ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΦΩΡΟΙ. Παραδείγμαηα:

Transcript

1 ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΦΩΡΟΙ Οριζµός: ΈζηωV έλα µε θελό ζύλνιν θαη R ην ζύλνιν ηωλ πξαγµαηηθώλ αξηζµώλ. Εθνδηάδνπµε ηνv: α) µε µηα εζωηεξηθή πξάμε, ηελ νπνία νλνµάδνπµε πξόζζεζε θαη ζπµβνιίδνπµε µε + θαη ε νπνία ηθαλνπνηεί ηηο επόµελεο ηδηόηεηεο: 1. u+v=v+u γηα όια ηα u,vv, (αληηµεηαζεηηθή ηδηόηεηα ηεο πξάμεο + ζην V). 2. u+(v+w)=(u+v)+w γηα όια ηα u, v, w V, (πξνζεηαηξηζηηθή ηδηόηεηα ηεο + ζην V). 3. Υπάξρεη έλα ζηνηρείν ζην V ην νπνίν νλνµάδνπµε µεδεληθό δηάλπζµα θαη ζπµβνιίδνπµε µε 0, γηα ην νπνίν ηζρύεη 0+v=v+0=v, γηα θάζε vv. 4. Γηα θάζε vv, ππάξρεη έλα ζηνηρείν ην νπνίν ζπκβνιίδεηαη κε -vv, ηέηνην ώζηε v+(-v) = (-v)+v = 0. β) Με κηα εμωηεξηθή πξάμε επί ηνπ V ηελ νπνία νλνκάδνπκε βαθμωηό πολλαπλαζιαζμό θαη ζπκβνιίδνπκε κε, δει. : R VV, (ι, v) ι v ή ζύληνκα ιv, κε ηηο θάηωζη ηδηόηεηεο: (α) ι(u+v)=ιu+ιv γηα όια ηα ιr, u,vv (β) (ι+κ)v=ιv+κv γηα όια ηα ι, κr, vv (γ) ι(κv)=(ικ)v γηα όια ηα ι,κr, vv (δ) 1v=v γηα όια ηα vv Τα ζηνηρεία ηνπ ζπλόινπ V ιέγνληαη δηαλύζκαηα, ελώ εθείλα ηνπ R ζπληειεζηέο. Tε µαζεµαηηθή δνµή (V,+, ) νλνµάδνπµε R-δηαλπζµαηηθό ρώξν ή δηαλπζµαηηθό ρώξν πάλω ζην R. Σπκβνιηδνπκε ηνλ δ.ρ ζην R κε V(R). Παξαηεξνύκε όηη ην (V,+) έρεη ηελ δνκή αληηκεηαζεηηθήο νκάδαο. Παραδείγμαηα: 1. Τν ζύλνιν ηωλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ R απνηειεί δηαλπζκαηηθό ρώξν πάλω ζηνλ εαπηό ηνπ ράξηλ ηωλ ηδηνηήηωλ ηωλ πξάμεωλ ηεο πξόζζεζεο θαη ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ. Τν ίδην ηζρύεη θαη γηα ην ζύλνιν ηωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ πάλω ζην R. 2. Έζηω ηώξα ην ζύλνιν R n ={(α 1, α 2,, α n ) α i R, i=1,, n} όιωλ ηωλ δηαηεηαγκέλωλ n-άδωλ πξαγκαηηθώλ αξηζκώλ. Έζηω x=(x 1, x 2,, x n ) θαη y=(y 1, y 2,, y n ) δύν ζηνηρεία 1

2 ηνπ R n. Οξίδνπκε ηε πξόζζεζε ζηνηρείωλ ζην R n, ζέηνληαο x+y = (x 1, x 2,, x n ) + (y 1, y 2,, y n ) = (x 1 + y 1, x 2 + y 2,, x n + y n ) θαη ην βαζκωηό πνιιαπιαζηαζκό ζηνηρείωλ ηνπ R επί ζηνηρείωλ ηνπ R n, ζέηνληαο ι (x 1, x 2,, x n ) = (ιx 1, ιx 2,, ιx n ) όπνπ ιr. Τέινο, νξίδνπκε ην νπδέηεξν ζηνηρείν 0 = (0, 0,, 0) θαη ην αληίζεην ζηνηρείν ηνπ x=(x 1, x 2,, x n ) ωο ην ζηνηρείν x=( x 1, x 2,, x n ). Είλαη εύθνιν λα επαιεζεπηεί όηη ην ζύλνιν R n απνηειεί δηαλπζκαηηθό ρώξν δηόηη πιεξεί όια ηα αμηώκαηα ηνπ νξηζκνύ ηνπ. Με αληίζηνηρνπο νξηζκνύο επαιεζεύεηαη όηη θαη ην ζύλνιν C n όιωλ ηωλ δηαηεηαγκέλωλ n-άδωλ κηγαδηθώλ αξηζκώλ απνηειεί επίζεο δηαλπζκαηηθό ρώξν. 3. Θεωξνύκε ην ζύλνιν Π όιωλ ηωλ πνιπωλύκωλ κηαο πξαγκαηηθήο κεηαβιεηήο t κε πξαγκαηηθνύο ζπληειεζηέο. Με ηνπο γλωζηνύο νξηζκνύο ηεο πξνζζέζεωο δύν πνιπωλύκωλ θαη ηνπ πνιιαπιαζηαζκνύ κε πξαγκαηηθό αξηζκό, κε κεδεληθό ζηνηρείν ην κεδεληθό πνιπώλπκν θαη κε αληίζεην ζηνηρείν ην πνιπώλπκν κε αληίζεηνπο ζπληειεζηέο από ην αξρηθό, επαιεζεύεηαη εύθνια όηη ην ζύλνιν Π απνηειεί έλα πξαγκαηηθό δηαλπζκαηηθό ρώξν. Όκνηα ην ζύλνιν Π n Π όιωλ ηωλ πνιπωλύκωλ βαζκνύ κηθξόηεξνπ ηνπ n απνηειεί πξαγκαηηθό δηαλπζκαηηθό ρώξν. Όκωο ην ζύλνιν όιωλ ηωλ πνιπωλύκωλ βαζκνύ n δελ απνηειεί δηαλπζκαηηθό ρώξν δηόηη ην άζξνηζκα δύν πνιπωλύκωλ βαζκνύ n δελ είλαη πάληνηε πνιπώλπκν βαζκνύ n, όπωο γηα παξάδεηγκα ηωλ πνιπωλύκωλ t n +1 θαη t n +t Έζηω, M m,n (R) ην ζύλνιν όιωλ ηωλ mxn πξαγκαηηθώλ πηλάθωλ. Έρνληαο νξίζεη ηελ πξόζζεζε πηλάθωλ θαη ην βαζκωηό πνιιαπιαζηαζκό πξαγκαηηθνύ αξηζκνύ κε πίλαθα, είλαη εύθνιν λα απνδείμνπκε όηη ην ζύλνιν M m,n (R) απνηειεί δηαλπζκαηηθό ρώξν επί ηνπ R. 5. Έζηω F ην ζύλνιν όιωλ ηωλ πξαγκαηηθώλ ζπλαξηήζεωλ f(x) πνπ νξίδνληαη ζε θάπνην ζπγθεθξηκέλν δηάζηεκα π.ρ. ην [0,1] ή θαη ζε νιόθιεξν ην R. Τν ζύλνιν απηό κε ηηο πξάμεηο ηεο ζπλήζνπο πξόζζεζεο ζπλαξηήζεωλ θαη βαζκωηνύ γηλνκέλνπ ζπλαξηήζεωο κε πξαγκαηηθό αξηζκό: (f+g)(x)=f(x)+g(x), (ιf)(x)=ιf(x) απνηειεί δηαλπζκαηηθό ρώξν πάλω ζην R. 6. Τν ζύλνιν ηωλ ζεκείωλ ηνπ επηπέδνπ πνπ αλήθνπλ ζε ζπγθεθξηκέλε επζεία y=kx ε νπνία δηέξρεηαη από ηελ αξρή ηωλ αμόλωλ: V={(x,y) : xr, y=kx}, όπνπ k θάπνηνο θαζνξηζκέλνο πξαγκαηηθόο αξηζκόο. Ωο πξόζζεζε νξίδνπκε: (x 1, kx 1 )+ (x 2, kx 2 )=(x 1 +x 2, kx 1 +kx 2 )=(x 1 +x 2, k(x 1 +x 2 ))V 2

3 θαη ωο βαζκωηό πνιιαπιαζηαζκό: a(x 1, kx 1 )=(ax 1, akx 1 )=(ax 1, kax 1 ). 7. Τν ζύλνιν ηωλ δηαλπζκάηωλ ζην επίπεδν κε ηηο γλωζηέο πξάμεηο. Γιανςζμαηικοί Υπόσωποι Οριζμός: Έζηω V έλαο δ.ρ ζην R. Έλα κε θελό ππνζύλνιν W ηνπ V ιέγεηαη διανςζμαηικόρ ςπόσωπορ ηοςv αλ ην W είλαη έλαο δ.ρ ζην R κε ηνλ ίδην νξηζκό ηεο πξόζζεζεο θαη ηνπ βαζκωηνύ πνιιαπιαζηαζκνύ όπωο εθείλνη ηνπ V. Θεώρηµα: Έλα µε θελό ππνζύλνιν W ελόο πξαγκαηηθνύ δηαλπζµαηηθνύ ρώξνπ V ζα είλαη δηαλπζµαηηθόο ππνρώξνο ηνπv αλ θαη µόλν αλ ηζρύνπλ γηα ηνw νη επόµελεο δύν ηδηόηεηεο: i) u+vw, γηα θάζε u, vw. ii) γηα θάζε ιr θαη θάζε ww ηζρύεη ιww. Απόδεημε: Είλαη θαλεξό όηη αλ ν W είλαη έλαο πξαγκαηηθόο δηαλπζµαηηθόο ππνρώξνο ηνπv ηόηε ωο ρώξνο ηθαλνπνηεί ηηο νθηώ ηδηόηεηεο ηνπ νξηζµνύ ηνπ δ.ρ. Έηζη ην άζξνηζµα ζηνηρείωλ ελόο ρώξνπ, άξα θαη ηνπ W, είλαη πάιη ζηνηρείν ηνπ ρώξνπ, νπόηε ηθαλνπνηείηαη ε ηδηόηεηα (i). Όµνηα, ν βαζµωηόο πνιιαπιαζηαζµόο ζηνλ V είλαη θαη βαζµωηόο πνιιαπιαζηαζµόο γηα ηνλ W, αθνύ W δηαλπζκαηηθόο ππόρωξνο ηνπ V ζα ηζρύεη ιww, όηαλ ιr θαη ww, δει. ηζρύεη ε ηδηόηεηα (ii). Αληίζηξνθα, έζηω όηη ηζρύνπλ νη ηδηόηεηεο (i) θαη (ii). Εθόζνλ W ππόρωξνο ηνπ V ηόηε ηα ζηνηρεία ηνπ W ηθαλνπνηνύλ ηελ αληηµεηαζεηηθή θαη πξνζεηαηξηζηηθή ηδηόηεηα ηεο πξόζζεζεο. Από ηελ ηδηόηεηα (ii) αλ ww ηόηε -1w=- ww, δειαδή θάζε ζηνηρείν ηνπ W έρεη αληίζεην πνπ αλήθεη πάιη ζην W. Επίζεο, 0 w=0w, δει. ην µεδεληθό ζηνηρείν ηνπ V αλήθεη ζην W. Οη ππόινηπεο ηδηόηεηεο ηνπ νξηζµνύ ελόο δ.ρ. ηζρύνπλ γηα ηα ζηνηρεία ηνπ W, αθνύ µπνξνύλ λα ζεωξεζνύλ θαη ζηνηρεία ηνπ V. Καη ην ζεώξεµα απνδείρηεθε. Παραδείγµαηα: 3

4 1. ΈζηωV έλαο πξαγκαηηθόο δηαλπζµαηηθόο ρώξνο. Τόηε ν εαπηόο ηνπ θαη ην µνλνζύλνιν {0}, όπνπ 0 ην µεδεληθό ζηνηρείν ηνπ V, είλαη δηαλπζµαηηθνί ππνρώξνη ηνπ V. (Η απόδεημε ζύκθωλα κε ην πξνεγνύκελν ζεώξεκα). 2. Έζηω M n ν δηαλπζµαηηθόο ρώξνο ηωλ nxn πηλάθωλ πάλω ζην R. Σπκβνιίδνπκε κε D n ην ππνζύλνιν ηνπ Μ n ηωλ δηαγωλίωλ n n πηλάθωλ. To D n απνηειεί δηαλπζκαηηθό ππόρωξν ηνπ Μ n. 3. Σπκβνιίδνπκε κε S n ην ππνζύλνιν ηνπ M n ηωλ ζπκκεηξηθώλ πηλάθωλ δειαδή ηωλ ηεηξαγωληθώλ πηλάθωλ ηωλ νπνίωλ ηα ζηνηρεία είλαη ζπκκεηξηθά ωο πξνο ηελ θύξηα δηαγώλην. Π.ρ ν Πξάγκαηη: ,5S 3. To S n είλαη δηαλπζκαηηθόο ππόρωξνο ηνπ M n. 3 0,5 0 θαζώο θαη. 4. Τν ζύλνιν W={(s,0,t,2s-3t)s,tR}R 4, είλαη δηαλπζκαηηθόο ππόρωξνο ηνπ R 4 (απόδεημε;). 5. Τν ζύλνιν W={(s,-5,t,3s+4t)s,tR}R 4, δελ είλαη δηαλπζκαηηθόο ππόρωξνο ηνπ R 4 (γηαηί;). Βάζη Γιανςζμαηικού σώπος 4

5 Οριζμός: Έζηω v 1,v 2,, v n δηαλύζκαηα ελόο δ.ρ. V. Αλ από θάζε γξακκηθό ζπλδπαζκό ι 1 v 1,+ι 2 v 2 + +ι n v n =0 ηωλ v 1,v 2,, v n πξνθύπηεη ι 1 =ι 2 = =ι n =0, ηόηε ηα δηαλύζκαηα v 1,v 2,, v n, ιέγνληαη γπαμμικώρ ανεξάπηηηα. Σε θάζε άιιε πεξίπηωζε, δειαδή αλ ππάξρεη ηνπιάρηζηνλ έλα ι i 0 θαη ηζρύεη ι 1 v 1,+ι 2 v 2 + +ι n v n =0, ηόηε ηα δηαλύζκαηα v 1,v 2,, v n ιέγνληαη γπαμμικώρ εξηπηημένα. Παξαδείγκαηα: 1) Τα δηαλύζκαηα (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) ηνπ R 3 είλαη γξακκηθώο αλεμάξηεηα. Πξάγκαηη αλ ι 1 (1,0,0)+ι 2 (0,1,0)+ι 3 (0,0,1)=(0,0,0) ηόηε (ι 1,ι 2,ι 3 )=(0,0,0) νπόηε ι 1 =ι 2 =ι 3 =0. 2) Να δεηρζεί όηη ηα δηαλύζκαηα (1,1,1,-1), (1,1,3,-2) θαη (1,1,-1,0) είλαη γξακκηθώο εμεξηεκέλα. Πξάγκαηη εζηω x,y,zr ηέηνηα ώζηε x(1,1,1,-1)+y(1,1,3,-2)+z(1,1,-1,0)= (0,0,0,0). Tόηε πξνθύπηεη ην ζύζηεκα x y z 0 x 3y z 0 x 2y 0 (1). Οη ιύζεηο ηνπ ζπζηήκαηνο είλαη x=-2k, y=k, z=k, kr. Τν ζύζηεκα έρεη ζαλ ιύζε θαη ηελ κεδεληθή, αιιά δελ είλαη ε κνλαδηθή, άξα ηα δηαλύζκαηα είλαη γξακκηθώο εμεξηεκέλα. Οριζμός: Έλα ππνζύλνιν {v 1,v 2,,v n } ηνπ V νλνκάδεηαη βάζη ηνπ V αλ έρεη ηηο ηδηόηεηεο: α) Κάζε δηάλπζκα ηνπ V γξάθεηαη ωο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ηωλ v 1,v 2,,v n. β) Τα v 1,v 2,,v n είλαη γξακκηθώο αλεμάξηεηα. Απνδεηθλύεηαη όηη: α) Κάζε δ.ρ. έρεη πεξηζζόηεξεο από κία βάζε, όιεο όκωο έρνπλ ην ίδην πιήζνο ζηνηρείωλ πνπ νλνκάδεηαη διάζηαζη ηνπ δ.ρ. Αλ n είλαη ε δηάζηαζε ηνπ δ.ρ.v γξάθνπκε dimv=n. β) Αλ W δηαλπζκαηηθόο ππόρωξνο ηνπ V ηόηε dimwdimv. γ) Αλ {v 1,v 2,,v n } είλαη κηα βάζε ηνπ V, ηόηε ην ηπραίν δηάλπζκα vv γξάθεηαη κε κνλαδηθό ηξόπν ωο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ηωλ δηαλπζκάηωλ ηεο βάζεο (απόδεημε;). Παραδείγμαηα: 1) Τν ζύλνιν (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1) απνηειεί βάζε γηα ην ρώξν R 3, ε νπνία ιέγεηαη κανονική βάζε ηνπ R 3. 5

6 2) Τν ζύλνιν ηωλ πνιπωλύκωλ βαζκνύ ην πνιύ n είλαη δ.ρ δηαζηάζεωο n+1. Πξάγκαηη θάζε πνιπώλπκν ην πνιύ n βαζκνύ γξάθεηαη p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 + +a 1 x+a 0, δειαδή ωο γξακκηθόο ζπλδπαζκόο ηωλ δηαλπζκάηωλ {1,x,x 2,,x n } ηα νπνία είλαη γξακκηθώο αλεμάξηεηα αθνύ αλ k n x n +k n-1 x n-1 + +k 1 x+k 0 =0 γηα θάζε πξαγκαηηθό αξηζκό x, ηόηε ζπκπεξαίλνπκε όηη k n =k n- 1= =k 1 =k 0. 6