(which is named Tsirelson s space and is denoted with T ) and the space T [(A n, log 2 (n+1) ) n=1 ]

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΠΑΚΟΓΙΑΝΝΗ ΧΑΡΙΚΛΕΙΑ ΜΕΙΚΤΟΙ ΧΩΡΟΙ ΤΥΠΟΥ TSIRELSON ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΧΩΡΩΝ BANACH ΙΩΑΝΝΙΝΑ, 203

2 2

3 3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σε αυτή τη μεταπτυχιακή διατριβή μελετάμε πως από ένα K c 00 ορίζεται μία νόρμα K στον c 00 και ο αντίστοιχος χώρος Baach X K που είναι η πλήρωση αυτού. Παρουσιάζουμε τους χώρους T [(A, θ)], T [(S, 2 )] (που ονομάζεται χώρος του Tsrelso και συμβολίζεται με T ) και τον χώρο T [(A, log 2 (+) ) = ] (που ονομάζεται χώρος του Schlumprecht και συμβολίζεται με S). Παρουσιάζουμε την απόδειξη ότι οι c 0 και l δεν είναι παραμορφώσιμοι, ότι ο χώρος T είναι 2 ε παραμορφώσιμος για κάθε ε > 0 και ότι ο χώρος S είναι απεριόριστα παραμορφώσιμος. ABSTRACT I ths master thess we study how from a set K c 00 oe orm K o c 00 ad the correspodg Baach space X K, whch s ts completo, are defed. We preset the spaces T [(A, θ)], T [(S, 2 )] (whch s amed Tsrelso s space ad s deoted wth T ) ad the space T [(A, log 2 (+) ) = ] (whch s amed Schlumprecht s space ad s deoted wth S). We preset the proof that the spaces c 0 ad l are ot dstortable, that the space T s 2 ε dstortable for every ε > 0 ad that the space S s arbtrarly dstortable.

4 4

5 Περιεχόμενα Εισαγωγή 7 2 Συμβολισμοί, ορισμοί και βασική θεωρία 3 Ο χώρος T [(A, θ)] 7 4 Παραμόρφωση χώρων Baach 25 5 Ο χώρος του Tsrelso 29 6 Ο χώρος του Schlumprecht 4 5

6 6 ΠΕΡΙΕΧ ΟΜΕΝΑ

7 Κεφάλαιο Εισαγωγή Θεωρούμε τον χώρο των τελικά μηδενικών ακολουθιών c 00 = {x = (x ) N : 0 N τέτοιο ώστε: 0 x = 0}. Ενα K c 00 υπό κάποιες προϋποθέσεις ορίζει μία νόρμα στον c 00 από τον τύπο x K = sup{f(x) : f K} για κάθε x c 00, όπου για f = (α, α 2,...) c 00 και για x = (β, β 2,...) c 00 f(x) = α β. Η πλήρωση του χώρου (c 00, K ) είναι ένας χώρος Baach και θα συμβολίζεται με X K. Στην παρούσα εργασία μελετάμε χώρους Baach που ορίζονται με τον συγκεκριμένο τρόπο. Θεωρούμε την οικογένεια υποσυνόλων του N με το πολύ στοιχεία A = {A N : A }. Αν 0 < θ < η συνάρτηση που απεικονίζει μία οικογένεια (f ) d του c 00 με f < < f d και d στο θ(f f d ) K ονομάζεται (A, θ) πράξη. Θεωρώντας K το ελάχιστο υποσύνολο του c 00 για το οποίο () ±e K για κάθε N (2) Το σύνολο K είναι κλειστό ως προς την (A, θ) πράξη ο αντίστοιχος χώρος X K θα συμβολίζεται με T [(A, θ)]. Η νόρμα αυτού του χώρου ικανοποιεί την εξής αναδρομική σχέση. Για κάθε x c 00 ισχύει x K = max{x, θ sup{ d E x : d, E < E 2 <... < E d }} (όπου αν E N και x c 00 με Ex συμβολίζεται ο περιορισμός του x στο E). Ο χώρος αυτός είναι ο απλούστερος χώρος Baach του οποίου η νόρμα ικανοποιεί μία αναδρομική σχέση. Ο S. Belleot [5] το 985 απέδειξε ότι ο χώρος T [(A, θ)] είναι ισόμορφος με κάποιον l p, < p < ή τον c 0. Συγκεκριμένα όταν θ ο χώρος είναι ισομετρικός με τον c 0, ενώ όταν < θ < ο χώρος T [(A, θ)] είναι ισόμορφος με τον l p, όπου p ο αριθμός ο οποίος ορίζεται από τη σχέση p + log ( θ ) =. Ο Σ. Αργυρός και Ε. Δεληγιάννη [2] παρουσίασαν με απλούστερη απόδειξη αυτό το αποτέλεσμα. Θεωρούμε την οικογένεια Schreer, S = {F N : F m F } { }. Η συνάρτηση που απεικονίζει μία οικογένεια (f ) d του c 00 με d f < < f d στο 2 (f f d ) K ονομάζεται (S, 2 ) πράξη. Θεωρώντας K το ελάχιστο υποσύνολο του c 00 για το οποίο () ±e K για κάθε N (2) Το σύνολο K είναι κλειστό ως προς την (S, 2 ) πράξη 7

8 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓ Η ο αντίστοιχος χώρος X K θα συμβολίζεται με T = T [(S, 2 )]. Η νόρμα αυτού του χώρου ικανοποιεί την εξής αναδρομική σχέση. Για κάθε x c 00 ισχύει x = max{x, d 2 sup{ E x : d E < E 2 <... < E d }}. Ο χώρος αυτός ήταν ο πρώτος χώρος που κατασκευάστηκε του οποίου η νόρμα ικανοποιεί μία αναδρομική σχέση. Ο B.S. Tsrelso [23] το 974 κατασκεύασε τον πρώτο χώρο Baach που δεν περιείχε ισομορφικά κανέναν από τους l p, p < ή τον c 0, καταρρίπτοντας έτσι την γενική πεποίθηση περί του αντιθέτου. Ο χώρος T [(S, 2 )] που προαναφέραμε, που επίσης δεν περιέχει ισομορφικά κανέναν από τους l p, p < ή τον c 0, είναι ο δυικός του χώρου που όρισε ο Tsrelso και παρουσιάστηκε από τους Fgel και Johso [9] έναν χρόνο αργότερα. Αν στον ορισμό του συνόλου K αντί μίας πράξης (A, θ) ή (S, 2 ) χρησιμοποιηθούν πεπερασμένες ή αριθμήσιμες το πλήθος πράξεις τότε ο χώρος X K που προκύπτει λέγεται μεικτός χώρος τύπου Tsrelso. Αν χρησιμοποιηθούν πεπερασμένες το πλήθος οικογένειες (A k, θ k ) l k= στον ορισμό του ormg συνόλου K τότε προκύπτει αντίστοιχο αποτέλεσμα με αυτό που προαναφέραμε με χρήση μιας οικογένειας (A, θ). Συγκεκριμένα για l N,, 2,..., l N και θ, θ 2,..., θ l (0, ) ορίζεται ο χώρος X K, όπου K είναι το ελάχιστο υποσύνολο του c 00 το οποίο ικανοποιεί τις ιδιότητες () ±e K για κάθε N (2) Για κάθε k =,..., l το σύνολο K είναι κλειστό ως προς την (A k, θ k ) πράξη. Ο χώρος αυτός θα συμβολίζεται με T [(A k, θ k ) l k= ] και η νόρμα του ικανοποιεί την ακόλουθη αναδρομική σχέση. Για κάθε x c 00 ισχύει x K = max{x, max k=,...,l {θ k sup{ d E x : d k, E < E 2 <... < E d }}}. Οι Berues και Δεληγιάννη [6] απέδειξαν ότι αν θ k > k Baach T [(A k, θ k ) l k= ] είναι ισόμορφος με τον l p, όπου p = m{ log k ( θ k ) : θ k > }. k για ένα τουλάχιστον k {,..., l} τότε ο χώρος Δηλαδή μία από τις οικογένειες (A k, θ k ) l k= κυριαρχεί έναντι των υπολοίπων. Η κατάσταση αλλάζει δραματικά αν αντί για πεπερασμένες το πλήθος οικογένειες χρησιμοποιηθούν άπειρες το πλήθος οικογένειες. Θεωρούμε φ(x) = log 2 (x + ) και K το ελάχιστο υποσύνολο του c 00 το οποίο ικανοποιεί τις ιδιότητες () ±e K για κάθε N () Για κάθε l =, 2,... το σύνολο K είναι κλειστό ως προς την (A l, φ(l) ) πράξη. Ορίζεται έτσι ο αντίστοιχος χώρος X K, ο οποίος θα συμβολίζεται με S = T [(A, αυτού του χώρου ικανοποιεί την εξής αναδρομική σχέση. Για κάθε x c 00 ισχύει x = max{x, sup{ φ(l) E x : l 2, E < E 2 <... < E l }}. φ() ) = ]. Η νόρμα Αυτός ο χώρος κατασκευάστηκε από τον T. Schlumprecht [2] το 99 και είναι το πρώτο παράδειγμα απεριόριστα παραμορφώσιμου χώρου Baach. Ο χώρος αυτός δεν περιέχει ισομορφικά κανέναν από τους χώρους l p, p < ή τον c 0.

9 9 Ο χώρος S του Schlumprecht δεν αποτέλεσε απλώς ένα παθολογικό παράδειγμα χώρου Baach. Οι μέθοδοι που χρησιμοποιήθηκαν στις σχετικές αποδείξεις για τον S συνέβαλαν ουσιαστικά στην ανάπτυξη της θεωρίας χώρων Baach τις δύο δεκαετίες που ακολούθησαν. Οι Odell και Schlumprecht [9] το 992 απέδειξαν ότι ο χώρος l p για < p < είναι απεριόριστα παραμορφώσιμος. Η απόδειξη αυτού του αποτελέσματος στηρίζεται ουσιαστικά στον χώρο του Schlumprecht. Οι W. T. Gowers και B. Maurey [0] κατασκεύασαν, χρησιμοποιώντας ως ουσιαστικό συστατικό της κατασκευής τους τον χώρο του Schlumprecht, έναν χώρο Baach X GM ο οποίος είναι Κληρονομικά Αδιάσπαστος (ή Καθολικά Αδιάσπαστος) (Heredtarly Idecomposable, H.I.). Ενας χώρος Baach X καλείται H.I. αν δεν υπάρχει υπόχωρός του που να μπορεί να διασπαστεί ως ευθύ άθροισμα δύο περαιτέρω απειροδιάστατων υποχώρων του. Σημειώνουμε ότι ένας H.I. χώρος δεν έχει κανέναν απειροδιάστατο υπόχωρο με ucodtoal βάση. Οι Σ. Αργυρός και Ε. Δεληγιάννη [3] παρουσίασαν έναν ασυμπτωτικά l απεριόριστα παραμορφώσιμο χώρο με ucodtoal βάση καθώς επίσης έναν ασυμπτωτικά l H.I. χώρο. Η N. Tomczak-Jaegerma [22] απέδειξε ότι κάθε H.I. χώρος είναι απεριόριστα παραμορφώσιμος. Οι Σ. Αργυρός και Α. Τόλιας [4] παρουσίασαν την κατασκευή ενός μη διαχωρίσιμου H.I. χώρου και απέδειξαν ότι κάθε διαχωρίσιμος χώρος Baach που δεν περιέχει ισομορφικά τον l είναι πηλίκο ενός H.I. χώρου. Περνάμε τώρα στην έννοια της παραμόρφωσης χώρων Baach. Εστω (X, ) ένας απειροδιάστατος χώρος Baach. Αν είναι μία ισοδύναμη νόρμα στον χώρο X και λ > λέμε ότι η είναι μία λ παραμόρφωση του X αν για κάθε απειροδιάστατο υπόχωρο Y του X ισχύει sup{ x, x, y Y, x = y = } λ. y Ο X λέγεται λ παραμορφώσιμος αν υπάρχει μία λ παραμόρφωση του X. Ο X λέγεται παραμορφώσιμος αν είναι λ παραμορφώσιμος για κάποιο λ >. Ο X λέγεται απεριόριστα παραμορφώσιμος αν είναι λ παραμορφώσιμος για κάθε λ >. Ο R.C. James [3] το 964 απέδειξε ότι οι χώροι c 0 και l δεν είναι παραμορφώσιμοι. Ο Mlma [7] το 97 απέδειξε ότι αν ένας χώρος Baach δεν περιέχει ισομορφικά τους c 0 και l p, p <, τότε περιέχει ισομορφικά έναν παραμορφώσιμο υπόχωρο. Σε συνδυασμό με το αποτέλεσμα των Odell και Schlumprecht που προαναφέραμε προκύπτει ότι αν ένας χώρος Baach δεν περιέχει ισομορφικά τους c 0 και l τότε περιέχει ισομορφικά έναν παραμορφώσιμο υπόχωρο. Οι E. Odell, N. Tomczak-Jaegerma και R. Wager [20] το 997 απέδειξαν ότι ο χώρος του Tsrelso είναι 2 ε παραμορφώσιμος για κάθε ε > 0. Ενα ερώτημα το οποίο παραμένει ανοιχτό μέχρι και σήμερα είναι αν υπάρχει χώρος ο οποίος να είναι παραμορφώσιμος αλλά όχι απεριόριστα παραμορφώσιμος. Ενας υποψήφιος χώρος για τον οποίο μπορεί να συμβαίνει αυτό είναι ο χώρος του Tsrelso. Ο λόγος για τον οποίο ο χώρος του Tsrelso είναι υποψήφιος για κάτι τέτοιο είναι ότι δεν γνωρίζουμε αν είναι λ παραμορφώσιμος για λ 2. Στο δεύτερο κεφάλαιο δίνουμε ορισμούς, συμβολισμούς και βασική θεωρία για βάσεις Schauder σε χώρους Baach η οποία προέρχεται από τα βιβλία [], [], [2], [5], [6], [8]. Επίσης στο ίδιο κεφάλαιο παρουσιάζουμε αναλυτικά τις ιδιότητες του χώρου X K, που είναι η πλήρωση του (c 00, K ), σε συνάρτηση με τις ιδιότητες του ormg συνόλου K. Στο τρίτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε τον χώρο T [(A, θ)] και την απόδειξη των Σ. Αργυρού και Ε. Δεληγιάννη [2] ότι όταν θ ο χώρος είναι ισομετρικός με τον c 0, ενώ όταν < θ < ο χώρος είναι ισόμορφος με τον l p. Στο τέταρτο κεφάλαιο μελετάμε την έννοια της παραμόρφωσης χώρων Baach και παρουσιάζουμε την απόδειξη του R.C. James [3] ότι οι χώροι l και ο c 0 δεν είναι παραμορφώσιμοι. Στο πέμπτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε τον χώρο του Tsrelso ακολουθώντας τους Fgel και Johso [9]. Παραθέτουμε την απόδειξη ότι ο χώρος του Tsrelso δεν περιέχει ισομορφικά κανέναν από τους χώρους l p, p < ή τον c 0. Τέλος σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζουμε την απόδειξη των E. Odell, N. Tomczak-Jaegerma ad R. Wager [20] οι οποίοι απέδειξαν ότι ο χώρος του Tsrelso είναι 2 ε παραμορφώσιμος για κάθε ε > 0. Στο έκτο και τελευταίο κεφάλαιο της εργασίας παρουσιάζουμε τον χώρο του Schlumprecht και την απόδειξη ότι είναι ένας απεριόριστα παραμορφώσιμος χώρος Baach.

10 0 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ. ΕΙΣΑΓΩΓ Η

11 Κεφάλαιο 2 Συμβολισμοί, ορισμοί και βασική θεωρία Ορισμός 2.. Μία ακολουθία (e ) N σε έναν χώρο Baach X ονομάζεται βάση Schauder του X αν για κάθε x X υπάρχει μοναδική ακολουθία πραγματικών αριθμών (α ) N τέτοια ώστε x = α e. Μία ακολουθία (e ) N λέγεται Schauder βασική ακολουθία αν είναι βάση Schauder του κλειστού υποχώρου που παράγει. Η ακόλουθη πρόταση δίνει έναν χαρακτηρισμό των Schauder βασικών ακολουθιών. Πρόταση 2.2. Μία ακολουθία (e ) N σε έναν χώρο Baach X είναι Schauder βασική ακολουθία αν και μόνο αν ισχύουν τα εξής () e 0, για κάθε N. (2) υπάρχει σταθερά C τέτοια ώστε για κάθε ακολουθία συντελεστών (α ) N και κάθε m, με m < να ισχύει α k e k C k= α k e k. Ορισμός 2.3. Η βάση (e ) N ονομάζεται μονότονη όταν C = και ονομάζεται διμονότονη όταν ισχύει α k e k k=l k= α k e k για κάθε ακολουθία συντελεστών (α k ) k N και κάθε l, m, με l m. Χάριν συντομίας με τον όρο βάση θα εννοούμε βάση Schauder. Ορισμός 2.4. Εστω X ένας χώρος Baach με βάση (e ) N του X. Μία ακολουθία (x ) N στον X με x 0 για =, 2,... ονομάζεται block βάση της (e ) N αν υπάρχει ακολουθία πραγματικών αριθμών (λ ) N και (m ) N γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών ώστε : x = λ k e k για κάθε k= k=m + =, 2,..., όπου m 0 = 0. Ενας χώρος Y = {x : N} θα ονομάζεται block υπόχωρος του X. Ορισμός 2.5. Αν η (e ) N είναι βάση του X ονομάζουμε δυϊκή ακολουθία της (e ) N την ακολουθία των συναρτησοειδών (e ) N με e ( α e ) = α για κάθε και για κάθε x = α e X. Πρόταση 2.6. Η (e ) N είναι βασική στον X. =

12 2 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟ Ι, ΟΡΙΣΜΟ Ι ΚΑΙ ΒΑΣΙΚ Η ΘΕΩΡ ΙΑ Απόδειξη. Θέτουμε P : X X με τύπο P ( λ e ) = λ e και K = sup P. Αρχικά θα αποδείξουμε ότι e X. Ισοδύναμα αρκεί να δείξουμε ότι τα e είναι φραγμένοι γραμμικοί τελεστές. Γραμμικοί προφανώς είναι άρα μένει να δείξουμε ότι είναι και φραγμένοι. Πράγματι έχουμε e ( ) λ e = λ ( ) ( ) P λ e + P λ e e 2K e λ e. Άρα e X και e 2K e, για κάθε =, 2,... Τέλος για κάθε, m N με m και (λ ) m ακολουθία πραγματικών αριθμών ισχύει και εφόσον P = P προκύπτει ότι P ( m λ e ) = λ e λ e K λ e. Επομένως η ακολουθία (e ) N είναι βασική στον X. Ορισμός 2.7. Εστω X χώρος Baach με βάση (e ) N και x = α e = X. Ονομάζουμε φορέα του x και συμβολίζουμε με supp(x) το σύνολο supp(x) = { N : α 0}. Επιπλέον συμβολίζουμε με ra(x) το μικρότερο διάστημα που περιέχει τον φορέα του x. Για A, B πεπερασμένα μη κενά υποσύνολα του N γράφουμε A < B αν max A < m B, ενώ αν N και A μη κενό υποσύνολο του N τότε γράφουμε A όταν m A. Αν x = α k e k X και y = b k e k X γράφουμε x, αν supp(x) και x < y αν k= k= supp(x) < supp(y). Αν x < y τότε λέμε ότι τα x, y είναι διαδοχικά διανύσματα. Επιπλέον με τον όρο διάστημα εννοούμε κάθε σύνολο της μορφής E = { N : m} για m, N. Τέλος αν x X και Ε πεπερασμένο υποσύνολο του N συμβολίζουμε με E(x) ή Ex ή x E το διάνυσμα E(x) = α e. Θεωρούμε τον χώρο των τελικά μηδενικών ακολουθιών c 00 = {x = (x ) N : 0 N τέτοιο ώστε: 0 x = 0}. Αν K c 00 μη κενό τότε για κάθε x c 00, θέτουμε όπου f(x) =< f, x >= x K = sup{f(x) : f K} α b με f = (α, α 2,...) και x = (b, b 2,...). ουσιαστικά πεπερασμένο γιατί x c 00 άρα πεπερασμένοι όροι του θα είναι μη μηδενικοί. Πρόταση 2.8. Εστω K c 00 με τις ακόλουθες ιδιότητες () e K για κάθε N E Το άθροισμα αυτό είναι

13 3 () K συμμετρικό, δηλαδή αν f K τότε και f K () Για κάθε f K ισχύει f. Τότε η K είναι νόρμα στον c 00 και e K = για κάθε N. Απόδειξη. Καταρχήν η ιδιότητα () μας εξασφαλίζει ότι για κάθε x c 00 η ποσότητα x K είναι πραγματικός αριθμός και μάλιστα x K x, όπου x είναι η l νόρμα του x. Άρα K : c 00 R. Υποθέτουμε ότι το K έχει τις παραπάνω ιδιότητες και θα αποδείξουμε ότι η K είναι νόρμα, δηλαδή ικανοποιεί τις ιδιότητες () x K 0 και x K = 0 x = 0 () λx K = λ x K, λ R, x c 00 () x + y K x K + y K, x, y c 00 () Για κάθε x c 00 και κάθε f K ισχύει : max{f(x), f(x)} = f(x). Εχουμε ότι x K 0 sup{f(x) : f K} 0. Αφού όμως το K είναι συμμετρικό θα ισχύει sup{f(x) : f K} = sup{ f(x) : f K} 0. Επομένως x K 0. Μένει να αποδείξουμε ότι x K = 0 x = 0. Οταν x = 0 τότε x K = 0. Επιπλέον αν x 0 δηλαδή x = (x, x 2,...) τότε υπάρχει 0 N τέτοιο ώστε x 0 0. Άρα θα έχουμε x K max{e 0 (x), e 0 (x)} = x 0 > 0. Επομένως ισχύει ότι () Εχουμε ότι x K = 0 x = 0. λx K = sup{f(λx) : f K} = sup{ f(λx) : f K} = sup{ λ f(x) : f K} = λ sup{ f(x) : f K} = λ x K. Οπου η δεύτερη ισότητα προκύπτει από το γεγονός ότι το σύνολο K είναι συμμετρικό. () Εστω x, y c 00. Για κάθε f = α e K έχουμε ότι f(x + y) = = α (x + y ) α x + α y = f(x) + f(y) x K + y K. Άρα sup{f(x + y) : f K} x K + y K. Συνεπώς x + y K x K + y K. Επομένως η K είναι νόρμα. Τέλος έχουμε ότι e K e (e ) = και επιπλέον e K = sup{f(e ) : f K} το οποίο ισχύει από την τρίτη ιδιότητα του συνόλου K. Επομένως e K = για κάθε N.

14 4 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟ Ι, ΟΡΙΣΜΟ Ι ΚΑΙ ΒΑΣΙΚ Η ΘΕΩΡ ΙΑ Η πλήρωση του χώρου (c 00, K ) συμβολίζεται με (X K, K ). Αν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης θα χρησιμοποιούμε τον συμβολισμό (X, ). Πρόταση 2.9. Αν K c 00 το οποίο ικανοποιεί τις ιδιότητες (),(),() της Πρότασης 2.8 και επιπλέον την ακόλουθη ιδιότητα : (v) Αν f K και E διάστημα τότε Ef K τότε η (e ) N είναι διμονότονη βάση Schauder του X. Απόδειξη. Για να αποδείξουμε ότι η (e ) N είναι διμονότονη βάση Schauder για τον X πρέπει σύμφωνα με την Πρόταση 2.2 να δείξουμε ότι για κάθε N, κάθε ακολουθία συντελεστών (α k ) k= και κάθε l m ισχύει α k e k α k e k. k=l k= Ισοδύναμα αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε f K ισχύει : f( α k e k ) k=l α k e k. Εστω f K. Τότε για το διάστημα E = {l,..., m} λόγω της ιδιότητας (v) θα έχουμε ότι Ef K. Άρα k= f( α k e k ) = Ef( α k e k ) k=l = Ef( k=l α k e k ) k= α k e k. k= Ορισμός 2.0. Μία βάση (e ) N λέγεται ucodtoal βάση αν υπάρχει σταθερά C τέτοια ώστε για κάθε ακολουθία συντελεστών (α ) N και κάθε ακολουθία προσήμων (ε ) N, δηλαδή ε {, } και κάθε N ισχύει ε α e C α e. (2.) Ο μικρότερος αριθμός C ο οποίος ικανοποιεί τη σχέση (2.) ονομάζεται ucodtoal σταθερά της βάσης (e ) N. Λέμε ότι η ucodtoal βάση (e ) N είναι C-ucodtoal αν η ucodtoal σταθερά της (e ) N είναι μικρότερη ή ίση του C. Πρόταση 2.. Αν K c 00 το οποίο ικανοποιεί τις ιδιότητες (),(),(),(v) των Προτάσεων 2.8, 2.9 και επιπλέον την ακόλουθη ιδιότητα (v) Αν f = α e K τότε για κάθε επιλογή προσήμων ε {, } το g = ε α e K τότε η (e ) N είναι -ucodtoal βάση του X. Απόδειξη. Για να αποδείξουμε ότι η (e ) N είναι -ucodtoal βάση του X αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε N και για κάθε ακολουθία συντελεστών (α ) και κάθε ακολουθία προσήμων (ε ) ισχύει ε α e α e.

15 5 Ισοδύναμα αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε f K ισχύει f( ε α e ) α e. Εστω f = d β e K τότε λόγω της ιδιότητας (v) για το g = d ε β e έχουμε ότι g K. Συνεπώς f( ε α e ) = ε α β = g( d α e ) α e Ορισμός 2.2. Εστω X χώρος Baach με βάση (e ) N. Η (e ) N λέγεται -subsymmetrc αν είναι -ucodtoal και επιπλέον για κάθε x = α e και κάθε γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών ( ) N ισχύει α e = α e. Πρόταση 2.3. Αν K c 00 το οποίο ικανοποιεί τις ιδιότητες (),(),(),(v),(v) των Προτάσεων 2.8, 2.9, 2. και επιπλέον την ακόλουθη ιδιότητα (v) Για κάθε d N, κάθε επιλογή (β ) d πραγματικών αριθμών και κάθε γνησίως αύξουσα επιλογή φυσικών ( ) d ισχύει η ισοδυναμία d β e K d β e K τότε η (e ) N είναι -subsymmetrc βάση του X. Απόδειξη. Για να αποδείξουμε ότι η (e ) N είναι -subsymmetrc βάση του X αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε m N, κάθε επιλογή (α ) m πραγματικών αριθμών και κάθε γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών ( ) d ισχύει α e = α e. Για να αποδειχθεί αυτό αρκεί να δείξουμε ότι α e α e και α e α e. Θα αποδείξουμε μόνο την πρώτη ανισότητα. Η απόδειξη της άλλης είναι παρόμοια και για τον λόγο αυτό θα την παραλείψουμε. Ισοδύναμα αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε f K ισχύει f( α e ) α e.

16 6 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 2. ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟ Ι, ΟΡΙΣΜΟ Ι ΚΑΙ ΒΑΣΙΚ Η ΘΕΩΡ ΙΑ Εστω f = έχουμε d β e K, τότε για το g = d β e από την ιδιότητα (v) προκύπτει ότι g K. Ετσι d f( α e ) = α β = g( α e ) α e. Επομένως έχουμε ότι Άρα η πρόταση αποδείχθηκε. α e α e. Παρατήρηση 2.4. Ολοι οι χώροι Baach που θα παρουσιάσουμε στην παρούσα εργασία ορίζονται ως εξής : Για κατάλληλο σύνολο K ορίζουμε μία νόρμα στον c 00 και θεωρούμε τον χώρο X K που είναι η πλήρωση του χώρου (c 00, K ). Παρατηρούμε ότι ακόμη και οι κλασικοί χώροι Baach (c 0, ) και (l p, p ) είναι χώροι αυτής της μορφής. Πράγματι για τον χώρο c 0 το σύνολο K που παίζει αυτό τον ρόλο είναι το K = {±e : N}. Για τον χώρο l p, < p < το σύνολο που πρέπει να θεωρήσουμε είναι το K = { d β e : d β q, d N, β, β 2,..., β d R}, όπου q ο συζυγής εκθέτης του p. Τέλος για τον χώρο l το σύνολο που πρέπει να θεωρήσουμε είναι το K = { d ε e : ε {, }, d N}.

17 Κεφάλαιο 3 Ο χώρος T [(A, θ)] Για N θεωρούμε την οικογένεια των υποσυνόλων του N με το πολύ στοιχεία : A = {A N : A }. Για δεδομένο N, 0 < θ < ορίζουμε τον αριθμό p από την σχέση : p + log ( θ ) = και τον αριθμό q να είναι ο συζυγής εκθέτης του p, δηλαδή τον αριθμό που ορίζεται από τη σχέση Από αυτές τις δύο σχέσεις προκύπτει ότι Το ormg σύνολο K θα οριστεί ως K = του c 00 τα οποία ορίζουμε επαγωγικά Εχοντας ορίσει το K s ορίζουμε p + q =. q = log ( θ ) q = θ θ = s=0 q. K s, όπου τα σύνολα K s είναι μία ακολουθία υποσυνόλων K 0 = {±e : N}. K s+ = K s {θ(f + f f d ) : f K s, =,..., d, d και f, f 2,..., f d Θέτουμε K = s=0 διαδοχικά}. K s. Το K ορίζει νόρμα στον c 00 με τύπο x = sup{f(x) : f K} για κάθε x c 00. Ο χώρος T [(A, θ)] είναι η πλήρωση του (c 00, ). Ο S. Belleot [5] το 985 απέδειξε ότι ο χώρος X = T [(A, θ)] είναι ισόμορφος με κάποιον l p, < p < ή τον c 0. Η απόδειξη που θα παρουσιάσουμε εδώ γίνεται με διαφορετικά επιχειρήματα και οφείλεται στους Σ. Αργυρό και Ε. Δεληγιάννη [2]. Παρατήρηση 3.. Το ormg σύνολο K του χώρου X = T [(A, θ)] ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες () e K για κάθε N. () K συμμετρικό, δηλαδή αν f K τότε και f K. () Για κάθε f K ισχύει f. (v) Αν f K και κάθε E N (ειδικότερα για Ε διάστημα) ισχύει Ef K. (v) Αν d α e K τότε για κάθε επιλογή προσήμων (ε ) d στο {, } ισχύει d ε α e K. 7

18 8 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. Ο Χ ΩΡΟΣ T [(A N, θ)] (v) Για κάθε d N, κάθε επιλογή (β ) d φυσικών ( ) d ισχύει η ισοδυναμία πραγματικών αριθμών και κάθε γνησίως αύξουσα επιλογή d β e K d β e K Επομένως από την Πρόταση 2.3 η (e ) N είναι -ucodtoal και -subsymmetrc βάση του χώρου T [(A, θ)]. Απόδειξη. Αποδεικνύεται εύκολα με επαγωγή ότι κάθε σύνολο K s, s = 0,, 2,... ικανοποιεί αυτές τις ιδιότητες επομένως το ormg σύνολο K ως ένωση αυτών των συνόλων θα ικανοποιεί τις παραπάνω ιδιότητες. Παρατήρηση 3.2. Για κάθε x X και (E ) διαδοχικά σύνολα ισχύει x θ E x. Απόδειξη. Εστω x X, (E ) διαδοχικά σύνολα και έστω ε > 0. Για κάθε =,..., μπορούμε να επιλέξουμε f K, ώστε f (E x) E x ε. Από Παρατήρηση 3. τα f μπορούν να επιλεγούν ώστε supp f E, =,...,. Ορίζουμε f = θ(f f ). Τότε f K άρα έχουμε x f(x) = θ(f (x) + f 2 (x) f (x)) = θ(f (E x) f (E x)) θ E x θε. Εφόσον η παραπάνω σχέση ισχύει για κάθε ε > 0 θα έχουμε ότι x θ E x. Θα δείξουμε κατόπιν την απόδειξη των δύο βασικών θεωρημάτων τα οποία αποδεικνύουν ότι ο χώρος T [(A, θ)] είναι ισόμορφος με κάποιον l p, < p < ή τον c 0. Θεώρημα 3.3. Αν θ τότε ο χώρος T [(A, θ)] είναι ισομετρικός του c 0. Απόδειξη. Θα δείξουμε ότι x = x για κάθε x c 00. Αρχικά θα δείξουμε ότι x x. Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε f K ισχύει f(x) x. Θα δείξουμε με επαγωγή στο s ότι για κάθε f K s ισχύει : f(x) x. Αν f K 0 τότε f(x) sup{g(x) : g K 0 } = x. Υποθέτουμε ότι ισχύει f(x) x για κάθε f K s και θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για κάθε f K s+. Εστω f K s+ \ K s. Τότε το f θα είναι της μορφής f = θ(f f d ) με f K s =,..., d, d και τα f,..., f d διαδοχικά. Επομένως θα ισχύει : f(x) = θ(f (x) f d (x)) θ(x x ) = θdx θx x.

19 9 Επομένως f(x) x για κάθε f K, δηλαδή x x. Επιπλέον έχουμε ότι Άρα x = sup{ x : N} = sup{±(e ) (x) : N} = sup{f(x) : f K 0 } sup{f(x) : f K} = x. x x. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι x = x για κάθε x c 00. Επομένως εφόσον ο T [(A, θ)] είναι η πλήρωση του (c 00, ) προκύπτει ότι ο T [(A, θ)] είναι ισομετρικός του c 0. Παρατήρηση 3.4. Αν 0 α j β j τότε α j e j β j e j. Απόδειξη. Αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε f K ισχύει f( α j e j ) β j e j. Εστω f K με f = γ j e j. Θέτουμε f = γ j e j. Από την Παρατήρηση 3. (v), έχουμε ότι f K. Ετσι έχουμε f( α j e j ) = α j γ j α j γ j β j γ j = ( γ j e j)( β j e j ) = f ( β j e j ) β j e j. Επομένως έχουμε ότι α j e j β j e j. Θεώρημα 3.5. Αν < θ < τότε ο χώρος T [(A, θ)] είναι ισομορφικός με τον l p, όπου p είναι ο αριθμός για τον οποίο ισχύει η σχέση p + log ( θ ) =. Απόδειξη. Θεωρούμε q το συζυγή εκθέτη του p οπότε θ =. Θα κάνουμε την απόδειξη του θεωρήματος σε τέσσερα βήματα. Βήμα : Για κάθε x c 00 ισχύει x x p. q Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε ότι f(x) x p για κάθε f K. Θα το δείξουμε με επαγωγή στο s για κάθε f K s. Αν f K 0 τότε f(x) sup{f(x) : f K 0 } = x x p. Υποθέτουμε ότι f(x) x p για κάθε f K s και θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για κάθε f K s+. Εστω f K s+ \ K s. Τότε το f θα είναι της μορφής f = θ(f f d ), με f, f 2,..., f d διαδοχικά, d και f,..., f d K s οπότε έχουμε f(x) q d f (x).

20 20 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. Ο Χ ΩΡΟΣ T [(A N, θ)] Θέτουμε x = (supp(f ))(x) για =,...,. Τότε τα x είναι διαδοχικά (άρα με ξένα supp) και f (x) = f (x ) οπότε, χρησιμοποιώντας την επαγωγική υπόθεση q d f (x) = q q = q q d f (x ) d x p d x p d d ( x p p) p ( q ) q (από ανισότητα Hölder) = ( d ) q ( ( d x p p) p d x p p) p x p. Επομένως f(x) x p για κάθε f K s+. Η επαγωγή είναι πλήρης, άρα x x p. Βήμα 2 : Για κάθε m N ισχύει m p e. Απόδειξη. Αρχικά θα δείξουμε ότι για κάθε F N με F = s e = (θ) s. F p Καταρχήν από το πρώτο βήμα προκύπτει ότι e p F e F = ( p ) p = F p = s p F = ( q ) s = ( ) s = (θ) s. q Μένει λοιπόν να αποδείξουμε ότι F e (θ) s. Η απόδειξη θα γίνει με επαγωγή στο s. Για s = 0 έχουμε ότι e k e k (e k) = = (θ) 0 για κάθε k N. Επομένως για s = 0 ισχύει. Υποθέτουμε ότι ισχύει για κάποιο s και θα αποδείξουμε ότι ισχύει και για s +. Εστω F με F = s+ = s. Διασπούμε το F σε διαδοχικά σύνολα μεγέθους s, δηλαδή : F = F... F, όπου

21 2 F = s, F < F 2 <... < F. Τότε από την παρατήρηση (3.2) και από την επαγωγική υπόθεση θα έχουμε e θ e θ((θ) s ) = (θ) s+. F j= F j Επομένως ισχύει ότι e = (θ ) s για κάθε F N με F = s. F Εστω τώρα m N. Επιλέγουμε s N {0} τέτοιο ώστε s m < s+. Τότε s e e = (θ ) s = s p = p s+ p m p p Επομένως για κάθε m N έχουμε : p m p e. Βήμα 3 : Για κάθε l N και κάθε block ακολουθία (x k ) l k= της βάσης (e k) k N με x k = ισχύει για κάθε επιλογή συντελεστών (α k ) l k=. α k x k 2 θ k= α k e k Απόδειξη. Εφόσον η (e ) N είναι -ucodtoal βάση του χώρου μπορούμε χωρίς βλάβη της γενικότητας να υποθέσουμε ότι τα x k έχουν μη αρνητικές συντεταγμένες και ότι όλοι οι συντελεστές (α k ) είναι θετικοί. Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε φ K ισχύει φ( α k x k ) 2 θ k= k= α k e k. Πάλι λόγω της ucodtoalty μπορούμε να υποθέσουμε ότι όλα τα συναρτησοειδή που θα εμφανιστούν στην απόδειξη έχουν μη αρνητικές συντεταγμένες. Χωρίς βλάβη της γενικότητας (παραλείποντας τα x k για τα οποία φ(x k ) = 0) μπορούμε να υποθέσουμε ότι φ(x k ) > 0 για κάθε k =,..., l. Για την απόδειξη εισάγουμε τις παρακάτω έννοιες. Ορισμός 3.6. Καλούμε ανάλυση της φ K m μία ακολουθία (F s (φ)) m s=0 υποσυνόλων του την οποία ισχύουν τα εξής: () F m (φ) = {φ}. (2) Για κάθε f F 0 (φ) ισχύει f K 0 άρα αυτά τα f θα είναι της μορφής e. (3) Για κάθε s το σύνολο F s (φ) περιέχει διαδοχικά στοιχεία του K s, με supp(f) = supp(φ). k= f F s(φ) (4) Για κάθε s με 0 s < m και για κάθε f F s+ (φ) ισχύει ακριβώς ένα από τα εξής δύο 4.) f F s (φ) 4.2) υπάρχει d και διαδοχικά f,..., f d F s (φ) με f = θ(f f d ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Κάθε f K έχει ανάλυση αλλά όχι απαραίτητα μοναδική. s=0 K s για

22 22 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. Ο Χ ΩΡΟΣ T [(A N, θ)] Ορισμός 3.7. Εστω (F s (φ)) m s=0 μία ανάλυση της φ. Για k =,..., l ορίζουμε s k = max{s : 0 s < m για το οποίο υπάρχουν τουλάχιστον δύο f, f 2 F s (φ) τέτοια ώστε f (x k ) > 0, =, 2} και s k = 0, αν το supp(x k ) είναι μονοσύνολο. Ετσι για κάθε k =,..., l αν {f F sk (φ) : f(x k ) > 0} = {f < < f dk }. Ορίζουμε τα x k και x k ως εξής x k = x k supp f και x k = x k dk =2. supp(f ) Το x k (αντίστοιχα x k ) καλείται αρχικό τμήμα (αντίστοιχα τελικό τμήμα) του x k ως προς την (F s (φ)) m s=0. και Θα δείξουμε ότι φ( φ( α k x k ) θ k= α k x k ) θ Εχοντας αποδείξει τις (3.), (3.2) προκύπτει ότι φ( l α k x k ) 2 θ k= k= α k e k (3.) k= α k e k (3.2) k= α k e k. Οι σχέσεις (3.), (3.2) αποδεικνύονται με όμοιο τρόπο και για το λόγο αυτό θα δώσουμε μόνο την απόδειξη της (3.). Αρκεί να αποδείξουμε (και η απόδειξη θα γίνει με επαγωγή στο s) ότι για κάθε J {,..., l} και κάθε f F s (φ) ισχύει f( k J k= α k x k ) θ k J α k e k (3.3) Αν f F 0 (φ) τότε η f θα είναι κάποιο στοιχείο του K 0, δηλαδή f = e για κάποιο οπότε αν supp(x k 0 ) έχουμε e ( α k x k ) = α k 0 e (x k 0 ) α k0 = α k0 e k0 θ α k e k. k J k= Άρα για f F 0 (φ) ισχύει. Υποθέτουμε ότι η σχέση (3.3) ισχύει για κάθε f F s (φ) και κάθε J {,..., l} Εστω J {,..., l} και f F s+ (φ). Τότε το f θα είναι της μορφής f = θ(f f d ) με f F s (φ), =,..., d όπου d και f,..., f d διαδοχικά. Θεωρούμε τα σύνολα K = {k J : {,..., d } τέτοιο ώστε : f (x k ) > 0 και f +(x k ) > 0}. Ισχυρισμός. K + I I = { {,..., d} : k J \ Kτέτοιο ώστε : f (x k ) > 0}. Απόδειξη. Εστω k K τότε από τον ορισμό του συνόλου K υπάρχει με < d τέτοιο ώστε : f (x k ) > 0 και f (x k ) > 0. Εφόσον υπάρχει μοναδικό g F s k (φ) ώστε g(x k ) > 0 συμπεραίνουμε ότι s + s k. Άρα υπάρχει h F sk (φ) τέτοιο ώστε supp(f) supp(h). Εχουμε m supp(x k ) m supp(x k ) max supp(f ) < m supp(f ) max supp(f ) max supp(f) max supp(h) max supp(x k ).

23 23 Συνεπώς {λ : f (x λ ) > 0} = {k} και εφόσον k K προκύπτει ότι I Ετσι ορίζεται μία αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση από το K στο {,..., d} \ I. Άρα K d I I, από όπου προκύπτει ότι K + I. Για κάθε I ορίζουμε : E = {k J \ K : f (x k ) > 0}. Τότε E K = για κάθε I. Εχουμε f( k J d α k x k ) = θ k J f (α k x k ) = θ[ I Για κάθε k (ειδικότερα για κάθε k K) ισχύει ( f ( k E α k x k ) + k K( d d f )(α k x k ) θ α kx k θ α kx k = θ α ke k. f )(α k x k )] (). Επίσης από την επαγωγική υπόθεση έχουμε ότι f ( α k x k ) θ α k e k για κάθε I. Χρησιμοποιώντας ότι K + I και το γεγονός ότι η οικογένεια { E, I } { {k}, k K } αποτελείται από k E k E διαδοχικά σύνολα και χρησιμοποιώντας την Παρατήρηση 3.2, προκύπτει ότι f( α k x k ) θ( E ( α k e k ) + α k e k ) θ θ θ α k e k. k J I k J k K k J Βήμα 4 : Για κάθε l και για κάθε επιλογή θετικών συντελεστών (r j ) l j= με r j Q ισχύει p rj e j 2 ( r j ) p. j= Απόδειξη. Γράφουμε τα r j με κοινό παρονομαστή k r j = k j k με k j, k N. Θέτουμε s 0 = 0, s j = s j p k k j και u j = e, j =,..., l. Από το πρώτο βήμα έχουμε ότι u j kj. Επομένως, =s j + από την Παρατήρηση 3.4, έχουμε Η j= p rj e j = k p j= j= p kj e j k p u j e j. u j u j είναι η block ακολουθία της βάσης (e ) N με u j u j = οπότε από το Βήμα 3 έχουμε ότι j= Ετσι προκύπτει ότι k p α k u k u k 2 θ α k e k. u j e j θ 2 j= = θ 2 = θ 2 = θ 2 k p k p k p k p u j u j u j j= u j j= s j j= =s j + s l e. e

24 24 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 3. Ο Χ ΩΡΟΣ T [(A N, θ)] Από το Βήμα 2 έχουμε οπότε θέτοντας θ = q έχουμε k p s l e s l p θ e 2 2 p sl p sl k p = ( 2 k j j= ) p k = 2 ( r j ) p. j= Επομένως από το Βήμα 4, την πυκνότητα των ρητών στους πραγματικούς και το γεγονός ότι η (e ) N είναι -ucodtoal προκύπτει ότι α k e k 2 ( α k p ) p. k= για κάθε επιλογή συντελεστών (α k ) l k=. Συνοψίζοντας έχουμε αποδείξει ότι για κάθε x c 00 ισχύει : k= 2 x p x x p. Επομένως ο χώρος T [(A, θ)] είναι ισομορφικός με τον l p.

25 Κεφάλαιο 4 Παραμόρφωση χώρων Baach Ορισμός 4.. Εστω (X, ) ένας απειροδιάστατος χώρος Baach. Αν είναι μία ισοδύναμη νόρμα στον χώρο X και λ > λέμε ότι η είναι μία λ παραμόρφωση του X αν για κάθε Y απειροδιάστατο υπόχωρο του X ισχύει sup{ x, x, y Y, x = y = } λ. (4.) y Ο X λέγεται λ παραμορφώσιμος αν υπάρχει μία λ παραμόρφωση του X. Ο X λέγεται παραμορφώσιμος αν είναι λ παραμορφώσιμος για κάποιο λ >. Ο X λέγεται απεριόριστα παραμορφώσιμος αν είναι λ παραμορφώσιμος για κάθε λ >. Παρατήρηση 4.2. Στην περίπτωση που ο χώρος (X, ) έχει Schauder βάση, για να δείξουμε ότι η είναι μία λ παραμόρφωση του X αρκεί να δείξουμε ότι ισχύει η σχέση (4.) μόνο για Y που είναι block υπόχωρος του X. Αυτό συμβαίνει λόγω του ακόλουθου θεωρήματος. Θεώρημα 4.3. Αν X χώρος Baach με βάση (e ) N, Y απειροδιάστατος υπόχωρος του X και ε > 0 τότε υπάρχει W απειροδιάστατος υπόχωρος του Y και Z block υπόχωρος του X ώστε οι χώροι W,Z να είναι + ε ισομορφικοί. Ενας χώρος Baach (X, ) δεν είναι λ παραμορφώσιμος αν και μόνο αν για κάθε ισοδύναμη νόρμα στον X υπάρχει απειροδιάστατος υπόχωρος Y του X ώστε οι νόρμες, να είναι λ ισοδύναμες στον Y (που σημαίνει ότι ο ταυτοτικός τελεστής I : (Y, ) (Y, ) να είναι λ ισομορφισμός, δηλαδή I I λ). Ο R.C. James [3] το 964 απέδειξε ότι οι χώροι l και ο c 0 δεν είναι παραμορφώσιμοι. Στα παρακάτω δίνουμε την απόδειξη των ακόλουθων θεωρημάτων. Θεώρημα 4.4. Ο χώρος l δεν είναι παραμορφώσιμος. Απόδειξη. Αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε ισοδύναμη νόρμα στον l και για κάθε ε > 0, υπάρχει Y απειροδιάστατος υπόχωρος του l ώστε να ισχύει sup{ x y, x, y Y, x = y = } + ε. Ισοδύναμα αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε ισοδύναμη νόρμα στον l και για κάθε ε > 0, υπάρχει απειροδιάστατος υπόχωρος Y του l ώστε ο ταυτοτικός τελεστής είναι + ε ισομορφισμός των χώρων (Y, ), (Y, ). Εστω ε > 0 και μία ισοδύναμη νόρμα στον l. Τότε από την ισοδυναμία της με την προκύπτει ότι υπάρχουν m, M > 0 τέτοια ώστε Για =, 2,... θέτουμε m x x M x x l. (4.2) A = {x l : x =, P (x) = 0 και το σύνολο {m N : e m(x) 0} πεπερασμένο} 25

26 26 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΠΑΡΑΜ ΟΡΦΩΣΗ Χ ΩΡΩΝ BANACH όπου P, e m είναι οι προβολές και τα διορθογώνια συναρτησοειδή που αντιστοιχούν στη συνήθη βάση (e ) N του l. Θέτουμε λ = sup{x : x A } για κάθε N. Εχουμε ότι A A 2 A 3. Επομένως λ λ + για κάθε. Αφού για κάθε x A ισχύει x = από την σχέση (4.2) προκύπτει ότι m λ M, =, 2,... Ετσι η ακολουθία (λ ) N είναι φθίνουσα και φραγμένη άρα συγκλίνουσα. Θέτουμε lm λ = λ. Τότε m λ M. Επιλέγουμε 0 N τέτοιο ώστε : λ 0 < λ( + ε) 2. Επιλέγουμε x A 0 τέτοιο ώστε : x > λ. Αφού έχουμε επιλέξει x A 0 τότε θα ισχύει (+ε) 2 x =, P 0 (x ) = 0 και επειδή το σύνολο {m N : e m(x ) 0} είναι πεπερασμένο προκύπτει ότι υπάρχει > 0 τέτοιο ώστε e m(x ) = 0 για κάθε m. Οπότε το x μπορεί να γραφτεί στη μορφή x = = 0 + Επιλέγουμε το x 2 A τέτοιο ώστε x 2 > λ (+ε) 2. α e. x 2 A οπότε x 2 =, P (x 2 ) = 0 και x 2 = 2 = + Ετσι συνεχίζοντας επαγωγικά κατασκευάζουμε την ακολουθία x, x 2, x 3,... και φυσικούς αριθμούς 0 < < 2 < 3 <... ώστε () x k = k = k + () x k =. () x k > λ (+ε) 2 β e.. Θεωρούμε τον χώρο Y = spa{x k : k N}. Εστω y Y. Τότε το y θα γράφεται στη μορφή y = α k x k. Επειδή P 0 ( α k x k ) = 0 και το διάνυσμα y = α k x k έχει πεπερασμένο φορέα, έχουμε k= y y A 0 άρα k= και εφόσον λ 0 < λ( + ε) 2, προκύπτει Εχουμε ότι y = k= y y λ 0 συνεπώς y λ 0 y y λ( + ε) 2 y. α k x k k= ( + ε) 2 λ = ( + ε) 2 λ = ( + ε) 2 λ k= α k x k = k= α k k= α e. ( α k x k διότι xk > λ ) (+ε) 2 α k x k k= y.

27 27 Ετσι έχουμε αποδείξει ότι για κάθε y Y ισχύει λ ( + ε) 2 y y λ( + ε) 2 y. Άρα ο ταυτοτικός τελεστής είναι + ε ισομορφισμός των χώρων (Y, ), (Y, ). Επομένως ο χώρος l δεν είναι παραμορφώσιμος. Θεώρημα 4.5. Ο χώρος c 0 δεν είναι παραμορφώσιμος. Απόδειξη. Για να αποδείξουμε ότι ο χώρος c 0 δεν είναι παραμορφώσιμος αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε ισοδύναμη νόρμα στον c 0 και για κάθε ε > 0 υπάρχει απειροδιάστατος υπόχωρος Y του c 0, ώστε ο ταυτοτικός τελεστής να είναι + ε ισομορφισμός των χώρων (Y, ), (Y, ). Εστω ε > 0 και μία ισοδύναμη νόρμα στον c 0. Επιλέγουμε ε > 0 ώστε +ε ε + ε. Από την ισοδυναμία της με την προκύπτει ότι υπάρχουν m, M > 0 τέτοια ώστε Για =, 2,... θέτουμε m x x M x x c 0. (4.3) A = {x c 0 : x =, P (x) = 0 και το σύνολο {m N : e m(x) 0} πεπερασμένο} όπου P, e m είναι οι προβολές και τα διορθογώνια συναρτησοειδή που αντιστοιχούν στη συνήθη βάση (e ) N του c 0. Θέτουμε λ = f{x : x A } για κάθε N. Εχουμε ότι A A 2 A 3. Επομένως λ λ + για κάθε. Αφού για κάθε x A ισχύει x = από (4.3) προκύπτει ότι : m λ M, =, 2,... Ετσι η ακολουθία (λ ) N είναι αύξουσα και φραγμένη άρα συγκλίνουσα. Θέτουμε lm λ = λ. Τότε m λ M. Επιλέγουμε 0 N τέτοιο ώστε : λ 0 > λ. ( + ε) 2 Επιλέγουμε x A 0 τέτοιο ώστε : x < λ( + ε) 2. Αφού έχουμε επιλέξει x A 0 ισχύει x =, P 0 (x ) = 0 και επειδή το σύνολο {m N : e m(x ) 0} είναι πεπερασμένο προκύπτει ότι υπάρχει > 0 τέτοιο ώστε e m(x ) = 0 για κάθε m. Οπότε το x μπορεί να γραφτεί στη μορφή x = = 0 + Επιλέγουμε το x 2 A τέτοιο ώστε : x 2 < λ( + ε) 2. Εφόσον x 2 A έχουμε x 2 =, P (x 2 ) = 0. Άρα το x 2 γράφεται στη μορφή x 2 = 2 = + Ετσι συνεχίζοντας επαγωγικά κατασκευάζουμε μια ακολουθία x, x 2, x 3,... και φυσικούς αριθμούς 0 < < 2 < 3 <... ώστε () x k = k = k + α e. () x k < λ( + ε) 2. α e. α e.

28 28 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 4. ΠΑΡΑΜ ΟΡΦΩΣΗ Χ ΩΡΩΝ BANACH () x k =. Θεωρούμε τώρα τον χώρο Y = spa{x k : k N}. Εστω y Y. Τότε το y θα είναι της μορφής y = y α k x k. Εφόσον y A 0, θα έχουμε k= y λ 0 y y y. λ 0 Θεωρούμε k 0 {,..., } ώστε α k0 = max{ α k, k =,..., }. β k0 = α k0. Τότε έχουμε Θέτουμε β k = α k για k k 0 και k= β k x k λ 0 β k x k k= λ 0 λ( + ε) 2 max βk ( + ε) max β k = ( + ε) max α k. Επιπλέον έχουμε ότι Συνεπώς y = max α k x k λ( + ε) 2 max αk. α k x k 2α k0 x k0 α k x k 2α k0 x k0 k= = 2 α k0 k= β k x k 2 α k0 ( + ε) max α k = (2 ε) max α k = ( ε) max α k ( ε) y λ( + ε). 2 Από τα παραπάνω προκύπτει ότι k= ε λ( + ε) 2 y y ( + ε) 2 λ y. Άρα ο ταυτοτικός τελεστής είναι +ε ε άρα και + ε ισομορφισμός των χώρων (Y, ), (Y, ). Επομένως ο χώρος c 0 δεν είναι παραμορφώσιμος.

29 Κεφάλαιο 5 Ο χώρος του Tsrelso Από τα πρώτα χρόνια ανάπτυξης της θεωρίας χώρων Baach και μέχρι το 974 υπήρχε η πεποίθηση ότι κάθε απειροδιάστατος χώρος Baach περιείχε ισομορφικά κάποιον από τους χώρους l p για p < ή τον c 0. Ο Tsrelso [23] ανέτρεψε αυτή την πεποίθηση το 974 κατασκευάζοντας έναν χώρο Baach ο οποίος δεν περιείχε ισομορφικά κανέναν από τους c 0 ή l p, p <. Το άρθρο όμως που θα παρουσιάσουμε σε αυτό το κεφάλαιο είναι των Fgel και Johso [9] οι οποίοι ένα χρόνο αργότερα έκαναν την ίδια απόδειξη για τον δυικό του χώρου του Tsrelso. Οι P. G. Casazza ad T. J. Shura [7] δίνουν μία συστηματική μελέτη του χώρου του Tsrelso και κάποιων παραλλαγών του χώρου αυτού. Τέλος θα αποδείξουμε ότι ο χώρος αυτός είναι 2 ε παραμορφώσιμος για κάθε ε > 0. Θεωρούμε τον χώρο των τελικά μηδενικών ακολουθιών c 00 = {x = (x ) N : 0 N τέτοιο ώστε: 0 x = 0} και την οικογένεια Schreer S = {F N : F m F } { }. Μια ακολουθία διανυσμάτων (y ) του c 00 λέγεται αποδεκτή αν ισχύει y < < y. Ορίζουμε επαγωγικά μία ακολουθία υποσυνόλων του c 00 ως εξής Εχοντας ορίσει το K s ορίζουμε K 0 = {±e : N}. K s+ = K s { 2 (f + f f d ) : f K s, =,..., d και d f < f 2 <... < f d }. Θέτουμε K = s=0 K s και x = sup{f(x) : f K} για κάθε x c 00. Παρατήρηση 5.. Το σύνολο K έχει τις ακόλουθες ιδιότητες () e K, για κάθε N. () Kσυμμετρικό, δηλαδή αν f K τότε και f K. () Για κάθε f K, f. (v) Αν f K και E N (ειδικότερα για Ε διάστημα) ισχύει Ef K. (v) Αν d α e K τότε για κάθε επιλογή προσήμων (ε ) d στο {, } ισχύει d ε α e K. Επομένως από την Πρόταση 2. η (e ) N είναι -ucodtoal βάση του χώρου του Tsrelso. 29

30 30 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. Ο Χ ΩΡΟΣ ΤΟΥ TSIRELSON Απόδειξη. Αποδεικνύεται εύκολα με επαγωγή ότι κάθε σύνολο K s, s = 0,, 2,... ικανοποιεί αυτές τις ιδιότητες επομένως το ormg σύνολο K ως ένωση αυτών των συνόλων θα ικανοποιεί τις παραπάνω ιδιότητες. Ο χώρος του Tsrelso είναι η πλήρωση του (c 00, ) και θα τον συμβολίζουμε με T. Θα δείξουμε ότι ο χώρος του Tsrelso δεν περιέχει ισομορφικά κανέναν l p, p < ή c 0. Πρόταση 5.2. () Αν f, f 2,..., f d K με d f < f 2 <... < f d, τότε 2 (f + f f d ) K. (2) Αν x < x 2 <... < x, τότε x 2 x. Απόδειξη. () Για κάθε =,..., d έχουμε ότι f K και αφού K = s=0 K s προκύπτει ότι υπάρχει s {0,, 2,...} τέτοιο ώστε f K s. Παίρνουμε s 0 max{s, s 2,..., s d }. Εφόσον η ακολουθία συνόλων (K s ) s=0 είναι γνησίως αύξουσα θα ισχύει ότι f K s0 για κάθε =,..., d. Αυτό σημαίνει ότι 2 (f + f f d ) K s0 +. Επομένως 2 (f + f f d ) K. (2) Εστω ε > 0. Για κάθε =,..., d μπορούμε να επιλέξουμε f K τέτοια ώστε f (x ) > x ε. Από την ιδιότητα (v) του συνόλου K μπορούμε να επιλέξουμε τα f ώστε supp f supp x. Αφού f = 2 (f + f f d ) K έχουμε για κάθε ε > 0. Επομένως x f( x ) = 2 > 2 = 2 x 2 f (x ) (x ε) x ε 2. x. Ιστορικά ο χώρος του Tsrelso είναι ο πρώτος χώρος που κατασκευάστηκε του οποίου η νόρμα ικανοποιεί μία αναδρομική σχέση (την οποία αποδεικνύουμε στην ακόλουθη πρόταση). Πρόταση 5.3. Για κάθε x c 00 ισχύει x = max{x, d 2 sup{ E x : d E < E 2 <... < E d }}. Απόδειξη. Αρχικά θα δείξουμε ότι x max{x, d 2 sup{ E x : d E < E 2 <... < E d }}.

31 3 Εχουμε ότι x = sup{±e (x) : N} = sup{f(x) : f K 0 } sup{f(x) : f K} = x Άρα x x. Επιπλέον αν E διαδοχικά υποσύνολα με d E < < E d. Τότε από ιδιότητα (v) του συνόλου K έχουμε d x E x. Επιπλέον από Πρόταση 5.2 έχουμε d E x 2 d E x. Επομένως η μία ανισότητα έχει αποδειχθεί. Μένει τώρα να δείξουμε ότι x max{x, d 2 sup{ E x : d E < E 2 <... < E d }}. Ισοδύναμα αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε f K και για κάθε x c 00 ισχύει f(x) max{x, d 2 sup{ E x : d E < E 2 <... < E d }}. Εστω f K. Αν f K 0 τότε f(x) sup{g(x) : g K 0 } x, συνεπώς στην περίπτωση αυτή η ανισότητα ισχύει. Αν f K \ K 0 τότε το f θα γράφεται στη μορφή f = 2 (f + f f d ), με d f <... < f d και f K. Οπότε θέτοντας E = supp f, =,..., d έχουμε d E <... < E d, οπότε f(x) = 2 Επομένως από τα παραπάνω προκύπτει ότι d f (x) 2 d E x. x = max{x, d 2 sup{ E x : d E < E 2 <... < E d }}. Πρόταση 5.4. Ο χώρος του Tsrelso δεν περιέχει ισομορφικά κανέναν από τους l p, p < ή τον c 0. Απόδειξη. Υποθέτουμε ότι ο χώρος l p με p > εμφυτεύεται ισομορφικά στον χώρο του Tsrelso. Τότε υπάρχει μοναδιαία block βάση (x ) N της (e ) N η οποία είναι ισοδύναμη με την συνηθισμένη βάση του l p δηλαδή υπάρχουν m, M > 0 τέτοια ώστε για κάθε N και για κάθε επιλογή συντελεστών (α ) έχουμε m( α p ) p α x M( α p ) p.

32 32 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. Ο Χ ΩΡΟΣ ΤΟΥ TSIRELSON Για κάθε επιλέγουμε x k < x k2 <... < x k. Τότε από την προηγούμενη σχέση και από Πρόταση 5.2 έχουμε 2 x k M p N. Επομένως ισχύει ότι p 2M για κάθε N. Άτοπο. Άρα ο χώρος l p δεν εμφυτεύεται ισομορφικά στον T για p >. Ομοίως υποθέτουμε τώρα ότι ο c 0 εμφυτεύεται ισομορφικά στον T. Τότε υπάρχει μοναδιαία block βάση (x ) N της (e ) N η οποία είναι ισοδύναμη με την συνηθισμένη βάση του c 0, δηλαδή υπάρχουν m, M > 0 τέτοια ώστε m max α α x M max α Χρησιμοποιώντας την πρόταση 5.2 αν x k < x k2 <... < x k 2 α Οπότε προκύπτει ότι για κάθε N ισχύει θα έχουμε α x k M max α. 2 α x M. Δηλαδή 2M για κάθε N. Άτοπο. Άρα ο χώρος c 0 δεν εμφυτεύεται ισομορφικά στον T. Θα αποδείξουμε ότι ο χώρος l δεν εμφυτεύεται ισομορφικά στον T. Υποθέτουμε ότι ο l εμφυτεύεται ισομορφικά στον T. Άμεση συνέπεια του θεωρήματος του James (θεώρημα 4.4) είναι το εξής Πόρισμα 5.5. Εστω X χώρος Baach ώστε ο l να εμφυτεύεται ισομορφικά στον X. Τότε για κάθε ε > 0 υπάρχει ( + ε) ισομορφική εμφύτευση του l στον X (δηλαδή υπάρχει ισομορφική εμφύτευση S : l X ώστε S και S + ε). Σημείωση: Στην περίπτωση που ο X έχει βάση Schauder (e ) N η S μπορεί να επιλεγεί ώστε να απεικονίζει τη συνήθη βάση του l σε μία block βάση (x ) N της (e ) N. Επομένως από το θεώρημα του James θα έχουμε ότι υπάρχει μοναδιαία block βάση (x ) N της (e ) N τέτοια ώστε 8 α k α k x k α k 9 k=0 k=0 για κάθε επιλογή συντελεστών α, α 2,..., α και =, 2,... Για ευκολία στον συμβολισμό θα ξεκινήσουμε την αρίθμηση από το 0 και όχι από το όπως συνήθως. Τότε για κάθε m =, 2,... ισχύει ότι 6 9 x 0 + x x m (5.) m Ισχυρισμός. Εστω 0 = max supp(x 0 ). Τότε για κάθε m 2 0 Απόδειξη. Αρκεί να δείξουμε ότι για κάθε f K ισχύει k=0 x 0 + x x m 7 m 4. (5.2) f(x 0 + x x m ) 7 m 4. Εστω f K. Αν f K 0 τότε το f θα είναι κάποιο από τα ±e άρα θα έχουμε f(x 0 + x x m ) 7 m 4.

33 33 Υποθέτουμε τώρα ότι f K \ K 0. Τότε το f θα είναι της μορφής : f = 2 (f + f f d ) όπου f K, =,..., d και d f < f 2 <... < f d. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις Περίπτωση : 0 < d. Σε αυτή την περίπτωση supp f supp x 0 =. Άρα f(x 0 ) = 0. Συνεπώς f(x 0 + x x m m ) = f( x x m ) m m x x m m (x x m ) Περίπτωση 2: d 0. Διαμερίζουμε το σύνολο {,..., m} θεωρώντας τα εξής σύνολα A = { m : supp x supp f j για δύο τουλάχιστον j}. B = { m : supp x supp f j για το πολύ ένα j}. Για κάθε A, θέτουμε j() = m{j : supp x supp f j }. Με αυτό τον τρόπο ορίζεται η απεικόνιση j : A {,..., d} η οποία είναι -. Πράγματι αν < 2 δύο στοιχεία του A τότε θα δείξουμε ότι j( ) j( 2 ). Εχουμε ότι για το x θα ισχύει supp(x ) supp(f j ) και επιπλέον υπάρχει j > j ώστε supp(x ) supp f j. Εφόσον max supp f j( ) < m supp f j max supp x < max supp x 2 προκύπτει ότι j( ) j( 2 ). Επομένως A d. Επιπλέον έχουμε ότι για κάθε B ισχύει ότι είτε το supp(x ) δεν τέμνει κανένα supp(f j ) οπότε f(x ) = 0, είτε τέμνει το supp f j για ένα μοναδικό j το οποίο θα το συμβολίσουμε με k οπότε τότε θα έχουμε f(x ) = d 2 ( f j )(x ) = 2 f k (x ) 2 x 2. Επομένως έχουμε j= f(x 0 + x x m m ) = f(x 0 ) + m m f( x ) = f(x 0 ) + m ( A f(x ) + B f(x )) f(x 0 ) + m ( A x + B 2 ) + m ( A + (m A )) 2 = + m (m 2 + A 2 ) = A 2m = 7 4 όπου η ανισότητα A 2m 4 προκύπτει από το γεγονός ότι A d 0 m 2. Άρα ο ισχυρισμός ισχύει και στην δεύτερη περίπτωση. Επομένως από τις σχέσεις (5.), (5.2) προκύπτει ότι 6 9 x 0 + x x m 7 m 4. Άτοπο. Άρα ο χώρος l δεν εμφυτεύεται ισομορφικά στον T.

34 34 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. Ο Χ ΩΡΟΣ ΤΟΥ TSIRELSON Στα παρακάτω θα αποδείξουμε ότι ο χώρος του Tsrelso είναι 2 ε παραμορφώσιμος για κάθε ε > 0. Για την απόδειξη αυτού του αποτελέσματος, όπως και για αποτελέσματα στο επόμενο κεφάλαιο (χώρος του Schlumprecht) θα χρειαστούμε το ακόλουθο βαθύ θεώρημα που οφείλεται στον Krve. Πριν την διατύπωση του θεωρήματος εισάγουμε τον ακόλουθο ορισμό. Ορισμός 5.6. Εστω Y χώρος Baach με βάση (y ) N. Λέμε ότι ο χώρος l p με p < (αντίστοιχα ο c 0 ) είναι πεπερασμένα block αναπαραστάσιμος στον Y, αν για κάθε ε > 0 και κάθε N υπάρχει νορμαρισμένη block ακολουθία (z ) της (y ) (δηλαδή z = για κάθε =,..., ) η οποία είναι + ε ισομορφική με την μοναδιαία βάση του l p (αντίστοιχα του l ). Θεώρημα 5.7 (Θεώρημα Krve). Για κάθε βασική ακολουθία (y ) N ο χώρος l p, p < ή ο c 0 είναι πεπερασμένα block αναπαραστάσιμος στον Y. Λήμμα 5.8. Εστω Y block υπόχωρος του T. Τότε για κάθε k N και για κάθε δ > 0 υπάρχει (y ) νορμαρισμένη block ακολουθία στον Y τέτοια ώστε + δ α α y α για κάθε επιλογή πραγματικών αριθμών (α ). Απόδειξη. Εστω (x ) N block βάση της του Y. Από το θεώρημα του Krve, κάποιος l p, p < ή ο c 0 είναι πεπερασμένα block αναπαραστάσιμος στον υπόχωρο Y του T. Υποθέτουμε ότι για p > ο l p είναι πεπερασμένα block αναπαραστάσιμος στον Y. Άρα θα ισχύει ότι για κάθε δ > 0 υπάρχει νορμαρισμένη block (y ) στον Y, με y ώστε να ισχύει ( δ)( α p ) p α y ( + δ)( α p ) p (5.3) για κάθε (α ). Από την (5.3) προκύπτει ότι y δ για κάθε =,..., και έχουμε ότι y ( + δ) p (5.4) Επιπλέον από την Πρόταση 5.2 (2) εφόσον y < y 2 <... < y θα ισχύει ότι ( δ) 2 y. (5.5) Από τις σχέσεις (5.4),(5.5) προκύπτει ότι ( δ) 2 < ( + δ) p. Επομένως q < 2 (+δ) ( δ) για κάθε N, όπου q ο συζυγής εκθέτης του p. Άτοπο. Άρα ο l p για p > δεν μπορεί να είναι πεπερασμένα block αναπαραστάσιμος στον Y και ομοίως αποκλείεται να είναι και ο c 0. Επομένως προκύπτει ότι ο l είναι πεπερασμένα block αναπαραστάσιμος στον Y, οπότε για κάθε k N και για κάθε δ > 0 υπάρχει (y ) νορμαρισμένη block ακολουθία στον Y η οποία είναι ( + δ) ισοδύναμη με την μοναδιαία βάση του l δηλαδή : + δ α α y α για κάθε επιλογή πραγματικών αριθμών (α ).

35 35 Πρόταση 5.9. Ο χώρος του Tsrelso είναι 2 ε παραμορφώσιμος για κάθε ε > 0. Απόδειξη. Εστω ε > 0 και επιλέγουμε ε > 0 τέτοιο ώστε 2 ( + ε ) 4 > 2 ε και N τέτοιο ώστε < ε. Για κάθε x c 00 θέτουμε x = sup{ E x : E < E 2 <... < E }. Άμεσα προκύπτει ότι η είναι νόρμα στον c 00. Ισχυρισμός. () Για x T ισχύει x x x. (2) Για x ισχύει x 2x. Απόδειξη. () Πράγματι αν για κάθε x c 00 επιλέξουμε E = supp(x) και E, = 2,..., ώστε E supp(x) = για κάθε = 2,..., τότε έχουμε x = E x = E x x. Επιπλέον για κάθε επιλογή E, =,..., διαδοχικών συνόλων ισχύει ότι E x x. Επομένως αθροίζοντας κατά μέλη θα έχουμε ότι E x x. Άρα x x. Ετσι προκύπτει ότι x x x. Εφόσον οι νόρμες, είναι ισοδύναμες στον c 00 προκύπτει ότι έχουν την ίδια πλήρωση άρα η σχέση () ισχύει για κάθε x T. Συνεπώς η είναι μία ισοδύναμη νόρμα της στον χώρο του Tsrelso. (2) Για x, τότε για κάθε E <... < E θα ισχύει ότι Άρα για x ισχύει x 2x. x 2 E x E x 2x. Ισχυρισμός. Για κάθε k >, για κάθε δ > 0, σε κάθε block υπόχωρο Y του Τ υπάρχει νορμαρισμένη (y ) k block ακολουθία στον Y ώστε για το διάνυσμα y = k k y να ισχύει y + δ και y + k. Απόδειξη. Από το Λήμμα 5.8, έχουμε ότι υπάρχει μία νορμαρισμένη block ακολουθία (y ) k στον Y με y η οποία είναι ( + δ) ισοδύναμη με την μοναδιαία βάση του l k. Δηλαδή + δ k α k α y k α

36 36 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. Ο Χ ΩΡΟΣ ΤΟΥ TSIRELSON για κάθε επιλογή πραγματικών αριθμών (α ) k. Θέτοντας y = k + δ y. k y θα ισχύει Για να δείξουμε ότι y + k E < E 2 <... < E ισχύει ότι αρκεί να αποδείξουμε ότι για κάθε επιλογή διαδοχικών συνόλων E j y + k. j= Αρκεί να το αποδείξουμε στην περίπτωση που E. Διότι αν δεν συμβαίνει αυτό θέτοντας 0 = m{ : m E } τα διαστήματα E,..., E μπορούν να αντικατασταθούν από τα [, max E 0 ], E 0 +,..., E. Ετσι τα διαστήματα ή τα τμήματα διαστημάτων που βρίσκονται κάτω από το μπορούμε να τα παραλείψουμε γιατί η συνεισφορά τους στο άθροισμα E j y είναι μηδενική. Ορίζουμε τα ακόλουθα σύνολα I = { : E j supp(y ) για το πολύ ένα j}. και J = {,..., k} \ I. Τότε όπως εύκολα βλέπουμε J, όπως στην απόδειξη του ισχυρισμού (περίπτωση 2). E j y = k j= k E j ( y ) j= = E j ( y + y ) k j= I J ( E j ( y ) + E j ( y ) ) k j= I j= J = ( E j y + E j y ). k I j= J j= Για κάθε I ισχύει ότι E j y y j= διότι E j supp(y ), για ένα το πολύ j. Για κάθε J αφού E < E 2 <... < E, από ιδιότητα της νόρμας στον χώρο του Tsrelso έχουμε ότι y E j y E j y 2y. 2 j= j=

37 37 Επομένως έχουμε ότι ( k I j= E j y + J E j y ) ( y + 2y ) k I J j= (k J + 2 J ) k = (k + J ) k (k + ) k = + k. Επομένως έχουμε ότι y + k άρα ο ισχυρισμός αποδείχτηκε. Εστω Y block υπόχωρος του T. Χρησιμοποιώντας τον προηγούμενο ισχυρισμό επιλέγουμε block ακολουθία (z ) στον Y και (N ) γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών ώστε να ισχύουν τα ακόλουθα. () Κάθε z θα είναι της μορφής z = N N (2) z +ε. l= (3) N ε και N + max supp(z ) ε Από τις παραπάνω ιδιότητες προκύπτει ότι Θέτουμε z,l, όπου (z,l ) N block ακολουθία στον Y με z,l =. για. z, για κάθε =,...,. z = 2 Επιλέγοντας E = supp(z ), =,..., θα έχουμε Θα δείξουμε τώρα ότι Αρχικά έχουμε ότι z = = 2 z. E j z j= E j ( 2 j= z 2 + ε. z + ε. z ) z = sup{±e k (z) : k N} 2 max{z, =, 2,..., } 2 max{z, =, 2,..., } 2 + ε

38 38 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. Ο Χ ΩΡΟΣ ΤΟΥ TSIRELSON Εστω τώρα m E < E 2 <... < E m. Θέτουμε 0 = m{ : m max supp(z )}. Αρχικά για < 0 ισχύει ότι E j supp(z ) = οπότε θα έχουμε 2 E j z = j= E j ( z ) = 0 j= ( m E j (z 0 ) + j= ( m E j (z 0 ) + j= E j ( j= = 0 + j= = 0 + Εφόσον έχουμε m E < E 2 <... < E m, από Πρόταση 5.3 θα ισχύει ότι E j z 0 2z 0 2. j= Επιπλέον θα δείξουμε ότι για κάθε με 0 + ισχύει Εστω με 0 +. Τότε E j z + m. N j= z ) ) E j z ). E j z N j= m N j= l= E j z,l. Διαμερίζουμε το σύνολο {,..., N } ως εξής. Θεωρούμε τα ακόλουθα σύνολα και A = {l : E j supp(z,l ) για δύο τουλάχιστον j} B = {l : E j supp(z,l ) για ένα το πολύ j} Τότε εύκολα βλέπουμε ότι A m, όπως και στην απόδειξη προηγούμενου ισχυρισμού (περίπτωση 2). Άρα θα έχουμε ότι N N E j z,l ( E j z,l + z,l ) N l A j= l B ( 2z + B ) N j= l= l A N (2 A + B ) = (N + A ) N (N + m) N = + m. N Επιπλέον εφόσον η ακολουθία (N ) είναι γνησίως αύξουσα ακολουθία φυσικών θα ισχύει ότι E j z + m + N j= m N 0 +.

39 39 Επομένως θα έχουμε ( m E j (z 0 ) + j= = 0 + j= Άρα για το διάνυσμα z έχουμε z Y και E j z ) ( 2 + ( + m = 0 + N 0 + ) ) ( m ) 2 + ( ) + ( ) N m N ε = + ε z + ε και z 2 + ε. Εφαρμόζοντας τον Ισχυρισμό 5 μπορούμε να επιλέξουμε y Y ώστε Θέτουμε y = y y και z = y + ε και y + N + ε. z z. Τότε ισχύει ότι y, z Y και επιπλέον y = και z =. Εχουμε z y = z z y y z y = y z ( 2 ) ( ) +ε +ε ( + ε ) ( + ε ) ( 2 ) ( ) +ε +ε ( + ε ) ( + ε ) 2 = ( + ε ) 4 > 2 ε Επομένως ο χώρος του Tsrelso είναι 2 ε παραμορφώσιμος.

40 40 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 5. Ο Χ ΩΡΟΣ ΤΟΥ TSIRELSON

41 Κεφάλαιο 6 Ο χώρος του Schlumprecht Ο T. Schlumprecht [2] το 99 κατασκεύασε έναν απεριόριστα παραμορφώσιμο χώρο Baach. Σημειώνουμε ότι ήταν ο πρώτος χώρος που κατασκευάστηκε με αυτή την ιδιότητα. Σε αυτό το κεφάλαιο θα παρουσιάσουμε τον συγκεκριμένο χώρο. Θα ορίσουμε τον χώρο του Schlumprecht. Ορισμός 6.. Θεωρούμε μία συνάρτηση φ : [, + ) R που ικανοποιεί τις ιδιότητες () φ() =, φ(x) < x για κάθε x >. (2) Η φ είναι γνησίως αύξουσα και lm φ(x) = +. x + φ(x) (3) lm x + x = 0 για κάθε q > 0. q (4) Η συνάρτηση g(x) = x φ(x), x είναι κοίλη. (5) φ(xy) φ(x)φ(y) για κάθε x, y. Ορίζουμε επαγωγικά ακολουθίες υποσυνόλων του c 00 ως εξής K 0 0 = {±e : N}, K l 0 =, l. Εχοντας ορίσει το Ks, l l = 0,, 2,... και K s = Ks l ορίζουμε τα Ks+ l ως εξής και Ορίζουμε K l s+ = K l s l=0 K 0 s+ = {±e : N}. { φ(l) (f f d ) : f K s, =,..., d, f < f 2 < < f d και d l}. K s+ = K = l=0 K l s+. K s. s=0 Για κάθε x c 00 ορίζουμε x = sup{f(x) : f K}. Επίσης για l θεωρούμε τα σύνολα K l = s=0 και για κάθε x c 00 ορίζουμε x l = sup{f(x) : f K l }. Οι νόρμες ( l ), l =, 2,... θα χρησιμοποιηθούν στο να αποδείξουμε ότι ο χώρος είναι απεριόριστα παραμορφώσιμος. 4 K l s