ELEKTROTEHNIČKI FAKULTET BEOGRAD računske vežbe iz Fizike 2 prolećni semestar godine MEHANIKA FLUIDA: STATIKA

Transcript

1 ELEKTOTEHNIČKI FAKULTET BEOGAD ačunske vežbe iz Fizike olećni semesta 1. odine MEHANIKA FLUIDA: STATIKA Sustanca u iodi nomalno se nalazi u jednom od ti aeatna stanja: čvstom (kolekcija čestica koje i dejstvu soljašnjih oemećaja zadžavaju svoj oblik i zaeminu), tečnom (kolekcija čestica koja zadžava svoju zaeminu, ali oblik fomia ema osudi u kojoj se nalazi) ili asovitom (kolekcija čestica koja i oblik i zaeminu ilaođava osudi u kojoj se nalazi). Međutim, ostoji veliki boj sustanci koje u zavisnosti od itiska i temeatue mou menjati aeatno stanje. Genealno ledano, veme otebno da sustanca omeni oblik i dejstvu soljašnje sile odeđuje da li se data sustanca tetia kao tečnost, as ili čvsto telo. Fluid je kolekcija slučajno asoeđenih molekula koje na okuu dži slaba koheziona sila i zidovi suda u kom se nalazi. I tečnosti i asovi sadaju u fluide. Gustina je osobina mateije koja oisuje na koji način je sakovana mateija, tj. na koji način su ovezani atomi i samim tim koju zaeminu zauzima odeđena masa mateije: ρ m / V [k/m 3 ], de je sa m označena masa, a sa V zaemina mateije čija ustina se odeđuje. U fluidima ne ostoji naon smicanja, a je u statičkom slučaju sila kojom fluid deluje na edmet uvek nomalna na ovšinu edmeta: df ds 1. Hidostatički itisak. Izačunati asolutni itisak na dnu okeana dubine h 1 m. Gustina moske vode je ρ 14 k/m 3 a vazdušni itisak na nultoj nadmoskoj visini iznosi 11,3 kpa. Ako se odmonica susti na ovu dubinu, kolikom silom je otebno delovati na unutašnju ovšinu malo kužno ozoa, ečnika d 3 cm, da bi se izbalansiao soljašnji itisak koji stvaa voda? Hidostatički itisak je osledica dejstva avitacione sile. Hidostatički itisak na dubini h u vodi, osledica je težine vodeno stuba koji se nalazi iznad osmatano nivoa: F m ρv ρ Sh ρ h S S S S de je sa S obeležena ovšina oečno eseka vodeno stuba. Međutim, na slobodnu ovšinu tečnosti deluje itisak koji je osledica težine vazdušno stuba koji se nalazi iznad ovšine vode. Pitisak koji je osledica isustva atmosfee se uobičajeno naziva atmosfeski itisak i označava sa : + ρ h, de je vednost atmosfesko itiska smatana za oznatu, a u oštem slučaju se odeđuje na isti način kao itisak vodeno stuba, za oznatu sednju ustinu atmosfee i debljinu vazdušno omotača. Hidostatički itisak u svakoj tački fluida u stanju miovanja, na konstantnom hoizontalnom nivou, tj. na konstantnoj dubini, je konstantan, bez obzia na oblik osude u kojoj se fluid nalazi. Zidovi osude u kojoj se fluid nalazi deluju na fluid silom koja je o intenzitetu jednaka sili kojom fluid deluje na taj zid (zakon akcije i eakcije). Pitisak na dubini h iznosi: + ρ h 1,15 MPa -1-1 Jasna Cnjanski

2 Pod etostavkom da je ozo na odmonici mali, hidostatički itisak na njeovu ovšinu je konstantan (kao da se ceo ozo nalazi na istoj dubini), a je sila na ovšinu oečno eseka: 1 d π F S 4,7 MN Da bi se izbalansiao soljašnji itisak koji voda stvaa na ozo, otebno je sa unutašnje stane delovati silom koja je o intenzitetu jednaka sili F 1, i usmeena od ozoa ka vodi.. Pascal-ov inci hidaulična dizalica. Hidaulična dizalica ikazana na slici ima manji kli kužno oečno eseka oluečnika 1 5 cm, i veći kli oluečnika 15 cm. Kojom silom je otebno delovati na manji kli da bi se odiao automobil težine 13,3 KN? Pascal-ov zakon: Stacionano ovećanje itiska u jednoj tački fluida dovodi do ovećanja itiska u duoj tački, ukoliko je fluid neekidan između te dve tačke. Pitisak deluje u svim avcima, a na ovš zidova uvek deluje od avim ulom. Pomena itiska u tečnosti isod manje klia (1) od dejstvom sile F 1 enosi se eko fluida (etostavka je da je u itanju nestišljiv fluid, najčešće ulje) na veći kli (). F F 1 1 Δ 1 Δ F 1 F A1 A A de su A 1 i A ovšine oečno eseka manje i veće klia, esektivno, a F sila kojom fluid deluje na veći kli. Sila F teba da bude uavo tolika da omoući odizanje automobila težine Q 13,3 KN, a je F 1 : 1 π 1 1 F Q π F 1,48 KN A -- 1 Jasna Cnjanski

3 3. [zadatak 315]. Dovoljno duačka cev omenjivo oečno eseka zatvoena je omoću dva klia zanemaljivih masa koji unuta cevi mou da se keću bez tenja, kao na slici. Povšine kliova su S 1 cm i S 4 cm, a između njih se nalazi voda ustine ρ 1 3 k/m 3. Kliovi su međusobno ovezani ouom čija je konstanta kutosti k. Sa due stane kliova u cevi je vazduh na atmosfeskom itisku. U hoizontalnom oložaju oua je nenaenuta i ima dužinu d. U kojim anicama može da se keće vednost kutosti oue tako da se veći kli ne omei za više od d/3 ako se ovakva cev ostavi vetikalno? Kada se cev okene u vetikalni oložaj, kliovi će omeniti oložaj tako da se usostavi njihova avnoteža, odnosno da suma svih sila koje deluju na kli bude jednaka nuli. S 1 : S + kδx S i S : S kδx S de su 1 i itisak kojim voda deluje na veći i manji kli, esektivno, a Δx istezanje oue u vetikalnom oložaju. Kada se cev nalazi u vetikalnom oložaju, itisak se može izaziti eko itiska 1, i hidostatičko itiska koji stvaa vodeni stub iznad nivoa za koji je definisan : 1 + ρ ( d + Δx) ešavanjem ethodne ti jednačine o Δx dobija se: ρd Δx S1 S k S S 1 ρ Kli S 1 se omeio za x 1 i itom istisnuo zaeminu S 1 x 1, što je dovelo do omeanja klia S za astojanje x, a važi: Δ x x x 1, 1 S 1x1 Sx x x1 S Δx d /( S1 / S 1) x1 S1 / S 1 k( S1 S) /( ρs1s ) 1 Taži se ose vednosti za konstantu kutosti za koji se veći kli omei maksimalno za d/3: za k : x 1 S1 / S + za x 1 / d 1/ 3, dobija se kmin S1ρ 8,75 N/m ( S / S 1) 1 S -3-1 Jasna Cnjanski

4 4. Gavitaciona bana [zz 316]. Betonske bane se onekad ave kao takozvane avitacione bane. Dno bane se ne ukoava neo se betonski blok oloži na avno dno, a voda deluje bočno na njea. Gustina betona i vode je ρ b,5 /cm 3 i ρ v 1 /cm 3, esektivno. a) etostavljajući da je bana oblika avoulo aaleleieda i da voda ne odie isod bane, odediti minimalni količnik šiine i visine bane (b/h) min tako da ne dođe do evtanja oko donje ivice, kada je nivo vode maksimalan. Koliki je i tome minimalni koeficijent tenja između dna bane i odloe neohodan da seči njeno klizanje (silu tenja na bočnim vetikalnim stanama zanemaiti)? 1. Šta je maksimalan nivo vode?. Zašto može da dođe do evtanja bane, i oko koje tačke? 3. Šta moa da važi da se bana ne bi evnula? Elementana sila df(z) deluje na elementanu bočnu ovšinu ds w dz : df( z) ( z) ds ρ v( h z) w dz Elementani moment, tj. moment elementane sile za tačku O: dm ( z) ( z) df( z) de je (z) kak elementane sile. dm z) z ρ ( h z) w dz ( e ) ( v y Ukuan moment koji je osledica hidostatičko itiska vode na bočni zid bane, dobija se inteacijom: M h h 1 dm ( z) ρ vwh 6 z 3 ( e y ) Da ne bi došlo do evtanja bane (otacije oko tačke O), moment sile usled hidostatičko itiska moa biti manji (i u aničnom slučaju jednak) momentu sile težine bane: M Q M + h d 1 m sin( π α) + ρ wh 3 v Jasna Cnjanski

5 de je d dijaonala fontalne ovšine bane, a α uao koji dijaonala zaklaa sa visinom bane. Za minimalni odnos šiine i visine bane iz ethodne elacije se dobija: ( b / h) min ρv 3ρ b Minimalni koeficijent tenja oteban da seči klizanje dobija se iz uslova da suma svih sila koje deluju na banu moa biti jednaka nuli: F x T F H F y N Q de je F H sila usled hidostatičko itiska vode na bočnu ovšinu bane. Ova sila dobija se inteacijom (sabianjem) svih elementanih sila df(z): a je iz uslova: F H z h h df( z) ρ v( h z) w dz ρvw z h T μn μ T N F Q H min 3ρv 4ρ b b) Petostavimo da usled ooznosti mateijala odloe, voda odie isod bane tako da se naditisak vode na dnu isod bane lineano menja od maksimalne vednosti (sa desne stane) do vednosti nula (sa leve stane bane). Koliki je u tom slučaju minimalni količnik visine i šiine bane? Sada je otebno onoviti ostuak dat u tački od a) uz dodatak još jedne sile koja je osledica odlivanja vode isod bane, F V : df V ( x) ( x) ds ( x) wdx de je (x) lineana zavisnost definisana vednostima (x ) i (x b) max ρ v h, a je: h ( x) ρv x b Na ethodno oisani način, moment usled ove vetikalne sile odlivanja iznosi: ρv M hb w V 3 a je minimalni odnos šiine i visine bane, sada: b / h) ( min a minimalni koeficijent tenja μ min,586. ρv 3ρ ρ b v -5-1 Jasna Cnjanski

6 -6-1 Jasna Cnjanski

7 Zadaci za vežbanje: 5. Meenje itiska. Na slici (a) ikazan je manometa u obliku U cevi. Cev je isunjena živom, ustine k/m 3. Jedan kaj U cevi je otvoen, a na dui kaj se vezuje zatvoen sistem sa asom od neoznatim itiskom P koji teba odediti. azlika nivoa žive u kacima U cevi iznosi h cm. Na slici (b) ikazan je živin baometa koji se može koistiti za odeđivanje atmosfesko itiska. Ako je visina živino stuba u baometu h 1,76 m a ubzanje Zemljine teže 9,8665 m/s, odediti vednost atmosfesko itiska koji deluje na slobodnu ovšinu žive u baometu, a zatim na osnovu dobijene vednosti za atmosfeski itisak odediti neoznati itisak od kojim se nalazi as u manometu ikazanom na slici (a). Zašto se u ovakvim sistemi za meenje itiska koisti živa, a ne voda? Slika uz zadatak 5 Slika uz zadatak 6 6. Konstanta kutosti oue u cilindu sa kliom ikazanom na slici 1 N/m, a ečnik cilinda je cm. Odediti dubinu na koju je otebno otoiti ovaj cilinda u vodu ustine 1 k/m 3 da bi se kli omeio za,5 cm. 7. Otvoena U cev koja se nalazi u vazduhu delimično je isunjena živom, ustine ρ H k/m 3. Kada se u obe ane U cevi dolije voda, ustine ρ v 1 k/m 3 nakon usostavljanja avnoteže, kao na slici, visina h iznosi h 1 cm. Odediti visinu h Cilindična vetikalna cev omenjivo oečno eseka je zatvoena omoću dva klia zanemaljivih masa koji unuta cevi mou da se keću bez tenja, kao na slici. Povšine kliova su S 1 i S, a između njih se nalazi voda ustine ρ. Kliovi su međusobno ovezani kanaom dužine L zanemaljive mase. Odediti intenzitet sile zatezanja u kanau. Slika uz zadatak 7 Slika uz zadatak 8 Slika uz zadatak 1 9. Pavouaoni bazen ima dužinu 3 m i šiinu 1 m. Ako se bazen isuni vodom ustine 1 k/m 3 do visine od m, odediti silu kojom voda deluje na dno bazena, i na svaku od bočnih stanica. 1. ezevoa ikazan na slici isunjen je vodom do visine od m. Na dnu jedne bočne stanice nalaze se avouaona vatanca visine 1 m i šiine m duž cele stanice ezevoaa. a) Odediti silu kojom voda deluje na vatanca. b) Odediti moment sile koji deluje na šake. c) Odediti naadnu tačku ezultujuće sile na vatanca Jasna Cnjanski

8 11. Pitisak u stišljivom fluidu. Voda se obično smata nestišljivim fluidom (ρ const). Međutim njena ustina se iak malo ovećava sa ovećanjem itiska. O tome ovoe odaci iz meenja dubine i itiska i istaživanjima velikih dubina u mou. Batiskaf Tieste koji se u januau 196. odine sustio na dno Maijanske bazde u Pacifiku, izmeio je itisak 115 b na dubini h 1919 m. a) ako je ustina moske vode na ovšini ρ 141 k/m 3, izačunati za koliko ocenata se oveća itisak usled ovećanja ustine vode u odnosu na slučaj kada se ustina smata konstantnom (odnosno voda smata nestišljivim fluidom). Pitisak na ovšini vode je 1 b, a ubzanje zemljine teže 9,81 m/s. Ako ustinu moske vode smatamo konstantnom: ρ(h) ρ 141 k/m 3. Pitisak ' na dubini h tada je dat izazom: ' + ρh 1116 b de je itisak izažen u baima: 1 b (1 ba) 1 5 Pa. elativna omena itiska u odnosu na vednost dobijenu meenjem iznosi: ' δ,95% b) Ako etostavimo da je ovećanje ustine sa dubinom lineano, odediti zavisnost itiska od dubine ema datim odacima. Kolika je ustina moske vode na dnu Maijanske bazde? Ako se etostavi da ustina aste lineano sa dubinom h: ρ ρ( 1+ α h) ρ(1 α z) odnosno oada sa z, ako je z osa usmeena vetikalno na oe, a je z h, difeencijalna jednačina itiska u statičkom fluidu je data izazom: ad ρ f de je f df / dm u oštem slučaju oizvoljna zaeminska sila, a u konketnom slučaju sila Zemljine teže ( f ez ). Jednodimenzionalni slučaj, kada se itisak menja samo jednom avcu, u konketnom slučaju sa z, daje: d ρ d ρ (1 αz) dz dz Inteacijom ethodno izaza za anice inteacije definisane dubinom z h i ovšinom vode z, dobija se: h (1 αz) z d ρ dz + ρ h(1 + α / ) h Izjednačavanjem izaza za itisak iz ethodne elacije sa vednošću ekseimentalno meeno itiska na dnu Maijanske bazde ( 115 b), dobija se koeficijent α 5,6 1-6 m -1. Konačno, ustina vode na dubini h 1919 m iznosi: 3 ρ ρ( 1+ α h) 115 k/m -8-1 Jasna Cnjanski

9 1. Baometaska fomula. Izačunati itisak u standadnoj atmosfei kod koje temeatua lineano oada sa visinom sa koeficijentom α 6,5 K/km. Na ovšini Zemlje, ustina vazduha je ρ 1,3 k/m 3, temeatua T 88 K, itisak i avitaciono ubzanje su 1,1 b i 9,81 m/s, esektivno. Uoediti dobijeni ezultat sa ezultatom koji daje baometaska fomula za izotemnu atmosfeu. Iz difeencijalne jednačine itiska za statički fluid avitacionom olju, dobija se: d ρ dz ad ρ f u Ukoliko se atmosfea smata izotemnom, iz jednačina stanja asa može se izaziti neoznata ustina: ρt M ρ ρ ρ ρ što nakon zamene u difeencijalnu jednačinu itiska i inteacije, daje: d ρ d ρ dz dz baometasku fomulu za izotemnu atmosfeu: ( z ) ex ρ z Međutim, u situaciji u kojoj se temeatua menja, ostuak je nešto komlikovaniji. Iz jednačine stanja asa na visini z: ρt( z) M i jednačine stanja asa na ovšini Zemlje: ρt M dobija se zavisnost ustine od koodinate z: z z ρt ρt ρ( z). T ( z) T + αz Difeencijalna jednačina itiska sada daje: d ρ T ρ dz što nakon inteacije: T + αz d daje zavisnost itiska od visine: ρt z d z T + ρ T dz αz ρt ( ) α α 1 z z + T dz T + αz Za zainteesovane: U nekom oamskom jeziku (C ili Pascal), ili oamskom aketu (MatLab ili Mathematica), na osnovu bojnih vednosti aametaa datih u ovom zadatku, na istom afiku ikazati zavisnost itiska od ustine za izotemnu atmosfeu i atmosfeu kod koje temeatua lineano oada sa visinom. Odediti na kojoj visini od ovšine Zemlje, zanemaivanje omene temeatue atmosfee unosi ešku od 1% Jasna Cnjanski

10 13. Ahimedov zakon [zz 31]. U čaši sa vodom, liva komad leda. Šta će se desiti sa nivoom vode kad se led istoi? Ahimed-ov zakon: Na telo otuno otoljeno u fluid, sila kojom fluid deluje na telo o intenzitetu je jednaka težini tečnosti koju telo istiskuje, a ima sme suotan smeu sile težine. Altenativna fomulacija: Sila otiska je jednaka težini telom istisnute tečnosti. Naadna tačka sile otiska nalazi se u centu mase fluida koji telo istiskuje. Sila otiska se javlja kao osledica azličitih hidostatičkih itisaka koji deluju na onju i donju ovšinu otuno ili delimično otoljenih tela, i edstavlja ezultantnu silu kojom fluid deluje na telo (otuno ili delimično) otoljeno u njea. F ρ V de je ρ f ustina fluida, a V zaemina otoljeno dela tela. f Led je manje ustine od vode, a liva delimično otoljen, tako da je isunjena jednakost sile otiska vode i težine ledene kockice: Q ml ρ v Vx ml ρvvx l F de je sa V x označena zaemina otoljeno dela kocke leda (isod ovšine vode). Toljenjem se masa leda m l ustine ρ l etvaa u vodu ustine ρ v, a kako se tokom ovo ocesa masa ne može omeniti: m ρ V ρ V l m v de je V zaemina koju zauzima voda nastala toljenjem kockice leda. Iz ethodne elacije jasno je da: V x V odnosno, tačno onu zaeminu koju je zauzimao deo leda isod vode sada zauzima sva voda koja je nastala toljenjem leda nivo vode se neće omeniti nakon što se led otoi. v x v Za vežbu uaditi: ako se u času viskija ustine 915 k/m 3 stavi kocka leda ustine 9 k/m 3 šta će se desiti sa nivoom tečnosti nakon što se led otoi? -1-1 Jasna Cnjanski

11 14. [zz 33]. Na hoizontalnoj odlozi nalazi se osuda mase M u koju je nasuta masa vode m v. Kamen mase m k i ustine ρ k vezan je koncem za lafon iznad osude i otuno otoljen u vodu. Izačunati silu kojom osuda deluje na odlou. Pazna osuda deluje na odlou silom: F 1 M Ako se u osudu nalije voda mase m v sila kojom voda i osuda deluju na odlou je : F M + mv ( M + mv ) Ako se vodu ubaci kamen okačen na nit, ema tećem Newton-ovom zakonu, kamen deluje na vodu onolikom silom kolikom voda deluje kamen. Voda deluje na kamen silom otiska F mk ρ vvk ρv m ρ a je ukuna sila kojom osuda deluje na odlou: F ( M + m ) + m v k k ρ ρ v k k ρ ρ v k 15. [zz 36]. Bod se nalazi u bodskoj evodnici kada se sa boda izbaci sido. Da li će se i kako omeniti nivo vode u evodnici? Bod i sido na njemu istiskuju zaeminu V 1 : ( m + m ) ρ V b s v 1 Bod i sido u vodi istiskuju zaeminu V : V V b + V s v m b ms V1 ρ + ρ mb ms ρ + ρ s v v Kako je ρ s mnoo veće od ρ v, V 1 > V, a će se nivo vode sustiti Jasna Cnjanski

12 16. Stabilna avnoteža [zz 35]. Tanka homoena eda konstantno oečno eseka, dužine L 1 m i ustine ρ 85 k/m 3, oslonjena je na oštu ivicu eke tako da je četvtina dužine ede iznad obale, a deo duo kaja otoljen u vodu. Visina obale iznad vode je h L/5. Koji deo dužine ede je od vodom? Koliki bi tebalo da je minimalni koeficijent tenja između obale i ede a da eda ostane u stabilnoj oziciji? Gustina vode u eci je ρ v 1 k/m Jasna Cnjanski

13 17. Potisak u neinecijalnom sistemu [zz 34]. U osudi sa vodom nalazi se komad lute koji je koncem vezan za dno. Sila zatezanja u koncu je T. Ako se osuda keće vetikalno naviše sa ubzanjem intenziteta a, odediti silu zatezanja T ' u koncu. Ako je osuda u stanju miovanja (a ), avnoteža sila je data uslovom: F m + T T ρ V m ( ρv m) Ako se osuda keće sa konstantnim ubzanjem, oblem se može ešavati u neinecijalnom efeentnom sistemu vezanom za osudu, a je u model otebno dodati inecijalnu silu F in (isto avca a suotno smea od vektoa ubzanja neinecijalno sistema, intenzitet jednak oizvodu mase tela koja se nalazi u neinecijalnom sistemu i ubzanja neinecijalno sistema). Uticaj neinecijalne sile na fluid se može saledati na osnovu difeencijalne jednačine statičko fluida: ad ρ de je f ezultantna zaeminska sila koja za fluid u neinecijalnom sistemu takođe moa uzeti u obzi inecijalnu silu: f + f f a ( + a) in e z Iz ethodne elacije može se zaključiti da je efekat dejstva inecijalne sile na fluid ekvivalentan situaciji u kojoj osmatamo osudu koja miuje u nekom novom avitacionom olju: a je nova sila otiska: ' + a 3 F ' ρv' Jednačina avnoteže sila na telo od lute sada ostaje: F ' m + T ' + Fin m + ma + T ' m( + a) + T ' de je F in inecijalna sila koja deluje na telo od lute. Iz ethodne jednačine konačno se za novu silu zatezanja dobija: T ' F' m' ( ρ V m) ' 3( ρv m) 3T Jasna Cnjanski

14 18. Baloni sa tolim vazduhom [zz 31]. Sfeni neasteljivi balon, ukune mase m 3 k i ečnika D m ušten je u atmosfeu. Odediti visinu do koje će se oeti balon ako temeatua atmosfee oada lineano sa visinom z o zakonu: T(z) T λz, de je λ,648 K/m. Gustina atmosfee na mestu odakle je ušten balon je ρ 1, k/m 3, temeatua t 15 C, a itisak 11 KPa Jasna Cnjanski

15 19. Stacionani oblik slobodne ovšine tečnosti [zz 38]. Naći stacionani oblik z f (x, y) slobodne ovšine teške tečnosti koja se nalazi u cilindičnom sudu, ako sud otia oko svoje centalne ose (vetikalno ostavljene) konstantnom uaonom bzinom ω. Intenzitet avitaciono olja je. Slobodna ovšina tečnosti u stacionanom fluidu se fomia tako da je ezultantna sila na svaki delić fluida uz ovšinu uavna na tanentnu ovšine tečnosti u osmatanoj tački (ukoliko bi ostojala tanencijalna komonenta ezultante sile, delić bi se ketao, a ne bi bio isunjen uslov stacionanosti). Poed toa, na svaku tačku slobodne ovšine tečnosti deluje atmosfeski itisak, a je slobodna ovšina tečnosti zaavo ovšina konstantno itiska (d ). Posuda otia konstantnom uaonom bzinom, a je koodinatni sistem vezan za osudu neinecijalan (ostoji nomalna komonenta ubzanja). Na svaki delić fluida deluju avitaciona sila (dm ) i inecijalna centifualna sila (df cf ω dm). I način: ezultantna sila nomalna na tanentu na slobodnoj ovšini: a se inteacijom dobija: dz d df cf ω tanθ dm z z C ω dz d ω z ( ) + C de je sa C označen oložaj minimuma slobodne ovšine tečnosti u stacionanom stanju, koji je otebno odediti da bi ethodna elacija bila u otunosti definisana Jasna Cnjanski

16 II način: Slobodna ovšina tečnosti je ovš konstantno itiska. Euleova jednačina u isustvu avitacione i centifualne sile data je sa: ad ρ f ρ( e + ω ) z e Gadijent funkcije u cilindičnom koodinatnom sistemu dat je sa: ad a se iz ethodne dve elacije dobija: 1 ϕ z e + eϕ + e z e : ρ ω, ϕ : e ϕ, e z : ρ z Povš konstantno itiska ( a ) definisana je uslovom: 1 d d + dϕ + dz ϕ z odakle se konačno dobija ista difeencijalna jednačina kao u ethodnom slučaju: ω ρω d ρdz z ( ) + C Odeđivanje inteacione konstante C: Zaemina vode u osudi je konstantna i iznosi: V πh de su i H oluečnik suda i nivo vode u slučaju kada se sud ne otia. Pi otaciji suda slobodna ovšina tečnosti će biti definisana izvedenom elacijom z (), a zaemina koju sada tečnost zauzima može se odediti inteacijom elementanih zaemina definisanih kao tanke cilindične ljuske oluečnika i visine z (): V π πω z( ) π d ( ω + C) d + πc 4 4 Izjednačavanjem ethodna dva izaza, dobija se inteaciona konstanta u funkciji od i H: ω C H Jasna Cnjanski

17 . Stacionani oblik slobodne ovšine tečnosti [zz 39]. Otvoeni cilindični sud visine h 4H i oluečnika okeće se oko svoje ose stalnom uaonom bzinom ω. Ako je u sud nalivena voda do visine H kada je bio u miovanju, odediti: a) uaonu bzinu i kojoj će ovšina tečnosti dodinuti dno Na osnovu ešenja ethodno zadatka, tečnost će dodinuti dno suda, onda kada je tačka C na dnu suda, odnosno ima vednost ω C H 4 ω H 4 ω H b) uaonu bzinu i kojoj će tečnost dodinuti onju ivicu suda. Sada je ostuak ešavanja nešto duačiji, ošto za uaonu bzinu za koju tečnost dodiuje onju ivicu suda, usled jake centifualne sile, tečnost se ovlači iz sedišnje dela suda i fomia oblik ikazan na slici: Funkcionalna zavisnost z () izvedena u ethodnom zadatku i sada se može imeniti: ω z ( ) + C de se vednost konstante C može izaziti u funkciji oluečnika, ako se uzime u obzi anični slučaj da važi z ( ) : z( ) ω ( ) Jasna Cnjanski

18 1 Jasna Cnjanski -18- Vednost aameta odeđuje se slično kao u ethodnom zadatku. Zaemina tečnosti u sudu ostaje konstanta, a izjednačavanjem zaemine tečnosti kada je sud u stanju miovanja (V π H ) i zaemine koja se dobija inteacijom elementanih cilindičnih ljuski za slučaj ikazan na ethodnoj slici: ) ( 4 ) ( ( ) ( d d z V πω ω π π što daje: H ω Kako je z () 4H, konačno se dobija: H H z 4 ) ( ) ( ω ω ω H 4 ω Za vežbu uaditi: centifualna vakuum uma [zz 37].

19 Zadaci za vežbanje: 1. Te od aluminijuma mase 1 k i ustine 7 k/m 3 okačen je na ouu a zatim u otunosti otoljen u osudu sa vodom, kao što je ikazano na slici. Odediti silu zatezanja oue e i nakon otaanja tela u vodu.. Blok metala težine 1 k i dimenzija 1 cm 1 cm 1 cm okačen je za ouu i otoljen u vodu kao što je ikazano na slici. Visina bloka je 1 cm, a vh bloka se nalazi na 5 cm od ovšine vode. a) Odediti silu koja deluje na onju i donju ovšinu bloka. Uzeti da je atmosfeski itisak 1, N/m. b) Za koliko se istela oua? 3. Pin-on lotica ima ečnik 3,8 cm i osečnu ustinu,84 /cm 3. Kolikom silom je otebno delovati na loticu da bi se ona u otunosti otoila u vodu? 4. Dveni kli ečnika 1, cm luta na ovšine vode tako da je,4 cm ečnika iznad ovšine vode (slika). Odediti ustinu klia. 5. Helijumski balon vezan je za m duačak kana težine,5 k. Balon je sfeni oluečnika,4 m. Kada se usti, balon odiže dužinu kanaa h a zatim se zaustavlja u avnoteži, kao što je ikazano na slici. Odediti vednost h. Elastična uma od koje je naavljen balon ima masu,5 k. Slika uz zadatke i 3 Slika uz zadatak 5 Slika uz zadatak 6 6. Sistem za eulaciju nivoa vode u ezevoau može se izvesti konstukcijom avouaonih vata u bočnom zidu ezevoaa, koja mou bez tenja da se okeću oko hoizontalne osovine koz donju ivicu vata. Vata mou da se otvoe samo ema solja. Za sedinu onje ivice vata (sa unutašnje stane) vezano je savitljivo i neisteljivo uže. Uže je ebačeno eko kotua zanemaljive mase koji se okeće bez tenja, ostavljeno tako da je uže aalelno nivou vode u ezevoau. Za dui kaj užeta vezan je homoeni te oblika valjka, tako da je donja osnova tea u istoj hoizontalnoj avni kao osovina vata. Dimenzije vata su šiina a 1 m i visina h v 4 m, a tea oluečnik 5 m i visina h t 3 m. Gustina vode je ρ 1 k/m 3, a ubzanje zemljine teže 1 m/s. Odediti ustinu tea za slučaj kada je maksimalna dozvoljena visina vode u ezevoau do onje ivice vata. 7. Siunosni ventil na bani taložno bazena izveden je u obliku avouaonih vata na vetikalnom zidu bazena. Vata mou da se okeću bez tenja oko osovine koja olazi koz njihovu donju hoizontalnu stanicu i otvaaju se samo ema solja. Za sedinu onje stanice vata zakačena je kalibisana oua koja je svojim duim kajem učvšćena za neoketni oslonac sa soljašnje stane zida bane. Šiina vata je d 1 m, a visina h v 3 m. Gustina vode je ρ 1 k/m 3, a ubzanje zemljine teže 1 m/s. Odediti odnos intenziteta sile u ouzi (F 1 /F ) ako se vata otvaaju kada je nivo vode na nivou visine vata, a kalibisana oua zakačena za sedinu onje stanice vata (F 1 ) i za tačku koja edstavlja centa mase vata (F ). Atmosfeski itisak zanemaiti Jasna Cnjanski