Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli

Transcript

1 Plohe u prostoru i ekstremi skalarnih funkcija više varijabli Franka Miriam Brückler

2 f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x.

3 f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. Dakle, za svaki par (x, y) u domeni od f dobili smo pripadni par parcijalnih derivacija u točki (x, y): ( y ) (x, y) x, ln x Koji je par na taj način pridružen točki (1, 1)? A točki (e, e 2 )?

4 f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. Dakle, za svaki par (x, y) u domeni od f dobili smo pripadni par parcijalnih derivacija u točki (x, y): ( y ) (x, y) x, ln x Koji je par na taj način pridružen točki (1, 1)? A točki (e, e 2 )? Elemente domene (x, y) ćemo interpretirati kao točke, a njima pridružene parove parcijalnih derivacija prvog reda kao vektore koji počinju u odgovarajućoj točki domente. Primjerice, vektor [1, 0] pridružen je točki (1, 1) pa uzimamo da je početak tog vektora u (1, 1).

5 f (x, y) = y ln x f x = y x, f y = ln x. Dakle, za svaki par (x, y) u domeni od f dobili smo pripadni par parcijalnih derivacija u točki (x, y): ( y ) (x, y) x, ln x Koji je par na taj način pridružen točki (1, 1)? A točki (e, e 2 )? Elemente domene (x, y) ćemo interpretirati kao točke, a njima pridružene parove parcijalnih derivacija prvog reda kao vektore koji počinju u odgovarajućoj točki domente. Primjerice, vektor [1, 0] pridružen je točki (1, 1) pa uzimamo da je početak tog vektora u (1, 1). Je li ikojoj točki domene pridružen nulvektor?

6 Definicija Gradijent skalarne funkcije f u nekoj točki njene domene je vektor prvih parcijalnih derivacija od f izračunatih u toj točki: ( f f (X ) = (X ), f ) (X ),.... x 1 x 2

7 Definicija Gradijent skalarne funkcije f u nekoj točki njene domene je vektor prvih parcijalnih derivacija od f izračunatih u toj točki: ( f f (X ) = (X ), f ) (X ),.... x 1 x 2 Spomenuli smo da graf skalarne funkcije dviju varijabli predstavlja plohu u prostoru. Ali, što je to uopće ploha u prostoru? Podsjetimo se: Što su nivo-linije (nivo-krivulje) funkcije f (x, y) = 4x 2 + 9y 2?

8 Definicija Gradijent skalarne funkcije f u nekoj točki njene domene je vektor prvih parcijalnih derivacija od f izračunatih u toj točki: ( f f (X ) = (X ), f ) (X ),.... x 1 x 2 Spomenuli smo da graf skalarne funkcije dviju varijabli predstavlja plohu u prostoru. Ali, što je to uopće ploha u prostoru? Podsjetimo se: Što su nivo-linije (nivo-krivulje) funkcije f (x, y) = 4x 2 + 9y 2? Odaberite nivo-liniju koja odgovara vrijednosti 1 i skicirajte gradijent od f duž te krivulje. Je li taj gradijent igdje nulvektor?

9 Definicija Gradijent skalarne funkcije f u nekoj točki njene domene je vektor prvih parcijalnih derivacija od f izračunatih u toj točki: ( f f (X ) = (X ), f ) (X ),.... x 1 x 2 Spomenuli smo da graf skalarne funkcije dviju varijabli predstavlja plohu u prostoru. Ali, što je to uopće ploha u prostoru? Podsjetimo se: Što su nivo-linije (nivo-krivulje) funkcije f (x, y) = 4x 2 + 9y 2? Odaberite nivo-liniju koja odgovara vrijednosti 1 i skicirajte gradijent od f duž te krivulje. Je li taj gradijent igdje nulvektor? Ako uzmemo g(x, y, z) = 2x 3z i gledamo točke u kojima g postiže vrijednost 4, što ćemo dobiti? Je li u ijednoj od tih točaka gradijent od g nulvektor?

10 Ploha je skup točaka u (3D) prostoru u kojima dana skalarna funkcija triju varijabli postiže odredenu vrijednost. Te točke su naravno podskup domene te funkcije.

11 Ploha je skup točaka u (3D) prostoru u kojima dana skalarna funkcija triju varijabli postiže odredenu vrijednost. Te točke su naravno podskup domene te funkcije. Preciznije, Definicija (Ploha u R 3 ) Za zadanu konstantu c, ploha zadana funkcijom f : D R 3 R je svaki skup S = {(x, y, z) D : f (x, y, z) = c}, ukoliko vrijedi da je f (x, y, z) (0, 0, 0) t za svaku točku (x, y, z) S.

12 Ploha je skup točaka u (3D) prostoru u kojima dana skalarna funkcija triju varijabli postiže odredenu vrijednost. Te točke su naravno podskup domene te funkcije. Preciznije, Definicija (Ploha u R 3 ) Za zadanu konstantu c, ploha zadana funkcijom f : D R 3 R je svaki skup S = {(x, y, z) D : f (x, y, z) = c}, ukoliko vrijedi da je f (x, y, z) (0, 0, 0) t za svaku točku (x, y, z) S. Zadatak Pokažite da je sfera x 2 + y 2 + z 2 = r 2 ; svaka ravnina; graf svake derivabilne funkcije dviju varijabli; ploha u prostoru.

13 Kako su ležali vektori koji odgovaraju gradijentu funkcije f (x, y) = 4x 2 + 9y 2 u odnosu na njezinu nivo-liniju koja odgovara vrijednosti 1? Usporedite to s gradijentom na nivo-linijama iste funkcije koje odgovaraju vrijednostima 4 i 9!

14 Kako su ležali vektori koji odgovaraju gradijentu funkcije f (x, y) = 4x 2 + 9y 2 u odnosu na njezinu nivo-liniju koja odgovara vrijednosti 1? Usporedite to s gradijentom na nivo-linijama iste funkcije koje odgovaraju vrijednostima 4 i 9! A kako leže vektori koji odgovaraju gradijentu funkcije f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 u odnosu na plohe zadane s f (x, y, z) = r 2 za r = 1, 2, 3?

15 Kako su ležali vektori koji odgovaraju gradijentu funkcije f (x, y) = 4x 2 + 9y 2 u odnosu na njezinu nivo-liniju koja odgovara vrijednosti 1? Usporedite to s gradijentom na nivo-linijama iste funkcije koje odgovaraju vrijednostima 4 i 9! A kako leže vektori koji odgovaraju gradijentu funkcije f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 u odnosu na plohe zadane s f (x, y, z) = r 2 za r = 1, 2, 3? Gradijent (njegov smjer i orijentacija) u točki nivo-linije odnosno plohe pokazuje smjer pomakom u kojem dolazi do najvećeg porasta vrijednosti funkcije. Primjer Ako je f funkcija koja opisuje trenutnu temperaturu u pojedinoj točki X Zemljine atmosfere, onda vektor f (X ) pokazuje u kojem smjeru se objekt na poziciji X treba pomaknuti tako da mu bude što toplije.

16 Ima li smisla govoriti o tangenti na sferu ili neku drugu plohu? Zašto?

17 Ima li smisla govoriti o tangenti na sferu ili neku drugu plohu? Zašto?

18 Definicija (Tangencijalna ravnina na plohu) Tangencijalna ravnina na plohu F (x, y, z) = 0 u nekoj njenoj točki X = (x 0, y 0, z 0 ) je ravnina kroz tu točku kojoj je F (X ) vektor normale. Kako onda glasi jednadžba tangencijalne ravnine na plohu u nekoj njenoj točki?

19 Definicija (Tangencijalna ravnina na plohu) Tangencijalna ravnina na plohu F (x, y, z) = 0 u nekoj njenoj točki X = (x 0, y 0, z 0 ) je ravnina kroz tu točku kojoj je F (X ) vektor normale. Kako onda glasi jednadžba tangencijalne ravnine na plohu u nekoj njenoj točki? A jednadžba normale?

20 Definicija (Tangencijalna ravnina na plohu) Tangencijalna ravnina na plohu F (x, y, z) = 0 u nekoj njenoj točki X = (x 0, y 0, z 0 ) je ravnina kroz tu točku kojoj je F (X ) vektor normale. Kako onda glasi jednadžba tangencijalne ravnine na plohu u nekoj njenoj točki? A jednadžba normale? Može li tangencijalna ravnina na graf skalarne funkcije dviju varijabli biti paralelna sa z-osi? Zašto?

21 Definicija (Tangencijalna ravnina na plohu) Tangencijalna ravnina na plohu F (x, y, z) = 0 u nekoj njenoj točki X = (x 0, y 0, z 0 ) je ravnina kroz tu točku kojoj je F (X ) vektor normale. Kako onda glasi jednadžba tangencijalne ravnine na plohu u nekoj njenoj točki? A jednadžba normale? Može li tangencijalna ravnina na graf skalarne funkcije dviju varijabli biti paralelna sa z-osi? Zašto? Podsjetite se kako izgledaju grafovi funkcija zadanih s f (x, y) = x 2 + y 2, g(x, y) = x 2, h(x, y) = 1 x 2 y 2, i(x, y) = x 2 y 2. Što biste rekli, postižu li te funkcije lokalne ekstreme? Globalne? Ako da, gdje?

22 Definicija (Tangencijalna ravnina na plohu) Tangencijalna ravnina na plohu F (x, y, z) = 0 u nekoj njenoj točki X = (x 0, y 0, z 0 ) je ravnina kroz tu točku kojoj je F (X ) vektor normale. Kako onda glasi jednadžba tangencijalne ravnine na plohu u nekoj njenoj točki? A jednadžba normale? Može li tangencijalna ravnina na graf skalarne funkcije dviju varijabli biti paralelna sa z-osi? Zašto? Podsjetite se kako izgledaju grafovi funkcija zadanih s f (x, y) = x 2 + y 2, g(x, y) = x 2, h(x, y) = 1 x 2 y 2, i(x, y) = x 2 y 2. Što biste rekli, postižu li te funkcije lokalne ekstreme? Globalne? Ako da, gdje? Što je neobično za točku (0, 0, 0) na grafu funkcije i?

23 Definicija (Tangencijalna ravnina na plohu) Tangencijalna ravnina na plohu F (x, y, z) = 0 u nekoj njenoj točki X = (x 0, y 0, z 0 ) je ravnina kroz tu točku kojoj je F (X ) vektor normale. Kako onda glasi jednadžba tangencijalne ravnine na plohu u nekoj njenoj točki? A jednadžba normale? Može li tangencijalna ravnina na graf skalarne funkcije dviju varijabli biti paralelna sa z-osi? Zašto? Podsjetite se kako izgledaju grafovi funkcija zadanih s f (x, y) = x 2 + y 2, g(x, y) = x 2, h(x, y) = 1 x 2 y 2, i(x, y) = x 2 y 2. Što biste rekli, postižu li te funkcije lokalne ekstreme? Globalne? Ako da, gdje? Što je neobično za točku (0, 0, 0) na grafu funkcije i? Kako u njoj i točkama ekstrema ostalih funkcia postavljene tangencijalne ravnine na grafove?

24 Definicija (Lokalni i globalni ekstremi skalarnih funkcija) Za skalarnu funkciju f : D R točku X 0 D zovemo točkom lokalnog minimuma odnosno maksimuma funkcije f ako za sve X D iz neke okoline od X 0 vrijedi f (X ) f (X 0 ) odnosno f (X ) f (X 0 ); točkom globalnog minimuma odnosno maksimuma funkcije f ako za sve X D vrijedi f (X ) f (X 0 ) odnosno f (X ) f (X 0 ). Stacionarna točka skalarne funkcije je nultočka njenog gradijenta, tj. element domene u kojemu su sve parcijalne derivacije prvog reda jednake nuli. Ako se radi o funkciji dviju varijabli, u stacionarnoj je točki tangencijalna ravnina na graf paralelna s ravninom domene ((x, y)-ravninom). Iako i za funkcije više varijabli ima smisla gledati općenitije kritične točke, kako smo se ograničili na funkcije koje u svim točkama domene posjeduju parcijalne derivacije prvog reda, pri ispitivanju ekstrema funkcija ograničit ćemo se na stacionarne točke kao kandidate za točke ekstrema.

25 Hesseova matrica Kako za stacionarnu točku realne funkcije jedne varijable provjeravamo je li točka ekstrema?

26 Hesseova matrica Kako za stacionarnu točku realne funkcije jedne varijable provjeravamo je li točka ekstrema? Koliko parcijalnih derivacija drugog reda posjeduje skalarna funkcija s 2 varijable?

27 Hesseova matrica Kako za stacionarnu točku realne funkcije jedne varijable provjeravamo je li točka ekstrema? Koliko parcijalnih derivacija drugog reda posjeduje skalarna funkcija s 2 varijable? Definicija (Hesseova matrica) Za skalarnu funkciju f od n varijabli koja posjeduje sve parcijalne derivacije drugog reda (u točki X iz svoje domene) njena Hesseova matrica (u toj točki) je matrica H = H(f )(X ) koja na poziciji (i, j) ima iznos 2 x i x j (X ). Zbog Schwarzovog teorema, za funkcije s neprekidnim parcijalnim derivacijama drugog reda (a to su gotovo sve koje se mogu susresti u primjenama) Hesseova matrica je simetrična.

28 Definicija (Minore kvadratne matrice) Za kvadratnu matricu A M n njene (glavne) minore su determinante kvadratnih matrica A 1, A 2,..., A n 1, A n = A, gdje je A k matrica koja se iz A dobije tako da uzmemo njenih prvih k redaka i k stupaca (tj. A i = (a ij ) M k ). Funkcija f u stacionarnoj točki X 0 ima lokalni minimum ako su sve minore Hesseove matrice H(f )(X 0 ) pozitivne. maksimum ako predznaci minora Hesseove matrice H(f )(X 0 ) alterniraju počevši s negativnim. U slučaju da uvjet na predznake ne vrijedi strogo, tj. neke od minora su nula, ali nema negativnih ili pak alterniraju tako da neparne po redu nisu pozitivne, a parne nisu negativne, potrebno je drugim metodama provjeriti radi li se o točki lokalnog ekstrema. U preostalim slučajevima govorimo o sedlastoj točki: Sedlasta točka funkcije je stacionarna točka koja nije točka ekstrema.

29 Odredimo lokalne ekstreme funkcije zadane formulom Njen gradijent je f (x, y) = x 3 + x 2 y y 2 4y. f (x, y) = (3x 2 + 2xy, x 2 2y 4), a Hesseova matrica je ( 6x + 2y 2x H(f )(x, y) = 2x 2 ).

30 Odredimo lokalne ekstreme funkcije zadane formulom Njen gradijent je f (x, y) = x 3 + x 2 y y 2 4y. f (x, y) = (3x 2 + 2xy, x 2 2y 4), a Hesseova matrica je ( 6x + 2y 2x H(f )(x, y) = 2x 2 ). Stacionarne točke od f su (0, 2), (1, 3/2) i ( 4, 6).

31 Odredimo lokalne ekstreme funkcije zadane formulom Njen gradijent je f (x, y) = x 3 + x 2 y y 2 4y. f (x, y) = (3x 2 + 2xy, x 2 2y 4), a Hesseova matrica je ( 6x + 2y 2x H(f )(x, y) = 2x 2 Stacionarne točke od f su (0, 2), (1, 3/2) i ( 4, 6). Od njih je (0, 2) točka lokalnog maksimuma, a druge dvije stacionarne točke su sedlaste. ).

32 Primjer Treba odrediti dimenzije otvoren kutije oblika kvadra maksimalnog obujma koja ima oplošje 64 cm 2. Ako su x, y i z tražene duljine bridova te kutije (u centimetrima), zadatak se svodi na 1 Uvjeti moraju biti takvi da je g različit od nulvektora za sve točke koje zadovoljavaju uvjet.

33 Primjer Treba odrediti dimenzije otvoren kutije oblika kvadra maksimalnog obujma koja ima oplošje 64 cm 2. Ako su x, y i z tražene duljine bridova te kutije (u centimetrima), zadatak se svodi naodredivanje maksimuma funkcije f (x, y, z) = xyz uz uvjet 2xy + 2xz + yz = Uvjeti moraju biti takvi da je g različit od nulvektora za sve točke koje zadovoljavaju uvjet.

34 Primjer Treba odrediti dimenzije otvoren kutije oblika kvadra maksimalnog obujma koja ima oplošje 64 cm 2. Ako su x, y i z tražene duljine bridova te kutije (u centimetrima), zadatak se svodi naodredivanje maksimuma funkcije f (x, y, z) = xyz uz uvjet 2xy + 2xz + yz = 64. Problem koji želimo riješiti je odredivanje ekstrema funkcije zadane formulom f (x, y,...) uz jedan ili više uvjeta 1 oblika g(x, y,...) = 0. 1 Uvjeti moraju biti takvi da je g različit od nulvektora za sve točke koje zadovoljavaju uvjet.

35 Primjer Za koju točku pravca x + y = 1 (u (x, y)-koordinatnoj ravnini) funkcija zadana s f (x, y) = e x2 y 2 postiže lokalni maksimumu? Imate li ideju kako riješiti ovaj zadatak?

36 Primjer Za koju točku pravca x + y = 1 (u (x, y)-koordinatnoj ravnini) funkcija zadana s f (x, y) = e x2 y 2 postiže lokalni maksimumu? Imate li ideju kako riješiti ovaj zadatak? Obzirom da je uvjet jednostavnog oblika, možemo iz njega izraziti jednu varijablu, uvrstiti ju u funkciju i tako svesti problem na odredivanje lokalnog ekstrema funkcije s jednom varijablom manje: y = 1 x f x (x) = e 2x2 +2x 1 f x(x) = e 2x2 +2x 1 (2 4x) = 0 x = 1/2 f x(x) > 0 za x < 1/2, f x(x) < 0 za x > 1/2 Dakle, uvjetni lokalni maksimum funkcije f uz uvjet x + y = 1 se postiže u (x, y) = (x, 1 x) = (1/2, 1 1/2) = (1/2, 1/2).

37 Metoda Lagrange-ovih multiplikatora Za svaki od uvjeta uvodi se po jedna nova varijabla, tzv. Lagrange-ov multiplikator λ. Zatim se formira nova funkcija koja ovisi o polaznim varijablama x, y,... i Lagrange-ovim multiplikatorima λ,... koja je oblika F (x, y,..., λ,...) = f (x, y,...) λg(x, y,...)..., tj. polaznoj funkciji f oduzeti su članovi oblika Lagrange-ov multiplikator puta lijeva strana odgovarajućeg uvjeta. Ta nova funkcija zove se Lagrange-ova funkcija. Primjer Za problem s kutijom maksimalnog volumena

38 Metoda Lagrange-ovih multiplikatora Za svaki od uvjeta uvodi se po jedna nova varijabla, tzv. Lagrange-ov multiplikator λ. Zatim se formira nova funkcija koja ovisi o polaznim varijablama x, y,... i Lagrange-ovim multiplikatorima λ,... koja je oblika F (x, y,..., λ,...) = f (x, y,...) λg(x, y,...)..., tj. polaznoj funkciji f oduzeti su članovi oblika Lagrange-ov multiplikator puta lijeva strana odgovarajućeg uvjeta. Ta nova funkcija zove se Lagrange-ova funkcija. Primjer Za problem s kutijom maksimalnog volumena F (x, y, z, λ) = xyz λ(2xy + 2yz + xz 64).

39 Ako polazna funkcija postiže tražene uvjetne ekstreme, njihove koordinate su uvijek dane stacionarnim točkama Lagrange-ove funkcije. Primijetimo da izjednačavanje njene derivacije po nekom Lagrangeovom multiplikatoru λ daju točno pripadni uvjet: 0 = F λ = g(x, y,...), što je ekvivalentno s g(x, y,...) = 0. I u praksi i u teoriji najkompliciraniji dio Lagrangeove metode je utvrdivanje koje od dobivenih stacionarnih točaka su točke minimuma ili maksimuma. U pravilu je to moguće utvrditi uvrštavanjem dobivenih koordinata stacionarnih točaka u polaznu funkciju i razmatranjem svojstava te funkcije. Vrijedi: ako postoji traženi uvjetni ekstrem, točka tog ekstrema je medu onima koje se dobiju odbacivanjem koordinata Lagrangeovih multiplikatora iz stacionarnih točaka Lagrangeove funkcije.

40 Primjer Nastavimo prethodni primjer: F x = yz + λ(2y + z) = 0, F y = xz + λ(2x + 2z) = 0, F F = xy + λ(x + 2y) = 0, = 2xy 2yz xz + 64 = 0. z λ Pomnožimo prvu od jednadžbi s x, drugu s y i treću sa z: xyz = λx(2y + z) = λy(2x + 2z) = λz(x + 2y). To može vrijediti za λ = 0, no to rješenje nas ne zanima (zašto?).

41 Primjer Nastavimo prethodni primjer: F x = yz + λ(2y + z) = 0, F y = xz + λ(2x + 2z) = 0, F F = xy + λ(x + 2y) = 0, = 2xy 2yz xz + 64 = 0. z λ Pomnožimo prvu od jednadžbi s x, drugu s y i treću sa z: xyz = λx(2y + z) = λy(2x + 2z) = λz(x + 2y). To može vrijediti za λ = 0, no to rješenje nas ne zanima (zašto?). Stoga mora biti 2xy + xz = 2xy + 2yz = xz + 2yz, ergo (jer x, y, z 0) x = z = 2y. To uvrstimo u četvrtu jednadžbu i dobivamo 12x 2 = 64 odnosno y = 4 3 cm i x = z = 8 3 cm. Zašto se radi o točki maksimuma?

42 Primjer Sekularne jednadžbe U fizici se često odreduju ekstremi tzv. kvadratnih formi, tj. funkcija tipa f (x 1,..., x n ) = i,j c ij x i x j, uz energetski uvjet tipa xi 2 = 1. i Jednadžbe koje odgovaraju odredivanju stacionarne točke odgovarajuće Lagrangeove funkcije tad se nazivaju sekularnim jednadžbama. Primjer su jednadžbe koje se dobivaju u tzv. Hückelovoj metodi za odredivanje molekulskih orbitala kao linearnih kombinacija atomskih (tu λ postaje svojstvena vrijednost prikladne matrice).

43 Primjer Molarna provodnost u pravilu se mjeri indirektno mjerenjem otpora, a njihova veza dana je s Λ m = K cell Rc, gdje je K cell konstanta konduktometrijske ćelije. U nekom mjerenju otpora niza vodenih otopina NaCl u ćeliji s K cell = 0,2 cm 1 dobiveni su sljedeći parovi podataka (c/(mol L 1 ), R/Ω): (5,0 10 4, 3314), (5,0 10 3, 342), (2,0 10 2, 89) i (5,0 10 2, 37). Želimo, primjerice, procijeniti molarnu provodnost pri koncentraciji od 1, mol/l. x i = 10 2 c/m y i Λ m /(S dm 2 /mol) 0, 05 1,207 0,5 1, , ,081

44

45 Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (x i, y i ), i = 1,..., n, traži se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greška aproksimacije što manja.

46 Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (x i, y i ), i = 1,..., n, traži se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greška aproksimacije što manja. Problem 2: Kako za danu funkciju y = f (x) opisati ukupnu grešku obzirom na zadane parove (x i, y i ), i = 1,..., n?

47 Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (x i, y i ), i = 1,..., n, traži se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greška aproksimacije što manja. Problem 2: Kako za danu funkciju y = f (x) opisati ukupnu grešku obzirom na zadane parove (x i, y i ), i = 1,..., n? e i = y i f (x i ); f (x i ) y i?

48 Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (x i, y i ), i = 1,..., n, traži se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greška aproksimacije što manja. Problem 2: Kako za danu funkciju y = f (x) opisati ukupnu grešku obzirom na zadane parove (x i, y i ), i = 1,..., n? e i = y i f (x i ); f (x i ) y i?e i = f (x i ) y i?

49 Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (x i, y i ), i = 1,..., n, traži se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greška aproksimacije što manja. Problem 2: Kako za danu funkciju y = f (x) opisati ukupnu grešku obzirom na zadane parove (x i, y i ), i = 1,..., n? e i = y i f (x i ); f (x i ) y i?e i = f (x i ) y i?e i = (f (x i ) y i ) 2. Ukupna greška aproksimacije: E = n E i = i=1 n (f (x i ) y i ) 2 min i=1

50 Problem 1: Za zadani niz parova brojeva (x i, y i ), i = 1,..., n, traži se funkcija y = f (x) takva da je ukupna greška aproksimacije što manja. Problem 2: Kako za danu funkciju y = f (x) opisati ukupnu grešku obzirom na zadane parove (x i, y i ), i = 1,..., n? e i = y i f (x i ); f (x i ) y i?e i = f (x i ) y i?e i = (f (x i ) y i ) 2. Ukupna greška aproksimacije: E = n E i = i=1 n (f (x i ) y i ) 2 min i=1 Problem 3: Ako smo pretpostavili oblik funkcije f, s nepoznatim parametrima a, b, c,..., kako minimizirati E?

51

52

53

54

55 f (x) = ax + b: E(a, b) = n (ax i + b y i ) 2 min i=1 f (x) = ax 2 + bx + c: E(a, b, c) = n (axi 2 i=1 + bx i + c y i ) 2 min

56 f (x) = ax + b: E(a, b) = n (ax i + b y i ) 2 min i=1 f (x) = ax 2 + bx + c: E(a, b, c) = n (axi 2 i=1 + bx i + c y i ) 2 min Funkcije E su diferencijabilne, dakle su jedine kritične točke stacionarne: E = 0.

57 MNK: Aproksimacija afinom funkcijom n E(a, b) = (ax i + b y i ) 2, i=1 E n a = 2 (ax i + b y i )x i = 2 i=1 E n b = 2 (ax i + b y i ) = 2 i=1 n n xi 2 a + 2 x i b 2 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 n x i y i = 0, n n x i a + 2nb 2 y i = 0.

58 MNK: Aproksimacija afinom funkcijom n E(a, b) = (ax i + b y i ) 2, i=1 E n a = 2 (ax i + b y i )x i = 2 i=1 E n b = 2 (ax i + b y i ) = 2 i=1 n s x 2 = xi 2 ; s x = i=1 n s xy = x i y i ; s y = n n xi 2 a + 2 x i b 2 i=1 i=1 i=1 i=1 i=1 n x i y i = 0, n n x i a + 2nb 2 y i = 0. n i=1 n i=1 i=1 x i y i

59 Imamo dakle sustav: s x 2 a + s x b = s xy Cramerovo pravilo daje: s x a + n b = s y a = ns xy s x s y ns x 2 s 2 x b = s x 2s y s x s xy ns x 2 s 2 x Nije preteško dokazati da je ova stacionarna točka (a, b) stvarno točka minimuma za E..

60 x i y i x 2 i x i y i s x = s y = s x 2 = s xy = a = ns xy s x s y ns x 2 s 2 x b = s x 2s y s x s xy ns x 2 s 2 x.

61 Primjer x i y i x 2 i x i y i 0,05 1,207 0,0025 0, ,5 1,170 0,25 0, , , , ,405 s x = 7,55 s y = 4,582 s x 2 = 29,2525 s xy = 8,29835 z = ns x 2 s 2 x = 4 29,2525 7,55 2 = 60,0075 a = ns xy s x s y z b = s x 2s y s x s xy z = 0, = 1,

62

63 Primjer Za polazni primjer odredimo Λ 0 m ako znamo da se ovisnost molarne provodnosti Λ m o koncentraciji c jakog elektrolita opisuje Kohlrauschovim zakonom gdje su Λ 0 m i K konstante. Λ m = Λ 0 m K c, x i = 10 c/m y i Λ m /(S dm 2 /mol) 0,2236 1,207 0,7071 1,170 1,4142 1,124 2,2361 1,081

64

65 Zadatak Arrheniusova jednadžba k = Ae Ea/(RT ) opisuje temperaturnu ovisnost koeficijenta k brzine reakcije. Vrijednosti A i E a (i naravno R = 8,3145 J/(K mol)) su konstantne. Mjerenjima tokom raspada CH 3 CO dobiveni su sljedeći parovi podataka (T /K, k/(l/(mol s)): (700, 0,0110), (760, 0,105), (810, 0,789) i (910, 20,0). Arrheniusovu zakon brzine interpretirajte kao jednadžbu pravca y = ax + b. Zatim metodom najmanjih kvadrata izračunajte koeficijente a i b. Koliko iznosi energija aktivacije E a?