Περιεχόμενα 5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Περιεχόμενα 5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ"

Transcript

1

2 Περιεχόμενα 5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η εισαγωγή και ανάπτυξη των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών (Η/Υ) άνοιξε νέους ορίζοντες στις επιστήμες. Αναπτύχθηκαν θεωρίες προσαρμοσμένες στον Η/Υ υπό μορφή μητρώων ή σειρών καθώς και υπολογιστικές μέθοδοι για να επιλύουν προβλήματα που ήταν αδύνατον να λυθούν παλαιότερα. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (finite elements method) αναπτύχθηκε λόγω των Η/Υ και χρησιμεύει για την επίλυση προβλημάτων της Μηχανικής, της Θερμότητας, της Ρευστομηχανικής, του Ηλεκτρομαγνητισμού και άλλων. Στο παρόν βιβλίο έμφαση δίνεται κυρίως στην μεθοδολογία και επίλυση των προβλημάτων της μηχανικής των κατασκευών (structural mechanics) και κατά δεύτερο λόγο στην μετάδοση θερμότητας με αγωγιμότητα (heat conduction). Γίνεται η παραδοχή ότι το υλικό του στερεού έχει συμπεριφορά ελαστική και γραμμική, και ότι οι μετατοπίσεις και στροφές της κατασκευής είναι μικρές, όπως είναι οι περισσότερες εφαρμογές στην πράξη. Υπάρχουν πολλά παραδείγματα λυμένα με πολλά σχήματα που κάνουν το βιβλίο ευχάριστο, καθαρό, απλό και κατανοητό. Με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων λύνονται πολύ εύκολα οι υπερστατικοί φορείς (ή στατικά αόριστοι φορείς) των δικτυωμάτων δοκών και πλαισίων. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων είναι δημοφιλής, δυνατή και χρησιμοποιείται στις κατασκευές και μελέτες αεροσκαφών, πλοίων, αυτοκινήτων, παντός είδους μηχανημάτων, γεφυρών, σηράγγων, πολυκατοικιών, θεμελιώσεων, οδοστρωμάτων και άλλων εφαρμογών. Τα πεπερασμένα στοιχεία εισάγουν την νέα τεχνολογία και την επανάσταση στην επιστήμη και στην βιομηχανία, και για αυτό τον λόγο διδάσκονται ως βασικό μάθημα σε όλα τα Ανώτατα ιδρύματα, των Ηνωμένων Πολιτειών της Αμερικής, της Ευρώπης και της Ελλάδας. Eπίσης όλα τα Ανώτατα ιδρύματα, τα ερευνητικά κέντρα, οι βιομηχανίες, οι τεχνικές εταιρείες και οι μελετητές μηχανικοί, χρησιμοποιούν εμπορικά προγράμματα πεπερασμένων στοιχείων για την λύση των προβλημάτων των.

3 6 Πεπερασμένα Στοιχεία Το βιβλίο είναι χρήσιμο σε όσους θέλουν να μάθουν τα πεπερασμένα στοιχεία και τις εφαρμογές τους, τους προπτυχιακούς και μεταπτυχιακούς φοιτητές των Ανωτάτων Ιδρυμάτων της χώρας καθώς και των μηχανικών της πράξης αεροναυπηγών, μηχανολόγων, πολιτικών, ναυπηγών και γεωλόγων. Στο σημείο αυτό θεωρώ υποχρέωσή μου να εκφράσω τις θερμές μου ευχαριστίες στους εξής: Tον αδελφό μου Δρ. Χρήστο Κ. Γκότση, καθηγητή του Χημικού τμήματος στο Αριστοτέλειο Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, για την βοήθεια που μου παρείχε πνευματικά και οικονομικά κατά την διάρκεια των μεταπτυχιακών σπουδών μου, στις Ηνωμένες Πολιτείες της Αμερικής (ΗΠΑ), καθώς και για τις χρήσιμες συμβουλές του στις υπολογιστικές μεθόδους και στα θέματα της θερμότητας που διαπραγματεύομαι στο παρόν πόνημα. Τον διακεκριμένο επιστήμονα Dr. Christos C. Chamis, ο οποίος υπήρξε πνευματικός μου πατέρας στην επιστήμη κατά τη διάρκεια των οκτώ ετών που συνεργάσθηκα μαζί του στο ΝASA Glenn (ewis) Research Center, Cleveland, Ohio, USA. Ο Dr. Christos C. Chamis με την οξύνοια και ευρύτητα της σκέψης του δημιούργησε προγράμματα για τον ηλεκτρονικό υπολογιστή για τη μελέτη της Μηχανικής των Σύνθετων Υλικών των Πεπερασμένων Στοιχείων, της Βελτιστοποίησης των Συνθέτων Υλικών και Κατασκευών (Structural Optimization) και Probabilistic Approaches in Composite Structures. Τον φίλο και συνεργάτη Dr. James Guptill για τη σημαντική βοήθεια που μου προσέφερε στην Υπολογιστική Μέθοδο Ανάπτυξης Προγραμμάτων στον Η/Υ κατά τη συνεργασία μας στο ΝASA Glenn (ewis) Research Center, Cleveland, Ohio, USA. Τον φίλο και συνεργάτη καθηγητή Dr. evon Minnetyan, του τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Clarkson University, New York, USA. Τη σύζυγό μου Αλεξάνδρα και την κόρη μου Αθηνά για την ενθάρρυνση και την κατανόησή τους κατά τη διάρκεια της συγγραφής του βιβλίου μου. Τον εκδοτικό οίκο Ζήτη και το τεχνικό προσωπικό που εργάσθηκαν για τη βέλτιστη παρουσίαση του παρόντος συγγράμματος. Σέρρες, Δεκέμβριος 004 Πασχάλης Κ. Γκότσης

4 Περιεχόμενα 7 Βιογραφικά Στοιχεία του Συγγραφέα Ο Πασχάλης Κ. Γκότσης γεννήθηκε και μεγάλωσε στην Θεσσαλονίκη. Είναι έγγαμος και έχει μία κόρη. Το πήρε το δίπλωμα του Πολιτικoύ Μηχανικού, της Πολυτεχνικής Σχολής του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης και συνέχισε τις σπουδές του στην Αμερική. Με υποτροφία από τα Αμερικάνικα πανεπιστήμια απέκτησε: Tο Μάστερ της Επιστήμης (Master of Science) από το τμήμα θεωρητική Μηχανική (τμήμα Engineering Mechanics and Science), από το πανεπιστήμιο The Pennsylvania State University, University Park, State College, Pennsylvania, USA. Το αντικείμενο της έρευνας του Master Thesis ήταν Η Βελτιστοποίηση Λεπτών Κελυφωτών Κατασκευών με τη Χρήση των Πεπερασμένων Στοιχείων. Το διδακτορικό δίπλωμα (Ph.D) από το τμήμα Επιστήμη των Υλικών (Department of Μaterials Science and Engineering) από το Πανεπιστήμιο University of California, os Angeles, California, USA. Το αντικείμενο της διδακτορικής διατριβής ήταν Η ελαστο-πλαστική ανάλυση συνθέτων υλικών με την χρήση των πεπερασμένων στοιχείων. Ο συγγραφέας έχει αρκετά μεταπτυχιακά μαθήματα που αποκτήθηκαν με βαθμολογία, κατά την διάρκεια των σπουδών, ως μέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση του Μάστερ και του Διδακτορικού στα πανεπιστήμια της Aμερικής. Συνέχισε την μεταδιδακτορική του έρευνα, στο ίδιο τμήμα που πήρε το διδακτορικό του, το τμήμα της Επιστήμης των Υλικών (Department of Μaterials Science and Engineering) στο University of California, os Angeles, California, USA. Για δύο χρόνια, δίδαξε και έκανε έρευνα ως καθηγητής, στο τμήμα των Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου California State University, ong Beach, California, USA. Δίδαξε μαθήματα του κατασκευαστικού τομέα. Ως κύριος ερευνητής σε ερευνητικό πρόγραμμα χρηματοδοτήθηκε από την Αεροπορική εταιρεία TRW που εδρεύει στο os Angeles, California, USA.

5 8 Πεπερασμένα Στοιχεία Από 1 Οκτωβρίου 1990 μέχρι της 4 Ιουνίου 1998, εργάστηκε με τον τίτλο του Αεροναυπηγού μηχανικού, στην ASA Glenn (ewis) Research Center, Cleveland, Ohio, USA, στο τμήμα Μηχανικής των Κατασκευών (Structural Mechanics) του γενικού τμήματος Structures and Acoustic Division της διευθύνσεως Ερεύνης και Αναπτύξεως (Research and Development Directorate). Η θέση που κατείχε επί 8 χρόνια στην NASA ήταν μόνιμη. Όλο το διάστημα που εργάστηκε στην NASA συνεργαζόταν με τον γνωστό επιστήμονα Dr. Christos C. Chamis στην περιοχές: της Μηχανικής των Συνθέτων Υλικών (fiber composites) καθώς και κατασκευών που αποτελούνται από σύνθετα υλικά. Μοντελοποίηση της θραύσης των υλικών και των κατασκευών και δημιουργία προγραμμάτων με τα πεπερασμένα στοιχεία. Επίσης εργάστηκε σε διαφορετικά ερευνητικά προγράμματα με τα πανεπιστήμια και την βιομηχανία. Τον Ιούνιο του 1998 επέστρεψε από την Αμερική στην Ελλάδα. Από τις 8 Ιουνίου 1998 μέχρι τώρα εργάζεται ως καθηγητής στο τμήμα των Μηχανολόγων του ΤΕΙ Σερρών. Επίσης είναι διευθυντής του Κέντρου Τεχνολογικής Έρευνας στις Σέρρες. O συγγραφέας έχει πλήθος εργασιών σε διεθνή περιοδικά και διεθνή συνέδρια. Τα αντικείμενα της ερευνάς του είναι: o o o o H μηχανική των συνθέτων υλικών (fiber composite laminate materials) micromechanics και macromechanics, καθώς επίσης και η μηχανική των κατασκευών που αποτελούνται από σύνθετα υλικά (fiber composite laminate materials). Μοντελοποίηση της θραύσης α) των συνθέτων υλικών (fiber composite laminate materials) και β) των κατασκευών που αποτελούνται από σύνθετα υλικά. Η πρόβλεψη έ- ναρξης της θραύσης, της διάδοσης και της καταστροφής με την χρήση των πεπερασμένων στοιχείων. Η Βελτιστοποίηση συνθέτων υλικών καθώς και κατασκευών (Structural Optimization). Προγραμματισμός και ανάπτυξη μαθηματικών μοντέλων.

6 Περιεχόμενα 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 1.1 Εισαγωγή Η ιστορία των πεπερασμένων στοιχείων Σύντομη περιγραφή του βιβλίου Η ολική δυναμική ενέργεια ενός συστήματος Η μέθοδος του Rayleigh - Ritz Η μέθοδος του Galerkin...53 Παραδείγματα Π1.1 Ένα ελατήριο με σταθερά δύναμη F... 3 Π1. Tρία ελατήρια στην σειρά... 4 Π1.3 Σύστημα ελατηρίων... 6 Π1.4 Ράβδος με αξονικό φορτίο, αρχική παραμόρφωση και αρχική τάση (residual stress) Π1.5 Pάβδος δικτυώματος... 3 Π1.6 Rayleigh-Ritz. Μονόπακτη ράβδος Π1.7 Rayleigh-Ritz. Υπερστατικός φορέας Π1.8 Rayleigh-Ritz. Πεπερασμένα στοιχεία ράβδου Π1.9 Galerkin. Υπερστατικός φορέας Π1.10 Galerkin. Μοντέλο του Kelvin - Voight Η Άλγεβρα των Μητρώων και οι Βασικές Αρχές της Θεωρίας Ελαστικότητας.1 Η Άλγεβρα των μητρώων Θεωρία της ελαστικότητας Σχέση παραμόρφωσης - μετατόπισης Σχέση τάσης - παραμόρφωσης Αρχικές τάσεις και παραμορφώσεις. Επιρροή της θερμοκρασίας...9 Παραδείγματα Π.1 Υπολογισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων... 73

7 10 Πεπερασμένα Στοιχεία Π. Γραμμικές εξισώσεις Π.3 Οριακές συνθήκες τάσεων και μετατοπίσεων Προβλήματα μιας Διάστασης. Αξονικός Εφελκυσμός. Ράβδος σε Στρέψη 3.1 Εισαγωγή Στοιχείο με δύο κόμβους Τάσεις και παραμορφώσεις Η δυναμική ενέργεια του συστήματος Το ολικό μητρώο δυσκαμψίας του συστήματος Στοιχείο με τρεις κόμβους Θερμικά φορτία και θερμικές τάσεις Ράβδος σε στρέψη Παραδείγματα Π3.1 Συναρτήσεις μορφής και μετατοπίσεις Π3. Ράβδος με μεταβλητή διατομή Π3.3 Yπερστατικός φορέας με μηχανικό φορτίο Π3.4 Yπερστατικός φορέας με θερμικά και μηχανικά φορτία Π3.5 Περιστροφή ράβδου με σταθερή γωνιακή ταχύτητα Π3.6 Ράβδος συνδεδεμένη με ελατήριο Π3.7 Yπερστατικός φορέας σε στρέψη Δικτυώματα 4.1 Εισαγωγή Τοπικό και καθολικό σύστημα συντεταγμένων Υπολογισμός του μητρώου δυσκαμψίας Υπολογισμός των τάσεων της ράβδου Θερμικά φορτία Εξισώσεις ισορροπίας Δικτύωμα στον χώρο Παραδείγματα Π4.1 Υπερστατικό δικτύωμα Π4. Δικτύωμα με θερμικά φορτία Π4.3 Μετακίνηση στήριξης δικτυώματος

8 Περιεχόμενα Δοκοί και πλαίσια 5.1 Εισαγωγή Δυναμική ενέργεια της δοκού Υπολογισμός του μητρώου δυσκαμψίας του στοιχείου Ισοδύναμα κομβικά φορτία του στοιχείου Υπολογισμός των δυνάμεων και ροπών Ελαστικές στηρίξεις Πλαίσια στο επίπεδο Υπολογισμός των αντιδράσεων Παραδείγματα Π5.1 Ισοστατικός φορέας Π5. Υπερστατικός φορέας με συνεχές φορτίο στο ένα άνοιγμα Π5.3 Υπερστατικός φορέας με ομοιόμορφο φορτίο Π5.4 Πλαίσιο... Π5.5 Υπερστατικός φορέας με ελατήριο στο ελεύθερο άκρο... 7 Π5.6 Υπερστατικός φορέας με ελατήριο στο μέσον της δοκού Προβλήματα δυο διαστάσεων. Τρίγωνο με σταθερή παραμόρφωση 6.1 Εισαγωγή Εμβαδικές συντεταγμένες. Ισοπαραμετρικό στοιχείο Σχέση παραμόρφωσης - μετατόπισης Το μητρώο δυσκαμψίας του τριγωνικού στοιχείου Υπολογισμός των ισοδύναμων κομβικών δυνάμεων Εξισώσεις ισορροπίας της κατασκευής Υπολογισμός των τάσεων στο στοιχείο 1,, Παραδείγματα Π6.1 Συναρτήσεις μορφής για τριγωνικό στοιχείο Π6. Iακωβιανό μητρώο τριγωνικού στοιχείου Π6.3 Υπολογισμός του μητρώου παραμόρφωσης Β, της επίπεδης πλάκας Π6.4 Μηχανικά φορτία και τάσεις σε πλάκα Π6.5 Θερμικές και μηχανικές τάσεις... 73

9 1 Πεπερασμένα Στοιχεία 7. Τετράπλευρα και τριγωνικά στοιχεία υψηλότερης τάξης. Αριθμητική ολοκλήρωση 7.1 Εισαγωγή Ισοπαραμετρικό τετράπλευρο στοιχείο Συναρτήσεις μορφής ή συναρτήσεις παρεμβολής...80 Παραμόρφωση και τάση Δυναμική ενέργεια του σώματος Μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου Διανυσματικά φορτία του στοιχείου Δυνάμεις βαρύτητας Επιφανειακές δυνάμεις Αρχικές τάσεις (residual stresses) Αριθμητική ολοκλήρωση με τη μέθοδο του Gauss Quadrature...9 Υπολογισμός του μητρώου δυσκαμψίας... 9 Υπολογισμός των τάσεων και παραμορφώσεων Στοιχεία υψηλότερης τάσης Τετράπλευρο στοιχείο δευτέρου βαθμού (quadratic element)...30 Tριγωνικό στοιχείο δευτέρου βαθμού (quadratic triangle element) Παραδείγματα Π7.1 Υπολογισμός ολοκληρώματος μιας διάστασης Π7. Υπολογισμός των τάσεων με εσωτερική ή εξωτερική παρεμβολή Π7.3 Υπολογισμός των συναρτήσεων μορφής τετραπλεύρου στοιχείου με 8 και 9 κόμβους αντιστοίχως Π7.4 Αριθμητική ολοκλήρωση σε τριγωνικό στοιχείο με τρεις κόμβους Π7.5 Υπολογισμός του k e στοιχείου με εννέα κόμβους Π7.6 Υπολογισμός καθολικών και τοπικών συντεταγμένων Π7.7 Υπολογισμός του J, B και σ σε τετράπλευρο στοιχείο Π7.8 Υπολογισμός ισοδυνάμου κομβικού φορτίου, επιφανειακού φορτίου τετραπλεύρου στοιχείου Π7.9 Υπολογισμός του μητρώου Β τετραπλεύρου στοιχείου Π7.10 Τετράπλευρο στοιχείο φορτιζόμενο με θερμικό φορτίο Π7.11 Οκτακομβικό στοιχείο φορτιζόμενο με επιφανειακό φορτίο Π7.1 Υπολογισμός σύνθετης κατασκευής Π7.13 Στοιχείο με πέντε κόμβους και διδόμενες τάσεις

10 Περιεχόμενα Συμμετρικά εκ περιστροφής σώματα με συμμετρικά εκ περιστροφής φορτία 8.1 Εισαγωγή Εξισώσεις ελαστικότητας Ισοπαραμετρικό τριγωνικό στοιχείο Μητρώο δυσκαμψίας του τριγωνικού στοιχείου Ισοδύναμα κομβικά φορτία Υπολογισμός τάσεων Εφαρμογές Παραδείγματα Π8.1 Κύλινδρος μεγάλου μήκους με εσωτερική πίεση Π8. Υπολογισμός τάσεων σε κύλινδρο με εσωτερική πίεση Στερεά στο χώρο. Ισοπαραμετρικά πεπερασμένα στοιχεία 9.1 Εισαγωγή Τετράεδρο πεπερασμένο στοιχείο Μητρώο δυσκαμψίας του πεπερασμένου στοιχείου Πρισματικό ή εξάεδρο στοιχείο (brick element) Η δυναμική των κατασκευών 10.1 Eισαγωγή Δυναμικές εξισώσεις του σώματος Κινητική ενέργεια Υπολογισμός της μάζας στρεπτικού πεπερασμένου στοιχείου Συμβιβαστό ή συνεπές μητρώον μάζας του στοιχείου (consistent mass matrix) Στοιχείο ράβδου μίας διάστασης Στοιχείο δικτυώματος Τριγωνικό στοιχείο για επίπεδο τάση και επίπεδο παραμόρφωση Τριγωνικό στοιχείο, σώματος και φορτίου συμμετρικά εκ περιστροφής Τετράπλευρο στοιχείο Στοιχείο δοκού σε κάμψη Στοιχείο πλαισίου

11 14 Πεπερασμένα Στοιχεία Τετραεδρικό στοιχείο Συγκεντρωμένο η διακριτό μητρώο μάζας στοιχείου (lumped mass) Πεπερασμένο στοιχείο ράβδου μιας διάστασης Στοιχείο δικτυώματος Στοιχείο δοκού Ελεύθερη ταλάντωση Ιδιότητες των ιδιοδιανυσμάτων (eigenvectors) Παραδείγματα Π10.1 Αξονική ταλάντωση ελεύθερης ράβδου Π10. Αξονική ταλάντωση πακτωμένης ράβδου Π10.3 Αξονικό και συνεχές δυναμικό φορτίο Π10.4 Ράβδος σε στρέψη Π10.5 Δικτύωμα Π10.6 Ελεύθερη ταλάντωση δικτυώματος... 4 Π10.7 Ταλάντωση δοκού σε κάμψη Π10.8 Ελεύθερη ταλάντωση μονώροφου πλαισίου Π10.9 Ελεύθερη ταλάντωση διώροφου πλαισίου Π10.10 Δοκός σε κάμψη συνδεόμενος με ελατήρια και στερεό δίσκο Προβλήματα Πεδίων. Η μέθοδος του Galerkin. Μεταφορά Θερμότητας. Στρέψη ράβδου τυχαίας διατομής 11.1 Εισαγωγή Mεταφορά θερμότητας Mεταφορά θερμότητας με αγωγιμότητα, σε μια διάσταση Πεπερασμένα στοιχεία μίας διάστασης Συναρτησιακή μέθοδος (Functional approach) Η μέθοδος του Galerkin για τον υπολογισμό της ροής θερμότητας με αγωγιμότητα σε μια διάσταση Ροή θερμότητας σε λεπτά πτερύγια. Πρόβλημα μιας διάστασης Μεταφορά θερμότητας με αγωγή στο επίπεδο. Η εξίσωση της θερμικής διάχυσης Τριγωνικό ισοπαραμετρικό πεπερασμένο στοιχείο Η μέθοδος του Galerkin για τον υπολογισμό της ροής θερμότητας με αγωγιμότητα σε δύο διαστάσεις Στρέψη σε ράβδο με αυθαίρετη διατομή

12 Περιεχόμενα 15 Ισοπαραμετρικό τριγωνικό στοιχείο H μέθοδος του Galerkin για τη λύση του προβλήματος της στρέψης Πίνακας Παραδείγματα στα προβλήματα πεδίων Παραδείγματα Π11.1 Poή θερμότητας με αγωγιμότητα σε τοίχο με διαφορετικά υλικά. Πρόβλημα μιας διάστασης Π11. Ροή θερμότητας με αγωγιμότητα σε ομοιογενή πλάκα εκτιθέμενη σε θερμό αέρα. Πρόβλημα μιας διάστασης Π11.3 Υπολογισμός της ροής θερμότητας σε πτερύγιο αεροπλάνου. Πρόβλημα μιας διάστασης Π11.4 Mεταφορά θερμότητας σε ράβδο μεγάλου μήκους και ορθογωνικής διατομής. Πρόβλημα μιας διάστασης Π11.5 Ράβδος ορθογωνικής διατομής φορτιζόμενη με στρεπτική ροπή. Πρόβλημα δύο διαστάσεων Προβλήματα με περιορισμούς στις οριακές συνθήκες 1.1 Εισαγωγή Η μέθοδος απαλειφής Η μέθοδος ποινής (penalty method) Σύνθετοι περιορισμοί (multipoint constraints) Παραδείγματα Π1.1 Μέθοδος απαλειφής. Ράβδος με περιορισμό στην μετατόπιση Π1. Μέθοδος ποινής. Ράβδος με περιορισμό στην μετατόπιση Π1.3 Μέθοδος ποινής. Άκαμπτη άτρακτος εντός σωλήνα Π1.4 Μέθοδος ποινής. Εύκαμπτη άτρακτος εντός σωλήνα Π1.5 Λοξή στήριξη - κύλιση Π1.6 Άκαμπτη ράβδος εξαρτώμενη από εύκαμπτους ράβδους Επίπεδες πλάκες σε κάμψη 13.1 Συμπεριφορά της πλάκας. Η θεωρία του Kirchhoff για λεπτές πλάκες Πεπερασμένα στοιχεία για λεπτή πλάκα Παχιές πλάκες, θεωρία του Mindlin

13 16 Πεπερασμένα Στοιχεία 13.4 Ισοπαραμετρικό στοιχείο παχειάς πλάκας Υπολογισμός των τάσεων του στοιχείου Ισοδύναμα κομβικά φορτία του στοιχείου Οριακές συνθήκες Παραδείγματα Π13.1 Υπολογισμός ροπών λόγω θερμοκρασιακής μεταβολής Π13. Σχέση μεταξύ βέλους w και d Βιβλιογραφία Ευρετήριο Όρων

14 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 17 1 o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 9.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Υπάρχουν διαφορετικοί μέθοδοι (ή διαφορετικές φιλοσοφίες) για την ανάπτυξη της θεωρίας των πεπερασμένων στοιχείων. Στο παρόν βιβλίο αναπτύσσονται οι παρακάτω δύο μέθοδοι: H ενεργειακή μέθοδος, βασίζεται στην ολική δυναμική ενέργεια του σώματος (ή της κατασκευής) (total potential energy), μαζί με την μέθοδο των μετατοπίσεων, την οποία θα αναπτύξουμε στα επόμενα κεφάλαια. Η μέθοδος είναι απλή και δεν απαιτεί την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων και χρησιμοποιείται σε όλα τα κεφάλαια. Επίσης στα προβλήματα της μεταφοράς θερμότητας χρησιμοποιείται η ενεργειακή μέθοδος, όταν υπάρχει η εξίσωση της δυναμικής ενέργειας, η οποία μετονομάζεται και λέγεται συναρτησιακή ενέργεια (functional) Η ενεργειακή μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί, όταν υπάρχει η δυνατότητα να εκφρασθεί η ολική δυναμική ενέργεια του προβλήματος στα στερεά ή η functional στα προβλήματα της μεταφοράς θερμότητας. Αν δεν γνωρίζουμε την ολική δυναμική ενέργεια, τότε χρησιμοποιούνται άλλοι μέθοδοι, όπως η μέθοδος του Galerkin. Η μέθοδος του Galerkin ανήκει στην γενική κατηγορία των Σταθμικών Υπολοίπων (methods of Weighted Residuals). H μέθοδος Galerkin είναι γενική, δυνατή και εφαρμόζεται απ ευθείας στην επίλυση των διαφορικών εξισώσεων. Στο κεφάλαιο 11 χρησιμοποιείται η μέθοδος του Galerkin για τον υπολογισμό των προβλημάτων της θερμότητας καθώς και του προβλήματος της στρέψης ράβδου με τυχαία διατομή. Σκοπός του παρόντος βιβλίου είναι η χρήση των πεπερασμένων στοιχείων, στην επίλυση προβλημάτων:

15 18 Κεφάλαιο 1 στη μηχανική των κατασκευών (structural mechanics) και στη μηχανική των στερεών (solid mechanics). Στο κεφάλαιο 11, μελετάται επίσης η διάδοση της θερμότητας με αγωγιμότητα. Ο τρόπος επιλύσεως προβλημάτων με χρήση των πεπερασμένων στοιχείων είναι σχεδόν ο ίδιος σε όλες τις περιοχές που εφαρμόζεται. Για παράδειγμα για την επίλυση μιας κατασκευής σχεδιάζουμε πρώτα την κατασκευή κατόπιν την χωρίζουμε σε μικρά γεωμετρικά σχήματα π.χ. τρίγωνα ή τετράπλευρα, τα οποία λέγονται πεπερασμένα στοιχεία. Οι ιδιότητες του υλικού και οι εξισώσεις που χαρακτηρίζουν το υλικό εξετάζονται στα πεπερασμένα στοιχεία σαν συνάρτηση των αγνώστων μετατοπίσεων στις κορυφές του πεπερασμένου στοιχείου (μέθοδος των μετατοπίσεων). Λαμβάνουμε υπ όψιν τις οριακές συνθήκες καθώς και τα φορτία (μηχανικά και θερμικά) και καταλήγουμε στις εξισώσεις ισορροπίας της κατασκευής. Η λύση του συστήματος των εξισώσεων ως προς τους αγνώστους, οι οποίοι είναι οι κομβικές μετατοπίσεις είναι η ζητούμενη προσεγγιστική λύση. Γνωστών των κομβικών μετατοπίσεων υπολογίζονται στα διάφορα σημεία της κατασκευής οι τάσεις (σ), οι παραμορφώσεις (ε) και οι αντιδράσεις (R) των στηρίξεων. Λόγοι ανάπτυξης της μεθόδου Προβλήματα που δεν μπορούσαν να τα αγγίξουν οι επιστήμονες έως τώρα και τα θεωρούσαν άλυτα, με την χρήση του ηλεκτρονικού υπολογιστή (Η/Υ) και των υπολογιστικών μεθόδων όπως των πεπερασμένων στοιχείων τα λύνουν σε μικρό χρόνο. Στις Ηνωμένες πολιτείες της Αμερικής, στην Ευρώπη, και στις ανεπτυγμένες χώρες, η βιομηχανία, ο στρατός και το κράτος χρηματοδοτούν τα α- νώτατα ιδρύματα, τα ερευνητικά κέντρα και τις ερευνητικές εταιρείες, με σκοπό την ανάπτυξη προγραμμάτων. Η ανάγκη της βιομηχανίας και των προβλημάτων της πράξης, οδήγησε την ανάπτυξη γραφικών προγραμμάτων, τα οποία συνοδεύουν την ανάλυση-υπολογισμό που παρέχουν τα πεπερασμένα στοιχεία. Ο συνδυασμός των γραφικών με την ανάλυση-υπολογισμό των πεπερασμένων στοιχείων υψώνουν την επιστήμη, την απλοποιούν, την κάνουν προσιτή και δημιουργική (state of the art).

16 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 19 Προϊόν της συστηματικής εργασίας των ερευνητών είναι η ανάπτυξη των εμπορικών προγραμμάτων για τον Η/Υ. Τα εμπορικά προγράμματα αποτελούνται από δύο μεγάλα προγράμματα: Tα γραφικά και την ανάλυση. α) Γραφικά προγράμματα Τα γραφικά προγράμματα χρησιμοποιούνται πρίν από την ανάλυση (Preproccesing) και μετά την ανάλυση (Post-proccesing). Pre-proccesing. Με την χρήση του γραφικού προγράμματος το σώμα ή η κατασκευή σχεδιάζεται και κατόπιν διακριτοποιείται στα πεπερασμένα στοιχεία. Post-proccesing. Μετά την ανάλυση γίνονται γραφικές παραστάσεις των αποτελεσμάτων όπως είναι η παραμόρφωση του σώματος, η διανομή των τάσεων εντός του σώματος και άλλων. β) Πρόγραμμα για την ανάλυση-υπολογισμό Το πρόγραμμα της ανάλυσης χρησιμοποιείται για την μελέτη ποικίλων προβλημάτων που μπορεί να αφορούν την μηχανική των στερεών ή των κατασκευών, στα ρευστά, στην θερμότητα, στην ακουστική, στην κατεργασία των μετάλλων, στον ηλεκτρισμό και ηλεκτρομαγνητισμό και σε πολλές άλλες περιοχές. Όλα τα ανώτατα ιδρύματα, τα ερευνητικά κέντρα, η βιομηχανία, οι τεχνικές εταιρείες, οι μηχανικοί της πράξης, οι προ-πτυχιακοί και οι μεταπτυχιακοί φοιτητές, χρησιμοποιούν εμπορικά προγράμματα για τον Η/Υ όπως για παράδειγμα είναι τα παρακάτω: ANSYS, ABAQUS, NASTRAN, MARC, ADINA, SAP90 COSMOS για την μοντελοποίηση (ή προσομοίωση) προβλημάτων. Τα προγράμματα παρέχουν υπορουτίνες (subroutines), ώστε ο χρήστης να μπορεί να προσθέσει το δικό του πρόγραμμα συνήθως σε γλώσσα προγραμματισμού FOR- TRAN ή C, για να προσθέσει πληροφορίες που δεν υπάρχουν στο εμπορικό πρόγραμμα, όπως για παράδειγμα να τροποποιήσει, να βελτιώσει ή να προσθέσει νέες καταστατικές εξισώσεις (constitutive equations). Yπάρχουν επίσης ειδικά προγράμματα πεπερασμένων στοιχείων, όπως για παράδειγμα είναι τα παρακάτω: HITCAN (Μetal matrix composites analyzer) και CODSTRAN (polymer composites analyzer),

17 0 Κεφάλαιο 1 τα οποία έχουν αναπτυχθεί στο ερευνητικό κέντρο NASA Glenn (ewis) Research Center, Cleveland, Ohio, USA υπό την επίβλεψη και δημιουργού αυτών Dr. Christos C. Chamis. Τα προγράμματα αυτά, χρησιμοποιούν τα πεπερασμένα στοιχεία και την μηχανική των συνθέτων υλικών (fiber composite materials). Γιατί πρέπει να γνωρίζουμε τα πεπερασμένα στοιχεία; Η θεωρητική γνώση των πεπερασμένων στοιχείων βοηθά να αναπτύξει ο φοιτητής, ο ερευνητής ή ο μηχανικός της πράξης την αυτοπεποίθηση και την ικανότητα να λύνει, να λειτουργεί και να ερμηνεύει σωστά τα αποτελέσματα που λαμβάνει από ένα πρόγραμμα, και αν χρειασθεί να γράψει το δικό του πρόγραμμα. 1. Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Το 1909 ο Γερμανός μαθηματικός Ritz ανέπτυξε τις αρχές της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. Το 1915 ο Ρώσος μαθηματικός Galerkin ανέπτυξε σε βάθος την θεωρία των πεπερασμένων στοιχείων. Η απουσία του ηλεκτρονικού υπολογιστή καθυστέρησε την διάδοση και περαιτέρω ανάπτυξη της μεθόδου και παρέμεινε στάσιμη μέχρις της ανακαλύψεως του υπολογιστή. Με τον ηλεκτρονικό υπολογιστή η μέθοδος έγινε γνωστή και διαδόθηκε στους ερευνητές. Η ιδέα της ανάπτυξης της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων γεννήθηκε στην αεροναυπηγική από την ανάγκη της εύρεσης λύσης στα δύσκολα προβλήματα που αντιμετώπιζαν στην κατασκευή των αεροσκαφών. Το 1941 ο Hrenikoff εισήγαγε την καλούμενη framework method (μέθοδο του πλαισίου) με την οποία ένα επίπεδο ελαστικό μέσο μπορούσε να α- ντικατασταθεί με ένα ισοδύναμο σύστημα ράβδων και δοκών. Το 1943 ο Γερμανός μαθηματικός Courant έλυσε το πρόβλημα της στρέψης χρησιμοποιώντας τριγωνικά στοιχεία με την αρχή της ελαχίστης δυναμικής ενέργειας (minimum potential energy) και την ονόμασε Rayleigh-Ritz μέθοδο. Επειδή τότε δεν υπήρχε ο ηλεκτρονικός υπολογιστής, η θεωρία του Courant δεν μπορούσε να εφαρμοσθεί και ξεχάστηκε μέχρι που ανακαλύφθηκε ο υπολογιστής και οι επιστήμονες ξανά θεμελίωσαν την μέθοδο. Το 1955 ο Έλληνας Ι. Αργύρης έγραψε ένα βιβλίο με θέμα Ενεργειακά

18 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 1 θεωρήματα και η μέθοδος των μητρώων και εισήγαγε τις αρχές των πεπερασμένων στοιχείων. Το 1956 οι Αμερικανοί Τurner, Clough, Martin και Top υπολόγισαν το μητρώο δυσκαμψίας της ράβδου και άλλων στοιχείων. Το 1960 ο Ι. Αργύρης και ο Kelsey δημοσίευσαν την εργασία τους η ο- ποία βασιζόταν στις αρχές των πεπερασμένων στοιχείων. Το 1960 ο Clough καθηγητής του πανεπιστημίου University of California, Berkeley της Αμερικής, χρησιμοποίησε για πρώτη φορά το όνομα Πεπερασμένα στοιχεία (Finite elements) στην εργασία του και από τότε όλοι χρησιμοποιούν την παραπάνω ονομασία. Το 1967 οι Zienkiewicz και Chung έγραψαν το πρώτο βιβλίο των πεπερασμένων στοιχείων. Από τότε ένας μεγάλος αριθμός δημοσιεύσεων και βιβλίων ακολούθησε με αντικείμενο την εφαρμογή των πεπερασμένων στοιχείων στην μηχανική, στα ρευστά, τη θερμότητα, την ακουστική, την κατεργασία των μετάλλων, τον ηλεκτρισμό και ηλεκτρομαγνητισμό και σε πολλές άλλες επιστήμες. 1.3 ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Στο βιβλίο χρησιμοποιείται η δυναμική ενέργεια (Potential energy) του συστήματος και η μέθοδος των μετατοπίσεων για την ανάπτυξη της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. Η ανάπτυξη της μεθόδου εφαρμόζεται στα στερεά και στις κατασκευές. Εξαίρεση αποτελεί το κεφάλαιο 11, στο οποίο εφαρμόζεται η μέθοδος του Gallerkin για την λύση των προβλημάτων της θερμότητας και του προβλήματος της στρέψης τυχαίας διατομής. Η παρούσα ανάπτυξη των πεπερασμένων στοιχείων βασίζεται στις παραδοχές της ελαστικής και γραμμικής συμπεριφοράς των υλικών, και των μικρών μετατοπίσεων και στροφών της κατασκευής. To βιβλίο είναι χρήσιμο για όσους θέλουν να μάθουν τα πεπερασμένα στοιχεία, τους φοιτητές των ανωτάτων ιδρυμάτων και τους μηχανικούς της πράξης, και καλύπτει τις περισσότερες ειδικότητες των μηχανικών καθώς και των γεωλόγων που ασχολούνται με προβλήματα μηχανικής (rock mechanics). Στο βιβλίο υπάρχουν πολλά σχήματα και αρκετά παραδείγματα τα οποία λύνονται με λεπτομέρεια και σαφήνεια.

19 Κεφάλαιο 1 Ας σημειωθεί ότι το κείμενο και οι εξισώσεις έχουν γραφεί από τον ίδιο τον συγγραφέα του βιβλίου, όπως επίσης και τα σχήματα τα οποία έγιναν με τη χρήση του γραφικού προγράμματος Corel Draw 10. Σύντομα θα περιγραφούν οι παρακάτω μέθοδοι: η μέθοδος της δυναμικής ενέργειας, η ιστορική μέθοδος του Rayleigh-Ritz και η μέθοδος του Galerkin. 1.4 Η ΟΛΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΕΝΌΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. α) Σύστημα ελατηρίων Η δυναμική ενέργεια Π ενός συστήματος είναι: Π = U W (1.4.1) όπου : U = η ενέργεια παραμόρφωσης W = το εξωτερικό μηχανικό έργο Για παράδειγμα ένα ελατήριο με σταθερά ελατηρίου K, στηρίζεται στο ένα άκρο και στο άλλο άκρο ασκείται δύναμη P. Λόγω του φορτίου το ελατήριο επιμηκύνεται κατά x, και έχουμε και 1 Kx U = ( Kx) x =, W = Px Kx Π = - Px. Συντηρητικό λέγεται ένα σύστημα όταν το μηχανικό έργο που παράγεται είναι ανεξάρτητο από τον δρόμο που απαιτείται να πάει από την αρχική θέση Α, στην τελική θέση Β. Η αρχή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας είναι: Σε ένα συντηρητικό σύστημα, από το πλήθος των επιτρεπτών μετατοπίσεων, εκείνες που αντιστοιχούν στην ισορροπία του συστήματος ελαχιστοποιούν την ολική δυναμική ενέργεια του συστήματος. Έστω x i, i = 1,, n είναι οι μετατοπίσεις ενός συστήματος οι οποίες εκφράζουν και τους βαθμούς ελευθερίας. Το σύστημα λέμε ότι είναι σε ι- σορροπία όταν η ολική ενέργεια του συστήματος Π(x) γίνει ελάχιστη. Το

20 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 3 Π(x) γίνεται ελάχιστο όταν είναι: Π = 0, i = 1,,3,, n εξισώσεις ισορροπίας (1.4.) x i Οι n εξισώσεις της (1.4.) αποτελούν της εξισώσεις ισορροπίας του συστήματος, οι οποίες υπό μορφή μητρώου είναι: Ï Π Ô x 1 Ô Ï0 Ô Π Ô x 0 Ô Ô Ô Ô Ì = Ì Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Π Ó0Ô Ô x Ô Ó n εξισώσεις ισορροπίας (1.4.3) Παράδειγμα 1.1: Ένα ελατήριο με σταθερά δύναμη F Δίδεται ένα ελατήριο με σταθερά k, και εφαρμόζεται μια δύναμη F στο ελεύθερο άκρο του, σχήμα Π1.1 Να ευρεθεί η εξίσωση ισορροπίας του συστήματος. k A x F k A Σχήμα Π1.1 Ελατήριο με σταθερή δύναμη F Λύση To σύστημα έχει ένα βαθμό ελευθερίας, την μετατόπιση x του ελατηρίου. Η δυναμική ενέργεια Π του συστήματος είναι: Π = U W 1 = kx xf

21 4 Κεφάλαιο 1 Η δυναμική ενέργεια Π γίνεται ελάχιστη όταν ελαχιστοποιήσουμε την Π ως προς το x και είναι Π = 0 x Η εξίσωση ισορροπίας προκύπτει από την παραπάνω εξίσωση (α) και είναι: kx F = 0 ή kx = F είναι η εξίσωση ισορροπίας του συστήματος. (α) Παράδειγμα 1.: Τρία ελατήρια στη σειρά Να υπολογισθούν οι εξισώσεις ισορροπίας και οι μετατοπίσεις x 1, x και x 3, του συστήματος των ελατηρίων σχήμα Π1.. Δίνονται οι σταθερές των ελατηρίων k i από i = 1,, 3 και τα συγκεντρωμένα φορτία F 1, F και F 3. x 1 x x 3 k 1 k k 3 Λύση F 1 F F 3 Σχήμα Π1. Τρία ελατήρια στην σειρά Το σύστημα έχει 3 βαθμούς ελευθερίας, τις μετατοπίσεις x 1, x και x 3. Η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι: Π = U- W ή Π = 1 kx xf 1 1 (το ελατήριο k 1, έχει ολική επιμήκυνση x 1 ) 1 + k (x - x 1 ) - x F (το ελατήριο k, έχει ολική επιμήκυνση x x 1 ) 1 + k(x x) - xf 3 3 (το ελατήριο k 3, έχει ολική επιμήκυνση x 3 x ) Η δυναμική ενέργεια Π γίνεται ελάχιστη όταν ελαχιστοποιήσουμε την Π ως προς τους 3 βαθμούς ελευθερίας x 1, x και x 3 και είναι:

22 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 5 Π = 0, i = 1,,3 x i Οι εξισώσεις ισορροπίας προκύπτουν από το παραπάνω σύστημα των εξισώσεων και είναι: Π = k 1- k (x - x 1 ) - F 1 = (k1+ k )x1-kx -F1 = 0 x 1 ή (k1+ k )x1- kx = F1 (α) Π = k (x - x 1 ) - k 3 (x 3 - x ) - F = x =- kx + (k + k)x -kx - F= ή - kx 1+ (k + k)x 3 - kx 3 3 = F (β) Π = k(x x) - F 3 = 0 x - kx 3 + kx 3 3 = F3 (γ) Οι εξισώσεις ισορροπίας (α), (β) και (γ) υπό μορφή μητρώων είναι Èk1+ k -k 0 Ïx1 ÏF1 Í Ô Ô Ô Ô - k k + k - k Ìx = ÌF Í 3 3 Í 0 -k3 k Ô 3 x Ô Ô 3 F Ô 3 Î Ó Ó ή K D= F (δ) Èk1+ k -k 0 όπου: Κ = Í Í - k k + k3 -k3, το μητρώο δυσκαμψίας του συστήματος ÍÎ 0 -k3 k 3 Το Κ είναι συμμετρικό μητρώο και είναι διαστάσεων 3 3 (όπου 3 είναι οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος). Ïx1 Ô Ô D = Ìx, το διάνυσμα των αγνώστων μετατοπίσεων Ô Ó x3 Ô

23 6 Κεφάλαιο 1 και F = ÏF1 Ô Ô ÌF, το διάνυσμα του εξωτερικού φορτίου, Ô Ó F3 Ô Για να υπολογίσουμε το διάνυσμα των αγνώστων μετατοπίσεων D, από το σύστημα (δ) έχουμε: D = Κ 1 F όπου Κ 1 = ο αντίστροφος πίνακας του Κ Ï 1 Ïx Èk k k 0 F Ô Ô Í Ô Ô Ìx = Í - k k + k3 -k3 ÌF Ôx Ô 3 0 k3 k Ô 3 F Ô Ó ÍÎ - Ó 3 Από τις παραπάνω εξισώσεις υπολογίζονται οι μετατοπίσεις x 1, x και x 3. Γενική παρατήρηση Όσον αφορά την δυναμική ενέργεια ενός συστήματος μπορεί να γραφεί υπό γενική μορφή: 1 T T Π = DKD-DF (1.4.4) όπου: K είναι το μητρώον δυσκαμψίας, D είναι το διάνυσμα των μετατοπίσεων και F είναι το διάνυσμα των εξωτερικών φορτίων της κατασκευής. Από την μερική παραγώγιση Π = 0 (1.4.5) D καταλήγουμε στις εξισώσεις ισορροπίας: K D = F (1.4.6) Παράδειγμα 1.3: Σύστημα ελατηρίων Να υπολογισθούν οι εξισώσεις ισορροπίας της κατασκευής σχήμα Π1.3. Δίνονται οι σταθερές των ελατηρίων k i από i = 1,, 4 και τα συγκεντρωμένα φορτία F 1 και F 3.

24 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 7 k k 3 x x 3 k 4 F 3 x 1 Λύση k 1 Σχήμα Π1.3 Σύστημα ελατηρίων Το σύστημα έχει 3 βαθμούς ελευθερίας, τις μετατοπίσεις x 1, x και x 3. Η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι: Π = U W Η ενέργεια παραμόρφωσης του συστήματος U είναι το άθροισμα των ενεργειών παραμόρφωσης των τεσσάρων ελατηρίων U = U1+ U + U3 + U4 1 όπου U1 = k 1(x1- x ) (το ελατήριο k 1, έχει ολική επιμήκυνση x 1 x ) 1 U = kx (το ελατήριο k, έχει ολική επιμήκυνση x ) 1 U3 = k 3(x3 - x ) (το ελατήριο k 3, έχει ολική επιμήκυνση x 3 x ) 1 U4 = k4x3 (το ελατήριο k 4, έχει ολική επιμήκυνση x 3 ) Το έξωτερικό έργο είναι W = x1f1+ x3f3 Η δυναμική ενέργεια Π γίνεται Π = k 1(x1- x ) + kx + k 3(x3 - x ) + k4x3 -x1f1-x3f3 U Οι εξισώσεις ισορροπίας του συστήματος υπολογίζονται από τις μερικές παράγωγους της Π ως προς τους 3 βαθμούς ελευθερίας x 1, x και x 3 και είναι: F 1 W

25 8 Κεφάλαιο 1 Έχουμε: Π = 0, i = 1,,3 x i Π = k(x 1 1- x ) - F 1 = 0 x 1 Π x 3 ( ) =-k(x - x ) + kx -k x - x = Π = k(x x) + kx F 3 = 0 x Οι παραπάνω εξισώσεις ισορροπίας υπό μορφή μητρώων είναι: È k1 -k1 0 Ïx1 ÏF1 Í k1 k1 k k3 k Ô Ô Ô Ô Í Ìx = Ì0 Í 0 k3 k3 k Ô 4 x Ô Ô 3 F Ô Î Ó Ó K 3 3 D 31 F 31 (α) Οι άγνωστες μετατοπίσεις x 1, x και x 3 υπολογίζονται από την λύση του συστήματος (α). Παρατηρούμε ότι το μητρώο Κ του συστήματος είναι συμμετρικό της τάξεως 3 3, όπου 3 είναι οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος. β) Ελαστικό σώμα Σε ένα σώμα όταν ασκούνται φορτία, αναπτύσσονται τάσεις και παραμορφώσεις. Θεωρούμε ότι το σώμα έχει συμπεριφορά ελαστική και γραμμική και αποτελείται από ισότροπο υλικό. Η σχέση της τάσης-παραμόρφωσης (σ ε), σε ένα σημείο εντός του σώματος (Κεφάλαιο ) είναι: {σ} = [Ε] {ε} [Ε] {ε ο } + {σ ο } (1.4.7) όπου {σ} = [σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx ] Τ οι τάσεις [Ε] = το μητρώο ελαστικότητας ή το μητρώο του υλικού είναι συμμετρικό μητρώο, διαστάσεων 6 6 {ε} = [ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx ] Τ οι παραμορφώσεις {ε ο } οι αρχικές παραμορφώσεις και

26 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 9 {σ ο } οι αρχικές τάσεις (residual stresses) π.χ. λόγω θερμικής κατεργασίας μετάλλου H ολική ενέργεια παραμόρφωσης ανά μονάδα όγκου είναι U o = {σ} Τ Êέργο F ˆ {ε} ή 3 Ë Áόγκο (1.4.8) και εκφράζει το έργο των εσωτερικών τάσεων και αποταμιεύεται σαν ενέργεια σε ένα ελαστικό σώμα. Η μεταβολή της du o είναι: T { } { } du = σ dε = σ dε + σ dε τ dγ o x x y y zx zx Παραγωγίζουμε την παραπάνω σχέση και έχουμε: Uo Uo Uo = σ x, = σ y,..., = τzx ε ε γ x y zx Υπό μορφή μητρώων είναι: Ï Uo Ì = { σ} = [ E]{} ε - [ Ε]{ εο} + { σo} Ó ε Ολοκληρώνουμε την παραπάνω σχέση ως προς την μεταβλητή {ε} και έχουμε: 1 Τ Τ Τ U o = { ε} [ Ε]{ ε} { ε} [ Ε]{ ε ο} + { ε} { σ ο} (1.4.9) Η ολική ενέργεια παραμόρφωσης του σώματος όγκου V είναι U = Ú V V U dv o Ê 1 Τ Τ Τ ˆ = Ú Á {ε} [Ε]{ε} - {ε} [Ε]{ε ο } + {ε} {σ ο } dv Ë (1.4.10) Το εξωτερικό έργο W δημιουργείται από τα εξωτερικά φορτία που ασκούνται επί του σώματος όγκου V και είναι T T T Ú{ } { } Ú { } { } { } { } (1.4.11) W = u F dv+ u T ds+ D P V S

27 30 Κεφάλαιο 1 όπου {u} Τ = [u v w] οι μετατοπίσεις ενός σημείου ως προς τους άξονες Χ, Υ και Ζ και είναι u = u(x, y, z ), v = v(x, y, z) και z = z(x, y, z) {F} = [F x F y F z ] Τ F οι δυνάμεις πεδίου (δύναμη ανά όγκο, 3 ), Όπως για παράδειγμα οι δυνάμεις της βαρύτητας και οι φυγοκεντρικές δυνάμεις: {T} = [T x T y T z ] Τ F οι δυνάμεις επιφανείας (δύναμη ανά επιφάνεια, ) S = εμβαδόν επιφανείας σώματος {P} = συγκεντρωμένο φορτίο στους κόμβους (μονάδα δύναμη, F) {D} οι κομβικές μετατοπίσεις (μονάδα μήκος, ) Η ολική δυναμική ενέργεια Π δίνεται από την εξίσωση (1.4.1) είναι: Π = U W Ú ή Π = UdV o - W = Ú V V Ê 1 Τ Τ Τ ˆ Á {ε} [Ε]{ε} - {ε} [Ε]{ε ο } + {ε} {σ ο } dv - Ë T T T Ú{u}{F}dV Ú {u}{t}ds {D}{P} (1.4.1) V S Η εξίσωση (1.4.1) είναι γενική και θα την χρησιμοποιήσουμε στα περισσότερα κεφάλαια του βιβλίου. Ακολουθούν παραδείγματα. Παράδειγμα 1.4: Ράβδος με αξονικό φορτίο και με προϋπάρχουσες σο και εο Δίδεται η ράβδος του σχήματος Π1.4, με εμβαδόν διατομής Α, μέτρο ελαστικότητας Ε και μήκος. Στο ελεύθερο άκρο ασκείται συγκεντρωμένο φορτίο P κατά την αξονική κατεύθυνση της ράβδου. Η ράβδος έχει προυπάρχουσα τάση (residual stress) σ ο και ανηγμένη παραμόρφωση ε ο. Να υπολογισθεί η επιμήκυνση D στο άκρο της ράβδου, καθώς και η αναπτυσσόμενη τάση σ x.

28 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 31 Ε, Α σ, ο ε, ο Ε, Α D P X Σχήμα Π1.4 Ράβδος με αρχική παραμόρφωση ε ο, αρχική τάση σ ο (residual stress) και με αξονικό φορτίο Ρ. Λύση Η ολική δυναμική ενέργεια της ράβδου δίνεται από την (1.4.15) και είναι: Ê 1 Τ Τ Τ ˆ Π = Ú Á ε Εε - ε Εεο + ε σο dv-dp (1) Ë V Αντικαθιστούμε όπου ε x = D / στην (1) και έχουμε Ê 1D D D ˆ Π = Ú Á E- Eε ο + σο dv-dp Ë V Ê 1D D D ˆ = Á E- Eε ο + σο Α-DP Ë Η εξίσωση ισορροπίας προκύπτει από τη σχέση Π = 0 D Π Ê1 DE 1 1 ˆ ή = Á - Eε ο + σο A - P = 0 D Ë P D = AE + ε Ε ή 0 σ ο H τάση σ x δίδεται από την σχέση (1.4.7) D P σ χ=εε Eε ο+σ ο =Ε Eε ο+σ ο = A

29 3 Κεφάλαιο 1 Παράδειγμα 1.5: Ράβδος δικτυώματος Στη ράβδο δικτυώματος ij ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις σχήμα Π1.5α. Στον κόμβο i ασκούνται οι δυνάμεις p i και q i, και στον κομβο j οι δυνάμεις p j και q j.. Δίδονται τα εξής στοιχεία της ράβδου: το μήκος, η διατομή Α, το μέτρο ελαστικότητας Ε, η γωνία θ και ο συντελεστής θερμικής διαστολής α. v j, q j j Y v i, q i Α, Ε u j, p j i θ u i, p i Δ = (u j u i ) cosθ + (v j v i ) sinθ ε = Δ / σ = Εε = Ε(Δ / ) X θ = 0 u i, p i i Α, Ε, j u j, p j X θ = 0 Δ = u j u i ε = Δ / = (u j u i ) / σ = Εε = Ε(u j u i )/ Σχήμα Π1.5 Ράβδος δικτυώματος α) σε γωνία θ και β) σε γωνία θ=0. α) Να ευρεθούν: οι εξισώσεις ισορροπίας, το μητρώο δυσκαμψίας της ράβδου, οι κομβικές μετατοπίσεις u i, v j, u j και v j και η παραμόρφωση και η τάση. β) Όταν η γωνία είναι θ=0 να ευρεθούν το μητρώο δυσκαμψίας της ράβδου, η παραμόρφωση και η τάση.

30 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 33 γ) Όταν είναι θ=0 και επιπλέον των μηχανικών φορτίων έχουμε μεταβολή της θερμοκρασίας κατά Τ ο βαθμούς, να ευρεθεί η παραμόρφωση και η τάση. Λύση Η ράβδος έχει 4 βαθμούς ελευθερίας, γιατί υπάρχουν 4 μετατοπίσεις οι ε- ξής: στον κόμβο i είναι οι u i, v j, και στον κόμβο j οι u j και v j, σχήμα Π1.5α. Η ολική δυναμική ενέργεια της ράβδου είναι: Π = U W (1) όπου W = piui + qivi + pjuj+ qjvj το εξωτερικό έργο των δυνάμεων () U η εσωτερική ενέργεια της ράβδου, όγκου V = A, Ê ΔˆÊΔˆ AE Δ U = σ ε V = ( Eε) ε V = ÁE ( A) = Ë Á Ë H μεταβολή του μήκους της ράβδου Δ είναι Δ = (u j u i ) cosθ +(v j v i ) sinθ = (u j u i )c + (v j v i )s όπου c = cosθ και s = sinθ. Αντικαθιστούμε το Δ στην U και είναι U = ΑΕ ((u j u i )c +(v j v i )s) (4) Αντικαθιστούμε την () και (3) στην (1) έχουμε Π = ΑΕ ((u j u i )c + (v j v i )s) p i u i q i v i p j u j q j v j (5) Οι εξισώσεις ισορροπίας είναι 4 όσοι είναι και οι βαθμοί ελευθερίας και είναι οι εξής: Π Π Π Π = 0, = 0, = 0, = 0 (6) u v u v i i j j Από την (5) και (6) έχουμε: Π AE =0, ( u j c u i c v j sc vsc) i p i ui = Π AE = 0, (- u cs + u cs - v s + v s ) = q v i j i j i i (3)

31 34 Κεφάλαιο 1 Π u j Π v j AE = 0, (u c - u c + v sc - v sc) = p j i j i j AE = 0, (u cs - u cs + v s - v s ) = q j i j i j Όπου c = cosθ και s = sinθ (7) ή α) Οι παραπάνω εξισώσεις ισορροπίας γράφονται υπό μορφή πινάκων u v u v i i j j È c cs -c -sc Ïui Ïpi Í Ô v AE cs s cs s i q Í - - Ô Ô Ô iô Í Ì c cs c sc u = Ì j p j Í- - Ô Ô Ô Ô Í Ô cs s cs s vj Ô Ô qj Ô - - Ó Ó Î d, 4 1 F, 4 1 K d = F K, 4 4 Από την εξίσωση ισορροπίας (8) υπολογίζονται οι άγνωστες κομβικές μετατοπίσεις u i, v i, u j και v j. Το μητρώον δυσκαμψίας K είναι συμμετρικό της τάξεως 4 4. u v u v i i j j È c cs -c -sc Í AE Í cs s -cs s K = Í Í-c -cs c sc Í Î-cs -s cs s (8) όπου c = cosθ και s = sinθ (9) Παρατήρηση Το μητρώο δυσκαμψίας (stiffness matrix) στην ελληνική βιβλιογραφία το ονομάζουν μητρώο ακαμψίας ή και μητρώο στιβαρότητας. Η παραμόρφωση ε είναι ε = Δ/ = [(u j u i )cosθ + (v j v i ) sinθ] / H τάση σ είναι

32 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 35 σ = Εε = Ε(u j u i ) cosθ + (v j v i ) sinθ]/ β) Όταν θ = 0 o (c = cos0 o = 1 και s = sin0 o = 0) σχήμα Π1.5, η ράβδος έχει βαθμούς ελευθερίας που αντιστοιχούν στις οριζόντιες μετατοπίσεις u i και u j. Απαλείφουμε τις γραμμές και τις στήλες που αντιστοιχούν στις κατακόρυφες μετατοπίσεις v i και v j εξίσωση (8) και έχουμε ui uj AE È 1-1 Ô Ïu p i Ô Ï i Í 1 1 Ì = Ì u p Î- ÔÓ j Ô ÔÓ jô Το μητρώο δυσκαμψίας της ράβδου για θ=0 o είναι ui uj AE È 1-1 K = Í -1 1 Î H μεταβολή του μήκους της ράβδου Δ είναι Δ = u j u i η παραμόρφωση λόγω του συγκεντρωμένου φορτίου είναι: ε = Δ/ = (u j u i )/ η τάση είναι: σ = Εε = Ε(u j u i )/. (10) (11) γ) Η παραμόρφωση ε λόγω των φορτίων και της μεταβολής της θερμοκρασίας κατά Τ ο είναι: ε = ε - ε = (u j u i ) / ατ ο φορτίο Η τάση είναι: σ = σ φορτίο Τ ο - σ = Ε(u j u i )/ ΕαΤ ο. Τ ο 1.5 Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ RAYEIGH-RITZ H μέθοδος του Rayleigh-Ritz είναι μια γενική μέθοδος. Στο παρόν κεφάλαιο θα εφαρμοσθεί η μέθοδος του Rayleigh-Ritz με την χρήση της ολικής δυναμικής ενέργειας.

33 36 Κεφάλαιο 1 α) Η κλασική μέθοδος του Rayleigh-Ritz Θεωρούμε ότι έχουμε ένα σώμα (ή μια κατασκευή) που έχει ελαστική συμπεριφορά, ασκούνται δυνάμεις και θέλουμε να υπολογίσουμε τις μετατοπίσεις του σώματος. Με την κλασική μέθοδο του Rayleigh-Ritz, οι μετατοπίσεις u, v και w οι οποίες είναι παράλληλες ως προς τους άξονες X, Y και Z θεωρούμε ότι δίνονται προσεγγιστικά από τις σχέσεις: l u = Â a f, όπου f = f ( x, y, z ), i = 1,...,l (1.5.1) i= 1 m j= 1 i i v b g, = Â όπου ( ) n w c h, k= 1 j k j = Â όπου ( ) k i j i g = g x, y,z, j = 1,..., m (1.5.) k j h = h x, y,z, k = 1,..., n (1.5.3) όπου: f,g, i j h k συνήθως είναι πολυώνυμα, a,b i j και c k είναι άγνωστοι και θα υπολογισθούν παρακάτω. k Οι προσεγγιστικές λύσεις των u, v και w πρέπει να είναι κινηματικά επιτρεπτές, δηλαδή να ικανοποιούν τις κινηματικές οριακές συνθήκες (τις μετατοπίσεις). Η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι της μορφής: Π = Π(a,...,a,b,...,b,c,...c ), 1 l 1 m 1 n και έχουμε τις l+m+n εξισώσεις ισορροπίας: Π = 0, i = 1,..., l a i Π = 0, j = 1,..., m b j Π = 0, k = 1,...,n c k (1.5.4α) (1.5.4β) (1.5.4γ) Aπό το πλήθος των l+m+n εξισώσεων, υπολογίζονται οι l+m+n άγνωστοι a,b i j και c k.

34 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 37 Παράδειγμα 1.6: Rayleigh-Ritz, Μονόπακτη ράβδος Δίδεται ράβδος μήκους, διατομής Α και μέτρου ελαστικότητας Ε. Η ράβδος στο ένα άκρο είναι πακτωμένη ενώ στο άλλο είναι ελεύθερη. Ασκείται φορτίο κατά μήκος της ράβδου q = cx (δύναμη/μήκος) όπου c είναι μια σταθερά με μονάδες δύναμη ανά μήκος στο τετράγωνο, σχήμα Π1.6. Να υπολογισθεί η μετατόπιση και αναπτυσσόμενη τάση στην ράβδο. Η συμπεριφορά της ράβδου είναι ελαστική και γραμμική. q=cx δύναμη/μήκος x X Λύση Σχήμα Π1.6 Ράβδος με συνεχές φορτίο. Η ολική δυναμική ενέργεια της ράβδου Π είναι: Π = U W όπου: W = Ú qudx και q = c x o U = Ú U dv η ενέργεια παραμόρφωσης (1) V o Η U o είναι η ενέργεια παραμόρφωσης ανά μονάδα όγκου. Για την περίπτωση της ράβδου είναι: 1 1 o x x ( x) 1 Ê U σ ε Eε ε du ˆ = = x = E Ë Á dx. Αντικαθιστούμε την U o από την παραπάνω εξίσωση στην (1) και θέτουμε όπου dv = Adx έχουμε: 1 Êduˆ U = Ú EÁ Adx Ëdx o ( )

35 38 Κεφάλαιο 1 Άρα o 0 1 Êduˆ Π = EÁ Adx - cxu dx Ë dx Ú Ú () Σκοπός είναι να υπολογίσουμε την άγνωστη μετατόπιση u. Υποθέτουμε ότι η μετατόπιση u ορίζεται από μία συνάρτηση, και βάση αυτής λύνουμε το πρόβλημα. Για να εφαρμοσθεί η μέθοδος του Rayleigh-Ritz, πρέπει η συνάρτηση της μετατόπισης u να είναι επιτρεπτή συνάρτηση, δηλαδή πρέπει να ικανοποιεί τις κινηματικές οριακές συνθήκες (γεωμετρικές συνθήκες), αλλά δεν υποχρεούται να ικανοποιεί τις φυσικές οριακές συνθήκες (δυνάμεις, ροπές, τάσεις). Θα εξετάσουμε ξεχωριστά διάφορες επιτρεπτές συναρτήσεις και θα συγκρίνουμε τα αποτελέσματά τους. Οι παρακάτω περιπτώσεις θα εξετασθούν u = ax u = a 1 x + a x u = a 1 x + a x + a 3 x 3 u = a 1 x + a x + a 3 x a m x m (γραμμική μορφή) (παραβολική μορφή) (κυβική μορφή) (πολυώνυμο m βαθμού) Άγνωστοι είναι οι συντελεστές a, a 1, a, a m τους οποίους και θα υπολογίσουμε παρακάτω. Στο σχήμα Π1.4 στο αριστερό μέρος της ράβδου, x=0 έχουμε πάκτωση, αρα η κινηματική ή γεωμετρική οριακή συνθήκη είναι: u=0. Παρατηρούμε ότι οι παραπάνω συναρτήσεις είναι επιτρεπτές συναρτήσεις γιατί ικανοποιούν την παραπάνω κινηματική οριακή συνθήκη, δηλαδή για x=0 είναι u=0. 1) Δοκιμή με u = ax (3) Η συνάρτηση u είναι επιτρεπτή συνάρτηση γιατί είναι u=0 για x=0. Η u δεν ικανοποιεί την φυσική οριακή συνθήκη σ=0 για x=, αλλά δεν πειράζει γιατί δεν απαιτείται να ικανοποιείται η συνθήκη. Αντικαθιστούμε στην Π όπου u = ax και έχουμε E dax Π= Adx dx EA c = a 3 a cxaxdx

36 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 39 Η εξίσωση ισορροπίας υπολογίζεται από τη σχέση: Π = a 0 ή ΕΑ c a - = 0 3 c Άρα a =, και από την (3) έχουμε ότι η μετατόπιση είναι: 3AE Êc x ˆ d du Á Ë 3AE c Η oρθή τάση σ είναι: σ = Eε = E = E = dx dx 3A 3 u= c 3AE x ) Δοκιμή με u = a 1 x +a x (4) Αντικαθιστούμε την τιμή της (4) στη () έχουμε E d(a1x + ax ) Adx cx (a1x ax )dx dx 0 0 Π= + 3 ( 1 ) E = a + ax Adx (cax + cax)dx ( ) EA = a + 4a a x + 4a x dx (ca x + ca x )dx EA 4 = a + aa+ a c a c a Οι εξισώσεις ισορροπίας του συστήματος είναι: Π = 0 a 1 1 και Π = 0 a Π EA = 0, ( 1 ) a c a + a - = c ή AE(a1 + a) = (5.α) 1 Παρόμοια Π EA Ê = 0, 4 3ˆ c Áa1 + a - = 0 a Ë

37 40 Κεφάλαιο c ή AE(a1 + a ) = (5.β) 3 1 Υπό μορφήν μητρώων οι εξισώσεις (5.α) και (5.β) γίνονται: 3 Ï 1 4c È Ô Ô AE 4 3 Î 3 c ÔÓ1 Ô Í Ïa1 Ô 1 Ô = Í Ì Ì Ó a Ô 4 Ô Ïa1 c Ï7 και έχουμε: Ì = Ì Óa 1AE Ó-3 Αντικαθιστούμε τις παραπάνω τιμές των a 1 και a στην (4) έχουμε c u = (7x 3x ) 1AE Η τάση στην ράβδο είναι σ=ε du c (7 6x) dx = 1A 3) Δοκιμή με u = a 1 x+a x +a 3 x 3 (6) Εφαρμόζουμε την μέθοδο του Rayleigh-Ritz και ευρίσκουμε ότι c c a =, a 1 = 0 και a3 = - AE 6AE αντικαθιστούμε τις παραπάνω τιμές στην εξίσωση (6) έχουμε: c 3 u = (3 x- x ) 6AE Η υπολογισθείσα τιμή της u είναι η ακριβής λύση, και συμπίπτει με την αναλυτική λύση. du c Η τάση είναι: σ = Eεx = Ε = ( - x ) dx A 4) Δοκιμή με u = a 1 x + a x + a 3 x a m x m (7) Εφαρμόζουμε την μέθοδο του Rayleigh-Ritz και ευρίσκουμε ότι c c a =, a 1 = 0, a3 = - και a 4 =... = am = 0 AE 6AE Αυτό σημαίνει ότι αν το πολυώνυμο της τρίτης τάξεως δίνει ακριβή λύση, τότε οι συντελεστές του πολυωνύμου με υψηλότερους όρους είναι μηδέν και συνεπώς δεν χρειάζεται να εξετάζουμε πολυώνυμα υψηλότερης τάξης του τρία.

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18

Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Οι συγγραφείς... 18 1 Θεμελιώδεις έννοιες... 19 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 19 1.2 ΙΣΤΟΡΙΚΟ... 19 1.3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ... 20 1.4 ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ... 20 1.5 ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ...

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

Πλαστική Κατάρρευση Δοκών

Πλαστική Κατάρρευση Δοκών Πλαστική Κατάρρευση Δοκών ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σταδιακή Μελέτη Πλαστικής Κατάρρευσης o Παράδειγμα 1 (ισοστατικός φορέας) o Παράδειγμα 2 (υπερστατικός φορέας) Αμεταβλητότητα Φορτίου Πλαστικής Κατάρρευσης Προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 24-27 Αρχή υνατών Έργων (Α Ε) Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 και Τρίτη, 9 Νοεµβρίου, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα Θέματα Εξαμήνου - Matlab

Προτεινόμενα Θέματα Εξαμήνου - Matlab ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑ ΟΜΟΤΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΤΗΡΙΟ ΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΤΙΕΙΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ Ακαδ. Έτος: 2012-2013 Μάθημα: Εφαρμογές Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Τρίτη, 27/11/2012 ιδάσκοντες:

Διαβάστε περισσότερα

Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooke:

Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooke: Άσκηση Μ Σπειροειδές ελατήριο Νόμος του Hooe και εξίσωση δυνάμεων Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooe: Οι ελαστικές τάσεις και οι παραμορφώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι των δυνάµεων Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1

ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι των δυνάµεων Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι επίλυσης υπερστατικών φορέων: Μέθοδοι των δυνάµεων Τρίτη, 16, Τετάρτη, 17, Παρασκευή 19 Τρίτη, 23, και Τετάρτη 24 Νοεµβρίου 2004 Πέτρος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α Β. Κουμούσης Καθηγητής ΕΜΠ ΑΘΗΝΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 998 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... Ενεργειακές Αρχές της Μηχανικής... 5 Αρχή των Δυνατών Έργων... 5 Αρχή της Ελάχιστης Ολικής

Διαβάστε περισσότερα

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τµήµα Αυτοµατισµού Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Ειδικά θέµατα Ανάλυσης συστηµάτων Σύνθεσης συστηµάτων ελέγχου Μελέτης στοχαστικών συστηµάτων. Καλλιγερόπουλος Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΚΟΥΝΤΑΣ Δ. ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΣΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης CreatveCommons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ.

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ. ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ:Μ.ΠΗΛΑΚΟΥΤΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ B ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ. 1. (2.5) Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης

Ηλεκτρομαγνητισμός. Ηλεκτρικό δυναμικό. Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρομαγνητισμός Ηλεκτρικό δυναμικό Νίκος Ν. Αρπατζάνης Ηλεκτρικό δυναμικό Θα συνδέσουμε τον ηλεκτρομαγνητισμό με την ενέργεια. Χρησιμοποιώντας την αρχή διατήρησης της ενέργειας μπορούμε να λύνουμε διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2015-16 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 18/9/2014 ΕΙΣΑΓΩΓΗ_ΚΕΦ. 1 1 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Διδάσκων Γεράσιμος Κουρούκλης Καθηγητής (Τμήμα Χημικών Μηχανικών). (gak@auth.gr,

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομο Βιογραφικό v Πρόλογος vii Μετατροπές Μονάδων ix Συμβολισμοί xi. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

Σύντομο Βιογραφικό v Πρόλογος vii Μετατροπές Μονάδων ix Συμβολισμοί xi. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Περιεχόμενα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σύντομο Βιογραφικό v Πρόλογος vii Μετατροπές Μονάδων ix Συμβολισμοί xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 1.1 Θερμοδυναμική και Μετάδοση Θερμότητας 1 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-2. Ισοστατικότητα

Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-2. Ισοστατικότητα Εισαγωγικές Έννοιες Ισοστατικότητα Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-2 Ισοστατικός (ή στατικά ορισμένος) λέγεται ο φορέας που ο προσδιορισμός της εντατικής του κατάστασης είναι δυνατός βάσει μόνο των

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου.

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Μ3 Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα προσδιοριστεί η σταθερά ενός ελατηρίου χρησιμοποιώντας στην ακολουθούμενη διαδικασία τον νόμο του Hooke και τη σχέση της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ενότητα 6: Διπλά Ολοκληρώματα Δρ. Περικλής Παπαδόπουλος Τμήμα Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε Κάντε κλικ για

Διαβάστε περισσότερα

Σύµβολα. Ελληνικοί χαρακτήρες. γ σταθερά δυναµικής χαλάρωσης

Σύµβολα. Ελληνικοί χαρακτήρες. γ σταθερά δυναµικής χαλάρωσης Σύµβολα Ελληνικοί χαρακτήρες α γωνία (σε µοίρες) του κάθε ελάσµατος µε το οριζόντιο επίπεδο a i, b ι διαστήµατα α 1,α 2..α n γενικευµένες συντεταγµένες (πολυωνύµων µετατοπίσεων) α 1,..., α 5 σταθεροί συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή... 1 1.2 Λύση ΔΕ, αντίστροφο πρόβλημα αυτής... 3 Ασκήσεις... 10 1.3 ΔΕ πρώτης τάξης χωριζομένων μεταβλητών... 12 Ασκήσεις... 15 1.4 Ομογενείς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΦΟΡΕΑ. 3δ=3*6=18>ξ+σ=5+12=17. Άρα το αντίστιχο δικτύωμα είναι μια φορά κινητό.

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΦΟΡΕΑ. 3δ=3*6=18>ξ+σ=5+12=17. Άρα το αντίστιχο δικτύωμα είναι μια φορά κινητό. 1 Α.Π.Θ.- ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ - ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ - ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΘΕΜΑ 1o Για τον φορέα του σχήματος, να υπολογιστούν και σχεδιαστούν τα πλήρη διαγράμματα Μ όλων των στοιχείων του φορέα, λόγω ταυτόχρονης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ- ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ NAVIER STOKES ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΔΥΝΑΜΕΩΝ ΣΕ ΕΝΑΝ ΑΠΕΙΡΟΣΤΟ ΟΓΚΟ ΡΕΥΣΤΟΥ Στο κεφάλαιο αυτό θα εξετάσουμε την ισορροπία των δυνάμεων οι οποίες ασκούνται σε ένα τυχόν σωματίδιο ρευστού.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 :

ΦΥΕ 14 5η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-05-08 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Aσκηση 2 : ΦΥΕ 14 5 η ΕΡΓΑΣΙΑ Παράδοση 19-5-8 ( Οι ασκήσεις είναι βαθµολογικά ισοδύναµες) Άσκηση 1 : Συµπαγής κύλινδρος µάζας Μ συνδεδεµένος σε ελατήριο σταθεράς k = 3. N / και αµελητέας µάζας, κυλίεται, χωρίς να

Διαβάστε περισσότερα

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός)

Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) 4 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Επαναληπτικός ιαγωνισμός) Κυριακή, 5 Απριλίου, 00, Ώρα:.00 4.00 Προτεινόμενες Λύσεις Άσκηση ( 5 μονάδες) Δύο σύγχρονες πηγές, Π και Π, που απέχουν μεταξύ τους

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΚΗ 1 ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Παράδειγμα 1.1

ΣΤΑΤΙΚΗ 1 ΔΥΝΑΜΕΙΣ. Παράδειγμα 1.1 ΣΤΤΙΚΗ 1 ΥΝΜΕΙΣ Στατική είναι ο κλάδος της μηχανικής που μελετά την ισορροπία των σωμάτων. Κατά την μελέτη δεχόμαστε ότι τα σώματα δεν παραμορφώνονται από τις δυνάμεις που ασκούνται σ αυτά. Οι παραμορφώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια)

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Υποχωρήσεις Στηρίξεων Μέθοδος των Δυνάμεων: Οι υποχωρήσεις στηρίξεων, η θερμοκρασιακή μεταβολή και τα κατασκευαστικά λάθη προκαλούν ένταση στους υπερστατικούς φορείς. Η

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Ι. Στις ερωτήσεις 1-4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα

Κεφάλαιο 3 Πολλαπλά Ολοκληρώματα Κεφάλαιο Πολλαπλά Ολοκληρώματα Διπλά Ολοκληρώματα. Έστω ότι η f ( είναι, ) ορισμένη σε ένα ορθογώνιο χωρίο : a b, c d d ΔA (, ) Δ c Δ a b Το οποίο διαμερίζουμε σε ορθογώνια υποχωρία (, ). Σχηματίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2010

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2010 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 010 ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ (Ι) ΠΡΑΚΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Μάθημα: Βασικά Στοιχεία Εφαρμοσμένης Μηχανικής

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Lab. MEchanics Applied TECHNICAL UNIVERSITY OF CRETE ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι -ΣΤΑΤΙΚΗ 1 η Συνέχεια διαλέξεων B Μέρος 1 ΒΑΣΙΚΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15. 10. Εσχάρες... 17

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15. 10. Εσχάρες... 17 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15 10. Εσχάρες... 17 Γενικότητες... 17 10.1 Κύρια χαρακτηριστικά της φέρουσας λειτουργίας... 18 10.2 Στατική διάταξη και λειτουργία λοξών γεφυρών... 28 11. Πλάκες...

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1.

ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ. Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ. 1. ΤΕΙ ΠΑΤΡΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΝΤΟΧΗΣ ΥΛΙΚΩΝ Γεώργιος Κ. Μπαράκος Διπλ. Αεροναυπηγός Μηχανικός Καθηγητής Τ.Ε.Ι. ΚΑΜΨΗ 1. Γενικά Με τη δοκιμή κάμψης ελέγχεται η αντοχή σε κάμψη δοκών από διάφορα

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17

Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 Περιεχόμενα Ευχαριστίες... 16 Δύο λόγια από την συγγραφέα... 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών... 19 1.1 Σύνολα αριθμών... 19 1.2 Αλγεβρική δομή του R... 20 1.2.1 Ιδιότητες πρόσθεσης...

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Δ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 5 ΙΟΥΝΙΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΠΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΣΗΜΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ. 3.1 Στο σχήμα φαίνεται μία πόρτα και οι δυνάμεις που δέχεται. Ροπή ως προς τον άξονα z z έχει η δύναμη:

ΟΡΟΣΗΜΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ. 3.1 Στο σχήμα φαίνεται μία πόρτα και οι δυνάμεις που δέχεται. Ροπή ως προς τον άξονα z z έχει η δύναμη: 3.1 Στο σχήμα φαίνεται μία πόρτα και οι δυνάμεις που δέχεται. Ροπή ως προς τον άξονα z z έχει η δύναμη: α. F 1 β. F 2 γ. F 3 δ. F 4 3. 2 Ένα σώμα δέχεται πολλές ομοεπίπεδες δυνάμεις. Τότε: α. οι ροπές

Διαβάστε περισσότερα

α. Μόνο η ορμή του συστήματος των σωμάτων. β. Η ορμή και η κινητική ενέργεια του κάθε σώματος.

α. Μόνο η ορμή του συστήματος των σωμάτων. β. Η ορμή και η κινητική ενέργεια του κάθε σώματος. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΓΝΩΣΗ ΘΕΜΑ 1 1. Σε μια ελαστική κρούση δύο σωμάτων διατηρείται: α. Μόνο η ορμή του συστήματος των σωμάτων. β. Η ορμή και η κινητική ενέργεια του κάθε σώματος.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 1.2 ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ 1. Τι λέμε δύναμη, πως συμβολίζεται και ποια η μονάδα μέτρησής της. Δύναμη είναι η αιτία που προκαλεί τη μεταβολή της κινητικής κατάστασης των σωμάτων ή την παραμόρφωσή

Διαβάστε περισσότερα

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση

Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση 4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r

w w w.k z a c h a r i a d i s.g r Πως εφαρμόζουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας στα στερεά σώματα Πριν δούμε την μεθοδολογία, ας θυμηθούμε ότι : Για να εφαρμόσουμε την αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας (Α.Δ.Μ.Ε.) για

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας Περιεχομένων 7

Πίνακας Περιεχομένων 7 Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος...5 Πίνακας Περιεχομένων 7 1 Εξισώσεις Ροής- Υπολογιστική Μηχανική Ρευστών...15 1.1 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΡΕΥΣΤΩΝ.....15 1.1.1 Γενικά θέματα. 15 1.1.2 Υπολογιστικά δίκτυα...16

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 15 ΙΟΥΝΙΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΣΠΥΡΙΔΩΝΑ ΣΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΟΥ ΠΥΡΙΔΩΝΑ ΧΟΛΙΚΗ ΧΡΟΝΙΑ 2011-2012 ΓΡΑΠΤΕ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕ ΕΞΕΤΑΕΙ ΦΥΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΗ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 31-05-2012 ΔΙΑΡΚΕΙΑ: 07.45 10.15 Οδηγίες 1. Το εξεταστικό δοκίμιο αποτελείται από 9 σελίδες.

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες

1.3 Συστήματα γραμμικών εξισώσεων με ιδιομορφίες Κεφάλαιο Συστήματα γραμμικών εξισώσεων Παραδείγματα από εφαρμογές Παράδειγμα : Σε ένα δίκτυο (αγωγών ή σωλήνων ή δρόμων) ισχύει ο κανόνας των κόμβων όπου το άθροισμα των εισερχόμενων ροών θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΧΗΜΑΤΩΝ

ΑΛΕΞΑΝΔΡΕΙΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΧΗΜΑΤΩΝ 2. ΣΤΑΤΙΚΗ Να χαραχθούν τα διαγράμματα [Ν], [Q], [M] στη δοκό του σχήματος: Να χαραχθούν τα διαγράμματα [Ν], [Q], [M] στον φορέα του σχήματος: Ασκήσεις υπολογισμού τάσεων Άσκηση 1 η (Αξονικός εφελκυσμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 28 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 15 Δεκεμβρίου, 2013 Ώρα: 10:00-13:00 Οδηγίες: 1) Το δοκίμιο αποτελείται από πέντε (5) σελίδες και πέντε (5) θέματα. 2) Να απαντήσετε σε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΙΔΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΙΔΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΕΙΔΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΙΑ ΠΟΛΙΤΙΚΟΥΣ ΜΗΧΑΝΙΚΟΥΣ Νικόλαος Ι. Ιωακειμίδης Ομότιμος Καθηγητής Πολυτεχνικής Σχολής Πανεπιστημίου Πατρών ΠΑΤΡΑ 2014 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Μαρία Χ.Γουσίδου-Κουτίτα Επίκουρη Καθηγήτρια Τμήματος Μαθηματικών Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ 2004 Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από τη συγγραφέα ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014

ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 ΦΥΣ. 211 Τελική Εξέταση 10-Μάη-2014 Πριν ξεκινήσετε συµπληρώστε τα στοιχεία σας (ονοµατεπώνυµο, αριθµό ταυτότητας) στο πάνω µέρος της σελίδας αυτής. Για τις λύσεις των ασκήσεων θα πρέπει να χρησιµοποιήσετε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΥΧΟΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ METAΛΛΙΚΟΥ ΠΑΤΑΡΙΟΥ

ΤΕΥΧΟΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ METAΛΛΙΚΟΥ ΠΑΤΑΡΙΟΥ ΕΡΓΟ : ΡΥΘΜΙΣΗ ΒΑΣΕΙ Ν.4178/2013 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗΣ ΜΕΤΑΛΛΙΚΟΥ ΠΑΤΑΡΙΟΥ ΘΕΣΗ : Λεωφόρος Χαλανδρίου και οδός Παλαιών Λατομείων, στα Μελίσσια του Δήμου Πεντέλης ΤΕΥΧΟΣ ΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΕΠΑΡΚΕΙΑΣ METAΛΛΙΚΟΥ ΠΑΤΑΡΙΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ

2.3 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΠΑΛΑΙΟΛΟΓΟΥ ΠΑΥΛΟΣ.ptetragono.gr Σελίδα. ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Να βρεθεί το μέτρο των μιγαδικών :..... 0 0. 5 5 6.. 0 0. 5. 5 5 0 0 0 0 0 0 0 0 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ Αν τότε. Αν χρειαστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση

ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθμό της ερώτησης και το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΕΝΤΡΟ ΒΑΡΟΥΣ-ΡΟΠΕΣ Α ΡΑΝΕΙΑΣ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Για τον υπολογισµό των τάσεων και των παραµορφώσεων ενός σώµατος, που δέχεται φορτία, δηλ. ενός φορέα, είναι βασικό δεδοµένο ή ζητούµενο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες

Κεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ- ΥΝΑΜΕΙΣ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΚΑΙ ΣΤΟ ΧΩΡΟ Στη συνέχεια θα δοθούν ορισμένες βασικές έννοιες μαθηματικών και φυσικήςμηχανικής που είναι απαραίτητες για την κατανόηση του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος 5. Πρόλογος

Πρόλογος 5. Πρόλογος Πρόλογος 5 Πρόλογος Η Τοπογραφία είναι ο επιστημονικός χώρος μέσω του οποίου κατόρθωσε να επιτύχει ο άνθρωπος την απεικόνιση τμημάτων της γήινης επιφάνειας στο επίπεδο. Ενδιάμεσο και απαραίτητο στάδιο

Διαβάστε περισσότερα

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014

minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/2014 minimath.eu Φυσική A ΛΥΚΕΙΟΥ Περικλής Πέρρος 1/1/014 minimath.eu Περιεχόμενα Κινηση 3 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση 4 Ευθύγραμμη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση 5 Δυναμικη 7 Οι νόμοι του Νεύτωνα 7 Τριβή 8 Ομαλη κυκλικη

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014

Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού. Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Δυναμική Ενέργεια σε Ηλεκτρικό πεδίο, Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού Ιωάννης Γκιάλας 14 Μαρτίου 2014 Έργο ηλεκτροστατικής δύναμης W F Δl W N i i1 F Δl i Η μετατόπιση Δl περιγράφεται από ένα διάνυσμα που

Διαβάστε περισσότερα

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας.

Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ο πυκνωτής Ο πυκνωτής είναι μια διάταξη αποθήκευσης ηλεκτρικού φορτίου, επομένως και ηλεκτρικής ενέργειας. Η απλούστερη μορφή πυκνωτή είναι ο επίπεδος πυκνωτής, ο οποίος

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία,

Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία, www.ziti.gr Πρόλογος Το βιβλίο που κρατάς στα χέρια σου, μοναδικό στην ελληνική βιβλιογραφία, θα σου φανεί χρήσιμο τις τελευταίες ημέρες της προετοιμασίας σου για τις πανελλαδικές εξετάσεις. Τα περιεχόμενά

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός της σταθεράς του ελατηρίου

Υπολογισμός της σταθεράς του ελατηρίου Άσκηση 5 Υπολογισμός της σταθεράς του ελατηρίου Σκοπός: Ο υπολογισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Αυτό θα γίνει με δύο τρόπους: 1. Από την κλίση μιας πειραματικής καμπύλης 2. Από τον τύπο της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη

Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Μηχανικό Στερεό. Μια εργασία για την Επανάληψη Απλές προτάσεις Για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής των εννοιών Δογραματζάκης Γιάννης 9/5/2013 Απλές προτάσεις για τον έλεγχο της κατανόησης και εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ =

sin ϕ = cos ϕ = tan ϕ = Τ.Ε.Ι. ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΟΜΙΚΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 1 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΩΝ MQN ΣΕ ΟΚΟ ιδάσκων: Αριστοτέλης Ε. Χαραλαµπάκης Εισαγωγή Με το παράδειγµα αυτό αναλύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι. Όλο το εκπαιδευτικό υλικό του μαθήματος θα αναρτάται στην ιστοσελίδα: http://courseware.mech.ntua.gr/ml23065/

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι. Όλο το εκπαιδευτικό υλικό του μαθήματος θα αναρτάται στην ιστοσελίδα: http://courseware.mech.ntua.gr/ml23065/ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ: Δρ. Ιωάννης Αντωνιάδης, Αν.Καθηγητής Τομέας Μηχανολογικών Κατασκευών και Αυτομάτου Ελέγχου Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών Διευθυντής Γραφείο: Κτήριο (Ε), 3 ος όροφος,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΝΤΕΛΗ. Κτίριο 1 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 13, Τηλ. 210 8048919 / 210 6137110 Κτίριο 2 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 29, Τηλ. 210 8100606 ΒΡΙΛΗΣΣΙΑ

ΠΕΝΤΕΛΗ. Κτίριο 1 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 13, Τηλ. 210 8048919 / 210 6137110 Κτίριο 2 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 29, Τηλ. 210 8100606 ΒΡΙΛΗΣΣΙΑ Τάξη Μάθημα Εξεταστέα ύλη Γ Λυκείου Φυσικη κατευθυνσης ΠΕΝΤΕΛΗ Κτίριο 1 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 13, Τηλ. 210 8048919 / 210 6137110 Κτίριο 2 : Πλ. Ηρώων Πολυτεχνείου 29, Τηλ. 210 8100606 ΒΡΙΛΗΣΣΙΑ Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 5. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 5. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 5 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα: Μοντελοποίηση Μηχανικών- Ηλεκτρικών-Υδραυλικών-Θερμικών Συστημάτων Επανάληψη: Εξισώσεις Lagrange σε συστήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ Σεπτέµβριος 2001 ΘΕΜΑ 1 Ένα φυσικό σύστηµα, ενός βαθµού ελευθερίας, περιγράφεται από την ακόλουθη συνάρτηση Hamilton:, όπου κάποια σταθερά και η κανονική θέση και ορµή

Διαβάστε περισσότερα

http://kesyp.didefth.gr/ 1

http://kesyp.didefth.gr/ 1 248_Τµήµα Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης, Ηράκλειο Προπτυχιακό Πρόγραµµα Σκοπός του Τµήµατος Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών είναι η εκαπαίδευση επιστηµόνων ικανών όχι µόνο να υπηρετήσουν και να

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς

Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και. του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας. με τη διάταξη της αεροτροχιάς Εργαστηριακή Άσκηση 4 Μελέτη ευθύγραμμης ομαλά επιταχυνόμενης κίνησης και του θεωρήματος μεταβολής της κινητικής ενέργειας με τη διάταξη της αεροτροχιάς Βαρσάμης Χρήστος Στόχος: Μελέτη της ευθύγραμμης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 6 KΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ Η θεωρία μεγίστων και ελαχίστων μιας πραγματικής συνάρτησης με μια μεταβλητή είναι γνωστή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε τη θεωρία μεγίστων και ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Μοντελοποίηση Mηχανικών Συστημάτων Ι: Μηχανικά Συστήματα σε Μεταφορική Κίνηση

Δυναμική Μηχανών I. Μοντελοποίηση Mηχανικών Συστημάτων Ι: Μηχανικά Συστήματα σε Μεταφορική Κίνηση Δυναμική Μηχανών I 3 2 Μοντελοποίηση Mηχανικών Συστημάτων Ι: Μηχανικά Συστήματα σε Μεταφορική Κίνηση 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Οι εφαρμογές της διαστατικής ανάλυσης είναι:

ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ. Οι εφαρμογές της διαστατικής ανάλυσης είναι: ΔΙΑΣΤΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Χρήσεις της διαστατικής ανάλυσης Η διαστατική ανάλυση είναι μία τεχνική που κάνει χρήση της μελέτης των διαστάσεων για τη λύση των προβλημάτων της Ρευστομηχανικής. Οι εφαρμογές της διαστατικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ -- ΑΛΓΕΒΡΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Άσκηση η Γραμμικά συστήματα Δίνονται οι ευθείες : y3 και :y 5. Να βρεθεί το R, ώστε οι ευθείες να τέμνονται. Οι ευθείες και θα τέμνονται όταν το μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΑΥΤΗΣ Διευθυντής: Διονύσιος-Ελευθ. Π. Μάργαρης, Αναπλ. Καθηγητής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας- Άλγεβρα Β ΓΕ.Λ.-Σχολικό έτος 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ. Σχολικό έτος: 2014-2015 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Α Λ Γ Ε Β Ρ Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Σχολικό έτος: 014-015 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων από το Ι.Ε.Π. Γ ε ν ι κ ή Ε π ι μ έ λ ε ι

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : 2010-2011 Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 13.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : 2010-2011 Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 13. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 3. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 opyrigh ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη

Διαβάστε περισσότερα

Προσομοίωση μετωπικού φραιζαρίσματος με πεπερασμένα στοιχεία

Προσομοίωση μετωπικού φραιζαρίσματος με πεπερασμένα στοιχεία 1 Προσομοίωση μετωπικού φραιζαρίσματος με πεπερασμένα στοιχεία 2 Μετωπικό φραιζάρισμα: Χρησιμοποιείται κυρίως στις αρχικές φάσεις της κατεργασίας (φάση εκχόνδρισης) Μεγάλη διάμετρο Μεγάλες προώσεις μείωση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 η & 2 η : ΟΡΙΑΚΟ ΣΤΡΩΜΑ ΜΕΛΕΤΗ ΣΤΡΩΤΟΥ ΟΡΙΑΚΟΥ ΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΠΑΝΩ ΑΠΟ ΑΚΙΝΗΤΗ ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΕΠΙΠΕΔΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Σκοπός της άσκησης Στην παρούσα εργαστηριακή άσκηση γίνεται μελέτη του Στρωτού

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ισοστατικών ικτυωµάτων

Ανάλυση Ισοστατικών ικτυωµάτων ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 5 η και 6 η Ανάλυση Ισοστατικών ικτυωµάτων Τετάρτη,, 15, Παρασκευή, 17 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2005 - Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ 7/6/2005 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2005 - Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ 7/6/2005 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2005 - Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ 7/6/2005 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. 1.

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014

Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία. Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 2014 Εφαρμογές Νόμος Gauss, Ηλεκτρικά πεδία Ιωάννης Γκιάλας 7 Μαρτίου 14 Άσκηση: Ηλεκτρικό πεδίο διακριτών φορτίων Δύο ίσα θετικά φορτία q βρίσκονται σε απόσταση α μεταξύ τους. Να βρεθεί η ακτίνα του κύκλου,

Διαβάστε περισσότερα