ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΣΑΦΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΣΑΦΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ"

Transcript

1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διπλωματική εργασία: ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΣΑΦΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΕΙΚΟΝΑΣ Ψαθάς Νικόλαος :4950 Επιβλέπων καθηγητής : Σεργιάδης Γεώργιος Θεσσαλονίκη, Οκτώβριος 2009

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάρθρωση της εργασίας... 9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγή Βασικοί ορισμοί Τελεστές ασαφών συνόλων Ασαφές συμπλήρωμα Τυπικό ασαφές συμπλήρωμα Ασαφή συμπλήρωμα Sugeno Ασαφή συμπλήρωμα Yager Ασαφής Τομή Τυπική ασαφής τομή Ασαφής ένωση Τυπική ασαφής ένωση Ασαφή μέτρα Απόστασης Απόσταση Hamming Κανονικοποιημένη απόσταση Hamming Ευκλείδεια απόσταση Kανονικοποιημένη ευκλείδεια απόσταση Δείκτες ασάφειας ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βασικοί ορισμοί και ορολογία Πράξεις και σχέσεις στα IFS Διαισθητικό ασαφές συμπλήρωμα Διαισθητική ασαφής ένωση Διαισθητική ασαφής τομή Διαισθητικός τελεστής αποδόμησης Διαισθητικά μέτρα απόστασης Aπόσταση Hamming Kανονικοποιημένη απόσταση Hamming Ευκλείδεια απόσταση Kανονικοποιημένη ευκλείδεια απόσταση ΚΕΦΑΛΑΙΟ Εισαγωγικά

3 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 4.2 Αξιώματα εντροπίας Αξιώματα Burillo, Bustince Αξιώματα Smidt, Kacprzyk Αξιώματα Hung, Yang Αξιώματα Vlachos Sergiadis Διαισθητικά μέτρα εντροπίας Μέτρα Burillo, Bustince Μέτρο εντροπίας Szmidt και Kacprzyk Μέτρο εντροπίας Hung, Huan Μέτρο Εντροπίας Vlachos και Sergiadis Μέτρο εντροπίας Ηung και Yang ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ασαφή ιστογράμματα και ευριστική μέθοδος Αναλυτική προσέγγιση στη διαισθητική ασαφοποίηση Διαισθητικές Ασαφείς γεννήτριες Αρχή της μέγιστης διαισθητικής ασαφούς εντροπίας Μέθοδοι διαισθητικής αποασαφοποίησης Διαισθητική αποασαφοποίηση μεγίστου δείκτη ασάφειας Παραμετρική Διαισθητική Αποασαφοποίηση Γενικευμένη διαισθητική αποασαφοποίηση με χρήση του αθροιστικού ιστογράμματος Εφαρμογές των αποασαφοποιητών Διπαραμετρική διαισθητική ασαφοποίηση-αποασαφοποίηση Διαισθητική ασαφής εντροπία ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ελαχιστοποίηση του δείκτη ασάφειας Διαισθητικός ασαφής τελεστής έντασης αντίθεσης Ασαφής υπερβολική εξισορρόπηση ιστογράμματος Διαισθητική ασαφής υπερβολική εξισορρόπηση ιστογράμματος Εξισορρόπηση ιστογράμματος διστακτικότητας Διαισθητικό ασαφές ιστόγραμμα Εξισορρόπηση ιστογράμματος διστακτικότητας ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ετερο-εντροπική κατάτμηση εικόνας Εντροπικοί διαισθητικοί ασαφείς C μέσοι Διαισθητικοί ασαφείς μέσοι (IFCM)

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Διαισθητικοί ασαφείς μέσοι με αυτόματη επιλογή της παραμέτρου λ (E-IFCM) Πειραματική αξιολόγηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ανίχνευση ακμών με χρήση διαισθητικών ασαφών συνόλων ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μαστογραφίας Υπερβολική εξισορρόπηση ιστογράμματος (IFHH) Πειραματική αξιολόγηση Διαισθητική ένταση αντίθεσης(ifci) Πειραματική αξιολόγηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ Matlab Περιγραφή γραφικού περιβάλλοντος Εκκίνηση της εφαρμογής Ξεκινώντας Ανοίγοντας μία εικόνα Κλείσιμο εφαρμογής Επεξεργασία εικόνων Ασαφές Ιστόγραμμα Συνιστώσες συμμετοχής από τη μέθοδο της μεγιστοποίησης διαισθητικής ασαφούς εντροπίας Διαισθητική αποασαφοποίηση Διπαραμετρική διαισθητική ασαφοποίηση-αποασαφοποίηση Μεγιστοποίηση διαισθητικής ασαφούς εντροπίας με διαφορετικά μέτρα εντροπίας Ισοστάθμιση ιστογράμματος Διαισθητική ασαφής ένταση αντίθεσης Ελαχιστοποίηση της ασάφειας Υπερβολική εξισορρόπηση ιστογράμματος Εξισορρόπηση Ιστογράμματος Διστακτικότητας Ετερο-εντροπική κατάτμηση εικόνας Κατάτμηση με χρήση ασαφών c μέσων Ανίχνευση ακμών οδηγούμενη από διστακτικότητα Υπερβολική εξισορρόπηση ιστογράμματος (IFHH) Διαισθητική ασαφής ένταση αντίθεσης (IFCI)

5 πάνω και ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΩΝ Κατάλογος εικόνων Σχήμα 1: Αναπαράσταση του διαισθητικού ασαφούς πλαισίου επεξεργασίας εικόνας... 9 Σχήμα 2: Αναπαράσταση ασαφούς συνόλου Σχήμα 3: Συνάρτηση συμμετοχής(κόκκινη γραμμή) για p=3 και για p=5(μπλέ γραμμή) Σχήμα 4 Αναπαράσταση κοινού ιστογράμματος και ασαφούς ιστογράμματος για p=3 και p=9 31 Σχήμα 5: (α)συνάρτηση συμμετοχής(κόκκινη γραμμή) και μη-συμμετοχής(μπλέ γραμμή) για p=3 και κ=0.2 (β) αντίστοιχος βαθμός διστακτικότητας (γ) Συνάρτηση συμμετοχής(κόκκινη γραμμή) και μη-συμμετοχής(μπλέ γραμμή) για p=3 και κ=0.9 (δ) αντίστοιχος βαθμός διστακτικότητας Σχήμα 6: (α)συνάρτηση συμμετοχής(κόκκινη γραμμή) και μη-συμμετοχής(μπλέ γραμμή) για p=9 και κ=0.2 (β) αντίστοιχος βαθμός διστακτικότητας (γ) Συνάρτηση συμμετοχής(κόκκινη γραμμή) και μη-συμμετοχής(μπλέ γραμμή) για p=9 και κ=0.9 (δ) αντίστοιχος βαθμός διστακτικότητας Σχήμα 7: (α) αρχική εικόνα (β) βέλτιστες συνιστώσες συμμετοχής (γ) βέλτιστες συνιστώσες μησυμμετοχής (δ) βέλτιστες συνιστώσες διστακτικότητας (ε) καμπύλη διαισθητικής ασαφούς εντροπίας (στ) βέλτιστη συνάρτηση συμμετοχής(μπλε γραμμή), μη-συμμετοχής(κόκκινη γραμμή),διστακτικότητας(πράσινη γραμμή) Σχήμα 8: (α) Αρχική εικόνα. Εικόνες που λαμβάνονται (β) με την τεχνική της διαισθητικής αποασαφοποίησης μεγίστου δείκτη ασάφειας, (γ), της μονοπαραμετρικής διαισθητικής ασαφοποίησης, (δ)της γενικευμένης διαισθητική αποασαφοποίησης με χρήση του αθροιστικού ιστογράμματος Σχήμα 9:(α),(γ) Αρχική εικόνα. Εικόνες που παράγονται (β),(γ) με χρήση της μεθόδου της διπαραμετρικής διαισθητικής αποασαφοποίησης Σχήμα 10 (α) Αρχική εικόνα και το αποτέλεσμα που λαμβάνεται (β) με την μέθοδο της εξισορρόπησης ιστογράμματος. Εικόνες που παράγονται με εφαρμογή του διαισθητικού ασαφές πλαισίου με βελτιστοποίηση της διαισθητικής ασαφούς εντροπίας (γ) ΕΕΕΕΕΕU (δ) EEEEEE U (ε) EEEEEEU (στ) ΕΕΕΕΕΕΕΕ Σχήμα 11: Υπερεκτεθειμένη αρχική εικόνα και το αποτέλεσμα που λαμβάνεται (β) με την μέθοδο της εξισορρόπησης ιστογράμματος. Εικόνες που παράγονται με εφαρμογή του διαισθητικού ασαφές πλαισίου με βελτιστοποίηση της διαισθητικής ασαφούς εντροπίας (γ) ΕΕΕΕΕΕU (δ) EEEEEE U (ε) EEEEEEU (στ) ΕΕΕΕΕΕΕΕ Σχήμα 12: Ασαφή συνάρτηση συμμετοχής για (α) gggggggg = U,gggg = 1111,FFFF = 22U (β) gggggggg = U,gggg = ,FFFF = Σχήμα 13: Εφαρμογή του τελεστή U σε τυπικές συναρτήσεις φωτεινότητας(μπλε γραμμή) (α) συμμετοχής (β) μη συμμετοχής (γ) διστακτικότητας για m=0.5 (κόκκινη γραμμή) και για m=2(πράσινη γραμμή) Σχήμα 14: (α)αρχική εικόνα, εικόνα ενισχυμένης αντίθεσης (β) με την μέθοδο της διαισθητικής ασαφούς έντασης αντίθεσης για m=1.5 και μία επανάληψη, με την μέθοδο της ασαφούς ένταση αντίθεση αντίθεσης με gggggggg = U,Fe=2 (γ) gggg = 1111U και (δ) gggg = Σχήμα 15: Εξάρτηση των συναρτήσεων από την παράμετρο β (α)συμμετοχής, (β)μησυμμετοχής, (δ)διστακτικότητας με β=2 και β= Σχήμα 16 Αρχική εικόνα.εικόνες επεξεργασμένες με την μέθοδο της ασαφούς υπερβολικής εξισορρόπησης ιστογράμματος για (β) β=0.5 (γ) β=1 (δ) β=2. Εικόνες με χρήση της διαισθητικής ασαφούς επέκτασης (ε)β=0.5 (στ) β=1 (ζ)β=

6 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΕΙΚΟΝΩΝ Σχήμα 17 (α) Αρχική εικόνα.(β)κανονικοποιημένο σύνηθες ιστόγραμμα της αρχικής εικόνας,(γ)καμπύλη της διαισθητικής ασαφούς εντροπίας που χρησιμοποιείται κατά την αρχή της μέγιστης διαισθητικής ασαφούς εντροπίας,(δ) άνω(συνεχή γραμμή) και κάτω(διακεκομμένη γραμμή) κανονικοποιημένα διαισθητικά ασαφή ιστογράμματα για p=5 (ε) και το αντίστοιχο κανονικοποιημένο ιστόγραμμα διστακτικότητας Σχήμα 18 (α)αρχική εικόνα. Παραγόμενες εικόνες με χρήση των τεχνικών (β) ισοστάθμισης ιστογράμματος (γ) της μεθόδου εξισορρόπησης ιστογράμματος διστακτικότητας για p=2 (δ) p=10 (ε) p=30 (στ) p= Σχήμα 19 (α)αρχική εικόνα. Κατάτμηση της αρχικής εικόνας με χρήση (β) του πληροφοριακού μέτρου διάκρισης για ασαφή σύνολα (γ) του διαισθητικού ασαφούς αναλόγου Σχήμα 20 (α)αρχική εικόνα και τα αποτελέσματα τμηματοποίσης σε 3 επίπεδα με την μέθοδο (β)fcm (γ)ifcm και (δ) Ε-IFCM Σχήμα 21 (α)εικόνα προσβεβλημένη με λευκό κανονικό και salt & pepper θόρυβο. Χάρτες ακμών που λαμβάνονται με τον τελεστή Sobel και προεργασία με (β) προσαρμοσμένο φίλτρο Wiener και (γ) μεσαίου παραθύρου 3Χ3 εικονοστοιχείων. Παραγόμενος χάρτης ακμών με χρήση διαισθητικού ασαφούς πλαισίου και m= Σχήμα 22 μαστογραφία και σήμανση των περιοχών ενδιαφέροντος Σχήμα 23 (στήλη α) Μαστογραφίες που λήφθησαν από τη βάση δεδομένων MiniMias, από πάνω προς τα κάτω MDB112, MDB322, MDB271.(στήλη β) Παραγόμενες εικόνες με τη μέθοδο της ισοστάθμισης ιστογράμματος, (στήλη γ) την ασαφή μέθοδο FHH, (στήλη δ) τη διαισθητική ασαφή μέθοδο IFHH Σχήμα 24 (στήλη α) Μαστογραφίες που λήφθησαν από τη βάση δεδομένων MiniMias, από πάνω προς τα κάτω MDB291, MDB237, MDB128.(στήλη β) Παραγόμενες εικόνες με τη μέθοδο της ισοστάθμισης ιστογράμματος, (στήλη γ) την ασαφή μέθοδο FCI (στήλη δ) τη διαισθητική ασαφή μέθοδο IFCI Σχήμα 25 Περιβάλλον σχεδίασης γραφικού περιβάλλοντος από το ειδικό ειδικό υποπρόγραμμα του Matlab Σχήμα 26 Γραφικό περιβάλλον του προγράμματος Σχήμα 27 Λειτουργία HELP του προγράμματος Σχήμα 28 Αρχικό παράθυρο προγράμματος

7 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Κατάλογος πινάκων Πίνακας 1 Παραλλαγές του διαισθητικού ασαφούς πλαισίου επεξεργασίας εικόνας σε σχέση με τις μεθόδους διαισθητικής ασαφοποίησης και αποασαφοποίησης (MIFID:Διαισθητική αποασαφοποίηση μεγίστου δείκτη ασάφειας, GID:Γενικευμένη διαισθητική αποασαφοποίηση) Πίνακας 2 Κριτήρια αποτίμησης βελτίωσης για τις παραλλαγές της μεθόδου διαισθητικής ασαφούς υπερβολικής ενίσχυσης ιστογράμματος για διάφορους τύπους μαστού Πίνακας 3 Κριτήρια αποτίμησης βελτίωσης για τις παραλλαγές της μεθόδου διαισθητικής ασαφούς ένταση αντίθεσης ιστογράμματος για διάφορους τύπους μαστού

8 ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Σκοπός της εργασίας Τα ασαφή συστήματα πρωτοεισήχθησαν το 1965 από τον Lotfi Zadeh που σκοπό είχε να συνδυάσει ένα μαθηματικό μοντέλο και την ανθρώπινη γνώση στην επιστήμη των μηχανικών. Το βασικότερο εργαλείο των ασαφών συστημάτων είναι η συνάρτηση συμμετοχής που καθορίζει σε ποιο βαθμό το κάθε στοιχείο ανήκει στο ασαφές σύνολο. Τα ασαφή συστήματα, λόγω της ευκολίας τους να περιγράφουν πολύπλοκα συστήματα βρήκαν μεγάλη αποδοχή από την επιστημονική κοινότητα παρά τις αρχικές αντιδράσεις κυρίως από τον χώρο των μαθηματικών της στατιστικής και των πιθανοτήτων. Από την πρώτη παρουσίασή τoυς πολλά μοντέλα έχουν δημοσιευτεί με σκοπό την επέκταση των ασαφών συστημάτων. Ένα μειονέκτημα των ασαφών συνόλων είναι η αδυναμία τους να περιγράψουν καταστάσεις αβεβαιότητας της διαθέσιμης πληροφορίας. Η παραπάνω ανάγκη οδήγησε σε μία επέκταση των FS που εισήγαγε ο Atanassov το 1999 με την ονομασία «διαισθητικά ασαφή συστήματα» (IFS). Πλέον όποτε αναφερόμαστε στον όρο «διαισθητικό» θα γίνεται υπό το πρίσμα της θεωρίας των διαισθητικών ασαφών συνόλων που προτάθηκαν από τον Atanassov. Έτσι, τα IFS πέρα από τη «θετική πληροφορία» που εκφράζεται µε τη συνάρτηση συμμετοχής σε ένα σύνολο, εισάγουν και τη δυνατότητα διατύπωσης «αρνητικής πληροφορίας», µέσω της συνάρτησης µη-συµµετοχής. Επιπλέον, παρέχουν τη δυνατότητα να εκφραστεί µαθηµατικά και η έννοια της διστακτικότητας δηλαδή της αβεβαιότητας, γεγονός που οδηγεί στην επαρκέστερη και συνεπώς αντικειμενικότερη αποτύπωση της πραγματικότητας. Οι Vlachos και Sergiadis ερεύνησαν την εφαρμογή των IFS στην περιοχή της ψηφιακής επεξεργασίας εικόνας καθώς και τη θεωρητική προσέγγιση εννοιών που είναι χρήσιμες στις τεχνικές επεξεργασίας. Πιο συγκεκριμένα, διερεύνησαν την εφαρμογή των IFS στην ένταση αντίθεσης, στην ανίχνευση ακμών και στην κατάτμηση ψηφιακών εικόνων. Τέλος, ανέπτυξαν αλγόριθμους για την επεξεργασία ιατρικών εικόνων. Στην παρούσα διπλωματική εργασία γίνεται υλοποίηση αυτών των μεθόδων με χρήση του λογισμικού matlab και η ενσωμάτωσή τους σε ένα εύχρηστο γραφικό περιβάλλον. 8

9 ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Έτσι δίνεται η δυνατότητα στον χρήστη να παρατηρήσει πώς μία εικόνα μετατρέπεται από το πεδίο της φωτεινότητας στο ασαφές πεδίο, στη συνέχεια στο διαισθητικά ασαφές πεδίο και τελικά στο ασαφές πεδίο και στην τελική εικόνα. Μία εποπτική εικόνα αυτής της ακολουθίας παρουσιάζεται στο Σχήμα 1. Εικόνα εισόδου Ασαφής εικόνα Συνιστώσα συμμετοχής Συνιστώσα μη συμμετοχής Διαισθητική συνιστώσα συμμετοχής Διαισθητική συνιστώσα μη συμμετοχής Διαισθητική συνιστώσα διστακτικότητας Επεξεργασμένη ασαφής εικόνα Εικόνα εξόδου Σχήμα 1 Αναπαράσταση του διαισθητικού ασαφούς πλαισίου επεξεργασίας εικόνας 1.1 Διάρθρωση της εργασίας Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζονται κάποιες βασικές έννοιες της ασαφούς θεωρίας, οι οποίες θα χρειαστούν για την καλύτερη κατανόηση των διαισθητικών ασαφών συστημάτων. Στο τρίτο κεφάλαιο δίνονται οι βασικές αρχές και περιγράφονται οι ιδιότητες των θεμελιωδών στοιχείων της θεωρίας των διαισθητικών ασαφών συνόλων. Οι διαισθητικά ασαφείς εντροπίες είναι βασικό στοιχείο των διαισθητικών συνόλων και χρησιμοποιούνται για την εξαγωγή των διαισθητικών ασαφών συναρτήσεων, οπότε 9

10 ΣΚΟΠΟΣ ΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ κρίνεται χρήσιμο να γίνει η περιγραφή τους στο τέταρτο κεφάλαιο. Σκοπός του πέμπτου κεφαλαίου είναι να περιγράψει το μαθηματικό πλαίσιο για την ψηφιακή επεξεργασία εικόνας, το οποίο στηρίζεται στη θεωρία των διαισθητικών ασαφών συστημάτων. Το έκτο κεφάλαιο αναφέρεται στην εφαρμογή των IFS για την επεξεργασία ενίσχυσης της αντίθεσης στις ψηφιακές εικόνες. Στο έβδομο κεφάλαιο περιγράφεται η κατάτμηση εικόνας με τη χρήση των διαισθητικών ασαφών συστημάτων. Οι ακμές είναι βασικά χαρακτηριστικά της εικόνας. Φέρουν χρήσιμες πληροφορίες για τα όρια των αντικειμένων, οι οποίες μπορούν να χρησιμοποιηθούν για ανάλυση εικόνας, προσδιορισμό αντικειμένων. Στο όγδοο κεφάλαιο λοιπόν γίνεται ανάλυση της μεθόδου ανίχνευσης ακμών οδηγούμενο από τη διστακτικότητα. Στο ένατο κεφάλαιο εφαρμόζονται οι μέθοδοι που περιγράφηκαν στο έκτο κεφάλαιο σε μαστογραφίες για την ανάδειξη του στόχου (όγκου). Στο τελευταίο κεφάλαιο παρουσιάζεται το γραφικό περιβάλλον στο οποίο υλοποιούνται οι τεχνικές που προαναφέρθησαν. 10

11 ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ασαφή συστήματα 2.1 Εισαγωγή Η ασαφής λογική αποτελεί επέκταση των κλασσικών συνόλων. Στα κλασσικά σύνολα ένα στοιχείο μπορεί να είναι μέλος ενός συνόλου Α ή όχι. Επομένως ένα σύνολο Α ορίζεται από τη συνάρτηση: 1, γγγγγγ χχ ΑΑ ΧΧ ΑΑ (χχ) = 0, γγγγγγ χχ ΑΑ (2.1) Όπου XX AA είναι η χαρακτηριστική συνάρτηση, χ ένα αντικείμενο του πεδίου ορισμού και Α το σύνολο. Καταλαβαίνομε δηλαδή ότι στα κλασσικά σύνολα το όριο είναι καθαρό και «απότομο». Αυτή η ιδιότητα των κοινών συνόλων ήταν και η αδυναμία τους, δηλαδή παρά την εκτεταμένη χρήση τους τις περασμένες δεκαετίες δεν μπορούσαν περιγράψουν καταστάσεις και έννοιες που παρουσίαζαν μεγάλη ασάφεια. Αυτό οφειλόταν είτε στην πολυπλοκότητα του προβλήματος είτε στη ίδια τη φύση του προβλήματος, άλλωστε ο πραγματικός κόσμος διέπεται από μεγάλο βαθμό ασάφειας. Ένα κλασσικό παράδειγμα είναι η ίδια η ανθρώπινη σκέψη που δεν είναι δυαδική, δηλαδή μαύρο-άσπρο αλλά λειτουργεί σε ένα ασαφές επίπεδο, κατ επέκταση και η ίδια η χρήση της γλώσσας διακρίνεται από έναν υψηλό βαθμό ασάφειας, για παράδειγμα η λέξη «ψηλό» δεν έχει την ίδια σημασία σε δύο άτομα με διαφορετικές εμπειρίες ενώ εκφράσεις όπως «η απόσταση είναι μάλλον μεγάλη», «το νερό είναι πολύ ζεστό», «η φωτεινότητα είναι χαμηλή» καταδεικνύουν την απροσδιοριστία της ανθρώπινης αντίληψης 2.2 Βασικοί ορισμοί Το κενό των κλασσικών συνόλων ήρθαν να καλύψουν τα ασαφή συστήματα που εισήχθησαν από τον Lotfi A. Zadeh. Στην ουσία εισήγαγε την κλασματοποίηση μεταξύ των απόλυτων 11

12 ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ τιμών 1 και 0 της κλασσικής λογικής. Δηλαδή τα ασαφή σύνολα είναι σύνολα διαβάθμισης μάλλον παρά σύνολα που έχουν μέλη. Έτσι, μια τιμή μπορεί να ανήκει σε πολλά υποσύνολα ταυτόχρονα με κάποιον βαθμό συμμετοχής για κάθε ένα από αυτά. Ο βαθμός συμμετοχής ενός στοιχείου σε ένα σύνολο εξάγεται με τη χρήση της συνάρτησης συμμετοχής. Αν συμβολίσουμε με X αυτό το σύνολο, και με μμ ΑΑ (χχ) την συνάρτηση συμμετοχής, τότε έχουμε μία απεικόνιση της μορφής μμ ΑΑ (χχ): XX [0,1]. H συνάρτηση αυτή μας επιστρέφει μία τιμή που κυμαίνεται από 0 έως 1 που ονομάζεται βαθμός συμμετοχής (membership degree) για κάθε στοιχείο χ του συνόλου Χ, ενώ το σύνολο που ορίζεται με αυτόν τον τρόπο καλείται ασαφές σύνολο (fuzzy set).έτσι όσο περισσότερο πλησιάζει η τιμή αυτή το ένα τόσο μεγαλύτερος είναι ο βαθμός συμμετοχής του χ στο Χ. Τέλος, να αναφερθεί ότι ένα ασαφές σύνολο Α σε ένα πεδίο ορισμού Χ ορίζεται ως ένα ζεύγος διατεταγμένων ζευγών ΑΑ = {χχ, μμ ΑΑ (χχ), χχ ΧΧ}. Σχήμα 2 Αναπαράσταση ασαφούς συνόλου Για την καλύτερη κατανόηση όσων αναφέρθηκαν στο Σχήμα 2 απεικονίζεται ένα απλό παράδειγμα της χρήσης των ασαφών συνόλων όταν τα σύνολα είναι τα «ζεστό», «χλιαρό», «κρύο» και το πεδίο ορισμού η θερμοκρασία. 12

13 ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ 2.3 Τελεστές ασαφών συνόλων Οι τρείς βασικοί τελεστές των κλασσικών συνόλων, δηλαδή οι τελεστές συμπληρώματος, τομής( ) και ένωσης( ), μπορούν να επεκταθούν και στη θεωρία των ασαφών συνόλων. Για κάθε μία από αυτές τις πράξεις υπάρχει μία ομάδα τελεστών που την υλοποιεί, αλλά από αυτές μία συγκεκριμένη ομάδα, οι τυπικοί τελεστές ασαφών συνόλων(standard fuzzy sets operations) έχει μια ιδιαίτερη σημασία στην θεωρία των ασαφών συνόλων. Όπου κρίνεται σκόπιμο θα αναφερθούν και άλλες ομάδες τελεστών στις οποίες γίνεται αναφορά στα επόμενα κεφάλαια Ασαφές συμπλήρωμα Το συμπλήρωμα ενός ασαφούς συνόλου ΑΑ, το οποίο συμβολίζεται και ως AA cc καθορίζεται από μία συνάρτηση C:[0, 1] [0, 1]. H συνάρτηση C για να γίνει αποδεχτή ως τελεστής συμπληρώματος πρέπει να υπακούει στα παρακάτω αξιώματα C.1: c(0) = 1 και c(1) = 0 (boundary conditions) C.2 : Για κάθε α,b [0,1 ] εάν α b, τότε c(α) c(b) (monotony) C.3 : H c είναι μία συνεχής συνάρτηση (continuity) C.4: H c υπακούει στη σχέση c(c(a))=a (involution) Τυπικό ασαφές συμπλήρωμα Το τυπικό ασαφές συμπλήρωμα AA cc ενός συνόλου ΑΑ σε ένα πεδίο ορισμού Χ, ορίζεται ως μμ AA cccc (xx) = 1 μμ ΑΑ,(χχ) (2.2) για κάθε χ Χ. 13

14 ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ Ασαφή συμπλήρωμα Sugeno Τα ασαφή συμπληρώματα της ομάδας Sugeno ορίζονται από τις συναρτήσεις: cc λλ (χχ) = 1 αα (2.3) 1 + λλλλ Όπου το λ [ 1, ]. Το συμπλήρωμα συμβολίζεται με AA cc και περιγράφεται ως εξής: μμ λλ (χχ) AA cc = 1 μμ ΑΑ (χχ) 1 λλ μμ ΑΑ (χχ) (2.4) Ασαφή συμπλήρωμα Yager Τα ασαφή συμπληρώματα της ομάδας Υager ορίζονται από τις συναρτήσεις: cc ww (χχ) = (1 aa ww ) 1/ww (2.5) Όπου το λ [ 1, ].Το συμπλήρωμα συμβολίζεται με AA cc και περιγράφεται ως εξής : μμ ww (χχ) AA cc = (1 μμ αα (χχ) ww ) 1/ww (2.6) Ασαφής Τομή Η τομή δύο ασαφών συνόλων ΑΑ και ΒΒ είναι μία δυαδική πράξη στο μοναδιαίο διάστημα. Είναι δηλαδή, μία συνάρτηση της μορφής i:[0, 1] X [0, 1] [0,1 ]. Για να θεωρηθεί ένας τελεστής ως τελεστής τομής πρέπει να ικανοποιεί τα παρακάτω αξιώματα για κάθε α,b,d [0, 1]: I1: i(α,1)=α (boundary conditions) I2: b d υπονοεί ότι i(α,b) i(α,d) (monotony) I3: i(α,b) = i(b,α) (continuity) I4: i(α, i(b, d)) = i (i(α, b), d) (involution) Τυπική ασαφής τομή Για δύο ασαφή σύνολα ΑΑ ΒΒ η τυπική ασαφής τομή ορίζεται από την σχέση 14

15 ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ μμ ΑΑ ΒΒ = min {μμ ΑΑ (χχ), μμ ΒΒ (χχ)} (2.7) Ασαφής ένωση Η ένωση, όπως η τομή δύο ασαφών συνόλων ΑΑ και ΒΒ, είναι μία δυαδική πράξη στο μοναδιαίο διάστημα. Είναι δηλαδή μία συνάρτηση της μορφής i:[0, 1] X [0, 1] [0,1 ]. Για να θεωρηθεί ένας τελεστής ως τελεστής ένωσης πρέπει να ικανοποιεί τα παρακάτω αξιώματα για κάθε α,b,d [0, 1]: U1: u(α,0)=α (boundary conditions) U2: b d υπονοεί ότι u(α,b) u(α,d) (monotony) U3: u(α,b) = u(b,α) (continuity) U4: u(α, u(b, d)) = u(u(α, b), d) (involution) Τυπική ασαφής ένωση Για δύο ασαφή σύνολα ΑΑ ΒΒ η τυπική ασαφής ένωση ορίζεται από την σχέση μμ AA BB = mmmmmm {μμ ΑΑ (χχ), μμ ΒΒ (χχ)} (2.8) 2.4 Ασαφή μέτρα Απόστασης Τα ασαφή μέτρα απόστασης εξάγονται από την προσαρμογή των κλασσικών μέτρων απόστασης στα ασαφή σύνολα. Παρακάτω παρουσιάζονται οι αποστάσεις για δύο ασαφή σύνολα AA, BB Απόσταση Hamming dd(aa, BB ) = μμ ΑΑ (χχ ii ) μμ ΒΒ (xx ii ) nn ii=1 (2.9) 15

16 ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ Κανονικοποιημένη απόσταση Hamming ll(aa, BB ) = 1 nn μμ nn ii=1 ΑΑ (χχ ii ) μμ ΒΒ (xx ii ) (2.10) Ευκλείδεια απόσταση ee(aa, BB ) = nn ii=1 (μμ ΑΑ (χχ ιι ) μμ ΒΒ (χχ ιι )) 2 (2.11) Kανονικοποιημένη ευκλείδεια απόσταση qq(aa, BB ) = 1 nn (μμ nn ii=1 ΑΑ (χχ ιι ) μμ ΒΒ (χχ ιι )) 2 (2.12) 2.5 Δείκτες ασάφειας Ένα μέτρο ασάφειας, γνωστό και ως δείκτης ασάφειας, ορίζεται αναφορικά με ένα μέτρο απόστασης από το ασαφές σύνολο ΑΑ στο πλησιέστερο σύνηθες σύνολο. Εάν χρησιμοποιήσουμε την απόσταση Hamming τότε ο δείκτης ασάφειας παίρνει τη μορφή nn ff AA = μμ ΑΑ (xx) μμ ΑΑ cc (xx) ii=1 ενώ αν χρησιμοποιήσουμε την Ευκλείδεια απόσταση τότε εξάγεται η σχέση (2.13) nn ff AA = μμ ΑΑ (xx) μμ ΑΑ cc (xx) 2 2 (2.14) ii=1 1 Μία άλλη έκφραση του δείκτη ασάφειας, ο γραμμικός δείκτης ασάφειας, δίνεται από τη σχέση: γγ ll AA = 1 XX min {μμ 2 XX ΑΑ (χχ ii ), μμ cc ii=1 ΑΑ (xx ii )} (2.15) 16

17 ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ ενώ εάν αντί για του τελεστή min χρησιμοποιήσουμε τον τελεστή γινομένου προκύπτει η ακόλουθη έκφραση XX γγ ΑΑ = 1 4 ΧΧ μμ ΑΑ (xx ii )μμ cc ΑΑ (χχ ii ) ii=1 (2.16) 17

18 ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΑ ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Διαισθητικά ασαφή σύνολα 3.1 Βασικοί ορισμοί και ορολογία Μία πρώτη αναφορά στα διαισθητικά ασαφή σύνολα έγινε στο κεφάλαιο 1. Όπως προαναφέρθηκε η βασική αιτία για την επέκταση της ασαφούς θεωρίας ήταν το γεγονός ότι η τελευταία αδυνατούσε να παραστήσει την έννοια της αβεβαιότητας. Παραδείγματα αυτών των καταστάσεων περιλαμβάνουν καταστάσεις αβεβαιότητας σχετικές με την ακρίβεια των παρατηρήσεων, στην αβεβαιότητα των ληπτών απόφασης να εκφράσουν σαφώς τις προτιμήσεις τους ή στην αδυναμία ενός ειδικού να διατυπώσει με βεβαιότητα τους κανόνες ενός έμπειρου συστήματος. Έτσι, σε αντίθεση με τα ασαφή σύνολα που χαρακτηρίζονται μόνο από τη συνάρτηση συμμετοχής, τα διαισθητικά ασαφή σύνολα ορίζονται από τη συνάρτηση συμμετοχής και της μη-συμμετοχής. Πιο συγκεκριμένα, ενώ στην πρώτη περίπτωση το άθροισμα των συναρτήσεων συμμετοχής, μη-συμμετοχής για κάθε στοιχείο πρέπει να είναι μονάδα, στη δεύτερη περίπτωση αυτός ο περιορισμός αίρεται, με αποτέλεσμα να εισάγεται ένας επιπλέον βαθμός ελευθερίας. Ο μόνος περιορισμός πλέον είναι αυτός του αθροίσματος της συνάρτησης συμμετοχής και μη-συμμετοχής να είναι μικρότερος της μονάδας. Στη συνέχεια δίνεται ο ορισμός του διαισθητικού ασαφούς συνόλου. Ένα διαισθητικό ασαφές σύνολο Α σε ένα πεδίο ορισμού Χ συμβολίζεται ως: όπου AA = {< xx, μμ ΑΑ (χχ), νν ΑΑ (χχ) > χχ ΧΧ} (3.1) μμ ΑΑ (χχ): XX [0,1] και νν ΑΑ (χχ): XX [0,1] (3.2) υπό τη συνθήκη 0 μμ ΑΑ (χχ) + νν ΑΑ (χχ) 1 για κάθε χχ ΧΧ. Τα IFS παρέχουν επιπλέον τη δυνατότητα της μοντελοποίησης της έννοιας της διστακτικότητας, εξασφαλίζοντας με αυτόν τον τρόπο επαρκέστερη και αντικειμενικότερη 18

19 ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΑ ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ αποτύπωση της πραγματικότητας. Αφού λοιπόν ορίσαμε τη συνάρτηση συμμετοχής και μησυμμετοχής στο IFS είμαστε πλέον σε θέση να ορίσουμε και τη συνάρτηση διστακτικότητας. Έχοντας κατά νου ότι οι αριθμοί μμ ΑΑ (χχ) κκκκκκ νν ΑΑ (χχ) καθορίζουν το βαθμό συμμετοχής και το βαθμό μη-συμμετοχής του στοιχείου χ στο σύνολο Χ, o δείκτης διστακτικότητας ορίζεται ως: ππ ΑΑ (χχ) = 1 μμ ΑΑ (χχ) νν ΑΑ (χχ) (3.3) όπου ππ ΑΑ (χχ): XX [0, 1]. Εύκολα παρατηρούμε ότι αν ο βαθμός διστακτικότητας έχει τιμή μηδέν για κάθε τιμή του χ στο Χ, τότε αναφερόμαστε σε ένα ασαφές σύνολο. 3.2 Πράξεις και σχέσεις στα IFS Όπως και στα ασαφή σύνολα, έτσι και στα IFS ορίζονται οι τελεστές του συμπληρώματος, της ένωσης και της τομής ανάμεσα σε δύο διαισθητικά ασαφή σύνολα Α και Β. Επίσης θα παρουσιάσουμε και τον τελεστή αποδόμησης ο οποίος εκφυλίζει ένα διαισθητικό ασαφές σύνολο στο, ασαφές ανάλογό του Διαισθητικό ασαφές συμπλήρωμα Το συμπληρωματικό σύνολο ΑΑ cc ενός διαισθητικού ασαφούς συνόλου Α ορίζεται ως ΑΑ cc = {< xx, νν ΑΑ (χχ), μμ ΑΑ (χχ) > χχ ΧΧ} (3.4) Διαισθητική ασαφής ένωση Ο τελεστής ένωσης μεταξύ των διαισθητικών ασαφών συνόλων Α και Β ορίζεται ως ΑΑ ΒΒ = {< xx, max {μμ ΑΑ (χχ), μμ ΒΒ (χχ), min {νν ΑΑ (xx), νν ΒΒ (xx)} > xx εε XX} (3.5) Διαισθητική ασαφής τομή Ο τελεστής τομής μεταξύ των διαισθητικών ασαφών συνόλων Α και Β ορίζεται ως 19

20 ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΑ ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ ΑΑ ΒΒ = {< xx, mmmmmm{μμ ΑΑ (χχ), μμ ΒΒ (χχ), max {νν ΑΑ (xx), νν ΒΒ (xx)} > xx εε XX} (3.6) Διαισθητικός τελεστής αποδόμησης Ο τελεστής αποδόμησης κατά Atanassov «αποδομεί» ένα διαισθητικό ασαφές σύνολο σε ασαφές σύνολο και ορίζεται ως με 0 α 1. DD aa (AA) = {< xx, μμ ΑΑ (χχ) + αα ππ ΑΑ (χχ), νν ΑΑ (χχ) + (1 αα)ππ ΑΑ (χχ) > χχ εε ΧΧ} (3.7) 3.3 Διαισθητικά μέτρα απόστασης Η διαισθητική ασαφής επέκταση των ασαφών μέτρων απόστασης που περιγράφηκαν στο κεφάλαιο 2.4 εισήχθηκε από τους Szmidt και Kacprzyk. Έτσι λοιπόν για δύο διαισθητικά ασαφή σύνολα Α και Β ορίζονται τα παρακάτω μέτρα απόστασης: Aπόσταση Hamming dd IIIIII (AA, BB) = 1 nn μμ 2 ii=1 ΑΑ(χχ ιι ) μμ ΒΒ (χχ ιι ) + νν ΑΑ (χχ ιι ) νν ΒΒ (χχ ιι ) + ππ ΑΑ (χχ ιι ) ππ ΒΒ (χχ ιι ) (3.8) Kανονικοποιημένη απόσταση Hamming nn ll IIIIII (AA, BB) = 1 2nn μμ ΑΑ(χχ ιι ) μμ ΒΒ (χχ ιι ) + νν ΑΑ (χχ ιι ) νν ΒΒ (χχ ιι ) + ππ ΑΑ (χχ ιι ) ππ ΒΒ (χχ ιι ) ii=1 (3.9) Ευκλείδεια απόσταση nn ee IIIIII (AA, BB) = 1 2 ((μμ ΑΑ(χχ ιι ) μμ ΒΒ (χχ ιι )) 2 + (νν ΑΑ (χχ ιι ) νν ΒΒ (χχ ιι )) 2 + (ππ ΑΑ (χχ ιι ) ππ ΒΒ (χχ ιι )) 2 ) 1 2 ii=1 (3.10) 20

21 ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΑ ΑΣΑΦΗ ΣΥΝΟΛΑ Kανονικοποιημένη ευκλείδεια απόσταση nn qq IIIIII (AA, BB) = 1 2nn ((μμ ΑΑ(χχ ιι ) μμ ΒΒ (χχ ιι )) 2 + (νν ΑΑ (χχ ιι ) νν ΒΒ (χχ ιι )) 2 + (ππ ΑΑ (χχ ιι ) ππ ΒΒ (χχ ιι )) 2 ) 1 2 ii=1 (3.11) 21

22 ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΣΑΦΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Διαισθητική ασαφής εντροπία 4.1 Εισαγωγικά Ο όρος «εντροπία» στα ασαφή συστήματα αναφέρθηκε πρώτη φορά από τον Zadeh ως ένα μέτρο της ασάφειας. Ο όρος εντροπία δόθηκε λόγω της εγγενούς σχέσης που έχει με την εντροπία Shannon, αν και πρέπει να έχουμε κατά νου ότι αυτές οι δύο έννοιες υπολογίζουν μία διαφορετικής φύσης αβεβαιότητα. Όπως ήταν φυσικό η εντροπία ενέπνευσε τους ερευνητές που ασχολήθηκαν με τα διαισθητικά ασαφή συστήματα, πολλοί από τους οποίους ανέπτυξαν σύνολα αξιωμάτων που θα πρέπει να πληροί μία συνάρτηση ώστε να θεωρηθεί διαισθητική ασαφής εντροπία. Παρακάτω περιγράφονται αυτά τα αξιώματα και οι προτεινόμενες διαισθητικές ασαφείς εντροπίες λόγω της σημαντικότητάς τους στην επεξεργασία εικόνας με IFS. 4.2 Αξιώματα εντροπίας Αξιώματα Burillo, Bustince Μία πραγματική συνάρτηση EE: IIIIII(XX) R + είναι ένα μέτρο εντροπίας στο IFS(X), εάν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες Ε(Α)=0 εάν και μόνο εάν ΑΑ εε FFFF(XX), E(A)=card(X) εάν και μόνο εάν μμ ΑΑ (χχ) = νν ΑΑ (χχ) = 0 γγγγγγ κκάθθθθ χχ εε ΧΧ ΕΕ(ΑΑ) = ΕΕ(ΑΑ cc )εεεεεε ΑΑ εε IIIIII(XX) EE(AA) EE(BB)εεάνν μμ ΑΑ (χχ) μμ ΒΒ (χχ)κκκκκκ νν ΑΑ (χχ) νν ΒΒ (χχ)γγγγγγ κκάθθθθ χχ εε ΧΧ 22

23 ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΣΑΦΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑ Αξιώματα Smidt, Kacprzyk Μία πραγματική συνάρτηση EE: IIIIII(XX) R + είναι ένα μέτρο εντροπίας στο IFS(X), εάν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες EE(AA) = 0 εεάνν κκκκκκ μμόνννν αααα ΑΑ εε 2 χχ ΕΕ(ΑΑ) = 1 εεάνν κκκκκκ μμόνννν αααα μμ ΑΑ (χχ) = νν ΑΑ (χχ)γγγγγγ κκάθθθθ χχ εε ΧΧ ΕΕ(ΑΑ) = ΕΕ(ΑΑ cc ) γγγγγγ κκάθθθθ ΑΑ εε IIIIII(XX) EE(AA) EE(BB)εεάνν ή μμ ΑΑ (χχ) μμ ΒΒ (χχ)κκκκκκ νν ΑΑ (χχ) νν ΒΒ (χχ) γγγγγγ μμ ΒΒ (χχ) νν ΒΒ (χχ) μμ ΑΑ (χχ) μμ ΒΒ (χχ)κκκκκκ νν ΑΑ (χχ) νν ΒΒ (χχ)γγγγγγ μμ ΒΒ (χχ) νν ΒΒ (χχ) γγγγγγ κκάθθθθ χχ εε ΧΧ Μπορούμε εύκολα να παρατηρήσουμε ότι για την περίπτωση που μμ ΑΑ (χχ) μμ ΒΒ (χχ) και νν ΑΑ (χχ) νν ΒΒ (χχ) λόγω της τέταρτης σχέσης δεν μπορούμε να βγάλουμε κάποιο συμπέρασμα για την εντροπία των δύο συνόλων. Έτσι σε μία γενίκευση των προηγούμενων αξιωμάτων οι Smidt, Kacprzyk πρότειναν την αντικατάσταση της τέταρτης ιδιότητας με την : EE(AA) EE(BB) εεάνν γγγγγγ κκάθθθθ χχ ιι εεεε μμμμ μμ ΑΑ (χχ ιι ) νν ΑΑ (χχ ιι ) κκκκκκ μμ ΒΒ (χχ ιι ) νν ΒΒ (χχ ιι ) Ισχύει ότι min {(dd(mm, xx ii, AA), dd(nn, xx ii, AA))} min {dd(mm, xx ii, BB), dd(nn, xx ii, BB)} όπου d(.,.) είναι ένα μέτρο απόστασης Αξιώματα Hung, Yang Μία πραγματική συνάρτηση EE: IIIIII(XX) R + είναι ένα μέτρο εντροπίας στο IFS(X), εάν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες ΕΕ(ΑΑ) = 0 εεάνν κκκκκκ μμόνννν αααα ΑΑ εε 2 χχ ΕΕ(ΑΑ) = 1 εεάνν κκκκκκ μμόνννν αααα μμ ΑΑ = νν ΑΑ (χχ) = ππ ΑΑ (χχ) = 1 γγγγγγ κκάθθθθ χχ εε ΧΧ 3 23

24 ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΣΑΦΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑ ΕΕ(ΑΑ) = ΕΕ(ΑΑ cc ) γγγγγγ κκάθθθθ ΑΑ εε IIIIII(XX) EE(AA) EE(BB) εεάνν μμ ΑΑ (χχ) μμ ΒΒ (χχ)κκκκκκ νν ΑΑ (χχ) νν ΒΒ (χχ), max {μμ ΒΒ (χχ), νν ΒΒ (χχ)} 1 3 ή μμ ΑΑ (χχ) μμ ΒΒ (χχ) κκκκκκ νν ΑΑ (χχ) νν ΒΒ (χχ), min{μμ ΒΒ (χχ), νν ΒΒ (χχ)} 1 3 γγγγγγ κκάθθθθ χχ εε ΧΧ Αξιώματα Vlachos Sergiadis Μία πραγματική συνάρτηση EE: IIIIII(XX) R + είναι ένα μέτρο εντροπίας στο IFS(X), εάν έχει τις ακόλουθες ιδιότητες EE(AA) = 0 εεάνν κκκκκκ μμόνννν αααα ΑΑ εε 2 ΧΧ ΕΕ(ΑΑ) = 1 εεάνν κκκκκκ μμόνννν αααα ΑΑ = ΦΦ(ΑΑ) ΕΕ(ΑΑ) = ΕΕ ΦΦ(ΑΑ) γγγγγγ κκάθθθθ ΑΑ εε IIIIII(xx) EE(AA) EE(BB) εεάνν μμ ΑΑ (ΧΧ) μμ ΒΒ (ΧΧ)κκκκκκ νν ΑΑ (χχ) νν ΒΒ (χχ) γγγγγγ ΒΒ ΦΦ(ΒΒ) ή μμ ΑΑ (χχ) μμ ΒΒ (χχ) κκκκκκ νν ΑΑ (χχ) νν ΒΒ (χχ) γγγγγγ ΒΒ ΦΦ(ΒΒ) για κάθε χχ εε ΧΧ όπου Φ είναι ένα ενελικτικό διαισθητικό ασαφές συμπλήρωμα. Επειδή το διαισθητικό ασαφές συμπλήρωμα Φ είναι ενελικτικό, ισχύει ότι η συνθήκη Α=Φ(Α) είναι ισοδύναμη με τη συνθήκη μμ ΑΑ (χχ) = φφ(1 νν ΑΑ (χχ)) για κάθε χχ εε ΧΧ. 24

25 ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΣΑΦΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑ 4.3 Διαισθητικά μέτρα εντροπίας Μέτρα Burillo, Bustince Οι Burillo, Bustince πρότειναν ένα μέτρο εντροπίας το οποίο πληροί τα αξιώματα που εκείνοι έθεσαν. EE BBBB (AA) = 1 nn ππ ΑΑ(xx ii ) nn ii=1 (4.1) Η συνάρτηση αυτή εκφράζει το βαθμό διστακτικότητας του διαισθητικού ασαφούς συνόλου Α. Ο σκοπός του παράγοντα 1 είναι η κανονικοποίηση της εντροπίας EE nn BBBB ώστε να λαμβάνει τιμές στο διάστημα [0, 1]. Για την καλύτερη κατανόηση της συνάρτησης EE BBBB πρέπει να φανταστούμε δύο διαισθητικά ασαφή διανύσματα ΟΟΑΑ ii = [μμ ΑΑ (xx ii ) νν ΑΑ (χχ ιι ) ππ ΑΑ (xx ii )] TT και ΟΟΟΟ = [0 0 1] TT. Μπορούμε λοιπόν να εκφράσουμε την εντροπία ΕΕ ΒΒΒΒ ως το εσωτερικό γινόμενο των δύο προηγούμενων διανυσμάτων. nn ΕΕ ΒΒΒΒ (ΑΑ) = < OOAA, ii OOOO > ιι=1 (4.2) όπου ο τελεστής <.,.> εκφράζει το εσωτερικό γινόμενο. Από την προηγούμενη συνάρτηση εξάγουμε το συμπέρασμα ότι η εντροπία Burillo, Bustince μετράει την ομοιότητα μεταξύ του διαισθητικού ασαφούς συνόλου Α και του μέγιστα διαισθητικού συνόλου PP = {< xx ii, 0,0 > xx ii εε XX}. Οι Burillo και Bustince πρότειναν επίσης κι ένα εναλλακτικό μέτρο εντροπίας το οποίο ορίζεται από την συνάρτηση nn ΕΕ ΒΒΒΒ (ΑΑ) = 1 nn (1 (μμ ΑΑ(χχ ιι ) + νν ΑΑ (xx ii ))ee 1 (μμ ΑΑ (xx ii )+νν ΑΑ (xx ii )) ) ii=1 (4.3) 25

26 ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΣΑΦΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑ Μέτρο εντροπίας Szmidt και Kacprzyk Κατά τους Szmidt και Kacprzyk για να θεωρηθεί μία συνάρτηση ικανή να περιγράψει την διαισθητική ασαφή εντροπία πρέπει να ικανοποιεί τα αξιώματά που εκείνοι έθεσαν. Μία τέτοια εντροπία προτάθηκε από τους ίδιους και δίνεται από τη σχέση ΕΕ SSSS (AA) = 1 nn (mmmmmmmmmmmmmmmm(aa ii AA ii CC ) max CCCCCCCCCC(AA ιι ΑΑ ιιcc ) ) (4.4) όπου max Count είναι ο μέγιστος πληθικός αριθμός (biggest cardinality). O κατά Szmidt και Kacprzyk μέγιστος πληθικός αριθμός περιγράφεται από τη σχέση mmmmmm Σ CCCCCCCCCC (AA) = (μμ ΑΑ (xx ii ) + ππ ΑΑ (xx ii )) xx ii εε XX (4.5) Ακόμα πρέπει να επισημάνουμε ότι στην παραπάνω σχέση το AA ii είναι ένα διαισθητικό ασαφές σύνολο ενός στοιχείου, το οποίο αντιστοιχεί στο i-στο στοιχείο xx ii του πεδίου ορισμού Χ και περιγράφεται ως ΑΑ ii = {< xx ii, μμ ΑΑ (χχ ιι ), νν ΑΑ (χχ ii ) >}.Δηλαδή, το σύνολο AA ii είναι η i-στη «συνιστώσα» του διαισθητικού ασαφούς συνόλου Α Μέτρο εντροπίας Hung, Huan Ο Hung ικανοποιώντας τα αξιώματα των Szmidt και Kacprzyk και βασιζόμενος στην απόσταση Hamming πρότεινε το παρακάτω μέτρο εντροπίας nn ΕΕ ΗΗ ΗΗ (ΑΑ) = 1 1 nn μμ ΑΑ(χχ ii ) νν ΑΑ (xx ii ) ii=1 (4.6) Επίσης πρότεινε και μία παραλλαγή της παραπάνω συνάρτησης στηριζόμενος στην Ευκλείδεια απόσταση που περιγράφεται από τη σχέση ΕΕ ΕΕ ΗΗ (ΑΑ) = 1 1 nn μμ nn ΑΑ(xx ii ) νν ΑΑ (xx ii ) 2 (4.7) ii=1 Κρίνουμε σκόπιμο να αναφέρουμε σε αυτό το σημείο και το μέτρο εντροπίας που προτάθηκε από τον Huang λόγω των ομοιοτήτων που παρουσιάζει με τις δύο προηγούμενες 26

27 ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΣΑΦΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑ nn EE GGGG (AA) = 1 1 nn μμ ΑΑ(χχ ιι ) 2 νν ΑΑ (xx ii ) 2 ii=1 (4.8) Μέτρο Εντροπίας Vlachos και Sergiadis Οι Vlachos και Sergiadis πρότειναν ένα μέτρο εντροπίας που βασίζεται στο εσωτερικό γινόμενο μεταξύ διαισθητικών ασαφών διανυσμάτων και ικανοποιεί τις αξιωματικές απαιτήσεις των Szmidt και Kacprzyk και δίνεται από τη σχέση : nn EE cccccc (AA) = 1 nn 2 μμ ΑΑ(xx ii )νν ΑΑ (χχ ιι ) + ππ ΑΑ (xx ii ) 2 ππ ΑΑ (xx ii ) 2 + μμ ΑΑ (xx ii ) 2 + νν ΑΑ (xx ii ) 2 ii=1 (4.9) Για να αντιληφθούμε καλύτερα την παραπάνω συνάρτηση πρέπει να φανταστούμε δύο διανύσματα ΟΟΟΟ, ΟΟΑΑ cc που αντιστοιχούν στα διαισθητικά ασαφή σύνολα A και ΑΑ cc. Χρησιμοποιώντας την έννοια του εσωτερικού γινομένου καταλήγουμε στην εξίσωση ΟΟΟΟ ΟΟΑΑ cc = ΟΟΟΟ 2 ΟΟΑΑ cc 2 cccccccc (4.10) όπου θ είναι η γωνία μεταξύ των δύο διαισθητικών ασαφών διανυσμάτων και η ll 2 ννόρρρρρρ που για ένα διάνυσμα ΟΟΑΑ ii δίνεται από τη σχέση ΟΟΑΑ ii pp = (μμ ΑΑ (xx ii ) pp + νν ΑΑ (xx ii ) pp + ππ ΑΑ (xx ii ) pp ) 1 pp (4.11) Λύνοντας την εξίσωση (4.10) ως προς cosθ καταλήγουμε στο ζητούμενο cccccccc = 2 μμ ΑΑ(xx ii )νν ΑΑ (χχ ιι ) + ππ ΑΑ (xx ii ) 2 ππ ΑΑ (xx ii ) 2 + μμ ΑΑ (xx ii ) 2 + νν ΑΑ (xx ii ) 2 (4.12) Το οποίο είναι γνωστό και ως «συνημιτονοειδές μέτρο ομοιότητας» Μέτρο εντροπίας Ηung και Yang Κατά τους Hung και Yang για να θεωρηθεί μία συνάρτηση ικανή να περιγράψει τη διαισθητική ασαφή εντροπία πρέπει να ικανοποιεί τα αξιώματά που εκείνοι έθεσαν. Δύο τέτοιες διαισθητικά ασαφείς εντροπίες προτάθηκαν από τους ίδιους και περιγράφονται από τις σχέσεις 27

28 ΔΙΑΙΣΘΗΤΙΚΗ ΑΣΑΦΗΣ ΕΝΤΡΟΠΙΑ EE aa HHHH (AA) = 1 1 aa 1 (μμ ΑΑ(xx ii ) aa + νν ΑΑ (xx ii ) aa + ππ ΑΑ (xx ii ) aa ) εεάνν αα 1 (αα > 1) (4.13) ενώ όταν α=1 ισχύει ότι EE aa HHHH (AA) = (μμ ΑΑ (xx ii ) log μμ ΑΑ (xx ii ) + νν ΑΑ (xx ii )llllllνν ΑΑ (xx ii ) + ππ ΑΑ (xx ii )llllllππ ΑΑ (xx ii )) (4.14) Και την ΕΕ rr ββ = 1 1 ββ log μμ ΑΑ(xx ii ) ββ + vv ΑΑ (xx ii ) ββ + ππ ΑΑ (xx ii ) ββ, (4.15) Όπου 0<β<1. 28

29 ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Διαισθητική ασαφής επεξεργασία εικόνας Όπως αναφέρθηκε σε προηγούμενο σημείο η μεγάλη καινοτομία των διαισθητικών ασαφών συνόλων δεν ήταν μόνο το γεγονός ότι πλέον οι συναρτήσεις συμμετοχής και μησυμμετοχής αποκτούσαν έναν μεγαλύτερο βαθμό ελευθερίας αλλά και η δυνατότητα να παραστήσουμε την αβεβαιότητα μέσω της διστακτικότητα. Βέβαια αυτή η παράσταση της αβεβαιότητας αυξάνει την πολυπλοκότητα του συστήματος, για παράδειγμα σε μία ασαφή εφαρμογή ενίσχυσης αντίθεσης η ασαφοποίηση της εικόνας μπορεί να υλοποιηθεί με μία απλή κανονικοποιήση των επιπέδων φωτεινότητας. Κάτι τέτοιο δεν ισχύει για την εφαρμογή των διαισθητικών ασαφών συστημάτων στην εικόνα, αφού πλέον εκτός από τη συνάρτηση συμμετοχής πρέπει να προσδιορίσουμε και τη συνάρτηση μη-συμμετοχής (ή της διστακτικότητας). Αυτή η επιπλέον ανάγκη μας οδηγεί να αναζητήσουμε τρόπους για τη διαισθητική ασαφοποίηση των εικόνων. Για τον προσδιορισμό της εγγενούς διστακτικότητας των εικόνων παρουσιάζονται ευρηστικές και αναλυτικές μέθοδοι. Η πρώτη μέθοδος υλοποιείται προτυποποιώντας μαθηματικά την αβεβαιότητα, η οποία εισάγεται σε μία εικόνα εξαιτίας των αδυναμιών και μειονεκτημάτων των συστημάτων και μηχανισμών απόκτησης και αποθήκευσης των ψηφιακών εικόνων. Η αναλυτική μέθοδος χρησιμοποιεί τεχνικές βελτιστοποίησης των συναρτήσεων συμμετοχής και μη-συμμετοχής λαμβάνοντας κυρίως υπόψη πληροφοριακά κριτήρια. Σαν εργαλείο στην επεξεργασία εικόνας θα χρησιμοποιηθεί κυρίως η αναλυτική μέθοδος όπως θα φανεί και στα επόμενα κεφάλαια. Σε αυτό το σημείο θα ήταν χρήσιμο να δώσουμε τον ορισμό των Vlachos και Sargiadis για το πώς ορίζεται μία εικόνα μεγέθους ΜxΝ εικονoστοιχείων φωτεινών επιπέδων 0 έως L-1 σε διαισθητικό ασαφές πλαίσιο. Μία εικόνα περιγράφεται από το διαισθητικό ασαφές σύνολο: ΑΑ = {< gg iiii, μμ ΑΑ gg iiii, νν ΑΑ (gg iiii ) > gg iiii εε {0,, LL 1}} (5.1) 29

30 ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ με ii εε {1, MM} κκκκκκ jj εε {1,, NN}, όπου μμ ΑΑ gg iiii κκκκκκ νν ΑΑ (gg iiii ) δηλώνουν αντίστοιχα τους βαθμούς συμμετοχής και μη-συμμετοχής του (i, j)-στού εικονοστοιχείου στο σύνολο Α και περιγράφει μία ιδιότητα της εικόνας. 5.1 Ασαφή ιστογράμματα και ευριστική μέθοδος Το ιστόγραμμα είναι ένα στατιστικό μέτρο για την εμφάνιση των διαφορετικών τόνων φωτεινότητας μίας εικόνας. Γενικά περιέχει σημαντικές πληροφορίες για το περιεχόμενο μιας ψηφιακής εικόνας και μπορεί να παρασταθεί γραφικά. Εφόσον μπορούμε να μετατρέψουμε την εικόνα σε ασαφή εικόνα, και αντί να διαχειριζόμαστε επίπεδα φωτεινότητας να διαχειριζόμαστε ασαφείς αριθμούς, η έννοια του ιστογράμματος μιας ψηφιακής εικόνας Α μπορεί να επεκταθεί στο ασαφές πεδίο. Η ασαφοποίηση της εικόνας γίνεται με τη συνάρτηση μμ gg (xx) = max{0,1 xx gg } pp (5.2) η οποία είναι κατάλληλη να για την αναπαράσταση της έννοιας του επιπέδου φωτεινότητας «περίπου g». Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται πώς η τιμή του p ελέγχει τη μορφή του αριθμού για g=50 και p=5, p=3. Σχήμα 3 Συνάρτηση συμμετοχής(μπλε γραμμή) για p=3 και για p=5(κόκκινη γραμμή) 30

31 ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ Αφού ασαφοποιήσουμε την εικόνα είμαστε σε θέση να βρούμε το ασαφές της ιστόγραμμα το οποίο ορίζεται από τη συνάρτηση h ff AA (gg) < (ii, jj), μμ ggii,jj (gg) > ii εε {1, MM}, jj εε {1,, NN} (5.3) όπου. αντιπροσωπεύει τον πληθικό αριθμό ενός ασαφούς συνόλου. Επιπλέον ο όρος h AA ff (gg) αναπαριστά τη συχνότητα εμφάνισης του επιπέδου γκρίζου «περίπου g». Το κανονικοποιημένο ασαφές ιστόγραμμα ορίζεται από τη σχέση ff h AA (gg) = h AA ff (gg) LL 1 ff ll=0 h AA (ll), (5.4) με gg εε {0,, LL 1} Σχήμα 4 Αναπαράσταση κοινού ιστογράμματος και ασαφούς ιστογράμματος για p=3 και p=9 Συγκρίνοντας το κοινό ιστόγραμμα με τα ασαφή ιστογράμματα παρατηρούμε ότι το πρώτο παρουσιάζει «καρφιά» σε αντίθεση με τα δεύτερα που είναι πιο ομαλά. Αυτά τα «καρφιά» είναι αποτέλεσμα των σφαλμάτων κβάντισης που οφείλονται από πιθανές λανθασμένες αποτυπώσεις ενός επιπέδου φωτεινότητας g είτε ως g+1 είτε ως g-1. Αφού λοιπόν ορίσαμε το ασαφές ιστόγραμμα είμαστε σε θέση να προσδιορίσουμε μαθηματικά αυτήν την πηγή διστακτικότητας που ορίζεται από τη συνάρτηση 31

32 ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ h cc ππ ΑΑ (gg) AA (gg) h ff = 1 μμ ΑΑ (gg) AA (gg) max h cc AA (gg) h ff gg AA (gg) (1 kkkkkk) (5.5) όπου το μμ ΑΑ (gg) η συνάρτηση συμμετοχής όπως ορίστηκε στην Εξ.(5.2), h cc AA (gg) το κοινό ιστόγραμμα, h ff AA (gg) το κανονικοποιημένο ασαφές ιστόγραμμα, Δr η κανονικοποιημένη δυναμική περιοχή που περιγράφεται από τη σχέση ΔΔΔΔ = gg mmmmmm gg mmmmmm και τέλος η τιμή κ που LL 1 παίρνει τιμές από 0 έως 1 και ελέγχει τη συνολική επίδραση της δυναμικής περιοχής στη συνάρτηση διστακτικότητας. Στο Σχήμα 4 προβάλλεται το κοινό ιστόγραμμα και το ασαφές ιστόγραμμα για τιμές της παραμέτρου p=3 και p=9. Από τη μορφή του ασαφούς ιστογράμματος αντιλαμβανόμαστε την εξάρτησή του από την παράμετρο p. Το Σχήμα 5(α),(δ) για τη παράμετρο p=3 απεικονίζει την συνάρτηση συμμετοχής, μη-συμμετοχής για k=0.2 και k=0.9. Η αντίστοιχη συνάρτηση διστακτικότητας φαίνεται στο Σχήμα 5(β),(δ). Επιπλέον στο Σχήμα 6 παρουσιάζονται οι αντίστοιχες συναρτήσεις για p=9. (α) (β) (γ) (δ) Σχήμα 5: (α)συνάρτηση συμμετοχής (κόκκινη γραμμή) και μη-συμμετοχής (μπλέ γραμμή) για p=3 και κ=0.2 (β) αντίστοιχος βαθμός διστακτικότητας (γ) Συνάρτηση συμμετοχής (κόκκινη γραμμή) και μη-συμμετοχής (μπλέ γραμμή) για p=3 και κ=0.9 (δ) αντίστοιχος βαθμός διστακτικότητας (α) (β) (γ) (δ) Σχήμα 6: (α)συνάρτηση συμμετοχής (κόκκινη γραμμή) και μη-συμμετοχής (μπλέ γραμμή) για p=9 και κ=0.2 (β) αντίστοιχος βαθμός διστακτικότητας (γ) Συνάρτηση συμμετοχής (κόκκινη γραμμή) και μη-συμμετοχής (μπλέ γραμμή) για p=9 και κ=0.9 (δ) αντίστοιχος βαθμός διστακτικότητας 32

33 ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ 5.2 Αναλυτική προσέγγιση στη διαισθητική ασαφοποίηση Σε αυτό το κεφάλαιο προσεγγίζουμε την επεξεργασία μιας εικόνας στο διαισθητικό ασαφές πλαίσιο μέσα από την αναλυτική μέθοδο όπως περιγράφεται από τις εργασίες των Vlachos και Sergiadis. Δεδομένης μιας εικόνας αγνώστου προελεύσεως και χωρίς να έχουμε καμία εκ των προτέρων πληροφορία για το σύστημα απεικόνισης και τους μηχανισμούς που παρήγαγαν την εικόνα, αναζητούμε τη βέλτιστη περιγραφή της εικόνας με τη βοήθεια των IFS Διαισθητικές Ασαφείς γεννήτριες Πριν συνεχίσουμε στις μεθόδους ασαφοποίησης μίας εικόνας θεωρείτε χρήσιμο να γίνει μία αναφορά στα εργαλεία που θα χρησιμοποιούμε γι αυτήν την διαδικασία. Οι διαισθητικές ασαφείς γεννήτριες είναι ένας τελεστής που εφαρμόζεται στη συνάρτηση συμμετοχής των FS και παράγει διαισθητικά ασαφή σύνολα. Ο ορισμός τους σύμφωνα με τον Bustince είναι: Έστω φ:[0, 1] [0, 1].Τότε, η συνάρτηση φ είναι μία συνεχής διαισθητική ασαφής γεννήτρια εάν και μόνο εαν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f:[0, 1] [0, 1] τέτοια ώστε ff(xx) xx γγγγγγ κκάθθθθ xx εε [0, 1] φφ(xx) = (ff NN)(xx)γγγγγγ κκάθθθθ xx εε XX όπου Ν είναι η τυπική άρνηση, Ν:[0, 1] [0, 1], η οποία δίνεται από τη σχέση Ν(χ)=1-χ για κάθε xx εε XX. Εφαρμόζοντας μία διαισθητική ασαφή γεννήτρια σε ένα διαισθητικά ασαφές σύνολο Α καταλήγουμε σε ένα νέο σύνολο που ορίζεται από την παρακάτω σχέση ΦΦ(ΑΑ) = < χχ, ΦΦ μμ ΑΑ (xx), νν ΑΑ (χχ) > χχχχ ΧΧ = < χχ, φφ 1 νν ΑΑ (χχ), 1 φφ(μμ ΑΑ (χχ)) > χχχχ ΧΧ (5.6) Τέλος χρήσιμο θα ήταν να αναφέρουμε τον ορισμό συμπληρώματος σύμφωνα με τον Bustince. του ενελικτικού ασαφές Έστω φ μία φθίνουσα διαισθητική ασαφής γεννήτρια, ΑΑ εε IIIIII(XX)κκκκκκ έσσσσσσ ΦΦ(ΑΑ) = {< xx, φφ 1 νν ΑΑ (χχ), 1 φφ(μμ ΑΑ (χχ)) > xx εε XX} (5.7) 33

34 ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ Τότε, Φ είναι ένα ενελικτικό διαισθητικό ασαφές συμπλήρωμα εάν και μόνο εαν η συνάρτηση φ είναι ενελικτική (φ(φ(χ))=χ) Αρχή της μέγιστης διαισθητικής ασαφούς εντροπίας Θεωρούμε την διαισθητική ασαφή γεννήτρια: φφ(χχ) = (1 χχ) λλ (5.8) όπου χχ εε [0, 1] και η οποία καλύπτει τον ορισμό του Bustince για 1. λ Συνδυάζοντας αυτή την συνάρτηση καθώς και την ιδιότητα της ενέλιξης των διαισθητικά ασαφών συμπληρωμάτων καταλήγουμε στην σχέση μμ ΑΑ(gg; λλ) = 1 (1 μμ ΑΑ (gg)) λλ 1 μμμμ λλ 1 (5.9) Λαμβάνοντας υπόψη τη διαισθητική ασαφή γεννήτρια της Εξ.5.8, προκύπτει η συνάρτηση μη συμμετοχής που δίνεται από τη σχέση: νν ΑΑ(gg; λλ) = 1 μμ ΑΑ (gg) λλ(λλ 1) (5.10) για κάθε g εε {0,, LL 1}, όππππππ λλ 1. Κάθε διαφορετική τιμή λ λοιπόν μας δίνει ένα διαφορετικό διαισθητικό ασαφές σύνολο. Πλέον γεννάται το ερώτημα ποια τιμή του λ μας δίνει το βέλτιστο IFS κατά την επεξεργασία της φωτεινότητας μιας εικόνας. Σαν κριτήριο για την επιλογή του λ χρησιμοποιείται η διαισθητική ασαφής εντροπία και πιο συγκεκριμένα η βέλτιστη τιμή του λ είναι αυτή που μας εξασφαλίζει την μέγιστη διαισθητική ασαφή εντροπία ή αλλιώς αρχή της μέγιστης διαισθητικής ασαφούς εντροπίας. Από τις διαισθητικές ασαφής εντροπίες που αναφέρθηκαν στο τέταρτο κεφάλαιο εμείς χρησιμοποιούμε την εντροπία όπως ορίστηκε από τους Szmidt και Kacprzyk Κεφ και καταλήγουμε στη σχέση: LL 1 EE SSSS (AA; λλ) = 1 ΜΜΜΜ h ΑΑ cc (gg) 1 max {μμ ΑΑ(gg; λλ), νν ΑΑ(gg; λλ)} 1 min{μμ ΑΑ(gg; λλ), νν ΑΑ(gg; λλ)} gg=0 (5.11) όπου το h AA cc είναι το κανονικοιποιημένο κοινό ιστόγραμμα της εικόνας. Τελικά η βέλτιστη τιμή λ που μεγιστοποιεί την διαισθητικά ασαφή εντροπία δίνεται από την συνάρτηση 34

35 ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ λλ oooooo = arg mmmmmm λλ 1 {EE SSSS (AA; λλ)} (5.12) Αφού πλέον έχουμε βρει την βέλτιστη παράμετρο λλ oooooo μπορούμε να περιγράψουμε την εικόνα στο IFS AA oooooo = {< gg, μμ ΑΑoooooo (g), νν ΑΑoooooo (g) > gg εε {0,, LL 1}} (5.13) όπου μμ ΑΑoooooo (gg) = 1 (1 μμ ΑΑ (gg)) λλ oooooo 1 (5.14) και νν ΑΑoooooo (gg) = (1 μμ ΑΑ (gg)) λλ oooooo (λλ oooooo 1) (5.15) Στo Σχήμα 7 παρουσιάζονται τα αποτελέσματα της εφαρμογής της αρχής της μέγιστης διαισθητικής ασαφούς εντροπίας σε μία τυχαία εικόνα τόνων του γκρίζου. Στο σχήμα (ε) βλέπουμε την καμπύλη της διαισθητικής ασαφούς εντροπίας από την οποία προκύπτει η βέλτιστη τιμή λ, ενώ στο σχήμα (στ) απεικονίζονται οι βέλτιστες συναρτήσεις συμμετοχής, μη-συμμετοχής και διστακτικότητας. Εφαρμόζοντας αυτές τις συναρτήσεις στην αρχική εικόνα προκύπτουν οι συνιστώσες της εικόνας οι οποίες απεικονίζονται στα σχήματα (β),(γ),(δ). 5.3 Μέθοδοι διαισθητικής αποασαφοποίησης Για να επαναφέρουμε το διαισθητικό ασαφές πεδίο πίσω στο ασαφές πεδίο, κάνουμε χρήση του τελεστή αποδόμησης του Atanassov Εξ.(3.2) και όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε στον τελεστή η παράμετρος α δεν είναι καθορισμένη. Συνεπώς υπάρχει η ανάγκη ενός κριτηρίου το οποίο θα μας επιτρέψει να επιλέξουμε τη βέλτιστη παράμετρο α. 35

36 ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ (α) (β) (γ) (δ) (ε) (στ) Σχήμα 7: (α) αρχική εικόνα (β) βέλτιστες συνιστώσες συμμετοχής (γ) βέλτιστες συνιστώσες μη-συμμετοχής (δ) βέλτιστες συνιστώσες διστακτικότητας (ε) καμπύλη διαισθητικής ασαφούς εντροπίας (στ) βέλτιστη συνάρτηση συμμετοχής(μπλε γραμμή), μη-συμμετοχής(κόκκινη γραμμή),διστακτικότητας(πράσινη γραμμή) 36

37 ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ Διαισθητική αποασαφοποίηση μεγίστου δείκτη ασάφειας Πολλές φορές κρίνεται σκόπιμο να αυξήσουμε την ασάφεια της εικόνας, ώστε να αυξήσουμε τα επίπεδα φωτεινότητας και να καταλήξουμε σε εικόνες καταλληλότερες για την ανθρώπινη όραση. Ως μέτρο για την ασάφεια χρησιμοποιούμε τον γραμμικό δείκτη ασάφειας τον οποίο συνδυάζουμε με τον τελεστή Atanassov και καταλήγουμε στη σχέση: LL 1 γγ DD aa AA oooooo = 1 4MMMM h AA cc gg=0 (gg)μμ DDaa AA oooooo (gg)(1 μμ DDaa (AA oooooo )(gg)) (5.16) όπου το ΑΑ oooooo διαισθητικό ασαφές σύνολο Η τιμή του α που μεγιστοποιεί την παραπάνω εξίσωση είναι αα oooooo = LL 1 gg=0 h cc AA (gg)ππ ΑΑ (gg)(1 2μμ oooooo ΑΑoooooo (gg)) LL gg=0 h cc AA (gg)ππ ΑΑ oooooo (gg) (5.17) Επειδή η Εξ.(5.17) δε μας εξασφαλίζει ότι η τιμή του αα oooooo θα κείτεται ανάμεσα στο 0 και στο 1 όπως επιβάλλει ο τελεστής αποδόμησης του Atanassov γι αυτό την περιορίζουμε με βάση τη σχέση αα oooooo = 0, εεεεεε αα oooooo < 0 aa oooooo 0 aa oooooo 1 1, εεάνν αα oooooo > 1 (5.18) Παραμετρική Διαισθητική Αποασαφοποίηση Οι Vlachos και Sergiadis πρότειναν μία γενίκευση της μεθόδου διαισθητικής ασαφοποίησης του μεγίστου δείκτη ασάφειας, όπου στον γραμμικό δείκτη ασάφειας το τυπικό ασαφές συμπλήρωμα έχει αντικατασταθεί με το συμπλήρωμα Sugeno Εξ.(2.4). Ακολουθώντας τη διαδικασία που περιγράφτηκε στο Κεφάλαιο καταλήγουμε στον τροποποιημένο γραμμικό δείκτη ασάφειας LL 1 γγ λλ DD αα ΑΑ oooooo = KK(λλ) 4ΜΜΜΜ h AA cc (gg)μμ DDαα ΑΑ oooooo (gg) 1 μμ DD αα ΑΑ oooooo (gg) 1 + λλμμ DDαα ΑΑ oooooo (gg) gg=0 (5.19) 37

38 ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ όπου λ είναι η παράμετρος του ασαφούς συμπληρώματος Sugeno. Ο όρος Κ(λ) εισάγεται για να κανονικοποιήσουμε τον γγ λλ και δίνεται από τη σχέση: ΚΚ(λλ) = λλ 2 1+λλ 1+ 1+λλ (1+λλ 1+λλ) (5.20) Λόγω της πολύπλοκης μορφής της συνάρτησης δεν μπορούμε να καταλήξουμε σε έναν συγκεκριμένο τύπο εξαγωγής της βέλτιστης τιμής του α οπότε κάνουμε μία προσέγγιση με εξαντλητική αναζήτηση, η οποία περιγράφεται με τη σχέση: αα oooooo (λλ) = arg max aa εε [0, 1] {γγ λλ(dd αα (ΑΑ oooooo ))} (5.21) Για να εξάγουμε τη βέλτιστη τιμή του λ λαμβάνουμε υπόψη τη στατιστική του ιστογράμματος και κάνουμε χρήση της έννοιας της διαισθητικής ασαφούς ροπής πρώτης τάξης. Έτσι καταλήγουμε στην εξίσωση: λλ oooooo = 2mm ll IIII 1 (5.22) 1 mm IIII ll 2 όπου το mm IIII ll είναι η μέση διαισθητική ασαφή ροπή πρώτης τάξης που ορίζεται ως mm IIII ll = 1 2 (mm ll IIII + mm IIII ll ) (5.23) με mm IIII ll = LL 1 μμ ΑΑ (gg)h cc gg=0 AA (gg), mm IIII ll = LL 1(1 vv AA (gg))h cc gg=0 AA (gg) και h cc AA το κανονικοποιημένο κοινό ιστόγραμμα της εικόνας Γενικευμένη διαισθητική αποασαφοποίηση με χρήση του αθροιστικού ιστογράμματος Οι Vlachos και Sergiadis πρότειναν να χρησιμοποιηθεί το αθροιστικό ιστόγραμμα ως συνάρτηση για την παράμετρο α. Ο υπολογισμός λοιπόν γίνεται με βάση τη σχέση: cc αα haa = 1 MMMM h AA cc (ll) ll=0 για κάθε gg εε {0,, LL 1} gg (5.24) Αυτή η επιλογή δεν είναι τυχαία αφού μία αύξουσα συνάρτηση που περιγράφει την παράμετρο α έχει ως αποτέλεσμα να διατηρεί τα σκοτεινά επίπεδα σκοτεινά και τα φωτεινά 38

39 ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ επίπεδα φωτεινότερα κάτι που είναι επιθυμητό στις εφαρμογές ενίσχυσης αντίθεσης φωτεινότητας εικόνας. (α) (β) (γ) (δ) Σχήμα 8: (α) Αρχική εικόνα. Εικόνες που λαμβάνονται (β) με την τεχνική της διαισθητικής αποασαφοποίησης μεγίστου δείκτη ασάφειας (γ) της μονοπαραμετρικής διαισθητικής ασαφοποίησης, (δ)της γενικευμένης διαισθητική αποασαφοποίησης με χρήση του αθροιστικού ιστογράμματος Εφαρμογές των αποασαφοποιητών Για να επιδείξουμε την αποτελεσματικότητα των μεθόδων διαισθητικής αποασαφοποίησης που μόλις περιγράφηκαν, κάνουμε εφαρμογή τους σε εικόνα τόνων γκρίζου Σχήμα 8(α) με κάθε εικονοστοιχείο τους να περιγράφεται από 8-bit. Παρατηρούμε ότι οι εικόνες ενισχύονται και τα αποτελέσματα είναι εξίσου ικανοποιητικά και από τις τρεις τεχνικές που μόλις περιγράψαμε, με τη μέθοδο της γενικευμένης διαισθητικής ασαφοποίησης να επιδεικνύει καλύτερη συμπεριφορά σε σχέση με τη μέθοδο μέγιστου δείκτη ασάφειας. 39

40 ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΑΝΤΙΘΕΣΗΣ 5.4 Διπαραμετρική διαισθητική ασαφοποίηση-αποασαφοποίηση Οι Vlachos και Sergiadis γενίκευσαν τη μέθοδο της αρχής της μέγιστης διαισθητικής ασαφούς εντροπίας. Για την παραμετροποίηση της συνάρτησης συμμετοχής έγινε εφαρμογή του ασαφούς συμπληρώματος Yager με w>0 οπότε και προέκυψε η σχέση μμ ΑΑ (gg; ww) = 1 (1 μμ ΑΑ ww (gg)) 1/ww (5.25) ενώ εφαρμόζοντας τη θεωρία των διαισθητικών ασαφών γεννητριών καταλήγουμε στη συνάρτηση μη συμμετοχής νν ΑΑ (gg; ww) = (1 μμ ΑΑ ww (gg)) 1/ww (5.26) Ακολουθώντας τη μέθοδο που περιγράφηκε στο Κεφάλαιο προσπαθούμε να μεγιστοποιήσουμε τη διαισθητική ασαφή εντροπία της εικόνας όπως αυτή περιγράφεται από τους Szmidt και Kacprzyk και ορίζεται από τη σχέση 1 λλ ΕΕ ssss (ΑΑ; λλ, ww) = 1 LL 1 MMMM h AA cc (gg) 1 max{1 1 μμ ΑΑ ww (gg) ww, 1 μμ ww ΑΑ (gg) ww } 1 λλ gg=0 1 min{1 1 μμ ww ΑΑ (gg) ww, 1 μμ ww ΑΑ (gg) ww } (5.27) όπου h AA cc (gg) είναι το σύνηθες ιστόγραμμα της ασαφούς εικόνας ΑΑ. Για μια σταθερή τιμή της παραμέτρου w, η εντροπία ΕΕ ssss (AA; λλ, ww) εμφανίζει μέγιστο για μία τιμή της παραμέτρου λ, την οποία συμβολίζουμε με λλ oooooo (ww). Γίνεται εμφανές ότι για να οριστεί μία βέλτιστη τιμή για το λ πρέπει πρώτα να οριστεί και μία βέλτιστη τιμή για το w, κάτι που επιτυγχάνεται με τη χρήση του γραμμικού δείκτη ασάφειας. Όπως αναφέρθηκε σε προηγούμενο κεφάλαιο σε περιπτώσεις ενίσχυσης αντίθεσης είναι επιθυμητό να μεγιστοποιούμε την ασάφεια. Πάνω σε αυτό το κριτήριο βασιζόμαστε για την εξαγωγή της βέλτιστης παραμέτρου ww oooooo σύμφωνα με τη σχέση ww oooooo = aaaaaammmmmm ww 0 {γγ(dd aaoooooo )} (5.28) λλ oooooo (ww),ww AA λλ oooooo (ww),ww όπου η συνάρτηση γ συμβολίζει το γραμμικό δείκτη ασάφειας και ορίζεται ως LL 1 γγ DD aa AA λλ oooooo (ww), ww = 1 4MMMM h AA cc (gg)μμ ΑΑ (gg)(1 μμ ΑΑ (gg)) gg=0 (5.29) Με βάση την μέθοδο του μεγίστου δείκτη ασάφειας, η παράμετρος α που μεγιστοποιεί την Εξ. (5.29) ορίζεται ως 40

Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση. Κατάτμηση Εικόνας

Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση. Κατάτμηση Εικόνας Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση Κατάτμηση Εικόνας Γεώργιος Παπαϊωάννου 2015 ΚΑΤΩΦΛΙΩΣΗ Κατωφλίωση - Γενικά Είναι η πιο απλή μέθοδος segmentation εικόνας Χωρίζουμε την εικόνα σε 2 (binary) ή περισσότερες στάθμες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω μια συνάρτηση ff που έχει πεδίο ορισμού το ΔΔ. 1. Πότε η ffλέγεται συνεχής στο xx 0 ΔΔ ; 2. Πότε η ff λέγεται συνεχής; (Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών

Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Εισαγωγή στη θεωρία ακραίων τιμών Αντικείμενο της θεωρίας ακραίων τιμών αποτελεί: Η ανάπτυξη και μελέτη στοχαστικών μοντέλων με σκοπό την επίλυση προβλημάτων που σχετίζονται με την εμφάνιση «πολύ μεγάλων»

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ» ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012

ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ» ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ Δίνονται τα εξής πρότυπα: [ ] [ ] [ ] [ ] Άσκηση η (3 μονάδες) Χρησιμοποιώντας το κριτήριο της ομοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό με βάση το συντελεστή συσχέτισης. (γράψτε ποιο

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Digital Image Processing

Digital Image Processing Digital Image Processing Intensity Transformations Πέτρος Καρβέλης pkarvelis@gmail.com Images taken from: R. Gonzalez and R. Woods. Digital Image Processing, Prentice Hall, 2008. Image Enhancement: είναι

Διαβάστε περισσότερα

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων

K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 7-8: Ανάλυση και σύνθεση συνδυαστικών λογικών κυκλωμάτων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η έννοια του συνδυαστικού

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση

Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση ΤΨΣ 50 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο Πειραιώς Περιεχόµενα Βιβλιογραφία

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΙΟΙΚΗΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΙΟΙΚΗΣΗΣ ιδάσκων:

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο

Τι είναι σύνολο; Ο ορισμός αυτός είναι σύμφωνος με τη διαισθητική μας κατανόηση για το τι είναι σύνολο ΣΥΝΟΛΑ Τι είναι σύνολο; Ένας ορισμός «Μια συλλογή αντικειμένων διακεκριμένων και πλήρως καθορισμένων που λαμβάνονται από τον κόσμο είτε της εμπειρίας μας είτε της σκέψης μας» (Cantor, 19 ος αιώνας) Ο ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΑ Χ Ρ ΗΜ ΑΤ ΙΣ Τ ΗΡ ΙΑ CISCO EXPO 2009 G. V a s s i l i o u - E. K o n t a k i s g.vassiliou@helex.gr - e.k on t ak is@helex.gr 29 Α π ρ ι λ ί ο υ 20 0 9 Financial Services H E L E X N O C A g e

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι

Κεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18. 18 Μηχανική Μάθηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 18 18 Μηχανική Μάθηση Ένα φυσικό ή τεχνητό σύστηµα επεξεργασίας πληροφορίας συµπεριλαµβανοµένων εκείνων µε δυνατότητες αντίληψης, µάθησης, συλλογισµού, λήψης απόφασης, επικοινωνίας και δράσης

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηση και Γενίκευση. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων

Μάθηση και Γενίκευση. Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων Μάθηση και Γενίκευση Το Πολυεπίπεδο Perceptron (MultiLayer Perceptron (MLP)) Έστω σύνολο εκπαίδευσης D={(x n,t n )}, n=1,,n. x n =(x n1,, x nd ) T, t n =(t n1,, t np ) T Θα πρέπει το MLP να έχει d νευρώνες

Διαβάστε περισσότερα

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ

5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 48 49 5 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΥΟ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Κάθε συνάρτηση : A B με Α R n και Β R ονομάζεται πραγματική συνάρτηση n μεταβλητών ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: Ι Αν Α R n και Β R n τότε έχουμε διανυσματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας

Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Οδηγίες για το Geogebra Μωυσιάδης Πολυχρόνης Δόρτσιος Κώστας Η πρώτη οθόνη μετά την εκτέλεση του προγράμματος διαφέρει κάπως από τα προηγούμενα λογισμικά, αν και έχει αρκετά κοινά στοιχεία. Αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 3 Επιλογή μοντέλου Επιλογή μοντέλου Θεωρία αποφάσεων Επιλογή μοντέλου δεδομένα επικύρωσης Η επιλογή του είδους του μοντέλου που θα χρησιμοποιηθεί σε ένα πρόβλημα (π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή

Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή Γενικά Στοιχεία Ηλεκτρονικού Υπολογιστή 1. Ηλεκτρονικός Υπολογιστής Ο Ηλεκτρονικός Υπολογιστής είναι μια συσκευή, μεγάλη ή μικρή, που επεξεργάζεται δεδομένα και εκτελεί την εργασία του σύμφωνα με τα παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015

Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 MACROWEB Προβλήματα Γεώργιος Φίλιππας 23/8/2015 Παραδείγματα Προβλημάτων. Πως ορίζεται η έννοια πρόβλημα; Από ποιους παράγοντες εξαρτάται η κατανόηση ενός προβλήματος; Τι εννοούμε λέγοντας χώρο ενός προβλήματος;

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλο φωτισμού Phong

Μοντέλο φωτισμού Phong ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9. Στο προηγούμενο κεφάλαιο παρουσιάσθηκαν οι αλγόριθμοι απαλοιφής των πίσω επιφανειών και ακμών. Απαλοίφοντας λοιπόν τις πίσω επιφάνειες και ακμές ενός τρισδιάστατου αντικειμένου, μπορούμε να

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών

Η Εντροπία. Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος. Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Η Εντροπία Δρ. Αθανάσιος Χρ. Τζέμος Κέντρο Ερευνών Αστρονομίας και Εφηρμοσμένων Μαθηματικών Ακαδημία Αθηνών Θερμοδυναμική +Στατιστική Μηχανική= Θερμική Φυσική Η Θερμοδυναμική ασχολείται με τις μακροσκοπικές

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Δομές δεδομένων. Τεχνικές σχεδίασης αλγορίθμων. Εισαγωγή στον προγραμματισμό. Υποπρογράμματα. Επαναληπτικά κριτήρια αξιολόγησης

Περιεχόμενα. Δομές δεδομένων. Τεχνικές σχεδίασης αλγορίθμων. Εισαγωγή στον προγραμματισμό. Υποπρογράμματα. Επαναληπτικά κριτήρια αξιολόγησης Περιεχόμενα Δομές δεδομένων 37. Δομές δεδομένων (θεωρητικά στοιχεία)...11 38. Εισαγωγή στους μονοδιάστατους πίνακες...16 39. Βασικές επεξεργασίες στους μονοδιάστατους πίνακες...25 40. Ασκήσεις στους μονοδιάστατους

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α α β χ δ ε φ γ η ι ϕ κ λ µ ν ο π θ ρ σ τ υ ϖ ω ξ ψ ζ αα ββ χχ δδ εε φφ γγ ηη ιι ϕϕ κκ λλ µµ νν οο

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

Συνδυαστικά Κυκλώματα

Συνδυαστικά Κυκλώματα 3 Συνδυαστικά Κυκλώματα 3.1. ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ Λ ΟΓΙΚΗ Συνδυαστικά κυκλώματα ονομάζονται τα ψηφιακά κυκλώματα των οποίων οι τιμές της εξόδου ή των εξόδων τους διαμορφώνονται αποκλειστικά, οποιαδήποτε στιγμή,

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο

Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Θεωρία Υπολογισμού και Πολυπλοκότητα Μαθηματικό Υπόβαθρο Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: Σύνολα Συναρτήσεις και Σχέσεις Γραφήματα Λέξεις και Γλώσσες Αποδείξεις ΕΠΛ 211 Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός

ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 2 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 3 ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ 4 ΤΟΜΟΣ Α : Συμβολικός Προγραμματισμός 5 ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Καθηγητής Α.Π.Θ. ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΘΕΟΔΩΡΟΥ Μαθηματικός ΟΔΗΓΟΣ στη ΧΡΗΣΗ του ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-21 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΠΛΗ-2 ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΑΣΚΗΣΕΙΙΣ ΓΡΑΠΤΩΝ ΕΡΓΑΣΙΙΩΝ & ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Ενημέρωση αλλαγών στην αξιολόγηση ΟΠΣ_ΕΣΠΑ Εγκατάσταση στην Παραγωγή: 13/9/2010

Ενημέρωση αλλαγών στην αξιολόγηση ΟΠΣ_ΕΣΠΑ Εγκατάσταση στην Παραγωγή: 13/9/2010 Ενημέρωση αλλαγών στην αξιολόγηση ΟΠΣ_ΕΣΠΑ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ι. Αλλαγές στο ΣΤΑΔΙΟ Α στην αξιολόγηση (εξέταση πληρότητας) I.1. Προσδιορισμός ερωτημάτων λίστας εξέτασης Λ1 στο ΕΠ I.2. Προσδιορισμός της λίστας

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου

Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Βάση και Διάσταση Διανυσματικού Χώρου Έστω V ένας διανυσματικός χώρος επί του σώματος F. Ορισμός : Ένα υποσύνολο S του διανυσματικού χώρου V θα λέμε ότι είναι βάση του V αν ισχύει Α) Η θήκη του S παράγει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού

ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ. Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΕΜΒΟΛΙΜΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Μερικές βασικές έννοιες διανυσματικού λογισμού ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ 1. Oρισμοί Διάνυσμα ονομάζεται η μαθηματική οντότητα που έχει διεύθυνση φορά και μέτρο.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

Υπάρχουν δύο τύποι μνήμης, η μνήμη τυχαίας προσπέλασης (Random Access Memory RAM) και η μνήμη ανάγνωσης-μόνο (Read-Only Memory ROM).

Υπάρχουν δύο τύποι μνήμης, η μνήμη τυχαίας προσπέλασης (Random Access Memory RAM) και η μνήμη ανάγνωσης-μόνο (Read-Only Memory ROM). Μνήμες Ένα από τα βασικά πλεονεκτήματα των ψηφιακών συστημάτων σε σχέση με τα αναλογικά, είναι η ευκολία αποθήκευσης μεγάλων ποσοτήτων πληροφοριών, είτε προσωρινά είτε μόνιμα Οι πληροφορίες αποθηκεύονται

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα

Διακριτά Μαθηματικά. Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Διακριτά Μαθηματικά Απαρίθμηση: Εισαγωγικά στοιχεία Αρχή του Περιστεριώνα Συνδυαστική ανάλυση μελέτη της διάταξης αντικειμένων 17 ος αιώνας: συνδυαστικά ερωτήματα για τη μελέτη τυχερών παιχνιδιών Απαρίθμηση:

Διαβάστε περισσότερα

Παράσταση αριθμών «κινητής υποδιαστολής» floating point

Παράσταση αριθμών «κινητής υποδιαστολής» floating point Παράσταση αριθμών «κινητής υποδιαστολής» floating point Με n bits μπορούμε να παραστήσουμε 2 n διαφορετικούς αριθμούς π.χ. με n=32 μπορούμε να παραστήσουμε τους αριθμούς από έως 2 32 -= 4,294,967,295 4

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Ενότητα 3 : Αποκατάσταση εικόνας (Image Restoration) Ιωάννης Έλληνας Τμήμα Η/ΥΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων ΤΕΙ Χαλκίδας Σχολή Διοίκησης και Οικονομίας Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Επιχειρησιακή Έρευνα Τυπικό Εξάμηνο: Δ Αλέξιος Πρελορέντζος Εισαγωγή Ορισμός 1 Η συστηματική εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων, τεχνικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C

Τα παρακάτω σύνολα θα τα θεωρήσουμε γενικά γνωστά, αν και θα δούμε πολλές από τις ιδιότητές τους: N Z Q R C Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές έννοιες Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ορισμένες έννοιες, οι οποίες ίσως δεν έχουν άμεση σχέση με τους διανυσματικούς χώρους, όμως θα χρησιμοποιηθούν αρκετά κατά τη μελέτη τόσο

Διαβάστε περισσότερα

Δίαυλος Πληροφορίας. Δρ. Α. Πολίτης

Δίαυλος Πληροφορίας. Δρ. Α. Πολίτης Δίαυλος Πληροφορίας Η λειτουργία του διαύλου πληροφορίας περιγράφεται από: Τον πίνακα διαύλου μαθηματική περιγραφή. Το διάγραμμα διάυλου παραστατικός τρόπος περιγραφής. Πίνακας Διαύλου Κατασκευάζεται με

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜ ΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ

ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜ ΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜ ΜΑΤΙΣΜΟΥ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΚΑΙ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ ΤΟΥ ΑΤΕΙ ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΠΡΕΒΕΖΑ, ΜΑΪΟΣ 2014 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5

2 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 + 1 + 0.5 2 + 0.25 2 + 0.5 0 0.125 + 1 + 0.5 1 0.125 + 1 + 0.75 1 0.125 1/5 IOYNIOΣ 23 Δίνονται τα εξής πρότυπα: x! = 2.5 Άσκηση η (3 µονάδες) Χρησιµοποιώντας το κριτήριο της οµοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό µε βάση το συντελεστή συσχέτισης. Γράψτε εδώ το χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. ΤΙ ΕΙΝΑΙ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ; Η επιστήμη των αριθμών Βασανιστήριο για τους μαθητές και φοιτητές Τέχνη για τους μαθηματικούς ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α Εξάμηνο ΙΩΑΝΝΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ. ΜΑΘΗΜΑ 2 ο. ΑΛΓΕΒΡΑ Boole ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ. ΜΑΘΗΜΑ 2 ο. ΑΛΓΕΒΡΑ Boole ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ ΜΑΘΗΜΑ 2 ο ΑΛΓΕΒΡΑ Boole ΛΟΓΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 2009-10 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ 1 Άλγεβρα Βοοle η θεωρητική βάση των λογικών κυκλωμάτων Η άλγεβρα Βοοle ορίζεται επάνω στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. Δρ. Δ. Λαμπάκης (1 η σειρά διαφανειών)

ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ. Δρ. Δ. Λαμπάκης (1 η σειρά διαφανειών) ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ Δρ. Δ. Λαμπάκης (1 η σειρά διαφανειών) Τα ηλεκτρονικά κυκλώματα, ιδιαίτερα τα ψηφιακά χρησιμοποιούνται για την υλοποίηση λογικών συναρτήσεων και την αποθήκευση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει;

Αναδρομή. Τι γνωρίζετε για τη δυνατότητα «κλήσης» αλγορίθμων; Τι νόημα έχει; ΜΑΘΗΜΑ 7 Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο Αναδρομή Σ χ ο λ ι κ ο Β ι β λ ι ο ΥΠΟΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.2.7: ΕΝΤΟΛΕΣ ΚΑΙ ΔΟΜΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟI 2.2.7.5: Κλήση αλγορίθμου από αλγόριθμο 2.2.7.6: Αναδρομή εισαγωγη

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 2. Λύση & Επεξηγήσεις. Τέλος_επανάληψης Εμφάνισε "Ναι" Τέλος Α2

Παράδειγμα 2. Λύση & Επεξηγήσεις. Τέλος_επανάληψης Εμφάνισε Ναι Τέλος Α2 Διδακτική πρόταση ΕΝΟΤΗΤΑ 2η, Θέματα Θεωρητικής Επιστήμης των Υπολογιστών Κεφάλαιο 2.2. Παράγραφος 2.2.7.4 Εντολές Όσο επανάλαβε και Μέχρις_ότου Η διαπραγμάτευση των εντολών επανάληψης είναι σημαντικό

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)

Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Θεωρητική εισαγωγή

6.1 Θεωρητική εισαγωγή ΨΗΦΙΑΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ - ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 6 ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΤΕΣ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΛΕΚΤΕΣ Σκοπός: Η κατανόηση της λειτουργίας των κυκλωµάτων ψηφιακής πολυπλεξίας και αποκωδικοποίησης και η εξοικείωση µε τους ολοκληρωµένους

Διαβάστε περισσότερα

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n

O n+2 = O n+1 + N n+1 = α n+1 N n+2 = O n+1. α n+2 = O n+2 + N n+2 = (O n+1 + N n+1 ) + (O n + N n ) = α n+1 + α n Η ύλη συνοπτικά... Στοιχειώδης συνδυαστική Γεννήτριες συναρτήσεις Σχέσεις αναδρομής Θεωρία Μέτρησης Polyá Αρχή Εγκλεισμού - Αποκλεισμού Σχέσεις Αναδρομής Γραμμικές Σχέσεις Αναδρομής με σταθερούς συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1.1 Να δοθεί ο ορισμός του προβλήματος καθώς και τρία παραδείγματα

Διαβάστε περισσότερα