Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008"

Transcript

1 Sügis 2008

2 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub arvuga a

3 Tegurid Kui a b, siis arvu a nimetatakse arvu b teguriks ehk jagajaks arvu b nimetatakse arvu a kordseks Jaguvuse definitsiooni põhjal on arv a arvu b tegur, kui leidub selline täisarv m, et b = am. Igal täisarvul b on vähemalt järgmised tegurid: 1, 1, b, b. Iga täisarvu a korral a 0, vastupidine seos 0 a kehtib parajasti siis, kui a = 0. Seega 0 0. Iga täisarvu b korral 1 b, vastupidine b 1 kehtib parajasti siis, kui b = 1 või b = 1.

4 Jaguvuse lihtsamad omadused Täisarvude hulgal määratud jaguvusrelatsioonil on järgmised omadused. Refleksiivus: iga täisarvu a korral a a. Kui a b ja b a, siis a = b või a = b. Transitiivsus: kui a b ja b c, siis a c. Tõestamiseks kasutada jaguvuse definitsiooni.

5 Jaguvuse seos tehetega Kui a b, siis ±a ±b. Kui a b ja a c, siis suvaliste täisarvude s ja t korral a bs + ct. a b parajasti siis, kui iga täisarvu c korral ac bc. Esimene omadus tähendab, et jaguvuse uurimisel võime piirduda mittenegatiivsete täisarvudega. Teisest omadusest järeldub, et kui arv a jagab arve b ja c, siis jagab ta ka nende arvude summat ja vahet.

6 Jäägiga jagamine Olgu a ja b täisarvud, kusjuures a > 0. Jäägiga jagamine tähendab arvu b esitamist kujul b = aq + r, kus 0 r < a. Siin on b a q r jagatav jagaja jagatis jääk Näiteks kui a = 3 ja b = 17, siis 17 =

7 Negatiivsete arvude jagamine Näiteks kui b = 17 ja a = 3, siis 17 = 3 ( 6) + 1 Jääk on alati mittenegatiivne. Võrduses b = a q + r peab alati kehtima 0 r < a. Arvu b saab alati nii esitada, sest jadas..., 3a, 2a, a,0,a,2a,3a,... saab alati leida kaks järjestikust arvu, mille vahel b asub.

8 Algarv ja kordarv Vaatleme järgnevalt ainult positiivseid täisarve ja nende positiivseid tegureid. Igal positiivsel täisarvul a on kindlasti olemas tegurid 1 ja a. Algarv on selline ühest suurem naturaalarv n, millel pole rohkem positiivseid tegureid kui 1 ja n. Kordarv on selline ühest suurem naturaalarv n, millel on ka muid positiivseid tegureid peale 1 ja n. Arv 1 ei ole ei algarv ega kordarv. Algarvud: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,... Kordarvud: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22,...

9 Algarvulisuse kontrollimine Kuidas teha kindlaks, kas etteantud naturaalarv n on algarv? Kontrollida läbi kõik arvud 2,..., n 1. Kui n ei jagu ühegagi nendest, siis ta on algarv. Kontrollida läbi kõik arvud 2,..., n. Kui n on kordarv, siis tal leidub tegur ka nende arvude hulgas. Tõenäosuslikud polünomiaalsed meetodid (Rabin-Milleri test). Polünomiaalne algoritm (2002).

10 Algarvude arv Teoreem (Eukleides.) Leidub lõpmata palju algarve. Tõestus. Oletame, et algarve on lõplik hulk: Vaatleme arvu p 1, p 2, p 3,..., p k. n = p 1 p 2 p 3...p k + 1 See ei jagu algarvudega p 1, p 2,..., p k, sest ta annab nendega jagades jäägi 1. Järelikult on n ise algarv või tal leidub algarvuline tegur, mis erineb algarvudest p 1, p 2,..., p n, kummalgi juhul vastuolu.

11 Algarvude arv Tõestus 2. Tõestame, et iga naturaalarvu n jaoks leidub temast suurem algarv. Olgu p arvu n! + 1 vähim ühest erinev tegur. Siis p on algarv, sest kui tal leiduks tegur 1 ja p vahel, siis see tegur oleks ka arvu n! + 1 tegur. p > n, sest n! + 1 ei jagu ühegi arvuga 2, 3,..., n.

12 Eratosthenese sõel Kirjutame välja kõik arvud 1, 2,..., n. Kriipsutame maha arvu 1. Järgmine allesjääv arv on 2; kriipsutame maha kõik arvu 2 kordsed. Järgmine allesjääv arv on 3; kriipsutame maha kõik arvu 3 kordsed. Järgmine allesjääv arv on 5 jne. Algarvud on parajasti need, mis protsessi lõppedes alles jäävad.

13 Näide

14 Näide

15 Näide

16 Näide

17 Näide

18 Algarvude jaotumine Algarvud paiknevad naturaalarvude jadas väga ebaühtlaselt. Kaks algarvu võivad asuda järjest. Ainukesed sellised on 2 ja 3. Kui kaks algarvu erinevad teineteisest kahe võrra, siis nimetatakse neid kaksikalgarvudeks. Näiteks 3557 ja On oletus, et kaksikute paare on lõpmata palju. Leidub kui tahes pikki lõike, milles pole ühtegi algarvu, näiteks n! + 2, n! + 3,..., n! + n on järjestikused kordarvud. Jaotusdiagramm:

19 Algarvufunktsioon Algarvude jaotumist kirjeldab algarvufunktsioon π(n) = algarvude arv hulgas {1, 2,..., n} Esimesed väärtused: π(1) = 0 π(2) = 1 π(3) = 2 π(4) = 2 π(5) = 3 π(6) = 3 π(7) = 4 π(8) = 4

20 Algarvuteoreem Teoreem Kehtib asümptootiline ekvivalents π(n) n ln n Valemi tuletas C. F. Gauss 18. sajandi lõpul algarvude tabeli analüüsimisel. Tõestasid J. Hadamard ja C. de la Vallée Poussin teineteisest sõltumatult aastal On olemas ka täpsemaid empiirilisi valemeid, näiteks π(n) n ln n 1,08366 (Legendre) π(n) n 2 dt ln t (Gauss)

21 Näide Leida, kui suur on 200-kohaliste arvude hulgas algarvude osakaal. 200-kohalisi arve on = kohalisi algarve on ligikaudu π( ) π( ) ln 10 Algarvude osakaal on ligikaudu 1, ln ,

22 Arvu lahutamine algtegurite korrutiseks Kui arv ei ole algarv, siis saab ta esitada kahe väiksema teguri korrutisena. Kui mõni saadud teguritest ei ole algarv, siis saab selle teguri esitada kahe väiksema teguri korrutisena jne. Järelikult saab iga arvu, mis pole algarv, esitada algarvude korrutisena. Kui arv juba on algarv, siis tõlgendame teda korrutisena, kus esineb ainult üks tegur.

23 Aritmeetika põhiteoreem Teoreem Iga ühest suurema naturaalarvu saab parajasti ühel viisil esitada algarvude korrutisena, arvestamata tegurite järjekorda. Tõestuse skeem. Oletame, et leidub naturaalarve, millel on kaks esitust algarvude korrutisena. Olgu n vähim selline naturaalarv. Tõestame, et siis saab leida naturaalarvu n, mis on väiksem kui n ja millel on samuti kaks esitust algarvude korrutisena. Et n juba oli vähim selline arv, siis tähendab see vastuolu.

24 Arvu kanooniline kuju Iga naturaalarvu n saab esitada kujul n = p α 1 1 pα pα k k Siin on p 1, p 2,..., p k kõik algarvud, millega n jagub, ning α 1, α 2,..., α k nende algarvude kordsused. Aritmeetika põhiteoreemist järeldub, et see esitus on ühene. Seda esitust nimetatakse naturaalarvu n kanooniliseks kujuks. Näiteks: 600 = , 35 = 5 7, =

25 Tegurite kanooniline kuju Teoreem Olgu n naturaalarv kanoonilise kujuga n = p α 1 1 pα pα k k Naturaalarv m on arvu n tegur parajasti siis, kui m avaldub kujul m = p β 1 1 pβ pβ k k kus iga i = 1, 2,..., k korral 0 β i α i.

26 Arvu tegurite arv Arvu kanoonilise kuju põhjal saab leida arvu tegurite arvu ilma neid välja kirjutamata. Kui n = p α 1 1 pα pα k k siis arvu n teguris peab algteguri p 1 astendaja olema üks arvudest 0,..., α 1, algteguri p 2 astendaja üks arvudest 0,..., α 2 jne. Tegurite arv on seega (α 1 + 1)(α 2 + 1)... (α k + 1) Näiteks arvul = on (4 + 1)(2 + 1)(3 + 1) = 60 tegurit.

27 Fermat väike teoreem Teoreem Kui p on algarv, siis iga täisarvu a korral, mis ei jagu p-ga, kehtib seos p a p 1 1. Tõestuse skeem. Vaatleme arve Korrutades neid a-ga, saame 1, 2,..., p 1 a, 2a,..., (p 1)a Tõestame, et need arvud annavad p-ga jagades parajasti jäägid 1, 2,..., p 1 mingis järjekorras. Järelikult annavad arvud a 2a (p 1)a ja 1 2 (p 1) jagamisel p-ga sama jäägi ning nende vahe (p 1)!(a p 1) jagub p-ga. Et (p 1)! ei jagu algarvuga p, siis peab a p 1 jaguma p-ga.

28 Teoreemi teine kuju Järeldus Kui p on algarv, siis iga täisarvu a korral p a p a. Tõestus. Kui a ei jagu p-ga, siis teoreemi põhjal p a p 1 1 ja seega p (a p 1 1)a. Kui a jagub p-ga, siis a p ja a annavad p-ga jagamisel mõlemad jäägi 0.

29 Pseudoalgarvud Fermat teoreemi väide võib mõnikord kehtida ka siis, kui p ei ole algarv. Näiteks olgu p = 341 = ning a = = (2 10 ) 34 = annab 341-ga jagamisel jäägi 1, sest 1024 annab jäägi 1. Arv 341 on pseudoalgarv alusel 2. Siiski, 341 ei rahulda Fermat teoreemi väidet, kui aluseks võtta mingi muu arv, nt annab 341-ga jagades jäägi 56.

30 Carmichaeli arvud Paaritu kordarv, mis rahuldab Fermat teoreemi väidet iga aluse korral, mis on selle kordarvuga ühistegurita (st on pseudoalgarv kõigil neil alustel). Näiteks olgu p = 561 = ning SÜT(a,p) = 1. Siis a 560 = (a 2 ) 280 annab 3-ga jagamisel jäägi 1 a 560 = (a 10 ) 56 annab 11-ga jagamisel jäägi 1 a 560 = (a 16 ) 35 annab 17-ga jagamisel jäägi 1 Seega a jagub nii 3-ga, 11-ga kui 17-ga. jada number A002997

31 Suurim ühistegur Naturaalarvude a ja b ühisteguriks nimetatakse iga naturaalarvu, millega jagub nii a kui ka b. Näiteks arvude 36 ja 60 ühistegurid on 1, 2, 3, 4, 6, 12. Naturaalarvude a ja b suurimaks ühisteguriks nimetatakse nende ühistegurite hulgast suurimat. Näiteks arvude 36 ja 60 suurim ühistegur on 12. Suurim ühistegur on alati olemas, sest iga kahe arvu ühistegurite hulk on mittetühi. Analoogiliselt defineeritakse mitme arvu a 1, a 2,..., a n ühistegur ja nende arvude suurim ühistegur.

32 Tähistused Arvude a ja b suurimat ühistegurit tähistatakse: Seega: SÜT(a, b) gcd(a, b) (a, b) SÜT(36,60) = 12 SÜT(8,1) = 1 Mõnikord defineeritakse veel SÜT(a,0) = a iga a korral. Siis näiteks SÜT(3,0) = 3 SÜT(0,0) = 0

33 Ühistegurita arvud Naturaalarve, mille suurim ühistegur on 1, nimetatakse ühistegurita arvudeks. Näiteks 16 ja 25 on ühistegurita, 99 ja 100 on ühistegurita jne. Jagades naturaalarvud a ja b nende suurima ühisteguriga d, jäävad järele ühistegurita arvud: ( a SÜT d, b ) = 1 c Iga kaks naturaalarvu a ja b saab esitada kujul a = a d ja b = b d, kus d on arvude a ja b suurim ühistegur ning a ja b on ühistegurita.

34 Ühistegur kanoonilise kuju järgi Kui ja siis a = p α 1 1 pα pα k k b = p β 1 1 pβ pβ k k SÜT(a,b) = p min(α 1,β 1 ) 1 p min(α 2,β 2 ) 2...p min(α k,β k ) k

35 Ühisteguri teine definitsioon Kanoonilisest kujust järeldub, et arvude a ja b suurim ühistegur jagub arvude a ja b iga ühisteguriga. Antud arvude suurimat ühistegurit võib defineerida ka kui arvu, mis jagub nende arvude iga ühisteguriga. See võimaldab ühisteguri mõistet laiendada ka sellistele hulkadele, kus on määratud jaguvus, aga mitte järjestus (nt polünoomid, Gaussi täisarvud jne). Keerulisemaks muutub suurima ühisteguri olemasolu tõestamine: kõigi ühisteguritega jaguva ühisteguri leidumine pole sellise definitsiooni korral nii vahetult selge.

36 Suurima ühisteguri homogeensus Teoreem Iga naturaalarvu n korral SÜT(na,nb) = n SÜT(a,b) Tõestuse skeem. Olgu d = SÜT(a, b). Tõestame, et 1. nd on arvude na ja nb ühistegur 2. nd on arvude na ja nb ühistegurite hulgas suurim

37 Suurima ühisteguri homogeensus Järeldus Kui c on arvude a ja b ühistegur, siis ( a SÜT c, b ) = SÜT(a,b) c c Tõestus. ( a c SÜT c, b ) = SÜT(a,b) c

38 Ühistegurita arvude omadused Teoreem Kui SÜT(a, b) = 1, siis iga naturaalarvu c korral SÜT(ac,b) = SÜT(c,b). Tõestuse skeem. Tõestame, et 1. arvu SÜT(ac,b) iga tegur on ka arvu SÜT(c,b) tegur 2. arvu SÜT(c,b) iga tegur on ka arvu SÜT(ac,b) tegur Järelikult ühtib arvude ac ja b ühistegurite hulk arvude c ja b ühistegurite hulgaga.

39 Järeldused Kui SÜT(a,c) = 1 ja SÜT(b,c) = 1, siis SÜT(ab,c) = 1 Kui a bc ja SÜT(a,b) = 1, siis a c. Kui a c ja b c ning SÜT(a,b) = 1, siis ab c.

40 Näide Leida SÜT(560,315). SÜT(560,315) = SÜT(5 112,5 63) = 5SÜT(112,63) = 5SÜT(2 4 7,63) = 5SÜT(7,63) = 5 7 = 35

41 Mitme arvu suurim ühistegur Teoreem Arvude a 1, a 2,..., a n suurim ühistegur on SÜT(a 1,a 2,...,a n ) = SÜT(...SÜT(SÜT(a 1,a 2 ),a 3 ),...,a n ) Tõestus. Kui n = 2, siis väide kehtib. Kui n = k + 1, siis tuleb tõestada võrdus SÜT(a 1,a 2,...,a k,a k+1 ) = SÜT(SÜT(a 1,a 2,...,a k ),a k+1 ) See järeldub asjaolust, et suvalise d korral on seosed d a 1, d a 2,..., d a k, d a k+1 samaväärsed seostega d SÜT(a 1,a 2,...,a k ), d a k+1

42 Eukleidese algoritm Algoritm kahe arvu suurima ühisteguri arvutamiseks. Olgu a ja b mittenegatiivsed täisarvud. Kui b = 0, siis lõpetada töö. Leida a jagamisel b-ga tekkiv jääk r. Võtta a uueks väärtuseks b senine väärtus ja b uueks väärtuseks r. Minna tagasi esimesele sammule. Tulemuseks on a väärtus.

43 Näide Olgu a = 2322, b =

44 Näide Olgu a = 2322, b =

45 Näide Olgu a = 2322, b =

46 Näide Olgu a = 2322, b =

47 Näide Olgu a = 2322, b =

48 Näide Olgu a = 2322, b =

49 Näide Olgu a = 2322, b =

50 Näide Olgu a = 2322, b =

51 Näide Olgu a = 2322, b =

52 Näide Olgu a = 2322, b =

53 Näide Olgu a = 2322, b =

54 Näide Olgu a = 2322, b =

55 Näide Olgu a = 2322, b =

56 Näide Olgu a = 2322, b = SÜT(2322,654) = 6

57 Eukleidese algoritmi teooria Kas algoritm lõpetab alati töö? Kas algoritm annab alati vastuseks suurima ühisteguri? Milline on algoritmi efektiivsus?

58 Eukleidese algoritmi peatumine Igal sammul asendatakse arvupaar (a,b) paariga (b,r), kus r on a jagamisel b-ga tekkiv jääk. Järelikult r < b. Samme korrates väheneb vaadeldava arvupaari teine komponent ning saab varem või hiljem nulliks.

59 Eukleidese algoritmi korrektsus Teoreem Kui r on jääk, mis tekib arvu a jagamisel arvuga b, siis SÜT(a,b) = SÜT(b,r). Tõestus. Võrdusest a = bq + r näeme, et 1. kui d a ja d b, siis d r 2. kui d b ja d r, siis d a Järelikult on arvude a ja b ühistegurite hulk sama mis arvude b ja r ühistegurite hulk. Viimasel sammul saame arvud r ja 0, nende suurim ühistegur on r.

60 Eukleidese algoritmi keerukus Teoreem Arvude a ja b (kus a > b) suurima ühisteguri leidmiseks kulub Eukleidese algoritmi puhul ülimalt sammu. 1 + log 2 a + log 2 b Tõestus. Ühe sammuga asendatakse arvupaar (a,b) paariga (b,r). Seejuures br < ab/2 ehk ühel sammul väheneb arvude korrutis vähemalt 2 korda. Kui pärast k sammu on korrutis veel positiivne, siis peab kehtima ab/2 k 1, millest k log 2 (ab) = log 2 a + log 2 b

61 Algoritmi töö algebralisel kujul a = bq 1 + r 1 r 1 avaldub b ja a kaudu b = r 1 q 2 + r 2 r 2 avaldub r 1 ja b kaudu r 1 = r 2 q 3 + r 3 r 3 avaldub r 2 ja r 1 kaudu r k 3 = r k 2 q k 1 + r k 2 r k 1 avaldub r k 2 ja r k 3 kaudu r k 2 = r k 1 q k + r k r k avaldub r k 1 ja r k 2 kaudu r k 1 = r k q k+1 Avaldame eelviimasest seosest r k ja asendame saadud avaldises järk-järgult r k 1, r k 2,... eelnevate seoste põhjal. Järelikult r k avaldub a ja b lineaarkombinatsioonina.

62 Teoreem Naturaalarvude a ja b suurima ühisteguri võib avaldada kujul SÜT(a,b) = as + bt kus s ja t on täisarvud. Näiteks olgu a = 360 ja b = = = = = = = 66 ( ) 2 = = 294 ( 2) = 294 ( 2) + ( ) 9 = = 294 ( 11)

63 Diofantilised võrrandid Lineaarne diofantiline võrrand: ax + by = c kus a, b ja c on antud täisarvud, vaja leida täisarvud x ja y. Kui SÜT(a,b) c, siis saame leida arvud x 0 ja y 0 nii, et ning korrutada tulemust arvuga ax 0 + by 0 = SÜT(a,b) c SÜT(a,b). Kui SÜT(a, b) c, siis võrrandil lahendeid ei leidu.

64 Vähim ühiskordne Naturaalarvude a ja b ühiskordseks nimetatakse iga naturaalarvu, mis jagub nii a-ga kui ka b-ga. Naturaalarvude a ja b vähimaks ühiskordseks nimetatakse nende ühiskordsete hulgast vähimat. Tähised: Näiteks VÜK(a, b) lcm(a, b) [a, b] VÜK(6,4) = 12 VÜK(8,1) = 8 VÜK(24,25) = 600

65 Vähim ühiskordne kanoonilise kuju järgi Kui ja siis a = p α 1 1 pα pα k k b = p β 1 1 pβ pβ k k SÜT(a,b) = p max(α 1,β 1 ) 1 p max(α 2,β 2 ) 2... p max(α k,β k ) k

66 Seos SÜT ja VÜK vahel Teoreem Kehtib võrdus VÜK(a,b)SÜT(a,b) = ab Järeldus Kui SÜT(a,b) = 1, siis VÜK(a,b) = ab. Selle seose tõttu kanduvad mitmed suurima ühisteguri omadused üle vähimale ühiskordsele. Näiteks saab ka vähima ühiskordse arvutamiseks kasutada Eukleidese algoritmi.

67 Vähima ühiskordse seos jaguvusega Järeldus Arvude a ja b vähim ühiskordne on nende arvude iga ühiskordse tegur. Tõestus. Olgu k arvude a ja b mingi ühiskordne. Tõestame, et ( k SÜT a, k ) VÜK(a,b) = k b Tõepoolest, eelmise teoreemi põhjal ( k ab SÜT a, k ) VÜK(a,b) = k SÜT(b,a)VÜK(a,b) = kab b

68 Vähima ühiskordse homogeensus Teoreem Iga naturaalarvu n korral VÜK(na,nb) = n VÜK(a,b) Järeldus Kui c on arvude a ja b ühistegur, siis ( a VÜK c, b ) = VÜK(a,b) c c Samuti kanduvad vähimale ühiskordsele üle ka paljud muud suurima ühisteguri omadused (või nende analoogid).

Kompleksarvu algebraline kuju

Kompleksarvu algebraline kuju Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa

Διαβάστε περισσότερα

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika

Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika

Διαβάστε περισσότερα

Avaliku võtmega krüptograafia

Avaliku võtmega krüptograafia Avaliku võtmega krüptograafia Ahto Buldas Motiivid Salajase võtme vahetus on tülikas! Kas ei oleks võimalik salajases võtmes kokku leppida üle avaliku kanali? 2 Probleem piiramatu vastasega! Kui vastane

Διαβάστε περισσότερα

T~oestatavalt korrektne transleerimine

T~oestatavalt korrektne transleerimine T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:

Διαβάστε περισσότερα

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1

Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1 laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad

Διαβάστε περισσότερα

Keerukusteooria elemente

Keerukusteooria elemente Keerukusteooria elemente Teema 5 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 1 / 45 Sisukord 1 Algoritmi keerukus 2 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria

Διαβάστε περισσότερα

PLASTSED DEFORMATSIOONID

PLASTSED DEFORMATSIOONID PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb

Διαβάστε περισσότερα

Kontekstivabad keeled

Kontekstivabad keeled Kontekstivabad keeled Teema 2.2 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 28 Sisukord 1 Pinuautomaadid 2 KV keeled ja pinuautomaadid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee

Διαβάστε περισσότερα

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1

20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1 κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii

Διαβάστε περισσότερα

Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp

Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp http://www.staff.ttu.ee/ puusemp/ Sellel kodulehe aadressil asub alajaotuse Diskreetne matemaatika all elektrooniline õpik ja ülesannete

Διαβάστε περισσότερα

Sirgete varraste vääne

Sirgete varraste vääne 1 Peatükk 8 Sirgete varraste vääne 8.1. Sissejuhatus ja lahendusmeetod 8-8.1 Sissejuhatus ja lahendusmeetod Käesoleva loengukonspekti alajaotuses.10. käsitleti väändepingete leidmist ümarvarrastes ja alajaotuses.10.3

Διαβάστε περισσότερα

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise

Vektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja

Διαβάστε περισσότερα

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.

KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid. KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks

Διαβάστε περισσότερα

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi

Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi Kontrollijate kommentaarid 2002. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta Kokkuvõtteks Uuendusena oli tänavusel piirkondlikul olümpiaadil 10.-12. klassides senise 5 asemel 6 ülesannet, millest

Διαβάστε περισσότερα

PÕHIKOOLI KORDAMISE TÖÖ I

PÕHIKOOLI KORDAMISE TÖÖ I PÕHIKOOLI KORDAMISE TÖÖ I 0. Arvut vldise,6 4 täpe väärtus. 4 4. Lihtsust vldis. 4 4. Lhed võrrdisüsteem = 4. 4= 4. Mtel mksis 400 krooi. Mtli hid tõusis lgul 0% j seejärel veel %. Kui suur oli lõpuks

Διαβάστε περισσότερα

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva

LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST EESSÕNA Koostanud Hilja Afanasjeva Enne selle teema käsitlemist avame mõned materjalist arusaamiseks vajalikud mõisted hulgateooriast.

Διαβάστε περισσότερα

Ivar Tammeraid itammeraid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I. Elektrooniline õppevahend

Ivar Tammeraid  itammeraid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I. Elektrooniline õppevahend TTÜ Mtemtikinstituut http://www.stff.ttu.ee/ mth/ Ivr Tmmerid http://www.stff.ttu.ee/ itmmerid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I Elektrooniline õppevhend Tllinn, Trükitud versioon: Ivr Tmmerid, Mtemtiline nlüüs

Διαβάστε περισσότερα

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui

Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui Ülesnded j lhendused utomtjuhtimisest Ülesnne. Süsteem oosneb hest jdmisi ühendtud erioodilisest lülist, mille jonstndid on 0,08 j 0,5 ning õimendustegurid stlt 0 j 50. Leid süsteemi summrne ülendefuntsioon.

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmid ja andmestruktuurid Ülesannete kogu

Algoritmid ja andmestruktuurid Ülesannete kogu TARTU ÜLIKOOL ARVUTITEADUSE INSTITUUT Algoritmid ja andmestruktuurid Ülesannete kogu Versioon 1.0 5. juuli 2016. a. 17:06 Koostajad: Ahti Peder Jüri Kiho Härmel Nestra Tartu 2016 Käesoleva õppevahendi

Διαβάστε περισσότερα

3. IMPULSS, TÖÖ, ENERGIA

3. IMPULSS, TÖÖ, ENERGIA KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA3 (kaugõppele) 3. IMPULSS, TÖÖ, ENERGIA 3. Impulss Impulss, impulsi jääus Impulss on ektor, mis on õrdne keha massi ja tema kiiruse korrutisega p r r = m. Mehaanikas nimetatakse

Διαβάστε περισσότερα

Segmenteerimine peidetud Markovi mudelite segude korral

Segmenteerimine peidetud Markovi mudelite segude korral Tartu Ülkool Loodus- ja täppsteaduste valdkond Matemaatka ja statstka nsttuut Matemaatlse statstka erala Segmenteermne pedetud Markov mudelte segude korral Magstrtöö 30 EAP) Autor katsmsjärgsete parandustega

Διαβάστε περισσότερα

PORTATIIVNE KÄSIVINTS

PORTATIIVNE KÄSIVINTS MEHHATROONIKAINSTITUUT MASINAELEMENTIDE JA PEENMEHAANIKA ÕPPETOOL PORTATIIVNE KÄSIVINTS MHX0020- PÕHIÕPPE PROJEKT Üliõpilane: Kood: Juhendaja:....... prof. Maido Ajaots Tallinn 2006 2 Sisukord Eessõna....lk...

Διαβάστε περισσότερα

Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 16. november a.

Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 16. november a. Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused oorem rühm (9. ja 0. klass) 6. november 2002. a.. ) 2a + 2 = a 2 2 2) 2a + a 2 2 = 2a 2 ) 2a + I 2 = 2aI 4) 2aI + Cl 2 = 2aCl + I 2 5) 2aCl = 2a + Cl 2 (sulatatud

Διαβάστε περισσότερα

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots TARTU ÜLIKOOL Teaduskool STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi

Διαβάστε περισσότερα

LOFY Füüsika looduslikus ja tehiskeskkonnas I (3 EAP)

LOFY Füüsika looduslikus ja tehiskeskkonnas I (3 EAP) LOFY.01.087 Füüsika looduslikus ja tehiskeskkonnas I (3 EAP) Sissejuhatus... 1 1. Füüsika kui loodusteadus... 2 1.1. Loodus... 2 1.2. Füüsika... 3 1.3. Teaduse meetod... 4 2. Universumiõpetus... 7 3. Liikumine

Διαβάστε περισσότερα

4. KEHADE VASTASTIKMÕJUD. JÕUD

4. KEHADE VASTASTIKMÕJUD. JÕUD 4. KEHADE VASTASTIKMÕJUD. JÕUD Arvatavasti oled sa oma elus kogenud, et kõik mõjud on vastastikused. Teiste sõnadega: igale mõjule on olemas vastumõju. Ega füüsikaski teisiti ole. Füüsikas on kehade vastastikuse

Διαβάστε περισσότερα

8. KEEVISLIITED. Sele 8.1. Kattekeevisliide. Arvutada kahepoolne otsõmblus terasplaatide (S235J2G3) ühendamiseks. F = 40 kn; δ = 5 mm.

8. KEEVISLIITED. Sele 8.1. Kattekeevisliide. Arvutada kahepoolne otsõmblus terasplaatide (S235J2G3) ühendamiseks. F = 40 kn; δ = 5 mm. TTÜ EHHATROONIKAINSTITUUT HE00 - ASINATEHNIKA -, 5AP/ECTS 5 - -0-- E, S 8. KEEVISLIITED NÄIDE δ > 4δ δ b k See 8.. Kattekeevisiide Arvutada kahepoone otsõmbus teraspaatide (S5JG) ühendamiseks. 40 kn; δ

Διαβάστε περισσότερα

siis on tegemist sümmeetrilise usaldusvahemikuga. Vasakpoolne usaldusvahemik x i, E x = EX, D x = σ2

siis on tegemist sümmeetrilise usaldusvahemikuga. Vasakpoolne usaldusvahemik x i, E x = EX, D x = σ2 Vahemikhinnangud Vahemikhinnangud Olgu α juhusliku suuruse X parameeter ja α = α (x 1,..., x n ) parameetri α hinnang. Kui ε > 0 on kindel suurus, siis vahemiku (α ε, α +ε) otspunktid on samuti juhuslikud

Διαβάστε περισσότερα

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine

Mitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:

Διαβάστε περισσότερα

AERDÜNAAMIKA ÕHUTAKISTUS

AERDÜNAAMIKA ÕHUTAKISTUS AERDÜNAAMIKA ÕHUTAKISTUS Liikuv õhk, tuul, avaldab igale ettejuhtuvale kehale survet. Samasugune surve tekib ka siis, kui keha liigub ja õhk püsib paigal. Tekkinud survet nimetatakse selle keha õhutakistuseks.

Διαβάστε περισσότερα

Mathcadi tööleht ja vormistamisvahendid

Mathcadi tööleht ja vormistamisvahendid Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.1.15 Mathcadi tööleht ja vormistamisvahendid Mathcad töötab üldjoontes sarnaselt teistele Windowsi programmidele. Sellegipoolest on palju pisikesi nüansse,

Διαβάστε περισσότερα

Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria.

Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Hele Kiisel, Hugo Treffneri Gümnaasium Analüütilise geomeetria teemad on gümnaasiumi matemaatikakursuses jaotatud kaheks osaks: analüütiline geomeetria tasandil,

Διαβάστε περισσότερα

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G

HSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud

Διαβάστε περισσότερα

Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist

Kui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). KINEMAATIKA. Ühtlane liikumine Punktmass Punktmassiks me nimetame keha, mille mõõtmeid me antud liikumise juures ei pruugi arestada. Sel juhul loemegi keha tema asukoha

Διαβάστε περισσότερα

LOFY Füüsika kui loodusteadus (2 EAP)

LOFY Füüsika kui loodusteadus (2 EAP) LOFY.01.108 Füüsika kui loodusteadus (2 EAP) 1. Sissejuhatus... 1 I. Teoreetilised alused... 4 2. Mõtlemisviisid... 4 3. Teaduslik mõtlemisviis... 5 4. Loodusteadusliku mõtlemisviisi kujundamine... 6 Kirjandus...

Διαβάστε περισσότερα

Sissejuhatus. Kinemaatika

Sissejuhatus. Kinemaatika Sissejuhatus Enamuse füüsika ülesannete lahendamine taandub tegelikult suhteliselt äikese hulga ideede rakendamisele (öeldu kehtib ka teiste aldkondade, näiteks matemaatika kohta). Seega on aja õppida

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte 26. füüsika lahtine võistlus

Eesti koolinoorte 26. füüsika lahtine võistlus Eesti koolinoorte 6. füüsika lahtine võistlus 8. november 05. a. Vanema rühma ülesannete lahendused. (RONGIVILE) Tähistagu L veduri kaugust jaamaülemast hetkel, mil vedurijuht alustab vile laskmisega.

Διαβάστε περισσότερα

TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL, FÜÜSIKAINSTITUUT 14. NEWTONI RÕNGAD

TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL, FÜÜSIKAINSTITUUT 14. NEWTONI RÕNGAD 4. NEWTONI RÕNGAD. Töö eesmäk Tasakumea läätse kõveusaadiuse määamine.. Töövahendid Mõõtemikoskoop, suue kõveusaadiusega tasakume lääts, monokomaatiline valgusallikas. 3. Töö teoeetilised alused Valguse

Διαβάστε περισσότερα

Analüütiline mehaanika

Analüütiline mehaanika Tartu Ülikool FÜÜSIKA INSTITUUT Loengukonspekt aines Analüütiline mehaanika LOFY.04.002 Hardi Veermäe, Teet Örd 19. oktoober 2011. a. Sisukord 0 Eessõna 3 1 Newtoni mehaanika 4 1.1 Liikumine eukleidilises

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline statistika ja modelleerimine

Matemaatiline statistika ja modelleerimine Matemaatiline statistika ja modelleerimine Kirjeldav statistika EMÜ doktorikool DK.7 Tanel Kaart Sagedused ja osakaalud diskreetne tunnus Mittearvuliste või diskreetsete tunnuste (erinevate väärtuste arv

Διαβάστε περισσότερα

Sisukord. 2 Programmeerimiskeel C

Sisukord. 2 Programmeerimiskeel C Veiko Sinivee 2 Programmeerimiskeel C Sisukord Sissejuhatus...1 Programmeerimiskeel C...1 C - keele programmi ehitusest...4 Abiprogramm MAKE...13 Enamkasutatavad funktsioonid...16 Funktsioonid printf()

Διαβάστε περισσότερα

Eesti koolinoorte 51. täppisteaduste olümpiaad

Eesti koolinoorte 51. täppisteaduste olümpiaad Eesti koolinoorte 5 täppisteaduste olümpiaad Füüsika lõppvoor 7 märts 2004 a Põhikooli ülesannete lahendused ülesanne (KLAASTORU) Plaat eraldub torust siis, kui petrooleumisamba rõhk saab võrdseks veesamba

Διαβάστε περισσότερα

Kõrv vastu arvutit: testis 2.1 arvutikõlarid

Kõrv vastu arvutit: testis 2.1 arvutikõlarid Microsofti telefoni- Windows on tagasi Testime Nikoni uut D7000 kaamerat Kinect teeb mängud täitsa uueks Uputame ja togime Samsungi matkafoni Nr 69, jaanuar 2011 Hind 42.90 kr; 2.74 Kõrv vastu arvutit:

Διαβάστε περισσότερα

Kuressaare Vanalinna Kool. Informaatika õppematerjal esimesele ja teisele kooliastmele. Koostas: Eha Kask Pildid joonistas: Anne Metsamaa

Kuressaare Vanalinna Kool. Informaatika õppematerjal esimesele ja teisele kooliastmele. Koostas: Eha Kask Pildid joonistas: Anne Metsamaa Informaatika õppematerjal esimesele ja teisele kooliastmele Koostas: Pildid joonistas: Anne Metsamaa Uuendatud Kuressaares 2010 6 Kas Internet on ohtlik? Aga mis see informaatika veel on? Kohe vaatame!!

Διαβάστε περισσότερα

2013/2014 õ.a keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesanded 9. klass

2013/2014 õ.a keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesanded 9. klass 2013/2014 õ.a keemiaolümpiaadi lõppvooru ülesanded 9. klass 1. Ained A on oksiidid. Tuntud metalli X võib saada vedelal kujul, kui süüdata segu, mis koosneb metalli Y ja musta oksiidi A pulbritest, kõrvalsaadusena

Διαβάστε περισσότερα

Milline on hea. odav Android? Pane oma failid siia: testime kõvakettaid. [digi] kool: DLNA, AirPlay, Wireless HDMI

Milline on hea. odav Android? Pane oma failid siia: testime kõvakettaid. [digi] kool: DLNA, AirPlay, Wireless HDMI LG tegi imeõhukese kuvari ja me testime Kaamera, mis sobib küünevärviga Lugejate nõudmisel: testis head klapid Katsetame HP kõik ühes arvutit Nr 71, märts 2011 Hind 2.79 ; 43.65 kr Pane oma failid siia:

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika KLASS 11 TUNDIDE ARV 35

Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika KLASS 11 TUNDIDE ARV 35 Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika Permutatsioonid, kombinatsioonid ja variatsioonid. Sündmus. Sündmuste liigid. Klassikaline tõenäosus. Geomeetriline tõenäosus. Sündmuste liigid: sõltuvad ja

Διαβάστε περισσότερα

SIDESÜSTEEMID JA VÕRGUD

SIDESÜSTEEMID JA VÕRGUD SIDESÜSTEEMID JA VÕRGUD 1. Optiline sidesüsteem, kaabel -TV süsteem Algusaastaks loetakse 1948. Eestis 70-ndate lõpus Võhmas. Kaabel-TV on mõeldud kvaliteetse TV pildi ja heli edastamiseks ilma antennideta.

Διαβάστε περισσότερα

Hermogenese stasise-teooria Aristotelese kategooriate rakendusena

Hermogenese stasise-teooria Aristotelese kategooriate rakendusena Tartu Ülikool Filosoofiateaduskond Germaani, romaani ja slaavi filoloogia instituut Klassikalise filoloogia õppetool Neeme Näripä Hermogenese stasise-teooria Aristotelese kategooriate rakendusena Magistritöö

Διαβάστε περισσότερα

F l 12. TRANSPORDINÄHTUSED JA BIOENERGEETIKA ALUSED

F l 12. TRANSPORDINÄHTUSED JA BIOENERGEETIKA ALUSED 1. TRANSPORDINÄHTUSED JA BIOENERGEETIKA ALUSED Eluks on vajalik pidev aine ja energia transport (e suunatud liikumine) läbi biosfääri ja konkreetselt bioloogilise aine. Biosfäär ehk elukeskkond on Maa

Διαβάστε περισσότερα

Astronoomia termineid (mis ei tarvitse tuttavad olla)

Astronoomia termineid (mis ei tarvitse tuttavad olla) Astronoomia termineid (mis ei tarvitse tuttavad olla) aastaparallaks Maa orbiidi raadiuse pikkusele nihkele vastav vaatesuuna muutus. Ehk teiste sõnadega: nurk, mille all paistab Maa orbiidi raadius vaadeldavalt

Διαβάστε περισσότερα

Newtoni seadused on klassikalise mehaanika põhialuseks. Neist lähtuvalt saab kehale mõjuvate jõudude kaudu arvutada keha liikumise.

Newtoni seadused on klassikalise mehaanika põhialuseks. Neist lähtuvalt saab kehale mõjuvate jõudude kaudu arvutada keha liikumise. KOOLIÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). DÜNAAMIKA. Newtoni seadused. Newtoni seadused on klassikalise mehaanika põhialuseks. Neist lähtuvalt saab kehale mõjuvate jõudude kaudu avutada keha liikumise. Newtoni

Διαβάστε περισσότερα

2 tähendab siin ühikuid siduvat

2 tähendab siin ühikuid siduvat 5. Eneia 5.1. Eneia ja eneia jäävuse seadus Eneia (k. k. eneos: aktiivne) on füüsika keskne mõiste, mis ühendab kõiki füüsika valdkondi. Tänu Newtoni autoiteedile oli sellel väljapaistval positsioonil

Διαβάστε περισσότερα

Matemaatiline statistika ja modelleerimine

Matemaatiline statistika ja modelleerimine Matemaatiline statistika ja modelleerimine Kahe arvtunnuse ühine käitumine, korrelatsioon- ja regressioonanalüüs EMÜ doktorikool DK.0007 Tanel Kaart Lineaarne e Pearsoni korrelatsioonikordaja Millal kasutada

Διαβάστε περισσότερα

SISSEJUHATUS TEADVUSETEADUSESSE. Teema on niivõrd põnev ja huvitav, JAAN ARU TALIS BACHMANN

SISSEJUHATUS TEADVUSETEADUSESSE. Teema on niivõrd põnev ja huvitav, JAAN ARU TALIS BACHMANN SISSEJUHATUS JAAN ARU TALIS BACHMANN TEADVUSETEADUSESSE Ärgates kerkib me silme ette ümbritsev tuba koos selle ebaõnnestunud tapeedi ja osaliselt õnnestunud mööblivalikuga. Jõuame teadvusele iseendast

Διαβάστε περισσότερα

TTÜ informaatikainstituut. Tutvumine Pythoniga

TTÜ informaatikainstituut. Tutvumine Pythoniga TTÜ informaatikainstituut Tutvumine Pythoniga Python on lihtne kuid võimas programmeerimiskeel, mis leiab üha laiemat kasutamist väga erineva iseloomuga rakenduste loomiseks. Tegemist on vabavaralise tarkvaraga.

Διαβάστε περισσότερα

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. V. Väinaste. Kehade pöördliikumine

TARTU ÜLIKOOL Teaduskool. V. Väinaste. Kehade pöördliikumine TARTU ÜLIKOOL Teaduskool V. Väinaste Kehade pöördliikumine TARTU 009 1 Kehade pöördliikumine Mehaanikas eristatakse kehade liikumise kahte põhiliiki: a) kulgliikumine b) pöördliikumine Kulgliikumise korral

Διαβάστε περισσότερα

Füüsika täiendusõpe YFR0080

Füüsika täiendusõpe YFR0080 Füüsika täiendusõpe YFR0080 Füüsikainstituut Marek Vilipuu marek.vilipuu@ttu.ee Füüsika täiendusõpe [4. loeng] 1 Loengu kava Dünaamika Inerts Newtoni I seadus Inertsiaalne taustsüsteem Keha mass, aine

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Elektrodünaamiline jõud

1.2 Elektrodünaamiline jõud . Elektrodüniline jõud.. Jõud rööpsete juhtide vhel Elektriprti võib läbid k lühisvool, is on sdu või isegi tuhndeid kordi suure prdi niivoolust. Voolu toiel tekib voolujuhtivte osde vhel ehniline jõud,

Διαβάστε περισσότερα

ESF5511LOX ESF5511LOW ET NÕUDEPESUMASIN KASUTUSJUHEND 2 EL ΠΛΥΝΤΉΡΙΟ ΠΙΆΤΩΝ ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 21 HU MOSOGATÓGÉP HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ 41

ESF5511LOX ESF5511LOW ET NÕUDEPESUMASIN KASUTUSJUHEND 2 EL ΠΛΥΝΤΉΡΙΟ ΠΙΆΤΩΝ ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 21 HU MOSOGATÓGÉP HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ 41 ESF5511LOX ESF5511LOW ET NÕUDEPESUMASIN KASUTUSJUHEND 2 EL ΠΛΥΝΤΉΡΙΟ ΠΙΆΤΩΝ ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 21 HU MOSOGATÓGÉP HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ 41 2 www.electrolux.com SISUKORD 1. OHUTUSINFO... 3 2. OHUTUSJUHISED...

Διαβάστε περισσότερα

Lego Mindstormi roboti programmeerimise juhendmaterjali koostamine

Lego Mindstormi roboti programmeerimise juhendmaterjali koostamine Tallinna Ülikool Informaatika Instituut Lego Mindstormi roboti programmeerimise juhendmaterjali koostamine Seminaritöö Autor: Raido Parring Juhendaja: Jaagup Kippar Autor:...... 2012 Juhendaja:...... 2012

Διαβάστε περισσότερα

STM A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013

STM A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013 Ι 47 d 11 11 10 kw kw kw d 2015 811/2013 Ι 2015 811/2013 Toote energiatarbe kirjeldus Järgmised toote andmed vastavad nõuetele, mis on esitatud direktiivi 2010/30/ täiendavates määrustes () nr 811/2013,

Διαβάστε περισσότερα

6 LÜHISED ELEKTRIVÕRKUDES. ELEKTRIVARUSTUSE TÖÖKINDLUS.

6 LÜHISED ELEKTRIVÕRKUDES. ELEKTRIVARUSTUSE TÖÖKINDLUS. 6 LÜHISED ELEKTRIVÕRKUDES. ELEKTRIVARUSTUSE TÖÖKINDLUS. 6.1 Põhimõisted ja määratlused Elektrivõrgu talitlusviisi määravad: 1) liinide ja juhtide koormusvool, ) voolu sagedus 3) pinge võrku lülitatud elektritarvititel

Διαβάστε περισσότερα

Eesti Füüsika Selts. ELEKTROMAGNETISM Füüsika õpik gümnaasiumile. Kalev Tarkpea Henn voolaid

Eesti Füüsika Selts. ELEKTROMAGNETISM Füüsika õpik gümnaasiumile. Kalev Tarkpea Henn voolaid Eesti Füüsika Selts ELEKTROMAGNETISM Füüsika õpik gümnaasiumile Kalev Tarkpea Henn voolaid 1. Elektriväli ja magnetväli... 4 1.1 Elektromagnetismi uurimisaine... 4 1.1.1. Sissejuhatus elektromagnetnähtuste

Διαβάστε περισσότερα

1._Vee kvaliteet (21.5 p)

1._Vee kvaliteet (21.5 p) Tutvu 20 minuti jooksul kogu olümpiaaditööga, et oma tegevust planeerida. Ülesannete lahendamise järjekord ei ole oluline! Püüa vastused vormistada nii selgelt ja korrektselt kui võimalik. Valikvastuste

Διαβάστε περισσότερα

ÕIGEKIRJUTUSE NÄPUNÄITEID. Helika Mäekivi, Argo Mund, Tuuli Rehemaa

ÕIGEKIRJUTUSE NÄPUNÄITEID. Helika Mäekivi, Argo Mund, Tuuli Rehemaa Tartu Ülikool Eesti Keele Instituut Tartu Linnavalitsus Haridus- ja Teadusministeerium ÕIGEKIRJUTUSE NÄPUNÄITEID Helika Mäekivi, Argo Mund, Tuuli Rehemaa Keelehooldekeskus Tartu 2013 SAATEKS Raamatu väljaandmist

Διαβάστε περισσότερα

7 Kolmefaasiline vool

7 Kolmefaasiline vool 7 Komeaasiine voo 7 Komeaasiise voou saamine Tänapäeva töötavad eektrijaamad toodavad komeaasiist voou Komeaasiise voou peamiseks eeiseks on ihtne pööreva magnetväja saamise võimaus Pöörev magnetväi ehk

Διαβάστε περισσότερα

Sissejuhatus erialasse Loengukonspekt 2010 I osa. Tõnu Laas

Sissejuhatus erialasse Loengukonspekt 2010 I osa. Tõnu Laas Sissejuhatus erialasse Loegukospekt 2010 I osa Tõu Laas Sisukord 1. Sissejuhatus. Füüsika kui teadus...3 1.1 Mida uurib füüsika?...3 1.2. Mõigaid (loodus)teaduses ja füüsikas olulisemaid südmusi....4 1.3.

Διαβάστε περισσότερα

Füüsikalise looduskäsitluse alused

Füüsikalise looduskäsitluse alused Eesti Füüsika Selts Füüsikalise looduskäsitluse alused õpik gümnaasiumile autorid: Indrek Peil ja Kalev Tarkpea Tartu 2012 1 1. Sissejuhatus füüsikasse... 4 1.1. Maailm, loodus ja füüsika... 4 1.1.1. Füüsika

Διαβάστε περισσότερα

horisont KLIIMA Võngub või vangub? MAARAHVAS ANDIDE VEEREL SALME MUINASLAEV Vaateaken viikingiaega

horisont KLIIMA Võngub või vangub? MAARAHVAS ANDIDE VEEREL SALME MUINASLAEV Vaateaken viikingiaega horisont 3 / 2015 MAI JUUNI HIND 3.90 TUMEAINE JA TEISED UNIVERSUMID KUIDAS MÕISTA OMA AJU? KLIIMA Võngub või vangub? MAARAHVAS ANDIDE VEEREL SALME MUINASLAEV Vaateaken viikingiaega Darwini teoste vaevarikas

Διαβάστε περισσότερα

TTÜ informaatikainstituut. Tutvumine Pythoniga

TTÜ informaatikainstituut. Tutvumine Pythoniga TTÜ informaatikainstituut Tutvumine Pythoniga Python on lihtne kuid võimas programmeerimiskeel, mis leiab üha laiemat kasutamist väga erineva iseloomuga rakenduste loomiseks. Tegemist on vabavaralise tarkvaraga.

Διαβάστε περισσότερα

Uponor Ecoflex Thermo tehniline teave. Eelisoleeritud torustik kaugkütte jaotusvõrgu jaoks

Uponor Ecoflex Thermo tehniline teave. Eelisoleeritud torustik kaugkütte jaotusvõrgu jaoks Uponor Ecoflex Thermo tehniline teave Eelisoleeritud torustik kaugkütte jaotusvõrgu jaoks Sisukord Uponor Ecoflex Thermo küttetorude valik Süsteemi kirjeldus ja kasutusvaldkonnad...3 Uponor Ecoflex Thermo

Διαβάστε περισσότερα

Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool. Andrus Salupere. Staatika /EMR0010/ Loengukonspekt

Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool. Andrus Salupere. Staatika /EMR0010/ Loengukonspekt Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Rakendusmehaanika õppetool Andrus Salupere Staatika /EMR0010/ Loengukonspekt Tallinn 2006 Eessõna Käesolev loengukonspekt on mõeldud kasutamiseks Tallinna Tehnikaülikooli

Διαβάστε περισσότερα

merenakatab Pärnu haigla sai 3D ultraheliaparaadi Käekiri on inimese sees

merenakatab Pärnu haigla sai 3D ultraheliaparaadi Käekiri on inimese sees Pakkumised kehtivad 26.01. - 28.01. Reede 26. 01. 2007 nr 4 (398) tasuta nädalaleht ilmub reedeti www.linnaleht.ee Nõo LT keeduvorst Doktori naturaalses sooles suitsutatud, kg 59 90 Kalev apelsinimaitseline

Διαβάστε περισσότερα

Radioaktiivsus. Aatom ja aatomituum

Radioaktiivsus. Aatom ja aatomituum Radioaktiivsus Aatom ja aatomituum Esimesed vaated mateeria diskreetse iseloomu kohta tekkisid Vana-India filosoofilistes ringkondades juba esimesel aastatuhadel enne meie ajaarvamist. Vana-Kreeka filosoofid

Διαβάστε περισσότερα

Ülesanded aines Füüsikaline maailmapilt

Ülesanded aines Füüsikaline maailmapilt Ülesanded aines Füüsikaline maailmapilt 1. Maa diameetri ja ümbermõõdu määras teadaolevalt esimesena Eratosthenes ca 235.a. e.m.a. Ta mõõtis suvise pööripäeva keskpäeval Aleksandrias vertikaalse vaia ning

Διαβάστε περισσότερα

Τριφασικοί ηλεκτροκινητήρες DR/DV/DT/DTE/DVE, Ασύγχρονοι Σερβοκινητήρες CT/CV

Τριφασικοί ηλεκτροκινητήρες DR/DV/DT/DTE/DVE, Ασύγχρονοι Σερβοκινητήρες CT/CV Ηλεκτροµειωτήρες \ Βιοµηχανικοί µειωτήρες \ Ηλεκτρονικά κινητήριων µηχανισµών \ Αυτοµατισµοί \ Υπηρεσίες Τριφασικοί ηλεκτροκινητήρες DR/DV/DT/DTE/DVE, Ασύγχρονοι Σερβοκινητήρες CT/CV A6.C01 Έκδοση 07/200

Διαβάστε περισσότερα

EAÕK Kirjastus Tallinn

EAÕK Kirjastus Tallinn 10 EAÕK Kirjastus Tallinn 2012 1 Sisukord 5 Toimetajalt Preester Sakarias Leppik 7 Mu Jumal, miks see just minuga juhtus? Metropoliit Nikolaos Hatzinikolaou, Kreeka Õigeusu Kiriku Sinodi bioeetika komitee

Διαβάστε περισσότερα

Staatika ja kinemaatika

Staatika ja kinemaatika Staatika ja kinemaatika MHD0071 I. Staatika Leo eder Mehhatroonikainstituut Mehaanikateaduskond allinna ehnikaülikool 2016 Sisukord I Staatika 1. Sissejuhatus. 2. Newtoni seadused. 3. Jõud. 4. ehted vektoritega.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΤΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 18/5/2014 ΑΚΥΡΑ

ΔΗΜΟΤΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 18/5/2014 ΑΚΥΡΑ ΔΗΜΟΤΙΚΕΣ ΕΚΛΟΓΕΣ 18/5/2014 ΑΚΥΡΑ ΑΔΑΜΗΣ Δ.Κ. / Τ.Κ. E.T. ΕΓΓ/ΝΟΙ ΨΗΦΙΣΑΝ ΕΓΚΥΡΑ ΓΙΟΒΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΛΕΥΚΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΜΑΝΤΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΔΑΛΙΑΝΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΑΣΤΡΟΣ 5 2.728 1.860 36 1.825 69 3,8% 152 8,3% 739 40,5%

Διαβάστε περισσότερα

ANTENNID JA RF ELEKTROONIKA. Sisukord. Loengumaterjalid Koostanud: ass. Sulev Reisberg ja prof. Andres Taklaja

ANTENNID JA RF ELEKTROONIKA. Sisukord. Loengumaterjalid Koostanud: ass. Sulev Reisberg ja prof. Andres Taklaja ANTENNID JA RF ELEKTROONIKA Loengumaterjalid Koostanud: ass. Sulev Reisberg ja prof. Andres Taklaja Sisukord. Antennide tüübid... 3. Antennide parameetrid... 4 Antenni kasutegur... 4 Suunategur (directivity)...

Διαβάστε περισσότερα

TARTU ÜLIKOOL. Teaduskool. Magnetism. Koostanud Urmo Visk

TARTU ÜLIKOOL. Teaduskool. Magnetism. Koostanud Urmo Visk TARTU ÜLIKOOL Teaduskool Magnetism Koostanud Urmo Visk Tartu 2007 Sisukord Voolude vastastikune mõju...2 Magnetinduktsioon...3 Ampere'i seadus...6 Lorentzi valem...9 Tsirkulatsiooniteoreem...13 Elektromagnetiline

Διαβάστε περισσότερα

Koit Timpmann. Füüsika. 9. klassile. Elektriõpetus

Koit Timpmann. Füüsika. 9. klassile. Elektriõpetus Koit Timpmann Füüsika 9. klassile Elektriõpetus Kirjastus Koolibri kinnitab: õpik vastab põhikooli riiklikule õppekavale. Retsenseerinud Venda Paju, Toomas Reimann Toimetaja Aime Kons Kujundaja Tiit Tõnurist

Διαβάστε περισσότερα

horisont KONSTRUEERITUD ELU Bioloogilised poldid, mutrid ja ehituskivid RUKKIAASTAL LEIVAVILJAST

horisont KONSTRUEERITUD ELU Bioloogilised poldid, mutrid ja ehituskivid RUKKIAASTAL LEIVAVILJAST horisont 4 / 2015 JUULI AUGUST HIND 3.90 TUUNITUD LHC PÕRGUTI JA OSAKESTEFÜÜSIKUTE KÕRGED OOTUSED MIS ON AJU PÕHILINE ÜLESANNE? KONSTRUEERITUD ELU Bioloogilised poldid, mutrid ja ehituskivid RUKKIAASTAL

Διαβάστε περισσότερα

Chk1 inhibeerimiseks kasulikud heteroarüüluurea derivaadid

Chk1 inhibeerimiseks kasulikud heteroarüüluurea derivaadid Chk1 inhibeerimiseks kasulikud heteroarüüluurea derivaadid TEHNIKAVALDKOND 5 Leiutis käsitleb ühendeid, mis on kasulikud selliste ensüümide inhibeerimisel, mis säilitavad ja parandavad geneetilise materjali

Διαβάστε περισσότερα

Rein Teinberg: "Põllumajandusloomade geneetika", 7. POPULATSIOONIGENEETIKA. toimetanud M. Viikmaa, "Valgus", Tallinn, 1978.

Rein Teinberg: Põllumajandusloomade geneetika, 7. POPULATSIOONIGENEETIKA. toimetanud M. Viikmaa, Valgus, Tallinn, 1978. Rein Teinberg: "Põllumajandusloomade geneetika", toimetanud M. Viikmaa, "Valgus", Tallinn, 1978 7. POPULATSIOONIGENEETIKA lk 202-215 Põllumajandusloomade geneetika üheks iseärasuseks, võrreldes üldgeneetikaga

Διαβάστε περισσότερα

1300 tel UUDIS! Termotöödeldud puitbriketil SOODUSHIND 1,75 /10kg pakk Maa- ja õhksoojuspumbad Pelletikaminad ja -katlad Pelletite müük

1300 tel UUDIS! Termotöödeldud puitbriketil SOODUSHIND 1,75 /10kg pakk Maa- ja õhksoojuspumbad Pelletikaminad ja -katlad Pelletite müük lk 4 Laaneots: venemaalased on zombistunud lk 6-7 Töökuulutused Nüüd ka 6 kohaline! HELISTA 1300 tel. 515 0068 Nr. 12 (853) 27. märts 2015 UUDIS! Kompaktne ÕHKKÜTTEKATEL Õhuga köetav 2 pindala 200-420m

Διαβάστε περισσότερα

Pesumasin Πλυντήριο ρούχων Mosógép Veļas mašīna

Pesumasin Πλυντήριο ρούχων Mosógép Veļas mašīna ET Kasutusjuhend 2 EL Οδηγίες Χρήσης 17 HU Használati útmutató 34 LV Lietošanas instrukcija 50 Pesumasin Πλυντήριο ρούχων Mosógép Veļas mašīna ZWG 6120K Sisukord Ohutusinfo _ 2 Ohutusjuhised _ 3 Jäätmekäitlus

Διαβάστε περισσότερα

VI. GEENI KONTSEPTSIOON

VI. GEENI KONTSEPTSIOON VI. GEENI KONTSEPTSIOON Geneetikutele on geen (ingl. gene) sama, mis keemikutele aatom. Kuigi geeni mõiste tõi teadusesse alles 1909. a. Wilhelm Johannsen (vt. ptk. I), on elusorganismide tunnuste tekke

Διαβάστε περισσότερα

2 Hüdraulika teoreetilised alused 2.1 Füüsikalised suurused

2 Hüdraulika teoreetilised alused 2.1 Füüsikalised suurused 2 2.1 Füüsikalised suurused Mass m Inertsi ja gravitatsiooni iseloomustaja ning mõõt. Keha mass on SI-süsteemi põhiühik. Massi mõõtühikuks SIsüsteemis on kilogramm. Jõud F Kehade vastastikuse mehaanilise

Διαβάστε περισσότερα

3. Peatükk. KLASSIKALISE ÜLDFÜÜSIKA MÕISTED LIIKUMINE: KINEMAATIKA

3. Peatükk. KLASSIKALISE ÜLDFÜÜSIKA MÕISTED LIIKUMINE: KINEMAATIKA 3. Peatükk. KLASSIKALISE ÜLDFÜÜSIKA MÕISTED LIIKUMINE: KINEMAATIKA Füüsika osa nimega mehaanika on teadus mis käsitleb kehade liikumist ja tasakaalu jõudude mõjul. Klassikaline mehaanika põhilähendused:

Διαβάστε περισσότερα

Kujutise saamine MAGNETRESONANTSTOMOGRAAFIAS (MRT) Magnetic Resonance Imaging - MRI

Kujutise saamine MAGNETRESONANTSTOMOGRAAFIAS (MRT) Magnetic Resonance Imaging - MRI Kujutise saamine MAGNETRESONANTSTOMOGRAAFIAS (MRT) Magnetic Resonance Imaging - MRI Mait Nigul MRT kool, 2011, ERÜ MRT baseerub füüsikalisel nähtuse tuumamagnetresonants avastasid /kirjeldasid1945 aastal

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ %"&'$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-

!#$ %&'$!&!(!)%*+, -$!!.!$(-#$&%- !"#$ %"&$!&!"(!)%*+, -$!!.!$"("-#$&"%-.#/."0, .1%"("/+.!2$"/ 3333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333 4.)!$"!$-(#&!- 33333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

Διαβάστε περισσότερα

5. DETAILI SISEPINNA OMADUSED. ehk. Eelnevast: Ristlõike vastupanuvõime sõltub varda koormamise viisist. σ epüür N. τ epüür. max. Joonis 5.

5. DETAILI SISEPINNA OMADUSED. ehk. Eelnevast: Ristlõike vastupanuvõime sõltub varda koormamise viisist. σ epüür N. τ epüür. max. Joonis 5. 5. DETL SSEPNN OMDUSED 66 5. DETL SSEPNN OMDUSED 5.. Ristlõige kui varda tugevuse mõõt Tugevusanalüüsi oluline küsimus: Kas detaili ristlõike kuju ja mõõtmed on optimaalsed? ek Jäme varras on tugevam,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Püsimagneti liikumine juhtme suhtes

Püsimagneti liikumine juhtme suhtes 2.3. Faraday katsed Suure avastuse sünnihetk on teaduse ajaloos harva teada kuupäevalise täpsusega. Elektromagnetilise induktsiooni avastamine kuulub aga nende harvade erandite hulka. See on nii tänu avastuse

Διαβάστε περισσότερα

1. Mida nimetatakse energiaks ning milliseid energia liike tunnete? Energia on suurus, mis iseloomustab keha võimet teha tööd. Liigid: mehaaniline

1. Mida nimetatakse energiaks ning milliseid energia liike tunnete? Energia on suurus, mis iseloomustab keha võimet teha tööd. Liigid: mehaaniline 1. Mida nimetatakse energiaks ning milliseid energia liike tunnete? Energia on suurus, mis iseloomustab keha võimet teha tööd. Liigid: mehaaniline energia, soojusenergia, tuumaenergia, elektrodünaamiline

Διαβάστε περισσότερα

2. Reostaat Nominaalpingele U 0 = 4,5 V mõeldud elektrilampi

2. Reostaat Nominaalpingele U 0 = 4,5 V mõeldud elektrilampi XI Venemaa (1979) 1. Lend Kuule. Kosmoselaev massiga M = 12 liigub mööda ringorbiii ümber Kuu kõrgusel h = 100 km. Selleks e minna kuundumisorbiidile, lüliaakse lühikeseks ajaks sisse mooor. Düüsis väljalendavae

Διαβάστε περισσότερα

Võite registreerida oma toote parema teeninduse saamiseks: www.electrolux.com/productregistration

Võite registreerida oma toote parema teeninduse saamiseks: www.electrolux.com/productregistration EMS20300...... ET MIKROLAINEAHI KASUTUSJUHEND 2 EL ΦΟΎΡΝΟΣ ΜΙΚΡΟΚΥΜΆΤΩΝ ΟΔΗΓΊΕΣ ΧΡΉΣΗΣ 16 HU MIKROHULLÁMÚ SÜTŐ HASZNÁLATI ÚTMUTATÓ 32 SK MIKROVLNNÁ RÚRA NÁVOD NA POUŽÍVANIE 47 SL MIKROVALOVNA PEČICA NAVODILA

Διαβάστε περισσότερα