ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ. ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΕΩΝ. ( Παλινδρόµηση στον Πληθυσµό και Παλινδρόµηση στο είγµα).

Transcript

1 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ. ΑΛΛΗΛΕΞΑΡΤΗΣΕΩΝ. ( Παλινδρόµηση στον Πληθυσµό και Παλινδρόµηση στο είγµα). Στην Στατιστική Εξειδίκευση ένα Σχήµα Αλληλεξάρτησης εξειδικεύεται στον Πληθυσµό και το είγµα. Καθορίζεται επίσης και η έννοια του ιαταρακτικού Όρου.

2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΣΧΗΜΑΤΟΣ. Όπως γίνεται στις Στατιστικές Αναλύσεις, έτσι και στην Οικονοµετρική Μεθοδολογία δεν µπορούµε να ξεφύγουµε από τις έννοιες του Πληθυσµού και του είγµατος. Σχεδόν ποτέ δεν έχουµε στην διάθεση µας στοιχεία για το πληθυσµό που ενδιαφερόµεθα να αναλύσουµε και σχεδόν τις περισσότερες φορές καταφεύγουµε στην αξιοποίηση ενός είγµατος. Το ενδιαφέρον µας επικεντρώνεται στην µελέτη της συµπεριφοράς µιας σειράς οικονοµικών µεταβλητών (σχήµατα αλληλεξαρτήσεων) στον Πληθυσµό. Λαµβάνουµε ένα δείγµα από τον Πληθυσµό, το οποίο το αξιοποιούµε για να µελετήσουµε τις αλληλεπιδράσεις µεταξύ των οικονοµικών µεγεθών, και στο τέλος να αποτυπώσουµε 1 αυτά τα αποτελέσµατα στο Πληθυσµό. Όλη αυτή η διαδικασία µπορεί να περιγραφεί ως η Στατική Εξειδίκευση ενός σχήµατος αλληλεξαρτήσεων. Ο ΠΛΗΘΥΣΜΟΣ. Έστω ένας Πληθυσµός Π (Σχεδιάγραµµα 6.1), και έστω ότι θέλουµε να µελετήσουµε τις επιδράσεις των µεταβλητών x 2 t και x 3 t στην διαµόρφωση των τιµών της x 1 t. Σχεδιαγραµµα 6.1, Πληθυσµός Π. Θέλουµε δηλαδή να υπολογίσουµε αριθµητικά τις τιµές των παραµέτρων β12 και β 13, µε βάση την γενική συναρτησιακή σχέση: ( x, x ; β β ) x = (6.1) 1 f , 13 = 1,2,...N Για την καλύτερη παρουσίαση των εννοιών θα υποθέσουµε ότι έχουµε στοιχεία µόνο για τις µεταβλητές x 1 και x 2. Υποθέτουµε δηλαδή ότι δεν υπάρχουν διαθέσιµα στοιχεία για την µεταβλητή x 3. x 1 = f ( x2 ;β12 ) (6.2) = 1,2,...N 1 Να αναγάγουµε τα συµπεράσµατα µα από το δείγµα στον Πληθυσµό.

3 Στον Πληθυσµό το πιο πιθανό είναι για κάθε τιµή της x 2 t να υπάρχει µία πληθώρα τιµών για την µεταβλητή x 1 t. ηλαδή σε κάθε τιµή της x 2 t θα αντιστοιχεί µία πληθώρα τιµών για την µεταβλητή x 1 t. Φαντασθείτε ότι η µεταβλητή x 1 t είναι η κατανάλωση ενός προϊόντος Α και x 2 t είναι η τιµή του προϊόντος. Για µία συγκεκριµένη τιµή του προϊόντος ( x 2 t ) θα υπάρχουν αν όχι χιλιάδες τουλάχιστον εκατοντάδες διαφορετικοί καταναλωτές που θα αγοράζουν διαφορετικές ποσότητες αυτού του προϊόντος ( x 1 t ). Θα περιµένουµε δηλαδή για διαφορετικές τιµές του προϊόντος x 2 t να έχουµε διαφορετικές κατανοµές δαπανών x 1 t. Στο Σχεδιάγραµµα 6.2 παρουσιάζουµε (υποθετικά) µία σειρά από πιθανές κατανοµές δαπανών x 1 t που αντιστοιχούν σε διαφορετικές τιµές του προϊόντος x 2 t, ενώ στο αντίστοιχο Σχεδιάγραµµα 6.3 δίδουµε µια διαφορετική παρουσίαση του Σχεδιαγράµµατος 6.2 Σχεδιάγραµµα 6.2. Γραφική Παρουσίαση των απανών σχέση µε διαφορετικά επίπεδα της τιµής του. x 2 x 1 ενός προϊόντος σε

4 Σχεδιάγραµµα 6.3. Γραφική Παρουσίαση των απανών σχέση µε διαφορετικά επίπεδα της τιµής x 2 t του. x 1 t ενός προϊόντος σε Επειδή σε κάθε τιµή του κατανοµή τιµών, θα αντιστοιχίσουµε σε κάθε τιµή της ανάλογης κατανοµής. ηλαδή θα εξειδικεύσουµε την (6.2) ως εξής: x 2 δεν αντιστοιχεί µια µοναδική τιµή της x 1, αλλά µια ( x ) 1 /...) f 2 ; 12 x 1 την µέση τιµή της E ( x = β (6.3) = 1,2,...N µε E ( x 1 /...) να παριστά την δεσµευµένη µέση τιµή της x 1 δεδοµένων των τιµών της x 2 Η σχέση (6.3) ονοµάζεται Γραµµή Παλινδρόµησης στον Πληθυσµό. Γραµµική Παλινδρόµηση στον Πληθυσµό. Μπορούµε να προσεγγίσουµε την γενική συναρτησιακή µορφή της (6.3), αξιποιόντας να γραµµικό σχήµα αλληλεξάρτησης. Η µαθηµατική της εξειδίκευση εφ όσον υποθέσουµε γραµµικότητα, προσθετικότητα και οµοιογένεια θα µπορούσε να είναι η εξής ( x1 / x2 ) a + β12x E 2 ή = 6.4)

5 x 1 = a + β 12x2 + ε (6.5) όπου ε είναι ένας διαταρακτικός όρος, η δικαιολόγηση της ύπαρξης του οποίου θα µπορούσε να αποδοθεί στους εξής επιπλέον λόγους: Παράλειψη σηµαντικών ερµηνευτικών µεταβλητών, κυρίως λόγου µη ύπαρξης των απαραιτήτων στοιχείων η µη σωστής εξειδίκευσης του σχήµατος αλληλεξάρτησης. Σφάλµατα µέτρησης σε πολλές από της µεταβλητές που συµµετέχουν στην εξειδίκευση. Η πολυπλοκότητα της συµπεριφοράς των οικονοµικών µονάδων. Θα ήταν πολύ απλοϊκό να δεχθούµε ότι η πολυπλοκότητα της ανθρώπινης συµπεριφοράς µπορεί να σχηµατοποιηθεί απόλυτα µ ένα σχήµα αλληλεξαρτήσεων που παρουσιάσαµε τα προηγούµενα µέρη. Μπορεί απλώς να προσεγγισθεί. Η κάθε προσέγγιση εµπεριέχει και κάποιο λάθος προσέγγιση που δεν µπορούµε να το απαλείψουµε. Όλοι οι παραπάνω λόγοι µας οδηγούν στην δηµιουργία µιας επιπλέον (ερµηνευτικής) µεταβλητής, που συνήθως ονοµάζεται διαταρακτικός όρος και στην σχέση (6.5) συµβολίζεται µε ε. Η (6.4) ή η (6.5) ονοµάζονται Γραµµικές Παλινδροµήσεις στον Πληθυσµό.

6 Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΙΑΤΑΡΑΚΤΙΚΟΥ ΟΡΟΥ. Για να έχει όµως νόηµα η εισαγωγή του διαταρακτικού όρου σε κάθε εξειδίκευση, θα πρέπει να πληροί µία σειρά από προϋποθέσεις (υποθέσεις). Η βασικότερη από αυτές είναι ότι κατά µέσο όρο οι τιµές του διαταρακτικού όρου ε, είναι µηδέν. ( ) = 0 E ε (6.6) θα πρέπει δηλαδή οι τιµές του διαταρακτικού όρου ε να κινούνται γύρω από το µηδέν(σχεδιάγραµµα 6.3). Θα πρέπει γενικότερα οι τιµές του διαταρακτικού όρου να είναι τέτοιες που να µην ενσωµατώνουν συστηµατικές συµπεριφορές. Αν συµβαίνει το αντίθετο, δηλαδή να υπάρχουν στην επιπλέον µεταβλητή ε συστηµατικές συµπεριφορές τότε ( ) 0 δύσκολων προβληµάτων. E ε και θα οδηγηθούµε στην επίλυση Σχεδιάγραµµα 6.3. Γραφική Παρουσίαση της τυπικής µορφής ενός διαταρακτικού όρου ε (=1,2,3,.,10000)

7 ΤΟ ΕΙΓΜΑ. Επειδή συνήθως είναι αδύνατο να αξιοποιήσουµε όλο τον πληθυσµό συνήθως λαµβάνουµε ένα δείγµα. Εφόσον το δείγµα αυτό είναι αντιπροσωπευτικό, έχουµε στην διάθεση µας στοιχεία µόνο για τις µεταβλητές x 1 και x 2. (Ο ιαταρακτικός όρος ε είναι µη υπαρκτή αριθµητικά µεταβλητή). Εφαρµόζοντας κάποια µέθοδο εκτίµησης 2 των παραµέτρων α και β, λαµβάνουµε αριθµητικές τιµές (εκτιµήσεις) για αυτές τις παραµέτρους. Συνήθως αυτές τις εκτιµήσεις τις συµβολίζουµε ως εξής: ί aˆ εκτ µηση a ˆ εκτ µηση β ί β Έχοντας τις εκτιµήσεις αˆ και βˆ τις εφαρµόζουµε στην σχέση (6.5) για να λάβουµε την παλινδρόµηση στο είγµα. x1 a + x 2 = β (6.6) όπου x1 είναι οι θεωρητικές τιµές της µεταβλητής x1 Από την (6.5) µπορούµε να υπολογίσουµε τις εκτιµήσεις του διαταρακτικού όρου ως εξής: ε = x a βx = x t 1 x 1 2 (6.7) Εκτιµήσεις ιαταρακτικού Ορου. Έχοντας τις εκτιµήσεις του διαταρακτικού όρου την παλινδρόµηση στο είγµα και ως εξής: 1 a + βx2 + x = ε (6.8) ε, µπορούµε να προσδιορίσουµε 2 Στα επόµενα κεφάλαια θα αναπτύξουµε αυτές τις µεθόδους εκτίµησης.

8 Η γραµµή παλινδρόµησης στο δείγµα (6.7) είναι συνήθως διαφορετική από την παλινδρόµηση στον Πληθυσµό. Η γραφική τους σύγκριση γίνεται στο σχεδιάγραµµα 6.4. Σχεδιάγραµµα (6.4). Γραφική παρουσία της γραµµικής παλινδρόµησης στο Πληθυσµό και της γραµµικής παλινδρόµησης στο είγµα.

9

10