5. poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA
|
|
- ᾍιδης Βιτάλη
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 8 5 poglavlje (korigirano) DERIVACIJA FUNKCIJA U ovom poglavlju: Derivacija po definiciji, tablica deriviranja Derivacija zbroja, razlike, produkta i kvocijenta funkcija Derivacija složenih funkcija Derivacije višeg reda ( ) Derivacija oblika f( ) g Derivacija funkcija zadanih u parametarskom obliku Prije definicije derivacije funkcija, treba navesti, kao u točki 4, strogu definiciju limesa funkcije y f () u točki a, gdje je je a konačan realan broj Realan broj L je limes funkcije y f () u točki a ako vrijedi: za svaki ε > 0 postoji δ > 0 takav da za svaki ( a δ, a + δ ) vrijedi f ( ) ( L ε, L + ε ) Kako vidimo, za bilo koju ε -okoline broja L, postoji δ -okoline točke a, tako da se sve vrijednosti f () točaka te okoline nalaze u ε -okoline broja L Primijetimo da izraz biti u ovim okolinama znači: ( a δ, a + δ ) a < δ, f ( ) ( L ε, L + ε) f ( ) L < ε Sada možemo definirati derivaciju dane funkcije y f () u točki a na sljedeći način: () df f( ) f( a) f( a+ h) f( a) f ( a) lim lim d a h 0 a a h U filozofskom smislu, derivacija je omjer dobivenog i uloženog U programerskom smislu, derivacija je omjer izlaza i ulaza U fizikalnom smislu, derivacija je omjer proizvoljno malog puta kroz proizvoljno malo vrijeme, a to je brzina
2 84 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI U geometrijskom smislu, potrebna nam je sljedeća slika: ( a, f ( a)) f ( a + h, f ( a + h)) a a+h Koeficijent pravca, sekante, kroz dvije točke sa koordinatama ( a, f ( a)) i ( a + h, f ( a + h)) dobivamo po formuli: f ( a + h) f ( a) f ( a + h) f ( a) () ( a + h) a h Točka ( a + h, f ( a + h)) predstavlja okolnu točku točke ( a, f ( a)), koju možemo približavati fiksiranoj točki ( a, f ( a)), i to tako da pustimo da h 0 Tada (vidi sliku gore) sekanta kroz dvije dane točke prelazi u pravac koji tangira funkciju y f () u točki ( a, f ( a)), a koji zovemo tangentom na funkciju y f () u točki a Još je važnije da pri tome koeficijent sekante isto tako prelazi u koeficijent dobivene tangente To znači da koeficijent tangente dobivamo kao limes koeficijenata sekanti danih formulom () Ovo zajedno sa () povlači da, u geometrijskom smislu, derivacija funkcije y f () u točki a predstavlja koeficijent tangente na funkciju y f () u točki a 5 DERIVACIJA PO DEFINICIJI TABLICA DERIVIRANJA U ovoj točki dajemo neke primjere kako se računa limes u formuli () za neke poznate elementarne funkcije Odnosno, pokazat ćemo kako se računa derivacija po definiciji za te elementarne funkcije Potom ćemo dati tablicu njihovih derivacija, koja se može dokazati analogno ovim primjerima Neka je zadana funkcija f ( ) Tada računamo: f( a+ h) f( a) ( a+ h) a a + ah+ h a ah+ h f ( a) lim lim lim lim h 0 h h 0 h h 0 h h 0 h lim( a+ h) a h 0 Time smo pokazali da je ( ) Neka je zadana funkcija f ( ) Tada računamo:
3 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 85 f ( a+ h) f( a) ( a+ h) a a + a h+ ah + h a f ( a) lim lim lim h 0 h h 0 h h 0 h ah+ ah + h lim lim(a + ah+ h ) a h 0 h h 0 Time smo pokazali da je ( ) Neka je funkcija f ( ) Tada računamo da je: f ( a+ h) f( a) a+ h a 0 a+ h a a+ h + a f ( a) lim lim lim h 0 h h 0 h 0 h 0 h a+ h + a a+ h a lim lim h 0 h( a+ h + a) h 0 a+ h + a a Time smo pokazali da je ( ) Ako nastavimo u ovom stilu, možemo dokazati da vrijedi sljedeća tablica deriviranja elementarnih funkcija, koju koristimo zdravo za gotovo : f () f ( ) n e ln n n e sin cos cos sin tg ctg sh ch th cth arcsin arccos arctg arc ctg cos sin ch sh ch sh + +
4 86 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI Derivacija svake druge funkcije treba biti izračunata koristeći pravila za deriviranje funkcija, koja su izložena u sljedećim točkama ovog poglavlja Na primjer, derivacija kompozicije funkcija: (sin ) (cos )() cos, (sin ) ((sin ) ) sin (sin ) sin cos, ili derivacija algebarskih operacija među funkcijama: ( ( + sin ) ( sin ) ( ) + (sin ) )(sin ) + + cos, (sin ) sin + cos 5 DERIVACIJA ZBROJA I RAZLIKE U ovoj točki vježbamo derivaciju linearne kombinacije funkcija U tu svrhu, potrebno nam je sljedeće svojstvo derivacije: ( f ( ) + g( )) f ( ) + g( ), ( α f ( )) α f ( ) Prema ovome, derivacija linearne kombinacije funkcija je linearna kombinacija derivacija funkcija, odnosno, još se kaže da je derivacija linearan operator na skupu dovoljno glatkih funkcija RIJEŠENI PRIMJERI U sljedećim zadacima izračunati naznačenu operaciju deriviranja 74 ( + ) ( ) ( ) + () ( 4 + 7) ( ) 4( ) + ( ) (7) ( e + sin ) ( ) ( e ) + (sin ) e + cos 77 ( ln + 4cos ) ( ) (ln ) + 4(cos ) 4sin (tg e + ) (tg ) ( e ) + ( ) e + 7 cos
5 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) / 4 79 (4e + arcsin ) 4( e ) ( ) + (arcsin ) 4 e ( ) e ch + ch / ( arctg sh ) ( ) (arctg ) (sh ) ch 4 /4 4 8 (ch + + ) (ch ) + ( ) + ( ) sh + sh ( ln ) ( )ln (ln ) 5 ln 5 ln ZADACI ZA VJEŽBU U sljedećim zadacima naći prve derivacije danih funkcija 4 8 f ( ) + sin e 84 f ( ) 5 ch + ln 85 f ( ) ctg arccos + 86 f ( ) cos + sh f ( ) + + arctg 88 f ( ) th + tg arc ctg 89 f ( ) e + + 4
6 88 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI RJEŠENJA 8 f ( ) 4 + cos e 84 f ( ) 0 sh + 85 f ( ) sin + 86 f ( ) + sin + ch f ( ) 5 88 f ( ) ch + cos f ( ) e DERIVACIJA PRODUKTA FUNKCIJA U ovoj točki vježbamo derivaciju produkta funkcija U tu svrhu, potrebno nam je slijedeće svojstvo derivacije: ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) + f ( ) g( ) Prema ovome, derivacija produkta funkcija nije jednaka produktu derivacija, kao što bi se na trenutak moglo poželjeti To se lako vidi na primjeru derivacije funkcije f ( ) Naime, znamo da je njena derivacija f ( ) Ako bi funkciju f ( ) prikazali u obliku produkta f ( ), tada je produkt derivacija ovih funkcija ( )( ), što je bitno različito od RIJEŠENI PRIMJERI U sljedećim zadacima izračunati naznačenu operaciju deriviranja produkta funkcija 90 ( e ) ( ) e + ( e ) e + e
7 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 89 9 ( ln ) ( )ln + (ln ) ln + ln [( + )sin ] ( + )sin + ( + )(sin ) (4 + )sin + ( + )cos 9 [( + sin ) e ] ( + sin ) e + ( + sin )( e ) ( + cos ) e + ( + sin ) e [(ln )( )] (ln )( ) (ln )( ) ( )( ) (ln )( ) 95 ( e sh ) ( e )sh + e (sh ) e sh + e ch e (sh + ch ) e ( e ) e + 96 ( arctg ) ( )arctg + (arctg ) arctg ( th ) ( )th + (th ) th + 4 th ch 4 ch 98 ( e sin ) ( ) e sin ( e ) sin e (sin ) e sin e sin e cos ZADACI ZA VJEŽBU U sljedećim zadacima naći prve derivacije danih funkcija 7 99 f ( ) e 00 f ( ) e cos 0 f ( ) ln 0 f ( ) (sh ) (th ) 0 f ( ) e e 04 f ( ) (ln ) e
8 90 RJEŠENJA Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI f ( ) e ( 7 ) + 00 f ( ) e (cos sin ) 0 f ( ) (ln + ) 0 f ( ) (sh ) ( + ) ch e 0 f ( ) ( ) 04 f ( ) e (ln + ) 54 DERIVACIJA KVOCIJENTA FUNKCIJA U ovoj točki vježbamo derivaciju kvocijenta funkcija U tu svrhu, potrebno nam je slijedeće svojstvo derivacije: f ( ) g( ) f ( ) g( ) f ( ) g( ) g ( ) Prema ovome, derivacija kvocijenta funkcija nije jednaka kvocijentu derivacija, kao što bi se na trenutak moglo poželjeti To se lako vidi na primjeru derivacije funkcije f ( ) tg Naime, znamo da je njena derivacija f ( ) / cos Ako bi funkciju f ( ) tg prikazali u obliku kvocijenta f ( ) sin / cos, tada je kvocijent derivacija brojnika i nazivnika kao funkcija (sin )/(cos ) cos /( sin ) ctg, što je bitno različito od / cos RIJEŠENI PRIMJERI U sljedećim zadacima izračunati naznačenu operaciju deriviranja kvocijenta funkcija sin (sin ) (sin )( ) cos sin 05 ( ) e ( e )( ) ( e )( ) e ( ) e e e ( ) ( ) ( ) 06 ( ) + ( ) ( ) ( + )( + ) ( + )( + ) ( ) + ( + ) ( + ) + ( + )
9 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 9 ln (ln ) ( ) (ln )( ) ( ) ln ln ( ) ( ) ( ) 08 ( ) sin + (sin + ) ( cos 5) (sin + )( cos 5) 09 ( ) cos 5 (cos 5) (cos 5)cos (sin + )( sin ) 5cos + 6sin (cos 5) (cos 5) e ( e )sh ( e )(sh ) e sh e ch e (sh ch ) sh sh sh sh sh 0 ( ) ( )(arcsin ) ( )(arcsin ) (arcsin ) ( ) ( ) arcsin arcsin arcsin ZADACI ZA VJEŽBU U sljedećim zadacima naći prve derivacije danih funkcija 4 f ( ) + 5 f ( ) + 4 tg f ( ) cos 5 th f ( ) e 6 sin f ( ) cos
10 9 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI RJEŠENJA f ( + 5 ) f ( ) ( ) ( + ) + sin 4 f ( ) cos cos 4sin 5 f ( ) e ( th ) 6 f ( ) ch ( cos ) 55 DERIVACIJA SLOŽENIH FUNKCIJA U ovoj točki vježbamo derivaciju kompozicija funkcija U tu svrhu, potrebno nam je slijedeće fundamentalno svojstvo derivacije: ( g( f ( )) g( f ( )) f ( ) Zahvaljujući ovom pravilu većina funkcija se može lako derivirati Veoma je važno prije deriviranja neke složene funkcije razlučiti što je to takozvana «vanjska» ( g () ), a što «unutarnja» ( f () ) funkcija u kompoziciji Na primjer, kod složene funkcije y tg nije sasvim jasno što je to g ( f ( )), sve dok danu funkciju ne napišemo u obliku: y ( tg ) Isto tako, kada deriviramo vanjsku funkciju, u dobivenoj derivaciji prepisujemo unutarnju funkciju Na primjer: (sin(cos)) (cos(cos )) (cos), odnosno (sin(cos)) (cos ) (cos) Znači, ne zaboravi prepisati unutarnju funkciju u derivaciji vanjske RIJEŠENI PRIMJERI U sljedećim zadacima izračunati naznačenu operaciju deriviranja složenih funkcija 7 (sin 4 ) (cos 4 )(4 ) 4cos 4 8 ( e ) e ( ) e 9 (ln( )) ( ) 0 (cos( )) ( sin( ))( ) ( )sin( )
11 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 9 ( e ) e ( ) e ( e ) e ( + ) e (tg( )) ( ) cos( ) cos( ) (( ) ) 0( ) ( ) 60 ( ) 5 (ch(sin )) (sh(sin ))(sin ) (sh(sin ))(cos )( ) (cos )(sh(sin )) 6 (ln(sin( ))) (sin( )) (cos( ))( ) sin( ) sin( ) cos( ) sin( ) ctg( ) 7 (sin ) ((sin ) ) (sin )(sin ) (sin )(cos )( ) 6 (sin )(cos ) sin cos (cos ) 8 (sin(tg (cos ))) (cos(tg (cos )))(tg (cos )) (cos(tg (cos ))) (cos ) (sin )cos(tg (cos )) cos (cos ) ZADACI ZA VJEŽBU U sljedećim zadacima naći prve derivacije danih funkcija 9 f ( ) e f ( ) sin(cos ) f ( ) tg(sin(4)) f ( ) ctg (cos()) f ( ) ln
12 94 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI 4 f ( ) sin( ln ) + ln( sin ) e 5 f ( ) arctg 6 f ( ) + 7 f ( ) arctg + arcsin 8 f ( ) e sin 9 f ( ) sin (cos ) 4 RJEŠENJA 4 9 ( ) + f e ( 4 ) + 0 f ( ) ( sin ) (cos(cos )) 4cos4 f ( ) 4(sin ) (ctg(cos )) f ( ) sin (cos ) cos (sin 4 ) ln f ( ) cos(ln ) 4 f ( ) + ctg e 5 f ( ) ( ) ( arctg ) ( arctg ) 6 f ( ) ( + ) 7 f ( ) ( + ) + 8 f ( ) e (sin + cos ) f ( ) 4 (sin ) (cos ) (cos(cos )) (sin(cos )) 56 DERIVACIJE VIŠEG REDA U ovoj točki vježbamo derivacije višeg reda U tu svrhu, potrebno nam je sljedeća induktivna definicija derivacije bilo kojeg reda: ( n ) f ( ) ( f ( )), f ( ) ( f ( )) ( f ( )),, f ( ) ( f ( )) ( n)
13 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 95 Prema ovome, da bismo našli drugu derivaciju f ( ) funkcije y f () prvo moramo naći njenu prvu derivaciju f ( ) Odnosno, da bismo našli n-tu derivaciju ( ), trebamo znati ( ) f n n- derivaciju ( ) Primijetimo da se red više derivacije označava poput potencije u (4) eksponentu, ali u zagradi Na primjer, f ( ) označava derivaciju četvrog reda, a ne potenciju ili kompoziciju reda četiri ( ) f n RIJEŠENI PRIMJERI U sljedećim zadacima izvršiti naznačene operacije deriviranja višeg reda 40 ( ) (( )) (( ) )) ( ( ) ) ( ( ) ) ( + ) 4 ( e ) (( e )) (( e )) (9 e ) 7 e 4 ( e ) (( e )) ( e + e ) ( e ) + ( e ) e + e + e + e e + + ( 4 ) 6 + (+ ) 4 (ln(+ )) ((ln(+ ))) (( )) 4((+ ) ) 44 (cos ) ((cos )) ( (sin )( )) ( sin ) + + (sin (cos )( )) (sin cos ) 45 ( ) (( + ) ) ( ( + ) ( )) ( ) + ( + ) 6 ( + ) 46 ( e ) (( ) e ) e + ( ) e ( ) e (4 4+ ) (5) (4) (4) () () 47 (sin ) ((sin )) (cos ) ( sin ) ( cos ) (sin ) cos (4) () () 48 ( e cos ) ( e cos e sin ) (( e cos e sin ) ( e sin + e cos )) () ( e sin ) ( e sin e cos ) (( e sin e cos ) + ( e cos e sin )) 4e cos
14 96 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI ZADACI ZA VJEŽBU 49 f ( ) ( ), f ( )? 50 f ( ) sin, f ( )? 5 f ( ) e, f ( )? 5 4 (0) (7) 5 f ( ) ln( ), f ( )? (5) 5 f ( ) cos, f ( )? RJEŠENJA 49 f ( ) 4( ) (4 4 7) + 50 f ( ) cos (0) f ( ) 5 e 7 (7) 6! 5 f ( ) 7 ( ) (5) 4 5 f ( ) 6 sin 6 57 DERIVACIJA FUNKCIJA OBLIKA ( ) f( ) g U nastavku radimo sa nešto složenijim oblicima funkcija Jedan od takvih su funkcije zadane ( ) u obliku f( ) g Što ovaj oblik predstavlja, budući da imamo istovremeno transformacije i u bazi, i u eksponentu? Najjednostavniji pristup ovom obliku je sljedeći: g( ) f e e g( ) ln( f( ) ) g( )ln f( ) () ( ) Prema ovome, oblik f( ) g možemo definirati kao eksponencijalnu funkciju koja u eksponentu ima složenu funkciju g ( )ln f( ) Zahvaljujući ovakvom pristupu, deriviranje ( ) funkcije oblika f( ) g svodi se na uobičajeno deriviranje složenih funkcija, kao što je pokazano u nekoliko sljedećih primjera Pri tome ne zaboravimo da je: baza e eksponent eksponent ln baza
15 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) 97 RIJEŠENI PRIMJERI ( )ln ln ln + 54 ( ) ( e ) e ( ln ) e (6ln + ) (ln + ) cos e e e + sin lnsin lnsin lnsin 55 ((sin ) ) ( ) ( lnsin ) ( lnsin ) (sin ) (lnsin + cot ) e ln e ln e e ln 56 (( ) ) ( e ) ( e ) e ( e ln ) e e ln e e e ( e ln + ) (ln + ) ZADACI ZA VJEŽBU U sljedećim zadacima naći prve derivacije danih funkcija 57 f ( ) f ( ) ( + ) f ln ( ) (ln ) f ( + ) ( ) ( + ) f sin ( ) ( sh) RJEŠENJA ln f ( ) ( + ) 58 ln lnln f ( ) (ln ) ( + ) 4 f ( ) ( + ) ( + ln( + )) f ( ) ( + ) ( + )( + ) + ( + ) ln( + ) f sh sh cth sin ( ) ( ) ((cos )ln( ) + ( )sin )
16 98 Mervan Pašić: Matan dodatak predavanjima za grupe GHI 58 DERIVACIJA FUNKCIJA DANIH U PARAMETARSKOM OBLIKU Funkcija y y( ) može biti zadana u implicitnom obliku: t () y y() t To znači da varijabla i njena transformacija y ( ) istovremeno ovise o jednoj novoj varijabli t Ta ovisnost se zove parametarska jednadžba dane funkcije y y( ) Na primjer, funkcija y ( ) 4 ima parametarsku jednadžbu, odnosno, može se zapisati i u implicitnom obliku: cos( t) y sin( t) t (0, π ) Međutim, funkcija y ( ) 4 može imati nekoliko parametarskih jednadžbi, odnosno, može se napisati i u obliku: t y 4 t t (,) Nadalje, ako ne znamo eksplicitnu vezu y y( ), ali znamo njenu parametarsku jednadžbu, tada derivacije funkcije y y( ) računamo na veoma prirodan način: y( ), d d y( ) d i d y( ) d d RIJEŠENI PRIMJERI 6 t y t t y( ) d d t 4t t ln t 6 y t t t ( ) d d t y t t
17 5 Derivacija funkcija (sa svim korekcijama) cost y sint cos t y( ) ctg t d sint d 65 t + y t t y( ) t, d d t y( ) ( t) d d t 4t tan t cos t 66 y( ) cos t, y d sin t d cos t 4 y( ) (cos t) (cos t)(cos t)( sin t) sin tcos t d d cos t ZADACI ZA VJEŽBU U sljedećim zadacima naći prve i druge derivacije funkcija zadanih parametarski t y + t sin t y cost t y t ln t 70 y t t RJEŠENJA 67 f ( ), f ( ) 4 t 9t 68 f ( ) tg t, f ( ) cos t 69 / f ( ) 4 t, f ( ) t 70 f t t f t t ( ) +, ( ) 4 + 9
4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA
. Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα3. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E
. Funkcije (sa svim korekcijama) 5. poglavlje (korigirano) F U N K C I J E U ovom poglavlju: Elementarne unkcije Inverzne unkcije elementarnih unkcija Domena složenih unkcija Inverz složenih unkcija Ispitivanje
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότερα15. domaća zadaća. Matematika 1 (preddiplomski stručni studij elektrotehnike)
Maemaika 5.. Koriseći definiciju derivacije funkcije u očki izračunaje sljedeće granične vrijednosi: c) f) h) i) j) k) n) o) q) r) e 0 e 0 e 0 ln( + ) 0 ln( + ) 0 4 ln sin e 0 5 g e 0 6 cos e cg e ln(
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Διαβάστε περισσότεραDIFERENCIJALNE JEDNADŽBE
9 Diferencijalne jednadžbe 6 DIFERENCIJALNE JEDNADŽBE U ovom poglavlju: Direktna integracija Separacija varijabli Linearna diferencijalna jednadžba Bernoullijeva diferencijalna jednadžba Diferencijalna
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1
2 cos(3 π 4 ) sin( + π 6 ). 2. Pomoću linearnih transformacija funkcije f nacrtajte graf funkcije g ako je, g() = 2f( + 3) +. 3. Odredite domenu funkcije te odredite f i njenu domenu. log 3 2 + 3 7, 4.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) dy df dg. =, ( x) e = e, ( ) ' x. Zadatak 001 (Marinela, gimnazija) Nađite derivaciju funkcije f(x) = a + b x. ( ) ( )
Zadatak (Mariela, gimazija) Nađite derivaciju fukcije f() a + b c + d Rješeje Neka su f(), g(), h() fukcije ezavise varijable, a f (), g (), h () derivacije tih fukcija po Osova pravila deriviraja Derivacija
Διαβάστε περισσότεραGeodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA
Geodetski akultet dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike DERIVACIJA Pojam derivacije Glavne ideje koje su vodile do današnjeg shvaćanja derivacije razvile su se u 7 stoljeću kada i započinje razvoj
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C0.. (. ( n n n-. (a a lna 6. (e e 7. (log a 8. (ln ln a (>0 9. ( 0 0. (>0 (ovde je >0 i a >0. (cos. (cos - π. (tg kπ cos. (ctg
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραUvod u diferencijalni račun
Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je to uopće tangenta?
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότερα5. PARCIJALNE DERIVACIJE
5. PARCIJALNE DERIVACIJE 5.1. Izračunajte parcijalne derivacije sljedećih funkcija: (a) f (x y) = x 2 + y (b) f (x y) = xy + xy 2 (c) f (x y) = x 2 y + y 3 x x + y 2 (d) f (x y) = x cos x cos y (e) f (x
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραDerivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1
Derivacija funkcije Materijali za nastavu iz Matematike 1 Kristina Krulić Himmelreich i Ksenija Smoljak 2012/13 1 / 45 Definicija derivacije funkcije Neka je funkcija f definirana u okolini točke x 0 i
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότεραRIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ
RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα1 Promjena baze vektora
Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis
Διαβάστε περισσότερα4.1 Elementarne funkcije
. Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότερα4.7. Zadaci Formalizam diferenciranja (teorija na stranama ) 343. Znajući izvod funkcije x arctg x, odrediti izvod funkcije x arcctg x.
4.7. ZADACI 87 4.7. Zadaci 4.7.. Formalizam diferenciranja teorija na stranama 4-46) 340. Znajući izvod funkcije arcsin, odrediti izvod funkcije arccos. Rešenje. Polazeći od jednakosti arcsin + arccos
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραPošto pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu broj 2.5 množimo s 1000,
PRERAČUNAVANJE MJERNIH JEDINICA PRIMJERI, OSNOVNE PRETVORBE, POTENCIJE I ZNANSTVENI ZAPIS, PREFIKSKI, ZADACI S RJEŠENJIMA Primjeri: 1. 2.5 m = mm Pretvaramo iz veće u manju mjernu jedinicu. 1 m ima dm,
Διαβάστε περισσότερα4 Izvodi i diferencijali
4 Izvodi i diferencijali 8 4 Izvodi i diferencijali Neka je funkcija f() definisana u intervalu (a, b), i neka je 0 0 + (a, b). Tada se izraz (a, b) i f( 0 + ) f( 0 ) () zove srednja brzina promene funkcije
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότερα- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)
MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije i Limesi i derivacije Poglavlje Limesi i derivacije.0. Limesi Limes funkcije f kada teºi nekoj to ki a ovdje a moºe ozna avati i ± moºemo
Διαβάστε περισσότεραPredavanje osmo: Uvod u diferencijalni račun
Predavanje osmo: Uvod u diferencijalni račun Franka Miriam Brückler Problem tangente Ako je zadana neka krivulja i odabrana točka na njoj, kako konstruirati tangentu na tu krivulju u toj točki? I što je
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραMatematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum
Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()
Διαβάστε περισσότεραDeterminante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.
Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότερα4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115
4. DERIVACIJA FUNKCIJE 1 / 115 2 / 115 Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Motivacija: aproksimacija funkcije, problemi brzine i tangente Povijesno su dva po prirodi različita
Διαβάστε περισσότερα4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE 3 BIPOLARNI TRANZISTORI. Slika 1. Postoje npn i pnp bipolarni tranziostori i njihovi simboli su dati na slici 2 i to npn lijevo i pnp desno.
JŽ 3 POLAN TANZSTO ipolarni tranzistor se sastoji od dva pn spoja kod kojih je jedna oblast zajednička za oba i naziva se baza, slika 1 Slika 1 ipolarni tranzistor ima 3 izvoda: emitor (), kolektor (K)
Διαβάστε περισσότερα5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMETARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINATAMA
5. FUNKCIJE ZADANE U PARAMEARSKOM OBLIKU I POLARNIM KORDINAAMA 5. Funkcije zadane u paametaskom obliku Ako se koodinate neke tocke,, zadaju u obliku funkcije neke tece pomjenjive, koja se tada naziva paameta,
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2
(kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραIspit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1
Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραKVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.
KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότερα( + ) ( ) Derivacija funkcije y = f x, u tocki x, koja je definirana u intervalu a,b jednaka je granicnoj vrijednosti ili limesu izraza:
. DERIVACIJA FUNKCIJE. Pojam derivacije Derivacija funkcije f, u tocki, koja je definirana u intervalu a,b jednaka je granicnoj vrijednosti ili limesu izraza: f lim ili f lim Funkcija je u tocki Obrat
Διαβάστε περισσότεραGlava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije
Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότερα1 Obične diferencijalne jednadžbe
1 Obične diferencijalne jednadžbe 1.1 Linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima Diferencijalne jednadžbe oblika y + ay + by = f(x), (1) gdje su a i b realni brojevi a f
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) Zadatak 001 (Ines, hotelijerska škola) Ako je tg x = 4, izračunaj
Zadaak (Ines, hoelijerska škola) Ako je g, izračunaj + 5 + Rješenje Korisimo osnovnu rigonomerijsku relaciju: + Znači svaki broj n možemo zapisai n n n ( + ) + + + + 5 + 5 5 + + + + + 7 + Zadano je g Tangens
Διαβάστε περισσότεραNeprekinute funkcije i limesi Definicija neprekinute funkcije i njen odnos prema limesu Asimptote Svojstva neprekinutih funkcija
Sadržaj: Nizovi brojeva Pojam niza Limes niza. Konvergentni nizovi Neki važni nizovi. Broj e. Limes funkcije Definicija esa Računanje esa Jednostrani esi Neprekinute funkcije i esi Definicija neprekinute
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότερα2log. se zove numerus (logaritmand), je osnova (baza) log. log. log =
( > 0, 0)!" # > 0 je najčešći uslov koji postavljamo a još je,, > 0 se zove numerus (aritmand), je osnova (baza). 0.. ( ) +... 7.. 8. Za prelazak na neku novu bazu c: 9. Ako je baza (osnova) 0 takvi se
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραOsnove diferencijalnog računa
Osnoe diferencijalnog računa September 15, 2008 1 Uod 1.1 Problem brzine želimo izračunati brzinu tijela ako put koji je tijelo prešlo možemo izraziti kao funkciju remena s = s(t), (1) onda je prosječna
Διαβάστε περισσότεραf(x) = a x, 0<a<1 (funkcija strogo pada)
Eksponencijalna funkcija (baze a) f() a, a > 0, a domena D(f) R; slika funkcije f(d) (0,+ ); nema nultočaka, jer je a > 0, za sve R; graf G(f) je krivulja u ravnini prikazana na slici desno; f() a, 0
Διαβάστε περισσότεραDiferencijalni račun
ni račun October 28, 2008 ni račun Uvod i motivacija Točka infleksije ni račun Realna funkcija jedne realne varijable Neka je X neprazan podskup realnih brojeva. Ako svakom elementu x X po postupku f pridružimo
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραSadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije
Sadržaj: Diferencijalni račun (nastavak) Derivacije višeg reda Približno računanje pomoću diferencijala funkcije Osnovni teoremi diferencijalnog računa L Hospitalovo pravilo Derivacije višeg reda Derivacija
Διαβάστε περισσότεραPOVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA
POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica
Διαβάστε περισσότεραMATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra I, zimski semestar 2007/2008
Linearna algebra I, zimski semestar 2007/2008 Predavanja: Nenad Bakić, Vježbe: Luka Grubišić i Maja Starčević 22. listopada 2007. 1 Prostor radijvektora i sustavi linearni jednadžbi Neka je E 3 trodimenzionalni
Διαβάστε περισσότεραPoglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE. 1.1 Ortonormirani skupovi
Poglavlje 1 GRAM-SCHMIDTOV POSTUPAK ORTOGONALIZACIJE 1.1 Ortonormirani skupovi Prije nego krenemo na sami algoritam, uvjerimo se koliko je korisno raditi sa ortonormiranim skupovima u unitarnom prostoru.
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότερα