Περιεχόμενα 5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Περιεχόμενα 5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ"

Transcript

1

2 Περιεχόμενα 5 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η εισαγωγή και ανάπτυξη των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών (Η/Υ) άνοιξε νέους ορίζοντες στις επιστήμες. Αναπτύχθηκαν θεωρίες προσαρμοσμένες στον Η/Υ υπό μορφή μητρώων ή σειρών καθώς και υπολογιστικές μέθοδοι για να επιλύουν προβλήματα που ήταν αδύνατον να λυθούν παλαιότερα. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων (finite elements method) αναπτύχθηκε λόγω των Η/Υ και χρησιμεύει για την επίλυση προβλημάτων της Μηχανικής, της Θερμότητας, της Ρευστομηχανικής, του Ηλεκτρομαγνητισμού και άλλων. Στο παρόν βιβλίο έμφαση δίνεται κυρίως στην μεθοδολογία και επίλυση των προβλημάτων της μηχανικής των κατασκευών (structural mechanics) και κατά δεύτερο λόγο στην μετάδοση θερμότητας με αγωγιμότητα (heat conduction). Γίνεται η παραδοχή ότι το υλικό του στερεού έχει συμπεριφορά ελαστική και γραμμική, και ότι οι μετατοπίσεις και στροφές της κατασκευής είναι μικρές, όπως είναι οι περισσότερες εφαρμογές στην πράξη. Υπάρχουν πολλά παραδείγματα λυμένα με πολλά σχήματα που κάνουν το βιβλίο ευχάριστο, καθαρό, απλό και κατανοητό. Με την μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων λύνονται πολύ εύκολα οι υπερστατικοί φορείς (ή στατικά αόριστοι φορείς) των δικτυωμάτων δοκών και πλαισίων. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων είναι δημοφιλής, δυνατή και χρησιμοποιείται στις κατασκευές και μελέτες αεροσκαφών, πλοίων, αυτοκινήτων, παντός είδους μηχανημάτων, γεφυρών, σηράγγων, πολυκατοικιών, θεμελιώσεων, οδοστρωμάτων και άλλων εφαρμογών. Τα πεπερασμένα στοιχεία εισάγουν την νέα τεχνολογία και την επανάσταση στην επιστήμη και στην βιομηχανία, και για αυτό τον λόγο διδάσκονται ως βασικό μάθημα σε όλα τα Ανώτατα ιδρύματα, των Ηνωμένων Πολιτειών της Αμερικής, της Ευρώπης και της Ελλάδας. Eπίσης όλα τα Ανώτατα ιδρύματα, τα ερευνητικά κέντρα, οι βιομηχανίες, οι τεχνικές εταιρείες και οι μελετητές μηχανικοί, χρησιμοποιούν εμπορικά προγράμματα πεπερασμένων στοιχείων για την λύση των προβλημάτων των.

3 6 Πεπερασμένα Στοιχεία Το βιβλίο είναι χρήσιμο σε όσους θέλουν να μάθουν τα πεπερασμένα στοιχεία και τις εφαρμογές τους, τους προπτυχιακούς και μεταπτυχιακούς φοιτητές των Ανωτάτων Ιδρυμάτων της χώρας καθώς και των μηχανικών της πράξης αεροναυπηγών, μηχανολόγων, πολιτικών, ναυπηγών και γεωλόγων. Στο σημείο αυτό θεωρώ υποχρέωσή μου να εκφράσω τις θερμές μου ευχαριστίες στους εξής: Tον αδελφό μου Δρ. Χρήστο Κ. Γκότση, καθηγητή του Χημικού τμήματος στο Αριστοτέλειο Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, για την βοήθεια που μου παρείχε πνευματικά και οικονομικά κατά την διάρκεια των μεταπτυχιακών σπουδών μου, στις Ηνωμένες Πολιτείες της Αμερικής (ΗΠΑ), καθώς και για τις χρήσιμες συμβουλές του στις υπολογιστικές μεθόδους και στα θέματα της θερμότητας που διαπραγματεύομαι στο παρόν πόνημα. Τον διακεκριμένο επιστήμονα Dr. Christos C. Chamis, ο οποίος υπήρξε πνευματικός μου πατέρας στην επιστήμη κατά τη διάρκεια των οκτώ ετών που συνεργάσθηκα μαζί του στο ΝASA Glenn (ewis) Research Center, Cleveland, Ohio, USA. Ο Dr. Christos C. Chamis με την οξύνοια και ευρύτητα της σκέψης του δημιούργησε προγράμματα για τον ηλεκτρονικό υπολογιστή για τη μελέτη της Μηχανικής των Σύνθετων Υλικών των Πεπερασμένων Στοιχείων, της Βελτιστοποίησης των Συνθέτων Υλικών και Κατασκευών (Structural Optimization) και Probabilistic Approaches in Composite Structures. Τον φίλο και συνεργάτη Dr. James Guptill για τη σημαντική βοήθεια που μου προσέφερε στην Υπολογιστική Μέθοδο Ανάπτυξης Προγραμμάτων στον Η/Υ κατά τη συνεργασία μας στο ΝASA Glenn (ewis) Research Center, Cleveland, Ohio, USA. Τον φίλο και συνεργάτη καθηγητή Dr. evon Minnetyan, του τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Clarkson University, New York, USA. Τη σύζυγό μου Αλεξάνδρα και την κόρη μου Αθηνά για την ενθάρρυνση και την κατανόησή τους κατά τη διάρκεια της συγγραφής του βιβλίου μου. Τον εκδοτικό οίκο Ζήτη και το τεχνικό προσωπικό που εργάσθηκαν για τη βέλτιστη παρουσίαση του παρόντος συγγράμματος. Σέρρες, Δεκέμβριος 004 Πασχάλης Κ. Γκότσης

4 Περιεχόμενα 7 Βιογραφικά Στοιχεία του Συγγραφέα Ο Πασχάλης Κ. Γκότσης γεννήθηκε και μεγάλωσε στην Θεσσαλονίκη. Είναι έγγαμος και έχει μία κόρη. Το πήρε το δίπλωμα του Πολιτικoύ Μηχανικού, της Πολυτεχνικής Σχολής του Αριστοτέλειου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης και συνέχισε τις σπουδές του στην Αμερική. Με υποτροφία από τα Αμερικάνικα πανεπιστήμια απέκτησε: Tο Μάστερ της Επιστήμης (Master of Science) από το τμήμα θεωρητική Μηχανική (τμήμα Engineering Mechanics and Science), από το πανεπιστήμιο The Pennsylvania State University, University Park, State College, Pennsylvania, USA. Το αντικείμενο της έρευνας του Master Thesis ήταν Η Βελτιστοποίηση Λεπτών Κελυφωτών Κατασκευών με τη Χρήση των Πεπερασμένων Στοιχείων. Το διδακτορικό δίπλωμα (Ph.D) από το τμήμα Επιστήμη των Υλικών (Department of Μaterials Science and Engineering) από το Πανεπιστήμιο University of California, os Angeles, California, USA. Το αντικείμενο της διδακτορικής διατριβής ήταν Η ελαστο-πλαστική ανάλυση συνθέτων υλικών με την χρήση των πεπερασμένων στοιχείων. Ο συγγραφέας έχει αρκετά μεταπτυχιακά μαθήματα που αποκτήθηκαν με βαθμολογία, κατά την διάρκεια των σπουδών, ως μέρος των απαιτήσεων για την απόκτηση του Μάστερ και του Διδακτορικού στα πανεπιστήμια της Aμερικής. Συνέχισε την μεταδιδακτορική του έρευνα, στο ίδιο τμήμα που πήρε το διδακτορικό του, το τμήμα της Επιστήμης των Υλικών (Department of Μaterials Science and Engineering) στο University of California, os Angeles, California, USA. Για δύο χρόνια, δίδαξε και έκανε έρευνα ως καθηγητής, στο τμήμα των Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου California State University, ong Beach, California, USA. Δίδαξε μαθήματα του κατασκευαστικού τομέα. Ως κύριος ερευνητής σε ερευνητικό πρόγραμμα χρηματοδοτήθηκε από την Αεροπορική εταιρεία TRW που εδρεύει στο os Angeles, California, USA.

5 8 Πεπερασμένα Στοιχεία Από 1 Οκτωβρίου 1990 μέχρι της 4 Ιουνίου 1998, εργάστηκε με τον τίτλο του Αεροναυπηγού μηχανικού, στην ASA Glenn (ewis) Research Center, Cleveland, Ohio, USA, στο τμήμα Μηχανικής των Κατασκευών (Structural Mechanics) του γενικού τμήματος Structures and Acoustic Division της διευθύνσεως Ερεύνης και Αναπτύξεως (Research and Development Directorate). Η θέση που κατείχε επί 8 χρόνια στην NASA ήταν μόνιμη. Όλο το διάστημα που εργάστηκε στην NASA συνεργαζόταν με τον γνωστό επιστήμονα Dr. Christos C. Chamis στην περιοχές: της Μηχανικής των Συνθέτων Υλικών (fiber composites) καθώς και κατασκευών που αποτελούνται από σύνθετα υλικά. Μοντελοποίηση της θραύσης των υλικών και των κατασκευών και δημιουργία προγραμμάτων με τα πεπερασμένα στοιχεία. Επίσης εργάστηκε σε διαφορετικά ερευνητικά προγράμματα με τα πανεπιστήμια και την βιομηχανία. Τον Ιούνιο του 1998 επέστρεψε από την Αμερική στην Ελλάδα. Από τις 8 Ιουνίου 1998 μέχρι τώρα εργάζεται ως καθηγητής στο τμήμα των Μηχανολόγων του ΤΕΙ Σερρών. Επίσης είναι διευθυντής του Κέντρου Τεχνολογικής Έρευνας στις Σέρρες. O συγγραφέας έχει πλήθος εργασιών σε διεθνή περιοδικά και διεθνή συνέδρια. Τα αντικείμενα της ερευνάς του είναι: o o o o H μηχανική των συνθέτων υλικών (fiber composite laminate materials) micromechanics και macromechanics, καθώς επίσης και η μηχανική των κατασκευών που αποτελούνται από σύνθετα υλικά (fiber composite laminate materials). Μοντελοποίηση της θραύσης α) των συνθέτων υλικών (fiber composite laminate materials) και β) των κατασκευών που αποτελούνται από σύνθετα υλικά. Η πρόβλεψη έ- ναρξης της θραύσης, της διάδοσης και της καταστροφής με την χρήση των πεπερασμένων στοιχείων. Η Βελτιστοποίηση συνθέτων υλικών καθώς και κατασκευών (Structural Optimization). Προγραμματισμός και ανάπτυξη μαθηματικών μοντέλων.

6 Περιεχόμενα 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 1.1 Εισαγωγή Η ιστορία των πεπερασμένων στοιχείων Σύντομη περιγραφή του βιβλίου Η ολική δυναμική ενέργεια ενός συστήματος Η μέθοδος του Rayleigh - Ritz Η μέθοδος του Galerkin...53 Παραδείγματα Π1.1 Ένα ελατήριο με σταθερά δύναμη F... 3 Π1. Tρία ελατήρια στην σειρά... 4 Π1.3 Σύστημα ελατηρίων... 6 Π1.4 Ράβδος με αξονικό φορτίο, αρχική παραμόρφωση και αρχική τάση (residual stress) Π1.5 Pάβδος δικτυώματος... 3 Π1.6 Rayleigh-Ritz. Μονόπακτη ράβδος Π1.7 Rayleigh-Ritz. Υπερστατικός φορέας Π1.8 Rayleigh-Ritz. Πεπερασμένα στοιχεία ράβδου Π1.9 Galerkin. Υπερστατικός φορέας Π1.10 Galerkin. Μοντέλο του Kelvin - Voight Η Άλγεβρα των Μητρώων και οι Βασικές Αρχές της Θεωρίας Ελαστικότητας.1 Η Άλγεβρα των μητρώων Θεωρία της ελαστικότητας Σχέση παραμόρφωσης - μετατόπισης Σχέση τάσης - παραμόρφωσης Αρχικές τάσεις και παραμορφώσεις. Επιρροή της θερμοκρασίας...9 Παραδείγματα Π.1 Υπολογισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων... 73

7 10 Πεπερασμένα Στοιχεία Π. Γραμμικές εξισώσεις Π.3 Οριακές συνθήκες τάσεων και μετατοπίσεων Προβλήματα μιας Διάστασης. Αξονικός Εφελκυσμός. Ράβδος σε Στρέψη 3.1 Εισαγωγή Στοιχείο με δύο κόμβους Τάσεις και παραμορφώσεις Η δυναμική ενέργεια του συστήματος Το ολικό μητρώο δυσκαμψίας του συστήματος Στοιχείο με τρεις κόμβους Θερμικά φορτία και θερμικές τάσεις Ράβδος σε στρέψη Παραδείγματα Π3.1 Συναρτήσεις μορφής και μετατοπίσεις Π3. Ράβδος με μεταβλητή διατομή Π3.3 Yπερστατικός φορέας με μηχανικό φορτίο Π3.4 Yπερστατικός φορέας με θερμικά και μηχανικά φορτία Π3.5 Περιστροφή ράβδου με σταθερή γωνιακή ταχύτητα Π3.6 Ράβδος συνδεδεμένη με ελατήριο Π3.7 Yπερστατικός φορέας σε στρέψη Δικτυώματα 4.1 Εισαγωγή Τοπικό και καθολικό σύστημα συντεταγμένων Υπολογισμός του μητρώου δυσκαμψίας Υπολογισμός των τάσεων της ράβδου Θερμικά φορτία Εξισώσεις ισορροπίας Δικτύωμα στον χώρο Παραδείγματα Π4.1 Υπερστατικό δικτύωμα Π4. Δικτύωμα με θερμικά φορτία Π4.3 Μετακίνηση στήριξης δικτυώματος

8 Περιεχόμενα Δοκοί και πλαίσια 5.1 Εισαγωγή Δυναμική ενέργεια της δοκού Υπολογισμός του μητρώου δυσκαμψίας του στοιχείου Ισοδύναμα κομβικά φορτία του στοιχείου Υπολογισμός των δυνάμεων και ροπών Ελαστικές στηρίξεις Πλαίσια στο επίπεδο Υπολογισμός των αντιδράσεων Παραδείγματα Π5.1 Ισοστατικός φορέας Π5. Υπερστατικός φορέας με συνεχές φορτίο στο ένα άνοιγμα Π5.3 Υπερστατικός φορέας με ομοιόμορφο φορτίο Π5.4 Πλαίσιο... Π5.5 Υπερστατικός φορέας με ελατήριο στο ελεύθερο άκρο... 7 Π5.6 Υπερστατικός φορέας με ελατήριο στο μέσον της δοκού Προβλήματα δυο διαστάσεων. Τρίγωνο με σταθερή παραμόρφωση 6.1 Εισαγωγή Εμβαδικές συντεταγμένες. Ισοπαραμετρικό στοιχείο Σχέση παραμόρφωσης - μετατόπισης Το μητρώο δυσκαμψίας του τριγωνικού στοιχείου Υπολογισμός των ισοδύναμων κομβικών δυνάμεων Εξισώσεις ισορροπίας της κατασκευής Υπολογισμός των τάσεων στο στοιχείο 1,, Παραδείγματα Π6.1 Συναρτήσεις μορφής για τριγωνικό στοιχείο Π6. Iακωβιανό μητρώο τριγωνικού στοιχείου Π6.3 Υπολογισμός του μητρώου παραμόρφωσης Β, της επίπεδης πλάκας Π6.4 Μηχανικά φορτία και τάσεις σε πλάκα Π6.5 Θερμικές και μηχανικές τάσεις... 73

9 1 Πεπερασμένα Στοιχεία 7. Τετράπλευρα και τριγωνικά στοιχεία υψηλότερης τάξης. Αριθμητική ολοκλήρωση 7.1 Εισαγωγή Ισοπαραμετρικό τετράπλευρο στοιχείο Συναρτήσεις μορφής ή συναρτήσεις παρεμβολής...80 Παραμόρφωση και τάση Δυναμική ενέργεια του σώματος Μητρώο δυσκαμψίας του στοιχείου Διανυσματικά φορτία του στοιχείου Δυνάμεις βαρύτητας Επιφανειακές δυνάμεις Αρχικές τάσεις (residual stresses) Αριθμητική ολοκλήρωση με τη μέθοδο του Gauss Quadrature...9 Υπολογισμός του μητρώου δυσκαμψίας... 9 Υπολογισμός των τάσεων και παραμορφώσεων Στοιχεία υψηλότερης τάσης Τετράπλευρο στοιχείο δευτέρου βαθμού (quadratic element)...30 Tριγωνικό στοιχείο δευτέρου βαθμού (quadratic triangle element) Παραδείγματα Π7.1 Υπολογισμός ολοκληρώματος μιας διάστασης Π7. Υπολογισμός των τάσεων με εσωτερική ή εξωτερική παρεμβολή Π7.3 Υπολογισμός των συναρτήσεων μορφής τετραπλεύρου στοιχείου με 8 και 9 κόμβους αντιστοίχως Π7.4 Αριθμητική ολοκλήρωση σε τριγωνικό στοιχείο με τρεις κόμβους Π7.5 Υπολογισμός του k e στοιχείου με εννέα κόμβους Π7.6 Υπολογισμός καθολικών και τοπικών συντεταγμένων Π7.7 Υπολογισμός του J, B και σ σε τετράπλευρο στοιχείο Π7.8 Υπολογισμός ισοδυνάμου κομβικού φορτίου, επιφανειακού φορτίου τετραπλεύρου στοιχείου Π7.9 Υπολογισμός του μητρώου Β τετραπλεύρου στοιχείου Π7.10 Τετράπλευρο στοιχείο φορτιζόμενο με θερμικό φορτίο Π7.11 Οκτακομβικό στοιχείο φορτιζόμενο με επιφανειακό φορτίο Π7.1 Υπολογισμός σύνθετης κατασκευής Π7.13 Στοιχείο με πέντε κόμβους και διδόμενες τάσεις

10 Περιεχόμενα Συμμετρικά εκ περιστροφής σώματα με συμμετρικά εκ περιστροφής φορτία 8.1 Εισαγωγή Εξισώσεις ελαστικότητας Ισοπαραμετρικό τριγωνικό στοιχείο Μητρώο δυσκαμψίας του τριγωνικού στοιχείου Ισοδύναμα κομβικά φορτία Υπολογισμός τάσεων Εφαρμογές Παραδείγματα Π8.1 Κύλινδρος μεγάλου μήκους με εσωτερική πίεση Π8. Υπολογισμός τάσεων σε κύλινδρο με εσωτερική πίεση Στερεά στο χώρο. Ισοπαραμετρικά πεπερασμένα στοιχεία 9.1 Εισαγωγή Τετράεδρο πεπερασμένο στοιχείο Μητρώο δυσκαμψίας του πεπερασμένου στοιχείου Πρισματικό ή εξάεδρο στοιχείο (brick element) Η δυναμική των κατασκευών 10.1 Eισαγωγή Δυναμικές εξισώσεις του σώματος Κινητική ενέργεια Υπολογισμός της μάζας στρεπτικού πεπερασμένου στοιχείου Συμβιβαστό ή συνεπές μητρώον μάζας του στοιχείου (consistent mass matrix) Στοιχείο ράβδου μίας διάστασης Στοιχείο δικτυώματος Τριγωνικό στοιχείο για επίπεδο τάση και επίπεδο παραμόρφωση Τριγωνικό στοιχείο, σώματος και φορτίου συμμετρικά εκ περιστροφής Τετράπλευρο στοιχείο Στοιχείο δοκού σε κάμψη Στοιχείο πλαισίου

11 14 Πεπερασμένα Στοιχεία Τετραεδρικό στοιχείο Συγκεντρωμένο η διακριτό μητρώο μάζας στοιχείου (lumped mass) Πεπερασμένο στοιχείο ράβδου μιας διάστασης Στοιχείο δικτυώματος Στοιχείο δοκού Ελεύθερη ταλάντωση Ιδιότητες των ιδιοδιανυσμάτων (eigenvectors) Παραδείγματα Π10.1 Αξονική ταλάντωση ελεύθερης ράβδου Π10. Αξονική ταλάντωση πακτωμένης ράβδου Π10.3 Αξονικό και συνεχές δυναμικό φορτίο Π10.4 Ράβδος σε στρέψη Π10.5 Δικτύωμα Π10.6 Ελεύθερη ταλάντωση δικτυώματος... 4 Π10.7 Ταλάντωση δοκού σε κάμψη Π10.8 Ελεύθερη ταλάντωση μονώροφου πλαισίου Π10.9 Ελεύθερη ταλάντωση διώροφου πλαισίου Π10.10 Δοκός σε κάμψη συνδεόμενος με ελατήρια και στερεό δίσκο Προβλήματα Πεδίων. Η μέθοδος του Galerkin. Μεταφορά Θερμότητας. Στρέψη ράβδου τυχαίας διατομής 11.1 Εισαγωγή Mεταφορά θερμότητας Mεταφορά θερμότητας με αγωγιμότητα, σε μια διάσταση Πεπερασμένα στοιχεία μίας διάστασης Συναρτησιακή μέθοδος (Functional approach) Η μέθοδος του Galerkin για τον υπολογισμό της ροής θερμότητας με αγωγιμότητα σε μια διάσταση Ροή θερμότητας σε λεπτά πτερύγια. Πρόβλημα μιας διάστασης Μεταφορά θερμότητας με αγωγή στο επίπεδο. Η εξίσωση της θερμικής διάχυσης Τριγωνικό ισοπαραμετρικό πεπερασμένο στοιχείο Η μέθοδος του Galerkin για τον υπολογισμό της ροής θερμότητας με αγωγιμότητα σε δύο διαστάσεις Στρέψη σε ράβδο με αυθαίρετη διατομή

12 Περιεχόμενα 15 Ισοπαραμετρικό τριγωνικό στοιχείο H μέθοδος του Galerkin για τη λύση του προβλήματος της στρέψης Πίνακας Παραδείγματα στα προβλήματα πεδίων Παραδείγματα Π11.1 Poή θερμότητας με αγωγιμότητα σε τοίχο με διαφορετικά υλικά. Πρόβλημα μιας διάστασης Π11. Ροή θερμότητας με αγωγιμότητα σε ομοιογενή πλάκα εκτιθέμενη σε θερμό αέρα. Πρόβλημα μιας διάστασης Π11.3 Υπολογισμός της ροής θερμότητας σε πτερύγιο αεροπλάνου. Πρόβλημα μιας διάστασης Π11.4 Mεταφορά θερμότητας σε ράβδο μεγάλου μήκους και ορθογωνικής διατομής. Πρόβλημα μιας διάστασης Π11.5 Ράβδος ορθογωνικής διατομής φορτιζόμενη με στρεπτική ροπή. Πρόβλημα δύο διαστάσεων Προβλήματα με περιορισμούς στις οριακές συνθήκες 1.1 Εισαγωγή Η μέθοδος απαλειφής Η μέθοδος ποινής (penalty method) Σύνθετοι περιορισμοί (multipoint constraints) Παραδείγματα Π1.1 Μέθοδος απαλειφής. Ράβδος με περιορισμό στην μετατόπιση Π1. Μέθοδος ποινής. Ράβδος με περιορισμό στην μετατόπιση Π1.3 Μέθοδος ποινής. Άκαμπτη άτρακτος εντός σωλήνα Π1.4 Μέθοδος ποινής. Εύκαμπτη άτρακτος εντός σωλήνα Π1.5 Λοξή στήριξη - κύλιση Π1.6 Άκαμπτη ράβδος εξαρτώμενη από εύκαμπτους ράβδους Επίπεδες πλάκες σε κάμψη 13.1 Συμπεριφορά της πλάκας. Η θεωρία του Kirchhoff για λεπτές πλάκες Πεπερασμένα στοιχεία για λεπτή πλάκα Παχιές πλάκες, θεωρία του Mindlin

13 16 Πεπερασμένα Στοιχεία 13.4 Ισοπαραμετρικό στοιχείο παχειάς πλάκας Υπολογισμός των τάσεων του στοιχείου Ισοδύναμα κομβικά φορτία του στοιχείου Οριακές συνθήκες Παραδείγματα Π13.1 Υπολογισμός ροπών λόγω θερμοκρασιακής μεταβολής Π13. Σχέση μεταξύ βέλους w και d Βιβλιογραφία Ευρετήριο Όρων

14 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 17 1 o ΚΕΦΑΛΑΙΟ Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 9.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Υπάρχουν διαφορετικοί μέθοδοι (ή διαφορετικές φιλοσοφίες) για την ανάπτυξη της θεωρίας των πεπερασμένων στοιχείων. Στο παρόν βιβλίο αναπτύσσονται οι παρακάτω δύο μέθοδοι: H ενεργειακή μέθοδος, βασίζεται στην ολική δυναμική ενέργεια του σώματος (ή της κατασκευής) (total potential energy), μαζί με την μέθοδο των μετατοπίσεων, την οποία θα αναπτύξουμε στα επόμενα κεφάλαια. Η μέθοδος είναι απλή και δεν απαιτεί την επίλυση των διαφορικών εξισώσεων και χρησιμοποιείται σε όλα τα κεφάλαια. Επίσης στα προβλήματα της μεταφοράς θερμότητας χρησιμοποιείται η ενεργειακή μέθοδος, όταν υπάρχει η εξίσωση της δυναμικής ενέργειας, η οποία μετονομάζεται και λέγεται συναρτησιακή ενέργεια (functional) Η ενεργειακή μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί, όταν υπάρχει η δυνατότητα να εκφρασθεί η ολική δυναμική ενέργεια του προβλήματος στα στερεά ή η functional στα προβλήματα της μεταφοράς θερμότητας. Αν δεν γνωρίζουμε την ολική δυναμική ενέργεια, τότε χρησιμοποιούνται άλλοι μέθοδοι, όπως η μέθοδος του Galerkin. Η μέθοδος του Galerkin ανήκει στην γενική κατηγορία των Σταθμικών Υπολοίπων (methods of Weighted Residuals). H μέθοδος Galerkin είναι γενική, δυνατή και εφαρμόζεται απ ευθείας στην επίλυση των διαφορικών εξισώσεων. Στο κεφάλαιο 11 χρησιμοποιείται η μέθοδος του Galerkin για τον υπολογισμό των προβλημάτων της θερμότητας καθώς και του προβλήματος της στρέψης ράβδου με τυχαία διατομή. Σκοπός του παρόντος βιβλίου είναι η χρήση των πεπερασμένων στοιχείων, στην επίλυση προβλημάτων:

15 18 Κεφάλαιο 1 στη μηχανική των κατασκευών (structural mechanics) και στη μηχανική των στερεών (solid mechanics). Στο κεφάλαιο 11, μελετάται επίσης η διάδοση της θερμότητας με αγωγιμότητα. Ο τρόπος επιλύσεως προβλημάτων με χρήση των πεπερασμένων στοιχείων είναι σχεδόν ο ίδιος σε όλες τις περιοχές που εφαρμόζεται. Για παράδειγμα για την επίλυση μιας κατασκευής σχεδιάζουμε πρώτα την κατασκευή κατόπιν την χωρίζουμε σε μικρά γεωμετρικά σχήματα π.χ. τρίγωνα ή τετράπλευρα, τα οποία λέγονται πεπερασμένα στοιχεία. Οι ιδιότητες του υλικού και οι εξισώσεις που χαρακτηρίζουν το υλικό εξετάζονται στα πεπερασμένα στοιχεία σαν συνάρτηση των αγνώστων μετατοπίσεων στις κορυφές του πεπερασμένου στοιχείου (μέθοδος των μετατοπίσεων). Λαμβάνουμε υπ όψιν τις οριακές συνθήκες καθώς και τα φορτία (μηχανικά και θερμικά) και καταλήγουμε στις εξισώσεις ισορροπίας της κατασκευής. Η λύση του συστήματος των εξισώσεων ως προς τους αγνώστους, οι οποίοι είναι οι κομβικές μετατοπίσεις είναι η ζητούμενη προσεγγιστική λύση. Γνωστών των κομβικών μετατοπίσεων υπολογίζονται στα διάφορα σημεία της κατασκευής οι τάσεις (σ), οι παραμορφώσεις (ε) και οι αντιδράσεις (R) των στηρίξεων. Λόγοι ανάπτυξης της μεθόδου Προβλήματα που δεν μπορούσαν να τα αγγίξουν οι επιστήμονες έως τώρα και τα θεωρούσαν άλυτα, με την χρήση του ηλεκτρονικού υπολογιστή (Η/Υ) και των υπολογιστικών μεθόδων όπως των πεπερασμένων στοιχείων τα λύνουν σε μικρό χρόνο. Στις Ηνωμένες πολιτείες της Αμερικής, στην Ευρώπη, και στις ανεπτυγμένες χώρες, η βιομηχανία, ο στρατός και το κράτος χρηματοδοτούν τα α- νώτατα ιδρύματα, τα ερευνητικά κέντρα και τις ερευνητικές εταιρείες, με σκοπό την ανάπτυξη προγραμμάτων. Η ανάγκη της βιομηχανίας και των προβλημάτων της πράξης, οδήγησε την ανάπτυξη γραφικών προγραμμάτων, τα οποία συνοδεύουν την ανάλυση-υπολογισμό που παρέχουν τα πεπερασμένα στοιχεία. Ο συνδυασμός των γραφικών με την ανάλυση-υπολογισμό των πεπερασμένων στοιχείων υψώνουν την επιστήμη, την απλοποιούν, την κάνουν προσιτή και δημιουργική (state of the art).

16 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 19 Προϊόν της συστηματικής εργασίας των ερευνητών είναι η ανάπτυξη των εμπορικών προγραμμάτων για τον Η/Υ. Τα εμπορικά προγράμματα αποτελούνται από δύο μεγάλα προγράμματα: Tα γραφικά και την ανάλυση. α) Γραφικά προγράμματα Τα γραφικά προγράμματα χρησιμοποιούνται πρίν από την ανάλυση (Preproccesing) και μετά την ανάλυση (Post-proccesing). Pre-proccesing. Με την χρήση του γραφικού προγράμματος το σώμα ή η κατασκευή σχεδιάζεται και κατόπιν διακριτοποιείται στα πεπερασμένα στοιχεία. Post-proccesing. Μετά την ανάλυση γίνονται γραφικές παραστάσεις των αποτελεσμάτων όπως είναι η παραμόρφωση του σώματος, η διανομή των τάσεων εντός του σώματος και άλλων. β) Πρόγραμμα για την ανάλυση-υπολογισμό Το πρόγραμμα της ανάλυσης χρησιμοποιείται για την μελέτη ποικίλων προβλημάτων που μπορεί να αφορούν την μηχανική των στερεών ή των κατασκευών, στα ρευστά, στην θερμότητα, στην ακουστική, στην κατεργασία των μετάλλων, στον ηλεκτρισμό και ηλεκτρομαγνητισμό και σε πολλές άλλες περιοχές. Όλα τα ανώτατα ιδρύματα, τα ερευνητικά κέντρα, η βιομηχανία, οι τεχνικές εταιρείες, οι μηχανικοί της πράξης, οι προ-πτυχιακοί και οι μεταπτυχιακοί φοιτητές, χρησιμοποιούν εμπορικά προγράμματα για τον Η/Υ όπως για παράδειγμα είναι τα παρακάτω: ANSYS, ABAQUS, NASTRAN, MARC, ADINA, SAP90 COSMOS για την μοντελοποίηση (ή προσομοίωση) προβλημάτων. Τα προγράμματα παρέχουν υπορουτίνες (subroutines), ώστε ο χρήστης να μπορεί να προσθέσει το δικό του πρόγραμμα συνήθως σε γλώσσα προγραμματισμού FOR- TRAN ή C, για να προσθέσει πληροφορίες που δεν υπάρχουν στο εμπορικό πρόγραμμα, όπως για παράδειγμα να τροποποιήσει, να βελτιώσει ή να προσθέσει νέες καταστατικές εξισώσεις (constitutive equations). Yπάρχουν επίσης ειδικά προγράμματα πεπερασμένων στοιχείων, όπως για παράδειγμα είναι τα παρακάτω: HITCAN (Μetal matrix composites analyzer) και CODSTRAN (polymer composites analyzer),

17 0 Κεφάλαιο 1 τα οποία έχουν αναπτυχθεί στο ερευνητικό κέντρο NASA Glenn (ewis) Research Center, Cleveland, Ohio, USA υπό την επίβλεψη και δημιουργού αυτών Dr. Christos C. Chamis. Τα προγράμματα αυτά, χρησιμοποιούν τα πεπερασμένα στοιχεία και την μηχανική των συνθέτων υλικών (fiber composite materials). Γιατί πρέπει να γνωρίζουμε τα πεπερασμένα στοιχεία; Η θεωρητική γνώση των πεπερασμένων στοιχείων βοηθά να αναπτύξει ο φοιτητής, ο ερευνητής ή ο μηχανικός της πράξης την αυτοπεποίθηση και την ικανότητα να λύνει, να λειτουργεί και να ερμηνεύει σωστά τα αποτελέσματα που λαμβάνει από ένα πρόγραμμα, και αν χρειασθεί να γράψει το δικό του πρόγραμμα. 1. Η ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Το 1909 ο Γερμανός μαθηματικός Ritz ανέπτυξε τις αρχές της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. Το 1915 ο Ρώσος μαθηματικός Galerkin ανέπτυξε σε βάθος την θεωρία των πεπερασμένων στοιχείων. Η απουσία του ηλεκτρονικού υπολογιστή καθυστέρησε την διάδοση και περαιτέρω ανάπτυξη της μεθόδου και παρέμεινε στάσιμη μέχρις της ανακαλύψεως του υπολογιστή. Με τον ηλεκτρονικό υπολογιστή η μέθοδος έγινε γνωστή και διαδόθηκε στους ερευνητές. Η ιδέα της ανάπτυξης της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων γεννήθηκε στην αεροναυπηγική από την ανάγκη της εύρεσης λύσης στα δύσκολα προβλήματα που αντιμετώπιζαν στην κατασκευή των αεροσκαφών. Το 1941 ο Hrenikoff εισήγαγε την καλούμενη framework method (μέθοδο του πλαισίου) με την οποία ένα επίπεδο ελαστικό μέσο μπορούσε να α- ντικατασταθεί με ένα ισοδύναμο σύστημα ράβδων και δοκών. Το 1943 ο Γερμανός μαθηματικός Courant έλυσε το πρόβλημα της στρέψης χρησιμοποιώντας τριγωνικά στοιχεία με την αρχή της ελαχίστης δυναμικής ενέργειας (minimum potential energy) και την ονόμασε Rayleigh-Ritz μέθοδο. Επειδή τότε δεν υπήρχε ο ηλεκτρονικός υπολογιστής, η θεωρία του Courant δεν μπορούσε να εφαρμοσθεί και ξεχάστηκε μέχρι που ανακαλύφθηκε ο υπολογιστής και οι επιστήμονες ξανά θεμελίωσαν την μέθοδο. Το 1955 ο Έλληνας Ι. Αργύρης έγραψε ένα βιβλίο με θέμα Ενεργειακά

18 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 1 θεωρήματα και η μέθοδος των μητρώων και εισήγαγε τις αρχές των πεπερασμένων στοιχείων. Το 1956 οι Αμερικανοί Τurner, Clough, Martin και Top υπολόγισαν το μητρώο δυσκαμψίας της ράβδου και άλλων στοιχείων. Το 1960 ο Ι. Αργύρης και ο Kelsey δημοσίευσαν την εργασία τους η ο- ποία βασιζόταν στις αρχές των πεπερασμένων στοιχείων. Το 1960 ο Clough καθηγητής του πανεπιστημίου University of California, Berkeley της Αμερικής, χρησιμοποίησε για πρώτη φορά το όνομα Πεπερασμένα στοιχεία (Finite elements) στην εργασία του και από τότε όλοι χρησιμοποιούν την παραπάνω ονομασία. Το 1967 οι Zienkiewicz και Chung έγραψαν το πρώτο βιβλίο των πεπερασμένων στοιχείων. Από τότε ένας μεγάλος αριθμός δημοσιεύσεων και βιβλίων ακολούθησε με αντικείμενο την εφαρμογή των πεπερασμένων στοιχείων στην μηχανική, στα ρευστά, τη θερμότητα, την ακουστική, την κατεργασία των μετάλλων, τον ηλεκτρισμό και ηλεκτρομαγνητισμό και σε πολλές άλλες επιστήμες. 1.3 ΣΥΝΤΟΜΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ Στο βιβλίο χρησιμοποιείται η δυναμική ενέργεια (Potential energy) του συστήματος και η μέθοδος των μετατοπίσεων για την ανάπτυξη της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων. Η ανάπτυξη της μεθόδου εφαρμόζεται στα στερεά και στις κατασκευές. Εξαίρεση αποτελεί το κεφάλαιο 11, στο οποίο εφαρμόζεται η μέθοδος του Gallerkin για την λύση των προβλημάτων της θερμότητας και του προβλήματος της στρέψης τυχαίας διατομής. Η παρούσα ανάπτυξη των πεπερασμένων στοιχείων βασίζεται στις παραδοχές της ελαστικής και γραμμικής συμπεριφοράς των υλικών, και των μικρών μετατοπίσεων και στροφών της κατασκευής. To βιβλίο είναι χρήσιμο για όσους θέλουν να μάθουν τα πεπερασμένα στοιχεία, τους φοιτητές των ανωτάτων ιδρυμάτων και τους μηχανικούς της πράξης, και καλύπτει τις περισσότερες ειδικότητες των μηχανικών καθώς και των γεωλόγων που ασχολούνται με προβλήματα μηχανικής (rock mechanics). Στο βιβλίο υπάρχουν πολλά σχήματα και αρκετά παραδείγματα τα οποία λύνονται με λεπτομέρεια και σαφήνεια.

19 Κεφάλαιο 1 Ας σημειωθεί ότι το κείμενο και οι εξισώσεις έχουν γραφεί από τον ίδιο τον συγγραφέα του βιβλίου, όπως επίσης και τα σχήματα τα οποία έγιναν με τη χρήση του γραφικού προγράμματος Corel Draw 10. Σύντομα θα περιγραφούν οι παρακάτω μέθοδοι: η μέθοδος της δυναμικής ενέργειας, η ιστορική μέθοδος του Rayleigh-Ritz και η μέθοδος του Galerkin. 1.4 Η ΟΛΙΚΗ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΕΝΌΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ. α) Σύστημα ελατηρίων Η δυναμική ενέργεια Π ενός συστήματος είναι: Π = U W (1.4.1) όπου : U = η ενέργεια παραμόρφωσης W = το εξωτερικό μηχανικό έργο Για παράδειγμα ένα ελατήριο με σταθερά ελατηρίου K, στηρίζεται στο ένα άκρο και στο άλλο άκρο ασκείται δύναμη P. Λόγω του φορτίου το ελατήριο επιμηκύνεται κατά x, και έχουμε και 1 Kx U = ( Kx) x =, W = Px Kx Π = - Px. Συντηρητικό λέγεται ένα σύστημα όταν το μηχανικό έργο που παράγεται είναι ανεξάρτητο από τον δρόμο που απαιτείται να πάει από την αρχική θέση Α, στην τελική θέση Β. Η αρχή της ελάχιστης δυναμικής ενέργειας είναι: Σε ένα συντηρητικό σύστημα, από το πλήθος των επιτρεπτών μετατοπίσεων, εκείνες που αντιστοιχούν στην ισορροπία του συστήματος ελαχιστοποιούν την ολική δυναμική ενέργεια του συστήματος. Έστω x i, i = 1,, n είναι οι μετατοπίσεις ενός συστήματος οι οποίες εκφράζουν και τους βαθμούς ελευθερίας. Το σύστημα λέμε ότι είναι σε ι- σορροπία όταν η ολική ενέργεια του συστήματος Π(x) γίνει ελάχιστη. Το

20 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 3 Π(x) γίνεται ελάχιστο όταν είναι: Π = 0, i = 1,,3,, n εξισώσεις ισορροπίας (1.4.) x i Οι n εξισώσεις της (1.4.) αποτελούν της εξισώσεις ισορροπίας του συστήματος, οι οποίες υπό μορφή μητρώου είναι: Ï Π Ô x 1 Ô Ï0 Ô Π Ô x 0 Ô Ô Ô Ô Ì = Ì Ô Ô Ô Ô Ô Ô Ô Π Ó0Ô Ô x Ô Ó n εξισώσεις ισορροπίας (1.4.3) Παράδειγμα 1.1: Ένα ελατήριο με σταθερά δύναμη F Δίδεται ένα ελατήριο με σταθερά k, και εφαρμόζεται μια δύναμη F στο ελεύθερο άκρο του, σχήμα Π1.1 Να ευρεθεί η εξίσωση ισορροπίας του συστήματος. k A x F k A Σχήμα Π1.1 Ελατήριο με σταθερή δύναμη F Λύση To σύστημα έχει ένα βαθμό ελευθερίας, την μετατόπιση x του ελατηρίου. Η δυναμική ενέργεια Π του συστήματος είναι: Π = U W 1 = kx xf

21 4 Κεφάλαιο 1 Η δυναμική ενέργεια Π γίνεται ελάχιστη όταν ελαχιστοποιήσουμε την Π ως προς το x και είναι Π = 0 x Η εξίσωση ισορροπίας προκύπτει από την παραπάνω εξίσωση (α) και είναι: kx F = 0 ή kx = F είναι η εξίσωση ισορροπίας του συστήματος. (α) Παράδειγμα 1.: Τρία ελατήρια στη σειρά Να υπολογισθούν οι εξισώσεις ισορροπίας και οι μετατοπίσεις x 1, x και x 3, του συστήματος των ελατηρίων σχήμα Π1.. Δίνονται οι σταθερές των ελατηρίων k i από i = 1,, 3 και τα συγκεντρωμένα φορτία F 1, F και F 3. x 1 x x 3 k 1 k k 3 Λύση F 1 F F 3 Σχήμα Π1. Τρία ελατήρια στην σειρά Το σύστημα έχει 3 βαθμούς ελευθερίας, τις μετατοπίσεις x 1, x και x 3. Η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι: Π = U- W ή Π = 1 kx xf 1 1 (το ελατήριο k 1, έχει ολική επιμήκυνση x 1 ) 1 + k (x - x 1 ) - x F (το ελατήριο k, έχει ολική επιμήκυνση x x 1 ) 1 + k(x x) - xf 3 3 (το ελατήριο k 3, έχει ολική επιμήκυνση x 3 x ) Η δυναμική ενέργεια Π γίνεται ελάχιστη όταν ελαχιστοποιήσουμε την Π ως προς τους 3 βαθμούς ελευθερίας x 1, x και x 3 και είναι:

22 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 5 Π = 0, i = 1,,3 x i Οι εξισώσεις ισορροπίας προκύπτουν από το παραπάνω σύστημα των εξισώσεων και είναι: Π = k 1- k (x - x 1 ) - F 1 = (k1+ k )x1-kx -F1 = 0 x 1 ή (k1+ k )x1- kx = F1 (α) Π = k (x - x 1 ) - k 3 (x 3 - x ) - F = x =- kx + (k + k)x -kx - F= ή - kx 1+ (k + k)x 3 - kx 3 3 = F (β) Π = k(x x) - F 3 = 0 x - kx 3 + kx 3 3 = F3 (γ) Οι εξισώσεις ισορροπίας (α), (β) και (γ) υπό μορφή μητρώων είναι Èk1+ k -k 0 Ïx1 ÏF1 Í Ô Ô Ô Ô - k k + k - k Ìx = ÌF Í 3 3 Í 0 -k3 k Ô 3 x Ô Ô 3 F Ô 3 Î Ó Ó ή K D= F (δ) Èk1+ k -k 0 όπου: Κ = Í Í - k k + k3 -k3, το μητρώο δυσκαμψίας του συστήματος ÍÎ 0 -k3 k 3 Το Κ είναι συμμετρικό μητρώο και είναι διαστάσεων 3 3 (όπου 3 είναι οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος). Ïx1 Ô Ô D = Ìx, το διάνυσμα των αγνώστων μετατοπίσεων Ô Ó x3 Ô

23 6 Κεφάλαιο 1 και F = ÏF1 Ô Ô ÌF, το διάνυσμα του εξωτερικού φορτίου, Ô Ó F3 Ô Για να υπολογίσουμε το διάνυσμα των αγνώστων μετατοπίσεων D, από το σύστημα (δ) έχουμε: D = Κ 1 F όπου Κ 1 = ο αντίστροφος πίνακας του Κ Ï 1 Ïx Èk k k 0 F Ô Ô Í Ô Ô Ìx = Í - k k + k3 -k3 ÌF Ôx Ô 3 0 k3 k Ô 3 F Ô Ó ÍÎ - Ó 3 Από τις παραπάνω εξισώσεις υπολογίζονται οι μετατοπίσεις x 1, x και x 3. Γενική παρατήρηση Όσον αφορά την δυναμική ενέργεια ενός συστήματος μπορεί να γραφεί υπό γενική μορφή: 1 T T Π = DKD-DF (1.4.4) όπου: K είναι το μητρώον δυσκαμψίας, D είναι το διάνυσμα των μετατοπίσεων και F είναι το διάνυσμα των εξωτερικών φορτίων της κατασκευής. Από την μερική παραγώγιση Π = 0 (1.4.5) D καταλήγουμε στις εξισώσεις ισορροπίας: K D = F (1.4.6) Παράδειγμα 1.3: Σύστημα ελατηρίων Να υπολογισθούν οι εξισώσεις ισορροπίας της κατασκευής σχήμα Π1.3. Δίνονται οι σταθερές των ελατηρίων k i από i = 1,, 4 και τα συγκεντρωμένα φορτία F 1 και F 3.

24 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 7 k k 3 x x 3 k 4 F 3 x 1 Λύση k 1 Σχήμα Π1.3 Σύστημα ελατηρίων Το σύστημα έχει 3 βαθμούς ελευθερίας, τις μετατοπίσεις x 1, x και x 3. Η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι: Π = U W Η ενέργεια παραμόρφωσης του συστήματος U είναι το άθροισμα των ενεργειών παραμόρφωσης των τεσσάρων ελατηρίων U = U1+ U + U3 + U4 1 όπου U1 = k 1(x1- x ) (το ελατήριο k 1, έχει ολική επιμήκυνση x 1 x ) 1 U = kx (το ελατήριο k, έχει ολική επιμήκυνση x ) 1 U3 = k 3(x3 - x ) (το ελατήριο k 3, έχει ολική επιμήκυνση x 3 x ) 1 U4 = k4x3 (το ελατήριο k 4, έχει ολική επιμήκυνση x 3 ) Το έξωτερικό έργο είναι W = x1f1+ x3f3 Η δυναμική ενέργεια Π γίνεται Π = k 1(x1- x ) + kx + k 3(x3 - x ) + k4x3 -x1f1-x3f3 U Οι εξισώσεις ισορροπίας του συστήματος υπολογίζονται από τις μερικές παράγωγους της Π ως προς τους 3 βαθμούς ελευθερίας x 1, x και x 3 και είναι: F 1 W

25 8 Κεφάλαιο 1 Έχουμε: Π = 0, i = 1,,3 x i Π = k(x 1 1- x ) - F 1 = 0 x 1 Π x 3 ( ) =-k(x - x ) + kx -k x - x = Π = k(x x) + kx F 3 = 0 x Οι παραπάνω εξισώσεις ισορροπίας υπό μορφή μητρώων είναι: È k1 -k1 0 Ïx1 ÏF1 Í k1 k1 k k3 k Ô Ô Ô Ô Í Ìx = Ì0 Í 0 k3 k3 k Ô 4 x Ô Ô 3 F Ô Î Ó Ó K 3 3 D 31 F 31 (α) Οι άγνωστες μετατοπίσεις x 1, x και x 3 υπολογίζονται από την λύση του συστήματος (α). Παρατηρούμε ότι το μητρώο Κ του συστήματος είναι συμμετρικό της τάξεως 3 3, όπου 3 είναι οι βαθμοί ελευθερίας του συστήματος. β) Ελαστικό σώμα Σε ένα σώμα όταν ασκούνται φορτία, αναπτύσσονται τάσεις και παραμορφώσεις. Θεωρούμε ότι το σώμα έχει συμπεριφορά ελαστική και γραμμική και αποτελείται από ισότροπο υλικό. Η σχέση της τάσης-παραμόρφωσης (σ ε), σε ένα σημείο εντός του σώματος (Κεφάλαιο ) είναι: {σ} = [Ε] {ε} [Ε] {ε ο } + {σ ο } (1.4.7) όπου {σ} = [σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx ] Τ οι τάσεις [Ε] = το μητρώο ελαστικότητας ή το μητρώο του υλικού είναι συμμετρικό μητρώο, διαστάσεων 6 6 {ε} = [ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx ] Τ οι παραμορφώσεις {ε ο } οι αρχικές παραμορφώσεις και

26 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 9 {σ ο } οι αρχικές τάσεις (residual stresses) π.χ. λόγω θερμικής κατεργασίας μετάλλου H ολική ενέργεια παραμόρφωσης ανά μονάδα όγκου είναι U o = {σ} Τ Êέργο F ˆ {ε} ή 3 Ë Áόγκο (1.4.8) και εκφράζει το έργο των εσωτερικών τάσεων και αποταμιεύεται σαν ενέργεια σε ένα ελαστικό σώμα. Η μεταβολή της du o είναι: T { } { } du = σ dε = σ dε + σ dε τ dγ o x x y y zx zx Παραγωγίζουμε την παραπάνω σχέση και έχουμε: Uo Uo Uo = σ x, = σ y,..., = τzx ε ε γ x y zx Υπό μορφή μητρώων είναι: Ï Uo Ì = { σ} = [ E]{} ε - [ Ε]{ εο} + { σo} Ó ε Ολοκληρώνουμε την παραπάνω σχέση ως προς την μεταβλητή {ε} και έχουμε: 1 Τ Τ Τ U o = { ε} [ Ε]{ ε} { ε} [ Ε]{ ε ο} + { ε} { σ ο} (1.4.9) Η ολική ενέργεια παραμόρφωσης του σώματος όγκου V είναι U = Ú V V U dv o Ê 1 Τ Τ Τ ˆ = Ú Á {ε} [Ε]{ε} - {ε} [Ε]{ε ο } + {ε} {σ ο } dv Ë (1.4.10) Το εξωτερικό έργο W δημιουργείται από τα εξωτερικά φορτία που ασκούνται επί του σώματος όγκου V και είναι T T T Ú{ } { } Ú { } { } { } { } (1.4.11) W = u F dv+ u T ds+ D P V S

27 30 Κεφάλαιο 1 όπου {u} Τ = [u v w] οι μετατοπίσεις ενός σημείου ως προς τους άξονες Χ, Υ και Ζ και είναι u = u(x, y, z ), v = v(x, y, z) και z = z(x, y, z) {F} = [F x F y F z ] Τ F οι δυνάμεις πεδίου (δύναμη ανά όγκο, 3 ), Όπως για παράδειγμα οι δυνάμεις της βαρύτητας και οι φυγοκεντρικές δυνάμεις: {T} = [T x T y T z ] Τ F οι δυνάμεις επιφανείας (δύναμη ανά επιφάνεια, ) S = εμβαδόν επιφανείας σώματος {P} = συγκεντρωμένο φορτίο στους κόμβους (μονάδα δύναμη, F) {D} οι κομβικές μετατοπίσεις (μονάδα μήκος, ) Η ολική δυναμική ενέργεια Π δίνεται από την εξίσωση (1.4.1) είναι: Π = U W Ú ή Π = UdV o - W = Ú V V Ê 1 Τ Τ Τ ˆ Á {ε} [Ε]{ε} - {ε} [Ε]{ε ο } + {ε} {σ ο } dv - Ë T T T Ú{u}{F}dV Ú {u}{t}ds {D}{P} (1.4.1) V S Η εξίσωση (1.4.1) είναι γενική και θα την χρησιμοποιήσουμε στα περισσότερα κεφάλαια του βιβλίου. Ακολουθούν παραδείγματα. Παράδειγμα 1.4: Ράβδος με αξονικό φορτίο και με προϋπάρχουσες σο και εο Δίδεται η ράβδος του σχήματος Π1.4, με εμβαδόν διατομής Α, μέτρο ελαστικότητας Ε και μήκος. Στο ελεύθερο άκρο ασκείται συγκεντρωμένο φορτίο P κατά την αξονική κατεύθυνση της ράβδου. Η ράβδος έχει προυπάρχουσα τάση (residual stress) σ ο και ανηγμένη παραμόρφωση ε ο. Να υπολογισθεί η επιμήκυνση D στο άκρο της ράβδου, καθώς και η αναπτυσσόμενη τάση σ x.

28 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 31 Ε, Α σ, ο ε, ο Ε, Α D P X Σχήμα Π1.4 Ράβδος με αρχική παραμόρφωση ε ο, αρχική τάση σ ο (residual stress) και με αξονικό φορτίο Ρ. Λύση Η ολική δυναμική ενέργεια της ράβδου δίνεται από την (1.4.15) και είναι: Ê 1 Τ Τ Τ ˆ Π = Ú Á ε Εε - ε Εεο + ε σο dv-dp (1) Ë V Αντικαθιστούμε όπου ε x = D / στην (1) και έχουμε Ê 1D D D ˆ Π = Ú Á E- Eε ο + σο dv-dp Ë V Ê 1D D D ˆ = Á E- Eε ο + σο Α-DP Ë Η εξίσωση ισορροπίας προκύπτει από τη σχέση Π = 0 D Π Ê1 DE 1 1 ˆ ή = Á - Eε ο + σο A - P = 0 D Ë P D = AE + ε Ε ή 0 σ ο H τάση σ x δίδεται από την σχέση (1.4.7) D P σ χ=εε Eε ο+σ ο =Ε Eε ο+σ ο = A

29 3 Κεφάλαιο 1 Παράδειγμα 1.5: Ράβδος δικτυώματος Στη ράβδο δικτυώματος ij ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις σχήμα Π1.5α. Στον κόμβο i ασκούνται οι δυνάμεις p i και q i, και στον κομβο j οι δυνάμεις p j και q j.. Δίδονται τα εξής στοιχεία της ράβδου: το μήκος, η διατομή Α, το μέτρο ελαστικότητας Ε, η γωνία θ και ο συντελεστής θερμικής διαστολής α. v j, q j j Y v i, q i Α, Ε u j, p j i θ u i, p i Δ = (u j u i ) cosθ + (v j v i ) sinθ ε = Δ / σ = Εε = Ε(Δ / ) X θ = 0 u i, p i i Α, Ε, j u j, p j X θ = 0 Δ = u j u i ε = Δ / = (u j u i ) / σ = Εε = Ε(u j u i )/ Σχήμα Π1.5 Ράβδος δικτυώματος α) σε γωνία θ και β) σε γωνία θ=0. α) Να ευρεθούν: οι εξισώσεις ισορροπίας, το μητρώο δυσκαμψίας της ράβδου, οι κομβικές μετατοπίσεις u i, v j, u j και v j και η παραμόρφωση και η τάση. β) Όταν η γωνία είναι θ=0 να ευρεθούν το μητρώο δυσκαμψίας της ράβδου, η παραμόρφωση και η τάση.

30 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 33 γ) Όταν είναι θ=0 και επιπλέον των μηχανικών φορτίων έχουμε μεταβολή της θερμοκρασίας κατά Τ ο βαθμούς, να ευρεθεί η παραμόρφωση και η τάση. Λύση Η ράβδος έχει 4 βαθμούς ελευθερίας, γιατί υπάρχουν 4 μετατοπίσεις οι ε- ξής: στον κόμβο i είναι οι u i, v j, και στον κόμβο j οι u j και v j, σχήμα Π1.5α. Η ολική δυναμική ενέργεια της ράβδου είναι: Π = U W (1) όπου W = piui + qivi + pjuj+ qjvj το εξωτερικό έργο των δυνάμεων () U η εσωτερική ενέργεια της ράβδου, όγκου V = A, Ê ΔˆÊΔˆ AE Δ U = σ ε V = ( Eε) ε V = ÁE ( A) = Ë Á Ë H μεταβολή του μήκους της ράβδου Δ είναι Δ = (u j u i ) cosθ +(v j v i ) sinθ = (u j u i )c + (v j v i )s όπου c = cosθ και s = sinθ. Αντικαθιστούμε το Δ στην U και είναι U = ΑΕ ((u j u i )c +(v j v i )s) (4) Αντικαθιστούμε την () και (3) στην (1) έχουμε Π = ΑΕ ((u j u i )c + (v j v i )s) p i u i q i v i p j u j q j v j (5) Οι εξισώσεις ισορροπίας είναι 4 όσοι είναι και οι βαθμοί ελευθερίας και είναι οι εξής: Π Π Π Π = 0, = 0, = 0, = 0 (6) u v u v i i j j Από την (5) και (6) έχουμε: Π AE =0, ( u j c u i c v j sc vsc) i p i ui = Π AE = 0, (- u cs + u cs - v s + v s ) = q v i j i j i i (3)

31 34 Κεφάλαιο 1 Π u j Π v j AE = 0, (u c - u c + v sc - v sc) = p j i j i j AE = 0, (u cs - u cs + v s - v s ) = q j i j i j Όπου c = cosθ και s = sinθ (7) ή α) Οι παραπάνω εξισώσεις ισορροπίας γράφονται υπό μορφή πινάκων u v u v i i j j È c cs -c -sc Ïui Ïpi Í Ô v AE cs s cs s i q Í - - Ô Ô Ô iô Í Ì c cs c sc u = Ì j p j Í- - Ô Ô Ô Ô Í Ô cs s cs s vj Ô Ô qj Ô - - Ó Ó Î d, 4 1 F, 4 1 K d = F K, 4 4 Από την εξίσωση ισορροπίας (8) υπολογίζονται οι άγνωστες κομβικές μετατοπίσεις u i, v i, u j και v j. Το μητρώον δυσκαμψίας K είναι συμμετρικό της τάξεως 4 4. u v u v i i j j È c cs -c -sc Í AE Í cs s -cs s K = Í Í-c -cs c sc Í Î-cs -s cs s (8) όπου c = cosθ και s = sinθ (9) Παρατήρηση Το μητρώο δυσκαμψίας (stiffness matrix) στην ελληνική βιβλιογραφία το ονομάζουν μητρώο ακαμψίας ή και μητρώο στιβαρότητας. Η παραμόρφωση ε είναι ε = Δ/ = [(u j u i )cosθ + (v j v i ) sinθ] / H τάση σ είναι

32 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 35 σ = Εε = Ε(u j u i ) cosθ + (v j v i ) sinθ]/ β) Όταν θ = 0 o (c = cos0 o = 1 και s = sin0 o = 0) σχήμα Π1.5, η ράβδος έχει βαθμούς ελευθερίας που αντιστοιχούν στις οριζόντιες μετατοπίσεις u i και u j. Απαλείφουμε τις γραμμές και τις στήλες που αντιστοιχούν στις κατακόρυφες μετατοπίσεις v i και v j εξίσωση (8) και έχουμε ui uj AE È 1-1 Ô Ïu p i Ô Ï i Í 1 1 Ì = Ì u p Î- ÔÓ j Ô ÔÓ jô Το μητρώο δυσκαμψίας της ράβδου για θ=0 o είναι ui uj AE È 1-1 K = Í -1 1 Î H μεταβολή του μήκους της ράβδου Δ είναι Δ = u j u i η παραμόρφωση λόγω του συγκεντρωμένου φορτίου είναι: ε = Δ/ = (u j u i )/ η τάση είναι: σ = Εε = Ε(u j u i )/. (10) (11) γ) Η παραμόρφωση ε λόγω των φορτίων και της μεταβολής της θερμοκρασίας κατά Τ ο είναι: ε = ε - ε = (u j u i ) / ατ ο φορτίο Η τάση είναι: σ = σ φορτίο Τ ο - σ = Ε(u j u i )/ ΕαΤ ο. Τ ο 1.5 Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ RAYEIGH-RITZ H μέθοδος του Rayleigh-Ritz είναι μια γενική μέθοδος. Στο παρόν κεφάλαιο θα εφαρμοσθεί η μέθοδος του Rayleigh-Ritz με την χρήση της ολικής δυναμικής ενέργειας.

33 36 Κεφάλαιο 1 α) Η κλασική μέθοδος του Rayleigh-Ritz Θεωρούμε ότι έχουμε ένα σώμα (ή μια κατασκευή) που έχει ελαστική συμπεριφορά, ασκούνται δυνάμεις και θέλουμε να υπολογίσουμε τις μετατοπίσεις του σώματος. Με την κλασική μέθοδο του Rayleigh-Ritz, οι μετατοπίσεις u, v και w οι οποίες είναι παράλληλες ως προς τους άξονες X, Y και Z θεωρούμε ότι δίνονται προσεγγιστικά από τις σχέσεις: l u = Â a f, όπου f = f ( x, y, z ), i = 1,...,l (1.5.1) i= 1 m j= 1 i i v b g, = Â όπου ( ) n w c h, k= 1 j k j = Â όπου ( ) k i j i g = g x, y,z, j = 1,..., m (1.5.) k j h = h x, y,z, k = 1,..., n (1.5.3) όπου: f,g, i j h k συνήθως είναι πολυώνυμα, a,b i j και c k είναι άγνωστοι και θα υπολογισθούν παρακάτω. k Οι προσεγγιστικές λύσεις των u, v και w πρέπει να είναι κινηματικά επιτρεπτές, δηλαδή να ικανοποιούν τις κινηματικές οριακές συνθήκες (τις μετατοπίσεις). Η δυναμική ενέργεια του συστήματος είναι της μορφής: Π = Π(a,...,a,b,...,b,c,...c ), 1 l 1 m 1 n και έχουμε τις l+m+n εξισώσεις ισορροπίας: Π = 0, i = 1,..., l a i Π = 0, j = 1,..., m b j Π = 0, k = 1,...,n c k (1.5.4α) (1.5.4β) (1.5.4γ) Aπό το πλήθος των l+m+n εξισώσεων, υπολογίζονται οι l+m+n άγνωστοι a,b i j και c k.

34 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 37 Παράδειγμα 1.6: Rayleigh-Ritz, Μονόπακτη ράβδος Δίδεται ράβδος μήκους, διατομής Α και μέτρου ελαστικότητας Ε. Η ράβδος στο ένα άκρο είναι πακτωμένη ενώ στο άλλο είναι ελεύθερη. Ασκείται φορτίο κατά μήκος της ράβδου q = cx (δύναμη/μήκος) όπου c είναι μια σταθερά με μονάδες δύναμη ανά μήκος στο τετράγωνο, σχήμα Π1.6. Να υπολογισθεί η μετατόπιση και αναπτυσσόμενη τάση στην ράβδο. Η συμπεριφορά της ράβδου είναι ελαστική και γραμμική. q=cx δύναμη/μήκος x X Λύση Σχήμα Π1.6 Ράβδος με συνεχές φορτίο. Η ολική δυναμική ενέργεια της ράβδου Π είναι: Π = U W όπου: W = Ú qudx και q = c x o U = Ú U dv η ενέργεια παραμόρφωσης (1) V o Η U o είναι η ενέργεια παραμόρφωσης ανά μονάδα όγκου. Για την περίπτωση της ράβδου είναι: 1 1 o x x ( x) 1 Ê U σ ε Eε ε du ˆ = = x = E Ë Á dx. Αντικαθιστούμε την U o από την παραπάνω εξίσωση στην (1) και θέτουμε όπου dv = Adx έχουμε: 1 Êduˆ U = Ú EÁ Adx Ëdx o ( )

35 38 Κεφάλαιο 1 Άρα o 0 1 Êduˆ Π = EÁ Adx - cxu dx Ë dx Ú Ú () Σκοπός είναι να υπολογίσουμε την άγνωστη μετατόπιση u. Υποθέτουμε ότι η μετατόπιση u ορίζεται από μία συνάρτηση, και βάση αυτής λύνουμε το πρόβλημα. Για να εφαρμοσθεί η μέθοδος του Rayleigh-Ritz, πρέπει η συνάρτηση της μετατόπισης u να είναι επιτρεπτή συνάρτηση, δηλαδή πρέπει να ικανοποιεί τις κινηματικές οριακές συνθήκες (γεωμετρικές συνθήκες), αλλά δεν υποχρεούται να ικανοποιεί τις φυσικές οριακές συνθήκες (δυνάμεις, ροπές, τάσεις). Θα εξετάσουμε ξεχωριστά διάφορες επιτρεπτές συναρτήσεις και θα συγκρίνουμε τα αποτελέσματά τους. Οι παρακάτω περιπτώσεις θα εξετασθούν u = ax u = a 1 x + a x u = a 1 x + a x + a 3 x 3 u = a 1 x + a x + a 3 x a m x m (γραμμική μορφή) (παραβολική μορφή) (κυβική μορφή) (πολυώνυμο m βαθμού) Άγνωστοι είναι οι συντελεστές a, a 1, a, a m τους οποίους και θα υπολογίσουμε παρακάτω. Στο σχήμα Π1.4 στο αριστερό μέρος της ράβδου, x=0 έχουμε πάκτωση, αρα η κινηματική ή γεωμετρική οριακή συνθήκη είναι: u=0. Παρατηρούμε ότι οι παραπάνω συναρτήσεις είναι επιτρεπτές συναρτήσεις γιατί ικανοποιούν την παραπάνω κινηματική οριακή συνθήκη, δηλαδή για x=0 είναι u=0. 1) Δοκιμή με u = ax (3) Η συνάρτηση u είναι επιτρεπτή συνάρτηση γιατί είναι u=0 για x=0. Η u δεν ικανοποιεί την φυσική οριακή συνθήκη σ=0 για x=, αλλά δεν πειράζει γιατί δεν απαιτείται να ικανοποιείται η συνθήκη. Αντικαθιστούμε στην Π όπου u = ax και έχουμε E dax Π= Adx dx EA c = a 3 a cxaxdx

36 Γενικά περί των Πεπερασμένων Στοιχείων 39 Η εξίσωση ισορροπίας υπολογίζεται από τη σχέση: Π = a 0 ή ΕΑ c a - = 0 3 c Άρα a =, και από την (3) έχουμε ότι η μετατόπιση είναι: 3AE Êc x ˆ d du Á Ë 3AE c Η oρθή τάση σ είναι: σ = Eε = E = E = dx dx 3A 3 u= c 3AE x ) Δοκιμή με u = a 1 x +a x (4) Αντικαθιστούμε την τιμή της (4) στη () έχουμε E d(a1x + ax ) Adx cx (a1x ax )dx dx 0 0 Π= + 3 ( 1 ) E = a + ax Adx (cax + cax)dx ( ) EA = a + 4a a x + 4a x dx (ca x + ca x )dx EA 4 = a + aa+ a c a c a Οι εξισώσεις ισορροπίας του συστήματος είναι: Π = 0 a 1 1 και Π = 0 a Π EA = 0, ( 1 ) a c a + a - = c ή AE(a1 + a) = (5.α) 1 Παρόμοια Π EA Ê = 0, 4 3ˆ c Áa1 + a - = 0 a Ë

37 40 Κεφάλαιο c ή AE(a1 + a ) = (5.β) 3 1 Υπό μορφήν μητρώων οι εξισώσεις (5.α) και (5.β) γίνονται: 3 Ï 1 4c È Ô Ô AE 4 3 Î 3 c ÔÓ1 Ô Í Ïa1 Ô 1 Ô = Í Ì Ì Ó a Ô 4 Ô Ïa1 c Ï7 και έχουμε: Ì = Ì Óa 1AE Ó-3 Αντικαθιστούμε τις παραπάνω τιμές των a 1 και a στην (4) έχουμε c u = (7x 3x ) 1AE Η τάση στην ράβδο είναι σ=ε du c (7 6x) dx = 1A 3) Δοκιμή με u = a 1 x+a x +a 3 x 3 (6) Εφαρμόζουμε την μέθοδο του Rayleigh-Ritz και ευρίσκουμε ότι c c a =, a 1 = 0 και a3 = - AE 6AE αντικαθιστούμε τις παραπάνω τιμές στην εξίσωση (6) έχουμε: c 3 u = (3 x- x ) 6AE Η υπολογισθείσα τιμή της u είναι η ακριβής λύση, και συμπίπτει με την αναλυτική λύση. du c Η τάση είναι: σ = Eεx = Ε = ( - x ) dx A 4) Δοκιμή με u = a 1 x + a x + a 3 x a m x m (7) Εφαρμόζουμε την μέθοδο του Rayleigh-Ritz και ευρίσκουμε ότι c c a =, a 1 = 0, a3 = - και a 4 =... = am = 0 AE 6AE Αυτό σημαίνει ότι αν το πολυώνυμο της τρίτης τάξεως δίνει ακριβή λύση, τότε οι συντελεστές του πολυωνύμου με υψηλότερους όρους είναι μηδέν και συνεπώς δεν χρειάζεται να εξετάζουμε πολυώνυμα υψηλότερης τάξης του τρία.

Θέμα: ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΓΩΓΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΜΕ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΙΕΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ.

Θέμα: ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΓΩΓΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΜΕ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΙΕΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ Θέμα: ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΑΓΩΓΟΥ ΜΕΓΑΛΟΥ ΜΗΚΟΥΣ ΜΕ ΕΣΩΤΕΡΙΚΗ ΠΙΕΣΗ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ. Φοιτητές

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: Εφαρμογές των πεπερασμένων στοιχείων στην επίλυση προβλημάτων, με την χρήση του προγράμματος ANSYS.

Θέμα: Εφαρμογές των πεπερασμένων στοιχείων στην επίλυση προβλημάτων, με την χρήση του προγράμματος ANSYS. ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΣΕΡΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ Θέμα: Εφαρμογές των πεπερασμένων στοιχείων στην επίλυση προβλημάτων, με την χρήση του προγράμματος ANSYS.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΜΕΣΟΥ έκδοση DΥΝI-DCMB_2016b Copyright

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A. 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ A 1 Εισαγωγή στην Ανάλυση των Κατασκευών 3 1.1 Κατασκευές και δομοστατική 3 1.2 Διαδικασία σχεδίασης κατασκευών 4 1.3 Βασικά δομικά στοιχεία 6 1.4 Είδη κατασκευών 8 1.4.1 Δικτυώματα 8

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18

Πρόλογος... 15. Οι συγγραφείς... 18 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Οι συγγραφείς... 18 1 Θεμελιώδεις έννοιες... 19 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 19 1.2 ΙΣΤΟΡΙΚΟ... 19 1.3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ... 20 1.4 ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ... 20 1.5 ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ...

Διαβάστε περισσότερα

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Εισαγωγή Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Δ03-2 Οι ενεργειακές μέθοδοι αποτελούν τη βάση για υπολογισμό των μετακινήσεων, καθώς η μετακίνηση εισέρχεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Επίλυση υπερστατικών φορέων Για την επίλυση των ισοστατικών φορέων (εύρεση αντιδράσεων και μεγεθών έντασης) αρκούν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2016 A2. Δικτυώματα Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr A2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 1 Τι είναι ένα δικτύωμα Είναι ένα σύστημα λεπτών,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ Κ. Β. ΣΠΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητής ΕΜΠ Πορεία επίλυσης. Ευρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 3. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 3 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Περιεχόμενα: Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Επανάληψη: Διακριτά στοιχεία μηχανικών δυναμικών συστημάτων Δυναμικά

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστηριακή Άσκηση 4 Προσδιορισμός του μέτρου στρέψης υλικού με τη μέθοδο του στροφικού εκκρεμούς.

Εργαστηριακή Άσκηση 4 Προσδιορισμός του μέτρου στρέψης υλικού με τη μέθοδο του στροφικού εκκρεμούς. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Όνομα : Κάραλης Νικόλας Α/Μ: 09104042 Εργαστηριακή Άσκηση 4 Προσδιορισμός του μέτρου στρέψης υλικού με τη μέθοδο του στροφικού

Διαβάστε περισσότερα

Πλαστική Κατάρρευση Δοκών

Πλαστική Κατάρρευση Δοκών Πλαστική Κατάρρευση Δοκών ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σταδιακή Μελέτη Πλαστικής Κατάρρευσης o Παράδειγμα 1 (ισοστατικός φορέας) o Παράδειγμα 2 (υπερστατικός φορέας) Αμεταβλητότητα Φορτίου Πλαστικής Κατάρρευσης Προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου

Δυναμική Μηχανών I. Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου Δυναμική Μηχανών I 8 1 Δυναμικά Μοντέλα Συνεχούς Μέσου 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ Εισαγωγή Συστήματα συντεταγμένων. 7

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. 1. ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ Εισαγωγή Συστήματα συντεταγμένων. 7 Στατική των γραμμικών φορέων ix ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ σελ. 1. ΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΦΟΡΕΙΣ. 1 1.1 Εισαγωγή.. 3 1.2 Συστήματα συντεταγμένων. 7 2. Η ΚΙΝΗΣΗ ΚΑΙ Η ΣΤΗΡΙΞΗ ΤΟΥ ΔΙΣΚΟΥ ΑΝΤΙΔΡΑΣΕΙΣ 13 2.1 Η κίνηση και η στήριξη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 1. Εισαγωγικές έννοιες στην μηχανική των υλικών Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενο μαθήματος Μηχανική των Υλικών: τμήμα των θετικών επιστημών που

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Ισοστατικά πλαίσια με συνδέσμους (α) (β) Στατική επίλυση ισοστατικών πλαισίων

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Οι συγγραφείς... 18

Πρόλογος Οι συγγραφείς... 18 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Οι συγγραφείς... 18 1 Θεμελιώδεις έννοιες... 19 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 19 1.2 ΙΣΤΟΡΙΚΟ... 19 1.3 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ... 20 1.4 ΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ... 20 1.5 ΣΥΝΟΡΙΑΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ...

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ:

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : 8-9-, :-: ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΟΝΟΜΑ :......

Διαβάστε περισσότερα

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής

1.1. Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Εισαγωγή στις συνήθεις διαφορικές εξισώσεις 9 Διαφορική Εξίσωση και λύση αυτής Σε ότι ακολουθεί με τον όρο συνάρτηση θα εννοούμε μια πραγματική συνάρτηση μιας πραγματικής μεταβλητής, ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15

ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 11 ΕΙΣΑΓΩΓΗ... 15 1. Εισαγωγικές έννοιες... 17 1.1 Φορτία... 17 1.2 Η φέρουσα συμπεριφορά των βασικών υλικών... 22 1.2.1 Χάλυβας... 23 1.2.2 Σκυρόδεμα... 27 1.3 Η φέρουσα συμπεριφορά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 016 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 6. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας Ακτίνα καμπυλότητας 2 Εισαγωγή (1/2) Μελετήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Ενεργειακή Θεώρηση των Ταλαντώσεων

Ενεργειακή Θεώρηση των Ταλαντώσεων Κεφάλαιο : Ενεργειακή Θεώρηση των Ταλαντώσεων Κεφάλαιο : Ενεργειακή Θεώρηση των Ταλαντώσεων Ο μηχανισμός της ταλάντωσης ενός μηχανικού συστήματος είναι η συνεχής ιακίνηση ενέργειας μεταξύ των ελαστικών

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Παραμορφώσεις ανομοιόμορφων ράβδων

2.1 Παραμορφώσεις ανομοιόμορφων ράβδων ΑΞΟΝΙΚΗ ΦΟΡΤΙΣΗ 9 Αξονική φόρτιση. Παραμορφώσεις ανομοιόμορφων ράβδων. Ελαστική ράβδος ΑΒ μήκους, Γ B μέτρου ελαστικότητας Ε και / συντελεστή θερμικής διαστολής α, είναι πακτωμένη στα σημεία Α και Β και

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 202 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ( η περίοδος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Οι γραμμικοί φορείς. 1.1 Εισαγωγή 1.2 Συστήματα συντεταγμένων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Οι γραμμικοί φορείς. 1.1 Εισαγωγή 1.2 Συστήματα συντεταγμένων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Οι γραμμικοί φορείς 1.1 Εισαγωγή 1.2 Συστήματα συντεταγμένων 2 1. Οι γραμμικοί φορείς 1.1 Εισαγωγή 3 1.1 Εισαγωγή Για να γίνει ο υπολογισμός μιας κατασκευής, θα πρέπει ο μελετητής μηχανικός

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος

ιαλέξεις 24-27 Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Πέτρος Κωµοδρόµος ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 24-27 Αρχή υνατών Έργων (Α Ε) Τρίτη, 2, Τετάρτη, 3, Παρασκευή 5 και Τρίτη, 9 Νοεµβρίου, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 16.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 16. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 6. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: - Copyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών -. Με επιφύλαξη παντός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 2. Δικτυώματα Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 2. Δικτυώματα/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να είναι σε θέση ο φοιτητής να μπορεί να ελέγχει την ισο-στατικότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 4-Φορείς και Φορτία. Φ. Καραντώνη, Δρ. Πολ. Μηχανικός Επίκουρος καθηγήτρια

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ. ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 4-Φορείς και Φορτία. Φ. Καραντώνη, Δρ. Πολ. Μηχανικός Επίκουρος καθηγήτρια ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ 4-Φορείς και Φορτία Φ. Καραντώνη, Δρ. Πολ. Μηχανικός Επίκουρος καθηγήτρια Φ. Καραντώνη Τεχνική Μηχανική 1 φορείς Κάθε κατασκευή που μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ έκδοση DΥΝI-INTDYN_2016b Copyright

Διαβάστε περισσότερα

7. Στρέψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών. 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών

7. Στρέψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών. 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών 7. Στρέψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 7. Στρέψη/ Μηχανική Υλικών 2015 1 Εισαγωγή Σε προηγούμενα κεφάλαια μελετήσαμε πώς να υπολογίζουμε τις ροπές και τις τάσεις σε δομικά μέλη τα

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, Πέτρος Κωµοδρόµος Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1

ιαλέξεις Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, Πέτρος Κωµοδρόµος Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 13-15 Εισαγωγή στις Παραµορφώσεις και Μετακινήσεις Τρίτη, 5, και Τετάρτη, 6 και Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

2. Επίλυση Δικτυωμάτων με τις Μεθόδους Ευκαμψίας (ή Δυνάμεων)

2. Επίλυση Δικτυωμάτων με τις Μεθόδους Ευκαμψίας (ή Δυνάμεων) ΠΠΜ 221: Ανάλυση Κατασκευών με Mητρώα 2. Επίλυση Δικτυωμάτων με τις Μεθόδους Ευκαμψίας (ή Δυνάμεων) Εαρινό εξάμηνο 2015 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros Πέτρος Κωμοδρόμος,

Διαβάστε περισσότερα

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional).

x=l ηλαδή η ενέργεια είναι µία συνάρτηση της συνάρτησης . Στα µαθηµατικά, η συνάρτηση µίας συνάρτησης ονοµάζεται συναρτησιακό (functional). 3. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Η Μέθοδος των Πεπερασµένων Στοιχείων Σηµειώσεις 3. Ενεργειακή θεώρηση σε συνεχή συστήµατα Έστω η δοκός του σχήµατος, µε τις αντίστοιχες φορτίσεις. + = p() EA = Q Σχήµα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σκοπός της κινηματικής είναι η περιγραφή της κίνησης του ρευστού Τα αίτια που δημιούργησαν την κίνηση και η αναζήτηση των δυνάμεων που την διατηρούν είναι αντικείμενο της

Διαβάστε περισσότερα

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η Ανάλυση Ισοστατικών οκών και Πλαισίων Τρίτη,, 21, Τετάρτη,, 22 και Παρασκευή 24 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://medisp.bme.teiath.gr/eclass/ E-mail: gloudos@teiath.gr Σύνθεση και Ανάλυση Δυνάμεων και Ροπών

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα Θέματα Εξαμήνου - Matlab

Προτεινόμενα Θέματα Εξαμήνου - Matlab ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑ ΟΜΟΤΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΤΗΡΙΟ ΤΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΑΝΤΙΕΙΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ Ακαδ. Έτος: 2012-2013 Μάθημα: Εφαρμογές Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Τρίτη, 27/11/2012 ιδάσκοντες:

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων

Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής κ. Σ. Νατσιάβας Αριθμητικές μέθοδοι σε ταλαντώσεις μηχανολογικών συστημάτων Στοιχεία Φοιτητή Ονοματεπώνυμο: Νατσάκης Αναστάσιος Αριθμός Ειδικού Μητρώου:

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια)

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Μέθοδος των υνάμεων (συνέχεια) Παράδειγμα Π8-1 Μέθοδος των υνάμεων: 08-2 Να υπολογιστούν οι αντιδράσεις και να σχεδιαστεί το διάγραμμα ροπών κάθε μέλους του πλαισίου. [ΕΙ σταθερό] Το πλαίσιο στο σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooke:

Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooke: Άσκηση Μ Σπειροειδές ελατήριο Νόμος του Hooe και εξίσωση δυνάμεων Μεταξύ της τάσης και της ελαστικής παραμόρφωσης ενός σώματος υπάρχει μια απλή σχέση, ο νόμος του Hooe: Οι ελαστικές τάσεις και οι παραμορφώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων (συνέχεια)

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων (συνέχεια) Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων (συνέχεια) ο Θεώρημα Castigliano Δ06- Το ο ΘεώρημαCastigliano αποτελεί μια μέθοδο υπολογισμού της μετακίνησης (μετάθεσης ή στροφής) ενός σημείου του φορέα είτε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 5 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 6 Ιανουαρίου, Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα - ( μονάδες) Ένα όχημα, μαζί με ένα κανόνι που είναι ακλόνητο πάνω σε αυτό,

Διαβάστε περισσότερα

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου

Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τµήµα Αυτοµατισµού Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Ειδικά θέµατα Ανάλυσης συστηµάτων Σύνθεσης συστηµάτων ελέγχου Μελέτης στοχαστικών συστηµάτων. Καλλιγερόπουλος Σεµινάριο Αυτοµάτου Ελέγχου Ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (1)

Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (1) Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (1) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πλαστική Κατάρρευση Υπερστατικής Δοκού Πλαστική Κατάρρευση Συνεχούς Δοκού Η Εξίσωση Δυνατών Εργων Θεωρήματα Πλαστικής Αναλυσης Θεωρία Μηχανισμών

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι των δυνάµεων Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1

ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι των δυνάµεων Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 30-34 Μέθοδοι επίλυσης υπερστατικών φορέων: Μέθοδοι των δυνάµεων Τρίτη, 16, Τετάρτη, 17, Παρασκευή 19 Τρίτη, 23, και Τετάρτη 24 Νοεµβρίου 2004 Πέτρος

Διαβάστε περισσότερα

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων (συνέχεια)

Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων (συνέχεια) Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων (συνέχεια) Παράδειγμα Π4-1 Ενεργειακές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων: Δ04-2 Χρησιμοποιώντας την ΑΔΕ, να υπολογιστούν οι μετακινήσεις δ x και δ y του κόμβου

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ

ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 19//013 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ 1 υ (m/s) Σώμα μάζας m = 1Kg κινείται σε ευθύγραμμη τροχιά

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 30 Ιουνίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 30 Ιουνίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουνίου 11 Διδάσκων:, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης :15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ (1

Διαβάστε περισσότερα

ΠEPIEXOMENA. σελ. iii ΠΡΟΛΟΓΟΣ KEΦAΛAIO 1 ΟΡΘΕΣ ΚΑΙ ΙΑΤΜΗΤΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ,

ΠEPIEXOMENA. σελ. iii ΠΡΟΛΟΓΟΣ KEΦAΛAIO 1 ΟΡΘΕΣ ΚΑΙ ΙΑΤΜΗΤΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ, v ΠEPIEXOMENA ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΠEPIEXOMENA iii v KEΦAΛAIO 1 ΟΡΘΕΣ ΚΑΙ ΙΑΤΜΗΤΙΚΕΣ ΤΑΣΕΙΣ, ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΟΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ 1 1.1 Εισαγωγή 1 1.2 H µέθοδος των τοµών 2 1.3 Ορισµός της τάσης 3 1.4 Ο τανυστής των τάσεων

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (2)

Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (2) Μέθοδοι Ανάλυσης Απλών Δοκών & Πλαισίων (2) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πλαστική Κατάρρευση Υπερστατικής Δοκού Πλαστική Κατάρρευση Συνεχούς Δοκού Η Εξίσωση Δυνατών Εργων Θεωρήματα Πλαστικής Ανάλυσης Θεωρία Μηχανισμών

Διαβάστε περισσότερα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα

Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Γενικευμένα Mονοβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων 1 1. Είδη γενικευμένων μονοβαθμίων συστημάτων xu

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Σχήμα 2 Παραγόμενη Μονάδες S.I. όνομα σύμβολο Εμβαδό Τετραγωνικό μέτρο m 2 Όγκος Κυβικό μέτρο m 3 Ταχύτητα Μέτρο ανά δευτερόλεπτο m/s Επιτάχυνση Μέτρο ανά δευτ/το στο τετράγωνο m/s 2 Γωνία Ακτίνιο

Διαβάστε περισσότερα

Δισδιάστατη Αγωγή Θερμότητας: Γραφικές Μέθοδοι Ανάλυσης

Δισδιάστατη Αγωγή Θερμότητας: Γραφικές Μέθοδοι Ανάλυσης Δισδιάστατη Αγωγή Θερμότητας: Γραφικές Μέθοδοι Ανάλυσης ΜΜΚ 312 Μεταφορά Θερμότητας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Παραγωγής Διάλεξη 6 ΜΜΚ 312 Μεταφορά Θερμότητας Κεφάλαιο 4 1 Εισαγωγή Μέχρι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή

Κεφάλαιο 1: Εισαγωγή 1-1 Η Επιστήµη της Αντοχής των Υλικών, 1-2 Γενικές παραδοχές, 1-3 Κατάταξη δυνάµεων, 1-4 Είδη στηρίξεων, 1-5 Μέθοδος τοµών, Παραδείγµατα, 1-6 Σχέσεις µεταξύ εσωτερικών και εξωτερικών δυνάµεων, Παραδείγµατα,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Μέθοδος Cross Η μέθοδος Cross ή μέθοδος κατανομής των ροπών, χρησιμοποιείται για την επίλυση συνεχών δοκών και πλαισίων. Είναι παραλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1 ο (6.00 μον.) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ. Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ

ΘΕΜΑ 1 ο (6.00 μον.) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ. Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : -9-0, :00-:00 ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΟΝΟΜΑ :......

Διαβάστε περισσότερα

5. Θερμικές τάσεις και παραμορφώσεις

5. Θερμικές τάσεις και παραμορφώσεις 5. Θερμικές τάσεις και παραμορφώσεις Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 5. Θερμικές Τάσεις και Παραμορφώσεις/ Μηχανική Υλικών 2015 1 Περιεχόμενα ενότητας Επίδραση ορθών τάσεων στη μεταβολή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΚΟΜΒΩΝ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΚΟΜΒΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ ΕΣΩΤΕΡΙΚΕΣ ΕΛΕΥΘΕΡΩΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΕΝΩΝ ΚΟΜΒΩΝ Καθηγητής ΕΜΠ ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές µελέτης των κατασκευών 1

Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές µελέτης των κατασκευών 1 Περιεχόµενα Εισαγωγή Σύµβολα Ε1-Ε9 Σ1-Σ10 Κεφάλαιο 1 Βασικές αρχές µελέτης των κατασκευών 1 2. Σύµβαση πρόσηµων 2.1 Συστήµατα αναφοράς 2.2 υνάµεις και ροπές 2.3 Tάσεις 2.4 Τέµνουσες δυνάµεις και καµπτικές

Διαβάστε περισσότερα

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος.

Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Ενότητα 2 Γραμμικά Συστήματα Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να επιλύουμε και να διερευνούμε γραμμικά συστήματα. Να ορίζουμε την έννοια του συμβιβαστού και ομογενούς συστήματος. Να ερμηνεύουμε γραφικά τη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ... xvii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ... xviii 1. ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΚΑΙ Η ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΤΟΥΣ ΕΞΕΛΙΞΗ... 1-1 1.1 Η πραγματική κατασκευή και η "Στατική Μελέτη" της... 1-3

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου

ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου A A N A B P Y A 9 5 ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Η ενέργεια ταλάντωσης ενός κυλιόμενου κυλίνδρου Στερεό σώμα με κυλινδρική συμμετρία (κύλινδρος, σφαίρα, σφαιρικό κέλυφος, κυκλική στεφάνη κλπ) μπορεί να

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια)

Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια) Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια) Εξίσωση Κίνησης Μονοβάθμιου Συστήματος: Επιρροή Μόνιμου Φορτίου Βαρύτητας Δ03-2 Μέχρι τώρα στη διατύπωση της εξίσωσης κίνησης δεν έχει ληφθεί υπόψη το

Διαβάστε περισσότερα

2. Μέθοδοι δυσκαμψίας (μετακινήσεων) για επίλυση δικτυωμάτων

2. Μέθοδοι δυσκαμψίας (μετακινήσεων) για επίλυση δικτυωμάτων ΠΠΜ 325: Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 2. Μέθοδοι δυσκαμψίας (μετακινήσεων) για επίλυση δικτυωμάτων Εαρινό εξάμηνο 2015 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros Πέτρος Κωμοδρόμος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 17 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Δίνονται: = cm ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α. k = 6000kN m. Μέθοδος των Δυνάμεων:

ΑΣΚΗΣΗ 17 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Δίνονται: = cm ΕΠΙΛΥΣΗ: Ερώτημα α. k = 6000kN m. Μέθοδος των Δυνάμεων: ΑΣΚΗΣΗ 7 ΔΕΔΟΜΕΝΑ: Στο φορέα του σχήματος ζητούνται: α) να χαραχθούν τα διαγράμματα M, Q (2.5 μονάδες) β) να υπολογιστεί το μέτρο και η φορά της κατακόρυφης μετατόπισης στο μέσο του τμήματος (23) ( μονάδα)

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. H Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων

Δυναμική Μηχανών I. H Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων Δυναμική Μηχανών I 8 3 H Μέθοδος των Πεπερασμένων Στοιχείων 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α Β. Κουμούσης Καθηγητής ΕΜΠ ΑΘΗΝΑ ΜΑΡΤΙΟΣ 998 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... Ενεργειακές Αρχές της Μηχανικής... 5 Αρχή των Δυνατών Έργων... 5 Αρχή της Ελάχιστης Ολικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 6. Διαλέγουμε ως υπερστατικά μεγέθη τις κατακόρυφες αντιδράσεις στις τρεις αριστερές στηρίξεις.

ΑΣΚΗΣΗ 6. Διαλέγουμε ως υπερστατικά μεγέθη τις κατακόρυφες αντιδράσεις στις τρεις αριστερές στηρίξεις. Άσκηση 6 Μέθοδος των υνάμεων ΑΣΚΗΣΗ 6 ΕΟΜΕΝΑ: Για τη δοκό του σχήματος με ίσα ανοίγματα και ροπές αδρανείας σταθερές αλλά όχι ίδιες σε κάθε άνοιγμα, ζητείται να μορφωθεί το διάγραμμα ροπών κάμψεως. 6 mm

Διαβάστε περισσότερα

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ

ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΙΙ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΜΑΖΑΣ Διδάσκων: Παπασιώπη Νυμφοδώρα Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Ε.Μ.Π. Ενότητα 5 η : Διδιάστατη και τριδιάστατη αγωγή θερμότητας Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Γραμική θεωρία, στατικά προβλήματα. 3.1 Μέθοδος δυσκαμψίας

Κεφάλαιο 3. Γραμική θεωρία, στατικά προβλήματα. 3.1 Μέθοδος δυσκαμψίας Κεφάλαιο 3 Γραμική θεωρία, στατικά προβλήματα Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται ορισμένες από τις βασικές έννοιες στις οποίες βασίζεται η άμεση μέθοδος δυσκαμψίας. Δίνεται πρώτα το γραμμικό ελατήριο, το

Διαβάστε περισσότερα

11. Χρήση Λογισμικού Ανάλυσης Κατασκευών

11. Χρήση Λογισμικού Ανάλυσης Κατασκευών ΠΠΜ 325: Ανάλυση Κατασκευών με Η/Υ 11. Χρήση Λογισμικού Ανάλυσης Κατασκευών Εαρινό εξάμηνο 2015 Πέτρος Κωμοδρόμος komodromos@ucy.ac.cy http://www.eng.ucy.ac.cy/petros 1 Θέματα Εισαγωγή Μοντελοποίηση κατασκευής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ

ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑ: ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΓΚΟΥΝΤΑΣ Δ. ΙΩΑΝΝΗΣ ΤΜΗΜΑ: ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ / ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΣΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης CreatveCommons. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ.

ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ. ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΗΜ: 1/7/14 ΣΤΕΦ - ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Α ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ -ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ:Μ.ΠΗΛΑΚΟΥΤΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ 2 ΩΡΕΣ B ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ. 1. (2.5) Σώμα μάζας m=0.1 Kg κινείται σε οριζόντιο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Προσδιορισμός των βαθμών ελευθερίας

Κεφάλαιο 10 Προσδιορισμός των βαθμών ελευθερίας Κεφάλαιο 0 Προσδιορισμός των βαθμών ελευθερίας Σύνοψη Η άσκηση 0, που περιέχεται στο κεφάλαιο αυτό, αναφέρεται σε μία μεγάλη σειρά απλών και σύνθετων στατικών φορέων, για τους οποίους ζητείται ο προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 06 Διατήρηση της ενέργειας

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 06 Διατήρηση της ενέργειας Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 06 Διατήρηση της ενέργειας ΦΥΣ102 1 Δυναμική Ενέργεια και διατηρητικές δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

AΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

AΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΚΕΦ. 6-11) 371 AΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ (ΚΕΦ. 6-11) ΑΣΚΗΣΗ 1 Το µηκυνσιόµετρο στο σηµείο Α της δοκού του σχήµατος καταγράφει θλιπτική παραµόρφωση ίση µε 0.05. Πόση

Διαβάστε περισσότερα

, g 10 m / s, / 2, / 2, Απάντηση

, g 10 m / s, / 2, / 2, Απάντηση Φυσική κατεύθυνσης Στη διάταξη του διπλανού σχήματος η ράβδος Σ 1 είναι ομογενής, έχει μάζα 1 =0,3kg, μήκος (ΑΓ) = l = 0,8 και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα κάθετο

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια)

Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Μέθοδος των Δυνάμεων (συνέχεια) Δοκοί σε Ελαστικές Στηρίξεις Μέθοδος των Δυνάμεων: Δ10-2 Οι στηρίξεις κάποιων φορέων είναι δυνατό να μετακινηθούν υπό την επίδραση της εξωτερικής φόρτισης. Για παράδειγμα,

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομο Βιογραφικό v Πρόλογος vii Μετατροπές Μονάδων ix Συμβολισμοί xi. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ

Σύντομο Βιογραφικό v Πρόλογος vii Μετατροπές Μονάδων ix Συμβολισμοί xi. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Περιεχόμενα ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σύντομο Βιογραφικό v Πρόλογος vii Μετατροπές Μονάδων ix Συμβολισμοί xi ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΜΕΤΑΔΟΣΗΣ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ 1.1 Θερμοδυναμική και Μετάδοση Θερμότητας 1 1.2

Διαβάστε περισσότερα

ΟΛΟΣΩΜΑ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΟΛΟΣΩΜΑ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΟΛΟΣΩΜΑ ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Διάφοροι τύποι ολόσωμων ισοστατικών πλαισίων Ισορροπία κόμβων ΣF x = 0 N 1 + N 2 cosθ + Q 2 sinθ N 3

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητική μηχανική ΙΙ

Θεωρητική μηχανική ΙΙ ΟΣΑ ΓΡΑΦΟΝΤΑΙ ΕΔΩ ΝΑ ΤΑ ΔΙΑΒΑΖΕΤΕ ΜΕ ΣΚΕΠΤΙΚΟ ΒΛΕΜΜΑ. ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΥΝ ΛΑΘΗ. Θεωρητική μηχανική ΙΙ Να δειχθεί ότι αν L x, L y αποτελούν ολοκληρώματα της κίνησης τότε και η L z αποτελεί ολοκλήρωμα της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 2015-16 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ - ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ 18/9/2014 ΕΙΣΑΓΩΓΗ_ΚΕΦ. 1 1 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΕΣ Διδάσκων Γεράσιμος Κουρούκλης Καθηγητής (Τμήμα Χημικών Μηχανικών). (gak@auth.gr,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΦΟΡΕΑ. 3δ=3*6=18>ξ+σ=5+12=17. Άρα το αντίστιχο δικτύωμα είναι μια φορά κινητό.

ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ ΦΟΡΕΑ. 3δ=3*6=18>ξ+σ=5+12=17. Άρα το αντίστιχο δικτύωμα είναι μια φορά κινητό. 1 Α.Π.Θ.- ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ - ΣΤΑΤΙΚΗ ΙΙΙ - ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΘΕΜΑ 1o Για τον φορέα του σχήματος, να υπολογιστούν και σχεδιαστούν τα πλήρη διαγράμματα Μ όλων των στοιχείων του φορέα, λόγω ταυτόχρονης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-2. Ισοστατικότητα

Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-2. Ισοστατικότητα Εισαγωγικές Έννοιες Ισοστατικότητα Εισαγωγικές Έννοιες (Επανάληψη): Δ02-2 Ισοστατικός (ή στατικά ορισμένος) λέγεται ο φορέας που ο προσδιορισμός της εντατικής του κατάστασης είναι δυνατός βάσει μόνο των

Διαβάστε περισσότερα

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου.

Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. Μ3 Προσδιορισμός της σταθεράς ενός ελατηρίου. 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή θα προσδιοριστεί η σταθερά ενός ελατηρίου χρησιμοποιώντας στην ακολουθούμενη διαδικασία τον νόμο του Hooke και τη σχέση της περιόδου

Διαβάστε περισσότερα

A3. Στο στιγμιότυπο αρμονικού μηχανικού κύματος του Σχήματος 1, παριστάνονται οι ταχύτητες ταλάντωσης δύο σημείων του.

A3. Στο στιγμιότυπο αρμονικού μηχανικού κύματος του Σχήματος 1, παριστάνονται οι ταχύτητες ταλάντωσης δύο σημείων του. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 15 ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Θέμα Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1

ΣΙΤΣΑΝΛΗΣ ΗΛΙΑΣ ΣΕΛΙΔΑ 1 1. Νήμα τυλίγεται σε λεπτό αυλάκι κατά μήκος της περιφέρειας κυλίνδρου, που έχει μάζα 2 kg και ακτίνα 0,2 m. Ο κύλινδρος συγκρατείται αρχικά στη θέση που φαίνεται στο σχήμα, με το νήμα να εξέχει τεντωμένο

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη μαθήματος Ι

Περίληψη μαθήματος Ι ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΚΑΙ ΥΛΙΚΩΝ, ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ, ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ, ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ, ΑΠΘ Περίληψη μαθήματος Ι Τυπολόγιο μεθοδολογία στατικής Περίληψη Ι: Ισορροπία υλικού σημείου & στερεού σώματος, δικτυώματα,

Διαβάστε περισσότερα