Παλεπηζηήκην Μαθεδνλίαο Σκήκα Δθαξκνζκέλεο Πιεξνθνξηθήο. ΣΑΣΙΣΙΚΗ Ι Πεξηγξαθηθή θαη Δπαγσγηθή. Αδακάληηνο Υαξίηνπ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παλεπηζηήκην Μαθεδνλίαο Σκήκα Δθαξκνζκέλεο Πιεξνθνξηθήο. ΣΑΣΙΣΙΚΗ Ι Πεξηγξαθηθή θαη Δπαγσγηθή. Αδακάληηνο Υαξίηνπ"

Transcript

1 Παλεπηζηήκην Μαθεδνλίαο Σκήκα Δθαξκνζκέλεο Πιεξνθνξηθήο ΣΑΣΙΣΙΚΗ Ι Πεξηγξαθηθή θαη Δπαγσγηθή Αδακάληηνο Υαξίηνπ Θεζζαινλίθε 0

2 Πεξηερφκελα ειίδεο Κεθάιαην 0 Δηζαγσγή ζηελ ηαηηζηηθή 3. Ηζηνξηθή Αλαδξνκή 3. Μεηαβιεηέο 4.3 Πιεζπζκνί Γείγκαηα 4 Κεθάιαην 0 Γεηγκαηνιεςία 5. Δίδε Γεδνκέλσλ 5. πιινγή Γεδνκέλσλ 6.3 Σερληθέο Γεηγκαηνιεςίαο 7.4 Γξαθήκαηα 8 Κεθάιαην 3 0 Δπεμεξγαζία ηαηηζηηθψλ Γεδνκέλσλ 0 3. Μέηξα Θέζεσο 0 3. Μέηξα Γηαζπνξάο 3.3 Γηάκεζνο 3.4 Αξηζκεηηθφο Μέζνο Γηαθχκαλζε Ρνπέο-κέηξα Αζπκκεηξίαο θαη Κχξησζεο Κεθάιαην 4 0 Δίδε Πηλάθσλ 3 4. Πίλαθεο απιήο Δηζφδνπ 3 4. Πίλαθεο Γηπιήο Δηζφδνπ 4 Κεθάιαην 5 0 Δηζαγσγή ζηελ Θεσξία ησλ Πηζαλνηήησλ 5 5. Οξηζκνί 5 5. Τπνινγηζκφο Πηζαλφηεηαο Σχπνο ηνπ Bayes πλδπαζηηθή 8 Κεθάιαην 6 0 Σπραίεο Μεηαβιεηέο Οξηζκνί Μέηξα ηπραίσλ Μεηαβιεηψλ 3 Κεθάιαην 7 0 Θεσξεηηθέο θαηαλνκέο Γησλπκηθή Posso Καλνληθή Κεληξηθφ νξηαθφ ζεψξεκα 37 Κεθάιαην 8 0 Παξάγσγεο Καηαλνκέο Ζ X θαη ε G κεγηζηνπηζαλνθάλεηαο(μπ) θαηαλνκή Ζ t θαηαλνκή ( Studet) Ζ F θαηαλνκή Πίλαθαο Ε θαηαλνκήο Πίλαθαο Υ θαηαλνκήο Πίλαθαο t θαηαλνκήο 46

3 Κεθάιαην 0 Δηζαγσγή ζηελ ηαηηζηηθή. Ιζηνξηθή Αλαδξνκή Ζ ηαηηζηηθή ζεσξείηαη σο µία απφ ηηο λεφηεξεο αιιά παξάιιεια απφ ηηο πην εμειίμηµεο επηζηήµεο. ήµεξα απνηειεί απαξαίηεην θαη ζεµαληηθφ «εξγαιείν» ζηελ Οηθνλνµία, ηε Γεµφζηα Γηνίθεζε, ηελ Ηαηξηθή θαη ζε µηα ζεηξά άιισλ επηζηεµψλ. Ο φξνο «ηαηηζηηθή» πξνέξρεηαη απφ ηε ιέμε Status πνπ ζεµαίλεη θξάηνο, ζπλεπψο ζεσξείηαη βέβαην φηη ε επηζηήµε απηή εµθαλίζηεθε επζχο µφιηο άξρηζαλ λα δεµηνπξγνχληαη ππνηππψδεηο θνηλσληθέο νµάδεο αλζξψπσλ, νη πξψηεο «θνηλσλίεο», πνπ ππήξμαλ πξνάγγεινη ησλ κεηέπεηηα θξαηψλ. Ωο αξρή µπνξεί λα ζεσξεζνχλ νη απνγξαθέο ηνπ πιεζπζµνχ ζηελ αξραηφηεηα, ελψ ζηαηηζηηθά ζηνηρεία γηα ηνλ πιεζπζµφ, ην εηζφδεµα, ηελ θνξνινγία θαη ηηο ζηξαηησηηθέο δπλάµεηο αλαθέξνληαη ζε έξγα ηνπ Ζξνδφηνπ ηνπ Θνπθπδίδε ηνπ Ξελνθψληα θαη ηνπ Αξηζηνηέιε. ηε Βίβιν ζεκεηψλεηαη φηη ν Βαζηιηάο Γαπίδ (000 π.ρ.) έθαλε απνγξαθή πξνθεηµέλνπ λα δηαπηζηψζεη ηνλ αξηζµφ ησλ ηθαλψλ γηα πφιεµν αλδξψλ. Ο Καίζαξ Αχγνπζηνο ηε ρξνληά ηεο γέλλεζεο ηνπ Υξηζηνχ έθαλε απνγξαθή πιεζπζµνχ ηεο ηφηε Ρσκατθήο Απηνθξαηνξίαο. πζηεµαηνπνηήζεθε θαη εµθαλίζηεθε σο απηνηειήο επηζηήµε ζηα µέζα ηνπ 7 νπ αηψλα απφ ηνλ Corg (600-68), ν νπνίνο θαη ηελ θαζηέξσζε ζηελ αλψηαηε παηδεία. Σνπο κεηέπεηηα αηψλεο έγηλαλ δηάθνξεο έξεπλεο θαη δεµνζηεχζεηο ησλ J. Graut (60-674), W. Petty (63-687), Δ. Halley (656-74), J.B. Colbert (69-683), G. Achewall (79-77), J. Sυssmlch (70-767) πάληα µέζα ζηα ζηελά φξηα ηεο θαινχµελεο Πεξηγξαθηθήο ηαηηζηηθήο, θαη µφλν µεηά ηελ αλάπηπμε ησλ ηπρεξψλ παηρληδηψλ θαη ηελ παξνπζίαζε ησλ λφµσλ ηνπ ηπραίνπ, Bayes, Beroull, Gauss, Fermat, Laplace, Pascal θ.ι.π. ζηηο αξρέο ηνπ 9 αηψλα γλψξηζε αιµαηψδε αλάπηπμε. Θεµειησηέο ζεσξνχληαη νη Que telet Galto, Gram, Pearso, Yule θ.ά. ( ), Charler, Fsher, ηηο µέξεο µαο, δεδνµέλνπ φηη δελ ππάξρεη Δπηζηήµε πνπ λα µε ρξεζηµνπνηεί ηε ηαηηζηηθή Δπηζηήµε θαη µε ηελ ηαπηφρξνλε αλάπηπμε ησλ ηαηηζηηθψλ παθέησλ ησλ Η/Υ, φπνπ μεπεξάζηεθε ην πξφβιεµα ησλ δπζθνιηψλ ζηελ επεμεξγαζία ππεξάξηζµσλ ζηνηρείσλ ζε έθηαζε θαη ρξφλν πνπ απαηηείηαη, ν φξνο ηαηηζηηθή εμεηδηθεχηεθε ζην γλσζηηθφ αληηθείµελν ηεο 3

4 εθαξµνγήο θαη έηζη έδσζε δηάθνξεο νλνκαζίεο φπσο Βηνζηαηηζηηθή, Βηνµεραληθή ηαηηζηηθή, Αγξνηηθή ηαηηζηηθή, ηαηηζηηθή ηεο Απαζρφιεζεο, Μαζεµαηηθή ηαηηζηηθή, Statstcs for busess, Statstcs for ecoomcs, ηαηηζηηθέο έξεπλεο θιπ. Έηζη ζεσξείηαη δίθαηα ην πξσηαξρηθφ ζηάδην αλάιπζεο, πνπ ρξεηάδεηαη λα θαηέρεη θάζε επηζηήµνλαο, ψζηε λα ην ρξεζηµνπνηεί πάληα ψζηε λα ηεθµεξηψλεη ηηο απφςεηο θαη ηηο πξνηάζεηο ηνπ. Γη απηφ θαη ζ φια ζρεδφλ ηα εθαξµνζµέλα Παλεπηζηεµηαθά ηµήµαηα θαη ρνιέο ε ηαηηζηηθή απνηειεί βαζηθφ µάζεµα ηνπ πξνγξάµµαηνο πνπδψλ ηνπο.. Μεηαβιεηέο ηελ ζηαηηζηηθή ηα δηάθνξα ραξαθηεξηζηηθά ηεο κνλάδαο (άηνκν ή αληηθείκελν) νλνκάδνληαη «κεηαβιεηέο». Γειαδή, κεηαβιεηή νλνκάδεηαη ην ζπγθεθξηκέλν ραξαθηεξηζηηθφ ηεο κνλάδαο πνπ ηα ελδηαθέξεη. Αλ πάξνπκε σο παξάδεηγκα ηελ παξαγσγή ηνπ πξντφληνο ζε έλα εξγνζηάζην πνπ θαηαζθεπάδεη ζεξκνζίθσλεο. Γελ ιέκε ην ραξαθηεξηζηηθφ ζεξκνζίθσλεο αιιά πξνηηκάκε λα πνχκε ε κεηαβιεηή ζεξκνζίθσλεο. ε κηα θηελνηξνθηθή κνλάδα αγειάδσλ γηα ηελ πνζφηεηα ηνπ παξαγφκελνπ γάιαθηνο ζε εκεξήζηα βάζε, δελ ρξεζηκνπνηείηαη ν φξνο ην ραξαθηεξηζηηθφ γάια ή βάξνο γάιαθηνο, αιιά φηη ε κεηαβιεηή είλαη ην γάια. Δδψ έρνπκε ηελ επθαηξία λα δνχκε ηα δπν βαζηθά δηαθνξεηηθά είδε δεδνκέλσλ. ηελ πξψηε πεξίπησζε πνπ ιέκε γηα ηελ κεηαβιεηή ζεξκνζίθσλεο ζα έρνπκε απνθιεηζηηθά αθέξαηεο ηηκέο. ηελ πεξίπησζε πνπ νη ηηκέο είλαη δηαθξηηέο ιέκε φηη δεδνκέλα καο είλαη αζπλερή. Όηαλ ηα έρνπκε δεδνκέλα πνπ κπνξνχλ λα πάξνπλ νπνηαδήπνηε ηηκή ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ, φπσο κε ην βάξνο ηνπ γάιαθηνο ηφηε ιέκε φηη έρνπκε ζπλερή δεδνκέλα. Σα δπν βαζηθά είδε δεδνκέλσλ είλαη ηα αζπλερή θαη ηα ζπλερή πνπ φπσο ζα δνχκε ζηελ ζπλέρεηα ρξεηάδνληαη δηαθνξεηηθφ ηξφπν επεμεξγαζίαο απηψλ ησλ δεδνκέλσλ γηα λα θαηαιήμνπκε ζε ζπκπεξάζκαηα..3 Πιεζπζκνί Γείγκαηα Με ηελ έλλνηα πιεζπζκφο ελλννχκε ην ζχλνιν ησλ δεδνκέλσλ πνπ κπνξνχκε λα έρνπκε απφ κηα κεηαβιεηή ρ. Αλ ιάβνπκε ππ φςηλ π.ρ. ην ζχλνιν ησλ θηελνηξνθηθψλ κνλάδσλ ηνπ λνκνχ Θεζζαινλίθεο,απηφ κπνξεί λα ζεσξεζεί ζαλ πιεζπζκφο, ελψ κπνξεί λα ζεσξεζεί ζαλ πιεζπζκφο θαη ην 4

5 ζχλνιν ησλ κνλάδσλ ηεο Μαθεδνλίαο ή αθφκε ηεο Διιάδνο Βιέπνπκε ινηπφλ φηη ε έλλνηα πιεζπζκφο θαζνξίδεηαη απφ ηελ κνξθή ηεο έξεπλαο. Όηαλ ζέινπκε λα βγάινπκε ζπκπεξάζκαηα γηα ην ζχλνιν ηνπ παξαγφκελνπ γάιαθηνο ηνπ λνκνχ Θεζζαινλίθεο, ηφηε ν λνκφο απνηειεί ηνλ πιεζπζκφ. Δίλαη βαζηθφ αλαιφγσο ηα έξεπλαο λα θαζνξίζνπκε ζσζηά ηνλ πιεζπζκφ. ηηο πεξηζζφηεξεο πεξηπηψζεηο ν πιεζπζκφο είλαη εμαηξεηηθά κεγάινο φπνηε ε έξεπλα είλαη θνπηψδεο, πεξίπινθε θαη αζχκθνξε νηθνλνκηθά Δδψ αθξηβψο ρξεηαδφκαζηε ηελ βνήζεηα ηα ηαηηζηηθήο πνπ απφ έλα κέξνο ηνπ πιεζπζκνχ κπνξνχκε λα βγάινπκε επαξθή θαη αθξηβή ζηνηρεία γηα ην ζχλνιν ηνπ πιεζπζκνχ. Σν κέξνο ηνπ πιεζπζκνχ πνπ ρξεζηκνπνηείηαη γηα λα βγάινπκε ηα ζπκπεξάζκαηα καο νλνκάδεηαη δείγκα. Δίλαη ζεκαληηθφ λα βξνχκε ηξφπνπο ψζηε λα έρνπκε ην ζσζηφ δείγκα γηαηί κφλν ηφηε κφλν κπνξνχκε λα έρνπκε ζσζηά θαη αζθαιή ζπκπεξάζκαηα γηα ην ζχλνιν ηνπ πιεζπζκνχ. Απηά ζα ηα κειεηήζνπκε ζην επφκελν θεθάιαην ηελ δεηγκαηνιεςία. Κεθάιαην 0 Γεηγκαηνιεςία. Δίδε δεδνκέλσλ ην πξνεγνχκελν είδακε δπν απφ ηα βαζηθά είδε δεδνκέλσλ ηα ζπλερή θαη ηα αζπλερή ή δηαθξηηά. Τπάξρνπλ φκσο, θαη άιια δπν βαζηθά είδε δεδνκέλσλ, ηα πνζνηηθά θαη ηα πνηνηηθά. Όηαλ ηα δεδνκέλα κπνξνχλ λα αληηζηνηρεζνχλ ζε θάπνην αξηζκφ πνπ ηα ραξαθηεξίδεη ηφηε ιέκε φηη έρνπκε πνζνηηθά δεδνκέλα. Σα είδακε πξνεγνπκέλσο ε πνζφηεηα ηνπ γάιαθηνο ή παξαγσγή ησλ ζεξκνζηθψλσλ είλαη πνζνηηθά δεδνκέλα. Τπάξρεη φκσο θαη κηα δεχηεξε θαηεγνξία δεδνκέλσλ, πνπ είλαη ηα πνηνηηθά, πνπ δελ κπνξνχλ λα αληηζηνηρεζνχλ αξηζκεηηθά. αλ παξάδεηγκα αλαθέξσ ην ρξψκα ησλ καηηψλ, ε πνηφηεηα ηνπ γάιαθηνο ζην παξάδεηγκα ησλ θηελνηξνθηθψλ κνλάδσλ ή αθφκα θαη πνηφηεηα ησλ ζεξκνζηθψλσλ. Μπνξνχκε λα αληηζηνηρήζνπκε ζηα πεξηζζφηεξα ησλ πνηνηηθψλ ραξαθηεξηζηηθψλ έλα αξηζκφ ψζηε λα κπνξέζνπκε λα ηα ζπγθξίλνπκε. Να ζεσξήζνπκε π.ρ. πέληε θαηεγνξίεο πνηφηεηαο γάιαθηνο ή νκνίσο πέληε θαηεγνξίεο πνηφηεηαο ζεξκνζηθψλσλ. Τπάξρνπλ φκσο πεξηπηψζεηο φπσο κε ην ρξψκα ησλ καηηψλ, πνπ ππάξρεη πξαγκαηηθή δπζθνιία θαηεγνξηνπνίεζεο, ψζηε λα κπνξέζνπλ λα εμαρζνχλ ζπκπεξάζκαηα. ε απηήλ ηελ πεξίπησζε κπνξνχκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε έλα επί πιένλ ραξαθηεξηζηηθφ γηα λα θαηνξζψζνπκε λα 5

6 δεκηνπξγήζνπκε θαηεγνξίεο. Δθείλν πνπ είλαη εχθνιν λα παξαηεξεζεί είλαη φηη ηα πνηνηηθά ραξαθηεξηζηηθά ρξεζηκνπνηνχληαη πάληα σο δηαθξηηά ελψ ηα πνζνηηθά κπνξεί λα είλαη αζπλερή ή ζπλερή.. πιινγή δεδνκέλσλ Σα δεδνκέλα είλαη δπν εηδψλ. Αλ πξνέξρνληαη απφ ην ζχλνιν ηνπ πιεζπζκνχ ή απφ δείγκαηα. ηελ πξψηε πεξίπησζε ε δεηγκαηνιεςία νλνκάδεηαη απνγξαθή. πλήζσο αθνξά ηελ απνγξαθή ηνπ πιεζπζκνχ κηαο ρψξαο θαη φζσλ ραξαθηεξηζηηθψλ απηνχ θξίλνληαη απαξαίηεηα. Γηα λα είλαη ζσζηή ε απνγξαθή απαηηνχληαη ηα θαηάιιεια άηνκα πνπ ζα ηελ δηελεξγήζνπλ θαη νη εξσηήζεηο λα είλαη ζαθείο θαη λα κελ επηδέρνληαη δηπιήο απάληεζεο. ε πεξίπησζε δεηγκαηνιεςίαο ρξεηάδνληαη απαξαηηήησο νη παξαθάησ θαλφλεο γηα ην δείγκα: ) Αληηθεηκεληθφ ) Αληηπξνζσπεπηηθφ 3) Αμηφπηζην 4) πγθξηηηθφ Γηα λα γίλεη απηφ πην θαηαλνεηφ ρξεζηκνπνηψ ην παξαθάησ παξάδεηγκα. Θέισ λα πάξσ δείγκα ησλ εκπνξηθψλ θαηαζηεκάησλ κηαο πφιεο. ε απηήλ ηελ πεξίπησζε πξέπεη ηα θαηαζηήκαηα λα έρνπλ κφλν ηελ ηδηφηεηα ηνπ εκπνξηθνχ θαη φρη δηπιή ρξήζε. Πξέπεη λα δηαιέμσ ηνλ ζσζηφ αξηζκφ ησλ θαηαζηεκάησλ αλά πεξηνρή θαη ηέινο λα είλαη αληηπξνζσπεπηηθφ ηνπ πξαγκαηηθνχ αξηζκνχ ηεο πφιεο. Έλα βαζηθφ ζηνηρείν είλαη νη ηηκέο πνπ έρνπκε απφ ηα δεδνκέλα καο. Αλ νη ηηκέο είλαη π.ρ. ζε κηα έξεπλα 3 θαηαζηήκαηα 5 άλζξσπνη ηφηε νη ηηκέο ραξαθηεξίδνληαη σο απφιπηεο θαη ζπκβνιίδνληαη κε f. Παξάδεηγκα 0 Σε ένα πειπαμαηιζμό ινδικών σοιπιδίων, σπεζιμοποιούνηαι 5 διαθοπεηικέρ μεηασειπίζειρ(ζιηεπέζια), ηα δε βάπε ηα παποςζίαζαν ηα παπακάηω αςξήζειρ : Α Β Γ Γ Δ

7 Οη ηηκέο πνπ έρνπκε ραξαθηεξίδνληαη ζπρλφηεηεο. Έρνπκε ινηπφλ φηη γηα ην πξψην ζηηεξέζην f = 6 έσο f 5.Οκνίσο θαη γηα ηα άιια. Αιιά κπνξνχκε λα ηα ζεσξήζνπκε θαη φια καδί, νπφηε έρνπκε ηνλ παξαθάησ πίλαθα: Α: f =6 f 7 =7,B: f 8 =5 f 6 =7 θαη ηέινο γηα ην Δ: f 33 =7 κέρξη ην ηειεπηαίν f 40 =0. Έθηνο απφ ηα απφιπηεο ζπρλφηεηεο ρξεζηκνπνηνχκε θαη ηα ζρεηηθέο ζπρλφηεηεο. Απηέο αλ πξνζζέζνπκε ην ζχλνιν ησλ απνιχησλ ζπρλνηήησλ θαη δηαηξέζνπκε θάζε απφιπηε ζπρλφηεηα κε απηφλ ηνλ αξηζκφ ην πξνεγνχκελν παξάδεηγκα έρνπκε φηη ην ζχλνιν ησλ απνιχησλ ζπρλνηήησλ είλαη 39. Οπφηε ε ζρεηηθή ζπρλφηεηα γηα ηελ ηηκή f =6 είλαη 0.0 θαη ζπκβνιίδεηαη κε p =0.0. Δδψ πξέπεη λα ζεκεηψζνπκε φηη 40 p. Με άιια ιφγηα νη ζρεηηθέο ζπρλφηεηεο αληηπξνζσπεχνπλ ηηο πηζαλφηεηεο πνπ έρεη λα ζπκβεί έλα ζπκβάλ..3 Σερληθέο δεηγκαηνιεςίαο Έρνπκε δπν βαζηθέο κεζφδνπο, ηελ απιή ηπραία δεηγκαηνιεςία θαη ηελ ζπζηεκαηηθή(θαηά ζηξψκαηα) δεηγκαηνιεςία. ηελ πξψηε πεξίπησζε θαηά ηπραίν ηξφπν επηιέγνπκε ηα δείγκαηα. Αλ π.ρ. ζέισ λα ππνινγίζσ ην κέζν χςνο κηαο νκάδνο αηφκσλ, κπνξψ ρξεζηκνπνηψληαο κηα νπνηαδήπνηε κέζνδν ηπραίαο επηινγήο λα δεκηνπξγήζσ δείγκα θαηφπηλ θιήξσζεο. Σν δείγκα ζε απηήλ ηελ πεξίπησζε είλαη αληηθεηκεληθφ αιιά δελ είλαη αληηπξνζσπεπηηθφ, αμηφπηζην θαη ηέινο ζπγθξηηηθφ. ε απιέο πεξηπηψζεηο κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί απηή ε κέζνδνο αιιά δελ είλαη πνιχ αμηφπηζηε. Ζ δεχηεξε βαζηθή κέζνδνο ηα πνπ δίδεη πνιχ θαιιίηεξα απνηειέζκαηα είλαη ζπζηεκαηηθή(θαηά ζηξψκαηα) δεηγκαηνιεςία. ε απηήλ ηελ πεξίπησζε γηα ην ίδην πξνεγνχκελν παξάδεηγκα ε δεηγκαηνιεςία κπνξεί λα γίλεη κε θιήξσζε ψζηε ην δείγκα ηα λα εμαθνινπζεί λα είλαη αληηθεηκεληθφ, αιιά ην ρσξίδνπκε ζε νκάδεο π.ρ. αλδξψλ γπλαηθψλ θαη απφ θάζε νκάδα παίξλνπκε 7

8 ηνλ θαηάιιειν αξηζκφ σο πξνο ην ζχλνιν ψζηε λα είλαη αληηπξνζσπεπηηθφ, αμηφπηζην θαη ηέινο ζπγθξηηηθφ. Δπί πιένλ κπνξνχκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε θαη άιια ζηνηρεία φπσο ηελ θαηαγσγή, ηελ θνηλσληθή, ηελ νηθνλνκηθή θαη πνιηηηζηηθή θαηάζηαζε. ε απηήλ ηελ πεξίπησζε έρνπκε θαηά ζηξψκαηα επηινγή θαη κπνξνχκε λα βγάινπκε πνιιά επί πιένλ ρξήζηκα ζπκπεξάζκαηα..4 Γξαθήκαηα Σα δηαγξάκκαηα είλαη έλαο ηξφπνο παξνπζίαζεο ησλ ζπκπεξαζκάησλ κηαο έξεπλαο ψζηε λα είλαη θαηαλνεηά απφ ην ζχλνιν ηνπ θφζκνπ θαη φρη κφλν απφ ηα εηδηθνχο, θαη επί πιένλ δίδνπλ ηελ ζπλνιηθή εηθφλα ρσξίο αξηζκεηηθά δεδνκέλα πνπ είλαη δχζθνια λα αμηνινγεζνχλ θαη λα απνκλεκνλεπζνχλ. Σα δηαγξάκκαηα είλαη βαζηθά δπν εηδψλ. Πξψην είδνο είλαη ηα γξακκηθά θαη δεχηεξν είδνο είλαη ηα θπθιηθά. Σα γξακκηθά απνηεινχληαη απφ ηα αθηδσηά θαη ηα ξαβδνεηδή. ηα αθηδσηά δηαγξάκκαηα έρνπκε ζε έλα ζχζηεκα δπδηάζηαησλ νξζνγσλίσλ αμφλσλ π.ρ. Υ θαη Τ, ηελ κεηαβνιή ηνπ κεγέζνπο κηαο ή πεξηζζνηέξσλ κεηαβιεηψλ ελ ζρέζε κε κηα άιιε κεηαβιεηή ή ζηελ δηάξθεηα ηνπ ρξφλνπ. Παξάδεηγκα 0 Θέινληαο λα δνχκε ηελ παξαγσγή θαιακπνθηνχ ζε κηα πεξηνρή ηεο ρψξαο θάλακε ην παξαθάησ πείξακα. Υξεζηκνπνηήζακε 4 πνηθηιίεο θαιακπνθηνχ ζε 5 δηαθνξεηηθά πεξηνρέο. Ζ απφδνζε ζε θηιά ήηαλ : Πνηθηιίεο Καιακπνθηνχ Πεξηνρέο 3 4 6,8 6.4,6 8,,4 7, ,8 3 4,6 9,4 0, 7,4 4 9, 8, 9,0 7, ,6 9,8 6,4 Θέινπκε λα δνχκε απηήλ κεηαβνιή ηεο παξαγφκελεο πνζφηεηαο ησλ πνηθηιηψλ ηνπ θαιακπνθηνχ ελ ζρέζε κε ηα έηε κε ηελ βνήζεηα ελφο αθηδσηνχ γξαθήκαηνο. 8

9 Ποικιλίες Καλαμπ οκιού Ποζόηηηες Περιοχές Σν ίδην παξάδεηγκα κπνξεί λα απεηθνληζζεί θαη σο ξαβδνεηδέο δηάγξακκα: Ποικιλίες Καλαμποκιού Ποζόηηηες Περιοχές Σα ξαβδνεηδή δηαγξάκκαηα κπνξνχλ λα απεηθνληζζνχλ θαη σο γξαθήκαηα ηξηψλ δηαζηάζεσλ. Έλα άιιν είδνο γξαθεκάησλ πνπ απεηθνλίδνπλ ηελ ζρέζε κεγέζνπο κεηαμχ δηαθνξεηηθψλ κεηαβιεηψλ είλαη ηα θπθιηθά δηαγξάκκαηα. Παξάδεηγκα 3 0 9

10 ε έλα έιεγρν παξαγσγήο ιαδηνχ απφ δηαθνξεηηθέο ηνπνζεζίεο, ηπραία εθιεγκέλεο, ρξεζηκνπνηήζεθαλ θαηά ηπραίν ηξφπν 6 δηαθνξεηηθέο κέζνδνη θαη αλά θ.κ. ειηψλ πήξακε ζε ιίηξα ηα παξαθάησ πνζφηεηεο ιαδηνχ: Μέζνδνη : Πνζφηεηεο : λα θαηαζθεπαζζεί ην θπθιηθφ δηάγξακκα πνπ δείρλεη ην κέγεζνο παξαγσγήο ησλ πνζνηήησλ παξαγσγήο ιαδηνχ αλαιφγσο ηα κεζφδνπ. Μέθοδοι Κεθάιαην 3 0 Δπεμεξγαζία ηαηηζηηθώλ Γεδνκέλσλ 3. Μέηξα ζέζεσο Μεηαμχ ησ κεζφδσλ πνπ ρξεζηκνπνηνχληαη ζηελ ηαηηζηηθή γηα ηελ εμαγσγή ζπκπεξαζκάησλ είλαη ε εχξεζε αξηζκεηηθψλ ηηκψλ πνπ πεξηγξάθνπλ έλα ζχλνιν δξαζηεξηνηήησλ. Οη αξηζκεηηθέο ηηκέο νλνκάδνληαη κέηξα. ηελ πεξίπησζε πνπ πξνζδηνξίδνπλ ηελ ζέζε κηαο κεηαβιεηήο νλνκάδνληαη κέηξα ζέζεσο. Σα κέηξα ζέζεσο είλαη : ) Ο αξηζκεηηθφο κέζνο ) Ο γεσκεηξηθφο κέζνο 3) Ο αξκνληθφο κέζνο 4) Ζ δηάκεζνο 5) Σα ηεηαξηεκφξηα- δεθαηεκφξηα-εθαηνζηεκφξηα 6) Σν ζεκείν κεγίζηεο ζπρλφηεηαο ή ηχπνο Οη ηηκέο πνπ πξνζδηνξίδνληαη απφ ηηο αξηζκεηηθέο ηηκέο ησλ κέηξσλ ζέζεο θαη φπσο αξγφηεξα ζα δνχκε θαη απφ ηα κέηξα δηαζπνξάο νλνκάδνληαη παξάκεηξνη ή ζηαηηζηηθά. Παξάκεηξνη νλνκάδνληαη φηαλ 0

11 καο δίδνπλ ζηνηρεία γηα ηα πιεζπζκνχο, ελψ φηαλ καο δίδνπλ ζηνηρεία γηα ην δείγκα νλνκάδνληαη ζηαηηζηηθά. 3. Μέηξα Γηαζπνξάο Οη κέζνδνη πνπ πεξηγξάςακε πξνεγνχκέλνο έρνπλ ζαλ ζθνπφ λα εθηηκήζνπλ ηελ ηάζε ή ηελ ζέζε ηα πιεζπζκνχ ή δείγκαηνο. Όηαλ ηα ρξεηαδφκαζηε γηα λα βγάινπκε ζπκπέξαζκα γηα ην ζχλνιν ησλ παξαηεξήζεσλ απφ κηα παξάκεηξν, απηή ε αξηζκεηηθή ηηκή νλνκάδεηαη κέηξν δηαζπνξάο. Σα κέηξα δηαζπνξάο είλαη: )Ζ δηαθχκαλζε ) Ζ ηππηθή απφθιηζε 3) Σν εχξνο πνπ ραξαθηεξίδεη ηελ παξάκεηξν, Οη κέζνδνη πνπ δίδνπλ ηα ηηκέο δηαζπνξάο είλαη ζεκαληηθφ λα αλαθέξνληαη ζε νκνηνγελή ζχλνια γηαηί αιιηψο ράλνπλ ηελ αμηνπηζηία ηνπο. Έλα ζχλνιν ραξαθηεξίδεηαη νκνηνγελέο φηαλ δελ έρνπκε «αθξαίεο» δηαθνξέο κεηαμχ ησλ ηηκψλ ηνπ. Σα κέηξα δηαζπνξάο πξέπεη λα επεξεάδνληαη απφ ηα δηαθνξέο ησλ ηηκψλ θαη φρη απφ ηελ ζέζε ηνπο θαη λα κεηαβάιινληαη αληίζηξνθα κε ηελ ζπγθέληξσζε ησλ ηηκψλ γχξσ απφ ηελ παξάκεηξν ζέζεο. 3.3 Γηάκεζνο Ζ δηάκεζνο είλαη εθείλν ην ζηαηηζηηθφ κέγεζνο πνπ ραξαθηεξίδεη ηελ κέζε ηηκή ψζηε νη κηζέο ηηκέο λα είλαη κηθξφηεξεο απφ απηήλ θαη νη κηζέο κεγαιχηεξεο ηεο. πκβνιίδεηαη κε Μ.Έρνπκε δηαθνξεηηθέο πεξηπηψζεηο ππνινγηζκνχ ηεο. ε πεξίπησζε είλαη λα έρνπκε πεξηηηφ αξηζκφ παξαηεξήζεσλ νπφηε ε ηηκή ηα πξνζδηνξίδεηαη αθξηβψο απφ ηελ ζέζε ηα πνπ δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν. Παξάδεηγκα 4 0 Έζησ φηη έρνπκε ηα παξαθάησ 7 ζπρλφηεηεο: α/α f

12 Ζ ζέζε θαη απφ απηήλ ε ηηκή ηα πξνζδηνξίδεηαη βάζε ηνπ ηχπνπ ηα δηακέζνπ είλαη: Μ=9. φηη είλαη 7 4. Άξα ε ηηκή ε πεξίπησζε είλαη λα έρνπκε άξηην αξηζκφ παξαηεξήζεσλ νπφηε ε ηηκή ηεο πξνζδηνξίδεηαη απφ ηελ κέζε ηηκή ησλ δπν παξαηεξήζεσλ, πνπ βξίζθνληαη αλάκεζα ηεο ζέζεο πνπ πξνζδηνξίδεηαη απφ ηνλ ηχπν. Παξάδεηγκα 5 0 Έζησ φηη έρνπκε ηα παξαθάησ ζπρλφηεηεο: ε ε 3ε 4ε 5ε 6ε 7ε 8ε f : Ζ ζέζε ηα ζα είλαη = 4,5, δειαδή κεηαμχ ησλ ηηκψλ 4 θαη 5. Άξα ε ηηκή ηα ζα είλαη, δειαδή Μ=49. 3 ε πεξίπησζε είλαη λα έρνπκε ηαμηλνκεκέλεο παξαηεξήζεηο. ηελ πεξίπησζε απηή ε ζέζε ηεο δηακέζνπ πξνζδηνξίδεηαη απφ ηηο αληίζηνηρεο αζξνηζηηθέο ζπρλφηεηεο. Ζ κεγαιχηεξε ηηκή ησλ αζξνηζηηθψλ ζπρλνηήησλ απφ ηεο δπν πνπ αληηζηνηρεί ε ζέζε πνπ πξνζδηνξίδεηαη απφ ηελ f είλαη ε ηηκή ηα δηακέζνπ. Αλ ε ηηκή ηα ζπκπίπηεη αθξηβψο κε ηελ ηηκή ηα αζξνηζηηθήο ζπρλφηεηαο, ε ηηκή πνπ αληηζηνηρεί ζ απηήλ είλαη ε ηηκή ηα δηακέζνπ Παξάδεηγκα 6 0 ζε έλα κάζεκα. Γίδεηαη ν πίλαθαο βαζκνινγίαο θνηηεηψλ κε ηνλ αληίζηνηρν βαζκφ ηνπο Βαζκνί Αξηζκφο Φνηηεηψλ

13 Να ππνινγηζζεί ν δηάκεζνο βαζκφο. Λχζε: Πξέπεη λα ππνινγίζνπκε ηελ αζξνηζηηθή ζπρλφηεηα Ζ ηηκή 0 f 60,5 Βαζκνί Αξηζκφο Φνηηεηψλ Αζξνηζηηθή πρλφηεηα βξίζθεηαη αλάκεζα ηα αζξνηζηηθήο ζπρλφηεηαο 60 θαη 78. Οπφηε ε ηηκή ηα Μ είλαη 6 πνπ αληηζηνηρεί ζηελ κεγαιχηεξε απφ ηηο δπν αζξνηζηηθέο ζπρλφηεηεο. Απηφ ζεκαίλεη φηη ην 50% ησλ θνηηεηψλ έρεη πάξεη βαζκφ 6 ή κεγαιχηεξν θαη ην άιιν 50% κηθξφηεξν ηνπ 6. 4 ε πεξίπησζε Οκαδνπνηεκέλεο παξαηεξήζεηο.. απηήλ ηελ πεξίπησζε ε ζέζε ηεο δηακέζνπ πξνζδηνξίδεηαη απφ ηηο αληίζηνηρεο αζξνηζηηθέο ζπρλφηεηεο. Ζ κεγαιχηεξε ηηκή απφ ηηο δπν f νκαδνπνηεκέλεο παξαηεξήζεηο είλαη ε ζέζε ηεο δηακέζνπ πνπ πξνζδηνξίδεηαη απφ ηελ. Ο ππνινγηζκφο δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν Όπνπ w M x ( F) f x ε κηθξφηεξε ηηκή ηεο νκάδνο πνπ αληηζηνηρεί ε δηάκεζνο. 3

14 W ην εχξνο ηεο νκάδνο f ε ζπρλφηεηα ηεο νκάδνο F ε κηθξφηεξε αζξνηζηηθή ζπρλφηεηα απφ ηηο δχν πνπ αληηζηνηρεί ε ζέζε ηα δηακέζνπ. Δάλ ε ζέζε ηα δηάκεζνπ ζπκπίπηεη κε ηελ ηηκή ηνπ ελφο απφ ηα δπν άθξα ηα νκαδνπνηεκέλεο παξαηήξεζεο ηφηε ε κεγαιχηεξε εθ ησλ ηηκψλ ησλ δχν άθξσλ είλαη ε ηηκή ηα δηακέζνπ. Παξάδεηγκα 7 0 Γίδνληαη νη κεληαίεο απνδνρέο ζε ησλ εξγαηψλ ηα επηρείξεζεο. Απνδνρέο Αξηζ. Δξγαηψλ Να επξεζεί ε δηάκεζνο ηηκή ησλ κεληαίσλ απνδνρψλ ησλ εξγαηψλ. Βξίζθνπκε ηα αζξνηζηηθέο ζπρλφηεηεο: Ζ ζέζε ηα δηακέζνπ ζα είλαη Απνδνρέο Αξηζ. Δξγαηψλ F f 00 = 00.Άξα ζα βξίζθεηαη κεηαμχ ηεο αζξνηζηηθήο ζπρλφηεηαο 9θαη 47. απηήλ ηε πεξίπησζε δηαιέγνπκε ην δηάζηεκα πνπ αληηζηνηρεί ζηελ κεγαιχηεξε ησλ δπν ηηκψλ, δειαδή ηελ 47 θαη απηφ είλαη Δθαξκφδνπκε ηνλ ηχπν γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηα Μ θαη έρνπκε 4

15 w M x ( F) f 00 =850+ (00 9) = Δπνκέλσο νη κηζνί εξγάηεο ζα έρνπλ απνδνρέο κεγαιχηεξεο ησλ 864,55 θαη νη άιινη κηζνί κηθξφηεξεο απηνχ ηνπ πνζνχ. Με ηνλ ίδην ηξφπν ππνινγίδνληαη θαη ηα ηεηαξηεκφξηα δεθαηεκφξηα- εθαηνζηεκφξηα. Απφ απηά ηα πιένλ ρξήζηκα είλαη ηα ηεηαξηεκφξηα. Ο ππνινγηζκφο ηα γίλεηαη κε ηνλ ίδην ηξφπν κε ηελ δηάκεζν κε ηελ εμήο κφλν δηαθνξά. Σν πξψην ηεηαξηεκφξην ζπκβνιίδεηαη κε Q /4 θαη βξίζθεηαη ζην ζεκείν /4,ην δεχηεξν κε Q /4 =Q / θαη είλαη ίδην κε ην ζεκείν ηεο δηακέζνπ, ελψ ηέινο ην ηξίην κε Q 3/4 θαη βξίζθεηαη ζην ζεκείν 3/ Αξηζκεηηθόο κέζνο Ο αξηζκεηηθφο κέζνο ππνινγίδεηαη κε δηαθνξεηηθνχο ηξφπνπο αλαιφγσο ηνπ είδνπο ησλ δεδνκέλσλ πνπ έρνπκε ζηελ δηάζεζε καο. εκεηψλνπκε εδψ φηη ν κέζνο ηνπ πιεζπζκνχ ζπκβνιίδεηαη κε κ θαη πξαθηηθά είλαη ζρεδφλ αδχλαην λα ππνινγηζζεί πιελ εηδηθψλ πεξηπηψζεσλ, ελψ ν δεηγκαηηθφο κέζνο ζπκβνιίδεηαη κε πάληα λα ππνινγηζζεί απφ ην δείγκα. x θαη κπνξεί ηελ απιή πεξίπησζε έρνπκε αξηζκεηηθά δεδνκέλα ηνπ δείγκαηνο. Σφηε ην ζπλνιηθφ άζξνηζκα ησλ δεδνκέλσλ αλ δηαηξεζεί κε ηνλ αξηζκφ ησλ δεδνκέλσλ ηνπ, δίλεη ηνλ κέζν. Αλ έρνπκε ηα παξαηεξήζεηο ρ,ρ,,ρ ηφηε ν κέζνο δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν: x = x Παξάδεηγκα 8 0 Έρνπκε ηα βάξε ζε kgr. 5 αζιεηψλ κηαο νκάδνο θαιαζφζθαηξαο ,5 6,4 75,6 9,4 49,8 64,7 86,5 69,3 87,6 56,9 85,4 76,4 93,5 67, 75,3 Να ππνινγηζζεί ην κέζν βάξνο ησλ αζιεηψλ. Λχζε Βάζε ηνπ ηχπνπ έρνπκε: x = (58,5 6, 4 75,3) 0,5 =73, ε πεξίπησζε 5

16 Δίλαη λα έρνπκε πίλαθεο ζπρλνηήησλ γηα ηελ εκθάληζεο κηαο παξαηήξεζεο απφ έλα δείγκα. Σφηε ν ηχπνο πνπ δίλεη ηνλ κέζν είλαη: x xf φπνπ f Παξάδεηγκα 9 0 Γίδεηαη ε βαζκνινγία ησλ θνηηεηψλ ηα παλεπηζηεκηαθνχ ηκήκαηνο: Βαζκνί Αξηζ. Φνηηεηψλ Να ππνινγηζζεί ν κέζνο βαζκφο. Με ηελ ρξήζε ηνπ ηχπνπ έρνπκε: f = =3 θαη x xf = 68 (035 08) ε πεξίπησζε Δίλαη λα έρνπκε νκαδνπνηεκέλεο παξαηεξήζεηο. ε απηήλ ηελ πεξίπησζε ρξεζηκνπνηνχκε ηνλ ίδην ηχπν φπσο ζηελ πξνεγνχκελε πεξίπησζε, αιιά νη ηηκέο ησλ θάζε νκάδνο. x θαζνξίδνληαη απφ ηελ θεληξηθή ηηκή ηεο Παξάδεηγκα 0 0 Καηαηάζζνπκε ζε πέληε νκάδεο ηα κεληαίνπο κηζζνχο ζε πνπ ιακβάλνπλ νη ππάιιεινη κηαο επηρείξεζεο. Να ππνινγηζζεί ν κέζνο κεληαίνο κηζζφο. Μηζζνί Αξηζ. Τπαιιήισλ Λχζε Έρνπκε Μηζζνί Αξηζ. Τπαιιήισλ x 6

17 f x xf ( ) 0, Άξα ν κέζνο κεληαίνο κηζζφο ησλ ππαιιήισλ ηεο επηρείξεζεο είλαη 0,43. 4 ε πεξίπησζε Όηαλ ζηελ ηηκή ηεο θάζε παξαηήξεζεο έρνπκε έλαλ αξηζκφ πνπ ζηαζκίδεη ηελ ζεκαληηθφηεηα ηεο, ηφηε έρνπκε λα ππνινγίζνπκε έλα ζηαζκηθφ κέζν. ε απηήλ ηελ πεξίπησζε νη ηξφπνη ππνινγηζκνχ παξακέλνπλ ίδηνη, αιιά πνιιαπιαζηάδεηαη θαη κε ηνλ ζπληειεζηή ζηάζκηζεο. Έηζη έρνπκε: x = x c c = φπνπ c ν αληίζηνηρνο ζπληειεζηήο ζηάζκηζεο γηα ην θάζε Παξάδεηγκα 0 Γίδεηαη ε βαζκνινγία ελφο ππνςεθίνπ γηα ηελ εηζαγσγή ζε έλα Παλεπηζηεκηαθφ ηκήκα ζε πέληε καζήκαηα πνχ έρνπλ δηαθνξεηηθφ επίπεδν ζηάζκηζεο γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηνπ κέζνπ βαζκνχ: x. Μάζεκα Βαζκνινγία πληειεζηήο ηάζκηζεο 0 5,5, , , ,,7 x 66,96 xc (5,5,5 7,3 3,5 6,,5 3,8 0,8 9,,7) 6,696 c Γηαθύκαλζε 7

18 Ολνκάδεηαη δηαθχκαλζε ν κέζνο φξνο ησλ ηεηξαγψλσλ ησλ απνθιίζεσλ ηνπ πιήζνπο ησλ παξαηεξήζεσλ απφ ηνλ αξηζκεηηθφ ηνπο κέζν. Ζ ηεηξαγσληθή ξίδα ηα δηαθχκαλζεο νλνκάδεηαη ηππηθή απφθιηζε. Απηνί νη δχν παξάγνληεο δηαζπνξάο είλαη νη ζεκαληηθφηεξνη πνπ ρξεζηκνπνηνχληαη ζρεδφλ ζε φιεο ηηο ζηαηηζηηθέο κεηξήζεηο. Ζ δηαθχκαλζε ηνπ πιεζπζκνχ, πνπ πξαθηηθά είλαη αδχλαην λα ππνινγηζζεί, ζπκβνιίδεηαη κε ζ θαη δίδεηαη απφ ηνλ ηχπν: ( x x) αξηζκεηηθφο ηα κέζνο. Ζ ηππηθή απφθιηζε είλαη, φπνπ ην πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ ( x x) x θαη x.πλήζσο ρξεζηκνπνηνχκε ηελ δεηγκαηηθή δηαθχκαλζε θαη ηππηθή απφθιηζε νη νπνίεο δηαθέξνπλ ζηνλ ζπκβνιηζκφ θαη ζηνλ ηχπν ππνινγηζκνχ ηνπο. Έρνπκε αληίζηνηρα δηαηξεκέλνο κε αλ ην πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη κεγάιν( κε -, θαη έρνπκε: s ( x x) θαη s θαη s, ν δε ηχπνο ππνινγηζκνχ ηνπο είλαη γηα ακθφηεξεο s ( x x) 30 ) ελψ φηαλ 30 ν δηαηξνχληαη Έρνπκε κηα κηθξή κεηαβνιή ησλ ηχπσλ φηαλ έρνπκε νκαδνπνηεκέλεο παξαηεξήζεηο, νπφηε ρξεζηκνπνηνχληαη ζπρλφηεηεο: f ( x x), f ( x x), s f ( x x) s f( x x) Παξάδεηγκα 0 Γίδεηαη ε κεηαβνιή ηνπ θαηά θεθαιή εηζνδήκαηνο κηαο ρψξαο απφ ην Να ππνινγηζζεί ε δηαθχκαλζε ηνπ θαη ε ηππηθή απφθιηζε ηνπ. Έηνο Δηζφδεκα

19 Λύζε Ο ππνινγηζκφο ηα δηαθχκαλζεο απαηηεί λα ππνινγηζζεί ν αξηζκεηηθφο κέζνο. Έρνπκε: 750 x ( ) 08, Ζ δηαθχκαλζε ζα είλαη: 33083,34 ( 30, 73) (00 08,33) (30 08,33) 553, x θαη ε ηππηθή απφθιηζε είλαη : 553,89 =74,6 Παξάδεηγκα 3 0 Γίλεηαη ε βαζκνινγία ζε έλα ηκήκα κε ηνλ αληίζηνηρν αξηζκφ ησλ θνηηεηψλ πνπ επέηπραλ απηή ηελ βαζκνινγία. Βαζκνινγία Αξηζ. Φνηηεηώλ Να ππνινγηζζεί ε δηαθχκαλζε θαη ε ηππηθή απφθιηζε. πκπεξάζκαηα απφ απηέο. Λύζε Πξψηα ππνινγίδνπκε ηνλ κέζν. Έρνπκε 7 f x f x (5x3 6x0) , ( ) [5(3 6,66) +0(5-6,66) + +6(0-6,66) ]= =3, f x x θαη 3, 49,87 Ζ δηαθχκαλζε ησλ βαζκψλ είλαη θαηά 3,49 κνλάδεο ελψ απφ ηελ ηππηθή απφθιηζε βιέπνπκε φηη νη βαζκνί θπκαίλνληαη απφ x,87 6,66,87 4,79 έσο x,87 6,66,87 8,53. Παξάδεηγκα 4 0 Γίλεηαη ε θαηαλνκή ησλ εξγαδνκέλσλ ζε έλα εξγνζηάζην θαηά ειηθία. Να ππνινγηζζεί ε κέζε ειηθία ησλ εξγαδνκέλσλ θαη ε ηππηθή ηεο απφθιηζε. Ηιηθία Αξηζ. Δξγαδνκέλσλ 9

20 Λύζε Ηιηθία x Αξηζ. Δξγαδνκέλσλ x ( fx ) έρνπκε f x (9 x5x8 6x85) =9+ +6=64 553=4, ,3 f x ( x) [(9 4,57) 85(6 4,57) 4, 68, Ρνπέο-κέηξα Αζπκκεηξίαο θαη θύξησζεο Αλ έρνπκε έλα αξηζκφ δεδνκέλσλ π.ρ. x, x,..., x ηφηε νλνκάδνπκε ξνπή λ ηάμεσο ηελ ζρέζε: m ( x k) φπνπ θ πξαγκαηηθφο αξηζκφο. πλήζσο ζηελ πξάμε ην θ= x θαη ε ξνπή νλνκάδεηαη θεληξηθή θαη ζπκβνιίδεηαη κε κ λ. Άιιν έλα είδνο 0

21 ζεκαληηθήο ξνπήο είλαη αλ θ=0 νπφηε νλνκάδεηαη ξνπή πεξί ηελ αξρή ή ην κεδέλ. απηέο ηα πεξηπηψζεηο, έρνπκε: m x x x ( 0) m ( x 0) x x ( x x) 0 ( x x) Γπν ζεκαληηθά κεγέζε πνπ βνεζνχλ ζηελ ζχγθξηζε ησλ απνηειεζκάησλ κηαο έξεπλαο είλαη νη παξάκεηξνη αζπκκεηξίαο θαη θχξησζεο. Μηα θαηαλνκή ραξαθηεξίδεηαη ζπκκεηξηθή αλ έρεη ηνλ ίδην αξηζκφ παξαηεξήζεσλ πξηλ θαη κεηά ηνλ κέζν ηεο,δεμηφζηξνθε ή ζεηηθή αζπκκεηξία αλ έρεη κεγαιχηεξν αξηζκφ παξαηεξήζεσλ απφ ην δεμηφ κέξνο ηνπ κέζνπ ηνπο θαη αξηζηεξφζηξνθε ή αξλεηηθή αζπκκεηξία αλ έρεη κεγαιχηεξν αξηζκφ παξαηεξήζεσλ απφ ην αξηζηεξφ κέξνο ηνπ κέζνπ ηεο. Έλαο ηχπνο πνπ ππνινγίδεη ηελ αζπκκεηξία είλαη ν ζπληειεζηήο αζπκκεηξίαο ηνπ Pearso: s k x T φπνπ Σ ε επηθξαηνχζα ηηκή θα s ε ηππηθή απφθιηζε. Υπάπσοςν και άλλοι ηύποι πος ςπολογίδοςν ηεν αζςμμεηπία: Ο ηχπνο ησλ Yule-Pearso είλαη: Ο ηχπνο δφζεθε απφ ηνλ Bowley: s k s k 3( x M) ( Q3 Q M) Q Q 3 Καη ηέινο έρνπκε ηνλ ζπληειεζηή αζπκκεηξίαο κε ξνπέο; ε ακθφηεξεο ηα πεξηπηψζεηο Αλ s k =0 ηφηε ε θαηαλνκή είλαη ζπκκεηξηθή. s k 3 3 Αλ s k >0 ηφηε ε θαηαλνκή έρεη ζεηηθή αζπκκεηξία ή είλαη δεμηφζηξνθε. Αλ s k <0 ηφηε ε θαηαλνκή έρεη αξλεηηθή αζπκκεηξία ή είλαη αξηζηεξφζηξνθε. Οη ζπληειεζηέο θχξησζεο είλαη βαζηθά δχν, ν αξρηθφο ηνπ Pearso: λα είλαη πην εχρξεζηνο απφ ηνλ Fsher: Αλ 4 =3 ή 4 =0 ε θαηαλνκή είλαη κεζφθπξηε θαη ε κεηαβνιή ηνπ γηα Αλ 4 >3 ή 4 >0 ε θαηαλνκή είλαη ιεπηφθπξηε. Αλ 4 <3 ή 4 <0 ε θαηαλνκή είλαη πιαηφθπξηε.

22 Λεπηφθπξηνο Μεζφθπξηνο Πιαηφθπξηνο Παξάδεηγκα 5 0 Γίδεηαη ε παξαθάησ θαηαλνκή, δεηείηαη ε πξψηε θαη δεχηεξε ξνπή σο πξνο ηελ αξρή, ε δεχηεξε ξνπή σο πξνο ηνλ κέζν θαη ν ζπληειεζηήο αζπκκεηξίαο. x : f : Λύζε m fx = ( ) 30 x x x 404 3,47 30 Γλσξίδνπκε φηη m x, άξα x =3,47 m fx = (4x5 x7 0x 8,33 Γλσξίδνπκε φηη m fx x Ζ δεχηεξε ξνπή σο πξνο ηνλ κέζν είλαη: = = 8,33 f( x x) = 409, [4(5 3,47) (7 3,47)... 0( 3,47) ] 46,98 Γλσξίδνπκε φηη. Άξα πξέπεη m m. Πξάγκαηη έρνπκε 46,98+3,47 =8,4. Απφ ηνλ ζπληειεζηήο αζπκκεηξίαο ηνπ Pearso s k s k x T έρνπκε x T 3,47,4 46,98 Άξα ε θαηαλνκή καο έρεη αξλεηηθή αζπκκεηξία ή είλαη αξηζηεξφζηξνθε.

23 Παξάδεηγκα 6 0 Γίδεηαη ε θαηαλνκή x : f : Να ππνινγηζζεί ε θχξησζε ηα θαηαλνκήο. Υξεζηκνπνηνχκε ηνλ ζπληειεζηή θχξησζεο ηνπ Fsher κέζν είλαη: s = f ( x x) Ζ δεχηεξε ξνπή σο πξνο ηνλ = 8,53 θαη s 4 =7,7 Ζ ηέηαξηε θεληξηθή ξνπή είλαη 39874,7 4 4 ( x x) 99,4 00 θαη Άξα α4 κ4 99,4 α 4 = - 3 = - 3 =,75-3 = -0,5 4 7,7 <0 θαη ε θαηαλνκή είλαη πιαηφθπξηε. Κεθάιαην 4 0 Δίδε Πηλάθσλ 4. Πίλαθεο απιήο εηζόδνπ Έρνπκε ηνπο απινχο πίλαθεο φπνπ κηα κεηαβιεηή θαηαηάζζεηαη ζε θαηεγνξίεο. Έλα ηέηνην παξάδεηγκα δίδεηαη παξαθάησ: Γίδεηαη ε θαηαλνκή ζε θαηεγνξίεο ελφο πξντφληνο αλαιφγσο ηεο πνηφηεηαο ηνπ ζε ηξεηο θαηεγνξίεο π.ρ. Α,Β,Γ. Πνηφηεηα πξντφληνο Αξηζκφο πξντφλησλ Α 8 Β 34 Γ 5 Απηφο είλαη έλαο πίλαθαο απιήο εηζφδνπ. Να ππνινγηζζεί ην πνζνζηφ ησλ πξντφλησλ Α πνηφηεηαο. 8 Λύση Σν ζχλνιν ησλ πξντφλησλ είλαη =8+34+5=77. Άξα p = = 0,36, 77 δειαδή 36% ησλ πξντφλησλ είλαη Α πνηφηεηαο. 4. Πίλαθεο δηπιήο εηζόδνπ Όηαλ ηα δεδνκέλα ηα θαηαηάζζνληαη βάζεη δπν κεηαβιεηψλ, ηφηε έρνπκε ηνπο πίλαθεο δηπιήο εηζφδνπ. Αλ ζεσξήζνπκε φηη ε θαηεγνξία ησλ γξακκψλ 3

24 έρεη r παξαηεξήζεηο θαη ησλ ζηειψλ έρεη ζπρλνηήησλ είλαη: s παξαηεξήζεηο ν πίλαθαο Kαηεγνξίεο ηαμηλνκεκέλσλ ε ε... εs χλνια κεηαβιεηψλ γ f f... fs f. Γ f f... fs f. γr fr fr... frs fr. χλνια f. f.... f.s Σα κεξηθά αζξνίζκαηα ησλ γξακκψλ είλαη f. s f j j θαη αληηζηνίρσο ησλ ζηειψλ f. j r f j. Oπφηε έρνπκε γηα ην κέγεζνο ηνπ δείγκαηνο ηε ζρέζε: f j f. f. j j Οη αληίζηνηρεο πηζαλφηεηεο ππνινγίδνληαη απφ ηελ ζρέζε Παξάδεηγκα 7 0 j f j p j = Γίλεηαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα ε δπζθνιία κηαο εξγαζίαο γηα ην ζπίηη απφ δαζθάινπο φπνπ ρσξίδεηαη ζε ηξία επίπεδα, A, B, Γ, κε A ην δπζθνιφηεξν θαη ε αληίζηνηρε βαζκνιφγεζε κε ηξία επίπεδα βαζκνινγίαο, θαιή, κέηξηα, θαθή. Πίλαθαο Δξγαζίαο/βαζκνινγίαο Kαιή Mέηξηα Kαθή χλνια A B Γ χλνια Να ππνινγηζζεί ην πνζνζηφ ησλ καζεηψλ πνπ πέηπραλ άξηζηα ζηελ δπζθνιφηεξε εξγαζία 3 Λύζε p = = 0,08 δειαδή 8%

25 Κεθάιαην 5 0 Δηζαγσγή ζηελ Θεσξία ησλ Πηζαλνηήησλ 5. Οξηζκνί ηελ ζεσξία ησλ πηζαλνηήησλ βαζηθή αξρή είλαη ε έλλνηα ηνπ ηπραίνπ πεηξάκαηνο. αλ ηπραίν πείξακα ελλννχκε έλα πείξακα πνπ κπνξεί λα επαλαιεθζεί φζεο θνξέο ην επηζπκνχκε θάησ απφ ηηο ίδηεο ζπλζήθεο. Όηαλ ξίρλνπκε έλα δάξη γλσξίδνπκε φηη ζα έρνπκε ηηο εμήο έμη πεξηπηψζεηο, δειαδή ζα δείμεη έλα εθ ησλ αξηζκψλ:,,3,4,5,6.απηφ ζα ζπκβεί φζεο θνξέο θαη αλ επαλαιάβνπκε ην πείξακα, αιιά δελ γλσξίδνπκε πνηνο αξηζκφο εθ ησλ έμη ζα εκθαληζζεί. Σν ζχλνιν ησλ πεξηπηψζεσλ πνπ εκθαλίδνληαη θαηά ηελ δηεμαγσγή ηα πεηξάκαηνο νλνκάδεηαη δεηγκαηηθφο ρψξνο θαη ζα ζπκβνιίδεηαη κε Ω. Άξα ζηελ ξίςε ηα δαξηνχ Ω={,,3,4,5,6}. Υαξαθηεξίδνπκε κε θεθαιαίν γξάκκα έλα ζπγθεθξηκέλν γεγνλφο π.ρ. Α=5, ην γεγνλφο λα δείμεη ην δάξη ηνλ αξηζκφ 5. Δάλ έλα γεγνλφο Α είλαη βέβαην ηφηε ε πηζαλφηεο λα ζπκβεί είλαη κνλάδα, π.ρ. λα έξζεη «θεθαιή ή γξάκκαηα» θαηά ηελ ξίςε ηα λνκίζκαηνο, ηφηε p(α)= ή άιισο 00% λα ζπκβεί. Δάλ έρνπκε έλα γεγνλφο Α πνπ απνθιείεηαη λα ζπκβεί π.ρ. ζηελ ξίςε ηα δαξηνχ λα έρνπκε έλδεημε 7, ην ζπκβνιίδνπκε κε A θαη ε πηζαλφηεο ηνπ είλαη p( A )= 0 ή 0%. 5. Τπνινγηζκόο Πηζαλόηεηαο Ζ πηζαλφηεηα λα ζπκβεί έλα γεγνλφο νξίδεηαη σο ν ιφγνο ησλ επλντθψλ πεξηπηψζεσλ πξνο ην ζχλνιν φισλ ησλ δπλαηψλ πεξηπηψζεσλ. Δάλ σο πεδίν νξηζκνχ έρνπκε έλα ζχλνιν Ω πνπ πεξηέρεη κ δπλαηέο πεξηπηψζεηο θαη νη επλντθέο πεξηπηψζεηο γηα λα ζπκβεί ην ζπγθεθξηκέλν γεγνλφο είλαη ι, ηφηε ε πηζαλφηεηα είλαη ι p= κ. Δάλ σο παξάδεηγκα πάξνπκε ηελ ξίςε ηα δαξηνχ ηφηε νη δπλαηέο πεξηπηψζεηο είλαη Ω={,,3,4,5,6}, δειαδή έμη θαη εκείο επηζπκνχκε λα έξζεη άξηηνο αξηζκφο νη επλντθέο πεξηπηψζεηο είλαη ηξεηο,4,6 νπφηε ε πηζαλφηεηα είλαη 3 p = = = 0,5. Απφ ην πξνεγνχκελε παξάγξαθν είδακε φηη 6 γηα θάζε ζπκβάλ, Α, έρνπκε πάληα: ) 0 p(a) ) p(ω) =. 5

26 3) Δάλ Α,Β δπν ππνζχλνια ηνπ πεδίν νξηζκνχ μέλα κεηαμχ ηνπο, δειαδή p( A B) Ø ηφηε ε πηζαλφηεηα λα ζπκβεί έλα εθ ησλ δπν γεγνλφησλ Α, Β είλαη p(a UB) = p(a)+p(b). 4) Σν λα ζπκβνχλ ζπγρξφλσο δπν γεγνλφηα Α,Β πνπ δελ είλαη μέλα κεηαμχ ηα, ε πηζαλφηεηα είλαη p(a B) = p(a) p(b) 5) Δάλ Α έλα γεγνλφο πνπ αλήθεη ζην πεδίν νξηζκνχ Ω θαη ζπκπιεξσκαηηθφ ηνπ, ηφηε A A). p( A) p( A) A ην.( πκπιεξσκαηηθφ ζεκαίλεη φηη 6) Δάλ ζέινπκε λα ζπκβεί ην έλα εθ ησλ δχν γεγνλφησλ Α,Β πνπ δελ είλαη μέλα κεηαμχ ηα ηφηε έρνπκε ηελ ζρέζε παξφκνηα γεγνλφηα Α, Β, Γ έρνπκε p( A B) p( A) p( B) p( A B). Γηα ηξία p( A B ) p( A) p( B) p( ) p( A B) p( A ) p( B ) p( A B ) 7) Δάλ έρνπκε δπν ηπραία γεγνλφηα Α, Β πνπ δελ είλαη αλεμάξηεηα κεηαμχ ηνπο ε πηζαλφηεηα λα ζπκβεί ην Β εθ φζνλ έρεη ζπκβεί ην Α νλνκάδεηαη δεζκεπκέλε πηζαλόηεηα θαη δίδεηαη απφ ηνλ ηχπν:. p( B / A) p( A B) pa ( ) εάλ Α, Β είλαη αλεμάξηεηα έρνπκε: p( A B) p( A) p( B) Παξάδεηγκα 8 0 Ρίρλνπκε δπν λνκίζκαηα ζπγρξφλσο. Πνία ε πηζαλφηεηα λα δείμνπλ ην έλα «θεθαιή» θαη ην άιιν «γξάκκαηα» ; Λύζε Σν πεδίν νξηζκνχ είλαη Ω={ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ,ΓΓ}. Οη επλντθέο πεξηπηψζεηο είλαη φπσο βιέπνπκε δχν ΚΓ θαη ΓΚ. Οη δπλαηέο είλαη ηέζζεξηο. Οπφηε ε πηζαλφηεηα είλαη pa ( ) 0,5 4 Παξάδεηγκα 9 0. Ρίρλνπκε έλα δάξη πνηα ε πηζαλφηεηα Α λα δείμεη άξηην αξηζκφ θαη Β λα δείμεη πεξηηηφ αξηζκφ. Λύζε Έρνπκε φηη ην πεδίν νξηζκνχ Ω={,,3,4,5,6}. Σν λα ζπκβεί ην Α={,4,6} θαη ην Β={,3,5}. Οπφηε έρνπκε φηη A B θαη A B Ø. Άξα Β= A.Δπνκέλσο 6

27 p( A) p( A), 3 pa ( ) 6 θαη p( B) p( A) p( A) Παξάδεηγκα 0 0 Ρίρλνπκε δπν δάξηα πνία ε πηζαλφηεηα Β λα έρνπκε άζξνηζκα έμη εάλ μέξνπκε φηη ηα λνχκεξα πνπ πεηχρακε θαηά ηελ ξίςε είλαη κηθξφηεξα ηνπ πέληε. Λύζε Καηά ηελ ξίςε δπν δαξηψλ έρνπκε 36 ελδερφκελα. Ζ πεξίπησζε ηνπ ελδερνκέλνπ Α, κηθξφηεξα ηνπ πέληε, έρεη δεηγκαηηθφ ρψξν Α={,,,3,4,,,3,4 3,,3, 3,3 3,4 4, 4, 4,3 4,4}, δειαδή δεθαέμη επλντθέο πεξηπηψζεηο γηα ην ελδερφκελν Α. Οη επλντθέο πεξηπηψζεηο γηα ην ελδερφκελν Β είλαη ηξεηο {,4 3,3 4,}. Οπφηε ε δεζκεπκέλε πηζαλφηεηα γηα ην ελδερφκελν Β είλαη p( A B) 3 p( B / A) 0,9 pa ( ) Σύπνο ηνπ Bayes Έζησ φηη έρνπκε έλα δηακεξηζκφ ηνπ δεηγκαηηθνχ ρψξνπ Ω ={Α,Α, Α λ } θαη ηα Α (=, λ) είλαη μέλα κεηαμχ ηνπο, ( Α Α = Ø).Αλ Β είλαη έλα άιιν ελδερφκελν ηνπ Ω πνπ κπνξεί λα ζπκβεί αλ ζπκβνχλ ζπγρξφλσο ηα A θαη Β ηφηε έρνπκε ηελ ζρέζε: j ( ) ( )... ( ) θαη λ p(β) = p(α Β) = Απφ ηνλ ηχπν ηα δεζκεπκέλεο πηζαλφηεηαο: λ p(a Β) = p(α )p(β/α ) = θαη λ p(β) = p(α )p(β/α ) = Αλ ην ελδερφκελν Β έρεη ζπκβεί γηα λα ζπκβεί ην Α κ (δειαδή δεηάκε ηελ p(ακ/β)), ηφηε εθαξκφδνπκε ηνλ ηχπν ηνπ Bayes: 7

28 Παξάδεηγκα 0 p(ακ Β) p(α κ)p(β/α κ) p(ακ/β) = = p(β) λ p(α )p(β/α ) = Απφ κηα ζηάζε πεξλνχλ ηξεηο γξακκέο απηνθηλήησλ. ηα 0 απηνθίλεηα πνπ πεξλνχλ ηα 3 είλαη ηεο γξακκήο Α ηα 5 είλαη ηεο γξακκήο Α θαη ηα είλαη ηεο γξακκήο Α 3. Γλσξίδνπκε φηη ε ζπρλφηεηα εκθαλίζεσο ηνπ Α είλαη 5% ηνπ Α είλαη 45% θαη ηνπ Α 3 30%. Πνηα ε πηζαλφηεο ην πξψην πνπ ζα εκθαληζζεί λα είλαη ηα γξακκήο Α. Λύζε Έρνπκε ηα ελδερφκελα: ) p(α )=3/0 ) p(a )=5/0 3) p(a 3 )=/0 4) Β ην ζπκβάλ λα πεξάζεη απηνθίλεην απφ ηελ ζηάζε. 5) p(β/α ) = 0,5, p(β/α ) = 0,45, p(β/α 3 ) = 0,30 p(α )p(β/α ) p(α )p(β/α ) p(α /Β) = = = 3 p(α )p(b/a ) + p(α )p(b/a ) + p(α )p(b/a ) p(α )p(β/α ) 3 3 = 3/0 0,5 0,075 0,08 3/0 0,5 + 5/0 0,45 + /0 0,30 0,075 0,5 0, πλδπαζηηθή Δάλ επαλαιάβνπκε έλα πείξακα λ θνξέο νη επλντθέο πεξηπηψζεηο γηα ζπκβεί ην ελδερφκελν Α είλαη θ γηα ηελ πξψηε θνξά, θ γηα ηελ δεχηεξε θνξά θαη θ λ γηα ηελ ληνζηή θνξά. Άξα νη ζπλνιηθέο επλντθέο πεξηπηψζεηο λα ζπκβεί ην ελδερφκελν Α ζε λ επαλαιήςεηο ζα είλαη: =θ.θ θ λ. Γηαηάμεηο Αλ απφ λ δηαθνξεηηθά αληηθείκελα ζέινπκε λα δηαιέμνπκε θ αληηθείκελα κε κηα νξηζκέλε ζεηξά ηφηε έρνπκε κηα δηάηαμε ησλ θ αληηθεηκέλσλ. Αλ ε δηάηαμε ησλ θ αληηθεηκέλσλ γίλεηαη κε επαλαηνπνζέηεζε ζα έρνπκε: λ θ λα επλντθέο πεξηπηψζεηο. Αλ ε δηάηαμε ησλ θ αληηθεηκέλσλ γίλεηαη ρσξίο επαλαηνπνζέηεζε ηφηε νη επλντθέο πεξηπηψζεηο είλαη: λ Γ θ =λ(λ-) (λ-θ+). 8

29 Αλ απφ λ δηαθνξεηηθά αληηθείκελα ζέινπκε κηα δηάηαμε ησλ θ=λ αληηθεηκέλσλ ηφηε έρνπκε: λ Γ λ =λ(λ-).=λ! θαη ην ζχκβνιν λ!(λ παξαγνληηθφ) είλαη κηα ζχληνκε γξαθή γηα ην γηλφκελν..3 λ. Παξάδεηγκα 0 ε κηα αίζνπζα ππάξρνπλ 7 ζέζεηο θαη 5 άηνκα πνπ ζα θαζίζνπλ ζε απηέο. Πφζεο δπλαηφηεηεο ππάξρνπλ; Λύζε Δδψ έρνπκε δηαηάμεηο κε επαλαηνπνζέηεζε. Άξα έρνπκε 7 5 = 6807 Παξάδεηγκα 3 0 Έλα ζπκβνχιην απνηειείηαη απφ 0 άηνκα. Θέινπκε έλα πξφεδξν, έλα γξακκαηέα θαη έλα ηακία. Καζέλαο ζα είλαη ππνςήθηνο γηα κηα κφλν απφ ηξεηο ζέζεηο. Πφζεο δπλαηφηεηεο έρνπκε λα βξνχκε απηά ηα ηξία άηνκα. Λύζε Δδψ έρνπκε δηαηάμεηο ρσξίο επαλαηνπνζέηεζε. Άξα 0 Γ =0.(0 -)...(0-3 +) =0.9.8 = 70 3 πλδπαζκνί Αλ απφ δηαθνξεηηθά αληηθείκελα δηαιέμνπκε θ ρσξίο λα καο ελδηαθέξεη ε δηάηαμεο ηνπο ηφηε έρνπκε ηνπο ζπλδπαζκνχο ησλ αλά θ πνπ ζπκβνιίδεηαη: ( -)...( - k +)! = = θ k! k!( - k)! Παξάδεηγκα 4 0 Σα πξνπνλεηήο κηαο νκάδαο κπάζθεη έρεη 0 παίθηεο ζηελ δηάζεζε ηνπ γηα λα θηηάμε κηα πεληάδα. Πφζεο πεληάδεο κπνξεί λα θηηάμε. Λύζε Δδψ έρνπκε ζπλδπαζκνχο. Άξα νη δπλαηέο πεληάδεο ζα είλαη 0 0(0 -)...(0-5) = = =

30 Μεηαζέζεηο Αλ έρνπκε λ αληηθείκελα εθ ησλ νπνίσλ θ,θ,θ 3 είλαη φκνηα ηέηνηα ψζηε λ=θ +θ +θ 3,ηφηε νη δηαθνξεηηθέο κεηαζέζεηο ησλ λ αληηθεηκέλσλ είλαη: Παξάδεηγκα 5 0 λ! θ!θ!θ! 3 Έρνπκε ηα αξηζκνχο,,,,,3,3. Πφζνπο επηαςήθηνπο αξηζκνχο κπνξνχκε λα θηηάμνπκε; Λύζε Έρνπκε ηα κεηαζέζεηο 7 αξηζκψλ, φπνπ θ = άζζνη θ =3 δπάξηα, θ 3 =δπν ηξηάξηα.άξα έρνπκε λ=+3+=7. Οη δπλαηέο κεηαζέζεηο γηα ηελ δεκηνπξγία επηαςήθησλ αξηζκψλ είλαη: 7! = = = 0!3!! Κεθάιαην 6 0 Σπραίεο Μεηαβιεηέο 6, Οξηζκνί Δάλ ππνζέζνπκε φηη εθηεινχκε έλα πείξακα ηχρεο θαη κε Υ θεθαιαίν ζπκβνιίζνπκε ηα ελδερφκελα ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ. Ζ κεηαβιεηή Υ νλνκάδεηαη Σπραία Μεηαβιεηή. Αλ ξίμνπκε έλα δάξη ηφηε ην πεδίν νξηζκνχ Ω={,,3,4,5,6} θαη ην Υ είλαη ίζν κε κηα απφ ηα έμη ηηκέο, δειαδή Υ={.,3,4,5,6}. Οη ηηκέο πνπ παίξλεη ε ηπραία κεηαβιεηή ζπκβνιίδνληαη κε ρ κηθξφ θαη είλαη ρ =, ρ =, ρ 6 =6. Αλ ε ηπραία κεηαβιεηή καο κπνξεί λα πάξεη νπνηαδήπνηε ηηκή απφ έλα ζχλνιν πξαγκαηηθψλ αξηζκψλ νλνκάδεηαη ζπλερήο, ελψ αλ κπνξεί λα πάξεη κφλν ζπγθεθξηκέλεο ηηκέο νλνκάδεηαη δηαθξηηή. ηελ πεξίπησζε ηεο δηαθξηηήο ηπραίαο κεηαβιεηήο νλνκάδνπκε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ηελ f(ρ) εάλ ζε θάζε ηηκή ηνπ ρ απεηθνλίδνληαη νη αληίζηνηρεο πηζαλφηεηεο, δειαδή f(ρ)=p(υ=ρ). Γηα ηελ f(ρ) ηζρχνπλ νη δπν θάησζη θαλφλεο: ) f(ρ) 0 ρεr ) f( x) = 30

31 Ολνκάδνπκε ζπλάξηεζε θαηαλνκήο ή αζξνηζηηθή ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο δηαθξηηήο ηπραίαο κεηαβιεηήο ηελ F(x) = p(x x ) = f(x ) = ηελ πεξίπησζε κηάο ζπλερνχο ηπραίαο κεηαβιεηήο νλνκάδνπκε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ηελ f(ρ) αλ α,β κε α<β ηζρχεη ε ζρέζε β p(α < Υ < β) = f)x)d(x) α. Οη δπν θάησζη θαλφλεο ηζρχνπλ θαη εδψ γηα ηελ f(ρ): ) f(ρ) 0 ρεr ) f ( x) d( x) Ολνκάδνπκε ζπλάξηεζε θαηαλνκήο ή αζξνηζηηθή ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο ηεο ζπλερνχο ηπραίαο κεηαβιεηήο ηελ F(x ) = f ( x) d( x). Παξάδεηγκα 6 0 Ρίρλνπκε έλα λφκηζκα. Σν πεδίν νξηζκνχ ηνπ είλαη Ω={Κ,Γ}. Δάλ κε ρ ζπκβνιίζνπκε ηελ ηπραία κεηαβιεηή ηνπ ζπκβάληνο Κ(θεθαιή) ηφηε ε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ιακβάλεη ηα ηηκέο: ρ =0 κε p(ρ )=/ θαη ρ = κε p(ρ )=/ Ζ ζπλάξηεζε θαηαλνκήο Fx ( ) ζα είλαη: 0 x<0 F(x)=p(X x)= / 0 x< Παξάδεηγκα 7 0 / x Όηαλ ξίρλνπκε έλα δάξη θαη ρ ε ηπραία κεηαβιεηή πνπ δείρλεη ηελ εκθάληζε ηνπ αξηζκνχ ηνπ, ηφηε ε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ιακβάλεη ηα ηηκέο: x =,,3,4,5,6 κε αληίζηνηρεο πηζαλφηεηεο p(x )=/6 γηα =,,3,4,5,6 θαη ε ζπλάξηεζε θαηαλνκήο Fxζα ( ) είλαη: 0 ρ< /6 ρ< 3

32 /6 ρ<3 F(ρ) 3/6 3 ρ<4 4/6 4 ρ<5 5/6 5 ρ<6 6 ρ 6. Μέηξα ηπραίσλ κεηαβιεηώλ ε έλα πείξακα ηχρεο κηαο δηαθξηηήο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ πνπ έρεη πεδίν νξηζκνχ Ω={ x,x,...,x } P(X = x ) = p(x ) λ θαη ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο, (=,,,λ), νξίδεηαη σο αλακελόκελε ηηκή ή κέζε ηηκή ην άζξνηζκα ειπίδα. λ x p(x ) = πνπ ζπκβνιίδεηαη κε Δ(X) θαη νλνκάδεηαη καζεκαηηθή Ζ καζεκαηηθή ειπίδα έρεη ζεκαληηθέο ηδηφηεηεο θαη εκθαλίδεη κεξηθά ζεκαληηθά ζηαηηζηηθά κεγέζε. ) Ζ κέζε ηηκή κ= Δ(X)= λ x p(x ) = ) Ζ ζεσξεηηθή δηαθχκαλζε ζπκβνιίδεηαη κε ζ = Var(X) = E(X -κ) = E(X )+E (X) - E(X)E(X) = E(X ) -E (X) 3) Δάλ Y=α+βX θαη (α,β)r ηφηε Δ(Τ)=Δ(α+βΥ)=α+βΔ(Υ),θαη Var(α+βX) = β Var(X) εάλ Τ=βΥ ηφηε Δ(Τ)=βΔ(Υ), Δ(Τ λ )=β λ Δ(Υ λ ) θαη Var(βx)=β Var(x) 4) Δάλ Τ θαη Υ δπν ηπραίεο κεηαβιεηέο ηφηε Δ(Τ+Υ)= (x + y )p(x,y ) = x p(x,y )+ y p(x,y ) = x p(x )+ y p(y ) = E(X)+E(Y) j j j j j j j j j j j 5) Δάλ Τ θαη Υ δπν αλεμάξηεηεο ηπραίεο κεηαβιεηέο, επεηδή p(x y ) = p(x )p(y ) j j 3

33 Έρνπκε E(XY) = (x y )p(x,y ) = x y p(x )p(y ) = x p(x ) y p(y ) = E(X)E(Y) j j j j j j j j j Παξάδεηγκα 8 0 Γίδεηαη ε παξαθάησ ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο: Υ P(ρ) /8 /4 3/8 /6 / Να ππνινγηζζεί ε καζεκαηηθή ειπίδα θαη ε δηαθχκαλζε ηεο. Δ(X)= 5 x p(x ) = =4./8+8./4+ +0./=,34 ζ = Var(X) = E(X -κ) == E(X )+E (X) - E(X)E(X) = E(X ) -E (X) Δ(X )=4./8+ +0./=48 Var(X)=48-8,6=9,40 E (X)=,34 =8,60 Κεθάιαην 7 0 Θεσξεηηθέο θαηαλνκέο Όηαλ εθηεινχκε έλα πείξακα ηχρεο βξίζθνπκε ηηο πηζαλφηεηεο γηα λα ζπκβεί έλα γεγνλφο. Απηέο ζα αθνξνχλ κφλν ην ζπγθεθξηκέλν πείξακα ηχρεο. Αλ ζέινπκε λα ην γεληθεχζνπκε, ρξεηαδφκαζηε έλα ζεσξεηηθφ λφκν πνπ κηα ηπραία κεηαβιεηή αθνινπζεί ηελ ίδηα θαηαλνκή θαη ηελ ίδηα ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ζε παξφκνηα πεηξάκαηα ηχρεο. Έηζη βξήθακε θαηαλνκέο ηα νπνίεο νλνκάζακε ζεσξεηηθέο πνπ εθαξκφδνληαη ζε έλα κεγάιν αξηζκφ πεηξακάησλ ηχρεο. Οη θαηαλνκέο είλαη δπν θαηεγνξηψλ, απηέο πνπ εθαξκφδνληαη ζε δηαθξηηέο κεηαβιεηέο θαη απηέο πνπ εθαξκφδνληαη ζε ζπλερείο κεηαβιεηέο. 7. Γησλπκηθή θαηαλνκή Ζ Γησλπκηθή θαηαλνκή είλαη κία δηαθξηηή θαηαλνκή πνπ αθνξά πεηξάκαηα ηχρεο πνπ έρνπλ ηελ εμήο ηδηφηεηα: ζε έλα πείξακα ηχρεο φπνπ έρνπκε δηαρσξηζκφ ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ζε δχν κέξε ψζηε αλ ζπκβεί ην έλα ελδερφκελν λα κελ ζπκβεί ην άιιν θαη είλαη αδχλαην λα ζπκβεί θάπνην ηξίην ελδερφκελν ηφηε εθαξκφδεηαη ε δησλπκηθή θαηαλνκή. 33

34 Αλ ζεσξήζνπκε p ηελ πηζαλφηεηα λα ζπκβεί έλα ηπραίν γεγνλφο ρ ηφηε ε πηζαλφηεηα λα κελ ζπκβεί(ή λα ζπκβεί ην άιιν) είλαη p p, επεηδή είλαη αδχλαην λα ζπκβεί θάηη άιιν, νπφηε έρνπκε πάληα pp. ε επαλαιήςεηο ελφο πεηξάκαηνο ηχρεο ζα έρνπκε ρ επηηπρίεο λα ζπκβεί έλα γεγνλφο Α θαη -ρ απνηπρίεο ηνπ λα ζπκβεί ην γεγνλφο. Αλ ζεσξήζνπκε Ω ην πεδίν νξηζκνχ, Α ην πξψην γεγνλφο θαη Β ην ζπκπιεξσκαηηθφ ηνπ, επεηδή θαη. Άξα ην λα ζπκβεί ην γεγνλφο ε πηζαλφηεηα είλαη x p ( ) x p.δπεηδή ππάξρνπλ x δπλαηνί ζπλδπαζκνί ηνπ λα ζπκβεί ην γεγνλφο ε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ηεο δησλπκηθήο θαηαλνκήο ζα x είλαη: f ( x) P( X x) p ( p) x x φπνπ ρ=0,,. Ζ επηθξαηνχζα ηηκή κηαο ηπραίαο κεηαβιεηήο ρ πνπ αθνινπζεί ηελ δησλπκηθή θαηαλνκή δίδεηαη απφ ηνλ ηχπν p p x p p θαη είλαη ν κνλαδηθφο αθέξαηνο κεηαμχ ησλ δπν ηηκψλ. Δάλ θαη νη δπν ηηκέο είλαη αθέξαηεο ηφηε θαη νη δπν είλαη επηθξαηνχζεο ηηκέο. H καζεκαηηθή ειπίδα ηα δησλπκηθήο θαηαλνκήο είλαη Δ(ρ)= p θαη δηαθχκαλζε ηα Var ( X) p( p). Παξάδεηγκα 9 0 Ρίρλνπκε έλα θαλνληθφ λφκηζκα 30 θνξέο. Να επξεζεί πνίνο ζα είλαη ν πηζαλφηεξνο αξηζκφο εκθαλίζεσο ηνπ ζπκβάληνο θεθαιή ηεο κέζεο ηηκήο ηνπ θαη ηεο ηππηθήο απφθιηζεο ηνπ. Λύζε Δάλ Υ ε ηπραία κεηαβιεηή πνπ δείρλεη ηνλ αξηζκφ ησλ ξίςεσλ ηνπ λνκίζκαηνο ε επηθξαηνχζα ηηκή ζα είλαη: 30./-/ ρ 30./+/ ή 4,5 ρ 5,5 δειαδή ρ=5. Ζ κέζε ηηκή E( X) p 30./ 5 θαη ε ηππηθή απφθιηζε Var ( X) p( p) 30./ ( / ) 5./ 7,5,74 7. Καηαλνκή Posso Ζ δησλπκηθή θαηαλνκή είλαη δηαθξηηή θαη ζπκκεηξηθή ε νπνία φκσο δελ δίλεη ηθαλνπνηεηηθά απνηειέζκαηα φηαλ πνιχ κεγάιν () θαη p πνιχ 34

35 κηθξφ( p 0 ). ηελ πεξίπησζε ελφο πεηξάκαηνο ηχρεο έρνπκε ηηο παξαθάησ πεξηπηψζεηο: α) Σα ζπκβάληα πνπ ζπκβαίλνπλ είλαη αλεμάξηεηα κεηαμχ ηνπο β) Σα ζπκβάληα πνπ ζπκβαίλνπλ ζε θάπνην ρξνληθφ δηάζηεκα είλαη απνιχησο ηπραία γ) Ζ πηζαλφηεηα λα έρνπλ ζπκβεί ζε δηάζηεκα κήθνπο s νζνλδήπνηε κηθξφ είλαη ιs φπνπ ι ζηαζεξφο αξηζκφο ίζνο κε p. Ζ ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο πνπ αθνινπζεί ηελ θαηαλνκή Posso είλαη: f ( x) e x x! φπνπ e,7 Ζ θαηαλνκή Posso είλαη δηαθξηηή αιιά αζχκκεηξνο Ζ επηθξαηνχζα ηηκή ηα θαηαλνκήο Posso είλαη ν κεγαιχηεξνο αθέξαηνο πνπ βξίζθεηαη κεηαμχ ησλ ηηκψλ θαη ε δηαθχκαλζε ηεο Var(X)=ι Παξάδεηγκα 30 0 ι -x ι. Ζ καζεκαηηθή ηεο ειπίδα είλαη Δ(Υ)=ι ε κηα πφιε έρνπκε 000 ηξνραία δπζηπρήκαηα ζε κηα πεξίνδν 00 εκεξψλ. α)πνία ε πηζαλφηεηα ζε κηα εκέξα λα έρνπκε ηνπιάρηζηνλ δπν; ) Ζ επηθξαηνχζα ηηκή ησλ ηξνραίσλ δπζηπρεκάησλ θαη γ) Ζ κέζε ηηκή θαη ε δηαθχκαλζε απηψλ Λύζε Δπεηδή κεγάιν θαη Posso. Έρνπκε ι= 000 =5 00 p κηθξφ ε θαηαλνκή πνπ αθνινπζείηαη είλαη ε ηξνραία δπζηπρήκαηα θαηά κέζν φξν αλά εκέξα. Άξα f ( x) e x 5 5 x! ρ=0,,, φπνπ Υ ν αξηζκφο ησλ ηξνραίσλ δπζηπρεκάησλ αλά εκέξα. Θέινπκε λα ππνινγίζνπκε α) p( X ) p( X ) [ p( X 0) p( X )] e ( ) e ( 5) 0,96 o!! β) Ζ επηθξαηνχζα ηηκή είλαη 5 -x Άξα επηθξαηνχζα ηηκή είλαη x 5 ηξνραία δπζηπρήκαηα αλά εκέξα. Ζ κέζε ηηκή ησλ ηξνραίσλ δπζηπρεκάησλ αλά εκέξα είλαη Δ(Υ)=ι=5 θαη ε δηαθχκαλζε ηα Var(X)=ι=5. 35

36 7.3 Καλνληθή θαηαλνκή Ζ ζεκαληηθφηεξε ζεσξεηηθή θαηαλνκή είλαη ε ζπλερήο θαλνληθή θαηαλνκή. Όπσο ζα δνχκε ζηελ ζπλέρεηα βάζεη ηνπ θεληξηθνχ νξηαθνχ ζεσξήκαηνο φηαλ έλαο κεγάινο αξηζκφο παξαγφλησλ επηδξνχλ ζε κηα θπζηθή πνζφηεηα θαη δηακνξθψλνπλ ηηο ηηκέο πνπ παίξλεη ηφηε ε πνζφηεηα πνπ κεηξάκε αθνινπζεί ηελ θαλνληθή θαηαλνκή. Απηφ έρεη ζαλ ζπλέπεηα λα ρξεζηκνπνηείηαη ζρεδφλ ζην ζχλνιν ησλ ηπραίσλ κεηαβιεηψλ φηαλ αγλνείηαη θάπνηα ζπγθεθξηκέλε ηδηφηεηα ηνπο, κε ηθαλνπνηεηηθή πξνζέγγηζε, ε θαλνληθή θαηαλνκή. Ζ ηπραία κεηαβιεηή X πνπ έρεη ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο: - (x-κ) ζ f(x) = e ζ π ζπκβνιίδεηαη:ν(κ,ζ ). Έρεη δε Σ= - < x < αθνινπζεί ηελ θαλνληθή θαηαλνκή πνπ 0 0,3989 e = ζ π ζ, Δ(Υ)=κ θαη Var(X)=ζ Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηα θαλνληθήο θαηαλνκήο εμαξηάηαη απφ ηνλ κέζν κ θαη ηελ δηαθχκαλζε ζ.ο κέζνο επεξεάδεη κφλν ηελ ζέζε ηα θακπχιεο θαηαλνκήο ζηνλ άμνλα ησλ ρ ελψ ε δηαθχκαλζε κεηαβάιεη ηελ θπξηφηεηα ηεο θακπχιεο. Αλ νη αλεμάξηεηεο ηπραίεο κεηαβιεηέο Υ,Τ αθνινπζνχλ ηα Ν(κ ρ, Ν( y, y x ) θαη ) αληίζηνηρα ηφηε ε ηπραία κεηαβιεηή Ε=Υ+Τ θαη G=X-Y αθνινπζνχλ αληίζηνηρα ηα N(κ ρ + y, + ) θαη Ν(κ ρ - x y y, + ). x y Αλ ε ηπραία κεηαβιεηή Υ~Ν(κ,ζ ) θαη ε ηπραία κεηαβιεηή Ε= X ηφηε ε z f ( z) e αθνινπζεί ηελ ηππηθή θαλνληθή θαηαλνκή κε Δ(Ε)=0 θαη Var(Z)=.Σν δηάγξακκα ηα ηππηθή θαλνληθήο θαηαλνκήο είλαη: 36

37 7.4 Κεληξηθό νξηαθό Θεώξεκα Δάλ ηα πιεζπζκφο έρεη δηαθχκαλζε ζ < θαη κέζνλ κ βάζεη ηνπ θεληξηθνχ νξηαθνχ ζεσξήκαηνο γηα ηα κεγάινπο αξηζκνχο πξνζεγγίδεη ηελ θαλνληθή θαηαλνκή θαη ε ηπραία κεηαβιεηή Ε= X ηελ ηππηθή θαλνληθή θαηαλνκή. πλεπψο αλ ν πιεζπζκφο αθνινπζεί ηελ Ν(κ,ζ) ηφηε ε δεηγκαηνιεπηηθή θαηαλνκή κεγέζνπο αθνινπζεί ηελ Ν(κ. ηηκέο Ο πίλαθαο ηεο Ε θαηαλνκήο γηα ηνλ ππνινγηζκφ ησλ πηζαλνηήησλ δίδεη ηηο p( Z z) γηα PZ p( Z ) p( Z ) ( ) z α>0. Γηα ηηκέο ηνπ z=-α<0 έρνπκε. Δπί πιένλ αλ δεηάκε ηελ ηηκή P( Z ) P( Z ) P( Z ) P( Z ) [ P( Z )] Παξάδεηγκα 3 0 Οη κέζνη κηζζνί ησλ ππαιιήισλ κηαο επηρείξεζεο 00 αηφκσλ είλαη 900 κε δηαθχκαλζε 96. Δάλ επηιέμνπκε ζηελ ηχρε έλα ππάιιειν πνηα ε πηζαλφηεο α) λα έρεη κηζζφ κεηαμχ 850 θαη 930, β) Σνπιάρηζηνλ 880 γ) κηθξφηεξν ησλ 860 δ) Πφζνη εθ ησλ ππαιιήισλ ιακβάλνπλ 930. Λχζε Οη πηζαλφηεηεο ησλ κηζζψλ ησλ ππαιιήισλ εθ φζνλ γλσξίδνπκε ηνλ κέζν κ=900 θαη ηελ δηαθχκαλζε 96 κπνξνχλ λα ππνινγηζζνχλ ρξεζηκνπνηψληαο ηελ θαλνληθή θαηαλνκή. ). Α) Ζ δεηνχκελε πηζαλφηεο είλαη p(850 X 930). Αιιά z x ,7 z x ,,4 Άξα δεηάκε ηελ πηζαλφηεηα p( 0,7 z,4) p( z,4) p( z 0,7) p( z,4) [ p( z 0,7)] 0,9834 [( 0,758)] 0,9834 0,4 0,74 37

38 β) γ) δ) p( X 800) p( z ) p( z,43) p( z,43) 96 4,936 0, p( X 860) P( z ) p( z ) p( z,86) 4 4 pz (,86) 0,9978 0,00 99, ,5 900 p( x 930) p(99,5 x 930,5) p( z ) 4 4 p(,07 z,79) p( z,79) p( z,07) 0,985 ( p( z,07) ( 0,9835) 0,985 0,077 0,9674 Άξα 00.0,9674=93,47 ππάιιεινη Κεθάιαην 8 0 Παξάγσγεο Καηαλνκέο Καηαλνκέο νη νπνίεο ρξεζηκνπνηνχλ δεηγκαηνιεςία απφ θαλνληθνχο πιεζπζκνχο αιιά έρνπλ ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο δηαθνξεηηθή απφ ηελ θαλνληθή θαηαλνκή νλνκάδνληαη ζπλήζσο παξάγσγεο θαηαλνκέο. Απηέο νη θαηαλνκέο είλαη ε Υ,G,t θαη F νη νπνίεο ρξεζηκνπνηνχληαη πνιχ ζε εξεπλεηηθφ επίπεδν. 8. Η X θαη ε G θαηαλνκή Πξηλ αζρνιεζνχκε κε ηελ Υ θαηαλνκή πξέπεη λα δνχκε ηελ ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ηεο Γάκα θαηαλνκήο(gα,β). Αλ ε ηπραία κεηαβιεηή Υ>0 αθνινπζεί ηελ Γάκα θαηαλνκή ε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο είλαη: kxα- e-x/β,ρ>0 f(x) = { 0 αιινχ Όπνπ α,β παξάκεηξνη ηα θαηαλνκήο β α Γ(α) ζπλάξηεζε Γ(α) έρεη ηα παξαθάησ βαζηθέο ηδηφηεηεο: θαη Γ(α) = x α- e -x d(x). Ζ 0 ) Γ(α)=(α-)Γ(α-) ) Γ()=(-)! εr 3) Γ(/)= π 38

39 Αλ ρ, ρ, ρ αλεμάξηεηεο παξαηεξήζεηο κηαο θαλνληθήο θαηαλνκήο κε κέζν κ θαη δηαθχκαλζε ζ ηφηε ε θαη ε ηπραία κεηαβιεηή z x αθνινπζεί ηελ ηππηθή θαηαλνκή Ν(0,) ( x ) u z z αθνινπζεί ηελ νλνκαδφκελε Υ θαηαλνκή κε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο: - -x X e f(x ) = Γ( ) δηα 0<ρ< Αλ κεηαμχ ησλ ρ ηα θαλνληθήο θαηαλνκήο Ν(κ,ζ ) ππάξρνπλ θ< γξακκηθέο ζρέζεηο ηφηε ε Υ θαηαλνκή έρεη λ=-θ βαζκνχο ειεπζεξίαο. Ζ Υ θαηαλνκή αιιάδεη θπξηφηεηα αλάινγα κε ηα βαζκνχο ειεπζεξίαο θαη απηφο είλαη ν βαζηθφο ιφγνο πνπ θάλεη απαξαίηεηε ηελ ρξήζε ηνπο. Οη δπν βαζηθέο παξάκεηξνη ηα Υ θαηαλνκήο είλαη ν κέζνο θαη ε δηαθχκαλζε: E(X)=λ=- Var(X)=λ=(-) Μηα ηξίηε παξάκεηξνο είλαη ε επηθξαηνχζα ηηκή Σ=λ-=-3. Παξάδεηγκα 3 0 Γίδεηαη ε ηπραία κεηαβιεηή Υ πνπ αθνινπζεί ηελ Υ θαηαλνκή κε λ=6 βαζκνχο ειεπζεξίαο. Να ππνινγηζζεί ε πηζαλφηεο p(,4<ρ 6 <4,4). Ο κέζνο,ε δηαθχκαλζε θαη ε επηθξαηνχζα ηηκή ηα Υ θαηαλνκήο. Λύζε Δθ ησλ πηλάθσλ ηα Υ θαηαλνκήο έρνπκε p(ρ 6 >,4)=0,975 θαη p(ρ 6 >4,4)=0,05. Άξα p(,4<ρ 6 <4,4) = p(ρ 6 >,4)- p(ρ 6 >4,4)=0,975-0,05=0,95 Δ(Υ)=κ=λ=6 Var(X)=λ=.6= Σ=λ-=6-=4 Η G ΜΠ. Καηαλνκή 39

40 Ζ G θαηαλνκή(ldegre 976) πξνέξρεηαη απφ ηελ Υ θαηαλνκή φηαλ ην θαη ππάξρνπλ κεξηθά κεδεληθά ζηνηρεία. Υξεζηκνπνηείηαη θπξίσο ζηνλ έιεγρν ηεο αλεμαξηεζίαο. Όηαλ ε ππφζεζε H0 : αλεμαξηεζία, είλαη αιεζηλή, ηφηε θαη νη δχν ζηαηηζηηθέο X, G έρνπλ πξνζεγγηζηηθά ( ) X -θαηαλνκέο κε βαζκνχο ειεπζεξίαο (β.ε.) (r-)(c-). Πξάγκαηη νη δχν ζηαηηζηηθέο είλαη αζπκπησηηθά ηζνδχλακεο ζ' απηή ηελ πεξίπησζε, δηφηη ε δηαθνξά ηνπο είλαη κηθξφηεξεο ηάμεο ηνπ / φηαλ.γηα "Mεγάιεο" ηηκέο θαη ησλ δχν θαη δίδεη θαιχηεξα απνηειέζκαηα απφ ηελ Υ. Ζ ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο είλαη: f j G = f l( ) j j F j Παξάδεηγκα 33 0 ε έλα πείξακα γηα ηε ζχγθξηζε ηεο απνηειεζκαηηθφηεηαο πέληε θεθαιψλ θνςίκαηνο ζε κηα κεραλή πνπ θφβεη ζε ισξίδεο κεραληθά ραιπβδνιακαξίλεο, 00 ραιπβδνιακαξίλεο πνηθίισλ ηχπσλ δηαηξέζεθαλ ζε 5 δείγκαηα ησλ 0 κνλάδσλ ην θαζέλα. ε θάζε δείγκα ρξεζηκνπνηήζεθε δηαθνξεηηθή θεθαιή θνςίκαηνο θαη θαηαηάρζεθαλ κε βάζε ηελ θαηάζηαζε ησλ παξαγφκελσλ ισξίδσλ ζε δχν θαηεγνξίεο. Oη θαηεγνξίεο ήζαλ θαιέο θαη ειαηησκαηηθέο. Tα απνηειέζκαηα δίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα : Πίλαθαο Kεθαιέο θνςίκαηνο Kαηάζηαζε ισξίδσλ A B Γ Γ E χλνια Kαιή Eιαησκκαηηθή χλνια Να ππνινγηζζνχλ νη ηηκέο ηεο Υ θαη ηεο G γηα λα ειεγρζεί αλ ππάξρεη αλεμαξηεζία κεηαμχ ησλ θεθαιψλ θνςίκαηνο θαη ηεο θαηάζηαζεο ησλ ισξίδσλ (α=0,05). Λύζε Oη ηηκέο ησλ ζηαηηζηηθψλ X θαη G είλαη αληίζηνηρα 5,99 θαη 6,. Ζ ηηκή ηεο X -θαηαλνκή κε 4 β.ε. θαη πηζαλφηεηα 95% είλαη 9,488 πνπ ζεκαίλεη φηη δελ 40

41 ππάξρεη δηαθνξά ζηελ απνηειεζκαηηθφηεηα ησλ θεθαιψλ θνπήο ηεο κεραλήο(αλεμαξηεζία). 8. Η t θαηαλνκή (studet) Αλ έρνπκε δπν ηπραίεο κεηαβιεηέο ηελ Υ πνπ αθνινπζεί ηελ ηππηθή θαλνληθή θαηαλνκή Ν(0,) θαη ηελ Τ πνπ αθνινπζεί ηελ X θαηαλνκή κε λ β.ε. ηφηε ε X t= Y λ αθνινπζεί ηελ t θαηαλνκή κε λ β.ε. Ζ ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ηεο t θαηαλνκήο είλαη: λ + Γ( ) - t λ+ f(t) = (+ ) λ πλ ( ) Ο κέζνο ηεο t θαηαλνκήο κε λ β.ε. είλαη Δ(t)=0 θαη ε δηαθχκαλζεο ηεο Var(x)=. Γηα ηηκέο λ>30 κπνξεί λα ρξεζηκνπνηείηαη θαη κε ηθαλνπνηεηηθή πξνζέγγηζε ε ηππηθή θαλνληθή θαηαλνκή. Ζ t θαηαλνκή είλαη ζπκκεηξηθή κε κέζν 0 φπσο θαη ε ηππηθή θαλνληθή θαηαλνκή δηαθέξεη κφλν ζηελ θπξηφηεηα πνπ εμαξηάηαη απφ ην λ φπσο θαίλεηαη θαη ζην ζρήκα παξαθάησ ter Οη ηηκέο ηεο t θαηαλνκήο δίδνληαη απφ πίλαθεο. Ό πίλαμ δίδεη δηα δεδνµέλαο ηηµάο ησλ λ θαη α ηελ ηηµή t v,α/ ή νπνία πξνθχπηεη εθ ηεο ιχζεσο ηεο Ρ (It Η > tv,α) = α. Όπσο θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα: 4

42 Παξάδεηγκα 34 0 Να επξεζνχλ νη ηηκέο ηεο t θαηαλνκήο δηα λ=7 θαη α=0,05 θαη δηα πνηα ηηκή ηεο t ηζρχεη ε πηζαλφηεο p(t > t ) =0,05 0 Λύζε Έρνπκε t =,895 7,0,05 θαη p(t > t ) 0 =, Η F θαηαλνκή Αλ έρνπκε δπν ηπραίεο αλεμάξηεηεο θαηαλνκέο ηελ Υ θαη ηελ Τ πνπ αθνινπζνχλ ηελ Υ θαηαλνκή κε λ θαη λ β.ε. αληίζηνηρα, ηφηε ε ηπραία κεηαβιεηή X λ F= Y αθνινπζεί ηελ F θαηαλνκή κε β.ε. λ, λ. Ζ ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ηεο F θαηαλνκήο είλαη: λ + λ λ λ Γ( ) λ - λ g(f) =.( ). F.(+ F) δηα 0<F> λ λ λ λ Γ( )Γ( ) Ζ F θαηαλνκή εμαξηάηαη κφλν απφ ηνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο. Απφ ην παξαθάησ δηάγξακκα ηεο κπνξνχκε λα δνχκε φηη είλαη αζχκκεηξνο πξνο ηα δεμηά θαη φζν απμάλνπλ νη β.ε ηφηε πιεζηάδεη πξνο ηελ ηππηθή θαλνληθή θαηαλνκή. f(f) F 4

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε

Διαβάστε περισσότερα

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) = ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» 1. Να αληηζηνηρίζεηε θάζε κεηαβιεηή ηεο αξηζηεξήο ζηήιεο ηνπ παξαθάησ πίλαθα κε ηελ θαηεγνξία πνπ βξίζθεηαη ζηε δεμηά ζηήιε: ΜΔΣΑΒΛΗΣΗ ΚΑΣΗΓΟΡΙΑ 1. ΦΤΗΚΖ ΚΑΣΑΣΑΖ 2. ΜΗΘΟ 3.ΑΡΗΘΜΟ ΣΖΛΔΦΩΝΟΤ Α. ΠΟΗΟΣΗΚΖ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.

Διαβάστε περισσότερα

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

Διαβάστε περισσότερα

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε

Διαβάστε περισσότερα

Σ.Δ.Ι. ΚΔΝΣΡΙΚΗ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΥΟΛΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΔΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΜΗΜΑ ΥΔΓΙΑΜΟΤ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ΔΝΓΤΗ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΚΛΩΣΟΫΦΑΝΣΟΤΡΓΙΑ & ΔΝΓΤΗ (ΔΠΙΠΛΔΟΝ ΗΜΔΙΩΔΙ)

Σ.Δ.Ι. ΚΔΝΣΡΙΚΗ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΥΟΛΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΔΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΜΗΜΑ ΥΔΓΙΑΜΟΤ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ΔΝΓΤΗ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΚΛΩΣΟΫΦΑΝΣΟΤΡΓΙΑ & ΔΝΓΤΗ (ΔΠΙΠΛΔΟΝ ΗΜΔΙΩΔΙ) Σ.Δ.Ι. ΚΔΝΣΡΙΚΗ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΥΟΛΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΔΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΜΗΜΑ ΥΔΓΙΑΜΟΤ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ΔΝΓΤΗ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΚΛΩΣΟΫΦΑΝΣΟΤΡΓΙΑ & ΔΝΓΤΗ (ΔΠΙΠΛΔΟΝ ΗΜΔΙΩΔΙ) Γ ΔΞΑΜΗΝΟΤ ΑΝΣΩΝΙΟ Π. ΒΑΛΑΡΙΣΟ ΚΙΛΚΙ 0 ΠΔΡΗΔΥΟΜΔΝΑ. ΔΗΑΓΧΓΖ

Διαβάστε περισσότερα

επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n

επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n . ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr Επιλεγμένες Ασκήσεις. α) Έζησ η.δ. Ep. Να δεηρζεί όηη ε T,..., ~, 0

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε

Διαβάστε περισσότερα

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ζη. Σ Α2. Γ Α3. 1. γ 2. ε 3. δ 4. α Β1. ΘΔΜΑ Β Οη ηειηθνί ππνινγηζηέο παίξλνπλ απνθάζεηο δξνκνιόγεζεο κόλν γηα ηα δηθά ηνπο απηνδύλακα

Διαβάστε περισσότερα

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάλαιο 1. Ενόηηηα 2 Πλάνο Μάρκεηινγκ. Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ. Dr. Andrea Grimm Dr. Astin Malschinger

Κεθάλαιο 1. Ενόηηηα 2 Πλάνο Μάρκεηινγκ. Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ. Dr. Andrea Grimm Dr. Astin Malschinger Κεθάλαιο 1 Ενόηηηα 2 Πλάνο Μάρκεηινγκ Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ Dr. Andrea Grimm Dr. Astin Malschinger ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΛΑΝΟ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Κεθάιαην 1: Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ Σπγγξαθείο: Δξ. Andrea Grimm, Δξ.

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2 ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ Τν Σρήκα 1 δείρλεη ηελ αιιαγή ηεο ζηάζκεο ηεο Λίκλεο Τζαλη, ζηε Σαράξα ηεο Βόξεηαο Αθξηθήο. Η Λίκλε Τζαλη εμαθαλίζηεθε ηειείσο γύξσ ζην 20.000 π.χ., θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηειεπηαίαο επνρήο ησλ

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Σχολικό έτος: 2011-2012 Καθηγήτριες: Κεφαλληνού Λουκία- Καλλία Αθηνά ΙΙ. ΟΙ ΑΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ ΑΠΟ ΣΟΤ ΠΡΟΙΣΟΡΙΚΟΤ ΥΡΟΝΟΤ ΕΩ ΚΑΙ ΣΟ Μ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΟ 1. ΕΛΛΗΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Οη Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα εθαξκόδνληαη γηα ηελ απνξξνθνύκελε ελέξγεηα από Αηνιηθά Πάξθα πνπ είλαη ζπλδεδεκέλα ζην

Διαβάστε περισσότερα

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12 Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΝΚΑΓΑ Α ΔΡΩΣΖΔΗ ΩΣΟΤ- ΙΑΘΟΤ 1. Γηα έλα αγαζό όηαλ ε ζηαζεξά γ είλαη ίζε κε ην κεδέλ ηόηε ε θακπύιε πξνζθνξάο δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ.

Διαβάστε περισσότερα

Δπεξεπγαζία δεδομένυν εμπειπικήρ κοινυνικήρ έπεςναρ

Δπεξεπγαζία δεδομένυν εμπειπικήρ κοινυνικήρ έπεςναρ ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΧΝ ΓΗΑΣΜΖΜΑΣΗΚΟ ΜΔΣΑΠΣΤΥΗΑΚΟ ΣΜΖΜΑ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΧΝ ΜΖΥΑΝΗΚΧΝ Ζ/Τ&ΠΛΖΡΟΦΟΡΗΚΖ «Μαζεκαηηθά ησλ Τπνινγηζηψλ θαη ησλ Απνθάζεσλ» Δπεξεπγαζία δεδομένυν εμπειπικήρ κοινυνικήρ έπεςναρ ΜΔΣΑΠΣΤΥΗΑΚΖ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 6 ο Προγράμμαηα θωηογραθικών μηχανών Επιλογέας προγραμμάηων Μαο δίλεη ηε δπλαηόηεηα λα ειέγμνπκε ην άλνηγκα δηαθξάγκαηνο θαη

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Καηαζθεπάδνπκε έλα νγθνκεηξηθό δνρείν από πιαζηηθό κπνπθάιη λεξνύ

Διαβάστε περισσότερα

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2 TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 Δημιουργία σελίδων και βιβλίων Έλα θαηλνύξην βηβιίν πεξηέρεη κία άδεηα ζειίδα κε έλα άδεην background. Δελ κπνξνύκε λα μερσξίζνπκε

Διαβάστε περισσότερα

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε.

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε. ΑΝΟΙΓΜΑ ΝΔΑ ΥΡΗΗ 1. Γεκηνπξγείηε ηε λέα ρξήζε από ηελ επηινγή «Παξάκεηξνη/Παξάκεηξνη Δηαηξίαο/Γηαρείξηζε Δηαηξηώλ». Πιεθηξνινγείηε ηνλ θσδηθό ηεο εηαηξίαο ζαο θαη παηάηε Enter. Σηελ έλδεημε «Υξήζεηο» παηάηε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΡΓΑΣΙΑ 1 Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν στον

Διαβάστε περισσότερα

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά:

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά: ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ Η Μηκή θαη ν Νηίλνο αλαξσηήζεθαλ πνην αληειηαθό πξντόλ παξέρεη ηελ θαιύηεξε πξνζηαζία ζην δέξκα ηνπο. Τα αληειηαθά πξντόληα έρνπλ έλα δείθηε αληειηαθήο πξνζηαζίαο (SPF), ν νπνίνο δείρλεη πόζν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ 1.Απηόο πνπ ζα αλαγλσξηζηεί απνπζηάδεη γηα πνιύ θαηξό. 2.Δπηζηξέθεη κε πιαζηή ηαπηόηεηα ή κεηακνξθσκέλνο. 3.Απνκνλώλνληαη ηα δύν πξόζσπα 4.Άξζε κεηακόξθσζεο 5.Απνθάιπςε 6.Ακθηβνιίεο-απνδεηθηηθά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1. ρεδίαζε πλδπαζηηθνύ Κπθιώκαηνο Έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα (Κ) έρεη ηξεηο εηζόδνπο A, B θαη C θαη κία έμνδν Y Y=A B+AC Να θαηαζθεπάζεηε ην ράξηε Karnaugh. B 0

Διαβάστε περισσότερα

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 10 ε : ΜΗΥΑΝΙΚΗ ΜΔΡΟ Β ΠΙΔΗ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Καξέθια θαθίξε Όξγαλα Τιηθά Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ

ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ α. Η ΕΚΚΛΗΙΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ β. ΣΟ ΠΝΕΤΜΑΣΙΚΟ ΜΑ ΚΕΝΣΡΟ γ. Η ΠΑΝΟΡΑΜΙΚΗ ΘΕΗ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ α. Η ΕΚΚΛΗΙΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ. Η Εθθιεζία ηνπ ρσξηνύ καο, ε Αγία Άλλα, είλαη θηηζκέλε πξηλ πνιιά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο

Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο Εισαγωγή στοςρ κβαντικούρ ςπολογιστέρ και αλγόπιθμοςρ. Γηδάζθωλ : Φνπληνπιάθεο Αληώληνο Θεματικές Ενότητες 1. Απιέο έλλνηεο θβαληηθήο κεραληθήο θαη ην ζύζηεκα δύν θβαληηθώλ θαηαζηάζεωλ. 2. Qubit θαη θβαληηθόο

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.

Διαβάστε περισσότερα

Τηλζφωνο: 99543321 Ε-mail: savvas_email@yahoo.com Ώρες διδασκαλίας: 16:00 19:15 μμ

Τηλζφωνο: 99543321 Ε-mail: savvas_email@yahoo.com Ώρες διδασκαλίας: 16:00 19:15 μμ ΠΑΙΓΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΙΣΟΤΣΟ ΚΤΠΡΟΤ Πξόγξακκα Δπηκόξθσζεο Τπνςεθίσλ Καζεγεηώλ Σερλνινγίαο Γελάξεο 2011 ΗΛΔΚΣΡΟΝΙΚΑ Ι (Ύιε Γπκλαζίνπ) Διδάσκων: Σαββίδης Σάββας Τηλζφωνο: 99543321 Ε-mail: savvas_email@yahoo.com

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό

Διαβάστε περισσότερα

1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird

1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird 1. Οδηγίερ εγκαηάζηαζηρ και σπήζηρ έξςπνυν καπηών και τηθιακών πιζηοποιηηικών με σπήζη ηος λογιζμικού Μοzilla Thunderbird 1.1 Εγκαηάζηαζη ηυν οδηγών ηηρ έξςπνηρ κάπηαρ ζηο λογιζμικό Mozilla Thunderbird

Διαβάστε περισσότερα

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ

ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ ΣΟ ΤΣΖΜΑ ΔΛΑΣΖΡΗΟ - ΩΜΑ Σε όια ηα πξνβιήκαηα πνπ ζα αληηκεηωπίζνπκε, ην ειαηήξην ζα είλαη αβαξέο θαη ζα ηθαλνπνηεί ην λόκν ηνπ Hooke (ηδαληθό ειαηήξην), δειαδή ε δύλακε πνπ αζθεί έλα ηδαληθό ειαηήξην έρεη

Διαβάστε περισσότερα

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1. ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ

Διαβάστε περισσότερα

Α Ο Κ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η ( S E A R C H )

Α Ο Κ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η ( S E A R C H ) Ξ G O O G L E S C H O L A R Α Ο Ξ Ε Κ Ε Θ Λ Θ Α Λ Η Τ Α Μ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η Ρ Οξαγκαηνπνηώληαο αλαδήηεζε ζην GoogleScholar (http://scholar.google.com/) ν ρξήζηεο κπνξεί λα εληνπίζεη πιηθό αθαδεκαϊθνύ θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΠΔΙΡΑΙΩ ΣΜΗΜΑ ΣΑΣΙΣΙΚΗ & ΑΦΑΛΙΣΙΚΗ ΔΠΙΣΗΜΗ ΗΜΔΙΩΔΙ ΠΑΡΑΓΟΔΩΝ ΣΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΟ «ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κνχηξαο Μ. Μπνχηζηθαο ΙΑΝΟΤΑΡΙΟ 2011

ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΠΔΙΡΑΙΩ ΣΜΗΜΑ ΣΑΣΙΣΙΚΗ & ΑΦΑΛΙΣΙΚΗ ΔΠΙΣΗΜΗ ΗΜΔΙΩΔΙ ΠΑΡΑΓΟΔΩΝ ΣΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΟ «ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΙΙ» Μ. Κνχηξαο Μ. Μπνχηζηθαο ΙΑΝΟΤΑΡΙΟ 2011 ΠΑΝΔΠΙΣΗΜΙΟ ΠΔΙΡΑΙΩ ΣΜΗΜΑ ΣΑΣΙΣΙΚΗ & ΑΦΑΛΙΣΙΚΗ ΔΠΙΣΗΜΗ ΗΜΔΙΩΔΙ ΠΑΡΑΓΟΔΩΝ ΣΟΤ ΜΑΘΗΜΑΣΟ «ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΙΙ» Μ Κνύηξαο Μ Μπνύηηθαο ΙΑΝΟΤΑΡΙΟ Σεεηψεηο παξαδφεσλ «Σηαηηηηθή ΙΙ» Μ Κνχηξαο Μ Μπνχηηθαο Σεεηψεηο παξαδφεσλ

Διαβάστε περισσότερα

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη

1. Η απιή αξκνληθή ηαιάλησζε πνπ εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη πιάηνο Α = 20 cm θαη ΛΤΜΔΝΔ ΑΚΖΔΗ ΣΖΝ ΔΤΡΔΖ ΑΡΥΗΚΖ ΦΑΖ 1. Η αιή αξκνληθή ηαιάλησζε ν εθηειεί έλα κηθξό ζώκα κάδαο m = 1 kg έρεη ιάηνο Α = cm θαη ζρλόηεηα f = 5 Hz. Τε ρξνληθή ζηηγκή = ην κηθξό ζώκα δηέξρεηαη αό ηε ζέζε ανκάθξλζεο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ.

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ. ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΟΑIΤΜΘΔΘ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ 11V11 ΗΚΘΙΘΑ 6-10 ΤΠΞΜΩΜ ΛΕΘΞΜΕΙΗΛΑΑ ΞΣ ΟΑΘΤΜΘΔΘΞΣ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ ΓΘΑ ΟΑΘΙΕΡ ΗΚΘΙΘΑΡ 6-10 ΕΩΜ Η ΔΘΑΔΠΞΛΗ ΑΟΞ Η ΛΘΑ ΕΡΘΑ ΡΗΜ ΑΚΚΗ ΕΘΜΑΘ ΛΕΓΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα.

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα. Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα Γηαθξάγκαηα Δξγαιεία Καηαζθεπέο 2 Η θαηαζθεπή πεξηγξάθεηαη ζηελ αληίζηνηρε ελόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

Μέζνδνη ραξαθηεξηζκνύ πιηθώλ Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 8: Μαγλεηηθέο Μεηξήζεηο Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 26/5/2010

Μέζνδνη ραξαθηεξηζκνύ πιηθώλ Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 8: Μαγλεηηθέο Μεηξήζεηο Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 26/5/2010 Μέζνδνη ραξαθηεξηζκνύ πιηθώλ Δξγαζηεξηαθή άζθεζε 8: Μαγλεηηθέο Μεηξήζεηο Ηκεξνκελία δηεμαγσγήο: 26/5/2010 ΕΙΑΓΩΓΗ: Τα δηάθνξα πιηθά, αλάινγα κε ηε ζπκπεξηθνξά ηνπο εληόο καγλεηηθνύ πεδίνπ δηαθξίλνληαη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Εισαγωγή στη Φωτογραυία. Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Εισαγωγή στη Φωτογραυία. Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Εισαγωγή στη Φωτογραυία Χριζηάκης Σαζεΐδης - EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 3 ο ΚΛΕΙΣΡΟ ΣΑΥΤΣΗΣΑ ΚΛΕΙΣΡΟΤ-ΕΠΙΛΟΓΗ ΚΑΣΑΛΛΗΛΗ ΣΑΥΤΣΗΣΑ Σι είναι υωτογραυική μητανή; Από πνηα κέξε απνηειείηαη: 1. Φαθό

Διαβάστε περισσότερα

ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ

ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ ΥΡΙΣΟΤΓΔΝΝΙΑΣΙΚΔ ΚΑΣΑΚΔΤΔ 1) Υξηζηνπγελληάηηθα ειαηάθηα θάξηα ή θαδξάθη θάξηα ή θαδξάθη Τιηθά πνπ ζα ρξεηαζηνύκε: Υαξηί θάλζνλ καύξν γηα ην θόλην, πξάζηλν γηα ηα ειαηάθηα, θόθθηλν γηα ηα αζηεξάθηα Απιό

Διαβάστε περισσότερα

Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο

Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο Τν crossover καλώδιο ρξεζηκνπνηείηαη γηα λα ζπλδεζνύλ δπν ππνινγηζηέο κεηαμύ ηνπο θαη αλ θηηάμνπλ έλα κηθξό ηνπηθό δίθηπν(lan). Έλα LAN κπνξεί λα είλαη ηόζν

Διαβάστε περισσότερα

Α Ρ Η Σ Ο Σ Δ Λ Δ Η Ο Π Α Ν Δ Π Η Σ Ζ Μ Η Ο Θ Δ Α Λ Ο Ν Η Κ Ζ

Α Ρ Η Σ Ο Σ Δ Λ Δ Η Ο Π Α Ν Δ Π Η Σ Ζ Μ Η Ο Θ Δ Α Λ Ο Ν Η Κ Ζ Α Ρ Η Σ Ο Σ Δ Λ Δ Η Ο Π Α Ν Δ Π Η Σ Ζ Μ Η Ο Θ Δ Α Λ Ο Ν Η Κ Ζ ΣΜΖΜΑ ΓΔΩΛΟΓΗΑ ΔΡΓΑΣΖΡΗΟ ΣΔΥΝΗΚΖ ΓΔΩΛΟΓΗΑ ΜΑΘΖΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΓΕΩΛΟΓΙΑ ΓΗΓΑΚΟΝΣΔ: Β. ΥΡΖΣΑΡΑ, Καθ. ΔΞΑΜΖΝΟ: 7 ο Β. ΜΑΡΗΝΟ, Δπ.Καθ. Φεβροσάριος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΣΟΚΟΛΛΑ ΓΙΑΥΔΙΡΗΗ ΣΩΝ ΣΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ Δ ΔΝΗΛΙΚΔ

ΠΡΩΣΟΚΟΛΛΑ ΓΙΑΥΔΙΡΗΗ ΣΩΝ ΣΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ Δ ΔΝΗΛΙΚΔ ΠΡΩΣΟΚΟΛΛΑ ΓΙΑΥΔΙΡΗΗ ΣΩΝ ΣΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ Δ ΔΝΗΛΙΚΔ Σν ζύγρξνλν πξόηππν αληηκεηώπηζεο ηεο ηεξεδόλαο ελειίθσλ δελ εζηηάδεηαη κόλν ζηελ απνθαηάζηαζε ησλ ηεξεδνληθώλ βιαβώλ πνπ έρνπλ εθδεισζεί, αιιά έρεη

Διαβάστε περισσότερα

ΙNCOFRUIT - (HELLAS).

ΙNCOFRUIT - (HELLAS). Πξνο ΟΛΑ ΤΑ ΜΔΛΗ Κε Σπλάδειθε Θέκα: Ιζπαλία & Γεξκαλία 5 ε ΔΒΓΟΜΑΓΑ 2011 (31 Ιαλ έσο 30 Φεβξ.2011) Παξαζέηνπκε θαησηέξσ: Αλαζθόπεζε ηεο 4 εο εβδνκάδνο 2011 κε ηηο ηηκέο ησλ εζπεξηδνεηδώλ πνπ δηακνξθώζεθαλ

Διαβάστε περισσότερα

Η Ύςσζε ηνπ Τηκίνπ Σηαπξνύ. 14 Σεπηεκβξίνπ

Η Ύςσζε ηνπ Τηκίνπ Σηαπξνύ. 14 Σεπηεκβξίνπ Η Ύςσζε ηνπ Τηκίνπ Σηαπξνύ 14 Σεπηεκβξίνπ Ση γηνξηάδνπκε ηελ εκέξα ηεο ύςσζεο ηνπ Σηκίνπ ηαπξνύ (1/6) Τν έηνο 326 ε Αγία Ειέλε πήγε ζηελ Ιεξνπζαιήκ γηα λα πξνζθπλήζεη ηνπο Αγίνπο Τόπνπο θαη λα επραξηζηήζεη

Διαβάστε περισσότερα

Διατείριση Φσσικών Καταστρουών: ACTIVE LANDSLIDE INVENTORY MAPPING AND SUSCEPTIBILITY ZONING

Διατείριση Φσσικών Καταστρουών: ACTIVE LANDSLIDE INVENTORY MAPPING AND SUSCEPTIBILITY ZONING Διατείριση Φσσικών Καταστρουών: ACTIVE LANDSLIDE INVENTORY MAPPING AND SUSCEPTIBILITY ZONING Ναηαιία Σπαλνύ, spanou@igme.gr & natspanou@gmail.com Τερληθόο Γεσιόγνο (M.Sc.) Πεξηγξαθή Χάξηεο ρσξηθήο θαηαλνκήο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΜΔ ΣΗ ΥΡΗΗ ΣΟΤ ΠΑΚΔΣΟΤ ΙΒΜ SPSS 19

ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΜΔ ΣΗ ΥΡΗΗ ΣΟΤ ΠΑΚΔΣΟΤ ΙΒΜ SPSS 19 ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΜΔ ΣΗ ΥΡΗΗ ΣΟΤ ΠΑΚΔΣΟΤ ΙΒΜ SPSS 19 STATISTICAL PACKAGE for the SOCIAL SCIENCES ΣΑΓΡΗ ΜΙΥΑΗΛ MSc in Statistics Email: mtsagris@yahoo.gr ΑΘΗΝΑ θαη Nottingham 2011 2 Πεξηερόκελα Έλαο κηθξόο πξόινγνο...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ιήμεο 11.00 Κάπνηνο άξρηζε λα δηαβάδεη έλα βηβιίν ηελ 1 ε Δεθεκβξίνπ. Κάζε κέξα δηάβαδε ηνλ ίδην αξηζκό ζειίδσλ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_1382/153 1. Καη όηαλ έγηλε ε ππνρώξεζε αξγά ην απόγεπκα, επεηδή θνβήζεθαλ νη νιηγαξρηθνί κήπσο νη δεκνθξαηηθνί, αθνύ θάλνπλ επίζεζε, θαηαιάβνπλ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΝΕΤΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΣΤΑ. E w

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΝΕΤΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΣΤΑ. E w ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 κνλάδεο) ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΝΕΤΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΣΤΑ Σελικέρ εξετάσειρ Παπασκεςή 18 Ιοςνίος 2010 18:00-21:00 Έζησ φηη έλα απζαίξεην

Διαβάστε περισσότερα

Η. ΣΟΗΥΔΗΑ ΠΟΤ ΓΗΑΣΖΡΟΤΝΣΑΗ

Η. ΣΟΗΥΔΗΑ ΠΟΤ ΓΗΑΣΖΡΟΤΝΣΑΗ Αγαπεηέ αξρεγέ, Τν λέν ζύζηεκα ησλ playoff πνπ πηινηηθά ζα εθαξκνζηεί ζηε θεηηλή πεξίνδν 2013 14 απνηειεί κηα βειηίσζε ηνπ πθηζηάκελνπ ζπζηήκαηνο πνπ κε επηηπρία εθαξκόζηεθε ζηηο πξώηεο έμη δηνξγαλώζεηο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_1379/50 1. Όηαλ ινηπόλ ήξζαλ [νη πξέζβεηο ζηελ Αζήλα], αθνύ ζπλέιαβαλ νη Αζελαίνη θαη ηνπο πξέζβεηο σο ππνθηλεηέο ζηάζεο θαη όζνπο έπεηζαλ [νη πξέζβεηο], ηνπο ζπγθέληξσζαλ γηα αζθάιεηα ζηελ Αίγηλα.

Διαβάστε περισσότερα

ύζηεκα Ωξνκέηξεζεο Πξνζσπηθνύ (Έθδνζε 2) ΤΠΗΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΤΣΗΜΑΣΩΝ

ύζηεκα Ωξνκέηξεζεο Πξνζσπηθνύ (Έθδνζε 2) ΤΠΗΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΤΣΗΜΑΣΩΝ ύζηεκα Ωξνκέηξεζεο Πξνζσπηθνύ (Έθδνζε 2) ΤΠΗΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΩΝ ΤΣΗΜΑΣΩΝ Πεξηερόκελα Σερληθά Υαξαθηεξηζηηθά Καηαγξαθή Ώξαο πγρξνληζκόο πζηήκαηνο Παξνπζίαζε πζηήκαηνο Πηζαλά ελάξηα Υξήζεο 2 Σερληθά Υαξαθηεξηζηηθά

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΓΗΠΔΓΟ

ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΓΗΠΔΓΟ Α. Αεπόβια ικανόηηηα: ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΓΗΠΔΓΟ 1. Φόλλοος ζηα δύο καλάθια: νη αζιεηέο είλαη απέλαληη από ηα ηακπιώ ζε δπν γξακκέο. Οη πξώηνη έρνπλ από κηα κπάια. Με ην ζύλζεκα θάλνπλ θόιιννπ

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Cpyright 2013 Λόγος & Επικοινωνία // All rights Reserved Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Αυηό ηο παιχνίδι έχει ζηόχους: 1. ηελ εθγύκλαζε ηεο αθνπζηηθήο κλήκεο ησλ παηδηώλ 2. ηελ εμάζθεζε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ

ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΤΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ ΚΑΤΑ ΤΑ ICDAS II ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΜΔ ΒΑΣΗ ΤΗ ΚΛΙΝΙΚΗ ΔΞΔΤΑΣΗ Κιηληθή ηαμηλόκεζε ηνπ βαζκνύ ηεξεδνληθήο βιάβεο ηωλ νπώλ θαη ζρηζκώλ καζεηηθώλ επηθαλεηώλ θαηά ICDAS 1 νο Βαζκόο

Διαβάστε περισσότερα

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε γηα «ην θνηλό θαη ην θύξην» (Γ.νισκόο) γηα λα ρηίδω πάληα κε ηνλ ίδηνλε ηξόπν, κε ηηο ίδηεο θαηαζθεπαζηηθέο θαη πιαζηηθέο πξννπηηθέο, κε ηελ ίδηαλε πάληνηε πίζηε θαη αγάπε.. Α.Κ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΟΛΙΚΑ ΠΑΡΚΑ. Δρώτηση 1

ΑΙΟΛΙΚΑ ΠΑΡΚΑ. Δρώτηση 1 ΑΙΟΛΙΚΑ ΠΑΡΚΑ Πνιινί άλζξσπνη πηζηεύνπλ όηη ν άλεκνο ζα έπξεπε λα αληηθαηαζηήζεη ην πεηξέιαην θαη ην θάξβνπλν σο πεγή ελέξγεηαο γηα ηελ παξαγσγή ειεθηξηζκνύ. Οη θαηαζθεπέο πνπ θαίλνληαη ζηελ εηθόλα είλαη

Διαβάστε περισσότερα

Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις

Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις Λεκηική έκθραζη, κριηική, οικειόηηηα και ηύπος δεζμού ζηις ζηενές διαπροζωπικές ζτέζεις Μαξία-Ησάλλα Αξγπξνπνύινπ Βαζίιεο Παπιόπνπινο Τνκέαο Ψπρνινγίαο, Παλεπηζηήκην Αζελώλ Αλαθνίλσζε ζην 5 ν Παλειιήλην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΔΝΑΚ θαη ιέβεηεο. Ζκεξίδα 20/11/2010. Σσηήξεο Καηζηκίραο Γξ. Μεραλνιόγνο Μεραληθόο. Γεληθόο Γξακκαηέαο β ΔΝ.Δ.ΔΠΙ.Θ.Δ. Αζήλα 20.11.

ΚΔΝΑΚ θαη ιέβεηεο. Ζκεξίδα 20/11/2010. Σσηήξεο Καηζηκίραο Γξ. Μεραλνιόγνο Μεραληθόο. Γεληθόο Γξακκαηέαο β ΔΝ.Δ.ΔΠΙ.Θ.Δ. Αζήλα 20.11. Ζκεξίδα 2/11/21 ΚΔΝΑΚ θαη ιέβεηεο Σσηήξεο Καηζηκίραο Γξ. Μεραλνιόγνο Μεραληθόο Γεληθόο Γξακκαηέαο β ΔΝ.Δ.ΔΠΙ.Θ.Δ. Αζήλα 2.11.21 Πεγέο ελέξγεηαο Σπλ. Πξσηνγελήο Δλέξγεηα = Σ Καηαλ. Δλέξγεηα θαπζίκνπ x Σπλη.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΓΧΓΗ ΒΑΙΛΙΚΟΤ ΠΟΛΣΟΤ ΥΧΡΙ ΑΦΑΙΡΔΗ Η ΠΔΡΙΟΡΙΜΟ ΣΗ ΒΑΙΛΙΑ

ΠΑΡΑΓΧΓΗ ΒΑΙΛΙΚΟΤ ΠΟΛΣΟΤ ΥΧΡΙ ΑΦΑΙΡΔΗ Η ΠΔΡΙΟΡΙΜΟ ΣΗ ΒΑΙΛΙΑ ΠΑΡΑΓΧΓΗ ΒΑΙΛΙΚΟΤ ΠΟΛΣΟΤ ΥΧΡΙ ΑΦΑΙΡΔΗ Η ΠΔΡΙΟΡΙΜΟ ΣΗ ΒΑΙΛΙΑ Γ. Γκόρας, Δ. Λαδαρίδοσ, Π. Φελεκίδοσ, Γ. Ιωάννοσ, Α. Θραζσβούλοσ Δξγαζηήξην Μειηζζνθνκίαο Σεξνηξνθίαο, Α.Π.Θ. e-mail: panthakk@hotmail.com ΠΔΡΙΛΗΦΗ

Διαβάστε περισσότερα

Αναμόπθωζη Ππογπάμμαηορ Πποπηςσιακών Σποςδών

Αναμόπθωζη Ππογπάμμαηορ Πποπηςσιακών Σποςδών Αναμόπθωζη Ππογπάμμαηορ Πποπηςσιακών Σποςδών Ζ Σπλέιεπζε (Σ) ηνπ Τκήκαηνο Βηνκεραληθήο Γηνίθεζεο θαη Τερλνινγίαο ηεο 18/5/2015 ελέθξηλε ηελ αλακόξθσζε ηνπ Πξνγξάκκαηνο Πξνπηπρηαθώλ Σπνπδώλ. Παξαθαινύληαη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_3207/391 1. Τελ άιιε κέξα νη Τξηάθνληα, πνιύ ηαπεηλσκέλνη θαη ληώζνληαο εγθαηαιειεηκκέλνη, ζπγθεληξώζεθαλ ζην ρώξν ησλ ζπλεδξηάζεσλ παξάιιεια, νη «ηξεηο ρηιηάδεο», ζε όια ηα ζεκεία όπνπ είραλ ηνπνζεηεζεί,

Διαβάστε περισσότερα

ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης

ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης Μ ηροθική ηαλάνηωζη-μέηρηζη μέηροσ διάημηζης 1. κοπός ηελ άζθεζε γίλεηαη κέηξεζε ηνπ κέηξνπ δηάηκεζεο ελόο κεηαιιηθνύ ζύξκαηνο από ηελ πεηξακαηηθά κεηξεκέλε πεξίνδν ηαιάλησζεο ελόο ζηξνθηθνύ ηαιαλησηή.

Διαβάστε περισσότερα

Πληρουοριακά Σσστήματα Διοίκησης: Excel (γραυήματα, τάσεις, σενάρια)

Πληρουοριακά Σσστήματα Διοίκησης: Excel (γραυήματα, τάσεις, σενάρια) : Excel (γραυήματα, τάσεις, σενάρια) Εσθύμιος Ταμπούρης tambouris@uom.gr Μαρία Ζώτοσ mzotou@uom.gr Πιεξνθνξηαθά Σπζηήκαηα Γηνίθεζεο HLOOKUP θαη VLOOKUP Γηα λα αλαδεηήζνπκε πιεξνθνξίεο από κηα βάζε δεδνκέλσλ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: 10.101.1.64/27 Υπνδίθηπν Β: 10.101.1.

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: 10.101.1.64/27 Υπνδίθηπν Β: 10.101.1. Άσκηση 1 ΠΛΗ36 1. Η κόλε πεξίπησζε λα έρνπκε ζύγθξνπζε κεηαμύ παθέησλ ησλ δύν θόκβσλ είλαη λα ζηείιεη ν δεύηεξνο πξηλ πξνιάβεη λα πιεξνθνξεζεί γηα ηελ θαηάιεςε ηνπ δηάπινπ από ηνλ άιιν. Από ηε ζηηγκή πνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΤΗ ΓΙΑΚΤΜΑΝΗ ΚΑΙ ΤΝΓΙΑΚΤΜΑΝΗ Δ ΓΔΓΟΜΔΝΑ ΑΠΟ ΔΡΔΤΝΑ ΑΓΟΡΑ

ΑΝΑΛΤΗ ΓΙΑΚΤΜΑΝΗ ΚΑΙ ΤΝΓΙΑΚΤΜΑΝΗ Δ ΓΔΓΟΜΔΝΑ ΑΠΟ ΔΡΔΤΝΑ ΑΓΟΡΑ Σ.Δ.Ι ΑΝΑΣΟΛΙΚΗ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ & ΘΡΑΚΗ ΥΟΛΗ ΓΙΟΙΚΗΗ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΣΜΗΜΑ ΓΙΑΥΔΙΡΙΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΑΝΑΛΤΗ ΓΙΑΚΤΜΑΝΗ ΚΑΙ ΤΝΓΙΑΚΤΜΑΝΗ Δ ΓΔΓΟΜΔΝΑ ΑΠΟ ΔΡΔΤΝΑ ΑΓΟΡΑ Μεξζίλα Υξηζηίλα ΑΠΡΙΛΙΟ 2015 ΔΠΙΒΛΔΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΣΗ Γεξνληίδεο

Διαβάστε περισσότερα

Σ Δ Υ Ν Ι Κ Η Δ Κ Θ Δ Η Π Ρ Ο Μ Η Θ Δ Ι Α Ο Ι Κ Ο Γ Ο Μ Ι Κ Ω Ν Τ Λ Ι Κ Ω Ν Γ Η Μ Ο Τ Β Ο Λ Β Η

Σ Δ Υ Ν Ι Κ Η Δ Κ Θ Δ Η Π Ρ Ο Μ Η Θ Δ Ι Α Ο Ι Κ Ο Γ Ο Μ Ι Κ Ω Ν Τ Λ Ι Κ Ω Ν Γ Η Μ Ο Τ Β Ο Λ Β Η Σ Δ Υ Ν Ι Κ Η Δ Κ Θ Δ Η Π Ρ Ο Μ Η Θ Δ Ι Α Ο Ι Κ Ο Γ Ο Μ Ι Κ Ω Ν Τ Λ Ι Κ Ω Ν Γ Η Μ Ο Τ Β Ο Λ Β Η ΠΔΡΙΔΥΟΜΔΝΑ 1. Τερληθή Έθζεζε 2. Δλδεηθηηθφο Πξνυπνινγηζκφο 3. Έληππν νηθνλνκηθήο πξνζθνξάο ΘΔΜΑ : Πξνκήζεηα

Διαβάστε περισσότερα

Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π

Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π Α ο υ ι ς ε κ ς ξ μ ι κ ή ρ ύ μ θ ε ρ η 6 Τ ξ μ έ α π ΘΘΘ, X ώ ο ξ π κ α ι Δ π ι κ ξ ι μ χ μ ί α Η έ μ α : Διδάρκξμςεπ: Τξ εύοξπ ςξσ ξοίξσ Ιεοαμεικόπ

Διαβάστε περισσότερα

Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67)

Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67) Hellas online Προεπιλεγμένες ρσθμίσεις για FritzBox Fon WLAN 7140 (Annex B) 30.04.67 FritzBox Fon WLAN 7140 - Annex B (30.04.67) Γηα λα επαλαθέξεηε ην FritzBox Fon WLAN 7140 ζηηο πξνεπηιεγκέλεο ηνπ ξπζκίζεηο

Διαβάστε περισσότερα

Τάπηα με ππάζo, bacon και θέηα by Madame Ginger

Τάπηα με ππάζo, bacon και θέηα by Madame Ginger Τάπηα με ππάζo, bacon και θέηα by Madame Ginger 1 θύιιν ζθνιηάηαο 2 πξάζα 150 γξ. bacon 150 γξ. θέηα ΓΧΓΧΝΗ 100 γξ. γξαβηέξα ΓΧΓΧΝΗ 1 θ.ζ. ειαηόιαδν Κόβνπκε ηα πξάζα ζε ιεπηέο ξνδέιεο. Κόβνπκε ην bacon

Διαβάστε περισσότερα

Intel Accelerate Your Code

Intel Accelerate Your Code Intel Accelerate Your Code Semester Project at Parallel & Distributed systems Dimitrios S. Tsiktsiris University of Western Macedonia Department of Informatics & Telecommunications Engineering Kozani,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ ΘΕΜ 1 ο (2.5 κνλάδεο) ΠΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΜΚΕΔΟΝΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΣΜΗΜ ΕΦΡΜΟΜΕΝΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΣΕΥΝΗΣΗ ΝΟΗΜΟΤΝΗ Σελικέρ εξετάσειρ Σετάπτη 21 Ιανοςαπίος 2009 13:00-16:00 Έζησ ν θόζκνο ηεο ειεθηξηθήο

Διαβάστε περισσότερα

1 ορ ΣΚΟΠΟΣ (1 Ο μάθημα) Αλάπηπμε θηλεηηθώλ δεμηνηήησλ θαη ηθαλνπνηεηηθή εθηέιεζε νξηζκέλσλ από απηέο Σηόχορ :1 ορ και 4 ορ

1 ορ ΣΚΟΠΟΣ (1 Ο μάθημα) Αλάπηπμε θηλεηηθώλ δεμηνηήησλ θαη ηθαλνπνηεηηθή εθηέιεζε νξηζκέλσλ από απηέο Σηόχορ :1 ορ και 4 ορ 1 ΣΚΟΠΟΣ (1 Ο μάθημα) Αλάημε θηλεηηθώλ δεμηηήησλ θαη ηθαληεηηθή εθηέιεζε ξηζκέλσλ α αηέ Σηχ :1 και 4 Γλώζε ηε άζα κε δάηια ζηελ εηζθαίξηζε. Ειδιώξει Πειεχμεα Χ 1. Τα αηδηά λα κάζλ ηελ άζα κε δάηια. 1.

Διαβάστε περισσότερα

Παλεπηζηήκην Παηξψλ-Σκήκα Μαζεκαηηθψλ. Πξνπηπρηαθή Γηπισκαηηθή Δξγαζία. Θέκα: Ακέραιος Προγραμμαηιζμός

Παλεπηζηήκην Παηξψλ-Σκήκα Μαζεκαηηθψλ. Πξνπηπρηαθή Γηπισκαηηθή Δξγαζία. Θέκα: Ακέραιος Προγραμμαηιζμός Παλεπηζηήκην Παηξψλ-Σκήκα Μαζεκαηηθψλ Πξνπηπρηαθή Γηπισκαηηθή Δξγαζία Θέκα: Ακέραιος Προγραμμαηιζμός Φνηηήηξηα: Ρσκαιέα Ρεληδή Δπηβιέπσλ θαζεγεηήο: Νίθνο Σζάληαο Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ 1 Ακζραιοσ Προγραμματιςμόσ

Διαβάστε περισσότερα

IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ

IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ Να σαπακηηπίζεηε ηιρ πποηάζειρ, πος ακολοςθούν, υρ ππορ ηην οπθόηηηά ηοςρ, με ηην ένδειξη Σωστό ή Λάθος 1. ηελ αξραία Ρώκε νη πιεβείνη δελ είραλ αξρηθά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43

ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43 ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43 Κα ακαθένεηε 5 εονςπασθέξ πώνεξ θαη κα βνείηε ημ είδμξ ημο μνοθημύ ημοξ πιμύημο. Πμημη πανάγμκηεξ επηηνέπμοκ ηεκ θαηαζθεοή μεγάιςκ ηεπκηθώκ ένγςκ; Ε ελόνολε (ελαγςγή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ (BALANCE SHEET)

ΔΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ (BALANCE SHEET) ΔΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΚΔΦΑΛΑΙΟ 1 ΙΣΟΛΟΓΙΣΜΟΣ (BALANCE SHEET) 1 Έλλνηα ηνπ Ιζνινγηζκνύ Ο Ιζνινγηζκόο είλαη έλαο πίλαθαο πνπ δείρλεη ηελ νηθνλνκηθή θαηάζηαζε ηεο επηρείξεζεο ζε κηα δεδνκέλε ζηηγκή Σηνλ

Διαβάστε περισσότερα

Άζθεζε 2ε ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΛΔΓΥΟΤ ΑΝΟΙΚΣΟΤ ΒΡΟΥΟΤ ΚΑΙ MATLAB

Άζθεζε 2ε ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΛΔΓΥΟΤ ΑΝΟΙΚΣΟΤ ΒΡΟΥΟΤ ΚΑΙ MATLAB Άζθεζε 2ε ΤΣΗΜΑΣΑ ΔΛΔΓΥΟΤ ΑΝΟΙΚΣΟΤ ΒΡΟΥΟΤ ΚΑΙ MATLAB. ςνάπηηζη μεηαθοπάρ Γηα ηε κειέηε ελόο ζπζηήκαηνο κε ην Matlab απαξαίηεηε πξνϋπόζεζε είλαη λα δεκηνπξγήζνπκε έλα κνληέιν, ώζηε λα εμεηάζνπκε ηα ραξαθηεξηζηηθά

Διαβάστε περισσότερα

Γιπθόδε + Ομπγόλν Δηνμείδην ηνπ άλζξαθα + Νεξό + Ελέξγεηα

Γιπθόδε + Ομπγόλν Δηνμείδην ηνπ άλζξαθα + Νεξό + Ελέξγεηα 4. ΑΝΑΠΝΟΗ Η δηάζπαζε ηεο γιπθόδεο γίλεηαη κέζα ζηα θύηηαξα, νλνκάδεηαη θπηηαξηθή αλαπλνή θαη εμαζθαιίδεη ηελ ελέξγεηα πνπ είλαη απαξαίηεηε ζην θύηηαξν. Η δηάζπαζε γίλεηαη κε ηελ παξνπζία νμπγόλνπ θαη

Διαβάστε περισσότερα

DOM. Γηδάζθνληεο: Π. Αγγειάηνο, Γ. Εήλδξνο Δπηκέιεηα δηαθαλεηώλ: Π. Αγγειάηνο. Σρνιή Ζιεθηξνιόγωλ Μεραληθώλ θαη Μεραληθώλ Υπνινγηζηώλ

DOM. Γηδάζθνληεο: Π. Αγγειάηνο, Γ. Εήλδξνο Δπηκέιεηα δηαθαλεηώλ: Π. Αγγειάηνο. Σρνιή Ζιεθηξνιόγωλ Μεραληθώλ θαη Μεραληθώλ Υπνινγηζηώλ DOM Γηδάζθνληεο: Π. Αγγειάηνο, Γ. Εήλδξνο Δπηκέιεηα δηαθαλεηώλ: Π. Αγγειάηνο Σρνιή Ζιεθηξνιόγωλ Μεραληθώλ θαη Μεραληθώλ Υπνινγηζηώλ Σηόρνο ηεο ώξαο Δμνηθείωζε κε ην DOM Γέληξν DOM: Γηάζρηζε Τξνπνπνίεζε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ

ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ ΤΝΑΡΣΗΔΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΔΣΑΒΛΗΣΏΝ Έζησ : R R κηα ζπλάξηεζε πνιιώλ κεηαβιεηώλ. ε θάζε κηα από ηηο αθόινπζεο πεξηπηώζεηο ε θαζώο θαη όιεο νη ζπλαξηήζεηο πνπ νξίδνληαη ζεσξνύληαη θιάζεο ηνπιάρηζηνλ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΡΓΑΙΑ ΣΡΙΣΟΤ ΣΡΙΜΗΝΟΤ ΣΗΝ ΟΓΤΔΙΑ

ΔΡΓΑΙΑ ΣΡΙΣΟΤ ΣΡΙΜΗΝΟΤ ΣΗΝ ΟΓΤΔΙΑ ΔΡΓΑΙΑ ΣΡΙΣΟΤ ΣΡΙΜΗΝΟΤ ΣΗΝ ΟΓΤΔΙΑ Α.Να γξάςεηε ηα ηππηθά ζηάδηα ηεο αλαγλώξηζεο ζηελ Οδύζζεηα. Το θέμα της αναγνώρισης είναι συχνό, ιδιαίτερα στις τελευταίες ραψωδίες του έπους, δηλαδή από τότε που ο Οδυσσέας

Διαβάστε περισσότερα

Η απνξξόθεζε ηνπ νξαηνύ θσηόο γίλεηαη κέζσ ρξσζηηθώλ νπζηώλ πνπ νλνκάδνληαη τλωροθύλλες.

Η απνξξόθεζε ηνπ νξαηνύ θσηόο γίλεηαη κέζσ ρξσζηηθώλ νπζηώλ πνπ νλνκάδνληαη τλωροθύλλες. ΦΩΣΟΤΝΘΔΗ Δλαιιαθηηθή δηεξγαζία παξαγσγήο ελέξγεηαο Υξεζηκνπνηείηαη από ηνπο νλνκαδόκελνπο θσηνζπλζεηηθνύο νξγαληζκνύο Οπζηαζηηθά ε αληίζηξνθε δηεξγαζία ηεο αλαπλνήο πλίζηαηαη ζηελ δέζκεπζε ειηαθήο ελέξγεηαο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΤΡΕΛΑΙΟ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΤ ΜΑΡΙΑ ΣΖΑΜΟΤΡΑΝΗ ΕΛΕΝΗ ΟΤΣΖΙΟΤ ΑΤΓΕΡΙΝΗ ΧΑΙΔΕΜΕΝΑΚΗ ΝΑΣΑΛΙΑ

ΠΕΤΡΕΛΑΙΟ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΤ ΜΑΡΙΑ ΣΖΑΜΟΤΡΑΝΗ ΕΛΕΝΗ ΟΤΣΖΙΟΤ ΑΤΓΕΡΙΝΗ ΧΑΙΔΕΜΕΝΑΚΗ ΝΑΣΑΛΙΑ 1 ΠΕΤΡΕΛΑΙΟ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΤ ΜΑΡΙΑ ΣΖΑΜΟΤΡΑΝΗ ΕΛΕΝΗ ΟΤΣΖΙΟΤ ΑΤΓΕΡΙΝΗ ΧΑΙΔΕΜΕΝΑΚΗ ΝΑΣΑΛΙΑ ΝΟΗΠΚΝΠ 2 Τν πεηξέιαην, πνπ κεξηθέο θνξέο ζηελ θαζεκεξηλή γιώζζα απνθαιείηαη θαη μαύπορ σπςσόρ ή τσάι τος Ρέξαρ, είλαη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΔΜΒΑΔΙ ΔΤΑΙΘΗΣΟΠΟΙΗΗ ΚΑΙ ΠΡΟΛΗΨΗ ΓΙΑ ΣΟΝ HIV/AIDS ΣΗΝ ΑΚΣΟΓΡΑΜΜΗ ΣΩΝ ΠΔΡΙΦΔΡΔΙΑΚΩΝ ΔΝΟΣΗΣΩΝ ΣΗ ΚΔΝΣΡΙΚΗ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΑΤΓΟΤΣΟ 2014

ΠΑΡΔΜΒΑΔΙ ΔΤΑΙΘΗΣΟΠΟΙΗΗ ΚΑΙ ΠΡΟΛΗΨΗ ΓΙΑ ΣΟΝ HIV/AIDS ΣΗΝ ΑΚΣΟΓΡΑΜΜΗ ΣΩΝ ΠΔΡΙΦΔΡΔΙΑΚΩΝ ΔΝΟΣΗΣΩΝ ΣΗ ΚΔΝΣΡΙΚΗ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΑΤΓΟΤΣΟ 2014 ΠΑΡΔΜΒΑΔΙ ΔΤΑΙΘΗΣΟΠΟΙΗΗ ΚΑΙ ΠΡΟΛΗΨΗ ΓΙΑ ΣΟΝ HIV/AIDS ΣΗΝ ΑΚΣΟΓΡΑΜΜΗ ΣΩΝ ΠΔΡΙΦΔΡΔΙΑΚΩΝ ΔΝΟΣΗΣΩΝ ΣΗ ΚΔΝΣΡΙΚΗ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΑΤΓΟΤΣΟ 2014 Σν ΚΔ.ΔΛ.Π.ΝΟ., Γξαθείν Θεζζαινλίθεο θαη ε Γηεύζπλζε Γεκόζηαο Τγείαο ηεο

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες τρήζης για λειηοσργία μεηαθοράς καναλιών ζε υηθιακό δέκηη OST-7060 HD

Οδηγίες τρήζης για λειηοσργία μεηαθοράς καναλιών ζε υηθιακό δέκηη OST-7060 HD Οδηγίες τρήζης για λειηοσργία μεηαθοράς καναλιών ζε υηθιακό δέκηη OST-7060 HD Γηα ηε δηεπθόιπλζή ζαο θαηά ην switch-off ηεο πεξηνρήο ηεο Πεινπνλλήζνπ έρνπκε πξνζζέζεη ζηνπο ςεθηαθνύο καο δέθηεο κία λέα,

Διαβάστε περισσότερα