξίσωση της µορφής αx + βy + γz = 0, µε έναν τουλάχιστον από τους συντελεστές α, β, γ διάφορο του µηδενός, λέγεται γραµµική εξίσωση µε τρεις αγνώστους. Λύση µιας γραµµικής εξίσωσης µε τρεις αγνώστους λέγεται κάθε τριάδα αριθµών που την επαληθεύει. Ερώτηση 1.15 Τι ονοµάζουµε γραµµικό σύστηµα τριών εξισώσεων µε τρεις αγνώστους ; Σύστηµα τριών γραµµικών εξισώσεων µε τρεις αγνώστους ονοµάζεται κάθε σύστηµα της α 1 x + β 1 y + γ 1 z = δ 1 µορφής : α 2 x + β 2 y + γ 2 z = δ 2 α 3 x + β 3 y + γ 4 z = δ 3 Ερώτηση 1.16 Τι λύσεις µπορεί να έχει ένα γραµµικό σύστηµα τριών εξισώσεων µε τρεις αγνώστους ; Επειδή η επίλυση ενός γραµµικού συστήµατος 3x3, όπως είδαµε παραπάνω, ανάγεται στην επίλυση ενός γραµµικού συστήµατος 2x2, προκύπτει ότι και ένα γραµµικό σύστηµα 3x3 ή έχει µοναδική λύση ή είναι αδύνατο ή έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 10

11 1.1.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ Μεθοδολογία 1.1 Επίλυση συστήµατος µε τη µέθοδο της αντικατάστασης. Η µέθοδος της αντικατάστασης περιλαµβάνει τα εξής ϐήµατα : αʹ) Λύνουµε την µια εξίσωση ως προς έναν άγνωστο (συνήθως αυτόν που έχει τον µικρότερο συντελεστή κατά απόλυτη τιµή) και την τιµή του αυτή την αντικαθιστούµε στην άλλη εξίσωση. ϐʹ) Λύνουµε την εξίσωση αυτή και την λύση της την αντικαθιστούµε στην προηγούµενη εξίσωση οπότε ϐρίσκουµε και τον άλλον άγνωστο. Θέµα 1.1 Να λύσετε το σύστηµα : { x 2y = 6 3x + 4y = 8 { { x 2y = 6 x = 2y + 6 Λύση 1.1 Είναι : 3x + 4y = 8 3x + 4y = 8 { { x = 2y + 6 x = 2y + 6 6y y = 8 6y + 4y = 8 18 { { { x = 2y + 6 x = 2( 1) + 6 x = y = 1 y = 1 y = 1 Εποµένως το σύστηµα έχει λύση (x, y) = (4, 1). { x = 2y + 6 3(2y + 6) + 4y = 8 { x = 2y y = 10 { x = 4 y = 1 { x = 2y + 6 y = Μεθοδολογία 1.2 Επίλυση συστήµατος µε τη µέθοδο αντίθετων συντελεστών. Η µέθοδος των αντίθετων συντελεστών περιλαµβάνει τα εξής ϐήµατα : i. Βρίσκουµε το Ε.Κ.Π. των απολύτων τιµών των συντελεστών ενός αγνώστου των εξισώσεων. Προτιµούµε τον άγνωστο µε το µικρότερο Ε.Κ.Π. ii. Πολλαπλασιάζουµε τα µέλη κάθε εξίσωσης µε εκείνον τον αριθµό ώστε να εµφανιστεί σαν συντελεστής της µεταβλητής το Ε.Κ.Π. και µε κατάλληλο πρόσηµο ώστε οι συντελεστές να είναι αντίθετοι. iii. Προσθέτουµε κατά µέλη τις εξισώσεις και προκύπτει µια εξίσωση µε έναν άγνωστο. iv. Λύνουµε την εξίσωση αυτή και την λύση της την αντικαθιστούµε στην προηγούµενη εξίσωση οπότε ϐρίσκουµε και τον άλλον άγνωστο. Θέµα 1.2 Να λύσετε το σύστηµα : { x 2y = 6 3x + 4y = 8 { { x 2y = 6 2 2x 4y = 12 Λύση 1.2 Είναι : 3x + 4y = 8 3x + 4y = 8 { { { 2x 4y + 3x + 4y = x = 20 x 2y = 6 x 2y = 6 { { { x = 4 x = 4 x = 4 4 2y = 6 2y = 6 4 y = 1 Εποµένως το σύστηµα έχει λύση (x, y) = (4, 1). x = 20 5 x 2y = 6 { x = 4 x 2y = 6 Μεθοδολογία 1.3 Επίλυση συστήµατος µε τη µέθοδο των οριζουσών. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 11

12 Η µέθοδος των οριζουσών περιλαµβάνει { τα εξής ϐήµατα : α1 x + β 1 y = γ 1 i. Φέρνουµε το σύστηµα στη µορφή α 2 x + β 2 y = γ 2 ii. Υπολογίζουµε την ορίζουσα D iii. Αν D 0 τότε υπολογίζουµε τις ορίζουσες D x, D y. Το σύστηµα έχει έχει µοναδική λύση, την (x, y) µε x = D x D και y = D y D. iv. Αν D = 0 τότε πολλαπλασιάζουµε (ή διαιρούµε) τις δύο εξισώσεις µε κατάλληλους αριθµούς ώστε τα πρώτα µέλη τους να είναι ίσα. Αν τα δεύτερα µέλη διαφέρουν τότε το σύστηµα είναι αδύνατο, διαφορετικά έχει άπειρες λύσεις. Θέµα 1.3 Να λύσετε το σύστηµα : { x 2y = 6 3x + 4y = 8 Λύση 1.3 Το σύστηµα έχει ορίζουσα : D = οπότε έχει µοναδική λύση. Εχουµε : = ( 2) = = 10 0, D x = 6 2 = ( 2) = = και D y = 1 6 = = 8 18 = Ετσι, x = D x D = = 4 και y = D y D = = 1. Εποµένως το σύστηµα έχει λύση (x, y) = (4, 1). Θέµα 1.4 Να λύσετε το σύστηµα : { 2x 3y = 40 4x + 6y = 80 Λύση 1.4 Το σύστηµα έχει ορίζουσα : D = 2 3 = 2 6 ( 4) ( 3) = = 0, 4 6 άρα το σύστηµα είναι αδύνατο { ή µε άπειρες λύσεις. Αν διαιρέσουµε την δεύτερη εξίσωση 2x 3y = 40 µε το 2 το σύστηµα γίνεται : 2x 3y = 40 δηλαδή έχει µόνο µία εξίσωση, την 2x 3y = 40. Λύνουµε την εξίσωση ως προς µία µεταβλητή και έχουµε 2x 3y = 40 2x = 40+3y y x =. 2 Άρα το σύστηµα έχει άπειρες λύσεις της µορφής (x, y) = ( κ, κ), κ R. 2 Θέµα 1.5 Να λύσετε το σύστηµα : { 2x 3y = 40 4x + 6y = 100 Λύση 1.5 Το σύστηµα έχει ορίζουσα : D = = 2 6 ( 4) ( 3) = = 0, Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 12

13 άρα το σύστηµα είναι αδύνατο ή µε άπειρες λύσεις. Αν διαιρέσουµε την δεύτερη εξίσωση µε το 2 το σύστηµα γίνεται : { 2x 3y = 40 2x 3y = 50 που είναι προφανώς αδύνατο. Μεθοδολογία 1.4 ιερεύνηση γραµµικού συστήµατος 2Χ2. Βρίσκουµε τις ορίζουσες D, D x, D y και τις αναλύουµε σε γινόµενο πρώτων παραγόντων. ιακρίνουµε τις παρακάτω περιπτώσεις : i. Αν D 0 (ϐρίσκουµε τις τιµές τις παραµέτρου για τις οποίες D 0) τότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση την : x = D x D και y = D y D. ii. Αν D = 0, τότε κάνουµε αντικατάσταση στο σύστηµα κάθε µία από τις τιµές της παραµέτρου για τις οποίες µηδενίζεται η ορίζουσα και εξετάζουµε αν το σύστηµα είναι αδύνατο ή έχει άπειρες λύσεις. Θέµα 1.6 Να λύσετε το σύστηµα { λx + y = λ x + λy = λ + 2 Λύση 1.6 Υπολογίζουµε τις ορίζουσες : D = λ 1 1 λ = λ2 1 = (λ 1)(λ + 1). D x = λ 1 λ + 2 λ = λ2 λ 2 = (λ + 1)(λ 2). D y = λ λ 1 λ + 2 = λ(λ + 2) λ = λ2 + 2λ λ = λ 2 + λ = λ(λ + 1). ιακρίνουµε τις περιπτώσεις : 1. Αν D 0 (λ 1)(λ + 1) λ 1 0 και λ λ 1 και λ 1, τότε το σύστηµα έχει µοναδική λύση : x = D x (λ + 1)(λ 2) = D (λ 1)(λ + 1) = λ 2 λ 1 και y = D y D = λ(λ + 1) (λ 1)(λ + 1) = λ λ Αν D 0 λ = 1 ή λ = 1, τότε για : i. λ { = 1 το σύστηµα γίνεται { : 1x + y = 1 x + y = 1 x + 1y = που είναι αδύνατο. x + y = 3 ii. λ { = 1 το σύστηµα γίνεται { : 1x + y = 1 x y = 1 x 1y = 1 2 x y = 1 x y = 1 x = y + 1 που έχει άπειρες λύσεις της µορφής (x, y) = (κ + 1, κ) κ R. Μεθοδολογία 1.5 Επίλυση συστήµατος γραµµικών εξισώσεων µε περισσότερους α- πό δύο αγνώστους. Για να λύσουµε ένα γραµµικό σύστηµα µε περισσότερους από δύο αγνώστους χρησι- Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 13

14 µοποιούµε µεθόδους ανάλογες µε τις µεθόδους που χρησιµοποιήσαµε για την επίλυση ενός γραµµικού συστήµατος 2x2, δηλαδή την µέθοδο της αντικατάστασης ή την µέθοδο των αντίθετων συντελεστών. 2x y + 3z = 9 (1) Θέµα 1.7 Να λυθεί το σύστηµα x + 3y z = 10 (2) 3x + y z = 8 (3) Λύση 1.7 i. Με τη µέθοδο της αντικατάστασης Λύνουµε την εξίσωση (2) ως προς x και κάνουµε αντικατάσταση στις εξισώσεις (1) και (3). 2x y + 3z = 9 2( 3y + z + 10) y + 3z = 9 x = 3y + z + 10 x = 3y + z x + y z = 8 3( 3y + z + 10) + y z = 8 6y + 2z + 20 y + 3z = 9 x = 3y + z y + 3z y z = 8 7y + 5z + 20 = 29 x = 3y + z y + 2z = 22 7y + 5z = 11 2 x = 3y + z y + 2z = 22 ( 5) 14y + 10z = 58 x = 3y + z y 10z = y + 10z + 40y 10z = x = 3y + z y 10z = 110 y = 2 x = z z = 110 y = 2 x = 6 + ( 3) + 10 z = 3 y = 2 x = 6 + z z = 110 y = 2 x = 1 z = 3 26y = 52 x = 3y + z y 10z = 110 Άρα η λύση του αρχικού συστήµατος είναι η τριάδα (x, y, z) = (1, 2, 3). ii. Με τη µέθοδο των αντίθετων συντελεστών Θα κάνουµε απαλοιφή του z από τις εξισώσεις (2), (3). Ετσι έχουµε : 2x y + 3z = 9 x + 3y z = x + y z = 8 3 2x y + 3z = 9 3x + 9y 3z = 30 9x + 3y 3z = 24 Προσθέτουµε την (1) εξίσωση στις άλλες δυο και το σύστηµα γίνεται : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 14

15 2x y + 3z = 9 5x + 8y = 21 11x + 2y = 15 2x y + 3z = 9 5x + 8y = 21 11x + 2y = 15 2x y + 3z = 9 5x + 8y = 21 44x 8y = 60 2x y + 3z = 9 5x + 8y = 21 39x = y + 3z = y = 21 x = 1 2 y + 3z = y = 21 x = z = 9 y = 2 x = 1 z = 1 y = 2 x = 1 ( 4) Άρα η λύση του αρχικού συστήµατος είναι η τριάδα (x, y, z) = (1, 2, 3). Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 15

16 1.1.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. ίνεται η εξίσωση : 2x + 3y = 7 i. Να εξετάσετε αν τα Ϲεύγη (1, 2), (3, 1), (7, 6) είναι λύσεις της εξίσωσης. ii. Να ϐρεθούν τα (α, β) R για να είναι λύσεις της εξίσωσης τα Ϲεύγη (α, 2), (1, β). iii. Να ϐρείτε τις λύσεις της εξίσωσης. 2. Ποια από τα Ϲεύγη είναι λύσεις της αντίστοιχης εξίσωσης; i. x 3y = 1 µε (4, 1), (0, 1). ii. x 3 + y = 3 µε (1, 1), (0, 4). 3. Να λυθούν { τα συστήµατα γραφικά { και µε τη µέθοδο της{ αντικατάστασης : 2x y = 6 2x 3y = 1 3x + 4y = 7 i. ii. iii. x + y = 3 5x + 4y = 37 2x 3y = 1 4. Να λυθούν { τα συστήµατα µε τη { µέθοδο των αντίθετων συντελεστών { : 2x y = 1 2x y = 1 3x 4y = 7 i. ii. iii. 3x + y = 7 4x + 2y = 3 9x + 6y = 6 5. Να λυθούν τα συστήµατα : { x 2y 2x + y = 2 i (x + y) 3(x y) = 2(3 x + y) 3x { 5x + 3y 1 = 4(x 1) y ii (x 2) 5(y 4) = 0 6. Να προσδιορίσετε τα α, β R ώστε η ευθεία µε εξίσωση αx+βy = 5 να διέρχεται από τα σηµεία A(1, 2) και B( 1, 3) 7. Να προσδιορίσετε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία A(3, 2) και B( 4, 2) 8. Να δείξετε ότι οι τρεις παρακάτω ευθείες διέρχονται από το ίδιο σηµείο. (ɛ 1 ) : 2x + 3y = 7, (ɛ 2 ) : x + y = 4, (ɛ 3 ) : 7x 11y = Το άθροισµα των ψηφίων ενός διψήφιου αριθµού είναι 3. Αν εναλλάξουµε τη ϑέση των ψηφίων του, παίρνουµε αριθµό µικρότερο του αρχικού κατά 9. Να ϐρεθεί ο αριθµός αυτός. 10. Να προσδιοριστεί η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία A(3, 2) και B(4, 5). Αν το σηµείο M(3, λ + 2 ) ανήκει στην ευθεία αυτή, να ϐρεθεί ο λ R. 11. ύο µαθητές Α και Β ϱωτούν τον καθηγητή της τάξης τους στο τέλος του τριµήνου για τον αριθµό των απουσιών τους και παίρνουν την απάντηση : «Ο λόγος των 5 απουσιών του Α προς του Β είναι 11, ενώ πριν τις τελευταίες 4 απουσίες ήταν 2 5. Πόσες απουσίες είχε ο κάθε µαθητής 12. Να υπολογίσετε δύο αριθµούς που έχουν άθροισµα 24 και η διαίρεση του µεγαλύτε- ϱου µε τον µικρότερο δίνει πηλίκο 2 και υπόλοιπο Ρωτήθηκε κάποιος χωρικός πόσα Ϲώα είχε και απάντησε : «Τα Ϲώα µου είναι πουλερικά και κουνέλια. Αν µετρήσεις κεφάλια τα ϐρίσκεις 48 και αν µετρήσεις πόδια, τα ϐρίσκεις 130». Πόσα πουλερικά και πόσα κουνέλια έχει ο χωρικός 14. Να λυθεί η εξίσωση 3x + 2y 12 = 0 + 4x 3y + 1 = Να λυθεί η εξίσωση (2x + 3y 2) 2 + (x + 2y + 3) 2 = Να λύσετε τις εξισώσεις : x + 3 x 1 i. x 2 1 x = 0 ii. x 1 = 0 1 x x + 1 x iii. 2x 1 = 0 iv. x 1 1 x x x 1 = x 3 1 x 17. Υπολογίστε τις ορίζουσες : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 16

17 i. D 1 = x + 3 x 1 x 2 1 x ii. D 2 = α β α2 αβ iii. D 3 = x + y x y x 2 y 2 x 2 + y 2 1 x 2 y 18. είξτε ότι η ευθεία (ɛ 1 ) : είναι κάθετη στην ευθεία 3 x 1 y 2 4 (ɛ 2 ) : 1 3 x 5 = y. 19. Να προσδιορίσετε { το πλήθος{ λύσεων των συστηµάτων, χωρίς { να τα λύσετε : x 3y = 1 λx + 2y = λ + 1 5x 2y = 1 i. ii. iii. 2x + y = 4 3x λy = λ 10x + 4y = Να λυθούν { και να διερευνηθούν τα { συστήµατα : x λy = 1 3x + 2y = 5 i. ii. iii. λx + 3λy = 3λ + 3 λx + y = Να λυθούν { και να διερευνηθούν { τα συστήµατα : (λ 1)x y = 4λ 4x + µy = 9 i. ii. iii. xλ 2y = 4 2µx + 18y = 27 { (µ 1)x + 4y = µ (µ 1)x + µ 2 y = 2 { xλ + y = 5 x + λy = 5 { { λx y = λ 2 (λ + 1)x 2y = λ iv. x λy = λ 4 v. λx λy = 2λ Να προσδιοριστεί ο λ R ώστε τα συστήµατα να έχουν : α) καµία λύση, ϐ) άπειρες λύσεις; { { x 4y = λ + 1 4x + λy = 9 i. ii. 3x + 12y = 5 2λx + 18y = Να διερευνηθούν και να λυθούν τα συστήµατα : i. { λx y = µ x + y = 1 ii. { λx + y = 2µ + 1 2x + y = 2λ µ { { λx + y = µ + 1 λx + µy = 1 iii. iv. x + λy = 2µ + 3 µx + λy = λ + µ 24. Να ϐρεθούν { τα λ, µ R, ώστε { να είναι αόριστα τα συστήµατα { : λx + yµ = 1 xλ + µx = x + y (λ + 1)x µy = 4 i. ii. iii. x 2y = 2 x + 3y = 1 (µ 1)x + (λ + 2)y = { Να ϐρεθούν οι τιµές του λ R ώστε το σύστηµα να είναι αδύνατο : (λ + 3)x + (λ 1)y = 2λ + 1 (λ 2)x (λ 1)y = 3λ Να ϐρεθούν { οι τιµές του λ{ R ώστε τα συστήµατα να είναι αδύνατα : x yλ = λ (λ 2)x yλ = 2 i. λx y = λ 2 ii. 4x + (λ + 3)y = Να ϐρεθούν { οι τιµές του λ R για τις{ οποίες τα συστήµατα είναι συγχρόνως αδύνατα : (2λ 1)x + 10yµ = 3 (λ 2)x (µ + 1)y = 7 i. ii. 2x + 4y = 5 3x 6y = Να ϐρεθούν { οι τιµές του λ R για{ τις οποίες τα συστήµατα είναι συγχρόνως αδύνατα : (λ 1)x yλ = 2 x + 3y = 1 i. ii. xλ + y = 0 x + yλ = ίνονται { τα συστήµατα : { (α + 1)x yβ = 1 x + (β + 2)y = α i. ii. x + y = 1 x (α 1)y = β 2 Να δειχθεί ότι αν το πρώτο είναι αόριστο, το δεύτερο είναι αδύνατο. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 17

18 30. ίνεται η συνάρτηση : f(x) = αx + 2. Να ϐρείτε τα α, β R, ώστε να ισχύει : β + x f(0) = 1, f(4) = 3. 2x + y = λ ίνεται το σύστηµα 3x 2y + λ = 5 i. Να αποδείξετε ότι το σύστηµα έχει λύση για κάθε λ R ii. Να υπολογίσετε τα x, y iii. Για ποια τιµή του λ η λύση (x, y) που ϐρήκατε επαληθεύει την σχέση x + y = 5; 32. ίνονται οι ευθείες (ɛ 1 ) : x 2y = 2, (ɛ 2 ) : λx 2y = 2 i. Να ϐρείτε τις σχετικές ϑέσεις των (ɛ 1 ), (ɛ 2 ) για τις διάφορες τιµές του λ R ii. Να ϐρείτε το λ ώστε οι ευθείες να τέµνονται κάθετα iii. Για το λ να υπολογίσετε το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζετε από τις ευθείες και τον{ xx (λ + 2)x 3y = 2λ ίνεται το σύστηµα Αφού δείξετε ότι έχει µοναδική λύση x + yλ = 3 την (x 0, y 0 ), να ϐρεθεί { ο λ R, ώστε : x 0 + 3y 0 = 7. µ 2 x + yµ = ίνεται το σύστηµα x + yµ = µ i. Για ποια τιµή του µ R, το σύστηµα έχει µοναδική λύση την (x 0, y 0 ); ii. Να ϐρεθεί ο µ R ώστε, για την µοναδική λύση να ισχύει : 2x 0 + 3y 0 = 3. αx + y = ίνεται το σύστηµα α R. x + (1 α)y = 0 Να ϐρείτε τον α ώστε το σύστηµα να έχει µοναδική λύση x o, y o για την οποία ισχύει x o < y o + 1 { xλ + y = Οταν η εξίσωση : (4λ 2 9)x = 2λ 3 είναι αόριστη, δείξτε ότι το σύστηµα 3x + 2y = 2 έχει άπειρες λύσεις και να τις ϐρείτε. 37. είξτε ότι { η εξίσωση : λ(xλ 1) = x + 1, είναι αδύνατη, όταν και µόνο όταν το x + 3yλ = y σύστηµα είναι αδύνατο. x + 2y = λ Σ ένα γραµµικό σύστηµα 2x2 ισχύει D x + D y = 9D D x D y = 5D αν το σύστηµα έχει µοναδική λύση να την ϐρείτε. 39. Σ ένα γραµµικό σύστηµα 2x2 ισχύει D x + D y = 7D D x D y = 5D αν το σύστηµα έχει µοναδική λύση να την ϐρείτε. 40. Σ ένα γραµµικό σύστηµα 2x2 ισχύει 2D x + 3D y = D 4D + 7D = 11D Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 18

19 αν το σύστηµα έχει µοναδική λύση να την ϐρείτε. 41. Σ ένα γραµµικό σύστηµα 2x2 ισχύει D 2 + D 2 x + D 2 y = 2D 6D x + 4D y 14 να το λύσετε. 42. Σ ένα γραµµικό σύστηµα 2x2 µε µοναδική λύση x o, y o ισχύει D = D x + 3D y Να αποδείξετε ότι : i. x o + 3y o = 1 ii. x 2 o 9yo 2 = D x 3D y D 43. Σ ένα γραµµικό σύστηµα 2x2 ισχύει : Dx 2 + Dy 2 + D 2(D x + 2D) i. Να αποδείξετε ότι το σύστηµα έχει µοναδική λύση ii. Να ϐρείτε τη µοναδική λύση x + y = ίνεται το σύστηµα : x 2y = µ i. Να αποδείξετε ότι έχει µοναδική λύση για κάθε τιµή του µ ii. Να ϐρείτε τη µοναδική λύση (x o, y o ) iii. Να ϐρείτε τις τιµές του µ για τις οποίες ισχύει : (x o + 2) 2 + (y o 1) 2 < 8 (λ 1)x + 2λy = ίνεται το σύστηµα 2λx + (λ 1)y = λ 1 Αν η εξίσωση x 2 + 5(D 1)x 6(D 1) 2 = 0 έχει µια διπλή ϱίζα i. Να ϐρείτε το λ ii. Να λύσετε το σύστηµα 2x + 3y ω = Να λυθεί το σύστηµα : x + 5y + 2ω = 3 3x 4y + 5ω = 25 x 2y + 3ω = Να λυθεί το σύστηµα : 2x 3y ω = Να λυθεί το σύστηµα : 49. Να λυθεί το σύστηµα : 50. Να λυθεί το σύστηµα : 51. Να λυθεί το σύστηµα : 3x 5y + 2ω = 0 x + y = 1 y + ω = 2 ω + x = 7 x + y ω = 5 12x 2y + 9ω = 60 4x + 3y ω = 18 2x + 6y + ω = 18 x + 2y + 3ω = 14 3x + 8y + 4ω = 20 x y + ω = 5 2x y ω = 11 x 3y + 7ω = 3 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 19

20 52. Να λυθεί το σύστηµα : 53. Να λυθεί το σύστηµα : x 2y + 3ω = 5 2x + 4y 4ω = 10 3x 6y + 9ω = 15 2x 3y + ω = 1 x y + 3ω = 8 3x + 2y + 5ω = 16 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 20

21 1.2 Μη Γραµµικά Συστήµατα ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 1.17 Τι ονοµάζουµε µη γραµµικό σύστηµα ; Μη γραµµικό σύστηµα λέγεται εκείνο το σύστηµα όπου τουλάχιστον µία εξίσωση είναι µη γραµµική. Μεθοδολογία 1.6 Τα µη γραµµικά συστήµατα, συνήθως, λύνονται µε τη µέθοδο της αντικατάστασης ή µε αλλαγή µεταβλητής Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 21

22 1.2.2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να λυθούν { τα µη γραµµικά συστήµατα { : x + 2y = 3 x 2y = 5 i. ii. x(y 1) = 0 (x 3)(x 5) = 0 { { 2x + y = 5 xy + x + y + 1 = 0 iii. x 2 y 2 iv. = 0 x + 2y = 2 2. Να λυθούν µε µετασχηµατισµό τα συστήµατα : i. iii. 2 x + 3 y = 9 1 x 2 y = 1 { 3(x + y) 2(x y) = 13 2(x + y) + 3(x y) = Να λυθούν { τα συστήµατα 8x 2 y 2 = 16 i. y = 2x ii. ii. iv. 3 x + 7 y = 4 { x 2 2xy + y 2 = 1 x 2y = 2 1 x + 2 y = 1 4 x + y 5 x y = 3 5 x + y 4 x y = 6 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 22

23 Μονοτονία-Ακρότατα-Συµµετρίες Συνάρτησης ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καµπύλης ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 2. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Μονοτονία-Ακρότατα-Συµµετρίες Συνάρτησης ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 2.1 Πότε µια συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα ; Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε x1, x2 µε x1 < x2 ισχύει : f (x1 ) < f (x2 ) Για παράδειγµα, παρατηρούµε ότι στο διάστηµα [4,16] η γραφική παράσταση της ϑερµοκρασίας ανέρχεται. Σχήµα 2.1: Γνησίως αύξουσα Ερώτηση 2.2 Πότε µια συνάρτηση λέγεται γνησίως ϕθίνουσα σε ένα διάστηµα ; Μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως ϕθίνουσα σε ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, όταν για οποιαδήποτε x1, x2 µε x1 < x2 ισχύει : f (x1 ) > f (x2 )

24 Για παράδειγµα, παρατηρούµε επιπλέον ότι στο διάστηµα [16,24] η γραφική παράσταση της ϑερµοκρασίας κατέρχεται. Σχήµα 2.2: Γνησίως ϕθίνουσα Ερώτηση 2.3 Πότε µια συνάρτηση λέγεται γνησίως µονότονη σε ένα διάστηµα ; Μια συνάρτηση που είναι είτε γνησίως αύξουσα είτε γνησίως ϕθίνουσα σε ένα διάστηµα λέγεται γνησίως µονότονη στο. Ερώτηση 2.4 Πότε µια συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο σε ένα σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της ; Μια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο A, λέµε ότι παρουσιάζει στο x 0 A (ολικό) ελάχιστο όταν : f(x 0 ) f(x) για κάθε x A. Το x 0 A λέγεται ϑέση ελαχίστου, ενώ το f(x 0 ) ολικό ελάχιστο ή απλώς ελάχιστο της συνάρτησης ϕ και το συµβολίζουµε µε minf(x). Σχήµα 2.3: Ακρότατα Ερώτηση 2.5 Πότε µια συνάρτηση παρουσιάζει µέγιστο σε ένα σηµείο x 0 του πεδίου ορισµού της ; Μια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο A, λέµε ότι παρουσιάζει στο x 0 A (ολικό) µέγιστο όταν : f(x 0 ) f(x) για κάθε x A. Το x 0 A λέγεται ϑέση µεγίστου, ενώ το f(x 0 ) ολικό µέγιστο ή απλώς µέγιστο της συνάρτησης f και το συµβολίζουµε µε maxf(x). Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 24

25 Ερώτηση 2.6 Τι ονοµάζουµε ακρότατα µιας συνάρτησης ; Το ολικό µέγιστο και το ολικό ελάχιστο µιας συνάρτησης λέγονται ολικά ακρότατα αυτής. Ερώτηση 2.7 Πότε µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού Α λέγεται άρτια ; Τι ισχύει για την γραφική παράσταση µιας άρτιας συνάρτησης ; Μια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο Α ϑα λέγεται άρτια, όταν για κάθε x A ισχύει : x A και f( x) = f(x). Η γραφική παράσταση µιας άρτιας συνάρτησης έχει άξονα συµµετρίας τον άξονα y y. Σχήµα 2.4: Άρτια συνάρτηση Ερώτηση 2.8 Πότε µια συνάρτηση µε πεδίο ορισµού A λέγεται περιττή ; Τι ισχύει για την γραφική παράσταση µιας περιττής συνάρτησης ; Μια συνάρτηση f, µε πεδίο ορισµού ένα σύνολο A, ϑα λέγεται περιττή, όταν για κάθε x A ισχύει : x A και f( x) = f(x). Η γραφική παράσταση µιας περιττής συνάρτησης έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή των αξόνων. Σχήµα 2.5: Περιττή συνάρτηση Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 25

26 2.1.2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν επιλέγοντας την κατάλληλη ένδειξη Σ για το σωστό Λ για το λάθος : 1. Αν µία συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο διάστη- Σ Λ µα, τότε για κάθε x 1, x 2, ισχύει η ισοδυναµία : x 1 < x 2 f(x 1 ) < f(x 2 ) 2. Αν ισχύει ότι f(x) M για κάθε x A, τότε η f έχει Σ Λ µέγιστο το M. 3. Αν µια συνάρτηση f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο διάστηµα Σ Λ, τότε, για κάθε x 1, x 2, ισχύει η ισοδυ- ναµία : f(x 1 ) < f(x 2 ) x 1 > x Αν ισχύει ότι f(x) f(x 0 ) για κάθε x A, τότε η f Σ Λ παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0, µε τιµή f(x 0 ). 5. Αν µια συνάρτηση έχει γραφική παράσταση συµµετρική Σ Λ ως προς τον άξονα y y, τότε είναι περιττή. 6. Αν για µία συνάρτηση f ισχύει ότι f( x) = f(x) Σ Λ για κάθε x A, τότε αυτή είναι άρτια, ενώ αν ισχύει f( x) = f(x) για κάθε x A, τότε αυτή είναι περιττή. 7. Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f : A Σ Λ R έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή των αξόνων, τότε η συνάρτηση αυτή είναι περιττή. 8. Αν η f : A R, µε 0 R είναι περιττή, τότε η γρα- Σ Λ ϕική παράσταση της f διέρχεται υποχρεωτικά από το σηµείο 0(0, 0). 9. Αν η συνάρτηση f : A R είναι γνησίως ϕθίνουσα Σ Λ και α, β R τότε αν α < β ισχύει f(α) < f(β). 10. Αν η συνάρτηση f : A R είναι γνησίως ϕθίνουσα Σ Λ και α, β R τότε αν α β ισχύει f(α) f(β). 11. Αν η συνάρτηση f : A R είναι γνησίως ϕθίνουσα Σ Λ και α, β R τότε αν f(α) < f(β) ισχύει α < β. 12. Αν η συνάρτηση f : A R είναι γνησίως ϕθίνουσα Σ Λ και α, β R τότε f(α) = f(β) α = β. 13. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο R ισχύει f(1) > Σ Λ f(2). 14. Αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο R ισχύει f( 2) > Σ Λ f(2). 15. Αν η f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο R ισχύει f(10) > Σ Λ 16. f( 2 20 ). Αν η f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο R ισχύει f(1) > f( Σ Λ 3). 17. Αν η συνάρτηση f είναι άρτια, σε διαφορετικά x αντιστοιχούν Σ Λ ίδια y. 18. Αν η συνάρτηση f είναι άρτια, σε αντίθετα x αντιστοιχούν Σ Λ ίδια y. 19. Σε µία περιττή συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το ισχύει πάντοτε f(0) = 0. Σ Λ Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 26

27 20. Μία συνάρτηση που είναι άρτια, δεν µπορεί να είναι γνησίως µονότονη. Σ Λ 21. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως ϕθίνουσα, τότε Σ Λ f(2006) > f(2007). 22. Αν x 1 < x 2 και f(x 1 ) f(x 2 ) < 0, τότε η συνάρτηση ϕ είναι γνησίως αύξουσα. Σ Λ 23. Αν x 1 < x 2 και για την συνάρτηση f(x) ισχύουν : Σ Λ f(x) > 0 και f(x 1) < 1, τότε η συνάρτηση f είναι f(x 2 ) γνησίως ϕθίνουσα. 24. Αν για τη συνάρτηση f : R R ισχύει f(0) = 5 και Σ Λ f(5) = 0 τότε η f δεν είναι γνησίως αύξουσα. 25. Αν για τη συνάρτηση f : R R ισχύει f(0) = 5 και Σ Λ f(5) = 0 τότε η f δεν είναι γνησίως αύξουσα. 26. Αν για τη συνάρτηση f : R R ισχύει f(0) = 5 και Σ Λ f(5) = 0 τότε αν η f είναι γνησίως µονότονη τότε είναι γνησίως ϕθίνουσα. 27. Αν για τη συνάρτηση f : R R ισχύει f(0) = 5 και Σ Λ f(5) = 0 τότε αν η f είναι γνησίως ϕθίνουσα ισχύει f(10) < Αν για τη συνάρτηση f : R R ισχύει f(0) = 5 και Σ Λ f(5) = 0 τότε αν η f είναι γνησίως ϕθίνουσα ισχύει f( 2) > Αν για τη συνάρτηση f : R R ισχύει ότι f(1) < Σ Λ f(5) < f(2) τότε η f δεν είναι γνησίως µονότονη. 30. Αν για κάθε x A ισχύει f(x) f(x 0 ) τότε η f Σ Λ παρουσιάζει µέγιστο στο x Αν η συνάρτηση f : A R είναι περιττή τότε f(x) + Σ Λ f( x) = 0, για κάθε x A. 32. Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f έχει Σ Λ άξονα συµµετρίας τον y y τότε είναι περιττή. 33. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα τότε η f δεν Σ Λ είναι άρτια. 34. Αν η µέγιστη τιµή µιας συνάρτησης f είναι ίση µε 1, Σ Λ τότε η εξίσωση f(x) = 2 είναι αδύνατη. 35. Η συνάρτηση f : [ 1, 2] Rµε f(x) = 3x 2 είναι Σ Λ άρτια. 36. Αν µία συνάρτηση f είναι άρτια, τότε η f δεν είναι Σ Λ γνησίως µονότονη. 37. Αν µία συνάρτηση f είναι άρτια, τότε η f είναι πε- ϱιττή. Σ Λ Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 27

28 2.1.3 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 2.1 Εύρεση είδους µονοτονίας µιας συνάρτησης Για να ϐρούµε τη µονοτονία µιας συνάρτησης f σ ένα διάστηµα του πεδίου ορισµού της, παίρνουµε δύο τυχαία σηµεία x 1, x 2 1ος τρόπος Υποθέτουµε x 1 < x 2 και κατασκευαστικά ϐρίσκουµε την σχέση των f(x 1 ) και f(x 2 ). 2ος τρόπος Υποθέτουµε x 1 < x 2 και ϐρίσκουµε το πρόσηµο της διαφοράς f(x 1 ) f(x 2 ). Αν f(x 1 ) f(x 2 ) < 0 f(x 1 ) < f(x 2 ) τότε η f είναι γνησίως αύξουσα. Αν f(x 1 ) f(x 2 ) > 0 f(x 1 ) > f(x 2 ) τότε η f είναι γνησίως ϕθίνουσα. Θέµα 2.1 Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση f(x) = x 2 5x στο διάστηµα = (, 0). Λύση 2.1 Εστω x 1, x 2 R και x 1 < x 2. Εχουµε : x 1 < x 2 x 2 1 > x2 2 (σχέση 1) x 1 < x 2 5x 1 > 5x 2 (σχέση 2) Αν προσθέσουµε κατά µέλη τις ανισώσεις (σχέση 1 και 2) έχουµε : x 2 1 5x 1 > x 2 2 5x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ), άρα η f είναι γνησίως ϕθίνουσα στο = (, 0). Θέµα 2.2 Να µελετηθεί ως προς την µονοτονία η συνάρτηση f(x) = 1 x. Λύση 2.2 Εστω x 1 < x 2 τότε f(x 1 ) f(x 2 ) = 1 x 1 1 x 2 = x 2 x 1 x 1 x 2 Επειδή x 2 x 1 > 0 διακρίνουµε τις περιπτώσεις : Αν x 1, x 2 < 0 x 1 x 2 > 0 οπότε f(x 1 ) f(x 2 ) > 0. Άρα f γνησίως ϕθίνουσα στο (, 0). Αν x 1, x 2 > 0 x 1 x 2 > 0 οπότε f(x 1 ) f(x 2 ) > 0. Άρα f γνησίως ϕθίνουσα στο (0, + ). Άρα f γνησίως ϕθίνουσα σε καθένα από τα διαστήµατα (, 0) και (0, + ). Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 28

29 Μεθοδολογία 2.2 Εύρεση ακρότατων Για να µελετήσω ως προς τα ακρότατα µία συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A, ξεκινάω από µια προφανή ανισότητα και κατασκευάζω από δεξιά ή αριστερά τον τύπο της f ώστε τελικά να καταλήξω σε ανισότητα της µορφής : f(x) f(x 0 ) ή f(x) f(x 0 ). Τότε στο x 0 έχω ελάχιστο ή µέγιστο αντίστοιχα για την f. Θέµα 2.3 Να ϐρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = 2 x Λύση 2.3 Η f έχει πεδίο ορισµού το A = R. Για κάθε x R έχουµε : x x x f(x) 5 = f(1) Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 1, το f(1) = 5. Θέµα 2.4 Να ϐρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = x Λύση 2.4 Η f έχει πεδίο ορισµού το A = R. Για κάθε x R έχουµε : x 2 0 x f(x) 1 = f(0). Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 0, το f(0) = 1. Θέµα 2.5 Να ϐρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f(x) = (x + 2) 2 1. Λύση 2.5 Η f έχει πεδίο ορισµού το A = R. Για κάθε x R έχουµε : (x + 2) 2 0 (x + 2) f(x) 1 = f( 2). Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο 2, το f( 2) = 1. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 29

30 Μεθοδολογία 2.3 Αρτια - Περιττή συνάρτηση Για να εξετάσω αν µία συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού A, είναι άρτια ή περιττή εξετάζω δύο πράγµατα : i. Αν για κάθε x A είναι και x A. ( ηλαδή αν το A είναι σύνολο συµµετρικό ως προς το Ο). ii. Σχηµατίζω το f( x) και κατόπιν µε πράξεις καταλήγω να έχω : f( x) = f(x) (οπότε η f είναι άρτια) ή f( x) = f(x) (οπότε η f είναι περιττή) Θέµα 2.6 Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = 2x 6 + x 2 είναι άρτια ή περιττή. Λύση 2.6 Η f έχει πεδίο ορισµού A = R. Για κάθε x A είναι : x A f( x) = 2( x) 6 + x 2 = 2x 6 + x 2 = f(x) Άρα η f είναι άρτια. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f(x) = 2x 5 x 3 + x είναι άρτια ή περιττή. Λύση : Η f έχει πεδίο ορισµού A = R. Για κάθε x A είναι : x A f( x) = 2( x) 5 ( x) 3 + ( x) = 2x 5 + x 3 x = (2x 5 x 3 + x) = f(x) Άρα η f είναι περιττή. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 30

31 2.1.4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να εξετάσετε ως προς τη µονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις : iii. f(x) = 3x 4 iv. g(x) = 2x + 5 v. h(x) = 5 + 4x vi. φ(x) = 1 3x 2. Να ϐρείτε τις τιµές του λ R ώστε η συνάρτηση f να είναι γνησίως αύξουσα στο R στις παρακάτω περιπτώσεις : i. f(x) = (λ 1)x + 4 ii. f(x) = (λ 2 9)x 5 iii. f(x) = ( λ 3)x 1 iv. f(x) = (4 λ )x 10 v. f(x) = (λ 2 5λ + 6)x + 2 vi. f(x) = ( λ 2 + 3λ 2)x 7 3. ίνονται οι συναρτήσεις f(x) = (1 λ)x + 3x 1 και g(x) = (4 λ 2 )x + 2λ 3 Να ϐρείτε τις τιµές του λ, αν i. Η συνάρτηση f είναι γνησίως ϕθίνουσα, ii. Η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα. 4. Να εξετάσετε ως προς τη µονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις : i. f(x) = x 3 1 ii. g(x) = x iii. h(x) = x iv. φ(x) = (x 1) 2 + 1, x 1 5. Εστω f, g : R R γνησίως µονότονες. Να λύσετε την ανίσωση : i. f(x 2 ) > f(x + 6), αν η f είναι γνησίως ϕθίνουσα, ii. g(x 2 + x) g(2x + 12), αν η g είναι γνησίως αύξουσα. 6. ίνεται η συνάρτηση f(x) = 5 4 x. i. Να ϐρείτε το πεδίο ορισµού A f ii. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο A f iii. Να ϐρείτε σε ποία σηµεία η C f τέµνει τους άξονες x x και y y. iv. Να λυθεί η εξίσωση f(x) = Εστω f : R R µια γνησίως µονότονη συνάρτηση, µε f(2014) < f(2004). i. Να ϐρείτε το είδος της µονοτονίας της f ii. Να λύσετε την ανίσωση f(3x 2) > f(8 2x). 8. Εστω f : R R µια γνησίως µονότονη συνάρτηση, µε τα σηµεία A(2, 1) και B(3, 5) να ανήκουν στην C f i. Να ϐρείτε το είδος της µονοτονίας της f ii. Να λύσετε την ανίσωση f( x 3) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f(x) = x + 4, µε πεδίο ορισµού το A = (0, + ), x παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0 = Να αποδείξετε ότι : i. Η συνάρτηση f(x) = 3 x 2 παρουσιάζει στο x 0 = 2 µέγιστο, ii. Η συνάρτηση f(x) = 2x x παρουσιάζει στο x 1 = 1 µέγιστο και στο x 2 = 1 ελάχιστο, iii. Η συνάρτηση f(x) = x 6 2x παρουσιάζει στο x 0 = 1 ελάχιστο. 11. Να ϐρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων : i. f(x) = 2x 4 1 ii. f(x) = 2(x 1) Να ϐρείτε τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων : i. f(x) = 2 + x 2 ii. g(x) = 5 x 4 iii. h(x) = 1 (x 3) 2 iv. φ(x) = x Εστω µια συνάρτηση f : A R, η οποία είναι άρτια και παρουσιάζει στο x 0 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 31

32 ακρότατο. Να αποδείξετε ότι η f παρουσιάζει και στο x 0 το ίδιο είδος ακροτάτου. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 32

33 2.2 Κατακόρυφη-Οριζόντια Μετατόπιση Καµπύλης ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 2.9 Εστω µια συνάρτηση φ(x). Πώς προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x) + c, µε c > 0; Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, µε : f(x) = φ(x) + c, όπου c > 0, προκύπτει από µια κατακόρυφη µετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c µονάδες προς τα πάνω.(σχήµα α ) Σχήµα 2.6: Κατακόρυφη µετατόπιση προς τα πάνω Ερώτηση 2.10 Εστω µια συνάρτηση φ(x). Πώς προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x) c, µε c > 0; Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, µε : f(x) = φ(x) c, όπου c > 0, προκύπτει από µια κατακόρυφη µετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c µονάδες προς τα κάτω (Σχήµα ϐ ) Σχήµα 2.7: Κατακόρυφη µετατόπιση προς τα κάτω Ερώτηση 2.11 Εστω µια συνάρτηση φ(x). Πώς προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x c), µε c > 0; Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f µε : όπου c > 0, προκύπτει από µια οριζόντια µετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c µονάδες προς τα δεξιά (Σχήµα γ ). Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 33

34 Σχήµα 2.8: Κατακόρυφη µετατόπιση προς τα αριστερά Ερώτηση 2.12 Εστω µια συνάρτηση φ(x). Πώς προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x + c), µε c > 0; Η γραφική παράσταση της συνάρτησης ϕ, µε : f(x) = φ(x + c), όπου c > 0, προκύπτει από µια οριζόντια µετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c µονάδες προς τα αριστερά (Σχήµα δ ). Σχήµα 2.9: Κατακόρυφη µετατόπιση προς τα δεξιά Ερώτηση 2.13 Εστω µια συνάρτηση φ(x). Πώς προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x ± c 1 ) ± c 2, µε c 1, c 2 > 0; Με ανάλογο τρόπο, δουλεύουµε για να παραστήσουµε γραφικά τις συναρτήσεις της µορ- ϕής : f(x) = φ(x ± c 1 ) ± c 2, µε c 1, c 2 > 0 ηλαδή, αξιοποιούµε τόσο την οριζόντια όσο και την κατακόρυφη µετατόπιση καµπύλης. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 34

35 2.2.2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : f(x) = x, g(x) = x + 3, h(x) = x 3 2. Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : f(x) = x, g(x) = x, h(x) = x + 2, φ(x) = x 2 3. Στο ίδιο σύστηµα αξόνων να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις : f(x) = x, g(x) = x 1 + 2, h(x) = x + 3 4, φ(x) = x Να ϐρείτε ποιες µεταφορές έχουν γίνει στη συνάρτηση f, ώστε να προκύψει η συνάρτηση g, στις παρακάτω περιπτώσεις : i. g(x) = f(x 1) + 2 ii. g(x) = f(x + 2) + 3 iii. g(x) = f(x 2) 4 iv. g(x) = f(x + 3) 5 5. Να ϐρείτε τη συνάρτηση g, που προκύπτει από τη µεταφορά της συνάρτησης f κατά 2 µονάδες δεξιά, στις παρακάτω περιπτώσεις : i. f(x) = 3x 4 ii. f(x) = 2x + 6 iii. f(x) = x 2 1 iv. f(x) = x + 2 x 1 v. f(x) = x 1 vi. f(x) = 2 x Να ϐρείτε τη συνάρτηση g, που προκύπτει από τη µεταφορά της συνάρτησης f κατά 3 µονάδες αριστερά, στις παρακάτω περιπτώσεις : i. f(x) = 2x + 3 ii. f(x) = 2x 2 9 iii. f(x) = 2x + 3 iv. f(x) = x x 2 v. f(x) = x vi. f(x) = x 3 9x x Να ϐρείτε τη συνάρτηση g, που προκύπτει από τη µεταφορά της συνάρτησης f κατά 5 µονάδες, προς τα πάνω, στις παρακάτω περιπτώσεις : i. f(x) = x 2 + 4x ii. f(x) = x iii. f(x) = x 3 + x iv. f(x) = x + 3 x 1 v. f(x) = x 5 vi. f(x) = 6 5x2 x Να ϐρείτε τη συνάρτηση g, που προκύπτει από τη µεταφορά της συνάρτησης f κατά 5 µονάδες, προς τα κάτω, στις παρακάτω περιπτώσεις : i. f(x) = x ii. f(x) = x iii. f(x) = 2x 1 1 x v. f(x) = 5 x + 4 x + 1 iv. f(x) = x2 + 4x + 6 x + 1 vi. f(x) = x 2 6x Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 35

36

37 Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Τριγωνοµετρικές εξισώσεις ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Τριγωνοµετρικές ταυτότητες αθροίσµατος και διαφοράς 2 γωνιών ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Τριγωνοµετρικές ταυτότητες 2πλάσιου τόξου ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 3. ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 3.1 Εστω οξεία γωνία ω. Πώς ορίζεται το ηµίτονο, συνηµίτονο, η εφαπτόµενη και η συνεφαπτόµενη της γωνίας ω ; Εστω γωνία ω. Ισχύει ότι : Σχήµα 3.1: Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οξείας γωνίας (M M1 ) υποτείνουσα (OM ) (0M1 ) προσκείµενη κάθετη συνω = = υποτείνουσα (OM ) απέναντι κάθετη (M M1 ) φω = = προσκείµενη κάθετη (OM1 ) προσκείµενη κάθετη (OM1 ) σφω = = απέναντι κάθετη (M M1 ) ηµω = απέναντι κάθετη = Ερώτηση 3.2 Πώς ορίζονται οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνίας ω, µε 0 ω 360 ; Εστω Oxy ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο, Ot µία ηµιευθεία αυτού και ω η γωνία που παράγεται από τον ηµιάξονα Ox αν περιστραφεί κατά τη ϑετική ϕορά γύρω

38 από το O µέχρι να συµπέσει για πρώτη ϕορά µε την ηµιευθεία Ot (Σχ. α,β ). Ο ϑετικός ηµιάξονας Ox λέγεται αρχική πλευρά της γωνίας ω, ενώ η ηµιευθεία Ot λέγεται τελική πλευρά της w. Τότε ισχύει : Σχήµα 3.2: Τριγωνοµετρικοί αριθµοί οποιασδήποτε γωνίας, από 0 o έως 360 o ηµω = (MM 1) (OM) = y ρ ɛφω = (MM 1) (OM 1 ) = y x σφω = (OM 1) (MM 1 ) = x y όπου ρ = x 2 + y 2 > 0 συνω = (0M 1) (OM) = x ρ (εφόσον x 0) (εφόσον y 0) Ερώτηση 3.3 Πώς ορίζονται οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνιών µεγαλύτερων των 360 και αρνητικών γωνιών ; Για κάθε γωνία ϑετική ή αρνητική ισχύει ότι : ηµω = y ρ ɛφω = y x σφω = x y συνω = x ρ (εφόσον x 0) (εφόσον y 0) όπου ρ = x 2 + y 2 > 0 Εστω ω µια οξεία γωνία. Οι γωνίες που είναι µεγαλύτερες των 360 ϑα είναι της µορφής : k ω, k Z και ϑα ισχύει για κάθε k Z: ηµ(k ω) = ηµω συν(k ω) = συνω, ɛφ(k ω) = ɛφω σφ(k ω) = σφω Ερώτηση 3.4 Τι ονοµάζουµε τριγωνοµετρικό κύκλο ; Με κέντρο την αρχή O(0, 0) ενός συστήµατος συντεταγµένων και ακτίνα ρ = 1 γράφουµε έναν κύκλο. Ο κύκλος αυτός ονοµάζεται τριγωνοµετρικός κύκλος. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 38

39 Ερώτηση 3.5 Πώς ορίζονται το ηµω και το συνω στον τριγωνοµετρικό κύκλο ; Γενικότερα, αν η τελική πλευρά µιας γωνίας ω τέµνει τον τριγωνοµετρικό κύκλο στο σηµείο M(x, y), τότε ισχύει : Σχήµα 3.3: Τριγωνοµετρικός κύκλος συνω = x = τετµηµένη του σηµείου Μ ηµω = y = τεταγµένη του σηµείου Μ Για το λόγο αυτό ο άξονας x x λέγεται και άξονας των συνηµίτονων, ενώ ο άξονας y y λέγεται και άξονας των ηµίτονων. Ερώτηση 3.6 Τι τιµές µπορούν να πάρουν το ηµω και το συνω ; Οι τιµές του συνω και του ηµω µιας γωνίας ω δεν µπορούν να υπερβούν κατ απόλυτη τιµή την ακτίνα του τριγωνοµετρικού κύκλου, που είναι ίση µε 1. ηλαδή ισχύει : 1 συνω 1 και 1 ηµω 1 Ερώτηση 3.7 Πώς ορίζεται η εφω στον τριγωνοµετρικό κύκλο ; Θεωρούµε τον τριγωνοµετρικό κύκλο και µια γωνία ω που η τελική της πλευρά τον τέµνει στο σηµείο Μ(ξ, ψ). Φέρνουµε την εφαπτοµένη ε του τριγωνοµετρικού κύκλου στο σηµείο Α. Τότε ισχύει : ɛφω = y E = τεταγµένη του σηµείου Ε Για το λόγο αυτό η ευθεία ε, που έχει εξίσωση x = 1, λέγεται άξονας των εφαπτοµένων. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 39

40 Σχήµα 3.4: Άξονας εφαπτόµενων Ερώτηση 3.8 Πώς ορίζονται τα πρόσηµα των τριγωνοµετρικών αριθµών µιας γωνίας ω ανάλογα µε το τεταρτηµόριο ; Τα πρόσηµα των τριγωνοµετρικών αριθµών µιας γωνίας ω, ανάλογα µε το τεταρτηµόριο στο οποίο ϐρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας αυτής, είναι όπως δείχνει ο παρακάτω πίνακας ηµω συνω ɛφω σφω Ερώτηση 3.9 Τι ορίζουµε ως ακτίνιο ; Ακτίνιο (ή 1 rad ) είναι η γωνία η οποία, όταν γίνει επίκεντρη σε έναν κύκλο, ϐαίνει σε τόξο ενός ακτινίου (ή 1 rad). Ο µόνος λόγος για τη χρήση ακτινίων είναι ότι απλοποιεί τους τύπους. Ερώτηση 3.10 Ποια σχέση συνδέει τη µοίρα µε το ακτίνιο ; Εστω ότι µια γωνία ω είναι µ και α rad. Τότε ισχύει : α π = µ 180 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 40

41 Σχήµα 3.5: Ακτίνιο Ερώτηση 3.11 Ποιος είναι ο πίνακας των τριγωνοµετρικών αριθµών των ϐασικών γωνιών ; µοίρες rad 0 ηµ 0 συν +1 ɛφ 0 σφ - π π π π Ρ Προσοχή : Στη συνέχεια, επειδή στον τριγωνοµετρικό κύκλο το τόξο x rad έχει µήκος x, αντί να γράφουµε ηµ(x rad), συν(x rad), ɛφ(x rad) και σφ(x rad), ϑα γράφουµε απλά ηµx, συνx, ɛφx, και σφx. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 41

42 3.1.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 3.1 ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΓΩΝΙΩΝ ΜΕΓΑΛΥΤΕΡΩΝ ΑΠΟ 360 (2π) 1. Αν η γωνία δίνεται σε µοίρες : Γνωρίζουµε ότι οι γωνίες ω και θ = κ ω, κ Z έχουν τους ίδιους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. Άρα, διαιρούµε την γωνία µας µε το 360 και προκύπτει πηλίκο κ και υ- πόλοιπο ω. 2. Αν η γωνία δίνεται σε ακτίνια (rad): Γνωρίζουµε ότι οι γωνίες ω και θ = 2κπ + θ, κ Z έχουν τους ίδιους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. Εκφράζουµε τη γωνία ώστε να εµφανιστεί ο παράγοντας 2π ιαιρούµε (ϑα είναι σε µορφή κλάσµατος) τον αριθµητή µε τον παρανοµαστή και προκύπτει πηλίκο κ 2π και υπόλοιπο ω. Θέµα 3.1 Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 1125 Λύση 3.1 Επειδή η γωνία ξεπερνά τις 360 ϑα προσπαθήσουµε να τη γράψουµε στη µορφή κ360 + ω, κ R. ιαιρούµε τη γωνία 1125 µε την 360 και έχουµε : 1125 = Άρα οι τριγωνοµετρικοί της αριθµοί είναι : 2 ηµ1125 = ηµ( ) = ηµ45 = 2. συν1125 = συν( ) = συν45 = ɛφ1125 = ɛφ45 = 1. σφ1125 = σφ45 = Θέµα 3.2 Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 25π 3 rad. Λύση 3.2 Θα γράψουµε τη γωνία 25π 3 στη µορφή (κ 2π + α) ακτίνια. 25π 3 = 25 ( ) 2π = 2π = 6 6 ( ) 2π 2π = 4 2π = 4 2π + π 3. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 42

43 Συνεπώς οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας 25π ϑα είναι 3 ηµ 25π 3 = ηµ(4 2π + π 3 3 ) = ηµπ 3 = 2. συν 25π 3 = συν π 3 = 1 2. ɛφ 25π 3 = ɛφπ 3 = 3. σφ 25π 3 3 = σφπ 3 = 3. Μεθοδολογία 3.2 ΠΡΟΣ ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΓΩΝΙΩΝ ΜΙΚΡΟ- ΤΕΡΩΝ ΑΠΟ 360 (2π) Εκφράζουµε τη γωνία ω ως άθροισµα ή διαφορά, µε τις ϐασικές γωνίες των 90 ( π 2 ), 180 (π), 270 o 3π 2 ή 360o 2π ηλαδή γράφουµε ω = 90 + θ(ω = π 2 + θ) ή ω = 180 ± θ(ω = π ± θ) ή ω = 270 ± θ(ω = 3grp ± θ) ή 2 ω = 3600 θ(ω = 2π θ) και κάνουµε αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο. Στο π και το 2π ο τριγωνοµετρικός αριθµός µένει ο ίδιος ενώ στο π 2 και στο 3π 2 αλλάζει. Το ηµίτονο γίνεται συνηµίτονο (και ανάποδα) Η εφαπτοµένη γίνεται συνεφαπτοµένη (και ανάποδα). Το πρόσηµο το προσδιορίζω από τον ΟΗΕΣ. Στο 1ο τερτηµόριο Ολοι οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί είναι ϑετικοί, στο 2ο είναι µόνο τα Ηµίτονα, στο 3ο οι Εϕαπτοµένες και οι συνεφαπτοµένες και στο 4ο τα Συνηµίτονα. Θέµα 3.3 Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας 225 Λύση ηµ225 = ηµ( ) = ηµ45 = 2 συν225 = συν( ) = συν45 = ɛφ225 = ɛφ( ) = ɛφ45 = 1. σφ225 = σφ( ) = σφ45 = Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 43

44 Θέµα 3.4 Να αποδείξετε ότι : σφ(π + x) ηµ(2π x) ηµ( 13π 2 + x) συν(π x) ηµ( x) ɛφ( 17π = x) Λύση 3.4 Υπολογίζουµε κάθε παράσταση ξεχωριστά. σφ(π + x) = σφx ηµ(2π x) = ηµ[2π + ( x)] = ηµ( x) = ηµx. ηµ( 13π 2 + x) = ηµ(6π + π 2 + x) = ηµ(π + x) = συνx. 2 συν(π x) = συνx. ηµ( x) = ηµx. ɛφ( 17π 2 + x) = ɛφ(8π + π 2 + x) = ɛφ(π + x) = σφx. 2 Εποµένως έχουµε : σφ(π + x) ηµ(2π x) ηµ( 13π 2 + x) συν(π x) ηµ( x) ɛφ( 17π 2 + x) = σφx ( ηµx) συνx ( συνx) ( ηµx) ( σφx) = 1 Μεθοδολογία 3.3 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΓΩΝΙΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Οταν οι γωνίες που µας δίνονται είναι γωνίες τριγώνου, τότε ισχύει ότι Â + ˆB + ˆΓ = 180, άρα Â = 180 ( ˆB + ˆΓ) ή ˆB = 180 (Â + ˆΓ) ή ˆΓ = 180 (Â + ˆB) ˆB + ˆΓ = 90 Â 2 2 ή Â + ˆΓ = 90 ˆB 2 2 Â + ˆB ή = 90 ˆΓ 2 2 και χρησιµοποιούµε τους τύπους αθροίσµατος -διαφοράς γωνιών 90 ( π 2 ) ή 180 (π). Θέµα 3.5 Σε κάθε τρίγωνο ABΓ να αποδείξετε ότι : i. σφâ + σφ( ˆB + ˆΓ) = 0. ii. συν 2 Â 2 + ˆB + ˆΓ συν2 = 1 2 Λύση 3.5 i. Σε κάθε τρίγωνο ABΓ έχουµε Â + ˆB + ˆΓ = 180, οπότε Â = 180 ( ˆB + ˆΓ) άρα σφâ = σφ[180 ( ˆB + ˆΓ)] ή αλλιώς σφâ = σφ( ˆB + ˆΓ) σφâ + σφ( ˆB + ˆΓ) = 0. ii. Είναι Â + ˆB + ˆΓ = 180, Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 44

45 Â άρα 2 + ˆB 2 + ˆΓ 2 = 90 ˆB + ˆΓ = 90 Â 2 2 οπότε συν ˆB + ˆΓ = συν(90 Â 2 2 ) = ηµâ 2. Ετσι το πρώτο µέλος της σχέσης γράφεται : συν 2 Â 2 + ˆB + ˆΓ συν2 = συν 2 Â Â ηµ2 2 = 1. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 45

46 3.1.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να µετατρέψετε σε µοίρες τα τόξα : π i. 6, π 4, π 3, π 2 2π ii. 3, 5π 6, 3π 4, 2π π iii. 12, π 18, 5π 12, 5π Να µετατρέψετε σε ακτίνια τις γωνίες : i. 120, 150, 135, 270 ii. 10, 15, Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων : i. A = 2ηµ30 + 2ɛφ30 ηµ60 + ɛφ45 2συν60 2σφ30 συν30 + σφ45 ii. B = 2ηµ π συν π 4 + 2συν π 3 ɛφ π σφ π 3 + σφ π 4 4. Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων : 9 i. A = 4ηµ συν ɛφ 2 60 ii. B = 3ɛφ συν ηµ ηµ2 60 iii. Γ = 3ɛφ 2 45 ηµ ɛφ (συν2 45 ) 1 iv. = 2ηµ συν45 + 2συν60 ɛφ ɛφ Να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων : i. A = 2ηµ π συν π 4 + 2συν π 3 ɛφ π σφ π 3 + σφ π 4 αηµ90 βσυν0 + (α + β)ɛφ45 2α + 1 ii. B = α 2 σφ45 2αβσυν180 + β 2 ηµ90 (α + β) 2 ɛφ ɛφ60 + 2ηµ60 3σφ συν60 iii. Γ = 2σφ30 + 2ɛφ συν30 + 6ηµ45 συν45 6. Να ϐρείτε το τεταρτηµόριο στο οποίο καταλήγουν οι γωνίες i) ω = 73π ii) φ = 93π iii) t = 65π iv) s = 185π Να τοποθετήσετε στον τριγωνοµετρικό κύκλο τις παρακάτω γωνίες : i) 20π ii) 50π iii) 71π iv) 60π + π 2 v) 30π + π 4 vi) 10π π 6 vii) 2κπ + π 3, κ Z viii) (2λ + 1)π π 2, λ Z ix) κπ + π 2, κ Z 8. Να ϐρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών : i) ω = 41π 4 ii) φ = 601π 6 iii) α = 901π 3 iv) β = 61π v) γ = 49π vi) δ = 301π Να ϐρείτε τις τιµές των παραστάσεων : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 46

47 i. A = ii. B = iii. Γ = 6ηµ(2π + π 6 ) + 2συν(4π + π 3 ) 3 ɛφ(6π + π 3 ) + συν(8π + π 4 ) 2ηµ 13π συν 17π 61π + συν 4 3 ɛφ 17π σφ 25π 3 + σφ33π 4 2ηµ 13π συν 17π 61π + 2συν 4 3 ɛφ 17π σφ 25π 3 + σφ33π Να ϐρείτε τις γωνίες φ, ω [0, π ] για τις οποίες ισχύει : 2 i. ηµφ + 3συνω = 4 ii. 2ηµφ + 3συνω = Να ϐρείτε όλες τις γωνίες α και β για τις οποίες ισχύει ηµα + 2συνβ = 3. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 47

48 3.2 Αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 3.12 Τι ισχύει για τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των αντίθετων γωνιών ; Οι αντίθετες γωνίες έχουν το ίδιο συνηµίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. ηλαδή : συν( ω) = συνω ɛφ( ω) = ɛφω ηµ( ω) = ηµω σφ( ω) = σφω Ερώτηση 3.13 Τι ισχύει για τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών µε άθροισµα 180 ; Οι γωνίες µε άθροισµα 180 έχουν το ίδιο ηµίτονο και αντίθετους τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. ηµ(180 ω) = ηµω ɛφ(180 ω) = ɛφω συν(180 ω) = συνω σφ(180 ω) = σφω Ερώτηση 3.14 Τι ισχύει για τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών που διαφέρουν κατά 180 ; Οι γωνίες που διαφέρουν κατά 180 έχουν αντίθετο ηµίτονο και συνηµίτονο, ενώ έχουν την ίδια εφαπτοµένη και συνεφαπτοµένη. ηµ(180 + ω) = ηµω ɛφ(180 + ω) = ɛφω συν(180 + ω) = συνω σφ(180 + ω) = σφω Ερώτηση 3.15 Τι ισχύει για τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών µε άθροισµα 90 ; Αν δύο γωνίες έχουν άθροισµα 90, τότε το ηµίτονο της µιας ισούται µε το συνηµίτονο της άλλης και η εφαπτοµένη της µιας ισούται µε τη συνεφαπτοµένη της άλλης. ηµ(90 ω) = συνω ɛφ(90 ω) = σφω συν(90 ω) = ηµω σφ(90 ω) = ɛφω Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 48

49 3.2.2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να ϐρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας ω, όταν : i.) ω = 330 ii.) ω = 660 iii.) ω = 405 iv.) ω = Να ϐρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών : i) 80π ii) 101π iii) 2011π iv) 121π 2 v) 43π 2 vi) 181π 6 3. Να αποδείξετε ότι : i) ηµ20 συν50 ηµ40 συν70 = 1 ii) συν100 ηµ40 συν800 ηµ140 = 1 iii) ɛφ3 σφ85 ɛφ5 σφ87 = 1 iv) ɛφ110 σφ145 ɛφ70 σφ35 = 1 4. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : (αʹ) A = ɛφ50 συν50 ɛφ130 συν130 (ϐʹ) B = ɛφ 2 20 συν συν (γʹ) Γ = ηµ10 συν80 + συν10 ηµ80 (δʹ) = συν25 συν155 ηµ25 ηµ Να αποδείξετε ότι : (αʹ) συν120 συν150 συν135 + ηµ120 ηµ150 ηµ135 = 0 (ϐʹ) ɛφ120 ɛφ150 ɛφ135 ɛφ210 ɛφ225 ɛφ240 = 2 6. Να αποδείξετε ότι : 7. Να αποδείξετε ότι : ηµ(90 α) ɛφ132 συν312 ηµ90 συν(180 + α) ηµ222 ɛφ48 συν180 = 1. ηµ40 συν70 ηµ20 συν50 + ηµ10 συν55 ηµ35 συν80 + ɛφ15 σφ65 ɛφ25 σφ75 = 3 8. Να αποδείξετε ότι : i. ɛφω ɛφ(90 ω) = 1 ii. ɛφ1 ɛφ2 ɛφ3 ɛφ89 = Να αποδείξετε ότι : i. ηµ1 + ηµ2 + ηµ3 + + ηµ89 = συν1 + συν2 + συν3 + + συν89 ii. σφ1 σφ2 σφ3 σφ89 = Να αποδείξετε ότι : i. ηµ(72 + α β) συν(18 + β α) = 0 ii. ɛφ(110 + α β) σφ(β α 20 ) = 0. iii. ηµ(171 + α β) ηµ(9 + β α) = 0 iv. συν(171 + α β) + συν(9 + β α) = 0 v. ɛφ(192 + α β) + ɛφ(β α 12 ) = 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 49

50 vi. ηµ(205 + α β) + ηµ(25 + α β) = 0 vii. ɛφ(190 + α β) ɛφ(10 + α β) = Να αποδείξετε ότι : ηµ(270 α) ɛφ(180 β) σφ(270 β) συν(540 + α) + σφ(450 α) ηµ(90 γ) συν(180 + γ) ɛφ(540 + α) = Να αποδείξετε ότι : ηµ 7π 3 ηµ( π 12 συν 31π 12 ) συν 17π 3 15π 23π ɛφ( 4 ) σφ 10 ɛφ 26π 5 σφ( 19π 6 ) = 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 50

51 3.3 Βασικές τριγωνοµετρικές ταυτότητες ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 3.16 Να αποδείξετε ότι ηµ 2 ω + συν 2 ω = 1. Αν M(x, y) είναι το σηµείο στο οποίο η τελική πλευρά της γωνίας ω τέµνει τον τριγωνοµετρικό κύκλο, τότε ϑα είναι : Επειδή όµως, (OM) = 1 και (OM) 2 = x 2 + y 2 = x 2 + y 2 Σχήµα 3.6: x = συνω και y = ηµω ϑα ισχύει : οπότε ϑα έχουµε : ηµ 2 ω + συν 2 ω = 1. x 2 + y 2 = 1 Ερώτηση 3.17 Να αποδείξετε ότι ɛφω = ηµω συνω Στο ίδιο σχήµα έχουµε : ɛφω = y x = ηµω συνω σφω = x y = συνω ηµω (εφόσον x = συνω 0) (εφόσον y = ηµω 0) Ερώτηση 3.18 Να αποδείξετε ότι ɛφω σφω = 1. και σφω = συνω ηµω Είναι : ɛφω = ηµω συνω και σφω = συνω ηµω (εφόσον συνω 0 και ηµω 0) Εποµένως : ɛφω σφω = ηµω συνω συνω ηµω = 1. Ερώτηση 3.19 Να αποδείξετε ότι συν 2 ω = ɛφ 2 ω ιαιρούµε και τα δύο µέλη της ταυτότητας ηµ 2 ω + συν 2 ω = 1 µε συν 2 ω 0 και έχουµε : ηµ 2 ω συν 2 ω + συν2 ω συν 2 ω 1 συν 2 ω = ɛφ2 ω + 1 = 1 συν 2 ω 1 συν2 ω = ɛφ 2 ω + 1. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 51

52 Ερώτηση 3.20 Να αποδείξετε ότι ηµ 2 ω = ɛφ2 ω 1 + ɛφ 2 ω Αν στην ταυτότητα ηµ 2 ω + συν 2 ω = 1 ϑέσουµε συν 2 1 ω = 1 + ɛφ 2 ω έχουµε : ηµ 2 ω + συν 2 ω = 1 ηµ 2 1 ω ɛφ 2 ω = 1 ηµ2 ω = ɛφ 2 ω ɛφ 2 ω ηµ 2 ω = ɛφ2 ω 1 + ɛφ 2 ω ɛφ 2 ω ηµ2 ω = Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 52

53 3.3.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 3.4 ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Οταν δίνεται ένας τριγωνοµετρικός αριθµός και το τεταρτηµόριο που ϐρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας, τότε χρησιµοποιούµε τις ταυτότητες : ηµ 2 ω + συν 2 ω = 1, αν µας δίνεται το ηµω ή συνω ɛφω σφω = 1 αν µας δίνεται η σφω συν 2 1 ω = 1 + ɛφ 2 ω και ηµ2 ω = ɛφ2 ω 1 + ɛφ 2 αν µας δίνεται η ɛφω ω και υπολογίζουµε τους άλλους τριγωνοµετρικούς αριθµούς. Θέµα 3.6 Αν συνx = 4 5 και π < x < 3π 2, να ϐρεθούν οι άλλοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας x rad. Λύση 3.6 Από την ταυτότητα ηµ 2 x + συν 2 x = 1 έχουµε : ηµ 2 x = 1 συν 2 x = 1 ( 4 5 )2 = = 9 25 Άρα ϑα είναι ηµx = 3 5 ή ηµx = 3 5. Οµως δίνεται ότι π < x < 3π 2 οπότε ηµx < 0 και συνεπώς ηµx = Η ɛφx = ηµx συνx = 5 4 = και σφ 1 ɛφx = 4 3 Θέµα 3.7 Αν ɛφx = 2 και π 2 < x < π να ϐρεθούν οι άλλοι τριγωνοµετρικοί αριθµοί της γωνίας x rad Λύση 3.7 Από τη σχέση : ηµ 2 x = ɛφ2 x 1 + ɛφ 2 x έχουµε : ηµ 2 x = ɛφ2 x 1 + ɛφ 2 x = ( 2)2 1 + ( 2) 2 = Άρα ϑα είναι ηµx = 5 = 2 ή ηµx = αλλά έχουµε ότι π 2 < x < π οπότε ηµx > 0 συνεπώς ηµx = = Επίσης, από την ταυτότητα συν 2 1 x = 1 + ɛφ 2 υπολογίζουµε το συνx. x Μεθοδολογία 3.5 ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΤΑΥΤΟΤΗΤΩΝ Για να αποδείξουµε µια τριγωνοµετρική ταυτότητα,εργαζόµαστε µε έναν από τους πα- ϱακάτω τρόπους : Αρχίζουµε από το ένα µέλος, εκείνο που είναι πιο πολύπλοκο και προσπαθούµε κάνοντας πράξεις και εφαρµόζοντας τις ϐασικές ταυτότητες να καταλήξουµε στο άλλο µέλος. Παίρνουµε ξεχωριστά τα δύο µέλη και µε πράξεις προσπαθούµε να καταλήξουµε στη ίδια παράσταση. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 53

54 Αρχίζουµε από γνωστή ταυτότητα και µε µετασχηµατισµούς προσπαθούµε να εµ- ϕανίσουµε την ταυτότητα που µας Ϲητάνε να αποδείξουµε. Θέµα 3.8 Να αποδείξετε ότι : 2συν 2 α 1 = 1 2ηµ 2 α Λύση 3.8 Εχουµε ότι : συν 2 α + ηµ 2 α = 1 συν 2 α = 1 ηµ 2 α οπότε : 2συν 2 α 1 = 2(1 ηµ 2 α) 1 = 2 2ηµ 2 α 1 = 1 2ηµ 2 α. Θέµα 3.9 Να αποδείξετε ότι : συν 2 α + σφ 2 α = 1 ηµ4 α ηµ 2 α Λύση 3.9 Από το πρώτο µέλος έχουµε ότι : συν 2 α + σφ 2 α = συν 2 α + συν2 α ηµ 2 α συν 2 α ηµ 2 α + συν 2 α ηµ 2 = συν2 α(ηµ 2 α + 1) α ηµ 2 α (1 ηµ 2 α)(1 + ηµ 2 α) ηµ 2 α = 1 ηµ4 α ηµ 2 α. Θέµα 3.10 Να αποδείξετε ότι : 1 ɛφ 2 α + ɛφ 4 α 1 σφ 2 α + σφ 4 α = ɛφ4 α Λύση 3.10 Εστω ότι : 1 ɛφ 2 α + ɛφ 4 α 1 σφ 2 α + σφ 4 α = ɛφ4 α 1 ɛφ 2 α + ɛφ 4 α = (1 σφ 2 α + σφ 4 α) ɛφ 4 α που ισχύει. 1 ɛφ 2 α + ɛφ 4 α = ɛφ 4 α ɛφ 4 α σφ 2 α + σφ 4 α ɛφ 4 α 1 ɛφ 2 α + ɛφ 4 α = ɛφ 4 α ɛφ 2 α ɛφ 2 α σφ 2 α + (σφα ɛφα) 4 1 ɛφ 2 α + ɛφ 4 α = ɛφ 4 α ɛφ 2 α (ɛφα σφα) 2 + (σφα ɛφα) 4 1 ɛφ 2 α + ɛφ 4 α = ɛφ 4 α ɛφ 2 α ɛφ 2 α + ɛφ 4 α = ɛφ 4 α ɛφ 2 α + 1. Θέµα 3.11 Να αποδείξετε ότι : 1 συν 4 θ 1 συν 2 θ = ɛφ2 θ + ɛφ 4 θ Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 54

55 Λύση 3.11 Από το πρώτο µέλος έχουµε ότι : 1 συν 4 θ 1 συν 4 θ = 1 συν 4 θ συν2 θ συν 4 θ = 1 συν 2 θ συν 4 = ηµ2 θ θ συν 4 θ = ηµ 2 θ συν 2 θ 1 συν 2 θ = ɛφ2 θ (ηµ 2 θ + συν 2 θ ) = συν 2 θ ɛφ 2 θ ( ηµ 2 θ συν 2 θ + συν2 θ ) = συν 2 θ ɛφ 2 θ(ɛφ 2 θ + 1) = ɛφ 4 θ + ɛφ 2 θ. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 55

56 3.3.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει γωνία ω τέτοια ώστε ηµω = 1 3 και συνω = Αν είναι α = 2ηµω και β = 2συνω, να αποδείξετε ότι : i. αηµω + βσυνω = 2 ii. α 2 + β 2 = 4 3. Να αποδείξετε ότι : i. συν 4 x + συν 2 x ηµ 2 x + ηµ 2 x = 1 ii. συν 4 x + 2ηµ 2 x ηµ 4 x = Να αποδείξετε ότι : i. (ηµα ηµβ συνα συνβ) 2 + (ηµα συνβ + συνα ηµβ) 2 = 1 ii. (συνα συνβ + ηµα ηµβ) 2 + (ηµα συνβ συνα ηµβ) 2 = 1 5. Να αποδείξετε ότι : i ηµx συνx = (ηµx + συνx) 2 ii. 2ηµx συνx 1 = (ηµx συνx) ηµx συνx 2ηµx συνx 1 iii. ηµx + συνx = 1 ηµx + συνx ηµx συνx 6. Να αποδείξετε ότι : i. ηµ 2 x συν 2 y + ηµ 2 x ηµ 2 y + συν 2 x = 1 ii. συν 2 x + ηµ 2 x συν 2 y + ηµ 2 x ηµ 2 y συν 2 ω + ηµ 2 x ηµ 2 y ηµ 2 ω = 1 7. Να αποδείξετε ότι : 1 i. ηµ 2 x + 1 συν 2 x = 1 ηµ 2 x συν 2 x ii. 1 + ɛφ 2 x = 1 συν 2 x 1 + ɛφ 4 x iii. ɛφ 2 x + σφ 2 x = ɛφ2 x iv. ηµ 4 x συν 4 x = 1 2συν 2 x 8. Να αποδείξετε ότι : i) ɛφx + συνx 1 + ηµx = 1 συνx iii) ηµx ɛφx + συνx = 1 συνx ii) σφx + ηµx 1 + συνx = 1 ηµx iv) ηµ 2 x (1 + σφ 2 x) = 1 9. Να αποδείξετε ότι : i. ηµα (1 + ɛφα) + συνα (1 + σφα) = 1 ηµα + 1 συνα ɛφ 3 α ii. 1 + ɛφ 2 α + σφ3 α 1 + σφ 2 + 2ηµα συνα = ɛφα + σφα α 10. Να αποδείξετε ότι : ηµ 3 x συν 3 x i. = ηµx συνx 1 + ηµx συνx ηµ 3 x + συν 3 x ii. ηµx + συνx ηµ3 x συν 3 x συνx ηµx = Να αποδείξετε ότι : i. (1 + ηµx + συνx) 2 = 2(1 + ηµx)(1 + συνx) 1 + συνx ii. + ηµx ηµx 1 + συνx = 2ηµx 1 συν 2 x Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 56

57 iii. ηµx ɛφx + συνx = 1 συνx iv. (1 + ɛφ 2 x)(ηµ 2 x συν 2 x) = ɛφ 2 x 1 v. ɛφx + συνx 1 + ηµx = 1 συνx vi. 1 + συν 2 α συν 2 β ηµ 2 α ηµ 2 β = συν 2 α + συν 2 β. 12. Να αποδείξετε ότι : ηµx 1 + 2ηµx συνx ηµx + συνx + συνx 2ηµx 1 συνx ɛφx Να αποδείξετε ότι η παρακάτω παράσταση είναι ανεξάρτητη του x = 1 A = ηµ 8 x συν 8 x + 2συν 2 x (1 + ηµ 4 x) 2ηµ 2 x συν 4 x. 14. Να αποδείξετε ότι, για κάθε x R, ισχύει : ηµ 4 x + 4συν 2 x + συν 4 x + 4ηµ 2 x = Αν x [0, π], να αποδείξετε ότι : 1 + συνx + 1 συνx = 2(1 + ηµx). 16. Να αποδείξετε ότι : i. (ηµx + συνx) 2 + (ηµx συνx) 2 = 2 ii. ηµ 4 x + συν 2 x ηµ 2 x = συν 4 x iii. συν 4 x + 2ηµ 2 x ηµ 4 x = 1 iv. (ɛφx + σφx) 2 (ɛφx σφx) 2 = Να αποδείξετε ότι : ηµ 2 x i. 1 συνx συν2 x = ηµx + συνx 1 + ηµx 1 + ɛφ 4 x ii. ɛφ 2 x + σφ 2 x = ɛφ2 x (1 + ηµx + συνx) 2 iii. (1 + ηµx)(1 + συνx) = 2 ηµ 2 x iv. ηµx συνx 18. Να αποδείξετε ότι : i. ɛφ 2 x + σφ 2 x + 2 = ( 1 ηµx + συνx ɛφ 2 x 1 = ηµx + συνx. ηµx συνx (1 + ɛφx)συν 3 x + (1 + σφx)ηµ 3 x ii. = 1 ηµx + συνx 19. Να αποδείξετε ότι : i. συν 2 x(ηµ 2 x + ɛφ 2 x + συν 2 x) = 1 2 ηµ 2 x ii. 2 + ɛφ 2 x + 2 συν2 x 2 + σφ 2 x = 1. ) 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 57

58 3.4 Τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 3.21 Τι ονοµάζουµε περιοδική συνάρτηση ; Μία συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το A λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει πραγµατικός αριθµός T > 0 τέτοιος, ώστε για κάθε x A να ισχύει : i. x + T A, x T A ii. f(x + T ) = f(x T ) = f(x) Ο πραγµατικός αριθµός Τ λέγεται περίοδος της συνάρτησης ϕ. Ερώτηση 3.22 Πως ορίζονται οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις πραγµατικής µεταβλητής ορίζονται ως εξής : i. Η συνάρτηση µε την οποία κάθε πραγµατικός αριθµός x αντιστοιχίζεται στο ηµ(x rad) λέγεται συνάρτηση ηµίτονο και συµβολίζεται µε ηµ. Ορίζουµε δηλαδή ότι ηµx = ηµ(x rad) ii. Η συνάρτηση µε την οποία κάθε πραγµατικός αριθµός x αντιστοιχίζεται στο συν(x rad) λέγεται συνάρτηση συνηµίτονο και συµβολίζεται µε συν. Ορίζουµε δηλαδή ότι συνx = συν(x rad) iii. Η συνάρτηση εφαπτοµένη που συµβολίζεται µε εφ, ορίζεται ως εξής : ɛφx = ηµx συνx. Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης εφ είναι το σύνολο : R 1 = {x συνx 0} iv. Η συνάρτηση συνεφαπτοµένη που συµβολίζεται µε σφ, ορίζεται ως εξής : σφx = συνx ηµx. Το πεδίο ορισµού της συνάρτησης σφ είναι το σύνολο : R 2 = {x ηµx 0} Ερώτηση 3.23 Τι ιδιότητες έχει η συνάρτηση f(x) = ηµx; Η συνάρτηση f(x) = ηµx έχει τις εξής ιδιότητες : i. Εχει πεδίο ορισµού το A = R. ii. Είναι περιοδική µε περίοδο T = 2π Πράγµατι ισχύει ότι : x + T, x T A = R για κάθε x R και f(x + T ) = f(x + 2π) = ηµ(x + 2π) = ηµx = f(x), για κάθε x A f(x T ) = f(x 2π) = ηµ(x 2π) = ηµx = f(x), για κάθε x A iii. Είναι γνησίως αύξουσα στα διαστήµατα [0, π 2 ] και [3π 2, 2π]. Είναι γνησίως ϕθίνουσα στο διάστηµα [ π 2, 3π 2 ]. iv. Η συνάρτηση παρουσιάζει : µέγιστο για x = π 2 το ηµπ 2 = 1 και ελάχιστο για x = 3π 2 το ηµ3π 2 = 1 Τα συµπεράσµατα αυτά συνοψίζονται ως εξής : v. Η γραφική παράσταση της f(x) = ηµx είναι µια ηµιτονοειδής καµπύλη και έχει την εξής µορφή : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 58

59 Σχήµα 3.7: Πίνακας µεταβολών της f(x) = ηµx Σχήµα 3.8: f(x) = ηµx vi. Τέλος, η συνάρτηση f(x) = ηµx είναι περιττή (αφού ηµ( x) = ηµx για κάθε x R) και εποµένως η γραφική της παράσταση έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή O(0, 0) των αξόνων. Ερώτηση 3.24 Τι ιδιότητες έχει η συνάρτηση f(x) = συνx; Η συνάρτηση f(x) = συνx έχει τις εξής ιδιότητες : i. Εχει πεδίο ορισµού το A = R. ii. Είναι περιοδική µε περίοδο T = 2π Πράγµατι ισχύει ότι : x + T, x T A = R για κάθε x R και f(x + T ) = f(x + 2π) = συν(x + 2π) = συνx = f(x), για κάθε x A f(x T ) = f(x 2π) = συν(x 2π) = συνx = f(x), για κάθε x A iii. Είναι γνησίως ϕθίνουσα στο διάστηµα [0, π]. Είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα [π, 2π]. iv. Η συνάρτηση παρουσιάζει : µέγιστο για x = 0 το συν0 = 1 και για x = 2π το συν2π = 1 ελάχιστο για x = π το συνπ = 1 Τα συµπεράσµατα αυτά συνοψίζονται ως εξής : v. Η γραφική παράσταση της f(x) = συνx έχει την εξής µορφή : vi. Τέλος, η συνάρτηση f(x) = συνx είναι άρτια (αφού συν( x) = συνx για κάθε x R) και εποµένως η γραφική της παράσταση έχει άξονα συµµετρίας τον άξονα y y. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 59

60 Σχήµα 3.9: Πίνακας µεταβολών της f(x) = συνx Σχήµα 3.10: f(x) = συνx Ερώτηση 3.25 Τι µπορούµε να παρατηρήσουµε για τις συναρτήσεις της µορφής f(x) = ρηµωx και f(x) = ρσυνωx; Σε µια συνάρτηση της µορφής f(x) = ρηµωx, όπου ρ, ω > 0: i. Το ρ καθορίζει τη µέγιστη τιµή της, που είναι ίση µε ρ και την ελάχιστη τιµή της που είναι ίση µε ρ. ii. Το ω καθορίζει την περίοδο της συνάρτησης που είναι ίση µε 2π ω Τα ίδια συµπεράσµατα ισχύουν και για µια συνάρτηση της µορφής f(x) = ρσυνωx, όπου ρ, ω > 0. Ερώτηση 3.26 Τι ιδιότητες έχει η συνάρτηση f(x) = ɛφx; Η συνάρτηση f(x) = ɛφx έχει τις εξής ιδιότητες : i. Εχει πεδίο ορισµού το A = R x : x = κπ + π 2, k Z ii. Είναι περιοδική µε περίοδο Τ = π iii. Είναι γνησίως αύξουσα στο διάστηµα ( π 2, π 2 ). iv. εν έχει ακρότατα (δηλαδή δεν έχει ούτε µέγιστο ούτε ελάχιστο). ϱάσταση της f(x) = ɛφx έχει την εξής µορφή : Η γραφική πα- Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 60

61 Σχήµα 3.11: f(x) = ɛφx v. Είναι περιττή συνάρτηση, (αφού f( x) = ɛφ( x) = ɛφx = f(x), για κάθε x A οπότε η γραφική παράσταση της έχει κέντρο συµµετρίας την αρχή O(0, 0) των αξόνων. vi. Οταν ο x «τείνει» στο π από µεγαλύτερες τιµές η ɛφx «τείνει» στο. Γι αυτό λέµε 2 ότι η ευθεία x = π είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της 2 f. Οταν ο x «τείνει» στο π 2 από µικρότερες τιµές η ɛφx «τείνει» στο +. Γι αυτό λέµε ότι η ευθεία x = π 2 είναι κατακόρυφη ασύµπτωτη της γραφικής παράστασης της f. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 61

62 3.4.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ - ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ Μεθοδολογία 3.6 Οι συναρτήσεις της µορφής αηµ(ωx) ή ασυν(ωx) µε ω > 0, έχουν µέγιστη τιµή α, ελάχιστη τιµή α και περίοδος T = 2π ω Θέµα 3.12 ίνονται οι συναρτήσεις f(x) = 2συν( 3x 2 ), g(x) = 3ηµ( 2x) και h(x) = 3συν x. Να ϐρεθεί η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή καθώς και η περίοδος 2π για κάθε µια από τις παραπάνω συναρτήσεις. Λύση 3.12 Εχουµε τον ακόλουθο πίνακα : Συνάρτηση Μέγιστο Ελάχιστο Περίοδος f(x) = 2συν( 3 2 x) 2 2 T = 2π 3 = 4π 3 2 g(x) = 3ηµ( 2x) 3 3 T = 2π = 2π 2 h(x) = 3συν x 2π 3 3 T = 2π 1 2π = 4π 2 Μεθοδολογία 3.7 Για τις γραφικές παραστάσεις των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων, ε- ϕαρµόζω τους γενικούς κανόνες των µετατοπίσεων, όπως τους έχουµε δει στο σχετικό κεφάλαιο. 1. Εστω µια συνάρτηση φ(x). Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x) + c, µε c > 0; Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, µε : f(x) = φ(x) + c, όπου c > 0, προκύπτει από µια κατακόρυφη µετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c µονάδες προς τα πάνω.(σχήµα α ) 2. Εστω µια συνάρτηση φ(x). Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x) c, µε c > 0; Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, µε : f(x) = φ(x) c, όπου c > 0, προκύπτει από µια κατακόρυφη µετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c µονάδες προς τα κάτω (Σχήµα ϐ ) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 62

63 3. Εστω µια συνάρτηση φ(x). Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x c), µε c > 0; Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f µε : όπου c > 0, προκύπτει από µια οριζόντια µετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c µονάδες προς τα δεξιά (Σχήµα γ ). 4. Εστω µια συνάρτηση φ(x). Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x + c), µε c > 0; γραφική παράσταση της συνάρτησης ϕ, µε : f(x) = φ(x + c), όπου c > 0, προκύπτει από µια οριζόντια µετατόπιση της γραφικής παράστασης της φ κατά c µονάδες προς τα αριστερά (Σχήµα δ ). 5. Εστω µια συνάρτηση φ(x). Πως προκύπτει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = φ(x ± c 1 ) ± c 2, µε c 1, c 2 > 0; Με ανάλογο τρόπο, δουλεύουµε για να παραστήσουµε γραφικά τις συναρτήσεις της µορφής : f(x) = φ(x ± c 1 ) ± c 2, µε c 1, c 2 > 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 63

64 ηλαδή, αξιοποιούµε τόσο την οριζόντια όσο και την κατακόρυφη µετατόπιση καµπύλης. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 64

65 3.4.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να ϐρείτε τα πεδία ορισµού των συναρτήσεων : i. f(x) = ηµ2x ii. f(x) = συν(x + π 3 ) iii. f(x) = 3ηµx 5συν4x + 2 iv. f(x) = 2ɛφx 1 v. f(x) = ɛφ(x π 3 ) 2. Να ϐρείτε την περίοδο των παρακάτω περιοδικών συναρτήσεων : i. f(x) = ηµ 3x 4 ii. g(x) = συν(3x + π 4 ) iii. h(x) = ɛφ x iv. f(x) = σφ(4x) 2 3. Να ϐρείτε την περίοδο των συναρτήσεων : i. f(x) = 1 3 ηµ2x ii. f(x) = 5συν x iii. f(x) = ηµ2x 7 iv. f(x) = συν πx v. f(x) = 2ɛφx vi. f(x) = ɛφ2x 2 4. Να ϐρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή των συναρτήσεων : i. f(x) = 2ηµ(x π ) ii. iii. g(x) = 4συνx Να ϐρείτε, αν υπάρχουν, τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή των συναρτήσεων : i. f(x) = 8ηµ3x ii. f(x) = 3συν2x iii. 1 2 ɛφx 6. Να ϐρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή των συναρτήσεων : i. f(x) = 3ηµx 2 ii. f(x) = 5 συνx iii. f(x) = 2ηµ 2 x ίνεται η συνάρτηση f(x) = 3συν x 3. Να ϐρείτε : 3 i. το µέγιστο και το ελάχιστο της, ii. την περίοδο της 8. Να εξετάσετε αν είναι άρτιες ή περιττές οι συναρτήσεις : i. f(x) = x ηµ3x ii. f(x) = 5συν x 2 iii. f(x) = ηµx συνx iv. f(x) = ηµx 2 + xσφx v. f(x) = (x 2 + 1)συνx xɛφx vi. f(x) = ηµ(x + π 6 ) + ηµ(x π 6 ) 9. Να ϐρείτε το σύνολο τιµών των συναρτήσεων : i. f(x) = 2ηµ3x ii. f(x) = 3συνx iii. f(x) = 2ɛφx Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3συν(x + π 2 ) 11. Αν η συνάρτηση f(x) = ασυν βx, α, β > 0 έχει περίοδο 4π και µέγιστη τιµή 2, 2 να ϐρείτε τα α, β. 12. Αν η συνάρτηση g(x) = ɛφ( 3β x), β R, έχει περίοδο π, να ϐρείτε το β Ποια είναι η µέγιστη τιµή και ποια η ελάχιστη τιµής της συνάρτησης : f(x) = 2ηµ(3x π 4 ) 3συν(3π 4 3x). 14. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης : f(x) = ɛφ2x Να µελετήσετε και να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης : f(x) = σφ2x. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 65

66 16. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης : f(x) = 2ɛφ x Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = (3λ 2)ηµ2x, λ R διέρχεται από το σηµείο A( π, 5). Να ϐρείτε : 12 i. την τιµή του λ, ii. την ελάχιστη και τη µέγιστη τιµή της f. 18. Αν η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = α+βσυν2x περνάει από τα σηµεία A( π 2, 0) και B(π 6, 3 ), να αποδειχθεί ότι ϑα περνάει και από το σηµείο Γ(0, 2) Να συγκρίνετε τους αριθµούς : i. ηµ128 και ηµ147 ii. συν200 και συν220 iii. ɛφ300 και ɛφ ίνεται η συνάρτηση f(x) = αηµ2x, α > 0 η οποία έχει µέγιστη τιµή το 2. i. Να ϐρείτε το α ii. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x) = 4 είναι αδύνατη. 21. ίνεται η συνάρτηση f(x) = (3λ 11)ηµ(µ 2)x, λ > 11 3, µ > 2, η οποία έχει περίοδο T = π και µέγιστη τιµή το 4. Να ϐρείτε τα λ, µ Να ϐρείτε τις εξισώσεις των ηµιτονοειδών καµπύλων : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 66

67 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 67

68 23. Να ϐρείτε τις εξισώσεις των ηµιτονοειδών καµπύλων : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 68

71 3.5 Τριγωνοµετρικές εξισώσεις ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 3.27 Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης ηµx = ηµθ; Οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους : x = 2κπ + θ ή x = 2κπ + (π θ), κ Z Ερώτηση 3.28 Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης συνx = συνθ; Οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τους τύπους : x = 2κπ + θ ή x = 2κπ θ, κ Z Ερώτηση 3.29 Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης ɛφx = ɛφθ; Οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τον τύπο : x = κπ + θ, κ Z Ερώτηση 3.30 Ποιες είναι οι λύσεις της εξίσωσης σφx = σφθ; Οι λύσεις της εξίσωσης δίνονται από τον τύπο : x = κπ + θ, κ Z Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 71

72 3.5.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 3.8 Τριγωνοµετρικές είναι οι εξισώσεις, στις οποίες η άγνωστη µεταβλητή είναι µια γωνία, η οποία ϐρίσκεται µέσα σ ένα τριγωνοµετρικό αριθµό. Οι τύποι επίλυσης τριγωνοµετρικών εξισώσεων είναι οι παρακάτω : ηµx = ηµα x = { 2κπ + α 2κπ + π α, κɛz συνx = συνα x = 2κπ ± α, κɛz ɛφx = ɛφα x = κπ + α, κɛz σφx = σφα x = κπ + α, κɛz Παρατηρούµε στους τύπους ότι, ϑα πρέπει και στα δύο µέλη της εξίσωσης, να έχω τον ίδιο τριγωνοµετρικό αριθµό. Εδώ ϑα ήταν χρήσιµο, να ϑυµηθούµε τον πίνακα µε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των ϐασικών γωνιών. µοίρες rad ηµ συν ɛφ σφ π 30 6 π π π Οταν έχω αρνητικό 2ο µέλος στην εξίσωση, τότε ακολουθώ την αντίστροφη διαδικασία απ την αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο. ηλαδή : ηµ(x) = ηµ( x) συν(x) = συν(π x) ɛφ(x) = ɛφ( x) σφ(x) = σφ( x) Παρατηρούµε ότι στο ηµίτονο,την εφαπτοµένη και την συνεφαπτοµένη, το - πάει µέσα στη γωνία, ενώ στο συνηµίτονο το - ϕεύγει και η γωνία αντικαθίσταται από την παραπληρωµατική της Θέµα 3.13 Να λυθεί η εξίσωση : ηµ(x) = 1 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 72

73 {2κπ Λύση 3.13 ηµ(x) = 1 2 ηµ(x) = ηµ( π 6 ) x = + π 6 2κπ + π { π 6, κɛz 2κπ + π x = 6 2κπ + 5π 6, κɛz Θέµα 3.14 Να λυθεί η εξίσωση : συν(x) = 1 2 Λύση 3.14 συν(x) = 1 2 συν(x) = συν( π 3 ) x = {2κπ + π 3 2κπ π 3, κɛz Θέµα 3.15 Να λυθεί η εξίσωση : ɛφ(x) = 1 Λύση 3.15 ɛφ(x) = 1 ɛφ(x) = ɛφ( π 4 ) x = κπ + π 4, κɛz Θέµα 3.16 Να λυθεί η εξίσωση : σφ(x) = 3 Λύση 3.16 σφ(x) = 3 σφ(x) = σφ( π 6 ) x = κπ + π 6, κɛz Θέµα 3.17 Να λυθεί η εξίσωση : ηµ(x) = 1 2 Λύση 3.17 { ηµ(x) = 1 2 ηµ(x) = ηµ( π 6 ) ηµ(x) = ηµ( π 6 ) 2κπ + ( π x = 6 ) 2κπ + π ( π 6 ), κɛz { x = 2κπ π 6 2κπ + 7π 6, κɛz Θέµα 3.18 Να λυθεί η εξίσωση : συν(x) = 1 2 Λύση 3.18 { συν(x) = 1 2 συν(x) = συν(π π 3 ) συν(x) = συν( 2π 3 ) 2κπ + 2π x = 3 2κπ 2π 3, κɛz Θέµα 3.19 Να λυθεί η εξίσωση : ɛφ(x) = 1 Λύση 3.19 ɛφ(x) = 1 ɛφ(x) = ɛφ( π 4 ) ɛφ(x) = ɛφ( π 4 ) x = κπ π 4, κɛz Θέµα 3.20 Να λυθεί η εξίσωση : σφ(x) = 3 Λύση 3.20 σφ(x) = 3 σφ(x) = σφ( π 6 ) σφ(x) = σφ( π 6 ) x = κπ π 6, κɛz Θέµα 3.21 Να λυθούν οι εξισώσεις : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 73

74 i. συνx = 3 2. ii. 3 + ɛφx = 0. Λύση 3.21 i. ii. συνx = 3 2 συνx = συν π 6 συνx = συν π 6 συνx = συν(π π 6 ) x = 2κπ + 5π 6 ή κ Z 2κπ 5π ɛφx = 0 ɛφx = 3 ɛφx = ɛφ π 3 ɛφx = ɛφ( π 3 ) x = κπ π 3, κ Z. Θέµα 3.22 Να λυθούν οι εξισώσεις : i. ɛφ(x π ) + ɛφx = 0. 3 ii. 2συν(2x π ) = 1. µε 0 x < π 5 Λύση 3.22 i. ɛφ(x π 3 ) + ɛφx = 0 ɛφ(x π 3 ) = ɛφx ɛφ(x π 3 ) = ɛφ( x) x π 3 = κπ x 2x = κπ + π 3 x = κπ 2 + π 6 κ Z. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 74

75 ii. 2συν(2x π 5 ) = 1 συν(2x π 5 ) = 1 2 συν(2x π 5 ) = συν π 3 2x π 5 = 2κπ + π 3 ή 2x π 5 = 2κπ π 3 x = κπ + 4π 15 ή x = κπ π 15, κ Z Οµως από υπόθεση, ϑα πρέπει 0 x < π έτσι ϑα έχουµε : 0 x < π 0 κπ + 4π 15 < π 0 (κ )π < π οπότε x = 4π 15 0 κ < κ κ κ = 0 (αφούκ Z) Θέµα 3.23 Να λυθεί η εξίσωση : 2ηµ 2 (x) 5ηµ(x) + 2 = 0 Λύση ηµ 2 (x) 5ηµ(x) + 2 = 0 ϑέτω ηµ(x) = w και έχω : 2w 2 5w + 2 = 0 οι ϱίζες της οποίας είναι : 2 και 1 2 άρα έχω : ηµ(x) = 2 που είναι αδύνατη και ηµ(x) = 1 2 ηµ(x) = 1 2 ηµ(x) = ηµ( π 6 ) x = {2κπ + π 6 2κπ + π π 6, κɛz x = { 2κπ + π 6 2κπ + 5π 6, κɛz Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 75

76 3.5.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ηµx = ηµ π 7 ii. συνx = συν π 10 iii. ɛφx = ɛφ π iv. σφx = σφ 3π Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ηµ(2x π 3 ) = ηµ(x + π 4 ) ii. συν(x + π 3 ) = συν(3x π 6 ) iii. ɛφ(5x + π 4 ) ɛφ(2x π 12 ) = 0 iv. σφ2πx = σφ(πx π 4 ) 3. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ηµx = 1 2 ii. συνx = 2 2 iii. ɛφx = 3 3 iv. σφx = 3 4. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 2ηµx 3 = 0 ii. 2συνx = 1 iii. 2ɛφx = 6 iv. 27σφx 3 = 0 5. Να λύσετε τις εξισώσεις : 2 i. ηµx = ii. ɛφx = 1 2 iii. σφx = 3 iv. συνx = Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ηµx συνx = 0 ii. (ηµx 3)(1 συνx) = 0 iii. (ηµx 1)(2συνx 1) = 0 iv. ɛφx (1 ɛφx) 0 v. (σφx 3) (3σφx 3)σφx = 0 7. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. (ηµx + 1)(2συνx + 3) = 0 ii. συνx ηµ2x = συνx iii. ɛφ 2 x = ɛφx iv. (2ηµx 1) 2 + 2(2ηµx 1) = 0 8. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. ηµ 2 x = 1 ii. 2συν 2 x 1 = 0 iii. 3ɛφ 2 x = Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 2ηµ 2 x 5ηµx + 2 = 0 ii. 4συν 2 x 2( 2 + 3)συνx + 6 = 0 iii. 3ɛφ 2 x 4 3ɛφx + 3 = 0 iv. σφ 2 x 2 3σφx + 3 = Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 3συν 2 x = ηµ 2 x ii. 3ηµx συν 2 x + ηµ 2 x = 1 iii. ɛφx 3σφx = 1 3 iv. συν 4 x 1 = 0 v. ɛφ 3 x = ɛφx vi. 2ηµ 4 x 7ηµ 2 x + 3 = 0 vii. συν 3 x συν 2 x συνx + 1 = 0 viii. ηµ 3 x + συν 3 x = Να λύσετε τις εξισώσεις στο διάστηµα που δίνεται : i. ɛφx = 1 στο [π, 3π] ii. 2συν2x 2 = 0 στο [0, 2π] ηµx 1 iii. ηµx + 1 = 11 στο [0, π] Να λύσετε τις εξισώσεις στο διάστηµα που δίνεται : i. 3ɛφ(4x π 3 ) = 3 στο [π 2, 3π 2 ] ii. ηµ 2 (x + π 3 ) + ηµ2 (2x π ) = 0 στο [0, 2π] 3 iii. ηµ 2 x + συν 2 2x = 1 στο [π, 3π] 13. Να λύσετε τις εξισώσεις : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 76

77 i. ηµ2x + ηµx = 0 ii. συν2x + συνx = 0 iii. ɛφx + ɛφ2x = 0 iv. ηµ2x = συν( π 6 x) v. ηµ2x + συν3x = 0 vi. ɛφ( π 3 3x) + σφ(π x) = Να λύσετε τις εξισώσεις : i. συνx = σφx ii. ɛφx = 2 3 συνx iii. ɛφ 2 x = σφx iv. συνx (1 + ɛφ 2 x) = ɛφx + συνx v. ηµx 1 σφx = συνx ɛφx 1 vi. ηµx + συνx = 1 συνx vii. ηµ 4 x = ηµx viii. ɛφ2x ηµx ηµx ɛφ2x + 1 = Να λύσετε τις εξισώσεις : = 1 x. ηµ(π ηµx) = 1 ix. ηµ 2 x 2 + συν2 x 3 xi. ηµ 3 x + συν 3 x = συνx xii. 2ηµ2 x συνx 4(1 συνx) = 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 77

78 3.6 Τριγωνοµετρικές ταυτότητες αθροίσµατος και διαφοράς 2 γωνιών ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 3.31 Με τι ισούται το συνηµίτονο της διαφοράς δύο γωνιών α και β; Ας ϑεωρήσουµε δυο γωνίες α, β. Τότε συν(α β) = συνα συνβ + ηµα ηµβ Η ισότητα αυτή ισχύει για οποιεσδήποτε γωνίες α, β. Ερώτηση 3.32 Να αποδείξετε ότι συν(α + β) = συνα συνβ ηµα ηµβ. Ισχύει ότι : συν(α β) = συνα συνβ + ηµα ηµβ Αν στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουµε το β µε το β, έχουµε : συν(α ( β)) = συνα συν( β) + ηµα ηµ( β) Εποµένως : συν(α + β) = συνα συνβ ηµα ηµβ Ερώτηση 3.33 Να αποδείξετε ότι ηµ(α + β) = ηµα συνβ + συνα ηµβ. Ισχύει ότι : συν(α β) = συνα συνβ + ηµα ηµβ (σχέση 1) Επειδή συν( π 2 x) = ηµx και ηµ(π x) = συνx, και µε τη ϐοήθεια της σχέσης 1 2 έχουµε : ηµ(α + β) = συν( π 2 (α + β)) = συν(π α) + β)) 2 = συν( π 2 α)συνβ + ηµ(π α)ηµβ = ηµα συνβ + συνα ηµβ. 2 Ερώτηση 3.34 Να αποδείξετε ότι ηµ(α β) = ηµα συνβ συνα ηµβ. Ισχύει ότι ηµ(α + β) = ηµα συνβ + συνα ηµβ. Αν στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουµε το β µε β έχουµε : ηµ(α + ( β)) = ηµα συν( β) + συνα ηµ( β) Εποµένως : ηµ(α β) = ηµα συνβ συνα ηµβ. Ερώτηση 3.35 Να αποδείξετε ότι ɛφ(α + β) = Για να ορίζονται οι ɛφ(α + β), ɛφα και ɛφβ, πρέπει : Με την προϋπόθεση αυτή έχουµε : ɛφ(α + β) = ɛφα + ɛφβ 1 ɛφα ɛφβ. συν(α + β) 0, συνα 0 και συνβ 0. ηµ(α + β) ηµα συνβ + συνα ηµβ = συν(α + β) συνα συνβ ηµα ηµβ Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 78

79 ιαιρούµε αριθµητή και παρανοµαστή µε συνα συνβ 0 και έχουµε : ηµα συνβ συνα ηµβ + συνα συνβ συνα συνβ = συνα συνβ συνα συνβ ηµα ηµβ συνα συνβ ɛφ(α + β) = ɛφα + ɛφβ 1 ɛφα ɛφβ Ερώτηση 3.36 Να αποδείξετε ότι ɛφ(α β) = ɛφα ɛφβ 1 + ɛφα ɛφβ. ɛφα + ɛφβ Ισχύει ότι ɛφ(α + β) = 1 ɛφα ɛφβ. Αν στην παραπάνω ισότητα αντικαταστήσουµε το β µε β έχουµε : ɛφ(α + ( β)) = ɛφα + ɛφ( β) 1 ɛφα ɛφ( β). Εποµένως : ɛφ(α β) = ɛφα ɛφβ 1 + ɛφα ɛφβ. Ερώτηση 3.37 Τι ισχύει για την συνεφαπτοµένη αθροίσµατος και διαφοράς δύο γωνιών ; σφ(α + β) = σφα σφβ 1 σφβ + σφα και σφ(α β) = σφα σφβ + 1 σφβ σφα Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 79

80 3.6.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 3.9 Γράφουµε τη γωνία σαν άθροισµα ή διαφορά ϐασικών γωνιών του 1ου τεταρτηµορίου Θέµα 3.24 Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των 75 o Λύση 3.24 Είναι : ηµ75 o = ηµ(30 o + 45 o ) = ηµ30 o συν45 o + συν30 o ηµ45 o = = 4 συν75 o = συν(30 o + 45 o ) = συν30 o συν45 o ηµ30 o ηµ45 o 3 2 = = 4 ɛφ75 o = ηµ75o συν75 o = = o = = 1 ɛφ75 o = 2 3 Μεθοδολογία 3.10 Χρησιµοποιούµε τους τύπους αθροίσµατος και διαφοράς συν(α β) = συνα συνβ + ηµα ηµβ συν(α + β) = συνα συνβ ηµα ηµβ ηµ(α + β) = ηµα συνβ + συνα ηµβ ηµ(α β) = ηµα συνβ συνα ηµβ Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 80

81 ɛφα + ɛφβ ɛφ(α + β) = 1 ɛφα ɛφβ ɛφα ɛφβ ɛφ(α β) = 1 + ɛφα ɛφβ σφα σφβ 1 σφ(α + β) = σφβ + σφα σφα σφβ + 1 σφ(α β) = σφβ σφα Θέµα 3.25 Να αποδείξετε ότι : ηµ(α + β)ηµ(α β) = ηµ 2 α ηµ 2 β Λύση 3.25 ηµ(α + β)ηµ(α β) = (ηµασυνβ + συναηµβ)(ηµασυνβ συναηµβ) = (ηµασυνβ) 2 (συναηµβ) 2 = ηµ 2 ασυν 2 β συν 2 αηµ 2 β = ηµ 2 α(1 ηµ 2 β) (1 ηµ 2 α)ηµ 2 β = ηµ 2 α ηµ 2 αηµ 2 β ηµ 2 β + ηµ 2 βηµ 2 α = ηµ 2 α ηµ 2 β Μεθοδολογία 3.11 Μας δίνει κάποια από τα ηµα, ηµβ, συνα, συνβ, ɛφα, ɛφβ, 1ον Υπολογίζουµε τους υπόλοιπους τριγωνοµετρικούς αριθµούς µε τους τύπους ηµ 2 α = 1 συν 2 α συν 2 α = 1 ηµ 2 α ɛφα = ηµα συνα α = 1 ɛφα 1 + ɛφ 2 α = 1 συν α 2ον Λαµβάνοντας υπόψιν µας και το τεταρτηµόριο στο οποίο ϐρίσκεται η γωνία, προσδιορίζουµε το πρόσηµο 3ον Προσδιορίζουµε τριγωνοµετρικούς αριθµούς του αθροίσµατος και της διαφοράς των γωνιών α και ϐ, από τους τύπους Θέµα 3.26 Αν συνα = 3 5, µε π 15 < α < π και ηµβ = 2 17 µε 0 < β < π 2 να υπολογίσετε τις τιµές των παραστάσεων ηµ(α + β) και ɛφ(α β) Λύση 3.26 Από το συνα = 3 5, µε π 2 < α < π ϑα υπολογίσω το ηµα και την ɛφα Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 81

82 ηµ 2 α = 1 συν 2 α = 1 ( 3 5 )2 = ηµα = 4 5, επειδή π 2 < α < π 4 ɛφα = ηµα συνα = 5 3 = Από το ηµβ = 15 17, µε 0 < β < π 2 ϑα υπολογίσω το συνβ και την ɛφβ συν 2 β = 1 ηµ 2 β = 1 ( )2 = ɛφβ = ηµβ συνβ = Οπότε, συνβ = 8 17, επειδή 0 < β < π = 15 8 ηµ(α + β) = ηµα συνβ + συνα ηµβ = ( 3 5 ) = ɛφ(α β) = = ɛφα ɛφβ 1 + ɛφα ɛφβ = ( 4 3 )15 8 Μεθοδολογία 3.12 Οταν έχουµε να αποδείξουµε µια ισότητα µε τριγωνοµετρικούς αριθ- µούς, δεδοµένου ότι ισχύει και µια σχέση µεταξύ των γωνιών, τότε µπορούµε να το αντιµετωπίσουµε µε 2 τρόπους. 1ον Να κάνω πράξεις στη σχέση που έχω να αποδείξω, να χρησιµοποιήσω τη συνθήκη µε τη ϐοήθεια τριγωνοµετρικών αριθµών και να καταλήξω σε κάτι το οποίο προφανώς Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 82

83 ισχύει, ή 2ον Να λύσω τη συνθήκη ως προς τη µια γωνία, να αντικαταστήσω στον τύπο και να κάνω πράξεις, χρησιµοποιώντας τύπους αθροίσµατος και διαφοράς Θέµα 3.27 Αν α + β = π 4 να αποδείξετε ότι (1 + ɛφα)(1 + ɛφβ) = 2 Λύση ος τροπος α + β = π 4 ɛφ(α + β) = ɛφ( π 4 ) ɛφα + ɛφβ 1 ɛφα ɛφβ = 1 ɛφα + ɛφβ = 1 ɛφα ɛφβ ɛφα + ɛφβ + ɛφα ɛφβ = 1 (1) Η σχέση (1 + ɛφα)(1 + ɛφβ) = 2 που ϑέλουµε ν αποδείξουµε, γράφεται : (1 + ɛφα)(1 + ɛφβ) = ɛφα + ɛφβ + ɛφα ɛφβ = 2 2ος τρόπος = 2 λόγω της (1) 2 = 2 ισχύει α + β = π 4 α = β + π 4 Αντικαθιστώντας στην (1 + ɛφα)(1 + ɛφβ) = 2 έχουµε : (1 + ɛφα)(1 + ɛφβ) = 2 [ 1 + ɛφ( β + π 4 )] (1 + ɛφβ) = 2 ɛφ π ɛφβ 1 + ɛφ π (1 + ɛφβ) = 2 ɛφβ 4 ( ɛφβ ) (1 + ɛφβ) = ɛφβ 1 + ɛφβ + 1 ɛφβ (1 + ɛφβ) = ɛφβ 2 = 2 ισχύει Μεθοδολογία 3.13 Οταν έχουµε να λύσουµε τριγωνοµετρικές εξισώσεις οι οποίες περιέχουν αθροίσµατα και διαφορές γωνιών, κάνουµε πρώτα τα αναπτύγµατα των τύπων και στη συνέχεια µε κατάλληλες παραγοντοποιήσεις και πράξεις λύνουµε τις εξισώσεις Θέµα 3.28 Να λυθεί η εξίσωση : 2ηµx = συν(x π 6 ) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 83

84 Λύση ηµx = συν(x π 6 ) 2ηµx = συνxσυν π 6 ηµxηµπ 6 3 2ηµx = συνx 2 ηµx1 2 4ηµx = 3συνx ηµx 3ηµx = 3συνx (1) Αν συνx = 0 από την (1) έχουµε ότι και ηµx = 0 άρα : ηµ 2 x + συν 2 x = = 0, ΑΤΟΠΟ Άρα συνx 0 οπότε : (1) ηµx 3 συνx = 3 ɛφx = ɛφπ 6 x = kπ + π 6, k Z Μεθοδολογία 3.14 Οταν µας δίνουν τις γωνιες A, B, Γ ενός τριγώνου ΑΒΓ, τότε ισχύουν τα παρακάτω : A + B + Γ = π όποτε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις σχέσεις : A + B = π Γ, A + Γ = π B B + Γ = π A δηλαδή : ηµ(a + B) = ηµ(π Γ) = ηµγ ή συν(a + B) = συν(π Γ) = συνγ κ.ο.κ. A 2 + B 2 + Γ 2 = π 2 όποτε µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε τις σχέσεις : A 2 + B 2 = π 2 Γ 2, B 2 + Γ 2 = π 2 A 2, A 2 + Γ 2 = π 2 B 2 δηλαδή : ηµ( A 2 + B 2 ) = ηµ(π 2 Γ 2 ) = συν Γ 2 ή συν(a 2 + B 2 ) = συν(π 2 Γ 2 ) = ηµγ 2 κ.ο.κ. Επειδή έχουµε 0 < A < π προκύπτουν τα παρακάτω : 1. ηµa > 0 2. ηµa = 1 A = π 2 3. συνa = 0 A = π 2 4. οµοίως για τς γωνίες Β και Γ Ισχύει ακόµα ότι 0 < A 2 < π 2 1. ηµ A 2 > 0 2. συν A 2 > 0 3. ɛφ A 2 > 0 άρα έχουµε : 4. οµοίως για τς γωνίες Β και Γ Ακόµα, επειδή 0 < A < π και 0 < B < π έχουµε π < A B < π όποτε άµεσα προκύπτουν και οι παρακάτω σχέσεις : 1. ηµ(a B) = 0 A B = 0 A = B 2. συν(a B) = 1 A B = 0 A = B 3. οµοίως για Β-Γ και Γ-Α Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 84

85 Θέµα 3.29 Αν στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει η σχέση : συν(b Γ) = 2ηµBηµΓ να αποδείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Λύση 3.29 συν(b Γ) = 2ηµBηµΓ συνbσυνγ + ηµbηµγ = 2ηµBηµΓ συνbσυνγ + ηµbηµγ 2ηµBηµΓ = 0 συνbσυνγ ηµbηµγ = 0 συν(b + Γ) = 0 A+B+Γ=π συν(π A) = 0 συνa = 0 A = 90 o Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 85

86 3.6.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : i. συν π 18 συν π 9 ηµ π 18 ηµπ 9 iii. συν120 o συν30 o + ηµ120 o ηµ30 o ii. συν 19π 20 συν π 5 + ηµ19π 20 ηµπ 5 iv. ηµ80 o ηµ40 o συν80 o συν40 o 2. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : i. ηµ 13π 7π 13π συν συν ηµ7π ii. ηµ40 o συν5 o + συν40 o ηµ5 o 12 iii. ɛφ 3π 20 + ɛφ π 10 1 ɛφ 3π 20 ɛφ π 10 iv. ɛφ45 o ɛφ15 o 1 + ɛφ45 o ɛφ15 o 3. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης A = συν70 o συν10 o + συν20 o συν80 o 4. Να γράψετε σε απλούστερη µορφή τις παραστάσεις i. ηµ x 2 συν 3π 2 + συν x 22 ηµ3x 2 ii. ηµ(x + π 4 )συνx συν(x + π 4 )ηµx iii. ɛφ(x + y) + ɛφ(x y) 1 ɛφ(x + y)ɛφ(x y) 5. Να υπολογίσετε τις παραστάσεις : ɛφ( 3π iv. 4 3x) + ɛφ(π 4 2x) 1 + ɛφ( 3π 4 3x)ɛφ(π 4 2x) i. συν( 4x)συνx ηµ4xηµ( x) ii. συν(x + π 3 )συνx + ηµ(xπ 3 )ηµx συν 2π ηµ ( 2π ) 6. Να δείξετε ότι : 7 ηµ 3π + 7 ηµ 3π = Να δείξετε ότι : συν(x + π 6 ) + συν(x π 6 ) = 3συνx 8. Να δείξετε ότι : συν 2 (x + π 4 ) + συν2 (x π 4 ) = 1 9. Να δείξετε ότι :(συνα + συνβ) 2 + (ηµα ηµβ) 2 = 2[1 + συν(α + β)] 10. Να δείξετε ότι : i. ηµ(α β)συνβ + ηµβσυν(α β) = ηµα ii. ηµ( π 3 x)ηµ(π 6 + x) + ηµ(π 6 + x)ηµ(π 3 x) = Να δείξετε ότι οι παρακάτω παραστάσεις είναι ανεξάρτητη του x ηµ(α + x) ηµ(α x) (αʹ) A = συν(β x) συν(β + x) (ϐʹ) B = ηµx + ηµ(x o ) + ηµ(x o ) (γʹ) Γ = συν 2 (x + 60 o ) + syn 2 (x 60 o ) + syn 2 x 12. Να δείξετε ότι : i. συν(α + β)συν(α β) = συν 2 α ηµ 2 β ii. συν(α + β)συνγ συν(β + γ)συνα = ηµβηµ(γ α) συν(α β) iii. ɛφα + β = συναηµβ ηµ(β α) iv. σφα β = ηµαηµβ 13. Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας α + β όταν : ηµα = 15 12, συνβ = µε π 2 < α < π και 3π 2 < β < 2π Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 86

87 14. Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας α β όταν : ηµα = 5 13, ɛφβ = 3 π µε 4 2 < α < π και π 2 < β < π 15. Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των 15 o και των 75 o 16. Να λυθούν οι εξισώσεις i. 2ηµx = συν(x π 6 ) ii. ɛφ(x π 4 ) + σφx = 1 iii. συν3xσυν2x + ηµ3xηµ2x = 1 2 iv. ηµ(x π 7 )συνx + ηµxσυν(x π 7 ) = συνx 17. Αν α + β = 135 o και ɛφβ = 2, να ϐρείτε την ɛφα και την ɛφ(α β) 18. Αν α + β = π να δείξετε ότι, (1 + ɛφα)(1 + ɛφβ) = Αν σε τρίγωνο ABΓ ισχύει συν(b Γ) = 2ηµBηµΓ να δείξετε ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο 20. Σ ένα τρίγωνο ΑΒΓ, ν αποδείξετε ότι : (αʹ) ηµ 2 A + ηµ 2 B + ηµ 2 Γ = 2 + 2συνAσυνBσυνΓ (ϐʹ) Αν επιπλέον ισχύει ότι ηµ 2 A + ηµ 2 B + ηµ 2 Γ = 2 Να δειχθεί ότι το τρίγωνο είναι ορθογώνιο. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 87

88 3.7 Τριγωνοµετρικές ταυτότητες 2πλάσιου τόξου ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 3.38 Να γράψετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς του διπλασίου τόξου 2α ηµ2α = 2ηµασυνα συν2α = συν 2 α ηµ 2 α = 2συν 2 α 1 = 1 2ηµ 2 α ɛφ2α = 2ɛφα 1 ɛφ 2 α Ερώτηση 3.39 Να γράψετε τους τύπους αποτετραγωνισµού ηµ 2 α = 1 συν2α 2 συν 2 α = 1 + συν2α 2 ɛφ 2 α = 1 συν2α 1 + συν2α Ερώτηση 3.40 Να γράψετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς του µισού τόξου α 2 ηµ 2 α 2 = 1 συνα 2 συν 2 α 2 = 1 + συνα 2 ɛφ 2 α 2 = 1 συνα 1 + συνα Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 88

89 3.7.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 3.15 Ασκήσεις µε απλή εφαρµογή των τύπων ηµ2α = 2ηµασυνα συν2α = συν 2 α ηµ 2 α = 2συν 2 α 1 = 1 2ηµ 2 α ɛφ2α = 2ɛφα 1 ɛφ 2 α Θέµα 3.30 Να απλοποιήσετε το κλάσµα A = συν2x ηµx + συνx Λύση 3.30 συν2x ηµx + συνx = συν2 x ηµ 2 x ηµx + συνx (συνx ηµx)(συνx + ηµx) = ηµx + συνx = συνx ηµx Μεθοδολογία 3.16 Ασκήσεις στις οποίες υπάρχει το 1 ή το -1 και το συν2x. Οταν έχουµε το 1, αντικαθιστούµε το συν2x = 2συν 2 x 1 ώστε να απλοποιηθούν τα 1 και -1 Οταν έχουµε το -1, αντικαθιστούµε το συν2x = 1 2ηµ 2 x ώστε να απλοποιηθούν τα 1 και -1 Θέµα 3.31 Να αποδειχθούν οι παρακάτω ισότητες ηµ2α i. 1 + συν2α = ɛφα ηµ2α ii. 1 συν2α = σφα Λύση 3.31 i. ηµ2α 1 + συν2α = 2ηµασυνα 1 + 2συν 2 α 1 = 2ηµασυνα 2συν 2 α = ηµα συνα = ɛφα Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 89

90 ii. ηµ2α 1 συν2α = 2ηµασυνα 1 (1 2ηµ α ) = 2ηµασυνα ηµ α = 2ηµασυνα 2ηµ 2 α = συνα ηµα = σφα Θέµα 3.32 Να αποδείξετε ότι : i. ηµ3x = 3ηµx 4ηµ 3 x ii. συν3x = 3συν 3 x = 3συνx Λύση 3.32 i. ηµ3x = ηµ(2x + x) = ηµ2xσυνx + ηµxσυν2x από τον τύπο ηµ(x + y) = ηµxσυνy + ηµyσυνx = 2ηµxσυνxσυνx + ηµx(1 2ηµ 2 x) από τον τύπο συν2x = 2συν 2 x 1 = 2ηµxσυν 2 x + ηµx 2ηµ 3 x = 2ηµx(1 ηµ 2 x) + ηµx 2ηµ 3 x από τον τύπο συν 2 x = 1 ηµ 2 x = 2ηµx1 2ηµ 3 x) + ηµx 2ηµ 3 x = 3ηµx 4ηµ 3 x ii. Οµοίως Μεθοδολογία 3.17 Ασκήσεις στις οποίες πρέπει να υπολογίσουµε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς από τις µισές γωνίες των ϐασικών, του 1ου τεταρτηµορίου. Για να τις υπολογίσουµε αυτές, πρώτα κάνουµε αναγωγή στο 1ο τεταρτηµόριο και µετά χρησιµοποιούµε τους τύπους τετραγωνισµού για το µισό τόξο ηµ 2 α 2 = 1 συνα 2 συν 2 α 2 = 1 + συνα 2 ɛφ 2 α 2 = 1 συνα 1 + συνα Θέµα 3.33 Να υπολογίσετε το συν 3π 8 Λύση 3.33 Είναι : συν 2 3π 8 = 1 + συν2 3π 8 2 = 1 + συν 3π 4 2 = 1 + συν(π π 4 ) 2 = Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 90

91 1 συν π 2 1 = 4 = 2 = Άρα συν 3π = επειδή 4 π 2 < 3π 8 < π Μεθοδολογία 3.18 Ασκήσεις στις οποίες ϑέλω από γωνίες ω να πάω σε γωνίες ω 2, γράφω ηµω = 2ηµ ω 2 συν ω 2 συνω = 1 2ηµ 2 ω 2 = 2συν2 ω 2 1 ɛφω = 2ɛφ ω 2 1 ɛφ 2 ω 2 χρησιµοποιώντας και τις παραπάνω µεθοδολογίες Θέµα 3.34 Να αποδείξετε ότι : ηµ2α 1 + συν2α συνα 1 + συνα = ɛφα 2 Λύση 3.34 ηµ2α 1 + συν2α συνα 1 + συνα = 2ηµασυνα 1 + 2συν 2 α 1 ηµα = 1 + συνα = 2ηµ α 2 συν α συν 2 α 2 συνα έκανα όλες τις γωνίες α 1 + συνα έκανα όλες τις γωνίες α 2 = ηµ α 2 συν α 2 = ɛφ α 2 Μεθοδολογία 3.19 Για να υπολογίσουµε ένα γινόµενο από συνηµίτονα, γράφουµε το κάθε συνα = ηµ2α 2ηµα το οποίο προκύπτει εύκολα από τον τύπο ηµ2α = 2ηµασυνα Θέµα 3.35 Να αποδείξετε ότι : συν20 o συν40 o συν60 o συν80 o = 1 16 Λύση 3.35 Κάνοντας χρήση του τύπου συνα = ηµ2α 2ηµα, έχουµε : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 91

92 συν20 o συν40 o συν60 o συν80 o = ηµ40o ηµ80 o ηµ120 o ηµ160 o 2ηµ20 o 2ηµ40 o 2ηµ60 o 2ηµ80 o = ηµ120o ηµ160 o 16ηµ20 o ηµ60 o = ηµ(180o 60 o )ηµ(180 o 20 o ) 16ηµ20 o ηµ60 o = ηµ60o ηµ20 o 16ηµ20 o ηµ60 o = 1 16 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 92

93 3.7.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να υπολογίσετε την τιµή των παραστάσεων : i. ηµ π 12 συν π 12 ii. 2συν 2 75 o 1 iii. 1 2ηµ 2 π 8 iv. ɛφ67, 5 o 1 ɛφ67, 5 o 2. Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης ɛφ(2α β), όταν ɛφα = 3 και ɛφβ = 2 3. Να γράψετε σε απλούστερη µορφή τις παραστάσεις i. ηµ3xσυν3x ii. 1 2ηµ 2 x 3π 2 2ɛφ α iii. 4 1 ɛφ 2 α 4 4. Να γράψετε σε απλούστερη µορφή τις παραστάσεις i. 2ηµ α 2 συν α 2 ii. 4ηµ2ασυν2α iii. 2συν 2 α 2 1 iv. 1 2ηµ 2( π 4 α ) 2 v. συν 2( π 4 α) ηµ 2( π 4 α) 2ɛφ2α vi. 1 ef 2 2α 5. Να δείξετε ότι : i. 2ηµ15 o ηµ75 o = 1 2 ii. συν 2 10 o συν 2 80 o = συν20 o iii. συν 4 α ηµ 4 α = συν2α 1 συν2α iv. = ɛφα ηµ2α συνα + ηµα συνα ηµα v. συνα ηµα συνα + ηµα = 2ɛφ2α 1 ηµ2α vi. συν2α = 1 ɛφα 1 + ɛφα vii. 8ηµ 4 x = 3 4συν2x + συν4x 6. Να δείξετε ότι : i. (ηµα + συνα) 2 = 1 + ηµ2α ηµ2α ii. 1 συν 2 α = 2σφα iii. ɛφα + σφα = 2 ηµ2α iv. 4ηµασυν 3 α 4ηµ 3 ασυνα ηµ4α v. συν 2 α 4ηµ 2 α α 2 συν2 2 = συν2α 1 συν2α + ηµ2α vi. 1 + συν2α + ηµ2α = ɛφα ηµα + ηµ2α vii. 1 + συνα + συν2α = ɛφα ηµ3α viii. ηµα συν3α συνα = 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 93

94 7. Να αποδείξετε ότι : 1 + συνα + ηµα i. 1 + ηµα συνα = σφα 2 ηµ2α συνα ii. 1 + συν2α 1 + συνα = ɛφα 2 8. Να αποδείξετε ότι, ɛφ 2( π 4 x) 1 ηµ2x 1 + ηµ2x 9. Αν 0 < α < π 4 να αποδείξετε ότι, συνα ηµα = 1 ηµ2α ηµ 2 α + 1 συν 2 α 10. Να αποδείξετε ότι, = 2ɛφ2α ηµα(1 + συνα) 11. ίνεται η συνάρτηση f(x) = συν2x + ηµ2 x 1 + συν2x, x ( π 2, π 2 ) i. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή π ii. Να ϐρείτε το f( 2015 ) 12. Αν ɛφ2α = 3 4 και π < α < π, να ϐρείτε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της 2 γωνίας α 13. Αν ɛφα = 1 4 και ɛφβ = 1 να υπολογίσετε την ɛφ(α + 2β) Αν συνx = 4 5 και π 2 < x < π να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών : i. 2x ii. 3x iii. 4x x iv Αν ηµx = 2 3 και π < x < 3π 2 να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών : i. 2x ii. 3x iii. 4x iv. x Αν ɛφx = 3π 2 και 2 < x < 2π να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς των γωνιών : i. 2x ii. 3x iii. 4x x iv. 2 π 17. Να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας Αν 3συν 2 x 13συνx+4 = 0, µε 0 < x < π, να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς 2 αριθµούς της γωνίας 2x 19. 3συν 2 x 16συνx 12 = 0, π < x < 2π, να υπολογίσετε τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς της γωνίας x Να λυθούν οι εξισώσεις : i. συν2x + 2ηµ 2 x 2 = 0 ii. 1 + συνx = 6ηµ 2 x 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 94

95 iii. συνx + 3ηµ x 2 = 2 iv. ηµ2x = 2συνx v. συνx = 2 + 3συν x 2 vi. (συν x 2 ηµx 2 )2 = 1 συν2x 21. Να λυθεί η εξίσωση 2 ηµ 2 x = 2συν 2 x Να λυθούν οι εξισώσεις i. συν2x + 2συν 2 x 2 = 0 ii. συνx 2ηµ 2 x 2 = 0 iii. 2 συν 2 x = 4ηµ 2 x 2 iv. συν 2 x 1 = 2συν 2 x 2 v. συν2x ηµx 1 = 0 vi. ηµ2x 2συνx + ηµx 1 = Να λυθούν οι εξισώσεις i. ɛφ2x = 2συνx ii. ɛφxɛφ2x = 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 95

96

97 Πολυώνυµα ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ ιαίρεση πολυωνύµων ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Πολυωνυµικές εξισώσεις και ανισώσεις ΘΕΩΡΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυµικές ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 4. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Πολυώνυµα ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 4.1 Τι ονοµάζουµε µονώνυµο ; Να δώσετε ένα παράδειγµα.τι ονοµάζουµε στα- ϑερό πολυώνυµο και τι µηδενικό ; Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε παράσταση της µορφής αxν, όπου α είναι πραγµατικός αριθµός και ν ένας ϑετικός ακέραιος. Μονώνυµο του x καλούµε επίσης και κάθε πραγµατικό αριθµό. Π.χ. Οι παραστάσεις : 3x2, 5x7, x, -5 4 είναι µονώνυµα του x, ενώ οι παραστάσεις 1 3x 1, 5x 2 δεν είναι µονώνυµα. Ερώτηση 4.2 Τι ονοµάζουµε πολυώνυµο; Να δώσετε ένα παράδειγµα. Καλούµε πολυώνυµο του x κάθε παράσταση της µορφής αν xν + αν 1 xν α1 x + α0, όπου ν ένας ϕυσικός αριθµός και α0, α1,..., αν πραγµατικοί αριθµοί. ηλαδή το πολυώνυµο είναι ένα άθροισµα µονωνύµων. Κάθε µονώνυµο του x ϑεωρείται και πολυώνυµο του x. Τα µονώνυµα αν xν, αν 1 xν 1,..., α1 x, α0 λέγονται όροι του πολυωνύµου και οι αριθµοί αν, αν 1,..., α1, α0, συντελεστές αυτού. Ειδικότερα ο α0 λέγεται σταθερός όρος του πολυωνύµου.

98 Π.χ. Η παράσταση 5x 4 1 x x2 0 x + 7 είναι πολυώνυµο του x Ερώτηση 4.3 Πότε ένα πολυώνυµο λέγεται σταθερό και πότε µηδενικό ; Κάθε πολυώνυµο της µορφής P (x) = α 0 0 λέγεται σταθερό πολυώνυµο. Ειδικά το σταθερό πολυώνυµο P (x) = 0, λέγεται µηδενικό πολυώνυµο. Ερώτηση 4.4 Τι λέµε ϐαθµό ενός πολυωνύµου ; Βαθµός πολυωνύµου καλείται η µεγαλύτερη δύναµη της µεταβλητής που παρουσιάζεται στο πολυώνυµο και έχει µη µηδενικό συντελεστή. Π.χ.1 2x + 3 1ου ϐαθµού (γενική µορφή αx + β, α 0) Π.χ.2 5x 2 12x + 7 2ου ϐαθµού (γενική µορφή αx 2 + βx + γ, α 0) Π.χ.3 7x 3 + 6x 2 3x + 4 3ου ϐαθµού (γενική µορφή αx 3 + βx 2 + γx + δ, α 0) Π.χ.4 Τι ϐαθµού είναι το πολυώνυµο αx 2 + 3x + 2; Αν a 0 είναι 2ου ϐαθµού, ενώ αν α = 0 είναι 1ου ϐαθµού. Κάθε σταθερό (µη µηδενικό ) πολυώνυµο έχει ϐαθµό 0 ( µηδενικού ϐαθµού ). Ειδικά στο µηδενικό πολυώνυµο δεν ορίζεται ϐαθµός. Π.χ. 1 Το πολυώνυµο 0x 3 + 0x 2 + 0x + 5 = 5 είναι σταθερό και έχει ϐαθµό 0. Π.χ. 2 Το πολυώνυµο 0x 3 + 0x 2 + 0x + 0 = 0 είναι το µηδενικό πολυώνυµο και δεν έχει ϐαθµό (γιατί µέσα σ αυτό δεν υπάρχει συντελεστής διάφορος του µηδενός). Παρατήρηση: Η διαφορά ανάµεσα στο µηδενικό πολυώνυµο και σε ένα πολυώνυµο µηδενικού ϐαθµού είναι ότι στο µηδενικό πολυώνυµο όλοι του οι συντελεστές είναι ίσοι µε 0 ενώ στο πολυώνυµο µηδενικού ϐαθµού όλοι οι συντελεστές του είναι 0 αλλά ο σταθερός του όρος είναι διάφορος του µηδενός. Ερώτηση 4.5 Τι ονοµάζουµε αριθµητική τιµή ενός πολυωνύµου ; Αριθµητική τιµή ενός πολυωνύµου P (x) για µια τιµή της µεταβλητής x = p λέγεται ο πραγµατικός αριθµός που προκύπτει αν αντικαταστήσουµε το x µε το p και συµβολίζεται µε P (p) π.χ. Η αριθµητική τιµή του P (x) = x 2 x + 1 για x = 1 είναι : P (1) = = 1 Ερώτηση 4.6 Τι ονοµάζουµε ϱίζα ενός πολυωνύµου ; Αν η αριθµητική τιµή ενός πολυωνύµου P (x) για µια τιµή της µεταβλητής x = p είναι 0, τότε ο p λέγεται ϱίζα του πολυωνύµου. π.χ. Εστω P (x) = 2x 3 7x + 1 Η αριθµητική τιµή του P (x) για x = 2 είναι P (2) = = = 3 Ερώτηση 4.7 Πότε δυο πολυώνυµα λέγοντα ίσα ; ύο πολυώνυµα ϑα είναι ίσα όταν έχουν τον ίδιο ϐαθµό και έχουν τους αντίστοιχους Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 98

99 συντελεστές τους ίσους. Ερώτηση 4.8 Πώς προσθέτουµε δυο πολυώνυµα ; Η πρόσθεση πολυωνύµων γίνεται κάνοντας αναγωγή οµοίων όρων. Ο ϐαθµός του πολυωνύµου που προκύπτει, είναι ίσος ή µικρότερος από το µέγιστο των ϐαθµών των δύο πολυωνύµων Ερώτηση 4.9 Πώς αφαιρούµε δυο πολυώνυµα ; Η αφαίρεση γίνεται µε απαλοιφή των παρενθέσεων και στη συνέχεια αναγωγή οµοίων όρων. Ο ϐαθµός του πολυωνύµου που προκύπτει, είναι ίσος ή µικρότερος από το µέγιστο των ϐαθµών των δύο πολυωνύµων Ερώτηση 4.10 Πως πολλαπλασιάζουµε δυο πολυώνυµα ; Ο πολλαπλασιασµός γίνεται εφαρµόζοντας επιµεριστική ιδιότητα και στη συνέχεια αναγωγή οµοίων όρων. Ο ϐαθµός του γινοµένου δύο µη µηδενικών πολυωνύµων είναι ίσος µε το άθροισµα των ϐαθµών των πολυωνύµων αυτών. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 99

100 4.1.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 4.1 Ισότητα πολυωνύµων Εχουµε προβλήµατα όπου Ϲητείται να προσδιορίσουµε παραµέτρους ώστε δύο πολυώνυµα να είναι ίσα. Ακολουθούµε την έξης διαδικασία που είναι γνωστή ως µέθοδος προσδιοριστέων συντελεστών : Σχηµατίζουµε µια ισότητα πολυωνύµων µε τα δεδοµένα της άσκησης. Κατόπιν εξισώνοντας τους συντελεστές των ίσων δυνάµεων των δύο πολυωνύµων καταλήγουµε σ ένα σύστηµα που µας δίνει τη λύση του προβλήµατος. Θέµα 4.1 Να ϐρεθούν οι τιµές του λ R για τις οποίες τα πολυώνυµα Q(x) = λ 2 x 3 + (λ 2)x και R(x) = (5λ 6)x 3 + (λ 2 4)x 2 + λ + 1 είναι ίσα. Λύση 4.1 Τα Q(x) και R(x) ϑα είναι ίσα για εκείνες τις τιµές του λ για τις οποίες συν αληθεύουν οι εξισώσεις : λ 2 = 5λ 6, λ 2 = λ 2 4, 3 = λ + 1 Η κοινή λύση των εξισώσεων είναι η λ = 2. Εποµένως για λ = 2 τα πολυώνυµα Q(x) και R(x) είναι ίσα. Μεθοδολογία 4.2 Πολυώνυµα µε συγκεκριµένες µορφές Οταν ϑέλουµε να ϐρούµε τις τιµές κάποιων παραµέτρων ώστε ένα πολυώνυµο να παίρνει µια συγκεκριµένη µορφή η οποία εµπεριέχει αυτές τις παραµέτρους, ϐασιζόµαστε στην ισότητα των πολυωνύµων. Εξισώνουµε δηλαδή το δοθέν πολυώνυµο µε τη µορφή που ϑέλουµε αυτό να πάρει. Θέµα 4.2 Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ για τους οποίους το πολυώνυµο f(x) = 3x 2 7x + 5 παίρνει την µορφή f(x) = αx(x + 1) + βx + γ. Λύση 4.2 Εχουµε f(x) = αx(x + 1) + βx + γ = αx 2 + (α + β)x + γ Για να παίρνει το πολυώνυµο 3x 2 7x + 5 τη µορφή αx 2 + (α + β)x + γ ϑα πρέπει τα δύο αυτά πολυώνυµα να είναι ίσα. Άρα : α = 2 και α + β = 7 και γ = 5 οπότε α = 2 και β = 10 και γ = 5 Θέµα 4.3 Να προσδιορίσετε τους πραγµατικούς α, β, γ, ώστε το πολυώνυµο P (x) = x 4 2x 3 + αx 2 + βx + 4 να είναι ίσο, µε το τετράγωνο του Q(x) = x 2 x + γ. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 100

101 Λύση 4.3 P (x) = Q 2 (x) x 4 2x 3 + αx 2 + βx + 4 = (x 2 x + γ) 2 x 4 2x 3 + αx 2 + βx + 4 = x 4 + x 2 + γ 2 2x 3 + 2x 2 γ 2xγ x 4 2x 3 + αx 2 + βx + 4 = x 4 2x 3 + x 2 (1 + 2γ) 2xγ + γ 2 α = 1 + 2γ β = 2γ 4 = γ 2 α = 5 ή α = 3 β = 4 γ = ±2 Θέµα 4.4 Να προσδιορίσετε τους πραγµατικούς α, β, γ, ώστε να ισχύει : 2x x 3 (x 1)(x 2 4) = α x 1 + β x γ x 2 Λύση 4.4 2x x 3 (x 1)(x 2 4) = α x 1 + β x γ x 4 (x 1)(x 2)(x + 2) 2x2 + 10x 3 (x 1)(x 2 2) = α β γ (x 1)(x 2)(x + 2) + (x 1)(x 2)(x + 2) + (x 1)(x 2)(x + 2) x 1 x + 2 x 2 2x x 3 = α(x 2 4) + β(x 1)(x 2) + γ(x 1)(x + 2) 2x x 3 = αx 2 4α + β(x 2 3x + 2) + γ(x 2 + x 2) 2x x 3 = αx 2 4α + βx 2 3βx + 2β + γx 2 + γx 2γ 2x x 3 = x 2 (α + β + γ)) + ( 3β + γ)x + 2β 2γ 4α α = 3 α + β + γ = 2 3β + γ = 10 β = 5 4 2γ + 2β 4α = 3 γ = 25 4 Μεθοδολογία 4.3 Βαθµός πολυωνύµου για διάφορες τιµές µιας παραµέτρου Στις περιπτώσεις που ϑέλουµε να µελετήσουµε το ϐαθµό ενός πολυωνύµου του οποίου οι συντελεστές περιέχουν κάποια παράµετρο, ξεκινούµε ελέγχοντας πότε µηδενίζεται ο συντελεστής του µεγιστοβάθµιου όρου. Ο ϐαθµός του πολυωνύµου είναι ίσος µε αυτόν του µεγιστοβάθµιου όρου όταν η παράµετρος παίρνει τιµές που δε µηδενίζουν Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 101

102 το συντελεστή του, ενώ για τις τιµές που µηδενίζουν το συντελεστή του µεγιστοβάθµιου όρου µελετούµε ξεχωριστά τις αντίστοιχες περιπτώσεις. Θέµα 4.5 Να ϐρείτε το ϐαθµό του πολυωνύµου P (x) = (9λ 3 4λ)x 3 + (9λ 2 4)x 3λ + 2 για τις διάφορες τιµές του λ R. Λύση 4.5 ιακρίνουµε τις περιπτώσεις : 1. Αν 9λ 3 4λ 0 λ(9λ 2 4) 0 λ(3λ 2)(3λ + 2) 0 λ 0 και λ 2 και λ τότε ο συντελεστής του x 3 είναι διάφορος του µηδενός άρα το P (x) είναι 3ου ϐαθµού. 2. Αν 9λ 3 4λ = 0 λ = 0 ή λ = 2 ή λ = 2 διακρίνουµε τις υποπεριπτώσεις : 3 3 i. Για λ = 0 το P (x) γίνεται : P (x) = 0x 3 4x + 2 = 4x + 2 άρα είναι 1ου ϐαθµού. ii. Για λ = 2 το P (x) γίνεται : 3 P (x) = 0x 3 0x + 0 = 0 άρα είναι το µηδενικό πολυώνυµο και δεν έχει ϐαθµό. iii. Για λ = 2 το P (x) γίνεται : 3 P (x) = 0x 3 0x + 4 = 4 άρα είναι σταθερό πολυώνυµο και έχει ϐαθµό µηδέν. Μεθοδολογία 4.4 Αριθµητική τιµή - Ρίζα πολυωνύµου και προσδιορισµός παρα- µέτρων ϑυµάµαι ότι : Το P (x) έχει ϱίζα τον αριθµό ρ, αν και µόνο αν ισχύει P (ρ) = 0. Η αριθµητική τιµή του P (x) για x = ρ είναι ίση µε λ, αν και µόνο αν ισχύει P (ρ) = λ Θέµα 4.6 Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς λ και µ, για τους οποίους το πολυώνυµο P (x) = 2x 3 + λx 2 + µx + 6 έχει ϱίζα το 1 και ισχύει P ( 2) = 12. Λύση 4.6 Το 1 είναι ϱίζα του P (x) αν και µόνο αν P (1) = 0 2(1) 3 + λ(1) 2 + µ1 + 6 = λ + µ + 6 = 0 λ + µ = 8 (1) Ισχύει P ( 2) = 12 2 ( 2) 3 + λ( 2) 2 + µ( 2) + 6 = λ 2µ + 6 = λ 2µ = 12 4λ 2µ = 2 2λ µ = 1 (2) Από τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε ότι λ = 3 και µ = 5 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 102

103 4.1.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυµα του x i. 1 x 3 ii. α 3 3α 2 x + 3αx 2 iii. x + 1 x iv. x 4 2x x 1 2. ίνονται τα πολυώνυµα P (x) = x 2 5x + 2 και Q(x) = x 3 + 3x + 1. Να ϐρεθούν τα πολυώνυµα : i. P (x) + Q(x) ii. 2P (x) 3Q(x) iii. P (x)q(x) iv. P 2 (x) 3. ίνονται τα πολυώνυµα P (x) = x 3 2x και Q(x) = x 2 3x 1. Να ϐρεθούν τα πολυώνυµα : i. P (x) + Q(x) ii. P (x) Q(x) iii. P (x)q(x) 4. ίνονται τα πολυώνυµα P (x) = 2x + 3 και Q(x) = x Να ϐρεθούν τα πολυώνυµα : i. P (Q(x)) ii. Q(P (x)) iii. P (P (x)) iv. P (Q(x 1)) 5. ίνονται τα πολυώνυµα P (x) = x 2 x + 1 και Q(x) = x 3 + x 2 x. Να ϐρεθούν τα πολυώνυµα : i. P (x) Q(x) ii. P (x)q(x) + x 3 iii. P 2 (x) + Q(x) 6. ίνονται τα πολυώνυµα P (x) = x 2 4x + 3 και Q(x) = x 3 + x 2. Να ϐρεθούν τα πολυώνυµα : i. P (x) + 2Q(x) ii. 2P (x) 3Q(x) iii. P (x)q(x) + 6x 2 7. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x R, το πολυώνυµο P (x) = (4µ 3 µ)x 3 + 4(µ 2 1 )x 2µ είναι το µηδενικό πολυώνυµο. 8. Να εξετάσετε αν υπάρχουν, α, β R, ώστε το P (x) = (α 1)x 2 + (2β + 2)x + α + β 5 να είναι το µηδενικό πολυώνυµο. 9. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ R, το πολυώνυµο P (x) = (λ 2 1)x 4 + (λ 2 + λ 2)x 2 + λ 2 4λ + 3 να είναι το µηδενικό πολυώνυµο. 10. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ R, το πολυώνυµο να είναι το µηδενικό πολυώνυµο. P (x) = (λ + 2)x 3 (λ 2 + λ 2)x + λ 2 4 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 103

104 11. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ R, το άθροισµα των πολυωνύµων P (x) = λx 2 x + λ 2 5 και Q(x) = x 2 + λ 2 x 4λ να είναι το µηδενικό πολυώνυµο. 12. Αν α 3 + β 3 + γ 3 = αβγ και α + β + γ 0 να δειχθεί ότι P (x) = (α β)x 2 + (β γ)x + γ α είναι το µηδενικό πολυώνυµο. 13. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ R, το πολυώνυµο P (x) = (λ 2 + λ 6)x 3 + (λ 2 4)x + 3λ 1 να είναι σταθερό. Ποια είναι η τιµή του ; 14. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του x R, τα πολυώνυµα P (x) = (α 2 3α)x 3 + x 2 + α και Q(x) = 2x 3 + αx 2 + (α 3 1)x + 1 να είναι ίσα. 15. Να ϐρείτε για ποιες τιµές των, α, β, γ R, τα πολυώνυµα P (x) = α(x + 2)(x + 3) + β(x 1) + γ και Q(x) = 2x 2 + 4x + 5 να είναι ίσα. 16. Να ϐρείτε για ποιες τιµές των, α, β, γ R, τα πολυώνυµα P (x) = 2x 3 +(γ 2)x 2 (γ +2)x 6 και Q(x) = 2x 3 +αx 2 13x+β να είναι ίσα. 17. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ, κ R, ώστε τα πολυώνυµα P (x) = (λ + 1)x 5 (κ 3)x 3 5λ + 15 και Q(x) = κx 5 + λx 3 + 5κ να είναι ίσα. 18. Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ, κ, µ R, ώστε τα πολυώνυµα P (x) = λx 2 (λ κ)x + µ 2λ και Q(x) = (µ λ)x 3 + 4x + κ + λ να είναι ίσα. 19. Να εξετάσετε, ποιοι από τους αριθµούς που δίνονται µε τα παρακάτω πολυώνυµα, είναι ϱίζες τους. i. P (x) = 2x 3 3x 2 + 2x + 7, x = 1, x = 1 ii. Q(x) = x 4 + 1, x = 1, x = 1, x = Να εξετάσετε, ποιοι από τους αριθµούς 3, 5, , είναι ϱίζες του P (x) = x 2 2x Να ϐρείτε για ποιες τιµές του k, το 2 είναι ϱίζα του P (x) = x 3 kx 2 + 5x + k. 22. Για ποιες τιµές του α R η τιµή του πολυωνύµου P (x) = 5x 2 + 3αx + α 2 2 για x = 1 είναι ίση µε Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ, ώστε το πολυώνυµο P (x) = 3x 2 7x + 5 να παίρνει τη µορφή P (x) = αx(x + 1) + βx + γ. 24. Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, ώστε το πολυώνυµο P (x) = 9x 3 3x 2 + 8x + 27 να παίρνει τη µορφή P (x) = α(x 3 + x) 3x 2 + (x 3)(x 2 + 3x + 9). 25. Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ, ώστε 2x x 3 (x 1)(x 2 4) = α x 1 + β x γ x Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, ώστε το πολυώνυµο P (x) = 2x 3 + λx 2 + µx + 6 να έχει ϱίζα το 1 και να ισχύει P ( 2) = P (x) = x 2 + (λ + 1)x + λ 2 10 (αʹ) Να ϐρείτε το λ ώστε P (3) = 6 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 104

105 (ϐʹ) Αν Q(x) = P (x) 6 να λύσετε την εξίσωση Q(x) = Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, ώστε το πολυώνυµο P (x) = x 3 + αx 2 + (β 2)x + 6 να έχει ϱίζες το -1 και το Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς κ, λ, ώστε το πολυώνυµο P (x) = x 3 + λx 2 + µx + 4 να έχει ϱίζα το 2 και να ισχύει P (1) = ίνονται τα πολυώνυµα, P (x) = x 2 (2α + 1)x + 26 και Q(x) = x 2 (β + 2)x + 5α Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, ώστε το 3 να είναι κοινή ϱίζα των P (x), Q(x) 31. ίνεται το P (x) = x 2 + 2x + 5. Να προσδιορίσετε το α, ώστε P (α 10 = 13) 32. Να δειχθεί ότι, για κάθε k R το P (x) = (k 1)x65 + (3k 2 + 2)x 3 + kx δεν έχει ϱίζα το Αν το P (x) = x 2 + (α 1)x + 2α έχει ϱίζα το -1, να αποδείξετε ότι, το ίδιο ισχύει και για το K(x) = x 3 + 4x 2 + (α 2 1)x, ισχύει το αντίστροφο ; 34. Να ϐρείτε το ϐαθµό του πολυωνύµου P (x) = (9λ 3 4λ)x 3 + (4λ 2 4)x 3λ + 2 για τις διάφορες τιµές του λ R 35. Να ϐρείτε το ϐαθµό του πολυωνύµου για τις διάφορες τιµές του λ R 36. Να ϐρείτε το ϐαθµό του πολυωνύµου P (x) = (2λ 1)x 2 + x λ P (x) = (λ 3 9λ)x 3 + (λ 2 3λ)x 2 + (λ 2 4λ + 3)x + 3λ 5 για τις διάφορες τιµές του λ R 37. Να ϐρείτε το ϐαθµό του πολυωνύµου P (x) = (λ 3 λ)x 3 + (λ 2 1)x 2 + (λ 2 4λ + 3)x + 1 λ για τις διάφορες τιµές του λ R 38. Να ϐρείτε το πολυώνυµο P (x) ώστε να ισχύει (2x + 1)P (x) = 2x 3 9x 2 3x Να ϐρείτε το πολυώνυµο P (x) ώστε να ισχύει (x 3)P (x) = x 3 3x 2 4x Να ϐρείτε το πολυώνυµο P (x) ώστε να ισχύει (x 2 + 1)P (x) = 3x 5 + 2x 4 + x 3 x 2 2x Να ϐρείτε πολυώνυµο K(x), ώστε το τετράγωνό του, να ισούται µε το πολυώνυµο P (x) = x 4 2x 3 3x 2 4x Να ϐρείτε τους πραγµατικούς αριθµούς α, β, γ, για τους οποίους το P (x) = x 4 2x 3 + αx 2 + βx + 4, είναι το τετράγωνο του Q(x) = x 2 x + γ. 43. Να ϐρείτε το πολυώνυµο P (x) ώστε να ισχύει P 2 (x) = x 4 2x 3 + 5x 2 4x + 4 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 105

106 44. Να ϐρείτε πολυώνυµο P (x) 3ου ϐαθµού ώστε, P (0) = 0 και P (x) P (x 1) = x Να ϐρείτε τα κ, λ, µ ώστε να είναι ίσα τα πολυώνυµα : P (x) = (κ 1)x 3 3x µ Q(x) = (λ µ)x + µ Να ϐρείτε το λ R ώστε να είναι ίσα τα πολυώνυµα : Q(x) = (λ 2 1)x 2 4x + λ P (x) = (λ 1)x 3 + (λ 2 5λ)x + 2λ. 47. Να δείξετε ότι για κάθε α, β R το πολυώνυµο P (x) = (α β)x 2 + (α β 2 2)x είναι µη µηδενικό. 48. Να δείξετε ότι δεν υπάρχουν τιµές των α, β R ώστε το πολυώνυµο P (x) = (α β)x 2 + (α + 2β)x + α 1 είναι µηδενικό 49. Να ϐρείτε τις τιµές των α, β ώστε το πολυώνυµο P (x) = (α 2 1)x 2 + (2 α β)x + α 1 να είναι σταθερό. 50. Να ϐρείτε το λ ώστε το πολυώνυµο P (x) = (λ 3)x 3 + (λ 2 9)x 2 + (λ 2 5λ + 6)x + λ να είναι σταθερό 51. Να ϐρεθούν οι τιµές των α, β ώστε το πολυώνυµο : P (x) = (α 2β)x 2 + (2α + β 10)x να είναι µηδενικό. 52. Να ϐρείτε τα x και y ώστε για κάθε λ R να ισχύει : 53. Να ϐρείτε τα x, y ώστε το πολυώνυµο (x 2y + 5)λ + (3x + 2y 9) = 0. P (λ) = x(λ 2 3λ) y(2λ 2 + 2λ 1) + x 2 8λ 2 1 να είναι µηδενικό. 54. Εστω το πολυώνυµο : P (x) = (λ 2 λ)x λ Να ϐρείτε το λ ώστε το P (x) να είναι : i. σταθερό πολυώνυµο ii. µηδενικό πολυώνυµο iii. µηδενικού ϐαθµού. 55. Να ϐρείτε το ϐαθµό του πολυωνύµου : για τις διάφορες τιµές του λ. 56. Αν για το πολυώνυµο : P (x) = (4λ 3 9λ)x 3 + (4λ 2 9)x 2 2λ + 3. P (x) = (λ 3 100λ)x 3 + (λ 2 10λ)x + 10λ 1. είναι πρώτου ϐαθµού, να ϐρείτε το λ. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 106

107 57. Να ϐρείτε το α ώστε το πολυώνυµο : P (x) = 16α 2 x 3 + 8αx 2 2x α να έχει ϱίζα το Να ϐρείτε τα α, β ώστε για το πολυώνυµο : P (x) = 27α 2 x 3 18αx 2 3x + β 1 να ισχύει P (0) = 2 και να έχει ϱίζα το Να δείξετε ότι το πολυώνυµο : P (x) = α 2 x 4 + 2αx 3 + (α 1)x + 2 δεν έχει ϱίζα το 1 για κάθε α R. 60. Αν P (x) = 2x 2 3x και Q(x) = 2x 2 + x 2 να ϐρείτε τα πολυώνυµα : i. P (x) + Q(x) ii. 2P (x) 3Q(x) iii. P (x) Q(x) ( iv. P (x) ) Εστω τα πολυώνυµα : P (x) = x 2 3x+1 και Q(x) = 2x 1. Να ϐρείτε τα παρακάτω πολυώνυµα και το ϐαθµό τους : i. P ( Q(x) ) ii. Q ( P (x) ) iii. Q ( Q(x) ) 62. Εστω το πολυώνυµο : P (x) = 3x 2 2x + 1. Αν P (α 1) = α να ϐρείτε το α. 63. Αν για το πολυώνυµο P (x) ισχύει : P (3x 2) = 9x 2 6x + 2 να ϐρείτε το P (x). 64. Αν για το πολυώνυµο P (x) ισχύει : P (x + 1) = 8x 3 12x 2 30x + 9 να δείξετε ότι το 1 2 είναι ϱίζα του P (x). 65. Αν για το πολυώνυµο P (x) έχει ϱίζα το 2 να δείξετε ότι το πολυώνυµο : Q(x) = 2 P (3x + 1) + (x 2 + x)p (x + 1) έχει ϱίζα το Αν για το πολυώνυµο P (x) είναι P ( 1) = 2, να δείξετε ότι το πολυώνυµο : Q(x) = P (x 2 3x 5) + 3P (x + 4) + 3xP (1 2x) 2 έχει ϱίζα το Να ϐρείτε τα α, β ώστε το P (x) = 2x 3 x 2 6x + 3 να παίρνει τη µορφή (αx + β)(x 2 3). 68. Να ϐρείτε το πολυώνυµο P (x) ώστε να ισχύει : (x 1)P (x) = 2x 3 x(x + 2) Να ϐρείτε το πολυώνυµο P (x), δευτέρου ϐαθµού µε ϱίζες τους αριθµούς 0, 2 και να ισχύει : P ( 1) = Να ϐρείτε το πολυώνυµο P (x), τρίτου ϐαθµού, αν η πολυωνυµική συνάρτηση P (x) είναι περιττή, P ( 1) = 1 και P (2) = Να ϐρείτε πολυώνυµο P (x) τέτοιο ώστε : i. P ( P (x) ) = 9x + 8. ii. P ( P (x) ) = 16x Να ϐρείτε πολυώνυµο P (x) για το οποίο ισχύει : [ P (x) ] 2 + 2P (x) = 4x 2 1. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 107

108 4.2 ιαίρεση πολυωνύµων ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 4.11 Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύµου (x) µε το δ(x). Για κάθε Ϲεύγος πολυωνύµων (x) και δ(x) 0, υπάρχουν δύο µοναδικά πολυώνυµα π(x) και υ(x) τέτοια ώστε (x) = δ(x) π(x) + υ(x) το (x) λέγεται διαιρετέος το δ(x) λέγεται διαιρέτης το π(x) λέγεται πηλίκο το υ(x) λέγεται υπόλοιπο και ή είναι µηδενικού ϐαθµού ή έχει ϐαθµό µικρότερο από το ϐαθµό του δ(x). Αν σε µια διαίρεση είναι υ(x) = 0 τότε η διαίρεση λέγεται τέλεια και ϑα είναι (x) = δ(x) π(x) Λέµε τότε ότι το δ(x) διαιρεί το (x) ή ότι το δ(x) είναι παράγοντας του (x) ή ότι το (x) διαιρείται µε το δ(x) ή ότι το δ(x) είναι διαιρέτης του (x). Ερώτηση 4.12 Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x p είναι P (p). Είναι δηλαδή υ = P (p) Η ταυτότητα της διαίρεσης του πολυωνύµου R(x) µε το πολυώνυµο x p γράφεται. P (x) = (x p)π(x) + υ(x) Επειδή ο διαιρέτης x p είναι πρώτου ϐαθµού, το υπόλοιπο της διαίρεσης ϑα είναι ένα σταθερό πολυώνυµο υ. Ετσι έχουµε : και, αν ϑέσουµε x = p, παίρνουµε Εποµένως, P (x) = (x p)π(x) + P (p) P (x) = (x p)π(x) + υ P (p) = (p p)π(p) + υ = 0 + υ = υ Ερώτηση 4.13 Να αποδείξετε ότι το x p είναι παράγοντας του P (x) αν και µόνο αν P (p) = 0. Εστω ότι το x p είναι παράγοντας του P (x). Τότε Από την ισότητα αυτή για x = p παίρνουµε P (x) = (x p)π(x) P (p) = (p p)π(p) = 0, που σηµαίνει ότι το ϱ είναι ϱίζα του P (x). Αντιστρόφως : Εστω ότι το p είναι ϱίζα του P (x), δηλαδή ισχύει P (p) = 0. Τότε από τη σχέση P (x) = (x p)π(x) + P (p) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 108

109 παίρνουµε P (x) = (x p)π(x), που σηµαίνει ότι το x p είναι παράγοντας του P (x). Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 109

110 4.2.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Θέµα 4.7 Να γίνει η διαίρεση (x 2 5x + 1) : (x) και να γράψετε την ταυτότητα της. x 2 5x + 1 x x 2 + 0x + 0 x 5 Λύση 4.7 5x + 1 5x Η ταυτότητα της διαίρεσης είναι (x 5)x + 1 = x 2 5x + 1 Θέµα 4.8 Να προσδιορίσετε τον k R ώστε το πολυώνυµο g(x) = 2k 2 x kx x να έχει παράγοντα τον x + 1 Λύση 4.8 Επειδή έχει παράγοντα το x 1 πρέπει g(1) = 0 = 2k k = 0 = 2k 2 + 5k + 3 = 0 k 1 = 1 = k 2 = 3 2 Μεθοδολογία 4.5 ιαιρέτης της µορφής (x p 1 )(x p 2 ) Για να αποδείξουµε ότι ένα πολυώνυµο P (x) έχει διαιρέτη της µορφής (x p 1 )(x p 2 ), Αρχικά εκτελούµε τη διαίρεση P (x) : (x p 1 ), όπου το υπόλοιπό της πρέπει να είναι 0. Τότε η ταυτότητα, αυτής της διαίρεσης είναι : P (x) = (x p 1 )π(x) Αρκεί τώρα να δείξουµε ότι το πηλίκο π(x) αυτής της διαίρεσης έχει παράγοντα το x p 2. Θέµα 4.9 Να προσδιορίσετε τον πραγµατικούς αριθµούς α και β, ώστε το πολυώνυµο P (x) = 2x 3 3x 2 + αx + β να διαιρείτε µε το Q(x) = x 2 x 2. Λύση 4.9 Το Q(x) γράφεται x 2 x 2 = (x 2)(x + 1) Οπότε τα x 2 και x + 1 πρέπει να είναι παράγοντες του P (x) α τρόπος Κάνω τη διαίρεση µε το x 2 χρησιµοποιώντας το σχήµα του Horner. (Μια µέθοδος που µας ϐολεύει να κάνουµε γρήγορα διαιρέσεις µε πολυώνυµα της µορφής x ρ) 2 3 α β α α + 2 2α + β + 4 Για να είναι το x 2 παράγοντας του P (x) πρέπει το υπόλοιπο της διαίρεσης, να είναι 0. ηλαδή Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 110

111 2α + β + 4 = 0 Τότε η ταυτότητα, αυτής της διαίρεσης είναι : P (x) = (x 2)(2x 2 + x + α + 2) Τώρα ϑα πρέπει και το πηλίκο 2x 2 + x + α + 2 αυτής της διαίρεσης να έχει παράγοντα το x + 1 Κάνω τη διαίρεση µε το x + 1 χρησιµοποιώντας το σχήµα του Horner 2 1 α α + 3 Για να είναι το x + 1 παράγοντας του π(x) πρέπει το υπόλοιπο της διαίρεσης, να είναι 0. ηλαδή α + 3 = 0 Οπότε έχω να λύσω το σύστηµα : 2α + β + 4 = 0 α + 3 = 0 β = 2 α = 3 ϐ τρόπος Επειδή τα x 2 και x + 1 είναι παράγοντες του P (x) Εχουµε, P (2) = 0 και P ( 1) = 0. Άρα : P (2) = 0 P ( 1) = α + β = 0 2( 1) 3 3( 1) 2 1α + β = α + β = α + β = α + β = 0 5 α + β = 0 β = 2 α = 3 Θέµα 4.10 Αν το P (x) διαιρείτε µε το x 2, να δειχθεί ότι το P (2x 4) διαιρείται µε το x 3 Λύση 4.10 Επειδή το P (x) διαιρείται µε το x 2 ισχύει ότι P (2) = 0. Για να διαιρείται το P (2x 4) µε το x 3, ϑα πρέπει για x = 3 το P (2x 4) = 0 Πράγµατι, x = 3 το P (2x 4) = P (2) = 0 Άρα το P (x) έχει παράγοντα το x 3. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 111

112 4.2.3 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης σε κάθε περίπτωση. i. (3x 3 + 6x 2 7x + 20) : (x + 3) ii. (24x x 3 16x 2 15) : (6x 2 + 5) iii. (2x 4 + 4x 3 5x 2 + 3x 2) : (x 2 + 2x 3) iv. (x 4 ) : (x 1) 3 2. Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις. i. (x 6 3x 5 x 4 + 2x 3 x + 1) : (x 3 + x 1) ii. (x 3 3x 2 + 3x) : (x + 3) iii. (x 4 3αx 3 + 6α 2 x 2 3αx + α 4 ) : (x 2 αx + α 2 ) iv. (6x 3 19x x 10) : (3x 2 5x + 6) 3. Να ϐρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης (18x 80 6x x 20 2) : (x + 1) 4. Να ϐρείτε τις τιµές του k, ώστε το x 1 να είναι παράγοντας του G(x) = k 2 x 4 + 3kx Με τη ϐοήθεια του σχήµατος Horner, να ϐρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των παρακάτω διαιρέσεων i. ( x x 250) : (x + 10) ii. (x ) : (x + 8) iii. (4x x 2 23x 15) : (x ) 6. Αν P (x) = 2x 3 2x 2 x να ϐρείτε το P ( 11). 7. Αν P (x) = 3x x x 2 10x να ϐρείτε το P ( 13). 8. Να αποδείξετε ότι τα πολυώνυµα της µορφής x ρ είναι παράγοντες του P (x) i. P (x) = x 4 25x , x + 3 ii. P (x) = 16x 4 8x 3 + 9x x 4, x 1 4 iii. P (x) = x 3 3x 2 + 2, x Να αποδείξετε ότι, τα παρακάτω πολυώνυµα, δεν έχουν παράγοντα της µορφής x ρ i. P (x) = 4x 4 + 7x ii. Q(x) 5x 6 3x Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις i. (3x 2 2αx 8α 2 ) : (x 2α) ii. (x 3 + αx 2 α 2 x α 3 ) : (x + α) 11. i. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το αx + β, α 0 είναι υ = P ( β α ) ii. Να ϐρείτε τις συνθήκες, για τις οποίες το πολυώνυµο αx 2 + β διαιρείται µε το αx + β iii. Να ϐρείτε τον πραγµατικό αριθµό λ ώστε η διαίρεση [(λ + 9)x 3 + (λ )x + 7λ] : (2x 1) να είναι τέλεια. 12. Με τη ϐοήθεια του σχήµατος Horner να αποδείξετε ότι το P (x) = 2x 4 6x 3 + 5x 2 3x + 2 διαιρείται µε το (x 1)(x 2) και να ϐρείτε το πηλίκο. 13. Να αποδείξετε ότι, το πολυώνυµο P (x) = (x + 1) 2ν x 2ν 2x 1, ν 0 έχει παράγοντες, όλους τους παράγοντες του 2x 3 + 3x 2 + x. 14. Ενα πολυώνυµο P (x) αν διαιρεθεί µε το x 2 1 δίνει υπόλοιπο 2x + 3. Να ϐρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης P (x) : (x 1). Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 112

113 15. ίνεται το πολυώνυµο P (x) = kx 4 + λx 3 18x x 5. Να ϐρείτε τα k, λ R ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης P (x) : (x 2 3x + 2) να είναι 4x Ενα πολυώνυµο P (x) διαιρούµενο µε το x α δίνει πηλίκο x 2 3x + 4 ενώ διαιρούµενο µε το x β δίνει πηλίκο x 2 4x + 2. Να ϐρείτε το P (x) και να υπολογίσετε τα α, β αν γνωρίζετε ότι ο σταθερός όρος του P (x) είναι Εστω τα πολυώνυµα P (x) και Q(x) = P (3x 5) + x 2 2x 2. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης P (x) : (x 1) είναι 2, να δείξετε ότι το x 2 είναι παράγοντας του Q(x). 18. Για ποιες τιµές των α, β R το P (x) = αx 5 + βx έχει παράγοντα το (x 1) 2 ; 19. Να δειχθεί ότι, P (x) = x 3 3αβx + α 3 + β 3 διαιρείται µε το Q(x) = x + α + β 20. Να ϐρεθεί πολυώνυµο P (x) 2ου ϐαθµού, το οποίο διαιρείται µε το x 1 και ικανοποιεί τις συνθήκες P ( 1) + P (1) = P (0), P (0) = i. Με τη ϐοήθεια του σχήµατος Horner να ϐρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης (x 4 + 5x 3 9x 2 8x + 6) : (x + 1) ii. Να ϐρείτε το πολυώνυµο P (x) που διαιρούµενο µε το x 2 x δίνει πηλίκο x 2 και υπόλοιπο 2x 1 iii. ίνεται πολυώνυµο P (x) = x 2 4x 3 να ϐρείτε τον πραγµατικό αριθµό k ώστε να ισχύει P (k + 1) = 7 iv. Να προσδιορίσετε τους πραγµατικούς αριθµούς α και β, ώστε το πολυώνυµο P (x) = 3x 4 2x 3 αx 2 + βx 8 να έχει παράγοντες τα διώνυµα x + 1 και x i. ίνεται η συνάρτηση f(x) = 2x + 1 x 2 5x + 6 Να προσδιορίσετε τις τιµές των πραγµατικών α, β, ώστε να ισχύει 2x + 1 x 2 5x + 6 = α x 2 + β x 3 ii. Να εκτελέσετε τη διαίρεση (12x 4 7x 3 10x 2 + 6x + 4) : (3x 2 x 2) και να γράψετε την ταυτότητα της. 23. Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό k ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης (x 3 2kx 2 + (k 2)x + k 2 ) : (x k) να είναι Θεωρούµε το πολυώνυµο P (x) = 3x 4 x 3 λx + 2 i. Να ϐρείτε το λ ώστε, το P (x) να έχει παράγοντα το x + 1 ii. Για ποια τιµή του πραγµατικού λ, το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x + 1, είναι 3; 25. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) δια του x + 2 είναι 5 και το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x 1 είναι 2, να ϐρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) : (x 1)(x + 2). 26. Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης σε κάθε περίπτωση. i. (6x 3 x 2 14x + 5) : (2x 1) ii. (x 4 x 2 + 1) : (x 2 + x + 1) iii. (3x 3 2x 2 3x + 2) : (3x 2) iv. (2x 4 5x 2 + 3) : (2x 2 3) 27. Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης σε κάθε περίπτωση. i. ( 3x 3 3x 2 + x x 4) : (x 2 3x + 2) ii. (x 4 3) : (x 2 + 1) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 113

114 28. Να αποδείξετε ότι το x 2 2 είναι παράγοντας του πολυωνύµου : P (x) = x 4 + 3x 3 3x 2 6x ίνεται το πολυώνυµο : P (x) = 3x 3 + 7x 2 18x + 8. i. Να αποδείξετε ότι το 3x 2 είναι διαιρέτης του P (x). ii. Να παραγοντοποιήσετε το P (x). 30. Εστω P (x) = 2x 5 3x 4 x 3 5x 2 21x + 12 i. Να αποδείξετε ότι P (x) διαιρείται ακριβώς µε το x ii. Αν π(x) είναι το πηλίκο της διαίρεσης να δείξετε ότι το π(x) έχει παράγοντα το x 2 x Με τη ϐοήθεια του σχήµατος Horner να ϐρείτε τα πηλίκα και τα υπόλοιπα των πα- ϱακάτω διαιρέσεων και σε κάθε περίπτωση να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. i. (x 3 5x 2 + 7x 3) : (x 2) ii. (2x 4 + 3x 2 4x + 1) : (x + 1) iii. ( 3x 3 + 2x 1) : (x 3) iv. (2x 3 x 2 + 4) : (x + 2) v. (x 3 + 5x 2 18) : (x + 3) vi. (x 4 + 1) : (x 1) 32. Να κάνετε τις παρακάτω διαιρέσεις και σε κάθε περίπτωση να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. i. (x 3 + 2αx 2 7α 2 x + 5α 3 ) : (x α) ii. ( 2x 3 + 5α 2 x α 3 ) : (x + 2α) iii. (5x 3 6αx 2 16α 3 ) : (x 2α) iv. ( 4x 3 + 3α 2 x) : (x + α) 33. ίνεται το πολυώνυµο : P (x) = 2x 3 3x 2 + x 5 Να ϐρείτε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων : i. P (x) : (x 2) ii. P (x) : (x + 1) 34. ίνεται το πολυώνυµο : P (x) = 2x 3 + x 2 15x 18 Να εξετάσετε ποια από τα παρακάτω πολυώνυµα είναι παράγοντες του P (x) : i. x 3 ii. x + 1 iii. x 1 iv. x Εστω P (x) = (x 2) 99 (2x 3) 88 + x 2 x 1 Να ϐρείτε τα υπόλοιπα των διαιρέσεων : i. P (x) : (x 2) ii. P (x) : (x 1) 36. ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x x x 2 + x 6 Να αποδείξετε ότι τα πολυώνυµα x 1 και x + 2 είναι παράγοντες του P (x) 37. ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 + αx 2 + (2α 1)x 2α Να ϐρείτε για ποια τιµή του α R, το x 2 είναι παράγοντας του P (x). 38. ίνεται το πολυώνυµο : P (x) = x 3 + λx 2 2λx + λ 2 17 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 114

115 Να ϐρείτε για ποιες τιµές του λ R το x + 1 είναι διαιρέτης του P (x). 39. Να γίνουν οι παρακάτω διαιρέσεις σε κάθε περίπτωση να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης. i. (2x ν + x 2 2x 1) : (x 1) ii. (x ν+1 + 2x ν 3) : (x 1) iii. (3x ν+1 x ν + 2x 4) : (x 1) iv. (x ν + x ν 1 + 2x 2 3x 5) : (x + 1) 40. i. Να αποδείξετε ότι το P (x) έχει παράγοντα το (x α)(x β), µε α β, αν και µόνο αν το P (x) έχει παράγοντες το x α και το x β. ii. ίνεται το πολυώνυµο P (x) = x 3 + 4x 2 + αx + β. Να ϐρείτε τις τιµές των α, β R, ώστε το P (x) να έχει παράγοντα το x 2 + 2x ίνεται πολυώνυµο P (x) = x 3 + αx 2 + β. Να ϐρείτε για ποιες τιµές των α, β R, το P (x) έχει παράγοντα το x 2 4x ίνεται πολυώνυµο P (x) = x ν + αx + β, µε ν N και ν 2. Να ϐρείτε για ποιες τιµές των α, β R το P (x) έχει παράγοντα το (x 1) ίνονται τα πολυώνυµα P (x) = (x 2) 2ν (4 3x) ν + (x x 2 ) ν και Q(x) = x 3 3x 2 + 2x. Να αποδείξετε ότι το P (x) έχει παράγοντες όλους τους παράγοντες του Q(x). 44. i. Να αποδείξετε ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύµου P (x) µε το αx + β, όπου α 0, είναι υ = P ( β α ). ii. ίνεται το πολυώνυµο P (x) = 8x 3 16x 2 + κx + λ. Να ϐρείτε τις τιµές των κ, λ R, ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) : (2x + 1) να είναι 12 και το 2x 3 παράγοντας του P (x). iii. Με τη ϐοήθεια του σχήµατος Horner, να ϐρείτε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης P (x) : (2x 1) 45. Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P (x) µε το x 2 είναι 1 και µε το x + 3 είναι 14. Να ϐρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x 2 + x Το υπόλοιπο της διαίρεσης του πολυωνύµου P (x) µε το x 2 3x 10 είναι το 2x+7. Να ϐρείτε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x + 2 και της διαίρεσης του P (x) µε το x ίνεται το πολυώνυµο P (x) = αx 3 + x 2 + βx 5(α + 1) Να ϐρείτε για ποιες τιµές των α, β R, το πολυώνυµο P (x) έχει παράγοντα το (x + 1)(x 3). 48. ίνεται το πολυώνυµο : P (x) = x 4 + αx 3 + βx 2 (5α 3)x + β 1 Να ϐρείτε τα α, β R, ώστε το P (x) να έχει παράγοντα το x ίνεται το πολυώνυµο : P (x) = x 3 + αx 2 + βx + β α + 1. Να ϐρείτε για ποιες τιµές των α, β R, ώστε το P (x) να έχει παράγοντα το x 2 + 5x ίνεται το πολυώνυµο : P (x) = x 3 + αx 2 + βx 12 Να ϐρείτε τα α, β R, ώστε το P (x) να έχει παράγοντα το (x + 2) 2. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 115

116 51. Αν το P (x) = 2x 3 + αx 2 + 8x + α + 2 έχει παράγοντα το 2x 1 Να ϐρείτε : i. την τιµή του α R. ii. το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το 2x Αν το πολυώνυµο P (x) δίνει υπόλοιπο 3 διαιρούµενο µε x + 2 να αποδείξετε ότι το πολυώνυµο Q(x) = P (5x + 3) + x 2 + x + 3 διαιρείται µε το x + 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 116

117 4.3 Πολυωνυµικές εξισώσεις και ανισώσεις ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 4.14 (Θεώρηµα ακέραιων ϱιζών). Να αποδείξετε ότι αν η πολυωνυµική εξίσωση α ν x ν + α ν 1 x ν α 1 x + α 0 = 0, µε α ν, α ν 1,..., α 1, α 0 Z έχει ϱίζα τον ακέραιο αριθµό p 0 τότε ο p είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0. Αν ο p 0 είναι ϱίζα της εξίσωσης, τότε διαδοχικά έχουµε α ν p ν + α ν 1 p ν α 1 p + α 0 = 0 α 0 = α ν p ν α ν 1 p ν 1 α 1 p α 0 = p( α ν p ν 1 α ν 1 p ν 2 α 1 ) Επειδή οι p, α 1,..., α 2,..., α ν είναι ακέραιοι έπεται ότι και ο α ν p ν 1 α ν 1 p ν 2 α 1 είναι ακέραιος. Από την τελευταία ισότητα συµπεραίνουµε, ότι ο p είναι διαιρέτης του α 0. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 117

118 4.3.2 ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ Εξισώσεις Ρ Προσοχή : Οι εξισώσεις είναι ισότητες µεταξύ αλγεβρικών παραστάσεων, οι οποίες επαληθεύονται για συγκεκριµένες τιµές των µεταβλητών, που ονοµάζονται ϱίζες ή λύσεις της εξίσωσης. Μεθοδολογία 4.6 Επίλυση εξίσωσης 1ου ϐαθµού Να λυθεί η εξίσωση αx + β = 0 για τις διάφορες τιµές των α, β R Είναι : αx + β = 0 αx = β Τώρα διακρίνουµε τις περιπτώσεις : 1. Αν α 0 τότε από : αx = β x = β, µοναδική λύση. α 2. Αν α = 0 τότε από : αx = β 0x = β τώρα αν : i. β 0 έχουµε, 0x = β 0 το οποίο είναι αδύνατο, άρα η εξίσωση είναι αδύνατη, δεν έχει πραγµατικές ϱίζες. ii. β = 0 έχουµε, 0x = 0 το οποίο ισχύει για κάθε x R, άρα η εξίσωση είναι ταυτότητα, έχει άπειρες πραγµατικές ϱίζες. Θέµα 4.11 Να λυθούν οι εξισώσεις : i. (x 2) 2 (x 1) 2 = (1 3x) 2 (2 3x) 2 (1) ii. x 2 7x + 6 = 0 (2) 2x + 7 iii. 2x + 5 = 2 x 2 + x (3) iv. v. 2x + 1 x 2 x 1 x = 6 x 3 2 x + 3 = 12 x 2 9 x (x 1) 2 (4) (5) Λύση 4.11 i. (1) x 2 4x + 4 (x 2 2x + 1) = 1 6x + 9x 2 (4 12x + 9x 2 ) x 2 4x + 4 x 2 + 2x 1 = 1 6x + 9x x 9x 2 4x x 1 = 1 6x x 2x + 3 = 6x 3 2x 6x = 3 3 8x = 6 ii. x = 6 8 = 3 4 (2) x 2 (6 + 1)x = 0 (x 6) (x 1) = 0 x 6 = 0 ή x 1 = 0 x = 6 ή x = 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 118

119 iii. iv. v. (3) 12 2x x + 5 = 12 2 x x (2x + 7) 4(2x + 5) = 3(2 x) 6(2 + x) 6x x 20 = 6 3x 12 6x 6x x 20 = 6 3x 12 6x 6x 8x + 3x + 6x = x = 7 x = 1 (4) 2x + 1 x(x 1) 1 x = x (x 1) 2, x 0, x 1 x(x 1) 2 2x + 1 x(x 1) x(x 1 1)2 x (x 1)(2x + 1) (x 1) 2 = x 2 2x 2 + x 2x 1 x 2 + 2x 1 = x 2 x = x(x 1)2 (x 1) 2 x = 2 δεκτή αφού ικανοποιεί τους περιορισµούς (5) 6 x 3 2 x + 3 = 12 (x 3)(x + 3), x 3, x 3 6 (x 3)(x + 3) x 3 (x 3)(x + 3) 2 x + 3 = (x 3)(x + 3) 12 (x 3)(x + 3) 6(x + 3) 2(x 3) = 12 6x x + 6 = 12 6x 2x = x = 12 x = 3 απορρίπτεται αφού δεν ικανοποιεί τους περιορισµούς άρα η εξίσωση (5) είναι αδύνατη Μεθοδολογία 4.7 Επίλυση εξίσωσης 2ου ϐαθµού αx 2 + βx + γ = 0 Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα = β 2 4 α γ. Αν > 0 τότε η εξίσωση έχει δύο λύσεις τις x 1,2 = β ± 2 α Αν = 0 τότε η εξίσωση έχει µία διπλή λύση την x = β 2 α Αν = 0 τότε η εξίσωση δεν έχει πραγµατική λύση (αδύνατη). Θέµα 4.12 Να λύσετε τις εξισώσεις : i. x 2 + 2x = 0 ii. 2x 2 + 6x = 0 iii. x 2 4 = 0 iv. 3x = 0 v. 2x 2 5x + 3 = 0 vi. x 2 6x + 9 = 0 vii. 3x 2 + 4x + 2 = 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 119

120 Λύση 4.12 i. x 2 + 2x = 0 x(x + 2) = 0 x = 0 x + 2 = 0 x = 0 x = 2 ii. 2x 2 + 6x = 0 2x(x + 3) = 0 x = 0 x + 3 = 0 x = 0 x = 3 iii. x 2 4 = 0 x 2 = 4 x = ±2 iv. 3x = 0 3x 2 = 16 αδύνατη v. Το 2x 2 5x + 3 = 0 είναι της µορφής αx 2 + βx + γ = 0 µε α = 2, β = 5, γ = 3, τότε η = β 2 4αγ = ( 5) = 1 > 0 άρα η εξίσωση έχει δυο λύσεις τις x 1,2 = β ± 2 α x 1,2 = ( 5) ± 1 = 5 ± 1 x 1 = x 1 = 6 4 x 1 = 3 = = = x 2 = 5 1 x 2 = 4 x 2 = vi. Η εξίσωση x 2 6x + 9 = 0 έχει = β 2 4αγ = ( 6) = 0 άρα έχει διπλή ϱίζα την x = 6 2 = 3 vii. Η εξίσωση 3x 2 + 4x + 2 = 0 έχει = β 2 4αγ = ( = 8 < 0 άρα η εξίσωση είναι αδύνατη. Μεθοδολογία 4.8 ιτετράγωνες εξισώσεις Είναι οι εξισώσεις τις µορφής αx 2ν + βx ν + γ = 0 και λύνονται µε αντικατάσταση, ϑέτοντας ω = x ν Θέµα 4.13 Να λυθεί η εξίσωση 4x x 2 3 = 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 120

121 Λύση x x 2 3 = 0, ϑέτω x 2 = ω 4ω ω 3 ω 1 = 12 ω 2 = 1 x 2 = 12 αδυνατη x 2 = 1 x = 1 x = 1 Θέµα 4.14 Να λύσετε την εξίσωση x ν = α, α R, ν N Λύση 4.14 i. Για α > 0 και ν περιττό, η λύση της εξίσωσης είναι x = ν α ii. Για α > 0 και ν άρτιο, η λύση της εξίσωσης είναι x = ± ν α iii. Για α < 0 και ν περιττό, η λύση της εξίσωσης είναι x = ν α iv. Για α < 0 και ν άρτιο, η εξίσωση είναι αδύνατη Θέµα 4.15 Να λυθούν οι εξισώσεις i. x 4 + 8x = 0 ii. x 5 = 16x iii. x 6 = 32x iv. (2x + 6) 3 = 8 Λύση 4.15 i. x 4 + 8x = 0 x(x = 0) x = 0 x 3 = 8 x = 0 x = 3 8 x = 0 x = 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 121

122 ii. iii. iv. x 5 = 16x x 5 16x = 0 x(x 4 16) = 0 x = 0 x 4 = 16 x = 0 x = ± 4 16 x = 0 x = ±2 x 6 = 32x x x = 0 x(x ) = 0 x = 0 x 5 = 32 x = 0 x = 5 32 x = 0 x = 2 (2x + 6) 3 = 8 2x + 6 = 3 8 2x + 6 = 2 2x = 4 x = 2 Μεθοδολογία 4.9 Ιδιότητες των απόλυτων τιµών που σχετίζονται µε την επίλυση εξισώσεων Αν θ > 0 τότε : i. x = θ x = θ ή x = θ ii. x = α x = α ή x = α Θέµα 4.16 Να λυθούν οι εξισώσεις : i. 2 x = 0 ii. 2x = 0 iii. x 1 3 x + 5 = 0 iv. x + 1 = x + 1 v. 2x 4 = 2x + 4 vi. 3x 6 = 2x 2 vii. x x 6 = 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 122

123 Λύση 4.16 i. Οταν έχω εξίσωση της µορφής f(x) = θ > 0 x = ±θ εποµένως εφαρµόζοντας τη συγκεκριµένη ιδιότητα των απολύτων τιµών, έχουµε : 2 x = 0 2 x + 1 = 6 x + 1 = 3 x + 1 = 3 x + 1 = 3 x = 2 x = 4 ii. Οταν έχω εξίσωση της µορφής f(x) = α < 0 η εξίσωση είναι αδύνατη Άρα η εξίσωση : 2x = 0 2x + 7 = 9 είναι αδύνατη. f(x) = g(x) iii. Οταν έχω εξίσωση της µορφής f(x) = g(x) f(x) = g(x) x 1 3 x + 5 = 0 x 1 = 3 x + 5 x 1 = 3(x + 5) x 1 = 3(x + 5) x 1 = 3x + 15 x 1 = 3x 15 2x = 16 4x = 14 x = 8 x = 7 2 iv. Από τη σχέση : f(x) = f(x) f(x) > 0 Οπότε από την εξίσωση x + 1 = x + 1 x + 1 > 0 x > 1 v. Από τη σχέση : f(x) = f(x) f(x) < 0 Οπότε από την εξίσωση 2x 4 = 2x + 4 2x 4 < 0 2x < 4 x < 2 vi. Οταν έχω εξισώσεις της µορφής f(x) = g(x), επειδή το f(x) 0 ϑα πρέπει και το g(x) 0 g(x) 0 Άρα από την εξίσωση f(x) = g(x) f(x) = g(x) f(x) = g(x) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 123

124 3x 6 = 2x 2 2x 2 0 3x 6 = 2x 2 3x 6 = 2x + 2 x 1 x = 4 x = 8 5 x = 4 x = 8 5 vii. Οταν έχω εξισώσεις της µορφής f(x) + g(x) = 0 επειδή f(x) 0 g(x) 0 πρέπει να είναι : f(x) = g(x) = 0 και Ανισώσεις Άρα από την εξίσωση : x 2 4 = 0 x x 6 = 0 3x 6 = 0 x = ±2 x = 2 x = 2 Μεθοδολογία 4.10 Επίλυση ανίσωσης 1ου ϐαθµού αx + β > 0 για τις διάφορες τιµές των α, β R Είναι, αx + β > 0 αx > β i. Αν α > 0 αx > β x > β α ii. Αν α < 0 αx > β x < β α iii. Αν α = 0 Εχουµε 0x > β Η οποία αληθεύει για κάθε x R αν, β > 0 Και είναι αδύνατη αν, β 0 Θέµα 4.17 Να λυθούν οι ανισώσεις : 5x i > (x 3)5 9 ii. (x 1) < x 2 3(x + 1) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 124

125 Λύση 4.17 i. 5x > (x 3)5 9 15x 1 > 5(x 3) 10x > 14 x > ii. x > 7 5 (x 1) < x 2 3(x + 1) x 2 2x < x 2 3x 3 x < 7 Μεθοδολογία 4.11 Πίνακας προσήµων για την παράσταση αx + β µε α, β R Λύνω την εξίσωση αx + β = 0 x = β κι έχω α β x α αx + β ετερόσηµο 0 οµόσηµο του α του α + Μεθοδολογία 4.12 Ιδιότητες των απόλυτων τιµών, που χρησιµοποιούµε για να λύσου- µε ανισώσεις µε απόλυτα i. x < θ θ < x < θ ii. x > θ x < θ ή x > θ Θέµα 4.18 Να λυθούν οι ανισώσεις : i. x 3 < 2 ii. 2x 3 > 5 iii. x 7 < 4 iv. 2x 6 0 v. x Λύση 4.18 i. x 3 < 2 2 < x 3 < 2 ii < x < < x < 5 x (1, 5) 2x 3 > 5 2x 3 < 5 ή 2x 3 > 5 2x < ή 2x > x < 2 ή 2x > 8 x < 1 ή x > 4 x (, 1) (4, + ) iii. x 7 < 4 είναι αδύνατη Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 125

126 iv. 2x 6 0 2x 6 = 0 2x = 6 x = 3 v. x ισχύει για κάθε x R Θέµα 4.19 Να λυθεί η ανίσωση : x 1 < x 2 Ρ Προσοχή : Οταν έχω ανίσωση της µορφής A(x) < B(x) τότε υψώνω στο τετράγωνο και τα δυο µέλη για να ϕύγουν τα απόλυτα. Λύση 4.19 x 1 < x 2 x 1 2 < x 2 2 (x 1) 2 < (x 2) 2 x 2 2x + 1 < x 2 4x + 4 4x 2x < 4 1 x < 3 2 Θέµα 4.20 Να λυθεί η ανίσωση : 2 x 1 < x Ρ Προσοχή : Οταν έχω ανίσωση της µορφής κ A(x) + λ B(x) + ρ Γ(x) + µ < 0 τότε ϕτιάχνω πίνακα προσήµων για τις παραστάσεις που είναι µέσα στα απόλυτα. Λύση 4.20 Ο πίνακας προσήµων που προκύπτει είναι ο παρακάτω. x x x Άρα έχω τις περιπτώσεις : i. Για x (, 1) Εχω, 2( x + 1) < ( x + 2) + 3 2x + 2 < x x < 3 x > 3 Η οποία δεν συναληθεύει µε τον περιορισµό x (, 1) Άρα η ανίσωση δεν έχει λύση για x (, 1) ii. Για x (1, 2) Εχω, 2(x 1) < ( x + 2) + 3 2x 2 < x x < 7 x < 7 3 Την οποία συναληθεύω µε τον περιορισµό x (1, 2) Άρα x (1, 2) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 126

127 iii. Για x (2, + ) Εχω, 2(x 1) < (x 2) + 3 2x 2 < x x < 3 Την οποία συναληθεύω µε τον περιορισµό x (2, + ) Άρα x (2, 3) Μεθοδολογία 4.13 Πίνακες προσήµων για το τριώνυµο αx 2 + βx + γ, α 0 για τις διάφορες τιµές της διακρίνουσας. i. ii. iii. x ρ 1 ρ 2 + αx 2 + βx + γ οµόσηµο 0 ετερόσηµο 0 οµόσηµο > 0 του α του α του α µε ρ 1, ρ 2 τις ϱίζες της εξίσωσης αx 2 + βx + γ = 0 x ρ + αx 2 + βx + γ οµόσηµο 0 οµόσηµο = 0 του α του α µε ρ τη ϱίζα της εξίσωσης αx 2 + βx + γ = 0 x + αx 2 + βx + γ οµόσηµο < 0 του α Ρ Προσοχή : Για να λύσω µια ανίσωση 2ου ϐαθµού, ϑα πρέπει να ϕτιάξω πίνακα προσήµων!!! Θέµα 4.21 Να προσδιορίσετε το πρόσηµο των παρακάτω τριωνύµων : i. x 2 5x + 6 ii. x 2 + 2x + 1 iii. 3x 2 + 2x + 4 Λύση 4.21 i. Η x 2 5x+6 = 0 έχει ϱίζες το 2 και το 3, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x x 2 5x και είναι : x 2 5x + 6 > 0 για x (, 2) (3. + ) x 2 5x + 6 < 0 για x (2, 3) x 2 5x + 6 = 0 για x = 2, x = 3 ii. Η x 2 2x + 1 = 0 έχει διπλή ϱίζα το 1, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x 1 + x 2 + 2x Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 127

128 και είναι : x 2 + 2x + 1 > 0 για κάθε x R {1} x 2 + 2x + 1 = 0 για x = 1 iii. Η εξίσωση 3x 2 +2x+4 = 0 είναι αδύνατη, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x + 3x 2 + 2x και είναι : 3x 2 + 2x + 4 > 0 για κάθε x R Μεθοδολογία 4.14 Πρόσηµο ενός γινοµένου παραγόντων, πρώτου και δεύτερου ϐαθµού Φτιάχνουµε πίνακα προσήµων για τον κάθε παράγοντα ξεχωριστά, και µετά ϕτιάχνουµε έναν ενιαίο πίνακα για όλο το γινόµενο µαζί. Ρ Προσοχή : Για να ϐρούµε το πρόσηµο ενός γινοµένου παραγόντων, ϕτιάχνουµε πίνακα προσήµων για τον κάθε παράγοντα ξεχωριστά, και µετά ϕτιάχνουµε έναν ενιαίο πίνακα για όλο το γινόµενο µαζί. Θέµα 4.22 Να προσδιορίσετε το πρόσηµο της παρακάτω παράστασης : (x 2 5x + 6)(x 2 + 2x + 1) Λύση 4.22 Οι πίνακες προσήµων για τους δυο παράγοντες είναι : Η x 2 5x + 6 = 0 έχει ϱίζες το 2 και το 3, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x x 2 5x Η x 2 2x + 1 = 0 έχει διπλή ϱίζα το 1, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x 1 + x 2 + 2x Ο ενιαίος πίνακας είναι : x x 2 5x x 2 + 2x (x 2 5x + 6)(x 2 + 2x + 1) Άρα το : (x 2 5x + 6)(x 2 + 2x + 1) > 0 για x (, 1) ( 1, 2) (3, + ) (x 2 5x + 6)(x 2 + 2x + 1) < 0 για x (2, 3) (x 2 5x + 6)(x 2 + 2x + 1) = 0 για x = 1, 2, 3 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 128

129 Μεθοδολογία 4.15 Πρόσηµο ενός πηλίκου, όπου ο αριθµητής και ο παρονοµαστής είναι γινόµενα παραγόντων, πρώτου και δευτέρου ϐαθµού Μεθοδολογία 4.16 i. Αν είναι της µορφής : A(x) B(x) > 0 A(x)B(x) > 0 και κάνω πίνακα προσήµων για το γινόµενο. ii. Αν είναι της µορφής : A(x) A(x) > Γ(x) B(x) B(x) Γ(x) > 0 A(x) B(x)Γ(x) > 0 B(x) [A(x) B(x)Γ(x)]B(x) > 0 και κάνω πίνακα προσήµων για το γινόµενο, µε την προϋπόθεση, B(x) 0. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 129

130 Παραγοντοποίηση Είναι η διαδικασία µε την οποία µια παράσταση που είναι άθροισµα, µετατρέπεται σε γινόµενο παραγόντων. Η παραγοντοποίηση µπορεί να γίνει µε τους εξής τρόπους : 1. Κοινός παράγοντας Οταν όλοι οι όροι µιας αλγεβρικής παράστασης έχουν κοινό παράγοντα, τότε αυτή µετατρέπεται σε γινόµενο µε τη ϐοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας. Ισχύει ότι : αβ + αγ = α(β + γ) Η εύρεση του κοινού παράγοντα γίνεται ως εξής : Βρίσκουµε τον Μ.Κ.. των συντελεστών κάθε όρου Βρίσκουµε τον µικρότερο εκθέτη της µεταβλητής ή µεταβλητών που είναι κοινές σε κάθε όρο. Ο κοινός παράγοντας είναι το γινόµενο των δύο παραπάνω όρων. Παράδειγµα : Να παραγοντοποίησετε την παράσταση : 2x 5 + 4x 4 y + 6x 2 Ο Μ.Κ.. των συντελεστών των όρων 2, 4, 6 είναι ο αριθµός 2. Η κοινή µεταβλητή είναι το x και ο µικρότερος εκθέτης που συναντάται είναι ο 2. Άρα η παραγοντοποίση γίνεται ως εξής : 2x 5 + 4x 4 y + 6x 2 = 2x 2 (x 3 + 2x 2 y + 3) 2. Κοινός παράγοντας κατά οµάδες (Οµαδοποίηση) Οταν οι όροι µια παράστασης δεν έχουν κοινό παράγοντα, τότε τους χωρίζουµε σε οµάδες, ϕροντίζοντας ώστε : κάθε οµάδα που δηµιουργούµε να έχει κοινό παράγοντα οι παραστάσεις που µένουν µετά την εξαγωγή του κοινού παράγοντα να είναι οι ίδιες Παράδειγµα : Να παραγοντοποίησετε την παράσταση : 3x + αx + 3y + αy 1ος τρόπος : 3x + αx + 3y + αy = 3(x + y) + α(x + y) = (x + y)(3 + α) 2ος τρόπος : 3x + αx + 3y + αy = x(3 + α) + y(3 + α) = (3 + α)(x + y) 3. Με τη ϐοήθεια ταυτοτήτων Παράδειγµα : Να παραγοντοποίησετε τις παραστάσεις : x 2 6x + 9 = x x = (x 3) 2 x 2 4 = x = (x 2)(x + 2) x 3 8 = x = (x 2)(x 2 + 2x ) = (x 2)(x 2 + 2x + 4) 4. Ταυτότητες Χρησιµοποιούµε από το 2ο προς το 1ο µέλος τις ταυτότητες : (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2, (α β) 2 = α 2 2αβ + β 2 (α + β) 3 = α 3 + 3α 2 β + 3αβ 2 + β 3, (α β) 3 = α 3 3α 2 β + 3αβ 2 β 3 5. ιαφορά τετραγώνων α 2 β 2 = (α β)(α + β) Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες : (α + β) 2 = α 2 + 2αβ + β 2, (α β) 2 = α 2 2αβ + β 2 εµφανίζω διάφορα τετραγώνων. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 130

131 6. Αθροισµα ή ιαφορά κύβων α 3 + β 3 = (α + β)(α 2 αβ + β 2 ), α 3 β 3 = (α β)(α + αβ + β 2 ) Χρησιµοποιώντας ιδιότητες των δυνάµεων ή τις ταυτότητες : (α + β) 3 = α 3 + 3α 2 β + 3αβ 2 + β 3, (α β) 3 = α 3 3α 2 β + 3αβ 2 β 3 εµφανίζω άθροισµα ή διαφορά κύβων. 7. Τριώνυµο της µορφής αx 2 βx + γ Για να παραγοντοποιήσουµε ένα τριώνυµο ϐρίσκουµε τη διακρίνουσα = β 2 4αγ. Αν : > 0, τότε αx 2 βx + γ = α(x x 1 )(x x 2 ) όπου x 1,2 = β + 2α = 0, τότε αx 2 βx + γ = α(x x 1 ) 2 µε x 1 = β 2α < 0, τότε το τριώνυµο δεν παραγοντοποιείται. Ειδική περίπτωση : x 2 (α + β)x + α β = (x α)(x β) x 2 + (α + β)x + α β = (x + α)(x + β) Παράδειγµα 1ο : Να παραγοντοποίησετε τη παράσταση x 2 5x + 6. Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα = β 2 4αγ = ( 5) = = 1 > 0. Άρα ϐρίσκουµε ότι : x 1 = β + 2α = ( 5) = = 6 2 = 3 οπότε x 1 = β 2α = ( 5) = x 2 5x + 6 = (x 3)(x 2). = 4 2 = 2 Παράδειγµα 2ο : Να παραγοντοποίησετε τη παράσταση x 2 6x + 9. Υπολογίζουµε τη διακρίνουσα = β 2 4αγ = ( 6) = = 0, άρα x 1 = β 2α = ( 6) 2 1 = 6 2 = 3. οπότε x 2 6x + 9 = (x 3) Σχήµα Horner Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 131

132 4.3.3 ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΕΣ - ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 4.17 Για να λύσουµε µια πολυωνυµική εξίσωση 3ου ϐαθµού και πάνω, πρέπει να την παραγοντοποιήσουµε,ώστε να έχουµε παράγοντες µόνο, 1ου και 2ου ϐαθµού. Θέµα 4.23 Να λυθεί η εξίσωση, 3x 3 + 8x 2 15x + 4 = 0 Ρ Προσοχή : Πιθανή ακέραια ϱίζα ενός πολυωνύµου είναι ένας από τους διαιρέτες τους σταθερού όρου (όταν οι συντελεστές του πολυωνύµου είναι ακέραιοι). Αν το άθροισµα των συντελεστών είναι 0, τότε το πολυώνυµο έχει σίγουρα ϱίζα το 1 (Παρατήρηση πολύ χρήσιµη όταν κάνω παραγοντοποίηση µε το σχήµα του Horner. Λύση 4.23 Το άθροισµα των συντελεστών του πολυωνύµου είναι 0, άρα η εξίσωση έχει σίγουρα ϱίζα το 1. Το πολυώνυµο είναι 3ου ϐαθµού, οπότε πρέπει να το παραγοντοποιήσουµε Από το σχήµα του Horner συµπεραίνουµε ότι, το πηλίκο της διαίρεσης του 3x 3 + 8x 2 15x + 4 µε το x 1 είναι 3x x 4 και το υπόλοιπο 0. Οπότε από την ταυτότητα της διαίρεσης έχουµε : 3x 3 + 8x 2 15x + 4 = (x 1)(3x x 4) x 3 + 8x 2 15x + 4 = 0 (x 1)(3x x 4) = 0 x 1 = 0 3x x 4 = 0 x = 1 x = 4 x = 1 3 Μεθοδολογία 4.18 ΧΡΗΣΙΜΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Σχέσεις µεταξύ των ϱιζών ενός πολυωνύµου 3ου ϐαθµού και τον συντελεστών του ρ 1, ρ 2 ρ 3 οι ϱίζες του πολυωνύµου αx 3 + βx 2 + γx + δ = 0 σ 1 = ρ 1 + ρ 2 + ρ 3 = γ δ σ 2 = ρ 1 ρ 2 + ρ 1 ρ 3 + ρ 2 ρ 3 = β δ σ 3 = ρ 1 ρ 2 ρ 3 = α δ Η εξίσωση 3ου ϐαθµού που έχει ϱίζες τις ρ 1, ρ 2 ρ 3 είναι η x 3 σ 1 x 2 + σ 2 x σ 3 = 0 Μεθοδολογία 4.19 ΧΡΗΣΙΜΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 2 Μια πολυωνυµική εξίσωση λέγεται αντίστροφη, όταν για κάθε ϱίζα ϱ που έχει, τότε Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 132

133 έχει ϱίζα και την 1 και µάλιστα µε την ίδια πολλαπλότητα. ( Ολες οι ϱίζες είναι µη ρ µηδενικές.) Ικανή και αναγκαία συνθήκη για να είναι µια εξίσωση αντίστροφη είναι : οι ισαπέχοντες από τα άκρα, συντελεστές του πολυωνύµου, να είναι όλοι ίσοι ή όλοι αντίθετοι. Μεθοδολογία 4.20 ΧΡΗΣΙΜΑ ΤΕΧΝΑΣΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Τέχνασµα 1ο αx 3 + βx 2 + βx + α = 0 α(x 3 + 1) + βx(x + 1) = 0 α(x + 1)(x 2 + x + 1) + βx(x + 1) = 0 (x + 1)[α(x 2 + x + 1) + βx] = 0 όπου αυτό είναι ένα γινόµενο, ενός παράγοντα 1ου ϐαθµού και ενός παράγοντα 2ου ϐαθµού. Τέχνασµα 2ο αx 4 + βx 3 + γx 2 + βx + α = 0 x 2 (αx 2 + βx + γ + β 1 x + α 1 x 2 ) = 0, x 0 (αποδεικνύεται µε άτοπο) α(x x 2 ) + β(x + 1 x ) + γ = 0 Θέτουµε, x + 1 x = y, και x2 + 1 x 2 = (x + 1 x )2 2x 1 x = y2 2 κι έχουµε : α(y 2 2) + βy + γ = 0 που είναι εξίσωση 2ου ϐαθµού Μεθοδολογία 4.21 ΧΡΗΣΙΜΟ ΘΕΩΡΗΜΑ 3 (Θεώρηµα ϱητών ϱιζών). Εστω, η πολυωνυµική εξίσωση : α ν x ν + α ν 1 x ν α 1 x + α 0 = 0, µε α ν, α ν 1,..., α 1, α 0 Z έχει ϱίζα τον ϱητό αριθµό p = κ λ 0 κ ανάγωγο κλάσµα λ τότε ο κ είναι διαιρέτης του σταθερού όρου α 0. και ο λ είναι διαιρέτης του α ν. Θέµα 4.24 Να λυθεί η εξίσωση 2x 3 + x 2 + x 1 = Λύση Από το σχήµα του Horner συµπεραίνουµε ότι, το πηλίκο της διαίρεσης είναι 2x 2 +2x+2 και το υπόλοιπο 0. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 133

134 Οπότε από την ταυτότητα της διαίρεσης έχουµε : 2x 3 + x 2 + x 1 = (x 1 2 )(2q2 + 2q + 2) 2x 3 + x 2 + x 1 = 0 (x 1 2 )(2x2 + 2x + 2) = 0 x 1 2 = 0 2x 2 + 2x + 2 = 0 x = 1 2 Αδύνατη Μεθοδολογία 4.22 Για να λύσουµε µια πολυωνυµική ανίσωση 3ου ϐαθµού και πάνω, πρέπει να την παραγοντοποιήσουµε,ώστε να έχουµε παράγοντες µόνο, 1ου και 2ου ϐαθµού.για να ϐρούµε το πρόσηµο ενός γινοµένου παραγόντων, ϑα ϕτιάξουµε πίνακα προσήµων για τον κάθε παράγοντα ξεχωριστά, και µετά έναν ενιαίο πίνακα για όλο το γινόµενο µαζί. Θέµα 4.25 Να λύσετε την ανίσωση : x 4 3x 3 3x 2 + 7x + 6 > 0 Λύση 4.25 Το άθροισµα των συντελεστών του πολυωνύµου δεν είναι 0, άρα η εξίσωση δεν έχει ϱίζα το 1, οπότε, µε το σχήµα του Horner ϑα δοκιµάσουµε τους υπόλοιπους διαιρέτες του σταθερού όρου, που εδώ είναι το 6. ηλαδή πιθανές ακέραιες ϱίζες είναι τα 1, ±2, ±3, ±6 Θα ξεκινήσουµε να κάνουµε το σχήµα του Horner µε το Από το σχήµα του Horner συµπεραίνουµε ότι, το πηλίκο της διαίρεσης του x 4 3x 3 3x 2 + 7x + 6 µε το x + 1 είναι x 3 4x 2 + x + 6 και το υπόλοιπο 0. Οπότε από την ταυτότητα της διαίρεσης έχουµε : x 4 3x 3 3x 2 + 7x + 6 = (x + 1)(x 3 4x 2 + x + 6) Τώρα πρέπει να παραγοντοποιήσουµε το x 3 4x 2 + x Από το σχήµα του Horner συµπεραίνουµε ότι, το πηλίκο της διαίρεσης του x 3 4x 2 +x+6 µε το x + 1 είναι x 2 5x + 6 και το υπόλοιπο 0. Οπότε από την ταυτότητα της διαίρεσης έχουµε : x 3 4x 2 + x + 6 = (x + 1)(x 2 5x + 6) Άρα x 4 3x 3 3x 2 + 7x + 6 = (x + 1)(x + 1)(x 2 5x + 6) = (x + 1) 2 (x 2 5x + 6) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 134

135 Οπότε έχουµε να λύσουµε την ανίσωση : (x 2 5x + 6)(x 2 + 2x + 1) > 0 Οι πίνακες προσήµων για τους δυο παράγοντες είναι : Η x 2 5x + 6 = 0 έχει ϱίζες το 2 και το 3, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x x 2 5x Η x 2 2x + 1 = 0 έχει διπλή ϱίζα το 1, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x 1 + x 2 + 2x Ο ενιαίος πίνακας είναι : x x 2 5x x 2 + 2x (x 2 5x + 6)(x 2 + 2x + 1) Άρα το : (x 2 5x + 6)(x 2 + 2x + 1) > 0 για x (, 1) ( 1, 2) (3, + ) (x 2 5x + 6)(x 2 + 2x + 1) < 0 για x (2, 3) (x 2 5x + 6)(x 2 + 2x + 1) = 0 για x = 1, 2, 3 Άρα x (, 1) ( 1, 2) (3, + ) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 135

136 4.3.4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. x 3 + 3x 2 10x = 0 ii. x 5 = 9x 3 iii. x 4 + 8x = 0 iv. x 3 + 2x 2 x 2 = 0 v. (x 1) 3 3(x 2 1) + 2(x 1) = Να λύσετε τις εξισώσεις : i. x 6 + 7x 3 8 = 0 ii. (2x 5) 4 10(2x 5) = 0. iii. (x + 4) (x + 4) = 0 iv. (x 2 5) 2 3(x 2 5) = 4 3. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 2x 3 x 2 7x + 6 = 0 ii. 3x 3 5x 2 11x 3 = 0. iii. x 3 3x 2 10x + 24 = 0 iv. 2x 3 + 9x 2 + 7x 6 = 0 4. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. x 4 + 2x 3 7x 2 8x + 12 = 0. ii. x 4 3x 3 6x 2 + 6x + 8 = 0. iii. x 4 8x 2 4x + 3 = 0. iv. x 4 + 4x 3 23x = Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις δεν έχουν ακέραιες ϱίζες. i. x 3 5x 2 + x 2 = 0. ii. x 4 3x 2 + 7x + 1 = Να λύσετε τις εξισώσεις : 1 i. 2 x x2 + 3x 4 3 = 0. 1 ii. 12 x x x2 3 4 x 1 2 = Αν το P (x) = x 3 + αx 2 + (3α 1)x 8α έχει παράγοντα το x 2 i. Να ϐρείτε την τιµή του α R. ii. Να λύσετε την εξίσωση P (x) = Εστω P (x) = x 4 x 3 x 2 + αx α + 1. Αν το υπόλοιπο της διαίρεσης του P (x) µε το x + 1 είναι 12 (αʹ) Να ϐρείτε την τιµή του α R. (ϐʹ) Να λύσετε την εξίσωση P (x) = Αν το P (x) = x 4 + αx 2 + βx + α έχει παράγοντα το x + 2 και η διαίρεση του P (x) µε το x 1 αφήνει υπόλοιπο 18 i. Να ϐρείτε τα α, β R ii. Να λύσετε την εξίσωση P (x) = Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 5x 4 = 10x 2 ii. x 3 + 2x 2 9x 18 = 0 iii. 3x 5 + 5x 4 = 3x 3 + 5x 2 iv. x 6 64 = 0 v. x 3 + x 2 2 = 0 vi. x 3 7x + 6 = 0 vii. (x + 1) = 0 viii. 7(3x + 2) 2 (1 x) 2 (3x + 2)(1 x) 2 = 0 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 136

137 ix. x = 7(x 2 + 5x + 6) + 9x 2 36 x. x 4 3x 3 + 6x 4 = Να λυθούν οι εξισώσεις i. x 4 = 3x 2 ii. x 3 3x 2 4x + 12 = 0 iii. 2x 5 + 9x 2 = x x 3 iv. x 4 5x 3 + 5x 1 = 0 v. x 3 4x 2 + 4x = 3(x 2 4) (2 x)(x 5) vi. x 4 + x 3 31x 2 25x vii. 24x 4 + 4x 3 66x 2 x + 15 = 0 viii. x(x 1)(x 2)(x 3) = 0 ix. (x + 6)(x + 4)(x 3)(x 5) = 280 x. 3x 3 13x x 3 = 0 xi. 6x 4 25x x 2 25x + 6 = 0 xii. 6x 5 19x x x 2 19x + 6 = 0 xiii. x 2 (x 1) 2 + (x + 1)(x + 4) = 6x 2 x x xiv. ( x + 1 )6 7( x + 1 )3 8 = 0 xv. 6x 3 7x 2 7x + 6 = 0 xvi. 6x 4 35x x 2 35x + 6 = 0 xvii. 6x 5 41x x 3 97x x 6 = 0 xviii. x 4 12x = 0 xix. x 6 13x 4 48 = 0 xx. (x 2 + x) 6 7(x 2 + x) 3 8 = 0 xxi. (x 2 1) 3 2(x 2 1) 2 5(x 2 1) + 6 = Να ϐρείτε τις ακέραιες λύσεις των εξισώσεων i. x 3 3x 2 + x + 2 = 0 ii. 3x 3 + 8x 2 15x + 4 = 0 iii. x 3 10x 12 = 0 iv. x 3 + 2x 2 + 7x + 6 = Να αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις δεν έχουν ακέραιες ϱίζες (αʹ) x 4 + 3x 2 = 0 (ϐʹ) 2x 4 3x 3 + 6x 2 24x + 5 = 0 (γʹ) 4x 4 15x x 3 = 0 (δʹ) αx 4 3x 3 + βx 2 6βx + 1 = 0 µε α + β = 5, α, β Z 14. Να ϐρείτε τα σηµεία τοµής, της γραφικής παράστασης της f µε τον xx (αʹ) f(x) = 3x 3 3x 2 5x 2 (ϐʹ) f(x) = 4x 3 3x Να ϐρείτε τα σηµεία στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) = x 3 2x 2 5x + 6, τέµνει τον xx 16. Να ϐρείτε τα σηµεία στα οποία οι γραφικές παραστάσεις, της f(x) = x 3 + 4x 2 + 4x και g(x) = 9 x τέµνονται. 17. Να λύσετε τις εξισώσεις (αʹ) x 8 15x 4 16 = 0 (ϐʹ) (x 1) 6 9(x 1) = 0 (γʹ) 6(x + 1 x )2 + 5(x + 1 x ) 6 = Να λύσετε τις εξισώσεις Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 137

138 (αʹ) 1 10 x x x 4 5 = 0 (ϐʹ) x x x = Να ϐρείτε τις τιµές των α, β R ώστε το P (x) = x 4 + αx 3 + βx 2 16x 12 να έχει παράγοντες τους x + 1 και x 2. Στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση P (x) = Αν P (x) = x 6 5x 4 10x 2 + κ να ϐρείτε τις τιµές του κ R για τις οποίες το x 1 είναι παράγοντας του P (x). Για τις τιµές του κ που ϐρήκατε, να λύσετε την εξίσωση P (x) = Να ϐρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σηµεία A(1, 2) και B( 1 2, 1 2 ). Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η ευθεία τέµνει την γραφική παράσταση της y = x 3 +x 2 στα σηµεία, µε τετµηµένες που είναι οι λύσεις της εξίσωσης x 3 +x 2 5x+3 = 0 και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση και να ϐρείτε τα σηµεία τοµής. 22. Να ϐρείτε την εξίσωση της ευθείας που περνάει από τα σηµεία A(1, 2) και B(2, 2). Στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η ευθεία τέµνει την γραφική παράσταση της y = x 3 2x 2 στα σηµεία, µε τετµηµένες που είναι οι λύσεις της εξίσωσης x 3 3x 2 6x+8 = 0 και στη συνέχεια να λύσετε την εξίσωση και να ϐρείτε τα σηµεία τοµής. 23. Αν η εξίσωση x 3 + λx x 15 = 0, λ R έχει ϱίζα το 1, τότε να ϐρείτε και τις υπόλοιπες ϱίζες της. 24. Αν η εξίσωση x 5 +x 4 +κx+λ = 0 µε κ, λ R έχει διπλή ϱίζα το -1, να προσδιορίσετε τα κ, λ R και στη συνέχεια να ϐρείτε τις υπόλοιπες ϱίζες της εξίσωσης. 25. Να λύσετε τις ανισώσεις : i. (x + 3)( 2x + 10)(x 2) > 0 ii. (x 2 + 3x 10)( x 2 + 2x 1)(x 2 x + 1) 0 iii. x 3 (x + 2) 4 (x 3) 6 (x 4) 7 > Να λύσετε τις ανισώσεις : i. 2x 3 x 2 7x + 6 > 0. ii. x 3 + 2x 2 11x 12 < 0. iii. 3x 3 + 5x 2 26x iv. x 3 + 3x Να λύσετε τις ανισώσεις : i. x 3 4x 2 + 5x 2 0. ii. x 3 + 3x 2 4 > 0. iii. 4x 3 4x 2 + 7x 2 0 iv. 2x 3 5X 2 + 4x 1 < Να λύσετε τις ανισώσεις : i. x 3 + 2x 2 + 3x + 6 > 0 ii. x 4 6x x 2 30x iii. x 3 3x + 2 < 0 iv. x 4 x 3 + x 2 3x Να ϐρείτε τα διαστήµατα στα οποία η C f είναι πάνω από τον x x µε f(x) = x 4 7x x 2 17x Να ϐρείτε τα διαστήµατα στα οποία η C f είναι κάτω από τον x x µε f(x) = x 4 + x 3 x 2 + 3x Να ϐρείτε τα διαστήµατα, στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) = x 4 5x 3 + 3x 2 + x είναι κάτω από τον xx 32. Να δειχθεί ότι η γραφική παράσταση της g(x) = x 6 +2x 5 +2x 4 +2x 3 +x 2 +(x+1) 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 138

139 δεν έχει κανένα σηµείο της, κάτω από τον xx 33. Να ϐρείτε τα διαστήµατα, στα οποία η γραφική παράσταση της f(x) = 2x 3 + 5x 2 4x 3 είναι κάτω από τον xx 34. Αν το P (x) = 3x 3 5x 2 11x + α έχει παράγοντα το 3x + 1. i. Να ϐρείτε την τιµή του α R. ii. Να λυθεί η ανίσωση P (x) 3x Αν P (x) = x 3 + αx 2 13x 5α έχει παράγοντα το x 1 i. Να ϐρείτε το α R. ii. Να λυθεί η εξίσωση P (x) = 0 iii. Να ϐρείτε το πρόσηµο του γινοµένου : A = P ( 99) P ( 3) P ( 2) P ( 7) P (2014) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 139

140 4.4 Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυµικές ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Μεθοδολογία 4.23 Ρητές εξισώσεις Για να λύσω µια ϱητή εξίσωση : i. Παραγοντοποιώ τους παρονοµαστές ii. Βάζω περιορισµούς iii. Κάνω απαλοιφή παρονοµαστών µε το Ε.Κ.Π. των παρονοµαστών iv. Λύνω την εξίσωση που προκύπτει v. Απορρίπτω τις λύσεις που δεν ικανοποιούν τους περιορισµούς. Σχήµα 4.1: Αδύνατο σύστηµα Θέµα 4.26 Να λυθεί η εξίσωση : 2 x + 2x 3 x x2 x 2 2x = 0 Λύση 4.26 Εχω την εξίσωση : 2 x + 2x 3 x x2 x 2 = 0 µε x 0 και x 2 2x 2 x + 2x 3 x x2 x 2 2x = 0 2 x + 2x 3 x x2 x(x 2) = 0 x(x 2) 2 x + x(x 2)2x 3 x 2 2(x 2) + x(2x 3) + 2 x 2 = 0 2x 4 + 2x 2 3x + 2 x 2 = 0 x 2 x 2 = 0, = 9 x 1 = 2 απορρίπτεται x 2 = 1 + x(x 2) 2 x2 x(x 2) = 0 Μεθοδολογία 4.24 Ρητές ανισώσεις i. Αν είναι της µορφής : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 140

141 A(x) B(x) > 0 A(x)B(x) > 0 και κάνω πίνακα προσήµων για το γινόµενο. ii. Αν είναι της µορφής : A(x) A(x) > Γ(x) B(x) B(x) Γ(x) > 0 A(x) B(x)Γ(x) > 0 B(x) [A(x) B(x)Γ(x)]B(x) > 0 και κάνω πίνακα προσήµων για το γινόµενο, µε την προϋπόθεση, B(x) 0. Θέµα 4.27 Να λύσετε την ανίσωση x x 1 2 x + 1 < 8 x 2 1 Ρ Προσοχή : Στις ανισώσεις ΕΝ κάνω απαλοιφή παρονοµαστών, αν δεν γνωρίζω το πρόσηµο του Ε.Κ.Π.. Συγκεντρώνω όλες τις παραστάσεις στο 1ο µέλος και κάνω οµώνυµα. Λύση 4.27 Εχω τους περιορισµούς x 1 και x 1 x x 1 2 x + 1 < 8 x 2 1 x x 1 2 x (x 1)(x + 1) < 0 x(x + 1) 2(x 1) 8 < 0 (x 1)(x + 1) x2 + x 2x (x 1)(x + 1) x2 x 6 (x 1)(x + 1) < 0 < 0 (x 2 x 6)(x 1)(x + 1) < 0 Η x 2 x + 6 = 0 έχει ϱίζες το -2 και το 3, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x x 2 x Η (x 1)(x+1) = 0 έχει ϱίζες το -1 και το 1, εποµένως ο πίνακας προσήµων είναι ο : x (x 1)(x + 1) Ο εννιαίος πίνακας είναι : x x 2 x (x 1)(x + 1) (x 2 x 6)(x 1)(x + 1) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 141

142 Άρα το : (x 2 x 6)(x 1)(x + 1) < 0 για x ( 2, 1) (1, 3) Θέµα 4.28 Να λυθεί η εξίσωση : 2ηµ 2 (x) 5ηµ(x) + 2 = 0 Λύση ηµ 2 (x) 5ηµ(x) + 2 = 0 Θέτω ηµ(x) = w και έχω : 2w 2 5w + 2 = 0 οι ϱίζες της οποίας είναι : 2 και 1 2 άρα έχω : ηµ(x) = 2 που είναι αδύνατη και ηµ(x) = 1 2 ηµ(x) = 1 2 ηµ(x) = ηµ( π 6 ) { 2κπ + π x = 6 2κπ + π π 6 {, κɛz 2κπ + π x = 6 2κπ + 5π 6, κɛz Μεθοδολογία 4.25 Αρρητες εξισώσεις Για να λύσω µια άρρητη εξίσωση : i. Βάζω περιορισµούς, οι παρονοµαστές να είναι διάφοροι του 0 και τα υπόρριζα να είναι µεγαλύτερα ή ίσα απ το 0 ii. Χωρίζω τις ϱητές από τις άρρητες παραστάσεις iii. Απαιτώ και τα δυο µέλη της εξίσωσης να είναι οµόσηµα, δηλαδή η ϱητή παράσταση που προέκυψε πρέπει να είναι οµόσηµη µε τη άρρητη iv. Υψώνω και τα δυο µέλη, σε κατάλληλη δύναµη, κάνω τις πράξεις και λύνω την εξίσωση που προκύπτει v. Απορρίπτω τις λύσεις που δεν ικανοποιούν τους περιορισµούς. Θέµα 4.29 Να λυθεί η εξίσωση x + 3 = x + 1 Λύση 4.29 Εχω τους περιορισµούς x = x 3 και x = x 1 που συναληθεύουν για x 1 x + 3 = x + 1 ( x + 3) 2 = (x + 1) 2 x + 3 x 2 + 2x + 1 x 2 + x 2 = 0 Εχει διακρίνουσα { = 9 x 1 = 1 και ϱίζες x = x 2 = 2 που απορρίπτεται από τους περιορισµούς Θέµα 4.30 Να λυθεί η εξίσωση x 3 = 1 Λύση 4.30 Είναι αδύνατη γιατί x 3 = 1 < 0 Γιατί ως γνωστό, οι ϱίζες είναι µη αρνητικοί αριθµοί. Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 142

143 Θέµα 4.31 Να λυθεί η εξίσωση 2x 5 + x 2 = 2 x 5 2 Λύση 4.31 Εχουµε τους περιορισµούς x 2 x 5 2 2x 5 + x 2 = 2 ( 2x 5 + x 2) 2 = 2 2 2x 5 + x (2x 5)(x 2) = 4 2 (2x 5)(x 2) = 11 3x, 11 3x 0 x 11 3 (1) (2 (2x 5)(x 2)) 2 = (11 3x) 2 4(2x 5)(x 2) = (11 3x) 2 x 5 2 x x = 3 ή x = 27 x 11 3 x = 3 Θέµα 4.32 Να λυθεί η ανίσωση x 2 + 3x > 2 Λύση 4.32 Εχουµε τον περιορισµό x 2 + 3x 0. Για να λύσω αυτή την ανίσωση, πρέπει να ϕτιάξω πίνακα προσήµων. Η αντίστοιχη εξίσωση x 2 + 3x = 0 έχει λύσεις το 0 και το -3. Ο πινάκας προσήµων είναι ο παρακάτω : x x 2 + 3x Άρα, x (, 3) (0, + ) Τώρα ϑα λύσουµε την ανίσωση : x 2 + 3x 4 x 2 + 3x 4 0 Λύνουµε την αντίστοιχη εξίσωση : x 2 + 3x 4 = 0 η οποία έχει λύσεις τις 1 και -4 Άρα έχουµε τον πίνακα προσήµων : x x 2 + 3x Άρα η x 2 + 3x 4 έχει λύσεις x (, 4) (0, + ) Τις οποίες ϑα πρέπει να συναληθεύσω µε τους περιορισµούς Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 143

144 x (, 3) (0, + ) Άρα η ανίσωση x 2 + 3x > 2 έχει λύσεις x (, 4) (0, + ) Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 144

145 4.4.2 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. x 2 2x x 1 = x. ii. 2x 2 14(x 1) = 2 3(x 1) x x iii. 3x + 2 x(3x2 8) = 2x 8 x 2 x 2 iv. x 2 7x x + 2 = 2x + 4 x Να λύσετε τις εξισώσεις : 3(x + 2) 4 i. x = x x 2 2x 2 x 2 14 ii. x x 1 = 4 x2 + x + 1 x + 1 3x iii. x 3 2x2 x x + 6 x 2 2x 3 = 0 3x 2 iv. x 2 9x x x x 3 4x = x 2 + 2x. 3. Να λύσετε τις εξισώσεις : i. x = 0. ii. x 2 x 3 = 0. 3 iii. x x 4 = Να λύσετε τις εξισώσεις : ( x 2 ) 2 x 2 i. 7 x 2 x 2 8 = 0. ( x ) 3 ( x ) 2 14x ii. 7 + x + 3 x + 3 x = Να λύσετε τις εξισώσεις : i. x 3 = 2. ii. x 2 + 4x 5 = 4. iii. 3x + 18 = x. iv. 20 x 2 3 = Να λύσετε τις εξισώσεις : i. x 14 2x = 3. ii x = x. iii. x 2x + 5 = 5. iv. x 1 x + 11 = Να λύσετε τις εξισώσεις : i. x + 8 x 4 = 2 ii. x 5 3 = x 8 iii. 2x x = 3 iv. 2x 3 x 2 = Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 4 x 2 + 3x 6 = 8 4x ii. 1 x 2 + x 1 = x 9. Να λύσετε τις εξισώσεις : i x = 1 + x ii. 12 x = 6 x 10. Να λύσετε τις εξισώσεις : Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 145

146 i. x ii. x 5 0 iii. 3x 5 < 0 iv. x 2 + 3x 4 0 v. x < 3 vi. x Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 2x 1 < 9 3x ii. 1 x x + 3 iii. 2x + 1 x iv. x 6 2 x < Να λύσετε τις εξισώσεις : i. 7 x > x 1 ii. x 4 > 2 x iii. x 6 3 x iv. 2 x 2 < x ίνεται η συνάρτηση f(x) = αɛφx + βx 4 3, α, β R i. Να υπολογίσετε τους αριθµούς α, β ώστε η γραφική παράσταση της συνάρτησης να τέµνει τον xx στα σηµεία x 1 = π 6 και x 2 = 5π 3 ii. Αν το σηµείο M(x, α + β) είναι σηµείο της γραφικής παράστασης, της παραπάνω συνάρτησης, για τα α, β που υπολογίσαµε στο προηγούµενο ερώτηµα, να ϐρείτε το x. 14. Να λυθούν οι εξισώσεις i. (2ηµx 1) 4 + 6(2ηµx 1) 2 7 = 0 ii. 2ηµ 3 x + 5ηµ 2 x + 5ηµx + 2 = 0 iii. 2συν 4 x 5συν 3 x + 5συνx 2 = Να λυθούν οι ανισώσεις x 3 + 2x 4 i. < 1 x 2 x 2 ii. x x 1 2 x 2 1 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 146

147 Εκθετική Συνάρτηση ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Λογάριθµοι ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Λογαριθµική Συνάρτηση ΘΕΩΡΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ 5. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Εκθετική Συνάρτηση ΘΕΩΡΙΑ Ερώτηση 5.1 Πώς ορίζονται οι δυνάµεις, µε έκθετη ακέραιο ; Η δύναµη αν, µε το α που ονοµάζεται ϐάση και είναι πραγµατικός αριθµός και µε το ν που ονοµάζεται εκθέτης και είναι ϕυσικός αριθµός µε ν 2, είναι το γινόµενο που αποτελείται από ν παράγοντες του α αν = α α α {z } ν, παράγοντες Επίσης ορίζουµε : i. α1 = α ii. α0 = 1, µε α 6= 0 1 iii. α ν = ν, µε α 6= 0 α π.χ. 23 = = 8 Ερώτηση 5.2 Πώς ορίζονται οι δυνάµεις µε έκθετη ϱητό ; µ αν = ν αµ, α > 0, µ Z, ν Z + Ερώτηση 5.3 Πώς ορίζονται οι δυνάµεις µε εκθέτη πραγµατικό ; αx = lim αρν, lim ρν = x ν ν

148 Ερώτηση 5.4 Ποιες είναι οι ιδιότητες των δυνάµεων ; 1. α µ α ν = α µ+ν 4. α ν β ν = (α β) ν 2. α µ α ν = αµ ν 5. α ν β ν = ( α) ν β 3. α µ ν = ( α µ) ν 6. ( ) α ν = β ( ) β ν α Ερώτηση 5.5 Πώς ορίζεται η εκθετική συνάρτηση ; Η συνάρτηση f : R R µεf(x) = α x, α 1 λέγεται εκθετική. Αν α = 1 έχουµε τη σταθερή συνάρτηση f(x) = 1 Ερώτηση 5.6 Ποιες είναι οι ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης f(x) = α x µε α > 1; Σχήµα 5.1: Εκθετική συνάρτηση f(x) = α x µε α > 1 Εχει πεδίο ορισµού το R. Σύνολο τιµών το σύνολο των ϑετικών πραγµατικών αριθµών. Είναι γνησίως αύξουσα, δηλαδή για οποιουδήποτε πραγµατικούς αριθµούς x 1, x 2 µε x 1 < x 2 είναι α x 1 < α x 2 Η γραφική παράσταση της f τέµνει τον άξονα y y στο A(0, 1). Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 148

149 Η γραφική της παράσταση, όσο οι τιµές του x µικραίνουν, πλησιάζει όλο και πιο πολύ τον ηµιάξονα των αρνητικών αριθµών Ox, χωρίς να τον συναντά. Για αυτό λέµε ότι η γραφική παράσταση της f(x) = α x έχει οριζόντια ασύµπτωτη τον ηµιάξονα των αρνητικών αριθµών Ox. Ερώτηση 5.7 Ποιες είναι οι ιδιότητες της εκθετικής συνάρτησης f(x) = α x µε 0 < α < 1; Σχήµα 5.2: Εκθετική συνάρτηση f(x) = α x µε 0 < α < 1 Εχει πεδίο ορισµού το R. Σύνολο τιµών το σύνολο των ϑετικών πραγµατικών αριθµών. Είναι γνησίως ϕθίνουσα, δηλαδή για οποιουδήποτε πραγµατικούς αριθµούς x 1, x 2 µε x 1 < x 2 είναι α x 1 > α x 2 Η γραφική παράσταση της f τέµνει τον άξονα y y στο A(0, 1). Η γραφική της παράσταση, όσο οι τιµές του x µεγαλώνουν, πλησιάζει όλο και πιο πολύ τον ηµιάξονα των ϑετικών αριθµών Ox, χωρίς να τον συναντά. Για αυτό λέµε ότι η γραφική παράσταση της f(x) = α x έχει οριζόντια ασύµπτωτη τον ηµιάξονα των ϑετικών αριθµών Ox. Ερώτηση 5.8 Ποια χρήσιµη ισοδυναµία προκύπτει από την µονοτονία, για την επίλυση εκθετικών εξισώσεων ; Και στην περίπτωση που α > 1 και στην περίπτωση που 0 < α < 1 είχαµε : Αν x 1 x 2 τότε α x 1 > α x 2 Το οποίο µε αντιθετοαντιστροφή γίνεται : α x 1 = α x2 x 1 = x 2 Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 149

150 5.1.2 ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Εκθετικές συναρτήσεις Μεθοδολογία 5.1 Κατακόρυφη µετατόπισηη συνάρτηση f(x) = θ x + c έχει γραφική παράσταση που προκύπτει από την κατακόρυφη µετατόπιση της y = θ x κατά c µονάδες : προς τα πάνω αν c > 0. προς τα κάτω αν c < 0. Θέµα 5.1 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) = 4 x + 2 και g(x) = 4 x 1 Λύση 5.1 Εστω C h η γραφική παράσταση της συνάρτησης h(x) = 4 x. Τότε αφού η f(x) = 4 x + 2 δηλαδή f(x) = h(x) + 2 η C f ϑα είναι η κατακόρυφη µετατόπιση της C h κατά 2 µονάδες προς τα πάνω. Επίσης αφού η g(x) = 4 x 1 δηλαδή η g(x) = h(x) 1, Η C g ϑα είναι η κατακόρυφη µετατόπιση της C h κατά 1 µονάδες προς τα κάτω. Σχήµα 5.3: Κατακόρυφη µετατόπιση Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 150

151 Μεθοδολογία 5.2 Οριζόντια µετατόπισηη συνάρτηση f(x) = θ x+c έχει γραφική πα- ϱάσταση που προκύπτει από την οριζόντια µετατόπιση της y = θ x κατά c µονάδες : προς τα αριστερά αν c > 0. προς τα δεξιά c < 0. Θέµα 5.2 Να σχεδιάσετε στο ίδιο σύστηµα αξόνων τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) = 4 x+2 και g(x) = 4 x 1 Λύση 5.2 Εστω C h η γραφική παράσταση της συνάρτησης h(x) = 4 x. Τότε αφού η f(x) = 4 x+2 δηλαδή f(x) = h(x + 2) η C f ϑα είναι η οριζόντια µετατόπιση της C h κατά 2 µονάδες προς τα αριστερά. Επίσης αφού η g(x) = 4 x 1 δηλαδή η g(x) = h(x 1), Η C g ϑα είναι η οριζόντια µετατόπιση της C h κατά 1 µονάδα προς τα δεξιά. Σχήµα 5.4: Οριζόντια µετατόπιση Αποστόλου Γιώργος - Μαθηµατικός 151

Δείτε περισσότερα