Παλεπηζηήκην Μαθεδνλίαο Σκήκα Δθαξκνζκέλεο Πιεξνθνξηθήο. ΣΑΣΙΣΙΚΗ Ι Πεξηγξαθηθή θαη Δπαγσγηθή. Αδακάληηνο Υαξίηνπ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Παλεπηζηήκην Μαθεδνλίαο Σκήκα Δθαξκνζκέλεο Πιεξνθνξηθήο. ΣΑΣΙΣΙΚΗ Ι Πεξηγξαθηθή θαη Δπαγσγηθή. Αδακάληηνο Υαξίηνπ"

Transcript

1 Παλεπηζηήκην Μαθεδνλίαο Σκήκα Δθαξκνζκέλεο Πιεξνθνξηθήο ΣΑΣΙΣΙΚΗ Ι Πεξηγξαθηθή θαη Δπαγσγηθή Αδακάληηνο Υαξίηνπ Θεζζαινλίθε 0

2 Πεξηερφκελα ειίδεο Κεθάιαην 0 Δηζαγσγή ζηελ ηαηηζηηθή 3. Ηζηνξηθή Αλαδξνκή 3. Μεηαβιεηέο 4.3 Πιεζπζκνί Γείγκαηα 4 Κεθάιαην 0 Γεηγκαηνιεςία 5. Δίδε Γεδνκέλσλ 5. πιινγή Γεδνκέλσλ 6.3 Σερληθέο Γεηγκαηνιεςίαο 7.4 Γξαθήκαηα 8 Κεθάιαην 3 0 Δπεμεξγαζία ηαηηζηηθψλ Γεδνκέλσλ 0 3. Μέηξα Θέζεσο 0 3. Μέηξα Γηαζπνξάο 3.3 Γηάκεζνο 3.4 Αξηζκεηηθφο Μέζνο Γηαθχκαλζε Ρνπέο-κέηξα Αζπκκεηξίαο θαη Κχξησζεο Κεθάιαην 4 0 Δίδε Πηλάθσλ 3 4. Πίλαθεο απιήο Δηζφδνπ 3 4. Πίλαθεο Γηπιήο Δηζφδνπ 4 Κεθάιαην 5 0 Δηζαγσγή ζηελ Θεσξία ησλ Πηζαλνηήησλ 5 5. Οξηζκνί 5 5. Τπνινγηζκφο Πηζαλφηεηαο Σχπνο ηνπ Bayes πλδπαζηηθή 8 Κεθάιαην 6 0 Σπραίεο Μεηαβιεηέο Οξηζκνί Μέηξα ηπραίσλ Μεηαβιεηψλ 3 Κεθάιαην 7 0 Θεσξεηηθέο θαηαλνκέο Γησλπκηθή Posso Καλνληθή Κεληξηθφ νξηαθφ ζεψξεκα 37 Κεθάιαην 8 0 Παξάγσγεο Καηαλνκέο Ζ X θαη ε G κεγηζηνπηζαλνθάλεηαο(μπ) θαηαλνκή Ζ t θαηαλνκή ( Studet) Ζ F θαηαλνκή Πίλαθαο Ε θαηαλνκήο Πίλαθαο Υ θαηαλνκήο Πίλαθαο t θαηαλνκήο 46

3 Κεθάιαην 0 Δηζαγσγή ζηελ ηαηηζηηθή. Ιζηνξηθή Αλαδξνκή Ζ ηαηηζηηθή ζεσξείηαη σο µία απφ ηηο λεφηεξεο αιιά παξάιιεια απφ ηηο πην εμειίμηµεο επηζηήµεο. ήµεξα απνηειεί απαξαίηεην θαη ζεµαληηθφ «εξγαιείν» ζηελ Οηθνλνµία, ηε Γεµφζηα Γηνίθεζε, ηελ Ηαηξηθή θαη ζε µηα ζεηξά άιισλ επηζηεµψλ. Ο φξνο «ηαηηζηηθή» πξνέξρεηαη απφ ηε ιέμε Status πνπ ζεµαίλεη θξάηνο, ζπλεπψο ζεσξείηαη βέβαην φηη ε επηζηήµε απηή εµθαλίζηεθε επζχο µφιηο άξρηζαλ λα δεµηνπξγνχληαη ππνηππψδεηο θνηλσληθέο νµάδεο αλζξψπσλ, νη πξψηεο «θνηλσλίεο», πνπ ππήξμαλ πξνάγγεινη ησλ κεηέπεηηα θξαηψλ. Ωο αξρή µπνξεί λα ζεσξεζνχλ νη απνγξαθέο ηνπ πιεζπζµνχ ζηελ αξραηφηεηα, ελψ ζηαηηζηηθά ζηνηρεία γηα ηνλ πιεζπζµφ, ην εηζφδεµα, ηελ θνξνινγία θαη ηηο ζηξαηησηηθέο δπλάµεηο αλαθέξνληαη ζε έξγα ηνπ Ζξνδφηνπ ηνπ Θνπθπδίδε ηνπ Ξελνθψληα θαη ηνπ Αξηζηνηέιε. ηε Βίβιν ζεκεηψλεηαη φηη ν Βαζηιηάο Γαπίδ (000 π.ρ.) έθαλε απνγξαθή πξνθεηµέλνπ λα δηαπηζηψζεη ηνλ αξηζµφ ησλ ηθαλψλ γηα πφιεµν αλδξψλ. Ο Καίζαξ Αχγνπζηνο ηε ρξνληά ηεο γέλλεζεο ηνπ Υξηζηνχ έθαλε απνγξαθή πιεζπζµνχ ηεο ηφηε Ρσκατθήο Απηνθξαηνξίαο. πζηεµαηνπνηήζεθε θαη εµθαλίζηεθε σο απηνηειήο επηζηήµε ζηα µέζα ηνπ 7 νπ αηψλα απφ ηνλ Corg (600-68), ν νπνίνο θαη ηελ θαζηέξσζε ζηελ αλψηαηε παηδεία. Σνπο κεηέπεηηα αηψλεο έγηλαλ δηάθνξεο έξεπλεο θαη δεµνζηεχζεηο ησλ J. Graut (60-674), W. Petty (63-687), Δ. Halley (656-74), J.B. Colbert (69-683), G. Achewall (79-77), J. Sυssmlch (70-767) πάληα µέζα ζηα ζηελά φξηα ηεο θαινχµελεο Πεξηγξαθηθήο ηαηηζηηθήο, θαη µφλν µεηά ηελ αλάπηπμε ησλ ηπρεξψλ παηρληδηψλ θαη ηελ παξνπζίαζε ησλ λφµσλ ηνπ ηπραίνπ, Bayes, Beroull, Gauss, Fermat, Laplace, Pascal θ.ι.π. ζηηο αξρέο ηνπ 9 αηψλα γλψξηζε αιµαηψδε αλάπηπμε. Θεµειησηέο ζεσξνχληαη νη Que telet Galto, Gram, Pearso, Yule θ.ά. ( ), Charler, Fsher, ηηο µέξεο µαο, δεδνµέλνπ φηη δελ ππάξρεη Δπηζηήµε πνπ λα µε ρξεζηµνπνηεί ηε ηαηηζηηθή Δπηζηήµε θαη µε ηελ ηαπηφρξνλε αλάπηπμε ησλ ηαηηζηηθψλ παθέησλ ησλ Η/Υ, φπνπ μεπεξάζηεθε ην πξφβιεµα ησλ δπζθνιηψλ ζηελ επεμεξγαζία ππεξάξηζµσλ ζηνηρείσλ ζε έθηαζε θαη ρξφλν πνπ απαηηείηαη, ν φξνο ηαηηζηηθή εμεηδηθεχηεθε ζην γλσζηηθφ αληηθείµελν ηεο 3

4 εθαξµνγήο θαη έηζη έδσζε δηάθνξεο νλνκαζίεο φπσο Βηνζηαηηζηηθή, Βηνµεραληθή ηαηηζηηθή, Αγξνηηθή ηαηηζηηθή, ηαηηζηηθή ηεο Απαζρφιεζεο, Μαζεµαηηθή ηαηηζηηθή, Statstcs for busess, Statstcs for ecoomcs, ηαηηζηηθέο έξεπλεο θιπ. Έηζη ζεσξείηαη δίθαηα ην πξσηαξρηθφ ζηάδην αλάιπζεο, πνπ ρξεηάδεηαη λα θαηέρεη θάζε επηζηήµνλαο, ψζηε λα ην ρξεζηµνπνηεί πάληα ψζηε λα ηεθµεξηψλεη ηηο απφςεηο θαη ηηο πξνηάζεηο ηνπ. Γη απηφ θαη ζ φια ζρεδφλ ηα εθαξµνζµέλα Παλεπηζηεµηαθά ηµήµαηα θαη ρνιέο ε ηαηηζηηθή απνηειεί βαζηθφ µάζεµα ηνπ πξνγξάµµαηνο πνπδψλ ηνπο.. Μεηαβιεηέο ηελ ζηαηηζηηθή ηα δηάθνξα ραξαθηεξηζηηθά ηεο κνλάδαο (άηνκν ή αληηθείκελν) νλνκάδνληαη «κεηαβιεηέο». Γειαδή, κεηαβιεηή νλνκάδεηαη ην ζπγθεθξηκέλν ραξαθηεξηζηηθφ ηεο κνλάδαο πνπ ηα ελδηαθέξεη. Αλ πάξνπκε σο παξάδεηγκα ηελ παξαγσγή ηνπ πξντφληνο ζε έλα εξγνζηάζην πνπ θαηαζθεπάδεη ζεξκνζίθσλεο. Γελ ιέκε ην ραξαθηεξηζηηθφ ζεξκνζίθσλεο αιιά πξνηηκάκε λα πνχκε ε κεηαβιεηή ζεξκνζίθσλεο. ε κηα θηελνηξνθηθή κνλάδα αγειάδσλ γηα ηελ πνζφηεηα ηνπ παξαγφκελνπ γάιαθηνο ζε εκεξήζηα βάζε, δελ ρξεζηκνπνηείηαη ν φξνο ην ραξαθηεξηζηηθφ γάια ή βάξνο γάιαθηνο, αιιά φηη ε κεηαβιεηή είλαη ην γάια. Δδψ έρνπκε ηελ επθαηξία λα δνχκε ηα δπν βαζηθά δηαθνξεηηθά είδε δεδνκέλσλ. ηελ πξψηε πεξίπησζε πνπ ιέκε γηα ηελ κεηαβιεηή ζεξκνζίθσλεο ζα έρνπκε απνθιεηζηηθά αθέξαηεο ηηκέο. ηελ πεξίπησζε πνπ νη ηηκέο είλαη δηαθξηηέο ιέκε φηη δεδνκέλα καο είλαη αζπλερή. Όηαλ ηα έρνπκε δεδνκέλα πνπ κπνξνχλ λα πάξνπλ νπνηαδήπνηε ηηκή ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ, φπσο κε ην βάξνο ηνπ γάιαθηνο ηφηε ιέκε φηη έρνπκε ζπλερή δεδνκέλα. Σα δπν βαζηθά είδε δεδνκέλσλ είλαη ηα αζπλερή θαη ηα ζπλερή πνπ φπσο ζα δνχκε ζηελ ζπλέρεηα ρξεηάδνληαη δηαθνξεηηθφ ηξφπν επεμεξγαζίαο απηψλ ησλ δεδνκέλσλ γηα λα θαηαιήμνπκε ζε ζπκπεξάζκαηα..3 Πιεζπζκνί Γείγκαηα Με ηελ έλλνηα πιεζπζκφο ελλννχκε ην ζχλνιν ησλ δεδνκέλσλ πνπ κπνξνχκε λα έρνπκε απφ κηα κεηαβιεηή ρ. Αλ ιάβνπκε ππ φςηλ π.ρ. ην ζχλνιν ησλ θηελνηξνθηθψλ κνλάδσλ ηνπ λνκνχ Θεζζαινλίθεο,απηφ κπνξεί λα ζεσξεζεί ζαλ πιεζπζκφο, ελψ κπνξεί λα ζεσξεζεί ζαλ πιεζπζκφο θαη ην 4

5 ζχλνιν ησλ κνλάδσλ ηεο Μαθεδνλίαο ή αθφκε ηεο Διιάδνο Βιέπνπκε ινηπφλ φηη ε έλλνηα πιεζπζκφο θαζνξίδεηαη απφ ηελ κνξθή ηεο έξεπλαο. Όηαλ ζέινπκε λα βγάινπκε ζπκπεξάζκαηα γηα ην ζχλνιν ηνπ παξαγφκελνπ γάιαθηνο ηνπ λνκνχ Θεζζαινλίθεο, ηφηε ν λνκφο απνηειεί ηνλ πιεζπζκφ. Δίλαη βαζηθφ αλαιφγσο ηα έξεπλαο λα θαζνξίζνπκε ζσζηά ηνλ πιεζπζκφ. ηηο πεξηζζφηεξεο πεξηπηψζεηο ν πιεζπζκφο είλαη εμαηξεηηθά κεγάινο φπνηε ε έξεπλα είλαη θνπηψδεο, πεξίπινθε θαη αζχκθνξε νηθνλνκηθά Δδψ αθξηβψο ρξεηαδφκαζηε ηελ βνήζεηα ηα ηαηηζηηθήο πνπ απφ έλα κέξνο ηνπ πιεζπζκνχ κπνξνχκε λα βγάινπκε επαξθή θαη αθξηβή ζηνηρεία γηα ην ζχλνιν ηνπ πιεζπζκνχ. Σν κέξνο ηνπ πιεζπζκνχ πνπ ρξεζηκνπνηείηαη γηα λα βγάινπκε ηα ζπκπεξάζκαηα καο νλνκάδεηαη δείγκα. Δίλαη ζεκαληηθφ λα βξνχκε ηξφπνπο ψζηε λα έρνπκε ην ζσζηφ δείγκα γηαηί κφλν ηφηε κφλν κπνξνχκε λα έρνπκε ζσζηά θαη αζθαιή ζπκπεξάζκαηα γηα ην ζχλνιν ηνπ πιεζπζκνχ. Απηά ζα ηα κειεηήζνπκε ζην επφκελν θεθάιαην ηελ δεηγκαηνιεςία. Κεθάιαην 0 Γεηγκαηνιεςία. Δίδε δεδνκέλσλ ην πξνεγνχκελν είδακε δπν απφ ηα βαζηθά είδε δεδνκέλσλ ηα ζπλερή θαη ηα αζπλερή ή δηαθξηηά. Τπάξρνπλ φκσο, θαη άιια δπν βαζηθά είδε δεδνκέλσλ, ηα πνζνηηθά θαη ηα πνηνηηθά. Όηαλ ηα δεδνκέλα κπνξνχλ λα αληηζηνηρεζνχλ ζε θάπνην αξηζκφ πνπ ηα ραξαθηεξίδεη ηφηε ιέκε φηη έρνπκε πνζνηηθά δεδνκέλα. Σα είδακε πξνεγνπκέλσο ε πνζφηεηα ηνπ γάιαθηνο ή παξαγσγή ησλ ζεξκνζηθψλσλ είλαη πνζνηηθά δεδνκέλα. Τπάξρεη φκσο θαη κηα δεχηεξε θαηεγνξία δεδνκέλσλ, πνπ είλαη ηα πνηνηηθά, πνπ δελ κπνξνχλ λα αληηζηνηρεζνχλ αξηζκεηηθά. αλ παξάδεηγκα αλαθέξσ ην ρξψκα ησλ καηηψλ, ε πνηφηεηα ηνπ γάιαθηνο ζην παξάδεηγκα ησλ θηελνηξνθηθψλ κνλάδσλ ή αθφκα θαη πνηφηεηα ησλ ζεξκνζηθψλσλ. Μπνξνχκε λα αληηζηνηρήζνπκε ζηα πεξηζζφηεξα ησλ πνηνηηθψλ ραξαθηεξηζηηθψλ έλα αξηζκφ ψζηε λα κπνξέζνπκε λα ηα ζπγθξίλνπκε. Να ζεσξήζνπκε π.ρ. πέληε θαηεγνξίεο πνηφηεηαο γάιαθηνο ή νκνίσο πέληε θαηεγνξίεο πνηφηεηαο ζεξκνζηθψλσλ. Τπάξρνπλ φκσο πεξηπηψζεηο φπσο κε ην ρξψκα ησλ καηηψλ, πνπ ππάξρεη πξαγκαηηθή δπζθνιία θαηεγνξηνπνίεζεο, ψζηε λα κπνξέζνπλ λα εμαρζνχλ ζπκπεξάζκαηα. ε απηήλ ηελ πεξίπησζε κπνξνχκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε έλα επί πιένλ ραξαθηεξηζηηθφ γηα λα θαηνξζψζνπκε λα 5

6 δεκηνπξγήζνπκε θαηεγνξίεο. Δθείλν πνπ είλαη εχθνιν λα παξαηεξεζεί είλαη φηη ηα πνηνηηθά ραξαθηεξηζηηθά ρξεζηκνπνηνχληαη πάληα σο δηαθξηηά ελψ ηα πνζνηηθά κπνξεί λα είλαη αζπλερή ή ζπλερή.. πιινγή δεδνκέλσλ Σα δεδνκέλα είλαη δπν εηδψλ. Αλ πξνέξρνληαη απφ ην ζχλνιν ηνπ πιεζπζκνχ ή απφ δείγκαηα. ηελ πξψηε πεξίπησζε ε δεηγκαηνιεςία νλνκάδεηαη απνγξαθή. πλήζσο αθνξά ηελ απνγξαθή ηνπ πιεζπζκνχ κηαο ρψξαο θαη φζσλ ραξαθηεξηζηηθψλ απηνχ θξίλνληαη απαξαίηεηα. Γηα λα είλαη ζσζηή ε απνγξαθή απαηηνχληαη ηα θαηάιιεια άηνκα πνπ ζα ηελ δηελεξγήζνπλ θαη νη εξσηήζεηο λα είλαη ζαθείο θαη λα κελ επηδέρνληαη δηπιήο απάληεζεο. ε πεξίπησζε δεηγκαηνιεςίαο ρξεηάδνληαη απαξαηηήησο νη παξαθάησ θαλφλεο γηα ην δείγκα: ) Αληηθεηκεληθφ ) Αληηπξνζσπεπηηθφ 3) Αμηφπηζην 4) πγθξηηηθφ Γηα λα γίλεη απηφ πην θαηαλνεηφ ρξεζηκνπνηψ ην παξαθάησ παξάδεηγκα. Θέισ λα πάξσ δείγκα ησλ εκπνξηθψλ θαηαζηεκάησλ κηαο πφιεο. ε απηήλ ηελ πεξίπησζε πξέπεη ηα θαηαζηήκαηα λα έρνπλ κφλν ηελ ηδηφηεηα ηνπ εκπνξηθνχ θαη φρη δηπιή ρξήζε. Πξέπεη λα δηαιέμσ ηνλ ζσζηφ αξηζκφ ησλ θαηαζηεκάησλ αλά πεξηνρή θαη ηέινο λα είλαη αληηπξνζσπεπηηθφ ηνπ πξαγκαηηθνχ αξηζκνχ ηεο πφιεο. Έλα βαζηθφ ζηνηρείν είλαη νη ηηκέο πνπ έρνπκε απφ ηα δεδνκέλα καο. Αλ νη ηηκέο είλαη π.ρ. ζε κηα έξεπλα 3 θαηαζηήκαηα 5 άλζξσπνη ηφηε νη ηηκέο ραξαθηεξίδνληαη σο απφιπηεο θαη ζπκβνιίδνληαη κε f. Παξάδεηγκα 0 Σε ένα πειπαμαηιζμό ινδικών σοιπιδίων, σπεζιμοποιούνηαι 5 διαθοπεηικέρ μεηασειπίζειρ(ζιηεπέζια), ηα δε βάπε ηα παποςζίαζαν ηα παπακάηω αςξήζειρ : Α Β Γ Γ Δ

7 Οη ηηκέο πνπ έρνπκε ραξαθηεξίδνληαη ζπρλφηεηεο. Έρνπκε ινηπφλ φηη γηα ην πξψην ζηηεξέζην f = 6 έσο f 5.Οκνίσο θαη γηα ηα άιια. Αιιά κπνξνχκε λα ηα ζεσξήζνπκε θαη φια καδί, νπφηε έρνπκε ηνλ παξαθάησ πίλαθα: Α: f =6 f 7 =7,B: f 8 =5 f 6 =7 θαη ηέινο γηα ην Δ: f 33 =7 κέρξη ην ηειεπηαίν f 40 =0. Έθηνο απφ ηα απφιπηεο ζπρλφηεηεο ρξεζηκνπνηνχκε θαη ηα ζρεηηθέο ζπρλφηεηεο. Απηέο αλ πξνζζέζνπκε ην ζχλνιν ησλ απνιχησλ ζπρλνηήησλ θαη δηαηξέζνπκε θάζε απφιπηε ζπρλφηεηα κε απηφλ ηνλ αξηζκφ ην πξνεγνχκελν παξάδεηγκα έρνπκε φηη ην ζχλνιν ησλ απνιχησλ ζπρλνηήησλ είλαη 39. Οπφηε ε ζρεηηθή ζπρλφηεηα γηα ηελ ηηκή f =6 είλαη 0.0 θαη ζπκβνιίδεηαη κε p =0.0. Δδψ πξέπεη λα ζεκεηψζνπκε φηη 40 p. Με άιια ιφγηα νη ζρεηηθέο ζπρλφηεηεο αληηπξνζσπεχνπλ ηηο πηζαλφηεηεο πνπ έρεη λα ζπκβεί έλα ζπκβάλ..3 Σερληθέο δεηγκαηνιεςίαο Έρνπκε δπν βαζηθέο κεζφδνπο, ηελ απιή ηπραία δεηγκαηνιεςία θαη ηελ ζπζηεκαηηθή(θαηά ζηξψκαηα) δεηγκαηνιεςία. ηελ πξψηε πεξίπησζε θαηά ηπραίν ηξφπν επηιέγνπκε ηα δείγκαηα. Αλ π.ρ. ζέισ λα ππνινγίζσ ην κέζν χςνο κηαο νκάδνο αηφκσλ, κπνξψ ρξεζηκνπνηψληαο κηα νπνηαδήπνηε κέζνδν ηπραίαο επηινγήο λα δεκηνπξγήζσ δείγκα θαηφπηλ θιήξσζεο. Σν δείγκα ζε απηήλ ηελ πεξίπησζε είλαη αληηθεηκεληθφ αιιά δελ είλαη αληηπξνζσπεπηηθφ, αμηφπηζην θαη ηέινο ζπγθξηηηθφ. ε απιέο πεξηπηψζεηο κπνξεί λα ρξεζηκνπνηεζεί απηή ε κέζνδνο αιιά δελ είλαη πνιχ αμηφπηζηε. Ζ δεχηεξε βαζηθή κέζνδνο ηα πνπ δίδεη πνιχ θαιιίηεξα απνηειέζκαηα είλαη ζπζηεκαηηθή(θαηά ζηξψκαηα) δεηγκαηνιεςία. ε απηήλ ηελ πεξίπησζε γηα ην ίδην πξνεγνχκελν παξάδεηγκα ε δεηγκαηνιεςία κπνξεί λα γίλεη κε θιήξσζε ψζηε ην δείγκα ηα λα εμαθνινπζεί λα είλαη αληηθεηκεληθφ, αιιά ην ρσξίδνπκε ζε νκάδεο π.ρ. αλδξψλ γπλαηθψλ θαη απφ θάζε νκάδα παίξλνπκε 7

8 ηνλ θαηάιιειν αξηζκφ σο πξνο ην ζχλνιν ψζηε λα είλαη αληηπξνζσπεπηηθφ, αμηφπηζην θαη ηέινο ζπγθξηηηθφ. Δπί πιένλ κπνξνχκε λα ρξεζηκνπνηήζνπκε θαη άιια ζηνηρεία φπσο ηελ θαηαγσγή, ηελ θνηλσληθή, ηελ νηθνλνκηθή θαη πνιηηηζηηθή θαηάζηαζε. ε απηήλ ηελ πεξίπησζε έρνπκε θαηά ζηξψκαηα επηινγή θαη κπνξνχκε λα βγάινπκε πνιιά επί πιένλ ρξήζηκα ζπκπεξάζκαηα..4 Γξαθήκαηα Σα δηαγξάκκαηα είλαη έλαο ηξφπνο παξνπζίαζεο ησλ ζπκπεξαζκάησλ κηαο έξεπλαο ψζηε λα είλαη θαηαλνεηά απφ ην ζχλνιν ηνπ θφζκνπ θαη φρη κφλν απφ ηα εηδηθνχο, θαη επί πιένλ δίδνπλ ηελ ζπλνιηθή εηθφλα ρσξίο αξηζκεηηθά δεδνκέλα πνπ είλαη δχζθνια λα αμηνινγεζνχλ θαη λα απνκλεκνλεπζνχλ. Σα δηαγξάκκαηα είλαη βαζηθά δπν εηδψλ. Πξψην είδνο είλαη ηα γξακκηθά θαη δεχηεξν είδνο είλαη ηα θπθιηθά. Σα γξακκηθά απνηεινχληαη απφ ηα αθηδσηά θαη ηα ξαβδνεηδή. ηα αθηδσηά δηαγξάκκαηα έρνπκε ζε έλα ζχζηεκα δπδηάζηαησλ νξζνγσλίσλ αμφλσλ π.ρ. Υ θαη Τ, ηελ κεηαβνιή ηνπ κεγέζνπο κηαο ή πεξηζζνηέξσλ κεηαβιεηψλ ελ ζρέζε κε κηα άιιε κεηαβιεηή ή ζηελ δηάξθεηα ηνπ ρξφλνπ. Παξάδεηγκα 0 Θέινληαο λα δνχκε ηελ παξαγσγή θαιακπνθηνχ ζε κηα πεξηνρή ηεο ρψξαο θάλακε ην παξαθάησ πείξακα. Υξεζηκνπνηήζακε 4 πνηθηιίεο θαιακπνθηνχ ζε 5 δηαθνξεηηθά πεξηνρέο. Ζ απφδνζε ζε θηιά ήηαλ : Πνηθηιίεο Καιακπνθηνχ Πεξηνρέο 3 4 6,8 6.4,6 8,,4 7, ,8 3 4,6 9,4 0, 7,4 4 9, 8, 9,0 7, ,6 9,8 6,4 Θέινπκε λα δνχκε απηήλ κεηαβνιή ηεο παξαγφκελεο πνζφηεηαο ησλ πνηθηιηψλ ηνπ θαιακπνθηνχ ελ ζρέζε κε ηα έηε κε ηελ βνήζεηα ελφο αθηδσηνχ γξαθήκαηνο. 8

9 Ποικιλίες Καλαμπ οκιού Ποζόηηηες Περιοχές Σν ίδην παξάδεηγκα κπνξεί λα απεηθνληζζεί θαη σο ξαβδνεηδέο δηάγξακκα: Ποικιλίες Καλαμποκιού Ποζόηηηες Περιοχές Σα ξαβδνεηδή δηαγξάκκαηα κπνξνχλ λα απεηθνληζζνχλ θαη σο γξαθήκαηα ηξηψλ δηαζηάζεσλ. Έλα άιιν είδνο γξαθεκάησλ πνπ απεηθνλίδνπλ ηελ ζρέζε κεγέζνπο κεηαμχ δηαθνξεηηθψλ κεηαβιεηψλ είλαη ηα θπθιηθά δηαγξάκκαηα. Παξάδεηγκα 3 0 9

10 ε έλα έιεγρν παξαγσγήο ιαδηνχ απφ δηαθνξεηηθέο ηνπνζεζίεο, ηπραία εθιεγκέλεο, ρξεζηκνπνηήζεθαλ θαηά ηπραίν ηξφπν 6 δηαθνξεηηθέο κέζνδνη θαη αλά θ.κ. ειηψλ πήξακε ζε ιίηξα ηα παξαθάησ πνζφηεηεο ιαδηνχ: Μέζνδνη : Πνζφηεηεο : λα θαηαζθεπαζζεί ην θπθιηθφ δηάγξακκα πνπ δείρλεη ην κέγεζνο παξαγσγήο ησλ πνζνηήησλ παξαγσγήο ιαδηνχ αλαιφγσο ηα κεζφδνπ. Μέθοδοι Κεθάιαην 3 0 Δπεμεξγαζία ηαηηζηηθώλ Γεδνκέλσλ 3. Μέηξα ζέζεσο Μεηαμχ ησ κεζφδσλ πνπ ρξεζηκνπνηνχληαη ζηελ ηαηηζηηθή γηα ηελ εμαγσγή ζπκπεξαζκάησλ είλαη ε εχξεζε αξηζκεηηθψλ ηηκψλ πνπ πεξηγξάθνπλ έλα ζχλνιν δξαζηεξηνηήησλ. Οη αξηζκεηηθέο ηηκέο νλνκάδνληαη κέηξα. ηελ πεξίπησζε πνπ πξνζδηνξίδνπλ ηελ ζέζε κηαο κεηαβιεηήο νλνκάδνληαη κέηξα ζέζεσο. Σα κέηξα ζέζεσο είλαη : ) Ο αξηζκεηηθφο κέζνο ) Ο γεσκεηξηθφο κέζνο 3) Ο αξκνληθφο κέζνο 4) Ζ δηάκεζνο 5) Σα ηεηαξηεκφξηα- δεθαηεκφξηα-εθαηνζηεκφξηα 6) Σν ζεκείν κεγίζηεο ζπρλφηεηαο ή ηχπνο Οη ηηκέο πνπ πξνζδηνξίδνληαη απφ ηηο αξηζκεηηθέο ηηκέο ησλ κέηξσλ ζέζεο θαη φπσο αξγφηεξα ζα δνχκε θαη απφ ηα κέηξα δηαζπνξάο νλνκάδνληαη παξάκεηξνη ή ζηαηηζηηθά. Παξάκεηξνη νλνκάδνληαη φηαλ 0

11 καο δίδνπλ ζηνηρεία γηα ηα πιεζπζκνχο, ελψ φηαλ καο δίδνπλ ζηνηρεία γηα ην δείγκα νλνκάδνληαη ζηαηηζηηθά. 3. Μέηξα Γηαζπνξάο Οη κέζνδνη πνπ πεξηγξάςακε πξνεγνχκέλνο έρνπλ ζαλ ζθνπφ λα εθηηκήζνπλ ηελ ηάζε ή ηελ ζέζε ηα πιεζπζκνχ ή δείγκαηνο. Όηαλ ηα ρξεηαδφκαζηε γηα λα βγάινπκε ζπκπέξαζκα γηα ην ζχλνιν ησλ παξαηεξήζεσλ απφ κηα παξάκεηξν, απηή ε αξηζκεηηθή ηηκή νλνκάδεηαη κέηξν δηαζπνξάο. Σα κέηξα δηαζπνξάο είλαη: )Ζ δηαθχκαλζε ) Ζ ηππηθή απφθιηζε 3) Σν εχξνο πνπ ραξαθηεξίδεη ηελ παξάκεηξν, Οη κέζνδνη πνπ δίδνπλ ηα ηηκέο δηαζπνξάο είλαη ζεκαληηθφ λα αλαθέξνληαη ζε νκνηνγελή ζχλνια γηαηί αιιηψο ράλνπλ ηελ αμηνπηζηία ηνπο. Έλα ζχλνιν ραξαθηεξίδεηαη νκνηνγελέο φηαλ δελ έρνπκε «αθξαίεο» δηαθνξέο κεηαμχ ησλ ηηκψλ ηνπ. Σα κέηξα δηαζπνξάο πξέπεη λα επεξεάδνληαη απφ ηα δηαθνξέο ησλ ηηκψλ θαη φρη απφ ηελ ζέζε ηνπο θαη λα κεηαβάιινληαη αληίζηξνθα κε ηελ ζπγθέληξσζε ησλ ηηκψλ γχξσ απφ ηελ παξάκεηξν ζέζεο. 3.3 Γηάκεζνο Ζ δηάκεζνο είλαη εθείλν ην ζηαηηζηηθφ κέγεζνο πνπ ραξαθηεξίδεη ηελ κέζε ηηκή ψζηε νη κηζέο ηηκέο λα είλαη κηθξφηεξεο απφ απηήλ θαη νη κηζέο κεγαιχηεξεο ηεο. πκβνιίδεηαη κε Μ.Έρνπκε δηαθνξεηηθέο πεξηπηψζεηο ππνινγηζκνχ ηεο. ε πεξίπησζε είλαη λα έρνπκε πεξηηηφ αξηζκφ παξαηεξήζεσλ νπφηε ε ηηκή ηα πξνζδηνξίδεηαη αθξηβψο απφ ηελ ζέζε ηα πνπ δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν. Παξάδεηγκα 4 0 Έζησ φηη έρνπκε ηα παξαθάησ 7 ζπρλφηεηεο: α/α f

12 Ζ ζέζε θαη απφ απηήλ ε ηηκή ηα πξνζδηνξίδεηαη βάζε ηνπ ηχπνπ ηα δηακέζνπ είλαη: Μ=9. φηη είλαη 7 4. Άξα ε ηηκή ε πεξίπησζε είλαη λα έρνπκε άξηην αξηζκφ παξαηεξήζεσλ νπφηε ε ηηκή ηεο πξνζδηνξίδεηαη απφ ηελ κέζε ηηκή ησλ δπν παξαηεξήζεσλ, πνπ βξίζθνληαη αλάκεζα ηεο ζέζεο πνπ πξνζδηνξίδεηαη απφ ηνλ ηχπν. Παξάδεηγκα 5 0 Έζησ φηη έρνπκε ηα παξαθάησ ζπρλφηεηεο: ε ε 3ε 4ε 5ε 6ε 7ε 8ε f : Ζ ζέζε ηα ζα είλαη = 4,5, δειαδή κεηαμχ ησλ ηηκψλ 4 θαη 5. Άξα ε ηηκή ηα ζα είλαη, δειαδή Μ=49. 3 ε πεξίπησζε είλαη λα έρνπκε ηαμηλνκεκέλεο παξαηεξήζεηο. ηελ πεξίπησζε απηή ε ζέζε ηεο δηακέζνπ πξνζδηνξίδεηαη απφ ηηο αληίζηνηρεο αζξνηζηηθέο ζπρλφηεηεο. Ζ κεγαιχηεξε ηηκή ησλ αζξνηζηηθψλ ζπρλνηήησλ απφ ηεο δπν πνπ αληηζηνηρεί ε ζέζε πνπ πξνζδηνξίδεηαη απφ ηελ f είλαη ε ηηκή ηα δηακέζνπ. Αλ ε ηηκή ηα ζπκπίπηεη αθξηβψο κε ηελ ηηκή ηα αζξνηζηηθήο ζπρλφηεηαο, ε ηηκή πνπ αληηζηνηρεί ζ απηήλ είλαη ε ηηκή ηα δηακέζνπ Παξάδεηγκα 6 0 ζε έλα κάζεκα. Γίδεηαη ν πίλαθαο βαζκνινγίαο θνηηεηψλ κε ηνλ αληίζηνηρν βαζκφ ηνπο Βαζκνί Αξηζκφο Φνηηεηψλ

13 Να ππνινγηζζεί ν δηάκεζνο βαζκφο. Λχζε: Πξέπεη λα ππνινγίζνπκε ηελ αζξνηζηηθή ζπρλφηεηα Ζ ηηκή 0 f 60,5 Βαζκνί Αξηζκφο Φνηηεηψλ Αζξνηζηηθή πρλφηεηα βξίζθεηαη αλάκεζα ηα αζξνηζηηθήο ζπρλφηεηαο 60 θαη 78. Οπφηε ε ηηκή ηα Μ είλαη 6 πνπ αληηζηνηρεί ζηελ κεγαιχηεξε απφ ηηο δπν αζξνηζηηθέο ζπρλφηεηεο. Απηφ ζεκαίλεη φηη ην 50% ησλ θνηηεηψλ έρεη πάξεη βαζκφ 6 ή κεγαιχηεξν θαη ην άιιν 50% κηθξφηεξν ηνπ 6. 4 ε πεξίπησζε Οκαδνπνηεκέλεο παξαηεξήζεηο.. απηήλ ηελ πεξίπησζε ε ζέζε ηεο δηακέζνπ πξνζδηνξίδεηαη απφ ηηο αληίζηνηρεο αζξνηζηηθέο ζπρλφηεηεο. Ζ κεγαιχηεξε ηηκή απφ ηηο δπν f νκαδνπνηεκέλεο παξαηεξήζεηο είλαη ε ζέζε ηεο δηακέζνπ πνπ πξνζδηνξίδεηαη απφ ηελ. Ο ππνινγηζκφο δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν Όπνπ w M x ( F) f x ε κηθξφηεξε ηηκή ηεο νκάδνο πνπ αληηζηνηρεί ε δηάκεζνο. 3

14 W ην εχξνο ηεο νκάδνο f ε ζπρλφηεηα ηεο νκάδνο F ε κηθξφηεξε αζξνηζηηθή ζπρλφηεηα απφ ηηο δχν πνπ αληηζηνηρεί ε ζέζε ηα δηακέζνπ. Δάλ ε ζέζε ηα δηάκεζνπ ζπκπίπηεη κε ηελ ηηκή ηνπ ελφο απφ ηα δπν άθξα ηα νκαδνπνηεκέλεο παξαηήξεζεο ηφηε ε κεγαιχηεξε εθ ησλ ηηκψλ ησλ δχν άθξσλ είλαη ε ηηκή ηα δηακέζνπ. Παξάδεηγκα 7 0 Γίδνληαη νη κεληαίεο απνδνρέο ζε ησλ εξγαηψλ ηα επηρείξεζεο. Απνδνρέο Αξηζ. Δξγαηψλ Να επξεζεί ε δηάκεζνο ηηκή ησλ κεληαίσλ απνδνρψλ ησλ εξγαηψλ. Βξίζθνπκε ηα αζξνηζηηθέο ζπρλφηεηεο: Ζ ζέζε ηα δηακέζνπ ζα είλαη Απνδνρέο Αξηζ. Δξγαηψλ F f 00 = 00.Άξα ζα βξίζθεηαη κεηαμχ ηεο αζξνηζηηθήο ζπρλφηεηαο 9θαη 47. απηήλ ηε πεξίπησζε δηαιέγνπκε ην δηάζηεκα πνπ αληηζηνηρεί ζηελ κεγαιχηεξε ησλ δπν ηηκψλ, δειαδή ηελ 47 θαη απηφ είλαη Δθαξκφδνπκε ηνλ ηχπν γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηα Μ θαη έρνπκε 4

15 w M x ( F) f 00 =850+ (00 9) = Δπνκέλσο νη κηζνί εξγάηεο ζα έρνπλ απνδνρέο κεγαιχηεξεο ησλ 864,55 θαη νη άιινη κηζνί κηθξφηεξεο απηνχ ηνπ πνζνχ. Με ηνλ ίδην ηξφπν ππνινγίδνληαη θαη ηα ηεηαξηεκφξηα δεθαηεκφξηα- εθαηνζηεκφξηα. Απφ απηά ηα πιένλ ρξήζηκα είλαη ηα ηεηαξηεκφξηα. Ο ππνινγηζκφο ηα γίλεηαη κε ηνλ ίδην ηξφπν κε ηελ δηάκεζν κε ηελ εμήο κφλν δηαθνξά. Σν πξψην ηεηαξηεκφξην ζπκβνιίδεηαη κε Q /4 θαη βξίζθεηαη ζην ζεκείν /4,ην δεχηεξν κε Q /4 =Q / θαη είλαη ίδην κε ην ζεκείν ηεο δηακέζνπ, ελψ ηέινο ην ηξίην κε Q 3/4 θαη βξίζθεηαη ζην ζεκείν 3/ Αξηζκεηηθόο κέζνο Ο αξηζκεηηθφο κέζνο ππνινγίδεηαη κε δηαθνξεηηθνχο ηξφπνπο αλαιφγσο ηνπ είδνπο ησλ δεδνκέλσλ πνπ έρνπκε ζηελ δηάζεζε καο. εκεηψλνπκε εδψ φηη ν κέζνο ηνπ πιεζπζκνχ ζπκβνιίδεηαη κε κ θαη πξαθηηθά είλαη ζρεδφλ αδχλαην λα ππνινγηζζεί πιελ εηδηθψλ πεξηπηψζεσλ, ελψ ν δεηγκαηηθφο κέζνο ζπκβνιίδεηαη κε πάληα λα ππνινγηζζεί απφ ην δείγκα. x θαη κπνξεί ηελ απιή πεξίπησζε έρνπκε αξηζκεηηθά δεδνκέλα ηνπ δείγκαηνο. Σφηε ην ζπλνιηθφ άζξνηζκα ησλ δεδνκέλσλ αλ δηαηξεζεί κε ηνλ αξηζκφ ησλ δεδνκέλσλ ηνπ, δίλεη ηνλ κέζν. Αλ έρνπκε ηα παξαηεξήζεηο ρ,ρ,,ρ ηφηε ν κέζνο δίλεηαη απφ ηνλ ηχπν: x = x Παξάδεηγκα 8 0 Έρνπκε ηα βάξε ζε kgr. 5 αζιεηψλ κηαο νκάδνο θαιαζφζθαηξαο ,5 6,4 75,6 9,4 49,8 64,7 86,5 69,3 87,6 56,9 85,4 76,4 93,5 67, 75,3 Να ππνινγηζζεί ην κέζν βάξνο ησλ αζιεηψλ. Λχζε Βάζε ηνπ ηχπνπ έρνπκε: x = (58,5 6, 4 75,3) 0,5 =73, ε πεξίπησζε 5

16 Δίλαη λα έρνπκε πίλαθεο ζπρλνηήησλ γηα ηελ εκθάληζεο κηαο παξαηήξεζεο απφ έλα δείγκα. Σφηε ν ηχπνο πνπ δίλεη ηνλ κέζν είλαη: x xf φπνπ f Παξάδεηγκα 9 0 Γίδεηαη ε βαζκνινγία ησλ θνηηεηψλ ηα παλεπηζηεκηαθνχ ηκήκαηνο: Βαζκνί Αξηζ. Φνηηεηψλ Να ππνινγηζζεί ν κέζνο βαζκφο. Με ηελ ρξήζε ηνπ ηχπνπ έρνπκε: f = =3 θαη x xf = 68 (035 08) ε πεξίπησζε Δίλαη λα έρνπκε νκαδνπνηεκέλεο παξαηεξήζεηο. ε απηήλ ηελ πεξίπησζε ρξεζηκνπνηνχκε ηνλ ίδην ηχπν φπσο ζηελ πξνεγνχκελε πεξίπησζε, αιιά νη ηηκέο ησλ θάζε νκάδνο. x θαζνξίδνληαη απφ ηελ θεληξηθή ηηκή ηεο Παξάδεηγκα 0 0 Καηαηάζζνπκε ζε πέληε νκάδεο ηα κεληαίνπο κηζζνχο ζε πνπ ιακβάλνπλ νη ππάιιεινη κηαο επηρείξεζεο. Να ππνινγηζζεί ν κέζνο κεληαίνο κηζζφο. Μηζζνί Αξηζ. Τπαιιήισλ Λχζε Έρνπκε Μηζζνί Αξηζ. Τπαιιήισλ x 6

17 f x xf ( ) 0, Άξα ν κέζνο κεληαίνο κηζζφο ησλ ππαιιήισλ ηεο επηρείξεζεο είλαη 0,43. 4 ε πεξίπησζε Όηαλ ζηελ ηηκή ηεο θάζε παξαηήξεζεο έρνπκε έλαλ αξηζκφ πνπ ζηαζκίδεη ηελ ζεκαληηθφηεηα ηεο, ηφηε έρνπκε λα ππνινγίζνπκε έλα ζηαζκηθφ κέζν. ε απηήλ ηελ πεξίπησζε νη ηξφπνη ππνινγηζκνχ παξακέλνπλ ίδηνη, αιιά πνιιαπιαζηάδεηαη θαη κε ηνλ ζπληειεζηή ζηάζκηζεο. Έηζη έρνπκε: x = x c c = φπνπ c ν αληίζηνηρνο ζπληειεζηήο ζηάζκηζεο γηα ην θάζε Παξάδεηγκα 0 Γίδεηαη ε βαζκνινγία ελφο ππνςεθίνπ γηα ηελ εηζαγσγή ζε έλα Παλεπηζηεκηαθφ ηκήκα ζε πέληε καζήκαηα πνχ έρνπλ δηαθνξεηηθφ επίπεδν ζηάζκηζεο γηα ηνλ ππνινγηζκφ ηνπ κέζνπ βαζκνχ: x. Μάζεκα Βαζκνινγία πληειεζηήο ηάζκηζεο 0 5,5, , , ,,7 x 66,96 xc (5,5,5 7,3 3,5 6,,5 3,8 0,8 9,,7) 6,696 c Γηαθύκαλζε 7

18 Ολνκάδεηαη δηαθχκαλζε ν κέζνο φξνο ησλ ηεηξαγψλσλ ησλ απνθιίζεσλ ηνπ πιήζνπο ησλ παξαηεξήζεσλ απφ ηνλ αξηζκεηηθφ ηνπο κέζν. Ζ ηεηξαγσληθή ξίδα ηα δηαθχκαλζεο νλνκάδεηαη ηππηθή απφθιηζε. Απηνί νη δχν παξάγνληεο δηαζπνξάο είλαη νη ζεκαληηθφηεξνη πνπ ρξεζηκνπνηνχληαη ζρεδφλ ζε φιεο ηηο ζηαηηζηηθέο κεηξήζεηο. Ζ δηαθχκαλζε ηνπ πιεζπζκνχ, πνπ πξαθηηθά είλαη αδχλαην λα ππνινγηζζεί, ζπκβνιίδεηαη κε ζ θαη δίδεηαη απφ ηνλ ηχπν: ( x x) αξηζκεηηθφο ηα κέζνο. Ζ ηππηθή απφθιηζε είλαη, φπνπ ην πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ ( x x) x θαη x.πλήζσο ρξεζηκνπνηνχκε ηελ δεηγκαηηθή δηαθχκαλζε θαη ηππηθή απφθιηζε νη νπνίεο δηαθέξνπλ ζηνλ ζπκβνιηζκφ θαη ζηνλ ηχπν ππνινγηζκνχ ηνπο. Έρνπκε αληίζηνηρα δηαηξεκέλνο κε αλ ην πιήζνο ησλ παξαηεξήζεσλ είλαη κεγάιν( κε -, θαη έρνπκε: s ( x x) θαη s θαη s, ν δε ηχπνο ππνινγηζκνχ ηνπο είλαη γηα ακθφηεξεο s ( x x) 30 ) ελψ φηαλ 30 ν δηαηξνχληαη Έρνπκε κηα κηθξή κεηαβνιή ησλ ηχπσλ φηαλ έρνπκε νκαδνπνηεκέλεο παξαηεξήζεηο, νπφηε ρξεζηκνπνηνχληαη ζπρλφηεηεο: f ( x x), f ( x x), s f ( x x) s f( x x) Παξάδεηγκα 0 Γίδεηαη ε κεηαβνιή ηνπ θαηά θεθαιή εηζνδήκαηνο κηαο ρψξαο απφ ην Να ππνινγηζζεί ε δηαθχκαλζε ηνπ θαη ε ηππηθή απφθιηζε ηνπ. Έηνο Δηζφδεκα

19 Λύζε Ο ππνινγηζκφο ηα δηαθχκαλζεο απαηηεί λα ππνινγηζζεί ν αξηζκεηηθφο κέζνο. Έρνπκε: 750 x ( ) 08, Ζ δηαθχκαλζε ζα είλαη: 33083,34 ( 30, 73) (00 08,33) (30 08,33) 553, x θαη ε ηππηθή απφθιηζε είλαη : 553,89 =74,6 Παξάδεηγκα 3 0 Γίλεηαη ε βαζκνινγία ζε έλα ηκήκα κε ηνλ αληίζηνηρν αξηζκφ ησλ θνηηεηψλ πνπ επέηπραλ απηή ηελ βαζκνινγία. Βαζκνινγία Αξηζ. Φνηηεηώλ Να ππνινγηζζεί ε δηαθχκαλζε θαη ε ηππηθή απφθιηζε. πκπεξάζκαηα απφ απηέο. Λύζε Πξψηα ππνινγίδνπκε ηνλ κέζν. Έρνπκε 7 f x f x (5x3 6x0) , ( ) [5(3 6,66) +0(5-6,66) + +6(0-6,66) ]= =3, f x x θαη 3, 49,87 Ζ δηαθχκαλζε ησλ βαζκψλ είλαη θαηά 3,49 κνλάδεο ελψ απφ ηελ ηππηθή απφθιηζε βιέπνπκε φηη νη βαζκνί θπκαίλνληαη απφ x,87 6,66,87 4,79 έσο x,87 6,66,87 8,53. Παξάδεηγκα 4 0 Γίλεηαη ε θαηαλνκή ησλ εξγαδνκέλσλ ζε έλα εξγνζηάζην θαηά ειηθία. Να ππνινγηζζεί ε κέζε ειηθία ησλ εξγαδνκέλσλ θαη ε ηππηθή ηεο απφθιηζε. Ηιηθία Αξηζ. Δξγαδνκέλσλ 9

20 Λύζε Ηιηθία x Αξηζ. Δξγαδνκέλσλ x ( fx ) έρνπκε f x (9 x5x8 6x85) =9+ +6=64 553=4, ,3 f x ( x) [(9 4,57) 85(6 4,57) 4, 68, Ρνπέο-κέηξα Αζπκκεηξίαο θαη θύξησζεο Αλ έρνπκε έλα αξηζκφ δεδνκέλσλ π.ρ. x, x,..., x ηφηε νλνκάδνπκε ξνπή λ ηάμεσο ηελ ζρέζε: m ( x k) φπνπ θ πξαγκαηηθφο αξηζκφο. πλήζσο ζηελ πξάμε ην θ= x θαη ε ξνπή νλνκάδεηαη θεληξηθή θαη ζπκβνιίδεηαη κε κ λ. Άιιν έλα είδνο 0

21 ζεκαληηθήο ξνπήο είλαη αλ θ=0 νπφηε νλνκάδεηαη ξνπή πεξί ηελ αξρή ή ην κεδέλ. απηέο ηα πεξηπηψζεηο, έρνπκε: m x x x ( 0) m ( x 0) x x ( x x) 0 ( x x) Γπν ζεκαληηθά κεγέζε πνπ βνεζνχλ ζηελ ζχγθξηζε ησλ απνηειεζκάησλ κηαο έξεπλαο είλαη νη παξάκεηξνη αζπκκεηξίαο θαη θχξησζεο. Μηα θαηαλνκή ραξαθηεξίδεηαη ζπκκεηξηθή αλ έρεη ηνλ ίδην αξηζκφ παξαηεξήζεσλ πξηλ θαη κεηά ηνλ κέζν ηεο,δεμηφζηξνθε ή ζεηηθή αζπκκεηξία αλ έρεη κεγαιχηεξν αξηζκφ παξαηεξήζεσλ απφ ην δεμηφ κέξνο ηνπ κέζνπ ηνπο θαη αξηζηεξφζηξνθε ή αξλεηηθή αζπκκεηξία αλ έρεη κεγαιχηεξν αξηζκφ παξαηεξήζεσλ απφ ην αξηζηεξφ κέξνο ηνπ κέζνπ ηεο. Έλαο ηχπνο πνπ ππνινγίδεη ηελ αζπκκεηξία είλαη ν ζπληειεζηήο αζπκκεηξίαο ηνπ Pearso: s k x T φπνπ Σ ε επηθξαηνχζα ηηκή θα s ε ηππηθή απφθιηζε. Υπάπσοςν και άλλοι ηύποι πος ςπολογίδοςν ηεν αζςμμεηπία: Ο ηχπνο ησλ Yule-Pearso είλαη: Ο ηχπνο δφζεθε απφ ηνλ Bowley: s k s k 3( x M) ( Q3 Q M) Q Q 3 Καη ηέινο έρνπκε ηνλ ζπληειεζηή αζπκκεηξίαο κε ξνπέο; ε ακθφηεξεο ηα πεξηπηψζεηο Αλ s k =0 ηφηε ε θαηαλνκή είλαη ζπκκεηξηθή. s k 3 3 Αλ s k >0 ηφηε ε θαηαλνκή έρεη ζεηηθή αζπκκεηξία ή είλαη δεμηφζηξνθε. Αλ s k <0 ηφηε ε θαηαλνκή έρεη αξλεηηθή αζπκκεηξία ή είλαη αξηζηεξφζηξνθε. Οη ζπληειεζηέο θχξησζεο είλαη βαζηθά δχν, ν αξρηθφο ηνπ Pearso: λα είλαη πην εχρξεζηνο απφ ηνλ Fsher: Αλ 4 =3 ή 4 =0 ε θαηαλνκή είλαη κεζφθπξηε θαη ε κεηαβνιή ηνπ γηα Αλ 4 >3 ή 4 >0 ε θαηαλνκή είλαη ιεπηφθπξηε. Αλ 4 <3 ή 4 <0 ε θαηαλνκή είλαη πιαηφθπξηε.

22 Λεπηφθπξηνο Μεζφθπξηνο Πιαηφθπξηνο Παξάδεηγκα 5 0 Γίδεηαη ε παξαθάησ θαηαλνκή, δεηείηαη ε πξψηε θαη δεχηεξε ξνπή σο πξνο ηελ αξρή, ε δεχηεξε ξνπή σο πξνο ηνλ κέζν θαη ν ζπληειεζηήο αζπκκεηξίαο. x : f : Λύζε m fx = ( ) 30 x x x 404 3,47 30 Γλσξίδνπκε φηη m x, άξα x =3,47 m fx = (4x5 x7 0x 8,33 Γλσξίδνπκε φηη m fx x Ζ δεχηεξε ξνπή σο πξνο ηνλ κέζν είλαη: = = 8,33 f( x x) = 409, [4(5 3,47) (7 3,47)... 0( 3,47) ] 46,98 Γλσξίδνπκε φηη. Άξα πξέπεη m m. Πξάγκαηη έρνπκε 46,98+3,47 =8,4. Απφ ηνλ ζπληειεζηήο αζπκκεηξίαο ηνπ Pearso s k s k x T έρνπκε x T 3,47,4 46,98 Άξα ε θαηαλνκή καο έρεη αξλεηηθή αζπκκεηξία ή είλαη αξηζηεξφζηξνθε.

23 Παξάδεηγκα 6 0 Γίδεηαη ε θαηαλνκή x : f : Να ππνινγηζζεί ε θχξησζε ηα θαηαλνκήο. Υξεζηκνπνηνχκε ηνλ ζπληειεζηή θχξησζεο ηνπ Fsher κέζν είλαη: s = f ( x x) Ζ δεχηεξε ξνπή σο πξνο ηνλ = 8,53 θαη s 4 =7,7 Ζ ηέηαξηε θεληξηθή ξνπή είλαη 39874,7 4 4 ( x x) 99,4 00 θαη Άξα α4 κ4 99,4 α 4 = - 3 = - 3 =,75-3 = -0,5 4 7,7 <0 θαη ε θαηαλνκή είλαη πιαηφθπξηε. Κεθάιαην 4 0 Δίδε Πηλάθσλ 4. Πίλαθεο απιήο εηζόδνπ Έρνπκε ηνπο απινχο πίλαθεο φπνπ κηα κεηαβιεηή θαηαηάζζεηαη ζε θαηεγνξίεο. Έλα ηέηνην παξάδεηγκα δίδεηαη παξαθάησ: Γίδεηαη ε θαηαλνκή ζε θαηεγνξίεο ελφο πξντφληνο αλαιφγσο ηεο πνηφηεηαο ηνπ ζε ηξεηο θαηεγνξίεο π.ρ. Α,Β,Γ. Πνηφηεηα πξντφληνο Αξηζκφο πξντφλησλ Α 8 Β 34 Γ 5 Απηφο είλαη έλαο πίλαθαο απιήο εηζφδνπ. Να ππνινγηζζεί ην πνζνζηφ ησλ πξντφλησλ Α πνηφηεηαο. 8 Λύση Σν ζχλνιν ησλ πξντφλησλ είλαη =8+34+5=77. Άξα p = = 0,36, 77 δειαδή 36% ησλ πξντφλησλ είλαη Α πνηφηεηαο. 4. Πίλαθεο δηπιήο εηζόδνπ Όηαλ ηα δεδνκέλα ηα θαηαηάζζνληαη βάζεη δπν κεηαβιεηψλ, ηφηε έρνπκε ηνπο πίλαθεο δηπιήο εηζφδνπ. Αλ ζεσξήζνπκε φηη ε θαηεγνξία ησλ γξακκψλ 3

24 έρεη r παξαηεξήζεηο θαη ησλ ζηειψλ έρεη ζπρλνηήησλ είλαη: s παξαηεξήζεηο ν πίλαθαο Kαηεγνξίεο ηαμηλνκεκέλσλ ε ε... εs χλνια κεηαβιεηψλ γ f f... fs f. Γ f f... fs f. γr fr fr... frs fr. χλνια f. f.... f.s Σα κεξηθά αζξνίζκαηα ησλ γξακκψλ είλαη f. s f j j θαη αληηζηνίρσο ησλ ζηειψλ f. j r f j. Oπφηε έρνπκε γηα ην κέγεζνο ηνπ δείγκαηνο ηε ζρέζε: f j f. f. j j Οη αληίζηνηρεο πηζαλφηεηεο ππνινγίδνληαη απφ ηελ ζρέζε Παξάδεηγκα 7 0 j f j p j = Γίλεηαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα ε δπζθνιία κηαο εξγαζίαο γηα ην ζπίηη απφ δαζθάινπο φπνπ ρσξίδεηαη ζε ηξία επίπεδα, A, B, Γ, κε A ην δπζθνιφηεξν θαη ε αληίζηνηρε βαζκνιφγεζε κε ηξία επίπεδα βαζκνινγίαο, θαιή, κέηξηα, θαθή. Πίλαθαο Δξγαζίαο/βαζκνινγίαο Kαιή Mέηξηα Kαθή χλνια A B Γ χλνια Να ππνινγηζζεί ην πνζνζηφ ησλ καζεηψλ πνπ πέηπραλ άξηζηα ζηελ δπζθνιφηεξε εξγαζία 3 Λύζε p = = 0,08 δειαδή 8%

25 Κεθάιαην 5 0 Δηζαγσγή ζηελ Θεσξία ησλ Πηζαλνηήησλ 5. Οξηζκνί ηελ ζεσξία ησλ πηζαλνηήησλ βαζηθή αξρή είλαη ε έλλνηα ηνπ ηπραίνπ πεηξάκαηνο. αλ ηπραίν πείξακα ελλννχκε έλα πείξακα πνπ κπνξεί λα επαλαιεθζεί φζεο θνξέο ην επηζπκνχκε θάησ απφ ηηο ίδηεο ζπλζήθεο. Όηαλ ξίρλνπκε έλα δάξη γλσξίδνπκε φηη ζα έρνπκε ηηο εμήο έμη πεξηπηψζεηο, δειαδή ζα δείμεη έλα εθ ησλ αξηζκψλ:,,3,4,5,6.απηφ ζα ζπκβεί φζεο θνξέο θαη αλ επαλαιάβνπκε ην πείξακα, αιιά δελ γλσξίδνπκε πνηνο αξηζκφο εθ ησλ έμη ζα εκθαληζζεί. Σν ζχλνιν ησλ πεξηπηψζεσλ πνπ εκθαλίδνληαη θαηά ηελ δηεμαγσγή ηα πεηξάκαηνο νλνκάδεηαη δεηγκαηηθφο ρψξνο θαη ζα ζπκβνιίδεηαη κε Ω. Άξα ζηελ ξίςε ηα δαξηνχ Ω={,,3,4,5,6}. Υαξαθηεξίδνπκε κε θεθαιαίν γξάκκα έλα ζπγθεθξηκέλν γεγνλφο π.ρ. Α=5, ην γεγνλφο λα δείμεη ην δάξη ηνλ αξηζκφ 5. Δάλ έλα γεγνλφο Α είλαη βέβαην ηφηε ε πηζαλφηεο λα ζπκβεί είλαη κνλάδα, π.ρ. λα έξζεη «θεθαιή ή γξάκκαηα» θαηά ηελ ξίςε ηα λνκίζκαηνο, ηφηε p(α)= ή άιισο 00% λα ζπκβεί. Δάλ έρνπκε έλα γεγνλφο Α πνπ απνθιείεηαη λα ζπκβεί π.ρ. ζηελ ξίςε ηα δαξηνχ λα έρνπκε έλδεημε 7, ην ζπκβνιίδνπκε κε A θαη ε πηζαλφηεο ηνπ είλαη p( A )= 0 ή 0%. 5. Τπνινγηζκόο Πηζαλόηεηαο Ζ πηζαλφηεηα λα ζπκβεί έλα γεγνλφο νξίδεηαη σο ν ιφγνο ησλ επλντθψλ πεξηπηψζεσλ πξνο ην ζχλνιν φισλ ησλ δπλαηψλ πεξηπηψζεσλ. Δάλ σο πεδίν νξηζκνχ έρνπκε έλα ζχλνιν Ω πνπ πεξηέρεη κ δπλαηέο πεξηπηψζεηο θαη νη επλντθέο πεξηπηψζεηο γηα λα ζπκβεί ην ζπγθεθξηκέλν γεγνλφο είλαη ι, ηφηε ε πηζαλφηεηα είλαη ι p= κ. Δάλ σο παξάδεηγκα πάξνπκε ηελ ξίςε ηα δαξηνχ ηφηε νη δπλαηέο πεξηπηψζεηο είλαη Ω={,,3,4,5,6}, δειαδή έμη θαη εκείο επηζπκνχκε λα έξζεη άξηηνο αξηζκφο νη επλντθέο πεξηπηψζεηο είλαη ηξεηο,4,6 νπφηε ε πηζαλφηεηα είλαη 3 p = = = 0,5. Απφ ην πξνεγνχκελε παξάγξαθν είδακε φηη 6 γηα θάζε ζπκβάλ, Α, έρνπκε πάληα: ) 0 p(a) ) p(ω) =. 5

26 3) Δάλ Α,Β δπν ππνζχλνια ηνπ πεδίν νξηζκνχ μέλα κεηαμχ ηνπο, δειαδή p( A B) Ø ηφηε ε πηζαλφηεηα λα ζπκβεί έλα εθ ησλ δπν γεγνλφησλ Α, Β είλαη p(a UB) = p(a)+p(b). 4) Σν λα ζπκβνχλ ζπγρξφλσο δπν γεγνλφηα Α,Β πνπ δελ είλαη μέλα κεηαμχ ηα, ε πηζαλφηεηα είλαη p(a B) = p(a) p(b) 5) Δάλ Α έλα γεγνλφο πνπ αλήθεη ζην πεδίν νξηζκνχ Ω θαη ζπκπιεξσκαηηθφ ηνπ, ηφηε A A). p( A) p( A) A ην.( πκπιεξσκαηηθφ ζεκαίλεη φηη 6) Δάλ ζέινπκε λα ζπκβεί ην έλα εθ ησλ δχν γεγνλφησλ Α,Β πνπ δελ είλαη μέλα κεηαμχ ηα ηφηε έρνπκε ηελ ζρέζε παξφκνηα γεγνλφηα Α, Β, Γ έρνπκε p( A B) p( A) p( B) p( A B). Γηα ηξία p( A B ) p( A) p( B) p( ) p( A B) p( A ) p( B ) p( A B ) 7) Δάλ έρνπκε δπν ηπραία γεγνλφηα Α, Β πνπ δελ είλαη αλεμάξηεηα κεηαμχ ηνπο ε πηζαλφηεηα λα ζπκβεί ην Β εθ φζνλ έρεη ζπκβεί ην Α νλνκάδεηαη δεζκεπκέλε πηζαλόηεηα θαη δίδεηαη απφ ηνλ ηχπν:. p( B / A) p( A B) pa ( ) εάλ Α, Β είλαη αλεμάξηεηα έρνπκε: p( A B) p( A) p( B) Παξάδεηγκα 8 0 Ρίρλνπκε δπν λνκίζκαηα ζπγρξφλσο. Πνία ε πηζαλφηεηα λα δείμνπλ ην έλα «θεθαιή» θαη ην άιιν «γξάκκαηα» ; Λύζε Σν πεδίν νξηζκνχ είλαη Ω={ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ,ΓΓ}. Οη επλντθέο πεξηπηψζεηο είλαη φπσο βιέπνπκε δχν ΚΓ θαη ΓΚ. Οη δπλαηέο είλαη ηέζζεξηο. Οπφηε ε πηζαλφηεηα είλαη pa ( ) 0,5 4 Παξάδεηγκα 9 0. Ρίρλνπκε έλα δάξη πνηα ε πηζαλφηεηα Α λα δείμεη άξηην αξηζκφ θαη Β λα δείμεη πεξηηηφ αξηζκφ. Λύζε Έρνπκε φηη ην πεδίν νξηζκνχ Ω={,,3,4,5,6}. Σν λα ζπκβεί ην Α={,4,6} θαη ην Β={,3,5}. Οπφηε έρνπκε φηη A B θαη A B Ø. Άξα Β= A.Δπνκέλσο 6

27 p( A) p( A), 3 pa ( ) 6 θαη p( B) p( A) p( A) Παξάδεηγκα 0 0 Ρίρλνπκε δπν δάξηα πνία ε πηζαλφηεηα Β λα έρνπκε άζξνηζκα έμη εάλ μέξνπκε φηη ηα λνχκεξα πνπ πεηχρακε θαηά ηελ ξίςε είλαη κηθξφηεξα ηνπ πέληε. Λύζε Καηά ηελ ξίςε δπν δαξηψλ έρνπκε 36 ελδερφκελα. Ζ πεξίπησζε ηνπ ελδερνκέλνπ Α, κηθξφηεξα ηνπ πέληε, έρεη δεηγκαηηθφ ρψξν Α={,,,3,4,,,3,4 3,,3, 3,3 3,4 4, 4, 4,3 4,4}, δειαδή δεθαέμη επλντθέο πεξηπηψζεηο γηα ην ελδερφκελν Α. Οη επλντθέο πεξηπηψζεηο γηα ην ελδερφκελν Β είλαη ηξεηο {,4 3,3 4,}. Οπφηε ε δεζκεπκέλε πηζαλφηεηα γηα ην ελδερφκελν Β είλαη p( A B) 3 p( B / A) 0,9 pa ( ) Σύπνο ηνπ Bayes Έζησ φηη έρνπκε έλα δηακεξηζκφ ηνπ δεηγκαηηθνχ ρψξνπ Ω ={Α,Α, Α λ } θαη ηα Α (=, λ) είλαη μέλα κεηαμχ ηνπο, ( Α Α = Ø).Αλ Β είλαη έλα άιιν ελδερφκελν ηνπ Ω πνπ κπνξεί λα ζπκβεί αλ ζπκβνχλ ζπγρξφλσο ηα A θαη Β ηφηε έρνπκε ηελ ζρέζε: j ( ) ( )... ( ) θαη λ p(β) = p(α Β) = Απφ ηνλ ηχπν ηα δεζκεπκέλεο πηζαλφηεηαο: λ p(a Β) = p(α )p(β/α ) = θαη λ p(β) = p(α )p(β/α ) = Αλ ην ελδερφκελν Β έρεη ζπκβεί γηα λα ζπκβεί ην Α κ (δειαδή δεηάκε ηελ p(ακ/β)), ηφηε εθαξκφδνπκε ηνλ ηχπν ηνπ Bayes: 7

28 Παξάδεηγκα 0 p(ακ Β) p(α κ)p(β/α κ) p(ακ/β) = = p(β) λ p(α )p(β/α ) = Απφ κηα ζηάζε πεξλνχλ ηξεηο γξακκέο απηνθηλήησλ. ηα 0 απηνθίλεηα πνπ πεξλνχλ ηα 3 είλαη ηεο γξακκήο Α ηα 5 είλαη ηεο γξακκήο Α θαη ηα είλαη ηεο γξακκήο Α 3. Γλσξίδνπκε φηη ε ζπρλφηεηα εκθαλίζεσο ηνπ Α είλαη 5% ηνπ Α είλαη 45% θαη ηνπ Α 3 30%. Πνηα ε πηζαλφηεο ην πξψην πνπ ζα εκθαληζζεί λα είλαη ηα γξακκήο Α. Λύζε Έρνπκε ηα ελδερφκελα: ) p(α )=3/0 ) p(a )=5/0 3) p(a 3 )=/0 4) Β ην ζπκβάλ λα πεξάζεη απηνθίλεην απφ ηελ ζηάζε. 5) p(β/α ) = 0,5, p(β/α ) = 0,45, p(β/α 3 ) = 0,30 p(α )p(β/α ) p(α )p(β/α ) p(α /Β) = = = 3 p(α )p(b/a ) + p(α )p(b/a ) + p(α )p(b/a ) p(α )p(β/α ) 3 3 = 3/0 0,5 0,075 0,08 3/0 0,5 + 5/0 0,45 + /0 0,30 0,075 0,5 0, πλδπαζηηθή Δάλ επαλαιάβνπκε έλα πείξακα λ θνξέο νη επλντθέο πεξηπηψζεηο γηα ζπκβεί ην ελδερφκελν Α είλαη θ γηα ηελ πξψηε θνξά, θ γηα ηελ δεχηεξε θνξά θαη θ λ γηα ηελ ληνζηή θνξά. Άξα νη ζπλνιηθέο επλντθέο πεξηπηψζεηο λα ζπκβεί ην ελδερφκελν Α ζε λ επαλαιήςεηο ζα είλαη: =θ.θ θ λ. Γηαηάμεηο Αλ απφ λ δηαθνξεηηθά αληηθείκελα ζέινπκε λα δηαιέμνπκε θ αληηθείκελα κε κηα νξηζκέλε ζεηξά ηφηε έρνπκε κηα δηάηαμε ησλ θ αληηθεηκέλσλ. Αλ ε δηάηαμε ησλ θ αληηθεηκέλσλ γίλεηαη κε επαλαηνπνζέηεζε ζα έρνπκε: λ θ λα επλντθέο πεξηπηψζεηο. Αλ ε δηάηαμε ησλ θ αληηθεηκέλσλ γίλεηαη ρσξίο επαλαηνπνζέηεζε ηφηε νη επλντθέο πεξηπηψζεηο είλαη: λ Γ θ =λ(λ-) (λ-θ+). 8

29 Αλ απφ λ δηαθνξεηηθά αληηθείκελα ζέινπκε κηα δηάηαμε ησλ θ=λ αληηθεηκέλσλ ηφηε έρνπκε: λ Γ λ =λ(λ-).=λ! θαη ην ζχκβνιν λ!(λ παξαγνληηθφ) είλαη κηα ζχληνκε γξαθή γηα ην γηλφκελν..3 λ. Παξάδεηγκα 0 ε κηα αίζνπζα ππάξρνπλ 7 ζέζεηο θαη 5 άηνκα πνπ ζα θαζίζνπλ ζε απηέο. Πφζεο δπλαηφηεηεο ππάξρνπλ; Λύζε Δδψ έρνπκε δηαηάμεηο κε επαλαηνπνζέηεζε. Άξα έρνπκε 7 5 = 6807 Παξάδεηγκα 3 0 Έλα ζπκβνχιην απνηειείηαη απφ 0 άηνκα. Θέινπκε έλα πξφεδξν, έλα γξακκαηέα θαη έλα ηακία. Καζέλαο ζα είλαη ππνςήθηνο γηα κηα κφλν απφ ηξεηο ζέζεηο. Πφζεο δπλαηφηεηεο έρνπκε λα βξνχκε απηά ηα ηξία άηνκα. Λύζε Δδψ έρνπκε δηαηάμεηο ρσξίο επαλαηνπνζέηεζε. Άξα 0 Γ =0.(0 -)...(0-3 +) =0.9.8 = 70 3 πλδπαζκνί Αλ απφ δηαθνξεηηθά αληηθείκελα δηαιέμνπκε θ ρσξίο λα καο ελδηαθέξεη ε δηάηαμεο ηνπο ηφηε έρνπκε ηνπο ζπλδπαζκνχο ησλ αλά θ πνπ ζπκβνιίδεηαη: ( -)...( - k +)! = = θ k! k!( - k)! Παξάδεηγκα 4 0 Σα πξνπνλεηήο κηαο νκάδαο κπάζθεη έρεη 0 παίθηεο ζηελ δηάζεζε ηνπ γηα λα θηηάμε κηα πεληάδα. Πφζεο πεληάδεο κπνξεί λα θηηάμε. Λύζε Δδψ έρνπκε ζπλδπαζκνχο. Άξα νη δπλαηέο πεληάδεο ζα είλαη 0 0(0 -)...(0-5) = = =

30 Μεηαζέζεηο Αλ έρνπκε λ αληηθείκελα εθ ησλ νπνίσλ θ,θ,θ 3 είλαη φκνηα ηέηνηα ψζηε λ=θ +θ +θ 3,ηφηε νη δηαθνξεηηθέο κεηαζέζεηο ησλ λ αληηθεηκέλσλ είλαη: Παξάδεηγκα 5 0 λ! θ!θ!θ! 3 Έρνπκε ηα αξηζκνχο,,,,,3,3. Πφζνπο επηαςήθηνπο αξηζκνχο κπνξνχκε λα θηηάμνπκε; Λύζε Έρνπκε ηα κεηαζέζεηο 7 αξηζκψλ, φπνπ θ = άζζνη θ =3 δπάξηα, θ 3 =δπν ηξηάξηα.άξα έρνπκε λ=+3+=7. Οη δπλαηέο κεηαζέζεηο γηα ηελ δεκηνπξγία επηαςήθησλ αξηζκψλ είλαη: 7! = = = 0!3!! Κεθάιαην 6 0 Σπραίεο Μεηαβιεηέο 6, Οξηζκνί Δάλ ππνζέζνπκε φηη εθηεινχκε έλα πείξακα ηχρεο θαη κε Υ θεθαιαίν ζπκβνιίζνπκε ηα ελδερφκελα ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ. Ζ κεηαβιεηή Υ νλνκάδεηαη Σπραία Μεηαβιεηή. Αλ ξίμνπκε έλα δάξη ηφηε ην πεδίν νξηζκνχ Ω={,,3,4,5,6} θαη ην Υ είλαη ίζν κε κηα απφ ηα έμη ηηκέο, δειαδή Υ={.,3,4,5,6}. Οη ηηκέο πνπ παίξλεη ε ηπραία κεηαβιεηή ζπκβνιίδνληαη κε ρ κηθξφ θαη είλαη ρ =, ρ =, ρ 6 =6. Αλ ε ηπραία κεηαβιεηή καο κπνξεί λα πάξεη νπνηαδήπνηε ηηκή απφ έλα ζχλνιν πξαγκαηηθψλ αξηζκψλ νλνκάδεηαη ζπλερήο, ελψ αλ κπνξεί λα πάξεη κφλν ζπγθεθξηκέλεο ηηκέο νλνκάδεηαη δηαθξηηή. ηελ πεξίπησζε ηεο δηαθξηηήο ηπραίαο κεηαβιεηήο νλνκάδνπκε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ηελ f(ρ) εάλ ζε θάζε ηηκή ηνπ ρ απεηθνλίδνληαη νη αληίζηνηρεο πηζαλφηεηεο, δειαδή f(ρ)=p(υ=ρ). Γηα ηελ f(ρ) ηζρχνπλ νη δπν θάησζη θαλφλεο: ) f(ρ) 0 ρεr ) f( x) = 30

31 Ολνκάδνπκε ζπλάξηεζε θαηαλνκήο ή αζξνηζηηθή ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο δηαθξηηήο ηπραίαο κεηαβιεηήο ηελ F(x) = p(x x ) = f(x ) = ηελ πεξίπησζε κηάο ζπλερνχο ηπραίαο κεηαβιεηήο νλνκάδνπκε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ηελ f(ρ) αλ α,β κε α<β ηζρχεη ε ζρέζε β p(α < Υ < β) = f)x)d(x) α. Οη δπν θάησζη θαλφλεο ηζρχνπλ θαη εδψ γηα ηελ f(ρ): ) f(ρ) 0 ρεr ) f ( x) d( x) Ολνκάδνπκε ζπλάξηεζε θαηαλνκήο ή αζξνηζηηθή ζπλάξηεζε πηζαλφηεηαο ηεο ζπλερνχο ηπραίαο κεηαβιεηήο ηελ F(x ) = f ( x) d( x). Παξάδεηγκα 6 0 Ρίρλνπκε έλα λφκηζκα. Σν πεδίν νξηζκνχ ηνπ είλαη Ω={Κ,Γ}. Δάλ κε ρ ζπκβνιίζνπκε ηελ ηπραία κεηαβιεηή ηνπ ζπκβάληνο Κ(θεθαιή) ηφηε ε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ιακβάλεη ηα ηηκέο: ρ =0 κε p(ρ )=/ θαη ρ = κε p(ρ )=/ Ζ ζπλάξηεζε θαηαλνκήο Fx ( ) ζα είλαη: 0 x<0 F(x)=p(X x)= / 0 x< Παξάδεηγκα 7 0 / x Όηαλ ξίρλνπκε έλα δάξη θαη ρ ε ηπραία κεηαβιεηή πνπ δείρλεη ηελ εκθάληζε ηνπ αξηζκνχ ηνπ, ηφηε ε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ιακβάλεη ηα ηηκέο: x =,,3,4,5,6 κε αληίζηνηρεο πηζαλφηεηεο p(x )=/6 γηα =,,3,4,5,6 θαη ε ζπλάξηεζε θαηαλνκήο Fxζα ( ) είλαη: 0 ρ< /6 ρ< 3

32 /6 ρ<3 F(ρ) 3/6 3 ρ<4 4/6 4 ρ<5 5/6 5 ρ<6 6 ρ 6. Μέηξα ηπραίσλ κεηαβιεηώλ ε έλα πείξακα ηχρεο κηαο δηαθξηηήο ηπραίαο κεηαβιεηήο Υ πνπ έρεη πεδίν νξηζκνχ Ω={ x,x,...,x } P(X = x ) = p(x ) λ θαη ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο, (=,,,λ), νξίδεηαη σο αλακελόκελε ηηκή ή κέζε ηηκή ην άζξνηζκα ειπίδα. λ x p(x ) = πνπ ζπκβνιίδεηαη κε Δ(X) θαη νλνκάδεηαη καζεκαηηθή Ζ καζεκαηηθή ειπίδα έρεη ζεκαληηθέο ηδηφηεηεο θαη εκθαλίδεη κεξηθά ζεκαληηθά ζηαηηζηηθά κεγέζε. ) Ζ κέζε ηηκή κ= Δ(X)= λ x p(x ) = ) Ζ ζεσξεηηθή δηαθχκαλζε ζπκβνιίδεηαη κε ζ = Var(X) = E(X -κ) = E(X )+E (X) - E(X)E(X) = E(X ) -E (X) 3) Δάλ Y=α+βX θαη (α,β)r ηφηε Δ(Τ)=Δ(α+βΥ)=α+βΔ(Υ),θαη Var(α+βX) = β Var(X) εάλ Τ=βΥ ηφηε Δ(Τ)=βΔ(Υ), Δ(Τ λ )=β λ Δ(Υ λ ) θαη Var(βx)=β Var(x) 4) Δάλ Τ θαη Υ δπν ηπραίεο κεηαβιεηέο ηφηε Δ(Τ+Υ)= (x + y )p(x,y ) = x p(x,y )+ y p(x,y ) = x p(x )+ y p(y ) = E(X)+E(Y) j j j j j j j j j j j 5) Δάλ Τ θαη Υ δπν αλεμάξηεηεο ηπραίεο κεηαβιεηέο, επεηδή p(x y ) = p(x )p(y ) j j 3

33 Έρνπκε E(XY) = (x y )p(x,y ) = x y p(x )p(y ) = x p(x ) y p(y ) = E(X)E(Y) j j j j j j j j j Παξάδεηγκα 8 0 Γίδεηαη ε παξαθάησ ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο: Υ P(ρ) /8 /4 3/8 /6 / Να ππνινγηζζεί ε καζεκαηηθή ειπίδα θαη ε δηαθχκαλζε ηεο. Δ(X)= 5 x p(x ) = =4./8+8./4+ +0./=,34 ζ = Var(X) = E(X -κ) == E(X )+E (X) - E(X)E(X) = E(X ) -E (X) Δ(X )=4./8+ +0./=48 Var(X)=48-8,6=9,40 E (X)=,34 =8,60 Κεθάιαην 7 0 Θεσξεηηθέο θαηαλνκέο Όηαλ εθηεινχκε έλα πείξακα ηχρεο βξίζθνπκε ηηο πηζαλφηεηεο γηα λα ζπκβεί έλα γεγνλφο. Απηέο ζα αθνξνχλ κφλν ην ζπγθεθξηκέλν πείξακα ηχρεο. Αλ ζέινπκε λα ην γεληθεχζνπκε, ρξεηαδφκαζηε έλα ζεσξεηηθφ λφκν πνπ κηα ηπραία κεηαβιεηή αθνινπζεί ηελ ίδηα θαηαλνκή θαη ηελ ίδηα ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ζε παξφκνηα πεηξάκαηα ηχρεο. Έηζη βξήθακε θαηαλνκέο ηα νπνίεο νλνκάζακε ζεσξεηηθέο πνπ εθαξκφδνληαη ζε έλα κεγάιν αξηζκφ πεηξακάησλ ηχρεο. Οη θαηαλνκέο είλαη δπν θαηεγνξηψλ, απηέο πνπ εθαξκφδνληαη ζε δηαθξηηέο κεηαβιεηέο θαη απηέο πνπ εθαξκφδνληαη ζε ζπλερείο κεηαβιεηέο. 7. Γησλπκηθή θαηαλνκή Ζ Γησλπκηθή θαηαλνκή είλαη κία δηαθξηηή θαηαλνκή πνπ αθνξά πεηξάκαηα ηχρεο πνπ έρνπλ ηελ εμήο ηδηφηεηα: ζε έλα πείξακα ηχρεο φπνπ έρνπκε δηαρσξηζκφ ηνπ πεδίνπ νξηζκνχ ζε δχν κέξε ψζηε αλ ζπκβεί ην έλα ελδερφκελν λα κελ ζπκβεί ην άιιν θαη είλαη αδχλαην λα ζπκβεί θάπνην ηξίην ελδερφκελν ηφηε εθαξκφδεηαη ε δησλπκηθή θαηαλνκή. 33

34 Αλ ζεσξήζνπκε p ηελ πηζαλφηεηα λα ζπκβεί έλα ηπραίν γεγνλφο ρ ηφηε ε πηζαλφηεηα λα κελ ζπκβεί(ή λα ζπκβεί ην άιιν) είλαη p p, επεηδή είλαη αδχλαην λα ζπκβεί θάηη άιιν, νπφηε έρνπκε πάληα pp. ε επαλαιήςεηο ελφο πεηξάκαηνο ηχρεο ζα έρνπκε ρ επηηπρίεο λα ζπκβεί έλα γεγνλφο Α θαη -ρ απνηπρίεο ηνπ λα ζπκβεί ην γεγνλφο. Αλ ζεσξήζνπκε Ω ην πεδίν νξηζκνχ, Α ην πξψην γεγνλφο θαη Β ην ζπκπιεξσκαηηθφ ηνπ, επεηδή θαη. Άξα ην λα ζπκβεί ην γεγνλφο ε πηζαλφηεηα είλαη x p ( ) x p.δπεηδή ππάξρνπλ x δπλαηνί ζπλδπαζκνί ηνπ λα ζπκβεί ην γεγνλφο ε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ηεο δησλπκηθήο θαηαλνκήο ζα x είλαη: f ( x) P( X x) p ( p) x x φπνπ ρ=0,,. Ζ επηθξαηνχζα ηηκή κηαο ηπραίαο κεηαβιεηήο ρ πνπ αθνινπζεί ηελ δησλπκηθή θαηαλνκή δίδεηαη απφ ηνλ ηχπν p p x p p θαη είλαη ν κνλαδηθφο αθέξαηνο κεηαμχ ησλ δπν ηηκψλ. Δάλ θαη νη δπν ηηκέο είλαη αθέξαηεο ηφηε θαη νη δπν είλαη επηθξαηνχζεο ηηκέο. H καζεκαηηθή ειπίδα ηα δησλπκηθήο θαηαλνκήο είλαη Δ(ρ)= p θαη δηαθχκαλζε ηα Var ( X) p( p). Παξάδεηγκα 9 0 Ρίρλνπκε έλα θαλνληθφ λφκηζκα 30 θνξέο. Να επξεζεί πνίνο ζα είλαη ν πηζαλφηεξνο αξηζκφο εκθαλίζεσο ηνπ ζπκβάληνο θεθαιή ηεο κέζεο ηηκήο ηνπ θαη ηεο ηππηθήο απφθιηζεο ηνπ. Λύζε Δάλ Υ ε ηπραία κεηαβιεηή πνπ δείρλεη ηνλ αξηζκφ ησλ ξίςεσλ ηνπ λνκίζκαηνο ε επηθξαηνχζα ηηκή ζα είλαη: 30./-/ ρ 30./+/ ή 4,5 ρ 5,5 δειαδή ρ=5. Ζ κέζε ηηκή E( X) p 30./ 5 θαη ε ηππηθή απφθιηζε Var ( X) p( p) 30./ ( / ) 5./ 7,5,74 7. Καηαλνκή Posso Ζ δησλπκηθή θαηαλνκή είλαη δηαθξηηή θαη ζπκκεηξηθή ε νπνία φκσο δελ δίλεη ηθαλνπνηεηηθά απνηειέζκαηα φηαλ πνιχ κεγάιν () θαη p πνιχ 34

35 κηθξφ( p 0 ). ηελ πεξίπησζε ελφο πεηξάκαηνο ηχρεο έρνπκε ηηο παξαθάησ πεξηπηψζεηο: α) Σα ζπκβάληα πνπ ζπκβαίλνπλ είλαη αλεμάξηεηα κεηαμχ ηνπο β) Σα ζπκβάληα πνπ ζπκβαίλνπλ ζε θάπνην ρξνληθφ δηάζηεκα είλαη απνιχησο ηπραία γ) Ζ πηζαλφηεηα λα έρνπλ ζπκβεί ζε δηάζηεκα κήθνπο s νζνλδήπνηε κηθξφ είλαη ιs φπνπ ι ζηαζεξφο αξηζκφο ίζνο κε p. Ζ ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο πνπ αθνινπζεί ηελ θαηαλνκή Posso είλαη: f ( x) e x x! φπνπ e,7 Ζ θαηαλνκή Posso είλαη δηαθξηηή αιιά αζχκκεηξνο Ζ επηθξαηνχζα ηηκή ηα θαηαλνκήο Posso είλαη ν κεγαιχηεξνο αθέξαηνο πνπ βξίζθεηαη κεηαμχ ησλ ηηκψλ θαη ε δηαθχκαλζε ηεο Var(X)=ι Παξάδεηγκα 30 0 ι -x ι. Ζ καζεκαηηθή ηεο ειπίδα είλαη Δ(Υ)=ι ε κηα πφιε έρνπκε 000 ηξνραία δπζηπρήκαηα ζε κηα πεξίνδν 00 εκεξψλ. α)πνία ε πηζαλφηεηα ζε κηα εκέξα λα έρνπκε ηνπιάρηζηνλ δπν; ) Ζ επηθξαηνχζα ηηκή ησλ ηξνραίσλ δπζηπρεκάησλ θαη γ) Ζ κέζε ηηκή θαη ε δηαθχκαλζε απηψλ Λύζε Δπεηδή κεγάιν θαη Posso. Έρνπκε ι= 000 =5 00 p κηθξφ ε θαηαλνκή πνπ αθνινπζείηαη είλαη ε ηξνραία δπζηπρήκαηα θαηά κέζν φξν αλά εκέξα. Άξα f ( x) e x 5 5 x! ρ=0,,, φπνπ Υ ν αξηζκφο ησλ ηξνραίσλ δπζηπρεκάησλ αλά εκέξα. Θέινπκε λα ππνινγίζνπκε α) p( X ) p( X ) [ p( X 0) p( X )] e ( ) e ( 5) 0,96 o!! β) Ζ επηθξαηνχζα ηηκή είλαη 5 -x Άξα επηθξαηνχζα ηηκή είλαη x 5 ηξνραία δπζηπρήκαηα αλά εκέξα. Ζ κέζε ηηκή ησλ ηξνραίσλ δπζηπρεκάησλ αλά εκέξα είλαη Δ(Υ)=ι=5 θαη ε δηαθχκαλζε ηα Var(X)=ι=5. 35

36 7.3 Καλνληθή θαηαλνκή Ζ ζεκαληηθφηεξε ζεσξεηηθή θαηαλνκή είλαη ε ζπλερήο θαλνληθή θαηαλνκή. Όπσο ζα δνχκε ζηελ ζπλέρεηα βάζεη ηνπ θεληξηθνχ νξηαθνχ ζεσξήκαηνο φηαλ έλαο κεγάινο αξηζκφο παξαγφλησλ επηδξνχλ ζε κηα θπζηθή πνζφηεηα θαη δηακνξθψλνπλ ηηο ηηκέο πνπ παίξλεη ηφηε ε πνζφηεηα πνπ κεηξάκε αθνινπζεί ηελ θαλνληθή θαηαλνκή. Απηφ έρεη ζαλ ζπλέπεηα λα ρξεζηκνπνηείηαη ζρεδφλ ζην ζχλνιν ησλ ηπραίσλ κεηαβιεηψλ φηαλ αγλνείηαη θάπνηα ζπγθεθξηκέλε ηδηφηεηα ηνπο, κε ηθαλνπνηεηηθή πξνζέγγηζε, ε θαλνληθή θαηαλνκή. Ζ ηπραία κεηαβιεηή X πνπ έρεη ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο: - (x-κ) ζ f(x) = e ζ π ζπκβνιίδεηαη:ν(κ,ζ ). Έρεη δε Σ= - < x < αθνινπζεί ηελ θαλνληθή θαηαλνκή πνπ 0 0,3989 e = ζ π ζ, Δ(Υ)=κ θαη Var(X)=ζ Ζ γξαθηθή παξάζηαζε ηα θαλνληθήο θαηαλνκήο εμαξηάηαη απφ ηνλ κέζν κ θαη ηελ δηαθχκαλζε ζ.ο κέζνο επεξεάδεη κφλν ηελ ζέζε ηα θακπχιεο θαηαλνκήο ζηνλ άμνλα ησλ ρ ελψ ε δηαθχκαλζε κεηαβάιεη ηελ θπξηφηεηα ηεο θακπχιεο. Αλ νη αλεμάξηεηεο ηπραίεο κεηαβιεηέο Υ,Τ αθνινπζνχλ ηα Ν(κ ρ, Ν( y, y x ) θαη ) αληίζηνηρα ηφηε ε ηπραία κεηαβιεηή Ε=Υ+Τ θαη G=X-Y αθνινπζνχλ αληίζηνηρα ηα N(κ ρ + y, + ) θαη Ν(κ ρ - x y y, + ). x y Αλ ε ηπραία κεηαβιεηή Υ~Ν(κ,ζ ) θαη ε ηπραία κεηαβιεηή Ε= X ηφηε ε z f ( z) e αθνινπζεί ηελ ηππηθή θαλνληθή θαηαλνκή κε Δ(Ε)=0 θαη Var(Z)=.Σν δηάγξακκα ηα ηππηθή θαλνληθήο θαηαλνκήο είλαη: 36

37 7.4 Κεληξηθό νξηαθό Θεώξεκα Δάλ ηα πιεζπζκφο έρεη δηαθχκαλζε ζ < θαη κέζνλ κ βάζεη ηνπ θεληξηθνχ νξηαθνχ ζεσξήκαηνο γηα ηα κεγάινπο αξηζκνχο πξνζεγγίδεη ηελ θαλνληθή θαηαλνκή θαη ε ηπραία κεηαβιεηή Ε= X ηελ ηππηθή θαλνληθή θαηαλνκή. πλεπψο αλ ν πιεζπζκφο αθνινπζεί ηελ Ν(κ,ζ) ηφηε ε δεηγκαηνιεπηηθή θαηαλνκή κεγέζνπο αθνινπζεί ηελ Ν(κ. ηηκέο Ο πίλαθαο ηεο Ε θαηαλνκήο γηα ηνλ ππνινγηζκφ ησλ πηζαλνηήησλ δίδεη ηηο p( Z z) γηα PZ p( Z ) p( Z ) ( ) z α>0. Γηα ηηκέο ηνπ z=-α<0 έρνπκε. Δπί πιένλ αλ δεηάκε ηελ ηηκή P( Z ) P( Z ) P( Z ) P( Z ) [ P( Z )] Παξάδεηγκα 3 0 Οη κέζνη κηζζνί ησλ ππαιιήισλ κηαο επηρείξεζεο 00 αηφκσλ είλαη 900 κε δηαθχκαλζε 96. Δάλ επηιέμνπκε ζηελ ηχρε έλα ππάιιειν πνηα ε πηζαλφηεο α) λα έρεη κηζζφ κεηαμχ 850 θαη 930, β) Σνπιάρηζηνλ 880 γ) κηθξφηεξν ησλ 860 δ) Πφζνη εθ ησλ ππαιιήισλ ιακβάλνπλ 930. Λχζε Οη πηζαλφηεηεο ησλ κηζζψλ ησλ ππαιιήισλ εθ φζνλ γλσξίδνπκε ηνλ κέζν κ=900 θαη ηελ δηαθχκαλζε 96 κπνξνχλ λα ππνινγηζζνχλ ρξεζηκνπνηψληαο ηελ θαλνληθή θαηαλνκή. ). Α) Ζ δεηνχκελε πηζαλφηεο είλαη p(850 X 930). Αιιά z x ,7 z x ,,4 Άξα δεηάκε ηελ πηζαλφηεηα p( 0,7 z,4) p( z,4) p( z 0,7) p( z,4) [ p( z 0,7)] 0,9834 [( 0,758)] 0,9834 0,4 0,74 37

38 β) γ) δ) p( X 800) p( z ) p( z,43) p( z,43) 96 4,936 0, p( X 860) P( z ) p( z ) p( z,86) 4 4 pz (,86) 0,9978 0,00 99, ,5 900 p( x 930) p(99,5 x 930,5) p( z ) 4 4 p(,07 z,79) p( z,79) p( z,07) 0,985 ( p( z,07) ( 0,9835) 0,985 0,077 0,9674 Άξα 00.0,9674=93,47 ππάιιεινη Κεθάιαην 8 0 Παξάγσγεο Καηαλνκέο Καηαλνκέο νη νπνίεο ρξεζηκνπνηνχλ δεηγκαηνιεςία απφ θαλνληθνχο πιεζπζκνχο αιιά έρνπλ ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο δηαθνξεηηθή απφ ηελ θαλνληθή θαηαλνκή νλνκάδνληαη ζπλήζσο παξάγσγεο θαηαλνκέο. Απηέο νη θαηαλνκέο είλαη ε Υ,G,t θαη F νη νπνίεο ρξεζηκνπνηνχληαη πνιχ ζε εξεπλεηηθφ επίπεδν. 8. Η X θαη ε G θαηαλνκή Πξηλ αζρνιεζνχκε κε ηελ Υ θαηαλνκή πξέπεη λα δνχκε ηελ ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ηεο Γάκα θαηαλνκήο(gα,β). Αλ ε ηπραία κεηαβιεηή Υ>0 αθνινπζεί ηελ Γάκα θαηαλνκή ε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο είλαη: kxα- e-x/β,ρ>0 f(x) = { 0 αιινχ Όπνπ α,β παξάκεηξνη ηα θαηαλνκήο β α Γ(α) ζπλάξηεζε Γ(α) έρεη ηα παξαθάησ βαζηθέο ηδηφηεηεο: θαη Γ(α) = x α- e -x d(x). Ζ 0 ) Γ(α)=(α-)Γ(α-) ) Γ()=(-)! εr 3) Γ(/)= π 38

39 Αλ ρ, ρ, ρ αλεμάξηεηεο παξαηεξήζεηο κηαο θαλνληθήο θαηαλνκήο κε κέζν κ θαη δηαθχκαλζε ζ ηφηε ε θαη ε ηπραία κεηαβιεηή z x αθνινπζεί ηελ ηππηθή θαηαλνκή Ν(0,) ( x ) u z z αθνινπζεί ηελ νλνκαδφκελε Υ θαηαλνκή κε ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο: - -x X e f(x ) = Γ( ) δηα 0<ρ< Αλ κεηαμχ ησλ ρ ηα θαλνληθήο θαηαλνκήο Ν(κ,ζ ) ππάξρνπλ θ< γξακκηθέο ζρέζεηο ηφηε ε Υ θαηαλνκή έρεη λ=-θ βαζκνχο ειεπζεξίαο. Ζ Υ θαηαλνκή αιιάδεη θπξηφηεηα αλάινγα κε ηα βαζκνχο ειεπζεξίαο θαη απηφο είλαη ν βαζηθφο ιφγνο πνπ θάλεη απαξαίηεηε ηελ ρξήζε ηνπο. Οη δπν βαζηθέο παξάκεηξνη ηα Υ θαηαλνκήο είλαη ν κέζνο θαη ε δηαθχκαλζε: E(X)=λ=- Var(X)=λ=(-) Μηα ηξίηε παξάκεηξνο είλαη ε επηθξαηνχζα ηηκή Σ=λ-=-3. Παξάδεηγκα 3 0 Γίδεηαη ε ηπραία κεηαβιεηή Υ πνπ αθνινπζεί ηελ Υ θαηαλνκή κε λ=6 βαζκνχο ειεπζεξίαο. Να ππνινγηζζεί ε πηζαλφηεο p(,4<ρ 6 <4,4). Ο κέζνο,ε δηαθχκαλζε θαη ε επηθξαηνχζα ηηκή ηα Υ θαηαλνκήο. Λύζε Δθ ησλ πηλάθσλ ηα Υ θαηαλνκήο έρνπκε p(ρ 6 >,4)=0,975 θαη p(ρ 6 >4,4)=0,05. Άξα p(,4<ρ 6 <4,4) = p(ρ 6 >,4)- p(ρ 6 >4,4)=0,975-0,05=0,95 Δ(Υ)=κ=λ=6 Var(X)=λ=.6= Σ=λ-=6-=4 Η G ΜΠ. Καηαλνκή 39

40 Ζ G θαηαλνκή(ldegre 976) πξνέξρεηαη απφ ηελ Υ θαηαλνκή φηαλ ην θαη ππάξρνπλ κεξηθά κεδεληθά ζηνηρεία. Υξεζηκνπνηείηαη θπξίσο ζηνλ έιεγρν ηεο αλεμαξηεζίαο. Όηαλ ε ππφζεζε H0 : αλεμαξηεζία, είλαη αιεζηλή, ηφηε θαη νη δχν ζηαηηζηηθέο X, G έρνπλ πξνζεγγηζηηθά ( ) X -θαηαλνκέο κε βαζκνχο ειεπζεξίαο (β.ε.) (r-)(c-). Πξάγκαηη νη δχν ζηαηηζηηθέο είλαη αζπκπησηηθά ηζνδχλακεο ζ' απηή ηελ πεξίπησζε, δηφηη ε δηαθνξά ηνπο είλαη κηθξφηεξεο ηάμεο ηνπ / φηαλ.γηα "Mεγάιεο" ηηκέο θαη ησλ δχν θαη δίδεη θαιχηεξα απνηειέζκαηα απφ ηελ Υ. Ζ ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο είλαη: f j G = f l( ) j j F j Παξάδεηγκα 33 0 ε έλα πείξακα γηα ηε ζχγθξηζε ηεο απνηειεζκαηηθφηεηαο πέληε θεθαιψλ θνςίκαηνο ζε κηα κεραλή πνπ θφβεη ζε ισξίδεο κεραληθά ραιπβδνιακαξίλεο, 00 ραιπβδνιακαξίλεο πνηθίισλ ηχπσλ δηαηξέζεθαλ ζε 5 δείγκαηα ησλ 0 κνλάδσλ ην θαζέλα. ε θάζε δείγκα ρξεζηκνπνηήζεθε δηαθνξεηηθή θεθαιή θνςίκαηνο θαη θαηαηάρζεθαλ κε βάζε ηελ θαηάζηαζε ησλ παξαγφκελσλ ισξίδσλ ζε δχν θαηεγνξίεο. Oη θαηεγνξίεο ήζαλ θαιέο θαη ειαηησκαηηθέο. Tα απνηειέζκαηα δίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα : Πίλαθαο Kεθαιέο θνςίκαηνο Kαηάζηαζε ισξίδσλ A B Γ Γ E χλνια Kαιή Eιαησκκαηηθή χλνια Να ππνινγηζζνχλ νη ηηκέο ηεο Υ θαη ηεο G γηα λα ειεγρζεί αλ ππάξρεη αλεμαξηεζία κεηαμχ ησλ θεθαιψλ θνςίκαηνο θαη ηεο θαηάζηαζεο ησλ ισξίδσλ (α=0,05). Λύζε Oη ηηκέο ησλ ζηαηηζηηθψλ X θαη G είλαη αληίζηνηρα 5,99 θαη 6,. Ζ ηηκή ηεο X -θαηαλνκή κε 4 β.ε. θαη πηζαλφηεηα 95% είλαη 9,488 πνπ ζεκαίλεη φηη δελ 40

41 ππάξρεη δηαθνξά ζηελ απνηειεζκαηηθφηεηα ησλ θεθαιψλ θνπήο ηεο κεραλήο(αλεμαξηεζία). 8. Η t θαηαλνκή (studet) Αλ έρνπκε δπν ηπραίεο κεηαβιεηέο ηελ Υ πνπ αθνινπζεί ηελ ηππηθή θαλνληθή θαηαλνκή Ν(0,) θαη ηελ Τ πνπ αθνινπζεί ηελ X θαηαλνκή κε λ β.ε. ηφηε ε X t= Y λ αθνινπζεί ηελ t θαηαλνκή κε λ β.ε. Ζ ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ηεο t θαηαλνκήο είλαη: λ + Γ( ) - t λ+ f(t) = (+ ) λ πλ ( ) Ο κέζνο ηεο t θαηαλνκήο κε λ β.ε. είλαη Δ(t)=0 θαη ε δηαθχκαλζεο ηεο Var(x)=. Γηα ηηκέο λ>30 κπνξεί λα ρξεζηκνπνηείηαη θαη κε ηθαλνπνηεηηθή πξνζέγγηζε ε ηππηθή θαλνληθή θαηαλνκή. Ζ t θαηαλνκή είλαη ζπκκεηξηθή κε κέζν 0 φπσο θαη ε ηππηθή θαλνληθή θαηαλνκή δηαθέξεη κφλν ζηελ θπξηφηεηα πνπ εμαξηάηαη απφ ην λ φπσο θαίλεηαη θαη ζην ζρήκα παξαθάησ ter Οη ηηκέο ηεο t θαηαλνκήο δίδνληαη απφ πίλαθεο. Ό πίλαμ δίδεη δηα δεδνµέλαο ηηµάο ησλ λ θαη α ηελ ηηµή t v,α/ ή νπνία πξνθχπηεη εθ ηεο ιχζεσο ηεο Ρ (It Η > tv,α) = α. Όπσο θαίλεηαη ζην παξαθάησ ζρήκα: 4

42 Παξάδεηγκα 34 0 Να επξεζνχλ νη ηηκέο ηεο t θαηαλνκήο δηα λ=7 θαη α=0,05 θαη δηα πνηα ηηκή ηεο t ηζρχεη ε πηζαλφηεο p(t > t ) =0,05 0 Λύζε Έρνπκε t =,895 7,0,05 θαη p(t > t ) 0 =, Η F θαηαλνκή Αλ έρνπκε δπν ηπραίεο αλεμάξηεηεο θαηαλνκέο ηελ Υ θαη ηελ Τ πνπ αθνινπζνχλ ηελ Υ θαηαλνκή κε λ θαη λ β.ε. αληίζηνηρα, ηφηε ε ηπραία κεηαβιεηή X λ F= Y αθνινπζεί ηελ F θαηαλνκή κε β.ε. λ, λ. Ζ ζπλάξηεζε ππθλφηεηαο πηζαλφηεηαο ηεο F θαηαλνκήο είλαη: λ + λ λ λ Γ( ) λ - λ g(f) =.( ). F.(+ F) δηα 0<F> λ λ λ λ Γ( )Γ( ) Ζ F θαηαλνκή εμαξηάηαη κφλν απφ ηνπο βαζκνχο ειεπζεξίαο. Απφ ην παξαθάησ δηάγξακκα ηεο κπνξνχκε λα δνχκε φηη είλαη αζχκκεηξνο πξνο ηα δεμηά θαη φζν απμάλνπλ νη β.ε ηφηε πιεζηάδεη πξνο ηελ ηππηθή θαλνληθή θαηαλνκή. f(f) F 4

Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ

Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ Ενδεικτικά Θέματα Στατιστικής ΙΙ Θέματα. Έζησ όηη ζε δείγκα 35 θαηνηθηώλ πνπ ελνηθηάδνληαη ζε θνηηεηέο ζηελ Κνδάλε βξέζεθε ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζηα 5 επξώ, ελώ ζην Ζξάθιεην ην κέζν κεληαίν κίζζσκα ζε

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο : ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη

Διαβάστε περισσότερα

Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση

Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέρξη ζηηγκήο ην κνλνπώιην έρεη ζεσξεζεί ζαλ κηα επηρείξεζε ε νπνία πσιεί ην πξντόλ ηεο ζε θάζε πειάηε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

Αζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14

Αζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 .1.10 ζκήζεις ζτ.βιβλίοσ ζελίδας 13 14 Ερωηήζεις Καηανόηζης 1. ύν δηαθνξεηηθέο επζείεο κπνξεί λα έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν Έλα θνηλό ζεκείν i ύν θνηλά ζεκεία iλ) Άπεηξα θνηλά ζεκεία ηηηνινγήζηε ηελ απάληεζε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ

ΚΕΦ. 2.3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ ΚΕΦ..3 ΑΠΟΛΤΣΗ ΣΘΜΗ ΠΡΑΓΜΑΣΘΚΟΤ ΑΡΘΘΜΟΤ Οπιζμόρ απόλςηηρ ηιμήρ: Σηνλ άμνλα ησλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ ζεσξνύκε έλαλ αξηζκό α πνπ ζπκβνιίδεηαη κε ην ζεκείν Α. Η απόζηαζε ηνπ ζεκείνπ Α από ηελ αξρή Ο, δειαδή

Διαβάστε περισσότερα

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.

Διαβάστε περισσότερα

Διαςτήματα εμπιςτοςφνησ για την ευθεία παλινδρόμηςησ

Διαςτήματα εμπιςτοςφνησ για την ευθεία παλινδρόμηςησ Διαςτήματα εμπιςτοςφνησ για την ευθεία παλινδρόμηςησ Έλαο από ηνπο βαζηθνύο ζηόρνπο ηεο παιηλδξόκεζεο είλαη ε πξόβιεςε ηεο αλακελόκελεο ηηκήο ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο Υ γηα δεδνκέλε ηηκή ηεο αλεμάξηεηεο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙ ΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ζμεπομηνία: 18/12/10 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΕΙΝΟΜΕΝΕ ΛΤ ΕΙ 1. Δίλεηαη ην πνιπώλπκν Αλ θαη., λα βξείηε ην ηειεπηαίν ςεθίν ηνπ αξηζκνύ έρνπκε:

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ. Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Είμαζηε ηυχεροί που είμαζηε δάζκαλοι Ον/μο:.. A Λσκείοσ Ύλη: Εσθύγραμμη Κίνηζη 8-11-2015 Θέμα 1 ο : 1. Η εμίζωζε θίλεζεο ελόο θηλεηνύ πνπ θηλείηαη επζύγξακκα είλαη ε x = 5t. Πνηα

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ. Απαντήσεις θέματος 2 Απηά πνπ έπξεπε λα γξάςεηε (δελ ρξεηαδόηαλ δηθαηνιόγεζε εθηόο από ην Γ) Α return a*b; Β 0:acegf2, 1: acegf23, 2: acegf234, 3:acegf2345, 4:acegf23456, 5:acegf234567, 6:acegf2345678,

Διαβάστε περισσότερα

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ

ΚΔΦ. 2.4 ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ ΚΔΦ.. ΡΗΕΔ ΠΡΑΓΜΑΣΗΚΩΝ ΑΡΗΘΜΩΝ Οξηζκόο ηεηξαγσληθήο ξίδαο: Αλ 0 ηόηε νλνκάδνπκε ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ ηελ κε αξλεηηθή ιύζε ηεο εμίζσζεο:. Γειαδή ηεηξαγσληθή ξίδα ηνπ 0 ιέγεηαη ν αξηζκόο 0 πνπ όηαλ πςσζεί

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) = ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3

Διαβάστε περισσότερα

Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο κόζηος ανά μονάδα παραγωγής. Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο ζηαθερό κόζηος ανά μονάδα παραγωγής

Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο κόζηος ανά μονάδα παραγωγής. Q Η ζσνάρηηζη μέζοσ κόζηοσς μας δίνει ηο ζηαθερό κόζηος ανά μονάδα παραγωγής ΜΙΚΡΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΟΜΟ Α Mάθημα 5: To παραγωγής σναρηήζεις κόζηοσς Η ζπλάξηεζε ζπλνιηθνύ θόζηνπο C FC VC Όπνπ FC= ην ζηαζεξό θόζηνο (ην θόζηνο γηα ηνλ ζηαζεξό παξαγσγηθό ζπληειεζηή) θαη VC= ην κεηαβιεηό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη

Διαβάστε περισσότερα

f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x)

f '(x)g(x)h(x) g'(x)f (x)h(x) h'(x) f (x)g(x) ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 54 Υλη: Παράγωγοι Γ Λσκείοσ Ον/μο:.. 6--4 Θεη-Τετν. ΘΔΜΑ Α.. Αλ f, g, h ηξεηο παξαγωγίζηκεο ζπλαξηήζεηο ζην λα απνδείμεηε όηη : f () g() h() ' f '()g()h() g'()f ()h() h'() f ()g()

Διαβάστε περισσότερα

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν

Διαβάστε περισσότερα

Αιγόξηζκνη Γνκή επηινγήο. Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο. Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ. introcsprinciples.wordpress.

Αιγόξηζκνη Γνκή επηινγήο. Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο. Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ. introcsprinciples.wordpress. Αιγόξηζκνη 2.2.7.3 Γνκή επηινγήο Πνιιαπιή Δπηινγή Δκθωιεπκέλεο Δπηινγέο Δηζαγωγή ζηηο Αξρέο ηεο Δπηζηήκεο ηωλ Η/Υ 1 Πνιιαπιή Δληνιή Δπηινγήο Αν ζπλζήθε_1 ηόηε εληνιέο_1 αλλιώς_αν ζπλζήθε_2 ηόηε εληνιέο_2...

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 133. Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Θέμα 1

ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 133. Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Θέμα 1 ΓΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 1 Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Σσναρηήζεις-Σηαηιζηική Γεν. Παιδείας 9-1-1 Θέμα 1 Α. Αο ππνζέζνπκε όηη x 1,x,...,x k είλαη νη ηηκέο κηαο κεηαβιεηήο x πνπ αθνξά ηα άηνκα ελόο δείγκαηνο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ

ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑΙΑ (Θεοδώρα Γιώηη, Νικόλας Καραηάζιος- Τπεύθσνη εκ/κος Λ. Παπαηζίμπα) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΜΗΜΑ:.., ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.// Σε ακαμίδην πνπ κπνξεί λα θηλείηαη ρσξίο ηξηβέο πάλσ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» 1. Να αληηζηνηρίζεηε θάζε κεηαβιεηή ηεο αξηζηεξήο ζηήιεο ηνπ παξαθάησ πίλαθα κε ηελ θαηεγνξία πνπ βξίζθεηαη ζηε δεμηά ζηήιε: ΜΔΣΑΒΛΗΣΗ ΚΑΣΗΓΟΡΙΑ 1. ΦΤΗΚΖ ΚΑΣΑΣΑΖ 2. ΜΗΘΟ 3.ΑΡΗΘΜΟ ΣΖΛΔΦΩΝΟΤ Α. ΠΟΗΟΣΗΚΖ

Διαβάστε περισσότερα

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο

ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οξηδόληηα θαη θαηαθόξπθε κεηαηόπηζε παξαβνιήο 1 ε Δξαζηεξηόηεηα Αλνίμηε ην αξρείν «Μεηαηόπηζε παξαβνιήο.ggb». Με ηε καύξε γξακκή παξηζηάλεηαη ε γξαθηθή παξάζηαζε ηεο f(x)=αx 2 πνπ ζα ηελ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.

Διαβάστε περισσότερα

(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ

(Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α. Α1. Βιέπε απόδεημε Σει. 262, ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α2. Βιέπε νξηζκό Σει. 141, ζρνιηθνύ βηβιίνπ ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ (ΟΜΑΓΑ Β ) ΣΔΣΑΡΣΖ 18 ΜΑΪΟΤ 16 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (ΝΔΟ ΤΣΖΜΑ) ΚΑΣΔΤΘΤΝΖ (ΠΑΛΑΗΟ ΤΣΖΜΑ) (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΦΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μάθημα: Πιθανόηηηες και Σηαηιζηική Διδάζκων: Σ. Γ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΦΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μάθημα: Πιθανόηηηες και Σηαηιζηική Διδάζκων: Σ. Γ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Τρίπολη 06/07/2007 Τα θέμαηα 1-5 είναι σποτρεωηικά και έτοσν ηοσς ίδιοσς (ίζοσς) ζσνηελεζηές βαρύηηηας Το θέμα 6 δίνει επιπλέον βαθμούς με βαρύηηηα 10% για βεληίωζη ηης βαθμολογίας ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τπολογιςτικέσ Εφαρμογέσ ςτην τατιςτική Επεξεργαςία Δεδομένων. Παραδείγματα Επίλυςησ παλαιοτέρων Θεμάτων

Τπολογιςτικέσ Εφαρμογέσ ςτην τατιςτική Επεξεργαςία Δεδομένων. Παραδείγματα Επίλυςησ παλαιοτέρων Θεμάτων Τπολογιςτικέσ Εφαρμογέσ ςτην τατιςτική Επεξεργαςία Δεδομένων τα πλαίςια του μαθήματοσ ΠΙΘΑΝΟΣΗΣΕ, ΣΑΣΙΣΙΚΗ & ΣΟΙΦΕΙΑ ΑΡΙΘΜΗΣΙΚΗ ΑΝΑΛΤΗ Δ. Υαςουλιώτησ ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ, 0-06 Παραδείγματα Επίλυςησ παλαιοτέρων

Διαβάστε περισσότερα

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ

Διαβάστε περισσότερα

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: 1 ΟΡΙΜΟΙ MONOTONIA AKΡOTATA Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ κεγίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό κέγηζην.

Διαβάστε περισσότερα

Α Σ Κ Ζ Σ Δ Η Σ. Τν βάξνο ησλ 28 καζεηώλ κηαο ηάμεο δίλεηαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα 1.(2).

Α Σ Κ Ζ Σ Δ Η Σ. Τν βάξνο ησλ 28 καζεηώλ κηαο ηάμεο δίλεηαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα 1.(2). 1 Α Σ Κ Ζ Σ Δ Η Σ ΑΣΚΗΣΗ 1.() Τν βάξνο ησλ 8 καζεηώλ κηαο ηάμεο δίλεηαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα 1.(). ΠΗΝΑΚΑΣ 1.().Βάξε καζεηώλ κηαο ηάμεο 77.4 75.8 75.8 74.5 71.5 68.8 66.6 73.9 70.1 73.0 71.9 66.6 73.4

Διαβάστε περισσότερα

(γ) Να βξεζεί ε ρξνλνεμαξηώκελε πηζαλόηεηα κέηξεζεο ηεο ζεηηθήο ηδηνηηκήο ηνπ ηειεζηή W.

(γ) Να βξεζεί ε ρξνλνεμαξηώκελε πηζαλόηεηα κέηξεζεο ηεο ζεηηθήο ηδηνηηκήο ηνπ ηειεζηή W. ΚΒΑΝΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι Τειηθή Εμέηαζε: 5 Σεπηέκβξε 6 (Δηδάζθσλ: ΑΦ Τεξδήο) ΘΕΜΑ Θεσξνύκε θβαληηθό ζύζηεκα πνπ πεξηγξάθεηαη από Φακηιηνληαλή Η, ε νπνία ζε κνξθή πίλαθα ρξεζηκνπνηώληαο ηηο ηδηνζπλαξηήζεηο, θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ. Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΠΑΓΚΤΠΡΙΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ Α ΛΤΚΔΙΟΤ Ημεπομηνία: 10/12/11 Ώπα εξέτασηρ: 09:30-12:30 ΠΡΟΣΔΙΝΟΜΔΝΔ ΛΤΔΙ Πρόβλημα 1: α) Να δείμεηε όηη αλ ζεηηθνί πξαγκαηηθνί αξηζκνί ηζρύεη: β) Αλ είλαη

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάιαην 20. Ελαχιστοποίηση του κόστους

Κεθάιαην 20. Ελαχιστοποίηση του κόστους Κεθάιαην 0 Ελαχιστοποίηση του κόστους Ειαρηζηνπνίεζε ηνπ θόζηνπο Μηα επηρείξεζε ειαρηζηνπνηεί ην θόζηνο ηεο αλ παξάγεη νπνηνδήπνηε δεδνκέλν επίπεδν πξντόληνο y 0 ζην κηθξόηεξν δπλαηό ζπλνιηθό θόζηνο. Τν

Διαβάστε περισσότερα

x-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12

x-1 x (x-1) x 5x 2. Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα, έηζη ώζηε λα κελ ππάξρνπλ ξηδηθά ζηνπο 22, 55, 15, 42, 93, 10 5, 12 ΑΚΖΔΗ ΤΜΝΑΗΟΤ - ΚΤΚΛΟ ΠΡΩΣΟ - - ηα πνηεο ηηκέο ηνπ ηα παξαθάησ θιάζκαηα δελ νξίδνληαη ; (Τπόδεημε : έλα θιάζκα νξίδεηαη αλ ν παξνλνκαζηήο είλαη δηάθνξνο ηνπ κεδελόο) - (-) - (-) - Να απινπνηεζνύλ ηα θιάζκαηα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ. G. Mitsou

ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ. G. Mitsou ΦΥΣΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ηαηηθή ηωλ ξεπζηώλ (Τδξνζηαηηθή) Ση είλαη ηα ξεπζηά - Γεληθά Ππθλόηεηα Πίεζε Μεηαβνιή ηεο πίεζεο ζπλαξηήζεη ηνπ βάζνπο Αξρή ηνπ Pascal Τδξνζηαηηθή πίεζε Αηκνζθαηξηθή πίεζε Απόιπηε &

Διαβάστε περισσότερα

Σ.Δ.Ι. ΚΔΝΣΡΙΚΗ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΥΟΛΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΔΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΜΗΜΑ ΥΔΓΙΑΜΟΤ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ΔΝΓΤΗ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΚΛΩΣΟΫΦΑΝΣΟΤΡΓΙΑ & ΔΝΓΤΗ (ΔΠΙΠΛΔΟΝ ΗΜΔΙΩΔΙ)

Σ.Δ.Ι. ΚΔΝΣΡΙΚΗ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΥΟΛΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΔΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΜΗΜΑ ΥΔΓΙΑΜΟΤ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ΔΝΓΤΗ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΚΛΩΣΟΫΦΑΝΣΟΤΡΓΙΑ & ΔΝΓΤΗ (ΔΠΙΠΛΔΟΝ ΗΜΔΙΩΔΙ) Σ.Δ.Ι. ΚΔΝΣΡΙΚΗ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΥΟΛΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΔΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΜΗΜΑ ΥΔΓΙΑΜΟΤ ΚΑΙ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΑ ΔΝΓΤΗ ΣΑΣΙΣΙΚΗ ΚΛΩΣΟΫΦΑΝΣΟΤΡΓΙΑ & ΔΝΓΤΗ (ΔΠΙΠΛΔΟΝ ΗΜΔΙΩΔΙ) Γ ΔΞΑΜΗΝΟΤ ΑΝΣΩΝΙΟ Π. ΒΑΛΑΡΙΣΟ ΚΙΛΚΙ 0 ΠΔΡΗΔΥΟΜΔΝΑ. ΔΗΑΓΧΓΖ

Διαβάστε περισσότερα

Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος. Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο

Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος. Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο Φςζική Πποζαναηολιζμού Γ Λςκείος Αζκήζειρ Ταλανηώζειρ 1 ο Φςλλάδιο Επιμέλεια: Αγκανάκηρ Α. Παναγιώηηρ Επωηήζειρ Σωζηό- Λάθορ Να χαπακηηπίζεηε ηιρ παπακάηω πποηάζειρ ωρ ζωζηέρ ή λάθορ: 1. Η ηαιάλησζε είλαη

Διαβάστε περισσότερα

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ Σήκαηα 1 Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) Σήκαηα Οξηζκόο ζήκαηνο Ταμηλόκεζε ζεκάησλ Σεηξέο Fourier Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier Σπλέιημε Σπζρέηηζε θαη Φαζκαηηθή Ππθλόηεηα 2 Οξηζκόο Σήκαηνο

Διαβάστε περισσότερα

επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n

επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n . ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr Επιλεγμένες Ασκήσεις. α) Έζησ η.δ. Ep. Να δεηρζεί όηη ε T,..., ~, 0

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α

Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano) ΘΔΜΑ Α Γ ΣΑΞΖ ΔΝΗΑΗΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΘΔΣΗΚΩΝ ΚΑΗ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΩΝ ΠΟΤΓΩΝ ΤΝΑΡΣΖΔΗ ΟΡΗΑ ΤΝΔΥΔΗΑ (έως Θ.Bolzano). Να δηαηππώζεηε ην Θ.Bolzano. 5 ΘΔΜΑ Α μονάδες A. Να απνδείμεηε όηη γηα θάζε πνιπωλπκηθή

Διαβάστε περισσότερα

ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ

ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ ΟΠΤΙΚΗ Α. ΑΝΑΚΛΑΣΖ - ΓΗΑΘΛΑΣΖ. Μία αθηίλα θωηόο πξνζπίπηεη κε κία γωλία ζ ζηε επάλω επηθάλεηα ελόο θύβνπ από πνιπεζηέξα ν νπνίνο έρεη δείθηε δηάζιαζεο ε =,49 (ζρήκα ). Βξείηε πνηα ζα είλαη ε κέγηζηε γωλία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ() ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΔΜΑ : Αλ ηζρύεη 3 3, λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Μ, Ν ηαπηίδνληαη. ΘΔΜΑ : Α Β Μ Γ Σην παξαπάλσ ζρήκα είλαη 3. α) Γείμηε όηη

Διαβάστε περισσότερα

ιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας

ιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας Ασκήσεις αποθεµάτωνµ Δρ.

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε

Διαβάστε περισσότερα

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ ΚΑΗ ΔΠΑΛ ΣΔΣΑΡΣΖ 25 ΜΑΨΟΤ 2016 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΑΡΥΔ ΟΗΚΟΝΟΜΗΚΖ ΘΔΧΡΗΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ - ΔΠΗΛΟΓΖ (Δλδεηθηηθέο Απαληήζεηο) ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σωζηό β. Λάζνο

Διαβάστε περισσότερα

Γηζδηάζηαηνη Πίλαθεο

Γηζδηάζηαηνη Πίλαθεο Γηζδηάζηαηνη Πίλαθεο Άζθεζε 1. Να αλαπηύμεηε αιγόξηζκν ν νπνίνο κε δεδνκέλα ηα ζηνηρεία δπν δηζδηάζηαησλ πηλάθσλ αξηζκώλ ηδίσλ δηαζηάζεσλ ζα εμεηάδεη αλ νη πίλαθεο είλαη ίζνη, ελώ ζηελ πεξίπησζε πνπ δελ

Διαβάστε περισσότερα

7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3. Έλαο θαηαρσξεηήο SISO ησλ 4 bits έρεη: α) Μία είζνδν, β) Δύν εηζόδνπο, γ) Σέζζεξεηο εηζόδνπο.

7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3. Έλαο θαηαρσξεηήο SISO ησλ 4 bits έρεη: α) Μία είζνδν, β) Δύν εηζόδνπο, γ) Σέζζεξεηο εηζόδνπο. 7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ση είλαη έλαο θαηαρσξεηήο; O θαηαρσξεηήο είλαη κηα νκάδα από flip-flop πνπ κπνξεί λα απνζεθεύζεη πξνζσξηλά ςεθηαθή πιεξνθνξία. Μπνξεί λα δηαηεξήζεη ηα δεδνκέλα ηνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις

ΔΠΙΣΡΟΠΗ ΓΙΑΓΩΝΙΜΩΝ 74 ος ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΜΑΘΗΣΙΚΟ ΓΙΑΓΩΝΙΜΟ ΣΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ Ο ΘΑΛΗ 19 Οκηωβρίοσ Δνδεικηικές λύζεις ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ Παλεπηζηεκίνπ (Διεπζεξίνπ Βεληδέινπ) 34 06 79 ΑΘΖΝΑ Τει. 36653-367784 - Fax: 36405 e-mail : info@hms.gr www.hms.gr GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 34, Panepistimiou (Δleftheriou

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2

ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 ΑΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΙΑ ΛΤΔΙ ΙΑΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 1: Λάζος (είλαη ηζνζθειήο ππεξβνιή) Α2: Λάζος (ην ζεηηθό πξόζεκν ζεκαίλεη όηη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Δηζνδήκαηνο θαη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Πνζόηεηαο ήηαλ

Διαβάστε περισσότερα

β) (βαζκνί: 2) Έζησ όηη ε ρξνλνινγηθή ζεηξά έρεη κέζε ηηκή 0 θαη είλαη αληηζηξέςηκε. Δίλεηαη ην αθόινπζν απνηέιεζκα από ην EViews γηα ηε :

β) (βαζκνί: 2) Έζησ όηη ε ρξνλνινγηθή ζεηξά έρεη κέζε ηηκή 0 θαη είλαη αληηζηξέςηκε. Δίλεηαη ην αθόινπζν απνηέιεζκα από ην EViews γηα ηε : 1 ΝΑ ΑΠΑΝΤΗΘΟΥΝ 2 ΑΠΟ ΤΑ 3 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1 α) (βαζκνί: 3) Έζησ όηη ε ρξνλνινγηθή ζεηξά είλαη ζηάζηκε, αληηζηξέςηκε θαη αθνινπζεί ην ΑR(1) ππόδεηγκα. Να βξεζνύλ ε κέζε ηηκή, ε δηαζπνξά θαη ε απηνζπζρέηηζε

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ζη. Σ Α2. Γ Α3. 1. γ 2. ε 3. δ 4. α Β1. ΘΔΜΑ Β Οη ηειηθνί ππνινγηζηέο παίξλνπλ απνθάζεηο δξνκνιόγεζεο κόλν γηα ηα δηθά ηνπο απηνδύλακα

Διαβάστε περισσότερα

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10

ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,10,10 ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ ΘΔΜΑ 1 ο Μονάδες 5,1,1 ΓΙΑΓΩΝΙΜΑ 1 ου ΜΔΡΟΤ ΣΗ ΑΝΑΛΤΗ Α Γώζηε ηνλ νξηζκό ηεο αληίζηξνθεο ζπλάξηεζεο Β Γείμηε όηη αλ κηα ζπλάξηεζε είλαη αληηζηξέςηκε ηόηε νη γξαθηθέο παξαζηάζεηο

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2 ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ Τν Σρήκα 1 δείρλεη ηελ αιιαγή ηεο ζηάζκεο ηεο Λίκλεο Τζαλη, ζηε Σαράξα ηεο Βόξεηαο Αθξηθήο. Η Λίκλε Τζαλη εμαθαλίζηεθε ηειείσο γύξσ ζην 20.000 π.χ., θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηειεπηαίαο επνρήο ησλ

Διαβάστε περισσότερα

Image J Plugin particle tracker για παρακολούθηση της κίνησης σωματιδίων

Image J Plugin particle tracker για παρακολούθηση της κίνησης σωματιδίων Image J Plugin particle tracker για παρακολούθηση της κίνησης σωματιδίων (https://weeman.inf.ethz.ch/particletracker/) Τν Plugin particle tracker κπνξεί λα αληρλεύζεη απηόκαηα ηα ζσκαηίδηα πνπ θηλνύληαη,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 204-205 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/204 A ΟΜΑΓΑ Οδηγία: Να γράυεηε ζηο ηεηράδιο ζας ηον αριθμό κάθε μιας από ηις παρακάηφ ερφηήζεις Α.-Α.8 και

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Σχολικό έτος: 2011-2012 Καθηγήτριες: Κεφαλληνού Λουκία- Καλλία Αθηνά ΙΙ. ΟΙ ΑΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ ΑΠΟ ΣΟΤ ΠΡΟΙΣΟΡΙΚΟΤ ΥΡΟΝΟΤ ΕΩ ΚΑΙ ΣΟ Μ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΟ 1. ΕΛΛΗΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Α Κ Η Δ Ι (Έλεγχος ηης μέζης ηιμής και ηης διακύμανζης ενός δείγμαηος)

Α Κ Η Δ Ι (Έλεγχος ηης μέζης ηιμής και ηης διακύμανζης ενός δείγμαηος) 1 Α Κ Η Δ Ι (Έλεγχος ηης μέζης ηιμής και ηης διακύμανζης ενός δείγμαηος) Άζκηζη 1.(5) Οη κέζεο κεληαίεο ζεξκνθξαζίεο ηνπ Ματνπ θαηά ηα ηειεπηαία ρξόληα ζε έλα ζηαζκό δίλνληαη ζηνλ παξαθάησ πίλαθα [Πίλαθαο

Διαβάστε περισσότερα

Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ

Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πανελλαδικών εξεηάζεων Σςναπηήζειρ Επωηήζειρ Σωζηού Λάθοςρ ηων πνελλδικών εξεηάζεων 2-27 Σςνπηήζειρ Η γξθηθή πξάζηζε ηεο ζπλάξηεζεο f είλη ζπκκεηξηθή, σο πξνο ηνλ άμνλ, ηεο γξθηθήο πξάζηζεο ηεο f 2 Αλ f, g είλη δύν ζπλξηήζεηο κε πεδί νξηζκνύ

Διαβάστε περισσότερα

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12 Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάλαιο 1. Ενόηηηα 2 Πλάνο Μάρκεηινγκ. Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ. Dr. Andrea Grimm Dr. Astin Malschinger

Κεθάλαιο 1. Ενόηηηα 2 Πλάνο Μάρκεηινγκ. Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ. Dr. Andrea Grimm Dr. Astin Malschinger Κεθάλαιο 1 Ενόηηηα 2 Πλάνο Μάρκεηινγκ Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ Dr. Andrea Grimm Dr. Astin Malschinger ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2 ΠΛΑΝΟ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Κεθάιαην 1: Εξγαιεία Μάξθεηηλγθ Σπγγξαθείο: Δξ. Andrea Grimm, Δξ.

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1 - Μοπυοποίηση Κειμένου

Άσκηση 1 - Μοπυοποίηση Κειμένου Άσκηση 1 - Μοπυοποίηση Κειμένου Σηηο παξαθάησ γξακκέο εθαξκόζηε ηε κνξθνπνίεζε πνπ πεξηγξάθνπλ Γξακκή κε έληνλε γξαθή Γξακκή κε πιάγηα γξαθή Γξακκή κε ππνγξακκηζκέλε γξαθή Γξακκή κε Arial Font κεγέζνπο

Διαβάστε περισσότερα

Εςθςή ζςζηήμαηα επισειπήζεων και αξιολόγηζη

Εςθςή ζςζηήμαηα επισειπήζεων και αξιολόγηζη Εςθςή ζςζηήμαηα επισειπήζεων και αξιολόγηζη Μάθημα 11 Τμήμα Μάπκεηινγκ και Διοίκηζηρ Λειηοςπγιών Τα δηαγξάκκαηα θαηάζηαζεο (state diagrams) ρξεζηκνπνηνύληαη γηα λα βνεζήζνπλ ηνλ πξνγξακκαηηζηή λα θαηαιάβεη

Διαβάστε περισσότερα

Τν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο κεηά ηηο γηνξηέο ηνπ Πάζρα.

Τν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο κεηά ηηο γηνξηέο ηνπ Πάζρα. Οι Πανελλαδικέρ Δξεηάζειρ για ηην ειζαγωγή ζηην ηπιηοβάθμια εκπαίδεςζη θα ππαγμαηοποιηθούν ππιν ηιρ απολςηήπιερ ενδοζσολικέρ εξεηάζειρ ηων μαθηηών και ηων μαθηηπιών. Τν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα 11 Ηουνίου 2018 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΣΑΞΖ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γευηέρα Ηουνίου 08 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α. Απόδεημε ζεωξήκαηνο ζει. 99 ζρνιηθνύ βηβιίνπ. Α. α.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις)

ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα 10 Ηοσνίοσ 2019 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ. (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΠΑΝΔΛΛΑΓΗΚΔ ΔΞΔΣΑΔΗ Γ ΖΜΔΡΖΗΟΤ ΓΔΝΗΚΟΤ ΛΤΚΔΗΟΤ Γεσηέρα Ηοσνίοσ 9 ΔΞΔΣΑΕΟΜΔΝΟ ΜΑΘΖΜΑ: ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΑ ΠΡΟΑΝΑΣΟΛΗΜΟΤ (Ενδεικηικές Απανηήζεις) ΘΔΜΑ Α Α.α) Οξηζκόο ζρνιηθνύ βηβιίνπ ζει 5. Έζησ Α έλα ππνζύλνιν ηνπ.

Διαβάστε περισσότερα

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Οη Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα εθαξκόδνληαη γηα ηελ απνξξνθνύκελε ελέξγεηα από Αηνιηθά Πάξθα πνπ είλαη ζπλδεδεκέλα ζην

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ

ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΓΗΑΓΩΛΗΠΚΑ ΠΡΝ ΚΑΘΖΚΑ ΔΞΗΙΝΓΖΠ ΑΟΣΔΠ ΝΗΘΝΛΝΚΗΘΖΠ ΘΔΩΟΗΑΠ ΝΚΑΓΑ Α ΔΡΩΣΖΔΗ ΩΣΟΤ- ΙΑΘΟΤ 1. Γηα έλα αγαζό όηαλ ε ζηαζεξά γ είλαη ίζε κε ην κεδέλ ηόηε ε θακπύιε πξνζθνξάο δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ.

Διαβάστε περισσότερα

A. Αιιάδνληαο ηε θνξά ηνπ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη ηνλ αγωγό.

A. Αιιάδνληαο ηε θνξά ηνπ ξεύκαηνο πνπ δηαξξέεη ηνλ αγωγό. ΤΠΟΤΡΓΔΙΟ ΠΑΙΓΔΙΑ ΚΑΙ ΠΟΛΙΣΙΜΟΤ ΛΔΤΚΩΙΑ ΦΤΛΛΟ ΔΡΓΑΙΑ Μειέηε ηωλ παξαγόληωλ από ηνπο νπνίνπο εμαξηάηαη ε ειεθηξνκαγλεηηθή δύλακε. Τιηθά - πζθεπέο: Ηιεθηξνληθή δπγαξηά, ηξνθνδνηηθό ηάζεο, ξννζηάηεο, ακπεξόκεηξν,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΟ ΣΧΔΓΙΟ ΙΙ

ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΟ ΣΧΔΓΙΟ ΙΙ 1 Σ. Δ. Ι. ΓΤ Σ Ι Κ Η Μ Α Κ Δ Γ Ο Ν Ι Α ΥΟΛΗ ΣΔΥΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΔΦΑΡΜΟΓΩΝ Σ Μ Η Μ Α Μ Η Υ Α Ν ΟΛΟ Γ Ι Α Δξγαζηήξην Μεραλνπξγηθώλ Καηεξγαζηώλ & CAD ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΟ ΣΧΔΓΙΟ ΙΙ ΜΑΘΗΜΑ 2: Πνηόηεηα Δπηθάλεηαο Γξ. Βαξύηεο

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Καηαζθεπάδνπκε έλα νγθνκεηξηθό δνρείν από πιαζηηθό κπνπθάιη λεξνύ

Διαβάστε περισσότερα

Δπεξεπγαζία δεδομένυν εμπειπικήρ κοινυνικήρ έπεςναρ

Δπεξεπγαζία δεδομένυν εμπειπικήρ κοινυνικήρ έπεςναρ ΠΑΝΔΠΗΣΖΜΗΟ ΠΑΣΡΧΝ ΓΗΑΣΜΖΜΑΣΗΚΟ ΜΔΣΑΠΣΤΥΗΑΚΟ ΣΜΖΜΑ ΜΑΘΖΜΑΣΗΚΧΝ ΜΖΥΑΝΗΚΧΝ Ζ/Τ&ΠΛΖΡΟΦΟΡΗΚΖ «Μαζεκαηηθά ησλ Τπνινγηζηψλ θαη ησλ Απνθάζεσλ» Δπεξεπγαζία δεδομένυν εμπειπικήρ κοινυνικήρ έπεςναρ ΜΔΣΑΠΣΤΥΗΑΚΖ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 1 0,3x 0,1y x 3 3x 4y 2 4x 2y ( x 1) 6( y 1) (i) (ii)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 1 0,3x 0,1y x 3 3x 4y 2 4x 2y ( x 1) 6( y 1) (i) (ii) . Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,, 6 4 4 4 5( ) 6( ). Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα.,,,6 7. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 ( )( ) ( ) 4. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 5 4 6 7 4. 5. Να ιπζνύλ ηα ζπζηήκαηα. 59 ( )( ) ()( 5) 7 6.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 6 ο Προγράμμαηα θωηογραθικών μηχανών Επιλογέας προγραμμάηων Μαο δίλεη ηε δπλαηόηεηα λα ειέγμνπκε ην άλνηγκα δηαθξάγκαηνο θαη

Διαβάστε περισσότερα

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2 TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 Δημιουργία σελίδων και βιβλίων Έλα θαηλνύξην βηβιίν πεξηέρεη κία άδεηα ζειίδα κε έλα άδεην background. Δελ κπνξνύκε λα μερσξίζνπκε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. Β. Διερεφνηςη Εξιςώςεων. 1x είναι αδφνατθ. x 1 x 1. Άλγεβρα Α Λυκείου

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ. Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. Β. Διερεφνηςη Εξιςώςεων. 1x είναι αδφνατθ. x 1 x 1. Άλγεβρα Α Λυκείου ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α. Πρωτοβάθμιεσ Εξιςώςεισ. 1. Να λυκεί θ εξίςωςθ (x - 4) (x +5) x -5 5(x +1) - - = - - x 4 6. Να λυκεί θ εξίςωςθ x (x+1)+x(x+1)+x+1=0. Να λυκεί θ εξίςωςθ x(x -4)-x +x =0 4. Να λυκεί θ εξίςωςθ

Διαβάστε περισσότερα

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε.

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε. ΑΝΟΙΓΜΑ ΝΔΑ ΥΡΗΗ 1. Γεκηνπξγείηε ηε λέα ρξήζε από ηελ επηινγή «Παξάκεηξνη/Παξάκεηξνη Δηαηξίαο/Γηαρείξηζε Δηαηξηώλ». Πιεθηξνινγείηε ηνλ θσδηθό ηεο εηαηξίαο ζαο θαη παηάηε Enter. Σηελ έλδεημε «Υξήζεηο» παηάηε

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ. ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ.. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ..

ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ. ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ.. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ.. ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ. ΟΝΟΜΑΣΔΠΩΝΤΜΟ.. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ.. ΘΔΜΑ Α Σηηο εκηηειείο πξνηάζεηο Α.1 Α.4 λα γξάςεηε ζην ηεηξάδην ζαο ηνλ αξηζκό ηεο πξόηαζεο θαη, δίπια, ην γξάκκα πνπ αληηζηνηρεί ζηε θξάζε ε νπνία ηε ζπκπιεξώλεη

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλσση παλινδρόμησης

Ανάλσση παλινδρόμησης ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΑΣΦΑΛΙΣΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ανάλσση παλινδρόμησης Πειραιάς Το ζηαηιζηικό γραμμικό μονηέλο 6/3/ Μ. Κούηρας - Ανάλσζη Παλινδρόμηζης Tο ζηαηιζηικό γραμμικό μονηέλο κεηπραίνο παξάγνληαο ηπραίνο

Διαβάστε περισσότερα

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

1. Να ζεκεηώζεηε πνηα από ηηο επόκελεο ηαρύηεηεο είλαη κεγαιύηεξε. Α. π 1 = 30m/s Β. π 2 = 0.02km/s Γ. π 3 = 36000m/h Γ. π 4 = 144km/h.

1. Να ζεκεηώζεηε πνηα από ηηο επόκελεο ηαρύηεηεο είλαη κεγαιύηεξε. Α. π 1 = 30m/s Β. π 2 = 0.02km/s Γ. π 3 = 36000m/h Γ. π 4 = 144km/h. ΦΤΙΚΗ A ΛΤΚΔΙΟΤ ΓΙΑΡΚΔΙΑ: 10min ΣΜΗΜΑ:. ONOMA:. ΔΠΩΝΤΜΟ: ΗΜΔΡΟΜΗΝΙΑ: ΜΟΝΑΓΔ ΘΔΜΑ 1 ο ΘΔΜΑ ο ΘΔΜΑ 3 ο ΘΔΜΑ 4 ο ΤΝΟΛΟ ΘΔΜΑ A: 1. Να ζεκεηώζεηε πνηα από ηηο επόκελεο ηαρύηεηεο είλαη κεγαιύηεξε. Α. π 1 = 30m/s

Διαβάστε περισσότερα

Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα

Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα Κοιμωμικά δίκτυα (multiplex network) Έρεηε ινγαξηαζκό ζην Facebook? Έρεηε ινγαξηαζκό ζην LinkedIn? Έρεηε ινγαξηαζκό ζην Twitter? Αεροπορικές γραμμές της Ευρώπης(multiplex

Διαβάστε περισσότερα

Παπαγωγόρ Καμπύλερ Κόζηοςρ

Παπαγωγόρ Καμπύλερ Κόζηοςρ Παπαγωγόρ Καμπύλερ Κόζηοςρ 1 Δίδη καμπσλών κόζηοσς Μηα θακπύιε ζπλνιηθνύ θόζηνπο είλαη ε γξαθηθή απεηθόληζε ηεο ζπλάξηεζεο ηνπ ζπλνιηθνύ θόζηνπο ηεο επηρείξεζεο. Μηα θακπύιε κεηαβιεηνύ θόζηνπο είλαη ε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά:

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά: ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ Η Μηκή θαη ν Νηίλνο αλαξσηήζεθαλ πνην αληειηαθό πξντόλ παξέρεη ηελ θαιύηεξε πξνζηαζία ζην δέξκα ηνπο. Τα αληειηαθά πξντόληα έρνπλ έλα δείθηε αληειηαθήο πξνζηαζίαο (SPF), ν νπνίνο δείρλεη πόζν

Διαβάστε περισσότερα

Άμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access)

Άμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access) Έρνπκε απνζεθεύζεη κηα ζπιινγή αξρείσλ ζε κηα ζπλδεδεκέλε ιίζηα, όπνπ θάζε αξρείν έρεη κηα εηηθέηα ηαπηνπνίεζεο. Μηα εθαξκνγή παξάγεη κηα αθνινπζία από αηηήκαηα πξόζβαζεο ζηα αξρεία ηεο ιίζηαο. Γηα λα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΠΟΥΔΕΣ ΣΤΙΣ ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΙΙ - ΦΥΕ 0 7 Ινπλίνπ 009 Απαντήσειρ στιρ ασκήσειρ τηρ τελικήρ εξέτασηρ στιρ Σςνήθειρ Διαυοπικέρ Εξισώσειρ Αγαπηηέ θοιηηηή/ηπια,

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Δομή Παρουσιάσεων

Οργάνωση και Δομή Παρουσιάσεων Οργάνωση και Δομή Παρουσιάσεων Οη παξνπζηάζεηο κε βνήζεηα ηνπ ππνινγηζηή γίλνληαη κε πξνγξάκκαηα παξνπζηάζεσλ, όπσο ην OpenOffice.org Impress [1] θαη ην Microsoft Office PowerPoint [2]. Απηά ηα πξνγξάκκαηα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1. ρεδίαζε πλδπαζηηθνύ Κπθιώκαηνο Έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα (Κ) έρεη ηξεηο εηζόδνπο A, B θαη C θαη κία έμνδν Y Y=A B+AC Να θαηαζθεπάζεηε ην ράξηε Karnaugh. B 0

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ 1.Απηόο πνπ ζα αλαγλσξηζηεί απνπζηάδεη γηα πνιύ θαηξό. 2.Δπηζηξέθεη κε πιαζηή ηαπηόηεηα ή κεηακνξθσκέλνο. 3.Απνκνλώλνληαη ηα δύν πξόζσπα 4.Άξζε κεηακόξθσζεο 5.Απνθάιπςε 6.Ακθηβνιίεο-απνδεηθηηθά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΡΓΑΣΙΑ 1 Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν στον

Διαβάστε περισσότερα

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 10 ε : ΜΗΥΑΝΙΚΗ ΜΔΡΟ Β ΠΙΔΗ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Καξέθια θαθίξε Όξγαλα Τιηθά Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ.

Διαβάστε περισσότερα

Constructors and Destructors in C++

Constructors and Destructors in C++ Constructors and Destructors in C++ Σύνθεζη Πνιύ ζπρλά ζηε C++ κία θιάζε κπνξεί λα πεξηέρεη ζαλ κέιεδεδνκέλα αληηθείκελα άιισλ θιάζεσλ. Πνηα είλαη ε ζεηξά κε ηελ νπνία δεκηνπξγνύληαη θαη θαηαζηξέθνληαη

Διαβάστε περισσότερα